8 The Apery Constant Inspired by the coefficient of , t , n ----- \ 8 in the Zudilin-Straub transform of, ) binomial(n, k) / ----- k = 0 By Shalosh B. Ekhad Let RF(t,k), as usual, be the raising factorial, t*(t+1)...(t+k-1) We are interested in the limit, as n goes to infinity, of the coefficient of , 8 t , in the following quantity 8 8 (k!) ((n - k)!) ------------------------------- 8 8 RF(1 + t, k) RF(1 - t, n - k) and k equals, n/2, that in floating-point is, 0.50000000000000000000 n Let's call this constant c (it can also be described directly in terms of ha\ rmonic-type expressions). Using this definition the convergence is extre\ mely slow. We will show how to compute it much faster, with exponential error-rate Let A(n) be the sequence of integers satisfying the linear recurrence 11 16 (8 n + 13) (8 n + 7) (8 n + 9) (8 n + 11) (n + 2) (102375360 n 10 9 8 7 + 3186433080 n + 44960611518 n + 379608257007 n + 2130886001250 n 6 5 4 + 8350001129322 n + 23306855546382 n + 46339428278457 n 3 2 + 64315605847158 n + 59346884858090 n + 32767840545852 n + 8201727801720 5 20 19 ) (n + 1) A(n) + 8 (n + 2) (7072908871680 n + 315628558398720 n 18 17 16 + 6650661243415104 n + 87979206823913808 n + 819439991165553516 n 15 14 + 5711991395289139404 n + 30917972174651220597 n 13 12 + 133070276638133809227 n + 462516691604036543940 n 11 10 + 1311025295092282143740 n + 3047209515781789762641 n 9 8 + 5817899143713103665172 n + 9108545400676905550771 n 7 6 + 11630327275776577718556 n + 11993481346952514494264 n 5 4 + 9835369404711553127321 n + 6263916978444480644973 n 3 2 + 2986089280124489341048 n + 1002446238942897024570 n + 211318335235609832268 n + 21039060801453294600) A(n + 1) + ( 21 20 19 -3366101836800 n - 168725854569600 n - 4010423686584480 n 18 17 16 - 60111713177581680 n - 637366323164349672 n - 5082980161365671004 n 15 14 - 31646171842381024488 n - 157573000023030675288 n 13 12 - 637631023408817391468 n - 2119093682689021132824 n 11 10 - 5820887359597285072932 n - 13254774950782092073776 n 9 8 - 25017694313030423176044 n - 39014303535899793467076 n 7 6 - 49938308319245777323188 n - 51905123760338457278424 n 5 4 - 43100869303050031152960 n - 27905051348762330792376 n 3 2 - 13568667259044771304416 n - 4659371700735403391616 n - 1007106125957797292928 n - 103016075375086473600) A(n + 2) - 2 ( 18 17 16 15 6961524480 n + 310658029920 n + 6500512066104 n + 84729238051860 n 14 13 12 + 770715264100878 n + 5194295369065098 n + 26874700372746516 n 11 10 9 + 109121373633086019 n + 352423811632001922 n + 911930214746405278 n 8 7 6 + 1894748039012557464 n + 3153073563533903151 n + 4170731594507388838 n 5 4 3 + 4325192582660019738 n + 3438871758751753182 n + 2022592897697984984 n 2 + 828656447429098560 n + 211038635712599424 n + 25145115503187680) 3 11 10 9 (n + 3) A(n + 3) + (102375360 n + 2060304120 n + 18726925518 n 8 7 6 5 + 101460307545 n + 364013859042 n + 907992479736 n + 1606745735736 n 4 3 2 + 2017065459849 n + 1760584594380 n + 1017700462466 n + 350689467812 n 3 7 + 54585830156) (n + 3) (n + 4) A(n + 4) = 0 and in Maple notation 16*(8*n+13)*(8*n+7)*(8*n+9)*(8*n+11)*(n+2)*(102375360*n^11+3186433080*n^10+ 44960611518*n^9+379608257007*n^8+2130886001250*n^7+8350001129322*n^6+ 23306855546382*n^5+46339428278457*n^4+64315605847158*n^3+59346884858090*n^2+ 32767840545852*n+8201727801720)*(n+1)^5*A(n)+8*(n+2)*(7072908871680*n^20+ 315628558398720*n^19+6650661243415104*n^18+87979206823913808*n^17+ 819439991165553516*n^16+5711991395289139404*n^15+30917972174651220597*n^14+ 133070276638133809227*n^13+462516691604036543940*n^12+1311025295092282143740*n^ 11+3047209515781789762641*n^10+5817899143713103665172*n^9+ 9108545400676905550771*n^8+11630327275776577718556*n^7+11993481346952514494264* n^6+9835369404711553127321*n^5+6263916978444480644973*n^4+ 2986089280124489341048*n^3+1002446238942897024570*n^2+211318335235609832268*n+ 21039060801453294600)*A(n+1)+(-3366101836800*n^21-168725854569600*n^20-\ 4010423686584480*n^19-60111713177581680*n^18-637366323164349672*n^17-\ 5082980161365671004*n^16-31646171842381024488*n^15-157573000023030675288*n^14-\ 637631023408817391468*n^13-2119093682689021132824*n^12-5820887359597285072932*n ^11-13254774950782092073776*n^10-25017694313030423176044*n^9-\ 39014303535899793467076*n^8-49938308319245777323188*n^7-51905123760338457278424 *n^6-43100869303050031152960*n^5-27905051348762330792376*n^4-\ 13568667259044771304416*n^3-4659371700735403391616*n^2-1007106125957797292928*n -103016075375086473600)*A(n+2)-2*(6961524480*n^18+310658029920*n^17+ 6500512066104*n^16+84729238051860*n^15+770715264100878*n^14+5194295369065098*n^ 13+26874700372746516*n^12+109121373633086019*n^11+352423811632001922*n^10+ 911930214746405278*n^9+1894748039012557464*n^8+3153073563533903151*n^7+ 4170731594507388838*n^6+4325192582660019738*n^5+3438871758751753182*n^4+ 2022592897697984984*n^3+828656447429098560*n^2+211038635712599424*n+ 25145115503187680)*(n+3)^3*A(n+3)+(102375360*n^11+2060304120*n^10+18726925518*n ^9+101460307545*n^8+364013859042*n^7+907992479736*n^6+1606745735736*n^5+ 2017065459849*n^4+1760584594380*n^3+1017700462466*n^2+350689467812*n+ 54585830156)*(n+3)^3*(n+4)^7*A(n+4) = 0 Subject to the initial condition A(1) = 2, A(2) = 258, A(3) = 13124, A(4) = 1810690 Let B(n) be the sequence satisfying the INHOMOGENEOUS recurrence i.e. 16*(8*n+13)*(8*n+7)*(8*n+9)*(8*n+11)*(n+2)*(102375360*n^11+3186433080*n^10+ 44960611518*n^9+379608257007*n^8+2130886001250*n^7+8350001129322*n^6+ 23306855546382*n^5+46339428278457*n^4+64315605847158*n^3+59346884858090*n^2+ 32767840545852*n+8201727801720)*(n+1)^5*B(n)+8*(n+2)*(7072908871680*n^20+ 315628558398720*n^19+6650661243415104*n^18+87979206823913808*n^17+ 819439991165553516*n^16+5711991395289139404*n^15+30917972174651220597*n^14+ 133070276638133809227*n^13+462516691604036543940*n^12+1311025295092282143740*n^ 11+3047209515781789762641*n^10+5817899143713103665172*n^9+ 9108545400676905550771*n^8+11630327275776577718556*n^7+11993481346952514494264* n^6+9835369404711553127321*n^5+6263916978444480644973*n^4+ 2986089280124489341048*n^3+1002446238942897024570*n^2+211318335235609832268*n+ 21039060801453294600)*B(n+1)+(-3366101836800*n^21-168725854569600*n^20-\ 4010423686584480*n^19-60111713177581680*n^18-637366323164349672*n^17-\ 5082980161365671004*n^16-31646171842381024488*n^15-157573000023030675288*n^14-\ 637631023408817391468*n^13-2119093682689021132824*n^12-5820887359597285072932*n ^11-13254774950782092073776*n^10-25017694313030423176044*n^9-\ 39014303535899793467076*n^8-49938308319245777323188*n^7-51905123760338457278424 *n^6-43100869303050031152960*n^5-27905051348762330792376*n^4-\ 13568667259044771304416*n^3-4659371700735403391616*n^2-1007106125957797292928*n -103016075375086473600)*B(n+2)-2*(6961524480*n^18+310658029920*n^17+ 6500512066104*n^16+84729238051860*n^15+770715264100878*n^14+5194295369065098*n^ 13+26874700372746516*n^12+109121373633086019*n^11+352423811632001922*n^10+ 911930214746405278*n^9+1894748039012557464*n^8+3153073563533903151*n^7+ 4170731594507388838*n^6+4325192582660019738*n^5+3438871758751753182*n^4+ 2022592897697984984*n^3+828656447429098560*n^2+211038635712599424*n+ 25145115503187680)*(n+3)^3*B(n+3)+(102375360*n^11+2060304120*n^10+18726925518*n ^9+101460307545*n^8+364013859042*n^7+907992479736*n^6+1606745735736*n^5+ 2017065459849*n^4+1760584594380*n^3+1017700462466*n^2+350689467812*n+ 54585830156)*(n+3)^3*(n+4)^7*B(n+4) = C(n) with the initial conditions B(1) = 12870, B(2) = 25781283/128, B(3) = 1482635663003/46656, B(4) = 58926821099896235/23887872 where the right side, C(n), satisfies the recurrence -(29230977821402202540754747288626064868395182668043725354148214087806814225286\ 1650144032911461418766300253021309249080821290554668895651109682425352421649855\ 8424196559183761369557660299268745054481575455459322064228427232034623651439757\ 0030603444698122367043890559485397925364329957155837162059915047350313980256941\ 0103131119681810095933219866665258877841897165469157941606746384190548946768837\ 929135991384158111933824710372973696293575652443915099*n^5+68302625004873355010\ 0370343303597642971828283774406747292904391768152185184956943123921475093543411\ 3482567746751748326218971623257788168619778989825105318116451270012857147485255\ 6405046101201871092849305858992420492510905613177960797766077829981913935705733\ 7691450625921055997883633626067322275831077936870565688151308273004721231551704\ 9847667488942507889877595290638957071350609367940209597298419667272069799497302\ 570284988631534098024693981988652*n^4+63782451216207380809937884827719934591598\ 5346988582135707966762689412253469274214120623381277027062643315590584015303325\ 7688546023032878686480830141059122287279458733878707791598603668638316753652579\ 4654943513169779137804891138528444791625477016837149002558524517097372726123192\ 0578043033435787743778749471331676729172214523095008234492823519765259634628755\ 9123013302661140144802397713074382924334495992865543105663835746364341665132570\ 6352966415541*n^3+2976281589928753234213417497131444865709277774496224363809259\ 7449191642315642117847236199691467117167982891085598048442356978713744844203881\ 9865930879262628549078844549562688329722666150983827320509660994473905451739237\ 3670878075994335556490590820130525319663970669750068351904741618103734692906140\ 6516178455233862406832197914147840507358355048755846989366827542006606892626122\ 5168533023496360139403463856890385497928521134360522067662613172902621070*n^2+ 6941750967494375827332815170669384840269709716782008537469581003458231510584811\ 0548835496496571758240514676071234575689294385900915433114436726205559811963359\ 2705128554326178720151891536089102002807366500468821580534366496071186283963997\ 5228615456650388022197961557988591808610698103107962661161712768624925305495667\ 1094652039862344835653306578303748691805128614421171601690024730931788149185271\ 7316119151377841083691528594840007219377948322548495822*n+647555554604424949254\ 4528139615288537629088517371744237978541044460355001148209130010759725898238676\ 8338540224521799781941945934621891314618227154966544069077149463309676935811958\ 8167330491900553801325879831879014604918247576606683989119108540426930171181242\ 5923240209613056083012468695593656705210775565114368706287751394997573087658455\ 6912490251080688648004624261510295730561509361469263283042031526856586701565371\ 7847382442003982613956632374970948)*(n+1)^2*(n+2)^2/(n+8)/(n+6)/(27256866321242\ 7527594137021396228090478633666071152837481942860242365816161362032797115150088\ 3000045456584094654650654104051991181596619358363876824779497066038374021670105\ 0192071129787120569118151670645842379788352649208449036508031444331014661037585\ 7707608221464488808101724911380463672640824289441936024274801051802441154981951\ 2494598774211684535964592747715359827464132145243704687270894155052014929062597\ 9611526635905830426043247587962398327*n^5+5734526910274296601944603766154863348\ 4276353928440482212439145509845044389002415099376629067188398767779579190293945\ 8807657520347584935485001681734167082741955888749591982427304810789170361577969\ 4903299774262704474036147021123918188665604172364013057127966969778081404745227\ 9720373616122740005497648748660572271463548744332650829185349330599859852802591\ 4884479283455561613047057701882375374167978476424735178101866685402662105934693\ 596424121454708*n^4+48445590014467097090794647271517079917117820601263654265371\ 0841799433067493605772979837566269631949404797445882037000032083083509878048708\ 6488120839199807682288200026724092445162882102270880578915651993939594803082377\ 1010109569485963717620540254994018168632470698354761128659738598791246441337681\ 8567584371780440722172177852499552424075136099327964907326718969292798749993261\ 8555420902222714203130415681135617811726642194716315510347088792940046146*n^3+ 2054817440310344735916918857417777877880380130415451631588390222652219172718572\ 0065955315671104202042389703407220728475807636620958371457249161569098165169561\ 1691258224803243678747109889380349601812405573864462937227367046252142691140720\ 2407019188010113614518493154151343131583865427497335724969712999267934541862214\ 6405028469388325049983866177184451673287073514243534494423548323166188977421205\ 556814862996719256634343866697496017613518300325935897*n^2+43766053460163377274\ 9452432530139476505078535367403076712661589392553869737911217717850365356214216\ 4087951336933344071265772107983773575906439298007124293617457029771583960226720\ 8594310375608551627096255633079564664662545874827816972483525994609369600338710\ 9167151321061658872646220778173278367524178624589223237143447778397086607940345\ 5341102588406168127343961006454245997547455169558768434546561315407747728283904\ 3032004482063075328631817874172188*n+374532621991771996923526081968794890956588\ 4071331764611785788697373446242163156288870165933592943155175299832506649602081\ 7405454017190821417702560260695223478939222271754925362455721276945378950188175\ 4386428106637464419217717517610010281701584116128753312596039803447379480027782\ 1805679578013355898411908688682281137620163679614977701618298167934286130220031\ 4412651801482875370836536458109270312512199809070419319648082166958079930955121\ 006407476972)/(n+7)^2*C(n)-(n+3)*(455640314640195675996816520748813385240859671\ 4054074575653753162734887487247270068436454575743652625403296903874483052409078\ 1183312426444979905254280106022583050540829755587580562275771766674864644367176\ 2667127611057506791966155057403338199611519007856373973451712447873204869365373\ 5755757207706678381725698762407544208172247470344135496804519025284132187147806\ 7259956802043741531219904690254402042214665193036142159643895218793495945311293\ 7288870*n^8+2366324621513298953799388990307543911889360605417204770093634583891\ 0902229611020587517223329431635583199928618503948028113559074189384380426717390\ 1163648114138129747064478037484261572461398950118153059772505379653162919548346\ 5233113310846974272860737380967780693436940729902745335636876107273270435280758\ 3998753606722233730508285335959631541492217395768130404112917299784715832926478\ 561151045118934460028782100452737116914661740020284130336935175358*n^7+41462090\ 3090679890158767619715646000583760301950343015821157493636305491275915110467412\ 8477142865800123589797268839098373175713783107772648989730291914568309938142387\ 1360910886157709615457567320433992863534553247191201185664229488812192651319962\ 0919547042706111309465745545545929784746213343420599645758560430344494527994439\ 0190481966905759033140081868325111658831049843121893579212449465180235976874531\ 20621096703518532940582674974535210549114793473*n^6+377751994914439550960176010\ 8980049781151819955564459964171682470251799233724127003909179504750499174425560\ 3205782879045498234117203788630553501304882956105568650931973988208105457453161\ 4249322538886649536208542428685980074648973765913891033489652652381591578165086\ 9056650103003352298769960688506684390696072410439254311878295710147918412185599\ 5748154135124104189225076092586459739229806037921077488942688404286382937380544\ 27547809061774351718588808069*n^5+204432438219476247639987724366350980404758227\ 1918193993295235829132989601498364730709560614896822778719135229653008858250791\ 8845456247349626525937785028346123118736575231408383538772130920953098870800869\ 6733068005574908896377529825305274869544797474395561968720547603510842049842591\ 9564325376625230031860710090659589819498662910548452393679999548160348843321620\ 7313588608250173269521774950370849148460514114503189552968123111423192269672257\ 822812785147*n^4+67971813166464004282941991997213588651129575934725592708369439\ 8090013476700634089241744296526076955467753861273247677286982155581564801003572\ 4751543268810531590732012525547662081162288606320557735190308927839495378731884\ 0296053873970858713927468745894977477738539312980483161178173314359026247101910\ 4711364804819699934156601682649030989280065313946112167290147554888393578559127\ 52205418417360571965021399925893187778729605524179190892476322222587176701*n^3+ 1355438847075537378447289636968930645286230487835807733206776524343852135022663\ 6434156832256317598870762217971268801475132709105359471959606494838536733896830\ 0776385880799764342259838380740709992220619418533892764652333449135090318886439\ 3949729293712664100056775477262234277869596358158172738976135287375427199806832\ 4802795647317152197904128117708358390090552990731625008821065313458576153297766\ 5469426232691574911402495653050512772981109905276291517814*n^2+1479690609681584\ 3620866796524239146012559669854314003113761922180602637724606471835473778630370\ 5825025297831790773177946384763250506232666798224572277048227203887016479333240\ 7522228288460243968613926919679482953796053009199283636289948455793407354907843\ 8036664009281597737421319732647718864386863757351142919072126288238227196584985\ 6928982402475058150334531472652683619291453069529527382601328380559271571688766\ 116734769439034150889256672588121723553616*n+6770230452569045611298476091416178\ 6194558319091414385257572467147508700320043835659873237670535777637046627674045\ 2756061556924891373515962699992836831173124885998811424812649164239539961061941\ 4156666861714834118635665028671079902253150631521044533706879288333804184243727\ 2283102409352393359333878859160917262185406078541170742248506555976984909060537\ 9088361683759803518678411192943599381118648424729601840089449389828324130677000\ 56656572017717964045552)/(n+8)/(n+6)/(27256866321242752759413702139622809047863\ 3666071152837481942860242365816161362032797115150088300004545658409465465065410\ 4051991181596619358363876824779497066038374021670105019207112978712056911815167\ 0645842379788352649208449036508031444331014661037585770760822146448880810172491\ 1380463672640824289441936024274801051802441154981951249459877421168453596459274\ 7715359827464132145243704687270894155052014929062597961152663590583042604324758\ 7962398327*n^5+5734526910274296601944603766154863348427635392844048221243914550\ 9845044389002415099376629067188398767779579190293945880765752034758493548500168\ 1734167082741955888749591982427304810789170361577969490329977426270447403614702\ 1123918188665604172364013057127966969778081404745227972037361612274000549764874\ 8660572271463548744332650829185349330599859852802591488447928345556161304705770\ 1882375374167978476424735178101866685402662105934693596424121454708*n^4+4844559\ 0014467097090794647271517079917117820601263654265371084179943306749360577297983\ 7566269631949404797445882037000032083083509878048708648812083919980768228820002\ 6724092445162882102270880578915651993939594803082377101010956948596371762054025\ 4994018168632470698354761128659738598791246441337681856758437178044072217217785\ 2499552424075136099327964907326718969292798749993261855542090222271420313041568\ 1135617811726642194716315510347088792940046146*n^3+2054817440310344735916918857\ 4177778778803801304154516315883902226522191727185720065955315671104202042389703\ 4072207284758076366209583714572491615690981651695611691258224803243678747109889\ 3803496018124055738644629372273670462521426911407202407019188010113614518493154\ 1513431315838654274973357249697129992679345418622146405028469388325049983866177\ 1844516732870735142435344944235483231661889774212055568148629967192566343438666\ 97496017613518300325935897*n^2+437660534601633772749452432530139476505078535367\ 4030767126615893925538697379112177178503653562142164087951336933344071265772107\ 9837735759064392980071242936174570297715839602267208594310375608551627096255633\ 0795646646625458748278169724835259946093696003387109167151321061658872646220778\ 1732783675241786245892232371434477783970866079403455341102588406168127343961006\ 4542459975474551695587684345465613154077477282839043032004482063075328631817874\ 172188*n+3745326219917719969235260819687948909565884071331764611785788697373446\ 2421631562888701659335929431551752998325066496020817405454017190821417702560260\ 6952234789392222717549253624557212769453789501881754386428106637464419217717517\ 6100102817015841161287533125960398034473794800277821805679578013355898411908688\ 6822811376201636796149777016182981679342861302200314412651801482875370836536458\ 109270312512199809070419319648082166958079930955121006407476972)/(n+7)^2*C(n+1) +3*(n+4)*(525352902761137296927352063639053678837143051343903569690007528224317\ 3891954229846428391687597606456417822413962535767311638581128648726346170330520\ 3966926516726411725261613123423021324942502985916185305347046886601501129970191\ 5548588789706286864980810173389424052020766682180303999755248120116988283050371\ 2543585859082864232211422093217720840544007219665122346438053644112941652496675\ 1031811300768254668789833007381951015367867249807956176575388*n^8-3633650802608\ 2098412715084303481727316622357696566035970609031694741240315715436657073404192\ 0459373236536522386655931455275748256110410888705282774601864052014486470010547\ 4971557165236766692643579749028152537860624043640148733549307753862593321356873\ 7813934988345368235413272672223628224263509710037154277026287163487212346412372\ 1805998352806647992979524658059406228883040672133218009707516468480894853170105\ 7436766929158654383732645934388423592826*n^7-1374286173036720281265113621013905\ 0832198172067373877001870202233350569255770828835773675309355055929321939810527\ 5333693357833740834838544753516099188592824227570487606036900574478908521816365\ 9375548876900940530191174448491538242850712770593142372110149936946541956819625\ 9493165556937479887837503703049107048050181500080372208615040288667720867028032\ 8457717572178155343375369912681170820848159842805906676763832290410007977433063\ 517581422452386378931*n^6-19448665525921980114736514337528429334037302663120773\ 1992529809647287789567381762072007273217276876016057215830028412092224818399672\ 8351617233686786051935594977559049782263165502830404006129624173570764875031164\ 4783820863544356472169437192234477395354180339685444519762348063377580975418323\ 0321594729445037434284609243780916685299628652593837390062942954404175735623090\ 3595608113687167457475886030170496546513696667762673839981217007307279889684973\ 773*n^5-15102877599951322811790655203425023880350583748206044765040237784948430\ 2495284401525331328375360940082306593965290123585879079610269714602108096450521\ 9524206055889699219038893637682334139079402183389241142657618206801890301293386\ 8583163503216969662119571965266721423564188113049846087113178777574706419981129\ 3917958440749799441322621630427878568366511486518632698584587732293699486951708\ 60195414730990074985337800762171788831376627913250847772938306475*n^4-706818479\ 3500123633063635284389140499991398405661122447281388054679666313420445912659778\ 7315606003856382897773088288377847958027226163924930371749330096484026912198355\ 2604331595843740035957813913202482474947166261254350473548576880615740848613025\ 0530868687678973231597832306682844125928607663040281774272301710318054238386811\ 2189067524767692740844136087176596213982246929202437085335838590082781713375364\ 111959007198309575133249880294850609956382095665*n^3-19920143931932180669377033\ 8775835502960620469036961133412390846093403145183066070995413284426133044301790\ 4743774949562735027743906300303538776801951190002870273862584961453525839745822\ 1778982390038421655734570922388356379030298220327678401224525110457957611798248\ 2303560312218979282151760134105761977178629831025983587219090570255520838463316\ 5117108528321005318364412802790560482136064537521879992249441401036302443948067\ 10184314719332158297710809215614*n^2-311144373347194965416666835170681801102061\ 7815064896651450667735312087474588210832886616457950613827729025948129197497769\ 6451424809600777789251700427680270313192967828117806940544596881368559563813442\ 0867362595044913306079224928094407101832312754422505492249058946413533102702881\ 0091692430970024167355033225103775128953389413996679552440128831668252827514857\ 0697309562810253326947398670473029430427625626751554501228201473014471290491554\ 2046238199677168*n-206405740952514514558834188791232638382437656204298233148933\ 8195709881906405128399597465035815214865276700304197626072591790194111930330482\ 9279147902715895003618861007787455812354718447399552037626710090246033889557142\ 4392355533165850739637281975671763453116465794471967458180583680388269098297085\ 4762516622288556668326693714380401827147102555544347168088777250408899319513059\ 25686783370628842707130404751847433947280725744856746624543827376708538158600)/ (n+8)/(n+6)/(272568663212427527594137021396228090478633666071152837481942860242\ 3658161613620327971151500883000045456584094654650654104051991181596619358363876\ 8247794970660383740216701050192071129787120569118151670645842379788352649208449\ 0365080314443310146610375857707608221464488808101724911380463672640824289441936\ 0242748010518024411549819512494598774211684535964592747715359827464132145243704\ 6872708941550520149290625979611526635905830426043247587962398327*n^5+5734526910\ 2742966019446037661548633484276353928440482212439145509845044389002415099376629\ 0671883987677795791902939458807657520347584935485001681734167082741955888749591\ 9824273048107891703615779694903299774262704474036147021123918188665604172364013\ 0571279669697780814047452279720373616122740005497648748660572271463548744332650\ 8291853493305998598528025914884479283455561613047057701882375374167978476424735\ 178101866685402662105934693596424121454708*n^4+48445590014467097090794647271517\ 0799171178206012636542653710841799433067493605772979837566269631949404797445882\ 0370000320830835098780487086488120839199807682288200026724092445162882102270880\ 5789156519939395948030823771010109569485963717620540254994018168632470698354761\ 1286597385987912464413376818567584371780440722172177852499552424075136099327964\ 9073267189692927987499932618555420902222714203130415681135617811726642194716315\ 510347088792940046146*n^3+20548174403103447359169188574177778778803801304154516\ 3158839022265221917271857200659553156711042020423897034072207284758076366209583\ 7145724916156909816516956116912582248032436787471098893803496018124055738644629\ 3722736704625214269114072024070191880101136145184931541513431315838654274973357\ 2496971299926793454186221464050284693883250499838661771844516732870735142435344\ 9442354832316618897742120555681486299671925663434386669749601761351830032593589\ 7*n^2+4376605346016337727494524325301394765050785353674030767126615893925538697\ 3791121771785036535621421640879513369333440712657721079837735759064392980071242\ 9361745702977158396022672085943103756085516270962556330795646646625458748278169\ 7248352599460936960033871091671513210616588726462207781732783675241786245892232\ 3714344777839708660794034553411025884061681273439610064542459975474551695587684\ 345465613154077477282839043032004482063075328631817874172188*n+3745326219917719\ 9692352608196879489095658840713317646117857886973734462421631562888701659335929\ 4315517529983250664960208174054540171908214177025602606952234789392222717549253\ 6245572127694537895018817543864281066374644192177175176100102817015841161287533\ 1259603980344737948002778218056795780133558984119086886822811376201636796149777\ 0161829816793428613022003144126518014828753708365364581092703125121998090704193\ 19648082166958079930955121006407476972)/(n+7)^2*C(n+2)+(n+5)*(56308735570463375\ 9566744672403735121225805216075558356451660912660025092602825558315115103399025\ 8346934821983312748065018086891563444875755127292113630143314623620888234461231\ 9904859388259317601870099074671581358574307739706890902877095726274524545725122\ 1634707945246741643686082607161005641252292882566995875022483571218301964306721\ 7403809512346217148247307985950176256624740974908008678670064967332247390929947\ 21748660373227603460357308889079478*n^8+181805430543912465569759770901533722974\ 1451206618174147427991492256168745882397118521967956816594113089306524414100800\ 8022115303286043475556728090016552579473405546357459285938441142541875076019718\ 9577617907713984692043551880188972538509445198999861428486678942978713325085705\ 9663770729637644149818958163980942056621261687113146903935938114381081901679273\ 4995072425004629205553453017393046089408737050013994473505478833038152709266540\ 820809723452182*n^7+24344435524070529530332126301801102197765927002839280248283\ 0263250138344940360369674651160991204764288364085584367504860398497865642257724\ 3846210340639365863424832388542887213997748399429047654518695120166849032224914\ 5626271810883140199944987088971218694371615952245711326149476095706885457144325\ 3091393590734008638923846312453409718198711708984789600721007622658923218213234\ 466675633093999202104542357509149799362980559267251477877762211728483881301*n^6 +170724463256796964665951297527921260773265958588363228498716403120836449495158\ 6865545784361894576375954063242088987309814462293539099385487924896989435889633\ 3853665960089497635614440032898728773233025984659074591883265077983605997554505\ 1843360303310630036215849906642155214461058972581876025076662673157416925279984\ 2159948684241001855686145181283960559216606022650586303299199561237369949367998\ 560172153165251874183040927677630347436871817267436116159*n^5+62129645339934082\ 2485118738493806297324254898349337540765564660783424997148590105149091844985070\ 3005258393450677613656541603444494914232232481538840414847079670997733149919161\ 3778315968666907658699344885449430658792923234095819399998087784094842111935498\ 0042199832506751251414987702031191952007191520962614494981681290570459723503116\ 6677161662342453030594081743535551136253199128320375500973700328345240586206935\ 139290612399736358756644793466890841657*n^4+68390359695831822657253217045160017\ 5286535351625842850070826899274822351889793873774595949631036002071662552415674\ 1429931247015340412139341168819814595387359444546226725524574659396428106801011\ 9106326373265775765398800157703142940415678515761557529221067540675664231105880\ 4324967638945539522860251837444896839300137875105152165805333492196815121712818\ 3543179675654283955189722453784631450582452103518598938846614427329906120397943\ 776800941379616464875*n^3-30747006935508424339248734581361153642653535265426201\ 5317230201552867502566091355581067844116905594472904965537399123121129924052706\ 9289396968850400729851403881867468482929502103410230900505021978096932885204409\ 6721728804738612835741122471425694784312102805977909337795105875793393147707217\ 1685623072822945425421441807139321533846300206967792418142648443690481150745073\ 0821461777724773893243550650899613758350218481370079229491409276449744872265491\ 8440*n^2-1209786665928749703476861897412929466448468200901935308529119665071500\ 9535762953601659466121528044648011832824964854890622505786121310005545554431492\ 9213350546712513368503964068158131535541568988777837071658264047364159309107236\ 5298347001275918718291455493008638532585956185510978740836880249486097420174873\ 2280158771627974612377509772842542740636898714339671832717902693837955158977757\ 8184929304329786577373429908114720617277569483977572505325296811812*n-132737827\ 9043592690779861497037239595140637130658849246652341744557717883960957092529057\ 4497492476739338298971543050981040528404556644431198627705733334107262558109300\ 4228477002305708788501815415441983929454088217034049738783794828460226019541777\ 0188387426835091650037939061204252814152635578799342120062964282377081207107571\ 8858458162840156709542355142218454221786128204018378658608828021611770074147964\ 6537442171765217764110741702291325904165995838592)/(n+8)/(n+6)/(272568663212427\ 5275941370213962280904786336660711528374819428602423658161613620327971151500883\ 0000454565840946546506541040519911815966193583638768247794970660383740216701050\ 1920711297871205691181516706458423797883526492084490365080314443310146610375857\ 7076082214644888081017249113804636726408242894419360242748010518024411549819512\ 4945987742116845359645927477153598274641321452437046872708941550520149290625979\ 611526635905830426043247587962398327*n^5+57345269102742966019446037661548633484\ 2763539284404822124391455098450443890024150993766290671883987677795791902939458\ 8076575203475849354850016817341670827419558887495919824273048107891703615779694\ 9032997742627044740361470211239181886656041723640130571279669697780814047452279\ 7203736161227400054976487486605722714635487443326508291853493305998598528025914\ 8844792834555616130470577018823753741679784764247351781018666854026621059346935\ 96424121454708*n^4+484455900144670970907946472715170799171178206012636542653710\ 8417994330674936057729798375662696319494047974458820370000320830835098780487086\ 4881208391998076822882000267240924451628821022708805789156519939395948030823771\ 0101095694859637176205402549940181686324706983547611286597385987912464413376818\ 5675843717804407221721778524995524240751360993279649073267189692927987499932618\ 555420902222714203130415681135617811726642194716315510347088792940046146*n^3+20\ 5481744031034473591691885741777787788038013041545163158839022265221917271857200\ 6595531567110420204238970340722072847580763662095837145724916156909816516956116\ 9125822480324367874710988938034960181240557386446293722736704625214269114072024\ 0701918801011361451849315415134313158386542749733572496971299926793454186221464\ 0502846938832504998386617718445167328707351424353449442354832316618897742120555\ 6814862996719256634343866697496017613518300325935897*n^2+4376605346016337727494\ 5243253013947650507853536740307671266158939255386973791121771785036535621421640\ 8795133693334407126577210798377357590643929800712429361745702977158396022672085\ 9431037560855162709625563307956466466254587482781697248352599460936960033871091\ 6715132106165887264622077817327836752417862458922323714344777839708660794034553\ 4110258840616812734396100645424599754745516955876843454656131540774772828390430\ 32004482063075328631817874172188*n+37453262199177199692352608196879489095658840\ 7133176461178578869737344624216315628887016593359294315517529983250664960208174\ 0545401719082141770256026069522347893922227175492536245572127694537895018817543\ 8642810663746441921771751761001028170158411612875331259603980344737948002778218\ 0567957801335589841190868868228113762016367961497770161829816793428613022003144\ 1265180148287537083653645810927031251219980907041931964808216695807993095512100\ 6407476972)/(n+7)^2*C(n+3)+C(n+4) = 0 with the initial conditions C(1) = -6823047849512509358165/9, C(2) = -5918292737255611613134383/250, C(3) = -1788086752743991475411284/5, C(4) = -1058948704660790911350619879/315 Note that it is very fast to compute many terms of C(n) and hence of B(n) The ratios B(n)/A(n) tend very fast to the constant c Here it is to 30 digits, 1671.45410561751134361905136037 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 1860., 1550. as you can see the convergence is extremely slow using the definition ------------------------------------------------------- This ends this paper that took, 1393.661, seconds to generate.