4 The Apery Constant Inspired by the coefficient of , t , n ----- \ 4 k in the Zudilin-Straub transform of, ) binomial(n, k) 2 / ----- k = 0 By Shalosh B. Ekhad Let RF(t,k), as usual, be the raising factorial, t*(t+1)...(t+k-1) We are interested in the limit, as n goes to infinity, of the coefficient of , 4 t , in the following quantity 4 4 (k!) ((n - k)!) ------------------------------- 4 4 RF(1 + t, k) RF(1 - t, n - k) 4 3 2 and k equals, RootOf(_Z - 8 _Z + 12 _Z - 8 _Z + 2) n, that in floating-point is, 0.54321361686294489602 n Let's call this constant c (it can also be described directly in terms of ha\ rmonic-type expressions). Using this definition the convergence is extre\ mely slow. We will show how to compute it much faster, with exponential error-rate Let A(n) be the sequence of integers satisfying the linear recurrence 4 3 2 3 (n + 2) (864 n + 9936 n + 42387 n + 79437 n + 55181) (n + 1) A(n) - 15 7 6 5 4 3 (n + 2) (44928 n + 718848 n + 4829388 n + 17649256 n + 37880013 n 2 8 7 + 47737980 n + 32707690 n + 9399441) A(n + 1) + (-188352 n - 3672864 n 6 5 4 3 2 - 30977310 n - 147448176 n - 432716089 n - 800645440 n - 910682766 n 7 6 - 581183533 n - 159056590) A(n + 2) - 3 (n + 3) (3456 n + 62208 n 5 4 3 2 + 469788 n + 1925116 n + 4612403 n + 6446493 n + 4856371 n + 1519190) A(n + 3) 4 3 2 3 + (n + 3) (864 n + 6480 n + 17763 n + 21015 n + 9059) (n + 4) A(n + 4) = 0 and in Maple notation (n+2)*(864*n^4+9936*n^3+42387*n^2+79437*n+55181)*(n+1)^3*A(n)-15*(n+2)*(44928*n ^7+718848*n^6+4829388*n^5+17649256*n^4+37880013*n^3+47737980*n^2+32707690*n+ 9399441)*A(n+1)+(-188352*n^8-3672864*n^7-30977310*n^6-147448176*n^5-432716089*n ^4-800645440*n^3-910682766*n^2-581183533*n-159056590)*A(n+2)-3*(n+3)*(3456*n^7+ 62208*n^6+469788*n^5+1925116*n^4+4612403*n^3+6446493*n^2+4856371*n+1519190)*A(n +3)+(n+3)*(864*n^4+6480*n^3+17763*n^2+21015*n+9059)*(n+4)^3*A(n+4) = 0 Subject to the initial condition A(1) = 3, A(2) = 37, A(3) = 495, A(4) = 7761 Let B(n) be the sequence satisfying the INHOMOGENEOUS recurrence i.e. (n+2)*(864*n^4+9936*n^3+42387*n^2+79437*n+55181)*(n+1)^3*B(n)-15*(n+2)*(44928*n ^7+718848*n^6+4829388*n^5+17649256*n^4+37880013*n^3+47737980*n^2+32707690*n+ 9399441)*B(n+1)+(-188352*n^8-3672864*n^7-30977310*n^6-147448176*n^5-432716089*n ^4-800645440*n^3-910682766*n^2-581183533*n-159056590)*B(n+2)-3*(n+3)*(3456*n^7+ 62208*n^6+469788*n^5+1925116*n^4+4612403*n^3+6446493*n^2+4856371*n+1519190)*B(n +3)+(n+3)*(864*n^4+6480*n^3+17763*n^2+21015*n+9059)*(n+4)^3*B(n+4) = C(n) with the initial conditions B(1) = 105, B(2) = 14095/16, B(3) = 1824725/144, B(4) = 1363391713/6912 where the right side, C(n), satisfies the recurrence 2*(n+3)*(n+1)*(2809358093087145728520827068809535458043688374171460005430393374\ 7377372837508039648077585748107843398180934754824236502608673397117610217945451\ 680851321526232874477395151249924071853937598057020509540010368*n^6+86024394497\ 7017152667779111920755675979999576894137039977927056346736194743562764541452474\ 0185215062345785782086795556993485113463064885814592462567641444052891476696293\ 41917388346233107865402171313796307342*n^5+109546668119126809319889228240991963\ 3396959010468913721860099860817336168029955430778757336718734730814918695364544\ 6699589385205713121385157943151534861575170974224770610514406779079262572523838\ 938850954268945*n^4+74247438186422050324846251139976021878276820223745063257951\ 0887101480447927392977456821635572737658820990106023906528898458591367194370105\ 15106065971181299636183887734975649714245221119306473610003981114115849*n^3+282\ 4403436618487746783477053964060399813047435562116554545849789578421199615785874\ 2859892171886083628831121678651431230905335065302772270912882681280031397067166\ 1798676313514580163813472057519133135700179998664*n^2+5716762250000338685478668\ 8889840702658876212049893477895073691103700731766382180854583517467338798806237\ 2097573729871926062461813345512437354729611141971499964878877130426093070911016\ 880277550781313621611807509*n+4809365544744427497094572196214337265595301234237\ 7724865897616424405611247638707626818623968843073735325121284773217246304776231\ 6896623979570462700182113100221397756596562004166466220642170357048206751045917\ 443)*(n+2)^2/(n+8)/(n+6)/(68160322184976004379880530306599126759060618041126514\ 3305331911326380648704866643536404994500860598151474417933543323495299856129556\ 41958910998068054451585621713508481266583845221175518096963023281304342000*n^6+ 1534697100550076506272873981787234531858799261058315675700538779579539036716632\ 9049732918161867793993307444511424125049958759956669798470182603119302767344884\ 73189158453718353697017991542707462886875675725967*n^5+143274295302525923814859\ 3375884800131006178012350865600821805260238083681651626037723729856541908422085\ 4186356375793845587622669733430845157150470617175002686159987894970325006052652\ 650207933881415791692721392*n^4+70985470765508031542556056139488917227502975643\ 8971039772441046067517353465747723780577064673287731938192499284141478797628387\ 4593688727139277625333358397580812024063199160032660202408196365701097974116797\ 7622*n^3+1968563538792079673584705010393703765413410767829369948612968818687830\ 3130027773101431900250701232887006338437974973334439406805282753574865253766534\ 0486981009894713554440813785695223510581774382499089626320807*n^2+2897290480675\ 2380850353192867305652879390343344886697035740587655657497618405978959616491774\ 9973931458268488118135105284009319775416028638111996176252452685903145645987965\ 000275924356126218279264587165339147707*n+1768076173872684414554722389461133868\ 0712391932232674168305580575085989364197519336702820577511949118265704305198097\ 6638927974879178733880331191892924361564940432169459118043657207694754988558912\ 751386582981210)/(n+7)^2*C(n)+(n+4)*(n+2)*(286040584749285586553395032604505566\ 0353079737868641470845478310504838748059322444878200144079832636354783416959138\ 3474078343792811479041148244089884239797566178697219379211961922400419594060685\ 109670167136*n^6+22531914212588614838209148483992132656122222997342503675092664\ 2289518763407919290489576911994271661932952958008574561795513058178574966211885\ 0944570956177375225220577906428968399233077660032256605958791161388*n^5+4696728\ 7251269775635716248758859810187452201015873216154082942534345553538978647328781\ 2939961483548576053417952074013995645712943977996915475453766300623739717506439\ 45162993966906360891474145901171135370649395*n^4+447180133967020995143250656837\ 7350532011592802563472287609576175545311299280539349508011648562512181314202119\ 9605190222675646184214447937167919593613967809126407196092752993107882132010675\ 7366603334560735861293*n^3+2209690931190701272833258207673096940900403168730113\ 1875945638478474996681954467769457299469984359171620901340663519122515118599480\ 5563488398263091692930451869458707731846676102189783570545844765854972991333434\ 3*n^2+5536524868396139207391045242526327645135151859950037142931582468776347150\ 5339913290414013045363009876784273606499149553891517191501759552214678125361153\ 30246872054309198542137528387011954496158938981802010645328*n+55775101977848505\ 3067571968011406202593093954303465771486770708628217647377320765921270570725890\ 0743702017708648508470321209913257379111657714518531845138521284883534252350603\ 721467674234109854137606006780574950)*(n+3)^2/(n+8)/(n+6)/(68160322184976004379\ 8805303065991267590606180411265143305331911326380648704866643536404994500860598\ 1514744179335433234952998561295564195891099806805445158562171350848126658384522\ 1175518096963023281304342000*n^6+1534697100550076506272873981787234531858799261\ 0583156757005387795795390367166329049732918161867793993307444511424125049958759\ 9566697984701826031193027673448847318915845371835369701799154270746288687567572\ 5967*n^5+1432742953025259238148593375884800131006178012350865600821805260238083\ 6816516260377237298565419084220854186356375793845587622669733430845157150470617\ 175002686159987894970325006052652650207933881415791692721392*n^4+70985470765508\ 0315425560561394889172275029756438971039772441046067517353465747723780577064673\ 2877319381924992841414787976283874593688727139277625333358397580812024063199160\ 0326602024081963657010979741167977622*n^3+1968563538792079673584705010393703765\ 4134107678293699486129688186878303130027773101431900250701232887006338437974973\ 3344394068052827535748652537665340486981009894713554440813785695223510581774382\ 499089626320807*n^2+28972904806752380850353192867305652879390343344886697035740\ 5876556574976184059789596164917749973931458268488118135105284009319775416028638\ 111996176252452685903145645987965000275924356126218279264587165339147707*n+1768\ 0761738726844145547223894611338680712391932232674168305580575085989364197519336\ 7028205775119491182657043051980976638927974879178733880331191892924361564940432\ 169459118043657207694754988558912751386582981210)/(n+7)^2*C(n+1)-(n+5)*(n+4)*( 4912976600490929721477141685811322418704053081777693591679560508117256411194646\ 7341635533794028218086601393095632382711879013532175704067094508816970818669209\ 01699749565024986692738374790364552885286602992*n^8-128726454681584873145776721\ 7375036648547597961538647457836481636465135269320679737392050216925900384452152\ 5612983126100292462797412890970313348348620280708918538741481098252621290650283\ 58803523696120327679451*n^7-579559784064097063203946344673933378500253850011196\ 2609942811099677548849787913552630736990681484681744060813554315606462414512200\ 1471339421235750590619089972922406587395517601473518591985581887981220576494165 *n^6-10064406634049303498817018492486913662513442255297578203819226592499764157\ 3277439170021375932098851830678743515577599080380920529585518227883909198269782\ 3031855048238314367599099749418971122519843451647810876948*n^5-9266409722640440\ 4855314954592649265287876910608538300131254967771805620374764058811675528971825\ 8708072548905080844566519562999493060610317227372568124265751349931012597926553\ 8536950256595321100188360592678737287*n^4-4958621548938004134976515808394786162\ 2492979877730399904615939888087587562731120348781629798571139377179187923807411\ 8602241446348613487379115877188692312121906933598838869820036251514273243020480\ 62925386670274088*n^3-155173311206351506491725756668963391708882847465184144859\ 7745975296077641635623611834842896434598101598277452679489499244480551393086027\ 07799156343910572956166994212150247173441111493484856355547267242394211723361*n ^2-2636822220628845704313490885273113795327708519048712543437995976028698236824\ 9416297999726118502152868354219000601649108240438061860594424096872447123756543\ 3917457291450044113177989454903003327643458529092534749236*n-187902064860755035\ 8149595268048595616204012379019251682031324857015784237325445923382400762360124\ 6955111776654765138498007939752866609005919640714352196227957163821466102301932\ 3911476048279380161249794804621571516)/(n+8)/(n+6)/(681603221849760043798805303\ 0659912675906061804112651433053319113263806487048666435364049945008605981514744\ 1793354332349529985612955641958910998068054451585621713508481266583845221175518\ 096963023281304342000*n^6+15346971005500765062728739817872345318587992610583156\ 7570053877957953903671663290497329181618677939933074445114241250499587599566697\ 9847018260311930276734488473189158453718353697017991542707462886875675725967*n^ 5+14327429530252592381485933758848001310061780123508656008218052602380836816516\ 2603772372985654190842208541863563757938455876226697334308451571504706171750026\ 86159987894970325006052652650207933881415791692721392*n^4+709854707655080315425\ 5605613948891722750297564389710397724410460675173534657477237805770646732877319\ 3819249928414147879762838745936887271392776253333583975808120240631991600326602\ 024081963657010979741167977622*n^3+19685635387920796735847050103937037654134107\ 6782936994861296881868783031300277731014319002507012328870063384379749733344394\ 0680528275357486525376653404869810098947135544408137856952235105817743824990896\ 26320807*n^2+289729048067523808503531928673056528793903433448866970357405876556\ 5749761840597895961649177499739314582684881181351052840093197754160286381119961\ 76252452685903145645987965000275924356126218279264587165339147707*n+17680761738\ 7268441455472238946113386807123919322326741683055805750859893641975193367028205\ 7751194911826570430519809766389279748791787338803311918929243615649404321694591\ 18043657207694754988558912751386582981210)/(n+7)^2*C(n+2)-5*(n+5)*(n+6)*(296077\ 1318423130957683188665148581402095222596429288711118325624486478832298026427288\ 2823801539450233279401232606190111527554969356954205848138927588850513746547892\ 148276654133718909087619354639304953585376*n^6+10577896779681167891111541964287\ 7058988627983837850599533564043567891321837358159397085255603835515017964338010\ 2076223340021460881318960740444391849622127660447374981660894065904893633629138\ 854274385124690202*n^5+13958967376513369798715860667870009133828716950925584470\ 7834013211442697703318414876962950446558903174339684851762742825879212344312682\ 58400685118215959900774642860401165078088220450396096846770389126906431581*n^4+ 9080356873257857967715288154799502510942339674502493266645906863935440450959293\ 2146517819888569056790246162603824101241259483909218388797809707811058203350648\ 513770876827756852065913791504935648702939395796621*n^3+31411249256239279559512\ 0166736443434539311685790364857449965848104292965367509000540472791449068996529\ 1180190851907270686513418941232134489806631998666134817220702656954201016435828\ 71491978420758106664163522375*n^2+555440856525473617716208998564381919526101505\ 0532055581283934709021623007664725752603063982340855840527716415663948642869427\ 3885049313850862442820030204450258792870250040399871273057273864776515168843493\ 3653794*n+395784521304200685985252281897279604575635393297278445563081255390988\ 7294104328854056159665244512231047015439014887574983040341366297484637139739468\ 19110698232169471109333261505736824107600231208281784583308866)/(n+8)/(n+7)/(68\ 1603221849760043798805303065991267590606180411265143305331911326380648704866643\ 5364049945008605981514744179335433234952998561295564195891099806805445158562171\ 3508481266583845221175518096963023281304342000*n^6+1534697100550076506272873981\ 7872345318587992610583156757005387795795390367166329049732918161867793993307444\ 5114241250499587599566697984701826031193027673448847318915845371835369701799154\ 2707462886875675725967*n^5+1432742953025259238148593375884800131006178012350865\ 6008218052602380836816516260377237298565419084220854186356375793845587622669733\ 430845157150470617175002686159987894970325006052652650207933881415791692721392* n^4+709854707655080315425560561394889172275029756438971039772441046067517353465\ 7477237805770646732877319381924992841414787976283874593688727139277625333358397\ 5808120240631991600326602024081963657010979741167977622*n^3+1968563538792079673\ 5847050103937037654134107678293699486129688186878303130027773101431900250701232\ 8870063384379749733344394068052827535748652537665340486981009894713554440813785\ 695223510581774382499089626320807*n^2+28972904806752380850353192867305652879390\ 3433448866970357405876556574976184059789596164917749973931458268488118135105284\ 0093197754160286381119961762524526859031456459879650002759243561262182792645871\ 65339147707*n+17680761738726844145547223894611338680712391932232674168305580575\ 0859893641975193367028205775119491182657043051980976638927974879178733880331191\ 892924361564940432169459118043657207694754988558912751386582981210)*C(n+3)+C(n+ 4) = 0 with the initial conditions C(1) = 7412662477/8, C(2) = 132187076927/24, C(3) = 516177433017/20, C(4) = 1835943769493047/17640 Note that it is very fast to compute many terms of C(n) and hence of B(n) The ratios B(n)/A(n) tend very fast to the constant c Here it is to 30 digits, 25.4013563309805779080598950668 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 25.38850, 25.39470 as you can see the convergence is extremely slow using the definition ------------------------------------------------------- This ends this paper that took, 1463.269, seconds to generate.