4 The Apery Constant Inspired by the coefficient of , t , n ----- \ 3 k in the Zudilin-Straub transform of, ) binomial(n, k) 3 / ----- k = 0 By Shalosh B. Ekhad Let RF(t,k), as usual, be the raising factorial, t*(t+1)...(t+k-1) We are interested in the limit, as n goes to infinity, of the coefficient of , 4 t , in the following quantity 3 3 (k!) ((n - k)!) ------------------------------- 3 3 RF(1 + t, k) RF(1 - t, n - k) / 1/3 2/3 \ |3 3 | and k equals, |---- - ---- + 3/4| n, that in floating-point is, \ 4 4 / 0.59054143681387606696 n Let's call this constant c (it can also be described directly in terms of ha\ rmonic-type expressions). Using this definition the convergence is extre\ mely slow. We will show how to compute it much faster, with exponential error-rate Let A(n) be the sequence of integers satisfying the linear recurrence 2 2 -64 (3 n + 7) (n + 1) A(n) - (3 n + 5) (33 n + 121 n + 108) A(n + 1) 3 2 2 + (-36 n - 228 n - 464 n - 296) A(n + 2) + (3 n + 4) (n + 3) A(n + 3) = 0 and in Maple notation -64*(3*n+7)*(n+1)^2*A(n)-(3*n+5)*(33*n^2+121*n+108)*A(n+1)+(-36*n^3-228*n^2-464 *n-296)*A(n+2)+(3*n+4)*(n+3)^2*A(n+3) = 0 Subject to the initial condition A(1) = 4, A(2) = 34, A(3) = 352 Let B(n) be the sequence satisfying the INHOMOGENEOUS recurrence i.e. -64*(3*n+7)*(n+1)^2*B(n)-(3*n+5)*(33*n^2+121*n+108)*B(n+1)+(-36*n^3-228*n^2-464 *n-296)*B(n+2)+(3*n+4)*(n+3)^2*B(n+3) = C(n) with the initial conditions B(1) = 60, B(2) = 4647/8, B(3) = 159242/27 where the right side, C(n), satisfies the recurrence -108*(n+1)*(1774723753464681093845235798319163865936215607432924813855336340489\ 9515044425612162432211001440881786024301199992213168937785451753880908555066590\ 591259775*n^5+33404672438982482990752657871549827739491447203756836089972254602\ 2803787407811823186163251106763893352591482781938178190712250963926153510506171\ 486163217528*n^4+18724774285925768263957927170922032553226629501386187938582906\ 7593582567263229188933705176230904562368936890325546330949126123381628750469428\ 1296228255319391*n^3-1116272275417673572830327729511925535308505207062297710762\ 4289393034316882412125279857309516115315302520449564093539595594197139410690550\ 4402052816439734292*n^2-3008750283067010490742085133490717681204727967697426107\ 6771245183652826601919611750726456879594631219818437710103631723799235663811296\ 122001676672404822061727*n-6691691191326568090670725669018154341205499268487516\ 1848805875146289038189865017314966907185308725519586026428135380307763568221218\ 528696427444353274961543820)*(n+3)^2*(n+2)^3/(n+8)/(464434899633640482059408517\ 4051453554393835163753750561851053766445902500819110429897715649152739385319783\ 24376001459135644302611096859999379989806308726*n^5+561213860285170747834602634\ 4289264642060719681246649557030416938675187272534266936844755706191192548812982\ 56552530772493577441288340543254327817341590417546*n^4+129748570636313559919294\ 2569066789418426881402142933271337698129557666358431976542943506811492036605020\ 7441574407928398244902047493100220260362513292093546331*n^3+1124434179608341446\ 1092938365219530979371124250046343874266477960423157160094249316818455202585899\ 6436355859283835519601383480648682622417944449206019995574738*n^2+4300135664001\ 7911891974741159673264073148558865143623843047448414200823430438970022045933334\ 3102225389981316967102078571014480984456772079289854956467023875965*n+611254724\ 5669288378393659248559237246860138096464780567116128958593171654994918151409119\ 57646220719379262958420255799890160784706900071653019226973602872685262)/(n+10) ^2/(n+9)^3*C(n)+9*(n+4)*(n+2)*(648157294730632156802041056937024152347518522338\ 3451320755269424017974292568372817428403813738632512616699695116225970560963549\ 30972467982609219911716858098*n^6+171321320878673424429076949829474491287993359\ 1494840397757412432693947106272348599198444016854033516667549771094465832404814\ 9560928007951164938827348309764726*n^5+2403078265693769905298988140036654334811\ 2547793513297797625779044973856329854375811483465607627615909635702276076356616\ 5666890847571860855186055645426576118169*n^4+2325906880550425248392639652221991\ 4717512659095638645584700884844383415338989550213346848997433189197773620790859\ 10703832871403274366389327999238321868099782378*n^3+143348294212395790893772107\ 7748871679584000846963728320878225969085291524582503865641568633224324361725578\ 3562872635138337624105496417773652797206017993533356671*n^2+4770910910074493737\ 4826541975340770575938216185688710444093728064682039432379875143594083177506486\ 704962545934297338780371802920777998265681497769610024950698518*n+6412750755547\ 5477091116690153629932684212717664200173042958020589693363578222296461327768180\ 443492830033636242907579991935757071693832622785792941250539592881128)*(n+3)^3/ (n+8)/(464434899633640482059408517405145355439383516375375056185105376644590250\ 0819110429897715649152739385319783243760014591356443026110968599993799898063087\ 26*n^5+561213860285170747834602634428926464206071968124664955703041693867518727\ 2534266936844755706191192548812982565525307724935774412883405432543278173415904\ 17546*n^4+129748570636313559919294256906678941842688140214293327133769812955766\ 6358431976542943506811492036605020744157440792839824490204749310022026036251329\ 2093546331*n^3+1124434179608341446109293836521953097937112425004634387426647796\ 0423157160094249316818455202585899643635585928383551960138348064868262241794444\ 9206019995574738*n^2+4300135664001791189197474115967326407314855886514362384304\ 7448414200823430438970022045933334310222538998131696710207857101448098445677207\ 9289854956467023875965*n+611254724566928837839365924855923724686013809646478056\ 7116128958593171654994918151409119576462207193792629584202557998901607847069000\ 71653019226973602872685262)/(n+10)^2/(n+9)^3*C(n+1)-12*(n+5)*(n+3)*(32553112216\ 7310824689951030985940127893794028393881791491491169070340660202948975831027495\ 780571556020637842842876402846478589865951634334799376179852756117*n^7+71685857\ 1870530265160961773898244378329304348863640872629496871022922072931417315179096\ 3876044909110272922739904556661236771423992238418241905438174647416999*n^6+4719\ 9100755104626108618318386256912212251859985127091624627646507260409906583109365\ 505302018804175228108635102322140060368661622214681609673801807242883003620*n^5 -609878572193452864304077448438710266116367086049527001579132752362239430741677\ 3755589829592713747105403917566426893599833437596596835742520262457883426962951\ 90*n^4-149713756746356512523509621020451824734283144865438660554678088132174696\ 1847033790919901877982400591333250986531084861003989581496562397224260563219974\ 1239446440*n^3-1215227224398581603493252860322313387834994758327741370467624680\ 8836416653996290325710927681760534584257901194488925984861057206687124206412228\ 2792120156215852578*n^2-4461857191083082465817162316349878051276975028769406146\ 5351381036379282563586688826892167384786918797380600845843245800725025378556755\ 0824126761605756327378318694*n-622021882002698542897177519176947714943711770021\ 2062769074017372008126309943705824789123484932878715249527934508989499756562975\ 75174900634967853960154507164478584)*(n+4)^2/(n+8)/(464434899633640482059408517\ 4051453554393835163753750561851053766445902500819110429897715649152739385319783\ 24376001459135644302611096859999379989806308726*n^5+561213860285170747834602634\ 4289264642060719681246649557030416938675187272534266936844755706191192548812982\ 56552530772493577441288340543254327817341590417546*n^4+129748570636313559919294\ 2569066789418426881402142933271337698129557666358431976542943506811492036605020\ 7441574407928398244902047493100220260362513292093546331*n^3+1124434179608341446\ 1092938365219530979371124250046343874266477960423157160094249316818455202585899\ 6436355859283835519601383480648682622417944449206019995574738*n^2+4300135664001\ 7911891974741159673264073148558865143623843047448414200823430438970022045933334\ 3102225389981316967102078571014480984456772079289854956467023875965*n+611254724\ 5669288378393659248559237246860138096464780567116128958593171654994918151409119\ 57646220719379262958420255799890160784706900071653019226973602872685262)/(n+10) ^2/(n+9)^3*C(n+2)-(n+6)*(n+4)*(373946372973584858056782124751923794450486770725\ 2573213963472756228746517344810855669400911579240300369054260402451279798301140\ 176035136119483767953395871438*n^7+23851743134143279568637955468318325385593734\ 7970489678124686577265077444642044701111894733530774527842631617761928927637517\ 465897587413266995239045865873318220*n^6+62330374863178101180119460804726910275\ 8127513163400149915862628849639275337132018834328582317943334335847232574500672\ 3310485912455838117029684118703246426629137*n^5+8942972210442443871388701357372\ 7214452701915834351884396045020482963070137118362940267396361919831883314617388\ 484005516263285451732507080223448564272730662644531*n^4+74116396301942718045074\ 9842236523352355264932623955629879437828250039838781206596434596161763740617820\ 792226412156863801109422741898969389361831080286389911185737*n^3+34429381579887\ 6129402106335005503739957465538213118852879404354995581684340931728679342495352\ 6041254511225117423081924197440243344203944372952281000210784579963789*n^2+8058\ 0853081170508182425781041846846601328083893358919254200481393786899229365729479\ 5998983260079907763209104963658198899858874512002600941799560474594963626063884\ 0*n+698294022560901623783397640251733698458072399403058365994553988974298203837\ 7260348490628710045911244728499111390392288269350013784460067079082666737320919\ 317758468)*(n+5)^2/(n+8)/(46443489963364048205940851740514535543938351637537505\ 6185105376644590250081911042989771564915273938531978324376001459135644302611096\ 859999379989806308726*n^5+56121386028517074783460263442892646420607196812466495\ 5703041693867518727253426693684475570619119254881298256552530772493577441288340\ 543254327817341590417546*n^4+12974857063631355991929425690667894184268814021429\ 3327133769812955766635843197654294350681149203660502074415744079283982449020474\ 93100220260362513292093546331*n^3+112443417960834144610929383652195309793711242\ 5004634387426647796042315716009424931681845520258589964363558592838355196013834\ 80648682622417944449206019995574738*n^2+430013566400179118919747411596732640731\ 4855886514362384304744841420082343043897002204593333431022253899813169671020785\ 71014480984456772079289854956467023875965*n+61125472456692883783936592485592372\ 4686013809646478056711612895859317165499491815140911957646220719379262958420255\ 799890160784706900071653019226973602872685262)/(n+10)^2/(n+9)^3*C(n+3)+4*(n+7)* (n+5)*(143640989023883046040945695435264603751898955660632866145928130397022150\ 4958028742269748448266020327050614499955126613687263964376464110418090299081280\ 974269*n^7+73066112423946301146272254619476735356245432176897366489773602250246\ 9611734556155391471879721949225109229420260433215162112819390217283573641088636\ 40645857197*n^6+158539648646910215362987317175089392546794530940804242475809925\ 8881550047690175170417845393624134193735066528780745755950895813586682095970021\ 561379330849165721*n^5+18365256621215771368925396867170538874285427928563902562\ 8740096918410049141688482583568477736342690280425394719316085648111015733373701\ 28386234092230266437077163*n^4+117611483889006298698717605466185156880295733910\ 4428411634422862159920472319648184660596403997969701222672347150808649207161345\ 44816441843924099904832956537029639*n^3+391445859986159801763117825234040542138\ 2066873123739994311116163726240639845887649339150448754496517138232840931174858\ 42159756218844145954926381290181972374757881*n^2+533961701228498198283278184433\ 5380693991991541180447839848399957891980454087411617468367127775588040877341058\ 74139563995496303763363928294990317187937964790745690*n+34993260820344722098481\ 8611736709989926752392461391825882211599426391511776024032787823806218348415314\ 64177912296824683758632383131291826451384808707410891330880)*(n+6)^2/(n+8)/(464\ 4348996336404820594085174051453554393835163753750561851053766445902500819110429\ 89771564915273938531978324376001459135644302611096859999379989806308726*n^5+561\ 2138602851707478346026344289264642060719681246649557030416938675187272534266936\ 84475570619119254881298256552530772493577441288340543254327817341590417546*n^4+ 1297485706363135599192942569066789418426881402142933271337698129557666358431976\ 5429435068114920366050207441574407928398244902047493100220260362513292093546331 *n^3+11244341796083414461092938365219530979371124250046343874266477960423157160\ 0942493168184552025858996436355859283835519601383480648682622417944449206019995\ 574738*n^2+43001356640017911891974741159673264073148558865143623843047448414200\ 8234304389700220459333343102225389981316967102078571014480984456772079289854956\ 467023875965*n+6112547245669288378393659248559237246860138096464780567116128958\ 5931716549949181514091195764622071937926295842025579989016078470690007165301922\ 6973602872685262)/(n+10)^2/(n+9)^3*C(n+4)-(n+6)*(231379797419985828394720258547\ 8828186751416953730386432752203864028534775408045617389219715248246661800006234\ 079278466065751335772564160529633397491443857706*n^7+10408657836023224351282717\ 2977186736456057868624375062531603126243465337808385272582728089167637696974027\ 988938169827634701425593734554427761621024588685419692*n^6+18605788875508310544\ 1488074026056516106149134314814816376703530689704831036643136199962264011266327\ 1720300456647638472702891380075586394363177252894389385751895*n^5+1579493889766\ 9815511554723155963892811734189337475127970896286349042534816676783597636802855\ 364359757007230901816138318601014640073055722800157630181300504514945*n^4+53677\ 3619902324643436384575330092939535497532909251863094226882842988146341463338255\ 45598909983365545102692756510419855870892839037855004705450606082241905572685*n ^3-6809058215922685266163295785115429065864568675651940747369895148165304710039\ 0332114526259877057587059845850594767645962442128290963762290170950846883698522\ 198521*n^2-92294768746678605294137680000690073588707532705154603676254840299690\ 5199790294840260900416104013881197873199813666961470303839615579626639212693165\ 193393795353522*n-1704841081754712062472371083106464355780767227991826617346502\ 1442315143904737866804934896713750655772881448272015674656972392982677998055940\ 17908519480853317102160)*(n+7)^2/(464434899633640482059408517405145355439383516\ 3753750561851053766445902500819110429897715649152739385319783243760014591356443\ 02611096859999379989806308726*n^5+561213860285170747834602634428926464206071968\ 1246649557030416938675187272534266936844755706191192548812982565525307724935774\ 41288340543254327817341590417546*n^4+129748570636313559919294256906678941842688\ 1402142933271337698129557666358431976542943506811492036605020744157440792839824\ 4902047493100220260362513292093546331*n^3+1124434179608341446109293836521953097\ 9371124250046343874266477960423157160094249316818455202585899643635585928383551\ 9601383480648682622417944449206019995574738*n^2+4300135664001791189197474115967\ 3264073148558865143623843047448414200823430438970022045933334310222538998131696\ 7102078571014480984456772079289854956467023875965*n+611254724566928837839365924\ 8559237246860138096464780567116128958593171654994918151409119576462207193792629\ 58420255799890160784706900071653019226973602872685262)/(n+10)^2/(n+9)^3*C(n+5)+ 4*(n+7)*(7420429381366186220225853216320949365846538668757593350107027348920234\ 1648119470191520591839048755952829858611479943138504421735554574103703328966636\ 732391*n^5+11794443204783648009096477238162772634810617809363603651685216397052\ 0958597200232997583227327871789853137736440330538186373626966226123382416289069\ 5575236882*n^4-6822118834891712293525394043289413515020526019261772994738021283\ 2474667857955104135537769574922196008984256205260090275898399066364364362415646\ 35214183561868*n^3-199317888460762252466640342057499140556549987349693263257515\ 6075392413657195549823510028198618785204536849295367694894073339038699332280880\ 41469430922726732756*n^2-112032173795601155177350986983221191269742452459574291\ 2584206926353075444476799427017961505824231465633362336342086676052680467320425\ 613279522420481674727377310*n-1974384902930283609031109397605519479731896209994\ 1246529773221854462479124351615924426547559551316665991030060323903297563151869\ 27918490103606343755135534297270)*(n+8)^2/(n+9)/(464434899633640482059408517405\ 1453554393835163753750561851053766445902500819110429897715649152739385319783243\ 76001459135644302611096859999379989806308726*n^5+561213860285170747834602634428\ 9264642060719681246649557030416938675187272534266936844755706191192548812982565\ 52530772493577441288340543254327817341590417546*n^4+129748570636313559919294256\ 9066789418426881402142933271337698129557666358431976542943506811492036605020744\ 1574407928398244902047493100220260362513292093546331*n^3+1124434179608341446109\ 2938365219530979371124250046343874266477960423157160094249316818455202585899643\ 6355859283835519601383480648682622417944449206019995574738*n^2+4300135664001791\ 1891974741159673264073148558865143623843047448414200823430438970022045933334310\ 2225389981316967102078571014480984456772079289854956467023875965*n+611254724566\ 9288378393659248559237246860138096464780567116128958593171654994918151409119576\ 46220719379262958420255799890160784706900071653019226973602872685262)/(n+10)^2* C(n+6)+C(n+7) = 0 with the initial conditions C(1) = 2211101/72, C(2) = 1297111/12, C(3) = 27276943/75, C(4) = 13127202278/ 11025, C(5) = 42021560663/10976, C(6) = 1286688259891/105840, C(7) = 1301396933579/34020 Note that it is very fast to compute many terms of C(n) and hence of B(n) The ratios B(n)/A(n) tend very fast to the constant c Here it is to 30 digits, 16.8383453317821408188232127449 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 16.82033, 16.83134 as you can see the convergence is extremely slow using the definition ------------------------------------------------------- This ends this paper that took, 800.893, seconds to generate.