4 The Apery Constant Inspired by the coefficient of , t , n ----- \ 3 k in the Zudilin-Straub transform of, ) binomial(n, k) 2 / ----- k = 0 By Shalosh B. Ekhad Let RF(t,k), as usual, be the raising factorial, t*(t+1)...(t+k-1) We are interested in the limit, as n goes to infinity, of the coefficient of , 4 t , in the following quantity 3 3 (k!) ((n - k)!) ------------------------------- 3 3 RF(1 + t, k) RF(1 - t, n - k) / 1/3 2/3 \ |2 2 | and k equals, |---- - ---- + 2/3| n, that in floating-point is, \ 3 3 / 0.55750666597555789667 n Let's call this constant c (it can also be described directly in terms of ha\ rmonic-type expressions). Using this definition the convergence is extre\ mely slow. We will show how to compute it much faster, with exponential error-rate Let A(n) be the sequence of integers satisfying the linear recurrence 2 2 -27 (3 n + 7) (n + 1) A(n) - 3 (3 n + 5) (9 n + 33 n + 29) A(n + 1) 3 2 2 + (-27 n - 171 n - 348 n - 222) A(n + 2) + (3 n + 4) (n + 3) A(n + 3) = 0 and in Maple notation -27*(3*n+7)*(n+1)^2*A(n)-3*(3*n+5)*(9*n^2+33*n+29)*A(n+1)+(-27*n^3-171*n^2-348* n-222)*A(n+2)+(3*n+4)*(n+3)^2*A(n+3) = 0 Subject to the initial condition A(1) = 3, A(2) = 21, A(3) = 171 Let B(n) be the sequence satisfying the INHOMOGENEOUS recurrence i.e. -27*(3*n+7)*(n+1)^2*B(n)-3*(3*n+5)*(9*n^2+33*n+29)*B(n+1)+(-27*n^3-171*n^2-348* n-222)*B(n+2)+(3*n+4)*(n+3)^2*B(n+3) = C(n) with the initial conditions B(1) = 45, B(2) = 5031/16, B(3) = 122759/48 where the right side, C(n), satisfies the recurrence -8*(n+1)*(397615011042845976064800709828996433220451802836321290601624055355718\ 7314768513894843652896567742582340638451878499786104112974194612267065643788929\ 631838*n^5+96266796176898418057501046151476823824907213109906130676700428400713\ 1636414355461813150331514165606011986661523954955484545112350589898621565910968\ 49036509*n^4+913470063586622132024850827539100739862363083798976592181616676371\ 4356549126092658157411731917891953052287418973895430008454699394280248826514310\ 08878577806*n^3+422303408390152813784466991943495315682839723494447746658027133\ 2783252434457820337698537162040199272510403451067387873480500654463732638361833\ 278310395705281*n^2+94188649772358964758746951723668123126027568209165118611768\ 6081707313134227420091425257496532422876253851031221587837884725140616638244035\ 2040541679606513566*n+796250328096053989871406823879901836306063957424564025477\ 1772983535927705776798434937160514663420381285856147277222794471137719701721249\ 686729660778138864200)*(n+3)^2*(n+2)^3/(n+8)/(140219465185334244549026115226999\ 9953962016491112172335110477134495066496650521782434562166342410019007212010586\ 9790428439743450712530077860576844691357243*n^4+3148785279897182699039014388960\ 4976436691076924179836146589332500120566332139086528242387451057996316445245867\ 9937820171139666408799141158488590709461786300*n^3+2631618240489328823141093827\ 1510877036130285963244412795887531013813214602350232689751120399424219949677218\ 53395079354723682389824638865837139079598688190581*n^2+969939527946357027667727\ 8518799059841257372900355014786340515698389237024483381833459972509364454286135\ 625112658060257377771460346556591939664886034094759160*n+1330126742091921901173\ 2977024278799167419863821017078904694636486999769726800782184247419984989093812\ 157835115389194442727037979705513914411014078849983128868)/(n+10)^2/(n+9)^3*C(n )+4*(n+4)*(n+2)*(19098760213533457480009673584077649269393214334260557584352136\ 3968131493726310209937441456067229649264042588092851954359764651416332553464102\ 0626166458810*n^6-2545206119726448814799357409345362984532708038776642570080434\ 0504845937506139907779417628425165393992191806214842015622419280429552635781346\ 7635930105813157*n^5-7022692060537743319984049241398017450893762075693141155691\ 4105961569108482695632725191926321517232314993622359716405956962364857929283398\ 44494910774040849804*n^4-704230495999673783291099309058781984363420411950799113\ 0080756255112418512447189196135908514170962163837155715311215603902990020661859\ 6549199472089802163197819*n^3-3375644845826262507166860004377820782872473570759\ 8772250721537615814923974317092963498594281142102093271442441289812320764627024\ 0488887308713394931873096342246*n^2-7736310012942167469003217090123881636369090\ 4421774449116091979940187340298302182877588479249983608178428397372732531136085\ 2010607792775798738432222086846025360*n-668109833533572872168880799512001309888\ 3791342802429843374524197599011889097566430088424473348534791838147109428405721\ 86243590674170081343419423747715294834496)*(n+3)^3/(n+8)/(140219465185334244549\ 0261152269999953962016491112172335110477134495066496650521782434562166342410019\ 0072120105869790428439743450712530077860576844691357243*n^4+3148785279897182699\ 0390143889604976436691076924179836146589332500120566332139086528242387451057996\ 3164452458679937820171139666408799141158488590709461786300*n^3+2631618240489328\ 8231410938271510877036130285963244412795887531013813214602350232689751120399424\ 21994967721853395079354723682389824638865837139079598688190581*n^2+969939527946\ 3570276677278518799059841257372900355014786340515698389237024483381833459972509\ 364454286135625112658060257377771460346556591939664886034094759160*n+1330126742\ 0919219011732977024278799167419863821017078904694636486999769726800782184247419\ 984989093812157835115389194442727037979705513914411014078849983128868)/(n+10)^2 /(n+9)^3*C(n+1)+2*(n+5)*(n+3)*(793133259004438909153381450300719253857727312680\ 3059156139202445492918597342643547536425969093390426478794101706983809896400490\ 0112768885906557070325889362*n^7+3558996311552192780868477141987159350825566220\ 0407034381120631656693628863560584083908863849088094812203405887076496232627357\ 13872345004908514305838952512131*n^6+599228426628455038916868553311699658329476\ 0649982147420633019016864207349469305525535246180820256278502999049405938584316\ 9420104143002252343450759241253647243*n^5+5148741645109820390792826083769404293\ 4908069019608560171322284828908305569699646081375178791840875090196299695798402\ 3404804742743372206993987613368580024432759*n^4+2533096500335526901060587753942\ 1889557667306340327925042411153486812437005094023666511484335931052795301716294\ 41654542189497986622843255278368013612987370521495*n^3+756188298556837637130709\ 3805272191114473887655979840095681932057766035807571981690266904459475557715180\ 172839451140462772863167058052971103137357759254291759266*n^2+13873815234402944\ 2452031962001212915945455838039810082698073474465272783754149700509707905155475\ 63857888165780280980500862371546374609054438191253339029611049552*n+12998438505\ 1662160692611499722726812236225303389663255717573074544402679476680925029953864\ 46946110914752541724272214348024344354749577328634516571669932590440032)*(n+4)^ 2/(n+8)/(1402194651853342445490261152269999953962016491112172335110477134495066\ 4966505217824345621663424100190072120105869790428439743450712530077860576844691\ 357243*n^4+31487852798971826990390143889604976436691076924179836146589332500120\ 5663321390865282423874510579963164452458679937820171139666408799141158488590709\ 461786300*n^3+26316182404893288231410938271510877036130285963244412795887531013\ 8132146023502326897511203994242199496772185339507935472368238982463886583713907\ 9598688190581*n^2+9699395279463570276677278518799059841257372900355014786340515\ 6983892370244833818334599725093644542861356251126580602573777714603465565919396\ 64886034094759160*n+13301267420919219011732977024278799167419863821017078904694\ 6364869997697268007821842474199849890938121578351153891944427270379797055139144\ 11014078849983128868)/(n+10)^2/(n+9)^3*C(n+2)-(n+6)*(n+4)*(23352429594294119492\ 9394608346932713715515482534831502579192740586127872734276960709054084488188778\ 990931472828522993497033765084421017383456464020850396466*n^7+82459736889873451\ 6039107580974929099614971303822820717357768983847491354665296242896018985205849\ 0300794762543976274822425497157285538771321596686621361633281*n^6+1148861111256\ 2061047810292057517830992863096411390811157405769174269483207037291837881160885\ 4723767008990194657239867691749528212463826363066469350752222495625*n^5+8319108\ 8901542366064873742125689093833419491219416678935398463342054816668309105917747\ 9882366707117479878118945443799206663101333554218625712961610693064152123*n^4+ 3415481770169904550245453224779215047147712119369925408876413201186635725705403\ 3586388439001136848125787957588875792309580063792980784821375704466233967420406\ 49*n^3+760164113103518673107832348296068961130076947264332032434319006788545669\ 3260416186794134307249010365132751959864297892742057415221581479375622022317988\ 471378316*n^2+51756791800946560382089546443516555728413388573982778586895619523\ 5694690884960274285841274568977529075732183911959137950207469924112880633708488\ 2723047263158484*n-898240813356575504153583565249385600363087264524025048841178\ 8257106405852328663444598188200992671820588023252621038944471147711352759308652\ 288657790452319051824)*(n+5)^2/(n+8)/(14021946518533424454902611522699999539620\ 1649111217233511047713449506649665052178243456216634241001900721201058697904284\ 39743450712530077860576844691357243*n^4+314878527989718269903901438896049764366\ 9107692417983614658933250012056633213908652824238745105799631644524586799378201\ 71139666408799141158488590709461786300*n^3+263161824048932882314109382715108770\ 3613028596324441279588753101381321460235023268975112039942421994967721853395079\ 354723682389824638865837139079598688190581*n^2+96993952794635702766772785187990\ 5984125737290035501478634051569838923702448338183345997250936445428613562511265\ 8060257377771460346556591939664886034094759160*n+133012674209192190117329770242\ 7879916741986382101707890469463648699976972680078218424741998498909381215783511\ 5389194442727037979705513914411014078849983128868)/(n+10)^2/(n+9)^3*C(n+3)+2*(n +5)*(n+7)*(59658594651529299139442522835216438613449264134653797266267212565333\ 9834505954225073907294698409468589559647448141836434816591493225117777322219996\ 19472147*n^7+174948745468651870981124908095354414200623698609462609631932552036\ 6106904521345749732323049465631023578171671375477240966796165412377215764916787\ 676832632560*n^6+19365762357065884341454012177442483485156250896340150117468466\ 9765042174334130139679271492968465326715420549029938516983572727944754193510206\ 89195264550867735*n^5+865830399912481334671928603858340128389830349499697248205\ 7119087501909727234398859353985280236767856856529328438951384326379381259276317\ 1320810644404588402188*n^4-1236676752348022040471207600192715179771390944321187\ 5037814204258211568813959410023485562789302723339721596146502524806617138173499\ 0312021528415497810639734282*n^3-3284597166333066146158522042948048686995866298\ 4944883187506478701349214474015422899626528314741674516162370333292960551235303\ 80683673801658774285283414862955592*n^2-144941197019206297404157586957556522693\ 8726095953851884678444978471873769508309064160450955143586226197251351842724039\ 8745037034931595110080143957580611933577504*n-220393125472415577208925710996965\ 3791471525439121151411133114339696187023106239305770763713765110787979094709250\ 4846531786510845873634150809724247622115939827472)*(n+6)^2/(n+8)/(1402194651853\ 3424454902611522699999539620164911121723351104771344950664966505217824345621663\ 424100190072120105869790428439743450712530077860576844691357243*n^4+31487852798\ 9718269903901438896049764366910769241798361465893325001205663321390865282423874\ 510579963164452458679937820171139666408799141158488590709461786300*n^3+26316182\ 4048932882314109382715108770361302859632444127958875310138132146023502326897511\ 2039942421994967721853395079354723682389824638865837139079598688190581*n^2+9699\ 3952794635702766772785187990598412573729003550147863405156983892370244833818334\ 59972509364454286135625112658060257377771460346556591939664886034094759160*n+13\ 3012674209192190117329770242787991674198638210170789046946364869997697268007821\ 84247419984989093812157835115389194442727037979705513914411014078849983128868)/ (n+10)^2/(n+9)^3*C(n+4)-2*(n+6)*(9955206553672792770603216495440013493201011192\ 7261547492757751826335555116678333701538470602314852408954202793244300067464440\ 33427133960740731576620331031*n^7+189373348670717172355598549085025152204221114\ 3877717057397591547153005439992277718323545526107573498853170898527841228207207\ 55300635372499403723798136764275*n^6-615741938661621303544880091593029736557808\ 3030276014389968761383253455395487990871376388771920742872376317111089511524638\ 21502575957707264070914709789508952*n^5-535861598576661041880100715514088907899\ 7831303468609169740914440078405132817401569304474223575104253998593625862251623\ 4178498827582866205242396718582509010160*n^4-6983711859427459325403751951637323\ 2964207810798572756889389805260140663678553841751435589132398342222830816447539\ 1719613346799252911955383593045576482596713911*n^3-4350347760786902481400738874\ 3226444613400862762800245399004262030743819992567136063134789780355243787178242\ 36142248474344093641464361051563214699079306748314463*n^2-135174831087862032622\ 9001131137798341556049765957047756491329424879332318495744553924906123891219476\ 6468469872538198765666253077201947151492595414605778059489524*n-167363843379384\ 9160579183682444796361016048629902274591529903174101731241654993942631336280224\ 0411505310706245410056157482935504282257923112956189819984623952976)*(n+7)^2/( 1402194651853342445490261152269999953962016491112172335110477134495066496650521\ 7824345621663424100190072120105869790428439743450712530077860576844691357243*n^ 4+31487852798971826990390143889604976436691076924179836146589332500120566332139\ 0865282423874510579963164452458679937820171139666408799141158488590709461786300 *n^3+26316182404893288231410938271510877036130285963244412795887531013813214602\ 3502326897511203994242199496772185339507935472368238982463886583713907959868819\ 0581*n^2+9699395279463570276677278518799059841257372900355014786340515698389237\ 0244833818334599725093644542861356251126580602573777714603465565919396648860340\ 94759160*n+13301267420919219011732977024278799167419863821017078904694636486999\ 7697268007821842474199849890938121578351153891944427270379797055139144110140788\ 49983128868)/(n+10)^2/(n+9)^3*C(n+5)-2*(n+7)*(169717627822652272890053520037666\ 1733238136959417426815925566096995581606676928774483173915225990433010470226411\ 34929961178605345840012189281579514222513*n^5+380771919272708058020801606114099\ 2808740593009634451769866148245746805594326499619207209923397067593513115625181\ 9758498242346845593480135913139708369803426*n^4+1087165727212457545335382497489\ 0652103819167925219543717703120474019755069839751268876519108028113709577838558\ 95588940108833237710749695482737229170340427192*n^3+110269657873378478244647134\ 3973840081966512534071149662467864751686444807437830595533618291675937526440878\ 1983242984816655314731677064126759604813423268091887*n^2+4709458925225811324853\ 1534449509952904350825991195452182278471659784996631420110544343822001188475343\ 054903739965238798498754725683131188321320538382912299118*n+7240316668155860400\ 6452281541836367395587454606157529798900309319080808308922936655271805944533216\ 605904785063424395810595141361661623619665383353194401253624)*(n+8)^2/(n+9)/(14\ 0219465185334244549026115226999995396201649111217233511047713449506649665052178\ 24345621663424100190072120105869790428439743450712530077860576844691357243*n^4+ 3148785279897182699039014388960497643669107692417983614658933250012056633213908\ 65282423874510579963164452458679937820171139666408799141158488590709461786300*n ^3+2631618240489328823141093827151087703613028596324441279588753101381321460235\ 0232689751120399424219949677218533950793547236823898246388658371390795986881905\ 81*n^2+969939527946357027667727851879905984125737290035501478634051569838923702\ 4483381833459972509364454286135625112658060257377771460346556591939664886034094\ 759160*n+1330126742091921901173297702427879916741986382101707890469463648699976\ 9726800782184247419984989093812157835115389194442727037979705513914411014078849\ 983128868)/(n+10)^2*C(n+6)+C(n+7) = 0 with the initial conditions C(1) = 946717/144, C(2) = 957159/64, C(3) = 2471147/75, C(4) = 87217056/1225, C (5) = 3331906647/21952, C(6) = 40181321687/125440, C(7) = 91279364249/136080 Note that it is very fast to compute many terms of C(n) and hence of B(n) The ratios B(n)/A(n) tend very fast to the constant c Here it is to 30 digits, 14.9947096540955723321504022060 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 14.98342, 14.99093 as you can see the convergence is extremely slow using the definition ------------------------------------------------------- This ends this paper that took, 803.367, seconds to generate.