Lots of Interesting Apery Limits that arise from the coeff. of t^2 in the Zudilin-Straub transform of the binomial coefficients sum n ----- \ L k ) binomial(n, k) a / ----- k = 0 for integers L from 3 to, 7, and integers a from 1 to, 6 By Shalosh B. Ekhad Let c(n,k;L) be the following discrete function where 0<=k<=n and L is a pos\ itive integer // k \ /n - k \\ // k \ /n - k \\2 ||----- | |----- || ||----- | |----- || || \ 1 | | \ 1 || 2 || \ | | \ || 1/2 L || ) ----| + | ) ----|| + 1/2 L || ) (- 1/i)| + | ) 1/i|| || / 2 | | / 2 || || / | | / || ||----- i | |----- i || ||----- | |----- || \\i = 1 / \i = 1 // \\i = 1 / \i = 1 // L is, 3 a is , 1 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 3 transform of, ) binomial(n, k) / ----- k = 0 Theorem Number, 1 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 3, and k= the integer part of, n/2, or in floats, 0.5000000000 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 2 2 2 -8 (n + 1) X(n) + (-7 n - 21 n - 16) X(n + 1) + (n + 2) X(n + 2) = 0 or in Maple format -8*(n+1)^2*X(n)+(-7*n^2-21*n-16)*X(n+1)+(n+2)^2*X(n+2) = 0 with initial conditions A(1) = 12, A(2) = 48 B(1) = 2, B(2) = 10 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 3605, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 4.93480220054467930941724549994 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 4.93360244051267931044124538291, 4.93420226054067930944924549902 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 2 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 3 k transform of, ) binomial(n, k) 2 / ----- k = 0 Theorem Number, 2 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 3, / 1/3 2/3 \ |2 2 | and k= the integer part of, |---- - ---- + 2/3| n, or in floats, \ 3 3 / 0.5575066661 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 2 2 -27 (3 n + 7) (n + 1) X(n) - 3 (3 n + 5) (9 n + 33 n + 29) X(n + 1) 3 2 2 + (-27 n - 171 n - 348 n - 222) X(n + 2) + (3 n + 4) (n + 3) X(n + 3) = 0 or in Maple format -27*(3*n+7)*(n+1)^2*X(n)-3*(3*n+5)*(9*n^2+33*n+29)*X(n+1)+(-27*n^3-171*n^2-348* n-222)*X(n+2)+(3*n+4)*(n+3)^2*X(n+3) = 0 with initial conditions A(1) = 18, A(2) = 108, A(3) = 1767/2 B(1) = 3, B(2) = 21, B(3) = 171 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 3504, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 5.17502870750378002175079676310 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 5.17281811916923336805242418432, 5.17431608589801273036257508119 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 3 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 3 k transform of, ) binomial(n, k) 3 / ----- k = 0 Theorem Number, 3 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 3, / 1/3 2/3 \ |3 3 | and k= the integer part of, |---- - ---- + 3/4| n, or in floats, \ 4 4 / 0.5905414367 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 2 2 -64 (3 n + 7) (n + 1) X(n) - (3 n + 5) (33 n + 121 n + 108) X(n + 1) 3 2 2 + (-36 n - 228 n - 464 n - 296) X(n + 2) + (3 n + 4) (n + 3) X(n + 3) = 0 or in Maple format -64*(3*n+7)*(n+1)^2*X(n)-(3*n+5)*(33*n^2+121*n+108)*X(n+1)+(-36*n^3-228*n^2-464 *n-296)*X(n+2)+(3*n+4)*(n+3)^2*X(n+3) = 0 with initial conditions A(1) = 24, A(2) = 192, A(3) = 5816/3 B(1) = 4, B(2) = 34, B(3) = 352 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 3361, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 5.53827668095097029833913506186 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 5.53486425222196187763900459420, 5.53696849170148477062156649738 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 4 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 3 k transform of, ) binomial(n, k) 4 / ----- k = 0 Theorem Number, 4 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 3, / 1/3 2/3 \ |4 4 | and k= the integer part of, |---- - ---- + 4/5| n, or in floats, \ 5 5 / 0.6135117904 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 2 2 -125 (3 n + 7) (n + 1) X(n) - (3 n + 5) (33 n + 121 n + 111) X(n + 1) 3 2 2 + (-45 n - 285 n - 580 n - 370) X(n + 2) + (3 n + 4) (n + 3) X(n + 3) = 0 or in Maple format -125*(3*n+7)*(n+1)^2*X(n)-(3*n+5)*(33*n^2+121*n+111)*X(n+1)+(-45*n^3-285*n^2-\ 580*n-370)*X(n+2)+(3*n+4)*(n+3)^2*X(n+3) = 0 with initial conditions A(1) = 30, A(2) = 300, A(3) = 21275/6 B(1) = 5, B(2) = 49, B(3) = 605 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 3230, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 5.89570822838108215875145055259 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 5.89208653997232918366552297896, 5.89466988968558864021655131659 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 5 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 3 k transform of, ) binomial(n, k) 5 / ----- k = 0 Theorem Number, 5 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 3, / 1/3 2/3 \ |5 5 | and k= the integer part of, |---- - ---- + 5/6| n, or in floats, \ 6 6 / 0.6309930347 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 2 2 -216 (3 n + 7) (n + 1) X(n) - 3 (3 n + 5) (9 n + 33 n + 32) X(n + 1) 3 2 2 + (-54 n - 342 n - 696 n - 444) X(n + 2) + (3 n + 4) (n + 3) X(n + 3) = 0 or in Maple format -216*(3*n+7)*(n+1)^2*X(n)-3*(3*n+5)*(9*n^2+33*n+32)*X(n+1)+(-54*n^3-342*n^2-696 *n-444)*X(n+2)+(3*n+4)*(n+3)^2*X(n+3) = 0 with initial conditions A(1) = 36, A(2) = 432, A(3) = 5808 B(1) = 6, B(2) = 66, B(3) = 936 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 3117, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 6.22994739753479678200733100243 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 6.22411881415811943948973024016, 6.22710374507040628935966139215 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 6 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 3 k transform of, ) binomial(n, k) 6 / ----- k = 0 Theorem Number, 6 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 3, / 1/3 2/3 \ |6 6 | and k= the integer part of, |---- - ---- + 6/7| n, or in floats, \ 7 7 / 0.6450276204 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 2 2 -343 (3 n + 7) (n + 1) X(n) - (3 n + 5) (15 n + 55 n + 63) X(n + 1) 3 2 2 + (-63 n - 399 n - 812 n - 518) X(n + 2) + (3 n + 4) (n + 3) X(n + 3) = 0 or in Maple format -343*(3*n+7)*(n+1)^2*X(n)-(3*n+5)*(15*n^2+55*n+63)*X(n+1)+(-63*n^3-399*n^2-812* n-518)*X(n+2)+(3*n+4)*(n+3)^2*X(n+3) = 0 with initial conditions A(1) = 42, A(2) = 588, A(3) = 52969/6 B(1) = 7, B(2) = 85, B(3) = 1351 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 3018, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 6.54000319832887999710180904186 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 6.53736449459200919190760106743, 6.53835955140278096029232766322 as you can see the convergence is extremely slow using the definition L is, 4 a is , 1 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 4 transform of, ) binomial(n, k) / ----- k = 0 Theorem Number, 7 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 4, and k= the integer part of, n/2, or in floats, 0.5000000000 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 2 -4 (4 n + 5) (4 n + 3) (n + 1) X(n) - 2 (2 n + 3) (3 n + 9 n + 7) X(n + 1) 3 + (n + 2) X(n + 2) = 0 or in Maple format -4*(4*n+5)*(4*n+3)*(n+1)*X(n)-2*(2*n+3)*(3*n^2+9*n+7)*X(n+1)+(n+2)^3*X(n+2) = 0 with initial conditions A(1) = 20, A(2) = 105 B(1) = 2, B(2) = 18 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 2401, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 6.57973626739290574588966066658 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 6.57813658735023908058832717721, 6.57893634738757241259899399870 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 2 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 4 k transform of, ) binomial(n, k) 2 / ----- k = 0 Theorem Number, 8 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 4, 4 3 2 and k= the integer part of, RootOf(_Z - 8 _Z + 12 _Z - 8 _Z + 2) n, or in floats, 0.5432136169 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 4 3 2 3 (n + 2) (864 n + 9936 n + 42387 n + 79437 n + 55181) (n + 1) X(n) - 15 7 6 5 4 3 (n + 2) (44928 n + 718848 n + 4829388 n + 17649256 n + 37880013 n 2 8 7 + 47737980 n + 32707690 n + 9399441) X(n + 1) + (-188352 n - 3672864 n 6 5 4 3 2 - 30977310 n - 147448176 n - 432716089 n - 800645440 n - 910682766 n 7 6 - 581183533 n - 159056590) X(n + 2) - 3 (n + 3) (3456 n + 62208 n 5 4 3 2 + 469788 n + 1925116 n + 4612403 n + 6446493 n + 4856371 n + 1519190) X(n + 3) 4 3 2 3 + (n + 3) (864 n + 6480 n + 17763 n + 21015 n + 9059) (n + 4) X(n + 4) = 0 or in Maple format (n+2)*(864*n^4+9936*n^3+42387*n^2+79437*n+55181)*(n+1)^3*X(n)-15*(n+2)*(44928*n ^7+718848*n^6+4829388*n^5+17649256*n^4+37880013*n^3+47737980*n^2+32707690*n+ 9399441)*X(n+1)+(-188352*n^8-3672864*n^7-30977310*n^6-147448176*n^5-432716089*n ^4-800645440*n^3-910682766*n^2-581183533*n-159056590)*X(n+2)-3*(n+3)*(3456*n^7+ 62208*n^6+469788*n^5+1925116*n^4+4612403*n^3+6446493*n^2+4856371*n+1519190)*X(n +3)+(n+3)*(864*n^4+6480*n^3+17763*n^2+21015*n+9059)*(n+4)^3*X(n+4) = 0 with initial conditions 1268875 A(1) = 30, A(2) = 461/2, A(3) = 6851/2, A(4) = ------- 24 B(1) = 3, B(2) = 37, B(3) = 495, B(4) = 7761 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 2375, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 6.81996277435200645822321192975 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 6.81810245177043978509123242110, 6.81895646164015986311289046076 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 3 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 4 k transform of, ) binomial(n, k) 3 / ----- k = 0 Theorem Number, 9 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 4, and k= the integer part of, 4 3 2 1/2 RootOf(_Z - 12 _Z + 36 _Z - 48 _Z + 24) n, or in floats, 0.5682348690 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 4 3 2 3 16 (n + 2) (1456 n + 16744 n + 71423 n + 133823 n + 92924) (n + 1) X(n) - 7 6 5 4 3 80 (n + 2) (29120 n + 465920 n + 3129796 n + 11435080 n + 24532405 n 2 8 7 + 30897877 n + 21152184 n + 6072144) X(n + 1) + (-454272 n - 8858304 n 6 5 4 3 - 74720360 n - 355735536 n - 1044279604 n - 1932855140 n 2 7 - 2199233176 n - 1403893488 n - 384255040) X(n + 2) - 4 (n + 3) (5824 n 6 5 4 3 2 + 104832 n + 791652 n + 3243764 n + 7770337 n + 10856597 n + 8174134 n + 2554760) X(n + 3) + 4 3 2 3 (n + 3) (1456 n + 10920 n + 29927 n + 35385 n + 15236) (n + 4) X(n + 4) = 0 or in Maple format 16*(n+2)*(1456*n^4+16744*n^3+71423*n^2+133823*n+92924)*(n+1)^3*X(n)-80*(n+2)*( 29120*n^7+465920*n^6+3129796*n^5+11435080*n^4+24532405*n^3+30897877*n^2+ 21152184*n+6072144)*X(n+1)+(-454272*n^8-8858304*n^7-74720360*n^6-355735536*n^5-\ 1044279604*n^4-1932855140*n^3-2199233176*n^2-1403893488*n-384255040)*X(n+2)-4*( n+3)*(5824*n^7+104832*n^6+791652*n^5+3243764*n^4+7770337*n^3+10856597*n^2+ 8174134*n+2554760)*X(n+3)+(n+3)*(1456*n^4+10920*n^3+29927*n^2+35385*n+15236)*(n +4)^3*X(n+4) = 0 with initial conditions 5052025 A(1) = 40, A(2) = 397, A(3) = 64324/9, A(4) = ------- 36 B(1) = 4, B(2) = 58, B(3) = 1000, B(4) = 19426 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 2337, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 7.18321074779919673481155022851 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 7.18071225060373523603221262950, 7.18164920955727998901678608299 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 4 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 4 k transform of, ) binomial(n, k) 4 / ----- k = 0 Theorem Number, 10 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 4, 1/2 and k= the integer part of, (2 - 2 ) n, or in floats, 0.585786438 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 4 3 2 3 81 (n + 2) (2176 n + 25024 n + 106733 n + 199943 n + 138789) (n + 1) X(n) 7 6 5 4 - 5 (n + 2) (1192448 n + 19079168 n + 128148884 n + 468089816 n 3 2 + 1003809083 n + 1263513752 n + 864282684 n + 247850685) X(n + 1) + ( 8 7 6 5 4 -857344 n - 16718208 n - 141040130 n - 671667112 n - 1972494143 n 3 2 - 3652631080 n - 4158166432 n - 2655696001 n - 727155870) X(n + 2) - 5 7 6 5 4 3 (n + 3) (8704 n + 156672 n + 1183092 n + 4847284 n + 11609657 n 2 + 16216187 n + 12203559 n + 3811110) X(n + 3) + 4 3 2 3 (n + 3) (2176 n + 16320 n + 44717 n + 52845 n + 22731) (n + 4) X(n + 4) = 0 or in Maple format 81*(n+2)*(2176*n^4+25024*n^3+106733*n^2+199943*n+138789)*(n+1)^3*X(n)-5*(n+2)*( 1192448*n^7+19079168*n^6+128148884*n^5+468089816*n^4+1003809083*n^3+1263513752* n^2+864282684*n+247850685)*X(n+1)+(-857344*n^8-16718208*n^7-141040130*n^6-\ 671667112*n^5-1972494143*n^4-3652631080*n^3-4158166432*n^2-2655696001*n-\ 727155870)*X(n+2)-5*(n+3)*(8704*n^7+156672*n^6+1183092*n^5+4847284*n^4+11609657 *n^3+16216187*n^2+12203559*n+3811110)*X(n+3)+(n+3)*(2176*n^4+16320*n^3+44717*n^ 2+52845*n+22731)*(n+4)^3*X(n+4) = 0 with initial conditions 224185 21042065 A(1) = 50, A(2) = 1209/2, A(3) = ------, A(4) = -------- 18 72 B(1) = 5, B(2) = 81, B(3) = 1685, B(4) = 38401 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 2300, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 7.54064229522930859522386571924 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 7.53434835441014270489847570610, 7.53764822881558822302657228155 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 5 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 4 k transform of, ) binomial(n, k) 5 / ----- k = 0 Theorem Number, 11 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 4, and k= the integer part of, 4 3 2 1/4 RootOf(_Z - 20 _Z + 120 _Z - 320 _Z + 320) n, or in floats, 0.5992544178 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 4 3 2 3 256 (n + 2) (3024 n + 34776 n + 148317 n + 277797 n + 192776) (n + 1) X(n) 7 6 5 4 - 24 (n + 2) (532224 n + 8515584 n + 57190512 n + 208851248 n 3 2 + 447705474 n + 563222151 n + 384972677 n + 110292360) X(n + 1) + ( 8 7 6 5 4 -1403136 n - 27361152 n - 230869200 n - 1099838688 n - 3231514672 n 3 2 - 5987736340 n - 6821158428 n - 4359550504 n - 1194452800) X(n + 2) - 6 7 6 5 4 3 (n + 3) (12096 n + 217728 n + 1644108 n + 6735676 n + 16130363 n 2 + 22525263 n + 16944646 n + 5288240) X(n + 3) + 4 3 2 3 (n + 3) (3024 n + 22680 n + 62133 n + 73395 n + 31544) (n + 4) X(n + 4) = 0 or in Maple format 256*(n+2)*(3024*n^4+34776*n^3+148317*n^2+277797*n+192776)*(n+1)^3*X(n)-24*(n+2) *(532224*n^7+8515584*n^6+57190512*n^5+208851248*n^4+447705474*n^3+563222151*n^2 +384972677*n+110292360)*X(n+1)+(-1403136*n^8-27361152*n^7-230869200*n^6-\ 1099838688*n^5-3231514672*n^4-5987736340*n^3-6821158428*n^2-4359550504*n-\ 1194452800)*X(n+2)-6*(n+3)*(12096*n^7+217728*n^6+1644108*n^5+6735676*n^4+ 16130363*n^3+22525263*n^2+16944646*n+5288240)*X(n+3)+(n+3)*(3024*n^4+22680*n^3+ 62133*n^2+73395*n+31544)*(n+4)^3*X(n+4) = 0 with initial conditions 6330755 A(1) = 60, A(2) = 853, A(3) = 19526, A(4) = ------- 12 B(1) = 6, B(2) = 106, B(3) = 2556, B(4) = 66306 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 2267, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 7.87488146438302321847974616908 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 7.87122650162036408926942493125, 7.87232468286992007648550346014 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 6 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 4 k transform of, ) binomial(n, k) 6 / ----- k = 0 Theorem Number, 12 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 4, and k= the integer part of, 4 3 2 1/5 RootOf(_Z - 24 _Z + 180 _Z - 600 _Z + 750) n, or in floats, 0.6101493074 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 4 3 2 3 625 (n + 2) (800 n + 9200 n + 39235 n + 73477 n + 50977) (n + 1) X(n) - 7 7 6 5 4 (n + 2) (694400 n + 11110400 n + 74609980 n + 272405896 n 3 2 + 583738033 n + 733976884 n + 501340062 n + 143503665) X(n + 1) + ( 8 7 6 5 4 -417600 n - 8143200 n - 68725870 n - 327540384 n - 962947745 n 3 2 - 1785608752 n - 2035905338 n - 1302391041 n - 357156470) X(n + 2) - 7 7 6 5 4 3 (n + 3) (3200 n + 57600 n + 434940 n + 1781788 n + 4266491 n 2 + 5956765 n + 4479479 n + 1397230) X(n + 3) 4 3 2 3 + (n + 3) (800 n + 6000 n + 16435 n + 19407 n + 8335) (n + 4) X(n + 4) = 0 or in Maple format 625*(n+2)*(800*n^4+9200*n^3+39235*n^2+73477*n+50977)*(n+1)^3*X(n)-7*(n+2)*( 694400*n^7+11110400*n^6+74609980*n^5+272405896*n^4+583738033*n^3+733976884*n^2+ 501340062*n+143503665)*X(n+1)+(-417600*n^8-8143200*n^7-68725870*n^6-327540384*n ^5-962947745*n^4-1785608752*n^3-2035905338*n^2-1302391041*n-357156470)*X(n+2)-7 *(n+3)*(3200*n^7+57600*n^6+434940*n^5+1781788*n^4+4266491*n^3+5956765*n^2+ 4479479*n+1397230)*X(n+3)+(n+3)*(800*n^4+6000*n^3+16435*n^2+19407*n+8335)*(n+4) ^3*X(n+4) = 0 with initial conditions 513695 62360225 A(1) = 70, A(2) = 2285/2, A(3) = ------, A(4) = -------- 18 72 B(1) = 7, B(2) = 133, B(3) = 3619, B(4) = 104785 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 2236, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 8.18493726517710643357422420851 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 8.17809933440821031649454308309, 8.18227978699712985088762764958 as you can see the convergence is extremely slow using the definition L is, 5 a is , 1 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 5 transform of, ) binomial(n, k) / ----- k = 0 Theorem Number, 13 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 5, and k= the integer part of, n/2, or in floats, 0.5000000000 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 2 4 6 5 4 32 (55 n + 253 n + 292) (n + 1) X(n) + (-19415 n - 205799 n - 900543 n 3 2 - 2082073 n - 2682770 n - 1827064 n - 514048) X(n + 1) + 6 5 4 3 2 (-1155 n - 14553 n - 75498 n - 205949 n - 310827 n - 245586 n - 79320) 2 4 X(n + 2) + (55 n + 143 n + 94) (n + 3) X(n + 3) = 0 or in Maple format 32*(55*n^2+253*n+292)*(n+1)^4*X(n)+(-19415*n^6-205799*n^5-900543*n^4-2082073*n^ 3-2682770*n^2-1827064*n-514048)*X(n+1)+(-1155*n^6-14553*n^5-75498*n^4-205949*n^ 3-310827*n^2-245586*n-79320)*X(n+2)+(55*n^2+143*n+94)*(n+3)^4*X(n+3) = 0 with initial conditions A(1) = 30, A(2) = 445/2, A(3) = 13030/3 B(1) = 2, B(2) = 34, B(3) = 488 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1834, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 8.22467033424113218236207583323 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 8.22267073418779885073540897152, 8.22367043423446551574874249837 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 2 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 5 k transform of, ) binomial(n, k) 2 / ----- k = 0 Theorem Number, 14 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 5, and k= the integer part of, 5 4 3 2 1/3 RootOf(_Z - 10 _Z + 60 _Z - 180 _Z + 270 _Z - 162) n, or in floats, 0.5346019613 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 10 9 8 7 6 -243 (1484375 n + 50468750 n + 767743750 n + 6880439375 n + 40223982250 n 5 4 3 2 + 160268700410 n + 440712675701 n + 825786900429 n + 1008956172072 n 2 4 14 + 725804818584 n + 233419316256) (n + 2) (n + 1) X(n) + (2456640625 n 13 12 11 + 98265625000 n + 1804996843750 n + 20173638121875 n 10 9 8 + 153217313220000 n + 836237257041300 n + 3381214767491255 n 7 6 5 + 10285846452693191 n + 23649135815011151 n + 40884578503841130 n 4 3 2 + 52302311751420669 n + 47999617278554580 n + 29868094273742910 n 2 + 11278499066490924 n + 1949789838658248) (n + 2) X(n + 1) + ( 16 15 14 -17100000000 n - 786600000000 n - 16829079328125 n 13 12 11 - 222252993234375 n - 2027542695343125 n - 13545541319901450 n 10 9 8 - 68539351571337195 n - 267876626666713623 n - 817083297167778144 n 7 6 5 - 1951037074780494852 n - 3633835437395131062 n - 5222075607627426876 n 4 3 2 - 5674492977987977973 n - 4505717742062261256 n - 2464588157792510664 n 16 - 829417789231952400 n - 129324296029305456) X(n + 2) + (-1721875000 n 15 14 13 - 82650000000 n - 1845925015625 n - 25455971818750 n 12 11 10 - 242528729146875 n - 1692154404521475 n - 8940623042341735 n 9 8 7 - 36476506301259446 n - 116089609496509626 n - 289048020918124071 n 6 5 4 - 560927655499932218 n - 839098464477645418 n - 948088436689025793 n 3 2 - 781802020157589752 n - 443492187879027960 n - 154548765490524768 n 14 13 - 24912402301254672) X(n + 3) - 3 (7421875 n + 311718750 n 12 11 10 9 + 6007390625 n + 70384693750 n + 559887586875 n + 3197518690550 n 8 7 6 + 13514912867105 n + 42931306264389 n + 102953988892129 n 5 4 3 + 185411197397180 n + 246742191433620 n + 235197777630043 n 2 2 + 151745815332339 n + 59294289580794 n + 10583268526152) (n + 4) 10 9 8 7 X(n + 4) + (1484375 n + 35625000 n + 380321875 n + 2377239375 n 6 5 4 3 + 9630075375 n + 26405383785 n + 49608248026 n + 63026534850 n 2 2 4 + 51801774641 n + 24862582098 n + 5290046856) (n + 4) (n + 5) X(n + 5) = 0 or in Maple format -243*(1484375*n^10+50468750*n^9+767743750*n^8+6880439375*n^7+40223982250*n^6+ 160268700410*n^5+440712675701*n^4+825786900429*n^3+1008956172072*n^2+ 725804818584*n+233419316256)*(n+2)^2*(n+1)^4*X(n)+(2456640625*n^14+98265625000* n^13+1804996843750*n^12+20173638121875*n^11+153217313220000*n^10+ 836237257041300*n^9+3381214767491255*n^8+10285846452693191*n^7+ 23649135815011151*n^6+40884578503841130*n^5+52302311751420669*n^4+ 47999617278554580*n^3+29868094273742910*n^2+11278499066490924*n+ 1949789838658248)*(n+2)^2*X(n+1)+(-17100000000*n^16-786600000000*n^15-\ 16829079328125*n^14-222252993234375*n^13-2027542695343125*n^12-\ 13545541319901450*n^11-68539351571337195*n^10-267876626666713623*n^9-\ 817083297167778144*n^8-1951037074780494852*n^7-3633835437395131062*n^6-\ 5222075607627426876*n^5-5674492977987977973*n^4-4505717742062261256*n^3-\ 2464588157792510664*n^2-829417789231952400*n-129324296029305456)*X(n+2)+(-\ 1721875000*n^16-82650000000*n^15-1845925015625*n^14-25455971818750*n^13-\ 242528729146875*n^12-1692154404521475*n^11-8940623042341735*n^10-\ 36476506301259446*n^9-116089609496509626*n^8-289048020918124071*n^7-\ 560927655499932218*n^6-839098464477645418*n^5-948088436689025793*n^4-\ 781802020157589752*n^3-443492187879027960*n^2-154548765490524768*n-\ 24912402301254672)*X(n+3)-3*(7421875*n^14+311718750*n^13+6007390625*n^12+ 70384693750*n^11+559887586875*n^10+3197518690550*n^9+13514912867105*n^8+ 42931306264389*n^7+102953988892129*n^6+185411197397180*n^5+246742191433620*n^4+ 235197777630043*n^3+151745815332339*n^2+59294289580794*n+10583268526152)*(n+4)^ 2*X(n+4)+(1484375*n^10+35625000*n^9+380321875*n^8+2377239375*n^7+9630075375*n^6 +26405383785*n^5+49608248026*n^4+63026534850*n^3+51801774641*n^2+24862582098*n+ 5290046856)*(n+4)^2*(n+5)^4*X(n+5) = 0 with initial conditions 16546375 853462959 A(1) = 45, A(2) = 1905/4, A(3) = 52665/4, A(4) = --------, A(5) = --------- 48 80 B(1) = 3, B(2) = 69, B(3) = 1467, B(4) = 41361, B(5) = 1256283 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1823, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 8.46489684120023289469562709639 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 8.46276393790158041208574997528, 8.46381662219171217117165476336 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 3 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 5 k transform of, ) binomial(n, k) 3 / ----- k = 0 Theorem Number, 15 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 5, and k= the integer part of, 5 4 3 2 1/4 RootOf(_Z - 15 _Z + 120 _Z - 480 _Z + 960 _Z - 768) n, or in floats, 0.5547106812 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 10 9 8 7 -1024 (3203125 n + 108906250 n + 1656715625 n + 14847505000 n 6 5 4 3 + 86803155750 n + 345878599460 n + 951197927993 n + 1782562029932 n 2 2 4 + 2178396285483 n + 1567491570110 n + 504292463384) (n + 2) (n + 1) 14 13 12 X(n) - (1905859375 n + 76234375000 n + 1398695875000 n 11 10 9 + 15592575481250 n + 117920576946875 n + 639542029771950 n 8 7 6 + 2563292925049985 n + 7706536673733262 n + 17448767027219822 n 5 4 3 + 29575707289004394 n + 36896138987534627 n + 32799165660164208 n 2 2 + 19601553261252812 n + 7030232400254960 n + 1137274382186112) (n + 2) 16 15 14 X(n + 1) + (-74120312500 n - 3409534375000 n - 72945857687500 n 13 12 11 - 963357870037500 n - 8788448496257500 n - 58714502969989900 n 10 9 8 - 297100378281225620 n - 1161242462817302748 n - 3542370587778289024 n 7 6 - 8459648335303383228 n - 15759287182455497120 n 5 4 - 22653296411199624072 n - 24624818426916389680 n 3 2 - 19562230949324633088 n - 10707042304226773952 n 16 - 3606160288201222528 n - 562845496118397952) X(n + 2) + (-5493359375 n 15 14 13 - 263681250000 n - 5889204093750 n - 81216682518750 n 12 11 10 - 773819371880625 n - 5399411151685900 n - 28530879328637295 n 9 8 7 - 116416600838618072 n - 370566205769123412 n - 922855646005581596 n 6 5 4 - 1791379806957559855 n - 2680668637800184058 n - 3030184390402691464 n 3 2 - 2500102699108684696 n - 1419224809721015952 n - 495008921972072128 n 14 13 - 79880447528749568) X(n + 3) - 4 (16015625 n + 672656250 n 12 11 10 + 12963343750 n + 151884140625 n + 1208208910625 n 9 8 7 + 6900298133050 n + 29167002930440 n + 92659856957577 n 6 5 4 + 222239587759732 n + 400318126437414 n + 532899187423684 n 3 2 + 508185445679452 n + 328068791530608 n + 128295659360272 n 2 10 9 + 22923663610560) (n + 4) X(n + 4) + (3203125 n + 76875000 n 8 7 6 5 + 820700000 n + 5130030000 n + 20783189500 n + 56996194960 n 4 3 2 + 107110154443 n + 136143547560 n + 111973053420 n + 53794374768 n 2 4 + 11461140608) (n + 4) (n + 5) X(n + 5) = 0 or in Maple format -1024*(3203125*n^10+108906250*n^9+1656715625*n^8+14847505000*n^7+86803155750*n^ 6+345878599460*n^5+951197927993*n^4+1782562029932*n^3+2178396285483*n^2+ 1567491570110*n+504292463384)*(n+2)^2*(n+1)^4*X(n)-(1905859375*n^14+76234375000 *n^13+1398695875000*n^12+15592575481250*n^11+117920576946875*n^10+ 639542029771950*n^9+2563292925049985*n^8+7706536673733262*n^7+17448767027219822 *n^6+29575707289004394*n^5+36896138987534627*n^4+32799165660164208*n^3+ 19601553261252812*n^2+7030232400254960*n+1137274382186112)*(n+2)^2*X(n+1)+(-\ 74120312500*n^16-3409534375000*n^15-72945857687500*n^14-963357870037500*n^13-\ 8788448496257500*n^12-58714502969989900*n^11-297100378281225620*n^10-\ 1161242462817302748*n^9-3542370587778289024*n^8-8459648335303383228*n^7-\ 15759287182455497120*n^6-22653296411199624072*n^5-24624818426916389680*n^4-\ 19562230949324633088*n^3-10707042304226773952*n^2-3606160288201222528*n-\ 562845496118397952)*X(n+2)+(-5493359375*n^16-263681250000*n^15-5889204093750*n^ 14-81216682518750*n^13-773819371880625*n^12-5399411151685900*n^11-\ 28530879328637295*n^10-116416600838618072*n^9-370566205769123412*n^8-\ 922855646005581596*n^7-1791379806957559855*n^6-2680668637800184058*n^5-\ 3030184390402691464*n^4-2500102699108684696*n^3-1419224809721015952*n^2-\ 495008921972072128*n-79880447528749568)*X(n+3)-4*(16015625*n^14+672656250*n^13+ 12963343750*n^12+151884140625*n^11+1208208910625*n^10+6900298133050*n^9+ 29167002930440*n^8+92659856957577*n^7+222239587759732*n^6+400318126437414*n^5+ 532899187423684*n^4+508185445679452*n^3+328068791530608*n^2+128295659360272*n+ 22923663610560)*(n+4)^2*X(n+4)+(3203125*n^10+76875000*n^9+820700000*n^8+ 5130030000*n^7+20783189500*n^6+56996194960*n^5+107110154443*n^4+136143547560*n^ 3+111973053420*n^2+53794374768*n+11461140608)*(n+4)^2*(n+5)^4*X(n+5) = 0 with initial conditions 1018746017 A(1) = 60, A(2) = 1585/2, A(3) = 80360/3, A(4) = 7121125/8, A(5) = ---------- 30 B(1) = 4, B(2) = 106, B(3) = 2944, B(4) = 100786, B(5) = 3862744 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1806, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 8.82814481464742317128396539515 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 8.82341999394810016927000777059, 8.82677368609635681128488867605 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 4 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 5 k transform of, ) binomial(n, k) 4 / ----- k = 0 Theorem Number, 16 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 5, and k= the integer part of, 5 4 3 2 1/5 RootOf(_Z - 20 _Z + 200 _Z - 1000 _Z + 2500 _Z - 2500) n, or in floats, 0.5688740722 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 10 9 8 7 -3125 (26734375 n + 908968750 n + 13827737500 n + 123929449625 n 6 5 4 + 724585832400 n + 2887566119760 n + 7942545007197 n 3 2 + 14888376450373 n + 18200960248196 n + 13102865409936 n + 4217981796448 2 4 14 13 ) (n + 2) (n + 1) X(n) - 5 (50126953125 n + 2005078125000 n 12 11 10 + 36821265625000 n + 411312864921875 n + 3121134777000000 n 9 8 7 + 17012792675881250 n + 68668049205213125 n + 208409040343536875 n 6 5 4 + 477752072702981775 n + 822853763606757760 n + 1047761043263608777 n 3 2 + 956052190868810668 n + 590715453474407486 n + 221127707378397676 n 2 16 + 37819795697228568) (n + 2) X(n + 1) + (-1035957031250 n 15 14 13 - 47654023437500 n - 1019546583984375 n - 13464804964765625 n 12 11 - 122839268918921875 n - 820715703596593750 n 10 9 - 4153234490823080625 n - 16235295110328124125 n 8 7 - 49534635338495032250 n - 118324665763759187400 n 6 5 - 220498575482287864850 n - 317098780948868421000 n 4 3 - 344896719393568586975 n - 274194890815008627800 n 2 - 150218293505676947000 n - 50654201315772690800 n - 7917734217213230800) 16 15 14 X(n + 2) + (-60152343750 n - 2887312500000 n - 64488271484375 n 13 12 11 - 889385121500000 n - 8474562704928125 n - 59138732273154375 n 10 9 8 - 312540555097702625 n - 1275537216821163950 n - 4061225610046152650 n 7 6 - 10117429769909347875 n - 19647564352292783450 n 5 4 - 29416946797592061280 n - 33274932264630838425 n 3 2 - 27477284079462411560 n - 15614417684096688280 n 14 - 5453263640941237760 n - 881424070483384720) X(n + 3) - 5 (133671875 n 13 12 11 + 5614218750 n + 108197609375 n + 1267722820000 n 10 9 8 + 10084981298125 n + 57601832245200 n + 243509266020035 n 7 6 5 + 773744957175123 n + 1856294940665203 n + 3345023217053554 n 4 3 2 + 4455243098289164 n + 4251711588054059 n + 2747430868450439 n 2 10 + 1075783767416258 n + 192534067683048) (n + 4) X(n + 4) + (26734375 n 9 8 7 6 + 641625000 n + 6850065625 n + 42822299625 n + 173517178775 n 5 4 3 2 + 476009267485 n + 894996938772 n + 1138463658060 n + 937365608409 n 2 4 + 451007462650 n + 96280957672) (n + 4) (n + 5) X(n + 5) = 0 or in Maple format -3125*(26734375*n^10+908968750*n^9+13827737500*n^8+123929449625*n^7+ 724585832400*n^6+2887566119760*n^5+7942545007197*n^4+14888376450373*n^3+ 18200960248196*n^2+13102865409936*n+4217981796448)*(n+2)^2*(n+1)^4*X(n)-5*( 50126953125*n^14+2005078125000*n^13+36821265625000*n^12+411312864921875*n^11+ 3121134777000000*n^10+17012792675881250*n^9+68668049205213125*n^8+ 208409040343536875*n^7+477752072702981775*n^6+822853763606757760*n^5+ 1047761043263608777*n^4+956052190868810668*n^3+590715453474407486*n^2+ 221127707378397676*n+37819795697228568)*(n+2)^2*X(n+1)+(-1035957031250*n^16-\ 47654023437500*n^15-1019546583984375*n^14-13464804964765625*n^13-\ 122839268918921875*n^12-820715703596593750*n^11-4153234490823080625*n^10-\ 16235295110328124125*n^9-49534635338495032250*n^8-118324665763759187400*n^7-\ 220498575482287864850*n^6-317098780948868421000*n^5-344896719393568586975*n^4-\ 274194890815008627800*n^3-150218293505676947000*n^2-50654201315772690800*n-\ 7917734217213230800)*X(n+2)+(-60152343750*n^16-2887312500000*n^15-\ 64488271484375*n^14-889385121500000*n^13-8474562704928125*n^12-\ 59138732273154375*n^11-312540555097702625*n^10-1275537216821163950*n^9-\ 4061225610046152650*n^8-10117429769909347875*n^7-19647564352292783450*n^6-\ 29416946797592061280*n^5-33274932264630838425*n^4-27477284079462411560*n^3-\ 15614417684096688280*n^2-5453263640941237760*n-881424070483384720)*X(n+3)-5*( 133671875*n^14+5614218750*n^13+108197609375*n^12+1267722820000*n^11+ 10084981298125*n^10+57601832245200*n^9+243509266020035*n^8+773744957175123*n^7+ 1856294940665203*n^6+3345023217053554*n^5+4455243098289164*n^4+4251711588054059 *n^3+2747430868450439*n^2+1075783767416258*n+192534067683048)*(n+4)^2*X(n+4)+( 26734375*n^10+641625000*n^9+6850065625*n^8+42822299625*n^7+173517178775*n^6+ 476009267485*n^5+894996938772*n^4+1138463658060*n^3+937365608409*n^2+ 451007462650*n+96280957672)*(n+4)^2*(n+5)^4*X(n+5) = 0 with initial conditions 545725 86780375 3851823895 A(1) = 75, A(2) = 4685/4, A(3) = ------, A(4) = --------, A(5) = ---------- 12 48 48 B(1) = 5, B(2) = 145, B(3) = 4925, B(4) = 194305, B(5) = 8813525 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1790, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 9.18557636207753503169628088588 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 9.18105757513120770146941073568, 9.18227071136791148333040712186 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 5 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 5 k transform of, ) binomial(n, k) 5 / ----- k = 0 Theorem Number, 17 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 5, and k= the integer part of, 5 4 3 2 1/6 RootOf(_Z - 25 _Z + 300 _Z - 1800 _Z + 5400 _Z - 6480) n, or in floats, 0.5797842016 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 10 9 8 7 -7776 (38265625 n + 1301031250 n + 19792690625 n + 177403988500 n 6 5 4 + 1037385511850 n + 4135015065040 n + 11377344706477 n 3 2 + 21336084667668 n + 26098021715991 n + 18801633712566 n + 6058023407928 2 4 14 13 ) (n + 2) (n + 1) X(n) - (1067419609375 n + 42696784375000 n 12 11 10 + 784150709500000 n + 8761059716951250 n + 66502507284843375 n 9 8 7 + 362670817416106650 n + 1464833243892861365 n + 4449879850785016178 n 6 5 + 10213009351691286098 n + 17617200438074421534 n 4 3 + 22475511476109008391 n + 20557167510684734268 n 2 + 12738935452426550532 n + 4785815221196162544 n + 822114741676769280) 2 16 15 (n + 2) X(n + 1) + (-2235095156250 n - 102814377187500 n 14 13 12 - 2199720011343750 n - 29051962148028750 n - 265057621041081750 n 11 10 - 1771089119967477750 n - 8963979645089897370 n 9 8 - 35048523233163891798 n - 106966922049229253544 n 7 6 - 255618093071393523966 n - 476599128873237940944 n 5 4 - 685868853875208443580 n - 746650278210286780056 n 3 2 - 594249583375743326784 n - 326011562949948588576 n - 110120347273597682112 n - 17248846961512742400) X(n + 2) + ( 16 15 14 -105804453125 n - 5078613750000 n - 113434715031250 n 13 12 11 - 1564533878633750 n - 14909428980187875 n - 104060643741563700 n 10 9 8 - 550070284973569505 n - 2245609393288512988 n - 7152637904135470308 n 7 6 - 17827669459504222332 n - 34642240556233651633 n 5 4 - 51908455477534872806 n - 58774207676614669152 n 3 2 - 48593345790482241928 n - 27655923135907518192 n 14 - 9676737133301033856 n - 1567636158198228480) X(n + 3) - 6 (191328125 n 13 12 11 + 8035781250 n + 154869531250 n + 1814660920625 n 10 9 8 + 14437348205625 n + 82473528330550 n + 348732858201460 n 7 6 5 + 1108455189703113 n + 2660525966553488 n + 4797266851865434 n 4 3 2 + 6394916379865284 n + 6109633015519844 n + 3953793422730864 n 2 10 + 1551060293948208 n + 278255133327168) (n + 4) X(n + 4) + (38265625 n 9 8 7 6 + 918375000 n + 9805362500 n + 61307713500 n + 248502086100 n 5 4 3 2 + 682082077440 n + 1283506649027 n + 1634589927660 n + 1348064386324 n 2 4 + 650040731280 n + 139167833472) (n + 4) (n + 5) X(n + 5) = 0 or in Maple format -7776*(38265625*n^10+1301031250*n^9+19792690625*n^8+177403988500*n^7+ 1037385511850*n^6+4135015065040*n^5+11377344706477*n^4+21336084667668*n^3+ 26098021715991*n^2+18801633712566*n+6058023407928)*(n+2)^2*(n+1)^4*X(n)-( 1067419609375*n^14+42696784375000*n^13+784150709500000*n^12+8761059716951250*n^ 11+66502507284843375*n^10+362670817416106650*n^9+1464833243892861365*n^8+ 4449879850785016178*n^7+10213009351691286098*n^6+17617200438074421534*n^5+ 22475511476109008391*n^4+20557167510684734268*n^3+12738935452426550532*n^2+ 4785815221196162544*n+822114741676769280)*(n+2)^2*X(n+1)+(-2235095156250*n^16-\ 102814377187500*n^15-2199720011343750*n^14-29051962148028750*n^13-\ 265057621041081750*n^12-1771089119967477750*n^11-8963979645089897370*n^10-\ 35048523233163891798*n^9-106966922049229253544*n^8-255618093071393523966*n^7-\ 476599128873237940944*n^6-685868853875208443580*n^5-746650278210286780056*n^4-\ 594249583375743326784*n^3-326011562949948588576*n^2-110120347273597682112*n-\ 17248846961512742400)*X(n+2)+(-105804453125*n^16-5078613750000*n^15-\ 113434715031250*n^14-1564533878633750*n^13-14909428980187875*n^12-\ 104060643741563700*n^11-550070284973569505*n^10-2245609393288512988*n^9-\ 7152637904135470308*n^8-17827669459504222332*n^7-34642240556233651633*n^6-\ 51908455477534872806*n^5-58774207676614669152*n^4-48593345790482241928*n^3-\ 27655923135907518192*n^2-9676737133301033856*n-1567636158198228480)*X(n+3)-6*( 191328125*n^14+8035781250*n^13+154869531250*n^12+1814660920625*n^11+ 14437348205625*n^10+82473528330550*n^9+348732858201460*n^8+1108455189703113*n^7 +2660525966553488*n^6+4797266851865434*n^5+6394916379865284*n^4+ 6109633015519844*n^3+3953793422730864*n^2+1551060293948208*n+278255133327168)*( n+4)^2*X(n+4)+(38265625*n^10+918375000*n^9+9805362500*n^8+61307713500*n^7+ 248502086100*n^6+682082077440*n^5+1283506649027*n^4+1634589927660*n^3+ 1348064386324*n^2+650040731280*n+139167833472)*(n+4)^2*(n+5)^4*X(n+5) = 0 with initial conditions 76620575 3195514137 A(1) = 90, A(2) = 3225/2, A(3) = 69510, A(4) = --------, A(5) = ---------- 24 20 B(1) = 6, B(2) = 186, B(3) = 7416, B(4) = 328146, B(5) = 16971876 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1776, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 9.51981553123124965495216133573 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 9.51116292523349641172772850952, 9.51574706488170397745622878626 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 6 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 5 k transform of, ) binomial(n, k) 6 / ----- k = 0 Theorem Number, 18 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 5, and k= the integer part of, 5 4 3 2 1/7 RootOf(_Z - 30 _Z + 420 _Z - 2940 _Z + 10290 _Z - 14406) n, or in floats, 0.5886414157 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 10 9 8 7 -16807 (48921875 n + 1663343750 n + 25306131250 n + 226853258375 n 6 5 4 + 1326860211150 n + 5290756241710 n + 14564661153769 n 3 2 + 27331791084121 n + 33461302779192 n + 24133168815832 n + 7786615481056 2 4 14 13 ) (n + 2) (n + 1) X(n) - (2898376484375 n + 115935059375000 n 12 11 10 + 2129361602093750 n + 23794402204508125 n + 180663889635556000 n 9 8 7 + 985639567958175600 n + 3983220434955765205 n + 12109228441254300401 n 6 5 + 27818900813570598841 n + 48045609667372255098 n 4 3 + 61388664749596330627 n + 56254347381831126156 n 2 + 34939504524680456554 n + 13162382279012507428 n + 2268515785010236440) 2 16 15 (n + 2) X(n + 1) + (-4020399687500 n - 184938385625000 n 14 13 12 - 3956879394453125 n - 52262421626454375 n - 476875043237844125 n 11 10 - 3187004597782318250 n - 16134525558028433395 n 9 8 - 63107644475966678343 n - 192696091842310616084 n 7 6 - 460779052561691372796 n - 859831177731503669734 n 5 4 - 1238676500663234432940 n - 1350232942831558892141 n 3 2 - 1076404201063976845704 n - 591725604794665330696 n - 200368544295852798992 n - 31478920172301175280) X(n + 2) + ( 16 15 14 -159485312500 n - 7655295000000 n - 170994675515625 n 13 12 11 - 2358656650721250 n - 22480785311632875 n - 156942493968405575 n 10 9 - 829879842806372415 n - 3389391566003048134 n 8 7 - 10801938984131100594 n - 26943104022075466651 n 6 5 - 52403586744978531434 n - 78613541963142773758 n 4 3 - 89140224585494033621 n - 73831179453623334584 n 2 - 42111838784384800536 n - 14774296417887198368 n - 2401194796826286160) 14 13 12 X(n + 3) - 7 (244609375 n + 10273593750 n + 198005515625 n 11 10 9 + 2320314326250 n + 18463307846875 n + 105498902522450 n 8 7 6 + 446262593250145 n + 1419216016947381 n + 3408931983397601 n 5 4 3 + 6152850833566488 n + 8212747596489428 n + 7859817300917183 n 2 2 + 5097598067907903 n + 2005333814099906 n + 360995736349416) (n + 4) 10 9 8 7 X(n + 4) + (48921875 n + 1174125000 n + 12537521875 n + 78413958375 n 6 5 4 3 + 318011796275 n + 873623050685 n + 1646040538094 n + 2100075606270 n 2 2 4 + 1736211558093 n + 839916470010 n + 180561934504) (n + 4) (n + 5) X(n + 5) = 0 or in Maple format -16807*(48921875*n^10+1663343750*n^9+25306131250*n^8+226853258375*n^7+ 1326860211150*n^6+5290756241710*n^5+14564661153769*n^4+27331791084121*n^3+ 33461302779192*n^2+24133168815832*n+7786615481056)*(n+2)^2*(n+1)^4*X(n)-( 2898376484375*n^14+115935059375000*n^13+2129361602093750*n^12+23794402204508125 *n^11+180663889635556000*n^10+985639567958175600*n^9+3983220434955765205*n^8+ 12109228441254300401*n^7+27818900813570598841*n^6+48045609667372255098*n^5+ 61388664749596330627*n^4+56254347381831126156*n^3+34939504524680456554*n^2+ 13162382279012507428*n+2268515785010236440)*(n+2)^2*X(n+1)+(-4020399687500*n^16 -184938385625000*n^15-3956879394453125*n^14-52262421626454375*n^13-\ 476875043237844125*n^12-3187004597782318250*n^11-16134525558028433395*n^10-\ 63107644475966678343*n^9-192696091842310616084*n^8-460779052561691372796*n^7-\ 859831177731503669734*n^6-1238676500663234432940*n^5-1350232942831558892141*n^4 -1076404201063976845704*n^3-591725604794665330696*n^2-200368544295852798992*n-\ 31478920172301175280)*X(n+2)+(-159485312500*n^16-7655295000000*n^15-\ 170994675515625*n^14-2358656650721250*n^13-22480785311632875*n^12-\ 156942493968405575*n^11-829879842806372415*n^10-3389391566003048134*n^9-\ 10801938984131100594*n^8-26943104022075466651*n^7-52403586744978531434*n^6-\ 78613541963142773758*n^5-89140224585494033621*n^4-73831179453623334584*n^3-\ 42111838784384800536*n^2-14774296417887198368*n-2401194796826286160)*X(n+3)-7*( 244609375*n^14+10273593750*n^13+198005515625*n^12+2320314326250*n^11+ 18463307846875*n^10+105498902522450*n^9+446262593250145*n^8+1419216016947381*n^ 7+3408931983397601*n^6+6152850833566488*n^5+8212747596489428*n^4+ 7859817300917183*n^3+5097598067907903*n^2+2005333814099906*n+360995736349416)*( n+4)^2*X(n+4)+(48921875*n^10+1174125000*n^9+12537521875*n^8+78413958375*n^7+ 318011796275*n^6+873623050685*n^5+1646040538094*n^4+2100075606270*n^3+ 1736211558093*n^2+839916470010*n+180561934504)*(n+4)^2*(n+5)^4*X(n+5) = 0 with initial conditions 1189895 82236525 68250499513 A(1) = 105, A(2) = 8465/4, A(3) = -------, A(4) = --------, A(5) = ----------- 12 16 240 B(1) = 7, B(2) = 229, B(3) = 10423, B(4) = 508561, B(5) = 29276527 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1762, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 9.82987133202533287004663937515 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 9.82561991678904699232567018117, 9.82697952290998609431439443430 as you can see the convergence is extremely slow using the definition L is, 6 a is , 1 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 6 transform of, ) binomial(n, k) / ----- k = 0 Theorem Number, 19 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 6, and k= the integer part of, n/2, or in floats, 0.5000000000 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 3 2 3 24 (6 n + 5) (2 n + 3) (6 n + 7) (91 n + 637 n + 1491 n + 1167) (n + 1) X(n) 9 8 7 6 5 + (-153881 n - 2462096 n - 17419983 n - 71536002 n - 187916733 n 4 3 2 - 327503034 n - 378741807 n - 280311768 n - 120507876 n - 22934340) 8 7 6 5 X(n + 1) - (n + 2) (3458 n + 57057 n + 408555 n + 1656761 n 4 3 2 + 4158211 n + 6610054 n + 6496560 n + 3609252 n + 868140) X(n + 2) 3 2 5 + (n + 2) (91 n + 364 n + 490 n + 222) (n + 3) X(n + 3) = 0 or in Maple format 24*(6*n+5)*(2*n+3)*(6*n+7)*(91*n^3+637*n^2+1491*n+1167)*(n+1)^3*X(n)+(-153881*n ^9-2462096*n^8-17419983*n^7-71536002*n^6-187916733*n^5-327503034*n^4-378741807* n^3-280311768*n^2-120507876*n-22934340)*X(n+1)-(n+2)*(3458*n^8+57057*n^7+408555 *n^6+1656761*n^5+4158211*n^4+6610054*n^3+6496560*n^2+3609252*n+868140)*X(n+2)+( n+2)*(91*n^3+364*n^2+490*n+222)*(n+3)^5*X(n+3) = 0 with initial conditions A(1) = 42, A(2) = 945/2, A(3) = 49595/3 B(1) = 2, B(2) = 66, B(3) = 1460 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1492, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 9.86960440108935861883449099988 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 9.86720488102535862088249076582, 9.86840452108135861889849099805 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 2 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 6 k transform of, ) binomial(n, k) 2 / ----- k = 0 Theorem Number, 20 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 6, and k= the integer part of, 6 5 4 3 2 RootOf(_Z - 12 _Z + 30 _Z - 40 _Z + 30 _Z - 12 _Z + 2) n, or in floats, 0.5288490549 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 20 19 (n + 3) (3297410375638500 n + 258297146091682500 n 18 17 + 9576515160348169000 n + 223434460383356381500 n 16 15 + 3679057994118062910800 n + 45443197664864297016800 n 14 13 + 436871772682910953911750 n + 3347106122536751651652650 n 12 11 + 20755146668922500144305380 n + 105186848646730643537302960 n 10 9 + 438047160104123304632115185 n + 1501550894326917026894486420 n 8 7 + 4228954418327041136387198466 n + 9732069208194225375727246848 n 6 5 + 18120410985765995573233103315 n + 26875775870667384476841585058 n 4 3 + 31006758632798369671435380092 n + 26816174006655466839990308824 n 2 + 16354231945029277542804510272 n + 6270715153551337692593309952 n 3 5 + 1136825748269442234390492288) (n + 2) (n + 1) X(n) - 21 (n + 3) ( 25 24 46552839683264343000 n + 3995785406146856107500 n 23 22 + 163591856437099584582000 n + 4251529516461537423591500 n 21 20 + 78743989232422422941039400 n + 1106216707642925674176408500 n 19 18 + 12248564931457175962296784000 n + 109654324160991036853662710100 n 17 16 + 807858254841858162213000824040 n + 4959416278072419560153644092700 n 15 + 25592858813556925720000476068150 n 14 + 111680916825185253628119653244025 n 13 + 413610549558505206896555599036088 n 12 + 1302175200101337216364654064347230 n 11 + 3484311003684439803067545531013282 n 10 + 7907339736691775247793573597149548 n 9 + 15157878222562818668379945077197126 n 8 + 24387710688421835544413107403992298 n 7 + 32631027372485789304182677759088072 n 6 + 35843468302719636908927784390035387 n 5 + 31742828269109018321604458121964594 n 4 + 22083852152973869718963217039130556 n 3 + 11610143950294457730845676844912088 n 2 + 4331963632533341293281485491562496 n + 1021329912894069181077906928692480 n + 114281848036261337509548548300160 3 28 ) (n + 2) X(n + 1) + (n + 3) (1059467845923776965500 n 27 26 + 99943133465476293745500 n + 4522143098845694203728000 n 25 24 + 130669251079040471349777500 n + 2708431721213755319244167400 n 23 22 + 42882293740121467874720358000 n + 539254310104774900272464466150 n 21 + 5528940149249522048826951865150 n 20 + 47080645861811134486967862232890 n 19 + 337450546651213566201777944494910 n 18 + 2055950755995316280935540172548805 n 17 + 10724278078989477378940780217532000 n 16 + 48138619639533897246323830685743328 n 15 + 186579557752791475999002162236230674 n 14 + 625616374675048743663089178993316022 n 13 + 1815771602313364641790359439717567172 n 12 + 4558081169669218679878820524137075500 n 11 + 9874963338283094183245851671972597940 n 10 + 18396686172008258754430613257567394975 n 9 + 29313542350133928496594795474993302090 n 8 + 39654564788250821467362842170141246886 n 7 + 45085186279144449612333228875623573608 n 6 + 42497167200612818392680202883964858704 n 5 + 32593680697781669444671339585704976704 n 4 + 19808657202399684528003745050830631776 n 3 + 9171898659608713035516870747975719168 n 2 + 3037497978416220214941780999229896704 n + 640344367455824276204575981874786304 n + 64521134440304939434987049032289280) X(n + 2) + ( 29 28 -407876473824979896000 n - 40719667970193826284000 n 27 26 - 1953598963847771890089000 n - 59975452362419843578263000 n 25 24 - 1323549889295564089851034800 n - 22360696350282269887704783600 n 23 22 - 300748822241301803110272272100 n - 3306253720568547948513459762000 n 21 - 30267281038811153652488273717880 n 20 - 233890732222483681784168915247600 n 19 - 1541054844451115812058008034785560 n 18 - 8722038569144193784851999029876070 n 17 - 42634512662104154262345597130446906 n 16 - 180666841323601206858577115778319518 n 15 - 665250459629447370738274827137594844 n 14 - 2130805654022830673031064604571617604 n 13 - 5935972828394620663210743583275563772 n 12 - 14362888794301669923109962535778549076 n 11 - 30105924236395732021344111548002299720 n 10 - 54445895898386828330389739223854323998 n 9 - 84470413932732348666183500132459054610 n 8 - 111560675841300893930930842823546140494 n 7 - 124133665826597708083741804180304044008 n 6 - 114764643175554854743322992887524026992 n 5 - 86504386614351600313003928503393320480 n 4 - 51760600387464267717882246934632515232 n 3 - 23634838110175503097488340810781029248 n 2 - 7730390479471589740804909500737995776 n - 1611659279282141770036886544115802112 n - 160791234508896244742159594004372480) X(n + 3) - 7 (n + 4) ( 28 27 2542303399617283500 n + 249993167629032877500 n 26 25 + 11793807044464729036500 n + 355386115994289896285000 n 24 23 + 7682955139010712526193300 n + 126887948798966141460650600 n 22 21 + 1664556623072081586256912750 n + 17804158381925819188807537550 n 20 19 + 158157383242174872918246688230 n + 1182491113537674580803085842470 n 18 + 7514396719122438185754876789625 n 17 + 40876658298494225923478584207650 n 16 + 191310098068697152084133370635041 n 15 + 772920164034328172277570606311226 n 14 + 2700674739212152836267938720420844 n 13 + 8165142719887679348559176908475842 n 12 + 21342482341141019904148354282852348 n 11 + 48123524040171854936530429875892886 n 10 + 93260092538622677124291466903787829 n 9 + 154493560430099081832611828084985758 n 8 + 217144432470388796463259943527699805 n 7 + 256334073082706744599670738825074886 n 6 + 250685260809931775196108928201177732 n 5 + 199321359389793796585596970129658376 n 4 + 125475330259945112926592442559771776 n 3 + 60124702093956895302528017896810176 n 2 + 20586580100778621342887035336773504 n + 4482473044264628980077460794463488 n + 465995125731002791532423968641024 25 24 ) X(n + 4) - 3 (n + 4) (19784462253831000 n + 1698166343453827500 n 23 22 + 69483647465250744000 n + 1803728751312829627000 n 21 20 + 33352740067700277581800 n + 467570766399067466528300 n 19 18 + 5164323785425496067661500 n + 46102809619360554380153600 n 17 16 + 338600431935573615328141780 n + 2071747256075803095453636260 n 15 14 + 10653895511981091154309653630 n + 46324244760033028191511273675 n 13 12 + 170940102611993846551061709216 n + 536234529964557907675032620463 n 11 + 1429788160432064008003717085952 n 10 9 + 3233826507229950815687437960069 n + 6179352810874980096412806319668 n 8 7 + 9912969813813313951530820544905 n + 13228875491446070793847401133366 n 6 + 14498130444895153992777106320260 n 5 4 + 12815164581799818124163003173224 n + 8902462317563806302066629118912 n 3 2 + 4675410114700091066355116349888 n + 1743451489275409058997414287232 n + 410991014460302405941840581888 n + 46002445559760324824372606976) 3 20 19 (n + 5) X(n + 5) + (n + 4) (3297410375638500 n + 192348938578912500 n 18 17 + 5295377355977516500 n + 91466951650539157000 n 16 15 + 1111565005841402472300 n + 10100956688055114490000 n 14 13 + 71203798745502769825750 n + 398639519814599362652150 n 12 11 + 1799895286643490438431180 n + 6617311060270457795668700 n 10 9 + 19914216385804795879588555 n + 49131459960982442308677020 n 8 7 + 99177251727654167017058411 n + 162872822261029044990287280 n 6 5 + 215426379696424381327647847 n + 225899755069264178842652790 n 4 3 + 183349778931710909354417197 n + 110978773590660923871285600 n 2 + 47113195781503236147276272 n + 12503913400624490510075200 n 3 5 + 1559842318640361786761536) (n + 5) (n + 6) X(n + 6) = 0 or in Maple format (n+3)*(3297410375638500*n^20+258297146091682500*n^19+9576515160348169000*n^18+ 223434460383356381500*n^17+3679057994118062910800*n^16+45443197664864297016800* n^15+436871772682910953911750*n^14+3347106122536751651652650*n^13+ 20755146668922500144305380*n^12+105186848646730643537302960*n^11+ 438047160104123304632115185*n^10+1501550894326917026894486420*n^9+ 4228954418327041136387198466*n^8+9732069208194225375727246848*n^7+ 18120410985765995573233103315*n^6+26875775870667384476841585058*n^5+ 31006758632798369671435380092*n^4+26816174006655466839990308824*n^3+ 16354231945029277542804510272*n^2+6270715153551337692593309952*n+ 1136825748269442234390492288)*(n+2)^3*(n+1)^5*X(n)-21*(n+3)*( 46552839683264343000*n^25+3995785406146856107500*n^24+163591856437099584582000* n^23+4251529516461537423591500*n^22+78743989232422422941039400*n^21+ 1106216707642925674176408500*n^20+12248564931457175962296784000*n^19+ 109654324160991036853662710100*n^18+807858254841858162213000824040*n^17+ 4959416278072419560153644092700*n^16+25592858813556925720000476068150*n^15+ 111680916825185253628119653244025*n^14+413610549558505206896555599036088*n^13+ 1302175200101337216364654064347230*n^12+3484311003684439803067545531013282*n^11 +7907339736691775247793573597149548*n^10+15157878222562818668379945077197126*n^ 9+24387710688421835544413107403992298*n^8+32631027372485789304182677759088072*n ^7+35843468302719636908927784390035387*n^6+31742828269109018321604458121964594* n^5+22083852152973869718963217039130556*n^4+11610143950294457730845676844912088 *n^3+4331963632533341293281485491562496*n^2+1021329912894069181077906928692480* n+114281848036261337509548548300160)*(n+2)^3*X(n+1)+(n+3)*( 1059467845923776965500*n^28+99943133465476293745500*n^27+ 4522143098845694203728000*n^26+130669251079040471349777500*n^25+ 2708431721213755319244167400*n^24+42882293740121467874720358000*n^23+ 539254310104774900272464466150*n^22+5528940149249522048826951865150*n^21+ 47080645861811134486967862232890*n^20+337450546651213566201777944494910*n^19+ 2055950755995316280935540172548805*n^18+10724278078989477378940780217532000*n^ 17+48138619639533897246323830685743328*n^16+ 186579557752791475999002162236230674*n^15+625616374675048743663089178993316022* n^14+1815771602313364641790359439717567172*n^13+ 4558081169669218679878820524137075500*n^12+ 9874963338283094183245851671972597940*n^11+ 18396686172008258754430613257567394975*n^10+ 29313542350133928496594795474993302090*n^9+ 39654564788250821467362842170141246886*n^8+ 45085186279144449612333228875623573608*n^7+ 42497167200612818392680202883964858704*n^6+ 32593680697781669444671339585704976704*n^5+ 19808657202399684528003745050830631776*n^4+ 9171898659608713035516870747975719168*n^3+3037497978416220214941780999229896704 *n^2+640344367455824276204575981874786304*n+64521134440304939434987049032289280 )*X(n+2)+(-407876473824979896000*n^29-40719667970193826284000*n^28-\ 1953598963847771890089000*n^27-59975452362419843578263000*n^26-\ 1323549889295564089851034800*n^25-22360696350282269887704783600*n^24-\ 300748822241301803110272272100*n^23-3306253720568547948513459762000*n^22-\ 30267281038811153652488273717880*n^21-233890732222483681784168915247600*n^20-\ 1541054844451115812058008034785560*n^19-8722038569144193784851999029876070*n^18 -42634512662104154262345597130446906*n^17-180666841323601206858577115778319518* n^16-665250459629447370738274827137594844*n^15-\ 2130805654022830673031064604571617604*n^14-\ 5935972828394620663210743583275563772*n^13-\ 14362888794301669923109962535778549076*n^12-\ 30105924236395732021344111548002299720*n^11-\ 54445895898386828330389739223854323998*n^10-\ 84470413932732348666183500132459054610*n^9-\ 111560675841300893930930842823546140494*n^8-\ 124133665826597708083741804180304044008*n^7-\ 114764643175554854743322992887524026992*n^6-\ 86504386614351600313003928503393320480*n^5-\ 51760600387464267717882246934632515232*n^4-\ 23634838110175503097488340810781029248*n^3-\ 7730390479471589740804909500737995776*n^2-1611659279282141770036886544115802112 *n-160791234508896244742159594004372480)*X(n+3)-7*(n+4)*(2542303399617283500*n^ 28+249993167629032877500*n^27+11793807044464729036500*n^26+ 355386115994289896285000*n^25+7682955139010712526193300*n^24+ 126887948798966141460650600*n^23+1664556623072081586256912750*n^22+ 17804158381925819188807537550*n^21+158157383242174872918246688230*n^20+ 1182491113537674580803085842470*n^19+7514396719122438185754876789625*n^18+ 40876658298494225923478584207650*n^17+191310098068697152084133370635041*n^16+ 772920164034328172277570606311226*n^15+2700674739212152836267938720420844*n^14+ 8165142719887679348559176908475842*n^13+21342482341141019904148354282852348*n^ 12+48123524040171854936530429875892886*n^11+93260092538622677124291466903787829 *n^10+154493560430099081832611828084985758*n^9+ 217144432470388796463259943527699805*n^8+256334073082706744599670738825074886*n ^7+250685260809931775196108928201177732*n^6+ 199321359389793796585596970129658376*n^5+125475330259945112926592442559771776*n ^4+60124702093956895302528017896810176*n^3+20586580100778621342887035336773504* n^2+4482473044264628980077460794463488*n+465995125731002791532423968641024)*X(n +4)-3*(n+4)*(19784462253831000*n^25+1698166343453827500*n^24+ 69483647465250744000*n^23+1803728751312829627000*n^22+33352740067700277581800*n ^21+467570766399067466528300*n^20+5164323785425496067661500*n^19+ 46102809619360554380153600*n^18+338600431935573615328141780*n^17+ 2071747256075803095453636260*n^16+10653895511981091154309653630*n^15+ 46324244760033028191511273675*n^14+170940102611993846551061709216*n^13+ 536234529964557907675032620463*n^12+1429788160432064008003717085952*n^11+ 3233826507229950815687437960069*n^10+6179352810874980096412806319668*n^9+ 9912969813813313951530820544905*n^8+13228875491446070793847401133366*n^7+ 14498130444895153992777106320260*n^6+12815164581799818124163003173224*n^5+ 8902462317563806302066629118912*n^4+4675410114700091066355116349888*n^3+ 1743451489275409058997414287232*n^2+410991014460302405941840581888*n+ 46002445559760324824372606976)*(n+5)^3*X(n+5)+(n+4)*(3297410375638500*n^20+ 192348938578912500*n^19+5295377355977516500*n^18+91466951650539157000*n^17+ 1111565005841402472300*n^16+10100956688055114490000*n^15+ 71203798745502769825750*n^14+398639519814599362652150*n^13+ 1799895286643490438431180*n^12+6617311060270457795668700*n^11+ 19914216385804795879588555*n^10+49131459960982442308677020*n^9+ 99177251727654167017058411*n^8+162872822261029044990287280*n^7+ 215426379696424381327647847*n^6+225899755069264178842652790*n^5+ 183349778931710909354417197*n^4+110978773590660923871285600*n^3+ 47113195781503236147276272*n^2+12503913400624490510075200*n+ 1559842318640361786761536)*(n+5)^3*(n+6)^5*X(n+6) = 0 with initial conditions 35251425 50395827963 A(1) = 63, A(2) = 3957/4, A(3) = 199155/4, A(4) = --------, A(5) = -----------, 16 400 8955226072667 A(6) = ------------- 1200 B(1) = 3, B(2) = 133, B(3) = 4383, B(4) = 227601, B(5) = 12281283, B(6) = 741398869 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1486, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 10.1098309080484593311680422630 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 10.1065093724809753806938112449, 10.1077609745565003538633678121 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 3 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 6 k transform of, ) binomial(n, k) 3 / ----- k = 0 Theorem Number, 21 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 6, and k= the integer part of, 6 5 4 3 2 1/2 RootOf(_Z - 18 _Z + 90 _Z - 240 _Z + 360 _Z - 288 _Z + 96) n, or in floats, 0.5456480490 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 20 19 64 (n + 3) (5037650705830500 n + 394615971956722500 n 18 17 + 14630545995237079875 n + 341349444963641599875 n 16 15 + 5620562305267356385650 n + 69423133928727006351900 n 14 13 + 667389939541077707505750 n + 5113092517355339131853550 n 12 11 + 31704918206605987577694180 n + 160674548936637182942718660 n 10 9 + 669097573110099298905157035 n + 2293452021232786477955994855 n 8 7 + 6458945608089284218640904254 n + 14863145818462364644905216532 n 6 5 + 27672493746720451831768082820 n + 41040589165019664632602238512 n 4 3 + 47345497810644112439579045248 n + 40943603424333011188159566656 n 2 + 24967970162716787343266222528 n + 9572614736876094711680348928 n 3 5 + 1735257973097170311858450432) (n + 2) (n + 1) X(n) - 112 (n + 3) ( 25 24 43736883428020401000 n + 3754082494238417752500 n 23 22 + 153695467821006328479750 n + 3994293645941714722402875 n 21 20 + 73978452528193732092763050 n + 1039246648503670105037596575 n 19 18 + 11506723177931158775080513500 n + 103009569986935407635305584075 n 17 16 + 758873679236816159375779110810 n + 4658481289148005756635075983910 n 15 + 24038578461136327959275382986310 n 14 + 104891808835032380331423361766565 n 13 + 388439094988996424450420842360938 n 12 + 1222827434338128814210364142463455 n 11 + 3271691469322629863902040476443492 n 10 + 7424038624923706564465267965243453 n 9 + 14229732784084365628897565002488186 n 8 + 22891343823369586415416241811950288 n 7 + 30624256077388059514998993096869732 n 6 + 33633424881140608606751629137756272 n 5 + 29779928627272132367608365995297984 n 4 + 20713780590441791114007726654690176 n 3 + 10887217228965830958421725501829568 n 2 + 4061117833549240637084031695613696 n + 957179626630132740571151698636800 n + 107066716661889134380147560284160) 3 28 (n + 2) X(n + 1) + (n + 3) (2867395518203779786500 n 27 26 + 270490977217223226526500 n + 12239088849972637316346375 n 25 24 + 353662170179158713820890375 n + 7330767640098090288014445075 n 23 22 + 116073302257018490578359836625 n + 1459747046592622515592209692700 n 21 + 14967967835074125973638480209550 n 20 + 127470030197289287304926614565190 n 19 + 913752737081541119529073159063710 n 18 + 5567915890820734090255921137930015 n 17 + 29048137178258112563081942331069075 n 16 + 130413714577960481960715629056920567 n 15 + 505571393886245123109685686841131141 n 14 + 1695605867386117247300347843771266558 n 13 + 4922503932286419602308788581629006248 n 12 + 12360176247682650022693151144986689660 n 11 + 26785854274682933065182227096368490680 n 10 + 49916770979023046621574806044548307760 n 9 + 79564848459340612124555548196060127200 n 8 + 107671538451204419749396486085748528064 n 7 + 122462898473714193171852903555620794752 n 6 + 115478447564035090535003716715359501056 n 5 + 88603526072108058346002561054217888256 n 4 + 53870919676049998995342253841701771264 n 3 + 24954217084884418029369338033592942592 n 2 + 8267759065657368244108625569895038976 n + 1743701387706023514527019901304242176 n + 175769797689682271836116506884177920) X(n + 2) + ( 29 28 -1247282013557985156000 n - 124520321020205518074000 n 27 26 - 5974066864921711287951000 n - 183402614320112693575719000 n 25 24 - 4047327112636272594688957800 n - 68376677115988062513061896600 n 23 - 919644453632857363464508632600 n 22 - 10109838575357413262597016912600 n 21 - 92549085291979020124018996892760 n 20 - 715156428589616736117364789788600 n 19 - 4711878038904830217233040923335800 n 18 - 26667383989578831660442366904261160 n 17 - 130349290417147154583904596519212728 n 16 - 552343419473317683965890041179594824 n 15 - 2033750072643894986230898089145884712 n 14 - 6513824758434246515473774459459033672 n 13 - 18145208542641502701272844744054479496 n 12 - 43902320523605913394833858066425524248 n 11 - 92017577268868325669912422582304505520 n 10 - 166400394939643383431034111677845768544 n 9 - 258143412359706325554690029824359688800 n 8 - 340903275751641860325892809406869386432 n 7 - 379287984538199523422594923714799741184 n 6 - 350624524769585757589323609062297680896 n 5 - 264253915918252627407792570344352478720 n 4 - 158097598960794214756051193972449760256 n 3 - 72179481842619777483487910639279386624 n 2 - 23604183113183149564895330112446005248 n - 4920134918332325579914075705898827776 n - 490761565086781800637225379528048640) X(n + 3) - 2 (n + 4) ( 28 27 20296694693791084500 n + 1995841644889456642500 n 26 25 + 94156730609198262985125 n + 2837243100175948978368750 n 24 23 + 61336977426559294660944225 n + 1013004994301541108050516325 n 22 21 + 13288806572726791191832785000 n + 142135976272784300703089255025 n 20 + 1262600797372769044031856908370 n 19 + 9439896714688091490726813952830 n 18 + 59986686167237317927454242596105 n 17 + 326306722850841627314199190726320 n 16 + 1527132633810696108362881188440781 n 15 + 6169641057080003561229336427890081 n 14 + 21556682033039168327511867773201574 n 13 + 65171172963219599728420996125122577 n 12 + 170339865904804163861272342018489788 n 11 + 384065757926884723824926972882292296 n 10 + 744247912607421886201829467759091604 n 9 + 1232827117933002017034411767550431888 n 8 + 1732632282426658330173508402233190240 n 7 + 2045150371065392999126117455255383296 n 6 + 1999878001710625147291931946719570752 n 5 + 1589930352079159111808062192919264256 n 4 + 1000748489059365532346346441209245696 n 3 + 479461230156724144684203357480861696 n 2 + 164137949099681175733092234147016704 n + 35731843563250067181567940636950528 n + 3713803584171137296563821187170304) X(n + 4) - 8 (n + 4) ( 25 24 23 15112952117491500 n + 1297195056751353750 n + 53076954439342184625 n 22 21 + 1377815768430191415000 n + 25476869264780781348075 n 20 19 + 357153134054127420074400 n + 3944672845988093931415500 n 18 17 + 35213812329685357998173700 n + 258618071796070634128663440 n 16 15 + 1582308976333634797734392190 n + 8136608322208888526635968315 n 14 13 + 35376993062865896176330394340 n + 130536229012663312170229976457 n 12 11 + 409461552185341666401388989396 n + 1091686014308955989153350035864 n 10 9 + 2468917553851273118196027331848 n + 4717288220075633769836789270256 n 8 7 + 7566725840955884558381288455280 n + 10096633641367239822293534127632 n 6 5 + 11063921090789687436967833527360 n + 9778173272729762900204717583488 n 4 3 + 6791601398354473018753205176064 n + 3566161746067514920991346319616 n 2 + 1329534939525441000061884232704 n + 313341770788099193611074134016 n 3 + 35062947121056812572958687232) (n + 5) X(n + 5) + (n + 4) ( 20 19 18 5037650705830500 n + 293862957840112500 n + 8089996162167147375 n 17 16 + 139736026449326939625 n + 1698119819000407078650 n 15 14 + 15430563798152164924500 n + 108768920231849775957750 n 13 12 + 608920898141556839602050 n + 2749179210925476043917780 n 11 10 + 10106688457131535060022700 n + 30412914040634120643291855 n 9 8 + 75026995253593869539195205 n + 151435640469530954248443734 n 7 6 + 248666450611512146419315620 n + 328861883279372572839854788 n 5 4 + 344801352338980669614719160 n + 279810025211217368597485568 n 3 2 + 169333158915277605176880000 n + 71870633663447520012624768 n 3 + 19069839552595111815360000 n + 2378245466037582619746304) (n + 5) 5 (n + 6) X(n + 6) = 0 or in Maple format 64*(n+3)*(5037650705830500*n^20+394615971956722500*n^19+14630545995237079875*n^ 18+341349444963641599875*n^17+5620562305267356385650*n^16+ 69423133928727006351900*n^15+667389939541077707505750*n^14+ 5113092517355339131853550*n^13+31704918206605987577694180*n^12+ 160674548936637182942718660*n^11+669097573110099298905157035*n^10+ 2293452021232786477955994855*n^9+6458945608089284218640904254*n^8+ 14863145818462364644905216532*n^7+27672493746720451831768082820*n^6+ 41040589165019664632602238512*n^5+47345497810644112439579045248*n^4+ 40943603424333011188159566656*n^3+24967970162716787343266222528*n^2+ 9572614736876094711680348928*n+1735257973097170311858450432)*(n+2)^3*(n+1)^5*X( n)-112*(n+3)*(43736883428020401000*n^25+3754082494238417752500*n^24+ 153695467821006328479750*n^23+3994293645941714722402875*n^22+ 73978452528193732092763050*n^21+1039246648503670105037596575*n^20+ 11506723177931158775080513500*n^19+103009569986935407635305584075*n^18+ 758873679236816159375779110810*n^17+4658481289148005756635075983910*n^16+ 24038578461136327959275382986310*n^15+104891808835032380331423361766565*n^14+ 388439094988996424450420842360938*n^13+1222827434338128814210364142463455*n^12+ 3271691469322629863902040476443492*n^11+7424038624923706564465267965243453*n^10 +14229732784084365628897565002488186*n^9+22891343823369586415416241811950288*n^ 8+30624256077388059514998993096869732*n^7+33633424881140608606751629137756272*n ^6+29779928627272132367608365995297984*n^5+20713780590441791114007726654690176* n^4+10887217228965830958421725501829568*n^3+4061117833549240637084031695613696* n^2+957179626630132740571151698636800*n+107066716661889134380147560284160)*(n+2 )^3*X(n+1)+(n+3)*(2867395518203779786500*n^28+270490977217223226526500*n^27+ 12239088849972637316346375*n^26+353662170179158713820890375*n^25+ 7330767640098090288014445075*n^24+116073302257018490578359836625*n^23+ 1459747046592622515592209692700*n^22+14967967835074125973638480209550*n^21+ 127470030197289287304926614565190*n^20+913752737081541119529073159063710*n^19+ 5567915890820734090255921137930015*n^18+29048137178258112563081942331069075*n^ 17+130413714577960481960715629056920567*n^16+ 505571393886245123109685686841131141*n^15+1695605867386117247300347843771266558 *n^14+4922503932286419602308788581629006248*n^13+ 12360176247682650022693151144986689660*n^12+ 26785854274682933065182227096368490680*n^11+ 49916770979023046621574806044548307760*n^10+ 79564848459340612124555548196060127200*n^9+ 107671538451204419749396486085748528064*n^8+ 122462898473714193171852903555620794752*n^7+ 115478447564035090535003716715359501056*n^6+ 88603526072108058346002561054217888256*n^5+ 53870919676049998995342253841701771264*n^4+ 24954217084884418029369338033592942592*n^3+ 8267759065657368244108625569895038976*n^2+1743701387706023514527019901304242176 *n+175769797689682271836116506884177920)*X(n+2)+(-1247282013557985156000*n^29-\ 124520321020205518074000*n^28-5974066864921711287951000*n^27-\ 183402614320112693575719000*n^26-4047327112636272594688957800*n^25-\ 68376677115988062513061896600*n^24-919644453632857363464508632600*n^23-\ 10109838575357413262597016912600*n^22-92549085291979020124018996892760*n^21-\ 715156428589616736117364789788600*n^20-4711878038904830217233040923335800*n^19-\ 26667383989578831660442366904261160*n^18-130349290417147154583904596519212728*n ^17-552343419473317683965890041179594824*n^16-\ 2033750072643894986230898089145884712*n^15-\ 6513824758434246515473774459459033672*n^14-\ 18145208542641502701272844744054479496*n^13-\ 43902320523605913394833858066425524248*n^12-\ 92017577268868325669912422582304505520*n^11-\ 166400394939643383431034111677845768544*n^10-\ 258143412359706325554690029824359688800*n^9-\ 340903275751641860325892809406869386432*n^8-\ 379287984538199523422594923714799741184*n^7-\ 350624524769585757589323609062297680896*n^6-\ 264253915918252627407792570344352478720*n^5-\ 158097598960794214756051193972449760256*n^4-\ 72179481842619777483487910639279386624*n^3-\ 23604183113183149564895330112446005248*n^2-\ 4920134918332325579914075705898827776*n-490761565086781800637225379528048640)*X (n+3)-2*(n+4)*(20296694693791084500*n^28+1995841644889456642500*n^27+ 94156730609198262985125*n^26+2837243100175948978368750*n^25+ 61336977426559294660944225*n^24+1013004994301541108050516325*n^23+ 13288806572726791191832785000*n^22+142135976272784300703089255025*n^21+ 1262600797372769044031856908370*n^20+9439896714688091490726813952830*n^19+ 59986686167237317927454242596105*n^18+326306722850841627314199190726320*n^17+ 1527132633810696108362881188440781*n^16+6169641057080003561229336427890081*n^15 +21556682033039168327511867773201574*n^14+65171172963219599728420996125122577*n ^13+170339865904804163861272342018489788*n^12+ 384065757926884723824926972882292296*n^11+744247912607421886201829467759091604* n^10+1232827117933002017034411767550431888*n^9+ 1732632282426658330173508402233190240*n^8+2045150371065392999126117455255383296 *n^7+1999878001710625147291931946719570752*n^6+ 1589930352079159111808062192919264256*n^5+1000748489059365532346346441209245696 *n^4+479461230156724144684203357480861696*n^3+ 164137949099681175733092234147016704*n^2+35731843563250067181567940636950528*n+ 3713803584171137296563821187170304)*X(n+4)-8*(n+4)*(15112952117491500*n^25+ 1297195056751353750*n^24+53076954439342184625*n^23+1377815768430191415000*n^22+ 25476869264780781348075*n^21+357153134054127420074400*n^20+ 3944672845988093931415500*n^19+35213812329685357998173700*n^18+ 258618071796070634128663440*n^17+1582308976333634797734392190*n^16+ 8136608322208888526635968315*n^15+35376993062865896176330394340*n^14+ 130536229012663312170229976457*n^13+409461552185341666401388989396*n^12+ 1091686014308955989153350035864*n^11+2468917553851273118196027331848*n^10+ 4717288220075633769836789270256*n^9+7566725840955884558381288455280*n^8+ 10096633641367239822293534127632*n^7+11063921090789687436967833527360*n^6+ 9778173272729762900204717583488*n^5+6791601398354473018753205176064*n^4+ 3566161746067514920991346319616*n^3+1329534939525441000061884232704*n^2+ 313341770788099193611074134016*n+35062947121056812572958687232)*(n+5)^3*X(n+5)+ (n+4)*(5037650705830500*n^20+293862957840112500*n^19+8089996162167147375*n^18+ 139736026449326939625*n^17+1698119819000407078650*n^16+15430563798152164924500* n^15+108768920231849775957750*n^14+608920898141556839602050*n^13+ 2749179210925476043917780*n^12+10106688457131535060022700*n^11+ 30412914040634120643291855*n^10+75026995253593869539195205*n^9+ 151435640469530954248443734*n^8+248666450611512146419315620*n^7+ 328861883279372572839854788*n^6+344801352338980669614719160*n^5+ 279810025211217368597485568*n^4+169333158915277605176880000*n^3+ 71870633663447520012624768*n^2+19069839552595111815360000*n+ 2378245466037582619746304)*(n+5)^3*(n+6)^5*X(n+6) = 0 with initial conditions 133498475 58694025119 A(1) = 84, A(2) = 3189/2, A(3) = 300670/3, A(4) = ---------, A(5) = -----------, 24 150 8711653733027 A(6) = ------------- 300 B(1) = 4, B(2) = 202, B(3) = 8776, B(4) = 542866, B(5) = 37312744, B(6) = 2764634356 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1478, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 10.4730788814956496077563805618 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 10.4691402272852544229372554264, 10.4704709923968315281604624861 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 4 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 6 k transform of, ) binomial(n, k) 4 / ----- k = 0 Theorem Number, 22 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 6, / 1/3 2/3 \ |2 2 | and k= the integer part of, |---- - ---- + 2/3| n, or in floats, \ 3 3 / 0.5575066661 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 20 19 -729 (n + 3) (25509617783204400 n + 1998253393017678000 n 18 17 + 74085715480801754400 n + 1728499664119790614200 n 16 15 + 28460608509672193936320 n + 351529001021671518490520 n 14 13 + 3379304961013431741511320 n + 25889308577662852971626080 n 12 11 + 160528006263955949056721388 n + 813498849249213269965351636 n 10 9 + 3387530980832827948780743557 n + 11610895045191882679662591250 n 8 7 + 32697765651078388208994696198 n + 75239465174332772497806446780 n 6 5 + 140074717392658122552041439189 n + 207730072195066907916893387630 n 4 3 + 239627383447438433581765045540 n + 207211192659045397203085618728 n 2 + 126350487455084211377920033728 n + 48438159486301621762871696640 n 3 5 + 8779725431896004292457109376) (n + 2) (n + 1) X(n) + 315 (n + 3) ( 25 24 191475191080732226400 n + 16434953901096182766000 n 23 22 + 672858165993871773614400 n + 17486303104584240037152480 n 21 20 + 323859404321297475621220800 n + 4549469975577857656547509392 n 19 18 + 50371198754278985611633670160 n + 450914369794893229209113767764 n 17 + 3321766863753998854430295104640 n 16 + 20390330199721128110631305714344 n 15 + 105212123931802872530157628428162 n 14 + 459062973908270779676222174636723 n 13 + 1699900746358707790796416839551544 n 12 + 5350958899448402713810927480185254 n 11 + 14315285583216017303275472017315174 n 10 + 32480599384869519049347095605594508 n 9 + 62248802610352966264597575011637042 n 8 + 100126633751143285478734160210135758 n 7 + 133930901104294557726805088092664088 n 6 + 147066994015731523915551190679163277 n 5 + 130192994540441517969594296439205694 n 4 + 90538440782141261601083111674316964 n 3 + 47576092115771043422980268547061992 n 2 + 17742010928006684323048473233185536 n + 4180436238454466040214563353889024 n + 467452282728655579578597229000320 3 28 ) (n + 2) X(n + 1) - 3 (n + 3) (6051212963207265337200 n 27 26 + 570831089529218696809200 n + 25829446059475948221393600 n 25 24 + 746410737185823649583475000 n + 15473017250295614240074507560 n 23 22 + 245023711010153647676641859760 n + 3081899167754716531406942986680 n 21 + 31607082822585742574437790023600 n 20 + 269232179721420321855552303317084 n 19 + 1930466358254348476732070775424884 n 18 + 11766817280938790792356061646186105 n 17 + 61409599755839561312330839942834568 n 16 + 275811499018305931838391207486839780 n 15 + 1069701927209985973800367875895711694 n 14 + 3589359176334860041998982229663349712 n 13 + 10425832029197918151635210437509703030 n 12 + 26194079442453198190821485095048823714 n 11 + 56801408814268498597119024811892562798 n 10 + 105924515692393166269580826534404208511 n 9 + 168961863951576666766651446777992193954 n 8 + 228826567071976716983897054416892874006 n 7 + 260476230260597794410979929619680895976 n 6 + 245833782978702398375380320588210340432 n 5 + 188793256982151494506979345199544204480 n 4 + 114894938316909715503648562213307600736 n 3 + 53274046556181894310572203803881938688 n 2 + 17668372422356309031800019247746662400 n + 3730153321840692298823340453080322048 n + 376400367023766260848380887439375360) X(n + 2) + ( 29 28 10535982336819081288000 n + 1051842236625771615252000 n 27 26 + 50463705833239591379148000 n + 1549215999027800456059320000 n 25 24 + 34187777398584906406711802400 n + 577571021925239514440170344800 n 23 + 7768030909316463643634216221200 n 22 + 85394036513412132382825073289000 n 21 + 781711553836310431584298563646360 n 20 + 6040393924882684778502263305112200 n 19 + 39796674914845449279349128694428980 n 18 + 225226960806571736375161183541761830 n 17 + 1100866064042980536618916860153911410 n 16 + 4664653784643703544798521790755856390 n 15 + 17174761236177571699191654415165370720 n 14 + 55006048995896657660174919377848355100 n 13 + 153220122606024803085483792587740936140 n 12 + 370696763439676982582165639007964013660 n 11 + 776921905664654262182266124739286140260 n 10 + 1404861994312512989895825769562377476550 n 9 + 2179265899421103126602716162565284781370 n 8 + 2877709229270672967405962711718965361110 n 7 + 3201456092262826264360494010289176280200 n 6 + 2959232110816112734609725587303356168880 n 5 + 2230032802378041546732341019970871152800 n 4 + 1334019245626732350952368958904896292640 n 3 + 608962386354867857051240140342333203840 n 2 + 199111912723274493285395275712494832640 n + 41496082905109374747482873805691269120 n + 4138196233383540843792265694143872000) X(n + 3) + 7 (n + 4) ( 28 27 38953186354953118800 n + 3830396658237056682000 n 26 25 + 180704332723218759982800 n + 5445185985367932125544600 n 24 23 + 117716375692837372475543040 n + 1944122941515852471717261840 n 22 21 + 25503215778858499944173670040 n + 272777734719341224913629067120 n 20 + 2423069723816498904250459218556 n 19 + 18115943437868675218126280537292 n 18 + 115117472458078192342499997664399 n 17 + 626186547251681192735635227391834 n 16 + 2930517664093665572245290130132647 n 15 + 11839019536095497109237634654475250 n 14 + 41364159753456506206118755977063066 n 13 + 125049588746784789578609881905370996 n 12 + 326832481439166645531406270919648682 n 11 + 736875519863002170082745247340390760 n 10 + 1427851036119048655855818504667506419 n 9 + 2365053049728646901828632901428480882 n 8 + 3323645933525795590293810075597362147 n 7 + 3922824423889598284013983079181554234 n 6 + 3835635670416188181548649895277334908 n 5 + 3049062292331714778404603290221256440 n 4 + 1918936747778012416386292896866625408 n 3 + 919239686582730703988599117928736576 n 2 + 314640433605794450871343932696205440 n + 68482619756878925871812846267677440 n + 7116240907793968340135915145203712) X(n + 4) + 5 (n + 4) ( 25 24 153057706699226400 n + 13137453158350266000 n 23 22 + 537539365734229238400 n + 13953786787879731126960 n 21 20 + 258013125642506337192480 n + 3616954660101051925809504 n 19 18 + 39947572093677826824304640 n + 356599785714749291964999468 n 17 16 + 2618865897571504810987313368 n + 16022476736810741255767882092 n 15 14 + 82387858893464511670565536430 n + 358194990466872472134899867921 n 13 + 1321616976750301744197034730148 n 12 + 4145344219056570008597821960825 n 11 + 11051338162714420510443734779720 n 10 + 24991354127773155232933037670843 n 9 + 47746083464477229500368222606732 n 8 + 76579246042699763142589239798919 n 7 + 102172137241234218689026009569322 n 6 + 111946907411378520075652448763644 n 5 + 98923945203780144451973092783768 n 4 + 68698784764497583762748087749440 n 3 + 36066362070647766425767153289280 n 2 + 13443591068767310713699898687616 n + 3167642308809158645747639544576 n 3 + 354368077957779082855166380032) (n + 5) X(n + 5) - (n + 4) ( 20 19 18 25509617783204400 n + 1488061037353590000 n + 40965728392274708400 n 17 16 + 707577151398528957000 n + 8598515248523917254120 n 15 14 + 78131004392099426360600 n + 550718546950085430079920 n 13 12 + 3082945361188283292137800 n + 13918254984501115901244268 n 11 10 + 51163941181122427524008380 n + 153951127826029401246194609 n 9 8 + 379759046747502675670860660 n + 766443122144833587166078533 n 7 6 + 1258418705301258634541046380 n + 1664070385064709071899922963 n 5 4 + 1744497245406355479223410380 n + 1415466070441576828880273155 n 3 2 + 856452287440734306372749440 n + 363434218885922140239059856 n 3 + 96409655318934439833274560 n + 12020227668294745952693952) (n + 5) 5 (n + 6) X(n + 6) = 0 or in Maple format -729*(n+3)*(25509617783204400*n^20+1998253393017678000*n^19+ 74085715480801754400*n^18+1728499664119790614200*n^17+28460608509672193936320*n ^16+351529001021671518490520*n^15+3379304961013431741511320*n^14+ 25889308577662852971626080*n^13+160528006263955949056721388*n^12+ 813498849249213269965351636*n^11+3387530980832827948780743557*n^10+ 11610895045191882679662591250*n^9+32697765651078388208994696198*n^8+ 75239465174332772497806446780*n^7+140074717392658122552041439189*n^6+ 207730072195066907916893387630*n^5+239627383447438433581765045540*n^4+ 207211192659045397203085618728*n^3+126350487455084211377920033728*n^2+ 48438159486301621762871696640*n+8779725431896004292457109376)*(n+2)^3*(n+1)^5*X (n)+315*(n+3)*(191475191080732226400*n^25+16434953901096182766000*n^24+ 672858165993871773614400*n^23+17486303104584240037152480*n^22+ 323859404321297475621220800*n^21+4549469975577857656547509392*n^20+ 50371198754278985611633670160*n^19+450914369794893229209113767764*n^18+ 3321766863753998854430295104640*n^17+20390330199721128110631305714344*n^16+ 105212123931802872530157628428162*n^15+459062973908270779676222174636723*n^14+ 1699900746358707790796416839551544*n^13+5350958899448402713810927480185254*n^12 +14315285583216017303275472017315174*n^11+32480599384869519049347095605594508*n ^10+62248802610352966264597575011637042*n^9+ 100126633751143285478734160210135758*n^8+133930901104294557726805088092664088*n ^7+147066994015731523915551190679163277*n^6+ 130192994540441517969594296439205694*n^5+90538440782141261601083111674316964*n^ 4+47576092115771043422980268547061992*n^3+17742010928006684323048473233185536*n ^2+4180436238454466040214563353889024*n+467452282728655579578597229000320)*(n+2 )^3*X(n+1)-3*(n+3)*(6051212963207265337200*n^28+570831089529218696809200*n^27+ 25829446059475948221393600*n^26+746410737185823649583475000*n^25+ 15473017250295614240074507560*n^24+245023711010153647676641859760*n^23+ 3081899167754716531406942986680*n^22+31607082822585742574437790023600*n^21+ 269232179721420321855552303317084*n^20+1930466358254348476732070775424884*n^19+ 11766817280938790792356061646186105*n^18+61409599755839561312330839942834568*n^ 17+275811499018305931838391207486839780*n^16+ 1069701927209985973800367875895711694*n^15+ 3589359176334860041998982229663349712*n^14+ 10425832029197918151635210437509703030*n^13+ 26194079442453198190821485095048823714*n^12+ 56801408814268498597119024811892562798*n^11+ 105924515692393166269580826534404208511*n^10+ 168961863951576666766651446777992193954*n^9+ 228826567071976716983897054416892874006*n^8+ 260476230260597794410979929619680895976*n^7+ 245833782978702398375380320588210340432*n^6+ 188793256982151494506979345199544204480*n^5+ 114894938316909715503648562213307600736*n^4+ 53274046556181894310572203803881938688*n^3+ 17668372422356309031800019247746662400*n^2+ 3730153321840692298823340453080322048*n+376400367023766260848380887439375360)*X (n+2)+(10535982336819081288000*n^29+1051842236625771615252000*n^28+ 50463705833239591379148000*n^27+1549215999027800456059320000*n^26+ 34187777398584906406711802400*n^25+577571021925239514440170344800*n^24+ 7768030909316463643634216221200*n^23+85394036513412132382825073289000*n^22+ 781711553836310431584298563646360*n^21+6040393924882684778502263305112200*n^20+ 39796674914845449279349128694428980*n^19+225226960806571736375161183541761830*n ^18+1100866064042980536618916860153911410*n^17+ 4664653784643703544798521790755856390*n^16+ 17174761236177571699191654415165370720*n^15+ 55006048995896657660174919377848355100*n^14+ 153220122606024803085483792587740936140*n^13+ 370696763439676982582165639007964013660*n^12+ 776921905664654262182266124739286140260*n^11+ 1404861994312512989895825769562377476550*n^10+ 2179265899421103126602716162565284781370*n^9+ 2877709229270672967405962711718965361110*n^8+ 3201456092262826264360494010289176280200*n^7+ 2959232110816112734609725587303356168880*n^6+ 2230032802378041546732341019970871152800*n^5+ 1334019245626732350952368958904896292640*n^4+ 608962386354867857051240140342333203840*n^3+ 199111912723274493285395275712494832640*n^2+ 41496082905109374747482873805691269120*n+4138196233383540843792265694143872000) *X(n+3)+7*(n+4)*(38953186354953118800*n^28+3830396658237056682000*n^27+ 180704332723218759982800*n^26+5445185985367932125544600*n^25+ 117716375692837372475543040*n^24+1944122941515852471717261840*n^23+ 25503215778858499944173670040*n^22+272777734719341224913629067120*n^21+ 2423069723816498904250459218556*n^20+18115943437868675218126280537292*n^19+ 115117472458078192342499997664399*n^18+626186547251681192735635227391834*n^17+ 2930517664093665572245290130132647*n^16+11839019536095497109237634654475250*n^ 15+41364159753456506206118755977063066*n^14+ 125049588746784789578609881905370996*n^13+326832481439166645531406270919648682* n^12+736875519863002170082745247340390760*n^11+ 1427851036119048655855818504667506419*n^10+ 2365053049728646901828632901428480882*n^9+3323645933525795590293810075597362147 *n^8+3922824423889598284013983079181554234*n^7+ 3835635670416188181548649895277334908*n^6+3049062292331714778404603290221256440 *n^5+1918936747778012416386292896866625408*n^4+ 919239686582730703988599117928736576*n^3+314640433605794450871343932696205440*n ^2+68482619756878925871812846267677440*n+7116240907793968340135915145203712)*X( n+4)+5*(n+4)*(153057706699226400*n^25+13137453158350266000*n^24+ 537539365734229238400*n^23+13953786787879731126960*n^22+ 258013125642506337192480*n^21+3616954660101051925809504*n^20+ 39947572093677826824304640*n^19+356599785714749291964999468*n^18+ 2618865897571504810987313368*n^17+16022476736810741255767882092*n^16+ 82387858893464511670565536430*n^15+358194990466872472134899867921*n^14+ 1321616976750301744197034730148*n^13+4145344219056570008597821960825*n^12+ 11051338162714420510443734779720*n^11+24991354127773155232933037670843*n^10+ 47746083464477229500368222606732*n^9+76579246042699763142589239798919*n^8+ 102172137241234218689026009569322*n^7+111946907411378520075652448763644*n^6+ 98923945203780144451973092783768*n^5+68698784764497583762748087749440*n^4+ 36066362070647766425767153289280*n^3+13443591068767310713699898687616*n^2+ 3167642308809158645747639544576*n+354368077957779082855166380032)*(n+5)^3*X(n+5 )-(n+4)*(25509617783204400*n^20+1488061037353590000*n^19+40965728392274708400*n ^18+707577151398528957000*n^17+8598515248523917254120*n^16+ 78131004392099426360600*n^15+550718546950085430079920*n^14+ 3082945361188283292137800*n^13+13918254984501115901244268*n^12+ 51163941181122427524008380*n^11+153951127826029401246194609*n^10+ 379759046747502675670860660*n^9+766443122144833587166078533*n^8+ 1258418705301258634541046380*n^7+1664070385064709071899922963*n^6+ 1744497245406355479223410380*n^5+1415466070441576828880273155*n^4+ 856452287440734306372749440*n^3+363434218885922140239059856*n^2+ 96409655318934439833274560*n+12020227668294745952693952)*(n+5)^3*(n+6)^5*X(n+6) = 0 with initial conditions 2018675 531571315 14434006901 A(1) = 105, A(2) = 9153/4, A(3) = -------, A(4) = ---------, A(5) = -----------, 12 48 16 6324382564017 A(6) = ------------- 80 B(1) = 5, B(2) = 273, B(3) = 14645, B(4) = 1025281, B(5) = 84063525, B(6) = 7242216465 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1470, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 10.8305104289257614681686960525 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 10.8240996283663833265470516290, 10.8288759003370548603649225449 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 5 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 6 k transform of, ) binomial(n, k) 5 / ----- k = 0 Theorem Number, 23 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 6, and k= the integer part of, 6 5 4 3 2 1/4 RootOf(_Z - 30 _Z + 300 _Z - 1600 _Z + 4800 _Z - 7680 _Z + 5120) n , or in floats, 0.5666606912 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 20 19 4096 (n + 3) (55384155427848192 n + 4338425508514775040 n 18 17 + 160847495467070697664 n + 3752715736482764446912 n 16 15 + 61789612123516855410713 n + 763177923233120966398823 n 14 13 + 7336414484890202458727643 n + 56204007728530172287582619 n 12 11 + 348486979323075477371954817 n + 1765957157577797839970816737 n 10 9 + 7353473513132546934876164501 n + 25203422922226226316836990081 n 8 7 + 70973293958336025132578279514 n + 163306718913437828835843511932 n 6 5 + 304017010330668445977946459772 n + 450832739324633369699628722272 n 4 3 + 520030078911095792227020778016 n + 449654516473321587818265079936 n 2 + 274166215038493973447259002048 n + 105097685037919720768468836096 n 3 5 + 19048108116484304837081828352) (n + 2) (n + 1) X(n) - 168 (n + 3) ( 25 24 1592405236861491216384 n + 136681449497277996072960 n 23 22 + 5595805340069152450526208 n + 145422974861203239554461184 n 21 20 + 2693304252651416273613611856 n + 37833930564281713517362649816 n 19 18 + 418882767784640447611405026586 n + 3749656799789751480884443358253 n 17 + 27621761873260045964637644944314 n 16 + 169546429753690852978685411301412 n 15 + 874801472535857394031617306923396 n 14 + 3816736875938134398679813303832878 n 13 + 14132414388956144535424698367487624 n 12 + 44482942225226163837364579682020812 n 11 + 118994482873409958110567779594033726 n 10 + 269967265591156178326373861625373133 n 9 + 517336502557789961578049290237366414 n 8 + 832033724235483146829045493743895712 n 7 + 1112793846999234437447710806957586916 n 6 + 1221755613079264766086475481358223408 n 5 + 1081393127698000496063034888907757536 n 4 + 751876431504890843074782079821156672 n 3 + 395010945572979540746357233251540800 n 2 + 147271334144850396800484233395445760 n + 34691145169824674765013246190571520 n 3 + 3877938943468868443861220416450560) (n + 2) X(n + 1) + 5 (n + 3) ( 28 27 6938360839534537949184 n + 654518705862758079873024 n 26 25 + 29618348463632250200044992 n + 856029132496815853066658752 n 24 23 + 17749516319134685560870375509 n + 281163330484467991982928966693 n 22 + 3537923931031655707066847259681 n 21 + 36302506390740022023954238672907 n 20 + 309418329405486537387858063945876 n 19 + 2220214548939606640519861164284518 n 18 + 13544220824763010203615560723547058 n 17 + 70752867060508713315169190613308310 n 16 + 318115607872007936989252195374088813 n 15 + 1235246792513336014394404836849854817 n 14 + 4150314167999172599229856012826595421 n 13 + 12072678127485006944277620079648628495 n 12 + 30379551457574082070690614374925575386 n 11 + 65990214323611954011288384346557629028 n 10 + 123286664641980085647901005339543718720 n 9 + 197044423675238197258462092396116669184 n 8 + 267419852036724702131053179295313169568 n 7 + 305085588841122035412272848231280420160 n 6 + 288612018982416461132742181466956575232 n 5 + 222192308912326912394209645848545842944 n 4 + 135569025724616524596148833699326150656 n 3 + 63028327207514395806110571909503156224 n 2 + 20961190329788288105406115579335467008 n + 4437910696118751533702157931727781888 n + 449118537398754776148558900386856960) X(n + 2) + ( 29 28 -34343714780808663859200 n - 3428647525617398275276800 n 27 26 - 164494042425790520235160320 n - 5049875013038600151030163200 n 25 24 - 111438688958653269703700759460 n - 1882633853042902055399257769820 n 23 - 25320113369038109222312499930060 n 22 - 278339846452390568433755927988780 n 21 - 2547923759073223922752225685105940 n 20 - 19687752346842316484077883532537900 n 19 - 129708236932120991499746921479195140 n 18 - 734057256175202177046596590104444300 n 17 - 3587828706190885877336509890951676260 n 16 - 15202083196908787231759577141897279220 n 15 - 55970555414020624494005223764512105140 n 14 - 179251676983538731076870091209709752100 n 13 - 499287818158741489992978422301959313420 n 12 - 1207910351026479455865001297583513790180 n 11 - 2531466391216360774818530426873952265980 n 10 - 4577256372525763598259580179733579147620 n 9 - 7099963795266851428267228615856954471640 n 8 - 9374849910431383135436803097960709369120 n 7 - 10428771529478754999648897407884332468480 n 6 - 9638932356728887911727621328070541154880 n 5 - 7263080692623638506996259934119904224640 n 4 - 4344362194962023472160754190684733271040 n 3 - 1982906964470517576794663405503427758080 n 2 - 648260470480964099287046061089145139200 n - 135079978620241305661374145607514439680 n - 13468404985652004857162595611228897280) X(n + 3) - 2 (n + 4) ( 28 27 368027712818051235840 n + 36189391760441704857600 n 26 25 + 1707284043592381810837440 n + 51445717500974005312969600 n 24 23 + 1112172702113292569499443629 n + 18367810261026390110030024470 n 22 21 + 240949657511521047665214088913 n + 2577135871059467798061704901265 n 20 + 22892360549728391001944096535972 n 19 + 171151631120176406557114973436649 n 18 + 1087566465247633066892815928999666 n 17 + 5915775991937113667019321327348138 n 16 + 27685003675977608133082966070014181 n 15 + 111842515440716369754451620429577704 n 14 + 390755298894932672972790700309875597 n 13 + 1181274324415151547697905484941027125 n 12 + 3087305896078861639432120557198857498 n 11 + 6960371172609940823770145203839545305 n 10 + 13486602109511858478243971262239212512 n 9 + 22337732373200147447019887552565623584 n 8 + 31389777323495375758805933516739490816 n 7 + 37046214526272078138763025736001073968 n 6 + 36220076223620865526923482818637756096 n 5 + 28789899765387662011906396654064373504 n 4 + 18117165785097116825230103549131432704 n 3 + 8677746133252619180125633960254366720 n 2 + 2969838709543175595442377332882890752 n + 646292287503248024036761777211719680 n + 67145660387276123147993819300560896) X(n + 4) - 12 (n + 4) ( 25 24 166152466283544576 n + 14261420022670909440 n 23 22 + 583526263131321963072 n + 15147438706559725921280 n 21 20 + 280081396224362892582539 n + 3926260716767958193468882 n 19 18 + 43362892831189785711761361 n + 387078296213392723502254504 n 17 16 + 2842620606764111879109788072 n + 17390861962899636181921164244 n 15 14 + 89420751658922675132845151892 n + 388754972999870103066185923784 n 13 + 1434303248334751785434135654001 n 12 + 4498547424025193585409801084174 n 11 + 11992234289603093415920949538587 n 10 + 27117240993719989814040294938600 n 9 + 51803673807205581003606464675628 n 8 + 83080136347092273870567965088596 n 7 + 110835173042218544390972097689648 n 6 + 121425894188258566864095028509280 n 5 + 107287473442800970598439773593920 n 4 + 74496929059257448532853171829824 n 3 + 39104395419274576162362472230912 n 2 + 14573480018350392261572300365824 n + 3433191521249721805220172681216 n 3 + 383988017316882659361230979072) (n + 5) X(n + 5) + (n + 4) ( 20 19 18 55384155427848192 n + 3230742399957811200 n + 88940400336581128384 n 17 16 + 1536193642843771481920 n + 18667513325068784032281 n 15 14 + 169618974442627464999895 n + 1195545204587740714739338 n 13 12 + 6692442983210974037879600 n + 30212276056953856099603238 n 11 10 + 111055379296905886919608910 n + 334143021078202230974016928 n 9 8 + 824191663913825561706913400 n + 1663285552399819572398999273 n 7 6 + 2730703087264520528780816595 n + 3610591097974294821616205998 n 5 4 + 3784670601922952071389937920 n + 3070443467542670270198156608 n 3 2 + 1857547051849599073359301920 n + 788110005169690846032804608 n 3 + 209022568207533158465551360 n + 26054440711600812399990784) (n + 5) 5 (n + 6) X(n + 6) = 0 or in Maple format 4096*(n+3)*(55384155427848192*n^20+4338425508514775040*n^19+ 160847495467070697664*n^18+3752715736482764446912*n^17+61789612123516855410713* n^16+763177923233120966398823*n^15+7336414484890202458727643*n^14+ 56204007728530172287582619*n^13+348486979323075477371954817*n^12+ 1765957157577797839970816737*n^11+7353473513132546934876164501*n^10+ 25203422922226226316836990081*n^9+70973293958336025132578279514*n^8+ 163306718913437828835843511932*n^7+304017010330668445977946459772*n^6+ 450832739324633369699628722272*n^5+520030078911095792227020778016*n^4+ 449654516473321587818265079936*n^3+274166215038493973447259002048*n^2+ 105097685037919720768468836096*n+19048108116484304837081828352)*(n+2)^3*(n+1)^5 *X(n)-168*(n+3)*(1592405236861491216384*n^25+136681449497277996072960*n^24+ 5595805340069152450526208*n^23+145422974861203239554461184*n^22+ 2693304252651416273613611856*n^21+37833930564281713517362649816*n^20+ 418882767784640447611405026586*n^19+3749656799789751480884443358253*n^18+ 27621761873260045964637644944314*n^17+169546429753690852978685411301412*n^16+ 874801472535857394031617306923396*n^15+3816736875938134398679813303832878*n^14+ 14132414388956144535424698367487624*n^13+44482942225226163837364579682020812*n^ 12+118994482873409958110567779594033726*n^11+ 269967265591156178326373861625373133*n^10+517336502557789961578049290237366414* n^9+832033724235483146829045493743895712*n^8+ 1112793846999234437447710806957586916*n^7+1221755613079264766086475481358223408 *n^6+1081393127698000496063034888907757536*n^5+ 751876431504890843074782079821156672*n^4+395010945572979540746357233251540800*n ^3+147271334144850396800484233395445760*n^2+34691145169824674765013246190571520 *n+3877938943468868443861220416450560)*(n+2)^3*X(n+1)+5*(n+3)*( 6938360839534537949184*n^28+654518705862758079873024*n^27+ 29618348463632250200044992*n^26+856029132496815853066658752*n^25+ 17749516319134685560870375509*n^24+281163330484467991982928966693*n^23+ 3537923931031655707066847259681*n^22+36302506390740022023954238672907*n^21+ 309418329405486537387858063945876*n^20+2220214548939606640519861164284518*n^19+ 13544220824763010203615560723547058*n^18+70752867060508713315169190613308310*n^ 17+318115607872007936989252195374088813*n^16+ 1235246792513336014394404836849854817*n^15+ 4150314167999172599229856012826595421*n^14+ 12072678127485006944277620079648628495*n^13+ 30379551457574082070690614374925575386*n^12+ 65990214323611954011288384346557629028*n^11+ 123286664641980085647901005339543718720*n^10+ 197044423675238197258462092396116669184*n^9+ 267419852036724702131053179295313169568*n^8+ 305085588841122035412272848231280420160*n^7+ 288612018982416461132742181466956575232*n^6+ 222192308912326912394209645848545842944*n^5+ 135569025724616524596148833699326150656*n^4+ 63028327207514395806110571909503156224*n^3+ 20961190329788288105406115579335467008*n^2+ 4437910696118751533702157931727781888*n+449118537398754776148558900386856960)*X (n+2)+(-34343714780808663859200*n^29-3428647525617398275276800*n^28-\ 164494042425790520235160320*n^27-5049875013038600151030163200*n^26-\ 111438688958653269703700759460*n^25-1882633853042902055399257769820*n^24-\ 25320113369038109222312499930060*n^23-278339846452390568433755927988780*n^22-\ 2547923759073223922752225685105940*n^21-19687752346842316484077883532537900*n^ 20-129708236932120991499746921479195140*n^19-\ 734057256175202177046596590104444300*n^18-3587828706190885877336509890951676260 *n^17-15202083196908787231759577141897279220*n^16-\ 55970555414020624494005223764512105140*n^15-\ 179251676983538731076870091209709752100*n^14-\ 499287818158741489992978422301959313420*n^13-\ 1207910351026479455865001297583513790180*n^12-\ 2531466391216360774818530426873952265980*n^11-\ 4577256372525763598259580179733579147620*n^10-\ 7099963795266851428267228615856954471640*n^9-\ 9374849910431383135436803097960709369120*n^8-\ 10428771529478754999648897407884332468480*n^7-\ 9638932356728887911727621328070541154880*n^6-\ 7263080692623638506996259934119904224640*n^5-\ 4344362194962023472160754190684733271040*n^4-\ 1982906964470517576794663405503427758080*n^3-\ 648260470480964099287046061089145139200*n^2-\ 135079978620241305661374145607514439680*n-\ 13468404985652004857162595611228897280)*X(n+3)-2*(n+4)*(368027712818051235840*n ^28+36189391760441704857600*n^27+1707284043592381810837440*n^26+ 51445717500974005312969600*n^25+1112172702113292569499443629*n^24+ 18367810261026390110030024470*n^23+240949657511521047665214088913*n^22+ 2577135871059467798061704901265*n^21+22892360549728391001944096535972*n^20+ 171151631120176406557114973436649*n^19+1087566465247633066892815928999666*n^18+ 5915775991937113667019321327348138*n^17+27685003675977608133082966070014181*n^ 16+111842515440716369754451620429577704*n^15+ 390755298894932672972790700309875597*n^14+1181274324415151547697905484941027125 *n^13+3087305896078861639432120557198857498*n^12+ 6960371172609940823770145203839545305*n^11+ 13486602109511858478243971262239212512*n^10+ 22337732373200147447019887552565623584*n^9+ 31389777323495375758805933516739490816*n^8+ 37046214526272078138763025736001073968*n^7+ 36220076223620865526923482818637756096*n^6+ 28789899765387662011906396654064373504*n^5+ 18117165785097116825230103549131432704*n^4+ 8677746133252619180125633960254366720*n^3+2969838709543175595442377332882890752 *n^2+646292287503248024036761777211719680*n+67145660387276123147993819300560896 )*X(n+4)-12*(n+4)*(166152466283544576*n^25+14261420022670909440*n^24+ 583526263131321963072*n^23+15147438706559725921280*n^22+ 280081396224362892582539*n^21+3926260716767958193468882*n^20+ 43362892831189785711761361*n^19+387078296213392723502254504*n^18+ 2842620606764111879109788072*n^17+17390861962899636181921164244*n^16+ 89420751658922675132845151892*n^15+388754972999870103066185923784*n^14+ 1434303248334751785434135654001*n^13+4498547424025193585409801084174*n^12+ 11992234289603093415920949538587*n^11+27117240993719989814040294938600*n^10+ 51803673807205581003606464675628*n^9+83080136347092273870567965088596*n^8+ 110835173042218544390972097689648*n^7+121425894188258566864095028509280*n^6+ 107287473442800970598439773593920*n^5+74496929059257448532853171829824*n^4+ 39104395419274576162362472230912*n^3+14573480018350392261572300365824*n^2+ 3433191521249721805220172681216*n+383988017316882659361230979072)*(n+5)^3*X(n+5 )+(n+4)*(55384155427848192*n^20+3230742399957811200*n^19+88940400336581128384*n ^18+1536193642843771481920*n^17+18667513325068784032281*n^16+ 169618974442627464999895*n^15+1195545204587740714739338*n^14+ 6692442983210974037879600*n^13+30212276056953856099603238*n^12+ 111055379296905886919608910*n^11+334143021078202230974016928*n^10+ 824191663913825561706913400*n^9+1663285552399819572398999273*n^8+ 2730703087264520528780816595*n^7+3610591097974294821616205998*n^6+ 3784670601922952071389937920*n^5+3070443467542670270198156608*n^4+ 1857547051849599073359301920*n^3+788110005169690846032804608*n^2+ 209022568207533158465551360*n+26054440711600812399990784)*(n+5)^3*(n+6)^5*X(n+6 ) = 0 with initial conditions A(1) = 126, A(2) = 6141/2, A(3) = 254175, A(4) = 153818505/8, 175482856959 52643393881547 A(5) = ------------, A(6) = -------------- 100 300 B(1) = 6, B(2) = 346, B(3) = 21996, B(4) = 1699506, B(5) = 159846876, B(6) = 15549955156 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1461, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 11.1647495980794760914245765024 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 11.1593979895207454385105188138, 11.1608808500347263239455010983 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 6 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 6 k transform of, ) binomial(n, k) 6 / ----- k = 0 Theorem Number, 24 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 6, and k= the integer part of, 1/5 6 5 4 3 2 RootOf(_Z - 36 _Z + 450 _Z - 3000 _Z + 11250 _Z - 22500 _Z + 18750) n, or in floats, 0.5741067382 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 20 19 15625 (n + 3) (537307158352033476 n + 42089060737575955620 n 18 17 + 1560449969096837798232 n + 36406439277113564141076 n 16 15 + 599437077902892281161584 n + 7403689596701638822026384 n 14 13 + 71170376799211693862456274 n + 545223382428915505883885382 n 12 11 + 3380526488682188588685320532 n + 17130395459215702175833833888 n 10 9 + 71329312791854300110532585541 n + 244468070640466310163629788008 n 8 7 + 688404152322171634287090016010 n + 1583934440243811135584124749032 n 6 5 + 2948589388954013596315628323563 n + 4372337123225769592976264121394 n 4 3 + 5043206978814746452626548761948 n + 4360492899097599870731991076376 n 2 + 2658561925833898207109557797440 n + 1019060250199646844169437584640 n 3 5 + 184684202927556641046877161600) (n + 2) (n + 1) X(n) - 7 (n + 3) ( 25 24 675211339000349683883208 n + 57955639930863347866642020 n 23 22 + 2372722421888904138317038896 n + 61661454166419233665792406868 n 21 + 1141985857925228312303811386424 n 20 + 16041665832228173799756437023692 n 19 + 177603387632015350431063457472616 n 18 + 1589787134320995819503825979188268 n 17 + 11710768069990728314743346213558424 n 16 + 71879802595113775767752469858729852 n 15 + 370859528045991034480366890398292186 n 14 + 1617972425330073282103140559610668263 n 13 + 5990611901048351189546274364164963144 n 12 + 18854754759617538845679384719332050162 n 11 + 50433953649096772684472123180460061446 n 10 + 114412083640786807055263393488585695028 n 9 + 219226868096232338701046144217421800954 n 8 + 352546276003951529885629292200512822302 n 7 + 471453061494227915005160961972222854456 n 6 + 517547077392949700484734950224202133093 n 5 + 458018753637650780431076074208046032846 n 4 + 318398973048356037633020898225770939972 n 3 + 167243849268800098113986598930897391400 n 2 + 62339623908860130869233505205671700480 n + 14681055149224603183431384188031072000 n 3 + 1640659761040266152561880833407632000) (n + 2) X(n + 1) + 5 (n + 3) ( 28 27 20582625314991346365132 n + 1941627654714183673777452 n 26 25 + 87918225109150167701445168 n + 2544330707599942540561388436 n 24 23 + 52862658584820697525141227888 n + 839703332851889629073812293240 n 22 + 10603838832476413304490997631418 n 21 + 109283678721968669976581523294354 n 20 + 936348677450164556145158850044718 n 19 + 6759869988752099056869716883968922 n 18 + 41527536846377143268951817337184817 n 17 + 218653975539803445070320021655639440 n 16 + 991801758192432550342579604722399296 n 15 + 3888801230945777852753770479474093738 n 14 + 13205594441721832576036867209985478970 n 13 + 38858207738732473262378823635309505456 n 12 + 99001356528469752296748423318159360264 n 11 + 217914773025462144223797738264102422504 n 10 + 412878645739129436111111427355332043243 n 9 + 669735863287756966713875663175647381122 n 8 + 923164466413210243731619523830557918110 n 7 + 1070390283261842185394901203984174185608 n 6 + 1029750604428958026279242143203783057168 n 5 + 806633600669188165366556680912619678272 n 4 + 500999670824550980732689651450445933792 n 3 + 237196005883409217073807510209877550336 n 2 + 80354362718626121228865308751931734016 n + 17333299155365601992828181320691486720 n + 1787383192122247664439644273344281600) X(n + 2) + ( 29 28 -466894129864316193037152 n - 46611597298120899938209008 n 27 26 - 2236249455522411782120759784 n - 68651273026540736653068757656 n 25 - 1514958880965298493485075486416 n 24 - 25593319958323906295709152163696 n 23 - 344208328128890893545446283028356 n 22 - 3783773730468093836740505572398576 n 21 - 34636129237553636221943449088251224 n 20 - 267627863130591903888293017060234896 n 19 - 1763169787212576233131522334075752584 n 18 - 9978081042434399823095341786768025646 n 17 - 48768388849968599080163710247768816914 n 16 - 206632439217131305073841922575558747526 n 15 - 760751336885719679894635919506313130044 n 14 - 2436312478856053045320177628951808743636 n 13 - 6785880794054751723728938368310569608364 n 12 - 16416257365789396726165648889509286883156 n 11 - 34402842399853139092623560703245386298104 n 10 - 62202579633024868375896646261562123434406 n 9 - 96480220686857537822519878198861278443562 n 8 - 127386414792111344316320526417958638834998 n 7 - 141698673937392832110298728220579642080840 n 6 - 130958014198483384355035132141888302325680 n 5 - 98671236279857011142282811862424379756448 n 4 - 59014339796117056351143908391079126655520 n 3 - 26933330694428077823849740248494844028288 n 2 - 8804136583931561421056708527378850534400 n - 1834297545210412681872776952795728977920 n - 182863556003985675687281957739034291200) X(n + 3) - (n + 4) ( 28 27 8522228838621602962836 n + 838019169131124291345540 n 26 25 + 39534685805495505940388172 n + 1191300608007039405491098560 n 24 23 + 25753942116648255977791220268 n + 425331827824813733013432894576 n 22 + 5579501883491975988675682638414 n 21 + 59676670888005762934833803506902 n 20 + 530097159823158196317116042747814 n 19 + 3963172445449659605065012001339862 n 18 + 25183383662083879115272833045347919 n 17 + 136982652668572545313033143544074702 n 16 + 641051829765049312838262819366616479 n 15 + 2589698498109768794236596098650081542 n 14 + 9047732481974076688251514612403637504 n 13 + 27351235582454417327717288814365019042 n 12 + 71481832836597253142907415766280207984 n 11 + 161152310590650510869865858871335647782 n 10 + 312243071476977666482264054505278329179 n 9 + 517145974016414481234049652308945832482 n 8 + 726680258755754324001917489899948090283 n 7 + 857584257776839151974701219162598600042 n 6 + 838409793708121614762441478421839325852 n 5 + 666371838222054194864977103512927999032 n 4 + 419305809225144019194534307825780593536 n 3 + 200819251733279779466807403402656206656 n 2 + 68719742180118189383754288367140600960 n + 14952678086732045488003378770184385280 n + 1553240897864277123432795912385228800) X(n + 4) - 7 (n + 4) ( 25 24 3223842950112200856 n + 276713186551297240140 n 23 22 + 11322079918704775531872 n + 293901892501080281105160 n 21 20 + 5434297197406628765991624 n + 76178551436868072219435036 n 19 18 + 841326792948363578003200836 n + 7509941866022553919836189072 n 17 16 + 55150094445604201531389158508 n + 337393207315677555816017789388 n 15 + 1734760790992151082912283146390 n 14 + 7541563590779136780229645864779 n 13 + 27823296183638443580711576538792 n 12 + 87260947358750624556083270578335 n 11 + 232608427198710452342104259563344 n 10 + 525951911013827866518149827517061 n 9 + 1004693258096327263956163753857876 n 8 + 1611162531828480462387950871223777 n 7 + 2149242195579524133639384351035398 n 6 + 2354401190158493124249042250497508 n 5 + 2080054274482808054458269241480744 n 4 + 1444158024034710606521968458687424 n 3 + 757959074596446552409127212442560 n 2 + 282435400400382148601091037825920 n + 66524233647840345050895961632000 n + 7438990670388781597412473190400) 3 20 (n + 5) X(n + 5) + (n + 4) (537307158352033476 n 19 18 + 31342917570535286100 n + 862846175169781001892 n 17 16 + 14903039058974654021280 n + 181095408791282375088228 n 15 14 + 1645451706395541880241280 n + 11597494821234476923689234 n 13 12 + 64918449757329228265112250 n + 293055569088397031757001380 n 11 10 + 1077176674745065874625242100 n + 3240843961953401437743829731 n 9 8 + 7993365132112470895093551060 n + 16130242438479657434129633507 n 7 6 + 26479977465074298941548121160 n + 35009522077792877138796073123 n 5 4 + 36694036581650101361961263010 n + 29766082000978178321339855909 n 3 2 + 18005524990913451523184153760 n + 7638159834604492695050743920 n 3 + 2025440789981038859754964800 n + 252417120724000129126254400) (n + 5) 5 (n + 6) X(n + 6) = 0 or in Maple format 15625*(n+3)*(537307158352033476*n^20+42089060737575955620*n^19+ 1560449969096837798232*n^18+36406439277113564141076*n^17+ 599437077902892281161584*n^16+7403689596701638822026384*n^15+ 71170376799211693862456274*n^14+545223382428915505883885382*n^13+ 3380526488682188588685320532*n^12+17130395459215702175833833888*n^11+ 71329312791854300110532585541*n^10+244468070640466310163629788008*n^9+ 688404152322171634287090016010*n^8+1583934440243811135584124749032*n^7+ 2948589388954013596315628323563*n^6+4372337123225769592976264121394*n^5+ 5043206978814746452626548761948*n^4+4360492899097599870731991076376*n^3+ 2658561925833898207109557797440*n^2+1019060250199646844169437584640*n+ 184684202927556641046877161600)*(n+2)^3*(n+1)^5*X(n)-7*(n+3)*( 675211339000349683883208*n^25+57955639930863347866642020*n^24+ 2372722421888904138317038896*n^23+61661454166419233665792406868*n^22+ 1141985857925228312303811386424*n^21+16041665832228173799756437023692*n^20+ 177603387632015350431063457472616*n^19+1589787134320995819503825979188268*n^18+ 11710768069990728314743346213558424*n^17+71879802595113775767752469858729852*n^ 16+370859528045991034480366890398292186*n^15+ 1617972425330073282103140559610668263*n^14+ 5990611901048351189546274364164963144*n^13+ 18854754759617538845679384719332050162*n^12+ 50433953649096772684472123180460061446*n^11+ 114412083640786807055263393488585695028*n^10+ 219226868096232338701046144217421800954*n^9+ 352546276003951529885629292200512822302*n^8+ 471453061494227915005160961972222854456*n^7+ 517547077392949700484734950224202133093*n^6+ 458018753637650780431076074208046032846*n^5+ 318398973048356037633020898225770939972*n^4+ 167243849268800098113986598930897391400*n^3+ 62339623908860130869233505205671700480*n^2+ 14681055149224603183431384188031072000*n+1640659761040266152561880833407632000) *(n+2)^3*X(n+1)+5*(n+3)*(20582625314991346365132*n^28+1941627654714183673777452 *n^27+87918225109150167701445168*n^26+2544330707599942540561388436*n^25+ 52862658584820697525141227888*n^24+839703332851889629073812293240*n^23+ 10603838832476413304490997631418*n^22+109283678721968669976581523294354*n^21+ 936348677450164556145158850044718*n^20+6759869988752099056869716883968922*n^19+ 41527536846377143268951817337184817*n^18+218653975539803445070320021655639440*n ^17+991801758192432550342579604722399296*n^16+ 3888801230945777852753770479474093738*n^15+ 13205594441721832576036867209985478970*n^14+ 38858207738732473262378823635309505456*n^13+ 99001356528469752296748423318159360264*n^12+ 217914773025462144223797738264102422504*n^11+ 412878645739129436111111427355332043243*n^10+ 669735863287756966713875663175647381122*n^9+ 923164466413210243731619523830557918110*n^8+ 1070390283261842185394901203984174185608*n^7+ 1029750604428958026279242143203783057168*n^6+ 806633600669188165366556680912619678272*n^5+ 500999670824550980732689651450445933792*n^4+ 237196005883409217073807510209877550336*n^3+ 80354362718626121228865308751931734016*n^2+ 17333299155365601992828181320691486720*n+1787383192122247664439644273344281600) *X(n+2)+(-466894129864316193037152*n^29-46611597298120899938209008*n^28-\ 2236249455522411782120759784*n^27-68651273026540736653068757656*n^26-\ 1514958880965298493485075486416*n^25-25593319958323906295709152163696*n^24-\ 344208328128890893545446283028356*n^23-3783773730468093836740505572398576*n^22-\ 34636129237553636221943449088251224*n^21-267627863130591903888293017060234896*n ^20-1763169787212576233131522334075752584*n^19-\ 9978081042434399823095341786768025646*n^18-\ 48768388849968599080163710247768816914*n^17-\ 206632439217131305073841922575558747526*n^16-\ 760751336885719679894635919506313130044*n^15-\ 2436312478856053045320177628951808743636*n^14-\ 6785880794054751723728938368310569608364*n^13-\ 16416257365789396726165648889509286883156*n^12-\ 34402842399853139092623560703245386298104*n^11-\ 62202579633024868375896646261562123434406*n^10-\ 96480220686857537822519878198861278443562*n^9-\ 127386414792111344316320526417958638834998*n^8-\ 141698673937392832110298728220579642080840*n^7-\ 130958014198483384355035132141888302325680*n^6-\ 98671236279857011142282811862424379756448*n^5-\ 59014339796117056351143908391079126655520*n^4-\ 26933330694428077823849740248494844028288*n^3-\ 8804136583931561421056708527378850534400*n^2-\ 1834297545210412681872776952795728977920*n-\ 182863556003985675687281957739034291200)*X(n+3)-(n+4)*(8522228838621602962836*n ^28+838019169131124291345540*n^27+39534685805495505940388172*n^26+ 1191300608007039405491098560*n^25+25753942116648255977791220268*n^24+ 425331827824813733013432894576*n^23+5579501883491975988675682638414*n^22+ 59676670888005762934833803506902*n^21+530097159823158196317116042747814*n^20+ 3963172445449659605065012001339862*n^19+25183383662083879115272833045347919*n^ 18+136982652668572545313033143544074702*n^17+ 641051829765049312838262819366616479*n^16+2589698498109768794236596098650081542 *n^15+9047732481974076688251514612403637504*n^14+ 27351235582454417327717288814365019042*n^13+ 71481832836597253142907415766280207984*n^12+ 161152310590650510869865858871335647782*n^11+ 312243071476977666482264054505278329179*n^10+ 517145974016414481234049652308945832482*n^9+ 726680258755754324001917489899948090283*n^8+ 857584257776839151974701219162598600042*n^7+ 838409793708121614762441478421839325852*n^6+ 666371838222054194864977103512927999032*n^5+ 419305809225144019194534307825780593536*n^4+ 200819251733279779466807403402656206656*n^3+ 68719742180118189383754288367140600960*n^2+ 14952678086732045488003378770184385280*n+1553240897864277123432795912385228800) *X(n+4)-7*(n+4)*(3223842950112200856*n^25+276713186551297240140*n^24+ 11322079918704775531872*n^23+293901892501080281105160*n^22+ 5434297197406628765991624*n^21+76178551436868072219435036*n^20+ 841326792948363578003200836*n^19+7509941866022553919836189072*n^18+ 55150094445604201531389158508*n^17+337393207315677555816017789388*n^16+ 1734760790992151082912283146390*n^15+7541563590779136780229645864779*n^14+ 27823296183638443580711576538792*n^13+87260947358750624556083270578335*n^12+ 232608427198710452342104259563344*n^11+525951911013827866518149827517061*n^10+ 1004693258096327263956163753857876*n^9+1611162531828480462387950871223777*n^8+ 2149242195579524133639384351035398*n^7+2354401190158493124249042250497508*n^6+ 2080054274482808054458269241480744*n^5+1444158024034710606521968458687424*n^4+ 757959074596446552409127212442560*n^3+282435400400382148601091037825920*n^2+ 66524233647840345050895961632000*n+7438990670388781597412473190400)*(n+5)^3*X(n +5)+(n+4)*(537307158352033476*n^20+31342917570535286100*n^19+ 862846175169781001892*n^18+14903039058974654021280*n^17+ 181095408791282375088228*n^16+1645451706395541880241280*n^15+ 11597494821234476923689234*n^14+64918449757329228265112250*n^13+ 293055569088397031757001380*n^12+1077176674745065874625242100*n^11+ 3240843961953401437743829731*n^10+7993365132112470895093551060*n^9+ 16130242438479657434129633507*n^8+26479977465074298941548121160*n^7+ 35009522077792877138796073123*n^6+36694036581650101361961263010*n^5+ 29766082000978178321339855909*n^4+18005524990913451523184153760*n^3+ 7638159834604492695050743920*n^2+2025440789981038859754964800*n+ 252417120724000129126254400)*(n+5)^3*(n+6)^5*X(n+6) = 0 with initial conditions 4301605 1464544675 A(1) = 147, A(2) = 15765/4, A(3) = -------, A(4) = ----------, 12 48 3667730057341 409167735211067 A(5) = -------------, A(6) = --------------- 1200 1200 B(1) = 7, B(2) = 421, B(3) = 30835, B(4) = 2590225, B(5) = 272351527, B(6) = 29359436149 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1454, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 11.4748053988735593065190545418 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 11.4670130940320694632569635282, 11.4729565962002252336541863866 as you can see the convergence is extremely slow using the definition L is, 7 a is , 1 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 7 transform of, ) binomial(n, k) / ----- k = 0 Theorem Number, 25 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 7, and k= the integer part of, n/2, or in floats, 0.5000000000 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 8 7 6 5 4 -128 (427721 n + 9776480 n + 97373115 n + 551893883 n + 1946706314 n 3 2 2 + 4375566933 n + 6119692458 n + 4869142152 n + 1687389120) (n + 2) 6 14 13 12 (n + 1) X(n) - (15821827511 n + 504038219279 n + 7388757320392 n 11 10 9 + 66049812430419 n + 402186441422282 n + 1764446202422005 n 8 7 6 + 5750836202090468 n + 14144725417173505 n + 26380423880989287 n 5 4 3 + 37123771902845896 n + 38801484010527532 n + 29207641278240480 n 2 2 + 14968213677069888 n + 4674653721868800 n + 671258737065984) (n + 2) 16 15 14 X(n + 1) + (3244263785 n + 126062821360 n + 2283968506414 n 13 12 11 + 25606027648545 n + 198784165636833 n + 1132823172700850 n 10 9 8 + 4900968186516568 n + 16415798739266369 n + 43010799826545440 n 7 6 5 + 88420368230599884 n + 142107402452328480 n + 176624649389228512 n 4 3 2 + 166377205614902736 n + 114791322401632464 n + 54690808998655008 n 14 + 16071328274727552 n + 2193807069981696) X(n + 2) + (30368191 n 13 12 11 10 + 1088916563 n + 17971912105 n + 180879396742 n + 1239681510073 n 9 8 7 + 6117625957887 n + 22406262825083 n + 61845130443640 n 6 5 4 + 129212210111012 n + 203258395972016 n + 236869167238448 n 3 2 + 198216442561728 n + 112552666603632 n + 38805627231072 n 2 8 7 6 + 6127621340928) (n + 3) X(n + 3) - (427721 n + 6354712 n + 40913943 n 5 4 3 2 + 149008897 n + 335597294 n + 478442631 n + 421557546 n + 209877096 n 2 6 + 45209280) (n + 3) (n + 4) X(n + 4) = 0 or in Maple format -128*(427721*n^8+9776480*n^7+97373115*n^6+551893883*n^5+1946706314*n^4+ 4375566933*n^3+6119692458*n^2+4869142152*n+1687389120)*(n+2)^2*(n+1)^6*X(n)-( 15821827511*n^14+504038219279*n^13+7388757320392*n^12+66049812430419*n^11+ 402186441422282*n^10+1764446202422005*n^9+5750836202090468*n^8+ 14144725417173505*n^7+26380423880989287*n^6+37123771902845896*n^5+ 38801484010527532*n^4+29207641278240480*n^3+14968213677069888*n^2+ 4674653721868800*n+671258737065984)*(n+2)^2*X(n+1)+(3244263785*n^16+ 126062821360*n^15+2283968506414*n^14+25606027648545*n^13+198784165636833*n^12+ 1132823172700850*n^11+4900968186516568*n^10+16415798739266369*n^9+ 43010799826545440*n^8+88420368230599884*n^7+142107402452328480*n^6+ 176624649389228512*n^5+166377205614902736*n^4+114791322401632464*n^3+ 54690808998655008*n^2+16071328274727552*n+2193807069981696)*X(n+2)+(30368191*n^ 14+1088916563*n^13+17971912105*n^12+180879396742*n^11+1239681510073*n^10+ 6117625957887*n^9+22406262825083*n^8+61845130443640*n^7+129212210111012*n^6+ 203258395972016*n^5+236869167238448*n^4+198216442561728*n^3+112552666603632*n^2 +38805627231072*n+6127621340928)*(n+3)^2*X(n+3)-(427721*n^8+6354712*n^7+ 40913943*n^6+149008897*n^5+335597294*n^4+478442631*n^3+421557546*n^2+209877096* n+45209280)*(n+3)^2*(n+4)^6*X(n+4) = 0 with initial conditions 118006735 A(1) = 56, A(2) = 1015, A(3) = 552692/9, A(4) = --------- 36 B(1) = 2, B(2) = 130, B(3) = 4376, B(4) = 312706 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1261, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 11.5145384679375850553069061665 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 11.5117390278629183910295725601, 11.5131386079282517220482394977 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 2 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 7 k transform of, ) binomial(n, k) 2 / ----- k = 0 Theorem Number, 26 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 7, and k= the integer part of, 1/3 RootOf( 7 6 5 4 3 2 _Z - 14 _Z + 126 _Z - 630 _Z + 1890 _Z - 3402 _Z + 3402 _Z - 1458) n, or in floats, 0.5247350486 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 35 34 -2187 (245253704718398977577431 n + 38014324231351841524501805 n 33 32 + 2855149958789140763297021405 n + 138425113127982618855128419397 n 31 + 4869115153975525154367477639380 n 30 + 132412809449666518041790122718592 n 29 + 2896826054520000213515779055608210 n 28 + 52380524370369492310044093633289614 n 27 + 798180573403729431351578718473965830 n 26 + 10399011673756186648785670141696649070 n 25 + 117120221552763138733061480745273633978 n 24 + 1150092439170227883843347162012122320078 n 23 + 9912733516369541115350921732170836734256 n 22 + 75383387607567443063785726796791368784284 n 21 + 507837532218937405366454119250887647473520 n 20 + 3039860275740120959526975570725077169649396 n 19 + 16203172448293137162786759374345589736506327 n 18 + 77013332688314644122520207225118686907885937 n 17 + 326618516574421764456860740094747625525024545 n 16 + 1235985676462988020674129984501506313190849789 n 15 + 4170342192410612223404288648774075290876676140 n 14 + 12528272261721360609529690529055024327777438388 n 13 + 33435776624692304956661682645542711355000506926 n 12 + 79030919055580799626715039919917869183631758654 n 11 + 164770709694516323798182366650613207242191067548 n 10 + 301422707756864771615096930527650019297141176996 n 9 + 480577466243441642219669871599101756273370143704 n 8 + 662075349374894317891760384948983467905763991920 n 7 + 779463680655228532095598268462089192699691135040 n 6 + 772912281254194804653978538704740115562780225344 n 5 + 633079965349257312748861212643899766118409800832 n 4 + 416884190961707656889959043425078527577208069376 n 3 + 212085046659486017465575097147974762410492463104 n 2 + 78221063881954922590631301939873508724922359808 n + 18607515162674401540136842243087944809877331968 n 2 4 + 2143021126172635978953763051823027864065081344) (n + 3) (n + 2) 6 41 (n + 1) X(n) - (14058678115572784591671077213 n 40 + 2305623210953936673034056662932 n 39 + 183754835886847991423209094767077 n 38 + 9482863316166931224053353208570342 n 37 + 356232227645765082808871671703143780 n 36 + 10383002838849826950068548902191446248 n 35 + 244396353421726436380178599658663607508 n 34 + 4774429675655385999535768490360403515573 n 33 + 78954446205850051461434993255952789710640 n 32 + 1121749645270008303165754509423144310832377 n 31 + 13849918168988070993173947444321041816358250 n 30 + 149948353751239882823559615750519260723152272 n 29 + 1433842393583108793829248957732029276805811788 n 28 + 12179772657606061342869530931943159006811263542 n 27 + 92338763384609569454430011756729365499498976240 n 26 + 627148898310275496880324282831360023904617753942 n 25 + 3827400776500749440097698356841412113812011223173 n 24 + 21038095131873515000808506347422692257997493974310 n 23 + 104340461248553914076040335461170099992327167239937 n 22 + 467513975796546499664506259904735476892214652785766 n 21 + 1893990267333627818297860972585814538113768595845556 n 20 + 6939895398621530238740028664114248868640079600041428 n 19 + 22997522108408392193669064502109126505876287648837300 n 18 + 68886349316609750312051771153093896803657135472829601 n 17 + 186331083881887925914065755142822710011389698287022126 n 16 + 454472518596537625347032475217695564562675315828081765 n 15 + 997578931321784923148880411372928104315051503391586824 n 14 + 1965638024181842056997102202290446248493544499164881436 n 13 + 3465719559551609503781042574476908528770323428667168692 n 12 + 5446333544705074349005897282099782291521347583216589894 n 11 + 7591525613479487637427917106097402411973028357817924784 n 10 + 9329908856390894912720490562290667553718997065758197404 n 9 + 10035751620824828319881303717974942901405544962731277352 n 8 + 9361777910354352941147412194946180914929337858938868400 n 7 + 7486152900764384845807860073699232999266706906047288704 n 6 + 5055213229615347288027554047346862600398349614472851904 n 5 + 2825874571728981549254983768167116372884998420597097344 n 4 + 1272191977197263194657626882045091474795437054929850624 n 3 + 443079194004145851348289303298807656728572581217261568 n 2 + 111986739185193726374870942971582021886076185797902336 n + 18268336896066404730138367522053772221274477347594240 n 2 4 + 1443350076006415799589738968441582919447509252505600) (n + 3) (n + 2) 45 X(n + 1) - 3 (5328369480772995548499409457019 n 44 + 932464659135274220987396654978325 n 43 + 79498574043610718084288799809593250 n 42 + 4400216607136661544848785742396378596 n 41 + 177778119493774526980643581857177075984 n 40 + 5589055703155428290641536557250290721526 n 39 + 142333898627432494229683831425715001323853 n 38 + 3018103951876214107043733105755866096953351 n 37 + 54358576722182841762550911372793091610732744 n 36 + 844172239337190899670290901171462694504560006 n 35 + 11436232349377956903958293477377928661727893638 n 34 + 136406507626090529102651777506929610991075330102 n 33 + 1443172318682162057285559689079035804845624890052 n 32 + 13625854632535556406281024083593142072802318668680 n 31 + 115380025882016790557768296331380863834998665245598 n 30 + 879824217689928777634187796210097173676117763897858 n 29 + 6062076038053001785194382060082654144851376393819427 n 28 + 37844513025056894442133953571324305527134432472109321 n 27 + 214539642620486968299801288618569857876595230034412366 n 26 + 1106372204411236980560027385461336222450423199203343648 n 25 + 5197204123542462190034048371562112425665152161930467936 n 24 + 22260444660585261968380842735038040094852963952100504038 n 23 + 86988093816975018686480550026693892615586463106932844393 n 22 + 310217642468138553940495540301906627500518519095386685387 n 21 + 1009551146436600487544856653977439744759329639505918563258 n 20 + 2996921749087831900517876023996013882278262376474282974532 n 19 + 8109425885413245696376152318463530289006836443633905617522 n 18 + 19980220972848051552375942426196363913271969402863056687950 n 17 + 44757776788280171685486632850679687562363034382242949864596 n 16 + 90986458013791986104192212014890021408363522398509847825012 n 15 + 167457881557749332480353276038474644854131578895927892136900 n 14 + 278231436967872298306406780638974623323097048553613882332132 n 13 + 415875470525663173463325955507323648221391216317600344006808 n 12 + 556859605144114752194522438631917082819391679808548398530112 n 11 + 664568489296898970468820912902759956228013637565864491005696 n 10 + 702519383401321234934752222132393355540555847336198596540352 n 9 + 652851185038335372818475891486712455465070166995541997717120 n 8 + 528370707875996046495635974488094898169650847147595618306560 n 7 + 368055884501509603321605765858649906795638939085874378342400 n 6 + 217349597851646159129288737907072358520033252097461329524736 n 5 + 106650131967293421363010194200914879812387974212717777735680 n 4 + 42297399792589680801768371145877775807762042747263337791488 n 3 + 13022638928676336756969593069114647221970809774956180963328 n 2 + 2919356280976677319420424612080417401824016730728465039360 n + 423751327589955575313027603988656115155920810327756242944 n 2 + 29881732818360774838882190984812670382418752034245181440) (n + 3) 47 X(n + 2) + (4010792021899521847664266585995 n 46 + 737985732029512019970225051823080 n 45 + 66245781517074506346164736790850456 n 44 + 3866176524696487677509855608888963214 n 43 + 164946572580531331592269688381348268097 n 42 + 5484462133272708885476075788202324920174 n 41 + 147956484551615686827736469105594966273781 n 40 + 3329026488551910211796533739593990660738950 n 39 + 63733193242291304607973915039399511822342974 n 38 + 1053979738383769649885758066187751907249371598 n 37 + 15233897933959513471869567505782780411876153743 n 36 + 194245130321758000731776533829930222955643555616 n 35 + 2201506821305938155656789846712191602372278459204 n 34 + 22314910894792408533134827177583641796392893785160 n 33 + 203320394824688678409132743869504035389068154160876 n 32 + 1672265199360072804225823634634372693464648244217128 n 31 + 12459048349216569176553646365157989871381086349390899 n 30 + 84328921416128054136464533977270598012285163743899792 n 29 + 519773024037298143644984856501725311637839475675710950 n 28 + 2923047166027885999434880976396007685622089421397771582 n 27 + 15021379879907863434356772173973040772005388883978507337 n 26 + 70623115095992034893501555819940885741684267279403350382 n 25 + 304028492614701817980660376382127217373051369244659574149 n 24 + 1199069032218148007590085624591818001446715953249639617398 n 23 + 4333500804134593238941249077788989615072664181556577615808 n 22 + 14350713996928870285787791742432567934622894597297627015182 n 21 + 43530734934800247160215019312674703251683207809859065679195 n 20 + 120871626980793692848228016415703927272824597039564360595188 n 19 + 306931318404816849573898119823297994604730253466465971378866 n 18 + 711844374240145265075868556185372814238832799383595125488668 n 17 + 1505352534452988009015582234921212623538865857681588687557050 n 16 + 2896744555969411833691834818040739292983108805710535784504860 n 15 + 5059595904511799633127712707312050689437541353951963045279876 n 14 + 7997357085131578745037006974100247770741978901568869478086956 n 13 + 11398094037590440561598575204606717213744026589701386681245176 n 12 + 14584507001865685192755062173119047473125582924689585925161952 n 11 + 16667299090183585819198923888145480732820133032236091789269056 n 10 + 16905303958365583599130193196938710995968571931552326361641792 n 9 + 15102134809086730669196797963379654316018779522673327287045760 n 8 + 11770799658346469387366096337226233235062006887124442094224896 n 7 + 7909946100363545215176968465827795685987261339379945204679680 n 6 + 4513657491846679040061119166869153838660274759920059737638912 n 5 + 2143525587716865883227715845829650148902508028126828103069696 n 4 + 824020091619030832378231087795539642693145727788828993216512 n 3 + 246270709681180444638991196916086004640687072698857779396608 n 2 + 53665867625096236248161399536113100331273231779456840630272 n + 7582340281945097688335633377420889891060614117980392128512 n + 521123119231281630863600653221310419468118896514412052480) X(n + 3) + ( 47 46 -275815504624472829370287409203 n - 51577499364776419092243745520961 n 45 - 4705627554779329087887116324319141 n 44 - 279131536659532003965564040556322957 n 43 - 12104781163467354991876146958454454807 n 42 - 409119499242582862375697241065384411949 n 41 - 11219311276299241375221811300615568740917 n 40 - 256611731078312860061972599024941993035895 n 39 - 4994136214535583997441104383854695765639456 n 38 - 83959168937650176768702327040192285329437886 n 37 - 1233647445277436736095590766451865152393384642 n 36 - 15990959648864261805948613336710765100882244838 n 35 - 184240953911544245799595764217621865503993715940 n 34 - 1898442976230204855927546088802949246165463601376 n 33 - 17583737691280409868125983992247011077295807140154 n 32 - 147011694403139055091242189136468919955428531941194 n 31 - 1113355098607738242634972939012563134692390157630895 n 30 - 7659669873557022541912579197514212298516274396970777 n 29 - 47985653174433085084402252369927588135529522099556009 n 28 - 274267305808860396760779785302050593051084395457702745 n 27 - 1432391754920646633538733982922796176070372152857158895 n 26 - 6843569164958234839912985052933196866033445287195072501 n 25 - 29936478843857658870348521392381037391015783237028638201 n 24 - 119962319154631366922495206020431743089326261367038975475 n 23 - 440467754383683563730215819979481931888110231005527498106 n 22 - 1481768564173529808262252964343622018210728641419007034396 n 21 - 4565499020585155678614477712929826394240348940352810138104 n 20 - 12875154588530730210519133561027783852468369247614356744516 n 19 - 33201081728830596207063382198152483317546905413661530328470 n 18 - 78184885813450887575237802338160834811666379586396155275374 n 17 - 167858414084622023976138566638193748200312848296819111568824 n 16 - 327883317331178567403869731370811460767810336303543029458620 n 15 - 581249905827448026537153735812286888484977796944952279697412 n 14 - 932313248304354064911144648449368653176333985076431275448924 n 13 - 1348164591677171443240635062425096290474145415805218880885720 n 12 - 1749932945120139680059721647749048202182113273882755708459392 n 11 - 2028309275541378747193243305660706250742122251488451580743680 n 10 - 2086162902705409450781865777037046243993201009279353614495744 n 9 - 1889441910300807832816682369065387604775452752373151195758592 n 8 - 1492730906919595532725684068450922653484757960833042655883264 n 7 - 1016568283766728714592919781320801116700516360785825521118208 n 6 - 587736938949046623498121479941846737162787616844435334888448 n 5 - 282732079317180457286059414013379718877011172033654963681280 n 4 - 110071213666838127693762918966289044169709038121101066371072 n 3 - 33306780110165350759049122607841211402766322595714336948224 n 2 - 7346717045188112954429508927877211751384024733804510740480 n - 1050417737036603633779200865392195082664409067121896783872 n - 73037881915177924346458992739482577583249002376880979968) X(n + 4) - ( 45 44 5842188500096982044871983851 n + 1051593930017456768076957093180 n 43 + 92226861496250642492100242190823 n 42 + 5251692974684116844092871839569966 n 41 + 218309328825946134821102440136760453 n 40 + 7062188997192773325725799372724435534 n 39 + 185076351295781683973257708653950718463 n 38 + 4038775606358267739048564832115959043982 n 37 + 74865927301761730020944546831839343630420 n 36 + 1196662687617032088843524692149573533379198 n 35 + 16686619291075594430138161620916684917514008 n 34 + 204871445253785166758592149867893997232326186 n 33 + 2231196043468850890851905195539239781550017930 n 32 + 21685259689830381611783398425424903475582012472 n 31 + 189023917056351645612746582355972365382237967830 n 30 + 1483770981359152408047153677957803952363190437748 n 29 + 10523793387383453424122096639024894650986795073863 n 28 + 67627666288218600023610440610142873018218671497332 n 27 + 394625793600740596835718405899672900229567104181275 n 26 + 2094675191850889704929926810536006561291623359954374 n 25 + 10127421191646798021482247507241150749095785159615949 n 24 + 44642415306526457158495017884957794058325834615391146 n 23 + 179524738615271340141731204738522012821550206507476183 n 22 + 658782698887818253545620941514595281489658989267585114 n 21 + 2205821265275479932594575296488648979918523402336880866 n 20 + 6736482592525769549884637707257511976717770432173924546 n 19 + 18750266461073777676851992859393453162916584105137828582 n 18 + 47513282355256417526614614036198068157135217167446096130 n 17 + 109449177190414693419511510258986259636778880639794066772 n 16 + 228757670220885662507444682148538694590846549059920840160 n 15 + 432791531746405882822987880813379073072195252654622115860 n 14 + 739037537218300650157428326006618211432500428831945664772 n 13 + 1135055286268010336634435217940219992986837823991170634088 n 12 + 1561321576070502508721880124733519122681579673567448386304 n 11 + 1913691646520388605514237576746832398793014262357103463232 n 10 + 2077120555179604500659308881494772055086761406564692677248 n 9 + 1981377430069178966217969615595122583332634336117678291968 n 8 + 1645555487704333902877807652883242517545647212118225483776 n 7 + 1175904638527668844643794724418769821494079062534186981376 n 6 + 712127836263159614171527338303539847156169022951446133760 n 5 + 358220088955316904586095456962745012294794982179614550016 n 4 + 145590345708066314545153721324219840468486906927228583936 n 3 + 45917842351291255375594419421492304742879557124167073792 n 2 + 10540435465788412697732188420389197598799738707242287104 n + 1565990509962159439365138831808178696186009528989974528 n 2 + 112979665434243702133047285685173759784605308135669760) (n + 5) 41 X(n + 5) - 3 (1716775933028792843042017 n 40 39 + 272967373351578062043680703 n + 21081107503091636777962379250 n 38 + 1053691781557756001421347257720 n 37 + 38319729791857012036522978679553 n 36 + 1080765972944969116767069541475385 n 35 + 24605718253367548014575822565951518 n 34 + 464748147603329643753850092816806226 n 33 + 7427779612603671571847499650918429868 n 32 + 101954262424602710316489279200877532088 n 31 + 1215721173968891121728042487497415354264 n 30 + 12707665200665412926200478219796900705636 n 29 + 117282312854871571271990470011126487077498 n 28 + 961295681960782782479433009225165980896074 n 27 + 7030370877088287859288644838243116120425040 n 26 + 46051202461848481268744420225106649457683296 n 25 + 270994381404621331313946598604131514544892845 n 24 + 1436047781046761709524787681213871303310680275 n 23 + 6865175664593152615092972987737651764212549542 n 22 + 29646293924783669934702381866664041758159189524 n 21 + 115739362531845013369806014454004993870050320049 n 20 + 408643384073576153981821582035467653457926055897 n 19 + 1304762280669264261211071438840921356025911799810 n 18 + 3765500070714831506802042951891425393899571392182 n 17 + 9813045141489763940341250080395689725336527991030 n 16 + 23059727887524042658775391207294194153514188879238 n 15 + 48767422064175648824408949326385896534667958483008 n 14 + 92584516386301294769259810826252847619317207875312 n 13 + 157291291365693990495524384265179246683041992165268 n 12 + 238189870023487806122410871574410664917914674479508 n 11 + 319958514244088213769716362588306244528929204480800 n 10 + 378992689612972265543128393113191955064224762744120 n 9 + 392952308956018533212146216003573486524000387215376 n 8 + 353374846494269421034932689777870047803401448152640 n 7 + 272443148774079045332381062948476954374071961304576 n 6 + 177398155381563349221157615306838448685123583778432 n 5 + 95632485828365328797380290277596327503729462815488 n 4 + 41523539797846479777756781769635657004880033263616 n 3 + 13949269165134450880844791339807818298290458763264 n 2 + 3400902770330966326861939402787619230154410901504 n + 535179644190464865002059049623478363119113830400 n 2 4 + 40788970013541130054834633136320616164126752768) (n + 5) (n + 6) 35 34 X(n + 6) + (245253704718398977577431 n + 29430444566207877309291720 n 33 32 + 1708588889230625543122531480 n + 63926014884347435453327939742 n 31 + 1732394479899393624807531006556 n 30 + 36234732712634094909644842261332 n 29 + 608644865027513398024832440695510 n 28 + 8435081883511100407996918092808584 n 27 + 98336018051177529613337965973272386 n 26 + 978344090209103192924007492353696736 n 25 + 8398407708969237611929347834485403906 n 24 + 62736652379625342090916181954015854428 n 23 + 410528590021793207426442664009898384064 n 22 + 2365396321440233187052579451599920009864 n 21 + 12048319272416198773972666977949856668998 n 20 + 54412808487530448166606723765601518238712 n 19 + 218344503194741618424862839960045264015915 n 18 + 779519679018499974109515358417080652807008 n 17 + 2477533869011732247308051267211788065536110 n 16 + 7009416748670876806290652997289290372403750 n 15 + 17639002286692550605843573598467590670759388 n 14 + 39422365178088729680358110488978849324053300 n 13 + 78072341680629756950895967038236939632913276 n 12 + 136574878617982417705904945358862217954663520 n 11 + 210166153195820271978571667176361288688443268 n 10 + 282979250822673218916458434780850040050293992 n 9 + 331122975230608005336893646678094992011536992 n 8 + 333806785127109730644188932407612099671609472 n 7 + 286696031987104130448212904509396323660785216 n 6 + 206742866067695168633743052422640962771016064 n 5 + 122752034777086751345230263690745193063780352 n 4 + 58399354255163045189893997786913347765876736 n 3 + 21391138089258830339795530725754879289542656 n 2 + 5660337130652064254477674004369791531720704 n + 962540119699042605700760672072460012822528 n 2 4 6 + 78947532983048603254405081514799944859648) (n + 5) (n + 6) (n + 7) X(n + 7) = 0 or in Maple format -2187*(245253704718398977577431*n^35+38014324231351841524501805*n^34+ 2855149958789140763297021405*n^33+138425113127982618855128419397*n^32+ 4869115153975525154367477639380*n^31+132412809449666518041790122718592*n^30+ 2896826054520000213515779055608210*n^29+52380524370369492310044093633289614*n^ 28+798180573403729431351578718473965830*n^27+ 10399011673756186648785670141696649070*n^26+ 117120221552763138733061480745273633978*n^25+ 1150092439170227883843347162012122320078*n^24+ 9912733516369541115350921732170836734256*n^23+ 75383387607567443063785726796791368784284*n^22+ 507837532218937405366454119250887647473520*n^21+ 3039860275740120959526975570725077169649396*n^20+ 16203172448293137162786759374345589736506327*n^19+ 77013332688314644122520207225118686907885937*n^18+ 326618516574421764456860740094747625525024545*n^17+ 1235985676462988020674129984501506313190849789*n^16+ 4170342192410612223404288648774075290876676140*n^15+ 12528272261721360609529690529055024327777438388*n^14+ 33435776624692304956661682645542711355000506926*n^13+ 79030919055580799626715039919917869183631758654*n^12+ 164770709694516323798182366650613207242191067548*n^11+ 301422707756864771615096930527650019297141176996*n^10+ 480577466243441642219669871599101756273370143704*n^9+ 662075349374894317891760384948983467905763991920*n^8+ 779463680655228532095598268462089192699691135040*n^7+ 772912281254194804653978538704740115562780225344*n^6+ 633079965349257312748861212643899766118409800832*n^5+ 416884190961707656889959043425078527577208069376*n^4+ 212085046659486017465575097147974762410492463104*n^3+ 78221063881954922590631301939873508724922359808*n^2+ 18607515162674401540136842243087944809877331968*n+ 2143021126172635978953763051823027864065081344)*(n+3)^2*(n+2)^4*(n+1)^6*X(n)-( 14058678115572784591671077213*n^41+2305623210953936673034056662932*n^40+ 183754835886847991423209094767077*n^39+9482863316166931224053353208570342*n^38+ 356232227645765082808871671703143780*n^37+ 10383002838849826950068548902191446248*n^36+ 244396353421726436380178599658663607508*n^35+ 4774429675655385999535768490360403515573*n^34+ 78954446205850051461434993255952789710640*n^33+ 1121749645270008303165754509423144310832377*n^32+ 13849918168988070993173947444321041816358250*n^31+ 149948353751239882823559615750519260723152272*n^30+ 1433842393583108793829248957732029276805811788*n^29+ 12179772657606061342869530931943159006811263542*n^28+ 92338763384609569454430011756729365499498976240*n^27+ 627148898310275496880324282831360023904617753942*n^26+ 3827400776500749440097698356841412113812011223173*n^25+ 21038095131873515000808506347422692257997493974310*n^24+ 104340461248553914076040335461170099992327167239937*n^23+ 467513975796546499664506259904735476892214652785766*n^22+ 1893990267333627818297860972585814538113768595845556*n^21+ 6939895398621530238740028664114248868640079600041428*n^20+ 22997522108408392193669064502109126505876287648837300*n^19+ 68886349316609750312051771153093896803657135472829601*n^18+ 186331083881887925914065755142822710011389698287022126*n^17+ 454472518596537625347032475217695564562675315828081765*n^16+ 997578931321784923148880411372928104315051503391586824*n^15+ 1965638024181842056997102202290446248493544499164881436*n^14+ 3465719559551609503781042574476908528770323428667168692*n^13+ 5446333544705074349005897282099782291521347583216589894*n^12+ 7591525613479487637427917106097402411973028357817924784*n^11+ 9329908856390894912720490562290667553718997065758197404*n^10+ 10035751620824828319881303717974942901405544962731277352*n^9+ 9361777910354352941147412194946180914929337858938868400*n^8+ 7486152900764384845807860073699232999266706906047288704*n^7+ 5055213229615347288027554047346862600398349614472851904*n^6+ 2825874571728981549254983768167116372884998420597097344*n^5+ 1272191977197263194657626882045091474795437054929850624*n^4+ 443079194004145851348289303298807656728572581217261568*n^3+ 111986739185193726374870942971582021886076185797902336*n^2+ 18268336896066404730138367522053772221274477347594240*n+ 1443350076006415799589738968441582919447509252505600)*(n+3)^2*(n+2)^4*X(n+1)-3* (5328369480772995548499409457019*n^45+932464659135274220987396654978325*n^44+ 79498574043610718084288799809593250*n^43+4400216607136661544848785742396378596* n^42+177778119493774526980643581857177075984*n^41+ 5589055703155428290641536557250290721526*n^40+ 142333898627432494229683831425715001323853*n^39+ 3018103951876214107043733105755866096953351*n^38+ 54358576722182841762550911372793091610732744*n^37+ 844172239337190899670290901171462694504560006*n^36+ 11436232349377956903958293477377928661727893638*n^35+ 136406507626090529102651777506929610991075330102*n^34+ 1443172318682162057285559689079035804845624890052*n^33+ 13625854632535556406281024083593142072802318668680*n^32+ 115380025882016790557768296331380863834998665245598*n^31+ 879824217689928777634187796210097173676117763897858*n^30+ 6062076038053001785194382060082654144851376393819427*n^29+ 37844513025056894442133953571324305527134432472109321*n^28+ 214539642620486968299801288618569857876595230034412366*n^27+ 1106372204411236980560027385461336222450423199203343648*n^26+ 5197204123542462190034048371562112425665152161930467936*n^25+ 22260444660585261968380842735038040094852963952100504038*n^24+ 86988093816975018686480550026693892615586463106932844393*n^23+ 310217642468138553940495540301906627500518519095386685387*n^22+ 1009551146436600487544856653977439744759329639505918563258*n^21+ 2996921749087831900517876023996013882278262376474282974532*n^20+ 8109425885413245696376152318463530289006836443633905617522*n^19+ 19980220972848051552375942426196363913271969402863056687950*n^18+ 44757776788280171685486632850679687562363034382242949864596*n^17+ 90986458013791986104192212014890021408363522398509847825012*n^16+ 167457881557749332480353276038474644854131578895927892136900*n^15+ 278231436967872298306406780638974623323097048553613882332132*n^14+ 415875470525663173463325955507323648221391216317600344006808*n^13+ 556859605144114752194522438631917082819391679808548398530112*n^12+ 664568489296898970468820912902759956228013637565864491005696*n^11+ 702519383401321234934752222132393355540555847336198596540352*n^10+ 652851185038335372818475891486712455465070166995541997717120*n^9+ 528370707875996046495635974488094898169650847147595618306560*n^8+ 368055884501509603321605765858649906795638939085874378342400*n^7+ 217349597851646159129288737907072358520033252097461329524736*n^6+ 106650131967293421363010194200914879812387974212717777735680*n^5+ 42297399792589680801768371145877775807762042747263337791488*n^4+ 13022638928676336756969593069114647221970809774956180963328*n^3+ 2919356280976677319420424612080417401824016730728465039360*n^2+ 423751327589955575313027603988656115155920810327756242944*n+ 29881732818360774838882190984812670382418752034245181440)*(n+3)^2*X(n+2)+( 4010792021899521847664266585995*n^47+737985732029512019970225051823080*n^46+ 66245781517074506346164736790850456*n^45+3866176524696487677509855608888963214* n^44+164946572580531331592269688381348268097*n^43+ 5484462133272708885476075788202324920174*n^42+ 147956484551615686827736469105594966273781*n^41+ 3329026488551910211796533739593990660738950*n^40+ 63733193242291304607973915039399511822342974*n^39+ 1053979738383769649885758066187751907249371598*n^38+ 15233897933959513471869567505782780411876153743*n^37+ 194245130321758000731776533829930222955643555616*n^36+ 2201506821305938155656789846712191602372278459204*n^35+ 22314910894792408533134827177583641796392893785160*n^34+ 203320394824688678409132743869504035389068154160876*n^33+ 1672265199360072804225823634634372693464648244217128*n^32+ 12459048349216569176553646365157989871381086349390899*n^31+ 84328921416128054136464533977270598012285163743899792*n^30+ 519773024037298143644984856501725311637839475675710950*n^29+ 2923047166027885999434880976396007685622089421397771582*n^28+ 15021379879907863434356772173973040772005388883978507337*n^27+ 70623115095992034893501555819940885741684267279403350382*n^26+ 304028492614701817980660376382127217373051369244659574149*n^25+ 1199069032218148007590085624591818001446715953249639617398*n^24+ 4333500804134593238941249077788989615072664181556577615808*n^23+ 14350713996928870285787791742432567934622894597297627015182*n^22+ 43530734934800247160215019312674703251683207809859065679195*n^21+ 120871626980793692848228016415703927272824597039564360595188*n^20+ 306931318404816849573898119823297994604730253466465971378866*n^19+ 711844374240145265075868556185372814238832799383595125488668*n^18+ 1505352534452988009015582234921212623538865857681588687557050*n^17+ 2896744555969411833691834818040739292983108805710535784504860*n^16+ 5059595904511799633127712707312050689437541353951963045279876*n^15+ 7997357085131578745037006974100247770741978901568869478086956*n^14+ 11398094037590440561598575204606717213744026589701386681245176*n^13+ 14584507001865685192755062173119047473125582924689585925161952*n^12+ 16667299090183585819198923888145480732820133032236091789269056*n^11+ 16905303958365583599130193196938710995968571931552326361641792*n^10+ 15102134809086730669196797963379654316018779522673327287045760*n^9+ 11770799658346469387366096337226233235062006887124442094224896*n^8+ 7909946100363545215176968465827795685987261339379945204679680*n^7+ 4513657491846679040061119166869153838660274759920059737638912*n^6+ 2143525587716865883227715845829650148902508028126828103069696*n^5+ 824020091619030832378231087795539642693145727788828993216512*n^4+ 246270709681180444638991196916086004640687072698857779396608*n^3+ 53665867625096236248161399536113100331273231779456840630272*n^2+ 7582340281945097688335633377420889891060614117980392128512*n+ 521123119231281630863600653221310419468118896514412052480)*X(n+3)+(-\ 275815504624472829370287409203*n^47-51577499364776419092243745520961*n^46-\ 4705627554779329087887116324319141*n^45-279131536659532003965564040556322957*n^ 44-12104781163467354991876146958454454807*n^43-\ 409119499242582862375697241065384411949*n^42-\ 11219311276299241375221811300615568740917*n^41-\ 256611731078312860061972599024941993035895*n^40-\ 4994136214535583997441104383854695765639456*n^39-\ 83959168937650176768702327040192285329437886*n^38-\ 1233647445277436736095590766451865152393384642*n^37-\ 15990959648864261805948613336710765100882244838*n^36-\ 184240953911544245799595764217621865503993715940*n^35-\ 1898442976230204855927546088802949246165463601376*n^34-\ 17583737691280409868125983992247011077295807140154*n^33-\ 147011694403139055091242189136468919955428531941194*n^32-\ 1113355098607738242634972939012563134692390157630895*n^31-\ 7659669873557022541912579197514212298516274396970777*n^30-\ 47985653174433085084402252369927588135529522099556009*n^29-\ 274267305808860396760779785302050593051084395457702745*n^28-\ 1432391754920646633538733982922796176070372152857158895*n^27-\ 6843569164958234839912985052933196866033445287195072501*n^26-\ 29936478843857658870348521392381037391015783237028638201*n^25-\ 119962319154631366922495206020431743089326261367038975475*n^24-\ 440467754383683563730215819979481931888110231005527498106*n^23-\ 1481768564173529808262252964343622018210728641419007034396*n^22-\ 4565499020585155678614477712929826394240348940352810138104*n^21-\ 12875154588530730210519133561027783852468369247614356744516*n^20-\ 33201081728830596207063382198152483317546905413661530328470*n^19-\ 78184885813450887575237802338160834811666379586396155275374*n^18-\ 167858414084622023976138566638193748200312848296819111568824*n^17-\ 327883317331178567403869731370811460767810336303543029458620*n^16-\ 581249905827448026537153735812286888484977796944952279697412*n^15-\ 932313248304354064911144648449368653176333985076431275448924*n^14-\ 1348164591677171443240635062425096290474145415805218880885720*n^13-\ 1749932945120139680059721647749048202182113273882755708459392*n^12-\ 2028309275541378747193243305660706250742122251488451580743680*n^11-\ 2086162902705409450781865777037046243993201009279353614495744*n^10-\ 1889441910300807832816682369065387604775452752373151195758592*n^9-\ 1492730906919595532725684068450922653484757960833042655883264*n^8-\ 1016568283766728714592919781320801116700516360785825521118208*n^7-\ 587736938949046623498121479941846737162787616844435334888448*n^6-\ 282732079317180457286059414013379718877011172033654963681280*n^5-\ 110071213666838127693762918966289044169709038121101066371072*n^4-\ 33306780110165350759049122607841211402766322595714336948224*n^3-\ 7346717045188112954429508927877211751384024733804510740480*n^2-\ 1050417737036603633779200865392195082664409067121896783872*n-\ 73037881915177924346458992739482577583249002376880979968)*X(n+4)-( 5842188500096982044871983851*n^45+1051593930017456768076957093180*n^44+ 92226861496250642492100242190823*n^43+5251692974684116844092871839569966*n^42+ 218309328825946134821102440136760453*n^41+7062188997192773325725799372724435534 *n^40+185076351295781683973257708653950718463*n^39+ 4038775606358267739048564832115959043982*n^38+ 74865927301761730020944546831839343630420*n^37+ 1196662687617032088843524692149573533379198*n^36+ 16686619291075594430138161620916684917514008*n^35+ 204871445253785166758592149867893997232326186*n^34+ 2231196043468850890851905195539239781550017930*n^33+ 21685259689830381611783398425424903475582012472*n^32+ 189023917056351645612746582355972365382237967830*n^31+ 1483770981359152408047153677957803952363190437748*n^30+ 10523793387383453424122096639024894650986795073863*n^29+ 67627666288218600023610440610142873018218671497332*n^28+ 394625793600740596835718405899672900229567104181275*n^27+ 2094675191850889704929926810536006561291623359954374*n^26+ 10127421191646798021482247507241150749095785159615949*n^25+ 44642415306526457158495017884957794058325834615391146*n^24+ 179524738615271340141731204738522012821550206507476183*n^23+ 658782698887818253545620941514595281489658989267585114*n^22+ 2205821265275479932594575296488648979918523402336880866*n^21+ 6736482592525769549884637707257511976717770432173924546*n^20+ 18750266461073777676851992859393453162916584105137828582*n^19+ 47513282355256417526614614036198068157135217167446096130*n^18+ 109449177190414693419511510258986259636778880639794066772*n^17+ 228757670220885662507444682148538694590846549059920840160*n^16+ 432791531746405882822987880813379073072195252654622115860*n^15+ 739037537218300650157428326006618211432500428831945664772*n^14+ 1135055286268010336634435217940219992986837823991170634088*n^13+ 1561321576070502508721880124733519122681579673567448386304*n^12+ 1913691646520388605514237576746832398793014262357103463232*n^11+ 2077120555179604500659308881494772055086761406564692677248*n^10+ 1981377430069178966217969615595122583332634336117678291968*n^9+ 1645555487704333902877807652883242517545647212118225483776*n^8+ 1175904638527668844643794724418769821494079062534186981376*n^7+ 712127836263159614171527338303539847156169022951446133760*n^6+ 358220088955316904586095456962745012294794982179614550016*n^5+ 145590345708066314545153721324219840468486906927228583936*n^4+ 45917842351291255375594419421492304742879557124167073792*n^3+ 10540435465788412697732188420389197598799738707242287104*n^2+ 1565990509962159439365138831808178696186009528989974528*n+ 112979665434243702133047285685173759784605308135669760)*(n+5)^2*X(n+5)-3*( 1716775933028792843042017*n^41+272967373351578062043680703*n^40+ 21081107503091636777962379250*n^39+1053691781557756001421347257720*n^38+ 38319729791857012036522978679553*n^37+1080765972944969116767069541475385*n^36+ 24605718253367548014575822565951518*n^35+464748147603329643753850092816806226*n ^34+7427779612603671571847499650918429868*n^33+ 101954262424602710316489279200877532088*n^32+ 1215721173968891121728042487497415354264*n^31+ 12707665200665412926200478219796900705636*n^30+ 117282312854871571271990470011126487077498*n^29+ 961295681960782782479433009225165980896074*n^28+ 7030370877088287859288644838243116120425040*n^27+ 46051202461848481268744420225106649457683296*n^26+ 270994381404621331313946598604131514544892845*n^25+ 1436047781046761709524787681213871303310680275*n^24+ 6865175664593152615092972987737651764212549542*n^23+ 29646293924783669934702381866664041758159189524*n^22+ 115739362531845013369806014454004993870050320049*n^21+ 408643384073576153981821582035467653457926055897*n^20+ 1304762280669264261211071438840921356025911799810*n^19+ 3765500070714831506802042951891425393899571392182*n^18+ 9813045141489763940341250080395689725336527991030*n^17+ 23059727887524042658775391207294194153514188879238*n^16+ 48767422064175648824408949326385896534667958483008*n^15+ 92584516386301294769259810826252847619317207875312*n^14+ 157291291365693990495524384265179246683041992165268*n^13+ 238189870023487806122410871574410664917914674479508*n^12+ 319958514244088213769716362588306244528929204480800*n^11+ 378992689612972265543128393113191955064224762744120*n^10+ 392952308956018533212146216003573486524000387215376*n^9+ 353374846494269421034932689777870047803401448152640*n^8+ 272443148774079045332381062948476954374071961304576*n^7+ 177398155381563349221157615306838448685123583778432*n^6+ 95632485828365328797380290277596327503729462815488*n^5+ 41523539797846479777756781769635657004880033263616*n^4+ 13949269165134450880844791339807818298290458763264*n^3+ 3400902770330966326861939402787619230154410901504*n^2+ 535179644190464865002059049623478363119113830400*n+ 40788970013541130054834633136320616164126752768)*(n+5)^2*(n+6)^4*X(n+6)+( 245253704718398977577431*n^35+29430444566207877309291720*n^34+ 1708588889230625543122531480*n^33+63926014884347435453327939742*n^32+ 1732394479899393624807531006556*n^31+36234732712634094909644842261332*n^30+ 608644865027513398024832440695510*n^29+8435081883511100407996918092808584*n^28+ 98336018051177529613337965973272386*n^27+978344090209103192924007492353696736*n ^26+8398407708969237611929347834485403906*n^25+ 62736652379625342090916181954015854428*n^24+ 410528590021793207426442664009898384064*n^23+ 2365396321440233187052579451599920009864*n^22+ 12048319272416198773972666977949856668998*n^21+ 54412808487530448166606723765601518238712*n^20+ 218344503194741618424862839960045264015915*n^19+ 779519679018499974109515358417080652807008*n^18+ 2477533869011732247308051267211788065536110*n^17+ 7009416748670876806290652997289290372403750*n^16+ 17639002286692550605843573598467590670759388*n^15+ 39422365178088729680358110488978849324053300*n^14+ 78072341680629756950895967038236939632913276*n^13+ 136574878617982417705904945358862217954663520*n^12+ 210166153195820271978571667176361288688443268*n^11+ 282979250822673218916458434780850040050293992*n^10+ 331122975230608005336893646678094992011536992*n^9+ 333806785127109730644188932407612099671609472*n^8+ 286696031987104130448212904509396323660785216*n^7+ 206742866067695168633743052422640962771016064*n^6+ 122752034777086751345230263690745193063780352*n^5+ 58399354255163045189893997786913347765876736*n^4+ 21391138089258830339795530725754879289542656*n^3+ 5660337130652064254477674004369791531720704*n^2+ 962540119699042605700760672072460012822528*n+ 78947532983048603254405081514799944859648)*(n+5)^2*(n+6)^4*(n+7)^6*X(n+7) = 0 with initial conditions 334587925 295140199767 A(1) = 84, A(2) = 4179/2, A(3) = 184492, A(4) = ---------, A(5) = ------------, 24 200 47548740899219 3326461975750808 A(6) = --------------, A(7) = ---------------- 300 175 B(1) = 3, B(2) = 261, B(3) = 13131, B(4) = 1283601, B(5) = 121406283, B(6) = 13666705389, B(7) = 1609036666443 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1257, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 11.7547649748966857676404574297 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 11.7492433161604786119489447045, 11.7526322953095037381725341655 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 3 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 7 k transform of, ) binomial(n, k) 3 / ----- k = 0 Theorem Number, 27 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 7, and k= the integer part of, 1/4 RootOf( 7 6 5 4 3 2 _Z - 21 _Z + 252 _Z - 1680 _Z + 6720 _Z - 16128 _Z + 21504 _Z - 12288) n, or in floats, 0.5391558135 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 35 34 16384 (282772758425787824012 n + 43829777555997112721860 n 33 32 + 3291937205527041103052300 n + 159602200218751100237273644 n 31 30 + 5614049829180670437422909060 n + 152672016079396689794982697004 n 29 + 3340074957932349993284107177040 n 28 + 60396152548903548412364026837328 n 27 + 920338653240113325654931290857285 n 26 + 11990775280309175054350086640725715 n 25 + 135050926597209883798192056268718691 n 24 + 1326205755192959963543822682343351971 n 23 + 11431053851291383002240032166101938167 n 22 + 86933186303076269193328391947151598783 n 21 + 585672081076463887099631650512735457335 n 20 + 3505952756133854578439768068801217803287 n 19 + 18688670708928214633275330480813473795889 n 18 + 88832872379233198306454031958626335041989 n 17 + 376774802081588734244403350802969591804025 n 16 + 1425909371084059263253196941432386420101813 n 15 + 4811629304615044186242070826211808327121125 n 14 + 14456347566171053068385940327592329199423841 n 13 + 38586120444395326370819376012554814406432837 n 12 + 91216807336011607079367560614799194004862493 n 11 + 190205166139811553504893505285037921432171666 n 10 + 348008283753849024663483948619196510326840912 n 9 + 554952439066310548554965605150279671583245148 n 8 + 764692035348195968061985999024291803445993640 n 7 + 900472635785853825983765844920173240422215820 n 6 + 893119845729585157956887660427618693603484488 n 5 + 731733886589521821400532679184061153836532784 n 4 + 481987837044900601367518934637561734768766672 n 3 + 245283664655468807641560504599576590068042048 n 2 + 90496760966228888168037381230999799698300736 n + 21535862575988912103602993028840818171072256 n 2 4 6 + 2481303235428917915213758396259384011542528) (n + 3) (n + 2) (n + 1) 41 X(n) - (694513364832684236162864996 n 40 39 + 113900191832560214730709859344 n + 9077438667070987307248408871204 n 38 + 468424744819638905252865640750944 n 37 + 17595254566615913255053661053707840 n 36 + 512781447037750267832862997974130936 n 35 + 12067982175168283774258577924404365716 n 34 + 235707938759469089442493134734311923056 n 33 + 3896930413297946399770486229138404097715 n 32 + 55349564958584082945523760825902680525064 n 31 + 683147825381048126544733979726836633862365 n 30 + 7393215714922227220596747369686342369439544 n 29 + 70662675459455846194823477722748047558224256 n 28 + 599922625596271667829283401966683931056384704 n 27 + 4545433923252648679802566445901147651058193020 n 26 + 30850501649250990893684339524997846313877961824 n 25 + 188129878526889055760565288662028796842433924726 n 24 + 1033192414701416961476459033920707275571127004440 n 23 + 5119217810278079036204772132538883891396285180534 n 22 + 22912512331768907574353051741374325358032221953012 n 21 + 92710743001594547811683606207179339458771408000692 n 20 + 339251494915143471062001327257696544452730603257896 n 19 + 1122544845538246764839000346043142252313223778567260 n 18 + 3356923342992874480844552158723604739069070603064172 n 17 + 9063688302386249208023494298415760891455701601337547 n 16 + 22062663014474539352429495847439408772762699659683440 n 15 + 48321491736656172273492883472661703323172243600695073 n 14 + 94982513410709814697199469387630224177721183459076692 n 13 + 167023009790447994154379201606304052417392133078778724 n 12 + 261707543103434403147368609926341114416987197153838928 n 11 + 363618713207330017307422419121613405369330529530706828 n 10 + 445312045038554002156566017361679728300875690075940228 n 9 + 477154557765541878728955612265703101167292980378376464 n 8 + 443228976361270309658778494858599994258908300609350960 n 7 + 352786907759613238076756345715179295868283995487064048 n 6 + 237019292204242356139052711336139019732127740579846368 n 5 + 131757507695458308438552920637330822485475423427917888 n 4 + 58954972790385350643454364752020426382268148312870528 n 3 + 20395683229406974521125376404166331168886306826479616 n 2 + 5117176456783556703702508260756914114276128353687552 n + 828053101388587699262655270786310516791133130833920 n 2 4 + 64845762589195834971825290576134775932079800320000) (n + 3) (n + 2) 45 X(n + 1) + 4 (14220506007536066865620130228 n 44 + 2488588551318811701483522789900 n 43 + 212168228984109418771751196369040 n 42 + 11743451283299385025855493135588992 n 41 + 474461715322642954204436429700004008 n 40 + 14916367580103771796009826355226645552 n 39 + 379870420661437997880886880805691388836 n 38 + 8054983828818737586379202303316189123812 n 37 + 145078447187423904905570441865679151467563 n 36 + 2253052873160671187275902272387022390599997 n 35 + 30523203188063010604528956254182227799888446 n 34 + 364074749024746531505537281937411392837216834 n 33 + 3851977186512709690903180196711637704075665444 n 32 + 36369828622915351496325986619621114622263283360 n 31 + 307979852785550358931030215734099903702973567476 n 30 + 2348573799805860936246747093387233504806903131836 n 29 + 16182627992907094099153192252047978069812396533314 n 28 + 101030623422168206467433565218552599809984644035302 n 27 + 572774305583836883115394876066715069467854842325972 n 26 + 2953975603315889897665623384370053163468856238573916 n 25 + 13877439135820312207005480121422602398568738018335152 n 24 + 59444544672213677670947511568618786762245565025170896 n 23 + 232317440226616833652313722755102107674659348455392916 n 22 + 828586980783062238678767017715207393584635456869223444 n 21 + 2696844804594092595861103035287692822403174518578974991 n 20 + 8006931930873203937486348206638868125607338256255771529 n 19 + 21669644564647496610486245448127144972274050400958660334 n 18 + 53400040119991358890071511403817132267252142518966009970 n 17 + 119646226627200000169641848197170207388483518216675853052 n 16 + 243280365544601112967828806396861137020599643560890917704 n 15 + 447865289398984237907708789623348217714226226485313268100 n 14 + 744341895098913842564970122067621806038785894840596485084 n 13 + 1112931220789312874376902444474249499693441219992064732056 n 12 + 1490751648698056136110243895719772264857188225478118004704 n 11 + 1779800663225298574360984773407282474666483232362876760512 n 10 + 1882267244380554357743202196576374079540224509484692522464 n 9 + 1750047706805135567125250987996443519176260185332678162880 n 8 + 1417133534947638158206676219622197483360675056569795740800 n 7 + 987752898366967679114932004178437286267941250946490054400 n 6 + 583693486703745311909293227858272140825232777372172052992 n 5 + 286622930977897642923913712003858481054085383925113338880 n 4 + 113768563649257685989354277419176507194580994632399845376 n 3 + 35059529270694790753008150896468280835147157601232244736 n 2 + 7867493274529218390117735044297514818410878493653811200 n + 1143276018104359031587194951443958876130088538503774208 n 2 + 80721732345327922719825313524728721778499302069370880) (n + 3) X(n + 2) 47 46 + (-9504262458675025392415251460 n - 1748784292396204672204406268640 n 45 - 156981286016185948526269411081192 n 44 - 9161660579302327154311684922175608 n 43 - 390877149914465293268398808676809284 n 42 - 12996823652189360639878544507322350528 n 41 - 350626908804354513537648574272589917972 n 40 - 7889301269299950704808668826749855145320 n 39 - 151042498750776576960472870963365772492383 n 38 - 2497929836285997147691251327139217796472676 n 37 - 36105716461684849410477503859980133344855976 n 36 - 460399302177832453223297362417572257185129782 n 35 - 5218275091385080073566179326381276882818299573 n 34 - 52896573215382008116194137001610672446085307230 n 33 - 481994427834916841990935605452529555471112158932 n 32 - 3964591045435458283578975808887039784333006020016 n 31 - 29540239721494265883113375051026259289235026311378 n 30 - 199961134158050055681441028686514787982871118545224 n 29 - 1232613664772890099973760826337819057047461046751620 n 28 - 6932627635250357406954646972194520260571369912829064 n 27 - 35630806038576023289651092193348742810837657924923314 n 26 - 167541264099026748350909513854500578835107523298779424 n 25 - 721363305261995243107909113804444138328976387372963168 n 24 - 2845476329422689051999536113566177083070334746368044876 n 23 - 10285546607646650176546816236282295903668306408600040551 n 22 - 34068021734329393187263188794134397157584483316783782344 n 21 - 103362286284911114155874088734931597101675077470301036260 n 20 - 287072509172911124332853524782725813977980547355835245626 n 19 - 729153059388984537233051769078457843380920482199520326277 n 18 - 1691541728936164362371254234037526570968343212392746441186 n 17 - 3578217931641154446370495078263071313877905818429322811560 n 16 - 6887813256046533331791244176725027377832889671986867329020 n 15 - 12034895010027069816121362712359523388765595840496571134852 n 14 - 19030146087998141743659982000662199001370406031664190836332 n 13 - 27133894958954060404880284114249075300554850825029272957272 n 12 - 34735409660976517697897941350934027354967576447146356498864 n 11 - 39715927306228565386837098735731298581144017023166045143472 n 10 - 40305193743018008005753343755117485739218000145833118301984 n 9 - 36027701893029324046373849055404702433242088749095045563840 n 8 - 28098822094608821311179471562405084795686585851573576349312 n 7 - 18895817122925245682198040519609222408155417072408418151680 n 6 - 10790943996099338622158502622862665479830032829706199785984 n 5 - 5128965427151340869884106328039074955811059869217770683392 n 4 - 1973531077255654562285080856338766531950388099091289688064 n 3 - 590421840807707933200536275403116430162920167451475542016 n 2 - 128805301089308248692892844723665696961756681138869469184 n - 18220980242230258287220327987757685915892638865809997824 n - 1253988910093495102200772770351457798346599584717864960) X(n + 3) + ( 47 46 636118810808450069989618912 n + 118954217621180163088058736544 n 45 + 10852693313806987540816528012704 n 44 + 643768615600162704628734251705568 n 43 + 27917680467359827062692906770570688 n 42 + 943571335690463111534773547772373376 n 41 + 25875795109877809305906939065174175328 n 40 + 591844810817053848631566808403519758880 n 39 + 11518516752506472694933739045745900746344 n 38 + 193646779409734630913750971660416533329784 n 37 + 2845381223808239570523238099732795995056328 n 36 + 36883540895532106680835579785600121117188792 n 35 + 424966344507708324477705894128116516209402320 n 34 + 4379030689347302772642601651479917987682537104 n 33 + 40560722552834886704377667816061184627215843936 n 32 + 339127203986979607230503944116130771159846392736 n 31 + 2568402908420953521608143210682369760014220645840 n 30 + 17670991364360788750067425694318539632953563315888 n 29 + 110709956124284407315713597311470414799347368506736 n 28 + 632815373850297306076358048709091904791730590240400 n 27 + 3305187932649024111206394249770973406600242834078880 n 26 + 15792555073795765646309305642788486738492603878075104 n 25 + 69089220249969915241774711258283607858058744226071264 n 24 + 276884827238519732084099136399731240632905714948478880 n 23 + 1016760226212326759446224415626990251859923159249786184 n 22 + 3420903874839549447643559712092595539597391249601872664 n 21 + 10541717077724554691176253688561707470989666404394767976 n 20 + 29733454443350274504111623883933137246662306411460641304 n 19 + 76687203278670216977882219791155708273647360883902240400 n 18 + 180625873897163412784535137430795676037605202969819740496 n 17 + 387879106291265004740173847677641165739759249632048157856 n 16 + 757843119549493455262813860207120947487566870497326352480 n 15 + 1343820601186649600141161593282582006034565803480635893728 n 14 + 2156113128431076258499057406750413199901107577647845338336 n 13 + 3118875924401166173978095642866061612365813351618054245760 n 12 + 4049838917148859233717241365953503065274514495663259744768 n 11 + 4696009522789630705116976404176258310685070026841901776640 n 10 + 4832151578527407211918998188670913174444039872746168925696 n 9 + 4378693017421192808235498078060232647102566670104257425408 n 8 + 3461261449872477038051369623610388298302366357949230053376 n 7 + 2358615407733617161345421247288460410502474348703723077632 n 6 + 1364582414659574532683446695824568849631923030723009871872 n 5 + 656930837884020289743590888917868997983792079109794201600 n 4 + 255965288648999132349390321701534869677734932350325260288 n 3 + 77524952900866681030762112106123608889937635755804000256 n 2 + 17117752816785325400282340849758667328602039731862896640 n + 2450235616017083393988750416997477735615160098245050368 n + 170584453223779935349138223889652711752485339620442112) X(n + 4) + ( 45 44 10089049247873683772924148 n + 1816028864617263079126346640 n 43 42 + 159269517364374420681959782004 n + 9069341530904249144622350706288 n 41 + 377008064570536382403661066152544 n 40 + 12196084341951937760937432166834552 n 39 + 319621272443213368966447389927039204 n 38 + 6974919193353572573403229126540884336 n 37 + 129294350392749139861401991501393304735 n 36 + 2066685031373136557220619164868734954264 n 35 + 28819044948298243946089620154710890773969 n 34 + 353836796910092549618548233755366630392148 n 33 + 3853643004255712753531875629144495111513400 n 32 + 37455243275970632809490927288008518606328296 n 31 + 326498579550755499027199964616933441440718260 n 30 + 2563011231543292895397887665225323203234473464 n 29 + 18179330674372893417792806427887666274323292454 n 28 + 116830187556683962057272148719343298935252017056 n 27 + 681780760490949896364383909957125438934094792630 n 26 + 3619165547267392478930720164727179051756344721572 n 25 + 17499572000841834058111826212452153458968698864812 n 24 + 77146780476816814432619284842391765223811621056208 n 23 + 310271069119431231364006016180929041503060982899444 n 22 + 1138706695107557143878005032934897996050408486403412 n 21 + 3813284411997208389905340607947696545607851532727983 n 20 + 11647385021699838205433159519687501048616024885565848 n 19 + 32424775706222645840307111292237650080317255711522301 n 18 + 82180285836938857935903640161509211530155228912077720 n 17 + 189346772555354139873155246339455729700566542173181236 n 16 + 395844498102963926418509848294225495552542316596844160 n 15 + 749105768457972224107453717873711581009198309832963020 n 14 + 1279556567144013902493516501637490052990132116546048676 n 13 + 1965862733548818950021379096357654784845685910669326304 n 12 + 2705128236501979169294680974713023450515120463768498032 n 11 + 3316993778631047757105083844109036442368866079703748656 n 10 + 3601897975148100807649738841875600028158925345495549984 n 9 + 3437604261461300186511045003786326195816292189200259264 n 8 + 2856567622417946239333893085461676081401669181161618048 n 7 + 2042558027189623448214304064005982037517909021033352448 n 6 + 1237828747326151920059143721165548814752482559285271040 n 5 + 623140729325023560287338927741071670555866017592296448 n 4 + 253477476867389824257562851388352799188923101906044928 n 3 + 80020269022990978341280850520317716048282589071835136 n 2 + 18388004300168791325689752089316629346055852322291712 n + 2735102713389874657863226438280095720963085844086784 n 2 + 197583217749724643639168384135200631789753833881600) (n + 5) X(n + 5) 41 40 + 4 (1979409308980514768084 n + 314726080127901848125356 n 39 38 + 24306140805060430355579680 n + 1214891461451013547620110160 n 37 36 + 44182313931690904610508276696 n + 1246122639857088324844085329120 n 35 + 28370657778028886527476706846276 n 34 + 535866449129868798327708341232612 n 33 + 8564557939387683271858757601941571 n 32 + 117560139686795991919691638559994101 n 31 + 1401843120094588543761960503533210218 n 30 + 14653594129363696825875520705931420462 n 29 + 135246616179083423720935845547128214696 n 28 + 1108585598941446782500327363444570353708 n 27 + 8107968672142940650481494761206213788880 n 26 + 53112900790911895630186319263459101014792 n 25 + 312570969656887825892612263989399165138990 n 24 + 1656498834000376296625942985014053511641090 n 23 + 7919776485399783657575142191601898810646584 n 22 + 34203964970411018144223197118692966718310368 n 21 + 133548287472606450080194560750327277245140468 n 20 + 471585099752611546386325145657753722174988484 n 19 + 1505959739939758812893617265763603043521141480 n 18 + 4346902657555131853256729765515837429612099304 n 17 + 11330427032189836646708953970643185997803741195 n 16 + 26631336286488566497028844672947897524267351941 n 15 + 56334858310538073309873024328313718077277864606 n 14 + 106981361612083943731967193473122005494315796994 n 13 + 181807611890396137050189139238345571312478163796 n 12 + 275413545660771156372597920113453591301344766056 n 11 + 370108639988942309196398501203047051084294287780 n 10 + 438592281277510845498261749203812382754396658540 n 9 + 454975523833521031852385804248563783154697308072 n 8 + 409381255625008357996105424982317610416275716640 n 7 + 315821290868075068446033585916954664848999287552 n 6 + 205788062485711259850340985496004707975020302944 n 5 + 111024331078380452095257246746513830356314838336 n 4 + 48249070620134607787407042457846225669392189312 n 3 + 16224553848115640261568540966801391155140391168 n 2 + 3959973838238492332824363725405026322468395008 n + 623922124297414842805410111888926238359900160 n 2 4 + 47617731675144028736227147280947673175392256) (n + 5) (n + 6) X(n + 6) 35 34 - (282772758425787824012 n + 33932731011094538881440 n 33 32 + 1969974559886483025796200 n + 73706029941376342765352664 n 31 30 + 1997450859435000460179424932 n + 41779205967764557441011210544 n 29 28 + 701789890331566986763191263340 n + 9726197024575850151174510467848 n 27 + 113391366935893784289044166003337 n 26 + 1128173929938783853880192994268972 n 25 + 9685061801816239514767219462561612 n 24 + 72352291401633731736382907011874446 n 23 + 473483631595414160861822856838293973 n 22 + 2728361261613568111034111451669820918 n 21 + 13898481360477165901913533521239084416 n 20 + 62775807050334702903074820385870830124 n 19 + 251937016687664949230103120239883559855 n 18 + 899590076224657258918230642355157067136 n 17 + 2859666946878666030244913858346145703360 n 16 + 8092220549247082376589780691111681472290 n 15 + 20368681220001443996383053635446535785591 n 14 + 45535414225432241594651735705287776735850 n 13 + 90206521286250798441974347321338559598872 n 12 + 157857056742690907538062833345594497237700 n 11 + 243012660591693123558911605485674379315916 n 10 + 327353192398411848854863574095317872274804 n 9 + 383241722209669110186589992864891877508664 n 8 + 386570530323782015058641289343076860946064 n 7 + 332228890585362909784402246102542090098832 n 6 + 239753069835310375836003572204411092581408 n 5 + 142468979846842692112022784760115108499264 n 4 + 67842591240627289050195852083502201313152 n 3 + 24876036108425051881335287307762475087872 n 2 + 6590200498822568090232824831223613728768 n + 1122140135731370668543278270802543067136 n 2 4 6 + 92174168131737488280695254579397001216) (n + 5) (n + 6) (n + 7) X(n + 7) = 0 or in Maple format 16384*(282772758425787824012*n^35+43829777555997112721860*n^34+ 3291937205527041103052300*n^33+159602200218751100237273644*n^32+ 5614049829180670437422909060*n^31+152672016079396689794982697004*n^30+ 3340074957932349993284107177040*n^29+60396152548903548412364026837328*n^28+ 920338653240113325654931290857285*n^27+11990775280309175054350086640725715*n^26 +135050926597209883798192056268718691*n^25+ 1326205755192959963543822682343351971*n^24+ 11431053851291383002240032166101938167*n^23+ 86933186303076269193328391947151598783*n^22+ 585672081076463887099631650512735457335*n^21+ 3505952756133854578439768068801217803287*n^20+ 18688670708928214633275330480813473795889*n^19+ 88832872379233198306454031958626335041989*n^18+ 376774802081588734244403350802969591804025*n^17+ 1425909371084059263253196941432386420101813*n^16+ 4811629304615044186242070826211808327121125*n^15+ 14456347566171053068385940327592329199423841*n^14+ 38586120444395326370819376012554814406432837*n^13+ 91216807336011607079367560614799194004862493*n^12+ 190205166139811553504893505285037921432171666*n^11+ 348008283753849024663483948619196510326840912*n^10+ 554952439066310548554965605150279671583245148*n^9+ 764692035348195968061985999024291803445993640*n^8+ 900472635785853825983765844920173240422215820*n^7+ 893119845729585157956887660427618693603484488*n^6+ 731733886589521821400532679184061153836532784*n^5+ 481987837044900601367518934637561734768766672*n^4+ 245283664655468807641560504599576590068042048*n^3+ 90496760966228888168037381230999799698300736*n^2+ 21535862575988912103602993028840818171072256*n+ 2481303235428917915213758396259384011542528)*(n+3)^2*(n+2)^4*(n+1)^6*X(n)-( 694513364832684236162864996*n^41+113900191832560214730709859344*n^40+ 9077438667070987307248408871204*n^39+468424744819638905252865640750944*n^38+ 17595254566615913255053661053707840*n^37+512781447037750267832862997974130936*n ^36+12067982175168283774258577924404365716*n^35+ 235707938759469089442493134734311923056*n^34+ 3896930413297946399770486229138404097715*n^33+ 55349564958584082945523760825902680525064*n^32+ 683147825381048126544733979726836633862365*n^31+ 7393215714922227220596747369686342369439544*n^30+ 70662675459455846194823477722748047558224256*n^29+ 599922625596271667829283401966683931056384704*n^28+ 4545433923252648679802566445901147651058193020*n^27+ 30850501649250990893684339524997846313877961824*n^26+ 188129878526889055760565288662028796842433924726*n^25+ 1033192414701416961476459033920707275571127004440*n^24+ 5119217810278079036204772132538883891396285180534*n^23+ 22912512331768907574353051741374325358032221953012*n^22+ 92710743001594547811683606207179339458771408000692*n^21+ 339251494915143471062001327257696544452730603257896*n^20+ 1122544845538246764839000346043142252313223778567260*n^19+ 3356923342992874480844552158723604739069070603064172*n^18+ 9063688302386249208023494298415760891455701601337547*n^17+ 22062663014474539352429495847439408772762699659683440*n^16+ 48321491736656172273492883472661703323172243600695073*n^15+ 94982513410709814697199469387630224177721183459076692*n^14+ 167023009790447994154379201606304052417392133078778724*n^13+ 261707543103434403147368609926341114416987197153838928*n^12+ 363618713207330017307422419121613405369330529530706828*n^11+ 445312045038554002156566017361679728300875690075940228*n^10+ 477154557765541878728955612265703101167292980378376464*n^9+ 443228976361270309658778494858599994258908300609350960*n^8+ 352786907759613238076756345715179295868283995487064048*n^7+ 237019292204242356139052711336139019732127740579846368*n^6+ 131757507695458308438552920637330822485475423427917888*n^5+ 58954972790385350643454364752020426382268148312870528*n^4+ 20395683229406974521125376404166331168886306826479616*n^3+ 5117176456783556703702508260756914114276128353687552*n^2+ 828053101388587699262655270786310516791133130833920*n+ 64845762589195834971825290576134775932079800320000)*(n+3)^2*(n+2)^4*X(n+1)+4*( 14220506007536066865620130228*n^45+2488588551318811701483522789900*n^44+ 212168228984109418771751196369040*n^43+11743451283299385025855493135588992*n^42 +474461715322642954204436429700004008*n^41+ 14916367580103771796009826355226645552*n^40+ 379870420661437997880886880805691388836*n^39+ 8054983828818737586379202303316189123812*n^38+ 145078447187423904905570441865679151467563*n^37+ 2253052873160671187275902272387022390599997*n^36+ 30523203188063010604528956254182227799888446*n^35+ 364074749024746531505537281937411392837216834*n^34+ 3851977186512709690903180196711637704075665444*n^33+ 36369828622915351496325986619621114622263283360*n^32+ 307979852785550358931030215734099903702973567476*n^31+ 2348573799805860936246747093387233504806903131836*n^30+ 16182627992907094099153192252047978069812396533314*n^29+ 101030623422168206467433565218552599809984644035302*n^28+ 572774305583836883115394876066715069467854842325972*n^27+ 2953975603315889897665623384370053163468856238573916*n^26+ 13877439135820312207005480121422602398568738018335152*n^25+ 59444544672213677670947511568618786762245565025170896*n^24+ 232317440226616833652313722755102107674659348455392916*n^23+ 828586980783062238678767017715207393584635456869223444*n^22+ 2696844804594092595861103035287692822403174518578974991*n^21+ 8006931930873203937486348206638868125607338256255771529*n^20+ 21669644564647496610486245448127144972274050400958660334*n^19+ 53400040119991358890071511403817132267252142518966009970*n^18+ 119646226627200000169641848197170207388483518216675853052*n^17+ 243280365544601112967828806396861137020599643560890917704*n^16+ 447865289398984237907708789623348217714226226485313268100*n^15+ 744341895098913842564970122067621806038785894840596485084*n^14+ 1112931220789312874376902444474249499693441219992064732056*n^13+ 1490751648698056136110243895719772264857188225478118004704*n^12+ 1779800663225298574360984773407282474666483232362876760512*n^11+ 1882267244380554357743202196576374079540224509484692522464*n^10+ 1750047706805135567125250987996443519176260185332678162880*n^9+ 1417133534947638158206676219622197483360675056569795740800*n^8+ 987752898366967679114932004178437286267941250946490054400*n^7+ 583693486703745311909293227858272140825232777372172052992*n^6+ 286622930977897642923913712003858481054085383925113338880*n^5+ 113768563649257685989354277419176507194580994632399845376*n^4+ 35059529270694790753008150896468280835147157601232244736*n^3+ 7867493274529218390117735044297514818410878493653811200*n^2+ 1143276018104359031587194951443958876130088538503774208*n+ 80721732345327922719825313524728721778499302069370880)*(n+3)^2*X(n+2)+(-\ 9504262458675025392415251460*n^47-1748784292396204672204406268640*n^46-\ 156981286016185948526269411081192*n^45-9161660579302327154311684922175608*n^44-\ 390877149914465293268398808676809284*n^43-\ 12996823652189360639878544507322350528*n^42-\ 350626908804354513537648574272589917972*n^41-\ 7889301269299950704808668826749855145320*n^40-\ 151042498750776576960472870963365772492383*n^39-\ 2497929836285997147691251327139217796472676*n^38-\ 36105716461684849410477503859980133344855976*n^37-\ 460399302177832453223297362417572257185129782*n^36-\ 5218275091385080073566179326381276882818299573*n^35-\ 52896573215382008116194137001610672446085307230*n^34-\ 481994427834916841990935605452529555471112158932*n^33-\ 3964591045435458283578975808887039784333006020016*n^32-\ 29540239721494265883113375051026259289235026311378*n^31-\ 199961134158050055681441028686514787982871118545224*n^30-\ 1232613664772890099973760826337819057047461046751620*n^29-\ 6932627635250357406954646972194520260571369912829064*n^28-\ 35630806038576023289651092193348742810837657924923314*n^27-\ 167541264099026748350909513854500578835107523298779424*n^26-\ 721363305261995243107909113804444138328976387372963168*n^25-\ 2845476329422689051999536113566177083070334746368044876*n^24-\ 10285546607646650176546816236282295903668306408600040551*n^23-\ 34068021734329393187263188794134397157584483316783782344*n^22-\ 103362286284911114155874088734931597101675077470301036260*n^21-\ 287072509172911124332853524782725813977980547355835245626*n^20-\ 729153059388984537233051769078457843380920482199520326277*n^19-\ 1691541728936164362371254234037526570968343212392746441186*n^18-\ 3578217931641154446370495078263071313877905818429322811560*n^17-\ 6887813256046533331791244176725027377832889671986867329020*n^16-\ 12034895010027069816121362712359523388765595840496571134852*n^15-\ 19030146087998141743659982000662199001370406031664190836332*n^14-\ 27133894958954060404880284114249075300554850825029272957272*n^13-\ 34735409660976517697897941350934027354967576447146356498864*n^12-\ 39715927306228565386837098735731298581144017023166045143472*n^11-\ 40305193743018008005753343755117485739218000145833118301984*n^10-\ 36027701893029324046373849055404702433242088749095045563840*n^9-\ 28098822094608821311179471562405084795686585851573576349312*n^8-\ 18895817122925245682198040519609222408155417072408418151680*n^7-\ 10790943996099338622158502622862665479830032829706199785984*n^6-\ 5128965427151340869884106328039074955811059869217770683392*n^5-\ 1973531077255654562285080856338766531950388099091289688064*n^4-\ 590421840807707933200536275403116430162920167451475542016*n^3-\ 128805301089308248692892844723665696961756681138869469184*n^2-\ 18220980242230258287220327987757685915892638865809997824*n-\ 1253988910093495102200772770351457798346599584717864960)*X(n+3)+( 636118810808450069989618912*n^47+118954217621180163088058736544*n^46+ 10852693313806987540816528012704*n^45+643768615600162704628734251705568*n^44+ 27917680467359827062692906770570688*n^43+943571335690463111534773547772373376*n ^42+25875795109877809305906939065174175328*n^41+ 591844810817053848631566808403519758880*n^40+ 11518516752506472694933739045745900746344*n^39+ 193646779409734630913750971660416533329784*n^38+ 2845381223808239570523238099732795995056328*n^37+ 36883540895532106680835579785600121117188792*n^36+ 424966344507708324477705894128116516209402320*n^35+ 4379030689347302772642601651479917987682537104*n^34+ 40560722552834886704377667816061184627215843936*n^33+ 339127203986979607230503944116130771159846392736*n^32+ 2568402908420953521608143210682369760014220645840*n^31+ 17670991364360788750067425694318539632953563315888*n^30+ 110709956124284407315713597311470414799347368506736*n^29+ 632815373850297306076358048709091904791730590240400*n^28+ 3305187932649024111206394249770973406600242834078880*n^27+ 15792555073795765646309305642788486738492603878075104*n^26+ 69089220249969915241774711258283607858058744226071264*n^25+ 276884827238519732084099136399731240632905714948478880*n^24+ 1016760226212326759446224415626990251859923159249786184*n^23+ 3420903874839549447643559712092595539597391249601872664*n^22+ 10541717077724554691176253688561707470989666404394767976*n^21+ 29733454443350274504111623883933137246662306411460641304*n^20+ 76687203278670216977882219791155708273647360883902240400*n^19+ 180625873897163412784535137430795676037605202969819740496*n^18+ 387879106291265004740173847677641165739759249632048157856*n^17+ 757843119549493455262813860207120947487566870497326352480*n^16+ 1343820601186649600141161593282582006034565803480635893728*n^15+ 2156113128431076258499057406750413199901107577647845338336*n^14+ 3118875924401166173978095642866061612365813351618054245760*n^13+ 4049838917148859233717241365953503065274514495663259744768*n^12+ 4696009522789630705116976404176258310685070026841901776640*n^11+ 4832151578527407211918998188670913174444039872746168925696*n^10+ 4378693017421192808235498078060232647102566670104257425408*n^9+ 3461261449872477038051369623610388298302366357949230053376*n^8+ 2358615407733617161345421247288460410502474348703723077632*n^7+ 1364582414659574532683446695824568849631923030723009871872*n^6+ 656930837884020289743590888917868997983792079109794201600*n^5+ 255965288648999132349390321701534869677734932350325260288*n^4+ 77524952900866681030762112106123608889937635755804000256*n^3+ 17117752816785325400282340849758667328602039731862896640*n^2+ 2450235616017083393988750416997477735615160098245050368*n+ 170584453223779935349138223889652711752485339620442112)*X(n+4)+( 10089049247873683772924148*n^45+1816028864617263079126346640*n^44+ 159269517364374420681959782004*n^43+9069341530904249144622350706288*n^42+ 377008064570536382403661066152544*n^41+12196084341951937760937432166834552*n^40 +319621272443213368966447389927039204*n^39+ 6974919193353572573403229126540884336*n^38+ 129294350392749139861401991501393304735*n^37+ 2066685031373136557220619164868734954264*n^36+ 28819044948298243946089620154710890773969*n^35+ 353836796910092549618548233755366630392148*n^34+ 3853643004255712753531875629144495111513400*n^33+ 37455243275970632809490927288008518606328296*n^32+ 326498579550755499027199964616933441440718260*n^31+ 2563011231543292895397887665225323203234473464*n^30+ 18179330674372893417792806427887666274323292454*n^29+ 116830187556683962057272148719343298935252017056*n^28+ 681780760490949896364383909957125438934094792630*n^27+ 3619165547267392478930720164727179051756344721572*n^26+ 17499572000841834058111826212452153458968698864812*n^25+ 77146780476816814432619284842391765223811621056208*n^24+ 310271069119431231364006016180929041503060982899444*n^23+ 1138706695107557143878005032934897996050408486403412*n^22+ 3813284411997208389905340607947696545607851532727983*n^21+ 11647385021699838205433159519687501048616024885565848*n^20+ 32424775706222645840307111292237650080317255711522301*n^19+ 82180285836938857935903640161509211530155228912077720*n^18+ 189346772555354139873155246339455729700566542173181236*n^17+ 395844498102963926418509848294225495552542316596844160*n^16+ 749105768457972224107453717873711581009198309832963020*n^15+ 1279556567144013902493516501637490052990132116546048676*n^14+ 1965862733548818950021379096357654784845685910669326304*n^13+ 2705128236501979169294680974713023450515120463768498032*n^12+ 3316993778631047757105083844109036442368866079703748656*n^11+ 3601897975148100807649738841875600028158925345495549984*n^10+ 3437604261461300186511045003786326195816292189200259264*n^9+ 2856567622417946239333893085461676081401669181161618048*n^8+ 2042558027189623448214304064005982037517909021033352448*n^7+ 1237828747326151920059143721165548814752482559285271040*n^6+ 623140729325023560287338927741071670555866017592296448*n^5+ 253477476867389824257562851388352799188923101906044928*n^4+ 80020269022990978341280850520317716048282589071835136*n^3+ 18388004300168791325689752089316629346055852322291712*n^2+ 2735102713389874657863226438280095720963085844086784*n+ 197583217749724643639168384135200631789753833881600)*(n+5)^2*X(n+5)+4*( 1979409308980514768084*n^41+314726080127901848125356*n^40+ 24306140805060430355579680*n^39+1214891461451013547620110160*n^38+ 44182313931690904610508276696*n^37+1246122639857088324844085329120*n^36+ 28370657778028886527476706846276*n^35+535866449129868798327708341232612*n^34+ 8564557939387683271858757601941571*n^33+117560139686795991919691638559994101*n^ 32+1401843120094588543761960503533210218*n^31+ 14653594129363696825875520705931420462*n^30+ 135246616179083423720935845547128214696*n^29+ 1108585598941446782500327363444570353708*n^28+ 8107968672142940650481494761206213788880*n^27+ 53112900790911895630186319263459101014792*n^26+ 312570969656887825892612263989399165138990*n^25+ 1656498834000376296625942985014053511641090*n^24+ 7919776485399783657575142191601898810646584*n^23+ 34203964970411018144223197118692966718310368*n^22+ 133548287472606450080194560750327277245140468*n^21+ 471585099752611546386325145657753722174988484*n^20+ 1505959739939758812893617265763603043521141480*n^19+ 4346902657555131853256729765515837429612099304*n^18+ 11330427032189836646708953970643185997803741195*n^17+ 26631336286488566497028844672947897524267351941*n^16+ 56334858310538073309873024328313718077277864606*n^15+ 106981361612083943731967193473122005494315796994*n^14+ 181807611890396137050189139238345571312478163796*n^13+ 275413545660771156372597920113453591301344766056*n^12+ 370108639988942309196398501203047051084294287780*n^11+ 438592281277510845498261749203812382754396658540*n^10+ 454975523833521031852385804248563783154697308072*n^9+ 409381255625008357996105424982317610416275716640*n^8+ 315821290868075068446033585916954664848999287552*n^7+ 205788062485711259850340985496004707975020302944*n^6+ 111024331078380452095257246746513830356314838336*n^5+ 48249070620134607787407042457846225669392189312*n^4+ 16224553848115640261568540966801391155140391168*n^3+ 3959973838238492332824363725405026322468395008*n^2+ 623922124297414842805410111888926238359900160*n+ 47617731675144028736227147280947673175392256)*(n+5)^2*(n+6)^4*X(n+6)-( 282772758425787824012*n^35+33932731011094538881440*n^34+ 1969974559886483025796200*n^33+73706029941376342765352664*n^32+ 1997450859435000460179424932*n^31+41779205967764557441011210544*n^30+ 701789890331566986763191263340*n^29+9726197024575850151174510467848*n^28+ 113391366935893784289044166003337*n^27+1128173929938783853880192994268972*n^26+ 9685061801816239514767219462561612*n^25+72352291401633731736382907011874446*n^ 24+473483631595414160861822856838293973*n^23+ 2728361261613568111034111451669820918*n^22+ 13898481360477165901913533521239084416*n^21+ 62775807050334702903074820385870830124*n^20+ 251937016687664949230103120239883559855*n^19+ 899590076224657258918230642355157067136*n^18+ 2859666946878666030244913858346145703360*n^17+ 8092220549247082376589780691111681472290*n^16+ 20368681220001443996383053635446535785591*n^15+ 45535414225432241594651735705287776735850*n^14+ 90206521286250798441974347321338559598872*n^13+ 157857056742690907538062833345594497237700*n^12+ 243012660591693123558911605485674379315916*n^11+ 327353192398411848854863574095317872274804*n^10+ 383241722209669110186589992864891877508664*n^9+ 386570530323782015058641289343076860946064*n^8+ 332228890585362909784402246102542090098832*n^7+ 239753069835310375836003572204411092581408*n^6+ 142468979846842692112022784760115108499264*n^5+ 67842591240627289050195852083502201313152*n^4+ 24876036108425051881335287307762475087872*n^3+ 6590200498822568090232824831223613728768*n^2+ 1122140135731370668543278270802543067136*n+ 92174168131737488280695254579397001216)*(n+5)^2*(n+6)^4*(n+7)^6*X(n+7) = 0 with initial conditions 1241230375 A(1) = 112, A(2) = 3283, A(3) = 3328696/9, A(4) = ----------, 36 1015738739113 136067881445692 141018592809284584 A(5) = -------------, A(6) = ---------------, A(7) = ------------------ 225 225 1575 B(1) = 4, B(2) = 394, B(3) = 26272, B(4) = 3011026, B(5) = 366562744, B(6) = 50006208736, B(7) = 7403121210496 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1252, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 12.1180129483438760442287957284 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 12.1101431675691268250830121948, 12.1147574159602051483295019157 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 4 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 7 k transform of, ) binomial(n, k) 4 / ----- k = 0 Theorem Number, 28 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 7, 7 6 5 4 and k= the integer part of, 1/5 RootOf(_Z - 28 _Z + 420 _Z - 3500 _Z 3 2 + 17500 _Z - 52500 _Z + 87500 _Z - 62500) n, or in floats, 0.5493493254 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 35 34 78125 (5248473203196666399951631 n + 813513346495483291992502805 n 33 32 + 61101397337401518959883730037 n + 2962424388635264748879274196893 n 31 + 104207395970303669446515948169516 n 30 + 2834008690299134121931841290490856 n 29 + 62004543735898345541792106490971146 n 28 + 1121266435230946729913178831223152070 n 27 + 17087823468074910441154436644512114830 n 26 + 222655709715360740305360368668744249518 n 25 + 2508073609812068361510318756376339808562 n 24 + 24633105183877723046406214629217274923398 n 23 + 212358808287735754792904017842948961480264 n 22 + 1615312080159257352271194004177153845703484 n 21 + 10884894034129826208642277510408211039662152 n 20 + 65175982106305673899907356431397738121380540 n 19 + 347524832299223789979606783923126546192503943 n 18 + 1652426867647736595751163786566233828147647385 n 17 + 7011128606869839353641977115144922687206711377 n 16 + 26544422686055754615992523381883013216782537773 n 15 + 89612365112511957377222275420804221081857500252 n 14 + 269370118652492677642476045279797074692258762636 n 13 + 719381487899443047157371207642398278143656552830 n 12 + 1701626669855941384777161764017914699204241942398 n 11 + 3550575960069747821687444156248821830620530826892 n 10 + 6501011650636332297813408888615242817686791020916 n 9 + 10375090100084690898519998422294177181278518276856 n 8 + 14308679947989519226005220526312574071349793626864 n 7 + 16865334646569289317603565385075130397338554251328 n 6 + 16744907354715198305802137496871057361010818794560 n 5 + 13734555859367910101043617500324329443462838963840 n 4 + 9057926463119624552464759546259319920921714552064 n 3 + 4615710386082622698158288310438477323313979705344 n 2 + 1705412637581357905993428544623372639765859491840 n + 406478992528926724650273901703105812688027443200 n 2 4 + 46912843219511927507217263782145296745472000000) (n + 3) (n + 2) 6 41 (n + 1) X(n) - (60406373352435066120290505555813 n 40 + 9906645229799350843727642911153332 n 39 + 789532494200482431911360475624006401 n 38 + 40743287713546301084065029549460603758 n 37 + 1530477379681212246748990193303374469276 n 36 + 44605141859841148936211998670350400355128 n 35 + 1049821134245067266722824102201547202224454 n 34 + 20506443204773604846679205406295353511357219 n 33 + 339064593350289960803674787437233100800756666 n 32 + 4816445399742704542575855810850333518560197439 n 31 + 59455166441006523260157684560371405729911169602 n 30 + 643548881970142260569314346850598587878904138336 n 29 + 6152098470392881043997834750710871552963685686728 n 28 + 52242790382488941372699066300860089559820282629066 n 27 + 395930054756070423521733624867360485384839586194812 n 26 + 2688021360140661475258974826718229434082295329797626 n 25 + 16397301970743016565345651456367528298554427242652081 n 24 + 90086198030456336269151297747478710589743278355668706 n 23 + 446542747694581306632169480938392698771029509092136397 n 22 + 1999568483621502164089957762957186480495189354969904014 n 21 + 8095086435301993182766257542511537306113672567758612068 n 20 + 29639229643565501833319215916265151426696405449731647836 n 19 + 98136539300798336602932285380408095746015092288842530686 n 18 + 293684539349286406535889369428732925517162916187088459191 n 17 + 793580046049988863856947335780801325780137120217003709200 n 16 + 1933420636110017198183825238195852584622967078174723244115 n 15 + 4238685797289654700775740321885943079166469775782091126968 n 14 + 8340661141512158102132804375508824722060258755409508555020 n 13 + 14684070941581449880600243533044477044134250408103871090880 n 12 + 23038358234841069886247396584475832931590260933222469934634 n 11 + 32055545601182911681052779828840616706281827410944154843640 n 10 + 39319215029020202794996264663276283557131441584324353254788 n 9 + 42203695621059852260245433522580795627002561187387840080408 n 8 + 39277558050762808455802970649017066752046733047809785534032 n 7 + 31328143540431570028055098440297099104804887341685139957760 n 6 + 21096016522212380136663455841194416517054002914437802550848 n 5 + 11756660354557290460674750440969961393474946518854774858880 n 4 + 5275063470882706985425789116831190545297506320238948435712 n 3 + 1830465466889486109722484473670438177062375677514204129280 n 2 + 460785588941056302103568107990904485613868964373556019200 n + 74836631531613020802836848876414716802965637360800768000 n 2 + 5884129866732590109506346211080113933131187297280000000) (n + 3) 4 45 (n + 2) X(n + 1) + 5 (483667279968538478951169007962531 n 44 + 84641773994494233816454576393442925 n 43 + 7216308176257808311846674211482303878 n 42 + 399426593440476795887066536747160729376 n 41 + 16138113439694234352519992573100332866296 n 40 + 507375320869993912872118608561322854297342 n 39 + 12921746385197443376151737503922129332362377 n 38 + 274015554925977476605591304284825110747711191 n 37 + 4935647893871815424851788324381186671029584512 n 36 + 76656667493964185568762120348901219300127115438 n 35 + 1038611637712048122161912987173335621878275034062 n 34 + 12389853175838136161392842684940851955416829298690 n 33 + 131105421956303561312914560529814524889096309622540 n 32 + 1238081584125335002491009248089982709657639877854064 n 31 + 10486053631041999496301226870685061780156355933203190 n 30 + 79981123530114027937686132023319203950922782577082850 n 29 + 551237543602045339430270421612059276501881758253643867 n 28 + 3442416542108632236930007085478147916567457380366977233 n 27 + 19522262710516826701054506413382240735836001652152126562 n 26 + 100717949278021376969919683462548468007943019205543154644 n 25 + 473348943685578401838091923508482116234577357799320741688 n 24 + 2028508237764337129509857154107961734994017588651610533854 n 23 + 7931618861470892806487500220378204118825043881801693021461 n 22 + 28304671065230786622528208517559137855345872880613513320539 n 21 + 92181347413674404763717903233021583151104880067621997128162 n 20 + 273873510450657463630994462406862381665564703171752788590332 n 19 + 741762759876606856617708901984820136170534782329047982824306 n 18 + 1829447014156772178102454085846383837929491576973360710915602 n 17 + 4102809550977126612562032435883123255022507572002796820506252 n 16 + 8350958767736500255109982236340120872367332316429188003240588 n 15 + 15391131485377875479575329183675571919056662137255608434355780 n 14 + 25611847671510482379980105574350074811630919542651668752747556 n 13 + 38347623583545944184782165729818434106101239389725823943649880 n 12 + 51444495945925243149155421578006012526992240196454091231997504 n 11 + 61522819320404556819280172545872744897177968160291936083302656 n 10 + 65185603953025640150608524837679050882769524164327571510025664 n 9 + 60730564936652614852253320537572144176296267673308131003490944 n 8 + 49288386780204462469092820667577598944485963878739269212529152 n 7 + 34439479509788776684760071597046233901936020023217175130062848 n 6 + 20406810194081300097704184623692902319773425887565322539685888 n 5 + 10050814824209708521442711255323642747939526330964214933475328 n 4 + 4002600458501683303711819656961746428561286454622589553901568 n 3 + 1237935162312686663860270967338627081471850204881930183802880 n 2 + 278904930689712713709553408007986160344501476248693096448000 n + 40707115957847945618538441548875964275272708663709728768000 n 2 + 2888001286650533584496166544734238961405644859717713920000) (n + 3) 47 X(n + 2) + (-280928511792262795327208612562929 n 46 - 51690846169776354340206384711578936 n 45 - 4640122905444328203033768836252720360 n 44 - 270809922373028392236503368460262752818 n 43 - 11554320012928515375875851223867299316889 n 42 - 384202733102419207898162579938849150760054 n 41 - 10365575353088552220409931227835076153099137 n 40 - 233248024030554611011684983492048274996502706 n 39 - 4465979170211653728982448609249834512007686328 n 38 - 73865775782546992386464079810062130348947444166 n 37 - 1067806337216640762628739853971730440246815270631 n 36 - 13618000207387994900584136007057847837436428675364 n 35 - 154375067927679847299033295992644548933578602605196 n 34 - 1565162240580382957121071064948877489698974087858228 n 33 - 14264824003858112739177193092198334851290852611838404 n 32 - 117361920801137233813142030157366452503141778853891512 n 31 - 874701849131907951911121434990995187806404516530389621 n 30 - 5922740291207450302647776825490231533728486481033829440 n 29 - 36521628672894271648524499920583807646030478561951782710 n 28 - 205486512856322866620589046175008017293299153471654951642 n 27 - 1056552202682135698275904846628048468247661974174954559409 n 26 - 4970338933127413785498287248579554714602389812707152695838 n 25 - 21411041948017391289776091068575215058272834241502348812017 n 24 - 84504657277311015739489792237088886472194321353611951748306 n 23 - 305646357540036900916684557278597346768618568428758866924134 n 22 - 1013050935741648674798713730149873163608497884185195294950390 n 21 - 3075867256094886030067704502778458420970472831764912999704355 n 20 - 8549668360263484611922710548824765896526977059476734742470032 n 19 - 21735133572623961170974223538751233781976535984042935718916042 n 18 - 50471823324030467863720861821026582410337147519725061888293208 n 17 - 106879813188104194358325295452577822016196910236820667555100426 n 16 - 205975884670063514401411673642766637906778179551937038706304804 n 15 - 360355213304347173355808994415014133609838328214174073422009884 n 14 - 570605230055615489290839838896763402092537529767445438763290476 n 13 - 814830332948756982861811392622439492348711357042446349283390488 n 12 - 1044841274147015482817845611603678219312563596529826550524679136 n 11 - 1196830087767107251059888202306847221421614071675406459814427584 n 10 - 1217003790336332691173294257919285129786139783774623936771457344 n 9 - 1090211162917875953295698713422642574979629774243100627900345472 n 8 - 852300628908221873621232436157836310772580797801578531086603776 n 7 - 574641110334557504991619694222916256516389653380098522757542912 n 6 - 329095157532329189362474546598248031944284310252297420552611840 n 5 - 156905261799056424784470588226259658213417699057638970528460800 n 4 - 60579119472134297240395574059937218075162466618480705967611904 n 3 - 18190734577512434745507109888618775743092371778095038025859072 n 2 - 3984567626065021972288873419625006784730935154907666368430080 n - 566166535196534481912806784758907318393495575726337274675200 n - 39153671725009124978018723641027163648565043280368631808000) X(n + 3) + 47 (19681433361229291216502619393985 n 46 + 3680428038549877457485989826675195 n 45 + 335783119877243207229381832532808815 n 44 + 19918523178014681960977597331257897415 n 43 + 863805925126553721551987394244169961445 n 42 + 29196109151323410251264655211548636708055 n 41 + 800684874692660004758295236203391091930895 n 40 + 18314631200859611849716556041959646215574485 n 39 + 356463048640870614946670466276517477095919040 n 38 + 5993239019485888063315512187601518889688266530 n 37 + 88070699864121631156092235759729463090211538630 n 36 + 1141747803890392629313077461642742865464112782730 n 35 + 13156679797703372726550547258376530883662060581220 n 34 + 135591442554521308836845476775234902237213232058160 n 33 + 1256121455297287422444593633740373038006420226350190 n 32 + 10504375648285921691080157841080418703613561095579910 n 31 + 79572570683484243769553990016305135697584183819926085 n 30 + 547602931116592767683365187867141265867291157867769795 n 29 + 3431699615920124876184211928536862522726701969337533595 n 28 + 19621477458315463469085255775409990448412331575154198555 n 27 + 102517650964723119712746843865163135452259354757797243485 n 26 + 490026843734798001103676916649371530994928470303083464655 n 25 + 2144675225276141863984381300131749881559157459057442891355 n 24 + 8599134127304024913962884290630425030704717538538860917145 n 23 + 31593730518486270311672684335113556349858864593034130263070 n 22 + 106359088556068648370863794291444666851798653476871585956300 n 21 + 327961870354672036889972629173097624661785940173897422963880 n 20 + 925688868968708454163801535793641813585705606549249954705220 n 19 + 2389364613969724484269924662886868190598811582869973697678170 n 18 + 5632673248780068622060831192469043101595094954933249882714490 n 17 + 12107224479548281836798023801157806463129988367456052416983560 n 16 + 23680088659689744985947926152879830998144803825781594810790620 n 15 + 42038509521327565756487733893235297658052503693462130758301980 n 14 + 67535195403626863730726932923542877224752517095650300097854980 n 13 + 97828354328048725828817371433862580760706811380885242274595240 n 12 + 127225209255971611402092738075904825527609541122516402922946560 n 11 + 147774584103814863594580935653025005428421828488834062695687680 n 10 + 152342007290230643692055883293471726270727367677638503827863040 n 9 + 138328613596219950957431327726244728095463424100398257527142400 n 8 + 109591822648773028407360467427146973992611098946341116256399360 n 7 + 74864073769623099064585836383052915778821424739007837301109760 n 6 + 43430460899480684885057876889607852395506934596293315329377280 n 5 + 20970499372269210525422575745444011910559340127605854152509440 n 4 + 8197702542771869723820019537785314830945269158850646450176000 n 3 + 2491808077036646917314230182426997600874948450019191474094080 n 2 + 552377098549534473819088493128189203408480151269939364331520 n + 79411174539924337546195230840233035195785023159416922112000 n + 5554996644613825637899124468064128253898319557842665472000) X(n + 4) + ( 45 44 249276234785825670665702714345 n + 44869722261448620719826488582100 n 43 + 3935197096026186911608922496702321 n 42 + 224086821155807411479273592425384942 n 41 + 9315407607623863258259863280769101819 n 40 + 301360728568298328372771629148262245698 n 39 + 7898083942650199318902255267838712198389 n 38 + 172365523666056828043069505343996392467834 n 37 + 3195374775685009974637017017912264489654616 n 36 + 51080373652832868884133243316294107802939134 n 35 + 712367381133889734552953738116944480392576984 n 34 + 8747420135456576436053515736625552184332862466 n 33 + 95281744645303538837161494014078297305234045206 n 32 + 926235936400458415565333935759537005412043684120 n 31 + 8075540448135413022668645314936217847580485781578 n 30 + 63406483402800223841045576179951475318557169245788 n 29 + 449848852153495811692278119268514482312110055381965 n 28 + 2891767302864634418901072276535644918615148790389164 n 27 + 16880601067304329608491387947477454415899072138131653 n 26 + 89640316211552305053039056189572373707401070757719254 n 25 + 433603376971724022635551201961586165021524272517621387 n 24 + 1912377782738833292610313890522712113761876677915086910 n 23 + 7695027512359051373876191473461932313044598196155060005 n 22 + 28256497991812591122578424436924922205546078237314059638 n 21 + 94682604472726029565951437152028261421849082342938923802 n 20 + 289396707138434834701295408497217032654558047163515471506 n 19 + 806248320418386610544592457460734985687699439912603333938 n 18 + 2045134687382734560748748259487479662332626597192032211194 n 17 + 4716435036394982234913922542421598051363617943547221520532 n 16 + 9870186911151428618571420994994743915576581823082579999448 n 15 + 18699763449904267458269883852881620626955780422866724861980 n 14 + 31981347154405178099950781446785381341523471766511661576820 n 13 + 49203046609348929059947906465328585715863588236134539446184 n 12 + 67809593406096244581948499875204793371323140753849231341440 n 11 + 83287843736872232335782363129184867379589452295394326203968 n 10 + 90610421565629493408888583515713084803470322169574187811456 n 9 + 86655496230425493169362265194886612941715487260978450854912 n 8 + 72172263352407656275468183711555718224999485029483263617024 n 7 + 51735318802369405270886644207150549144017765787030806220800 n 6 + 31439216515889024634006886395150389260439190985020593875968 n 5 + 15875172420913386119031805492533915556122015517065717983232 n 4 + 6479298117879278116503406311233675232902809135407249555456 n 3 + 2053022066735065449568642764167754520853754921849325584384 n 2 + 473693040279385264893140367038742559318351633364290928640 n + 70775862255462904445055261910984861582855379110699008000 n 2 + 5138179241798422444536986336529590823953523723436032000) (n + 5) 41 X(n + 5) + 5 (36739312422376664799661417 n 40 39 + 5841550675157889703146165303 n + 451144214214083748194970142674 n 38 + 22549935322607373815105263745544 n 37 + 820105537951860107307322147827985 n 36 + 23131360817735666881471441905430377 n 35 + 526665936910131536586060323135358134 n 34 + 9948437734082838043389903329882024010 n 33 + 159017035371612573118001462987792965708 n 32 + 2182971001331603771629189056987790579232 n 31 + 26034320494058677351850086931828241920888 n 30 + 272182897146667380139763695230650847190500 n 29 + 2512609584144647921422720458661776190906106 n 28 + 20599808438185515712148338497225353731593922 n 27 + 150701033926903098547686028364808712122749392 n 26 + 987485880745588343434483025627051678597618816 n 25 + 5813323197072918280290306273773749230486914917 n 24 + 30819963312597608282162286001331900022833178731 n 23 + 147414907839467527697505981945705349651673418614 n 22 + 636967296205054883690509195915340555902075426804 n 21 + 2488390368565381964199671959639120173288652004657 n 20 + 8792450648314525288139061011474021974279696129929 n 19 + 28097406168034057173656890268799842977014693493002 n 18 + 81165710118228308807530421867493258377948767010174 n 17 + 211748044729568530800567454451152285166496115502614 n 16 + 498185881064194348215596101619664626791056931147918 n 15 + 1054995307726908649874238171012178466676436431713200 n 14 + 2005907927394464188849079038198600578763572485719552 n 13 + 3413538884888828258847714900765206843543549495241476 n 12 + 5178865621700514226231472138730093151169156944522556 n 11 + 6971218222423997219647973788179582730535327775802624 n 10 + 8276595672736483902583576517030308501063360315908696 n 9 + 8603590193014266907105485438550417554686673119885968 n 8 + 7759245611038680024182644261630238839913071580380864 n 7 + 6001254289744242500439600133825812633425223447840768 n 6 + 3921484005838737823342290637292199944903860842459264 n 5 + 2122321494736377508784639273336537655830797462033152 n 4 + 925532378953501785255730542270301460886639398535168 n 3 + 312426065734365983945445755877134108180129870536704 n 2 + 76580403015983384029322417790887131178290093424640 n + 12122832435570356360299910650195331706895159296000 n 2 4 + 930055345355167929481612466283739917396590592000) (n + 5) (n + 6) 35 34 X(n + 6) - (5248473203196666399951631 n + 629816784383599967994195720 n 33 32 + 36564785112457103540109855112 n + 1368108006770058568423221754382 n 31 + 37078099519613604926616113942516 n 30 + 775596360714123390031536480022804 n 29 + 13029520506553138680001105520461046 n 28 + 180602225951088452959499334745511224 n 27 + 2105878386440191383445074827421282514 n 26 + 20956507996808626772158873040235480328 n 25 + 179950495398525788436985217502841148770 n 24 + 1344717618208691235052433674952871749668 n 23 + 8803079927004307132502609672267469451712 n 22 + 50746691436853516724513396270737412710960 n 21 + 258629209492076897135117479044083027480214 n 20 + 1168794735348788164536258490261608097483936 n 19 + 4693626203213514581542371440195316539005891 n 18 + 16771444854164293161341134717871852686176760 n 17 + 53357269297445086973557469256162481173413950 n 16 + 151128340713044479006819039172684504296195726 n 15 + 380797564629938114434102994156998325752084580 n 14 + 852299761134401536150621267840335968077063340 n 13 + 1690666781656240079217798240790020708900628844 n 12 + 2963011730188540480718051237346882342736420584 n 11 + 4569068565432350685410062288092632250887442180 n 10 + 6166426516571164625464314505260867086327561736 n 9 + 7234464162634759536462181692542383402688297696 n 8 + 7314555840378939413461396169410370672274884352 n 7 + 6302937695892857855969037907188373590665044032 n 6 + 4561944087809248331323795443559839795882429312 n 5 + 2719783786423083913494395934511240324550074368 n 4 + 1299896473900789868227206919964423787614128128 n 3 + 478587444663946314674582427541703479738066944 n 2 + 127365964633789534723962568628764032753623040 n + 21797098477217150884480266439422159258624000 n 2 4 6 + 1800542375642153300911398549108452708352000) (n + 5) (n + 6) (n + 7) X(n + 7) = 0 or in Maple format 78125*(5248473203196666399951631*n^35+813513346495483291992502805*n^34+ 61101397337401518959883730037*n^33+2962424388635264748879274196893*n^32+ 104207395970303669446515948169516*n^31+2834008690299134121931841290490856*n^30+ 62004543735898345541792106490971146*n^29+1121266435230946729913178831223152070* n^28+17087823468074910441154436644512114830*n^27+ 222655709715360740305360368668744249518*n^26+ 2508073609812068361510318756376339808562*n^25+ 24633105183877723046406214629217274923398*n^24+ 212358808287735754792904017842948961480264*n^23+ 1615312080159257352271194004177153845703484*n^22+ 10884894034129826208642277510408211039662152*n^21+ 65175982106305673899907356431397738121380540*n^20+ 347524832299223789979606783923126546192503943*n^19+ 1652426867647736595751163786566233828147647385*n^18+ 7011128606869839353641977115144922687206711377*n^17+ 26544422686055754615992523381883013216782537773*n^16+ 89612365112511957377222275420804221081857500252*n^15+ 269370118652492677642476045279797074692258762636*n^14+ 719381487899443047157371207642398278143656552830*n^13+ 1701626669855941384777161764017914699204241942398*n^12+ 3550575960069747821687444156248821830620530826892*n^11+ 6501011650636332297813408888615242817686791020916*n^10+ 10375090100084690898519998422294177181278518276856*n^9+ 14308679947989519226005220526312574071349793626864*n^8+ 16865334646569289317603565385075130397338554251328*n^7+ 16744907354715198305802137496871057361010818794560*n^6+ 13734555859367910101043617500324329443462838963840*n^5+ 9057926463119624552464759546259319920921714552064*n^4+ 4615710386082622698158288310438477323313979705344*n^3+ 1705412637581357905993428544623372639765859491840*n^2+ 406478992528926724650273901703105812688027443200*n+ 46912843219511927507217263782145296745472000000)*(n+3)^2*(n+2)^4*(n+1)^6*X(n)-( 60406373352435066120290505555813*n^41+9906645229799350843727642911153332*n^40+ 789532494200482431911360475624006401*n^39+ 40743287713546301084065029549460603758*n^38+ 1530477379681212246748990193303374469276*n^37+ 44605141859841148936211998670350400355128*n^36+ 1049821134245067266722824102201547202224454*n^35+ 20506443204773604846679205406295353511357219*n^34+ 339064593350289960803674787437233100800756666*n^33+ 4816445399742704542575855810850333518560197439*n^32+ 59455166441006523260157684560371405729911169602*n^31+ 643548881970142260569314346850598587878904138336*n^30+ 6152098470392881043997834750710871552963685686728*n^29+ 52242790382488941372699066300860089559820282629066*n^28+ 395930054756070423521733624867360485384839586194812*n^27+ 2688021360140661475258974826718229434082295329797626*n^26+ 16397301970743016565345651456367528298554427242652081*n^25+ 90086198030456336269151297747478710589743278355668706*n^24+ 446542747694581306632169480938392698771029509092136397*n^23+ 1999568483621502164089957762957186480495189354969904014*n^22+ 8095086435301993182766257542511537306113672567758612068*n^21+ 29639229643565501833319215916265151426696405449731647836*n^20+ 98136539300798336602932285380408095746015092288842530686*n^19+ 293684539349286406535889369428732925517162916187088459191*n^18+ 793580046049988863856947335780801325780137120217003709200*n^17+ 1933420636110017198183825238195852584622967078174723244115*n^16+ 4238685797289654700775740321885943079166469775782091126968*n^15+ 8340661141512158102132804375508824722060258755409508555020*n^14+ 14684070941581449880600243533044477044134250408103871090880*n^13+ 23038358234841069886247396584475832931590260933222469934634*n^12+ 32055545601182911681052779828840616706281827410944154843640*n^11+ 39319215029020202794996264663276283557131441584324353254788*n^10+ 42203695621059852260245433522580795627002561187387840080408*n^9+ 39277558050762808455802970649017066752046733047809785534032*n^8+ 31328143540431570028055098440297099104804887341685139957760*n^7+ 21096016522212380136663455841194416517054002914437802550848*n^6+ 11756660354557290460674750440969961393474946518854774858880*n^5+ 5275063470882706985425789116831190545297506320238948435712*n^4+ 1830465466889486109722484473670438177062375677514204129280*n^3+ 460785588941056302103568107990904485613868964373556019200*n^2+ 74836631531613020802836848876414716802965637360800768000*n+ 5884129866732590109506346211080113933131187297280000000)*(n+3)^2*(n+2)^4*X(n+1) +5*(483667279968538478951169007962531*n^45+84641773994494233816454576393442925* n^44+7216308176257808311846674211482303878*n^43+ 399426593440476795887066536747160729376*n^42+ 16138113439694234352519992573100332866296*n^41+ 507375320869993912872118608561322854297342*n^40+ 12921746385197443376151737503922129332362377*n^39+ 274015554925977476605591304284825110747711191*n^38+ 4935647893871815424851788324381186671029584512*n^37+ 76656667493964185568762120348901219300127115438*n^36+ 1038611637712048122161912987173335621878275034062*n^35+ 12389853175838136161392842684940851955416829298690*n^34+ 131105421956303561312914560529814524889096309622540*n^33+ 1238081584125335002491009248089982709657639877854064*n^32+ 10486053631041999496301226870685061780156355933203190*n^31+ 79981123530114027937686132023319203950922782577082850*n^30+ 551237543602045339430270421612059276501881758253643867*n^29+ 3442416542108632236930007085478147916567457380366977233*n^28+ 19522262710516826701054506413382240735836001652152126562*n^27+ 100717949278021376969919683462548468007943019205543154644*n^26+ 473348943685578401838091923508482116234577357799320741688*n^25+ 2028508237764337129509857154107961734994017588651610533854*n^24+ 7931618861470892806487500220378204118825043881801693021461*n^23+ 28304671065230786622528208517559137855345872880613513320539*n^22+ 92181347413674404763717903233021583151104880067621997128162*n^21+ 273873510450657463630994462406862381665564703171752788590332*n^20+ 741762759876606856617708901984820136170534782329047982824306*n^19+ 1829447014156772178102454085846383837929491576973360710915602*n^18+ 4102809550977126612562032435883123255022507572002796820506252*n^17+ 8350958767736500255109982236340120872367332316429188003240588*n^16+ 15391131485377875479575329183675571919056662137255608434355780*n^15+ 25611847671510482379980105574350074811630919542651668752747556*n^14+ 38347623583545944184782165729818434106101239389725823943649880*n^13+ 51444495945925243149155421578006012526992240196454091231997504*n^12+ 61522819320404556819280172545872744897177968160291936083302656*n^11+ 65185603953025640150608524837679050882769524164327571510025664*n^10+ 60730564936652614852253320537572144176296267673308131003490944*n^9+ 49288386780204462469092820667577598944485963878739269212529152*n^8+ 34439479509788776684760071597046233901936020023217175130062848*n^7+ 20406810194081300097704184623692902319773425887565322539685888*n^6+ 10050814824209708521442711255323642747939526330964214933475328*n^5+ 4002600458501683303711819656961746428561286454622589553901568*n^4+ 1237935162312686663860270967338627081471850204881930183802880*n^3+ 278904930689712713709553408007986160344501476248693096448000*n^2+ 40707115957847945618538441548875964275272708663709728768000*n+ 2888001286650533584496166544734238961405644859717713920000)*(n+3)^2*X(n+2)+(-\ 280928511792262795327208612562929*n^47-51690846169776354340206384711578936*n^46 -4640122905444328203033768836252720360*n^45-\ 270809922373028392236503368460262752818*n^44-\ 11554320012928515375875851223867299316889*n^43-\ 384202733102419207898162579938849150760054*n^42-\ 10365575353088552220409931227835076153099137*n^41-\ 233248024030554611011684983492048274996502706*n^40-\ 4465979170211653728982448609249834512007686328*n^39-\ 73865775782546992386464079810062130348947444166*n^38-\ 1067806337216640762628739853971730440246815270631*n^37-\ 13618000207387994900584136007057847837436428675364*n^36-\ 154375067927679847299033295992644548933578602605196*n^35-\ 1565162240580382957121071064948877489698974087858228*n^34-\ 14264824003858112739177193092198334851290852611838404*n^33-\ 117361920801137233813142030157366452503141778853891512*n^32-\ 874701849131907951911121434990995187806404516530389621*n^31-\ 5922740291207450302647776825490231533728486481033829440*n^30-\ 36521628672894271648524499920583807646030478561951782710*n^29-\ 205486512856322866620589046175008017293299153471654951642*n^28-\ 1056552202682135698275904846628048468247661974174954559409*n^27-\ 4970338933127413785498287248579554714602389812707152695838*n^26-\ 21411041948017391289776091068575215058272834241502348812017*n^25-\ 84504657277311015739489792237088886472194321353611951748306*n^24-\ 305646357540036900916684557278597346768618568428758866924134*n^23-\ 1013050935741648674798713730149873163608497884185195294950390*n^22-\ 3075867256094886030067704502778458420970472831764912999704355*n^21-\ 8549668360263484611922710548824765896526977059476734742470032*n^20-\ 21735133572623961170974223538751233781976535984042935718916042*n^19-\ 50471823324030467863720861821026582410337147519725061888293208*n^18-\ 106879813188104194358325295452577822016196910236820667555100426*n^17-\ 205975884670063514401411673642766637906778179551937038706304804*n^16-\ 360355213304347173355808994415014133609838328214174073422009884*n^15-\ 570605230055615489290839838896763402092537529767445438763290476*n^14-\ 814830332948756982861811392622439492348711357042446349283390488*n^13-\ 1044841274147015482817845611603678219312563596529826550524679136*n^12-\ 1196830087767107251059888202306847221421614071675406459814427584*n^11-\ 1217003790336332691173294257919285129786139783774623936771457344*n^10-\ 1090211162917875953295698713422642574979629774243100627900345472*n^9-\ 852300628908221873621232436157836310772580797801578531086603776*n^8-\ 574641110334557504991619694222916256516389653380098522757542912*n^7-\ 329095157532329189362474546598248031944284310252297420552611840*n^6-\ 156905261799056424784470588226259658213417699057638970528460800*n^5-\ 60579119472134297240395574059937218075162466618480705967611904*n^4-\ 18190734577512434745507109888618775743092371778095038025859072*n^3-\ 3984567626065021972288873419625006784730935154907666368430080*n^2-\ 566166535196534481912806784758907318393495575726337274675200*n-\ 39153671725009124978018723641027163648565043280368631808000)*X(n+3)+( 19681433361229291216502619393985*n^47+3680428038549877457485989826675195*n^46+ 335783119877243207229381832532808815*n^45+ 19918523178014681960977597331257897415*n^44+ 863805925126553721551987394244169961445*n^43+ 29196109151323410251264655211548636708055*n^42+ 800684874692660004758295236203391091930895*n^41+ 18314631200859611849716556041959646215574485*n^40+ 356463048640870614946670466276517477095919040*n^39+ 5993239019485888063315512187601518889688266530*n^38+ 88070699864121631156092235759729463090211538630*n^37+ 1141747803890392629313077461642742865464112782730*n^36+ 13156679797703372726550547258376530883662060581220*n^35+ 135591442554521308836845476775234902237213232058160*n^34+ 1256121455297287422444593633740373038006420226350190*n^33+ 10504375648285921691080157841080418703613561095579910*n^32+ 79572570683484243769553990016305135697584183819926085*n^31+ 547602931116592767683365187867141265867291157867769795*n^30+ 3431699615920124876184211928536862522726701969337533595*n^29+ 19621477458315463469085255775409990448412331575154198555*n^28+ 102517650964723119712746843865163135452259354757797243485*n^27+ 490026843734798001103676916649371530994928470303083464655*n^26+ 2144675225276141863984381300131749881559157459057442891355*n^25+ 8599134127304024913962884290630425030704717538538860917145*n^24+ 31593730518486270311672684335113556349858864593034130263070*n^23+ 106359088556068648370863794291444666851798653476871585956300*n^22+ 327961870354672036889972629173097624661785940173897422963880*n^21+ 925688868968708454163801535793641813585705606549249954705220*n^20+ 2389364613969724484269924662886868190598811582869973697678170*n^19+ 5632673248780068622060831192469043101595094954933249882714490*n^18+ 12107224479548281836798023801157806463129988367456052416983560*n^17+ 23680088659689744985947926152879830998144803825781594810790620*n^16+ 42038509521327565756487733893235297658052503693462130758301980*n^15+ 67535195403626863730726932923542877224752517095650300097854980*n^14+ 97828354328048725828817371433862580760706811380885242274595240*n^13+ 127225209255971611402092738075904825527609541122516402922946560*n^12+ 147774584103814863594580935653025005428421828488834062695687680*n^11+ 152342007290230643692055883293471726270727367677638503827863040*n^10+ 138328613596219950957431327726244728095463424100398257527142400*n^9+ 109591822648773028407360467427146973992611098946341116256399360*n^8+ 74864073769623099064585836383052915778821424739007837301109760*n^7+ 43430460899480684885057876889607852395506934596293315329377280*n^6+ 20970499372269210525422575745444011910559340127605854152509440*n^5+ 8197702542771869723820019537785314830945269158850646450176000*n^4+ 2491808077036646917314230182426997600874948450019191474094080*n^3+ 552377098549534473819088493128189203408480151269939364331520*n^2+ 79411174539924337546195230840233035195785023159416922112000*n+ 5554996644613825637899124468064128253898319557842665472000)*X(n+4)+( 249276234785825670665702714345*n^45+44869722261448620719826488582100*n^44+ 3935197096026186911608922496702321*n^43+224086821155807411479273592425384942*n^ 42+9315407607623863258259863280769101819*n^41+ 301360728568298328372771629148262245698*n^40+ 7898083942650199318902255267838712198389*n^39+ 172365523666056828043069505343996392467834*n^38+ 3195374775685009974637017017912264489654616*n^37+ 51080373652832868884133243316294107802939134*n^36+ 712367381133889734552953738116944480392576984*n^35+ 8747420135456576436053515736625552184332862466*n^34+ 95281744645303538837161494014078297305234045206*n^33+ 926235936400458415565333935759537005412043684120*n^32+ 8075540448135413022668645314936217847580485781578*n^31+ 63406483402800223841045576179951475318557169245788*n^30+ 449848852153495811692278119268514482312110055381965*n^29+ 2891767302864634418901072276535644918615148790389164*n^28+ 16880601067304329608491387947477454415899072138131653*n^27+ 89640316211552305053039056189572373707401070757719254*n^26+ 433603376971724022635551201961586165021524272517621387*n^25+ 1912377782738833292610313890522712113761876677915086910*n^24+ 7695027512359051373876191473461932313044598196155060005*n^23+ 28256497991812591122578424436924922205546078237314059638*n^22+ 94682604472726029565951437152028261421849082342938923802*n^21+ 289396707138434834701295408497217032654558047163515471506*n^20+ 806248320418386610544592457460734985687699439912603333938*n^19+ 2045134687382734560748748259487479662332626597192032211194*n^18+ 4716435036394982234913922542421598051363617943547221520532*n^17+ 9870186911151428618571420994994743915576581823082579999448*n^16+ 18699763449904267458269883852881620626955780422866724861980*n^15+ 31981347154405178099950781446785381341523471766511661576820*n^14+ 49203046609348929059947906465328585715863588236134539446184*n^13+ 67809593406096244581948499875204793371323140753849231341440*n^12+ 83287843736872232335782363129184867379589452295394326203968*n^11+ 90610421565629493408888583515713084803470322169574187811456*n^10+ 86655496230425493169362265194886612941715487260978450854912*n^9+ 72172263352407656275468183711555718224999485029483263617024*n^8+ 51735318802369405270886644207150549144017765787030806220800*n^7+ 31439216515889024634006886395150389260439190985020593875968*n^6+ 15875172420913386119031805492533915556122015517065717983232*n^5+ 6479298117879278116503406311233675232902809135407249555456*n^4+ 2053022066735065449568642764167754520853754921849325584384*n^3+ 473693040279385264893140367038742559318351633364290928640*n^2+ 70775862255462904445055261910984861582855379110699008000*n+ 5138179241798422444536986336529590823953523723436032000)*(n+5)^2*X(n+5)+5*( 36739312422376664799661417*n^41+5841550675157889703146165303*n^40+ 451144214214083748194970142674*n^39+22549935322607373815105263745544*n^38+ 820105537951860107307322147827985*n^37+23131360817735666881471441905430377*n^36 +526665936910131536586060323135358134*n^35+ 9948437734082838043389903329882024010*n^34+ 159017035371612573118001462987792965708*n^33+ 2182971001331603771629189056987790579232*n^32+ 26034320494058677351850086931828241920888*n^31+ 272182897146667380139763695230650847190500*n^30+ 2512609584144647921422720458661776190906106*n^29+ 20599808438185515712148338497225353731593922*n^28+ 150701033926903098547686028364808712122749392*n^27+ 987485880745588343434483025627051678597618816*n^26+ 5813323197072918280290306273773749230486914917*n^25+ 30819963312597608282162286001331900022833178731*n^24+ 147414907839467527697505981945705349651673418614*n^23+ 636967296205054883690509195915340555902075426804*n^22+ 2488390368565381964199671959639120173288652004657*n^21+ 8792450648314525288139061011474021974279696129929*n^20+ 28097406168034057173656890268799842977014693493002*n^19+ 81165710118228308807530421867493258377948767010174*n^18+ 211748044729568530800567454451152285166496115502614*n^17+ 498185881064194348215596101619664626791056931147918*n^16+ 1054995307726908649874238171012178466676436431713200*n^15+ 2005907927394464188849079038198600578763572485719552*n^14+ 3413538884888828258847714900765206843543549495241476*n^13+ 5178865621700514226231472138730093151169156944522556*n^12+ 6971218222423997219647973788179582730535327775802624*n^11+ 8276595672736483902583576517030308501063360315908696*n^10+ 8603590193014266907105485438550417554686673119885968*n^9+ 7759245611038680024182644261630238839913071580380864*n^8+ 6001254289744242500439600133825812633425223447840768*n^7+ 3921484005838737823342290637292199944903860842459264*n^6+ 2122321494736377508784639273336537655830797462033152*n^5+ 925532378953501785255730542270301460886639398535168*n^4+ 312426065734365983945445755877134108180129870536704*n^3+ 76580403015983384029322417790887131178290093424640*n^2+ 12122832435570356360299910650195331706895159296000*n+ 930055345355167929481612466283739917396590592000)*(n+5)^2*(n+6)^4*X(n+6)-( 5248473203196666399951631*n^35+629816784383599967994195720*n^34+ 36564785112457103540109855112*n^33+1368108006770058568423221754382*n^32+ 37078099519613604926616113942516*n^31+775596360714123390031536480022804*n^30+ 13029520506553138680001105520461046*n^29+180602225951088452959499334745511224*n ^28+2105878386440191383445074827421282514*n^27+ 20956507996808626772158873040235480328*n^26+ 179950495398525788436985217502841148770*n^25+ 1344717618208691235052433674952871749668*n^24+ 8803079927004307132502609672267469451712*n^23+ 50746691436853516724513396270737412710960*n^22+ 258629209492076897135117479044083027480214*n^21+ 1168794735348788164536258490261608097483936*n^20+ 4693626203213514581542371440195316539005891*n^19+ 16771444854164293161341134717871852686176760*n^18+ 53357269297445086973557469256162481173413950*n^17+ 151128340713044479006819039172684504296195726*n^16+ 380797564629938114434102994156998325752084580*n^15+ 852299761134401536150621267840335968077063340*n^14+ 1690666781656240079217798240790020708900628844*n^13+ 2963011730188540480718051237346882342736420584*n^12+ 4569068565432350685410062288092632250887442180*n^11+ 6166426516571164625464314505260867086327561736*n^10+ 7234464162634759536462181692542383402688297696*n^9+ 7314555840378939413461396169410370672274884352*n^8+ 6302937695892857855969037907188373590665044032*n^7+ 4561944087809248331323795443559839795882429312*n^6+ 2719783786423083913494395934511240324550074368*n^5+ 1299896473900789868227206919964423787614128128*n^4+ 478587444663946314674582427541703479738066944*n^3+ 127365964633789534723962568628764032753623040*n^2+ 21797098477217150884480266439422159258624000*n+ 1800542375642153300911398549108452708352000)*(n+5)^2*(n+6)^4*(n+7)^6*X(n+7) = 0 with initial conditions 4851498575 A(1) = 140, A(2) = 9191/2, A(3) = 5562200/9, A(4) = ----------, 72 737667617281 291048564472169 17535845853059714 A(5) = ------------, A(6) = ---------------, A(7) = ----------------- 72 180 63 B(1) = 5, B(2) = 529, B(3) = 43805, B(4) = 5593345, B(5) = 820313525, B(6) = 128681528305, B(7) = 22465083625325 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1247, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 12.4754444957739879046411112192 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 12.4663890881989418961211029391, 12.4719053963662141440953251300 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 5 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 7 k transform of, ) binomial(n, k) 5 / ----- k = 0 Theorem Number, 29 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 7, 7 6 5 4 and k= the integer part of, 1/6 RootOf(_Z - 35 _Z + 630 _Z - 6300 _Z 3 2 + 37800 _Z - 136080 _Z + 272160 _Z - 233280) n, or in floats, 0.5572280433 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 35 34 -279936 (1408427150551196953268 n + 218306208335435527756540 n 33 32 + 16395567469628390804447596 n + 794818800509077469246374708 n 31 30 + 27953368429740116492263132432 n + 760007903346212524374901506088 n 29 + 16622086015143083389625929541120 n 28 + 300453052876687089029672547210888 n 27 + 4576334654145460129194661441713459 n 26 + 59591182407107192511729562098543549 n 25 + 670742303822718104540784415598443305 n 24 + 6581848131113570833811483508395543277 n 23 + 56683135431247148633037533880251427261 n 22 + 430657264365326510843138008371615246921 n 21 + 2898164470158735376905389123206449528693 n 20 + 17327507649890460253008875331132258308673 n 19 + 92236813341622156248813154142964944471931 n 18 + 437748257453125058125584163495478152611699 n 17 + 1853449172982123860860138500141439994800699 n 16 + 7000932950840598578940486038354532554939099 n 15 + 23573911247870433104134816544157254474750603 n 14 + 70660478540579968654068385754247887198337347 n 13 + 188114692555992752980434296953288070794301855 n 12 + 443431526215906459755831150369756977999201123 n 11 + 921745936538880001527842530182534898416564202 n 10 + 1680670832925465659297690575587700847728973400 n 9 + 2669985048110175627928219187006635096012443948 n 8 + 3663897507938019754121874557234059128027294792 n 7 + 4294982582185219860173735818387522439313417180 n 6 + 4238876056673710637644296223609039729258680456 n 5 + 3454174684929404590331065778441076767009327664 n 4 + 2261830036556954201341345774742410446665505168 n 3 + 1143638274997953391123509848674379473554425664 n 2 + 418978273763946195243017369668602526917229632 n + 98941391505902415241456992320569378655816448 n 2 4 6 + 11304356078975975892664988638186625378734080) (n + 3) (n + 2) (n + 1) 41 X(n) + (44167595170971820226356051556 n 40 + 7243485608039378517122392455184 n 39 + 577255841337964495286915590197852 n 38 + 29785641261859039767119919960185144 n 37 + 1118673313240352794284477938998934428 n 36 + 32595466198969341531166508958870182184 n 35 + 766922038746922617916550102569614954412 n 34 + 14974580621077643003912828030814553103912 n 33 + 247478108486089661615209624788723335486439 n 32 + 3513412424421616729233700057585758636553984 n 31 + 43340566990924025025831095402311441990005185 n 30 + 468747834936181120592931717562071618828095556 n 29 + 4476922064634246712394237591196808009334795568 n 28 + 37977121669344546092573861372539444493846720544 n 27 + 287467772870375661461165372222553445545580797276 n 26 + 1948983722757095132828206062827252141619279693144 n 25 + 11870694942233615953805646115818681889174169561046 n 24 + 65103866457652658345854878043775882099627959977912 n 23 + 322081121060822195396668534242774563284782261635854 n 22 + 1439106161435974133759795001793342430841924990282212 n 21 + 5811976484386797995479123598211142295534760767310984 n 20 + 21222499670866650801933609036285838181997880329333832 n 19 + 70058050285449882898461711443549532326315010359932652 n 18 + 208960561507338882219777482584753976683567400703678516 n 17 + 562567620553637120788140204685656875572289321507318903 n 16 + 1365026391487731299126195248399925050018758598904199928 n 15 + 2979134520221199555924074723992819643228426253380648589 n 14 + 5833090966600476409861598694921373351728966986261209952 n 13 + 10213132265980574100910066195363475822007313762092703972 n 12 + 15926865807394139625893235256561898927123887780158937056 n 11 + 22012782817476825302976685993159249479926421184642327044 n 10 + 26802032294217579743566597599518021782849776534528479724 n 9 + 28534513964244836276167910010855201028550904254641848048 n 8 + 26317903278679048466575172166848631799308737138302515408 n 7 + 20783410576446008395034030344504758892022848641598838736 n 6 + 13842025363603733388067276567884608843414018514224326176 n 5 + 7620584179867462045314808604894033370262376867186903232 n 4 + 3373366939190973511426302254538378168230814230786049408 n 3 + 1153146198716961237014691972251372717941087793567827968 n 2 + 285483689391314954512218773264805893215322821794797568 n + 45512653321734472528234183859588212027436206239744000 n 2 4 + 3505078095578251001570544446179466171187650887680000) (n + 3) (n + 2) 45 X(n + 1) - 6 (209074012024814098814973811308 n 44 + 36587952104342467292620416978900 n 43 + 3119233296673876493686867824966616 n 42 + 172634100847941593993985425954800328 n 41 + 6973877852775020109743045246328077988 n 40 + 219207577245094306198387525492756468436 n 39 + 5581129557343065330908439761524298300608 n 38 + 118309025857860160634286955716975111377700 n 37 + 2130063357552799879166262200302429284058341 n 36 + 33064687417348300013261336532707890824819951 n 35 + 447703461917321853510145577243825689549620312 n 34 + 5336772705713521146865229826170172055053278836 n 33 + 56423033978090357104698032799727422274797853880 n 32 + 532293634525894394425441602129775656385672973640 n 31 + 4503165006471789963918048223870676639246770930172 n 30 + 34302727661554029517466495381178930976753393210852 n 29 + 236069765288352245743748824227316421854006319946630 n 28 + 1471781394473407544805704278618913658130032263813850 n 27 + 8331023457490208505423557499293533089341093799172344 n 26 + 42890858792114416353613595613935047893980358721794240 n 25 + 201104023460992129630243368929482763710100428828178876 n 24 + 859565389024825246565942463906341153321907655125289084 n 23 + 3351170431455856057711407048441899950798041602055038616 n 22 + 11920165196909286304738973989957750499280431705000320492 n 21 + 38681161389407647037972684845544131629020911631994028457 n 20 + 114463210021406712624239348070738139823676837269868733611 n 19 + 308638526769556801024412252702140407932868293407982065272 n 18 + 757468625725738307485263125681729628362959294016181186180 n 17 + 1689487099665058630652123821976153404106868247114066660848 n 16 + 3418091047341317204882248450772588255079248156930977654592 n 15 + 6257630168778914671587586638005271241399368321419282882764 n 14 + 10336193292994358774172070089113409804585020948963184666348 n 13 + 15349462861928385718340489178548729907517586368956929960248 n 12 + 20405413417214760993507783672449315704200605564148791810912 n 11 + 24158412807339862663925255962768968570242153568277357776960 n 10 + 25312496452644666003029352881118127527578379331881315321504 n 9 + 23292280072135386764653331114752123031520601307824320472128 n 8 + 18645670481105250679926523572698923287025126196606170807680 n 7 + 12830803049388745850095453873733233483205384604882221140224 n 6 + 7474604602625943896444246939962553292441325928388973819392 n 5 + 3612317131832008352327440741897382540407648388313389405184 n 4 + 1408451075992635135068946358874036369290105094342740715520 n 3 + 425426083117453880378954575187219261585160493079496536064 n 2 + 93339448699410921702039864578123588281125519332935974912 n + 13223085067249639961542430774290138676128523834875576320 n 2 + 907111073653621011677888115514031034786380295123763200) (n + 3) 47 X(n + 2) + (103592598566662874526844104300 n 46 + 19061038136265968912939315191200 n 45 + 1710982825501388714408511757462720 n 44 + 99849421585063566991650631511431840 n 43 + 4259610526338806094842721261135060152 n 42 + 141614640560877754819474297475294953496 n 41 + 3819784015306331561464150843934591294592 n 40 + 85927889043323573693557983927219707985744 n 39 + 1644652346511318089138674729356059128239713 n 38 + 27190021067965526627547315483011965739371724 n 37 + 392854874582775135991132600077317050430825656 n 36 + 5007113906472171388014890805778377981564527638 n 35 + 56720909000610212108799020587890179718599327619 n 34 + 574606614981216023862313760565745591877147557614 n 33 + 5232049484659617914319648048907349726314351946268 n 32 + 43000240649599808935995913956734619912483028323912 n 31 + 320096381015639665522165338582203867169184231875678 n 30 + 2164479320547479717984506758503950693377526816200672 n 29 + 13326544500836987487978971070531327257302684336416828 n 28 + 74852630696622364831131336256351564601640653257220352 n 27 + 384134262260865297640955222101142145414547737838115234 n 26 + 1803225463750711891403581722362076889439871353069411432 n 25 + 7749400813084534640041442478903348826538014762954527868 n 24 + 30504325804722550057776722196448649334952371834741757684 n 23 + 110007784262479934554665193033832876643091671520157297217 n 22 + 363428875776324804057565557058827591025454793312199676976 n 21 + 1099477999620002356706295986964331670951535012703458551236 n 20 + 3043902350264280049578976010111709123251497087652748423034 n 19 + 7704086079359867887923528781502809432203023011382284696211 n 18 + 17802515616881901678494221630053287135936436110705155302386 n 17 + 37495319935765362911795583190808605952823589220198487870648 n 16 + 71828867795026078996261687972003353976254447124713148083156 n 15 + 124836366511672503868890094259827317300277883259714934188852 n 14 + 196232599653588669288301908889024296262342452461415562271556 n 13 + 277966600617543478155164307245947436016098437089123851058552 n 12 + 353259698687330078438685453725077804045314690159742410786288 n 11 + 400665216566832079366912281670289444010203115696538236937968 n 10 + 402982969324118999087322578931079696777874417898987488334816 n 9 + 356646616082926420943930115092739266773458806207422761179712 n 8 + 275092967662871150849628498426856143666910702288190303823744 n 7 + 182725682010889622795335596823124454195757936797932179289856 n 6 + 102924247001016775354537881673991811803472298924516288968192 n 5 + 48173880284883774949066695858564991176306108744058548728832 n 4 + 18220151363732348051551684286915058804343907226204783753216 n 3 + 5346691156678249602829829665248147240160087964742768599040 n 2 + 1141363825144027926234013136979101018973518568700688793600 n + 157550719091427742025575957005730592276821880541676830720 n + 10546168704068112284013299919795493915217615806739251200) X(n + 3) + ( 47 46 -7923670306285978939390441200 n - 1481726347275478061666012504400 n 45 - 135179462621256079801782805477680 n 44 - 8018103361899728083189103556299280 n 43 - 347673807362725415076968161310509296 n 42 - 11748939124600640694013505168920876272 n 41 - 322127336154615817034713198966652230416 n 40 - 7365944174068576498035170252982789577824 n 39 - 143310644454145776145141898861127571200036 n 38 - 2408384208397764208843634257355467614557868 n 37 - 35371975286105906180023250232910253074686396 n 36 - 458270404016790807945367270795038027340349268 n 35 - 5276890261456594691669729265589037945934883920 n 34 - 54337106018184016066783381575668709497970276672 n 33 - 502893753451642489672178925605875831049873847504 n 32 - 4200861129136603416694098257557973814895891361328 n 31 - 31782843031551199016647790418396471004140908217000 n 30 - 218417985518838352815516555020043589624932655720824 n 29 - 1366629615579119358445673655402043154288561773381320 n 28 - 7800292160229304800563703000154562782886658000761304 n 27 - 40674893098114728450223516037421865088493196221268080 n 26 - 193998705762554357909801861726809856398294203321458640 n 25 - 847003058440061006502593329014213713885324111379870864 n 24 - 3386926029862854676658628165962587127525578899929806944 n 23 - 12406555247136829860234088116267659854029075803645868372 n 22 - 41627805656514873278093388135186646038761562922853087484 n 21 - 127889931622786267553591118811862261111588750069884267308 n 20 - 359511105143750336143316195939179832065568050986065407908 n 19 - 923798293856291023485259993767063957421520568656161587312 n 18 - 2166960781184416098031610686544822393317996263275077205088 n 17 - 4632294039830665448657049660166802656272726074064289481328 n 16 - 9005330722192410621192654874310080372928085592737260833584 n 15 - 15880054861258855999186761123729472886112574341653894321232 n 14 - 25323124235024644691821816327202564995883515619827133697840 n 13 - 36382733002003827690771813466521550990396616597274546458688 n 12 - 46888995522918372851568422140745125020061838451452393829120 n 11 - 53919555177797835352510886253100471398790958357109777963648 n 10 - 54972930774610983213591532422333254965611134980672775795712 n 9 - 49306416452327047274153694094592446425080607786276779633664 n 8 - 38534457717553614041346228364414191271283427434475265649664 n 7 - 25928092519966335938374558030492058714583555903274678468608 n 6 - 14790466538879751334173274581622559963923205355056863076352 n 5 - 7008996383914629966930180356445117780528501006971845459968 n 4 - 2683227150600541487996745191749497640268095047945074196480 n 3 - 796758703479237986873691272851796704783427118570780917760 n 2 - 172056101087724392968898522371407606880281494472466563072 n - 24017651657793333489478099103292208957057495352765841408 n - 1625247258106953666772909551535190913137644191696814080) X(n + 4) - ( 45 44 83476068786018892223241092 n + 15025692381483400600183396560 n 43 + 1317736172700231426239611368764 n 42 + 75030536506708973441481975337320 n 41 + 3118602972994585547651684909060796 n 40 + 100868542825589287995329704965563912 n 39 + 2642855969024687365707499728181926332 n 38 + 57657232352235913269800177547110661288 n 37 + 1068421756822572383324973426966979959007 n 36 + 17070845694921176508134770312831657695696 n 35 + 237927076846783781739990891018145537161753 n 34 + 2919533571786845123593580555861500980695008 n 33 + 31775117273641655686261220059112907405309656 n 32 + 308594740362132944902549367349158077592476152 n 31 + 2687621018753023688077435981048094644056638388 n 30 + 21076275597537146960019615786761322674453385408 n 29 + 149320128314575272014602321116735562002178326078 n 28 + 958356893673275645615550446384178494938354933104 n 27 + 5584404196403398132874475516951888219722522393302 n 26 + 29595215676573476351317854708105176723355428903076 n 25 + 142834994848205227417818458488375507168319170857904 n 24 + 628381814725779935324654122444704104843506203182112 n 23 + 2521392788155916349924360589354273266128922213805620 n 22 + 9229722194378013809189869048430289548857524331278700 n 21 + 30819507332693264850356178386924357749636197630171367 n 20 + 93834733425292251398627867595130872425381149007313648 n 19 + 260294541019293161331156134634539037805842681541601741 n 18 + 657107310236674727303186375101708158387138789756720948 n 17 + 1507357755921143272516882173585949071860681214553728948 n 16 + 3135893538707268672329004495289135686509313917583424400 n 15 + 5902327122768204286050875668277911314463446646469514388 n 14 + 10021251298619422265459808548764928130089590106107700268 n 13 + 15293509577701871289405447707996075123260328600685012672 n 12 + 20888575137447191716977851213302284335070849021642164304 n 11 + 25402107632438509565651249366974623426550083363268334928 n 10 + 27330904892433507454709182047150345339953182055522355552 n 9 + 25817797312358059936978488740915478712184140044753247296 n 8 + 21209671884329698181471979831570959024196322458256687488 n 7 + 14972991758283691392223289046186450684258907833408028416 n 6 + 8945001157986138803157885606192057089099003282225100288 n 5 + 4431407341958591798662344144767953387945988699033299968 n 4 + 1770409326180379660837598883189595563311176226027206656 n 3 + 547683125442215434908700121782459329080888567320559616 n 2 + 123005255173474777670285930087841434302484575842926592 n + 17828066807290392359242234622151974735924525031358464 n 2 + 1250492718687331426540576337085049611171178837180416) (n + 5) X(n + 5) 41 40 - 6 (9858990053858378672876 n + 1567579418563482208987284 n 39 38 + 121057599514609830027474792 n + 6050198901152012214090319928 n 37 36 + 219994129418433858253858063188 n + 6203337556127993022987333036900 n 35 + 141190174488748849125792242192752 n 34 + 2665797411501503601715933033344564 n 33 + 42586541620909487593474631917325349 n 32 + 584226974622224808546412455734498815 n 31 + 6961899500019188068712029190448636780 n 30 + 72715513998718286639216756895345049200 n 29 + 670511436272174198746038871411017833028 n 28 + 5490123278012586107263007574143963580756 n 27 + 40103985483730856008859042769972913014936 n 26 + 262337406682244369049333383717381877536304 n 25 + 1541372048809627732879074388716649677810354 n 24 + 8153675481342843078985240206403248427460310 n 23 + 38902128130689846094874564657524228548678460 n 22 + 167617163610809572516615479556602071463951348 n 21 + 652728959088005553019185732952081705760433600 n 20 + 2298074484227701306088152561217467698589745632 n 19 + 7314222626786192270918965058451612229185677964 n 18 + 21033392909562051657227813571159620433652752384 n 17 + 54595202942117536092833147516544408886472172989 n 16 + 127720921721689849633772221308821861951770249167 n 15 + 268759831623594562172779521677181823382796220512 n 14 + 507390561465470656449877522909143129698539814132 n 13 + 856624645909355669672247060589306718926761969216 n 12 + 1288157261501455749937416743469020123123990874000 n 11 + 1716869745837464975746395068916045395346345932412 n 10 + 2015884664156294319352693323889354390050446765676 n 9 + 2069697266064510328276428465560166220222813422120 n 8 + 1840837264641283141392965343528166862519578845984 n 7 + 1401777104750710248014285582463103138615204314240 n 6 + 900127436584075900794618983945713254711180938400 n 5 + 477687861827065480217503703382109345210071924672 n 4 + 203767394987250640036157604889450264532802972288 n 3 + 67092582494834584095688227563254030955483078400 n 2 + 15988829643406837957119577424062212570423109632 n + 2451534269330337660459825926141680731021275136 n 2 4 + 181370741616501260959344104219432533610299392) (n + 5) (n + 6) 35 34 X(n + 6) + (1408427150551196953268 n + 169011258066143634392160 n 33 32 + 9811170540801545047919696 n + 367016701187162319711883920 n 31 30 + 9943427332337042295505449584 n + 207896339157505259497784173752 n 29 + 3490311695225135064172460708640 n 28 + 48340160863065733283100917181072 n 27 + 563097265818986645658648459938355 n 26 + 5596810195014783380759951610621636 n 25 + 47989037462422576534106527051566852 n 24 + 357990452976600392924658201424257702 n 23 + 2338822557589179270954758944467428163 n 22 + 13450826209161444042547993876892193870 n 21 + 68365569462336825485950776861176255076 n 20 + 307991398094043561923966650378139046972 n 19 + 1232397509099417303705119519874858839533 n 18 + 4385644848814207261925713511051859147168 n 17 + 13887700992508586269127443336140450242248 n 16 + 39127383033103196275133369383113728340210 n 15 + 97998426998121828914355454470412980509677 n 14 + 217852568363413410904982587377384419233866 n 13 + 428832391798647020248118489483608925418040 n 12 + 745056115146261256369172794661611642338636 n 11 + 1137686324445924694386738391845331159251852 n 10 + 1518516808548651582814416715345673085724092 n 9 + 1759402590176682815656846230316872630484824 n 8 + 1753962317464870645391190312010378101527568 n 7 + 1487495223402037806154441790421463862017296 n 6 + 1057402665182356903631003718412575393399648 n 5 + 617692543780934490122653526360305557102528 n 4 + 288478185664842371079887092151592688576128 n 3 + 103459624505233106928106114788555473118720 n 2 + 26723417504609585819002226908066396581888 n + 4420062958431438507404338684897320419328 n 2 4 6 + 351127843661808436242180004699366490112) (n + 5) (n + 6) (n + 7) X(n + 7) = 0 or in Maple format -279936*(1408427150551196953268*n^35+218306208335435527756540*n^34+ 16395567469628390804447596*n^33+794818800509077469246374708*n^32+ 27953368429740116492263132432*n^31+760007903346212524374901506088*n^30+ 16622086015143083389625929541120*n^29+300453052876687089029672547210888*n^28+ 4576334654145460129194661441713459*n^27+59591182407107192511729562098543549*n^ 26+670742303822718104540784415598443305*n^25+ 6581848131113570833811483508395543277*n^24+ 56683135431247148633037533880251427261*n^23+ 430657264365326510843138008371615246921*n^22+ 2898164470158735376905389123206449528693*n^21+ 17327507649890460253008875331132258308673*n^20+ 92236813341622156248813154142964944471931*n^19+ 437748257453125058125584163495478152611699*n^18+ 1853449172982123860860138500141439994800699*n^17+ 7000932950840598578940486038354532554939099*n^16+ 23573911247870433104134816544157254474750603*n^15+ 70660478540579968654068385754247887198337347*n^14+ 188114692555992752980434296953288070794301855*n^13+ 443431526215906459755831150369756977999201123*n^12+ 921745936538880001527842530182534898416564202*n^11+ 1680670832925465659297690575587700847728973400*n^10+ 2669985048110175627928219187006635096012443948*n^9+ 3663897507938019754121874557234059128027294792*n^8+ 4294982582185219860173735818387522439313417180*n^7+ 4238876056673710637644296223609039729258680456*n^6+ 3454174684929404590331065778441076767009327664*n^5+ 2261830036556954201341345774742410446665505168*n^4+ 1143638274997953391123509848674379473554425664*n^3+ 418978273763946195243017369668602526917229632*n^2+ 98941391505902415241456992320569378655816448*n+ 11304356078975975892664988638186625378734080)*(n+3)^2*(n+2)^4*(n+1)^6*X(n)+( 44167595170971820226356051556*n^41+7243485608039378517122392455184*n^40+ 577255841337964495286915590197852*n^39+29785641261859039767119919960185144*n^38 +1118673313240352794284477938998934428*n^37+ 32595466198969341531166508958870182184*n^36+ 766922038746922617916550102569614954412*n^35+ 14974580621077643003912828030814553103912*n^34+ 247478108486089661615209624788723335486439*n^33+ 3513412424421616729233700057585758636553984*n^32+ 43340566990924025025831095402311441990005185*n^31+ 468747834936181120592931717562071618828095556*n^30+ 4476922064634246712394237591196808009334795568*n^29+ 37977121669344546092573861372539444493846720544*n^28+ 287467772870375661461165372222553445545580797276*n^27+ 1948983722757095132828206062827252141619279693144*n^26+ 11870694942233615953805646115818681889174169561046*n^25+ 65103866457652658345854878043775882099627959977912*n^24+ 322081121060822195396668534242774563284782261635854*n^23+ 1439106161435974133759795001793342430841924990282212*n^22+ 5811976484386797995479123598211142295534760767310984*n^21+ 21222499670866650801933609036285838181997880329333832*n^20+ 70058050285449882898461711443549532326315010359932652*n^19+ 208960561507338882219777482584753976683567400703678516*n^18+ 562567620553637120788140204685656875572289321507318903*n^17+ 1365026391487731299126195248399925050018758598904199928*n^16+ 2979134520221199555924074723992819643228426253380648589*n^15+ 5833090966600476409861598694921373351728966986261209952*n^14+ 10213132265980574100910066195363475822007313762092703972*n^13+ 15926865807394139625893235256561898927123887780158937056*n^12+ 22012782817476825302976685993159249479926421184642327044*n^11+ 26802032294217579743566597599518021782849776534528479724*n^10+ 28534513964244836276167910010855201028550904254641848048*n^9+ 26317903278679048466575172166848631799308737138302515408*n^8+ 20783410576446008395034030344504758892022848641598838736*n^7+ 13842025363603733388067276567884608843414018514224326176*n^6+ 7620584179867462045314808604894033370262376867186903232*n^5+ 3373366939190973511426302254538378168230814230786049408*n^4+ 1153146198716961237014691972251372717941087793567827968*n^3+ 285483689391314954512218773264805893215322821794797568*n^2+ 45512653321734472528234183859588212027436206239744000*n+ 3505078095578251001570544446179466171187650887680000)*(n+3)^2*(n+2)^4*X(n+1)-6* (209074012024814098814973811308*n^45+36587952104342467292620416978900*n^44+ 3119233296673876493686867824966616*n^43+172634100847941593993985425954800328*n^ 42+6973877852775020109743045246328077988*n^41+ 219207577245094306198387525492756468436*n^40+ 5581129557343065330908439761524298300608*n^39+ 118309025857860160634286955716975111377700*n^38+ 2130063357552799879166262200302429284058341*n^37+ 33064687417348300013261336532707890824819951*n^36+ 447703461917321853510145577243825689549620312*n^35+ 5336772705713521146865229826170172055053278836*n^34+ 56423033978090357104698032799727422274797853880*n^33+ 532293634525894394425441602129775656385672973640*n^32+ 4503165006471789963918048223870676639246770930172*n^31+ 34302727661554029517466495381178930976753393210852*n^30+ 236069765288352245743748824227316421854006319946630*n^29+ 1471781394473407544805704278618913658130032263813850*n^28+ 8331023457490208505423557499293533089341093799172344*n^27+ 42890858792114416353613595613935047893980358721794240*n^26+ 201104023460992129630243368929482763710100428828178876*n^25+ 859565389024825246565942463906341153321907655125289084*n^24+ 3351170431455856057711407048441899950798041602055038616*n^23+ 11920165196909286304738973989957750499280431705000320492*n^22+ 38681161389407647037972684845544131629020911631994028457*n^21+ 114463210021406712624239348070738139823676837269868733611*n^20+ 308638526769556801024412252702140407932868293407982065272*n^19+ 757468625725738307485263125681729628362959294016181186180*n^18+ 1689487099665058630652123821976153404106868247114066660848*n^17+ 3418091047341317204882248450772588255079248156930977654592*n^16+ 6257630168778914671587586638005271241399368321419282882764*n^15+ 10336193292994358774172070089113409804585020948963184666348*n^14+ 15349462861928385718340489178548729907517586368956929960248*n^13+ 20405413417214760993507783672449315704200605564148791810912*n^12+ 24158412807339862663925255962768968570242153568277357776960*n^11+ 25312496452644666003029352881118127527578379331881315321504*n^10+ 23292280072135386764653331114752123031520601307824320472128*n^9+ 18645670481105250679926523572698923287025126196606170807680*n^8+ 12830803049388745850095453873733233483205384604882221140224*n^7+ 7474604602625943896444246939962553292441325928388973819392*n^6+ 3612317131832008352327440741897382540407648388313389405184*n^5+ 1408451075992635135068946358874036369290105094342740715520*n^4+ 425426083117453880378954575187219261585160493079496536064*n^3+ 93339448699410921702039864578123588281125519332935974912*n^2+ 13223085067249639961542430774290138676128523834875576320*n+ 907111073653621011677888115514031034786380295123763200)*(n+3)^2*X(n+2)+( 103592598566662874526844104300*n^47+19061038136265968912939315191200*n^46+ 1710982825501388714408511757462720*n^45+99849421585063566991650631511431840*n^ 44+4259610526338806094842721261135060152*n^43+ 141614640560877754819474297475294953496*n^42+ 3819784015306331561464150843934591294592*n^41+ 85927889043323573693557983927219707985744*n^40+ 1644652346511318089138674729356059128239713*n^39+ 27190021067965526627547315483011965739371724*n^38+ 392854874582775135991132600077317050430825656*n^37+ 5007113906472171388014890805778377981564527638*n^36+ 56720909000610212108799020587890179718599327619*n^35+ 574606614981216023862313760565745591877147557614*n^34+ 5232049484659617914319648048907349726314351946268*n^33+ 43000240649599808935995913956734619912483028323912*n^32+ 320096381015639665522165338582203867169184231875678*n^31+ 2164479320547479717984506758503950693377526816200672*n^30+ 13326544500836987487978971070531327257302684336416828*n^29+ 74852630696622364831131336256351564601640653257220352*n^28+ 384134262260865297640955222101142145414547737838115234*n^27+ 1803225463750711891403581722362076889439871353069411432*n^26+ 7749400813084534640041442478903348826538014762954527868*n^25+ 30504325804722550057776722196448649334952371834741757684*n^24+ 110007784262479934554665193033832876643091671520157297217*n^23+ 363428875776324804057565557058827591025454793312199676976*n^22+ 1099477999620002356706295986964331670951535012703458551236*n^21+ 3043902350264280049578976010111709123251497087652748423034*n^20+ 7704086079359867887923528781502809432203023011382284696211*n^19+ 17802515616881901678494221630053287135936436110705155302386*n^18+ 37495319935765362911795583190808605952823589220198487870648*n^17+ 71828867795026078996261687972003353976254447124713148083156*n^16+ 124836366511672503868890094259827317300277883259714934188852*n^15+ 196232599653588669288301908889024296262342452461415562271556*n^14+ 277966600617543478155164307245947436016098437089123851058552*n^13+ 353259698687330078438685453725077804045314690159742410786288*n^12+ 400665216566832079366912281670289444010203115696538236937968*n^11+ 402982969324118999087322578931079696777874417898987488334816*n^10+ 356646616082926420943930115092739266773458806207422761179712*n^9+ 275092967662871150849628498426856143666910702288190303823744*n^8+ 182725682010889622795335596823124454195757936797932179289856*n^7+ 102924247001016775354537881673991811803472298924516288968192*n^6+ 48173880284883774949066695858564991176306108744058548728832*n^5+ 18220151363732348051551684286915058804343907226204783753216*n^4+ 5346691156678249602829829665248147240160087964742768599040*n^3+ 1141363825144027926234013136979101018973518568700688793600*n^2+ 157550719091427742025575957005730592276821880541676830720*n+ 10546168704068112284013299919795493915217615806739251200)*X(n+3)+(-\ 7923670306285978939390441200*n^47-1481726347275478061666012504400*n^46-\ 135179462621256079801782805477680*n^45-8018103361899728083189103556299280*n^44-\ 347673807362725415076968161310509296*n^43-\ 11748939124600640694013505168920876272*n^42-\ 322127336154615817034713198966652230416*n^41-\ 7365944174068576498035170252982789577824*n^40-\ 143310644454145776145141898861127571200036*n^39-\ 2408384208397764208843634257355467614557868*n^38-\ 35371975286105906180023250232910253074686396*n^37-\ 458270404016790807945367270795038027340349268*n^36-\ 5276890261456594691669729265589037945934883920*n^35-\ 54337106018184016066783381575668709497970276672*n^34-\ 502893753451642489672178925605875831049873847504*n^33-\ 4200861129136603416694098257557973814895891361328*n^32-\ 31782843031551199016647790418396471004140908217000*n^31-\ 218417985518838352815516555020043589624932655720824*n^30-\ 1366629615579119358445673655402043154288561773381320*n^29-\ 7800292160229304800563703000154562782886658000761304*n^28-\ 40674893098114728450223516037421865088493196221268080*n^27-\ 193998705762554357909801861726809856398294203321458640*n^26-\ 847003058440061006502593329014213713885324111379870864*n^25-\ 3386926029862854676658628165962587127525578899929806944*n^24-\ 12406555247136829860234088116267659854029075803645868372*n^23-\ 41627805656514873278093388135186646038761562922853087484*n^22-\ 127889931622786267553591118811862261111588750069884267308*n^21-\ 359511105143750336143316195939179832065568050986065407908*n^20-\ 923798293856291023485259993767063957421520568656161587312*n^19-\ 2166960781184416098031610686544822393317996263275077205088*n^18-\ 4632294039830665448657049660166802656272726074064289481328*n^17-\ 9005330722192410621192654874310080372928085592737260833584*n^16-\ 15880054861258855999186761123729472886112574341653894321232*n^15-\ 25323124235024644691821816327202564995883515619827133697840*n^14-\ 36382733002003827690771813466521550990396616597274546458688*n^13-\ 46888995522918372851568422140745125020061838451452393829120*n^12-\ 53919555177797835352510886253100471398790958357109777963648*n^11-\ 54972930774610983213591532422333254965611134980672775795712*n^10-\ 49306416452327047274153694094592446425080607786276779633664*n^9-\ 38534457717553614041346228364414191271283427434475265649664*n^8-\ 25928092519966335938374558030492058714583555903274678468608*n^7-\ 14790466538879751334173274581622559963923205355056863076352*n^6-\ 7008996383914629966930180356445117780528501006971845459968*n^5-\ 2683227150600541487996745191749497640268095047945074196480*n^4-\ 796758703479237986873691272851796704783427118570780917760*n^3-\ 172056101087724392968898522371407606880281494472466563072*n^2-\ 24017651657793333489478099103292208957057495352765841408*n-\ 1625247258106953666772909551535190913137644191696814080)*X(n+4)-( 83476068786018892223241092*n^45+15025692381483400600183396560*n^44+ 1317736172700231426239611368764*n^43+75030536506708973441481975337320*n^42+ 3118602972994585547651684909060796*n^41+100868542825589287995329704965563912*n^ 40+2642855969024687365707499728181926332*n^39+ 57657232352235913269800177547110661288*n^38+ 1068421756822572383324973426966979959007*n^37+ 17070845694921176508134770312831657695696*n^36+ 237927076846783781739990891018145537161753*n^35+ 2919533571786845123593580555861500980695008*n^34+ 31775117273641655686261220059112907405309656*n^33+ 308594740362132944902549367349158077592476152*n^32+ 2687621018753023688077435981048094644056638388*n^31+ 21076275597537146960019615786761322674453385408*n^30+ 149320128314575272014602321116735562002178326078*n^29+ 958356893673275645615550446384178494938354933104*n^28+ 5584404196403398132874475516951888219722522393302*n^27+ 29595215676573476351317854708105176723355428903076*n^26+ 142834994848205227417818458488375507168319170857904*n^25+ 628381814725779935324654122444704104843506203182112*n^24+ 2521392788155916349924360589354273266128922213805620*n^23+ 9229722194378013809189869048430289548857524331278700*n^22+ 30819507332693264850356178386924357749636197630171367*n^21+ 93834733425292251398627867595130872425381149007313648*n^20+ 260294541019293161331156134634539037805842681541601741*n^19+ 657107310236674727303186375101708158387138789756720948*n^18+ 1507357755921143272516882173585949071860681214553728948*n^17+ 3135893538707268672329004495289135686509313917583424400*n^16+ 5902327122768204286050875668277911314463446646469514388*n^15+ 10021251298619422265459808548764928130089590106107700268*n^14+ 15293509577701871289405447707996075123260328600685012672*n^13+ 20888575137447191716977851213302284335070849021642164304*n^12+ 25402107632438509565651249366974623426550083363268334928*n^11+ 27330904892433507454709182047150345339953182055522355552*n^10+ 25817797312358059936978488740915478712184140044753247296*n^9+ 21209671884329698181471979831570959024196322458256687488*n^8+ 14972991758283691392223289046186450684258907833408028416*n^7+ 8945001157986138803157885606192057089099003282225100288*n^6+ 4431407341958591798662344144767953387945988699033299968*n^5+ 1770409326180379660837598883189595563311176226027206656*n^4+ 547683125442215434908700121782459329080888567320559616*n^3+ 123005255173474777670285930087841434302484575842926592*n^2+ 17828066807290392359242234622151974735924525031358464*n+ 1250492718687331426540576337085049611171178837180416)*(n+5)^2*X(n+5)-6*( 9858990053858378672876*n^41+1567579418563482208987284*n^40+ 121057599514609830027474792*n^39+6050198901152012214090319928*n^38+ 219994129418433858253858063188*n^37+6203337556127993022987333036900*n^36+ 141190174488748849125792242192752*n^35+2665797411501503601715933033344564*n^34+ 42586541620909487593474631917325349*n^33+584226974622224808546412455734498815*n ^32+6961899500019188068712029190448636780*n^31+ 72715513998718286639216756895345049200*n^30+ 670511436272174198746038871411017833028*n^29+ 5490123278012586107263007574143963580756*n^28+ 40103985483730856008859042769972913014936*n^27+ 262337406682244369049333383717381877536304*n^26+ 1541372048809627732879074388716649677810354*n^25+ 8153675481342843078985240206403248427460310*n^24+ 38902128130689846094874564657524228548678460*n^23+ 167617163610809572516615479556602071463951348*n^22+ 652728959088005553019185732952081705760433600*n^21+ 2298074484227701306088152561217467698589745632*n^20+ 7314222626786192270918965058451612229185677964*n^19+ 21033392909562051657227813571159620433652752384*n^18+ 54595202942117536092833147516544408886472172989*n^17+ 127720921721689849633772221308821861951770249167*n^16+ 268759831623594562172779521677181823382796220512*n^15+ 507390561465470656449877522909143129698539814132*n^14+ 856624645909355669672247060589306718926761969216*n^13+ 1288157261501455749937416743469020123123990874000*n^12+ 1716869745837464975746395068916045395346345932412*n^11+ 2015884664156294319352693323889354390050446765676*n^10+ 2069697266064510328276428465560166220222813422120*n^9+ 1840837264641283141392965343528166862519578845984*n^8+ 1401777104750710248014285582463103138615204314240*n^7+ 900127436584075900794618983945713254711180938400*n^6+ 477687861827065480217503703382109345210071924672*n^5+ 203767394987250640036157604889450264532802972288*n^4+ 67092582494834584095688227563254030955483078400*n^3+ 15988829643406837957119577424062212570423109632*n^2+ 2451534269330337660459825926141680731021275136*n+ 181370741616501260959344104219432533610299392)*(n+5)^2*(n+6)^4*X(n+6)+( 1408427150551196953268*n^35+169011258066143634392160*n^34+ 9811170540801545047919696*n^33+367016701187162319711883920*n^32+ 9943427332337042295505449584*n^31+207896339157505259497784173752*n^30+ 3490311695225135064172460708640*n^29+48340160863065733283100917181072*n^28+ 563097265818986645658648459938355*n^27+5596810195014783380759951610621636*n^26+ 47989037462422576534106527051566852*n^25+357990452976600392924658201424257702*n ^24+2338822557589179270954758944467428163*n^23+ 13450826209161444042547993876892193870*n^22+ 68365569462336825485950776861176255076*n^21+ 307991398094043561923966650378139046972*n^20+ 1232397509099417303705119519874858839533*n^19+ 4385644848814207261925713511051859147168*n^18+ 13887700992508586269127443336140450242248*n^17+ 39127383033103196275133369383113728340210*n^16+ 97998426998121828914355454470412980509677*n^15+ 217852568363413410904982587377384419233866*n^14+ 428832391798647020248118489483608925418040*n^13+ 745056115146261256369172794661611642338636*n^12+ 1137686324445924694386738391845331159251852*n^11+ 1518516808548651582814416715345673085724092*n^10+ 1759402590176682815656846230316872630484824*n^9+ 1753962317464870645391190312010378101527568*n^8+ 1487495223402037806154441790421463862017296*n^7+ 1057402665182356903631003718412575393399648*n^6+ 617692543780934490122653526360305557102528*n^5+ 288478185664842371079887092151592688576128*n^4+ 103459624505233106928106114788555473118720*n^3+ 26723417504609585819002226908066396581888*n^2+ 4420062958431438507404338684897320419328*n+ 351127843661808436242180004699366490112)*(n+5)^2*(n+6)^4*(n+7)^6*X(n+7) = 0 with initial conditions 1381743965 981239840931 A(1) = 168, A(2) = 6027, A(3) = 929516, A(4) = ----------, A(5) = ------------, 12 50 264935765504564 119726957173894096 A(6) = ---------------, A(7) = ------------------ 75 175 B(1) = 6, B(2) = 666, B(3) = 65736, B(4) = 9128946, B(5) = 1549221876, B(6) = 271934809056, B(7) = 53940773615616 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1243, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 12.8096836649277025278969916690 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 12.8050449341597846964802559807, 12.8067240269447236333373799786 as you can see the convergence is extremely slow using the definition a is , 6 --------------------------------------------- The next theorem is inspired by the coefficient of t^2 in the Zudilin-Straub\ n ----- \ 7 k transform of, ) binomial(n, k) 6 / ----- k = 0 Theorem Number, 30 Let C be the limit, as n goes to infinity of the above c(n,k;L) with L=, 7, 7 6 5 4 and k= the integer part of, 1/7 RootOf(_Z - 42 _Z + 882 _Z - 10290 _Z 3 2 + 72030 _Z - 302526 _Z + 705894 _Z - 705894) n, or in floats, 0.5636442992 n then a much faster way to compute this number is as the following Apery lim\ it Let A(n) and B(n) be the solution of the following linear recurrence 35 34 -823543 (977232359269647827636298463 n + 151471015686795413283626261765 n 33 + 11376348668451586500527343841813 n 32 + 551533338061147443050084620914749 n 31 + 19399051536806458047174279412203364 n 30 + 527501974940917785859563045976013200 n 29 + 11539037365555649790661171976858288146 n 28 + 208621384184215410187226676112291914478 n 27 + 3178483488660237215116481083430348610886 n 26 + 41402627628692944977445400867830635851294 n 25 + 466198746916191125402809792274435149908090 n 24 + 4576787600640635742578006184760528558222638 n 23 + 39436162484071660722827487238724529966052608 n 22 + 299801226178693973498373629731578132431975004 n 21 + 2018929971351945961568317439780197635653238240 n 20 + 12080076925005752430569961438700920754242525348 n 19 + 64359891952438477632509923335916276701496582575 n 18 + 305744351168217829493358368733557517833898414921 n 17 + 1295946648024076334314561913850351502224675716009 n 16 + 4901041526370702820830959041184899935522009367333 n 15 + 16525258346150073673305248970782982684817476647564 n 14 + 49606706448638431217069948117092891408733877597988 n 13 + 132282430436052000724741363512014625599956642190462 n 12 + 312389133475288135395928910282141798099753707584302 n 11 + 650655564867762046783472299608574506623956184917436 n 10 + 1188997079620751756697028520125778951963763609626372 n 9 + 1893478802700985165193228578744182183773708288422424 n 8 + 2605266128554653713117209543014157040284561517325808 n 7 + 3062952129945589747806038052590014923539781558070848 n 6 + 3032651723005631203832440193671285111071686762577216 n 5 + 2479952059056269477558522807140046016013315983751296 n 4 + 1630168899045200300599989036733858577558663230493952 n 3 + 827742189725828706604289024099619488152901840062464 n 2 + 304654050301169204019703216826380753206576145145856 n + 72309378474271518221265252383122047549984458465280 n 2 4 + 8307579754265243012146951011697780475966120067072) (n + 3) (n + 2) 6 41 (n + 1) X(n) + 7 (9082662377021468984613047352005473 n 40 + 1489556629831520913476539765728897572 n 39 + 118710723607333687745618043671621713681 n 38 + 6125678469455767285129113661128591835038 n 37 + 230086378818278543242188095323732329209556 n 36 + 6705040800428817149786942021929870830661832 n 35 + 157786492254268929312387905647627192167816880 n 34 + 3081535192616694792613190524775423183206881661 n 33 + 50940646320964581197935685974314206893996201356 n 32 + 723428061828479859144950467970121704869546670993 n 31 + 8927398353733887521520803736321632768677759597346 n 30 + 96596557946473336102975113607642429183765808123984 n 29 + 923048485124866689809896093000910942066409684485444 n 28 + 7834711843371549254110552800432739662065193407643878 n 27 + 59344798299796091523051388352288988866077687691181944 n 26 + 402655957542511780610731231919641959101396092105608998 n 25 + 2454585259234481619971759538088550226834093585638919233 n 24 + 13475116877621535665696386878058653339141747340352312966 n 23 + 66737051618368287680637123096554032237802185887157714429 n 22 + 298557306241488142110004384339196951277913731422297629278 n 21 + 1207409002053158621139808437220836546726601490756493219508 n 20 + 4415616432292006441489289423987322654794435110217542058804 n 19 + 14601324997009279674324645053905271810492654251953439965152 n 18 + 43633541073433335404899146983937674114627625604080686991369 n 17 + 117718142165705843632436489984849262356449866650565397353106 n 16 + 286300367961038238049377907270529214968431515441644176478749 n 15 + 626459335745364699643375688721339216473075541126648244314536 n 14 + 1230111288890342350959888671762399615188410909006245058390444 n 13 + 2160633281176918179248078364030264589579582477078861257992652 n 12 + 3381244664973574079374526116776788170538792760672638437065366 n 11 + 4691471350575320619558831817698589752715103296147930610873760 n 10 + 5736822338535953494883456490211826364998755051650934060952220 n 9 + 6136855455492803359149691341346463399602484081601055156888104 n 8 + 5690153189813886668494917147595258495952668387441749510718512 n 7 + 4520005519490807672369227882714399372233307058892893733922944 n 6 + 3030080623497049308690231007260468113782539531517967777433024 n 5 + 1680326214847447029525240640909048064289937414240590061822848 n 4 + 749858542045297846838181787848730412500646967792523125881088 n 3 + 258653507921037591735465936382781752801423681151254109755392 n 2 + 64684180009458704502546944101489528766184340788363745837056 n + 10429499155745260096958390344729570380567474573257406210048 n 2 + 813496250665837282883993359257013631065534354835117506560) (n + 3) 4 45 (n + 2) X(n + 1) - 49 (30753411463606405058466342454852941 n 44 + 5381847006131120885231609929599264675 n 43 + 458829201184837132975504237390792140422 n 42 + 25395148688598743126208125923783464779108 n 41 + 1025963034659817208851488762023626045247800 n 40 + 32252223644223958789822502353618709346729362 n 39 + 821273599952773198694340089018356324854699851 n 38 + 17412525881172503064710895073303421094659539273 n 37 + 313568714433108547365248234983414309829912666280 n 36 + 4868788953399516771516591422477310652743913049706 n 35 + 65945527033087232336790887598579828715925168720874 n 34 + 786386794358313949213955862323245385473514480773106 n 33 + 8317699632649866424024982897729190258133872345880508 n 32 + 78508503979179114311085685051196361182778391472211704 n 31 + 664559974705310864627105723044340383977873262147626514 n 30 + 5065605164856575754779535624598079621687843426729535838 n 29 + 34887384310124124960899560121034409981398279807422209029 n 28 + 217690560509880382287831325818227513043931532657709614415 n 27 + 1233417391237173345196261468955730953700583559341685007546 n 26 + 6356876553831495389176939377482940688641547995084735500984 n 25 + 29841747646382724824016982327190178583528368812191457357352 n 24 + 127723200553435650720011463365515172126651681423154989156514 n 23 + 498705438042681230548123971035719193183944806144398983843279 n 22 + 1776900215591497203794418036261651825084422570617023243214149 n 21 + 5776939717269777501545307838632259188374215021999135737534822 n 20 + 17130697121002038401583937690797813850339807118078041716699324 n 19 + 46299161164110074132081494764598938655671629259858064456456046 n 18 + 113924106266497882245610955933997628352598046341808538809471466 n 17 + 254835759133111030802500459458535650265307948740945006558441372 n 16 + 517230429882303223306235667724008568234511707399463598945360636 n 15 + 950301555413502432972688610949548761058118621866828913964056636 n 14 + 1575931021225729994800932977141516870513917172011029636961502684 n 13 + 2350654998234777313931268547192893139099690936236932020208017768 n 12 + 3140344507573413736069364379623328955795924297487519515794678208 n 11 + 3738348469673394321328348642324300989255175400272262047238105344 n 10 + 3940934976482162888220830160348475631240380828671574360816067648 n 9 + 3651214362774118134014977100326387215834624669037196487358067072 n 8 + 2945185856414927513688263091774476021724306930826783746615248384 n 7 + 2044057257363544649227117547772386427866801160098821556930002944 n 6 + 1202214360364041565424705443651184513944970854949514326575908864 n 5 + 587284534996667436852989710543191721158752922108650821104906240 n 4 + 231773959319950703894053205471621323525036660578929957551177728 n 3 + 70972479390663555706707298297327331883635719872608145137958912 n 2 + 15814934973381079716908453777540427828687263484005410212544512 n + 2280337700678871742888675691011735437509944245116102622314496 n 2 + 159618973610912678019421648716700192241759878690848123125760) (n + 3) 47 X(n + 2) + (89069218934154477944948563815417143 n 46 + 16388736283884423941870535742036754312 n 45 + 1471146550450553867297835197272014667736 n 44 + 85857764675909259954424204386728002873654 n 43 + 3663035180776380263492889289952388428436665 n 42 + 121795466214995619371635065048190664582877838 n 41 + 3285711218010161951947531125752517470158225269 n 40 + 73928099400116636476760380564339461514758774574 n 39 + 1415314599091356250000315107090332239607174664906 n 38 + 23405189042909958992817385478402892292157642503054 n 37 + 338283226102461045551585197197615178042906679513463 n 36 + 4313257107518120175980831427487373253927560953517592 n 35 + 48882848280979030239154434577723576663861313944586004 n 34 + 495458741794778656930544550370325789537508775882691744 n 33 + 4514012922568737883037961427936969806679676893474235548 n 32 + 37123515293847159789029971908022553404177542241887641672 n 31 + 276555490751559502887947469128397748161586945975175696647 n 30 + 1871619242576381089392414276428940991151267419587588463728 n 29 + 11534183293526516304191716252928282512037933233600452720662 n 28 + 64852705818460077239436030819194296371506150308974094566198 n 27 + 333201161709657395047837654757546136043496055264322903090849 n 26 + 1566142325893374065447202964292581572036046389855100752963806 n 25 + 6740117142296258746995658912730714237934958126367792354438917 n 24 + 26573263272779202627405597912538923406955690946397746627909374 n 23 + 95998235773066199021992559910444917489298478257374775366661188 n 22 + 317756743916830406619451597659020362270097498523759322866698798 n 21 + 963350228856039721910996821618300346563876230456391678580677443 n 20 + 2673289750094572960331679033551008955164279655430978336606517532 n 19 + 6783580236706487277633030785630978539428628021455797186887871826 n 18 + 15720170699676373747546925617608556883550772398862473094574233332 n 17 + 33213791357747289764930688525305358864788862895377068408874765642 n 16 + 63847928243731746527468667394468782291896158973439508736798334220 n 15 + 111391316057319504762164564304426805260016419790009516913479563188 n 14 + 175839701983962854819433047606056182002274200309824215358826096140 n 13 + 250245635962454682299578749339080226429446806203362594972264820344 n 12 + 319676524112920069076567953616945003047090187971294544111165853408 n 11 + 364653946501468420350452527810699856900658512664925227413159673152 n 10 + 369094361916593703919073208623474640137017373289839708339173317952 n 9 + 328959490903210571317351186932057061739571898276969850710934009472 n 8 + 255727911465657739647005541588383641128475290282013653647239190016 n 7 + 171347661838418427118938902927295293747090233006524372887178617856 n 6 + 97457295863276712933641767933522339848475715296670028720955508736 n 5 + 46113307055760840051617050575800443396909079336531576528336154624 n 4 + 17654594185880393253830627782987173339258520842869172915566370816 n 3 + 5252215376764027332210947608801084915334750962859661751421534208 n 2 + 1138672873831831115756372692942444704973652546324379560860975104 n + 159958125251009845392867798995256238089238234098160372772241408 n + 10923006243644360389648343262821022034887531730666867717570560) X(n + 3) 47 + (-7698324789203678568461743312304303 n 46 - 1439586735581087892302345999400904661 n 45 - 131337698272587968012426045300612875449 n 44 - 7790564821222497713828072333855684559873 n 43 - 337830317340716443321192710134214163736563 n 42 - 11417380358361281906074045360622757425075713 n 41 - 313075836298748006518055566762340632068797993 n 40 - 7160095277571726898066035299214414029775239155 n 39 - 139332645888454772051493268675773489918184446176 n 38 - 2342078383797649689309198108572511602556020913190 n 37 - 34407649462718306192998190115191985908110038942474 n 36 - 445921247712550702500420035796200366982434266816206 n 35 - 5136622940930579221616479837392081459473508219480292 n 34 - 52915653849705246712363727285119331869140439728802528 n 33 - 489980823675050416349862346482803091381917910297384354 n 32 - 4095303467259099734841445122038642531990468031024775010 n 31 - 31004021221745817138647985471854634098941900377324127227 n 30 - 213219505007794206168439118164896886523300545668823283981 n 29 - 1335186075972437330053489709078201719746106504971443788941 n 28 - 7627764046269045641082436054568631337970793283602450634141 n 27 - 39815794311318876717938519260697128700981601819973421405963 n 26 - 190117534229570275051865517187533486837158343366068439213545 n 25 - 831112091955439571077144342700064934579594946508938099855741 n 24 - 3328083260032907538108056144812297664775267442681133669611711 n 23 - 12210188747629930720959158111830965485532646955213159915977986 n 22 - 41040551956233467078787000320165352769719494204536727829248732 n 21 - 126330472574236694235717222808918055142056519907318469608615960 n 20 - 355892143662382684033966515236658906773488914959920814251184356 n 19 - 916683632000640055544217692215669851777698263114818698479178142 n 18 - 2155968126171350340787652728759573955809985099357532900557534822 n 17 - 4622333282708754767024761055017068538751305522139863124125651288 n 16 - 9015238570961348272395244034414947299282215429464698517638779420 n 15 - 15954969456704882861303611816183313196901199942100889842656327156 n 14 - 25544602853350734577142984769223345302011079473874595823227751148 n 13 - 36864332818815144308714411425550075188076173569700464722478664440 n 12 - 47744688675185088651007025035259823017047504497292553535480165504 n 11 - 55205612190009836582415382602575582808279164409793746117645622272 n 10 - 56628880569160778086231029155242215797375520647519528347850787840 n 9 - 51138528340255441268437906032187608506850735783094001387639095296 n 8 - 40271043138523717941998117222704034781917609198336224404445040640 n 7 - 27327649709437486803629102318865069536575666970692938868533869568 n 6 - 15737832147368564643354482146340963226528333051160501715117460480 n 5 - 7538015783973221524250244836409972774170375828723016042841331712 n 4 - 2920647470705196480337227971032450222020179034777284615194411008 n 3 - 879106629490834241585433632842459519859308409427911846090637312 n 2 - 192778753858385729922693349616102161315612451214080401636884480 n - 27384679541481405030969301114144418462749884098449747702382592 n - 1890432000214824244917479084434620328121866803755628376621056) X(n + 4) 45 - 7 (9912067820072037915714975310209 n 44 + 1784172207612966824828695555837620 n 43 + 156473369873384194410496571230288045 n 42 + 8909850788392125261767933731187823042 n 41 + 370360553584123519855220612484174806951 n 40 + 11980245530839917607748060204136942865178 n 39 + 313937527693287036618576324219960529819389 n 38 + 6850136226400711196100448290896068568522922 n 37 + 126964221639754848341347165463372578762078756 n 36 + 2029112853600366757004924540612508621411035154 n 35 + 28289732720527077947329174254816967771006582472 n 34 + 347260739297209603117263476721722074506050695318 n 33 + 3781049828838739192149094329975787513224062947854 n 32 + 36738817705021504489273533040318681623661609140072 n 31 + 320145467494004990458020972843322572570943532886898 n 30 + 2512177264543428903469210053220405540039803400184508 n 29 + 17811059015415575528080149421719407389513177584208277 n 28 + 114407731349572254006137491788455343920218431433129948 n 27 + 667279298789013744041162375226371025278207892303875193 n 26 + 3540020011076853913013791034241654628224013976362474410 n 25 + 17105199550833583572833128109266104422772839501941470895 n 24 + 75350848544981910337427462308812389889208412091365594046 n 23 + 302791865980583036426058332504031435170936790131598785941 n 22 + 1110214245180040318618549780512846951787152575390223162942 n 21 + 3713997704441641942103306471228801095315190872202787648414 n 20 + 11331034890755370884954434765158053634243524034574814487342 n 19 + 31503823980183874460162564158698106494123623703175938540562 n 18 + 79733393290595336288826318724051350721001340465967089583134 n 17 + 183422299236917485639548464220942721598472987168364666686316 n 16 + 382797685043286147178647210975602837895278312209119820869616 n 15 + 723036017057350913331637262599632869477052603528519653631804 n 14 + 1232429281657097734540691335288665027661254046381324469467836 n 13 + 1889061684523276772332501198207432063507868244136142237839192 n 12 + 2592781879427330263066156537445205820096355026747540348929024 n 11 + 3170235822220599649418230483731433052079037760977413949284544 n 10 + 3431770590946027420121110514297188979348844139050593361283456 n 9 + 3263922201430769279315286626534549437043366276525866753852416 n 8 + 2701885373128135690426315174879746467767089976755590143789056 n 7 + 1923795842179104068462040472448786459067608410332719400646656 n 6 + 1160408618307467121684272926616142573041727511318698080486400 n 5 + 581143323034195559069096910034225742461155786785408092329984 n 4 + 235038148974944184641285792765502394841349404320659434569728 n 3 + 73727006053436862563907449085363961347585137524400215916544 n 2 + 16822127696746541926384257511191022434508533994856415068160 n + 2482522932151810799438300398252039354697862614015499239424 n 2 + 177767399046120851163373334935357586707219638188040781824) (n + 5) 41 X(n + 5) - 7 (6840626514887534793454089241 n 40 + 1087659615867118032159200189319 n 39 + 83997783163300083054087479529986 n 38 + 4198281213040407290450827188099288 n 37 + 152670275071921182277178771943909897 n 36 + 4305539142037850922016537646767607873 n 35 + 98013188462307785438406125517609493694 n 34 + 1851000178383412824423622618017550649682 n 33 + 29578403738287305570704606322339319766412 n 32 + 405913432080464398043977290145857149162824 n 31 + 4839030655345297941886147728188171085513816 n 30 + 50567221978040944258305246213167733425878852 n 29 + 466547397369094141651533766027028792576476586 n 28 + 3822604636575058135450558209952831139293885482 n 27 + 27944546364509245469682295617313071387154159216 n 26 + 182958005016037242955072458751910517718022094592 n 25 + 1076056776000486915675812151725153745116719324101 n 24 + 5698735829498453264463214437541353223058107028187 n 23 + 27224722867911035977369585027076593395150581167574 n 22 + 117475882399581332096710621830739625195824411448148 n 21 + 458233398059914513236424627801836475462470180631033 n 20 + 1616346615240693210001515099296841586241857134318849 n 19 + 5155354951417843401659177529048778306685305657945218 n 18 + 14860556078214865334614795995334992288900573676223638 n 17 + 38676240433774951210683181468268470093981551497991622 n 16 + 90752728358157951880200468436502158628902307356500006 n 15 + 191615604958613166680516195242009523582499455278349376 n 14 + 363126759692275485764199952415809893770639641924102640 n 13 + 615684931335835353264200101534712893980135833783683476 n 12 + 930287395236598287679052935740554746696521282027111044 n 11 + 1246589217264904288086431173353231316460106998362044640 n 10 + 1472586229955865124391144481392585039089890713339780664 n 9 + 1522233842200805080085752637021016560305887507339162512 n 8 + 1364349310460522641660258769413641800256128828955887936 n 7 + 1047983541074444856273425838015693261556229925955600896 n 6 + 679575442824770938704009295368012981234983388794222208 n 5 + 364673277322036984624547323275132557287645611704537856 n 4 + 157535396189671630604977644492252247162322162967220224 n 3 + 52622045063687028075236302720628299231921111058128896 n 2 + 12748460162650280332042493449936021768570117577687040 n + 1991991982068706572242679220174205465858672920068096 n 2 4 + 150622157268626184834893228195958821374530847899648) (n + 5) (n + 6) 35 X(n + 6) + (977232359269647827636298463 n 34 33 + 117267883112357739316355815560 n + 6807787388865982906327648527288 n 32 + 254693086011117470352917033544750 n 31 + 6901462144253752549015826128529580 n 30 + 144329933571411261975985392843465716 n 29 + 2423890398208193985932737139641810566 n 28 + 33584187329895688469603018367379405736 n 27 + 391409686585287506181352369046146157618 n 26 + 3892769430219275594071744424004475198832 n 25 + 33402915354597269517735363867889729937426 n 24 + 249401280499663662906128009587417814477708 n 23 + 1631087327257327328809517872594747281598496 n 22 + 9391985151844241541287535072168821873303768 n 21 + 47803435532503681794284675450547363173259254 n 20 + 215709013804786973655709338917211393753658952 n 19 + 864758136541121617622572123014501761725154003 n 18 + 3083971177298088803887036022942765016701048912 n 17 + 9789792991800377607117809344954071635042259454 n 16 + 27659218405651500737197892802190064633027382182 n 15 + 69496415395337886295787492719294632820936836716 n 14 + 155052809535552399630631354349720997492231509636 n 13 + 306472794282943588021128858566967243666482178908 n 12 + 534961271457807053110419203359101742807929311664 n 11 + 821218460471780449319549354938462137290162330276 n 10 + 1102731166316519351368020742471342578778713567336 n 9 + 1286422530468987028570977225221289016899415910496 n 8 + 1292445835968755004109388940459754570001074474368 n 7 + 1105825376595516975199462084118947875825416348736 n 6 + 794047457224114837543247897859511966708000881024 n 5 + 469217876070366085045785733279099075642826379264 n 4 + 222041700770679098331904355568254968376791554048 n 3 + 80846150959742890060295222139979371926185494528 n 2 + 21249440669368051101814813937723431056037257216 n + 3586253440535843300371262123499428986216587264 n 2 4 + 291651279594448339587482182805860842288611328) (n + 5) (n + 6) 6 (n + 7) X(n + 7) = 0 or in Maple format -823543*(977232359269647827636298463*n^35+151471015686795413283626261765*n^34+ 11376348668451586500527343841813*n^33+551533338061147443050084620914749*n^32+ 19399051536806458047174279412203364*n^31+527501974940917785859563045976013200*n ^30+11539037365555649790661171976858288146*n^29+ 208621384184215410187226676112291914478*n^28+ 3178483488660237215116481083430348610886*n^27+ 41402627628692944977445400867830635851294*n^26+ 466198746916191125402809792274435149908090*n^25+ 4576787600640635742578006184760528558222638*n^24+ 39436162484071660722827487238724529966052608*n^23+ 299801226178693973498373629731578132431975004*n^22+ 2018929971351945961568317439780197635653238240*n^21+ 12080076925005752430569961438700920754242525348*n^20+ 64359891952438477632509923335916276701496582575*n^19+ 305744351168217829493358368733557517833898414921*n^18+ 1295946648024076334314561913850351502224675716009*n^17+ 4901041526370702820830959041184899935522009367333*n^16+ 16525258346150073673305248970782982684817476647564*n^15+ 49606706448638431217069948117092891408733877597988*n^14+ 132282430436052000724741363512014625599956642190462*n^13+ 312389133475288135395928910282141798099753707584302*n^12+ 650655564867762046783472299608574506623956184917436*n^11+ 1188997079620751756697028520125778951963763609626372*n^10+ 1893478802700985165193228578744182183773708288422424*n^9+ 2605266128554653713117209543014157040284561517325808*n^8+ 3062952129945589747806038052590014923539781558070848*n^7+ 3032651723005631203832440193671285111071686762577216*n^6+ 2479952059056269477558522807140046016013315983751296*n^5+ 1630168899045200300599989036733858577558663230493952*n^4+ 827742189725828706604289024099619488152901840062464*n^3+ 304654050301169204019703216826380753206576145145856*n^2+ 72309378474271518221265252383122047549984458465280*n+ 8307579754265243012146951011697780475966120067072)*(n+3)^2*(n+2)^4*(n+1)^6*X(n) +7*(9082662377021468984613047352005473*n^41+ 1489556629831520913476539765728897572*n^40+ 118710723607333687745618043671621713681*n^39+ 6125678469455767285129113661128591835038*n^38+ 230086378818278543242188095323732329209556*n^37+ 6705040800428817149786942021929870830661832*n^36+ 157786492254268929312387905647627192167816880*n^35+ 3081535192616694792613190524775423183206881661*n^34+ 50940646320964581197935685974314206893996201356*n^33+ 723428061828479859144950467970121704869546670993*n^32+ 8927398353733887521520803736321632768677759597346*n^31+ 96596557946473336102975113607642429183765808123984*n^30+ 923048485124866689809896093000910942066409684485444*n^29+ 7834711843371549254110552800432739662065193407643878*n^28+ 59344798299796091523051388352288988866077687691181944*n^27+ 402655957542511780610731231919641959101396092105608998*n^26+ 2454585259234481619971759538088550226834093585638919233*n^25+ 13475116877621535665696386878058653339141747340352312966*n^24+ 66737051618368287680637123096554032237802185887157714429*n^23+ 298557306241488142110004384339196951277913731422297629278*n^22+ 1207409002053158621139808437220836546726601490756493219508*n^21+ 4415616432292006441489289423987322654794435110217542058804*n^20+ 14601324997009279674324645053905271810492654251953439965152*n^19+ 43633541073433335404899146983937674114627625604080686991369*n^18+ 117718142165705843632436489984849262356449866650565397353106*n^17+ 286300367961038238049377907270529214968431515441644176478749*n^16+ 626459335745364699643375688721339216473075541126648244314536*n^15+ 1230111288890342350959888671762399615188410909006245058390444*n^14+ 2160633281176918179248078364030264589579582477078861257992652*n^13+ 3381244664973574079374526116776788170538792760672638437065366*n^12+ 4691471350575320619558831817698589752715103296147930610873760*n^11+ 5736822338535953494883456490211826364998755051650934060952220*n^10+ 6136855455492803359149691341346463399602484081601055156888104*n^9+ 5690153189813886668494917147595258495952668387441749510718512*n^8+ 4520005519490807672369227882714399372233307058892893733922944*n^7+ 3030080623497049308690231007260468113782539531517967777433024*n^6+ 1680326214847447029525240640909048064289937414240590061822848*n^5+ 749858542045297846838181787848730412500646967792523125881088*n^4+ 258653507921037591735465936382781752801423681151254109755392*n^3+ 64684180009458704502546944101489528766184340788363745837056*n^2+ 10429499155745260096958390344729570380567474573257406210048*n+ 813496250665837282883993359257013631065534354835117506560)*(n+3)^2*(n+2)^4*X(n+ 1)-49*(30753411463606405058466342454852941*n^45+ 5381847006131120885231609929599264675*n^44+ 458829201184837132975504237390792140422*n^43+ 25395148688598743126208125923783464779108*n^42+ 1025963034659817208851488762023626045247800*n^41+ 32252223644223958789822502353618709346729362*n^40+ 821273599952773198694340089018356324854699851*n^39+ 17412525881172503064710895073303421094659539273*n^38+ 313568714433108547365248234983414309829912666280*n^37+ 4868788953399516771516591422477310652743913049706*n^36+ 65945527033087232336790887598579828715925168720874*n^35+ 786386794358313949213955862323245385473514480773106*n^34+ 8317699632649866424024982897729190258133872345880508*n^33+ 78508503979179114311085685051196361182778391472211704*n^32+ 664559974705310864627105723044340383977873262147626514*n^31+ 5065605164856575754779535624598079621687843426729535838*n^30+ 34887384310124124960899560121034409981398279807422209029*n^29+ 217690560509880382287831325818227513043931532657709614415*n^28+ 1233417391237173345196261468955730953700583559341685007546*n^27+ 6356876553831495389176939377482940688641547995084735500984*n^26+ 29841747646382724824016982327190178583528368812191457357352*n^25+ 127723200553435650720011463365515172126651681423154989156514*n^24+ 498705438042681230548123971035719193183944806144398983843279*n^23+ 1776900215591497203794418036261651825084422570617023243214149*n^22+ 5776939717269777501545307838632259188374215021999135737534822*n^21+ 17130697121002038401583937690797813850339807118078041716699324*n^20+ 46299161164110074132081494764598938655671629259858064456456046*n^19+ 113924106266497882245610955933997628352598046341808538809471466*n^18+ 254835759133111030802500459458535650265307948740945006558441372*n^17+ 517230429882303223306235667724008568234511707399463598945360636*n^16+ 950301555413502432972688610949548761058118621866828913964056636*n^15+ 1575931021225729994800932977141516870513917172011029636961502684*n^14+ 2350654998234777313931268547192893139099690936236932020208017768*n^13+ 3140344507573413736069364379623328955795924297487519515794678208*n^12+ 3738348469673394321328348642324300989255175400272262047238105344*n^11+ 3940934976482162888220830160348475631240380828671574360816067648*n^10+ 3651214362774118134014977100326387215834624669037196487358067072*n^9+ 2945185856414927513688263091774476021724306930826783746615248384*n^8+ 2044057257363544649227117547772386427866801160098821556930002944*n^7+ 1202214360364041565424705443651184513944970854949514326575908864*n^6+ 587284534996667436852989710543191721158752922108650821104906240*n^5+ 231773959319950703894053205471621323525036660578929957551177728*n^4+ 70972479390663555706707298297327331883635719872608145137958912*n^3+ 15814934973381079716908453777540427828687263484005410212544512*n^2+ 2280337700678871742888675691011735437509944245116102622314496*n+ 159618973610912678019421648716700192241759878690848123125760)*(n+3)^2*X(n+2)+( 89069218934154477944948563815417143*n^47+16388736283884423941870535742036754312 *n^46+1471146550450553867297835197272014667736*n^45+ 85857764675909259954424204386728002873654*n^44+ 3663035180776380263492889289952388428436665*n^43+ 121795466214995619371635065048190664582877838*n^42+ 3285711218010161951947531125752517470158225269*n^41+ 73928099400116636476760380564339461514758774574*n^40+ 1415314599091356250000315107090332239607174664906*n^39+ 23405189042909958992817385478402892292157642503054*n^38+ 338283226102461045551585197197615178042906679513463*n^37+ 4313257107518120175980831427487373253927560953517592*n^36+ 48882848280979030239154434577723576663861313944586004*n^35+ 495458741794778656930544550370325789537508775882691744*n^34+ 4514012922568737883037961427936969806679676893474235548*n^33+ 37123515293847159789029971908022553404177542241887641672*n^32+ 276555490751559502887947469128397748161586945975175696647*n^31+ 1871619242576381089392414276428940991151267419587588463728*n^30+ 11534183293526516304191716252928282512037933233600452720662*n^29+ 64852705818460077239436030819194296371506150308974094566198*n^28+ 333201161709657395047837654757546136043496055264322903090849*n^27+ 1566142325893374065447202964292581572036046389855100752963806*n^26+ 6740117142296258746995658912730714237934958126367792354438917*n^25+ 26573263272779202627405597912538923406955690946397746627909374*n^24+ 95998235773066199021992559910444917489298478257374775366661188*n^23+ 317756743916830406619451597659020362270097498523759322866698798*n^22+ 963350228856039721910996821618300346563876230456391678580677443*n^21+ 2673289750094572960331679033551008955164279655430978336606517532*n^20+ 6783580236706487277633030785630978539428628021455797186887871826*n^19+ 15720170699676373747546925617608556883550772398862473094574233332*n^18+ 33213791357747289764930688525305358864788862895377068408874765642*n^17+ 63847928243731746527468667394468782291896158973439508736798334220*n^16+ 111391316057319504762164564304426805260016419790009516913479563188*n^15+ 175839701983962854819433047606056182002274200309824215358826096140*n^14+ 250245635962454682299578749339080226429446806203362594972264820344*n^13+ 319676524112920069076567953616945003047090187971294544111165853408*n^12+ 364653946501468420350452527810699856900658512664925227413159673152*n^11+ 369094361916593703919073208623474640137017373289839708339173317952*n^10+ 328959490903210571317351186932057061739571898276969850710934009472*n^9+ 255727911465657739647005541588383641128475290282013653647239190016*n^8+ 171347661838418427118938902927295293747090233006524372887178617856*n^7+ 97457295863276712933641767933522339848475715296670028720955508736*n^6+ 46113307055760840051617050575800443396909079336531576528336154624*n^5+ 17654594185880393253830627782987173339258520842869172915566370816*n^4+ 5252215376764027332210947608801084915334750962859661751421534208*n^3+ 1138672873831831115756372692942444704973652546324379560860975104*n^2+ 159958125251009845392867798995256238089238234098160372772241408*n+ 10923006243644360389648343262821022034887531730666867717570560)*X(n+3)+(-\ 7698324789203678568461743312304303*n^47-1439586735581087892302345999400904661*n ^46-131337698272587968012426045300612875449*n^45-\ 7790564821222497713828072333855684559873*n^44-\ 337830317340716443321192710134214163736563*n^43-\ 11417380358361281906074045360622757425075713*n^42-\ 313075836298748006518055566762340632068797993*n^41-\ 7160095277571726898066035299214414029775239155*n^40-\ 139332645888454772051493268675773489918184446176*n^39-\ 2342078383797649689309198108572511602556020913190*n^38-\ 34407649462718306192998190115191985908110038942474*n^37-\ 445921247712550702500420035796200366982434266816206*n^36-\ 5136622940930579221616479837392081459473508219480292*n^35-\ 52915653849705246712363727285119331869140439728802528*n^34-\ 489980823675050416349862346482803091381917910297384354*n^33-\ 4095303467259099734841445122038642531990468031024775010*n^32-\ 31004021221745817138647985471854634098941900377324127227*n^31-\ 213219505007794206168439118164896886523300545668823283981*n^30-\ 1335186075972437330053489709078201719746106504971443788941*n^29-\ 7627764046269045641082436054568631337970793283602450634141*n^28-\ 39815794311318876717938519260697128700981601819973421405963*n^27-\ 190117534229570275051865517187533486837158343366068439213545*n^26-\ 831112091955439571077144342700064934579594946508938099855741*n^25-\ 3328083260032907538108056144812297664775267442681133669611711*n^24-\ 12210188747629930720959158111830965485532646955213159915977986*n^23-\ 41040551956233467078787000320165352769719494204536727829248732*n^22-\ 126330472574236694235717222808918055142056519907318469608615960*n^21-\ 355892143662382684033966515236658906773488914959920814251184356*n^20-\ 916683632000640055544217692215669851777698263114818698479178142*n^19-\ 2155968126171350340787652728759573955809985099357532900557534822*n^18-\ 4622333282708754767024761055017068538751305522139863124125651288*n^17-\ 9015238570961348272395244034414947299282215429464698517638779420*n^16-\ 15954969456704882861303611816183313196901199942100889842656327156*n^15-\ 25544602853350734577142984769223345302011079473874595823227751148*n^14-\ 36864332818815144308714411425550075188076173569700464722478664440*n^13-\ 47744688675185088651007025035259823017047504497292553535480165504*n^12-\ 55205612190009836582415382602575582808279164409793746117645622272*n^11-\ 56628880569160778086231029155242215797375520647519528347850787840*n^10-\ 51138528340255441268437906032187608506850735783094001387639095296*n^9-\ 40271043138523717941998117222704034781917609198336224404445040640*n^8-\ 27327649709437486803629102318865069536575666970692938868533869568*n^7-\ 15737832147368564643354482146340963226528333051160501715117460480*n^6-\ 7538015783973221524250244836409972774170375828723016042841331712*n^5-\ 2920647470705196480337227971032450222020179034777284615194411008*n^4-\ 879106629490834241585433632842459519859308409427911846090637312*n^3-\ 192778753858385729922693349616102161315612451214080401636884480*n^2-\ 27384679541481405030969301114144418462749884098449747702382592*n-\ 1890432000214824244917479084434620328121866803755628376621056)*X(n+4)-7*( 9912067820072037915714975310209*n^45+1784172207612966824828695555837620*n^44+ 156473369873384194410496571230288045*n^43+8909850788392125261767933731187823042 *n^42+370360553584123519855220612484174806951*n^41+ 11980245530839917607748060204136942865178*n^40+ 313937527693287036618576324219960529819389*n^39+ 6850136226400711196100448290896068568522922*n^38+ 126964221639754848341347165463372578762078756*n^37+ 2029112853600366757004924540612508621411035154*n^36+ 28289732720527077947329174254816967771006582472*n^35+ 347260739297209603117263476721722074506050695318*n^34+ 3781049828838739192149094329975787513224062947854*n^33+ 36738817705021504489273533040318681623661609140072*n^32+ 320145467494004990458020972843322572570943532886898*n^31+ 2512177264543428903469210053220405540039803400184508*n^30+ 17811059015415575528080149421719407389513177584208277*n^29+ 114407731349572254006137491788455343920218431433129948*n^28+ 667279298789013744041162375226371025278207892303875193*n^27+ 3540020011076853913013791034241654628224013976362474410*n^26+ 17105199550833583572833128109266104422772839501941470895*n^25+ 75350848544981910337427462308812389889208412091365594046*n^24+ 302791865980583036426058332504031435170936790131598785941*n^23+ 1110214245180040318618549780512846951787152575390223162942*n^22+ 3713997704441641942103306471228801095315190872202787648414*n^21+ 11331034890755370884954434765158053634243524034574814487342*n^20+ 31503823980183874460162564158698106494123623703175938540562*n^19+ 79733393290595336288826318724051350721001340465967089583134*n^18+ 183422299236917485639548464220942721598472987168364666686316*n^17+ 382797685043286147178647210975602837895278312209119820869616*n^16+ 723036017057350913331637262599632869477052603528519653631804*n^15+ 1232429281657097734540691335288665027661254046381324469467836*n^14+ 1889061684523276772332501198207432063507868244136142237839192*n^13+ 2592781879427330263066156537445205820096355026747540348929024*n^12+ 3170235822220599649418230483731433052079037760977413949284544*n^11+ 3431770590946027420121110514297188979348844139050593361283456*n^10+ 3263922201430769279315286626534549437043366276525866753852416*n^9+ 2701885373128135690426315174879746467767089976755590143789056*n^8+ 1923795842179104068462040472448786459067608410332719400646656*n^7+ 1160408618307467121684272926616142573041727511318698080486400*n^6+ 581143323034195559069096910034225742461155786785408092329984*n^5+ 235038148974944184641285792765502394841349404320659434569728*n^4+ 73727006053436862563907449085363961347585137524400215916544*n^3+ 16822127696746541926384257511191022434508533994856415068160*n^2+ 2482522932151810799438300398252039354697862614015499239424*n+ 177767399046120851163373334935357586707219638188040781824)*(n+5)^2*X(n+5)-7*( 6840626514887534793454089241*n^41+1087659615867118032159200189319*n^40+ 83997783163300083054087479529986*n^39+4198281213040407290450827188099288*n^38+ 152670275071921182277178771943909897*n^37+4305539142037850922016537646767607873 *n^36+98013188462307785438406125517609493694*n^35+ 1851000178383412824423622618017550649682*n^34+ 29578403738287305570704606322339319766412*n^33+ 405913432080464398043977290145857149162824*n^32+ 4839030655345297941886147728188171085513816*n^31+ 50567221978040944258305246213167733425878852*n^30+ 466547397369094141651533766027028792576476586*n^29+ 3822604636575058135450558209952831139293885482*n^28+ 27944546364509245469682295617313071387154159216*n^27+ 182958005016037242955072458751910517718022094592*n^26+ 1076056776000486915675812151725153745116719324101*n^25+ 5698735829498453264463214437541353223058107028187*n^24+ 27224722867911035977369585027076593395150581167574*n^23+ 117475882399581332096710621830739625195824411448148*n^22+ 458233398059914513236424627801836475462470180631033*n^21+ 1616346615240693210001515099296841586241857134318849*n^20+ 5155354951417843401659177529048778306685305657945218*n^19+ 14860556078214865334614795995334992288900573676223638*n^18+ 38676240433774951210683181468268470093981551497991622*n^17+ 90752728358157951880200468436502158628902307356500006*n^16+ 191615604958613166680516195242009523582499455278349376*n^15+ 363126759692275485764199952415809893770639641924102640*n^14+ 615684931335835353264200101534712893980135833783683476*n^13+ 930287395236598287679052935740554746696521282027111044*n^12+ 1246589217264904288086431173353231316460106998362044640*n^11+ 1472586229955865124391144481392585039089890713339780664*n^10+ 1522233842200805080085752637021016560305887507339162512*n^9+ 1364349310460522641660258769413641800256128828955887936*n^8+ 1047983541074444856273425838015693261556229925955600896*n^7+ 679575442824770938704009295368012981234983388794222208*n^6+ 364673277322036984624547323275132557287645611704537856*n^5+ 157535396189671630604977644492252247162322162967220224*n^4+ 52622045063687028075236302720628299231921111058128896*n^3+ 12748460162650280332042493449936021768570117577687040*n^2+ 1991991982068706572242679220174205465858672920068096*n+ 150622157268626184834893228195958821374530847899648)*(n+5)^2*(n+6)^4*X(n+6)+( 977232359269647827636298463*n^35+117267883112357739316355815560*n^34+ 6807787388865982906327648527288*n^33+254693086011117470352917033544750*n^32+ 6901462144253752549015826128529580*n^31+144329933571411261975985392843465716*n^ 30+2423890398208193985932737139641810566*n^29+ 33584187329895688469603018367379405736*n^28+ 391409686585287506181352369046146157618*n^27+ 3892769430219275594071744424004475198832*n^26+ 33402915354597269517735363867889729937426*n^25+ 249401280499663662906128009587417814477708*n^24+ 1631087327257327328809517872594747281598496*n^23+ 9391985151844241541287535072168821873303768*n^22+ 47803435532503681794284675450547363173259254*n^21+ 215709013804786973655709338917211393753658952*n^20+ 864758136541121617622572123014501761725154003*n^19+ 3083971177298088803887036022942765016701048912*n^18+ 9789792991800377607117809344954071635042259454*n^17+ 27659218405651500737197892802190064633027382182*n^16+ 69496415395337886295787492719294632820936836716*n^15+ 155052809535552399630631354349720997492231509636*n^14+ 306472794282943588021128858566967243666482178908*n^13+ 534961271457807053110419203359101742807929311664*n^12+ 821218460471780449319549354938462137290162330276*n^11+ 1102731166316519351368020742471342578778713567336*n^10+ 1286422530468987028570977225221289016899415910496*n^9+ 1292445835968755004109388940459754570001074474368*n^8+ 1105825376595516975199462084118947875825416348736*n^7+ 794047457224114837543247897859511966708000881024*n^6+ 469217876070366085045785733279099075642826379264*n^5+ 222041700770679098331904355568254968376791554048*n^4+ 80846150959742890060295222139979371926185494528*n^3+ 21249440669368051101814813937723431056037257216*n^2+ 3586253440535843300371262123499428986216587264*n+ 291651279594448339587482182805860842288611328)*(n+5)^2*(n+6)^4*(n+7)^6*X(n+7) = 0 with initial conditions 12979135295 A(1) = 196, A(2) = 15155/2, A(3) = 11743732/9, A(4) = -----------, 72 60621559018307 6091125342684697 65006261354752928 A(5) = --------------, A(6) = ----------------, A(7) = ----------------- 1800 900 45 B(1) = 7, B(2) = 805, B(3) = 92071, B(4) = 13716241, B(5) = 2621726527, B(6) = 506243196109, B(7) = 111389549000695 Then the sequence of quotients A(n)/B(n) converges very fast to C Using , 4000, terms yield , 1239, (decimal) digits Here it is to 30 digits, 13.1197394657217857429914697084 To illustrate how fast the convergence is, and also as check, let's compute \ the n=5000 and n=10000 values of the above sequence, whose limit is our \ C 13.1139877348300161660417482537, 13.1157342990665636124953272205 as you can see the convergence is extremely slow using the definition ---------------------- This took, 390.234, seconds.