n - 1 ----- \ Pi j (-2 i) evaluations of , ) sin(----) , for i from 1 to , 50 / 2 n ----- j = 1 By Shalosh B. Ekhad ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 2 (n + 1) (n - 1) Theorem , 1, we have :, ) ---------- = ----------------- / Pi j 2 3 ----- sin(----) j = 1 2 n and in Maple notation: 2/3*(n+1)*(n-1) ------------------------------ n - 1 ----- 2 \ 1 4 (n + 1) (n - 1) (2 n + 7) Theorem , 2, we have :, ) ---------- = ---------------------------- / Pi j 4 45 ----- sin(----) j = 1 2 n and in Maple notation: 4/45*(n+1)*(n-1)*(2*n^2+7) ------------------------------ Theorem , 3, we have :, n - 1 ----- 4 2 \ 1 8 (n + 1) (n - 1) (8 n + 29 n + 71) ) ---------- = ------------------------------------- / Pi j 6 945 ----- sin(----) j = 1 2 n and in Maple notation: 8/945*(n+1)*(n-1)*(8*n^4+29*n^2+71) ------------------------------ Theorem , 4, we have :, n - 1 ----- 6 4 2 \ 1 16 (n + 1) (n - 1) (24 n + 104 n + 251 n + 521) ) ---------- = -------------------------------------------------- / Pi j 8 14175 ----- sin(----) j = 1 2 n and in Maple notation: 16/14175*(n+1)*(n-1)*(24*n^6+104*n^4+251*n^2+521) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 5, we have :, ) ----------- = / Pi j 10 ----- sin(----) j = 1 2 n 8 6 4 2 32 (n + 1) (n - 1) (32 n + 164 n + 450 n + 901 n + 1693) ------------------------------------------------------------ 93555 and in Maple notation: 32/93555*(n+1)*(n-1)*(32*n^8+164*n^6+450*n^4+901*n^2+1693) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 6, we have :, ) ----------- = 64 (n + 1) (n - 1) / Pi j 12 ----- sin(----) j = 1 2 n 10 8 6 4 2 (44224 n + 262624 n + 821182 n + 1815032 n + 3253469 n + 5710469)/ 638512875 and in Maple notation: 64/638512875*(n+1)*(n-1)*(44224*n^10+262624*n^8+821182*n^6+1815032*n^4+3253469* n^2+5710469) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 12 Theorem , 7, we have :, ) ----------- = 128 (n + 1) (n - 1) (3840 n / Pi j 14 ----- sin(----) j = 1 2 n 10 8 6 4 2 + 25952 n + 91472 n + 224891 n + 436531 n + 726457 n + 1212457)/ 273648375 and in Maple notation: 128/273648375*(n+1)*(n-1)*(3840*n^12+25952*n^10+91472*n^8+224891*n^6+436531*n^4 +726457*n^2+1212457) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 14 Theorem , 8, we have :, ) ----------- = 256 (n + 1) (n - 1) (1388928 n / Pi j 16 ----- sin(----) j = 1 2 n 12 10 8 6 4 + 10528128 n + 41352256 n + 112425856 n + 238674979 n + 424359179 n 2 + 669172337 n + 1074010337)/488462349375 and in Maple notation: 256/488462349375*(n+1)*(n-1)*(1388928*n^14+10528128*n^12+41352256*n^10+ 112425856*n^8+238674979*n^6+424359179*n^4+669172337*n^2+1074010337) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 9, we have :, ) ----------- = 512 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 18 ----- sin(----) j = 1 2 n 16 14 12 10 112299520 n + 943572928 n + 4088714368 n + 12198655216 n 8 6 4 2 + 28237533526 n + 54230674609 n + 90463687339 n + 136906047247 n + 212920335247)/194896477400625 and in Maple notation: 512/194896477400625*(n+1)*(n-1)*(112299520*n^16+943572928*n^14+4088714368*n^12+ 12198655216*n^10+28237533526*n^8+54230674609*n^6+90463687339*n^4+136906047247*n ^2+212920335247) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 10, we have :, ) ----------- = 1024 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 20 ----- sin(----) j = 1 2 n 18 16 14 12 3754834944 n + 34637202944 n + 164177309024 n + 533660885024 n 10 8 6 + 1339874175764 n + 2775847146014 n + 4954255382249 n 4 2 + 7871509097999 n + 11530685023019 n + 17471801743019)/32157918771103125 and in Maple notation: 1024/32157918771103125*(n+1)*(n-1)*(3754834944*n^18+34637202944*n^16+ 164177309024*n^14+533660885024*n^12+1339874175764*n^10+2775847146014*n^8+ 4954255382249*n^6+7871509097999*n^4+11530685023019*n^2+17471801743019) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 11, we have :, ) ----------- = 2048 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 22 ----- sin(----) j = 1 2 n 20 18 16 14 4772843520 n + 47953445376 n + 246835895296 n + 868592118736 n 12 10 8 + 2352811821856 n + 5238677224486 n + 10001178676906 n 6 4 2 + 16874095108441 n + 25796160434461 n + 36797151215461 n + 54543344015461)/201717854109646875 and in Maple notation: 2048/201717854109646875*(n+1)*(n-1)*(4772843520*n^20+47953445376*n^18+ 246835895296*n^16+868592118736*n^14+2352811821856*n^12+5238677224486*n^10+ 10001178676906*n^8+16874095108441*n^6+25796160434461*n^4+36797151215461*n^2+ 54543344015461) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 12, we have :, ) ----------- = 4096 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 24 ----- sin(----) j = 1 2 n 22 20 18 14522209751040 n + 157850700656640 n + 876937263364608 n 16 14 12 + 3322054926238208 n + 9661082872248968 n + 23026002351214568 n 10 8 6 + 46897459147087298 n + 84063888200850398 n + 135642820502091743 n 4 2 + 200956537702208843 n + 280376888294063843 n + 407813841938063843)/ 3028793579456347828125 and in Maple notation: 4096/3028793579456347828125*(n+1)*(n-1)*(14522209751040*n^22+157850700656640*n^ 20+876937263364608*n^18+3322054926238208*n^16+9661082872248968*n^14+ 23026002351214568*n^12+46897459147087298*n^10+84063888200850398*n^8+ 135642820502091743*n^6+200956537702208843*n^4+280376888294063843*n^2+ 407813841938063843) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 13, we have :, ) ----------- = 8192 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 26 ----- sin(----) j = 1 2 n 24 22 20 679111114752 n + 7940215990272 n + 47355550989312 n 18 16 14 + 192183289614336 n + 597409832798656 n + 1518316248517036 n 12 10 8 + 3288926574739816 n + 6251551315383406 n + 10657001539527466 n 6 4 2 + 16581373742311501 n + 23932490769301549 n + 32769033282135949 n + 46885126608855949)/698952364489926421875 and in Maple notation: 8192/698952364489926421875*(n+1)*(n-1)*(679111114752*n^24+7940215990272*n^22+ 47355550989312*n^20+192183289614336*n^18+597409832798656*n^16+1518316248517036* n^14+3288926574739816*n^12+6251551315383406*n^10+10657001539527466*n^8+ 16581373742311501*n^6+23932490769301549*n^4+32769033282135949*n^2+ 46885126608855949) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 14, we have :, ) ----------- = 16384 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 28 ----- sin(----) j = 1 2 n 26 24 22 111174619856896 n + 1391299071164416 n + 8866606540512256 n 20 18 16 + 38382891063494656 n + 127034728547601280 n + 343067669320476480 n 14 12 + 787977205890303150 n + 1584446206207320450 n 10 8 + 2849737068204025620 n + 4662484330428335720 n 6 4 + 7037937839930870909 n + 9936028183278303389 n 2 + 13386158464071267389 n + 18876870638218467389)/564653660170076273671875 and in Maple notation: 16384/564653660170076273671875*(n+1)*(n-1)*(111174619856896*n^26+ 1391299071164416*n^24+8866606540512256*n^22+38382891063494656*n^20+ 127034728547601280*n^18+343067669320476480*n^16+787977205890303150*n^14+ 1584446206207320450*n^12+2849737068204025620*n^10+4662484330428335720*n^8+ 7037937839930870909*n^6+9936028183278303389*n^4+13386158464071267389*n^2+ 18876870638218467389) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 15, we have :, ) ----------- = 32768 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 30 ----- sin(----) j = 1 2 n 28 26 24 225859109545705472 n + 3012284194329018368 n + 20429529466374004736 n 22 20 + 93975868433656203776 n + 329986597479890425856 n 18 16 + 943898600252928069440 n + 2292234370375168188000 n 14 12 + 4863979571266245490245 n + 9212522702209442756325 n 10 8 + 15834856690259096336845 n + 25034877087339771576013 n 6 4 + 36832275607229172708727 n + 51020868251978707090999 n 2 + 67773208432462419572599 n + 94347422281763617652599)/ 5660878804669082674070015625 and in Maple notation: 32768/5660878804669082674070015625*(n+1)*(n-1)*(225859109545705472*n^28+ 3012284194329018368*n^26+20429529466374004736*n^24+93975868433656203776*n^22+ 329986597479890425856*n^20+943898600252928069440*n^18+2292234370375168188000*n^ 16+4863979571266245490245*n^14+9212522702209442756325*n^12+ 15834856690259096336845*n^10+25034877087339771576013*n^8+ 36832275607229172708727*n^6+51020868251978707090999*n^4+67773208432462419572599 *n^2+94347422281763617652599) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 16, we have :, ) ----------- = 65536 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 32 ----- sin(----) j = 1 2 n 30 28 58354996363956289536 n + 826275968819354894336 n 26 24 + 5942152424481517371392 n + 28946884901593567035392 n 22 20 + 107497426633960801344512 n + 324733729367302020672512 n 18 16 + 831587053208932935276800 n + 1857757484365049775628800 n 14 12 + 3698046749505457055020455 n + 6667771719712083450784455 n 10 8 + 11034264879898175235654079 n + 16945339956059744095309279 n 6 4 + 24386971384029433786845613 n + 33227910673677938193477613 n 2 + 43592169680859462127197613 n + 59986745160468669007197613)/ 7217620475953080409439269921875 and in Maple notation: 65536/7217620475953080409439269921875*(n+1)*(n-1)*(58354996363956289536*n^30+ 826275968819354894336*n^28+5942152424481517371392*n^26+28946884901593567035392* n^24+107497426633960801344512*n^22+324733729367302020672512*n^20+ 831587053208932935276800*n^18+1857757484365049775628800*n^16+ 3698046749505457055020455*n^14+6667771719712083450784455*n^12+ 11034264879898175235654079*n^10+16945339956059744095309279*n^8+ 24386971384029433786845613*n^6+33227910673677938193477613*n^4+ 43592169680859462127197613*n^2+59986745160468669007197613) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 17, we have :, ) ----------- = 131072 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 34 ----- sin(----) j = 1 2 n 32 30 2086799047767490560 n + 31264297229745635328 n 28 26 + 237643058577134010368 n + 1222246265321637502976 n 24 22 + 4786588384003212133376 n + 15229877217259526395136 n 20 18 + 41025856202147669687936 n + 96277543238281743994400 n 16 14 + 201028962645339217667550 n + 379604937865825008153165 n 12 10 + 656762052273615539389305 n + 1052368292406824507653717 n 8 6 + 1576217281490093621779627 n + 2225344818447568314139639 n 4 2 + 2988386898620690618815639 n + 3877360206117453255775639 n + 5280104632180273095775639)/1273697731050543601665753515625 and in Maple notation: 131072/1273697731050543601665753515625*(n+1)*(n-1)*(2086799047767490560*n^32+ 31264297229745635328*n^30+237643058577134010368*n^28+1222246265321637502976*n^ 26+4786588384003212133376*n^24+15229877217259526395136*n^22+ 41025856202147669687936*n^20+96277543238281743994400*n^18+ 201028962645339217667550*n^16+379604937865825008153165*n^14+ 656762052273615539389305*n^12+1052368292406824507653717*n^10+ 1576217281490093621779627*n^8+2225344818447568314139639*n^6+ 2988386898620690618815639*n^4+3877360206117453255775639*n^2+ 5280104632180273095775639) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 18, we have :, ) ----------- = 262144 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 36 ----- sin(----) j = 1 2 n 34 32 6898390546003650772467712 n + 109024969090368351072550912 n 30 28 + 873386240435002527794667520 n + 4729574284119578716971704320 n 26 24 + 19481920746338634640637200384 n + 65130421752092046842388880384 n 22 20 + 184137525814487849514253266304 n + 452995923543215221784293602304 n 18 16 + 990302146239854180284001158180 n + 1955230951470399027898063334930 n 14 + 3531856010634557393141156115863 n 12 + 5899320655476167929433647564163 n 10 + 9193865478893537536115540195675 n 8 + 13474023424337228143593831346625 n 6 + 18705259265868606591434055055181 n 4 + 24797657833708600073062458643181 n 2 + 31856833009883942017550611123181 n + 42971496705470233836448531123181)/ 20777977561866588586487628662044921875 and in Maple notation: 262144/20777977561866588586487628662044921875*(n+1)*(n-1)*( 6898390546003650772467712*n^34+109024969090368351072550912*n^32+ 873386240435002527794667520*n^30+4729574284119578716971704320*n^28+ 19481920746338634640637200384*n^26+65130421752092046842388880384*n^24+ 184137525814487849514253266304*n^22+452995923543215221784293602304*n^20+ 990302146239854180284001158180*n^18+1955230951470399027898063334930*n^16+ 3531856010634557393141156115863*n^14+5899320655476167929433647564163*n^12+ 9193865478893537536115540195675*n^10+13474023424337228143593831346625*n^8+ 18705259265868606591434055055181*n^6+24797657833708600073062458643181*n^4+ 31856833009883942017550611123181*n^2+42971496705470233836448531123181) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 19, we have :, ) ----------- = 524288 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 38 ----- sin(----) j = 1 2 n 36 34 220722030107549777264640 n + 3669917303109375163498496 n 32 30 + 30903671581606628576854016 n + 175762998516186261056983040 n 28 26 + 759717903510597726114836480 n + 2662663054093597576436728832 n 24 22 + 7884303260279335749246482432 n + 20293566205425919433791865792 n 20 18 + 46366376906704098006439178192 n + 95565922573252081421071418690 n 16 14 + 179986789194080452390670338750 n + 313035108552507847681663410379 n 12 10 + 507232083963326209828960749859 n + 771599230987366016008654408345 n 8 6 + 1109393570934859951111026225205 n + 1517290319782914619134514081213 n 4 2 + 1988457504215057242887355465213 n + 2531752578316300795931860105213 n + 3385510529328619086430420105213)/3280733299242092934708572946638671875 and in Maple notation: 524288/3280733299242092934708572946638671875*(n+1)*(n-1)*( 220722030107549777264640*n^36+3669917303109375163498496*n^34+ 30903671581606628576854016*n^32+175762998516186261056983040*n^30+ 759717903510597726114836480*n^28+2662663054093597576436728832*n^26+ 7884303260279335749246482432*n^24+20293566205425919433791865792*n^22+ 46366376906704098006439178192*n^20+95565922573252081421071418690*n^18+ 179986789194080452390670338750*n^16+313035108552507847681663410379*n^14+ 507232083963326209828960749859*n^12+771599230987366016008654408345*n^10+ 1109393570934859951111026225205*n^8+1517290319782914619134514081213*n^6+ 1988457504215057242887355465213*n^4+2531752578316300795931860105213*n^2+ 3385510529328619086430420105213) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 20, we have :, ) ----------- = 1048576 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 40 ----- sin(----) j = 1 2 n 38 36 5749066525232785326678736896 n + 100317420324812487395713744896 n 34 32 + 885888889727343228237405618176 n + 5279779562906485510941826482176 n 30 + 23895590170385238080175833716736 n 28 + 87619869027263683726029798004736 n 26 + 271205534780446693513032084294656 n 24 + 729040753146599126731650370374656 n 22 + 1737972518877845734857533052523856 n 20 + 3733814869328401657396113389503856 n 18 + 7322103806426279381432842777922654 n 16 + 13244534782772562859464021720567154 n 14 + 22292682304058798806223419224027949 n 12 + 35177917220220805507052186476038949 n 10 + 52385051080009882100457910312239439 n 8 + 74052180163630287630869178790123939 n 6 + 99937781108804131136055607049389819 n 4 + 129621595264353571808752015358629819 n 2 + 163701761511992105014265394269029819 n + 217163756035940779319788875869029819)/ 421689054618082415362766423696201689453125 and in Maple notation: 1048576/421689054618082415362766423696201689453125*(n+1)*(n-1)*( 5749066525232785326678736896*n^38+100317420324812487395713744896*n^36+ 885888889727343228237405618176*n^34+5279779562906485510941826482176*n^32+ 23895590170385238080175833716736*n^30+87619869027263683726029798004736*n^28+ 271205534780446693513032084294656*n^26+729040753146599126731650370374656*n^24+ 1737972518877845734857533052523856*n^22+3733814869328401657396113389503856*n^20 +7322103806426279381432842777922654*n^18+13244534782772562859464021720567154*n^ 16+22292682304058798806223419224027949*n^14+35177917220220805507052186476038949 *n^12+52385051080009882100457910312239439*n^10+ 74052180163630287630869178790123939*n^8+99937781108804131136055607049389819*n^6 +129621595264353571808752015358629819*n^4+163701761511992105014265394269029819* n^2+217163756035940779319788875869029819) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 21, we have :, ) ----------- = 2097152 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 42 ----- sin(----) j = 1 2 n 40 38 1051999018665563106601661890560 n + 19221923771663781131569809850368 n 36 + 177630063328956754777837935525888 n 34 + 1107070002726919288821002824450048 n 32 + 5235936287645053970145527938121728 n 30 + 20048418190591658110011013126386688 n 28 + 64751123161069106415247156473699328 n 26 + 181479209973401915177764293545724928 n 24 + 450694102991537575007327186889704128 n 22 + 1007797276261793292601380829696617928 n 20 + 2055096783644323374474133667705489068 n 18 + 3861689400832915071427196463818421382 n 16 + 6745046261663677118071105900741122062 n 14 + 11032546787515309014934324145299440827 n 12 + 17007787498778935533171736839504862847 n 10 + 24853051808390256896577590585706542237 n 8 + 34604472328048788349819798955305218797 n 6 + 46144055126784311621488831010671632797 n 4 + 59290898491333575338673496489968432797 n 2 + 74326345468247097844759578860688432797 n + 97875702080503513892509678316688432797)/ 380785216320128421072578080597670125576171875 and in Maple notation: 2097152/380785216320128421072578080597670125576171875*(n+1)*(n-1)*( 1051999018665563106601661890560*n^40+19221923771663781131569809850368*n^38+ 177630063328956754777837935525888*n^36+1107070002726919288821002824450048*n^34+ 5235936287645053970145527938121728*n^32+20048418190591658110011013126386688*n^ 30+64751123161069106415247156473699328*n^28+ 181479209973401915177764293545724928*n^26+450694102991537575007327186889704128* n^24+1007797276261793292601380829696617928*n^22+ 2055096783644323374474133667705489068*n^20+ 3861689400832915071427196463818421382*n^18+ 6745046261663677118071105900741122062*n^16+ 11032546787515309014934324145299440827*n^14+ 17007787498778935533171736839504862847*n^12+ 24853051808390256896577590585706542237*n^10+ 34604472328048788349819798955305218797*n^8+ 46144055126784311621488831010671632797*n^6+ 59290898491333575338673496489968432797*n^4+ 74326345468247097844759578860688432797*n^2+ 97875702080503513892509678316688432797) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 22, we have :, ) ----------- = 4194304 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 44 ----- sin(----) j = 1 2 n 42 40 6686086561419143635129451151360 n + 127665973707958900894320568565760 n 38 + 1232137828336636296554884419551232 n 36 + 8015263419198694492293523971244032 n 34 + 39542474864797340499075085625393152 n 32 + 157831455748202057657056670493540352 n 30 + 531019908674887648284464365915090432 n 28 + 1549294009150237926020641058783852032 n 26 + 4002314535436752014136892320765749632 n 24 + 9302233435234371854884428359000477632 n 22 + 19700372429046047606918368307086371172 n 20 + 38412216262833291443570408896126007272 n 18 + 69554281996441849734334127664098141818 n 16 + 117823015604493944477101980122303702018 n 14 + 187910835898184847791889626032709283173 n 12 + 283740509820342606020502073434078486473 n 10 + 407679427350349305160255160264456811743 n 8 + 559958067968335452252930256143634668143 n 6 + 738629124139567514197386660285708978143 n 4 + 940995672038910775495015379624400978143 n 2 + 1171622662023306151222696494697200978143 n + 1532331094699411297662335967337200978143)/ 11942809057313118660912676164199653938525390625 and in Maple notation: 4194304/11942809057313118660912676164199653938525390625*(n+1)*(n-1)*( 6686086561419143635129451151360*n^42+127665973707958900894320568565760*n^40+ 1232137828336636296554884419551232*n^38+8015263419198694492293523971244032*n^36 +39542474864797340499075085625393152*n^34+157831455748202057657056670493540352* n^32+531019908674887648284464365915090432*n^30+ 1549294009150237926020641058783852032*n^28+ 4002314535436752014136892320765749632*n^26+ 9302233435234371854884428359000477632*n^24+ 19700372429046047606918368307086371172*n^22+ 38412216262833291443570408896126007272*n^20+ 69554281996441849734334127664098141818*n^18+ 117823015604493944477101980122303702018*n^16+ 187910835898184847791889626032709283173*n^14+ 283740509820342606020502073434078486473*n^12+ 407679427350349305160255160264456811743*n^10+ 559958067968335452252930256143634668143*n^8+ 738629124139567514197386660285708978143*n^6+ 940995672038910775495015379624400978143*n^4+ 1171622662023306151222696494697200978143*n^2+ 1532331094699411297662335967337200978143) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 23, we have :, ) ----------- = 8388608 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 46 ----- sin(----) j = 1 2 n 44 91366335558988931137032180203520 n 42 + 1819719711685837560817995302830080 n 40 + 18309278329759206475245744606412800 n 38 + 124100482377136298924846303586680832 n 36 + 637554329714057460662217337895780352 n 34 + 2648441428907830861913099968070582272 n 32 + 9268032367709346765208327505653153792 n 30 + 28107121156242378736366882516483247872 n 28 + 75424645933411759853091637215179252992 n 26 + 181973765675582222053255409788859334592 n 24 + 399760306500678610101249786240402919072 n 22 + 807912912576527812886981887819391236162 n 20 + 1515077560313132427555537868315536855442 n 18 + 2655703237872431542606875096060539064118 n 16 + 4378602027528766008492678672154183192598 n 14 + 6828148181527424238705126073728517467203 n 12 + 10120885875058204487951040958990139769683 n 10 + 14322438120163365616902880099179035335703 n 8 + 19431289616311095546760200253491171838583 n 6 + 25379632141439381495879977341348221410583 n 4 + 32081198573811371418194377669449307810583 n 2 + 39694363916853888496174602637219867810583 n + 51586241346587279613868687743907867810583)/ 805360732517071610568502640464072315593603515625 and in Maple notation: 8388608/805360732517071610568502640464072315593603515625*(n+1)*(n-1)*( 91366335558988931137032180203520*n^44+1819719711685837560817995302830080*n^42+ 18309278329759206475245744606412800*n^40+124100482377136298924846303586680832*n ^38+637554329714057460662217337895780352*n^36+ 2648441428907830861913099968070582272*n^34+ 9268032367709346765208327505653153792*n^32+ 28107121156242378736366882516483247872*n^30+ 75424645933411759853091637215179252992*n^28+ 181973765675582222053255409788859334592*n^26+ 399760306500678610101249786240402919072*n^24+ 807912912576527812886981887819391236162*n^22+ 1515077560313132427555537868315536855442*n^20+ 2655703237872431542606875096060539064118*n^18+ 4378602027528766008492678672154183192598*n^16+ 6828148181527424238705126073728517467203*n^14+ 10120885875058204487951040958990139769683*n^12+ 14322438120163365616902880099179035335703*n^10+ 19431289616311095546760200253491171838583*n^8+ 25379632141439381495879977341348221410583*n^6+ 32081198573811371418194377669449307810583*n^4+ 39694363916853888496174602637219867810583*n^2+ 51586241346587279613868687743907867810583) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 24, we have :, ) ----------- = 16777216 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 48 ----- sin(----) j = 1 2 n 46 9881568055044429539336293480094760960 n 44 + 204935903186507539066540813709381468160 n 42 + 2146087603688846025731083477919968788480 n 40 + 15131978922922160837432771701372543303680 n 38 + 80828171227719647773900448821414462881792 n 36 + 348922961517701383191008921041720260820992 n 34 + 1268185567875845390384403353787494182223872 n 32 + 3992282288825473574994954892359809958019072 n 30 + 11114018664569598615255078677368423257738112 n 28 + 27800420709667351536114217331763292228285312 n 26 + 63276960366977531948644588325200110694749952 n 24 + 132408991285297787436350842120003738202042752 n 22 + 256910237777459156397706029247916236488100582 n 20 + 465572200832626891227247346211816370968675382 n 18 + 792956454662843752334421918143039470646939458 n 16 + 1276272473115848164933117256074531505289200258 n 14 + 1950633349473101840865416279766605220044948153 n 12 + 2843411727774176240401507623881145519478962953 n 10 + 3968863311326737242343613064115094026211041013 n 8 + 5324550321305594161014671593329889801907393813 n 6 + 6892033148421313280642571717258111926694413813 n 4 + 8649505745497718835680261501921139571278413813 n 2 + 10640258359342981312034759356760598292878413813 n + 13746175111160717638178211879153527572878413813)/ 429833103355348874634568386755282355917040100341796875 and in Maple notation: 16777216/429833103355348874634568386755282355917040100341796875*(n+1)*(n-1)*( 9881568055044429539336293480094760960*n^46+ 204935903186507539066540813709381468160*n^44+ 2146087603688846025731083477919968788480*n^42+ 15131978922922160837432771701372543303680*n^40+ 80828171227719647773900448821414462881792*n^38+ 348922961517701383191008921041720260820992*n^36+ 1268185567875845390384403353787494182223872*n^34+ 3992282288825473574994954892359809958019072*n^32+ 11114018664569598615255078677368423257738112*n^30+ 27800420709667351536114217331763292228285312*n^28+ 63276960366977531948644588325200110694749952*n^26+ 132408991285297787436350842120003738202042752*n^24+ 256910237777459156397706029247916236488100582*n^22+ 465572200832626891227247346211816370968675382*n^20+ 792956454662843752334421918143039470646939458*n^18+ 1276272473115848164933117256074531505289200258*n^16+ 1950633349473101840865416279766605220044948153*n^14+ 2843411727774176240401507623881145519478962953*n^12+ 3968863311326737242343613064115094026211041013*n^10+ 5324550321305594161014671593329889801907393813*n^8+ 6892033148421313280642571717258111926694413813*n^6+ 8649505745497718835680261501921139571278413813*n^4+ 10640258359342981312034759356760598292878413813*n^2+ 13746175111160717638178211879153527572878413813) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 25, we have :, ) ----------- = 33554432 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 50 ----- sin(----) j = 1 2 n 48 2643200132969648877421693827438084096 n 46 + 56991824435714011343771307967959269376 n 44 + 620211217127813740103574360130024636416 n 42 + 4542430075177452219110826691386698366976 n 40 + 25191445525104602022215106495578704183296 n 38 + 112851997559544565016685893878313139044352 n 36 + 425438449779374215700379830631180962168832 n 34 + 1388438634544199222983673553762962514460672 n 32 + 4004947017513326524829249755878807880440832 n 30 + 10374236762963588251532395914557180996162752 n 28 + 24438659260438843766172975837070891900394560 n 26 + 52894619093957394363996028584603576090299680 n 24 + 106086149127556833448178666157956324506464340 n 22 + 198587737346377843947285743298481139082047230 n 20 + 349131811218401394590073613126283687538916210 n 18 + 579594241123493273294596245182818913105652898 n 16 + 912933267589367001005954327214843889418938718 n 14 + 1370249330302086044556098619356195422751046953 n 12 + 1967421443095289969334829822594761754397503493 n 10 + 2712007394860162930050280412711925019140481373 n 8 + 3601296325614784865383959887305721325752221469 n 6 + 4623007185470920199935502382536399617571643869 n 4 + 5763523244881465063981619151458912582174523869 n 2 + 7052000244374483542554795641189661495326523869 n + 9060070503508889395865501271993906384926523869)/ 567379696429060514517630270516972709810492932451171875 and in Maple notation: 33554432/567379696429060514517630270516972709810492932451171875*(n+1)*(n-1)*( 2643200132969648877421693827438084096*n^48+ 56991824435714011343771307967959269376*n^46+ 620211217127813740103574360130024636416*n^44+ 4542430075177452219110826691386698366976*n^42+ 25191445525104602022215106495578704183296*n^40+ 112851997559544565016685893878313139044352*n^38+ 425438449779374215700379830631180962168832*n^36+ 1388438634544199222983673553762962514460672*n^34+ 4004947017513326524829249755878807880440832*n^32+ 10374236762963588251532395914557180996162752*n^30+ 24438659260438843766172975837070891900394560*n^28+ 52894619093957394363996028584603576090299680*n^26+ 106086149127556833448178666157956324506464340*n^24+ 198587737346377843947285743298481139082047230*n^22+ 349131811218401394590073613126283687538916210*n^20+ 579594241123493273294596245182818913105652898*n^18+ 912933267589367001005954327214843889418938718*n^16+ 1370249330302086044556098619356195422751046953*n^14+ 1967421443095289969334829822594761754397503493*n^12+ 2712007394860162930050280412711925019140481373*n^10+ 3601296325614784865383959887305721325752221469*n^8+ 4623007185470920199935502382536399617571643869*n^6+ 5763523244881465063981619151458912582174523869*n^4+ 7052000244374483542554795641189661495326523869*n^2+ 9060070503508889395865501271993906384926523869) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 26, we have :, ) ----------- = 67108864 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 52 ----- sin(----) j = 1 2 n 50 818887200117211689689498799551683756032 n 48 + 18330088081041135502608220406328990892032 n 46 + 207001337348018189804540905895148285591552 n 44 + 1572616793404355916493063374377217322647552 n 42 + 9042821364741392402014512514476985296617472 n 40 + 41984243414803559643122746059658979550953472 n 38 + 163962424035770973815839534318849386895441920 n 36 + 554067438319586514675774258884648819931217920 n 34 + 1654061226145840605310450873556330376901314560 n 32 + 4432125747110445378728350320158099841030210560 n 30 + 10794617885342432224868087442916859004158308256 n 28 + 24142242900134436604160535032569394102293492256 n 26 + 50004748658851621561211931639069013049827878536 n 24 + 96611327798788186753395431896915499375421785036 n 22 + 175190018674210867324987500343330908880509887066 n 20 + 299772806907980876176100430286984067503635813566 n 18 + 486339759056810990230416782817501108592023529430 n 16 + 751267916411317461856358466223210626492162940930 n 14 + 1109231660002689447426728122266998519281541682415 n 12 + 1570882523225030338406285741517247965573320173915 n 10 + 2140776687322807133615864299578730561986711317587 n 8 + 2816150418687482949135625712032232423728725197587 n 6 + 3587599538768009425238714190477444410209244837587 n 4 + 4445284364308179076420199981837013758084444837587 n 2 + 5411876484165642572049762384138011670750044837587 n + 6916793392170782705328430348400242710750044837587)/ 867436266655967517387530894348064046729503617882080078125 and in Maple notation: 67108864/867436266655967517387530894348064046729503617882080078125*(n+1)*(n-1)* (818887200117211689689498799551683756032*n^50+ 18330088081041135502608220406328990892032*n^48+ 207001337348018189804540905895148285591552*n^46+ 1572616793404355916493063374377217322647552*n^44+ 9042821364741392402014512514476985296617472*n^42+ 41984243414803559643122746059658979550953472*n^40+ 163962424035770973815839534318849386895441920*n^38+ 554067438319586514675774258884648819931217920*n^36+ 1654061226145840605310450873556330376901314560*n^34+ 4432125747110445378728350320158099841030210560*n^32+ 10794617885342432224868087442916859004158308256*n^30+ 24142242900134436604160535032569394102293492256*n^28+ 50004748658851621561211931639069013049827878536*n^26+ 96611327798788186753395431896915499375421785036*n^24+ 175190018674210867324987500343330908880509887066*n^22+ 299772806907980876176100430286984067503635813566*n^20+ 486339759056810990230416782817501108592023529430*n^18+ 751267916411317461856358466223210626492162940930*n^16+ 1109231660002689447426728122266998519281541682415*n^14+ 1570882523225030338406285741517247965573320173915*n^12+ 2140776687322807133615864299578730561986711317587*n^10+ 2816150418687482949135625712032232423728725197587*n^8+ 3587599538768009425238714190477444410209244837587*n^6+ 4445284364308179076420199981837013758084444837587*n^4+ 5411876484165642572049762384138011670750044837587*n^2+ 6916793392170782705328430348400242710750044837587) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 27, we have :, ) ----------- = 134217728 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 54 ----- sin(----) j = 1 2 n 52 860737215878510910674970205555658388930560 n 50 + 19974792797414407565562406435291284780351488 n 48 + 233776048832966962967012246021078138526629888 n 46 + 1839896227521326024010823203570866613301280768 n 44 + 10955910159135784402107734045090461079954259968 n 42 + 52653966939143349706256423407646637675699765248 n 40 + 212770100066291163803017749517212506578594562048 n 38 + 743645760307950159353425678427316926995061964800 n 36 + 2295100608079006631056710050931144056522412646400 n 34 + 6354937560386131379668341227954164905796759055360 n 32 + 15986374257289097686661190886912908208024112138240 n 30 + 36910438835351142154218447958905969178572892352624 n 28 + 78883640188187611142252435396402635153152639966224 n 26 + 157170684728795852678427535042112743336816559304044 n 24 + 293745594989194002494566284699083170487354627557844 n 22 + 517736549718329851486386997474642596152777805851114 n 20 + 864630524738338169310465669642658452471556444737314 n 18 + 1373918200410103859292500894495470386097381631622350 n 16 + 2085179265351045720972391153783862509648378677227750 n 14 + 3033014273660284042736184515147387620511337297777665 n 12 + 4241615860229775474125799760435384688097812854349225 n 10 + 5720061763920918997119288976908191820175780653971513 n 8 + 7459713739407740970905724640347868376204932160291513 n 6 + 9436276481815666815640435684209346905965695740851513 n 4 + 11625642443090085601036223806986868049361132540851513 n 2 + 14087465817382086584625463097603194587755474940851513 n + 17916826271106411276214665342817024823915474940851513)/ 4499391915144503512689122748983408210385935265954349365234375 and in Maple notation: 134217728/4499391915144503512689122748983408210385935265954349365234375*(n+1)*( n-1)*(860737215878510910674970205555658388930560*n^52+ 19974792797414407565562406435291284780351488*n^50+ 233776048832966962967012246021078138526629888*n^48+ 1839896227521326024010823203570866613301280768*n^46+ 10955910159135784402107734045090461079954259968*n^44+ 52653966939143349706256423407646637675699765248*n^42+ 212770100066291163803017749517212506578594562048*n^40+ 743645760307950159353425678427316926995061964800*n^38+ 2295100608079006631056710050931144056522412646400*n^36+ 6354937560386131379668341227954164905796759055360*n^34+ 15986374257289097686661190886912908208024112138240*n^32+ 36910438835351142154218447958905969178572892352624*n^30+ 78883640188187611142252435396402635153152639966224*n^28+ 157170684728795852678427535042112743336816559304044*n^26+ 293745594989194002494566284699083170487354627557844*n^24+ 517736549718329851486386997474642596152777805851114*n^22+ 864630524738338169310465669642658452471556444737314*n^20+ 1373918200410103859292500894495470386097381631622350*n^18+ 2085179265351045720972391153783862509648378677227750*n^16+ 3033014273660284042736184515147387620511337297777665*n^14+ 4241615860229775474125799760435384688097812854349225*n^12+ 5720061763920918997119288976908191820175780653971513*n^10+ 7459713739407740970905724640347868376204932160291513*n^8+ 9436276481815666815640435684209346905965695740851513*n^6+ 11625642443090085601036223806986868049361132540851513*n^4+ 14087465817382086584625463097603194587755474940851513*n^2+ 17916826271106411276214665342817024823915474940851513) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 28, we have :, ) ----------- = 268435456 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 56 ----- sin(----) j = 1 2 n 54 10839070680072054873155949289624668941058048 n 52 + 260452863284840218968897308900765601730920448 n 50 + 3155170391910776567925739040137394354120556544 n 48 + 25694467448979672168790690694198310351923052544 n 46 + 158256806661877296808879136746021259967462375424 n 44 + 786417276721870186849252203300847494154943463424 n 42 + 3284556089808898962891387150184632061858676998144 n 40 + 11860627727511905546240457561085331033612157190144 n 38 + 37804609580643494286374946412553974522653802455040 n 36 + 108062672499385777632922411694208871136244807639040 n 34 + 280510345270656389864233600062010760914549421446144 n 32 + 668017769087645744221737966966663840798026159801344 n 30 + 1471846017102463106990737125342743424241420756343992 n 28 + 3021833590262687928885899084927790867348958289087992 n 26 + 5816608505490417191980166193083074646530225162351012 n 24 + 10552861981414975984259438974706675290695564685708012 n 22 + 18130279226789732038769425010281588719355646968038442 n 20 + 29619735115644653532682167686644755224326716941541442 n 18 + 46187696786558449625413290790171596960967515189256510 n 16 + 68978882360635127363252601725574166793044910166427510 n 14 + 98970092198791369753390716816514343510628269593074133 n 12 + 136818009312186753425564191468785220259564427834881533 n 10 + 182730975087966227270746364582395572016620316627042189 n 8 + 236403208082039731768423647750481476905795206231282189 n 6 + 297086004202283865233932642226137782350149992752002189 n 4 + 364072111303742736911529220825295756865886882352002189 n 2 + 439237809048577361674130292382242711813843951152002189 n + 556058168864141500642221669966752935511763951152002189)/ 279605069012551289717109770829683224502554548670020281982421875 and in Maple notation: 268435456/279605069012551289717109770829683224502554548670020281982421875*(n+1) *(n-1)*(10839070680072054873155949289624668941058048*n^54+ 260452863284840218968897308900765601730920448*n^52+ 3155170391910776567925739040137394354120556544*n^50+ 25694467448979672168790690694198310351923052544*n^48+ 158256806661877296808879136746021259967462375424*n^46+ 786417276721870186849252203300847494154943463424*n^44+ 3284556089808898962891387150184632061858676998144*n^42+ 11860627727511905546240457561085331033612157190144*n^40+ 37804609580643494286374946412553974522653802455040*n^38+ 108062672499385777632922411694208871136244807639040*n^36+ 280510345270656389864233600062010760914549421446144*n^34+ 668017769087645744221737966966663840798026159801344*n^32+ 1471846017102463106990737125342743424241420756343992*n^30+ 3021833590262687928885899084927790867348958289087992*n^28+ 5816608505490417191980166193083074646530225162351012*n^26+ 10552861981414975984259438974706675290695564685708012*n^24+ 18130279226789732038769425010281588719355646968038442*n^22+ 29619735115644653532682167686644755224326716941541442*n^20+ 46187696786558449625413290790171596960967515189256510*n^18+ 68978882360635127363252601725574166793044910166427510*n^16+ 98970092198791369753390716816514343510628269593074133*n^14+ 136818009312186753425564191468785220259564427834881533*n^12+ 182730975087966227270746364582395572016620316627042189*n^10+ 236403208082039731768423647750481476905795206231282189*n^8+ 297086004202283865233932642226137782350149992752002189*n^6+ 364072111303742736911529220825295756865886882352002189*n^4+ 439237809048577361674130292382242711813843951152002189*n^2+ 556058168864141500642221669966752935511763951152002189) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 29, we have :, ) ----------- = 536870912 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 58 ----- sin(----) j = 1 2 n 56 93841643891728142592569443064643776183009280 n 54 + 2332109739326607473899272971372137912511496192 n 52 + 29209274858045019542908223867501737850659930112 n 50 + 245852632917356738109011552138005580486442745856 n 48 + 1564556130719645490798996438305644648455005536256 n 46 + 8030234546002259262545794421521320232890441138176 n 44 + 34629605119269172992318796782470311764623649406976 n 42 + 129068216620877604462263851523688157993209102073856 n 40 + 424460847206936689317354252713662573974189241696256 n 38 + 1251368108038840421999920722088296779077777957007360 n 36 + 3348915217657923998124512019319949253780487535360000 n 34 + 8218867341278367353548990812801405841197676721893376 n 32 + 18653931794308944403599467577942357918172895256388736 n 30 + 39433888706390008127452542689769973094829225179376308 n 28 + 78119155871345682872090457917033942542413507863898908 n 26 + 145791975475299003539085362311926927292704171996937088 n 24 + 257524548828236295087718709990251125327191691452843288 n 22 + 432322553228932159459506958213521162796045957721471258 n 20 + 692328936259774094758311606135093083378447605746575858 n 18 + 1061186986410914969082551774883593184157602306350181590 n 16 + 1561638120101455206389876700497415880081606479187468670 n 14 + 2212629199001552062964798518558503902749227706623949607 n 12 + 3026377812955720417963835156826254863891513738699196327 n 10 + 4005968214587937552838986171578309822835596036842883111 n 8 + 5144217418547682503113172236847155539045287722259843111 n 6 + 6425316590361545545754865739861143474943234458441923111 n 4 + 7835006500880613099318446948533904503957053824841923111 n 2 + 9413782124917236382756977857086142611648511668041923111 n + 11865525574839529854675323937643812714811391668041923111)/ 11945885534708656826189620898550948798574658131108797564697265625 and in Maple notation: 536870912/11945885534708656826189620898550948798574658131108797564697265625*(n+ 1)*(n-1)*(93841643891728142592569443064643776183009280*n^56+ 2332109739326607473899272971372137912511496192*n^54+ 29209274858045019542908223867501737850659930112*n^52+ 245852632917356738109011552138005580486442745856*n^50+ 1564556130719645490798996438305644648455005536256*n^48+ 8030234546002259262545794421521320232890441138176*n^46+ 34629605119269172992318796782470311764623649406976*n^44+ 129068216620877604462263851523688157993209102073856*n^42+ 424460847206936689317354252713662573974189241696256*n^40+ 1251368108038840421999920722088296779077777957007360*n^38+ 3348915217657923998124512019319949253780487535360000*n^36+ 8218867341278367353548990812801405841197676721893376*n^34+ 18653931794308944403599467577942357918172895256388736*n^32+ 39433888706390008127452542689769973094829225179376308*n^30+ 78119155871345682872090457917033942542413507863898908*n^28+ 145791975475299003539085362311926927292704171996937088*n^26+ 257524548828236295087718709990251125327191691452843288*n^24+ 432322553228932159459506958213521162796045957721471258*n^22+ 692328936259774094758311606135093083378447605746575858*n^20+ 1061186986410914969082551774883593184157602306350181590*n^18+ 1561638120101455206389876700497415880081606479187468670*n^16+ 2212629199001552062964798518558503902749227706623949607*n^14+ 3026377812955720417963835156826254863891513738699196327*n^12+ 4005968214587937552838986171578309822835596036842883111*n^10+ 5144217418547682503113172236847155539045287722259843111*n^8+ 6425316590361545545754865739861143474943234458441923111*n^6+ 7835006500880613099318446948533904503957053824841923111*n^4+ 9413782124917236382756977857086142611648511668041923111*n^2+ 11865525574839529854675323937643812714811391668041923111) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 30, we have :, ) ----------- = 1073741824 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 60 ----- sin(----) j = 1 2 n 58 15658159786179311403512645830314904710920631912235008 n 56 + 402007766632768668246928866123581557871581578299179008 n 54 + 5200180973248839543395339463188281308105735481954664448 n 52 + 45191245786605568151812946479350174251336390639718760448 n 50 + 296837882361509610179438325041607609043232078561791705088 n 48 + 1572060330179750061799696232801217735270271334713118425088 n 46 + 6992978305741563056540471537412900989646676290508495781888 n 44 + 26876015323562175057932978095683624561700448056911731621888 n 42 + 91110279343601773941841067783431004036033948587421098508288 n 40 + 276788298562068746568183904844485804777378728793421820428288 n 38 + 763033082949953210916562517224650502989385409639061140547584 n 36 + 1928260672298353367446744240023095143553207952796600977219584 n 34 + 4504746078599304823538529790407837164773613718457297692495104 n 32 + 9798060587382263519408694548793562482347280910514249301663104 n 30 + 19962503258381832136169715846391503516900451172356148796544874 n 28 + 38298814261974382164400219984068755610017178341470791669499874 n 26 + 69512312491735278487092320561488180204105739699860068291742574 n 24 + 119847270203138884867938750838939708011674930517586091893027574 n 22 + 197007568537523494036436078065580594114060660088532216955780924 n 20 + 309792786990457843317303170818188349904424174252490290815585924 n 18 + 467424628746769915915482209736836391499186136083008345728315408 n 16 + 678603936707632479360092642829064475731589867059580216477774408 n 14 + 950408901648243879652983502085622433520368888808125776499786823 n 12 + 1287203890030593470657189390716145145055322015801092248051322823 n 10 + 1689769930084372307816226780108749503377736184711009053886030663 n 8 + 2154932492941341738568839606398530626264675429304225020119630663 n 6 + 2676275628699847094998359368626228044056170405107125838940430663 n 4 + 3248260643451140262686607547512140323445529187907915982940430663 n 2 + 3887703765318344586615928965301825237067428851105822414940430663 n + 4879987501607538468918182681203520003055384589934622414940430663)/ 9836332758820888795846560496141366749693010693936908375001256744384765625 and in Maple notation: 1073741824/ 9836332758820888795846560496141366749693010693936908375001256744384765625*(n+1) *(n-1)*(15658159786179311403512645830314904710920631912235008*n^58+ 402007766632768668246928866123581557871581578299179008*n^56+ 5200180973248839543395339463188281308105735481954664448*n^54+ 45191245786605568151812946479350174251336390639718760448*n^52+ 296837882361509610179438325041607609043232078561791705088*n^50+ 1572060330179750061799696232801217735270271334713118425088*n^48+ 6992978305741563056540471537412900989646676290508495781888*n^46+ 26876015323562175057932978095683624561700448056911731621888*n^44+ 91110279343601773941841067783431004036033948587421098508288*n^42+ 276788298562068746568183904844485804777378728793421820428288*n^40+ 763033082949953210916562517224650502989385409639061140547584*n^38+ 1928260672298353367446744240023095143553207952796600977219584*n^36+ 4504746078599304823538529790407837164773613718457297692495104*n^34+ 9798060587382263519408694548793562482347280910514249301663104*n^32+ 19962503258381832136169715846391503516900451172356148796544874*n^30+ 38298814261974382164400219984068755610017178341470791669499874*n^28+ 69512312491735278487092320561488180204105739699860068291742574*n^26+ 119847270203138884867938750838939708011674930517586091893027574*n^24+ 197007568537523494036436078065580594114060660088532216955780924*n^22+ 309792786990457843317303170818188349904424174252490290815585924*n^20+ 467424628746769915915482209736836391499186136083008345728315408*n^18+ 678603936707632479360092642829064475731589867059580216477774408*n^16+ 950408901648243879652983502085622433520368888808125776499786823*n^14+ 1287203890030593470657189390716145145055322015801092248051322823*n^12+ 1689769930084372307816226780108749503377736184711009053886030663*n^10+ 2154932492941341738568839606398530626264675429304225020119630663*n^8+ 2676275628699847094998359368626228044056170405107125838940430663*n^6+ 3248260643451140262686607547512140323445529187907915982940430663*n^4+ 3887703765318344586615928965301825237067428851105822414940430663*n^2+ 4879987501607538468918182681203520003055384589934622414940430663) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 31, we have :, ) ----------- = 2147483648 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 62 ----- sin(----) j = 1 2 n 60 307065151586427550154289387322184781552788837498880 n 58 + 8136145044676083251910612302479637137013104793616384 n 56 + 108587042824789316031198829578728966958784950854221824 n 54 + 973347682238565571202222688368535307942329244748611584 n 52 + 6592705831645608075097168518710731064599709024637681664 n 50 + 35993020208112196234542145088686409126478590185113124864 n 48 + 165001227564585781245494107673837019485975939220728971264 n 46 + 653331881663141570830223245125100583416683517685365080064 n 44 + 2281102944837630640970513044193912168621753078052852465664 n 42 + 7135007035190617917115605727430992186570627134330441662464 n 40 + 20244892203402090901733568610174337087562901073792695189504 n 38 + 52639844265944213238676530404727149797586767583235331474432 n 36 + 126485789709973275105647132000701930148174770264120595095552 n 34 + 282861436797971289850680799500839755014516948636626191791232 n 32 + 592302437776531496885700811200148118227805024104232686670272 n 30 + 1167437560240545426495134232267403149051072904022638614564097 n 28 + 2175935806041667821036753191395079619848810372660169696909697 n 26 + 3850835150700263033867010748135739990384266091313454246708897 n 24 + 6494528719447780777748684887161376727644572619059122620315297 n 22 + 10472667195032786539588397693338636212953538241197472995443497 n 20 + 16195284784578380556263012542019114164666997806047437209329577 n 18 + 24084570307224699046727303240717003063080034264537819622236809 n 16 + 34531532903388004475892597698762587329343727210299021374802249 n 14 + 47846724712543603043558169654288754060082245824123337924082059 n 12 + 64212526651377218558537903072888191405269641401270487088844939 n 10 + 83646156995483344965527582470151561826920416594431028348934539 n 8 + 105985548482165128499805879481098386066159001852529533859334539 n 6 + 130925324222229129139195537247161236811044289272432974131334539 n 4 + 158212711857076221990710390657186996618160093410991182131334539 n 2 + 188667271517308880324359791899761142581465480992886862131334539 n + 235893890378243544209712956591010496859051951904886862131334539)/ 951903170208473109275473596400777427389646196187442745967863555908203125 and in Maple notation: 2147483648/ 951903170208473109275473596400777427389646196187442745967863555908203125*(n+1)* (n-1)*(307065151586427550154289387322184781552788837498880*n^60+ 8136145044676083251910612302479637137013104793616384*n^58+ 108587042824789316031198829578728966958784950854221824*n^56+ 973347682238565571202222688368535307942329244748611584*n^54+ 6592705831645608075097168518710731064599709024637681664*n^52+ 35993020208112196234542145088686409126478590185113124864*n^50+ 165001227564585781245494107673837019485975939220728971264*n^48+ 653331881663141570830223245125100583416683517685365080064*n^46+ 2281102944837630640970513044193912168621753078052852465664*n^44+ 7135007035190617917115605727430992186570627134330441662464*n^42+ 20244892203402090901733568610174337087562901073792695189504*n^40+ 52639844265944213238676530404727149797586767583235331474432*n^38+ 126485789709973275105647132000701930148174770264120595095552*n^36+ 282861436797971289850680799500839755014516948636626191791232*n^34+ 592302437776531496885700811200148118227805024104232686670272*n^32+ 1167437560240545426495134232267403149051072904022638614564097*n^30+ 2175935806041667821036753191395079619848810372660169696909697*n^28+ 3850835150700263033867010748135739990384266091313454246708897*n^26+ 6494528719447780777748684887161376727644572619059122620315297*n^24+ 10472667195032786539588397693338636212953538241197472995443497*n^22+ 16195284784578380556263012542019114164666997806047437209329577*n^20+ 24084570307224699046727303240717003063080034264537819622236809*n^18+ 34531532903388004475892597698762587329343727210299021374802249*n^16+ 47846724712543603043558169654288754060082245824123337924082059*n^14+ 64212526651377218558537903072888191405269641401270487088844939*n^12+ 83646156995483344965527582470151561826920416594431028348934539*n^10+ 105985548482165128499805879481098386066159001852529533859334539*n^8+ 130925324222229129139195537247161236811044289272432974131334539*n^6+ 158212711857076221990710390657186996618160093410991182131334539*n^4+ 188667271517308880324359791899761142581465480992886862131334539*n^2+ 235893890378243544209712956591010496859051951904886862131334539) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 32, we have :, ) ----------- = 4294967296 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 64 ----- sin(----) j = 1 2 n 62 491883954948141745312571907768922392969465561423544320 n 60 + 13437750745831927259817412477272232783235042950376325120 n 58 + 184863284084923028505473859027559809558394121125525192704 n 56 + 1707625304030135525181036867941158075055853276747849007104 n 54 + 11915859095892936364924172970321020336293378247057247043584 n 52 + 67003880354496590365972666289924702050016305207783806992384 n 50 + 316278223694169298328100773537950902178795671308022352707584 n 48 + 1289122277748621168516958496154073515542008924512944163651584 n 46 + 4631886621651263551808767321626343361425142464650683235958784 n 44 + 14904980716167473595496826172531120700298480263207250443894784 n 42 + 43495451330421135841774143048044418280660464844567282942214144 n 40 + 116277969293027431487101379382116577921979768491840048293740544 n 38 + 287168882531829166149621409330573775283160482477656950508859392 n 36 + 659834715347293770278966422781749695974399374558446031001710592 n 34 + 1419115355759961974984084702287278703452438233913065447869893632 n 32 + 2871844211831555865082062297534356475476531015009250169139628032 n 30 + 5493626032113777315707831269708986607209513682990850288821951457 n 28 + 9974200571776577244324674746761198494686147592822670541974127457 n 26 + 17250271427532434803499730333931874897203078001804280299991216257 n 24 + 28512493470157957194718173608245064913131770025088280508520000257 n 22 + 45174036223175359112218869025516393408529942458511190217883149577 n 20 + 68792553116523672524847980259343042956748049800724017514260362377 n 18 + 100945255715100555016708736935864315512044629662333300004265815529 n 16 + 143066742774990400795469613827190987807034945448885354239737069929 n 14 + 196269075905335908541117380164081083608899102490385826458422543659 n 12 + 261171226195775809989651692872141295361958453552911058775179580459 n 10 + 337770443384191553832735516859076090110799859379519721792060636459 n 8 + 425399515265222080119837678233709562417594067861514890807804636459 n 6 + 522873190442020570804434582866482093815074784288766214563724636459 n 4 + 629249428403124814363233255839229917132545491771757409443724636459 n 2 + 747786876540618932199245320034428564325785421516431534243724636459 n + 931487179476592647412344046596557302619340225156751534243724636459)/7\ 524794560497979928822618779548145563515153180861734906875961409454345703\ 125 and in Maple notation: 4294967296/ 7524794560497979928822618779548145563515153180861734906875961409454345703125*(n +1)*(n-1)*(491883954948141745312571907768922392969465561423544320*n^62+ 13437750745831927259817412477272232783235042950376325120*n^60+ 184863284084923028505473859027559809558394121125525192704*n^58+ 1707625304030135525181036867941158075055853276747849007104*n^56+ 11915859095892936364924172970321020336293378247057247043584*n^54+ 67003880354496590365972666289924702050016305207783806992384*n^52+ 316278223694169298328100773537950902178795671308022352707584*n^50+ 1289122277748621168516958496154073515542008924512944163651584*n^48+ 4631886621651263551808767321626343361425142464650683235958784*n^46+ 14904980716167473595496826172531120700298480263207250443894784*n^44+ 43495451330421135841774143048044418280660464844567282942214144*n^42+ 116277969293027431487101379382116577921979768491840048293740544*n^40+ 287168882531829166149621409330573775283160482477656950508859392*n^38+ 659834715347293770278966422781749695974399374558446031001710592*n^36+ 1419115355759961974984084702287278703452438233913065447869893632*n^34+ 2871844211831555865082062297534356475476531015009250169139628032*n^32+ 5493626032113777315707831269708986607209513682990850288821951457*n^30+ 9974200571776577244324674746761198494686147592822670541974127457*n^28+ 17250271427532434803499730333931874897203078001804280299991216257*n^26+ 28512493470157957194718173608245064913131770025088280508520000257*n^24+ 45174036223175359112218869025516393408529942458511190217883149577*n^22+ 68792553116523672524847980259343042956748049800724017514260362377*n^20+ 100945255715100555016708736935864315512044629662333300004265815529*n^18+ 143066742774990400795469613827190987807034945448885354239737069929*n^16+ 196269075905335908541117380164081083608899102490385826458422543659*n^14+ 261171226195775809989651692872141295361958453552911058775179580459*n^12+ 337770443384191553832735516859076090110799859379519721792060636459*n^10+ 425399515265222080119837678233709562417594067861514890807804636459*n^8+ 522873190442020570804434582866482093815074784288766214563724636459*n^6+ 629249428403124814363233255839229917132545491771757409443724636459*n^4+ 747786876540618932199245320034428564325785421516431534243724636459*n^2+ 931487179476592647412344046596557302619340225156751534243724636459) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 33, we have :, ) ----------- = 8589934592 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 66 ----- sin(----) j = 1 2 n 64 293239286991996262489085674922642418567468576314606223360 n 62 + 8252167620030403772519155428577691198009906092928265093120 n 60 + 116915040130163482497194046336655253966037721844065071267840 n 58 + 1111949956641560482594537810254409753511642113636408410243072 n 56 + 7987003225549146948074037997798851163261431531309480491876352 n 54 + 46218433532424724523359700943618502990560254360308361767944192 n 52 + 224455404632714523545327356238936567464756160970654483723845632 n 50 + 940993700223187852422899488374146460801826315136512961944748032 n 48 + 3476690024591078181538161768594451294712931074202067954303762432 n 46 + 11500998387503661295350498341611765370914311884353835021728940032 n 44 + 34492233757871578147866655200165510350831226915750663826095603712 n 42 + 94737479688034737375890310982107526337446883503321754065679368192 n 40 + 240313444613182863478700711829603289847158474107843581366447921152 n 38 + 566965844089889567613376435886175718527521902034927850227238816256 n 36 + 1251641705601802413107098565035300935355106787068019944332213348096 n 34 + 2599067330350438578625410240006504578258513857883450996372000756416 n 32 + 5099848948915569516699912458257974705232284285365856485185321123186 n 30 + 9494188884853477185999913813410484472019136299335700709918977341611 n 28 + 16830194293407566706664504423518761155314381303540758275249839012211 n 26 + 28501299149214556978997360707688165759971772384127886865082468197611 n 24 + 46245276263445708601666884581317183603283603768002594232519023448071 n 22 + 72089248842788180430957041042623152723031128786674870661033826155331 n + 20 108231755127534803422415921697630841933989665874519571566570793972651 n + 18 156863705415646297418250745044870782473408608740993844945955589052547 n + 16 219943056946529381771444749514307608824994484162812657014915768868677 n + 14 298950398652987182781381836794685519535493599144718325648359580411017 n + 12 394661893936947403265993202570743248386944514073945640279987293594057 n + 10 506982742692805227583671927421196271892957666209437181093106901510857 n 8 + 634900725031773453779079936658465405571035682949700801453014384710857 n 6 + 776706151206942073385797095459005533262589373492442695597264560710857 n 4 + 931092806776973219777800873966601274977567561590480704510928560710857 n + 2 1102877422948259508981707312707992621270578704687633619516368560710857 n + 1368935067851690911410175581923189179588574878141256915516368560710857)/ 221372615247522844069662514840870489619012610987151457564920897428501892\ 08984375 and in Maple notation: 8589934592/22137261524752284406966251484087048961901261098715145756492089742850\ 189208984375*(n+1)*(n-1)*( 293239286991996262489085674922642418567468576314606223360*n^64+ 8252167620030403772519155428577691198009906092928265093120*n^62+ 116915040130163482497194046336655253966037721844065071267840*n^60+ 1111949956641560482594537810254409753511642113636408410243072*n^58+ 7987003225549146948074037997798851163261431531309480491876352*n^56+ 46218433532424724523359700943618502990560254360308361767944192*n^54+ 224455404632714523545327356238936567464756160970654483723845632*n^52+ 940993700223187852422899488374146460801826315136512961944748032*n^50+ 3476690024591078181538161768594451294712931074202067954303762432*n^48+ 11500998387503661295350498341611765370914311884353835021728940032*n^46+ 34492233757871578147866655200165510350831226915750663826095603712*n^44+ 94737479688034737375890310982107526337446883503321754065679368192*n^42+ 240313444613182863478700711829603289847158474107843581366447921152*n^40+ 566965844089889567613376435886175718527521902034927850227238816256*n^38+ 1251641705601802413107098565035300935355106787068019944332213348096*n^36+ 2599067330350438578625410240006504578258513857883450996372000756416*n^34+ 5099848948915569516699912458257974705232284285365856485185321123186*n^32+ 9494188884853477185999913813410484472019136299335700709918977341611*n^30+ 16830194293407566706664504423518761155314381303540758275249839012211*n^28+ 28501299149214556978997360707688165759971772384127886865082468197611*n^26+ 46245276263445708601666884581317183603283603768002594232519023448071*n^24+ 72089248842788180430957041042623152723031128786674870661033826155331*n^22+ 108231755127534803422415921697630841933989665874519571566570793972651*n^20+ 156863705415646297418250745044870782473408608740993844945955589052547*n^18+ 219943056946529381771444749514307608824994484162812657014915768868677*n^16+ 298950398652987182781381836794685519535493599144718325648359580411017*n^14+ 394661893936947403265993202570743248386944514073945640279987293594057*n^12+ 506982742692805227583671927421196271892957666209437181093106901510857*n^10+ 634900725031773453779079936658465405571035682949700801453014384710857*n^8+ 776706151206942073385797095459005533262589373492442695597264560710857*n^6+ 931092806776973219777800873966601274977567561590480704510928560710857*n^4+ 1102877422948259508981707312707992621270578704687633619516368560710857*n^2+ 1368935067851690911410175581923189179588574878141256915516368560710857) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 34, we have :, ) ----------- = 17179869184 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 68 ----- sin(----) j = 1 2 n 66 576749767293717657321034138229225130689127406815663882240 n 64 + 16704910551853512094220746258974558151899899104119006167040 n 62 + 243534368043448126130077734238143448366009368327608283955200 n 60 + 2382815188574266597981608934186899367118088827593391131852800 n 58 + 17603706278127314891158798720380209790047205415543149781057536 n 56 + 104748727555454244889293708221673065057889007729215317722791936 n 54 + 522965561707718709399866357630007849426871091944784158487740416 n 52 + 2253374087703851037365574458779211138313207091993184263645167616 n 50 + 8554759398947699884321936093162437321869285161659735286222422016 n 48 + 29071113885323599372372731924624146470627541600378254836141654016 n 46 + 89540161456897612073178246353406850083030490605006081388779175936 n 44 + 252505974357409097097429824287743224230001745450410110062189838336 n 42 + 657446469218534234650320732252967648182332744788741587667814895616 n 40 + 1591647481163118771147387223827430313076784054408973194805294012416 n 38 + 3604527275029864012602096248714557066879044274046932936713957737728 n 36 + 7675907118745082178734773359715733899084585317589521097429614780928 n 34 + 15440925855139663661283934294038836241981006958321857462209603606068 n 32 + 29459908869603953335532158640078349943064553253892287449673048902418 n 30 + 53501605306701139245338522086098326397069642585531843491677013753143 n 28 + 92786611346458682768282521286720737260235342290165845245109732396143 n + 26 154120752654674094728265993682680481403013586500146930800948453145983 n + 24 245842948186778887478418525775712192100630619660037080466059016961283 n + 22 377524504705212165443371327924407572093673080239246337322953374695343 n + 20 559388927466629388725075779709034806573362586853480765065677617855943 n + 18 801469715459401296051922918045701743015619508426695810257149057730611 n + 16 1112579376480650693792035014835039068980417250430408418708570432621761 n + 14 1499214134745346681460849048771628528648092691113649952332803512966141 n + 12 1964555861614313857557881252678149037026056614926831804153112595761341 n + 10 2507760542895587878389364598282868259326030894989387900858665033745341 n + 8 3123800907063723352554633141405739263614090938797767364432322849745341 n + 6 3804549515747449241784490041333395546192251067819091694373173729745341 n + 4 4544032732202546390161698676359914771730851475306427565949493729745341 n + 2 5365717851028236212391836951588454081372714220267713666736693729745341 n + 6637608875171505734975690969039503475614583548147414146736693729745341)/ 214861655975536878067613617345550769336100475369882297048305576915898895\ 263671875 and in Maple notation: 17179869184/2148616559755368780676136173455507693361004753698822970483055769158\ 98895263671875*(n+1)*(n-1)*( 576749767293717657321034138229225130689127406815663882240*n^66+ 16704910551853512094220746258974558151899899104119006167040*n^64+ 243534368043448126130077734238143448366009368327608283955200*n^62+ 2382815188574266597981608934186899367118088827593391131852800*n^60+ 17603706278127314891158798720380209790047205415543149781057536*n^58+ 104748727555454244889293708221673065057889007729215317722791936*n^56+ 522965561707718709399866357630007849426871091944784158487740416*n^54+ 2253374087703851037365574458779211138313207091993184263645167616*n^52+ 8554759398947699884321936093162437321869285161659735286222422016*n^50+ 29071113885323599372372731924624146470627541600378254836141654016*n^48+ 89540161456897612073178246353406850083030490605006081388779175936*n^46+ 252505974357409097097429824287743224230001745450410110062189838336*n^44+ 657446469218534234650320732252967648182332744788741587667814895616*n^42+ 1591647481163118771147387223827430313076784054408973194805294012416*n^40+ 3604527275029864012602096248714557066879044274046932936713957737728*n^38+ 7675907118745082178734773359715733899084585317589521097429614780928*n^36+ 15440925855139663661283934294038836241981006958321857462209603606068*n^34+ 29459908869603953335532158640078349943064553253892287449673048902418*n^32+ 53501605306701139245338522086098326397069642585531843491677013753143*n^30+ 92786611346458682768282521286720737260235342290165845245109732396143*n^28+ 154120752654674094728265993682680481403013586500146930800948453145983*n^26+ 245842948186778887478418525775712192100630619660037080466059016961283*n^24+ 377524504705212165443371327924407572093673080239246337322953374695343*n^22+ 559388927466629388725075779709034806573362586853480765065677617855943*n^20+ 801469715459401296051922918045701743015619508426695810257149057730611*n^18+ 1112579376480650693792035014835039068980417250430408418708570432621761*n^16+ 1499214134745346681460849048771628528648092691113649952332803512966141*n^14+ 1964555861614313857557881252678149037026056614926831804153112595761341*n^12+ 2507760542895587878389364598282868259326030894989387900858665033745341*n^10+ 3123800907063723352554633141405739263614090938797767364432322849745341*n^8+ 3804549515747449241784490041333395546192251067819091694373173729745341*n^6+ 4544032732202546390161698676359914771730851475306427565949493729745341*n^4+ 5365717851028236212391836951588454081372714220267713666736693729745341*n^2+ 6637608875171505734975690969039503475614583548147414146736693729745341) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 35, we have :, ) ----------- = 34359738368 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 70 ----- sin(----) j = 1 2 n 68 133005880898850406441365699039192079236640726082792215019520 n 66 + 3961759211078195074567050825673903109316413016228576897269760 n 64 + 59384570931139472677529221557403165503405108876841782324756480 n 62 + 597283910113052328066923253315829203839549015528683687316029440 n 60 + 4535006294311075357866291531682808102158876361728846932486389760 n 58 + 27727488623707024606250177704672596058637275103170808646243188736 n 56 + 142208588333776483837879158510445419680319899660477319222663315456 n 54 + 629329430533348043648062711135637098545198940708994893426810945536 n 52 + 2453259628812392251038939932550380550936773933959567603943453229056 n 50 + 8558250179044682974658370901002451695791278238836070513960287993856 n 48 + 27053459835072057642370384479422137240598510705977136892869958434816 n 46 + 78279746149654292055383218915945916146272396199029566307413277556736 n + 44 209073476194515781249310246830052189673763336976503938150293530935296 n + 42 519075647227225711939788990823551054357680626034110417730020714366976 n + 40 1205196296641935054338705285705645449752187924211811029221868197646336 n + 38 2630516092802869577824730364266911705568059382495057741132670591552128 n + 36 5421975317462946676512293512217969817765980273177977997176731964756688 n + 34 10596299886081658317800843338448840743207154977320002443587814333541378 n + 32 19705519949723113277268847065177291086154566486271603536403497294371838 n + 30 34983032607855164017455210967805685749495472219951924503690170935037763 n + 28 59460639122744656735563004107157238336269441114896478820858714146807283 n + 26 97019576758277361880344078016565973628578125730003933353651858017761623 n + 152337727387047993816578987756706337091508364730907395394275261976361343 24 n + 230703460098830141405450026250572926249819556973597476718653678972266203 22 n + 337684446383308905844894937019523186808634841182934308877824493749286523 20 n + 478665076944261051774423514439722298658078592822548224711046898398236261 18 n + 658294132576666144440462748830427827526825264898620591282608017179432481 16 n + 879909242205915281204857677056275601635683648907417700390109572920261961 14 n + 1145022069004915135630140306096324301086296799078453848854009468373665481 12 n + 1452961856027462823466238074436363161485516803097846377777027060368263881 10 n + 1800819042562510228437852967349698225903193155423699299248487284569863881 8 n + 2184067492075675667316631851739573676773595326418566586125768458457863881 6 n + 2599505022290187658447790259287251651032954580471555474790324490457863881 4 n + 3060526292287736014809171821926559243573688712886398528529619210457863881 2 n + 3773761698917185010269741030435525473946205692082421672977619210457863881)/ 244518703404617411151746228356875219812177658127365193535173126689633397\ 064208984375 and in Maple notation: 34359738368/2445187034046174111517462283568752198121776581273651935351731266896\ 33397064208984375*(n+1)*(n-1)*( 133005880898850406441365699039192079236640726082792215019520*n^68+ 3961759211078195074567050825673903109316413016228576897269760*n^66+ 59384570931139472677529221557403165503405108876841782324756480*n^64+ 597283910113052328066923253315829203839549015528683687316029440*n^62+ 4535006294311075357866291531682808102158876361728846932486389760*n^60+ 27727488623707024606250177704672596058637275103170808646243188736*n^58+ 142208588333776483837879158510445419680319899660477319222663315456*n^56+ 629329430533348043648062711135637098545198940708994893426810945536*n^54+ 2453259628812392251038939932550380550936773933959567603943453229056*n^52+ 8558250179044682974658370901002451695791278238836070513960287993856*n^50+ 27053459835072057642370384479422137240598510705977136892869958434816*n^48+ 78279746149654292055383218915945916146272396199029566307413277556736*n^46+ 209073476194515781249310246830052189673763336976503938150293530935296*n^44+ 519075647227225711939788990823551054357680626034110417730020714366976*n^42+ 1205196296641935054338705285705645449752187924211811029221868197646336*n^40+ 2630516092802869577824730364266911705568059382495057741132670591552128*n^38+ 5421975317462946676512293512217969817765980273177977997176731964756688*n^36+ 10596299886081658317800843338448840743207154977320002443587814333541378*n^34+ 19705519949723113277268847065177291086154566486271603536403497294371838*n^32+ 34983032607855164017455210967805685749495472219951924503690170935037763*n^30+ 59460639122744656735563004107157238336269441114896478820858714146807283*n^28+ 97019576758277361880344078016565973628578125730003933353651858017761623*n^26+ 152337727387047993816578987756706337091508364730907395394275261976361343*n^24+ 230703460098830141405450026250572926249819556973597476718653678972266203*n^22+ 337684446383308905844894937019523186808634841182934308877824493749286523*n^20+ 478665076944261051774423514439722298658078592822548224711046898398236261*n^18+ 658294132576666144440462748830427827526825264898620591282608017179432481*n^16+ 879909242205915281204857677056275601635683648907417700390109572920261961*n^14+ 1145022069004915135630140306096324301086296799078453848854009468373665481*n^12+ 1452961856027462823466238074436363161485516803097846377777027060368263881*n^10+ 1800819042562510228437852967349698225903193155423699299248487284569863881*n^8+ 2184067492075675667316631851739573676773595326418566586125768458457863881*n^6+ 2599505022290187658447790259287251651032954580471555474790324490457863881*n^4+ 3060526292287736014809171821926559243573688712886398528529619210457863881*n^2+ 3773761698917185010269741030435525473946205692082421672977619210457863881) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 36, we have :, ) ----------- = 68719476736 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 72 ----- sin(----) j = 1 2 n 70 66081512542144026841267762299709951563991896872918502073555495157760 n + 68 2022676673591903040781606296772352263371033565044161044187046488309760 n + 66 31149830494334226051842454025178119345314567676790666586492163955097600 n + 321825028975512115878009708738950477285192354909408103677504888871321600 64 n + 2509492063809863750664307659085376128679427428930460949525515822044282880 62 n + 15754259756271471312085887925516814503096670424706106677152808008815738880 60 n + 82947231527233969095203659971677318131635441882436544999231562775498063872 58 n + 376747255550509281326688014012551279109884020058163344073736977896672591872 56 n + 150701324261420120215683837945753049681981116884660941108998841447\ 54 6010913792 n + 5393410657124140007156397971575477948842341174163290022\ 52 122545209746277793792 n + 17486683516629566400107221039984700632573260\ 50 874619215233420317008174923907072 n + 51884639978353663885674476642758\ 48 093124516203051262782710607397414752305283072 n + 14206560094406375054\ 46 5954926470202660985848435849387947703087543035828135944192 n + 3615047\ 44 03065393987865972902215459763436910945803931801158281570033204410376192 n + 860049872382828443584092294315305325916194938892362259253465600081973\ 42 606520832 n + 19229799210122393602872601975743030805712483388112628894\ 40 87393114407270330488832 n + 405919918104587854650953364688420186231800\ 38 0707808232654896247513803077698818256 n + 8121989682423279541971324631\ 36 884575785729324577983038189495768310644684420942256 n + 15459394256907\ 34 499487410137101694384464261234219065189456635360000692427100988866 n + 280817077880095210163639746241651466992355549477360220247632878410819022\ 32 23596366 n + 488220097763773024257221535108961110366815299379661868104\ 30 98948369274738947175451 n + 814548046147515156925272756786443047466974\ 28 43932890026619988283303112874761897451 n + 130731180000573216426944666\ 26 697304452323232852420015150224063186755676673008478991 n + 20228996818\ 24 2547017617264115926468200958680401246227065706774706019402200247947991 n + 302415500093491237229805202349365181004969342892798412825160755029441\ 22 727890713571 n + 43763367731616370501040133326204663575565943059652246\ 20 5045207776320833745117039571 n + 6141664296180279234269910563721378100\ 18 60686607536610048598713729063846035397203997 n + 837294917246784804167\ 16 961561159348720403233041793648058987581469276781727664739497 n + 11107\ 078570300754229036906803524867343034781324012832141248431738440034957583\ 14 83217 n + 143592898101003356704504288202499023302031839832297900064791\ 12 4520630096020863583217 n + 1811932409557168164063511529799018658619213\ 10 829916702208853570914488074847842783217 n + 22351083847621749484469359\ 8 72649692629084790040021874808736373654539425573842783217 n + 2700030347\ 6 742075390275724183693491670842510968463064405591279112065070165842783217 n + 320300145946513124993334638426794418867423110756538383261416689765899\ 4 0165842783217 n + 37604809256902451830709932863467320560795777128394547\ 2 97449290495718510165842783217 n + 4622509120795155222216757026409858994\ 832164436586215785264030463718510165842783217)/5995024538695300730913786\ 00710295553599728213718612602384932286372162530920644680023193359375 and in Maple notation: 68719476736/5995024538695300730913786007102955535997282137186126023849322863721\ 62530920644680023193359375*(n+1)*(n-1)*( 66081512542144026841267762299709951563991896872918502073555495157760*n^70+ 2022676673591903040781606296772352263371033565044161044187046488309760*n^68+ 31149830494334226051842454025178119345314567676790666586492163955097600*n^66+ 321825028975512115878009708738950477285192354909408103677504888871321600*n^64+ 2509492063809863750664307659085376128679427428930460949525515822044282880*n^62+ 15754259756271471312085887925516814503096670424706106677152808008815738880*n^60 +82947231527233969095203659971677318131635441882436544999231562775498063872*n^ 58+376747255550509281326688014012551279109884020058163344073736977896672591872* n^56+ 1507013242614201202156838379457530496819811168846609411089988414476010913792*n^ 54+5393410657124140007156397971575477948842341174163290022122545209746277793792 *n^52+ 17486683516629566400107221039984700632573260874619215233420317008174923907072*n ^50+ 51884639978353663885674476642758093124516203051262782710607397414752305283072*n ^48+ 142065600944063750545954926470202660985848435849387947703087543035828135944192* n^46+ 361504703065393987865972902215459763436910945803931801158281570033204410376192* n^44+ 860049872382828443584092294315305325916194938892362259253465600081973606520832* n^42+19229799210122393602872601975743030805712483388112628894873931144072703304\ 88832*n^40+40591991810458785465095336468842018623180007078082326548962475138030\ 77698818256*n^38+81219896824232795419713246318845757857293245779830381894957683\ 10644684420942256*n^36+15459394256907499487410137101694384464261234219065189456\ 635360000692427100988866*n^34+2808170778800952101636397462416514669923555494773\ 6022024763287841081902223596366*n^32+488220097763773024257221535108961110366815\ 29937966186810498948369274738947175451*n^30+81454804614751515692527275678644304\ 746697443932890026619988283303112874761897451*n^28+1307311800005732164269446666\ 97304452323232852420015150224063186755676673008478991*n^26+20228996818254701761\ 7264115926468200958680401246227065706774706019402200247947991*n^24+302415500093\ 491237229805202349365181004969342892798412825160755029441727890713571*n^22+4376\ 33677316163705010401333262046635755659430596522465045207776320833745117039571*n ^20+614166429618027923426991056372137810060686607536610048598713729063846035397\ 203997*n^18+8372949172467848041679615611593487204032330417936480589875814692767\ 81727664739497*n^16+11107078570300754229036906803524867343034781324012832141248\ 43173844003495758383217*n^14+14359289810100335670450428820249902330203183983229\ 79000647914520630096020863583217*n^12+18119324095571681640635115297990186586192\ 13829916702208853570914488074847842783217*n^10+22351083847621749484469359726496\ 92629084790040021874808736373654539425573842783217*n^8+270003034774207539027572\ 4183693491670842510968463064405591279112065070165842783217*n^6+3203001459465131\ 249933346384267944188674231107565383832614166897658990165842783217*n^4+37604809\ 25690245183070993286346732056079577712839454797449290495718510165842783217*n^2+ 4622509120795155222216757026409858994832164436586215785264030463718510165842783\ 217) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 37, we have :, ) ----------- = 137438953472 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 74 ----- sin(----) j = 1 2 n 72 1085749794753408917173216801590780592720763856232689401180297625600 n 70 + 34126506065825422337807097951445756374716712292691940437958045204480 n + 68 539580256003679834272394552690211686924869143236929597150609885102080 n + 66 5722338749583103967346362810248336865322083096822272028557878440755200 n + 64 45794171185474886784232126155221551344544610660243383585900872912076800 n + 294991164122922330840519720599519577554800846221305824320380618397450240 62 n + 1593360915189670528191384127879175260494142034636716725591439920951459840 60 n + 7422953538635871618739862930273888623775320211751280064351324692562313216 58 n + 30448756095742629714017402483260130015735496176432159163646584050801442816 56 n + 111725278558974435576524610880066576836530958838681295848280081900346802176 54 n + 371311569382500373242076227991837107365571783139566899025496217191934590976 52 n + 112906326221375784548861530408684522619941303196934371049041257969\ 50 5568879616 n + 3167522600402518347028099309727652518406613538098437335\ 48 102020686729450684416 n + 82565039940120974563918198449926064768201822\ 46 81753759157096762405839978008576 n + 201165924157378715442295594436363\ 44 78878290882445754986846080133997382476005376 n + 460519224971999823046\ 42 38247258820042949971877403766369969227887070336830980096 n + 995051477\ 40 19191489290826529568775208953290736794299922647562087977420966840896 n + 203744337938021316002204739091696875725572944653670563666105567571344249\ 38 374568 n + 39674789419964555053759556209016531484218553628876961712184\ 36 2470548725371392868 n + 7370902534407751686264930705463378788896866619\ 34 43120634158268126739166331865498 n + 131026162427531421460824189374303\ 32 4139872545572681289011594513826249098742751098 n + 2234437152951660541\ 30 596509938844091866500117867409188183010568998023312144571453 n + 36643\ 460611066223189973886803826827103239799220073706235591229474548010176940\ 28 53 n + 579170562140539145446827507626875641198860422993797799139563830\ 26 3849616694708273 n + 8840795207217265435474822921012244950817387810168\ 24 796761378019189146774249939873 n + 13058218500887770723885627811804525\ 22 643117961319577862721161573615174301456981213 n + 18696719223449500060\ 20 829945331795750047440294302421826228843888655578763834748313 n + 25993\ 962175738605649457073729027045609685824170174838170441502308323579560245\ 18 591 n + 35148272917074477895616668985655564222509653114943646935372859\ 16 614628836482185191 n + 46294228971565933080554547921939440996064982950\ 14 028864291271446160565997847564951 n + 59481586368999916026393677330455\ 12 639889831267832432712828963128014134341081164951 n + 74661561461029085\ 10 809885175641314666726102003354630635682741626237891279514764951 n + 91\ 686654466877000593176442383606276024279648350127914332842117354464567514\ 8 764951 n + 110341823623090372406723015713088451104277783233628206172822\ 6 791229965303514764951 n + 130485980924183578382415956726877364146484827\ 4 611694660637730437011725303514764951 n + 152787542059127106130226912255\ 2 389468519335322339718067857940423407885303514764951 n + 187255903803418\ 214692886106600749597873381737061913620128948167407885303514764951)/4860\ 830707050243835876042708461855839997796327448210289607559078693209710167\ 3892974853515625 and in Maple notation: 137438953472/486083070705024383587604270846185583999779632744821028960755907869\ 32097101673892974853515625*(n+1)*(n-1)*( 1085749794753408917173216801590780592720763856232689401180297625600*n^72+ 34126506065825422337807097951445756374716712292691940437958045204480*n^70+ 539580256003679834272394552690211686924869143236929597150609885102080*n^68+ 5722338749583103967346362810248336865322083096822272028557878440755200*n^66+ 45794171185474886784232126155221551344544610660243383585900872912076800*n^64+ 294991164122922330840519720599519577554800846221305824320380618397450240*n^62+ 1593360915189670528191384127879175260494142034636716725591439920951459840*n^60+ 7422953538635871618739862930273888623775320211751280064351324692562313216*n^58+ 30448756095742629714017402483260130015735496176432159163646584050801442816*n^56 +111725278558974435576524610880066576836530958838681295848280081900346802176*n^ 54+371311569382500373242076227991837107365571783139566899025496217191934590976* n^52+ 1129063262213757845488615304086845226199413031969343710490412579695568879616*n^ 50+3167522600402518347028099309727652518406613538098437335102020686729450684416 *n^48+ 8256503994012097456391819844992606476820182281753759157096762405839978008576*n^ 46+ 20116592415737871544229559443636378878290882445754986846080133997382476005376*n ^44+ 46051922497199982304638247258820042949971877403766369969227887070336830980096*n ^42+ 99505147719191489290826529568775208953290736794299922647562087977420966840896*n ^40+ 203744337938021316002204739091696875725572944653670563666105567571344249374568* n^38+ 396747894199645550537595562090165314842185536288769617121842470548725371392868* n^36+ 737090253440775168626493070546337878889686661943120634158268126739166331865498* n^34+13102616242753142146082418937430341398725455726812890115945138262490987427\ 51098*n^32+22344371529516605415965099388440918665001178674091881830105689980233\ 12144571453*n^30+36643460611066223189973886803826827103239799220073706235591229\ 47454801017694053*n^28+57917056214053914544682750762687564119886042299379779913\ 95638303849616694708273*n^26+88407952072172654354748229210122449508173878101687\ 96761378019189146774249939873*n^24+13058218500887770723885627811804525643117961\ 319577862721161573615174301456981213*n^22+1869671922344950006082994533179575004\ 7440294302421826228843888655578763834748313*n^20+259939621757386056494570737290\ 27045609685824170174838170441502308323579560245591*n^18+35148272917074477895616\ 668985655564222509653114943646935372859614628836482185191*n^16+4629422897156593\ 3080554547921939440996064982950028864291271446160565997847564951*n^14+594815863\ 68999916026393677330455639889831267832432712828963128014134341081164951*n^12+74\ 661561461029085809885175641314666726102003354630635682741626237891279514764951* n^10+91686654466877000593176442383606276024279648350127914332842117354464567514\ 764951*n^8+11034182362309037240672301571308845110427778323362820617282279122996\ 5303514764951*n^6+1304859809241835783824159567268773641464848276116946606377304\ 37011725303514764951*n^4+152787542059127106130226912255389468519335322339718067\ 857940423407885303514764951*n^2+18725590380341821469288610660074959787338173706\ 1913620128948167407885303514764951) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 38, we have :, ) ----------- = 274877906944 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 76 ----- sin(----) j = 1 2 n 74 6426868122192798104678999985875653980419086935888877113069187104768 n + 72 207290580151573447781724108280170063633760400338936416331424247840768 n + 70 3362682804038950729452259758091320250814373476020794890343699141623808 n + 68 36582097076068291765736936026905606485204959893761514003171362690039808 n + 300256531900232725260410887409209711790887960176068343882149531209433088 66 n + 1983350271146496398486503089055799072784204203039410415903679551360729088 64 n + 10983289233534695796415191681876440521055283511167866169435120990293065728 62 n + 52449481568616248286642461863453749042253857469204150274738253425937481728 60 n + 220494151800063307963037797925062650334106266227762477767832793093546967040 58 n + 829005209690561547723410733897021208098960164873669231064850771088548823040 56 n + 282251344417002198100143684362805052831543745678510752206045531208\ 54 6210707456 n + 8790609345177783063008025127249081908080924639877602349\ 52 612101811186833555456 n + 25254154666375135843388735936960374228899954\ 50 785646000423905445108191406718976 n + 67395132353773194686336826086202\ 48 291096712981283002075608581715493700815486976 n + 16807769856164981536\ 46 7168811182509505177260596903285125947131718644810212796416 n + 3937566\ 44 64525009106233849770686587915884011422369464093343344854431370166204416 n + 870458368040805677835182768239997443034929618392138598065782214726710\ 42 331441536 n + 18230747035157025317771459205333202274935148490006841316\ 40 51081809471839858009536 n + 363027973807459156150864023919660411192767\ 38 8895264526065083540537028614797361420 n + 6895063010811458294224507764\ 36 313447997881800875062746025083545917652657327961920 n + 12527033830267\ 34 132692639969113645494210868164755523307191853846749939428726890234 n + 218276014554005918821949412096716687591019209265566136723834727197960781\ 32 94486234 n + 365637567956483659819117885384993654731016728469388637753\ 30 79379368809675482147549 n + 590118528460185168396664040534589562121944\ 28 17038058478137601261778897602633838549 n + 919511082824722436190932182\ 26 15013912470781492917985544693891322983441128207304329 n + 138588921161\ 24 792901866017382302514105163261699587822274941678215698065487281850329 n + 202407131881032533821565099846254858147432212175842543428993915201735\ 22 592102522569 n + 28692966546169214368614428378603692732055134734347483\ 20 3805039455234729306643851069 n + 3954258596565441062734938549966217789\ 18 88687501421119661657363576837749655847558415 n + 530577684081587728720\ 16 122031419304106922425483506140306883633928762576522483164415 n + 69415\ 025524371250156877173395255176840281462065406831650586977149324601239280\ 14 9167 n + 8867121943323279374307213258528233181991161339250548585639138\ 12 06968303572473129167 n + 110745950274739197550590470243307330939315874\ 10 7910171304278599757376750702767849167 n + 1354228200457976490785011795\ 8 005827298319146314204787134459520091955236064367849167 n + 162394959030\ 6 5562780025466208061816889048564379908995330645690140879908691567849167 n + 191468464829780654930120996717287350319659662984090181470606022009578\ 4 0691567849167 n + 22362070118602845064609811439757283972826381650888273\ 2 16867911530347812691567849167 n + 2732914245838542691958669955120970682\ 395159657243413749068012599147812691567849167)/1419874232848887015216423\ 001682278942736198400912503531964313309828805994285737400054931640625 and in Maple notation: 274877906944/141987423284888701521642300168227894273619840091250353196431330982\ 8805994285737400054931640625*(n+1)*(n-1)*( 6426868122192798104678999985875653980419086935888877113069187104768*n^74+ 207290580151573447781724108280170063633760400338936416331424247840768*n^72+ 3362682804038950729452259758091320250814373476020794890343699141623808*n^70+ 36582097076068291765736936026905606485204959893761514003171362690039808*n^68+ 300256531900232725260410887409209711790887960176068343882149531209433088*n^66+ 1983350271146496398486503089055799072784204203039410415903679551360729088*n^64+ 10983289233534695796415191681876440521055283511167866169435120990293065728*n^62 +52449481568616248286642461863453749042253857469204150274738253425937481728*n^ 60+220494151800063307963037797925062650334106266227762477767832793093546967040* n^58+ 829005209690561547723410733897021208098960164873669231064850771088548823040*n^ 56+2822513444170021981001436843628050528315437456785107522060455312086210707456 *n^54+ 8790609345177783063008025127249081908080924639877602349612101811186833555456*n^ 52+ 25254154666375135843388735936960374228899954785646000423905445108191406718976*n ^50+ 67395132353773194686336826086202291096712981283002075608581715493700815486976*n ^48+ 168077698561649815367168811182509505177260596903285125947131718644810212796416* n^46+ 393756664525009106233849770686587915884011422369464093343344854431370166204416* n^44+ 870458368040805677835182768239997443034929618392138598065782214726710331441536* n^42+18230747035157025317771459205333202274935148490006841316510818094718398580\ 09536*n^40+36302797380745915615086402391966041119276788952645260650835405370286\ 14797361420*n^38+68950630108114582942245077643134479978818008750627460250835459\ 17652657327961920*n^36+12527033830267132692639969113645494210868164755523307191\ 853846749939428726890234*n^34+2182760145540059188219494120967166875910192092655\ 6613672383472719796078194486234*n^32+365637567956483659819117885384993654731016\ 72846938863775379379368809675482147549*n^30+59011852846018516839666404053458956\ 212194417038058478137601261778897602633838549*n^28+9195110828247224361909321821\ 5013912470781492917985544693891322983441128207304329*n^26+138588921161792901866\ 017382302514105163261699587822274941678215698065487281850329*n^24+2024071318810\ 32533821565099846254858147432212175842543428993915201735592102522569*n^22+28692\ 9665461692143686144283786036927320551347343474833805039455234729306643851069*n^ 20+3954258596565441062734938549966217789886875014211196616573635768377496558475\ 58415*n^18+53057768408158772872012203141930410692242548350614030688363392876257\ 6522483164415*n^16+694150255243712501568771733952551768402814620654068316505869\ 771493246012392809167*n^14+8867121943323279374307213258528233181991161339250548\ 58563913806968303572473129167*n^12+11074595027473919755059047024330733093931587\ 47910171304278599757376750702767849167*n^10+13542282004579764907850117950058272\ 98319146314204787134459520091955236064367849167*n^8+162394959030556278002546620\ 8061816889048564379908995330645690140879908691567849167*n^6+1914684648297806549\ 301209967172873503196596629840901814706060220095780691567849167*n^4+22362070118\ 60284506460981143975728397282638165088827316867911530347812691567849167*n^2+273\ 2914245838542691958669955120970682395159657243413749068012599147812691567849167 ) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 39, we have :, ) ----------- = 549755813888 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 78 ----- sin(----) j = 1 2 n 76 3157812018628383707878783710395262294808659388066420396961728466780160 n + 104448467058447978236672162987788506853203679041143068137488651831476224 74 n + 1737289668516486217526339552822937192366180549825856819197418776060493824 72 n + 19375197043219893869766024731411682465494658233034734470590467127424057344 70 n + 163000010527738628338246646018000986474141258621951076041659961667059974144 68 n + 110341189226735637020330461670134417278705885308452763148773259460\ 66 7583657984 n + 6260918672889643688674410662538025085688047475800539643\ 64 758001856134391005184 n + 30629320549025160850348492761754130645801466\ 62 544781637317424939144081995464704 n + 13188808137427367861504009759467\ 60 7312863222065474222023776536912050631531823104 n + 5078066434646369507\ 58 12187837850307614006417165057228084775459096609856002457600 n + 177022\ 514237137789230155087430109307083687504066069279742682494902356475379712\ 56 0 n + 5643906178664520116805189023765472972168329126863052937714789040\ 54 350356891762688 n + 16594988661887647693888799844462893920266917823585\ 52 699905766668208723921777983488 n + 45317799666878776026401807494151902\ 50 316568496080511526848369993165146007567925248 n + 11562639763891224616\ 48 4947812388590871533338132928431916966232859627863225226395648 n + 2770\ 698423681410238351775917135369144266009372910445539905352973612206258375\ 46 23968 n + 626366731091274095763079563759902283262161745953348004796017\ 44 787663718267860013568 n + 13412389195987650535839017927289001595995968\ 42 24303629922020389497525098834245505728 n + 272998878056781928934466725\ 40 2599717423778658091401684064402535685866568188696224928 n + 5298735138\ 842705160639747823222382144429677513945602896264352105837324864552627550 38 n + 983524395129969915547359839311419708070631181007108301250131974726\ 36 1584629592678030 n + 1750373183471259468738344703425372090577086378353\ 34 6416058252067897340075446342997802 n + 2993936802891021637628792827171\ 32 3636727302110181390124532504576285960246263984179402 n + 4932552322782\ 30 1383979453487224319791535304994024112816601331797132330747820650693997 n + 784326496391968549776049283662165292833787918640340428980582679941256\ 28 89132945366797 n + 120596701858396728467403458750400736070960719514325\ 26 567338044035601774368954065547637 n + 17961855506225700375891662702563\ 24 5822388751938434726648545819158587544718344586650837 n + 2595744334747\ 22 32445437418348835206289482060197008206072517469285808961924116418753407 n + 364540224936471147659953877271721438318409227867803828160338496028910\ 20 668855969845807 n + 49824779486490147621019063827804067867139001228990\ 18 9754220560434178968753085250370475 n + 6637062278018376107210217736025\ 16 43108771798143349871667767273906110690578197633450315 n + 862832493509\ 512908357480238318057004250801394412318452867060512201015814930371754411 14 n + 109614320759445027768923277835471932277315525461662830959712983051\ 12 1018823607695914411 n + 1362567151572842668886418443834017914556940833\ 10 027762063043092636833377533154722474411 n + 16594764504388907707581030\ 8 90534086107813145972170280638072465119672219416383522474411 n + 1983237\ 322751776225450827944412213210644860087874483373312445175197549286489122\ 6 474411 n + 233163879760434597322631222176990941548595966682516213963408\ 4 2423164393702489122474411 n + 27165375503422510263691770860852380646534\ 2 64875084893970220161513326123238489122474411 n + 3310898121216066908559\ 747178604867353987339019200557625880917417428523238489122474411)/3442758\ 130279212892818220725848239581075977676551001833157470756854907211221594\ 506702423095703125 and in Maple notation: 549755813888/344275813027921289281822072584823958107597767655100183315747075685\ 4907211221594506702423095703125*(n+1)*(n-1)*( 3157812018628383707878783710395262294808659388066420396961728466780160*n^76+ 104448467058447978236672162987788506853203679041143068137488651831476224*n^74+ 1737289668516486217526339552822937192366180549825856819197418776060493824*n^72+ 19375197043219893869766024731411682465494658233034734470590467127424057344*n^70 +163000010527738628338246646018000986474141258621951076041659961667059974144*n^ 68+1103411892267356370203304616701344172787058853084527631487732594607583657984 *n^66+ 6260918672889643688674410662538025085688047475800539643758001856134391005184*n^ 64+ 30629320549025160850348492761754130645801466544781637317424939144081995464704*n ^62+ 131888081374273678615040097594677312863222065474222023776536912050631531823104* n^60+ 507806643464636950712187837850307614006417165057228084775459096609856002457600* n^58+17702251423713778923015508743010930708368750406606927974268249490235647537\ 97120*n^56+56439061786645201168051890237654729721683291268630529377147890403503\ 56891762688*n^54+16594988661887647693888799844462893920266917823585699905766668\ 208723921777983488*n^52+4531779966687877602640180749415190231656849608051152684\ 8369993165146007567925248*n^50+115626397638912246164947812388590871533338132928\ 431916966232859627863225226395648*n^48+2770698423681410238351775917135369144266\ 00937291044553990535297361220625837523968*n^46+62636673109127409576307956375990\ 2283262161745953348004796017787663718267860013568*n^44+134123891959876505358390\ 1792728900159599596824303629922020389497525098834245505728*n^42+272998878056781\ 9289344667252599717423778658091401684064402535685866568188696224928*n^40+529873\ 5138842705160639747823222382144429677513945602896264352105837324864552627550*n^ 38+9835243951299699155473598393114197080706311810071083012501319747261584629592\ 678030*n^36+1750373183471259468738344703425372090577086378353641605825206789734\ 0075446342997802*n^34+299393680289102163762879282717136367273021101813901245325\ 04576285960246263984179402*n^32+49325523227821383979453487224319791535304994024\ 112816601331797132330747820650693997*n^30+7843264963919685497760492836621652928\ 3378791864034042898058267994125689132945366797*n^28+120596701858396728467403458\ 750400736070960719514325567338044035601774368954065547637*n^26+1796185550622570\ 03758916627025635822388751938434726648545819158587544718344586650837*n^24+25957\ 4433474732445437418348835206289482060197008206072517469285808961924116418753407 *n^22+3645402249364711476599538772717214383184092278678038281603384960289106688\ 55969845807*n^20+49824779486490147621019063827804067867139001228990975422056043\ 4178968753085250370475*n^18+663706227801837610721021773602543108771798143349871\ 667767273906110690578197633450315*n^16+8628324935095129083574802383180570042508\ 01394412318452867060512201015814930371754411*n^14+10961432075944502776892327783\ 54719322773155254616628309597129830511018823607695914411*n^12+13625671515728426\ 68886418443834017914556940833027762063043092636833377533154722474411*n^10+16594\ 7645043889077075810309053408610781314597217028063807246511967221941638352247441\ 1*n^8+1983237322751776225450827944412213210644860087874483373312445175197549286\ 489122474411*n^6+23316387976043459732263122217699094154859596668251621396340824\ 23164393702489122474411*n^4+271653755034225102636917708608523806465346487508489\ 3970220161513326123238489122474411*n^2+3310898121216066908559747178604867353987\ 339019200557625880917417428523238489122474411) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 40, we have :, ) ----------- = 1099511627776 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 80 ----- sin(----) j = 1 2 n 956701815750497315555743314421447851663639704985301150818604926205257842688 78 n + 324309299866214605703543684343020666702510286917821198893758487274\ 76 49790578688 n + 552749882954120337509367790510550650709824821197475020\ 74 901211196090323354779648 n + 63158667118762463801393667197089611960498\ 72 83713983424327048578149568592528539648 n + 544296256666236064014782765\ 70 49458855982498944892516416082300569131519966653186048 n + 377377351506\ 68 835575262923236804428574383109038298180205739526491505090997201666048 n + 219278103370101643304245099457935157482773608849161950518531338569053\ 66 4629760565248 n + 1098350835497386951029319795828993917319435448786473\ 64 9653429024612116240986168885248 n + 4841523940911932553911084945959558\ 62 1689334143920362885101219948192549114795102568448 n + 1907975121671493\ 60 19098503889301553426174192070939531231421361900360252668396802408448 n + 680650513488785641530349522810912589825074555138456693843777991146280809\ 58 666430631936 n + 22203363285439734915852052454865210942305981500276372\ 56 59545642263680459951411283623936 n + 667850829561452014957383937389651\ 54 5048664195246852189366400298352957338076488335097856 n + 1865319194057\ 246570199852665740312099686130787331457700092793805129271599171600357785\ 52 6 n + 4866753601983479929321284766297615660109526300479421869275111078\ 50 3452936063415546413056 n + 1192294355586576145987608604536712200875078\ 48 36558046114342372200267780931980330807853056 n + 275515503635205210506\ 46 926727640117039968137761251034592167933827735742856083991184358656 n + 602913545886073354722864808033960582816567409714558779491263338105864548\ 44 380090534118656 n + 12538527450854682372952288530808534500160696123658\ 42 04671403723584227857947644583336752256 n + 248597300613829078213563602\ 40 7284548758402337575894452760858804175205671649259947692672256 n + 4712\ 438883231224301138104458123933251762907900427953862506026909099446553359\ 38 805302080814 n + 85629070325459709098517083669626321508479929618644440\ 36 93236922650853817426597734516138814 n + 149503731413392717734103223415\ 34 97170249044389450053280384315684329976230920962891277597594 n + 251352\ 681646427967357842119951435557455229698536091055908698336573645342655057\ 32 02696457594 n + 407745257716545302235007402380286745115151420199069212\ 30 10245757431993949345137671653352869 n + 639409456370263177339715039914\ 28 26431576736360202734493278726092844042441393074725156932869 n + 970980\ 995545312758364700282599912139950991693488132062042663995431248824689078\ 26 44639233069 n + 143019049198338367465261126529362563667529991950459906\ 24 989500091059061769946954990155153069 n + 20464345008467870013968489882\ 22 9998074735537236697243481569416075186654873982569952578972519 n + 2848\ 766042043423714054562406145416628286627225260671103313094750648809991786\ 20 89426811462519 n + 386344320712324142582276116057325333890541883187833\ 18 341584673216772740898155451884391115187 n + 51112717508920910340088293\ 16 0779901396662687205732356182846602716385687460550219840760079187 n + 6\ 605051211839707989629344395496493019639888023611454875475208305689615585\ 14 39529215281263027 n + 834747858683951164944431653374075823850587945677\ 12 889326420206588819381671496878519175663027 n + 10329919717323091100973\ 10 18874332226456832222804958911829285594762265772285240129592638063027 n + 125327442574064319207624482035359458995807631145499541820028043961568537\ 8 9336517064638063027 n + 14929426975162848034416505932638896833208816384\ 6 33792412734837633732501993344297288638063027 n + 1750443154850114063347\ 4 650547155750010986080371639058685821751485831714560074537288638063027 n + 203464076778322195962033362662581295077544336428984947555602717055838173\ 2 4535977288638063027 n + 24733205119458168980302392258605157732420255585\ 12876091387261006063537830535977288638063027)/51471471840458914236012731\ 694902983092813565649927235556895740170972818497450131911630581855773925\ 78125 and in Maple notation: 1099511627776/51471471840458914236012731694902983092813565649927235556895740170\ 97281849745013191163058185577392578125*(n+1)*(n-1)*( 956701815750497315555743314421447851663639704985301150818604926205257842688*n^ 78+ 32430929986621460570354368434302066670251028691782119889375848727449790578688*n ^76+ 552749882954120337509367790510550650709824821197475020901211196090323354779648* n^74+63158667118762463801393667197089611960498837139834243270485781495685925285\ 39648*n^72+54429625666623606401478276549458855982498944892516416082300569131519\ 966653186048*n^70+3773773515068355752629232368044285743831090382981802057395264\ 91505090997201666048*n^68+21927810337010164330424509945793515748277360884916195\ 05185313385690534629760565248*n^66+10983508354973869510293197958289939173194354\ 487864739653429024612116240986168885248*n^64+4841523940911932553911084945959558\ 1689334143920362885101219948192549114795102568448*n^62+190797512167149319098503\ 889301553426174192070939531231421361900360252668396802408448*n^60+6806505134887\ 85641530349522810912589825074555138456693843777991146280809666430631936*n^58+22\ 2033632854397349158520524548652109423059815002763725954564226368045995141128362\ 3936*n^56+667850829561452014957383937389651504866419524685218936640029835295733\ 8076488335097856*n^54+186531919405724657019985266574031209968613078733145770009\ 27938051292715991716003577856*n^52+48667536019834799293212847662976156601095263\ 004794218692751110783452936063415546413056*n^50+1192294355586576145987608604536\ 71220087507836558046114342372200267780931980330807853056*n^48+27551550363520521\ 0506926727640117039968137761251034592167933827735742856083991184358656*n^46+602\ 9135458860733547228648080339605828165674097145587794912633381058645483800905341\ 18656*n^44+12538527450854682372952288530808534500160696123658046714037235842278\ 57947644583336752256*n^42+24859730061382907821356360272845487584023375758944527\ 60858804175205671649259947692672256*n^40+47124388832312243011381044581239332517\ 62907900427953862506026909099446553359805302080814*n^38+85629070325459709098517\ 08366962632150847992961864444093236922650853817426597734516138814*n^36+14950373\ 1413392717734103223415971702490443894500532803843156843299762309209628912775975\ 94*n^34+25135268164642796735784211995143555745522969853609105590869833657364534\ 265505702696457594*n^32+4077452577165453022350074023802867451151514201990692121\ 0245757431993949345137671653352869*n^30+639409456370263177339715039914264315767\ 36360202734493278726092844042441393074725156932869*n^28+97098099554531275836470\ 028259991213995099169348813206204266399543124882468907844639233069*n^26+1430190\ 4919833836746526112652936256366752999195045990698950009105906176994695499015515\ 3069*n^24+204643450084678700139684898829998074735537236697243481569416075186654\ 873982569952578972519*n^22+2848766042043423714054562406145416628286627225260671\ 10331309475064880999178689426811462519*n^20+38634432071232414258227611605732533\ 3890541883187833341584673216772740898155451884391115187*n^18+511127175089209103\ 400882930779901396662687205732356182846602716385687460550219840760079187*n^16+ 6605051211839707989629344395496493019639888023611454875475208305689615585395292\ 15281263027*n^14+83474785868395116494443165337407582385058794567788932642020658\ 8819381671496878519175663027*n^12+103299197173230911009731887433222645683222280\ 4958911829285594762265772285240129592638063027*n^10+125327442574064319207624482\ 0353594589958076311454995418200280439615685379336517064638063027*n^8+1492942697\ 5162848034416505932638896833208816384337924127348376337325019933442972886380630\ 27*n^6+175044315485011406334765054715575001098608037163905868582175148583171456\ 0074537288638063027*n^4+2034640767783221959620333626625812950775443364289849475\ 556027170558381734535977288638063027*n^2+24733205119458168980302392258605157732\ 42025558512876091387261006063537830535977288638063027) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 41, we have :, ) ----------- = 2199023255552 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 82 ----- sin(----) j = 1 2 n 117739541125799605589580369320695333377608747539996563630674936990189748\ 80 2240 n + 4088052076490363465145915124169703917781713523228996339527885\ 78 3807420097953792 n + 7135634623468432968146427666163455648780761063526\ 76 04971885093546949518873853952 n + 834869863129156517883461850616271893\ 74 2487920039203111053985737143602488543281152 n + 7366094008796202692419\ 72 5312775353981770657045296515097131835239227920829961469952 n + 5227899\ 105328705035167059227381429485868188444232121890621997146040365460509163\ 70 52 n + 310905612392486835215660673534345703849353028402138184574768912\ 68 9366271781557501952 n + 1593631127641402825894479037288491433656222145\ 66 7484295694726314197310616241126244352 n + 7187413740768578451758654719\ 64 9370872198766890575184286838512231300284891553073201152 n + 2897586132\ 609482348876105696978441373390561414454931166811272112531870282896921067\ 62 52 n + 105727718576284411564682594188550825216039672856676620666696567\ 60 2556732537808388882432 n + 3527045180029926371617950385988660311898313\ 58 806849359425795817413893335065172769767424 n + 10847365663986361591772\ 56 152988153040023906071684359153440546638779408155276911948857344 n + 30\ 972323621491371755512362730611970647949313337759420097082002729820808773\ 54 909591097344 n + 82595652088290317041599637226767726617328829642329069\ 52 786915236610708051343669648031744 n + 20678441940657232229413714830961\ 50 1125716972624828330577389144930630189993496131173842944 n + 4882180931\ 172755241513073752086118194149814986790806438828437861408818517753880793\ 48 91744 n + 109136706881837545508182096506368148195317084019986209269965\ 46 3132704546089292534091842944 n + 2318045679714128731105551231993574882\ 44 524854873619301024792461083936669609424854492857344 n + 46928870182760\ 695737048116694672386104467926746526324178797166442221977460358142289541\ 42 44 n + 908160948294670567309476663534637926777477103556378776103420223\ 40 0355630716785235899994564 n + 1684275424602334370127948994275648220201\ 38 8345342871515517328171429277548738538310770803526 n + 3000653980078001\ 081868248347478625969744405120502397436405217715903953424212985171509470\ 36 6 n + 5146500339687973236983279727305939756466353084426790098464380439\ 34 8123717654789519354950106 n + 8514702770041832469216827206562354646570\ 32 2463307340354077403953271336681942584978531371906 n + 1361424560357103\ 753370836840621448107134837374425282093223298762793573132464788186218261\ 30 81 n + 210734120617209557860900161120964667647420098451646714340255570\ 28 240717074053750006131386781 n + 31629798784997812679122692012422473650\ 26 6255000171839852725502738563357635004423100099133181 n + 4610415783942\ 691083097081293662266491959243747753667487920353750000602176555366350591\ 24 94481 n + 653569479930092964570341715109740364160579357444370774570074\ 22 969215719321975302987232250831 n + 90229017357085335883239395555079787\ 20 0488409791788548622888918314052633067649122750009572491 n + 1214706616\ 238032590345718687150169914653621269223025738352407901679829773545763603\ 18 101910883 n + 15966589716399009300335125700146840846435035738227140842\ 16 61995229104388544308285773777937123 n + 205160690956207355406514896435\ 14 6210417159083926246569008479506150244155921525152667749679523 n + 2580\ 050117709957235838539007874283287974870966149537572592671917280625009116\ 12 055593250479523 n + 31792018986075126043565015207003134312474287136681\ 10 09837418657276273864993424241447234479523 n + 384311748976289711461001\ 8 4940015700900020886522776712364170489207869678227745121959234479523 n + 456393300808339799241780893790219346797040404087019919111238833947661209\ 6 9492984999234479523 n + 53372164548588109040208953353270877454608403469\ 4 51034576115510404697475588455544999234479523 n + 6189881476652463270257\ 2 740904873586176755630228452236503856192606482483988429944999234479523 n + 750552443114190789132448579146727485840789119034966050074842055036425294\ 8429944999234479523)/312595036299372430360174882732459580246599459678826\ 38179675705616029833672841665478039060688018798828125 and in Maple notation: 2199023255552/31259503629937243036017488273245958024659945967882638179675705616\ 029833672841665478039060688018798828125*(n+1)*(n-1)*( 1177395411257996055895803693206953333776087475399965636306749369901897482240*n^ 80+ 40880520764903634651459151241697039177817135232289963395278853807420097953792*n ^78+ 713563462346843296814642766616345564878076106352604971885093546949518873853952* n^76+83486986312915651788346185061627189324879200392031110539857371436024885432\ 81152*n^74+73660940087962026924195312775353981770657045296515097131835239227920\ 829961469952*n^72+5227899105328705035167059227381429485868188444232121890621997\ 14604036546050916352*n^70+31090561239248683521566067353434570384935302840213818\ 45747689129366271781557501952*n^68+15936311276414028258944790372884914336562221\ 457484295694726314197310616241126244352*n^66+7187413740768578451758654719937087\ 2198766890575184286838512231300284891553073201152*n^64+289758613260948234887610\ 569697844137339056141445493116681127211253187028289692106752*n^62+1057277185762\ 844115646825941885508252160396728566766206666965672556732537808388882432*n^60+ 3527045180029926371617950385988660311898313806849359425795817413893335065172769\ 767424*n^58+1084736566398636159177215298815304002390607168435915344054663877940\ 8155276911948857344*n^56+309723236214913717555123627306119706479493133377594200\ 97082002729820808773909591097344*n^54+82595652088290317041599637226767726617328\ 829642329069786915236610708051343669648031744*n^52+2067844194065723222941371483\ 09611125716972624828330577389144930630189993496131173842944*n^50+48821809311727\ 5524151307375208611819414981498679080643882843786140881851775388079391744*n^48+ 1091367068818375455081820965063681481953170840199862092699653132704546089292534\ 091842944*n^46+2318045679714128731105551231993574882524854873619301024792461083\ 936669609424854492857344*n^44+4692887018276069573704811669467238610446792674652\ 632417879716644222197746035814228954144*n^42+9081609482946705673094766635346379\ 267774771035563787761034202230355630716785235899994564*n^40+1684275424602334370\ 1279489942756482202018345342871515517328171429277548738538310770803526*n^38+300\ 0653980078001081868248347478625969744405120502397436405217715903953424212985171\ 5094706*n^36+514650033968797323698327972730593975646635308442679009846438043981\ 23717654789519354950106*n^34+85147027700418324692168272065623546465702463307340\ 354077403953271336681942584978531371906*n^32+1361424560357103753370836840621448\ 10713483737442528209322329876279357313246478818621826181*n^30+21073412061720955\ 7860900161120964667647420098451646714340255570240717074053750006131386781*n^28+ 3162979878499781267912269201242247365062550001718398527255027385633576350044231\ 00099133181*n^26+46104157839426910830970812936622664919592437477536674879203537\ 5000060217655536635059194481*n^24+653569479930092964570341715109740364160579357\ 444370774570074969215719321975302987232250831*n^22+9022901735708533588323939555\ 50797870488409791788548622888918314052633067649122750009572491*n^20+12147066162\ 3803259034571868715016991465362126922302573835240790167982977354576360310191088\ 3*n^18+159665897163990093003351257001468408464350357382271408426199522910438854\ 4308285773777937123*n^16+205160690956207355406514896435621041715908392624656900\ 8479506150244155921525152667749679523*n^14+258005011770995723583853900787428328\ 7974870966149537572592671917280625009116055593250479523*n^12+317920189860751260\ 4356501520700313431247428713668109837418657276273864993424241447234479523*n^10+ 3843117489762897114610014940015700900020886522776712364170489207869678227745121\ 959234479523*n^8+45639330080833979924178089379021934679704040408701991911123883\ 39476612099492984999234479523*n^6+533721645485881090402089533532708774546084034\ 6951034576115510404697475588455544999234479523*n^4+6189881476652463270257740904\ 873586176755630228452236503856192606482483988429944999234479523*n^2+75055244311\ 4190789132448579146727485840789119034966050074842055036425294842994499923447952\ 3) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 42, we have :, ) ----------- = 4398046511104 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 84 ----- sin(----) j = 1 2 n 166508171142451605801821746320826507433064879993170023795648953786521622\ 82 51775016960 n + 591830239667953337942375512694948284825300070709182984\ 80 080199092837831718900974223360 n + 10573525231444587340970693391008249\ 78 268544167031220900187882200183578059874644757839872 n + 12660497485355\ 038964323231802921619622886285339795008603529572220539883301404522263347\ 76 2 n + 1143014282127273314035217117982538098111797717963289239110881757\ 74 140438790937799160758272 n + 82996712438884489863407742541863043221886\ 72 23970236807212222502439933866999237893288886272 n + 504914232774111544\ 70 60701311028923928765725607120723682287697964793654962675160349065347072 n + 264708198003622218460238076585189128518484431439733573939273372213449\ 68 881251770532544643072 n + 12208912414000718877796051409335410684968408\ 66 38901763371179902802542079554271854169709084672 n + 503267146776524743\ 798352479773807071114271682155395130868840080053168490362407473934185267\ 64 2 n + 1877331506304645397830977797037672134900179527002112463164856289\ 62 0943731345690267576269012992 n + 6401529166130706973745599689247402059\ 60 4989014719559802567826796123403892576520350951163297792 n + 2012087693\ 041246680948340849755302375399331014107460454175909446810256610149369977\ 58 78223529984 n + 587048684312975842739464746888251613719465643465323296\ 56 956085541388905218744126697683100893184 n + 15994155928382436319344185\ 54 85811777035146509110185038969078877983780569266128632456474970947584 n + 409025146578326411449192062515594971062649872264264494003285275374934257\ 52 8802079707753548611584 n + 9862711471832783444302904368090194910741074\ 50 752328279949867770096344487962857031273408328873984 n + 22512489311377\ 466037757734546922609638420188949352863722895178965540634913007423289313\ 48 347881984 n + 48816018237822282365523685088234275576073576273789989458\ 46 465157320114089023662571289979990686784 n + 10087484531352759392566915\ 44 2349107640229883483152239260807494877462216301371590002096230335630784 n + 199213944718190789479901382924923526028665604634084751057238524200807\ 42 943303015874297958148816264 n + 37695761682779588639511576435472677437\ 40 2147876963012639949352906594683395251160726935493438649964 n + 6850503\ 784829913623495682072763124442557403978329583813148257545235003226426297\ 38 95229103617668666 n + 119824711332829081245488190052911158562698733445\ 36 3230590988056655012541282895431323853161934488966 n + 2021286087869098\ 005389838304034615691186500686177485399138239608181123766905718305558989\ 34 018700766 n + 32943287838995976418897116137244352491201975953657067211\ 32 73945605029205002370086792682728697733766 n + 519647655111105780169124\ 104267584541542177778911355312602203504777501917302882710563227767599619\ 30 1 n + 7946043877414069269503323730747288721350918916881863424965611870\ 28 085965236621414863808599823267191 n + 11796361681751995839108559747580\ 26 753405622698317068120317037410501526748337697522985528897991465791 n + 170262486714120030749914254189774818368410015244516952514346285543487823\ 24 25032814466561287037266291 n + 239249176295084183734571118436890264115\ 22 46032031705518519312098734010610570758228111944055546729781 n + 327719\ 056909947230938006510996293801953858236521094732210049708102645026105915\ 20 63789536426988604881 n + 438135053656868690510852128731357473500120726\ 18 81667366290976137802911897802417588041369679838533353 n + 572379679154\ 741343013865450112037955474830784505648456678142356245629669848565359564\ 16 05240132443753 n + 731523151023042665187410340291838351923693148689745\ 14 82732320524383989355981395352401652610121747753 n + 915639215462960371\ 568473437802211119014733010352947205659021591777239258615390172511195032\ 12 89747753 n + 112370575546742703204942534474331186514366285917410746051\ 10 827360382786657692330298564240051929747753 n + 13536575450683756505760\ 328793424684661643006690235866601148579038628756141871079077226757192974\ 8 7753 n + 16028158514976428906989062380604010387393864349335791852731988\ 6 2128520363358135719301585971929747753 n + 18697288488711718501097430353\ 4 2198267390658621410632390060351963459475364704870219039185971929747753 n + 216378251513756024331289911318369267809924492056755350775427459979437\ 2 208375820287263185971929747753 n + 261733418501798029194924914986338406\ 911850142141370951723692299979800820165541887263185971929747753)/2181549\ 336449848944718866257821625920940067063487412151619761928406983722951228\ 009172634671162000179290771484375 and in Maple notation: 4398046511104/21815493364498489447188662578216259209400670634874121516197619284\ 06983722951228009172634671162000179290771484375*(n+1)*(n-1)*(166508171142451605\ 80182174632082650743306487999317002379564895378652162251775016960*n^82+59183023\ 9667953337942375512694948284825300070709182984080199092837831718900974223360*n^ 80+1057352523144458734097069339100824926854416703122090018788220018357805987464\ 4757839872*n^78+126604974853550389643232318029216196228862853397950086035295722\ 205398833014045222633472*n^76+1143014282127273314035217117982538098111797717963\ 289239110881757140438790937799160758272*n^74+8299671243888448986340774254186304\ 322188623970236807212222502439933866999237893288886272*n^72+5049142327741115446\ 0701311028923928765725607120723682287697964793654962675160349065347072*n^70+264\ 7081980036222184602380765851891285184844314397335739392733722134498812517705325\ 44643072*n^68+12208912414000718877796051409335410684968408389017633711799028025\ 42079554271854169709084672*n^66+50326714677652474379835247977380707111427168215\ 53951308688400800531684903624074739341852672*n^64+18773315063046453978309777970\ 376721349001795270021124631648562890943731345690267576269012992*n^62+6401529166\ 1307069737455996892474020594989014719559802567826796123403892576520350951163297\ 792*n^60+2012087693041246680948340849755302375399331014107460454175909446810256\ 61014936997778223529984*n^58+58704868431297584273946474688825161371946564346532\ 3296956085541388905218744126697683100893184*n^56+159941559283824363193441858581\ 1777035146509110185038969078877983780569266128632456474970947584*n^54+409025146\ 5783264114491920625155949710626498722642644940032852753749342578802079707753548\ 611584*n^52+9862711471832783444302904368090194910741074752328279949867770096344\ 487962857031273408328873984*n^50+2251248931137746603775773454692260963842018894\ 9352863722895178965540634913007423289313347881984*n^48+488160182378222823655236\ 85088234275576073576273789989458465157320114089023662571289979990686784*n^46+10\ 0874845313527593925669152349107640229883483152239260807494877462216301371590002\ 096230335630784*n^44+1992139447181907894799013829249235260286656046340847510572\ 38524200807943303015874297958148816264*n^42+37695761682779588639511576435472677\ 4372147876963012639949352906594683395251160726935493438649964*n^40+685050378482\ 9913623495682072763124442557403978329583813148257545235003226426297952291036176\ 68666*n^38+11982471133282908124548819005291115856269873344532305909880566550125\ 41282895431323853161934488966*n^36+20212860878690980053898383040346156911865006\ 86177485399138239608181123766905718305558989018700766*n^34+32943287838995976418\ 89711613724435249120197595365706721173945605029205002370086792682728697733766*n ^32+519647655111105780169124104267584541542177778911355312602203504777501917302\ 8827105632277675996191*n^30+794604387741406926950332373074728872135091891688186\ 3424965611870085965236621414863808599823267191*n^28+117963616817519958391085597\ 47580753405622698317068120317037410501526748337697522985528897991465791*n^26+17\ 0262486714120030749914254189774818368410015244516952514346285543487823250328144\ 66561287037266291*n^24+23924917629508418373457111843689026411546032031705518519\ 312098734010610570758228111944055546729781*n^22+3277190569099472309380065109962\ 9380195385823652109473221004970810264502610591563789536426988604881*n^20+438135\ 0536568686905108521287313574735001207268166736629097613780291189780241758804136\ 9679838533353*n^18+572379679154741343013865450112037955474830784505648456678142\ 35624562966984856535956405240132443753*n^16+73152315102304266518741034029183835\ 192369314868974582732320524383989355981395352401652610121747753*n^14+9156392154\ 6296037156847343780221111901473301035294720565902159177723925861539017251119503\ 289747753*n^12+1123705755467427032049425344743311865143662859174107460518273603\ 82786657692330298564240051929747753*n^10+13536575450683756505760328793424684661\ 6430066902358666011485790386287561418710790772267571929747753*n^8+1602815851497\ 6428906989062380604010387393864349335791852731988212852036335813571930158597192\ 9747753*n^6+1869728848871171850109743035321982673906586214106323900603519634594\ 75364704870219039185971929747753*n^4+216378251513756024331289911318369267809924\ 492056755350775427459979437208375820287263185971929747753*n^2+26173341850179802\ 9194924914986338406911850142141370951723692299979800820165541887263185971929747\ 753) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 43, we have :, ) ----------- = 8796093022208 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 86 ----- sin(----) j = 1 2 n 235406581203825290217609597363622842405261052775739457765852831533482190\ 84 066155520 n + 85608151383264055803086969134049482140585050524342406475\ 82 48300520859563315953664000 n + 156464095223565651187729840986713254120\ 80 856854892114064513425665581791449311462031360 n + 19163022182699764273\ 78 93048096058328382259188220709515022987528350068135637004819890176 n + 176939187920087810878434890779442449972431539456984290191044658757159361\ 76 96248465309696 n + 131380987666901171396980536208042307513344521171282\ 74 334906616290498109018416517056823296 n + 81719910832315270294332619792\ 72 5960875620296779491130819967270122137796090749885345693696 n + 4379806\ 017225118688503081403798353757986567404154191980490663946100500638872695\ 70 100932096 n + 20648065684857681037049642208144159156652063514050853979\ 68 319980413659759346153888935837696 n + 86986654104114953178536970742377\ 66 335115532642142441362586011024576371769720073417440362496 n + 33157544\ 314704618984791580521078186231664679400160288267051220667186065098077753\ 64 8392948736 n + 1155172952251696423358528629042491245909476425832084478\ 62 285812160848448510491561013093072896 n + 37090729523670460167638478621\ 60 80119991085088175106503575500473310749961518674317324049186816 n + 110\ 529879537923619607402329676389800246628817245019840192326742244047973526\ 58 45860385367785472 n + 307527827439968314297150403531805930857147561652\ 56 17837165056051036676513088371911036658778112 n + 803007075082759049822\ 54 25513081775709174304654141631929514777026690260021697598855077322227712 n + 197669146744054566105169132342220433051286399162185051579769482612094\ 52 612535176289755278630912 n + 46053664982467441793593968900981747428211\ 50 6142269037124112680059701184610625542803627078106112 n + 1019116566330\ 466241021010104546393823731009141671681521329793408394921110343211432533\ 48 296678912 n + 21487480735304753347490144641287749876248750501972747125\ 46 86901584111826226308408229246086753312 n + 432893494440300349660623093\ 44 3187597233522694938320446770258640083162891720206434052808104758272 n + 835462939784885454410839845979333185633766790270437013394260950050271572\ 42 2484352968696881763012 n + 1548252870964631029971448456512494559601488\ 40 6186261471849179756272307445228679794059998739272092 n + 2760948246912\ 122271001976214347879674555113124292208690429173538493372164047735624784\ 38 3116410278 n + 4747182816648525610863220595542374961703010888003385956\ 36 8406656255713325082487181757477988665438 n + 7884439647803976492739864\ 34 1034842914394719174802717279074551998917074113312601399281933957250438 n + 126707752728577203297569842102421056688687004052922467488572441503993\ 32 291035670767477371167526838 n + 19734439173707808989891083369574048940\ 30 2815454339424080246068570546090872448834394746156775038863 n + 2983217\ 846170703055234219753709714911145867331378781416165926074994060077132616\ 28 52093348922610463 n + 438324701119913801711266769312468727870263292913\ 26 922210529224963541645404816123275215653020333763 n + 62681228004595214\ 647641621887109579512521612345640125773799445866168810128958155835050948\ 24 4762043 n + 8734963514902809120787899214986323720774944451298474690053\ 22 79733998953272584691520694397016215913 n + 118766404237491165802709560\ 20 7697046335542336437349216827235276722956686939583197352652743704575553 n + 157739558208696249539420560979393504522782611425177921744155146601658\ 18 6034953625581059023290958449 n + 2048752552261319284186877739569081536\ 16 590261236854569437528061530523209490645243601333786728566129 n + 26050\ 285428916907430768862106494889580533558459564434548691288661892964064091\ 14 37876628514000402929 n + 324616368349084852978338948947781618743122934\ 12 0728935440154888227566567591734082008116976586002929 n + 3968443044066\ 089308033160018638568461468172578514712669197010728467258031839104780949\ 10 284874002929 n + 47647045591461519109610336786416720718951740039934366\ 8 71361771513599366973622893337964068874002929 n + 5625826871302095302022\ 738035348593511977553386713296632635370743126212266310051024589348874002\ 6 929 n + 654705929183827836205076455394417113775358053877724820572809010\ 4 1273839264677091618509348874002929 n + 75611145741557716073699395810356\ 2 86330155882006039213203613032094574852312952874479309348874002929 n + 9\ 124657950487725810603321376429424093997915360529381663115458863397236741\ 271594479309348874002929)/1522011164965010891664325296154622735539581672\ 20052010578122925237696538810550791337625674732232570648193359375 and in Maple notation: 8796093022208/15220111649650108916643252961546227355395816722005201057812292523\ 7696538810550791337625674732232570648193359375*(n+1)*(n-1)*(2354065812038252902\ 17609597363622842405261052775739457765852831533482190066155520*n^84+85608151383\ 26405580308696913404948214058505052434240647548300520859563315953664000*n^82+15\ 6464095223565651187729840986713254120856854892114064513425665581791449311462031\ 360*n^80+1916302218269976427393048096058328382259188220709515022987528350068135\ 637004819890176*n^78+1769391879200878108784348907794424499724315394569842901910\ 4465875715936196248465309696*n^76+131380987666901171396980536208042307513344521\ 171282334906616290498109018416517056823296*n^74+8171991083231527029433261979259\ 60875620296779491130819967270122137796090749885345693696*n^72+43798060172251186\ 88503081403798353757986567404154191980490663946100500638872695100932096*n^70+20\ 6480656848576810370496422081441591566520635140508539793199804136597593461538889\ 35837696*n^68+86986654104114953178536970742377335115532642142441362586011024576\ 371769720073417440362496*n^66+3315754431470461898479158052107818623166467940016\ 02882670512206671860650980777538392948736*n^64+11551729522516964233585286290424\ 91245909476425832084478285812160848448510491561013093072896*n^62+37090729523670\ 46016763847862180119991085088175106503575500473310749961518674317324049186816*n ^60+110529879537923619607402329676389800246628817245019840192326742244047973526\ 45860385367785472*n^58+30752782743996831429715040353180593085714756165217837165\ 056051036676513088371911036658778112*n^56+8030070750827590498222551308177570917\ 4304654141631929514777026690260021697598855077322227712*n^54+197669146744054566\ 105169132342220433051286399162185051579769482612094612535176289755278630912*n^ 52+4605366498246744179359396890098174742821161422690371241126800597011846106255\ 42803627078106112*n^50+10191165663304662410210101045463938237310091416716815213\ 29793408394921110343211432533296678912*n^48+21487480735304753347490144641287749\ 87624875050197274712586901584111826226308408229246086753312*n^46+43289349444030\ 0349660623093318759723352269493832044677025864008316289172020643405280810475827\ 2*n^44+835462939784885454410839845979333185633766790270437013394260950050271572\ 2484352968696881763012*n^42+154825287096463102997144845651249455960148861862614\ 71849179756272307445228679794059998739272092*n^40+27609482469121222710019762143\ 478796745551131242922086904291735384933721640477356247843116410278*n^38+4747182\ 8166485256108632205955423749617030108880033859568406656255713325082487181757477\ 988665438*n^36+7884439647803976492739864103484291439471917480271727907455199891\ 7074113312601399281933957250438*n^34+126707752728577203297569842102421056688687\ 004052922467488572441503993291035670767477371167526838*n^32+1973443917370780898\ 98910833695740489402815454339424080246068570546090872448834394746156775038863*n ^30+298321784617070305523421975370971491114586733137878141616592607499406007713\ 261652093348922610463*n^28+4383247011199138017112667693124687278702632929139222\ 10529224963541645404816123275215653020333763*n^26+62681228004595214647641621887\ 1095795125216123456401257737994458661688101289581558350509484762043*n^24+873496\ 3514902809120787899214986323720774944451298474690053797339989532725846915206943\ 97016215913*n^22+11876640423749116580270956076970463355423364373492168272352767\ 22956686939583197352652743704575553*n^20+15773955820869624953942056097939350452\ 27826114251779217441551466016586034953625581059023290958449*n^18+20487525522613\ 1928418687773956908153659026123685456943752806153052320949064524360133378672856\ 6129*n^16+260502854289169074307688621064948895805335584595644345486912886618929\ 6406409137876628514000402929*n^14+324616368349084852978338948947781618743122934\ 0728935440154888227566567591734082008116976586002929*n^12+396844304406608930803\ 3160018638568461468172578514712669197010728467258031839104780949284874002929*n^ 10+4764704559146151910961033678641672071895174003993436671361771513599366973622\ 893337964068874002929*n^8+56258268713020953020227380353485935119775533867132966\ 32635370743126212266310051024589348874002929*n^6+654705929183827836205076455394\ 4171137753580538777248205728090101273839264677091618509348874002929*n^4+7561114\ 5741557716073699395810356863301558820060392132036130320945748523129528744793093\ 48874002929*n^2+912465795048772581060332137642942409399791536052938166311545886\ 3397236741271594479309348874002929) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 44, we have :, ) ----------- = 17592186044416 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 88 ----- sin(----) j = 1 2 n 440443667471726449150938546548750887215494705291494363181578220318705258\ 86 714596638720 n + 16379461116811654041646488061582171049795097110194081\ 84 141649372131402271298570808197120 n + 30609535349612032555652623557250\ 82 4252657956335054310264044888769272260568398330215792640 n + 3832727168\ 820887577247675101870810058401793647682157246689482442420735566978263904\ 80 419840 n + 36175415294790731335758961306565128863913629061199999632480\ 78 228858132731751455200475348992 n + 27454322173016522492931900235213017\ 76 8793896770740030104588540125228873071197627597446971392 n + 1745167985\ 829694922063249124763073648418212767364578881262042750700935845082725425\ 74 025646592 n + 95573412092411308605799909164583100210237507652795982375\ 72 17078963453706464886809593844334592 n + 460336452630889449575332391578\ 70 28083966988444273645332760258769261756951948353412958615764992 n + 198\ 108198174041025076996037871316971241234039533483746516219096138321521005\ 68 735026675513556992 n + 77130316362212395426760091190060193262103461853\ 66 5225472172770868577414821519308923553533919232 n + 2744231648550128460\ 973768736226379378713513666565038141069239666452649147022998880246176940\ 64 032 n + 89971938262960195569375435324597679392485863440578891969666046\ 62 01798025088450055817919814172672 n + 273731669449169442148096719249589\ 60 29414879916804585435219552311804099955071489662132622704771072 n + 777\ 441583794086597355534942523316059027837713743625980949857703473641735649\ 58 14752231641027969024 n + 207192283569779828261610226757783085418533621\ 56 079491898429965587801294175153406180194300748365824 n + 52046937695043\ 479650626789510873640083706395715988102661482370076836521449735847454526\ 54 4599015424 n + 1237234488703964090402758431616436447453232121124533152\ 52 470465570536170037121748976021633234919424 n + 27929983159736198797969\ 926558337081875830274008619220958980432123594041452109229447452393261066\ 50 24 n + 600643252221572481266218296357575034700870826572886072907094308\ 48 7208989713942360395631493883802624 n + 1234011939635419432422395128078\ 46 9827296136354216084416313851493301307674952056734593801936959863984 n + 242824763775056265743600527022398832416947772684122264656391656119350768\ 44 68340443882970389913827184 n + 458725147112023826149231764169980000321\ 42 20234410387349572463696516637656911708142368638822524543844 n + 833734\ 910702956739882917352367521439408615451858208805995792802038606998427308\ 40 25397460276024620444 n + 146074842255428028062065186747100548222982456\ 38 044682469011729957561747170903189117066912291867701726 n + 24716493586\ 999283001325915691966132333601675035005144098914278927243064239693536115\ 36 2334073934595926 n + 4045743229189668860093422102951955922044078483708\ 34 10323163679726746911689115665362400415468984100126 n + 641648032431394\ 877827973590089814501492666417809122833125995094490041522770417281311988\ 32 600827258126 n + 98747630284485292157718704937025484055274521281648341\ 30 1220158373646244999438387012627808775652688651 n + 1476706912559552915\ 401529752106433524258418681342544008216768279874709498754529672978653621\ 28 434950651 n + 21486876941549496112389813060852941336228945970796602753\ 26 25127688238434892569889158445139765027770831 n + 304584856704641324941\ 095315276648375829192657720868280354383069537904375880830606721589091504\ 24 2603431 n + 4211324966189354670571665932801239368728680071084747106294\ 22 226387523228588491679225685171597357684861 n + 56859375498941390958209\ 469617597719754798467765955244216105668924969136557789917163763434504446\ 20 32661 n + 750475889609324397746055694063131794071662547884183180112163\ 18 3421074930067732657344132780078476512133 n + 9693596383642620455833623\ 091305380830141268875150991505636011326010666532927371970783666091120473\ 16 733 n + 12265785897819332494664216561049219007988010288319396606716364\ 14 238533230304427049454481229875755689733 n + 15219727803728463886526584\ 466100022554779474300862352190710226244515064988694789736378753362827689\ 12 733 n + 18537680584084013495821345356162132622339081167407402889288271\ 10 300466873340783130970189980093387689733 n + 22186815332002604518447226\ 113170300735499062006458621985116325545490103278751169443969706173387689\ 8 733 n + 261260299766352116909814713024686738949058196488889339507045060\ 6 25407614415938608537752259773387689733 n + 3033477027325778651089495694\ 279210687899860691097362203342335197046503241158671727078265977338768973\ 4 3 n + 34963876988384224587564704966155774010358724932742213372131274796\ 2 977325584757759886078659773387689733 n + 420989867251926915030224291734\ 51583322607342691977687296505658188098798082824806286078659773387689733)/ 140526865123830654225719136600866483711464529757442636605912146877768745\ 2025541035419141557581032493114471435546875 and in Maple notation: 17592186044416/1405268651238306542257191366008664837114645297574426366059121468\ 777687452025541035419141557581032493114471435546875*(n+1)*(n-1)*(44044366747172\ 6449150938546548750887215494705291494363181578220318705258714596638720*n^86+163\ 7946111681165404164648806158217104979509711019408114164937213140227129857080819\ 7120*n^84+306095353496120325556526235572504252657956335054310264044888769272260\ 568398330215792640*n^82+3832727168820887577247675101870810058401793647682157246\ 689482442420735566978263904419840*n^80+3617541529479073133575896130656512886391\ 3629061199999632480228858132731751455200475348992*n^78+274543221730165224929319\ 002352130178793896770740030104588540125228873071197627597446971392*n^76+1745167\ 9858296949220632491247630736484182127673645788812620427507009358450827254250256\ 46592*n^74+95573412092411308605799909164583100210237507652795982375170789634537\ 06464886809593844334592*n^72+46033645263088944957533239157828083966988444273645\ 332760258769261756951948353412958615764992*n^70+1981081981740410250769960378713\ 16971241234039533483746516219096138321521005735026675513556992*n^68+77130316362\ 2123954267600911900601932621034618535225472172770868577414821519308923553533919\ 232*n^66+2744231648550128460973768736226379378713513666565038141069239666452649\ 147022998880246176940032*n^64+8997193826296019556937543532459767939248586344057\ 889196966604601798025088450055817919814172672*n^62+2737316694491694421480967192\ 4958929414879916804585435219552311804099955071489662132622704771072*n^60+777441\ 5837940865973555349425233160590278377137436259809498577034736417356491475223164\ 1027969024*n^58+207192283569779828261610226757783085418533621079491898429965587\ 801294175153406180194300748365824*n^56+5204693769504347965062678951087364008370\ 63957159881026614823700768365214497358474545264599015424*n^54+12372344887039640\ 9040275843161643644745323212112453315247046557053617003712174897602163323491942\ 4*n^52+279299831597361987979699265583370818758302740086192209589804321235940414\ 5210922944745239326106624*n^50+600643252221572481266218296357575034700870826572\ 8860729070943087208989713942360395631493883802624*n^48+123401193963541943242239\ 51280789827296136354216084416313851493301307674952056734593801936959863984*n^46 +242824763775056265743600527022398832416947772684122264656391656119350768683404\ 43882970389913827184*n^44+45872514711202382614923176416998000032120234410387349\ 572463696516637656911708142368638822524543844*n^42+8337349107029567398829173523\ 6752143940861545185820880599579280203860699842730825397460276024620444*n^40+146\ 0748422554280280620651867471005482229824560446824690117299575617471709031891170\ 66912291867701726*n^38+24716493586999283001325915691966132333601675035005144098\ 9142789272430642396935361152334073934595926*n^36+404574322918966886009342210295\ 195592204407848370810323163679726746911689115665362400415468984100126*n^34+6416\ 4803243139487782797359008981450149266641780912283312599509449004152277041728131\ 1988600827258126*n^32+987476302844852921577187049370254840552745212816483411220\ 158373646244999438387012627808775652688651*n^30+1476706912559552915401529752106\ 433524258418681342544008216768279874709498754529672978653621434950651*n^28+2148\ 6876941549496112389813060852941336228945970796602753251276882384348925698891584\ 45139765027770831*n^26+30458485670464132494109531527664837582919265772086828035\ 43830695379043758808306067215890915042603431*n^24+42113249661893546705716659328\ 01239368728680071084747106294226387523228588491679225685171597357684861*n^22+56\ 8593754989413909582094696175977197547984677659552442161056689249691365577899171\ 6376343450444632661*n^20+750475889609324397746055694063131794071662547884183180\ 1121633421074930067732657344132780078476512133*n^18+969359638364262045583362309\ 1305380830141268875150991505636011326010666532927371970783666091120473733*n^16+ 1226578589781933249466421656104921900798801028831939660671636423853323030442704\ 9454481229875755689733*n^14+152197278037284638865265844661000225547794743008623\ 52190710226244515064988694789736378753362827689733*n^12+18537680584084013495821\ 345356162132622339081167407402889288271300466873340783130970189980093387689733* n^10+22186815332002604518447226113170300735499062006458621985116325545490103278\ 751169443969706173387689733*n^8+26126029976635211690981471302468673894905819648\ 888933950704506025407614415938608537752259773387689733*n^6+30334770273257786510\ 8949569427921068789986069109736220334233519704650324115867172707826597733876897\ 33*n^4+349638769883842245875647049661557740103587249327422133721312747969773255\ 84757759886078659773387689733*n^2+420989867251926915030224291734515833226073426\ 91977687296505658188098798082824806286078659773387689733) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 45, we have :, ) ----------- = 35184372088832 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 90 ----- sin(----) j = 1 2 n 347307313240102689485023282729202873706227634225662982566097331632451636\ 88 790052367514992640 n + 13201504015558995098193432265425211472409794870\ 86 231953052212341637936964818413928090016153600 n + 25213216246657998272\ 345593572168428212138836163881398123081881570528596592782945916716843008\ 84 0 n + 3226072375995151637773532117073213521354075277972686976900018324\ 82 438978525145252749142906634240 n + 31111494569844660284892162283620865\ 80 033946450029592515323476783611280324417506322493139488604160 n + 24121\ 544723555412426298559984674477793508671228635191007718497494076365803723\ 78 3310001312758235136 n + 1566260334814685822272180568421303985284879218\ 76 574009474846032281765819867020339257178888807120896 n + 87607389706881\ 572924686070513213745458919857652483633954580567690769349612726157580262\ 74 49229828096 n + 430923170215531260569912619387384251236035299428596483\ 72 25271284337053079220823405146751959874666496 n + 189361141986657761288\ 545011847244098603638356709014179670438534654741643952471984716394516705\ 70 181696 n + 75269618518839716439248061411225448166999221692229009362117\ 68 4052331715322327183886125335904755122176 n + 2733775659450449437565530\ 004457528124006627339389449561835720506569995511006532343371183504538730\ 66 496 n + 91482279338406525701533566229591536515639519220373877363539218\ 64 23574848108525727150446217603061907456 n + 284041581837567272992000133\ 843919280606555850392817235839914400335365236403024976626522530553866485\ 62 76 n + 823170084296097810176663391153403069449936177015594073440103765\ 60 77747662175858710370328353802207625216 n + 223818998961790724650639008\ 876488208875383272188546143512795939675823616751775255017118227451279572\ 58 992 n + 57352885493703939095515886295136520223967879560368118826859760\ 56 7984183427696030688958465549848024154112 n + 1390536459169058409872641\ 563217986022852072076740390687016049486610388032439295615748339183567794\ 54 778112 n + 32011284257705472952414550091740589221355463770359724780849\ 52 08761690914043656516135291694927956418701312 n + 701909209735587411223\ 840070278938338361219691101434431183760930817059900305164259746948934097\ 50 0404134912 n + 1470088019489552894488343405720472141134895392724048910\ 48 4187787056611945684746965917660622958877765116032 n + 2948505706339397\ 070286814019447290561352314094553761370492536694419450300362751066239791\ 46 1906654123707512 n + 5676352730109350687845277592186722426394885749913\ 44 4302415437096349855625825168372234144626375507090609152 n + 1051169169\ 666675175315265395292600479696320135120398545024653409128277246931606206\ 42 25655158722110822994932 n + 187613769367340956647992210976089076565084\ 40 417070457987723214964020614233564852469138816794740184709596892 n + 32\ 332122658595089110292832209316626630226844739113663663517318761888919650\ 38 6248478794687495963879215274358 n + 5389064615391346667466801931211797\ 36 13744992436751986630954695233289241098925638929212278045600215476864838 n + 870132004432460557394357199986845955858947942382218690245952492611371\ 34 505806494892959907824624274312862238 n + 13629787135335651854254956645\ 818484818944014933720629450425997297470309407028466062510033414868744163\ 32 50638 n + 207408574558092096919670577898833802350265429103716488031880\ 30 7456949691350603970480640163111749456247714963 n + 3070195898802294403\ 828442645671875636944153861372961018818036693340708099191467061588244054\ 28 340598366425723 n + 44263508716773869942937545346915555067762200603735\ 26 37930156613119403433067466097779855193912180447290412463 n + 622269862\ 884871715757505158838920303178800212727191683206185518520582960436447353\ 24 1550224523080903097907383 n + 8539945865435607400184185496643977182170\ 22 642476634173641403749150223480114269613136950369897106654467467573 n + 114536910552281858232552426305117889610790681028074589971062234614356331\ 20 39423867211191793862719183037144053 n + 150280761888194451072386906198\ 286028731517990603501295253531960292866474292110148028840359254585286024\ 18 94389 n + 193093632627420221143434973334063523320465537070508675183578\ 16 59832904140987454707170579342646140226632687029 n + 243201493620213231\ 947341807084712344188762348928239615420884504009718701202136402757264704\ 14 42871439664693429 n + 300549945318539325204164260684930619974780254355\ 12 09034831768287611547697458257898371418909873162265853493429 n + 364783\ 980740941530431880485571299277791314436762397305522712565568278642946344\ 10 75122576606966261550077493429 n + 435270078097107226399786661195494971\ 8 96791956586994142773292235577437247532945586831207618941422382077493429 n + 511227653013008423145975159493615852977400897037244051719620359080650\ 6 19557233401763151729046059822077493429 n + 5922822808031046230224221728\ 951297853139976758563212835095964079624153989932483917962642661021982207\ 4 7493429 n + 68136458763695410812304272837906426114337407297149982075464\ 2 358353532066408819733592602023768619822077493429 n + 818628582594734395\ 195318046062559487815334896114520749502694145647250028498499826769565837\ 68619822077493429)/54683041961786166452229763219383057714872716019206158\ 80473647026524108583205092309309459261831446219446929454803466796875 and in Maple notation: 35184372088832/5468304196178616645222976321938305771487271601920615880473647026\ 524108583205092309309459261831446219446929454803466796875*(n+1)*(n-1)*(34730731\ 3240102689485023282729202873706227634225662982566097331632451636790052367514992\ 640*n^88+1320150401555899509819343226542521147240979487023195305221234163793696\ 4818413928090016153600*n^86+252132162466579982723455935721684282121388361638813\ 981230818815705285965927829459167168430080*n^84+3226072375995151637773532117073\ 213521354075277972686976900018324438978525145252749142906634240*n^82+3111149456\ 9844660284892162283620865033946450029592515323476783611280324417506322493139488\ 604160*n^80+2412154472355541242629855998467447779350867122863519100771849749407\ 63658037233310001312758235136*n^78+15662603348146858222721805684213039852848792\ 18574009474846032281765819867020339257178888807120896*n^76+87607389706881572924\ 68607051321374545891985765248363395458056769076934961272615758026249229828096*n ^74+430923170215531260569912619387384251236035299428596483252712843370530792208\ 23405146751959874666496*n^72+18936114198665776128854501184724409860363835670901\ 4179670438534654741643952471984716394516705181696*n^70+752696185188397164392480\ 614112254481669992216922290093621174052331715322327183886125335904755122176*n^ 68+2733775659450449437565530004457528124006627339389449561835720506569995511006\ 532343371183504538730496*n^66+9148227933840652570153356622959153651563951922037\ 387736353921823574848108525727150446217603061907456*n^64+2840415818375672729920\ 0013384391928060655585039281723583991440033536523640302497662652253055386648576 *n^62+8231700842960978101766633911534030694499361770155940734401037657774766217\ 5858710370328353802207625216*n^60+223818998961790724650639008876488208875383272\ 188546143512795939675823616751775255017118227451279572992*n^58+5735288549370393\ 9095515886295136520223967879560368118826859760798418342769603068895846554984802\ 4154112*n^56+139053645916905840987264156321798602285207207674039068701604948661\ 0388032439295615748339183567794778112*n^54+320112842577054729524145500917405892\ 2135546377035972478084908761690914043656516135291694927956418701312*n^52+701909\ 2097355874112238400702789383383612196911014344311837609308170599003051642597469\ 489340970404134912*n^50+1470088019489552894488343405720472141134895392724048910\ 4187787056611945684746965917660622958877765116032*n^48+294850570633939707028681\ 4019447290561352314094553761370492536694419450300362751066239791190665412370751\ 2*n^46+567635273010935068784527759218672242639488574991343024154370963498556258\ 25168372234144626375507090609152*n^44+10511691696666751753152653952926004796963\ 2013512039854502465340912827724693160620625655158722110822994932*n^42+187613769\ 3673409566479922109760890765650844170704579877232149640206142335648524691388167\ 94740184709596892*n^40+32332122658595089110292832209316626630226844739113663663\ 5173187618889196506248478794687495963879215274358*n^38+538906461539134666746680\ 1931211797137449924367519866309546952332892410989256389292122780456002154768648\ 38*n^36+87013200443246055739435719998684595585894794238221869024595249261137150\ 5806494892959907824624274312862238*n^34+136297871353356518542549566458184848189\ 4401493372062945042599729747030940702846606251003341486874416350638*n^32+207408\ 5745580920969196705778988338023502654291037164880318807456949691350603970480640\ 163111749456247714963*n^30+3070195898802294403828442645671875636944153861372961\ 018818036693340708099191467061588244054340598366425723*n^28+4426350871677386994\ 2937545346915555067762200603735379301566131194034330674660977798551939121804472\ 90412463*n^26+62226986288487171575750515883892030317880021272719168320618551852\ 05829604364473531550224523080903097907383*n^24+85399458654356074001841854966439\ 77182170642476634173641403749150223480114269613136950369897106654467467573*n^22 +114536910552281858232552426305117889610790681028074589971062234614356331394238\ 67211191793862719183037144053*n^20+15028076188819445107238690619828602873151799\ 060350129525353196029286647429211014802884035925458528602494389*n^18+1930936326\ 2742022114343497333406352332046553707050867518357859832904140987454707170579342\ 646140226632687029*n^16+2432014936202132319473418070847123441887623489282396154\ 2088450400971870120213640275726470442871439664693429*n^14+300549945318539325204\ 1642606849306199747802543550903483176828761154769745825789837141890987316226585\ 3493429*n^12+364783980740941530431880485571299277791314436762397305522712565568\ 27864294634475122576606966261550077493429*n^10+43527007809710722639978666119549\ 497196791956586994142773292235577437247532945586831207618941422382077493429*n^8 +511227653013008423145975159493615852977400897037244051719620359080650195572334\ 01763151729046059822077493429*n^6+592282280803104623022422172895129785313997675\ 85632128350959640796241539899324839179626426610219822077493429*n^4+681364587636\ 9541081230427283790642611433740729714998207546435835353206640881973359260202376\ 8619822077493429*n^2+8186285825947343951953180460625594878153348961145207495026\ 9414564725002849849982676956583768619822077493429) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 46, we have :, ) ----------- = 70368744177664 (n + 1) (n - 1) ( / Pi j 92 ----- sin(----) j = 1 2 n 107863737330064339385668577404453980819170193063232639988929057241856351\ 90 52766330706623201280 n + 418872466790127094083469214947258774686734489\ 88 521477268514057270392316308381077862536739553280 n + 81720954444054723\ 652694245663434012944714361273726045621890169611449885090972122358253564\ 86 72320 n + 106801053545761575864309779580295097380914348010876297729454\ 84 978497858968820266152506671046328320 n + 10518832633623481660715339487\ 82 15403443846994681361337866060435620185119055396351091721858858352640 n + 832809173847866525044757237672735144204170311704342555246785297641956747\ 80 2688998715016868412784640 n + 5521358701859427692982824665859723765756\ 78 4578353645377163668199348356382574410371283182448204054528 n + 3152910\ 843567925899927462843139479080546036517431414448374538147301768750897760\ 76 80350486008355094528 n + 158309283242573836590636284986468905646964650\ 74 7516065838572579313685704100740366692521060824806064128 n + 7100336352\ 571903403658194443858451883428234815303539553949307549072656158606080352\ 72 773189482869424128 n + 28802782997137784134050276198829415242508876923\ 70 718161851040076619010231973856852409966699320797298688 n + 10674525997\ 734120483580754699283363658090001053479070550811228019752907602466459117\ 68 6317208806647922688 n + 3644492660345003977354824289426128128085469304\ 66 34123106088071129156096814583077195259013768562467667968 n + 115435338\ 571629396416260951618906050470596972649809361595251335403207502269706498\ 64 1535010364036866899968 n + 3412278509182206714959319468103358564178602\ 62 940892372875374247266789146624375955429135807433287459012608 n + 94621\ 526309442981726122688471956309229208748491034798543998923822063597973167\ 60 20378094239087262884036608 n + 247243645523507877816327153465438002807\ 58 57788744816963574465377967255410321846562715991747572019211862016 n + 611176189659048952529119108213838964315627085345213506364665848853221827\ 56 66230033621881076146243370582016 n + 143429028945219356380170543192876\ 541524271033573950712362374475357612403058498838539814719970820330018816 54 n + 320552238693100843544700307397655081471604610309444973539406336847\ 52 003809116916442985777281433408401698816 n + 68419078525117884195949892\ 219664827251195921867700322217481267384388463610640062422823323462415095\ 50 9577856 n + 1398240474764312710528377979146771070003483800655145563064\ 48 320686517554199116016446728086740227490937673856 n + 27423507121805636\ 290116009539777952369515375161516664797364121690992291032479260035774937\ 46 52051669860696676 n + 517279351112844084222135007965273046756723447680\ 44 1159982595270732607887283230889115912886622640134040189676 n + 9402396\ 337654005241636999907560828346835097039796010847189583841884010997980530\ 42 259975128790542620996407936 n + 16498662483078438767061145254967331202\ 40 556958709473348253387285360411634886058244163967160832917031408088936 n + 279952654644107331399323989016145949010933802004019401668542747436156\ 38 89063615120392598669033055246328376634 n + 460071505156660315343306337\ 999048159472373039147321062353084732029420911445553646867956353830320907\ 36 09466634 n + 733341938390103629315415309328146502175027832407950903454\ 34 08757075363513874882470942899576491210259681715234 n + 113533812704569\ 428102826344664463566044345686724802788462447428973191065036068038623555\ 32 937522113093642925234 n + 17094035320006734051659296479416316573213421\ 30 8884087067613720793576711020882696818065504928985368474002872229 n + 2\ 506097219144222381261949118070161792166393236911528298550219064598893511\ 28 48044550704227700808888097438425229 n + 358172410320578595011203986758\ 883589642458561146837669135765159855982939625052491522446496152631093674\ 26 693089 n + 49958694229845910768058735361070090884387907347097332497875\ 24 8599155380426337187133464936768082434713882362089 n + 6807981417771104\ 023240118682759852418449605568645434408861083663756744806120808176596132\ 22 09897840841985593119 n + 907318885630752891100069324610672626571479329\ 20 497339469156485220365703068785898403996559525274221290360081119 n + 11\ 837679590513051135784593708603965718870241638707175296994330563004838569\ 18 61290345316793548554346046450412447 n + 151340790492989966048799746493\ 521668756556311610323812826250455565232692675439102305008600212264840204\ 16 0812447 n + 1897733735822045493976881117102873473541773546557591752409\ 14 414916939036689958519320643435729879371813486412447 n + 23361672998416\ 867098187052179117184022661627275869163529606037299746725094854313678226\ 12 32472444649221486412447 n + 282592438548479666015917760656498387137214\ 10 9134489315054780148621499454351060753903157260762285104869486412447 n + 336219433261221677447215333857907131753785281194305470651329858098885183\ 8 5430021071474641357493424869486412447 n + 39391383026828220770819718579\ 268268279949821237751070304095658000304382723842507544606206412233448694\ 6 86412447 n + 4554072940952557777034371395139230439153138922070239413856\ 4 471465130428147347941290558610170823344869486412447 n + 522941846699307\ 625241648002264009948257743669710704512143393828195786586652796035763755\ 2 4529223344869486412447 n + 62697195276800279025282656063737081940365759\ 98161115585966165726535256952509051261128114529223344869486412447)/83807\ 705615346189888743441455793599323881010420739873820302633776076011981730\ 2190883297560780689040154366362094879150390625 and in Maple notation: 70368744177664/8380770561534618988874344145579359932388101042073987382030263377\ 60760119817302190883297560780689040154366362094879150390625*(n+1)*(n-1)*(107863\ 7373300643393856685774044539808191701930632326399889290572418563515276633070662\ 3201280*n^90+418872466790127094083469214947258774686734489521477268514057270392\ 316308381077862536739553280*n^88+8172095444405472365269424566343401294471436127\ 372604562189016961144988509097212235825356472320*n^86+1068010535457615758643097\ 79580295097380914348010876297729454978497858968820266152506671046328320*n^84+10\ 5188326336234816607153394871540344384699468136133786606043562018511905539635109\ 1721858858352640*n^82+832809173847866525044757237672735144204170311704342555246\ 7852976419567472688998715016868412784640*n^80+552135870185942769298282466585972\ 37657564578353645377163668199348356382574410371283182448204054528*n^78+31529108\ 4356792589992746284313947908054603651743141444837453814730176875089776080350486\ 008355094528*n^76+1583092832425738365906362849864689056469646507516065838572579\ 313685704100740366692521060824806064128*n^74+7100336352571903403658194443858451\ 883428234815303539553949307549072656158606080352773189482869424128*n^72+2880278\ 2997137784134050276198829415242508876923718161851040076619010231973856852409966\ 699320797298688*n^70+1067452599773412048358075469928336365809000105347907055081\ 12280197529076024664591176317208806647922688*n^68+36444926603450039773548242894\ 2612812808546930434123106088071129156096814583077195259013768562467667968*n^66+ 1154353385716293964162609516189060504705969726498093615952513354032075022697064\ 981535010364036866899968*n^64+3412278509182206714959319468103358564178602940892\ 372875374247266789146624375955429135807433287459012608*n^62+9462152630944298172\ 6122688471956309229208748491034798543998923822063597973167203780942390872628840\ 36608*n^60+24724364552350787781632715346543800280757788744816963574465377967255\ 410321846562715991747572019211862016*n^58+6111761896590489525291191082138389643\ 1562708534521350636466584885322182766230033621881076146243370582016*n^56+143429\ 0289452193563801705431928765415242710335739507123623744753576124030584988385398\ 14719970820330018816*n^54+32055223869310084354470030739765508147160461030944497\ 3539406336847003809116916442985777281433408401698816*n^52+684190785251178841959\ 4989221966482725119592186770032221748126738438846361064006242282332346241509595\ 77856*n^50+13982404747643127105283779791467710700034838006551455630643206865175\ 54199116016446728086740227490937673856*n^48+27423507121805636290116009539777952\ 36951537516151666479736412169099229103247926003577493752051669860696676*n^46+51\ 7279351112844084222135007965273046756723447680115998259527073260788728323088911\ 5912886622640134040189676*n^44+940239633765400524163699990756082834683509703979\ 6010847189583841884010997980530259975128790542620996407936*n^42+164986624830784\ 3876706114525496733120255695870947334825338728536041163488605824416396716083291\ 7031408088936*n^40+279952654644107331399323989016145949010933802004019401668542\ 74743615689063615120392598669033055246328376634*n^38+46007150515666031534330633\ 7999048159472373039147321062353084732029420911445553646867956353830320907094666\ 34*n^36+73334193839010362931541530932814650217502783240795090345408757075363513\ 874882470942899576491210259681715234*n^34+1135338127045694281028263446644635660\ 44345686724802788462447428973191065036068038623555937522113093642925234*n^32+17\ 0940353200067340516592964794163165732134218884087067613720793576711020882696818\ 065504928985368474002872229*n^30+2506097219144222381261949118070161792166393236\ 91152829855021906459889351148044550704227700808888097438425229*n^28+35817241032\ 0578595011203986758883589642458561146837669135765159855982939625052491522446496\ 152631093674693089*n^26+4995869422984591076805873536107009088438790734709733249\ 78758599155380426337187133464936768082434713882362089*n^24+68079814177711040232\ 4011868275985241844960556864543440886108366375674480612080817659613209897840841\ 985593119*n^22+9073188856307528911000693246106726265714793294973394691564852203\ 65703068785898403996559525274221290360081119*n^20+11837679590513051135784593708\ 6039657188702416387071752969943305630048385696129034531679354855434604645041244\ 7*n^18+151340790492989966048799746493521668756556311610323812826250455565232692\ 6754391023050086002122648402040812447*n^16+189773373582204549397688111710287347\ 3541773546557591752409414916939036689958519320643435729879371813486412447*n^14+ 2336167299841686709818705217911718402266162727586916352960603729974672509485431\ 367822632472444649221486412447*n^12+2825924385484796660159177606564983871372149\ 134489315054780148621499454351060753903157260762285104869486412447*n^10+3362194\ 3326122167744721533385790713175378528119430547065132985809888518354300210714746\ 41357493424869486412447*n^8+393913830268282207708197185792682682799498212377510\ 7030409565800030438272384250754460620641223344869486412447*n^6+4554072940952557\ 7770343713951392304391531389220702394138564714651304281473479412905586101708233\ 44869486412447*n^4+522941846699307625241648002264009948257743669710704512143393\ 8281957865866527960357637554529223344869486412447*n^2+6269719527680027902528265\ 6063737081940365759981611155859661657265352569525090512611281145292233448694864\ 12447) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 47, we have :, ) ----------- = 140737488355328 (n + 1) (n - 1) / Pi j 94 ----- sin(----) j = 1 2 n (32089056431804892605621088350764765259001015155569505489531670864831565\ 92 02352816838698598400 n + 127252203572754479554080972850198554467945823\ 90 538274486536221582914617960759165619964865413120 n + 25349601526097663\ 744090048803703974764363688978076831131756913344565889328062036577625518\ 88 89920 n + 338235541788490586237126237087782688511148293417146287871867\ 86 91805703690012443269120282570260480 n + 340070215485406872675091146272\ 84 490658414685289483147907487321648865143816722737007409489436999680 n + 274824074917366539949684449429659806487845966899531853610839137836519211\ 82 4398245851497262701608960 n + 1859575531991764667216062085492236643611\ 80 2032896062696040615655476139118087080669099783294088642560 n + 1083647\ 283898451891093997086417402642572966181251624492760345268798174213500583\ 78 47563210545280581632 n + 555188222241389939513482572620210227746136333\ 76 945090535080805360688406960554407424400298450597445632 n + 25404985251\ 179695193775517231654740157117043391994195135178329216471811463186445798\ 74 00480352967852032 n + 105130442009663105766349514666262269996554989244\ 72 54432678478451214278922764472479909977822138395000832 n + 397414520587\ 018229389253588173740782231162780822886326768398474150999669392276690392\ 70 84656650711990272 n + 138381982748207129777237355405961620727539929103\ 68 695517753250666757439755653995928140857388628938063872 n + 44696541270\ 483422447053310639209590027563350401158474586571777122364774475733672097\ 66 9554536632239521792 n + 1347152030742473546212762672127409653875814094\ 64 315116260345225031226902720800393106464170342525742088192 n + 38083980\ 947854463498173689884118549809091792655493535665744526326718834692314764\ 62 95882333653261730250752 n + 101437804286971777237427856561401099513146\ 60 56109283656495101208415834191477713905535557159388611835133952 n + 255\ 566662488909213442729441419867540927867735989363027229975532618000471521\ 58 51068359639322970994176917504 n + 611191417394831993662702888240868187\ 56 78686811437794705541885705424425284856963479122359940914492394389504 n + 139180759208570389037558748542285549792561798666236035140727624456870390\ 54 638801684163964035738301678920704 n + 30264526484726948409690087150044\ 121738587368735263015553369561384953868275932644296165552607045375282790\ 52 4 n + 6300122798799479009129656983664342350655832702519088062095877354\ 50 09919166988002705618658156895752106612864 n + 125844076003165268266800\ 936560949397846320680181325396864042494147604880100911082105020226208238\ 48 1131235264 n + 2417171477248606655458455854239533903567353836412846588\ 46 839345070993994074719233641363608664660258303203494 n + 44732259469536\ 019515133192218712779780575403266945214972530405954669906958130620758479\ 44 68877708098220853094 n + 799016395209137192924524926844105570750184258\ 42 3279302361759347764211112340283934078691507248166234482026134 n + 1379\ 869250929438176203462034693183667373230932898165761319578826750429486491\ 40 3040255660478379736934458358934 n + 2307509622885228077180394219097259\ 860317689610812107678414922842873302029509056412874184963676204038311334\ 38 6 n + 3742005213958378145643225704173727114946550428469002745896552693\ 36 4463382783390293904890239958099840015177346 n + 5892690886602368184921\ 585147663059749927137833262414230401668261405809427221112755193927683109\ 34 8287164059746 n + 9022567896679503591297180214068616395666463177067005\ 32 6841721063801915687353777377542045015443252015289405346 n + 1344876490\ 387695746172226578082137391814062602138538526207062708545909405804297457\ 30 06396328116963891879920601 n + 195376416315969709039677533678693170633\ 28 756009275930431070088336705727721578453342149634457351152110318747801 n + 276934791938995794290284140075987289751883751508907221557658402853544\ 26 163190866335106526743323419481655064841 n + 38340338119944447196455589\ 600549308323295154807959502397949585185727571907008410332497498621666679\ 24 9689109641 n + 5189751996835144917822585653831949537767160241188543164\ 22 21938788431883167669159539441022829534562892164522261 n + 687500301762\ 404546159630761700151621875966933048309586182083601911668015418542837134\ 20 687327847849641386272661 n + 89216359582471455126357492665369150780373\ 18 0028326228849383949794712938473351998046989131376130577578997231893 n + 113516626525751824972490840203791558007150314403990468581121941405497267\ 16 5087798551953117018542231567118831893 n + 1417445529841437143302204831\ 305094495567806046278233146302802128534372591876966205239335514820860405\ 14 485231893 n + 17384699439468662371662178342671664753046199696505489064\ 12 72228958801541191117021019882949175529298997485231893 n + 209615643319\ 107349593321255625369882573470130135906885101156580622269263755170131563\ 10 8737474152376309485231893 n + 2487008582905414264790690831037118050723\ 8 454316313826707118525930843599318812554905967377552668856309485231893 n + 290684254520813688327462221916208124746132318466985356826299348035815555\ 6 0133762012847934766257336309485231893 n + 33538185462408459119718819207\ 777690865821655450326991874274507605989675185073567022739147726573363094\ 4 85231893 n + 3844363245460479362407223914609386224320805815347833883865\ 2 245089831873891266214897984430382257336309485231893 n + 459977746797715\ 393057350335701855438953959056518668532619544182034860674573978674142507\ 0382257336309485231893)/123036844414018874517516967243611879858463611043\ 213857310657058096792443122114576959462833391207539937555912733078002929\ 6875 and in Maple notation: 140737488355328/123036844414018874517516967243611879858463611043213857310657058\ 0967924431221145769594628333912075399375559127330780029296875*(n+1)*(n-1)*(3208\ 9056431804892605621088350764765259001015155569505489531670864831565023528168386\ 98598400*n^92+12725220357275447955408097285019855446794582353827448653622158291\ 4617960759165619964865413120*n^90+253496015260976637440900488037039747643636889\ 7807683113175691334456588932806203657762551889920*n^88+338235541788490586237126\ 23708778268851114829341714628787186791805703690012443269120282570260480*n^86+34\ 0070215485406872675091146272490658414685289483147907487321648865143816722737007\ 409489436999680*n^84+2748240749173665399496844494296598064878459668995318536108\ 391378365192114398245851497262701608960*n^82+1859575531991764667216062085492236\ 6436112032896062696040615655476139118087080669099783294088642560*n^80+108364728\ 3898451891093997086417402642572966181251624492760345268798174213500583475632105\ 45280581632*n^78+55518822224138993951348257262021022774613633394509053508080536\ 0688406960554407424400298450597445632*n^76+254049852511796951937755172316547401\ 5711704339199419513517832921647181146318644579800480352967852032*n^74+105130442\ 0096631057663495146662622699965549892445443267847845121427892276447247990997782\ 2138395000832*n^72+397414520587018229389253588173740782231162780822886326768398\ 47415099966939227669039284656650711990272*n^70+13838198274820712977723735540596\ 1620727539929103695517753250666757439755653995928140857388628938063872*n^68+446\ 9654127048342244705331063920959002756335040115847458657177712236477447573367209\ 79554536632239521792*n^66+13471520307424735462127626721274096538758140943151162\ 60345225031226902720800393106464170342525742088192*n^64+38083980947854463498173\ 6898841185498090917926554935356657445263267188346923147649588233365326173025075\ 2*n^62+101437804286971777237427856561401099513146561092836564951012084158341914\ 77713905535557159388611835133952*n^60+25556666248890921344272944141986754092786\ 773598936302722997553261800047152151068359639322970994176917504*n^58+6111914173\ 9483199366270288824086818778686811437794705541885705424425284856963479122359940\ 914492394389504*n^56+1391807592085703890375587485422855497925617986662360351407\ 27624456870390638801684163964035738301678920704*n^54+30264526484726948409690087\ 1500441217385873687352630155533695613849538682759326442961655526070453752827904 *n^52+6300122798799479009129656983664342350655832702519088062095877354099191669\ 88002705618658156895752106612864*n^50+12584407600316526826680093656094939784632\ 06801813253968640424941476048801009110821050202262082381131235264*n^48+24171714\ 7724860665545845585423953390356735383641284658883934507099399407471923364136360\ 8664660258303203494*n^46+447322594695360195151331922187127797805754032669452149\ 7253040595466990695813062075847968877708098220853094*n^44+799016395209137192924\ 5249268441055707501842583279302361759347764211112340283934078691507248166234482\ 026134*n^42+1379869250929438176203462034693183667373230932898165761319578826750\ 4294864913040255660478379736934458358934*n^40+230750962288522807718039421909725\ 98603176896108121076784149228428733020295090564128741849636762040383113346*n^38 +374200521395837814564322570417372711494655042846900274589655269344633827833902\ 93904890239958099840015177346*n^36+58926908866023681849215851476630597499271378\ 332624142304016682614058094272211127551939276831098287164059746*n^34+9022567896\ 6795035912971802140686163956664631770670056841721063801915687353777377542045015\ 443252015289405346*n^32+1344876490387695746172226578082137391814062602138538526\ 20706270854590940580429745706396328116963891879920601*n^30+19537641631596970903\ 9677533678693170633756009275930431070088336705727721578453342149634457351152110\ 318747801*n^28+2769347919389957942902841400759872897518837515089072215576584028\ 53544163190866335106526743323419481655064841*n^26+38340338119944447196455589600\ 5493083232951548079595023979495851857275719070084103324974986216666799689109641 *n^24+5189751996835144917822585653831949537767160241188543164219387884318831676\ 69159539441022829534562892164522261*n^22+68750030176240454615963076170015162187\ 5966933048309586182083601911668015418542837134687327847849641386272661*n^20+892\ 1635958247145512635749266536915078037300283262288493839497947129384733519980469\ 89131376130577578997231893*n^18+11351662652575182497249084020379155800715031440\ 39904685811219414054972675087798551953117018542231567118831893*n^16+14174455298\ 4143714330220483130509449556780604627823314630280212853437259187696620523933551\ 4820860405485231893*n^14+173846994394686623716621783426716647530461996965054890\ 6472228958801541191117021019882949175529298997485231893*n^12+209615643319107349\ 5933212556253698825734701301359068851011565806222692637551701315638737474152376\ 309485231893*n^10+2487008582905414264790690831037118050723454316313826707118525\ 930843599318812554905967377552668856309485231893*n^8+29068425452081368832746222\ 1916208124746132318466985356826299348035815555013376201284793476625733630948523\ 1893*n^6+3353818546240845911971881920777769086582165545032699187427450760598967\ 518507356702273914772657336309485231893*n^4+38443632454604793624072239146093862\ 24320805815347833883865245089831873891266214897984430382257336309485231893*n^2+ 4599777467977153930573503357018554389539590565186685326195441820348606745739786\ 741425070382257336309485231893) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 48, we have :, ) ----------- = 281474976710656 (n + 1) (n - 1) / Pi j 96 ----- sin(----) j = 1 2 n (68792067523819944783800518092188038058721511388388813541082105818003978\ 94 857099354513869525609349120 n + 27845940370963385988256892399028472272\ 92 98965911329885708820131116862452515005305323384129117612933120 n + 566\ 157419387846629389699749863919768884734955022420450678276055383632535869\ 90 91430774487104934410977280 n + 770918997973006108978273122567331586431\ 88 937648146494284215349572027486097830392834638418765361216225280 n + 79\ 092461744593700823912388942250519673891420914608069566549658932104041659\ 86 44424213819490883631337963520 n + 652155820705671384483160186838321979\ 84 66036633465492836697584849705932360180388155995969772651242082795520 n + 450187229846136764320273794049554639321549506240434229111896798084773807\ 82 279435272573653383414821578342400 n + 26760990316310181678567624537999\ 564668139575486320272621850985170109438218242864485976935344894675779584\ 80 00 n + 139843071086565531243765752578057157217802472384011431082833518\ 78 36579679566809217636145127253598173527015424 n + 652615108838114225339\ 474176989639879603545077065609280868849379912351422838741956187582999517\ 76 48554030055424 n + 275394006736642086578964709133211185834749185825604\ 74 244592381091193440915447033973027285428789361023976996864 n + 10614686\ 978091356124378265492693137592043250797916968175215427697974131072863462\ 72 51585801038700401683138084864 n + 376816023987668264084426815781103994\ 552324277141961042976135615547511899829102612815716110452622306341971558\ 70 4 n + 1240675322197208152003449057176470863415546727753380965842659218\ 68 6408231359897566011445162812153295828454211584 n + 3811381360020981719\ 420847364705223546798346635007681355919552651926550224713539138723221659\ 66 8722685560961368064 n + 1098084793565398546413710950467661772151360109\ 64 02409261776364450465115858704036553524781297550909626293434712064 n + 298034280966109292913394291947736028440677865750341536686558562398633703\ 62 129532856344853837191757855891052724224 n + 76504565676209391621013264\ 692900384183826191436918651111501200012358086091646800789528204277224617\ 60 5441934516224 n + 1863888028458077651210091617919835311554667776642315\ 58 561819381494400541448005522449292844366519791428824226889728 n + 43233\ 703490812357595733588727748163547830106787249073880381396658241069661430\ 56 42047996114323999524522025000009728 n + 957453085798232773169644466980\ 230249346759272778860722058673512282157702097862803784455650752686982090\ 54 6438207488 n + 2029602791939649922290319969313548280537775254238221231\ 52 6302362027070463311936983405788467313592116342721481279488 n + 4127712\ 374216212742586785495002879069040065865631608931128870021367113560471873\ 50 5853024658680765693106348790701568 n + 8071103306232577991696930918725\ 864253566471012812945883884296902602964110439725801259976305622282507546\ 48 1753965568 n + 1520292117029493102456320575882202874642692218224807131\ 46 60364581506187307460590778663481040785986493253288460023138 n + 276358\ 104228256296770337722684554584401832284484948002900241996963476477005517\ 44 409055705094947383591209188909839138 n + 48561449030864499473980788265\ 453776109561732071176320114027359579113236135016621364283641291215139982\ 42 5897001616178 n + 8261489712830293658947532035125703762787035625023096\ 40 87069474815817873959693119455638520649730329183307661162184178 n + 136\ 270275016233754449787837182673118986555765049453392219890840254252803505\ 38 4791499750770623459831237149484138472022 n + 2182275308142921059863718\ 745461121715697462540171767508529771301852229973482413826378084652574901\ 36 520281065975112022 n + 33973363997785674943715898495239639372656787961\ 34 60026094053358645987561750366760572148785059561591625124102120963702 n + 514769092146456476973599364406662967532937717758188718624744128619888044\ 32 3736493930811584595163268330838124263219702 n + 7600259039658252826483\ 738873310029248161569123900659728923326959801129960119980839586158863958\ 30 112360956109499090867 n + 10946100622253918887004996537437100798002315\ 404947025474224617854934364638136229420436474326014566377024271431082867 28 n + 153942117309726412445267289248625915093306447789483668669205501414\ 26 18017471369851169641873039876483445182382821301827 n + 211619479666586\ 905300614140905793892371094358106193267751976006196253550113297836697236\ 24 79118617370874348524663309827 n + 284623541224193640065532695051175584\ 832107401640307576457031765702437996480712217839135941351807950221502797\ 22 79426247 n + 374891462308916799013836792157668145155937587185063104685\ 20 94679352885543870357100625316019426197302626360141762450247 n + 484005\ 288522428210010317359647261797295464294083447011097889633551032507858962\ 18 53469999829855814070710179405651370951 n + 613033656465731146301037490\ 492694466893785314818531927326468844848042038481495573244243630100512698\ 16 42479334918570951 n + 762394130708090210909588795520741316797425603724\ 14 08955918058681064592446512113693258625622403035448759702130299370951 n + 931754394416529521264721388958631477371929548063414441076076382147396089\ 12 25145215998941521118307355193044274299370951 n + 111999528470347859452\ 044828877077595082968453673200350808062106482539459130557329221158460145\ 10 649949819994738299370951 n + 13252868333231462943563743722161351632184\ 689706908972241504142027859986690974849699376440217720076040175473829937\ 8 0951 n + 15454685276870173654662957609160155003609630089261867511455886\ 6 9621375089660761248584199437406667807892314738299370951 n + 17796326806\ 253452829762156193930992130855013526602298351072224898717419310877363614\ 4 5144490590219500692314738299370951 n + 20364504626496813720024088462945\ 367889210153966743889152675673887567744964039671158457919133495299189231\ 2 4738299370951 n + 24318267097895786439103673293602523165653082224022857\ 6699931637327278145583471620860787116501032991892314738299370951)/130162\ 640143258970953129754042644543311752396617212078909968206740673369418352\ 808692918234876751046260202404097131311893463134765625 and in Maple notation: 281474976710656/130162640143258970953129754042644543311752396617212078909968206\ 740673369418352808692918234876751046260202404097131311893463134765625*(n+1)*(n-\ 1)*(687920675238199447838005180921880380587215113883888135410821058180039788570\ 99354513869525609349120*n^94+27845940370963385988256892399028472272989659113298\ 85708820131116862452515005305323384129117612933120*n^92+56615741938784662938969\ 974986391976888473495502242045067827605538363253586991430774487104934410977280* n^90+77091899797300610897827312256733158643193764814649428421534957202748609783\ 0392834638418765361216225280*n^88+790924617445937008239123889422505196738914209\ 1460806956654965893210404165944424213819490883631337963520*n^86+652155820705671\ 3844831601868383219796603663346549283669758484970593236018038815599596977265124\ 2082795520*n^84+450187229846136764320273794049554639321549506240434229111896798\ 084773807279435272573653383414821578342400*n^82+2676099031631018167856762453799\ 956466813957548632027262185098517010943821824286448597693534489467577958400*n^ 80+1398430710865655312437657525780571572178024723840114310828335183657967956680\ 9217636145127253598173527015424*n^78+652615108838114225339474176989639879603545\ 07706560928086884937991235142283874195618758299951748554030055424*n^76+27539400\ 6736642086578964709133211185834749185825604244592381091193440915447033973027285\ 428789361023976996864*n^74+1061468697809135612437826549269313759204325079791696\ 817521542769797413107286346251585801038700401683138084864*n^72+3768160239876682\ 6408442681578110399455232427714196104297613561554751189982910261281571611045262\ 23063419715584*n^70+12406753221972081520034490571764708634155467277533809658426\ 592186408231359897566011445162812153295828454211584*n^68+3811381360020981719420\ 8473647052235467983466350076813559195526519265502247135391387232216598722685560\ 961368064*n^66+1098084793565398546413710950467661772151360109024092617763644504\ 65115858704036553524781297550909626293434712064*n^64+29803428096610929291339429\ 1947736028440677865750341536686558562398633703129532856344853837191757855891052\ 724224*n^62+7650456567620939162101326469290038418382619143691865111150120001235\ 80860916468007895282042772246175441934516224*n^60+18638880284580776512100916179\ 1983531155466777664231556181938149440054144800552244929284436651979142882422688\ 9728*n^58+432337034908123575957335887277481635478301067872490738803813966582410\ 6966143042047996114323999524522025000009728*n^56+957453085798232773169644466980\ 2302493467592727788607220586735122821577020978628037844556507526869820906438207\ 488*n^54+2029602791939649922290319969313548280537775254238221231630236202707046\ 3311936983405788467313592116342721481279488*n^52+412771237421621274258678549500\ 2879069040065865631608931128870021367113560471873585302465868076569310634879070\ 1568*n^50+807110330623257799169693091872586425356647101281294588388429690260296\ 41104397258012599763056222825075461753965568*n^48+15202921170294931024563205758\ 8220287464269221822480713160364581506187307460590778663481040785986493253288460\ 023138*n^46+2763581042282562967703377226845545844018322844849480029002419969634\ 76477005517409055705094947383591209188909839138*n^44+48561449030864499473980788\ 2654537761095617320711763201140273595791132361350166213642836412912151399825897\ 001616178*n^42+8261489712830293658947532035125703762787035625023096870694748158\ 17873959693119455638520649730329183307661162184178*n^40+13627027501623375444978\ 7837182673118986555765049453392219890840254252803505479149975077062345983123714\ 9484138472022*n^38+218227530814292105986371874546112171569746254017176750852977\ 1301852229973482413826378084652574901520281065975112022*n^36+339733639977856749\ 4371589849523963937265678796160026094053358645987561750366760572148785059561591\ 625124102120963702*n^34+5147690921464564769735993644066629675329377177581887186\ 247441286198880443736493930811584595163268330838124263219702*n^32+7600259039658\ 2528264837388733100292481615691239006597289233269598011299601199808395861588639\ 58112360956109499090867*n^30+10946100622253918887004996537437100798002315404947\ 025474224617854934364638136229420436474326014566377024271431082867*n^28+1539421\ 1730972641244526728924862591509330644778948366866920550141418017471369851169641\ 873039876483445182382821301827*n^26+2116194796665869053006141409057938923710943\ 5810619326775197600619625355011329783669723679118617370874348524663309827*n^24+ 2846235412241936400655326950511755848321074016403075764570317657024379964807122\ 1783913594135180795022150279779426247*n^22+374891462308916799013836792157668145\ 1559375871850631046859467935288554387035710062531601942619730262636014176245024\ 7*n^20+484005288522428210010317359647261797295464294083447011097889633551032507\ 85896253469999829855814070710179405651370951*n^18+61303365646573114630103749049\ 2694466893785314818531927326468844848042038481495573244243630100512698424793349\ 18570951*n^16+76239413070809021090958879552074131679742560372408955918058681064\ 592446512113693258625622403035448759702130299370951*n^14+9317543944165295212647\ 2138895863147737192954806341444107607638214739608925145215998941521118307355193\ 044274299370951*n^12+1119995284703478594520448288770775950829684536732003508080\ 62106482539459130557329221158460145649949819994738299370951*n^10+13252868333231\ 4629435637437221613516321846897069089722415041420278599866909748496993764402177\ 200760401754738299370951*n^8+15454685276870173654662957609160155003609630089261\ 8675114558869621375089660761248584199437406667807892314738299370951*n^6+1779632\ 6806253452829762156193930992130855013526602298351072224898717419310877363614514\ 4490590219500692314738299370951*n^4+2036450462649681372002408846294536788921015\ 39667438891526756738875677449640396711584579191334952991892314738299370951*n^2+ 2431826709789578643910367329360252316565308222402285766999316373272781455834716\ 20860787116501032991892314738299370951) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 49, we have :, ) ----------- = 562949953421312 (n + 1) (n - 1) / Pi j 98 ----- sin(----) j = 1 2 n (85348086204698704050082364967887146014017772507926618768242239970774567\ 96 5132348710757362722406400 n + 3524951462395695943240108269577289048950\ 94 0933419273672958223475308709735103682025967692125527080960 n + 7311737\ 693269148645306350676597543077323135609042822523734797843888496724916598\ 92 05490696145977999360 n + 101564110612422609237897449682935579080105747\ 90 80771311932673914139605683766527167692342825062330531840 n + 106284599\ 316240783500411924439313760318882577771733068629406630063204108492434004\ 88 374064950136788746240 n + 89381070078530916336087432697637386586601278\ 86 9730479152077133377059045036644924261175524461174650306560 n + 6292178\ 687808715462413257898192650140858937972756430806592550863023000534912411\ 84 981889072289402543144960 n + 38139769603803166885291717783169641625838\ 82 795327810852991272325767405477524215749960645464244889845760000 n + 20\ 320699356518374312965272924681567731421148085043263906276344911644425612\ 80 7531281373536997663347992166400 n + 9667849830257179902609025630269511\ 78 21287086306677271319234738711167890127520650653893084939796752369713152 n + 415867520332467882884861214188396002117139554949749736025886558367722\ 76 0158739303277428915428952118973693952 n + 1633757104635256406773991798\ 935867732308959360263061859219752897098560093160612608944673258759957540\ 74 7132672 n + 5910725349769902708251929904896779315331592244835642762396\ 72 1122169591594351372977050841044966929213761257472 n + 1983130375905957\ 554204440644632359587473121222955872517092679336189129708074471798388038\ 70 85922041294206533632 n + 620736097556116487288673485730205135870682239\ 68 253163337156554576623002915512729511603201094872486312444690432 n + 18\ 219683218796696683492596307944004990527425499654046396895941678504748569\ 66 15646386731881745549339750219907072 n + 503731857052262674655642148821\ 482050923354692651792693379476487212122988184413336654779724257913434204\ 64 0911872 n + 1317029935534278011145566182728235699052426556817633234256\ 62 3946982100274225954726023419471089997305046024241152 n + 3267750540244\ 291044521426801701178381093495053937937904119696905656878398043216362291\ 60 5537834502149938081021952 n + 7718212375496703053972928887353740029534\ 58 9157351454058274228164137809570049999261053016077079533531454793580544 n + 174028365480647183763717368636318048389988391256286891136964310453288\ 56 140725135278715718724476293879494890399744 n + 37554620536294120833503\ 169081852247143305328644455622064594314947979670995604794231604110321642\ 54 0285857246042624 n + 7774123324035509743728155238035511815806332864268\ 52 28501534594576305043804994900886198147733215016538825376237824 n + 154\ 704394946066189846826396833915546312118342599742318751804055254721272403\ 50 0779011737527268498049916684645856064 n + 2965245328913820389321779115\ 726963048372398548510639690209893780085630476083099752764319278642904412\ 48 163907761764 n + 54840771598701448258609762026182794411523037435842520\ 46 61239117474016965155460335852192552604286412072971690170774 n + 980284\ 866903046252841706902597541601163129152819397639149368680521930803480916\ 44 6966785542306007026597659429720974 n + 1696200835369464639575407546261\ 494482471373677170434284325292150176358806385434289472195549925743729246\ 42 2299108294 n + 2845144709061851929235976231443100801033766283735669469\ 40 2276260032824127603041073330673572236923444662698720414994 n + 4632549\ 082498169011010786684820210629162084716182172251076094574241144349045631\ 38 8159929609900601464120813396472706 n + 7331212552523027850873593439139\ 227847223363274116570686691223832467209529537530597182634274057494346624\ 36 1499916306 n + 1128995553789692133793344107649709555856857398346622102\ 34 78292577804041004308297677690714065652640181327002725730146 n + 169380\ 064537404610058458244048217921902310975433139973483521492785279328212894\ 32 759167133103447407956992012484929246 n + 24783040181736464448940691720\ 865625413787729253418793211334045003486942099228548686360326794648604680\ 30 8410350269241 n + 3540104139922335430359796964208587009733011949646483\ 28 36362387281699845774352465449293507465334876059215260427929841 n + 494\ 167847208928063662164676523688104399261323307545282902902101431560208901\ 26 817009775960044664955893859363493870121 n + 67474689916088248223382860\ 306282605977329505740747456523609420346363360008440705235299245336027444\ 24 8256679449164221 n + 9020102849453020204034067621198608090333771086717\ 22 79777948958757355028881469886338310764870763508288480601767052581 n + 118159766989533847770150437773152585945290986583807233244652795065724663\ 20 8178839444416340254935159526567355755246181 n + 1518055320031204548976\ 629339124570290375101446930169667157292463713082956663262248595683325811\ 18 210698245776602127973 n + 19143807880512225572045259018921527990925225\ 16 55187797098718001174027122773224151902883079579287420267191284323727973 n + 237163136837418130316243398582559915867544703264788539699429811515281\ 14 5924691136205402515592200099386560724602127973 n + 2888648059109696289\ 967146774018648719907407417095654239655613584691292087514184488420524553\ 12 757953805439796602127973 n + 34619614170495819008664868275666086299318\ 795551170320762468717764697979629346066753314185032723438091740686021279\ 10 73 n + 408603180605819462755710619355736737390132854156016673548511021\ 8 5344261211715163902532611765979606575254068602127973 n + 47544019318428\ 305484107782729942073281009778750571555466958204178359831432954162654102\ 6 45502462656682134068602127973 n + 5464484228678477671303150143493996675\ 399017946552633774582349681828626856720706735317937161654567082134068602\ 4 127973 n + 624276415751674601238393120042401253503514522740014282075072\ 2 6689277766128328596433615959906314944682134068602127973 n + 74406219228\ 890415552988485486559299762465520631842191230728780414827945768459090647\ 48705798154944682134068602127973)/79691412332607533236610053495496659170\ 460650990129844230592779637146960868379270628317286659235334445021880059\ 46815013885498046875 and in Maple notation: 562949953421312/796914123326075332366100534954966591704606509901298442305927796\ 3714696086837927062831728665923533444502188005946815013885498046875*(n+1)*(n-1) *(85348086204698704050082364967887146014017772507926618768242239970774567513234\ 8710757362722406400*n^96+352495146239569594324010826957728904895009334192736729\ 58223475308709735103682025967692125527080960*n^94+73117376932691486453063506765\ 9754307732313560904282252373479784388849672491659805490696145977999360*n^92+101\ 5641106124226092378974496829355790801057478077131193267391413960568376652716769\ 2342825062330531840*n^90+106284599316240783500411924439313760318882577771733068\ 629406630063204108492434004374064950136788746240*n^88+8938107007853091633608743\ 26976373865866012789730479152077133377059045036644924261175524461174650306560*n ^86+629217868780871546241325789819265014085893797275643080659255086302300053491\ 2411981889072289402543144960*n^84+381397696038031668852917177831696416258387953\ 27810852991272325767405477524215749960645464244889845760000*n^82+20320699356518\ 3743129652729246815677314211480850432639062763449116444256127531281373536997663\ 347992166400*n^80+9667849830257179902609025630269511212870863066772713192347387\ 11167890127520650653893084939796752369713152*n^78+41586752033246788288486121418\ 83960021171395549497497360258865583677220158739303277428915428952118973693952*n ^76+163375710463525640677399179893586773230895936026306185921975289709856009316\ 06126089446732587599575407132672*n^74+59107253497699027082519299048967793153315\ 922448356427623961122169591594351372977050841044966929213761257472*n^72+1983130\ 3759059575542044406446323595874731212229558725170926793361891297080744717983880\ 3885922041294206533632*n^70+620736097556116487288673485730205135870682239253163\ 337156554576623002915512729511603201094872486312444690432*n^68+1821968321879669\ 6683492596307944004990527425499654046396895941678504748569156463867318817455493\ 39750219907072*n^66+50373185705226267465564214882148205092335469265179269337947\ 64872121229881844133366547797242579134342040911872*n^64+13170299355342780111455\ 6618272823569905242655681763323425639469821002742259547260234194710899973050460\ 24241152*n^62+32677505402442910445214268017011783810934950539379379041196969056\ 568783980432163622915537834502149938081021952*n^60+7718212375496703053972928887\ 3537400295349157351454058274228164137809570049999261053016077079533531454793580\ 544*n^58+1740283654806471837637173686363180483899883912562868911369643104532881\ 40725135278715718724476293879494890399744*n^56+37554620536294120833503169081852\ 2471433053286444556220645943149479796709956047942316041103216420285857246042624 *n^54+7774123324035509743728155238035511815806332864268285015345945763050438049\ 94900886198147733215016538825376237824*n^52+15470439494606618984682639683391554\ 63121183425997423187518040552547212724030779011737527268498049916684645856064*n ^50+296524532891382038932177911572696304837239854851063969020989378008563047608\ 3099752764319278642904412163907761764*n^48+548407715987014482586097620261827944\ 1152303743584252061239117474016965155460335852192552604286412072971690170774*n^ 46+9802848669030462528417069025975416011631291528193976391493686805219308034809\ 166966785542306007026597659429720974*n^44+1696200835369464639575407546261494482\ 4713736771704342843252921501763588063854342894721955499257437292462299108294*n^ 42+2845144709061851929235976231443100801033766283735669469227626003282412760304\ 1073330673572236923444662698720414994*n^40+463254908249816901101078668482021062\ 91620847161821722510760945742411443490456318159929609900601464120813396472706*n ^38+733121255252302785087359343913922784722336327411657068669122383246720952953\ 75305971826342740574943466241499916306*n^36+11289955537896921337933441076497095\ 5585685739834662210278292577804041004308297677690714065652640181327002725730146 *n^34+1693800645374046100584582440482179219023109754331399734835214927852793282\ 12894759167133103447407956992012484929246*n^32+24783040181736464448940691720865\ 6254137877292534187932113340450034869420992285486863603267946486046808410350269\ 241*n^30+3540104139922335430359796964208587009733011949646483363623872816998457\ 74352465449293507465334876059215260427929841*n^28+49416784720892806366216467652\ 3688104399261323307545282902902101431560208901817009775960044664955893859363493\ 870121*n^26+6747468991608824822338286030628260597732950574074745652360942034636\ 33600084407052352992453360274448256679449164221*n^24+90201028494530202040340676\ 2119860809033377108671779777948958757355028881469886338310764870763508288480601\ 767052581*n^22+1181597669895338477701504377731525859452909865838072332446527950\ 657246638178839444416340254935159526567355755246181*n^20+1518055320031204548976\ 6293391245702903751014469301696671572924637130829566632622485956833258112106982\ 45776602127973*n^18+19143807880512225572045259018921527990925225551877970987180\ 01174027122773224151902883079579287420267191284323727973*n^16+23716313683741813\ 0316243398582559915867544703264788539699429811515281592469113620540251559220009\ 9386560724602127973*n^14+288864805910969628996714677401864871990740741709565423\ 9655613584691292087514184488420524553757953805439796602127973*n^12+346196141704\ 9581900866486827566608629931879555117032076246871776469797962934606675331418503\ 272343809174068602127973*n^10+4086031806058194627557106193557367373901328541560\ 166735485110215344261211715163902532611765979606575254068602127973*n^8+47544019\ 3184283054841077827299420732810097787505715554669582041783598314329541626541024\ 5502462656682134068602127973*n^6+5464484228678477671303150143493996675399017946\ 552633774582349681828626856720706735317937161654567082134068602127973*n^4+62427\ 6415751674601238393120042401253503514522740014282075072668927776612832859643361\ 5959906314944682134068602127973*n^2+7440621922889041555298848548655929976246552\ 063184219123072878041482794576845909064748705798154944682134068602127973) ------------------------------ n - 1 ----- \ 1 Theorem , 50, we have :, ) ------------ = 1125899906842624 (n + 1) / Pi j 100 ----- sin(----) j = 1 2 n (n - 1) (141229504529627169954416411622233571363517155621289724235854133\ 98 426904324892559615178401243368955838464 n + 59490600856516181071824587\ 447307439986849090525700612231412782606381501759588010482934098990042070\ 96 38464 n + 125845464721651328246903685467891047005517030223054392053639\ 94 385201353197351393695417619471029933612990464 n + 17825300305613467124\ 533659548808787545989101941626492590408972392675575394238503239463358112\ 92 35334496190464 n + 190197178238932684939303301110460851027232680303388\ 90 44134027752298435378975846753686272513144712771313598464 n + 163069815\ 936886783124840669148230568402070618298990706479192920965032367415954087\ 88 262673375292740200996798464 n + 11702540173054871351536429933536651799\ 86 05369683647971382347803535666662198306247139727172557821791402893246464 n + 723043712631413979585119918433952542226739756267547871779465059214415\ 84 5781673732939635233253317314784960446464 n + 3926344544319538199090484\ 294487039247085754403337435744125834398503081997834905581942211951644366\ 82 6242248638464 n + 1903699055481447880614214239060326572029015041634694\ 80 71798684206527678015943570341639538546373964389060091838464 n + 834443\ 389262769712376690184442235690645346518493117394265163297597561480029974\ 78 892020000375570598528827097350144 n + 33400817248678779471704507832264\ 730347747440767541247783492178717258719164323430029510450407010678862410\ 76 87750144 n + 123109546381760555258482988844376374577975753454627895921\ 74 88802661458352811198037190008537644205696342367240454144 n + 420761987\ 435018036337683383482829822332354071901590930885708152172709904228436450\ 72 97756605205567823540093550854144 n + 134146300179848448138457260163827\ 827017216828826519058480050496534452021169938296740706301633476432783333\ 70 490950144 n + 40100553036918277025052337023245104823865297759748957835\ 68 2289381703002028303418224849834595789246432179142361350144 n + 1129008\ 717369531378485661095764652263225915247202391885900242338922664172030968\ 66 465557662216245343822850011726086144 n + 30056014810712401606515802721\ 351646274434563206059189675646223971407413390908296523611566594189808235\ 64 02874804486144 n + 759225881794359319336971112038203136829534825420784\ 62 0614955206470793206845503006295669830558223304779254538738950144 n + 1\ 825460923521228058297313794490926052455993023067109207880231293661185562\ 60 9146291876111175100458362027330749529350144 n + 4189437014037934367911\ 602111152954355979547542471675918891193323242129671793024616289610976880\ 58 2295975526429255798784 n + 9200756801183607733722758008849169741349837\ 803020727608524131324073897592905091498654337092812536763618047289739878\ 56 4 n + 1938114374451718375766801196975005978587794175325091997863017130\ 54 39707244821921587836629667333926350233851315424534784 n + 392409995395\ 639947479340305962050335805042737234226216813041347472443399781720068670\ 52 019072324554760309425221254134784 n + 76515130519648142077727955740975\ 797449268661247769110203947823120658433890375734603420892699809966398999\ 50 6224474743784 n + 1439386541092660472916726503011620347057459273142792\ 48 388495451243989457829537265244105831710391433165499600956826531284 n + 261667111755738627766280728342777066045677777597731217446744811693195104\ 46 2738862234143867969801108602556430628337896534 n + 4603949132355975401\ 264467772073191581243650782959167310266637005228046753999656344817677123\ 44 876759803438319770595121534 n + 78513599652013735113679458169767325686\ 096533931264886510121853489603537154977652881685178726292361158605502063\ 42 36267534 n + 129949893229256375394407295109221284227208914311641032917\ 40 06270498695769285926788954609309187534052452726150310089930034 n + 209\ 012420431383046790031102042976850338846905619475447531526758251051902740\ 38 55612063901087559451590533706142473991329394 n + 327077417781895930589\ 730910734613647493816363923117653708828002039118297326800917557856242188\ 36 20862439308543239150879394 n + 498540739106859127134057695283699938339\ 716887287141525144874442668928430171887910255243714574444415473762628907\ 34 82712394 n + 740946647027764154957472971937629633414799196548213015141\ 32 65276300666410765757095318742729752144853301598486163454824894 n + 107\ 486016209944935044744640818252656275076362423027192161020206649961659098\ 30 354213215521891792663691558301523527670258769 n + 15234169077096290057\ 136859626789776876695478012684405681236202981467224304980781370457901713\ 28 2487908400143660864147683769 n + 2111509823640310754807713004759471889\ 293319503151729684353516033759422605608949125256130908264443013422706154\ 26 16010415769 n + 286461002842262819123999544674732182811399704820221298\ 24 014399040694762825967110923867792170556973562549647422421271653269 n + 380726561512132513446342551763816227179235504201160238669560060668810289\ 22 520367702415434048892629764217517105773924976269 n + 49613711050006160\ 803826580426332280770040401963129369988107414503540888279146698183448479\ 20 8458030563762159940085576776269 n + 6344344220227397869318733191705553\ 705692495772630373061535423202889500576235333520642289647028333481907207\ 18 23755582592589 n + 796737859834785949767817857618773108233848126904138\ 16 843313066262709759189229930338609713154990303593443608564927758592589 n + 983395780352649237351505219051860511628434075455301724506650107334975\ 14 650342049993396992252208507736131815567160222592589 n + 11938826842409\ 651187558170673970958943900055270135354365048495511259896522740286377032\ 12 42964376468705345131886680222592589 n + 142676775065272894747310999466\ 205085854050729368502810092179034361565898361618567451507029450079149523\ 10 4033683800222592589 n + 1679815486724106735568218847085569724406359112\ 153296017223886585245445566710888921300029919044472745729854483800222592\ 8 589 n + 195045155469613619715566430889053495169718076485443212651001641\ 6 9459163466033185232079236421598981649663499283800222592589 n + 22376938\ 768609197785855810426841424922340452312946581754863224620867171548263256\ 4 70451134187301209797887499283800222592589 n + 2552330634322469698119521\ 458929899734637787635576270621965474808083471830915500602379911814862737\ 2 405183499283800222592589 n + 303646681092338143387353874536921342032313\ 325071706110094784818318525783723866198631711516739122380518349928380022\ 2592589)/650748119396223225280172205336201394287106106887751788510386049\ 599996510407054867060244715266316855777881919283607993811368942260742187\ 5 and in Maple notation: 1125899906842624/65074811939622322528017220533620139428710610688775178851038604\ 95999965104070548670602447152663168557778819192836079938113689422607421875*(n+1 )*(n-1)*(1412295045296271699544164116222335713635171556212897242358541334269043\ 24892559615178401243368955838464*n^98+59490600856516181071824587447307439986849\ 09052570061223141278260638150175958801048293409899004207038464*n^96+12584546472\ 1651328246903685467891047005517030223054392053639385201353197351393695417619471\ 029933612990464*n^94+1782530030561346712453365954880878754598910194162649259040\ 897239267557539423850323946335811235334496190464*n^92+1901971782389326849393033\ 0111046085102723268030338844134027752298435378975846753686272513144712771313598\ 464*n^90+1630698159368867831248406691482305684020706182989907064791929209650323\ 67415954087262673375292740200996798464*n^88+11702540173054871351536429933536651\ 79905369683647971382347803535666662198306247139727172557821791402893246464*n^86 +723043712631413979585119918433952542226739756267547871779465059214415578167373\ 2939635233253317314784960446464*n^84+392634454431953819909048429448703924708575\ 44033374357441258343985030819978349055819422119516443666242248638464*n^82+19036\ 9905548144788061421423906032657202901504163469471798684206527678015943570341639\ 538546373964389060091838464*n^80+8344433892627697123766901844422356906453465184\ 93117394265163297597561480029974892020000375570598528827097350144*n^78+33400817\ 2486787794717045078322647303477474407675412477834921787172587191643234300295104\ 5040701067886241087750144*n^76+123109546381760555258482988844376374577975753454\ 62789592188802661458352811198037190008537644205696342367240454144*n^74+42076198\ 7435018036337683383482829822332354071901590930885708152172709904228436450977566\ 05205567823540093550854144*n^72+13414630017984844813845726016382782701721682882\ 6519058480050496534452021169938296740706301633476432783333490950144*n^70+401005\ 5303691827702505233702324510482386529775974895783522893817030020283034182248498\ 34595789246432179142361350144*n^68+11290087173695313784856610957646522632259152\ 47202391885900242338922664172030968465557662216245343822850011726086144*n^66+30\ 0560148107124016065158027213516462744345632060591896756462239714074133909082965\ 2361156659418980823502874804486144*n^64+759225881794359319336971112038203136829\ 5348254207840614955206470793206845503006295669830558223304779254538738950144*n^ 62+1825460923521228058297313794490926052455993023067109207880231293661185562914\ 6291876111175100458362027330749529350144*n^60+418943701403793436791160211115295\ 4355979547542471675918891193323242129671793024616289610976880229597552642925579\ 8784*n^58+920075680118360773372275800884916974134983780302072760852413132407389\ 75929050914986543370928125367636180472897398784*n^56+19381143744517183757668011\ 9697500597858779417532509199786301713039707244821921587836629667333926350233851\ 315424534784*n^54+3924099953956399474793403059620503358050427372342262168130413\ 47472443399781720068670019072324554760309425221254134784*n^52+76515130519648142\ 0777279557409757974492686612477691102039478231206584338903757346034208926998099\ 663989996224474743784*n^50+1439386541092660472916726503011620347057459273142792\ 388495451243989457829537265244105831710391433165499600956826531284*n^48+2616671\ 1175573862776628072834277706604567777759773121744674481169319510427388622341438\ 67969801108602556430628337896534*n^46+46039491323559754012644677720731915812436\ 50782959167310266637005228046753999656344817677123876759803438319770595121534*n ^44+785135996520137351136794581697673256860965339312648865101218534896035371549\ 7765288168517872629236115860550206336267534*n^42+129949893229256375394407295109\ 2212842272089143116410329170627049869576928592678895460930918753405245272615031\ 0089930034*n^40+209012420431383046790031102042976850338846905619475447531526758\ 25105190274055612063901087559451590533706142473991329394*n^38+32707741778189593\ 0589730910734613647493816363923117653708828002039118297326800917557856242188208\ 62439308543239150879394*n^36+49854073910685912713405769528369993833971688728714\ 152514487444266892843017188791025524371457444441547376262890782712394*n^34+7409\ 4664702776415495747297193762963341479919654821301514165276300666410765757095318\ 742729752144853301598486163454824894*n^32+1074860162099449350447446408182526562\ 7507636242302719216102020664996165909835421321552189179266369155830152352767025\ 8769*n^30+152341690770962900571368596267897768766954780126844056812362029814672\ 243049807813704579017132487908400143660864147683769*n^28+2111509823640310754807\ 7130047594718892933195031517296843535160337594226056089491252561309082644430134\ 2270615416010415769*n^26+286461002842262819123999544674732182811399704820221298\ 014399040694762825967110923867792170556973562549647422421271653269*n^24+3807265\ 6151213251344634255176381622717923550420116023866956006066881028952036770241543\ 4048892629764217517105773924976269*n^22+496137110500061608038265804263322807700\ 4040196312936998810741450354088827914669818344847984580305637621599400855767762\ 69*n^20+63443442202273978693187331917055537056924957726303730615354232028895005\ 7623533352064228964702833348190720723755582592589*n^18+796737859834785949767817\ 8576187731082338481269041388433130662627097591892299303386097131549903035934436\ 08564927758592589*n^16+98339578035264923735150521905186051162843407545530172450\ 6650107334975650342049993396992252208507736131815567160222592589*n^14+119388268\ 4240965118755817067397095894390005527013535436504849551125989652274028637703242\ 964376468705345131886680222592589*n^12+1426767750652728947473109994662050858540\ 5072936850281009217903436156589836161856745150702945007914952340336838002225925\ 89*n^10+16798154867241067355682188470855697244063591121532960172238865852454455\ 66710888921300029919044472745729854483800222592589*n^8+195045155469613619715566\ 4308890534951697180764854432126510016419459163466033185232079236421598981649663\ 499283800222592589*n^6+22376938768609197785855810426841424922340452312946581754\ 86322462086717154826325670451134187301209797887499283800222592589*n^4+255233063\ 4322469698119521458929899734637787635576270621965474808083471830915500602379911\ 814862737405183499283800222592589*n^2+30364668109233814338735387453692134203231\ 3325071706110094784818318525783723866198631711516739122380518349928380022259258\ 9) ------------------------------ This ends this book that took, 111.512, seconds to generate ----------------- This took, 111.578, seconds.