n ----- \ 1 evaluations of , ) ----------------------, for i from 1 to , 50 / Pi (2 j - 1) (2 i) ----- sin(------------) j = 1 4 n By Shalosh B. Ekhad ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 1, : , ) ------------------ = 2 n / Pi (2 j - 1) 2 ----- sin(------------) j = 1 4 n and in Maple notation: 2*n^2 ------------------------------ n ----- 2 2 \ 1 4 n (2 n + 1) Theorem , 2, : , ) ------------------ = --------------- / Pi (2 j - 1) 4 3 ----- sin(------------) j = 1 4 n and in Maple notation: 4/3*n^2*(2*n^2+1) ------------------------------ n ----- 2 4 2 \ 1 8 n (8 n + 5 n + 2) Theorem , 3, : , ) ------------------ = ---------------------- / Pi (2 j - 1) 6 15 ----- sin(------------) j = 1 4 n and in Maple notation: 8/15*n^2*(8*n^4+5*n^2+2) ------------------------------ Theorem , 4, : , n ----- 2 6 4 2 \ 1 16 n (136 n + 112 n + 49 n + 18) ) ------------------ = ------------------------------------ / Pi (2 j - 1) 8 315 ----- sin(------------) j = 1 4 n and in Maple notation: 16/315*n^2*(136*n^6+112*n^4+49*n^2+18) ------------------------------ Theorem , 5, : , n ----- 2 8 6 4 2 \ 1 32 n (992 n + 1020 n + 546 n + 205 n + 72) ) ------------------- = ----------------------------------------------- / Pi (2 j - 1) 10 2835 ----- sin(------------) j = 1 4 n and in Maple notation: 32/2835*n^2*(992*n^8+1020*n^6+546*n^4+205*n^2+72) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 6, : , ) ------------------- = / Pi (2 j - 1) 12 ----- sin(------------) j = 1 4 n 2 10 8 6 4 2 64 n (44224 n + 54560 n + 34782 n + 15290 n + 5269 n + 1800) ------------------------------------------------------------------- 155925 and in Maple notation: 64/155925*n^2*(44224*n^10+54560*n^8+34782*n^6+15290*n^4+5269*n^2+1800) ------------------------------ n ----- \ 1 2 12 10 Theorem , 7, : , ) ------------------- = 128 n (1398016 n + 2012192 n / Pi (2 j - 1) 14 ----- sin(------------) j = 1 4 n 8 6 4 2 + 1489488 n + 756041 n + 296296 n + 96642 n + 32400)/6081075 and in Maple notation: 128/6081075*n^2*(1398016*n^12+2012192*n^10+1489488*n^8+756041*n^6+296296*n^4+ 96642*n^2+32400) ------------------------------ n ----- \ 1 2 14 Theorem , 8, : , ) ------------------- = 256 n (118984832 n / Pi (2 j - 1) 16 ----- sin(------------) j = 1 4 n 12 10 8 6 4 + 195722240 n + 164999744 n + 95043520 n + 42083041 n + 15291640 n 2 + 4800258 n + 1587600)/638512875 and in Maple notation: 256/638512875*n^2*(118984832*n^14+195722240*n^12+164999744*n^10+95043520*n^8+ 42083041*n^6+15291640*n^4+4800258*n^2+1587600) ------------------------------ n ----- \ 1 2 16 Theorem , 9, : , ) ------------------- = 512 n (1639572992 n / Pi (2 j - 1) 18 ----- sin(------------) j = 1 4 n 14 12 10 8 + 3034113216 n + 2869777344 n + 1849635632 n + 913827486 n 6 4 2 + 369159063 n + 127133378 n + 38798964 n + 12700800)/10854718875 and in Maple notation: 512/10854718875*n^2*(1639572992*n^16+3034113216*n^14+2869777344*n^12+1849635632 *n^10+913827486*n^8+369159063*n^6+127133378*n^4+38798964*n^2+12700800) ------------------------------ n ----- \ 1 2 18 Theorem , 10, : , ) ------------------- = 1024 n (227256914944 n / Pi (2 j - 1) 20 ----- sin(------------) j = 1 4 n 16 14 12 + 467278302720 n + 490009284384 n + 349393906240 n 10 8 6 4 + 190559505084 n + 84790784910 n + 32063151529 n + 10608195330 n 2 + 3168117684 n + 1028764800)/1856156927625 and in Maple notation: 1024/1856156927625*n^2*(227256914944*n^18+467278302720*n^16+490009284384*n^14+ 349393906240*n^12+190559505084*n^10+84790784910*n^8+32063151529*n^6+10608195330 *n^4+3168117684*n^2+1028764800) ------------------------------ n ----- \ 1 2 20 Theorem , 11, : , ) ------------------- = 2048 n (19341789270016 n / Pi (2 j - 1) 22 ----- sin(------------) j = 1 4 n 18 16 14 + 43746956126720 n + 50372601033216 n + 39368883191440 n 12 10 8 + 23493692170256 n + 11417989201710 n + 4707284044276 n 6 4 2 + 1693327236755 n + 543082237236 n + 159434649000 n + 51438240000)/ 194896477400625 and in Maple notation: 2048/194896477400625*n^2*(19341789270016*n^20+43746956126720*n^18+ 50372601033216*n^16+39368883191440*n^14+23493692170256*n^12+11417989201710*n^10 +4707284044276*n^8+1693327236755*n^6+543082237236*n^4+159434649000*n^2+ 51438240000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 22 Theorem , 12, : , ) ------------------- = 4096 n (3966499556667392 n / Pi (2 j - 1) 24 ----- sin(------------) j = 1 4 n 20 18 16 + 9786945370628096 n + 12275395889157632 n + 10435009841248256 n 14 12 10 + 6763177801250552 n + 3564631271044256 n + 1591430453058182 n 8 6 4 + 618986681676836 n + 214124993680367 n + 66988427897556 n 2 + 19394469009000 n + 6224027040000)/49308808782358125 and in Maple notation: 4096/49308808782358125*n^2*(3966499556667392*n^22+9786945370628096*n^20+ 12275395889157632*n^18+10435009841248256*n^16+6763177801250552*n^14+ 3564631271044256*n^12+1591430453058182*n^10+618986681676836*n^8+214124993680367 *n^6+66988427897556*n^4+19394469009000*n^2+6224027040000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 24 Theorem , 13, : , ) ------------------- = 8192 n (241134257998249984 n / Pi (2 j - 1) 26 ----- sin(------------) j = 1 4 n 22 20 18 + 644556177958451200 n + 874708242499886080 n + 803506592744627200 n 16 14 12 + 562049215396651840 n + 319320645259809700 n + 153480999865120660 n 10 8 6 + 64190202713944450 n + 23845373435446420 n + 7993200591057825 n 4 2 + 2450372342330016 n + 701312897844000 n + 224064973440000)/ 3698160658676859375 and in Maple notation: 8192/3698160658676859375*n^2*(241134257998249984*n^24+644556177958451200*n^22+ 874708242499886080*n^20+803506592744627200*n^18+562049215396651840*n^16+ 319320645259809700*n^14+153480999865120660*n^12+64190202713944450*n^10+ 23845373435446420*n^8+7993200591057825*n^6+2450372342330016*n^4+701312897844000 *n^2+224064973440000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 14, : , ) ------------------- = 16384 n ( / Pi (2 j - 1) 28 ----- sin(------------) j = 1 4 n 26 24 68605079691351523328 n + 197488957300566736896 n 22 20 + 288309978400815221760 n + 284598254537008389120 n 18 16 + 213696782735395639680 n + 130187409639135226560 n 14 12 + 67027922940468024870 n + 29996670418836079140 n 10 8 + 11911186390520707290 n + 4263081492541308580 n 6 4 2 + 1392507229708382697 n + 419723429036524704 n + 118970009682516000 n + 37866980511360000)/1298054391195577640625 and in Maple notation: 16384/1298054391195577640625*n^2*(68605079691351523328*n^26+ 197488957300566736896*n^24+288309978400815221760*n^22+284598254537008389120*n^ 20+213696782735395639680*n^18+130187409639135226560*n^16+67027922940468024870*n ^14+29996670418836079140*n^12+11911186390520707290*n^10+4263081492541308580*n^8 +1392507229708382697*n^6+419723429036524704*n^4+118970009682516000*n^2+ 37866980511360000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 15, : , ) ------------------- = 32768 n ( / Pi (2 j - 1) 30 ----- sin(------------) j = 1 4 n 28 26 11288664154203905196032 n + 34817077943360898088960 n 24 22 + 54408207736306136014848 n + 57436239878833096819200 n 20 18 + 46078318152530248865280 n + 29964752516303027841600 n 16 14 + 16452859646564930009760 n + 7845241434641193083025 n 12 10 + 3316211986884625090080 n + 1262321727927353321800 n 8 6 + 438096209384794059008 n + 140033357658231964290 n 4 2 + 41608776084309484992 n + 11696927929397928000 n + 3710964090113280000) /263505041412702261046875 and in Maple notation: 32768/263505041412702261046875*n^2*(11288664154203905196032*n^28+ 34817077943360898088960*n^26+54408207736306136014848*n^24+ 57436239878833096819200*n^22+46078318152530248865280*n^20+ 29964752516303027841600*n^18+16452859646564930009760*n^16+ 7845241434641193083025*n^14+3316211986884625090080*n^12+1262321727927353321800* n^10+438096209384794059008*n^8+140033357658231964290*n^6+41608776084309484992*n ^4+11696927929397928000*n^2+3710964090113280000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 16, : , ) ------------------- = 65536 n ( / Pi (2 j - 1) 32 ----- sin(------------) j = 1 4 n 30 28 4254864627502524070395904 n + 13997943551212842443079680 n 26 24 + 23313515390874457360367616 n + 26208665480997592335974400 n 22 20 + 22372622477046049553679360 n + 15468209426421547852492800 n 18 16 + 9022557067264886449048320 n + 4566732795765349917331200 n 14 12 + 2047421390221145761054785 n + 825957120565234873810400 n 10 8 + 303553000440744348680776 n + 102657326252665901764320 n 6 4 + 32214854666535453210114 n + 9455550042404817547200 n 2 + 2639230712294760360000 n + 834966920275488000000)/ 122529844256906551386796875 and in Maple notation: 65536/122529844256906551386796875*n^2*(4254864627502524070395904*n^30+ 13997943551212842443079680*n^28+23313515390874457360367616*n^26+ 26208665480997592335974400*n^24+22372622477046049553679360*n^22+ 15468209426421547852492800*n^20+9022557067264886449048320*n^18+ 4566732795765349917331200*n^16+2047421390221145761054785*n^14+ 825957120565234873810400*n^12+303553000440744348680776*n^10+ 102657326252665901764320*n^8+32214854666535453210114*n^6+9455550042404817547200 *n^4+2639230712294760360000*n^2+834966920275488000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 17, : , ) ------------------- = 131072 n ( / Pi (2 j - 1) 34 ----- sin(------------) j = 1 4 n 32 30 113812490958268114352340992 n + 397829842671486000582017024 n 28 26 + 703484150595640413030023168 n + 839055269196570996150214656 n 24 22 + 759361736278512801573934080 n + 556220006548064553895599360 n 20 18 + 343479847759534266912447360 n + 183922342012426307828255520 n 16 14 + 87174131230553229590795430 n + 37152306463728686601507235 n 12 10 + 14414809540770896105529148 n + 5142881121731716587437356 n 8 6 + 1701261955022807313494622 n + 525484196584622370005724 n 4 2 + 152608416034624460935200 n + 42332062261750601760000 n + 13359470724407808000000)/4043484860477916195764296875 and in Maple notation: 131072/4043484860477916195764296875*n^2*(113812490958268114352340992*n^32+ 397829842671486000582017024*n^30+703484150595640413030023168*n^28+ 839055269196570996150214656*n^26+759361736278512801573934080*n^24+ 556220006548064553895599360*n^22+343479847759534266912447360*n^20+ 183922342012426307828255520*n^18+87174131230553229590795430*n^16+ 37152306463728686601507235*n^14+14414809540770896105529148*n^12+ 5142881121731716587437356*n^10+1701261955022807313494622*n^8+ 525484196584622370005724*n^6+152608416034624460935200*n^4+ 42332062261750601760000*n^2+13359470724407808000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 18, : , ) ------------------- = 262144 n ( / Pi (2 j - 1) 36 ----- sin(------------) j = 1 4 n 34 32 54890493574551049196525584384 n + 203155296360508584118928670720 n 30 28 + 380126414672604873556117266432 n + 479432628679191681484763463680 n 26 24 + 458532892048024031728616146944 n + 354712028413661544856583808000 n 22 20 + 231186394188542249192332095360 n + 130572861371353354939016169600 n 18 16 + 65236534679749523486335479540 n + 29288899285584105561674236550 n 14 12 + 11963857814126806791314864361 n + 4491035080938672092112921180 n 10 8 + 1562135999723740923035510968 n + 506996479207825001571877470 n 6 4 + 154459275885544480767552636 n + 44442488732100474024352800 n 2 + 12260684935094739524640000 n + 3860887039353856512000000)/ 2405873491984360136479756640625 and in Maple notation: 262144/2405873491984360136479756640625*n^2*(54890493574551049196525584384*n^34+ 203155296360508584118928670720*n^32+380126414672604873556117266432*n^30+ 479432628679191681484763463680*n^28+458532892048024031728616146944*n^26+ 354712028413661544856583808000*n^24+231186394188542249192332095360*n^22+ 130572861371353354939016169600*n^20+65236534679749523486335479540*n^18+ 29288899285584105561674236550*n^16+11963857814126806791314864361*n^14+ 4491035080938672092112921180*n^12+1562135999723740923035510968*n^10+ 506996479207825001571877470*n^8+154459275885544480767552636*n^6+ 44442488732100474024352800*n^4+12260684935094739524640000*n^2+ 3860887039353856512000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 19, : , ) ------------------- = 524288 n ( / Pi (2 j - 1) 38 ----- sin(------------) j = 1 4 n 36 34 14816021893082567022390742614016 n + 57882025474364081377736228732928 n 32 + 114254538673150027708485484412928 n 30 + 151933106607993193180775066046464 n 28 + 153117656712696256728527558762496 n 26 + 124741867481511863268886219772928 n 24 + 85572243524349317605118456509440 n 22 + 50840750286265553355582435625920 n 20 + 26705071585544119223880424991760 n 18 + 12598147398608193335530647516530 n 16 + 5404234246296413101607709328764 n 14 12 + 2129260466216004725371240769037 n + 776930170489728260576110454872 n 10 8 + 264367147024039806179693658486 n + 84386717891645005032900212124 n 6 4 + 25400163847681059913550525832 n + 7248725914340655750043713600 n 2 + 1990091846524701659503680000 n + 625463700375324754944000000)/ 801155872830791925447758961328125 and in Maple notation: 524288/801155872830791925447758961328125*n^2*(14816021893082567022390742614016* n^36+57882025474364081377736228732928*n^34+114254538673150027708485484412928*n^ 32+151933106607993193180775066046464*n^30+153117656712696256728527558762496*n^ 28+124741867481511863268886219772928*n^26+85572243524349317605118456509440*n^24 +50840750286265553355582435625920*n^22+26705071585544119223880424991760*n^20+ 12598147398608193335530647516530*n^18+5404234246296413101607709328764*n^16+ 2129260466216004725371240769037*n^14+776930170489728260576110454872*n^12+ 264367147024039806179693658486*n^10+84386717891645005032900212124*n^8+ 25400163847681059913550525832*n^6+7248725914340655750043713600*n^4+ 1990091846524701659503680000*n^2+625463700375324754944000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 20, : , ) ------------------- = 1048576 n ( / Pi (2 j - 1) 40 ----- sin(------------) j = 1 4 n 38 8898976515461884215441766992576512 n 36 + 36595574075913940545305134256619520 n 34 + 75999099447840038848967668326334464 n 32 + 106270322696823948391237748775976960 n 30 + 112560162924063386044778494737238016 n 28 + 96326925490648672533256816255057920 n 26 + 69377963211112658192297063747263488 n 24 + 43254567903296670507140961686323200 n 22 + 23830028724883337292857045469600240 n 20 + 11784982308129121257975342446255200 n 18 + 5296997954763533783101838620999178 n 16 + 2185652797567794727457892290939580 n 14 + 834787382969054267794146503909201 n 12 + 297186222688884884777640789624040 n 10 + 99198554402331705416529671782974 n 8 6 + 31204692292322070682589980153980 n + 9292687489556653776542482956552 n 4 2 + 2632710789849174339041810049600 n + 719674083996167948590716480000 n + 225792395835492236534784000000)/593656501767616816756789390344140625 and in Maple notation: 1048576/593656501767616816756789390344140625*n^2*( 8898976515461884215441766992576512*n^38+36595574075913940545305134256619520*n^ 36+75999099447840038848967668326334464*n^34+ 106270322696823948391237748775976960*n^32+112560162924063386044778494737238016* n^30+96326925490648672533256816255057920*n^28+ 69377963211112658192297063747263488*n^26+43254567903296670507140961686323200*n^ 24+23830028724883337292857045469600240*n^22+11784982308129121257975342446255200 *n^20+5296997954763533783101838620999178*n^18+ 2185652797567794727457892290939580*n^16+834787382969054267794146503909201*n^14+ 297186222688884884777640789624040*n^12+99198554402331705416529671782974*n^10+ 31204692292322070682589980153980*n^8+9292687489556653776542482956552*n^6+ 2632710789849174339041810049600*n^4+719674083996167948590716480000*n^2+ 225792395835492236534784000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 21, : , ) ------------------- = 2097152 n ( / Pi (2 j - 1) 42 ----- sin(------------) j = 1 4 n 40 1478713927353222014724787231453609984 n 38 + 6385015649843901924579467817173647360 n 36 + 13916381931718173740865909929435987968 n 34 + 20413157454001523306017272893527162880 n 32 + 22670426028675541905219169905822236672 n 30 + 20332777332232314894566249293410268160 n 28 + 15340611918275179104333164584696129536 n 26 + 10014384341675913423618969200061542400 n 24 + 5774148820306760856761489138914764480 n 22 + 2987201460943027260120496433055374600 n 20 + 1403911433817072183626850005103757796 n 18 + 605436696842983717456980122833817690 n 16 + 241571486920704739274847622410859912 n 14 + 89802101688195575869733886134603245 n 12 + 31286562371901899312148068941005508 n 10 + 10267636768845985877808929699045790 n 8 + 3188251185038385013452602008728144 n 6 + 940457769812524368595175988366000 n 4 + 264710427152909769801362437920000 n 2 + 72080304597534540977339040000000 n + 22579239583549223653478400000000)/ 121699582862361447435141825020548828125 and in Maple notation: 2097152/121699582862361447435141825020548828125*n^2*( 1478713927353222014724787231453609984*n^40+ 6385015649843901924579467817173647360*n^38+ 13916381931718173740865909929435987968*n^36+ 20413157454001523306017272893527162880*n^34+ 22670426028675541905219169905822236672*n^32+ 20332777332232314894566249293410268160*n^30+ 15340611918275179104333164584696129536*n^28+ 10014384341675913423618969200061542400*n^26+ 5774148820306760856761489138914764480*n^24+ 2987201460943027260120496433055374600*n^22+ 1403911433817072183626850005103757796*n^20+605436696842983717456980122833817690 *n^18+241571486920704739274847622410859912*n^16+ 89802101688195575869733886134603245*n^14+31286562371901899312148068941005508*n^ 12+10267636768845985877808929699045790*n^10+3188251185038385013452602008728144* n^8+940457769812524368595175988366000*n^6+264710427152909769801362437920000*n^4 +72080304597534540977339040000000*n^2+22579239583549223653478400000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 22, : , ) ------------------- = 4194304 n ( / Pi (2 j - 1) 44 ----- sin(------------) j = 1 4 n 42 1082336127881744038788541093047286366208 n 40 + 4896021813466518090753770523342902657024 n 38 + 11174415888791812758206526626835600244736 n 36 + 17156948377710262009456602179338695344128 n 34 + 19935895775985662502052230764382503501824 n 32 + 18699693741589885589318970990179721183232 n 30 + 14748858524883935076995395283799207101952 n 28 + 10060855660989995617943397057750312216576 n 26 + 6059145903823877337082088800592913586560 n 24 + 3272799920475078883080820920887574172480 n 22 + 1605261683911314962982839639347834132852 n 20 + 722182127698047740380042915102191974356 n 18 + 300481173927937372990453797167024439674 n 16 + 116432580024988270275163498016575846952 n 14 + 42265519235767502633858830225336367711 n 12 + 14446538282647440101765426508181565748 n 10 + 4670162109826339387874753996507009358 n 8 + 1433458011062340266628080267627319504 n 6 + 419241953748922712637095772314046000 n 4 + 117313940811213484810219547442720000 n 2 + 31832572806679831018313473440000000 n + 9957444656345207631183974400000000)/ 109894723324712387033933067993555591796875 and in Maple notation: 4194304/109894723324712387033933067993555591796875*n^2*( 1082336127881744038788541093047286366208*n^42+ 4896021813466518090753770523342902657024*n^40+ 11174415888791812758206526626835600244736*n^38+ 17156948377710262009456602179338695344128*n^36+ 19935895775985662502052230764382503501824*n^34+ 18699693741589885589318970990179721183232*n^32+ 14748858524883935076995395283799207101952*n^30+ 10060855660989995617943397057750312216576*n^28+ 6059145903823877337082088800592913586560*n^26+ 3272799920475078883080820920887574172480*n^24+ 1605261683911314962982839639347834132852*n^22+ 722182127698047740380042915102191974356*n^20+ 300481173927937372990453797167024439674*n^18+ 116432580024988270275163498016575846952*n^16+ 42265519235767502633858830225336367711*n^14+ 14446538282647440101765426508181565748*n^12+ 4670162109826339387874753996507009358*n^10+ 1433458011062340266628080267627319504*n^8+419241953748922712637095772314046000* n^6+117313940811213484810219547442720000*n^4+ 31832572806679831018313473440000000*n^2+9957444656345207631183974400000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 23, : , ) ------------------- = 8388608 n ( / Pi (2 j - 1) 46 ----- sin(------------) j = 1 4 n 44 434267767200338147141647881195671395500032 n 42 + 2053732802655609313601256724057225879879680 n 40 + 4898469824373251349799147408604574108352512 n 38 + 7856714553624367115062949865109381828444160 n 36 + 9533071183235632790555388542673442631319552 n 34 + 9333813524468635495043691239615866904739840 n 32 + 7681439133642837015920708390671245847642112 n 30 + 5465266478510674997859870113540940552203520 n 28 + 3431732881734921989871922586923719301612032 n 26 + 1931885271046201331189548352943757766209600 n 24 + 987193997397858863040033234316586595703968 n 22 + 462523743663953284884486754514861633117670 n 20 + 200341965788286656205212317099826076283888 n 18 + 80785651458746509258017962416934528264940 n 16 + 30506305803234075372556717787768737100448 n 14 + 10843026491205813381761076694506855568135 n 12 + 3643696158940545276825114729161847901488 n 10 + 1162131472050363716518593804733098773580 n 8 + 353012838943541217037760116032510343968 n 6 + 102453721304134611079064043053262252000 n 4 + 28517303967540382648146384374898240000 n 2 + 7713440063872864314063044546880000000 n + 2409701606835540246746521804800000000)/ 54397888045732631581796868656810017939453125 and in Maple notation: 8388608/54397888045732631581796868656810017939453125*n^2*( 434267767200338147141647881195671395500032*n^44+ 2053732802655609313601256724057225879879680*n^42+ 4898469824373251349799147408604574108352512*n^40+ 7856714553624367115062949865109381828444160*n^38+ 9533071183235632790555388542673442631319552*n^36+ 9333813524468635495043691239615866904739840*n^34+ 7681439133642837015920708390671245847642112*n^32+ 5465266478510674997859870113540940552203520*n^30+ 3431732881734921989871922586923719301612032*n^28+ 1931885271046201331189548352943757766209600*n^26+ 987193997397858863040033234316586595703968*n^24+ 462523743663953284884486754514861633117670*n^22+ 200341965788286656205212317099826076283888*n^20+ 80785651458746509258017962416934528264940*n^18+ 30506305803234075372556717787768737100448*n^16+ 10843026491205813381761076694506855568135*n^14+ 3643696158940545276825114729161847901488*n^12+ 1162131472050363716518593804733098773580*n^10+ 353012838943541217037760116032510343968*n^8+ 102453721304134611079064043053262252000*n^6+ 28517303967540382648146384374898240000*n^4+ 7713440063872864314063044546880000000*n^2+2409701606835540246746521804800000000 ) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 24, : , ) ------------------- = 16777216 n ( / Pi (2 j - 1) 48 ----- sin(------------) j = 1 4 n 46 380516533199041425756760596548453632672006144 n 44 + 1877773825374262148240485438290083114142138368 n 42 + 4671831379480980066580138795885377431550296064 n 40 + 7813389151916057254826753031410260871194083328 n 38 + 9882069387025553989560935304573852114735202304 n 36 + 10081753702128057986018830084801116032181731328 n 34 + 8642259678706893380272607007486992494285225984 n 32 + 6402509763940293073687464624708244133691588608 n 30 + 4184596890712913997914761111181375855038809984 n 28 + 2451153145184800680538453503107870645048649728 n 26 + 1302833757740443508024704287040219763638493056 n 24 + 634697912232834086201930641680084922897698432 n 22 + 285760003853437046854158096169780115113713686 n 20 + 119732200248055351466911500923875495600261072 n 18 + 46964008709127363100516182782553330630732396 n 16 + 17333143312070255210714684775978783504817472 n 14 + 6046075186597390361576865483651245236079791 n 12 + 2000990231539658856718726395259438985936592 n 10 + 630505088824964146746277557554032776880716 n 8 + 189733029787418643053870146402046094135072 n 6 + 54682812737335395765843367309549001388000 n 4 + 15147361319339845335381941690696208960000 n 2 + 4085229197002416302632843608909120000000 n + 1274732150016000790528910034739200000000)/ 58804116977436974739922415018011629392548828125 and in Maple notation: 16777216/58804116977436974739922415018011629392548828125*n^2*( 380516533199041425756760596548453632672006144*n^46+ 1877773825374262148240485438290083114142138368*n^44+ 4671831379480980066580138795885377431550296064*n^42+ 7813389151916057254826753031410260871194083328*n^40+ 9882069387025553989560935304573852114735202304*n^38+ 10081753702128057986018830084801116032181731328*n^36+ 8642259678706893380272607007486992494285225984*n^34+ 6402509763940293073687464624708244133691588608*n^32+ 4184596890712913997914761111181375855038809984*n^30+ 2451153145184800680538453503107870645048649728*n^28+ 1302833757740443508024704287040219763638493056*n^26+ 634697912232834086201930641680084922897698432*n^24+ 285760003853437046854158096169780115113713686*n^22+ 119732200248055351466911500923875495600261072*n^20+ 46964008709127363100516182782553330630732396*n^18+ 17333143312070255210714684775978783504817472*n^16+ 6046075186597390361576865483651245236079791*n^14+ 2000990231539658856718726395259438985936592*n^12+ 630505088824964146746277557554032776880716*n^10+ 189733029787418643053870146402046094135072*n^8+ 54682812737335395765843367309549001388000*n^6+ 15147361319339845335381941690696208960000*n^4+ 4085229197002416302632843608909120000000*n^2+ 1274732150016000790528910034739200000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 25, : , ) ------------------- = 33554432 n ( / Pi (2 j - 1) 50 ----- sin(------------) j = 1 4 n 48 45339957394106013339814053791505081317913001984 n 46 + 233066376584412873276015865385927850011603763200 n 44 + 603821645721911172043581098750154851391331368960 n 42 + 1051242498251324526345313944962568830112445235200 n 40 + 1383599651983851257477636259910022627091269550080 n 38 + 1468436952618830409259432008773653128641229619200 n 36 + 1309065157227247596629105813401711368179377438720 n 34 + 1008225068067509080767714986378505929914854195200 n 32 + 684846530701166600749283995606261578058045117440 n 30 + 416775464282154107673724285465948976276077467200 n 28 + 230076917773226895709447102636882713847446408832 n 26 + 116376259203989767671696652402957725183790960800 n 24 + 54384312229157489744766794519688316713650245340 n 22 + 23643966564416824956362672596373539725607323550 n 20 + 9619992697314776643230145966183124036751998620 n 18 + 3681721322390293839032783626745302560273030800 n 16 + 1331299303972508441937299719641682638842324980 n 14 + 456605392840593606031029848796920528618305425 n 12 + 149054203024072701367368302979377976009931860 n 10 + 46453669004938598262104760524243697443857800 n 8 + 13860209579383247860907020468782144547493184 n 6 + 3969350659891745666478409072380257543976000 n 4 + 1094695244189471280450132645339036165120000 n 2 + 294455185221677973987196967350141440000000 n + 91780714801152056918081522501222400000000)/ 8644205195683235286768595007647709520704677734375 and in Maple notation: 33554432/8644205195683235286768595007647709520704677734375*n^2*( 45339957394106013339814053791505081317913001984*n^48+ 233066376584412873276015865385927850011603763200*n^46+ 603821645721911172043581098750154851391331368960*n^44+ 1051242498251324526345313944962568830112445235200*n^42+ 1383599651983851257477636259910022627091269550080*n^40+ 1468436952618830409259432008773653128641229619200*n^38+ 1309065157227247596629105813401711368179377438720*n^36+ 1008225068067509080767714986378505929914854195200*n^34+ 684846530701166600749283995606261578058045117440*n^32+ 416775464282154107673724285465948976276077467200*n^30+ 230076917773226895709447102636882713847446408832*n^28+ 116376259203989767671696652402957725183790960800*n^26+ 54384312229157489744766794519688316713650245340*n^24+ 23643966564416824956362672596373539725607323550*n^22+ 9619992697314776643230145966183124036751998620*n^20+ 3681721322390293839032783626745302560273030800*n^18+ 1331299303972508441937299719641682638842324980*n^16+ 456605392840593606031029848796920528618305425*n^14+ 149054203024072701367368302979377976009931860*n^12+ 46453669004938598262104760524243697443857800*n^10+ 13860209579383247860907020468782144547493184*n^8+ 3969350659891745666478409072380257543976000*n^6+ 1094695244189471280450132645339036165120000*n^4+ 294455185221677973987196967350141440000000*n^2+ 91780714801152056918081522501222400000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 26, : , ) ------------------- = 67108864 n ( / Pi (2 j - 1) 52 ----- sin(------------) j = 1 4 n 50 46857761124532654026721210653064247362017346715648 n 48 + 250503264602435723702472647198065574281469335961600 n 46 + 674750466849533709421393531878799718568594054840320 n 44 + 1220972551582377458055063018353671964638206073241600 n 42 + 1669744344181444007089944930647485424210065251368960 n 40 + 1840771314631184148897922184646400848045972134297600 n 38 + 1704039488311960381834399858369003918213630755799040 n 36 + 1362445204425441001606941762483351154747604285849600 n 34 + 960434502397189431466466438043061818404613851002880 n 32 + 606400928176170141421979140883889121276392152089600 n 30 + 347204061348084653161049081280049180870551419857504 n 28 + 182096476921455673058197778095997318757933503190400 n 26 + 88208036348152820789851306860443188736522636544280 n 24 + 39739718371141106437619099036456191167723205195900 n 22 + 16750290213271133064302433449211959908263854668690 n 20 + 6639196524201337264903748369245337325105812119900 n 18 + 2485603733555168500660755598179110683682817472360 n 16 + 882397077102882790057038697833973828230687322900 n 14 + 298064340718640023814931394559807376328720358595 n 12 + 96095878180186910830545613063678758383815602900 n 10 + 29651440213206225479743652820808985862560659848 n 8 + 8778442629897253786630022551806523150525128000 n 6 + 2499453981583562053316657925208424579792040000 n 4 + 686540169100192974073230479075698734720000000 n 2 + 184218052193151037855834267638840844800000000 n + 57362946750720035573800951563264000000000000)/ 11021361624496124990629958634750829638898464111328125 and in Maple notation: 67108864/11021361624496124990629958634750829638898464111328125*n^2*( 46857761124532654026721210653064247362017346715648*n^50+ 250503264602435723702472647198065574281469335961600*n^48+ 674750466849533709421393531878799718568594054840320*n^46+ 1220972551582377458055063018353671964638206073241600*n^44+ 1669744344181444007089944930647485424210065251368960*n^42+ 1840771314631184148897922184646400848045972134297600*n^40+ 1704039488311960381834399858369003918213630755799040*n^38+ 1362445204425441001606941762483351154747604285849600*n^36+ 960434502397189431466466438043061818404613851002880*n^34+ 606400928176170141421979140883889121276392152089600*n^32+ 347204061348084653161049081280049180870551419857504*n^30+ 182096476921455673058197778095997318757933503190400*n^28+ 88208036348152820789851306860443188736522636544280*n^26+ 39739718371141106437619099036456191167723205195900*n^24+ 16750290213271133064302433449211959908263854668690*n^22+ 6639196524201337264903748369245337325105812119900*n^20+ 2485603733555168500660755598179110683682817472360*n^18+ 882397077102882790057038697833973828230687322900*n^16+ 298064340718640023814931394559807376328720358595*n^14+ 96095878180186910830545613063678758383815602900*n^12+ 29651440213206225479743652820808985862560659848*n^10+ 8778442629897253786630022551806523150525128000*n^8+ 2499453981583562053316657925208424579792040000*n^6+ 686540169100192974073230479075698734720000000*n^4+ 184218052193151037855834267638840844800000000*n^2+ 57362946750720035573800951563264000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 27, : , ) ------------------- = 134217728 n ( / Pi (2 j - 1) 54 ----- sin(------------) j = 1 4 n 52 26169233215661238584549231291766672848195159727276032 n 50 + 145282488366613493809849113629825698945934783491866624 n 48 + 406266194532230256700670139225822748369686969062522880 n 46 + 762989358734916270090149671739876974894840451967221760 n 44 + 1082643396831792800923818375949213749600627396590960640 n 42 + 1238044560162145029445273668862516108721524891436974080 n 40 + 1188490081552628920587046727167878939845143402889871360 n 38 + 985129425142712559283900836234045370897501358472069120 n 36 + 719746607717743334426391423765766506538362586989649920 n 34 + 470857060145249932469152193986370214781277081057623040 n 32 + 279261828809631118872591875745419734397177047818587136 n 30 + 151672401612186114223258664614596520485469514228200752 n 28 + 76062853662338837720723659075460990320865007403199520 n 26 + 35467487611053626141976256859432304141466541361030540 n 24 + 15468615886352841297629141101442031662821936320141960 n 22 + 6342361637335728045270262085666704184139342849057870 n 20 + 2455597647499803291856723706421483692742668458041240 n 18 + 901287434946831233593938695054196557558373451031580 n 16 + 314679137822356096379587811685167424358925965631480 n 14 + 104835096612821503956507764253999676194533460246135 n 12 + 33417752787301550375021841748400050561199681093832 n 10 + 10217861110039801062687591607733382624674950236624 n 8 + 3003576231695431979246978867537174783453283024000 n 6 + 850651037212595614300652837792590947214829520000 n 4 + 232787449364637829388175238998141535714560000000 n 2 + 62323064588035770830845783413491469542400000000 n + 19388676001743372023944721628383232000000000000)/ 7593718159277830118544041499343321621201041772705078125 and in Maple notation: 134217728/7593718159277830118544041499343321621201041772705078125*n^2*( 26169233215661238584549231291766672848195159727276032*n^52+ 145282488366613493809849113629825698945934783491866624*n^50+ 406266194532230256700670139225822748369686969062522880*n^48+ 762989358734916270090149671739876974894840451967221760*n^46+ 1082643396831792800923818375949213749600627396590960640*n^44+ 1238044560162145029445273668862516108721524891436974080*n^42+ 1188490081552628920587046727167878939845143402889871360*n^40+ 985129425142712559283900836234045370897501358472069120*n^38+ 719746607717743334426391423765766506538362586989649920*n^36+ 470857060145249932469152193986370214781277081057623040*n^34+ 279261828809631118872591875745419734397177047818587136*n^32+ 151672401612186114223258664614596520485469514228200752*n^30+ 76062853662338837720723659075460990320865007403199520*n^28+ 35467487611053626141976256859432304141466541361030540*n^26+ 15468615886352841297629141101442031662821936320141960*n^24+ 6342361637335728045270262085666704184139342849057870*n^22+ 2455597647499803291856723706421483692742668458041240*n^20+ 901287434946831233593938695054196557558373451031580*n^18+ 314679137822356096379587811685167424358925965631480*n^16+ 104835096612821503956507764253999676194533460246135*n^14+ 33417752787301550375021841748400050561199681093832*n^12+ 10217861110039801062687591607733382624674950236624*n^10+ 3003576231695431979246978867537174783453283024000*n^8+ 850651037212595614300652837792590947214829520000*n^6+ 232787449364637829388175238998141535714560000000*n^4+ 62323064588035770830845783413491469542400000000*n^2+ 19388676001743372023944721628383232000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 28, : , ) ------------------- = 268435456 n ( / Pi (2 j - 1) 56 ----- sin(------------) j = 1 4 n 54 31499792490947351845524161530222016392794973632162955264 n 52 + 181352786184532383390926172851943042837992456910022901760 n 50 + 525777325398774234097843942226339204485337981457065312256 n 48 + 1023472170068645948645139205641837386481125133042214502400 n 46 + 1504859098312575396627048414152700710959523226204289105920 n 44 + 1782732946972057992068549256226429899631094895372612403200 n 42 + 1772442942714300455686467630997825455326354701020085616640 n 40 + 1521192254291958037378173804954229067654948703554096332800 n 38 + 1150462178596562779469132216555590982133790472271422545920 n 36 + 778882406976143590737310457028564547545511359226835353600 n 34 + 477939658681598056608945176349520652861836588677573829632 n 32 + 268494730736729810073222667383471447727210294340224020480 n 30 + 139238396290412956180318694297551406380584927442242114648 n 28 + 67121858537302104107745977711841143984826623732585793600 n 26 + 30256772574782897090361939869699447949935184537236785980 n 24 + 12818898392784634576588633790748422391450031031314789800 n 22 + 5127161051436178177014146213584915152208806709753915110 n 20 + 1943547461302353853062419775991048935724931385483910200 n 18 + 700655390565776718610023690594097925952737447977327180 n 16 + 240957844724548599807639059751531996914307906896573400 n 14 + 79268962966064502723843572191359729025481970559600179 n 12 + 25007559026769774982908571697041894485897200261162760 n 10 + 7582722115419114555193426049616228693089085081826896 n 8 + 2214426067874055055500054877231372482420887762256000 n 6 + 624081992767181045924774897813767206626758240080000 n 4 + 170200635103525263790626515496953111292253440000000 n 2 + 45472291436681563679734465551692047760409600000000 n + 14134344805270918205455702067091376128000000000000)/ 11276671466527577726037901626524832607483547032467041015625 and in Maple notation: 268435456/11276671466527577726037901626524832607483547032467041015625*n^2*( 31499792490947351845524161530222016392794973632162955264*n^54+ 181352786184532383390926172851943042837992456910022901760*n^52+ 525777325398774234097843942226339204485337981457065312256*n^50+ 1023472170068645948645139205641837386481125133042214502400*n^48+ 1504859098312575396627048414152700710959523226204289105920*n^46+ 1782732946972057992068549256226429899631094895372612403200*n^44+ 1772442942714300455686467630997825455326354701020085616640*n^42+ 1521192254291958037378173804954229067654948703554096332800*n^40+ 1150462178596562779469132216555590982133790472271422545920*n^38+ 778882406976143590737310457028564547545511359226835353600*n^36+ 477939658681598056608945176349520652861836588677573829632*n^34+ 268494730736729810073222667383471447727210294340224020480*n^32+ 139238396290412956180318694297551406380584927442242114648*n^30+ 67121858537302104107745977711841143984826623732585793600*n^28+ 30256772574782897090361939869699447949935184537236785980*n^26+ 12818898392784634576588633790748422391450031031314789800*n^24+ 5127161051436178177014146213584915152208806709753915110*n^22+ 1943547461302353853062419775991048935724931385483910200*n^20+ 700655390565776718610023690594097925952737447977327180*n^18+ 240957844724548599807639059751531996914307906896573400*n^16+ 79268962966064502723843572191359729025481970559600179*n^14+ 25007559026769774982908571697041894485897200261162760*n^12+ 7582722115419114555193426049616228693089085081826896*n^10+ 2214426067874055055500054877231372482420887762256000*n^8+ 624081992767181045924774897813767206626758240080000*n^6+ 170200635103525263790626515496953111292253440000000*n^4+ 45472291436681563679734465551692047760409600000000*n^2+ 14134344805270918205455702067091376128000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 29, : , ) ------------------- = 536870912 n ( / Pi (2 j - 1) 58 ----- sin(------------) j = 1 4 n 56 10187575260869222293799354115067464019271178359591527251968 n 54 + 60747349818791968034093345511033158613505106649626259226624 n 52 + 182363827967511151428330586265592625301814264857296279437312 n 50 + 367485855603845190416277446031129232920587008291914305765376 n 48 + 559219640425099062398180484420135089116748395870181539184640 n 46 + 685471443073543668110118768498380944902028678740844460113920 n 44 + 704995971057279348428927033981798907950275966654684507668480 n 42 + 625755790324868457789629113568849651112566644238256828579840 n 40 + 489322232901903760578963226095379111000745653586678015754240 n 38 + 342446006921375884660605320567509883671804158518204529029120 n 36 + 217163600454400405052698705527062080020884016974904612112384 n 34 + 126049175766364934513550962899491459741215829018106933082112 n 32 + 67522803095758478952493120290735431728250998401305935111296 n 30 + 33615531197324805680888839544436186388544099613544817488308 n 28 + 15645193705816025579850310572897127629704501181102309005160 n 26 + 6842103247276884908476715873417927697835154730246434794980 n 24 + 2824198100858651354473933396073833022780147728201975034520 n 22 + 1104566365876241305527808427463340648464415754748029833410 n 20 + 410751620476613718173100652049488840382120142944120639960 n 18 + 145678090371838998980994401109400562400942425681892986980 n 16 + 49412339562726662684916790197809537844672778109259867048 n 14 + 16068813693302390770484934593835556898501904760847374089 n 12 + 5021334667574817386044902917039760450619236182104996992 n 10 + 1510893670314097614807436310888762733286635409001279616 n 8 + 438579636779969523212991466956696485002830355623936000 n 6 + 123043423281557467372366042662360423221836692175680000 n 4 + 33450269063164314830322265968506193908802493440000000 n 2 + 8919636293992221940330683099165187049104281600000000 n + 2770331581833099968269317605149909721088000000000000)/ 4499391915144503512689122748983408210385935265954349365234375 and in Maple notation: 536870912/4499391915144503512689122748983408210385935265954349365234375*n^2*( 10187575260869222293799354115067464019271178359591527251968*n^56+ 60747349818791968034093345511033158613505106649626259226624*n^54+ 182363827967511151428330586265592625301814264857296279437312*n^52+ 367485855603845190416277446031129232920587008291914305765376*n^50+ 559219640425099062398180484420135089116748395870181539184640*n^48+ 685471443073543668110118768498380944902028678740844460113920*n^46+ 704995971057279348428927033981798907950275966654684507668480*n^44+ 625755790324868457789629113568849651112566644238256828579840*n^42+ 489322232901903760578963226095379111000745653586678015754240*n^40+ 342446006921375884660605320567509883671804158518204529029120*n^38+ 217163600454400405052698705527062080020884016974904612112384*n^36+ 126049175766364934513550962899491459741215829018106933082112*n^34+ 67522803095758478952493120290735431728250998401305935111296*n^32+ 33615531197324805680888839544436186388544099613544817488308*n^30+ 15645193705816025579850310572897127629704501181102309005160*n^28+ 6842103247276884908476715873417927697835154730246434794980*n^26+ 2824198100858651354473933396073833022780147728201975034520*n^24+ 1104566365876241305527808427463340648464415754748029833410*n^22+ 410751620476613718173100652049488840382120142944120639960*n^20+ 145678090371838998980994401109400562400942425681892986980*n^18+ 49412339562726662684916790197809537844672778109259867048*n^16+ 16068813693302390770484934593835556898501904760847374089*n^14+ 5021334667574817386044902917039760450619236182104996992*n^12+ 1510893670314097614807436310888762733286635409001279616*n^10+ 438579636779969523212991466956696485002830355623936000*n^8+ 123043423281557467372366042662360423221836692175680000*n^6+ 33450269063164314830322265968506193908802493440000000*n^4+ 8919636293992221940330683099165187049104281600000000*n^2+ 2770331581833099968269317605149909721088000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 30, : , ) ------------------- = 1073741824 n ( / Pi (2 j - 1) 60 ----- sin(------------) j = 1 4 n 58 14128988812903826116756277740326259892293900658457680256434176 n 56 + 87154706356736196723453474454402154684864930866305515640586240 n 54 + 270599069767808821607868807578897205043858497570760171724996608 n 52 + 563836718242942265263993034058145224829519692805833594199080960 n 50 + 886995722578752091361426674185435336927155584139682329495863296 n 48 + 1123715452694418489994714649479175692964260094294639434216243200 n 46 + 1194216998640063630776672311267455859215321954452425351468154880 n 44 + 1095047965045528605829315974599206948836790239665144270251622400 n 42 + 884417204955852019481908541442153924346102241152577475657400320 n 40 + 639132545862422006540003443611035240566911215982577344832307200 n 38 + 418432494414277384393086767340899423708222832815392533803358208 n 36 + 250680882564035456274637813267109948988308826587106480384133120 n 34 + 138572850802264117374107046295478186248585071681030730500489984 n 32 + 71173475294016467841649087071906148347988837317855668300023680 n 30 + 34167566842813525208439816292747438082214184908792400220727798 n 28 + 15409283905347780461723225343509823234402137715670768649569800 n 26 + 6557721104089369506330229570969873471615133620544129499748020 n 24 + 2643748934666311543260702643051796368450360920281225865732600 n 22 + 1013174822607803290749911221087280131921459974847896012634330 n 20 + 370239377413856997139835458611577401922979821790863104863800 n 18 + 129364188875053443354057138767080400035734110671775661070516 n 16 + 43327162546433252173183193219101204872597689440153422317640 n 14 + 13941236997041752628705569817595316342147488166330356308433 n 12 + 4318467669133290157692283291797888996701351475385393503360 n 10 + 1290213739896411509571775040919841540702896235469181949056 n 8 + 372435447352404516305460738837671789176676270216150016000 n 6 + 104048173553863623412275320400509721226014300508226880000 n 4 + 28203033372473126547823671144307030573695731235840000000 n 2 + 7506954786411124851754643121608222127738876825600000000 n + 2329848860321637073314496105931074075435008000000000000)/ 7698459566812245510211089023510611447970335240047891763916015625 and in Maple notation: 1073741824/7698459566812245510211089023510611447970335240047891763916015625*n^2 *(14128988812903826116756277740326259892293900658457680256434176*n^58+ 87154706356736196723453474454402154684864930866305515640586240*n^56+ 270599069767808821607868807578897205043858497570760171724996608*n^54+ 563836718242942265263993034058145224829519692805833594199080960*n^52+ 886995722578752091361426674185435336927155584139682329495863296*n^50+ 1123715452694418489994714649479175692964260094294639434216243200*n^48+ 1194216998640063630776672311267455859215321954452425351468154880*n^46+ 1095047965045528605829315974599206948836790239665144270251622400*n^44+ 884417204955852019481908541442153924346102241152577475657400320*n^42+ 639132545862422006540003443611035240566911215982577344832307200*n^40+ 418432494414277384393086767340899423708222832815392533803358208*n^38+ 250680882564035456274637813267109948988308826587106480384133120*n^36+ 138572850802264117374107046295478186248585071681030730500489984*n^34+ 71173475294016467841649087071906148347988837317855668300023680*n^32+ 34167566842813525208439816292747438082214184908792400220727798*n^30+ 15409283905347780461723225343509823234402137715670768649569800*n^28+ 6557721104089369506330229570969873471615133620544129499748020*n^26+ 2643748934666311543260702643051796368450360920281225865732600*n^24+ 1013174822607803290749911221087280131921459974847896012634330*n^22+ 370239377413856997139835458611577401922979821790863104863800*n^20+ 129364188875053443354057138767080400035734110671775661070516*n^18+ 43327162546433252173183193219101204872597689440153422317640*n^16+ 13941236997041752628705569817595316342147488166330356308433*n^14+ 4318467669133290157692283291797888996701351475385393503360*n^12+ 1290213739896411509571775040919841540702896235469181949056*n^10+ 372435447352404516305460738837671789176676270216150016000*n^8+ 104048173553863623412275320400509721226014300508226880000*n^6+ 28203033372473126547823671144307030573695731235840000000*n^4+ 7506954786411124851754643121608222127738876825600000000*n^2+ 2329848860321637073314496105931074075435008000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 31, : , ) ------------------- = 2147483648 n ( / Pi (2 j - 1) 62 ----- sin(------------) j = 1 4 n 60 10479062169811036244033229764023939660355673585425082263812440064 n 58 + 66794794613002837966965303017392393640819415362858683412292567040 n 56 + 214252414636764592405265676251256816861803459548638849099253153792 n 54 + 461113487215428073587140131658409763990429932836573206440113602560 n 52 + 749097991422826512858921770273482190954679777023431428667619672064 n 50 + 979814591855776323585658797407775703650741487823512407694009958400 n 48 + 1074853506823453587617180340162207901498413099784658355350635806720 n 46 + 1017152177374402734276329955806643711862197723288034630162425446400 n 44 + 847627968507996737368330548154208364935005735434791423865649889280 n 42 + 631892432006783645914128562849965481175230990385977415112778547200 n 40 + 426668773633873053187520405829670480091769529449886362204908634112 n 38 + 263578099485542476302921840678272825182247756131990827170077803520 n 36 + 150209930217054614147753985798017411896131971112210855947802172416 n 34 + 79520869071552522085303793025992132794583977586995364012180964480 n 32 + 39339593122938094087771784517565746931454757567079669487128180032 n 30 + 18279398684195505547022967158499458710253838526462727856129845025 n 28 + 8013221925769040258713458323492165786129195943687926522195786880 n 26 + 3327060847764323273888422873503292881675018681089624637361293600 n 24 + 1312874307315338364333624582872789501524911430114254321439928320 n 22 + 493891919226417230492645556572976730645782792542449135966673800 n 20 + 177617879333139849934660799079920632806494384084277940224183424 n 18 + 61216617211742800985226578010042837545073072886088376354121440 n 16 + 20265646322906999482870298480152762765465373588490610952179392 n 14 + 6457328561904851830628358738338752630324851573293200022622210 n 12 + 1984096889509831819897975895193063100057017809896782808053504 n 10 + 588897889215337163848172102947374861262144702823046704851200 n 8 + 169113830546308984020177584209853858709742647863505169920000 n 6 + 47061403882904652111180395384955984311582848944206736000000 n 4 + 12721392836758551445927670587424596646674034563430400000000 n 2 + 3380459502745327820362903900829631031557929579520000000000 n + 1048431987144736682991523247668983333945753600000000000000)/ 7044090503633204641843146456512209474892856744643820963983154296875 and in Maple notation: 2147483648/7044090503633204641843146456512209474892856744643820963983154296875* n^2*(10479062169811036244033229764023939660355673585425082263812440064*n^60+ 66794794613002837966965303017392393640819415362858683412292567040*n^58+ 214252414636764592405265676251256816861803459548638849099253153792*n^56+ 461113487215428073587140131658409763990429932836573206440113602560*n^54+ 749097991422826512858921770273482190954679777023431428667619672064*n^52+ 979814591855776323585658797407775703650741487823512407694009958400*n^50+ 1074853506823453587617180340162207901498413099784658355350635806720*n^48+ 1017152177374402734276329955806643711862197723288034630162425446400*n^46+ 847627968507996737368330548154208364935005735434791423865649889280*n^44+ 631892432006783645914128562849965481175230990385977415112778547200*n^42+ 426668773633873053187520405829670480091769529449886362204908634112*n^40+ 263578099485542476302921840678272825182247756131990827170077803520*n^38+ 150209930217054614147753985798017411896131971112210855947802172416*n^36+ 79520869071552522085303793025992132794583977586995364012180964480*n^34+ 39339593122938094087771784517565746931454757567079669487128180032*n^32+ 18279398684195505547022967158499458710253838526462727856129845025*n^30+ 8013221925769040258713458323492165786129195943687926522195786880*n^28+ 3327060847764323273888422873503292881675018681089624637361293600*n^26+ 1312874307315338364333624582872789501524911430114254321439928320*n^24+ 493891919226417230492645556572976730645782792542449135966673800*n^22+ 177617879333139849934660799079920632806494384084277940224183424*n^20+ 61216617211742800985226578010042837545073072886088376354121440*n^18+ 20265646322906999482870298480152762765465373588490610952179392*n^16+ 6457328561904851830628358738338752630324851573293200022622210*n^14+ 1984096889509831819897975895193063100057017809896782808053504*n^12+ 588897889215337163848172102947374861262144702823046704851200*n^10+ 169113830546308984020177584209853858709742647863505169920000*n^8+ 47061403882904652111180395384955984311582848944206736000000*n^6+ 12721392836758551445927670587424596646674034563430400000000*n^4+ 3380459502745327820362903900829631031557929579520000000000*n^2+ 1048431987144736682991523247668983333945753600000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 32, : , ) ------------------- = 4294967296 n ( / Pi (2 j - 1) 64 ----- sin(------------) j = 1 4 n 62 16588797350687782471474203736291651141400494804896992664029933600768 n + 60 109149911560751753517850121222073355502264696065787656859870375706624 n + 58 361333120938500152266095503202885892639376709346920333787137870659584 n + 56 802424735679599575002121172717014761489806679884932944995725965524992 n + 54 1344816063656122189013475578810281331657557060246970199244654340210688 n + 52 1814301509303535733458979711064952475506674713842230011616022132424704 n + 50 2052437204218793984580560562849957391985110054666196572672069195530240 n + 48 2002513880583769011173606673714543416562148599993283983243274742661120 n + 46 1720196564466756626883819211197286428815713038696729115660709072732160 n + 44 1321641263769041920615288183423381406032221970525900563424285483335680 n + 42 919546374410769102335142876225377403963620077912510388697078864543744 n + 40 585220346806951042332308412018478353627037446475421086147029511176192 n + 38 343519440901597317188685110676301334467765878569372001312040454828032 n + 36 187280230565354678267153767801039202891702020042534961388956513058816 n 34 + 95392601680468492147735441553824997364147780828823449211120016415744 n 32 + 45628578464608470796993160819433646302666504142761751180250202749952 n 30 + 20586804100256334933744933533919834443100145768605176060704172768385 n 28 + 8795612732400787240070056919522282843350119775577377946026672068480 n 26 + 3570831191145962782233823248215097002179981460831508756388787659040 n 24 + 1381772322563437711880270419615439988796428375629158151809734625920 n 22 + 511054956806188309724066784889758748577031216276080885085375143688 n 20 + 181111049428806638313507050843955971808656432706733010041915686784 n 18 + 61638137259111942152571676826332635622597214184171037774957663584 n 16 + 20187125521898996923043489283647420550163437727929274927463121792 n 14 + 6374358794638133095865489952718300522647593640869753547879798018 n 12 + 1943949775050554240013414955155446682481596688070480151826738944 n 10 + 573470075207390595616670340009137500793465070359637049324243200 n 8 + 163891476821233563493222745255724744585859454777788853061120000 n 6 + 45442272809696266053425130364928919066424576422960990096000000 n 4 + 12252302192146930562099394665721674425706210652092774400000000 n 2 + 3250718446112549508734733695192613387995061833118720000000000 n + 1007543139646091952354853841009892983921869209600000000000000)/ 13757108753595648665519665029568345104465749222289382342659100341796875 and in Maple notation: 4294967296/ 13757108753595648665519665029568345104465749222289382342659100341796875*n^2*( 16588797350687782471474203736291651141400494804896992664029933600768*n^62+ 109149911560751753517850121222073355502264696065787656859870375706624*n^60+ 361333120938500152266095503202885892639376709346920333787137870659584*n^58+ 802424735679599575002121172717014761489806679884932944995725965524992*n^56+ 1344816063656122189013475578810281331657557060246970199244654340210688*n^54+ 1814301509303535733458979711064952475506674713842230011616022132424704*n^52+ 2052437204218793984580560562849957391985110054666196572672069195530240*n^50+ 2002513880583769011173606673714543416562148599993283983243274742661120*n^48+ 1720196564466756626883819211197286428815713038696729115660709072732160*n^46+ 1321641263769041920615288183423381406032221970525900563424285483335680*n^44+ 919546374410769102335142876225377403963620077912510388697078864543744*n^42+ 585220346806951042332308412018478353627037446475421086147029511176192*n^40+ 343519440901597317188685110676301334467765878569372001312040454828032*n^38+ 187280230565354678267153767801039202891702020042534961388956513058816*n^36+ 95392601680468492147735441553824997364147780828823449211120016415744*n^34+ 45628578464608470796993160819433646302666504142761751180250202749952*n^32+ 20586804100256334933744933533919834443100145768605176060704172768385*n^30+ 8795612732400787240070056919522282843350119775577377946026672068480*n^28+ 3570831191145962782233823248215097002179981460831508756388787659040*n^26+ 1381772322563437711880270419615439988796428375629158151809734625920*n^24+ 511054956806188309724066784889758748577031216276080885085375143688*n^22+ 181111049428806638313507050843955971808656432706733010041915686784*n^20+ 61638137259111942152571676826332635622597214184171037774957663584*n^18+ 20187125521898996923043489283647420550163437727929274927463121792*n^16+ 6374358794638133095865489952718300522647593640869753547879798018*n^14+ 1943949775050554240013414955155446682481596688070480151826738944*n^12+ 573470075207390595616670340009137500793465070359637049324243200*n^10+ 163891476821233563493222745255724744585859454777788853061120000*n^8+ 45442272809696266053425130364928919066424576422960990096000000*n^6+ 12252302192146930562099394665721674425706210652092774400000000*n^4+ 3250718446112549508734733695192613387995061833118720000000000*n^2+ 1007543139646091952354853841009892983921869209600000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 33, : , ) ------------------- = 8589934592 n ( / Pi (2 j - 1) 66 ----- sin(------------) j = 1 4 n 64 874014223042772814512303065751185714845474053852726488582763149524992 n + 62 5930495052870882233552027835724265283050676892750674877390701262274560 n + 60 20242192192415040039115048262262322757130932462575526551090648269717504 n + 58 46339857287292607380732699965209725278026261289505973068187446626222080 n + 56 80044675326743422127033205989260015372467664761939030443624840850046976 n + 111279953277988532596694427183435265487760845361886778153235124070645760 54 n + 129698272188913098414519161833030630218651551873433901777278408000012288 52 n + 130351433714306932617038002409994523638656210321999006930925020459827200 50 n + 115322395669401511700096833142592017791848308518413002948273295784673280 48 n + 46 91235537070056427629399564033454970690366022747352890534519230747443200 n + 44 65351978390265898470690852545698845790302840907753453887924831430967296 n + 42 42811379496580585299670012783828596149947731453810002278402657289748480 n + 40 25862239350864740825242664513281021397234193556068878084136029557737472 n + 38 14507825079742494302302987081368163334083913555216945696747615874659840 n + 36 7602238381703706306269557029812697932857838671844352391371449828214528 n + 34 3740255563495264440163297843775985114554210236324386740015860497794880 n + 32 1735450586235790304410478037184013427719591286308752358532673126430454 n + 30 762377626258578765748781419247921040497088569089976741610652681621275 n + 28 318182392988523378965344337188184972644584895037126355233870068661720 n + 26 126551844452533695179937772594851562111106542302911114470081702445800 n 24 + 48100266306759294283987716672214742116614958682798735017576044088212 n 22 + 17514420525866312836073125717774518981650226234804292029101638953460 n 20 + 6123429155429833944512203627174916465478034460634686048594215652024 n 18 + 2059860534673141410096535545442200787202752042419060513160597027080 n 16 + 667947173900330862296294111532686018625412140398234090465685150246 n 14 + 209149766885650987912959338206041459911604220618952410193288830860 n 12 + 63339431904623365218295644963957615073793551597573012443969283008 n 10 + 18579367024546725657261307567735355264319972741934700291007302400 n 8 + 5285959918782432392008309584692391723543360254921943024219840000 n 6 + 1460661765449858570570719475093890049664242869943675969472000000 n 4 + 392886349760229915364364312726891734969597506325248460800000000 n 2 + 104085961721829465026533656611226746727337095485399040000000000 n + 32241380468674942475355322912316575485499814707200000000000000)/ 894212068983717163258778226921942431790273699448809852272841522216796875 and in Maple notation: 8589934592/ 894212068983717163258778226921942431790273699448809852272841522216796875*n^2*( 874014223042772814512303065751185714845474053852726488582763149524992*n^64+ 5930495052870882233552027835724265283050676892750674877390701262274560*n^62+ 20242192192415040039115048262262322757130932462575526551090648269717504*n^60+ 46339857287292607380732699965209725278026261289505973068187446626222080*n^58+ 80044675326743422127033205989260015372467664761939030443624840850046976*n^56+ 111279953277988532596694427183435265487760845361886778153235124070645760*n^54+ 129698272188913098414519161833030630218651551873433901777278408000012288*n^52+ 130351433714306932617038002409994523638656210321999006930925020459827200*n^50+ 115322395669401511700096833142592017791848308518413002948273295784673280*n^48+ 91235537070056427629399564033454970690366022747352890534519230747443200*n^46+ 65351978390265898470690852545698845790302840907753453887924831430967296*n^44+ 42811379496580585299670012783828596149947731453810002278402657289748480*n^42+ 25862239350864740825242664513281021397234193556068878084136029557737472*n^40+ 14507825079742494302302987081368163334083913555216945696747615874659840*n^38+ 7602238381703706306269557029812697932857838671844352391371449828214528*n^36+ 3740255563495264440163297843775985114554210236324386740015860497794880*n^34+ 1735450586235790304410478037184013427719591286308752358532673126430454*n^32+ 762377626258578765748781419247921040497088569089976741610652681621275*n^30+ 318182392988523378965344337188184972644584895037126355233870068661720*n^28+ 126551844452533695179937772594851562111106542302911114470081702445800*n^26+ 48100266306759294283987716672214742116614958682798735017576044088212*n^24+ 17514420525866312836073125717774518981650226234804292029101638953460*n^22+ 6123429155429833944512203627174916465478034460634686048594215652024*n^20+ 2059860534673141410096535545442200787202752042419060513160597027080*n^18+ 667947173900330862296294111532686018625412140398234090465685150246*n^16+ 209149766885650987912959338206041459911604220618952410193288830860*n^14+ 63339431904623365218295644963957615073793551597573012443969283008*n^12+ 18579367024546725657261307567735355264319972741934700291007302400*n^10+ 5285959918782432392008309584692391723543360254921943024219840000*n^8+ 1460661765449858570570719475093890049664242869943675969472000000*n^6+ 392886349760229915364364312726891734969597506325248460800000000*n^4+ 104085961721829465026533656611226746727337095485399040000000000*n^2+ 32241380468674942475355322912316575485499814707200000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 34, : , ) ------------------- = 17179869184 n ( / Pi (2 j - 1) 68 ----- sin(------------) j = 1 4 n 1566381280233908321096416433962495594373898075323695421797287430941835264 66 n + 10950524200502900593024645110796605821298944420720810175453439500398624768 64 n + 38502553031753628724889830317872647497149909590805206506483649805065125888 62 n + 90781609841562876729225846425145897712343053602901319737368847175276036096 60 n + 161476813033581328184533701822267500789460504967664035510446423936442826752 58 n + 231128063147116304394234729193831571470458000602883925317229257263985721344 56 n + 277301116679745183951811542593392540765353276995307444335715923471961686016 54 n + 286839372178510618277040210428353575353743767734366005672829333239844831232 52 n + 261135647937756690352761353765249643607550955721276911378665749396216872960 50 n + 212554512122943231475825706962850295919760944919541791919719721326006763520 48 n + 156618576093161118096709062345527564434348337787707007984537357238519365632 46 n + 105522885647122018643431930463501018751179589120297673981015969224754397184 44 n + 65551309155872000629058336094269696574075959178914981544099224585086275584 42 n + 37806850713151801705229055921447198239438448769438866709673766574766614528 40 n + 20365168977868244967776420785761469728234412740448696912867851281278054656 38 n + 10297974417394595099730031130519876391502021959198220929363440579745407232 36 n + 4910126748585291373085795935771679727864684973131413086558020846218249028 34 n + 2216188583088985446778027864136135905530724552211863257857670303066663606 32 n + 950156889014496786005550041716487663092909412863540850505881530197317065 30 n + 388147724883324364024179728811473201517097234432245452868792673784963480 28 n + 151499959780125137773090455073286349948472628926684041799636484114113104 26 n + 24 56640186372424500927659346724953929863004517182365080735453422654094548 n + 22 20328960526748622659974931000700477199447636211331200665087102571808028 n + 20 7019042962792551588333313340083895684010721294323471847109192742224376 n + 18 2335770529280154614449033706752891951966317474475582848048283092400092 n + 16 750450608411257242896583440429236297588129509841998935516732951259174 n + 14 233154901153686234661842445033672788031480193284345377557525787166956 n 12 + 70151309052627460280631963161725562353404030032954757564960880638912 n 10 + 20468582193207426871910966645974927217100480118299215238180236793600 n 8 + 5799027306593076513191347776532753967211276050756587911072941760000 n 6 + 1597339730520819891912707701693603423578843642976192354588608000000 n 4 + 428685922582665013552005005812474913355710381152078766131200000000 n 2 + 113414095076009637298845862695450560337041096613013954560000000000 n + 35110863330387012355661946651512750703709298216140800000000000000)/19\ 771028845229986479651586597244147166882951494813185833752526056213378906\ 25 and in Maple notation: 17179869184/ 1977102884522998647965158659724414716688295149481318583375252605621337890625*n^ 2*(1566381280233908321096416433962495594373898075323695421797287430941835264*n^ 66+10950524200502900593024645110796605821298944420720810175453439500398624768*n ^64+38502553031753628724889830317872647497149909590805206506483649805065125888* n^62+90781609841562876729225846425145897712343053602901319737368847175276036096 *n^60+ 161476813033581328184533701822267500789460504967664035510446423936442826752*n^ 58+231128063147116304394234729193831571470458000602883925317229257263985721344* n^56+ 277301116679745183951811542593392540765353276995307444335715923471961686016*n^ 54+286839372178510618277040210428353575353743767734366005672829333239844831232* n^52+ 261135647937756690352761353765249643607550955721276911378665749396216872960*n^ 50+212554512122943231475825706962850295919760944919541791919719721326006763520* n^48+ 156618576093161118096709062345527564434348337787707007984537357238519365632*n^ 46+105522885647122018643431930463501018751179589120297673981015969224754397184* n^44+65551309155872000629058336094269696574075959178914981544099224585086275584 *n^42+ 37806850713151801705229055921447198239438448769438866709673766574766614528*n^40 +20365168977868244967776420785761469728234412740448696912867851281278054656*n^ 38+10297974417394595099730031130519876391502021959198220929363440579745407232*n ^36+4910126748585291373085795935771679727864684973131413086558020846218249028*n ^34+2216188583088985446778027864136135905530724552211863257857670303066663606*n ^32+950156889014496786005550041716487663092909412863540850505881530197317065*n^ 30+388147724883324364024179728811473201517097234432245452868792673784963480*n^ 28+151499959780125137773090455073286349948472628926684041799636484114113104*n^ 26+56640186372424500927659346724953929863004517182365080735453422654094548*n^24 +20328960526748622659974931000700477199447636211331200665087102571808028*n^22+ 7019042962792551588333313340083895684010721294323471847109192742224376*n^20+ 2335770529280154614449033706752891951966317474475582848048283092400092*n^18+ 750450608411257242896583440429236297588129509841998935516732951259174*n^16+ 233154901153686234661842445033672788031480193284345377557525787166956*n^14+ 70151309052627460280631963161725562353404030032954757564960880638912*n^12+ 20468582193207426871910966645974927217100480118299215238180236793600*n^10+ 5799027306593076513191347776532753967211276050756587911072941760000*n^8+ 1597339730520819891912707701693603423578843642976192354588608000000*n^6+ 428685922582665013552005005812474913355710381152078766131200000000*n^4+ 113414095076009637298845862695450560337041096613013954560000000000*n^2+ 35110863330387012355661946651512750703709298216140800000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 35, : , ) ------------------- = 34359738368 n (14893121685903\ / Pi (2 j - 1) 70 ----- sin(------------) j = 1 4 n 68 23705191245170470011869768714055959366751195566220048666198016 n + 107\ 179639100005176871022294493883761045033975804023859236479392462195077939\ 66 20 n + 387867567181812739004932929824415778190408611381931096414560827\ 64 10411928928256 n + 941100341187104375091835681484528408933626013853501\ 62 47078939794736248877219840 n + 172234450264661467844134276417028377460\ 60 011087375485235509391563554579038601216 n + 25360754609735750901777687\ 58 6697144927872597728911417665450967589222693690408960 n + 3129599320120\ 56 92174306639394330559656000536863114680444397905097579265697775616 n + 332913699384742088213966241275410919427715503936182669091078384266509371\ 54 310080 n + 31163281116590498111940469447400478489296195130638640479631\ 52 0334885588145012736 n + 2607714057677861975639620804393263854697288249\ 50 20800325878991336426429553049600 n + 197503246822743894511258043796129\ 48 820277296462424208084297566890571099215495168 n + 13675646367307231358\ 46 0107169891327737918069609533791965014136188423152231464960 n + 8729350\ 44 3386628473557229042885467405614396071964754379950878532720374241804288 n + 517249098210270935758697023284263122566468082956642888705397091167052\ 42 27909120 n + 286203872371990993721854530578492036838841277947560780014\ 40 85175622559684896768 n + 148637140340194462349629003802662314790846340\ 38 18847399812443333055718917834880 n + 727756882431158157670835500937949\ 36 5356220660613526963815245120078261524516368 n + 3372474764665741601168\ 34 512972025993524917178590528366833413455011029242610890 n + 14842813966\ 32 18951304779692429452755322768985786240405370635683353704836305228 n + 622339993509040391903836251403779765897488742465357410154114176279212120225 30 n + 249278037103183198697645818902207323112847223883938552059933340792523160816 28 n + 95624323170776742760185407599570945503537153270810162008840897196188073620 26 n + 35209732934599821662941274658021010598036619601355217056099933142232904456 24 n + 12469851058359198778965438612271787808845790384236199295742224529804618540 22 n + 4255803781627999574379068692302749416347708284773311548685983078974730016 20 n + 1402084361838577288547972002355814328330539971314157175461859752025157410 18 n + 446611652019211535133053758437736230419119446654695674018767452559957516 16 n + 137748814051812416918998640122169430229279026850822957702471802110070280 14 n + 12 41194512651851990468529476090132478238719545115493766019671570040433536 n + 10 11960102696991822276177932957295576737656432080992198093040802762060800 n + 8 3375140151044278420694854986013579654756797158717195795184747089280000 n 6 + 926906194582986550140737094128308815592095163880031850464330624000000 n 4 + 248234119633084416382254276810392302160948764692353582642073600000000 n 2 + 65588457817263957371088570584621936625513463140538206535680000000000 n + 20294079004963693141572605164574369906743974368929382400000000000000)/ 231914168354547741406313110785673846267537021034158669829917130639382934\ 5703125 and in Maple notation: 34359738368/2319141683545477414063131107856738462675370210341586698299171306393\ 829345703125*n^2*( 1489312168590323705191245170470011869768714055959366751195566220048666198016*n^ 68+ 10717963910000517687102229449388376104503397580402385923647939246219507793920*n ^66+ 38786756718181273900493292982441577819040861138193109641456082710411928928256*n ^64+ 94110034118710437509183568148452840893362601385350147078939794736248877219840*n ^62+ 172234450264661467844134276417028377460011087375485235509391563554579038601216* n^60+ 253607546097357509017776876697144927872597728911417665450967589222693690408960* n^58+ 312959932012092174306639394330559656000536863114680444397905097579265697775616* n^56+ 332913699384742088213966241275410919427715503936182669091078384266509371310080* n^54+ 311632811165904981119404694474004784892961951306386404796310334885588145012736* n^52+ 260771405767786197563962080439326385469728824920800325878991336426429553049600* n^50+ 197503246822743894511258043796129820277296462424208084297566890571099215495168* n^48+ 136756463673072313580107169891327737918069609533791965014136188423152231464960* n^46+ 87293503386628473557229042885467405614396071964754379950878532720374241804288*n ^44+ 51724909821027093575869702328426312256646808295664288870539709116705227909120*n ^42+ 28620387237199099372185453057849203683884127794756078001485175622559684896768*n ^40+ 14863714034019446234962900380266231479084634018847399812443333055718917834880*n ^38+ 7277568824311581576708355009379495356220660613526963815245120078261524516368*n^ 36+3372474764665741601168512972025993524917178590528366833413455011029242610890 *n^34+ 1484281396618951304779692429452755322768985786240405370635683353704836305228*n^ 32+622339993509040391903836251403779765897488742465357410154114176279212120225* n^30+ 249278037103183198697645818902207323112847223883938552059933340792523160816*n^ 28+95624323170776742760185407599570945503537153270810162008840897196188073620*n ^26+35209732934599821662941274658021010598036619601355217056099933142232904456* n^24+12469851058359198778965438612271787808845790384236199295742224529804618540 *n^22+4255803781627999574379068692302749416347708284773311548685983078974730016 *n^20+1402084361838577288547972002355814328330539971314157175461859752025157410 *n^18+446611652019211535133053758437736230419119446654695674018767452559957516* n^16+137748814051812416918998640122169430229279026850822957702471802110070280*n ^14+41194512651851990468529476090132478238719545115493766019671570040433536*n^ 12+11960102696991822276177932957295576737656432080992198093040802762060800*n^10 +3375140151044278420694854986013579654756797158717195795184747089280000*n^8+ 926906194582986550140737094128308815592095163880031850464330624000000*n^6+ 248234119633084416382254276810392302160948764692353582642073600000000*n^4+ 65588457817263957371088570584621936625513463140538206535680000000000*n^2+ 20294079004963693141572605164574369906743974368929382400000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 36, : , ) ------------------- = 68719476736 n (29998695700820\ / Pi (2 j - 1) 72 ----- sin(------------) j = 1 4 n 70 28970447262972974442645939733537682653571460142783324668404170752 n + 222056444336817264444014654917078769782515265743541582603258923409256130\ 68 12418560 n + 826419325244499916781704503924540127913838973834506369028\ 66 79800351900136795799552 n + 206181835403926858786758600222182784740268\ 64 962036097567180423331098860502458040320 n + 38793919024710010755135463\ 62 4239570395034286081327569232974932190804522693759598592 n + 5871739588\ 60 11968646937301523043907009260962273813443174635447750361820112072212480 n + 744708479514376924924175990503486310299715151460540804508219372081214\ 58 169769050112 n + 81405600691936274473175318732469352003252505412927625\ 56 1389516669918652357085757440 n + 7829303445810383514043371387803690702\ 54 89790867561868805242391866758593391804547072 n + 673022656115205733658\ 52 058117533784954719756913738675318600977334494487282345574400 n + 52355\ 985202664711278844174928469171155583829354124132884970144540915161231759\ 50 7696 n + 3723017996109249483398231644847523104072528600842454799078641\ 48 78304069914032865280 n + 244015470043518438430690883505214357915357491\ 46 693696947822456385752706852594999296 n + 14844190801654828196153343919\ 44 3641643835253091525640112677999614721725715675381760 n + 8431154184748\ 42 6896110167162959738653144323183359489839854159219284382807230806016 n + 449393940566362850352324857876008743420727884343503579259183468087036297\ 40 54941440 n + 225791902396938938433798153405160447692421848158997466453\ 38 09244579397467030845776 n + 107356161128477547045558749253731141944519\ 36 66063581971381853799007046979946519520 n + 484713393102290893365351854\ 34 0662237248242291823502754473443730267970933043182306 n + 2084594204287\ 32 965707761685415921268054304877544318545433547920791436820145077100 n + 856323074332813256965166460569190694575379087875377250788885919708420637\ 30 822677 n + 33683471914032758165697475730771243695203917123571760921629\ 28 7523828568715246160 n + 1271573129053912402676369657192243128803996835\ 26 80191094698098654478082827987652 n + 461642270106591076903058142621267\ 24 40970698543376880951935956658040688007302920 n + 161483225733095670653\ 22 64407380754639174127754047263602692055402435041659398892 n + 545202185\ 20 5574720747799889291602365995109890201704601160488686386725794676080 n + 177945701372692262215141877636627795817311676057124110884858305572080253\ 18 4362 n + 562284351108818448285693957757729251792468806796542582722529427866025810540 16 n + 172248353057754169975712949289707758738785530546851093757322508188289284872 14 n + 51219447270047166951447394802363558138400667375386357079291257367648176000 12 n + 14801591729258311087588944956257106248237964579000835070069993721504640000 10 n + 4161590536353544672931774157789437498990822354798241072503098007280000000 8 n + 1139680068397920959000901263012954968237052704752809027723720265600000000 6 n + 4 304611504213066521727230197657407545640166344453257444388825600000000000 n + 2 80386448984158275165866644176491021106067480295897161771008000000000000 n + 24860246781080524098426441326603603135761368601938493440000000000000000) /57630670836105113739468808030239950797482949726988429452734406963886659\ 24072265625 and in Maple notation: 68719476736/5763067083610511373946880803023995079748294972698842945273440696388\ 665924072265625*n^2*(2999869570082028970447262972974442645939733537682653571460\ 142783324668404170752*n^70+2220564443368172644440146549170787697825152657435415\ 8260325892340925613012418560*n^68+826419325244499916781704503924540127913838973\ 83450636902879800351900136795799552*n^66+20618183540392685878675860022218278474\ 0268962036097567180423331098860502458040320*n^64+387939190247100107551354634239\ 570395034286081327569232974932190804522693759598592*n^62+5871739588119686469373\ 01523043907009260962273813443174635447750361820112072212480*n^60+74470847951437\ 6924924175990503486310299715151460540804508219372081214169769050112*n^58+814056\ 006919362744731753187324693520032525054129276251389516669918652357085757440*n^ 56+7829303445810383514043371387803690702897908675618688052423918667585933918045\ 47072*n^54+67302265611520573365805811753378495471975691373867531860097733449448\ 7282345574400*n^52+523559852026647112788441749284691711555838293541241328849701\ 445409151612317597696*n^50+3723017996109249483398231644847523104072528600842454\ 79907864178304069914032865280*n^48+24401547004351843843069088350521435791535749\ 1693696947822456385752706852594999296*n^46+148441908016548281961533439193641643\ 835253091525640112677999614721725715675381760*n^44+8431154184748689611016716295\ 9738653144323183359489839854159219284382807230806016*n^42+449393940566362850352\ 32485787600874342072788434350357925918346808703629754941440*n^40+22579190239693\ 893843379815340516044769242184815899746645309244579397467030845776*n^38+1073561\ 6112847754704555874925373114194451966063581971381853799007046979946519520*n^36+ 4847133931022908933653518540662237248242291823502754473443730267970933043182306 *n^34+2084594204287965707761685415921268054304877544318545433547920791436820145\ 077100*n^32+ 856323074332813256965166460569190694575379087875377250788885919708420637822677* n^30+ 336834719140327581656974757307712436952039171235717609216297523828568715246160* n^28+ 127157312905391240267636965719224312880399683580191094698098654478082827987652* n^26+ 46164227010659107690305814262126740970698543376880951935956658040688007302920*n ^24+ 16148322573309567065364407380754639174127754047263602692055402435041659398892*n ^22+ 5452021855574720747799889291602365995109890201704601160488686386725794676080*n^ 20+1779457013726922622151418776366277958173116760571241108848583055720802534362 *n^18+ 562284351108818448285693957757729251792468806796542582722529427866025810540*n^ 16+172248353057754169975712949289707758738785530546851093757322508188289284872* n^14+51219447270047166951447394802363558138400667375386357079291257367648176000 *n^12+ 14801591729258311087588944956257106248237964579000835070069993721504640000*n^10 +4161590536353544672931774157789437498990822354798241072503098007280000000*n^8+ 1139680068397920959000901263012954968237052704752809027723720265600000000*n^6+ 304611504213066521727230197657407545640166344453257444388825600000000000*n^4+ 80386448984158275165866644176491021106067480295897161771008000000000000*n^2+ 24860246781080524098426441326603603135761368601938493440000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 37, : , ) ------------------- = 137438953472 n (1597562963983\ / Pi (2 j - 1) 74 ----- sin(------------) j = 1 4 n 72 726164822205696651086079992050721118264114524738809181088282505641984 n + 121539715631873403737670859350059543800248304279212709447707684866398\ 70 94039497801728 n + 464825203519151159229044776771548061816494642899312\ 68 00632383682289951062578570461184 n + 119154164543485003536868241575592\ 66 503937645915012772598128735162689483958112598622208 n + 23031777968915\ 64 1061210988924398590782567281859957686340313850062045587072196714430464 n + 358072582595190355623809460645128232950835484763666746486094825074329\ 62 405651312181248 n + 46640872793822713517879668498053693854918499649592\ 60 7615140018887281508809480186363904 n + 5235359337480118690994957146409\ 58 20653189141375532861664343009414470489970223305719808 n + 516967300319\ 947265043370848054558453130995977271785289563368915433037675104330317824 56 n + 456198044487293451635215472045791415500756501055170511688743134979\ 54 897871688325398528 n + 36425881257092086960331173652660583055018077455\ 52 5034303776085260240242058708353810432 n + 2658246425289496421228668386\ 50 05634885624307790158717777200720123036515792682116972544 n + 178776481\ 138292536458663818624119976035292235667288411229427423373460264555143954\ 48 432 n + 11157816213005029321196308992366579900211134795116201986244702\ 46 0965195241118318096384 n + 6500941772246341761614242390148975372597815\ 44 1244766883032657993911739671924609257472 n + 3554022211055177103737204\ 42 0940283615941322757999124449280135206622312738720193429504 n + 1831227\ 413481509757066345938053827120133260159422468527983575048867256264978460\ 40 8192 n + 8927696219215750426816741174319840627723788150650714727248885\ 38 633503111654588602584 n + 41325079269853586026178706661221189601056796\ 36 68390464726571162247974839016109909252 n + 182181552076039508603516775\ 34 5764969243793831980050396883175946200243118776941573194 n + 7670309550\ 32 39359264366983238055000566020392324387316908384564366645203998978519584 n + 309188174048504486897740629927781996231641547622313582346663535348538\ 30 688225545853 n + 11959603731677665222588247944971927546126714871131036\ 28 1856560082231718899130567384 n + 4448251409544841348282002823165047991\ 26 1501962638017942853368648140033806809209908 n + 1593890984563006543278\ 24 4215505027996759134122621422205491395630587363954615634064 n + 5511573\ 599415649175955045498429337797880526209903969134683643535385894407415748 22 n + 184217969135292224680844004393670676245566318258282728360625394261\ 20 9840803598404 n + 5960282624740989141536585176326056589945420256997672\ 18 50033453309725509979249858 n + 186927184368536692019482644401085834611\ 16 507556074999451703493449890988463021424 n + 56898285342812938760647064\ 14 131919843459071029613062159627414602495982915336528 n + 16829056031076\ 12 988711225028935954562901159117313752310114291386882669779904000 n + 48\ 420973180316331047819771326504072842968853340344251527204141064615433600\ 10 00 n + 135666829427745095631907787163046048002957906268341530275204736\ 8 1001920000000 n + 370550941053831923433632737556241391777775783303836469121137874854400000000 6 n + 98854900263001869589954317329353026829626030563447206305521510400000000000 4 n + 26057639594257821415790005933846392639933744300171649660526592000000000000 2 n + 8054719957070089807890166989819567415986683427028071874560000000000000000)/ 378633507393210597268310068758676476739462979706313981504465053752735351\ 2115478515625 and in Maple notation: 137438953472/378633507393210597268310068758676476739462979706313981504465053752\ 7353512115478515625*n^2*(159756296398372616482220569665108607999205072111826411\ 4524738809181088282505641984*n^72+121539715631873403737670859350059543800248304\ 27921270944770768486639894039497801728*n^70+46482520351915115922904477677154806\ 181649464289931200632383682289951062578570461184*n^68+1191541645434850035368682\ 41575592503937645915012772598128735162689483958112598622208*n^66+23031777968915\ 1061210988924398590782567281859957686340313850062045587072196714430464*n^64+358\ 0725825951903556238094606451282329508354847636667464860948250743294056513121812\ 48*n^62+46640872793822713517879668498053693854918499649592761514001888728150880\ 9480186363904*n^60+523535933748011869099495714640920653189141375532861664343009\ 414470489970223305719808*n^58+5169673003199472650433708480545584531309959772717\ 85289563368915433037675104330317824*n^56+45619804448729345163521547204579141550\ 0756501055170511688743134979897871688325398528*n^54+364258812570920869603311736\ 526605830550180774555034303776085260240242058708353810432*n^52+2658246425289496\ 42122866838605634885624307790158717777200720123036515792682116972544*n^50+17877\ 6481138292536458663818624119976035292235667288411229427423373460264555143954432 *n^48+1115781621300502932119630899236657990021113479511620198624470209651952411\ 18318096384*n^46+65009417722463417616142423901489753725978151244766883032657993\ 911739671924609257472*n^44+3554022211055177103737204094028361594132275799912444\ 9280135206622312738720193429504*n^42+183122741348150975706634593805382712013326\ 01594224685279835750488672562649784608192*n^40+89276962192157504268167411743198\ 40627723788150650714727248885633503111654588602584*n^38+41325079269853586026178\ 70666122118960105679668390464726571162247974839016109909252*n^36+18218155207603\ 95086035167755764969243793831980050396883175946200243118776941573194*n^34+76703\ 0955039359264366983238055000566020392324387316908384564366645203998978519584*n^ 32+3091881740485044868977406299277819962316415476223135823466635353485386882255\ 45853*n^30+11959603731677665222588247944971927546126714871131036185656008223171\ 8899130567384*n^28+444825140954484134828200282316504799115019626380179428533686\ 48140033806809209908*n^26+15938909845630065432784215505027996759134122621422205\ 491395630587363954615634064*n^24+5511573599415649175955045498429337797880526209\ 903969134683643535385894407415748*n^22+1842179691352922246808440043936706762455\ 663182582827283606253942619840803598404*n^20+ 596028262474098914153658517632605658994542025699767250033453309725509979249858* n^18+ 186927184368536692019482644401085834611507556074999451703493449890988463021424* n^16+ 56898285342812938760647064131919843459071029613062159627414602495982915336528*n ^14+ 16829056031076988711225028935954562901159117313752310114291386882669779904000*n ^12+ 4842097318031633104781977132650407284296885334034425152720414106461543360000*n^ 10+1356668294277450956319077871630460480029579062683415302752047361001920000000 *n^8+ 370550941053831923433632737556241391777775783303836469121137874854400000000*n^6 +98854900263001869589954317329353026829626030563447206305521510400000000000*n^4 +26057639594257821415790005933846392639933744300171649660526592000000000000*n^2 +8054719957070089807890166989819567415986683427028071874560000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 38, : , ) ------------------- = 274877906944 n (3593446744078\ / Pi (2 j - 1) 76 ----- sin(------------) j = 1 4 n 634871836217278564490614248548738262852262996187400902986708759733075968 74 n + 280771690920139873467502651186428378558602914236534918127722845713\ 72 57626565036657868800 n + 110266907007017145541001887145341521112775274\ 70 057315730646432797095040438673343806177280 n + 29021765001441686989606\ 68 6770129986937535757098796078509693350085166939846667116793036800 n + 5\ 758904583394526282080790068821097201032067699336146379356813754852359540\ 66 22895520317440 n + 919009863024047472042609854920304787725019457201274\ 64 325115154528471981930539211607244800 n + 12285460518606002027198518216\ 62 30363759454032129866342658637469897436977456530381456015360 n + 141509\ 645487191708659044186621875203233509065190419905809462857858246475774578\ 60 6342604800 n + 1433694557623127775434296534487738629742744643756051845\ 58 981113203004489900298836503429120 n + 12978974440985262715122790715055\ 56 28700982830434114387564048207975982689201313762036940800 n + 106299187\ 532014216879057112283892974563537396197164791493845550787847892354450890\ 54 0048896 n + 7955870640734061760445712392365290875746040674012917278240\ 52 65288403160952444285707878400 n + 548675151320839563391327156835592522\ 50 478799228529886112181385146745906376152340928266240 n + 35110462021310\ 932680464822583588595655126482906616294908970743040524734580275924336640\ 48 0 n + 2097134197545495386506593150179604480006305205608314832270130251\ 46 23770262851228307384320 n + 117517633641581717904076014816768416378608\ 44 728977775560141238188523440191995168391270400 n + 62058127472079427146\ 42 387484134904580028458113172926198104725530343076882211415862532480 n + 310034480382957421772171681236558413843275098551321150665789054909373345\ 40 67833814670400 n + 147041325287380708637707898730649485766169585623926\ 38 98052714884290202056183047447962060 n + 664089090637086944670784539333\ 36 6911450661602444446265083671340964921558870720971390900 n + 2863995912\ 974307930481713967955860861532995060906159427127806586992873230450421266\ 34 554 n + 11823919423349821422490370414544344017654941704448971715058653\ 32 25178945048403343896800 n + 468356127135115158580914848394739098507476\ 30 990684539224411720135985395673665638472355 n + 17836577922820546569571\ 28 5059382815663828966296768752988761972148958444847671942071800 n + 6543\ 133918263721267237297146303657964834365168866502000113224324874746997163\ 26 8898740 n + 2316062156464250998899362784724586853053061989579131507430\ 24 8555417777956928971134800 n + 7923127555052265821875121175051692878065\ 22 048184033910302804012753531406650008914160 n + 26233996830203969632873\ 20 35367863098028482784681918123494439774571332413037938637300 n + 841872\ 178398393433751656318734147414347991769430320978023833690826855090585543\ 18 570 n + 26217563703151818787898360936819634803369871489779529360676500\ 16 4363265544088930800 n + 7932606986428273199864030973113098379485183041\ 14 3952433570823442878265623422714832 n + 2334511598097300244737721659157\ 12 2492694807471727669164306337628543218766469056000 n + 6689312376214061\ 10 759854041714553030036183109514700498354990483345710519099840000 n + 18\ 680902634989303964962930084872707342382453126088133664489695657956156800\ 8 00000 n + 5089647716071669349636724411090934667998786898625307287340316\ 6 16352473600000000 n + 1355408195768036220399737804713550648708775057957\ 4 60598629543160473600000000000 n + 3568901804445309769783229845741535065\ 2 8901269313789044529010024448000000000000 n + 11026911621228952947001638\ 609062987792485769611601430396272640000000000000000)/1050707983016159407\ 4195604408053272229520097686850212986748905241638405996120452880859375 and in Maple notation: 274877906944/105070798301615940741956044080532722295200976868502129867489052416\ 38405996120452880859375*n^2*(35934467440786348718362172785644906142485487382628\ 52262996187400902986708759733075968*n^74+28077169092013987346750265118642837855\ 860291423653491812772284571357626565036657868800*n^72+1102669070070171455410018\ 87145341521112775274057315730646432797095040438673343806177280*n^70+29021765001\ 4416869896066770129986937535757098796078509693350085166939846667116793036800*n^ 68+5758904583394526282080790068821097201032067699336146379356813754852359540228\ 95520317440*n^66+91900986302404747204260985492030478772501945720127432511515452\ 8471981930539211607244800*n^64+122854605186060020271985182163036375945403212986\ 6342658637469897436977456530381456015360*n^62+141509645487191708659044186621875\ 2032335090651904199058094628578582464757745786342604800*n^60+143369455762312777\ 5434296534487738629742744643756051845981113203004489900298836503429120*n^58+129\ 7897444098526271512279071505528700982830434114387564048207975982689201313762036\ 940800*n^56+1062991875320142168790571122838929745635373961971647914938455507878\ 478923544508900048896*n^54+7955870640734061760445712392365290875746040674012917\ 27824065288403160952444285707878400*n^52+54867515132083956339132715683559252247\ 8799228529886112181385146745906376152340928266240*n^50+351104620213109326804648\ 225835885956551264829066162949089707430405247345802759243366400*n^48+2097134197\ 54549538650659315017960448000630520560831483227013025123770262851228307384320*n ^46+117517633641581717904076014816768416378608728977775560141238188523440191995\ 168391270400*n^44+6205812747207942714638748413490458002845811317292619810472553\ 0343076882211415862532480*n^42+310034480382957421772171681236558413843275098551\ 32115066578905490937334567833814670400*n^40+14704132528738070863770789873064948\ 576616958562392698052714884290202056183047447962060*n^38+6640890906370869446707\ 845393336911450661602444446265083671340964921558870720971390900*n^36+2863995912\ 974307930481713967955860861532995060906159427127806586992873230450421266554*n^ 34+1182391942334982142249037041454434401765494170444897171505865325178945048403\ 343896800*n^32+4683561271351151585809148483947390985074769906845392244117201359\ 85395673665638472355*n^30+17836577922820546569571505938281566382896629676875298\ 8761972148958444847671942071800*n^28+654313391826372126723729714630365796483436\ 51688665020001132243248747469971638898740*n^26+23160621564642509988993627847245\ 868530530619895791315074308555417777956928971134800*n^24+7923127555052265821875\ 121175051692878065048184033910302804012753531406650008914160*n^22+2623399683020\ 396963287335367863098028482784681918123494439774571332413037938637300*n^20+8418\ 72178398393433751656318734147414347991769430320978023833690826855090585543570*n ^18+262175637031518187878983609368196348033698714897795293606765004363265544088\ 930800*n^16+7932606986428273199864030973113098379485183041395243357082344287826\ 5623422714832*n^14+233451159809730024473772165915724926948074717276691643063376\ 28543218766469056000*n^12+66893123762140617598540417145530300361831095147004983\ 54990483345710519099840000*n^10+18680902634989303964962930084872707342382453126\ 08813366448969565795615680000000*n^8+ 508964771607166934963672441109093466799878689862530728734031616352473600000000* n^6+ 135540819576803622039973780471355064870877505795760598629543160473600000000000* n^4+ 35689018044453097697832298457415350658901269313789044529010024448000000000000*n ^2+ 11026911621228952947001638609062987792485769611601430396272640000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 39, : , ) ------------------- = 549755813888 n (4261336015459\ / Pi (2 j - 1) 78 ----- sin(------------) j = 1 4 n 162620923369577792164386484997351281528450627880183810861878712827780268\ 76 032 n + 34171881812815778313726508210509023496196574226510593594962244\ 74 088886952106950681685917696 n + 13771570667941940653707537538043125539\ 72 9209143403878011992466778594052022538848303180677120 n + 3719003532438\ 493010788541196284078048032111799274098816412458869053265850060722446899\ 70 60960 n + 757092632004660917073235672315924677167724670281414195017313\ 68 290112899635616686537661480960 n + 12393034487586071951863959460707353\ 66 60264914822794859018590568541306698688043763248901652480 n + 169917991\ 901522125534154110919249289970417791376854614330924753869375123332267735\ 64 7814743040 n + 2007088933067111246190619707911308259077560941900212969\ 62 635063504794647758457642360210718720 n + 20850294087963811318738838727\ 60 09052119444522654504392555280783988041876091313995214256865280 n + 193\ 514430475683276325984611492411155119862651996408415915327884680574223524\ 58 9632937970237440 n + 1624661705180582865150721801597102467962832751153\ 56 742240198754023843442706465049740002197504 n + 12463024827344952557444\ 54 19657239948203461734037399667237593466264044996729569760993417101312 n + 880839255968517234958333284377886617381130032121412304617326878213111227\ 52 730051258407976960 n + 57757257133530327756528431368893341213473169996\ 50 7361943257538539217297862156467802390855680 n + 3534500654430286714747\ 48 01460477647961271023040694170005308375653131283146892003364627578880 n + 202899068360000839002912687452109157461414276927067914799297763678449389\ 46 966462763093437440 n + 10974743109241073898888715328713276105520312175\ 44 8412492708317858312831803213434471813470720 n + 5615236549550997511156\ 42 7745927127087597576395145625038042441998555756080789999078589392960 n + 272711650518149054371764273335454969383965345622140933909494557140290189\ 40 46507620576916640 n + 126107494015936557285736752865630876802673097269\ 38 41284246412887307348334295846767526492970 n + 556777196078250188422945\ 36 1028942423251986811139935356099578871764230660449969138215834896 n + 2\ 352932264848623074605694165660522275290789584148189634838011421910401795\ 34 394748053828788 n + 95391066918355602109750412002785842886209357650555\ 32 5258897937703775610745081551351869920 n + 3717674750747558076746795890\ 30 95786796669476884201450611434683109150552647237868726841985 n + 139546\ 531713623763387309436928883552641572006479452055902675059743710317848062\ 28 394952160 n + 50536139763376767692168447578906580728411328102976296500\ 26 306743112912440997172390121080 n + 17685305564101401047844271526705948\ 24 253047687688398651859998014257853741998573947774240 n + 59894937273232\ 22 83402586048108719455200923616258624595780807394410604643877093600021070 n + 196574613901879768690682666723756300453082066028845330871409933263305\ 20 2842664404552080 n + 6260014517344398980178354281794083783320019914960\ 18 36083399625918316242072068036640340 n + 193663161589477146469639480755\ 16 345882320055761839803522438220747315863435806645849568 n + 58266871266\ 280448420982320831965722948748590442155917493869645838097311585649564704 14 n + 170666373266069650247230677267458699544648641159431535409940197882\ 12 38248347556992000 n + 487132387020970616816232581045131039829706402158\ 10 1911103793975361730890610564480000 n + 1356186068090849946262734773621\ 8 636245400387816590969581207099546554752959360000000 n + 368624662066777\ 6 357831111279614772001080914872880011151234321943870511539200000000 n + 980032278066300275036523986941480182394091642617943083886462019597312000\ 4 00000000 n + 2577849793971636549078192112486294616351920221416729158034\ 2 1510291456000000000000 n + 79614301905273040277351830757434771861747256\ 59576232746108846080000000000000000)/15371857791526412130548169248981937\ 271787902915861861599613648368516987972324222564697265625 and in Maple notation: 549755813888/153718577915264121305481692489819372717879029158618615996136483685\ 16987972324222564697265625*n^2*(42613360154591626209233695777921643864849973512\ 81528450627880183810861878712827780268032*n^76+34171881812815778313726508210509\ 023496196574226510593594962244088886952106950681685917696*n^74+1377157066794194\ 06537075375380431255399209143403878011992466778594052022538848303180677120*n^72 +371900353243849301078854119628407804803211179927409881641245886905326585006072\ 244689960960*n^70+7570926320046609170732356723159246771677246702814141950173132\ 90112899635616686537661480960*n^68+12393034487586071951863959460707353602649148\ 22794859018590568541306698688043763248901652480*n^66+16991799190152212553415411\ 09192492899704177913768546143309247538693751233322677357814743040*n^64+20070889\ 3306711124619061970791130825907756094190021296963506350479464775845764236021071\ 8720*n^62+208502940879638113187388387270905211944452265450439255528078398804187\ 6091313995214256865280*n^60+193514430475683276325984611492411155119862651996408\ 4159153278846805742235249632937970237440*n^58+162466170518058286515072180159710\ 2467962832751153742240198754023843442706465049740002197504*n^56+124630248273449\ 5255744419657239948203461734037399667237593466264044996729569760993417101312*n^ 54+8808392559685172349583332843778866173811300321214123046173268782131112277300\ 51258407976960*n^52+57757257133530327756528431368893341213473169996736194325753\ 8539217297862156467802390855680*n^50+353450065443028671474701460477647961271023\ 040694170005308375653131283146892003364627578880*n^48+2028990683600008390029126\ 87452109157461414276927067914799297763678449389966462763093437440*n^46+10974743\ 1092410738988887153287132761055203121758412492708317858312831803213434471813470\ 720*n^44+5615236549550997511156774592712708759757639514562503804244199855575608\ 0789999078589392960*n^42+272711650518149054371764273335454969383965345622140933\ 90949455714029018946507620576916640*n^40+12610749401593655728573675286563087680\ 267309726941284246412887307348334295846767526492970*n^38+5567771960782501884229\ 451028942423251986811139935356099578871764230660449969138215834896*n^36+2352932\ 2648486230746056941656605222752907895841481896348380114219104017953947480538287\ 88*n^34+95391066918355602109750412002785842886209357650555525889793770377561074\ 5081551351869920*n^32+371767475074755807674679589095786796669476884201450611434\ 683109150552647237868726841985*n^30+1395465317136237633873094369288835526415720\ 06479452055902675059743710317848062394952160*n^28+50536139763376767692168447578\ 906580728411328102976296500306743112912440997172390121080*n^26+1768530556410140\ 1047844271526705948253047687688398651859998014257853741998573947774240*n^24+598\ 9493727323283402586048108719455200923616258624595780807394410604643877093600021\ 070*n^22+1965746139018797686906826667237563004530820660288453308714099332633052\ 842664404552080*n^20+6260014517344398980178354281794083783320019914960360833996\ 25918316242072068036640340*n^18+19366316158947714646963948075534588232005576183\ 9803522438220747315863435806645849568*n^16+582668712662804484209823208319657229\ 48748590442155917493869645838097311585649564704*n^14+17066637326606965024723067\ 726745869954464864115943153540994019788238248347556992000*n^12+4871323870209706\ 168162325810451310398297064021581911103793975361730890610564480000*n^10+1356186\ 068090849946262734773621636245400387816590969581207099546554752959360000000*n^8 +368624662066777357831111279614772001080914872880011151234321943870511539200000\ 000*n^6+98003227806630027503652398694148018239409164261794308388646201959731200\ 000000000*n^4+25778497939716365490781921124862946163519202214167291580341510291\ 456000000000000*n^2+79614301905273040277351830757434771861747256595762327461088\ 46080000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 40, : , ) ------------------- = 1099511627776 n (106421094342\ / Pi (2 j - 1) 80 ----- sin(------------) j = 1 4 n 387590171042085948190857250486229964598908496714964818599744283762263618\ 78 47578624 n + 875278417575312002337660111278510564984018455953225943758\ 76 96658975475102988761482606705377280 n + 361743540870467829229108815916\ 74 448522730736934761841143796270315924957275004179916327124729856 n + 10\ 016790068161782035475987988530831037756704231686966235540698792186964048\ 72 69881993414626508800 n + 209064572672380416798651873919376963441400663\ 70 8587251471192274380879572771794790289547492065280 n + 3508192342745604\ 650674658843457182387287162672276920875492927800742158884747881931891697\ 68 254400 n + 49301982854161258121864888163484233056523664331659169811099\ 66 34954586090317137185173153786101760 n + 596837347968212632459281066216\ 64 2667597604317695337996011906376745575944897924626753349327257600 n + 6\ 353471753740152344894033278052998974825498139688362749170722902432178602\ 62 937595609759591956480 n + 60418108027980534501804398176764471791503661\ 60 72895143278973422070443833980194132983500976947200 n + 519657239949696\ 917843561353876570198714314751219649636522866300797455536167146899515047\ 58 2019968 n + 4083413181518555309615854065666684126724123676433349055607\ 56 239700301493898811978210445791068160 n + 29558884672779589479571805016\ 54 82087950371116080913093012078635129078928826197628162526848745472 n + 198488469864318016699573203194972172165340831871794852888204281415171575\ 52 9887611234895685222400 n + 1243770066690320281967852649991835532611492\ 50 546351742328091334786825466888148140557994065264640 n + 73100696673090\ 708113471363661195455578995801950120703076302378989266995624598963209338\ 48 5523200 n + 4047729912092257910115950094688005423420448022398823542930\ 46 58967412643174467326883307364724480 n + 211986081851228852469974639749\ 44 244880954249765426074490992119433825445633165872636871594956800 n + 10\ 536871984096638443005179162561247834041435560419665391143548308275355317\ 42 7849478436976435840 n + 4986139057108107116507641647459536075655579248\ 40 1735039158575197329471204768581840640598793600 n + 2252513171806373652\ 885359213630013927504853695139723452366017306311301495054647001790374204\ 38 2 n + 9738786380204075300407714945836722821850226059706895647255049261\ 36 276589690095417112988241840 n + 40388704393466418655105318157434058741\ 34 54341243786993735874015611109268351047782313248350388 n + 161000742450\ 298153916343109428004252726983361887082825325712077069001131999153362891\ 32 7936800 n + 6180554831197388290318067425560324296194818093278982746336\ 30 51869494942948300606459082597705 n + 228881273840430841118354959591364\ 28 719733342725240701745679554822069934424437979901202202400 n + 81897112\ 808764246440632123414562647866924773946619765278038689825611383840932178\ 26 769320760 n + 28355819988283453151404171011463076496487775902554151819\ 24 929984428349178270470240847305600 n + 95131435317518729868918294465578\ 22 24891651475624127762461634726694838590536761846625958430 n + 309645758\ 694703814700523520979590742587691038589113500781213582192486658931515974\ 20 2369200 n + 9789913513063911940496159784395561166879097356099449638513\ 18 15279472037618512180574220116 n + 300984859824771863232742319064758921\ 16 898987978556155264258590871637158179281845407562720 n + 90076448917405\ 778480383950430730561509249311544243483166475334870426549310180807498784 14 n + 262663414768686462527842139284542697183688472247994215319482155242\ 12 53789845164345472000 n + 746974325646320677937925560470112380262090973\ 10 0456045497297353027558448121566494080000 n + 2073514176177072272352927\ 8 308013151488814938914737716823075540979966236529036160000000 n + 562344\ 165876281071728682347071868729954141477442947464270010662060363481523200\ 6 000000 n + 149269137477402002756981553782798039311449492459902481391773\ 4 605263082803200000000000 n + 392250182266896465195347723970680280690850\ 2 56019067602959191654845464576000000000000 n + 1210933531979202942618521\ 3458205828800171757728215450006831554887680000000000000000)/473606938556\ 928757742189094561133487343785288837703955884096506234008399427309297218\ 32275390625 and in Maple notation: 1099511627776/47360693855692875774218909456113348734378528883770395588409650623\ 400839942730929721832275390625*n^2*(1064210943423875901710420859481908572504862\ 2996459890849671496481859974428376226361847578624*n^78+875278417575312002337660\ 11127851056498401845595322594375896658975475102988761482606705377280*n^76+36174\ 3540870467829229108815916448522730736934761841143796270315924957275004179916327\ 124729856*n^74+1001679006816178203547598798853083103775670423168696623554069879\ 218696404869881993414626508800*n^72+2090645726723804167986518739193769634414006\ 638587251471192274380879572771794790289547492065280*n^70+3508192342745604650674\ 658843457182387287162672276920875492927800742158884747881931891697254400*n^68+ 4930198285416125812186488816348423305652366433165916981109934954586090317137185\ 173153786101760*n^66+5968373479682126324592810662162667597604317695337996011906\ 376745575944897924626753349327257600*n^64+6353471753740152344894033278052998974\ 825498139688362749170722902432178602937595609759591956480*n^62+6041810802798053\ 450180439817676447179150366172895143278973422070443833980194132983500976947200* n^60+51965723994969691784356135387657019871431475121964963652286630079745553616\ 71468995150472019968*n^58+40834131815185553096158540656666841267241236764333490\ 55607239700301493898811978210445791068160*n^56+29558884672779589479571805016820\ 87950371116080913093012078635129078928826197628162526848745472*n^54+19848846986\ 4318016699573203194972172165340831871794852888204281415171575988761123489568522\ 2400*n^52+124377006669032028196785264999183553261149254635174232809133478682546\ 6888148140557994065264640*n^50+731006966730907081134713636611954555789958019501\ 207030763023789892669956245989632093385523200*n^48+4047729912092257910115950094\ 68800542342044802239882354293058967412643174467326883307364724480*n^46+21198608\ 1851228852469974639749244880954249765426074490992119433825445633165872636871594\ 956800*n^44+1053687198409663844300517916256124783404143556041966539114354830827\ 53553177849478436976435840*n^42+49861390571081071165076416474595360756555792481\ 735039158575197329471204768581840640598793600*n^40+2252513171806373652885359213\ 6300139275048536951397234523660173063113014950546470017903742042*n^38+973878638\ 0204075300407714945836722821850226059706895647255049261276589690095417112988241\ 840*n^36+4038870439346641865510531815743405874154341243786993735874015611109268\ 351047782313248350388*n^34+1610007424502981539163431094280042527269833618870828\ 253257120770690011319991533628917936800*n^32+6180554831197388290318067425560324\ 29619481809327898274633651869494942948300606459082597705*n^30+22888127384043084\ 1118354959591364719733342725240701745679554822069934424437979901202202400*n^28+ 8189711280876424644063212341456264786692477394661976527803868982561138384093217\ 8769320760*n^26+283558199882834531514041710114630764964877759025541518199299844\ 28349178270470240847305600*n^24+95131435317518729868918294465578248916514756241\ 27762461634726694838590536761846625958430*n^22+30964575869470381470052352097959\ 07425876910385891135007812135821924866589315159742369200*n^20+97899135130639119\ 4049615978439556116687909735609944963851315279472037618512180574220116*n^18+300\ 9848598247718632327423190647589218989879785561552642585908716371581792818454075\ 62720*n^16+90076448917405778480383950430730561509249311544243483166475334870426\ 549310180807498784*n^14+2626634147686864625278421392845426971836884722479942153\ 1948215524253789845164345472000*n^12+746974325646320677937925560470112380262090\ 9730456045497297353027558448121566494080000*n^10+207351417617707227235292730801\ 3151488814938914737716823075540979966236529036160000000*n^8+5623441658762810717\ 28682347071868729954141477442947464270010662060363481523200000000*n^6+149269137\ 477402002756981553782798039311449492459902481391773605263082803200000000000*n^4 +392250182266896465195347723970680280690850560190676029591916548454645760000000\ 00000*n^2+121093353197920294261852134582058288001717577282154500068315548876800\ 00000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 41, : , ) ------------------- = 2199023255552 n (349359844282\ / Pi (2 j - 1) 82 ----- sin(------------) j = 1 4 n 388842667094906819482116780947999131641353765288373273485550430783394897\ 80 6902569984 n + 2945203785925576557983589728616181974407206414270274792\ 78 6465866513547479230531206456413173841920 n + 1247501505629433122731779\ 76 29435108816412553460457803469166676411913033083973519662603739422785536 n + 353987072889916353519758654871544929006406501285937593684753805552845\ 74 651130489544720377079398400 n + 75701636793424557706895215412828538014\ 72 6997120359373366480343527500433151930716033454873384058880 n + 1301432\ 833865507731090799530018414792229082651847886893566662698740569658473115\ 70 386351038601625600 n + 18735441202396391066547105958586291946999029622\ 68 19552695965732084907897195212045156708968153743360 n + 232308147024046\ 409703631482134071479469454175882322470237459979777995835765885916625023\ 66 4701414400 n + 2532656554856817803539626936224523005253106383193699939\ 64 199900626775996961007393872189296455188480 n + 24662495136846736101330\ 045428898102712013378447707376108565606597702031747120090408969508487168\ 62 00 n + 217189900607186003908941035375760384624614469621491616742042072\ 60 8057883285470271485798595940057088 n + 1747217215373481144451749233007\ 58 705419144134440980316918077116539250152985081804907306694727434240 n + 129467524898177515014332220697500491423187717198765718315472440597530527\ 56 5031908639706915871916032 n + 8898273310398282956944037987007637680315\ 54 29391136939900686210415328425529320908181848138055680000 n + 570632851\ 581606329175449748373629693343297620061035668827308938948434420776409579\ 52 624724187709440 n + 34318878951602648729906754121282120595641910467352\ 50 2700830074733104182104059820192570402266316800 n + 1944315977512849826\ 244755019773995297485370941253924417029400193844380154436332817326369434\ 48 57280 n + 104173052109751471314828844353765688845355125632611244553712\ 46 223825473149993034188491748273859200 n + 52966538949278719164049584039\ 44 347811454026304528946676401845711925668954568049347202240953619840 n + 256357136131687721865193489634775709305971925912126584257430196692331923\ 42 86091437102728160178400 n + 118437419802627164271654785279354508804508\ 40 25947391452630453635514672193355747575562187205262972 n + 523620465780\ 482418317661874518300182960134268162771042805865514023847927031139452251\ 38 4571434510 n + 2220299882946920316809685257102918668282065026582622725\ 36 308223480562257498624076494805406698228 n + 90483516333386671322371355\ 34 6470883000814157501024927338624961879599091752637893934699761931800 n + 355065960620737925016915101798451952504031142142631164771859399116652142\ 32 175410121532635318680 n + 13439468915821921868890096831420992370783261\ 30 3095045573866528638015552897079825642886572080725 n + 4914520720519570\ 371087555416138191354438012943196285413678069485741930050410553844523421\ 28 6360 n + 1738786144252353751783980956781470454312447811913219128021438\ 26 7828563823379230697908817706400 n + 5960328886494745313329275813166088\ 24 466580751470704063486915839114232012413829346424709051180 n + 19820041\ 035434922508145619632018460098059060044972276432505959978455420826960393\ 22 69194476050 n + 640121955506991905856893424416473424308901411151765615\ 20 088172152493550571558005438086161956 n + 20101311057506570985797090911\ 18 3496946509053248870720063660066450275471809858575743788783080 n + 6143\ 819666879096043196612382962090566308486319590116129101705570827610508895\ 16 7725102104704 n + 1829473009638528624254898346827918439313161486041788\ 14 6954138680446396528860074290682324800 n + 5312301968200857430328463791\ 12 273014344666696779313025354813291216114863157443686206080000 n + 15055\ 034762582732666838823529550399837400780976241426665945125314565014746484\ 10 92256000000 n + 416753737487433832496890067809598289601644063629982349\ 8 484798823113702749092787200000000 n + 112786030092395693601595055216162\ 6 191824365125660066785626959651323256747261440000000000 n + 298930525137\ 070901979158455289566758903589835479995638813139127074620252160000000000\ 4 00 n + 7848030979167877311263500782778157071017054143245574454340038857\ 2 814835200000000000000 n + 242186706395840588523704269164116576003435154\ 5643090001366310977536000000000000000000)/191810810115556146885586583297\ 25906237423304197927010213305908502477340176806026537342071533203125 and in Maple notation: 2199023255552/19181081011555614688558658329725906237423304197927010213305908502\ 477340176806026537342071533203125*n^2*(3493598442823888426670949068194821167809\ 479991316413537652883732734855504307833948976902569984*n^80+2945203785925576557\ 9835897286161819744072064142702747926465866513547479230531206456413173841920*n^ 78+1247501505629433122731779294351088164125534604578034691666764119130330839735\ 19662603739422785536*n^76+35398707288991635351975865487154492900640650128593759\ 3684753805552845651130489544720377079398400*n^74+757016367934245577068952154128\ 285380146997120359373366480343527500433151930716033454873384058880*n^72+1301432\ 8338655077310907995300184147922290826518478868935666626987405696584731153863510\ 38601625600*n^70+18735441202396391066547105958586291946999029622195526959657320\ 84907897195212045156708968153743360*n^68+23230814702404640970363148213407147946\ 94541758823224702374599797779958357658859166250234701414400*n^66+25326565548568\ 1780353962693622452300525310638319369993919990062677599696100739387218929645518\ 8480*n^64+246624951368467361013300454288981027120133784477073761085656065977020\ 3174712009040896950848716800*n^62+217189900607186003908941035375760384624614469\ 6214916167420420728057883285470271485798595940057088*n^60+174721721537348114445\ 1749233007705419144134440980316918077116539250152985081804907306694727434240*n^ 58+1294675248981775150143322206975004914231877171987657183154724405975305275031\ 908639706915871916032*n^56+8898273310398282956944037987007637680315293911369399\ 00686210415328425529320908181848138055680000*n^54+57063285158160632917544974837\ 3629693343297620061035668827308938948434420776409579624724187709440*n^52+343188\ 7895160264872990675412128212059564191046735227008300747331041821040598201925704\ 02266316800*n^50+19443159775128498262447550197739952974853709412539244170294001\ 9384438015443633281732636943457280*n^48+104173052109751471314828844353765688845\ 355125632611244553712223825473149993034188491748273859200*n^46+5296653894927871\ 9164049584039347811454026304528946676401845711925668954568049347202240953619840 *n^44+2563571361316877218651934896347757093059719259121265842574301966923319238\ 6091437102728160178400*n^42+118437419802627164271654785279354508804508259473914\ 52630453635514672193355747575562187205262972*n^40+52362046578048241831766187451\ 83001829601342681627710428058655140238479270311394522514571434510*n^38+22202998\ 8294692031680968525710291866828206502658262272530822348056225749862407649480540\ 6698228*n^36+904835163333866713223713556470883000814157501024927338624961879599\ 091752637893934699761931800*n^34+3550659606207379250169151017984519525040311421\ 42631164771859399116652142175410121532635318680*n^32+13439468915821921868890096\ 8314209923707832613095045573866528638015552897079825642886572080725*n^30+491452\ 0720519570371087555416138191354438012943196285413678069485741930050410553844523\ 4216360*n^28+173878614425235375178398095678147045431244781191321912802143878285\ 63823379230697908817706400*n^26+59603288864947453133292758131660884665807514707\ 04063486915839114232012413829346424709051180*n^24+19820041035434922508145619632\ 01846009805906004497227643250595997845542082696039369194476050*n^22+64012195550\ 6991905856893424416473424308901411151765615088172152493550571558005438086161956 *n^20+2010131105750657098579709091134969465090532488707200636600664502754718098\ 58575743788783080*n^18+61438196668790960431966123829620905663084863195901161291\ 017055708276105088957725102104704*n^16+1829473009638528624254898346827918439313\ 1614860417886954138680446396528860074290682324800*n^14+531230196820085743032846\ 3791273014344666696779313025354813291216114863157443686206080000*n^12+150550347\ 6258273266683882352955039983740078097624142666594512531456501474648492256000000 *n^10+4167537374874338324968900678095982896016440636299823494847988231137027490\ 92787200000000*n^8+112786030092395693601595055216162191824365125660066785626959\ 651323256747261440000000000*n^6+29893052513707090197915845528956675890358983547\ 999563881313912707462025216000000000000*n^4+78480309791678773112635007827781570\ 71017054143245574454340038857814835200000000000000*n^2+242186706395840588523704\ 2691641165760034351545643090001366310977536000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 42, : , ) ------------------- = 4398046511104 n (963662981232\ / Pi (2 j - 1) 84 ----- sin(------------) j = 1 4 n 964036381348984948653491167367888699252518496331364580685137130526035127\ 82 6564934033408 n + 8322100850650784621172867775346883503838962287314828\ 80 6880429343397476992968116912498578796119588864 n + 3610554773204023558\ 197662484207863644245538415318072571053377041762299026350051130698147394\ 78 45481472 n + 104926544194151406727647799956417371058602517834032881065\ 76 1584124133730781723023168913281816478089216 n + 2297832106000960802972\ 503972283041767857361069258321164431846603254317381277416346214086786322\ 74 268160 n + 40448262379846235595658799278528372371881004662783231628157\ 72 22276341673195371227539234287016560558080 n + 596152318616011243355917\ 373458421660623594837879489945752060329595864704066763395611298703870001\ 70 1520 n + 7566990038598544779008771953963556535282852578205290794325707\ 68 433527222564181843118816864998113935360 n + 84440487605432898560722340\ 647536255809312113516154616293028812511886637480093969975784379877267865\ 66 60 n + 841545411158192476000634366316785071209815244317377432254419435\ 64 3856061977295456571665624180488929280 n + 7583973155107417794766871860\ 080899544731668106666104838561753235034672790945332259650845717987065856 62 n + 624268313245236657359596134593625515530431717227627173476202254978\ 60 6735643764991961182327548200091648 n + 4732636995330934446239739453913\ 58 294420265331118306662834921964107497481577686188498896352950185099264 n + 332749101382267869628107213327150230028210331780290514299966031966247\ 56 0078839910312738347709187489792 n + 2182668031333666970160368344527454\ 54 479276530785671283351231900882137172683482292415098746465080442880 n + 134256359660547147484735816819522671033624466212331674705481468656865370\ 52 4401361286543811885949911040 n + 7778407593170776779060232285788978247\ 50 40069984397377641804876254067477060140564171306673305708840960 n + 426\ 140362583369755235275316139972985365477249464191890772010999395110844148\ 48 492759056421103746657280 n + 22152553776274019728494041192623885160285\ 46 3942099873120483629400587666210802059647928027575897324480 n + 1096084\ 834804113590185045369407840012712039890242210990468522107355968932482079\ 44 90119033322998298240 n + 517625931952869581194049861172625669922575789\ 42 23879993305624891752442712129633371782527845428302264 n + 233896625252\ 399602342362964718942819925932391858528191207039175629708231666862580965\ 40 94594011445212 n + 101356431371796242098283413918476787911702791568835\ 38 91548105238763200909023271173381223253285041106 n + 422078965406281414\ 985840161435724277597650782948744210392549481784376558746482620998510504\ 36 4967668 n + 1692272257753926983482177491658227154574092711180790765960\ 34 311916745193742965592111344477560389160 n + 65438421021816882855741917\ 32 1714029946062862466817958817476246631309134176636463312029079930737880 n + 244441028574453982834506909713751799761768852581845318751008903396391\ 30 539790508487347777055775895 n + 88335285577216742057689572746951324037\ 28 842889829794489136621441459940838000072675851571548824360 n + 30924767\ 562999232812232440991824451002210286168774067757521124343335475887442097\ 26 205208236587960 n + 10501278462408143317910701202149567889248488108833\ 24 517573342054340905669819662929049029292611980 n + 34630213164087026253\ 767075856975853581143572673078690833240719301357035737090048605739430962\ 22 22 n + 111026137616756779401029965901104882062875645751514658924209820\ 20 6945152562270013310402312986276 n + 3464188262815759210157118924092144\ 18 45226118638598936757898109666361266344519693679065113538408 n + 105294\ 372912647634843582462212538437645522278098112862536347232249594075659947\ 16 321463786397824 n + 31205570135484433692554084916274165279756046142205\ 14 466474397914386927327624149446814144148800 n + 90251640309346014597379\ 12 87650837462130475363497210439535794515998072401373486922373028480000 n + 254933049408072618569917726995332107835189296262026884212563337097654469\ 10 4988832640736000000 n + 7038537310061308761935305067754180452406510299\ 8 22435219229298115010389341615662003200000000 n + 1901014984780501814776\ 6 45857192360907946893878954888259224901510390421446575152640000000000 n + 503130055233749616411866443404383974282615877773332314801234075721061830\ 4 69696000000000000 n + 1319738381010911857200441890123336436789973671788\ 2 7096837748337941941809971200000000000000 n + 40711585345140802930834687\ 64648799642617744948226034292296768753238016000000000000000000)/65273218\ 682323756785165114296057258925951504185545615755880006633930388621670908\ 306575069427490234375 and in Maple notation: 4398046511104/65273218682323756785165114296057258925951504185545615755880006633\ 930388621670908306575069427490234375*n^2*(9636629812329640363813489849486534911\ 673678886992525184963313645806851371305260351276564934033408*n^82+8322100850650\ 7846211728677753468835038389622873148286880429343397476992968116912498578796119\ 588864*n^80+3610554773204023558197662484207863644245538415318072571053377041762\ 29902635005113069814739445481472*n^78+10492654419415140672764779995641737105860\ 25178340328810651584124133730781723023168913281816478089216*n^76+22978321060009\ 6080297250397228304176785736106925832116443184660325431738127741634621408678632\ 2268160*n^74+404482623798462355956587992785283723718810046627832316281572227634\ 1673195371227539234287016560558080*n^72+596152318616011243355917373458421660623\ 5948378794899457520603295958647040667633956112987038700011520*n^70+756699003859\ 8544779008771953963556535282852578205290794325707433527222564181843118816864998\ 113935360*n^68+8444048760543289856072234064753625580931211351615461629302881251\ 188663748009396997578437987726786560*n^66+8415454111581924760006343663167850712\ 098152443173774322544194353856061977295456571665624180488929280*n^64+7583973155\ 1074177947668718600808995447316681066661048385617532350346727909453322596508457\ 17987065856*n^62+62426831324523665735959613459362551553043171722762717347620225\ 49786735643764991961182327548200091648*n^60+47326369953309344462397394539132944\ 20265331118306662834921964107497481577686188498896352950185099264*n^58+33274910\ 1382267869628107213327150230028210331780290514299966031966247007883991031273834\ 7709187489792*n^56+218266803133366697016036834452745447927653078567128335123190\ 0882137172683482292415098746465080442880*n^54+134256359660547147484735816819522\ 6710336244662123316747054814686568653704401361286543811885949911040*n^52+777840\ 7593170776779060232285788978247400699843973776418048762540674770601405641713066\ 73305708840960*n^50+42614036258336975523527531613997298536547724946419189077201\ 0999395110844148492759056421103746657280*n^48+221525537762740197284940411926238\ 851602853942099873120483629400587666210802059647928027575897324480*n^46+1096084\ 8348041135901850453694078400127120398902422109904685221073559689324820799011903\ 3322998298240*n^44+517625931952869581194049861172625669922575789238799933056248\ 91752442712129633371782527845428302264*n^42+23389662525239960234236296471894281\ 992593239185852819120703917562970823166686258096594594011445212*n^40+1013564313\ 7179624209828341391847678791170279156883591548105238763200909023271173381223253\ 285041106*n^38+4220789654062814149858401614357242775976507829487442103925494817\ 843765587464826209985105044967668*n^36+1692272257753926983482177491658227154574\ 092711180790765960311916745193742965592111344477560389160*n^34+6543842102181688\ 2855741917171402994606286246681795881747624663130913417663646331202907993073788\ 0*n^32+244441028574453982834506909713751799761768852581845318751008903396391539\ 790508487347777055775895*n^30+8833528557721674205768957274695132403784288982979\ 4489136621441459940838000072675851571548824360*n^28+309247675629992328122324409\ 91824451002210286168774067757521124343335475887442097205208236587960*n^26+10501\ 2784624081433179107012021495678892484881088335175733420543409056698196629290490\ 29292611980*n^24+34630213164087026253767075856975853581143572673078690833240719\ 30135703573709004860573943096222*n^22+11102613761675677940102996590110488206287\ 56457515146589242098206945152562270013310402312986276*n^20+34641882628157592101\ 5711892409214445226118638598936757898109666361266344519693679065113538408*n^18+ 1052943729126476348435824622125384376455222780981128625363472322495940756599473\ 21463786397824*n^16+31205570135484433692554084916274165279756046142205466474397\ 914386927327624149446814144148800*n^14+9025164030934601459737987650837462130475\ 363497210439535794515998072401373486922373028480000*n^12+2549330494080726185699\ 177269953321078351892962620268842125633370976544694988832640736000000*n^10+7038\ 5373100613087619353050677541804524065102992243521922929811501038934161566200320\ 0000000*n^8+1901014984780501814776458571923609079468938789548882592249015103904\ 21446575152640000000000*n^6+503130055233749616411866443404383974282615877773332\ 31480123407572106183069696000000000000*n^4+131973838101091185720044189012333643\ 67899736717887096837748337941941809971200000000000000*n^2+407115853451408029308\ 3468764648799642617744948226034292296768753238016000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 43, : , ) ------------------- = 8796093022208 n (139429168716\ / Pi (2 j - 1) 86 ----- sin(------------) j = 1 4 n 102164874485959682274433357063656056308852580133876304195240899462051923\ 84 72972814998700032 n + 123276586874226924354084068899556497857585537161\ 82 851878428643189813984146167422543043705456918622371840 n + 54751101496\ 431512022696297094007146571756532888244257938634465021200113673724116732\ 80 8149899670775136256 n + 1628650081943307861348551516877127444085417209\ 78 260436602782976958920467575819242960800144516861562716160 n + 36503665\ 009267632309766036500372960529216180632224028851047297397052879476647267\ 76 55685929597672569700352 n + 657576297836091498581297283350174337389920\ 74 9313907862924564927585688467821809044284224501506118988595200 n + 9917\ 085233025158817979421047496853124694097531838660859130806613109384207125\ 72 654863632249298872424202240 n + 12879025540159821512368717565694483537\ 70 171358199146795719695634274907855283575276996002352727737342361600 n + 147026697802289830632215954042426689418358587193388388858407808026038904\ 68 46966103865305176157748105052160 n + 149886094017086812228387840969453\ 66 24729714319505072638623161274216938361647320967888669813229069585612800 n + 138156611044847489768076277145585226067707862540664701521323169183234\ 64 76158238492901653098909507187113984 n + 116302796591899710821325378589\ 326081351897247102373911776631727201692994315950146806573735270345657548\ 62 80 n + 901610643991538122613807245254721276416879129951924417954581152\ 60 1130468601585015114412040707934762565632 n + 6481608455259736436036383\ 023329288560267904844807007587520124960519672895012450415043528217752614\ 58 993920 n + 43466719200279915917701979681549780087983157394912102045078\ 56 34676186385037957415761314680881458828017664 n + 273313219201198621653\ 243641277114866892793574640789106259316568845255858408631798787078536462\ 54 7084083200 n + 1618551438468992926487573810802560543616095457237681574\ 52 282526940099591238349124899644639505836285009920 n + 90625848398474476\ 572294203737627409775361023478233726478560992939310587146786374009807570\ 50 5050848076800 n + 4814381602749979117073801556293695118345320221029315\ 48 12023477680022581900120763884717781427021881390080 n + 243406403696490\ 992230829890526807327759516391023884021050300935020642086591322999128271\ 46 264867474322400 n + 11744348538505826043255365407299431075092438177790\ 44 9837119113009409596340536286081830835658598810978336 n + 5421457146913\ 544057915298556310877080421077102724124874113318972688408199194357850762\ 42 8378540317148220 n + 2399809592686568225164517752649397282765985612347\ 40 0761691318053880219496898134432398899412693078979368 n + 1020720786342\ 578247310567167303887911503565533210866525426974825100226764252806489673\ 38 8174795004141430 n + 4179513982010118014505751226139087691806216047335\ 36 643566897740125450001617382785270919947459178035016 n + 16503852302510\ 273637899053948649306029246885013360008233320702780330670633738642947585\ 34 60387282295000 n + 629474892190995643929607529370998677369011705940807\ 32 172031599394269357906672836394894050049597157840 n + 23224442558991394\ 424063542743553527238672038950287858253486026641933452782324010212240201\ 30 0733215975 n + 8300025638174091183182463264411742259588182963097692609\ 28 1334227384547987822382759275103624700827760 n + 2876950374741565154613\ 576670920424719323034142586692061854913036535918623922616969610789296582\ 26 2300 n + 9683180506351268969797391562426320288527117002796010165699315\ 24 586015604220903919880205842430352648 n + 31682277138163478140217086509\ 22 87515221860452300614762155368267940616850805003340174679959925913810 n + 100873416880474268384735294172422694715436070633709398443068933401953540\ 20 1527846870754065390568744 n + 3128386933017662083450781941803369647658\ 18 56624569380319535288113192580365173559604840458099212240 n + 945896480\ 779116758218620078126059585511980971859276636498658489709216396977488585\ 16 65868852851968 n + 279073777149757472859375912610412578728427933809419\ 14 03863528691877377033713096720391822699721600 n + 804078450931137982294\ 536361496318623820447863619731700861329905148019323908165375327774336000\ 12 0 n + 2264198622492917800156020467588565122372862814375477207028597181\ 10 506866583401325306684352000000 n + 62357223613696957662660309359848962\ 8 7971126542625753292083051265355447194525639642982400000000 n + 16809718\ 220458894723723373252055604718730062473431877710394418112871461843537704\ 6 4480000000000 n + 44428860406857152641814637983871599989198319366479458\ 4 552819838830365420707356672000000000000 n + 116441636790507566608009809\ 2 39652476172130185530124645445186330833545914410598400000000000000 n + 3\ 590761827441418818499619450420241284788851044335362245805750040355930112\ 000000000000000000)/1165126953479479058615197290184622071828234349711989\ 24124245811841565743689682571327236498928070068359375 and in Maple notation: 8796093022208/11651269534794790586151972901846220718282343497119892412424581184\ 1565743689682571327236498928070068359375*n^2*(139429168716102164874485959682274\ 43335706365605630885258013387630419524089946205192372972814998700032*n^84+12327\ 6586874226924354084068899556497857585537161851878428643189813984146167422543043\ 705456918622371840*n^82+5475110149643151202269629709400714657175653288824425793\ 86344650212001136737241167328149899670775136256*n^80+16286500819433078613485515\ 16877127444085417209260436602782976958920467575819242960800144516861562716160*n ^78+365036650092676323097660365003729605292161806322240288510472973970528794766\ 4726755685929597672569700352*n^76+657576297836091498581297283350174337389920931\ 3907862924564927585688467821809044284224501506118988595200*n^74+991708523302515\ 8817979421047496853124694097531838660859130806613109384207125654863632249298872\ 424202240*n^72+1287902554015982151236871756569448353717135819914679571969563427\ 4907855283575276996002352727737342361600*n^70+147026697802289830632215954042426\ 68941835858719338838885840780802603890446966103865305176157748105052160*n^68+14\ 9886094017086812228387840969453247297143195050726386231612742169383616473209678\ 88669813229069585612800*n^66+13815661104484748976807627714558522606770786254066\ 470152132316918323476158238492901653098909507187113984*n^64+1163027965918997108\ 2132537858932608135189724710237391177663172720169299431595014680657373527034565\ 754880*n^62+9016106439915381226138072452547212764168791299519244179545811521130\ 468601585015114412040707934762565632*n^60+6481608455259736436036383023329288560\ 267904844807007587520124960519672895012450415043528217752614993920*n^58+4346671\ 9200279915917701979681549780087983157394912102045078346761863850379574157613146\ 80881458828017664*n^56+27331321920119862165324364127711486689279357464078910625\ 93165688452558584086317987870785364627084083200*n^54+16185514384689929264875738\ 10802560543616095457237681574282526940099591238349124899644639505836285009920*n ^52+906258483984744765722942037376274097753610234782337264785609929393105871467\ 863740098075705050848076800*n^50+4814381602749979117073801556293695118345320221\ 02931512023477680022581900120763884717781427021881390080*n^48+24340640369649099\ 2230829890526807327759516391023884021050300935020642086591322999128271264867474\ 322400*n^46+1174434853850582604325536540729943107509243817779098371191130094095\ 96340536286081830835658598810978336*n^44+54214571469135440579152985563108770804\ 210771027241248741133189726884081991943578507628378540317148220*n^42+2399809592\ 6865682251645177526493972827659856123470761691318053880219496898134432398899412\ 693078979368*n^40+1020720786342578247310567167303887911503565533210866525426974\ 8251002267642528064896738174795004141430*n^38+417951398201011801450575122613908\ 7691806216047335643566897740125450001617382785270919947459178035016*n^36+165038\ 5230251027363789905394864930602924688501336000823332070278033067063373864294758\ 560387282295000*n^34+6294748921909956439296075293709986773690117059408071720315\ 99394269357906672836394894050049597157840*n^32+23224442558991394424063542743553\ 5272386720389502878582534860266419334527823240102122402010733215975*n^30+830002\ 5638174091183182463264411742259588182963097692609133422738454798782238275927510\ 3624700827760*n^28+287695037474156515461357667092042471932303414258669206185491\ 30365359186239226169696107892965822300*n^26+96831805063512689697973915624263202\ 88527117002796010165699315586015604220903919880205842430352648*n^24+31682277138\ 1634781402170865098751522186045230061476215536826794061685080500334017467995992\ 5913810*n^22+100873416880474268384735294172422694715436070633709398443068933401\ 9535401527846870754065390568744*n^20+312838693301766208345078194180336964765856\ 624569380319535288113192580365173559604840458099212240*n^18+9458964807791167582\ 1862007812605958551198097185927663649865848970921639697748858565868852851968*n^ 16+2790737771497574728593759126104125787284279338094190386352869187737703371309\ 6720391822699721600*n^14+804078450931137982294536361496318623820447863619731700\ 8613299051480193239081653753277743360000*n^12+226419862249291780015602046758856\ 5122372862814375477207028597181506866583401325306684352000000*n^10+623572236136\ 9695766266030935984896279711265426257532920830512653554471945256396429824000000\ 00*n^8+168097182204588947237233732520556047187300624734318777103944181128714618\ 435377044480000000000*n^6+44428860406857152641814637983871599989198319366479458\ 552819838830365420707356672000000000000*n^4+11644163679050756660800980939652476\ 172130185530124645445186330833545914410598400000000000000*n^2+35907618274414188\ 18499619450420241284788851044335362245805750040355930112000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 44, : , ) ------------------- = 17592186044416 n (42279669901\ / Pi (2 j - 1) 88 ----- sin(------------) j = 1 4 n 206256679143627258036252366086311548276327557079944028539451973827014568\ 86 479013328762378911744 n + 38250998145575467911666478179235168047176843\ 84 4024877706168339276252929223883584193247560136206674336677888 n + 1738\ 175219609224788007714554669966708492384556874679115468183247739213664131\ 82 424372407638201461191718469632 n + 52895821314295289929584359712478790\ 80 11935358294523118108391388000648173267895163666295445916419311559245824 n + 121276698385491515250980825835138011437368100331122363837971890249665\ 78 11614693422295885797016086744299208704 n + 223454374395845556707221257\ 380791650918939824068699667526617384367484437759637745648925438294055126\ 76 01960448 n + 344653858198330235823891254115360771476944775372347674330\ 74 94161103035035806463574644527589739835396750049280 n + 457712889802155\ 775142482189766220343561696751319771086834335387359822749442373560410463\ 72 40149851894379970560 n + 534283932918798966056812198706348763628169594\ 70 78311005831689742938710823904806571633460156290571043780689920 n + 556\ 875157267752685639604189524860053053876882893027826982596827691972536682\ 68 09569781910197224853337265930240 n + 524739396596965593119914187685434\ 253993510000879871699006501372113435358994353483758165497019763870956257\ 66 28 n + 451536285695035634773789349475658326657696915258044912303332916\ 64 85045522900688646187074410363450070145171456 n + 357772638225398340541\ 176793082808785731872582849747371058549282139768681755243956882736367380\ 62 45556651720704 n + 262852236896865385050339545695328542581742486363724\ 60 98607434778042920450044947712319241926258515786835427328 n + 180128253\ 450865889419245567459021641811844257542428603387712270812605137942764298\ 58 06459251221883400241020928 n + 115727644220359811678067367968339295743\ 56 26401954611429196399333420599368494750823673959453926938711174414336 n + 700180476770660165184415345043232718662197519224967161952640456581115432\ 54 2637779887665297856570509588848640 n + 4004960371219660234121963455884\ 192580714827291905707109867240537390186244897023313607254615096491513364\ 52 480 n + 21732267562342466205189274059063301881057265519873617623128439\ 50 40671631611892395589103136783340034381224960 n + 112220137047724013564\ 454222997791319615261478749123545784970987592857020873568421643098414012\ 48 9225564549120 n + 5529654284289690594782777771091480865029356841510640\ 46 99237040249651427703392529189623906546799281551708112 n + 260658234128\ 138872864037404778184189780711966646877859631195040416709346408627066165\ 44 004763373427645065024 n + 11780801050626001735512331221769275218953619\ 42 1072774389785743010624262405823521129885150930609147419893996 n + 5115\ 687323735589327413298514923890232056708650834360796088293140565371681713\ 40 7428580318838209979525150472 n + 2138347708384916370266120768502825078\ 38 8876805554483162617680033141907581370905910069237958198798517177582 n + 861886410478935558507875123823043505975685395008999220058369865396929948\ 36 6259000252221472461872649904584 n + 3355151002607790865964568090373924\ 34 025929276862716214840343265726591992911403048800649514315332774418680 n + 126329520278287408197873197849593048097034789148003837111218501023332\ 32 8987577077954798442986578288354960 n + 4607039682112323650584443326535\ 30 32615119842266942602171877303902533587403526407385194402948791155911995 n + 162935264690088780721935616322048243390131970297347392910293265571331\ 28 030617472654043683273020649610640 n + 55949772988365765759453761659035\ 26 679951715744535924648707480243511650012510411739818941259824763771916 n + 186746213530706638948408989070447528164128651288675786230387711459703\ 24 76203962204284265735325699350632 n + 606491827012723038910021723277294\ 22 7588419338332909922894849909619862376962751943116095003265342799418 n + 191840075175308145227668370053081480078294639974068744068773440932767028\ 20 7537589392651562620301686376 n + 5915495671065597820318558428037100551\ 18 32374974669216820735204157909350442122599835802980912753011536 n + 177\ 972697326682081612317112905809002108372079570931383106679559598194419768\ 16 934197586601596455525632 n + 52285090782971851479055820919398092441958\ 14 793282307497088050163420620564904190061768788964919958400 n + 15010562\ 959192096709200819903210215338616963242372885238970368171462813604844375\ 12 908476865808640000 n + 42143025055810595916787387953890992553272974367\ 10 45057067075191570823010119897258040014259648000000 n + 115788954710981\ 416587845193955361883973066598377785443197000627869162435978049281834869\ 8 7600000000 n + 31156698052320153503655602027623394844913522656298556966\ 6 0590728167109541639037218667520000000000 n + 82242116201711281288001673\ 4 479695808189404733992861516027725372644014030203187273728000000000000 n + 215372401662197319034580129963182689248382907472891401526411372113071076\ 2 05420441600000000000000 n + 6639318618939183395405796363827026135574585\ 580976084792494831824618114777088000000000000000000)/4358739932966731158\ 279453062580671170709424702272551751488035820992974471431024993351917424\ 89910125732421875 and in Maple notation: 17592186044416/4358739932966731158279453062580671170709424702272551751488035820\ 99297447143102499335191742489910125732421875*n^2*(42279669901206256679143627258\ 036252366086311548276327557079944028539451973827014568479013328762378911744*n^ 86+3825099814557546791166647817923516804717684340248777061683392762529292238835\ 84193247560136206674336677888*n^84+17381752196092247880077145546699667084923845\ 56874679115468183247739213664131424372407638201461191718469632*n^82+52895821314\ 2952899295843597124787901193535829452311810839138800064817326789516366629544591\ 6419311559245824*n^80+121276698385491515250980825835138011437368100331122363837\ 97189024966511614693422295885797016086744299208704*n^78+22345437439584555670722\ 1257380791650918939824068699667526617384367484437759637745648925438294055126019\ 60448*n^76+34465385819833023582389125411536077147694477537234767433094161103035\ 035806463574644527589739835396750049280*n^74+4577128898021557751424821897662203\ 4356169675131977108683433538735982274944237356041046340149851894379970560*n^72+ 5342839329187989660568121987063487636281695947831100583168974293871082390480657\ 1633460156290571043780689920*n^70+556875157267752685639604189524860053053876882\ 89302782698259682769197253668209569781910197224853337265930240*n^68+52473939659\ 6965593119914187685434253993510000879871699006501372113435358994353483758165497\ 01976387095625728*n^66+45153628569503563477378934947565832665769691525804491230\ 333291685045522900688646187074410363450070145171456*n^64+3577726382253983405411\ 7679308280878573187258284974737105854928213976868175524395688273636738045556651\ 720704*n^62+2628522368968653850503395456953285425817424863637249860743477804292\ 0450044947712319241926258515786835427328*n^60+180128253450865889419245567459021\ 64181184425754242860338771227081260513794276429806459251221883400241020928*n^58 +115727644220359811678067367968339295743264019546114291963993334205993684947508\ 23673959453926938711174414336*n^56+70018047677066016518441534504323271866219751\ 92249671619526404565811154322637779887665297856570509588848640*n^54+40049603712\ 1966023412196345588419258071482729190570710986724053739018624489702331360725461\ 5096491513364480*n^52+217322675623424662051892740590633018810572655198736176231\ 2843940671631611892395589103136783340034381224960*n^50+112220137047724013564454\ 2229977913196152614787491235457849709875928570208735684216430984140129225564549\ 120*n^48+5529654284289690594782777771091480865029356841510640992370402496514277\ 03392529189623906546799281551708112*n^46+26065823412813887286403740477818418978\ 0711966646877859631195040416709346408627066165004763373427645065024*n^44+117808\ 0105062600173551233122176927521895361910727743897857430106242624058235211298851\ 50930609147419893996*n^42+51156873237355893274132985149238902320567086508343607\ 960882931405653716817137428580318838209979525150472*n^40+2138347708384916370266\ 1207685028250788876805554483162617680033141907581370905910069237958198798517177\ 582*n^38+8618864104789355585078751238230435059756853950089992200583698653969299\ 486259000252221472461872649904584*n^36+3355151002607790865964568090373924025929\ 276862716214840343265726591992911403048800649514315332774418680*n^34+1263295202\ 7828740819787319784959304809703478914800383711121850102333289875770779547984429\ 86578288354960*n^32+46070396821123236505844433265353261511984226694260217187730\ 3902533587403526407385194402948791155911995*n^30+162935264690088780721935616322\ 048243390131970297347392910293265571331030617472654043683273020649610640*n^28+ 5594977298836576575945376165903567995171574453592464870748024351165001251041173\ 9818941259824763771916*n^26+186746213530706638948408989070447528164128651288675\ 78623038771145970376203962204284265735325699350632*n^24+60649182701272303891002\ 17232772947588419338332909922894849909619862376962751943116095003265342799418*n ^22+191840075175308145227668370053081480078294639974068744068773440932767028753\ 7589392651562620301686376*n^20+591549567106559782031855842803710055132374974669\ 216820735204157909350442122599835802980912753011536*n^18+1779726973266820816123\ 17112905809002108372079570931383106679559598194419768934197586601596455525632*n ^16+522850907829718514790558209193980924419587932823074970880501634206205649041\ 90061768788964919958400*n^14+15010562959192096709200819903210215338616963242372\ 885238970368171462813604844375908476865808640000*n^12+4214302505581059591678738\ 795389099255327297436745057067075191570823010119897258040014259648000000*n^10+ 1157889547109814165878451939553618839730665983777854431970006278691624359780492\ 818348697600000000*n^8+31156698052320153503655602027623394844913522656298556966\ 0590728167109541639037218667520000000000*n^6+8224211620171128128800167347969580\ 8189404733992861516027725372644014030203187273728000000000000*n^4+2153724016621\ 9731903458012996318268924838290747289140152641137211307107605420441600000000000\ 000*n^2+66393186189391833954057963638270261355745855809760847924948318246181147\ 77088000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 45, : , ) ------------------- = 35184372088832 n (33550926785\ / Pi (2 j - 1) 90 ----- sin(------------) j = 1 4 n 849533244412786469290120745509322487977055592328032513507976183415674578\ 88 625473013503888843603968 n + 31043847624960693966661208314213118299798\ 86 8742543218935087859489029550926117824854469057155366437767159480320 n + 144258858131269680295361164143213031893921567787057315910062053797839095\ 84 1723952336809017108686446426488569856 n + 4488930199828681942660828226\ 220425141199650746910980445319741689205031559841310902964912875798169208\ 82 498421760 n + 10522716062978902888485530708625701796136625757812407257\ 80 676776159654995540521674875517612778804853590242361344 n + 19820967943\ 767181218704109922748975914577915925803535538385250853852591921040720713\ 78 515524485474211424286801920 n + 31250806930969492294594727503795541114\ 686910692470813602504670023534445086099114483278135777926791147858952192 76 n + 424199332653248652737033586105414523020027215986053041410597053792\ 74 76207331680778123338743693300008062078156800 n + 506062816890334442888\ 051958795354212549278655981047642536525563078544481621541915176656059691\ 72 58293690179911680 n + 539016976407345735412229126696488828208355131834\ 70 63045862838005484681975045522603748996070929335090016786841600 n + 518\ 988157188218649257239750251086002880402201459560222450558330731510933884\ 68 67445080079418140999736905565208576 n + 456281212219238751228981046911\ 598950270909627067578981904468021214032980046145956768486067889614295451\ 66 19907840 n + 369343342544528567296175359346187778654561914369929093279\ 64 01172359285177073391615353464588910180982368147341312 n + 277188500984\ 848978743610272715010770126155732809115358715325178092187066196633560646\ 62 07694064806382966015262720 n + 194018439378354453745170564973131865793\ 60 48882500607312210156720698972958541878648068830762444870542551598235648 n + 127307289666512207027086497453254849962681302485276725044605112893881\ 58 85243859552412695063648295571929041469440 n + 786572220052095170115852\ 910847941300706802580687034129970470699689517977253895406510126317538478\ 56 9515763810304 n + 4594061863570313568120831968148233500245958696958885\ 54 113076041757178392218715916587570415435973758865921536000 n + 25452552\ 280922480074626377553005000210314651720732056194623924269298765568079153\ 52 91305430384549550320706672640 n + 134178381642898467431377882645708954\ 554352157925832245012509393102850388912999195657322422441799454183214080\ 50 0 n + 6749212300804592170314552250217186877736468119443812390866987364\ 48 43987042249779523265650200628310268676194944 n + 324734121506483802209\ 602153812013114910925824613956490458264872587124789744956137436525499592\ 46 098782237222360 n + 14979275051076480747205541975853765735739544220491\ 44 2081522897886185563474382807982405212286558032556759120808 n + 6638007\ 164084682351106971794215063550765448980922496227150478271416839631065036\ 42 6909297412155078388058115780 n + 2831314934886027240452795700223977170\ 40 7572836686575877673780680658563158237047711750738688187806717415873672 n + 116437942544780735061077906704555411935335551360967646086995062653974\ 38 14140671411664002100376276242567060610 n + 462434079073420100150379457\ 085497531275849538108703876787462062153653015653059588391768313933238855\ 36 3580816 n + 1776211377892591795043659312477257840012523022478479268936\ 34 444845444875156361194211962913892510047865196600 n + 66072797751139655\ 435539784394071575734403522140374526244074427148506453885712133956249343\ 32 9478154899465680 n + 2383338989184303789613942637724729572746076902365\ 30 86484505461194572296043382135158484312824619856421383225 n + 834638126\ 556482605113600729812992237406553005003368400907452183369115231408817471\ 28 98038631011723077317512 n + 284079687135436138261884233473063239971471\ 26 08553106918824017223480150629250061827199946811821665992926980 n + 940\ 721955357903928035480871478143543355087497953833220903805886185430529008\ 24 1980967663367774654036938024 n + 3033774007981987777032029781875257343\ 22 319307292628219198983605761399966235581736747620803761725972255990 n + 953679294817460355707140031641749656840620605245378476413964163713254142\ 20 521459150496811990110241574336 n + 29247707275283612487845143908103865\ 18 8110042524010395258049020215936184596467424835498888015891602649280 n + 875797292178643576671998100332138297885332309231172399800313172561175233\ 16 60731706678106575222747506688 n + 256253703608456961613188655431860585\ 14 55268769002661945798057783540068050634371479679761386298152185600 n + 733172406698986675061110592884584225871938697139838892062055145451988154\ 12 8173792053035705719797760000 n + 2052627278460150287350283936488187759\ 10 227668252848970481956187467674722582427181287132691186432000000 n + 56\ 269114701202517336426091206831934252421249897752920452277205360984745973\ 8 1596207322815078400000000 n + 15114794756708681590316712092598593823418\ 6 6419775954677158843745266618077781657559748423680000000000 n + 39848258\ 721960699607199725990165407701521567834039552037724362634125404833553481\ 4 367552000000000000 n + 104273438997598198329713811883999556726895200144\ 2 78431876274557826184949138412037734400000000000000 n + 3213430211566564\ 763376405440092280649618099421192425039567498603115167552110592000000000\ 000000000)/4267206394374429803955584548266477076124526783524828164706787\ 06875212200753097346849152715897622013092041015625 and in Maple notation: 35184372088832/4267206394374429803955584548266477076124526783524828164706787068\ 75212200753097346849152715897622013092041015625*n^2*(33550926785849533244412786\ 4692901207455093224879770555923280325135079761834156745786254730135038888436039\ 68*n^88+31043847624960693966661208314213118299798874254321893508785948902955092\ 6117824854469057155366437767159480320*n^86+144258858131269680295361164143213031\ 8939215677870573159100620537978390951723952336809017108686446426488569856*n^84+ 4488930199828681942660828226220425141199650746910980445319741689205031559841310\ 902964912875798169208498421760*n^82+1052271606297890288848553070862570179613662\ 5757812407257676776159654995540521674875517612778804853590242361344*n^80+198209\ 6794376718121870410992274897591457791592580353553838525085385259192104072071351\ 5524485474211424286801920*n^78+312508069309694922945947275037955411146869106924\ 70813602504670023534445086099114483278135777926791147858952192*n^76+42419933265\ 3248652737033586105414523020027215986053041410597053792762073316807781233387436\ 93300008062078156800*n^74+50606281689033444288805195879535421254927865598104764\ 253652556307854448162154191517665605969158293690179911680*n^72+5390169764073457\ 3541222912669648882820835513183463045862838005484681975045522603748996070929335\ 090016786841600*n^70+5189881571882186492572397502510860028804022014595602224505\ 5833073151093388467445080079418140999736905565208576*n^68+456281212219238751228\ 9810469115989502709096270675789819044680212140329800461459567684860678896142954\ 5119907840*n^66+369343342544528567296175359346187778654561914369929093279011723\ 59285177073391615353464588910180982368147341312*n^64+27718850098484897874361027\ 2715010770126155732809115358715325178092187066196633560646076940648063829660152\ 62720*n^62+19401843937835445374517056497313186579348882500607312210156720698972\ 958541878648068830762444870542551598235648*n^60+1273072896665122070270864974532\ 5484996268130248527672504460511289388185243859552412695063648295571929041469440 *n^58+7865722200520951701158529108479413007068025806870341299704706996895179772\ 538954065101263175384789515763810304*n^56+4594061863570313568120831968148233500\ 245958696958885113076041757178392218715916587570415435973758865921536000*n^54+ 2545255228092248007462637755300500021031465172073205619462392426929876556807915\ 391305430384549550320706672640*n^52+1341783816428984674313778826457089545543521\ 579258322450125093931028503889129991956573224224417994541832140800*n^50+6749212\ 3008045921703145522502171868777364681194438123908669873644398704224977952326565\ 0200628310268676194944*n^48+324734121506483802209602153812013114910925824613956\ 490458264872587124789744956137436525499592098782237222360*n^46+1497927505107648\ 0747205541975853765735739544220491208152289788618556347438280798240521228655803\ 2556759120808*n^44+663800716408468235110697179421506355076544898092249622715047\ 82714168396310650366909297412155078388058115780*n^42+28313149348860272404527957\ 0022397717075728366865758776737806806585631582370477117507386881878067174158736\ 72*n^40+11643794254478073506107790670455541193533555136096764608699506265397414\ 140671411664002100376276242567060610*n^38+4624340790734201001503794570854975312\ 758495381087038767874620621536530156530595883917683139332388553580816*n^36+1776\ 2113778925917950436593124772578400125230224784792689364448454448751563611942119\ 62913892510047865196600*n^34+66072797751139655435539784394071575734403522140374\ 5262440744271485064538857121339562493439478154899465680*n^32+238333898918430378\ 9613942637724729572746076902365864845054611945722960433821351584843128246198564\ 21383225*n^30+83463812655648260511360072981299223740655300500336840090745218336\ 911523140881747198038631011723077317512*n^28+2840796871354361382618842334730632\ 3997147108553106918824017223480150629250061827199946811821665992926980*n^26+940\ 7219553579039280354808714781435433550874979538332209038058861854305290081980967\ 663367774654036938024*n^24+3033774007981987777032029781875257343319307292628219\ 198983605761399966235581736747620803761725972255990*n^22+9536792948174603557071\ 4003164174965684062060524537847641396416371325414252145915049681199011024157433\ 6*n^20+292477072752836124878451439081038658110042524010395258049020215936184596\ 467424835498888015891602649280*n^18+8757972921786435766719981003321382978853323\ 0923117239980031317256117523360731706678106575222747506688*n^16+256253703608456\ 9616131886554318605855526876900266194579805778354006805063437147967976138629815\ 2185600*n^14+733172406698986675061110592884584225871938697139838892062055145451\ 9881548173792053035705719797760000*n^12+205262727846015028735028393648818775922\ 7668252848970481956187467674722582427181287132691186432000000*n^10+562691147012\ 0251733642609120683193425242124989775292045227720536098474597315962073228150784\ 00000000*n^8+151147947567086815903167120925985938234186419775954677158843745266\ 618077781657559748423680000000000*n^6+39848258721960699607199725990165407701521\ 567834039552037724362634125404833553481367552000000000000*n^4+10427343899759819\ 8329713811883999556726895200144784318762745578261849491384120377344000000000000\ 00*n^2+321343021156656476337640544009228064961809942119242503956749860311516755\ 2110592000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 46, : , ) ------------------- = 70368744177664 n (11136498656\ / Pi (2 j - 1) 92 ----- sin(------------) j = 1 4 n 249224144573866476037923828898624811103089206105867257367227695536540732\ 90 6638815574578654391824285696 n + 1053331346441746096208339431203363340\ 805265179510039660321138580761582912278335103395946725258954590244946575\ 88 360 n + 50030575270862904003610869931269003583138863737007706797694523\ 86 11149145680407477137108772021601047699318900785152 n + 159110073527588\ 990641874311482493454332216304527424297610956480483731972759324459220272\ 84 29865171326715069705748480 n + 381156059001970309438576281008203934958\ 539321875486742039984859865103401256523506049728615351965536138508401377\ 82 28 n + 733632195708747733941981916470306494315592037122794065590770274\ 80 57283897746186837938534187352504753203377980047360 n + 118182116987424\ 142673793046767873131775286225087821174807598490864470746198990758415011\ 78 594586071588313563601567744 n + 16389135399223862632425475277946147141\ 736725326868798988827277360748667073439741042416414754661540333442585067\ 76 5200 n + 1997306064647264626280977838563541039769231054543611985528904\ 74 33276661220804320425373268755840999478565662999183360 n + 217297853542\ 722978576063234295595831523039004116440804479222051090357117078259838158\ 72 346527242105118339325807820800 n + 21368891255522744685788654089033093\ 928246332577506185654978181614409505076914500829073336270577992740970658\ 70 2147072 n + 1918613534747579590981865182429525592096826479736329592253\ 68 54198019250201166397367460288371114071988334420631224320 n + 158589517\ 916372820440142711323237234878490539982478987741869257758504037128313906\ 66 674488640202278637000810460872704 n + 12152557837295250031575839733688\ 736789833090048597970256767945245961809091883545002194928667450495764497\ 64 7534402560 n + 8684460864141121438024179669479451590770474736793269995\ 62 0247494441305536925243452157229482757823927013216352075776 n + 5817276\ 057716911340352339362372387845626423070124942095840032754933650483038089\ 60 0487534559442215963647288168939520 n + 3668857327081879097549762617976\ 278877965451888483612588920484001843079855731351476906690260952824530075\ 58 3499619328 n + 2187128228842242240303437027286243236165611793040460106\ 56 1943119687221713075965125778634787548848478133093034393600 n + 1236668\ 794962988604534896462181423553445152312608134855342836891250709338144556\ 54 4286170425045803380025411607009280 n + 6652867033074045326892908285782\ 165423840491180925339252837242919375718079567824114052636490302618072634\ 52 842470400 n + 34146271708190600266912341082559213656420824497473433132\ 50 18108459561715301791951757185426220410912395471477760768 n + 167626169\ 874227237341860857188754311683129932240301190467544928034791598248697386\ 48 6188420365976743850175409617280 n + 7888388381642156598023394830286255\ 240556933862047710242723862587295103552738290524552258756545026561859526\ 46 61636 n + 356597922621295861373587384278434910042025384758038794397047\ 44 402279250878218540452426141743111564541367918826440 n + 15514329138964\ 228484655899619574369234544932105919266498356344452274862714154339328949\ 42 0382657436558021693539764 n + 6507337281608435283758951025248639736255\ 40 8326718583860135091283026764059447695358678679915670451808411109635880 n + 263562103150757426919165489221275721706409233053607761444433684416013\ 38 57554041610452342525459021462616396899362 n + 103231587485319999055292\ 925953862098530134941391092137367863604268890164340317610962243912463337\ 36 11194001829200 n + 391548976618851649379842837144956890883270718928518\ 34 3833106009415476795746426680576581754573045328950010342360 n + 1439976\ 458516486519646477079419395477710601792530966955284010459911004755169902\ 32 668822946495182299059638358800 n + 51408489182703150121284397162025597\ 850753827957131386224836953258904598540321320492833604235399974923010333\ 30 9 n + 1783630332681824025722515078902309727645710926477918863418799965\ 28 51585044792490258679328235543620797264608040 n + 602025835857500210699\ 577998339865624989378684834625657943410719214180657554920425002349775723\ 26 59034683995508 n + 197873449721362584829816740652349448011480596563270\ 24 89476321981985062033045445009799248299692618615788072520 n + 633896726\ 604936183611434196608204500955335298461802152508520552614836254920815368\ 22 4008670872856229973042982 n + 1980985898967931572866118661344086911441\ 20 770474333864610492614201882149431445979654166119613465765751202240 n + 604405269036561676617820716484758799015482227340078946422485003643471034\ 18 777959238208798323174164933594816 n + 18017382703540826298917786885227\ 579792500163608640921216774857018295035199273488094737891640720837555200\ 16 0 n + 5251537639155557660961327873000316032891436085862847622262280047\ 14 9755417602433629221407701589067339360000 n + 1497651718433952654589741\ 599595233266772027290164102240132709703995814838422859851097509425994624\ 12 0000000 n + 4181655373242146873483983312694335610222107620844550560175\ 10 810943915145783910173266395961924729600000000 n + 11438595363460142149\ 266266347018342583388336318535480226804243790100730216376412698072427776\ 8 00000000000 n + 3067520142216241340972358152169543368551533666994868936\ 6 31299898329681739390026967673806336000000000000 n + 8077614266316849526\ 324321617959215024096269102404592033140203079671342438105309607116800000\ 4 0000000000 n + 21121798257436768291293799717390094798495514228161209399\ 2 535114595230752340388597596160000000000000000 n + 650719617842229364583\ 722101618686831547665132791466070512418467130821429302394880000000000000\ 0000000)/174742101849632900471981187251512236267299371785341713344742930\ 4653993962083933635347280371600762143611907958984375 and in Maple notation: 70368744177664/1747421018496329004719811872515122362672993717853417133447429304\ 653993962083933635347280371600762143611907958984375*n^2*(1113649865624922414457\ 3866476037923828898624811103089206105867257367227695536540732663881557457865439\ 1824285696*n^90+105333134644174609620833943120336334080526517951003966032113858\ 0761582912278335103395946725258954590244946575360*n^88+500305752708629040036108\ 6993126900358313886373700770679769452311149145680407477137108772021601047699318\ 900785152*n^86+1591100735275889906418743114824934543322163045274242976109564804\ 8373197275932445922027229865171326715069705748480*n^84+381156059001970309438576\ 2810082039349585393218754867420399848598651034012565235060497286153519655361385\ 0840137728*n^82+733632195708747733941981916470306494315592037122794065590770274\ 57283897746186837938534187352504753203377980047360*n^80+11818211698742414267379\ 3046767873131775286225087821174807598490864470746198990758415011594586071588313\ 563601567744*n^78+1638913539922386263242547527794614714173672532686879898882727\ 73607486670734397410424164147546615403334425850675200*n^76+19973060646472646262\ 8097783856354103976923105454361198552890433276661220804320425373268755840999478\ 565662999183360*n^74+2172978535427229785760632342955958315230390041164408044792\ 22051090357117078259838158346527242105118339325807820800*n^72+21368891255522744\ 6857886540890330939282463325775061856549781816144095050769145008290733362705779\ 927409706582147072*n^70+1918613534747579590981865182429525592096826479736329592\ 25354198019250201166397367460288371114071988334420631224320*n^68+15858951791637\ 2820440142711323237234878490539982478987741869257758504037128313906674488640202\ 278637000810460872704*n^66+1215255783729525003157583973368873678983309004859797\ 02567679452459618090918835450021949286674504957644977534402560*n^64+86844608641\ 4112143802417966947945159077047473679326999502474944413055369252434521572294827\ 57823927013216352075776*n^62+58172760577169113403523393623723878456264230701249\ 420958400327549336504830380890487534559442215963647288168939520*n^60+3668857327\ 0818790975497626179762788779654518884836125889204840018430798557313514769066902\ 609528245300753499619328*n^58+2187128228842242240303437027286243236165611793040\ 4601061943119687221713075965125778634787548848478133093034393600*n^56+123666879\ 4962988604534896462181423553445152312608134855342836891250709338144556428617042\ 5045803380025411607009280*n^54+665286703307404532689290828578216542384049118092\ 5339252837242919375718079567824114052636490302618072634842470400*n^52+341462717\ 0819060026691234108255921365642082449747343313218108459561715301791951757185426\ 220410912395471477760768*n^50+1676261698742272373418608571887543116831299322403\ 011904675449280347915982486973866188420365976743850175409617280*n^48+7888388381\ 6421565980233948302862552405569338620477102427238625872951035527382905245522587\ 5654502656185952661636*n^46+356597922621295861373587384278434910042025384758038\ 794397047402279250878218540452426141743111564541367918826440*n^44+1551432913896\ 4228484655899619574369234544932105919266498356344452274862714154339328949038265\ 7436558021693539764*n^42+650733728160843528375895102524863973625583267185838601\ 35091283026764059447695358678679915670451808411109635880*n^40+26356210315075742\ 6919165489221275721706409233053607761444433684416013575540416104523425254590214\ 62616396899362*n^38+10323158748531999905529292595386209853013494139109213736786\ 360426889016434031761096224391246333711194001829200*n^36+3915489766188516493798\ 4283714495689088327071892851838331060094154767957464266805765817545730453289500\ 10342360*n^34+14399764585164865196464770794193954777106017925309669552840104599\ 11004755169902668822946495182299059638358800*n^32+51408489182703150121284397162\ 0255978507538279571313862248369532589045985403213204928336042353999749230103339 *n^30+1783630332681824025722515078902309727645710926477918863418799965515850447\ 92490258679328235543620797264608040*n^28+60202583585750021069957799833986562498\ 937868483462565794341071921418065755492042500234977572359034683995508*n^26+1978\ 7344972136258482981674065234944801148059656327089476321981985062033045445009799\ 248299692618615788072520*n^24+6338967266049361836114341966082045009553352984618\ 021525085205526148362549208153684008670872856229973042982*n^22+1980985898967931\ 5728661186613440869114417704743338646104926142018821494314459796541661196134657\ 65751202240*n^20+60440526903656167661782071648475879901548222734007894642248500\ 3643471034777959238208798323174164933594816*n^18+180173827035408262989177868852\ 275797925001636086409212167748570182950351992734880947378916407208375552000*n^ 16+5251537639155557660961327873000316032891436085862847622262280047975541760243\ 3629221407701589067339360000*n^14+149765171843395265458974159959523326677202729\ 01641022401327097039958148384228598510975094259946240000000*n^12+41816553732421\ 4687348398331269433561022210762084455056017581094391514578391017326639596192472\ 9600000000*n^10+114385953634601421492662663470183425833883363185354802268042437\ 9010073021637641269807242777600000000000*n^8+3067520142216241340972358152169543\ 36855153366699486893631299898329681739390026967673806336000000000000*n^6+807761\ 4266316849526324321617959215024096269102404592033140203079671342438105309607116\ 8000000000000000*n^4+2112179825743676829129379971739009479849551422816120939953\ 5114595230752340388597596160000000000000000*n^2+6507196178422293645837221016186\ 868315476651327914660705124184671308214293023948800000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 47, : , ) ------------------- = 140737488355328 n (1930855151\ / Pi (2 j - 1) 94 ----- sin(------------) j = 1 4 n 445612010066639192387471285472717524013679615397999374828242054875698593\ 92 27186531807545080773201901912064 n + 186597603234783875154407419739253\ 432715110908022437811192906858830816583652562508246149667435985264366221\ 90 1818979328 n + 9054752253417181966835748252453472286564301062622153932\ 88 018603581800795188818252049322576834343551344122634245767168 n + 29417\ 029936984114859004013614104792910250016004649622947561788781187547279119\ 86 376270131228319033566334011313955536896 n + 71982039175373419851356180\ 222717966912207415889323378273248248976313387601310445160844763498796935\ 84 632292242262065152 n + 14150768612250028211835125896691442456087839326\ 82 0230208288510315889061858620971176655506729761699858513660141459472384 n + 232805887947644211147701817101811632817307298066410769230004758776897\ 80 955829739914833864670287175283625363533773930496 n + 32968490725154014\ 838243163820824185972469530095654874193847000983852455107648697478500934\ 78 8508485794831936612416356352 n + 4102502153319290324771851797251219528\ 933234620427535668430720029520313488034036666785595867648209416040938473\ 76 94058240 n + 455702302174837977044602863425991610054045121802748850074\ 74 519303294043730534955941425123186689283578310151435379015680 n + 45749\ 868589988339226331338119117428067347237765536716097370697459978869146299\ 72 5575364541936497835305860760996568629248 n + 4193126866105079456161065\ 610401531884601916592446237723815971362722983365687152238038045737651788\ 70 56770082355802013696 n + 353775906418010538136657623464430788798883553\ 369230331447314260471768872497101372855538297031814692960879267006119936 68 n + 276684902938431041360104467127395713890580242538039610198711398678\ 66 220138892254143568745150692992599922396734100078592 n + 20178339377557\ 186200124977110158664496871787257977084229404084511224111899906338318831\ 64 8894812024618246090524075229184 n + 1379265626059866882413535334779894\ 629048503216431549313875400466628735561981561600559320692823770899763600\ 62 14418608128 n + 887576338746642503036304533466631365643793362695319496\ 60 63315729936660027951353246538561472377651931640035474730647552 n + 539\ 829802085556545982441036801244026743994494763844759537828900130862311540\ 58 98119802392261090152640733830642384666624 n + 311390162908466374999600\ 988221496517570728989705142465847854588642160561931755219308629781048109\ 56 43563543767181803520 n + 170879694434009515221298723367346202997037198\ 54 55514377442939733491787816936439859696934289040438014315762026061808640 n + 894574237633778441120352126459263620303060089331747385141090100867130\ 52 0638077023178017301134354358540411280131853312 n + 4478863725722068058\ 079478307647220084868718967414782142232184401104983240913978785479257200\ 50 747136198001910253802624 n + 21494571801019383937073718183083053216894\ 271587126673795071001340141788526323091965914204937001707900779365204186\ 48 24 n + 990821604443115923530371395002109850915508793314434915329662496\ 46 208533825866015494169471291907581505687511851317878 n + 43952903772768\ 701985414284060105194967684487325294956161403507468394751152749331443622\ 44 2547251595034400498723754176 n + 1879566421904986908837852968153956552\ 394274163934924416005127849403132293640999914798810235210213261754350114\ 42 84592 n + 776066795948928070333102358393498643435244582132893015352621\ 40 17368164711124387969288991357110023674359504931153408 n + 309850801354\ 573407567115597721550021492970830445623974673746730171144659886778351360\ 38 54138424366285773125298717196 n + 119787695175256057120012234224694967\ 496638168098425121489035058989226415502650901426297970857687660196882139\ 36 62240 n + 448983045630915165008767245282396115228145282419183923416818\ 34 1127390512312250506540264878835872025331628316755680 n + 1633504293825\ 605195440427353372147374439063833074789418714541474696922904760549931124\ 32 452445338780354155647405376 n + 57751564933971121685264404212894760872\ 155409429183919964973194373826552704280441588877670790282225627504861372\ 30 7 n + 1986141595699661841592215403733798028758245832505708073512326653\ 28 31527770490376291765713753799732214146361454272 n + 665091810417799519\ 134666162808948359817690263064687195533395383937698906682130034549864849\ 26 12146150850818630384 n + 217057369802771219824526828994991781041308478\ 24 88734434718609121511235383830106386434381703364209487023814511488 n + 690975179356942901962742763035959744213534905103061165050426147837336585\ 22 6301776844953898739669343331419092396 n + 2147323889192055264662186785\ 535962038060886717021465865636165175401236504199230238221098462121708975\ 20 836668544 n + 65194748559698249746143617457631377196538068696299594869\ 18 5669000126352761988525242418542319216409044369747328 n + 1935184894755\ 782180473892040332548066423356812410727570093528968578381461096011294076\ 16 83111593280812358656000 n + 561985922518633696076194166993987095832010\ 14 65385247529910582131672841113531641534618705336534123007282880000 n + 159773463242629143913545227539382554690612060654929721238117103676373453\ 12 67509130487753695157245688320000000 n + 444968838294229125738845108691\ 379957472828450929259261149414259949757780253669267447392141827751680000\ 10 0000 n + 1214678360014492614995671831407117390942490572791728675620627\ 8 956215349084620196621572716033484800000000000 n + 325230228259115266084\ 613059837064221669800444841761523784732209694575344381887483115492031488\ 6 000000000000 n + 855456461306620150616764979168780553341325091603532285\ 4 48221489041303726004515730033680384000000000000000 n + 2235336975254652\ 314583467732201490716512373070472247420541327542642544419042416020553728\ 2 0000000000000000 n + 68846135567707866772957798351257066777742971049337\ 11026021387382244090722019337830400000000000000000000)/37377335585636477\ 410956775953098467337575335624884592484440512826548930848975340460078327\ 14854030225185871124267578125 and in Maple notation: 140737488355328/373773355856364774109567759530984673375753356248845924844405128\ 2654893084897534046007832714854030225185871124267578125*n^2*(193085515144561201\ 0066639192387471285472717524013679615397999374828242054875698593271865318075450\ 80773201901912064*n^92+18659760323478387515440741973925343271511090802243781119\ 29068588308165836525625082461496674359852643662211818979328*n^90+90547522534171\ 8196683574825245347228656430106262215393201860358180079518881825204932257683434\ 3551344122634245767168*n^88+294170299369841148590040136141047929102500160046496\ 22947561788781187547279119376270131228319033566334011313955536896*n^86+71982039\ 1753734198513561802227179669122074158893233782732482489763133876013104451608447\ 63498796935632292242262065152*n^84+14150768612250028211835125896691442456087839\ 3260230208288510315889061858620971176655506729761699858513660141459472384*n^82+ 2328058879476442111477018171018116328173072980664107692300047587768979558297399\ 14833864670287175283625363533773930496*n^80+32968490725154014838243163820824185\ 9724695300956548741938470009838524551076486974785009348508485794831936612416356\ 352*n^78+4102502153319290324771851797251219528933234620427535668430720029520313\ 48803403666678559586764820941604093847394058240*n^76+45570230217483797704460286\ 3425991610054045121802748850074519303294043730534955941425123186689283578310151\ 435379015680*n^74+4574986858998833922633133811911742806734723776553671609737069\ 74599788691462995575364541936497835305860760996568629248*n^72+41931268661050794\ 5616106561040153188460191659244623772381597136272298336568715223803804573765178\ 856770082355802013696*n^70+3537759064180105381366576234644307887988835533692303\ 31447314260471768872497101372855538297031814692960879267006119936*n^68+27668490\ 2938431041360104467127395713890580242538039610198711398678220138892254143568745\ 150692992599922396734100078592*n^66+2017833937755718620012497711015866449687178\ 72579770842294040845112241118999063383188318894812024618246090524075229184*n^64 +137926562605986688241353533477989462904850321643154931387540046662873556198156\ 160055932069282377089976360014418608128*n^62+8875763387466425030363045334666313\ 6564379336269531949663315729936660027951353246538561472377651931640035474730647\ 552*n^60+5398298020855565459824410368012440267439944947638447595378289001308623\ 1154098119802392261090152640733830642384666624*n^58+311390162908466374999600988\ 2214965175707289897051424658478545886421605619317552193086297810481094356354376\ 7181803520*n^56+170879694434009515221298723367346202997037198555143774429397334\ 91787816936439859696934289040438014315762026061808640*n^54+89457423763377844112\ 0352126459263620303060089331747385141090100867130063807702317801730113435435854\ 0411280131853312*n^52+447886372572206805807947830764722008486871896741478214223\ 2184401104983240913978785479257200747136198001910253802624*n^50+214945718010193\ 8393707371818308305321689427158712667379507100134014178852632309196591420493700\ 170790077936520418624*n^48+9908216044431159235303713950021098509155087933144349\ 15329662496208533825866015494169471291907581505687511851317878*n^46+43952903772\ 7687019854142840601051949676844873252949561614035074683947511527493314436222547\ 251595034400498723754176*n^44+1879566421904986908837852968153956552394274163934\ 92441600512784940313229364099991479881023521021326175435011484592*n^42+77606679\ 5948928070333102358393498643435244582132893015352621173681647111243879692889913\ 57110023674359504931153408*n^40+30985080135457340756711559772155002149297083044\ 562397467374673017114465988677835136054138424366285773125298717196*n^38+1197876\ 9517525605712001223422469496749663816809842512148903505898922641550265090142629\ 797085768766019688213962240*n^36+4489830456309151650087672452823961152281452824\ 191839234168181127390512312250506540264878835872025331628316755680*n^34+1633504\ 2938256051954404273533721473744390638330747894187145414746969229047605499311244\ 52445338780354155647405376*n^32+57751564933971121685264404212894760872155409429\ 1839199649731943738265527042804415888776707902822256275048613727*n^30+198614159\ 5699661841592215403733798028758245832505708073512326653315277704903762917657137\ 53799732214146361454272*n^28+66509181041779951913466616280894835981769026306468\ 719553339538393769890668213003454986484912146150850818630384*n^26+2170573698027\ 7121982452682899499178104130847888734434718609121511235383830106386434381703364\ 209487023814511488*n^24+6909751793569429019627427630359597442135349051030611650\ 504261478373365856301776844953898739669343331419092396*n^22+2147323889192055264\ 6621867855359620380608867170214658656361651754012365041992302382210984621217089\ 75836668544*n^20+65194748559698249746143617457631377196538068696299594869566900\ 0126352761988525242418542319216409044369747328*n^18+193518489475578218047389204\ 0332548066423356812410727570093528968578381461096011294076831115932808123586560\ 00*n^16+56198592251863369607619416699398709583201065385247529910582131672841113\ 531641534618705336534123007282880000*n^14+1597734632426291439135452275393825546\ 9061206065492972123811710367637345367509130487753695157245688320000000*n^12+444\ 9688382942291257388451086913799574728284509292592611494142599497577802536692674\ 473921418277516800000000*n^10+1214678360014492614995671831407117390942490572791\ 728675620627956215349084620196621572716033484800000000000*n^8+32523022825911526\ 6084613059837064221669800444841761523784732209694575344381887483115492031488000\ 000000000*n^6+85545646130662015061676497916878055334132509160353228548221489041\ 303726004515730033680384000000000000000*n^4+22353369752546523145834677322014907\ 165123730704722474205413275426425444190424160205537280000000000000000*n^2+68846\ 1355677078667729577983512570667777429710493371102602138738224409072201933783040\ 0000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 48, : , ) ------------------- = 281474976710656 n (6988136829\ / Pi (2 j - 1) 96 ----- sin(------------) j = 1 4 n 681306569346617900611154292077762175218584006648274860311763029379185578\ 94 86336263245105188708137214020681728 n + 689701460096372609995803519520\ 804743170854699577686358620165376688648062001599537516710291616551028521\ 92 8771936298926080 n + 3417721700848301457328126299944165873609971391338\ 90 9709498092820263452365461803349010364773087575061021317071676425371648 n + 113377191193901332503352524696346145792642598038250671059616443693000\ 88 581488219293061295026875533280328133376087750082560 n + 28325626344839\ 963627968700671277887065727826034566826513658509874518215139410332324829\ 86 6870144828322272731675232774914048 n + 5684937863075191756194357084191\ 641358812182176451859909901215041763914906744468014904373982511174834431\ 84 51672229222154240 n + 954754767700314292463169707861912188414398917156\ 181642684173224593794778162843279756945883477372411318552345965502660608 82 n + 138010157209905710105181164867563803995583839290119201613997229282\ 80 0301734442604221397578461401452474214514554686899486720 n + 1752818298\ 125278936414463682743886919541070182375620069720601113018616529423160858\ 78 787589566790349022724882418741435957248 n + 19870438455318832501918211\ 925720081798908675733739707259343530945313425454061343659286349486859945\ 76 99498598150455479500800 n + 203571203132244155605599108724149034256831\ 631822754157067122917066972883253840235870888736953502611086230659112623\ 74 5119616 n + 1903824655534340761417654459704293842139439005216261783841\ 72 118867778154486591244179054610497501470524771916375344608706560 n + 16\ 388601971409973531511548369567671557821475742819610490663747903477515337\ 70 42125634045941360934205601396955015020812435456 n + 130763387493753014\ 573994476772447994663319096804080658829063121591495114247985441386812472\ 68 5521495845624209106103561093120 n + 9728269130551807165485256092149969\ 801500495212795845933948277279384545232802455220816562112563713277458111\ 66 27616359366656 n + 678281562964092290863076780094244661822813259807839\ 64 632934744426827348568363300669369539754451292676305021088680724398080 n + 445186854416138062436582911158620330481458713477834387656484523387422\ 62 217587415888762511270805538457479351836154822885376 n + 27614084199575\ 179061977564253843017087118221388569023766947635966386655600405381906591\ 60 9896462529101730515469795736944640 n + 1624346180130815716292811293495\ 962474668083727168077473707722004420228398795096949835837262164687255564\ 58 02791450833453056 n + 908922611538320360219535298626328239667708466062\ 56 45009885938391494591591285054815706810132864792419343653715171223142400 n + 485152757892966712156963231001936048660421555121523903186772503529060\ 54 41221707658724985226766773555254919026511597123584 n + 247638777145994\ 740431203182795440923623129571795705714912130279462852968346404338401377\ 52 95178881841195865825384530288640 n + 121152225360198382742451721601574\ 159114138536602128978908143858521664637148658037307818359115823053581619\ 50 82303100998144 n + 569263148734852753234451534394800992728193597049912\ 48 8478947123195150684518457146744578383731378952691654567148565486080 n + 257385151731815898652067261290828850520140601927893648397214944372252171\ 46 5569432548568480934422211747723744989132494294 n + 1121748040865091686\ 850352283843546926392937916719489150606204758019032413621385148452265693\ 44 024837096591354799095821120 n + 47199998398681880842593516820446207192\ 940335168322118316380364653613128277492058551143928702121423689785351774\ 42 2421424 n + 1920279143895448089243047997753117524075041218157091333241\ 40 74236768299634941863482329252167223901714696975785350570560 n + 756408\ 740321531636673500155855225799711982165808745081428744630611566355328423\ 38 53909667946632416715612119418762997644 n + 288848886442165914708239490\ 030014328292879727592701201531411226889965756798381362832831017506538089\ 36 79184572165612800 n + 107058563594147127209777333033711245644095400037\ 34 42051012739500053698406698926746915385974319407030619829310396095072 n + 385557652520558136902321525475359607770637080458744570573661160719742819\ 32 1057357882191877810753418165654623052078720 n + 1350592686248438247499\ 343517744034469729542734849003158688564797449441444652311114049502563562\ 30 439104108900308974127 n + 46062626498742792692636917111560919879161312\ 28 4265551602662332231732787794640759854892974819271562294252277379538240 n + 153094277624469754810985685159995205822691463326642618515686701146089\ 26 169441819310640921461026604317147301396768752 n + 49628223142385004372\ 443400549668148711558822348223020678476329255799847226219368707726272582\ 24 684984307946498826560 n + 15704002173770003193953114249151593594059127\ 22 497408442359903992538930201789214857727672330244939395899676199250092 n + 485441270393135634082178398838676527805007783962101405183222754198229\ 20 1290167419956344279360477219623274647998080 n + 1466975086279534318369\ 449828879725634576732564216233096987982078035412472115493119330007769012\ 18 221566875154439552 n + 43367753250354538762687602629660239756088970037\ 16 7397687355796092491988833418742141935367906439878985695929344000 n + 1\ 255025186899053478166333270467318328055042788948191765246970905385100373\ 14 24442304057903270481668028640521920000 n + 355752865195500091791458262\ 208809957317650743776059215662337239211946154233938386100563303721411208\ 12 01280000000 n + 988351278287242554221379872425079733264841022204663285\ 10 3942422545370459444350170625364940592274260211200000000 n + 2692713567\ 461221314288848962500627249177151147099370627728156989162559620326803524\ 8 796793485474867200000000000 n + 719887850208606877036958749644661792609\ 6 269435311177210925793216529019099081666217612694464084992000000000000 n + 189149159260652763456410061316959743490419702580858061656664575495651334\ 4 297498640926044266496000000000000000 n + 493923630104888112025033937640\ 011813411138697209418129418099681917382943980910085696926515200000000000\ 2 00000 n + 1520811134690666777014637765579268605120342230479856765648124\ 4727377196404940717267353600000000000000000000)/166889803389866871639922\ 004630584656662273873565109705443026889770540976240674895154249730718232\ 44955454914569854736328125 and in Maple notation: 281474976710656/166889803389866871639922004630584656662273873565109705443026889\ 77054097624067489515424973071823244955454914569854736328125*n^2*(69881368296813\ 0656934661790061115429207776217521858400664827486031176302937918557886336263245\ 105188708137214020681728*n^94+6897014600963726099958035195208047431708546995776\ 863586201653766886480620015995375167102916165510285218771936298926080*n^92+3417\ 7217008483014573281262999441658736099713913389709498092820263452365461803349010\ 364773087575061021317071676425371648*n^90+1133771911939013325033525246963461457\ 9264259803825067105961644369300058148821929306129502687553328032813337608775008\ 2560*n^88+283256263448399636279687006712778870657278260345668265136585098745182\ 151394103323248296870144828322272731675232774914048*n^86+5684937863075191756194\ 3570841916413588121821764518599099012150417639149067444680149043739825111748344\ 3151672229222154240*n^84+954754767700314292463169707861912188414398917156181642\ 684173224593794778162843279756945883477372411318552345965502660608*n^82+1380101\ 5720990571010518116486756380399558383929011920161399722928203017344426042213975\ 78461401452474214514554686899486720*n^80+17528182981252789364144636827438869195\ 4107018237562006972060111301861652942316085878758956679034902272488241874143595\ 7248*n^78+198704384553188325019182119257200817989086757337397072593435309453134\ 2545406134365928634948685994599498598150455479500800*n^76+203571203132244155605\ 5991087241490342568316318227541570671229170669728832538402358708887369535026110\ 862306591126235119616*n^74+1903824655534340761417654459704293842139439005216261\ 783841118867778154486591244179054610497501470524771916375344608706560*n^72+1638\ 8601971409973531511548369567671557821475742819610490663747903477515337421256340\ 45941360934205601396955015020812435456*n^70+13076338749375301457399447677244799\ 4663319096804080658829063121591495114247985441386812472552149584562420910610356\ 1093120*n^68+972826913055180716548525609214996980150049521279584593394827727938\ 454523280245522081656211256371327745811127616359366656*n^66+6782815629640922908\ 6307678009424466182281325980783963293474442682734856836330066936953975445129267\ 6305021088680724398080*n^64+445186854416138062436582911158620330481458713477834\ 387656484523387422217587415888762511270805538457479351836154822885376*n^62+2761\ 4084199575179061977564253843017087118221388569023766947635966386655600405381906\ 5919896462529101730515469795736944640*n^60+162434618013081571629281129349596247\ 4668083727168077473707722004420228398795096949835837262164687255564027914508334\ 53056*n^58+90892261153832036021953529862632823966770846606245009885938391494591\ 591285054815706810132864792419343653715171223142400*n^56+4851527578929667121569\ 6323100193604866042155512152390318677250352906041221707658724985226766773555254\ 919026511597123584*n^54+2476387771459947404312031827954409236231295717957057149\ 1213027946285296834640433840137795178881841195865825384530288640*n^52+121152225\ 3601983827424517216015741591141385366021289789081438585216646371486580373078183\ 5911582305358161982303100998144*n^50+569263148734852753234451534394800992728193\ 5970499128478947123195150684518457146744578383731378952691654567148565486080*n^ 48+2573851517318158986520672612908288505201406019278936483972149443722521715569\ 432548568480934422211747723744989132494294*n^46+1121748040865091686850352283843\ 5469263929379167194891506062047580190324136213851484522656930248370965913547990\ 95821120*n^44+47199998398681880842593516820446207192940335168322118316380364653\ 6131282774920585511439287021214236897853517742421424*n^42+192027914389544808924\ 3047997753117524075041218157091333241742367682996349418634823292521672239017146\ 96975785350570560*n^40+75640874032153163667350015585522579971198216580874508142\ 874463061156635532842353909667946632416715612119418762997644*n^38+2888488864421\ 6591470823949003001432829287972759270120153141122688996575679838136283283101750\ 653808979184572165612800*n^36+1070585635941471272097773330337112456440954000374\ 2051012739500053698406698926746915385974319407030619829310396095072*n^34+385557\ 6525205581369023215254753596077706370804587445705736611607197428191057357882191\ 877810753418165654623052078720*n^32+1350592686248438247499343517744034469729542\ 734849003158688564797449441444652311114049502563562439104108900308974127*n^30+ 4606262649874279269263691711156091987916131242655516026623322317327877946407598\ 54892974819271562294252277379538240*n^28+15309427762446975481098568515999520582\ 2691463326642618515686701146089169441819310640921461026604317147301396768752*n^ 26+4962822314238500437244340054966814871155882234822302067847632925579984722621\ 9368707726272582684984307946498826560*n^24+157040021737700031939531142491515935\ 94059127497408442359903992538930201789214857727672330244939395899676199250092*n ^22+485441270393135634082178398838676527805007783962101405183222754198229129016\ 7419956344279360477219623274647998080*n^20+146697508627953431836944982887972563\ 4576732564216233096987982078035412472115493119330007769012221566875154439552*n^ 18+4336775325035453876268760262966023975608897003773976873557960924919888334187\ 42141935367906439878985695929344000*n^16+12550251868990534781663332704673183280\ 5504278894819176524697090538510037324442304057903270481668028640521920000*n^14+ 3557528651955000917914582622088099573176507437760592156623372392119461542339383\ 8610056330372141120801280000000*n^12+988351278287242554221379872425079733264841\ 0222046632853942422545370459444350170625364940592274260211200000000*n^10+269271\ 3567461221314288848962500627249177151147099370627728156989162559620326803524796\ 793485474867200000000000*n^8+71988785020860687703695874964466179260926943531117\ 7210925793216529019099081666217612694464084992000000000000*n^6+1891491592606527\ 6345641006131695974349041970258085806165666457549565133429749864092604426649600\ 0000000000000*n^4+4939236301048881120250339376400118134111386972094181294180996\ 8191738294398091008569692651520000000000000000*n^2+1520811134690666777014637765\ 5792686051203422304798567656481244727377196404940717267353600000000000000000000 ) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 49, : , ) ------------------- = 562949953421312 n (1648331774\ / Pi (2 j - 1) 98 ----- sin(------------) j = 1 4 n 848286448827593531118535490095705385695193322849787730191664732456824722\ 96 35641989169186487693614228641608105984 n + 166073071757376250620522374\ 408024081751228018094069648917996252055309048393196345281687812960199248\ 94 0964888089120150126592 n + 8400262039585026226732013703723611419745872\ 991925154610211717965715432111652356667155867791137009286321485897139878\ 92 887424 n + 28442198451306951127331224592092922346432085415256110438989\ 90 353722947749470465690876609460596075296256379539010464704888832 n + 72\ 520641190075903391813936748056519823924357854037824419232635016452572672\ 88 872437844429542513061695803073767074365863624704 n + 14853056858035572\ 661541599549599976985203238501550307314929418813991435008115605063520020\ 86 7716477900044676719938706490785792 n + 2545384416538192950586226082871\ 058229087253184712302157494469865222103396826777323189750171877398031988\ 84 35701517084644081664 n + 375411429050029815202392629939822801963334084\ 321565589065151504647732859330592304684761697214357333936282323346295820\ 82 910592 n + 48644277835738639886973238161017280501953055040853871529147\ 80 1171472050469396223522135441398452780616738258218995667555057664 n + 5\ 625541366901394289054180796907529804394890744574260148140060390797281767\ 78 54972872317262255678665763395486247577122150285312 n + 587893794764361\ 641832141237393897284533854205645118608518744544512553022029649090784089\ 76 131457839481296198900305456946741248 n + 56078818498079156204188165308\ 808252681891188928509838796090279664274366656584988044977778290570231087\ 74 2630468788472747393024 n + 4923420994651591811821926858848819324477135\ 942717849979982327028923789152009168332576268585146737405187960569716666\ 72 56329728 n + 400615950772816507790132205114221414477954360293104703751\ 70 148999156102018541220909938980066153073946002521453643022890696704 n + 303919511856484813764001960280786115334021835035347094640189635189903345\ 68 345815282335299757431078995579784039292563082969088 n + 21606177896188\ 500844745141163996766642827894819011083374583093924633444072129733984290\ 66 1299057120322749764209041726897127424 n + 1445836784595395931922254457\ 680188788668044741516160019428125822598351700826775485709276153160794868\ 64 00589983454019546513408 n + 914283194502946948248939928829827866769165\ 913111775660444830690911714299783908381432333342625291733701391248777393\ 62 33402624 n + 548234132492306865895950646657923023163602436221442804197\ 60 16350917715082338912514647265811519776802318594047692129294942208 n + 312691509684754658234859154991178978140880901018151838704363724598271280\ 58 38852108945238192612446876665394287880960245284864 n + 170111544899811\ 944815820103634611929234279620469243035270097542779437107437946951008345\ 56 88562579679768889433843027403159552 n + 884921047435958751532327613329\ 048726598541813124837055556634729148111037502315904377327649470887045918\ 54 5237613267542386176 n + 4411765656548384474166281905299751896386721766\ 346375888236212501595751635863922385208460962979329592399826214313937110\ 52 272 n + 21122919474022007473927578890144405149679865333481385754519170\ 50 01058744075694389627469144851247811375218394602147000316096 n + 973080\ 915343718071949682850375227508763524648433379700056894937306103935629320\ 48 907958315052467273816175672949172712323212 n + 43206614010785862403909\ 427032970202906950582090992817269149524450034385406794818325378997169101\ 46 4310475416994000741375526 n + 1852043984276441360828723832693625139340\ 145365055302576798895121858990687365495841527066373094130520207948337957\ 44 53505192 n + 767526054477125691465189867814390948492163153658494233667\ 42 11708307294325184918466606957335592919214161267762149463823976 n + 307\ 942690564527313895682396878215618952882721021884287053361275040310038050\ 40 47143010113655525270321630755931399785089092 n + 119766100957028442182\ 504357455992916985865769686779752229765248371848991360757222173868140919\ 38 52604273735722781255536336 n + 452063906750135818566064587900418774899\ 195798905795699062236407639338154967658273316105325832195997141887579923\ 36 9367216 n + 1657862159960057399091227345966809616886785824427235514104\ 34 666193207424931301461515728705964460772773877430246174724208 n + 59132\ 974312119904072645616518956336627282106471557364644958394865499843321733\ 32 7557833826389752635365899574016764245076 n + 2053364004443515741353190\ 956611221870689407302299618767107487747203513875670727336609473580247789\ 30 83446837232867493993 n + 694790559219988274365977155284286357451611999\ 28 16788814350252748324466892093698254623189263750117604982996675701195496 n + 229280584774779513020380883026762086603751943955902541936491744405903\ 26 63464706129831081358165908603744238505460380008 n + 738513634572792276\ 196075392120729051315333950003234914318845110407388199632392897449075055\ 24 9406518645524642510502236 n + 2323595950414034914497444571692228012131\ 869215047775114221833347968386907256385184307648897934881748228830001682\ 22 808 n + 71464217283428112982298564739573932749503938448183333193583982\ 20 2158277705329391739292126788584066488633536884953536 n + 2150013440536\ 378967273422955910304030679263446797665723566524364474449274980901880904\ 18 70107130950748719594216383488 n + 633142569972250899528531094678808486\ 571360187589190412673454688348665171368108211184916532291323521989623112\ 16 96000 n + 182616004884227502270679685424857365054874266833321977710968\ 14 63072152780097438223115383846980350976484529316480000 n + 516189615266\ 995263575215784326933343185289210561591599209002930508637200087145970759\ 12 4217174582829163121920000000 n + 1430728522488128084240777317231985515\ 212586440695060554773193348466859582154351268583336059394199652812800000\ 10 000 n + 38906349038244332885689694008473647185626784474081798765983693\ 8 5246020326037149804791090822401712332800000000000 n + 10386482141175383\ 385449449563898056786319336961880168006382442929164287981045102764221192\ 6 4861390848000000000000 n + 27262175115039242343324300526524203653290994\ 4 106504031785030603855469661286038849797635220701184000000000000000 n + 711440128742875214663175699922314419887679766760372088457769557520123654\ 2 2875722823694161018880000000000000000 n + 21899680339545601589010783824\ 341467913732928118909937425332992407423162823114632864989184000000000000\ 00000000)/48564932786451259647217303347500135088721697207446924283920824\ 92322742408603639448988667163900564282037380139827728271484375 and in Maple notation: 562949953421312/485649327864512596472173033475001350887216972074469242839208249\ 2322742408603639448988667163900564282037380139827728271484375*n^2*(164833177484\ 8286448827593531118535490095705385695193322849787730191664732456824722356419891\ 69186487693614228641608105984*n^96+16607307175737625062052237440802408175122801\ 80940696489179962520553090483931963452816878129601992480964888089120150126592*n ^94+840026203958502622673201370372361141974587299192515461021171796571543211165\ 2356667155867791137009286321485897139878887424*n^92+284421984513069511273312245\ 9209292234643208541525611043898935372294774947046569087660946059607529625637953\ 9010464704888832*n^90+725206411900759033918139367480565198239243578540378244192\ 32635016452572672872437844429542513061695803073767074365863624704*n^88+14853056\ 8580355726615415995495999769852032385015503073149294188139914350081156050635200\ 207716477900044676719938706490785792*n^86+2545384416538192950586226082871058229\ 0872531847123021574944698652221033968267773231897501718773980319883570151708464\ 4081664*n^84+375411429050029815202392629939822801963334084321565589065151504647\ 732859330592304684761697214357333936282323346295820910592*n^82+4864427783573863\ 9886973238161017280501953055040853871529147117147205046939622352213544139845278\ 0616738258218995667555057664*n^80+562554136690139428905418079690752980439489074\ 457426014814006039079728176754972872317262255678665763395486247577122150285312* n^78+58789379476436164183214123739389728453385420564511860851874454451255302202\ 9649090784089131457839481296198900305456946741248*n^76+560788184980791562041881\ 6530880825268189118892850983879609027966427436665658498804497777829057023108726\ 30468788472747393024*n^74+49234209946515918118219268588488193244771359427178499\ 7998232702892378915200916833257626858514673740518796056971666656329728*n^72+400\ 6159507728165077901322051142214144779543602931047037511489991561020185412209099\ 38980066153073946002521453643022890696704*n^70+30391951185648481376400196028078\ 6115334021835035347094640189635189903345345815282335299757431078995579784039292\ 563082969088*n^68+2160617789618850084474514116399676664282789481901108337458309\ 39246334440721297339842901299057120322749764209041726897127424*n^66+14458367845\ 9539593192225445768018878866804474151616001942812582259835170082677548570927615\ 316079486800589983454019546513408*n^64+9142831945029469482489399288298278667691\ 6591311177566044483069091171429978390838143233334262529173370139124877739333402\ 624*n^62+5482341324923068658959506466579230231636024362214428041971635091771508\ 2338912514647265811519776802318594047692129294942208*n^60+312691509684754658234\ 8591549911789781408809010181518387043637245982712803885210894523819261244687666\ 5394287880960245284864*n^58+170111544899811944815820103634611929234279620469243\ 03527009754277943710743794695100834588562579679768889433843027403159552*n^56+88\ 4921047435958751532327613329048726598541813124837055556634729148111037502315904\ 3773276494708870459185237613267542386176*n^54+441176565654838447416628190529975\ 1896386721766346375888236212501595751635863922385208460962979329592399826214313\ 937110272*n^52+2112291947402200747392757889014440514967986533348138575451917001\ 058744075694389627469144851247811375218394602147000316096*n^50+9730809153437180\ 7194968285037522750876352464843337970005689493730610393562932090795831505246727\ 3816175672949172712323212*n^48+432066140107858624039094270329702029069505820909\ 928172691495244500343854067948183253789971691014310475416994000741375526*n^46+ 1852043984276441360828723832693625139340145365055302576798895121858990687365495\ 84152706637309413052020794833795753505192*n^44+76752605447712569146518986781439\ 0948492163153658494233667117083072943251849184666069573355929192141612677621494\ 63823976*n^42+30794269056452731389568239687821561895288272102188428705336127504\ 031003805047143010113655525270321630755931399785089092*n^40+1197661009570284421\ 8250435745599291698586576968677975222976524837184899136075722217386814091952604\ 273735722781255536336*n^38+4520639067501358185660645879004187748991957989057956\ 990622364076393381549676582733161053258321959971418875799239367216*n^36+1657862\ 1599600573990912273459668096168867858244272355141046661932074249313014615157287\ 05964460772773877430246174724208*n^34+59132974312119904072645616518956336627282\ 1064715573646449583948654998433217337557833826389752635365899574016764245076*n^ 32+2053364004443515741353190956611221870689407302299618767107487747203513875670\ 72733660947358024778983446837232867493993*n^30+69479055921998827436597715528428\ 6357451611999167888143502527483244668920936982546231892637501176049829966757011\ 95496*n^28+22928058477477951302038088302676208660375194395590254193649174440590\ 363464706129831081358165908603744238505460380008*n^26+7385136345727922761960753\ 9212072905131533395000323491431884511040738819963239289744907505594065186455246\ 42510502236*n^24+23235959504140349144974445716922280121318692150477751142218333\ 47968386907256385184307648897934881748228830001682808*n^22+71464217283428112982\ 2985647395739327495039384481833331935839822158277705329391739292126788584066488\ 633536884953536*n^20+2150013440536378967273422955910304030679263446797665723566\ 52436447444927498090188090470107130950748719594216383488*n^18+63314256997225089\ 9528531094678808486571360187589190412673454688348665171368108211184916532291323\ 52198962311296000*n^16+18261600488422750227067968542485736505487426683332197771\ 096863072152780097438223115383846980350976484529316480000*n^14+5161896152669952\ 6357521578432693334318528921056159159920900293050863720008714597075942171745828\ 29163121920000000*n^12+14307285224881280842407773172319855152125864406950605547\ 73193348466859582154351268583336059394199652812800000000*n^10+38906349038244332\ 8856896940084736471856267844740817987659836935246020326037149804791090822401712\ 332800000000000*n^8+10386482141175383385449449563898056786319336961880168006382\ 4429291642879810451027642211924861390848000000000000*n^6+2726217511503924234332\ 4300526524203653290994106504031785030603855469661286038849797635220701184000000\ 000000000*n^4+71144012874287521466317569992231441988767976676037208845776955752\ 01236542875722823694161018880000000000000000*n^2+218996803395456015890107838243\ 4146791373292811890993742533299240742316282311463286498918400000000000000000000 ) ------------------------------ n ----- \ 1 2 Theorem , 50, : , ) -------------------- = 1125899906842624 n (64813600\ / Pi (2 j - 1) 100 ----- sin(------------) j = 1 4 n 341723701804204196053336342495160166151737846687937047421229652669354954\ 98 9146024195049168906977695385673725051404288 n + 6663381199824197969385\ 546849546679718711889021672819007620266899299804680956713940125827412164\ 96 363765014355192837007684403200 n + 34389581334158687097244670680541586\ 728635541846829472549694073894353121196021133199205503868733259299580420\ 94 105455508746403840 n + 11879565695684576854387767358761538243765877477\ 056244998373364111637061741242582339338745470586257148301453953961343183\ 92 7491200 n + 3090061756806891053783088323723487120184367833182058166618\ 90 93846797224236522262737750897531169869824868970370411873089953464320 n + 645586311091062317119198328584737725089105840423364633093247442987385143\ 88 092619759657002150886425715466438583777590873633587200 n + 11284690910\ 809266242701874995286932803321508282883258828119707841356716390409988301\ 86 11699055711963560030359833468215997266657280 n + 169748724104147280060\ 795785034992354042845965785018320063698930763079522382728598694196195231\ 84 1823833696583695207051440632627200 n + 2243150987849287080327413554832\ 707208746799659709379681566821185807104035793981228887081906480977561860\ 82 148153082825887669288960 n + 26453541445574961196309973650892374745014\ 186246742477163589474583719931801154689348578401042428952194084572439205\ 80 84754279219200 n + 281887759524098094027067959954448129395526851444823\ 716213614125035548500057438442406407890432909503672092662487384061362621\ 78 6448 n + 2741569069603105790811484249997834321990839353350861232457171\ 76 525540372337066096186369496954653886073570937838600442037560934400 n + 245389242303863073949951666252690660730113155009492282197837064394939058\ 74 8236124351491738924153448377224304556034518719481774080 n + 2035496090\ 675834535520139327368499614875167040199556928304070886967704731744832655\ 72 292919278386459055090206802042093847340646400 n + 15740533731107473591\ 907406498797353270803823910401068073622414336315566836959590922320806627\ 70 32898872655394548831556140993085440 n + 114057295710612488298413435020\ 295397218024083210361389668726148138572499065189960888731440656020389814\ 68 0824124688136550114918400 n + 7778827316470852689258977330651887777782\ 764059785597009876701899398032665780448588680201528431092103943248931677\ 66 73294523842560 n + 501292141052378185438171300738856992925077113642607\ 408384101422727938719554472600615581762590649735910013804110879245395558\ 64 400 n + 30630717025399015117687744321129542483944448277106083128749207\ 62 5718580954955220947755553358576340577862089830973136894198046720 n + 1\ 780138641661140990831560308702852719747122268605747846123398141727966558\ 60 25670967794832577986490008417272332666202914014822400 n + 986697356118\ 646404046444230627029476932539932471278309107048917885111975899517865218\ 58 43436071543985514886568231780027080060928 n + 522917300694961246582285\ 055880605169797155708926597481753662349328412238495883013359989733846983\ 56 62896497299708216999880857600 n + 265573775300336506759521542342557240\ 286848426050385107522362276796024051759550109160044042581170487846756954\ 54 69488634791256320 n + 129520049428587526395686456087888642017934033942\ 780891297680673286292839235814266611872543846858644779375935764418359878\ 52 33600 n + 607726880896111292579173730708120706935432789487412672073254\ 50 9210671612804120293792483248953825723043583437135896335859653160 n + 2\ 748225553000628344244446151026038938154422122798176177975693422837905182\ 48 244203179366537553979171871893273241512605101489100 n + 11996716368187\ 842546246425204819964946109269930449880439984581805999342533602859303501\ 46 73131919341529606873954893663873822290 n + 506266946091010561845583089\ 953687998451635796117438334731412280701894083585944079875641529592405436\ 44 846644485589399913226600 n + 20682269325236561642704441330325040638998\ 611516684705241111131016864295646809924385969805099011411767264409256003\ 42 4838193680 n + 8189749708417416993302556164795026753775530035195473891\ 40 3475109028087416137389992802286706383723010465327978209340174460100 n + 314710812185347088221744755374273767971815155069926244472098323908874241\ 38 87677668213128787865688258033002796936120660771648 n + 117490334933728\ 022671648001958113067816168990327433398498479462602746324315629087887164\ 36 49853690450717259385659409085818800 n + 426571877846486468000975549756\ 180788369961140383300316244620821077213465111767826691057641652903222607\ 34 9772543425622390760 n + 1507662725464398707372366079032614980690464860\ 445413805654065726881382189851894884683504258324388225659754550064689841\ 32 300 n + 51920038215274106421144102069595191994996541615350156248054966\ 30 7490644151790411271997518980138860492905161502599013898955 n + 1743646\ 356492378832102517435814992459972498785431549283756467179786574917380546\ 28 47053968344575714943770601057289025317800 n + 571514126870168659502152\ 882521488737607657220423092339321606174705270980616491800009113857722087\ 26 68712450024053603889120 n + 182967431468969469486478968898403213023113\ 102035883992312322350480471274111240613783323743527372288644504802722571\ 24 50300 n + 572550845998452472805734124065831801434883865186837058092733\ 22 1798243674924008791553910777632844356875380599669340275640 n + 1752453\ 297281648400981953303849617357028657319213025616624421387301001881374568\ 20 301952956620745909051475261820777060800 n + 52499405028246633326994056\ 851423200097457612039468400033543016515762684829400222977466611501021262\ 18 1921660487267826688 n + 1540306432393944091759511123689061843907860744\ 16 39361692750665418896706569070285219450425991357609290345605700292736000 n + 442854306105295436396017926915492743173473551456519748591022622896264\ 14 67729063445987981008548619598579121788708480000 n + 124841694898984163\ 938451438318130139739144053441671512080312157464730451095846458118003851\ 12 69549369628806360320000000 n + 345252388390394832640662993774487160280\ 301237189696331004094996013699437580367291297250237913964002588513280000\ 10 0000 n + 9371718493153187797378700984279778196127899135362878491543071\ 8 23697968618602607487756970071335408361676800000000000 n + 2498428931865\ 766222044777971381432549016332273545534023735879749947775386667555778155\ 6 10630344119554048000000000000 n + 6551339766150865088349469962017839812\ 514269123105701008293510142158426664012228414671171819169382400000000000\ 4 0000 n + 17086057427184343024380650711899637515085937785540315831356113\ 2 674539653572009233426262678443130880000000000000000 n + 525811324952489\ 894152148919622438644608727604135027597582245147702230139382982335088390\ 3078400000000000000000000)/235588488947075060548651138538723155315388953\ 153325029701299921702576234241362549670440244120816373321633310583043098\ 44970703125 and in Maple notation: 1125899906842624/23558848894707506054865113853872315531538895315332502970129992\ 170257623424136254967044024412081637332163331058304309844970703125*n^2*(6481360\ 0341723701804204196053336342495160166151737846687937047421229652669354954914602\ 4195049168906977695385673725051404288*n^98+666338119982419796938554684954667971\ 8711889021672819007620266899299804680956713940125827412164363765014355192837007\ 684403200*n^96+3438958133415868709724467068054158672863554184682947254969407389\ 4353121196021133199205503868733259299580420105455508746403840*n^94+118795656956\ 8457685438776735876153824376587747705624499837336411163706174124258233933874547\ 05862571483014539539613431837491200*n^92+30900617568068910537830883237234871201\ 8436783318205816661893846797224236522262737750897531169869824868970370411873089\ 953464320*n^90+6455863110910623171191983285847377250891058404233646330932474429\ 87385143092619759657002150886425715466438583777590873633587200*n^88+11284690910\ 8092662427018749952869328033215082828832588281197078413567163904099883011169905\ 5711963560030359833468215997266657280*n^86+169748724104147280060795785034992354\ 0428459657850183200636989307630795223827285986941961952311823833696583695207051\ 440632627200*n^84+2243150987849287080327413554832707208746799659709379681566821\ 185807104035793981228887081906480977561860148153082825887669288960*n^82+2645354\ 1445574961196309973650892374745014186246742477163589474583719931801154689348578\ 40104242895219408457243920584754279219200*n^80+28188775952409809402706795995444\ 8129395526851444823716213614125035548500057438442406407890432909503672092662487\ 3840613626216448*n^78+274156906960310579081148424999783432199083935335086123245\ 7171525540372337066096186369496954653886073570937838600442037560934400*n^76+245\ 3892423038630739499516662526906607301131550094922821978370643949390588236124351\ 491738924153448377224304556034518719481774080*n^74+2035496090675834535520139327\ 3684996148751670401995569283040708869677047317448326552929192783864590550902068\ 02042093847340646400*n^72+15740533731107473591907406498797353270803823910401068\ 07362241433631556683695959092232080662732898872655394548831556140993085440*n^70 +114057295710612488298413435020295397218024083210361389668726148138572499065189\ 9608887314406560203898140824124688136550114918400*n^68+777882731647085268925897\ 7330651887777782764059785597009876701899398032665780448588680201528431092103943\ 24893167773294523842560*n^66+50129214105237818543817130073885699292507711364260\ 7408384101422727938719554472600615581762590649735910013804110879245395558400*n^ 64+3063071702539901511768774432112954248394444827710608312874920757185809549552\ 20947755553358576340577862089830973136894198046720*n^62+17801386416611409908315\ 6030870285271974712226860574784612339814172796655825670967794832577986490008417\ 272332666202914014822400*n^60+9866973561186464040464442306270294769325399324712\ 7830910704891788511197589951786521843436071543985514886568231780027080060928*n^ 58+5229173006949612465822850558806051697971557089265974817536623493284122384958\ 8301335998973384698362896497299708216999880857600*n^56+265573775300336506759521\ 5423425572402868484260503851075223622767960240517595501091600440425811704878467\ 5695469488634791256320*n^54+129520049428587526395686456087888642017934033942780\ 89129768067328629283923581426661187254384685864477937593576441835987833600*n^52 +607726880896111292579173730708120706935432789487412672073254921067161280412029\ 3792483248953825723043583437135896335859653160*n^50+274822555300062834424444615\ 1026038938154422122798176177975693422837905182244203179366537553979171871893273\ 241512605101489100*n^48+1199671636818784254624642520481996494610926993044988043\ 998458180599934253360285930350173131919341529606873954893663873822290*n^46+5062\ 6694609101056184558308995368799845163579611743833473141228070189408358594407987\ 5641529592405436846644485589399913226600*n^44+206822693252365616427044413303250\ 4063899861151668470524111113101686429564680992438596980509901141176726440925600\ 34838193680*n^42+81897497084174169933025561647950267537755300351954738913475109\ 028087416137389992802286706383723010465327978209340174460100*n^40+3147108121853\ 4708822174475537427376797181515506992624447209832390887424187677668213128787865\ 688258033002796936120660771648*n^38+1174903349337280226716480019581130678161689\ 9032743339849847946260274632431562908788716449853690450717259385659409085818800 *n^36+4265718778464864680009755497561807883699611403833003162446208210772134651\ 117678266910576416529032226079772543425622390760*n^34+1507662725464398707372366\ 0790326149806904648604454138056540657268813821898518948846835042583243882256597\ 54550064689841300*n^32+51920038215274106421144102069595191994996541615350156248\ 0549667490644151790411271997518980138860492905161502599013898955*n^30+174364635\ 6492378832102517435814992459972498785431549283756467179786574917380546470539683\ 44575714943770601057289025317800*n^28+57151412687016865950215288252148873760765\ 722042309233932160617470527098061649180000911385772208768712450024053603889120* n^26+18296743146896946948647896889840321302311310203588399231232235048047127411\ 124061378332374352737228864450480272257150300*n^24+5725508459984524728057341240\ 6583180143488386518683705809273317982436749240087915539107776328443568753805996\ 69340275640*n^22+17524532972816484009819533038496173570286573192130256166244213\ 87301001881374568301952956620745909051475261820777060800*n^20+52499405028246633\ 3269940568514232000974576120394684000335430165157626848294002229774666115010212\ 621921660487267826688*n^18+1540306432393944091759511123689061843907860744393616\ 92750665418896706569070285219450425991357609290345605700292736000*n^16+44285430\ 6105295436396017926915492743173473551456519748591022622896264677290634459879810\ 08548619598579121788708480000*n^14+12484169489898416393845143831813013973914405\ 344167151208031215746473045109584645811800385169549369628806360320000000*n^12+ 3452523883903948326406629937744871602803012371896963310040949960136994375803672\ 912972502379139640025885132800000000*n^10+9371718493153187797378700984279778196\ 12789913536287849154307123697968618602607487756970071335408361676800000000000*n ^8+2498428931865766222044777971381432549016332273545534023735879749947775386667\ 55577815510630344119554048000000000000*n^6+655133976615086508834946996201783981\ 25142691231057010082935101421584266640122284146711718191693824000000000000000*n ^4+1708605742718434302438065071189963751508593778554031583135611367453965357200\ 9233426262678443130880000000000000000*n^2+5258113249524898941521489196224386446\ 087276041350275975822451477022301393829823350883903078400000000000000000000) ------------------------------ This ends this book that took, 100.778, seconds to generate