n ----- \ Pi (2 j - 1) (-2 i) evaluations of , ) sin(------------) , for i from 1 to , 50 / 4 n + 2 ----- j = 1 By Shalosh B. Ekhad ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 1, : for n>=1, we have :, ) ------------------ = 2 (n + 1) n / Pi (2 j - 1) 2 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 and in Maple notation: 2*(n+1)*n ------------------------------ Theorem , 2, : for n>=1, we have :, n ----- 2 \ 1 8 (n + 1) n (n + n + 1) ) ------------------ = ------------------------ / Pi (2 j - 1) 4 3 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 and in Maple notation: 8/3*(n+1)*n*(n^2+n+1) ------------------------------ Theorem , 3, : for n>=1, we have :, n ----- 4 3 2 \ 1 8 (n + 1) n (8 n + 16 n + 19 n + 11 n + 6) ) ------------------ = --------------------------------------------- / Pi (2 j - 1) 6 15 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 and in Maple notation: 8/15*(n+1)*n*(8*n^4+16*n^3+19*n^2+11*n+6) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 4, : for n>=1, we have :, ) ------------------ = / Pi (2 j - 1) 8 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 2 4 3 2 128 (n + 1) n (n + n + 1) (17 n + 34 n + 31 n + 14 n + 9) ------------------------------------------------------------- 315 and in Maple notation: 128/315*(n+1)*n*(n^2+n+1)*(17*n^4+34*n^3+31*n^2+14*n+9) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 5, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 64 (n + 1) n ( / Pi (2 j - 1) 10 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 8 7 6 5 4 3 2 496 n + 1984 n + 4106 n + 5374 n + 4979 n + 3316 n + 1669 n + 576 n + 180)/2835 and in Maple notation: 64/2835*(n+1)*n*(496*n^8+1984*n^7+4106*n^6+5374*n^5+4979*n^4+3316*n^3+1669*n^2+ 576*n+180) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 6, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 128 (n + 1) n / Pi (2 j - 1) 12 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 10 9 8 7 6 5 (22112 n + 110560 n + 281568 n + 462912 n + 545469 n + 480567 n 4 3 2 + 326107 n + 170213 n + 69444 n + 20448 n + 5400)/155925 and in Maple notation: 128/155925*(n+1)*n*(22112*n^10+110560*n^9+281568*n^8+462912*n^7+545469*n^6+ 480567*n^5+326107*n^4+170213*n^3+69444*n^2+20448*n+5400) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 7, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 128 (n + 1) n / Pi (2 j - 1) 14 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 12 11 10 9 8 (1398016 n + 8388096 n + 25428960 n + 50253920 n + 71900112 n 7 6 5 4 3 + 78345984 n + 67016519 n + 45636021 n + 24952497 n + 10875295 n 2 + 3784896 n + 981684 n + 226800)/6081075 and in Maple notation: 128/6081075*(n+1)*n*(1398016*n^12+8388096*n^11+25428960*n^10+50253920*n^9+ 71900112*n^8+78345984*n^7+67016519*n^6+45636021*n^5+24952497*n^4+10875295*n^3+ 3784896*n^2+981684*n+226800) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 8, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 4096 (n + 1) n / Pi (2 j - 1) 16 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 14 13 12 11 10 (7436552 n + 52055864 n + 183273336 n + 422913784 n + 711599050 n 9 8 7 6 5 + 921950322 n + 949948993 n + 793291792 n + 543047784 n + 305958374 n 4 3 2 + 141911321 n + 53647224 n + 16437564 n + 3837240 n + 793800)/638512875 and in Maple notation: 4096/638512875*(n+1)*n*(7436552*n^14+52055864*n^13+183273336*n^12+422913784*n^ 11+711599050*n^10+921950322*n^9+949948993*n^8+793291792*n^7+543047784*n^6+ 305958374*n^5+141911321*n^4+53647224*n^3+16437564*n^2+3837240*n+793800) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 9, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 1024 (n + 1) n / Pi (2 j - 1) 18 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 16 15 14 13 (819786496 n + 6558291968 n + 26315598112 n + 69439077344 n 12 11 10 9 + 134291676928 n + 201444340640 n + 242478704120 n + 239255281912 n 8 7 6 5 + 196178905991 n + 134743003756 n + 77820186434 n + 37769478484 n 4 3 2 + 15346426635 n + 5160485736 n + 1422146484 n + 303471360 n + 57153600) /10854718875 and in Maple notation: 1024/10854718875*(n+1)*n*(819786496*n^16+6558291968*n^15+26315598112*n^14+ 69439077344*n^13+134291676928*n^12+201444340640*n^11+242478704120*n^10+ 239255281912*n^9+196178905991*n^8+134743003756*n^7+77820186434*n^6+37769478484* n^5+15346426635*n^4+5160485736*n^3+1422146484*n^2+303471360*n+57153600) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 10, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 4096 (n + 1) / Pi (2 j - 1) 20 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 18 17 16 n (56814228736 n + 511328058624 n + 2304167382016 n 15 14 13 + 6843236393984 n + 14951673335992 n + 25470435774728 n 12 11 10 + 35041843461752 n + 39831317017448 n + 37979713184483 n 9 8 7 + 30684045782047 n + 21134737035248 n + 12447461029102 n 6 5 4 3 + 6269325192039 n + 2691876125551 n + 979411414734 n + 298242265716 n 2 + 75072177000 n + 14814964800 n + 2571912000)/1856156927625 and in Maple notation: 4096/1856156927625*(n+1)*n*(56814228736*n^18+511328058624*n^17+2304167382016*n^ 16+6843236393984*n^15+14951673335992*n^14+25470435774728*n^13+35041843461752*n^ 12+39831317017448*n^11+37979713184483*n^10+30684045782047*n^9+21134737035248*n^ 8+12447461029102*n^7+6269325192039*n^6+2691876125551*n^5+979411414734*n^4+ 298242265716*n^3+75072177000*n^2+14814964800*n+2571912000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 11, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 4096 (n + 1) / Pi (2 j - 1) 22 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 20 19 18 n (9670894635008 n + 96708946350080 n + 483658696884992 n 17 16 15 + 1596723300987648 n + 3888865348481280 n + 7413323833893888 n 14 13 12 + 11467900137927224 n + 14741536408549256 n + 16004678410692512 n 11 10 9 + 14841718338551256 n + 11846302635374601 n + 8177961298569669 n 8 7 6 + 4894913291972504 n + 2540876335679354 n + 1141585502354933 n 5 4 3 + 441880819754277 n + 146273978699946 n + 40876483994172 n 2 + 9507862377000 n + 1750993070400 n + 282910320000)/194896477400625 and in Maple notation: 4096/194896477400625*(n+1)*n*(9670894635008*n^20+96708946350080*n^19+ 483658696884992*n^18+1596723300987648*n^17+3888865348481280*n^16+ 7413323833893888*n^15+11467900137927224*n^14+14741536408549256*n^13+ 16004678410692512*n^12+14841718338551256*n^11+11846302635374601*n^10+ 8177961298569669*n^9+4894913291972504*n^8+2540876335679354*n^7+1141585502354933 *n^6+441880819754277*n^5+146273978699946*n^4+40876483994172*n^3+9507862377000*n ^2+1750993070400*n+282910320000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 12, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 32768 (n + 1) / Pi (2 j - 1) 24 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 22 21 20 n (495812444583424 n + 5453936890417664 n + 29980489957167104 n 19 18 17 + 108917108407052800 n + 292548267732279936 n + 616857229627838592 n 16 15 + 1059365504760172096 n + 1518430776955301888 n 14 13 + 1847623175391642773 n + 1931765744912484115 n 12 11 + 1750524780671044863 n + 1383141772283447811 n 10 9 8 + 956630998566717625 n + 580361614206633713 n + 308949073627233245 n 7 6 5 + 144114836484980089 n + 58715552783588742 n + 20777255332259616 n 4 3 2 + 6333289600470192 n + 1640969391354912 n + 355910586660000 n + 61611629788800 n + 9336040560000)/49308808782358125 and in Maple notation: 32768/49308808782358125*(n+1)*n*(495812444583424*n^22+5453936890417664*n^21+ 29980489957167104*n^20+108917108407052800*n^19+292548267732279936*n^18+ 616857229627838592*n^17+1059365504760172096*n^16+1518430776955301888*n^15+ 1847623175391642773*n^14+1931765744912484115*n^13+1750524780671044863*n^12+ 1383141772283447811*n^11+956630998566717625*n^10+580361614206633713*n^9+ 308949073627233245*n^8+144114836484980089*n^7+58715552783588742*n^6+ 20777255332259616*n^5+6333289600470192*n^4+1640969391354912*n^3+355910586660000 *n^2+61611629788800*n+9336040560000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 13, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 32768 (n + 1) / Pi (2 j - 1) 26 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 24 23 22 n (60283564499562496 n + 723402773994749952 n + 4335775886084315648 n 21 20 + 17190051110148849152 n + 50474675599538112768 n 19 18 + 116619352597621768192 n + 220087296203543617408 n 17 16 + 347850745977986059392 n + 468582001773285093968 n 15 14 + 544863684267743683712 n + 552005733406918117263 n 13 12 + 490575648744151690537 n + 384303045764708346028 n 11 10 + 266217461185725830067 n + 163365191742430502408 n 9 8 + 88842494396885222267 n + 42776958979381102488 n 7 6 + 18191864268465548077 n + 6805280820175741773 n 5 4 3 + 2225377500778238652 n + 630538752696709752 n + 152718010173000000 n 2 + 31110643708938000 n + 5092303295520000 n + 728211163680000)/ 3698160658676859375 and in Maple notation: 32768/3698160658676859375*(n+1)*n*(60283564499562496*n^24+723402773994749952*n^ 23+4335775886084315648*n^22+17190051110148849152*n^21+50474675599538112768*n^20 +116619352597621768192*n^19+220087296203543617408*n^18+347850745977986059392*n^ 17+468582001773285093968*n^16+544863684267743683712*n^15+552005733406918117263* n^14+490575648744151690537*n^13+384303045764708346028*n^12+ 266217461185725830067*n^11+163365191742430502408*n^10+88842494396885222267*n^9+ 42776958979381102488*n^8+18191864268465548077*n^7+6805280820175741773*n^6+ 2225377500778238652*n^5+630538752696709752*n^4+152718010173000000*n^3+ 31110643708938000*n^2+5092303295520000*n+728211163680000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 14, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 32768 (n + 1) / Pi (2 j - 1) 28 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 26 25 n (34302539845675761664 n + 445933017993784901632 n 24 23 + 2894401476072857944064 n + 12436166813185050247168 n 22 21 + 39627508525114082304512 n + 99545982407664586782208 n 20 19 + 204731427923601290726912 n + 353595906785746699299328 n 18 17 + 522151823742719003448512 n + 667979756350437061075648 n 16 15 + 747592123690816679198912 n + 737387870405343898263808 n 14 13 + 644517324483727262971877 n + 501185263406611459351363 n 12 11 + 347652851025452795405777 n + 215445003860724887746303 n 10 9 + 119332411443562178725967 n + 59037479823555134717713 n 8 7 + 26041132285881281761867 n + 10209422354253689934693 n 6 5 + 3540987957926584003968 n + 1079247555293425218936 n 4 3 + 286402054448317009968 n + 65273834209286941200 n 2 + 12563484943208976000 n + 1954019092253760000 n + 265068863579520000)/ 1298054391195577640625 and in Maple notation: 32768/1298054391195577640625*(n+1)*n*(34302539845675761664*n^26+ 445933017993784901632*n^25+2894401476072857944064*n^24+12436166813185050247168* n^23+39627508525114082304512*n^22+99545982407664586782208*n^21+ 204731427923601290726912*n^20+353595906785746699299328*n^19+ 522151823742719003448512*n^18+667979756350437061075648*n^17+ 747592123690816679198912*n^16+737387870405343898263808*n^15+ 644517324483727262971877*n^14+501185263406611459351363*n^13+ 347652851025452795405777*n^12+215445003860724887746303*n^11+ 119332411443562178725967*n^10+59037479823555134717713*n^9+ 26041132285881281761867*n^8+10209422354253689934693*n^7+3540987957926584003968* n^6+1079247555293425218936*n^5+286402054448317009968*n^4+65273834209286941200*n ^3+12563484943208976000*n^2+1954019092253760000*n+265068863579520000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 15, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 32768 (n + 1) / Pi (2 j - 1) 30 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 28 27 n (11288664154203905196032 n + 158041298158854672744448 n 26 25 + 1104418006554180915412992 n + 5112018142911353544818688 n 24 23 + 17567969002094933829181440 n + 47668880302501512264744960 n 22 21 + 106097429717884715652963840 n + 198749098973572857391925760 n 20 19 + 319143250649326416452997120 n + 445253209431012665075335680 n 18 17 + 545241846279433821897654720 n + 590616513657010403996230080 n 16 15 + 569291968622931111583176480 n + 490485914239374944080158720 n 14 13 + 378973283298058850289882255 n + 263184793541480807969283945 n 12 11 + 164496740174720139388754835 n + 92573747793138909243521565 n 10 9 + 46887686944632789927247885 n + 21343867356563026521498515 n 8 7 + 8711384216640267662103393 n + 3176391628431359740682127 n 6 5 + 1029457349416895527055808 n + 294483337292474418025512 n 4 3 + 73646181864397653253200 n + 15881021043945574950000 n 2 + 2902312913521961520000 n + 430698133132152480000 n + 55664461351699200000)/263505041412702261046875 and in Maple notation: 32768/263505041412702261046875*(n+1)*n*(11288664154203905196032*n^28+ 158041298158854672744448*n^27+1104418006554180915412992*n^26+ 5112018142911353544818688*n^25+17567969002094933829181440*n^24+ 47668880302501512264744960*n^23+106097429717884715652963840*n^22+ 198749098973572857391925760*n^21+319143250649326416452997120*n^20+ 445253209431012665075335680*n^19+545241846279433821897654720*n^18+ 590616513657010403996230080*n^17+569291968622931111583176480*n^16+ 490485914239374944080158720*n^15+378973283298058850289882255*n^14+ 263184793541480807969283945*n^13+164496740174720139388754835*n^12+ 92573747793138909243521565*n^11+46887686944632789927247885*n^10+ 21343867356563026521498515*n^9+8711384216640267662103393*n^8+ 3176391628431359740682127*n^7+1029457349416895527055808*n^6+ 294483337292474418025512*n^5+73646181864397653253200*n^4+ 15881021043945574950000*n^3+2902312913521961520000*n^2+430698133132152480000*n+ 55664461351699200000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 16, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 2097152 / Pi (2 j - 1) 32 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 30 29 (n + 1) n (132964519609453877199872 n + 1994467794141808157998080 n 28 27 + 14930568373405873941132288 n + 74068969824086549817981952 n 26 25 + 273068471641450760221395456 n + 795875549251866237213276672 n 24 23 + 1905714467488617964464264960 n + 3847712742616885089468503040 n 22 21 + 6673385110819976111304717840 n + 10080186477345823005602136240 n 20 19 + 13400333977397253886617418080 n + 15805105131915007750542118320 n 18 17 + 16643455967887897349076240390 n + 15724348631057384927952550470 n 16 15 + 13378496010423745901710842945 n + 10279019024453948415682637280 n 14 13 + 7145686315579918102935800400 n + 4499751247727537911015711980 n 12 11 + 2567864847440547205663444390 n + 1327595174847578955585118560 n 10 9 + 621169956101328682783997658 n + 262535596606632657331482830 n 8 7 + 99947001297732535373061537 n + 34137618702747092970550848 n 6 5 + 10405023422926757591613384 n + 2809612339437829396573728 n 4 3 + 665595868409309558710800 n + 136428391982639715840000 n 2 + 23772531604346048160000 n + 3377919363370715520000 n + 417483460137744000000)/122529844256906551386796875 and in Maple notation: 2097152/122529844256906551386796875*(n+1)*n*(132964519609453877199872*n^30+ 1994467794141808157998080*n^29+14930568373405873941132288*n^28+ 74068969824086549817981952*n^27+273068471641450760221395456*n^26+ 795875549251866237213276672*n^25+1905714467488617964464264960*n^24+ 3847712742616885089468503040*n^23+6673385110819976111304717840*n^22+ 10080186477345823005602136240*n^21+13400333977397253886617418080*n^20+ 15805105131915007750542118320*n^19+16643455967887897349076240390*n^18+ 15724348631057384927952550470*n^17+13378496010423745901710842945*n^16+ 10279019024453948415682637280*n^15+7145686315579918102935800400*n^14+ 4499751247727537911015711980*n^13+2567864847440547205663444390*n^12+ 1327595174847578955585118560*n^11+621169956101328682783997658*n^10+ 262535596606632657331482830*n^9+99947001297732535373061537*n^8+ 34137618702747092970550848*n^7+10405023422926757591613384*n^6+ 2809612339437829396573728*n^5+665595868409309558710800*n^4+ 136428391982639715840000*n^3+23772531604346048160000*n^2+3377919363370715520000 *n+417483460137744000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 17, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 262144 / Pi (2 j - 1) 34 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 32 31 (n + 1) n (56906245479134057176170496 n + 910499927666144914818727936 n 30 29 + 7269515922118149604430192640 n + 38478994437646013168001474560 n 28 27 + 151480950404554003799728775168 n + 471950689516884153653812224000 n 26 + 1209617030287642441714005848064 n 25 + 2618206971334623949411118247936 n 24 + 4876715370027046932142751070720 n 23 + 7926746880464488110986225448960 n 22 + 11364572504120261182234922686080 n 21 + 14491686622239880997692267393920 n 20 + 16543928226507411011674760339520 n 19 + 16996508690597520988567254205440 n 18 + 15777898784009323073466024252240 n 17 + 13276253706910948512666169823760 n 16 + 10150001083872418185978523915875 n 15 + 7062288470662614785217056225880 n 14 + 4476723077317594571988751919060 n 13 + 2586375585051137424502905342440 n 12 11 + 1361623655444788491721113161994 n + 652681775641865760545978693464 n 10 9 + 284430044810026248722556427180 n + 112434412081518533873861406120 n 8 7 + 40188956457765798912104107227 n + 12934824997136385524202094320 n 6 5 + 3727588916629743720432959736 n + 954725949999818591270451264 n 4 3 + 215185160069932359878334000 n + 42089743770594493682880000 n 2 + 7017789299470571895840000 n + 957734726198860431360000 n + 113555501157466368000000)/4043484860477916195764296875 and in Maple notation: 262144/4043484860477916195764296875*(n+1)*n*(56906245479134057176170496*n^32+ 910499927666144914818727936*n^31+7269515922118149604430192640*n^30+ 38478994437646013168001474560*n^29+151480950404554003799728775168*n^28+ 471950689516884153653812224000*n^27+1209617030287642441714005848064*n^26+ 2618206971334623949411118247936*n^25+4876715370027046932142751070720*n^24+ 7926746880464488110986225448960*n^23+11364572504120261182234922686080*n^22+ 14491686622239880997692267393920*n^21+16543928226507411011674760339520*n^20+ 16996508690597520988567254205440*n^19+15777898784009323073466024252240*n^18+ 13276253706910948512666169823760*n^17+10150001083872418185978523915875*n^16+ 7062288470662614785217056225880*n^15+4476723077317594571988751919060*n^14+ 2586375585051137424502905342440*n^13+1361623655444788491721113161994*n^12+ 652681775641865760545978693464*n^11+284430044810026248722556427180*n^10+ 112434412081518533873861406120*n^9+40188956457765798912104107227*n^8+ 12934824997136385524202094320*n^7+3727588916629743720432959736*n^6+ 954725949999818591270451264*n^5+215185160069932359878334000*n^4+ 42089743770594493682880000*n^3+7017789299470571895840000*n^2+ 957734726198860431360000*n+113555501157466368000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 18, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 1048576 / Pi (2 j - 1) 36 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 34 (n + 1) n (13722623393637762299131396096 n 33 32 + 233284597691841959085233733632 n + 1978817410896232749057693319168 n 31 + 11132033977457631585422524547072 n 30 + 46606825892490376128032371726336 n 29 + 154569946386061626242498736171008 n 28 + 422182988269012522777630469609472 n 27 + 975106736133817515271399544383488 n 26 + 1940983892643806287385857831592448 n 25 + 3377276344257592323409376458713600 n 24 + 5192952969990088227610869082321920 n 23 + 7116534131508668318237145034798080 n 22 + 8751196464901389653716871652617760 n 21 + 9708655349285174901189784465131360 n 20 + 9759363504221892900727948415175840 n 19 + 8919641838321953408014649063331360 n 18 + 7431980533618728944203685015067525 n 17 + 5656896546131244261207506202519405 n 16 + 3939133695036927108203322508985870 n 15 + 2511714070488546955797486709388980 n 14 + 1467103510649940830752949278546454 n 13 + 784917894278095800057316386579358 n 12 + 384400423211588743324642450124792 n 11 + 172115077305235500352641158178268 n 10 + 70329679995008643061357580895549 n 9 8 + 26160270006870922950527941778157 n + 8827954437802020707910792226338 n 7 6 + 2690711695993352519511205267752 n + 736472904405228626044301852832 n 5 4 + 179655160755554922822291798480 n + 38669178713920305338400861600 n 3 2 + 7242130159832453401968480000 n + 1158998675359494338671680000 n + 152319440891367580723200000 n + 17373991677092354304000000)/ 2405873491984360136479756640625 and in Maple notation: 1048576/2405873491984360136479756640625*(n+1)*n*(13722623393637762299131396096* n^34+233284597691841959085233733632*n^33+1978817410896232749057693319168*n^32+ 11132033977457631585422524547072*n^31+46606825892490376128032371726336*n^30+ 154569946386061626242498736171008*n^29+422182988269012522777630469609472*n^28+ 975106736133817515271399544383488*n^27+1940983892643806287385857831592448*n^26+ 3377276344257592323409376458713600*n^25+5192952969990088227610869082321920*n^24 +7116534131508668318237145034798080*n^23+8751196464901389653716871652617760*n^ 22+9708655349285174901189784465131360*n^21+9759363504221892900727948415175840*n ^20+8919641838321953408014649063331360*n^19+7431980533618728944203685015067525* n^18+5656896546131244261207506202519405*n^17+3939133695036927108203322508985870 *n^16+2511714070488546955797486709388980*n^15+ 1467103510649940830752949278546454*n^14+784917894278095800057316386579358*n^13+ 384400423211588743324642450124792*n^12+172115077305235500352641158178268*n^11+ 70329679995008643061357580895549*n^10+26160270006870922950527941778157*n^9+ 8827954437802020707910792226338*n^8+2690711695993352519511205267752*n^7+ 736472904405228626044301852832*n^6+179655160755554922822291798480*n^5+ 38669178713920305338400861600*n^4+7242130159832453401968480000*n^3+ 1158998675359494338671680000*n^2+152319440891367580723200000*n+ 17373991677092354304000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 19, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 1048576 / Pi (2 j - 1) 38 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 36 (n + 1) n (7408010946541283511195371307008 n 35 + 133344197037743103201516683526144 n 34 + 1197554739554069514579937938046976 n 33 + 7135131032842990680375207163789312 n 32 + 31656601243783808390656159405309952 n 31 + 111344160906898717165194105052463104 n 30 + 322841350312162574063226545234835456 n 29 + 792457778343648856949689512358217728 n 28 + 1678566931022790791536163050135971840 n 27 + 3112433358321372819134592849898924032 n 26 + 5108064095554281129783212438164889088 n 25 + 7484816169467713911436513127444866560 n 24 + 9860238278209767218678575297139811840 n 23 + 11743656781247043066299220263927485440 n 22 + 12702651803310206023857181739304771360 n 21 + 12524192566183130182539969290634622560 n 20 + 11288717897912808107457100707679782120 n 19 + 9323638478409244283610202013571490800 n 18 + 7068741421211592502155392600353029775 n 17 + 4925732395962320469251857457569073055 n 16 + 3157394211243560269068108441134901802 n 15 + 1862440379435457780655704988337326556 n 14 + 1010901139344999011921421625083272674 n 13 + 504651181570715185511341009469452778 n 12 + 231477592008677453506231551647139408 n 11 + 97412897785309736134984040966458436 n 10 + 37533200430586065681215919255897879 n 9 + 13204223579283473765363005561470687 n 8 + 4226287152676223453773691899483830 n 7 + 1225070623607435142515465991730488 n 6 + 319709414990735904002091839901792 n 5 + 74543111237047867055345113582320 n 4 3 + 15371928322363380299647007167200 n + 2764672895105678015136306720000 n 2 + 425816122159726886065020480000 n + 54018068244435744367564800000 n + 5941905153565585171968000000)/801155872830791925447758961328125 and in Maple notation: 1048576/801155872830791925447758961328125*(n+1)*n*( 7408010946541283511195371307008*n^36+133344197037743103201516683526144*n^35+ 1197554739554069514579937938046976*n^34+7135131032842990680375207163789312*n^33 +31656601243783808390656159405309952*n^32+111344160906898717165194105052463104* n^31+322841350312162574063226545234835456*n^30+ 792457778343648856949689512358217728*n^29+1678566931022790791536163050135971840 *n^28+3112433358321372819134592849898924032*n^27+ 5108064095554281129783212438164889088*n^26+ 7484816169467713911436513127444866560*n^25+ 9860238278209767218678575297139811840*n^24+ 11743656781247043066299220263927485440*n^23+ 12702651803310206023857181739304771360*n^22+ 12524192566183130182539969290634622560*n^21+ 11288717897912808107457100707679782120*n^20+ 9323638478409244283610202013571490800*n^19+ 7068741421211592502155392600353029775*n^18+ 4925732395962320469251857457569073055*n^17+ 3157394211243560269068108441134901802*n^16+ 1862440379435457780655704988337326556*n^15+ 1010901139344999011921421625083272674*n^14+504651181570715185511341009469452778 *n^13+231477592008677453506231551647139408*n^12+ 97412897785309736134984040966458436*n^11+37533200430586065681215919255897879*n^ 10+13204223579283473765363005561470687*n^9+4226287152676223453773691899483830*n ^8+1225070623607435142515465991730488*n^7+319709414990735904002091839901792*n^6 +74543111237047867055345113582320*n^5+15371928322363380299647007167200*n^4+ 2764672895105678015136306720000*n^3+425816122159726886065020480000*n^2+ 54018068244435744367564800000*n+5941905153565585171968000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 20, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 16777216 / Pi (2 j - 1) 40 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 38 (n + 1) n (556186032216367763465110437036032 n 37 + 10567534612110987505837098303684608 n 36 + 100175965049825347653941007809380352 n 35 + 630171028952536644623020228859854848 n 34 + 2953423516518936167424654012055781376 n 33 + 10980666858257703248536650758574342144 n 32 + 33683136757132688884831314907662401536 n 31 + 87555831269705046278358679232572555264 n 30 + 196614038408342350053056562773579212672 n 29 + 386973136969910130866347592791574794368 n 28 + 675051508516831224481539156085138910592 n 27 + 1052967588775351492089324936226592481408 n 26 + 1479072181996338652141817439937786164480 n 25 + 1881713232808048735634097554115255467520 n 24 + 2178426679832748978841155489888088831680 n 23 + 2303688279086060256012017825698554184320 n 22 + 2232314306018181300256280911916697298995 n 21 + 1987183514571835957988878636810352329905 n 20 + 1628345924262417711003082630209032901820 n 19 + 1230145487127963490429124998592174976805 n 18 + 857748929461529830607125977066351197953 n 17 + 552433576384260955108741552771647043482 n 16 + 328756539480236942837587061493358203108 n 15 + 180775320679934268997159700267254529442 n 14 + 91813126076153939846464154623051140749 n 13 + 43035614069664878011456532510368085981 n 12 + 18594199364104577008487696268012046964 n 11 + 7392856353446720972980025560419968361 n 10 + 2698676764419895907884541186193197343 n 9 + 901835928007933548641318027221464792 n 8 + 274872058387172327623767279453213948 n 7 + 76052592046201666566160361376969552 n 6 + 18987568923457390088034236552720400 n 5 + 4244507041686255198236895564787200 n 4 + 840949574824775967540403140360000 n 3 + 145619493340508577681450324480000 n 2 + 21636589154100220385159760000000 n + 2654920233097917784167168000000 n + 282240494794365295668480000000)/593656501767616816756789390344140625 and in Maple notation: 16777216/593656501767616816756789390344140625*(n+1)*n*( 556186032216367763465110437036032*n^38+10567534612110987505837098303684608*n^37 +100175965049825347653941007809380352*n^36+630171028952536644623020228859854848 *n^35+2953423516518936167424654012055781376*n^34+ 10980666858257703248536650758574342144*n^33+ 33683136757132688884831314907662401536*n^32+ 87555831269705046278358679232572555264*n^31+ 196614038408342350053056562773579212672*n^30+ 386973136969910130866347592791574794368*n^29+ 675051508516831224481539156085138910592*n^28+ 1052967588775351492089324936226592481408*n^27+ 1479072181996338652141817439937786164480*n^26+ 1881713232808048735634097554115255467520*n^25+ 2178426679832748978841155489888088831680*n^24+ 2303688279086060256012017825698554184320*n^23+ 2232314306018181300256280911916697298995*n^22+ 1987183514571835957988878636810352329905*n^21+ 1628345924262417711003082630209032901820*n^20+ 1230145487127963490429124998592174976805*n^19+ 857748929461529830607125977066351197953*n^18+ 552433576384260955108741552771647043482*n^17+ 328756539480236942837587061493358203108*n^16+ 180775320679934268997159700267254529442*n^15+ 91813126076153939846464154623051140749*n^14+ 43035614069664878011456532510368085981*n^13+ 18594199364104577008487696268012046964*n^12+ 7392856353446720972980025560419968361*n^11+ 2698676764419895907884541186193197343*n^10+901835928007933548641318027221464792 *n^9+274872058387172327623767279453213948*n^8+ 76052592046201666566160361376969552*n^7+18987568923457390088034236552720400*n^6 +4244507041686255198236895564787200*n^5+840949574824775967540403140360000*n^4+ 145619493340508577681450324480000*n^3+21636589154100220385159760000000*n^2+ 2654920233097917784167168000000*n+282240494794365295668480000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 21, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 8388608 / Pi (2 j - 1) 42 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 40 (n + 1) n (369678481838305503681196807863402496 n 39 + 7393569636766110073623936157268049920 n 38 + 73775977491390125074898543689622749184 n 37 + 488637722195797782330516214680228069376 n 36 + 2412242915727117919117721737898761322496 n 35 + 9452535192476212694286437215054200569856 n 34 + 30582468890010146692483866797975436787712 n 33 + 83917930218550306371901028423744943751168 n 32 + 199119188670135058954707700627098150461440 n 31 + 414549221538074727747244110033558380085248 n 30 + 765852480802283616509263045103592023249664 n 29 + 1266781560861991281502873345257329066532096 n 28 + 1889606721722979097118960761621921776192768 n 27 + 2556828329612519149599627818500468675420416 n 26 + 3153446297856529513970569971818278807119360 n 25 + 3559187860091456986375543353129169717962240 n 24 + 3688291007258917759415173252760930484162480 n 23 + 3518703268078087129763126134313809139499840 n 22 + 3097281165780630700702832829786247708369190 n 21 + 2519915876736584604713555180796115655561410 n 20 + 1897557815435367490491224719091292820910839 n 19 + 1323875097874147368869092141550009080351040 n 18 + 856316354161589524569780541398667403437761 n 17 + 513696956728373568577290196504405699354104 n 16 + 285808548385878359627448785972461668885394 n 15 + 147436918696013062934280641688741032115224 n 14 + 70472324440875146859126844023862521248288 n 13 + 31179644146230207829840065417291851967082 n 12 + 12751079497857568581434709618545082824355 n 11 + 4810941230006459965672296597156587200152 n 10 + 1670603304173085827059747061155914673641 n 9 + 532296791136268760738938107313082190924 n 8 + 155028100062043847445886037747495337732 n 7 + 41072851804807354132460891890870598304 n 6 + 9838830811752568025559382174899865200 n 5 + 2114363857455375867542819111609361600 n 4 + 403482003027340884979998228759000000 n 3 + 67421475476544734998005133647360000 n 2 + 9684364894885973074424418000000000 n + 1151551495439881747601854464000000 n + 118541007813633424180761600000000 )/121699582862361447435141825020548828125 and in Maple notation: 8388608/121699582862361447435141825020548828125*(n+1)*n*( 369678481838305503681196807863402496*n^40+7393569636766110073623936157268049920 *n^39+73775977491390125074898543689622749184*n^38+ 488637722195797782330516214680228069376*n^37+ 2412242915727117919117721737898761322496*n^36+ 9452535192476212694286437215054200569856*n^35+ 30582468890010146692483866797975436787712*n^34+ 83917930218550306371901028423744943751168*n^33+ 199119188670135058954707700627098150461440*n^32+ 414549221538074727747244110033558380085248*n^31+ 765852480802283616509263045103592023249664*n^30+ 1266781560861991281502873345257329066532096*n^29+ 1889606721722979097118960761621921776192768*n^28+ 2556828329612519149599627818500468675420416*n^27+ 3153446297856529513970569971818278807119360*n^26+ 3559187860091456986375543353129169717962240*n^25+ 3688291007258917759415173252760930484162480*n^24+ 3518703268078087129763126134313809139499840*n^23+ 3097281165780630700702832829786247708369190*n^22+ 2519915876736584604713555180796115655561410*n^21+ 1897557815435367490491224719091292820910839*n^20+ 1323875097874147368869092141550009080351040*n^19+ 856316354161589524569780541398667403437761*n^18+ 513696956728373568577290196504405699354104*n^17+ 285808548385878359627448785972461668885394*n^16+ 147436918696013062934280641688741032115224*n^15+ 70472324440875146859126844023862521248288*n^14+ 31179644146230207829840065417291851967082*n^13+ 12751079497857568581434709618545082824355*n^12+ 4810941230006459965672296597156587200152*n^11+ 1670603304173085827059747061155914673641*n^10+ 532296791136268760738938107313082190924*n^9+ 155028100062043847445886037747495337732*n^8+ 41072851804807354132460891890870598304*n^7+ 9838830811752568025559382174899865200*n^6+2114363857455375867542819111609361600 *n^5+403482003027340884979998228759000000*n^4+ 67421475476544734998005133647360000*n^3+9684364894885973074424418000000000*n^2+ 1151551495439881747601854464000000*n+118541007813633424180761600000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 22, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 16777216 / Pi (2 j - 1) 44 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 42 (n + 1) n (270584031970436009697135273261821591552 n 41 + 5682264671379156203639840738498253422592 n 40 + 59534864342995589612421094018758278643712 n 39 + 414121115104760444417643646113737605120000 n 38 + 2147892970455770685555333416865707673845760 n 37 + 8847440165573966431392567011659122374279168 n 36 + 30109077996572149897051297806743624747253760 n 35 + 86968009670567720337160668241669322665426944 n 34 + 217402999001848356165245952035317066336845824 n 33 + 477294044726765251677279452651834101381480448 n 32 + 930816391153001404591886812988809549086572544 n 31 + 1627133639233542322390333588090126462177902592 n 30 + 2568221282685644074692529792780446918152275584 n 29 + 3682004205520914143426160064873955002516021632 n 28 + 4818588454329167472804364370237070642461272704 n 27 + 5779870140577124956486375595913252651295165824 n 26 + 6376191133437501030623764043990933420837702880 n 25 + 6487598007626374772162781149219331768840444000 n 24 + 6102516400112229632823793735038496109782806880 n 23 + 5317113051925839387557467114204485424028688960 n 22 + 4297952675316324010533778692401879287743648623 n 21 + 3226978304900589733183675323550992413737084613 n 20 + 2252544284313311501714412074418139465409373213 n 19 + 1462714820590404810095816716747298214405592915 n 18 + 883888655214565873475197144415708987846579510 n 17 + 497058342245287328704961138530052954116233342 n 16 + 260067228129466057476549177055803057579171610 n 15 + 126531997745386765633103702550315906664583926 n 14 + 57198259359449070738603677663787672875702091 n 13 + 23994682897310844959862556665745538342424017 n 12 + 9326362022397959406384431333112465188487321 n 11 + 3351960980122434083114300076097731039381783 n 10 + 1111157183574399469522104563317182981396576 n 9 + 338667153864547687669799764849614561551388 n 8 + 94534602944177282229081223441203641828256 n 7 + 24049535382630005781534888638734151047056 n 6 + 5541777589618507464367802573966779161600 n 5 + 1147625347078745533733986455299936308800 n 4 + 211399613053436678582485453330455840000 n 3 + 34157369011056210228473807095635840000 n 2 + 4751990433467768065229689446720000000 n + 548477169593100336189461532672000000 n + 54765945609898641971511859200000000)/ 109894723324712387033933067993555591796875 and in Maple notation: 16777216/109894723324712387033933067993555591796875*(n+1)*n*( 270584031970436009697135273261821591552*n^42+ 5682264671379156203639840738498253422592*n^41+ 59534864342995589612421094018758278643712*n^40+ 414121115104760444417643646113737605120000*n^39+ 2147892970455770685555333416865707673845760*n^38+ 8847440165573966431392567011659122374279168*n^37+ 30109077996572149897051297806743624747253760*n^36+ 86968009670567720337160668241669322665426944*n^35+ 217402999001848356165245952035317066336845824*n^34+ 477294044726765251677279452651834101381480448*n^33+ 930816391153001404591886812988809549086572544*n^32+ 1627133639233542322390333588090126462177902592*n^31+ 2568221282685644074692529792780446918152275584*n^30+ 3682004205520914143426160064873955002516021632*n^29+ 4818588454329167472804364370237070642461272704*n^28+ 5779870140577124956486375595913252651295165824*n^27+ 6376191133437501030623764043990933420837702880*n^26+ 6487598007626374772162781149219331768840444000*n^25+ 6102516400112229632823793735038496109782806880*n^24+ 5317113051925839387557467114204485424028688960*n^23+ 4297952675316324010533778692401879287743648623*n^22+ 3226978304900589733183675323550992413737084613*n^21+ 2252544284313311501714412074418139465409373213*n^20+ 1462714820590404810095816716747298214405592915*n^19+ 883888655214565873475197144415708987846579510*n^18+ 497058342245287328704961138530052954116233342*n^17+ 260067228129466057476549177055803057579171610*n^16+ 126531997745386765633103702550315906664583926*n^15+ 57198259359449070738603677663787672875702091*n^14+ 23994682897310844959862556665745538342424017*n^13+ 9326362022397959406384431333112465188487321*n^12+ 3351960980122434083114300076097731039381783*n^11+ 1111157183574399469522104563317182981396576*n^10+ 338667153864547687669799764849614561551388*n^9+ 94534602944177282229081223441203641828256*n^8+ 24049535382630005781534888638734151047056*n^7+ 5541777589618507464367802573966779161600*n^6+ 1147625347078745533733986455299936308800*n^5+ 211399613053436678582485453330455840000*n^4+ 34157369011056210228473807095635840000*n^3+ 4751990433467768065229689446720000000*n^2+548477169593100336189461532672000000* n+54765945609898641971511859200000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 23, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 16777216 / Pi (2 j - 1) 46 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 44 (n + 1) n (217133883600169073570823940597835697750016 n 43 + 4776945439203719618558126693152385350500352 n 42 + 52433313343667832824693196298566214382256128 n 41 + 382169291616864686725559054950456506777075712 n 40 + 2077695896915197132198620673027226386656395264 n 39 + 8974875972403470062354623124046667677102505984 n 38 + 32047599415916127694552540583575449824132530176 n 37 + 97192199078210451379967695786984144208762568704 n 36 + 255291310389307212168554415636659373977610944512 n 35 + 589408846553278474431773330325170907029004025856 n 34 + 1209908262963307567069360575302784123012730077184 n 33 + 2228452512954987229580719937544636148298146267136 n 32 + 3710012462840915163415660151070617756512957767680 n 31 + 5616935158301026553283045244839184377715858341888 n 30 + 7772431028754016018088820478346194067300195740032 n 29 + 9871187909213680582149109981287066382220674854528 n 28 + 11546888987196974694526086549115514262831923146368 n 27 + 12477488049900036527913189283277103917962540122240 n 26 + 12486262431616907401622518046623407395351332100960 n 25 + 11595216368709292658891630646893559306285870671840 n 24 + 10009390490102140236359635866105362347385866254544 n 23 + 8043036297885973085393089750865572140378944252288 n 22 + 6022680386355194839362822725657478002026112476957 n 21 + 4206030933294770341538870692105037477932716993503 n 20 + 2741014944212425396850316509515187961931561514871 n 19 + 1667407460905587236795386435549290280293257176681 n 18 + 946872519407856453632104546331089695978825469634 n 17 + 501857680648730185396793408714237844367449253786 n 16 + 248151540360025495458465525239220553833358158398 n 15 + 114390657410376454283552108715107297661638210434 n 14 + 49109254978796938459639803117782343823454886001 n 13 + 19609026935738515903638650810669961799614278979 n 12 + 7269918954188563767886491161118234179944006155 n 11 + 2497239366809778830573931872396719248383957877 n 10 + 792694480642960388280212475127086842783816928 n 9 + 231771777763572194965580733298807982311681812 n 8 + 62171485751956660380041161535816967915252192 n 7 + 15224696886620886066421438924117188875156400 n 6 + 3382507428673764547073420091564072736896000 n 5 + 676436524076577570204361435950099010104000 n 4 + 120516320993975024247846372790528702560000 n 3 + 18863480630933925918354970822819152000000 n 2 + 2546024950876176308862043653683520000000 n + 285671594442361028484091990440960000000 n + 27711568478608712837585000755200000000)/ 54397888045732631581796868656810017939453125 and in Maple notation: 16777216/54397888045732631581796868656810017939453125*(n+1)*n*( 217133883600169073570823940597835697750016*n^44+ 4776945439203719618558126693152385350500352*n^43+ 52433313343667832824693196298566214382256128*n^42+ 382169291616864686725559054950456506777075712*n^41+ 2077695896915197132198620673027226386656395264*n^40+ 8974875972403470062354623124046667677102505984*n^39+ 32047599415916127694552540583575449824132530176*n^38+ 97192199078210451379967695786984144208762568704*n^37+ 255291310389307212168554415636659373977610944512*n^36+ 589408846553278474431773330325170907029004025856*n^35+ 1209908262963307567069360575302784123012730077184*n^34+ 2228452512954987229580719937544636148298146267136*n^33+ 3710012462840915163415660151070617756512957767680*n^32+ 5616935158301026553283045244839184377715858341888*n^31+ 7772431028754016018088820478346194067300195740032*n^30+ 9871187909213680582149109981287066382220674854528*n^29+ 11546888987196974694526086549115514262831923146368*n^28+ 12477488049900036527913189283277103917962540122240*n^27+ 12486262431616907401622518046623407395351332100960*n^26+ 11595216368709292658891630646893559306285870671840*n^25+ 10009390490102140236359635866105362347385866254544*n^24+ 8043036297885973085393089750865572140378944252288*n^23+ 6022680386355194839362822725657478002026112476957*n^22+ 4206030933294770341538870692105037477932716993503*n^21+ 2741014944212425396850316509515187961931561514871*n^20+ 1667407460905587236795386435549290280293257176681*n^19+ 946872519407856453632104546331089695978825469634*n^18+ 501857680648730185396793408714237844367449253786*n^17+ 248151540360025495458465525239220553833358158398*n^16+ 114390657410376454283552108715107297661638210434*n^15+ 49109254978796938459639803117782343823454886001*n^14+ 19609026935738515903638650810669961799614278979*n^13+ 7269918954188563767886491161118234179944006155*n^12+ 2497239366809778830573931872396719248383957877*n^11+ 792694480642960388280212475127086842783816928*n^10+ 231771777763572194965580733298807982311681812*n^9+ 62171485751956660380041161535816967915252192*n^8+ 15224696886620886066421438924117188875156400*n^7+ 3382507428673764547073420091564072736896000*n^6+ 676436524076577570204361435950099010104000*n^5+ 120516320993975024247846372790528702560000*n^4+ 18863480630933925918354970822819152000000*n^3+ 2546024950876176308862043653683520000000*n^2+ 285671594442361028484091990440960000000*n+ 27711568478608712837585000755200000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 24, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 536870912 / Pi (2 j - 1) 48 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 46 (n + 1) n (11891141662470044554898768642139176021000192 n 45 + 273496258236811024762671678769201048483004416 n 44 + 3138486122622687231851296248260611686755991552 n 43 + 23919812088625300014887690464815284108936085504 n 42 + 136020890975809507794743889245444907251947143168 n 41 + 614826157687013965932833151806879801186850570240 n 40 + 2298466902269420536638337307016121915709124313088 n 39 + 7302100796873349184297626071766179882463939002368 n 38 + 20105488619023158181327729133575487416545320116224 n 37 + 48694313787747035551334187115090603111387782733824 n 36 + 104942036713199439241037909332242847938941094395904 n 35 + 203104664387601976375935329068596925927693759045632 n 34 + 355653763623114256467967651760996403830090365721600 n 33 + 566938562555105234882475163384723557471674339949568 n 32 + 826915908190229944933038716250246202699500203235840 n 31 + 1108309864076158578206120911716977937648909489831936 n 30 + 1369940831317337108381918338197433369885428331096596 n 29 + 1566418238430575907438682519022777646761973553669932 n 28 + 1661114764628172242647783006765046955367101160060996 n 27 + 1637281682750089669377182046008292617341658255355500 n 26 + 1502700984818365259488550138992674336606790966670478 n 25 + 1286191921189740221268199284594565782664217250280014 n 24 + 1027922026972598018184599650842254633574422316699693 n 23 + 767823890781241627353858269235393357959165465627076 n 22 + 536453659816211328625112843853740178372036539026252 n 21 + 350748201164266824317947302969993179403473203165790 n 20 + 214673961025930400545368767829002480771700850673907 n 19 + 123003555557878184525687341624505777680448931323412 n 18 + 65970370874887506601789604318450131967722771613346 n 17 + 33106542023251419280245948017253562993821819647706 n 16 + 15536389641173566640954527864752962752882105217491 n 15 + 6812163830777040125064920283475314045781252305548 n 14 + 2787565504411649972578470404158867567899811809420 n 13 + 1063019303312627293942175848792301687707464247662 n 12 + 377094334650517162156254980257685667093734744505 n 11 + 124161981700940480195859995707775283399848983344 n 10 + 37842542480539200025920929630896172566183982724 n 9 + 10641150775486918012038964071952521293631034848 n 8 + 2749502551354872153592112573460681574439247024 n 7 + 649539354424591999987514014759180488575239680 n 6 + 139421787127466010737386562822792349859320000 n 5 + 26976286810531457069277180196795001181696000 n 4 + 4656757512380681362044464298528788977920000 n 3 + 707239352015104133903845593978032947200000 n 2 + 92750682360090070555029454309873920000000 n + 10130542760140182813396459852195840000000 n + 956049112512000592896682526054400000000)/ 58804116977436974739922415018011629392548828125 and in Maple notation: 536870912/58804116977436974739922415018011629392548828125*(n+1)*n*( 11891141662470044554898768642139176021000192*n^46+ 273496258236811024762671678769201048483004416*n^45+ 3138486122622687231851296248260611686755991552*n^44+ 23919812088625300014887690464815284108936085504*n^43+ 136020890975809507794743889245444907251947143168*n^42+ 614826157687013965932833151806879801186850570240*n^41+ 2298466902269420536638337307016121915709124313088*n^40+ 7302100796873349184297626071766179882463939002368*n^39+ 20105488619023158181327729133575487416545320116224*n^38+ 48694313787747035551334187115090603111387782733824*n^37+ 104942036713199439241037909332242847938941094395904*n^36+ 203104664387601976375935329068596925927693759045632*n^35+ 355653763623114256467967651760996403830090365721600*n^34+ 566938562555105234882475163384723557471674339949568*n^33+ 826915908190229944933038716250246202699500203235840*n^32+ 1108309864076158578206120911716977937648909489831936*n^31+ 1369940831317337108381918338197433369885428331096596*n^30+ 1566418238430575907438682519022777646761973553669932*n^29+ 1661114764628172242647783006765046955367101160060996*n^28+ 1637281682750089669377182046008292617341658255355500*n^27+ 1502700984818365259488550138992674336606790966670478*n^26+ 1286191921189740221268199284594565782664217250280014*n^25+ 1027922026972598018184599650842254633574422316699693*n^24+ 767823890781241627353858269235393357959165465627076*n^23+ 536453659816211328625112843853740178372036539026252*n^22+ 350748201164266824317947302969993179403473203165790*n^21+ 214673961025930400545368767829002480771700850673907*n^20+ 123003555557878184525687341624505777680448931323412*n^19+ 65970370874887506601789604318450131967722771613346*n^18+ 33106542023251419280245948017253562993821819647706*n^17+ 15536389641173566640954527864752962752882105217491*n^16+ 6812163830777040125064920283475314045781252305548*n^15+ 2787565504411649972578470404158867567899811809420*n^14+ 1063019303312627293942175848792301687707464247662*n^13+ 377094334650517162156254980257685667093734744505*n^12+ 124161981700940480195859995707775283399848983344*n^11+ 37842542480539200025920929630896172566183982724*n^10+ 10641150775486918012038964071952521293631034848*n^9+ 2749502551354872153592112573460681574439247024*n^8+ 649539354424591999987514014759180488575239680*n^7+ 139421787127466010737386562822792349859320000*n^6+ 26976286810531457069277180196795001181696000*n^5+ 4656757512380681362044464298528788977920000*n^4+ 707239352015104133903845593978032947200000*n^3+ 92750682360090070555029454309873920000000*n^2+ 10130542760140182813396459852195840000000*n+ 956049112512000592896682526054400000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 25, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 134217728 / Pi (2 j - 1) 50 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 48 (n + 1) n (11334989348526503334953513447876270329478250496 n 47 + 272039744364636080038884322749030487907478011904 n 46 + 3257567337767708784609633137009559262998137143296 n 45 + 25911554825628701625682570002602870144293199151104 n 44 + 153823583070356241110774577972161648049300267073536 n 43 + 726124581439045350070603405862443449130138535460864 n 42 + 2836181860587296788546192125464217990962670939406336 n 41 + 9419077702084270001335676111490480356044261374296064 n 40 + 27126739931170454608048763278807251616748033548025856 n 39 + 68765390295598584638486497864864342031588973504364544 n 38 + 155225832319251394139404951196305183580664334269382656 n 37 + 314919167657706790318943702280965624592693775772319744 n 36 + 578550227482767979348564680206696811928303497745678336 n 35 + 968461698787763914020295737931314488548436271618392064 n 34 + 1484801701126312087265643520139800465200547580319707136 n 33 + 2094053107411530649219137730291467827399794813104779264 n 32 + 2726709917473335064439871658611292593846602726014346496 n 31 + 3288374662565673404955356862700896089921537522314235904 n 30 + 3682751296300229483019785169864871934912746810516461296 n 29 + 3838821219236185427756695797973212711804773891418841104 n 28 + 3731594202517767521945793454558217722571492013327567504 n 27 + 3388188114620885566610643676242548356466331779039638096 n 26 + 2877436353185394798450811609127759609200498691662999704 n 25 + 2288186715491564745323831037441466093053900408406195896 n 24 + 1705333746940345745920380487383384615361162766552153039 n 23 + 1191935179065464698366871698347081527682296123945024436 n 22 + 781676647866176100162569776868649138840087644736724614 n 21 + 481120913169108727836989666392004018445060635144024236 n 20 + 277953237298737151000809427651653996419595471378622269 n 19 + 150706978683910902675948522419374220796893797860525456 n 18 + 76666664899258342208800913974816992609210035200122344 n 17 + 36573675045267996952344663188680591185815061467690256 n 16 + 16349351362982857870285274954687468108463819233110089 n 15 + 6841934837884721254591101371384093488621858173727636 n 14 + 2677100799737518819726980451750225156024464828384414 n 13 + 977886152711490818932633799120890130110381884245436 n 12 + 332835802216488792641733365972126640628769335262379 n 11 + 105316052316899277189704279124086616528805555587096 n 10 + 30894170301421298940200080989135561084362881848204 n 9 + 8373642359577014107209226456451254269094467376896 n 8 + 2088464882877898990199659103166547604900122410000 n 7 + 476897785785345216020983105355112437070970032000 n 6 + 99079171945683987143296599392156775830545320000 n 5 + 18579790444002428780826487456339820874286080000 n 4 + 3112562189182994133808360851775717774560000000 n 3 + 459357945073263362774461750858651322880000000 n 2 + 58615242060583967530734792898535174400000000 n + 6239853233192549994846060571670937600000000 n + 573629467507200355738009515632640000000000)/ 8644205195683235286768595007647709520704677734375 and in Maple notation: 134217728/8644205195683235286768595007647709520704677734375*(n+1)*n*( 11334989348526503334953513447876270329478250496*n^48+ 272039744364636080038884322749030487907478011904*n^47+ 3257567337767708784609633137009559262998137143296*n^46+ 25911554825628701625682570002602870144293199151104*n^45+ 153823583070356241110774577972161648049300267073536*n^44+ 726124581439045350070603405862443449130138535460864*n^43+ 2836181860587296788546192125464217990962670939406336*n^42+ 9419077702084270001335676111490480356044261374296064*n^41+ 27126739931170454608048763278807251616748033548025856*n^40+ 68765390295598584638486497864864342031588973504364544*n^39+ 155225832319251394139404951196305183580664334269382656*n^38+ 314919167657706790318943702280965624592693775772319744*n^37+ 578550227482767979348564680206696811928303497745678336*n^36+ 968461698787763914020295737931314488548436271618392064*n^35+ 1484801701126312087265643520139800465200547580319707136*n^34+ 2094053107411530649219137730291467827399794813104779264*n^33+ 2726709917473335064439871658611292593846602726014346496*n^32+ 3288374662565673404955356862700896089921537522314235904*n^31+ 3682751296300229483019785169864871934912746810516461296*n^30+ 3838821219236185427756695797973212711804773891418841104*n^29+ 3731594202517767521945793454558217722571492013327567504*n^28+ 3388188114620885566610643676242548356466331779039638096*n^27+ 2877436353185394798450811609127759609200498691662999704*n^26+ 2288186715491564745323831037441466093053900408406195896*n^25+ 1705333746940345745920380487383384615361162766552153039*n^24+ 1191935179065464698366871698347081527682296123945024436*n^23+ 781676647866176100162569776868649138840087644736724614*n^22+ 481120913169108727836989666392004018445060635144024236*n^21+ 277953237298737151000809427651653996419595471378622269*n^20+ 150706978683910902675948522419374220796893797860525456*n^19+ 76666664899258342208800913974816992609210035200122344*n^18+ 36573675045267996952344663188680591185815061467690256*n^17+ 16349351362982857870285274954687468108463819233110089*n^16+ 6841934837884721254591101371384093488621858173727636*n^15+ 2677100799737518819726980451750225156024464828384414*n^14+ 977886152711490818932633799120890130110381884245436*n^13+ 332835802216488792641733365972126640628769335262379*n^12+ 105316052316899277189704279124086616528805555587096*n^11+ 30894170301421298940200080989135561084362881848204*n^10+ 8373642359577014107209226456451254269094467376896*n^9+ 2088464882877898990199659103166547604900122410000*n^8+ 476897785785345216020983105355112437070970032000*n^7+ 99079171945683987143296599392156775830545320000*n^6+ 18579790444002428780826487456339820874286080000*n^5+ 3112562189182994133808360851775717774560000000*n^4+ 459357945073263362774461750858651322880000000*n^3+ 58615242060583967530734792898535174400000000*n^2+ 6239853233192549994846060571670937600000000*n+ 573629467507200355738009515632640000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 26, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 536870912 / Pi (2 j - 1) 52 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 50 (n + 1) n (5857220140566581753340151331633030920252168339456 n 49 + 146430503514164543833503783290825773006304208486400 n 48 + 1826550881158961772861565464045282173842473263038464 n 47 + 15136842459038831957310829612084920662983733449588736 n 46 + 93643074607059842627665404933472895560129105930747904 n 45 + 460806578344451052436384764643476774484857142481780736 n 44 + 1877033876791849675836574099809653617232193202119245824 n 43 + 6504013418767588078315263849175748119973635554529509376 n 42 + 19554059621697093529970467237300856177352809034929209344 n 41 + 51776449023709620767526831968197523782588244619718885376 n 40 + 122160509974204219754605214117972748731807802225850056704 n 39 + 259224680531277440471060602268668310126128022297181290496 n 38 + 498493151672957546271712156020133830704637573845015977984 n 37 + 874171942345465062230329049090349114744446945806844010496 n 36 + 1405271448729038480499227102775848891776398241949647233024 n 35 + 2080005674987180631874724381145932978736067583856646578176 n 34 + 2845354895598719344928329572144202708786553080932557782784 n 33 + 3608814361773314540780165613137300434157690253349441810176 n 32 + 4255374131564716279495975989229632405386712110358251454464 n 31 + 4676007332909434745441238584548436331182738069373524596736 n 30 + 4797880892853557029068676251549627881996686033789986656052 n 29 + 4604739310886046440267152327980077366105352181524037479436 n 28 + 4139736958391546338206439016348561388519954174313200370036 n 27 + 3490447795097530309950743573701560260170718835159923134764 n 26 + 2762902706886336179569898217415584285293630304538983122171 n 25 + 2054826202661013151248449516955434990515631293309285841639 n 24 + 1436737779801439044628360158542127319588833956373892718976 n 23 + 944850677647364043627614282872131069733840902423781269574 n 22 + 584584316612052332524362829942789750251524239534163921881 n 21 + 340306445989258515993183345634317668291666211739342360449 n 20 + 186379539827959025203746494388308316593296066117083269546 n 19 + 96010986268166443342439754194466347668578952473525637004 n 18 + 46499501195058598029910792857901461892951201460082445941 n 17 + 21159531113408128765887997164634966426306598836971715129 n 16 + 9039177980681583809144231970205342840346725396458579676 n 15 + 3621195185342294274863607929642212833924752899746910374 n 14 + 1358621508002115757310122753975988491873401800668540491 n 13 + 476612414570964552345929210391862329253212362903486499 n 12 + 156028081496797250517261279266927500912815439841897286 n 11 + 47554155606309373831915259271287706577624388895592764 n 10 + 13455296827815474905228484438999566210890851001195992 n 9 + 3522368800741300124236137089945654781554755109723664 n 8 + 849599397731614982576805396731289725582950479636000 n 7 + 187856836441498737319310289449162499015966928392000 n 6 + 37838611789640786146080990975393528645025624560000 n 5 + 6887688156088553072699749309027804354267441920000 n 4 + 1121385984802621717069828115083075140129600000000 n 3 + 161036317278218389441957932071106475879680000000 n 2 + 20018762452828689302711023034893622899200000000 n + 2079410306685967130050491260305935974400000000 n + 186429576939840115614853092580608000000000000)/ 11021361624496124990629958634750829638898464111328125 and in Maple notation: 536870912/11021361624496124990629958634750829638898464111328125*(n+1)*n*( 5857220140566581753340151331633030920252168339456*n^50+ 146430503514164543833503783290825773006304208486400*n^49+ 1826550881158961772861565464045282173842473263038464*n^48+ 15136842459038831957310829612084920662983733449588736*n^47+ 93643074607059842627665404933472895560129105930747904*n^46+ 460806578344451052436384764643476774484857142481780736*n^45+ 1877033876791849675836574099809653617232193202119245824*n^44+ 6504013418767588078315263849175748119973635554529509376*n^43+ 19554059621697093529970467237300856177352809034929209344*n^42+ 51776449023709620767526831968197523782588244619718885376*n^41+ 122160509974204219754605214117972748731807802225850056704*n^40+ 259224680531277440471060602268668310126128022297181290496*n^39+ 498493151672957546271712156020133830704637573845015977984*n^38+ 874171942345465062230329049090349114744446945806844010496*n^37+ 1405271448729038480499227102775848891776398241949647233024*n^36+ 2080005674987180631874724381145932978736067583856646578176*n^35+ 2845354895598719344928329572144202708786553080932557782784*n^34+ 3608814361773314540780165613137300434157690253349441810176*n^33+ 4255374131564716279495975989229632405386712110358251454464*n^32+ 4676007332909434745441238584548436331182738069373524596736*n^31+ 4797880892853557029068676251549627881996686033789986656052*n^30+ 4604739310886046440267152327980077366105352181524037479436*n^29+ 4139736958391546338206439016348561388519954174313200370036*n^28+ 3490447795097530309950743573701560260170718835159923134764*n^27+ 2762902706886336179569898217415584285293630304538983122171*n^26+ 2054826202661013151248449516955434990515631293309285841639*n^25+ 1436737779801439044628360158542127319588833956373892718976*n^24+ 944850677647364043627614282872131069733840902423781269574*n^23+ 584584316612052332524362829942789750251524239534163921881*n^22+ 340306445989258515993183345634317668291666211739342360449*n^21+ 186379539827959025203746494388308316593296066117083269546*n^20+ 96010986268166443342439754194466347668578952473525637004*n^19+ 46499501195058598029910792857901461892951201460082445941*n^18+ 21159531113408128765887997164634966426306598836971715129*n^17+ 9039177980681583809144231970205342840346725396458579676*n^16+ 3621195185342294274863607929642212833924752899746910374*n^15+ 1358621508002115757310122753975988491873401800668540491*n^14+ 476612414570964552345929210391862329253212362903486499*n^13+ 156028081496797250517261279266927500912815439841897286*n^12+ 47554155606309373831915259271287706577624388895592764*n^11+ 13455296827815474905228484438999566210890851001195992*n^10+ 3522368800741300124236137089945654781554755109723664*n^9+ 849599397731614982576805396731289725582950479636000*n^8+ 187856836441498737319310289449162499015966928392000*n^7+ 37838611789640786146080990975393528645025624560000*n^6+ 6887688156088553072699749309027804354267441920000*n^5+ 1121385984802621717069828115083075140129600000000*n^4+ 161036317278218389441957932071106475879680000000*n^3+ 20018762452828689302711023034893622899200000000*n^2+ 2079410306685967130050491260305935974400000000*n+ 186429576939840115614853092580608000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 27, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 536870912 / Pi (2 j - 1) 54 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 52 (n + 1) n (6542308303915309646137307822941668212048789931819008 n 51 + 170100015901798050799570003396483373513268538227294208 n 50 + 2206731401915557348558514148668354854083669755753922560 n 49 + 19022031668756847919054227994956154480522179520548044800 n 48 + 122433042567104339875897793351492450614754703949086851072 n 47 + 627007946996139728047336481717119037937292632184028397568 n 46 + 2658988770067766104557444598959352557900005234626935652352 n 45 + 9596222837433644868857604452274419435923969804381989634048 n 44 + 30063451234617942655029377138318205539830155585851717844992 n 43 + 82994338823917997574284647044027906110686118496868358422528 n 42 + 204274768726964159125292271424568362475688654864571700805632 n 41 + 452483792810771944924431626602782538435246186387627072749568 n 40 + 908919627818730666223265552598401359855415597354761947840512 n 39 + 1666178524016812073572698451880451846927403103710215670202368 n 38 + 2802105734043389036322621553799225015376411964950653967491072 n 37 + 4342630589262968687700247036419972308295494918538355056713728 n 36 + 6225546612713205244984373145397500380059323122329208592422912 n 35 + 8282705702686649114908097497053424308745319309166017482805248 n 34 + 10255405195933299981964854950818518492443745844448558583269632 n 33 + 11845867022478129171240392279745736345125068853583135644147968 n 32 + 12791378467048230408049354973786935667715210465824553472059136 n 31 + 12935447081583166553943079328726864578689026675705733662431232 n 30 + 12269453091948281423826392870613918403445501265221456694785332 n 29 + 10929881674889299963111673985155206641588309607706892458855948 n 28 + 9154385767096782654924880098365840000991837054823393291272028 n 27 + 7215410581147218856958221326764763426177768098707428938797532 n 26 + 5355856588292746748832830566734910703036888900556385170601273 n 25 + 3746092949890442657309132196657128267926303246991032229733077 n 24 + 2469939588089555655924397527856704093148383317047141666335808 n 23 + 1535541125504730433046661889626768606326155932166483367721722 n 22 + 900215797312520575460063543238451961797114307285428366890643 n 21 + 497642989546148757243813271443458607852418951445286366475907 n 20 + 259348194462098207959435353513005339959919481183378487982638 n 19 + 127373794354194100062153993658724430080475529333472961439532 n 18 + 58921191553034677989767480243061773496762584898425968681303 n 17 + 25653160390571573576062739775345374162872973597615683823147 n 16 + 10502306002192400972473449152302137111793199685580176844788 n 15 + 4038343851780793330489109500125307151486254571563953829002 n 14 + 1456428053029083909118796349279047764264240846470201526593 n 13 + 491824954463405536967429394129935501094446106573382089057 n 12 + 155200417964590165792592163894850213842074509853414495106 n 11 + 45655302239642152999423342172082360274213837853524791060 n 10 + 12484076925565087866501278978197683801808634076265633608 n 9 + 3162195687142171910470661080020544425013121515618072752 n 8 + 738880757337540533682477040756303776487355849856732000 n 7 + 158451617313518237873551152424404870243443411041368000 n 6 + 30989052406549609319173463083488411848592200028240000 n 5 + 5483250254301354065430046168919214622657794812160000 n 4 + 868753918640264791710085357209222877197289920000000 n 3 + 121544456809482619511332755114997401074814720000000 n 2 + 14736741252679044964631159322350520587788800000000 n + 1495182042722933166117913193905831205683200000000 n + 130873563011767761161626870991586816000000000000)/ 7593718159277830118544041499343321621201041772705078125 and in Maple notation: 536870912/7593718159277830118544041499343321621201041772705078125*(n+1)*n*( 6542308303915309646137307822941668212048789931819008*n^52+ 170100015901798050799570003396483373513268538227294208*n^51+ 2206731401915557348558514148668354854083669755753922560*n^50+ 19022031668756847919054227994956154480522179520548044800*n^49+ 122433042567104339875897793351492450614754703949086851072*n^48+ 627007946996139728047336481717119037937292632184028397568*n^47+ 2658988770067766104557444598959352557900005234626935652352*n^46+ 9596222837433644868857604452274419435923969804381989634048*n^45+ 30063451234617942655029377138318205539830155585851717844992*n^44+ 82994338823917997574284647044027906110686118496868358422528*n^43+ 204274768726964159125292271424568362475688654864571700805632*n^42+ 452483792810771944924431626602782538435246186387627072749568*n^41+ 908919627818730666223265552598401359855415597354761947840512*n^40+ 1666178524016812073572698451880451846927403103710215670202368*n^39+ 2802105734043389036322621553799225015376411964950653967491072*n^38+ 4342630589262968687700247036419972308295494918538355056713728*n^37+ 6225546612713205244984373145397500380059323122329208592422912*n^36+ 8282705702686649114908097497053424308745319309166017482805248*n^35+ 10255405195933299981964854950818518492443745844448558583269632*n^34+ 11845867022478129171240392279745736345125068853583135644147968*n^33+ 12791378467048230408049354973786935667715210465824553472059136*n^32+ 12935447081583166553943079328726864578689026675705733662431232*n^31+ 12269453091948281423826392870613918403445501265221456694785332*n^30+ 10929881674889299963111673985155206641588309607706892458855948*n^29+ 9154385767096782654924880098365840000991837054823393291272028*n^28+ 7215410581147218856958221326764763426177768098707428938797532*n^27+ 5355856588292746748832830566734910703036888900556385170601273*n^26+ 3746092949890442657309132196657128267926303246991032229733077*n^25+ 2469939588089555655924397527856704093148383317047141666335808*n^24+ 1535541125504730433046661889626768606326155932166483367721722*n^23+ 900215797312520575460063543238451961797114307285428366890643*n^22+ 497642989546148757243813271443458607852418951445286366475907*n^21+ 259348194462098207959435353513005339959919481183378487982638*n^20+ 127373794354194100062153993658724430080475529333472961439532*n^19+ 58921191553034677989767480243061773496762584898425968681303*n^18+ 25653160390571573576062739775345374162872973597615683823147*n^17+ 10502306002192400972473449152302137111793199685580176844788*n^16+ 4038343851780793330489109500125307151486254571563953829002*n^15+ 1456428053029083909118796349279047764264240846470201526593*n^14+ 491824954463405536967429394129935501094446106573382089057*n^13+ 155200417964590165792592163894850213842074509853414495106*n^12+ 45655302239642152999423342172082360274213837853524791060*n^11+ 12484076925565087866501278978197683801808634076265633608*n^10+ 3162195687142171910470661080020544425013121515618072752*n^9+ 738880757337540533682477040756303776487355849856732000*n^8+ 158451617313518237873551152424404870243443411041368000*n^7+ 30989052406549609319173463083488411848592200028240000*n^6+ 5483250254301354065430046168919214622657794812160000*n^5+ 868753918640264791710085357209222877197289920000000*n^4+ 121544456809482619511332755114997401074814720000000*n^3+ 14736741252679044964631159322350520587788800000000*n^2+ 1495182042722933166117913193905831205683200000000*n+ 130873563011767761161626870991586816000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 28, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 2147483648 / Pi (2 j - 1) 56 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 54 (n + 1) n (3937474061368418980690520191277752049099371704020369408 n 53 + 106311799656947312478644045164499305325683036008549974016 n 52 + 1432284812242960543011072000083928113932324127153045110784 n 51 + 12823128463771408019025956296068790505775223369348862181376 n 50 + 85739641609093409243613076554832676723803683633880950112256 n 49 + 456267999494097586265942618466015905017628292167178743971840 n 48 + 2011273778620604881265837544517402165602961541976737007534080 n 47 + 7547964451448771724498204414781809217736357040170536869560320 n 46 + 24599820924464625747339570027381216130439691005047605688401920 n 45 + 70682912347499916325832490855501736726277139924434254269644800 n 44 + 181168470149301395007978674113802185395807924945991356563456000 n 43 + 418139632700535526510701203521212939102012199522196054209331200 n 42 + 875713450266555541992490834647888048080878056578937279288442880 n 41 + 1674802436846204603179309398297423766399093649230757503353487360 n 40 + 2940621840784243873811542395956326356395767191290812079244247040 n 39 + 4761541897293923838189224494056210287785626669980388745505013760 n 38 + 7137741685666695998685055062764944711046850759515400333201812480 n 37 + 9938360665219447309255581428964121462999683467653053447272842240 n 36 + 12889861036953541225878671917399565405980618608850326451548559360 n 35 + 15611092673321490811683687310643190097344429191842104674004874240 n 34 + 17692897398061666842558632798438847266863438878508787213448350464 n 33 + 18799663439654622306156521905176143398566459774297025934854293248 n 32 + 18757824586307370479957231415267732234191073656123158270287444352 n 31 + 17599285591077388811030749299798216147965077398516222485829091328 n 30 + 15545313286273590270624388995526445478221382998495284166616545053 n 29 + 12939815908287355119433893663069422454224510637380999332944539315 n 28 + 10158743892635855637119344457578062893490994594087219741387267345 n 27 + 7527070592512196873382660607247343133889121195054108404716416755 n 26 + 5266379118630756385033091708261665065286730452841971195161372805 n 25 + 3480666711040794762309378352134067659870945908693002916235173375 n 24 + 2173604834363218877497499715181980230398263724755660057596112325 n 23 + 1282657129486976756755363288382527667669224176424364602902200975 n 22 + 715215017506061191726665123216228589857966787557894153122947195 n 21 + 376775020885003710154949039961873203618389741829401149640803065 n 20 + 187459522488144041275028049358761131154308908003315977710546035 n 19 + 88045536020703214496255527415855047516516377439457266047768665 n 18 + 39012681365880990058857067340172183874154977849571604742358295 n 17 + 16294874107989349378652712508526239149088118466684371431684085 n 16 + 6409255132524681383840179323853595478491226208233945101017815 n 15 + 2371083902334310916403074114212781687990054806455759529718085 n 14 + 823825424491363473752455678681986738728677822152149304018828 n 13 + 268359760206068759155211352542594360914899977196509112392736 n 12 + 81789450804580948327973480280461096100504162447537080568864 n 11 + 23265430587014200465776444713674010297554128299060562763296 n 10 + 6158754176027831308078445809696582555694261634945244588416 n 9 + 1511917879619769816291786563841474453001200167855468593920 n 8 + 342760603395253953679469016161040675149043045563063136000 n 7 + 71392780148204507291384079370174371041610474275986080000 n 6 + 13575739488232615769681964594526922036412304975735680000 n 5 + 2337992004342099598098385919711252407241643865497600000 n 4 + 360912965948585223284203206820701304989017802240000000 n 3 + 49249298064146976018581769729916331019958425600000000 n 2 + 5830115494268076545158253617680545063732121600000000 n + 578327994490070508059209930509072543916032000000000 n + 49470206818448213719094957234819816448000000000000)/ 11276671466527577726037901626524832607483547032467041015625 and in Maple notation: 2147483648/11276671466527577726037901626524832607483547032467041015625*(n+1)*n* (3937474061368418980690520191277752049099371704020369408*n^54+ 106311799656947312478644045164499305325683036008549974016*n^53+ 1432284812242960543011072000083928113932324127153045110784*n^52+ 12823128463771408019025956296068790505775223369348862181376*n^51+ 85739641609093409243613076554832676723803683633880950112256*n^50+ 456267999494097586265942618466015905017628292167178743971840*n^49+ 2011273778620604881265837544517402165602961541976737007534080*n^48+ 7547964451448771724498204414781809217736357040170536869560320*n^47+ 24599820924464625747339570027381216130439691005047605688401920*n^46+ 70682912347499916325832490855501736726277139924434254269644800*n^45+ 181168470149301395007978674113802185395807924945991356563456000*n^44+ 418139632700535526510701203521212939102012199522196054209331200*n^43+ 875713450266555541992490834647888048080878056578937279288442880*n^42+ 1674802436846204603179309398297423766399093649230757503353487360*n^41+ 2940621840784243873811542395956326356395767191290812079244247040*n^40+ 4761541897293923838189224494056210287785626669980388745505013760*n^39+ 7137741685666695998685055062764944711046850759515400333201812480*n^38+ 9938360665219447309255581428964121462999683467653053447272842240*n^37+ 12889861036953541225878671917399565405980618608850326451548559360*n^36+ 15611092673321490811683687310643190097344429191842104674004874240*n^35+ 17692897398061666842558632798438847266863438878508787213448350464*n^34+ 18799663439654622306156521905176143398566459774297025934854293248*n^33+ 18757824586307370479957231415267732234191073656123158270287444352*n^32+ 17599285591077388811030749299798216147965077398516222485829091328*n^31+ 15545313286273590270624388995526445478221382998495284166616545053*n^30+ 12939815908287355119433893663069422454224510637380999332944539315*n^29+ 10158743892635855637119344457578062893490994594087219741387267345*n^28+ 7527070592512196873382660607247343133889121195054108404716416755*n^27+ 5266379118630756385033091708261665065286730452841971195161372805*n^26+ 3480666711040794762309378352134067659870945908693002916235173375*n^25+ 2173604834363218877497499715181980230398263724755660057596112325*n^24+ 1282657129486976756755363288382527667669224176424364602902200975*n^23+ 715215017506061191726665123216228589857966787557894153122947195*n^22+ 376775020885003710154949039961873203618389741829401149640803065*n^21+ 187459522488144041275028049358761131154308908003315977710546035*n^20+ 88045536020703214496255527415855047516516377439457266047768665*n^19+ 39012681365880990058857067340172183874154977849571604742358295*n^18+ 16294874107989349378652712508526239149088118466684371431684085*n^17+ 6409255132524681383840179323853595478491226208233945101017815*n^16+ 2371083902334310916403074114212781687990054806455759529718085*n^15+ 823825424491363473752455678681986738728677822152149304018828*n^14+ 268359760206068759155211352542594360914899977196509112392736*n^13+ 81789450804580948327973480280461096100504162447537080568864*n^12+ 23265430587014200465776444713674010297554128299060562763296*n^11+ 6158754176027831308078445809696582555694261634945244588416*n^10+ 1511917879619769816291786563841474453001200167855468593920*n^9+ 342760603395253953679469016161040675149043045563063136000*n^8+ 71392780148204507291384079370174371041610474275986080000*n^7+ 13575739488232615769681964594526922036412304975735680000*n^6+ 2337992004342099598098385919711252407241643865497600000*n^5+ 360912965948585223284203206820701304989017802240000000*n^4+ 49249298064146976018581769729916331019958425600000000*n^3+ 5830115494268076545158253617680545063732121600000000*n^2+ 578327994490070508059209930509072543916032000000000*n+ 49470206818448213719094957234819816448000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 29, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 2147483648 / Pi (2 j - 1) 58 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 56 (n + 1) n (2546893815217305573449838528766866004817794589897881812992 n 55 + 71313026826084556056595478805472248134898248517140690763776 n 54 + 996377679767164964180073629585193418009431642420565533261824 n 53 + 9252223214257526408854606994445840872867337837362948434034688 n 52 + 64175965099183468030256647195052388791510839159876297886269440 n 51 + 354369973176633879082470454813645241032340633109540530974359552 n 50 + 1621381017430023748633812030837922245922949455360725298811240448 n 49 + 6317898917774738133249040393715490049803092337169030846737285120 n 48 + 21388249511818280139345796414369319981763876037674595768734842880 n 47 + 63862845896153200368457223352939733815297358746959618130271272960 n 46 + 170182499917482358147249926172904783112142745473368304971375575040 n 45 + 408580306856296744060335392481346288891144820705362022853847941120 n 44 + 890603908850019632747461385594431968677249375961359096090139033600 n 43 + 1773832709446238642285946378543745087338029280460208583160393236480 n 42 + 3245580304505112407782414337930246478349144503682755848383205867520 n 41 + 5480251593680034557866604777490449360945799710993804822379528192000 n 40 + 8572896399207485251456429701252031354897408727298765421977003663360 n 39 + 12466047909022871807050357599899226300670880758930117119225957089280 n 38 + 16899082958388544177265310805057499876972495777111435850193930142720 n 37 + 21410352910604493068275398115697224006871754792599008811180486282240 n 36 + 25407518512571650976435890026005285630318116605603620528162033133056 n 35 + 28294828058300830452363005866556319553266909521315591728399311894528 n 34 + 29619617356214049208735776456534652404715902757917985537404166870272 n 33 + 29188076768017415349411504255344174112534215199722636152450406333184 n 32 + 27109787343627480266450691607146137496810284648907436428713081041440 n 31 + 23757745839584512863689304406653753035778520608693601080636487850496 n 30 + 19662385658063007827532901581061970066743072724752090699430032301379 n 29 + 15379672831236537654275310997723106727534391801931671545543549942765 n 28 + 11376396607059717221538709624095880871297374700513376358989709576845 n 27 + 7961920280497573315765841218324266634151512771834312605283422446865 n 26 + 5273989747413741458616451551330507460383987284382707012536034313885 n 25 + 3307254132107018152292784487806469580206044369313840679908391647905 n 24 + 1963574707449498196405953146780432744666521834117346523445498973625 n 23 + 1103747685606214388469691686444803958402548466578158660753422642045 n 22 + 587314859617132907485650707189810383728505275834274328438052646455 n 21 + 295754232405214183277655308446489010600114366213260444995090347775 n 20 + 140886990715388661458653456979105845130552911661488145953780747415 n 19 + 63452616603740433784770209340720104020912592908319169250955559395 n 18 + 26999679216666092301108755630570142978496440270683354974072409855 n 17 + 10844678369861970552383167052107832553606404108397573506723522235 n 16 + 4107347687507251060153853005454038646796635171147820819434041827 n 15 + 1465008091266752433255152612241420921823686211752217924819227471 n 14 + 491356018526202709030819031629106579481129473294160496740347754 n 13 + 154687501921714651623927749432098466094492216712377270934843128 n 12 + 45614464565881317908456213616103599775165851755474109839207520 n 11 + 12567776456802426590112551391204662551416369767147640872257152 n 10 + 3225838814159295775287065937951196893370759013817159641782848 n 9 + 768649727907292157819061786076294093323286386898900085427840 n 8 + 169308713757253216176201173778785462911234581697667362656000 n 7 + 34297321974052924142810380573824435980793731086056746400000 n 6 + 6349073010288838511370550887185095277265289561464978240000 n 5 + 1065494169522723435347637953933451071543953641788659200000 n 4 + 160432360463223650946942649016582622686389971498240000000 n 3 + 21374642758782258426444905800526624610600677068800000000 n 2 + 2472911349242834216812514992134192932593785292800000000 n + 240045285617913661996999271624114149872820224000000000 n + 20084903968289974769952552637336845477888000000000000)/ 4499391915144503512689122748983408210385935265954349365234375 and in Maple notation: 2147483648/4499391915144503512689122748983408210385935265954349365234375*(n+1)* n*(2546893815217305573449838528766866004817794589897881812992*n^56+ 71313026826084556056595478805472248134898248517140690763776*n^55+ 996377679767164964180073629585193418009431642420565533261824*n^54+ 9252223214257526408854606994445840872867337837362948434034688*n^53+ 64175965099183468030256647195052388791510839159876297886269440*n^52+ 354369973176633879082470454813645241032340633109540530974359552*n^51+ 1621381017430023748633812030837922245922949455360725298811240448*n^50+ 6317898917774738133249040393715490049803092337169030846737285120*n^49+ 21388249511818280139345796414369319981763876037674595768734842880*n^48+ 63862845896153200368457223352939733815297358746959618130271272960*n^47+ 170182499917482358147249926172904783112142745473368304971375575040*n^46+ 408580306856296744060335392481346288891144820705362022853847941120*n^45+ 890603908850019632747461385594431968677249375961359096090139033600*n^44+ 1773832709446238642285946378543745087338029280460208583160393236480*n^43+ 3245580304505112407782414337930246478349144503682755848383205867520*n^42+ 5480251593680034557866604777490449360945799710993804822379528192000*n^41+ 8572896399207485251456429701252031354897408727298765421977003663360*n^40+ 12466047909022871807050357599899226300670880758930117119225957089280*n^39+ 16899082958388544177265310805057499876972495777111435850193930142720*n^38+ 21410352910604493068275398115697224006871754792599008811180486282240*n^37+ 25407518512571650976435890026005285630318116605603620528162033133056*n^36+ 28294828058300830452363005866556319553266909521315591728399311894528*n^35+ 29619617356214049208735776456534652404715902757917985537404166870272*n^34+ 29188076768017415349411504255344174112534215199722636152450406333184*n^33+ 27109787343627480266450691607146137496810284648907436428713081041440*n^32+ 23757745839584512863689304406653753035778520608693601080636487850496*n^31+ 19662385658063007827532901581061970066743072724752090699430032301379*n^30+ 15379672831236537654275310997723106727534391801931671545543549942765*n^29+ 11376396607059717221538709624095880871297374700513376358989709576845*n^28+ 7961920280497573315765841218324266634151512771834312605283422446865*n^27+ 5273989747413741458616451551330507460383987284382707012536034313885*n^26+ 3307254132107018152292784487806469580206044369313840679908391647905*n^25+ 1963574707449498196405953146780432744666521834117346523445498973625*n^24+ 1103747685606214388469691686444803958402548466578158660753422642045*n^23+ 587314859617132907485650707189810383728505275834274328438052646455*n^22+ 295754232405214183277655308446489010600114366213260444995090347775*n^21+ 140886990715388661458653456979105845130552911661488145953780747415*n^20+ 63452616603740433784770209340720104020912592908319169250955559395*n^19+ 26999679216666092301108755630570142978496440270683354974072409855*n^18+ 10844678369861970552383167052107832553606404108397573506723522235*n^17+ 4107347687507251060153853005454038646796635171147820819434041827*n^16+ 1465008091266752433255152612241420921823686211752217924819227471*n^15+ 491356018526202709030819031629106579481129473294160496740347754*n^14+ 154687501921714651623927749432098466094492216712377270934843128*n^13+ 45614464565881317908456213616103599775165851755474109839207520*n^12+ 12567776456802426590112551391204662551416369767147640872257152*n^11+ 3225838814159295775287065937951196893370759013817159641782848*n^10+ 768649727907292157819061786076294093323286386898900085427840*n^9+ 169308713757253216176201173778785462911234581697667362656000*n^8+ 34297321974052924142810380573824435980793731086056746400000*n^7+ 6349073010288838511370550887185095277265289561464978240000*n^6+ 1065494169522723435347637953933451071543953641788659200000*n^5+ 160432360463223650946942649016582622686389971498240000000*n^4+ 21374642758782258426444905800526624610600677068800000000*n^3+ 2472911349242834216812514992134192932593785292800000000*n^2+ 240045285617913661996999271624114149872820224000000000*n+ 20084903968289974769952552637336845477888000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 30, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 2147483648 / Pi (2 j - 1) 60 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 (n + 1) n ( 58 7064494406451913058378138870163129946146950329228840128217088 n 57 + 204870337787105478692966027234730768438261559547636363718295552 n 56 + 2964745790246234148001087160039655310074196426569278150838059008 n 55 + 28517372275524498811701477236671964277499925104268515474399035392 n 54 + 204932189078456186260975015573258196492367728221861332775895826432 n 53 + 1172647204568821411100493485001360174639287153247526406114223587328 n 52 + 5561445557647737702793749861192474096225378947799395380975959539712 n 51 + 22470155493749604707124264640493039966526184642963896067724031295488 n 50 + 78903430190686851145844160600096054415195984906771672417237299363840 n + 49 244472152647770434031385297842358481827562664124666339677599810191360 n + 48 676310168838649203430821383250943967161557893244103167540653709066240 n + 47 1686411267250130420105470900464121901347312479856638871008851011829760 n + 46 3819851064881447367531345246286827611605736153058083992074925947617280 n + 45 7910183153701611822992410222502636422384248364900421235792217353093120 n + 44 15056716447388902651755832751420690232748000605215954841763618024980480 n + 43 26464910340312473695158808840589330608901683044987692216692637897195520 n + 42 43123493570898834505445605313816393206671145723676275705792581337251840 n + 41 65363152132121030743857951915513714530464507888056425863099973440143360 n + 40 92428147611234951862266316939753228383611112962336963442539513641533440 n + 122247344198184405000830264016944620784259480660867581256894516172226560 39 n + 151568654136955028886509217164678374078888301555517136982926052164486144 38 n + 176507574745400352634670258368199581709904078798892391172602870762802176 37 n + 193394588994623274869090430444921680547829867877973026981944012634287104 36 n + 199664867989994358394340389939401562337611021809617754069588206091396096 35 n + 194491759310524017304983841760721432661621974590231069562567376200886656 34 n + 178950786854948546443748877879479138800963087098569204688620329043927424 33 n + 155675791957146485400029179720957765248067334142818437192406018446912896 32 n + 128151257962973497876145189689750113086441046872919263399030634353992704 31 n + 30 99894067477930099633151931121369462185278658449406419041897591551360885 n + 29 73776358312387313861070730262777081384194689122763457787030528927229915 n + 28 51647428249424540916176640633636979345771661410251868326996542781884685 n + 27 34282855357216590198051903536223976026077411422849174013828404385679315 n + 26 21582199863475479223928042558334529553826000147852344145974155323168345 n + 25 12886943789711709338622334005917730450529617655752115575957031053261255 n + 24 7298542122582829965509354944149185530997966407090296860470467229010145 n + 23 3920138851522837568036159962008995317491085718696804833510160762793855 n + 22 1996376684493413462698691072422967957072458538752294502885811322436735 n + 21 963613964872996069375692214520404526373285861106495483509628923584065 n + 20 440627364766628729314436667175106347571599836247801719227277085168135 n + 19 190755197319679356397647148083550106758994533709511956485044353011865 n 18 + 78123580742686792491817000787862627661058728464977551039074336509043 n 17 + 30240037517773309806142246562942249596483388182414387638391947461997 n 16 + 11050752341741828908663548532520092273122227582051098786460424197163 n 15 + 3807474236897339955939780948347673497379538837744995524853813765237 n 14 + 1234931201466474304443886027982753544899274008141164616038870816512 n 13 + 376371828922206031804535492910580669969842765227802181885799793648 n 12 + 107554934463986581778792408877217852880430763721656688835121000992 n 11 + 28746754424093110964004902321248299023297882894187439465635338208 n 10 + 7164737521241515333059751591330658801655436933901379245123059200 n 9 + 1659310056707772683246497638453874147760853749243662300167628800 n 8 + 355570165158125439167630294572741908626541682098903634779360000 n 7 + 70137748109115769051804111588550218981739003563752610417440000 n 6 + 12654398308894274143536513261804976360798055218060482624000000 n 5 + 2071637352074652736877500982463662652685192817530456704000000 n 4 + 304564124563912688622678451502165926133063967065011200000000 n 3 + 39656124213678856481840574796195196220700034535244800000000 n 2 + 4487889938406773918754715358269559180205028976640000000000 n + 426647627092916699514444535406767687676945940480000000000 n + 34947732904824556099717441588966111131525120000000000000)/ 7698459566812245510211089023510611447970335240047891763916015625 and in Maple notation: 2147483648/7698459566812245510211089023510611447970335240047891763916015625*(n+ 1)*n*(7064494406451913058378138870163129946146950329228840128217088*n^58+ 204870337787105478692966027234730768438261559547636363718295552*n^57+ 2964745790246234148001087160039655310074196426569278150838059008*n^56+ 28517372275524498811701477236671964277499925104268515474399035392*n^55+ 204932189078456186260975015573258196492367728221861332775895826432*n^54+ 1172647204568821411100493485001360174639287153247526406114223587328*n^53+ 5561445557647737702793749861192474096225378947799395380975959539712*n^52+ 22470155493749604707124264640493039966526184642963896067724031295488*n^51+ 78903430190686851145844160600096054415195984906771672417237299363840*n^50+ 244472152647770434031385297842358481827562664124666339677599810191360*n^49+ 676310168838649203430821383250943967161557893244103167540653709066240*n^48+ 1686411267250130420105470900464121901347312479856638871008851011829760*n^47+ 3819851064881447367531345246286827611605736153058083992074925947617280*n^46+ 7910183153701611822992410222502636422384248364900421235792217353093120*n^45+ 15056716447388902651755832751420690232748000605215954841763618024980480*n^44+ 26464910340312473695158808840589330608901683044987692216692637897195520*n^43+ 43123493570898834505445605313816393206671145723676275705792581337251840*n^42+ 65363152132121030743857951915513714530464507888056425863099973440143360*n^41+ 92428147611234951862266316939753228383611112962336963442539513641533440*n^40+ 122247344198184405000830264016944620784259480660867581256894516172226560*n^39+ 151568654136955028886509217164678374078888301555517136982926052164486144*n^38+ 176507574745400352634670258368199581709904078798892391172602870762802176*n^37+ 193394588994623274869090430444921680547829867877973026981944012634287104*n^36+ 199664867989994358394340389939401562337611021809617754069588206091396096*n^35+ 194491759310524017304983841760721432661621974590231069562567376200886656*n^34+ 178950786854948546443748877879479138800963087098569204688620329043927424*n^33+ 155675791957146485400029179720957765248067334142818437192406018446912896*n^32+ 128151257962973497876145189689750113086441046872919263399030634353992704*n^31+ 99894067477930099633151931121369462185278658449406419041897591551360885*n^30+ 73776358312387313861070730262777081384194689122763457787030528927229915*n^29+ 51647428249424540916176640633636979345771661410251868326996542781884685*n^28+ 34282855357216590198051903536223976026077411422849174013828404385679315*n^27+ 21582199863475479223928042558334529553826000147852344145974155323168345*n^26+ 12886943789711709338622334005917730450529617655752115575957031053261255*n^25+ 7298542122582829965509354944149185530997966407090296860470467229010145*n^24+ 3920138851522837568036159962008995317491085718696804833510160762793855*n^23+ 1996376684493413462698691072422967957072458538752294502885811322436735*n^22+ 963613964872996069375692214520404526373285861106495483509628923584065*n^21+ 440627364766628729314436667175106347571599836247801719227277085168135*n^20+ 190755197319679356397647148083550106758994533709511956485044353011865*n^19+ 78123580742686792491817000787862627661058728464977551039074336509043*n^18+ 30240037517773309806142246562942249596483388182414387638391947461997*n^17+ 11050752341741828908663548532520092273122227582051098786460424197163*n^16+ 3807474236897339955939780948347673497379538837744995524853813765237*n^15+ 1234931201466474304443886027982753544899274008141164616038870816512*n^14+ 376371828922206031804535492910580669969842765227802181885799793648*n^13+ 107554934463986581778792408877217852880430763721656688835121000992*n^12+ 28746754424093110964004902321248299023297882894187439465635338208*n^11+ 7164737521241515333059751591330658801655436933901379245123059200*n^10+ 1659310056707772683246497638453874147760853749243662300167628800*n^9+ 355570165158125439167630294572741908626541682098903634779360000*n^8+ 70137748109115769051804111588550218981739003563752610417440000*n^7+ 12654398308894274143536513261804976360798055218060482624000000*n^6+ 2071637352074652736877500982463662652685192817530456704000000*n^5+ 304564124563912688622678451502165926133063967065011200000000*n^4+ 39656124213678856481840574796195196220700034535244800000000*n^3+ 4487889938406773918754715358269559180205028976640000000000*n^2+ 426647627092916699514444535406767687676945940480000000000*n+ 34947732904824556099717441588966111131525120000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 31, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 2147483648 / Pi (2 j - 1) 62 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 (n + 1) n ( 60 10479062169811036244033229764023939660355673585425082263812440064 n 59 + 314371865094331087320996892920718189810670207562752467914373201920 n 58 + 4706399570296839135012677781038991678263293895309813855715250405376 n 57 + 46837210675874919847663375018905954875292735440673023048826837008384 n + 56 348289515612405445142168853349537349867076080020781521676240041279488 n + 55 2062702046462041466104137868339221361309298909603034466346683108163584 n + 54 10127568020259384579180830342306390093609586566033319596348679666008064 n + 53 42373939259290082926588451967582241572069238040792133843377416700952576 n + 154137060373373781371860430134107804227973554767544627402797643263377408 52 n + 494900004373349118729277481880266375078480573648764795340904010409312256 51 n + 1419331942930165888141282351756198744305808693557966972885660371653754880 50 n + 3670616056809996354203034554400319359992261998180964869914862943333253120 49 n + 8627019440849755579273532066499570985829541513781880359676664214349414400 48 n + 18546213679008207354273607464150063715776470519246429364355375897793003520 47 n + 36667639808684408807341309214493990937750701991681835380443231342854799360 46 n + 66980899868240072220883635265266054307906785548363194906729812941543178240 45 n + 113496087281012051426774775244184982597575908604151946335057370573746339840 44 n + 179002851314619134408859245884934831391646665294458594778306417409647575040 43 n + 263560572664259803139992380004665441124567410403996410001053848458509844480 42 n + 363220502613478602004289317315189510718947962377820091504971979852279480320 41 n + 469588642200866355782008837969961794474709744767306468861324980329985032192 40 n + 570675562131131083116443471868903701985739870656438675759527771262719098880 39 n + 653051453812012189974219102565801348767495712035841301257481575255123442688 38 n + 704792718077988750114998300871052838883353403448449733608086358778997896192 37 n + 718320978704329206486717520247435663700975530441931043268702528830902411264 36 n + 692201199706667055012907203285681245573351746559426511195574437913931707392 35 n + 631319988793942212088891168845039803138336672942242657523854550052896291712 34 n + 545451052269708340217745145699187876652241696462395256021847980088021313408 33 n + 446766191997326680389887905013907228184020120544885026244947767319143889984 32 n + 347135986642329893777844609243921679949064429732443030775094120507732328448 31 n + 256000400610302758843447854013163484148110943136843274835836339601890539295 30 n + 179259745716476528570801837879618355931603786533460248716374869816128567505 29 n + 119222923316813091906920114959402819458875841501636853209492619896908627175 28 n + 75328745315197375128774859880786122886761091062429550044872683942613368505 27 n + 45220018030713403596780864670355400399737278574612431483245444516883597515 26 n + 25791153041765464185098242166367739771735404765863808895467419041759764885 25 n + 13974530536600212270567577310623221459612249647831099992405640247693329635 24 n + 7191853791904639665828780940419366083476728485979210162374641761583121085 23 n + 3514349219629351599788843855546986594259353664757312676261123936575962045 22 n + 1629907189724674206765966436849779180303636534591612526845665547640257155 21 n + 717059443777303931521623268872046480320053480253613834219637238575254869 20 n + 299037104848511825728977507218066466335793673229021448119258883267745675 19 n + 118117340132912995455729846676754459080450606675246235805338638383998361 18 n + 17 44146183391126908982925709164325088929169711246558442096538394188116999 n + 16 15594053465649428361188861727496263283072328335422069516030142225062273 n + 15 5198998748489825933860933588918456150865559825689109098892986660845599 n + 14 1633368272666341334269029650207394015885177819566539352730126201479424 n + 13 482664606922686704555378779509303667282667878444816183629348249636816 n + 12 133863093226390775789231230958514133955155692646895677627463175501408 n 11 + 34755610389809607052967375852881603806901799777054359887882903048096 n 10 + 8422384274373533543119604052647319900934898641065243577357636876800 n 9 + 1898214121500888433721610597706909632512747025869766576993673574400 n 8 + 396189323977590746930233825867781351096975110402512724595003040000 n 7 + 76183406615965007663409719536707574796782616702288035642032480000 n 6 + 13410619660119327359529230316196311302107679306443029190848000000 n 5 + 2143809998390185187306536324169712246597780931462499686272000000 n 4 + 308023876716456107071061062929319935350191897653181516800000000 n 3 + 39230588523171910331848286646242252572209199248853785600000000 n 2 + 4346504059501540385311296248577288808805666321418240000000000 n + 404985453263522256693444451819396806755036779683840000000000 n + 32501391601486837172737220677738483352318361600000000000000)/ 7044090503633204641843146456512209474892856744643820963983154296875 and in Maple notation: 2147483648/7044090503633204641843146456512209474892856744643820963983154296875* (n+1)*n*(10479062169811036244033229764023939660355673585425082263812440064*n^60 +314371865094331087320996892920718189810670207562752467914373201920*n^59+ 4706399570296839135012677781038991678263293895309813855715250405376*n^58+ 46837210675874919847663375018905954875292735440673023048826837008384*n^57+ 348289515612405445142168853349537349867076080020781521676240041279488*n^56+ 2062702046462041466104137868339221361309298909603034466346683108163584*n^55+ 10127568020259384579180830342306390093609586566033319596348679666008064*n^54+ 42373939259290082926588451967582241572069238040792133843377416700952576*n^53+ 154137060373373781371860430134107804227973554767544627402797643263377408*n^52+ 494900004373349118729277481880266375078480573648764795340904010409312256*n^51+ 1419331942930165888141282351756198744305808693557966972885660371653754880*n^50+ 3670616056809996354203034554400319359992261998180964869914862943333253120*n^49+ 8627019440849755579273532066499570985829541513781880359676664214349414400*n^48+ 18546213679008207354273607464150063715776470519246429364355375897793003520*n^47 +36667639808684408807341309214493990937750701991681835380443231342854799360*n^ 46+66980899868240072220883635265266054307906785548363194906729812941543178240*n ^45+113496087281012051426774775244184982597575908604151946335057370573746339840 *n^44+ 179002851314619134408859245884934831391646665294458594778306417409647575040*n^ 43+263560572664259803139992380004665441124567410403996410001053848458509844480* n^42+ 363220502613478602004289317315189510718947962377820091504971979852279480320*n^ 41+469588642200866355782008837969961794474709744767306468861324980329985032192* n^40+ 570675562131131083116443471868903701985739870656438675759527771262719098880*n^ 39+653051453812012189974219102565801348767495712035841301257481575255123442688* n^38+ 704792718077988750114998300871052838883353403448449733608086358778997896192*n^ 37+718320978704329206486717520247435663700975530441931043268702528830902411264* n^36+ 692201199706667055012907203285681245573351746559426511195574437913931707392*n^ 35+631319988793942212088891168845039803138336672942242657523854550052896291712* n^34+ 545451052269708340217745145699187876652241696462395256021847980088021313408*n^ 33+446766191997326680389887905013907228184020120544885026244947767319143889984* n^32+ 347135986642329893777844609243921679949064429732443030775094120507732328448*n^ 31+256000400610302758843447854013163484148110943136843274835836339601890539295* n^30+ 179259745716476528570801837879618355931603786533460248716374869816128567505*n^ 29+119222923316813091906920114959402819458875841501636853209492619896908627175* n^28+75328745315197375128774859880786122886761091062429550044872683942613368505 *n^27+ 45220018030713403596780864670355400399737278574612431483245444516883597515*n^26 +25791153041765464185098242166367739771735404765863808895467419041759764885*n^ 25+13974530536600212270567577310623221459612249647831099992405640247693329635*n ^24+7191853791904639665828780940419366083476728485979210162374641761583121085*n ^23+3514349219629351599788843855546986594259353664757312676261123936575962045*n ^22+1629907189724674206765966436849779180303636534591612526845665547640257155*n ^21+717059443777303931521623268872046480320053480253613834219637238575254869*n^ 20+299037104848511825728977507218066466335793673229021448119258883267745675*n^ 19+118117340132912995455729846676754459080450606675246235805338638383998361*n^ 18+44146183391126908982925709164325088929169711246558442096538394188116999*n^17 +15594053465649428361188861727496263283072328335422069516030142225062273*n^16+ 5198998748489825933860933588918456150865559825689109098892986660845599*n^15+ 1633368272666341334269029650207394015885177819566539352730126201479424*n^14+ 482664606922686704555378779509303667282667878444816183629348249636816*n^13+ 133863093226390775789231230958514133955155692646895677627463175501408*n^12+ 34755610389809607052967375852881603806901799777054359887882903048096*n^11+ 8422384274373533543119604052647319900934898641065243577357636876800*n^10+ 1898214121500888433721610597706909632512747025869766576993673574400*n^9+ 396189323977590746930233825867781351096975110402512724595003040000*n^8+ 76183406615965007663409719536707574796782616702288035642032480000*n^7+ 13410619660119327359529230316196311302107679306443029190848000000*n^6+ 2143809998390185187306536324169712246597780931462499686272000000*n^5+ 308023876716456107071061062929319935350191897653181516800000000*n^4+ 39230588523171910331848286646242252572209199248853785600000000*n^3+ 4346504059501540385311296248577288808805666321418240000000000*n^2+ 404985453263522256693444451819396806755036779683840000000000*n+ 32501391601486837172737220677738483352318361600000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 32, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 274877906944 / Pi (2 j - 1) 64 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 (n + 1) n ( 62 259199958604496601116784433379557049084382731326515510375467712512 n 61 + 8035198716739394634620317434766268521615864671121980821639499087872 n + 60 124307047788063638476955445132625380396635917793469768546031702638592 n + 59 1278475825036393790749466536375049512806238809111888905780903857356800 n + 58 9826519259408081542883999789918947724420168393571119075400089130237952 n + 57 60163989960757294983239311782029566584534018280100843610637528004034560 n + 305454622362090098222300926823921329271888497937655506831645097655795712 56 n + 1321899188073314437778035332393749309960691340806932831023543900264464384 55 n + 4975032378830632557653214453491663283560983273346199370222691969884225536 54 n + 16532593933556228860294312387704059732770316125998993529297241461660581888 53 n + 49090896780502206336523548025286472470356919012576215980956459239049527296 52 n + 131498602960131170095297010707285633422211563948496020684179455605526757376 51 n + 320252595927161273485103823265878439988461763847439315924623773735943536640 50 n + 713730148026760682759767376983019930466292909018236354508299709059624468480 49 n + 146358704395216464267932789437730113668279011992291931123404287063\ 48 4179133440 n + 2774381467602546168646550287973810756878880810753665388\ 47 580903858206744248320 n + 48810310668353659758988335468105066844105339\ 46 00544951837297173413785607014400 n + 799752216755739180112268633265528\ 45 4383525201516290958206378474892138207098880 n + 1224063604876841761564\ 44 6954936623827808389394127269655641981896320493044275200 n + 1754686606\ 43 7152550180914109165918356682533419354593023334375530725032692643840 n + 236126703951302966838508587909207157462359941391704363970162909112664700\ 42 78976 n + 298898342309056491558610731107926822989918043754386181458586\ 41 42043325553578496 n + 356544141052292658865795408087270599177811868176\ 40 99006316431954041334460329216 n + 401422253665565354389100411577802479\ 39 46862147717232829055382149602643844792320 n + 427163101312982465624778\ 38 63601512468783090028571985980175535828982859326127536 n + 430153458255\ 37 59899866875476024354400180416730649186680023599213450222224781840 n + 410353661737488562554276296628075831032509438975110359396637077292300624\ 36 90816 n + 371198854975420112894842543289253721611682719680081912867756\ 35 82588358376859792 n + 318655793159450442107087623720957282008222756129\ 34 52465615877538264055732224798 n + 259780497713187403430652836605113531\ 33 56988281447687225305766755838698795307214 n + 201240732126359876758395\ 32 63832942037042518741393931373917216334571743232425153 n + 148203998749\ 31 79920594668644981632591856521473248926856332263749631705866049408 n + 103801992581638991135720746726705609642984157907150078728627686895038864\ 30 06560 n + 691637730467293825021830432877909188020959629322369443529384\ 29 4038646114968920 n + 4384941152056501451957421530114598803449008780700\ 28 132255506828208913154002460 n + 26454877773826056038308840980715122435\ 27 89035602670545688135694092844963926080 n + 151883075486876606872254958\ 26 0822250619131852410162007238226442511259424153900 n + 829734004947304297263882765310830023186606254209501057158634674932838108420 25 n + 431238104790345975359736766585104976518952490227704332333548300464562601350 24 n + 213169032965509105853371122104170603533992598141132055339194653370517636160 23 n + 100183226950144302660524045525572841204732430750483486762245814601729113712 22 n + 44742217097838291003541172048412860016699468083537375137422545918106453032 21 n + 18977033991383799892705408378424103739106263107838438507559746211803624892 20 n + 7638518085397348600925906926772413818421369166717973995293592071740186480 19 n + 2915284309036016803266069567110792021484298951144530682390499746957805862 18 n + 1053895921168420752262416147186139645295468713855487707922978633549296350 17 n + 360444338151024033479913427156682969241693216291114567470534090293349697 16 n + 116465029156725402790155487579506601145863765901718054878901867711393024 15 n + 14 35494792186179902762093170924969859928400116168322401214506862212430416 n + 13 10184180440630792373443305990679855531193763137967525031786064813293248 n + 12 2744894371894418448625899418842592822906949949944462822840207078926176 n + 11 693182789750241389625710438874803312790968401787251880074602434006016 n + 10 163523828700234923358891328285353741821162882572359167354543454931200 n 9 + 35906400783670537614173517250869243828894053532025032279337164940800 n 8 + 7307377193290740549078336589441401684648651136873085818091870880000 n 7 + 1371191323107917576226502082079628230522090830388539546156359680000 n 6 + 235727075638925821618365001834937877729751419369337001361024000000 n 5 + 36830989734078575414680620682384123979639140840608396601344000000 n 4 + 5176347895362057687715642275283948370670814126113345561600000000 n 3 + 645400658605970314261705881260944467082671979984198041600000000 n 2 + 70058929950748193926971553866253391233974916682096640000000000 n + 6402389098357817438970479012590713905103688076820480000000000 n + 503771569823045976177426920504946491960934604800000000000000)/ 13757108753595648665519665029568345104465749222289382342659100341796875 and in Maple notation: 274877906944/ 13757108753595648665519665029568345104465749222289382342659100341796875*(n+1)*n *(259199958604496601116784433379557049084382731326515510375467712512*n^62+ 8035198716739394634620317434766268521615864671121980821639499087872*n^61+ 124307047788063638476955445132625380396635917793469768546031702638592*n^60+ 1278475825036393790749466536375049512806238809111888905780903857356800*n^59+ 9826519259408081542883999789918947724420168393571119075400089130237952*n^58+ 60163989960757294983239311782029566584534018280100843610637528004034560*n^57+ 305454622362090098222300926823921329271888497937655506831645097655795712*n^56+ 1321899188073314437778035332393749309960691340806932831023543900264464384*n^55+ 4975032378830632557653214453491663283560983273346199370222691969884225536*n^54+ 16532593933556228860294312387704059732770316125998993529297241461660581888*n^53 +49090896780502206336523548025286472470356919012576215980956459239049527296*n^ 52+131498602960131170095297010707285633422211563948496020684179455605526757376* n^51+ 320252595927161273485103823265878439988461763847439315924623773735943536640*n^ 50+713730148026760682759767376983019930466292909018236354508299709059624468480* n^49+ 1463587043952164642679327894377301136682790119922919311234042870634179133440*n^ 48+2774381467602546168646550287973810756878880810753665388580903858206744248320 *n^47+ 4881031066835365975898833546810506684410533900544951837297173413785607014400*n^ 46+7997522167557391801122686332655284383525201516290958206378474892138207098880 *n^45+ 12240636048768417615646954936623827808389394127269655641981896320493044275200*n ^44+ 17546866067152550180914109165918356682533419354593023334375530725032692643840*n ^43+ 23612670395130296683850858790920715746235994139170436397016290911266470078976*n ^42+ 29889834230905649155861073110792682298991804375438618145858642043325553578496*n ^41+ 35654414105229265886579540808727059917781186817699006316431954041334460329216*n ^40+ 40142225366556535438910041157780247946862147717232829055382149602643844792320*n ^39+ 42716310131298246562477863601512468783090028571985980175535828982859326127536*n ^38+ 43015345825559899866875476024354400180416730649186680023599213450222224781840*n ^37+ 41035366173748856255427629662807583103250943897511035939663707729230062490816*n ^36+ 37119885497542011289484254328925372161168271968008191286775682588358376859792*n ^35+ 31865579315945044210708762372095728200822275612952465615877538264055732224798*n ^34+ 25978049771318740343065283660511353156988281447687225305766755838698795307214*n ^33+ 20124073212635987675839563832942037042518741393931373917216334571743232425153*n ^32+ 14820399874979920594668644981632591856521473248926856332263749631705866049408*n ^31+ 10380199258163899113572074672670560964298415790715007872862768689503886406560*n ^30+ 6916377304672938250218304328779091880209596293223694435293844038646114968920*n^ 29+4384941152056501451957421530114598803449008780700132255506828208913154002460 *n^28+ 2645487777382605603830884098071512243589035602670545688135694092844963926080*n^ 27+1518830754868766068722549580822250619131852410162007238226442511259424153900 *n^26+ 829734004947304297263882765310830023186606254209501057158634674932838108420*n^ 25+431238104790345975359736766585104976518952490227704332333548300464562601350* n^24+ 213169032965509105853371122104170603533992598141132055339194653370517636160*n^ 23+100183226950144302660524045525572841204732430750483486762245814601729113712* n^22+44742217097838291003541172048412860016699468083537375137422545918106453032 *n^21+ 18977033991383799892705408378424103739106263107838438507559746211803624892*n^20 +7638518085397348600925906926772413818421369166717973995293592071740186480*n^19 +2915284309036016803266069567110792021484298951144530682390499746957805862*n^18 +1053895921168420752262416147186139645295468713855487707922978633549296350*n^17 +360444338151024033479913427156682969241693216291114567470534090293349697*n^16+ 116465029156725402790155487579506601145863765901718054878901867711393024*n^15+ 35494792186179902762093170924969859928400116168322401214506862212430416*n^14+ 10184180440630792373443305990679855531193763137967525031786064813293248*n^13+ 2744894371894418448625899418842592822906949949944462822840207078926176*n^12+ 693182789750241389625710438874803312790968401787251880074602434006016*n^11+ 163523828700234923358891328285353741821162882572359167354543454931200*n^10+ 35906400783670537614173517250869243828894053532025032279337164940800*n^9+ 7307377193290740549078336589441401684648651136873085818091870880000*n^8+ 1371191323107917576226502082079628230522090830388539546156359680000*n^7+ 235727075638925821618365001834937877729751419369337001361024000000*n^6+ 36830989734078575414680620682384123979639140840608396601344000000*n^5+ 5176347895362057687715642275283948370670814126113345561600000000*n^4+ 645400658605970314261705881260944467082671979984198041600000000*n^3+ 70058929950748193926971553866253391233974916682096640000000000*n^2+ 6402389098357817438970479012590713905103688076820480000000000*n+ 503771569823045976177426920504946491960934604800000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 33, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 17179869184 / Pi (2 j - 1) 66 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 (n + 1) n ( 64 437007111521386407256151532875592857422737026926363244291381574762496 n + 63 13984227568684365032196849052018971437527584861643623817324210392399872 n + 223326083511094536975690424370379830996940484273994003372624509705125888 62 n + 2371242515237169828266328789049599557989926140028814552012329318132744192 61 n + 18818348672663350729461685548065126717324599281073675619470955759271936000 60 n + 118985323522576134159404822134188623710639466943786802925249090193966759936 59 n + 623980660358948897784951600853319766631165670618463251065298294752510214144 58 n + 278995867750508326261851966746789289610157747757372832910177218023\ 57 8626717696 n + 1085153772824501023392217970785428560278837326233069037\ 56 1281209163308033114112 n + 3727915397330075269217444215339702322426308\ 55 8743146544290295648035172360650752 n + 1144726344748129997919269191890\ 54 55993436534055883365548935568102964037951684608 n + 317216209719577867\ 53 440252911815920344042331550420089829350307358308623578038272 n + 79952\ 105689352600876604047736572592922086379784327548711553430801551344218931\ 52 2 n + 1844825635131684051942485742375129822951513169413407338174976694\ 51 435147059036160 n + 39184690464575378552738746665544103181213165478927\ 50 24256764594396900445116170240 n + 769741290550907700095425831971665213\ 49 8710204883477582667256819257235811608821760 n + 1404063950334603666656\ 48 8973432161224189854570347890602731477531792510658840494080 n + 2386467\ 393370935813980175536497333609440008056157791390288460941956451508158464\ 47 0 n + 3791134635188308522083733489066391875926848425048047416297900699\ 46 1286058993090560 n + 5643950798666302688503517296334782801232638597078\ 45 3912483466386029474345538519040 n + 7892485545585412675104231400880454\ 44 9953839749241617087334539948140335958674833408 n + 1038861714632542910\ 43 19163571721152127937342895922474192480916178313945840984293376 n + 128\ 946090767620505564084785507524676411854510519121399893585997672030356406\ 42 984704 n + 15117062237158337641996781602162702384394194173274174166792\ 41 6392148901953761959936 n + 1676321849265222208185384489848068746497750\ 40 20619133078594116108953780533080376320 n + 176046992724653048766104960\ 39 740762561151226805051468829809073563976230491609468928 n + 17529400302\ 38 5051317896562830110453965547437465087050529058277167965426689578886912 n + 165653419804371287223456744037197057714412230950824944765232805663689\ 37 494912945408 n + 14869723663048562506923517100331035860143703790203810\ 36 8086295650583740748085785216 n + 1268818464805807196538441299275143033\ 35 96061121816077000116396804018501754681790976 n + 102983879623681527967\ 34 907985969025752075757780560274924223227699186236059401180704 n + 79551\ 453164813717216014427250419301075875706130253395068070850514302051226968\ 33 736 n + 58510140300596808580601277863610838537531550837290779932396437\ 32 448476236226397211 n + 40989647536338154047425974102901904444826278121\ 31 177375807047225665456502092798640 n + 27358685129431567521341273210801\ 30 513873297555113122355873922307868518651909552360 n + 17401038972803769\ 29 268353978614813600710242857572660548882457400744546364720473040 n + 10\ 547715293659782975185810699482851089576291383023323423635102196487798773\ 28 891620 n + 60933017446211029397781547045515602422004383156903514321429\ 27 67723423319379110160 n + 335450907719253510968813980510035976525962879\ 26 5552703426680887551955833285713640 n + 1759626754343347366754715967013\ 25 453938545402506349671654523988790163117891863760 n + 87926929498539885\ 24 1297936964524603051449948142235624780834936100501760523082546 n + 4183\ 954702375890110815068508057097806632758742943390729257733265643744847895\ 23 52 n + 189507745949857353509604584606244874451140207209333246298924395\ 22 602095172085608 n + 81659649283114935379042393713085412345542273241332\ 21 594162107966279572373586672 n + 33453771658826002955154154342342995081\ 20 819839866367219140560219019667277121380 n + 13019749199115480815513741\ 19 709839722597674179394792145314237053805644320245936 n + 48093236979685\ 18 49894087736307229958504159549161334395551886040268178586753144 n + 168\ 433101431890878772558079783789362391132368901187121710756798107032887969\ 17 6 n + 558595086261326084881417584291763014094052900440295940791637820946194164747 16 n + 175175319474218621137168540657487994234282665508092922913119469569543231072 15 n + 51860619614930135313989424894369965774912381058783557775572392456350195888 14 n + 14466420770150680958398673899480790521862681814061768969146917708203953792 13 n + 3793839971158070789276515615183540826027294358803693648621645580594891552 12 n + 932968961894987668414406441936872985553777769628321718583484904699840000 11 n + 214489784772478918002082289349449367655889119801062499983302468354361600 10 n + 9 45934315954595911911199286873437874783237045665325080939130544054528000 n + 8 9124209416116399579070956696330732885837760755909395897241027956960000 n + 7 1672341351860282078508599928396193655139151889301522486791449344000000 n 6 + 281029721759643792189109177897212317045905164265962456158252928000000 n 5 + 42953137986702756897455516335920333492142049619287031563735040000000 n 4 + 5909747579832047433182452506008115336136265758784990721715200000000 n 3 + 721891821706044303951664831773720605315643746647631708160000000000 n 2 + 76831187819451206429770191649997513514579054888724930560000000000 n + 6890995229125176933140443946648030568083810790722764800000000000 n + 531982777733136550843362828053223495510746942668800000000000000)/ 894212068983717163258778226921942431790273699448809852272841522216796875 and in Maple notation: 17179869184/ 894212068983717163258778226921942431790273699448809852272841522216796875*(n+1)* n*(437007111521386407256151532875592857422737026926363244291381574762496*n^64+ 13984227568684365032196849052018971437527584861643623817324210392399872*n^63+ 223326083511094536975690424370379830996940484273994003372624509705125888*n^62+ 2371242515237169828266328789049599557989926140028814552012329318132744192*n^61+ 18818348672663350729461685548065126717324599281073675619470955759271936000*n^60 +118985323522576134159404822134188623710639466943786802925249090193966759936*n^ 59+623980660358948897784951600853319766631165670618463251065298294752510214144* n^58+ 2789958677505083262618519667467892896101577477573728329101772180238626717696*n^ 57+ 10851537728245010233922179707854285602788373262330690371281209163308033114112*n ^56+ 37279153973300752692174442153397023224263088743146544290295648035172360650752*n ^55+ 114472634474812999791926919189055993436534055883365548935568102964037951684608* n^54+ 317216209719577867440252911815920344042331550420089829350307358308623578038272* n^53+ 799521056893526008766040477365725929220863797843275487115534308015513442189312* n^52+18448256351316840519424857423751298229515131694134073381749766944351470590\ 36160*n^51+39184690464575378552738746665544103181213165478927242567645943969004\ 45116170240*n^50+76974129055090770009542583197166521387102048834775826672568192\ 57235811608821760*n^49+14040639503346036666568973432161224189854570347890602731\ 477531792510658840494080*n^48+2386467393370935813980175536497333609440008056157\ 7913902884609419564515081584640*n^47+379113463518830852208373348906639187592684\ 84250480474162979006991286058993090560*n^46+56439507986663026885035172963347828\ 012326385970783912483466386029474345538519040*n^45+7892485545585412675104231400\ 8804549953839749241617087334539948140335958674833408*n^44+103886171463254291019\ 163571721152127937342895922474192480916178313945840984293376*n^43+1289460907676\ 20505564084785507524676411854510519121399893585997672030356406984704*n^42+15117\ 0622371583376419967816021627023843941941732741741667926392148901953761959936*n^ 41+1676321849265222208185384489848068746497750206191330785941161089537805330803\ 76320*n^40+17604699272465304876610496074076256115122680505146882980907356397623\ 0491609468928*n^39+175294003025051317896562830110453965547437465087050529058277\ 167965426689578886912*n^38+1656534198043712872234567440371970577144122309508249\ 44765232805663689494912945408*n^37+14869723663048562506923517100331035860143703\ 7902038108086295650583740748085785216*n^36+126881846480580719653844129927514303\ 396061121816077000116396804018501754681790976*n^35+1029838796236815279679079859\ 69025752075757780560274924223227699186236059401180704*n^34+79551453164813717216\ 014427250419301075875706130253395068070850514302051226968736*n^33+5851014030059\ 6808580601277863610838537531550837290779932396437448476236226397211*n^32+409896\ 47536338154047425974102901904444826278121177375807047225665456502092798640*n^31 +273586851294315675213412732108015138732975551131223558739223078685186519095523\ 60*n^30+17401038972803769268353978614813600710242857572660548882457400744546364\ 720473040*n^29+1054771529365978297518581069948285108957629138302332342363510219\ 6487798773891620*n^28+609330174462110293977815470455156024220043831569035143214\ 2967723423319379110160*n^27+335450907719253510968813980510035976525962879555270\ 3426680887551955833285713640*n^26+175962675434334736675471596701345393854540250\ 6349671654523988790163117891863760*n^25+ 879269294985398851297936964524603051449948142235624780834936100501760523082546* n^24+ 418395470237589011081506850805709780663275874294339072925773326564374484789552* n^23+ 189507745949857353509604584606244874451140207209333246298924395602095172085608* n^22+ 81659649283114935379042393713085412345542273241332594162107966279572373586672*n ^21+ 33453771658826002955154154342342995081819839866367219140560219019667277121380*n ^20+ 13019749199115480815513741709839722597674179394792145314237053805644320245936*n ^19+ 4809323697968549894087736307229958504159549161334395551886040268178586753144*n^ 18+1684331014318908787725580797837893623911323689011871217107567981070328879696 *n^17+ 558595086261326084881417584291763014094052900440295940791637820946194164747*n^ 16+175175319474218621137168540657487994234282665508092922913119469569543231072* n^15+51860619614930135313989424894369965774912381058783557775572392456350195888 *n^14+ 14466420770150680958398673899480790521862681814061768969146917708203953792*n^13 +3793839971158070789276515615183540826027294358803693648621645580594891552*n^12 +932968961894987668414406441936872985553777769628321718583484904699840000*n^11+ 214489784772478918002082289349449367655889119801062499983302468354361600*n^10+ 45934315954595911911199286873437874783237045665325080939130544054528000*n^9+ 9124209416116399579070956696330732885837760755909395897241027956960000*n^8+ 1672341351860282078508599928396193655139151889301522486791449344000000*n^7+ 281029721759643792189109177897212317045905164265962456158252928000000*n^6+ 42953137986702756897455516335920333492142049619287031563735040000000*n^5+ 5909747579832047433182452506008115336136265758784990721715200000000*n^4+ 721891821706044303951664831773720605315643746647631708160000000000*n^3+ 76831187819451206429770191649997513514579054888724930560000000000*n^2+ 6890995229125176933140443946648030568083810790722764800000000000*n+ 531982777733136550843362828053223495510746942668800000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 34, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 68719476736 / Pi (2 j - 1) 68 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 (n + 1) n ( 391595320058477080274104108490623898593474518830923855449321857735458816 66 n + 12922645561929743649045435580190588653584659121420487229827621305270140928 65 n + 212828520261498678715313015482918873050723815457970850992424536550173310976 64 n + 233066218689897992055426549432066653771381359922929832541734311711\ 63 1897096192 n + 1907885277235280716106846559799601807058128524070390684\ 62 1612003347854786560000 n + 1244521591489495125243664053102408068962721\ 61 02964902062969376676780912419012608 n + 673448093512653124457305980750\ 60 962872145597775902838382410901211215156037550080 n + 31078056490091771\ 59 76393928895963415230895833777736968161323013016295196166455296 n + 124\ 790653831433301943917430044052454832755998736351125919366404135900061966\ 58 00832 n + 442705479609571338064776628187659152348234783605136746001966\ 57 04347489675001200640 n + 140424609368434791896649433085120337317893940\ 56 826423819952579518588305522496110592 n + 40210096410884817585737229270\ 55 5548254837028881176553015818044040599723175829307392 n + 1047620492439\ 54 353933714427056542843933761999801755652615537178007427448830922063872 n + 249971441430475804010804124658606836515830221547408310736989497253741\ 53 7150417076224 n + 5492747313398910197834677079923203078874899938437721\ 52 760140701058397109069673398272 n + 11167187086206053768981121507078163\ 51 103728511875424160579687934767987359880881111040 n + 21091625659609672\ 50 382786499988548719937622600251087850898236426738944114049864826880 n + 371374475840037177625445325408961877701331671691370813378567509030609329\ 49 87927265280 n + 611476127954053556998346840863720276962095699434403246\ 48 83709936607044652751649505280 n + 944015507950436796963600093350492480\ 47 42426867498166637883793550898752612407131504640 n + 136974293686174622\ 46 206015086511948682017235876256320858840538698888287621373118701568 n + 187183906407848139747911482338686987327426972346132291496925501818139756\ 45 885481365504 n + 24136454807240958010301478976287649735440871199879303\ 44 5955743577249134439002653646848 n + 2941506569960794761429154053039300\ 43 00556410211655327514252247069879513917135379931136 n + 339307747853200\ 42 074545586446790704421473638435388704578642711391916005412758895621120 n + 370946081710019008924148616563492668461235044229861428905079300916288\ 41 993660032205824 n + 38478914163690245697528643875690449698748331178464\ 40 2223261898974799391895204109608960 n + 3791179818184724930658855495829\ 39 40338091407151143425655733885032798990186280947959808 n + 355105782212\ 286474616707727319630766361581292260426648110960094999771269587343395776 38 n + 316458706247231672628308314864044572544736541515406410038844336883\ 37 256410611028600640 n + 26850471933881846828391042929493976857885400497\ 36 8872253858258874483776259478968382656 n + 2170303103885459033925368879\ 35 29087987330977496643782417117756674960517551204529327296 n + 167201922\ 668348408759762703080680607468886763542140979415274719399101165633964190\ 34 241 n + 12282763395295503384514327474520288814156519565911632083185650\ 33 6046325828908860812977 n + 8606580052751485478149754662020220377820615\ 32 3394101797150698617595494471666384120866 n + 5753815877621890350363502\ 31 8850464273665870249741005865570839932451049437125688286280 n + 3670703\ 875410555415529212410896892704270373299434381017153973689374144724709438\ 30 7020 n + 2234881614580611959487952276411747967236532351371157521244148\ 29 5871537233271964873020 n + 1298619161777427396767820126157388947740253\ 28 3065138469932506214702523046318658373920 n + 7201249308034354214933534\ 27 078884931931572504580378515526215003089643239905675745160 n + 38104386\ 240241560410841220983942877837363909460271087086865546530391887110185645\ 26 66 n + 192349111897731600325179571667176393447974586730440236749262466\ 25 1565220068847334118 n + 9260272274540356732001647683784301437610145089\ 24 64493591347408473811300817084199876 n + 425018010652528472696200420932\ 23 625330795595625007713317562122790252702595171538472 n + 18587953034089\ 22 0666755016157027406533825219128046384905818447143690935214093633580 n + 774182069568780890860599369114026507531893106865280075825219123667289741\ 21 01467868 n + 306860463021836270744826637451447518992320200064336930079\ 20 75179178584342092142160 n + 115656971789588958887771747133997098458234\ 19 96600562257354725064289535302581640696 n + 414118632465265040479929720\ 18 0522132566528168321989760980947294948749107910219217 n + 1407097776734\ 17 461832771683618211849213131356444726123714942159099333789840452145 n + 453129068291435918448431662098528456255817960022690956230503529636189247\ 16 052202 n + 13809758686130359872868919669412112896376866856644403295230\ 15 8319269891669212112 n + 3976391134464535357070906658248326007823564796\ 14 8338885093254446038924852387712 n + 1079670052009342735275236925369344\ 13 8660344659722471694757033956877468421936224 n + 2758159248282123265723\ 12 801484735131084380711891378278992875688244148562437312 n + 661214148750346307606567484382600597438092057642972416247809702227706484480 11 n + 148297514471067927927816398846671259908366638531167790729755957331609388800 10 n + 31004809094641104643657617194327307143862328524773137814546517381956256000 9 n + 6016716250510137692228093396782693930404257045550348414633816816260160000 8 n + 1078118837809413439786281758393271464993107131176573177693535819494400000 7 n + 6 177245362221795774122712890282359222240307629626770987296473049344000000 n + 5 26521768179703432250537504707103934585170404124190825006247879680000000 n + 4 3574936125148398144816148197208567929163094125638660113437747200000000 n 3 + 428132388856556353330661529401298039614037535086984357470208000000000 n 2 + 44706081701880215565023229906883583122029852406772746567680000000000 n + 3937721352430116677194566898317383995911498918883334553600000000000 n + 298442338308289605023126546537858380981529034837196800000000000000)/1\ 977102884522998647965158659724414716688295149481318583375252605621337890\ 625 and in Maple notation: 68719476736/ 1977102884522998647965158659724414716688295149481318583375252605621337890625*(n +1)*n*(391595320058477080274104108490623898593474518830923855449321857735458816 *n^66+ 12922645561929743649045435580190588653584659121420487229827621305270140928*n^65 +212828520261498678715313015482918873050723815457970850992424536550173310976*n^ 64+2330662186898979920554265494320666537713813599229298325417343117111897096192 *n^63+ 19078852772352807161068465597996018070581285240703906841612003347854786560000*n ^62+ 124452159148949512524366405310240806896272102964902062969376676780912419012608* n^61+ 673448093512653124457305980750962872145597775902838382410901211215156037550080* n^60+31078056490091771763939288959634152308958337777369681613230130162951961664\ 55296*n^59+12479065383143330194391743004405245483275599873635112591936640413590\ 006196600832*n^58+4427054796095713380647766281876591523482347836051367460019660\ 4347489675001200640*n^57+140424609368434791896649433085120337317893940826423819\ 952579518588305522496110592*n^56+4021009641088481758573722927055482548370288811\ 76553015818044040599723175829307392*n^55+10476204924393539337144270565428439337\ 61999801755652615537178007427448830922063872*n^54+24997144143047580401080412465\ 86068365158302215474083107369894972537417150417076224*n^53+54927473133989101978\ 34677079923203078874899938437721760140701058397109069673398272*n^52+11167187086\ 206053768981121507078163103728511875424160579687934767987359880881111040*n^51+ 2109162565960967238278649998854871993762260025108785089823642673894411404986482\ 6880*n^50+371374475840037177625445325408961877701331671691370813378567509030609\ 32987927265280*n^49+61147612795405355699834684086372027696209569943440324683709\ 936607044652751649505280*n^48+9440155079504367969636000933504924804242686749816\ 6637883793550898752612407131504640*n^47+136974293686174622206015086511948682017\ 235876256320858840538698888287621373118701568*n^46+1871839064078481397479114823\ 38686987327426972346132291496925501818139756885481365504*n^45+24136454807240958\ 0103014789762876497354408711998793035955743577249134439002653646848*n^44+294150\ 656996079476142915405303930000556410211655327514252247069879513917135379931136* n^43+33930774785320007454558644679070442147363843538870457864271139191600541275\ 8895621120*n^42+370946081710019008924148616563492668461235044229861428905079300\ 916288993660032205824*n^41+3847891416369024569752864387569044969874833117846422\ 23261898974799391895204109608960*n^40+37911798181847249306588554958294033809140\ 7151143425655733885032798990186280947959808*n^39+355105782212286474616707727319\ 630766361581292260426648110960094999771269587343395776*n^38+3164587062472316726\ 28308314864044572544736541515406410038844336883256410611028600640*n^37+26850471\ 9338818468283910429294939768578854004978872253858258874483776259478968382656*n^ 36+2170303103885459033925368879290879873309774966437824171177566749605175512045\ 29327296*n^35+16720192266834840875976270308068060746888676354214097941527471939\ 9101165633964190241*n^34+122827633952955033845143274745202888141565195659116320\ 831856506046325828908860812977*n^33+8606580052751485478149754662020220377820615\ 3394101797150698617595494471666384120866*n^32+575381587762189035036350288504642\ 73665870249741005865570839932451049437125688286280*n^31+36707038754105554155292\ 124108968927042703732994343810171539736893741447247094387020*n^30+2234881614580\ 6119594879522764117479672365323513711575212441485871537233271964873020*n^29+129\ 8619161777427396767820126157388947740253306513846993250621470252304631865837392\ 0*n^28+720124930803435421493353407888493193157250458037851552621500308964323990\ 5675745160*n^27+381043862402415604108412209839428778373639094602710870868655465\ 3039188711018564566*n^26+192349111897731600325179571667176393447974586730440236\ 7492624661565220068847334118*n^25+926027227454035673200164768378430143761014508\ 964493591347408473811300817084199876*n^24+4250180106525284726962004209326253307\ 95595625007713317562122790252702595171538472*n^23+18587953034089066675501615702\ 7406533825219128046384905818447143690935214093633580*n^22+774182069568780890860\ 59936911402650753189310686528007582521912366728974101467868*n^21+30686046302183\ 627074482663745144751899232020006433693007975179178584342092142160*n^20+1156569\ 7178958895888777174713399709845823496600562257354725064289535302581640696*n^19+ 4141186324652650404799297200522132566528168321989760980947294948749107910219217 *n^18+1407097776734461832771683618211849213131356444726123714942159099333789840\ 452145*n^17+ 453129068291435918448431662098528456255817960022690956230503529636189247052202* n^16+ 138097586861303598728689196694121128963768668566444032952308319269891669212112* n^15+ 39763911344645353570709066582483260078235647968338885093254446038924852387712*n ^14+ 10796700520093427352752369253693448660344659722471694757033956877468421936224*n ^13+ 2758159248282123265723801484735131084380711891378278992875688244148562437312*n^ 12+661214148750346307606567484382600597438092057642972416247809702227706484480* n^11+ 148297514471067927927816398846671259908366638531167790729755957331609388800*n^ 10+31004809094641104643657617194327307143862328524773137814546517381956256000*n ^9+6016716250510137692228093396782693930404257045550348414633816816260160000*n^ 8+1078118837809413439786281758393271464993107131176573177693535819494400000*n^7 +177245362221795774122712890282359222240307629626770987296473049344000000*n^6+ 26521768179703432250537504707103934585170404124190825006247879680000000*n^5+ 3574936125148398144816148197208567929163094125638660113437747200000000*n^4+ 428132388856556353330661529401298039614037535086984357470208000000000*n^3+ 44706081701880215565023229906883583122029852406772746567680000000000*n^2+ 3937721352430116677194566898317383995911498918883334553600000000000*n+ 298442338308289605023126546537858380981529034837196800000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 35, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 68719476736 / Pi (2 j - 1) 70 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 (n + 1) n ( 744656084295161852595622585235005934884357027979683375597783110024333099008 68 n + 253183068660355029882511678979902017860681389513092347703246257408\ 67 27325366272 n + 429626785982168724359907082662338819452614115481625796\ 66 208660896559473537056768 n + 48478878572774850527063783574477916837701\ 65 56607336198262021185000967757325402112 n + 408966607700675296728751887\ 64 67822442117508739857341964476353877782358509534314496 n + 274957882341\ 63 929208941620049003468026219475623005044207967927259960960710516670464 n + 153382346644979750394672556026800092608089407187990055557335809544546\ 62 0924147695616 n + 7298344795979481556980972160161206311938223109959892\ 61 879556781616086006820182687744 n + 30224222137799007263667247117807373\ 60 583984125080842739075996547214774726471947649024 n + 11061260747467835\ 59 6644504158880864086212562247437777983266940051833923820790497673216 n + 362054607343674901870370405559192839961156155279885077855815691520997051\ 58 447382114304 n + 10701423416411521525097276549363361871934844563082470\ 57 57619971238506301705973961588736 n + 287892411475133269597394964069128\ 56 1898091455845830918335358555322584197112270224883712 n + 7095618720411\ 756628119735041584779154895930907915200490986340738622820776095523012608 55 n + 161111506752223465124206208770671963346344951958566034759635264043\ 54 09352782228831076352 n + 338603006830901572701351327580069833121582336\ 53 56405370365347087465679464559086841888768 n + 661378175362569765343782\ 52 93960641386134333233793623428041199912109467043925559706910720 n + 120\ 486169283285835936542649542469147736405546901525974288696678137941071090\ 51 573199278080 n + 20534900708983579132897365613253608631316001254791638\ 50 9047567544444721574259221736325120 n + 3283168233128697550575552645722\ 49 73118114588727304178611034303886546607371806216652718080 n + 493602790\ 937687983248344578925637636256001543456426865857056222207344818138648835\ 48 784704 n + 69930438637239519155588163558541883795677083895578898354461\ 47 2242703006851181284869799936 n + 9353553294359875004377981476211609928\ 46 37353692849467603215983838169159514521617524547584 n + 118314119804678\ 628108917634112330073634948601324788358184070356820253631500063403288985\ 45 6 n + 1417408238476790107443005534610308723326040366300197923386528244\ 44 355345070953916395798528 n + 16103877043316826744137498625832842445097\ 43 90862665904231353527044717163267624867913162752 n + 173723663917782355\ 42 8413349547767821135522781777480042035836355481091195949144853228530688 n + 178131153624557633482196480159794600773211609182715793426093723880879\ 41 9765154984411937792 n + 1737725003315810656583610394089438570533902048\ 40 945043323511103835391491952686761998953472 n + 16141478707841143661364\ 39 29626141041441424338903427902616272201804507376786240827853621248 n + 142871000100908365773263780491317544775370010368261831563533728192119205\ 38 0971045797797312 n + 1205758624151778479927530101486380932041335166387\ 37 646681271174498277100975475023917503808 n + 97080359921429448488901203\ 36 6072939423819930325750539628768287205946198885456626347956296 n + 7460\ 372536663152951861788804309400360195339668919148534328403782855381313709\ 35 94204445264 n + 547415564278780139519793872763996167551517870134687490\ 34 746371686594075198276180981916291 n + 38365234660350825457477149115909\ 33 2164259198052778942971611039291054564649848195278653419 n + 2568783510\ 278456802244155479964650749381360556024186420698148092364939505389940292\ 32 19030 n + 164346260249629925358371821780683473578928023763345022551355\ 31 425943914597439457599999320 n + 10047959005988643470060407514498633208\ 30 5316429196350713991301444038180132753597917497380 n + 5870755382456398\ 29 6497046526899263697085453303713508970555012538635167225962013691454420 n + 327785513501941935643285386785477377934964219185426855814809333984944\ 28 19061886442398288 n + 174870005981587247026094495761933890197393279479\ 27 91965392351676787066360754570143076792 n + 891227579879358603088530001\ 26 7546984254911416589778434035185228319327373849650295648898 n + 4338045\ 766258868075727789190762922333081914678818102255270777247281858551544670\ 25 057282 n + 20159573433354198170891437487554054060350629723505603428108\ 24 98434607815022792987342476 n + 894051805384848518648457602164752827971\ 23 603414430970280184268213193928591594123233784 n + 37819087876710092765\ 22 2743341253904915294365998608561377567827461851083607173008864196 n + 1\ 524953708577736696198919129757126531148140372037225872915261112293995991\ 21 36868358964 n + 585710883835419005062543349942420439412688460704702522\ 20 01912903340817226482047704504 n + 214103453838662900062743858439808174\ 19 91473438507592138351785389819881825149757748536 n + 744138620768529921\ 18 7636325159438410053632903406833585858100443027565468227953682259 n + 2\ 456327835514296536304649563819860566566473090241132818358429262642741262\ 17 829572331 n + 76906264945617688291543252694095529113315150189853208124\ 16 0813663915662665852921742 n + 2280543282180671351404747418248966355935\ 15 12204798394460456571072900139204900134128 n + 639409764202404659285139\ 14 47397471537924298750421061033874193657152182518091407232 n + 169175066\ 13 31047678958161281413569752881466900406059171857741849170278811054726688 n + 421433958937140273871228171973010049566563444213313812201070654141459\ 12 2321064000 n + 9858717454329762205286287085597815786959618100224453996\ 11 38562657500704014777600 n + 215912511109957284138896752090830217676015\ 10 535505623514518353250176344215840000 n + 44109440747412166290713371406\ 9 451046867076031598888312913219255165767630560000 n + 836969981767019957\ 8 3057044425794921996775384253882752112443054082530744000000 n + 14674110\ 7 56298759691615236253400271620792897326890310239593928298343808000000 n + 236200519733180441686352065548700239446767443089815048311671041401600000000 6 n + 34627106210952686359058496520279573407039335370693970223479344614400000000 5 n + 4575934462042670457285174140205165046503491325019867054150767360000000000 4 n + 3 537632302136876079552793107771939678923914150739222097875804160000000000 n + 2 55115021886399602634100909080646110804176983640843394459648000000000000 n + 4770168313482242802371130546864940881683683689845742108672000000000000 n + 355146382586864629977520590380051473368019551456264192000000000000000)/ 231914168354547741406313110785673846267537021034158669829917130639382934\ 5703125 and in Maple notation: 68719476736/2319141683545477414063131107856738462675370210341586698299171306393\ 829345703125*(n+1)*n*( 744656084295161852595622585235005934884357027979683375597783110024333099008*n^ 68+ 25318306866035502988251167897990201786068138951309234770324625740827325366272*n ^67+ 429626785982168724359907082662338819452614115481625796208660896559473537056768* n^66+48478878572774850527063783574477916837701566073361982620211850009677573254\ 02112*n^65+40896660770067529672875188767822442117508739857341964476353877782358\ 509534314496*n^64+2749578823419292089416200490034680262194756230050442079679272\ 59960960710516670464*n^63+15338234664497975039467255602680009260808940718799005\ 55573358095445460924147695616*n^62+72983447959794815569809721601612063119382231\ 09959892879556781616086006820182687744*n^61+30224222137799007263667247117807373\ 583984125080842739075996547214774726471947649024*n^60+1106126074746783566445041\ 58880864086212562247437777983266940051833923820790497673216*n^59+36205460734367\ 4901870370405559192839961156155279885077855815691520997051447382114304*n^58+107\ 0142341641152152509727654936336187193484456308247057619971238506301705973961588\ 736*n^57+2878924114751332695973949640691281898091455845830918335358555322584197\ 112270224883712*n^56+7095618720411756628119735041584779154895930907915200490986\ 340738622820776095523012608*n^55+1611115067522234651242062087706719633463449519\ 5856603475963526404309352782228831076352*n^54+338603006830901572701351327580069\ 83312158233656405370365347087465679464559086841888768*n^53+66137817536256976534\ 378293960641386134333233793623428041199912109467043925559706910720*n^52+1204861\ 6928328583593654264954246914773640554690152597428869667813794107109057319927808\ 0*n^51+205349007089835791328973656132536086313160012547916389047567544444721574\ 259221736325120*n^50+3283168233128697550575552645722731181145887273041786110343\ 03886546607371806216652718080*n^49+49360279093768798324834457892563763625600154\ 3456426865857056222207344818138648835784704*n^48+699304386372395191555881635585\ 418837956770838955788983544612242703006851181284869799936*n^47+9353553294359875\ 00437798147621160992837353692849467603215983838169159514521617524547584*n^46+11\ 8314119804678628108917634112330073634948601324788358184070356820253631500063403\ 2889856*n^45+141740823847679010744300553461030872332604036630019792338652824435\ 5345070953916395798528*n^44+161038770433168267441374986258328424450979086266590\ 4231353527044717163267624867913162752*n^43+173723663917782355841334954776782113\ 5522781777480042035836355481091195949144853228530688*n^42+178131153624557633482\ 1964801597946007732116091827157934260937238808799765154984411937792*n^41+173772\ 5003315810656583610394089438570533902048945043323511103835391491952686761998953\ 472*n^40+1614147870784114366136429626141041441424338903427902616272201804507376\ 786240827853621248*n^39+1428710001009083657732637804913175447753700103682618315\ 635337281921192050971045797797312*n^38+1205758624151778479927530101486380932041\ 335166387646681271174498277100975475023917503808*n^37+9708035992142944848890120\ 36072939423819930325750539628768287205946198885456626347956296*n^36+74603725366\ 6315295186178880430940036019533966891914853432840378285538131370994204445264*n^ 35+5474155642787801395197938727639961675515178701346874907463716865940751982761\ 80981916291*n^34+38365234660350825457477149115909216425919805277894297161103929\ 1054564649848195278653419*n^33+256878351027845680224415547996465074938136055602\ 418642069814809236493950538994029219030*n^32+1643462602496299253583718217806834\ 73578928023763345022551355425943914597439457599999320*n^31+10047959005988643470\ 0604075144986332085316429196350713991301444038180132753597917497380*n^30+587075\ 5382456398649704652689926369708545330371350897055501253863516722596201369145442\ 0*n^29+327785513501941935643285386785477377934964219185426855814809333984944190\ 61886442398288*n^28+17487000598158724702609449576193389019739327947991965392351\ 676787066360754570143076792*n^27+8912275798793586030885300017546984254911416589\ 778434035185228319327373849650295648898*n^26+4338045766258868075727789190762922\ 333081914678818102255270777247281858551544670057282*n^25+2015957343335419817089\ 143748755405406035062972350560342810898434607815022792987342476*n^24+8940518053\ 84848518648457602164752827971603414430970280184268213193928591594123233784*n^23 +378190878767100927652743341253904915294365998608561377567827461851083607173008\ 864196*n^22+1524953708577736696198919129757126531148140372037225872915261112293\ 99599136868358964*n^21+58571088383541900506254334994242043941268846070470252201\ 912903340817226482047704504*n^20+2141034538386629000627438584398081749147343850\ 7592138351785389819881825149757748536*n^19+744138620768529921763632515943841005\ 3632903406833585858100443027565468227953682259*n^18+245632783551429653630464956\ 3819860566566473090241132818358429262642741262829572331*n^17+769062649456176882\ 915432526940955291133151501898532081240813663915662665852921742*n^16+2280543282\ 18067135140474741824896635593512204798394460456571072900139204900134128*n^15+63\ 940976420240465928513947397471537924298750421061033874193657152182518091407232* n^14+16917506631047678958161281413569752881466900406059171857741849170278811054\ 726688*n^13+4214339589371402738712281719730100495665634442133138122010706541414\ 592321064000*n^12+ 985871745432976220528628708559781578695961810022445399638562657500704014777600* n^11+ 215912511109957284138896752090830217676015535505623514518353250176344215840000* n^10+ 44109440747412166290713371406451046867076031598888312913219255165767630560000*n ^9+8369699817670199573057044425794921996775384253882752112443054082530744000000 *n^8+ 1467411056298759691615236253400271620792897326890310239593928298343808000000*n^ 7+236200519733180441686352065548700239446767443089815048311671041401600000000*n ^6+34627106210952686359058496520279573407039335370693970223479344614400000000*n ^5+4575934462042670457285174140205165046503491325019867054150767360000000000*n^ 4+537632302136876079552793107771939678923914150739222097875804160000000000*n^3+ 55115021886399602634100909080646110804176983640843394459648000000000000*n^2+ 4770168313482242802371130546864940881683683689845742108672000000000000*n+ 355146382586864629977520590380051473368019551456264192000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 36, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 1099511627776 / Pi (2 j - 1) 72 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 (n + 1) n (1874918481301268106529539358109026653712333461051658482162589\ 70 23957791775260672 n + 656221468455443837285338775338159328799316711368\ 69 0804687569062338522712134123520 n + 1146329290477017015371592688230169\ 68 52195365661458417307213890758341814083070722048 n + 133169364596107244\ 67 8477740528410373399037104148136993812432782409259298379962253312 n + 1\ 156699624136098716803088665058397896631801442724946535462844607072334783\ 66 6504637440 n + 8008313932865726353997609362292006764543429627555578126\ 65 1529801212326464343959928832 n + 4601147629938477244049954634286002350\ 64 05536478214177409517546781091262543429397118976 n + 225536166170376191\ 63 3659771749751282863920768298472166824929777025032533892415612780544 n + 962373727516329285573642084324435994554965656489304735941244368484828457\ 62 2596911996928 n + 3629910019093966779626509074745715092674977202040387\ 61 7367867765224470865678161531633664 n + 1224850984784992964740954361759\ 60 32230319723962325186499971995325750977531240732839378944 n + 373330292\ 614982551199387770745221510027077774837222560122135818730263748561817500\ 59 123136 n + 10359956841881875793927617438942092378545765468029574519213\ 58 18092005699485634457120014336 n + 263473187060375037239866815294004216\ 57 2729640647856719834140415133154801674275066747027456 n + 6175075764520\ 921164377019483868455200965223367132782417486718060053611301269215979241\ 56 472 n + 13400964098372632924627816842599346644325153530903781588255932\ 55 307845272948044612363091968 n + 27039169878880102447574203482088621032\ 54 225792830359891003969180634212484353886184548204544 n + 50904557158933\ 320631484241066380368328671199811111874896056128947947746165859281283186\ 53 688 n + 89696372445269552405282354663541645136596741285040028076595531\ 52 620244629560776188042936320 n + 14833184213323446423214402525637891711\ 51 3954002564620923227870555723652232756452924157460480 n + 2307722748510\ 672650902170244408963107364851454609159047344046597443998518058406156724\ 50 46976 n + 338495401941939682192249260261108860437352890380718210842712\ 49 947251260030871918800864215040 n + 46899658024104812923655013835535333\ 48 5464405052819603193428797996241632474153434884700340224 n + 6148553016\ 088448425616670430733361314908324941446651291798868186745274475467596073\ 47 26867456 n + 763875475753263318040966442167553195390916029668835843662\ 46 642131475263193035329782156464640 n + 90055253689875317442820847063865\ 45 2304523482470901312434161570856023498801479361442632572416 n + 1008696\ 825029332455671777493333878267342165447112564582447337572970632992707177\ 44 806682951168 n + 10746071016338367020963988641246197241968719807823519\ 43 78357298469204224121037872128230088192 n + 108992814865999248625695062\ 42 7567473879174445414158613864040673680884994366798077092570155264 n + 1\ 053369025856377635160793126029882127699914497418757498214571105369641713\ 41 537893116409117952 n + 97080189100227893786793745178603002680627960963\ 40 5729387898226699430611317941423893197743232 n + 8537713729944056549836\ 39 67800022626086269863812944839497688156845327616679360817634274155008 n + 716919267040022372461443464513116798547989994177293208202157928929765428\ 38 972555249635771373 n + 57509403641900105456588569658487168520310083886\ 37 5010967510944717407973109090094342241806743 n + 4408968368826419675069\ 36 00069039532069526778306857150572228952859699167252601808719646000126 n + 323163974412580818313379891522953422753683817078989278774474784608864588\ 35 071425475138674019 n + 22652962409318948807456449044500636485928424234\ 34 4515326035282667069138979671905937608707107 n + 1518945710330097683106\ 33 99632213563100609238530115377797714798356617366570601416766284275204 n + 974417719025875166692999478169520042305466904527799239681081860838477961\ 32 22952646283959180 n + 598103040091804239862295353844245894603629300051\ 31 57752548836824082176353408000649383436620 n + 351276294625169195923521\ 30 95703233099940594291838236865398953230294672481733767628982281602 n + 197401030003954648994237743031850523119079096946234258445411977200943222\ 29 01848127689842690 n + 106129150761905068145592521605555373472468919913\ 28 82271005147189688671532980780375889042228 n + 545798245811375408432107\ 27 3431911077108712097269357096802742221938039537030106296728323482 n + 2\ 684347313899945683134171753320028916743027875484203393416573007557130092\ 26 484805190477670 n + 12621747518265568115239128772596977182735472400985\ 25 51763782218341580339475019830926734252 n + 567160512462043962483202152\ 24 878368446867629116911905375425904444744955707106707232207856 n + 24344\ 114629450242674516704223593947769138039197641719794606799288281892032828\ 23 8090040764 n + 9975643638156682178655971175786700072512381879379143321\ 22 3909758206304771433484522862433 n + 3899983105335225396519148690103444\ 21 7803127305065941468544316579754113413539187943409759 n + 1453549746527\ 877496248737981646247517854501937422090926694804370419909926917788062857\ 20 4 n + 5160156701342453986576754787965115379412827038574973204002359054\ 19 322457598427484416731 n + 17431164028024763856562465961858356166493488\ 18 67063096684277752360502537839678581902791 n + 559657642109418061340461\ 17 868837186069249655153452618111786614947837030205992787033176 n + 17056\ 188449940334128230188034989226716663630150161741237909792868713616267145\ 16 9057652 n + 4926681637295124920882526226176036610176989247092163857492\ 15 3725308392751698926137888 n + 1346464983650589985013030901235255093508\ 14 5598792193732098750349136155469740977536224 n + 3474947166218847768078\ 13 706965421939872201502035909069269489097086330681104266532608 n + 84494\ 290742807226033845920720289855860814613929096271213615437640217076110267\ 12 2000 n + 1930583008979396990123286470270426713548102785399108872866155\ 11 82665699980910150400 n + 413233441798166713493323535742990275147261401\ 10 26282950243985028434165214541280000 n + 825608573375361022742283110433\ 9 8778356719965303185687885991854030189868898560000 n + 15330274513444604\ 8 73671958181338327232572730474555352170058274375252654096000000 n + 2631\ 842018686678340247886514905559102735923734431803916424503059561989120000\ 7 00 n + 4150753506083852667278233829351728344806552151053097321542493495\ 6 3715200000000 n + 59658413189368250390290373947442980807700626666044936\ 5 31363809445478400000000 n + 773427055072839949066613145798842902844562993074352564310538058240000000000 4 n + 89205476124262226534942406686069498518630541668729821649301667840000000000 3 n + 8983141411782054661747219101119053157444861837762103128641536000000000000 2 n + 764387232863426265852389178772942146860031598981255052132352000000000000 n + 55935555257431179221459492984858107055463079354361610240000000000000000) /57630670836105113739468808030239950797482949726988429452734406963886659\ 24072265625 and in Maple notation: 1099511627776/57630670836105113739468808030239950797482949726988429452734406963\ 88665924072265625*(n+1)*n*( 187491848130126810652953935810902665371233346105165848216258923957791775260672* n^70+65622146845544383728533877533815932879931671136808046875690623385227121341\ 23520*n^69+11463292904770170153715926882301695219536566145841730721389075834181\ 4083070722048*n^68+133169364596107244847774052841037339903710414813699381243278\ 2409259298379962253312*n^67+115669962413609871680308866505839789663180144272494\ 65354628446070723347836504637440*n^66+80083139328657263539976093622920067645434\ 296275555781261529801212326464343959928832*n^65+4601147629938477244049954634286\ 00235005536478214177409517546781091262543429397118976*n^64+22553616617037619136\ 59771749751282863920768298472166824929777025032533892415612780544*n^63+96237372\ 75163292855736420843244359945549656564893047359412443684848284572596911996928*n ^62+362991001909396677962650907474571509267497720204038773678677652244708656781\ 61531633664*n^61+12248509847849929647409543617593223031972396232518649997199532\ 5750977531240732839378944*n^60+373330292614982551199387770745221510027077774837\ 222560122135818730263748561817500123136*n^59+1035995684188187579392761743894209\ 237854576546802957451921318092005699485634457120014336*n^58+2634731870603750372\ 398668152940042162729640647856719834140415133154801674275066747027456*n^57+6175\ 0757645209211643770194838684552009652233671327824174867180600536113012692159792\ 41472*n^56+13400964098372632924627816842599346644325153530903781588255932307845\ 272948044612363091968*n^55+2703916987888010244757420348208862103222579283035989\ 1003969180634212484353886184548204544*n^54+509045571589333206314842410663803683\ 28671199811111874896056128947947746165859281283186688*n^53+89696372445269552405\ 282354663541645136596741285040028076595531620244629560776188042936320*n^52+1483\ 3184213323446423214402525637891711395400256462092322787055572365223275645292415\ 7460480*n^51+230772274851067265090217024440896310736485145460915904734404659744\ 399851805840615672446976*n^50+3384954019419396821922492602611088604373528903807\ 18210842712947251260030871918800864215040*n^49+46899658024104812923655013835535\ 3335464405052819603193428797996241632474153434884700340224*n^48+614855301608844\ 842561667043073336131490832494144665129179886818674527447546759607326867456*n^ 47+7638754757532633180409664421675531953909160296688358436626421314752631930353\ 29782156464640*n^46+90055253689875317442820847063865230452348247090131243416157\ 0856023498801479361442632572416*n^45+100869682502933245567177749333387826734216\ 5447112564582447337572970632992707177806682951168*n^44+107460710163383670209639\ 8864124619724196871980782351978357298469204224121037872128230088192*n^43+108992\ 8148659992486256950627567473879174445414158613864040673680884994366798077092570\ 155264*n^42+1053369025856377635160793126029882127699914497418757498214571105369\ 641713537893116409117952*n^41+9708018910022789378679374517860300268062796096357\ 29387898226699430611317941423893197743232*n^40+85377137299440565498366780002262\ 6086269863812944839497688156845327616679360817634274155008*n^39+716919267040022\ 372461443464513116798547989994177293208202157928929765428972555249635771373*n^ 38+5750940364190010545658856965848716852031008388650109675109447174079731090900\ 94342241806743*n^37+44089683688264196750690006903953206952677830685715057222895\ 2859699167252601808719646000126*n^36+323163974412580818313379891522953422753683\ 817078989278774474784608864588071425475138674019*n^35+2265296240931894880745644\ 90445006364859284242344515326035282667069138979671905937608707107*n^34+15189457\ 1033009768310699632213563100609238530115377797714798356617366570601416766284275\ 204*n^33+9744177190258751666929994781695200423054669045277992396810818608384779\ 6122952646283959180*n^32+598103040091804239862295353844245894603629300051577525\ 48836824082176353408000649383436620*n^31+35127629462516919592352195703233099940\ 594291838236865398953230294672481733767628982281602*n^30+1974010300039546489942\ 3774303185052311907909694623425844541197720094322201848127689842690*n^29+106129\ 1507619050681455925216055553734724689199138227100514718968867153298078037588904\ 2228*n^28+545798245811375408432107343191107710871209726935709680274222193803953\ 7030106296728323482*n^27+268434731389994568313417175332002891674302787548420339\ 3416573007557130092484805190477670*n^26+126217475182655681152391287725969771827\ 3547240098551763782218341580339475019830926734252*n^25+567160512462043962483202\ 152878368446867629116911905375425904444744955707106707232207856*n^24+2434411462\ 94502426745167042235939477691380391976417197946067992882818920328288090040764*n ^23+997564363815668217865597117578670007251238187937914332139097582063047714334\ 84522862433*n^22+38999831053352253965191486901034447803127305065941468544316579\ 754113413539187943409759*n^21+1453549746527877496248737981646247517854501937422\ 0909266948043704199099269177880628574*n^20+516015670134245398657675478796511537\ 9412827038574973204002359054322457598427484416731*n^19+174311640280247638565624\ 6596185835616649348867063096684277752360502537839678581902791*n^18+559657642109\ 418061340461868837186069249655153452618111786614947837030205992787033176*n^17+ 1705618844994033412823018803498922671666363015016174123790979286871361626714590\ 57652*n^16+49266816372951249208825262261760366101769892470921638574923725308392\ 751698926137888*n^15+1346464983650589985013030901235255093508559879219373209875\ 0349136155469740977536224*n^14+347494716621884776807870696542193987220150203590\ 9069269489097086330681104266532608*n^13+844942907428072260338459207202898558608\ 146139290962712136154376402170761102672000*n^12+1930583008979396990123286470270\ 42671354810278539910887286615582665699980910150400*n^11+41323344179816671349332\ 353574299027514726140126282950243985028434165214541280000*n^10+8256085733753610\ 227422831104338778356719965303185687885991854030189868898560000*n^9+15330274513\ 44460473671958181338327232572730474555352170058274375252654096000000*n^8+ 263184201868667834024788651490555910273592373443180391642450305956198912000000* n^7+ 41507535060838526672782338293517283448065521510530973215424934953715200000000*n ^6+5965841318936825039029037394744298080770062666604493631363809445478400000000 *n^5+ 773427055072839949066613145798842902844562993074352564310538058240000000000*n^4 +89205476124262226534942406686069498518630541668729821649301667840000000000*n^3 +8983141411782054661747219101119053157444861837762103128641536000000000000*n^2+ 764387232863426265852389178772942146860031598981255052132352000000000000*n+ 55935555257431179221459492984858107055463079354361610240000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 37, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 549755813888 / Pi (2 j - 1) 74 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 (n + 1) n (3993907409959315412055514241627715199980126802795660286311847\ 72 02295272070626410496 n + 143780666758535354833998512698597747199284564\ 71 90064377030722649282629794542550777856 n + 258349024072446072809090519\ 70 379803182753735813475692901538677513063912644657807360000 n + 30872998\ 942862732689433964440261880332103844086809220669627490460144359899834771\ 69 04640 n + 275877533648449284804452974646798733161210782594617300953590\ 68 72719248757444507452047360 n + 196523782891893051825379253804549578762\ 67 779217751581660934646973320413295041424656433152 n + 11619490406759575\ 66 80885862564552858495181752796551205380280588577558795623148009600057344 n + 586223452291847999161124344473736312653550659812761661477579532785912\ 65 3887014640558800896 n + 2575169794182018045653399997646752561746721592\ 64 8136659085896501175399107103155733013725184 n + 1000164394562170601547\ 63 54620766557463574275723847968153136369255965328208266211734614704128 n + 347599659381220005396602996641580868120130235922549288372057696608373907\ 62 709964913976803328 n + 10915044860844384932081181765144440401069250787\ 61 81896647907640773390221824116597040099622912 n + 312140691420463274232\ 60 6108526893875492407939472175935372659184762975414274923066003992608768 n + 818316099635053348804935177278782509266495273423775767579416672311944\ 59 4644981766613079425024 n + 1977695089537809348321785599944261850207603\ 58 8416142829521780515993722932902054664088250744832 n + 4427245991537458\ 392517172675433578584672684543676590457046953102416024522736125295146618\ 57 0608 n + 9217811074697141079755561414232314885543639371603026111063676\ 56 4097039728109408610855736573952 n + 1791399273240535577658442106955585\ 55 55946205871881819178730156688450277761022242233443009167360 n + 325975\ 257045906150527148735555250094589190804777085549842279272964566977732528\ 54 992749902626816 n + 55692844538726926716742074185021411020393745491254\ 53 2012156637736004740129966689999091026100224 n + 8955582147822960880491\ 52 58221328102793482385370967981201716359087600266458238444751212743098368 n + 135833546470234117448064528994300813908273364244446384272444038999056\ 51 8499296696613676675760128 n + 1947045887959191546691012781527113804711\ 50 917532672722162895432140247567849621391480307407912960 n + 26421013673\ 607466589708102510017293364981928756301537811335859454105894296453967104\ 49 28469493760 n + 339935866011461803782157562602797627451234075507848393\ 48 7933944860784645242707262913568673546240 n + 4152595638906724405116547\ 47 921491253494695539430792645315609311071972886049618397311011889217536 n + 482232733988505495132839958832497789749934493856608285774768642521463\ 46 1287613107379927256630272 n + 5329567763480494429937417814673030706244\ 45 896564189953358978970526680073461467408512717709237248 n + 56112465333\ 057794664315307442695258209372879963153037322300399116392407860389156103\ 44 53940539392 n + 563309399830951145233013686724139076913825810705932802\ 43 5930979631558834032950352604839975363584 n + 5396365910458285537926664\ 42 189421201339885210112875747279779082525468646963369869341982642440704 n + 493662842650624396756258114434556938497028991220599667727695122683128\ 41 3684856833659907929570816 n + 4315252851536770486264859326323869992370\ 40 308077095266150688377502211903362602047999125365920624 n + 36063461212\ 707266615894424225357976380496392251338583758091043759271734945092974335\ 39 21032832192 n + 288284252586212647744694880573399980906930844657519832\ 38 3065070318738945673181848402548472588946 n + 2205178798233189398384404\ 37 600859725470548247906716757737656147486396102802009350130791065669174 n + 161467231973545914448419490124973679323018545854916000037431268819622\ 36 6944423831355079908620331 n + 1132044143144281407813651561955523233821\ 35 707243493719178516210517177792620100564435185263281020 n + 76010654817\ 089746108023416412567511944326515899485270863450117141674312352407135940\ 34 6191653953 n + 4888607481633941698682065935307924764928066200283446503\ 33 98934044602788807988542254083385767092 n + 301187428685803740811529852\ 32 474949736906035772302237252348989671350467187147535424604326874136 n + 177764460324806169453181651587974698060656805388457046175698351548242532\ 31 007871974316599416416 n + 10050758102080231090427912097541086109834359\ 30 7579452239025920584180698441004529268725940787040 n + 5443288949579796\ 812669820860140705359101996297741141969332663850831774138307704401940655\ 29 4100 n + 2823374432049570010862546194062945054981208731636640935421353\ 28 4352399483477747102714772360650 n + 1402258182329996198903144115807153\ 27 0559658147629653580846490679087398489032790313510573100312 n + 6666819\ 705021279255126987083162558161993581174850277567629056321053206740730075\ 26 340006982134 n + 30331152194397078049014715601884154724481184376738108\ 25 61293582387986390922408019916620155856 n + 131994077689735822681483076\ 24 5231979245246901281310904095558619096363084531549390416448369924 n + 5\ 491570773513997355943589876537648799902630658515252943945351183897158407\ 23 13430353834996288 n + 218302786519798728347495316465466160117514047897\ 22 451575545874842730152560835123231883993718 n + 82860187613780138414785\ 21 535988327210323218003991717284986419497061313870775053538761866022 n + 300065020438280713139296082585847725481430173146502613543715457901545163\ 20 24842023232180483 n + 103580335517947489553124517729674372820092089612\ 19 02636882142707781568419316456854621566284 n + 340475955399205662925485\ 18 9458426715600818599060991555787159524792716738885522784547404097 n + 1\ 064475308287611306063213895173764044010537391802921663634652645024406343\ 17 811335703735468 n + 31611653166921092335942991499594141420999441309282\ 16 3367042679361192597503762359918468092 n + 8903545574758659910595045659\ 15 7022451237193292335030536161083008501781446602191090589120 n + 2374274\ 511938607599671317342017003003892532119784929771995448863489347043921231\ 14 2493856 n + 5982589177219802176949042978314691138647244445360051588486\ 13 038301888937244800548461184 n + 14211682331578618567146042557688854248\ 12 15822354324057880402939144179968038939824656000 n + 317432096555568088\ 11 756905464056373923127599165438423844223275216790877077943785369600 n + 664607025244643485664210524842967475859962310485042830688025690335555168\ 10 51999520000 n + 129960169982116394284630869762299355525304304933123261\ 9 94424884783060423134071680000 n + 2363249957935525887616823873397157833\ 8 375191293785464676748888205836492095024000000 n + 397556483777840062928\ 7 053096398696140680370637541643407089426821232177589248000000 n + 614753\ 193159904359773300888709717443453049878470705760838084395296906368000000\ 6 00 n + 8668369753370433022902186154494706858066567010336463222017296920\ 5 960307200000000 n + 110315752823423992638067703473802754775007687545753\ 4 5523763448306408960000000000 n + 12497710799740023556217524813790121474\ 3 4336980467178205578434262466560000000000 n + 12369717155097019669518107\ 2 408581685654214150308849495326832185344000000000000 n + 103535344574358\ 7171301221128300533136168995412248997655662821376000000000000 n + 74506159602898330722984044655830998597876821700009664839680000000000000000) /37863350739321059726831006875867647673946297970631398150446505375273535\ 12115478515625 and in Maple notation: 549755813888/378633507393210597268310068758676476739462979706313981504465053752\ 7353512115478515625*(n+1)*n*(39939074099593154120555142416277151999801268027956\ 6028631184702295272070626410496*n^72+143780666758535354833998512698597747199284\ 56490064377030722649282629794542550777856*n^71+25834902407244607280909051937980\ 3182753735813475692901538677513063912644657807360000*n^70+308729989428627326894\ 3396444026188033210384408680922066962749046014435989983477104640*n^69+275877533\ 64844928480445297464679873316121078259461730095359072719248757444507452047360*n ^68+196523782891893051825379253804549578762779217751581660934646973320413295041\ 424656433152*n^67+1161949040675957580885862564552858495181752796551205380280588\ 577558795623148009600057344*n^66+5862234522918479991611243444737363126535506598\ 127616614775795327859123887014640558800896*n^65+2575169794182018045653399997646\ 7525617467215928136659085896501175399107103155733013725184*n^64+100016439456217\ 060154754620766557463574275723847968153136369255965328208266211734614704128*n^ 63+3475996593812200053966029966415808681201302359225492883720576966083739077099\ 64913976803328*n^62+10915044860844384932081181765144440401069250787818966479076\ 40773390221824116597040099622912*n^61+31214069142046327423261085268938754924079\ 39472175935372659184762975414274923066003992608768*n^60+81831609963505334880493\ 51772787825092664952734237757675794166723119444644981766613079425024*n^59+19776\ 9508953780934832178559994426185020760384161428295217805159937229329020546640882\ 50744832*n^58+44272459915374583925171726754335785846726845436765904570469531024\ 160245227361252951466180608*n^57+9217811074697141079755561414232314885543639371\ 6030261110636764097039728109408610855736573952*n^56+179139927324053557765844210\ 695558555946205871881819178730156688450277761022242233443009167360*n^55+3259752\ 5704590615052714873555525009458919080477708554984227927296456697773252899274990\ 2626816*n^54+556928445387269267167420741850214110203937454912542012156637736004\ 740129966689999091026100224*n^53+8955582147822960880491582213281027934823853709\ 67981201716359087600266458238444751212743098368*n^52+13583354647023411744806452\ 89943008139082733642444463842724440389990568499296696613676675760128*n^51+19470\ 4588795919154669101278152711380471191753267272216289543214024756784962139148030\ 7407912960*n^50+264210136736074665897081025100172933649819287563015378113358594\ 5410589429645396710428469493760*n^49+339935866011461803782157562602797627451234\ 0755078483937933944860784645242707262913568673546240*n^48+415259563890672440511\ 6547921491253494695539430792645315609311071972886049618397311011889217536*n^47+ 4822327339885054951328399588324977897499344938566082857747686425214631287613107\ 379927256630272*n^46+5329567763480494429937417814673030706244896564189953358978\ 970526680073461467408512717709237248*n^45+5611246533305779466431530744269525820\ 937287996315303732230039911639240786038915610353940539392*n^44+5633093998309511\ 452330136867241390769138258107059328025930979631558834032950352604839975363584* n^43+53963659104582855379266641894212013398852101128757472797790825254686469633\ 69869341982642440704*n^42+49366284265062439675625811443455693849702899122059966\ 77276951226831283684856833659907929570816*n^41+43152528515367704862648593263238\ 69992370308077095266150688377502211903362602047999125365920624*n^40+36063461212\ 7072666158944242253579763804963922513385837580910437592717349450929743352103283\ 2192*n^39+288284252586212647744694880573399980906930844657519832306507031873894\ 5673181848402548472588946*n^38+220517879823318939838440460085972547054824790671\ 6757737656147486396102802009350130791065669174*n^37+161467231973545914448419490\ 1249736793230185458549160000374312688196226944423831355079908620331*n^36+113204\ 4143144281407813651561955523233821707243493719178516210517177792620100564435185\ 263281020*n^35+7601065481708974610802341641256751194432651589948527086345011714\ 16743123524071359406191653953*n^34+48886074816339416986820659353079247649280662\ 0028344650398934044602788807988542254083385767092*n^33+301187428685803740811529\ 852474949736906035772302237252348989671350467187147535424604326874136*n^32+1777\ 6446032480616945318165158797469806065680538845704617569835154824253200787197431\ 6599416416*n^31+100507581020802310904279120975410861098343597579452239025920584\ 180698441004529268725940787040*n^30+5443288949579796812669820860140705359101996\ 2977411419693326638508317741383077044019406554100*n^29+282337443204957001086254\ 61940629450549812087316366409354213534352399483477747102714772360650*n^28+14022\ 5818232999619890314411580715305596581476296535808464906790873984890327903135105\ 73100312*n^27+66668197050212792551269870831625581619935811748502775676290563210\ 53206740730075340006982134*n^26+30331152194397078049014715601884154724481184376\ 73810861293582387986390922408019916620155856*n^25+13199407768973582268148307652\ 31979245246901281310904095558619096363084531549390416448369924*n^24+54915707735\ 1399735594358987653764879990263065851525294394535118389715840713430353834996288 *n^23+2183027865197987283474953164654661601175140478974515755458748427301525608\ 35123231883993718*n^22+82860187613780138414785535988327210323218003991717284986\ 419497061313870775053538761866022*n^21+3000650204382807131392960825858477254814\ 3017314650261354371545790154516324842023232180483*n^20+103580335517947489553124\ 51772967437282009208961202636882142707781568419316456854621566284*n^19+34047595\ 5399205662925485945842671560081859906099155578715952479271673888552278454740409\ 7*n^18+106447530828761130606321389517376404401053739180292166363465264502440634\ 3811335703735468*n^17+316116531669210923359429914995941414209994413092823367042\ 679361192597503762359918468092*n^16+8903545574758659910595045659702245123719329\ 2335030536161083008501781446602191090589120*n^15+237427451193860759967131734201\ 70030038925321197849297719954488634893470439212312493856*n^14+59825891772198021\ 76949042978314691138647244445360051588486038301888937244800548461184*n^13+14211\ 6823315786185671460425576888542481582235432405788040293914417996803893982465600\ 0*n^12+317432096555568088756905464056373923127599165438423844223275216790877077\ 943785369600*n^11+6646070252446434856642105248429674758599623104850428306880256\ 9033555516851999520000*n^10+129960169982116394284630869762299355525304304933123\ 26194424884783060423134071680000*n^9+236324995793552588761682387339715783337519\ 1293785464676748888205836492095024000000*n^8+3975564837778400629280530963986961\ 40680370637541643407089426821232177589248000000*n^7+614753193159904359773300888\ 70971744345304987847070576083808439529690636800000000*n^6+866836975337043302290\ 2186154494706858066567010336463222017296920960307200000000*n^5+1103157528234239\ 926380677034738027547750076875457535523763448306408960000000000*n^4+ 124977107997400235562175248137901214744336980467178205578434262466560000000000* n^3+ 12369717155097019669518107408581685654214150308849495326832185344000000000000*n ^2+1035353445743587171301221128300533136168995412248997655662821376000000000000 *n+74506159602898330722984044655830998597876821700009664839680000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 38, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 1099511627776 / Pi (2 j - 1) 76 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 (n + 1) n (8983616860196587179590543196411226535621371845657130657490468\ 74 50225746677189933268992 n + 332393823827273725644850098267215381817990\ 73 75828931383432714733458352627056027530952704 n + 613862611179282960818\ 72 028759197239061945188741030052548866674218470331287083059087671296 n + 754020451881959740620460102699657250639879946400994581567121861017347568\ 71 4450068598882304 n + 6926311332284474584874878580897874046778949444847\ 70 2120736720472295076177707713182895702016 n + 5072656269828479829818825\ 69 52823126263412981797835197856117043400549976702679959507140870144 n + 308394082047868745846716166088410811760789860246973974911817649996184836\ 68 2669262373761581056 n + 1600127482903118632920475537300043784547366173\ 67 4155482702474165391742338968364644982056812544 n + 7230238858816715310\ 639965747914839132734785400448006605400759808923158073160130512249526681\ 66 6 n + 2889116670054074871201391047920681562267855687092304390416686342\ 65 88551112194134536376878628864 n + 103328392826488875255718741607340115\ 64 2274731655398875388673186639350237596433085107277016334336 n + 3339797\ 328373180019715202610934095289699148721872399804195617524427939244901133\ 63 127915105419264 n + 98336447128554610455240427257671912949710278059700\ 62 81625967056324498612686362383372266112024576 n + 265507968315825403354\ 799480918941953455865134141226254102665146323806528711327707167337155133\ 61 44 n + 661056185011263492336081187177964400165248078835333235871699161\ 60 93270584855388229263326609145856 n + 152501074119678948768009983047886\ 59 898097923249886213741862159533477196969625163393806632950431744 n + 32\ 731983262711450095740972376282774428879340748835841706229028050583036133\ 58 0677435264822763585536 n + 6559862226774594246844193063021268823591561\ 57 65356491327365104618388169767008519607009710759215104 n + 123141627912\ 928512536002750177430381502188302697622683770175292389586537854963036922\ 56 5781958148096 n + 2171228015243911030992557063317883082573055660540373\ 55 121358565336891003511930326880585838707605504 n + 36046358163263027055\ 380964964159720514659418752123678661989781175391493272502038865485456847\ 54 66720 n + 564702921446020031538164092229032778911319551882207476484619\ 53 6424644147486977133412470643557793792 n + 8364247461711953424115850222\ 52 572912931495512051186612092054322130833037763932855927462532066705408 n + 117338031918645405890137662368986233739653678136374035960613048180011\ 51 44450751298975980440067899392 n + 156147454352214600208636729404474281\ 50 33044491818875121946421096164562685361134101286515532375687168 n + 197\ 390162621305268804799355674327493820839489549632181533258128796933654276\ 49 20460280334902752346112 n + 237333826466149518392681512971276590638227\ 48 91421548545240947796701423169402502239605497175647551488 n + 271726163\ 978199491767986316149722330508686356120957284550049687189229969051207493\ 47 52087329724301312 n + 296541541641022368951987656186948154500714206218\ 46 17830599343764830268480862465320134980929368544768 n + 308760310756860\ 260294002457638823572731506485389040175922836201783427652702245246830621\ 45 22945526272 n + 306971232058750043947383931471577824687212249742176157\ 44 81957650678812024261812467270212433813667328 n + 291631710362553618302\ 667644731692418445971316091635789409576746348722976202017652825387190769\ 43 05472 n + 264922105482962074453259845565240419063501246880573577271151\ 42 86498884907404306175073865610017047648 n + 230250661492214684793044174\ 41 77147524336255404606116997894989497961557842792359022509797977085906912 n + 191560074691855700809012526258696924376810824660979242554880204680379\ 40 12749883894616534588748574688 n + 152624321431600124979590715295342972\ 39 30987438135797265887693751224458401178390239948578878347490112 n + 116\ 499155879697027133337949651041190370249773088052265688022242531732607267\ 38 43194849287180610924153 n + 852199590065923900637692830171124932077590\ 37 4746232886490854986590546401777281486925535235184028667 n + 5975759193\ 377269154107421889213967445763128496436073708700792486639960617708272728\ 36 519010706156183 n + 40176026011272002115898132602714875027600786013106\ 35 50133329125186731667008636383078393349391416617 n + 259016569141666332\ 254186481100054027963380761965891723837026502145178380192380560446509499\ 34 6694084 n + 1601457096402704722273347019038055833488349453974975095423\ 33 363987676080618297026597332642295779304 n + 94961334428028083053568887\ 32 6866380221193734701035196301199145301079867909350084787937323521312796 n + 540025818383859494247082934519801144478647175528609188847137938620171\ 31 457275460773743101053746804 n + 29450084570333505643884066425985117648\ 30 0451557550465972657181397274190196519507490791456861999566 n + 1539948\ 037312684552908533925394999315410267000551433723567273770483233048505623\ 29 87990545671087994 n + 771952586180369975960501190122115677047623715959\ 28 52684828149984985824462434905376731662240800706 n + 370878049457061635\ 703720188204039016969111302164083182476953252109744199508629212078913801\ 27 52894 n + 170722431168031721252376156907720967109045027150701200178706\ 26 34644836568818414456894117668024916 n + 752666435535964577980299107708\ 25 0089652205041488561018232233471281361463453238693975469463119364 n + 3\ 176648871002497518079361819718740961088284007442714443681550856144257130\ 24 717189451623427623836 n + 12828004711153034661345438510173742978272667\ 23 47539488894582597604221567523486017722438293849764 n + 495341082957501\ 232709375609306203268144166809134216982406860766130554432730500747763052\ 22 134401 n + 18276679294095653845390111921632156743601879231451042710519\ 21 5896179182028910917608856691199619 n + 6438527850531103947853366121198\ 20 0090741770116278003843266220374841998398012984382469736540831 n + 2163\ 577007880403515065887558513768084976484407008614822710857212050418863791\ 19 6189506194516769 n + 6927882658957201140863763257775805113195858657115\ 18 085773251871839594812086047356606396511936 n + 21113282102093931835253\ 17 26589184266171801386704131200389231234719910508426088060155559036604 n + 611579616277510861757946454661476905253950234964702953498673059863913711\ 16 892417180289034096 n + 16812298809127793273837351171007674732590233535\ 15 8965761610398442830799868206763711833289504 n + 4378444060277160131234\ 14 4793743735584690143517552903936522670788272429835398071594223336704 n + 107811139568804800441701434588133620759329873466577224153134526513075330\ 13 04872479484995200 n + 250415588566952789156751585344746930776816237349\ 12 0707689145794075500080913966623109152000 n + 5472170569264889425701534\ 11 36483922605928241330619155690612700649691285544494554517280000 n + 112\ 153934263288777632287807306352187348000536708972978747779828393089753027\ 10 757844480000 n + 21480563216774685839980111724154674186564280276644184\ 9 168091782026250962478740784000000 n + 382801705281470587115169751065419\ 8 5161101800720147518543003330534650768762045760000000 n + 63144255860116\ 7 5754438344654903524056339560455985990209435040365153117763955200000000 n + 957963126656253809030512751913028374731118257812670473564713997242364\ 6 79539200000000 n + 1325996442524589587855763025720170157664927017626032\ 5 4372390106455768706560000000000 n + 16574750016944149103003137073507603\ 4 65263608097438034162234143456397363200000000000 n + 1845439073598817867\ 3 29352740008767516045778894454632725131021793775616000000000000 n + 1796\ 172027249779515067222278607362135259324514657632622253043726745600000000\ 2 0000 n + 14795510051223740256247272143289862549622995644700222005505425\ 40800000000000000 n + 10475566040167505299651556678609838402861481131021\ 3588764590080000000000000000)/105070798301615940741956044080532722295200\ 97686850212986748905241638405996120452880859375 and in Maple notation: 1099511627776/10507079830161594074195604408053272229520097686850212986748905241\ 638405996120452880859375*(n+1)*n*(898361686019658717959054319641122653562137184\ 565713065749046850225746677189933268992*n^74+3323938238272737256448500982672153\ 8181799075828931383432714733458352627056027530952704*n^73+613862611179282960818\ 028759197239061945188741030052548866674218470331287083059087671296*n^72+7540204\ 5188195974062046010269965725063987994640099458156712186101734756844500685988823\ 04*n^71+69263113322844745848748785808978740467789494448472120736720472295076177\ 707713182895702016*n^70+5072656269828479829818825528231262634129817978351978561\ 17043400549976702679959507140870144*n^69+30839408204786874584671616608841081176\ 07898602469739749118176499961848362669262373761581056*n^68+16001274829031186329\ 204755373000437845473661734155482702474165391742338968364644982056812544*n^67+ 7230238858816715310639965747914839132734785400448006605400759808923158073160130\ 5122495266816*n^66+288911667005407487120139104792068156226785568709230439041668\ 634288551112194134536376878628864*n^65+1033283928264888752557187416073401152274\ 731655398875388673186639350237596433085107277016334336*n^64+3339797328373180019\ 715202610934095289699148721872399804195617524427939244901133127915105419264*n^ 63+9833644712855461045524042725767191294971027805970081625967056324498612686362\ 383372266112024576*n^62+2655079683158254033547994809189419534558651341412262541\ 0266514632380652871132770716733715513344*n^61+661056185011263492336081187177964\ 40016524807883533323587169916193270584855388229263326609145856*n^60+15250107411\ 9678948768009983047886898097923249886213741862159533477196969625163393806632950\ 431744*n^59+3273198326271145009574097237628277442887934074883584170622902805058\ 30361330677435264822763585536*n^58+65598622267745942468441930630212688235915616\ 5356491327365104618388169767008519607009710759215104*n^57+123141627912928512536\ 0027501774303815021883026976226837701752923895865378549630369225781958148096*n^ 56+2171228015243911030992557063317883082573055660540373121358565336891003511930\ 326880585838707605504*n^55+3604635816326302705538096496415972051465941875212367\ 866198978117539149327250203886548545684766720*n^54+5647029214460200315381640922\ 290327789113195518822074764846196424644147486977133412470643557793792*n^53+8364\ 2474617119534241158502225729129314955120511866120920543221308330377639328559274\ 62532066705408*n^52+11733803191864540589013766236898623373965367813637403596061\ 304818001144450751298975980440067899392*n^51+1561474543522146002086367294044742\ 8133044491818875121946421096164562685361134101286515532375687168*n^50+197390162\ 6213052688047993556743274938208394895496321815332581287969336542762046028033490\ 2752346112*n^49+237333826466149518392681512971276590638227914215485452409477967\ 01423169402502239605497175647551488*n^48+27172616397819949176798631614972233050\ 868635612095728455004968718922996905120749352087329724301312*n^47+2965415416410\ 2236895198765618694815450071420621817830599343764830268480862465320134980929368\ 544768*n^46+3087603107568602602940024576388235727315064853890401759228362017834\ 2765270224524683062122945526272*n^45+306971232058750043947383931471577824687212\ 24974217615781957650678812024261812467270212433813667328*n^44+29163171036255361\ 8302667644731692418445971316091635789409576746348722976202017652825387190769054\ 72*n^43+26492210548296207445325984556524041906350124688057357727115186498884907\ 404306175073865610017047648*n^42+2302506614922146847930441747714752433625540460\ 6116997894989497961557842792359022509797977085906912*n^41+191560074691855700809\ 01252625869692437681082466097924255488020468037912749883894616534588748574688*n ^40+152624321431600124979590715295342972309874381357972658876937512244584011783\ 90239948578878347490112*n^39+11649915587969702713333794965104119037024977308805\ 226568802224253173260726743194849287180610924153*n^38+8521995900659239006376928\ 301711249320775904746232886490854986590546401777281486925535235184028667*n^37+ 5975759193377269154107421889213967445763128496436073708700792486639960617708272\ 728519010706156183*n^36+4017602601127200211589813260271487502760078601310650133\ 329125186731667008636383078393349391416617*n^35+2590165691416663322541864811000\ 540279633807619658917238370265021451783801923805604465094996694084*n^34+1601457\ 0964027047222733470190380558334883494539749750954233639876760806182970265973326\ 42295779304*n^33+94961334428028083053568887686638022119373470103519630119914530\ 1079867909350084787937323521312796*n^32+540025818383859494247082934519801144478\ 647175528609188847137938620171457275460773743101053746804*n^31+2945008457033350\ 5643884066425985117648045155755046597265718139727419019651950749079145686199956\ 6*n^30+153994803731268455290853392539499931541026700055143372356727377048323304\ 850562387990545671087994*n^29+7719525861803699759605011901221156770476237159595\ 2684828149984985824462434905376731662240800706*n^28+370878049457061635703720188\ 20403901696911130216408318247695325210974419950862921207891380152894*n^27+17072\ 2431168031721252376156907720967109045027150701200178706346448365688184144568941\ 17668024916*n^26+75266643553596457798029910770800896522050414885610182322334712\ 81361463453238693975469463119364*n^25+31766488710024975180793618197187409610882\ 84007442714443681550856144257130717189451623427623836*n^24+12828004711153034661\ 34543851017374297827266747539488894582597604221567523486017722438293849764*n^23 +495341082957501232709375609306203268144166809134216982406860766130554432730500\ 747763052134401*n^22+1827667929409565384539011192163215674360187923145104271051\ 95896179182028910917608856691199619*n^21+64385278505311039478533661211980090741\ 770116278003843266220374841998398012984382469736540831*n^20+2163577007880403515\ 0658875585137680849764844070086148227108572120504188637916189506194516769*n^19+ 6927882658957201140863763257775805113195858657115085773251871839594812086047356\ 606396511936*n^18+2111328210209393183525326589184266171801386704131200389231234\ 719910508426088060155559036604*n^17+6115796162775108617579464546614769052539502\ 34964702953498673059863913711892417180289034096*n^16+16812298809127793273837351\ 1710076747325902335358965761610398442830799868206763711833289504*n^15+437844406\ 0277160131234479374373558469014351755290393652267078827242983539807159422333670\ 4*n^14+107811139568804800441701434588133620759329873466577224153134526513075330\ 04872479484995200*n^13+25041558856695278915675158534474693077681623734907076891\ 45794075500080913966623109152000*n^12+54721705692648894257015343648392260592824\ 1330619155690612700649691285544494554517280000*n^11+112153934263288777632287807\ 306352187348000536708972978747779828393089753027757844480000*n^10+2148056321677\ 4685839980111724154674186564280276644184168091782026250962478740784000000*n^9+ 3828017052814705871151697510654195161101800720147518543003330534650768762045760\ 000000*n^8+63144255860116575443834465490352405633956045598599020943504036515311\ 7763955200000000*n^7+9579631266562538090305127519130283747311182578126704735647\ 1399724236479539200000000*n^6+1325996442524589587855763025720170157664927017626\ 0324372390106455768706560000000000*n^5+1657475001694414910300313707350760365263\ 608097438034162234143456397363200000000000*n^4+18454390735988178672935274000876\ 7516045778894454632725131021793775616000000000000*n^3+1796172027249779515067222\ 2786073621352593245146576326222530437267456000000000000*n^2+1479551005122374025\ 624727214328986254962299564470022200550542540800000000000000*n+ 104755660401675052996515566786098384028614811310213588764590080000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 39, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 1099511627776 / Pi (2 j - 1) 78 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 (n + 1) n (2130668007729581310461684788896082193242498675640764225313940\ 76 091905430939356413890134016 n + 80965384293724089797544021978051123343\ 75 214949674349040561929723492406375695543727825092608 n + 15357195634156\ 669681884290873909370949816892181762099983899919225500393780797593410359\ 74 78752 n + 193751336105322862916077660686160279680855868481333386805372\ 73 04019113508229762121499225882624 n + 182819839196477295734382635481636\ 72 404936129745629317818674504141051612264949075525705123495936 n + 13755\ 182343202727488610693897258315899295374892292905085734364647811692448358\ 71 63841557136277504 n + 859223923661164338164624476966481055135045345121\ 70 8544946507251044288787743423712897193104900096 n + 4581347597268903986\ 935998946012351381193708425732050172211352464080725736322296808494644749\ 69 9264 n + 2127683623929681864300200987713272835580544966651329169079945\ 68 13920793002328198527342296763990016 n + 874018524671714708824898657697\ 67 454073596525325192399229417050311406048666311904151025372106850304 n + 321417411578169983400157259832625695348615985049029733485842180798404468\ 66 9600606857754001587306496 n + 1068474948950257998522045025962384030182\ 65 7970891562331528820035730244967849113453164120629244329984 n + 3236388\ 881877831744221652266683759089488922051726279235082375021277819219289441\ 64 0596874970082574336 n + 8991664945773821138736914206745799939883376602\ 63 7153813744389950494882614242866731751750233745260544 n + 2304297680734\ 731494478178733603011487121549187660207940909818163695407449900376698486\ 62 82101951430656 n + 547316928329320678284438563974888520936647537270922\ 61 834342652631261290677628509157979017795038347264 n + 12098708519010783\ 060551000792416177982039321046929000854039190200427864807904328720724474\ 60 24175538176 n + 249806621963050276328438061330471377909954676085357798\ 59 7809626396315160852752896067530052296333328384 n + 4832873482084255924\ 160257699952238952254625693920056389907401499958123089128706119779504278\ 58 015574016 n + 87852295727260007897266679389245493079018839639757345958\ 57 77919436574648513650698981886457143019700224 n + 150424740819652819742\ 633220457521401739792327196034440288176889275985794782403110459489391995\ 56 55043328 n + 243141200702638293373805434788728795871977986877846176950\ 55 12051237836351958591904514473935877282201600 n + 371726989918510662528\ 474074228782349124893355620201393545776687891097103156318526298320562038\ 54 94456320 n + 538493704842769440028959860126871757203793043628776730852\ 53 44319323889527431023744300747927582453399552 n + 740313031488581295110\ 636396920457249674346101394187140808768299372451968501372062716249132842\ 52 87561728 n + 967268717190421875999478243218504529875493788424350121937\ 51 12771323991376420797094807859619998795169792 n + 120263470123058209176\ 991199043922917020227778316263099093535770216417549124278054778324889637\ 50 197611008 n + 14245526172522540448369673604286616029561918329300567481\ 49 0235700312048962877997551070532903584374095872 n + 1609294948699251378\ 914341442884258344969126211424336720389781915874733304698165871902743698\ 48 51255635968 n + 173546105628470559590661767471975960552787597445858994\ 47 726061717443132090958815385676329323845155028992 n + 17880729404873358\ 327711197852225237684465864212775477752100528792682687018287603990114019\ 46 9609136081408 n + 1761483209206992630256369255754422977288577509339360\ 45 77321647159331010729788984615885551501790334060032 n + 166032102081854\ 658884374198352926841477839963663491824177280966892140578363370710577668\ 44 219436489129728 n + 14982741609372211805883972931018896311479149456391\ 43 6535434106385026203359775533149353027699788071898112 n + 1295124925336\ 557156490688185755771772034347758569718000599340236798102909293099677440\ 42 83819727604523488 n + 107290318219614501474687998814556247795237591605\ 41 887841757212545454499371317983954773018428059711103072 n + 85215503198\ 713176784276941224111221669696170056459646210358388561968431858808547723\ 40 157769139046589648 n + 64914423617443100870448882972994420645192793848\ 39 016642979874964342878367826362363764795259523218277632 n + 47441589294\ 998169652754108366681842388359676180986800410434238731242804817849093492\ 38 434546383961960443 n + 33272085829883046021715869859890697277592464913\ 37 059869194207329103557522135790043891600294400882578177 n + 22396903747\ 378022603007983509624313605201796848558145067439724454843135989506035204\ 36 227501722727828421 n + 14472546651932661435587646061692439145073493404\ 35 158138567491686209952276194923316993919488844083479851 n + 89782263471\ 718278829383813466415313277950843014851598235681032152960025228364497186\ 34 92638018630534604 n + 534739398560793443256627786498030999856432080651\ 33 5840658738913021131087215324264035479874548599684024 n + 3057701048434\ 860397592227300609965254577887614114940464239849315627747603154036542766\ 32 371916094862836 n + 16785014082402312786669744658514311389086531882003\ 31 71513250925444248104591802310235998000023125570204 n + 884447223642650\ 118238393541518803391179690203393713995685963721453980093630067989095257\ 30 338374115146 n + 44727201915042657129668017606102251967679554654145252\ 29 8405748509555105974847629895387948834719361614 n + 2170314842976882084\ 435322985913893630148058491617619565241373036197991158201801258806824886\ 28 43685766 n + 101018524660550092356162658859903126080655065676624334089\ 27 696865220749095383148407991064172127492954 n + 45087458436001592076731\ 937899928682546106724258567046466576818074031547785282224512424959107593\ 26 596 n + 19288906326373692904143018741217811988569282835049529447427710\ 25 775274507606716343898673259766169484 n + 79058167250446101765489812914\ 24 54844033262433097037233754883351545195905189005516605217587359330436 n + 310263361498356139304033829883373639725626796456219245105389674483453319\ 23 5417810100806627742372844 n + 1165146444338084449726010500086950861563\ 22 511129940150109154084159292098300104992050210354989363731 n + 41838820\ 303774813029118591399207181343135906512072839057792664627663232218976091\ 21 3896307913003289 n + 1435379776569875282131014523821734686161389507248\ 20 46701793850869465040389293353775705268890454301 n + 470039566247666442\ 146009333327772937956633482112781861658892208378732168396810852069405508\ 19 99859 n + 146764256519251930609747186420789216964761540448286540488765\ 18 22860021587827540426168358512748416 n + 436417268047848072614408163250\ 17 0795973919214797104024872221978739356383608334875102494457700724 n + 1\ 234205897977284137826783401898992423305484783781440067920967019697376556\ 16 311746602766078721360 n + 33144091043617202308751390396821836756981123\ 15 9754784328185630983490404364111995294485123198816 n + 8437108854852040\ 571067937137048802964051876708078323109529444760513102572555497493321054\ 14 1824 n + 2031785213951657279963560202189144340964118986940227147502007\ 13 9727414447563951742664377084800 n + 4618031906917880785757210756157926\ 12 557325124271319703343498613002164855144352171913315424000 n + 98803863\ 203314938811617183580369487477770161308603097599573934520050124924299528\ 11 5877600000 n + 1983726221088829179885954653973002453016514813354831642\ 10 95017181094924128111134389985280000 n + 372389626735192586368639888548\ 9 84430229988790110436937997445300934331760353560481936000000 n + 6507896\ 108285740692938612897645473047613741664914620840900532817946613605388278\ 8 720000000 n + 105328257825412567979159997901094298504758397361228443548\ 7 1493291449824224420339200000000 n + 15686789712676111061797506192816530\ 6 3624616716103824959262489596776300410093107200000000 n + 21327194964449\ 5 238595554851916776947828010177896366584073707814308024092183040000000000 n + 261987213346146104268975439031898205400878861273512062540352482421075\ 4 9014400000000000 n + 28682548470856945756049741947331529559936978319657\ 3 1943362403488547909632000000000000 n + 27466180248506812230257290330134\ 2 169254025736679110278727592147078168576000000000000 n + 222756928466434\ 0915022827557405173518907538147702075615480603554611200000000000000 n + 155247888715282428540836069976997805130407150361736538549122498560000000\ 000000000)/1537185779152641213054816924898193727178790291586186159961364\ 8368516987972324222564697265625 and in Maple notation: 1099511627776/15371857791526412130548169248981937271787902915861861599613648368\ 516987972324222564697265625*(n+1)*n*(213066800772958131046168478889608219324249\ 8675640764225313940091905430939356413890134016*n^76+809653842937240897975440219\ 78051123343214949674349040561929723492406375695543727825092608*n^75+15357195634\ 1566696818842908739093709498168921817620999838999192255003937807975934103597875\ 2*n^74+193751336105322862916077660686160279680855868481333386805372040191135082\ 29762121499225882624*n^73+18281983919647729573438263548163640493612974562931781\ 8674504141051612264949075525705123495936*n^72+137551823432027274886106938972583\ 1589929537489229290508573436464781169244835863841557136277504*n^71+859223923661\ 1643381646244769664810551350453451218544946507251044288787743423712897193104900\ 096*n^70+4581347597268903986935998946012351381193708425732050172211352464080725\ 7363222968084946447499264*n^69+212768362392968186430020098771327283558054496665\ 132916907994513920793002328198527342296763990016*n^68+8740185246717147088248986\ 57697454073596525325192399229417050311406048666311904151025372106850304*n^67+32\ 1417411578169983400157259832625695348615985049029733485842180798404468960060685\ 7754001587306496*n^66+106847494895025799852204502596238403018279708915623315288\ 20035730244967849113453164120629244329984*n^65+32363888818778317442216522666837\ 590894889220517262792350823750212778192192894410596874970082574336*n^64+8991664\ 9457738211387369142067457999398833766027153813744389950494882614242866731751750\ 233745260544*n^63+2304297680734731494478178733603011487121549187660207940909818\ 16369540744990037669848682101951430656*n^62+54731692832932067828443856397488852\ 0936647537270922834342652631261290677628509157979017795038347264*n^61+120987085\ 1901078306055100079241617798203932104692900085403919020042786480790432872072447\ 424175538176*n^60+2498066219630502763284380613304713779099546760853577987809626\ 396315160852752896067530052296333328384*n^59+4832873482084255924160257699952238\ 952254625693920056389907401499958123089128706119779504278015574016*n^58+8785229\ 5727260007897266679389245493079018839639757345958779194365746485136506989818864\ 57143019700224*n^57+15042474081965281974263322045752140173979232719603444028817\ 688927598579478240311045948939199555043328*n^56+2431412007026382933738054347887\ 2879587197798687784617695012051237836351958591904514473935877282201600*n^55+371\ 7269899185106625284740742287823491248933556202013935457766878910971031563185262\ 9832056203894456320*n^54+538493704842769440028959860126871757203793043628776730\ 85244319323889527431023744300747927582453399552*n^53+74031303148858129511063639\ 692045724967434610139418714080876829937245196850137206271624913284287561728*n^ 52+9672687171904218759994782432185045298754937884243501219371277132399137642079\ 7094807859619998795169792*n^51+120263470123058209176991199043922917020227778316\ 263099093535770216417549124278054778324889637197611008*n^50+1424552617252254044\ 8369673604286616029561918329300567481023570031204896287799755107053290358437409\ 5872*n^49+160929494869925137891434144288425834496912621142433672038978191587473\ 330469816587190274369851255635968*n^48+1735461056284705595906617674719759605527\ 87597445858994726061717443132090958815385676329323845155028992*n^47+17880729404\ 8733583277111978522252376844658642127754777521005287926826870182876039901140199\ 609136081408*n^46+1761483209206992630256369255754422977288577509339360773216471\ 59331010729788984615885551501790334060032*n^45+16603210208185465888437419835292\ 6841477839963663491824177280966892140578363370710577668219436489129728*n^44+149\ 8274160937221180588397293101889631147914945639165354341063850262033597755331493\ 53027699788071898112*n^43+12951249253365571564906881857557717720343477585697180\ 0059934023679810290929309967744083819727604523488*n^42+107290318219614501474687\ 998814556247795237591605887841757212545454499371317983954773018428059711103072* n^41+85215503198713176784276941224111221669696170056459646210358388561968431858\ 808547723157769139046589648*n^40+6491442361744310087044888297299442064519279384\ 8016642979874964342878367826362363764795259523218277632*n^39+474415892949981696\ 5275410836668184238835967618098680041043423873124280481784909349243454638396196\ 0443*n^38+332720858298830460217158698598906972775924649130598691942073291035575\ 22135790043891600294400882578177*n^37+22396903747378022603007983509624313605201\ 796848558145067439724454843135989506035204227501722727828421*n^36+1447254665193\ 2661435587646061692439145073493404158138567491686209952276194923316993919488844\ 083479851*n^35+8978226347171827882938381346641531327795084301485159823568103215\ 296002522836449718692638018630534604*n^34+5347393985607934432566277864980309998\ 564320806515840658738913021131087215324264035479874548599684024*n^33+3057701048\ 4348603975922273006099652545778876141149404642398493156277476031540365427663719\ 16094862836*n^32+16785014082402312786669744658514311389086531882003715132509254\ 44248104591802310235998000023125570204*n^31+88444722364265011823839354151880339\ 1179690203393713995685963721453980093630067989095257338374115146*n^30+447272019\ 1504265712966801760610225196767955465414525284057485095551059748476298953879488\ 34719361614*n^29+21703148429768820844353229859138936301480584916176195652413730\ 3619799115820180125880682488643685766*n^28+101018524660550092356162658859903126\ 080655065676624334089696865220749095383148407991064172127492954*n^27+4508745843\ 6001592076731937899928682546106724258567046466576818074031547785282224512424959\ 107593596*n^26+1928890632637369290414301874121781198856928283504952944742771077\ 5274507606716343898673259766169484*n^25+790581672504461017654898129145484403326\ 2433097037233754883351545195905189005516605217587359330436*n^24+310263361498356\ 1393040338298833736397256267964562192451053896744834533195417810100806627742372\ 844*n^23+1165146444338084449726010500086950861563511129940150109154084159292098\ 300104992050210354989363731*n^22+4183882030377481302911859139920718134313590651\ 20728390577926646276632322189760913896307913003289*n^21+14353797765698752821310\ 1452382173468616138950724846701793850869465040389293353775705268890454301*n^20+ 4700395662476664421460093333277729379566334821127818616588922083787321683968108\ 5206940550899859*n^19+146764256519251930609747186420789216964761540448286540488\ 76522860021587827540426168358512748416*n^18+43641726804784807261440816325007959\ 73919214797104024872221978739356383608334875102494457700724*n^17+12342058979772\ 8413782678340189899242330548478378144006792096701969737655631174660276607872136\ 0*n^16+331440910436172023087513903968218367569811239754784328185630983490404364\ 111995294485123198816*n^15+8437108854852040571067937137048802964051876708078323\ 1095294447605131025725554974933210541824*n^14+203178521395165727996356020218914\ 43409641189869402271475020079727414447563951742664377084800*n^13+46180319069178\ 80785757210756157926557325124271319703343498613002164855144352171913315424000*n ^12+988038632033149388116171835803694874777701613086030975995739345200501249242\ 995285877600000*n^11+1983726221088829179885954653973002453016514813354831642950\ 17181094924128111134389985280000*n^10+37238962673519258636863988854884430229988\ 790110436937997445300934331760353560481936000000*n^9+65078961082857406929386128\ 97645473047613741664914620840900532817946613605388278720000000*n^8+105328257825\ 4125679791599979010942985047583973612284435481493291449824224420339200000000*n^ 7+15686789712676111061797506192816530362461671610382495926248959677630041009310\ 7200000000*n^6+2132719496444923859555485191677694782801017789636658407370781430\ 8024092183040000000000*n^5+2619872133461461042689754390318982054008788612735120\ 625403524824210759014400000000000*n^4+28682548470856945756049741947331529559936\ 9783196571943362403488547909632000000000000*n^3+2746618024850681223025729033013\ 4169254025736679110278727592147078168576000000000000*n^2+2227569284664340915022\ 827557405173518907538147702075615480603554611200000000000000*n+1552478887152824\ 28540836069976997805130407150361736538549122498560000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 40, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = / Pi (2 j - 1) 80 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 35184372088832 (n + 1) n (3325659198199612192845065185880964289077694686\ 78 39371589052234265058124200886757073807736832 n + 129700708729784875520\ 77 95754224935760727403009276935491973037136337266843834583525878501736448 n + 252492250839713725689969583307405763625309928623021894452474703651634\ 76 871834353358761069903872 n + 32696343028532791466468146886544130363649\ 75 09763622623737009595251621660953040194846171309539328 n + 316688808745\ 856441907503284678228910027852775781512798410518430265976839882339104216\ 74 09691217920 n + 244611815977692654469023086431778991063494750690963139\ 73 079041410669589053125098602019642492846080 n + 15688272626583958562650\ 058401336265983956609513140424135459710800984944581810636855397540115251\ 72 20 n + 858982245323134249904357428088229010010195887869849629390636466\ 71 3575701275979483085986971128954880 n + 4097250930743667577263158857565\ 70 3522616934799375010246172237301072645198754141769571102213338562560 n + 172894251226241305566293512490623720428538750020664181949582158039672215\ 69 896227599563485232328867840 n + 65326688167559121185848401310307388823\ 68 1465186841358501378098233041776858031516261986738068269301760 n + 2231\ 724848245930203046384224448171609749698216345073684755874931896918162173\ 67 250649843108281571082240 n + 69485216058744112473073732072477298635299\ 66 71071413689570479251683117701693038799143555341776207216640 n + 198487\ 902580634536157766620570562827913281674866317586962158922846497547751368\ 65 92239209574200990760960 n + 523127923369028842218182425713224778031096\ 64 95581697638682909340828288682376645058962581160021396029440 n + 127821\ 258429798958391757611219918813528903587105963192805965755169842754471707\ 63 366632621888284194242560 n + 29075280592902939295398148227880955145049\ 62 6136227016239659205003545520879618858364621176718842107002880 n + 6179\ 334117923002523352415738291531273814780092903371274331590548148000263569\ 61 00278113432592854261432320 n + 123093329699614249004114159258162943031\ 60 1869019358829477124196491700456874586324338096989548758248980480 n + 2\ 304722196357785589933799030759788269351104679104280728641246749243598759\ 59 293879260218920176560820715520 n + 40660501906778105489389142284497456\ 58 58590157034423468236647049919188238609657765224313215114256021192704 n + 677420577128880880482487122545383028672626024660269305064319361358315135\ 57 7349816436228363048330729619456 n + 1067912298887468207702134352319164\ 56 5063424550165106183425862973648882083136799769719015593954708736835584 n + 159579180125020519663130520010638186250301172702660571090126801415732\ 55 20268765935588553269744803666722816 n + 226399213192786174230473758194\ 175938418987860364180204463872169362868420655537350161414057021053356441\ 54 60 n + 305392268098050905106703843094458781042461830806691942068935283\ 53 21604047053897026785228583871311603056640 n + 392185377645064377575337\ 430208448389066835994827800092696059912134255638705141886451216185997799\ 52 86472960 n + 480050136515661411253759466590896632001253714972865832747\ 51 85595507380701774788600496442031962614729687040 n + 560668926839791125\ 165925246365044494486103613536578589513660975892908336254701808548883646\ 50 67557080135680 n + 625417151607493740059205654908160691680371830998340\ 49 10035675471850347418646690746710772444592628178155520 n + 666891281670\ 504611451455953435588407105120388474405275803405422356417201135035152413\ 48 47368730231106913280 n + 680305521079566951608264560481940895751196860\ 47 15183413534822171770522459160026402775783019512646976798720 n + 664392\ 184527996957736306607914121514026814731674674648048671823642225756177530\ 46 29287097762207592369418520 n + 621574317466003427947061169591691084128\ 45 45906336416563325449445449026208741627814257424160871997406378280 n + 557387003777154888980059181282825225246299171628833068238320845430037616\ 44 67306514502781688784867796358920 n + 479331107962609314838398263995105\ 43 31038340292181805318792855577032795108288990273462001453236623454127080 n + 395478871752240929049364113690258820495088599560770737924087446995353\ 42 66942697003573762334039917119367690 n + 313176515493824554065449944152\ 635973619538165625871738213936513014942656851218943647766543908734445674\ 41 10 n + 238110854706436406846994235718906673565620999094849258417013085\ 40 23132737830998965505634961587564729750865 n + 173866785335090583888004\ 682176058589910767606493412226840930298393740255033432905603436386793261\ 39 35517760 n + 121955941970616675369790743056152502803807291030651062982\ 38 76588836263730873218275634573643738502630328096 n + 821898943140397837\ 441268316704742896311252765862998524735029811772741286603005942776106279\ 37 8122985351494 n + 5322581448756922395301688184063875669381628976814808\ 36 406473964054344931971602685930046177713790640454341 n + 33124804222438\ 688266578090297513373426250375253084516677973033438614692120439326030597\ 35 69129426905552384 n + 198120560232827457263954414815648077937278918956\ 34 8530996465219924825378567495252402157068152521767838120 n + 1138802690\ 047749375545523143479698837347706038232172275583743688831967637535052326\ 33 116882347518701013780 n + 62905232336261501665032753608131364198841226\ 32 4620533007989906669905033838003949975681275892521714709170 n + 3338872\ 360325871171202160412019679235130639758575717691121761868188920099967951\ 31 69965534812137283182080 n + 170263380468931328312776943970544644216987\ 30 360192379788722133164868252445147172132207235956311411663760 n + 83399\ 257784830018548315012738553391727763234577007787958450867265170634643975\ 29 760721864141989898757140 n + 39229274317618502796751378932672409212962\ 28 951848100299758876812876631774521366843121253992010182343210 n + 17714\ 486187843229952962240421021285955117790654472163265786790317656951807058\ 27 687908446682461472792040 n + 76763375054737533884938679673933315881937\ 26 30834819798607499907893758825044780450377663560598656959090 n + 319077\ 424523832013926264211720121785114707050075505660166924998740390416961864\ 25 1539065340392013674010 n + 1271552127691918770707260539402364357521259\ 24 848651480259288158403067074430867315103376629846779412765 n + 48552963\ 514837756746639240930251288657558793328943246417250818854663041527869898\ 23 5359193423530207360 n + 1775224158750346682882013206359718536705983356\ 22 07018289768914315474514433187954554966469355917844680 n + 621041367680\ 576173293473261471789244928959214299437665876305465779559032600204873231\ 21 76693053226270 n + 207706108174408407519962763728757416262387805536146\ 20 53305895597293017368164069056250385473784288905 n + 663473618879659043\ 925713291566249318363963785739167568433394976293204581635306519377738085\ 19 4052720 n + 2021970652848105184138111444802506179392908507834662329483\ 18 223123207086422109254004199410714129868 n + 58718354315768102685401163\ 17 7575572512895602306322800685605044697332982086097888082528235435836352 n + 162264364999306688516888292026159802110198207483130316372724900952980\ 16 436627439824949084738559328 n + 42603573416578868741813227040301912293\ 15 305848386304306314230954063140575870043795819130801385472 n + 10608985\ 082792873053072478248961338900006461785673564100068543092966467733117558\ 14 788538423740800 n + 25005167458572447661998436741391821470394962063606\ 13 01048843653891086297449420228998185814720000 n + 556555330830496320710\ 938708464251737409450595277928484898700453588695684116975207899408160000 12 n + 116667301426102717102614601511591412024792046246584255554980631286\ 11 845303837328467805565440000 n + 22961615207553151778617895113406043427\ 10 514958044863848792567403516585558036475744732400000000 n + 42274976732\ 916327965219229898286243309327404034571558657370922991218514624125156121\ 9 60000000 n + 7249530117599521057707146496817327640816782256729168167049\ 8 40279796130313853222982400000000 n + 1151902016435734808181271766044667\ 7 92422178656495157677140783931285052508457175449600000000 n + 1685096336\ 046421105509319102603734342002732966110906768737629412047284901488896000\ 6 0000000 n + 22514647249498763834389879262308758630730005397218084523523\ 5 36333875902604492800000000000 n + 2719423358859883309577167103453388514\ 4 88959389963434636993529246264471032832000000000000 n + 2928948890264065\ 3 0372743247498340884510230435112339948298370688148714815488000000000000 n + 276074409573377216193208155258904406951497944071901562456281420331253\ 2 7600000000000000 n + 22054494345024126931374855430180106439853776845253\ 8870514609490231296000000000000000 n + 151366691497400367827315168227572\ 86000214697160269312508539443609600000000000000000)/47360693855692875774\ 218909456113348734378528883770395588409650623400839942730929721832275390\ 625 and in Maple notation: 35184372088832/4736069385569287577421890945611334873437852888377039558840965062\ 3400839942730929721832275390625*(n+1)*n*(33256591981996121928450651858809642890\ 7769468639371589052234265058124200886757073807736832*n^78+129700708729784875520\ 95754224935760727403009276935491973037136337266843834583525878501736448*n^77+25\ 2492250839713725689969583307405763625309928623021894452474703651634871834353358\ 761069903872*n^76+3269634302853279146646814688654413036364909763622623737009595\ 251621660953040194846171309539328*n^75+3166888087458564419075032846782289100278\ 5277578151279841051843026597683988233910421609691217920*n^74+244611815977692654\ 469023086431778991063494750690963139079041410669589053125098602019642492846080* n^73+15688272626583958562650058401336265983956609513140424135459710800984944581\ 81063685539754011525120*n^72+85898224532313424990435742808822901001019588786984\ 96293906364663575701275979483085986971128954880*n^71+40972509307436675772631588\ 575653522616934799375010246172237301072645198754141769571102213338562560*n^70+ 1728942512262413055662935124906237204285387500206641819495821580396722158962275\ 99563485232328867840*n^69+65326688167559121185848401310307388823146518684135850\ 1378098233041776858031516261986738068269301760*n^68+223172484824593020304638422\ 4448171609749698216345073684755874931896918162173250649843108281571082240*n^67+ 6948521605874411247307373207247729863529971071413689570479251683117701693038799\ 143555341776207216640*n^66+1984879025806345361577666205705628279132816748663175\ 8696215892284649754775136892239209574200990760960*n^65+523127923369028842218182\ 42571322477803109695581697638682909340828288682376645058962581160021396029440*n ^64+127821258429798958391757611219918813528903587105963192805965755169842754471\ 707366632621888284194242560*n^63+2907528059290293929539814822788095514504961362\ 27016239659205003545520879618858364621176718842107002880*n^62+61793341179230025\ 2335241573829153127381478009290337127433159054814800026356900278113432592854261\ 432320*n^61+1230933296996142490041141592581629430311869019358829477124196491700\ 456874586324338096989548758248980480*n^60+2304722196357785589933799030759788269\ 351104679104280728641246749243598759293879260218920176560820715520*n^59+4066050\ 1906778105489389142284497456585901570344234682366470499191882386096577652243132\ 15114256021192704*n^58+67742057712888088048248712254538302867262602466026930506\ 43193613583151357349816436228363048330729619456*n^57+10679122988874682077021343\ 523191645063424550165106183425862973648882083136799769719015593954708736835584* n^56+15957918012502051966313052001063818625030117270266057109012680141573220268\ 765935588553269744803666722816*n^55+2263992131927861742304737581941759384189878\ 6036418020446387216936286842065553735016141405702105335644160*n^54+305392268098\ 0509051067038430944587810424618308066919420689352832160404705389702678522858387\ 1311603056640*n^53+392185377645064377575337430208448389066835994827800092696059\ 91213425563870514188645121618599779986472960*n^52+48005013651566141125375946659\ 089663200125371497286583274785595507380701774788600496442031962614729687040*n^ 51+5606689268397911251659252463650444944861036135365785895136609758929083362547\ 0180854888364667557080135680*n^50+625417151607493740059205654908160691680371830\ 99834010035675471850347418646690746710772444592628178155520*n^49+66689128167050\ 4611451455953435588407105120388474405275803405422356417201135035152413473687302\ 31106913280*n^48+68030552107956695160826456048194089575119686015183413534822171\ 770522459160026402775783019512646976798720*n^47+6643921845279969577363066079141\ 2151402681473167467464804867182364222575617753029287097762207592369418520*n^46+ 6215743174660034279470611695916910841284590633641656332544944544902620874162781\ 4257424160871997406378280*n^45+557387003777154888980059181282825225246299171628\ 83306823832084543003761667306514502781688784867796358920*n^44+47933110796260931\ 4838398263995105310383402921818053187928555770327951082889902734620014532366234\ 54127080*n^43+39547887175224092904936411369025882049508859956077073792408744699\ 535366942697003573762334039917119367690*n^42+3131765154938245540654499441526359\ 7361953816562587173821393651301494265685121894364776654390873444567410*n^41+238\ 1108547064364068469942357189066735656209990948492584170130852313273783099896550\ 5634961587564729750865*n^40+173866785335090583888004682176058589910767606493412\ 22684093029839374025503343290560343638679326135517760*n^39+12195594197061667536\ 9790743056152502803807291030651062982765888362637308732182756345736437385026303\ 28096*n^38+82189894314039783744126831670474289631125276586299852473502981177274\ 12866030059427761062798122985351494*n^37+53225814487569223953016881840638756693\ 81628976814808406473964054344931971602685930046177713790640454341*n^36+33124804\ 2224386882665780902975133734262503752530845166779730334386146921204393260305976\ 9129426905552384*n^35+198120560232827457263954414815648077937278918956853099646\ 5219924825378567495252402157068152521767838120*n^34+113880269004774937554552314\ 3479698837347706038232172275583743688831967637535052326116882347518701013780*n^ 33+6290523233626150166503275360813136419884122646205330079899066699050338380039\ 49975681275892521714709170*n^32+33388723603258711712021604120196792351306397585\ 7571769112176186818892009996795169965534812137283182080*n^31+170263380468931328\ 3127769439705446442169873601923797887221331648682524451471721322072359563114116\ 63760*n^30+83399257784830018548315012738553391727763234577007787958450867265170\ 634643975760721864141989898757140*n^29+3922927431761850279675137893267240921296\ 2951848100299758876812876631774521366843121253992010182343210*n^28+177144861878\ 4322995296224042102128595511779065447216326578679031765695180705868790844668246\ 1472792040*n^27+767633750547375338849386796739333158819373083481979860749990789\ 3758825044780450377663560598656959090*n^26+319077424523832013926264211720121785\ 1147070500755056601669249987403904169618641539065340392013674010*n^25+127155212\ 7691918770707260539402364357521259848651480259288158403067074430867315103376629\ 846779412765*n^24+4855296351483775674663924093025128865755879332894324641725081\ 88546630415278698985359193423530207360*n^23+17752241587503466828820132063597185\ 3670598335607018289768914315474514433187954554966469355917844680*n^22+621041367\ 6805761732934732614717892449289592142994376658763054657795590326002048732317669\ 3053226270*n^21+207706108174408407519962763728757416262387805536146533058955972\ 93017368164069056250385473784288905*n^20+66347361887965904392571329156624931836\ 39637857391675684333949762932045816353065193777380854052720*n^19+20219706528481\ 0518413811144480250617939290850783466232948322312320708642210925400419941071412\ 9868*n^18+587183543157681026854011637575572512895602306322800685605044697332982\ 086097888082528235435836352*n^17+1622643649993066885168882920261598021101982074\ 83130316372724900952980436627439824949084738559328*n^16+42603573416578868741813\ 227040301912293305848386304306314230954063140575870043795819130801385472*n^15+ 1060898508279287305307247824896133890000646178567356410006854309296646773311755\ 8788538423740800*n^14+250051674585724476619984367413918214703949620636060104884\ 3653891086297449420228998185814720000*n^13+556555330830496320710938708464251737\ 409450595277928484898700453588695684116975207899408160000*n^12+1166673014261027\ 17102614601511591412024792046246584255554980631286845303837328467805565440000*n ^11+229616152075531517786178951134060434275149580448638487925674035165855580364\ 75744732400000000*n^10+42274976732916327965219229898286243309327404034571558657\ 37092299121851462412515612160000000*n^9+724953011759952105770714649681732764081\ 678225672916816704940279796130313853222982400000000*n^8+11519020164357348081812\ 7176604466792422178656495157677140783931285052508457175449600000000*n^7+1685096\ 3360464211055093191026037343420027329661109067687376294120472849014888960000000\ 000*n^6+22514647249498763834389879262308758630730005397218084523523363338759026\ 04492800000000000*n^5+271942335885988330957716710345338851488959389963434636993\ 529246264471032832000000000000*n^4+29289488902640650372743247498340884510230435\ 112339948298370688148714815488000000000000*n^3+27607440957337721619320815525890\ 44069514979440719015624562814203312537600000000000000*n^2+220544943450241269313\ 748554301801064398537768452538870514609490231296000000000000000*n+1513666914974\ 0036782731516822757286000214697160269312508539443609600000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 41, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = 8796093022208 / Pi (2 j - 1) 82 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 (n + 1) n (8733996107059721066677372670487052919523699978291033844132209\ 80 33183713876076958487244225642496 n + 349359844282388842667094906819482\ 79 11678094799913164135376528837327348555043078339489769025699840 n + 697\ 567051825208398689138349606779811901378406820124636514164309076816760377\ 78 449246158852607442944 n + 92654870172824604779210721694840059674520781\ 77 10575077308204850086402370640099793272198856993406976 n + 920592481913\ 980123576818460459047605074935596979088891209255904901456767846213131498\ 76 05261087571968 n + 729493980492156304846243170396609655642262342074392\ 75 638206272366929264012352952319340872356977442816 n + 48004451901964036\ 880704873175159344064901140018651453267958363362148735012905287254944796\ 74 58302832640 n + 269719985798022714763460018512064048497214357815802801\ 73 82993648485370644513773899116979021862100008960 n + 132041933509067917\ 229509785620699842640736229891407955666506947041535470545793185649744495\ 72 131345551360 n + 57195913618360298783463630891954057427582818281614270\ 71 7238807130977596135676104574892138488960447938560 n + 2218817593826118\ 258557298724733420511340075171984126202746752200307335874364665889469832\ 70 930711327211520 n + 77840541042941658457408498488089883463979010013129\ 69 22780138281340527198013779145323791880340432308142080 n + 248934866423\ 566269692307570887775796553357774237495221254268066877584350397316277601\ 68 33322040058377666560 n + 730559133880703165859268312356397153856468658\ 67 45230263126960489451182535512408463407337950973240887214080 n + 197862\ 304082391322002617897470370156485737971524467641859757226426896555198747\ 66 516984372762159619118202880 n + 49693976329743137487329734674259745517\ 65 3476276373289487651164846083767370391580004899253923709755871723520 n + 116221797404210668983584253312792310692702419105047365914634799105237306\ 64 2384338903640653903169074285772800 n + 2540339322727827108529781915367\ 516399625223351645761870224212976912875161731421726543315978348872513617\ 63 920 n + 52059526527402514034544751828054956902301952597613142290009787\ 62 87662752778557177010393965006710867057704960 n + 100307902551957574454\ 227612718841717686555973461753397776559292595399568873857248606338421347\ 61 58475133091840 n + 182171931781250821827858315665818418920768268691273\ 60 71308988449973247854315685951213911288775304361601400832 n + 312540827\ 195412048262775611235339549810242269215903902023843947330201303930848270\ 59 21195329699849825204305920 n + 507548352618426384142914466773958990704\ 58 47597396089466870619442578888381441567720276088954190513830853869568 n + 781577148998433751408289686027880559844653979679780809991973647405583010\ 57 91746181039415469871697162164764672 n + 114311879539998370416529274727\ 387882519867025484118885262749138150954209339285278692962239755610052758\ 56 470656 n + 15902642409696077110581035860372525671808167471645415138102\ 55 0594129219329809440447952488194781403713728151552 n + 2107068339184843\ 713673130163447512246306748445372037894760856809960412507841107135425871\ 54 00738197082596638720 n + 266218618012612605419264378809795200497364346\ 53 664900556443889363302369612305269484355732162601602185134407680 n + 32\ 108449393799289658324864683967229371434664404018228088811683301462564618\ 52 9068966493582886758459548982804480 n + 3700395877415678637139766567147\ 856667909602378339732821764451809477296038277268111410357391418987529620\ 51 68480 n + 407860861174026141006168667606654141162557629790578882064659\ 50 444488737758255790578975862540779719372462530560 n + 43029026604577705\ 071374007898683188363522940903941459910122601990738621658644236634476413\ 49 1265761324010250240 n + 4348243701070502674234479452885638957394418434\ 48 58167178239054414984993528595035173738145955106569603234932480 n + 421\ 168041541658364201772608005188145154655502389336463103500327739139463353\ 47 792256190424889880929436622858240 n + 39124041379101076330989234439642\ 964372949582269906321455932747627873208316759425378643187492024934813751\ 46 9840 n + 3487462304320002110057441367412007403512492854870220970478589\ 45 33367418524571559906694476718092198051960995360 n + 298440911891954568\ 291961052737310342464771688660508504767985949754554869428143907936581711\ 44 657484396977755200 n + 24528549877353859251387001541392566907893905200\ 43 1549902659407129152127610215065656230288217938136622245326560 n + 1936\ 908182446034804454274152373930683725688148282525973254261630515776818824\ 42 54372107738818251894853279787480 n + 146996533795900397211485803568526\ 816437009383103753230589642695651554876068455770317188629280981800142760\ 41 920 n + 10724632136757203795730108426740432341550131767803732086494509\ 40 2201948261664562171747063253071470256908724023 n + 7523692838168533512\ 622964294311238275324915306155457799933865068110846655124865136261730640\ 39 7495018373899740 n + 5076090807195463199876364710565064282149724750811\ 38 7913815924990401469071270555536529582438729343877537346282 n + 3294081\ 271817877167022108077678895789816744396700962904719299197872072459077715\ 37 8595266413370818495856584228 n + 2056286297586046214378111502052050932\ 36 9312355179294822028545239237304894033302244272136016951775120099493759 n + 123479778205917973786285148534420206841909550294751830414847804234276\ 35 51927189202937684891085983515019819448 n + 713297301585873786378594467\ 721739422487637604860907445220662932926495586599986101416921221666910414\ 34 2130540 n + 3963583024961434851059003787180134677037838189480273239394\ 33 632337841865141663610756350690559205367866051360 n + 21184024445837517\ 760829135640892434522879466103345649316709459777521196527627357729481628\ 32 75087219907312910 n + 108886103645633145656814560219475036298827838567\ 31 1137573249935140283585808587827480770403823676301440585960 n + 5381452\ 264424351610067528361574370253363405764376108208912627647174534919981349\ 30 21997040502732836145649420 n + 255674576998194683863810777174761209631\ 29 630025331242707562909418390458732070511214185927870639248682698680 n + 116737930969497514903883854770405593694947472416857844750015870348292325\ 28 830107898290390052199862203686710 n + 51206416203534490097371159883335\ 447623320971868932592908831230115672225327730496350803629636229632743680 27 n + 215700416968109860025631300916257693087063215216515301749091593641\ 26 87147449080357700464795681957353798280 n + 872149709323837196248037704\ 023456297073210968981294157942849868265941187426741951322884487072311219\ 25 0120 n + 3383098900159036312508758683332726590562146249379192163744323\ 24 562380223854396886028623002911374912442875 n + 12582314862913549989599\ 306890934050795726390038245233417931511669122295605674203862749924667036\ 23 22317020 n + 448366104367021870353762394941367322151922187617889993649\ 22 241805557710203991196661096924191875962766810 n + 15296697265633651949\ 565781028531307060385585939892772129196759153629054140438306309201993592\ 21 2388496740 n + 4992057877267544369030626538198377188032883867822853121\ 20 9764477670085287994531424903461273077123209899 n + 1556883684490960790\ 289806334470929247826177748599307026660025209939847062909849636693321631\ 19 3718349000 n + 4635027293852872242556977463378483444367575090141092814\ 18 284721230091597599126482208053859527967709956 n + 13156286327196604942\ 240324690761663797443344286168755128994359718381658771974881171850968614\ 17 91706624 n + 355546478902400460752432513113717969399452805848005109435\ 16 277895034274558442151185965596375559720992 n + 91339794121910903132136\ 607937301206199904295634553630727719667516358525667238617078269834382781\ 15 184 n + 22266463956285638584342485322573334274659857815896743805398637\ 14 798640159082093572654790591522857600 n + 51403105752476413820524071987\ 13 46700094130463289388438193029278877826146038244454953308085902720000 n + 112115455667761071598107871246605743472502586751697499182063563930247991\ 12 8247913516025911807840000 n + 2304179619698087989178806849152448970376\ 11 40339520169434852095002942047973214407959873155994880000 n + 444825650\ 852027744580124967426824769994459345245771831835267601517812925569682474\ 10 79468624000000 n + 803710132778776980403933285515277999581245822073650\ 9 9327059693312355990428357717679738880000000 n + 13532002796808390208339\ 8 46366193146392039600467562490028613632259185268413631298651193600000000 n + 211208423719583940970533487402550623916822675721145447646876874448649\ 7 411554756216627200000000 n + 303649176089597397352255161482859319003146\ 6 78829374150095318018363277452977735933440000000000 n + 3989097181408068\ 803070990992492864185865038373106233213975832596122571660129894400000000\ 5 000 n + 473982946866916951399011265472231566801338445909310561086424578\ 4 378088437644288000000000000 n + 502453351677042645304887377587750147538\ 3 65788551195543086190355078658126381056000000000000 n + 4663742120018840\ 2 145103317044329806971604535177103996289336771746554689945600000000000000 n + 367130647082684899920834731185917483236784953693637087896275694867447\ 808000000000000000 n + 2482413740557366032367968758932194904035210334284\ 1672514004687519744000000000000000000)/191810810115556146885586583297259\ 06237423304197927010213305908502477340176806026537342071533203125 and in Maple notation: 8796093022208/19181081011555614688558658329725906237423304197927010213305908502\ 477340176806026537342071533203125*(n+1)*n*(873399610705972106667737267048705291\ 952369997829103384413220933183713876076958487244225642496*n^80+3493598442823888\ 4266709490681948211678094799913164135376528837327348555043078339489769025699840 *n^79+6975670518252083986891383496067798119013784068201246365141643090768167603\ 77449246158852607442944*n^78+92654870172824604779210721694840059674520781105750\ 77308204850086402370640099793272198856993406976*n^77+92059248191398012357681846\ 045904760507493559697908889120925590490145676784621313149805261087571968*n^76+ 7294939804921563048462431703966096556422623420743926382062723669292640123529523\ 19340872356977442816*n^75+48004451901964036880704873175159344064901140018651453\ 26795836336214873501290528725494479658302832640*n^74+26971998579802271476346001\ 851206404849721435781580280182993648485370644513773899116979021862100008960*n^ 73+1320419335090679172295097856206998426407362298914079556665069470415354705457\ 93185649744495131345551360*n^72+57195913618360298783463630891954057427582818281\ 6142707238807130977596135676104574892138488960447938560*n^71+221881759382611825\ 8557298724733420511340075171984126202746752200307335874364665889469832930711327\ 211520*n^70+7784054104294165845740849848808988346397901001312922780138281340527\ 198013779145323791880340432308142080*n^69+2489348664235662696923075708877757965\ 5335777423749522125426806687758435039731627760133322040058377666560*n^68+730559\ 1338807031658592683123563971538564686584523026312696048945118253551240846340733\ 7950973240887214080*n^67+197862304082391322002617897470370156485737971524467641\ 859757226426896555198747516984372762159619118202880*n^66+4969397632974313748732\ 9734674259745517347627637328948765116484608376737039158000489925392370975587172\ 3520*n^65+116221797404210668983584253312792310692702419105047365914634799105237\ 3062384338903640653903169074285772800*n^64+254033932272782710852978191536751639\ 9625223351645761870224212976912875161731421726543315978348872513617920*n^63+520\ 5952652740251403454475182805495690230195259761314229000978787662752778557177010\ 393965006710867057704960*n^62+1003079025519575744542276127188417176865559734617\ 5339777655929259539956887385724860633842134758475133091840*n^61+182171931781250\ 8218278583156658184189207682686912737130898844997324785431568595121391128877530\ 4361601400832*n^60+312540827195412048262775611235339549810242269215903902023843\ 94733020130393084827021195329699849825204305920*n^59+50754835261842638414291446\ 6773958990704475973960894668706194425788883814415677202760889541905138308538695\ 68*n^58+78157714899843375140828968602788055984465397967978080999197364740558301\ 091746181039415469871697162164764672*n^57+1143118795399983704165292747273878825\ 19867025484118885262749138150954209339285278692962239755610052758470656*n^56+15\ 9026424096960771105810358603725256718081674716454151381020594129219329809440447\ 952488194781403713728151552*n^55+2107068339184843713673130163447512246306748445\ 37203789476085680996041250784110713542587100738197082596638720*n^54+26621861801\ 2612605419264378809795200497364346664900556443889363302369612305269484355732162\ 601602185134407680*n^53+3210844939379928965832486468396722937143466440401822808\ 88116833014625646189068966493582886758459548982804480*n^52+37003958774156786371\ 3976656714785666790960237833973282176445180947729603827726811141035739141898752\ 962068480*n^51+4078608611740261410061686676066541411625576297905788820646594444\ 88737758255790578975862540779719372462530560*n^50+43029026604577705071374007898\ 6831883635229409039414599101226019907386216586442366344764131265761324010250240 *n^49+4348243701070502674234479452885638957394418434581671782390544149849935285\ 95035173738145955106569603234932480*n^48+42116804154165836420177260800518814515\ 4655502389336463103500327739139463353792256190424889880929436622858240*n^47+391\ 2404137910107633098923443964296437294958226990632145593274762787320831675942537\ 86431874920249348137519840*n^46+34874623043200021100574413674120074035124928548\ 7022097047858933367418524571559906694476718092198051960995360*n^45+298440911891\ 9545682919610527373103424647716886605085047679859497545548694281439079365817116\ 57484396977755200*n^44+24528549877353859251387001541392566907893905200154990265\ 9407129152127610215065656230288217938136622245326560*n^43+193690818244603480445\ 4274152373930683725688148282525973254261630515776818824543721077388182518948532\ 79787480*n^42+14699653379590039721148580356852681643700938310375323058964269565\ 1554876068455770317188629280981800142760920*n^41+107246321367572037957301084267\ 404323415501317678037320864945092201948261664562171747063253071470256908724023* n^40+75236928381685335126229642943112382753249153061554577999338650681108466551\ 248651362617306407495018373899740*n^39+5076090807195463199876364710565064282149\ 7247508117913815924990401469071270555536529582438729343877537346282*n^38+329408\ 1271817877167022108077678895789816744396700962904719299197872072459077715859526\ 6413370818495856584228*n^37+205628629758604621437811150205205093293123551792948\ 22028545239237304894033302244272136016951775120099493759*n^36+12347977820591797\ 3786285148534420206841909550294751830414847804234276519271892029376848910859835\ 15019819448*n^35+71329730158587378637859446772173942248763760486090744522066293\ 29264955865999861014169212216669104142130540*n^34+39635830249614348510590037871\ 80134677037838189480273239394632337841865141663610756350690559205367866051360*n ^33+211840244458375177608291356408924345228794661033456493167094597775211965276\ 2735772948162875087219907312910*n^32+108886103645633145656814560219475036298827\ 8385671137573249935140283585808587827480770403823676301440585960*n^31+538145226\ 4424351610067528361574370253363405764376108208912627647174534919981349219970405\ 02732836145649420*n^30+25567457699819468386381077717476120963163002533124270756\ 2909418390458732070511214185927870639248682698680*n^29+116737930969497514903883\ 8547704055936949474724168578447500158703482923258301078982903900521998622036867\ 10*n^28+51206416203534490097371159883335447623320971868932592908831230115672225\ 327730496350803629636229632743680*n^27+2157004169681098600256313009162576930870\ 6321521651530174909159364187147449080357700464795681957353798280*n^26+872149709\ 3238371962480377040234562970732109689812941579428498682659411874267419513228844\ 870723112190120*n^25+3383098900159036312508758683332726590562146249379192163744\ 323562380223854396886028623002911374912442875*n^24+1258231486291354998959930689\ 093405079572639003824523341793151166912229560567420386274992466703622317020*n^ 23+4483661043670218703537623949413673221519221876178899936492418055577102039911\ 96661096924191875962766810*n^22+15296697265633651949565781028531307060385585939\ 8927721291967591536290541404383063092019935922388496740*n^21+499205787726754436\ 9030626538198377188032883867822853121976447767008528799453142490346127307712320\ 9899*n^20+155688368449096079028980633447092924782617774859930702666002520993984\ 70629098496366933216313718349000*n^19+46350272938528722425569774633784834443675\ 75090141092814284721230091597599126482208053859527967709956*n^18+13156286327196\ 6049422403246907616637974433442861687551289943597183816587719748811718509686149\ 1706624*n^17+355546478902400460752432513113717969399452805848005109435277895034\ 274558442151185965596375559720992*n^16+9133979412191090313213660793730120619990\ 4295634553630727719667516358525667238617078269834382781184*n^15+222664639562856\ 3858434248532257333427465985781589674380539863779864015908209357265479059152285\ 7600*n^14+514031057524764138205240719874670009413046328938843819302927887782614\ 6038244454953308085902720000*n^13+112115455667761071598107871246605743472502586\ 7516974991820635639302479918247913516025911807840000*n^12+230417961969808798917\ 880684915244897037640339520169434852095002942047973214407959873155994880000*n^ 11+4448256508520277445801249674268247699944593452457718318352676015178129255696\ 8247479468624000000*n^10+803710132778776980403933285515277999581245822073650932\ 7059693312355990428357717679738880000000*n^9+1353200279680839020833946366193146\ 392039600467562490028613632259185268413631298651193600000000*n^8+21120842371958\ 3940970533487402550623916822675721145447646876874448649411554756216627200000000 *n^7+30364917608959739735225516148285931900314678829374150095318018363277452977\ 735933440000000000*n^6+39890971814080688030709909924928641858650383731062332139\ 75832596122571660129894400000000000*n^5+473982946866916951399011265472231566801\ 338445909310561086424578378088437644288000000000000*n^4+50245335167704264530488\ 737758775014753865788551195543086190355078658126381056000000000000*n^3+46637421\ 2001884014510331704432980697160453517710399628933677174655468994560000000000000\ 0*n^2+3671306470826848999208347311859174832367849536936370878962756948674478080\ 00000000000000*n+24824137405573660323679687589321949040352103342841672514004687\ 519744000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 42, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = / Pi (2 j - 1) 84 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 35184372088832 (n + 1) n (1204578726541205045476686231185816863959209860\ 82 874065648120414205725856421413157543909570616754176 n + 49387727788189\ 406864544135478618491422327604295836691572936982434760113277939459300292\ 81 395286921216 n + 10108052584557842710448539997190045098979224923150550\ 80 56624057665780008382104641954279220746729291776 n + 137628373326090911\ 349403268303061950278599933728503888155763361164298741140983701490109364\ 79 14234214400 n + 140183815981120831352467583273802642355655910516543166\ 78 621495597038701919486022694698557197025345011712 n + 11388964606463522\ 508482665856892962023639181922250200826918188605895608645333385556022304\ 77 93101263159296 n + 768467469471957881563323107564990338017277434901369\ 76 1011468798091094222829054930824881280610860628180992 n + 4427874425717\ 041643380882197360990618852768073145563335507582487634628898148977358543\ 75 4510197889215496192 n + 2223288801873508550082007449889039027820227370\ 74 39844823429715535833230060433100921990979728352072433664000 n + 987918\ 183138162626025987851758576362997304652329463156801720494083201468343543\ 73 670903649608953984440074240 n + 39321118431383486447091064378382872768\ 72 88281348797344862509498316649934850315522972766849447640976221798400 n + 141560026701508055019963446287904869024229669525514151628186131555925073\ 71 56042305002122552488206281704734720 n + 464664011459939233511226623895\ 048790497888313331131225842450147366358368305337414233475634720396156914\ 70 89280 n + 139997666381591644481220553819084334075538099686347295486502\ 69 297215073328120099662076758663419387113478553600 n + 38934957131678212\ 722924016375947791927409172996821510860648865558806530255301906402800965\ 68 4857732170899783680 n + 1004375608039454113613692120981484948180290840\ 67 149165425017958165737433950247676387997743478752925238175989760 n + 24\ 132690241698253682375763463676831263467944956086359993540926582227987713\ 66 72834454526049006274183615196692480 n + 542064567896960615231359506479\ 748750080518738918725329340123126395031016582320309342014623847289888970\ 65 8994560 n + 1141882694162589316247450097877918645424883821723108080403\ 64 4695581437056227403036425176967335462505271084974080 n + 2262271735796\ 198089742305147956143675839305768768886955954489996493078648028390336637\ 63 6178492040746935506698240 n + 4225823642507930011403980272525492164030\ 62 1839741546070307033501391778788692386114088773060008104541266230116352 n + 745923991853428976158114469670894268420647627542805001402917711956081\ 61 15202795791363069286497720774217208430592 n + 124671331101909159759805\ 910022454013840148695530066319092639365407432666259532257384626616991105\ 60 500903121354752 n + 19765681033818127369276347486211150574430593708362\ 59 4070859580287220301395756468778233020444695811776129871380480 n + 2977\ 402704624362749088256213500701307896008847217128275901763765162247560336\ 58 36281058319244651390165538179252224 n + 426759933074565798280529146047\ 955082427041977018579475929940927879489862332665821047956237272501093187\ 57 846275072 n + 58281333752664326937441673275100387188823824113662080633\ 56 7616720681657480688595301273501396528270055871600656384 n + 7592782491\ 745458285622754679946071836064545782881443779110799559975922205213880178\ 55 63105156895415693806638465024 n + 944660462080281024780922579153547781\ 543644921844850150936760492596499452374763500219153346713068358546983731\ 54 200 n + 11235385922143612410367073456119342046939671277339218113717179\ 53 17579890511828564601226886690139307210825603563520 n + 127859327830643\ 502328039229234143290521217804814901459211199131640136639494118681247592\ 52 9750949123974051996876800 n + 1393373879075615291331934123168918610256\ 932172139633363376081347921831654652553713981905043662143992458690805760 51 n + 145518878459326905717581095643524829339231305145480877011993610246\ 50 0295966146282457797290075889674767453225232640 n + 1457412706146904070\ 011384218859627842905373604913009083407025500019782630011580153983904526\ 49 947216452540900409600 n + 14006323297278053559631843413737601859848695\ 48 08079361917849720025623988020496104380801231159682563444763319075840 n + 129236330848220260122542908778083922197933051999305878877703155916226470\ 47 8396516007468592924130628967352706145280 n + 1145459592625996436548923\ 696570951233250065009040989700153969100430589108286321702985687198353083\ 46 617444975794440 n + 97566819278119431202158331596000908642469802815332\ 45 3363631548852440576654505026867324000192290682394816014205880 n + 7989\ 548437271707670701181702648224739387364138194198704574513030617363824776\ 44 27598384472621322188069375710903240 n + 629201172698315198141254888807\ 431712420697580197724009243706222784481657710096876547798679843169078389\ 43 963879320 n + 47668706903637948883432252226703300369800422898557754810\ 42 3780389247557867715079709526773178671764604332901392843 n + 3475071314\ 749171046536555753769292801379596717379589275530119436036175774596071091\ 41 21489552285719406779680657143 n + 243821325537653719048672782641384731\ 568415440272788882225028861101241792105977620433823813192450001320071559\ 40 368 n + 16467588326791008535872209262677414946525294508928369778911855\ 39 9016859154366817740581303482238110022092497042790 n + 1070762946745649\ 214111713077079097636133735443894561889926544423501909989537030403799383\ 38 84897187529655530729891 n + 670345195212856407618188358669355335679968\ 37 72859437716507064660865418657809284005548380762216840905543870068443 n + 404077381822954812991147886594508649783791736533551148817799283200868977\ 36 07194474736630965741826913578503040606 n + 234526911710813776969922433\ 835953433614894199396823799553096172847078965170107565523226077298298747\ 35 97252982876 n + 131058800625705287884237828235031865424699222448921205\ 34 14008306629594531451482135151252939741989772659042111950 n + 705098938\ 366635961761997373201314101130252356138680040728271733480560968287022673\ 33 8084415150957218090486664990 n + 3651662546010414981822409944728608004\ 791027229000433060386097634869285227861062502786360383269196839627271800 32 n + 182018290983260960016805342123307703652437860988039208465987591156\ 31 2926806387990008755596548110527792401508020 n + 8730325364315298301391\ 244619152036665766514851895250632037289597756374647014569016564785285399\ 30 29973950837830 n + 402831297480637848387250219309196995709537887111875\ 29 927944761301265739627116295237287943806576193870830950550 n + 17875486\ 463394057977983746448635456016057505178173412417072201066316091769799520\ 28 3934837730277081045878473980 n + 7625631158514961704168919710212006756\ 27 9286810842632416389297465704587247348430505833806898796540714421411960 n + 312603408319391515457732832215282591285600776970731502792028832945278\ 26 79467776822242925198422210323084277455 n + 123084086661588923522747105\ 762350017020685990479912376593366310874351423341491544239121608290734442\ 25 00887435 n + 465224047400814807263206242922522878574850664604378329450\ 24 7360779929169948987166369491978558952744749097680 n + 1686961640048439\ 569956271279203048270034517044453703046950830182086174632749958047643883\ 23 352268990803619190 n + 58644580812125156767707475049608469928361870213\ 22 9635349908492419868526910549621347293265948710505901016879 n + 1952943\ 287276088504708049958112913251803220091699107841626143835610857632200573\ 21 26234612117579690160091799 n + 622455638698066030228960033270739679597\ 20 23372099857676196665721267781651790623763400595926061217038771854 n + 189694971302821133015413988248011929194098108094610109239348644536326807\ 19 50540945739785243278065355272580 n + 552142647616393767359459523609281\ 18 2236000956062531347048178008295514246275274117019292972819114225341048 n + 153304547281024095933756138291887548230046012838803615996566572666077\ 17 2918605848091462932603189085852064 n + 4054707232258719476103553141937\ 16 35477391904431610969136402644369758255977957488339362523075793837128768 n + 101995013248148601753602660913251114454286274844078050335449558932287\ 15 145918360627984787744930082593408 n + 24357711336846240727969359787053\ 14 970674511263003963323373064586998290164741067836889131903086046553600 n + 551122303381164817512421586260949002296660058842318478351247033596871\ 13 4901179104375383222837014240000 n + 1178695466799001524505299484577594\ 12 602518868034245316976657973340272624089179082202945365693581760000 n + 237646566513672701706850359569861630493392433874707936801326117802446921\ 11 017203661217147883077760000 n + 45028109900940008851936035573941140886\ 10 687473202731049450693183361874905512220431673582505440000000 n + 79885\ 913514541251654227812013746764456459747801129039898859375306357250761070\ 9 84407654257920000000 n + 1321317402225842396177957296079452015739411314\ 8 576357795737627055647479947948906976954150400000000 n + 202688042758002\ 445030394748581755405060627281187490689862294620103473478926706469647462\ 7 400000000 n + 286522915470838031971250768223170222668936791387894864383\ 6 67455122216015199497245496320000000000 n + 3702824253091036028024943991\ 5 631248524104219569427018103306421941740336559099094425600000000000 n + 433009318219776329220715356276976031984352459794633731384950310128006640\ 4 522954752000000000000 n + 451979057251895532251173686522670599683093644\ 3 53290972383811651273212132314120192000000000000 n + 4132967974339919275\ 2 490529933049632958264575109411411932707241206004494725939200000000000000 n + 320723907192132673751041538543796067061109002347632813949538413390092\ 828672000000000000000 n + 2137358230619892153868821101440619812374316097\ 8186680034558035954499584000000000000000000)/652732186823237567851651142\ 960572589259515041855456157558800066339303886216709083065750694274902343\ 75 and in Maple notation: 35184372088832/6527321868232375678516511429605725892595150418554561575588000663\ 3930388621670908306575069427490234375*(n+1)*n*(12045787265412050454766862311858\ 16863959209860874065648120414205725856421413157543909570616754176*n^82+49387727\ 7881894068645441354786184914223276042958366915729369824347601132779394593002923\ 95286921216*n^81+10108052584557842710448539997190045098979224923150550566240576\ 65780008382104641954279220746729291776*n^80+13762837332609091134940326830306195\ 027859993372850388815576336116429874114098370149010936414234214400*n^79+1401838\ 1598112083135246758327380264235565591051654316662149559703870191948602269469855\ 7197025345011712*n^78+113889646064635225084826658568929620236391819222502008269\ 1818860589560864533338555602230493101263159296*n^77+768467469471957881563323107\ 5649903380172774349013691011468798091094222829054930824881280610860628180992*n^ 76+4427874425717041643380882197360990618852768073145563335507582487634628898148\ 9773585434510197889215496192*n^75+222328880187350855008200744988903902782022737\ 039844823429715535833230060433100921990979728352072433664000*n^74+9879181831381\ 6262602598785175857636299730465232946315680172049408320146834354367090364960895\ 3984440074240*n^73+393211184313834864470910643783828727688828134879734486250949\ 8316649934850315522972766849447640976221798400*n^72+141560026701508055019963446\ 2879048690242296695255141516281861315559250735604230500212255248820628170473472\ 0*n^71+464664011459939233511226623895048790497888313331131225842450147366358368\ 30533741423347563472039615691489280*n^70+13999766638159164448122055381908433407\ 5538099686347295486502297215073328120099662076758663419387113478553600*n^69+389\ 3495713167821272292401637594779192740917299682151086064886555880653025530190640\ 28009654857732170899783680*n^68+10043756080394541136136921209814849481802908401\ 49165425017958165737433950247676387997743478752925238175989760*n^67+24132690241\ 6982536823757634636768312634679449560863599935409265822279877137283445452604900\ 6274183615196692480*n^66+542064567896960615231359506479748750080518738918725329\ 3401231263950310165823203093420146238472898889708994560*n^65+114188269416258931\ 6247450097877918645424883821723108080403469558143705622740303642517696733546250\ 5271084974080*n^64+226227173579619808974230514795614367583930576876888695595448\ 99964930786480283903366376178492040746935506698240*n^63+42258236425079300114039\ 8027252549216403018397415460703070335013917787886923861140887730600081045412662\ 30116352*n^62+74592399185342897615811446967089426842064762754280500140291771195\ 608115202795791363069286497720774217208430592*n^61+1246713311019091597598059100\ 2245401384014869553006631909263936540743266625953225738462661699110550090312135\ 4752*n^60+197656810338181273692763474862111505744305937083624070859580287220301\ 395756468778233020444695811776129871380480*n^59+2977402704624362749088256213500\ 7013078960088472171282759017637651622475603363628105831924465139016553817925222\ 4*n^58+426759933074565798280529146047955082427041977018579475929940927879489862\ 332665821047956237272501093187846275072*n^57+5828133375266432693744167327510038\ 71888238241136620806337616720681657480688595301273501396528270055871600656384*n ^56+759278249174545828562275467994607183606454578288144377911079955997592220521\ 388017863105156895415693806638465024*n^55+9446604620802810247809225791535477815\ 43644921844850150936760492596499452374763500219153346713068358546983731200*n^54 +112353859221436124103670734561193420469396712773392181137171791757989051182856\ 4601226886690139307210825603563520*n^53+127859327830643502328039229234143290521\ 2178048149014592111991316401366394941186812475929750949123974051996876800*n^52+ 1393373879075615291331934123168918610256932172139633363376081347921831654652553\ 713981905043662143992458690805760*n^51+1455188784593269057175810956435248293392\ 313051454808770119936102460295966146282457797290075889674767453225232640*n^50+ 1457412706146904070011384218859627842905373604913009083407025500019782630011580\ 153983904526947216452540900409600*n^49+1400632329727805355963184341373760185984\ 869508079361917849720025623988020496104380801231159682563444763319075840*n^48+ 1292363308482202601225429087780839221979330519993058788777031559162264708396516\ 007468592924130628967352706145280*n^47+1145459592625996436548923696570951233250\ 065009040989700153969100430589108286321702985687198353083617444975794440*n^46+ 9756681927811943120215833159600090864246980281533233636315488524405766545050268\ 67324000192290682394816014205880*n^45+79895484372717076707011817026482247393873\ 6413819419870457451303061736382477627598384472621322188069375710903240*n^44+629\ 2011726983151981412548888074317124206975801977240092437062227844816577100968765\ 47798679843169078389963879320*n^43+47668706903637948883432252226703300369800422\ 8985577548103780389247557867715079709526773178671764604332901392843*n^42+347507\ 1314749171046536555753769292801379596717379589275530119436036175774596071091214\ 89552285719406779680657143*n^41+24382132553765371904867278264138473156841544027\ 2788882225028861101241792105977620433823813192450001320071559368*n^40+164675883\ 2679100853587220926267741494652529450892836977891185590168591543668177405813034\ 82238110022092497042790*n^39+10707629467456492141117130770790976361337354438945\ 6188992654442350190998953703040379938384897187529655530729891*n^38+670345195212\ 8564076181883586693553356799687285943771650706466086541865780928400554838076221\ 6840905543870068443*n^37+404077381822954812991147886594508649783791736533551148\ 81779928320086897707194474736630965741826913578503040606*n^36+23452691171081377\ 6969922433835953433614894199396823799553096172847078965170107565523226077298298\ 74797252982876*n^35+13105880062570528788423782823503186542469922244892120514008\ 306629594531451482135151252939741989772659042111950*n^34+7050989383666359617619\ 9737320131410113025235613868004072827173348056096828702267380844151509572180904\ 86664990*n^33+36516625460104149818224099447286080047910272290004330603860976348\ 69285227861062502786360383269196839627271800*n^32+18201829098326096001680534212\ 3307703652437860988039208465987591156292680638799000875559654811052779240150802\ 0*n^31+873032536431529830139124461915203666576651485189525063203728959775637464\ 701456901656478528539929973950837830*n^30+4028312974806378483872502193091969957\ 09537887111875927944761301265739627116295237287943806576193870830950550*n^29+17\ 8754864633940579779837464486354560160575051781734124170722010663160917697995203\ 934837730277081045878473980*n^28+7625631158514961704168919710212006756928681084\ 2632416389297465704587247348430505833806898796540714421411960*n^27+312603408319\ 3915154577328322152825912856007769707315027920288329452787946777682224292519842\ 2210323084277455*n^26+123084086661588923522747105762350017020685990479912376593\ 36631087435142334149154423912160829073444200887435*n^25+46522404740081480726320\ 6242922522878574850664604378329450736077992916994898716636949197855895274474909\ 7680*n^24+168696164004843956995627127920304827003451704445370304695083018208617\ 4632749958047643883352268990803619190*n^23+586445808121251567677074750496084699\ 283618702139635349908492419868526910549621347293265948710505901016879*n^22+1952\ 9432872760885047080499581129132518032200916991078416261438356108576322005732623\ 4612117579690160091799*n^21+622455638698066030228960033270739679597233720998576\ 76196665721267781651790623763400595926061217038771854*n^20+18969497130282113301\ 5413988248011929194098108094610109239348644536326807505409457397852432780653552\ 72580*n^19+55214264761639376735945952360928122360009560625313470481780082955142\ 46275274117019292972819114225341048*n^18+15330454728102409593375613829188754823\ 00460128388036159965665726660772918605848091462932603189085852064*n^17+40547072\ 3225871947610355314193735477391904431610969136402644369758255977957488339362523\ 075793837128768*n^16+1019950132481486017536026609132511144542862748440780503354\ 49558932287145918360627984787744930082593408*n^15+24357711336846240727969359787\ 053970674511263003963323373064586998290164741067836889131903086046553600*n^14+ 5511223033811648175124215862609490022966600588423184783512470335968714901179104\ 375383222837014240000*n^13+1178695466799001524505299484577594602518868034245316\ 976657973340272624089179082202945365693581760000*n^12+2376465665136727017068503\ 59569861630493392433874707936801326117802446921017203661217147883077760000*n^11 +450281099009400088519360355739411408866874732027310494506931833618749055122204\ 31673582505440000000*n^10+79885913514541251654227812013746764456459747801129039\ 89885937530635725076107084407654257920000000*n^9+132131740222584239617795729607\ 9452015739411314576357795737627055647479947948906976954150400000000*n^8+2026880\ 4275800244503039474858175540506062728118749068986229462010347347892670646964746\ 2400000000*n^7+2865229154708380319712507682231702226689367913878948643836745512\ 2216015199497245496320000000000*n^6+3702824253091036028024943991631248524104219\ 569427018103306421941740336559099094425600000000000*n^5+43300931821977632922071\ 5356276976031984352459794633731384950310128006640522954752000000000000*n^4+4519\ 7905725189553225117368652267059968309364453290972383811651273212132314120192000\ 000000000*n^3+41329679743399192754905299330496329582645751094114119327072412060\ 04494725939200000000000000*n^2+320723907192132673751041538543796067061109002347\ 632813949538413390092828672000000000000000*n+2137358230619892153868821101440619\ 8123743160978186680034558035954499584000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 43, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = / Pi (2 j - 1) 86 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 35184372088832 (n + 1) n (3485729217902554121862148992056860833926591401\ 84 407721314503346907604881022486551298093243203749675008 n + 14640062715\ 190727311821025766638815502491683885912429520914057011940500294443515451\ 83 9916214557486350336 n + 3069503592425108286821849401050457556439902438\ 82 467644025525453464158051067894506729873711127098434781184 n + 42816091\ 589772698022817574303282277889070666204240075613759365344424222947022637\ 81 452943009854514817662976 n + 44681327936188171679157122062765030620989\ 80 1599250642365294987533447530768165040637018436171017712794861568 n + 3\ 719465731560939846924209824430522236193760267212853359110140534006184385\ 79 567832211111169325774779159937024 n + 25717952724980152206384730186537\ 710565610106119036178180030804395005001509726259051373383487476631607443\ 78 456 n + 15187075850570801639032718193838933534688568196068926716791176\ 77 3734016080269351034642297462412224554319478784 n + 7816323532315640076\ 956733804365707366444179394439167769965739302387815571740653442086508412\ 76 05779541182644224 n + 356058455756904612884025663088856171251831909872\ 75 0328466784160415786755115064467950970631459510945078124216320 n + 1453\ 086761674764147742309366210956210149255200072237849465893904210141983713\ 74 9663300652703376888316305269063680 n + 5364742860361761683969164677811\ 355336797049358728919721198944541688060996395324903465446818243365152051\ 73 1672320 n + 1806227730760108178988634983894684940974578298506257111129\ 72 93340843104702211985485005609826792510045147721891840 n + 558299575653\ 947443753407786794131143873814836284559248369613538553896559543581945380\ 71 466754452429151642100695040 n + 15932804009102638313004116275361611374\ 256075350576002414481725783624459275903273391040533749746806751565027737\ 70 60 n + 421844835810230837122081075605082686158316071571160697603729682\ 69 7453368588294179991780352325611242517598715248640 n + 1040565645295389\ 992135981745779656723062529232793257188083081267710979547461903626814123\ 68 6673600145053191870873600 n + 2400104026336229417517492786327288641427\ 448774921978168813536871473501654350491411454167082302949525773218742272\ 67 0 n + 5193127990784627286574033992423950737813489871896923107451506203\ 66 0178535855644333204593161125946107842707251527680 n + 1057058644835930\ 177615621165744806915926521150414201176417270247810858740821375076151889\ 65 17964890981151685497323520 n + 202925163827215904790477435103869995041\ 021268956383404609592027050190030095312682266446457171705672662863184920\ 64 576 n + 36822903241239739902589621807230420265232300227824430303714747\ 63 2051080683586978506852014534897521953546257460887552 n + 6328823712643\ 380311545680505655820912409309649209703099237484095447806221534548375241\ 62 59196544509329127527042777088 n + 103214483868310737661158003977453126\ 872902990288853093945877468318894308500037659029051919124336222186040509\ 61 1500032 n + 1599867530858495968395563254383038771395973747420267164556\ 60 345039400270398864617818991874090878729795938810139508736 n + 23604704\ 575747918224798216285644961582005292580088260879350501621237155184542451\ 59 97942350234457478890448156813426688 n + 331947774711552923411593549552\ 362516120997774007949031536490734665430460561641393293552411712109055867\ 58 5777060995072 n + 4454814429146536989578539371354699791511215035023243\ 57 157553264668544928511349634240289614747392881294654973023223808 n + 57\ 116580696707806614154393131200192361059156541600962234108703228285299689\ 56 68654384953898494968340870727696827547648 n + 700339022657197615795734\ 320097576848623867764339242341338289035307539184469891799126636877072661\ 55 0730232794104463360 n + 8219958045707729853879420280429560105840259093\ 54 373491053401852490459782653739024236595878794234764539384058174423040 n + 924297758673821415291285575443471037117461903477743753391810915231842\ 53 2925747662750698842456307585202465316763484160 n + 9964794930101915278\ 372614440831562680850270814435615189698034546727146355621712860616145714\ 52 958326169787079150725120 n + 10307230961224972912782403007185373675853\ 935909841014278016094312059669562438249310763338673484045687214064360017\ 51 920 n + 10235473898625117644898723577948954078557447757413471701890088\ 50 972371268958195061221272319258026619775434904231284480 n + 97637220998\ 600648995072549116638469655698940982587327231474001370913117468862939458\ 49 01960609262974775647917799550720 n + 895136653703823424415608394545266\ 229200494173131743425854950038002308004197646822349969303253630276072705\ 48 7076358400 n + 7890998329892404116662689287949071594481766067547937067\ 47 285197818476449906970544254144982687543590308886175709813760 n + 66915\ 071366017399787116294807108639487478024709229218748754948543800678185847\ 46 60311378692854689415747913260801314440 n + 546041453982264319451317517\ 443656615353862222975275694802790925199818087633761963145179977226211630\ 45 1885681307375160 n + 4289214489209430841303296900929071807885607365520\ 44 287431240770262613055486243031098200992488757087747802080576634224 n + 324416173110749208230628261789679985906498407675954469051449474410425953\ 43 7626066631019657037363412582430746364945288 n + 2363218381353560492566\ 420300909407450939479932687827349804468386625164457772853866432804700545\ 42 228940013629890614497 n + 16583200446601843913834460104955914237567637\ 41 38324352006600982673179885723138694513151120545436690557844777188551533 n + 112115422789911896573110945557116077059117037066743255644621164575941\ 40 0898100252263937950957550436376739595095821024 n + 7303775674930475642\ 145664927267694773369580473821041128753158220024040430084816001527166264\ 39 06871035166443225494402 n + 458511724445843040039474370160531075651416\ 611827067827383310553620446595397180707273876195995455121716861652209513 38 n + 277391878329792328263736611714364950390083866953127807955514771258\ 37 729821614367744138144904310408792904000866453257 n + 16172607337619464\ 430199362255583724337682088978548634172569073135200151311912016008735376\ 36 8437867736642723579836282 n + 9086473121193568694077994249675909165087\ 549036668225676701914223947248983199954444205608054296961868559131522162\ 35 0 n + 4919360806751444359579370063790114581880277798778103620607025940\ 34 1455084317376877448716753287454571739435952900330 n + 2566089036015456\ 867341042459611349165790677958988742784247985509167295176769098198543586\ 33 0248419349254835667057770 n + 1289491090864277746100565205881133030517\ 710907990234853421649190657637933909622083093177831947644140054760897004\ 32 0 n + 6241140779239111830701707279320482404425407728935330428794030287\ 31 816542536012784702726402959109696095763829372540 n + 29087396087230126\ 633160297386511078071848821575511868380742918178255278217879499908085193\ 30 75518272207725307035010 n + 130501961684155366585670082862308404966958\ 29 4603085193321155109198171572298416546284130968322565363468506405749890 n + 563450055564431728142330727777105585322241336146821349373933551029683\ 28 763609615494856149345913171483729913807500 n + 23401964642748963570391\ 951590531049480398670999512849562789253054930739941709353617424606079855\ 27 7678644036196520 n + 9345788375909854101711501715029986596842234826391\ 26 3338008067219944202213285375523779486926190990740233169913005 n + 3586\ 977185236298510452594099742140519860349544450077588944021488266977028504\ 25 2029165673185628591361137514119945 n + 1322344493016559844127134461871\ 556038003663919982509356871828600545849557271296230747263737073244751251\ 24 9687192 n + 4679373018649413782004572264958003119117981806283631606601\ 23 036973084408769367943213721645782955547596003841074 n + 15883566612196\ 493121118767854753356437202018875394700483759621010076562278058535219180\ 22 47627634630612624687981 n + 516748215848221274659413757817831727913221\ 21 901871297935610025072431925314473853713634611560548953517526179709 n + 160987723128017090987275725757063956338077573931415086100702233808660573\ 20 423287468238784738489355581080416922 n + 47979488070395254990163661078\ 452765708870617735691157353974356330905444071711193267051907141387097400\ 19 478636 n + 13664130580999708534348669843960853576778451967266739814536\ 18 023197508965559884752461093674610046166109084584 n + 37138774020733454\ 859125116779488254804765506396519773289025271536236952652650256515950108\ 17 32748214219447776 n + 962012101317983056657764740057501216735064550450\ 16 565320805178781624612579211802988426044134171454291900096 n + 23711080\ 302153896907021024662016419019891195263104152251581029889402116055181239\ 15 4330260255956694021219200 n + 5550852249160220253204267606432500600979\ 14 2182357699946978400703929547121359813281451816906045883533171200 n + 1\ 231737963702692976096281643734422978829264262332027056813432225576490947\ 13 0961762619726899509054165920000 n + 2584716038734770818213126415260727\ 12 853137186545033914455716192044512252804535084463874353604623833920000 n + 511534813373830993303823527082911241950569168275024245724216115090742\ 11 640375736800311984426141296000000 n + 95180862924430947811019753366377\ 10 604019581368228123187490951910429528837165294671859961069940384000000 n + 165900266426565662868456641939932749913705508370703016048833302001082\ 9 68641820284095115281913600000000 n + 2697013740475047629251536450310805\ 8 205959551043564703829835061674561003388453790283775688972800000000 n + 406810045261497652888623676649486326624055838685966305193892085758861409\ 7 112333814676625920000000000 n + 565718032023864172699320468667540230803\ 6 24214465042159632877077304366150898482190374312960000000000 n + 7195200\ 060079198479821720518977110249077309422651967177239706260732109789521680\ 5 729088000000000000 n + 828461049354935092267482020165144453212584479067\ 4 175188320669435848581709420025616384000000000000 n + 851846332424505456\ 418571423440474284280949630454598038602814220870055593755525120000000000\ 3 00000 n + 7676816510179554478544847296350053556498052816176080391376041\ 2 925150721967983820800000000000000 n + 587480162870066092797735113088202\ 106135034392512413821674975885753505367982080000000000000000 n + 3860068\ 964499525229887090909201759381148014872660514414241181293382624870400000\ 0000000000000)/116512695347947905861519729018462207182823434971198924124\ 245811841565743689682571327236498928070068359375 and in Maple notation: 35184372088832/1165126953479479058615197290184622071828234349711989241242458118\ 41565743689682571327236498928070068359375*(n+1)*n*(3485729217902554121862148992\ 056860833926591401407721314503346907604881022486551298093243203749675008*n^84+ 1464006271519072731182102576663881550249168388591242952091405701194050029444351\ 54519916214557486350336*n^83+30695035924251082868218494010504575564399024384676\ 44025525453464158051067894506729873711127098434781184*n^82+42816091589772698022\ 8175743032822778890706662042400756137593653444242229470226374529430098545148176\ 62976*n^81+44681327936188171679157122062765030620989159925064236529498753344753\ 0768165040637018436171017712794861568*n^80+371946573156093984692420982443052223\ 6193760267212853359110140534006184385567832211111169325774779159937024*n^79+257\ 1795272498015220638473018653771056561010611903617818003080439500500150972625905\ 1373383487476631607443456*n^78+151870758505708016390327181938389335346885681960\ 689267167911763734016080269351034642297462412224554319478784*n^77+7816323532315\ 6400769567338043657073664441793944391677699657393023878155717406534420865084120\ 5779541182644224*n^76+356058455756904612884025663088856171251831909872032846678\ 4160415786755115064467950970631459510945078124216320*n^75+145308676167476414774\ 2309366210956210149255200072237849465893904210141983713966330065270337688831630\ 5269063680*n^74+536474286036176168396916467781135533679704935872891972119894454\ 16880609963953249034654468182433651520511672320*n^73+18062277307601081789886349\ 8389468494097457829850625711112993340843104702211985485005609826792510045147721\ 891840*n^72+5582995756539474437534077867941311438738148362845592483696135385538\ 96559543581945380466754452429151642100695040*n^71+15932804009102638313004116275\ 3616113742560753505760024144817257836244592759032733910405337497468067515650277\ 3760*n^70+421844835810230837122081075605082686158316071571160697603729682745336\ 8588294179991780352325611242517598715248640*n^69+104056564529538999213598174577\ 9656723062529232793257188083081267710979547461903626814123667360014505319187087\ 3600*n^68+240010402633622941751749278632728864142744877492197816881353687147350\ 16543504914114541670823029495257732187422720*n^67+51931279907846272865740339924\ 2395073781348987189692310745150620301785358556443332045931611259461078427072515\ 27680*n^66+10570586448359301776156211657448069159265211504142011764172702478108\ 5874082137507615188917964890981151685497323520*n^65+202925163827215904790477435\ 1038699950410212689563834046095920270501900300953126822664464571717056726628631\ 84920576*n^64+36822903241239739902589621807230420265232300227824430303714747205\ 1080683586978506852014534897521953546257460887552*n^63+632882371264338031154568\ 0505655820912409309649209703099237484095447806221534548375241591965445093291275\ 27042777088*n^62+10321448386831073766115800397745312687290299028885309394587746\ 83188943085000376590290519191243362221860405091500032*n^61+15998675308584959683\ 9556325438303877139597374742026716455634503940027039886461781899187409087872979\ 5938810139508736*n^60+236047045757479182247982162856449615820052925800882608793\ 5050162123715518454245197942350234457478890448156813426688*n^59+331947774711552\ 9234115935495523625161209977740079490315364907346654304605616413932935524117121\ 090558675777060995072*n^58+4454814429146536989578539371354699791511215035023243\ 157553264668544928511349634240289614747392881294654973023223808*n^57+5711658069\ 6707806614154393131200192361059156541600962234108703228285299689686543849538984\ 94968340870727696827547648*n^56+70033902265719761579573432009757684862386776433\ 92423413382890353075391844698917991266368770726610730232794104463360*n^55+82199\ 5804570772985387942028042956010584025909337349105340185249045978265373902423659\ 5878794234764539384058174423040*n^54+924297758673821415291285575443471037117461\ 9034777437533918109152318422925747662750698842456307585202465316763484160*n^53+ 9964794930101915278372614440831562680850270814435615189698034546727146355621712\ 860616145714958326169787079150725120*n^52+1030723096122497291278240300718537367\ 5853935909841014278016094312059669562438249310763338673484045687214064360017920 *n^51+1023547389862511764489872357794895407855744775741347170189008897237126895\ 8195061221272319258026619775434904231284480*n^50+976372209986006489950725491166\ 3846965569894098258732723147400137091311746886293945801960609262974775647917799\ 550720*n^49+8951366537038234244156083945452662292004941731317434258549500380023\ 080041976468223499693032536302760727057076358400*n^48+7890998329892404116662689\ 2879490715944817660675479370672851978184764499069705442541449826875435903088861\ 75709813760*n^47+66915071366017399787116294807108639487478024709229218748754948\ 54380067818584760311378692854689415747913260801314440*n^46+54604145398226431945\ 1317517443656615353862222975275694802790925199818087633761963145179977226211630\ 1885681307375160*n^45+428921448920943084130329690092907180788560736552028743124\ 0770262613055486243031098200992488757087747802080576634224*n^44+324416173110749\ 2082306282617896799859064984076759544690514494744104259537626066631019657037363\ 412582430746364945288*n^43+2363218381353560492566420300909407450939479932687827\ 349804468386625164457772853866432804700545228940013629890614497*n^42+1658320044\ 6601843913834460104955914237567637383243520066009826731798857231386945131511205\ 45436690557844777188551533*n^41+11211542278991189657311094555711607705911703706\ 67432556446211645759410898100252263937950957550436376739595095821024*n^40+73037\ 7567493047564214566492726769477336958047382104112875315822002404043008481600152\ 716626406871035166443225494402*n^39+4585117244458430400394743701605310756514166\ 11827067827383310553620446595397180707273876195995455121716861652209513*n^38+27\ 7391878329792328263736611714364950390083866953127807955514771258729821614367744\ 138144904310408792904000866453257*n^37+1617260733761946443019936225558372433768\ 20889785486341725690731352001513119120160087353768437867736642723579836282*n^36 +908647312119356869407799424967590916508754903666822567670191422394724898319995\ 44442056080542969618685591315221620*n^35+49193608067514443595793700637901145818\ 802777987781036206070259401455084317376877448716753287454571739435952900330*n^ 34+2566089036015456867341042459611349165790677958988742784247985509167295176769\ 0981985435860248419349254835667057770*n^33+128949109086427774610056520588113303\ 05177109079902348534216491906576379339096220830931778319476441400547608970040*n ^32+624114077923911183070170727932048240442540772893533042879403028781654253601\ 2784702726402959109696095763829372540*n^31+290873960872301266331602973865110780\ 7184882157551186838074291817825527821787949990808519375518272207725307035010*n^ 30+1305019616841553665856700828623084049669584603085193321155109198171572298416\ 546284130968322565363468506405749890*n^29+5634500555644317281423307277771055853\ 22241336146821349373933551029683763609615494856149345913171483729913807500*n^28 +234019646427489635703919515905310494803986709995128495627892530549307399417093\ 536174246060798557678644036196520*n^27+9345788375909854101711501715029986596842\ 2348263913338008067219944202213285375523779486926190990740233169913005*n^26+358\ 6977185236298510452594099742140519860349544450077588944021488266977028504202916\ 5673185628591361137514119945*n^25+132234449301655984412713446187155603800366391\ 99825093568718286005458495572712962307472637370732447512519687192*n^24+46793730\ 1864941378200457226495800311911798180628363160660103697308440876936794321372164\ 5782955547596003841074*n^23+158835666121964931211187678547533564372020188753947\ 0048375962101007656227805853521918047627634630612624687981*n^22+516748215848221\ 2746594137578178317279132219018712979356100250724319253144738537136346115605489\ 53517526179709*n^21+16098772312801709098727572575706395633807757393141508610070\ 2233808660573423287468238784738489355581080416922*n^20+479794880703952549901636\ 6107845276570887061773569115735397435633090544407171119326705190714138709740047\ 8636*n^19+136641305809997085343486698439608535767784519672667398145360231975089\ 65559884752461093674610046166109084584*n^18+37138774020733454859125116779488254\ 80476550639651977328902527153623695265265025651595010832748214219447776*n^17+96\ 2012101317983056657764740057501216735064550450565320805178781624612579211802988\ 426044134171454291900096*n^16+2371108030215389690702102466201641901989119526310\ 41522515810298894021160551812394330260255956694021219200*n^15+55508522491602202\ 5320426760643250060097921823576999469784007039295471213598132814518169060458835\ 33171200*n^14+12317379637026929760962816437344229788292642623320270568134322255\ 764909470961762619726899509054165920000*n^13+2584716038734770818213126415260727\ 853137186545033914455716192044512252804535084463874353604623833920000*n^12+5115\ 3481337383099330382352708291124195056916827502424572421611509074264037573680031\ 1984426141296000000*n^11+951808629244309478110197533663776040195813682281231874\ 90951910429528837165294671859961069940384000000*n^10+16590026642656566286845664\ 193993274991370550837070301604883330200108268641820284095115281913600000000*n^9 +269701374047504762925153645031080520595955104356470382983506167456100338845379\ 0283775688972800000000*n^8+4068100452614976528886236766494863266240558386859663\ 05193892085758861409112333814676625920000000000*n^7+565718032023864172699320468\ 66754023080324214465042159632877077304366150898482190374312960000000000*n^6+719\ 5200060079198479821720518977110249077309422651967177239706260732109789521680729\ 088000000000000*n^5+82846104935493509226748202016514445321258447906717518832066\ 9435848581709420025616384000000000000*n^4+8518463324245054564185714234404742842\ 8094963045459803860281422087005559375552512000000000000000*n^3+7676816510179554\ 478544847296350053556498052816176080391376041925150721967983820800000000000000* n^2+587480162870066092797735113088202106135034392512413821674975885753505367982\ 080000000000000000*n+3860068964499525229887090909201759381148014872660514414241\ 1812933826248704000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 44, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = / Pi (2 j - 1) 88 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 281474976710656 (n + 1) n (264247936882539104244647670362726577288039447\ 86 1767270472317496501783715748364188410529938333047648681984 n + 1136266\ 128594918148251984982559724282338569622859926303096523495766997771796601\ 85 01652787348321048893325312 n + 243913301694739208024087125597734289644\ 84 2166074321840068333713007396124270497592219302336144918468041375744 n + 348357520603928375491234862887448068514260825613516678357727983125008519\ 83 39001112727289645835551566209220608 n + 372240990823672548750962433669\ 931199264926033433428771215429396341766786088544124371649329921372893283\ 82 876864 n + 31731852908079746115395738500747206540111431907987449443611\ 81 14228360973649450780628244479432720458105365725184 n + 224704521078435\ 299735574820983340084438869225041976927057772802081510427757981176115242\ 80 50968011453909543419904 n + 135912811488534803643478935954658613230478\ 79 195812367761800650859279944539268384346877578951272506501066571907072 n + 716565498254208208265226707749363459593146873038904914535332864995039\ 78 933256812997479852047581326758195843039232 n + 33442891105916445635150\ 414491715151614756575047917405124920685162094618862366598344243063879279\ 77 48389334221062144 n + 139852629434543953455280051658467380229880664258\ 76 64727617131172054226536984109813926878849707037190929051058962432 n + 529172439420675507141551311377008980713506175818599575779216087826514679\ 75 77809482168217587103537559448994478817280 n + 182628140457348295609703\ 342967897084682812778613809130670427435373323828220209618955294093893425\ 74 739560700210053120 n + 57875125077338709756719746115030575133043952300\ 73 1437455805720917229143969289833331604951964484219475733361616486400 n + 169368907067210853064009887015925566273657088797407156019137972630408195\ 72 6218636568962353153393944711536367181496320 n + 4599420819464566264848\ 091837554901973992569709011439477828128893686551430927560403355426729853\ 71 518794754660782571520 n + 11639267409560799706020665003637983911190450\ 152028158652492499765581558506450607174479191162150604726785596719104000 70 n + 275482162911627237807886862857468256598141249380254956805342407069\ 69 24303320841013346758003275630077287106204066119680 n + 611794970398130\ 568704996099335989390259330998880847850635039261049568877123142066011715\ 68 25826470712037180848681779200 n + 127849886093549402728837472294263028\ 315031208794604390980040983851283624665684818899209732487756314486700239\ 67 707176960 n + 25204452282438092661260669433810142895761224602860347930\ 66 9206783412919046326124585070121524841001859954193255259701248 n + 4698\ 075993739779562080063654430045513305255658648062284957762988407626568375\ 65 49988748873828687016365184504764987080704 n + 829681011813963614868038\ 139292922188881605032638677001489259369745029275856850166806209709896882\ 64 677637872226368749568 n + 13907384665103416661984326200233433652576096\ 504147199651424373602687287304413504741496928095277772107818139755541954\ 63 56 n + 221636459715945417310463458514216528786715377422614254420405375\ 62 1015013506639692232582186473413549649413248357198102528 n + 3363172130\ 980733801862007260377876966880422683176272968871994113077164670508159888\ 61 476398500613116571374162953967075328 n + 48658652693310957600788045544\ 021934927758487077104526789543840230878258848943672181606627878886776142\ 60 18125189814059008 n + 672065816025966065386444193866285215142270867542\ 59 9843037550296482829238217451968718636499633745415761029616961431896064 n + 887144092806980970352633309659485970708166656961644197369001031829216\ 58 5824766196588431344434647704991941966181396414464 n + 1120350764460615\ 295369437004656811924777459795682772023515425522062099622522517033025234\ 57 8227880478500101210903902650368 n + 1354875030928091772133386761363937\ 165115763586803167796088207179864266399637798506963838455273600957730467\ 56 9132146008064 n + 1570370925743867027940599916998355581265070605217413\ 55 8425404620957097163211400427806219108093568480857379709031157432320 n + 174583418023554141632172753074190179766471478960348092947434230074368130\ 54 23039329427515437292824028140737058444643816960 n + 186299463978869947\ 781268168154735327498783853648479973369385467617819376733401438254381330\ 53 08937705451304424969322304000 n + 190946044099361259394331492255517269\ 931943079386224098742121458713163572955748200952147925224592288382652657\ 52 63091957760 n + 188086309125056130177548698833767996016372760635101403\ 51 94853292434205892616122013797178459744514530186748502360119912960 n + 178149387186071737395864258582170350374756607280504237772103008867732536\ 50 89680460010893245941528765326909290119660572800 n + 162331552061088239\ 950279013414790549745212521984382005010150810550467267298537413770433882\ 49 23885004727886092399769063040 n + 142364858641780401904783565522653641\ 228080725155984432017302085208703131294670854106364773706463697990381538\ 48 11158254400 n + 120213653361801798515357932444505374251481969576206699\ 47 85041915804052606805903401128670336214293570751947920730499911680 n + 977702820284345070418084765505884897947862850465448157692797288648796004\ 46 4142619196033213455978580735396875899472547127 n + 7661165623127831113\ 888389261082641158972782191390898537547529299226652515400416546595258956\ 45 728617503398042865293527281 n + 57853970560819786923408844417981103811\ 009144910098057292486208341408614261862997228673530201455831836030306755\ 44 03339457 n + 421134113625193433808820179750181347555213205585802027289\ 43 0020304024819122496595576080022559006039294622726763813345089 n + 2955\ 553669227486864695379039057015943323597885253180045805822933631100406508\ 42 551395297868477463202813904735825224792827 n + 20001138015074599199612\ 189442373050880880530672778166132328654907246442983469208761460217518598\ 41 66175361025401916236767 n + 130532461020030504256688496678421578806096\ 593787515055711852134677505438408910987023377526097525094624526008298942\ 40 4247 n + 8216092001019267194107168929641269736271612028179572879489622\ 39 44315101166255879734667801059903956097622384564864865831 n + 498786307\ 418689562057245273797425356276045809281319014072530067183986720041427427\ 38 195314874822010275474525906899329876 n + 29205876045479893952114088243\ 479140343167022092282599280964767070241885868129376929660850665985361916\ 37 2432110874792282 n + 1649380514923302160863067913015408852137216259990\ 36 73038609912013467899627865435828953600159900502395264300600951034826 n + 898336396103889264864561098833364409481101652313019674934870376662224513\ 35 21716331765334233616890120462643612560674170 n + 471825188114496277655\ 625859327229708629628134173279444090818556470988811102862414041856679145\ 34 13970218257787229456870 n + 238939065575327854842077735328278360266238\ 329707144465516489171794635689797631739238720669135715872220922563796123\ 33 50 n + 116648709882612684178402094245519002966475759964800910128956665\ 32 88397502591607144031147187804854945208818308965710670 n + 548863714333\ 137048117367975274131698654955442035591156332238112806086372519767791956\ 31 3713374734632890871575590188270 n + 2488441230700818325021276590601885\ 300809376390052593033952157458654626923896115690925449927090003979067330\ 30 827558575 n + 10867646134403709948085506773113883983820080102422622655\ 29 43585869228461729328005392965527178727954283964172885544405 n + 457019\ 866585177106965932961322481311530391134056326898190141837381557089204351\ 28 313857984714800231320534027933775525 n + 18499090933073332630975478216\ 398353280713212399533099210401705896125855103427722590909071514765531236\ 27 1588869508485 n + 7204138166969486421962432247026387371414022191855855\ 26 0425059435794965822262260219428668840470373531864984310549391 n + 2697\ 771665754057546397510248921518071629148042849036737513678504299425089481\ 25 9777169174652369016687596778191793203 n + 9708841676435037973184362039\ 732561528991214099256014359966196424154940338124358686202050135003265338\ 24 980233438731 n + 33557234172921888141262733552868278839036902270815199\ 23 84910233115659359480821363200696381739368608708878316260347 n + 111312\ 964754461522478074540063908345979446544944967976171815643267174098426970\ 22 5825833163201566162433912899524406 n + 3540739336324514376508867926822\ 291135767146509964528913153490103889650473708289967106750690651964335230\ 21 35806096 n + 107904072299990554324151065731953032605156054152863239169\ 20 609495071948395851532443734329664130194550694486817216 n + 31473051103\ 333387462599554219452062444548665178898240082874185916607702574048778971\ 19 245557586998280639280959408 n + 87762097774956173011689598037159429733\ 18 39221016575295856604047129501885105741464071190679156854813109671584928 n + 233665067078461678437373854102162102109876247068335200555096555687051\ 17 7527211076338459431577615646308484275456 n + 5931761828828708522202941\ 145868261884994372136167202329241380029486689378853311287952114479395834\ 16 79297436928 n + 143345391364652492530425627543573630303498598406126301\ 15 985967933697125896560081310549387498165115109029556480 n + 32916260503\ 718166620721752508591175355240542081737129226107434603372803210560569600\ 14 300753181425134785292800 n + 71676052390128585953316582472516197124061\ 13 03101882299619271282041676919280435073257837685708090109227520000 n + 147658241953546140449838319911914642244402523961018276268651922768277779\ 12 6590891275078277473815690152960000 n + 2870062981624073396508219212834\ 409108509695588052338662755948396165885182699419955889203397235071616000\ 11 00 n + 524708464073937983291397995072446277436626672403741121737495438\ 10 71158512325893401440534436174226816000000 n + 898974995403821388849231\ 563470804974507492509584708366036235054470982709806775950615721555317760\ 9 0000000 n + 14371276793900256301335685438752814907717600182304200129757\ 8 25685060967359935094802948414531942400000000 n + 2132531698990209443523\ 446936014638568667795086578494216262846491963133593891552485256255754240\ 7 00000000 n + 2918614534119392926091091116622042036204767568888214508378\ 6 5522812774965442384272575077027840000000000 n + 36549060443307776241508\ 428040260459267267241824945635797501316300412596380816697939066880000000\ 5 00000 n + 4145240926696625888914820156135766475559349651408371916559511\ 4 41183856330404712967217152000000000000 n + 4200276835586789942309044729\ 3 4549037774853624727390563240974893895045480808292084613120000000000000 n + 373195684937128990786836231477063058042818701967849226910088499655554\ 2 0331053724467200000000000000 n + 28173651914005779825357290388544999368\ 5050509233997347263790153293226995120865280000000000000000 n + 182581262\ 020827543373659400005243218728301103476842331793607875176998156369920000\ 00000000000000)/43587399329667311582794530625806711707094247022725517514\ 8803582099297447143102499335191742489910125732421875 and in Maple notation: 281474976710656/435873993296673115827945306258067117070942470227255175148803582\ 099297447143102499335191742489910125732421875*(n+1)*n*(264247936882539104244647\ 6703627265772880394471767270472317496501783715748364188410529938333047648681984 *n^86+1136266128594918148251984982559724282338569622859926303096523495766997771\ 79660101652787348321048893325312*n^85+24391330169473920802408712559773428964421\ 66074321840068333713007396124270497592219302336144918468041375744*n^84+34835752\ 0603928375491234862887448068514260825613516678357727983125008519390011127272896\ 45835551566209220608*n^83+37224099082367254875096243366993119926492603343342877\ 1215429396341766786088544124371649329921372893283876864*n^82+317318529080797461\ 1539573850074720654011143190798744944361114228360973649450780628244479432720458\ 105365725184*n^81+2247045210784352997355748209833400844388692250419769270577728\ 0208151042775798117611524250968011453909543419904*n^80+135912811488534803643478\ 9359546586132304781958123677618006508592799445392683843468775789512725065010665\ 71907072*n^79+71656549825420820826522670774936345959314687303890491453533286499\ 5039933256812997479852047581326758195843039232*n^78+334428911059164456351504144\ 9171515161475657504791740512492068516209461886236659834424306387927948389334221\ 062144*n^77+1398526294345439534552800516584673802298806642586472761713117205422\ 6536984109813926878849707037190929051058962432*n^76+529172439420675507141551311\ 3770089807135061758185995757792160878265146797780948216821758710353755944899447\ 8817280*n^75+182628140457348295609703342967897084682812778613809130670427435373\ 323828220209618955294093893425739560700210053120*n^74+5787512507733870975671974\ 6115030575133043952300143745580572091722914396928983333160495196448421947573336\ 1616486400*n^73+169368907067210853064009887015925566273657088797407156019137972\ 6304081956218636568962353153393944711536367181496320*n^72+459942081946456626484\ 8091837554901973992569709011439477828128893686551430927560403355426729853518794\ 754660782571520*n^71+1163926740956079970602066500363798391119045015202815865249\ 2499765581558506450607174479191162150604726785596719104000*n^70+275482162911627\ 2378078868628574682565981412493802549568053424070692430332084101334675800327563\ 0077287106204066119680*n^69+611794970398130568704996099335989390259330998880847\ 85063503926104956887712314206601171525826470712037180848681779200*n^68+12784988\ 6093549402728837472294263028315031208794604390980040983851283624665684818899209\ 732487756314486700239707176960*n^67+2520445228243809266126066943381014289576122\ 46028603479309206783412919046326124585070121524841001859954193255259701248*n^66 +469807599373977956208006365443004551330525565864806228495776298840762656837549\ 988748873828687016365184504764987080704*n^65+8296810118139636148680381392929221\ 8888160503263867700148925936974502927585685016680620970989688267763787222636874\ 9568*n^64+139073846651034166619843262002334336525760965041471996514243736026872\ 8730441350474149692809527777210781813975554195456*n^63+221636459715945417310463\ 4585142165287867153774226142544204053751015013506639692232582186473413549649413\ 248357198102528*n^62+3363172130980733801862007260377876966880422683176272968871\ 994113077164670508159888476398500613116571374162953967075328*n^61+4865865269331\ 0957600788045544021934927758487077104526789543840230878258848943672181606627878\ 88677614218125189814059008*n^60+67206581602596606538644419386628521514227086754\ 29843037550296482829238217451968718636499633745415761029616961431896064*n^59+88\ 7144092806980970352633309659485970708166656961644197369001031829216582476619658\ 8431344434647704991941966181396414464*n^58+112035076446061529536943700465681192\ 4777459795682772023515425522062099622522517033025234822788047850010121090390265\ 0368*n^57+135487503092809177213338676136393716511576358680316779608820717986426\ 63996377985069638384552736009577304679132146008064*n^56+15703709257438670279405\ 9991699835558126507060521741384254046209570971632114004278062191080935684808573\ 79709031157432320*n^55+17458341802355414163217275307419017976647147896034809294\ 743423007436813023039329427515437292824028140737058444643816960*n^54+1862994639\ 7886994778126816815473532749878385364847997336938546761781937673340143825438133\ 008937705451304424969322304000*n^53+1909460440993612593943314922555172699319430\ 7938622409874212145871316357295574820095214792522459228838265265763091957760*n^ 52+1880863091250561301775486988337679960163727606351014039485329243420589261612\ 2013797178459744514530186748502360119912960*n^51+178149387186071737395864258582\ 1703503747566072805042377721030088677325368968046001089324594152876532690929011\ 9660572800*n^50+162331552061088239950279013414790549745212521984382005010150810\ 55046726729853741377043388223885004727886092399769063040*n^49+14236485864178040\ 1904783565522653641228080725155984432017302085208703131294670854106364773706463\ 69799038153811158254400*n^48+12021365336180179851535793244450537425148196957620\ 669985041915804052606805903401128670336214293570751947920730499911680*n^47+9777\ 0282028434507041808476550588489794786285046544815769279728864879600441426191960\ 33213455978580735396875899472547127*n^46+76611656231278311138883892610826411589\ 7278219139089853754752929922665251540041654659525895672861750339804286529352728\ 1*n^45+578539705608197869234088444179811038110091449100980572924862083414086142\ 6186299722867353020145583183603030675503339457*n^44+421134113625193433808820179\ 7501813475552132055858020272890020304024819122496595576080022559006039294622726\ 763813345089*n^43+2955553669227486864695379039057015943323597885253180045805822\ 933631100406508551395297868477463202813904735825224792827*n^42+2000113801507459\ 9199612189442373050880880530672778166132328654907246442983469208761460217518598\ 66175361025401916236767*n^41+13053246102003050425668849667842157880609659378751\ 50557118521346775054384089109870233775260975250946245260082989424247*n^40+82160\ 9200101926719410716892964126973627161202817957287948962244315101166255879734667\ 801059903956097622384564864865831*n^39+4987863074186895620572452737974253562760\ 45809281319014072530067183986720041427427195314874822010275474525906899329876*n ^38+292058760454798939521140882434791403431670220922825992809647670702418858681\ 293769296608506659853619162432110874792282*n^37+1649380514923302160863067913015\ 4088521372162599907303860991201346789962786543582895360015990050239526430060095\ 1034826*n^36+898336396103889264864561098833364409481101652313019674934870376662\ 22451321716331765334233616890120462643612560674170*n^35+47182518811449627765562\ 5859327229708629628134173279444090818556470988811102862414041856679145139702182\ 57787229456870*n^34+23893906557532785484207773532827836026623832970714446551648\ 917179463568979763173923872066913571587222092256379612350*n^33+1166487098826126\ 8417840209424551900296647575996480091012895666588397502591607144031147187804854\ 945208818308965710670*n^32+5488637143331370481173679752741316986549554420355911\ 563322381128060863725197677919563713374734632890871575590188270*n^31+2488441230\ 7008183250212765906018853008093763900525930339521574586546269238961156909254499\ 27090003979067330827558575*n^30+10867646134403709948085506773113883983820080102\ 42262265543585869228461729328005392965527178727954283964172885544405*n^29+45701\ 9866585177106965932961322481311530391134056326898190141837381557089204351313857\ 984714800231320534027933775525*n^28+1849909093307333263097547821639835328071321\ 23995330992104017058961258551034277225909090715147655312361588869508485*n^27+72\ 0413816696948642196243224702638737141402219185585504250594357949658222622602194\ 28668840470373531864984310549391*n^26+26977716657540575463975102489215180716291\ 480428490367375136785042994250894819777169174652369016687596778191793203*n^25+ 9708841676435037973184362039732561528991214099256014359966196424154940338124358\ 686202050135003265338980233438731*n^24+3355723417292188814126273355286827883903\ 690227081519984910233115659359480821363200696381739368608708878316260347*n^23+ 1113129647544615224780745400639083459794465449449679761718156432671740984269705\ 825833163201566162433912899524406*n^22+3540739336324514376508867926822291135767\ 14650996452891315349010388965047370828996710675069065196433523035806096*n^21+10\ 7904072299990554324151065731953032605156054152863239169609495071948395851532443\ 734329664130194550694486817216*n^20+3147305110333338746259955421945206244454866\ 5178898240082874185916607702574048778971245557586998280639280959408*n^19+877620\ 9777495617301168959803715942973339221016575295856604047129501885105741464071190\ 679156854813109671584928*n^18+2336650670784616784373738541021621021098762470683\ 352005550965556870517527211076338459431577615646308484275456*n^17+5931761828828\ 7085222029411458682618849943721361672023292413800294866893788533112879521144793\ 9583479297436928*n^16+143345391364652492530425627543573630303498598406126301985\ 967933697125896560081310549387498165115109029556480*n^15+3291626050371816662072\ 1752508591175355240542081737129226107434603372803210560569600300753181425134785\ 292800*n^14+7167605239012858595331658247251619712406103101882299619271282041676\ 919280435073257837685708090109227520000*n^13+1476582419535461404498383199119146\ 422444025239610182762686519227682777796590891275078277473815690152960000*n^12+ 2870062981624073396508219212834409108509695588052338662755948396165885182699419\ 95588920339723507161600000*n^11+52470846407393798329139799507244627743662667240\ 374112173749543871158512325893401440534436174226816000000*n^10+8989749954038213\ 8884923156347080497450749250958470836603623505447098270980677595061572155531776\ 00000000*n^9+143712767939002563013356854387528149077176001823042001297572568506\ 0967359935094802948414531942400000000*n^8+2132531698990209443523446936014638568\ 66779508657849421626284649196313359389155248525625575424000000000*n^7+291861453\ 4119392926091091116622042036204767568888214508378552281277496544238427257507702\ 7840000000000*n^6+3654906044330777624150842804026045926726724182494563579750131\ 630041259638081669793906688000000000000*n^5+41452409266966258889148201561357664\ 7555934965140837191655951141183856330404712967217152000000000000*n^4+4200276835\ 5867899423090447294549037774853624727390563240974893895045480808292084613120000\ 000000000*n^3+37319568493712899078683623147706305804281870196784922691008849965\ 55540331053724467200000000000000*n^2+281736519140057798253572903885449993685050\ 509233997347263790153293226995120865280000000000000000*n+1825812620208275433736\ 5940000524321872830110347684233179360787517699815636992000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 45, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = / Pi (2 j - 1) 90 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 281474976710656 (n + 1) n (419386584823119165555159830866126509318866531\ 88 0997131949041004064188497022926959322328184126687986105450496 n + 1845\ 300973221724328442703255810956641003012736838738057578041788242938690087\ 87 86210182440101574271388639821824 n + 405338289275050907973509399135876\ 240832959846176990692510548357657313264096155991810728639969287942033742\ 86 2336 n + 5924094870789737855020649362861363699163488971421067988954488\ 85 8295697476234368874429861911855235604257580253184 n + 6478333323824921\ 016045867084167039441559135228226783059196080790700727089222374922543347\ 84 27411052520491311955968 n + 565212284483029494354968125645421608594361\ 83 2031482677143253248539139775467194900432715637993854448414589391470592 n + 409681530384187980788732256163518798440679757972060231445740331211088\ 82 61358551949840872417912253976361227190796288 n + 253665149857806264450\ 714602932829502059089782344862266766184825142183127765802972895375680703\ 81 414452568467986972672 n + 13692262877357025855534142360180116095075881\ 80 68137951509265979893919149320257992420376164989079634934664126326112256 n + 654335553511346060008675765044041141735461911995842034123148548427412\ 79 3307160108924563099809434285558289711931326464 n + 2802258805297098475\ 605072099074989785551062797505161309086595545106589067024698728215735282\ 78 6706047484906951300612096 n + 1086035805105500019610360731194741400005\ 565257436266585946626302000387490259553529993891947120857034580171874883\ 77 33824 n + 383969812453601305112854902564118332724304782288980280855136\ 76 296163947893315327103905409154372871830917463026874449920 n + 12467561\ 423582371470407851721883938623295959836026493146093930100856834127330068\ 75 61032235467810351339900816908909281280 n + 373908793696479761105879304\ 933148345878853314906156596914056068569197458757921295156885062795045462\ 74 9841840952070635520 n + 1040792670880170690121944948003522332681132002\ 131488000830612474729035451306570519958996783166865466028369476937842688\ 73 0 n + 2700267977247637261409539291882295246433369754331464336050955456\ 72 4818466899733280243630973539501827196777782122622484480 n + 6553756125\ 867471433329414888744310074895266889932729681189749029539146841174478299\ 71 8226202455288709586355141567703941120 n + 1492856539607991097885463128\ 710752678181448973338139350178433731028836487235770307345816219338218752\ 70 79190432117612871680 n + 320060517679718790062860014669482423679745293\ 560795474862888307368242160020676418565974945270918590692788975104342097\ 69 920 n + 64749623759752181837045472259153973441569090430591595430235650\ 68 7716725744412557059615069626189542820858800283037573578752 n + 1238857\ 583794455444521572276488841506206488768782224173099042057614789265041675\ 67 481738511859335821456736458583859252953088 n + 22463196569640361932564\ 389092173737271772911575762956021748018177503677413962158658160113370661\ 66 40346764617215417706872832 n + 386711676619385064718358991712028649405\ 702257858544553719193262537089361218308997404077270879718665432541070033\ 65 6098705408 n + 6331280329180388728561142625918365734270098904848880836\ 64 500971933718575706321973947435250518025003856007132567410411831296 n + 987279088323966467338658648795668051035691690781027969088456107834334009\ 63 5275456844749827898809837428561201796613379457024 n + 1468346055565748\ 005277219790695685485527022271344608800270321619296387760622554088170708\ 62 2238759296081794604509813726478336 n + 2085450099517685064482895609296\ 821041876297927839223632279278063948936753144243197764779184857143032429\ 61 3914735090667126784 n + 2831713446693530166347333630775054104155581119\ 552793658831358229330683566524571922939751205640159008728477521460499641\ 60 1392 n + 3679843042797639755420975734706879671394830302562152742495503\ 59 5480039409346107209511973375628344607832642267366143988891648 n + 4580\ 927085912758558646167249545968986306852237514552676554586292027993669828\ 58 7415485286356438352163602412864920941634486272 n + 5467639874016149829\ 371691091376566750871676610567990608241468195871798862786527430342690679\ 57 4447738949381817853820937863168 n + 6262027924044677631276623203428015\ 826400884927271650061494989447981297158455794502687238881668425928847118\ 56 9710832565596160 n + 6886764680778965345008018914058656990073854559172\ 204812260762573637885886745996195371276204145573013648709031487136292864\ 55 0 n + 7277629448936955582632601673223525957094394213654170945460100332\ 54 0669759359848597127367722172472159163410969643263469980160 n + 7394403\ 326409230328199538672272094562856522370215652514000097740310503486322791\ 53 8471127588582270704153126728896112626839040 n + 7227621065934311519769\ 610502249106897695422099865826975855736673419135641785346403294336595292\ 52 7591334533896374541557034240 n + 6799629092835655782999271133274957108\ 355997141428712563578863930242433142394493484730517801359768895936836287\ 51 2182682818560 n + 6159856605299240716785076038660230858363909720737745\ 50 3136968464576058935772359184314755603666508108163625569848249680147840 n + 537563721028461530486137746895075462461234823467384619652780538776347\ 49 28776877244967816809141395872199382030843119395896960 n + 452088266036\ 086292108172137261502435275038479692847416122734740403345012168212200178\ 48 83080656549937899226721197021292640208 n + 366515893338525542184751182\ 164150821969732790736731434368687757440948069837555024009334014219188084\ 47 49798311396379170593152 n + 286526093896919191421758240240826047449673\ 724387846835020929617158758887014085219825804075485376633406248275045267\ 46 93302653 n + 216046185999385808385091036651120122896288741342963655939\ 45 05983421276029570464240160423034826526455623405994120074227853307 n + 157156969661499423929833234864419038199549352626718804020854065856390132\ 44 46091035478270186659530592655054934131046865798954 n + 110307130422808\ 507598420097774910466545292612018565725991035414616884958194897833512275\ 43 01813393640722721253428145253838101 n + 747170576575533072496203607294\ 150538305023336099019808978158261725706611899889223158275060738268541000\ 42 6068839435350704414 n + 4884620219248468651179492803841823272516788560\ 081065489827424480094890939748139028495111634816043770617894446371131829\ 41 341 n + 30822708792220041271330393284244327328131388909696773032473936\ 40 75777925372212877722835571964121839914198572876856479335898 n + 187741\ 111462978236904347269176744896128752145023923264772177089904080061795872\ 39 0859343493286338422009839719492174540476487 n + 1103828722302238825731\ 487086582152875447713233703388571734116430691363495908747188786553459185\ 38 340652206243977983323110243 n + 62645270441603522703091583730071502970\ 469676660691384559764841850868357079819078289704169326445132273920205695\ 37 7495115242 n + 3431586785815510846984408674586750694050403900927297812\ 36 74209511704862233670827989389554118046816409666204498799557158620 n + 181418912318653561582694678626252482413407748562138772302680261050479376\ 35 583969986116430662314597079275771231132309880930 n + 92554250986369418\ 160373615802969184763891420083592604269127200591147450868582297742672097\ 34 764043917761477136013503736820 n + 45558131594993574577778868564779457\ 202671770205163201855911831206783838257448064798336050173032170770135288\ 33 064310180330 n + 21632373500799697686783537635912403441891768035880371\ 32 865623585959814362549100735943943432651860963720041354253128753780 n + 990619797944126221660846412217716877213846979759310406878832723500514668\ 31 9367702004594573026135396726231315821578299070 n + 4373732258608160503\ 036684554703081292648717241895001435959091129897148470818715347030726895\ 30 648858573577155003107912355 n + 18612234243868669069636290057210856770\ 429549820411765234800563815204221882410324723128409611932565965506640880\ 29 43704495 n + 763105368795519712209336449611763106155287707860205829634\ 28 939467925082106018881062109918232838462979809699610737071794 n + 30131\ 945289298571013064398782917826497686857810738757545387968727350173975243\ 27 0218516871327282353497586741237487237561 n + 1145302717337294967531720\ 647324061261829446814654940852724293030505520406255868900043107601171056\ 26 88133771235212709054 n + 418825025425300153820897082084255015333496488\ 25 42613630703128787582247704127095462618811087250610327417251803504590601 n + 147267087334503631229244212975937231360559815838318779732187228790221\ 24 53611906146669564339114595873436998300979501282 n + 497566667682290312\ 834179610327627814718494479091121358993540028823745328621437537114275268\ 23 4149939063031482880434283 n + 1614166736803794038812234972713769924538\ 674557667228603273161727041125559145498845382579014891181128948547227867\ 22 837 n + 50238865643602337660504011456911962432335537752650044420362377\ 21 3079702221925591446272196256299236576525105877436828 n + 1498745809903\ 935618051535105346431570601801410413447137906883961746470817652477191469\ 20 61928331828189337188612261704 n + 428124413433867204132897300236611456\ 970735315048892384028540989858498074325172696721138247079410595485382165\ 19 99776 n + 116969289119263340513974233744584947340947220743513060684497\ 18 12969496451164803964263904585107263788835955941553264 n + 305268054240\ 311265236440312261466652096154630108568168707204814009785792266549611133\ 17 1805776592301611807650454016 n + 7599405221330070962127145062881606341\ 957417528986190840726395259452660866166608750035333392936473545953625728\ 16 00 n + 180165033392172710876155885828772215687611921152988171199441175\ 15 317208597044454191917116413284198048762071750400 n + 40603917317093619\ 685439270281419454663648540073663722695623404726364784906211255642370310\ 14 116284652435608800000 n + 86811965018183170507885706499265370245091434\ 13 98354744332713146619614130787396194789684846294328406076456320000 n + 175665555562124928362145679634477966653306046171463634446307539988637018\ 12 5890244552941025821283691636640000000 n + 3355192573685009970750443144\ 136988114917135113950808636631794277672212313141260451721740602225500692\ 11 48000000 n + 602994942919717549728939561091033585953494532900945032307\ 10 11304730156135628907501804161399259759259200000000 n + 101597852242843\ 137234435416543841254053327778737499190294016281395770965827040089227318\ 9 97218559884800000000 n + 1597883694898784530995717222066851117290645864\ 8 553010210054739580427056723488150103996975880773760000000000 n + 233362\ 095420830894568730476776407029136226135069482843368433962783256184161648\ 7 164154069583185920000000000 n + 314463378257674836444412494708595701165\ 6 21030232653517403912156818406469354699293877089806080000000000000 n + 3\ 878859922561121166017815397708309364430027190434040687824022676338723636\ 5 089837977759135744000000000000 n + 433503105297344045954397890758980542\ 4 222278606120546371684607863423985544862836051427225600000000000000 n + 433033711782537715095663679799225722751059165160634512286842996476208074\ 3 30206607825305600000000000000 n + 3794668522172933755231944369343826185\ 2 610329202365471062988091744388561576501179351040000000000000000 n + 282\ 695772485202122083107287520324239879428423539600344701083637169807047734\ 696345600000000000000000 n + 1807554494006192679399228060051907865410180\ 9244207390847567179642522817480622080000000000000000000)/426720639437442\ 980395558454826647707612452678352482816470678706875212200753097346849152\ 715897622013092041015625 and in Maple notation: 281474976710656/426720639437442980395558454826647707612452678352482816470678706\ 875212200753097346849152715897622013092041015625*(n+1)*n*(419386584823119165555\ 1598308661265093188665310997131949041004064188497022926959322328184126687986105\ 450496*n^88+1845300973221724328442703255810956641003012736838738057578041788242\ 93869008786210182440101574271388639821824*n^87+40533828927505090797350939913587\ 62408329598461769906925105483576573132640961559918107286399692879420337422336*n ^86+592409487078973785502064936286136369916348897142106798895448882956974762343\ 68874429861911855235604257580253184*n^85+64783333238249210160458670841670394415\ 5913522822678305919608079070072708922237492254334727411052520491311955968*n^84+ 5652122844830294943549681256454216085943612031482677143253248539139775467194900\ 432715637993854448414589391470592*n^83+4096815303841879807887322561635187984406\ 7975797206023144574033121108861358551949840872417912253976361227190796288*n^82+ 2536651498578062644507146029328295020590897823448622667661848251421831277658029\ 72895375680703414452568467986972672*n^81+13692262877357025855534142360180116095\ 07588168137951509265979893919149320257992420376164989079634934664126326112256*n ^80+654335553511346060008675765044041141735461911995842034123148548427412330716\ 0108924563099809434285558289711931326464*n^79+280225880529709847560507209907498\ 9785551062797505161309086595545106589067024698728215735282670604748490695130061\ 2096*n^78+108603580510550001961036073119474140000556525743626658594662630200038\ 749025955352999389194712085703458017187488333824*n^77+3839698124536013051128549\ 0256411833272430478228898028085513629616394789331532710390540915437287183091746\ 3026874449920*n^76+124675614235823714704078517218839386232959598360264931460939\ 3010085683412733006861032235467810351339900816908909281280*n^75+373908793696479\ 7611058793049331483458788533149061565969140560685691974587579212951568850627950\ 454629841840952070635520*n^74+1040792670880170690121944948003522332681132002131\ 4880008306124747290354513065705199589967831668654660283694769378426880*n^73+270\ 0267977247637261409539291882295246433369754331464336050955456481846689973328024\ 3630973539501827196777782122622484480*n^72+655375612586747143332941488874431007\ 4895266889932729681189749029539146841174478299822620245528870958635514156770394\ 1120*n^71+149285653960799109788546312871075267818144897333813935017843373102883\ 648723577030734581621933821875279190432117612871680*n^70+3200605176797187900628\ 6001466948242367974529356079547486288830736824216002067641856597494527091859069\ 2788975104342097920*n^69+647496237597521818370454722591539734415690904305915954\ 302356507716725744412557059615069626189542820858800283037573578752*n^68+1238857\ 5837944554445215722764888415062064887687822241730990420576147892650416754817385\ 11859335821456736458583859252953088*n^67+22463196569640361932564389092173737271\ 7729115757629560217480181775036774139621586581601133706614034676461721541770687\ 2832*n^66+386711676619385064718358991712028649405702257858544553719193262537089\ 3612183089974040772708797186654325410700336098705408*n^65+633128032918038872856\ 1142625918365734270098904848880836500971933718575706321973947435250518025003856\ 007132567410411831296*n^64+9872790883239664673386586487956680510356916907810279\ 690884561078343340095275456844749827898809837428561201796613379457024*n^63+1468\ 3460555657480052772197906956854855270222713446088002703216192963877606225540881\ 707082238759296081794604509813726478336*n^62+2085450099517685064482895609296821\ 0418762979278392236322792780639489367531442431977647791848571430324293914735090\ 667126784*n^61+2831713446693530166347333630775054104155581119552793658831358229\ 3306835665245719229397512056401590087284775214604996411392*n^60+367984304279763\ 9755420975734706879671394830302562152742495503548003940934610720951197337562834\ 4607832642267366143988891648*n^59+458092708591275855864616724954596898630685223\ 75145526765545862920279936698287415485286356438352163602412864920941634486272*n ^58+546763987401614982937169109137656675087167661056799060824146819587179886278\ 65274303426906794447738949381817853820937863168*n^57+62620279240446776312766232\ 0342801582640088492727165006149498944798129715845579450268723888166842592884711\ 89710832565596160*n^56+68867646807789653450080189140586569900738545591722048122\ 607625736378858867459961953712762041455730136487090314871362928640*n^55+7277629\ 4489369555826326016732235259570943942136541709454601003320669759359848597127367\ 722172472159163410969643263469980160*n^54+7394403326409230328199538672272094562\ 8565223702156525140000977403105034863227918471127588582270704153126728896112626\ 839040*n^53+7227621065934311519769610502249106897695422099865826975855736673419\ 1356417853464032943365952927591334533896374541557034240*n^52+679962909283565578\ 2999271133274957108355997141428712563578863930242433142394493484730517801359768\ 8959368362872182682818560*n^51+615985660529924071678507603866023085836390972073\ 77453136968464576058935772359184314755603666508108163625569848249680147840*n^50 +537563721028461530486137746895075462461234823467384619652780538776347287768772\ 44967816809141395872199382030843119395896960*n^49+45208826603608629210817213726\ 1502435275038479692847416122734740403345012168212200178830806565499378992267211\ 97021292640208*n^48+36651589333852554218475118216415082196973279073673143436868\ 775744094806983755502400933401421918808449798311396379170593152*n^47+2865260938\ 9691919142175824024082604744967372438784683502092961715875888701408521982580407\ 548537663340624827504526793302653*n^46+2160461859993858083850910366511201228962\ 8874134296365593905983421276029570464240160423034826526455623405994120074227853\ 307*n^45+1571569696614994239298332348644190381995493526267188040208540658563901\ 3246091035478270186659530592655054934131046865798954*n^44+110307130422808507598\ 4200977749104665452926120185657259910354146168849581948978335122750181339364072\ 2721253428145253838101*n^43+747170576575533072496203607294150538305023336099019\ 8089781582617257066118998892231582750607382685410006068839435350704414*n^42+488\ 4620219248468651179492803841823272516788560081065489827424480094890939748139028\ 495111634816043770617894446371131829341*n^41+3082270879222004127133039328424432\ 7328131388909696773032473936757779253722128777228355719641218399141985728768564\ 79335898*n^40+18774111146297823690434726917674489612875214502392326477217708990\ 40800617958720859343493286338422009839719492174540476487*n^39+11038287223022388\ 2573148708658215287544771323370338857173411643069136349590874718878655345918534\ 0652206243977983323110243*n^38+626452704416035227030915837300715029704696766606\ 913845597648418508683570798190782897041693264451322739202056957495115242*n^37+ 3431586785815510846984408674586750694050403900927297812742095117048622336708279\ 89389554118046816409666204498799557158620*n^36+18141891231865356158269467862625\ 2482413407748562138772302680261050479376583969986116430662314597079275771231132\ 309880930*n^35+9255425098636941816037361580296918476389142008359260426912720059\ 1147450868582297742672097764043917761477136013503736820*n^34+455581315949935745\ 7777886856477945720267177020516320185591183120678383825744806479833605017303217\ 0770135288064310180330*n^33+216323735007996976867835376359124034418917680358803\ 71865623585959814362549100735943943432651860963720041354253128753780*n^32+99061\ 9797944126221660846412217716877213846979759310406878832723500514668936770200459\ 4573026135396726231315821578299070*n^31+437373225860816050303668455470308129264\ 8717241895001435959091129897148470818715347030726895648858573577155003107912355 *n^30+1861223424386866906963629005721085677042954982041176523480056381520422188\ 241032472312840961193256596550664088043704495*n^29+7631053687955197122093364496\ 1176310615528770786020582963493946792508210601888106210991823283846297980969961\ 0737071794*n^28+301319452892985710130643987829178264976868578107387575453879687\ 273501739752430218516871327282353497586741237487237561*n^27+1145302717337294967\ 5317206473240612618294468146549408527242930305055204062558689000431076011710568\ 8133771235212709054*n^26+418825025425300153820897082084255015333496488426136307\ 03128787582247704127095462618811087250610327417251803504590601*n^25+14726708733\ 4503631229244212975937231360559815838318779732187228790221536119061466695643391\ 14595873436998300979501282*n^24+49756666768229031283417961032762781471849447909\ 11213589935400288237453286214375371142752684149939063031482880434283*n^23+16141\ 6673680379403881223497271376992453867455766722860327316172704112555914549884538\ 2579014891181128948547227867837*n^22+502388656436023376605040114569119624323355\ 377526500444203623773079702221925591446272196256299236576525105877436828*n^21+ 1498745809903935618051535105346431570601801410413447137906883961746470817652477\ 19146961928331828189337188612261704*n^20+42812441343386720413289730023661145697\ 073531504889238402854098985849807432517269672113824707941059548538216599776*n^ 19+1169692891192633405139742337445849473409472207435130606844971296949645116480\ 3964263904585107263788835955941553264*n^18+305268054240311265236440312261466652\ 0961546301085681687072048140097857922665496111331805776592301611807650454016*n^ 17+7599405221330070962127145062881606341957417528986190840726395259452660866166\ 60875003533339293647354595362572800*n^16+18016503339217271087615588582877221568\ 7611921152988171199441175317208597044454191917116413284198048762071750400*n^15+ 4060391731709361968543927028141945466364854007366372269562340472636478490621125\ 5642370310116284652435608800000*n^14+868119650181831705078857064992653702450914\ 3498354744332713146619614130787396194789684846294328406076456320000*n^13+175665\ 5555621249283621456796344779666533060461714636344463075399886370185890244552941\ 025821283691636640000000*n^12+3355192573685009970750443144136988114917135113950\ 80863663179427767221231314126045172174060222550069248000000*n^11+60299494291971\ 7549728939561091033585953494532900945032307113047301561356289075018041613992597\ 59259200000000*n^10+10159785224284313723443541654384125405332777873749919029401\ 628139577096582704008922731897218559884800000000*n^9+15978836948987845309957172\ 2206685111729064586455301021005473958042705672348815010399697588077376000000000\ 0*n^8+2333620954208308945687304767764070291362261350694828433684339627832561841\ 61648164154069583185920000000000*n^7+314463378257674836444412494708595701165210\ 30232653517403912156818406469354699293877089806080000000000000*n^6+387885992256\ 1121166017815397708309364430027190434040687824022676338723636089837977759135744\ 000000000000*n^5+43350310529734404595439789075898054222227860612054637168460786\ 3423985544862836051427225600000000000000*n^4+4330337117825377150956636797992257\ 2275105916516063451228684299647620807430206607825305600000000000000*n^3+3794668\ 5221729337552319443693438261856103292023654710629880917443885615765011793510400\ 00000000000000*n^2+282695772485202122083107287520324239879428423539600344701083\ 637169807047734696345600000000000000000*n+1807554494006192679399228060051907865\ 4101809244207390847567179642522817480622080000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 46, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = / Pi (2 j - 1) 92 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 281474976710656 (n + 1) n (278412466406230603614346661900948095722465620\ 90 27757723015264668143418069238841351831659703893644663597956071424 n + 125285609882803771626455997855426643075109529124909753568691006645381311\ 89 5747860832424686675214009861908023214080 n + 2814634134719443147602890\ 304718079262180624816567686951486784979082359207076919763525618013079986\ 88 9240914242174976 n + 4207416054414557021299355880728703182225933925345\ 87 37933695862087424049357569074192655426422398850476728256837976064 n + 470621856829214839169008462932252595813359005197183034593051832766764135\ 86 4959120771397093681082100919538945248722944 n + 4200187494905163113173\ 121730401861706292651837588327053794519251132573390395731581040858818938\ 85 3135403141143487053824 n + 3114517982869871672461270016918148580686447\ 085000360143992253901800176033503249869602730504461641346439678873651118\ 84 08 n + 197304698561443880763871467649447992569969848685538598736361250\ 83 4693377712277269981128075869921105909229891207521370112 n + 1089768222\ 748689257427882944349302038825220478848352463709681042114222030637435070\ 82 6393245581270762752780936414526177280 n + 5329627719207195228679515034\ 155076568810702208932720130955370513739181238744027151942413538467747571\ 81 5037515374921777152 n + 2336156781886898117934256980571488794208981187\ 042308065355353582912809814061333853346535249992694284791256016674472591\ 80 36 n + 926829413601412023980005403631373875557427441154055361100290866\ 79 624133874881345198700253333084307633927317217788773269504 n + 33549313\ 443016615045578475732876981152697951760285483458622268322686269622657239\ 78 84693144925246507595851915266726666698752 n + 111550686166808321181686\ 581443192166111387323517422768947404002940045421091333888635223624017119\ 77 47887173874674759970586624 n + 342640020059251388346667105614412029210\ 506284482360080736709738755081611560765618244824712965295544884471187518\ 76 83717509120 n + 977012162437208712799347465443389341360809151594983959\ 75 65811958903577453833817125671472969010365602109625727132464190586880 n + 259711821716075826616002649189498750874157944264292775846209510089752474\ 74 053486262689534619539652685084496342965953505525760 n + 64597259881640\ 927800606956734040069272837107880664961431655328279390921214005902338461\ 73 2775327710174597287984390273792737280 n + 1508255113605336178341037125\ 075457333099299924693023214824585742005753539273266275864000089989033850\ 72 594665151233612715130880 n + 33152767675852489931959066575297883834917\ 131585565191801988557734220918585325593237321900233707878821638909012267\ 71 86987704320 n + 687793494373940484440228378191791785490113762224902559\ 70 8965502601647883838775351610858510341897645763301859942799637949186048 n + 134983806729514684445326539815164641096614311445276394795492708800245\ 69 06913121538515448083762283170628881814103263955260538880 n + 251120344\ 550413344540504340551748045790822337276275180016499034202975596779598938\ 68 81808713437272403066491882910314110503616512 n + 443672557688076527650\ 718207157638381434816051820109804439914687894603016263357425375335127133\ 67 51059227850272371364034110291968 n + 745677517285651476612764116754573\ 833836135344990812375294370525188664245186322528705909218465264189305776\ 66 20421354954422222848 n + 119400858698718158035673860524675732626863534\ 215279914520905594810591195248322647623212562774490236024734127006368423\ 65 359807488 n + 18240315037323880746223201415282671278921550079122888534\ 64 4244817743047987144336261158213187187962738478594625000183296505675776 n + 266178675474632371696560739355304411969610818594195758090771847982663\ 63 537332992089313964346536589109379724305029487918751678464 n + 37147563\ 490116638672835519204740342160199128656838951626147934170674012263073894\ 62 8085766869767062397207717399476892323932569600 n + 4963190886056414415\ 465619419742713637051385906589730582574994130922451682871450823826781049\ 61 99239940315687787449096911139078144 n + 635453857246091020118268525089\ 524594392293141209894009412028261719390305073675083130896298897546446812\ 60 232058579560617066135552 n + 78033883508181468694848210545819181146676\ 220331802424688751535194673086789958335345368127442077557315056591966942\ 59 9132193660928 n + 9198358717378420449924382794697610850876939092064608\ 899241699710139611107418441673800413002706280621500666137638735020218941\ 58 44 n + 104156842597421011214716172917126931774099739376597593903018925\ 57 9270646708598712849944898943538701895959245243564420132147642368 n + 1\ 133733598738661388257478548672437383956435334777566305000504008019277420\ 56 359579146866827943195514914845031122848074810779484160 n + 11869990973\ 360518639507055930721103297930391571382582178557228326010624231703680056\ 55 21833880158145558030908033715011013074288640 n + 119606041216475085014\ 686212669718505570382338774511035556728550579979390914597849219188117866\ 54 2639122045894320808289120220807680 n + 1160498893799639979554001547426\ 735250185161876742138874521689772734432700600785140284189474139499046555\ 53 407256459818006951114240 n + 10847519980201261976020483022148986076442\ 187426399776311506023853503383699842671996050080296126029771309650179689\ 52 77030268157440 n + 977229141635566139959582589467920068566743045751512\ 366383376448638334499505439622354026471932368003604131062971451744711580\ 51 160 n + 84881024709287412691607731746282980094137509904984362943647877\ 50 7973443600334044411279912554485684670952724649306206450102256832 n + 7\ 110889444911724502911993387712786088003341198970144131585671296111953614\ 49 54030786967870166657593344960656525405747162194308800 n + 574739183410\ 475870665198204714582335176800036134225519898853381273663415361183445009\ 48 092679310905533498185273468989547993517248 n + 44830128847974133782123\ 678590497838927108724382581026667858505130747139299902290649318671548463\ 47 9679861191182979780908114940672 n + 3375398429512901160707828291226165\ 024333106223896103462381920708022993283522834209718044741274801886159181\ 46 94547817437149001047 n + 245371925247688273287113048979884963011954855\ 708482790343006077498064173792060055754523986840009737590213040847299977\ 45 160416977 n + 17224398466889153248351052342910581971158884040096430979\ 44 4126366948474821973734126289691052220991443942431155042408124777124099 n + 116773212699232679230337245682085091123058775438570002088939649555931\ 43 038206095587515885099131047278998476557924700682042939661 n + 76466146\ 021712233992115481053391446418733934488006745244217063628769516394351899\ 42 500740227872260515478728053932813698361112785 n + 48367673437076158044\ 973883829898610045455555614349179342707317215661101355528623927347854721\ 41 440939959469464627902351791480431 n + 29554313796552534949341195547248\ 928839064086556324397759158464304486202623769861260622960540824604911177\ 40 757316730894861974813 n + 17445055591577631305843225645507135981764932\ 594504841429127248961205117994249887391501715218981733893353222864640951\ 39 760684307 n + 99472286617492785170785474716706533667269402235973606176\ 38 96988491601616236601376704296634675601076981630428165783227794210406 n + 547884211165879821771797503478674684596445537836294510540100671243400022\ 37 6920489729394450802078024853376611718910660709469442 n + 2914721366310\ 451447189022801298016303369801666457499818819142281731557625037282600804\ 36 926505828374866712308638186071175612270 n + 14975355773387371682852558\ 510401495760838750228102860373281496912695515772833859190385297977645448\ 35 82072423469884888516582130 n + 742958544802365834788976072020409632212\ 172486861865942559835326837175856794516632501889149649191366386448603321\ 34 302067127810 n + 35586028639381267879766449000250971767237121662306561\ 33 6558028756150732301525500643101988343256357340018844168606937337207230 n + 164522850170944436890279553588313715843015182712271483910020181269013\ 32 498571179571861218946362317456713104206602822371527930 n + 73399357217\ 068522892168623556243858573036615380925668588661428571300462188934213786\ 31 872703603247562605744499185875803999270 n + 31589855307719894249995342\ 602694501790193222268929871536856683244303285384673422830104312549794256\ 30 080672332111658340567571 n + 13111240831507462421136333742645103225881\ 309586769538353108034193429460344791121184283621484791116327609549417253\ 29 905131365 n + 52458077941424198549609770639348732848214953159520237886\ 28 42348317473335021935929414017821721200098578983470338883944310639 n + 202238499889177500806945868095028151032348421109406758984204259460807882\ 27 3491247539723494312190639543533657912654799021921 n + 7509064497320745\ 894122013510164725698296440513096719661610763778196090965680184287672320\ 26 37649780699092122878577049485661 n + 268374556785010122168502029008113\ 648701694176526941803576817432454994656952741658632339011956359279979089\ 25 171904283874211 n + 92271257547696319815597020186420745621310832794409\ 24 502599136891253332989174104959871149552636962440668506335663675025817 n + 304977488460931424255377838069641383317065393648075921608635455057371\ 23 03086040507144686213551889793259211711460444274263 n + 968321549390626\ 928254556100387090538868438547807827121147577624583122695086284080294514\ 22 1050989953581219306142000640960 n + 2950938557901506865170126424152292\ 172148195476242314366199883506376340067004165899678491050809937421462546\ 21 555363598648 n + 86235821206952787488735748915848539174012691097291877\ 20 7464774778437426911303371469821516327697432964000365464465448624 n + 2\ 414100940968748288899876082155627301315323999488013296381754444650487024\ 19 83862326804306056083830243943531520406117136 n + 646644666618721164236\ 214004811056588170834874969858285619460631809978918770769363915255007942\ 18 89824513395836592280448 n + 165524771344033992787542283144249994154666\ 018140953887379298662915870843422029703266100051852439442677830341574428\ 17 16 n + 404320117197923262613160078535839983531633429804343625352178311\ 16 7705588146781142292938202155239074454499141005203200 n + 9409226592738\ 620754282441231895223633510324998370177074791746829896059385698881402372\ 15 89542289417411339844447033600 n + 208238073745646604705304704313939146\ 301510310561556199424545658964663530627554698030712198456212791622330493\ 14 440000 n + 43737055625893682920859229040054847729466535686173278950291\ 13 473957878000748822925819029447362235422638263243520000 n + 86976413223\ 236377032229609990454736092943001020684846182969785780908220986857400030\ 12 12218152065076156365120000000 n + 163321362812278445973063295566155114\ 619820547897061914593013710770838734138908011284235134401592052693651200\ 11 0000 n + 2886786004243211988744635965019059911145547267250278066726056\ 10 70995388314589088779412322449559763261913600000000 n + 478547425108180\ 561733244739545099903061006637668151175772205473957031883093080674446428\ 9 54249119517260800000000 n + 7407800938071090267655651757335296585718470\ 8 468877463511199753191012864695774984144990001832258237440000000000 n + 106522887734211672295271991339512739087832584821809955380283695433373532\ 7 7402008463385082132169287680000000000 n + 14138959111289297892535821384\ 618892072024158177423735584963585582949639569834489602817940111974400000\ 6 0000000 n + 17185217778408528157556047002464227103710945997793039265589\ 5 674304074836352489769750814534488064000000000000 n + 189330047863361503\ 809034788916078243679014763412982018805249825074705425654857327250402263\ 4 0400000000000000 n + 18651118953849559861014486511584682718209824795407\ 3 3020636448447160599881421131814798091878400000000000000 n + 16124924839\ 664575112706814876661571908450578608668503572607536723424289307971041032\ 2 929280000000000000000 n + 118582277773490450508387005572174786283224522\ 6993979248074005241624195404994803505561600000000000000000 n + 748327560\ 518563769271280416861489856279814902710185981089281237200444643697754112\ 00000000000000000000)/17474210184963290047198118725151223626729937178534\ 17133447429304653993962083933635347280371600762143611907958984375 and in Maple notation: 281474976710656/174742101849632900471981187251512236267299371785341713344742930\ 4653993962083933635347280371600762143611907958984375*(n+1)*n*(27841246640623060\ 3614346661900948095722465620277577230152646681434180692388413518316597038936446\ 63597956071424*n^90+12528560988280377162645599785542664307510952912490975356869\ 10066453813115747860832424686675214009861908023214080*n^89+28146341347194431476\ 0289030471807926218062481656768695148678497908235920707691976352561801307998692\ 40914242174976*n^88+42074160544145570212993558807287031822259339253453793369586\ 2087424049357569074192655426422398850476728256837976064*n^87+470621856829214839\ 1690084629322525958133590051971830345930518327667641354959120771397093681082100\ 919538945248722944*n^86+4200187494905163113173121730401861706292651837588327053\ 7945192511325733903957315810408588189383135403141143487053824*n^85+311451798286\ 9871672461270016918148580686447085000360143992253901800176033503249869602730504\ 46164134643967887365111808*n^84+19730469856144388076387146764944799256996984868\ 55385987363612504693377712277269981128075869921105909229891207521370112*n^83+10\ 8976822274868925742788294434930203882522047884835246370968104211422203063743507\ 06393245581270762752780936414526177280*n^82+53296277192071952286795150341550765\ 6881070220893272013095537051373918123874402715194241353846774757150375153749217\ 77152*n^81+23361567818868981179342569805714887942089811870423080653553535829128\ 0981406133385334653524999269428479125601667447259136*n^80+926829413601412023980\ 0054036313738755574274411540553611002908666241338748813451987002533330843076339\ 27317217788773269504*n^79+33549313443016615045578475732876981152697951760285483\ 45862226832268626962265723984693144925246507595851915266726666698752*n^78+11155\ 0686166808321181686581443192166111387323517422768947404002940045421091333888635\ 22362401711947887173874674759970586624*n^77+34264002005925138834666710561441202\ 9210506284482360080736709738755081611560765618244824712965295544884471187518837\ 17509120*n^76+97701216243720871279934746544338934136080915159498395965811958903\ 577453833817125671472969010365602109625727132464190586880*n^75+2597118217160758\ 2661600264918949875087415794426429277584620951008975247405348626268953461953965\ 2685084496342965953505525760*n^74+645972598816409278006069567340400692728371078\ 806649614316553282793909212140059023384612775327710174597287984390273792737280* n^73+15082551136053361783410371250754573330992999246930232148245857420057535392\ 73266275864000089989033850594665151233612715130880*n^72+33152767675852489931959\ 0665752978838349171315855651918019885577342209185853255932373219002337078788216\ 3890901226786987704320*n^71+687793494373940484440228378191791785490113762224902\ 5598965502601647883838775351610858510341897645763301859942799637949186048*n^70+ 1349838067295146844453265398151646410966143114452763947954927088002450691312153\ 8515448083762283170628881814103263955260538880*n^69+251120344550413344540504340\ 5517480457908223372762751800164990342029755967795989388180871343727240306649188\ 2910314110503616512*n^68+443672557688076527650718207157638381434816051820109804\ 43991468789460301626335742537533512713351059227850272371364034110291968*n^67+74\ 5677517285651476612764116754573833836135344990812375294370525188664245186322528\ 70590921846526418930577620421354954422222848*n^66+11940085869871815803567386052\ 4675732626863534215279914520905594810591195248322647623212562774490236024734127\ 006368423359807488*n^65+1824031503732388074622320141528267127892155007912288853\ 44244817743047987144336261158213187187962738478594625000183296505675776*n^64+26\ 6178675474632371696560739355304411969610818594195758090771847982663537332992089\ 313964346536589109379724305029487918751678464*n^63+3714756349011663867283551920\ 4740342160199128656838951626147934170674012263073894808576686976706239720771739\ 9476892323932569600*n^62+496319088605641441546561941974271363705138590658973058\ 257499413092245168287145082382678104999239940315687787449096911139078144*n^61+ 6354538572460910201182685250895245943922931412098940094120282617193903050736750\ 83130896298897546446812232058579560617066135552*n^60+78033883508181468694848210\ 5458191811466762203318024246887515351946730867899583353453681274420775573150565\ 919669429132193660928*n^59+9198358717378420449924382794697610850876939092064608\ 89924169971013961110741844167380041300270628062150066613763873502021894144*n^58 +104156842597421011214716172917126931774099739376597593903018925927064670859871\ 2849944898943538701895959245243564420132147642368*n^57+113373359873866138825747\ 8548672437383956435334777566305000504008019277420359579146866827943195514914845\ 031122848074810779484160*n^56+1186999097336051863950705593072110329793039157138\ 258217855722832601062423170368005621833880158145558030908033715011013074288640* n^55+11960604121647508501468621266971850557038233877451103555672855057997939091\ 45978492191881178662639122045894320808289120220807680*n^54+11604988937996399795\ 5400154742673525018516187674213887452168977273443270060078514028418947413949904\ 6555407256459818006951114240*n^53+108475199802012619760204830221489860764421874\ 2639977631150602385350338369984267199605008029612602977130965017968977030268157\ 440*n^52+9772291416355661399595825894679200685667430457515123663833764486383344\ 99505439622354026471932368003604131062971451744711580160*n^51+84881024709287412\ 6916077317462829800941375099049843629436478777973443600334044411279912554485684\ 670952724649306206450102256832*n^50+7110889444911724502911993387712786088003341\ 1989701441315856712961119536145403078696787016665759334496065652540574716219430\ 8800*n^49+574739183410475870665198204714582335176800036134225519898853381273663\ 415361183445009092679310905533498185273468989547993517248*n^48+4483012884797413\ 3782123678590497838927108724382581026667858505130747139299902290649318671548463\ 9679861191182979780908114940672*n^47+337539842951290116070782829122616502433310\ 6223896103462381920708022993283522834209718044741274801886159181945478174371490\ 01047*n^46+24537192524768827328711304897988496301195485570848279034300607749806\ 4173792060055754523986840009737590213040847299977160416977*n^45+172243984668891\ 5324835105234291058197115888404009643097941263669484748219737341262896910522209\ 91443942431155042408124777124099*n^44+11677321269923267923033724568208509112305\ 8775438570002088939649555931038206095587515885099131047278998476557924700682042\ 939661*n^43+7646614602171223399211548105339144641873393448800674524421706362876\ 9516394351899500740227872260515478728053932813698361112785*n^42+483676734370761\ 5804497388382989861004545555561434917934270731721566110135552862392734785472144\ 0939959469464627902351791480431*n^41+295543137965525349493411955472489288390640\ 8655632439775915846430448620262376986126062296054082460491117775731673089486197\ 4813*n^40+174450555915776313058432256455071359817649325945048414291272489612051\ 17994249887391501715218981733893353222864640951760684307*n^39+99472286617492785\ 1707854747167065336672694022359736061769698849160161623660137670429663467560107\ 6981630428165783227794210406*n^38+547884211165879821771797503478674684596445537\ 8362945105401006712434000226920489729394450802078024853376611718910660709469442 *n^37+2914721366310451447189022801298016303369801666457499818819142281731557625\ 037282600804926505828374866712308638186071175612270*n^36+1497535577338737168285\ 2558510401495760838750228102860373281496912695515772833859190385297977645448820\ 72423469884888516582130*n^35+74295854480236583478897607202040963221217248686186\ 5942559835326837175856794516632501889149649191366386448603321302067127810*n^34+ 3558602863938126787976644900025097176723712166230656165580287561507323015255006\ 43101988343256357340018844168606937337207230*n^33+16452285017094443689027955358\ 8313715843015182712271483910020181269013498571179571861218946362317456713104206\ 602822371527930*n^32+7339935721706852289216862355624385857303661538092566858866\ 1428571300462188934213786872703603247562605744499185875803999270*n^31+315898553\ 0771989424999534260269450179019322226892987153685668324430328538467342283010431\ 2549794256080672332111658340567571*n^30+131112408315074624211363337426451032258\ 8130958676953835310803419342946034479112118428362148479111632760954941725390513\ 1365*n^29+524580779414241985496097706393487328482149531595202378864234831747333\ 5021935929414017821721200098578983470338883944310639*n^28+202238499889177500806\ 9458680950281510323484211094067589842042594608078823491247539723494312190639543\ 533657912654799021921*n^27+7509064497320745894122013510164725698296440513096719\ 66161076377819609096568018428767232037649780699092122878577049485661*n^26+26837\ 4556785010122168502029008113648701694176526941803576817432454994656952741658632\ 339011956359279979089171904283874211*n^25+9227125754769631981559702018642074562\ 1310832794409502599136891253332989174104959871149552636962440668506335663675025\ 817*n^24+3049774884609314242553778380696413833170653936480759216086354550573710\ 3086040507144686213551889793259211711460444274263*n^23+968321549390626928254556\ 1003870905388684385478078271211475776245831226950862840802945141050989953581219\ 306142000640960*n^22+2950938557901506865170126424152292172148195476242314366199\ 883506376340067004165899678491050809937421462546555363598648*n^21+8623582120695\ 2787488735748915848539174012691097291877746477477843742691130337146982151632769\ 7432964000365464465448624*n^20+241410094096874828889987608215562730131532399948\ 801329638175444465048702483862326804306056083830243943531520406117136*n^19+6466\ 4466661872116423621400481105658817083487496985828561946063180997891877076936391\ 525500794289824513395836592280448*n^18+1655247713440339927875422831442499941546\ 6601814095388737929866291587084342202970326610005185243944267783034157442816*n^ 17+4043201171979232626131600785358399835316334298043436253521783117705588146781\ 142292938202155239074454499141005203200*n^16+9409226592738620754282441231895223\ 6335103249983701770747917468298960593856988814023728954228941741133984444703360\ 0*n^15+208238073745646604705304704313939146301510310561556199424545658964663530\ 627554698030712198456212791622330493440000*n^14+4373705562589368292085922904005\ 4847729466535686173278950291473957878000748822925819029447362235422638263243520\ 000*n^13+8697641322323637703222960999045473609294300102068484618296978578090822\ 098685740003012218152065076156365120000000*n^12+1633213628122784459730632955661\ 5511461982054789706191459301371077083873413890801128423513440159205269365120000\ 00*n^11+28867860042432119887446359650190599111455472672502780667260567099538831\ 4589088779412322449559763261913600000000*n^10+478547425108180561733244739545099\ 90306100663766815117577220547395703188309308067444642854249119517260800000000*n ^9+7407800938071090267655651757335296585718470468877463511199753191012864695774\ 984144990001832258237440000000000*n^8+10652288773421167229527199133951273908783\ 25848218099553802836954333735327402008463385082132169287680000000000*n^7+141389\ 5911128929789253582138461889207202415817742373558496358558294963956983448960281\ 79401119744000000000000*n^6+171852177784085281575560470024642271037109459977930\ 39265589674304074836352489769750814534488064000000000000*n^5+189330047863361503\ 8090347889160782436790147634129820188052498250747054256548573272504022630400000\ 000000000*n^4+18651118953849559861014486511584682718209824795407302063644844716\ 0599881421131814798091878400000000000000*n^3+1612492483966457511270681487666157\ 1908450578608668503572607536723424289307971041032929280000000000000000*n^2+1185\ 8227777349045050838700557217478628322452269939792480740052416241954049948035055\ 61600000000000000000*n+74832756051856376927128041686148985627981490271018598108\ 928123720044464369775411200000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 47, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = / Pi (2 j - 1) 94 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 281474976710656 (n + 1) n (965427575722806005033319596193735642736358762\ 92 00683980769899968741412102743784929663593265903772540386600950956032 n + 444096684832490762315327014249118395658725030523146311541539856210495672\ 91 6214106764525290231573536857783643743977472 n + 1019891195049586379526\ 347658302755455670039079531781459268573265742272014653196876665969994219\ 90 53832971505651322716160 n + 155855050374138925506645759011216650014437\ 752457254299043757017720359110029825807820835439093898357828041745425760\ 89 2560 n + 1782280106627552993238185424475216029930677733405254893620724\ 88 4549476116366837864796842868030263247698280395355981873152 n + 1626305\ 803579942917905286166802848049170026807700649122567737336881071517945581\ 87 69561893808952727775089738641358282817536 n + 123307942083347914780596\ 656565621251038523121057369151052054899726132914533034150691130388805526\ 86 4342461003685203393118208 n + 7988158524512957615411817781520349975486\ 674032151594201800894768144687268463731844364956376829694291956028705616\ 85 200466432 n + 45123191926659305364724479361630829105931044926161497309\ 84 227808435225420899919090345390709743895795752058411781098852843520 n + 225720548187279669729858664426696591399571821289888621043394951558116461\ 83 653243660802974971023892735280711380052014815772672 n + 10121418617400\ 348674709543663774443413776228557506501233467540579626525346731368641986\ 82 69624825299007623594080505838524432384 n + 410833021388842791487093550\ 308320246575550905298766003213438139161565767733895987889186684086322715\ 81 1521362417372113326309376 n + 1521739919015767454455492923567812002628\ 328922579040486011952512192823271427787870292185117429180383401085386279\ 80 9227901444096 n + 5178327181965331298378947862406295244132362898265263\ 914448983338600947284009597826393474481965187242865293732945168191979520\ 79 0 n + 1628129415847726421521557000812085032969463940186288721664429807\ 78 46570085916955318412259690287408692167097510815249230261649408 n + 475\ 293037271764283537057508411182187493190033762344083901923773047034190682\ 77 031413000577348908931858463931581466426503302479872 n + 12937332888589\ 557487894669797886954256372275563787590631308132752121781792730560032243\ 76 68087502275340866376285470908431288238080 n + 329566772675076381917531\ 283809879165724981652774566499889933754985450086653485052285031284670348\ 75 2829858863769767900459732828160 n + 7882590662898068760503400248663455\ 074372720923842760526595926603875428347719797342481599554900956573243811\ 74 922319258135832821760 n + 17752976934069790198167465398666420964679802\ 294484280031829359234889364519387081162742828355732956413860847086115756\ 73 998855229440 n + 37745304059197934181616548390939895103616752046427238\ 200578834829960704837684098224097178489602928733912331626767584549576638\ 72 464 n + 75934672512956781865108221457459627489306017193322921390815609\ 71 781064813371531207276452333217086887236828312907944606284659032064 n + 144843162048697068585185554766449018754721209252317598058393756228436722\ 70 575350287242756154296360104430781438782618056247539138560 n + 26244866\ 532614343126037870532127190910290676541812392392171133191306608486071777\ 69 8785101244789710031701819343264686138712370708480 n + 4524917679373546\ 189140103200517021675715079737527894612342509264166345015864823532922875\ 68 70683904214275310370321423135746172125184 n + 743466162062395362393530\ 540178465301573898982173660968503836562687490989309638370952091559205668\ 67 888406227454467442685035457544192 n + 11657374984412230321502235012975\ 129575182666249622618644624631353772745710136958119517903646765137385345\ 66 79819719667750184415133696 n + 174655107991800458901234678265472902671\ 735473076069414478795478931383105830927217421077902725125456149001460853\ 65 9984329160035139584 n + 2503268244087469132799068880536424530618228604\ 807382088141885385239066732406181372045971751511577388619530000574340906\ 64 463642255360 n + 34359047921433341279212461168619240202055642058685475\ 249974893428276063753134664569805195510079376268865141310120844351213970\ 63 39104 n + 452070429516956883510342553418795368674993369572424725219759\ 62 5802256621945862130847351815572686794658484241990151232721589213954048 n + 570677888500028924981394866082292646884622634546991832486598046305560\ 61 8817612758838622540916755816219839331614167939497606978895872 n + 6917\ 558746136758633362233635236625640764842691385779221717274538512269917542\ 60 013863350697142029408410493769085743084378507344576512 n + 80578520191\ 206988866506916578838973429149189122472270708034128222108006820059145472\ 59 60684029550472879543319854843267692527950397440 n + 902591607857429538\ 923192073371452867055848055212956307822646391927479723701967968422111349\ 58 9728962139015324180391775397953185529856 n + 9728481531547627347366107\ 237201919620175976394197245717367881844873991455247676361802449139323069\ 57 128941502796999904054173100949504 n + 10095639025960715548422714564721\ 395961370933492669520397942346445772512255067061914220616429047769047328\ 56 918707611611085559952138240 n + 10092282187358798891062847585481891884\ 929388458467698087442087313222876928722143522329318033278975774742892081\ 55 991855519712353812480 n + 97235217122197211631284278962349622856827841\ 165527014192392628123021112701679547977895277026486094675809812978741183\ 54 25574079086080 n + 903294648052727572815424042569631561421709515333258\ 034276466660212672327702002379393352587147951084083286970741982486849575\ 53 6331520 n + 8094354247359454488226655756876485875706426473536523176055\ 100903562389562552670548307604421367479431767208934585647807036224024576 52 n + 699907047066514581473165169448349155750355682622412904945849141958\ 51 2837123102302113893837670834027886075743045361607623964687929856 n + 5\ 841795957400981162431921013745542610806665822615217535516316490003704539\ 50 117418580536346517632160765357227113090289234461360024000 n + 47079022\ 254624382205936776385806399068202085399688425717682879788476573255813548\ 49 22947752704454146320403945987127589321269757965760 n + 366434202331697\ 854022284810765740509915502194854926104910053501096983031843653472113689\ 48 2712020125558085597110798915491483560383776 n + 2755182660449742043775\ 258985505785937922393828812601782951503510668499351358973848090553317765\ 47 327055445810285356132601455614353408 n + 20015902453585878854444882753\ 048447742846143076371535129561748587173849380831292806693298216498558273\ 46 62118232254604183015211508709 n + 140521088958401987822366372752461885\ 212189367050064489873653763875192517408552689435822817422735387868442660\ 45 8428798398460465825811 n + 9534708858454665307040724982547079201980548\ 511369218573711955829915797063083496385448129721669911140614338310594494\ 44 04867530443945 n + 625342721884111040632699438448419861306101613000393\ 797080602157532439421708335990123135459624808960389882274320673406416380\ 43 084551 n + 39646591294969895046963404105799485735073040455987017705753\ 42 8845790366805803686702621879454486183525998063829534905456562893886227 n + 242991089013708142983365132089653580915893662722861767585789789175374\ 41 859396047141842386936819437448159955688621768988365838948653 n + 14397\ 215970363292894625683766890451031870529472910916403856209150475887672188\ 40 9244862195585188507993187730305798822860524945152663 n + 8246402542652\ 587755298959084886940988622468684451859369388424225100485909232169980914\ 39 8937032729717489255578512378170047955819545 n + 4565933947330448978385\ 982780541056064517654571537167870552668207734339172864839639564569373684\ 38 5787823949811746994065474730460914 n + 2443666382118975135261656418691\ 913872221913981642865600647858891343633600939810407461162778408588152656\ 37 7468891261016041912147526 n + 1264026255372293536355715034598311988908\ 183645211108497202169900387698958820966747251837423655456317917922324833\ 36 7257206704693130 n + 6318486655388830090664391794707106349929281629789\ 325921874372548156972352910960207412075593406537796208484384670668260504\ 35 178710 n + 30516836196452769743015504005565755543428421173393659905122\ 34 58687082039865275275423249169399417406222743362471425047105765555910 n + 142379431743071323937694386752271557272805297429332612783300349130526689\ 33 9581854607235228247465773606196143894822633134963015290 n + 6415532627\ 633502930280618158079306360266426154454903491243653879072715124631470349\ 32 11160332973056013529948042291440931501529678 n + 279110425945134702196\ 728245012445544043950728682692980064323554986141839032106828569500506988\ 31 151414960168130228581384620311858 n + 11720342521678544712391937246370\ 231005628846720280520381797508324351670134817226468138213652752165992749\ 30 1978095778627565866905 n + 4748651314383706471094992960438008377893637\ 689581617643500938171756299247213627736468722540937344011505858489114581\ 29 8729002575 n + 1855630085621331612992354723076985071998933606740238568\ 28 3761158512516736522667773902061360781183964113424355517039960724956013 n + 699050029141581790976197168127232441479225077706956557251727665809704\ 27 1180650316622476543595597908467404641425236412674156739 n + 2537481894\ 620509835017902925477652337250816573337709913735389873182714249584853313\ 26 510056239748176114753679220791367077656887 n + 88701962676933490219295\ 502116975767364366908487655476482299627480565426224830711776960316423440\ 25 9422741310233641672531225673 n + 2984216013944354524960981177816991870\ 659712830362333426984330990129920387401094591491271624690391404893162605\ 24 29180885049675 n + 965597331193794724901893447283160507732067683452379\ 23 03107763511505366121885184384143099123992257773800663404425851402371173 n + 300262094594365078369636124536841327914520895611201625816530781896079\ 22 49563167225344190601328566905310120297131685680049216 n + 896556851306\ 995689506215431162142914857368654736920482051838217925402671740101988099\ 21 4507814701180025090001125220506349224 n + 2568162122450327588578684423\ 687851450392597201712111952567532204820882315855411996190527465700385593\ 20 265562841458785881104 n + 70499169339574396914737250084833088058404032\ 566692539269553679112570760001325415562487081076030984288227649797964188\ 19 3440 n + 1852514501980234458371013858111856139908564876969310556169300\ 18 15650328829060295614915638467872503592855517346993697811072 n + 465368\ 241410281591884987797858861109330275836303100361771380155177759775157700\ 17 54587391087242426243193387505211883246848 n + 111600120478085292719761\ 289759761713958076622840673205076905891559902488078535132913595145430611\ 16 29847209033340514796800 n + 255072753031198749738452376995852450802086\ 602791947521856220463069146552299865375088451460232767428439191722999789\ 15 4400 n + 5546310448278944740032550760493905817227889711955986210942699\ 14 45499097991657617394857937155954504458604127170649600000 n + 114495558\ 869434472734372021808702097292468986500589871274297333898164315607610459\ 13 861081773950133346444392728828160000 n + 22386965863771093737975925642\ 113101783338194174214217669678337897406751099875933246868398208019411819\ 12 929856960000000 n + 41347545258396394499307462693132260338242167519691\ 11 83966747890842964973751637418852139466479048196773454886208000000 n + 719104192413033044353020489173072937066833234481045195445900939854574341\ 10 774504737749959210919556162073177600000000 n + 11733560128160798680113\ 905994952320028545951006894920335193902801118254075296775450923601459519\ 9 5116981990400000000 n + 17884587437208402866797377120151588168572396264\ 8 575141782360573899147179922194618009207413118065529871360000000000 n + 253323407595813781792842494039985686916052038484905263519264152715968172\ 7 4629812157482536589990073579520000000000 n + 33132339586358480547956049\ 254257819422061830629077622980784188824563222971510125586494890543453184\ 6 0000000000000 n + 39696670350151312615825650957340417857119866558950248\ 5 433741109155254815912571942460397222352842752000000000000 n + 431269769\ 786806340624802792392784297922178832470321061342699813930768902082451339\ 4 5416848370073600000000000000 n + 41911902943366122405303334353224167541\ 3 7606580133252078935133593547318673866878564900141537689600000000000000 n + 357611265497261681845514234311140283697980025072321569091924129769662\ 2 39130771978551218667520000000000000000 n + 2596816557285237814057233405\ 677067308721016657169177439234308960168222147889842452483276800000000000\ 000000 n + 1617884185841134869164508261254541069276959819659422091115026\ 03482736131967454439014400000000000000000000)/37377335585636477410956775\ 953098467337575335624884592484440512826548930848975340460078327148540302\ 25185871124267578125 and in Maple notation: 281474976710656/373773355856364774109567759530984673375753356248845924844405128\ 2654893084897534046007832714854030225185871124267578125*(n+1)*n*(96542757572280\ 6005033319596193735642736358762006839807698999687414121027437849296635932659037\ 72540386600950956032*n^92+44409668483249076231532701424911839565872503052314631\ 15415398562104956726214106764525290231573536857783643743977472*n^91+10198911950\ 4958637952634765830275545567003907953178145926857326574227201465319687666596999\ 421953832971505651322716160*n^90+1558550503741389255066457590112166500144377524\ 572542990437570177203591100298258078208354390938983578280417454257602560*n^89+ 1782280106627552993238185424475216029930677733405254893620724454947611636683786\ 4796842868030263247698280395355981873152*n^88+162630580357994291790528616680284\ 8049170026807700649122567737336881071517945581695618938089527277750897386413582\ 82817536*n^87+12330794208334791478059665656562125103852312105736915105205489972\ 61329145330341506911303888055264342461003685203393118208*n^86+79881585245129576\ 1541181778152034997548667403215159420180089476814468726846373184436495637682969\ 4291956028705616200466432*n^85+451231919266593053647244793616308291059310449261\ 61497309227808435225420899919090345390709743895795752058411781098852843520*n^84 +225720548187279669729858664426696591399571821289888621043394951558116461653243\ 660802974971023892735280711380052014815772672*n^83+1012141861740034867470954366\ 3774443413776228557506501233467540579626525346731368641986696248252990076235940\ 80505838524432384*n^82+41083302138884279148709355030832024657555090529876600321\ 34381391615657677338959878891866840863227151521362417372113326309376*n^81+15217\ 3991901576745445549292356781200262832892257904048601195251219282327142778787029\ 21851174291803834010853862799227901444096*n^80+51783271819653312983789478624062\ 9524413236289826526391444898333860094728400959782639347448196518724286529373294\ 51681919795200*n^79+16281294158477264215215570008120850329694639401862887216644\ 2980746570085916955318412259690287408692167097510815249230261649408*n^78+475293\ 0372717642835370575084111821874931900337623440839019237730470341906820314130005\ 77348908931858463931581466426503302479872*n^77+12937332888589557487894669797886\ 9542563722755637875906313081327521217817927305600322436808750227534086637628547\ 0908431288238080*n^76+329566772675076381917531283809879165724981652774566499889\ 9337549854500866534850522850312846703482829858863769767900459732828160*n^75+788\ 2590662898068760503400248663455074372720923842760526595926603875428347719797342\ 481599554900956573243811922319258135832821760*n^74+1775297693406979019816746539\ 8666420964679802294484280031829359234889364519387081162742828355732956413860847\ 086115756998855229440*n^73+3774530405919793418161654839093989510361675204642723\ 8200578834829960704837684098224097178489602928733912331626767584549576638464*n^ 72+7593467251295678186510822145745962748930601719332292139081560978106481337153\ 1207276452333217086887236828312907944606284659032064*n^71+144843162048697068585\ 1855547664490187547212092523175980583937562284367225753502872427561542963601044\ 30781438782618056247539138560*n^70+26244866532614343126037870532127190910290676\ 5418123923921711331913066084860717778785101244789710031701819343264686138712370\ 708480*n^69+4524917679373546189140103200517021675715079737527894612342509264166\ 34501586482353292287570683904214275310370321423135746172125184*n^68+74346616206\ 2395362393530540178465301573898982173660968503836562687490989309638370952091559\ 205668888406227454467442685035457544192*n^67+1165737498441223032150223501297512\ 9575182666249622618644624631353772745710136958119517903646765137385345798197196\ 67750184415133696*n^66+17465510799180045890123467826547290267173547307606941447\ 87954789313831058309272174210779027251254561490014608539984329160035139584*n^65 +250326824408746913279906888053642453061822860480738208814188538523906673240618\ 1372045971751511577388619530000574340906463642255360*n^64+343590479214333412792\ 1246116861924020205564205868547524997489342827606375313466456980519551007937626\ 886514131012084435121397039104*n^63+4520704295169568835103425534187953686749933\ 6957242472521975958022566219458621308473518155726867946584842419901512327215892\ 13954048*n^62+57067788850002892498139486608229264688462263454699183248659804630\ 55608817612758838622540916755816219839331614167939497606978895872*n^61+69175587\ 4613675863336223363523662564076484269138577922171727453851226991754201386335069\ 7142029408410493769085743084378507344576512*n^60+805785201912069888665069165788\ 3897342914918912247227070803412822210800682005914547260684029550472879543319854\ 843267692527950397440*n^59+9025916078574295389231920733714528670558480552129563\ 078226463919274797237019679684221113499728962139015324180391775397953185529856* n^58+97284815315476273473661072372019196201759763941972457173678818448739914552\ 47676361802449139323069128941502796999904054173100949504*n^57+10095639025960715\ 5484227145647213959613709334926695203979423464457725122550670619142206164290477\ 69047328918707611611085559952138240*n^56+10092282187358798891062847585481891884\ 9293884584676980874420873132228769287221435223293180332789757747428920819918555\ 19712353812480*n^55+97235217122197211631284278962349622856827841165527014192392\ 62812302111270167954797789527702648609467580981297874118325574079086080*n^54+90\ 3294648052727572815424042569631561421709515333258034276466660212672327702002379\ 3933525871479510840832869707419824868495756331520*n^53+809435424735945448822665\ 5756876485875706426473536523176055100903562389562552670548307604421367479431767\ 208934585647807036224024576*n^52+6999070470665145814731651694483491557503556826\ 2241290494584914195828371231023021138938376708340278860757430453616076239646879\ 29856*n^51+58417959574009811624319210137455426108066658226152175355163164900037\ 04539117418580536346517632160765357227113090289234461360024000*n^50+47079022254\ 6243822059367763858063990682020853996884257176828797884765732558135482294775270\ 4454146320403945987127589321269757965760*n^49+366434202331697854022284810765740\ 5099155021948549261049100535010969830318436534721136892712020125558085597110798\ 915491483560383776*n^48+2755182660449742043775258985505785937922393828812601782\ 951503510668499351358973848090553317765327055445810285356132601455614353408*n^ 47+2001590245358587885444488275304844774284614307637153512956174858717384938083\ 129280669329821649855827362118232254604183015211508709*n^46+1405210889584019878\ 2236637275246188521218936705006448987365376387519251740855268943582281742273538\ 78684426608428798398460465825811*n^45+95347088584546653070407249825470792019805\ 4851136921857371195582991579706308349638544812972166991114061433831059449404867\ 530443945*n^44+6253427218841110406326994384484198613061016130003937970806021575\ 32439421708335990123135459624808960389882274320673406416380084551*n^43+39646591\ 2949698950469634041057994857350730404559870177057538845790366805803686702621879\ 454486183525998063829534905456562893886227*n^42+2429910890137081429833651320896\ 5358091589366272286176758578978917537485939604714184238693681943744815995568862\ 1768988365838948653*n^41+143972159703632928946256837668904510318705294729109164\ 038562091504758876721889244862195585188507993187730305798822860524945152663*n^ 40+8246402542652587755298959084886940988622468684451859369388424225100485909232\ 1699809148937032729717489255578512378170047955819545*n^39+456593394733044897838\ 5982780541056064517654571537167870552668207734339172864839639564569373684578782\ 3949811746994065474730460914*n^38+244366638211897513526165641869191387222191398\ 1642865600647858891343633600939810407461162778408588152656746889126101604191214\ 7526*n^37+126402625537229353635571503459831198890818364521110849720216990038769\ 89588209667472518374236554563179179223248337257206704693130*n^36+63184866553888\ 3009066439179470710634992928162978932592187437254815697235291096020741207559340\ 6537796208484384670668260504178710*n^35+305168361964527697430155040055657555434\ 2842117339365990512258687082039865275275423249169399417406222743362471425047105\ 765555910*n^34+1423794317430713239376943867522715572728052974293326127833003491\ 305266899581854607235228247465773606196143894822633134963015290*n^33+6415532627\ 6335029302806181580793063602664261544549034912436538790727151246314703491116033\ 2973056013529948042291440931501529678*n^32+279110425945134702196728245012445544\ 0439507286826929800643235549861418390321068285695005069881514149601681302285813\ 84620311858*n^31+11720342521678544712391937246370231005628846720280520381797508\ 3243516701348172264681382136527521659927491978095778627565866905*n^30+474865131\ 4383706471094992960438008377893637689581617643500938171756299247213627736468722\ 5409373440115058584891145818729002575*n^29+185563008562133161299235472307698507\ 1998933606740238568376115851251673652266777390206136078118396411342435551703996\ 0724956013*n^28+699050029141581790976197168127232441479225077706956557251727665\ 8097041180650316622476543595597908467404641425236412674156739*n^27+253748189462\ 0509835017902925477652337250816573337709913735389873182714249584853313510056239\ 748176114753679220791367077656887*n^26+8870196267693349021929550211697576736436\ 6908487655476482299627480565426224830711776960316423440942274131023364167253122\ 5673*n^25+298421601394435452496098117781699187065971283036233342698433099012992\ 038740109459149127162469039140489316260529180885049675*n^24+9655973311937947249\ 0189344728316050773206768345237903107763511505366121885184384143099123992257773\ 800663404425851402371173*n^23+3002620945943650783696361245368413279145208956112\ 0162581653078189607949563167225344190601328566905310120297131685680049216*n^22+ 8965568513069956895062154311621429148573686547369204820518382179254026717401019\ 880994507814701180025090001125220506349224*n^21+2568162122450327588578684423687\ 8514503925972017121119525675322048208823158554119961905274657003855932655628414\ 58785881104*n^20+70499169339574396914737250084833088058404032566692539269553679\ 1125707600013254155624870810760309842882276497979641883440*n^19+185251450198023\ 4458371013858111856139908564876969310556169300156503288290602956149156384678725\ 03592855517346993697811072*n^18+46536824141028159188498779785886110933027583630\ 310036177138015517775977515770054587391087242426243193387505211883246848*n^17+ 1116001204780852927197612897597617139580766228406732050769058915599024880785351\ 3291359514543061129847209033340514796800*n^16+255072753031198749738452376995852\ 4508020866027919475218562204630691465522998653750884514602327674284391917229997\ 894400*n^15+5546310448278944740032550760493905817227889711955986210942699454990\ 97991657617394857937155954504458604127170649600000*n^14+11449555886943447273437\ 2021808702097292468986500589871274297333898164315607610459861081773950133346444\ 392728828160000*n^13+2238696586377109373797592564211310178333819417421421766967\ 8337897406751099875933246868398208019411819929856960000000*n^12+413475452583963\ 9449930746269313226033824216751969183966747890842964973751637418852139466479048\ 196773454886208000000*n^11+7191041924130330443530204891730729370668332344810451\ 95445900939854574341774504737749959210919556162073177600000000*n^10+11733560128\ 1607986801139059949523200285459510068949203351939028011182540752967754509236014\ 595195116981990400000000*n^9+17884587437208402866797377120151588168572396264575\ 141782360573899147179922194618009207413118065529871360000000000*n^8+25332340759\ 5813781792842494039985686916052038484905263519264152715968172462981215748253658\ 9990073579520000000000*n^7+3313233958635848054795604925425781942206183062907762\ 29807841888245632229715101255864948905434531840000000000000*n^6+396966703501513\ 1261582565095734041785711986655895024843374110915525481591257194246039722235284\ 2752000000000000*n^5+4312697697868063406248027923927842979221788324703210613426\ 998139307689020824513395416848370073600000000000000*n^4+41911902943366122405303\ 3343532241675417606580133252078935133593547318673866878564900141537689600000000\ 000000*n^3+35761126549726168184551423431114028369798002507232156909192412976966\ 239130771978551218667520000000000000000*n^2+25968165572852378140572334056770673\ 08721016657169177439234308960168222147889842452483276800000000000000000*n+16178\ 8418584113486916450826125454106927695981965942209111502603482736131967454439014\ 400000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 48, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = / Pi (2 j - 1) 96 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 18014398509481984 (n + 1) n (1091896379637704151460409046970492858137150\ 339877903751038792946923712973340497746697400411320476857356464396907315\ 94 2 n + 5131912984297209511863922520761316433244606597426147629882326850\ 93 54145097470033940947778193320624122957538266546438144 n + 120421932825\ 801645957741151833126126805594992616745014923884077499837840582993902991\ 92 39572478797898149112699169701625856 n + 188035495218296533209711622702\ 098321615396515640542742639256852055648612185637753864654482187098315190\ 91 459377758664392704 n + 21972822206295519360046515293217606422975274244\ 529041821318852525152350756223665911350340693806249421181241976018991841\ 90 28 n + 204895609658658299183211690624805985216120836548303768450902867\ 89 91757545125031047874221887805266604732607996594295834411008 n + 158773\ 173586089666774358729586269603892526425309814573258111615311573357848321\ 88 050555220932892708083263369300510169483968512 n + 10513044700415933722\ 624537438855014697604771390874156338426730793669492659842109084222814439\ 87 33822448541211630564153080414208 n + 607046925671391583416989962422905\ 066395856086819980567151107290811450550111727011676146296621978206310205\ 86 5697736714235674624 n + 3104441511289192743739629466368205165904102825\ 828221417181247623208875118262832428192793552223966185887580485276273288\ 85 0986112 n + 1423302718094020295290947315683176995012559383307351006274\ 84 41160423975809823292262040080866141523691954952583912786270856675328 n + 590775377104761531308934509442916159743574314945247744706115879147693464\ 83 826109393729988829353463890245298790553727554396618752 n + 22380006400\ 315337704289190836446584416238563090911891273766887120698044845044241326\ 82 46843779893362767467407598967802331419115520 n + 778999878717785352945\ 386059017985757670107407245692666248560391079477320282366647380641286174\ 81 5523737996160383926709435641102336 n + 2505728939317993877398835669829\ 242024479640002125176631913996304888501698974337483948476893402904418152\ 80 3983184793363394932506624 n + 7484739353771253484024766353569224563886\ 181319678903395037322564466683499254205570604219654351414799133958205561\ 79 6745165570441216 n + 2085001956837232788897496954082427315805125579535\ 824147130216738010892581159569253298301126138490335508258161194244229090\ 78 67657216 n + 543665322628481147796784591217799794201949610053430540281\ 345584363585017240811601114049551484353891623288021720484613297243422720 77 n + 133127348769676177546842102440135041590205008881553161457367009449\ 76 4747771470021815134025629138236546937583324452406608394987765760 n + 3\ 070200727920116031994122223196466399126160485719848440553039784837428587\ 75 888130092597389681940831419870053851973064630990631075840 n + 66856949\ 780222907680614455431629819897417357572974417448047672929249806208282360\ 74 33188080928912637749619379032262408769199254011904 n + 137786353579400\ 522007465607023362901900588580181207564944024395207044196106521425283127\ 73 10654390533782053060809774243910449845239808 n + 269305115059734286591\ 200348052833724256239075637925948660900082198965817438858033506736406788\ 72 23122559898994774031867195444682555392 n + 500118921377382732076848327\ 363192115120974796039859489490371667785374668028595874747185837461054503\ 71 01470924693021008697951705366528 n + 883949563624682179467475729010605\ 451320584017148305011664014139332805356426102914974520227788033318573026\ 70 11494039366858577151000576 n + 148927647021479316234289532333907861608\ 229470884438419256122957161220404331874054629427012101796477955884513628\ 69 761535959921449762816 n + 23951106525965431722057124549007249205454349\ 196431738308953767176440283245187499581303134613018993000455445682213890\ 68 9608014537293824 n + 3681579820206324800282323549499255775637616163817\ 742575965223105807761279920148553590963618839123352482837296239093055237\ 67 54412015616 n + 541514391135335118238920780018248409112858080973988517\ 965832458482522913356596001185866645974285668853132173220453382439659851\ 66 481088 n + 76299072530572707124843470758822924297482309937071007217533\ 611889297917057281830880819371759910140994646385789694615332708100105830\ 65 4 n + 1030837022795547948357060401747412037672143693219407664776056790\ 64 834607558928127219006448420152300350819157322613179184398630405144576 n + 133664327373854309363704074835908928812715489693333875468689774969571\ 63 0612431661790934611003645212447335359974505757413234689687158784 n + 1\ 664782076601358715205237899768192401299971890585582728831498585927360263\ 62 894349683652694750996670932625614246802514909525964092787200 n + 19931\ 880034199538223630482370581603725696148250617751468671903744177856495174\ 61 47300062251010482193209607875830590869727611881602053632 n + 229558908\ 436628184559045743844777959137834246317283264547702140247705572315621251\ 60 3835922204290212534828983994709114749948122136754688 n + 2544933895480\ 943679091957430511652638681484487241876339367881960839685678202272907869\ 59 559953544825548470434532628344242840169372923392 n + 27174028982362268\ 545933418107357633652991381717014423278158760631950363846482039324243763\ 58 62308316264272704495204121436555267909568512 n + 279617455607213153271\ 079534484938654691687157695291693841800034439792877571770413529420884971\ 57 7089932536368034618275776873902368353280 n + 2774118601913133742671196\ 647518986803610213070594121675637386461242458557152903233126104847460563\ 56 460874925845550881660008563909300480 n + 26548227044417122171389793103\ 361938522137207425558366807900732527968016310476400616372841452090459697\ 55 42472301656650512764083947384320 n + 245175790742689280049316190643381\ 301095950697967302172601863611083797405204017049616542917422065704716676\ 54 6393964016100710097060662736 n + 2185830728965452484716273972329233499\ 909550872969128131532475079878401580405797752107330752095135284991347508\ 53 276753847560887312435952 n + 18819237052192582916086846044736763053718\ 126589780550347408206880639206033166511868610046573030147476990839425757\ 52 61725270768272191648 n + 156519617713332241693024734121320681081700631\ 310940757909665967829456659723538623027530749248999540254473610122120047\ 51 7223633407278832 n + 1257874373971614801541397009301522607740293385234\ 091871154837344610886190590776230438223810690095800785015143486391915275\ 50 752040756214 n + 97704414449743754209931561074574044206265643368851512\ 936110008382128090751843447947644510444117398486953069402946047793855645\ 49 9187094 n + 7336568046398255744823668364043016395826450158568180773943\ 719789684047648391467125014228558372121687381941500457550913634027853254\ 48 41 n + 532664916207051297051031887175113843782920263002085219738040188\ 47 294394433335933277647731111342318483117052816402327287648657430098144 n + 373994813618912262658723160051296605029083020699836203220801089211945\ 46 946262574594050314051501618462352451442041036698837944830675952 n + 25\ 397037380399432225442969349779618067337091466723524620237978820464896093\ 45 5286087209756970860010551120806076973589642056051488287556 n + 1668207\ 426504753914697383344724629541780838014538141263533191298917668584845038\ 44 08653982821832484606639945183954589042082263091206114 n + 105998099058\ 972594910043566249351644300711329141435973369078076170990475548145447223\ 43 593378165513499803114847861625640554508384006176 n + 65154846043661871\ 978961770288761027664512097919467646919751827932508192325252788304957485\ 42 136718346075751958394499797799692631608790 n + 38743927306951948279169\ 323168408513493862037855381880962491206723809027686896116476101982419254\ 41 758449199805072416152723790912078978 n + 22287661012866433401396946020\ 096770517965633506317031762457764955058517943428031070270034421163487360\ 40 872594227700169255009749498127 n + 12402602654547857248208800634045898\ 728459937633620678322146009576994743763480864614964617516863192299122114\ 39 673292967219307141061568 n + 66760549448929996365160867634952768519218\ 147659088785414805889458772514086200359781697378911618768002422939475163\ 38 06863205041126328 n + 347571699029057946864316215036522081794098694435\ 754989773117821556977105968496997937541159999246986423556737504267053413\ 37 9183786280 n + 1749976267820179115715846099200046391826206689173332970\ 926997088187723276764644169522435979087192975680670756283514364499875393\ 36 260 n + 85195309757203035194420043092481654579556919357207229841024602\ 35 7483408119750160538938693205960468082284902978392478200080504409840 n + 400971714496244095980012420667387954874506796601746341917390378180975020\ 34 129545072645262922348050297098455922907958836146795023458 n + 18240246\ 392889688095161757440121848134878435549359869127719495516867491236168243\ 33 0959501000957641392912579937523195071271754292346 n + 8017812881526274\ 209501718119879575998775843822094590481061102286763635996342082037666851\ 32 5444231771141477573157088512002466986479 n + 3404574800949729072982341\ 282432215903651511341428869605202712779813804643064243648858650081626238\ 31 7414121605709465240141979211936 n + 1396073594503695100144628053879987\ 854956103947835598628460181142467823415557671954120655491867041480745609\ 30 9474844957855460182832 n + 5526257113981521992475999057714373788821234\ 613262776554439699584875978996717830802078456929016479794957166469235162\ 29 098545955332 n + 21108189667340607971504869114951973197119373510100299\ 928299438319468668128355112415362376502928220120242274504092479215649240\ 28 98 n + 777619748492435565609871329422889416026976942414409351288375269\ 27 741469750617418565700444611368981231325398466898875065945532032 n + 27\ 615763893185418242082822907758676216392076125569673713104114547315940268\ 26 2174070565521744012722607136324020737410080904189586 n + 9448727728422\ 632935194261652443139413816770306684344801769465133932659651401308176407\ 25 3342457849818447421918206097527551359278 n + 3112739729298060299828800\ 213009900799995208542744575840612283769936762687251486990062627235986775\ 24 2267612782550318332593285857 n + 9866504309988611257596679735586143762\ 700388480557815461453433465720756832787506609449042112529285726758628021\ 23 980785567476288 n + 30067739365578197510008587401272478745538892886864\ 699621577137464943022156805697363795678462512064073771263418774928002172\ 22 40 n + 880208860718606596625659133885317050431904542201984954381544680\ 21 107497397837469598826469607915038916464293410635298899246304 n + 24729\ 147666318896225711936102491475507078078223272106919691776577210336962608\ 20 6027039720434866758082869300158323806023949936 n + 6660663421926001066\ 576882234040601773689664040272548866868494935660498342989077665906008458\ 19 1468204418858851213803888973824 n + 1717935615800500341576766985527283\ 190889933982610892339919397058733795063034843098256912363211840970033673\ 18 6674377956562944 n + 4237561992879301828510988344094509648992664263769\ 126349772269114853465525275864837418514656629977400886249198726242142720 17 n + 998200629745518246333931011181787978946996492915335280288022441470\ 16 494081306555752492602130521074254386335028350583648000 n + 22418609331\ 519170418981362894058998833578811930235628202095873800155012595013864316\ 15 8039170564672843845827722625884160000 n + 4791768217798435711636764215\ 496779855740249293411175178686943683424865755722551539071501477219224892\ 14 4532292083229440000 n + 9727051485461013945037412182784631414436975592\ 032852305776071217894645174253265900645132943724516082760683051238400000 13 n + 187085998062789242139131957022999834930586251174246704725356985852\ 12 7523177440470887111622586889766098767664567360000000 n + 3400170718778\ 971905107975395865830419855881307782714830696698005286743716929189665035\ 11 84466974822906524502118400000000 n + 582101251535834687108517024499593\ 698178897778661922832606246950769752665766913541733223328111169354552609\ 10 02400000000 n + 935282360933190885277518428204608493249189527660841622\ 9 2699218346724676983345365446876022798081233639182336000000000 n + 14042\ 642286615110007237360434042683908194367339937494126682644118791420582786\ 8 08442062340603695464886630400000000000 n + 1959989613416162994127236299\ 945038801300284199860628985437670250962393909945122983013639847483176058\ 7 88000000000000 n + 2526924530884307160137536209791455128314227829080282\ 6 6622086711330590254315354107467631148168371974144000000000000 n + 29854\ 634323619010505570143185932674658318617058796184357751090396613344397924\ 5 36623349621724288122880000000000000 n + 3199513311023454143649935839539\ 378719247615968528639295234559455600522089144614598393205186232320000000\ 4 00000000 n + 3068425859691781812997335884211210299661182043355799261214\ 3 9912141515951597438103132995196026880000000000000000 n + 25846655708721\ 225897520705895194095560541972554710106052098507543511709380732689386650\ 2 36349440000000000000000 n + 1853821477603066960506737554249568970461182\ 62283290826821910659813463148829954064275996672000000000000000000 n + 11\ 406083510180000827609783241844514538402566728598925742360933545532897303\ 705537950515200000000000000000000)/1668898033898668716399220046305846566\ 622738735651097054430268897705409762406748951542497307182324495545491456\ 9854736328125 and in Maple notation: 18014398509481984/1668898033898668716399220046305846566622738735651097054430268\ 8977054097624067489515424973071823244955454914569854736328125*(n+1)*n*(10918963\ 7963770415146040904697049285813715033987790375103879294692371297334049774669740\ 04113204768573564643969073152*n^94+51319129842972095118639225207613164332446065\ 9742614762988232685054145097470033940947778193320624122957538266546438144*n^93+ 1204219328258016459577411518331261268055949926167450149238840774998378405829939\ 0299139572478797898149112699169701625856*n^92+188035495218296533209711622702098\ 3216153965156405427426392568520556486121856377538646544821870983151904593777586\ 64392704*n^91+21972822206295519360046515293217606422975274244529041821318852525\ 15235075622366591135034069380624942118124197601899184128*n^90+20489560965865829\ 9183211690624805985216120836548303768450902867917575451250310478742218878052666\ 04732607996594295834411008*n^89+15877317358608966677435872958626960389252642530\ 9814573258111615311573357848321050555220932892708083263369300510169483968512*n^ 88+1051304470041593372262453743885501469760477139087415633842673079366949265984\ 210908422281443933822448541211630564153080414208*n^87+6070469256713915834169899\ 6242290506639585608681998056715110729081145055011172701167614629662197820631020\ 55697736714235674624*n^86+31044415112891927437396294663682051659041028258282214\ 171812476232088751182628324281927935522239661858875804852762732880986112*n^85+ 1423302718094020295290947315683176995012559383307351006274411604239758098232922\ 62040080866141523691954952583912786270856675328*n^84+59077537710476153130893450\ 9442916159743574314945247744706115879147693464826109393729988829353463890245298\ 790553727554396618752*n^83+2238000640031533770428919083644658441623856309091189\ 127376688712069804484504424132646843779893362767467407598967802331419115520*n^ 82+7789998787177853529453860590179857576701074072456926662485603910794773202823\ 666473806412861745523737996160383926709435641102336*n^81+2505728939317993877398\ 8356698292420244796400021251766319139963048885016989743374839484768934029044181\ 523983184793363394932506624*n^80+7484739353771253484024766353569224563886181319\ 6789033950373225644666834992542055706042196543514147991339582055616745165570441\ 216*n^79+2085001956837232788897496954082427315805125579535824147130216738010892\ 58115956925329830112613849033550825816119424422909067657216*n^78+54366532262848\ 1147796784591217799794201949610053430540281345584363585017240811601114049551484\ 353891623288021720484613297243422720*n^77+1331273487696761775468421024401350415\ 9020500888155316145736700944947477714700218151340256291382365469375833244524066\ 08394987765760*n^76+30702007279201160319941222231964663991261604857198484405530\ 39784837428587888130092597389681940831419870053851973064630990631075840*n^75+66\ 8569497802229076806144554316298198974173575729744174480476729292498062082823603\ 3188080928912637749619379032262408769199254011904*n^74+137786353579400522007465\ 6070233629019005885801812075649440243952070441961065214252831271065439053378205\ 3060809774243910449845239808*n^73+269305115059734286591200348052833724256239075\ 6379259486609000821989658174388580335067364067882312255989899477403186719544468\ 2555392*n^72+500118921377382732076848327363192115120974796039859489490371667785\ 37466802859587474718583746105450301470924693021008697951705366528*n^71+88394956\ 3624682179467475729010605451320584017148305011664014139332805356426102914974520\ 22778803331857302611494039366858577151000576*n^70+14892764702147931623428953233\ 3907861608229470884438419256122957161220404331874054629427012101796477955884513\ 628761535959921449762816*n^69+2395110652596543172205712454900724920545434919643\ 1738308953767176440283245187499581303134613018993000455445682213890960801453729\ 3824*n^68+368157982020632480028232354949925577563761616381774257596522310580776\ 127992014855359096361883912335248283729623909305523754412015616*n^67+5415143911\ 3533511823892078001824840911285808097398851796583245848252291335659600118586664\ 5974285668853132173220453382439659851481088*n^66+762990725305727071248434707588\ 2292429748230993707100721753361188929791705728183088081937175991014099464638578\ 96946153327081001058304*n^65+10308370227955479483570604017474120376721436932194\ 0766477605679083460755892812721900644842015230035081915732261317918439863040514\ 4576*n^64+133664327373854309363704074835908928812715489693333875468689774969571\ 0612431661790934611003645212447335359974505757413234689687158784*n^63+166478207\ 6601358715205237899768192401299971890585582728831498585927360263894349683652694\ 750996670932625614246802514909525964092787200*n^62+1993188003419953822363048237\ 0581603725696148250617751468671903744177856495174473000622510104821932096078758\ 30590869727611881602053632*n^61+22955890843662818455904574384477795913783424631\ 7283264547702140247705572315621251383592220429021253482898399470911474994812213\ 6754688*n^60+254493389548094367909195743051165263868148448724187633936788196083\ 9685678202272907869559953544825548470434532628344242840169372923392*n^59+271740\ 2898236226854593341810735763365299138171701442327815876063195036384648203932424\ 376362308316264272704495204121436555267909568512*n^58+2796174556072131532710795\ 3448493865469168715769529169384180003443979287757177041352942088497170899325363\ 68034618275776873902368353280*n^57+27741186019131337426711966475189868036102130\ 7059412167563738646124245855715290323312610484746056346087492584555088166000856\ 3909300480*n^56+265482270444171221713897931033619385221372074255583668079007325\ 2796801631047640061637284145209045969742472301656650512764083947384320*n^55+245\ 1757907426892800493161906433813010959506979673021726018636110837974052040170496\ 165429174220657047166766393964016100710097060662736*n^54+2185830728965452484716\ 2739723292334999095508729691281315324750798784015804057977521073307520951352849\ 91347508276753847560887312435952*n^53+18819237052192582916086846044736763053718\ 1265897805503474082068806392060331665118686100465730301474769908394257576172527\ 0768272191648*n^52+156519617713332241693024734121320681081700631310940757909665\ 9678294566597235386230275307492489995402544736101221200477223633407278832*n^51+ 1257874373971614801541397009301522607740293385234091871154837344610886190590776\ 230438223810690095800785015143486391915275752040756214*n^50+9770441444974375420\ 9931561074574044206265643368851512936110008382128090751843447947644510444117398\ 4869530694029460477938556459187094*n^49+733656804639825574482366836404301639582\ 6450158568180773943719789684047648391467125014228558372121687381941500457550913\ 63402785325441*n^48+53266491620705129705103188717511384378292026300208521973804\ 0188294394433335933277647731111342318483117052816402327287648657430098144*n^47+ 3739948136189122626587231600512966050290830206998362032208010892119459462625745\ 94050314051501618462352451442041036698837944830675952*n^46+25397037380399432225\ 4429693497796180673370914667235246202379788204648960935286087209756970860010551\ 120806076973589642056051488287556*n^45+1668207426504753914697383344724629541780\ 8380145381412635331912989176685848450380865398282183248460663994518395458904208\ 2263091206114*n^44+105998099058972594910043566249351644300711329141435973369078\ 076170990475548145447223593378165513499803114847861625640554508384006176*n^43+ 6515484604366187197896177028876102766451209791946764691975182793250819232525278\ 8304957485136718346075751958394499797799692631608790*n^42+387439273069519482791\ 6932316840851349386203785538188096249120672380902768689611647610198241925475844\ 9199805072416152723790912078978*n^41+222876610128664334013969460200967705179656\ 3350631703176245776495505851794342803107027003442116348736087259422770016925500\ 9749498127*n^40+124026026545478572482088006340458987284599376336206783221460095\ 76994743763480864614964617516863192299122114673292967219307141061568*n^39+66760\ 5494489299963651608676349527685192181476590887854148058894587725140862003597816\ 9737891161876800242293947516306863205041126328*n^38+347571699029057946864316215\ 0365220817940986944357549897731178215569771059684969979375411599992469864235567\ 375042670534139183786280*n^37+1749976267820179115715846099200046391826206689173\ 3329709269970881877232767646441695224359790871929756806707562835143644998753932\ 60*n^36+85195309757203035194420043092481654579556919357207229841024602748340811\ 9750160538938693205960468082284902978392478200080504409840*n^35+400971714496244\ 0959800124206673879548745067966017463419173903781809750201295450726452629223480\ 50297098455922907958836146795023458*n^34+18240246392889688095161757440121848134\ 8784355493598691277194955168674912361682430959501000957641392912579937523195071\ 271754292346*n^33+8017812881526274209501718119879575998775843822094590481061102\ 2867636359963420820376668515444231771141477573157088512002466986479*n^32+340457\ 4800949729072982341282432215903651511341428869605202712779813804643064243648858\ 6500816262387414121605709465240141979211936*n^31+139607359450369510014462805387\ 9987854956103947835598628460181142467823415557671954120655491867041480745609947\ 4844957855460182832*n^30+552625711398152199247599905771437378882123461326277655\ 4439699584875978996717830802078456929016479794957166469235162098545955332*n^29+ 2110818966734060797150486911495197319711937351010029992829943831946866812835511\ 241536237650292822012024227450409247921564924098*n^28+7776197484924355656098713\ 2942288941602697694241440935128837526974146975061741856570044461136898123132539\ 8466898875065945532032*n^27+276157638931854182420828229077586762163920761255696\ 737131041145473159402682174070565521744012722607136324020737410080904189586*n^ 26+9448727728422632935194261652443139413816770306684344801769465133932659651401\ 3081764073342457849818447421918206097527551359278*n^25+311273972929806029982880\ 0213009900799995208542744575840612283769936762687251486990062627235986775226761\ 2782550318332593285857*n^24+986650430998861125759667973558614376270038848055781\ 5461453433465720756832787506609449042112529285726758628021980785567476288*n^23+ 3006773936557819751000858740127247874553889288686469962157713746494302215680569\ 736379567846251206407377126341877492800217240*n^22+8802088607186065966256591338\ 8531705043190454220198495438154468010749739783746959882646960791503891646429341\ 0635298899246304*n^21+247291476663188962257119361024914755070780782232721069196\ 917765772103369626086027039720434866758082869300158323806023949936*n^20+6660663\ 4219260010665768822340406017736896640402725488668684949356604983429890776659060\ 084581468204418858851213803888973824*n^19+1717935615800500341576766985527283190\ 8899339826108923399193970587337950630348430982569123632118409700336736674377956\ 562944*n^18+4237561992879301828510988344094509648992664263769126349772269114853\ 465525275864837418514656629977400886249198726242142720*n^17+9982006297455182463\ 3393101118178797894699649291533528028802244147049408130655575249260213052107425\ 4386335028350583648000*n^16+224186093315191704189813628940589988335788119302356\ 282020958738001550125950138643168039170564672843845827722625884160000*n^15+4791\ 7682177984357116367642154967798557402492934111751786869436834248657557225515390\ 715014772192248924532292083229440000*n^14+9727051485461013945037412182784631414\ 4369755920328523057760712178946451742532659006451329437245160827606830512384000\ 00*n^13+18708599806278924213913195702299983493058625117424670472535698585275231\ 77440470887111622586889766098767664567360000000*n^12+34001707187789719051079753\ 9586583041985588130778271483069669800528674371692918966503584466974822906524502\ 118400000000*n^11+5821012515358346871085170244995936981788977786619228326062469\ 5076975266576691354173322332811116935455260902400000000*n^10+935282360933190885\ 2775184282046084932491895276608416222699218346724676983345365446876022798081233\ 639182336000000000*n^9+14042642286615110007237360434042683908194367339937494126\ 68264411879142058278608442062340603695464886630400000000000*n^8+195998961341616\ 2994127236299945038801300284199860628985437670250962393909945122983013639847483\ 17605888000000000000*n^7+252692453088430716013753620979145512831422782908028266\ 22086711330590254315354107467631148168371974144000000000000*n^6+298546343236190\ 1050557014318593267465831861705879618435775109039661334439792436623349621724288\ 122880000000000000*n^5+31995133110234541436499358395393787192476159685286392952\ 3455945560052208914461459839320518623232000000000000000*n^4+3068425859691781812\ 9973358842112102996611820433557992612149912141515951597438103132995196026880000\ 000000000000*n^3+25846655708721225897520705895194095560541972554710106052098507\ 54351170938073268938665036349440000000000000000*n^2+185382147760306696050673755\ 4249568970461182622832908268219106598134631488299540642759966720000000000000000\ 00*n+11406083510180000827609783241844514538402566728598925742360933545532897303\ 705537950515200000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 49, : for n>=1, we have :, ) ------------------- = / Pi (2 j - 1) 98 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 2251799813685248 (n + 1) n (41208294371207161220689838277963387252392634\ 642379833071244693254791618311420618058910497292296621923403557160402026\ 96 496 n + 19779981298179437385931122373422425881148464628342319874197452\ 95 76229997678948189666827703870030237852323370743699297271808 n + 474029\ 403361624062084428940324678125189187716962087787817817521139144154005803\ 94 50604876914069941721268402128074428448243712 n + 755977920860113292993\ 774996237134995733717360296004965438881906292820917743332001364931998006\ 93 425564510924957728576681017344 n + 90229239986098180487234898376717635\ 716167731011435637855421966259574054153288450594697429333165041349776611\ 92 10356015591718912 n + 859437815691663756460326101368141950089003808456\ 725628566913447877802667817016381917784109178248814985097600242408547596\ 91 36992 n + 680318950138792917289702071034498986545010670037773914500343\ 90 721676917855172667249051325719503738177457947522379599804553494528 n + 460209562879649903827582966486469827206663272025340429114383240659533906\ 89 7793329434535699806278913052882008796366303357470507008 n + 2715085980\ 294274056573290442751991161767541264316615127063157668141704184941874520\ 88 1876447656925610832435040092659041754884866048 n + 1418814852619394671\ 971497105622699967128338995896780082547883083874861940307526326095182947\ 87 93159012137988621715852191656623210496 n + 664769647625753872050604191\ 324024252070724801728743835306681014760697107940177696654187520376599562\ 86 468124852606980653425333633024 n + 28202170456335770530798115069965418\ 110059926274799224253158781879366033369345387861755980593654332870660685\ 85 98067631666796588695552 n + 109210625283609127385848003918589487885784\ 269287743228237796025298906428866647773999533269354615631205583807291895\ 84 89992501122433024 n + 388640912612880266107904726277645562284188493010\ 097252751687049202043391796743848799947944938070700267367040213056732526\ 83 07979683840 n + 127825374626265448609894367686672064688722447653306571\ 677203513146623925816463419726293190479141154414404262081114785817230709\ 82 882880 n + 39048144059273927784534038964120556548426899309826748766485\ 286236261044962238234413390049317098840951411530430215334663922736798105\ 81 6 n + 1112610597216227662164500595850306173008885677667097972211632408\ 80 615322434606066336292916180603828987226300884765796308095097792102400 n + 296795302935245742653695423945318554914627808616010538289719242003946\ 79 6659782010369252081049754564459207962068154364890960349913677824 n + 7\ 436359156822409677573924967938119715477122895678351087555609112464422034\ 78 723060523570572048794637008866879296426329430002555049476096 n + 17551\ 324796433324317664365923649525213717162655132560870790921857338874636165\ 77 752448897445494147914711694073426283599425946377162588160 n + 39122400\ 617436693114757540071580774593703642561048213041153308715708166624343214\ 76 838150814288316531377125985683838288262940287955894272 n + 82548670834\ 007149823551664418094108010328420151250792010139838133628953357648246533\ 75 325759346792056995574416271188227997062547285999616 n + 16522127963599\ 648729025973531677775352809807898937725079020365273946063282678027750918\ 74 4843303134714454832478427942162963450714677837824 n + 3142738131700188\ 907152855227761248035419681220909576117213805544931172643476261015375636\ 73 03503699916093590308954056834364287118378795008 n + 569082821010392484\ 346916867270966852305067386342567886833345484041463148737180468083718661\ 72 937703142132716021131143824222874260182401024 n + 98251578399561505907\ 528152777614877207133755140318905039214621090873817774455306576665466043\ 71 8110732437767831714326098068796130526756864 n + 1619618790414787099803\ 257808734284708264966793919176496240343365530587412545102944691300616750\ 70 236440036099125469593532500752949707800576 n + 25524368441588601244606\ 522300602226188374004009297194455530528572782070926532458306820394340778\ 69 23270409548324275308877184628108889686016 n + 385015957801906941768326\ 694316212787123294884667111652866082378949928258311349031802643128619214\ 68 0600458939028157631602225435969287356416 n + 5564860187635526928000075\ 692111924733278027990898110679494131749886663555634519687691801682717695\ 67 112811513778628271282876461636493770752 n + 77146045044924175734736752\ 008685190806084582382622639917503885295658570074257400139942337126238496\ 66 62333925657804093127804699052697714688 n + 102672564757469687184598381\ 238569894943660084184780745579716690222879534134040723508495292698014148\ 65 03007661711397452575986249850456899584 n + 131293256285190971851569243\ 804416732660240262468593105824108530981966082917942730999916134228252597\ 64 79921146621470147781232754410188505088 n + 161441357568394087990018797\ 299466129943554874858038410763195929564793447159425952725577323210538651\ 63 44128406765467334875420309687180984320 n + 191021479797697606760149303\ 102151379520759733644427945343684631164818291032085322675707525680562339\ 62 85702855601750245903500223728715755520 n + 217636081907497233896421071\ 694401969744872100078598381928346813044444492316753909732605505999252152\ 61 81471970945182493561903361511403753472 n + 238904640949075226072284627\ 589812970987295248349989350307671352547757266446032697604895497194552250\ 60 02821912357060561454988318895793909760 n + 252816850098597967121405051\ 139468801843173162036943713555414920910815034117880941055073566865126962\ 59 01071247913570861950671050126566330368 n + 258046750183664309328050474\ 586097711612700477003209175301065143637969984664083604563314514069656373\ 58 05456972119498301978515712398424399872 n + 254159667763163971277856882\ 140545915015346647292808461595417000329675858448906943782964716315084491\ 57 23814502408773476070354209948996239360 n + 241667617508538499270543984\ 773519696700167401334523473788811698543660688600494976783765700762367020\ 56 69735420640776638756673013272568851968 n + 221924566627599316647268207\ 332366405351928010112879011532070126069855719434304043340647281242575065\ 55 13125270945784790654171230316982073344 n + 196889946347814344731261591\ 474698832937976165357238635320941540910664897907963776507369531445867994\ 54 64034309528571802598045307712886521216 n + 168816340143490808695718016\ 776078945485265895491574651178914327650068719240364657182799326755302928\ 53 24292392026088883986431075470094925952 n + 139928375521423943446424483\ 484733829861067058544618296588921320615184614559834080285722442299802452\ 52 58531494959162765029152358147527361216 n + 112153205847464362822722546\ 418486041692752837820101348111590843600909360943744176778798024636192311\ 51 11855545271968645424477042527891447296 n + 869427791183336488258435934\ 623792009583087145268073756370311636179679031222129059396634188926763713\ 50 8687453797765704911528440502380913264 n + 6520188508165490433786793223\ 701556155255732413012482501729204696568636103877771315103181779506931160\ 49 656596790966478648798346359021696944 n + 47311680490306758768621871645\ 623412501194337800611658899174270254125430984667396626659204544513076138\ 48 20433639406179344428574389917842899 n + 332217998385614393636231463096\ 875377350631228349748178581770377696251009586887151755801008719252926807\ 47 4134250889701991048038080088288008 n + 2257760632707344203249112064570\ 265860652772288002920905928865460412179194689155589541500212771865904932\ 46 649204710321961216891068592373052 n + 14851645795959393026464796093638\ 251204718058435325500683440651292924858641142602939423214822135299789247\ 45 48667633107266725728876748917176 n + 945679388152621227869577101998327\ 216262602038502788724333737174282581416223950232789447086673760035708360\ 44 346464762273096323612442519502 n + 58291522515078426949870127555851144\ 582954339837876384149032556438833973600497741035938867425570067692466222\ 43 8803364754768864669271356840 n + 3478301892807999744009132789277986653\ 669545385531513233216675220499180803555597680734142104619282809989942701\ 42 99170511969131781750720820 n + 200921560752946559449509732723930447887\ 125100200543123091448269439955014373215109421300016210981686821151697698\ 41 413313850152384715624888 n + 11234890211071073705033869919899780390099\ 406261551183718881318259101407135354991579071339542224279767257131102672\ 40 6164705011277861382405 n + 6080905140519192212152436946540467817253628\ 685178350934745951916573152559727055840569915865111313974981599395570180\ 39 0100617770157133792 n + 3185569272213180359298387223651576108334411499\ 635130156931325728085468395266397316193210280346642022727136902919966890\ 38 6535857309723968 n + 1615011337822494524376021735197540819748653145421\ 442276464852352631729982445359189027493075686769310235460410910048341796\ 37 0413569570800 n + 7922671475658250623394465083720074626308070945598446\ 400194744356995754015235268447361025202234432443101974350103097392103565\ 36 169051764 n + 37601075936620170750393135126442129808381768665233356059\ 517340013758666249866063992253777655132941299347279653123577160188860409\ 35 29232 n + 172612834133205770394251297053167669982843083303547790158658\ 805537871485474622205781249607428356365829875177783258708075916659051224\ 34 8 n + 7662804388376192429559153072263149295357941844362616254292716754\ 33 79388369513264217913926301438492082357635544473966423780190650161696 n + 328872238978862114295596620688008760752043277588533116619353924869532710\ 32 557548413007395366546629515234111143974052734998312750136973 n + 13641\ 401200323431437981128075771018411456012622246325094870366884418086970454\ 31 9657710386369425921444459520372138341373007171549803848 n + 5466811022\ 584707034034266436720340492324410437264701792688088718257971054961809437\ 30 6841884270159900538079089526562472688609160759132 n + 2115855157792270\ 868286006302601166674860210781961160570282076817744703836000303112057318\ 29 7873956470994037303808288549904506744795032 n + 7905498973522025813304\ 487247195373640069420635603970829824150267410220143048939410890586837671\ 28 897617502366662493163431409058965262 n + 28500899233499218345035532822\ 992888326431076901148277829875622981291399256143827326600931041276941557\ 27 77042109765760030031935540744 n + 990937585916155519863348046062333202\ 843120307759348404721718826709442119984340504686092989313598936755380649\ 26 339960577425480219236 n + 33207884670685963304319409899277179411709962\ 661763874312559615269492070199240251366519471242453499096694739015795580\ 25 3548168797688 n + 1071928822688102184747375438455093674841764791131978\ 436408587758829145498939887399702221539839558998999558292406169104197709\ 24 58011 n + 333053900083197189846818768348464873416974855374705057130369\ 23 39953193135263980668557003964363675638631009512699594779087171090000 n + 995289205381706229961637467170827982323698889226899065412002046570677890\ 22 6981783361433745172295344859734925641421878682758538280 n + 2858231689\ 398748285032517720692921549565491790049557463576919132629775945885254146\ 21 110912259801448136866654480998275175638715584 n + 78803727455493520663\ 242437569461219123983667720936978066147371572871793818253563550385875657\ 20 3970958365698030395613493523428560 n + 2083727147225876321163260696261\ 924737839329144459255719931338319393204176229264168336779334871530907923\ 19 12928652531853020118016 n + 527804555716654185376710520005708327173455\ 203822400162865799987587867619461344624648997718751441230147633784931859\ 18 86950040064 n + 127902748991491064666139367733841986065703519125477531\ 17 37276063155402604730459599617304415855468455767193928590343851529031680 n + 296095393355662889887600245711086403518625008283354324864343648244450\ 16 0101817786739144703966272247490486738509874167488288000 n + 6537668669\ 773433647587086152669858858933960880367306667657623792758147244816285943\ 15 99514752894355177942270858472572944896000 n + 137422908943032713539420\ 068698329572766553606483105039368796147979015062901697636817508975515607\ 14 747185153410619811421440000 n + 27443583467771928973273979579308809647\ 167080507158300585069927802529717941905032250392879148564170642164771767\ 13 405721600000 n + 51944924190058614464391173360639027203990200336318933\ 12 68799728519637261393842402503049582782495068730164138193878720000000 n + 929372537392830455753658595898269437235927121921704762763662563938069714\ 11 000498729443727108011486202145697066936320000000 n + 15668211491455685\ 780952192620929560351597645960904435385478701424329514921736292300654544\ 10 9917259164663541125606400000000 n + 2479931961296184691703147794038271\ 645672688871963472096004410260124357377235607065059739802822987104084117\ 9 0944000000000 n + 36691601153165794717777851243005184537571250850614435\ 8 97241359218370515665181408176622569982380306840996915200000000000 n + 5\ 048216844428695998449930840095983464482339237497572630882272761266780263\ 7 07652356655639643117059752651980800000000000 n + 6417858606007528296618\ 830089870627300579878084580639935304604580617313684637700460738460266690\ 6 4309469184000000000000 n + 74795097968326180832707481895597121644561118\ 5 46498071046438034468470430035837714425998670469842253905920000000000000 n + 790974667707648918192315411239225357298825660576940855427653248921589\ 4 407787501180759300595256066048000000000000000 n + 748809944086579729559\ 798627173990063588921829886714251426699843945608809663665442275477927535\ 3 57504000000000000000 n + 6228782203894113498282033069948326599095006362\ 2 967178862000965920829721746926832585826300004925440000000000000000 n + 441387615206856913224427889052443793134134236404064072058591850728746308\ 248904485253318443008000000000000000000 n + 2682710841594336194653821018\ 481829819432283694566467334603291569909337445831542525961175040000000000\ 0000000000)/485649327864512596472173033475001350887216972074469242839208\ 2492322742408603639448988667163900564282037380139827728271484375 and in Maple notation: 2251799813685248/48564932786451259647217303347500135088721697207446924283920824\ 92322742408603639448988667163900564282037380139827728271484375*(n+1)*n*(4120829\ 4371207161220689838277963387252392634642379833071244693254791618311420618058910\ 497292296621923403557160402026496*n^96+1977998129817943738593112237342242588114\ 8464628342319874197452762299976789481896668277038700302378523233707436992972718\ 08*n^95+47402940336162406208442894032467812518918771696208778781781752113914415\ 400580350604876914069941721268402128074428448243712*n^94+7559779208601132929937\ 7499623713499573371736029600496543888190629282091774333200136493199800642556451\ 0924957728576681017344*n^93+902292399860981804872348983767176357161677310114356\ 3785542196625957405415328845059469742933316504134977661110356015591718912*n^92+ 8594378156916637564603261013681419500890038084567256285669134478778026678170163\ 8191778410917824881498509760024240854759636992*n^91+680318950138792917289702071\ 0344989865450106700377739145003437216769178551726672490513257195037381774579475\ 22379599804553494528*n^90+46020956287964990382758296648646982720666327202534042\ 91143832406595339067793329434535699806278913052882008796366303357470507008*n^89 +271508598029427405657329044275199116176754126431661512706315766814170418494187\ 45201876447656925610832435040092659041754884866048*n^88+14188148526193946719714\ 9710562269996712833899589678008254788308387486194030752632609518294793159012137\ 988621715852191656623210496*n^87+6647696476257538720506041913240242520707248017\ 2874383530668101476069710794017769665418752037659956246812485260698065342533363\ 3024*n^86+282021704563357705307981150699654181100599262747992242531587818793660\ 3336934538786175598059365433287066068598067631666796588695552*n^85+109210625283\ 6091273858480039185894878857842692877432282377960252989064288666477739995332693\ 5461563120558380729189589992501122433024*n^84+388640912612880266107904726277645\ 5622841884930100972527516870492020433917967438487999479449380707002673670402130\ 5673252607979683840*n^83+127825374626265448609894367686672064688722447653306571\ 677203513146623925816463419726293190479141154414404262081114785817230709882880* n^82+39048144059273927784534038964120556548426899309826748766485286236261044962\ 2382344133900493170988409514115304302153346639227367981056*n^81+111261059721622\ 7662164500595850306173008885677667097972211632408615322434606066336292916180603\ 828987226300884765796308095097792102400*n^80+2967953029352457426536954239453185\ 5491462780861601053828971924200394666597820103692520810497545644592079620681543\ 64890960349913677824*n^79+74363591568224096775739249679381197154771228956783510\ 8755560911246442203472306052357057204879463700886687929642632943000255504947609\ 6*n^78+175513247964333243176643659236495252137171626551325608707909218573388746\ 36165752448897445494147914711694073426283599425946377162588160*n^77+39122400617\ 4366931147575400715807745937036425610482130411533087157081666243432148381508142\ 88316531377125985683838288262940287955894272*n^76+82548670834007149823551664418\ 0941080103284201512507920101398381336289533576482465333257593467920569955744162\ 71188227997062547285999616*n^75+16522127963599648729025973531677775352809807898\ 9377250790203652739460632826780277509184843303134714454832478427942162963450714\ 677837824*n^74+3142738131700188907152855227761248035419681220909576117213805544\ 93117264347626101537563603503699916093590308954056834364287118378795008*n^73+56\ 9082821010392484346916867270966852305067386342567886833345484041463148737180468\ 083718661937703142132716021131143824222874260182401024*n^72+9825157839956150590\ 7528152777614877207133755140318905039214621090873817774455306576665466043811073\ 2437767831714326098068796130526756864*n^71+161961879041478709980325780873428470\ 8264966793919176496240343365530587412545102944691300616750236440036099125469593\ 532500752949707800576*n^70+2552436844158860124460652230060222618837400400929719\ 4455530528572782070926532458306820394340778232704095483242753088771846281088896\ 86016*n^69+38501595780190694176832669431621278712329488466711165286608237894992\ 82583113490318026431286192140600458939028157631602225435969287356416*n^68+55648\ 6018763552692800007569211192473327802799089811067949413174988666355563451968769\ 1801682717695112811513778628271282876461636493770752*n^67+771460450449241757347\ 3675200868519080608458238262263991750388529565857007425740013994233712623849662\ 333925657804093127804699052697714688*n^66+1026725647574696871845983812385698949\ 4366008418478074557971669022287953413404072350849529269801414803007661711397452\ 575986249850456899584*n^65+1312932562851909718515692438044167326602402624685931\ 0582410853098196608291794273099991613422825259779921146621470147781232754410188\ 505088*n^64+1614413575683940879900187972994661299435548748580384107631959295647\ 9344715942595272557732321053865144128406765467334875420309687180984320*n^63+191\ 0214797976976067601493031021513795207597336444279453436846311648182910320853226\ 7570752568056233985702855601750245903500223728715755520*n^62+217636081907497233\ 8964210716944019697448721000785983819283468130444444923167539097326055059992521\ 5281471970945182493561903361511403753472*n^61+238904640949075226072284627589812\ 9709872952483499893503076713525477572664460326976048954971945522500282191235706\ 0561454988318895793909760*n^60+252816850098597967121405051139468801843173162036\ 9437135554149209108150341178809410550735668651269620107124791357086195067105012\ 6566330368*n^59+258046750183664309328050474586097711612700477003209175301065143\ 63796998466408360456331451406965637305456972119498301978515712398424399872*n^58 +254159667763163971277856882140545915015346647292808461595417000329675858448906\ 94378296471631508449123814502408773476070354209948996239360*n^57+24166761750853\ 8499270543984773519696700167401334523473788811698543660688600494976783765700762\ 36702069735420640776638756673013272568851968*n^56+22192456662759931664726820733\ 2366405351928010112879011532070126069855719434304043340647281242575065131252709\ 45784790654171230316982073344*n^55+19688994634781434473126159147469883293797616\ 5357238635320941540910664897907963776507369531445867994640343095285718025980453\ 07712886521216*n^54+16881634014349080869571801677607894548526589549157465117891\ 432765006871924036465718279932675530292824292392026088883986431075470094925952* n^53+13992837552142394344642448348473382986106705854461829658892132061518461455\ 983408028572244229980245258531494959162765029152358147527361216*n^52+1121532058\ 4746436282272254641848604169275283782010134811159084360090936094374417677879802\ 463619231111855545271968645424477042527891447296*n^51+8694277911833364882584359\ 3462379200958308714526807375637031163617967903122212905939663418892676371386874\ 53797765704911528440502380913264*n^50+65201885081654904337867932237015561552557\ 3241301248250172920469656863610387777131510318177950693116065659679096647864879\ 8346359021696944*n^49+473116804903067587686218716456234125011943378006116588991\ 7427025412543098466739662665920454451307613820433639406179344428574389917842899 *n^48+3322179983856143936362314630968753773506312283497481785817703776962510095\ 868871517558010087192529268074134250889701991048038080088288008*n^47+2257760632\ 7073442032491120645702658606527722880029209059288654604121791946891555895415002\ 12771865904932649204710321961216891068592373052*n^46+14851645795959393026464796\ 0936382512047180584353255006834406512929248586411426029394232148221352997892474\ 8667633107266725728876748917176*n^45+945679388152621227869577101998327216262602\ 0385027887243337371742825814162239502327894470866737600357083603464647622730963\ 23612442519502*n^44+58291522515078426949870127555851144582954339837876384149032\ 5564388339736004977410359388674255700676924662228803364754768864669271356840*n^ 43+3478301892807999744009132789277986653669545385531513233216675220499180803555\ 59768073414210461928280998994270199170511969131781750720820*n^42+20092156075294\ 6559449509732723930447887125100200543123091448269439955014373215109421300016210\ 981686821151697698413313850152384715624888*n^41+1123489021107107370503386991989\ 9780390099406261551183718881318259101407135354991579071339542224279767257131102\ 6726164705011277861382405*n^40+608090514051919221215243694654046781725362868517\ 8350934745951916573152559727055840569915865111313974981599395570180010061777015\ 7133792*n^39+318556927221318035929838722365157610833441149963513015693132572808\ 54683952663973161932102803466420227271369029199668906535857309723968*n^38+16150\ 1133782249452437602173519754081974865314542144227646485235263172998244535918902\ 74930756867693102354604109100483417960413569570800*n^37+79226714756582506233944\ 6508372007462630807094559844640019474435699575401523526844736102520223443244310\ 1974350103097392103565169051764*n^36+376010759366201707503931351264421298083817\ 6866523335605951734001375866624986606399225377765513294129934727965312357716018\ 886040929232*n^35+1726128341332057703942512970531676699828430833035477901586588\ 055378714854746222057812496074283563658298751777832587080759166590512248*n^34+ 7662804388376192429559153072263149295357941844362616254292716754793883695132642\ 17913926301438492082357635544473966423780190650161696*n^33+32887223897886211429\ 5596620688008760752043277588533116619353924869532710557548413007395366546629515\ 234111143974052734998312750136973*n^32+1364140120032343143798112807577101841145\ 6012622246325094870366884418086970454965771038636942592144445952037213834137300\ 7171549803848*n^31+546681102258470703403426643672034049232441043726470179268808\ 87182579710549618094376841884270159900538079089526562472688609160759132*n^30+21\ 1585515779227086828600630260116667486021078196116057028207681774470383600030311\ 20573187873956470994037303808288549904506744795032*n^29+79054989735220258133044\ 8724719537364006942063560397082982415026741022014304893941089058683767189761750\ 2366662493163431409058965262*n^28+285008992334992183450355328229928883264310769\ 0114827782987562298129139925614382732660093104127694155777042109765760030031935\ 540744*n^27+9909375859161555198633480460623332028431203077593484047217188267094\ 42119984340504686092989313598936755380649339960577425480219236*n^26+33207884670\ 6859633043194098992771794117099626617638743125596152694920701992402513665194712\ 424534990966947390157955803548168797688*n^25+1071928822688102184747375438455093\ 6748417647911319784364085877588291454989398873997022215398395589989995582924061\ 6910419770958011*n^24+333053900083197189846818768348464873416974855374705057130\ 36939953193135263980668557003964363675638631009512699594779087171090000*n^23+99\ 5289205381706229961637467170827982323698889226899065412002046570677890698178336\ 1433745172295344859734925641421878682758538280*n^22+285823168939874828503251772\ 0692921549565491790049557463576919132629775945885254146110912259801448136866654\ 480998275175638715584*n^21+7880372745549352066324243756946121912398366772093697\ 80661473715728717938182535635503858756573970958365698030395613493523428560*n^20 +208372714722587632116326069626192473783932914445925571993133831939320417622926\ 416833677933487153090792312928652531853020118016*n^19+5278045557166541853767105\ 2000570832717345520382240016286579998758786761946134462464899771875144123014763\ 378493185986950040064*n^18+1279027489914910646661393677338419860657035191254775\ 3137276063155402604730459599617304415855468455767193928590343851529031680*n^17+ 2960953933556628898876002457110864035186250082833543248643436482444500101817786\ 739144703966272247490486738509874167488288000*n^16+6537668669773433647587086152\ 6698588589339608803673066676576237927581472448162859439951475289435517794227085\ 8472572944896000*n^15+137422908943032713539420068698329572766553606483105039368\ 796147979015062901697636817508975515607747185153410619811421440000*n^14+2744358\ 3467771928973273979579308809647167080507158300585069927802529717941905032250392\ 879148564170642164771767405721600000*n^13+5194492419005861446439117336063902720\ 3990200336318933687997285196372613938424025030495827824950687301641381938787200\ 00000*n^12+92937253739283045575365859589826943723592712192170476276366256393806\ 9714000498729443727108011486202145697066936320000000*n^11+156682114914556857809\ 5219262092956035159764596090443538547870142432951492173629230065454499172591646\ 63541125606400000000*n^10+24799319612961846917031477940382716456726888719634720\ 960044102601243573772356070650597398028229871040841170944000000000*n^9+36691601\ 1531657947177778512430051845375712508506144359724135921837051566518140817662256\ 9982380306840996915200000000000*n^8+5048216844428695998449930840095983464482339\ 23749757263088227276126678026307652356655639643117059752651980800000000000*n^7+ 6417858606007528296618830089870627300579878084580639935304604580617313684637700\ 4607384602666904309469184000000000000*n^6+7479509796832618083270748189559712164\ 456111846498071046438034468470430035837714425998670469842253905920000000000000* n^5+790974667707648918192315411239225357298825660576940855427653248921589407787\ 501180759300595256066048000000000000000*n^4+74880994408657972955979862717399006\ 358892182988671425142669984394560880966366544227547792753557504000000000000000* n^3+622878220389411349828203306994832659909500636296717886200096592082972174692\ 6832585826300004925440000000000000000*n^2+4413876152068569132244278890524437931\ 34134236404064072058591850728746308248904485253318443008000000000000000000*n+26\ 8271084159433619465382101848182981943228369456646733460329156990933744583154252\ 59611750400000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 50, : for n>=1, we have :, ) -------------------- = / Pi (2 j - 1) 100 ----- sin(------------) j = 1 4 n + 2 9007199254740992 (n + 1) n (81017000427154627255255245066670428118950207\ 689672308359921309276537065836693693643253024381146113372211923209215631\ 98 425536 n + 39698330209305767355075070082668509778285601767939431096361\ 97 44154550316225997990988519398194676159555238384237251565939851264 n + 971216276576512992390440521179311387842113079668846408617190094375767783\ 96 32030044137521947903512701213500665133257403909799936 n + 158124770332\ 513481672028906324561830284718008521836290828486458907263996856300111151\ 95 0000500299909843383045758289140218345816064 n + 1926813930192611062749\ 392904712085151125948263300878775829897218604384428469793025107576702355\ 94 6699244998671400588648788908834816 n + 1873852561074426899247272400668\ 429320610694517668388218577882181242416938580653645405873991620401118431\ 93 26445387455171627512233984 n + 151458493869356289606954872085734650777\ 332162958343813135565880085677476983410490154515126861812828490600451407\ 92 8637012195230089216 n + 1046243887761966653624840523117728549442819218\ 970400244089070402910389959664443971056842446461647980077202389071623015\ 91 4570415734784 n + 6303727743433395241027080247465443543021905559684625\ 594298316836167562184844961065926267126126529397047762195918305901004189\ 90 1782656 n + 3364499528446181270484076693509320261824252459628252050561\ 983773273795916289713724539776355191862010502239227053100159736137321021\ 89 44 n + 161025599446372847048204218567730342602552691587795884494042243\ 88 1380389897549585101217989176022405246975644377663767830134622368301056 n + 697890071647548971216110120603926128335631549974703750757458839170493\ 87 2379414710252315635890560385623294881778127337021806777355730944 n + 2\ 761247774834224718455539707325437046154408747331440894379901210488125003\ 86 2992914775892173644392397937602110045408096479728953108463616 n + 1004\ 115470270090099803718126551102729888455771595281340412297562549248112405\ 85 54882786371311029034729778352356340690995792502357107933184 n + 337527\ 256201331801310332361253977770596637637967789761681225665388128118818983\ 84 997979158289398691388763265567876500151804487225118294016 n + 10539355\ 185081046311007455522649669799584999007514838668880167786101122365611078\ 83 76126027224145707276826913099453173629427096772342185984 n + 307006203\ 541481916258816086688734319386140995684186387587621880657925835051813327\ 82 5046245099501568680515609724522920433528768448258113536 n + 8373806522\ 350143672480608036706162983488554650880123308165603289608382444621988840\ 81 656142249992714849218186702479794778390746748120203264 n + 21456702531\ 157246853973546825412163990693613661988445569595201064021575549615370000\ 80 101555369988863686573956403613390458876849814226599936 n + 51799693614\ 396842682177391682693579960603435659479141010966654097694162962448554186\ 79 323365462613333911778255819125876991556989662542168064 n + 11812410971\ 346020557764395762980618721301598614805699452314208242087382780246469008\ 78 8832032881754158487434297623710190767306380411920187392 n + 2550369926\ 000833713572087807551142780927131606636657261373600556347039355396564659\ 77 12243971501645339052266197761267523208857749996288606208 n + 522428182\ 525579913198889898686675266940555300487546314782830338106394080380230302\ 76 929832468141946368963904587417887008438863527367453704192 n + 10172484\ 877420192358189763900237771958904797279993093889407162887023616309395373\ 75 51595952994944827639138407682737185378667205744576910327808 n + 188602\ 125261515912607329578473338414469316190493930763769696945241926317753237\ 74 3863344271562420836393484323665866950781799860721905148362752 n + 3334\ 726637012425265883476724585218467886820258268432522763576447716341306425\ 73 870720025897848106777805213704077650645010577977888377927630848 n + 56\ 309783535282172753187488481122177917341914367017699238783155965659258201\ 72 11812249353233522514268566909065629673811702866754530601758359552 n + 909244401533021233359602281908868284600514069066501759703375266824822463\ 71 7636949664310160394473348980143683315988092207587968807240307048448 n + 140561612974781006047366601829683320359756365357759526009205384584029410\ 70 60348181240871957878046203896052459905260081721372594534216768684032 n + 208264896584859030931926216494313639586116264556860255891693669717508599\ 69 42364674274128334126907538103411982831700163490027289037130661101568 n + 296049612492814090059985943851614286626085219264684311008711393497646202\ 68 37984346296853606621397027267578043898391970083814043962296953208832 n + 404122764900457705764312182493092597180679084674596469164830958475213593\ 67 88338302493271334971373411282252148820077279546191976094784099975168 n + 530191114202298766547670419885963938600887927612652025350557463541006713\ 66 19622266525902222308759675336462777931677145341324559810355344637952 n + 669056983198737662607601672008044608179965420021757215189389845359687955\ 65 50495356582375427479785365724322314736759034817084715601199441051648 n + 812681199489628697884452788716406648762898180699685815814972527023099965\ 64 49726617972420224618283685957667067536950030234881273312079372746752 n + 950811524199850876812810094926592776183509608062168309370622577715976960\ 63 25323353237825392704132394237442493502998758538711756655114083893248 n + 107214632325756011583152890956441775852198397705864331814948413373048611\ 62 150175450605124266838407491590311213443849810664534028632918624187392 n + 116586049343860995355236406680192786176895342050497141459741063357529\ 086019240606804053708666061261195606066242712440667776804080347521502208 61 n + 122320758436758711230170722193710165906988633735215402320569172023\ 048012978406890888563718238561031279287418280938238402210043166223619208\ 60 192 n + 12388675122473328687796441662417674648369424778866946050166487\ 454943839586228597303975016032941166516377552740270009205399622392750563\ 59 4167808 n + 1211752099931961962485278169812642667791807576904918264597\ 469306374801741009747277817167054841652548350762146097231280833639157261\ 58 62872324608 n + 114510163475151127899645265191864419774392836694800081\ 431615475507770200602898993424833048567720188697448110663889200456370327\ 57 222374607073792 n + 10458698430879899031300274644536588738004784216941\ 964628193924319435396996044998904534088370651071542206604358905996086530\ 56 3876515057487607808 n + 9235539767820243742820374342160151461730895081\ 321286919978211068138132629874646836307109642722633529263416571468274790\ 55 8876407385978294280192 n + 7887365988511513119367909820449788922786573\ 178037836683629533755465253797101070654751054730591355684824361280165435\ 54 3202068816028847366638048 n + 6516400223719235572705460189635631003218\ 417657604510315854704707734271209557217363161542925002813782985370866484\ 53 9617770044048152373562568352 n + 5209523418346531540986346160924551817\ 636607226479199093877829785877962059233716740855247331086036174497677741\ 52 8097585439237899739595824081248 n + 4030872718488386477986071861763934\ 044312452844387062850354215813006629755700293681303196823954332687133406\ 51 5805123567286621867886690028630752 n + 3019226380335276468767960144108\ 599551282197613634045280743254681414809270037310521552948753917576809908\ 50 1282147911744689709876481238494704093 n + 2189581191815841933122770858\ 970016745042480840952040093213872657022936343465997490142835842383335069\ 49 2168826408653624789132175825408614201557 n + 1537649624379044337441465\ 267811966863646826465109389392392765584699235321876074580604319448062027\ 48 4604802763136288458946554930567606800664918 n + 1045769451554568290675\ 923509744356271945330972387011774247933386030924794831634605184616340779\ 47 1185712137566052007346861621862689744666902332 n + 6888700259375243848\ 304855936287154968181024927489833128920585236643228447540864131781567385\ 46 758981190507500942962447633063690918883012862498 n + 43953282025698049\ 133357499202451906391187761328620011828746012986717740888262993761453298\ 45 81434900706964214104282228089253451662688067405402 n + 271654785703078\ 595010507208058044846647494350863027427099483074646913215471425129754297\ 44 8639612563889729158473302158633097261973358918947448 n + 1626388238944\ 463142579746664246121490152146582402100871414226287081337993600768668888\ 43 302315551363028862469249475299581371610360801210770052 n + 94321367442\ 411948123315114836208055245618450823067408992611830813111411937347385491\ 42 8570219227232752636434229190261181551408758321380467483 n + 5298615937\ 834181869875868138263647520789349821357418370483308137812246634331497754\ 41 98624694589442871305138550729071145185746444083597096667 n + 288308825\ 411077436700044619560975655952614251312108549868928386760444013574293919\ 40 553717814169221180656910960931433815500369047583990413558 n + 15193652\ 432105805167269744772824121695195582083478851374848748035038443662321641\ 39 5469850413204091292818101236994999024543502341584341874192 n + 7754066\ 262111505971805158363170152289982411373168666441787859228507493096625994\ 38 6951958226525030760456180526850933144151162019573132979964 n + 3831797\ 892344287634745645330010436098854579783616209684565509233550637561422130\ 37 9600877662547844087031826657983104601249184380615083410236 n + 1833209\ 650364119553648845450779274865834685827770211612232273591062706310115965\ 36 2730430269636508186833277189110095403786420234769538328064 n + 8489387\ 371942765533983095043338611554064654692736843876105226796715540881427326\ 35 163839534186546441137100532561811693111701829749087460936 n + 38045251\ 245075732346700679874392762058155731500562006978353258689792060434642186\ 34 05071742600706530736624472100504473141275863307701876259 n + 164959005\ 322840619847331239219695782964446693095662842617042142412727806613017595\ 33 0707367138523418352372911400584910621431228415758073691 n + 6917995650\ 200492822086632994677892852674387916792377264103396936393663348640646133\ 32 36111388490014844676939312418873834109268215518791234 n + 280527368837\ 655859412098972720127059650399960366455495213812086617168459738467108679\ 31 067836875927281106254905430210679334066947656483516 n + 10995291416526\ 382626844278557497545914948371825820666706733631075836669834255795367179\ 30 6070502921877105458188892706895934113397639438594 n + 4163929711912519\ 778365226170631724362496916876874780021680742045600959976523413639980155\ 29 7323325984869665360272455492248357992235954106 n + 1522913471212531035\ 167011010274408072255484061384554496489957120327524827639756061240361460\ 28 5943137307179861884977915956058803629543944 n + 5376656874818910692737\ 061736680276430919282211989712283493265216641599216426670684178736282588\ 27 132371916686351915697359603609013641556 n + 18313993923849236157249255\ 442858772189257685164746245849574459475464092036073745097850597285996346\ 26 96222822861747512540761155214730309 n + 601495326418545884201294832820\ 362736408384080361675887634008909460789412263382295493712557637152910330\ 25 056946880778342307313994509141 n + 19036138690933274677907307455927915\ 436044645408319651421853581269807578486506482141598997074513048258216059\ 24 9230488631977162538378034 n + 5801140900765733375408583158928746106414\ 414427080090350014196727222365825998462845621114181704377570220901056798\ 23 8106955693484628216 n + 1700963571520557679567798275818735993656252725\ 453422273853284952932100239939478531459453852039601897830472867267049607\ 22 8142869698464 n + 4794549114700348461376936403103808513953455709783729\ 864440388397851387813224139572564756000070605257368257549589432305688267\ 21 074736 n + 12979461331584516270814140160634847202684879269387031555183\ 20 12619750457026053636883579612837312509023359337760551509545340662292064 n + 337103003151918996086399813101204049033631201973310244787657841217118\ 19 662212561910170454788596678841828287292660978685038518119936 n + 83898\ 968714254675337700412178248160136954740740308596130800806642609989768719\ 18 301527989469110297935210276861510693565930869600000 n + 19983552696992\ 482138423906998805035851083653514689887324363391936910411626530681013327\ 17 277211708481463701087371950433676040416000 n + 45486172884003216360167\ 471734621613031130910448157994750312714095290488630475505038344645717704\ 16 41902954084982639385776680640000 n + 987800784834972423358625437158011\ 015097863775356108993252841532787023783332681937459238058168241824899347\ 15 880064590768060160000 n + 20428972512463043962972922217219178567631090\ 916797382872905049895971837506062752235796215512632595523671683363918608\ 14 3840000000 n + 4015226210020356001944016844927844270393802906981467257\ 13 6756315408824927003295824581493430193066311313694993369654105920000000 n + 748227992301993784411290430716899429446164272794380427187191103205741\ 12 0920193506484436669356265908925086576957825398400000000 n + 1318382307\ 623602881369206959942273310185545302304034008071425511797069796296398997\ 11 564857622524652280375632175387673600000000 n + 21896277155141828485079\ 745108763102707943864369815482956673189262894188096834009088298125035486\ 10 7408274152305491200000000000 n + 3415297442850840451624760581035710041\ 479112140535620719862407182999854297275512567679126575767351203560713108\ 9 4800000000000 n + 49811812261938198440181392572333332071644828662096925\ 8 16165797548113851499981903766774494532721757786136989184000000000000 n + 675803707683504299262555551739448126903812576283777990439003606981275063\ 7 679022794188337817468590104371572736000000000000 n + 847483534592238608\ 442921622500233357072235980362647216808680492056007267418628000555681824\ 6 48767760702464000000000000000 n + 9745791384704850223333291195999823604\ 507719830001471254718896453834290357777690517933360118152688369664000000\ 5 000000000 n + 101731996227888380889729066341519139791734653712153981060\ 4 8510802493827404155963860556738385852556247040000000000000000 n + 95098\ 118798432348139903584710146358865368712956223981174834833978316509722183\ 3 522793864819787704565760000000000000000 n + 781391323322747769363437307\ 723358862381616754036452122275836781961178704179205536313958236160000000\ 2 0000000000000000 n + 54720977682987533450725142647923747103668106251701\ 8882086310633157690011312976971235587207987200000000000000000000 n + 328\ 632078095306183845093074764024152880454752584392248488903217313893837114\ 36395943024394240000000000000000000000)/23558848894707506054865113853872\ 315531538895315332502970129992170257623424136254967044024412081637332163\ 331058304309844970703125 and in Maple notation: 9007199254740992/23558848894707506054865113853872315531538895315332502970129992\ 170257623424136254967044024412081637332163331058304309844970703125*(n+1)*n*(810\ 1700042715462725525524506667042811895020768967230835992130927653706583669369364\ 3253024381146113372211923209215631425536*n^98+396983302093057673550750700826685\ 0977828560176793943109636144154550316225997990988519398194676159555238384237251\ 565939851264*n^97+9712162765765129923904405211793113878421130796688464086171900\ 9437576778332030044137521947903512701213500665133257403909799936*n^96+158124770\ 3325134816720289063245618302847180085218362908284864589072639968563001111510000\ 500299909843383045758289140218345816064*n^95+1926813930192611062749392904712085\ 1511259482633008787758298972186043844284697930251075767023556699244998671400588\ 648788908834816*n^94+1873852561074426899247272400668429320610694517668388218577\ 88218124241693858065364540587399162040111843126445387455171627512233984*n^93+15\ 1458493869356289606954872085734650777332162958343813135565880085677476983410490\ 1545151268618128284906004514078637012195230089216*n^92+104624388776196665362484\ 0523117728549442819218970400244089070402910389959664443971056842446461647980077\ 2023890716230154570415734784*n^91+630372774343339524102708024746544354302190555\ 9684625594298316836167562184844961065926267126126529397047762195918305901004189\ 1782656*n^90+336449952844618127048407669350932026182425245962825205056198377327\ 379591628971372453977635519186201050223922705310015973613732102144*n^89+1610255\ 9944637284704820421856773034260255269158779588449404224313803898975495851012179\ 89176022405246975644377663767830134622368301056*n^88+69789007164754897121611012\ 0603926128335631549974703750757458839170493237941471025231563589056038562329488\ 1778127337021806777355730944*n^87+276124777483422471845553970732543704615440874\ 7331440894379901210488125003299291477589217364439239793760211004540809647972895\ 3108463616*n^86+100411547027009009980371812655110272988845577159528134041229756\ 254924811240554882786371311029034729778352356340690995792502357107933184*n^85+ 3375272562013318013103323612539777705966376379677897616812256653881281188189839\ 97979158289398691388763265567876500151804487225118294016*n^84+10539355185081046\ 3110074555226496697995849990075148386688801677861011223656110787612602722414570\ 7276826913099453173629427096772342185984*n^83+307006203541481916258816086688734\ 3193861409956841863875876218806579258350518133275046245099501568680515609724522\ 920433528768448258113536*n^82+8373806522350143672480608036706162983488554650880\ 1233081656032896083824446219888406561422499927148492181867024797947783907467481\ 20203264*n^81+21456702531157246853973546825412163990693613661988445569595201064\ 021575549615370000101555369988863686573956403613390458876849814226599936*n^80+ 5179969361439684268217739168269357996060343565947914101096665409769416296244855\ 4186323365462613333911778255819125876991556989662542168064*n^79+118124109713460\ 2055776439576298061872130159861480569945231420824208738278024646900888320328817\ 54158487434297623710190767306380411920187392*n^78+25503699260008337135720878075\ 5114278092713160663665726137360055634703935539656465912243971501645339052266197\ 761267523208857749996288606208*n^77+5224281825255799131988898986866752669405553\ 0048754631478283033810639408038023030292983246814194636896390458741788700843886\ 3527367453704192*n^76+101724848774201923581897639002377719589047972799930938894\ 0716288702361630939537351595952994944827639138407682737185378667205744576910327\ 808*n^75+1886021252615159126073295784733384144693161904939307637696969452419263\ 177532373863344271562420836393484323665866950781799860721905148362752*n^74+3334\ 7266370124252658834767245852184678868202582684325227635764477163413064258707200\ 25897848106777805213704077650645010577977888377927630848*n^73+56309783535282172\ 7531874884811221779173419143670176992387831559656592582011181224935323352251426\ 8566909065629673811702866754530601758359552*n^72+909244401533021233359602281908\ 8682846005140690665017597033752668248224637636949664310160394473348980143683315\ 988092207587968807240307048448*n^71+1405616129747810060473666018296833203597563\ 6535775952600920538458402941060348181240871957878046203896052459905260081721372\ 594534216768684032*n^70+2082648965848590309319262164943136395861162645568602558\ 9169366971750859942364674274128334126907538103411982831700163490027289037130661\ 101568*n^69+2960496124928140900599859438516142866260852192646843110087113934976\ 4620237984346296853606621397027267578043898391970083814043962296953208832*n^68+ 4041227649004577057643121824930925971806790846745964691648309584752135938833830\ 2493271334971373411282252148820077279546191976094784099975168*n^67+530191114202\ 2987665476704198859639386008879276126520253505574635410067131962226652590222230\ 8759675336462777931677145341324559810355344637952*n^66+669056983198737662607601\ 6720080446081799654200217572151893898453596879555049535658237542747978536572432\ 2314736759034817084715601199441051648*n^65+812681199489628697884452788716406648\ 7628981806996858158149725270230999654972661797242022461828368595766706753695003\ 0234881273312079372746752*n^64+950811524199850876812810094926592776183509608062\ 1683093706225777159769602532335323782539270413239423744249350299875853871175665\ 5114083893248*n^63+107214632325756011583152890956441775852198397705864331814948\ 4133730486111501754506051242668384074915903112134438498106645340286329186241873\ 92*n^62+11658604934386099535523640668019278617689534205049714145974106335752908\ 6019240606804053708666061261195606066242712440667776804080347521502208*n^61+122\ 3207584367587112301707221937101659069886337352154023205691720230480129784068908\ 88563718238561031279287418280938238402210043166223619208192*n^60+12388675122473\ 3286877964416624176746483694247788669460501664874549438395862285973039750160329\ 411665163775527402700092053996223927505634167808*n^59+1211752099931961962485278\ 1698126426677918075769049182645974693063748017410097472778171670548416525483507\ 6214609723128083363915726162872324608*n^58+114510163475151127899645265191864419\ 7743928366948000814316154755077702006028989934248330485677201886974481106638892\ 00456370327222374607073792*n^57+10458698430879899031300274644536588738004784216\ 9419646281939243194353969960449989045340883706510715422066043589059960865303876\ 515057487607808*n^56+9235539767820243742820374342160151461730895081321286919978\ 2110681381326298746468363071096427226335292634165714682747908876407385978294280\ 192*n^55+7887365988511513119367909820449788922786573178037836683629533755465253\ 7971010706547510547305913556848243612801654353202068816028847366638048*n^54+651\ 6400223719235572705460189635631003218417657604510315854704707734271209557217363\ 1615429250028137829853708664849617770044048152373562568352*n^53+520952341834653\ 1540986346160924551817636607226479199093877829785877962059233716740855247331086\ 0361744976777418097585439237899739595824081248*n^52+403087271848838647798607186\ 1763934044312452844387062850354215813006629755700293681303196823954332687133406\ 5805123567286621867886690028630752*n^51+301922638033527646876796014410859955128\ 2197613634045280743254681414809270037310521552948753917576809908128214791174468\ 9709876481238494704093*n^50+218958119181584193312277085897001674504248084095204\ 0093213872657022936343465997490142835842383335069216882640865362478913217582540\ 8614201557*n^49+153764962437904433744146526781196686364682646510938939239276558\ 46992353218760745806043194480620274604802763136288458946554930567606800664918*n ^48+104576945155456829067592350974435627194533097238701177424793338603092479483\ 16346051846163407791185712137566052007346861621862689744666902332*n^47+68887002\ 5937524384830485593628715496818102492748983312892058523664322844754086413178156\ 7385758981190507500942962447633063690918883012862498*n^46+439532820256980491333\ 5749920245190639118776132862001182874601298671774088826299376145329881434900706\ 964214104282228089253451662688067405402*n^45+2716547857030785950105072080580448\ 4664749435086302742709948307464691321547142512975429786396125638897291584733021\ 58633097261973358918947448*n^44+16263882389444631425797466642461214901521465824\ 0210087141422628708133799360076866888830231555136302886246924947529958137161036\ 0801210770052*n^43+943213674424119481233151148362080552456184508230674089926118\ 308131114119373473854918570219227232752636434229190261181551408758321380467483* n^42+52986159378341818698758681382636475207893498213574183704833081378122466343\ 3149775498624694589442871305138550729071145185746444083597096667*n^41+288308825\ 4110774367000446195609756559526142513121085498689283867604440135742939195537178\ 14169221180656910960931433815500369047583990413558*n^40+15193652432105805167269\ 7447728241216951955820834788513748487480350384436623216415469850413204091292818\ 101236994999024543502341584341874192*n^39+7754066262111505971805158363170152289\ 9824113731686664417878592285074930966259946951958226525030760456180526850933144\ 151162019573132979964*n^38+3831797892344287634745645330010436098854579783616209\ 6845655092335506375614221309600877662547844087031826657983104601249184380615083\ 410236*n^37+1833209650364119553648845450779274865834685827770211612232273591062\ 7063101159652730430269636508186833277189110095403786420234769538328064*n^36+848\ 9387371942765533983095043338611554064654692736843876105226796715540881427326163\ 839534186546441137100532561811693111701829749087460936*n^35+3804525124507573234\ 6700679874392762058155731500562006978353258689792060434642186050717426007065307\ 36624472100504473141275863307701876259*n^34+16495900532284061984733123921969578\ 2964446693095662842617042142412727806613017595070736713852341835237291140058491\ 0621431228415758073691*n^33+691799565020049282208663299467789285267438791679237\ 7264103396936393663348640646133361113884900148446769393124188738341092682155187\ 91234*n^32+28052736883765585941209897272012705965039996036645549521381208661716\ 8459738467108679067836875927281106254905430210679334066947656483516*n^31+109952\ 9141652638262684427855749754591494837182582066670673363107583666983425579536717\ 96070502921877105458188892706895934113397639438594*n^30+41639297119125197783652\ 2617063172436249691687687478002168074204560095997652341363998015573233259848696\ 65360272455492248357992235954106*n^29+15229134712125310351670110102744080722554\ 8406138455449648995712032752482763975606124036146059431373071798618849779159560\ 58803629543944*n^28+53766568748189106927370617366802764309192822119897122834932\ 65216641599216426670684178736282588132371916686351915697359603609013641556*n^27 +183139939238492361572492554428587721892576851647462458495744594754640920360737\ 4509785059728599634696222822861747512540761155214730309*n^26+601495326418545884\ 2012948328203627364083840803616758876340089094607894122633822954937125576371529\ 10330056946880778342307313994509141*n^25+19036138690933274677907307455927915436\ 0446454083196514218535812698075784865064821415989970745130482582160599230488631\ 977162538378034*n^24+5801140900765733375408583158928746106414414427080090350014\ 1967272223658259984628456211141817043775702209010567988106955693484628216*n^23+ 1700963571520557679567798275818735993656252725453422273853284952932100239939478\ 5314594538520396018978304728672670496078142869698464*n^22+479454911470034846137\ 6936403103808513953455709783729864440388397851387813224139572564756000070605257\ 368257549589432305688267074736*n^21+1297946133158451627081414016063484720268487\ 9269387031555183126197504570260536368835796128373125090233593377605515095453406\ 62292064*n^20+33710300315191899608639981310120404903363120197331024478765784121\ 7118662212561910170454788596678841828287292660978685038518119936*n^19+838989687\ 1425467533770041217824816013695474074030859613080080664260998976871930152798946\ 9110297935210276861510693565930869600000*n^18+199835526969924821384239069988050\ 3585108365351468988732436339193691041162653068101332727721170848146370108737195\ 0433676040416000*n^17+454861728840032163601674717346216130311309104481579947503\ 1271409529048863047550503834464571770441902954084982639385776680640000*n^16+987\ 8007848349724233586254371580110150978637753561089932528415327870237833326819374\ 59238058168241824899347880064590768060160000*n^15+20428972512463043962972922217\ 2191785676310909167973828729050498959718375060627522357962155126325955236716833\ 639186083840000000*n^14+4015226210020356001944016844927844270393802906981467257\ 6756315408824927003295824581493430193066311313694993369654105920000000*n^13+748\ 2279923019937844112904307168994294461642727943804271871911032057410920193506484\ 436669356265908925086576957825398400000000*n^12+1318382307623602881369206959942\ 2733101855453023040340080714255117970697962963989975648576225246522803756321753\ 87673600000000*n^11+21896277155141828485079745108763102707943864369815482956673\ 1892628941880968340090882981250354867408274152305491200000000000*n^10+341529744\ 2850840451624760581035710041479112140535620719862407182999854297275512567679126\ 5757673512035607131084800000000000*n^9+4981181226193819844018139257233333207164\ 4828662096925161657975481138514999819037667744945327217577861369891840000000000\ 00*n^8+675803707683504299262555551739448126903812576283777990439003606981275063\ 679022794188337817468590104371572736000000000000*n^7+84748353459223860844292162\ 2500233357072235980362647216808680492056007267418628000555681824487677607024640\ 00000000000000*n^6+974579138470485022333329119599982360450771983000147125471889\ 6453834290357777690517933360118152688369664000000000000000*n^5+1017319962278883\ 8088972906634151913979173465371215398106085108024938274041559638605567383858525\ 56247040000000000000000*n^4+950981187984323481399035847101463588653687129562239\ 81174834833978316509722183522793864819787704565760000000000000000*n^3+781391323\ 3227477693634373077233588623816167540364521222758367819611787041792055363139582\ 361600000000000000000000000*n^2+54720977682987533450725142647923747103668106251\ 7018882086310633157690011312976971235587207987200000000000000000000*n+328632078\ 0953061838450930747640241528804547525843922484889032173138938371143639594302439\ 4240000000000000000000000) ------------------------------ This ends this book that took, 2.249, seconds to generate ----------------- This took, 2.314, seconds.