n ----- \ 1 evaluations of , ) -----------------, for i from 1 to , 50 / Pi j (2 i) ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 By Shalosh B. Ekhad ------------------------------ n ----- \ 1 2 (n + 1) n Theorem , 1, : , ) ------------- = ----------- / Pi j 2 3 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 and in Maple notation: 2/3*(n+1)*n ------------------------------ n ----- 2 \ 1 8 (n + 1) n (n + n + 3) Theorem , 2, : , ) ------------- = ------------------------ / Pi j 4 45 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 and in Maple notation: 8/45*(n+1)*n*(n^2+n+3) ------------------------------ Theorem , 3, : , n ----- 4 3 2 \ 1 8 (n + 1) n (8 n + 16 n + 35 n + 27 n + 54) ) ------------- = ---------------------------------------------- / Pi j 6 945 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 and in Maple notation: 8/945*(n+1)*n*(8*n^4+16*n^3+35*n^2+27*n+54) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 4, : , ) ------------- = / Pi j 8 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 2 4 3 2 128 (n + 1) n (n + n + 3) (3 n + 6 n + 7 n + 4 n + 15) ---------------------------------------------------------- 14175 and in Maple notation: 128/14175*(n+1)*n*(n^2+n+3)*(3*n^4+6*n^3+7*n^2+4*n+15) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 5, : , ) -------------- = 64 (n + 1) n / Pi j 10 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 8 7 6 5 4 3 2 (16 n + 64 n + 182 n + 322 n + 493 n + 524 n + 579 n + 360 n + 540)/ 93555 and in Maple notation: 64/93555*(n+1)*n*(16*n^8+64*n^7+182*n^6+322*n^5+493*n^4+524*n^3+579*n^2+360*n+ 540) ------------------------------ n ----- \ 1 10 9 Theorem , 6, : , ) -------------- = 128 (n + 1) n (22112 n + 110560 n / Pi j 12 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 8 7 6 5 4 + 363488 n + 790592 n + 1401277 n + 1901111 n + 2303259 n 3 2 + 2139237 n + 2066364 n + 1215000 n + 1701000)/638512875 and in Maple notation: 128/638512875*(n+1)*n*(22112*n^10+110560*n^9+363488*n^8+790592*n^7+1401277*n^6+ 1901111*n^5+2303259*n^4+2139237*n^3+2066364*n^2+1215000*n+1701000) ------------------------------ n ----- \ 1 12 11 Theorem , 7, : , ) -------------- = 128 (n + 1) n (3840 n + 23040 n / Pi j 14 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 10 9 8 7 6 5 + 86432 n + 220960 n + 449648 n + 726272 n + 1008517 n + 1158191 n 4 3 2 + 1211619 n + 1025037 n + 903744 n + 510300 n + 680400)/273648375 and in Maple notation: 128/273648375*(n+1)*n*(3840*n^12+23040*n^11+86432*n^10+220960*n^9+449648*n^8+ 726272*n^7+1008517*n^6+1158191*n^5+1211619*n^4+1025037*n^3+903744*n^2+510300*n+ 680400) ------------------------------ n ----- \ 1 14 13 Theorem , 8, : , ) -------------- = 4096 (n + 1) n (86808 n + 607656 n / Pi j 16 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 12 11 10 9 8 + 2567784 n + 7507176 n + 17288542 n + 32109398 n + 50717635 n 7 6 5 4 3 + 67966000 n + 80665448 n + 82464322 n + 77870763 n + 61499448 n 2 + 50740020 n + 27783000 n + 35721000)/488462349375 and in Maple notation: 4096/488462349375*(n+1)*n*(86808*n^14+607656*n^13+2567784*n^12+7507176*n^11+ 17288542*n^10+32109398*n^9+50717635*n^8+67966000*n^7+80665448*n^6+82464322*n^5+ 77870763*n^4+61499448*n^3+50740020*n^2+27783000*n+35721000) ------------------------------ n ----- \ 1 16 Theorem , 9, : , ) -------------- = 1024 (n + 1) n (56149760 n / Pi j 18 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 15 14 13 12 + 449198080 n + 2114166944 n + 6938202208 n + 17842111232 n 11 10 9 8 + 37294551328 n + 66102017816 n + 100474416664 n + 134440193675 n 7 6 5 4 + 158032208700 n + 167716567674 n + 157245769476 n + 137597389119 n 3 2 + 103065535944 n + 80839407780 n + 43208121600 n + 54010152000)/ 194896477400625 and in Maple notation: 1024/194896477400625*(n+1)*n*(56149760*n^16+449198080*n^15+2114166944*n^14+ 6938202208*n^13+17842111232*n^12+37294551328*n^11+66102017816*n^10+100474416664 *n^9+134440193675*n^8+158032208700*n^7+167716567674*n^6+157245769476*n^5+ 137597389119*n^4+103065535944*n^3+80839407780*n^2+43208121600*n+54010152000) ------------------------------ n ----- \ 1 18 Theorem , 10, : , ) -------------- = 4096 (n + 1) n (938708736 n / Pi j 20 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 17 16 15 14 + 8448378624 n + 43860878336 n + 159390444544 n + 452559965096 n 13 12 11 + 1048825013656 n + 2060165374184 n + 3489076726456 n 10 9 8 + 5199076119449 n + 6861148267021 n + 8143650933968 n 7 6 5 + 8677537225002 n + 8462405895333 n + 7418496907197 n 4 3 2 + 6118770449898 n + 4394342137500 n + 3311877375000 n + 1736040600000 n + 2121827400000)/32157918771103125 and in Maple notation: 4096/32157918771103125*(n+1)*n*(938708736*n^18+8448378624*n^17+43860878336*n^16 +159390444544*n^15+452559965096*n^14+1048825013656*n^13+2060165374184*n^12+ 3489076726456*n^11+5199076119449*n^10+6861148267021*n^9+8143650933968*n^8+ 8677537225002*n^7+8462405895333*n^6+7418496907197*n^5+6118770449898*n^4+ 4394342137500*n^3+3311877375000*n^2+1736040600000*n+2121827400000) ------------------------------ n ----- \ 1 20 Theorem , 11, : , ) -------------- = 4096 (n + 1) n (2386421760 n / Pi j 22 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 19 18 17 + 23864217600 n + 135541939968 n + 539747258112 n 16 15 14 + 1676275459328 n + 4259189404672 n + 9175286167448 n 13 12 11 + 17094853164328 n + 28048243461152 n + 40927471974328 n 10 9 8 + 53735963534237 n + 63750699585673 n + 69035466957944 n 7 6 5 + 68123008460226 n + 62153285191929 n + 51629846537961 n 4 3 2 + 40613594474034 n + 28184716997100 n + 20566490992200 n + 10609137000000 n + 12730964400000)/201717854109646875 and in Maple notation: 4096/201717854109646875*(n+1)*n*(2386421760*n^20+23864217600*n^19+135541939968* n^18+539747258112*n^17+1676275459328*n^16+4259189404672*n^15+9175286167448*n^14 +17094853164328*n^13+28048243461152*n^12+40927471974328*n^11+53735963534237*n^ 10+63750699585673*n^9+69035466957944*n^8+68123008460226*n^7+62153285191929*n^6+ 51629846537961*n^5+40613594474034*n^4+28184716997100*n^3+20566490992200*n^2+ 10609137000000*n+12730964400000) ------------------------------ n ----- \ 1 22 Theorem , 12, : , ) -------------- = 32768 (n + 1) n (1815276218880 n / Pi j 24 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 21 20 19 + 19968038407680 n + 123202082058240 n + 533139476313600 n 18 17 16 + 1796969206613376 n + 4961871446914944 n + 11621983374579136 n 15 14 13 + 23589695583555584 n + 42214167964161211 n + 67356407312865821 n 12 11 10 + 96832015420175089 n + 126219284423722541 n + 150301205382792919 n 9 8 7 + 163975763136609311 n + 165075498192651763 n + 153104151196148247 n 6 5 4 + 132343033565961018 n + 105181849735990272 n + 79583569625584368 n 3 2 + 53677727539272000 n + 38136026123244000 n + 19409628324240000 n + 22938651655920000)/3028793579456347828125 and in Maple notation: 32768/3028793579456347828125*(n+1)*n*(1815276218880*n^22+19968038407680*n^21+ 123202082058240*n^20+533139476313600*n^19+1796969206613376*n^18+ 4961871446914944*n^17+11621983374579136*n^16+23589695583555584*n^15+ 42214167964161211*n^14+67356407312865821*n^13+96832015420175089*n^12+ 126219284423722541*n^11+150301205382792919*n^10+163975763136609311*n^9+ 165075498192651763*n^8+153104151196148247*n^7+132343033565961018*n^6+ 105181849735990272*n^5+79583569625584368*n^4+53677727539272000*n^3+ 38136026123244000*n^2+19409628324240000*n+22938651655920000) ------------------------------ n ----- \ 1 24 Theorem , 13, : , ) -------------- = 32768 (n + 1) n (169777778688 n / Pi j 26 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 23 22 21 + 2037333344256 n + 13572387393024 n + 63388705307136 n 20 19 18 + 230355299506944 n + 686301201432576 n + 1735283982188160 n 17 16 15 + 3807287614719360 n + 7372629484034800 n + 12752193285426560 n 14 13 12 + 19900647384312685 n + 28221902100244667 n + 36615793631049988 n 11 10 9 + 43652589846492377 n + 48069414403062808 n + 48993380747458097 n 8 7 6 + 46465050096607432 n + 40944135713710023 n + 33842011877521767 n 5 4 3 + 25919911209250548 n + 18984081025969704 n + 12500039123654400 n 2 + 8683424513694000 n + 4369266982080000 n + 5097478145760000)/ 698952364489926421875 and in Maple notation: 32768/698952364489926421875*(n+1)*n*(169777778688*n^24+2037333344256*n^23+ 13572387393024*n^22+63388705307136*n^21+230355299506944*n^20+686301201432576*n^ 19+1735283982188160*n^18+3807287614719360*n^17+7372629484034800*n^16+ 12752193285426560*n^15+19900647384312685*n^14+28221902100244667*n^13+ 36615793631049988*n^12+43652589846492377*n^11+48069414403062808*n^10+ 48993380747458097*n^9+46465050096607432*n^8+40944135713710023*n^7+ 33842011877521767*n^6+25919911209250548*n^5+18984081025969704*n^4+ 12500039123654400*n^3+8683424513694000*n^2+4369266982080000*n+5097478145760000) ------------------------------ n ----- \ 1 26 Theorem , 14, : , ) -------------- = 32768 (n + 1) n (55587309928448 n / Pi j 28 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 25 24 23 + 722635029069824 n + 5170427984822272 n + 25913384364376064 n 22 21 20 + 100963710878726656 n + 322630882892578304 n + 875301683257325056 n 19 18 + 2062592176973586944 n + 4293697075059195328 n 17 16 + 7994237834616861632 n + 13445465822328125888 n 15 14 + 20583461237584506112 n + 28869568549486216673 n 13 12 + 37280679208560301351 n + 44532607862555590109 n 11 10 + 49362713682056563891 n + 50967287356986708419 n 9 8 + 49092240957910287901 n + 44294724960139539087 n 7 6 + 37385170716923906913 n + 29754187421096934144 n 5 4 + 22083874783394183064 n + 15733657905200647920 n 3 2 + 10148599930233618000 n + 6916044294789840000 n + 3445895226533760000 n + 3976032953692800000)/564653660170076273671875 and in Maple notation: 32768/564653660170076273671875*(n+1)*n*(55587309928448*n^26+722635029069824*n^ 25+5170427984822272*n^24+25913384364376064*n^23+100963710878726656*n^22+ 322630882892578304*n^21+875301683257325056*n^20+2062592176973586944*n^19+ 4293697075059195328*n^18+7994237834616861632*n^17+13445465822328125888*n^16+ 20583461237584506112*n^15+28869568549486216673*n^14+37280679208560301351*n^13+ 44532607862555590109*n^12+49362713682056563891*n^11+50967287356986708419*n^10+ 49092240957910287901*n^9+44294724960139539087*n^8+37385170716923906913*n^7+ 29754187421096934144*n^6+22083874783394183064*n^5+15733657905200647920*n^4+ 10148599930233618000*n^3+6916044294789840000*n^2+3445895226533760000*n+ 3976032953692800000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 15, : , ) -------------- = 32768 (n + 1) n ( / Pi j 30 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 28 27 26 225859109545705472 n + 3162027533639876608 n + 24186575714238906368 n 25 24 + 129446873567173001216 n + 538141848285648707584 n 23 22 + 1835144608248462245888 n + 5314767084295203108352 n 21 20 + 13378420294720266080768 n + 29772805962037268549632 n 19 18 + 59320491856439959136768 n + 106879800309223413228736 n 17 16 + 175501054933074946491584 n + 264351814409680844006816 n 15 14 + 367162325174510991990784 n + 472372637724870856033211 n 13 12 + 564955378298160064454557 n + 630269887688555026089743 n 11 10 + 657442435268279655874657 n + 643062867224366259748113 n 9 8 + 590485367483867583213327 n + 510685840860719175066357 n 7 6 + 415439816153142103026363 n + 320110695343372564092096 n 5 4 + 231246994849593341937480 n + 160879754772990899237520 n 3 2 + 101936849591296861470000 n + 68326999501350708720000 n + 33753537752136602400000 n + 38575471716727545600000)/ 5660878804669082674070015625 and in Maple notation: 32768/5660878804669082674070015625*(n+1)*n*(225859109545705472*n^28+ 3162027533639876608*n^27+24186575714238906368*n^26+129446873567173001216*n^25+ 538141848285648707584*n^24+1835144608248462245888*n^23+5314767084295203108352*n ^22+13378420294720266080768*n^21+29772805962037268549632*n^20+ 59320491856439959136768*n^19+106879800309223413228736*n^18+ 175501054933074946491584*n^17+264351814409680844006816*n^16+ 367162325174510991990784*n^15+472372637724870856033211*n^14+ 564955378298160064454557*n^13+630269887688555026089743*n^12+ 657442435268279655874657*n^11+643062867224366259748113*n^10+ 590485367483867583213327*n^9+510685840860719175066357*n^8+ 415439816153142103026363*n^7+320110695343372564092096*n^6+ 231246994849593341937480*n^5+160879754772990899237520*n^4+ 101936849591296861470000*n^3+68326999501350708720000*n^2+ 33753537752136602400000*n+38575471716727545600000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 16, : , ) -------------- = 2097152 (n + 1) n ( / Pi j 32 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 30 29 1823593636373634048 n + 27353904545604510720 n 28 27 + 222769236753957317632 n + 1267821773636163888128 n 26 25 + 5600307493181914908160 n + 20292509882404397487616 n 24 23 + 62458198881261131235584 n + 167175969621282558757888 n 22 21 + 395843190659010378127472 n + 839834122970560282037968 n 20 19 + 1612682868628110076732832 n + 2825140276451143535151568 n 18 17 + 4544730613943865722049386 n + 6749488912484336563186474 n 16 15 + 9296238583889671064278951 n + 11919240338214298046760224 n 14 13 + 14273959043249143622522416 n + 16008983411908352951477492 n 12 11 + 16858842537891835218464458 n + 16700860677685570134476192 n 10 9 + 15598013567998578961335990 n + 13746727953432037752079842 n 8 7 + 11463033441972188088441927 n + 9032697840338726699901888 n 6 5 + 6767483345298627735969144 n + 4775019242427271229004000 n 4 3 + 3253964294323481241222000 n + 2029866783187672961280000 n 2 + 1341085076939440193760000 n + 657536449716946800000000 n + 745207976345873040000000)/7217620475953080409439269921875 and in Maple notation: 2097152/7217620475953080409439269921875*(n+1)*n*(1823593636373634048*n^30+ 27353904545604510720*n^29+222769236753957317632*n^28+1267821773636163888128*n^ 27+5600307493181914908160*n^26+20292509882404397487616*n^25+ 62458198881261131235584*n^24+167175969621282558757888*n^23+ 395843190659010378127472*n^22+839834122970560282037968*n^21+ 1612682868628110076732832*n^20+2825140276451143535151568*n^19+ 4544730613943865722049386*n^18+6749488912484336563186474*n^17+ 9296238583889671064278951*n^16+11919240338214298046760224*n^15+ 14273959043249143622522416*n^14+16008983411908352951477492*n^13+ 16858842537891835218464458*n^12+16700860677685570134476192*n^11+ 15598013567998578961335990*n^10+13746727953432037752079842*n^9+ 11463033441972188088441927*n^8+9032697840338726699901888*n^7+ 6767483345298627735969144*n^6+4775019242427271229004000*n^5+ 3253964294323481241222000*n^4+2029866783187672961280000*n^3+ 1341085076939440193760000*n^2+657536449716946800000000*n+ 745207976345873040000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 17, : , ) -------------- = 262144 (n + 1) n ( / Pi j 34 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 32 31 1043399523883745280 n + 16694392382139924480 n 30 29 + 144231139933544423424 n + 869651689387322204160 n 28 27 + 4066836098546052653056 n + 15598909607903692120064 n 26 25 + 50829578745564251484160 n + 144090508462808323207168 n 24 23 + 361524652833897194988032 n + 813287609345955132135424 n 22 21 + 1657113178085593910857856 n + 3082899926774330191176064 n 20 19 + 5271469612122279386812736 n + 8329681693943197868299264 n 18 17 + 12219277660662884897782928 n + 16705488942843718851855952 n 16 15 + 21356278156970837994239023 n + 25601948648933109393012152 n 14 13 + 28853879411421548439404068 n + 30635589439209572857204616 n 12 11 + 30705318283015115271653554 n + 29093923045643456451569336 n 10 9 + 26107759942895559666750300 n + 22202987755277432065503816 n 8 7 + 17935225567089534101961351 n + 13744453037296315859926704 n 6 5 + 10047798001570550900553432 n + 6944364850171467449620800 n 4 3 + 4647033977872346350210800 n + 2859263573087404002240000 n 2 + 1865188162014456696480000 n + 908444009259730944000000 n + 1021999510417197312000000)/1273697731050543601665753515625 and in Maple notation: 262144/1273697731050543601665753515625*(n+1)*n*(1043399523883745280*n^32+ 16694392382139924480*n^31+144231139933544423424*n^30+869651689387322204160*n^29 +4066836098546052653056*n^28+15598909607903692120064*n^27+ 50829578745564251484160*n^26+144090508462808323207168*n^25+ 361524652833897194988032*n^24+813287609345955132135424*n^23+ 1657113178085593910857856*n^22+3082899926774330191176064*n^21+ 5271469612122279386812736*n^20+8329681693943197868299264*n^19+ 12219277660662884897782928*n^18+16705488942843718851855952*n^17+ 21356278156970837994239023*n^16+25601948648933109393012152*n^15+ 28853879411421548439404068*n^14+30635589439209572857204616*n^13+ 30705318283015115271653554*n^12+29093923045643456451569336*n^11+ 26107759942895559666750300*n^10+22202987755277432065503816*n^9+ 17935225567089534101961351*n^8+13744453037296315859926704*n^7+ 10047798001570550900553432*n^6+6944364850171467449620800*n^5+ 4647033977872346350210800*n^4+2859263573087404002240000*n^3+ 1865188162014456696480000*n^2+908444009259730944000000*n+ 1021999510417197312000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 18, : , ) -------------- = 1048576 (n + 1) n ( / Pi j 36 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 34 33 1724597636500912693116928 n + 29318159820515515782987776 n 32 31 + 267837612564469408457949184 n + 1705403736826145146424262656 n 30 29 + 8415713727352192088781223936 n + 34056886301439796011833329664 n 28 27 + 117092667717553180599288199168 n + 350326241049265737789383985152 n 26 25 + 928057739662387157257151240704 n + 2205519010013783781890727870976 n 24 + 4750212862092019504231382426624 n 23 + 9347973621993571236586032882688 n 22 + 16920594636369658116647420722592 n 21 + 28326880361093714581474949399008 n 20 + 44063958015308451539058072322592 n 19 + 63940582668148070644715916527008 n 18 + 86846112300884040447685958280881 n 17 + 110730532654478307712613495864569 n 16 + 132873691835262533177096088306006 n 15 + 150389996628010583576385848764644 n 14 + 160868241645037145889755759101758 n 13 + 162897344193198309928926891330726 n 12 + 156404098912345535962790626045464 n 11 + 142556255362857010114201828140396 n 10 + 123527140677304511272487635367817 n 9 + 101814349532843138294834034893433 n 8 + 79975985702100901734966918169626 n 7 + 59800864363220575001644939847304 n 6 + 42778906099905228341171769522720 n 5 + 29028938987349153884268864954000 n 4 + 19115404128504200555722713204000 n 3 2 + 11618500121350873861536084960000 n + 7494144147175077506281204800000 n + 3628471291802352734618880000000 n + 4055350267308511879868160000000)/ 20777977561866588586487628662044921875 and in Maple notation: 1048576/20777977561866588586487628662044921875*(n+1)*n*( 1724597636500912693116928*n^34+29318159820515515782987776*n^33+ 267837612564469408457949184*n^32+1705403736826145146424262656*n^31+ 8415713727352192088781223936*n^30+34056886301439796011833329664*n^29+ 117092667717553180599288199168*n^28+350326241049265737789383985152*n^27+ 928057739662387157257151240704*n^26+2205519010013783781890727870976*n^25+ 4750212862092019504231382426624*n^24+9347973621993571236586032882688*n^23+ 16920594636369658116647420722592*n^22+28326880361093714581474949399008*n^21+ 44063958015308451539058072322592*n^20+63940582668148070644715916527008*n^19+ 86846112300884040447685958280881*n^18+110730532654478307712613495864569*n^17+ 132873691835262533177096088306006*n^16+150389996628010583576385848764644*n^15+ 160868241645037145889755759101758*n^14+162897344193198309928926891330726*n^13+ 156404098912345535962790626045464*n^12+142556255362857010114201828140396*n^11+ 123527140677304511272487635367817*n^10+101814349532843138294834034893433*n^9+ 79975985702100901734966918169626*n^8+59800864363220575001644939847304*n^7+ 42778906099905228341171769522720*n^6+29028938987349153884268864954000*n^5+ 19115404128504200555722713204000*n^4+11618500121350873861536084960000*n^3+ 7494144147175077506281204800000*n^2+3628471291802352734618880000000*n+ 4055350267308511879868160000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 19, : , ) -------------- = 1048576 (n + 1) n ( / Pi j 38 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 36 35 110361015053774888632320 n + 1986498270967947995381760 n 34 33 + 19134047761233901374865408 n + 128284400069988147164020736 n 32 31 + 666100250205303816483241984 n + 2835678446055296014571012096 n 30 29 + 10256225306691853729727051776 n + 32286685214548234020189538304 n 28 27 + 90024108174035142425404991488 n + 225276263504518688680935974912 n 26 25 + 511163914979749886045800390144 n + 1060380298343887982769941341696 n 24 + 2024587232119541520833295394304 n 23 + 3577686548965143558973687272448 n 22 + 5878901322188820744395586297632 n 21 + 9018796337361298876118636918368 n 20 + 12961330450540593685824460211432 n 19 + 17501914675020530705666789417968 n 18 + 22262957221994835806718139780751 n 17 + 26737602236244246472706351568799 n 16 + 30379242265401173041410901707306 n 15 + 32711841789873514694685904243164 n 14 + 33434726492184606456091542486498 n 13 + 32481751022614391606396637680106 n 12 + 30032950137296008009796936287824 n 11 + 26454204879623889965887017929796 n 10 + 22225690632583000029681439262487 n 9 + 17818197553515194786076072066783 n 8 7 + 13653390486595700306353629935286 n + 9988455199456222886710050788664 n 6 5 + 7008663684411344853934619787360 n + 4678803161275033390822416284400 n 4 3 + 3037046544439343172219675276000 n + 1825851400860841612432342560000 n 2 + 1165907975355181411853774400000 n + 561510037011947798750976000000 n + 623900041124386443056640000000)/3280733299242092934708572946638671875 and in Maple notation: 1048576/3280733299242092934708572946638671875*(n+1)*n*(110361015053774888632320 *n^36+1986498270967947995381760*n^35+19134047761233901374865408*n^34+ 128284400069988147164020736*n^33+666100250205303816483241984*n^32+ 2835678446055296014571012096*n^31+10256225306691853729727051776*n^30+ 32286685214548234020189538304*n^29+90024108174035142425404991488*n^28+ 225276263504518688680935974912*n^27+511163914979749886045800390144*n^26+ 1060380298343887982769941341696*n^25+2024587232119541520833295394304*n^24+ 3577686548965143558973687272448*n^23+5878901322188820744395586297632*n^22+ 9018796337361298876118636918368*n^21+12961330450540593685824460211432*n^20+ 17501914675020530705666789417968*n^19+22262957221994835806718139780751*n^18+ 26737602236244246472706351568799*n^17+30379242265401173041410901707306*n^16+ 32711841789873514694685904243164*n^15+33434726492184606456091542486498*n^14+ 32481751022614391606396637680106*n^13+30032950137296008009796936287824*n^12+ 26454204879623889965887017929796*n^11+22225690632583000029681439262487*n^10+ 17818197553515194786076072066783*n^9+13653390486595700306353629935286*n^8+ 9988455199456222886710050788664*n^7+7008663684411344853934619787360*n^6+ 4678803161275033390822416284400*n^5+3037046544439343172219675276000*n^4+ 1825851400860841612432342560000*n^3+1165907975355181411853774400000*n^2+ 561510037011947798750976000000*n+623900041124386443056640000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 20, : , ) -------------- = 16777216 (n + 1) n ( / Pi j 40 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 38 37 359316657827049082917421056 n + 6827016498713932575431000064 n 36 35 + 69150253890034369972780793856 n + 486905738663372143637213282304 n 34 + 2653338574367420298068893270016 n 33 + 11851613502047130054625548402688 n 32 + 44973702441944956223594904338432 n 31 + 148561049534630440216696409817088 n 30 + 434771879429729308556705466684032 n 29 + 1142333539849826566662740913624448 n 28 + 2722692609624108996685553494004864 n 27 + 5935759900026461741299798574482816 n 26 + 11916984671223248213850887070320384 n 25 + 22156909465742927056445384337353216 n 24 + 38331967090897097887969202507205184 n 23 + 61954438281319009107449854258133888 n 22 + 93875023592592281149598079375012337 n 21 + 133751672428206737727878678350444763 n 20 + 179664218081654899822614866107035412 n 19 + 228053977798743998537167781517032663 n 18 + 274102877041381272665801463233666635 n 17 + 312514843732465152442403076909347870 n 16 + 338539603692011151785436395730925260 n 15 + 348935926803103235013343284519207030 n 14 + 342643991718604909091871990374967375 n 13 + 320909703437678626343037117176017599 n 12 + 286968646747581374952518744559170556 n 11 + 245215564764471000786528337403426499 n 10 + 200431386449055590066340496808674581 n 9 + 156759554660296150475894640426677064 n 8 + 117485282023552290474696720900760020 n 7 + 84283913193773817752011277677350000 n 6 + 58125669017285370289239511419150000 n 5 + 38237625257208690406921609334400000 n 4 + 24502488194096960048225241456600000 n 3 + 14586346311498336618933732000000000 n 2 + 9230296366500341250581694000000000 n + 4424119755901676009603424000000000 n + 4889816572312378747456416000000000)/ 421689054618082415362766423696201689453125 and in Maple notation: 16777216/421689054618082415362766423696201689453125*(n+1)*n*( 359316657827049082917421056*n^38+6827016498713932575431000064*n^37+ 69150253890034369972780793856*n^36+486905738663372143637213282304*n^35+ 2653338574367420298068893270016*n^34+11851613502047130054625548402688*n^33+ 44973702441944956223594904338432*n^32+148561049534630440216696409817088*n^31+ 434771879429729308556705466684032*n^30+1142333539849826566662740913624448*n^29+ 2722692609624108996685553494004864*n^28+5935759900026461741299798574482816*n^27 +11916984671223248213850887070320384*n^26+22156909465742927056445384337353216*n ^25+38331967090897097887969202507205184*n^24+ 61954438281319009107449854258133888*n^23+93875023592592281149598079375012337*n^ 22+133751672428206737727878678350444763*n^21+ 179664218081654899822614866107035412*n^20+228053977798743998537167781517032663* n^19+274102877041381272665801463233666635*n^18+ 312514843732465152442403076909347870*n^17+338539603692011151785436395730925260* n^16+348935926803103235013343284519207030*n^15+ 342643991718604909091871990374967375*n^14+320909703437678626343037117176017599* n^13+286968646747581374952518744559170556*n^12+ 245215564764471000786528337403426499*n^11+200431386449055590066340496808674581* n^10+156759554660296150475894640426677064*n^9+ 117485282023552290474696720900760020*n^8+84283913193773817752011277677350000*n^ 7+58125669017285370289239511419150000*n^6+38237625257208690406921609334400000*n ^5+24502488194096960048225241456600000*n^4+14586346311498336618933732000000000* n^3+9230296366500341250581694000000000*n^2+4424119755901676009603424000000000*n +4889816572312378747456416000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 21, : , ) -------------- = 8388608 (n + 1) n ( / Pi j 42 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 40 39 262999754666390776650415472640 n + 5259995093327815533008309452800 n 38 + 55893183286862353647235658022912 n 37 + 412361088424399500970951285014528 n 36 + 2352872436911656848062875700232192 n 35 + 11000951596678350504205051994308608 n 34 + 43694432491983677533634198477996032 n 33 + 151086279683756892131611314558795776 n 32 + 462935496834581245034702969828368384 n 31 + 1273845644222513456678204144691838976 n 30 + 3180853779153395423013065170604856064 n 29 + 7268178863850318773879940089395748096 n 28 + 15301179116832740037574633621199097088 n 27 + 29847116323391225274291568900336869632 n 26 + 54204105454247292228504464129929389568 n 25 + 92019921077780534216834429484562949632 n 24 + 146545944781884290445378783643084161968 n 23 + 219598356797313187887756973151331693376 n 22 + 310458553679305955698032338123819377574 n 21 + 415062484388163192646891423639043138626 n 20 + 525845668105349909377297117169388200759 n 19 + 632463844370768595937122951138084141376 n 18 + 723367096919094044441731262191499196545 n 17 + 787883668322868816621451673231222427640 n 16 + 818311835202203096816063976842811286290 n 15 + 811403142727361684039908552108927182360 n 14 + 768923027404620863266951484390365639200 n 13 + 697042078754260778648197361281311646698 n 12 + 605004401947450196630961598882856784867 n 11 + 503124866061443053961891904227960989848 n 10 + 401224261264486672186820416559789428137 n 9 + 306908941693790639639210536663369578828 n 8 + 225476426896307992393593955975804683780 n 7 + 158931082863037219434912275212524823200 n 6 + 107909418591486757763955662457612006000 n 5 + 70052627627351493531273903866369400000 n 4 + 44370124261463401162239642639715800000 n 3 + 26179191409840114777432847622720000000 n 2 + 16431403082846046846965019199440000000 n + 7841487666871851009557379840000000000 n + 8625636433559036110513117824000000000)/ 380785216320128421072578080597670125576171875 and in Maple notation: 8388608/380785216320128421072578080597670125576171875*(n+1)*n*( 262999754666390776650415472640*n^40+5259995093327815533008309452800*n^39+ 55893183286862353647235658022912*n^38+412361088424399500970951285014528*n^37+ 2352872436911656848062875700232192*n^36+11000951596678350504205051994308608*n^ 35+43694432491983677533634198477996032*n^34+ 151086279683756892131611314558795776*n^33+462935496834581245034702969828368384* n^32+1273845644222513456678204144691838976*n^31+ 3180853779153395423013065170604856064*n^30+ 7268178863850318773879940089395748096*n^29+ 15301179116832740037574633621199097088*n^28+ 29847116323391225274291568900336869632*n^27+ 54204105454247292228504464129929389568*n^26+ 92019921077780534216834429484562949632*n^25+ 146545944781884290445378783643084161968*n^24+ 219598356797313187887756973151331693376*n^23+ 310458553679305955698032338123819377574*n^22+ 415062484388163192646891423639043138626*n^21+ 525845668105349909377297117169388200759*n^20+ 632463844370768595937122951138084141376*n^19+ 723367096919094044441731262191499196545*n^18+ 787883668322868816621451673231222427640*n^17+ 818311835202203096816063976842811286290*n^16+ 811403142727361684039908552108927182360*n^15+ 768923027404620863266951484390365639200*n^14+ 697042078754260778648197361281311646698*n^13+ 605004401947450196630961598882856784867*n^12+ 503124866061443053961891904227960989848*n^11+ 401224261264486672186820416559789428137*n^10+ 306908941693790639639210536663369578828*n^9+ 225476426896307992393593955975804683780*n^8+ 158931082863037219434912275212524823200*n^7+ 107909418591486757763955662457612006000*n^6+ 70052627627351493531273903866369400000*n^5+ 44370124261463401162239642639715800000*n^4+ 26179191409840114777432847622720000000*n^3+ 16431403082846046846965019199440000000*n^2+ 7841487666871851009557379840000000000*n+8625636433559036110513117824000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 22, : , ) -------------- = 16777216 (n + 1) n ( / Pi j 44 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 42 41 1671521640354785908782362787840 n + 35101954447450504084429618544640 n 40 + 390457885283091302657396960133120 n 39 + 3011890597843590494942558001561600 n 38 + 17956378430374408410427463142801408 n 37 + 87695198906540751960388802187558912 n 36 + 363791037696540398267361116911239168 n 35 + 1313867129303688209784299009019543552 n 34 + 4205460366942093737081019827708182528 n 33 + 12091474949223782789102709892864753664 n 32 + 31557827162877882947192179695120203776 n 31 + 75395585032968738096315170201662521344 n 30 + 166027001089144427452856801543148366976 n 29 + 338910360579765859896485505721046489984 n 28 + 644398887622953942210992891459064234112 n 27 + 1145965382871637690643188109725932967808 n 26 + 1912808487732188232157854946246977546592 n 25 + 3006004619875445351371757698715591427808 n 24 + 4459588457651706379821611425868049562592 n 23 + 6260602490748153116368277831410093390144 n 22 + 8334232995107060794161651675591469053491 n 21 + 10540328862014552707346447425595806490929 n 20 + 12685473867577080745746857669055253413161 n 19 + 14550301285401581058872176433331812522119 n 18 + 15927015107956840695882014312435694105950 n 17 + 16657816253780104173172519105595879933830 n 16 + 16664757491284808127209359803133546464690 n 15 + 15962531968877545654736108248017354562590 n 14 + 14652734172086267085478658382089710673055 n 13 + 12899976460522561835479907672817468245517 n 12 + 10900490738304073935642921279849128544693 n 11 + 8845856701124633705180608026524841296187 n 10 + 6899131773115859179490904474652036140768 n 9 + 5172526991259883821112366333363541331372 n 8 + 3732193368229343020372584200641446946080 n 7 + 2589048751060193976714502702916379378000 n 6 + 1733218064453427237683713765064707200000 n 5 + 1111712815097651304148600280888097480000 n 4 + 696745010506509031231136059845962400000 n 3 + 407774440101873670429761982162800000000 n 2 + 254047112895748822427895359457600000000 n + 120758910069826505547183649536000000000 n + 132259758647905220361201139968000000000)/ 11942809057313118660912676164199653938525390625 and in Maple notation: 16777216/11942809057313118660912676164199653938525390625*(n+1)*n*( 1671521640354785908782362787840*n^42+35101954447450504084429618544640*n^41+ 390457885283091302657396960133120*n^40+3011890597843590494942558001561600*n^39+ 17956378430374408410427463142801408*n^38+87695198906540751960388802187558912*n^ 37+363791037696540398267361116911239168*n^36+ 1313867129303688209784299009019543552*n^35+ 4205460366942093737081019827708182528*n^34+ 12091474949223782789102709892864753664*n^33+ 31557827162877882947192179695120203776*n^32+ 75395585032968738096315170201662521344*n^31+ 166027001089144427452856801543148366976*n^30+ 338910360579765859896485505721046489984*n^29+ 644398887622953942210992891459064234112*n^28+ 1145965382871637690643188109725932967808*n^27+ 1912808487732188232157854946246977546592*n^26+ 3006004619875445351371757698715591427808*n^25+ 4459588457651706379821611425868049562592*n^24+ 6260602490748153116368277831410093390144*n^23+ 8334232995107060794161651675591469053491*n^22+ 10540328862014552707346447425595806490929*n^21+ 12685473867577080745746857669055253413161*n^20+ 14550301285401581058872176433331812522119*n^19+ 15927015107956840695882014312435694105950*n^18+ 16657816253780104173172519105595879933830*n^17+ 16664757491284808127209359803133546464690*n^16+ 15962531968877545654736108248017354562590*n^15+ 14652734172086267085478658382089710673055*n^14+ 12899976460522561835479907672817468245517*n^13+ 10900490738304073935642921279849128544693*n^12+ 8845856701124633705180608026524841296187*n^11+ 6899131773115859179490904474652036140768*n^10+ 5172526991259883821112366333363541331372*n^9+ 3732193368229343020372584200641446946080*n^8+ 2589048751060193976714502702916379378000*n^7+ 1733218064453427237683713765064707200000*n^6+ 1111712815097651304148600280888097480000*n^5+ 696745010506509031231136059845962400000*n^4+ 407774440101873670429761982162800000000*n^3+ 254047112895748822427895359457600000000*n^2+ 120758910069826505547183649536000000000*n+ 132259758647905220361201139968000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 23, : , ) -------------- = 16777216 (n + 1) n ( / Pi j 46 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 44 45683167779494465568516090101760 n 43 + 1005029691148878242507353982238720 n 42 + 11679666659858739038186665892904960 n 41 + 94016031339127344304563209424076800 n 40 + 584532018077959463349818189681786880 n 39 + 2976139884701221008967143670614589440 n 38 + 12869528248941804915698930069708537856 n 37 + 48450799313947147928109677796217257984 n 36 + 161678072538318601762462198099843547136 n 35 + 484717168660539346912133357016931958784 n 34 + 1319466278845409799324342495237487640576 n 33 + 3288913992976458718251938790205804822528 n 32 + 7558807302080718846958106816949157978112 n 31 + 16110052076481215172983145630311352107008 n 30 + 31995517414819789839169405441112211093632 n 29 + 59460259279536752371871600820665874517888 n 28 + 103767002720125219604537263894899919409024 n 27 + 170582222697832608569603517663868340442496 n 26 + 264868759502108826405930355487666030729504 n 25 + 389395481278650534030444949112980352283296 n 24 + 543171841980687087423032646213374190037744 n 23 + 720264275785926302753394132406495977339008 n 22 + 909474555619728360988915701156150837329887 n 21 + 1095200222578931839681753237879510513473653 n 20 + 1259493131514336594301505263164147253861117 n 19 + 1384949264669113867717792612139502469638563 n 18 + 1457786593473685694949467111993679468643990 n 17 + 1470330660281289548971716229056240376283870 n 16 + 1422320793832192880127613891929916064943210 n 15 + 1320689993045222498967351010856065976070870 n 14 + 1178034667553798528217693195358825954361595 n 13 + 1010086594209652394558010393619994193685569 n 12 + 833082646736836587586890026913999866042841 n 11 + 661242002632291701368642092944884124048039 n 10 + 505425449839014087663053763380480806574496 n 9 + 372093491536881675685125464900200169070684 n 8 + 264116637900251784930974500689811300075680 n 7 + 180577415404371251369496477765491091334800 n 6 + 119340498906535726841791573987849584000000 n 5 + 75711659386706355129880413088222502760000 n 4 + 46996402084587450646443645065483450400000 n 3 + 27302140985177977696940230708505712000000 n 2 + 16894687850371552409506064909131200000000 n + 8001715398198265831852668968064000000000 n + 8729144070761744543839275237888000000000)/ 805360732517071610568502640464072315593603515625 and in Maple notation: 16777216/805360732517071610568502640464072315593603515625*(n+1)*n*( 45683167779494465568516090101760*n^44+1005029691148878242507353982238720*n^43+ 11679666659858739038186665892904960*n^42+94016031339127344304563209424076800*n^ 41+584532018077959463349818189681786880*n^40+ 2976139884701221008967143670614589440*n^39+ 12869528248941804915698930069708537856*n^38+ 48450799313947147928109677796217257984*n^37+ 161678072538318601762462198099843547136*n^36+ 484717168660539346912133357016931958784*n^35+ 1319466278845409799324342495237487640576*n^34+ 3288913992976458718251938790205804822528*n^33+ 7558807302080718846958106816949157978112*n^32+ 16110052076481215172983145630311352107008*n^31+ 31995517414819789839169405441112211093632*n^30+ 59460259279536752371871600820665874517888*n^29+ 103767002720125219604537263894899919409024*n^28+ 170582222697832608569603517663868340442496*n^27+ 264868759502108826405930355487666030729504*n^26+ 389395481278650534030444949112980352283296*n^25+ 543171841980687087423032646213374190037744*n^24+ 720264275785926302753394132406495977339008*n^23+ 909474555619728360988915701156150837329887*n^22+ 1095200222578931839681753237879510513473653*n^21+ 1259493131514336594301505263164147253861117*n^20+ 1384949264669113867717792612139502469638563*n^19+ 1457786593473685694949467111993679468643990*n^18+ 1470330660281289548971716229056240376283870*n^17+ 1422320793832192880127613891929916064943210*n^16+ 1320689993045222498967351010856065976070870*n^15+ 1178034667553798528217693195358825954361595*n^14+ 1010086594209652394558010393619994193685569*n^13+ 833082646736836587586890026913999866042841*n^12+ 661242002632291701368642092944884124048039*n^11+ 505425449839014087663053763380480806574496*n^10+ 372093491536881675685125464900200169070684*n^9+ 264116637900251784930974500689811300075680*n^8+ 180577415404371251369496477765491091334800*n^7+ 119340498906535726841791573987849584000000*n^6+ 75711659386706355129880413088222502760000*n^5+ 46996402084587450646443645065483450400000*n^4+ 27302140985177977696940230708505712000000*n^3+ 16894687850371552409506064909131200000000*n^2+ 8001715398198265831852668968064000000000*n+ 8729144070761744543839275237888000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 24, : , ) -------------- = 536870912 (n + 1) n ( / Pi j 48 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 46 308799001720138423104259171252961280 n 45 + 7102377039563183731397960938818109440 n 44 + 86074389418374073756728266611682181120 n 43 + 721744355676304306967358310552019927040 n 42 + 4671495657610492155910210794396134277120 n 41 + 24752838847527089077514973946879961333760 n 40 + 111377003370851785541630876552515370680320 n 39 + 436303810106269133303620830285876040826880 n 38 + 1515058458751631829457286627335787758166016 n 37 + 4727418981155515809746791236909116477497344 n 36 + 13396278707377297758870741241821157391794176 n 35 + 34769837584482465432244265662710216038375424 n 34 + 83233812091529680391251478016962989528841216 n 33 + 184836500340524541035384660180988493084761088 n 32 + 382636274738260744589423859871735303145687552 n 31 + 741489064268514105501749121846444697372622848 n 30 + 1349909613629433978816454350619211790778803572 n 29 + 2316030660881590693413254999094528964404830668 n 28 + 3755039991432539658270864939306949276226114084 n 27 + 5767218975719088587801159428461039333177896716 n 26 + 8408775673470990599016460479497244218739905054 n 25 + 11661260506497514745948017622215457853622018526 n 24 + 15408132032945796018391099596563008448449755589 n 23 + 19427472461477560496606007763168275315526358948 n 22 + 23407174864307215507587596349494199519402362092 n 21 + 26983276313187326181603934077753780069790964078 n 20 + 29795397299490353825983995471405791203297752667 n 19 + 31547310750917865100064153236541557690940635508 n 18 + 32058562063942019549124429267983224669764034450 n 17 + 31294372256640866527091404633787719177455162890 n 16 + 29367687184284526056608504785631620755212793915 n 15 + 26513173765365050606607801101292416843265634860 n 14 + 23042403410656931707667491961961645503542214700 n 13 + 19289331423283425027604450893860479356511410174 n 12 + 15562402449383531003858315834796703200404933361 n 11 + 12105723355609762542446004172536735713759250864 n 10 + 9084605862746506018709500127946214727045244516 n 9 + 6577805868584032943892663949819751684714974944 n 8 + 4599654459738626636771938111191355860026257200 n 7 + 3103318277575219277811751365357774995037888000 n 6 + 2026935657555561021027267886872908664669240000 n 5 + 1273071300902799227984594535314090233259520000 n 4 + 783301381744393329075832354395519766176000000 n 3 + 451974729516811558004447427019993528320000000 n 2 + 277954884872974982267710881926063904000000000 n + 131209136250259473369733606558231910400000000 n + 142618626358977688445362615824165120000000000)/ 429833103355348874634568386755282355917040100341796875 and in Maple notation: 536870912/429833103355348874634568386755282355917040100341796875*(n+1)*n*( 308799001720138423104259171252961280*n^46+7102377039563183731397960938818109440 *n^45+86074389418374073756728266611682181120*n^44+ 721744355676304306967358310552019927040*n^43+ 4671495657610492155910210794396134277120*n^42+ 24752838847527089077514973946879961333760*n^41+ 111377003370851785541630876552515370680320*n^40+ 436303810106269133303620830285876040826880*n^39+ 1515058458751631829457286627335787758166016*n^38+ 4727418981155515809746791236909116477497344*n^37+ 13396278707377297758870741241821157391794176*n^36+ 34769837584482465432244265662710216038375424*n^35+ 83233812091529680391251478016962989528841216*n^34+ 184836500340524541035384660180988493084761088*n^33+ 382636274738260744589423859871735303145687552*n^32+ 741489064268514105501749121846444697372622848*n^31+ 1349909613629433978816454350619211790778803572*n^30+ 2316030660881590693413254999094528964404830668*n^29+ 3755039991432539658270864939306949276226114084*n^28+ 5767218975719088587801159428461039333177896716*n^27+ 8408775673470990599016460479497244218739905054*n^26+ 11661260506497514745948017622215457853622018526*n^25+ 15408132032945796018391099596563008448449755589*n^24+ 19427472461477560496606007763168275315526358948*n^23+ 23407174864307215507587596349494199519402362092*n^22+ 26983276313187326181603934077753780069790964078*n^21+ 29795397299490353825983995471405791203297752667*n^20+ 31547310750917865100064153236541557690940635508*n^19+ 32058562063942019549124429267983224669764034450*n^18+ 31294372256640866527091404633787719177455162890*n^17+ 29367687184284526056608504785631620755212793915*n^16+ 26513173765365050606607801101292416843265634860*n^15+ 23042403410656931707667491961961645503542214700*n^14+ 19289331423283425027604450893860479356511410174*n^13+ 15562402449383531003858315834796703200404933361*n^12+ 12105723355609762542446004172536735713759250864*n^11+ 9084605862746506018709500127946214727045244516*n^10+ 6577805868584032943892663949819751684714974944*n^9+ 4599654459738626636771938111191355860026257200*n^8+ 3103318277575219277811751365357774995037888000*n^7+ 2026935657555561021027267886872908664669240000*n^6+ 1273071300902799227984594535314090233259520000*n^5+ 783301381744393329075832354395519766176000000*n^4+ 451974729516811558004447427019993528320000000*n^3+ 277954884872974982267710881926063904000000000*n^2+ 131209136250259473369733606558231910400000000*n+ 142618626358977688445362615824165120000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 25, : , ) -------------- = 134217728 (n + 1) n ( / Pi j 50 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 48 660800033242412219355423456859521024 n 47 + 15859200797817893264530162964628504576 n 46 + 200097965458356939529655674233730105344 n 45 + 1744953861802019172689229479915223515136 n 44 + 11738819478197454195725495462203767128064 n 43 + 64627519666437113216502119888669770776576 n 42 + 302094577092114214838860944464943672459264 n 41 + 1229349995008010964310213394551426927558656 n 40 + 4434842556131974639461383446384058025836544 n 39 + 14377674639573093646878032407679836330131456 n 38 + 42339145146112718263023619146659333653168128 n 37 + 114222479460337339826717110484283308866240512 n 36 + 284285241115583005463095018191735120709337088 n 35 + 656564252436005543080453720775224824159731712 n 34 + 1414011765499006734892511673565647336219086848 n 33 + 2851696354342679666025145538495744399902035968 n 32 + 5405053286117309404523756277477692822684837632 n 31 + 9658543317596009894795383632203083073172205568 n 30 + 16316943000443715875836450267099074034188530512 n 29 + 26124119336906906821634014020602149665978915248 n 28 + 39724820556424159226001218340228426515933304112 n 27 + 57483121917345078222642520721168440345573336688 n 26 + 79292257002122995173190627342559382042689475592 n 25 + 104426778105955396201509522371482576626919457128 n 24 + 131491199258317172522079051919820656077755475797 n 23 + 158504091171761880519924333122087281383001633276 n 22 + 183124998840725551805919485816112928024609158434 n 21 + 202991114945171419773132844752627324214826306596 n 20 + 216096235688281945025170039620149554874694436079 n 19 + 221126028391613472278189848968887475535323893296 n 18 + 217672899556625041412962845803607861435532342136 n 17 + 206280973198213973242428691293065327433738703024 n 16 + 188320277871997345135312940749891410559369747251 n 15 + 165723115491622885311108297247632106381691463324 n 14 + 140657929150898018548322431118449039309503114666 n 13 + 115201143618565541004263407592018449510279380180 n 12 + 91091034777751478842380060829416656511300702345 n 11 + 69563445035021869458410670183521044454107795080 n 10 + 51332313186215734281715830700830308950041561540 n 9 + 36605846852489736946388847687425233860181536000 n 8 + 25248467169511551945613540831192334413274631600 n 7 + 16828437484249606071742854422079514548020880000 n 6 + 10873395171772499123548103145195941060282040000 n 5 + 6766575598749392097486618533535024379776000000 n 4 + 4129807799926566734364637352149252991904000000 n 3 + 2368118329694597833675233783384335961600000000 n 2 + 1448063755959397096976132563745988729600000000 n + 681471807398554022616755304571576320000000000 n + 738261124681766857834818246619207680000000000)/ 567379696429060514517630270516972709810492932451171875 and in Maple notation: 134217728/567379696429060514517630270516972709810492932451171875*(n+1)*n*( 660800033242412219355423456859521024*n^48+ 15859200797817893264530162964628504576*n^47+ 200097965458356939529655674233730105344*n^46+ 1744953861802019172689229479915223515136*n^45+ 11738819478197454195725495462203767128064*n^44+ 64627519666437113216502119888669770776576*n^43+ 302094577092114214838860944464943672459264*n^42+ 1229349995008010964310213394551426927558656*n^41+ 4434842556131974639461383446384058025836544*n^40+ 14377674639573093646878032407679836330131456*n^39+ 42339145146112718263023619146659333653168128*n^38+ 114222479460337339826717110484283308866240512*n^37+ 284285241115583005463095018191735120709337088*n^36+ 656564252436005543080453720775224824159731712*n^35+ 1414011765499006734892511673565647336219086848*n^34+ 2851696354342679666025145538495744399902035968*n^33+ 5405053286117309404523756277477692822684837632*n^32+ 9658543317596009894795383632203083073172205568*n^31+ 16316943000443715875836450267099074034188530512*n^30+ 26124119336906906821634014020602149665978915248*n^29+ 39724820556424159226001218340228426515933304112*n^28+ 57483121917345078222642520721168440345573336688*n^27+ 79292257002122995173190627342559382042689475592*n^26+ 104426778105955396201509522371482576626919457128*n^25+ 131491199258317172522079051919820656077755475797*n^24+ 158504091171761880519924333122087281383001633276*n^23+ 183124998840725551805919485816112928024609158434*n^22+ 202991114945171419773132844752627324214826306596*n^21+ 216096235688281945025170039620149554874694436079*n^20+ 221126028391613472278189848968887475535323893296*n^19+ 217672899556625041412962845803607861435532342136*n^18+ 206280973198213973242428691293065327433738703024*n^17+ 188320277871997345135312940749891410559369747251*n^16+ 165723115491622885311108297247632106381691463324*n^15+ 140657929150898018548322431118449039309503114666*n^14+ 115201143618565541004263407592018449510279380180*n^13+ 91091034777751478842380060829416656511300702345*n^12+ 69563445035021869458410670183521044454107795080*n^11+ 51332313186215734281715830700830308950041561540*n^10+ 36605846852489736946388847687425233860181536000*n^9+ 25248467169511551945613540831192334413274631600*n^8+ 16828437484249606071742854422079514548020880000*n^7+ 10873395171772499123548103145195941060282040000*n^6+ 6766575598749392097486618533535024379776000000*n^5+ 4129807799926566734364637352149252991904000000*n^4+ 2368118329694597833675233783384335961600000000*n^3+ 1448063755959397096976132563745988729600000000*n^2+ 681471807398554022616755304571576320000000000*n+ 738261124681766857834818246619207680000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 26, : , ) -------------- = 536870912 (n + 1) n ( / Pi j 52 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 50 102360900014651461211187349943960469504 n 49 + 2559022500366286530279683748599011737600 n 48 + 33562515964606163337843762958671047294976 n 47 + 303931973078755760173432296282698834509824 n 46 + 2121981007831642632352522558011515997782016 n 45 + 12120334406692195249179242584604101628657664 n 44 + 58768704243298786461343273021835865487835136 n 43 + 248062438736149090462558552840954432571572224 n 42 + 928237358669224868827657184053507807951650816 n 41 + 3121811126546889535948093638892248783302098944 n 40 + 9538099089346820140249405325766622957443219456 n 39 + 26702790941662329083079381480161652279138975744 n 38 + 68983343944763429422099609481574992501191483392 n 37 + 165411387685781165568619648446429669028068876288 n 36 + 369968751395055480099318133493548113440631693312 n 35 + 775132186978976800153408860238217300191987212288 n 34 + 1526791105337395283992719434165225763384940916992 n 33 + 2836314992740616441853928159685956613671735116032 n 32 + 4983215151703017875151176413796318223042834055168 n 31 + 8300681064460957953669508176624119196366059743232 n 30 + 13137614378178905214606643213406022441319351725580 n 29 + 19795502706277615828105691808861182131210487900852 n 28 + 28446274221322537283882752753884894957142931210188 n 27 + 39046250118188752174598726121344788029195793541012 n 26 + 51268301902948822805839171868542056352977223224373 n 25 + 64475848287432535076946747052191815706632379628297 n 24 + 77756316770257329477616533480529789143351045158528 n 23 + 90018423747090601824392203416443783470788128968474 n 22 + 100140669755341950781199111344699518596695786195511 n 21 + 107142744448962479364112758009979498037675655902479 n 20 + 110343169676244690397564958203800559726495374368246 n 19 + 109467651052674613655109204718942268880635758378804 n 18 + 104684993894182996185493597430709691951329629917019 n 17 + 96564275829623290459495166662112573886447100948951 n 16 + 85967773048320691650461905705639402112287998084324 n 15 + 73904758835442056972737132387786333032746285552826 n 14 + 61382134276769924078030066228174062608127373623269 n 13 + 49275775937024322271512422603351204768348235765645 n 12 + 38250335436483861193753033867197402387796556821530 n 11 + 28720198025664519951841185904736406720809312882820 n 10 + 20868129910739938711866314361711139400316016970664 n 9 + 14674337548627076308703370375407042950379671350000 n 8 + 9994429242091121251176151868465329439317851180000 n 7 + 6587064804048198808233157742549490604686850680000 n 6 + 4213953780121348509599317183047272442279375120000 n 5 + 2600137083151930661816387510010511455616800000000 n 4 + 1575127879247799430626077665560311406609600000000 n 3 + 898019321374055566791211876555084774675200000000 n 2 + 546243351642716003198105630527032374822400000000 n + 256340668292280158970423002298336000000000000000 n + 276847921755662571688056842482202880000000000000)/ 867436266655967517387530894348064046729503617882080078125 and in Maple notation: 536870912/867436266655967517387530894348064046729503617882080078125*(n+1)*n*( 102360900014651461211187349943960469504*n^50+ 2559022500366286530279683748599011737600*n^49+ 33562515964606163337843762958671047294976*n^48+ 303931973078755760173432296282698834509824*n^47+ 2121981007831642632352522558011515997782016*n^46+ 12120334406692195249179242584604101628657664*n^45+ 58768704243298786461343273021835865487835136*n^44+ 248062438736149090462558552840954432571572224*n^43+ 928237358669224868827657184053507807951650816*n^42+ 3121811126546889535948093638892248783302098944*n^41+ 9538099089346820140249405325766622957443219456*n^40+ 26702790941662329083079381480161652279138975744*n^39+ 68983343944763429422099609481574992501191483392*n^38+ 165411387685781165568619648446429669028068876288*n^37+ 369968751395055480099318133493548113440631693312*n^36+ 775132186978976800153408860238217300191987212288*n^35+ 1526791105337395283992719434165225763384940916992*n^34+ 2836314992740616441853928159685956613671735116032*n^33+ 4983215151703017875151176413796318223042834055168*n^32+ 8300681064460957953669508176624119196366059743232*n^31+ 13137614378178905214606643213406022441319351725580*n^30+ 19795502706277615828105691808861182131210487900852*n^29+ 28446274221322537283882752753884894957142931210188*n^28+ 39046250118188752174598726121344788029195793541012*n^27+ 51268301902948822805839171868542056352977223224373*n^26+ 64475848287432535076946747052191815706632379628297*n^25+ 77756316770257329477616533480529789143351045158528*n^24+ 90018423747090601824392203416443783470788128968474*n^23+ 100140669755341950781199111344699518596695786195511*n^22+ 107142744448962479364112758009979498037675655902479*n^21+ 110343169676244690397564958203800559726495374368246*n^20+ 109467651052674613655109204718942268880635758378804*n^19+ 104684993894182996185493597430709691951329629917019*n^18+ 96564275829623290459495166662112573886447100948951*n^17+ 85967773048320691650461905705639402112287998084324*n^16+ 73904758835442056972737132387786333032746285552826*n^15+ 61382134276769924078030066228174062608127373623269*n^14+ 49275775937024322271512422603351204768348235765645*n^13+ 38250335436483861193753033867197402387796556821530*n^12+ 28720198025664519951841185904736406720809312882820*n^11+ 20868129910739938711866314361711139400316016970664*n^10+ 14674337548627076308703370375407042950379671350000*n^9+ 9994429242091121251176151868465329439317851180000*n^8+ 6587064804048198808233157742549490604686850680000*n^7+ 4213953780121348509599317183047272442279375120000*n^6+ 2600137083151930661816387510010511455616800000000*n^5+ 1575127879247799430626077665560311406609600000000*n^4+ 898019321374055566791211876555084774675200000000*n^3+ 546243351642716003198105630527032374822400000000*n^2+ 256340668292280158970423002298336000000000000000*n+ 276847921755662571688056842482202880000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 27, : , ) -------------- = 536870912 (n + 1) n ( / Pi j 54 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 52 215184303969627727668742551388914597232640 n 51 + 5594791903210320919387306336111779528048640 n 50 + 76165906737307972817827200480706324229783552 n 49 + 715254389000506125075877415593904956034252800 n 48 + 5175538988496840605483750110547858687680053248 n 47 + 30627692033566947275234290976554360590252900352 n 46 + 153834453259843321465607671208270735150474067968 n 45 + 672583088934217675676606124489879135245287555072 n 44 + 2606909835283402934272435047195365608364602032128 n 43 + 9082123258837677764091314193641198763132101066752 n 42 + 28748147889325202602608376793266471184545085063168 n 41 + 83395641512636400828367596556959136166623783616512 n 40 + 223283222474634694202199009623031067026616310693888 n 39 + 555011464154208173128311605601398807940907410522112 n 38 + 1287174204556536706244880979982425639421087722889216 n 37 + 2797081537397439294815068998651502416160045730996224 n 36 + 5716059731507944923176170442464332590964298921342976 n 35 + 11020435526537292212238408441322357056986426939674624 n 34 + 20101505431310471687073480921708770377251281749058816 n 33 + 34774628395917950748829592095597371218454351627771136 n 32 + 57181776046131318250641094705597394641702591427005184 n 31 + 89550843723416048167523736552943589686112781906835456 n 30 + 133803400322247887493378981952573364245404652653330020 n 29 + 191048277200807786245206650366328671650545605534635996 n 28 + 261050743085700475831527052668739819372579844342201324 n 27 + 341807966149928238737891611476351824635332882386388076 n 26 + 429371820706401148225147445887268758643454999538371029 n 25 + 518027041743281304311194747370971358714675636454644481 n 24 + 600858115647576313243871260783801579684501550824282944 n 23 + 670639080093395618489303838525234686264219994002640402 n 22 + 720887401630427811373357640449547756321913284653282503 n 21 + 746865244078328238777947054416629130630604357217336567 n 20 + 746313214101394806268025063884984846938835740226711158 n 19 + 719759076027510497473873099988750903252892344090836092 n 18 + 670349389348611956363410943943819848309330412854168187 n 17 + 603257754204989603656015777195846051586207976934541823 n 16 + 524824067086343773026706769173365361288102181511906852 n 15 + 441606510138341658627734414343086043464816373846227298 n 14 + 359548132365909600673837268255151124275023999831816637 n 13 + 283364035325727264207287078706660798389484955834997085 n 12 + 216254314712286323694519950439312983792920991615070330 n 11 + 159860187512186241326780194925537830561265493616738500 n 10 + 114510265875245025976996346563925603683401354658760232 n 9 + 79488298703394364189469438467890571081383857069334000 n 8 + 53510255170696457631315010547567857677852437015916000 n 7 + 34903233930649908419583183908575377246557612488440000 n 6 + 22124147064007224633713708836699249503781802034960000 n 5 + 13544165860765677415065745267769105474123308320000000 n 4 + 8148421467030434692538139236239050023450178240000000 n 3 + 4620878561545942910240737939752008436112761600000000 n 2 + 2797124198307031573180920612764826221774707200000000 n + 1309193687588218798780334403964338713856000000000000 n + 1409900894325774090994206281192364768768000000000000)/ 4499391915144503512689122748983408210385935265954349365234375 and in Maple notation: 536870912/4499391915144503512689122748983408210385935265954349365234375*(n+1)*n *(215184303969627727668742551388914597232640*n^52+ 5594791903210320919387306336111779528048640*n^51+ 76165906737307972817827200480706324229783552*n^50+ 715254389000506125075877415593904956034252800*n^49+ 5175538988496840605483750110547858687680053248*n^48+ 30627692033566947275234290976554360590252900352*n^47+ 153834453259843321465607671208270735150474067968*n^46+ 672583088934217675676606124489879135245287555072*n^45+ 2606909835283402934272435047195365608364602032128*n^44+ 9082123258837677764091314193641198763132101066752*n^43+ 28748147889325202602608376793266471184545085063168*n^42+ 83395641512636400828367596556959136166623783616512*n^41+ 223283222474634694202199009623031067026616310693888*n^40+ 555011464154208173128311605601398807940907410522112*n^39+ 1287174204556536706244880979982425639421087722889216*n^38+ 2797081537397439294815068998651502416160045730996224*n^37+ 5716059731507944923176170442464332590964298921342976*n^36+ 11020435526537292212238408441322357056986426939674624*n^35+ 20101505431310471687073480921708770377251281749058816*n^34+ 34774628395917950748829592095597371218454351627771136*n^33+ 57181776046131318250641094705597394641702591427005184*n^32+ 89550843723416048167523736552943589686112781906835456*n^31+ 133803400322247887493378981952573364245404652653330020*n^30+ 191048277200807786245206650366328671650545605534635996*n^29+ 261050743085700475831527052668739819372579844342201324*n^28+ 341807966149928238737891611476351824635332882386388076*n^27+ 429371820706401148225147445887268758643454999538371029*n^26+ 518027041743281304311194747370971358714675636454644481*n^25+ 600858115647576313243871260783801579684501550824282944*n^24+ 670639080093395618489303838525234686264219994002640402*n^23+ 720887401630427811373357640449547756321913284653282503*n^22+ 746865244078328238777947054416629130630604357217336567*n^21+ 746313214101394806268025063884984846938835740226711158*n^20+ 719759076027510497473873099988750903252892344090836092*n^19+ 670349389348611956363410943943819848309330412854168187*n^18+ 603257754204989603656015777195846051586207976934541823*n^17+ 524824067086343773026706769173365361288102181511906852*n^16+ 441606510138341658627734414343086043464816373846227298*n^15+ 359548132365909600673837268255151124275023999831816637*n^14+ 283364035325727264207287078706660798389484955834997085*n^13+ 216254314712286323694519950439312983792920991615070330*n^12+ 159860187512186241326780194925537830561265493616738500*n^11+ 114510265875245025976996346563925603683401354658760232*n^10+ 79488298703394364189469438467890571081383857069334000*n^9+ 53510255170696457631315010547567857677852437015916000*n^8+ 34903233930649908419583183908575377246557612488440000*n^7+ 22124147064007224633713708836699249503781802034960000*n^6+ 13544165860765677415065745267769105474123308320000000*n^5+ 8148421467030434692538139236239050023450178240000000*n^4+ 4620878561545942910240737939752008436112761600000000*n^3+ 2797124198307031573180920612764826221774707200000000*n^2+ 1309193687588218798780334403964338713856000000000000*n+ 1409900894325774090994206281192364768768000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 28, : , ) -------------- = 2147483648 (n + 1) n ( / Pi j 56 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 54 1354883835009006859144493661203083617632256 n 53 + 36581863545243185196901328852483257676070912 n 52 + 516250137008820476085696400662096551711080448 n 51 + 5020868901338480844673101224094188831550472192 n 50 + 37605592812812870618051755218876134720704348160 n 49 + 230274651873755776134347591059501905612982190080 n 48 + 1196574881084405182047771493859896466088963080192 n 47 + 5411912833998911033080408842053369452014503723008 n 46 + 21699355430734434796968997691056794432487678410752 n 45 + 78207316472952949176973045778755582894522454376448 n 44 + 256125524794036529993428076787465424706938141540352 n 43 + 768829741673280086560564786720222739538847074746368 n 42 + 2130403673447036817532327813117085443846058970447872 n 41 + 5481687331250124616670973359580480792264831496880128 n 40 + 13162987504724352386369152339385460118203570816745472 n 39 + 29623414900993925872322407740307103384023772213936128 n 38 + 62712830188287722192096453947842216128237867347794944 n 37 + 125288993186943445654736412893650459976084488230163456 n 36 + 236880689978017008531984820125606632397798764117817344 n 35 + 424903180568398129340680779987095978209782716542944256 n 34 + 724699209868884185514421129661622540587652264142706432 n 33 + 1177593112739488911888445721603843698283129092750017280 n 32 + 1826321493721425279056538227411631687188083094569750400 n 31 + 2707715111728668013758900573818939739383782570433413120 n 30 + 3843314103770361814286168202634738561934088522308434481 n 29 + 5229517302282418234736375618862175603383845273427619039 n 28 + 6829593000290133587152046325141651008125614661488525941 n 27 + 8570082218723539868778017816801793253077605484532643359 n 26 + 10343588248780029740212598878805335042267412648893658681 n 25 + 12018672076065810795313217900571864549117660558068774619 n 24 + 13455851528945962508004973227935358339734232345761577081 n 23 + 14527010807604907094210655888916588909929472118262427563 n 22 + 15134424940829620446377213883929610942128740995486914247 n 21 + 15225442802670680761711850738377700031014938554209408253 n 20 + 14799798171916950116714352298692376819309432712210143647 n 19 + 13908180173135176742219459276078949979970754561167756253 n 18 + 12642751931440007740192153404673602066194816248318608723 n 17 + 11121921070100704075785682057360416349045285563571798377 n 16 + 9472826497188381202611237491831851043614642440236962323 n 15 + 7814815672485650844401335444908875097949524207545219577 n 14 + 6246893635611468179027036763210658643173558758198553404 n 13 + 4840194144221218066481172013830871157635347830085128352 n 12 + 3636321668111784328947471972272855844875950916884840608 n 11 + 2649545437740177816294358361105490421023412539892931232 n 10 + 1873034214675105023176400868462309821339140246990266240 n 9 + 1284706720078767942560241757687981405695037230684000000 n 8 + 855548646416218844001712431577891613721682036596960000 n 7 + 552709316593828783488565165842608700234148592643360000 n 6 + 347369245867587607903883495131175934071728990243200000 n 5 + 211107096273071824800553859995073617412903884800000000 n 4 + 126195024694931094763879584745019522365610841600000000 n 3 + 71209776573175105792350952383058356563253043200000000 n 2 + 42910700017793397951354476079692241848646144000000000 n + 20035433761471526556233457680102025661440000000000000 n + 21519539966024972967806306397146620154880000000000000)/ 279605069012551289717109770829683224502554548670020281982421875 and in Maple notation: 2147483648/279605069012551289717109770829683224502554548670020281982421875*(n+1 )*n*(1354883835009006859144493661203083617632256*n^54+ 36581863545243185196901328852483257676070912*n^53+ 516250137008820476085696400662096551711080448*n^52+ 5020868901338480844673101224094188831550472192*n^51+ 37605592812812870618051755218876134720704348160*n^50+ 230274651873755776134347591059501905612982190080*n^49+ 1196574881084405182047771493859896466088963080192*n^48+ 5411912833998911033080408842053369452014503723008*n^47+ 21699355430734434796968997691056794432487678410752*n^46+ 78207316472952949176973045778755582894522454376448*n^45+ 256125524794036529993428076787465424706938141540352*n^44+ 768829741673280086560564786720222739538847074746368*n^43+ 2130403673447036817532327813117085443846058970447872*n^42+ 5481687331250124616670973359580480792264831496880128*n^41+ 13162987504724352386369152339385460118203570816745472*n^40+ 29623414900993925872322407740307103384023772213936128*n^39+ 62712830188287722192096453947842216128237867347794944*n^38+ 125288993186943445654736412893650459976084488230163456*n^37+ 236880689978017008531984820125606632397798764117817344*n^36+ 424903180568398129340680779987095978209782716542944256*n^35+ 724699209868884185514421129661622540587652264142706432*n^34+ 1177593112739488911888445721603843698283129092750017280*n^33+ 1826321493721425279056538227411631687188083094569750400*n^32+ 2707715111728668013758900573818939739383782570433413120*n^31+ 3843314103770361814286168202634738561934088522308434481*n^30+ 5229517302282418234736375618862175603383845273427619039*n^29+ 6829593000290133587152046325141651008125614661488525941*n^28+ 8570082218723539868778017816801793253077605484532643359*n^27+ 10343588248780029740212598878805335042267412648893658681*n^26+ 12018672076065810795313217900571864549117660558068774619*n^25+ 13455851528945962508004973227935358339734232345761577081*n^24+ 14527010807604907094210655888916588909929472118262427563*n^23+ 15134424940829620446377213883929610942128740995486914247*n^22+ 15225442802670680761711850738377700031014938554209408253*n^21+ 14799798171916950116714352298692376819309432712210143647*n^20+ 13908180173135176742219459276078949979970754561167756253*n^19+ 12642751931440007740192153404673602066194816248318608723*n^18+ 11121921070100704075785682057360416349045285563571798377*n^17+ 9472826497188381202611237491831851043614642440236962323*n^16+ 7814815672485650844401335444908875097949524207545219577*n^15+ 6246893635611468179027036763210658643173558758198553404*n^14+ 4840194144221218066481172013830871157635347830085128352*n^13+ 3636321668111784328947471972272855844875950916884840608*n^12+ 2649545437740177816294358361105490421023412539892931232*n^11+ 1873034214675105023176400868462309821339140246990266240*n^10+ 1284706720078767942560241757687981405695037230684000000*n^9+ 855548646416218844001712431577891613721682036596960000*n^8+ 552709316593828783488565165842608700234148592643360000*n^7+ 347369245867587607903883495131175934071728990243200000*n^6+ 211107096273071824800553859995073617412903884800000000*n^5+ 126195024694931094763879584745019522365610841600000000*n^4+ 71209776573175105792350952383058356563253043200000000*n^3+ 42910700017793397951354476079692241848646144000000000*n^2+ 20035433761471526556233457680102025661440000000000000*n+ 21519539966024972967806306397146620154880000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 29, : , ) -------------- = 2147483648 (n + 1) n ( / Pi j 58 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 56 23460410972932035648142360766160944045752320 n 55 + 656891507242096998147986101452506433281064960 n 54 + 9597690351180786566273520367240377227708203008 n 53 + 96556991439462230247758489805994842911057903616 n 52 + 747692389243691681185098925158827850838304620544 n 51 + 4731950853154604554022752223048861253312075268096 n 50 + 25408255531178558888212062059284762320594450513920 n 49 + 118737072944972416533421768436412860480699697725440 n 48 + 491897071459813761179801377291339193783927403708416 n 47 + 1831818617804428040514323454772011679934539664195584 n 46 + 6199135013948699567720195186877439664072334002487296 n 45 + 19231059141536313014072637242852191199543375437103104 n 44 + 55080133850660861441408674443525962515573327936618496 n 43 + 146515771179450609089420977586007065633942020146724864 n 42 + 363788394372111476666837034717690303677196069460115456 n 41 + 846740053588358696140958045548819008984755713474822144 n 40 + 1854370889712434366439198727291658604284026094979424256 n 39 + 3833456213994143087298961699825721835508967554997714944 n 38 + 7501771333309539868847271638563636843393801607673562112 n 37 + 13931776442381000799909450507974842148427486607368997888 n 36 + 24608700644002675656297226373634983336746152528055772672 n 35 + 41426529284860757105476516525477140768686205931920160768 n 34 + 66581982247134542722417698823622482519180658385836324096 n 33 + 102335918248298617598506722900385057087746562950557244160 n 32 + 150636976184131494091749440858792771497354876051996927520 n 31 + 212641638028560954484559629271626267232323471614226700800 n 30 + 288209530712934568066291322355912672308926326771761038883 n 29 + 375488401756509144945171741924522242287128298846998806797 n 28 + 470714312474543121123225813816529534529535012233268990893 n 27 + 568328415485504226395735190508182402370948798724269511857 n 26 + 661451994190863241948076729525739475368913307771391060413 n 25 + 742678406068267641961515414674458901661153943276217807937 n 24 + 805057006801672270633174013925285391504169794926876634713 n 23 + 843085060493549797410723193002541930058836426970638203549 n 22 + 853509649989984647869197957521144123205001728784112219031 n 21 + 835777501142014874350828978256952430310765024136690721119 n 20 + 792049487330881639428200321424858208101759015444983754231 n 19 + 726791863382677389030042205268702566727000019278987226819 n 18 + 646047887956778089903840857482657094283300611521220016479 n 17 + 556546786343025465897691775104022874958236229149310767771 n 16 + 464828912171271589905204878375388282560784070695252156099 n 15 + 376527460024770417523366728436440235764082789194310336431 n 14 + 295910497516357979225374368313391601054284899341697614762 n 13 + 225691428351952223830648612349630563195893585149379551736 n 12 + 167106125135161392100623596122635045300751090684359395424 n 11 + 120140303224448300135455616665898865137443729396793087616 n 10 + 83896707435586674563497264615057294004716251404644368960 n 9 + 56908006891994886315982540546647321359844009480621072000 n 8 + 37519194391618083578597214956483396465380487609389920000 n 7 + 24022751850461239460155188060797239011557151573797280000 n 6 + 14978589732945061807019819653228340983445513384788800000 n 5 + 9041256547063326805668323771595895380844943532480000000 n 4 + 5372546451883272097374567382180019097015807878400000000 n 3 + 3017671336071112523089712368650121160842121625600000000 n 2 + 1810810035188958730883894132156307828417551616000000000 n + 843565966668178940338007210768147510071296000000000000 n + 903820678573048864647864868680158046504960000000000000)/ 11945885534708656826189620898550948798574658131108797564697265625 and in Maple notation: 2147483648/11945885534708656826189620898550948798574658131108797564697265625*(n +1)*n*(23460410972932035648142360766160944045752320*n^56+ 656891507242096998147986101452506433281064960*n^55+ 9597690351180786566273520367240377227708203008*n^54+ 96556991439462230247758489805994842911057903616*n^53+ 747692389243691681185098925158827850838304620544*n^52+ 4731950853154604554022752223048861253312075268096*n^51+ 25408255531178558888212062059284762320594450513920*n^50+ 118737072944972416533421768436412860480699697725440*n^49+ 491897071459813761179801377291339193783927403708416*n^48+ 1831818617804428040514323454772011679934539664195584*n^47+ 6199135013948699567720195186877439664072334002487296*n^46+ 19231059141536313014072637242852191199543375437103104*n^45+ 55080133850660861441408674443525962515573327936618496*n^44+ 146515771179450609089420977586007065633942020146724864*n^43+ 363788394372111476666837034717690303677196069460115456*n^42+ 846740053588358696140958045548819008984755713474822144*n^41+ 1854370889712434366439198727291658604284026094979424256*n^40+ 3833456213994143087298961699825721835508967554997714944*n^39+ 7501771333309539868847271638563636843393801607673562112*n^38+ 13931776442381000799909450507974842148427486607368997888*n^37+ 24608700644002675656297226373634983336746152528055772672*n^36+ 41426529284860757105476516525477140768686205931920160768*n^35+ 66581982247134542722417698823622482519180658385836324096*n^34+ 102335918248298617598506722900385057087746562950557244160*n^33+ 150636976184131494091749440858792771497354876051996927520*n^32+ 212641638028560954484559629271626267232323471614226700800*n^31+ 288209530712934568066291322355912672308926326771761038883*n^30+ 375488401756509144945171741924522242287128298846998806797*n^29+ 470714312474543121123225813816529534529535012233268990893*n^28+ 568328415485504226395735190508182402370948798724269511857*n^27+ 661451994190863241948076729525739475368913307771391060413*n^26+ 742678406068267641961515414674458901661153943276217807937*n^25+ 805057006801672270633174013925285391504169794926876634713*n^24+ 843085060493549797410723193002541930058836426970638203549*n^23+ 853509649989984647869197957521144123205001728784112219031*n^22+ 835777501142014874350828978256952430310765024136690721119*n^21+ 792049487330881639428200321424858208101759015444983754231*n^20+ 726791863382677389030042205268702566727000019278987226819*n^19+ 646047887956778089903840857482657094283300611521220016479*n^18+ 556546786343025465897691775104022874958236229149310767771*n^17+ 464828912171271589905204878375388282560784070695252156099*n^16+ 376527460024770417523366728436440235764082789194310336431*n^15+ 295910497516357979225374368313391601054284899341697614762*n^14+ 225691428351952223830648612349630563195893585149379551736*n^13+ 167106125135161392100623596122635045300751090684359395424*n^12+ 120140303224448300135455616665898865137443729396793087616*n^11+ 83896707435586674563497264615057294004716251404644368960*n^10+ 56908006891994886315982540546647321359844009480621072000*n^9+ 37519194391618083578597214956483396465380487609389920000*n^8+ 24022751850461239460155188060797239011557151573797280000*n^7+ 14978589732945061807019819653228340983445513384788800000*n^6+ 9041256547063326805668323771595895380844943532480000000*n^5+ 5372546451883272097374567382180019097015807878400000000*n^4+ 3017671336071112523089712368650121160842121625600000000*n^3+ 1810810035188958730883894132156307828417551616000000000*n^2+ 843565966668178940338007210768147510071296000000000000*n+ 903820678573048864647864868680158046504960000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 30, : , ) -------------- = 2147483648 (n + 1) n ( / Pi j 60 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 58 7829079893089655701756322915157452355460315956117504 n 57 + 227043316899600015350933364539566118308349162727407616 n 56 + 3430499339215867311097947635564239875563171121048059904 n 55 + 35660459202750680627394258828274129045747914103855251456 n 54 + 285176450769407271800822355784154710498371429099009736704 n 53 + 1863279871710236285467864157066797324399453270600864235520 n 52 + 10327036738752229837253080938046286113888841887025610096640 n 51 + 49808820390089010722027068576391059232163756046222591262720 n 50 + 212960610149201721834703973511631958461086558508841571450880 n 49 + 818506449460253566925047530748724797534721671157600768491520 n 48 + 2858995823541171175129426987954907335401958226425644083838976 n 47 + 9155288494482501712378074732300712005031914444411984542695424 n 46 + 27071156510285130527133529425181841635145481950294196261093376 n 45 + 74354441265778427637996045320166085175316794963114450081153024 n 44 + 190659982817491012432245568922807721157026697300345114903576576 n 43 + 458389941267710682011400297605979578904721741223905977446825984 n 42 + 1037169468126830949108184077705298218164801828559223364537122816 n 41 + 2215709251583664672036891975509136504919091912567678369046953984 n 40 + 4481906550384089134626984570184901017518283278820001545946300416 n 39 + 8605892219253369471490564287963571076807459410567011951641821184 n 38 + 15721285303096272056419508505436894392313708153020957354152786944 n 37 + 27378707819838061203597733556760239193418192055779424809426236416 n 36 + 45536175445260419299860952662230772272973678239379494422730527744 n 35 + 72448421316300481706083240672407722669788572340293703421408500736 n 34 + 110426687980255440150093481716230290042115260334997794984725270144 n 33 + 161464839409136047462082935948823432923120063696365115109217375872 n 32 + 226764815288557268490681060485568537658041954281618567316622215808 n 31 + 306236451895422597540709786638616444844312553469581320118705462272 n 30 + 398080583575530388231799075951396486994143128409629910436779887003 n 29 + 498575899003229053699809319721566907160198796386770875751622680597 n 28 + 602169210418304792600290948076645767417320649513407201479967341443 n 27 + 701914574252008862343115302403739270658515874256827361243933600157 n 26 + 790229611004468278947119817621528112920741233899063825802087191543 n 25 + 859857172373126199969698845765674941328437309022498008183412078057 n 24 + 904860967268733101892781505214689282034683557098242286026199695343 n 23 + 921463510419427003927385311368063357596526303298565796114312713649 n 22 + 908562414379542578234572350705686316092088518182328142394281498801 n 21 + 867828764655580187466072525122565240514646706261745677138977376399 n 20 + 803382510552766151294266572141878544002061490656665378376479052201 n 19 + 721126119912614093899277181393958932883821803125513853627352182199 n 18 + 627882574178267325763729165250291787833497241992316874511700027133 n 17 + 530503833776168687530045028634238867759637938734904670520126852387 n 16 + 435105528595376455284788488944104155132248874036234130517073908933 n 15 + 346526972871340468041113596634620935176543232212335505467189507227 n 14 + 268069893003067755913976848231334457046690090982488370259024484608 n 13 + 201485791920626374962878464715191334794431595783189972057283235600 n 12 + 147178443902252025800882678222914660477238525201434353235144558560 n 11 + 104504086743994726317867722138905741543830832871418230974996500000 n 10 + 72150534364767615451129832371529214467572661159657669050071360000 n 9 + 48436210886007889299146747260048989658631726729157699947769600000 n 8 + 31636452589167496678219410419064298414013396388314467844032800000 n 7 + 20088050623274497246898446359566712761003463605011325426700000000 n 6 + 12432912079312549799285496350527613569397876848672639704000000000 n 5 + 7457194377769931962946381934009864306334436825062775664000000000 n 4 + 4406695062650370256708512229375486535809856763839366016000000000 n 3 + 2464520244019177854935667341396999433494127248707824000000000000 n 2 + 1473095108369934700412019366183548747356895786797824000000000000 n + 684785973483552626337620888023115637025003828224000000000000000 n + 732012592344487290222974052714364991302590299136000000000000000)/ 9836332758820888795846560496141366749693010693936908375001256744384765625 and in Maple notation: 2147483648/ 9836332758820888795846560496141366749693010693936908375001256744384765625*(n+1) *n*(7829079893089655701756322915157452355460315956117504*n^58+ 227043316899600015350933364539566118308349162727407616*n^57+ 3430499339215867311097947635564239875563171121048059904*n^56+ 35660459202750680627394258828274129045747914103855251456*n^55+ 285176450769407271800822355784154710498371429099009736704*n^54+ 1863279871710236285467864157066797324399453270600864235520*n^53+ 10327036738752229837253080938046286113888841887025610096640*n^52+ 49808820390089010722027068576391059232163756046222591262720*n^51+ 212960610149201721834703973511631958461086558508841571450880*n^50+ 818506449460253566925047530748724797534721671157600768491520*n^49+ 2858995823541171175129426987954907335401958226425644083838976*n^48+ 9155288494482501712378074732300712005031914444411984542695424*n^47+ 27071156510285130527133529425181841635145481950294196261093376*n^46+ 74354441265778427637996045320166085175316794963114450081153024*n^45+ 190659982817491012432245568922807721157026697300345114903576576*n^44+ 458389941267710682011400297605979578904721741223905977446825984*n^43+ 1037169468126830949108184077705298218164801828559223364537122816*n^42+ 2215709251583664672036891975509136504919091912567678369046953984*n^41+ 4481906550384089134626984570184901017518283278820001545946300416*n^40+ 8605892219253369471490564287963571076807459410567011951641821184*n^39+ 15721285303096272056419508505436894392313708153020957354152786944*n^38+ 27378707819838061203597733556760239193418192055779424809426236416*n^37+ 45536175445260419299860952662230772272973678239379494422730527744*n^36+ 72448421316300481706083240672407722669788572340293703421408500736*n^35+ 110426687980255440150093481716230290042115260334997794984725270144*n^34+ 161464839409136047462082935948823432923120063696365115109217375872*n^33+ 226764815288557268490681060485568537658041954281618567316622215808*n^32+ 306236451895422597540709786638616444844312553469581320118705462272*n^31+ 398080583575530388231799075951396486994143128409629910436779887003*n^30+ 498575899003229053699809319721566907160198796386770875751622680597*n^29+ 602169210418304792600290948076645767417320649513407201479967341443*n^28+ 701914574252008862343115302403739270658515874256827361243933600157*n^27+ 790229611004468278947119817621528112920741233899063825802087191543*n^26+ 859857172373126199969698845765674941328437309022498008183412078057*n^25+ 904860967268733101892781505214689282034683557098242286026199695343*n^24+ 921463510419427003927385311368063357596526303298565796114312713649*n^23+ 908562414379542578234572350705686316092088518182328142394281498801*n^22+ 867828764655580187466072525122565240514646706261745677138977376399*n^21+ 803382510552766151294266572141878544002061490656665378376479052201*n^20+ 721126119912614093899277181393958932883821803125513853627352182199*n^19+ 627882574178267325763729165250291787833497241992316874511700027133*n^18+ 530503833776168687530045028634238867759637938734904670520126852387*n^17+ 435105528595376455284788488944104155132248874036234130517073908933*n^16+ 346526972871340468041113596634620935176543232212335505467189507227*n^15+ 268069893003067755913976848231334457046690090982488370259024484608*n^14+ 201485791920626374962878464715191334794431595783189972057283235600*n^13+ 147178443902252025800882678222914660477238525201434353235144558560*n^12+ 104504086743994726317867722138905741543830832871418230974996500000*n^11+ 72150534364767615451129832371529214467572661159657669050071360000*n^10+ 48436210886007889299146747260048989658631726729157699947769600000*n^9+ 31636452589167496678219410419064298414013396388314467844032800000*n^8+ 20088050623274497246898446359566712761003463605011325426700000000*n^7+ 12432912079312549799285496350527613569397876848672639704000000000*n^6+ 7457194377769931962946381934009864306334436825062775664000000000*n^5+ 4406695062650370256708512229375486535809856763839366016000000000*n^4+ 2464520244019177854935667341396999433494127248707824000000000000*n^3+ 1473095108369934700412019366183548747356895786797824000000000000*n^2+ 684785973483552626337620888023115637025003828224000000000000000*n+ 732012592344487290222974052714364991302590299136000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 31, : , ) -------------- = 2147483648 (n + 1) n ( / Pi j 62 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 60 307065151586427550154289387322184781552788837498880 n 59 + 9211954547592826504628681619665543446583665124966400 n 58 + 143782175757980453532567949152054764387957573758746624 n 57 + 1542740725159545460874524816868297361066661134200733696 n 56 + 12728000493233407714670658994786635227628518588352036864 n 55 + 85768315099020748609675962261455359218861231231977127936 n 54 + 490164278893412596194459260689357366928740334366122573824 n 53 + 2437487468496298404004331887074982840707945256923451883520 n 52 + 10744526511036767394859943893770792423150616564838453739520 n 51 + 42576105849161132966884892775575950072892279863764970373120 n 50 + 153332790128518185322000425141197781860221471726209838612480 n 49 + 506299868485682947279469202995515637099709846986996968325120 n 48 + 1543852512920447257162492883081902696125527335249720907923456 n 47 + 4373495687843331150997745213383355135643037411327634617401344 n 46 + 11568390884524094469872531390517550279785790529312222795923456 n 45 + 28695720419400191290545441085680410203711276366629067394514944 n 44 + 67001546815340090599486734800156354295699391039744523642208256 n 43 + 147737942328692064585173692583829432539743898842068682389192704 n 42 + 308520158295252843403116929253831129873483362118585305851396096 n 41 + 611731992447239602398743853855255908322370421676006988203720704 n 40 + 1154267263563010031425536740638422923310841424489848608791412736 n 39 + 2076815737775881329358352781466940016635935645096571326651695104 n 38 + 3569659987728153061640274316121005758476145758559166897419172864 n 37 + 5870943056009496992006079416484966230964867369625040136840836096 n 36 + 9253150604391487171733908975953007669998541677105915957024169984 n 35 + 13994672300831215950049242567741055466367244893698500294248559616 n 34 + 20336051614345755509087047748468604922241337470620229691260808064 n 33 + 28424673385727522815966262398366715450611459636314967245865768832 n 32 + 38256308918493866058929422130477324121095216850282049228585780288 n 31 + 49625746969864414933539914997735212904926888775879852017476370432 n 30 + 62100152683906529481149545847019193845046000031007112186086681343 n 29 + 75026693349616179597496374080208817414310229597240551812783407857 n 28 + 87580178014777591291108454105167779475246870716081641916951062983 n 27 + 98848005605511883740159416629848635636307971291255619685061920217 n 26 + 107940693966644864227529348143543228743401939839138612158752125483 n 25 + 114109192226315629997309690040415334624052831651244556254692312117 n 24 + 116847261871092065444423105282873785054539150151506755125600399683 n 23 + 115959448702793176384741605712442200145812774063430404614630591069 n 22 + 111582172882079232975807371624264067925407394734962901227142636381 n 21 + 104155257149402443667883086785931736470951334507145693304999598819 n 20 + 94351386026417559771142577414176410130426607999844841968449103861 n 19 + 82978620255025375326842802063747328164422147101950934785146231019 n 18 + 70875036722127863218706457316321301165080758150569855877947558073 n 17 + 58813406558609108870475717334710250567307740055740341567881020647 n 16 + 47429889869171726071680373357017235501893683252940358470761527713 n 15 + 37183160982833224010703366842381640360906203371393130961193765887 n 14 + 28345061898942059821605149773511609923103042653651453316511138048 n 13 + 21016009614353542370400765518977818770504644602154340778853698000 n 12 + 15159019277566472234121045140455587971357141607192796085471199840 n 11 + 10639390108536497875906452121728101467142805145488977224373584800 n 10 + 7267815552068455912642424761213244117579624619004138772398963200 n 9 + 4832092081512830585232099531215110332617156548769614771526400000 n 8 + 3128661445645092127825482119812185414011206919661266662269600000 n 7 + 1971182351524187254353296042258594793724126207034230120476000000 n 6 + 1211599344022807427673142198144457028847386995854241870016000000 n 5 + 722412571055944930210893425831135362738251648020860848000000000 n 4 + 424684172854340479929750357667160650743908765750632320000000000 n 3 + 236555737930293170946389782323460360947853237093196160000000000 n 2 + 140876919367733072342513624987741135124015954726635520000000000 n + 65358267173614936627051254706639731366302705280000000000000000 n + 69715484985189265735521338353749046790722885632000000000000000)/ 951903170208473109275473596400777427389646196187442745967863555908203125 and in Maple notation: 2147483648/ 951903170208473109275473596400777427389646196187442745967863555908203125*(n+1)* n*(307065151586427550154289387322184781552788837498880*n^60+ 9211954547592826504628681619665543446583665124966400*n^59+ 143782175757980453532567949152054764387957573758746624*n^58+ 1542740725159545460874524816868297361066661134200733696*n^57+ 12728000493233407714670658994786635227628518588352036864*n^56+ 85768315099020748609675962261455359218861231231977127936*n^55+ 490164278893412596194459260689357366928740334366122573824*n^54+ 2437487468496298404004331887074982840707945256923451883520*n^53+ 10744526511036767394859943893770792423150616564838453739520*n^52+ 42576105849161132966884892775575950072892279863764970373120*n^51+ 153332790128518185322000425141197781860221471726209838612480*n^50+ 506299868485682947279469202995515637099709846986996968325120*n^49+ 1543852512920447257162492883081902696125527335249720907923456*n^48+ 4373495687843331150997745213383355135643037411327634617401344*n^47+ 11568390884524094469872531390517550279785790529312222795923456*n^46+ 28695720419400191290545441085680410203711276366629067394514944*n^45+ 67001546815340090599486734800156354295699391039744523642208256*n^44+ 147737942328692064585173692583829432539743898842068682389192704*n^43+ 308520158295252843403116929253831129873483362118585305851396096*n^42+ 611731992447239602398743853855255908322370421676006988203720704*n^41+ 1154267263563010031425536740638422923310841424489848608791412736*n^40+ 2076815737775881329358352781466940016635935645096571326651695104*n^39+ 3569659987728153061640274316121005758476145758559166897419172864*n^38+ 5870943056009496992006079416484966230964867369625040136840836096*n^37+ 9253150604391487171733908975953007669998541677105915957024169984*n^36+ 13994672300831215950049242567741055466367244893698500294248559616*n^35+ 20336051614345755509087047748468604922241337470620229691260808064*n^34+ 28424673385727522815966262398366715450611459636314967245865768832*n^33+ 38256308918493866058929422130477324121095216850282049228585780288*n^32+ 49625746969864414933539914997735212904926888775879852017476370432*n^31+ 62100152683906529481149545847019193845046000031007112186086681343*n^30+ 75026693349616179597496374080208817414310229597240551812783407857*n^29+ 87580178014777591291108454105167779475246870716081641916951062983*n^28+ 98848005605511883740159416629848635636307971291255619685061920217*n^27+ 107940693966644864227529348143543228743401939839138612158752125483*n^26+ 114109192226315629997309690040415334624052831651244556254692312117*n^25+ 116847261871092065444423105282873785054539150151506755125600399683*n^24+ 115959448702793176384741605712442200145812774063430404614630591069*n^23+ 111582172882079232975807371624264067925407394734962901227142636381*n^22+ 104155257149402443667883086785931736470951334507145693304999598819*n^21+ 94351386026417559771142577414176410130426607999844841968449103861*n^20+ 82978620255025375326842802063747328164422147101950934785146231019*n^19+ 70875036722127863218706457316321301165080758150569855877947558073*n^18+ 58813406558609108870475717334710250567307740055740341567881020647*n^17+ 47429889869171726071680373357017235501893683252940358470761527713*n^16+ 37183160982833224010703366842381640360906203371393130961193765887*n^15+ 28345061898942059821605149773511609923103042653651453316511138048*n^14+ 21016009614353542370400765518977818770504644602154340778853698000*n^13+ 15159019277566472234121045140455587971357141607192796085471199840*n^12+ 10639390108536497875906452121728101467142805145488977224373584800*n^11+ 7267815552068455912642424761213244117579624619004138772398963200*n^10+ 4832092081512830585232099531215110332617156548769614771526400000*n^9+ 3128661445645092127825482119812185414011206919661266662269600000*n^8+ 1971182351524187254353296042258594793724126207034230120476000000*n^7+ 1211599344022807427673142198144457028847386995854241870016000000*n^6+ 722412571055944930210893425831135362738251648020860848000000000*n^5+ 424684172854340479929750357667160650743908765750632320000000000*n^4+ 236555737930293170946389782323460360947853237093196160000000000*n^3+ 140876919367733072342513624987741135124015954726635520000000000*n^2+ 65358267173614936627051254706639731366302705280000000000000000*n+ 69715484985189265735521338353749046790722885632000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 32, : , ) -------------- = 274877906944 (n + 1) n ( / Pi j 64 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 62 7685686796064714770508936058889412390147899397242880 n 61 + 238256290678006157885777017825571784094584881314529280 n 60 + 3837609023146169235114864889753181285387856061598269440 n 59 + 42460102037593198898283956255796044412787293047016652800 n 58 + 361052207238579575341331088356620435446332358491935604736 n 57 + 2506816131257510583187365557976279409186448436971672961024 n 56 + 14758336399225696213113190835671708299756049199634019516416 n 55 + 75594275614056797972521414524976992612060108328573593452544 n 54 + 343212014007442118691851071290580325228071051166859553406976 n 53 + 1400777077515757509593633068826428925936670008970788088053760 n 52 + 5196157730881393028173516213626567919843099271275635015680000 n 51 + 17673789820357076611928170390601451457571993954671839312609280 n 50 + 55519364226405750802440156475256015724900290915772902642155520 n 49 + 162045336926425120639764878149894979729005502223142404576378880 n 48 + 441683459539340544770759533261881604766132393473729212544385024 n 47 + 1129157836501669002125630129723450461648398847488074908514123776 n 46 + 2717676028068324722835299663805936110991388472386815356676737024 n 45 + 6178208880770811350991731224568993989220195600109294584765003776 n 44 + 13304543225237649907672119592503172397470895814412373814625409024 n 43 + 27209284412395278518233643077505727210000910943743774003788937216 n 42 + 52966407725541387289956082610095037199546870539775926034971585024 n 41 + 98340825839841414123544618858631548422680569162583194555150291456 n 40 + 174466725827673677774206572410949408304938644012107221533099035904 n 39 + 296248430846212101026085468526704602050127985807098778782463164416 n 38 + 482188776009081152082270314462154977134854539045135796778519392176 n 37 + 753339087390870487437849621962360880691543019684979369577105778704 n 36 + 1131149046256260889588795131191031201213546108267405126628818689216 n 35 + 1634192770091965169972256209632621504803515291571575896289386155664 n 34 + 2274042896757082990798675707176259903498295049672583137585497342046 n 33 + 3050897392126505519109375921068076734773833126485252800498406703118 n 32 + 3949838422033030827104308657844227758961194071181130731946039061537 n 31 + 4938712500491780036234735382929673101370019088273880408802396563328 n 30 + 5968486597506343824055109064303420159733890665883151616646218067872 n 29 + 6976538864417318762179992207108097527645638841118645776359467568728 n 28 + 7892750543966937962197250435532397595847483388069837573273832447132 n 27 + 8647616000888084385538412730916977071106656024669864817975534741568 n 26 + 9181056684269319931881285488324944332546413755805417279548846409132 n 25 + 9450368216232433214484145961608878672430558138518102640700522728068 n 24 + 9435835542049271322843515714540578530322941914061142563893660285382 n 23 + 9143000239908705691667820386481352643253431909851296038364913114176 n 22 + 8601247264986046999560411273011565883764813182419854269523537262704 n 21 + 7859110237071907040760334597374080724738266036456662410409412815656 n 20 + 6977304763142533969582095972047761904221824643855507859112865480764 n 19 + 6020829347769790276475255421646051741540766547309991526820763384176 n 18 + 5051506464954293677144844733827202455705326203626499883606827598182 n 17 + 4122047994028854848121092043398945906832855574904034578181776283678 n 16 + 3272317990370538678778956714790796968970371307181110478046890290337 n 15 + 2527907955069638288371802355752182984196096171696356501485925256448 n 14 + 1900802529706315715358444768521139081326560530775278121844225493072 n 13 + 1391480660064147639085609560676708796089840465152916325549275596480 n 12 + 991922712428956678564142137795810607109552948035047973859093744480 n 11 + 688664751937832991173570608246707458424912820471387814347181952000 n 10 + 465772925685149413571797055534400526876006175939966839048111008000 n 9 + 306885052388212724380408608930198066561995179408736322036235200000 n 8 + 197082100247773522459706718823743132901470779535388617834698400000 n 7 + 123267422212453934755099424828901227532061760708509887421440000000 n 6 + 75277964752419744376781049174393799155743231051380187418240000000 n 5 + 44635436427225448572491222759748645167165922201778909440000000000 n 4 + 26112353060512611893900182272835705317492090113030295168000000000 n 3 + 14490072566531392644936149118184842508181172339619430400000000000 n 2 + 8599732901909217183293832596586161663367197732761804800000000000 n + 3982314259451178441682559806591602018951188050944000000000000000 n + 4239237760060931889533047536049124729851264699392000000000000000)/752\ 479456049797992882261877954814556351515318086173490687596140945434570312\ 5 and in Maple notation: 274877906944/ 7524794560497979928822618779548145563515153180861734906875961409454345703125*(n +1)*n*(7685686796064714770508936058889412390147899397242880*n^62+ 238256290678006157885777017825571784094584881314529280*n^61+ 3837609023146169235114864889753181285387856061598269440*n^60+ 42460102037593198898283956255796044412787293047016652800*n^59+ 361052207238579575341331088356620435446332358491935604736*n^58+ 2506816131257510583187365557976279409186448436971672961024*n^57+ 14758336399225696213113190835671708299756049199634019516416*n^56+ 75594275614056797972521414524976992612060108328573593452544*n^55+ 343212014007442118691851071290580325228071051166859553406976*n^54+ 1400777077515757509593633068826428925936670008970788088053760*n^53+ 5196157730881393028173516213626567919843099271275635015680000*n^52+ 17673789820357076611928170390601451457571993954671839312609280*n^51+ 55519364226405750802440156475256015724900290915772902642155520*n^50+ 162045336926425120639764878149894979729005502223142404576378880*n^49+ 441683459539340544770759533261881604766132393473729212544385024*n^48+ 1129157836501669002125630129723450461648398847488074908514123776*n^47+ 2717676028068324722835299663805936110991388472386815356676737024*n^46+ 6178208880770811350991731224568993989220195600109294584765003776*n^45+ 13304543225237649907672119592503172397470895814412373814625409024*n^44+ 27209284412395278518233643077505727210000910943743774003788937216*n^43+ 52966407725541387289956082610095037199546870539775926034971585024*n^42+ 98340825839841414123544618858631548422680569162583194555150291456*n^41+ 174466725827673677774206572410949408304938644012107221533099035904*n^40+ 296248430846212101026085468526704602050127985807098778782463164416*n^39+ 482188776009081152082270314462154977134854539045135796778519392176*n^38+ 753339087390870487437849621962360880691543019684979369577105778704*n^37+ 1131149046256260889588795131191031201213546108267405126628818689216*n^36+ 1634192770091965169972256209632621504803515291571575896289386155664*n^35+ 2274042896757082990798675707176259903498295049672583137585497342046*n^34+ 3050897392126505519109375921068076734773833126485252800498406703118*n^33+ 3949838422033030827104308657844227758961194071181130731946039061537*n^32+ 4938712500491780036234735382929673101370019088273880408802396563328*n^31+ 5968486597506343824055109064303420159733890665883151616646218067872*n^30+ 6976538864417318762179992207108097527645638841118645776359467568728*n^29+ 7892750543966937962197250435532397595847483388069837573273832447132*n^28+ 8647616000888084385538412730916977071106656024669864817975534741568*n^27+ 9181056684269319931881285488324944332546413755805417279548846409132*n^26+ 9450368216232433214484145961608878672430558138518102640700522728068*n^25+ 9435835542049271322843515714540578530322941914061142563893660285382*n^24+ 9143000239908705691667820386481352643253431909851296038364913114176*n^23+ 8601247264986046999560411273011565883764813182419854269523537262704*n^22+ 7859110237071907040760334597374080724738266036456662410409412815656*n^21+ 6977304763142533969582095972047761904221824643855507859112865480764*n^20+ 6020829347769790276475255421646051741540766547309991526820763384176*n^19+ 5051506464954293677144844733827202455705326203626499883606827598182*n^18+ 4122047994028854848121092043398945906832855574904034578181776283678*n^17+ 3272317990370538678778956714790796968970371307181110478046890290337*n^16+ 2527907955069638288371802355752182984196096171696356501485925256448*n^15+ 1900802529706315715358444768521139081326560530775278121844225493072*n^14+ 1391480660064147639085609560676708796089840465152916325549275596480*n^13+ 991922712428956678564142137795810607109552948035047973859093744480*n^12+ 688664751937832991173570608246707458424912820471387814347181952000*n^11+ 465772925685149413571797055534400526876006175939966839048111008000*n^10+ 306885052388212724380408608930198066561995179408736322036235200000*n^9+ 197082100247773522459706718823743132901470779535388617834698400000*n^8+ 123267422212453934755099424828901227532061760708509887421440000000*n^7+ 75277964752419744376781049174393799155743231051380187418240000000*n^6+ 44635436427225448572491222759748645167165922201778909440000000000*n^5+ 26112353060512611893900182272835705317492090113030295168000000000*n^4+ 14490072566531392644936149118184842508181172339619430400000000000*n^3+ 8599732901909217183293832596586161663367197732761804800000000000*n^2+ 3982314259451178441682559806591602018951188050944000000000000000*n+ 4239237760060931889533047536049124729851264699392000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 33, : , ) -------------- = 17179869184 (n + 1) n ( / Pi j 66 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 64 146619643495998131244542837461321209283734288157303111680 n 63 + 4691828591871940199825370798762278697079497221033699573760 n 62 + 77912419399376261435075760666698744171044233561626923499520 n 61 + 888094794726347569444190385670539353402994894963965417226240 n 60 + 7776368422731633484356156751149785592586324277143963686666240 n 59 + 55580742896326304487839284799803489659538242422544080232775680 n 58 + 336781715265743749798366916522998366401469263165923790963081216 n 57 + 1775243479752994081876143465176558890061911362287764149469446144 n 56 + 8294002010460277946766819300066337781328059489828068848813735936 n 55 + 34833603091306147882499952801856075781155370890057859482144210944 n 54 + 132969141435038387841470213246850809546968294507785793323166334976 n 53 + 465438514941527865028868853969932401415146632004869773633645445120 n 52 + 1504795439738295939120724952670378674501490825176243694126403420160 n 51 + 4520805523023272390451894110963441678025767016099976944401074094080 n 50 + 12685018893394536676201491476024625565388547179196015375500359761920 n 49 + 33388520251489931356633800901671855430232725327279637767401483796480 n 48 + 82750617931065441566494394373213808640042664384981240317591524081664 n + 47 193750012063844737374075486624834660501433404740078582917574595444736 n + 46 429798394754403152680858199128375520857992433206963426498527111512064 n + 45 905634203076024713333884057489374583931550740584905167654314320756736 n + 44 1816758037406070206475110321128275195012387680941721316717770033659904 n + 43 3476848916749837830413436352392957946144612056578123645943526328467456 n + 42 6359438942098228090416238512700450213729753770149974937962296358313984 n + 41 11135748766291471631700691888141468586712210058636598707272988634423296 n + 40 18695822327108373496599019126797997651924965695872028518086865870367744 n + 39 30136505533022908338413538461610443461288392963722900466850638977314816 n + 38 46699446177809024377295410001226749271551487495845160329297058662333696 n + 37 69647093255095954285030571764702471601212471833157368698934691118857984 n + 100075590071296368274695846485048453930679319133386529213940153829417856 36 n + 138679583618294694498247957683190437062789694878844389825407928222262784 35 n + 185502143455604134580061654635239230025572830088306587852704950566017376 34 n + 239718143067109643093294499789730688787934347654825111312609296396040928 33 n + 299505956023977443482941005766919915168705441412035004394987651275502137 32 n + 362055813280130632084168330618442372968981511746672658962800362537035408 31 n + 423742508473257124105570365609635619432655565764367038324932648536022392 30 n + 480458437604610882405276715089836612449823359096177716910699656328020208 29 n + 528067309396347645028694602095073177093978419081963097334088901635391052 28 n + 562908490419988096433416925490852981042617344372830201168399034731280048 27 n + 582265525248297463800821301347176741153457205620198231344120515663372152 26 n + 584715070191426725940893722565774001852540746047862343502469504703192048 25 n + 570294404083589976082006070252325721798157452571873052209649045409973382 24 n + 540461365174049836344864721792032639488107974567947117589182103007854096 23 n + 497861226896591994930487973976383401078081664870778828918110929470248184 22 n + 445950285976669900535264543778346523344114222599611870993425507108285776 21 n + 388548456711219061206529782280574797795217047604409474908007700370568204 20 n + 329397936679864467273942130015759723290837019918905892179211953261084816 19 n + 271794597095889203829796230902274844894444729742943313188943580414632872 18 n + 218335046372109959794251218523031146870495497538874156010519419251839088 17 n + 170796691544871850106230726636635838796183847579378480242281648292308617 16 n + 130139997675817503254367932786159061768490936948398537390943748499859488 15 n + 14 96608180051934519357465138752127333920673613767280488899175564906252432 n + 13 69883422150772455129033769129820124876929724980289386650865108678432640 n + 12 49269567885288087742151642569603760173721070319213528719355227720044640 n + 11 33860209473174958361422575445470005505085675798566335148593507748979200 n + 10 22688473374719093472266041022499702335849056288986055250593627251168000 n + 9 14822487368363914550242795872523456781420987957960566629649975008000000 n + 8 9446268142790505867551243768382991848397955016831604100258957239200000 n + 7 5867985774446315283667436486091043259286836075045430894029957376000000 n + 6 3561791586070543728984699924935483589756803084839443726532506240000000 n + 5 2100937807844000826466852757691329833152073209461865624884736000000000 n + 4 1223471877159516587609832617665126866453132932683304496918144000000000 n 3 + 676511061205772008318403274624070933989437917001185715896320000000000 n 2 + 400210304449412223029964711259895714862700857704019134668800000000000 n + 185002330784475566921287857083789002798817356782501888000000000000000 n + 196564976458505289853868348151525815473743441581408256000000000000000)/ 221372615247522844069662514840870489619012610987151457564920897428501892\ 08984375 and in Maple notation: 17179869184/2213726152475228440696625148408704896190126109871514575649208974285\ 0189208984375*(n+1)*n*( 146619643495998131244542837461321209283734288157303111680*n^64+ 4691828591871940199825370798762278697079497221033699573760*n^63+ 77912419399376261435075760666698744171044233561626923499520*n^62+ 888094794726347569444190385670539353402994894963965417226240*n^61+ 7776368422731633484356156751149785592586324277143963686666240*n^60+ 55580742896326304487839284799803489659538242422544080232775680*n^59+ 336781715265743749798366916522998366401469263165923790963081216*n^58+ 1775243479752994081876143465176558890061911362287764149469446144*n^57+ 8294002010460277946766819300066337781328059489828068848813735936*n^56+ 34833603091306147882499952801856075781155370890057859482144210944*n^55+ 132969141435038387841470213246850809546968294507785793323166334976*n^54+ 465438514941527865028868853969932401415146632004869773633645445120*n^53+ 1504795439738295939120724952670378674501490825176243694126403420160*n^52+ 4520805523023272390451894110963441678025767016099976944401074094080*n^51+ 12685018893394536676201491476024625565388547179196015375500359761920*n^50+ 33388520251489931356633800901671855430232725327279637767401483796480*n^49+ 82750617931065441566494394373213808640042664384981240317591524081664*n^48+ 193750012063844737374075486624834660501433404740078582917574595444736*n^47+ 429798394754403152680858199128375520857992433206963426498527111512064*n^46+ 905634203076024713333884057489374583931550740584905167654314320756736*n^45+ 1816758037406070206475110321128275195012387680941721316717770033659904*n^44+ 3476848916749837830413436352392957946144612056578123645943526328467456*n^43+ 6359438942098228090416238512700450213729753770149974937962296358313984*n^42+ 11135748766291471631700691888141468586712210058636598707272988634423296*n^41+ 18695822327108373496599019126797997651924965695872028518086865870367744*n^40+ 30136505533022908338413538461610443461288392963722900466850638977314816*n^39+ 46699446177809024377295410001226749271551487495845160329297058662333696*n^38+ 69647093255095954285030571764702471601212471833157368698934691118857984*n^37+ 100075590071296368274695846485048453930679319133386529213940153829417856*n^36+ 138679583618294694498247957683190437062789694878844389825407928222262784*n^35+ 185502143455604134580061654635239230025572830088306587852704950566017376*n^34+ 239718143067109643093294499789730688787934347654825111312609296396040928*n^33+ 299505956023977443482941005766919915168705441412035004394987651275502137*n^32+ 362055813280130632084168330618442372968981511746672658962800362537035408*n^31+ 423742508473257124105570365609635619432655565764367038324932648536022392*n^30+ 480458437604610882405276715089836612449823359096177716910699656328020208*n^29+ 528067309396347645028694602095073177093978419081963097334088901635391052*n^28+ 562908490419988096433416925490852981042617344372830201168399034731280048*n^27+ 582265525248297463800821301347176741153457205620198231344120515663372152*n^26+ 584715070191426725940893722565774001852540746047862343502469504703192048*n^25+ 570294404083589976082006070252325721798157452571873052209649045409973382*n^24+ 540461365174049836344864721792032639488107974567947117589182103007854096*n^23+ 497861226896591994930487973976383401078081664870778828918110929470248184*n^22+ 445950285976669900535264543778346523344114222599611870993425507108285776*n^21+ 388548456711219061206529782280574797795217047604409474908007700370568204*n^20+ 329397936679864467273942130015759723290837019918905892179211953261084816*n^19+ 271794597095889203829796230902274844894444729742943313188943580414632872*n^18+ 218335046372109959794251218523031146870495497538874156010519419251839088*n^17+ 170796691544871850106230726636635838796183847579378480242281648292308617*n^16+ 130139997675817503254367932786159061768490936948398537390943748499859488*n^15+ 96608180051934519357465138752127333920673613767280488899175564906252432*n^14+ 69883422150772455129033769129820124876929724980289386650865108678432640*n^13+ 49269567885288087742151642569603760173721070319213528719355227720044640*n^12+ 33860209473174958361422575445470005505085675798566335148593507748979200*n^11+ 22688473374719093472266041022499702335849056288986055250593627251168000*n^10+ 14822487368363914550242795872523456781420987957960566629649975008000000*n^9+ 9446268142790505867551243768382991848397955016831604100258957239200000*n^8+ 5867985774446315283667436486091043259286836075045430894029957376000000*n^7+ 3561791586070543728984699924935483589756803084839443726532506240000000*n^6+ 2100937807844000826466852757691329833152073209461865624884736000000000*n^5+ 1223471877159516587609832617665126866453132932683304496918144000000000*n^4+ 676511061205772008318403274624070933989437917001185715896320000000000*n^3+ 400210304449412223029964711259895714862700857704019134668800000000000*n^2+ 185002330784475566921287857083789002798817356782501888000000000000000*n+ 196564976458505289853868348151525815473743441581408256000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 34, : , ) -------------- = 68719476736 (n + 1) n ( / Pi j 68 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 66 144187441823429414330258534557306282672281851703915970560 n 65 + 4758185580173170672898531640391107328185301106229227028480 n 64 + 81388602734409829397408631820181153908981906363476753776640 n 63 + 954930953041082040778918582910213051316516620138457417646080 n 62 + 8602963579597711778761138111862742692772220815330494707138560 n 61 + 63244577926004976614031344790817185454898560785558642056232960 n 60 + 394084593157877118012616354611737606906416192157451292099215360 n 59 + 2135934976020235761635580134867854567961179908732647148607242240 n 58 + 10260189978828076049237239375942838320467553010959829821569368064 n 57 + 44303937643199659791556672766854785850456996369499189217324957696 n 56 + 173882003183251356675248188182737008869914204312265095887479373824 n 55 + 625815092161380275969258537060197895772380295958111065682923749376 n 54 + 2080520924121842690376416127535938468044378450155005166865973510144 n 53 + 6427788965162083063639002037734095629180768846156496554677963325440 n 52 + 18549679035793478507804555101786983271030344710788798157225438740480 n 51 + 50222393144003331265140900012937303328979451847445956595667089489920 n + 50 128052553543146280245479756765687675071549982734265902699751973191680 n + 49 308491406195467248773999887087039022439428518950881983315530224107520 n + 48 704244204206606334260538859779051526433329888230523386172982700015616 n + 47 1527376669489943167526791916191421241028339597380623087008124655632384 n + 46 3154332593666218998530188538500257573165015105520087388126205964804096 n + 45 6215838810231063415569552577016498774023238459477440537913976632090624 n + 44 11709187858589568506072505848326217526772661396022492313306013079003136 n + 43 21121065433914471956949812560170676577438477748952577484816382864400384 n + 42 36536546268773668149775572900097859891190902636565038337759752839668736 n + 41 60696553383860719581341865543927922860075286799475537962329373736449024 n + 40 96956357419060667609337263218783961905966578928006922600173365946894336 n + 149097245284910328371309923571235855906836851786282895298563912788158464 39 n + 220957561935917478652894667404899974269717144200803809238340024759565504 38 n + 315880409751544532679193293721375595917863277629054076336913030240922176 37 n + 436020832187006862275536913042795802592686002203466192603702835551502784 36 n + 581606640378533119008419463621422042339638358770924885990686787706042816 35 n + 750290368047119866333739833605525236077765638562607822197664008549648669 34 n + 936749617446128446964437893685891595361061588317882241885638680393053037 33 n + 1132677053756609608085769207791323987880355441939761565779100478064761498 32 n + 1327245665796711551697036892169541802474017974692471212638873079647110952 31 n + 1508047284321135031680903256321997320837600119468884383152448000176145948 30 n + 1662401344494289843879040510466274472850706657420293797484804093548555852 29 n + 1778841683281653263731737328525154924216247985811138730985543881876477088 28 n + 1848536166735839380302155330144003089728965751536155691153936686446359912 27 n + 1866393291582066508724442877156120096758385872180881717307649462867132798 26 n + 1831663808287652928902197075571912286695360405638546240919299977883812942 25 n + 1747941654247127292086881315724698221375909856624682785014064196783989428 24 n + 1622583106318470106012710014835677344467592215614986718951533621386422664 23 n + 1465668985336558354261640206768196571315110490551337656559398871311774076 22 n + 1288707164739560065287289353853286520008602580155351878828994895613409644 21 n + 1103299554170677677607838750595694925510976696232227143707132101944956176 20 n + 919975717985987675766196312884929956192658166728786455554319720440998424 19 n + 747339441571348991608309292168118102227019229411397517850035193932131853 18 n + 591595806042137335189151514363382144205678678344279623370169305238814957 17 n + 456455096952610300794574483882865060811779361282731210603567504696167938 16 n + 343343797105631971538817360780437480003398267721651617510245012566074512 15 n + 251829142555419460371465209376010164517796336162037508299991802727604608 14 n + 180138224648209018182937229113685149244315133810276181247237319204983520 13 n + 125692180108157585811781338669002520755550219083294114616862102319870400 12 n + 11 85559660096410490188181597024651754577353782462082046245443093615328000 n + 10 56830196685023807562230592247886760116544311477769988953500957925600000 n + 9 36832497410126798534382292146300337596012505738367072317255630317600000 n + 8 23304394825080384120752125563678887851025395363031008221481550472000000 n + 7 14383728845655108784895872299470825670938585842058710538278170240000000 n + 6 8680963333216612554591162455970122423163345309143692465077945600000000 n + 5 5095413379809601021442171650208175790850694715565269299795072000000000 n + 4 2954557230902254271597918343116565869392819828000778209578240000000000 n + 3 1628246521508558064146137788464949550074546443370549741772800000000000 n 2 + 960318576081165543498142004323057256382848947491275237376000000000000 n + 443186872387810063459342921608719695757570616733237248000000000000000 n + 470046682835556127911424310797126950045908229868584960000000000000000)/ 214861655975536878067613617345550769336100475369882297048305576915898895\ 263671875 and in Maple notation: 68719476736/2148616559755368780676136173455507693361004753698822970483055769158\ 98895263671875*(n+1)*n*( 144187441823429414330258534557306282672281851703915970560*n^66+ 4758185580173170672898531640391107328185301106229227028480*n^65+ 81388602734409829397408631820181153908981906363476753776640*n^64+ 954930953041082040778918582910213051316516620138457417646080*n^63+ 8602963579597711778761138111862742692772220815330494707138560*n^62+ 63244577926004976614031344790817185454898560785558642056232960*n^61+ 394084593157877118012616354611737606906416192157451292099215360*n^60+ 2135934976020235761635580134867854567961179908732647148607242240*n^59+ 10260189978828076049237239375942838320467553010959829821569368064*n^58+ 44303937643199659791556672766854785850456996369499189217324957696*n^57+ 173882003183251356675248188182737008869914204312265095887479373824*n^56+ 625815092161380275969258537060197895772380295958111065682923749376*n^55+ 2080520924121842690376416127535938468044378450155005166865973510144*n^54+ 6427788965162083063639002037734095629180768846156496554677963325440*n^53+ 18549679035793478507804555101786983271030344710788798157225438740480*n^52+ 50222393144003331265140900012937303328979451847445956595667089489920*n^51+ 128052553543146280245479756765687675071549982734265902699751973191680*n^50+ 308491406195467248773999887087039022439428518950881983315530224107520*n^49+ 704244204206606334260538859779051526433329888230523386172982700015616*n^48+ 1527376669489943167526791916191421241028339597380623087008124655632384*n^47+ 3154332593666218998530188538500257573165015105520087388126205964804096*n^46+ 6215838810231063415569552577016498774023238459477440537913976632090624*n^45+ 11709187858589568506072505848326217526772661396022492313306013079003136*n^44+ 21121065433914471956949812560170676577438477748952577484816382864400384*n^43+ 36536546268773668149775572900097859891190902636565038337759752839668736*n^42+ 60696553383860719581341865543927922860075286799475537962329373736449024*n^41+ 96956357419060667609337263218783961905966578928006922600173365946894336*n^40+ 149097245284910328371309923571235855906836851786282895298563912788158464*n^39+ 220957561935917478652894667404899974269717144200803809238340024759565504*n^38+ 315880409751544532679193293721375595917863277629054076336913030240922176*n^37+ 436020832187006862275536913042795802592686002203466192603702835551502784*n^36+ 581606640378533119008419463621422042339638358770924885990686787706042816*n^35+ 750290368047119866333739833605525236077765638562607822197664008549648669*n^34+ 936749617446128446964437893685891595361061588317882241885638680393053037*n^33+ 1132677053756609608085769207791323987880355441939761565779100478064761498*n^32+ 1327245665796711551697036892169541802474017974692471212638873079647110952*n^31+ 1508047284321135031680903256321997320837600119468884383152448000176145948*n^30+ 1662401344494289843879040510466274472850706657420293797484804093548555852*n^29+ 1778841683281653263731737328525154924216247985811138730985543881876477088*n^28+ 1848536166735839380302155330144003089728965751536155691153936686446359912*n^27+ 1866393291582066508724442877156120096758385872180881717307649462867132798*n^26+ 1831663808287652928902197075571912286695360405638546240919299977883812942*n^25+ 1747941654247127292086881315724698221375909856624682785014064196783989428*n^24+ 1622583106318470106012710014835677344467592215614986718951533621386422664*n^23+ 1465668985336558354261640206768196571315110490551337656559398871311774076*n^22+ 1288707164739560065287289353853286520008602580155351878828994895613409644*n^21+ 1103299554170677677607838750595694925510976696232227143707132101944956176*n^20+ 919975717985987675766196312884929956192658166728786455554319720440998424*n^19+ 747339441571348991608309292168118102227019229411397517850035193932131853*n^18+ 591595806042137335189151514363382144205678678344279623370169305238814957*n^17+ 456455096952610300794574483882865060811779361282731210603567504696167938*n^16+ 343343797105631971538817360780437480003398267721651617510245012566074512*n^15+ 251829142555419460371465209376010164517796336162037508299991802727604608*n^14+ 180138224648209018182937229113685149244315133810276181247237319204983520*n^13+ 125692180108157585811781338669002520755550219083294114616862102319870400*n^12+ 85559660096410490188181597024651754577353782462082046245443093615328000*n^11+ 56830196685023807562230592247886760116544311477769988953500957925600000*n^10+ 36832497410126798534382292146300337596012505738367072317255630317600000*n^9+ 23304394825080384120752125563678887851025395363031008221481550472000000*n^8+ 14383728845655108784895872299470825670938585842058710538278170240000000*n^7+ 8680963333216612554591162455970122423163345309143692465077945600000000*n^6+ 5095413379809601021442171650208175790850694715565269299795072000000000*n^5+ 2954557230902254271597918343116565869392819828000778209578240000000000*n^4+ 1628246521508558064146137788464949550074546443370549741772800000000000*n^3+ 960318576081165543498142004323057256382848947491275237376000000000000*n^2+ 443186872387810063459342921608719695757570616733237248000000000000000*n+ 470046682835556127911424310797126950045908229868584960000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 35, : , ) -------------- = 68719476736 (n + 1) n ( / Pi j 70 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 68 66502940449425203220682849519596039618320363041396107509760 n 67 + 2261099975280456909503216883666265347022892343407467655331840 n 66 + 39804426986149681869046896077107199087577912987908324594810880 n 65 + 480330749652091130526612148913518789512135300055322880638976000 n 64 + 4448631515937490509212907858153455479115114786921551160043110400 n 63 + 33611145599040258112121695737308030407013653274809565448492810240 n 62 + 215201750213288056797993426291600932046540218361627585712635248640 n 61 + 1198358204208528081779087630549347941792741857446105367645572300800 n 60 + 5913791902316896289440300153542882815615326285421445197832860467200 n 59 + 26233326134734579939635773740500400034726463494068570655123570688000 n + 58 105771700694684409076963187107413059883262361012399434226378030972928 n + 57 391093442007097826541045825131483209114757000953547355648407730388992 n + 56 1335833993049669309929133931657414885880081487079513380436774074974208 n + 55 4240558748916779533798109879431198507103294912415215209400880429268992 n + 54 12575401517030149689234806570772215583884101281190916473815383458971648 n + 53 34991018688951441748262823512117261009106082498317468203221493156413440 n + 52 91701611421458169108862425673964900692871430344879419167852163901685760 n + 227102882014204943319128580270867463316792361222909144600974060725207040 51 n + 533040279292438550441483404324079997438499036486904117834356162285404160 50 n + 1188806046511171065434205141887115437342057221689176966587352979150602240 49 n + 2525083082170979419586727928664555288219933162817247629079895694421000192 48 n + 5118592145942328019955842233784978339899357018451390057588170820886724608 47 n + 9920720566297994696843252703457375006269363639860782091744553204831281152 46 n + 18415547062269056396592791252367615391257345927281223364002993558240370688 45 n + 32789805090253830239010964695370660508154687989517711660077260087247552512 44 n + 56080445977887065840097314151587739168631307561032234865619147974437756928 43 n + 92247926853566348408806058105834893922419788381744002369194081245865434112 42 n + 146110975328703315232197234938135788060844065171672652404342710586983492608 41 n + 223078706375006196199275371680802467561655009095210214994181041788022971392 40 n + 328635281609474253796000943148992857315226821719109250288698188937968478208 39 n + 467573891166750509741642917756596566309790059351623310306995181866446539968 38 n + 643037350305499032007920519081406883608950799434488165819764185891258454592 37 n + 855490878463777564735915514235508387145325041657468379870322779885185852008 36 n + 110181092858371033029966726820004263188746078655978229841114233181\ 35 1350920592 n + 1374702125398583481719418853627515109303896207286006866\ 34 930255577758712408303 n + 16626362270726020897468762662956939037783931\ 33 32955409874834409442667773243639 n + 195043670710995690119955747780460\ 32 6608040678743808645215849824555558587151086 n + 2220518738646643844159\ 31 035063361148776676036530405370691678343693278080667064 n + 24546600622\ 30 40973946802149661927507415025770430537027915815567819705662717236 n + 263605554898224983652468130734744367190044649112064110331098176893041544\ 29 3364 n + 2751329650400463581453376433509875763890435348101027138600385\ 28 524610851992976 n + 27921691251709066821713581088401050483872701071034\ 27 34373846543838846300745624 n + 275629947898181853497924253339751100710\ 26 7599441056448474531259183238345299146 n + 2647649074806789715688550735\ 25 080251202270092279554037350554822297265705578634 n + 24756964481704378\ 24 26891648527205165804806703711107228844095199044988579795516 n + 225414\ 23 2756272700249851520510869369018050720294466923016963975404566183104728 n + 199916044597240047031428478781793645076066799529940473460466705066538\ 22 3168852 n + 1727518880949477265619047951910389162826629981807124852259\ 21 845350221093305988 n + 14548748341464242062880537243524052680716454744\ 20 11935854328469181839954799512 n + 119444813212169565667447549382997360\ 19 8878253701315341851589915311022595985688 n + 956206901521751534691709413868865476503312862029432525439278477935531383551 18 n + 746580159670783492736626474811258011096339957751631385567522561677190921719 17 n + 568632848558005508215495964329646910233749064281638264918442422134286921606 16 n + 422573587336572180258453558550929379333525690183777713604438044859508551344 15 n + 306455387671630210084333493439873980182816641029851304442651344529525722496 14 n + 216918801627419238430441566934947393856600146066124643613039339589823306400 13 n + 149887244407795065293427892371761972900608833531539178054288742531866772800 12 n + 101116095769108119038564474027137025093327088282866751915170850176076960000 11 n + 66611355946008091858821482282387130282642226119839017121233448682994080000 10 n + 42848807765839373944088991170553037557418479234915167888234819843004000000 9 n + 26927440660345575075714021233920511570571593015133227308257193438104000000 8 n + 16519441514095876057317874875260516000788974268954659931771672368000000000 7 n + 9916357802380174386031826024330019395740831443849684621299054841600000000 6 n + 5793659278720275277718957327214937486835181080837308927667598720000000000 5 n + 3345843045685091039395010244777630368296175532553628703368052480000000000 4 n + 1838073613209589869151202189678369875733179262676460441359360000000000000 3 n + 1080974815169823070772576738885122628123401653330362536642560000000000000 2 n + 498092801578077643543472628008022191398647420917410529280000000000000000 n + 527392378141493975516618076714376437951509033912552325120000000000000000 )/2445187034046174111517462283568752198121776581273651935351731266896333\ 97064208984375 and in Maple notation: 68719476736/2445187034046174111517462283568752198121776581273651935351731266896\ 33397064208984375*(n+1)*n*( 66502940449425203220682849519596039618320363041396107509760*n^68+ 2261099975280456909503216883666265347022892343407467655331840*n^67+ 39804426986149681869046896077107199087577912987908324594810880*n^66+ 480330749652091130526612148913518789512135300055322880638976000*n^65+ 4448631515937490509212907858153455479115114786921551160043110400*n^64+ 33611145599040258112121695737308030407013653274809565448492810240*n^63+ 215201750213288056797993426291600932046540218361627585712635248640*n^62+ 1198358204208528081779087630549347941792741857446105367645572300800*n^61+ 5913791902316896289440300153542882815615326285421445197832860467200*n^60+ 26233326134734579939635773740500400034726463494068570655123570688000*n^59+ 105771700694684409076963187107413059883262361012399434226378030972928*n^58+ 391093442007097826541045825131483209114757000953547355648407730388992*n^57+ 1335833993049669309929133931657414885880081487079513380436774074974208*n^56+ 4240558748916779533798109879431198507103294912415215209400880429268992*n^55+ 12575401517030149689234806570772215583884101281190916473815383458971648*n^54+ 34991018688951441748262823512117261009106082498317468203221493156413440*n^53+ 91701611421458169108862425673964900692871430344879419167852163901685760*n^52+ 227102882014204943319128580270867463316792361222909144600974060725207040*n^51+ 533040279292438550441483404324079997438499036486904117834356162285404160*n^50+ 1188806046511171065434205141887115437342057221689176966587352979150602240*n^49+ 2525083082170979419586727928664555288219933162817247629079895694421000192*n^48+ 5118592145942328019955842233784978339899357018451390057588170820886724608*n^47+ 9920720566297994696843252703457375006269363639860782091744553204831281152*n^46+ 18415547062269056396592791252367615391257345927281223364002993558240370688*n^45 +32789805090253830239010964695370660508154687989517711660077260087247552512*n^ 44+56080445977887065840097314151587739168631307561032234865619147974437756928*n ^43+92247926853566348408806058105834893922419788381744002369194081245865434112* n^42+ 146110975328703315232197234938135788060844065171672652404342710586983492608*n^ 41+223078706375006196199275371680802467561655009095210214994181041788022971392* n^40+ 328635281609474253796000943148992857315226821719109250288698188937968478208*n^ 39+467573891166750509741642917756596566309790059351623310306995181866446539968* n^38+ 643037350305499032007920519081406883608950799434488165819764185891258454592*n^ 37+855490878463777564735915514235508387145325041657468379870322779885185852008* n^36+ 1101810928583710330299667268200042631887460786559782298411142331811350920592*n^ 35+1374702125398583481719418853627515109303896207286006866930255577758712408303 *n^34+ 1662636227072602089746876266295693903778393132955409874834409442667773243639*n^ 33+1950436707109956901199557477804606608040678743808645215849824555558587151086 *n^32+ 2220518738646643844159035063361148776676036530405370691678343693278080667064*n^ 31+2454660062240973946802149661927507415025770430537027915815567819705662717236 *n^30+ 2636055548982249836524681307347443671900446491120641103310981768930415443364*n^ 29+2751329650400463581453376433509875763890435348101027138600385524610851992976 *n^28+ 2792169125170906682171358108840105048387270107103434373846543838846300745624*n^ 27+2756299478981818534979242533397511007107599441056448474531259183238345299146 *n^26+ 2647649074806789715688550735080251202270092279554037350554822297265705578634*n^ 25+2475696448170437826891648527205165804806703711107228844095199044988579795516 *n^24+ 2254142756272700249851520510869369018050720294466923016963975404566183104728*n^ 23+1999160445972400470314284787817936450760667995299404734604667050665383168852 *n^22+ 1727518880949477265619047951910389162826629981807124852259845350221093305988*n^ 21+1454874834146424206288053724352405268071645474411935854328469181839954799512 *n^20+ 1194448132121695656674475493829973608878253701315341851589915311022595985688*n^ 19+956206901521751534691709413868865476503312862029432525439278477935531383551* n^18+ 746580159670783492736626474811258011096339957751631385567522561677190921719*n^ 17+568632848558005508215495964329646910233749064281638264918442422134286921606* n^16+ 422573587336572180258453558550929379333525690183777713604438044859508551344*n^ 15+306455387671630210084333493439873980182816641029851304442651344529525722496* n^14+ 216918801627419238430441566934947393856600146066124643613039339589823306400*n^ 13+149887244407795065293427892371761972900608833531539178054288742531866772800* n^12+ 101116095769108119038564474027137025093327088282866751915170850176076960000*n^ 11+66611355946008091858821482282387130282642226119839017121233448682994080000*n ^10+42848807765839373944088991170553037557418479234915167888234819843004000000* n^9+26927440660345575075714021233920511570571593015133227308257193438104000000* n^8+16519441514095876057317874875260516000788974268954659931771672368000000000* n^7+9916357802380174386031826024330019395740831443849684621299054841600000000*n ^6+5793659278720275277718957327214937486835181080837308927667598720000000000*n^ 5+3345843045685091039395010244777630368296175532553628703368052480000000000*n^4 +1838073613209589869151202189678369875733179262676460441359360000000000000*n^3+ 1080974815169823070772576738885122628123401653330362536642560000000000000*n^2+ 498092801578077643543472628008022191398647420917410529280000000000000000*n+ 527392378141493975516618076714376437951509033912552325120000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 36, : , ) -------------- = 1099511627776 (n + 1) n ( / Pi j 72 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 70 4130094533884001677579235143731871972749493554557406379597218447360 n + 69 144553308685940058715273230030615519046232274409509223285902645657600 n + 68 2616864296031546951629129185218590816028634211213376112158813129277440 n + 67 32453042368870033397718559355461419797896743887136681508611711943311360 n + 308760797494820992449424038234299588307128032066816337216960017496801280 66 n + 2395709534810614333752118227067591446309836517771576426899135495405568000 65 n + 15749507608252836321331565173203931862810364731557243308991885279336857600 64 n + 90037458690267514578021655381451871511533073235572782934407751457424015360 63 n + 456127023610912414486569064552461715489152382673737850721176548912996024320 62 n + 207702629742525984602766511855187885704538028935379692909154044820\ 61 7228108800 n + 8596607841903617783351452802014131950751046993507112527\ 60 020484166914827878400 n + 32630158741595643237235945713569172261103117\ 59 956191479513827127245112816435200 n + 11441796531070265281298143864671\ 58 4072609417862038737157737439851058683992604672 n + 3729052607965650307\ 57 77794622544809033563827412569624539692701766871286145875968 n + 113545\ 267837684648620261427390480462336222184547922246732545480305478628225843\ 56 2 n + 3244293359770524927482022013114785122520396034842040939071882469\ 55 757286736723968 n + 87318703950407142518925265509237494982167446345845\ 54 73488549762926442898724093952 n + 222113739199397288568600425635581205\ 53 90872986147561645943082027096957599305564160 n + 535544711209223890169\ 52 46329120513762141715003610458346306641236050759066153123840 n + 122714\ 110859737177752645894318330717202474323525640916956258072968188377583452\ 51 160 n + 26784029194635329938348051845296762400348540173094124081123745\ 50 4520572349601873920 n + 5580077958998809332638927904278097379327063809\ 49 13767604414882929037842662131957760 n + 111172873028659695316363782599\ 48 6905481105953869857780010802358763639917636398317568 n + 2121709402075\ 47 172604502435698907871662262099446075966382651446388039818202868088832 n + 388480159867220438419633910113907188185273480316172763284684301879723\ 46 6120724914688 n + 6833708071286647383858991233886268549871701177665646\ 45 734264604389400167638124785152 n + 11563939480352484662489960328757938\ 44 977327117959648278342894857932057598041946971648 n + 18846404922518216\ 43 341954830227090762521208817317004275273399120895541375493148749312 n + 296138886683398058902406783659296746892094321534580025507966426070474805\ 42 45740726528 n + 449098055439151654458263477704746938790974617933486841\ 41 15213477499979106963921253632 n + 657911917421545836104121762275220228\ 40 24998985215096466555045352225789996601213603968 n + 931853966872945981\ 39 94141697880040453291191575323212088788860155283000935777711032832 n + 127710801504317835260393916105132780287549807141639755901877192385586549\ 38 009802762277 n + 16948416147951922849550333804278749463457446755068060\ 37 5111820819555700241530327044543 n + 2179477711384477826735612403488426\ 36 19188515924907298550461159571832287720226264696782 n + 271755054613335\ 35 372095987245458347617421341841620739841263836093884024242917859920043 n + 328750486262503685251943943734612161565005627125949525122559505909633\ 34 381972600265067 n + 38606777594895876089015367668218743777431092462078\ 33 1968831553563044572708892140217956 n + 4403503210910479807251293264815\ 32 17348560257171098432172889677504454202517170361424044 n + 488073857630\ 756285555201177875926483608014979783043195643209567065940581183561934956 31 n + 525928569521747532154212665034471156025342047888368539349160517420\ 30 277711820186322354 n + 55120240924911970783563900454859242409724798926\ 29 6990713348236095071445232462351891506 n + 5621033677612364903871956697\ 28 11963773423330469446667626454226482057792673554948931604 n + 557967430\ 593031997318268271651265790034074223438782399864854295395553649519157671\ 27 946 n + 53931918487228334880642074610280876222560740891622854914965285\ 26 6253959983857334299894 n + 5077788184882893308540885979844251472687418\ 25 16806383709518209664436328120325134988236 n + 465836424615184891626734\ 24 049017981147797360858386223979110657879211798544878679306864 n + 41653\ 601501172208549110586756586656713425297452241160092561024322893610160942\ 23 7557212 n + 3631233187668533706921912256599522023412925284128009011771\ 22 63607173269528385638774393 n + 308711586391184705022934365703787998742\ 21 762141883749980663467942651632342071407936327 n + 25600981699968670542\ 20 2973112258053592645580725990862925080697241906564436488919101998 n + 2\ 071410326433277142082975805846984048832533557454970317680299072781471049\ 19 19510608227 n + 163559621131801294802601845010884406348125775544346883\ 18 179195921144619453255937571439 n + 12605928696948778472733208771113264\ 17 6964092095585409412768733703074117168736561869976 n + 9485172529688375\ 16 1183573712950150317248033900322696620941602961703732140605781939924 n + 696889367800377916589429805163733484645230145136017405597211582983436290\ 15 23387378976 n + 500038372857051943539671854000180942403239313357601062\ 14 84332318544959567808404107744 n + 350451633376928844576169194303869049\ 13 00235206306882620104918249026697571628121440000 n + 239941052983158016\ 12 26040166710446727468946931751590077834473037828155116971205840000 n + 160501330212689951828951437804400307836917162797117349508366775634121305\ 11 65108960000 n + 104912829903458183870351747561700612061690022312897729\ 10 92564668109755296370950880000 n + 670104370026003288462368341167653621\ 9 4950601182431094019277572194973042544800000000 n + 41842256957425617639\ 8 71570996571222305335031398350696991739994702236609178000000000 n + 2552\ 290162897028856831435814202037649572430337297858475676651113440056896000\ 7 000000 n + 152432843583368553777913212487206090633980717301570793981858\ 6 7824728104179200000000 n + 88670824854122872514484310617271298644997492\ 5 0125872708774993978859008000000000000 n + 51011888017361485427232102534\ 4 2896739864304139661057498773529569131072000000000000 n + 27940500449508\ 3 5566602630884736679682077221826111681317812421957869568000000000000 n + 163875380463606491964846412093122644531692819742930117006459550437376000\ 2 000000000 n + 753995413156367999808169876304752829619765322048027705928\ 29440000000000000000000 n + 79708086533673188551149386923645299131232334\ 045077214626705408000000000000000000)/5995024538695300730913786007102955\ 53599728213718612602384932286372162530920644680023193359375 and in Maple notation: 1099511627776/59950245386953007309137860071029555359972821371861260238493228637\ 2162530920644680023193359375*(n+1)*n*( 4130094533884001677579235143731871972749493554557406379597218447360*n^70+ 144553308685940058715273230030615519046232274409509223285902645657600*n^69+ 2616864296031546951629129185218590816028634211213376112158813129277440*n^68+ 32453042368870033397718559355461419797896743887136681508611711943311360*n^67+ 308760797494820992449424038234299588307128032066816337216960017496801280*n^66+ 2395709534810614333752118227067591446309836517771576426899135495405568000*n^65+ 15749507608252836321331565173203931862810364731557243308991885279336857600*n^64 +90037458690267514578021655381451871511533073235572782934407751457424015360*n^ 63+456127023610912414486569064552461715489152382673737850721176548912996024320* n^62+ 2077026297425259846027665118551878857045380289353796929091540448207228108800*n^ 61+8596607841903617783351452802014131950751046993507112527020484166914827878400 *n^60+ 32630158741595643237235945713569172261103117956191479513827127245112816435200*n ^59+ 114417965310702652812981438646714072609417862038737157737439851058683992604672* n^58+ 372905260796565030777794622544809033563827412569624539692701766871286145875968* n^57+11354526783768464862026142739048046233622218454792224673254548030547862822\ 58432*n^56+32442933597705249274820220131147851225203960348420409390718824697572\ 86736723968*n^55+87318703950407142518925265509237494982167446345845734885497629\ 26442898724093952*n^54+22211373919939728856860042563558120590872986147561645943\ 082027096957599305564160*n^53+5355447112092238901694632912051376214171500361045\ 8346306641236050759066153123840*n^52+122714110859737177752645894318330717202474\ 323525640916956258072968188377583452160*n^51+2678402919463532993834805184529676\ 24003485401730941240811237454520572349601873920*n^50+55800779589988093326389279\ 0427809737932706380913767604414882929037842662131957760*n^49+111172873028659695\ 3163637825996905481105953869857780010802358763639917636398317568*n^48+212170940\ 2075172604502435698907871662262099446075966382651446388039818202868088832*n^47+ 3884801598672204384196339101139071881852734803161727632846843018797236120724914\ 688*n^46+6833708071286647383858991233886268549871701177665646734264604389400167\ 638124785152*n^45+1156393948035248466248996032875793897732711795964827834289485\ 7932057598041946971648*n^44+188464049225182163419548302270907625212088173170042\ 75273399120895541375493148749312*n^43+29613888668339805890240678365929674689209\ 432153458002550796642607047480545740726528*n^42+4490980554391516544582634777047\ 4693879097461793348684115213477499979106963921253632*n^41+657911917421545836104\ 12176227522022824998985215096466555045352225789996601213603968*n^40+93185396687\ 294598194141697880040453291191575323212088788860155283000935777711032832*n^39+ 1277108015043178352603939161051327802875498071416397559018771923855865490098027\ 62277*n^38+16948416147951922849550333804278749463457446755068060511182081955570\ 0241530327044543*n^37+217947771138447782673561240348842619188515924907298550461\ 159571832287720226264696782*n^36+2717550546133353720959872454583476174213418416\ 20739841263836093884024242917859920043*n^35+32875048626250368525194394373461216\ 1565005627125949525122559505909633381972600265067*n^34+386067775948958760890153\ 676682187437774310924620781968831553563044572708892140217956*n^33+4403503210910\ 47980725129326481517348560257171098432172889677504454202517170361424044*n^32+48\ 8073857630756285555201177875926483608014979783043195643209567065940581183561934\ 956*n^31+5259285695217475321542126650344711560253420478883685393491605174202777\ 11820186322354*n^30+55120240924911970783563900454859242409724798926699071334823\ 6095071445232462351891506*n^29+562103367761236490387195669711963773423330469446\ 667626454226482057792673554948931604*n^28+5579674305930319973182682716512657900\ 34074223438782399864854295395553649519157671946*n^27+53931918487228334880642074\ 6102808762225607408916228549149652856253959983857334299894*n^26+507778818488289\ 330854088597984425147268741816806383709518209664436328120325134988236*n^25+4658\ 3642461518489162673404901798114779736085838622397911065787921179854487867930686\ 4*n^24+416536015011722085491105867565866567134252974522411600925610243228936101\ 609427557212*n^23+3631233187668533706921912256599522023412925284128009011771636\ 07173269528385638774393*n^22+30871158639118470502293436570378799874276214188374\ 9980663467942651632342071407936327*n^21+256009816999686705422973112258053592645\ 580725990862925080697241906564436488919101998*n^20+2071410326433277142082975805\ 84698404883253355745497031768029907278147104919510608227*n^19+16355962113180129\ 4802601845010884406348125775544346883179195921144619453255937571439*n^18+126059\ 286969487784727332087711132646964092095585409412768733703074117168736561869976* n^17+94851725296883751183573712950150317248033900322696620941602961703732140605\ 781939924*n^16+6968893678003779165894298051637334846452301451360174055972115829\ 8343629023387378976*n^15+500038372857051943539671854000180942403239313357601062\ 84332318544959567808404107744*n^14+35045163337692884457616919430386904900235206\ 306882620104918249026697571628121440000*n^13+2399410529831580162604016671044672\ 7468946931751590077834473037828155116971205840000*n^12+160501330212689951828951\ 43780440030783691716279711734950836677563412130565108960000*n^11+10491282990345\ 818387035174756170061206169002231289772992564668109755296370950880000*n^10+6701\ 043700260032884623683411676536214950601182431094019277572194973042544800000000* n^9+418422569574256176397157099657122230533503139835069699173999470223660917800\ 0000000*n^8+2552290162897028856831435814202037649572430337297858475676651113440\ 056896000000000*n^7+15243284358336855377791321248720609063398071730157079398185\ 87824728104179200000000*n^6+886708248541228725144843106172712986449974920125872\ 708774993978859008000000000000*n^5+51011888017361485427232102534289673986430413\ 9661057498773529569131072000000000000*n^4+2794050044950855666026308847366796820\ 77221826111681317812421957869568000000000000*n^3+163875380463606491964846412093\ 122644531692819742930117006459550437376000000000000*n^2+75399541315636799980816\ 987630475282961976532204802770592829440000000000000000000*n+7970808653367318855\ 1149386923645299131232334045077214626705408000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 37, : , ) -------------- = 549755813888 (n + 1) n ( / Pi j 74 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 72 271437448688352229293304200397695148180190964058172350295074406400 n 71 + 9771748152780680254558951214317025334486874706094204610622678630400 n + 70 181776578141797165930903180391690367419686060883301487685320751185920 n + 69 2315047875019569068818445685779528200322364856808202326086666892083200 n + 68 22609762991423896939538803622019394261612801526802136111880508989767680 n + 180033973123329532007586612112961308931262409734460268198796095882526720 67 n + 1214366147560499227584101771540651944435851424953005227621566055930920960 66 n + 7122175565974812889066905704801086947279286261551411840050191386279936000 65 n + 37012481278893889004931896611879437689212515963868165242031225100147097600 64 n + 172886338979521187118995664172255358252013924540994429394837224695760158720 63 n + 734005455031468313283195754957964454141835251836612966137486456483416637440 62 n + 285794263693829487649179489460045165611543556647219480744336222020\ 61 2367385600 n + 1028037573912106168134725621926270551340514768706731138\ 60 6321021689715176243200 n + 3437322360144539308383718328394735800685462\ 59 9498953943015711004775586516172800 n + 1073819947060166867496224603761\ 58 57438189248928225794883419765150153124677156864 n + 314820640011652121\ 57 724650909047201359439378446908122027878996714287363486908416 n + 86951\ 401042937050412128456446501204999420666994923934906255706450991695423078\ 56 4 n + 2269977517007746418729511060728093569142617802736677166696333654\ 55 702405835554816 n + 56178983766966316183498699139668722223286081424060\ 54 12010120000712059071514804224 n + 132149049608136237856578137018308758\ 53 52607021863630978493287594775394051635281920 n + 296142076427144978123\ 52 28839372288194022702008801043747112279499665683696925409280 n + 633557\ 516945796702840930564551152764094180470526519991725226243196365965833011\ 51 20 n + 129639249679692378284167324547897009157655628135725059130268830\ 50 038280046866595840 n + 25414937273561858998433362704590250563912121443\ 49 7027153921383820610504761453445120 n + 4780948900946729303218801965189\ 48 90134657304440317774137398242011435427855213346816 n + 864218225726208\ 47 451281886169769206503843594822866046202325409401396536497084432384 n + 150306250119123123770130319352696736941076689065504047552530335592865890\ 46 0223097856 n + 2518194396840319606144440255354235782311322978694646248\ 45 483989727365232652448769024 n + 40684939179931114848647678668748638629\ 44 07505265062431504063912716822484152098379776 n + 634523274561342637729\ 43 1121974263158151157730690861322164240064239952563200397958144 n + 9561\ 709875410914227280426210423462374921934185846178510070640479035585695382\ 42 631936 n + 13933908726632775238598060824074343203712148964398508010099\ 41 111440585485754586038784 n + 19652077420585638757133784251422462475435\ 40 831058645835276409790995053769367075817616 n + 26845202543796642858258\ 39 606035982749434121993665927175244597137774174328304284568384 n + 35542\ 688857670291679841395672925754537063428644678761191000841263542745737895\ 38 342574 n + 45639604163821127141205415294126676694726870836404374179165\ 37 667128968123021166389066 n + 56872943860580692925857450535967294720312\ 36 197279782870285112045114209535882481845909 n + 68815961700357462621322\ 35 666275484435618910776494263943059388613958678292047841520516 n + 80895\ 457271566704179393952429566616215784165940941924594355305410970549732727\ 34 879679 n + 92433211777221144210830389576642075061848116436280150176575\ 33 590811933861902361962572 n + 10270819504258337458065374886090819356473\ 32 5253598823680167412505552776541445502884328 n + 1110317370752008350454\ 31 74009371053091548357787809311294344032509979135601888703021472 n + 116\ 824654828205963855138397030507935713031441946847237937088768187014206208\ 30 354009248 n + 11968420752833590987292905988023296975042929273642718766\ 29 4195409356887392060713724172 n + 1194300947969294587903770959563444616\ 28 89540016127017932153639314993469827913637231798 n + 116122271326061574\ 27 077525864116837124944152831023912293403409190936165703228541573352 n + 110048341128514167362386890505194596507974049345801542196931005323674749\ 26 026888835978 n + 10168358175336655818222636607092384979390914409534184\ 25 4640290872167983678502721808432 n + 9163108591835239753960511519323080\ 24 4726420102399030211741456013873531676030078876668 n + 8055220047244504\ 23 8545128707653016794852519994449145311400123486279589698476337438144 n + 690980016039931190828841461905274221117262429191181438233983010398570450\ 22 58325209866 n + 578510638318188133472601991586271828820150592259871064\ 21 92086197414645970686600246874 n + 472838670948338552005670050539005567\ 20 16412761447720000511588830353812418188923962301 n + 377365636854426257\ 19 13668183720009875498047054846663582904799213496132761660892966324 n + 294134335457034121150434213509802653471150062610804559148296707431142527\ 18 02680806143 n + 223946237218599846837891180640283054735824326146124557\ 17 91676946635785130634176777812 n + 166583580909622353331637118255182226\ 16 20210425449268828864259704906540795174399472388 n + 121082403499869390\ 15 27680194021191625257578809146019205532655976807636580508523483712 n + 860115613875592357710861056337726480674567137780897034643091759465318447\ 14 6558280928 n + 5971982300959051929957512813565355386073137183031123417\ 13 048644529203075810773616000 n + 40534717178169467377288220049938769600\ 12 17586871298024103803505283770762611634672000 n + 268982761251273152010\ 11 9742203036029819359516764930947057387026420704088581112320000 n + 1745\ 353480938642391124150001671241747308681379340674453037878137315969516532\ 10 960000 n + 11073633356009069320733430817057473861009268709030044285847\ 9 87960567816913360000000 n + 6872772023244400432344454975281927386407002\ 8 69729472036639298455897353604560000000 n + 4169628668615156966884970419\ 7 74240870063830984937782443023093246305250432000000000 n + 2478323831656\ 6 13446358170432692064163605528359787553311660069462716198182400000000 n + 143570330964401715077089914343594095374899024814144648249305094981260800\ 5 000000000 n + 822969512665982833442398849609861318201663508048749879245\ 4 47816518771200000000000 n + 4494917263300767934751083235366114213763302\ 3 7666340684774249382363136000000000000 n + 26296127043200631489640869368\ 2 677926291019024637202188367898555133952000000000000 n + 120820678535251\ 99106700538649478866394628901160516967269732188160000000000000000 n + 12\ 753293845387710168183901907783247860997173447212354340272865280000000000\ 000000)/4860830707050243835876042708461855839997796327448210289607559078\ 6932097101673892974853515625 and in Maple notation: 549755813888/486083070705024383587604270846185583999779632744821028960755907869\ 32097101673892974853515625*(n+1)*n*( 271437448688352229293304200397695148180190964058172350295074406400*n^72+ 9771748152780680254558951214317025334486874706094204610622678630400*n^71+ 181776578141797165930903180391690367419686060883301487685320751185920*n^70+ 2315047875019569068818445685779528200322364856808202326086666892083200*n^69+ 22609762991423896939538803622019394261612801526802136111880508989767680*n^68+ 180033973123329532007586612112961308931262409734460268198796095882526720*n^67+ 1214366147560499227584101771540651944435851424953005227621566055930920960*n^66+ 7122175565974812889066905704801086947279286261551411840050191386279936000*n^65+ 37012481278893889004931896611879437689212515963868165242031225100147097600*n^64 +172886338979521187118995664172255358252013924540994429394837224695760158720*n^ 63+734005455031468313283195754957964454141835251836612966137486456483416637440* n^62+ 2857942636938294876491794894600451656115435566472194807443362220202367385600*n^ 61+ 10280375739121061681347256219262705513405147687067311386321021689715176243200*n ^60+ 34373223601445393083837183283947358006854629498953943015711004775586516172800*n ^59+ 107381994706016686749622460376157438189248928225794883419765150153124677156864* n^58+ 314820640011652121724650909047201359439378446908122027878996714287363486908416* n^57+ 869514010429370504121284564465012049994206669949239349062557064509916954230784* n^56+22699775170077464187295110607280935691426178027366771666963336547024058355\ 54816*n^55+56178983766966316183498699139668722223286081424060120101200007120590\ 71514804224*n^54+13214904960813623785657813701830875852607021863630978493287594\ 775394051635281920*n^53+2961420764271449781232883937228819402270200880104374711\ 2279499665683696925409280*n^52+633557516945796702840930564551152764094180470526\ 51999172522624319636596583301120*n^51+12963924967969237828416732454789700915765\ 5628135725059130268830038280046866595840*n^50+254149372735618589984333627045902\ 505639121214437027153921383820610504761453445120*n^49+4780948900946729303218801\ 96518990134657304440317774137398242011435427855213346816*n^48+86421822572620845\ 1281886169769206503843594822866046202325409401396536497084432384*n^47+150306250\ 1191231237701303193526967369410766890655040475525303355928658900223097856*n^46+ 2518194396840319606144440255354235782311322978694646248483989727365232652448769\ 024*n^45+4068493917993111484864767866874863862907505265062431504063912716822484\ 152098379776*n^44+6345232745613426377291121974263158151157730690861322164240064\ 239952563200397958144*n^43+9561709875410914227280426210423462374921934185846178\ 510070640479035585695382631936*n^42+1393390872663277523859806082407434320371214\ 8964398508010099111440585485754586038784*n^41+196520774205856387571337842514224\ 62475435831058645835276409790995053769367075817616*n^40+26845202543796642858258\ 606035982749434121993665927175244597137774174328304284568384*n^39+3554268885767\ 0291679841395672925754537063428644678761191000841263542745737895342574*n^38+456\ 3960416382112714120541529412667669472687083640437417916566712896812302116638906\ 6*n^37+568729438605806929258574505359672947203121972797828702851120451142095358\ 82481845909*n^36+68815961700357462621322666275484435618910776494263943059388613\ 958678292047841520516*n^35+8089545727156670417939395242956661621578416594094192\ 4594355305410970549732727879679*n^34+924332117772211442108303895766420750618481\ 16436280150176575590811933861902361962572*n^33+10270819504258337458065374886090\ 8193564735253598823680167412505552776541445502884328*n^32+111031737075200835045\ 474009371053091548357787809311294344032509979135601888703021472*n^31+1168246548\ 28205963855138397030507935713031441946847237937088768187014206208354009248*n^30 +119684207528335909872929059880232969750429292736427187664195409356887392060713\ 724172*n^29+1194300947969294587903770959563444616895400161270179321536393149934\ 69827913637231798*n^28+11612227132606157407752586411683712494415283102391229340\ 3409190936165703228541573352*n^27+110048341128514167362386890505194596507974049\ 345801542196931005323674749026888835978*n^26+1016835817533665581822263660709238\ 49793909144095341844640290872167983678502721808432*n^25+91631085918352397539605\ 115193230804726420102399030211741456013873531676030078876668*n^24+8055220047244\ 5048545128707653016794852519994449145311400123486279589698476337438144*n^23+690\ 9800160399311908288414619052742211172624291911814382339830103985704505832520986\ 6*n^22+578510638318188133472601991586271828820150592259871064920861974146459706\ 86600246874*n^21+47283867094833855200567005053900556716412761447720000511588830\ 353812418188923962301*n^20+3773656368544262571366818372000987549804705484666358\ 2904799213496132761660892966324*n^19+294134335457034121150434213509802653471150\ 06261080455914829670743114252702680806143*n^18+22394623721859984683789118064028\ 305473582432614612455791676946635785130634176777812*n^17+1665835809096223533316\ 3711825518222620210425449268828864259704906540795174399472388*n^16+121082403499\ 86939027680194021191625257578809146019205532655976807636580508523483712*n^15+86\ 0115613875592357710861056337726480674567137780897034643091759465318447655828092\ 8*n^14+597198230095905192995751281356535538607313718303112341704864452920307581\ 0773616000*n^13+405347171781694673772882200499387696001758687129802410380350528\ 3770762611634672000*n^12+268982761251273152010974220303602981935951676493094705\ 7387026420704088581112320000*n^11+174535348093864239112415000167124174730868137\ 9340674453037878137315969516532960000*n^10+110736333560090693207334308170574738\ 6100926870903004428584787960567816913360000000*n^9+6872772023244400432344454975\ 28192738640700269729472036639298455897353604560000000*n^8+416962866861515696688\ 497041974240870063830984937782443023093246305250432000000000*n^7+24783238316561\ 3446358170432692064163605528359787553311660069462716198182400000000*n^6+1435703\ 30964401715077089914343594095374899024814144648249305094981260800000000000*n^5+ 8229695126659828334423988496098613182016635080487498792454781651877120000000000\ 0*n^4+4494917263300767934751083235366114213763302766634068477424938236313600000\ 0000000*n^3+2629612704320063148964086936867792629101902463720218836789855513395\ 2000000000000*n^2+1208206785352519910670053864947886639462890116051696726973218\ 8160000000000000000*n+127532938453877101681839019077832478609971734472123543402\ 72865280000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 38, : , ) -------------- = 1099511627776 (n + 1) n ( / Pi j 76 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 74 1606717030548199526169749996468913495104771733972219278267296776192 n 73 + 59448530130283382468280749869349799318876554156972113295889980719104 n + 72 1135553282142653942346927399688324668356608634648996007274147737501696 n + 71 14841461960071420403382417946004475959169980126610070638269506995093504 n + 148691802874583762783618580917860404828607635823225358477968693008531456 70 n + 1214226393804329813024126118831473778333194079410988533200467831967186944 69 n + 8397805236528328835716699199500379952085098498200241442848394810560086016 68 n + 50494460288037683127466798705481083277417443653455611163710792706643984384 67 n + 269004160780944070360874000504831248602441781942796170760090164498305908736 66 n + 128804936427179111335211670944104200072689883372232681949339474155\ 65 5011518464 n + 5605660373304000671996019606651370332079582618710162838\ 64 694565044175803252736 n + 22373932449790521668639166616113620021041711\ 63 061538995733761916427709190242304 n + 82503820371003251870425758372327\ 62 610129844886382586302266451976476622592147456 n + 28280329305834864734\ 61 6866569718866629889096096559222920142030614038329209913344 n + 9057838\ 60 01457266847329794150799119915339124479596845048249715726525606716768256 n + 272283276737449394067096530846165072983729305332874746151476131629365\ 59 9898937344 n + 7711524198969861280303783941441605284652475886545621685\ 58 057514111008520666087424 n + 20646055179210171008386139956212642892269\ 57 375549997890583707270950185144393138176 n + 52407289250153884815911827\ 56 632989842647379427728641832473477706126446400817332224 n + 12645574808\ 55 5489496938864160075047840668090193213972120997245287969144874337304576 n + 290729767672404963082064356271947322291294387798783014615431993356601\ 54 021267836928 n + 63819278149636406256678063624579325643707391462159562\ 53 2194552664667252460045074432 n + 1340119904229522241503629382299992902\ 52 036448800786370666265366067022893935141715968 n + 26965310684768284363\ 51 83218222123669424618367660632076166442754612868723491010117632 n + 520\ 727579976250710371172124557332608474416886460418087445845934457032885646\ 50 3310848 n + 9664372243673107183523292928564602306387180014917552068324\ 49 384450827467645504356352 n + 17260659138481839587523604414694359080083\ 48 101357355044178177280411246545608074690560 n + 29701519664985815809668\ 47 183885205155908241164584491730720402696902997911614258544640 n + 49296\ 227753648364406883427510321881125899522793808979626057623947739230663353\ 46 669120 n + 78995468583139307294053234727164124761249090464175269329031\ 45 379190530835033579092480 n + 12233514535388550017964518650434278228693\ 44 4866395525580871275319192414028973915717120 n + 1832477115332368696817\ 43 22627748782070739597853215056141820714729479825234518622712320 n + 265\ 714483443092749912228137604332009025590756200645343390236744179199385327\ 42 234289760 n + 37325722257764927068630887671141785100607660252291657452\ 41 4375949597864838437271964640 n + 5083028650869316357829065965876148152\ 40 85767851451185959193510495791939062785781640160 n + 671495663857425656\ 39 532174555324569073280422988239282455243331446526547171099296504640 n + 861066707946179948292190568892336917211615780899805929064354730581274684\ 38 298460900761 n + 10723907646192922282080676083217716594837511208856283\ 37 56769058227989695499070518344539 n + 129785518250042296753107723455097\ 36 7823619822542550953942226685031701455415665248193911 n + 1527130644792\ 909037279620436501315281104951635266785530158948413379372081864197116489 35 n + 174787167394249436277284398799622279107090540434547685182922079202\ 34 2853942360288582852 n + 1946796624414421000137863845929382346434445527\ 33 693000649988621447957648081659848068328 n + 21110190395116961484043635\ 32 51301374237574724840804656355684503959655047366116874242972 n + 222944\ 313535628925005907152906265360101934496471891189624455300303925059713006\ 31 6218228 n + 2294011094723526068956523372263866687295476700269910829998\ 30 608691921664112069882653582 n + 23006064539470780634932778476021542215\ 29 23978124553516577677454041230835753479808005818 n + 224947378244283778\ 28 2939769458945412700659375741509916995671150883705963654385838929922 n + 214509809636186435431231885069613441474387203819333866016795526060138422\ 27 0551609684478 n + 1995579688224481426946888829775188673991769135179495\ 26 785276759009013635050064971463892 n + 18116213796832504200598799801223\ 25 12753838674700819240108552427630155230700758024562308 n + 160529948659\ 298218051847394629144452796473976216704041674482835759926498940296691689\ 24 2 n + 1388808025254270029567380758906767071277401866504532527894493426\ 23 424260636652120415012 n + 11733482089799220360878349223851400920881079\ 22 17382447114287278604101850571581584650273 n + 968289554831244273357294\ 21 642147674033921102396252980166764945162339041381628329357027 n + 78066\ 852298686936663771306240561576543959280295065867297585557776253886664413\ 20 2957823 n + 6150284523532573247447168716910417807937330720690757891374\ 19 85230951872628152505171777 n + 473554311367109541568943355887374490850\ 18 869082580191236807200251866732008656688320192 n + 35642182193911268898\ 17 1137375935921582028809032322637824472671661034614071513489038908 n + 2\ 622696642111643513698893050191002439135706277254654516820371829023351409\ 16 66321050992 n + 188705844542517669995537262156255224568180907382504387\ 15 998019613534053284763114411808 n + 13278140280404458408029661284086726\ 14 9927919698289136735472774393682569008117157633280 n + 9138140715318304\ 13 7377222213491737212489799014360213905454392682950731809019796240000 n + 615181679973468063075288207922705554232909353840859741102196118958214916\ 12 36548640000 n + 405146323016431867149175346545243380747006013714960698\ 11 64913669382304960632156960000 n + 261066771104178685195667422129838748\ 10 75420371926584018957434102996415298220697600000 n + 164591355947143863\ 9 53428236035835517171970566096634995144631901694650242218800000000 n + 1\ 015683682270511121752012649561178063447606725759426830997518011180789923\ 8 3600000000 n + 61305489112218766386949325645527206391204611959507909996\ 7 96913086221407398400000000 n + 3627296512647994795728048820279860964469\ 6 270552129252705979864265527953664000000000 n + 209309524174429286329133\ 5 4319789123483775166000894005538367223821007040000000000000 n + 11956927\ 656041118895215898166874857323633264251473692822461773470855680000000000\ 4 00 n + 6513238230354275538223669739131955514359708901838727393324826574\ 3 72512000000000000 n + 3801160842907971976637121967505214389906443045753\ 2 28233304422811320320000000000000 n + 1744181745687889632391984186988538\ 09407643660831505625293042483200000000000000000 n + 18384618400493971800\ 8884819709602663970218993849424848281855590400000000000000000)/141987423\ 284888701521642300168227894273619840091250353196431330982880599428573740\ 0054931640625 and in Maple notation: 1099511627776/14198742328488870152164230016822789427361984009125035319643133098\ 28805994285737400054931640625*(n+1)*n*( 1606717030548199526169749996468913495104771733972219278267296776192*n^74+ 59448530130283382468280749869349799318876554156972113295889980719104*n^73+ 1135553282142653942346927399688324668356608634648996007274147737501696*n^72+ 14841461960071420403382417946004475959169980126610070638269506995093504*n^71+ 148691802874583762783618580917860404828607635823225358477968693008531456*n^70+ 1214226393804329813024126118831473778333194079410988533200467831967186944*n^69+ 8397805236528328835716699199500379952085098498200241442848394810560086016*n^68+ 50494460288037683127466798705481083277417443653455611163710792706643984384*n^67 +269004160780944070360874000504831248602441781942796170760090164498305908736*n^ 66+1288049364271791113352116709441042000726898833722326819493394741555011518464 *n^65+ 5605660373304000671996019606651370332079582618710162838694565044175803252736*n^ 64+ 22373932449790521668639166616113620021041711061538995733761916427709190242304*n ^63+ 82503820371003251870425758372327610129844886382586302266451976476622592147456*n ^62+ 282803293058348647346866569718866629889096096559222920142030614038329209913344* n^61+ 905783801457266847329794150799119915339124479596845048249715726525606716768256* n^60+27228327673744939406709653084616507298372930533287474615147613162936598989\ 37344*n^59+77115241989698612803037839414416052846524758865456216850575141110085\ 20666087424*n^58+20646055179210171008386139956212642892269375549997890583707270\ 950185144393138176*n^57+5240728925015388481591182763298984264737942772864183247\ 3477706126446400817332224*n^56+126455748085489496938864160075047840668090193213\ 972120997245287969144874337304576*n^55+2907297676724049630820643562719473222912\ 94387798783014615431993356601021267836928*n^54+63819278149636406256678063624579\ 3256437073914621595622194552664667252460045074432*n^53+134011990422952224150362\ 9382299992902036448800786370666265366067022893935141715968*n^52+269653106847682\ 8436383218222123669424618367660632076166442754612868723491010117632*n^51+520727\ 5799762507103711721245573326084744168864604180874458459344570328856463310848*n^ 50+9664372243673107183523292928564602306387180014917552068324384450827467645504\ 356352*n^49+1726065913848183958752360441469435908008310135735504417817728041124\ 6545608074690560*n^48+297015196649858158096681838852051559082411645844917307204\ 02696902997911614258544640*n^47+49296227753648364406883427510321881125899522793\ 808979626057623947739230663353669120*n^46+7899546858313930729405323472716412476\ 1249090464175269329031379190530835033579092480*n^45+122335145353885500179645186\ 504342782286934866395525580871275319192414028973915717120*n^44+1832477115332368\ 69681722627748782070739597853215056141820714729479825234518622712320*n^43+26571\ 4483443092749912228137604332009025590756200645343390236744179199385327234289760 *n^42+3732572225776492706863088767114178510060766025229165745243759495978648384\ 37271964640*n^41+50830286508693163578290659658761481528576785145118595919351049\ 5791939062785781640160*n^40+671495663857425656532174555324569073280422988239282\ 455243331446526547171099296504640*n^39+8610667079461799482921905688923369172116\ 15780899805929064354730581274684298460900761*n^38+10723907646192922282080676083\ 21771659483751120885628356769058227989695499070518344539*n^37+12978551825004229\ 67531077234550977823619822542550953942226685031701455415665248193911*n^36+15271\ 3064479290903727962043650131528110495163526678553015894841337937208186419711648\ 9*n^35+174787167394249436277284398799622279107090540434547685182922079202285394\ 2360288582852*n^34+194679662441442100013786384592938234643444552769300064998862\ 1447957648081659848068328*n^33+211101903951169614840436355130137423757472484080\ 4656355684503959655047366116874242972*n^32+222944313535628925005907152906265360\ 1019344964718911896244553003039250597130066218228*n^31+229401109472352606895652\ 3372263866687295476700269910829998608691921664112069882653582*n^30+230060645394\ 7078063493277847602154221523978124553516577677454041230835753479808005818*n^29+ 2249473782442837782939769458945412700659375741509916995671150883705963654385838\ 929922*n^28+2145098096361864354312318850696134414743872038193338660167955260601\ 384220551609684478*n^27+1995579688224481426946888829775188673991769135179495785\ 276759009013635050064971463892*n^26+1811621379683250420059879980122312753838674\ 700819240108552427630155230700758024562308*n^25+1605299486592982180518473946291\ 444527964739762167040416744828357599264989402966916892*n^24+1388808025254270029\ 567380758906767071277401866504532527894493426424260636652120415012*n^23+1173348\ 208979922036087834922385140092088107917382447114287278604101850571581584650273* n^22+96828955483124427335729464214767403392110239625298016676494516233904138162\ 8329357027*n^21+780668522986869366637713062405615765439592802950658672975855577\ 762538866644132957823*n^20+6150284523532573247447168716910417807937330720690757\ 89137485230951872628152505171777*n^19+47355431136710954156894335588737449085086\ 9082580191236807200251866732008656688320192*n^18+356421821939112688981137375935\ 921582028809032322637824472671661034614071513489038908*n^17+2622696642111643513\ 69889305019100243913570627725465451682037182902335140966321050992*n^16+18870584\ 4542517669995537262156255224568180907382504387998019613534053284763114411808*n^ 15+1327814028040445840802966128408672699279196982891367354727743936825690081171\ 57633280*n^14+91381407153183047377222213491737212489799014360213905454392682950\ 731809019796240000*n^13+6151816799734680630752882079227055542329093538408597411\ 0219611895821491636548640000*n^12+405146323016431867149175346545243380747006013\ 71496069864913669382304960632156960000*n^11+26106677110417868519566742212983874\ 875420371926584018957434102996415298220697600000*n^10+1645913559471438635342823\ 6035835517171970566096634995144631901694650242218800000000*n^9+1015683682270511\ 1217520126495611780634476067257594268309975180111807899233600000000*n^8+6130548\ 911221876638694932564552720639120461195950790999696913086221407398400000000*n^7 +362729651264799479572804882027986096446927055212925270597986426552795366400000\ 0000*n^6+2093095241744292863291334319789123483775166000894005538367223821007040\ 000000000000*n^5+11956927656041118895215898166874857323633264251473692822461773\ 47085568000000000000*n^4+651323823035427553822366973913195551435970890183872739\ 332482657472512000000000000*n^3+38011608429079719766371219675052143899064430457\ 5328233304422811320320000000000000*n^2+1744181745687889632391984186988538094076\ 43660831505625293042483200000000000000000*n+18384618400493971800888481970960266\ 3970218993849424848281855590400000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 39, : , ) -------------- = 1099511627776 (n + 1) n ( / Pi j 78 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 76 1578906009314191853939391855197631147404329694033210198480864233390080 n + 75 59998428353939290449696890497509983601364528373261987542272840868823040 n + 1176010585658600041159698234430808222591633499248708892837499444031127552 74 n + 15763118555671279689924022818841536820259345099568559796686290527321063424 73 n + 161900035673993227184072016434289943986189180575439968921910563740556722176 72 n + 135499168163958602700934011548846184183850121414751911551536919149\ 71 3781684224 n + 9602791581859725249880347474818108923042755160960025033\ 70 510086464817474830336 n + 59158056441089244268856709320935986890447886\ 69 398229678489582801923629293502464 n + 32287269785430446359191363691267\ 68 0864574395983366221767981525406720326732087296 n + 1583749620702934644\ 67 707421634746777044525002297038961402961722398435547444936704 n + 70608\ 152647941191756940504266464952210853279621398272985785348592675298905948\ 66 16 n + 288700421704240315099292703227291463019099915782470956145712260\ 65 50761033812803584 n + 109060655573591428118550925884126892902810271605\ 64 926484138505558449712774791561216 n + 38298963965736409267836120777026\ 63 7018190607718093355321842405948146313505825357824 n + 1256787454185932\ 62 895507128817053144766429704606288812141895771051085333564789620736 n + 387101638748413054946215221013599159591808362058516738585615842298224848\ 61 0441892864 n + 1123435722550179390711211342695144098798110363089871612\ 60 4185645821855766683567783936 n + 3082413544638157409344016274194080258\ 59 8819810013567231695549192724988136218337214464 n + 8019317400504930365\ 58 7507040035416692451804945529169804664349992058785798664669364224 n + 1\ 983472077581489651984453613057598412638126182672172927768433987027967064\ 57 79893118976 n + 467489980881994742392691803158621693191036233982635806\ 56 078174549009072516384826589184 n + 10521720814985134980672929042475934\ 55 81510082738797859181081138901802793232173688160256 n + 226563796549006\ 54 6049383308258302571002337740274694402198259541978718764928432512565248 n + 467548931650171653602534184720748738623684696286512198013062779924847\ 53 5516847955771392 n + 9261313781526170493270400828910855949112751295353\ 52 454109302969951278831720711138705408 n + 17633734334610798360485264362\ 51 752664208967976068576881866591034199632881747498010017792 n + 32315244\ 450054117530965639418749512377084931554425569852156539178732422334999127\ 50 359488 n + 57066525176414315816823827856045946006148898335371132952778\ 49 601396570058569365741862912 n + 97217576912716538584228622136487277743\ 48 641027402172219561741950841999221274930909921280 n + 15993356659805059\ 47 7823402358543419948358115031140046029982924425022429138727995737374720 n + 254316946742181390455703736962872293304898185265497084197327987832574\ 46 783409087967690240 n + 39122964971217159623180398883401685945096645684\ 45 5255155803185821950403462999227114344960 n + 5827232109070311129104272\ 44 77470165211348749506655840864546115931297051818133010873949440 n + 841\ 000285455574823536789182162361091161108595345605666186557307797202640745\ 43 616464716800 n + 11769023844285851570843835664000154748937882177966229\ 42 50181808524197842526318885452939680 n + 159802056801803982244148357608\ 41 9430877579650120003477042134221927430088702842401028345120 n + 2106641\ 798564272403004794851190308481042324830031833725499517626726463097875300\ 40 668807280 n + 26978473202835437285257697647845142446247972177161222627\ 39 52398315404629196189122562993920 n + 335813990801465810966985205077194\ 38 7611895761371070084241881611222740632210887118450992721 n + 4064967081\ 469504207833178786937827397234679655774821125870607223198325449838738169\ 37 081379 n + 47874134485217441331412794375567619988561627326764281590768\ 36 60411383129511829883833091311 n + 548816329213962510796214274654537679\ 35 7159840918544474124562073267755430547780663411604449 n + 6126612350886\ 041969981768396807832170679070362185290976454487680780254027403231078270\ 34 692 n + 66627807099070223634942880625689259695926782354473636875278472\ 33 17834289122568312599904808 n + 706149874020353428973466303711154744347\ 32 3572284958100948161516237151039612727952208307292 n + 7296249983730547\ 310793137407672176445699627672012512310676587907189515893349274852833108 31 n + 735208397763507771510515355087494141086262019744169604065521460501\ 30 7511934972051619670302 n + 7227156063995000291771254560733363247046834\ 29 155360266857169480425045293069115515659939498 n + 69326807171859383609\ 28 82897579748164066373889289724650338245856803616837296726837689276242 n + 649135042985381528522509624052376876617983285320925712046407244859134866\ 27 6003492645543758 n + 5934517603300973458663778465676802053802075515167\ 26 460997095979281788865720717238706945012 n + 52986132055615002549150295\ 25 67516980358726147457177955667708683442975786226396689551076388 n + 462\ 135344815662726956097531645032867922096501156031037503224805598005035646\ 24 6069318694412 n + 3938258377151666385297028992786022437706734215084161\ 23 999542006812929681234389164055549252 n + 32798922822091095745065345375\ 22 77256259797230564743934796155307863782677093307101106087833 n + 267006\ 777622946067056512623144947643123119423989236241035822768101591491716163\ 21 5515196267 n + 2125074814636653750975790082104456580273048944435917140\ 20 263111087415892503678158983585783 n + 16538358778559646258622561690909\ 19 50813161165786822295035400091355065243678469960294734617 n + 125877829\ 697784040264198245986975080817239991569331899427540026260683127506039169\ 18 9818112 n + 9371574133619633899834750380853460776155261788445166848348\ 17 04804388474420548303520634588 n + 682568207462127447133993777370565591\ 16 624062647136942936822886202315482170957495019893232 n + 48641710845752\ 812698058864207627200839521432138068284093633361576697751674874838450844\ 15 8 n + 3392010096791692226888220424515219823891649866941928214831956843\ 14 17409898492931027037440 n + 231494506795716721512446827923804281724300\ 13 823107656542241444855251476710689920866448000 n + 15463631426135745823\ 12 2741483981110727736316518467809357478367937506162909429223749920000 n + 101112350560078232301949117360681300747621897483281685984796259004350320\ 11 138581308960000 n + 64726601048141840194018759857038731519867315894812\ 10 518507340701531602420940505292800000 n + 40563032861125227553355801324\ 9 494920899055883019958250005719015070935147425387440000000 n + 248955089\ 626242608884640102528164068529047658718860019815108301671424000623440000\ 8 00000 n + 1495383336032285603833399459044825370425203021074469487978517\ 7 0100455595952806400000000 n + 88097073245065502223403554692397452447287\ 6 60279984648702717540344566960685312000000000 n + 5064705426090241093139\ 5 689731817505427479752776625488669630772032019331980800000000000 n + 288\ 385282071863264952750422734129025662678135787619966226898083488922137600\ 4 0000000000 n + 15669284472379906782355579439895103388113420222028418693\ 3 67907959569518592000000000000 n + 9123715880324311245244620413281112429\ 2 49906750906865096100373308237660160000000000000 n + 4181213762824344006\ 67606745465549338667469057711746932447424169246720000000000000000 n + 44\ 012776450782568491327025838478877754470427127552308678676228341760000000\ 0000000000)/344275813027921289281822072584823958107597767655100183315747\ 0756854907211221594506702423095703125 and in Maple notation: 1099511627776/34427581302792128928182207258482395810759776765510018331574707568\ 54907211221594506702423095703125*(n+1)*n*( 1578906009314191853939391855197631147404329694033210198480864233390080*n^76+ 59998428353939290449696890497509983601364528373261987542272840868823040*n^75+ 1176010585658600041159698234430808222591633499248708892837499444031127552*n^74+ 15763118555671279689924022818841536820259345099568559796686290527321063424*n^73 +161900035673993227184072016434289943986189180575439968921910563740556722176*n^ 72+1354991681639586027009340115488461841838501214147519115515369191493781684224 *n^71+ 9602791581859725249880347474818108923042755160960025033510086464817474830336*n^ 70+ 59158056441089244268856709320935986890447886398229678489582801923629293502464*n ^69+ 322872697854304463591913636912670864574395983366221767981525406720326732087296* n^68+15837496207029346447074216347467770445250022970389614029617223984355474449\ 36704*n^67+70608152647941191756940504266464952210853279621398272985785348592675\ 29890594816*n^66+28870042170424031509929270322729146301909991578247095614571226\ 050761033812803584*n^65+1090606555735914281185509258841268929028102716059264841\ 38505558449712774791561216*n^64+38298963965736409267836120777026701819060771809\ 3355321842405948146313505825357824*n^63+125678745418593289550712881705314476642\ 9704606288812141895771051085333564789620736*n^62+387101638748413054946215221013\ 5991595918083620585167385856158422982248480441892864*n^61+112343572255017939071\ 12113426951440987981103630898716124185645821855766683567783936*n^60+30824135446\ 381574093440162741940802588819810013567231695549192724988136218337214464*n^59+ 8019317400504930365750704003541669245180494552916980466434999205878579866466936\ 4224*n^58+198347207758148965198445361305759841263812618267217292776843398702796\ 706479893118976*n^57+4674899808819947423926918031586216931910362339826358060781\ 74549009072516384826589184*n^56+10521720814985134980672929042475934815100827387\ 97859181081138901802793232173688160256*n^55+22656379654900660493833082583025710\ 02337740274694402198259541978718764928432512565248*n^54+46754893165017165360253\ 41847207487386236846962865121980130627799248475516847955771392*n^53+92613137815\ 26170493270400828910855949112751295353454109302969951278831720711138705408*n^52 +176337343346107983604852643627526642089679760685768818665910341996328817474980\ 10017792*n^51+32315244450054117530965639418749512377084931554425569852156539178\ 732422334999127359488*n^50+5706652517641431581682382785604594600614889833537113\ 2952778601396570058569365741862912*n^49+972175769127165385842286221364872777436\ 41027402172219561741950841999221274930909921280*n^48+15993356659805059782340235\ 8543419948358115031140046029982924425022429138727995737374720*n^47+254316946742\ 181390455703736962872293304898185265497084197327987832574783409087967690240*n^ 46+3912296497121715962318039888340168594509664568452551558031858219504034629992\ 27114344960*n^45+58272321090703111291042727747016521134874950665584086454611593\ 1297051818133010873949440*n^44+841000285455574823536789182162361091161108595345\ 605666186557307797202640745616464716800*n^43+1176902384428585157084383566400015\ 474893788217796622950181808524197842526318885452939680*n^42+1598020568018039822\ 441483576089430877579650120003477042134221927430088702842401028345120*n^41+2106\ 6417985642724030047948511903084810423248300318337254995176267264630978753006688\ 07280*n^40+26978473202835437285257697647845142446247972177161222627523983154046\ 29196189122562993920*n^39+33581399080146581096698520507719476118957613710700842\ 41881611222740632210887118450992721*n^38+40649670814695042078331787869378273972\ 34679655774821125870607223198325449838738169081379*n^37+47874134485217441331412\ 79437556761998856162732676428159076860411383129511829883833091311*n^36+54881632\ 9213962510796214274654537679715984091854447412456207326775543054778066341160444\ 9*n^35+612661235088604196998176839680783217067907036218529097645448768078025402\ 7403231078270692*n^34+666278070990702236349428806256892596959267823544736368752\ 7847217834289122568312599904808*n^33+706149874020353428973466303711154744347357\ 2284958100948161516237151039612727952208307292*n^32+729624998373054731079313740\ 7672176445699627672012512310676587907189515893349274852833108*n^31+735208397763\ 5077715105153550874941410862620197441696040655214605017511934972051619670302*n^ 30+7227156063995000291771254560733363247046834155360266857169480425045293069115\ 515659939498*n^29+6932680717185938360982897579748164066373889289724650338245856\ 803616837296726837689276242*n^28+6491350429853815285225096240523768766179832853\ 209257120464072448591348666003492645543758*n^27+5934517603300973458663778465676\ 802053802075515167460997095979281788865720717238706945012*n^26+5298613205561500\ 254915029567516980358726147457177955667708683442975786226396689551076388*n^25+ 4621353448156627269560975316450328679220965011560310375032248055980050356466069\ 318694412*n^24+3938258377151666385297028992786022437706734215084161999542006812\ 929681234389164055549252*n^23+3279892282209109574506534537577256259797230564743\ 934796155307863782677093307101106087833*n^22+2670067776229460670565126231449476\ 431231194239892362410358227681015914917161635515196267*n^21+2125074814636653750\ 975790082104456580273048944435917140263111087415892503678158983585783*n^20+1653\ 8358778559646258622561690909508131611657868222950354000913550652436784699602947\ 34617*n^19+12587782969778404026419824598697508081723999156933189942754002626068\ 31275060391699818112*n^18+93715741336196338998347503808534607761552617884451668\ 4834804804388474420548303520634588*n^17+682568207462127447133993777370565591624\ 062647136942936822886202315482170957495019893232*n^16+4864171084575281269805886\ 42076272008395214321380682840936333615766977516748748384508448*n^15+33920100967\ 9169222688822042451521982389164986694192821483195684317409898492931027037440*n^ 14+2314945067957167215124468279238042817243008231076565422414448552514767106899\ 20866448000*n^13+15463631426135745823274148398111072773631651846780935747836793\ 7506162909429223749920000*n^12+101112350560078232301949117360681300747621897483\ 281685984796259004350320138581308960000*n^11+6472660104814184019401875985703873\ 1519867315894812518507340701531602420940505292800000*n^10+405630328611252275533\ 55801324494920899055883019958250005719015070935147425387440000000*n^9+248955089\ 62624260888464010252816406852904765871886001981510830167142400062344000000000*n ^8+1495383336032285603833399459044825370425203021074469487978517010045559595280\ 6400000000*n^7+8809707324506550222340355469239745244728760279984648702717540344\ 566960685312000000000*n^6+50647054260902410931396897318175054274797527766254886\ 69630772032019331980800000000000*n^5+288385282071863264952750422734129025662678\ 1357876199662268980834889221376000000000000*n^4+1566928447237990678235557943989\ 510338811342022202841869367907959569518592000000000000*n^3+91237158803243112452\ 4462041328111242949906750906865096100373308237660160000000000000*n^2+4181213762\ 82434400667606745465549338667469057711746932447424169246720000000000000000*n+44\ 0127764507825684913270258384788777544704271275523086786762283417600000000000000\ 000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 40, : , ) -------------- = 35184372088832 (n + 1) n ( / Pi j 80 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 29896931742203041111116978575670245364488740780790660963081403943914307584 78 n + 116598033794591860333356216445113956921506089045083577756017475381\ 77 2657995776 n + 2343616536873420147616130794532462360681190023221118696\ 76 8854048230668536643584 n + 3219645392069400172017958863916633004716408\ 75 47914167523959608611156098176516096 n + 338798465960293017222069983805\ 74 3452839816804819664244716695524508543251438895104 n + 2904323441655742\ 73 5013876174488420675289404937051436400915673607155265721574883328 n + 2\ 107843897925709994597643647972025884873599350801009519161330985709041011\ 72 62319872 n + 132963071811445297291225460500779255661387610552187936159\ 71 2127594535181688219107328 n + 7429976721169164402212867722247484960080\ 70 208509736587561082076716185713766377193472 n + 37312954765058428913089\ 69 545791261161289230696697769654107303560728925592721951817728 n + 17030\ 810125031765568922572854894886487090628565778448540990857393870364195987\ 68 6001792 n + 7129118009442703565811899774044415764963708933140456039931\ 67 77720406550262180539793408 n + 275723402320353774161301594221889714651\ 66 3848479854021408216279886984318951768448827392 n + 9913483364731537125\ 65 289858363205694745774728237006883615257843887744974835905103659008 n + 333087102287813077263915184481545039946277947778388622406918927299200311\ 64 23017241198592 n + 105052483591472690142332743863706108139437901403154\ 63 452102537016770959706867693715980288 n + 31221119998184936443532727781\ 62 1437482413317569031603868501289244759686063458281894182912 n + 8773000\ 694029918327397628884303391653422452934256155882783135700932131393095673\ 61 12396288 n + 233772704107585933746906710742349505675190261665624998097\ 60 6642845957410153380102477709312 n + 5922805318943515828343815118540614\ 59 655799605464037123072576932928304640955738300042969088 n + 14301048720\ 349017523930863015260915429897855115445766602615290389762766434740298331\ 58 979776 n + 32978353949350514252560365716400292296829837314533455757163\ 57 311242897963916935612537503744 n + 72767040155749199654190744037885122\ 56 197416024303332355552088321423724287607555389860478976 n + 15389745019\ 782290765387859094652877421433623000812225219823002844856550031265599337\ 55 5555584 n + 3124625126639954884737677573697922063432674061363244690886\ 54 83962127570901264277894264406016 n + 609893368574572741377332592662912\ 53 173397091649369099778840700057980403019309872090706919424 n + 11459537\ 904313008065557829292823822712118074268489648497165849376784301263791152\ 52 65183154176 n + 207519641200611399389622550950254128762839619937107363\ 51 3520900083222511567700853526868967424 n + 3625859943746508784095696686\ 50 656533110158159394667319328545052397062992215859021275593598976 n + 61\ 188081773678117900802999858208403505367602996671100210908206587486933253\ 49 29901420707866624 n + 998247377982131563560001840808187678068802384545\ 48 9623335260568130388488642986188378671221760 n + 1575821721302024672177\ 47 7851814849463809205001302123978608361051259239143040656502781391011840 n + 240895640684460427591546708111157369444132875461352680395808473570511\ 46 43583555711473279823560 n + 356890490400048569032758060210152469805384\ 45 78209623586332666248049132463133684393682373403640 n + 512783949781204\ 312505789199066658319467793378289871219742313360674793880630463185519828\ 44 59160 n + 715017138236169798251911697669808403517874388668560021021619\ 43 04581474540125142225865632497720 n + 968170536776840934676007856677217\ 42 99382084897794851595300408116269950034935910335030593005630 n + 127378\ 050088086536834862727177316050319787483885793217452335722541512750045649\ 41 080325015540470 n + 16292325512621986432115436156456942933252657584869\ 40 9282562800675147505112084859540223147445955 n + 2026942433288807693441\ 39 33827156596164768204927835132044999986529934838112570491067595334589120 n + 245403338693280675739761573985954951146794702949278102635107113271373\ 38 405464558118227781074784 n + 28926695166127622258488324225988749251656\ 37 0232085723617822496300141064508575873618592847303346 n + 3321112929583\ 845764874645367484039039455205904134597571190679525152456367330890479513\ 36 39409759 n + 371545056120004823696081567145944994449577981419575109437\ 35 635146689113090215387442426182099456 n + 40518091298561842696224138207\ 34 5980465151293297875466427664696710005078259544590555804795962744 n + 4\ 308771605594979634845351874207520151236918319590132504238590439847229730\ 33 12042659446355567996 n + 446965124838286932022697588195650153791864818\ 32 385722015574456487630513880148276024087206646454 n + 45242852198810899\ 433302120045453864686908726759957841931704797159094139973672006905582301\ 31 8496 n + 4470080239587291778950994398057693140077059152381686581184074\ 30 07556886520448094204253641744304 n + 431216395688213715527453538291610\ 29 105584998386372920786910868399102053357553306645464529846396 n + 40626\ 422835975050924836990093703481226355036796691366241978170865799901555263\ 28 7657335338226334 n + 3739104362532490469915096607783125760683867985152\ 27 68112736026069438870238443873211049686658616 n + 336262521039422363749\ 218200442564220986939394288158493157672607478578747822980046971341458934 26 n + 295557238306487413726337592186334462023922491996842363898894763319\ 25 851332855600116017353369966 n + 25395212613469261762943476135580386649\ 24 2720886693103976283557591199680522177497927439589622759 n + 2133530341\ 093565272456366720877036310899031055110310171547235281388016520204107956\ 23 57879183744 n + 175294017238130480905832599297670091514331392878241605\ 22 623761206238036688323619675855362698456 n + 14087581629670986279160217\ 21 0799102881090032900484201897825063012469262665205027329927787799994 n + 110759778865390542071523499731703826229783403504397886567942313065429531\ 20 586746886575389386731 n + 85206901006843104060393748866784308045134478\ 19 775873763368309706978156738920782885601068638544 n + 64147703286650088\ 601515579221416021282022277395422588338643569873506032291924233123668669\ 18 220 n + 47267596703031526631389413690606022934417586573115454868453638\ 17 724920954345943791548292339520 n + 34094217315479463627301215124370505\ 16 993244280009826146859484954482524180639530919837345125920 n + 24076156\ 762168710474493392118004843301903012760905547246394311026181741132120012\ 15 336550400000 n + 16646951666712428015927251572994454197937665451299579\ 14 521615034363508033748410255603194320000 n + 11271176942914223074433690\ 13 628590581307253855426487178041349810981392111665432095862004800000 n + 747375658553825384736817402160396322923153341389963187330917074764709502\ 12 6909202964930400000 n + 4853728257527180531300515276264926432300119403\ 11 548099720356370657230419305163305342400000000 n + 30877270625419918849\ 10 46734362233400461966927853625541910063816669333865640609981710800000000 n + 192402722651650007597780198840628446043853383662537487782364402892407\ 9 6634464545088000000000 n + 11747907832803449180483777212378725065826096\ 8 86547217845575085386222881393775219616000000000 n + 7024074953210778701\ 7 32523598285443992684291284459281686419501271473723585851904000000000000 n + 412114406349098018095038992946287546736435447461195678091616417920720\ 6 830755008000000000000 n + 236090320637978111506158771917719959633016977\ 5 135957013405827664184629581957120000000000000 n + 134015892253769449307\ 4 391666462947671270272651075396562050951190286730240506880000000000000 n + 726416925138172736207896316119034868590198844738889422788773305602241331\ 3 20000000000000000 n + 4220480280291472042908012673713902431683418227949\ 2 7089826179113953797201920000000000000000 n + 19318552419084465444880666\ 632964555189924012618222716821836178392842240000000000000000000 n + 2030\ 924741493495085231044440901401955863806454736234332552008497709056000000\ 0000000000000)/514714718404589142360127316949029830928135656499272355568\ 9574017097281849745013191163058185577392578125 and in Maple notation: 35184372088832/5147147184045891423601273169490298309281356564992723555689574017\ 097281849745013191163058185577392578125*(n+1)*n*( 29896931742203041111116978575670245364488740780790660963081403943914307584*n^78 +1165980337945918603333562164451139569215060890450835777560174753812657995776*n ^77+ 23436165368734201476161307945324623606811900232211186968854048230668536643584*n ^76+ 321964539206940017201795886391663300471640847914167523959608611156098176516096* n^75+33879846596029301722206998380534528398168048196642447166955245085432514388\ 95104*n^74+29043234416557425013876174488420675289404937051436400915673607155265\ 721574883328*n^73+2107843897925709994597643647972025884873599350801009519161330\ 98570904101162319872*n^72+13296307181144529729122546050077925566138761055218793\ 61592127594535181688219107328*n^71+74299767211691644022128677222474849600802085\ 09736587561082076716185713766377193472*n^70+37312954765058428913089545791261161\ 289230696697769654107303560728925592721951817728*n^69+1703081012503176556892257\ 28548948864870906285657784485409908573938703641959876001792*n^68+71291180094427\ 0356581189977404441576496370893314045603993177720406550262180539793408*n^67+275\ 7234023203537741613015942218897146513848479854021408216279886984318951768448827\ 392*n^66+9913483364731537125289858363205694745774728237006883615257843887744974\ 835905103659008*n^65+3330871022878130772639151844815450399462779477783886224069\ 1892729920031123017241198592*n^64+105052483591472690142332743863706108139437901\ 403154452102537016770959706867693715980288*n^63+3122111999818493644353272778114\ 37482413317569031603868501289244759686063458281894182912*n^62+87730006940299183\ 2739762888430339165342245293425615588278313570093213139309567312396288*n^61+233\ 7727041075859337469067107423495056751902616656249980976642845957410153380102477\ 709312*n^60+5922805318943515828343815118540614655799605464037123072576932928304\ 640955738300042969088*n^59+1430104872034901752393086301526091542989785511544576\ 6602615290389762766434740298331979776*n^58+329783539493505142525603657164002922\ 96829837314533455757163311242897963916935612537503744*n^57+72767040155749199654\ 190744037885122197416024303332355552088321423724287607555389860478976*n^56+1538\ 9745019782290765387859094652877421433623000812225219823002844856550031265599337\ 5555584*n^55+312462512663995488473767757369792206343267406136324469088683962127\ 570901264277894264406016*n^54+6098933685745727413773325926629121733970916493690\ 99778840700057980403019309872090706919424*n^53+11459537904313008065557829292823\ 82271211807426848964849716584937678430126379115265183154176*n^52+20751964120061\ 13993896225509502541287628396199371073633520900083222511567700853526868967424*n ^51+362585994374650878409569668665653311015815939466731932854505239706299221585\ 9021275593598976*n^50+611880817736781179008029998582084035053676029966711002109\ 0820658748693325329901420707866624*n^49+998247377982131563560001840808187678068\ 8023845459623335260568130388488642986188378671221760*n^48+157582172130202467217\ 77851814849463809205001302123978608361051259239143040656502781391011840*n^47+24\ 0895640684460427591546708111157369444132875461352680395808473570511435835557114\ 73279823560*n^46+35689049040004856903275806021015246980538478209623586332666248\ 049132463133684393682373403640*n^45+5127839497812043125057891990666583194677933\ 7828987121974231336067479388063046318551982859160*n^44+715017138236169798251911\ 69766980840351787438866856002102161904581474540125142225865632497720*n^43+96817\ 0536776840934676007856677217993820848977948515953004081162699500349359103350305\ 93005630*n^42+12737805008808653683486272717731605031978748388579321745233572254\ 1512750045649080325015540470*n^41+162923255126219864321154361564569429332526575\ 848699282562800675147505112084859540223147445955*n^40+2026942433288807693441338\ 27156596164768204927835132044999986529934838112570491067595334589120*n^39+24540\ 3338693280675739761573985954951146794702949278102635107113271373405464558118227\ 781074784*n^38+2892669516612762225848832422598874925165602320857236178224963001\ 41064508575873618592847303346*n^37+33211129295838457648746453674840390394552059\ 0413459757119067952515245636733089047951339409759*n^36+371545056120004823696081\ 567145944994449577981419575109437635146689113090215387442426182099456*n^35+4051\ 8091298561842696224138207598046515129329787546642766469671000507825954459055580\ 4795962744*n^34+430877160559497963484535187420752015123691831959013250423859043\ 984722973012042659446355567996*n^33+4469651248382869320226975881956501537918648\ 18385722015574456487630513880148276024087206646454*n^32+45242852198810899433302\ 1200454538646869087267599578419317047971590941399736720069055823018496*n^31+447\ 0080239587291778950994398057693140077059152381686581184074075568865204480942042\ 53641744304*n^30+43121639568821371552745353829161010558499838637292078691086839\ 9102053357553306645464529846396*n^29+406264228359750509248369900937034812263550\ 367966913662419781708657999015552637657335338226334*n^28+3739104362532490469915\ 09660778312576068386798515268112736026069438870238443873211049686658616*n^27+33\ 6262521039422363749218200442564220986939394288158493157672607478578747822980046\ 971341458934*n^26+2955572383064874137263375921863344620239224919968423638988947\ 63319851332855600116017353369966*n^25+25395212613469261762943476135580386649272\ 0886693103976283557591199680522177497927439589622759*n^24+213353034109356527245\ 636672087703631089903105511031017154723528138801652020410795657879183744*n^23+ 1752940172381304809058325992976700915143313928782416056237612062380366883236196\ 75855362698456*n^22+14087581629670986279160217079910288109003290048420189782506\ 3012469262665205027329927787799994*n^21+110759778865390542071523499731703826229\ 783403504397886567942313065429531586746886575389386731*n^20+8520690100684310406\ 0393748866784308045134478775873763368309706978156738920782885601068638544*n^19+ 6414770328665008860151557922141602128202227739542258833864356987350603229192423\ 3123668669220*n^18+472675967030315266313894136906060229344175865731154548684536\ 38724920954345943791548292339520*n^17+34094217315479463627301215124370505993244\ 280009826146859484954482524180639530919837345125920*n^16+2407615676216871047449\ 3392118004843301903012760905547246394311026181741132120012336550400000*n^15+166\ 4695166671242801592725157299445419793766545129957952161503436350803374841025560\ 3194320000*n^14+112711769429142230744336906285905813072538554264871780413498109\ 81392111665432095862004800000*n^13+74737565855382538473681740216039632292315334\ 13899631873309170747647095026909202964930400000*n^12+48537282575271805313005152\ 76264926432300119403548099720356370657230419305163305342400000000*n^11+30877270\ 6254199188494673436223340046196692785362554191006381666933386564060998171080000\ 0000*n^10+192402722651650007597780198840628446043853383662537487782364402892407\ 6634464545088000000000*n^9+1174790783280344918048377721237872506582609686547217\ 845575085386222881393775219616000000000*n^8+70240749532107787013252359828544399\ 2684291284459281686419501271473723585851904000000000000*n^7+4121144063490980180\ 95038992946287546736435447461195678091616417920720830755008000000000000*n^6+236\ 0903206379781115061587719177199596330169771359570134058276641846295819571200000\ 00000000*n^5+134015892253769449307391666462947671270272651075396562050951190286\ 730240506880000000000000*n^4+72641692513817273620789631611903486859019884473888\ 942278877330560224133120000000000000000*n^3+42204802802914720429080126737139024\ 316834182279497089826179113953797201920000000000000000*n^2+19318552419084465444\ 880666632964555189924012618222716821836178392842240000000000000000000*n+2030924\ 7414934950852310444409014019558638064547362343325520084977090560000000000000000\ 000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 41, : , ) -------------- = 8796093022208 (n + 1) n ( / Pi j 82 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 294348852814499013973950923301738333444021868849991409076687342475474370560 80 n + 117739541125799605589580369320695333377608747539996563630674936990\ 79 18974822400 n + 242534962275069255441805554026321239465148543797928210\ 78 462595198500623171452928 n + 34129380919178912152054646424088229702005\ 77 84021940376665606054727078060115361792 n + 367737126823055851592890050\ 76 21645284208772643273498350016392812274501884332474368 n + 322704200039\ 75 170730764284248490198328449510705651988202867883256201661244696952832 n + 239707433613974362028758350960142179065096752465276590059546755827546\ 74 4453232263168 n + 1547394879230976082449170782308135014943587906328516\ 73 4811152289146287916622991589376 n + 8848031748742256174827313785588076\ 72 5898142148720288318498718677910037077155039412224 n + 4546577970219772\ 71 90131150691449967743507719349728242903964962251147549785557487845376 n + 212331619229470249587914932401357940302529744419190699319190752878486181\ 70 4052014260224 n + 9094272903271781175690368488012246001113400506921448\ 69 875947245771009993712635714994176 n + 35988636903245225657872196475294\ 68 592589427492222934136665312050335055193958222412120064 n + 13240108451\ 446518043548731097270270907347930889489889332309720991570447917068009970\ 67 0736 n + 4552150894412975491682246229803136049336759821490627093996213\ 66 59599017255455493785124864 n + 146921121989482182308012898329688761707\ 65 5485360056258175299676609515204162905967412903936 n + 4468644323858949\ 248831534012143662250134749517075491379195284027132158285925576253374464 64 n + 128516682634612949304764164255686207852016388841166038790342144169\ 63 63707660396977975197696 n + 350532034757327339138962096519414162952458\ 62 11988366201496802084861909088680883087505096704 n + 909130110409684719\ 61 59498606340863433133266443949697527655883711054041366215788587249565696 n + 224738003875849577088665478886863469687842391274019152264982777724675\ 60 188351318221913063424 n + 53063522160776992213407801650724854679236516\ 59 2860568703715741757961005871671005752874500096 n + 1198978867117498009\ 986036829905306932708209335439110227675503671799315707519717591526408192 58 n + 259699960529408934105614246420884199404941806543035224352307637904\ 57 0801508598200821348302848 n + 5400804600264653653649686646097642210568\ 56 644667797046043505341878068588767385685054639439872 n + 10799244771315\ 488176100131498692065655229601888515113955419024518132211127036950666585\ 55 571328 n + 20789624733436608709016355382003349787124596202909721493888\ 54 808886232744466382627540787331072 n + 38578219032553355169949668594112\ 53 882492754206605352470720092909002737231358246906716127428608 n + 69081\ 681421443230136306803020786246917280245076596978139388580897446323034597\ 52 370854734856192 n + 11949649897351575864483440121755992552194074332129\ 51 3079768432215228358244285937457797046468608 n + 1998630775612530323368\ 50 97940642008132409845838728709453979428388116718962911287527301982216192 n + 323503575371037720654453277971997757301791680088388429277334524108846\ 49 282838129613273641771008 n + 50716825074514312354708323435624559265903\ 48 3007959233929723008268242972819581169718160193265920 n + 7706987088073\ 021301188689456689257839408349746719282951951885730988291248269849938350\ 47 80980480 n + 113602512293006849290715431341416472769356237456796545155\ 46 6677670209753308528818312234170572320 n + 1625372929071942535933825069\ 45 459689881824251081019231213732077472392770390267302309005568250080 n + 225866885666147207289429188987424302571920257425294109944851636907215393\ 44 8357804043873302301120 n + 3050298692104687955761410727288116191447853\ 43 807312762066959277411080043586079102925196685777440 n + 40055552570474\ 922620743729735741427650607833755439392290520607103751379869831867552730\ 42 45030760 n + 511728512933578177517501237336654547063425745829892007530\ 41 4312102558768438372448449630080558440 n + 6363349465192755021569161866\ 40 082131837426233641762272396834315303696125743859895610402851925265 n + 770551508225584716312650717107494376284035877945253906497535500610402457\ 39 2610435917897716015940 n + 9090261825820481812458682026667595848477732\ 38 074642086702114302730904266083370811294117491329478 n + 10451735106688\ 062921024871702108748027091482704054292687052572461039601393911080102695\ 37 901753532 n + 11716725389867794710707282849418454461903979818108610749\ 36 252496809669334445334333915044506753673 n + 12811184440193437472067140\ 35 459848146871211996091151381460763493739009107353634320954239974434952 n + 136674705888084713149306836861327698750212783145877793984683611799120\ 34 25275939734188780721917748 n + 142313261290232884034634134189294995864\ 33 63224803107807652183656829369891778257388824778734705632 n + 144675781\ 723036874426137193207953622659860524018841801684900891277397421703517952\ 32 79797697689218 n + 143637300382126579658301102259921933312826526536251\ 31 90896195600494274870729677109662446955804632 n + 139309411105866878944\ 761739474522280624213942506698525044317345205840041374750170839837705524\ 30 68 n + 132023117009365723661388757561823293650705544452938299855074307\ 29 53761622344799603620498288503432 n + 122288104250966629291005662114762\ 28 83715591417435080740767838219754083202060525538574162167108378 n + 110\ 735223455969889986998028543407546272252459778207865273627189559523149940\ 27 60758988151544700672 n + 980509641861095545742544967751573779122916929\ 26 2420170609050044005862133561022954648972367855928 n + 8491304506505673\ 621668804721846703736620086430113303727874111830486786804432315694580658\ 25 702872 n + 71935028372931276144003049952676112586356723064840175419922\ 24 66807314220069373115342406762820653 n + 596255135429714593759986356013\ 23 9015871721448817432084821472772184958255862497340852275072103748 n + 4\ 836456426581599788779983857670934833609530873296958699776427427928203874\ 22 388676657049647234902 n + 38397171934301332616182687453364640544358884\ 21 17705615451687311855313740307926728873570524154748 n + 298412655120598\ 945953634066103877991251068110990696433146888849149988477407044518923109\ 20 8693117 n + 2270630559537228303057406326411077293006454372643274009931\ 19 822477200584335676958674164998835448 n + 16917974497144762981856904079\ 18 61774077480997719668415665036983767793396615212486040862098232540 n + 123446985930561907870971766065763972424327868085893218365553429938215281\ 17 9291082395245625437440 n + 8822609892915783753624234664306917806501495\ 16 16139795754196558569416282061149761300132651429600 n + 617658492431440\ 181605853738906343417733309338574530319784890500226807533568763673834115\ 15 104000 n + 42362588874315921289247432311466747463813303735530751037976\ 14 4233998166004229167206111675222400 n + 2846699960100055064172089628239\ 13 95905330063261308252910880021614959344286824793716256323200000 n + 187\ 443636339027881152673924023300334448950187246833308888988010485764449857\ 12 893427974288800000 n + 12094795548395154131406132254941013367991692173\ 11 9472664365506136546784169018608447907808000000 n + 7648597582669488869\ 788527373602764680590961373245181559947871513736571420761683617668800000\ 10 0 n + 4740251728816730497410961816648547092532230531603976167373707550\ 9 1869268235988755968000000000 n + 28801833309060290400015388675668659711\ 8 509823633932553161127612033256067875009282144000000000 n + 171452715551\ 087403625344816915480099948853275492816139514009325972125217890185574400\ 7 00000000 n + 1002028844497589047688734794355151988746039527024615631007\ 6 7029640021025036934443520000000000 n + 57211486415030767173155781212903\ 5 15224282115030292082266191872738388264389570560000000000000 n + 3238070\ 311962215044628215769716155573610870252013843228241465684854000739886080\ 4 000000000000 n + 175113798948131201325006769976198055338890563655561795\ 3 7079148244078690077900800000000000000 n + 10153037167037208637897820687\ 2 60996341369040063974334031532780919389448075673600000000000000 n + 4642\ 113694842274480528101579203204470545843325111392760118876566192128000000\ 00000000000000 n + 48742193795843882045545066581633646940731354913669623\ 9812482039450173440000000000000000000)/312595036299372430360174882732459\ 58024659945967882638179675705616029833672841665478039060688018798828125 and in Maple notation: 8796093022208/31259503629937243036017488273245958024659945967882638179675705616\ 029833672841665478039060688018798828125*(n+1)*n*( 294348852814499013973950923301738333444021868849991409076687342475474370560*n^ 80+ 11773954112579960558958036932069533337760874753999656363067493699018974822400*n ^79+ 242534962275069255441805554026321239465148543797928210462595198500623171452928* n^78+34129380919178912152054646424088229702005840219403766656060547270780601153\ 61792*n^77+36773712682305585159289005021645284208772643273498350016392812274501\ 884332474368*n^76+3227042000391707307642842484901983284495107056519882028678832\ 56201661244696952832*n^75+23970743361397436202875835096014217906509675246527659\ 00595467558275464453232263168*n^74+15473948792309760824491707823081350149435879\ 063285164811152289146287916622991589376*n^73+8848031748742256174827313785588076\ 5898142148720288318498718677910037077155039412224*n^72+454657797021977290131150\ 691449967743507719349728242903964962251147549785557487845376*n^71+2123316192294\ 702495879149324013579403025297444191906993191907528784861814052014260224*n^70+ 9094272903271781175690368488012246001113400506921448875947245771009993712635714\ 994176*n^69+3598863690324522565787219647529459258942749222293413666531205033505\ 5193958222412120064*n^68+132401084514465180435487310972702709073479308894898893\ 323097209915704479170680099700736*n^67+4552150894412975491682246229803136049336\ 75982149062709399621359599017255455493785124864*n^66+14692112198948218230801289\ 83296887617075485360056258175299676609515204162905967412903936*n^65+44686443238\ 58949248831534012143662250134749517075491379195284027132158285925576253374464*n ^64+128516682634612949304764164255686207852016388841166038790342144169637076603\ 96977975197696*n^63+35053203475732733913896209651941416295245811988366201496802\ 084861909088680883087505096704*n^62+9091301104096847195949860634086343313326644\ 3949697527655883711054041366215788587249565696*n^61+224738003875849577088665478\ 886863469687842391274019152264982777724675188351318221913063424*n^60+5306352216\ 0776992213407801650724854679236516286056870371574175796100587167100575287450009\ 6*n^59+119897886711749800998603682990530693270820933543911022767550367179931570\ 7519717591526408192*n^58+259699960529408934105614246420884199404941806543035224\ 3523076379040801508598200821348302848*n^57+540080460026465365364968664609764221\ 0568644667797046043505341878068588767385685054639439872*n^56+107992447713154881\ 76100131498692065655229601888515113955419024518132211127036950666585571328*n^55 +207896247334366087090163553820033497871245962029097214938888088862327444663826\ 27540787331072*n^54+38578219032553355169949668594112882492754206605352470720092\ 909002737231358246906716127428608*n^53+6908168142144323013630680302078624691728\ 0245076596978139388580897446323034597370854734856192*n^52+119496498973515758644\ 834401217559925521940743321293079768432215228358244285937457797046468608*n^51+ 1998630775612530323368979406420081324098458387287094539794283881167189629112875\ 27301982216192*n^50+32350357537103772065445327797199775730179168008838842927733\ 4524108846282838129613273641771008*n^49+507168250745143123547083234356245592659\ 033007959233929723008268242972819581169718160193265920*n^48+7706987088073021301\ 18868945668925783940834974671928295195188573098829124826984993835080980480*n^47 +113602512293006849290715431341416472769356237456796545155667767020975330852881\ 8312234170572320*n^46+162537292907194253593382506945968988182425108101923121373\ 2077472392770390267302309005568250080*n^45+225866885666147207289429188987424302\ 5719202574252941099448516369072153938357804043873302301120*n^44+305029869210468\ 7955761410727288116191447853807312762066959277411080043586079102925196685777440 *n^43+4005555257047492262074372973574142765060783375543939229052060710375137986\ 983186755273045030760*n^42+5117285129335781775175012373366545470634257458298920\ 075304312102558768438372448449630080558440*n^41+6363349465192755021569161866082\ 131837426233641762272396834315303696125743859895610402851925265*n^40+7705515082\ 2558471631265071710749437628403587794525390649753550061040245726104359178977160\ 15940*n^39+90902618258204818124586820266675958484777320746420867021143027309042\ 66083370811294117491329478*n^38+10451735106688062921024871702108748027091482704\ 054292687052572461039601393911080102695901753532*n^37+1171672538986779471070728\ 2849418454461903979818108610749252496809669334445334333915044506753673*n^36+128\ 1118444019343747206714045984814687121199609115138146076349373900910735363432095\ 4239974434952*n^35+136674705888084713149306836861327698750212783145877793984683\ 61179912025275939734188780721917748*n^34+14231326129023288403463413418929499586\ 463224803107807652183656829369891778257388824778734705632*n^33+1446757817230368\ 7442613719320795362265986052401884180168490089127739742170351795279797697689218 *n^32+1436373003821265796583011022599219333128265265362519089619560049427487072\ 9677109662446955804632*n^31+139309411105866878944761739474522280624213942506698\ 52504431734520584004137475017083983770552468*n^30+13202311700936572366138875756\ 182329365070554445293829985507430753761622344799603620498288503432*n^29+1222881\ 0425096662929100566211476283715591417435080740767838219754083202060525538574162\ 167108378*n^28+1107352234559698899869980285434075462722524597782078652736271895\ 5952314994060758988151544700672*n^27+980509641861095545742544967751573779122916\ 9292420170609050044005862133561022954648972367855928*n^26+849130450650567362166\ 8804721846703736620086430113303727874111830486786804432315694580658702872*n^25+ 7193502837293127614400304995267611258635672306484017541992266807314220069373115\ 342406762820653*n^24+5962551354297145937599863560139015871721448817432084821472\ 772184958255862497340852275072103748*n^23+4836456426581599788779983857670934833\ 609530873296958699776427427928203874388676657049647234902*n^22+3839717193430133\ 261618268745336464054435888417705615451687311855313740307926728873570524154748* n^21+29841265512059894595363406610387799125106811099069643314688884914998847740\ 70445189231098693117*n^20+22706305595372283030574063264110772930064543726432740\ 09931822477200584335676958674164998835448*n^19+16917974497144762981856904079617\ 74077480997719668415665036983767793396615212486040862098232540*n^18+12344698593\ 0561907870971766065763972424327868085893218365553429938215281929108239524562543\ 7440*n^17+882260989291578375362423466430691780650149516139795754196558569416282\ 061149761300132651429600*n^16+6176584924314401816058537389063434177333093385745\ 30319784890500226807533568763673834115104000*n^15+42362588874315921289247432311\ 4667474638133037355307510379764233998166004229167206111675222400*n^14+284669996\ 0100055064172089628239959053300632613082529108800216149593442868247937162563232\ 00000*n^13+18744363633902788115267392402330033444895018724683330888898801048576\ 4449857893427974288800000*n^12+120947955483951541314061322549410133679916921739\ 472664365506136546784169018608447907808000000*n^11+7648597582669488869788527373\ 6027646805909613732451815599478715137365714207616836176688000000*n^10+474025172\ 8816730497410961816648547092532230531603976167373707550186926823598875596800000\ 0000*n^9+2880183330906029040001538867566865971150982363393255316112761203325606\ 7875009282144000000000*n^8+1714527155510874036253448169154800999488532754928161\ 3951400932597212521789018557440000000000*n^7+1002028844497589047688734794355151\ 9887460395270246156310077029640021025036934443520000000000*n^6+5721148641503076\ 717315578121290315224282115030292082266191872738388264389570560000000000000*n^5 +323807031196221504462821576971615557361087025201384322824146568485400073988608\ 0000000000000*n^4+1751137989481312013250067699761980553388905636555617957079148\ 244078690077900800000000000000*n^3+10153037167037208637897820687609963413690400\ 63974334031532780919389448075673600000000000000*n^2+464211369484227448052810157\ 920320447054584332511139276011887656619212800000000000000000000*n+4874219379584\ 38820455450665816336469407313549136696239812482039450173440000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 42, : , ) -------------- = 35184372088832 (n + 1) n (208135213\ / Pi j 84 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 928064507252277182901033134291331099991462529744561192233152028147187712\ 82 0 n + 8533543771050644797343364498942358505944575099649963719527008881\ 81 5592331540346961920 n + 1800460379491789254900436171250938384549753983\ 80 267829557241159976178725038343543848960 n + 25937278815998088290363278\ 79 555748799449889453792603378204200551086729142501954394521600 n + 28600\ 146213576001449674543647283109579030833156096070448755649496408578404478\ 78 0057001984 n + 2567797055828888819982211567886857398530532867139509646\ 77 733008906099050425557402450395136 n + 19511194436880474368473480153050\ 76 440804368025726080923826370353124959598788283899150598144 n + 12882304\ 615223688815761577464006238017961414055628633429743693956832195422493195\ 75 0743781376 n + 7533392465482535659680074960834930227661763639775485048\ 74 85760260011978456035331675703476224 n + 395872759064894014620294731603\ 73 1186372609866965702365755588150216970309902679685404471328768 n + 1890\ 600267848793795666558573578843427633685983840239979260851750207589076355\ 72 6442544413868032 n + 8280634891149286569202903682664191969563968900601\ 71 1262117614270178788507694482087100565946368 n + 3351014011913610740917\ 70 74156868804343522653207543883316404423957514867374680669951854727135232 n + 126075020687098657457854775869518192827160137514654778197220448154148\ 69 6800435370676056980717568 n + 4433005339215169000918058251224180289581\ 68 119814209563785231785730986693908456070855231119818752 n + 14632974687\ 502657114266988902638746453406041575668095991814768003529035091195642852\ 67 429526990848 n + 45521680344333983751237232358433291480754454352188981\ 66 160821940344096760914086083158249257828352 n + 13391450143043745632344\ 758565474367848588414262690297057950252739039543160156011564239237729484\ 65 8 n + 3736428553175137207443468547373823128214151570756237080913260115\ 64 88883578173699692706050030436352 n + 991412908100518572801684976725663\ 63 424698263497687427061677986964824596607474579485347409326768128 n + 25\ 075318137916317094977245132328955316602625804390943999981569351759622953\ 62 24807554009583956262912 n + 605831956680975735007824473467222212288785\ 61 4728668975597439113321748966170010231612517064768749568 n + 1400881156\ 224399488181448885388726523737773044000556875279407318479910041263161708\ 60 9184339471368192 n + 3105598816662612522411947426929946624289361236729\ 59 8045227920738652648003376947082791356363895472128 n + 6611014248620615\ 148983858531534162489876230035410177290185841880181259090390112030505202\ 58 0284194816 n + 1353299492381172792082576016111936867318579701175419459\ 57 01294551878959921328661248189385633768013824 n + 266744224085719060814\ 209536872940138128521993852123290506796697928399011599283126822656964904\ 56 615936 n + 50687097524306582944587596659030034770750837643389625141064\ 55 3382291040597820432236356938672797384704 n + 9295785258382586075020372\ 932211195520416544781409441089935581060738011170946174352491590698593320\ 54 96 n + 164705962532134020919500334177686732348778370192729002432317328\ 53 4861546552591014761083541748975058944 n + 2822166288239228976169521100\ 133663139759063729190653430819091370055653550327602387596891228422291456 52 n + 468049516803258880787061262543624323503790399196115875391950011338\ 51 2967850055955044720079645049503744 n + 7519623371695240264165350821882\ 50 922816661921473512162793120347876461837855896452908449261068103821056 n + 117119821835765653414188798336310015647426472575532562492413746863100\ 49 20883865022870897445885451161344 n + 176973260344755582115648820993844\ 48 37668644873239121743638383443630064125464400184490872089720161909760 n + 259609538312722240199578618213936418198224448395043692931289415807909903\ 47 18429553040667315899232855040 n + 369950655425563520750425524532807689\ 46 29053322933889696884513149208151082924037597672804342967622877560 n + 512430141008422612065501131864214622931807878969815480480079541569557791\ 45 47525770506511436909022404040 n + 690295857252848561556156612820541116\ 44 82850541441222218707660914376002932990872212352537328516071717560 n + 904843168133770050481011945202462886358727579304609110977503655643585045\ 43 95331948496143238501179065320 n + 115468434657877994528996725645382239\ 42 714291337318352607347115185567372543591965718430994856988996403365 n + 143518333726775728916683003434175109408032790755897348137007242359235313\ 41 971970650851730636153284181305 n + 17381868405777614138991374360321373\ 40 0008164604751517604053463051733672252812619028389638969360710815160 n + 205215772075375580865085595358451073339094099128238440681660804506990089\ 39 932405928001302960089712027770 n + 23627652388390684734269014683838976\ 38 0785138201421936309540135422137797836838962182399879536820362427469 n + 265391550365400712054943447307442210032710685567281525846627253511735425\ 37 968272051752592157742717653141 n + 29091276121836180285163798921857872\ 36 0897614067460495041298542513639649711978934037623349827046970735874 n + 311309225355292615682262069769046978843515090707600779970680390499976206\ 35 925044401805001182130717352036 n + 32532055561651363111326647804082585\ 34 8401460686496579935237613600273317068920742563082501883455858695314 n + 332086259438159622498363521259691681172007143033760896806036326215193054\ 33 050208341274103190581563791426 n + 33123256259725648301645572882291331\ 32 5051085600775374071720354121024431802878045637771255606128850767624 n + 322904655211900817485607965136327351643028857428798892159754111806744112\ 31 159468829943954750872323835276 n + 30774085590880741987976739693158263\ 30 0278136536287265477680897367329857307332587243571011396359409842074 n + 286794131526892213738343943364920468729443231088741859191499560021297398\ 29 905292833491284089063959985226 n + 26141401344909273568187639930039162\ 28 7027303938960002210580251290478640246793067999754095490459367089604 n + 233106860255784201058292626059388581717271438542484032538064633852419264\ 27 824359176687240634030339423496 n + 20339393427256624239829377967860970\ 26 8213923057245008707932999496329882611306724499986227876007831855329 n + 173684941655499980891610583180565614217763236681720684935620445984810764\ 25 100450941904349151255627483621 n + 14518025724308309831610109874689573\ 24 5468316829988109945979642963081575064384964886364376027740997766704 n + 118809150265225886598054803104548037106986393428864660893234157539493151\ 23 421203129029739623907974679914 n + 95205219155760995298723026911836108\ 22 119785404897986912065411812830520110296163580267666164639922458241 n + 747150038718470686472274999879218223989513145349576859296887341659540194\ 21 78781773058102889224340380569 n + 574321363067023739479140591709149156\ 20 55034408654131356015259186370642472454311682684972749871226831826 n + 432476403397321701373928183548651611457301099909851820232535961241124561\ 19 08906929980413279299655314364 n + 319070685383567675318309994809626808\ 18 88424742487563166835942261871763102170399088479188447880937663240 n + 230664997180252070752207654502756981763165866036042494829877682316713174\ 17 45237423582332347406088556640 n + 163416900086706144977464369496048843\ 16 59368370644291524143313192662596445639912181245518538291046815680 n + 113469537031344299134196690860572863764091626928265425196504093062050763\ 15 15549375448729598328392560000 n + 772277009377045224184325340051588493\ 14 7128461439953177915748576335704165439363843664087364616869952000 n + 5\ 152496312413669391976831197966459260330802351542147597934497715899238737\ 13 053652107459546189338400000 n + 33701915494291336876870652597406474291\ 12 72381135786688842879614858552873321967936205574876718465600000 n + 216\ 127687184856589236380801129611541334095334003468519984263001117087986924\ 11 3683982884174238640000000 n + 1359059953256222364038592537304213540922\ 10 789327179666273530172433989348173912996268214715639840000000 n + 83795\ 201223780857222769154539438304325767526988236125803590598704779070291309\ 9 2470198340320000000000 n + 50676886970843517686302555534170140395556081\ 8 6490762043149766795686744565728038618345265984000000000 n + 30041472609\ 698548754401895617688764496762722031110584890010496906534474762649539027\ 7 8259200000000000 n + 17492240367679411092448457130592451318601440717664\ 6 7604806282121809865473657670389329177600000000000 n + 99554440420573411\ 421813613330333092691840323751931063313275638413622693465919616824320000\ 5 000000000 n + 561887775846839564432935815592134537866289539431081126059\ 4 91993925092889645011542865920000000000000 n + 3032043034032054869113052\ 181058571401700415459695568221398575415153449838865618534400000000000000\ 3 0 n + 17545012357514814303512085979670985463376592408298793626959886092\ 2 388691419730853888000000000000000 n + 801315980370126529157108170139290\ 6039690420941762113354949937190214720195133440000000000000000000 n + 840\ 404564778425384237942715024134048065092928038465546982554388242031630221\ 3120000000000000000000)/218154933644984894471886625782162592094006706348\ 7412151619761928406983722951228009172634671162000179290771484375 and in Maple notation: 35184372088832/2181549336449848944718866257821625920940067063487412151619761928\ 406983722951228009172634671162000179290771484375*(n+1)*n*(208135213928064507252\ 2771829010331342913310999914625297445611922331520281471877120*n^82+853354377105\ 06447973433644989423585059445750996499637195270088815592331540346961920*n^81+18\ 0046037949178925490043617125093838454975398326782955724115997617872503834354384\ 8960*n^80+259372788159980882903632785557487994498894537926033782042005510867291\ 42501954394521600*n^79+28600146213576001449674543647283109579030833156096070448\ 7556494964085784044780057001984*n^78+256779705582888881998221156788685739853053\ 2867139509646733008906099050425557402450395136*n^77+195111944368804743684734801\ 53050440804368025726080923826370353124959598788283899150598144*n^76+12882304615\ 2236888157615774640062380179614140556286334297436939568321954224931950743781376 *n^75+7533392465482535659680074960834930227661763639775485048857602600119784560\ 35331675703476224*n^74+39587275906489401462029473160311863726098669657023657555\ 88150216970309902679685404471328768*n^73+18906002678487937956665585735788434276\ 336859838402399792608517502075890763556442544413868032*n^72+8280634891149286569\ 2029036826641919695639689006011262117614270178788507694482087100565946368*n^71+ 3351014011913610740917741568688043435226532075438833164044239575148673746806699\ 51854727135232*n^70+12607502068709865745785477586951819282716013751465477819722\ 04481541486800435370676056980717568*n^69+44330053392151690009180582512241802895\ 81119814209563785231785730986693908456070855231119818752*n^68+14632974687502657\ 114266988902638746453406041575668095991814768003529035091195642852429526990848* n^67+45521680344333983751237232358433291480754454352188981160821940344096760914\ 086083158249257828352*n^66+1339145014304374563234475856547436784858841426269029\ 70579502527390395431601560115642392377294848*n^65+37364285531751372074434685473\ 7382312821415157075623708091326011588883578173699692706050030436352*n^64+991412\ 9081005185728016849767256634246982634976874270616779869648245966074745794853474\ 09326768128*n^63+25075318137916317094977245132328955316602625804390943999981569\ 35175962295324807554009583956262912*n^62+60583195668097573500782447346722221228\ 87854728668975597439113321748966170010231612517064768749568*n^61+14008811562243\ 9948818144888538872652373777304400055687527940731847991004126316170891843394713\ 68192*n^60+31055988166626125224119474269299466242893612367298045227920738652648\ 003376947082791356363895472128*n^59+6611014248620615148983858531534162489876230\ 0354101772901858418801812590903901120305052020284194816*n^58+135329949238117279\ 2082576016111936867318579701175419459012945518789599213286612481893856337680138\ 24*n^57+26674422408571906081420953687294013812852199385212329050679669792839901\ 1599283126822656964904615936*n^56+506870975243065829445875966590300347707508376\ 433896251410643382291040597820432236356938672797384704*n^55+9295785258382586075\ 0203729322111955204165447814094410899355810607380111709461743524915906985933209\ 6*n^54+164705962532134020919500334177686732348778370192729002432317328486154655\ 2591014761083541748975058944*n^53+282216628823922897616952110013366313975906372\ 9190653430819091370055653550327602387596891228422291456*n^52+468049516803258880\ 7870612625436243235037903991961158753919500113382967850055955044720079645049503\ 744*n^51+7519623371695240264165350821882922816661921473512162793120347876461837\ 855896452908449261068103821056*n^50+1171198218357656534141887983363100156474264\ 7257553256249241374686310020883865022870897445885451161344*n^49+176973260344755\ 5821156488209938443766864487323912174363838344363006412546440018449087208972016\ 1909760*n^48+259609538312722240199578618213936418198224448395043692931289415807\ 90990318429553040667315899232855040*n^47+36995065542556352075042552453280768929\ 053322933889696884513149208151082924037597672804342967622877560*n^46+5124301410\ 0842261206550113186421462293180787896981548048007954156955779147525770506511436\ 909022404040*n^45+6902958572528485615561566128205411168285054144122221870766091\ 4376002932990872212352537328516071717560*n^44+904843168133770050481011945202462\ 88635872757930460911097750365564358504595331948496143238501179065320*n^43+11546\ 8434657877994528996725645382239714291337318352607347115185567372543591965718430\ 994856988996403365*n^42+1435183337267757289166830034341751094080327907558973481\ 37007242359235313971970650851730636153284181305*n^41+17381868405777614138991374\ 3603213730008164604751517604053463051733672252812619028389638969360710815160*n^ 40+2052157720753755808650855953584510733390940991282384406816608045069900899324\ 05928001302960089712027770*n^39+23627652388390684734269014683838976078513820142\ 1936309540135422137797836838962182399879536820362427469*n^38+265391550365400712\ 0549434473074422100327106855672815258466272535117354259682720517525921577427176\ 53141*n^37+29091276121836180285163798921857872089761406746049504129854251363964\ 9711978934037623349827046970735874*n^36+311309225355292615682262069769046978843\ 515090707600779970680390499976206925044401805001182130717352036*n^35+3253205556\ 1651363111326647804082585840146068649657993523761360027331706892074256308250188\ 3455858695314*n^34+332086259438159622498363521259691681172007143033760896806036\ 326215193054050208341274103190581563791426*n^33+3312325625972564830164557288229\ 13315051085600775374071720354121024431802878045637771255606128850767624*n^32+32\ 2904655211900817485607965136327351643028857428798892159754111806744112159468829\ 943954750872323835276*n^31+3077408559088074198797673969315826302781365362872654\ 77680897367329857307332587243571011396359409842074*n^30+28679413152689221373834\ 3943364920468729443231088741859191499560021297398905292833491284089063959985226 *n^29+2614140134490927356818763993003916270273039389600022105802512904786402467\ 93067999754095490459367089604*n^28+23310686025578420105829262605938858171727143\ 8542484032538064633852419264824359176687240634030339423496*n^27+203393934272566\ 2423982937796786097082139230572450087079329994963298826113067244999862278760078\ 31855329*n^26+17368494165549998089161058318056561421776323668172068493562044598\ 4810764100450941904349151255627483621*n^25+145180257243083098316101098746895735\ 468316829988109945979642963081575064384964886364376027740997766704*n^24+1188091\ 5026522588659805480310454803710698639342886466089323415753949315142120312902973\ 9623907974679914*n^23+952052191557609952987230269118361081197854048979869120654\ 11812830520110296163580267666164639922458241*n^22+74715003871847068647227499987\ 921822398951314534957685929688734165954019478781773058102889224340380569*n^21+ 5743213630670237394791405917091491565503440865413135601525918637064247245431168\ 2684972749871226831826*n^20+432476403397321701373928183548651611457301099909851\ 82023253596124112456108906929980413279299655314364*n^19+31907068538356767531830\ 999480962680888424742487563166835942261871763102170399088479188447880937663240* n^18+23066499718025207075220765450275698176316586603604249482987768231671317445\ 237423582332347406088556640*n^17+1634169000867061449774643694960488435936837064\ 4291524143313192662596445639912181245518538291046815680*n^16+113469537031344299\ 1341966908605728637640916269282654251965040930620507631554937544872959832839256\ 0000*n^15+772277009377045224184325340051588493712846143995317791574857633570416\ 5439363843664087364616869952000*n^14+515249631241366939197683119796645926033080\ 2351542147597934497715899238737053652107459546189338400000*n^13+337019154942913\ 3687687065259740647429172381135786688842879614858552873321967936205574876718465\ 600000*n^12+2161276871848565892363808011296115413340953340034685199842630011170\ 879869243683982884174238640000000*n^11+1359059953256222364038592537304213540922\ 789327179666273530172433989348173912996268214715639840000000*n^10+8379520122378\ 0857222769154539438304325767526988236125803590598704779070291309247019834032000\ 0000000*n^9+5067688697084351768630255553417014039555608164907620431497667956867\ 44565728038618345265984000000000*n^8+300414726096985487544018956176887644967627\ 220311105848900104969065344747626495390278259200000000000*n^7+17492240367679411\ 0924484571305924513186014407176647604806282121809865473657670389329177600000000\ 000*n^6+99554440420573411421813613330333092691840323751931063313275638413622693\ 465919616824320000000000000*n^5+56188777584683956443293581559213453786628953943\ 108112605991993925092889645011542865920000000000000*n^4+30320430340320548691130\ 521810585714017004154596955682213985754151534498388656185344000000000000000*n^3 +175450123575148143035120859796709854633765924082987936269598860923886914197308\ 53888000000000000000*n^2+801315980370126529157108170139290603969042094176211335\ 4949937190214720195133440000000000000000000*n+840404564778425384237942715024134\ 0480650929280384655469825543882420316302213120000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 43, : , ) -------------- = 35184372088832 (n + 1) n (588516453\ / Pi j 86 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 84 00956322554402399340905710601315263193934864441463207883370547516538880 n + 247176910264016554728490077231803984525524105414526430654145473110156\ 83 2995694632960 n + 5338527393038931925932306345444488455960989168922734\ 82 3374291163394659795079014645760 n + 7868911884318815300638260469325253\ 81 34710074674715598672485842624191281785848127815680 n + 887490212328952\ 80 9433417499083841869649364077557407189171391440158434055050421222768640 n + 814805877914858515356232099176803179123873134804783035461928573729651\ 79 77397138937610240 n + 632991108256099218895333155526824374918042724018\ 78 399431207198074728544983950032879222784 n + 42723972451616050469278792\ 77 08019357182764290933449554643633652143286411272869827141697536 n + 255\ 384166654668876888994459665864028192299270320830650047600144655000724473\ 76 33445218074624 n + 137169915830811933939961700445398542492195312475131\ 75 029181619387391614868006660713098510336 n + 66955842954975039490072721\ 74 7644133100398074184624164546689845450707555043818964439336484864 n + 2\ 997317498621683335514740394782498461134685936285125586344481635246178842\ 73 756389813876686848 n + 12397334147229477310024147001477151572695916428\ 72 945280604893978290061028814775554170580631552 n + 47673092320309729508\ 029677755577680587796826674974938980582268148560251513141397525939355648 71 n + 171336456194117360450861221331350613515333655720644751616688168050\ 70 041208561876942389302525952 n + 57811136153277815823923542324154495899\ 69 3980558864042430861733645016852118861827519118833614848 n + 1838438591\ 897723621093627087547007556514598819829097148777166258472983180370882439\ 68 789854851072 n + 55289038664166327573268703371383951763803672048668819\ 67 04485495045501363063890848013265013833728 n + 157717891042807200580010\ 66 84641298234430801199834970912309226130800242278738340403365742192361472 n + 427885205254225169056553187442216884365140400719168102074627479012224\ 65 70159613825084425374793728 n + 110663955214335576357616906882800900099\ 64 742671536882713521146967975414361819546380023835008172032 n + 27342635\ 470201602668341696406776293364078370721533841961694408533312537761463743\ 63 9529072174563328 n + 6466391359825323842462745322536943119275302454095\ 62 44323747897825836122044475913591920499994918912 n + 146630742182919591\ 860661732588050951154618762111872361818708839161479777635356733706130101\ 61 2922368 n + 3193122377184333989323673963632485945201932786590814190888\ 60 282992930202688801428193467996979331072 n + 66874442048234457757102081\ 59 55983873176737097930346681010497777080953890637066198580630634201612288 n + 134875522705289325174253030520727197843917765113028080672249148526082\ 58 95391931583127285757718429696 n + 262278375903520189219875668826924644\ 57 93165816193420720594875248107290882895197932088001933734969344 n + 492\ 305967212472416007318501052119652027878553711406891032425032930662917406\ 56 75700904682322134040576 n + 892896590658935382764371521688679636385541\ 55 54062289809115721933704136689325777692114113572536582144 n + 156631082\ 449243541923201286600689366318278777854387532271609152458260256498802066\ 54 488465696212729856 n + 26598252262461241261741220783199975536501262026\ 53 6790003383793815736582762084137490769841179697987584 n + 4376102720412\ 535941957058820324414517106941259057924046193775170112501115762783180088\ 52 27305821935616 n + 698100267911930141161065203617952223618787633991341\ 51 749272559475395567638293021670244140113645481984 n + 10805840913870393\ 329371753694822917509266009880220944106051073523357495071566022037690407\ 50 42114242816 n + 162406819194054857717371588721892494478785446215940516\ 49 4681602666552291032785253227944766887350243584 n + 2371542606167498862\ 075130740820572648003811489146677656675834745436138126058857016035950635\ 48 368559360 n + 33666483144929211713785877805394734486412855227508150510\ 47 69846758636191881243934332512629796123223040 n + 464888028586372419641\ 651887115932074628000031617538200457967226661380642161969178149886272633\ 46 6797560 n + 6247583778721028316933831484299100856123274751766612970813\ 45 179013802822637047992563371688668548100040 n + 81753248945084633420435\ 324882957920281460865724706442152076216772423050020624413242007400465798\ 44 46800 n + 104215182557017756907361703622267796283264320811143979523999\ 43 96864263070362439102340291242659069806200 n + 129473969033343051923293\ 884997440782364116928222753147983515420989659016798354093872734943764333\ 42 41535 n + 156834387853828167783751882294676880375156619178744967784840\ 41 15162755705651977444717831177489773210835 n + 185301736271113630616765\ 527607706090947159770643259053741783223752722870776678439761316514470565\ 40 51200 n + 213628814771231716682442460102025036905424787805716970380181\ 39 84825307358865652813952584025496839016190 n + 240401115076083597696650\ 359074242721183119681555578052515755223405184890712393882609203982508672\ 38 46039 n + 264152971367806157362727636258103598754074297546256184821027\ 37 08302194100718436129999722083210531951671 n + 283501509347887392972331\ 137427875471214615742881627560768598794255438603044647037283401825947661\ 36 60134 n + 297281192894652889425340065505105306050987155801693557840906\ 35 68522609818755730232942042763153608262796 n + 304660589117900796656850\ 481243316146182931501255081202340720738822934300325766754879288904869339\ 34 28854 n + 305225030117782715746259195516434983397309173838518569302413\ 33 39313097243947560640407561730985901451286 n + 299013826439689104320336\ 003161403999212744617896472099559009131903207115444141698852684771689718\ 32 25864 n + 286507631667923623330710543499449353475652115222521246498540\ 31 19523634873715766379575720254752253256836 n + 268569110209520388420150\ 138523925533926417942219024313701209493172622233298275509132531930323239\ 30 58014 n + 246346775492046099328747991567666286323301165043460884796384\ 29 17125876879613456404097882131685301452286 n + 221156544388469876156237\ 878305507886718253304831516047524664204125451574102647135137869767675039\ 28 20244 n + 194357492190332503216699708688210259790357063894621701328504\ 27 20898889864732528631011712145311738100056 n + 167237399516802530885240\ 203040615727215825453129255849148563888351084544225148760122343200764500\ 26 96019 n + 140920430779064732664886607684292392326110492485030878067442\ 25 97997227496107390834068305721429981157431 n + 116304550508370167640226\ 792015450315261273722026573689523183720561271269820776480377487319490453\ 24 75464 n + 940310966785602790971308590400088911983571584394010044219498\ 23 2173310679588574815173744172069192649294 n + 7448425401877509493492577\ 976692229779989248606354565573805152681469886256513130202724633093863757\ 22 011 n + 57814683749663972117971235438363549826021199108572002451595510\ 21 81088359742943022237942748581219912899 n + 439796362231502373724656303\ 194871172648605001231847101796167337510456250773724541739384143948242480\ 20 6 n + 3279145157721585175973156257970711644802561145158795146630262016\ 19 580336257739942958914660527766260564 n + 23967224159799445359572016763\ 18 39820282667727255539876491639917338257975468113317961384484000587822680 n + 171740324206675861993029554794782868887891718917679529108397446874232\ 17 0922033266166500235152346004000 n + 1206620763467678749929853477165380\ 16 181733895550358994790941112755613995875132219753030746515477330240 n + 831297515863936744111333652844934810473659559174435476224266325828291027\ 15 997234927973324820111670400 n + 56165629816476869530836612877586193694\ 14 6271043246797043946030955333387712266748087508272562748352000 n + 3721\ 771116196674696297265942325166846117924520861750698536485910377401046981\ 13 22272659786427413600000 n + 241898006904882716385219797021444097260407\ 12 653487655433070715738924367194895720534231202165060800000 n + 15422080\ 193552641566465727318203508787984088654924594647643656754688027922323119\ 11 8020401087888000000 n + 9645666680315480812411103308262839353306387756\ 10 9850208814332791310505563171094770714900339040000000 n + 5918059023394\ 730820356537822450735340326315334815267463425820975607452046392543939581\ 9 0208000000000 n + 35631777969018046945730068571838277837417540469212168\ 8 162748559323918562250484503733656512000000000 n + 210387923915283158853\ 544182868808621742270180183270638193957951161524230187481118943411200000\ 7 00000 n + 1220699706246130511611728931379832697678969467771400631608538\ 6 4493879949341178770915353600000000000 n + 69262940267449173521373231883\ 5 17021666781728877745697858954742840516870447669775170560000000000000 n + 389881365264489730802145243486192797690581236906956396599321665324925460\ 4 4290406082560000000000000 n + 20994903830939048763786227470154689331407\ 3 64740979966667241420778091290919910062489600000000000000 n + 1212592644\ 769494811570776252197618045862059792266460331411192970829151549015441408\ 2 000000000000000 n + 553244384336894453573567304561342163303039231624068\ 228421117308874064709550080000000000000000000 n + 5795893550196037132675\ 467000166441710793744331299762392983133712014011242905600000000000000000\ 00)/15220111649650108916643252961546227355395816722005201057812292523769\ 6538810550791337625674732232570648193359375 and in Maple notation: 35184372088832/1522011164965010891664325296154622735539581672200520105781229252\ 37696538810550791337625674732232570648193359375*(n+1)*n*(5885164530095632255440\ 2399340905710601315263193934864441463207883370547516538880*n^84+247176910264016\ 5547284900772318039845255241054145264306541454731101562995694632960*n^83+533852\ 73930389319259323063454444884559609891689227343374291163394659795079014645760*n ^82+786891188431881530063826046932525334710074674715598672485842624191281785848\ 127815680*n^81+8874902123289529433417499083841869649364077557407189171391440158\ 434055050421222768640*n^80+8148058779148585153562320991768031791238731348047830\ 3546192857372965177397138937610240*n^79+632991108256099218895333155526824374918\ 042724018399431207198074728544983950032879222784*n^78+4272397245161605046927879\ 208019357182764290933449554643633652143286411272869827141697536*n^77+2553841666\ 5466887688899445966586402819229927032083065004760014465500072447333445218074624 *n^76+1371699158308119339399617004453985424921953124751310291816193873916148680\ 06660713098510336*n^75+66955842954975039490072721764413310039807418462416454668\ 9845450707555043818964439336484864*n^74+299731749862168333551474039478249846113\ 4685936285125586344481635246178842756389813876686848*n^73+123973341472294773100\ 24147001477151572695916428945280604893978290061028814775554170580631552*n^72+47\ 6730923203097295080296777555776805877968266749749389805822681485602515131413975\ 25939355648*n^71+17133645619411736045086122133135061351533365572064475161668816\ 8050041208561876942389302525952*n^70+578111361532778158239235423241544958993980\ 558864042430861733645016852118861827519118833614848*n^69+1838438591897723621093\ 627087547007556514598819829097148777166258472983180370882439789854851072*n^68+ 5528903866416632757326870337138395176380367204866881904485495045501363063890848\ 013265013833728*n^67+1577178910428072005800108464129823443080119983497091230922\ 6130800242278738340403365742192361472*n^66+427885205254225169056553187442216884\ 36514040071916810207462747901222470159613825084425374793728*n^65+11066395521433\ 5576357616906882800900099742671536882713521146967975414361819546380023835008172\ 032*n^64+2734263547020160266834169640677629336407837072153384196169440853331253\ 77614637439529072174563328*n^63+64663913598253238424627453225369431192753024540\ 9544323747897825836122044475913591920499994918912*n^62+146630742182919591860661\ 7325880509511546187621118723618187088391614797776353567337061301012922368*n^61+ 3193122377184333989323673963632485945201932786590814190888282992930202688801428\ 193467996979331072*n^60+6687444204823445775710208155983873176737097930346681010\ 497777080953890637066198580630634201612288*n^59+1348755227052893251742530305207\ 2719784391776511302808067224914852608295391931583127285757718429696*n^58+262278\ 3759035201892198756688269246449316581619342072059487524810729088289519793208800\ 1933734969344*n^57+492305967212472416007318501052119652027878553711406891032425\ 03293066291740675700904682322134040576*n^56+89289659065893538276437152168867963\ 638554154062289809115721933704136689325777692114113572536582144*n^55+1566310824\ 4924354192320128660068936631827877785438753227160915245826025649880206648846569\ 6212729856*n^54+265982522624612412617412207831999755365012620266790003383793815\ 736582762084137490769841179697987584*n^53+4376102720412535941957058820324414517\ 10694125905792404619377517011250111576278318008827305821935616*n^52+69810026791\ 1930141161065203617952223618787633991341749272559475395567638293021670244140113\ 645481984*n^51+1080584091387039332937175369482291750926600988022094410605107352\ 335749507156602203769040742114242816*n^50+1624068191940548577173715887218924944\ 787854462159405164681602666552291032785253227944766887350243584*n^49+2371542606\ 1674988620751307408205726480038114891466776566758347454361381260588570160359506\ 35368559360*n^48+33666483144929211713785877805394734486412855227508150510698467\ 58636191881243934332512629796123223040*n^47+46488802858637241964165188711593207\ 46280000316175382004579672266613806421619691781498862726336797560*n^46+62475837\ 7872102831693383148429910085612327475176661297081317901380282263704799256337168\ 8668548100040*n^45+817532489450846334204353248829579202814608657247064421520762\ 1677242305002062441324200740046579846800*n^44+104215182557017756907361703622267\ 79628326432081114397952399996864263070362439102340291242659069806200*n^43+12947\ 3969033343051923293884997440782364116928222753147983515420989659016798354093872\ 73494376433341535*n^42+15683438785382816778375188229467688037515661917874496778\ 484015162755705651977444717831177489773210835*n^41+1853017362711136306167655276\ 0770609094715977064325905374178322375272287077667843976131651447056551200*n^40+ 2136288147712317166824424601020250369054247878057169703801818482530735886565281\ 3952584025496839016190*n^39+240401115076083597696650359074242721183119681555578\ 05251575522340518489071239388260920398250867246039*n^38+26415297136780615736272\ 763625810359875407429754625618482102708302194100718436129999722083210531951671* n^37+28350150934788739297233113742787547121461574288162756076859879425543860304\ 464703728340182594766160134*n^36+2972811928946528894253400655051053060509871558\ 0169355784090668522609818755730232942042763153608262796*n^35+304660589117900796\ 6568504812433161461829315012550812023407207388229343003257667548792889048693392\ 8854*n^34+305225030117782715746259195516434983397309173838518569302413393130972\ 43947560640407561730985901451286*n^33+29901382643968910432033600316140399921274\ 461789647209955900913190320711544414169885268477168971825864*n^32+2865076316679\ 2362333071054349944935347565211522252124649854019523634873715766379575720254752\ 253256836*n^31+2685691102095203884201501385239255339264179422190243137012094931\ 7262223329827550913253193032323958014*n^30+246346775492046099328747991567666286\ 32330116504346088479638417125876879613456404097882131685301452286*n^29+22115654\ 4388469876156237878305507886718253304831516047524664204125451574102647135137869\ 76767503920244*n^28+19435749219033250321669970868821025979035706389462170132850\ 420898889864732528631011712145311738100056*n^27+1672373995168025308852402030406\ 1572721582545312925584914856388835108454422514876012234320076450096019*n^26+140\ 9204307790647326648866076842923923261104924850308780674429799722749610739083406\ 8305721429981157431*n^25+116304550508370167640226792015450315261273722026573689\ 52318372056127126982077648037748731949045375464*n^24+94031096678560279097130859\ 04000889119835715843940100442194982173310679588574815173744172069192649294*n^23 +744842540187750949349257797669222977998924860635456557380515268146988625651313\ 0202724633093863757011*n^22+578146837496639721179712354383635498260211991085720\ 0245159551081088359742943022237942748581219912899*n^21+439796362231502373724656\ 3031948711726486050012318471017961673375104562507737245417393841439482424806*n^ 20+3279145157721585175973156257970711644802561145158795146630262016580336257739\ 942958914660527766260564*n^19+2396722415979944535957201676339820282667727255539\ 876491639917338257975468113317961384484000587822680*n^18+1717403242066758619930\ 295547947828688878917189176795291083974468742320922033266166500235152346004000* n^17+12066207634676787499298534771653801817338955503589947909411127556139958751\ 32219753030746515477330240*n^16+83129751586393674411133365284493481047365955917\ 4435476224266325828291027997234927973324820111670400*n^15+561656298164768695308\ 366128775861936946271043246797043946030955333387712266748087508272562748352000* n^14+37217711161966746962972659423251668461179245208617506985364859103774010469\ 8122272659786427413600000*n^13+241898006904882716385219797021444097260407653487\ 655433070715738924367194895720534231202165060800000*n^12+1542208019355264156646\ 57273182035087879840886549245946476436567546880279223231198020401087888000000*n ^11+964566668031548081241110330826283935330638775698502088143327913105055631710\ 94770714900339040000000*n^10+59180590233947308203565378224507353403263153348152\ 674634258209756074520463925439395810208000000000*n^9+35631777969018046945730068\ 571838277837417540469212168162748559323918562250484503733656512000000000*n^8+21\ 0387923915283158853544182868808621742270180183270638193957951161524230187481118\ 94341120000000000*n^7+122069970624613051161172893137983269767896946777140063160\ 85384493879949341178770915353600000000000*n^6+692629402674491735213732318831702\ 1666781728877745697858954742840516870447669775170560000000000000*n^5+3898813652\ 6448973080214524348619279769058123690695639659932166532492546042904060825600000\ 00000000*n^4+209949038309390487637862274701546893314076474097996666724142077809\ 1290919910062489600000000000000*n^3+1212592644769494811570776252197618045862059\ 792266460331411192970829151549015441408000000000000000*n^2+55324438433689445357\ 3567304561342163303039231624068228421117308874064709550080000000000000000000*n+ 5795893550196037132675467000166441710793744331299762392983133712014011242905600\ 00000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 44, : , ) -------------- = 281474976710656 (n + 1) n (27527729\ / Pi j 88 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 216982903071933659159296930450968419080718397698848638769919078669662289\ 86 920 n + 11836923563302648320931473438497680093916420204708911010504914\ 85 67106520382795478466560 n + 261565330949061188822783363162869831923463\ 84 60190083027170401892955148760781562346209280 n + 394277437969549417960\ 83 267455693441328490520125803306936031837081187868325062308853186560 n + 454607441018694616663779933017191047803910610579421051782418406534838587\ 82 0251264269352960 n + 4265878150634119054734219207014660675393188193342\ 81 5488612751927639740364758413759374950400 n + 3386543043817320662529595\ 80 55993727965876459681665623473902797502412418344109666175664783360 n + 233549877614063265803610119488647888325663195380386436928305100667434725\ 79 8491662998794403840 n + 1426302616013431818310524423578092222863575281\ 78 7386121502864288019747024043983791872951713792 n + 7826363401768736289\ 706998941770273133560420640916675607360290291121248672494870671261486284\ 77 8 n + 3902630746472070118031399748470433001190973087273277254563016769\ 76 94222232868892518952816607232 n + 178469035052097403975942323991636365\ 75 8056390439424564235020583533578915448395201900213298003968 n + 7540851\ 693189134508329360326258688521797169123397643873558718443130228781547171\ 74 059803705311232 n + 29623382330801444708103172703977630294251141374711\ 73 458191843441810989839468364862475168303284224 n + 10876600582041812678\ 315291971720492167045710996277961258769506671824263085746432145332819827\ 72 0976 n + 3749339293643412104944018487617073279368086252380739538732884\ 71 32180952193308395495036220052865024 n + 121818798959028053901654242706\ 70 7145621206735370581126261755539226304371939686477580829850783973376 n + 374327877364661752753475837491698931690803478077109051774191709726984472\ 69 5681848006799209921511424 n + 1091117588554528881467455093902285048365\ 68 9861375367745253856609955520146747982783421715629563969536 n + 3025018\ 545088566561744099195285051316588131820690991488734306112609931410018026\ 67 4487296622567358464 n + 7995631695990399117832832055611356626109439098\ 66 5531253924708387002578909473659251747575932362162176 n + 2019161894009\ 836795223182160661055484945000175185213235737718695874185976371463036776\ 65 95357494493184 n + 488110110833666168047752343193502600564354009358333\ 64 852494715135016636003276002126083412497579114496 n + 11314858570167278\ 587478372528160577604519741374751713128190895813673778535358725857313301\ 63 67720116224 n + 251914628036441639498186177798024270543476886949093611\ 62 5426792526120769991940064500825710466786492416 n + 5394600249513941837\ 878834331515693287147596224568414293930478264730174447708279153611031546\ 61 699874304 n + 11126102472248999218658253497663637138403026637628695959\ 60 913853163256243209123098894558191310870511616 n + 22127618460963635850\ 854748281225805983435840372632607849328965429873579472554755021789934301\ 59 728374784 n + 42483750973209494060759980128753661451708805098820202519\ 58 872493755525719174828752209482938116922114048 n + 78824195949640399159\ 705642115760033059057601247754407479429081427517267035823880698184549304\ 57 056184832 n + 14146980208514112899506235727801124312937997239827072877\ 56 1520268824861864155355872084047941002232496128 n + 2458242725450707016\ 368438634175643800797717481193311885377542722084743154048807664656010281\ 55 99449526272 n + 413909239234696863622331231421018507327085983907796404\ 54 750066274022854512038230696041825473943550499328 n + 67583869638264151\ 754431502847724315499477417606131209864963166609958976615694506865695962\ 53 7374120648192 n + 1070914291800166684386158960136383893976135977502173\ 52 985003892257539131026641459876880321144760703121408 n + 16479199464143\ 892163674790184545720095494246225701559940103953233441935033553495933451\ 51 12238608535086592 n + 246413688717034785189934181353254339325433078124\ 50 0869891741025034429109442520557136441983893849796084608 n + 3582626747\ 157551717147097474432622093154784760424055957375336835206463435848124813\ 49 296169977972336145792 n + 50674732615795404412268476694223388702045543\ 48 96889385426393186045002988586807740766595477857236195327680 n + 697694\ 607322049236004899719087111374191774516864419348704999260909181184250277\ 47 0398729910398119273656320 n + 9354936865237482449656420402805727904419\ 46 805901033533382370290372317662210938562319143472779386164135265 n + 12\ 221465574036012813433426875055658570954942133119547360219171302298677410\ 45 054015037419513994487255419575 n + 15563476456197766426790097384514115\ 44 163971323799649543933696886338247486946984092057932855124501712776295 n + 193274347926617606542864463146214502056523771783509669473470448274662\ 43 95671953273659404101243959414544615 n + 234152944294235072954589021920\ 655350978459051571688858289703697321721256793602357671840666258326444580\ 42 45 n + 276851670995579738194815208940972504434060678282503516264787110\ 41 10655926783965017521208491976078223272185 n + 319574780855346810247819\ 968452659600537782754426088194331655541369791064606176186731028957816758\ 40 32550945 n + 360266026030052811003618560566481877060960409509582364451\ 39 52778129071051275594965586877229245564693905905 n + 396770736711356925\ 756165328945812129037511122616256448142301581740904770747076069708815682\ 38 37681219254732 n + 427026086045857506342373862183410564191125093461290\ 37 19980332143948657651112593356505329336024922994118838 n + 449255957322\ 882403315069239854941456480296350117464073812133849370044012813088186005\ 36 20851995910617026502 n + 462144551614779580969624199429005602139753558\ 35 15692937555819031982104083837780362050986305897087948552598 n + 464965\ 025048443668170115918993927771542516089460664861560526661996693843519335\ 34 25303957476665708315694602 n + 457645746039601063629698462857497326008\ 33 69226694087705492715593360106577270634162329677353247301680280818 n + 440766051937765178612054834545501479628862909698066061857304857355452768\ 32 12090871035735934869472801606882 n + 415483882861219336335472313924359\ 31 60839080978395736550330457007830231553687915253266305338638191493911618 n + 383407397890415728851101206328195786435944591667205246524013281655941\ 30 65542379700922200778875033296895657 n + 346429901129571811293217732555\ 446848219245309629221075839283167562967055379484544644402999079357183266\ 29 43 n + 306551000941930740983775999625704237669963992290442845551255324\ 28 44458281795210668524217216043246813075747 n + 265706577482445406338338\ 325339378648198814892891038230797715417118178789063315390485159132474687\ 27 49256003 n + 225626322156288702655880390034670897486552587148501308791\ 26 31803277196046412679054308614967173164987339977 n + 187731418330467563\ 164348921340380235726876605169749388819157459954944085362292868717806634\ 25 55813885937093 n + 153077744376869098930159963627150591159216241574523\ 24 88416072106672207391826375342117654222730794739033517 n + 122343149522\ 447678285079619325212445476429377742298412191532285906654971856909651765\ 23 42252970125945933117 n + 958519553338495976726433189091794848595620730\ 22 8206507384026632552560296132541735403676052124230499482938 n + 7362646\ 310421533509184809487044489667041031618376091812858902656734229493384375\ 21 318499004744384081216752 n + 55454054943230748124033901099935965021881\ 20 43255535337521660389314460958321064630903580772280921953946688 n + 409\ 591354982062078807744732959488149200304113063904879357358469294829053394\ 19 6034755216559535750832604112 n + 2967120156594576555883797059123224805\ 18 950613410860667900746627558418245292287865687517923387678322463840 n + 210829898556498044207633195523292859943048701985691685521919218570870193\ 17 6345636115096621861409462168320 n + 1469552861694353354220812235175950\ 16 503579926912812594684576503077013077538730049520437985862420499372800 n + 100492655946363417616546529376120282825947901306066308189171919774047\ 15 5596604880568626221904395309152000 n + 6742453335099985513495826436970\ 14 02940293295646059981730080215502054782287715963622056244605384684480000 n + 443884451114464940667331319874238343421479753181657009525303439433051\ 13 083903545573060796931247398400000 n + 28676518940920785853069206785851\ 12 9076330985052919649685155031740986526197288732119799294530014336000000 n + 181806711673915648245071496652842569099624926530315132998499822823504\ 11 668243364342860298098978240000000 n + 11312753921013314653033709910158\ 10 8647892611897066262245223829285903449209694275264795919023273600000000 n + 690844222255737752297796327595694988861987108347991476064040012734055\ 9 09462615858957023726336000000000 n + 4141851443517083859297491039758728\ 8 7579834319023536054214628164145098794737615636633908573440000000000 n + 243628994938470150071389479167130473035940191298758872559311229886985042\ 7 15104922205959321600000000000 n + 1408805622922047789613793915269194816\ 6 4701457633136521300460624738728684911224464704628224000000000000 n + 79\ 704035186395505072320999080768639460744285630660137914734153830061648311\ 5 59599644180480000000000000 n + 4475146765891928036737319073632487795439\ 4 088155922151965272754362397901913801829003059200000000000000 n + 240505\ 654831748098065108494927634279550098039192382790000666736120733930756500\ 3 0818688000000000000000 n + 13865844532047688372456838002482860409621372\ 2 81898655247016418162885364524699038187520000000000000000 n + 6320050384\ 850945413879220131181494016280142696850897315035736599251791182744780800\ 00000000000000000 n + 66140062167044777587108117651899355984327074734486\ 1346922344527828675821450035200000000000000000000)/140526865123830654225\ 719136600866483711464529757442636605912146877768745202554103541914155758\ 1032493114471435546875 and in Maple notation: 281474976710656/140526865123830654225719136600866483711464529757442636605912146\ 8777687452025541035419141557581032493114471435546875*(n+1)*n*(27527729216982903\ 071933659159296930450968419080718397698848638769919078669662289920*n^86+1183692\ 356330264832093147343849768009391642020470891101050491467106520382795478466560* n^85+26156533094906118882278336316286983192346360190083027170401892955148760781\ 562346209280*n^84+3942774379695494179602674556934413284905201258033069360318370\ 81187868325062308853186560*n^83+45460744101869461666377993301719104780391061057\ 94210517824184065348385870251264269352960*n^82+42658781506341190547342192070146\ 606753931881933425488612751927639740364758413759374950400*n^81+3386543043817320\ 66252959555993727965876459681665623473902797502412418344109666175664783360*n^80 +233549877614063265803610119488647888325663195380386436928305100667434725849166\ 2998794403840*n^79+142630261601343181831052442357809222286357528173861215028642\ 88019747024043983791872951713792*n^78+78263634017687362897069989417702731335604\ 206409166756073602902911212486724948706712614862848*n^77+3902630746472070118031\ 39974847043300119097308727327725456301676994222232868892518952816607232*n^76+17\ 8469035052097403975942323991636365805639043942456423502058353357891544839520190\ 0213298003968*n^75+754085169318913450832936032625868852179716912339764387355871\ 8443130228781547171059803705311232*n^74+296233823308014447081031727039776302942\ 51141374711458191843441810989839468364862475168303284224*n^73+10876600582041812\ 6783152919717204921670457109962779612587695066718242630857464321453328198270976 *n^72+3749339293643412104944018487617073279368086252380739538732884321809521933\ 08395495036220052865024*n^71+12181879895902805390165424270671456212067353705811\ 26261755539226304371939686477580829850783973376*n^70+37432787736466175275347583\ 74916989316908034780771090517741917097269844725681848006799209921511424*n^69+10\ 9111758855452888146745509390228504836598613753677452538566099555201467479827834\ 21715629563969536*n^68+30250185450885665617440991952850513165881318206909914887\ 343061126099314100180264487296622567358464*n^67+7995631695990399117832832055611\ 3566261094390985531253924708387002578909473659251747575932362162176*n^66+201916\ 1894009836795223182160661055484945000175185213235737718695874185976371463036776\ 95357494493184*n^65+48811011083366616804775234319350260056435400935833385249471\ 5135016636003276002126083412497579114496*n^64+113148585701672785874783725281605\ 7760451974137475171312819089581367377853535872585731330167720116224*n^63+251914\ 6280364416394981861777980242705434768869490936115426792526120769991940064500825\ 710466786492416*n^62+5394600249513941837878834331515693287147596224568414293930\ 478264730174447708279153611031546699874304*n^61+1112610247224899921865825349766\ 3637138403026637628695959913853163256243209123098894558191310870511616*n^60+221\ 2761846096363585085474828122580598343584037263260784932896542987357947255475502\ 1789934301728374784*n^59+424837509732094940607599801287536614517088050988202025\ 19872493755525719174828752209482938116922114048*n^58+78824195949640399159705642\ 115760033059057601247754407479429081427517267035823880698184549304056184832*n^ 57+1414698020851411289950623572780112431293799723982707287715202688248618641553\ 55872084047941002232496128*n^56+24582427254507070163684386341756438007977174811\ 9331188537754272208474315404880766465601028199449526272*n^55+413909239234696863\ 6223312314210185073270859839077964047500662740228545120382306960418254739435504\ 99328*n^54+67583869638264151754431502847724315499477417606131209864963166609958\ 9766156945068656959627374120648192*n^53+107091429180016668438615896013638389397\ 6135977502173985003892257539131026641459876880321144760703121408*n^52+164791994\ 6414389216367479018454572009549424622570155994010395323344193503355349593345112\ 238608535086592*n^51+2464136887170347851899341813532543393254330781240869891741\ 025034429109442520557136441983893849796084608*n^50+3582626747157551717147097474\ 432622093154784760424055957375336835206463435848124813296169977972336145792*n^ 49+5067473261579540441226847669422338870204554396889385426393186045002988586807\ 740766595477857236195327680*n^48+6976946073220492360048997190871113741917745168\ 644193487049992609091811842502770398729910398119273656320*n^47+9354936865237482\ 4496564204028057279044198059010335333823702903723176622109385623191434727793861\ 64135265*n^46+12221465574036012813433426875055658570954942133119547360219171302\ 298677410054015037419513994487255419575*n^45+1556347645619776642679009738451411\ 5163971323799649543933696886338247486946984092057932855124501712776295*n^44+193\ 2743479266176065428644631462145020565237717835096694734704482746629567195327365\ 9404101243959414544615*n^43+234152944294235072954589021920655350978459051571688\ 85828970369732172125679360235767184066625832644458045*n^42+27685167099557973819\ 4815208940972504434060678282503516264787110106559267839650175212084919760782232\ 72185*n^41+31957478085534681024781996845265960053778275442608819433165554136979\ 106460617618673102895781675832550945*n^40+3602660260300528110036185605664818770\ 6096040950958236445152778129071051275594965586877229245564693905905*n^39+396770\ 7367113569257561653289458121290375111226162564481423015817409047707470760697088\ 1568237681219254732*n^38+427026086045857506342373862183410564191125093461290199\ 80332143948657651112593356505329336024922994118838*n^37+44925595732288240331506\ 9239854941456480296350117464073812133849370044012813088186005208519959106170265\ 02*n^36+46214455161477958096962419942900560213975355815692937555819031982104083\ 837780362050986305897087948552598*n^35+4649650250484436681701159189939277715425\ 1608946066486156052666199669384351933525303957476665708315694602*n^34+457645746\ 0396010636296984628574973260086922669408770549271559336010657727063416232967735\ 3247301680280818*n^33+440766051937765178612054834545501479628862909698066061857\ 30485735545276812090871035735934869472801606882*n^32+41548388286121933633547231\ 392435960839080978395736550330457007830231553687915253266305338638191493911618* n^31+38340739789041572885110120632819578643594459166720524652401328165594165542\ 379700922200778875033296895657*n^30+3464299011295718112932177325554468482192453\ 0962922107583928316756296705537948454464440299907935718326643*n^29+306551000941\ 9307409837759996257042376699639922904428455512553244445828179521066852421721604\ 3246813075747*n^28+265706577482445406338338325339378648198814892891038230797715\ 41711817878906331539048515913247468749256003*n^27+22562632215628870265588039003\ 467089748655258714850130879131803277196046412679054308614967173164987339977*n^ 26+1877314183304675631643489213403802357268766051697493888191574599549440853622\ 9286871780663455813885937093*n^25+153077744376869098930159963627150591159216241\ 57452388416072106672207391826375342117654222730794739033517*n^24+12234314952244\ 7678285079619325212445476429377742298412191532285906654971856909651765422529701\ 25945933117*n^23+95851955333849597672643318909179484859562073082065073840266325\ 52560296132541735403676052124230499482938*n^22+73626463104215335091848094870444\ 89667041031618376091812858902656734229493384375318499004744384081216752*n^21+55\ 4540549432307481240339010999359650218814325553533752166038931446095832106463090\ 3580772280921953946688*n^20+409591354982062078807744732959488149200304113063904\ 8793573584692948290533946034755216559535750832604112*n^19+296712015659457655588\ 3797059123224805950613410860667900746627558418245292287865687517923387678322463\ 840*n^18+2108298985564980442076331955232928599430487019856916855219192185708701\ 936345636115096621861409462168320*n^17+1469552861694353354220812235175950503579\ 926912812594684576503077013077538730049520437985862420499372800*n^16+1004926559\ 4636341761654652937612028282594790130606630818917191977404755966048805686262219\ 04395309152000*n^15+67424533350999855134958264369700294029329564605998173008021\ 5502054782287715963622056244605384684480000*n^14+443884451114464940667331319874\ 238343421479753181657009525303439433051083903545573060796931247398400000*n^13+ 2867651894092078585306920678585190763309850529196496851550317409865261972887321\ 19799294530014336000000*n^12+18180671167391564824507149665284256909962492653031\ 5132998499822823504668243364342860298098978240000000*n^11+113127539210133146530\ 3370991015886478926118970662622452238292859034492096942752647959190232736000000\ 00*n^10+69084422225573775229779632759569498886198710834799147606404001273405509\ 462615858957023726336000000000*n^9+41418514435170838592974910397587287579834319\ 023536054214628164145098794737615636633908573440000000000*n^8+24362899493847015\ 0071389479167130473035940191298758872559311229886985042151049222059593216000000\ 00000*n^7+140880562292204778961379391526919481647014576331365213004606247387286\ 84911224464704628224000000000000*n^6+797040351863955050723209990807686394607442\ 8563066013791473415383006164831159599644180480000000000000*n^5+4475146765891928\ 0367373190736324877954390881559221519652727543623979019138018290030592000000000\ 00000*n^4+240505654831748098065108494927634279550098039192382790000666736120733\ 9307565000818688000000000000000*n^3+1386584453204768837245683800248286040962137\ 281898655247016418162885364524699038187520000000000000000*n^2+63200503848509454\ 1387922013118149401628014269685089731503573659925179118274478080000000000000000\ 000*n+6614006216704477758710811765189935598432707473448613469223445278286758214\ 50035200000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 45, : , ) -------------- = 281474976710656 (n + 1) n (43413414\ / Pi j 90 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 155012836185627910341150359213278454278207872820762166454056454598756545\ 88 939374080 n + 19101902228205647921676280550106158053842519882411464041\ 87 13535323978484002345288021332459520 n + 431642652876758989897808682969\ 86 03182431748746262315272516380364376433605312362688065778483200 n + 665\ 059803441441508644061244467717889908114974611201935239566393686060252969\ 85 308505527686266880 n + 78355849165515366750230012570570736699289824260\ 84 37996677419396397072817775658420732837987614720 n + 751134123150128783\ 098150273217001052458815046454649281568825680994220843409272726650159838\ 83 00320 n + 609066084563588256834215099799769714471552579991920560664844\ 82 772900690069397332446208215272652800 n + 42897397558567125917754568399\ 81 53143976675681835627637399316245723482607705120499580080496584949760 n + 267526553841270154082020411934126667344648234126472429207636593199086325\ 80 95112695501749865823600640 n + 149896733653139649248971080661078446748\ 79 372915991064060185495842307128403888166839836546939444264960 n + 76322\ 028920362822810558247155596865827092341552077057807481687101124533857302\ 78 1485045815080514486272 n + 3563752559961081764290228408099970358303882\ 77 067483037727041748425121356050169233316578739538066669568 n + 15375048\ 552395066014525456506499792261150312428610958410122766745290305761676310\ 76 754031038029346373632 n + 61671940659432084537955833833443766677463129\ 75 998810708099591450890824484987120609594303775026989498368 n + 23121387\ 151838547962641878200163757705534180163540990262302625933166004968392845\ 74 1802532785846413688832 n + 8138770362553518776770406562585477969431356\ 73 77251352449821960080707410174996921333003652682957532954624 n + 270035\ 918763411517973705787165827039291168302013621644257799799988939138691841\ 72 2431864152574558130405376 n + 8473955080357619491272694461649641558375\ 71 725507155964894778897732316325826440022885278643766991597338624 n + 25\ 226633614196220134533226429091810900977775911160801252168676179159103000\ 70 694959368857463507189839691776 n + 71433121363067177225890915614056907\ 69 148269079935961376470263598834601090286064022126456663152668153217024 n + 192859541216755445590032109727255628515529537200346343763347995039134\ 68 808240091384095848269799595752554496 n + 49752142246431996169411923654\ 590324043662719741338146452703923017668577307985086670150899506353893959\ 67 2704 n + 1228708052281922428170688328760413852590869674850297400904671\ 66 288675704082318354506009659100359498752065536 n + 29101174479553475134\ 462297635961664471798373838349200906392205877239943043796076354149682821\ 65 14330695041024 n + 662045170876716691950578318756449185689900043412566\ 64 7556480205233127045195269139484974880269352589041074176 n + 1448807647\ 669867969563664542131176776476380879349136998639121977488158840934524649\ 63 6699211547960873733586944 n + 3053922670624017671840083592478709785790\ 62 6661285373047974434290753976087551098795772634470311724840129232896 n + 620813703484154057477045013428786098876413437323971060798796948458322120\ 61 72030854077347403134215707678900224 n + 121845919487592109504753734726\ 487768181804602492783305801164285657750995129908983443306165657297235686\ 60 424576 n + 23113236567872883594206752482176802481669167344311144754496\ 59 1603226161300170879537079538745713741469892378624 n + 4241614947158284\ 014217331127255946718721519166132443099494555899734434844545983416814341\ 58 58555427697810833408 n + 753725702952123877268528725784884236373306018\ 57 646737267544526134461643278421101908209255172627906167135567872 n + 12\ 979892268219736116845046439787309383192508611689991027684654926430559000\ 56 33196504828659410972479967588118528 n + 216792511481024828819796761757\ 881003020100354266701277200602094267784477168968337673246462979156378641\ 55 1753472 n + 3514394645616054857714853710938659410210372856587526436374\ 54 836951653518336086137931834687681379520792840176128 n + 55333394924948\ 999038632703288346618768312616746814205938528172098228400381883052510898\ 53 92601958172786831611392 n + 846708018743867991421482945234277774561519\ 52 2098630030966088686257632219072738010540260535174376429587837028608 n + 125994537658337623791032688467908066027902202312088943755385750682150801\ 51 27980405296367294254908477667152443392 n + 182426540399364315131900040\ 624433945806230014833545410334918341599977295594920069601791888388327372\ 50 83451303808 n + 257143072494667346509496890791926510170313215329556854\ 49 38160484850284745424190193692544271380281984560724798592 n + 353045873\ 199808389088619205724921057064035605321401470773327715763758508961736789\ 48 10854330503212312274798597520 n + 472349757923983613740475971296654529\ 612546002461562064091301227652954952593937990472859885283912927157772972\ 47 80 n + 616123637377609303853395191974636961102339363080527044095286871\ 46 68597076257214863758168695438361361933399535705 n + 783841858474794374\ 644039933799313316130379006794451151431937014030378538297244198640874136\ 45 72410029075003135935 n + 973016888507346054060055458612974524418887060\ 44 09380764646640578386596941906470308712683608270255035380388019490 n + 117898801319957574086561064839862100102874947914476546611885753200499394\ 43 524814695462681395043774789170981616145 n + 13949306701724982706515376\ 509784150044609194701852402899627692736328648790951160198239129550890101\ 42 4911400685190 n + 1612126650338462655600171447379967426922386729755426\ 41 16964234843848207617013771360293881090353013433518075310265 n + 182049\ 926537330902780478674762644385867797328792603834488003616290519208806699\ 40 067657183792246197694071730465810 n + 20093753992968535528216183526862\ 317770597135370737643710544968480231254684539386660654717691137523398589\ 39 4409115 n + 2168395951837233739955549728794694364700629890997652563824\ 38 70544259689860753933684716346617647732104974687933447 n + 228846580407\ 123938030723468980308892515240770157366896283305275077459393635101001609\ 37 754404138597369489264592098 n + 23626208621547187846377308598207401637\ 711560338110797092235002122537243770701395068722348366021054144916889425\ 36 2 n + 2386696540983836061741564293082013669351229425493047503297069171\ 35 48428519934448490179364025274189923671385269498 n + 235970865016338678\ 190183685379380375824965536538072370393839523956305787649020545201965548\ 34 779041536194676292452 n + 22838993247034581031835773262411696396904596\ 33 7737289639073436822438751861747416408540008030609198865850589909218 n + 216444960852693325124252631867660457504085871900652694277214833223219072\ 32 818086005975726145790513866233847234532 n + 20089074559642147189136868\ 572655768048209513073267343241359882264129080492100214802122435181675768\ 31 4933432055718 n + 1826416906061950784779847530857072699220831829802489\ 30 47000474573081496963794959184464179505694057660040893364807 n + 162685\ 513765646732122722447807733718826928523260825948612518536394169040691390\ 29 277401061386613876104571750230243 n + 14199867187055591524619897324051\ 585103333494070323408401647509799120956267071215533730766329148994553903\ 28 1615242 n + 1214730017292880593559319195679497813039010275485928266312\ 27 16753083284180726849674197299975108366567195083218533 n + 101860387313\ 215548344677066627338099001318250187568923065979300604558592955772455560\ 26 188706650556130904495130022 n + 83738939301578119736723263595175443944\ 901425371468368615042315240363586792105963825963126883928366313909363573 25 n + 675008575323580602236067931965919246113186899435615882717820679145\ 24 74439181552170327890069640031358453787534202 n + 533593731824527460533\ 930139659775182345092744642079013365853547110413887587096469032988010733\ 23 81679667230602607 n + 413702855729138035378489890474895816474234873214\ 22 33286402732771947000098908645849219105390950004282286918552473 n + 314\ 627336492268478851654120749930898584270318576388085190359615726378479216\ 21 56556897927223892060217983435078892 n + 234739076653502276493168514740\ 707544435596260741534721602025219739229940986650853774033900813429342347\ 20 10679208 n + 171831735319736204237945551662712426400838296433787184660\ 19 04951063504813443755426520310091825971400981988580192 n + 123422904343\ 908626811840303052825181588916121227768151817149949692061130586643729800\ 18 63829996129091064780106160 n + 869971835683182455527569181449938815295\ 17 3353707383604469581534000147320384918532783446822134392974714020876800 n + 601827342299643375144097232181859602890832767371931364418570716042797\ 16 8646793856449085918117984478459770176000 n + 4086328866884546767217237\ 409742452592489484647889744028709415759397550246737028097790547082366154\ 15 068187360000 n + 27234863324795343526072405237220612266355896935020965\ 14 65948756867617521649118800877214985631132746791260000000 n + 178188256\ 485499500507029870933704784761349792987317199708892431585544969759078289\ 13 0577013783071714242224000000 n + 1144534198254530294332631120980692734\ 720361700282027866986960696570952659041827140970469625998336492320000000 12 n + 721763580942014596427812554537733750143546729210471908632976609705\ 11 549317486247120824474331313134899200000000 n + 44691323697157633462103\ 178275016882829967153875617444777529063551499247688783646410091027332540\ 10 2184000000000 n + 2717010569087076318162814573936501688656386214009998\ 9 54035888430357101054822224445591249030189138880000000000 n + 1622350420\ 757807720689540824858833838990871689045162450442350759406699378701409725\ 8 24007199182300800000000000 n + 9508325679917098198220790848374680041229\ 7 8724911851128484035867005421675721833933821959935371520000000000000 n + 548057032809822854753840314161032826582372268369625207212617243644212074\ 6 17443600577000386394880000000000000 n + 3092063242603022177917302296227\ 096396536316149564712688894347804594788998275531172074426137600000000000\ 5 0000 n + 17318889238258216930273123079524863461966578182726958111625327\ 4 094638975877927952544333950464000000000000000 n + 928993940340586794742\ 723545819263710098820733539450584574280005723093916279266075339653120000\ 3 0000000000000 n + 53467353390874077408556275283035708164418186770585429\ 2 18528990233967865289543913284256563200000000000000000 n + 2434747163309\ 886840687157749163765069372453683318037257415851466032191903359999986892\ 800000000000000000000 n + 2545417488914881697082028555943936208889383396\ 196129860025662896306382444421818168115200000000000000000000)/5468304196\ 178616645222976321938305771487271601920615880473647026524108583205092309\ 309459261831446219446929454803466796875 and in Maple notation: 281474976710656/546830419617861664522297632193830577148727160192061588047364702\ 6524108583205092309309459261831446219446929454803466796875*(n+1)*n*(43413414155\ 012836185627910341150359213278454278207872820762166454056454598756545939374080* n^88+19101902228205647921676280550106158053842519882411464041135353239784840023\ 45288021332459520*n^87+43164265287675898989780868296903182431748746262315272516\ 380364376433605312362688065778483200*n^86+6650598034414415086440612444677178899\ 08114974611201935239566393686060252969308505527686266880*n^85+78355849165515366\ 75023001257057073669928982426037996677419396397072817775658420732837987614720*n ^84+751134123150128783098150273217001052458815046454649281568825680994220843409\ 27272665015983800320*n^83+60906608456358825683421509979976971447155257999192056\ 0664844772900690069397332446208215272652800*n^82+428973975585671259177545683995\ 3143976675681835627637399316245723482607705120499580080496584949760*n^81+267526\ 5538412701540820204119341266673446482341264724292076365931990863259511269550174\ 9865823600640*n^80+149896733653139649248971080661078446748372915991064060185495\ 842307128403888166839836546939444264960*n^79+7632202892036282281055824715559686\ 58270923415520770578074816871011245338573021485045815080514486272*n^78+35637525\ 5996108176429022840809997035830388206748303772704174842512135605016923331657873\ 9538066669568*n^77+153750485523950660145254565064997922611503124286109584101227\ 66745290305761676310754031038029346373632*n^76+61671940659432084537955833833443\ 766677463129998810708099591450890824484987120609594303775026989498368*n^75+2312\ 1387151838547962641878200163757705534180163540990262302625933166004968392845180\ 2532785846413688832*n^74+813877036255351877677040656258547796943135677251352449\ 821960080707410174996921333003652682957532954624*n^73+2700359187634115179737057\ 871658270392911683020136216442577997999889391386918412431864152574558130405376* n^72+84739550803576194912726944616496415583757255071559648947788977323163258264\ 40022885278643766991597338624*n^71+25226633614196220134533226429091810900977775\ 911160801252168676179159103000694959368857463507189839691776*n^70+7143312136306\ 7177225890915614056907148269079935961376470263598834601090286064022126456663152\ 668153217024*n^69+1928595412167554455900321097272556285155295372003463437633479\ 95039134808240091384095848269799595752554496*n^68+49752142246431996169411923654\ 5903240436627197413381464527039230176685773079850866701508995063538939592704*n^ 67+1228708052281922428170688328760413852590869674850297400904671288675704082318\ 354506009659100359498752065536*n^66+2910117447955347513446229763596166447179837\ 383834920090639220587723994304379607635414968282114330695041024*n^65+6620451708\ 7671669195057831875644918568990004341256675564802052331270451952691394849748802\ 69352589041074176*n^64+14488076476698679695636645421311767764763808793491369986\ 391219774881588409345246496699211547960873733586944*n^63+3053922670624017671840\ 0835924787097857906661285373047974434290753976087551098795772634470311724840129\ 232896*n^62+6208137034841540574770450134287860988764134373239710607987969484583\ 2212072030854077347403134215707678900224*n^61+121845919487592109504753734726487\ 768181804602492783305801164285657750995129908983443306165657297235686424576*n^ 60+2311323656787288359420675248217680248166916734431114475449616032261613001708\ 79537079538745713741469892378624*n^59+42416149471582840142173311272559467187215\ 1916613244309949455589973443484454598341681434158555427697810833408*n^58+753725\ 7029521238772685287257848842363733060186467372675445261344616432784211019082092\ 55172627906167135567872*n^57+12979892268219736116845046439787309383192508611689\ 99102768465492643055900033196504828659410972479967588118528*n^56+21679251148102\ 4828819796761757881003020100354266701277200602094267784477168968337673246462979\ 1563786411753472*n^55+351439464561605485771485371093865941021037285658752643637\ 4836951653518336086137931834687681379520792840176128*n^54+553333949249489990386\ 3270328834661876831261674681420593852817209822840038188305251089892601958172786\ 831611392*n^53+8467080187438679914214829452342777745615192098630030966088686257\ 632219072738010540260535174376429587837028608*n^52+1259945376583376237910326884\ 6790806602790220231208894375538575068215080127980405296367294254908477667152443\ 392*n^51+1824265403993643151319000406244339458062300148335454103349183415999772\ 9559492006960179188838832737283451303808*n^50+257143072494667346509496890791926\ 51017031321532955685438160484850284745424190193692544271380281984560724798592*n ^49+353045873199808389088619205724921057064035605321401470773327715763758508961\ 73678910854330503212312274798597520*n^48+47234975792398361374047597129665452961\ 254600246156206409130122765295495259393799047285988528391292715777297280*n^47+ 6161236373776093038533951919746369611023393630805270440952868716859707625721486\ 3758168695438361361933399535705*n^46+783841858474794374644039933799313316130379\ 00679445115143193701403037853829724419864087413672410029075003135935*n^45+97301\ 6888507346054060055458612974524418887060093807646466405783865969419064703087126\ 83608270255035380388019490*n^44+11789880131995757408656106483986210010287494791\ 4476546611885753200499394524814695462681395043774789170981616145*n^43+139493067\ 0172498270651537650978415004460919470185240289962769273632864879095116019823912\ 95508901014911400685190*n^42+16121266503384626556001714473799674269223867297554\ 2616964234843848207617013771360293881090353013433518075310265*n^41+182049926537\ 3309027804786747626443858677973287926038344880036162905192088066990676571837922\ 46197694071730465810*n^40+20093753992968535528216183526862317770597135370737643\ 7105449684802312546845393866606547176911375233985894409115*n^39+216839595183723\ 3739955549728794694364700629890997652563824705442596898607539336847163466176477\ 32104974687933447*n^38+22884658040712393803072346898030889251524077015736689628\ 3305275077459393635101001609754404138597369489264592098*n^37+236262086215471878\ 4637730859820740163771156033811079709223500212253724377070139506872234836602105\ 41449168894252*n^36+23866965409838360617415642930820136693512294254930475032970\ 6917148428519934448490179364025274189923671385269498*n^35+235970865016338678190\ 1836853793803758249655365380723703938395239563057876490205452019655487790415361\ 94676292452*n^34+22838993247034581031835773262411696396904596773728963907343682\ 2438751861747416408540008030609198865850589909218*n^33+216444960852693325124252\ 6318676604575040858719006526942772148332232190728180860059757261457905138662338\ 47234532*n^32+20089074559642147189136868572655768048209513073267343241359882264\ 1290804921002148021224351816757684933432055718*n^31+182641690606195078477984753\ 0857072699220831829802489470004745730814969637949591844641795056940576600408933\ 64807*n^30+16268551376564673212272244780773371882692852326082594861251853639416\ 9040691390277401061386613876104571750230243*n^29+141998671870555915246198973240\ 5158510333349407032340840164750979912095626707121553373076632914899455390316152\ 42*n^28+12147300172928805935593191956794978130390102754859282663121675308328418\ 0726849674197299975108366567195083218533*n^27+101860387313215548344677066627338\ 099001318250187568923065979300604558592955772455560188706650556130904495130022* n^26+83738939301578119736723263595175443944901425371468368615042315240363586792\ 105963825963126883928366313909363573*n^25+6750085753235806022360679319659192461\ 1318689943561588271782067914574439181552170327890069640031358453787534202*n^24+ 5335937318245274605339301396597751823450927446420790133658535471104138875870964\ 6903298801073381679667230602607*n^23+413702855729138035378489890474895816474234\ 87321433286402732771947000098908645849219105390950004282286918552473*n^22+31462\ 7336492268478851654120749930898584270318576388085190359615726378479216565568979\ 27223892060217983435078892*n^21+23473907665350227649316851474070754443559626074\ 153472160202521973922994098665085377403390081342934234710679208*n^20+1718317353\ 1973620423794555166271242640083829643378718466004951063504813443755426520310091\ 825971400981988580192*n^19+1234229043439086268118403030528251815889161212277681\ 5181714994969206113058664372980063829996129091064780106160*n^18+869971835683182\ 4555275691814499388152953353707383604469581534000147320384918532783446822134392\ 974714020876800*n^17+6018273422996433751440972321818596028908327673719313644185\ 707160427978646793856449085918117984478459770176000*n^16+4086328866884546767217\ 2374097424525924894846478897440287094157593975502467370280977905470823661540681\ 87360000*n^15+27234863324795343526072405237220612266355896935020965659487568676\ 17521649118800877214985631132746791260000000*n^14+17818825648549950050702987093\ 3704784761349792987317199708892431585544969759078289057701378307171424222400000\ 0*n^13+114453419825453029433263112098069273472036170028202786698696069657095265\ 9041827140970469625998336492320000000*n^12+721763580942014596427812554537733750\ 143546729210471908632976609705549317486247120824474331313134899200000000*n^11+ 4469132369715763346210317827501688282996715387561744477752906355149924768878364\ 64100910273325402184000000000*n^10+27170105690870763181628145739365016886563862\ 1400999854035888430357101054822224445591249030189138880000000000*n^9+1622350420\ 7578077206895408248588338389908716890451624504423507594066993787014097252400719\ 9182300800000000000*n^8+9508325679917098198220790848374680041229872491185112848\ 4035867005421675721833933821959935371520000000000000*n^7+5480570328098228547538\ 4031416103282658237226836962520721261724364421207417443600577000386394880000000\ 000000*n^6+30920632426030221779173022962270963965363161495647126888943478045947\ 889982755311720744261376000000000000000*n^5+17318889238258216930273123079524863\ 461966578182726958111625327094638975877927952544333950464000000000000000*n^4+92\ 8993940340586794742723545819263710098820733539450584574280005723093916279266075\ 3396531200000000000000000*n^3+5346735339087407740855627528303570816441818677058\ 542918528990233967865289543913284256563200000000000000000*n^2+24347471633098868\ 4068715774916376506937245368331803725741585146603219190335999998689280000000000\ 0000000000*n+254541748891488169708202855594393620888938339619612986002566289630\ 6382444421818168115200000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 46, : , ) -------------- = 281474976710656 (n + 1) n (26965934\ / Pi j 92 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 332516084846417144351113495204792548265808159997232264310464087881915826\ 90 76655800320 n + 121346704496322381808877149580010728421566467196136719\ 89 987545189397088395468621220449511014400 n + 28026598466657660624049025\ 88 96065719888911178076374475724851602361860011069680947933628313108480 n + 441180841186939655518885612676713396956161211037983659815993436420074609\ 87 56774925866264921374720 n + 530888023324517142596183148698417720477892\ 86 944191702648203687210589202062958956568906482466160640 n + 51966685120\ 331373369160734176536575067672666598327498524416929814392151565015580520\ 85 71160235950080 n + 430203371743826782965707329791962973788064921070894\ 84 29008021863226807085306753403945837510808043520 n + 309305302272652674\ 491545022136582938615261868847916398922089905331590821155916094438699598\ 83 736261120 n + 19689315736237961621189970325647554083606930269287093459\ 82 44682454646089737997986923551928516933058560 n + 112599287247945662118\ 815627024527475710783097591287330905061029401363239301059227502649695857\ 81 64597760 n + 585134252709940510573703310762175876857853999948015331291\ 80 55958326308236677635948630236037704937635840 n + 278847022192021701279\ 804809505666577074699435201515937985319271260744837347630878784732297979\ 79 452456960 n + 12277941801174683484464774977073377002821637014506487912\ 78 05924929922036780985668074581173582597845942272 n + 502633104954182326\ 950954378905959677412861822219561628628379710154360086195109488730168760\ 77 5901444251648 n + 1923272409075731838333145348270472057083079625931231\ 76 4451346603932189462419390422681209840484952783716352 n + 6909757393536\ 293897156683474202679518460843183041684635882919543423470239296355553892\ 75 9746097219880091648 n + 2340024254587134015173437534373543458341593851\ 74 27324952431121809174921045391861116195945014336850076106752 n + 749550\ 989551386896623109716320217883199011962104620937511428640796626115074799\ 73 558387336709114432443121664 n + 22777979627470453387831487678226850480\ 72 76680170203168326930814237447925362017572008836183243522636393742336 n + 658451926675248360474410905543563763483450449936283022466875797626511685\ 71 8365520602772047959741648720625664 n + 1814949426415907267531859020281\ 394117093972572065626369533218552251813416639532189310487665981242555865\ 70 4976 n + 4780431201323894436625197854331685979554704046212429649597806\ 69 5210870111713351287808302681323360873416228864 n + 1205510944746127258\ 826356600354566564584330332720554336636933823041376455020950611360215752\ 68 49617893359353856 n + 291566485525266398906998961301714988838142089613\ 67 633999092184807010881585808173479632730155989086913685356544 n + 67742\ 131570999354265311153738452123551827128425879563996392572185784417505260\ 66 2749423101067894062989470334976 n + 1514145371798054673024081244809735\ 579349074929385524567896698110442984748411286554967615449469378683274788\ 65 864 n + 32601965448475406728885725193912657736654565343645355613018025\ 64 71401565576334590116086260613477791535607054336 n + 677050391108308170\ 641880746660574068587677935525552576596504714122324875972746074795277612\ 63 1352943136495632384 n + 1357661076593523513261525092621473970232496187\ 62 4407094317067796233150866620894635899967123603986634094426750976 n + 2\ 631541135086262641210333178450318391483993281095990485592815822407126218\ 61 8406758806139612978879689018206552064 n + 4935140969716657155976454056\ 549636462760599156149423721927258009529612568428051584568505961245174173\ 60 8322395136 n + 8962970862207429992465641011269683817029654503949453824\ 59 4910111669350139322776448536162417230378232104865726464 n + 1577731041\ 769493150638985536544484604232173390526496496474136672733146073294985873\ 58 59976511388986713946606747648 n + 269391386593123925863270427396556068\ 093587854513072622444221159138318198039216635686328414194328255711025774\ 57 592 n + 44650182211080737027991482523844837575517625341262210621463104\ 56 1900491784915065659618337574872138262524495249408 n + 7188700933306962\ 369013427622981425417331292610537330109842468422540223646387908396521682\ 55 56419332500837118574592 n + 112498218020846576934649424874926921761435\ 54 9997188010602106081507506497185607182383404166000014722247025968132608 n + 171227053755022083619527255284655387562394817608636869816091682897248\ 53 7553942426748383868922775717549555701171712 n + 2536171074795408693759\ 720300673880458760562616827181405962953350031135251336188677311641569244\ 52 635021442428620288 n + 36576124996800968179014940544144733041487694792\ 51 85566864573808476560023211213429907263258288860690211090307123712 n + 513866312850642230389982944374585311464339574240224365035587189973881510\ 50 9080004824600915946523031240932594362048 n + 7036293849883728987333975\ 943163990921256268030213355410095669556219180530729806004182463198580655\ 49 426419359826112 n + 93945468300771887546377821916378443969524695951041\ 48 51405585914290237844513054651394322021201567442613494130339520 n + 122\ 357855448358382776635838180585181943539077105686606235531209707492360627\ 47 30959955622256633065094118681958030080 n + 155520730112188643303411677\ 002805494401859069584711184196948289205532800671086401372970181383806731\ 46 77875635802175 n + 192979949262250110804886152204100296491165046593119\ 45 09279048583669440284626083238930546357206249595353287700162985 n + 233\ 863275823190096670941056085306061902687935332988659670195888394368822772\ 44 46166772218341865615222490462864962315 n + 276877858478641679618527142\ 043795038948732547885610874162792517070147139675472155763843120097079235\ 43 74276334656645 n + 320356580720611680051813597816871273435467278050885\ 42 30383805463611492580792752548820951113278827462600874775442345 n + 362\ 354838999890456045776724922241465541867264595818357387482542405095741223\ 41 26874877310336103016543002486957662615 n + 400791556951304202578096282\ 316770689214085365529215670669904891968768332431961662180275842104833284\ 40 58257421489685 n + 433620632195789209359803055639821188405099648216245\ 39 59992965348476843175169845607665147678219416674244955480898715 n + 459\ 013051858837363341427131629814074017988004731304579313587359651030694734\ 38 41222628467240019397225009247806776182 n + 475526887831978932429311827\ 434780599386932939907639809135548531293638966185712970511377568373678185\ 37 59802200902578 n + 482243042476691371095355680521879852845183885682576\ 36 45064100822353060512187636622293932964177295033177811479535422 n + 478\ 848977316873236297983030103782824150052018256605571994449781426424491362\ 35 31428632753601728868153181027448812578 n + 465659982897929434960168214\ 971094117637247112833426798535933988736001597899574608904931283061487911\ 34 42773501574322 n + 443576501281464726662046087330316822697808767890853\ 33 81713625334283187974332573112027967437020084823556966039497998 n + 413\ 984958563170390501872580308063149282511912002165629354458993481790088134\ 32 58720354098629499606402237313945121002 n + 378616929638372260519293158\ 001034051915242181189983266035039868623175709402336845448528942355193434\ 31 95905638066998 n + 339386058958574055453039865008467888578883542435222\ 30 03648576711150162302427025587233324028762255392316075237226907 n + 298\ 223427584983903657076978887931189547192119747421864691560655925946367954\ 29 77487721562418836442137607799724761373 n + 256930093365999429508417744\ 904665607978742894804475378070252799776142248292773466340490038819304753\ 28 48772731880087 n + 217061026408307395992529771052525308574612678403709\ 27 70751404946330657577452208441003810025451400378224455119606713 n + 179\ 848683699544171122917494823085391852969257729172489328744681327846381892\ 26 23384781824238823349470603515201032277 n + 146168194688102012714876928\ 383127586514954209008563830474469593634451045274689226987907039103761598\ 25 82518265593003 n + 116540615527336313955727186975157095710865669410926\ 24 04520680961098042425365680657637859085616818466832835818094897 n + 911\ 666858536794566066272550522015312401612270911194699406064036507943399384\ 23 7523311846637614368529259541273489727 n + 6998133661404671281837686922\ 033954673817278186379643093025576310042356736916685587698283550686617272\ 22 438308306368 n + 52718799007263877168553908404594056732797982252102238\ 21 98413021153273433997736579645672249235794339800405152904312 n + 389792\ 365558600171218113932894172032833472565804313471249209965844356730164512\ 20 0475767479576669176894662497975088 n + 2828983590070631365623489497757\ 882778196599184875142092000138364197070848492173466420799789321683810990\ 19 565972112 n + 20155754489577964655088940475346425533333603663109865151\ 18 54062089795511195611484965348705322951952041890455390080 n + 140986967\ 492756367163302543471086314720126135043332608173785924115091956756532180\ 17 3175793771807288123162521440000 n + 9682949945922388365410362146700378\ 091260876991412406310888660306897054291611071399097277691000991342062052\ 16 80000 n + 653010385607210595107610013617177412022888201567968900400085\ 15 576107721807032679297610302162743849233046651040000 n + 43246364385604\ 636650042834459839055481370131908607763831801239813664169693860551440060\ 14 7383871153104113932800000 n + 2812714265086940837069666944435802352368\ 13 04704610128030552608275675853803859604993856485752418585628376800000000 n + 179671759585463639514625180758723037301479547942881549233127948163509\ 12 014259482329286904235641463946504000000000 n + 11272786207183781969121\ 792457617906235747112469943291906431925074899346880861989777622741895768\ 11 8719729600000000 n + 6947416482015420380639818303678998661930699575597\ 10 0309209539952022307018712801615065174143818725512768000000000 n + 4205\ 651329621851488490735799268983755570054720804721850885340194509385250547\ 9 2592744931552349955056000000000000 n + 25015134568794599913020690369013\ 856664989041760536000112120223309106906112527660020832377351474304000000\ 8 000000 n + 146101972956424780325837972251603550737198315842994228385814\ 7 66420521535847004381847216057549781248000000000000 n + 8395346275945614\ 867580590221156551077042992183657093600593135986412675298884840786910694\ 6 294804480000000000000 n + 472397029285577033991035383945085763547809403\ 5 8726285950140296175450693853794846704985563456000000000000000000 n + 26\ 397911020990560704824672741401762974238486731388040023458354040525701680\ 4 51794791400912998400000000000000000 n + 1413425742158827981610289177604\ 772093290849875027999717282826245418799535778173523889477222400000000000\ 3 000000 n + 812149675284159631397718358756727085446062362781627561813044\ 2 619934352990357633881254743244800000000000000000 n + 369496087100547343\ 124810596830571385161362105899438205487596226883184548383812314726400000\ 000000000000000000 n + 3859181354161272250414688455785967800574226439394\ 13236842600503633548306089759528714240000000000000000000000)/83807705615\ 346189888743441455793599323881010420739873820302633776076011981730219088\ 3297560780689040154366362094879150390625 and in Maple notation: 281474976710656/838077056153461898887434414557935993238810104207398738203026337\ 760760119817302190883297560780689040154366362094879150390625*(n+1)*n*(269659343\ 3251608484641714435111349520479254826580815999723226431046408788191582676655800\ 320*n^90+1213467044963223818088771495800107284215664671961367199875451893970883\ 95468621220449511014400*n^89+28026598466657660624049025960657198889111780763744\ 75724851602361860011069680947933628313108480*n^88+44118084118693965551888561267\ 671339695616121103798365981599343642007460956774925866264921374720*n^87+5308880\ 2332451714259618314869841772047789294419170264820368721058920206295895656890648\ 2466160640*n^86+519666851203313733691607341765365750676726665983274985244169298\ 1439215156501558052071160235950080*n^85+430203371743826782965707329791962973788\ 06492107089429008021863226807085306753403945837510808043520*n^84+30930530227265\ 2674491545022136582938615261868847916398922089905331590821155916094438699598736\ 261120*n^83+1968931573623796162118997032564755408360693026928709345944682454646\ 089737997986923551928516933058560*n^82+1125992872479456621188156270245274757107\ 8309759128733090506102940136323930105922750264969585764597760*n^81+585134252709\ 9405105737033107621758768578539999480153312915595832630823667763594863023603770\ 4937635840*n^80+278847022192021701279804809505666577074699435201515937985319271\ 260744837347630878784732297979452456960*n^79+1227794180117468348446477497707337\ 700282163701450648791205924929922036780985668074581173582597845942272*n^78+5026\ 3310495418232695095437890595967741286182221956162862837971015436008619510948873\ 01687605901444251648*n^77+19232724090757318383331453482704720570830796259312314\ 451346603932189462419390422681209840484952783716352*n^76+6909757393536293897156\ 6834742026795184608431830416846358829195434234702392963555538929746097219880091\ 648*n^75+2340024254587134015173437534373543458341593851273249524311218091749210\ 45391861116195945014336850076106752*n^74+74955098955138689662310971632021788319\ 9011962104620937511428640796626115074799558387336709114432443121664*n^73+227779\ 7962747045338783148767822685048076680170203168326930814237447925362017572008836\ 183243522636393742336*n^72+6584519266752483604744109055435637634834504499362830\ 224668757976265116858365520602772047959741648720625664*n^71+1814949426415907267\ 5318590202813941170939725720656263695332185522518134166395321893104876659812425\ 558654976*n^70+4780431201323894436625197854331685979554704046212429649597806521\ 0870111713351287808302681323360873416228864*n^69+120551094474612725882635660035\ 456656458433033272055433663693382304137645502095061136021575249617893359353856* n^68+29156648552526639890699896130171498883814208961363399909218480701088158580\ 8173479632730155989086913685356544*n^67+677421315709993542653111537384521235518\ 271284258795639963925721857844175052602749423101067894062989470334976*n^66+1514\ 1453717980546730240812448097355793490749293855245678966981104429847484112865549\ 67615449469378683274788864*n^65+32601965448475406728885725193912657736654565343\ 64535561301802571401565576334590116086260613477791535607054336*n^64+67705039110\ 8308170641880746660574068587677935525552576596504714122324875972746074795277612\ 1352943136495632384*n^63+135766107659352351326152509262147397023249618744070943\ 17067796233150866620894635899967123603986634094426750976*n^62+26315411350862626\ 4121033317845031839148399328109599048559281582240712621884067588061396129788796\ 89018206552064*n^61+49351409697166571559764540565496364627605991561494237219272\ 580095296125684280515845685059612451741738322395136*n^60+8962970862207429992465\ 6410112696838170296545039494538244910111669350139322776448536162417230378232104\ 865726464*n^59+1577731041769493150638985536544484604232173390526496496474136672\ 73314607329498587359976511388986713946606747648*n^58+26939138659312392586327042\ 7396556068093587854513072622444221159138318198039216635686328414194328255711025\ 774592*n^57+4465018221108073702799148252384483757551762534126221062146310419004\ 91784915065659618337574872138262524495249408*n^56+71887009333069623690134276229\ 8142541733129261053733010984246842254022364638790839652168256419332500837118574\ 592*n^55+1124982180208465769346494248749269217614359997188010602106081507506497\ 185607182383404166000014722247025968132608*n^54+1712270537550220836195272552846\ 5538756239481760863686981609168289724875539424267483838689227757175495557011717\ 12*n^53+25361710747954086937597203006738804587605626168271814059629533500311352\ 51336188677311641569244635021442428620288*n^52+36576124996800968179014940544144\ 7330414876947928556686457380847656002321121342990726325828886069021109030712371\ 2*n^51+513866312850642230389982944374585311464339574240224365035587189973881510\ 9080004824600915946523031240932594362048*n^50+703629384988372898733397594316399\ 0921256268030213355410095669556219180530729806004182463198580655426419359826112 *n^49+9394546830077188754637782191637844396952469595104151405585914290237844513\ 054651394322021201567442613494130339520*n^48+1223578554483583827766358381805851\ 8194353907710568660623553120970749236062730959955622256633065094118681958030080 *n^47+1555207301121886433034116770028054944018590695847111841969482892055328006\ 7108640137297018138380673177875635802175*n^46+192979949262250110804886152204100\ 2964911650465931190927904858366944028462608323893054635720624959535328770016298\ 5*n^45+233863275823190096670941056085306061902687935332988659670195888394368822\ 77246166772218341865615222490462864962315*n^44+27687785847864167961852714204379\ 5038948732547885610874162792517070147139675472155763843120097079235742763346566\ 45*n^43+32035658072061168005181359781687127343546727805088530383805463611492580\ 792752548820951113278827462600874775442345*n^42+3623548389998904560457767249222\ 4146554186726459581835738748254240509574122326874877310336103016543002486957662\ 615*n^41+4007915569513042025780962823167706892140853655292156706699048919687683\ 3243196166218027584210483328458257421489685*n^40+433620632195789209359803055639\ 8211884050996482162455999296534847684317516984560766514767821941667424495548089\ 8715*n^39+459013051858837363341427131629814074017988004731304579313587359651030\ 69473441222628467240019397225009247806776182*n^38+47552688783197893242931182743\ 4780599386932939907639809135548531293638966185712970511377568373678185598022009\ 02578*n^37+48224304247669137109535568052187985284518388568257645064100822353060\ 512187636622293932964177295033177811479535422*n^36+4788489773168732362979830301\ 0378282415005201825660557199444978142642449136231428632753601728868153181027448\ 812578*n^35+4656599828979294349601682149710941176372471128334267985359339887360\ 0159789957460890493128306148791142773501574322*n^34+443576501281464726662046087\ 3303168226978087678908538171362533428318797433257311202796743702008482355696603\ 9497998*n^33+413984958563170390501872580308063149282511912002165629354458993481\ 79008813458720354098629499606402237313945121002*n^32+37861692963837226051929315\ 8001034051915242181189983266035039868623175709402336845448528942355193434959056\ 38066998*n^31+33938605895857405545303986500846788857888354243522203648576711150\ 162302427025587233324028762255392316075237226907*n^30+2982234275849839036570769\ 7888793118954719211974742186469156065592594636795477487721562418836442137607799\ 724761373*n^29+2569300933659994295084177449046656079787428948044753780702527997\ 7614224829277346634049003881930475348772731880087*n^28+217061026408307395992529\ 7710525253085746126784037097075140494633065757745220844100381002545140037822445\ 5119606713*n^27+179848683699544171122917494823085391852969257729172489328744681\ 32784638189223384781824238823349470603515201032277*n^26+14616819468810201271487\ 6928383127586514954209008563830474469593634451045274689226987907039103761598825\ 18265593003*n^25+11654061552733631395572718697515709571086566941092604520680961\ 098042425365680657637859085616818466832835818094897*n^24+9116668585367945660662\ 7255052201531240161227091119469940606403650794339938475233118466376143685292595\ 41273489727*n^23+69981336614046712818376869220339546738172781863796430930255763\ 10042356736916685587698283550686617272438308306368*n^22+52718799007263877168553\ 9084045940567327979822521022389841302115327343399773657964567224923579433980040\ 5152904312*n^21+389792365558600171218113932894172032833472565804313471249209965\ 8443567301645120475767479576669176894662497975088*n^20+282898359007063136562348\ 9497757882778196599184875142092000138364197070848492173466420799789321683810990\ 565972112*n^19+2015575448957796465508894047534642553333360366310986515154062089\ 795511195611484965348705322951952041890455390080*n^18+1409869674927563671633025\ 4347108631472012613504333260817378592411509195675653218031757937718072881231625\ 21440000*n^17+96829499459223883654103621467003780912608769914124063108886603068\ 9705429161107139909727769100099134206205280000*n^16+653010385607210595107610013\ 6171774120228882015679689004000855761077218070326792976103021627438492330466510\ 40000*n^15+43246364385604636650042834459839055481370131908607763831801239813664\ 1696938605514400607383871153104113932800000*n^14+281271426508694083706966694443\ 5802352368047046101280305526082756758538038596049938564857524185856283768000000\ 00*n^13+17967175958546363951462518075872303730147954794288154923312794816350901\ 4259482329286904235641463946504000000000*n^12+112727862071837819691217924576179\ 062357471124699432919064319250748993468808619897776227418957688719729600000000* n^11+69474164820154203806398183036789986619306995755970309209539952022307018712\ 801615065174143818725512768000000000*n^10+4205651329621851488490735799268983755\ 5700547208047218508853401945093852505472592744931552349955056000000000000*n^9+ 2501513456879459991302069036901385666498904176053600011212022330910690611252766\ 0020832377351474304000000000000*n^8+1461019729564247803258379722516035507371983\ 1584299422838581466420521535847004381847216057549781248000000000000*n^7+8395346\ 2759456148675805902211565510770429921836570936005931359864126752988848407869106\ 94294804480000000000000*n^6+472397029285577033991035383945085763547809403872628\ 5950140296175450693853794846704985563456000000000000000000*n^5+2639791102099056\ 0704824672741401762974238486731388040023458354040525701680517947914009129984000\ 00000000000000*n^4+141342574215882798161028917760477209329084987502799971728282\ 6245418799535778173523889477222400000000000000000*n^3+8121496752841596313977183\ 5875672708544606236278162756181304461993435299035763388125474324480000000000000\ 0000*n^2+3694960871005473431248105968305713851613621058994382054875962268831845\ 48383812314726400000000000000000000000*n+38591813541612722504146884557859678005\ 7422643939413236842600503633548306089759528714240000000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 47, : , ) -------------- = 281474976710656 (n + 1) n (16044528\ / Pi j 94 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 215902446302810544175382382629500507577784752744765835432415782511764084\ 92 19349299200 n + 738048297931512529929285032067589600957023348578098626\ 91 25922842989112599554114787290067763200 n + 174148263996437556189345314\ 90 3565711940713988491715977761551998031802189436547311914516962344960 n + 279949224645711701175316880218440470668126385867637680276475710910291754\ 89 48945693827792057139200 n + 343913367394863963143898627486408374746374\ 88 667992271519990486361847984353773249415127755275632640 n + 34360339182\ 726159928428653159987027658667952508462171316842586816233221046876170455\ 87 67129790709760 n + 290281690371655078472642332771709150788684817078234\ 86 66436532466266729353032901355619089033115729920 n + 212957162039046338\ 147054694117668606758089882446671790622965373565849805972663719368266525\ 85 746135040 n + 13831038008595555348832409482247522350554328613041642059\ 84 92953173666824249822285720540863916262031360 n + 806958125972539934620\ 316206953925844032300192821388223065040341917034060798803160572926704291\ 83 4140160 n + 4278028335823684197009678219786357286297704465286088538462\ 82 1114736355742020202993637057416622956871680 n + 2079775889259050622794\ 117299678641733511732003961180237533542010805973636440918172330360464860\ 81 82682880 n + 934189381985994815555499678933640678876362901216548335413\ 80 379015556544284105382351554042875022640414720 n + 39014097558418016712\ 391407383483254666108991581870907462653681507370150046364189740763528016\ 79 23276257280 n + 152292942610596057302330007499468928322656164860221738\ 78 84708520603405828653808192197971592547795086606336 n + 558190093022666\ 382638353705446308133150845708591940638734868129752104812595247023427169\ 77 59085500064333824 n + 192857192126396771682294006918545421736480084314\ 76 910560489589796489446878174971514773839727523305332146176 n + 63027802\ 630155570808982819490865981278002803249370112791794492265633669644652858\ 75 4008600044899297944141824 n + 1954268489304809945961857016346300059178\ 74 913446428217484490464053597622107062526330597110660247226339557376 n + 576443289205156460235923365617584930582897385980518374211905559749503990\ 73 1514395908783188626515100625272832 n + 1621394225938914114959847473870\ 116315542595219051741763505599064942150288341523865785442573974411984817\ 72 3568 n + 4358261484346633384652881369229528064916496511434976560337558\ 71 5225336990378829572924459324924264052510687232 n + 1121688552155187599\ 474434709526592738171553519566648972312025276556416867514712888585339921\ 70 54888362512089088 n + 276903576226803873638590293655918593010335890536\ 69 448898784690032246488560243093385828653259262370707964690432 n + 65671\ 441236632424365033812315088712825801814950531833424934791746778767715113\ 68 8280914921468967251014192201728 n + 1498479306874952528889051743941011\ 730713303906058551675582984505054916546192147493020261003114459108655235\ 67 072 n + 32940711477076368849566068567264096937411746375156205015260818\ 66 55759006695718455799757419261956608638412914688 n + 698487138111416990\ 935687393802326777741774217641761159965005590166981009204479648500391854\ 65 9722978149499666432 n + 1430279246808003536938404342946725085243785322\ 64 6031715113257669117526423705007654960966921102586920782023098368 n + 2\ 831242382422046641047444171288068105253466679734277392259964664014918851\ 63 8928961659755552270072839347887931392 n + 5423138891108390968777335108\ 655590896700084163475160515129244211768188821140435676002115714299143503\ 62 0262284288 n + 1006087442682637772327893833684541229173308614065918391\ 61 25090127688861949052965484512768554392295633408502956032 n + 180925173\ 628595906500555712390231269332722007273263890442066726047922998459864504\ 60 542785514455737142695511687168 n + 31563349836749155762939787668381972\ 690028493539684152125291351406883235549066732688626236683142275367039628\ 59 0832 n + 5345746778750983871160401538051484666598728362784264367564448\ 58 28454893097404948412326202054444819228661854388224 n + 879579397196183\ 970209694021065151415422020189835051179232878018419441509478248565657470\ 57 857209877931069174071296 n + 14069049900749513361787259326949833405103\ 56 57868252897613019409725689617073965118565807485818554488034727883464704 n + 218898249783461026672732450402516820215781070753384021941927146325605\ 55 1891448684106851182207463653774836267319296 n + 3314795730691884670560\ 633736474914375265445033966972861670528841093881935796539524521020760845\ 54 078260403308834304 n + 48881331704194960884450865669384609642213044291\ 53 44827880241373071964390483861049248568046090526301624511124281856 n + 702299928514345337794179725548407417281046412817968420877486807596367563\ 52 1619947390874091679202636829527881887744 n + 9835690360064828346945523\ 782471346332129854042349042802691905769013855653091727716673596628004193\ 51 421535410643456 n + 13433451564426852263141093007516687503446345576223\ 50 487461109304592334966396065344917765409412524241448482691903424 n + 17\ 900215414688862010486936223049717560713781802928482338535922433989558885\ 49 183423103474647319157296745398836485056 n + 23280605188591201638340081\ 065582496080844838445029573061135214975563143410942368894169647563099739\ 48 786779850940960 n + 29564050532349947585831613772135050962617487227193\ 47 444854174347378325184380507542731237155386892889801974375178240 n + 36\ 671356500101702051579064592978595765971793938970856036545813592474649594\ 46 321693921370852413835285681245040337325 n + 44446242132067095763797885\ 795810809145435808578385701574373459545029750173904505624995352099503387\ 45 524579971340555 n + 52654109847675997364385150599677170897977680543047\ 44 722345294462749819960087848022622229660841138672624245469008145 n + 60\ 989586820461328900964397406393294906438043533470654383141260873212667970\ 43 756775149675393949158984889733923555935 n + 69093256474683672475787473\ 948582983125435455381262074721037486160233785980490144951604898693013090\ 42 438286513511435 n + 76576633548122439668727106759028533703365809725556\ 41 396070174054247436469019466903222291281586805134461340429384245 n + 83\ 053065308435642900443861035824043074712346256330217159420544924219993609\ 40 963802042713523075775289693797403179055 n + 88171127644144433344738501\ 957478817943819389564025474119445025419980535922615841157460412317307624\ 39 234685230098945 n + 91646460495935191380673466511798265272488392579300\ 38 592043896319849167185615906977357239689340055103929031627600066 n + 93\ 287999447395257642989669044802578269216169981665599991130158177983456545\ 37 737386539275570603339644369368556975414 n + 93015233365154622407382027\ 086949201670795730490331064155368677934749244198181704159310545178753009\ 36 989252074082586 n + 90864343930557252552578053083357949607478198055471\ 35 887997718434607476808459387829759077691910408250228344711745414 n + 86\ 982644009276833470306810496521166427118938991470831930805288617891875160\ 34 282507507364156398732416047563651279286 n + 81612348009625457446366304\ 738941298329216881823528720906265011507545513981104888758929949083615277\ 33 892722441364874 n + 75066097140179227441440959657869863798359636366302\ 32 100026860924844678012272334669429051899146168500920707180044926 n + 67\ 697601348155506427594010122181257011980372240177522460050691735438834074\ 31 500675762387680879615193490980371900674 n + 59871122799190515681168412\ 384178962904379230929184108784435432561837034113459823920627547822635469\ 30 797221687699841 n + 51933304787190868429898433111318969721620615174596\ 29 508440058376777477910071776714122375797506343828993116721272999 n + 44\ 190143682944639350382648464225638676269252858304008382270515664990987406\ 28 915634659280238746531435913942910590581 n + 36890883769089078812722413\ 978892589080915657465100832032859449156497214096112268612101854884501034\ 27 651871033161019 n + 30219491270102777838061626966618547637940424522093\ 26 169573965997081915770636284720250532660813174175855301618278351 n + 24\ 293327431567694241727023207601247271957342609285635107312105956012329278\ 25 061593272322229018146527410765599072689 n + 19167837635703262433756519\ 532931283196820859164844367515548671637385151236792890529592797874801945\ 24 874947338097411 n + 14845583637033352910041232264965225446052133580927\ 23 511454465220917016001669574609313734402109536785205042333446701 n + 11\ 287781839425799732052817494619359922403622769501923485692872269755229184\ 22 203564224655236079756086199439521502784 n + 84266257580294611357582991\ 152481703651403241017973417807777662435541961917141540675088900468012248\ 21 73239142631656 n + 617698725136953619514337748144060005415173341854813\ 20 2318454720907177406393129850483520426014516293434895642201744 n + 4446\ 510555704977913447704340913584396684850590238815522296777922975145032898\ 19 144193680690778871949766980674030256 n + 31435545869892096986904344630\ 428324811789711364532621600204318029644208903294602052677132147441411716\ 18 28430003840 n + 218282465015084492293633944887845236615806561368670546\ 17 5373301339251386949821720230491270828978059808293233696000 n + 1488839\ 608915431293135152069720574118802733083254212274047042055240345807871168\ 16 849965768740335698717599707680000 n + 99756404171753255403558315081533\ 835334935919014440941346730383548025452792820403174350061035763541817981\ 15 2320000 n + 6566421064919745580755432880700232655537733164835615925245\ 14 38191274990035028295657476376730771408394881830400000 n + 424657877172\ 666709976776960760609466343469163727947673299548315738656557824943767002\ 13 168033526703282567840000000 n + 26983725226001316497236377547354073554\ 470787750824524241821986436013789479427840253513998879613182038880000000\ 12 0 n + 1684746104106938051809668633126558082063741182100288188579665830\ 11 93149095661703473102312061265750134228800000000 n + 103366116922794377\ 475247675868104801507324805259691630506573200491441749166831521147693201\ 10 524549678784000000000 n + 62317483404782020070153173249312454472224988\ 9 583529360389890320560716818170593830672253934727538998400000000000 n + 369290401524657963322534824606153179500307317143776005012678244676019290\ 8 27791709471034904840064384000000000000 n + 2149708615624203786899200616\ 103834801995102673058492299006557947519969068143368341571248802448870400\ 7 0000000000 n + 12316299509189364347371504503792397235471040401104430563\ 6 249381749556561565682175172737016685987840000000000000 n + 691263939203\ 073237725611302216338151855210083963247152997617058309941453791260287733\ 5 4305547776000000000000000 n + 38542522163045993437624070082135514127442\ 4 81039038140878315491795245279863869421792591903682560000000000000000 n + 206009682452993501979049434632271345549951515828548394148178280809133072\ 3 5321783669613511475200000000000000000 n + 11818664426414418689827459687\ 358645257674934514570523831326484236951189671201975063657119744000000000\ 2 00000000 n + 5372386674608718474919395245028360438167804701156568481308\ 83332689860668214428396552192000000000000000000000 n + 56059687039395323\ 216550211252469848050446657751198975457135652106768069726722963118489600\ 0000000000000000000)/123036844414018874517516967243611879858463611043213\ 857310657058096792443122114576959462833391207539937555912733078002929687\ 5 and in Maple notation: 281474976710656/123036844414018874517516967243611879858463611043213857310657058\ 0967924431221145769594628333912075399375559127330780029296875*(n+1)*n*(16044528\ 2159024463028105441753823826295005075777847527447658354324157825117640841934929\ 9200*n^92+738048297931512529929285032067589600957023348578098626259228429891125\ 99554114787290067763200*n^91+17414826399643755618934531435657119407139884917159\ 77761551998031802189436547311914516962344960*n^90+27994922464571170117531688021\ 844047066812638586763768027647571091029175448945693827792057139200*n^89+3439133\ 6739486396314389862748640837474637466799227151999048636184798435377324941512775\ 5275632640*n^88+343603391827261599284286531599870276586679525084621713168425868\ 1623322104687617045567129790709760*n^87+290281690371655078472642332771709150788\ 68481707823466436532466266729353032901355619089033115729920*n^86+21295716203904\ 6338147054694117668606758089882446671790622965373565849805972663719368266525746\ 135040*n^85+1383103800859555534883240948224752235055432861304164205992953173666\ 824249822285720540863916262031360*n^84+8069581259725399346203162069539258440323\ 001928213882230650403419170340607988031605729267042914140160*n^83+4278028335823\ 6841970096782197863572862977044652860885384621114736355742020202993637057416622\ 956871680*n^82+2079775889259050622794117299678641733511732003961180237533542010\ 80597363644091817233036046486082682880*n^81+93418938198599481555549967893364067\ 8876362901216548335413379015556544284105382351554042875022640414720*n^80+390140\ 9755841801671239140738348325466610899158187090746265368150737015004636418974076\ 352801623276257280*n^79+1522929426105960573023300074994689283226561648602217388\ 4708520603405828653808192197971592547795086606336*n^78+558190093022666382638353\ 7054463081331508457085919406387348681297521048125952470234271695908550006433382\ 4*n^77+192857192126396771682294006918545421736480084314910560489589796489446878\ 174971514773839727523305332146176*n^76+6302780263015557080898281949086598127800\ 28032493701127917944922656336696446528584008600044899297944141824*n^75+19542684\ 8930480994596185701634630005917891344642821748449046405359762210706252633059711\ 0660247226339557376*n^74+576443289205156460235923365617584930582897385980518374\ 2119055597495039901514395908783188626515100625272832*n^73+162139422593891411495\ 9847473870116315542595219051741763505599064942150288341523865785442573974411984\ 8173568*n^72+435826148434663338465288136922952806491649651143497656033755852253\ 36990378829572924459324924264052510687232*n^71+11216885521551875994744347095265\ 9273817155351956664897231202527655641686751471288858533992154888362512089088*n^ 70+2769035762268038736385902936559185930103358905364488987846900322464885602430\ 93385828653259262370707964690432*n^69+65671441236632424365033812315088712825801\ 8149505318334249347917467787677151138280914921468967251014192201728*n^68+149847\ 9306874952528889051743941011730713303906058551675582984505054916546192147493020\ 261003114459108655235072*n^67+3294071147707636884956606856726409693741174637515\ 620501526081855759006695718455799757419261956608638412914688*n^66+6984871381114\ 1699093568739380232677774177421764176115996500559016698100920447964850039185497\ 22978149499666432*n^65+14302792468080035369384043429467250852437853226031715113\ 257669117526423705007654960966921102586920782023098368*n^64+2831242382422046641\ 0474441712880681052534666797342773922599646640149188518928961659755552270072839\ 347887931392*n^63+5423138891108390968777335108655590896700084163475160515129244\ 2117681888211404356760021157142991435030262284288*n^62+100608744268263777232789\ 3833684541229173308614065918391250901276888619490529654845127685543922956334085\ 02956032*n^61+18092517362859590650055571239023126933272200727326389044206672604\ 7922998459864504542785514455737142695511687168*n^60+315633498367491557629397876\ 6838197269002849353968415212529135140688323554906673268862623668314227536703962\ 80832*n^59+53457467787509838711604015380514846665987283627842643675644482845489\ 3097404948412326202054444819228661854388224*n^58+879579397196183970209694021065\ 1514154220201898350511792328780184194415094782485656574708572098779310691740712\ 96*n^57+14069049900749513361787259326949833405103578682528976130194097256896170\ 73965118565807485818554488034727883464704*n^56+21889824978346102667273245040251\ 6820215781070753384021941927146325605189144868410685118220746365377483626731929\ 6*n^55+331479573069188467056063373647491437526544503396697286167052884109388193\ 5796539524521020760845078260403308834304*n^54+488813317041949608844508656693846\ 0964221304429144827880241373071964390483861049248568046090526301624511124281856 *n^53+7022999285143453377941797255484074172810464128179684208774868075963675631\ 619947390874091679202636829527881887744*n^52+9835690360064828346945523782471346\ 332129854042349042802691905769013855653091727716673596628004193421535410643456* n^51+13433451564426852263141093007516687503446345576223487461109304592334966396\ 065344917765409412524241448482691903424*n^50+1790021541468886201048693622304971\ 7560713781802928482338535922433989558885183423103474647319157296745398836485056 *n^49+2328060518859120163834008106558249608084483844502957306113521497556314341\ 0942368894169647563099739786779850940960*n^48+295640505323499475858316137721350\ 5096261748722719344485417434737832518438050754273123715538689288980197437517824\ 0*n^47+366713565001017020515790645929785957659717939389708560365458135924746495\ 94321693921370852413835285681245040337325*n^46+44446242132067095763797885795810\ 8091454358085783857015743734595450297501739045056249953520995033875245799713405\ 55*n^45+52654109847675997364385150599677170897977680543047722345294462749819960\ 087848022622229660841138672624245469008145*n^44+6098958682046132890096439740639\ 3294906438043533470654383141260873212667970756775149675393949158984889733923555\ 935*n^43+6909325647468367247578747394858298312543545538126207472103748616023378\ 5980490144951604898693013090438286513511435*n^42+765766335481224396687271067590\ 2853370336580972555639607017405424743646901946690322229128158680513446134042938\ 4245*n^41+830530653084356429004438610358240430747123462563302171594205449242199\ 93609963802042713523075775289693797403179055*n^40+88171127644144433344738501957\ 4788179438193895640254741194450254199805359226158411574604123173076242346852300\ 98945*n^39+91646460495935191380673466511798265272488392579300592043896319849167\ 185615906977357239689340055103929031627600066*n^38+9328799944739525764298966904\ 4802578269216169981665599991130158177983456545737386539275570603339644369368556\ 975414*n^37+9301523336515462240738202708694920167079573049033106415536867793474\ 9244198181704159310545178753009989252074082586*n^36+908643439305572525525780530\ 8335794960747819805547188799771843460747680845938782975907769191040825022834471\ 1745414*n^35+869826440092768334703068104965211664271189389914708319308052886178\ 91875160282507507364156398732416047563651279286*n^34+81612348009625457446366304\ 7389412983292168818235287209062650115075455139811048887589299490836152778927224\ 41364874*n^33+75066097140179227441440959657869863798359636366302100026860924844\ 678012272334669429051899146168500920707180044926*n^32+6769760134815550642759401\ 0122181257011980372240177522460050691735438834074500675762387680879615193490980\ 371900674*n^31+5987112279919051568116841238417896290437923092918410878443543256\ 1837034113459823920627547822635469797221687699841*n^30+519333047871908684298984\ 3311131896972162061517459650844005837677747791007177671412237579750634382899311\ 6721272999*n^29+441901436829446393503826484642256386762692528583040083822705156\ 64990987406915634659280238746531435913942910590581*n^28+36890883769089078812722\ 4139788925890809156574651008320328594491564972140961122686121018548845010346518\ 71033161019*n^27+30219491270102777838061626966618547637940424522093169573965997\ 081915770636284720250532660813174175855301618278351*n^26+2429332743156769424172\ 7023207601247271957342609285635107312105956012329278061593272322229018146527410\ 765599072689*n^25+1916783763570326243375651953293128319682085916484436751554867\ 1637385151236792890529592797874801945874947338097411*n^24+148455836370333529100\ 4123226496522544605213358092751145446522091701600166957460931373440210953678520\ 5042333446701*n^23+112877818394257997320528174946193599224036227695019234856928\ 72269755229184203564224655236079756086199439521502784*n^22+84266257580294611357\ 5829911524817036514032410179734178077776624355419619171415406750889004680122487\ 3239142631656*n^21+617698725136953619514337748144060005415173341854813231845472\ 0907177406393129850483520426014516293434895642201744*n^20+444651055570497791344\ 7704340913584396684850590238815522296777922975145032898144193680690778871949766\ 980674030256*n^19+3143554586989209698690434463042832481178971136453262160020431\ 802964420890329460205267713214744141171628430003840*n^18+2182824650150844922936\ 3394488784523661580656136867054653733013392513869498217202304912708289780598082\ 93233696000*n^17+14888396089154312931351520697205741188027330832542122740470420\ 55240345807871168849965768740335698717599707680000*n^16+99756404171753255403558\ 3150815338353349359190144409413467303835480254527928204031743500610357635418179\ 812320000*n^15+6566421064919745580755432880700232655537733164835615925245381912\ 74990035028295657476376730771408394881830400000*n^14+42465787717266670997677696\ 0760609466343469163727947673299548315738656557824943767002168033526703282567840\ 000000*n^13+2698372522600131649723637754735407355447078775082452424182198643601\ 37894794278402535139988796131820388800000000*n^12+16847461041069380518096686331\ 2655808206374118210028818857966583093149095661703473102312061265750134228800000\ 000*n^11+1033661169227943774752476758681048015073248052596916305065732004914417\ 49166831521147693201524549678784000000000*n^10+62317483404782020070153173249312\ 454472224988583529360389890320560716818170593830672253934727538998400000000000* n^9+369290401524657963322534824606153179500307317143776005012678244676019290277\ 91709471034904840064384000000000000*n^8+214970861562420378689920061610383480199\ 51026730584922990065579475199690681433683415712488024488704000000000000*n^7+123\ 1629950918936434737150450379239723547104040110443056324938174955656156568217517\ 2737016685987840000000000000*n^6+6912639392030732377256113022163381518552100839\ 632471529976170583099414537912602877334305547776000000000000000*n^5+38542522163\ 0459934376240700821355141274428103903814087831549179524527986386942179259190368\ 2560000000000000000*n^4+2060096824529935019790494346322713455499515158285483941\ 481782808091330725321783669613511475200000000000000000*n^3+11818664426414418689\ 8274596873586452576749345145705238313264842369511896712019750636571197440000000\ 0000000000*n^2+5372386674608718474919395245028360438167804701156568481308833326\ 89860668214428396552192000000000000000000000*n+56059687039395323216550211252469\ 8480504466577511989754571356521067680697267229631184896000000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 48, : , ) -------------- = 18014398509481984 (n + 1) n (107487\ / Pi j 96 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 605505968663724688309519043809466752361544357521157940790340631216964217\ 94 7414279211337646080 n + 5051917458780527195060350547395059044937360992\ 93 5848034944232171460096671973182338471122932869365760 n + 1217273933954\ 808098480247734321440387303482130428913595245027979220668709796215632070\ 92 775798172221440 n + 19974429480816013629311096375859486825556794122600\ 91 376466033748793101833533746911745345035580064399360 n + 25040533285693\ 968276786142321945923021429255893775492558253668552625524520384760279356\ 90 0507010651258880 n + 2552445265076210612505451636851069841390715062752\ 89 411790076041268657663198844859360045039912129941995520 n + 21996393403\ 115656484375776598375390228827081492920605472855635364388013119779334094\ 88 725749812553391800320 n + 16458986986704921577854392603723337993301971\ 87 9778652734643376035608954253012486192417368436549106930810880 n + 1090\ 196679637738935358632852972387779023011566669767025342923940989400197414\ 86 013913650767966998133137735680 n + 64865212091052808497907945585831868\ 85 43795078566859025404491899992713106851752357061911832900791685160632320 n + 350667978527115587194601624990566834794745931959014835993126751995577\ 84 07455682888728804585011582926407598080 n + 173839809538240589014682033\ 379939476660351423404885506643175513138046191209741691518639528972970487\ 83 332208640 n + 79623839400118186380443973288067401326382091758315699967\ 82 6291336501372563396247881429835668882187172163092480 n + 3390831181915\ 027550439715332228733143803276431150925906769637940855171512219589759458\ 81 241794162889920840990720 n + 13497292399387110354478338297732804857946\ 80 754047206424354416433609114990084815804625064357457490304773788794880 n + 504477120482296380237942531473327931574506593849771526026900402984444\ 79 27041262407569447236220215235789423902720 n + 177746763501289673227786\ 711815086277268501248389819339777038656304087749904845586460532951303160\ 78 825540432101376 n + 59240950273465315176481441956783621822286384466992\ 77 4998181775673552142390388385466537396420619814738370100199424 n + 1873\ 348772241408119330372171520723248230045091292411932318725930718974874443\ 76 345074851759002793334596328358936576 n + 56358437416167941838840177142\ 841435846290280952356566702612709732756791453409830060562501687583420196\ 75 21452775424 n + 161690639625843779069770013304207346480318274368497519\ 74 54367361313671591751337564744459376577112608611699613761536 n + 443334\ 739255242259388991803181745535048985227433724077025165709625806001964212\ 73 28622597985802696026530979252273152 n + 116397460340258777481926183807\ 912221943560825298815627106759440300946642378638621443102856288798072162\ 72 324471349248 n + 29314674294993475635947883480497659595688532599369202\ 71 5674714902267538738236423056652555745049098338820761271140352 n + 7093\ 373268076363754949919107151317876024668115648362024484731547163710833119\ 70 48757989724405639142067456197397577728 n + 165151697079527449673333478\ 290725853301053685652527500017683270852159062032618361592718087156221356\ 69 3221732147331072 n + 3704753015032163332942812700035353999457917579222\ 68 649354013660061782780660652959803503219232035504585377389727449088 n + 801711810877230462844107987451902246738697295218006677764448843206286522\ 67 9651684078124360590200327764012101703565312 n + 1675542406951102199667\ 994503777833477532515602223875008574346495196207454606958104328368867374\ 66 6070272573014135799808 n + 3385547994734246431282257037240213060591197\ 614177225607523201274181945451616608085646262385467462920845045708698419\ 65 2 n + 6620092149449173766847085334562063237598749265475555173112225944\ 64 8304324885771334762559971213201978228238112448708608 n + 1253879626784\ 432634210497584065097666991844343219785120689469497685297297443324887478\ 63 35992826090710750058943508119552 n + 230235713442094675578744947238138\ 662080033608069837308781919971516801522508456156687587939984977740930265\ 62 339321548288 n + 41016483651947961666374244296981408487841485078757577\ 61 5897345428694266453072430853010014278931167388743874036818330112 n + 7\ 094710914544687857247793308120367107184663502579935537708186771494263145\ 60 93532425315507808624476005512978527194009088 n + 119234776225616247741\ 123791453429606472241140524143154244377066721684511415455657001493288044\ 59 3558128960688929458586112 n + 1948256104322632779207907584873728951311\ 771332294827111301978021571911387686051182335111914781337872760580332677\ 58 781504 n + 30969198394387611512510566540797305617948499495653214609464\ 57 90313430794462768960532848303978102635915174917636386948096 n + 479187\ 027436376530011583502580637160571939103904535675046839369334188284659636\ 56 6724137684988422198672640699981933019904 n + 7221165556802076320573140\ 766088602230242549570677458693134207002569293901223647437793304675745391\ 55 200704459116489796096 n + 10603749069573003798952864533223111621739396\ 616682242597589149136609159112042408596722406991047506677553302448027013\ 54 744 n + 15180005384146673617747070850627846879901877426152676332523636\ 53 835999608401436642272026331561679120827649774874742313936 n + 21195507\ 646349732926529951597727741648561314877448602106994967421959220710702889\ 52 527016626304451072834504374430044189664 n + 28877768039065723857738788\ 270989823204432819396614420451300476926541534758759132217687316789529202\ 51 733919744106941558736 n + 38406963153723511845573276769072532374693718\ 976241643709970138882979230518350375534190095744546818877013799609349725\ 50 634 n + 49882970791733348552148375714830347769840148123770945363625566\ 49 516083966325406496609726381174566408709934695269087676066 n + 63292392\ 524352996822903724775532748196476301791465463040247182498914668512697214\ 48 866782871662613658861403577372566101075 n + 78480254750978177027369431\ 943755628231568445413553222501995560636458541645447631805957649893866425\ 47 582435936456173578400 n + 95131484531962625904064551600693879811996874\ 771681291396281028897312367521565526428151157905481733182696135966632617\ 46 680 n + 11276681997477844427541281903088417036658460541474952545716251\ 45 9254551776077529613820606625673874456527011900355140887820 n + 1307564\ 541238386745407599700680862344068379476283376332934173762967571331250050\ 44 15348065882599257139358221144929294306630 n + 148352529821401583010315\ 885862956027923989030109017685621610204521846285548947626918668663793130\ 43 366824026409195116808800 n + 16473889889804652942761241182389038569945\ 172666070422423341990689206339889234969359961423517609481905140950857141\ 42 1501410 n + 1790937824250348939081429354398401671268108693491532371930\ 41 00819402912208808281941476684773748603843068994780320279377190 n + 190\ 658636147391734798609400038825119107748367424917432006524500562170290690\ 40 097308242417664513229024497422462019438139485 n + 19880510883849530641\ 592927347986182484881076194761216266844335137836084480076311384404982089\ 39 9727404120519561966588485440 n + 2030918003451035838438316471287824863\ 504733738777690121330870820359916565064884944188550045858622623945045699\ 38 10874964136 n + 203303668204434997722759005587479914097611295877740287\ 37 980266447737604307049069488368704911074767283881931347208793654264 n + 199469226315024922877778100082861687600000640066278713472960744895647901\ 36 402169842543205368734878814017966284724448559236 n + 19185373015101530\ 985380679591793878849913587905248242674835723966636275547753795460713096\ 35 6845777983284526364013071245264 n + 1809298133644499440686458825447637\ 151462105657561525830264147446385524552897805703217802948200147556254278\ 34 67256196305606 n + 167329967002047877249731508381596749069687132286649\ 33 258890014983565216268563447609769593359938517798236941633453480771214 n + 151787361754339852299574120855875673898796307091952112868257151224795\ 32 721167156524482132008506476305862887408665735262461 n + 13507251262011\ 468769248475809736448704934571388876624012349858001651812303256963005421\ 31 7201062525755633440669380107856864 n + 1179331059110439583275559852592\ 669319116390128814063788614942966020729961794642958785615638508023795127\ 30 70331891964823696 n + 101043099611249315400369537874108128820887583244\ 340549698128379310683164834129944418646244673011977640374089688190211404 29 n + 849652835189398228270575025645722825135197537468855457577097968870\ 28 29020667770835960595756601602077132301974081068221926 n + 701292428679\ 744754069226297120430399557260656025668211201277431528821496802748192417\ 27 84373852303029537396333209784138624 n + 568245032951098453797239124765\ 326356547098984667809807191554146118321661534777682903670854125640085976\ 26 44754882930657366 n + 452068643101048159276083264236208738063667834513\ 25 22691210779571944392776954801869385493388127694985685391005936845222634 n + 353147502618052066771194042033553552881800950427471002789137481591005\ 24 01754872950334522092895492831115210361022278719091 n + 270918826081204\ 166252832016813270878024232995087005362230991165123054557451147344503085\ 23 28070965532168769865777427157696 n + 204126488640777008584208831172069\ 625429154144914577864341931820899112729566985939962303043095972919751470\ 22 71837818029384 n + 151070674224485294107004077051479890704813747153787\ 21 74032275601795855599664591673926468407554906311946029975032032480416 n + 109830460779156396363001439446583622693267617603876417918457404507915834\ 20 21692186620732656138504808902436236019629499984 n + 784451801721138344\ 277061412331296439534264014491954063263515339173526142836521411136526789\ 19 1460281982382144127984060416 n + 5504874274250766833673900986443510282\ 764752916317741462969000893438823893390208029778916905329368870468896915\ 18 353651200 n + 37957790798741082624223869666679268995757415502702336702\ 17 94854962544049444489210280714229547596214858351792454148800000 n + 257\ 193289637513381945661985706668293896739759942092885957066392128842204794\ 16 2950747530175125395435548713027950143520000 n + 1712592409174238350707\ 583265952080953331741993712857229480924088957265074186225335935505493250\ 15 577826186190855823360000 n + 11207618880960821192529505687381146504451\ 351111212531129676870994165317493238828895483325765062393835399782240320\ 14 00000 n + 720880574401712785321412696285374205711920194427564485077141\ 13 567161304330129651620856257271713052892363420950400000000 n + 45575546\ 998166420544430124885689389191770602973988264859987553404655591445966880\ 12 5538045821907823525120942584000000000 n + 2832274025706327981098853541\ 461516444898788379198406108595981926070955744097186527893928974504171967\ 11 31441049600000000 n + 173026633257497914581497501435953725055770016198\ 10 150518799220735837358706926071785929241037160411406598248320000000000 n + 103906165556358325504718196564377127974958650692771477702086665705107\ 9 916007234230463114624237698826444288000000000000 n + 613558085957238212\ 070251848509811274373240071669583365022913949366207164450251033945287209\ 8 47277113577728000000000000 n + 3560295301024601550455058282279252115662\ 966604978141448075982807857577307970506645708898335098840603033600000000\ 7 0000 n + 20340351532181990932488535530435531407752261724864402713351431\ 6 496645248051028502891208838575456464179200000000000000 n + 113884162495\ 584426116352368472993182032032068337573625937612483089513601803218567479\ 5 56193434905477120000000000000000 n + 6336271410243879692572413211822694\ 593745059335658152385411470569455567752788328082824244855847976960000000\ 4 000000000 n + 338108998272295384278523083459742938137332589390729987412\ 3 4863754804239810278318547216539338313564160000000000000000 n + 19367951\ 960378501787496104444365222328377300210999085276331361827883565929665186\ 2 20731353203474432000000000000000000 n + 8796767964452795393281424276078\ 143708896268950289310345178298992755677668799014634881102643200000000000\ 00000000000 n + 91710985161316377504423359474006179092748335864718341896\ 5397129031974905896067483211008573440000000000000000000000)/130162640143\ 258970953129754042644543311752396617212078909968206740673369418352808692\ 918234876751046260202404097131311893463134765625 and in Maple notation: 18014398509481984/1301626401432589709531297540426445433117523966172120789099682\ 06740673369418352808692918234876751046260202404097131311893463134765625*(n+1)*n *(10748760550596866372468830951904380946675236154435752115794079034063121696421\ 77414279211337646080*n^94+50519174587805271950603505473950590449373609925848034\ 944232171460096671973182338471122932869365760*n^93+1217273933954808098480247734\ 321440387303482130428913595245027979220668709796215632070775798172221440*n^92+ 1997442948081601362931109637585948682555679412260037646603374879310183353374691\ 1745345035580064399360*n^91+250405332856939682767861423219459230214292558937754\ 925582536685526255245203847602793560507010651258880*n^90+2552445265076210612505\ 4516368510698413907150627524117900760412686576631988448593600450399121299419955\ 20*n^89+21996393403115656484375776598375390228827081492920605472855635364388013\ 119779334094725749812553391800320*n^88+1645898698670492157785439260372333799330\ 19719778652734643376035608954253012486192417368436549106930810880*n^87+10901966\ 7963773893535863285297238777902301156666976702534292394098940019741401391365076\ 7966998133137735680*n^86+648652120910528084979079455858318684379507856685902540\ 4491899992713106851752357061911832900791685160632320*n^85+350667978527115587194\ 6016249905668347947459319590148359931267519955770745568288872880458501158292640\ 7598080*n^84+173839809538240589014682033379939476660351423404885506643175513138\ 046191209741691518639528972970487332208640*n^83+7962383940011818638044397328806\ 74013263820917583156999676291336501372563396247881429835668882187172163092480*n ^82+339083118191502755043971533222873314380327643115092590676963794085517151221\ 9589759458241794162889920840990720*n^81+134972923993871103544783382977328048579\ 46754047206424354416433609114990084815804625064357457490304773788794880*n^80+50\ 4477120482296380237942531473327931574506593849771526026900402984444270412624075\ 69447236220215235789423902720*n^79+17774676350128967322778671181508627726850124\ 8389819339777038656304087749904845586460532951303160825540432101376*n^78+592409\ 5027346531517648144195678362182228638446699249981817756735521423903883854665373\ 96420619814738370100199424*n^77+18733487722414081193303721715207232482300450912\ 92411932318725930718974874443345074851759002793334596328358936576*n^76+56358437\ 4161679418388401771428414358462902809523565667026127097327567914534098300605625\ 0168758342019621452775424*n^75+161690639625843779069770013304207346480318274368\ 49751954367361313671591751337564744459376577112608611699613761536*n^74+44333473\ 9255242259388991803181745535048985227433724077025165709625806001964212286225979\ 85802696026530979252273152*n^73+11639746034025877748192618380791222194356082529\ 8815627106759440300946642378638621443102856288798072162324471349248*n^72+293146\ 7429499347563594788348049765959568853259936920256747149022675387382364230566525\ 55745049098338820761271140352*n^71+70933732680763637549499191071513178760246681\ 1564836202448473154716371083311948757989724405639142067456197397577728*n^70+165\ 1516970795274496733334782907258533010536856525275000176832708521590620326183615\ 927180871562213563221732147331072*n^69+3704753015032163332942812700035353999457\ 917579222649354013660061782780660652959803503219232035504585377389727449088*n^ 68+8017118108772304628441079874519022467386972952180066777644488432062865229651\ 684078124360590200327764012101703565312*n^67+1675542406951102199667994503777833\ 4775325156022238750085743464951962074546069581043283688673746070272573014135799\ 808*n^66+3385547994734246431282257037240213060591197614177225607523201274181945\ 4516166080856462623854674629208450457086984192*n^65+662009214944917376684708533\ 4562063237598749265475555173112225944830432488577133476255997121320197822823811\ 2448708608*n^64+125387962678443263421049758406509766699184434321978512068946949\ 768529729744332488747835992826090710750058943508119552*n^63+2302357134420946755\ 7874494723813866208003360806983730878191997151680152250845615668758793998497774\ 0930265339321548288*n^62+410164836519479616663742442969814084878414850787575775\ 897345428694266453072430853010014278931167388743874036818330112*n^61+7094710914\ 5446878572477933081203671071846635025799355377081867714942631459353242531550780\ 8624476005512978527194009088*n^60+119234776225616247741123791453429606472241140\ 5241431542443770667216845114154556570014932880443558128960688929458586112*n^59+ 1948256104322632779207907584873728951311771332294827111301978021571911387686051\ 182335111914781337872760580332677781504*n^58+3096919839438761151251056654079730\ 5617948499495653214609464903134307944627689605328483039781026359151749176363869\ 48096*n^57+47918702743637653001158350258063716057193910390453567504683936933418\ 82846596366724137684988422198672640699981933019904*n^56+72211655568020763205731\ 4076608860223024254957067745869313420700256929390122364743779330467574539120070\ 4459116489796096*n^55+106037490695730037989528645332231116217393966166822425975\ 89149136609159112042408596722406991047506677553302448027013744*n^54+15180005384\ 1466736177470708506278468799018774261526763325236368359996084014366422720263315\ 61679120827649774874742313936*n^53+21195507646349732926529951597727741648561314\ 877448602106994967421959220710702889527016626304451072834504374430044189664*n^ 52+2887776803906572385773878827098982320443281939661442045130047692654153475875\ 9132217687316789529202733919744106941558736*n^51+384069631537235118455732767690\ 7253237469371897624164370997013888297923051835037553419009574454681887701379960\ 9349725634*n^50+498829707917333485521483757148303477698401481237709453636255665\ 16083966325406496609726381174566408709934695269087676066*n^49+63292392524352996\ 8229037247755327481964763017914654630402471824989146685126972148667828716626136\ 58861403577372566101075*n^48+78480254750978177027369431943755628231568445413553\ 222501995560636458541645447631805957649893866425582435936456173578400*n^47+9513\ 1484531962625904064551600693879811996874771681291396281028897312367521565526428\ 151157905481733182696135966632617680*n^46+1127668199747784442754128190308841703\ 6658460541474952545716251925455177607752961382060662567387445652701190035514088\ 7820*n^45+130756454123838674540759970068086234406837947628337633293417376296757\ 133125005015348065882599257139358221144929294306630*n^44+1483525298214015830103\ 1588586295602792398903010901768562161020452184628554894762691866866379313036682\ 4026409195116808800*n^43+164738898898046529427612411823890385699451726660704224\ 233419906892063398892349693599614235176094819051409508571411501410*n^42+1790937\ 8242503489390814293543984016712681086934915323719300081940291220880828194147668\ 4773748603843068994780320279377190*n^41+190658636147391734798609400038825119107\ 7483674249174320065245005621702906900973082424176645132290244974224620194381394\ 85*n^40+19880510883849530641592927347986182484881076194761216266844335137836084\ 4800763113844049820899727404120519561966588485440*n^39+203091800345103583843831\ 6471287824863504733738777690121330870820359916565064884944188550045858622623945\ 04569910874964136*n^38+20330366820443499772275900558747991409761129587774028798\ 0266447737604307049069488368704911074767283881931347208793654264*n^37+199469226\ 3150249228777781000828616876000006400662787134729607448956479014021698425432053\ 68734878814017966284724448559236*n^36+19185373015101530985380679591793878849913\ 5879052482426748357239666362755477537954607130966845777983284526364013071245264 *n^35+1809298133644499440686458825447637151462105657561525830264147446385524552\ 89780570321780294820014755625427867256196305606*n^34+16732996700204787724973150\ 8381596749069687132286649258890014983565216268563447609769593359938517798236941\ 633453480771214*n^33+1517873617543398522995741208558756738987963070919521128682\ 57151224795721167156524482132008506476305862887408665735262461*n^32+13507251262\ 0114687692484758097364487049345713888766240123498580016518123032569630054217201\ 062525755633440669380107856864*n^31+1179331059110439583275559852592669319116390\ 12881406378861494296602072996179464295878561563850802379512770331891964823696*n ^30+101043099611249315400369537874108128820887583244340549698128379310683164834\ 129944418646244673011977640374089688190211404*n^29+8496528351893982282705750256\ 4572282513519753746885545757709796887029020667770835960595756601602077132301974\ 081068221926*n^28+7012924286797447540692262971204303995572606560256682112012774\ 3152882149680274819241784373852303029537396333209784138624*n^27+568245032951098\ 4537972391247653263565470989846678098071915541461183216615347776829036708541256\ 4008597644754882930657366*n^26+452068643101048159276083264236208738063667834513\ 22691210779571944392776954801869385493388127694985685391005936845222634*n^25+35\ 3147502618052066771194042033553552881800950427471002789137481591005017548729503\ 34522092895492831115210361022278719091*n^24+27091882608120416625283201681327087\ 8024232995087005362230991165123054557451147344503085280709655321687698657774271\ 57696*n^23+20412648864077700858420883117206962542915414491457786434193182089911\ 272956698593996230304309597291975147071837818029384*n^22+1510706742244852941070\ 0407705147989070481374715378774032275601795855599664591673926468407554906311946\ 029975032032480416*n^21+1098304607791563963630014394465836226932676176038764179\ 1845740450791583421692186620732656138504808902436236019629499984*n^20+784451801\ 7211383442770614123312964395342640144919540632635153391735261428365214111365267\ 891460281982382144127984060416*n^19+5504874274250766833673900986443510282764752\ 916317741462969000893438823893390208029778916905329368870468896915353651200*n^ 18+3795779079874108262422386966667926899575741550270233670294854962544049444489\ 210280714229547596214858351792454148800000*n^17+2571932896375133819456619857066\ 6829389673975994209288595706639212884220479429507475301751253954355487130279501\ 43520000*n^16+17125924091742383507075832659520809533317419937128572294809240889\ 57265074186225335935505493250577826186190855823360000*n^15+11207618880960821192\ 5295056873811465044513511112125311296768709941653174932388288954833257650623938\ 3539978224032000000*n^14+720880574401712785321412696285374205711920194427564485\ 077141567161304330129651620856257271713052892363420950400000000*n^13+4557554699\ 8166420544430124885689389191770602973988264859987553404655591445966880553804582\ 1907823525120942584000000000*n^12+283227402570632798109885354146151644489878837\ 919840610859598192607095574409718652789392897450417196731441049600000000*n^11+ 1730266332574979145814975014359537250557700161981505187992207358373587069260717\ 85929241037160411406598248320000000000*n^10+10390616555635832550471819656437712\ 7974958650692771477702086665705107916007234230463114624237698826444288000000000\ 000*n^9+61355808595723821207025184850981127437324007166958336502291394936620716\ 445025103394528720947277113577728000000000000*n^8+35602953010246015504550582822\ 7925211566296660497814144807598280785757730797050664570889833509884060303360000\ 00000000*n^7+203403515321819909324885355304355314077522617248644027133514314966\ 45248051028502891208838575456464179200000000000000*n^6+113884162495584426116352\ 3684729931820320320683375736259376124830895136018032185674795619343490547712000\ 0000000000000*n^5+6336271410243879692572413211822694593745059335658152385411470\ 569455567752788328082824244855847976960000000000000000*n^4+33810899827229538427\ 8523083459742938137332589390729987412486375480423981027831854721653933831356416\ 0000000000000000*n^3+1936795196037850178749610444436522232837730021099908527633\ 136182788356592966518620731353203474432000000000000000000*n^2+87967679644527953\ 9328142427607814370889626895028931034517829899275567766879901463488110264320000\ 000000000000000000*n+9171098516131637750442335947400617909274833586471834189653\ 97129031974905896067483211008573440000000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 49, : , ) -------------- = 2251799813685248 (n + 1) n (2133702\ / Pi j 98 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 155117467601252059124197178650350444312698165469206055999269364187830871\ 96 77689340680601600 n + 102417703445638444860098837961464575216821327009\ 95 51194252189068796492948101588184529088352668876800 n + 251894396677746\ 736330741106398106800363549601678956919318855798543939748874552573674504\ 94 401757143040 n + 42174525457745023358724768090786974780350441939531281\ 93 51982190502174999318172096975638457771496570880 n + 539314582705938659\ 386610813475177463939428679724718371793736484356652205809221898764469227\ 92 40670136320 n + 560641307696247810841811627439474169311170254760113128\ 91 074060967380863715001400821241557378235084308480 n + 49265150194018763\ 327657918021295746994124943864295841492291909488771990262259847921801442\ 90 42981852938240 n + 375835546463265787501518837598494518990971636985224\ 89 44546053563349712765816694887298000895638700304629760 n + 253785202264\ 238408613837069124838311288357672202843083283090927650700839328565728157\ 88 026944261211249704960 n + 15392571452678273246889508446326550375263068\ 87 41498901827217921025464883151501185087868238743088204391383040 n + 848\ 229858612213069612258613123883464838155327782185836579776482679180860372\ 86 3346504748673793720707385917440 n + 4286201202524620997463042184693911\ 202001774605770275859260677664455203695791005249185496593812394067623936\ 85 0 n + 2001089296919834080054029024453711123334248792136506750260051378\ 84 16067314949881268127459340630076106934845440 n + 868618827063682001202\ 838365863640982128345036334817690853721478568602548988405118402845689533\ 83 678418311249920 n + 35243084673583418664116191657932585285043849450614\ 82 09930819820697181216172657381501229539073446091019664752640 n + 134270\ 806916763460018992535280258737276221372662002021821688434733245580225739\ 81 52145880235859648666922658037760 n + 482244303287305629399284095239286\ 499583746427633308667931896546621428713030342893505769239925666254103668\ 80 32640 n + 163843210776101979025961492127633631194858366368513406414359\ 79 684852665132963316839272534772463180366175860162560 n + 52818353501138\ 308140951557255254263937219668352899466664372644529490296328730042475098\ 78 5488721125625832845344768 n + 1619967986024442289351773745413270551385\ 587707525257765975424638149749885199671639877121386495863861192721170432 77 n + 473846433254498384505478067669995685368427191653600963020352658448\ 76 0535375535902392586239958438878969137901600768 n + 1324695377565168244\ 975453685036178937624157693441645706606265379910123787404523723571968909\ 75 5202799180637150380032 n + 3546399663622171883633107245756107867583163\ 74 2527437314275561485818096622141677424674610779351312907822466280194048 n + 910792678282459480170438657807828102975058794687801520203164532361416\ 73 13487549737567714616775437334782421590081536 n + 224755213456651232295\ 625781609337890078993271367847216333566125295191591953018912531128133340\ 72 967601650448533028864 n + 53369908818929463342126810521471201130494968\ 71 7941014474066373885909174727804873119271375948194014882014315451252736 n + 122113797993037886826351407863625166954802044460708196932027825399002\ 70 5129190068909118281415860532006795671716757504 n + 2695584674005539636\ 913064309785612185050660560777864233341363558107969353602023745335895632\ 69 875245603560736734314496 n + 57472221687257330084961136466668443780617\ 501973623559030079059425888739915036090359480935065156073306727097659555\ 68 84 n + 118478479932472525996694318603700767194512737654453757787623213\ 67 99105027392612858080257955570064202865626607482044416 n + 236387175866\ 220097638478949802679023062530108255033031077386826679376021135006504767\ 66 43515513531626384732278744940544 n + 456886016453299682029527640650669\ 794599923261228861734354117187921412801711954772321466376416626273468439\ 65 26901293056 n + 856171759359290857570999146389117723373396655261912415\ 64 90060798129819990681755441824670344980496954180650889070444544 n + 155\ 678310621783388724989967866033930916831880525567203772465903105739492231\ 63 502251158636694154963545249723166947803136 n + 27487318104558197799717\ 344103866142879965767661585912573817669153240507094496892776736431539276\ 62 2796333783845937270784 n + 4716026910550100223994877579380961975384772\ 496443248007484786837928421569960208945223542845427790268979024876944220\ 61 16 n + 786762953270400437518583144027314959344352246770627617996572176\ 60 667877150098200532319212674114739966103572345010294784 n + 12770336489\ 044810103672782402808841635945690612454923162734164630621195610689695772\ 59 42560571125805818334334891128303616 n + 201791595892572391127864953913\ 999660214562025262520877426859725416278076531771973589030379012114431529\ 58 7749274487529472 n + 3105869555196157834013051328619515445117332509074\ 57 912864887389168425791470740688681206825646179795289249785640497020928 n + 465871972401630376997444486481861537928932652819323497238736144925129\ 56 0874879145251385369361442234436185849733031823872 n + 6813413390753807\ 857366544105199741700783650775821190893382054576831259105235408555739284\ 55 624470778997916379444393699328 n + 97202590677209076984974019475031566\ 736907274813999252657035774378036935938550558893800850680540142658922910\ 54 87402788992 n + 135330429666325440613219934717092680691635529476755765\ 53 29253886316445731770425174154193110695170405942017563221845643648 n + 183948955311759509749231544676757328932288804576441493687156174093710729\ 52 12612230364933522155221486021546527916867493952 n + 244204673174731621\ 148132226504940019687377739410088208686207630540131770497193412732981070\ 51 87358212090093860883733928448 n + 316757819727003506587060795037132501\ 393333213334522506687211942865558942423365784666389018636763099148143170\ 50 39503512912 n + 401579342390389690460764668223403167118395809153324971\ 49 92422463986279117775362899001482121569452385342918961055912099088 n + 497774231084027793288906362574849354771417548151617082146337814113386880\ 48 58353011384308265391363758965066015762500580825 n + 603461811331533932\ 516074647881993487831986928174554864003323493634775459346277396138934079\ 47 12717251932283999862191755800 n + 715741447054145038693909477677434307\ 414783631877267405088264560772457666032297009688813765840175377515601049\ 46 55632748340 n + 830764495366595727653360730491442403444698046126784968\ 45 45800083958777230809816351899285452858243631138316748395608171560 n + 943920802500090090056086730368991650368747383709985108017447609179950348\ 44 72265674264452467182291423207453487139849250090 n + 105013215740719787\ 385874894594003489768547518005661148374350184187757295032843236560468252\ 43 390542939927230270982189188600 n + 11442284748086982922133371200938608\ 939001389151052721683384638036555578609937405855586106918728222787475864\ 42 6886237092380 n + 1221368063251976297223030793597315606411150298497281\ 41 47283775411810424092412922893029744146749024263252714556359325793320 n + 127745397709343367503891682879242650077612384368010841550407331325910522\ 40 332798601292066822198453001602331111739403086255 n + 13094961811584022\ 033979350473050485070943472707547147958830323773901432354323732827239441\ 39 5871332285874621933326048930720 n + 1315874812549804941684996308596635\ 316711506410159626669728844500092606014590481555936993445940642983277249\ 38 34584935002048 n + 129647245260086305213038360996738559827461832264764\ 37 292408279548795130403232564534824275588286503267125351370362142041552 n + 125266090981431988565372264483554217511191706155511190931894038810056\ 36 491012142165359424272162967192919217380570260496348 n + 11871475270514\ 460583419034392197559769760291159126292257642017653528304366275215380494\ 35 2853281337540005625955902580368752 n + 1103704144619092143903119344173\ 817220485086518246496786704521558711994929880985625367739673045225136646\ 34 61756719052924008 n + 100681565117188239692346493786188565464132066940\ 072602128185376424640578090050762423653972910257785485291038749896249952 33 n + 901292566002011790791946585942352773081345793028137998664942298470\ 32 21229587964611012337701177849177514244366259322129223 n + 791892619731\ 285768841233917219395861019098440364150630506173887622525956277796589044\ 31 55544827253345995311590828045531352 n + 682990430560820009169025055691\ 670860238068771900502753146961632955166956344227655706040348445949578991\ 30 36656110509287828 n + 578323750256955753643707786904842284410839501127\ 29 60928315785889012278365452214177017318041958828227315511463952802697672 n + 480831630204770751844776320076924579314268200423592723760307640775166\ 28 42892447582098870638802049961390791332818480925418 n + 392586593682036\ 269679686219901830057667318605511874623637768124352015840247988615188099\ 27 83581740917999198443373421271832 n + 314811517751979214268671579575289\ 881597092499542404691997111991083797679243845145617618554703029650153464\ 26 30353946268588 n + 247963793508818696369324693392202951958111597495847\ 25 33985578294806005700983287539548037761693007500023168354063470971112 n + 191865038099599748973059403610415963835715250611686740769224316590440566\ 24 02237372712072283924198851513211316923551181713 n + 145854023864501442\ 920724353021853837656311167900960536542978898128067517667412686764804018\ 23 74452314408480188755803737328 n + 108942873184438443510941723667597456\ 369001356577547492611758936391479841059613514093337028880615783202288513\ 22 09105422712 n + 799609110843385551793717665704292749630628735926505544\ 21 9483598444087180876715278091787570544941370065512578533682445888 n + 5\ 767580877151101449911487451029533830480378782766417953323971149461359613\ 20 752332970213155870434338527838207500576921712 n + 40886806122681357559\ 052499148162550838153994502487064779046522354053466216474630819539180715\ 19 47782876560582357202777088 n + 284892308527793715756049614980992666085\ 139914424954225686618747320177417262655226584696623028116267990014668087\ 18 3868800 n + 1951276476114636882858233079503754489345426408941802780248\ 17 131338122062013181754087240779783920406148647939213891072000 n + 13137\ 967199543533942948234662422158412830251140381625999733633974558302793845\ 16 26200826993323200330309011945251012960000 n + 869635772348633928497041\ 766214791039636860542206127849743360887309196014172270867570855874023378\ 15 027504153223022080000 n + 56594463231338436345491821363496957489763331\ 479585136416000102464162153738159484100825854813809715942540283708800000\ 14 0 n + 3621278002415258216893537124884332517413648485278203926642920477\ 13 84624670065748454780211242468684292859825322240000000 n + 227838700661\ 573732754082461944228990324720238332192345870907485016164809558924585506\ 12 996686072832823938855720000000000 n + 14095672676142910778585812379325\ 969894015396308201237110111702200087610381622206942434476078382571206560\ 11 1484800000000 n + 8575798776070214755233113544118320976139473000366749\ 10 8952973205337198039812558550027152222164234138307441280000000000 n + 5\ 130619749198914539835127993540780498917283721306027666721961322332837253\ 9 4032826407195432476527570125209600000000000 n + 30192840289276361133373\ 563074611409022615920448553530375303391937276962416861642806099254670009\ 8 426897664000000000000 n + 174666555535255772181420888112916773885372684\ 7 80409879914298865371063143535738570148916904332009710051328000000000000 n + 995186200417729678506196063092809901296862800568510084855102511090324\ 6 7380613990813221254174496066252800000000000000 n + 55589620809200599876\ 489764001713792634990718468548579182835826937064080853301782295507747713\ 5 75669248000000000000000 n + 3086570934367214797081195011468666384907559\ 4 822682562132623635586155288035839383220729711146244833280000000000000000 n + 164438742832578164371063687209964944183804715436936517885360437340428\ 3 0478981358557038469481003745280000000000000000 n + 94059805923556105457\ 129682565572052321628002230523851455350352013346774199470425167020554898\ 2 6368000000000000000000 n + 42687294911449077529331600046082876086806498\ 1479416282282075754603973774380715046730942172364800000000000000000000 n + 444659321994261224263870833813363292570901022374391960710495577712472681\ 646578173678064762880000000000000000000000)/7969141233260753323661005349\ 549665917046065099012984423059277963714696086837927062831728665923533444\ 502188005946815013885498046875 and in Maple notation: 2251799813685248/79691412332607533236610053495496659170460650990129844230592779\ 63714696086837927062831728665923533444502188005946815013885498046875*(n+1)*n*( 2133702155117467601252059124197178650350444312698165469206055999269364187830871\ 77689340680601600*n^96+10241770344563844486009883796146457521682132700951194252\ 189068796492948101588184529088352668876800*n^95+2518943966777467363307411063981\ 06800363549601678956919318855798543939748874552573674504401757143040*n^94+42174\ 5254577450233587247680907869747803504419395312815198219050217499931817209697563\ 8457771496570880*n^93+539314582705938659386610813475177463939428679724718371793\ 73648435665220580922189876446922740670136320*n^92+56064130769624781084181162743\ 9474169311170254760113128074060967380863715001400821241557378235084308480*n^91+ 4926515019401876332765791802129574699412494386429584149229190948877199026225984\ 792180144242981852938240*n^90+3758355464632657875015188375984945189909716369852\ 2444546053563349712765816694887298000895638700304629760*n^89+253785202264238408\ 6138370691248383112883576722028430832830909276507008393285657281570269442612112\ 49704960*n^88+15392571452678273246889508446326550375263068414989018272179210254\ 64883151501185087868238743088204391383040*n^87+84822985861221306961225861312388\ 34648381553277821858365797764826791808603723346504748673793720707385917440*n^86 +428620120252462099746304218469391120200177460577027585926067766445520369579100\ 52491854965938123940676239360*n^85+20010892969198340800540290244537111233342487\ 9213650675026005137816067314949881268127459340630076106934845440*n^84+868618827\ 0636820012028383658636409821283450363348176908537214785686025489884051184028456\ 89533678418311249920*n^83+35243084673583418664116191657932585285043849450614099\ 30819820697181216172657381501229539073446091019664752640*n^82+13427080691676346\ 0018992535280258737276221372662002021821688434733245580225739521458802358596486\ 66922658037760*n^81+48224430328730562939928409523928649958374642763330866793189\ 654662142871303034289350576923992566625410366832640*n^80+1638432107761019790259\ 6149212763363119485836636851340641435968485266513296331683927253477246318036617\ 5860162560*n^79+528183535011383081409515572552542639372196683528994666643726445\ 294902963287300424750985488721125625832845344768*n^78+1619967986024442289351773\ 7454132705513855877075252577659754246381497498851996716398771213864958638611927\ 21170432*n^77+47384643325449838450547806766999568536842719165360096302035265844\ 80535375535902392586239958438878969137901600768*n^76+13246953775651682449754536\ 8503617893762415769344164570660626537991012378740452372357196890952027991806371\ 50380032*n^75+35463996636221718836331072457561078675831632527437314275561485818\ 096622141677424674610779351312907822466280194048*n^74+9107926782824594801704386\ 5780782810297505879468780152020316453236141613487549737567714616775437334782421\ 590081536*n^73+2247552134566512322956257816093378900789932713678472163335661252\ 95191591953018912531128133340967601650448533028864*n^72+53369908818929463342126\ 8105214712011304949687941014474066373885909174727804873119271375948194014882014\ 315451252736*n^71+1221137979930378868263514078636251669548020444607081969320278\ 253990025129190068909118281415860532006795671716757504*n^70+2695584674005539636\ 9130643097856121850506605607778642333413635581079693536020237453358956328752456\ 03560736734314496*n^69+57472221687257330084961136466668443780617501973623559030\ 07905942588873991503609035948093506515607330672709765955584*n^68+11847847993247\ 2525996694318603700767194512737654453757787623213991050273926128580802579555700\ 64202865626607482044416*n^67+23638717586622009763847894980267902306253010825503\ 303107738682667937602113500650476743515513531626384732278744940544*n^66+4568860\ 1645329968202952764065066979459992326122886173435411718792141280171195477232146\ 637641662627346843926901293056*n^65+8561717593592908575709991463891177233733966\ 5526191241590060798129819990681755441824670344980496954180650889070444544*n^64+ 1556783106217833887249899678660339309168318805255672037724659031057394922315022\ 51158636694154963545249723166947803136*n^63+27487318104558197799717344103866142\ 8799657676615859125738176691532405070944968927767364315392762796333783845937270\ 784*n^62+4716026910550100223994877579380961975384772496443248007484786837928421\ 56996020894522354284542779026897902487694422016*n^61+78676295327040043751858314\ 4027314959344352246770627617996572176667877150098200532319212674114739966103572\ 345010294784*n^60+1277033648904481010367278240280884163594569061245492316273416\ 463062119561068969577242560571125805818334334891128303616*n^59+2017915958925723\ 9112786495391399966021456202526252087742685972541627807653177197358903037901211\ 44315297749274487529472*n^58+31058695551961578340130513286195154451173325090749\ 12864887389168425791470740688681206825646179795289249785640497020928*n^57+46587\ 1972401630376997444486481861537928932652819323497238736144925129087487914525138\ 5369361442234436185849733031823872*n^56+681341339075380785736654410519974170078\ 3650775821190893382054576831259105235408555739284624470778997916379444393699328 *n^55+9720259067720907698497401947503156673690727481399925265703577437803693593\ 855055889380085068054014265892291087402788992*n^54+1353304296663254406132199347\ 1709268069163552947675576529253886316445731770425174154193110695170405942017563\ 221845643648*n^53+1839489553117595097492315446767573289322888045764414936871561\ 7409371072912612230364933522155221486021546527916867493952*n^52+244204673174731\ 6211481322265049400196873777394100882086862076305401317704971934127329810708735\ 8212090093860883733928448*n^51+316757819727003506587060795037132501393333213334\ 52250668721194286555894242336578466638901863676309914814317039503512912*n^50+40\ 1579342390389690460764668223403167118395809153324971924224639862791177753628990\ 01482121569452385342918961055912099088*n^49+49777423108402779328890636257484935\ 4771417548151617082146337814113386880583530113843082653913637589650660157625005\ 80825*n^48+60346181133153393251607464788199348783198692817455486400332349363477\ 545934627739613893407912717251932283999862191755800*n^47+7157414470541450386939\ 0947767743430741478363187726740508826456077245766603229700968881376584017537751\ 560104955632748340*n^46+8307644953665957276533607304914424034446980461267849684\ 5800083958777230809816351899285452858243631138316748395608171560*n^45+943920802\ 5000900900560867303689916503687473837099851080174476091799503487226567426445246\ 7182291423207453487139849250090*n^44+105013215740719787385874894594003489768547\ 518005661148374350184187757295032843236560468252390542939927230270982189188600* n^43+11442284748086982922133371200938608939001389151052721683384638036555578609\ 9374058555861069187282227874758646886237092380*n^42+122136806325197629722303079\ 3597315606411150298497281472837754118104240924129228930297441467490242632527145\ 56359325793320*n^41+12774539770934336750389168287924265007761238436801084155040\ 7331325910522332798601292066822198453001602331111739403086255*n^40+130949618115\ 8402203397935047305048507094347270754714795883032377390143235432373282723944158\ 71332285874621933326048930720*n^39+13158748125498049416849963085966353167115064\ 1015962666972884450009260601459048155593699344594064298327724934584935002048*n^ 38+1296472452600863052130383609967385598274618322647642924082795487951304032325\ 64534824275588286503267125351370362142041552*n^37+12526609098143198856537226448\ 3554217511191706155511190931894038810056491012142165359424272162967192919217380\ 570260496348*n^36+1187147527051446058341903439219755976976029115912629225764201\ 76535283043662752153804942853281337540005625955902580368752*n^35+11037041446190\ 9214390311934417381722048508651824649678670452155871199492988098562536773967304\ 522513664661756719052924008*n^34+1006815651171882396923464937861885654641320669\ 40072602128185376424640578090050762423653972910257785485291038749896249952*n^33 +901292566002011790791946585942352773081345793028137998664942298470212295879646\ 11012337701177849177514244366259322129223*n^32+79189261973128576884123391721939\ 5861019098440364150630506173887622525956277796589044555448272533459953115908280\ 45531352*n^31+68299043056082000916902505569167086023806877190050275314696163295\ 516695634422765570604034844594957899136656110509287828*n^30+5783237502569557536\ 4370778690484228441083950112760928315785889012278365452214177017318041958828227\ 315511463952802697672*n^29+4808316302047707518447763200769245793142682004235927\ 2376030764077516642892447582098870638802049961390791332818480925418*n^28+392586\ 5936820362696796862199018300576673186055118746236377681243520158402479886151880\ 9983581740917999198443373421271832*n^27+314811517751979214268671579575289881597\ 0924995424046919971119910837976792438451456176185547030296501534643035394626858\ 8*n^26+247963793508818696369324693392202951958111597495847339855782948060057009\ 83287539548037761693007500023168354063470971112*n^25+19186503809959974897305940\ 3610415963835715250611686740769224316590440566022373727120722839241988515132113\ 16923551181713*n^24+14585402386450144292072435302185383765631116790096053654297\ 889812806751766741268676480401874452314408480188755803737328*n^23+1089428731844\ 3844351094172366759745636900135657754749261175893639147984105961351409333702888\ 061578320228851309105422712*n^22+7996091108433855517937176657042927496306287359\ 265055449483598444087180876715278091787570544941370065512578533682445888*n^21+ 5767580877151101449911487451029533830480378782766417953323971149461359613752332\ 970213155870434338527838207500576921712*n^20+4088680612268135755905249914816255\ 0838153994502487064779046522354053466216474630819539180715477828765605823572027\ 77088*n^19+28489230852779371575604961498099266608513991442495422568661874732017\ 74172626552265846966230281162679900146680873868800*n^18+19512764761146368828582\ 3307950375448934542640894180278024813133812206201318175408724077978392040614864\ 7939213891072000*n^17+131379671995435339429482346624221584128302511403816259997\ 3363397455830279384526200826993323200330309011945251012960000*n^16+869635772348\ 6339284970417662147910396368605422061278497433608873091960141722708675708558740\ 23378027504153223022080000*n^15+56594463231338436345491821363496957489763331479\ 5851364160001024641621537381594841008258548138097159425402837088000000*n^14+362\ 1278002415258216893537124884332517413648485278203926642920477846246700657484547\ 80211242468684292859825322240000000*n^13+22783870066157373275408246194422899032\ 4720238332192345870907485016164809558924585506996686072832823938855720000000000 *n^12+1409567267614291077858581237932596989401539630820123711011170220008761038\ 16222069424344760783825712065601484800000000*n^11+85757987760702147552331135441\ 1832097613947300036674989529732053371980398125585500271522221642341383074412800\ 00000000*n^10+51306197491989145398351279935407804989172837213060276667219613223\ 328372534032826407195432476527570125209600000000000*n^9+30192840289276361133373\ 5630746114090226159204485535303753033919372769624168616428060992546700094268976\ 64000000000000*n^8+174666555535255772181420888112916773885372684804098799142988\ 65371063143535738570148916904332009710051328000000000000*n^7+995186200417729678\ 5061960630928099012968628005685100848551025110903247380613990813221254174496066\ 252800000000000000*n^6+55589620809200599876489764001713792634990718468548579182\ 83582693706408085330178229550774771375669248000000000000000*n^5+308657093436721\ 4797081195011468666384907559822682562132623635586155288035839383220729711146244\ 833280000000000000000*n^4+16443874283257816437106368720996494418380471543693651\ 78853604373404280478981358557038469481003745280000000000000000*n^3+940598059235\ 5610545712968256557205232162800223052385145535035201334677419947042516702055489\ 86368000000000000000000*n^2+426872949114490775293316000460828760868064981479416\ 282282075754603973774380715046730942172364800000000000000000000*n+4446593219942\ 6122426387083381336329257090102237439196071049557771247268164657817367806476288\ 0000000000000000000000) ------------------------------ n ----- \ 1 Theorem , 50, : , ) --------------- = 9007199254740992 (n + 1) n (176536\ / Pi j 100 ----- sin(-------) j = 1 2 n + 1 880662033962443020514527791964204396444526612155294817666783630406115699\ 98 51897300155421119479808 n + 865030715243966415970800521186180624601542\ 97 578180399560944606567239788989966927642967707615634854510592 n + 21707\ 387089322985303506493443266638749107691419106451094152257713135879498234\ 96 168009080610799954908151808 n + 37069074525818535577497048083632249526\ 95 6372147449119593226293674052445959700904213492928208665188491067392 n + 483344582803599110176660431703885251225121515907126784386132365067024590\ 94 1643669360446276299682203102609408 n + 5122269176825546608423215267268\ 694702656213230238227852702568975531003849972989354866197930192808713597\ 93 7472 n + 4587864494936792997295836664616889694006535251364126647538976\ 92 58001500290855594420806713472754997828232675328 n + 356705186934294777\ 542096164217180747634055752653165237604924556796434144929931057705624768\ 91 5490804628989673472 n + 2454590492409547845343024947169776552991829769\ 90 7745011908218423098131252473883566129263139631646937204473724928 n + 1\ 517036598654101987042249301919932827325502182480625314636854855637595525\ 89 26087115265251808897973439915383324672 n + 851824703377118776297685544\ 320151184969116504707304411237242300343545608248059610156153571896536316\ 88 214727671808 n + 43857916943042842460921140544591083964289787244754870\ 87 09663427748635488346431858620839047723793861600018318753792 n + 208628\ 618209367266583589021713260082214497654511863212554022923204105420917957\ 86 09068914581181754168186765530103808 n + 922714104297130810632754366861\ 293494689219350580246385203063021732895615601969198597333280707128746514\ 85 25011924992 n + 381456956548560518822183295151244358258659967499439932\ 84 485995708633726246437723012890796610058923625937304664670208 n + 14807\ 925381461008791447495544748031367237991132629744080454939406765822560555\ 83 13283812882961880792195334164166213632 n + 541915571258566833639052715\ 849653460169560028171578458593627539381806294312132492856519414402918045\ 82 9436935707885568 n + 1876113182730704500458377099864529582494440102512\ 81 6995914698952624363803021417700401544345919888630071873345140293632 n + 616309100997404929089338218757432051250796045606824785718151887210243697\ 80 58451935073643914999607632039817016370003968 n + 192629597693228820735\ 978955041110627800397527442381851294240593582184761492782397979080326025\ 79 257902469442749629202432 n + 57422118647035416889238923882870986116341\ 937678981098912191224400255981322616365197490433577451682046772279476276\ 78 4288 n + 1636089284759754250567610809919691824719104146715464339108067\ 77 057349587683059281235386543552276019730869541675322048512 n + 44643112\ 926950528703691121541363464105965194424436837896173986967963279543437738\ 76 32892412786502520162130568661369356288 n + 116866619215284636595219268\ 467810800558495701489164356929957870266396407327053567547172256749769590\ 75 49834934220579930112 n + 293978123886955416324299279963140905744117487\ 389693691103219532270499969708849855024998091648639299451523860915950714\ 74 88 n + 711652211057312036311625241696713876209361330702147878340953617\ 73 50862303099970688982015469668307743543960317522522144768 n + 166010509\ 979960531702059096416136322452158570313829026727109226351681911976852595\ 72 247130429245195686956859393227286904832 n + 37364418755284619366935258\ 682877921129289130429215236857382355511917356878282323832780702113856077\ 71 2828190973537464352768 n + 8123327896971231521087681752893142611819504\ 186143180072720289208468134862295464647593016146388211466552383857210236\ 70 60032 n + 170774855562365940634932007883533936437511087782900007928340\ 69 4085434322296224930553104018222013050107360181602397263495168 n + 3475\ 008300626375332314604554792559870401657882861606767037354072926385181776\ 68 656046085597212266456666937487057040862871552 n + 68505836902176879961\ 455945827841890883764291977581620475361016833600690892767247078104126422\ 67 97768705002328245035123867648 n + 130951327930611444852552176782361573\ 557401587871892427533591256866739240110902700511936627190632902683175569\ 66 88044627607552 n + 242912089393862389688007489633387713970277845308725\ 65 68066304953548330191101917409901136274724604875111550006588335491842048 n + 437591897495003957551445190065883440820496752642592095522765469810011\ 64 42889819182260528920739191531236084653492786789220352 n + 766079898954\ 116980767676613575300603414407111694814428118813779235075352284786867720\ 63 22133932167781370676715439959827283968 n + 130421351763620146065983100\ 818281979533938265224629347159073997987234600893246948012441569531859340\ 62 261239165939916871570432 n + 21605351750217616555409286424702468888290\ 962422743556234634758391481477377737192147298663906351687702799051054647\ 61 3770707968 n + 3484693256961239636325806856508368107022683795130818825\ 60 54029809148830772811388968325975017846520584218343257248654386271232 n + 547515606136451992460058541183895939952529768121492543599699310905994288\ 59 339341976829466053264393544654664235141966545005568 n + 83845944785794\ 853038468097258722867604593196754672673250139848133486447330778487135527\ 58 5502323508946167546096036933651497472 n + 1252085024915158519918427678\ 437485569826647536796037304980267702399973255491793462262574165129723993\ 57 635449561560067280265728 n + 18241181602672084080524891433993045684617\ 190649720182445574552796816067247606528288805849235847134177033881862529\ 56 09734377472 n + 259376186157927670293081439760392709690028108360342091\ 55 8538891790335507228350793851526409728365389873159460492578720052912128 n + 360118941841752612523680869469232354136872456209784704592067348128223\ 54 3525640985408013760095136461957001473160545557083074272 n + 4883960208\ 794615988105677193241100014599790181670008459162175234027957399130379814\ 53 251292938201711650329825625429708686800288 n + 64724920216139364565060\ 791289681986853482531275721491499443070923812181443543468144304343910508\ 52 98786206955662310771693462112 n + 838492381385651691598737390817132942\ 286129638807630987098256013909388351978427997784018285755334511378268052\ 51 0898725737656288 n + 1062190257146885802910714679072904711911123617909\ 635315195453119769160323314119074600393198548569502754939701965571064196\ 50 6037 n + 1316198640772203386989888674947049184893223503039657832454123\ 49 6308151423723480999809973971840774942985828295664105305328896013 n + 1\ 595843077686864239225025327119841289054479887967798073003329628584848724\ 48 3038050317731539485348708326149381746778209820046054 n + 1893808161008\ 856329547678021145713056760326520926764647733069223363867693283661441572\ 47 3193101964001085978770964682796203819996 n + 2200292241028586712057262\ 373204986282010625727851186722968864851471656746953978593429218614274961\ 46 8717850800401492613415385554 n + 2503452137173533240792081569311178806\ 188935345039479001589776552995153172513073018700305614172950762058155521\ 45 7772168655446346 n + 2790123637029077427399778831899490046338602690488\ 415024888519533851172661346814211636734531258442173639724992460042650050\ 44 4504 n + 3046762022624498976403845510606901274364333821417102658204510\ 43 7708529467334167024942417145921649098109705469478981347979638756 n + 3\ 260509856149595124450643070273031010211120362470629230971969741730561543\ 42 5725394908273571284085736273016040377486041702469219 n + 3420273838531\ 444441879480268639282095574618340066477296592457358928878811305172649494\ 41 5109101141156411850722682865528410500131 n + 3517684035625572887081586\ 450088673376423708578196683284120033410660325093840813253794829384540051\ 40 2659902936512969204720124294 n + 3547819484985834148888429304500715047\ 160755508551359829954434082391177429007876664042817020563552259510884972\ 39 6522134807456656 n + 3509612906401019157938351572806799619585720328717\ 019342951466965203601251110298815146507937901603932703902189063460109994\ 38 3324 n + 3405889297554233202148170429628397745382918752523330947297608\ 37 2950134161283943905435432208538158323490450332363809772007565276 n + 3\ 243041496754674887610177084750325431172160271473202060533776914892317192\ 36 8406894691925599672152224000753636125687313666061824 n + 3030392236069\ 469531227740147441329032579643824706656347042744764835296933049221332014\ 35 4294093173447591620330836311679622067976 n + 2779329330445123473114652\ 151672819309268489260012975393108782864345439401470707969455131592586407\ 34 1921939063367457902543789099 n + 2502323058420742761394513921733920790\ 791244535792219590663233487014409835642375230157919531421092191945215307\ 33 4851317062934691 n + 2211940062843648437075770789028109938107671816781\ 367179869574512182865185214389860755205241144903145900961988632086874220\ 32 3634 n + 1919956991926440249952387115527178317196007182652303111612657\ 31 0258639679920209991839034952303490997542932291577162609896340316 n + 1\ 636653092218478440100182071482501660313139854293830256149110502874469082\ 30 0914538977357410014492200293483007123043740175898034 n + 1370329299254\ 020110391184203670514036721292766175629470394412392833449185008396828721\ 29 5969923755489813087849628913255491453866 n + 1127067867835404606155762\ 167746423786317075853854960570613921829861079736474367465362621240364418\ 28 8631577776755814630112031944 n + 9107164954007843627779365889598179051\ 006981008692093960796773191492776445978843614958538431659521866127725776\ 27 829169760955956 n + 72305806243427423404931027786611125667535089153401\ 573645095134931909365386524758340757589380757620204329432652685440117150\ 26 69 n + 564113531632248308763013724153389654529490053464329038030243616\ 25 8949614621839501054217431090851035347233252498249195555018381 n + 4325\ 213604640914280875520919942280707978418010466053707096643366074625535037\ 24 605406211758031062906829930449988450217888413794 n + 32594061475976309\ 756791187597647746092155372490017207084634649125706452043302289702657466\ 23 08664850465804525328469165733215800 n + 241434526248666957017787454690\ 873230460909095533450307315681181036683067586236458091972375224147704517\ 22 3385819038985912932000 n + 1758038268747686201209945038270689260995852\ 763534608920977444642721674103367416670452605246149805487301609915363633\ 21 923434800 n + 12585238270062286901502058804531567439384247721743973640\ 20 60889098848529330687621382070615460891297775976574784941203331829600 n + 885794388727023665669730814706623302531511695150285537499629083299971545\ 19 682134607538522203834655777907599438422022200000000 n + 61302068617942\ 467059219175894154210041705990203832084394273864270274531157644306827008\ 18 1873524124508684096964345716604000000 n + 4171752599424597794129548337\ 694669681267735003124751934902386470126598291276735327190648903324496070\ 17 81620990403774572000000 n + 279184954405826386027079415759951096317546\ 645976415605386115048806072323616583899126836919972594772687372131209708\ 16 536000000 n + 18374788366717194368900226929872657040077854246984979414\ 15 8622590658950063426443972616812460249902450528812574556060000000000 n + 118942032446022701989927691748875156486511112436428481008832312302401236\ 14 587691976470579130011805791947047667146240000000000 n + 75727495264681\ 058087511768261831506359465757400488071184194296401632357057731497713004\ 13 257646931968227820102575560000000000 n + 47424404929708076651114447295\ 173391082249765919300942286654537740312704530753613747180113603583015631\ 12 269445462160000000000 n + 29214205970546616202140964415163687023181567\ 002342011732235184354632246343580001570489158048164662466605322000000000\ 11 000000 n + 17703795445294325692612032810804763471916628957529823309637\ 10 588368232417640116867756445748025652750025363508000000000000000 n + 10\ 553450357041959388048374714769974657486687197997585278804487530332709530\ 9 091643221253327542913721174263648000000000000000 n + 619024811706665581\ 125244065717086962363030573871687721866854618003948144146360585194162504\ 8 8428313842546777600000000000000 n + 35706111141297129537863723293088394\ 050962135133211424166918947585732505785350966427474095599298594648960000\ 7 00000000000000 n + 2029114819320800784786449233159555890136874937467095\ 6 179571942506172967774848128996214756397880420646272000000000000000000 n + 113089203290613728665820223777083022772412390779240744393279608740458218\ 5 0146823346062143491368754028544000000000000000000 n + 62668806433623123\ 813728984841907150439902618202982792401693690840894579613097674686046824\ 4 8820680114176000000000000000000 n + 33335881726334158816228050037119318\ 150504562004059249605647922562526876915226206938069482525081600000000000\ 3 0000000000000 n + 19041887086180204110187477189698321027322965213721600\ 2 6389405669607050255255041645379597324558336000000000000000000000000 n + 863521864205178911325962690576818964712504919259563681935654316394420293\ 74763059889789473914880000000000000000000000000 n + 89876765458090049954\ 334892284526055510893369147423975058608918645133540777814613354678840197\ 120000000000000000000000000)/6507481193962232252801722053362013942871061\ 068877517885103860495999965104070548670602447152663168557778819192836079\ 938113689422607421875 and in Maple notation: 9007199254740992/65074811939622322528017220533620139428710610688775178851038604\ 95999965104070548670602447152663168557778819192836079938113689422607421875*(n+1 )*n*(17653688066203396244302051452779196420439644452661215529481766678363040611\ 569951897300155421119479808*n^98+8650307152439664159708005211861806246015425781\ 80399560944606567239788989966927642967707615634854510592*n^97+21707387089322985\ 3035064934432666387491076914191064510941522577131358794982341680090806107999549\ 08151808*n^96+37069074525818535577497048083632249526637214744911959322629367405\ 2445959700904213492928208665188491067392*n^95+483344582803599110176660431703885\ 2512251215159071267843861323650670245901643669360446276299682203102609408*n^94+ 5122269176825546608423215267268694702656213230238227852702568975531003849972989\ 3548661979301928087135977472*n^93+458786449493679299729583666461688969400653525\ 136412664753897658001500290855594420806713472754997828232675328*n^92+3567051869\ 3429477754209616421718074763405575265316523760492455679643414492993105770562476\ 85490804628989673472*n^91+24545904924095478453430249471697765529918297697745011\ 908218423098131252473883566129263139631646937204473724928*n^90+1517036598654101\ 9870422493019199328273255021824806253146368548556375955252608711526525180889797\ 3439915383324672*n^89+851824703377118776297685544320151184969116504707304411237\ 242300343545608248059610156153571896536316214727671808*n^88+4385791694304284246\ 0921140544591083964289787244754870096634277486354883464318586208390477237938616\ 00018318753792*n^87+20862861820936726658358902171326008221449765451186321255402\ 292320410542091795709068914581181754168186765530103808*n^86+9227141042971308106\ 3275436686129349468921935058024638520306302173289561560196919859733328070712874\ 651425011924992*n^85+3814569565485605188221832951512443582586599674994399324859\ 95708633726246437723012890796610058923625937304664670208*n^84+14807925381461008\ 7914474955447480313672379911326297440804549394067658225605551328381288296188079\ 2195334164166213632*n^83+541915571258566833639052715849653460169560028171578458\ 5936275393818062943121324928565194144029180459436935707885568*n^82+187611318273\ 0704500458377099864529582494440102512699591469895262436380302141770040154434591\ 9888630071873345140293632*n^81+616309100997404929089338218757432051250796045606\ 82478571815188721024369758451935073643914999607632039817016370003968*n^80+19262\ 9597693228820735978955041110627800397527442381851294240593582184761492782397979\ 080326025257902469442749629202432*n^79+5742211864703541688923892388287098611634\ 19376789810989121912244002559813226163651974904335774516820467722794762764288*n ^78+163608928475975425056761080991969182471910414671546433910806705734958768305\ 9281235386543552276019730869541675322048512*n^77+446431129269505287036911215413\ 6346410596519442443683789617398696796327954343773832892412786502520162130568661\ 369356288*n^76+1168666192152846365952192684678108005584957014891643569299578702\ 6639640732705356754717225674976959049834934220579930112*n^75+293978123886955416\ 3242992799631409057441174873896936911032195322704999697088498550249980916486392\ 9945152386091595071488*n^74+711652211057312036311625241696713876209361330702147\ 87834095361750862303099970688982015469668307743543960317522522144768*n^73+16601\ 0509979960531702059096416136322452158570313829026727109226351681911976852595247\ 130429245195686956859393227286904832*n^72+3736441875528461936693525868287792112\ 9289130429215236857382355511917356878282323832780702113856077282819097353746435\ 2768*n^71+812332789697123152108768175289314261181950418614318007272028920846813\ 486229546464759301614638821146655238385721023660032*n^70+1707748555623659406349\ 3200788353393643751108778290000792834040854343222962249305531040182220130501073\ 60181602397263495168*n^69+34750083006263753323146045547925598704016578828616067\ 67037354072926385181776656046085597212266456666937487057040862871552*n^68+68505\ 8369021768799614559458278418908837642919775816204753610168336006908927672470781\ 0412642297768705002328245035123867648*n^67+130951327930611444852552176782361573\ 5574015878718924275335912568667392401109027005119366271906329026831755698804462\ 7607552*n^66+242912089393862389688007489633387713970277845308725680663049535483\ 30191101917409901136274724604875111550006588335491842048*n^65+43759189749500395\ 7551445190065883440820496752642592095522765469810011428898191822605289207391915\ 31236084653492786789220352*n^64+76607989895411698076767661357530060341440711169\ 481442811881377923507535228478686772022133932167781370676715439959827283968*n^ 63+1304213517636201460659831008182819795339382652246293471590739979872346008932\ 46948012441569531859340261239165939916871570432*n^62+21605351750217616555409286\ 4247024688882909624227435562346347583914814773777371921472986639063516877027990\ 510546473770707968*n^61+3484693256961239636325806856508368107022683795130818825\ 54029809148830772811388968325975017846520584218343257248654386271232*n^60+54751\ 5606136451992460058541183895939952529768121492543599699310905994288339341976829\ 466053264393544654664235141966545005568*n^59+8384594478579485303846809725872286\ 7604593196754672673250139848133486447330778487135527550232350894616754609603693\ 3651497472*n^58+125208502491515851991842767843748556982664753679603730498026770\ 2399973255491793462262574165129723993635449561560067280265728*n^57+182411816026\ 7208408052489143399304568461719064972018244557455279681606724760652828880584923\ 584713417703388186252909734377472*n^56+2593761861579276702930814397603927096900\ 2810836034209185388917903355072283507938515264097283653898731594604925787200529\ 12128*n^55+36011894184175261252368086946923235413687245620978470459206734812822\ 33525640985408013760095136461957001473160545557083074272*n^54+48839602087946159\ 8810567719324110001459979018167000845916217523402795739913037981425129293820171\ 1650329825625429708686800288*n^53+647249202161393645650607912896819868534825312\ 7572149149944307092381218144354346814430434391050898786206955662310771693462112 *n^52+8384923813856516915987373908171329422861296388076309870982560139093883519\ 784279977840182857553345113782680520898725737656288*n^51+1062190257146885802910\ 7146790729047119111236179096353151954531197691603233141190746003931985485695027\ 549397019655710641966037*n^50+1316198640772203386989888674947049184893223503039\ 6578324541236308151423723480999809973971840774942985828295664105305328896013*n^ 49+1595843077686864239225025327119841289054479887967798073003329628584848724303\ 8050317731539485348708326149381746778209820046054*n^48+189380816100885632954767\ 8021145713056760326520926764647733069223363867693283661441572319310196400108597\ 8770964682796203819996*n^47+220029224102858671205726237320498628201062572785118\ 67229688648514716567469539785934292186142749618717850800401492613415385554*n^46 +250345213717353324079208156931117880618893534503947900158977655299515317251307\ 30187003056141729507620581555217772168655446346*n^45+27901236370290774273997788\ 3189949004633860269048841502488851953385117266134681421163673453125844217363972\ 49924600426500504504*n^44+30467620226244989764038455106069012743643338214171026\ 582045107708529467334167024942417145921649098109705469478981347979638756*n^43+ 3260509856149595124450643070273031010211120362470629230971969741730561543572539\ 4908273571284085736273016040377486041702469219*n^42+342027383853144444187948026\ 8639282095574618340066477296592457358928878811305172649494510910114115641185072\ 2682865528410500131*n^41+351768403562557288708158645008867337642370857819668328\ 41200334106603250938408132537948293845400512659902936512969204720124294*n^40+35\ 4781948498583414888842930450071504716075550855135982995443408239117742900787666\ 40428170205635522595108849726522134807456656*n^39+35096129064010191579383515728\ 0679961958572032871701934295146696520360125111029881514650793790160393270390218\ 90634601099943324*n^38+34058892975542332021481704296283977453829187525233309472\ 976082950134161283943905435432208538158323490450332363809772007565276*n^37+3243\ 0414967546748876101770847503254311721602714732020605337769148923171928406894691\ 925599672152224000753636125687313666061824*n^36+3030392236069469531227740147441\ 3290325796438247066563470427447648352969330492213320144294093173447591620330836\ 311679622067976*n^35+2779329330445123473114652151672819309268489260012975393108\ 7828643454394014707079694551315925864071921939063367457902543789099*n^34+250232\ 3058420742761394513921733920790791244535792219590663233487014409835642375230157\ 9195314210921919452153074851317062934691*n^33+221194006284364843707577078902810\ 9938107671816781367179869574512182865185214389860755205241144903145900961988632\ 0868742203634*n^32+191995699192644024995238711552717831719600718265230311161265\ 70258639679920209991839034952303490997542932291577162609896340316*n^31+16366530\ 9221847844010018207148250166031313985429383025614911050287446908209145389773574\ 10014492200293483007123043740175898034*n^30+13703292992540201103911842036705140\ 3672129276617562947039441239283344918500839682872159699237554898130878496289132\ 55491453866*n^29+11270678678354046061557621677464237863170758538549605706139218\ 298610797364743674653626212403644188631577776755814630112031944*n^28+9107164954\ 0078436277793658895981790510069810086920939607967731914927764459788436149585384\ 31659521866127725776829169760955956*n^27+72305806243427423404931027786611125667\ 5350891534015736450951349319093653865247583407575893807576202043294326526854401\ 1715069*n^26+564113531632248308763013724153389654529490053464329038030243616894\ 9614621839501054217431090851035347233252498249195555018381*n^25+432521360464091\ 4280875520919942280707978418010466053707096643366074625535037605406211758031062\ 906829930449988450217888413794*n^24+3259406147597630975679118759764774609215537\ 2490017207084634649125706452043302289702657466086648504658045253284691657332158\ 00*n^23+24143452624866695701778745469087323046090909553345030731568118103668306\ 75862364580919723752241477045173385819038985912932000*n^22+17580382687476862012\ 0994503827068926099585276353460892097744464272167410336741667045260524614980548\ 7301609915363633923434800*n^21+125852382700622869015020588045315674393842477217\ 4397364060889098848529330687621382070615460891297775976574784941203331829600*n^ 20+8857943887270236656697308147066233025315116951502855374996290832999715456821\ 34607538522203834655777907599438422022200000000*n^19+61302068617942467059219175\ 8941542100417059902038320843942738642702745311576443068270081873524124508684096\ 964345716604000000*n^18+4171752599424597794129548337694669681267735003124751934\ 90238647012659829127673532719064890332449607081620990403774572000000*n^17+27918\ 4954405826386027079415759951096317546645976415605386115048806072323616583899126\ 836919972594772687372131209708536000000*n^16+1837478836671719436890022692987265\ 7040077854246984979414862259065895006342644397261681246024990245052881257455606\ 0000000000*n^15+118942032446022701989927691748875156486511112436428481008832312\ 302401236587691976470579130011805791947047667146240000000000*n^14+7572749526468\ 1058087511768261831506359465757400488071184194296401632357057731497713004257646\ 931968227820102575560000000000*n^13+4742440492970807665111444729517339108224976\ 5919300942286654537740312704530753613747180113603583015631269445462160000000000 *n^12+2921420597054661620214096441516368702318156700234201173223518435463224634\ 3580001570489158048164662466605322000000000000000*n^11+177037954452943256926120\ 3281080476347191662895752982330963758836823241764011686775644574802565275002536\ 3508000000000000000*n^10+105534503570419593880483747147699746574866871979975852\ 78804487530332709530091643221253327542913721174263648000000000000000*n^9+619024\ 8117066655811252440657170869623630305738716877218668546180039481441463605851941\ 625048428313842546777600000000000000*n^8+35706111141297129537863723293088394050\ 9621351332114241669189475857325057853509664274740955992985946489600000000000000\ 0000*n^7+2029114819320800784786449233159555890136874937467095179571942506172967\ 774848128996214756397880420646272000000000000000000*n^6+11308920329061372866582\ 0223777083022772412390779240744393279608740458218014682334606214349136875402854\ 4000000000000000000*n^5+6266880643362312381372898484190715043990261820298279240\ 16936908408945796130976746860468248820680114176000000000000000000*n^4+333358817\ 2633415881622805003711931815050456200405924960564792256252687691522620693806948\ 25250816000000000000000000000000*n^3+190418870861802041101874771896983210273229\ 652137216006389405669607050255255041645379597324558336000000000000000000000000* n^2+863521864205178911325962690576818964712504919259563681935654316394420293747\ 63059889789473914880000000000000000000000000*n+89876765458090049954334892284526\ 0555108933691474239750586089186451335407778146133546788401971200000000000000000\ 00000000) ------------------------------ This ends this book that took, 96.747, seconds to generate