The Sorting Probabilities of The entries in the first row vs. those not rel\ ated to it in lower rows in a random Standard Young tableau of shape, [n, n, n, n, n], and its Limiting behavior as n goes to infinity for i from 2 to, 8 By Shalosh B. Ekhad --------------------------------------------- The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 2], vs. those in the, 2, -th row from j=1 to j=, 1, are as follws -5 + n [- --------] -1 + 5 n and in Maple notation [-(-5+n)/(-1+5*n)] The limits, as n goes to infinity are [-1/5] and in Maple notation [-1/5] and in floating point [-.2000000000] The cut off is at j=, 1 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 2], vs. those in the, 3, -th row from j=1 to j=, 1, are as follws 2 3 (7 n - 9 n - 2) [- ---------------------] (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) and in Maple notation [-3*(7*n^2-9*n-2)/(-1+5*n)/(-2+5*n)] The limits, as n goes to infinity are -21 [---] 25 and in Maple notation [-21/25] and in floating point [-.8400000000] The cut off is at j=, 1 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 2], vs. those in the, 4, -th row from j=1 to j=, 1, are as follws 3 2 3 (41 n - 54 n + 11 n - 6) [- --------------------------------] (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) and in Maple notation [-3*(41*n^3-54*n^2+11*n-6)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n)] The limits, as n goes to infinity are -123 [----] 125 and in Maple notation [-123/125] and in floating point [-.9840000000] The cut off is at j=, 1 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 2], vs. those in the, 5, -th row from j=1 to j=, 1, are as follws 4 3 2 3 (1041 n - 2090 n + 1435 n - 450 n + 24) [- ---------------------------------------------] 5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) and in Maple notation [-3/5*(1041*n^4-2090*n^3+1435*n^2-450*n+24)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n) ] The limits, as n goes to infinity are -3123 [-----] 3125 and in Maple notation [-3123/3125] and in floating point [-.9993600000] The cut off is at j=, 1 --------------------------------------------- The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 3], vs. those in the, 2, -th row from j=1 to j=, 2, are as follws 2 4 3 2 11 n + 27 n - 26 3 (533 n - 2702 n + 3263 n - 1302 n + 120) [---------------------, - ---------------------------------------------] (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) 5 (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-1 + 5 n) (-6 + 5 n) and in Maple notation [(11*n^2+27*n-26)/(-1+5*n)/(-2+5*n), -3/5*(533*n^4-2702*n^3+3263*n^2-1302*n+120 )/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-1+5*n)/(-6+5*n)] The limits, as n goes to infinity are 11 -1599 [--, -----] 25 3125 and in Maple notation [11/25, -1599/3125] and in floating point [.4400000000, -.5116800000] The cut off is at j=, 2 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 3], vs. those in the, 3, -th row from j=1 to j=, 2, are as follws 2 3 (-5 + n) (19 n - 10 n - 8) [- --------------------------------, (-4 + 5 n) (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) 6 5 4 3 2 74849 n - 367523 n + 648471 n - 567289 n + 268672 n - 63996 n + 5040 - ------------------------------------------------------------------------- 5 (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) ] and in Maple notation [-3*(-5+n)*(19*n^2-10*n-8)/(-4+5*n)/(-1+5*n)/(-2+5*n), -1/5*(74849*n^6-367523*n ^5+648471*n^4-567289*n^3+268672*n^2-63996*n+5040)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-1+5*n)/(-\ 2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)] The limits, as n goes to infinity are -57 -74849 [---, ------] 125 78125 and in Maple notation [-57/125, -74849/78125] and in floating point [-.4560000000, -.9580672000] The cut off is at j=, 1 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 3], vs. those in the, 4, -th row from j=1 to j=, 2, are as follws 5 4 3 2 14125 n - 56456 n + 57035 n - 20140 n + 11220 n - 7344 7 [- ----------------------------------------------------------, - (390149 n 5 (-6 + 5 n) (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) 6 5 4 3 2 - 2425711 n + 6098651 n - 8076013 n + 5968808 n - 2433292 n + 512976 n - 40320)/(5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n))] and in Maple notation [-1/5*(14125*n^5-56456*n^4+57035*n^3-20140*n^2+11220*n-7344)/(-6+5*n)/(-1+5*n)/ (-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n), -1/5*(390149*n^7-2425711*n^6+6098651*n^5-8076013*n^ 4+5968808*n^3-2433292*n^2+512976*n-40320)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/( -6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)] The limits, as n goes to infinity are -113 -390149 [----, -------] 125 390625 and in Maple notation [-113/125, -390149/390625] and in floating point [-.9040000000, -.9987814400] The cut off is at j=, 1 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 3], vs. those in the, 5, -th row from j=1 to j=, 2, are as follws 7 6 5 4 3 2 [- 3 (129389 n - 812807 n + 2031587 n - 2664405 n + 2009656 n - 860428 n + 153808 n + 13440)/(5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) 8 7 (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n)), - (9765541 n - 78126344 n 6 5 4 3 2 + 261709846 n - 476594084 n + 512013529 n - 329638436 n + 122690124 n - 23862096 n + 1814400)/(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n))] and in Maple notation [-3/5*(129389*n^7-812807*n^6+2031587*n^5-2664405*n^4+2009656*n^3-860428*n^2+ 153808*n+13440)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n), -1/25*(9765541*n^8-78126344*n^7+261709846*n^6-476594084*n^5+512013529*n^4-\ 329638436*n^3+122690124*n^2-23862096*n+1814400)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+ 5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)] The limits, as n goes to infinity are -388167 -9765541 [-------, --------] 390625 9765625 and in Maple notation [-388167/390625, -9765541/9765625] and in floating point [-.9937075200, -.9999913984] The cut off is at j=, 1 --------------------------------------------- The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 4], vs. those in the, 2, -th row from j=1 to j=, 3, are as follws 3 2 97 n + 18 n - 253 n + 162 [--------------------------------, (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) 6 5 4 3 2 6815 n + 137995 n - 579687 n + 764033 n - 422432 n + 93468 n - 5040 ------------------------------------------------------------------------, - 5 (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) 8 7 6 5 4 3 (2144903 n - 24984811 n + 116232076 n - 285742050 n + 406969667 n 3 2 - 342014699 n + 163213354 n - 39154440 n + 3326400)/(25 (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-1 + 5 n))] and in Maple notation [(97*n^3+18*n^2-253*n+162)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 1/5*(6815*n^6+137995*n^5 -579687*n^4+764033*n^3-422432*n^2+93468*n-5040)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+ 5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -3/25*(2144903*n^8-24984811*n^7+116232076*n^6-285742050 *n^5+406969667*n^4-342014699*n^3+163213354*n^2-39154440*n+3326400)/(-11+5*n)/(-\ 9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-1+5*n)] The limits, as n goes to infinity are 97 1363 -6434709 [---, -----, --------] 125 15625 9765625 and in Maple notation [97/125, 1363/15625, -6434709/9765625] and in floating point [.7760000000, .8723200000e-1, -.6589142016] The cut off is at j=, 3 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 4], vs. those in the, 3, -th row from j=1 to j=, 3, are as follws 5 4 3 2 85 n + 47104 n - 128365 n + 66620 n + 46740 n - 28944 8 [---------------------------------------------------------, - (1535105 n 5 (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) 7 6 5 4 3 - 15158344 n + 54918830 n - 98046724 n + 98306069 n - 62083972 n 2 + 26447004 n - 6383952 n + 362880)/(5 (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) 10 (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - (240259045 n 9 8 7 6 - 3068321535 n + 16836223602 n - 52371550614 n + 102138854589 n 5 4 3 2 - 129963483975 n + 108547534028 n - 58244643876 n + 19003088736 n - 3356856000 n + 239500800)/(25 (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n))] and in Maple notation [1/5*(85*n^5+47104*n^4-128365*n^3+66620*n^2+46740*n-28944)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-\ 3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/5*(1535105*n^8-15158344*n^7+54918830*n^6-98046724* n^5+98306069*n^4-62083972*n^3+26447004*n^2-6383952*n+362880)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/ (-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/25*(240259045*n^10-\ 3068321535*n^9+16836223602*n^8-52371550614*n^7+102138854589*n^6-129963483975*n^ 5+108547534028*n^4-58244643876*n^3+19003088736*n^2-3356856000*n+239500800)/(-12 +5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/ (-1+5*n)] The limits, as n goes to infinity are 17 -307021 -48051809 [----, -------, ---------] 3125 390625 48828125 and in Maple notation [17/3125, -307021/390625, -48051809/48828125] and in floating point [.5440000000e-2, -.7859737600, -.9841010483] The cut off is at j=, 2 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 4], vs. those in the, 4, -th row from j=1 to j=, 3, are as follws [- 3 (-5 + n) ( 6 5 4 3 2 94221 n - 399119 n + 521579 n - 208973 n + 83376 n - 163404 n + 81648) /(5 (-9 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) 9 8 7 6 (-1 + 5 n)), - (48177905 n - 500949303 n + 2170004262 n - 5240573718 n 5 4 3 2 + 7810509537 n - 7328889087 n + 4204820248 n - 1439491572 n + 296056368 n - 19958400)/(25 (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) 11 (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - (1220471201 n 10 9 8 7 - 18556103068 n + 124070921205 n - 480227855256 n + 1190995575015 n 6 5 4 3 - 1978170258876 n + 2233237233775 n - 1702385471984 n + 851729598804 n 2 - 263642070816 n + 44836632000 n - 3113510400)/(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n))] and in Maple notation [-3/5*(-5+n)*(94221*n^6-399119*n^5+521579*n^4-208973*n^3+83376*n^2-163404*n+ 81648)/(-9+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/25*( 48177905*n^9-500949303*n^8+2170004262*n^7-5240573718*n^6+7810509537*n^5-\ 7328889087*n^4+4204820248*n^3-1439491572*n^2+296056368*n-19958400)/(-11+5*n)/(-\ 9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/25*( 1220471201*n^11-18556103068*n^10+124070921205*n^9-480227855256*n^8+ 1190995575015*n^7-1978170258876*n^6+2233237233775*n^5-1702385471984*n^4+ 851729598804*n^3-263642070816*n^2+44836632000*n-3113510400)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/( -3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5 *n)] The limits, as n goes to infinity are -282663 -9635581 -1220471201 [-------, --------, -----------] 390625 9765625 1220703125 and in Maple notation [-282663/390625, -9635581/9765625, -1220471201/1220703125] and in floating point [-.7236172800, -.9866834944, -.9998100079] The cut off is at j=, 1 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 4], vs. those in the, 5, -th row from j=1 to j=, 3, are as follws 10 9 8 7 [- (237440443 n - 3082420257 n + 16964488590 n - 52347116106 n 6 5 4 3 + 101044745571 n - 128976678873 n + 111206439860 n - 62490251964 n 2 + 18749729376 n - 108509760 n - 1197504000)/(25 (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) 11 10 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - (1220474237 n - 18557009644 n 9 8 7 6 + 124066804785 n - 480218875560 n + 1191058464171 n - 1978150599852 n 5 4 3 2 + 2232968535235 n - 1702695739040 n + 852006809892 n - 263040201504 n + 45088678080 n - 3113510400)/(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) 12 11 (-12 + 5 n) (-13 + 5 n)), - (30517566113 n - 549316622466 n 10 9 8 + 4400633119981 n - 20690924815590 n + 63390950184279 n 7 6 5 - 132822971488998 n + 194303144074663 n - 198887505477210 n 4 3 2 + 140459511595508 n - 66211591595736 n + 19576227459456 n - 3216402000000 n + 217945728000)/(125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n))] and in Maple notation [-1/25*(237440443*n^10-3082420257*n^9+16964488590*n^8-52347116106*n^7+ 101044745571*n^6-128976678873*n^5+111206439860*n^4-62490251964*n^3+18749729376* n^2-108509760*n-1197504000)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+ 5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/25*(1220474237*n^11-18557009644*n^ 10+124066804785*n^9-480218875560*n^8+1191058464171*n^7-1978150599852*n^6+ 2232968535235*n^5-1702695739040*n^4+852006809892*n^3-263040201504*n^2+ 45088678080*n-3113510400)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n) /(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n), -1/125*(30517566113*n^12-\ 549316622466*n^11+4400633119981*n^10-20690924815590*n^9+63390950184279*n^8-\ 132822971488998*n^7+194303144074663*n^6-198887505477210*n^5+140459511595508*n^4 -66211591595736*n^3+19576227459456*n^2-3216402000000*n+217945728000)/(-1+5*n)/( -2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5* n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)] The limits, as n goes to infinity are -237440443 -1220474237 -30517566113 [----------, -----------, ------------] 244140625 1220703125 30517578125 and in Maple notation [-237440443/244140625, -1220474237/1220703125, -30517566113/30517578125] and in floating point [-.9725560545, -.9998124950, -.9999996064] The cut off is at j=, 1 --------------------------------------------- The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 5], vs. those in the, 2, -th row from j=1 to j=, 4, are as follws 4 3 2 2873 n - 3730 n - 4445 n + 11350 n - 5928 7 6 [---------------------------------------------, (207545 n - 406795 n 5 (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) 5 4 3 2 - 2205865 n + 8182079 n - 9886216 n + 5174564 n - 1071216 n + 40320)/( 5 (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) 10 9 8 (-1 + 5 n)), - (35381665 n - 1096519995 n + 9388596162 n 7 6 5 4 - 38808058494 n + 91998184329 n - 134022262755 n + 122483804468 n 3 2 - 69199959396 n + 22859993376 n - 3878055360 n + 239500800)/(25 (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) 11 (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - (-5 + n) (22699906913 n 10 9 8 - 396036127027 n + 3058617033630 n - 13766772854670 n 7 6 5 + 39997123768329 n - 78446103455811 n + 105436755683800 n 4 3 2 - 96441931262780 n + 58251027746208 n - 21789753774912 n + 4423286085120 n - 348713164800)/(125 (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-1 + 5 n))] and in Maple notation [1/5*(2873*n^4-3730*n^3-4445*n^2+11350*n-5928)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5 *n), 1/5*(207545*n^7-406795*n^6-2205865*n^5+8182079*n^4-9886216*n^3+5174564*n^2 -1071216*n+40320)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n ), -1/25*(35381665*n^10-1096519995*n^9+9388596162*n^8-38808058494*n^7+ 91998184329*n^6-134022262755*n^5+122483804468*n^4-69199959396*n^3+22859993376*n ^2-3878055360*n+239500800)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5 *n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/125*(-5+n)*(22699906913*n^11-\ 396036127027*n^10+3058617033630*n^9-13766772854670*n^8+39997123768329*n^7-\ 78446103455811*n^6+105436755683800*n^5-96441931262780*n^4+58251027746208*n^3-\ 21789753774912*n^2+4423286085120*n-348713164800)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/( -12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-1+5* n)] The limits, as n goes to infinity are 2873 41509 -7076333 -22699906913 [----, -----, --------, ------------] 3125 78125 48828125 30517578125 and in Maple notation [2873/3125, 41509/78125, -7076333/48828125, -22699906913/30517578125] and in floating point [.9193600000, .5313152000, -.1449232998, -.7438305497] The cut off is at j=, 3 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 5], vs. those in the, 3, -th row from j=1 to j=, 4, are as follws 7 6 5 4 3 2 [(156013 n + 346345 n - 6253997 n + 17578651 n - 16688792 n - 1440524 n + 9898128 n - 3427200)/(5 (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) 9 8 (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - (22889855 n - 396460041 n 7 6 5 4 + 2242162554 n - 5879181066 n + 8047341999 n - 6333327969 n 3 2 + 3649953736 n - 1896320844 n + 571833936 n - 19958400)/(25 (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) 11 10 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - (-5 + n) (5484998725 n - 77701878505 n 9 8 7 6 + 482737292820 n - 1739576207730 n + 4045780678617 n - 6373067420169 n 5 4 3 2 + 6911532634454 n - 5118929145500 n + 2506840466808 n - 761306990976 n + 126912514176 n - 8717829120)/(25 (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) 14 13 (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - (757329870245 n - 18709349497035 n 12 11 10 + 208740312818339 n - 1392619561289451 n + 6196586056025465 n 9 8 7 - 19410300969328245 n + 44017001229144937 n - 73157575135547433 n 6 5 4 + 89174467645567870 n - 78927581228277420 n + 49621009474014424 n 3 2 - 21321392236060416 n + 5861186323758720 n - 910822389120000 n + 59281238016000)/(125 (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n))] and in Maple notation [1/5*(156013*n^7+346345*n^6-6253997*n^5+17578651*n^4-16688792*n^3-1440524*n^2+ 9898128*n-3427200)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5* n), -1/25*(22889855*n^9-396460041*n^8+2242162554*n^7-5879181066*n^6+8047341999* n^5-6333327969*n^4+3649953736*n^3-1896320844*n^2+571833936*n-19958400)/(-11+5*n )/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/ 25*(-5+n)*(5484998725*n^11-77701878505*n^10+482737292820*n^9-1739576207730*n^8+ 4045780678617*n^7-6373067420169*n^6+6911532634454*n^5-5118929145500*n^4+ 2506840466808*n^3-761306990976*n^2+126912514176*n-8717829120)/(-14+5*n)/(-13+5* n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-\ 2+5*n)/(-1+5*n), -1/125*(757329870245*n^14-18709349497035*n^13+208740312818339* n^12-1392619561289451*n^11+6196586056025465*n^10-19410300969328245*n^9+ 44017001229144937*n^8-73157575135547433*n^7+89174467645567870*n^6-\ 78927581228277420*n^5+49621009474014424*n^4-21321392236060416*n^3+ 5861186323758720*n^2-910822389120000*n+59281238016000)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+ 5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n) /(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n)] The limits, as n goes to infinity are 156013 -4577971 -219399949 -151465974049 [------, --------, ----------, -------------] 390625 9765625 244140625 152587890625 and in Maple notation [156013/390625, -4577971/9765625, -219399949/244140625, -151465974049/ 152587890625] and in floating point [.3993932800, -.4687842304, -.8986621911, -.9926474075] The cut off is at j=, 2 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 5], vs. those in the, 4, -th row from j=1 to j=, 4, are as follws 10 9 8 7 [- (110707187 n - 2330660745 n + 17162243070 n - 61502130330 n 6 5 4 3 + 116486316891 n - 111309753345 n + 44398832020 n - 22516636380 n 2 + 54881682912 n - 49180806720 n + 14130547200)/(25 (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) 11 (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - (-5 + n) (5734410715 n 10 9 8 7 - 79929781087 n + 487023796116 n - 1727489024670 n + 4003747195959 n 6 5 4 - 6382607033439 n + 7022651717426 n - 5136291599780 n 3 2 + 2383593514536 n - 743513042304 n + 177289112448 n - 8717829120)/(25 (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - ( 13 12 11 152146295185 n - 3235112876882 n + 30801151778669 n 10 9 8 - 173859164982214 n + 647946253491015 n - 1678416776712246 n 7 6 5 + 3096871071249287 n - 4103131741847002 n + 3884278360203700 n 4 3 2 - 2578603370090072 n + 1157352896982144 n - 329223137491584 n + 52552160640000 n - 3487131648000)/(125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) 15 (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16)), - (3814530865105 n 14 13 12 - 107574489711705 n + 1382602141179805 n - 10725127803511893 n 11 10 9 + 56048970110784667 n - 208563535713202755 n + 569422848023854655 n 8 7 6 - 1158083001553251399 n + 1762772729071655336 n - 1999853502591282840 n 5 4 3 + 1668809779750897040 n - 999747638709039408 n + 413065210866763392 n 2 - 110050094167200000 n + 16691209194240000 n - 1067062284288000)/(125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18))] and in Maple notation [-1/25*(110707187*n^10-2330660745*n^9+17162243070*n^8-61502130330*n^7+ 116486316891*n^6-111309753345*n^5+44398832020*n^4-22516636380*n^3+54881682912*n ^2-49180806720*n+14130547200)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-\ 6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/25*(-5+n)*(5734410715*n^11-\ 79929781087*n^10+487023796116*n^9-1727489024670*n^8+4003747195959*n^7-\ 6382607033439*n^6+7022651717426*n^5-5136291599780*n^4+2383593514536*n^3-\ 743513042304*n^2+177289112448*n-8717829120)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+ 5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -\ 1/125*(152146295185*n^13-3235112876882*n^12+30801151778669*n^11-173859164982214 *n^10+647946253491015*n^9-1678416776712246*n^8+3096871071249287*n^7-\ 4103131741847002*n^6+3884278360203700*n^5-2578603370090072*n^4+1157352896982144 *n^3-329223137491584*n^2+52552160640000*n-3487131648000)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+ 5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n) /(-14+5*n)/(5*n-16), -1/125*(3814530865105*n^15-107574489711705*n^14+ 1382602141179805*n^13-10725127803511893*n^12+56048970110784667*n^11-\ 208563535713202755*n^10+569422848023854655*n^9-1158083001553251399*n^8+ 1762772729071655336*n^7-1999853502591282840*n^6+1668809779750897040*n^5-\ 999747638709039408*n^4+413065210866763392*n^3-110050094167200000*n^2+ 16691209194240000*n-1067062284288000)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5 *n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16) /(-17+5*n)/(5*n-18)] The limits, as n goes to infinity are -110707187 -1146882143 -30429259037 -762906173021 [----------, -----------, ------------, -------------] 244140625 1220703125 30517578125 762939453125 and in Maple notation [-110707187/244140625, -1146882143/1220703125, -30429259037/30517578125, -\ 762906173021/762939453125] and in floating point [-.4534566380, -.9395258515, -.9971059601, -.9999563791] The cut off is at j=, 1 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 5], vs. those in the, 5, -th row from j=1 to j=, 4, are as follws 12 11 10 [- (-5 + n) (140715239879 n - 2443628922363 n + 18659399022148 n 9 8 7 - 82806555682230 n + 238525718685267 n - 473622064522299 n 6 5 4 + 673768137211354 n - 699795396430740 n + 518471888815304 n 3 2 - 241206681381888 n + 37828412466048 n + 21550310046720 n - 9066542284800)/(125 (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) 14 (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - 7 (108824929193 n 13 12 11 - 2681457478791 n + 29856989063711 n - 198961891702695 n 10 9 8 + 885008016363149 n - 2772676012566873 n + 6288723671431453 n 7 6 5 - 10450786206913725 n + 12736640307781078 n - 11277797190514236 n 4 3 2 + 7094888119162936 n - 3041227035818880 n + 832090151652480 n - 134089730380800 n + 8468748288000)/(125 (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - 7 ( 15 14 13 544949405791 n - 15367849307895 n + 197514076024915 n 12 11 10 - 1532159793144315 n + 8007003058035637 n - 29794796598324525 n 9 8 7 + 81346069834508945 n - 165440461134853545 n + 251824805275023128 n 6 5 4 - 285693115009352040 n + 238401481244182640 n - 142821245895410640 n 3 2 + 59009146490818944 n - 15721493009207040 n + 2384458456320000 n - 152437469184000)/(125 (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - ( 16 15 14 95367428315017 n - 3051757865709728 n + 44784545565876700 n 13 12 - 399475098587420240 n + 2420111999039482414 n 11 10 - 10538742671763915536 n + 34049105112848447300 n 9 8 - 83047238763013058320 n + 154087206503563397921 n 7 6 - 217459757366838356944 n + 231706324900770659000 n 5 4 - 183530612412597089440 n + 105302656614883821648 n 3 2 - 41992449482134449792 n + 10872039175740000000 n - 1612341430560000000 n + 101370917007360000)/(625 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19))] and in Maple notation [-1/125*(-5+n)*(140715239879*n^12-2443628922363*n^11+18659399022148*n^10-\ 82806555682230*n^9+238525718685267*n^8-473622064522299*n^7+673768137211354*n^6-\ 699795396430740*n^5+518471888815304*n^4-241206681381888*n^3+37828412466048*n^2+ 21550310046720*n-9066542284800)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n )/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -7/ 125*(108824929193*n^14-2681457478791*n^13+29856989063711*n^12-198961891702695*n ^11+885008016363149*n^10-2772676012566873*n^9+6288723671431453*n^8-\ 10450786206913725*n^7+12736640307781078*n^6-11277797190514236*n^5+ 7094888119162936*n^4-3041227035818880*n^3+832090151652480*n^2-134089730380800*n +8468748288000)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+ 5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -7/125*( 544949405791*n^15-15367849307895*n^14+197514076024915*n^13-1532159793144315*n^ 12+8007003058035637*n^11-29794796598324525*n^10+81346069834508945*n^9-\ 165440461134853545*n^8+251824805275023128*n^7-285693115009352040*n^6+ 238401481244182640*n^5-142821245895410640*n^4+59009146490818944*n^3-\ 15721493009207040*n^2+2384458456320000*n-152437469184000)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5 *n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5 *n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/625*(95367428315017*n^16-\ 3051757865709728*n^15+44784545565876700*n^14-399475098587420240*n^13+ 2420111999039482414*n^12-10538742671763915536*n^11+34049105112848447300*n^10-\ 83047238763013058320*n^9+154087206503563397921*n^8-217459757366838356944*n^7+ 231706324900770659000*n^6-183530612412597089440*n^5+105302656614883821648*n^4-\ 41992449482134449792*n^3+10872039175740000000*n^2-1612341430560000000*n+ 101370917007360000)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5 *n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18 )/(5*n-19)] The limits, as n goes to infinity are -140715239879 -761774504351 -3814645840537 -95367428315017 [-------------, -------------, --------------, ---------------] 152587890625 762939453125 3814697265625 95367431640625 and in Maple notation [-140715239879/152587890625, -761774504351/762939453125, -3814645840537/ 3814697265625, -95367428315017/95367431640625] and in floating point [-.9221913961, -.9984730783, -.9999865192, -.9999999651] The cut off is at j=, 1 --------------------------------------------- The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 6], vs. those in the, 2, -th row from j=1 to j=, 5, are as follws 4 3 2 3041 n - 5074 n - 1589 n + 11686 n - 9960 8 7 [---------------------------------------------, 9 (170683 n - 992392 n 5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) 6 5 4 3 2 + 1129498 n + 4232948 n - 13722857 n + 15386468 n - 7732812 n + 1537488 n - 40320)/(5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) 11 (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n)), (388853885 n 10 9 8 7 - 1941829300 n - 16641111615 n + 185559498384 n - 760881738213 n 6 5 4 + 1736827678908 n - 2435313595085 n + 2149643303176 n 3 2 - 1174318501452 n + 372893108832 n - 59324339520 n + 3113510400)/(25 (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - ( 14 13 12 233575649785 n - 8011981647855 n + 112895139834439 n 11 10 9 - 898403568944031 n + 4586235350816725 n - 16015891412081025 n 8 7 6 + 39597223785125237 n - 70461218301629733 n + 90553431518501150 n 5 4 3 - 83358078049137420 n + 53808373697086424 n - 23424612158252736 n 2 + 6421355304186240 n - 972785397427200 n + 59281238016000)/(125 (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) 16 15 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - 3 (25380527966033 n - 947122043698855 n 14 13 12 + 16166927582728230 n - 167511957189359440 n + 1178494171812519086 n 11 10 - 5963786026242070530 n + 22427787753893239840 n 9 8 - 63832751921347814420 n + 138670031061170581329 n 7 6 - 230092504812403088975 n + 289659198259404516130 n 5 4 - 272532039470559295140 n + 186745456243301316552 n 3 2 - 89325468285247376640 n + 27765910819651132800 n - 4902905726925696000 n + 354798209525760000)/(625 (-1 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21))] and in Maple notation [1/5*(3041*n^4-5074*n^3-1589*n^2+11686*n-9960)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5 *n), 9/5*(170683*n^8-992392*n^7+1129498*n^6+4232948*n^5-13722857*n^4+15386468*n ^3-7732812*n^2+1537488*n-40320)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-\ 7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n), 1/25*(388853885*n^11-1941829300*n^10-16641111615*n^9+ 185559498384*n^8-760881738213*n^7+1736827678908*n^6-2435313595085*n^5+ 2149643303176*n^4-1174318501452*n^3+372893108832*n^2-59324339520*n+3113510400)/ (-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+ 5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/125*(233575649785*n^14-8011981647855*n^13+ 112895139834439*n^12-898403568944031*n^11+4586235350816725*n^10-\ 16015891412081025*n^9+39597223785125237*n^8-70461218301629733*n^7+ 90553431518501150*n^6-83358078049137420*n^5+53808373697086424*n^4-\ 23424612158252736*n^3+6421355304186240*n^2-972785397427200*n+59281238016000)/(-\ 17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+ 5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -3/625*(25380527966033*n^16-\ 947122043698855*n^15+16166927582728230*n^14-167511957189359440*n^13+ 1178494171812519086*n^12-5963786026242070530*n^11+22427787753893239840*n^10-\ 63832751921347814420*n^9+138670031061170581329*n^8-230092504812403088975*n^7+ 289659198259404516130*n^6-272532039470559295140*n^5+186745456243301316552*n^4-\ 89325468285247376640*n^3+27765910819651132800*n^2-4902905726925696000*n+ 354798209525760000)/(-1+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5 *n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19 )/(5*n-21)] The limits, as n goes to infinity are 3041 1536147 77770777 -46715129957 -76141583898099 [----, -------, ---------, ------------, ---------------] 3125 1953125 244140625 152587890625 95367431640625 and in Maple notation [3041/3125, 1536147/1953125, 77770777/244140625, -46715129957/152587890625, -\ 76141583898099/95367431640625] and in floating point [.9731200000, .7865072640, .3185491026, -.3061522757, -.7984023748] The cut off is at j=, 4 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 6], vs. those in the, 3, -th row from j=1 to j=, 5, are as follws 8 7 6 5 4 [(6560077 n - 23824184 n - 102333626 n + 744903100 n - 1577338367 n 3 2 + 1131779884 n + 472081356 n - 952814160 n + 284860800)/(25 (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) 11 10 9 (-1 + 5 n)), - 3 (33830155 n - 2528848820 n + 30511736535 n 8 7 6 5 - 162178160856 n + 462014871597 n - 745747685172 n + 688594712405 n 4 3 2 - 402511517344 n + 246399917148 n - 167821269408 n + 54681514560 n - 1037836800)/(25 (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) 13 12 11 (-1 + 5 n)), - (21304400965 n - 540661205378 n + 5749769320961 n 10 9 8 - 34468466536246 n + 131433984607155 n - 340093030522566 n 7 6 5 + 620408770175267 n - 814272747963562 n + 770945414446180 n 4 3 2 - 516938534426456 n + 234921133049472 n - 66980420145792 n + 10510432128000 n - 697426329600)/(25 (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) 16 (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - (18041761977325 n 15 14 13 - 591611223070760 n + 8819315964390820 n - 79401153381335720 n 12 11 + 483345792191319934 n - 2108864122366449176 n 10 9 + 6815568883807728380 n - 16617138960471686680 n 8 7 + 30816889708524619757 n - 43479485758015097248 n 6 5 + 46329367702971964280 n - 36706099711343845600 n 4 3 + 21067205027994512784 n - 8402684193758514816 n 2 + 2175250370751486720 n - 322468286112000000 n + 20274183401472000)/(125 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (-14 + 5 n) 18 (-12 + 5 n) (5 n - 19) (-13 + 5 n) (5 n - 16)), - 7 (339282114199195 n 17 16 15 - 13798045107380965 n + 259673790151452686 n - 3002030829909682300 n 14 13 + 23863760978789465330 n - 138329515882339200070 n 12 11 + 605030719464843143592 n - 2038001282842481314820 n 10 9 + 5348376105746715891355 n - 10990472970899740980365 n 8 7 + 17676303330633308209858 n - 22124343722828263533560 n 6 5 + 21305635044100164873920 n - 15497335906719418971600 n 4 3 + 8278645905497555784864 n - 3111221452130338936320 n 2 + 767444406136308979200 n - 109528069725043200000 n + 6690480522485760000 )/(625 (5 n - 22) (5 n - 21) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (5 n - 19) (-13 + 5 n) (5 n - 16))] and in Maple notation [1/25*(6560077*n^8-23824184*n^7-102333626*n^6+744903100*n^5-1577338367*n^4+ 1131779884*n^3+472081356*n^2-952814160*n+284860800)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/ (-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -3/25*(33830155*n^11-2528848820*n ^10+30511736535*n^9-162178160856*n^8+462014871597*n^7-745747685172*n^6+ 688594712405*n^5-402511517344*n^4+246399917148*n^3-167821269408*n^2+54681514560 *n-1037836800)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n )/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/25*(21304400965*n^13-540661205378*n^ 12+5749769320961*n^11-34468466536246*n^10+131433984607155*n^9-340093030522566*n ^8+620408770175267*n^7-814272747963562*n^6+770945414446180*n^5-516938534426456* n^4+234921133049472*n^3-66980420145792*n^2+10510432128000*n-697426329600)/(5*n-\ 16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n) /(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/125*(18041761977325*n^16-\ 591611223070760*n^15+8819315964390820*n^14-79401153381335720*n^13+ 483345792191319934*n^12-2108864122366449176*n^11+6815568883807728380*n^10-\ 16617138960471686680*n^9+30816889708524619757*n^8-43479485758015097248*n^7+ 46329367702971964280*n^6-36706099711343845600*n^5+21067205027994512784*n^4-\ 8402684193758514816*n^3+2175250370751486720*n^2-322468286112000000*n+ 20274183401472000)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-8+5 *n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(5*n-19)/(-13+5*n) /(5*n-16), -7/625*(339282114199195*n^18-13798045107380965*n^17+ 259673790151452686*n^16-3002030829909682300*n^15+23863760978789465330*n^14-\ 138329515882339200070*n^13+605030719464843143592*n^12-2038001282842481314820*n^ 11+5348376105746715891355*n^10-10990472970899740980365*n^9+ 17676303330633308209858*n^8-22124343722828263533560*n^7+21305635044100164873920 *n^6-15497335906719418971600*n^5+8278645905497555784864*n^4-\ 3111221452130338936320*n^3+767444406136308979200*n^2-109528069725043200000*n+ 6690480522485760000)/(5*n-22)/(5*n-21)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+5*n)/(-3+5*n)/(-7 +5*n)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(-14+5*n)/(-12+5*n )/(5*n-19)/(-13+5*n)/(5*n-16)] The limits, as n goes to infinity are 6560077 -20298093 -4260880193 -721670479093 -474994959878873 [-------, ---------, -----------, -------------, ----------------] 9765625 244140625 6103515625 762939453125 476837158203125 and in Maple notation [6560077/9765625, -20298093/244140625, -4260880193/6103515625, -721670479093/ 762939453125, -474994959878873/476837158203125] and in floating point [.6717518848, -.8314098893e-1, -.6981026108, -.9459079304, -.9961366301] The cut off is at j=, 2 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 6], vs. those in the, 4, -th row from j=1 to j=, 5, are as follws 12 11 10 9 [- (4275535009 n - 243246550626 n + 3333181077485 n - 21551074021830 n 8 7 6 + 77857500922647 n - 163048447287558 n + 184965606100775 n 5 4 3 - 80228112043770 n - 10931499854156 n - 56093673321816 n 2 + 142726750093440 n - 101009407363200 n + 24627867264000)/(125 (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - 9 ( 14 13 12 11 14060847617 n - 386588321151 n + 4587836642119 n - 31382926605503 n 10 9 8 + 139402836731973 n - 430359215247553 n + 965961617608981 n 7 6 5 - 1617532694984517 n + 2015178193436006 n - 1794587073433276 n 4 3 2 + 1067801119952760 n - 417050576495360 n + 141878839868544 n - 45404180720640 n + 1317360844800)/(25 (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - 3 ( 16 15 14 6247869815025 n - 202317306690320 n + 2984208213405620 n 13 12 11 - 26651632541001160 n + 161400117001094454 n - 702474204510583176 n 10 9 + 2269428959265267340 n - 5536657286549899000 n 8 7 + 10274388574873815697 n - 14497483857075682568 n 6 5 + 15443645684306420280 n - 12234849238017735840 n 4 3 2 + 7023105229363753424 n - 2799769967518407936 n + 723862593762428160 n - 107489428704000000 n + 6758061133824000)/(125 (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) 17 16 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - (95288804640745 n - 3451723998621449 n 15 14 13 + 57602443654731436 n - 587581741757544140 n + 4097917380042039550 n 12 11 - 20703130948983867710 n + 78311710604396597300 n 10 9 - 226053746707128599380 n + 502886038291027972625 n 8 7 - 864625610677068515473 n + 1145036595972985392632 n 6 5 - 1156697479773262250680 n + 876131764081187836080 n 4 3 - 484263523165820601168 n + 187240175879500789632 n 2 - 47274905968668000000 n + 6873204925359360000 n - 425757851430912000)/( 125 (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - ( 19 18 17 11920775927226005 n - 538824494839905490 n + 11325357302110152795 n 16 15 - 146982787963196819034 n + 1318987847077337491770 n 14 13 - 8684599982004868002900 n + 43447797909423329949590 n 12 11 - 168736616162125735869028 n + 515299783740853009798185 n 10 9 - 1245739870715824747850730 n + 2388134530634401852549935 n 8 7 - 3620257954329070570903842 n + 4307745111604850246151800 n 6 5 - 3972624444647029270896880 n + 2784813608808187047277680 n 4 3 - 1441741656411313369752096 n + 527761446682771059402240 n 2 - 127391087373188184000000 n + 17868186044018956800000 n - 1077167364120207360000)/(625 (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n))] and in Maple notation [-1/125*(4275535009*n^12-243246550626*n^11+3333181077485*n^10-21551074021830*n^ 9+77857500922647*n^8-163048447287558*n^7+184965606100775*n^6-80228112043770*n^5 -10931499854156*n^4-56093673321816*n^3+142726750093440*n^2-101009407363200*n+ 24627867264000)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5 *n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -9/25*(14060847617*n^14-\ 386588321151*n^13+4587836642119*n^12-31382926605503*n^11+139402836731973*n^10-\ 430359215247553*n^9+965961617608981*n^8-1617532694984517*n^7+2015178193436006*n ^6-1794587073433276*n^5+1067801119952760*n^4-417050576495360*n^3+ 141878839868544*n^2-45404180720640*n+1317360844800)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n )/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-\ 3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -3/125*(6247869815025*n^16-202317306690320*n^15+ 2984208213405620*n^14-26651632541001160*n^13+161400117001094454*n^12-\ 702474204510583176*n^11+2269428959265267340*n^10-5536657286549899000*n^9+ 10274388574873815697*n^8-14497483857075682568*n^7+15443645684306420280*n^6-\ 12234849238017735840*n^5+7023105229363753424*n^4-2799769967518407936*n^3+ 723862593762428160*n^2-107489428704000000*n+6758061133824000)/(5*n-19)/(5*n-18) /(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/( -7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/125*(95288804640745*n^ 17-3451723998621449*n^16+57602443654731436*n^15-587581741757544140*n^14+ 4097917380042039550*n^13-20703130948983867710*n^12+78311710604396597300*n^11-\ 226053746707128599380*n^10+502886038291027972625*n^9-864625610677068515473*n^8+ 1145036595972985392632*n^7-1156697479773262250680*n^6+876131764081187836080*n^5 -484263523165820601168*n^4+187240175879500789632*n^3-47274905968668000000*n^2+ 6873204925359360000*n-425757851430912000)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/ (5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6 +5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/625*(11920775927226005*n^19-\ 538824494839905490*n^18+11325357302110152795*n^17-146982787963196819034*n^16+ 1318987847077337491770*n^15-8684599982004868002900*n^14+43447797909423329949590 *n^13-168736616162125735869028*n^12+515299783740853009798185*n^11-\ 1245739870715824747850730*n^10+2388134530634401852549935*n^9-\ 3620257954329070570903842*n^8+4307745111604850246151800*n^7-\ 3972624444647029270896880*n^6+2784813608808187047277680*n^5-\ 1441741656411313369752096*n^4+527761446682771059402240*n^3-\ 127391087373188184000000*n^2+17868186044018956800000*n-1077167364120207360000)/ (5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+ 5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/ (-2+5*n)/(-1+5*n)] The limits, as n goes to infinity are -4275535009 -126547628553 -749744377803 -19057760928149 -2384155185445201 [-----------, -------------, -------------, ---------------, -----------------] 30517578125 152587890625 762939453125 19073486328125 2384185791015625 and in Maple notation [-4275535009/30517578125, -126547628553/152587890625, -749744377803/ 762939453125, -19057760928149/19073486328125, -2384155185445201/ 2384185791015625] and in floating point [-.1401007312, -.8293425385, -.9827049509, -.9991755361, -.9999871631] The cut off is at j=, 1 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 6], vs. those in the, 5, -th row from j=1 to j=, 5, are as follws 16 15 14 [- 3 (26445142704157 n - 920012068279760 n + 14333684888866060 n 13 12 - 132819620118290000 n + 819376581755915974 n 11 10 - 3570269578277398640 n + 11389964646366778580 n 9 8 - 27279351933479712400 n + 50055913799181556181 n 7 6 - 71556169127841173440 n + 80160273826386067160 n 5 4 - 68625680558521693600 n + 40773391580945996688 n 3 2 - 11987640068300300160 n - 2772961985058796800 n + 3625043185080576000 n - 912338253066240000)/(625 (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - 63 ( 17 16 15 7514723071275 n - 273475966583723 n + 4572435531045380 n 14 13 12 - 46654164342406020 n + 325258530083363770 n - 1642777265553798586 n 11 10 + 6214391283737839740 n - 17943124924829480860 n 9 8 + 39920054098144508035 n - 68613912507966893859 n 7 6 + 90834166623006339080 n - 91804601518760898920 n 5 4 + 69638637560637931920 n - 38456704404899726832 n 3 2 + 14734371326243932800 n - 3724146646884691200 n + 607816795961088000 n - 33790305669120000)/(625 (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) 18 17 (-1 + 5 n)), - (2383804706629085 n - 96797189324416595 n 16 15 + 1819823106275024914 n - 21025498992217206020 n 14 13 + 167079886622590276510 n - 968349675320676299210 n 12 11 + 4235155740875146999608 n - 14265639697459195594780 n 10 9 + 37437973587169302333725 n - 76933081117641246226795 n 8 7 + 123734996278587917302142 n - 154871371281213360051880 n 6 5 + 149139604996628605238080 n - 108481528844834478068400 n 4 3 + 57950073713156498538336 n - 21777951848592702136320 n 2 + 5372208589458621657600 n - 766696488075302400000 n + 46833363657400320000)/(625 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) 19 18 (5 n - 21) (5 n - 22)), - (2384181959360941 n - 107765215099169042 n 17 16 + 2265072020502639075 n - 29396552197782861114 n 15 14 + 263797552380130309770 n - 1736920025091585774804 n 13 12 + 8689559694778157355430 n - 33747323191383318230948 n 11 10 + 103059956558528775174369 n - 249147973926894558839466 n 9 8 + 477626905829321689489815 n - 724051591927360772546562 n 7 6 + 861549023086474293091288 n - 794524887505994185240688 n 5 4 + 556962721415482082653680 n - 288348331877828017337376 n 3 2 + 105552289307960793925632 n - 25478217474637636800000 n + 3573637208803791360000 n - 215433472824041472000)/(125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23)), - ( 20 19 18 59604644494931017 n - 2980232241574127330 n + 69558620448673965255 n 17 16 - 1006722450214278715050 n + 10122525215298691211922 n 15 14 - 75078706741450800847860 n + 425669393729033321998510 n 13 12 - 1886430246353850563082500 n + 6626177705521700690097357 n 11 10 - 18595894109958012484927290 n + 41838429507513790850972715 n 9 8 - 75416518576981501420844850 n + 108424916563718829206994952 n 7 6 - 123249004878185201755777520 n + 109267054626973910838233520 n 5 4 - 74044234874630652121677600 n + 37240607014266391231594752 n 3 2 - 13303230168767355000000000 n + 3146727027176611200000000 n - 434222301877056000000000 n + 25852016738884976640000)/(625 (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n))] and in Maple notation [-3/625*(26445142704157*n^16-920012068279760*n^15+14333684888866060*n^14-\ 132819620118290000*n^13+819376581755915974*n^12-3570269578277398640*n^11+ 11389964646366778580*n^10-27279351933479712400*n^9+50055913799181556181*n^8-\ 71556169127841173440*n^7+80160273826386067160*n^6-68625680558521693600*n^5+ 40773391580945996688*n^4-11987640068300300160*n^3-2772961985058796800*n^2+ 3625043185080576000*n-912338253066240000)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/ (-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4 +5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -63/625*(7514723071275*n^17-273475966583723*n ^16+4572435531045380*n^15-46654164342406020*n^14+325258530083363770*n^13-\ 1642777265553798586*n^12+6214391283737839740*n^11-17943124924829480860*n^10+ 39920054098144508035*n^9-68613912507966893859*n^8+90834166623006339080*n^7-\ 91804601518760898920*n^6+69638637560637931920*n^5-38456704404899726832*n^4+ 14734371326243932800*n^3-3724146646884691200*n^2+607816795961088000*n-\ 33790305669120000)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13 +5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n) /(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/625*(2383804706629085*n^18-96797189324416595*n^17+ 1819823106275024914*n^16-21025498992217206020*n^15+167079886622590276510*n^14-\ 968349675320676299210*n^13+4235155740875146999608*n^12-14265639697459195594780* n^11+37437973587169302333725*n^10-76933081117641246226795*n^9+ 123734996278587917302142*n^8-154871371281213360051880*n^7+ 149139604996628605238080*n^6-108481528844834478068400*n^5+ 57950073713156498538336*n^4-21777951848592702136320*n^3+5372208589458621657600* n^2-766696488075302400000*n+46833363657400320000)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-\ 4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5 *n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/(5*n-22), -1/125*( 2384181959360941*n^19-107765215099169042*n^18+2265072020502639075*n^17-\ 29396552197782861114*n^16+263797552380130309770*n^15-1736920025091585774804*n^ 14+8689559694778157355430*n^13-33747323191383318230948*n^12+ 103059956558528775174369*n^11-249147973926894558839466*n^10+ 477626905829321689489815*n^9-724051591927360772546562*n^8+ 861549023086474293091288*n^7-794524887505994185240688*n^6+ 556962721415482082653680*n^5-288348331877828017337376*n^4+ 105552289307960793925632*n^3-25478217474637636800000*n^2+3573637208803791360000 *n-215433472824041472000)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n) /(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/( 5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/(5*n-22)/(5*n-23), -1/625*(59604644494931017*n^20-\ 2980232241574127330*n^19+69558620448673965255*n^18-1006722450214278715050*n^17+ 10122525215298691211922*n^16-75078706741450800847860*n^15+ 425669393729033321998510*n^14-1886430246353850563082500*n^13+ 6626177705521700690097357*n^12-18595894109958012484927290*n^11+ 41838429507513790850972715*n^10-75416518576981501420844850*n^9+ 108424916563718829206994952*n^8-123249004878185201755777520*n^7+ 109267054626973910838233520*n^6-74044234874630652121677600*n^5+ 37240607014266391231594752*n^4-13303230168767355000000000*n^3+ 3146727027176611200000000*n^2-434222301877056000000000*n+ 25852016738884976640000)/(5*n-24)/(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/ (-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-\ 7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n)] The limits, as n goes to infinity are -79335428112471 -18937102139613 -476760941325817 -2384181959360941 [---------------, ---------------, ----------------, -----------------, 95367431640625 19073486328125 476837158203125 2384185791015625 -59604644494931017 ------------------] 59604644775390625 and in Maple notation [-79335428112471/95367431640625, -18937102139613/19073486328125, -\ 476760941325817/476837158203125, -2384181959360941/2384185791015625, -\ 59604644494931017/59604644775390625] and in floating point [-.8318922587, -.9928495407, -.9998401616, -.9999983929, -.9999999953] The cut off is at j=, 1 --------------------------------------------- The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 7], vs. those in the, 2, -th row from j=1 to j=, 6, are as follws 5 4 3 2 15493 n - 47360 n + 38915 n + 44060 n - 129708 n + 94320 8 [------------------------------------------------------------, (8899153 n 5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) 7 6 5 4 3 - 60703976 n + 124470526 n + 60554380 n - 584020523 n + 809745676 n 2 - 456948036 n + 97205040 n - 1814400)/(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n)), ( 12 11 10 9 19503489697 n - 262453386474 n + 1197839559269 n - 492584298870 n 8 7 6 - 16499334277209 n + 75385855856178 n - 171210378876193 n 5 4 3 + 234774992371590 n - 202373752290188 n + 107955748825896 n 2 - 33294861605376 n + 5017152631680 n - 217945728000)/(125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n)), ( 15 14 13 544353391501 n + 68647256067 n - 204873373485623 n 12 11 10 + 3181484860943127 n - 24818963747667281 n + 121735045318259601 n 9 8 7 - 407995025078776669 n + 971360902468509981 n - 1671346866526793656 n 6 5 4 + 2084512596491422632 n - 1867179061140458608 n + 1174259643926485392 n 3 2 - 497550656344616064 n + 132080733314323200 n - 19102261831833600 n + 1067062284288000)/(125 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (5 n - 16)), - ( 18 17 16 1008848483691997 n - 48486632625928819 n + 1044655582513245458 n 15 14 - 13505037093574586500 n + 117882620080315905374 n 13 12 - 739461241059656774218 n + 3458136115979336282616 n 11 10 - 12329056400939297008220 n + 33948877835651859002461 n 9 8 - 72642295780301943765707 n + 120833258834693161788094 n 7 6 - 155454734404009736854760 n + 152987504407510556187968 n 5 4 - 113085188091043194926256 n + 61035951515088349652832 n 3 2 - 23026878317986146155520 n + 5656258005975088243200 n - 794573490252326400000 n + 46833363657400320000)/(625 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (5 n - 21) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (5 n - 22) (5 n - 19) (-13 + 5 n) (5 n - 16)), - 3 ( 20 19 18 83050809870514391 n - 4669250850138731590 n + 122484686493910766265 n 17 16 - 1992493859745849874350 n + 22530304804338102142926 n 15 14 - 188116521586031329194780 n + 1202432599185398089330130 n 13 12 - 6019509816194132901270700 n + 23943235968172318808940051 n 11 10 - 76317727830919715605152270 n + 195701302676845390302095445 n 9 8 - 403700134338027553459364550 n + 667283197139367500840796056 n 7 6 - 876632103111137331840159760 n + 903375338615374459263902160 n 5 4 - 715927687891942896547970400 n + 423689262409507499621496576 n 3 2 - 179030182986257443975641600 n + 50216333702850317270016000 n - 8176451737868094320640000 n + 560127029342507827200000)/(3125 (-1 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23) (5 n - 24) (-26 + 5 n))] and in Maple notation [1/5*(15493*n^5-47360*n^4+38915*n^3+44060*n^2-129708*n+94320)/(-1+5*n)/(-2+5*n) /(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n), 1/25*(8899153*n^8-60703976*n^7+124470526*n^6+ 60554380*n^5-584020523*n^4+809745676*n^3-456948036*n^2+97205040*n-1814400)/(-1+ 5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n), 1/125*( 19503489697*n^12-262453386474*n^11+1197839559269*n^10-492584298870*n^9-\ 16499334277209*n^8+75385855856178*n^7-171210378876193*n^6+234774992371590*n^5-\ 202373752290188*n^4+107955748825896*n^3-33294861605376*n^2+5017152631680*n-\ 217945728000)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-\ 9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n), 1/125*(544353391501*n^15+ 68647256067*n^14-204873373485623*n^13+3181484860943127*n^12-24818963747667281*n ^11+121735045318259601*n^10-407995025078776669*n^9+971360902468509981*n^8-\ 1671346866526793656*n^7+2084512596491422632*n^6-1867179061140458608*n^5+ 1174259643926485392*n^4-497550656344616064*n^3+132080733314323200*n^2-\ 19102261831833600*n+1067062284288000)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+5*n)/(-3+5*n)/(-7+ 5*n)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(-14+5*n)/(-12+5*n) /(-13+5*n)/(5*n-16), -1/625*(1008848483691997*n^18-48486632625928819*n^17+ 1044655582513245458*n^16-13505037093574586500*n^15+117882620080315905374*n^14-\ 739461241059656774218*n^13+3458136115979336282616*n^12-12329056400939297008220* n^11+33948877835651859002461*n^10-72642295780301943765707*n^9+ 120833258834693161788094*n^8-155454734404009736854760*n^7+ 152987504407510556187968*n^6-113085188091043194926256*n^5+ 61035951515088349652832*n^4-23026878317986146155520*n^3+5656258005975088243200* n^2-794573490252326400000*n+46833363657400320000)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+5*n)/( -3+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(5*n-21)/(-17+5*n)/(5*n-18 )/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(5*n-22)/(5*n-19)/(-13+5*n)/(5*n-16), -3/3125*( 83050809870514391*n^20-4669250850138731590*n^19+122484686493910766265*n^18-\ 1992493859745849874350*n^17+22530304804338102142926*n^16-\ 188116521586031329194780*n^15+1202432599185398089330130*n^14-\ 6019509816194132901270700*n^13+23943235968172318808940051*n^12-\ 76317727830919715605152270*n^11+195701302676845390302095445*n^10-\ 403700134338027553459364550*n^9+667283197139367500840796056*n^8-\ 876632103111137331840159760*n^7+903375338615374459263902160*n^6-\ 715927687891942896547970400*n^5+423689262409507499621496576*n^4-\ 179030182986257443975641600*n^3+50216333702850317270016000*n^2-\ 8176451737868094320640000*n+560127029342507827200000)/(-1+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n )/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/( 5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/(5*n-22)/(5*n-23)/(5*n-24)/(-26+5* n)] The limits, as n goes to infinity are 15493 8899153 19503489697 544353391501 -1008848483691997 [-----, -------, -----------, -------------, -----------------, 15625 9765625 30517578125 3814697265625 2384185791015625 -249152429611543173 -------------------] 298023223876953125 and in Maple notation [15493/15625, 8899153/9765625, 19503489697/30517578125, 544353391501/ 3814697265625, -1008848483691997/2384185791015625, -249152429611543173/ 298023223876953125] and in floating point [.9915520000, .9112732672, .6390903504, .1426989755, -.4231417231, -.8360168257 ] The cut off is at j=, 5 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 7], vs. those in the, 3, -th row from j=1 to j=, 6, are as follws 10 9 8 7 [(203747701 n - 2039574159 n + 5603073042 n + 14176256874 n 6 5 4 3 - 132290344179 n + 362248556649 n - 450431795572 n + 133487197116 n 2 + 265245247008 n - 262064479680 n + 63467712000)/(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) 12 11 (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n)), (8470846757 n + 17720579862 n 10 9 8 - 1763617406495 n + 16287610030050 n - 70620015529869 n 7 6 5 + 169099979200866 n - 226547011779965 n + 159576953248350 n 4 3 2 - 64933974372988 n + 56399813577672 n - 58238254535040 n + 21063216585600 n - 217945728000)/(125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) 15 (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n)), - 3 (502314818505 n 14 13 12 - 20801246934785 n + 342801898441965 n - 3129387201808381 n 11 10 9 + 18067432981579419 n - 70687912405245915 n + 195371111203020975 n 8 7 6 - 392349518382074623 n + 584400509154737712 n - 653920253574986360 n 5 4 3 + 549021452372068560 n - 337326464214123696 n + 143298174907332864 n 2 - 38275821317226240 n + 5563736398080000 n - 355687428096000)/(125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) 17 (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18)), - (389670467173135 n 16 15 14 - 15248395414438367 n + 268545090050614108 n - 2838275604760309460 n 13 12 + 20223270309196413010 n - 103318865686408800914 n 11 10 + 392504255195918738876 n - 1133352620243158479340 n 9 8 + 2517692223663315167975 n - 4321915039570829697271 n 7 6 + 5718880649523055835024 n - 5778329299612088035240 n 5 4 + 4381143568908711908880 n - 2424533124439793990448 n 3 2 + 938096597347284148992 n - 236744679980986248960 n + 34366024626796800000 n - 2128789257154560000)/(625 (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) 20 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (5 n - 19) (5 n - 21)), - 3 (19243379033918295 n 19 18 - 973016111565636926 n + 22891270828895424409 n 17 16 - 333104263844476449846 n + 3361132901380953158190 n 15 14 - 24982798852499169241932 n + 141810612177250811036178 n 13 12 - 628807549306307027188412 n + 2209115812413938620001875 n 11 10 - 6199647460153574117734758 n + 13947248250356978258395317 n 9 8 - 25138726417123216466581038 n + 36139781501404495547374200 n 7 6 - 41080845061155344852973584 n + 36421735324422784427196496 n 5 4 - 24682290456418030411732704 n + 12414539063820140362909440 n 3 2 - 4434833267811231912460800 n + 1048976719435709490585600 n - 144740767292352000000000 n + 8617338912961658880000)/(625 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (5 n - 24) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (5 n - 21) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 23) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (5 n - 22) (5 n - 19) (-13 + 5 n) 22 21 (5 n - 16)), - (7434030361784450185 n - 450852806074338411675 n 20 19 + 12841188128952861358919 n - 228341661124235341350045 n 18 17 + 2842497214803762018291390 n - 26326555542503341803575730 n 16 15 + 188204265366337682566823134 n - 1063314859956359460641163690 n 14 13 + 4821878390154611853973970645 n - 17725638802783416583572993135 n 12 11 + 53127574396392894726335248059 n - 130135067611870818173881698585 n 10 9 + 260333144490813885601542805300 n - 423780693898710379429771532340 n 8 7 + 557533818162443268272064844304 n - 586637662698749796215453284080 n 6 5 + 486291054481557612456985260480 n - 310902423696130108558138557120 n 4 3 + 148735023955715377920432835584 n - 50918164993810938167057433600 n 2 + 11623607664804940423514112000 n - 1558374201767489154048000000 n + 90740578753486268006400000)/(3125 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (5 n - 24) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (5 n - 21) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (-26 + 5 n) (5 n - 23) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (5 n - 22) (5 n - 19) (-13 + 5 n) (5 n - 16) (-27 + 5 n))] and in Maple notation [1/25*(203747701*n^10-2039574159*n^9+5603073042*n^8+14176256874*n^7-\ 132290344179*n^6+362248556649*n^5-450431795572*n^4+133487197116*n^3+ 265245247008*n^2-262064479680*n+63467712000)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n )/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n), 1/125*(8470846757*n^ 12+17720579862*n^11-1763617406495*n^10+16287610030050*n^9-70620015529869*n^8+ 169099979200866*n^7-226547011779965*n^6+159576953248350*n^5-64933974372988*n^4+ 56399813577672*n^3-58238254535040*n^2+21063216585600*n-217945728000)/(-1+5*n)/( -2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5* n)/(-13+5*n)/(-14+5*n), -3/125*(502314818505*n^15-20801246934785*n^14+ 342801898441965*n^13-3129387201808381*n^12+18067432981579419*n^11-\ 70687912405245915*n^10+195371111203020975*n^9-392349518382074623*n^8+ 584400509154737712*n^7-653920253574986360*n^6+549021452372068560*n^5-\ 337326464214123696*n^4+143298174907332864*n^3-38275821317226240*n^2+ 5563736398080000*n-355687428096000)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n )/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/( -17+5*n)/(5*n-18), -1/625*(389670467173135*n^17-15248395414438367*n^16+ 268545090050614108*n^15-2838275604760309460*n^14+20223270309196413010*n^13-\ 103318865686408800914*n^12+392504255195918738876*n^11-1133352620243158479340*n^ 10+2517692223663315167975*n^9-4321915039570829697271*n^8+5718880649523055835024 *n^7-5778329299612088035240*n^6+4381143568908711908880*n^5-\ 2424533124439793990448*n^4+938096597347284148992*n^3-236744679980986248960*n^2+ 34366024626796800000*n-2128789257154560000)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5* n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/( -3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(5*n-19)/(5*n-21), -3/625*(19243379033918295*n^20-\ 973016111565636926*n^19+22891270828895424409*n^18-333104263844476449846*n^17+ 3361132901380953158190*n^16-24982798852499169241932*n^15+ 141810612177250811036178*n^14-628807549306307027188412*n^13+ 2209115812413938620001875*n^12-6199647460153574117734758*n^11+ 13947248250356978258395317*n^10-25138726417123216466581038*n^9+ 36139781501404495547374200*n^8-41080845061155344852973584*n^7+ 36421735324422784427196496*n^6-24682290456418030411732704*n^5+ 12414539063820140362909440*n^4-4434833267811231912460800*n^3+ 1048976719435709490585600*n^2-144740767292352000000000*n+8617338912961658880000 )/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(5*n-24)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+ 5*n)/(-9+5*n)/(5*n-21)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-23)/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(5*n-22) /(5*n-19)/(-13+5*n)/(5*n-16), -1/3125*(7434030361784450185*n^22-\ 450852806074338411675*n^21+12841188128952861358919*n^20-\ 228341661124235341350045*n^19+2842497214803762018291390*n^18-\ 26326555542503341803575730*n^17+188204265366337682566823134*n^16-\ 1063314859956359460641163690*n^15+4821878390154611853973970645*n^14-\ 17725638802783416583572993135*n^13+53127574396392894726335248059*n^12-\ 130135067611870818173881698585*n^11+260333144490813885601542805300*n^10-\ 423780693898710379429771532340*n^9+557533818162443268272064844304*n^8-\ 586637662698749796215453284080*n^7+486291054481557612456985260480*n^6-\ 310902423696130108558138557120*n^5+148735023955715377920432835584*n^4-\ 50918164993810938167057433600*n^3+11623607664804940423514112000*n^2-\ 1558374201767489154048000000*n+90740578753486268006400000)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-\ 11+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(5*n-24)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(5*n-21) /(-17+5*n)/(5*n-18)/(-26+5*n)/(5*n-23)/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(5*n-22)/(5*n-19)/(-\ 13+5*n)/(5*n-16)/(-27+5*n)] The limits, as n goes to infinity are 203747701 8470846757 -301388891103 -77934093434627 -11546027420350977 [---------, -----------, -------------, ---------------, ------------------, 244140625 30517578125 762939453125 95367431640625 11920928955078125 -1486806072356890037 --------------------] 1490116119384765625 and in Maple notation [203747701/244140625, 8470846757/30517578125, -301388891103/762939453125, -\ 77934093434627/95367431640625, -11546027420350977/11920928955078125, -\ 1486806072356890037/1490116119384765625] and in floating point [.8345505833, .2775727065, -.3950364473, -.8171981996, -.9685509799, -.99777866\ 50] The cut off is at j=, 3 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 7], vs. those in the, 4, -th row from j=1 to j=, 6, are as follws 15 14 13 [(627051753079 n + 6661120640433 n - 445160744364197 n 12 11 10 + 6493977444383757 n - 49911453341262035 n + 237389487374399979 n 9 8 7 - 733767238760423191 n + 1460533017135202671 n - 1713733609668692632 n 6 5 4 + 793014935611553208 n + 436511704468547888 n - 135189330314136528 n 3 2 - 1397301679913104512 n + 1916735834909364480 n - 1028552036808038400 n + 210211270004736000)/(125 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (5 n - 16)), - ( 16 15 14 61444937077481 n - 2412946340003440 n + 40581989634948620 n 13 12 - 392959089769116640 n + 2471012697969097982 n 11 10 - 10782475842399970240 n + 34164422997566630260 n 9 8 - 81581133028790280320 n + 151215071299209817393 n 7 6 - 219502698927632531600 n + 242001173863292135320 n 5 4 - 187753628972019955040 n + 92922659348849832144 n 3 2 - 31845853979261262720 n + 15622231043381932800 n - 6767615732145408000 n + 101370917007360000)/(625 (5 n - 19) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) 18 17 (-13 + 5 n) (5 n - 16)), - 7 (63933357797371 n - 2684166143560645 n 16 15 14 + 51456964364059742 n - 600083353576343068 n + 4781790925290776402 n 13 12 - 27699620936674060390 n + 120994531644432093672 n 11 10 - 407331838660970158628 n + 1069381092787683795163 n 9 8 - 2198893396544157686285 n + 3536738055194661651250 n 7 6 - 4423833645669076335800 n + 4258303603374231783104 n 5 4 - 3100039176415187267280 n + 1658136886472293458336 n 3 2 - 622143690289734587904 n + 152724375829674984960 n - 21905613945008640000 n + 1338096104497152000)/(125 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (5 n - 21) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) 20 (5 n - 22) (5 n - 19) (-13 + 5 n) (5 n - 16)), - 7 (8464347771955675 n 19 18 - 424674833617625990 n + 9928891649273941845 n 17 16 - 143800740118490843550 n + 1446168851111753176374 n 15 14 - 10726073834034837445020 n + 60810255491853125932810 n 13 12 - 269486453490161845268300 n + 946589546679306741367143 n 11 10 - 2656563524087441507128590 n + 5976948994972099730198145 n 9 8 - 10773792749472941553434550 n + 15489221272786633216893592 n 7 6 - 17606972244211202901122000 n + 15609619651721944168189200 n 5 4 - 10577777478489486881013600 n + 5320075165735918218345216 n 3 2 - 1900451717328418366118400 n + 449532432453801600000000 n - 62031757411008000000000 n + 3693145248412139520000)/(625 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (5 n - 24) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (5 n - 21) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 23) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (5 n - 22) (5 n - 19) (-13 + 5 n) 21 20 (5 n - 16)), - (1489694888289420565 n - 82246307830545951588 n 19 18 + 2126341569062843140895 n - 34210597783855276155720 n 17 16 + 383937725230775279282190 n - 3192899184402927430144248 n 15 14 + 20401968119771045809297150 n - 102497756815100958341024640 n 13 12 + 410890334224549714006134065 n - 1326300485953424032509847428 n 11 10 + 3463427134562593813865509155 n - 7324408875210551981552905560 n 9 8 + 12514770091368073262692120540 n - 17176464020601108336833874048 n 7 6 + 18754047108275416295137774160 n - 16055823216141094264047454080 n 5 4 + 10556765744560451796994712640 n - 5173859589029064053462642688 n 3 2 + 1808088067250228225082608640 n - 419930071079885856000000000 n + 57095199662489404416000000 n - 3360762176055046963200000)/(3125 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (5 n - 24) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (5 n - 21) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (-26 + 5 n) (5 n - 23) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (5 n - 22) 23 (5 n - 19) (-13 + 5 n) (5 n - 16)), - (37252735430336682205 n 22 21 - 2466138212072941373795 n + 76906346303971027079495 n 20 19 - 1502210053531660543978453 n + 20613918906869625165298050 n 18 17 - 211268364953864631110347650 n + 1678351969977213830721982510 n 16 15 - 10586814618095805512002386458 n + 53883034926393548347216103345 n 14 13 - 223640683964071830791945431255 n + 761951422561293573978116113275 n 12 - 2138235781267204645315244024433 n 11 + 4945432469530344191380481731840 n 10 - 9408226500113312043680344263860 n 9 + 14653545218585375424636570045440 n 8 - 18544165491140094549968574798448 n 7 + 18857329992953816518671081250560 n 6 5 - 15170659230041297732370503413440 n + 9448928486580928444593336449280 n 4 3 - 4419160385962381787836789982208 n + 1483822751276705642326347264000 n 2 - 333252332697979669524480000000 n + 44088180543257127653376000000 n - 2540736205097615504179200000)/(3125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23) (5 n - 24) (-26 + 5 n) (-27 + 5 n) (-28 + 5 n))] and in Maple notation [1/125*(627051753079*n^15+6661120640433*n^14-445160744364197*n^13+ 6493977444383757*n^12-49911453341262035*n^11+237389487374399979*n^10-\ 733767238760423191*n^9+1460533017135202671*n^8-1713733609668692632*n^7+ 793014935611553208*n^6+436511704468547888*n^5-135189330314136528*n^4-\ 1397301679913104512*n^3+1916735834909364480*n^2-1028552036808038400*n+ 210211270004736000)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-8+ 5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(5*n-16 ), -1/625*(61444937077481*n^16-2412946340003440*n^15+40581989634948620*n^14-\ 392959089769116640*n^13+2471012697969097982*n^12-10782475842399970240*n^11+ 34164422997566630260*n^10-81581133028790280320*n^9+151215071299209817393*n^8-\ 219502698927632531600*n^7+242001173863292135320*n^6-187753628972019955040*n^5+ 92922659348849832144*n^4-31845853979261262720*n^3+15622231043381932800*n^2-\ 6767615732145408000*n+101370917007360000)/(5*n-19)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+5*n)/ (-3+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(-14+5 *n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(5*n-16), -7/125*(63933357797371*n^18-2684166143560645* n^17+51456964364059742*n^16-600083353576343068*n^15+4781790925290776402*n^14-\ 27699620936674060390*n^13+120994531644432093672*n^12-407331838660970158628*n^11 +1069381092787683795163*n^10-2198893396544157686285*n^9+3536738055194661651250* n^8-4423833645669076335800*n^7+4258303603374231783104*n^6-\ 3100039176415187267280*n^5+1658136886472293458336*n^4-622143690289734587904*n^3 +152724375829674984960*n^2-21905613945008640000*n+1338096104497152000)/(-2+5*n) /(-1+5*n)/(-11+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(5*n-\ 21)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(5*n-22)/(5*n-19)/(-13+5*n)/(5*n-16) , -7/625*(8464347771955675*n^20-424674833617625990*n^19+9928891649273941845*n^ 18-143800740118490843550*n^17+1446168851111753176374*n^16-\ 10726073834034837445020*n^15+60810255491853125932810*n^14-\ 269486453490161845268300*n^13+946589546679306741367143*n^12-\ 2656563524087441507128590*n^11+5976948994972099730198145*n^10-\ 10773792749472941553434550*n^9+15489221272786633216893592*n^8-\ 17606972244211202901122000*n^7+15609619651721944168189200*n^6-\ 10577777478489486881013600*n^5+5320075165735918218345216*n^4-\ 1900451717328418366118400*n^3+449532432453801600000000*n^2-\ 62031757411008000000000*n+3693145248412139520000)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+5*n)/( -3+5*n)/(-7+5*n)/(5*n-24)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(5*n-21)/(-17+5*n )/(5*n-18)/(5*n-23)/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(5*n-22)/(5*n-19)/(-13+5*n)/(5*n-16), -\ 1/3125*(1489694888289420565*n^21-82246307830545951588*n^20+ 2126341569062843140895*n^19-34210597783855276155720*n^18+ 383937725230775279282190*n^17-3192899184402927430144248*n^16+ 20401968119771045809297150*n^15-102497756815100958341024640*n^14+ 410890334224549714006134065*n^13-1326300485953424032509847428*n^12+ 3463427134562593813865509155*n^11-7324408875210551981552905560*n^10+ 12514770091368073262692120540*n^9-17176464020601108336833874048*n^8+ 18754047108275416295137774160*n^7-16055823216141094264047454080*n^6+ 10556765744560451796994712640*n^5-5173859589029064053462642688*n^4+ 1808088067250228225082608640*n^3-419930071079885856000000000*n^2+ 57095199662489404416000000*n-3360762176055046963200000)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+ 5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(5*n-24)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(5*n-21)/(-\ 17+5*n)/(5*n-18)/(-26+5*n)/(5*n-23)/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(5*n-22)/(5*n-19)/(-13+ 5*n)/(5*n-16), -1/3125*(37252735430336682205*n^23-2466138212072941373795*n^22+ 76906346303971027079495*n^21-1502210053531660543978453*n^20+ 20613918906869625165298050*n^19-211268364953864631110347650*n^18+ 1678351969977213830721982510*n^17-10586814618095805512002386458*n^16+ 53883034926393548347216103345*n^15-223640683964071830791945431255*n^14+ 761951422561293573978116113275*n^13-2138235781267204645315244024433*n^12+ 4945432469530344191380481731840*n^11-9408226500113312043680344263860*n^10+ 14653545218585375424636570045440*n^9-18544165491140094549968574798448*n^8+ 18857329992953816518671081250560*n^7-15170659230041297732370503413440*n^6+ 9448928486580928444593336449280*n^5-4419160385962381787836789982208*n^4+ 1483822751276705642326347264000*n^3-333252332697979669524480000000*n^2+ 44088180543257127653376000000*n-2540736205097615504179200000)/(-1+5*n)/(-2+5*n) /(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13 +5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/(5*n-22)/(5*n-23) /(5*n-24)/(-26+5*n)/(-27+5*n)/(-28+5*n)] The limits, as n goes to infinity are 627051753079 -61444937077481 -447533504581597 -2370017376147589 [-------------, ---------------, ----------------, -----------------, 3814697265625 95367431640625 476837158203125 2384185791015625 -297938977657884113 -7450547086067336441 -------------------, --------------------] 298023223876953125 7450580596923828125 and in Maple notation [627051753079/3814697265625, -61444937077481/95367431640625, -447533504581597/ 476837158203125, -2370017376147589/2384185791015625, -297938977657884113/ 298023223876953125, -7450547086067336441/7450580596923828125] and in floating point [.1643778548, -.6442968634, -.9385457842, -.9940573361, -.9997173166, -.9999955\ 022] The cut off is at j=, 2 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 7], vs. those in the, 5, -th row from j=1 to j=, 6, are as follws 20 19 [- 3 (69414771728864239 n - 3875310281026243310 n 18 17 + 98901901749379000785 n - 1535671131403415853750 n 16 15 + 16272151332505391985054 n - 125024085277024444828140 n 14 13 + 722308282966216713867970 n - 3212168609816146903211900 n 12 11 + 11174656445692235033555979 n - 30791723497603351314530070 n 10 9 + 67974893339363274438953805 n - 121664705874815428355395950 n 8 7 + 178522774963542087855306424 n - 215262682833861194539341200 n 6 5 + 208529105668720275441861840 n - 150723902434444012676786400 n 4 3 + 65987860641641711148098304 n - 787503106322200699937280 n 2 - 19123350349063074263654400 n + 10893304783829466206208000 n - 2128482711501529743360000)/(3125 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (5 n - 24) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (5 n - 21) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 23) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (5 n - 22) (5 n - 19) (-13 + 5 n) (5 n - 16)), - 3 ( 20 19 18 97027684199128819 n - 4913128247418382070 n + 115518475900046327805 n 17 16 - 1677696251164402868430 n + 16885019629120154394534 n 15 14 - 125194651923802565042940 n + 709376909376627981733210 n 13 12 - 3142871827507734426249260 n + 11041817954344147727448159 n 11 10 - 31000929243702691582104510 n + 69756996760839566452822665 n 9 8 - 125684004147571924213505190 n + 180573199824930909347505304 n 7 6 - 205320782265797392880332880 n + 182415265646096926274770320 n 5 4 - 123806356817809460455617120 n + 61803028594422327473213184 n 3 2 - 21637242096137944106457600 n + 5304905415843693198336000 n - 968340513379727093760000 n + 43086694564808294400000)/(3125 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (5 n - 24) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (5 n - 21) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 23) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (5 n - 22) (5 n - 19) (-13 + 5 n) 21 20 (5 n - 16)), - 3 (496194675874273055 n - 27409946419962603996 n 19 18 + 708780178980381722605 n - 11403897113155784841720 n 17 16 + 127980731429471221003050 n - 1064293943757557654205576 n 15 14 + 6800614486830772221710810 n - 34165944577642834641776640 n 13 12 + 136963954866519066355654195 n - 442100304235489680402404796 n 11 10 + 1154472107306834384813625465 n - 2441467780276931454953347560 n 9 8 + 4171606004083061272386414740 n - 5725494338755276459074765696 n 7 6 + 6251305027750555757534452720 n - 5351937641537239135675774080 n 5 4 + 3518988138779949207141024960 n - 1724600257073599404024999936 n 3 2 + 602660967357639372070118400 n - 139995077245911929825280000 n + 19031733220829801472000000 n - 1120254058685015654400000)/(3125 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (5 n - 24) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (5 n - 21) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (-26 + 5 n) (5 n - 23) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (5 n - 22) 22 (5 n - 19) (-13 + 5 n) (5 n - 16)), - 3 (2483465719028000675 n 21 20 - 150501133833142174345 n + 4284284773837759299021 n 19 18 - 76155397752361765526815 n + 947791193130045557115690 n 17 16 - 8776925897147256252289830 n + 62739341490231830107647626 n 15 14 - 354447339712632742079618830 n + 1607297285456612037845351655 n 13 12 - 5908514048984656756464236965 n + 17709082415575440398853592521 n 11 10 - 43378191107081418872164311795 n + 86777629432947308723520287420 n 9 8 - 141260372636628873956132520700 n + 185844924525342325768121960496 n 7 6 - 195546128512721398238088366160 n + 162097014989301859035681994560 n 5 4 - 103633990971060612945799748160 n + 49578217677130361563524750336 n 3 2 - 16972676122037123118111206400 n + 3874529305823121711360000000 n - 519458067255829718016000000 n + 30246859584495422668800000)/(3125 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (5 n - 24) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (5 n - 21) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (-26 + 5 n) (5 n - 23) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (5 n - 22) 23 (5 n - 19) (-13 + 5 n) (5 n - 16) (-27 + 5 n)), - (7450578600752568185 n 22 21 - 493228426793362464055 n + 15381276726764151906955 n 20 19 - 300442040392784957318561 n + 4122783777002802180403050 n 18 17 - 42253672520465267868576570 n + 335670392495700470176151030 n 16 15 - 2117362923474489282875235826 n + 10776606994866797548507411165 n 14 13 - 44728136812986857754931155035 n + 152390284506465243691337958255 n 12 11 - 427647156176537921377763317581 n + 989086493826953950382542603280 n 10 9 - 1881645300098597628125645270500 n + 2930709043903293681922493750080 n 8 7 - 3708833098271093461773950461616 n + 3771465998452257019543187704320 n 6 5 - 3034131845904969990997202043840 n + 1889785697332906502314669543680 n 4 3 - 883832077234071166609444156416 n + 296764550267724889318080000000 n 2 - 66650466539595933904896000000 n + 8817636108651425530675200000 n - 508147241019523100835840000)/(625 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23) (5 n - 24) (-26 + 5 n) 24 (-27 + 5 n) (-28 + 5 n)), - (186264514764495794801 n 23 22 - 13411045074462890625000 n + 456050038345637514947450 n 21 20 - 9741336107254028320312500 n + 146633690297442628270785515 n 19 18 - 1654145461320877075195312500 n + 14518542327882603973991564000 n 17 16 - 101606279990673065185546875000 n + 576432798775192085560266869255 n 15 - 2680811434639320373535156250000 n 14 + 10295336950535605247929220502050 n 13 - 32787770157598337173461914062500 n 12 + 86735999991363914072569360679885 n 11 - 190458674107991073440551757812500 n 10 + 346106294611549136248598895184100 n 9 - 517673638821935514587402343750000 n 8 + 632067449211146699321692688596400 n 7 - 622715865923746474383984375000000 n 6 + 487193760089148193300306091102400 n 5 - 296114728043980918375312500000000 n 4 + 135574764955743995261651203974144 n 3 2 - 44697121452310007298744000000000 n + 9884758550957696054476800000000 n - 1291260916779944779468800000000 n + 73681349947830849621196800000)/(3125 (-29 + 5 n) (-28 + 5 n) (-27 + 5 n) (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n))] and in Maple notation [-3/3125*(69414771728864239*n^20-3875310281026243310*n^19+98901901749379000785* n^18-1535671131403415853750*n^17+16272151332505391985054*n^16-\ 125024085277024444828140*n^15+722308282966216713867970*n^14-\ 3212168609816146903211900*n^13+11174656445692235033555979*n^12-\ 30791723497603351314530070*n^11+67974893339363274438953805*n^10-\ 121664705874815428355395950*n^9+178522774963542087855306424*n^8-\ 215262682833861194539341200*n^7+208529105668720275441861840*n^6-\ 150723902434444012676786400*n^5+65987860641641711148098304*n^4-\ 787503106322200699937280*n^3-19123350349063074263654400*n^2+ 10893304783829466206208000*n-2128482711501529743360000)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+ 5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(5*n-24)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(5*n-21)/(-\ 17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-23)/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(5*n-22)/(5*n-19)/(-13+5*n)/(5*n-\ 16), -3/3125*(97027684199128819*n^20-4913128247418382070*n^19+ 115518475900046327805*n^18-1677696251164402868430*n^17+16885019629120154394534* n^16-125194651923802565042940*n^15+709376909376627981733210*n^14-\ 3142871827507734426249260*n^13+11041817954344147727448159*n^12-\ 31000929243702691582104510*n^11+69756996760839566452822665*n^10-\ 125684004147571924213505190*n^9+180573199824930909347505304*n^8-\ 205320782265797392880332880*n^7+182415265646096926274770320*n^6-\ 123806356817809460455617120*n^5+61803028594422327473213184*n^4-\ 21637242096137944106457600*n^3+5304905415843693198336000*n^2-\ 968340513379727093760000*n+43086694564808294400000)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+5*n) /(-3+5*n)/(-7+5*n)/(5*n-24)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(5*n-21)/(-17+5 *n)/(5*n-18)/(5*n-23)/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(5*n-22)/(5*n-19)/(-13+5*n)/(5*n-16), -3/3125*(496194675874273055*n^21-27409946419962603996*n^20+ 708780178980381722605*n^19-11403897113155784841720*n^18+ 127980731429471221003050*n^17-1064293943757557654205576*n^16+ 6800614486830772221710810*n^15-34165944577642834641776640*n^14+ 136963954866519066355654195*n^13-442100304235489680402404796*n^12+ 1154472107306834384813625465*n^11-2441467780276931454953347560*n^10+ 4171606004083061272386414740*n^9-5725494338755276459074765696*n^8+ 6251305027750555757534452720*n^7-5351937641537239135675774080*n^6+ 3518988138779949207141024960*n^5-1724600257073599404024999936*n^4+ 602660967357639372070118400*n^3-139995077245911929825280000*n^2+ 19031733220829801472000000*n-1120254058685015654400000)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+ 5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(5*n-24)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(5*n-21)/(-\ 17+5*n)/(5*n-18)/(-26+5*n)/(5*n-23)/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(5*n-22)/(5*n-19)/(-13+ 5*n)/(5*n-16), -3/3125*(2483465719028000675*n^22-150501133833142174345*n^21+ 4284284773837759299021*n^20-76155397752361765526815*n^19+ 947791193130045557115690*n^18-8776925897147256252289830*n^17+ 62739341490231830107647626*n^16-354447339712632742079618830*n^15+ 1607297285456612037845351655*n^14-5908514048984656756464236965*n^13+ 17709082415575440398853592521*n^12-43378191107081418872164311795*n^11+ 86777629432947308723520287420*n^10-141260372636628873956132520700*n^9+ 185844924525342325768121960496*n^8-195546128512721398238088366160*n^7+ 162097014989301859035681994560*n^6-103633990971060612945799748160*n^5+ 49578217677130361563524750336*n^4-16972676122037123118111206400*n^3+ 3874529305823121711360000000*n^2-519458067255829718016000000*n+ 30246859584495422668800000)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(5*n-\ 24)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(5*n-21)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(-26+5*n)/( 5*n-23)/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(5*n-22)/(5*n-19)/(-13+5*n)/(5*n-16)/(-27+5*n), -1/ 625*(7450578600752568185*n^23-493228426793362464055*n^22+ 15381276726764151906955*n^21-300442040392784957318561*n^20+ 4122783777002802180403050*n^19-42253672520465267868576570*n^18+ 335670392495700470176151030*n^17-2117362923474489282875235826*n^16+ 10776606994866797548507411165*n^15-44728136812986857754931155035*n^14+ 152390284506465243691337958255*n^13-427647156176537921377763317581*n^12+ 989086493826953950382542603280*n^11-1881645300098597628125645270500*n^10+ 2930709043903293681922493750080*n^9-3708833098271093461773950461616*n^8+ 3771465998452257019543187704320*n^7-3034131845904969990997202043840*n^6+ 1889785697332906502314669543680*n^5-883832077234071166609444156416*n^4+ 296764550267724889318080000000*n^3-66650466539595933904896000000*n^2+ 8817636108651425530675200000*n-508147241019523100835840000)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/( -3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5 *n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/(5*n-22)/(5*n-23)/( 5*n-24)/(-26+5*n)/(-27+5*n)/(-28+5*n), -1/3125*(186264514764495794801*n^24-\ 13411045074462890625000*n^23+456050038345637514947450*n^22-\ 9741336107254028320312500*n^21+146633690297442628270785515*n^20-\ 1654145461320877075195312500*n^19+14518542327882603973991564000*n^18-\ 101606279990673065185546875000*n^17+576432798775192085560266869255*n^16-\ 2680811434639320373535156250000*n^15+10295336950535605247929220502050*n^14-\ 32787770157598337173461914062500*n^13+86735999991363914072569360679885*n^12-\ 190458674107991073440551757812500*n^11+346106294611549136248598895184100*n^10-\ 517673638821935514587402343750000*n^9+632067449211146699321692688596400*n^8-\ 622715865923746474383984375000000*n^7+487193760089148193300306091102400*n^6-\ 296114728043980918375312500000000*n^5+135574764955743995261651203974144*n^4-\ 44697121452310007298744000000000*n^3+9884758550957696054476800000000*n^2-\ 1291260916779944779468800000000*n+73681349947830849621196800000)/(-29+5*n)/(-28 +5*n)/(-27+5*n)/(-26+5*n)/(5*n-24)/(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18) /(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/( -7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n)] The limits, as n goes to infinity are -208244315186592717 -291083052597386457 -297716805524563833 [-------------------, -------------------, -------------------, 298023223876953125 298023223876953125 298023223876953125 -298015886283360081 -1490115720150513637 -186264514764495794801 -------------------, --------------------, ----------------------] 298023223876953125 1490116119384765625 186264514923095703125 and in Maple notation [-208244315186592717/298023223876953125, -291083052597386457/298023223876953125 , -297716805524563833/298023223876953125, -298015886283360081/ 298023223876953125, -1490115720150513637/1490116119384765625, -\ 186264514764495794801/186264514923095703125] and in floating point [-.6987519713, -.9767126495, -.9989718306, -.9999753791, -.9999997321, -.999999\ 9991] The cut off is at j=, 1 --------------------------------------------- The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 8], vs. those in the, 2, -th row from j=1 to j=, 7, are as follws 6 5 4 3 2 [(77927 n - 354029 n + 588465 n - 248455 n - 742592 n + 1529244 n - 992880 )/(5 (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), ( 9 8 7 6 5 9430691 n - 90511557 n + 332892690 n - 467901762 n - 346541229 n 4 3 2 + 2040009987 n - 2600278040 n + 1423059012 n - 298742832 n + 3991680)/( 5 (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) 12 11 (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 3 (8401258037 n - 129723395538 n 10 9 8 + 783832872585 n - 2022025547790 n - 366366292749 n 7 6 5 + 17193577991226 n - 51824278199285 n + 81098286480990 n 4 3 2 - 75765786323388 n + 42622458541512 n - 13556131315200 n + 2030329929600 n - 72648576000)/(125 (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) 16 (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), (47263870036727 n 15 14 13 - 1127418392000128 n + 10190989179614420 n - 28817633541669280 n 12 11 - 227096675950651486 n + 2811249337401053024 n 10 9 - 15068049743227195220 n + 51225455364216885760 n 8 7 - 120965078422240303409 n + 204946761820085194336 n 6 5 - 251178420490176068120 n + 220991927662271204320 n 4 3 - 136430589363444026832 n + 56618206428172272768 n 2 - 14623327777851406080 n + 2020013423147059200 n - 101370917007360000)/( 625 (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) 19 (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - (15026112951523 n 18 17 - 56165880647248430 n + 2344375092037862109 n 16 15 - 45329629122311126454 n + 537308736125081721366 n 14 13 - 4367653492857192247020 n + 25816338164916158252698 n 12 11 - 114809468996137037857148 n + 392078755804036603468719 n 10 9 - 1040175292845610791261270 n + 2154527634058403896294377 n 8 7 - 3482399282135658202450542 n + 4366506851399099959588072 n 6 5 - 4197757716867105623985680 n + 3035723046525862428588816 n 4 3 - 1603978484900668650053856 n + 591938997523583865016320 n 2 - 141790466199974327769600 n + 19269513947514733056000 n - 1077167364120207360000)/(625 (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) 22 (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - (3807639780855722365 n 21 20 - 255105942246747672375 n + 7917344367039472163699 n 19 18 - 151694754608476907238945 n + 2015689331396258571395190 n 17 16 - 19769488855767113525536410 n + 148636813397497722276030454 n 15 14 - 877914658128347491681061490 n + 4140048892062513772547359865 n 13 12 - 15752392224585290206688535195 n + 48661289182129599740871846519 n 11 10 - 122380259764939121790460945485 n + 250480749868095599935593128740 n 9 8 - 415815652490535773233785325380 n + 556183850490831962804633380304 n 7 6 - 593245865939549835606755663280 n + 497086696769198874207952731840 n 5 4 - 320303324611996219979903240640 n + 153953024322239719417445889024 n 3 2 - 52760159791115134741373260800 n + 12000841204646721333860352000 n - 1592405192269698506219520000 n + 90740578753486268006400000)/(3125 (-27 + 5 n) (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) 24 (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - 3 (53598585917831181441 n 23 22 - 4242133354140461540609 n + 158606906721386820921816 n 21 20 - 3726652632019225266949234 n + 61750454962589266772749571 n 19 18 - 767563305331120222111804519 n + 7432599235794751523565960006 n 17 16 - 57474764977523255607747375644 n + 360935821024406316709332498951 n 15 - 1862038892585522784159781196239 n 14 + 7951702965380802094407909338636 n 13 - 28238013446326377773300365804114 n 12 + 83558654563765661831281268547861 n 11 - 205970285723835820164653515957529 n 10 + 421848098114438698972808220199446 n 9 - 714297760645956308383642675323904 n 8 + 992226616966302325348791562895936 n 7 - 1118215927141316713979858584001104 n 6 + 1006678583925023242689719639280096 n 5 - 708457603458358055167650785407104 n 4 + 377935606352371672600072106826240 n 3 - 145988197565250281503995936000000 n 2 + 37948431196683932253448089600000 n - 5808747417298234118710640640000 n + 380686974730459389709516800000)/(3125 (-31 + 5 n) (-29 + 5 n) (-28 + 5 n) (-27 + 5 n) (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-1 + 5 n))] and in Maple notation [1/5*(77927*n^6-354029*n^5+588465*n^4-248455*n^3-742592*n^2+1529244*n-992880)/( -7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 1/5*(9430691*n^9-90511557 *n^8+332892690*n^7-467901762*n^6-346541229*n^5+2040009987*n^4-2600278040*n^3+ 1423059012*n^2-298742832*n+3991680)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5* n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 3/125*(8401258037*n^12-129723395538*n^ 11+783832872585*n^10-2022025547790*n^9-366366292749*n^8+17193577991226*n^7-\ 51824278199285*n^6+81098286480990*n^5-75765786323388*n^4+42622458541512*n^3-\ 13556131315200*n^2+2030329929600*n-72648576000)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/( -11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n ), 1/625*(47263870036727*n^16-1127418392000128*n^15+10190989179614420*n^14-\ 28817633541669280*n^13-227096675950651486*n^12+2811249337401053024*n^11-\ 15068049743227195220*n^10+51225455364216885760*n^9-120965078422240303409*n^8+ 204946761820085194336*n^7-251178420490176068120*n^6+220991927662271204320*n^5-\ 136430589363444026832*n^4+56618206428172272768*n^3-14623327777851406080*n^2+ 2020013423147059200*n-101370917007360000)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/ (-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4 +5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/625*(15026112951523*n^19-56165880647248430 *n^18+2344375092037862109*n^17-45329629122311126454*n^16+537308736125081721366* n^15-4367653492857192247020*n^14+25816338164916158252698*n^13-\ 114809468996137037857148*n^12+392078755804036603468719*n^11-\ 1040175292845610791261270*n^10+2154527634058403896294377*n^9-\ 3482399282135658202450542*n^8+4366506851399099959588072*n^7-\ 4197757716867105623985680*n^6+3035723046525862428588816*n^5-\ 1603978484900668650053856*n^4+591938997523583865016320*n^3-\ 141790466199974327769600*n^2+19269513947514733056000*n-1077167364120207360000)/ (5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+ 5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/ (-2+5*n)/(-1+5*n), -1/3125*(3807639780855722365*n^22-255105942246747672375*n^21 +7917344367039472163699*n^20-151694754608476907238945*n^19+ 2015689331396258571395190*n^18-19769488855767113525536410*n^17+ 148636813397497722276030454*n^16-877914658128347491681061490*n^15+ 4140048892062513772547359865*n^14-15752392224585290206688535195*n^13+ 48661289182129599740871846519*n^12-122380259764939121790460945485*n^11+ 250480749868095599935593128740*n^10-415815652490535773233785325380*n^9+ 556183850490831962804633380304*n^8-593245865939549835606755663280*n^7+ 497086696769198874207952731840*n^6-320303324611996219979903240640*n^5+ 153953024322239719417445889024*n^4-52760159791115134741373260800*n^3+ 12000841204646721333860352000*n^2-1592405192269698506219520000*n+ 90740578753486268006400000)/(-27+5*n)/(-26+5*n)/(5*n-24)/(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n -21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5* n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -3/ 3125*(53598585917831181441*n^24-4242133354140461540609*n^23+ 158606906721386820921816*n^22-3726652632019225266949234*n^21+ 61750454962589266772749571*n^20-767563305331120222111804519*n^19+ 7432599235794751523565960006*n^18-57474764977523255607747375644*n^17+ 360935821024406316709332498951*n^16-1862038892585522784159781196239*n^15+ 7951702965380802094407909338636*n^14-28238013446326377773300365804114*n^13+ 83558654563765661831281268547861*n^12-205970285723835820164653515957529*n^11+ 421848098114438698972808220199446*n^10-714297760645956308383642675323904*n^9+ 992226616966302325348791562895936*n^8-1118215927141316713979858584001104*n^7+ 1006678583925023242689719639280096*n^6-708457603458358055167650785407104*n^5+ 377935606352371672600072106826240*n^4-145988197565250281503995936000000*n^3+ 37948431196683932253448089600000*n^2-5808747417298234118710640640000*n+ 380686974730459389709516800000)/(-31+5*n)/(-29+5*n)/(-28+5*n)/(-27+5*n)/(-26+5* n)/(5*n-24)/(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-\ 14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5 *n)/(-3+5*n)/(-1+5*n)] The limits, as n goes to infinity are 77927 9430691 25203774111 47263870036727 -15026112951523 [-----, -------, -----------, --------------, -----------------, 78125 9765625 30517578125 95367431640625 11920928955078125 -761527956171144473 -160795757753493544323 -------------------, ----------------------] 1490116119384765625 186264514923095703125 and in Maple notation [77927/78125, 9430691/9765625, 25203774111/30517578125, 47263870036727/ 95367431640625, -15026112951523/11920928955078125, -761527956171144473/ 1490116119384765625, -160795757753493544323/186264514923095703125] and in floating point [.9974656000, .9657027584, .8258772701, .4955975979, -.1260481713e-2, -.5110527\ 604, -.8632656511] The cut off is at j=, 5 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 8], vs. those in the, 3, -th row from j=1 to j=, 7, are as follws 12 11 10 9 [(5627205725 n - 92734145226 n + 610949355337 n - 1708489033710 n 8 7 6 - 1227665231205 n + 25833411599202 n - 90952920811109 n 5 4 3 + 161404656154830 n - 134172542870620 n - 13401857494776 n 2 + 122745961107072 n - 87810197973120 n + 18263852006400)/(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n)), ( 14 13 12 426221138911 n - 6545674119297 n + 15005181577801 n 11 10 9 + 376294972476159 n - 4057660241626997 n + 19955164845173889 n 8 7 6 - 57061506400924837 n + 97850667425281797 n - 94258056548676694 n 5 4 3 + 41316684949011708 n - 10004146348183864 n + 25525869332953344 n 2 - 29692686263944320 n + 10141988988902400 n - 59281238016000)/(125 (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) 16 15 (-13 + 5 n) (-14 + 5 n)), - 3 (1578005336059 n - 272653673014400 n 14 13 12 + 7257633768984980 n - 91585019551731440 n + 690354141579114698 n 11 10 - 3427290657218030960 n + 11799850552393681740 n 9 8 - 29086403089745539120 n + 52589312662526751427 n 7 6 - 71367794141664430480 n + 74281018777972717480 n 5 4 - 59757964369578089440 n + 36155736246740312816 n 3 2 - 15259132586169164160 n + 3970576480293100800 n - 537447143520000000 n + 33790305669120000)/(625 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19)), - 3 19 18 17 (2349137330866489 n - 125633876606573186 n + 2990088155235285559 n 16 15 - 42487381320611612250 n + 406442584899495491538 n 14 13 - 2792405652620617117812 n + 14332671646793023285198 n 12 11 - 56382978050004914562020 n + 172867629676211975582077 n 10 9 - 417350298942996868701018 n + 797312875125205917398427 n 8 7 - 1204894765322905367903010 n + 1431858482253551962964776 n 6 5 - 1321800250791951195047984 n + 929130544386019036240816 n 4 3 - 482528853226135822002720 n + 176932563391906662885120 n 2 - 42649085409192924480000 n + 5956062014672985600000 n - 359055788040069120000)/(625 (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) 21 (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19)), - (263264960517995285 n 20 19 - 15109077226275354468 n + 402090116433641632735 n 18 17 - 6606403295763537106440 n + 75235994188967743774350 n 16 15 - 631786942897066910458872 n + 4061350060117196803518590 n 14 13 - 20472514948976481950672640 n + 82198185561346438301784625 n 12 11 - 265447264383011294544179076 n + 693090857756292211210843875 n 10 9 - 1465253757793489970210463000 n + 2502818908895295454629869660 n 8 7 - 3434545063810233602348453760 n + 3750037326723557366013071440 n 6 5 - 3210996612276756404388481920 n + 2111705657929491038909398080 n 4 3 - 1035139100205445173762637824 n + 361767377509845708228111360 n 2 - 84009519498561835272192000 n + 11419039932497880883200000 n - 672152435211009392640000)/(625 (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19)), - 3 24 23 (12175469971209165175 n - 881697559500074664696 n 22 21 + 30112985580365604401990 n - 645281658111544248132668 n 20 19 + 9735621769741881381294813 n - 110002021681454293188011260 n 18 17 + 966536818989246826289080000 n - 6768865933917702343082372520 n 16 15 + 38417042483219750715086091377 n - 178706065180536723873198802736 n 14 13 + 686370053731092966297920889630 n - 2185963160805107505971247959692 n 12 + 5782654528966320283518859233931 n 11 - 12697534911215957462905016617692 n 10 + 23073797926733024080266199565180 n 9 - 34511187441130079159541430581584 n 8 + 42137221607518767017605707740880 n 7 - 41514028876322584850256425274688 n 6 + 32479667358291340764826310164800 n 5 4 - 19741277330918098098501298081536 n + 9038531944218036148216744909824 n 3 2 - 2979881375135400831520389500928 n + 658994088257273249494607462400 n - 86084061118662985297920000000 n + 4912089996522056641413120000)/(625 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-11 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (5 n - 24) (-6 + 5 n) (-8 + 5 n) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (5 n - 21) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (-26 + 5 n) (5 n - 23) (-14 + 5 n) (-12 + 5 n) (5 n - 22) (5 n - 19) (-13 + 5 n) (5 n - 16) (-28 + 5 n) (-27 + 5 n) (-29 + 5 n)), - 3 26 25 (1550083663861793666483 n - 131189583704625180188001 n 24 23 + 5266637583266563576595046 n - 133437091286297079372954534 n 22 21 + 2394873214417742277492624501 n - 32396072098163862597826457679 n 20 19 + 343120441212832004469474568644 n - 2917944146291920340455584134664 n 18 + 20272361837550383464468072857261 n 17 - 116461513626784933489404582653439 n 16 + 557883851138086461408802080563814 n 15 - 2240696452444760427051653477995614 n 14 + 7569853782212283300844399901600331 n 13 - 21536298683607002839867774346632449 n 12 + 51563148183874058778580150501194384 n 11 - 103633490185509763238126492389656084 n 10 + 174068747546863560949650716682227136 n 9 - 242733684084867240049220785736990064 n 8 + 278448624074685527250214352818249984 n 7 - 259534297328148625715752343686793664 n 6 + 193320611220217581341025690880044288 n 5 - 112523161743919184683052625354298368 n 4 + 49605666947161332037188768929968128 n 3 - 15828520996328534510243442461245440 n 2 + 3404758218100943205191401635840000 n - 434713484893090646287908864000000 n + 24363966382749400941409075200000)/ (3125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23) (5 n - 24) (-26 + 5 n) (-27 + 5 n) (-28 + 5 n) (-29 + 5 n) (-31 + 5 n) (-32 + 5 n))] and in Maple notation [1/25*(5627205725*n^12-92734145226*n^11+610949355337*n^10-1708489033710*n^9-\ 1227665231205*n^8+25833411599202*n^7-90952920811109*n^6+161404656154830*n^5-\ 134172542870620*n^4-13401857494776*n^3+122745961107072*n^2-87810197973120*n+ 18263852006400)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/ (-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n), 1/125*(426221138911*n^14-\ 6545674119297*n^13+15005181577801*n^12+376294972476159*n^11-4057660241626997*n^ 10+19955164845173889*n^9-57061506400924837*n^8+97850667425281797*n^7-\ 94258056548676694*n^6+41316684949011708*n^5-10004146348183864*n^4+ 25525869332953344*n^3-29692686263944320*n^2+10141988988902400*n-59281238016000) /(-17+5*n)/(5*n-16)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5 *n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n), -3/625*(1578005336059*n^ 16-272653673014400*n^15+7257633768984980*n^14-91585019551731440*n^13+ 690354141579114698*n^12-3427290657218030960*n^11+11799850552393681740*n^10-\ 29086403089745539120*n^9+52589312662526751427*n^8-71367794141664430480*n^7+ 74281018777972717480*n^6-59757964369578089440*n^5+36155736246740312816*n^4-\ 15259132586169164160*n^3+3970576480293100800*n^2-537447143520000000*n+ 33790305669120000)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-8+5 *n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18) /(5*n-19), -3/625*(2349137330866489*n^19-125633876606573186*n^18+ 2990088155235285559*n^17-42487381320611612250*n^16+406442584899495491538*n^15-\ 2792405652620617117812*n^14+14332671646793023285198*n^13-\ 56382978050004914562020*n^12+172867629676211975582077*n^11-\ 417350298942996868701018*n^10+797312875125205917398427*n^9-\ 1204894765322905367903010*n^8+1431858482253551962964776*n^7-\ 1321800250791951195047984*n^6+929130544386019036240816*n^5-\ 482528853226135822002720*n^4+176932563391906662885120*n^3-\ 42649085409192924480000*n^2+5956062014672985600000*n-359055788040069120000)/(5* n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(-2+5*n)/(-1+5*n)/(-11+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/ (-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5* n-18)/(5*n-19), -1/625*(263264960517995285*n^21-15109077226275354468*n^20+ 402090116433641632735*n^19-6606403295763537106440*n^18+75235994188967743774350* n^17-631786942897066910458872*n^16+4061350060117196803518590*n^15-\ 20472514948976481950672640*n^14+82198185561346438301784625*n^13-\ 265447264383011294544179076*n^12+693090857756292211210843875*n^11-\ 1465253757793489970210463000*n^10+2502818908895295454629869660*n^9-\ 3434545063810233602348453760*n^8+3750037326723557366013071440*n^7-\ 3210996612276756404388481920*n^6+2111705657929491038909398080*n^5-\ 1035139100205445173762637824*n^4+361767377509845708228111360*n^3-\ 84009519498561835272192000*n^2+11419039932497880883200000*n-\ 672152435211009392640000)/(-26+5*n)/(5*n-24)/(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(-2+5*n )/(-1+5*n)/(-11+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(-12 +5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19), -3/625*( 12175469971209165175*n^24-881697559500074664696*n^23+30112985580365604401990*n^ 22-645281658111544248132668*n^21+9735621769741881381294813*n^20-\ 110002021681454293188011260*n^19+966536818989246826289080000*n^18-\ 6768865933917702343082372520*n^17+38417042483219750715086091377*n^16-\ 178706065180536723873198802736*n^15+686370053731092966297920889630*n^14-\ 2185963160805107505971247959692*n^13+5782654528966320283518859233931*n^12-\ 12697534911215957462905016617692*n^11+23073797926733024080266199565180*n^10-\ 34511187441130079159541430581584*n^9+42137221607518767017605707740880*n^8-\ 41514028876322584850256425274688*n^7+32479667358291340764826310164800*n^6-\ 19741277330918098098501298081536*n^5+9038531944218036148216744909824*n^4-\ 2979881375135400831520389500928*n^3+658994088257273249494607462400*n^2-\ 86084061118662985297920000000*n+4912089996522056641413120000)/(-2+5*n)/(-1+5*n) /(-11+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(5*n-24)/(-6+5*n)/(-8+5*n)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(5*n-\ 21)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(-26+5*n)/(5*n-23)/(-14+5*n)/(-12+5*n)/(5*n-22)/(5*n-19) /(-13+5*n)/(5*n-16)/(-28+5*n)/(-27+5*n)/(-29+5*n), -3/3125*( 1550083663861793666483*n^26-131189583704625180188001*n^25+ 5266637583266563576595046*n^24-133437091286297079372954534*n^23+ 2394873214417742277492624501*n^22-32396072098163862597826457679*n^21+ 343120441212832004469474568644*n^20-2917944146291920340455584134664*n^19+ 20272361837550383464468072857261*n^18-116461513626784933489404582653439*n^17+ 557883851138086461408802080563814*n^16-2240696452444760427051653477995614*n^15+ 7569853782212283300844399901600331*n^14-21536298683607002839867774346632449*n^ 13+51563148183874058778580150501194384*n^12-\ 103633490185509763238126492389656084*n^11+174068747546863560949650716682227136* n^10-242733684084867240049220785736990064*n^9+ 278448624074685527250214352818249984*n^8-259534297328148625715752343686793664*n ^7+193320611220217581341025690880044288*n^6-\ 112523161743919184683052625354298368*n^5+49605666947161332037188768929968128*n^ 4-15828520996328534510243442461245440*n^3+3404758218100943205191401635840000*n^ 2-434713484893090646287908864000000*n+24363966382749400941409075200000)/(-1+5*n )/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12 +5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/(5*n-22 )/(5*n-23)/(5*n-24)/(-26+5*n)/(-27+5*n)/(-28+5*n)/(-29+5*n)/(-31+5*n)/(-32+5*n) ] The limits, as n goes to infinity are 225088229 426221138911 -4734016008177 -7047411992599467 -52652992103599057 [---------, ------------, --------------, -----------------, ------------------, 244140625 762939453125 95367431640625 11920928955078125 59604644775390625 -1461056396545099821 -4650250991585380999449 --------------------, -----------------------] 1490116119384765625 4656612873077392578125 and in Maple notation [225088229/244140625, 426221138911/762939453125, -4734016008177/95367431640625, -7047411992599467/11920928955078125, -52652992103599057/59604644775390625, -\ 1461056396545099821/1490116119384765625, -4650250991585380999449/ 4656612873077392578125] and in floating point [.9219613860, .5586565712, -.4963975570e-1, -.5911797662, -.8833706216, -.98049\ 83501, -.9986337964] The cut off is at j=, 3 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 8], vs. those in the, 4, -th row from j=1 to j=, 7, are as follws 17 16 15 [(202143859686785 n - 4237628716086529 n + 7985995729496516 n 14 13 + 673802329947535460 n - 10640070493597765570 n 12 11 + 85385982422187533282 n - 435533331519799981388 n 10 9 + 1497766464798756451420 n - 3470766243412798815815 n 8 7 + 5080225582942353297223 n - 3572845468355494923872 n 6 5 - 1320492457401230928920 n + 4015088742944121010800 n 4 3 + 363937753752264255024 n - 6906829764893221472256 n 2 + 7616817168476621495040 n - 3618885139701114931200 n + 681638320140890112000)/(625 (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) 19 18 (-1 + 5 n)), - (4743637622859221 n - 300325647914721970 n 17 16 + 7989563380311030843 n - 122558454593838327738 n 15 14 + 1232507860721968663002 n - 8693794934056812720660 n 13 12 + 44808210136537544878166 n - 173598502609282182257956 n 11 10 + 517804076387957260488873 n - 1218610130299853482160970 n 9 8 + 2318880273756043100586639 n - 3613212790216164138633474 n 7 6 + 4518539163728028109015064 n - 4243575021785089745916400 n 5 4 + 2676027645649568702090352 n - 1009338111621107519756832 n 3 2 + 366219456572953934115840 n - 317496706418842501824000 n + 143557296719208970752000 n - 1077167364120207360000)/(625 (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - 7 ( 20 19 18 35947099919231771 n - 1930809352847699590 n + 47312835587636364885 n 17 16 - 705721056041521278750 n + 7209416659997318757366 n 15 14 - 53783802202894673689500 n + 304914620679740549186570 n 13 12 - 1348282168494794620141900 n + 4727905688060572413357351 n 11 10 - 13268411469611944048458510 n + 29888096266925943991896705 n 9 8 - 53925788796454257751888950 n + 77487635479323039254182616 n 7 6 - 87943869938327059618087120 n + 77938021951045340623725840 n 5 4 - 52952551570180747806530400 n + 26703127059626986999600896 n 3 2 - 9486176934506107112225280 n + 2214309299139019293696000 n - 310158787055040000000000 n + 18465726242060697600000)/(3125 (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) 22 21 (-1 + 5 n)), - 7 (207576572727901895 n - 12728642082322184565 n 20 19 + 364960025551340119081 n - 6512905977112633140435 n 18 17 + 81203007285706278640290 n - 752419407739685661871470 n 16 15 + 5378637381744526701288578 n - 30383015757225945424371510 n 14 13 + 137764536805804885303913275 n - 506424569393971470222117345 n 12 11 + 1517908938223967082938771445 n - 3718190245725423834279094935 n 10 9 + 7438182878880136836378361100 n - 12107983018362863763492049740 n 8 7 + 15929362542007008645951363952 n - 16761051757329949010179871760 n 6 5 + 13894196673731042371257253440 n - 8882997811910003846793026880 n 4 3 + 4249512031527308589122386944 n - 1454768405337296112992271360 n 2 + 332102511927696146688000000 n - 44524977193356832972800000 n + 2592587964385321943040000)/(625 (-27 + 5 n) (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) 24 23 (-1 + 5 n)), - 21 (8849007306208061225 n - 637873176836997908280 n 22 21 + 21705324100450565408970 n - 463782686554482622152980 n 20 19 + 6982196953786416523077427 n - 78768684231230659483548580 n 18 17 + 691364319952414234587775520 n - 4838415446344037315768019960 n 16 15 + 27449196876254349380766326607 n - 127657572285086809939085737280 n 14 13 + 490253806025131633076360981170 n - 1561322316999493156817323422340 n 12 + 4130286795983118993955176045317 n 11 - 9069462242069482153920799383780 n 10 + 16481251476933960767192112833220 n 9 - 24651122484007507157778914713520 n 8 + 30098448419183486449628793585712 n 7 - 29653138577323817274742968114880 n 6 + 23199705105073512953587498941120 n 5 4 - 14100701269029093532573167571200 n + 6455940366956180232643406963712 n 3 2 - 2128434086039184529396869427200 n + 470702788140842669260800000000 n - 61488615084759275212800000000 n + 3508635711801469029580800000)/(3125 (-29 + 5 n) (-28 + 5 n) (-27 + 5 n) (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - 21 ( 25 24 44343769191672494565 n - 3467894930740501631239 n 23 22 + 128378022290340422474090 n - 2992561939986257235454410 n 21 20 + 49292766136725995440064115 n - 610303341779446813455511625 n 19 18 + 5898630578289929912769890620 n - 45624110221300437503695877560 n 17 16 + 287236133751986615141544694715 n - 1489213025878924018357775615385 n 15 + 6408658929010909657204660777770 n 14 - 23004490221848143305091352806610 n 13 + 69052422788094702825622618546765 n 12 - 173386160980249837478664872468455 n 11 + 363559541662579736436681049698320 n 10 - 634174443472886830486740564536460 n 9 + 914677144275923440887715526063040 n 8 - 1081317631211295425454571491764240 n 7 + 1035245745789050928740244190117120 n 6 - 789694295867848677019618764624960 n 5 + 469401447191475071713895230636800 n 4 - 210776348385067710831992289709056 n 3 + 68334978880813055242102874542080 n 2 - 14899229507789919123148800000000 n + 1923690246186544876744704000000 n - 108767707065845539917004800000)/(3125 (-31 + 5 n) (-29 + 5 n) (-28 + 5 n) (-27 + 5 n) (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - ( 27 26 23283022581688749734869 n - 2123413733858071341638856 n 25 24 + 92052822834453424949982741 n - 2524210926984965582136015852 n 23 22 + 49150088178827391415503719013 n - 723196502243009825432297947392 n 21 + 8355219588396493765778726804673 n 20 - 77744890720097006397200897582532 n 19 + 592991495504299885863369168951843 n 18 - 3753983577927588705137433730200312 n 17 + 19898173367781403443492807315916383 n 16 - 88841243623763059276859019594343092 n 15 + 335376590366950542194327626099498503 n 14 - 1072458095432465184010624405176295152 n 13 + 2905535828476845492766864629177209403 n 12 - 6659246948616163251789799272644898012 n 11 + 12870742473657815631434915307510506268 n 10 - 20873815745749635567943179859782024912 n 9 + 28207377221263623792871223344235069648 n 8 - 31459441503905891916485367023002965312 n 7 + 28593708966073946869209506587038410304 n 6 - 20826583155502565679071066800529093376 n 5 + 11883870939421162823678004913104817152 n 4 - 5148384633604504281575537370866995200 n 3 + 1618093671776337710451216686019379200 n 2 - 343591602541181984167186821120000000 n + 43402094500157214996624113664000000 n - 2412032671892190693199498444800000)/(3125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23) (5 n - 24) (-26 + 5 n) (-27 + 5 n) (-28 + 5 n) (-29 + 5 n) (-31 + 5 n) (-32 + 5 n) (-33 + 5 n))] and in Maple notation [1/625*(202143859686785*n^17-4237628716086529*n^16+7985995729496516*n^15+ 673802329947535460*n^14-10640070493597765570*n^13+85385982422187533282*n^12-\ 435533331519799981388*n^11+1497766464798756451420*n^10-3470766243412798815815*n ^9+5080225582942353297223*n^8-3572845468355494923872*n^7-1320492457401230928920 *n^6+4015088742944121010800*n^5+363937753752264255024*n^4-\ 6906829764893221472256*n^3+7616817168476621495040*n^2-3618885139701114931200*n+ 681638320140890112000)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/ (-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+ 5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/625*(4743637622859221*n^19-300325647914721970*n^18+ 7989563380311030843*n^17-122558454593838327738*n^16+1232507860721968663002*n^15 -8693794934056812720660*n^14+44808210136537544878166*n^13-\ 173598502609282182257956*n^12+517804076387957260488873*n^11-\ 1218610130299853482160970*n^10+2318880273756043100586639*n^9-\ 3613212790216164138633474*n^8+4518539163728028109015064*n^7-\ 4243575021785089745916400*n^6+2676027645649568702090352*n^5-\ 1009338111621107519756832*n^4+366219456572953934115840*n^3-\ 317496706418842501824000*n^2+143557296719208970752000*n-1077167364120207360000) /(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13 +5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n) /(-2+5*n)/(-1+5*n), -7/3125*(35947099919231771*n^20-1930809352847699590*n^19+ 47312835587636364885*n^18-705721056041521278750*n^17+7209416659997318757366*n^ 16-53783802202894673689500*n^15+304914620679740549186570*n^14-\ 1348282168494794620141900*n^13+4727905688060572413357351*n^12-\ 13268411469611944048458510*n^11+29888096266925943991896705*n^10-\ 53925788796454257751888950*n^9+77487635479323039254182616*n^8-\ 87943869938327059618087120*n^7+77938021951045340623725840*n^6-\ 52952551570180747806530400*n^5+26703127059626986999600896*n^4-\ 9486176934506107112225280*n^3+2214309299139019293696000*n^2-\ 310158787055040000000000*n+18465726242060697600000)/(5*n-24)/(5*n-23)/(5*n-22)/ (5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-\ 11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n) , -7/625*(207576572727901895*n^22-12728642082322184565*n^21+ 364960025551340119081*n^20-6512905977112633140435*n^19+81203007285706278640290* n^18-752419407739685661871470*n^17+5378637381744526701288578*n^16-\ 30383015757225945424371510*n^15+137764536805804885303913275*n^14-\ 506424569393971470222117345*n^13+1517908938223967082938771445*n^12-\ 3718190245725423834279094935*n^11+7438182878880136836378361100*n^10-\ 12107983018362863763492049740*n^9+15929362542007008645951363952*n^8-\ 16761051757329949010179871760*n^7+13894196673731042371257253440*n^6-\ 8882997811910003846793026880*n^5+4249512031527308589122386944*n^4-\ 1454768405337296112992271360*n^3+332102511927696146688000000*n^2-\ 44524977193356832972800000*n+2592587964385321943040000)/(-27+5*n)/(-26+5*n)/(5* n-24)/(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n) /(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3 +5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -21/3125*(8849007306208061225*n^24-\ 637873176836997908280*n^23+21705324100450565408970*n^22-\ 463782686554482622152980*n^21+6982196953786416523077427*n^20-\ 78768684231230659483548580*n^19+691364319952414234587775520*n^18-\ 4838415446344037315768019960*n^17+27449196876254349380766326607*n^16-\ 127657572285086809939085737280*n^15+490253806025131633076360981170*n^14-\ 1561322316999493156817323422340*n^13+4130286795983118993955176045317*n^12-\ 9069462242069482153920799383780*n^11+16481251476933960767192112833220*n^10-\ 24651122484007507157778914713520*n^9+30098448419183486449628793585712*n^8-\ 29653138577323817274742968114880*n^7+23199705105073512953587498941120*n^6-\ 14100701269029093532573167571200*n^5+6455940366956180232643406963712*n^4-\ 2128434086039184529396869427200*n^3+470702788140842669260800000000*n^2-\ 61488615084759275212800000000*n+3508635711801469029580800000)/(-29+5*n)/(-28+5* n)/(-27+5*n)/(-26+5*n)/(5*n-24)/(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-\ 17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+ 5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -21/3125*( 44343769191672494565*n^25-3467894930740501631239*n^24+128378022290340422474090* n^23-2992561939986257235454410*n^22+49292766136725995440064115*n^21-\ 610303341779446813455511625*n^20+5898630578289929912769890620*n^19-\ 45624110221300437503695877560*n^18+287236133751986615141544694715*n^17-\ 1489213025878924018357775615385*n^16+6408658929010909657204660777770*n^15-\ 23004490221848143305091352806610*n^14+69052422788094702825622618546765*n^13-\ 173386160980249837478664872468455*n^12+363559541662579736436681049698320*n^11-\ 634174443472886830486740564536460*n^10+914677144275923440887715526063040*n^9-\ 1081317631211295425454571491764240*n^8+1035245745789050928740244190117120*n^7-\ 789694295867848677019618764624960*n^6+469401447191475071713895230636800*n^5-\ 210776348385067710831992289709056*n^4+68334978880813055242102874542080*n^3-\ 14899229507789919123148800000000*n^2+1923690246186544876744704000000*n-\ 108767707065845539917004800000)/(-31+5*n)/(-29+5*n)/(-28+5*n)/(-27+5*n)/(-26+5* n)/(5*n-24)/(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-\ 14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5 *n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/3125*(23283022581688749734869*n^27-\ 2123413733858071341638856*n^26+92052822834453424949982741*n^25-\ 2524210926984965582136015852*n^24+49150088178827391415503719013*n^23-\ 723196502243009825432297947392*n^22+8355219588396493765778726804673*n^21-\ 77744890720097006397200897582532*n^20+592991495504299885863369168951843*n^19-\ 3753983577927588705137433730200312*n^18+19898173367781403443492807315916383*n^ 17-88841243623763059276859019594343092*n^16+ 335376590366950542194327626099498503*n^15-1072458095432465184010624405176295152 *n^14+2905535828476845492766864629177209403*n^13-\ 6659246948616163251789799272644898012*n^12+ 12870742473657815631434915307510506268*n^11-\ 20873815745749635567943179859782024912*n^10+ 28207377221263623792871223344235069648*n^9-\ 31459441503905891916485367023002965312*n^8+ 28593708966073946869209506587038410304*n^7-\ 20826583155502565679071066800529093376*n^6+ 11883870939421162823678004913104817152*n^5-\ 5148384633604504281575537370866995200*n^4+1618093671776337710451216686019379200 *n^3-343591602541181984167186821120000000*n^2+ 43402094500157214996624113664000000*n-2412032671892190693199498444800000)/(-1+5 *n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-\ 12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/(5*n-\ 22)/(5*n-23)/(5*n-24)/(-26+5*n)/(-27+5*n)/(-28+5*n)/(-29+5*n)/(-31+5*n)/(-32+5* n)/(-33+5*n)] The limits, as n goes to infinity are 40428771937357 -4743637622859221 -251629699434622397 -290607201819062653 [--------------, -----------------, -------------------, -------------------, 95367431640625 11920928955078125 298023223876953125 298023223876953125 -7433166137214771429 -186243830605024477173 -23283022581688749734869 --------------------, ----------------------, ------------------------] 7450580596923828125 186264514923095703125 23283064365386962890625 and in Maple notation [40428771937357/95367431640625, -4743637622859221/11920928955078125, -\ 251629699434622397/298023223876953125, -290607201819062653/298023223876953125, -7433166137214771429/7450580596923828125, -186243830605024477173/ 186264514923095703125, -23283022581688749734869/23283064365386962890625] and in floating point [.4239263996, -.3979251651, -.8443291639, -.9751159592, -.9976626708, -.9998889\ 519, -.9999982054] The cut off is at j=, 2 The rational functions describing the sorting probabilities of the cell, [1, 8], vs. those in the, 5, -th row from j=1 to j=, 7, are as follws 23 22 [- 3 (6564436070837108005 n - 510616542949256491995 n 21 20 + 18186511643007905727375 n - 396254128453416113448829 n 19 18 + 5940899533381968402595330 n - 65268940091913763088185170 n 17 16 + 545873362634733930764186110 n - 3562218431446994059727107434 n 15 14 + 18441348697562163112489952505 n - 76616301990968894514321242095 n 13 12 + 257670461912285002432153400995 n - 706910477233378517824637117049 n 11 + 1595869824586620794350400199280 n 10 9 - 2998021181881862609162528996820 n + 4747072180756135718148128239680 n 8 7 - 6381947179098912215914133292784 n + 7192009551797989542360697646080 n 6 5 - 6449251149058009772804508361920 n + 4053078364193531616800955075840 n 4 3 - 1121329838440624573357038203904 n - 706496621158821663134260531200 n 2 + 917181323703434672100384768000 n - 407972153422359527993671680000 n + 70293701674367362282291200000)/(3125 (-28 + 5 n) (-27 + 5 n) (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) 24 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - 3 (58448634667667215679 n 23 22 - 4304158352291387653560 n + 148790598361088196224390 n 21 20 - 3213939880718109199582860 n + 48710351406997288484993285 n 19 18 - 551397095669736042908122860 n + 4844987415557146134488956640 n 17 16 - 33898219525939987870006241160 n + 192169168998320774965909233545 n 15 14 - 893221691166077537328814203600 n + 3430166112574606873984933108190 n 13 - 10928713824436197976956457768860 n 12 + 28924950971412613962279219053315 n 11 - 63518648254618219950838755942540 n 10 + 115354238160720566974454593794140 n 9 - 172378567631933299460814013785360 n 8 + 210487922530450546954552054053200 n 7 - 207871614668782026850259851874880 n 6 + 163190418019233684344108783864640 n 5 - 98852793040518815024488627925760 n 4 + 44237510131760865588240581630976 n 3 2 - 14244255375474296799268952002560 n + 3653771260683481564752986112000 n - 792560419306603156880326656000 n + 24560449982610283207065600000)/(3125 (-29 + 5 n) (-28 + 5 n) (-27 + 5 n) (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - ( 24 23 185446268954336680841 n - 13384232520850184782824 n 22 21 + 455725094541755746083866 n - 9740026034895749616973284 n 20 19 + 146640505242052026424656131 n - 1654228977247671235882136004 n 18 17 + 14518696653765353939862088256 n - 101604972503730313634222023704 n 16 15 + 576426708551554712164221555791 n - 2680816681219077467913540585264 n 14 + 10295414429619096996475165905986 n 13 - 32787829060197594851123957361684 n 12 + 86735488631769085781314631936981 n 11 - 190457880063302485524340684401444 n 10 + 346108272420309465397927038169796 n 9 - 517677676069911595335514613070384 n 8 + 632062581187798167795826804229936 n 7 - 622705255812293197788185048981184 n 6 + 487202180493327916778139289404096 n 5 - 296128718493613882699942333810944 n 4 + 135564726956709183124564216120320 n 3 2 - 44690434986971712835253915873280 n + 9889706170320895696701063168000 n - 1291260916779944779468800000000 n + 73681349947830849621196800000)/(3125 (-29 + 5 n) (-28 + 5 n) (-27 + 5 n) (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), - ( 25 24 931138102751825141185 n - 72824499288500568530459 n 23 22 + 2695951289043366954122626 n - 62844243173655436381029314 n 21 20 + 1035151827882620993895826231 n - 12816378806998155733787854901 n 19 18 + 123871191275460988156280868076 n - 958106007862539712722422750744 n 17 + 6031958807883161486805240386911 n 16 - 31273476640970107991526583095941 n 15 + 134581840231036351270878400081666 n 14 - 483094275170112261889923237387434 n 13 + 1450100860528009365732923227987081 n 12 - 3641109475755925444004138912268731 n 11 + 7634750432448573863114870457681136 n 10 - 13317662985862913289971197698663644 n 9 + 19208219959090688086116029183448256 n 8 - 22707670909981117708424614351364816 n 7 + 21740160579420116826479227662103296 n 6 - 16583579585590314593762986490028864 n 5 + 9857430611452980765184877144430336 n 4 - 4426303537762947114466611567025152 n 3 + 1435034446732524931374127727923200 n 2 - 312883819663588301586124800000000 n + 40397495169917442411638784000000 n - 2284121848382756338257100800000)/( 3125 (-31 + 5 n) (-29 + 5 n) (-28 + 5 n) (-27 + 5 n) (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) 26 25 (-1 + 5 n)), - (4656589816764044864765 n - 393948952556922145367055 n 24 23 + 15810501948031683282871194 n - 400492935921732556886812986 n 22 21 + 7186764934159371048832576539 n - 97206654427378009096814576961 n 20 + 1029479995665628955151548687964 n 19 - 8754410124819022019547058971576 n 18 + 60819192197917465081079800881699 n 17 - 349390047323770784988560457645201 n 16 + 1673660361757918095755033201919834 n 15 - 6722090335818341534882326064543106 n 14 + 22709521855779254065166404364527269 n 13 - 64608774849261701008049936467038831 n 12 + 154689251696286800685048825253659024 n 11 - 310900328481341881433036584875787116 n 10 + 522206326722761848805087743101720384 n 9 - 728201392869965593027840215546953616 n 8 + 835346251375162036187701830147514624 n 7 - 778603041619668459189295237977585216 n 6 + 579961718472690788917178940539929344 n 5 - 337569289218507123683615895704718336 n 4 + 148816879055723880462729079880847360 n 3 - 47485524947162700117000960000000000 n 2 + 10214269705084412862814187520000000 n - 1304140454679271938863726592000000 n + 73091899148248202824227225600000) /(3125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23) (5 n - 24) (-26 + 5 n) (-27 + 5 n) (-28 + 5 n) (-29 + 5 n) 27 (-31 + 5 n) (-32 + 5 n)), - (23283063042226376206117 n 26 25 - 2123415447240553915332216 n + 92052854531645436377702661 n 24 23 - 2524211258585805519512719260 n + 49150090260104282266355033205 n 22 21 - 723196509350765265131970696240 n + 8355219591362476106611936351665 n 20 - 77744890629906024615557053134900 n 19 + 592991495092286521088730548378835 n 18 - 3753983577293887209371272471675080 n 17 + 19898173368910318226045251313012655 n 16 - 88841243630565381443750580449468100 n 15 + 335376590377018347308606905256023095 n 14 - 1072458095425481923327686266940380160 n 13 + 2905535828432068799619012914530215435 n 12 - 6659246948565807428166797310935798700 n 11 + 12870742473683699311684330834208583900 n 10 - 20873815745861941286604283423284848400 n 9 + 28207377221340060558992805035734581200 n 8 - 31459441503854469659997388574631182400 n 7 + 28593708965973711329052370473185974848 n 6 - 20826583155469108834639114480082267904 n 5 + 11883870939447611367359168274177936384 n 4 - 5148384633628330877381298800752496640 n 3 + 1618093671781791168175102617600000000 n 2 - 343591602541181984167186821120000000 n + 43402094500157214996624113664000000 n - 2412032671892190693199498444800000)/(3125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23) (5 n - 24) (-26 + 5 n) (-27 + 5 n) (-28 + 5 n) (-29 + 5 n) (-31 + 5 n) (-32 + 5 n) 28 (-33 + 5 n)), - (582076609023231203349961 n 27 26 - 57043507693637858917211954 n + 2662301994857831971481286681 n 25 24 - 78754266724051288175080296294 n + 1657868170179695804602894219185 n 23 - 26435428077354301705714862933610 n 22 + 331823896378458860213150942164965 n 21 - 3364009596299752335607439113409910 n 20 + 28041418784358374843067204775968855 n 19 - 194658143597774987118943972641894270 n 18 + 1135631542362738688692407053800998955 n 17 - 5603720563480692781885114128349819170 n 16 + 23487426176622655154466556917434446635 n 15 - 83825472749722766982395239652110680990 n 14 + 254956271933126510238638811072805106535 n 13 - 660422264547615366874578948298628685090 n 12 + 1453840543098301569811458109648173245700 n 11 - 2709871614172749431652225926805102861000 n 10 + 4253733107329994743717368896294480346800 n 9 - 5581740165224196943533405133771784351200 n 8 + 6062947779804637531249802186619353947584 n 7 - 5381595103102246686444210358861896418176 n 6 + 3837615909915921321279892600553555096064 n 5 - 2148967675546804593065159375321511438336 n 4 + 915677729511364615583399651359099822080 n 3 - 283665714266434048193947115520000000000 n 2 + 59495624794504867683337362432000000000 n - 7438656881824031316756086784000000000 n + 410045554221672417843914735616000000)/(15625 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23) (5 n - 24) (-26 + 5 n) (-27 + 5 n) (-28 + 5 n) (-29 + 5 n) (-31 + 5 n) (-32 + 5 n) (-33 + 5 n) (-34 + 5 n))] and in Maple notation [-3/3125*(6564436070837108005*n^23-510616542949256491995*n^22+ 18186511643007905727375*n^21-396254128453416113448829*n^20+ 5940899533381968402595330*n^19-65268940091913763088185170*n^18+ 545873362634733930764186110*n^17-3562218431446994059727107434*n^16+ 18441348697562163112489952505*n^15-76616301990968894514321242095*n^14+ 257670461912285002432153400995*n^13-706910477233378517824637117049*n^12+ 1595869824586620794350400199280*n^11-2998021181881862609162528996820*n^10+ 4747072180756135718148128239680*n^9-6381947179098912215914133292784*n^8+ 7192009551797989542360697646080*n^7-6449251149058009772804508361920*n^6+ 4053078364193531616800955075840*n^5-1121329838440624573357038203904*n^4-\ 706496621158821663134260531200*n^3+917181323703434672100384768000*n^2-\ 407972153422359527993671680000*n+70293701674367362282291200000)/(-28+5*n)/(-27+ 5*n)/(-26+5*n)/(5*n-24)/(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/ (5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6 +5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -3/3125*(58448634667667215679*n^24-\ 4304158352291387653560*n^23+148790598361088196224390*n^22-\ 3213939880718109199582860*n^21+48710351406997288484993285*n^20-\ 551397095669736042908122860*n^19+4844987415557146134488956640*n^18-\ 33898219525939987870006241160*n^17+192169168998320774965909233545*n^16-\ 893221691166077537328814203600*n^15+3430166112574606873984933108190*n^14-\ 10928713824436197976956457768860*n^13+28924950971412613962279219053315*n^12-\ 63518648254618219950838755942540*n^11+115354238160720566974454593794140*n^10-\ 172378567631933299460814013785360*n^9+210487922530450546954552054053200*n^8-\ 207871614668782026850259851874880*n^7+163190418019233684344108783864640*n^6-\ 98852793040518815024488627925760*n^5+44237510131760865588240581630976*n^4-\ 14244255375474296799268952002560*n^3+3653771260683481564752986112000*n^2-\ 792560419306603156880326656000*n+24560449982610283207065600000)/(-29+5*n)/(-28+ 5*n)/(-27+5*n)/(-26+5*n)/(5*n-24)/(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/ (-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-\ 7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/3125*( 185446268954336680841*n^24-13384232520850184782824*n^23+ 455725094541755746083866*n^22-9740026034895749616973284*n^21+ 146640505242052026424656131*n^20-1654228977247671235882136004*n^19+ 14518696653765353939862088256*n^18-101604972503730313634222023704*n^17+ 576426708551554712164221555791*n^16-2680816681219077467913540585264*n^15+ 10295414429619096996475165905986*n^14-32787829060197594851123957361684*n^13+ 86735488631769085781314631936981*n^12-190457880063302485524340684401444*n^11+ 346108272420309465397927038169796*n^10-517677676069911595335514613070384*n^9+ 632062581187798167795826804229936*n^8-622705255812293197788185048981184*n^7+ 487202180493327916778139289404096*n^6-296128718493613882699942333810944*n^5+ 135564726956709183124564216120320*n^4-44690434986971712835253915873280*n^3+ 9889706170320895696701063168000*n^2-1291260916779944779468800000000*n+ 73681349947830849621196800000)/(-29+5*n)/(-28+5*n)/(-27+5*n)/(-26+5*n)/(5*n-24) /(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13 +5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n) /(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/3125*(931138102751825141185*n^25-72824499288500568530459 *n^24+2695951289043366954122626*n^23-62844243173655436381029314*n^22+ 1035151827882620993895826231*n^21-12816378806998155733787854901*n^20+ 123871191275460988156280868076*n^19-958106007862539712722422750744*n^18+ 6031958807883161486805240386911*n^17-31273476640970107991526583095941*n^16+ 134581840231036351270878400081666*n^15-483094275170112261889923237387434*n^14+ 1450100860528009365732923227987081*n^13-3641109475755925444004138912268731*n^12 +7634750432448573863114870457681136*n^11-13317662985862913289971197698663644*n^ 10+19208219959090688086116029183448256*n^9-22707670909981117708424614351364816* n^8+21740160579420116826479227662103296*n^7-16583579585590314593762986490028864 *n^6+9857430611452980765184877144430336*n^5-4426303537762947114466611567025152* n^4+1435034446732524931374127727923200*n^3-312883819663588301586124800000000*n^ 2+40397495169917442411638784000000*n-2284121848382756338257100800000)/(-31+5*n) /(-29+5*n)/(-28+5*n)/(-27+5*n)/(-26+5*n)/(5*n-24)/(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5 *n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+ 5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), -1/3125*( 4656589816764044864765*n^26-393948952556922145367055*n^25+ 15810501948031683282871194*n^24-400492935921732556886812986*n^23+ 7186764934159371048832576539*n^22-97206654427378009096814576961*n^21+ 1029479995665628955151548687964*n^20-8754410124819022019547058971576*n^19+ 60819192197917465081079800881699*n^18-349390047323770784988560457645201*n^17+ 1673660361757918095755033201919834*n^16-6722090335818341534882326064543106*n^15 +22709521855779254065166404364527269*n^14-64608774849261701008049936467038831*n ^13+154689251696286800685048825253659024*n^12-\ 310900328481341881433036584875787116*n^11+522206326722761848805087743101720384* n^10-728201392869965593027840215546953616*n^9+ 835346251375162036187701830147514624*n^8-778603041619668459189295237977585216*n ^7+579961718472690788917178940539929344*n^6-\ 337569289218507123683615895704718336*n^5+148816879055723880462729079880847360*n ^4-47485524947162700117000960000000000*n^3+10214269705084412862814187520000000* n^2-1304140454679271938863726592000000*n+73091899148248202824227225600000)/(-1+ 5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/( -12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/(5*n -22)/(5*n-23)/(5*n-24)/(-26+5*n)/(-27+5*n)/(-28+5*n)/(-29+5*n)/(-31+5*n)/(-32+5 *n), -1/3125*(23283063042226376206117*n^27-2123415447240553915332216*n^26+ 92052854531645436377702661*n^25-2524211258585805519512719260*n^24+ 49150090260104282266355033205*n^23-723196509350765265131970696240*n^22+ 8355219591362476106611936351665*n^21-77744890629906024615557053134900*n^20+ 592991495092286521088730548378835*n^19-3753983577293887209371272471675080*n^18+ 19898173368910318226045251313012655*n^17-88841243630565381443750580449468100*n^ 16+335376590377018347308606905256023095*n^15-\ 1072458095425481923327686266940380160*n^14+ 2905535828432068799619012914530215435*n^13-\ 6659246948565807428166797310935798700*n^12+ 12870742473683699311684330834208583900*n^11-\ 20873815745861941286604283423284848400*n^10+ 28207377221340060558992805035734581200*n^9-\ 31459441503854469659997388574631182400*n^8+ 28593708965973711329052370473185974848*n^7-\ 20826583155469108834639114480082267904*n^6+ 11883870939447611367359168274177936384*n^5-\ 5148384633628330877381298800752496640*n^4+1618093671781791168175102617600000000 *n^3-343591602541181984167186821120000000*n^2+ 43402094500157214996624113664000000*n-2412032671892190693199498444800000)/(-1+5 *n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-\ 12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/(5*n-\ 22)/(5*n-23)/(5*n-24)/(-26+5*n)/(-27+5*n)/(-28+5*n)/(-29+5*n)/(-31+5*n)/(-32+5* n)/(-33+5*n), -1/15625*(582076609023231203349961*n^28-\ 57043507693637858917211954*n^27+2662301994857831971481286681*n^26-\ 78754266724051288175080296294*n^25+1657868170179695804602894219185*n^24-\ 26435428077354301705714862933610*n^23+331823896378458860213150942164965*n^22-\ 3364009596299752335607439113409910*n^21+28041418784358374843067204775968855*n^ 20-194658143597774987118943972641894270*n^19+ 1135631542362738688692407053800998955*n^18-\ 5603720563480692781885114128349819170*n^17+ 23487426176622655154466556917434446635*n^16-\ 83825472749722766982395239652110680990*n^15+ 254956271933126510238638811072805106535*n^14-\ 660422264547615366874578948298628685090*n^13+ 1453840543098301569811458109648173245700*n^12-\ 2709871614172749431652225926805102861000*n^11+ 4253733107329994743717368896294480346800*n^10-\ 5581740165224196943533405133771784351200*n^9+ 6062947779804637531249802186619353947584*n^8-\ 5381595103102246686444210358861896418176*n^7+ 3837615909915921321279892600553555096064*n^6-\ 2148967675546804593065159375321511438336*n^5+ 915677729511364615583399651359099822080*n^4-\ 283665714266434048193947115520000000000*n^3+ 59495624794504867683337362432000000000*n^2-\ 7438656881824031316756086784000000000*n+410045554221672417843914735616000000)/( -1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n )/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/( 5*n-22)/(5*n-23)/(5*n-24)/(-26+5*n)/(-27+5*n)/(-28+5*n)/(-29+5*n)/(-31+5*n)/(-\ 32+5*n)/(-33+5*n)/(-34+5*n)] The limits, as n goes to infinity are -3938661642502264803 -175345904003001647037 -185446268954336680841 [--------------------, ----------------------, ----------------------, 7450580596923828125 186264514923095703125 186264514923095703125 -186227620550365028237 -931317963352808972953 -23283063042226376206117 ----------------------, ----------------------, ------------------------, 186264514923095703125 931322574615478515625 23283064365386962890625 -582076609023231203349961 -------------------------] 582076609134674072265625 and in Maple notation [-3938661642502264803/7450580596923828125, -175345904003001647037/ 186264514923095703125, -185446268954336680841/186264514923095703125, -\ 186227620550365028237/186264514923095703125, -931317963352808972953/ 931322574615478515625, -23283063042226376206117/23283064365386962890625, -\ 582076609023231203349961/582076609134674072265625] and in floating point [-.5286382170, -.9413811540, -.9956070754, -.9998019248, -.9999950487, -.999999\ 9432, -.9999999998] The cut off is at j=, 1 ------------------------- This ends this article that took, 5542.115, seconds to produce ----------------------- This took, 5542.116, seconds.