The Distribution of the Occupant of Cell [1,i] in a random Standard Young ta\ bleau of shape, [n, n, n], and its Limiting behavior as n goes to infinity for i from 2 to, 40 By Shalosh B. Ekhad --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 2], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 2, to , 4 The probability distribution is 2 (-1 + n) 8 (-1 + n) (n + 1) (n + 1) (2 + n) [----------, -----------------------, -----------------------] -1 + 3 n 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) and in Maple notation [2/(-1+3*n)*(-1+n), 8/3*(-1+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n), 1/3*(n+1)*(2+n)/(-1+3*n )/(-2+3*n)] `The average is` 8/3*(4*n-1)*(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n) and the variance is 8/9*(-1+n)*(4*n-1)*(7*n-2)*(n+1)/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[2., .6666666667], [3., .2962962963], [4., .3703703704e-1]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 64 4 14 493 14 21279 [--, -------, ---------, -----] 27 27 1568 6272 and in floating-point [2.370370370, .5543196127, 1.176426717, 3.392697704] Here is a plot +HH + HHH 0.6 HHHH + HHH + HHH 0.5 HHH + HHHH + HHH 0.4 HHH + HHH + HHH + HHHH 0.3 HHHH + HHHH + HHHHH 0.2 HHHHH + HHHH + HHHHH 0.1 HHHH + HHHHH ++---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+-***- 2 2.5 3 3.5 4 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 3], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 3, to , 7 The probability distribution is 10 (-2 + n) (-1 + n) 10 (-2 + n) (n + 1) [-----------------------, -----------------------, 3 (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) 4 (-2 + n) (n + 1) (4 n + 3) ---------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) 40 (-2 + n) n (n + 1) (2 + n) --------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 2 5 n (n + 1) (2 + n) --------------------------------------------] 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) and in Maple notation [10/3/(-2+3*n)/(-1+3*n)*(-2+n)*(-1+n), 10/3*(-2+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n), 4/3 *(-2+n)*(n+1)*(4*n+3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4), 40/9*(-2+n)*n*(n+1)*(2+n)/(-1+ 3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 5/9*n*(n+1)^2*(2+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/( -5+3*n)] `The average is` 5/9*(577*n^4-2036*n^3+2345*n^2-970*n+120)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n) and the variance is 10/81*(-2+n)*(n+1)*(45029*n^6-239703*n^5+509309*n^4-542925*n^3+297386*n^2-76080 *n+7200)/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[3., .3703703704], [4., .3703703704], [5., .1975308642], [6., .5486968450e-1], [7., .6858710562e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 2885 450290 4335017 450290 58952630319 [----, ---------, -----------------, -----------] 729 729 4055221682 20276108410 and in floating-point [3.957475995, .9204890418, .7173355522, 2.907492361] Here is a plot +HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH 0.35 HH + HH + HH 0.3 HH + HH + HH 0.25 H + HH 0.2 HH + HHH + HH 0.15 HHH + HH + HHH 0.1 HH + HH + HHH 0.05 HHHHHHHH + HHHHHHH ++---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---*****- 0 3 4 5 6 7 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 4], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 4, to , 10 The probability distribution is 5 (-2 + n) (-3 + n) 8 (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) [-----------------------, -------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) 5 (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) (13 n + 8) --------------------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 2 40 (n + 1) (-3 + n) n --------------------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 7 n (-3 + n) (n + 1) (2 + n) (7 n - 3) ------------------------------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) 2 112 n (-1 + n) (-3 + n) (n + 1) (2 + n) ----------------------------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 2 2 14 n (-1 + n) (n + 1) (2 + n) ----------------------------------------------------------------] 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) and in Maple notation [5/3*(-2+n)*(-3+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n), 8*(-2+n)*(-3+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/( 3*n-4), 5/3*(-2+n)*(-3+n)*(n+1)*(13*n+8)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 40 /3*(n+1)^2*(-3+n)*n/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 7/3*n*(-3+n)*(n+1)*(2+n )*(7*n-3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7), 112/9*n*(-1+n)*(-3+n)/(-1 +3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)*(n+1)^2*(2+n), 14/9*n^2*(-1+n)* (n+1)^2*(2+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)] `The average is` 2/9*(18673*n^6-155505*n^5+497341*n^4-763983*n^3+573706*n^2-188232*n+20160)/(-1+ 3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8) and the variance is 16/81*(-3+n)*(n+1)*(4206455*n^10-59842589*n^9+372154065*n^8-1327247484*n^7+ 2992160169*n^6-4428611325*n^5+4321769287*n^4-2712374602*n^3+1028766024*n^2-\ 207849600*n+16934400)/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n -8)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[4., .1851851852], [5., .2962962963], [6., .2674897119], [7., .1646090535], [8\ ., .6721536351e-1], [9., .1707056851e-1], [10., .2133821064e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 37346 4 4206455 4392277621 4206455 195604488243159 [-----, ------------, ---------------------, ---------------] 6561 6561 17694263667025 70777054668100 and in floating-point [5.692120104, 1.250397444, .5091144359, 2.763670926] Here is a plot 0.3 HHH + HH HHHHHHH + HH HHHH 0.25 HH H + HH HH + HH HH + HH HH 0.2 H HH +H HH + HH 0.15 HH + H + HH 0.1 H + HH + HH + HHHH 0.05 HHHH + HHH + HHHHHHHHH ++--+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+********- 0 4 5 6 7 8 9 10 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 5], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 5, to , 13 The probability distribution is 7 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) [---------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) 140 (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (n + 1) --------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 4 (n + 1) (-4 + n) (-3 + n) (44 n + 25) --------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 28 (-3 + n) (-4 + n) n (n + 1) (13 + 17 n) ------------------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) 2 140 (-3 + n) (-4 + n) n (n + 1) (7 n + 5 n - 4) ----------------------------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 56 n (-4 + n) (-1 + n) (n + 1) (2 + n) -----------------------------------------------------, 280 n (-4 + n) 3 (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 2 (-1 + n) (n + 1) (2 + n) (2 n - 3)/(9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) 2 (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)), 1232 n (-4 + n) (-2 + n) 2 (-1 + n) (n + 1) (2 + n)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 2 2 (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 154 (-1 + n) (-2 + n) n 2 (n + 1) (2 + n)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n))] and in Maple notation [7/3*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4), 140/9*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n) *(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 4/9*(n+1)*(-4+n)*(-3+n)*(44*n+25)/(-\ 1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 28/9*(-3+n)*(-4+n)*n*(n+1)*(13+17*n)/(-1+3*n) /(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7), 140/9*(-3+n)*(-4+n)*n*(n+1)*(7*n^2+5*n-4)/( -1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 56/3*n*(-4+n)*(-1+n)*(n+1)*( 2+n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 280/9*n*(-4+n)*(-1+n)*(n+1)^2*( 2+n)*(2*n-3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n), 1232 /27*n^2*(-4+n)*(-2+n)*(-1+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8) /(-10+3*n)/(-11+3*n)*(n+1)^2*(2+n), 154/27*(-1+n)^2*(-2+n)*n^2/(-1+3*n)/(-2+3*n )/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)*(n+1)^2*(2+n)] `The average is` 35/27*(38141*n^8-577560*n^7+3617154*n^6-12108816*n^5+23355021*n^4-26013384*n^3+ 15801460*n^2-4531344*n+443520)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-\ 8)/(-10+3*n)/(-11+3*n) and the variance is 280/729*(n+1)*(-4+n)*(270947843*n^14-7374442509*n^13+91204659806*n^12-\ 678210145887*n^11+3380978831156*n^10-11925599787033*n^9+30609502878502*n^8-\ 57884584241781*n^7+80703766733521*n^6-82102424349678*n^5+59550302442772*n^4-\ 29551918679832*n^3+9346346920800*n^2-1655083584000*n+122943744000)/(-1+3*n)^2/( -2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[5., .8641975309e-1], [6., .1920438957], [7., .2414266118], [8., .2176497485], [9., .1493674745], [10., .7681755830e-1], [11., .2845094752e-1], [12., .\ 6954676060e-2], [13., .8693345075e-3]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 1334935 2 18966349010 2044752675061 18966349010 55659266695721536791 [-------, ----------------, ----------------------------, --------------------] 177147 177147 734127336263526490 20555565415378741720 and in floating-point [7.535747148, 1.554848442, .3835846841, 2.707746811] Here is a plot + HHHH + HH HHHHH + HHH HHH 0.2 HH HH + HH HH + H HH + HH H + H HH 0.15 H HH + H HH + HH H + H H 0.1 H HH +H H + HH + HHH 0.05 HH + HH + HHHHH + HHHH +--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+--+---+---+--+---+---+--***********- 0 6 8 10 12 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 6], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 6, to , 16 The probability distribution is 28 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) [--------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 80 (-5 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) --------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 35 (-5 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) (11 n + 6) ------------------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) 448 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) n (n + 1) (2 + 3 n) ----------------------------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 2 4 n (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) (103 n + 43 n - 46) ----------------------------------------------------------------, 16 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 2 (n + 1) (-5 + n) n (-4 + n) (-1 + n) (173 n + 155 n - 102)/(9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)), 440 (-1 + n) (-4 + n) n (-5 + n) (n + 1) (2 + n) (17 n - 4) (2 n - 3)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) 2 (-11 + 3 n)), 3520 n (-2 + n) (-1 + n) (-5 + n) (n + 1) (2 + n) (2 n - 3)/ (27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 2 2 (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 572 n (-2 + n) (-1 + n) (-5 + n) (n + 1) (2 + n) (-33 + 13 n)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 2 (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n)), 16016 n 2 2 (-1 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-5 + n) (n + 1) (2 + n)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) 2 2 2 2 (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 2002 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) n (n + 1) (2 + n)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n))] and in Maple notation [28/9*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 80/9*(-5+ n)*(-3+n)*(-4+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 35/9*(-5+n)*(-3+n)*( -4+n)*(n+1)*(11*n+6)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7), 448/9*(-3+n)*( -4+n)*(-5+n)*n*(n+1)*(2+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8) , 4/3*n*(-4+n)*(-5+n)*(n+1)*(103*n^2+43*n-46)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n )/(3*n-7)/(3*n-8), 16/9*(n+1)*(-5+n)*n*(-4+n)*(-1+n)*(173*n^2+155*n-102)/(-1+3* n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n), 440/27*(-1+n)*(-4+n)*n* (-5+n)*(n+1)*(2+n)*(17*n-4)*(2*n-3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/ (3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 3520/27*n*(-2+n)*(-1+n)*(-5+n)*(n+1)^2*(2+n)*(2*n-\ 3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 572/ 27*n^2*(-2+n)*(-1+n)*(-5+n)*(n+1)^2*(2+n)*(-33+13*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/ (-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n), 16016/81*n^2*(-1+n)^2*( -3+n)*(-2+n)*(-5+n)*(n+1)^2*(2+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3 *n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n), 2002/81*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n) *n^2/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-\ 13+3*n)/(-14+3*n)*(n+1)^2*(2+n)] `The average is` 16/81*(2829184*n^10-67816310*n^9+701052795*n^8-4091584080*n^7+14817692262*n^6-\ 34444333230*n^5+51324072635*n^4-47423003260*n^3+25185861924*n^2-6590218320*n+ 605404800)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3* n)/(-13+3*n)/(-14+3*n) and the variance is 80/6561*(n+1)*(-5+n)*(967364326996*n^18-42832626537933*n^17+880457752982034*n^ 16-11152940214229116*n^15+97451255003421216*n^14-622956737246598366*n^13+ 3015089801435734876*n^12-11279212750556134764*n^11+33000612976329867180*n^10-\ 75914955749176829229*n^9+137279219678426002146*n^8-194068917595153460784*n^7+ 212045938211543801968*n^6-175744381968423257232*n^5+107324141761007157024*n^4-\ 46166270565640853376*n^3+13005442272409896960*n^2-2107439119283097600*n+ 146605988745216000)/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8 )^2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-14+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[6., .3840877915e-1], [7., .1097393690], [8., .1760402378], [9., .2048468221], [10., .1883859168], [11., .1406289692], [12., .8444963787e-1], [13., .\ 3974100606e-1], [14., .1399214588e-1], [15., .3348547733e-2], [16., .4185684666\ e-3]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 45266944 8 1209205408745 2531581834966150669 1209205408745 [--------, ------------------, ------------------------------------, 4782969 4782969 9357937411444240143840160 40204359333649881011669469 --------------------------] 14972699858310784230144256 and in floating-point [9.464193475, 1.839257186, .2974828100, 2.685177671] Here is a plot 0.2 HHHHH + HHH HHHH + HHH HH + H H + HH H 0.15 H HH + H HH + H H + HH HH + H H 0.1 H H + H H + H HH + H HH + H H 0.05 H HH +HH HH + HHH + HHH + HHHHHH ++--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+-+--+--+--+--+--+--+--+--+--**********- 0 6 8 10 12 14 16 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 7], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 7, to , 19 The probability distribution is 4 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) [--------------------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 14 (-6 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-3 + n) (n + 1) ----------------------------------------------------, (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) 8 (-6 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-3 + n) (n + 1) (92 n + 49) ----------------------------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 80 (n + 1) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) n (13 n + 8) ----------------------------------------------------------------, 25 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 2 (n + 1) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) n (47 n + 13 n - 18)/(3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)), 22 2 (-5 + n) n (-4 + n) (-1 + n) (-6 + n) (n + 1) (151 n + 85 n - 74)/(3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 44 n (-6 + n) (-5 + n) (-1 + n) (n + 1) (2 n - 3) 2 (271 n + 285 n - 154)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 1144 n (-1 + n) (-2 + n) (-6 + n) (-5 + n) (n + 1) (2 + n) (7 n - 1) (2 n - 3)/(9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) 2 (-13 + 3 n)), 20020 n (-1 + n) (-2 + n) (-6 + n) (-5 + n) (n + 1) (2 + n) (2 n - 3) (2 n - 5)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 7150 2 2 n (-1 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-6 + n) (n + 1) (2 + n) (-13 + 5 n)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) 2 2 (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 2288 n (-1 + n) (-3 + n) (-2 + n) 2 (-6 + n) (n + 1) (2 + n) (-57 + 16 n)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) 2 2 2 (-14 + 3 n) (-16 + 3 n)), 77792 n (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) 2 (-6 + n) (n + 1) (2 + n)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) 2 2 2 2 (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 9724 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) n 2 (n + 1) (2 + n)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n))] and in Maple notation [4/3*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 14*(-6+n)* (-4+n)*(-5+n)*(-3+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7), 8/9*(-6+ n)*(-4+n)*(-5+n)*(-3+n)*(n+1)*(92*n+49)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n -7)/(3*n-8), 80/9*(n+1)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*n*(13*n+8)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-\ 4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 25/3*(n+1)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*n*(47*n^2+13*n-18) /(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n), 22/3*(-5+n)*n*(-\ 4+n)*(-1+n)*(-6+n)*(n+1)*(151*n^2+85*n-74)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/( 3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 44/27*n*(-6+n)*(-5+n)*(-1+n)*(n+1)*(2*n-3)* (271*n^2+285*n-154)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n )/(-11+3*n), 1144/9*n*(-1+n)*(-2+n)*(-6+n)*(-5+n)*(n+1)*(2+n)*(7*n-1)*(2*n-3)/( -1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n) , 20020/27*n*(-1+n)*(-2+n)*(-6+n)*(-5+n)*(n+1)^2*(2+n)*(2*n-3)*(2*n-5)/(-1+3*n) /(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3 *n), 7150/27*n^2*(-1+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-6+n)*(n+1)^2*(2+n)*(-13+5*n)/(-1+3*n)/( -2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n ), 2288/27*n^2*(-1+n)^2*(-3+n)*(-2+n)*(-6+n)*(n+1)^2*(2+n)*(-57+16*n)/(-1+3*n)/ (-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3* n)/(-16+3*n), 77792/81*n^2*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)^2*(-1+n)^2*(-6+n)*(n+1)^2*(2+n) /(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3* n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n), 9724/81*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)*n^2 /(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3* n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)*(n+1)^2*(2+n)] `The average is` 1/81*(493363237*n^12-17173031004*n^11+264795432239*n^10-2382704837610*n^9+ 13871793362631*n^8-54733623903072*n^7+148984189672097*n^6-279148041321570*n^5+ 352516128503332*n^4-286869173676024*n^3+138464950968864*n^2-33850312715520*n+ 2964061900800)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-\ 11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n) and the variance is 2/6561*(-6+n)*(n+1)*(4113924191660683*n^22-269030436001022425*n^21+ 8279342492665886627*n^20-159406049592037792415*n^19+2153184112937013660768*n^18 -21687413749283059667130*n^17+169003771376947689329542*n^16-\ 1043428630997942634760510*n^15+5184446871645643308695723*n^14-\ 20941404584795876436028685*n^13+69177531126348098432852487*n^12-\ 187371594061709109210394755*n^11+415941508386394910445322618*n^10-\ 754176408813004039400769040*n^9+1109594429715225101527455392*n^8-\ 1311064292328399068467122800*n^7+1225502518754459127403768608*n^6-\ 886925544055397362030158720*n^5+481789904475900802823165952*n^4-\ 187555458028477282488299520*n^3+48628602634069626694041600*n^2-\ 7378142830355370737664000*n+488092386209672724480000)/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3* n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-14+ 3*n)^2/(-16+3*n)^2/(-17+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[7., .1646090535e-1], [8., .5761316872e-1], [9., .1121780216], [10., .15851242\ 19], [11., .1790885536], [12., .1687750851], [13., .1346226580], [14., .\ 9041078878e-1], [15., .5022821599e-1], [16., .2242331071e-1], [17., .7653823389\ e-2], [18., .1807152745e-2], [19., .2258940931e-3]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 493363237 8227848383321366 87254463585152527838479 8227848383321366 [---------, -------------------, -------------------------------------------, 43046721 43046721 33848744509462008068002816052978 90634909962158979885424569865701 --------------------------------] 33848744509462008068002816052978 and in floating-point [11.46111075, 2.107186934, .2338235384, 2.677644659] Here is a plot 0.18 HHHH + HHH HHHH 0.16 HH HH + H H 0.14 H HH + HH H + H HH 0.12 HH H + H H 0.1 H HH + H H 0.08 HH HH + H HH 0.06 H H + HH HH + HH HH 0.04 HH HH + H H 0.02H HHHH + HHHHHH +--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-**********+ 0 8 10 12 14 16 18 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 8], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 8, to , 22 The probability distribution is 5 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) [------------------------------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) 560 (-3 + n) (-5 + n) (-4 + n) (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) -----------------------------------------------------------------, 27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 7 (n + 1) (-5 + n) (-4 + n) (-6 + n) (-7 + n) (61 n + 32) ----------------------------------------------------------------, 40 n 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) (31 + 53 n)/(9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)), 55 n 2 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) (1381 n + 273 n - 478)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 440 n (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) 2 (193 n + 75 n - 82)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 2860 n (-1 + n) (-5 + n) 2 (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) (2 n - 3) (43 n + 30 n - 22)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n)), 2288 (n + 1) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-2 + n) (-1 + n) n 2 (2 n - 3) (407 n + 483 n - 212)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 20020 n (-2 + n) (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) (2 + n) (2 n - 5) (17 n - 1) (2 n - 3)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 640640 n (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) 2 (n + 1) (2 + n) (2 n - 3) (2 n - 5)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) 2 (-14 + 3 n) (-16 + 3 n)), 24310 n (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (-6 + n) 2 2 (-7 + n) (n + 1) (2 + n) (167 n - 1031 n + 1564)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) 2 (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 194480 n (-4 + n) 2 2 (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (-7 + n) (n + 1) (2 + n)/(81 (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) 2 (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)), 92378 n (-4 + n) (-3 + n) 2 2 2 (-2 + n) (-1 + n) (-7 + n) (n + 1) (2 + n) (-87 + 19 n)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) 2 (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 3695120 n 2 2 2 2 (-5 + n) (-7 + n) (2 + n) (-4 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) /( 729 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) 2 2 2 2 (-1 + 3 n)), 461890 n (2 + n) (-5 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) 2 2 (-4 + n) (n + 1) /(729 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n))] and in Maple notation [5/3*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n -7), 560/27*(-3+n)*(-5+n)*(-4+n)*(-6+n)*(-7+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/ (-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 7/9*(n+1)*(-5+n)*(-4+n)*(-6+n)*(-7+n)*(61*n+32)/(-1+3 *n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 40/9*n*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+ n)*(n+1)*(31+53*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n) , 55/81*n*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(n+1)*(1381*n^2+273*n-478)/(-1+3*n)/(-2+3 *n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 440/81*n*(-1+n)*(-5+n )*(-6+n)*(-7+n)*(n+1)*(193*n^2+75*n-82)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n -7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 2860/81*n*(-1+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(n+1)*(2 *n-3)*(43*n^2+30*n-22)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+ 3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n), 2288/243*(n+1)*(-7+n)*(-6+n)*(-5+n)*(-2+n)*(-1+n)*n*( 2*n-3)*(407*n^2+483*n-212)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/( -10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n), 20020/243*n*(-2+n)*(-1+n)*(-6+n)*(-7+n) *(n+1)*(2+n)*(2*n-5)*(17*n-1)*(2*n-3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7 )/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n), 640640/243*n*(-3+n)*(-2+n)*( -1+n)*(-6+n)*(-7+n)*(n+1)^2*(2+n)*(2*n-3)*(2*n-5)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5 +3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n), 24310/ 243*n^2*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*(-6+n)*(-7+n)*(n+1)^2*(2+n)*(167*n^2-1031*n+1564)/ (-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n )/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n), 194480/81*n^2*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)^2*(-\ 7+n)*(n+1)^2*(2+n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3 *n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n), 92378/243*n^2*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)^2* (-1+n)^2*(-7+n)*(n+1)^2*(2+n)*(-87+19*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3* n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3 *n), 3695120/729*n^2*(-5+n)*(-7+n)*(2+n)*(-4+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(n+1 )^2/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+ 3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 461890/729*n^2*(2+n)*( -5+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)^2*(n+1)^2/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-17+3*n) /(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3* n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n)] `The average is` 10/729*(4712326633*n^14-224563849137*n^13+4829557825387*n^12-61970639727489*n^ 11+528429191221129*n^10-3156141663007311*n^9+13555938168513521*n^8-\ 42299242218881307*n^7+95670837495377738*n^6-154608030356097252*n^5+ 173434005898495592*n^4-128461957648485504*n^3+57646397011132800*n^2-\ 13361434095744000*n+1126343522304000)/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/( -14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n )/(-1+3*n) and the variance is 40/531441*(-7+n)*(n+1)*(1694577806345451539*n^26-153461413181908003290*n^25+ 6601759747291837976040*n^24-179507108122367325892032*n^23+ 3462926667044175660443841*n^22-50433066592078285758479430*n^21+ 576067534043555237671514010*n^20-5292849860719238797508007732*n^19+ 39804392530700156082839365701*n^18-248029767696672038767244266470*n^17+ 1291515315829637345757940140180*n^16-5651696984055527035521229286712*n^15+ 20854629620480510088736399343511*n^14-64977838306600537306480108732410*n^13+ 170868192377626786516450380484650*n^12-378349053700176209193764827143252*n^11+ 702466833667332373010000683176816*n^10-1086642972026790323540468905761600*n^9+ 1387969694729011641609388032629920*n^8-1446082889795171721331041187678272*n^7+ 1208723418723737882122685493518592*n^6-792357413257516395454292037196800*n^5+ 394573030306741840672283993395200*n^4-142448346202407940336946798592000*n^3+ 34651140134039822708412088320000*n^2-4992391376962342078434508800000*n+ 317162432559045336367104000000)/(-20+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(-16+3*n)^2 /(-14+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-8)^2/(3*n-7)^2/(-5+3*n)^2 /(3*n-4)^2/(-2+3*n)^2/(-1+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[8., .6858710562e-2], [9., .2845094752e-1], [10., .6508154245e-1], [11., .1077\ 071585], [12., .1429227327], [13., .1597919619], [14., .1542723777], [15., .129\ 7960883], [16., .9487551909e-1], [17., .5952973747e-1], [18., .3143692795e-1], [19., .1355364558e-1], [20., .4530431533e-2], [21., .1059750066e-2], [22., .\ 1324687583e-3]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 47123266330 2 16945778063454515390 [-----------, -------------------------, 3486784401 3486784401 1/2 1286123873400138550884520867 16945778063454515390 ----------------------------------------------------, 28715939417585626581952236337974685210 38444136234729909683541716174576310309 --------------------------------------] 14357969708792813290976118168987342605 and in floating-point [13.51482079, 2.361215679, .1843701158, 2.677546827] Here is a plot 0.16 HHHHH + HHH HHH 0.14 HH H + H HH + HH HH 0.12 H H + H H 0.1 HH HH + H H + H H 0.08 H HH + H H + H H 0.06 HH HH + H HH 0.04 H HH + HH HHH + HH HH 0.02 HH HHH +HH HHHHH ++--+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+***********- 0 8 10 12 14 16 18 20 22 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 9], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 9, to , 25 The probability distribution is 55 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) [-----------------------------------------------------------------, 27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 88 (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) ----------------------------------------------------------------, 40 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) (52 n + 27)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)) , 1540 n (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (n + 1) (13 + 23 n)/( 81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 22 n (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (n + 1) 2 (2441 n + 363 n - 788)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 572 (n + 1) (-8 + n) (-7 + n) 2 (-6 + n) (-5 + n) (-1 + n) n (361 n + 103 n - 138)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n)), 4004 n (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (259 n + 129 n - 118)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 5720 n (-1 + n) (-2 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (179 n + 147 n - 92)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 22880 (-1 + n) (-2 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (n + 1) (59 n + 77 n - 27) n/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n)), 155584 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (61 n + 1) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 + n) (n + 1)/( 729 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 2 1089088 n (-2 + n) (-1 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-7 + n) (n + 1) (2 + n) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 3)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) 2 (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 369512 n (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) 2 2 (-1 + n) (-8 + n) (-7 + n) (n + 1) (2 + n) (127 n - 794 n + 1227)/(729 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 2 923780 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 + n) 2 2 2 (233 n - 1933 n + 3984) (-1 + n) (n + 1) /(2187 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 12932920 2 2 n (7 n - 33) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-8 + n) (2 + n) (-1 + n) 2 2 (-2 + n) (n + 1) /(2187 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 4064632 (-4 + n) (-5 + n) 2 2 2 2 2 (-8 + n) (22 n - 123) (2 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) n /( 2187 (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) 2 (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 186973072 n (-5 + n) (-6 + n) 2 2 2 2 2 (-8 + n) (2 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) /(6561 (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) 2 (-19 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 23371634 n (2 + n) (-6 + n) 2 2 2 2 2 2 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) /(6561 (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n))] and in Maple notation [55/27*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+ 3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 88/9*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-4+n)*(-5+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-\ 2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 40/27*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-4+n)*(-5+ n)*(n+1)*(52*n+27)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n) , 1540/81*n*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-5+n)*(-4+n)*(n+1)*(13+23*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n )/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 22/81*n*(-5+n)*(-6+n)*( -7+n)*(-8+n)*(n+1)*(2441*n^2+363*n-788)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n -7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 572/81*(n+1)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-5+n)*(-1+n )*n*(361*n^2+103*n-138)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10 +3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n), 4004/243*n*(-1+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(2*n-3 )*(n+1)*(259*n^2+129*n-118)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/ (-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n), 5720/243*n*(-1+n)*(-2+n)*(-6+n)*(-7+n) *(-8+n)*(2*n-3)*(n+1)*(179*n^2+147*n-92)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3* n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n), 22880/243*(-1+n)*(-2+n)*( -6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(2*n-3)*(2*n-5)*(n+1)*(59*n^2+77*n-27)*n/(-1+3*n)/(-2+3*n)/ (3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3 *n), 155584/729*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(61*n+1)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(2*n-3)*(2 *n-5)*(2+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/ (-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n), 1089088/243*n*(-2+n)*(-1+n)* (-3+n)*(-8+n)*(-7+n)*(n+1)^2*(2+n)*(2*n-5)*(2*n-7)*(2*n-3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3 *n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n )/(-17+3*n), 369512/729*n^2*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*(-8+n)*(-7+n)*(n+1)^2*( 2+n)*(127*n^2-794*n+1227)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-\ 10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 923780/ 2187*n^2*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-7+n)*(-8+n)*(2+n)*(233*n^2-1933*n+3984)*(-1+n)^ 2*(n+1)^2/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n) /(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 12932920/2187*n^ 2*(7*n-33)*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-8+n)*(2+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(n+1)^2/(-20+3*n )/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8) /(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 4064632/2187*(-4+n)*(-5+n)*(-8+n)* (22*n-123)*(2+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(n+1)^2*n^2/(-22+3*n)/(-20+3*n)/(-\ 19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3* n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 186973072/6561*n^2*(-5+n)*(-6+n)*(-8+n )*(2+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)^2*(n+1)^2/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3* n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+ 3*n)/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n), 23371634/6561*n^2*(2+n)*(-6+n)*(-\ 1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)^2*(-5+n)^2*(n+1)^2/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n )/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3 *n)/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n)] `The average is` 11/6561*(400963529827*n^16-25063602483080*n^15+716766200161924*n^14-\ 12425151578798792*n^13+145818986494841530*n^12-1225400642752385528*n^11+ 7605200188250911532*n^10-35432283888205763416*n^9+124694402803505708459*n^8-\ 330780068846966156704*n^7+654637160083672063064*n^6-947574938310195961792*n^5+ 970889622715645671984*n^4-668088228904191929088*n^3+282846653430840103680*n^2-\ 62774750418447513600*n+5129368400572416000)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+ 3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n)/(-\ 20+3*n)/(-19+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n) and the variance is 88/43046721*(-8+n)*(n+1)*(6143083151886333956891*n^30-735733735249231155762309* n^29+42146234286190561095453316*n^28-1537337909322198602924221695*n^27+ 40103990613869057842781455200*n^26-796659192506752355068819169247*n^25+ 12529244942267648023459539996456*n^24-160134678272438518530328993693323*n^23+ 1694109787191823484141208333546774*n^22-15034261814954817682250916448107957*n^ 21+113020340298434937778369202943433416*n^20-\ 724896392339102484919020731808651333*n^19+3987176212954113777583277146631753784 *n^18-18872434762441789235087773237978903797*n^17+ 77027880658380452841521893248902350056*n^16-\ 271302807223969239820232918400660923913*n^15+ 824234567841242870096270444700409260039*n^14-\ 2156353532859538263422402449668938746962*n^13+ 4843950490445075170777298090515126897636*n^12-\ 9303185768145970374803619332039414658408*n^11+ 15187068213760355128264386148415240814128*n^10-\ 20910564335856037599698435847050556972768*n^9+ 24039426247962167495785480877372328918720*n^8-\ 22773761395820590499077343020320010739328*n^7+ 17473217022378020644603691002630443293184*n^6-\ 10607895423190343953234686435650936616960*n^5+ 4933914906747993160495073248251365990400*n^4-\ 1677702342689186146391171628151160832000*n^3+ 387691232906142331297353872471162880000*n^2-\ 53542982179357247824419862609920000000*n+3288802523598853135554557509632000000) /(-17+3*n)^2/(-16+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-8 )^2/(3*n-7)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-2+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(-19+3*n)^ 2/(-22+3*n)^2/(-23+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[9., .2794289488e-2], [10., .1341258954e-1], [11., .3522498264e-1], [12., .\ 6664897891e-1], [13., .1010497873], [14., .1295170427], [15., .1445456438], [16\ ., .1427119153], [17., .1254376611], [18., .9798783771e-1], [19., .6746703580e-\ 1], [20., .4037647752e-1], [21., .2057681379e-1], [22., .8654625541e-2], [23., .2849550178e-2], [24., .6620167081e-3], [25., .8275208851e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 4410598828097 2 135147829341499347051602 [-------------, -----------------------------, 282429536481 282429536481 1/2 163249465385870568258015278742802 135147829341499347051602 -------------------------------------------------------------, 415112176720887087147839240472420627510244691 809485551043685815906373566496849241100912497 ---------------------------------------------] 301899764887917881562064902161760456371087048 and in floating-point [15.61663445, 2.603301207, .1445742114, 2.681305669] Here is a plot + HHHHHH 0.14 HH HHH + HH HH 0.12 H HH + H H + H HH 0.1 H HH + H H + HH H 0.08 H HH + H H + H HH 0.06 H H + HH HH 0.04 H HH + H H + HH H 0.02 H HHH + HHH HH + HHHH HHHHH +*+-+-+-+-+-++-+-+-+-++-+-+-+-+-++-+-+-+-+-++-+-+-+-+-++-+-+-+-+************- 0 10 12 14 16 18 20 22 24 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 10], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 10, to , 28 The probability distribution is 22 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) [-----------------------------------------------------------------, 40 (-4 + n) 27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (n + 1)/(3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)), 11 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (n + 1) (97 n + 50)/( 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 704 (n + 1) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) n (16 + 29 n)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 130 (n + 1) (-5 + n) (-6 + n) 2 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) n (267 n + 31 n - 82)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n)), 728 n (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 2 (n + 1) (617 n + 135 n - 218)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 1820 n (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (n + 1) 2 (2 n - 3) (155 n + 58 n - 64)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 1664 (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-2 + n) (-1 + n) n 2 (n + 1) (2 n - 3) (569 n + 343 n - 270)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n)), 7072 (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (n + 1) (2 n - 5) (2 n - 3) 2 (607 n + 567 n - 304)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 141440 n (-7 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) 2 (-8 + n) (-9 + n) (n + 1) (2 n - 5) (2 n - 3) (83 n + 117 n - 32)/(729 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 134368 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (12 n + 1) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 + n) (n + 1) n/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 10749440 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (2 n - 7) (2 + n) (n + 1) /(243 (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) 2 (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 117572 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (2 + n) 3 2 2 (4339 n - 46992 n + 166883 n - 194790) (n + 1) /(2187 (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 2 5173168 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-8 + n) (-9 + n) 2 2 (19 n - 78) (2 + n) (-1 + n) (n + 1) /(729 (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) 2 (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 42493880 n 2 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-8 + n) (-9 + n) (2 + n) (31 n - 322 n + 834) 2 2 2 (-1 + n) (-2 + n) (n + 1) /(2187 (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 2 135980416 n (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (4 n - 23) (2 + n) 2 2 2 2 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) /(2187 (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 106234700 (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (5 n - 33) (2 + n) 2 2 2 2 2 2 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) n /(2187 (-25 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) 2 (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 1104840880 n (-6 + n) 2 2 2 2 2 (-7 + n) (2 + n) (-9 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) 2 (n + 1) /(6561 (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n)), 2 2 2 2 2 138105110 n (2 + n) (-7 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) 2 2 2 (-5 + n) (-6 + n) (n + 1) /(6561 (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n))] and in Maple notation [22/27*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+ 3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 40/3*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(n+1)/(-1+ 3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n), 11/9*(-4+n)*(-5+n)*(-\ 6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(n+1)*(97*n+50)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3 *n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 704/81*(n+1)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9 +n)*n*(16+29*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-\ 11+3*n), 130/27*(n+1)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*n*(267*n^2+31*n-82)/(-\ 1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n), 728/81*n*(-1+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(n+1)*(617*n^2+135*n-218)/(-\ 1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/ (-14+3*n), 1820/81*n*(-1+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(n+1)*(2*n-3)*(155*n^2+ 58*n-64)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n) /(-13+3*n)/(-14+3*n), 1664/81*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-2+n)*(-1+n)*n*(n+1) *(2*n-3)*(569*n^2+343*n-270)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8) /(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n), 7072/243*(-9+n)*(-8+n)*(-7+ n)*(-6+n)*(-2+n)*(-1+n)*n*(n+1)*(2*n-5)*(2*n-3)*(607*n^2+567*n-304)/(-1+3*n)/(-\ 2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n) /(-16+3*n)/(-17+3*n), 141440/729*n*(-7+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*(-8+n)*(-9+n)*(n +1)*(2*n-5)*(2*n-3)*(83*n^2+117*n-32)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7 )/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n), 134368/ 81*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(12*n+1)*(2*n-3)*(2*n-5)*(2*n-7)*( 2+n)*(n+1)*n/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+ 3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 10749440/243*n*(-1+n)*( -2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(2*n-3)*(2*n-5)*(2*n-7)*(2+n)*(n+1)^2/ (-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n )/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 117572/2187*n^2*(-1+n)*(-2 +n)*(-3+n)*(-4+n)*(-8+n)*(-9+n)*(2+n)*(4339*n^3-46992*n^2+166883*n-194790)*(n+1 )^2/(-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11 +3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 5173168/729*n^2*(-2+n) *(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-8+n)*(-9+n)*(19*n-78)*(2+n)*(-1+n)^2*(n+1)^2/(-22+3*n)/ (-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n )/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 42493880/2187*n^2*(-3+n)*(-4+n)*(-5+ n)*(-8+n)*(-9+n)*(2+n)*(31*n^2-322*n+834)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(n+1)^2/(-23+3*n)/( -22+3*n)/(-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n) /(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 135980416/2187*n^ 2*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-9+n)*(4*n-23)*(2+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(n+1)^2 /(-23+3*n)/(-22+3*n)/(-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-\ 8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 106234700/2187*(-5+n)*(-6+n)*(-9+n)*(5*n-33)*(2+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*( -4+n)^2*(n+1)^2*n^2/(-25+3*n)/(-23+3*n)/(-22+3*n)/(-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/( 3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3* n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 1104840880/6561*n^2*(-6+n)*(-7+n)*(2+n)*(-9+n)*(-1+n)^2 *(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)^2*(-5+n)^2*(n+1)^2/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14 +3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/( -1+3*n)/(-20+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n)/(-25+3*n)/(-26+3*n), 138105110/6561*n^2*( 2+n)*(-7+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)^2*(-5+n)^2*(-6+n)^2*(n+1)^2/(-19+ 3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7 )/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n)/(-20+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n)/(-25+3*n)/(-\ 26+3*n)] `The average is` 20/6561*(2257161315589*n^18-179148042161133*n^17+6573489346400550*n^16-\ 147956308860020292*n^15+2285506017031187430*n^14-25682865865181777070*n^13+ 217124838018982147384*n^12-1408545554239399665804*n^11+7087542097029821760333*n ^10-27771942126357494984061*n^9+84583024280305601701482*n^8-\ 198693581352005300540616*n^7+354897285756327258942688*n^6-\ 471158971704392476454736*n^5+449018025040060684183584*n^4-\ 291029268634658382290688*n^3+117433725776687337269760*n^2-\ 25132867447199268556800*n+2000453676223242240000)/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n) /(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3 *n)/(-1+3*n)/(-20+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n)/(-25+3*n)/(-26+3*n) and the variance is 160/43046721*(-9+n)*(n+1)*(324552244367990563495553*n^34-\ 49658917540518855886093235*n^33+3653335608937797543236027663*n^32-\ 172100450007082242860906839388*n^31+5832797365868131146882559820630*n^30-\ 151501802307922774014412788250394*n^29+3136966781140906252993880587677078*n^28-\ 53176740538092389606740173953112462*n^27+752133761481901680847945751633724720*n ^26-9001281645782228811136983765742144560*n^25+ 92113070503967271722028304165661850180*n^24-\ 812497711892862986529804210640682412750*n^23+ 6215117104983024940846826688015271528770*n^22-\ 41417553053732023232511526857355061868870*n^21+ 241249154924889081638787742817295816031290*n^20-\ 1231027627781900852371024089536922077449770*n^19+ 5510025125363057720695021943890197827983215*n^18-\ 21642499215496006817943311275419041810316765*n^17+ 74567672579828829170364456940050182522307325*n^16-\ 225083009089839523726082994673010062927030750*n^15+ 593975729859075320554152071519027013656118472*n^14-\ 1366187828619733032679664500235622847967811040*n^13+ 2727722401013997399025182871872975990633047392*n^12-\ 4702743173036669109139892399540809430810719552*n^11+ 6954363245761057688921340149527565834068942080*n^10-\ 8746772952131089057652359364053172716036974336*n^9+ 9257149293797965644025327624086491752683171072*n^8-\ 8132284353034444099978171697716264504410275328*n^7+ 5825763068055461977757897084882259555771586560*n^6-\ 3323986901651540102188636369615101756584140800*n^5+ 1462334090891908794593935263894766867673088000*n^4-\ 473337641342599184838971764785392206479360000*n^3+ 104814063609072737660052421719277456588800000*n^2-\ 13969210739894826541936928278346465280000000*n+ 833711439732309269863080328691712000000000)/(-19+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(-16+3*n)^2 /(-14+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-8)^2/(3*n-7)^2/(-5+3*n)^2 /(3*n-4)^2/(-2+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(-22+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(-25+3*n)^ 2/(-26+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[10., .1117715795e-2], [11., .6096631611e-2], [12., .1806973869e-1], [13., .\ 3841630586e-1], [14., .6531298865e-1], [15., .9391154323e-1], [16., .1179602042 ], [17., .1319704699], [18., .1329626322], [19., .1212070124], [20., .\ 9988626079e-1], [21., .7398982281e-1], [22., .4876937691e-1], [23., .2818935176\ e-1], [24., .1399262587e-1], [25., .5777600361e-2], [26., .1880729284e-2], [27. , .4346574346e-3], [28., .5433217932e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 45143226311780 4 3245522443679905634955530 [--------------, ------------------------------, 2541865828329 2541865828329 1/2 130609600986333268554803333604076019 3245522443679905634955530 -----------------------------------------------------------------, 2106683186485997248840589503272772483565015516180 11321694642909847729601712749476019047864078754193 --------------------------------------------------] 4213366372971994497681179006545544967130031032360 and in floating-point [17.75987773, 2.834977895, .1116910007, 2.687089999] Here is a plot + HHHHHH + HHH HH 0.12 HH HH + H H + HH HH 0.1 H H + H H + H H 0.08 HH H + H H + H HH 0.06 H H + H H + HH HH 0.04 H H + HH H + H HH 0.02 H HH + HHH HHHH + HHH HHHH +***-++-+-++-++-+-++-+-++-++-+-++-+-++-++-+-++-+-++-++-+-++-+-++-***********- 0 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 11], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 11, to , 31 The probability distribution is [26 (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)) , 1430 (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (-10 + n) (n + 1)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 20 (236 n + 121) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (n + 1)/(81 (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 104 (58 + 107 n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (n + 1) n/(27 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 91 n (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) 2 (-9 + n) (-10 + n) (n + 1) (6209 n + 579 n - 1838)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 182 n (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) 2 (-9 + n) (-10 + n) (n + 1) (4933 n + 855 n - 1642)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 7280 (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) 2 (-9 + n) (-10 + n) (2 n - 3) (n + 1) (257 n + 75 n - 98) n/(243 (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 35360 n (-1 + n) (-2 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (197 n + 91 n - 86)/(243 (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 3536 n (-1 + n) (-2 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (369 n + 259 n - 178)/(81 (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 134368 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (n + 1) (269 n + 279 n - 128) n/(729 (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 268736 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (n + 1) (569 n + 855 n - 176)/(2187 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 18811520 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (7 n + 1) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 + n) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 51731680 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 + n) (n + 1) n/(729 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n)), 2704156 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 + n) 3 2 2 (5881 n - 64134 n + 230075 n - 272622) (n + 1) /(6561 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 1545232 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) 3 2 (-9 + n) (-10 + n) (2 + n) (6562 n - 92427 n + 431537 n - 669342) 2 2 (-1 + n) (n + 1) /(6561 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 15452320 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 + n) 2 2 2 2 2 (1108 n - 11725 n + 31083) (-1 + n) (-2 + n) (n + 1) n /(6561 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) 2 (-1 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n)), 125550100 n (-4 + n) 2 (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 + n) (199 n - 2479 n + 7712) 2 2 2 2 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) /(6561 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n) 2 (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n)), 125550100 n (-5 + n) (-6 + n) 2 2 2 (-7 + n) (9 n - 61) (2 + n) (-10 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) 2 2 (-4 + n) (n + 1) /(729 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n)), 351540280 (-6 + n) (-7 + n) (28 n - 213) (2 + n) 2 2 2 2 2 2 2 (-10 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) n /( 6561 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) 2 (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 20389336240 n (-7 + n) (-8 + n) (2 + n) 2 2 2 2 2 2 (-10 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) 2 (n + 1) /(19683 (-29 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-25 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) 2 2 (-19 + 3 n) (-20 + 3 n)), 2548667030 n (2 + n) (-8 + n) (-1 + n) 2 2 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) /(19683 (-29 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-25 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n) (-20 + 3 n))] and in Maple notation [26/27*(-10+n)*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-5+n)*(-4+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n -4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n), 1430/81*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-5 +n)*(-4+n)*(-10+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-\ 10+3*n)/(-11+3*n), 20/81*(236*n+121)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n) *(n+1)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 104/27*(58+107*n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(n+1)*n/(-13+3*n)/ (-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 91/243* n*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(n+1)*(6209*n^2+579*n-1838)/(-14+3 *n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1 +3*n), 182/243*n*(-1+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(n+1)*(4933*n^2+855 *n-1642)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-\ 4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 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-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-9+n)*(-10+n)*(2+n)*(6562*n^3-92427*n^2+431537*n-\ 669342)*(-1+n)^2*(n+1)^2/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13 +3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n)/(-\ 22+3*n)/(-23+3*n), 15452320/6561*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-9+n)*(-10+n)*(2+ n)*(1108*n^2-11725*n+31083)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(n+1)^2*n^2/(-20+3*n)/(-19+3*n)/( -17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+ 3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n)/(-25+3*n), 125550100/6561*n^ 2*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-9+n)*(-10+n)*(2+n)*(199*n^2-2479*n+7712)*(-1+n)^2*(-2+ n)^2*(-3+n)^2*(n+1)^2/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3* n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n)/(-22+ 3*n)/(-23+3*n)/(-25+3*n)/(-26+3*n), 125550100/729*n^2*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(9*n -61)*(2+n)*(-10+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)^2*(n+1)^2/(-20+3*n)/(-19+3 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520/387420489*(-10+n)*(n+1)*(84675104916226948355589953*n^38-\ 16111957089589523953883430879*n^37+1480181478230613990853140172420*n^36-\ 87454390355308338129457894772571*n^35+3734782826298247759987388420171319*n^34-\ 122838642252043428133111044334555638*n^33+3237671897800445052918786063420197584 *n^32-70255083448321795146354015544116787716*n^31+ 1279609114814926340452774659540425177618*n^30-\ 19846726840722407713076147547847090256178*n^29+ 265025178506060574159125924503842703807296*n^28-\ 3073082966053446807263834027721451641975138*n^27+ 31149074615640479828273729041207788004417110*n^26-\ 277437352195558330379998856007894566778008160*n^25+ 2180177594236072057131691705549024736181122040*n^24-\ 15162239509630754562003805629470828502179386500*n^23+ 93531253701304529478659900051710135297029488925*n^22-\ 512545162444722514701849468652716416139371412855*n^21+ 2497245165158549324465645695491266564218914533500*n^20-\ 10820447214142120589428890266035248085557613824315*n^19+ 41679643529304530860310831312645976401115367630307*n^18-\ 142585752478038633164197108858100444427921534112866*n^17+ 432524955307569059388429378483886764127039938729720*n^16-\ 1160788130682138969188841520053748316701935192514944*n^15+ 2747975965603591142933629954645944183708408163167776*n^14-\ 5716775368441684487711222909036350508196184277548992*n^13+ 10402111089850139292971457570461632374413698182078976*n^12-\ 16458716389654683532791036397915543668977738706941184*n^11+ 22483250235213790707237128047233909647266399035347712*n^10-\ 26282082941079994304424300718957708489514931051397632*n^9+ 26001514519470366880519068091489490513972328256702464*n^8-\ 21469136962068634039766681386074203898549761494597632*n^7+ 14531351498390968821301392599212692880218089552609280*n^6-\ 7873453692642500612199223714229641878872807836876800*n^5+ 3305818418656740200888695973848224171140954259456000*n^4-\ 1026435497669776912732137673686771538371910041600000*n^3+ 219186152368193505576793874917386188585277849600000*n^2-\ 28331374431545392780581230521711289601884160000000*n+ 1649107906556579169685808508722724470784000000000)/(-29+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-26 +3*n)^2/(-25+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5 +3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-\ 16+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-20+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[11., .4403122830e-3], [12., .2690797285e-2], [13., .8881512717e-2], [14., .\ 2093929524e-1], [15., .3937714559e-1], [16., .6256964381e-1], [17., .8692694619\ e-1], [18., .1078815426], [19., .1212435205], [20., .1243953896], [21., .116945\ 0255], [22., .1007083699], [23., .7912800495e-1], [24., .5630835087e-1], [25., .3590209618e-1], [26., .2020701136e-1], [27., .9829185168e-2], [28., .\ 4000824114e-2], [29., .1290800866e-2], [30., .2970890883e-3], [31., .3713613604\ e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1368441128945813 2 11007763639109503286226693890 [----------------, ----------------------------------, 68630377364883 68630377364883 1/2 745832849006482612932290366703961442327 11007763639109503286226693890 ------------------------------------------------------------------------, 932083541034625345430510861513425974367643347690487170 10043787527367231339678596139892581199411133703261294591 --------------------------------------------------------] 3728334164138501381722043446053703897470573390761948680 and in floating-point [19.93929192, 3.057476705, .8395299924e-1, 2.693907543] Here is a plot + HHHHHH 0.12 HH HH + H H + HH HH 0.1 H H + HH H + H HH 0.08 H H + HH H + H H 0.06 H H + HH H + H H + H H 0.04 HH HH + HH H + H HH 0.02 H HHH + HH HHH + HHHH HHHH +*****---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---************- 0 15 20 25 30 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 12], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 12, to , 34 The probability distribution is [91 (-11 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n)/( 81 (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 616 (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (n + 1)/(81 (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 143 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (47 n + 24) (n + 1)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 3640 n (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (23 + 43 n) (n + 1)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n)) , 175 n (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (n + 1) 2 (1841 n + 141 n - 530)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)) , 224 (n + 1) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) 2 (-1 + n) n (7493 n + 1055 n - 2382)/(243 (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 1904 n (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (2007 n + 470 n - 718)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n)), 7616 n (-1 + n) (-2 + n) (-7 + n) (-8 + n) 2 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 n - 3) (n + 1) (227 n + 83 n - 92)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n)), 180880 (-1 + n) (-2 + n) (53 n - 24) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) 2 (-11 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) n/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n)), 1033600 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (n + 1) (283 n + 225 n - 136)/(2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n)), 72352 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (2108 n + 2385 n - 932)/(2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n)), 578816 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) 2 (-11 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (763 n + 1210 n - 177) n/( 2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n)), 18305056 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (97 n + 19) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 + n) (n + 1)/(6561 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 1464404480 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 + n) (n + 1) /(6561 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 26001500 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-9 + n) (-10 + n) 4 3 2 (-11 + n) (2 + n) (2047 n - 33726 n + 204965 n - 545598 n + 538632) 2 2 (n + 1) n /(6561 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n)), 2 216332480 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) 3 2 2 (-10 + n) (-11 + n) (2 + n) (509 n - 7243 n + 34284 n - 54168) (-1 + n) 2 (n + 1) /(6561 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) 2 (-26 + 3 n)), 965770 n (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-10 + n) 3 2 2 (-11 + n) (2 + n) (7869 n - 136036 n + 782619 n - 1500636) (-1 + n) 2 2 (-2 + n) (n + 1) /(729 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n)), 54083120 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) 2 2 2 (-10 + n) (-11 + n) (2 + n) (697 n - 8849 n + 28164) (-1 + n) (-2 + n) 2 2 2 (-3 + n) (n + 1) n /(2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) 2 (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 980256550 n (-5 + n) (-6 + n) 2 2 (-7 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 + n) (497 n - 7213 n + 26160) (-1 + n) 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) /(19683 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-29 + 3 n)), 39210262000 2 2 n (-11 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 + n) (5 n - 39) (-1 + n) 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) /(19683 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-29 + 3 n)), 2 6077590610 (-11 + n) (31 n - 267) (-7 + n) (-8 + n) (2 + n) (-1 + n) 2 2 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (n + 1) n /(19683 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) 2 (-28 + 3 n) (-29 + 3 n) (-31 + 3 n)), 388965799040 n (-8 + n) (-9 + n) 2 2 2 2 2 (-11 + n) (2 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) 2 2 2 (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) /(59049 (-32 + 3 n) (-31 + 3 n) (-29 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-25 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n) (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) 2 2 2 2 (-13 + 3 n)), 48620724880 n (2 + n) (-9 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) 2 2 2 2 2 2 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (n + 1) /(59049 (-32 + 3 n) (-31 + 3 n) (-29 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-25 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n) (-20 + 3 n) (-1 + 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(-22+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n)/(-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/( 3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)] `The average is` 14/59049*(2931828111396323*n^22-349197299585688211*n^21+19517479287992949331*n^ 20-680397137068523516825*n^19+16585374870957914968908*n^18-\ 300374044870945915852446*n^17+4192098876468909382862006*n^16-\ 46149611312466921699400930*n^15+406869483722257312122441163*n^14-\ 2900217467933334810905215871*n^13+16802873094336594764558852871*n^12-\ 79262928242730240852596567685*n^11+303982971359281715228001581558*n^10-\ 943367183701139079089491504576*n^9+2349575831097156105690454640416*n^8-\ 4638394401676900929893581729040*n^7+7129233225385828969159105863648*n^6-\ 8316794416948057245763376320896*n^5+7097775442775571333497534885376*n^4-\ 4192926022111871368125982955520*n^3+1568631274301214358767750758400*n^2-\ 316745483801676717847707648000*n+24170601570187897759334400000)/(-32+3*n)/(-31+ 3*n)/(-29+3*n)/(-28+3*n)/(-26+3*n)/(-25+3*n)/(-23+3*n)/(-22+3*n)/(-14+3*n)/(-16 +3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n)/(-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/ (3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n) and the variance is 112/3486784401*(-11+n)*(n+1)*(328183510609680729130814023643*n^42-\ 76000576351250024078288758655955*n^41+8525940200605201644462687106715087*n^40-\ 617298230451567274819333063684618050*n^39+ 32424588434043732117196359685484931071*n^38-\ 1316856172239213190415194934019571462605*n^37+ 43035339828457267592408971174902284192599*n^36-\ 1162943703598901704731308587996554611467170*n^35+ 26500872782013952977831672599833105751689774*n^34-\ 516786752259302794680173803054332349092360750*n^33+ 8722139942568419115636894783543257290751397646*n^32-\ 128542531768413827795677009905671183318237971860*n^31+ 1665873864946443302276296979243217409007221187382*n^30-\ 19092195066964508471040322403398088051195823003690*n^29+ 194378381848270088745663706414506377563651827423798*n^28-\ 1764331819039296796650769252993945803216842339645220*n^27+ 14317959004018035354126228302464279109477514105610335*n^26-\ 104109989856537891587351997514986371217477812770205775*n^25+ 679366144833880720672996775482682893698821301798740515*n^24-\ 3982702433538420195961636603157700133919603841856819050*n^23+ 20987755470288098825286379221691892471914805454895720267*n^22-\ 99430615112521314401202708508009248830095902973533084345*n^21+ 423347787117154346013455389017703008349949316740576021203*n^20-\ 1618675456515992938618599845516775941672073098336021422650*n^19+ 5550985299885587078276809718483247276651626433579449699864*n^18-\ 17044353037534775073914230493256262735502090180442696798720*n^17+ 46753808885806295611775689657195146620145291411771474163616*n^16-\ 114249837001515780078782349569167313607451183172500791871680*n^15+ 247850920837479587534856581021359926277324938482979627758336*n^14-\ 475325386689098900005157479459558912040549287218348974841600*n^13+ 801757457297348822250631309835185591148240555405699044633344*n^12-\ 1182145261993657804651844718525874261719618978773087288240640*n^11+ 1512271528270302876376980389508525632894871908833523187836928*n^10-\ 1663245965005553151033586778783566915316763985235685502402560*n^9+ 1555091542196253863616536837291282760466917688172745862152192*n^8-\ 1218677132713010076920472240526735456199879161805688611143680*n^7+ 786128895133767192501341686407545643991473805853492733542400*n^6-\ 407594215946844056413515964909040067054116668839699677184000*n^5+ 164427326585441586276870907223720925250129315060839874560000*n^4-\ 49255698775328791025222522309596323267164202909617356800000*n^3+ 10192124835290742699215259961565172866726744322736128000000*n^2-\ 1282599291187346352562048088640844812407246998732800000000*n+ 73027247533096208581696295894747361012791377920000000000)/(-32+3*n)^2/(-31+3*n) ^2/(-29+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-25+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(-22+3*n)^2/(-14 +3*n)^2/(-16+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/( 3*n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[12., .1712325545e-3], [13., .1159112677e-2], [14., .4215582413e-2], [15., .\ 1090814792e-1], [16., .2245292969e-1], [17., .3899093731e-1], [18., .5918109303\ e-1], [19., .8032351640e-1], [20., .9897917402e-1], [21., .1118542727], [22., .\ 1166446395], [23., .1125867931], [24., .1005895037], [25., .8296041544e-1], [26\ ., .6281811169e-1], [27., .4331984446e-1], [28., .2690810680e-1], [29., .\ 1483002534e-1], [30., .7098715234e-2], [31., .2856625849e-2], [32., .9150724803\ e-3], [33., .2099090994e-3], [34., .2623863743e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 41045593559548522 4 2297284574267765103915698165501 [-----------------, ------------------------------------, 1853020188851841 1853020188851841 29926906840639812012501122248614730491427676 1/2 2297284574267765103915698165501 / 753930916452660965919111276423725314313010821929699540940143, 4073035166857938280164943672042361388889876389653029820679087 -------------------------------------------------------------] 1507861832905321931838222552847450628626021643859399081880286 and in floating-point [22.15064564, 3.271803695, .6016413501e-1, 2.701199193] Here is a plot + HHHHH + HH HH + HH H 0.1 H HH + H H + H HH 0.08 H H + H HH + H H + H H 0.06 H H + H HH + HH H 0.04 H HH + H H + H HH + H HH 0.02 HH HH + HH HH + HHHH HHHH +******-+--+---+--+--+---+--+--+---+--+--+---+--+--+---+--+--+---***********- 0 15 20 25 30 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 13], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 13, to , 37 The probability distribution is [35 (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n)/ (81 (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 260 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (n + 1)/(27 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)) , 28 (332 n + 169) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (n + 1)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n)) , 1540 (n + 1) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) n (9 + 17 n)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n)), 40 n (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n + 1) 2 (4387 n + 281 n - 1236)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n)), 6800 (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) 2 (-11 + n) (-12 + n) (n + 1) (437 n + 51 n - 134) n/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 6800 (-1 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (359 n + 69 n - 122) n/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 10336 n (-1 + n) (-2 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (347 n + 103 n - 132)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 51680 (-1 + n) (-2 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) 2 (139 n + 61 n - 59) n/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 723520 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (n + 1) (329 n + 207 n - 152) n/(2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 7958720 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (17 n + 15 n - 8)/(729 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4754560 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (271 n + 330 n - 109) n/(2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 950912 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (669 n + 1111 n - 104) n/(2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 47545600 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (37 n + 9) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 + n) (n + 1) n/(2187 (-25 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 6799020800 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) 2 (2 + n) (n + 1) n/(6561 (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 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73262694527402624658302406591543163143747165805504571727460779*n^23+ 341616454757682293473967593656661689634367145186978456359198353*n^22-\ 1443666571346458111382245872943324415232821525884851882859178662*n^21+ 5523801987793642620595085449460655044642797438457012184860080356*n^20-\ 19110146913419901912296713649892619693821821441279507111669571288*n^19+ 59674204783244371929261229630221248620619507377878791500664874240*n^18-\ 167827647782489188362650292881783468889467280254216680748411080128*n^17+ 423982479587979815911321679085124000810378645530198726973488352384*n^16-\ 959097146600833043597397373587038902604006866635882704324548244992*n^15+ 1935376110443903721375188277872261018082298173581452684569983922432*n^14-\ 3468198517507395384825705571145619860319633206555577870574426504704*n^13+ 5489797154133304295692976205124973994101537600692318662610636772352*n^12-\ 7626951954085352596147366815636146314918640599354114817399560083456*n^11+ 9229094932269818267973982043465588184204392867121680753950783954944*n^10-\ 9637052180210008081234103629643628353243814539150407955993938821120*n^9+ 8585183388342812162003116596613696633456089297307313539716533452800*n^8-\ 6432595621761474851441145892761579658075848446765278675869302784000*n^7+ 3980691322172874423543592099538617314751476855030124770758492160000*n^6-\ 1986583102929737096543455613503233435484556745654210178685337600000*n^5+ 773967370865381593320572971315134643346566385886186247815168000000*n^4-\ 224686152960268628755141173314683499550067985066803624673280000000*n^3+ 45222082573353143089602290628737807138095248892372608614400000000*n^2-\ 5557388250335713719257159629846267218588186251089674240000000000*n+ 310241655694852622917620373849655213790641610817536000000000000)/(-35+3*n)^2/(-\ 34+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(-22+3*n)^2/(-16+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-20+3*n) ^2/(-14+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^2/( -10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-25+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-26+3*n )^2/(-29+3*n)^2/(-32+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[13., .6585867481e-4], [14., .4892358700e-3], [15., .1943562670e-2], [16., .\ 5473587640e-2], [17., .1222950292e-1], [18., .2301065703e-1], [19., .3780698341\ e-1], [20., .5554572515e-1], [21., .7416768296e-1], [22., .9102487282e-1], [23. , .1034750834], [24., .1094915873], [25., .1081178921], [26., .9966023933e-1], [27., .8559407943e-1], [28., .6822181079e-1], [29., .5015321931e-1], [30., .\ 3372312737e-1], [31., .2050994577e-1], [32., .1111321630e-1], [33., .5250610852\ e-2], [34., .2093324261e-2], [35., .6666343926e-3], [36., .1524980637e-3], [37. , .1906225796e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 406764363986363605 2 841477912040172689843007590967290 [------------------, --------------------------------------, 16677181699666569 16677181699666569 48188068504225659133761191335762621686761221847 1/2 841477912040172689843007590967290 / 35404253822574430316932455795191649213037904955704686219892497205, 767179618436689848037274062978956575418471391876051061262998963373 ------------------------------------------------------------------] 283234030580595442535459646361533193704303239645637489759139977640 and in floating-point [24.39047384, 3.478793865, .3948257178e-1, 2.708642097] Here is a plot + HHHHH + HH HH 0.1 HH HH + HH H + H HH 0.08 H H + HH HH + H H + HH HH 0.06 H H + H H + HH H + H HH 0.04 H H + HH HH + H H 0.02 HH HH + HH HH + HHH HH + HHH HHHH +********--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--***********- 0 15 20 25 30 35 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 14], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 14, to , 40 The probability distribution is [40 (-13 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 2912 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (n + 1)/ (243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n)), 65 (193 n + 98) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (n + 1)/ (243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n)), 640 n (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n + 1) (94 + 179 n)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n)), 136 n (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) 2 (n + 1) (6087 n + 331 n - 1686)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 544 n (-1 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 2 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (n + 1) (1027 n + 101 n - 306)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 5168 n (-1 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) 2 (-13 + n) (2 n - 3) (n + 1) (859 n + 138 n - 280)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 1033600 (-1 + n) (-2 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) 2 (-13 + n) (2 n - 3) (n + 1) (61 n + 15 n - 22) n/(729 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 1808800 (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) 2 (-13 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (25 n + 9 n - 10) n/(729 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 454784 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) 2 (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (1181 n + 603 n - 518)/( 2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2615008 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (1132 n + 801 n - 526) n/(6561 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 7607296 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (2 n - 7) (n + 1) (445 n + 429 n - 202) n/(6561 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 23772800 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (2 n - 9) (n + 1) (229 n + 297 n - 82) n/(6561 (-25 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 95091200 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) (173 n + 299 n - 14) n/(6561 (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 123618560 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (7 n + 2) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 + n) (n + 1) n/(729 (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 6922639360 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 + n) (n + 1) n/(2187 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 8617640 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 + n) ( 5 4 3 2 64165 n - 1482259 n + 13468945 n - 60256605 n + 133065970 n - 116571896 2 2 ) (n + 1) n /(2187 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) 2 (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 172352800 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) 3 2 2 2 (2 + n) (829 n - 12711 n + 64534 n - 110056) (-1 + n) (n + 1) /(2187 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 333933550 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (24869 n - 626634 n + 5910835 n - 24780222 n + 39041640) (-1 + n) 2 2 2 (-2 + n) (n + 1) n /(19683 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 2 17097397760 n (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-11 + n) 3 2 (-12 + n) (-13 + n) (2 + n) (2879 n - 59637 n + 412954 n - 957480) 2 2 2 2 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) /(59049 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-32 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) 2 (-23 + 3 n)), 11754460960 n (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-12 + n) 3 2 2 (-13 + n) (2 + n) (2503 n - 59040 n + 464507 n - 1219890) (-1 + n) 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) /(59049 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-32 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 799303345280 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-12 + n) 2 2 2 2 (-13 + 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1145190921497411389090796755475738913993130070373885999327772034612*n^28-\ 7600947813926174314168033567416077254881127771298044475608165931364*n^27+ 46113706942180563944502300602408297557642877167449887035140592714796*n^26-\ 255721478391338580593505661510507308575341905396845161245883437287805*n^25+ 1295881241582423810177575370287765521933816033185925964781676621870986*n^24-\ 5997817613604493554659788506166205599201215746126349304870933520863776*n^23+ 25333870890133237459593476085667494269138385229542292370160600717685712*n^22-\ 97547623308571840159878829592941127676143253194434941363534464246128368*n^21+ 341928029084840530508265363714325445606589446872728621474599287168043360*n^20-\ 1089209295369661055814194252861214591025384639163628430423916012845216128*n^19+ 3146655320284316119165474902333229673453702902052561684515784940328790528*n^18-\ 8223956895059549765918513642576623386938635399420328715284923421326154496*n^17+ 19388642027988211705430137770580281918187912198564114866548149532225713664*n^16 -41093278877291965559795131611072521273640518886293672959093682729623449600*n^ 15+77986280558254300054190276892162281999630575563342648870451958917215965184*n ^14-131903394952593519325103496725396134205447237202636840990070486832257142784 *n^13+ 197737599927757933254266925186447094711837006251478646444107175084981526528*n^ 12-261024860901301194629679761102936024997646016908402402110119648916708360192* n^11+ 301056389076781473244713087886262354362544806259020822139426252716670189568*n^ 10-300539543146138789235650330513457839713775064779029248043788576032649379840* n^9+256711664323975335007382577879338579915786708761768625589814161797126553600 *n^8-\ 184952145385517805357819851754921822844050259363122100261461593825476608000*n^7 +110363954790465148490604111145735998294720036950461423975030708733214720000*n^ 6-53258001705096348720587493650396310111158753389003383480309957997363200000*n^ 5+20120571882307696218146067076729238109821839909380361659791374811136000000*n^ 4-5680811637972538980629509533533873986551376378343627541593204981760000000*n^3 +1115488374726543608991243517769190882140496429937930668908268748800000000*n^2-\ 134199140875624612436192357917071967890286707762862187693998080000000000*n+ 7359562484126276156135723872313484170508441592345135153152000000000000)/(-38+3* n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(-22+3*n)^2/(-16+3*n)^2/(-\ 17+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/( -5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-25+3*n)^2/( -28+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-32+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[14., .2508901898e-4], [15., .2029422868e-3], [16., .8742826196e-3], [17., .\ 2661294457e-2], [18., .6410337271e-2], [19., .1297864244e-1], [20., .2291728045\ e-1], [21., .3616489737e-1], [22., .5187587737e-1], [23., .6846166582e-1], [24. , .8384927704e-1], [25., .9588931136e-1], [26., .1028026793], [27., .1035508793 ], [28., .9804412734e-1], [29., .8715033542e-1], [30., .7251246498e-1], [31., .\ 5621086275e-1], [32., .4033487684e-1], [33., .2656388120e-1], [34., .1587754735\ e-1], [35., .8483249428e-2], [36., .3964949656e-2], [37., .1568551512e-2], [38. , .4970710695e-3], [39., .1134456495e-3], [40., .1418070619e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 12002721172780987904 8 42883251707366346962103754398373514 [--------------------, ----------------------------------------, 450283905890997363 450283905890997363 3025945866158925678812254246565630093821196471096447 1/2 42883251707366346962103754398373514 / 29423572431957419389201830245231394467031425762648172573513098507331136, 639326627236160556998460911341827162604220379297811969770752987417561169 ------------------------------------------------------------------------] 235388579455659355113614641961851155736251406101185380588104788058649088 and in floating-point [26.65589646, 3.679149343, .2129656735e-1, 2.716047774] Here is a plot + HHHHHH 0.1 HHH HH + H HH + HH HH + H H 0.08 HH HH + H H + H H 0.06 HH HH + H H + H H + H H 0.04 HH H + H H + H HH + H HH 0.02 HH HH + H HH + HHHH H + HHH HHHH +**********--+--+-+--+--+--+--+-+--+--+--+--+-+--+--+--+--+-+--+-***********- 0 15 20 25 30 35 40 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 15], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 15, to , 43 The probability distribution is [136 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)) , 1190 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (n + 1)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)) , 112 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (148 n + 75) (n + 1)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n)), 7072 n (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n + 1) (12 + 23 n)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 85 n (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) 2 (-14 + n) (n + 1) (1647 n + 77 n - 450)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 3230 (n + 1) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-1 + n) n 2 (845 n + 71 n - 246)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 6460 (-1 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (3587 n + 489 n - 1130) n/(729 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n)), 2584 (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (15107 n + 3129 n - 5210) n/(729 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n)), 99484 n (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) 2 (-14 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (901 n + 271 n - 342)/(729 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n)), 22881320 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (149 n + 63 n - 62) n/(6561 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2615008 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (853 n + 495 n - 382) n/(6561 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 11886400 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (689 n + 539 n - 318) n/(6561 (-25 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 7726160 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (1829 n + 1903 n - 790) n/(6561 (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1188640 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) (1433 n + 1963 n - 446) n/ (729 (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 11886400 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (n + 1) (661 n + 1183 n - 6) n/(2187 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 965175680 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (71 n + 23) (2 + n) (n + 1) n/(6561 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 31368209600 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) 2 (2 n - 13) (2 + n) (n + 1) n/(6561 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 66786710 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 + n) ( 5 4 3 2 77821 n - 1801955 n + 16428425 n - 73851325 n + 164259474 n - 145472760 2 2 ) (n + 1) n /(6561 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1068587360 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-12 + n) 5 4 3 (-13 + n) (-14 + n) (2 + n) (106444 n - 3046565 n + 34639130 n 2 2 2 2 - 195955195 n + 553083066 n - 625470840) (-1 + n) (n + 1) n /(59049 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-32 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) 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596906212592488085834098708316160000000)/(-41+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n)/(-40+3*n )/(-17+3*n)/(-19+3*n)/(-20+3*n)/(-16+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3 *n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-37+3*n)/(-38+3*n)/(-25+ 3*n)/(-28+3*n)/(-31+3*n)/(-34+3*n)/(-26+3*n)/(-29+3*n)/(-32+3*n)/(-35+3*n) and the variance is 34/282429536481*(-14+n)*(n+1)*(65226072898723761274005142605990911327*n^54-\ 24760933205420929920187301798542169051925*n^53+ 4585613013971124379119799344433353536836743*n^52-\ 552139850672788939312831084225723617367866075*n^51+ 48603207799675312443124832424261638702852660820*n^50-\ 3334693365028405416689440242942985293924547803030*n^49+ 185662627247070613177916377216803084031496848620570*n^48-\ 8623226660797016895306014371805711669422133712448530*n^47+ 340880145663158379018204216126161355159944738024733105*n^46-\ 11644059821405212618541284965857970783815888153631502455*n^45+ 347781838940917140631568328373343305832146617199860341685*n^44-\ 9168456219827532030333501665151684236142287617241514783105*n^43+ 214974224001684257582255418899636803702669192493170180262850*n^42-\ 4511287553160124734984733733026896597240655457052038603187780*n^41+ 85172311947691855247493947599003874986415679610585203116609340*n^40-\ 1453010781689455560005319640851262861906489073754952503548291580*n^39+ 22480039052666468140418797857515416364966025482960574231024485985*n^38-\ 316385180286932931961274038002549940762942033053523816189014991155*n^37+ 4061118407631469571798155885101215990931562521540895272762451467905*n^36-\ 47645493753710200251289601021883141916138474214682400502093493586605*n^35+ 511824268549433752629022644011569797324976953169691484199447632720336*n^34-\ 5041703004381914983857555405471777784017764969415136151331637165537830*n^33+ 45592986932670062159395298940612534993009212044185379015105800441713514*n^32-\ 378855851726963227740495137463794396393381935550630621038750461234800130*n^31+ 2894597097188438706299579478671774551913883730605993665364607756824234255*n^30-\ 20343327788931724197252700335042727887315257656674621858729563951146893345*n^29 +131540735997788263312174703980804180805025452666825799309219319481761021155*n^ 28-782516394824920566949477572768174302424086105687963247565007513720385187095* n^27+ 4281729033527233026623381374918495094631837916033503897577928335377904733370*n^ 26-\ 21539819406250159900496315132058970609560694721712834710638051509848194549920*n ^25+ 99557031887085452294593445730719068603246204302489744602646507786767766663840*n ^24-\ 422396958891190918848025254616128977687605678041003190749516108972767333453520* n^23+16432279901237352055651054186719210673530948015511727511318088954730293313\ 40000*n^22-58533293700621402961263440934100680335140906258791828248986887264395\ 25422766720*n^21+19059787332141529267829128331824123293545285061579442567131284\ 764865752116130560*n^20-5662337144744440153456027069249761067481823427674269173\ 5499595907132625864945920*n^19+153124706709634709710848221013684421082201093261\ 933108867596724828086351966615040*n^18-3759367739011082133231087338375841118152\ 16130965384496719363115961815598825246720*n^17+83535075281955764094066365319532\ 9316254923211593649095152592916995700121083576320*n^16-167401746087260376042076\ 7752934607226313450682329412015220948053939459971588075520*n^15+301295431702712\ 6321810893430576454712985192580066294943374478156063128077529587712*n^14-484703\ 6077673647521111928631916790501585799300845013539345533248246012694223749120*n^ 13+6930513443261019184611949868792793269460709070098017485073078264236337195534\ 778368*n^12-8749406213865703681075735125754653497384540592717104200726672469151\ 733249914961920*n^11+9675872462879051000262697041467244853736826421296545393306\ 560462065255350481715200*n^10-9284973713513954844451034958875124425297737158277\ 943649924093293604139271454720000*n^9+76423194935660481766718667932926715840799\ 95282059657359845200156621903484682240000*n^8-531842875680873773471252613074007\ 8306927252237679298822528402300553471302041600000*n^7+3072762826316680758660171\ 817672085300729749340413620397324593166113891680256000000*n^6-14391306781759478\ 57304952864607166307974518983727018676676346113347393945600000000*n^5+528963157\ 283896657202960889927530043116230113930221285455921304233102540800000000*n^4-14\ 5669182923370061684817874516882964711533722685251689169003659596398592000000000 *n^3+27975491142687290314048482558573581765640520981246582937486882682961920000\ 000000*n^2-33014887142668242976707953367252617932021240198438404616587281694720\ 00000000000*n+ 178148513315754291145883786342769123224995540560943279571258572800000000000000) /(-41+3*n)^2/(-22+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-20+3 *n)^2/(-16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^ 2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-25+ 3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-32+3*n)^2/ (-35+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[15., .9478073835e-5], [16., .8293314606e-4], [17., .3850699801e-3], [18., .\ 1259530701e-2], [19., .3252164085e-2], [20., .7044929418e-2], [21., .1329134087\ e-1], [22., .2239111084e-1], [23., .3427612137e-1], [24., .4828555430e-1], [25. , .6318324498e-1], [26., .7732646948e-1], [27., .8894975640e-1], [28., .\ 9649535335e-1], [29., .9891203934e-1], [30., .9585605802e-1], [31., .8775554608\ e-1], [32., .7573043831e-1], [33., .6138341807e-1], [34., .4649717221e-1], [35. , .3269735492e-1], [36., .2116319110e-1], [37., .1246671671e-1], [38., .\ 6582833082e-2], [39., .3048851830e-2], [40., .1198269673e-2], [41., .3781521650\ e-3], [42., .8613465980e-4], [43., .1076683247e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 351897410861791403381 2217686478556607883316174848603690985118 [---------------------, -------------------------------------------, 12157665459056928801 12157665459056928801 15817893712441795955968407601927439107836356934868386091 1/2 2217686478556607883316174848603690985118 /1446509799168472952078464075\ 48056408016224532180088114284404430283551214631586, 393928978837460518212\ / 315648892366187449142316436179282183680775643466664268569 / 1446509799\ / 16847295207846407548056408016224532180088114284404430283551214631586] and in floating-point [28.94448873, 3.873467224, .5149645665e-2, 2.723306673] Here is a plot 0.1 HHHHHH + HH H + H HH + HH HH 0.08 HH H + H H + HH H + H H 0.06 H HH + H H + H H + H HH 0.04 HH H + H HH + HH H + H HH 0.02 HHH HH + HH H + HH HHH + HHHHH HHHH +***********+--+-+--+-+--+--+-+--+-+--+--+-+--+-+--+--+-+--+-+--+***********- 0 15 20 25 30 35 40 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 16], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 16, to , 46 The probability distribution is [17 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n)/(81 (3 n - 8) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 160 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (n + 1)/(27 (3 n - 8) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 85 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (253 n + 128) (n + 1)/(243 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 952 (n + 1) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) n (41 + 79 n)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 19 (n + 1) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) n 2 (10903 n + 443 n - 2946)/(81 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n)), 152 n (-1 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) 2 (n + 1) (9431 n + 685 n - 2694)/(81 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 13300 n (-1 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-15 + n) (2 n - 3) (n + 1) (973 n + 114 n - 298)/(729 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 83600 (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (277 n + 49 n - 92) n/(243 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 19228 n (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) 2 (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (8807 n + 2247 n - 3194)/( 729 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 307648 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (823 n + 293 n - 326)/(729 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2691920 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (196 n + 95 n - 84) n/(729 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 18179200 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (1019 n + 660 n - 461)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2272400 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) (1663 n + 1419 n - 754)/(2187 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1957760 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (2 n - 9) (n + 1) (2233 n + 2483 n - 906) n/(729 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4055360 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (n + 1) (1773 n + 2548 n - 466)/(729 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 16221440 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (2 n - 9) (2 n - 11) (n + 1) (4153 n + 7665 n + 248)/(6561 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 628580800 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) (53 n + 19) (2 + n) (n + 1) n/(2187 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 281604198400 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (2 n - 13) (2 + n) (n + 1) /(6561 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) 2 (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 43214930 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 + n) 6 5 4 3 2 (1114093 n - 34207683 n + 430303465 n - 2840670525 n + 10397647042 n 2 - 20072005272 n + 16052950080) (n + 1) /(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) 2 (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5877230480 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 + n) 4 3 2 2 2 (2299 n - 51498 n + 428861 n - 1585422 n + 2218680) (-1 + n) (n + 1) /( 6561 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) 2 (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5142576670 n (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-12 + n) (-13 + n) 5 4 3 (-14 + n) (-15 + n) (2 + n) (168749 n - 5750075 n + 78185905 n 2 2 2 2 - 531210325 n + 1807340346 n - 2470100040) (-1 + n) (-2 + n) (n + 1) /( 59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n)), 29386152400 n (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (21937 n - 652174 n + 7287143 n - 36335786 n + 68364840) (-1 + n) 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) /(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 12355541350 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (36067 n - 1215954 n + 15389213 n - 86739006 n + 183905640) (-1 + n) 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) n /(19683 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) 2 (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3756084570400 n (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) 3 2 2 2 2 (2 + n) (227 n - 6142 n + 55571 n - 168276) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) 2 2 2 (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) /(19683 (-38 + 3 n) 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1) n /(59049 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n)), 9624966711650 n (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-14 + n) 2 2 2 (-15 + n) (2 + n) (1003 n - 22723 n + 128724) (-1 + n) (-2 + n) 2 2 2 2 2 2 2 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (n + 1) /( 177147 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 538998135852400 2 2 n (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-15 + n) (7 n - 83) (2 + n) (-1 + n) 2 2 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + 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104297333409211055303740579565198874972405*n^16-\ 658659361052575062237232513099166693944815*n^15+ 3571050978724367237646225439123781889420090*n^14-\ 16585028984973641032921450440113831222199180*n^13+ 65745534440157374365954948145824076579377640*n^12-\ 221326208696233652472858058485847966467130320*n^11+ 628403187159519115478713928186256989603599072*n^10-\ 1491348223285258597464582582094977099651193152*n^9+ 2924028208141345461949127118915091088080358016*n^8-\ 4664799966244989316248549114205010683088867328*n^7+ 5934750774462800660793977259675092610424860672*n^6-\ 5859979936017156322173044874802042348432343040*n^5+ 4323354529003052635332579755944607822548992000*n^4-\ 2253785417906339730018261496699794831114240000*n^3+ 759776244247731336769724560745622534881280000*n^2-\ 141369585380609104442395143684032141721600000*n+ 10164118988024887125583032805207572480000000)/(-22+3*n)/(-1+3*n)/(-16+3*n)/(3*n -4)/(-10+3*n)/(-2+3*n)/(-5+3*n)/(-13+3*n)/(-19+3*n)/(-23+3*n)/(3*n-7)/(-11+3*n) /(-14+3*n)/(-17+3*n)/(3*n-8)/(-25+3*n)/(-32+3*n)/(-20+3*n)/(-29+3*n)/(-26+3*n)/ (-28+3*n)/(-35+3*n)/(-37+3*n)/(-34+3*n)/(-31+3*n)/(-38+3*n)/(-40+3*n)/(-43+3*n) /(-41+3*n)/(-44+3*n) and the variance is 8/282429536481*(-15+n)*(n+1)*(24696244160308774057955021068454544022129*n^58-\ 10792312335690236284307267989353872014775662*n^57+ 2304731714934075280053772983934866007205953604*n^56-\ 320562294204696594120335202275925659316542718644*n^55+ 32655945194533293499658738278763003873422289783043*n^54-\ 2597832613810856279844457050459027049073577940315734*n^53+ 168032665709663770440778027696755632218750982309292774*n^52-\ 9085377531519737727110901500856674632462189782041159460*n^51+ 418991101639946399466871692206481594617385428373799535145*n^50-\ 16734069660853711484362043415518181547396055758269409737510*n^49+ 585737161259657632385718368472915885482743009103278400740920*n^48-\ 18140056522167086876878001183611434631432611441116036614249620*n^47+ 500920828457332722262014456402325977361967235363781404425652675*n^46-\ 12412698715436461838967068234343236292796770864799223773310117550*n^45+ 277486710891866406320671659881302138762669232684437479626533572930*n^44-\ 5621363315381160404938598852592577779004107218570743180542086529060*n^43+ 103588115189941890522740684325985029532216796048267152037915454370875*n^42-\ 1741984973454980293716451414947630724498411019365756788006167998221450*n^41+ 26806115220101438406757008503417206794242743976007244772450832324248740*n^40-\ 378345971827913159840492132953185541394056059646171478125559927744825980*n^39+ 4907572980501488747004031225562819913907043889247163588881434945307990817*n^38-\ 58598747370114462545208365825931469921739077619668377376201006016268162626*n^37 +644993280394524065468302816789519400803624532071838031546950918085056133162*n^ 36-6551799145953872084223741234007161856899163889923571411183178157702369506252 *n^35+ 61475077453832692928041293184900581547542747182704487634164942894395029777819*n ^34-\ 533180378525725860963744234685225496150140847111122115953297008501339035933922* n^33+42766515564009805223166160908142063545027387248746686592019881764054461395\ 63392*n^32-31734031433228949952994294983144679138594571437426547241125620068450\ 118522089980*n^31+2178699675052857415391620205759311090257631861545283415813836\ 88760891996042721305*n^30-13838953336482921134062343806129431555632569990179612\ 53689545015052563795101272890*n^29+81311257786773521380233717788071989647457392\ 25862509948649718057143170526330126830*n^28-44174543667606405803870475806616734\ 414953663846354044248846624628922013418544121580*n^27+2217804203867333354411072\ 37468676775947011777670507704383745521211366538247291110800*n^26-10282079256837\ 90962281015206973982031841905739701007621203005563616107379820207600000*n^25+43\ 9784447455235481158295466237581955242731551559098704442867235234239198981355541\ 0720*n^24-173343494849911874907359492828440410573425764014311231222590065983792\ 46650398202072640*n^23+62877974207023151684191668104798891022445081202293434828\ 291795339718151678565738227200*n^22-2095688195940067041052793190808409264295078\ 38911259808021319254973287973215794930982400*n^21+64061248987800346216114143445\ 0952262581275023475686446832378163335995782131845911093760*n^20-179219776226630\ 6889236486388423645499146517064222216476449516340005499563559518297912320*n^19+ 4577647520999312716519265134092019024584483434825355634693542140915280339452197\ 780475904*n^18-1064518678563515409233104056766397219051349120155179273874138396\ 4185655317252345533120512*n^17+224661675981749017507150853111547304361535789793\ 21429930347554054011960001558703835766784*n^16-42871884298761808381729581769735\ 771130126995532664957126640917334481395437980081567023104*n^15+7366199653590913\ 4030230313340589483348679809669905239616329322641192439824675714582642688*n^14-\ 1133994091561275529635220260002617893348767866856916223596568020829524326215769\ 17916319744*n^13+15552216984542656140619411343791738715786243523199117642866215\ 3417697421521919625615376384*n^12-188744458971256715636811355390620608153062922\ 337108634566061396654041814916952900878991360*n^11+2010956711005325704377807018\ 75893617297572185053867701666515318519836400022762154465689600*n^10-18630942570\ 8145410016230635928339290967018387034593138040372535954328860682208348733440000 *n^9+14836349049674834100857915867321436133630968286261671339228294751014755241\ 0398852382720000*n^8-1000983243982268476299379503043291421299780886243345750406\ 24842335089880383229840588800000*n^7+561828560309511731989974303099268510309822\ 27734066329037276457223265420083617333248000000*n^6-256154976857751888411371475\ 66373181522146076759702059574899026592680155526306201600000000*n^5+918490592115\ 0068340114001739996961098899138337293420465184191928323979570734694400000000*n^ 4-24730195174973447277180021113410003715086201169050870308943054205409589733621\ 76000000000*n^3+465464684254192977520864791482952513580297677873440514801247553\ 541886244290560000000000*n^2-53976618619854556406451175496768451894377419267992\ 899645399441200713302016000000000000*n+2869703188964668209871975221697060308240\ 361965179468087654263864845926400000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-16+3*n) ^2/(3*n-4)^2/(-10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-23+3*n )^2/(3*n-7)^2/(-11+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3*n)^2/(-32+3* n)^2/(-20+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-\ 34+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-41+3*n)^2/(-44+3*n) ^2 as n goes to infinity, the distribution is [[16., .3554277688e-5], [17., .3345202530e-4], [18., .1665244917e-3], [19., .\ 5823749812e-3], [20., .1604125279e-2], [21., .3700145038e-2], [22., .7422827747\ e-2], [23., .1328284020e-1], [24., .2158512149e-1], [25., .3227351876e-1], [26. , .4483522452e-1], [27., .5830238431e-1], [28., .7136177511e-1], [29., .\ 8255374674e-1], [30., .9051811563e-1], [31., .9423368658e-1], [32., .9320126839\ e-1], [33., .8753494390e-1], [34., .7794645406e-1], [35., .6562571557e-1], [36. , .5203545096e-1], [37., .3865425447e-1], [38., .2672078040e-1], [39., .\ 1704187220e-1], [40., .9915545991e-2], [41., .5183465191e-2], [42., .2382161685\ e-2], [43., .9310143375e-3], [44., .2927628418e-3], [45., .6657139556e-4], [46. , .8321424445e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 3419801475363033649946 2 49392488320617548115910042136909088044258 [----------------------, ----------------------------------------------, - 109418989131512359209 109418989131512359209 51079705251980894290481102813238760571935790228196518019161 1/2 49392488320617548115910042136909088044258 /121980895125117044930231544\ 5255721993546997775660135594147691833391194417683385282, 3330513579819468\ / 037361317718928545553024313991000351103645702142504844067858346677 / 1\ / 219808951251170449302315445255721993546997775660135594147691833391194417\ 683385282] and in floating-point [31.25418634, 4.062260317, -.9306513665e-2, 2.730356730] Here is a plot + HHHHHH + HH HH + HH H 0.08 H HH + HH H + H H + HH H 0.06 H H + H HH + H H + HH H + H H 0.04 HH H + H H + H HH + HH H 0.02 H H + H HH + HHH HHH + HHHH HHH +************-+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--***********- 0 20 25 30 35 40 45 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 17], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 17, to , 49 The probability distribution is [19 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n)/(81 (3 n - 8) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 5168 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n + 1)/(729 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 16 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (572 n + 289) (n + 1)/(243 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 380 n (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (139 + 269 n) (n + 1)/(243 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 950 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-15 + n) (-16 + n) (n + 1) (8501 n + 303 n - 2276) n/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 532 (-1 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) 2 (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n + 1) (37133 n + 2355 n - 10442) n/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 5852 n (-1 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (10757 n + 1095 n - 3218)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 38456 (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) 2 (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (n + 1) (27887 n + 4263 n - 8972) n/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1922800 (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) 2 (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (479 n + 105 n - 167) n/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 19228000 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (227 n + 69 n - 86)/(6561 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 9998560 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (961 n + 395 n - 394) n/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1817920 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) 2 (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (807 n + 440 n - 353) n/( 729 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 6362720 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (79 n - 32) (17 n + 19) (n + 1)/(2187 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 141937600 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (2 n - 9) (n + 1) (1991 n + 1833 n - 878) n/(19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 101384000 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (2 n - 9) (2 n - 11) (n + 1) (1621 n + 1911 n - 610) n/(19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 251432320 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (n + 1) 2 (2171 n + 3255 n - 464) n/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1005729280 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) (n + 1) 2 (2578 n + 4890 n + 323)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 44252088320 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) (59 n + 23) (2 + n) (n + 1)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3761427507200 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 15) (2 + n) 2 (n + 1) n/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n)), 30250451000 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) 6 5 4 3 (-16 + n) (2 + n) (131071 n - 4030344 n + 50800372 n - 336318354 n 2 2 + 1236141637 n - 2401181622 n + 1938781080) (n + 1) /(177147 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) 2 (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 605009020 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-13 + n) 6 5 (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 + n) (1900351 n - 70952277 n 4 3 2 + 1095173695 n - 8959670115 n + 41070750154 n - 100348293168 n 2 2 + 102554845920) (-1 + n) (n + 1) /(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 6395809640 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) 5 4 3 2 (-16 + n) (2 + n) (444629 n - 15226625 n + 208379005 n - 1427631775 n 2 2 2 2 + 4910385366 n - 6807174840) (-1 + n) (-2 + n) (n + 1) n /(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 11047307560 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) 5 (-9 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 + n) (5408374 n 4 3 2 - 213479265 n + 3370006960 n - 26632101735 n + 105535994866 n 2 2 2 2 2 - 168092328840) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) n /(531441 (-31 + 3 n) (-38 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1436149982800 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (30392 n - 1034029 n + 13232188 n - 75585731 n + 162871140) (-1 + n) 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) n /(531441 (-31 + 3 n) (-38 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1795187478500 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (49687 n - 1884114 n + 26830913 n - 170189286 n + 406029960) (-1 + n) 2 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) n /(531441 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) 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00274394681585749042491107776360321560395172765090400*n^25+22587367948896053041\ 1557446874516341392942177459365089983733100784717367784924456266434516160*n^24-\ 8355338637309252715962079585292637721101290001931707398557866291567656146984263\ 28273895241600*n^23+28527598685833239651546202243489741100813975961670032235956\ 89345264119249363883404619945971968*n^22-89747424957020012790508836397511070183\ 04957435903062945670940867991303938333028476601707543040*n^21+25964619488481208\ 988694852725693367894603690080060642111874826443165796322224889951189194068992* n^20-68924713913007202240804690916200777775245264214184622824562423817258542765\ 283577342785368074240*n^19+1674549534313339216319967510921363189239883274952221\ 78449648974555284264452832675651553090801664*n^18-37127562324016351410104901581\ 1501776187456060399630165163982703579820582387379056155381150720000*n^17+748757\ 0371268922862475768720452428190227862499709453478050696592344242829026101662526\ 09455538176*n^16-13683535581066991797661264439704997762548107175925356234123502\ 58180545672608622493365841242849280*n^15+22562912209008568860006795018429765855\ 19862493272349828114423623229876121385995973702990448427008*n^14-33401857309573\ 7757640157748027657097665552935379623236375668265365305036617074073327590571769\ 8560*n^13+441383192140110718915008153315935925960241330834945700279252395385738\ 8413891994499877585857544192*n^12-517122303627603850883848590923124760736335168\ 7030783341518878412025619249483252011772684827361280*n^11+532879491214172395423\ 0892881460827569544095334969988673884286583229542623943759286952214187212800*n^ 10-4783694050431176713818611747675636617001302810351878395364610036210804794242\ 315648976939909120000*n^9+36977763669528043445465304750136787506801696704566039\ 07285672328075796212558177481371114536960000*n^8-242605795454334273527943408140\ 8004127221057803814814507755745368796431342657421718845810278400000*n^7+1326522\ 4703706863557914315859190166100014174198992572245412685163153484284498599309727\ 49824000000*n^6-590249000124815896105270431369740668575603690088486260461857097\ 423742411340752070115328000000000*n^5+20693664257444429802539352713797449820362\ 8491132030945216628947563810681660926476890931200000000*n^4-5458484958529255781\ 6714248079410052586883515494079693367787347098490671790026116825088000000000*n^ 3+10086351300300733790294831133491801079538862746215814427551424865305166358040\ 260116480000000000*n^2-11509788320352387586599643394833347829264971962465080345\ 02389945526353689363611648000000000000*n+60361618107595349663931694266747692835\ 437981131057519343592376251027970798387200000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/ (-16+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n)^2 /(-23+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-11+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3*n)^ 2/(-32+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+ 3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/ (-46+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-41+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[17., .1324142668e-5], [18., .1333951132e-4], [19., .7086873508e-4], [20., .\ 2638476872e-3], [21., .7720532800e-3], [22., .1888536230e-2], [23., .4011971857\ e-2], [24., .7594265709e-2], [25., .1304426175e-1], [26., .2060575795e-1], [27. , .3024114350e-1], [28., .4155546784e-1], [29., .5378809764e-1], [30., .\ 6588284021e-1], [31., .7662774197e-1], [32., .8483855500e-1], [33., .8954963705\ e-1], [34., .9017488665e-1], [35., .8660864820e-1], [36., .7924913882e-1], [37. , .6894027521e-1], [38., .5683938881e-1], [39., .4422985158e-1], [40., .\ 3231107434e-1], [41., .2201018293e-1], [42., .1386094940e-1], [43., .7979427457\ e-2], [44., .4135436452e-2], [45., .1887821193e-2], [46., .7342433334e-3], [47. , .2301716879e-3], [48., .5226120450e-4], [49., .6532650563e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 297645952509833391562753 2 354037999046719302005675760649465471091299574 [------------------------, --------------------------------------------------, 8862938119652501095929 8862938119652501095929 - 1958391592960387380488301849476095863889198389616697361613589216 1/2 354037999046719302005675760649465471091299574 /16492487469605897025751\ 96829818117510016690739486161334823189514211791614057293687007651, 361141\ 268750756298762658519230814685473458782921279401592745491791972368304538\ / 67470611041 / 13193989975684717620601574638544940080133525915889290678\ / 585516113694332912458349496061208] and in floating-point [33.58321456, 4.245972894, -.2234283674e-1, 2.737164947] Here is a plot + HHHHH + H HH 0.08 H HH + HH H + H HH + HH H + H HH 0.06 HH H + H H + H H + H H 0.04 HH H + H H + HH H + H H + HH H 0.02 H H + HH HH + HHH HH + HHHH HHHH +*************-+-+--+-+-+--+-+-+-+--+-+-+--+-+-+-+--+-+-+--+-+-+-***********- 0 20 25 30 35 40 45 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 18], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 18, to , 52 The probability distribution is [190 (n - 17) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(729 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 680 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (n + 1)/(243 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 323 (107 n + 54) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (n + 1)/(729 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 12160 (101 n + 52) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (n + 1) n/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 70 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (n + 1) (54341 n + 1713 n - 14438) n/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 3080 n (-1 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (n + 1) (9577 n + 535 n - 2658)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 35420 (-1 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (2 n - 3) (n + 1) 2 (8401 n + 750 n - 2464) n/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 16192 (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (2 n - 3) 2 (n + 1) (36667 n + 4893 n - 11482) n/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 101200 n (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (15919 n + 3031 n - 5364)/(6561 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5262400 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) 2 (1527 n + 401 n - 556) n/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1315600 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) 2 (n - 17) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (524 n + 185 n - 206) n/( 729 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 13395200 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (2009 n + 935 n - 846)/(6561 (-28 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9759042402771901349246745980845254586540247494813974271391273210898568799803033\ 83082759979008*n^24-17079843234799083354448359442126596970137809586656042965371\ 67807640285076292333270860864170333793306624*n^23+55299353352123082135677327515\ 13111738380459362984553618538443338687690348635212068382714403710944436224*n^22 -165355149993836750923173445734363023364460173896387760542465100429987709721356\ 55210420956756245756100608*n^21+45570452842419884747660960305359452626649817872\ 033635314836570418184792130145560384310426783195922366464*n^20-1154805441908758\ 1753028315089659772156187852247277941521485458395630600666303771381028583460817\ 0790879232*n^19+268383701114589299038746739721059925527343039008668167425616216\ 623569244535548797268062608577641354625024*n^18-5703460755790806603420744889510\ 07744735969091172867148394488461230906132576187448519819760857684987805696*n^17 +110457904760436665335653038683947497189697353244040295292955838178879446291764\ 8564255716415281995087085568*n^16-194209706851996646334700226363256800320249090\ 3334910516293599728127043147033191071695758312424445190078464*n^15+308647415190\ 0449384159520522378918849637964231938045434437750487689078672695324582513122788\ 774795019288576*n^14-4411525925641433901001139494779587771368689441730981942723\ 574030721401994427358040514794747991522478653440*n^13+5637942928076204108285035\ 3848357194754915758596672696393022222519670356326617813622960910791582326718464\ 00*n^12-63988709037942160606388677807330641145149477075058794977393661685238761\ 30592811888264405375744800194560000*n^11+63980570690659166791491176156404032037\ 04392843001776071872632794069114548860916412265346563914470522880000*n^10-55819\ 2134651327511217820770829448890257148421659370099643950890814468624696138878452\ 2363721212965683200000*n^9+4199971747772547219473862663084235998126936715188539\ 915541926741461721920708465618668401342715789312000000*n^8-26864150496543275755\ 7719625120518992111222987283902464171196306402857317639465665442892790135521280\ 0000000*n^7+1434287787727602336742745918165805093853703172637349695145552567041\ 742882483631631869815484422553600000000*n^6-62416799851028789146875297743186616\ 7682175260728890261397164829614622220799264320018193605197824000000000*n^5+2143\ 7123364202170173270809880945524294760989753255137313218140649200312565872132914\ 9775173386240000000000*n^4-5549112254257536679056023234363872993823371591498518\ 4071764077887108374719029193908946993152000000000000*n^3+1008164534721065936838\ 1499478954265069133372001872707783370748902036636139886689624313036800000000000\ 000*n^2-11334894813987149081639726224726746776635971255132178115515394037145504\ 79355084181340160000000000000000*n+58695939255916255989955499163456790251644070\ 041745987097305944628380853944205705216000000000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n) ^2/(-16+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n )^2/(-23+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-11+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3* n)^2/(-32+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-\ 37+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(-38+3*n) ^2/(-41+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-31+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[18., .4904232104e-6], [19., .5265596575e-5], [20., .2973599399e-4], [21., .\ 1174109493e-3], [22., .3636464206e-3], [23., .9399669854e-3], [24., .2107169269\ e-2], [25., .4204319926e-2], [26., .7605450053e-2], [27., .1264533275e-1], [28. , .1952697749e-1], [29., .2823223424e-1], [30., .3845984162e-1], [31., .\ 4961110752e-1], [32., .6083328955e-1], [33., .7111757138e-1], [34., .7943595055\ e-1], [35., .8489256353e-1], [36., .8686188986e-1], [37., .8508919823e-1], [38. , .7973608995e-1], [39., .7136333858e-1], [40., .6085215031e-1], [41., .\ 4927348190e-1], [42., .3772462671e-1], [43., .2716243137e-1], [44., .1826865334\ e-1], [45., .1137892246e-1], [46., .6490281685e-2], [47., .3338455107e-2], [48. , .1515116499e-2], [49., .5867924716e-3], [50., .1834490527e-3], [51., .\ 4159842464e-4], [52., .5199803080e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 25794099367138775065569940 [--------------------------, 717897987691852588770249 1/2 8 157677833557282202189116915200146102393289173870 -----------------------------------------------------, - 717897987691852588770249 13693873989066274611103555878790466830047296605412465205093866152384703 1/2 157677833557282202189116915200146102393289173870 /15911871485003513172\ 389808397798005330991673790772621441224522440711050542360245608542138097\ 2160, 3492612880645554622275988566243142729611615890925078856573615941508\ / 008996572584542009820326837117 / 1272949718800281053791184671823840426\ / 479333903261809715297961795256884043388819648683371047777280] and in floating-point [35.93003436, 4.424992848, -.3417357286e-1, 2.743716291] Here is a plot + HHHHH + H HH 0.08 HH HH + H H + HH H + H H 0.06 H H + HH HH + H H + H H + H H 0.04 H H + HH H + H HH + HH HH 0.02 H H + HH HH + HH H + HH HH + HHHH HHH +**************--+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+--+-+***********- 0 20 25 30 35 40 45 50 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 19], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 19, to , 55 The probability distribution is [70 (n - 17) (-18 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(729 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 266 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (n + 1)/(81 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 20 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (716 n + 361) (n + 1)/(243 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 4760 n (113 n + 58) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 77 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) 2 (n + 1) (22827 n + 641 n - 6026) n/(729 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3542 n (-1 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (n + 1) 2 (12161 n + 603 n - 3338)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 14168 n (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (3585 n + 283 n - 1034)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 708400 (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (451 n + 53 n - 138) n/(2187 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4604600 n (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) 2 (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (593 n + 99 n - 194)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 263120 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (n + 1) (18103 n + 4149 n - 6364)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3683680 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (349 n + 107 n - 132) n/(729 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 19423040 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (n + 1) (301 n + 121 n - 122)/(729 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 24278800 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (2 n - 9) (n + 1) (4643 n + 2409 n - 1994)/(19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 115791200 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) (1317 n + 871 n - 586) n/(6561 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 370531840 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (n + 1) (2383 n + 1989 n - 1054)/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 8151700480 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) 2 (n + 1) (133 n + 139 n - 54)/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 9898493440 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) 2 (n + 1) (193 n + 251 n - 60) n/(19683 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 203792512000 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (2 n - 13) (n + 1) (95 n + 153 n - 11)/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 407585024000 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 15) (n + 1) 2 (77 n + 153 n + 19)/(177147 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1206451671040 (9 n + 4) (2 n - 7) (2 n - 15) (-18 + n) (2 n - 9) (n - 17) (2 n - 5) (2 n - 13) (2 n - 11) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 n - 3) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (-3 + n) (n + 1)/( 19683 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 48710486218240 (2 n - 17) (2 n - 7) (2 n - 15) (-18 + n) (2 n - 9) (n - 17) (2 n - 5) (2 n - 13) (2 n - 11) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 n - 3) (-5 + n) (-8 + n) 2 n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (-3 + n) (n + 1) /(59049 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n)), 15316280980 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 7 6 5 4 (-18 + n) (2 + n) (779149 n - 30641540 n + 507972046 n - 4604009460 n 3 2 + 24670629761 n - 78354411640 n + 137182229444 n - 102896848560) 2 (n + 1) /(59049 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 27847783600 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) 7 6 5 (n - 17) (-18 + n) (2 + n) (1179622 n - 55461447 n + 1107890881 n 4 3 2 - 12203952405 n + 80209542013 n - 315377848668 n + 689473394004 n 2 2 2 - 649812314160) (-1 + n) (n + 1) n /(59049 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 326216893600 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 6 5 4 3 (-18 + n) (2 + n) (265266 n - 11684959 n + 213962875 n - 2088565215 n 2 2 2 + 11491049459 n - 33895124186 n + 42044091240) (-1 + n) (-2 + n) 2 2 (n + 1) n /(59049 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 228351825520 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 6 (-10 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 + n) (2858237 n 5 4 3 2 - 144098463 n + 3024420650 n - 33872456055 n + 213855088313 n 2 2 2 2 - 723113425002 n + 1025457700680) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) 2 n /(531441 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) 2 (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 9819128497360 n (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-15 + n) 5 4 3 (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 + n) (52983 n - 2389925 n + 43223325 n 2 2 2 2 - 392348095 n + 1790472912 n - 3292440480) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) 2 2 (-4 + n) (n + 1) /(177147 (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 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7760728632238180052365021358256026749614367251377542166353836913157200889036800 *n^23+2352719836043901672779137078801766140032322187259932082788522222612160469\ 16506139694118443370192662038079406080*n^22-67242454058527581597508882063453038\ 9622778768800787425406413778372133274470841940279665666802112711173023334400*n^ 21+1774595469605386745693775290943750028125555055043293815482568010146442264726\ 562957619418276762314746846609866752*n^20-4314205754378773910318312969776258135\ 267747985545993640044799610966325471407015610709198641847327315090846318592*n^ 19+9635703490062363714603617829966568601889286282566550017625066540613005986799\ 779602532088874381761727183491694592*n^18-1971222888126101941177037267319037193\ 7079029254028306250046440347707521104764694244982071073552485060997902761984*n^ 17+3681088205020155258289781838531099296146483964736958439617886193399586596970\ 0074571651401677708956170701906116608*n^16-625063291494147833181107369775481571\ 18863551754533022154992943929245185918909075551807333381719091789597583081472*n ^15+960864244465668628564955218416937585855765706447289012606343778791505011858\ 40141654667223684168977850278271254528*n^14-13304247316962321595042799557369683\ 4341220829281317432393112093942546488625130779734545788684507207003020585861120 *n^13+1649548131737605361130224499409778233412782102560913781268650684391078483\ 72052080891626014099105087941860602675200*n^12-18189397556678682087658690935751\ 3456853456437522116904433482677360611949717275122169187337696172948882278318080\ 000*n^11+1769501124339399524662846442773325947537868750291911474699620324723516\ 65149862230554648582375025354465754480640000*n^10-15041226533711473832186755850\ 4135525290511234610731528253063409318330953815563172030384353765015947306441113\ 600000*n^9+11041977321124690227525085272094711590272987854205181598307247862018\ 0354518413971751356874567239629973487616000000*n^8-6900456629715697665519561201\ 4375023292196029967013897387267533489973693053442841021582445335103815444070400\ 000000*n^7+36045675760488772403861405192911572347829693367707205253174181844796\ 535148148577476203504226206116269260800000000*n^6-15369180562737583006826119528\ 5945946323539971934748894670988460620408345021690442899561569699919057387520000\ 00000*n^5+517954418608750624926101172295197558807840462354248730749830181443496\ 9450121967059887808142461181624320000000000*n^4-1317670688585209284389519999876\ 6394605424491390987872868283349368440397620064679649225798850875228160000000000\ 00*n^3+235676009947785263931254770420734340323187586894409254805855599699124816\ 929394086399578946823782400000000000000*n^2-26134913539257033259004299861374758\ 626112842140783244294597276293126108952913418188281589268480000000000000000*n+ 1337481359016375406070767896882017804402434779565809443559368416316620193531869\ 276120547328000000000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-16+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-\ 10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(3*n-7)^2/( -11+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3*n)^2/(-32+3*n)^2/(-20+3*n)^ 2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-52+ 3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/ (-50+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(-41+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[19., .1806822354e-6], [20., .2059777484e-5], [21., .1232080767e-4], [22., .\ 5142082581e-4], [23., .1680324714e-3], [24., .4575399146e-3], [25., .1079043233\ e-2], [26., .2262429093e-2], [27., .4296887380e-2], [28., .7495692820e-2], [29. , .1213852570e-1], [30., .1840013733e-1], [31., .2628025029e-1], [32., .\ 3555207271e-1], [33., .4574468669e-1], [34., .5616825567e-1], [35., .6598211488\ e-1], [36., .7429663448e-1], [37., .8029250323e-1], [38., .8333736180e-1], [39. , .8308014772e-1], [40., .7950760522e-1], [41., .7295365825e-1], [42., .\ 6405902984e-1], [43., .5368494790e-1], [44., .4279167632e-1], [45., .3230040786\ e-1], [46., .2296394350e-1], [47., .1527347716e-1], [48., .9422108862e-2], [49. , .5330739371e-2], [50., .2723952421e-2], [51., .1229890265e-2], [52., .\ 4745504495e-3], [53., .1480028161e-3], [54., .3352200535e-4], [55., .4190250669\ e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 247416152101623441621444403 [---------------------------, 6461081889226673298932241 1/2 2 220801586611389326156324717025019797217303228835531 --------------------------------------------------------, - 6461081889226673298932241 42156462812979484042730740787051394237729124321336014792759236014013759461 1/2 220801586611389326156324717025019797217303228835531 /13929525900030532\ 037534991725181699599008701202072075307000213039659491609283930650503186\ 138928014846, 76612583650057486227771751123995388813606193928574592425353\ / 267614921711806421767643592035939910666861 / 2785905180006106407506998\ / 345036339919801740240414415061400042607931898321856786130100637227785602\ 9692] and in floating-point [38.29330077, 4.599661213, -.4497062499e-1, 2.750006863] Here is a plot + HHHHH 0.08 HH HHH + HH HH + H H + H HH + H HH 0.06 H H + HH H + H H + H H 0.04 H H + HH HH + H H + HH H + HH H 0.02 H HH + HH H + HH HH + HH HHH + HHH HHH +****************-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+***********- 0 20 25 30 35 40 45 50 55 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 20], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 20, to , 58 The probability distribution is [77 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(729 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 8360 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 133 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (397 n + 200) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 616 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (377 n + 193) (n + 1) n/(729 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1265 n (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (-18 + n) (-19 + n) (n + 1) (17041 n + 429 n - 4474)/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4048 n (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (-18 + n) (-19 + n) (n + 1) (15233 n + 675 n - 4142)/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 50600 (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (n + 1) (4523 n + 318 n - 1286) n/(6561 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 526240 n (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (2867 n + 299 n - 860)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 131560 n (-1 + n) (-2 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (1267 n + 187 n - 404)/( 729 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 36836800 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (n + 1) (223 n + 45 n - 76) n/(6561 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 53413360 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (1172 n + 315 n - 428)/(19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 305219200 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) 2 (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (325 n + 114 n - 127)/( 19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 236544880 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (313 n + 141 n - 130) n/(6561 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 105866240 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (26699 n + 15249 n - 11618)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2911321600 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (n + 1) 2 (653 n + 468 n - 290)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 197969868800 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) 2 (n + 1) (37 n + 33 n - 16) n/(59049 (-34 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 346447270400 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (2 n - 13) (n + 1) (39 n + 43 n - 15)/(59049 (-34 + 3 n) (-31 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 32606801920 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) (n + 1) 2 (163 n + 221 n - 45)/(19683 (-34 + 3 n) (-31 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 21543779840 (2 n - 15) (2 n - 7) 2 (3778 n + 6273 n - 256) (2 n - 13) (-18 + n) (2 n - 9) (n - 17) (2 n - 5) (2 n - 11) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 n - 3) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/( 177147 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 861751193600 (2 n - 15) (2 n - 7) (2 n - 13) 2 (-18 + n) (2 n - 9) (928 n + 1881 n + 281) (n - 17) (2 n - 5) (2 n - 11) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 n - 3) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/( 531441 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5321313620480 (2 n - 15) (2 n - 17) (79 n + 37) (2 n - 7) (2 n - 13) (-18 + n) (2 n - 9) (n - 17) (2 n - 5) (2 n - 11) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 n - 3) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 425705089638400 (2 n - 15) (2 n - 17) (2 n - 7) (2 n - 13) (-18 + n) (2 n - 9) (n - 17) (2 n - 5) (2 n - 11) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-9 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 n - 3) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (-3 + n) 2 (n + 1) /(177147 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 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3455930883049960425809463206140481288557641333710305617571615574234619328654428\ 6179023572789194915840000000000000000*n^2-3760143731450192346707677213651556615\ 7566834293583829394911924938947709558482507349115149279349964800000000000000000\ 0*n+190318247462594154782245988654723605495248859393096420580723888168189787058\ 81087051484940258508800000000000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-16+3*n)^2/( 3*n-4)^2/(-10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-23+3*n)^2/ (3*n-7)^2/(-11+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3*n)^2/(-32+3*n)^2 /(-20+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-38+3 *n)^2/(-41+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-56+3*n)^2/( -31+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(-52+3*n )^2/(-55+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[20., .6625015299e-7], [21., .7992081948e-6], [22., .5047726303e-5], [23., .\ 2220116238e-4], [24., .7632652473e-4], [25., .2183312155e-3], [26., .5402263112\ e-3], [27., .1187104420e-2], [28., .2360751954e-2], [29., .4308964073e-2], [30. , .7297113648e-2], [31., .1156295434e-1], [32., .1726082246e-1], [33., .\ 2440575885e-1], [34., .3283017450e-1], [35., .4216473662e-1], [36., .5185123017\ e-1], [37., .6118914402e-1], [38., .6941105663e-1], [39., .7577608441e-1], [40. , .7966695771e-1], [41., .8067540021e-1], [42., .7866239018e-1], [43., .\ 7378382357e-1], [44., .6647693068e-1], [45., .5740772057e-1], [46., .4738482403\ e-1], [47., .3725086991e-1], [48., .2776853017e-1], [49., .1952243111e-1], [50. , .1285719730e-1], [51., .7864291647e-2], [52., .4417572854e-2], [53., .\ 2244167242e-2], [54., .1008653197e-2], [55., .3878974905e-3], [56., .1207191264\ e-3], [57., .2731422658e-4], [58., .3414278323e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 7095168695680449193491929302 [----------------------------, 174449211009120179071170507 1/2 4 43281841225851295259979238239253103199090114977156777 ----------------------------------------------------------, - 44919003407\ 174449211009120179071170507 066117158011096558756174539653274857438719011697557063809981581302 1/2 43281841225851295259979238239253103199090114977156777 /170301616354527\ 341198341606923205988120553645295877278351280833412191562859253810097778\ 837494592985184339, 46935800233383834217835486660709177332178106111679559\ / 9984874096372242252320890498653853995852028527773631 / 170301616354527\ / 341198341606923205988120553645295877278351280833412191562859253810097778\ 837494592985184339] and in floating-point [40.67183024, 4.770279716, -.5487369516e-1, 2.756039622] Here is a plot 0.08 HHHHH + HH HH + H H + HH HH + H H 0.06 H H + H H + H HH + HH H + H H 0.04 H HH + H H + H HH + HH H + H H 0.02 HH H + HH H + H HH + HHH HHH + HHH HHHH +****************+-+-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+**********- 0 20 25 30 35 40 45 50 55 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 21], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 21, to , 61 The probability distribution is [253 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 3220 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 220 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (292 n + 147) (n + 1)/( 2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 19228 n (139 n + 71) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (n + 1)/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 92 n (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) 2 (-20 + n) (n + 1) (104809 n + 2379 n - 27388)/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 920 (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) 2 (-19 + n) (-20 + n) (n + 1) (94253 n + 3755 n - 25422) n/(6561 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 59800 n (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (5633 n + 355 n - 1582)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 119600 n (-1 + n) (-2 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) (n + 1) (719 n + 67 n - 212)/(729 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 167440 (-1 + n) (-2 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (n + 1) (4801 n + 631 n - 1497) n/(2187 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1387360 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (29807 n + 5337 n - 9884)/(19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1387360 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) 2 (-20 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (26329 n + 6255 n - 9316)/ (19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 430081600 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (n + 1) (421 n + 130 n - 159) n/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1720326400 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (737 n + 291 n - 296)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 582264320 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (3209 n + 1599 n - 1358)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 9898493440 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) 2 (n + 1) (397 n + 247 n - 174) n/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) 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8097546148882496783957985648797072553738545060137128657997072516491077780771962\ 88*n^19+32156259534906527209393378249822573127595025303884196955177397148471560\ 583367403074765350164613576848461731695994923485774217216*n^18-6159301152629827\ 6278814670798012505536356604727869417180506783220998064330927073981754673410225\ 793914358608287759432967035813888*n^17+1079809059210715496184721075610294942797\ 5728246874032539788435549120796505211024920835799612723279614726372999193368032\ 2816770048*n^16-172584868112574894583028738115387492246933095251273319449202590\ 700509095029330351454537111502755371901432029169200932295729479680*n^15+2503547\ 7418567115999333896435133348868599363445172398511967251051811162546463429874964\ 6951772704046296103165557516643439371878400*n^14-327931701239541517508499068297\ 9628931812475097910322579429939974910342789133903342523881072914857409064818749\ 81295146450026496000*n^13+38558608988802297005512752331951657793998858692032341\ 5771490182659027230135782084695195776191889734673817305537079058534236160000*n^ 12-4041895451148724082617326479215096742995925342567743364869048085298878621812\ 64360661686456218231327979655963213271063225958400000*n^11+37468114086524287055\ 8837701929417123359507385465785056450310040800722237379120933794056657417216443\ 713723915125667127099392000000*n^10-3042028730330126469831037505341741088624559\ 2841796642709799033894676692243608641222659416598628767018022967643856623894528\ 0000000*n^9+2138046458002106002575729838485751686001122072155801894886098216826\ 40582611205259476927030814474658063772721407620179558400000000*n^8-128222059179\ 2964979391213982937714498654416860230996112993337807367751576147058737828705943\ 13413844044971963659151474688000000000*n^7+644302425463372934131374511577399257\ 5780480472142603509705789858963763064059987213708350277318968274075545470473601\ 0240000000000*n^6-2649121802343531838680072555636821495644112454227208150957422\ 7523426746410254792695024308450789360966480096457759129600000000000*n^5+8631082\ 5342959334589957487440175364537225730622245440078242529484535562852125102481307\ 63843482670785153237308669952000000000000*n^4-212854657539728351121427107979614\ 0613589528867156647223233520469259412522974528531560437572169188129328248494489\ 600000000000000*n^3+37015352922612160702515225458356374161110844521777064861740\ 3309233400833644269319385167202670857533211373731840000000000000000*n^2-4004079\ 1057979494488887550049272723057219343664333115029775842720451667916556734641127\ 678033867899832107008000000000000000000*n+2005778398067787969368192012228874375\ 4190031699576132945896449601304976809607094104578087764590778646528000000000000\ 00000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-16+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/( -5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-11+3*n)^2/(-14+3*n)^2 /(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3*n)^2/(-32+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-20+3*n)^2/(-29+3*n) ^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-31 +3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-41+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-49+3*n)^2/ (-55+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-56+3* n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[21., .2418656379e-7], [22., .3078289937e-6], [23., .2047094674e-5], [24., .\ 9463217032e-5], [25., .3414100423e-4], [26., .1023414679e-3], [27., .2650442020\ e-3], [28., .6089476410e-3], [29., .1265022616e-2], [30., .2410188672e-2], [31. , .4257916432e-2], [32., .7035343456e-2], [33., .1094758116e-1], [34., .\ 1613354211e-1], [35., .2262081140e-1], [36., .3028885380e-1], [37., .3884957306\ e-1], [38., .4785184014e-1], [39., .5671254969e-1], [40., .6477192419e-1], [41. , .7136620531e-1], [42., .7590750264e-1], [43., .7795905677e-1], [44., .\ 7729471836e-1], [45., .7393373866e-1], [46., .6814530954e-1], [47., .6042099423\ e-1], [48., .5141703229e-1], [49., .4187274921e-1], [50., .3251603558e-1], [51. , .2397115617e-1], [52., .1668600104e-1], [53., .1089329127e-1], [54., .\ 6612759744e-2], [55., .3690903394e-2], [56., .1865260155e-2], [57., .8349462444\ e-3], [58., .3201440194e-3], [59., .9944270370e-4], [60., .2247938513e-4], [61. , .2809923141e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 202839689347810432112140667981 [------------------------------, 4710128697246244834921603689 1/2 2 135192426340573132546116442839071830233955792436709951338 --------------------------------------------------------------, - 1093464\ 4710128697246244834921603689 038769446352514684117669266254594616597566846888103976010367819920252472\ 1/2 086 135192426340573132546116442839071830233955792436709951338 /1986629\ 580418618712461753933052553878502582809048367743751112823403687902834724\ 75037631808150457402061286173807, 438937328648173659873503263673884387222\ 949762830532797880934409945598985148326827105644469764601104558387974287\ / 1 / 158930366433489496996940314644204310280206624723869419500089025872\ / 2950322267779800301054465203659216490289390456] and in floating-point [43.06457475, 4.937116817, -.6399761483e-1, 2.761821661] Here is a plot + HHHHH + H HH | HH H + HH H + H HH 0.06 HH H + H H + H H + HH HH + H H 0.04 H HH + H H + H HH + H H + HH HH 0.02 H H + H HH + HH HH + HH HH + HHH HHH +*****************+---+--+---+---+--+---+--+---+---+--+---+---+--***********- 0 30 40 50 60 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 22], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 22, to , 64 The probability distribution is [92 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 1232 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (n + 1)/(729 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 161 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (481 n + 242) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 7360 n (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (51 n + 26) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 500 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) 2 (-21 + n) (n + 1) (8507 n + 175 n - 2214) n/(2187 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1040 n (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (n + 1) 2 (115373 n + 4155 n - 30902)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 520 n (-1 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (104021 n + 5910 n - 28904)/(2187 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4160 (-1 + n) (-2 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (31169 n + 2611 n - 9054) n/(729 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1055600 n (-1 + n) (-2 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (n + 1) (399 n + 47 n - 122)/(729 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 21112000 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (1069 n + 171 n - 346)/(19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 934960 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (22196 n + 4695 n - 7634) n/(6561 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 119674880 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (2683 n + 735 n - 982)/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 164552960 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (1579 n + 551 n - 614)/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 391244800 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (n + 1) (3053 n + 1339 n - 1254) n/(19683 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 978112000 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (n + 1) (8011 n + 4368 n - 3436)/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2190970880 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) 2 (n + 1) (4979 n + 3345 n - 2186)/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 20266480640 (2 n - 7) 2 (359 n + 295 n - 156) (2 n - 13) (2 n - 3) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(19683 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 12943298560 (2 n - 7) (2 n - 13) 2 (2161 n + 2159 n - 876) (2 n - 3) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(19683 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) 2 (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 525821504000 (886 n + 1071 n - 298) (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1771188224000 (2 n - 7) (2 n - 15) 2 (2 n - 13) (2 n - 3) (-20 + n) (2 n - 11) (313 n + 456 n - 64) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(177147 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 181546792960 2 (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) (15793 n + 27645 n + 398) (2 n - 17) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 726187171840 (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) (2 n - 17) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) 2 (2 n - 5) (4387 n + 9205 n + 1782) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-19 + n) (-9 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 109291169361920 (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) (2 n - 17) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-19 + n) (-9 + n) (2 n - 19) (47 n + 24) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 48088114519244800 (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) (2 n - 17) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-19 + n) (-9 + n) (2 n - 19) (-6 + n) (-7 + n) (-10 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) 2 (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (-3 + n) (n + 1) /(1594323 (-44 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 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7768630487484935584469695727455665674825674486721516833926715820246052906427912\ 1137747548902295914560728973967360*n^17+624580729363162881510869167048519594543\ 3728683190087300286705250421745012637107119966906941911069221659446419736384701\ 038085840385867776*n^16-9720792939141552759032656476237534877791399052423031212\ 4569944039024182737822168923897425268281047142128663679065726894318004230265241\ 60*n^15+13745934865063405547684729180518402938741489901992205149077002166634710\ 275645027013624718468832165612889887539368167152506253360286924800*n^14-1757015\ 0953828365977728080933199929407431818867182349136628971391479001455770544882167\ 636754539676210707898649276510135433804122161152000*n^13+2018063101971445034025\ 9751498202136172978811218883033453115109491719187633531334966972539596940453064\ 743685929621445148518084478238720000*n^12-2068530789381998680092680669950557060\ 5978227073865245766244363305653532342811485091143509110138910555332092075577054\ 118487639510220800000*n^11+1876897852731461676701371330926339098237068273799158\ 8933590031362002386651084721574844046969978417355024543137733131353176275943424\ 000000*n^10-1493070412757679419750605609975218583796051522777014984301675496019\ 9543089992999295370321100348263389484160090820641309497397084160000000*n^9+1029\ 2213270200535335354956793879609799102289240243866000108909436078347305143144281\ 527118075065505011716832979709541454776683724800000000*n^8-60599457103164388217\ 7732796981819008550035802838580805748819525223530591840773398921169541279898209\ 9893706459340711977765830656000000000*n^7+2992658009816689245387768056360378265\ 6437038128635620559512157961945299316789956955885090467512088352185312952356632\ 72901345280000000000*n^6-121057215580690499751274945349938110922841411372952872\ 7173070394183717857527149782351046740821160214559845370329697021539123200000000\ 000*n^5+38846954955853742807327867425547096869571603512527180567771056519126162\ 0626543312621005880506269552834992203301498078101504000000000000*n^4-9446972295\ 5937041150744549899968469558765785510723159066043473720534980723922411988116053\ 830809604025141354440542073651200000000000000*n^3+16220814652365566547307272018\ 5163753218677129657821189459514110222573192852065490767191635312616424507981606\ 60586823680000000000000000*n^2-173500113259595583423119774989738413383955006606\ 1487047574482776260395397153802145552479268537200013295803963539456000000000000\ 000000*n+8606909836633247654030759785057199436537216569269440222564617051611685\ 0134697550328527356464479165764790229401600000000000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+ 3*n)^2/(-16+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19 +3*n)^2/(-23+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-11+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-\ 25+3*n)^2/(-32+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-20+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^ 2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-40+ 3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-41+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-50+3*n)^2/ (-53+3*n)^2/(-56+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-62+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(-55+3*n )^2 as n goes to infinity, the distribution is [[22., .8795114105e-8], [23., .1177780498e-6], [24., .8225874776e-6], [25., .\ 3987118394e-5], [26., .1506039366e-4], [27., .4720466307e-4], [28., .1276800358\ e-3], [29., .3060658164e-3], [30., .6627956445e-3], [31., .1315378342e-2], [32. , .2419030518e-2], [33., .4158672916e-2], [34., .6730524589e-2], [35., .\ 1031371709e-1], [36., .1503497245e-1], [37., .2093177460e-1], [38., .2792094417\ e-1], [39., .3577962584e-1], [40., .4414427161e-1], [41., .5253047694e-1], [42. , .6037303286e-1], [43., .6708199713e-1], [44., .7210766761e-1], [45., .\ 7500561170e-1], [46., .7549264951e-1], [47., .7348584485e-1], [48., .6911874558\ e-1], [49., .6273182616e-1], [50., .5483700083e-1], [51., .4605924343e-1], [52. , .3706193773e-1], [53., .2846632281e-1], [54., .2077820143e-1], [55., .\ 1433534204e-1], [56., .9285569456e-2], [57., .5598685958e-2], [58., .3107061976\ e-2], [59., .1562878235e-2], [60., .6970386416e-3], [61., .2665539739e-3], [62. , .8265394473e-4], [63., .1866865054e-4], [64., .2333581317e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1927551444559971554429086904072 [-------------------------------, 42391158275216203514294433201 1/2 8 730434401431901671024724969126049860600475595333373205809 --------------------------------------------------------------, - 5720008\ 42391158275216203514294433201 909199264697340775891510342513732209622449331298821313171273871582040134\ 1/2 896739 730434401431901671024724969126049860600475595333373205809 /2134\ 137659180721911672908525842436795240895186114043082539965513784862951388\ 255689091680987286284628245479485377924, 23623729870411291960576332114623\ 130811165464104042059594612377568252721870387481838044519810088578504173\ / 915665982277 / 8536550636722887646691634103369747180963580744456172330\ / 159862055139451805553022756366723949145138512981917941511696] and in floating-point [45.47060102, 5.100412640, -.7243773886e-1, 2.767362472] Here is a plot + HHHHH 0.07 HH H + HH H + H H 0.06 H H + HH H + H H 0.05 H H + H H 0.04 H HH + H H + HH H 0.03 H H + H H + H H 0.02 H HH + HH HH 0.01 HH HH + HH H + HHH HHHH +******************+--+---+--+---+--+---+--+---+--+---+--+---+--+-**********- 0 30 40 50 60 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 23], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 23, to , 67 The probability distribution is [100 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 12650 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (n + 1)/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 88 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1052 n + 529) (n + 1)/( 6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2800 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (503 n + 256) (n + 1) n/( 6561 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 325 n (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (n + 1) 2 (51307 n + 961 n - 13306)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 650 n (-1 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) 2 (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (n + 1) (9323 n + 305 n - 2482)/( 729 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 9100 (-1 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (8449 n + 435 n - 2326) n/(2187 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 15080 n (-1 + n) (-2 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (114547 n + 8673 n - 32842)/(6561 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 37700 n (-1 + n) (-2 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) 2 (-21 + n) (-22 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (51619 n + 5481 n - 15514) /(6561 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2337400 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (n + 1) (15461 n + 2223 n - 4898) n/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 261788800 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (1187 n + 225 n - 398)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 74796800 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (7417 n + 1815 n - 2638)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 699350080 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (n + 1) (1999 n + 621 n - 754) n/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3765731200 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) (1771 n + 689 n - 706)/( 59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 97811200 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (n + 1) (17187 n + 8281 n - 7186)/(19683 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 7238028800 (2 n - 7) (2 n - 3) (-22 + n) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-19 + n) (3019 n + 1785 n - 1306) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 68761273600 (2 n - 7) 2 (2 n - 13) (2 n - 3) (-22 + n) (1979 n + 1425 n - 866) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(177147 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2 147230021120 (2 n - 7) (2 n - 13) (1229 n + 1071 n - 524) (2 n - 3) (-22 + n) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(177147 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 420657203200 (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) 2 (-22 + n) (2479 n + 2601 n - 964) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) 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(-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) 2 (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1588534438400 (4361 n + 6555 n - 734) (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) (-22 + n) (2 n - 17) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 19516280243200 (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) 2 (1231 n + 2205 n + 86) (-22 + n) (2 n - 17) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-19 + n) (-9 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + 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58006784000*n^15+89811707793190188035725504069929296328116313608649524911839217\ 5704639528444573395267918995268412701018206065664935009021618378315522648309760\ 000*n^14-1122255619503558169390082923109160743240038893918329690163499960667374\ 442722778305847912949516203890056187984616867757200989444503910534348800000*n^ 13+1261281027265137113512868790991747035773024039177977083680466834443761465193\ 249980848748650288439824967756302377542088722266594922305945600000000*n^12-1266\ 1909272338346498273532410085059991661340417147844282101416089894786471732636128\ 92428489305980199878322233650841763732604954989633208320000000*n^11+11262494428\ 9583465552238457996982748387958151619165987160505725233148097495926989261791367\ 9549939558467842640324124183952633174746464256000000000*n^10-879076502679433526\ 4312367802380507651959752323509258160600121616284010428755368770208285912251310\ 25579641971404657083875409932675186688000000000*n^9+595119780029455305423815369\ 3754224846310108959475280505539701825223642180123992752578612498165750120126549\ 95485542681872965052829532160000000000*n^8-344440512566141481025579247242182682\ 2888341673952814483866131718443514302037874833458585585796731825958079600059138\ 10360510387218022400000000000*n^7+167363509910689858411078789027691305496833284\ 5372638949747917573775729411651532884515720723504562121368078200659916136395544\ 85977088000000000000*n^6-666766637866688909320751521397706952341990069623587525\ 8111881557467255174963243947920761815136031061714927505374981559134120312832000\ 0000000000*n^5+2109413118709708523189960893816977663898543241179007944956916968\ 5800140201296903444191415603135745652927140640670829079038630297600000000000000 *n^4-50628182806827002651002818203915407884682245038052601373536907009993575176\ 72320095323587639073707211570598466078273403051048960000000000000000*n^3+858987\ 1446546224294037874745820399187892073640756880684925936943522601392555700337770\ 41358381070752057851403880712982495232000000000000000000*n^2-909085816141604775\ 8699417821864484351174355600558547667567078853318101401862002479457838281390485\ 3989532492754266882048000000000000000000000*n+446843216606520991804784149608857\ 6117068153651834476741468427105451135285073065780896089060095071953177461381796\ 986880000000000000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-16+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-10+ 3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-11 +3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3*n)^2/(-32+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-\ 20+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-34+3*n) ^2/(-52+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-41+3*n)^2/(3*n -59)^2/(-49+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/ (-53+3*n)^2/(-64+3*n)^2/(-65+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-56+3*n)^2/(-62+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[23., .3186635545e-8], [24., .4478993294e-7], [25., .3277844136e-6], [26., .\ 1662243519e-5], [27., .6560053176e-5], [28., .2145650230e-4], [29., .6049563997\ e-4], [30., .1510149435e-3], [31., .3402638379e-3], [32., .7020902947e-3], [33. , .1341564684e-2], [34., .2395086115e-2], [35., .4023703770e-2], [36., .\ 6398308851e-2], [37., .9676921915e-2], [38., .1397621211e-1], [39., .1934119287\ e-1], [40., .2571827327e-1], [41., .3293714050e-1], [42., .4070614692e-1], [43. , .4862406272e-1], [44., .5620854789e-1], [45., .6293896215e-1], [46., .\ 6830868208e-1], [47., .7188037788e-1], [48., .7333701119e-1], [49., .7252171678\ e-1], [50., .6946105276e-1], [51., .6436801284e-1], [52., .5762338876e-1], [53. , .4973646174e-1], [54., .4128869509e-1], [55., .3286709262e-1], [56., .\ 2499669744e-1], [57., .1808329476e-1], [58., .1237658751e-1], [59., .7960396321\ e-2], [60., .4770443554e-2], [61., .2633794706e-2], [62., .1319242577e-2], [63. , .5864391311e-3], [64., .2237194263e-3], [65., .6926339910e-4], [66., .\ 1563236438e-4], [67., .1954045548e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 54811979132891728732720262178025 [--------------------------------, 1144561273430837494885949696427 1/2 10 362504014633875951177804817449757010518974566642278316755778 ------------------------------------------------------------------, - 876\ 1144561273430837494885949696427 019997773751165307132345295845730248220961824092751900983090437853312428\ 4637379642339 1/2 362504014633875951177804817449757010518974566642278316755778 /65704580\ 312838674880921634774857557906921899887539106455254059638107114562451276\ 725307902399581133629665749395448192642, 18217730386489440645059743858386\ 472374349045550551054684346586077040251130445623170427818142001207621611\ / 976357790289267051 / 6570458031283867488092163477485755790692189988753\ / 910645525405963810711456245127672530790239958113362966574939544819264200] and in floating-point [47.88907366, 5.260382968, -.8027397802e-1, 2.772672818] Here is a plot + HHHHH 0.07 H HHH + H HH + HH H 0.06 H HH + H H 0.05 H H + HH H + H HH 0.04 H H + H HH + H H 0.03 HH HH + H H + H H 0.02 HH H + HH HH 0.01 HH H + HH HH + HHHH HHH +*******************+--+--+---+--+--+---+--+--+---+--+--+---+--+-***********- 0 30 40 50 60 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 24], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 24, to , 70 The probability distribution is [325 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (3 n - 8) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 4784 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (n + 1)/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (3 n - 8) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 575 (191 n + 96) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (n + 1)/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 28600 n (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (61 n + 31) (n + 1)/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 13 n (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) 2 (n + 1) (61367 n + 1051 n - 15866)/(729 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 728 (-1 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (n + 1) 2 (33601 n + 1003 n - 8898) n/(2187 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 10556 n (-1 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (30593 n + 1434 n - 8354)/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 30160 n (-1 + n) (-2 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) 2 (-23 + n) (2 n - 3) (n + 1) (27787 n + 1911 n - 7876)/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 233740 (-1 + n) (-2 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) 2 (12587 n + 1211 n - 3726) n/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 2991872 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) 2 (56863 n + 7389 n - 17674)/(59049 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4) (-32 + 3 n)), 8227648 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (20492 n + 3501 n - 6716)/(59049 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4) (-32 + 3 n)), 101723648 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (n + 1) (9203 n + 2024 n - 3189) n/(59049 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-34 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4) (-32 + 3 n)), 445040960 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) (5493 n + 1529 n - 2014)/(59049 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-34 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-35 + 3 n) (-2 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4) (-32 + 3 n)), 3560327680 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (n + 1) (377 n + 131 n - 146)/(19683 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-34 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-35 + 3 n) (-2 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4) (-32 + 3 n)), 20700762368 (2 n - 3) (2 n - 11) 2 (2 n - 5) (2 n - 9) (-23 + n) (457 n + 196 n - 186) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 7) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/ (59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) 2 (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 11001803776 (2 n - 3) (11573 n + 6069 n - 4904) (2 n - 11) (2 n - 5) (2 n - 9) (-23 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 7) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/( 177147 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 35755862272 (2 n - 3) (2 n - 11) (2 n - 5) (2 n - 9) (-23 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-21 + n) (2 n - 13) (-16 + n) (2 n - 7) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) 2 (2551 n + 1623 n - 1108) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(177147 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 168262881280 (2 n - 3) 2 (2 n - 11) (2 n - 5) (2 n - 9) (2239 n + 1717 n - 972) (-23 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-21 + n) (2 n - 13) (-16 + n) (2 n - 7) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(177147 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 862347266560 (2 n - 3) (2 n - 15) (2 n - 11) (2 n - 5) 2 (2 n - 9) (7822 n + 7191 n - 3256) (-23 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-21 + n) (2 n - 13) (-16 + n) (2 n - 7) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 508331020288 (2 n - 3) (2 n - 15) (2 n - 11) (2 n - 5) (2 n - 9) (-23 + n) 2 (16988 n + 18639 n - 6299) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-21 + n) (2 n - 13) (-16 + n) (2 n - 7) (-15 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/( 1594323 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) 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495818960764928000000000*n^10-1848285166396830228254669844889538372132301464375\ 6483934724740168929713509844659745906039250129016047699243902560818125016647763\ 5382556034596864000000000*n^9+1230280169065468810376267038457594491378585498463\ 5417123735078866778151175248101843899167901200028401101413533227180775474518698\ 4780193102561280000000000*n^8-7007097698751476143242919890799560558910827726377\ 0908414733034769028491960728559105670341135024060866993425042725052963150663282\ 315458982707200000000000*n^7+33533882967081317123763994737494149301707866616464\ 5670887453992438506105299164155568007455012449057464948132761404731343814695612\ 88333983744000000000000*n^6-131699361484073579051946532802823598950868349177468\ 6562565490431514644826708095734565090841388946217011860860430732671589932395241\ 8636431360000000000000*n^5+4111172678119825619154259775352904220805772015061722\ 1005218560641712683632109474427671181410786809660796586925432207583144070925483\ 24556800000000000000*n^4-974603997987921085629399141802354548422091952685184071\ 1529848442505938376206869202827406367940064473515729363278021512939630877055385\ 60000000000000000*n^3+163506413571421847246955490959466773012661193303047798289\ 6399438817086677370064924854483369052961737256809865590044451548088080793600000\ 00000000000000*n^2-171316717385602357731270966921458867505585589427679944541713\ 0450143359627554037941637069958292612770300535881109394821254207242240000000000\ 0000000000*n+834766687600111324237211103966786382575020279580223948903472830205\ 4200081999435671590569023965502331570117823303718295253811200000000000000000000\ 00)/(-65+3*n)^2/(-64+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-\ 46+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-41+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-40+3*n)^ 2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-28+ 3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+3*n)^2/( -25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3*n)^2/ (-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2 /(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[24., .1150729502e-8], [25., .1693873828e-7], [26., .1296193514e-6], [27., .\ 6863462188e-6], [28., .2824672695e-5], [29., .9623453657e-5], [30., .2823295343\ e-4], [31., .7326690764e-4], [32., .1714742359e-3], [33., .3672422320e-3], [34. , .7278969278e-3], [35., .1347224368e-2], [36., .2345345910e-2], [37., .\ 3863224066e-2], [38., .6050741553e-2], [39., .9048433555e-2], [40., .1296436542\ e-1], [41., .1784903370e-1], [42., .2367219496e-1], [43., .3030591433e-1], [44. , .3751772174e-1], [45., .4497657930e-1], [46., .5227257971e-1], [47., .\ 5894921560e-1], [48., .6454505274e-1], [49., .6864005608e-1], [50., .7090092512\ e-1], [51., .7111971904e-1], [52., .6924074816e-1], [53., .6537198177e-1], [54. , .5977883729e-1], [55., .5286002817e-1], [56., .4510717713e-1], [57., .\ 3705220773e-1], [58., .2920895548e-1], [59., .2201742375e-1], [60., .1579976810\ e-1], [61., .1073565638e-1], [62., .6860994179e-2], [63., .4088921476e-2], [64. , .2246995305e-2], [65., .1121201273e-2], [66., .4969137828e-3], [67., .\ 1891516090e-3], [68., .5847806975e-4], [69., .1318908373e-4], [70., .1648635466\ e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1555023284663720584351801599573214 [----------------------------------, 30903154382632612361920641803529 1/2 52 10364593979183890573480630893179069658357851897405591605263155 --------------------------------------------------------------------, - 4\ 30903154382632612361920641803529 938438302695829002406820452528865967865399292524341976060291690104249378\ 10526700382258837572 1/2 10364593979183890573480630893179069658357851897405591605263155 /181547\ 926117136073447086798222245709792227659668112489482903534751989663774711\ 56642227647166174970866916732187315759293630225, 262234594287436705769106\ 683512897943176262679895501483140839123738313625344104190028637573714856\ / 6529783666350769638599154611763 / 944049215809107581924851350755677690\ / 919583830274184945311098380710346251628500145395837652641098485079670073\ 740419483268771700] and in floating-point [50.31924138, 5.417222569, -.8757385891e-1, 2.777764018] Here is a plot 0.07 HHHHH + HH HH + HH H 0.06 HH H + H H + HH H 0.05 H H + H H + H H 0.04 HH H + H H + H H 0.03 H HH + HH H 0.02 HH HH + H H + HH H 0.01 HH HH + H HH + HHHH HHH +*******************-+--+--+--+--+--+---+--+--+--+--+--+---+--+--+**********- 0 30 40 50 60 70 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 25], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 25, to , 73 The probability distribution is [13 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(729 (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 200 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (n + 1)/(243 (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-25 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 104 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1244 n + 625) (n + 1)/(6561 (-26 + 3 n) (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-25 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 1196 n (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (199 n + 101) (n + 1)/(2187 (-26 + 3 n) (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-25 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 70 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) 2 (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (n + 1) (14567 n + 229 n - 3756) n /(729 (-26 + 3 n) (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-28 + 3 n) (-25 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 812 n (-1 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (n + 1) 2 (13347 n + 365 n - 3518)/(729 (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-28 + 3 n) (-25 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 4060 n (-1 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (36611 n + 1569 n - 9926)/(6561 (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-28 + 3 n) (-25 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 7192 (-1 + n) (-2 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) 2 (-23 + n) (-24 + n) (2 n - 3) (n + 1) (55669 n + 3493 n - 15620) n/(2187 (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 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)^2/(-46+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-41+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-40 +3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-35+3*n)^2 /(-28+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+3* n)^2/(-25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3 *n)^2/(-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+ 3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[25., .4142626209e-9], [26., .6373271091e-8], [27., .5089804448e-7], [28., .\ 2809007431e-6], [29., .1203474222e-5], [30., .4263704197e-5], [31., .1299488644\ e-4], [32., .3500241118e-4], [33., .8496021577e-4], [34., .1885756786e-3], [35. , .3871191044e-3], [36., .7416796390e-3], [37., .1335916703e-2], [38., .\ 2275868047e-2], [39., .3685479449e-2], [40., .5697002601e-2], [41., .8436239355\ e-2], [42., .1200366475e-1], [43., .1645353270e-1], [44., .2177391927e-1], [45. , .2787107562e-1], [46., .3456130830e-1], [47., .4157285312e-1], [48., .\ 4855895272e-1], [49., .5512178417e-1], [50., .6084526710e-1], [51., .6533338671\ e-1], [52., .6824971652e-1], [53., .6935346851e-1], [54., .6852765814e-1], [55. , .6579575706e-1], [56., .6132435230e-1], [57., .5541069378e-1], [58., .\ 4845555092e-1], [59., .4092355356e-1], [60., .3329514919e-1], [61., .2601620963\ e-1], [62., .1945260820e-1], [63., .1385707247e-1], [64., .9353843063e-2], [65. , .5943264174e-2], [66., .3524208326e-2], [67., .1928446950e-2], [68., .\ 9589060660e-3], [69., .4238261328e-3], [70., .1610082759e-3], [71., .4971270020\ e-4], [72., .1120508481e-4], [73., .1400635601e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 14674172184204472477834401125352865 [-----------------------------------, 278128389443693511257285776231761 1/2 2 600224607312957389956313136628055423003292939597174722040545873570 -----------------------------------------------------------------------, - 278128389443693511257285776231761 168828501567109906256898291781996616874318623883565883152796053064608636\ 602617468569836669672238 1/2 600224607312957389956313136628055423003292939597174722040545873570 /13\ 856522277845919303326535658895830362242627796129610152069216491568482612\ 56434566286646137740316673234379500063337549782901632865, 308462534292499\ 229857832097931494671882060742198307167405744750302197069426338806313318\ / 36516686550112778579947560023338828187811777 / 11085217822276735442661\ / 228527116664289794102236903688121655373193254786090051476530293169101922\ 533385875036000506700398263213062920] and in floating-point [52.76042555, 5.571107938, -.9439487583e-1, 2.782647479] Here is a plot 0.07 HHHH + HH HHH + H HH 0.06 H HH + H H + H H 0.05 H H + HH HH 0.04 H H + H H + H HH 0.03 HH H + H H + H HH 0.02 H HH + HH HH + H HH 0.01 H HH + HHH H + HHHH HHH +********************+--+--+--+--+--+---+--+--+--+--+--+--+--+--+-**********- 0 30 40 50 60 70 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 26], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 26, to , 76 The probability distribution is [14 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(729 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n)), 18200 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (n + 1)/(19683 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n)), 25 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (673 n + 338) (n + 1)/(2187 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n)), 448 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (647 n + 328) (n + 1) n/(2187 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 406 n (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (n + 1) 2 (257509 n + 3729 n - 66238)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 1624 n (-1 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) 2 (-24 + n) (-25 + n) (n + 1) (236813 n + 5955 n - 62162)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 125860 (-1 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (14491 n + 570 n - 3904) n/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 8055040 n (-1 + n) (-2 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (5689 n + 327 n - 1582)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 4430272 n (-1 + n) (-2 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) 2 (13001 n + 1041 n - 3752)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 43036928 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (n + 1) (9223 n + 993 n - 2776) n/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 75314624 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (50356 n + 7095 n - 15874)/(531441 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 547742720 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (n + 1) (4571 n + 825 n - 1514)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) 2 (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 2533310080 (2759 n + 627 n - 962) (2 n - 7) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (2 n - 9) (2 n - 3) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1) /(177147 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) 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1048371440284582949655695613139416357532821365707640324893140660774304746276126\ 720000000000*n^10-2412294979478683386414968820070223625888155388945809779953374\ 8637393849330680210081212333135395573460598397428263664028062824147139184542976\ 105795782120046592000000000000*n^9+15570013295262445257602432732028267981029281\ 5661312557976244986306988493491255308163133201800209021875262434576772342822494\ 57821576526873650417249410212691968000000000000*n^8-861184798613850698624116257\ 4136726398761618735114850355227552990884722625620828367881791014787406187901592\ 130935101228201327536459370374035669730031074017280000000000000*n^7+40084899825\ 8575301318882471558625858510818657662261936239207195325298694485054630645612220\ 8413083053895100545145696858108647680685061374232654999163869593600000000000000 *n^6-15335916838976968958280384828411751923934983890663431504782147962383935897\ 3163411329615188668064747718347563159339741470929383299418318786765269824962560\ 0000000000000000*n^5+4671419004303210284534967082150064302216129614032512222902\ 2247186914750666904902719355144956377141647820441686618687033033046169661558257\ 5718863816622080000000000000000*n^4-1082559624684493773992154897942121087586633\ 7198946269039694129142550921287966777457873656417302944200238418642320283311712\ 9794363207603027728921316556800000000000000000*n^3+1778939996192693312520860044\ 6000088554828580028162404452707635856555713854483895989046346085417850665365994\ 172285614266594939717234294398044172451840000000000000000000*n^2-18297423814426\ 7866615719699623322024136920267420074263286393206447838956958886827840529183877\ 0445292405606422614491416068863770606299146451156992000000000000000000000*n+877\ 2928115973589663689276176063095477839006805197716839872442426204587448093835265\ 0754996119313817223754989942534593671970019251930829265305600000000000000000000\ 000)/(-64+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-\ 55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-41+3*n)^2*(-25+n)/(-73+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-\ 40+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-35+3*n) ^2/(-28+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+ 3*n)^2/(-25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23 +3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-\ 16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[26., .1487096588e-9], [27., .2386698227e-8], [28., .1985746039e-7], [29., .\ 1140327695e-6], [30., .5077860952e-6], [31., .1867901294e-5], [32., .5905506926\ e-5], [33., .1648664267e-4], [34., .4144438837e-4], [35., .9520303708e-4], [36. , .2021414396e-3], [37., .4003445375e-3], [38., .7450662041e-3], [39., .\ 1310935650e-2], [40., .2191784676e-2], [41., .3497044621e-2], [42., .5344010155\ e-2], [43., .7845879431e-2], [44., .1109627381e-1], [45., .1515177464e-1], [46. , .2001471860e-1], [47., .2561890391e-1], [48., .3182085933e-1], [49., .\ 3839887195e-1], [50., .4506109962e-1], [51., .5146292986e-1], [52., .5723246759\ e-1], [53., .6200183989e-1], [54., .6544108676e-1], [55., .6729090081e-1], [56. , .6739044999e-1], [57., .6569693839e-1], [58., .6229433127e-1], [59., .\ 5738967522e-1], [60., .5129661083e-1], [61., .4440701018e-1], [62., .3715319518\ e-1], [63., .2996482066e-1], [64., .2322593204e-1], [65., .1723843461e-1], [66. , .1219773458e-1], [67., .8184409574e-2], [68., .5172707680e-2], [69., .\ 3053221722e-2], [70., .1664240814e-2], [71., .8248990006e-3], [72., .3636864064\ e-3], [73., .1379087361e-3], [74., .4252984112e-4], [75., .9580542596e-5], [76. , .1197567825e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 3731514715132334983352803704389341948 [-------------------------------------, 4 67585198634817523235520443624317923 1/2 9347795762463057378072411707934069873969633299992541060086025387460890 / 67585198634817523235520443624317923, - 6506349328656694829905772464610489\ 28929833141888370915483064638031361145336804260994970733964851665758 1/2 9347795762463057378072411707934069873969633299992541060086025387460890 / 624152040119444944548790470860556119441718374268521190279526117618820245\ 098376722332383587240804831614096736191959323611247116074580568515, 27835\ 527331070484727814268117613650512392387190733419983128665494688270504320\ / 102703034614474663437543022462988149157871121515559467677893733 / 9986\ / 432641911119112780647533768897911067493988296339044472417881901123921574\ 027557318137395852877305825547779071349177779953857193289096240] and in floating-point [55.21201077, 5.722199621, -.1007863205, 2.787334410] Here is a plot + HHHHH + H HH 0.06 HH H + HH H + HH HH 0.05 HH HH + H H + HH H 0.04 H HH + H H + H H 0.03 HH H + HH H + H H 0.02 H HH + H HH + HH HH 0.01 HH HH + HH HH + HHHH HHH +*********************+--+--+--+--+--+-+--+--+--+--+--+--+--+--+--**********- 0 30 40 50 60 70 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 27], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 27, to , 79 The probability distribution is [406 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n)/(19683 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n)), 754 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (n + 1)/(2187 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n)), 364 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (484 n + 243) (n + 1)/(19683 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 40600 n (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (233 n + 118) (n + 1)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 725 n (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (n + 1) 2 (60301 n + 807 n - 15478)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 1798 (-1 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) 2 (-25 + n) (-26 + n) (n + 1) (278213 n + 6455 n - 72762) n/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 28768 n (-1 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (256271 n + 9285 n - 68654)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 632896 n (-1 + n) (-2 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (33661 n + 1779 n - 9286)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 26898080 (-1 + n) (-2 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (n + 1) (3089 n + 227 n - 882) n/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 1882865600 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) 2 (-25 + n) (-26 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (943 n + 93 n - 280)/( 531441 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 150629248 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (n + 1) (4309 n + 555 n - 1336)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 144760576 (2 n - 3) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 7) 2 (82513 n + 13585 n - 26802) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 687612736 2 (150127 n + 31053 n - 51202) (2 n - 3) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (2 n - 9) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 7) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 6876127360 (2 n - 3) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) 2 (-22 + n) (27247 n + 6981 n - 9766) (2 n - 9) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 7) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1787793113600 (2 n - 3) (2 n - 5) (-24 + n) 2 (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (271 n + 85 n - 102) (2 n - 9) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 7) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5863961412608 2 (2 n - 3) (1223 n + 465 n - 482) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (2 n - 9) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 7) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(4782969 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 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25286192642392064000000*n^15+48390301191204581207438190558883185746823530850955\ 5981055077279183091110337402656680901295027223826441711284234736378785296757751\ 2865250052422961724785630589011975558261637120000000*n^14-560112729470128319203\ 9883311923507565615847829875503862903505267162101415015045164839130591632234508\ 0851989636945630622758083890498383222417054364818801359602939160690688000000000\ 00*n^13+58484097018347477914835948627053777911135953620383427268506601547983975\ 4523023832421080729212895149277662695419791604283478766667498496825170092032623\ 5114805930192769594163200000000*n^12-547072128371881572314773266719989348598123\ 4632054471218450963984395214960743534085144396455149961050276445356813734798810\ 665711573119474135836978345407435708421777108500480000000000*n^11+4547514853779\ 0455674785240960845623036422719337929376500064966511884766144178206048048372646\ 0213966906110014068136015817442165382085741964965851955783918178159537348935680\ 0000000000*n^10-332688543923031799681452489160300765689562519311336887448624834\ 1745195065971972213799307610181044534827451353768174265409310843800439234728577\ 639243151554313359028387840000000000000*n^9+21172609276257338021917210868151697\ 0827063053656734525172181481277457919329658228388444713868339384229570728313129\ 8477595942569058582319221585244851103269907262857019392000000000000*n^8-1155444\ 5932299543191459293293458899558686104302707240101948706030860922313246374782947\ 3821454538883686558707625942232805631348261765669237279500342792950995146946641\ 9200000000000000*n^7+5310045311306897927952276274858751567958889558969159511360\ 9190581536094817615713668551256415035644262580982088556959254004313894162427268\ 9619539628445430959229108224000000000000000*n^6-2007248008385467510910869349094\ 3625031274178110423850452311666338962436340923156964682296528270254964744761975\ 9770034910231272721734675680759215620302205191664435200000000000000000*n^5+6045\ 6206696683294523508363905304298982909286764924675118638060031356412469429721895\ 7556954713185996977453860102708751425413013212673679236037905261994350480667443\ 20000000000000000*n^4-138642827037880936564032514180701748507932386632067790461\ 0608935003433922904772188562706043554018914021036567609693407165985200922545993\ 3747347595926366601609216000000000000000000*n^3+2256572879320872082812666612543\ 2816559246869711951780288578496381754225140907744734555144713871326345873160086\ 39778817109395067557408967226118862801455179366400000000000000000000*n^2-230120\ 1204077064967286943516505972531728175862570920290720947452808428529213912613422\ 2751736550548330928379915846196130898335663486871397500813882978992128000000000\ 0000000000000*n+109509233304335066418625714161677039039233241017490840993912360\ 4664785612360111466673105959924862441873905735406400399617007214730527985189086\ 8064616448000000000000000000000000)/(-65+3*n)^2/(-64+3*n)^2/(-77+3*n)^2/(-53+3* n)^2/(-47+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3 *n-59)^2/(-41+3*n)^2/(-73+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^ 2/(-52+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+ 3*n)^2/(-20+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+3*n)^2/(-25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-\ 17+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2 /(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2 *(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[27., .5324172969e-10], [28., .8898974819e-9], [29., .7701079614e-8], [30., .\ 4594564080e-7], [31., .2123366099e-6], [32., .8098567576e-6], [33., .2652392087\ e-5], [34., .7664572818e-5], [35., .1992858760e-4], [36., .4731794064e-4], [37. , .1037843510e-3], [38., .2122150803e-3], [39., .4075620770e-3], [40., .\ 7396966510e-3], [41., .1275223597e-2], [42., .2097368982e-2], [43., .3303102204\ e-2], [44., .4996904667e-2], [45., .7281050699e-2], [46., .1024286799e-1], [47. , .1394009783e-1], [48., .1838605669e-1], [49., .2353668590e-1], [50., .\ 2928166644e-1], [51., .3544152117e-1], [52., .4177203628e-1], [53., .4797647863\ e-1], [54., .5372508634e-1], [55., .5868031275e-1], [56., .6252546123e-1], [57. , .6499378287e-1], [58., .6589490001e-1], [59., .6513557749e-1], [60., .\ 6273234249e-1], [61., .5881416780e-1], [62., .5361431066e-1], [63., .4745141532\ e-1], [64., .4070115947e-1], [65., .3376103914e-1], [66., .2701220628e-1], [67. , .2078328705e-1], [68., .1532140248e-1], [69., .1077484377e-1], [70., .\ 7189961212e-2], [71., .4522146022e-2], [72., .2657996688e-2], [73., .1443654553\ e-2], [74., .7134729946e-3], [75., .3138388061e-3], [76., .1188063318e-3], [77. , .3659868653e-4], [78., .8240055155e-5], [79., .1030006894e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 947182577442937232747696407877700133343 [---------------------------------------, 2 232395255835492803058482222426194\ 16423203268260658146231467800709255289 1/2 4767767281993453897062104070218517814269054 / 16423203268260658146231467800709255289, - 1031374557213161367246089988749\ 449362051931565419196242026747504248388275496370302720627101361436116469\ 18616636 2323952558354928030584822224261944767767281993453897062104070218\ 1/2 517814269054 /46558237012796682528387703405107007848896719220384766183\ 131660812735653549945633846777734107576717971073663227826561055145878023\ 207349006723519845301, 35857364232041228935327497365326941032778690687580\ 793389443701904247395290621890970422035332778479874562925095800573262148\ / 553369298274465603049421869 / 1284365158973701586990005611175365733762\ / 668116424407342982942367247880097929534726807661630553840495753756226974\ 5258222109207730539958346682350302152] and in floating-point [57.67343690, 5.870644151, -.1067907203, 2.791835638] Here is a plot + HHHHH + HH HH 0.06 H H + H H + H H 0.05 HH H + H HH + H H 0.04 H HH + HH H + HH H 0.03 H H + H HH + H H 0.02 HH H + H HH + HH H 0.01 HHH HH + HH HH + HHHH HHH +**********************+-+--+--+--+--+-+--+--+--+--+-+--+--+--+--+**********+ 0 30 40 50 60 70 80 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 28], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 28, to , 82 The probability distribution is [145 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n)/(19683 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n)), 280 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (n + 1)/(729 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 29 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (781 n + 392) (n + 1)/(2187 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 15080 n (251 n + 127) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (n + 1)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 155 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (n + 1) 2 (116967 n + 1451 n - 29966) n/(19683 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 9920 n (-1 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) 2 (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (n + 1) (64961 n + 1395 n - 16934) /(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 54560 n (-1 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) 2 (-26 + n) (-27 + n) (2 n - 3) (n + 1) (20011 n + 670 n - 5334)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 742016 (-1 + n) (-2 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) 2 (-26 + n) (-27 + n) (2 n - 3) (n + 1) (13187 n + 643 n - 3612) n/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 6492640 n (-1 + n) (-2 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) 2 (18217 n + 1233 n - 5152)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 7420160 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) 2 (-27 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (117223 n + 10629 n - 34384)/(531441 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 343182400 (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) 2 (956 n + 113 n - 292) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (2 n - 3) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (2 n - 7) n (-2 + n) (-1 + n) (-3 + n) (n + 1)/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4742156800 2 (1313 n + 198 n - 419) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (2 n - 3) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (2 n - 7) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(177147 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2 308240192 (179947 n + 34023 n - 60142) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 9) (-27 + n) (n - 17) (2 n - 3) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (2 n - 7) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1896862720 (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) 2 (-22 + n) (-20 + n) (54681 n + 12779 n - 19166) (-18 + n) (2 n - 9) (-27 + n) (n - 17) (2 n - 3) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (2 n - 7) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 38885685760 (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) 2 (21313 n + 6084 n - 7834) (2 n - 9) (-27 + n) (n - 17) (2 n - 3) (-25 + n) (2 n - 11) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (2 n - 7) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1088799201280 (2 n - 5) 2 (1289 n + 445 n - 496) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 9) (-27 + n) (n - 17) (2 n - 3) (-25 + n) (2 n - 11) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-19 + n) (2 n - 7) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) 2 (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 21737098339840 (157 n + 65 n - 63) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 9) (-27 + n) (n - 17) (2 n - 3) (-25 + n) (2 n - 11) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-19 + n) (2 n - 13) (2 n - 7) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 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5210344990522585510134443703829793908695758919229295030791117470083888903810537\ 396910161050940211200000000000000000000*n^3+27457861015487496613775006711301283\ 1176303238568435892431586367746322395903138475347392285761474076257657961714684\ 394229504192723284163679488654899830381587233505280000000000000000000000*n^2-27\ 7729694950427423311462251449133206034979677830966455418009598601164637167919741\ 2597408488367550540984684980208095559414901933494583572012954785831284591139225\ 6000000000000000000000000*n+131221848010052188707579471759941068923620094180510\ 7850194573520008881985293975487393316024811084767949128773376898219649870469209\ 579229868497425752408037785600000000000000000000000000)/(-71+3*n)^2/(-62+3*n)^2 /(-80+3*n)^2/(-56+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-70+3*n)^2/(-76+3*n)^2/(-67+3*n)^2/(-65+3 *n)^2/(-64+3*n)^2/(-77+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-61+3*n)^2/( -46+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3*n-59)^2*(-27+n)/(-41+3*n)^2/(-73+3*n)^2/( -43+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n )^2/(-35+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-79+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(3* n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+3*n)^2/(-25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3*n)^2/( -11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/ (-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[28., .1901490346e-10], [29., .3304659084e-9], [30., .2970127920e-8], [31., .\ 1838389037e-7], [32., .8805568659e-7], [33., .3477636800e-6], [34., .1178400717\ e-5], [35., .3520366391e-5], [36., .9456147928e-5], [37., .2318039986e-4], [38. , .5246008273e-4], [39., .1106226858e-3], [40., .2189903238e-3], [41., .\ 4095089502e-3], [42., .7271313710e-3], [43., .1231343567e-2], [44., .1996128513\ e-2], [45., .3107689168e-2], [46., .4659433683e-2], [47., .6744062737e-2], [48. , .9443057284e-2], [49., .1281437829e-1], [50., .1687966896e-1], [51., .\ 2161260026e-1], [52., .2693014028e-1], [53., .3268840844e-1], [54., .3868438655\ e-1], [55., .4466414043e-1], [56., .5033743539e-1], [57., .5539781250e-1], [58. , .5954644793e-1], [59., .6251754998e-1], [60., .6410273688e-1], [61., .\ 6417181815e-1], [62., .6268765824e-1], [63., .5971328297e-1], [64., .5541003430\ e-1], [65., .5002635067e-1], [66., .4387764750e-1], [67., .3731880448e-1], [68. , .3071188362e-1], [69., .2439274045e-1], [70., .1864085854e-1], [71., .\ 1365671009e-1], [72., .9550009349e-2], [73., .6340426060e-2], [74., .3970021045\ e-2], [75., .2324437852e-2], [76., .1258347505e-2], [77., .6202182132e-3], [78. , .2722414774e-3], [79., .1028992109e-3], [80., .3166636959e-4], [81., .\ 7126046604e-5], [82., .8907558254e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 8889842666415706086643399334084353500890 [----------------------------------------, 4 49428740453542786624707648628211\ 147808829414345923316083210206383297601 1/2 924280545759792748978428003965626731682490445 / 147808829414345923316083210206383297601, - 247137921495383904585680759010\ 477067210818695175134751287849321662736079514965108120945803182939717398\ 971235340042 494287404535427866247076486282119242805457597927489784280039\ 1/2 65626731682490445 /488640076564739432719472635883115783856368353125103\ 398821006268583095083975046039187404146096850121409145616776508337352010\ 523455134213230792759503259605, 27326331507531206779734878162116828272797\ 511045988860498965274105438999592388928515746861487225427599702116979338\ / 07476181383576377859813912061956641987111 / 97728015312947886543894527\ / 176623156771273670625020679764201253716619016795009207837480829219370024\ 2818291233553016674704021046910268426461585519006519210] and in floating-point [60.14419234, 6.016575704, -.1124449817, 2.796161512] Here is a plot + HHHHH 0.06 HH HH + HH HH + HH HH 0.05 HH HH + HH H + H HH + HH H 0.04 H H + H H + H HH 0.03 H H + HH HH + H H 0.02 H H + H H + H H 0.01 HH H + HHH HH + HHHH HHHH +**********************+--+--+-+--+--+-+--+--+-+--+--+--+-+--+--+-**********- 0 30 40 50 60 70 80 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 29], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 29, to , 85 The probability distribution is [155 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n)/(19683 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 25172 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (n + 1)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 140 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1676 n + 841) (n + 1)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 620 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (809 n + 409) (n + 1) n/(6561 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 496 n (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (n + 1) 2 (406121 n + 4683 n - 103868)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 10912 n (-1 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (n + 1) 2 (75401 n + 1503 n - 19598)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 185504 (-1 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (23297 n + 723 n - 6182) n/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 1855040 n (-1 + n) (-2 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) 2 (-27 + n) (-28 + n) (2 n - 3) (n + 1) (21561 n + 973 n - 5868)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 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3804624897623710952983535796933782067478528000000000000000000000000*n+182352320\ 3630688547894742019580880872839252541474601663323666913072704442692346565598673\ 2120279811215825202867247351041900804196562601039738659686792021374933642772480\ 0000000000000000000000000)/(-71+3*n)^2/(-62+3*n)^2/(-80+3*n)^2/(-83+3*n)^2/(-56 +3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-70+3*n)^2/(-76+3*n)^2/(-67+3*n)^2/(-82+3*n)^2/(-65+3*n)^2 /(-64+3*n)^2/(-77+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-46+3 *n)^2/(-55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-41+3*n)^2/(-73+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-\ 40+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2*(-28+n)/(-52+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/( -35+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-79+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(3*n-58) ^2/(-32+3*n)^2/(-68+3*n)^2/(-25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-11+3 *n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-10+ 3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[29., .6775425371e-11], [30., .1222587867e-9], [31., .1139631404e-8], [32., .\ 7308425500e-8], [33., .3623562175e-7], [34., .1480062507e-6], [35., .5182754216\ e-6], [36., .1598851979e-5], [37., .4431936708e-5], [38., .1120441032e-4], [39. , .2613595520e-4], [40., .5677657626e-4], [41., .1157339650e-3], [42., .\ 2227542772e-3], [43., .4069474719e-3], [44., .7088000349e-3], [45., .1181485527\ e-2], [46., .1890905611e-2], [47., .2913907828e-2], [48., .4334256415e-2], [49. , .6236183256e-2], [50., .8695696760e-2], [51., .1177023099e-1], [52., .\ 1548761145e-1], [53., .1983562556e-1], [54., .2475364917e-1], [55., .3012774890\ e-1], [56., .3579043655e-1], [57., .4152581244e-1], [58., .4708024920e-1], [59. , .5217811057e-1], [60., .5654135945e-1], [61., .5991137343e-1], [62., .\ 6207092768e-1], [63., .6286416763e-1], [64., .6221248710e-1], [65., .6012452536\ e-1], [66., .5669895451e-1], [67., .5211930762e-1], [68., .4664078426e-1], [69. , .4056976888e-1], [70., .3423770128e-1], [71., .2797187162e-1], [72., .\ 2206649934e-1], [73., .1675784323e-1], [74., .1220683481e-1], [75., .8491715006\ e-2], [76., .5611496828e-2], [77., .3499120249e-2], [78., .2041401230e-2], [79. , .1101776697e-2], [80., .5416962616e-3], [81., .2373096382e-3], [82., .\ 8956703403e-4], [83., .2753766515e-4], [84., .6194108963e-5], [85., .7742636204\ e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 249921498772047750538727988891645687723791 [------------------------------------------, 2 151093675205413380057495855965\ 3990838394187339929534246675572349035227 1/2 805145134187500074393749313395661414463920563620074 / 3990838394187339929534246675572349035227, - 17641036884384299665866722883\ 101846609033843125777419826175643949985154751506962651624479616070951222\ 38246592397815052 1510936752054133800574958559658051451341875000743937493\ 1/2 13395661414463920563620074 /184107247476443145292840137555915997158303\ 927989149007646776418394010591940579000525761699502794600508296667051234\ 400847508794324109715622295151928449579159399, 41244763717292334322380663\ 893308455498353283910211674331788271678975762165081228539922073536933630\ / 80864700814839655283134896321522602540373489657337884683294431 / 14728\ / 579798115451623427211004473279772664314239131920611742113471520847355246\ 320042060935960223568040663733364098752067800703545928777249783612154275\ 96633275192] and in floating-point [62.62380835, 6.160117507, -.1177813060, 2.800321842] Here is a plot + HHHH 0.06 HH HH + H HH + H HH 0.05 H H + H H + HH H 0.04 H H + H HH + HH H 0.03 HH HH + H H + HH H + HH H 0.02 HH H + HH HH + HH H 0.01 HH H + HH HH + HHH HHHH +***********************+-+--+-+--+--+-+--+--+-+--+-+--+--+-+--+-+**********+ 0 30 40 50 60 70 80 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 30], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 30, to , 88 The probability distribution is [496 (-29 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 9280 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (n + 1)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 899 (299 n + 150) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (n + 1)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 55552 n (289 n + 146) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (n + 1)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 880 n (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) 2 (-29 + n) (n + 1) (93521 n + 1005 n - 23882)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 11968 (-1 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) 2 (-28 + n) (-29 + n) (n + 1) (87049 n + 1615 n - 22566) n/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 209440 n (-1 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (26971 n + 778 n - 7128)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 47872 n (-1 + n) (-2 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) 2 (-28 + n) (-29 + n) (2 n - 3) (n + 1) (125169 n + 5243 n - 33870)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 2 442816 (174007 n + 10087 n - 48414) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + 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6977217618378960335501044822367146573615678009343279838722290556849680547064969\ 9201199859326863865282560000000000000000000000*n^3+7553964084494242982710784963\ 9007658401920417814613659975249493115947479598297740301320552103352958830999772\ 4870548730343433123668253819081374275164646427033839224769656364298403840000000\ 00000000000000000*n^2-752482927970624471650680669675925275506565897400876044129\ 9850352502892130246549366507706310006452777223054078435368875491016092609506933\ 124906067933072454773579531318847130828800000000000000000000000000*n+3507910857\ 4150741073096960651709327027285209783336746298950727112111963073254900113035414\ 1850894247239584564256425823003641602726057969951048437440179368021512986279626\ 670080000000000000000000000000000)/(-56+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-70+3*n)^2/(-76+3*n )^2/(-67+3*n)^2/(-82+3*n)^2/(-65+3*n)^2/(-64+3*n)^2/(-77+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-\ 47+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3*n-59)^ 2/(-41+3*n)^2/(-73+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-52+ 3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-85+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-79+3*n)^2/ (-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+3*n)^2/(-25+3*n )^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3*n)^2/(-19+3* n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2/(-1+3* n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[30., .2409040132e-11], [31., .4507236376e-10], [32., .4351830621e-9], [33., .\ 2887992999e-8], [34., .1480438628e-7], [35., .6246873427e-7], [36., .2258097858\ e-6], [37., .7185974796e-6], [38., .2053453371e-5], [39., .5348528207e-5], [40. , .1284689802e-4], [41., .2872261499e-4], [42., .6022956131e-4], [43., .\ 1192028540e-3], [44., .2238444863e-3], [45., .4006201627e-3], [46., .6859775828\ e-3], [47., .1127491321e-2], [48., .1783974738e-2], [49., .2724103078e-2], [50. , .4023184291e-2], [51., .5757900995e-2], [52., .7999115971e-2], [53., .\ 1080315309e-1], [54., .1420228926e-1], [55., .1819546605e-1], [56., .2274039946\ e-1], [57., .2774829130e-1], [58., .3308220452e-1], [59., .3855986048e-1], [60. , .4396117878e-1], [61., .4904035880e-1], [62., .5354176446e-1], [63., .\ 5721838788e-1], [64., .5985129858e-1], [65., .6126827869e-1], [66., .6135982282\ e-1], [67., .6009083802e-1], [68., .5750668593e-1], [69., .5373263462e-1], [70. , .4896630826e-1], [71., .4346333808e-1], [72., .3751713090e-1], [73., .\ 3143445469e-1], [74., .2550930281e-1], [75., .1999806822e-1], [76., .1509922650\ e-1], [77., .1094031854e-1], [78., .7573999306e-2], [79., .4983425719e-2], [80. , .3095613946e-2], [81., .1800012421e-2], [82., .9687685972e-3], [83., .\ 4752034695e-3], [84., .2078023652e-3], [85., .7832550689e-4], [86., .2406045014\ e-4], [87., .5409669835e-5], [88., .6762087294e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 7015973965353306962845082236015032896736256 [-------------------------------------------, 16 1800891739613704395789552091\ 107752636643058178097424660240453423951129 1/2 480380601547144153033370651953271918410693781853352885 / 107752636643058178097424660240453423951129, - 600770381655917407701000542\ 314001335416039054204052007032692136896060920089084878946987316750543898\ 777700527108126902901523 180089173961370439578955209148038060154714415303\ 1/2 3370651953271918410693781853352885 /2075655076997679663684745327056511\ 113391040522576251921773557791912394983298975379691535933330664709183624\ 25424339306438493694531524112082084881117697761045620686400, 931330120885\ 576739371361959997020855239482509475199038478155702138077375158932721916\ 125156728514964699008325509365440355174411519034392163033450413899204364\ / 3361006009 / 332104812319628746189559252329041778142566483612200307483\ / 769246705983197327836060750645749332906353469379880678942890301589911250\ 4385793313358097883164176729930982400] and in floating-point [65.11185419, 6.301383040, -.1228279294, 2.804325882] Here is a plot 0.06 HHHHH + HH H + HH HH + HH H 0.05 H H + H HH + H HH 0.04 HH H + H HH + H H 0.03 H H + H H + H H + H H 0.02 H HH + H H + H HH 0.01 HH H + HHH HH + HHHH HHH +************************--+-+--+-+--+-+--+-+--+-+--+-+--+-+--+-+-**********- 0 30 40 50 60 70 80 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 31], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 31, to , 91 The probability distribution is [176 (-29 + n) (-30 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 3410 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (n + 1)/(19683 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 160 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1916 n + 961) (n + 1)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 20416 n (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) 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(-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (n + 1) 2 (499973 n + 8655 n - 129302)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 26180 n (-1 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) 2 (-29 + n) (-30 + n) (2 n - 3) (n + 1) (93187 n + 2505 n - 24538)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 2 276760 (-30 + n) 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n)/(-85+3*n)/(-35+3*n)/(-28+3*n)/(-79+3*n)/(-26+3*n)/(-29+3*n)/(-20+3*n)/(3*n-\ 58)/(-32+3*n)/(-68+3*n)/(-25+3*n)/(3*n-8)/(-17+3*n)/(-14+3*n)/(-11+3*n)/(3*n-7) /(-23+3*n)/(-19+3*n)/(-13+3*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-4)/(-16+3*n)/(-\ 1+3*n)/(-22+3*n) and the variance is 22/523347633027360537213511521*(-30+n)/(-74+3*n)^2/(-86+3*n)^2/(-71+3*n)^2/(-62 +3*n)^2/(-80+3*n)^2/(-83+3*n)^2/(-56+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-70+3*n)^2/(-76+3*n)^2 /(-67+3*n)^2*(17731857444361888542071499577859047264818884187116862434528519432\ 39085641999613804005*n^118-3154988379008232235772410929296266379385076684068214\ 408153529233524279763778622565675799*n^117+277536947160503752004193586470880057\ 3197150834590210788687067927539088510686557840427812093*n^116-16092381701158389\ 63462261727735495441591280036615224366802728421171337002858893268608764902601*n ^115+69184111171190693690542104854814633581749233025694485694639080371372701911\ 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78403275346833535956812629217451840078547517440000000000000000000*n^5+405312150\ 4290510292689492799676620479162110581333573898364907451985763972335043886582186\ 2826950013955438770972025377118827895094360789535566924118943411601452286026658\ 7421953220653124141082214400000000000000000000*n^4-8956195989324152348606171947\ 3618329720837779195011480846715809374077803456995965872271350865055634666000599\ 9953026002664612510238693475317505516863915474176688265496284708180583605886726\ 96320000000000000000000000*n^3+140892943548244056904442133407572858488611615931\ 7135807819788745827969258267243621192521862474111273391370690495684670932231866\ 8467050563590121819850933219990055311762615085126295956226048000000000000000000\ 000000*n^2-13934860745540987088517948850558036467074734932736334991110240778188\ 1003499374631562148763594996522774677501774765140929580165248706647945643260529\ 0613340463058869393077841522778020249600000000000000000000000000*n+645528113297\ 6181201569303820285108308228786639990602456226425698059462783979551946093652878\ 1384883177962496515294660267283186180806219541347740562291767103854130191903679\ 737243893760000000000000000000000000000)/(-82+3*n)^2/(-65+3*n)^2/(-64+3*n)^2/(-\ 77+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-89+3*n)^2/(-46+3*n) ^2/(-88+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-41+3*n)^2/(-73+3*n)^2/(-43+ 3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/ (-85+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-79+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3* n)^2/(3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+3*n)^2/(-25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+ 3*n)^2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2 +3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[31., .8548206919e-12], [32., .1656215091e-10], [33., .1654380248e-9], [34., .\ 1134821959e-8], [35., .6007986529e-8], [36., .2616208057e-7], [37., .9752389838\ e-7], [38., .3198324107e-6], [39., .9412838924e-6], [40., .2523592287e-5], [41. , .6235927479e-5], [42., .1433610659e-4], [43., .3089762939e-4], [44., .\ 6282474242e-4], [45., .1211590072e-3], [46., .2226178487e-3], [47., .3912221927\ e-3], [48., .6597775700e-3], [49., .1070888551e-2], [50., .1677131747e-2], [51. , .2540009459e-2], [52., .3727370838e-2], [53., .5309126528e-2], [54., .\ 7351289319e-2], [55., .9908626086e-2], [56., .1301647154e-1], [57., .1668249107\ e-1], [58., .2087934567e-1], [59., .2553927153e-1], [60., .3055151694e-1], [61. , .3576337619e-1], [62., .4098523829e-1], [63., .4599966195e-1], [64., .\ 5057404434e-1], [65., .5447602426e-1], [66., .5749040450e-1], [67., .5943613748\ e-1], [68., .6018181990e-1], [69., .5965819363e-1], [70., .5786633765e-1], [71. , .5488053548e-1], [72., .5084519320e-1], [73., .4596565408e-1], [74., .\ 4049331099e-1], [75., .3470605050e-1], [76., .2888573299e-1], [77., .2329501889\ e-1], [78., .1815623863e-1], [79., .1363500255e-1], [80., .9830744608e-2], [81. , .6775399622e-2], [82., .4440088866e-2], [83., .2748323170e-2], [84., .\ 1593155965e-2], [85., .8552019649e-3], [86., .4185970458e-3], [87., .1827399558\ e-3], [88., .6879333163e-4], [89., .2111516291e-4], [90., .4745579542e-5], [91. , .5931974428e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 65564397257489141424505248550040291414171413 [--------------------------------------------, 390100863775961547925572990712\ 969773729787523602876821942164080815560161 1/2 89903982601545211657097355962742751259884123991503688110 / 969773729787523602876821942164080815560161, - 141327431500762308532285305\ 749494766641048490704962570010660738151917689844021957878695383077750132\ 3443672990361044679756246727 39010086377596154792557299071289903982601545\ 1/2 211657097355962742751259884123991503688110 /69172129053977867546945495\ 796471413937582227353481109609678546094475594668906757032176873096898043\ 484441132421702229443665858437649672835392643911094297514481624188880550, 194247950362209178334316598783863190572830165702608392898409145908918049\ 950967477880596062695166629507717375581180228742782439269257996844116466\ / 615758878575207144769897203 / 6917212905397786754694549579647141393758\ / 222735348110960967854609447559466890675703217687309689804348444113242170\ 2229443665858437649672835392643911094297514481624188880550] and in floating-point [67.60793291, 6.440477105, -.1276097269, 2.808182327] Here is a plot 0.06 HHHH + HHH HH + H HH 0.05 H H + H H + H H + HH H 0.04 H H + H H + HH H 0.03 HH H + H H + HH H 0.02 HH H + HH H + HH HH + HH HH 0.01 HH HH + HH HH + HHHH HH +************************+-+-+--+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-**********+ 0 40 50 60 70 80 90 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 32], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 32, to , 94 The probability distribution is [187 (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n)/( 59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 33728 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (n + 1)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 341 (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 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(-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (n + 1) 2 (40747 n + 383 n - 10378)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 952 n (-1 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) 2 (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (n + 1) (190551 n + 3085 n - 49174)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 17612 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3841832723338344719834522674613719669507338485499037129428172800000000000000000 *n^8-97931426534654564113634234923340984424946302800124157918310145624009551298\ 1017502322554435040010206582368010038010528307869127280662308631454361472499868\ 681813054314249078657673401453395135028970150009241600000000000000000*n^7+42603\ 8350462976673431020242835170965713314781555775493606098891495590318237873691743\ 4983400255200919463987876581307438538962661498142304771546608863432949374115921\ 45508221303246274640091568610745776078848000000000000000000*n^6-152899767436761\ 0605898675461060827687863268801905604741430068816025735505792780439313146119081\ 5419068600175161000947820569558853683856251844688207435120606059303373168266073\ 7250732919824710302300656107520000000000000000000*n^5+4385899566732907919928196\ 0980760239249798615678522837153160137408739735697156773314273861543060244984042\ 5506932253114734030234222278529192990700719184874156969400114888476968176320358\ 12154923532314214400000000000000000000*n^4-961161906744895021239729755474018533\ 0113599432662151760811671933662080979282902487074641498470298769090894642108317\ 0824086873969786907058593679825712417958406814024109834138554464552569799917646\ 64320000000000000000000000*n^3+150056614531447996363232872326622461200331334099\ 6301449802097211665805395324441564839418887812273616241809819139894096641304564\ 0006127316675686344676252772406863417486578477063744978255249649172480000000000\ 00000000000000*n^2-147395893567328492438014407447219546609653104852098069581155\ 4158787810308644788074841601123378509812397365296067496064693834298695058948345\ 4152483460672763951324988298831236073287128052830044160000000000000000000000000\ 0*n+678679700157383404907360861064675346208019023176516623822380052186683702044\ 2537660744771452871477770607797577533496916925131734234302035862050520315108814\ 521555797704783905694665422940405760000000000000000000000000000)/(-46+3*n)^2/(-\ 88+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-41+3*n)^2/(-73+3*n)^2/(-43+3*n)^ 2/(-40+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-85+ 3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-79+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3*n)^2/ (3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+3*n)^2/(-25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3*n)^ 2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n) ^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[32., .3027489951e-12], [33., .6067212184e-11], [34., .6262946695e-10], [35., .4435833424e-9], [36., .2422917876e-8], [37., .1087741054e-7], [38., .\ 4177443488e-7], [39., .1410558940e-6], [40., .4271697867e-6], [41., .1177795889\ e-5], [42., .2991573389e-5], [43., .7065951664e-5], [44., .1563918534e-4], [45. , .3264322077e-4], [46., .6459959636e-4], [47., .1217583627e-3], [48., .\ 2194290695e-3], [49., .3793860858e-3], [50., .6311561786e-3], [51., .1012927571\ e-2], [52., .1571773085e-2], [53., .2362872227e-2], [54., .3447461575e-2], [55. , .4889346137e-2], [56., .6749962978e-2], [57., .9082188413e-2], [58., .\ 1192329714e-1], [59., .1528768485e-1], [60., .1916012192e-1], [61., .2349038403\ e-1], [62., .2819008508e-1], [63., .3313240895e-1], [64., .3815520549e-1], [65. , .4306760409e-1], [66., .4765993821e-1], [67., .5171640805e-1], [68., .\ 5502957975e-1], [69., .5741556842e-1], [70., .5872860739e-1], [71., .5887368218\ e-1], [72., .5781600240e-1], [73., .5558628417e-1], [74., .5228110018e-1], [75. , .4805791261e-1], [76., .4312483277e-1], [77., .3772565179e-1], [78., .\ 3212124527e-1], [79., .2656901803e-1], [80., .2130252347e-1], [81., .1651362817\ e-1], [82., .1233946748e-1], [83., .8855884514e-2], [84., .6078107058e-2], [85. , .3968256973e-2], [86., .2448159297e-2], [87., .1415089713e-2], [88., .\ 7577707682e-3], [89., .3701661109e-3], [90., .1613429635e-3], [91., .6066792028\ e-4], [92., .1860707585e-4], [93., .4180344268e-5], [94., .5225430335e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1835796508297498072457781435432165977362223534 [----------------------------------------------, 2 74153156889918925256203703\ 26183890704263137277674192438430182020124347 1/2 42297980236650067809351332964620696264228378312919911668325946 / 26183890704263137277674192438430182020124347, - 2481866793900905641104849\ 909522943206879332436222091998089177811376088133114564816071784538204745\ 490273594459345074449518625162123 741531568899189252562037034229798023665\ 1/2 0067809351332964620696264228378312919911668325946 /1617261963747332522\ 266741148400171843382040470181124842380373520937443378838409996880951059\ 600376483022351499263007631559437816985737879819408138993543891296721449\ 446532258674, 45475778286657298913206350851477863344919350820804655309463\ 779893367452201618410231350178558309910843808714268797787640164953694448\ / 72895108742412367698396662057495677196517383 / 16172619637473325222667\ / 411484001718433820404701811248423803735209374433788384099968809510596003\ 764830223514992630076315594378169857378798194081389935438912967214494465\ 32258674] and in floating-point [70.11167779, 6.577496695, -.1321487071, 2.811899328] Here is a plot 0.06 HHHHH + H HH + H HH 0.05 H HH + HH HH + HH H 0.04 H H + H H + HH H + H H 0.03 H H + H H + H HH 0.02 H H + H H + H H + H HH 0.01 HH HH + HH HH + HHH HHH +*************************-+--+-+-+--+-+--+-+-+--+-+-+--+-+-+--+-+**********- 0 40 50 60 70 80 90 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 33], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 33, to , 97 The probability distribution is [595 (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 12320 (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (n + 1)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 544 (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (724 n + 363) (n + 1)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 73780 n (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (117 n + 59) (n + 1)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 70 n (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) 2 (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (n + 1) (231427 n + 2041 n - 58876)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 5180 (-31 + n) (-30 + n) (-32 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) 2 (130153 n + 1975 n - 33522) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(177147 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 98420 (-31 + n) (-30 + n) (-32 + n) (2 n - 3) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (-25 + n) 2 (-21 + n) (-16 + n) (121859 n + 2865 n - 31886) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(531441 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n)), 511784 (-31 + n) (-30 + n) (81401 n + 2769 n - 21716) (-32 + n) (2 n - 3) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (n + 1)/(531441 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5117840 (-31 + n) (-30 + n) (-32 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (38017 n + 1783 n - 10377) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (n + 1)/(531441 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 59951840 2 (-31 + n) (-30 + n) (-32 + n) (248263 n + 15489 n - 69574) (2 n - 3) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-3 + n) (n + 1)/(4782969 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 419662880 (-31 + n) (-30 + n) (-32 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (-24 + n) (-23 + n) 2 (-29 + n) (46261 n + 3735 n - 13354) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-3 + n) (n + 1)/(4782969 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 36091007680 (-31 + n) 2 (-30 + n) (3913 n + 400 n - 1167) (-32 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(4782969 (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 39700108448 2 (12119 n + 1541 n - 3744) (-31 + n) (-30 + n) (-32 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (-24 + n) (2 n - 9) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(4782969 (-44 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2776231360 (-31 + n) (-30 + n) (-32 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (-24 + n) (2 n - 9) (123681 n + 19279 n - 39666) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-19 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-44 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 63853321280 2 (-31 + n) (-30 + n) (49103 n + 9269 n - 16374) (-32 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (-24 + n) (2 n - 9) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 11) (-28 + n) (-19 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(4782969 (-44 + 3 n) (-46 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 6002212200320 (-31 + n) (-30 + n) (-32 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (-24 + n) (2 n - 9) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) 2 (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (9083 n + 2055 n - 3152) (-16 + n) (2 n - 11) (-28 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(14348907 (-47 + 3 n) (-44 + 3 n) (-46 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 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000000000000000*n^3+54521998045378619237969146346520177754539573613953268700132\ 3441686881769653783271995715500395770280368265652554190472362513948573154944432\ 8279947220400664743780647493699010400155864647625000158152884224000000000000000\ 00000000000*n^2-532028643125632762863952495034958699351549234224761625022587882\ 5243590673260193857326264645017049553215905787622264141828381499845804067381770\ 2127950935794028242003202229493148927031954401873341972480000000000000000000000\ 000000*n+2435456016948623574869865050828239305712073529058905023177399176062984\ 2918016965467604657626444081845120379066829293123072632193500344658882703464186\ 43444064130067195746999365537361086281634807808000000000000000000000000000000)/ (-62+3*n)^2/(-92+3*n)^2/(-80+3*n)^2/(-91+3*n)^2/(-83+3*n)^2/(-56+3*n)^2/(-50+3* n)^2/(-94+3*n)^2/(-70+3*n)^2/(-76+3*n)^2/(-67+3*n)^2/(-82+3*n)^2/(-65+3*n)^2/(-\ 64+3*n)^2/(-77+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-95+3*n)^2/(-61+3*n) ^2/(-89+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-88+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-41+ 3*n)^2/(-73+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-52+3*n)^2/ (-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-85+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-79+3*n)^2/(-26+3* n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+3*n)^2/(-25+3*n)^2/(3* n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-\ 13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-\ 22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[33., .1070324730e-12], [34., .2216201794e-11], [35., .2361646033e-10], [36., .1725363465e-9], [37., .9713805541e-9], [38., .4491783059e-8], [39., .\ 1775674210e-7], [40., .6167920407e-7], [41., .1920417277e-6], [42., .5441038625\ e-6], [43., .1419426346e-5], [44., .3441794133e-5], [45., .7817056547e-5], [46. , .1673650121e-4], [47., .3396135693e-4], [48., .6561326751e-4], [49., .\ 1211690193e-3], [50., .2146164736e-3], [51., .3656748437e-3], [52., .6009223829\ e-3], [53., .9546181718e-3], [54., .1468964605e-2], [55., .2193546489e-2], [56. , .3183712373e-2], [57., .4497740007e-2], [58., .6192749597e-2], [59., .\ 8319486725e-2], [60., .1091627405e-1], [61., .1400260412e-1], [62., .1757298834\ e-1], [63., .2159176461e-1], [64., .2598957779e-1], [65., .3066217278e-1], [66. , .3547197878e-1], [67., .4025272800e-1], [68., .4481706470e-1], [69., .\ 4896679288e-1], [70., .5250511670e-1], [71., .5524998236e-1], [72., .5704746045\ e-1], [73., .5778403333e-1], [74., .5739667697e-1], [75., .5587974579e-1], [76. , .5328786802e-1], [77., .4973432660e-1], [78., .4538472918e-1], [79., .\ 4044616180e-1], [80., .3515247172e-1], [81., .2974681147e-1], [82., .2446304223\ e-1], [83., .1950794177e-1], [84., .1504627784e-1], [85., .1119059484e-1], [86. , .7996990199e-2], [87., .5467289451e-2], [88., .3557024140e-2], [89., .\ 2187692289e-2], [90., .1261151317e-2], [91., .6738053908e-3], [92., .3285351125\ e-3], [93., .1429867755e-3], [94., .5370736420e-4], [95., .1646057128e-4], [96. , .3696818609e-5], [97., .4621023262e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 51341745444362091386183367605549133609423236945 [-----------------------------------------------, 2 5630002786288857384900361\ 706965049015104706497203195837614914543357369 1/2 189694362442012038240606185456724984376035385875341796483807150190 / 706965049015104706497203195837614914543357369, - 130212991576210863997637\ 405109155323922734298536701464024324197326723644467192894971313004787996\ 54421220724721448080432032899164195838 5630002786288857384900361189694362\ 1/2 442012038240606185456724984376035385875341796483807150190 /22640665266\ 871641113982038749701818204767293100932479096445402401711760156825712419\ 899393867631398518053097884908548332600179314076588206577728721493261712\ 7157599871721821208693115, 5099555388646003575932570163133345516043888117\ 878364148336776623979635999024493199002918159612666616933545325663628670\ / 419632443704845835961547404252598947640637255781622502046578581 / 1811\ / 253221349731289118563099976145456381383448074598327715632192136940812546\ 056993591951509410511881444247830792683866608014345126127056526218297719\ 460937017260798973774569669544920] and in floating-point [72.62274920, 6.712531813, -.1364644213, 2.815484510] Here is a plot + HHHH + HH HH + HH H 0.05 H H + HH HH + H HH 0.04 HH H + H HH + H H + HH H 0.03 HH HH + H H + H HH 0.02 HH HH + HH H + HH H + HH H 0.01 HH HH + HHH HH + HHH HHH +*************************--+-+-+--+-+-+-+--+-+-+--+-+-+-+--+-+-+-**********+ 0 40 50 60 70 80 90 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 34], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 34, to , 100 The probability distribution is [70 (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (n - 33) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 1496 (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (n - 33) (n + 1)/(19683 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 385 (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (n - 33) (1153 n + 578) (n + 1)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 8960 n (373 n + 188) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (n - 33) (n + 1)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 74 (-31 + n) (-30 + n) (-32 + n) 2 (261847 n + 2171 n - 66546) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (n + 1)/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5624 (-31 + n) (-30 + n) (-32 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) 2 (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (49187 n + 701 n - 12646) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(59049 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 36556 (-31 + n) (-30 + n) (-32 + n) (2 n - 3) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) 2 (138449 n + 3054 n - 36128) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(531441 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2924480 2 (-31 + n) (-30 + n) (6179 n + 197 n - 1642) (-32 + n) (2 n - 3) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (n + 1)/(177147 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) 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13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-\ 22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[34., .3777616694e-13], [35., .8073306535e-12], [36., .8872502321e-11], [37., .6679945609e-10], [38., .3872892185e-9], [39., .1843021821e-8], [40., .\ 7493260108e-8], [41., .2675402738e-7], [42., .8557598783e-7], [43., .2489557400\ e-6], [44., .6665452578e-6], [45., .1657998763e-5], [46., .3861395384e-5], [47. , .8474209315e-5], [48., .1761964059e-4], [49., .3486880630e-4], [50., .\ 6593833599e-4], [51., .1195609910e-3], [52., .2084933070e-3], [53., .3505806638\ e-3], [54., .5697512894e-3], [55., .8967640831e-3], [56., .1369500465e-2], [57. , .2032578065e-2], [58., .2936082967e-2], [59., .4133273136e-2], [60., .\ 5677198909e-2], [61., .7616311454e-2], [62., .9989274528e-2], [63., .1281934153\ e-1], [64., .1610878813e-1], [65., .1983398010e-1], [66., .2394168855e-1], [67. , .2834722906e-1], [68., .3293489335e-1], [69., .3756096851e-1], [70., .\ 4205941338e-1], [71., .4625000740e-1], [72., .4994853123e-1], [73., .5297830826\ e-1], [74., .5518225848e-1], [75., .5643450945e-1], [76., .5665058395e-1], [77. , .5579524047e-1], [78., .5388717240e-1], [79., .5099996602e-1], [80., .\ 4725896599e-1], [81., .4283400025e-1], [82., .3792827287e-1], [83., .3276413671\ e-1], [84., .2756687739e-1], [85., .2254801670e-1], [86., .1788988819e-1], [87. , .1373325804e-1], [88., .1016949291e-1], [89., .7238209134e-2], [90., .\ 4930547984e-2], [91., .3197358474e-2], [92., .1960815915e-2], [93., .1127533134\ e-2], [94., .6011366711e-3], [95., .2925908484e-3], [96., .1271674536e-3], [97. , .4771691919e-4], [98., .1461485979e-4], [99., .3281228543e-5], [100., .\ 4101535679e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 478097476870554091908176637700790703059553382292 [------------------------------------------------, 8 296436967038526065658476\ 6362685441135942358474828762538534230890216321 1/2 36202148098687905611928795782869201195554932938497988350264030852677 / 6362685441135942358474828762538534230890216321, - 72602982358049055673417\ 543073533680807762575180725151864820391347877233285760615272364481254280\ 1043715626223780103448434434626131336952721 29643696703852606565847636202\ 1/2 148098687905611928795782869201195554932938497988350264030852677 /28119\ 960136640060515189580458497554201339430010752848412302426929568596078225\ 042940370157499168598299038435353259287045970850002008012277840096224336\ 916034452079012381346090997698122528, 63414896910051198054760841119455719\ 006290327691683422961214074479981911046045850282993780935428583061038200\ 221665374500837908872251502178584892793193683026824124065784117887069788\ / 6039251 / 224959681093120484121516643667980433610715440086022787298419\ / 415436548768625800343522961259993348786392307482826074296367766800016064\ 098222720769794695328275616632099050768727981584980224] and in floating-point [75.14083185, 6.845666132, -.1405743036, 2.818945004] Here is a plot + HHHH + H HH 0.05 H H + H H + H H + H HH 0.04 H H + H H + HH HH 0.03 HH H + H HH + HH HH + HH H 0.02 H HH + H HH + H H + HH H 0.01 HH H + HH H + HHHH HHH +**************************-+-+-+--+-+-+-+--+-+-+-+-+--+-+-+-+-+--**********- 0 40 50 60 70 80 90 100 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 35], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 35, to , 103 The probability distribution is [74 (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (n - 33) (-34 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 44030 (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (n - 33) (-34 + n) (n + 1)/(531441 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 68 (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (n - 33) (-34 + n) (2444 n + 1225) (n + 1)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 3256 (-31 + n) (-30 + n) (1187 n + 598) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (n + 1)/(177147 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3515 (-31 + n) (-30 + n) 2 (177101 n + 1383 n - 44966) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (n + 1)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 18278 (-31 + n) (-30 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) 2 (166657 n + 2235 n - 42778) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 365560 (-31 + n) (-30 + n) (2 n - 3) (-32 + n) 2 (52225 n + 1083 n - 13594) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(1594323 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5995184 2 (-31 + n) (-30 + n) (2 n - 3) (-32 + n) (105101 n + 3147 n - 27830) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (n + 1)/( 4782969 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 20983144 (-31 + n) (-30 + n) (2 n - 3) (-32 + n) (2 n - 5) (-34 + n) (-24 + n) 2 (-23 + n) (-29 + n) (49301 n + 2031 n - 13322) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (n + 1)/( 4782969 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1288964560 (-31 + n) (-30 + n) (2 n - 3) (-32 + n) (2 n - 5) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) 2 (7187 n + 393 n - 1988) (-15 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-3 + n) (n + 1)/(4782969 (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 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00000000000000000000000000000000)/(-2+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2/ (-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[35., .1331160168e-13], [36., .2933482593e-12], [37., .3321744305e-11], [38., .2574956788e-10], [39., .1536092642e-9], [40., .7516632176e-9], [41., .\ 3140631080e-8], [42., .1151719347e-7], [43., .3781756679e-7], [44., .1128845900\ e-6], [45., .3099651714e-6], [46., .7904067891e-6], [47., .1886333383e-5], [48. , .4240501171e-5], [49., .9028304153e-5], [50., .1828923580e-4], [51., .\ 3539277873e-4], [52., .6565438042e-4], [53., .1170990914e-3], [54., .2013430155\ e-3], [55., .3345272233e-3], [56., .5381987346e-3], [57., .8399943559e-3], [58. , .1273953046e-2], [59., .1880269263e-2], [60., .2704310818e-2], [61., .\ 3794765279e-2], [62., .5200850170e-2], [63., .6968620802e-2], [64., .9136526993\ e-2], [65., .1173049342e-1], [66., .1475891202e-1], [67., .1820802163e-1], [68. , .2203819526e-1], [69., .2618164658e-1], [70., .3054199965e-1], [71., .\ 3499604127e-1], [72., .3939780121e-1], [73., .4358489988e-1], [74., .4738688357\ e-1], [75., .5063505973e-1], [76., .5317316909e-1], [77., .5486810765e-1], [78. , .5561985238e-1], [79., .5536975297e-1], [80., .5410642754e-1], [81., .\ 5186863375e-1], [82., .4874467184e-1], [83., .4486810831e-1], [84., .4040988835\ e-1], [85., .3556722970e-1], [86., .3055004883e-1], [87., .2556602730e-1], [88. , .2080572240e-1], [89., .1642928568e-1], [90., .1255629988e-1], [91., .\ 9259938205e-2], [92., .6566101567e-2], [93., .4457479947e-2], [94., .2881746831\ e-2], [95., .1762486558e-2], [96., .1011108367e-2], [97., .5379916955e-3], [98. , .2614268619e-3], [99., .1134758205e-3], [100., .4253878433e-4], [101., .\ 1302074819e-4], [102., .2922434593e-5], [103., .3653043242e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 40027121111655004453836749603224465120494154968155 [--------------------------------------------------, 2 3232403830668161692915\ 515377520732011331036461129765621272702107522001 694903266566834785381438850076054576294921960231951593958955773915622760\ 1/2 905 /515377520732011331036461129765621272702107522001, - 90781293526337\ 998874833802242943914557999746383862528421605846902561546615875106741601\ 18663707763706218298814629362940318258729988717374477421 3232403830668161\ 692915694903266566834785381438850076054576294921960231951593958955773915\ 1/2 622760905 /11295604891371033222623126694854732618492666794044032756991\ 377092060012264760104934988921898510261212268009870388648478232887776277\ 1565594224334554413727195429382530343114469858912619403204530, 6375888829\ 066438283467537111050725759480926396237262025157791301449728054615425290\ 904111161552041116165084544526609986580998890430494760763786445312876192\ / 93375731063743000851303212056369345217 / 22591209782742066445246253389\ / 709465236985333588088065513982754184120024529520209869977843797020522424\ 536019740777296956465775552554313118844866910882745439085876506068622893\ 9717825238806409060] and in floating-point [77.66563248, 6.976977624, -.1444939556, 2.822287469] Here is a plot + HHH + HH HH 0.05 H HH + H HH + HH H + H H 0.04 H H + HH H + HH H 0.03 H H + HH H + HH HH + H H 0.02 H HH + H H + HH H 0.01 HH H + HH H + HHH HH + HHH HHH +**************************-+-+--+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+--+-+-+**********+ 0 40 50 60 70 80 90 100 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 36], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 36, to , 106 The probability distribution is [703 (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (n - 33) (-34 + n) (-35 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n)/(531441 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 5320 (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (n - 33) (-34 + n) (-35 + n) (n + 1)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 1295 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (431 n + 216) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (n + 1)/(531441 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 95608 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (419 n + 211) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (n + 1)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 247 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) 2 (994709 n + 7329 n - 252338) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (n + 1)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3952 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) 2 (937733 n + 11855 n - 240342) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(1594323 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 405080 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (2 n - 3) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) 2 (176641 n + 3450 n - 45874) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(4782969 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1620320 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (2 n - 3) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) 2 (166211 n + 4683 n - 43868) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (n + 1)/(4782969 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) 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(-23+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2 /(-16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[36., .4683711704e-14], [37., .1063329144e-12], [38., .1239540194e-11], [39., .9885060286e-11], [40., .6062671912e-10], [41., .3048217463e-9], [42., .\ 1307885164e-8], [43., .4922637463e-8], [44., .1658155718e-7], [45., .5075067395\ e-7], [46., .1428244478e-6], [47., .3731139777e-6], [48., .9118855459e-6], [49. , .2098507883e-5], [50., .4572165776e-5], [51., .9475334738e-5], [52., .\ 1875285892e-4], [53., .3556727019e-4], [54., .6484312930e-4], [55., .1139382619\ e-3], [56., .1934173246e-3], [57., .3178741004e-3], [58., .5067159434e-3], [59. , .7847912877e-3], [60., .1182714917e-2], [61., .1736732262e-2], [62., .\ 2487969445e-2], [63., .3480944694e-2], [64., .4761270834e-2], [65., .6372556124\ e-2], [66., .8352605895e-2], [67., .1072913094e-1], [68., .1351526801e-1], [69. , .1670529971e-1], [70., .2027101234e-1], [71., .2415914023e-1], [72., .\ 2829030723e-1], [73., .3255978942e-1], [74., .3684029208e-1], [75., .4098676919\ e-1], [76., .4484313063e-1], [77., .4825049829e-1], [78., .5105650684e-1], [79. , .5312501474e-1], [80., .5434550998e-1], [81., .5464146948e-1], [82., .\ 5397696330e-1], [83., .5236088013e-1], [84., .4984828337e-1], [85., .4653858259\ e-1], [86., .4257042127e-1], [87., .3811343954e-1], [88., .3335736487e-1], [89. , .2849919850e-1], [90., .2372956430e-1], [91., .1921951314e-1], [92., .\ 1510916437e-1], [93., .1149945941e-1], [94., .8447977143e-2], [95., .5969242248\ e-2], [96., .4039325901e-2], [97., .2603912639e-2], [98., .1588518208e-2], [99. , .9092958557e-3], [100., .4829133328e-3], [101., .2343007389e-3], [102., .\ 1015776393e-3], [103., .3804430619e-4], [104., .1163817890e-4], [105., .\ 2611371318e-5], [106., .3264214148e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 3347865106779165189846834433881655446908066595276946 [----------------------------------------------------, 20 2200276630055195376\ 41745579179292917813953351511015323088870709282081 596000125012739982603966394816331424728989457438260731346192062634273288\ 1/2 58552741 /41745579179292917813953351511015323088870709282081, - 6700951\ 538742532293332389109723151740308318283873430418994225432390072711720387\ 823792662353891292815373387535383136841732408795816923623396134828 220027\ 663005519537659600012501273998260396639481633142472898945743826073134619\ 1/2 206263427328858552741 /67052870481538048399162085632725689062710445054\ 221257732509540194765224116120058149752394250410519775717139256541081965\ 717843053010585605528102981393867975049026830338858995345409632305962712\ 7605, 1799861460101600544402483651331834069702699290141085082354011722701\ 959990296505005285671949287669176877525100162881640313512120916237204262\ / 837506911074106223023840166385867931571301137202986838092407 / 6370022\ / 695746114597920398135108940460957492280151019484588406318502696291031405\ 524226477453788999378693128229371402786743195090036005632525169783232417\ 45762965754888219160455781391506906645771224750] and in floating-point [80.19687767, 7.106539064, -.1482373852, 2.825518128] Here is a plot + HHHH + HH HH 0.05 HH H + H H + H HH 0.04 H H + H H + H H + H H 0.03 HH H + H H + H H + HH HH 0.02 HH H + HH HH + H HH 0.01 H H + HH HH + HH HH + HHH HHH +***************************-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+-+*********- 0 40 50 60 70 80 90 100 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 37], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 37, to , 109 The probability distribution is [247 (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (n - 33) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n)/(531441 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 1924 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (n + 1)/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 76 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (2732 n + 1369) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (n + 1)/(177147 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 34580 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (443 n + 223) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (n + 1)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1300 (-31 + n) (-30 + n) 2 (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (74247 n + 517 n - 18820) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (n + 1)/(531441 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4264 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) 2 (1051693 n + 12555 n - 269182) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(1594323 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 29848 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) 2 (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (330757 n + 6095 n - 85718) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 3) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(1594323 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2 366704 (311789 n + 8281 n - 82044) (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 3) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (n + 1)/(1594323 (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 20168720 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) 2 (-24 + n) (88091 n + 3213 n - 23603) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 3) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-19 + n) (2 n - 5) n (-2 + n) (-1 + n) (n + 1)/(4782969 (-44 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 201687200 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) 2 (82883 n + 4005 n - 22676) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 3) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-19 + n) (2 n - 5) n (-2 + n) (-1 + n) (-3 + n) (n + 1)/(14348907 (-44 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1298865568 (-31 + n) (-30 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (2 n - 7) (-18 + n) (2 n - 3) (-27 + n) (n - 17) 2 (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 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51098081449668372369795177532341120675520334392197120000000000000000000*n^9+246\ 5236741212260772019055998159403211201475908837481317517806451628411834660185909\ 1981894899274748044854645918977958091816418190285989110719888020032477929598734\ 6122446385540925746287522210484714138132595282467181261762211031251517826371977\ 6668876800000000000000000000*n^8-1212804519515856437862440803758742020969101220\ 3654594720382349704098028841586174275975975496032507498716799926976552973345328\ 1052356040753703811879205093340645934730607836893618678728917788347678227687558\ 3417216692684825024408889981537651422920704000000000000000000000*n^7+5049372068\ 8767788390314572421740888505729122093355844696615085388959203955348261839631924\ 3807709461943636049834896068362079620017514596787238758963351817775987153748534\ 5015366189819556923517646411284614704803040671993864026803700207258557638246400\ 00000000000000000000*n^6-173811781823879491315531282022909622124482615183246659\ 7580640205233067464463647627381886385299639788227057698532432121656172073511061\ 7602983247625561586803482540177049091081553286377264408734563619719914281220131\ 3759324960788384824293922439168000000000000000000000000*n^5+4793404347548742599\ 6631850725543911620790183189095155060737693744081159741210879350210003243595583\ 9349458753890788891928362073305707132052249785808030621206115717526999254875914\ 7447819933513250956224504154477609971860274931528370368093880320000000000000000\ 0000000000*n^4-1012547847025696215896628921296320787054735770746712500681810435\ 8235735434467764783241135881221310803721725482645840486285890245080010198666691\ 3843198971906378779576982011136403924621692767251109176540272857656689715993136\ 87809712780738560000000000000000000000000000*n^3+152810249030975250714936862977\ 5916146577198499974995597048060678379755705067982869132617664403656100442605908\ 9239361729813702861193089114178066537940197687368190198273038039913022761670904\ 93049974673955916156169930340913582060897042432000000000000000000000000000000*n ^2-1455655161583957770085571346558491153529951853073081826376177703432818601800\ 1729536677388364643280634870040038868712578614386147358375083989911560411928089\ 3971034824703417476082533857133559450341223918913702911302204130774863367372800\ 000000000000000000000000000000*n+6522744461684898715678237168775116650586138109\ 2593345300861857824155678692925457915891295459133290370637807001920681571311920\ 6929379637032883747237599205952874280017850225256188736557524952323540297774955\ 6444586782306259844464640000000000000000000000000000000000)/(-91+3*n)^2/(-101+3 *n)^2/(-103+3*n)^2/(-98+3*n)^2/(3*n-106)^2/(-83+3*n)^2/(3*n-107)^2/(-56+3*n)^2/ (-97+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-94+3*n)^2/(-70+3*n)^2/(-76+3*n)^2/(-67+3*n)^2/(-82+3* n)^2/(-65+3*n)^2/(-64+3*n)^2/(-77+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-\ 95+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-89+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-88+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-49+3*n) ^2/(3*n-59)^2/(-41+3*n)^2/(-104+3*n)^2/(-73+3*n)^2*(-36+n)/(-43+3*n)^2/(-40+3*n )^2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-100+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-\ 85+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-79+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3*n) ^2/(3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+3*n)^2/(-25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3* n)^2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3 *n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[37., .1645628436e-14], [38., .3845573820e-13], [39., .4611135270e-12], [40., .3780069468e-11], [41., .2381734396e-10], [42., .1229517560e-9], [43., .\ 5413558477e-9], [44., .2089843351e-8], [45., .7216633674e-8], [46., .2263327123\ e-7], [47., .6524064258e-7], [48., .1744986689e-6], [49., .4364765460e-6], [50. , .1027652094e-5], [51., .2289954657e-5], [52., .4852131928e-5], [53., .\ 9815475746e-5], [54., .1902311883e-4], [55., .3543011790e-4], [56., .6358494911\ e-4], [57., .1102207489e-3], [58., .1849362294e-3], [59., .3009223498e-3], [60. , .4756635338e-3], [61., .7315148769e-3], [62., .1096033918e-2], [63., .\ 1601932340e-2], [64., .2286514437e-2], [65., .3190489329e-2], [66., .4356084734\ e-2], [67., .5824450862e-2], [68., .7632419996e-2], [69., .9808773546e-2], [70. , .1237025463e-1], [71., .1531763956e-1], [72., .1863223509e-1], [73., .\ 2227319046e-1], [74., .2617599700e-1], [75., .3025249096e-1], [76., .3439257874\ e-1], [77., .3846777486e-1], [78., .4233649185e-1], [79., .4585086262e-1], [80. , .4886472454e-1], [81., .5124226560e-1], [82., .5286674006e-1], [83., .\ 5364861186e-1], [84., .5353248358e-1], [85., .5250221542e-1], [86., .5058372898\ e-1], [87., .4784511997e-1], [88., .4439386944e-1], [89., .4037114489e-1], [90. , .3594341936e-1], [91., .3129190213e-1], [92., .2660054841e-1], [93., .\ 2204366111e-1], [94., .1777426401e-1], [95., .1391445675e-1], [96., .1054881744\ e-1], [97., .7721587632e-2], [98., .5437891677e-2], [99., .3668684056e-2], [100\ ., .2358590711e-2], [101., .1435420632e-2], [102., .8199542409e-3], [103., .\ 4346976615e-3], [104., .2106010677e-3], [105., .9119833581e-4], [106., .\ 3412798576e-4], [107., .1043434144e-4], [108., .2340617472e-5], [109., .\ 2925771840e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 31084125992011791010338366129277927579351530936642493 [-----------------------------------------------------, 2 1846942053843691307\ 375710212613636260325580163599137907799836383538729 015436568717631186358668731145975874218267795892627207173683655986662919\ 1/2 423400832794 /375710212613636260325580163599137907799836383538729, - 73\ 282042544475625549976157854383695295558943406642426799500610742002664617\ 582424848243834704664097183234251915861125314962333833168469669203268761\ 02573 1846942053843691307015436568717631186358668731145975874218267795892\ 1/2 627207173683655986662919423400832794 /65599902889545244597432739603281\ 736306430689770747945817014646470556752348466641231221502178081168293197\ 663204557714466391002140963868200226243197086428474035890005136955146548\ 460163507426857358706650893, 14844695382520113581765216663125321167799824\ 115117585599358109456705180276408750472162188993360579111330467382794620\ 012230794341259508821945202466507293859420148163798548944648796668836658\ / 22939075186295373 / 52479922311636195677946191682625389045144551816598\ / 356653611717176445401878773312984977201742464934634558130563646171573112\ 801712771094560180994557669142779228712004109564117238768130805941485886\ 9653207144] and in floating-point [82.73431211, 7.234418535, -.1518172095, 2.828642789] Here is a plot + HHHH 0.05 HH H + H H + H H + HH H 0.04 HH HH + H H + H HH + HH H 0.03 H H + H H + HH H + HH H 0.02 H H + H H + H HH 0.01 H H + H H + HH HH + HHH HHH +***************************-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+**********+ 0 40 50 60 70 80 90 100 110 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 38], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 38, to , 112 The probability distribution is [260 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n)/(531441 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 56240 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (n + 1)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 481 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (1441 n + 722) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (n + 1)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4160 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (1403 n + 706) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (n + 1)/( 531441 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 820 (-31 + n) (-30 + n) 2 (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (1243061 n + 8193 n - 314858) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (n + 1)/(4782969 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 114800 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) 2 (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (47029 n + 531 n - 12022) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(4782969 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2468200 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) 2 (-32 + n) (14815 n + 258 n - 3832) (-34 + n) (-24 + n) (2 n - 3) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(4782969 (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1241152 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) 2 (-32 + n) (349729 n + 8771 n - 91774) (-34 + n) (-24 + n) (2 n - 3) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (n + 1)/(4782969 (-44 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1551440 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (2 n - 3) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (2 n - 5) 2 (-18 + n) (164973 n + 5677 n - 44038) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (n + 1)/(1594323 (-44 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 142732480 (-31 + n) (-30 + n) 2 (155501 n + 7083 n - 42338) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (2 n - 3) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (2 n - 5) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-3 + n) (n + 1)/(14348907 (-44 + 3 n) (-46 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1677106640 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (2 n - 3) (-23 + n) 2 (175724 n + 10305 n - 48926) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (2 n - 7) (-20 + n) (2 n - 5) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-3 + n) (n + 1)/(43046721 (-47 + 3 n) (-44 + 3 n) (-46 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 9757711360 (-31 + n) 2 (-30 + n) (82661 n + 6105 n - 23594) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (2 n - 3) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (2 n - 7) (-20 + n) (2 n - 5) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-28 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(43046721 (-47 + 3 n) (-44 + 3 n) (-46 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 11953196416 2 (86323 n + 7887 n - 25318) (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (2 n - 3) (2 n - 9) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (2 n - 7) (-20 + n) (2 n 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n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n)), 1451459564800 (-31 + n) (-30 + n) (52627 n + 7056 n - 16396) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (2 n - 3) (2 n - 9) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (2 n - 7) (-20 + n) (2 n - 5) (-18 + n) (-27 + n) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-28 + n) (2 n - 11) (-19 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1) /(129140163 (-50 + 3 n) (-47 + 3 n) (-44 + 3 n) (-46 + 3 n) (-49 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) 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*n^6-88836817653822332919840478369868941877339236986464299025891678739262094527\ 09810009561462812324807556681474387322453211398610616320000000000*n^5+477753343\ 1395976295832833921516007649606448130935044823240492864112711724927658037289889\ 889609681286122728031126159801885025894400000000000*n^4-18815367387447711907704\ 1636104552910637218455524605210661235137561474585675603914412718824197155574071\ 4290769682783009457045504000000000000*n^3+4982531238777241562638653351774100483\ 1261030743572247469092870245499042662834938276667503145627251840286924218573826\ 0735590400000000000000*n^2-7619357294510324877677945286807888785262518004188603\ 8781350257872313451874192163281227480621198534051479618650078277795840000000000\ 000000*n+4743948725067590039512287332271133576596679646024647499239426842002621\ 595116390628490199177717921520102098527944966144000000000000000000)/(-56+3*n)/( -97+3*n)/(-50+3*n)/(-94+3*n)/(-70+3*n)/(-76+3*n)/(-67+3*n)/(-82+3*n)/(-65+3*n)/ (-64+3*n)/(-77+3*n)/(-53+3*n)/(-47+3*n)/(-44+3*n)/(-95+3*n)/(-61+3*n)/(-89+3*n) /(-46+3*n)/(-88+3*n)/(-55+3*n)/(-49+3*n)/(3*n-59)/(-41+3*n)/(-104+3*n)/(-73+3*n )/(-43+3*n)/(-40+3*n)/(-38+3*n)/(-31+3*n)/(-52+3*n)/(-100+3*n)/(-34+3*n)/(-37+3 *n)/(-85+3*n)/(-35+3*n)/(-28+3*n)/(-79+3*n)/(-26+3*n)/(-29+3*n)/(-20+3*n)/(3*n-\ 58)/(-32+3*n)/(-68+3*n)/(-25+3*n)/(3*n-8)/(-17+3*n)/(-14+3*n)/(-11+3*n)/(3*n-7) /(-23+3*n)/(-19+3*n)/(-13+3*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-4)/(-16+3*n)/(-\ 1+3*n)/(-22+3*n) and the variance is 160/2503155504993241601315571986085849/(-74+3*n)^2*(-37+n)/(-86+3*n)^2/(-71+3*n )^2/(-62+3*n)^2/(-92+3*n)^2/(-80+3*n)^2/(-91+3*n)^2/(-110+3*n)^2/(-109+3*n)^2/( -101+3*n)^2/(-103+3*n)^2/(-98+3*n)^2/(3*n-106)^2/(-83+3*n)^2/(3*n-107)^2/(-56+3 *n)^2/(-97+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-94+3*n)^2/(-70+3*n)^2/(-76+3*n)^2/(-67+3*n)^2/( -82+3*n)^2/(-65+3*n)^2/(-64+3*n)^2/(-77+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-44+3*n )^2/(-95+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-89+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-88+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-\ 49+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-41+3*n)^2/(-104+3*n)^2/(-73+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-40+3*n) ^2/(-38+3*n)^2*(348457163554669654861623383091480575612160086206088671743122965\ 76471777804722840844585144541794645122754*n^146-9458152442198188701814678090087\ 0514886760055100083801230827279283857680410496368353547866934991283475534089*n^ 145+127197812450453586676412192982762734435357997559425671634785374488193183126\ 246059959786628474642992873175157492*n^144-113000637100296846042054516064054741\ 186004742955295210354161334547336127945556178372004299309797195101426900651596* n^143+7459933752668479365809685835689681206477286302354338304728304659518733285\ 8647540220942069245253681515956963062457992*n^142-39033960149350269856483865621\ 1249961118608303234611937191837576987572673692038095925349753747033777793161025\ 73806129498*n^141+1686181098870984083406740097136033214716844657316120748866968\ 8147444272493140154209568423374770391160711225332260995290124*n^140-61847972590\ 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[41., .1440197549e-11], [42., .9315659266e-11], [43., .4934179380e-10], [44., .\ 2227912071e-9], [45., .8815590445e-9], [46., .3118845740e-8], [47., .1001701380\ e-7], [48., .2955707948e-7], [49., .8089438592e-7], [50., .2069713999e-6], [51. , .4982738054e-6], [52., .1134957353e-5], [53., .2457438839e-5], [54., .\ 5078482647e-5], [55., .1005217372e-4], [56., .1911602518e-4], [57., .3502071142\ e-4], [58., .6195641629e-4], [59., .1060746471e-3], [60., .1760892329e-3], [61. , .2839205667e-3], [62., .4453244736e-3], [63., .6804239862e-3], [64., .\ 1014042342e-2], [65., .1475722812e-2], [66., .2099319671e-2], [67., .2922058216\ e-2], [68., .3982992219e-2], [69., .5320834667e-2], [70., .6971199604e-2], [71. , .8963364507e-2], [72., .1131673676e-1], [73., .1403727593e-1], [74., .\ 1711417646e-1], [75., .2051714493e-1], [76., .2419460510e-1], [77., .2807312958\ e-1], [78., .3205832782e-1], [79., .3603732141e-1], [80., .3988281551e-1], [81. , .4345864037e-1], [82., .4662650246e-1], [83., .4925356231e-1], [84., .\ 5122035859e-1], [85., .5242853403e-1], [86., .5280779439e-1], [87., .5232154824\ e-1], [88., .5097073108e-1], [89., .4879540909e-1], [90., .4587388202e-1], [91. , .4231916118e-1], [92., .3827288570e-1], [93., .3389695788e-1], [94., .\ 2936341547e-1], [95., .2484329444e-1], [96., .2049543370e-1], [97., .1645628772\ e-1], [98., .1283179932e-1], [99., .9692214269e-2], [100., .7070392222e-2], [ 101., .4963724406e-2], [102., .3339278304e-2], [103., .2141346706e-2], [104., .\ 1300270912e-2], [105., .7412985984e-3], [106., .3923449830e-3], [107., .\ 1898216947e-3], [108., .8211113520e-4], [109., .3070283648e-4], [110., .\ 9382211939e-5], [111., .2104063839e-5], [112., .2630079799e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 865071943866378933977632060565664195964312327004827960 [------------------------------------------------------, 8 871142908886674137\ 10144175740568179028790664417176723510595582355545683 154058457728701439030400215515221679357807414411794445118071021114628613\ 1/2 54486612806885 /10144175740568179028790664417176723510595582355545683, - 403925453582514686774686570861596261146864509694934454824390057605928757\ 958558661291610924853935270742343642702870468042195032390162500201586153\ 760038751979 871142908886674137154058457728701439030400215515221679357807\ 1/2 41441179444511807102111462861354486612806885 /242844789665131595956398\ 618634702771985114801234923650530037147724900402580037636353244091862832\ 142779475447978420060596996618994859381436866117143653120748167168131160\ 08966992960702432140336858894394570890320, 550124438774100051029649055039\ 113972883304976214622437181091639751674394597161091893698797996081130811\ 118953473089049888072485261946242397547180225157844926438795792878252908\ / 598331031201060953658359843676961207 / 1942758317321052767651188949077\ / 622175880918409879389204240297181799203220640301090825952734902657142235\ 803583827360484775972951958875051494928937149224965985337345049280717359\ 43685619457122694871155156567122560] and in floating-point [85.27769688, 7.360679795, -.1552448258, 2.831666882] Here is a plot + HHHH 0.05 HH HH + H H + HH H + HH H 0.04 H HH + H H + HH HH + H H 0.03 H H + HH H + H H 0.02 H H + HH H + H H + H H 0.01 H HH + HH HH + HH HH + HHHH HH +****************************+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-*********- 0 40 50 60 70 80 90 100 110 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 39], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 39, to , 115 The probability distribution is [820 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-38 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 20254 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-38 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (n + 1)/( 1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 760 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (1012 n + 507) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-38 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (n + 1)/(1594323 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 121360 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) (493 n + 248) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-38 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (n + 1)/( 4782969 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) 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(-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 543004 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-35 + n) (-32 + n) 2 (82689 n + 1363 n - 21350) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-38 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (2 n - 3) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-19 + n) n (-1 + n) (n + 1)/(4782969 (-44 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3878600 (-31 + n) (-30 + n) 2 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goes to infinity, the distribution is [[39., .2023414782e-15], [40., .4997834511e-14], [41., .6326214540e-13], [42., .5468016153e-12], [43., .3628479939e-11], [44., .1970615671e-10], [45., .\ 9118965164e-10], [46., .3696200759e-9], [47., .1338941629e-8], [48., .\ 4401359702e-8], [49., .1328672502e-7], [50., .3718938045e-7], [51., .9727477126\ e-7], [52., .2393321128e-6], [53., .5569515611e-6], [54., .1231673012e-5], [55. , .2598956802e-5], [56., .5251247697e-5], [57., .1019130791e-4], [58., .\ 1904963624e-4], [59., .3437827644e-4], [60., .6002874216e-4], [61., .1016134213\ e-3], [62., .1670373521e-3], [63., .2670710072e-3], [64., .4159158044e-3], [65. , .6316944928e-3], [66., .9367811092e-3], [67., .1357873188e-2], [68., .\ 1925705744e-2], [69., .2674315222e-2], [70., .3639784133e-2], [71., .4858433894\ e-2], [72., .6364483129e-2], [73., .8187247834e-2], [74., .1034802312e-1], [75. , .1285684693e-1], [76., .1570939686e-1], [77., .1888430442e-1], [78., .\ 2234118103e-1], [79., .2601963214e-1], [80., .2983948914e-1], [81., .3370241415\ e-1], [82., .3749493612e-1], [83., .4109286430e-1], [84., .4436690792e-1], [85. , .4718921805e-1], [86., .4944047155e-1], [87., .5101704419e-1], [88., .\ 5183777989e-1], [89., .5184985615e-1], [90., .5103327429e-1], [91., .4940356397\ e-1], [92., .4701238228e-1], [93., .4394580685e-1], [94., .4032026905e-1], [95. , .3627624812e-1], [96., .3197004487e-1], [97., .2756416439e-1], [98., .\ 2321703706e-1], [99., .1907296269e-1], [100., .1525323393e-1], [101., .\ 1184934651e-1], [102., .8919017388e-2], [103., .6485415404e-2], [104., .\ 4539604143e-2], [105., .3045769172e-2], [106., .1948431718e-2], [107., .\ 1180610921e-2], [108., .6718343907e-3], [109., .3550212281e-3], [110., .\ 1715415292e-3], [111., .7412778757e-4], [112., .2769676342e-4], [113., .\ 8459415642e-5], [114., .1896654697e-5], [115., .2370818372e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 24055125544852420349124473435178442855066303998044358983 [--------------------------------------------------------, 2 1050821824631262\ 273892744995340833777347939263771534786080723599733441 974870200351855207667673428285533704070720334345345558067707410938705523\ 1/2 682358064292277229001 / 273892744995340833777347939263771534786080723599733441, - 833014876427568\ 329542340442233089005953486362134896895937236312580619478095071366936055\ 344801439001518091222240258793550356262348936793042805580416810642487865\ 7 10508218246312629748702003518552076676734282855337040707203343453455580\ 1/2 67707410938705523682358064292277229001 /538647076644574047683918603612\ 603615326796959224697891536870892149424197545563522598435324113199618631\ 281713253994059331607843434261165317998242656639641560614801676483680731\ 78847861704656218994938536913195268071122, 305369313874238363321707990421\ 337538859977537336715102540346051473725270326143349663618124595167983078\ 621163898920616472757765127959825853146023814693016957722380943641461163\ / 344872353993243986171658835221065204459217 / 1077294153289148095367837\ / 207225207230653593918449395783073741784298848395091127045196870648226399\ 237262563426507988118663215686868522330635996485313279283121229603352967\ 36146357695723409312437989877073826390536142244] and in floating-point [87.82680806, 7.485382703, -.1585305596, 2.834595481] Here is a plot + HHH 0.05 HH HH + HH HH + HH H + H H 0.04 H H + HH H + H H 0.03 H H + HH H + H H + H H 0.02 HH HH + H HH + H H + HH H 0.01 HH HH + H H + HH HH + HHH HHH +****************************+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+-+*********- 0 40 50 60 70 80 90 100 110 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 40], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 40, to , 118 The probability distribution is [287 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-39 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-38 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 7280 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-39 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-38 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (n + 1)/(531441 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 533 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-39 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-38 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (n - 17) (1597 n + 800) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (n + 1)/(1594323 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 43624 (-31 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-39 + n) (-35 + n) (-32 + n) (-34 + n) (-24 + n) (-23 + n) (-29 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-38 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-27 + n) (173 n + 87) (n - 17) (n - 33) (-25 + n) (-36 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-15 + n) (-19 + n) n (n + 1)/(1594323 (-41 + 3 n) (-40 + 3 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0001915911900346736193709456951716610020616973675332824882577247576832554032976\ 5709899526593982194829348959333596128808995192057577328511907701428120806748548\ 2352640000000000000000000000000*n^7+1868493926016318014422415352799433844662283\ 5615869280523049454459912881851508438610005987130809597347307240237952889097571\ 4782051031771708723916146350655040704971518195766213760114185186470734943316512\ 4632990606338379289817363011280781593735922487646017080264149172224000000000000\ 00000000000000*n^6-629500430031312041708991754549209101902270209410620185010472\ 4877457238602820914190474283202417043840628112505803911209824571097044123806736\ 7482156309400974880511702353507672196412788982184917729513374127576369749580045\ 257852946308457487717813287030327983382126919680000000000000000000000000000*n^5 +170111433264613623352250790228084829405541325749185045499293675506523404290557\ 5172795145676859559151460289103942937933592576838277830066596111909903720327464\ 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^2/(3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+3*n)^2/(-25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3* n)^2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3 *n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[40., .7081951736e-16], [41., .1796397513e-14], [42., .2333784127e-13], [43., .2069188920e-12], [44., .1407728551e-11], [45., .7834337208e-11], [46., .\ 3713177004e-10], [47., .1540847753e-9], [48., .5711948960e-9], [49., .\ 1920666751e-8], [50., .5928688982e-8], [51., .1696199709e-7], [52., .4533416534\ e-7], [53., .1139335791e-6], [54., .2707442202e-6], [55., .6112251610e-6], [56. , .1316282381e-5], [57., .2713587662e-5], [58., .5372006706e-5], [59., .\ 1024045292e-4], [60., .1884297935e-4], [61., .3354063918e-4], [62., .5786685157\ e-4], [63., .9693610694e-4], [64., .1579155489e-3], [65., .2505354878e-3], [66. , .3875990760e-3], [67., .5854347399e-3], [68., .8642197165e-3], [69., .\ 1248091819e-2], [70., .1764962185e-2], [71., .2445946818e-2], [72., .3324351043\ e-2], [73., .4434169406e-2], [74., .5808103195e-2], [75., .7475146453e-2], [76. , .9457845014e-2], [77., .1176938662e-1], [78., .1441072736e-1], [79., .\ 1736799456e-1], [80., .2061042298e-1], [81., .2408907568e-1], [82., .2773657135\ e-1], [83., .3146798528e-1], [84., .3518301614e-1], [85., .3876941880e-1], [86. , .4210760281e-1], [87., .4507619560e-1], [88., .4755827712e-1], [89., .\ 4944791770e-1], [90., .5065659980e-1], [91., .5111908092e-1], [92., .5079826212\ e-1], [93., .4968866230e-1], [94., .4781816189e-1], [95., .4524776840e-1], [96. , .4206926962e-1], [97., .3840077840e-1], [98., .3438033437e-1], [99., .\ 3015790776e-1], [100., .2588633561e-1], [101., .2171188803e-1], [102., .\ 1776528015e-1], [103., .1415398154e-1], [104., .1095659960e-1], [105., .\ 8219919081e-2], [106., .5958878371e-2], [107., .4159397242e-2], [108., .\ 2783599244e-2], [109., .1776664644e-2], [110., .1074365088e-2], [111., .\ 6103048362e-3], [112., .3220273654e-3], [113., .1554086027e-3], [114., .\ 6709126868e-4], [115., .2504971997e-4], [116., .7647334870e-5], [117., .\ 1714185208e-5], [118., .2142731509e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 222793375078714758725987983817638041240516701732194765814 [---------------------------------------------------------, 8 549634169316186\ 2465034704958067503996131453373943813074726512397600969 569213951114142415717351094489053327656883199934422526229261471273970651\ 1/2 7664132574773199043182 / 2465034704958067503996131453373943813074726512397600969, - 47621054221730\ 973460811501828600474026621864906906089292060195649315742695924098122780\ 728714744498362005665772585549954815816015864983862082267256666323961386\ 48571 5496341693161865692139511141424157173510944890533276568831999344225\ 1/2 262292614712739706517664132574773199043182 /69050907446833016122906503\ 818941787289651676979936995498428054494364157924113456272506726552693410\ 851471882455837106881070296665000713183416157287893687322756793322716662\ 629510654343594063219319568992871573852115851712, 78370938493156643960767\ 424145966943475909504473311634726665223152343275568523526001585506840273\ 516712227130179435859080754846920740151426289397339177016660544895958912\ / 1669030749284511660967967680993851005018100118071117 / 276203629787332\ / 064491626015275767149158606707919747981993712217977456631696453825090026\ 906210773643405887529823348427524281186660002852733664629151574749291027\ 173290866650518042617374376252877278275971486295408463406848] and in floating-point [90.38143545, 7.608583493, -.1616837885, 2.837433330] Here is a plot 0.05 HHHH + HH HH + HH H + H HH 0.04 HH H + H H + H H + H H 0.03 HH H + H H + H H + HH H 0.02 H H + H H + HH H + HH H 0.01 HH HH + HH HH + HH HH + HHHH HHH +*****************************-+---+---+---+--+---+---+---+--+---+-*********- 0 40 60 80 100 ----------------------- This took, 23336.440, seconds.