The Distribution of the Occupant of Cell [1,i] in a random Standard Young ta\ bleau of shape, [n, n, n], and its Limiting behavior as n goes to infinity for i from 2 to, 40 By Shalosh B. Ekhad --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 2], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 2, to , 4 The probability distribution is 2 (-1 + n) 8 (-1 + n) (n + 1) (n + 1) (2 + n) [----------, -----------------------, -----------------------] -1 + 3 n 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) and in Maple notation [2/(-1+3*n)*(-1+n), 8/3*(-1+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n), 1/3*(n+1)*(2+n)/(-1+3*n )/(-2+3*n)] `The average is` 8/3*(4*n-1)*(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n) and the variance is 8/9*(-1+n)*(4*n-1)*(7*n-2)*(n+1)/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[2., .6666666667], [3., .2962962963], [4., .3703703704e-1]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 64 4 14 493 14 21279 [--, -------, ---------, -----] 27 27 1568 6272 and in floating-point [2.370370370, .5543196127, 1.176426717, 3.392697704] Here is a plot +HH + HHH 0.6 HHHH + HHH + HHH 0.5 HHH + HHHH + HHH 0.4 HHH + HHH + HHH + HHHH 0.3 HHHH + HHHH + HHHHH 0.2 HHHHH + HHHH + HHHHH 0.1 HHHH + HHHHH ++---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+-***- 2 2.5 3 3.5 4 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 3], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 3, to , 7 The probability distribution is 10 (-2 + n) (-1 + n) 10 (-2 + n) (n + 1) [-----------------------, -----------------------, 3 (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) 4 (-2 + n) (n + 1) (4 n + 3) ---------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) 40 (-2 + n) n (n + 1) (2 + n) --------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 2 5 n (n + 1) (2 + n) --------------------------------------------] 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) and in Maple notation [10/3/(-2+3*n)/(-1+3*n)*(-2+n)*(-1+n), 10/3*(-2+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n), 4/3 *(-2+n)*(n+1)*(4*n+3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4), 40/9*(-2+n)*n*(n+1)*(2+n)/(-1+ 3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 5/9*n*(n+1)^2*(2+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/( -5+3*n)] `The average is` 5/9*(577*n^4-2036*n^3+2345*n^2-970*n+120)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n) and the variance is 10/81*(-2+n)*(n+1)*(45029*n^6-239703*n^5+509309*n^4-542925*n^3+297386*n^2-76080 *n+7200)/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[3., .3703703704], [4., .3703703704], [5., .1975308642], [6., .5486968450e-1], [7., .6858710562e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 2885 450290 4335017 450290 58952630319 [----, ---------, -----------------, -----------] 729 729 4055221682 20276108410 and in floating-point [3.957475995, .9204890418, .7173355522, 2.907492361] Here is a plot +HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH 0.35 HH + HH + HH 0.3 HH + HH + HH 0.25 H + HH 0.2 HH + HHH + HH 0.15 HHH + HH + HHH 0.1 HH + HH + HHH 0.05 HHHHHHHH + HHHHHHH ++---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---*****- 0 3 4 5 6 7 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 4], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 4, to , 10 The probability distribution is 5 (-2 + n) (-3 + n) 8 (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) [-----------------------, -------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) 5 (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) (13 n + 8) --------------------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 2 40 (n + 1) (-3 + n) n --------------------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 7 n (-3 + n) (n + 1) (2 + n) (7 n - 3) ------------------------------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) 2 112 n (-1 + n) (-3 + n) (n + 1) (2 + n) ----------------------------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 2 2 14 n (-1 + n) (n + 1) (2 + n) ----------------------------------------------------------------] 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) and in Maple notation [5/3*(-2+n)*(-3+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n), 8*(-2+n)*(-3+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/( 3*n-4), 5/3*(-2+n)*(-3+n)*(n+1)*(13*n+8)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 40 /3*(n+1)^2*(-3+n)*n/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 7/3*n*(-3+n)*(n+1)*(2+n )*(7*n-3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7), 112/9*n*(-1+n)*(-3+n)/(-1 +3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)*(n+1)^2*(2+n), 14/9*n^2*(-1+n)* (n+1)^2*(2+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)] `The average is` 2/9*(18673*n^6-155505*n^5+497341*n^4-763983*n^3+573706*n^2-188232*n+20160)/(-1+ 3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8) and the variance is 16/81*(-3+n)*(n+1)*(4206455*n^10-59842589*n^9+372154065*n^8-1327247484*n^7+ 2992160169*n^6-4428611325*n^5+4321769287*n^4-2712374602*n^3+1028766024*n^2-\ 207849600*n+16934400)/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n -8)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[4., .1851851852], [5., .2962962963], [6., .2674897119], [7., .1646090535], [8\ ., .6721536351e-1], [9., .1707056851e-1], [10., .2133821064e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 37346 4 4206455 4392277621 4206455 195604488243159 [-----, ------------, ---------------------, ---------------] 6561 6561 17694263667025 70777054668100 and in floating-point [5.692120104, 1.250397444, .5091144359, 2.763670926] Here is a plot 0.3 HHH + HH HHHHHHH + HH HHHH 0.25 HH H + HH HH + HH HH + HH HH 0.2 H HH +H HH + HH 0.15 HH + H + HH 0.1 H + HH + HH + HHHH 0.05 HHHH + HHH + HHHHHHHHH ++--+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+********- 0 4 5 6 7 8 9 10 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 5], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 5, to , 13 The probability distribution is 7 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) [---------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) 140 (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (n + 1) --------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 4 (n + 1) (-4 + n) (-3 + n) (44 n + 25) --------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 28 (-3 + n) (-4 + n) n (n + 1) (13 + 17 n) ------------------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) 2 140 (-3 + n) (-4 + n) n (n + 1) (7 n + 5 n - 4) ----------------------------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 56 n (-4 + n) (-1 + n) (n + 1) (2 + n) -----------------------------------------------------, 280 n (-4 + n) 3 (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 2 (-1 + n) (n + 1) (2 + n) (2 n - 3)/(9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) 2 (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)), 1232 n (-4 + n) (-2 + n) 2 (-1 + n) (n + 1) (2 + n)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 2 2 (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 154 (-1 + n) (-2 + n) n 2 (n + 1) (2 + n)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n))] and in Maple notation [7/3*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4), 140/9*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n) *(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 4/9*(n+1)*(-4+n)*(-3+n)*(44*n+25)/(-\ 1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 28/9*(-3+n)*(-4+n)*n*(n+1)*(13+17*n)/(-1+3*n) /(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7), 140/9*(-3+n)*(-4+n)*n*(n+1)*(7*n^2+5*n-4)/( -1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 56/3*n*(-4+n)*(-1+n)*(n+1)*( 2+n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 280/9*n*(-4+n)*(-1+n)*(n+1)^2*( 2+n)*(2*n-3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n), 1232 /27*n^2*(-4+n)*(-2+n)*(-1+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8) /(-10+3*n)/(-11+3*n)*(n+1)^2*(2+n), 154/27*(-1+n)^2*(-2+n)*n^2/(-1+3*n)/(-2+3*n )/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)*(n+1)^2*(2+n)] `The average is` 35/27*(38141*n^8-577560*n^7+3617154*n^6-12108816*n^5+23355021*n^4-26013384*n^3+ 15801460*n^2-4531344*n+443520)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-\ 8)/(-10+3*n)/(-11+3*n) and the variance is 280/729*(n+1)*(-4+n)*(270947843*n^14-7374442509*n^13+91204659806*n^12-\ 678210145887*n^11+3380978831156*n^10-11925599787033*n^9+30609502878502*n^8-\ 57884584241781*n^7+80703766733521*n^6-82102424349678*n^5+59550302442772*n^4-\ 29551918679832*n^3+9346346920800*n^2-1655083584000*n+122943744000)/(-1+3*n)^2/( -2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[5., .8641975309e-1], [6., .1920438957], [7., .2414266118], [8., .2176497485], [9., .1493674745], [10., .7681755830e-1], [11., .2845094752e-1], [12., .\ 6954676060e-2], [13., .8693345075e-3]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 1334935 2 18966349010 2044752675061 18966349010 55659266695721536791 [-------, ----------------, ----------------------------, --------------------] 177147 177147 734127336263526490 20555565415378741720 and in floating-point [7.535747148, 1.554848442, .3835846841, 2.707746811] Here is a plot + HHHH + HH HHHHH + HHH HHH 0.2 HH HH + HH HH + H HH + HH H + H HH 0.15 H HH + H HH + HH H + H H 0.1 H HH +H H + HH + HHH 0.05 HH + HH + HHHHH + HHHH +--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+--+---+---+--+---+---+--***********- 0 6 8 10 12 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 6], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 6, to , 16 The probability distribution is 28 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) [--------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 80 (-5 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) --------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 35 (-5 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) (11 n + 6) ------------------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) 448 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) n (n + 1) (2 + 3 n) ----------------------------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 2 4 n (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) (103 n + 43 n - 46) ----------------------------------------------------------------, 16 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 2 (n + 1) (-5 + n) n (-4 + n) (-1 + n) (173 n + 155 n - 102)/(9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)), 440 (-1 + n) (-4 + n) n (-5 + n) (n + 1) (2 + n) (17 n - 4) (2 n - 3)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) 2 (-11 + 3 n)), 3520 n (-2 + n) (-1 + n) (-5 + n) (n + 1) (2 + n) (2 n - 3)/ (27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 2 2 (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 572 n (-2 + n) (-1 + n) (-5 + n) (n + 1) (2 + n) (-33 + 13 n)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 2 (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n)), 16016 n 2 2 (-1 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-5 + n) (n + 1) (2 + n)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) 2 2 2 2 (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 2002 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) n (n + 1) (2 + n)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n))] and in Maple notation [28/9*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 80/9*(-5+ n)*(-3+n)*(-4+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 35/9*(-5+n)*(-3+n)*( -4+n)*(n+1)*(11*n+6)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7), 448/9*(-3+n)*( -4+n)*(-5+n)*n*(n+1)*(2+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8) , 4/3*n*(-4+n)*(-5+n)*(n+1)*(103*n^2+43*n-46)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n )/(3*n-7)/(3*n-8), 16/9*(n+1)*(-5+n)*n*(-4+n)*(-1+n)*(173*n^2+155*n-102)/(-1+3* n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n), 440/27*(-1+n)*(-4+n)*n* (-5+n)*(n+1)*(2+n)*(17*n-4)*(2*n-3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/ (3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 3520/27*n*(-2+n)*(-1+n)*(-5+n)*(n+1)^2*(2+n)*(2*n-\ 3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 572/ 27*n^2*(-2+n)*(-1+n)*(-5+n)*(n+1)^2*(2+n)*(-33+13*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/ (-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n), 16016/81*n^2*(-1+n)^2*( -3+n)*(-2+n)*(-5+n)*(n+1)^2*(2+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3 *n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n), 2002/81*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n) *n^2/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-\ 13+3*n)/(-14+3*n)*(n+1)^2*(2+n)] `The average is` 16/81*(2829184*n^10-67816310*n^9+701052795*n^8-4091584080*n^7+14817692262*n^6-\ 34444333230*n^5+51324072635*n^4-47423003260*n^3+25185861924*n^2-6590218320*n+ 605404800)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3* n)/(-13+3*n)/(-14+3*n) and the variance is 80/6561*(n+1)*(-5+n)*(967364326996*n^18-42832626537933*n^17+880457752982034*n^ 16-11152940214229116*n^15+97451255003421216*n^14-622956737246598366*n^13+ 3015089801435734876*n^12-11279212750556134764*n^11+33000612976329867180*n^10-\ 75914955749176829229*n^9+137279219678426002146*n^8-194068917595153460784*n^7+ 212045938211543801968*n^6-175744381968423257232*n^5+107324141761007157024*n^4-\ 46166270565640853376*n^3+13005442272409896960*n^2-2107439119283097600*n+ 146605988745216000)/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8 )^2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-14+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[6., .3840877915e-1], [7., .1097393690], [8., .1760402378], [9., .2048468221], [10., .1883859168], [11., .1406289692], [12., .8444963787e-1], [13., .\ 3974100606e-1], [14., .1399214588e-1], [15., .3348547733e-2], [16., .4185684666\ e-3]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 45266944 8 1209205408745 2531581834966150669 1209205408745 [--------, ------------------, ------------------------------------, 4782969 4782969 9357937411444240143840160 40204359333649881011669469 --------------------------] 14972699858310784230144256 and in floating-point [9.464193475, 1.839257186, .2974828100, 2.685177671] Here is a plot 0.2 HHHHH + HHH HHHH + HHH HH + H H + HH H 0.15 H HH + H HH + H H + HH HH + H H 0.1 H H + H H + H HH + H HH + H H 0.05 H HH +HH HH + HHH + HHH + HHHHHH ++--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+-+--+--+--+--+--+--+--+--+--**********- 0 6 8 10 12 14 16 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 7], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 7, to , 19 The probability distribution is 4 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) [--------------------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) 14 (-6 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-3 + n) (n + 1) ----------------------------------------------------, (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) 8 (-6 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-3 + n) (n + 1) (92 n + 49) ----------------------------------------------------------------, 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 80 (n + 1) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) n (13 n + 8) ----------------------------------------------------------------, 25 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 2 (n + 1) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) n (47 n + 13 n - 18)/(3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)), 22 2 (-5 + n) n (-4 + n) (-1 + n) (-6 + n) (n + 1) (151 n + 85 n - 74)/(3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 44 n (-6 + n) (-5 + n) (-1 + n) (n + 1) (2 n - 3) 2 (271 n + 285 n - 154)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 1144 n (-1 + n) (-2 + n) (-6 + n) (-5 + n) (n + 1) (2 + n) (7 n - 1) (2 n - 3)/(9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) 2 (-13 + 3 n)), 20020 n (-1 + n) (-2 + n) (-6 + n) (-5 + n) (n + 1) (2 + n) (2 n - 3) (2 n - 5)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 7150 2 2 n (-1 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-6 + n) (n + 1) (2 + n) (-13 + 5 n)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) 2 2 (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 2288 n (-1 + n) (-3 + n) (-2 + n) 2 (-6 + n) (n + 1) (2 + n) (-57 + 16 n)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) 2 2 2 (-14 + 3 n) (-16 + 3 n)), 77792 n (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) 2 (-6 + n) (n + 1) (2 + n)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) 2 2 2 2 (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 9724 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) n 2 (n + 1) (2 + n)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n))] and in Maple notation [4/3*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n), 14*(-6+n)* (-4+n)*(-5+n)*(-3+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7), 8/9*(-6+ n)*(-4+n)*(-5+n)*(-3+n)*(n+1)*(92*n+49)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n -7)/(3*n-8), 80/9*(n+1)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*n*(13*n+8)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-\ 4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 25/3*(n+1)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*n*(47*n^2+13*n-18) /(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n), 22/3*(-5+n)*n*(-\ 4+n)*(-1+n)*(-6+n)*(n+1)*(151*n^2+85*n-74)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/( 3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 44/27*n*(-6+n)*(-5+n)*(-1+n)*(n+1)*(2*n-3)* (271*n^2+285*n-154)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n )/(-11+3*n), 1144/9*n*(-1+n)*(-2+n)*(-6+n)*(-5+n)*(n+1)*(2+n)*(7*n-1)*(2*n-3)/( -1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n) , 20020/27*n*(-1+n)*(-2+n)*(-6+n)*(-5+n)*(n+1)^2*(2+n)*(2*n-3)*(2*n-5)/(-1+3*n) /(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3 *n), 7150/27*n^2*(-1+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-6+n)*(n+1)^2*(2+n)*(-13+5*n)/(-1+3*n)/( -2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n ), 2288/27*n^2*(-1+n)^2*(-3+n)*(-2+n)*(-6+n)*(n+1)^2*(2+n)*(-57+16*n)/(-1+3*n)/ (-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3* n)/(-16+3*n), 77792/81*n^2*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)^2*(-1+n)^2*(-6+n)*(n+1)^2*(2+n) /(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3* n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n), 9724/81*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)*n^2 /(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3* n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)*(n+1)^2*(2+n)] `The average is` 1/81*(493363237*n^12-17173031004*n^11+264795432239*n^10-2382704837610*n^9+ 13871793362631*n^8-54733623903072*n^7+148984189672097*n^6-279148041321570*n^5+ 352516128503332*n^4-286869173676024*n^3+138464950968864*n^2-33850312715520*n+ 2964061900800)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-\ 11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n) and the variance is 2/6561*(-6+n)*(n+1)*(4113924191660683*n^22-269030436001022425*n^21+ 8279342492665886627*n^20-159406049592037792415*n^19+2153184112937013660768*n^18 -21687413749283059667130*n^17+169003771376947689329542*n^16-\ 1043428630997942634760510*n^15+5184446871645643308695723*n^14-\ 20941404584795876436028685*n^13+69177531126348098432852487*n^12-\ 187371594061709109210394755*n^11+415941508386394910445322618*n^10-\ 754176408813004039400769040*n^9+1109594429715225101527455392*n^8-\ 1311064292328399068467122800*n^7+1225502518754459127403768608*n^6-\ 886925544055397362030158720*n^5+481789904475900802823165952*n^4-\ 187555458028477282488299520*n^3+48628602634069626694041600*n^2-\ 7378142830355370737664000*n+488092386209672724480000)/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3* n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-14+ 3*n)^2/(-16+3*n)^2/(-17+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[7., .1646090535e-1], [8., .5761316872e-1], [9., .1121780216], [10., .15851242\ 19], [11., .1790885536], [12., .1687750851], [13., .1346226580], [14., .\ 9041078878e-1], [15., .5022821599e-1], [16., .2242331071e-1], [17., .7653823389\ e-2], [18., .1807152745e-2], [19., .2258940931e-3]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 493363237 8227848383321366 87254463585152527838479 8227848383321366 [---------, -------------------, -------------------------------------------, 43046721 43046721 33848744509462008068002816052978 90634909962158979885424569865701 --------------------------------] 33848744509462008068002816052978 and in floating-point [11.46111075, 2.107186934, .2338235384, 2.677644659] Here is a plot 0.18 HHHH + HHH HHHH 0.16 HH HH + H H 0.14 H HH + HH H + H HH 0.12 HH H + H H 0.1 H HH + H H 0.08 HH HH + H HH 0.06 H H + HH HH + HH HH 0.04 HH HH + H H 0.02H HHHH + HHHHHH +--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-**********+ 0 8 10 12 14 16 18 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 8], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 8, to , 22 The probability distribution is 5 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) [------------------------------------------------------, 3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) 560 (-3 + n) (-5 + n) (-4 + n) (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) -----------------------------------------------------------------, 27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 7 (n + 1) (-5 + n) (-4 + n) (-6 + n) (-7 + n) (61 n + 32) ----------------------------------------------------------------, 40 n 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) (31 + 53 n)/(9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)), 55 n 2 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) (1381 n + 273 n - 478)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 440 n (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) 2 (193 n + 75 n - 82)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 2860 n (-1 + n) (-5 + n) 2 (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) (2 n - 3) (43 n + 30 n - 22)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n)), 2288 (n + 1) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-2 + n) (-1 + n) n 2 (2 n - 3) (407 n + 483 n - 212)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 20020 n (-2 + n) (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) (2 + n) (2 n - 5) (17 n - 1) (2 n - 3)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 640640 n (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) 2 (n + 1) (2 + n) (2 n - 3) (2 n - 5)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) 2 (-14 + 3 n) (-16 + 3 n)), 24310 n (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (-6 + n) 2 2 (-7 + n) (n + 1) (2 + n) (167 n - 1031 n + 1564)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) 2 (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 194480 n (-4 + n) 2 2 (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (-7 + n) (n + 1) (2 + n)/(81 (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) 2 (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)), 92378 n (-4 + n) (-3 + n) 2 2 2 (-2 + n) (-1 + n) (-7 + n) (n + 1) (2 + n) (-87 + 19 n)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) 2 (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 3695120 n 2 2 2 2 (-5 + n) (-7 + n) (2 + n) (-4 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) /( 729 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) 2 2 2 2 (-1 + 3 n)), 461890 n (2 + n) (-5 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) 2 2 (-4 + n) (n + 1) /(729 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n))] and in Maple notation [5/3*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n -7), 560/27*(-3+n)*(-5+n)*(-4+n)*(-6+n)*(-7+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/ (-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 7/9*(n+1)*(-5+n)*(-4+n)*(-6+n)*(-7+n)*(61*n+32)/(-1+3 *n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 40/9*n*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+ n)*(n+1)*(31+53*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n) , 55/81*n*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(n+1)*(1381*n^2+273*n-478)/(-1+3*n)/(-2+3 *n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 440/81*n*(-1+n)*(-5+n )*(-6+n)*(-7+n)*(n+1)*(193*n^2+75*n-82)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n -7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 2860/81*n*(-1+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(n+1)*(2 *n-3)*(43*n^2+30*n-22)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+ 3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n), 2288/243*(n+1)*(-7+n)*(-6+n)*(-5+n)*(-2+n)*(-1+n)*n*( 2*n-3)*(407*n^2+483*n-212)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/( -10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n), 20020/243*n*(-2+n)*(-1+n)*(-6+n)*(-7+n) *(n+1)*(2+n)*(2*n-5)*(17*n-1)*(2*n-3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7 )/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n), 640640/243*n*(-3+n)*(-2+n)*( -1+n)*(-6+n)*(-7+n)*(n+1)^2*(2+n)*(2*n-3)*(2*n-5)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5 +3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n), 24310/ 243*n^2*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*(-6+n)*(-7+n)*(n+1)^2*(2+n)*(167*n^2-1031*n+1564)/ (-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n )/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n), 194480/81*n^2*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)^2*(-\ 7+n)*(n+1)^2*(2+n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3 *n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n), 92378/243*n^2*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)^2* (-1+n)^2*(-7+n)*(n+1)^2*(2+n)*(-87+19*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3* n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3 *n), 3695120/729*n^2*(-5+n)*(-7+n)*(2+n)*(-4+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(n+1 )^2/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+ 3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 461890/729*n^2*(2+n)*( -5+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)^2*(n+1)^2/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-17+3*n) /(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3* n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n)] `The average is` 10/729*(4712326633*n^14-224563849137*n^13+4829557825387*n^12-61970639727489*n^ 11+528429191221129*n^10-3156141663007311*n^9+13555938168513521*n^8-\ 42299242218881307*n^7+95670837495377738*n^6-154608030356097252*n^5+ 173434005898495592*n^4-128461957648485504*n^3+57646397011132800*n^2-\ 13361434095744000*n+1126343522304000)/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/( -14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n )/(-1+3*n) and the variance is 40/531441*(-7+n)*(n+1)*(1694577806345451539*n^26-153461413181908003290*n^25+ 6601759747291837976040*n^24-179507108122367325892032*n^23+ 3462926667044175660443841*n^22-50433066592078285758479430*n^21+ 576067534043555237671514010*n^20-5292849860719238797508007732*n^19+ 39804392530700156082839365701*n^18-248029767696672038767244266470*n^17+ 1291515315829637345757940140180*n^16-5651696984055527035521229286712*n^15+ 20854629620480510088736399343511*n^14-64977838306600537306480108732410*n^13+ 170868192377626786516450380484650*n^12-378349053700176209193764827143252*n^11+ 702466833667332373010000683176816*n^10-1086642972026790323540468905761600*n^9+ 1387969694729011641609388032629920*n^8-1446082889795171721331041187678272*n^7+ 1208723418723737882122685493518592*n^6-792357413257516395454292037196800*n^5+ 394573030306741840672283993395200*n^4-142448346202407940336946798592000*n^3+ 34651140134039822708412088320000*n^2-4992391376962342078434508800000*n+ 317162432559045336367104000000)/(-20+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(-16+3*n)^2 /(-14+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-8)^2/(3*n-7)^2/(-5+3*n)^2 /(3*n-4)^2/(-2+3*n)^2/(-1+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[8., .6858710562e-2], [9., .2845094752e-1], [10., .6508154245e-1], [11., .1077\ 071585], [12., .1429227327], [13., .1597919619], [14., .1542723777], [15., .129\ 7960883], [16., .9487551909e-1], [17., .5952973747e-1], [18., .3143692795e-1], [19., .1355364558e-1], [20., .4530431533e-2], [21., .1059750066e-2], [22., .\ 1324687583e-3]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 47123266330 2 16945778063454515390 [-----------, -------------------------, 3486784401 3486784401 1/2 1286123873400138550884520867 16945778063454515390 ----------------------------------------------------, 28715939417585626581952236337974685210 38444136234729909683541716174576310309 --------------------------------------] 14357969708792813290976118168987342605 and in floating-point [13.51482079, 2.361215679, .1843701158, 2.677546827] Here is a plot 0.16 HHHHH + HHH HHH 0.14 HH H + H HH + HH HH 0.12 H H + H H 0.1 HH HH + H H + H H 0.08 H HH + H H + H H 0.06 HH HH + H HH 0.04 H HH + HH HHH + HH HH 0.02 HH HHH +HH HHHHH ++--+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+***********- 0 8 10 12 14 16 18 20 22 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 9], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 9, to , 25 The probability distribution is 55 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) [-----------------------------------------------------------------, 27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) 88 (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) ----------------------------------------------------------------, 40 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) (52 n + 27)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)) , 1540 n (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (n + 1) (13 + 23 n)/( 81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 22 n (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (n + 1) 2 (2441 n + 363 n - 788)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 572 (n + 1) (-8 + n) (-7 + n) 2 (-6 + n) (-5 + n) (-1 + n) n (361 n + 103 n - 138)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n)), 4004 n (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (259 n + 129 n - 118)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 5720 n (-1 + n) (-2 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (179 n + 147 n - 92)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 22880 (-1 + n) (-2 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (n + 1) (59 n + 77 n - 27) n/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n)), 155584 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (61 n + 1) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 + n) (n + 1)/( 729 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 2 1089088 n (-2 + n) (-1 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-7 + n) (n + 1) (2 + n) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 3)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) 2 (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 369512 n (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) 2 2 (-1 + n) (-8 + n) (-7 + n) (n + 1) (2 + n) (127 n - 794 n + 1227)/(729 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 2 923780 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 + n) 2 2 2 (233 n - 1933 n + 3984) (-1 + n) (n + 1) /(2187 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 12932920 2 2 n (7 n - 33) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-8 + n) (2 + n) (-1 + n) 2 2 (-2 + n) (n + 1) /(2187 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 4064632 (-4 + n) (-5 + n) 2 2 2 2 2 (-8 + n) (22 n - 123) (2 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) n /( 2187 (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) 2 (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 186973072 n (-5 + n) (-6 + n) 2 2 2 2 2 (-8 + n) (2 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) /(6561 (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) 2 (-19 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 23371634 n (2 + n) (-6 + n) 2 2 2 2 2 2 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) /(6561 (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n))] and in Maple notation [55/27*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+ 3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 88/9*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-4+n)*(-5+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-\ 2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 40/27*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-4+n)*(-5+ n)*(n+1)*(52*n+27)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n) , 1540/81*n*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-5+n)*(-4+n)*(n+1)*(13+23*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n )/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 22/81*n*(-5+n)*(-6+n)*( -7+n)*(-8+n)*(n+1)*(2441*n^2+363*n-788)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n -7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 572/81*(n+1)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-5+n)*(-1+n )*n*(361*n^2+103*n-138)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10 +3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n), 4004/243*n*(-1+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(2*n-3 )*(n+1)*(259*n^2+129*n-118)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/ (-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n), 5720/243*n*(-1+n)*(-2+n)*(-6+n)*(-7+n) *(-8+n)*(2*n-3)*(n+1)*(179*n^2+147*n-92)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3* n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n), 22880/243*(-1+n)*(-2+n)*( -6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(2*n-3)*(2*n-5)*(n+1)*(59*n^2+77*n-27)*n/(-1+3*n)/(-2+3*n)/ (3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3 *n), 155584/729*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(61*n+1)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(2*n-3)*(2 *n-5)*(2+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/ (-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n), 1089088/243*n*(-2+n)*(-1+n)* (-3+n)*(-8+n)*(-7+n)*(n+1)^2*(2+n)*(2*n-5)*(2*n-7)*(2*n-3)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3 *n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n )/(-17+3*n), 369512/729*n^2*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*(-8+n)*(-7+n)*(n+1)^2*( 2+n)*(127*n^2-794*n+1227)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-\ 10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 923780/ 2187*n^2*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-7+n)*(-8+n)*(2+n)*(233*n^2-1933*n+3984)*(-1+n)^ 2*(n+1)^2/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n) /(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 12932920/2187*n^ 2*(7*n-33)*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-8+n)*(2+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(n+1)^2/(-20+3*n )/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8) /(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 4064632/2187*(-4+n)*(-5+n)*(-8+n)* (22*n-123)*(2+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(n+1)^2*n^2/(-22+3*n)/(-20+3*n)/(-\ 19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3* n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 186973072/6561*n^2*(-5+n)*(-6+n)*(-8+n )*(2+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)^2*(n+1)^2/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3* n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+ 3*n)/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n), 23371634/6561*n^2*(2+n)*(-6+n)*(-\ 1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)^2*(-5+n)^2*(n+1)^2/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n )/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3 *n)/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n)] `The average is` 11/6561*(400963529827*n^16-25063602483080*n^15+716766200161924*n^14-\ 12425151578798792*n^13+145818986494841530*n^12-1225400642752385528*n^11+ 7605200188250911532*n^10-35432283888205763416*n^9+124694402803505708459*n^8-\ 330780068846966156704*n^7+654637160083672063064*n^6-947574938310195961792*n^5+ 970889622715645671984*n^4-668088228904191929088*n^3+282846653430840103680*n^2-\ 62774750418447513600*n+5129368400572416000)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+ 3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n)/(-\ 20+3*n)/(-19+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n) and the variance is 88/43046721*(-8+n)*(n+1)*(6143083151886333956891*n^30-735733735249231155762309* n^29+42146234286190561095453316*n^28-1537337909322198602924221695*n^27+ 40103990613869057842781455200*n^26-796659192506752355068819169247*n^25+ 12529244942267648023459539996456*n^24-160134678272438518530328993693323*n^23+ 1694109787191823484141208333546774*n^22-15034261814954817682250916448107957*n^ 21+113020340298434937778369202943433416*n^20-\ 724896392339102484919020731808651333*n^19+3987176212954113777583277146631753784 *n^18-18872434762441789235087773237978903797*n^17+ 77027880658380452841521893248902350056*n^16-\ 271302807223969239820232918400660923913*n^15+ 824234567841242870096270444700409260039*n^14-\ 2156353532859538263422402449668938746962*n^13+ 4843950490445075170777298090515126897636*n^12-\ 9303185768145970374803619332039414658408*n^11+ 15187068213760355128264386148415240814128*n^10-\ 20910564335856037599698435847050556972768*n^9+ 24039426247962167495785480877372328918720*n^8-\ 22773761395820590499077343020320010739328*n^7+ 17473217022378020644603691002630443293184*n^6-\ 10607895423190343953234686435650936616960*n^5+ 4933914906747993160495073248251365990400*n^4-\ 1677702342689186146391171628151160832000*n^3+ 387691232906142331297353872471162880000*n^2-\ 53542982179357247824419862609920000000*n+3288802523598853135554557509632000000) /(-17+3*n)^2/(-16+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-8 )^2/(3*n-7)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-2+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(-19+3*n)^ 2/(-22+3*n)^2/(-23+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[9., .2794289488e-2], [10., .1341258954e-1], [11., .3522498264e-1], [12., .\ 6664897891e-1], [13., .1010497873], [14., .1295170427], [15., .1445456438], [16\ ., .1427119153], [17., .1254376611], [18., .9798783771e-1], [19., .6746703580e-\ 1], [20., .4037647752e-1], [21., .2057681379e-1], [22., .8654625541e-2], [23., .2849550178e-2], [24., .6620167081e-3], [25., .8275208851e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 4410598828097 2 135147829341499347051602 [-------------, -----------------------------, 282429536481 282429536481 1/2 163249465385870568258015278742802 135147829341499347051602 -------------------------------------------------------------, 415112176720887087147839240472420627510244691 809485551043685815906373566496849241100912497 ---------------------------------------------] 301899764887917881562064902161760456371087048 and in floating-point [15.61663445, 2.603301207, .1445742114, 2.681305669] Here is a plot + HHHHHH 0.14 HH HHH + HH HH 0.12 H HH + H H + H HH 0.1 H HH + H H + HH H 0.08 H HH + H H + H HH 0.06 H H + HH HH 0.04 H HH + H H + HH H 0.02 H HHH + HHH HH + HHHH HHHHH +*+-+-+-+-+-++-+-+-+-++-+-+-+-+-++-+-+-+-+-++-+-+-+-+-++-+-+-+-+************- 0 10 12 14 16 18 20 22 24 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 10], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 10, to , 28 The probability distribution is 22 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) [-----------------------------------------------------------------, 40 (-4 + n) 27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (n + 1)/(3 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)), 11 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (n + 1) (97 n + 50)/( 9 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 704 (n + 1) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) n (16 + 29 n)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 130 (n + 1) (-5 + n) (-6 + n) 2 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) n (267 n + 31 n - 82)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n)), 728 n (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 2 (n + 1) (617 n + 135 n - 218)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 1820 n (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (n + 1) 2 (2 n - 3) (155 n + 58 n - 64)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n)), 1664 (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-2 + n) (-1 + n) n 2 (n + 1) (2 n - 3) (569 n + 343 n - 270)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n)), 7072 (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (n + 1) (2 n - 5) (2 n - 3) 2 (607 n + 567 n - 304)/(243 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 141440 n (-7 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) 2 (-8 + n) (-9 + n) (n + 1) (2 n - 5) (2 n - 3) (83 n + 117 n - 32)/(729 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 134368 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (12 n + 1) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 + n) (n + 1) n/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 10749440 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (2 n - 7) (2 + n) (n + 1) /(243 (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) 2 (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 117572 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (2 + n) 3 2 2 (4339 n - 46992 n + 166883 n - 194790) (n + 1) /(2187 (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 2 5173168 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-8 + n) (-9 + n) 2 2 (19 n - 78) (2 + n) (-1 + n) (n + 1) /(729 (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) 2 (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 42493880 n 2 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-8 + n) (-9 + n) (2 + n) (31 n - 322 n + 834) 2 2 2 (-1 + n) (-2 + n) (n + 1) /(2187 (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 2 135980416 n (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (4 n - 23) (2 + n) 2 2 2 2 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) /(2187 (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 106234700 (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (5 n - 33) (2 + n) 2 2 2 2 2 2 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) n /(2187 (-25 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) 2 (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n)), 1104840880 n (-6 + n) 2 2 2 2 2 (-7 + n) (2 + n) (-9 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) 2 (n + 1) /(6561 (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n)), 2 2 2 2 2 138105110 n (2 + n) (-7 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) 2 2 2 (-5 + n) (-6 + n) (n + 1) /(6561 (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n))] and in Maple notation [22/27*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+ 3*n)/(3*n-7)/(3*n-8), 40/3*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(n+1)/(-1+ 3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n), 11/9*(-4+n)*(-5+n)*(-\ 6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(n+1)*(97*n+50)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3 *n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n), 704/81*(n+1)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9 +n)*n*(16+29*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-\ 11+3*n), 130/27*(n+1)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*n*(267*n^2+31*n-82)/(-\ 1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n), 728/81*n*(-1+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(n+1)*(617*n^2+135*n-218)/(-\ 1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/ (-14+3*n), 1820/81*n*(-1+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(n+1)*(2*n-3)*(155*n^2+ 58*n-64)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n) /(-13+3*n)/(-14+3*n), 1664/81*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-2+n)*(-1+n)*n*(n+1) *(2*n-3)*(569*n^2+343*n-270)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8) /(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n), 7072/243*(-9+n)*(-8+n)*(-7+ n)*(-6+n)*(-2+n)*(-1+n)*n*(n+1)*(2*n-5)*(2*n-3)*(607*n^2+567*n-304)/(-1+3*n)/(-\ 2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n) /(-16+3*n)/(-17+3*n), 141440/729*n*(-7+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*(-8+n)*(-9+n)*(n +1)*(2*n-5)*(2*n-3)*(83*n^2+117*n-32)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7 )/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n), 134368/ 81*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(12*n+1)*(2*n-3)*(2*n-5)*(2*n-7)*( 2+n)*(n+1)*n/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+ 3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 10749440/243*n*(-1+n)*( -2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(2*n-3)*(2*n-5)*(2*n-7)*(2+n)*(n+1)^2/ (-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n )/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 117572/2187*n^2*(-1+n)*(-2 +n)*(-3+n)*(-4+n)*(-8+n)*(-9+n)*(2+n)*(4339*n^3-46992*n^2+166883*n-194790)*(n+1 )^2/(-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11 +3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 5173168/729*n^2*(-2+n) *(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-8+n)*(-9+n)*(19*n-78)*(2+n)*(-1+n)^2*(n+1)^2/(-22+3*n)/ (-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n )/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 42493880/2187*n^2*(-3+n)*(-4+n)*(-5+ n)*(-8+n)*(-9+n)*(2+n)*(31*n^2-322*n+834)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(n+1)^2/(-23+3*n)/( -22+3*n)/(-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n) /(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 135980416/2187*n^ 2*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-9+n)*(4*n-23)*(2+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(n+1)^2 /(-23+3*n)/(-22+3*n)/(-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-\ 8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 106234700/2187*(-5+n)*(-6+n)*(-9+n)*(5*n-33)*(2+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*( -4+n)^2*(n+1)^2*n^2/(-25+3*n)/(-23+3*n)/(-22+3*n)/(-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/( 3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3* n)/(-17+3*n)/(-19+3*n), 1104840880/6561*n^2*(-6+n)*(-7+n)*(2+n)*(-9+n)*(-1+n)^2 *(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)^2*(-5+n)^2*(n+1)^2/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14 +3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/( -1+3*n)/(-20+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n)/(-25+3*n)/(-26+3*n), 138105110/6561*n^2*( 2+n)*(-7+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)^2*(-5+n)^2*(-6+n)^2*(n+1)^2/(-19+ 3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7 )/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n)/(-20+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n)/(-25+3*n)/(-\ 26+3*n)] `The average is` 20/6561*(2257161315589*n^18-179148042161133*n^17+6573489346400550*n^16-\ 147956308860020292*n^15+2285506017031187430*n^14-25682865865181777070*n^13+ 217124838018982147384*n^12-1408545554239399665804*n^11+7087542097029821760333*n ^10-27771942126357494984061*n^9+84583024280305601701482*n^8-\ 198693581352005300540616*n^7+354897285756327258942688*n^6-\ 471158971704392476454736*n^5+449018025040060684183584*n^4-\ 291029268634658382290688*n^3+117433725776687337269760*n^2-\ 25132867447199268556800*n+2000453676223242240000)/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n) /(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3 *n)/(-1+3*n)/(-20+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n)/(-25+3*n)/(-26+3*n) and the variance is 160/43046721*(-9+n)*(n+1)*(324552244367990563495553*n^34-\ 49658917540518855886093235*n^33+3653335608937797543236027663*n^32-\ 172100450007082242860906839388*n^31+5832797365868131146882559820630*n^30-\ 151501802307922774014412788250394*n^29+3136966781140906252993880587677078*n^28-\ 53176740538092389606740173953112462*n^27+752133761481901680847945751633724720*n ^26-9001281645782228811136983765742144560*n^25+ 92113070503967271722028304165661850180*n^24-\ 812497711892862986529804210640682412750*n^23+ 6215117104983024940846826688015271528770*n^22-\ 41417553053732023232511526857355061868870*n^21+ 241249154924889081638787742817295816031290*n^20-\ 1231027627781900852371024089536922077449770*n^19+ 5510025125363057720695021943890197827983215*n^18-\ 21642499215496006817943311275419041810316765*n^17+ 74567672579828829170364456940050182522307325*n^16-\ 225083009089839523726082994673010062927030750*n^15+ 593975729859075320554152071519027013656118472*n^14-\ 1366187828619733032679664500235622847967811040*n^13+ 2727722401013997399025182871872975990633047392*n^12-\ 4702743173036669109139892399540809430810719552*n^11+ 6954363245761057688921340149527565834068942080*n^10-\ 8746772952131089057652359364053172716036974336*n^9+ 9257149293797965644025327624086491752683171072*n^8-\ 8132284353034444099978171697716264504410275328*n^7+ 5825763068055461977757897084882259555771586560*n^6-\ 3323986901651540102188636369615101756584140800*n^5+ 1462334090891908794593935263894766867673088000*n^4-\ 473337641342599184838971764785392206479360000*n^3+ 104814063609072737660052421719277456588800000*n^2-\ 13969210739894826541936928278346465280000000*n+ 833711439732309269863080328691712000000000)/(-19+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(-16+3*n)^2 /(-14+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-8)^2/(3*n-7)^2/(-5+3*n)^2 /(3*n-4)^2/(-2+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(-22+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(-25+3*n)^ 2/(-26+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[10., .1117715795e-2], [11., .6096631611e-2], [12., .1806973869e-1], [13., .\ 3841630586e-1], [14., .6531298865e-1], [15., .9391154323e-1], [16., .1179602042 ], [17., .1319704699], [18., .1329626322], [19., .1212070124], [20., .\ 9988626079e-1], [21., .7398982281e-1], [22., .4876937691e-1], [23., .2818935176\ e-1], [24., .1399262587e-1], [25., .5777600361e-2], [26., .1880729284e-2], [27. , .4346574346e-3], [28., .5433217932e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 45143226311780 4 3245522443679905634955530 [--------------, ------------------------------, 2541865828329 2541865828329 1/2 130609600986333268554803333604076019 3245522443679905634955530 -----------------------------------------------------------------, 2106683186485997248840589503272772483565015516180 11321694642909847729601712749476019047864078754193 --------------------------------------------------] 4213366372971994497681179006545544967130031032360 and in floating-point [17.75987773, 2.834977895, .1116910007, 2.687089999] Here is a plot + HHHHHH + HHH HH 0.12 HH HH + H H + HH HH 0.1 H H + H H + H H 0.08 HH H + H H + H HH 0.06 H H + H H + HH HH 0.04 H H + HH H + H HH 0.02 H HH + HHH HHHH + HHH HHHH +***-++-+-++-++-+-++-+-++-++-+-++-+-++-++-+-++-+-++-++-+-++-+-++-***********- 0 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 11], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 11, to , 31 The probability distribution is [26 (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n)/(27 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n)) , 1430 (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (-10 + n) (n + 1)/(81 (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n)), 20 (236 n + 121) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (n + 1)/(81 (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 104 (58 + 107 n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (n + 1) n/(27 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 91 n (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) 2 (-9 + n) (-10 + n) (n + 1) (6209 n + 579 n - 1838)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 182 n (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) 2 (-9 + n) (-10 + n) (n + 1) (4933 n + 855 n - 1642)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 7280 (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) 2 (-9 + n) (-10 + n) (2 n - 3) (n + 1) (257 n + 75 n - 98) n/(243 (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 35360 n (-1 + n) (-2 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (197 n + 91 n - 86)/(243 (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 3536 n (-1 + n) (-2 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (369 n + 259 n - 178)/(81 (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 134368 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (n + 1) (269 n + 279 n - 128) n/(729 (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 268736 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (n + 1) (569 n + 855 n - 176)/(2187 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 18811520 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (7 n + 1) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 + n) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 51731680 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 + n) (n + 1) n/(729 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n)), 2704156 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 + n) 3 2 2 (5881 n - 64134 n + 230075 n - 272622) (n + 1) /(6561 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 1545232 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) 3 2 (-9 + n) (-10 + n) (2 + n) (6562 n - 92427 n + 431537 n - 669342) 2 2 (-1 + n) (n + 1) /(6561 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 15452320 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 + n) 2 2 2 2 2 (1108 n - 11725 n + 31083) (-1 + n) (-2 + n) (n + 1) n /(6561 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) 2 (-1 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n)), 125550100 n (-4 + n) 2 (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 + n) (199 n - 2479 n + 7712) 2 2 2 2 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) /(6561 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n) 2 (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n)), 125550100 n (-5 + n) (-6 + n) 2 2 2 (-7 + n) (9 n - 61) (2 + n) (-10 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) 2 2 (-4 + n) (n + 1) /(729 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n)), 351540280 (-6 + n) (-7 + n) (28 n - 213) (2 + n) 2 2 2 2 2 2 2 (-10 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) n /( 6561 (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) 2 (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 20389336240 n (-7 + n) (-8 + n) (2 + n) 2 2 2 2 2 2 (-10 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) 2 (n + 1) /(19683 (-29 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-25 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) 2 2 (-19 + 3 n) (-20 + 3 n)), 2548667030 n (2 + n) (-8 + n) (-1 + n) 2 2 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) /(19683 (-29 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-25 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) (-13 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n) (-20 + 3 n))] and in Maple notation [26/27*(-10+n)*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-5+n)*(-4+n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n -4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n), 1430/81*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-5 +n)*(-4+n)*(-10+n)*(n+1)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-\ 10+3*n)/(-11+3*n), 20/81*(236*n+121)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n) *(n+1)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 104/27*(58+107*n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(n+1)*n/(-13+3*n)/ (-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 91/243* n*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(n+1)*(6209*n^2+579*n-1838)/(-14+3 *n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1 +3*n), 182/243*n*(-1+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(n+1)*(4933*n^2+855 *n-1642)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-\ 4)/(-2+3*n)/(-1+3*n), 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-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-9+n)*(-10+n)*(2+n)*(6562*n^3-92427*n^2+431537*n-\ 669342)*(-1+n)^2*(n+1)^2/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13 +3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n)/(-\ 22+3*n)/(-23+3*n), 15452320/6561*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-9+n)*(-10+n)*(2+ n)*(1108*n^2-11725*n+31083)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(n+1)^2*n^2/(-20+3*n)/(-19+3*n)/( -17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3*n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+ 3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n)/(-25+3*n), 125550100/6561*n^ 2*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-9+n)*(-10+n)*(2+n)*(199*n^2-2479*n+7712)*(-1+n)^2*(-2+ n)^2*(-3+n)^2*(n+1)^2/(-20+3*n)/(-19+3*n)/(-17+3*n)/(-16+3*n)/(-14+3*n)/(-13+3* n)/(-11+3*n)/(-10+3*n)/(3*n-8)/(3*n-7)/(-5+3*n)/(3*n-4)/(-2+3*n)/(-1+3*n)/(-22+ 3*n)/(-23+3*n)/(-25+3*n)/(-26+3*n), 125550100/729*n^2*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(9*n -61)*(2+n)*(-10+n)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(-3+n)^2*(-4+n)^2*(n+1)^2/(-20+3*n)/(-19+3 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520/387420489*(-10+n)*(n+1)*(84675104916226948355589953*n^38-\ 16111957089589523953883430879*n^37+1480181478230613990853140172420*n^36-\ 87454390355308338129457894772571*n^35+3734782826298247759987388420171319*n^34-\ 122838642252043428133111044334555638*n^33+3237671897800445052918786063420197584 *n^32-70255083448321795146354015544116787716*n^31+ 1279609114814926340452774659540425177618*n^30-\ 19846726840722407713076147547847090256178*n^29+ 265025178506060574159125924503842703807296*n^28-\ 3073082966053446807263834027721451641975138*n^27+ 31149074615640479828273729041207788004417110*n^26-\ 277437352195558330379998856007894566778008160*n^25+ 2180177594236072057131691705549024736181122040*n^24-\ 15162239509630754562003805629470828502179386500*n^23+ 93531253701304529478659900051710135297029488925*n^22-\ 512545162444722514701849468652716416139371412855*n^21+ 2497245165158549324465645695491266564218914533500*n^20-\ 10820447214142120589428890266035248085557613824315*n^19+ 41679643529304530860310831312645976401115367630307*n^18-\ 142585752478038633164197108858100444427921534112866*n^17+ 432524955307569059388429378483886764127039938729720*n^16-\ 1160788130682138969188841520053748316701935192514944*n^15+ 2747975965603591142933629954645944183708408163167776*n^14-\ 5716775368441684487711222909036350508196184277548992*n^13+ 10402111089850139292971457570461632374413698182078976*n^12-\ 16458716389654683532791036397915543668977738706941184*n^11+ 22483250235213790707237128047233909647266399035347712*n^10-\ 26282082941079994304424300718957708489514931051397632*n^9+ 26001514519470366880519068091489490513972328256702464*n^8-\ 21469136962068634039766681386074203898549761494597632*n^7+ 14531351498390968821301392599212692880218089552609280*n^6-\ 7873453692642500612199223714229641878872807836876800*n^5+ 3305818418656740200888695973848224171140954259456000*n^4-\ 1026435497669776912732137673686771538371910041600000*n^3+ 219186152368193505576793874917386188585277849600000*n^2-\ 28331374431545392780581230521711289601884160000000*n+ 1649107906556579169685808508722724470784000000000)/(-29+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-26 +3*n)^2/(-25+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5 +3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-\ 16+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-20+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[11., .4403122830e-3], [12., .2690797285e-2], [13., .8881512717e-2], [14., .\ 2093929524e-1], [15., .3937714559e-1], [16., .6256964381e-1], [17., .8692694619\ e-1], [18., .1078815426], [19., .1212435205], [20., .1243953896], [21., .116945\ 0255], [22., .1007083699], [23., .7912800495e-1], [24., .5630835087e-1], [25., .3590209618e-1], [26., .2020701136e-1], [27., .9829185168e-2], [28., .\ 4000824114e-2], [29., .1290800866e-2], [30., .2970890883e-3], [31., .3713613604\ e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1368441128945813 2 11007763639109503286226693890 [----------------, ----------------------------------, 68630377364883 68630377364883 1/2 745832849006482612932290366703961442327 11007763639109503286226693890 ------------------------------------------------------------------------, 932083541034625345430510861513425974367643347690487170 10043787527367231339678596139892581199411133703261294591 --------------------------------------------------------] 3728334164138501381722043446053703897470573390761948680 and in floating-point [19.93929192, 3.057476705, .8395299924e-1, 2.693907543] Here is a plot + HHHHHH 0.12 HH HH + H H + HH HH 0.1 H H + HH H + H HH 0.08 H H + HH H + H H 0.06 H H + HH H + H H + H H 0.04 HH HH + HH H + H HH 0.02 H HHH + HH HHH + HHHH HHHH +*****---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---************- 0 15 20 25 30 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 12], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 12, to , 34 The probability distribution is [91 (-11 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n)/( 81 (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 616 (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (n + 1)/(81 (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 143 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (47 n + 24) (n + 1)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 3640 n (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (23 + 43 n) (n + 1)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n)) , 175 n (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (n + 1) 2 (1841 n + 141 n - 530)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)) , 224 (n + 1) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) 2 (-1 + n) n (7493 n + 1055 n - 2382)/(243 (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 1904 n (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (2007 n + 470 n - 718)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n)), 7616 n (-1 + n) (-2 + n) (-7 + n) (-8 + n) 2 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 n - 3) (n + 1) (227 n + 83 n - 92)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n)), 180880 (-1 + n) (-2 + n) (53 n - 24) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) 2 (-11 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) n/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n)), 1033600 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (n + 1) (283 n + 225 n - 136)/(2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n)), 72352 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (2108 n + 2385 n - 932)/(2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n)), 578816 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) 2 (-11 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (763 n + 1210 n - 177) n/( 2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n)), 18305056 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (97 n + 19) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 + n) (n + 1)/(6561 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 1464404480 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 + n) (n + 1) /(6561 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 26001500 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-9 + n) (-10 + n) 4 3 2 (-11 + n) (2 + n) (2047 n - 33726 n + 204965 n - 545598 n + 538632) 2 2 (n + 1) n /(6561 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n)), 2 216332480 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) 3 2 2 (-10 + n) (-11 + n) (2 + n) (509 n - 7243 n + 34284 n - 54168) (-1 + n) 2 (n + 1) /(6561 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) 2 (-26 + 3 n)), 965770 n (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-10 + n) 3 2 2 (-11 + n) (2 + n) (7869 n - 136036 n + 782619 n - 1500636) (-1 + n) 2 2 (-2 + n) (n + 1) /(729 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n)), 54083120 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) 2 2 2 (-10 + n) (-11 + n) (2 + n) (697 n - 8849 n + 28164) (-1 + n) (-2 + n) 2 2 2 (-3 + n) (n + 1) n /(2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) 2 (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 980256550 n (-5 + n) (-6 + n) 2 2 (-7 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 + n) (497 n - 7213 n + 26160) (-1 + n) 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) /(19683 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-29 + 3 n)), 39210262000 2 2 n (-11 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 + n) (5 n - 39) (-1 + n) 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) /(19683 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-29 + 3 n)), 2 6077590610 (-11 + n) (31 n - 267) (-7 + n) (-8 + n) (2 + n) (-1 + n) 2 2 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (n + 1) n /(19683 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-14 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n) (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) 2 (-28 + 3 n) (-29 + 3 n) (-31 + 3 n)), 388965799040 n (-8 + n) (-9 + n) 2 2 2 2 2 (-11 + n) (2 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) 2 2 2 (-6 + n) (-7 + n) (n + 1) /(59049 (-32 + 3 n) (-31 + 3 n) (-29 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-25 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n) (-20 + 3 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (3 n - 4) (-5 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 8) (-10 + 3 n) (-11 + 3 n) 2 2 2 2 (-13 + 3 n)), 48620724880 n (2 + n) (-9 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) 2 2 2 2 2 2 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (n + 1) /(59049 (-32 + 3 n) (-31 + 3 n) (-29 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-25 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n) (-19 + 3 n) (-20 + 3 n) (-1 + 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(-22+3*n)/(-14+3*n)/(-16+3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n)/(-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/( 3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)] `The average is` 14/59049*(2931828111396323*n^22-349197299585688211*n^21+19517479287992949331*n^ 20-680397137068523516825*n^19+16585374870957914968908*n^18-\ 300374044870945915852446*n^17+4192098876468909382862006*n^16-\ 46149611312466921699400930*n^15+406869483722257312122441163*n^14-\ 2900217467933334810905215871*n^13+16802873094336594764558852871*n^12-\ 79262928242730240852596567685*n^11+303982971359281715228001581558*n^10-\ 943367183701139079089491504576*n^9+2349575831097156105690454640416*n^8-\ 4638394401676900929893581729040*n^7+7129233225385828969159105863648*n^6-\ 8316794416948057245763376320896*n^5+7097775442775571333497534885376*n^4-\ 4192926022111871368125982955520*n^3+1568631274301214358767750758400*n^2-\ 316745483801676717847707648000*n+24170601570187897759334400000)/(-32+3*n)/(-31+ 3*n)/(-29+3*n)/(-28+3*n)/(-26+3*n)/(-25+3*n)/(-23+3*n)/(-22+3*n)/(-14+3*n)/(-16 +3*n)/(-17+3*n)/(-19+3*n)/(-20+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3*n-7)/ (3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n) and the variance is 112/3486784401*(-11+n)*(n+1)*(328183510609680729130814023643*n^42-\ 76000576351250024078288758655955*n^41+8525940200605201644462687106715087*n^40-\ 617298230451567274819333063684618050*n^39+ 32424588434043732117196359685484931071*n^38-\ 1316856172239213190415194934019571462605*n^37+ 43035339828457267592408971174902284192599*n^36-\ 1162943703598901704731308587996554611467170*n^35+ 26500872782013952977831672599833105751689774*n^34-\ 516786752259302794680173803054332349092360750*n^33+ 8722139942568419115636894783543257290751397646*n^32-\ 128542531768413827795677009905671183318237971860*n^31+ 1665873864946443302276296979243217409007221187382*n^30-\ 19092195066964508471040322403398088051195823003690*n^29+ 194378381848270088745663706414506377563651827423798*n^28-\ 1764331819039296796650769252993945803216842339645220*n^27+ 14317959004018035354126228302464279109477514105610335*n^26-\ 104109989856537891587351997514986371217477812770205775*n^25+ 679366144833880720672996775482682893698821301798740515*n^24-\ 3982702433538420195961636603157700133919603841856819050*n^23+ 20987755470288098825286379221691892471914805454895720267*n^22-\ 99430615112521314401202708508009248830095902973533084345*n^21+ 423347787117154346013455389017703008349949316740576021203*n^20-\ 1618675456515992938618599845516775941672073098336021422650*n^19+ 5550985299885587078276809718483247276651626433579449699864*n^18-\ 17044353037534775073914230493256262735502090180442696798720*n^17+ 46753808885806295611775689657195146620145291411771474163616*n^16-\ 114249837001515780078782349569167313607451183172500791871680*n^15+ 247850920837479587534856581021359926277324938482979627758336*n^14-\ 475325386689098900005157479459558912040549287218348974841600*n^13+ 801757457297348822250631309835185591148240555405699044633344*n^12-\ 1182145261993657804651844718525874261719618978773087288240640*n^11+ 1512271528270302876376980389508525632894871908833523187836928*n^10-\ 1663245965005553151033586778783566915316763985235685502402560*n^9+ 1555091542196253863616536837291282760466917688172745862152192*n^8-\ 1218677132713010076920472240526735456199879161805688611143680*n^7+ 786128895133767192501341686407545643991473805853492733542400*n^6-\ 407594215946844056413515964909040067054116668839699677184000*n^5+ 164427326585441586276870907223720925250129315060839874560000*n^4-\ 49255698775328791025222522309596323267164202909617356800000*n^3+ 10192124835290742699215259961565172866726744322736128000000*n^2-\ 1282599291187346352562048088640844812407246998732800000000*n+ 73027247533096208581696295894747361012791377920000000000)/(-32+3*n)^2/(-31+3*n) ^2/(-29+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-25+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(-22+3*n)^2/(-14 +3*n)^2/(-16+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/( 3*n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[12., .1712325545e-3], [13., .1159112677e-2], [14., .4215582413e-2], [15., .\ 1090814792e-1], [16., .2245292969e-1], [17., .3899093731e-1], [18., .5918109303\ e-1], [19., .8032351640e-1], [20., .9897917402e-1], [21., .1118542727], [22., .\ 1166446395], [23., .1125867931], [24., .1005895037], [25., .8296041544e-1], [26\ ., .6281811169e-1], [27., .4331984446e-1], [28., .2690810680e-1], [29., .\ 1483002534e-1], [30., .7098715234e-2], [31., .2856625849e-2], [32., .9150724803\ e-3], [33., .2099090994e-3], [34., .2623863743e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 41045593559548522 4 2297284574267765103915698165501 [-----------------, ------------------------------------, 1853020188851841 1853020188851841 29926906840639812012501122248614730491427676 1/2 2297284574267765103915698165501 / 753930916452660965919111276423725314313010821929699540940143, 4073035166857938280164943672042361388889876389653029820679087 -------------------------------------------------------------] 1507861832905321931838222552847450628626021643859399081880286 and in floating-point [22.15064564, 3.271803695, .6016413501e-1, 2.701199193] Here is a plot + HHHHH + HH HH + HH H 0.1 H HH + H H + H HH 0.08 H H + H HH + H H + H H 0.06 H H + H HH + HH H 0.04 H HH + H H + H HH + H HH 0.02 HH HH + HH HH + HHHH HHHH +******-+--+---+--+--+---+--+--+---+--+--+---+--+--+---+--+--+---***********- 0 15 20 25 30 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 13], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 13, to , 37 The probability distribution is [35 (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n)/ (81 (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 260 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (n + 1)/(27 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)) , 28 (332 n + 169) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (n + 1)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n)) , 1540 (n + 1) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) n (9 + 17 n)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n)), 40 n (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n + 1) 2 (4387 n + 281 n - 1236)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n)), 6800 (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) 2 (-11 + n) (-12 + n) (n + 1) (437 n + 51 n - 134) n/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 6800 (-1 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (359 n + 69 n - 122) n/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 10336 n (-1 + n) (-2 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (347 n + 103 n - 132)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 51680 (-1 + n) (-2 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) 2 (139 n + 61 n - 59) n/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 723520 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (n + 1) (329 n + 207 n - 152) n/(2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 7958720 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (17 n + 15 n - 8)/(729 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4754560 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (271 n + 330 n - 109) n/(2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 950912 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (669 n + 1111 n - 104) n/(2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 47545600 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (37 n + 9) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 + n) (n + 1) n/(2187 (-25 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 6799020800 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) 2 (2 + n) (n + 1) n/(6561 (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 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73262694527402624658302406591543163143747165805504571727460779*n^23+ 341616454757682293473967593656661689634367145186978456359198353*n^22-\ 1443666571346458111382245872943324415232821525884851882859178662*n^21+ 5523801987793642620595085449460655044642797438457012184860080356*n^20-\ 19110146913419901912296713649892619693821821441279507111669571288*n^19+ 59674204783244371929261229630221248620619507377878791500664874240*n^18-\ 167827647782489188362650292881783468889467280254216680748411080128*n^17+ 423982479587979815911321679085124000810378645530198726973488352384*n^16-\ 959097146600833043597397373587038902604006866635882704324548244992*n^15+ 1935376110443903721375188277872261018082298173581452684569983922432*n^14-\ 3468198517507395384825705571145619860319633206555577870574426504704*n^13+ 5489797154133304295692976205124973994101537600692318662610636772352*n^12-\ 7626951954085352596147366815636146314918640599354114817399560083456*n^11+ 9229094932269818267973982043465588184204392867121680753950783954944*n^10-\ 9637052180210008081234103629643628353243814539150407955993938821120*n^9+ 8585183388342812162003116596613696633456089297307313539716533452800*n^8-\ 6432595621761474851441145892761579658075848446765278675869302784000*n^7+ 3980691322172874423543592099538617314751476855030124770758492160000*n^6-\ 1986583102929737096543455613503233435484556745654210178685337600000*n^5+ 773967370865381593320572971315134643346566385886186247815168000000*n^4-\ 224686152960268628755141173314683499550067985066803624673280000000*n^3+ 45222082573353143089602290628737807138095248892372608614400000000*n^2-\ 5557388250335713719257159629846267218588186251089674240000000000*n+ 310241655694852622917620373849655213790641610817536000000000000)/(-35+3*n)^2/(-\ 34+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(-22+3*n)^2/(-16+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-20+3*n) ^2/(-14+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^2/( -10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-25+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-26+3*n )^2/(-29+3*n)^2/(-32+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[13., .6585867481e-4], [14., .4892358700e-3], [15., .1943562670e-2], [16., .\ 5473587640e-2], [17., .1222950292e-1], [18., .2301065703e-1], [19., .3780698341\ e-1], [20., .5554572515e-1], [21., .7416768296e-1], [22., .9102487282e-1], [23. , .1034750834], [24., .1094915873], [25., .1081178921], [26., .9966023933e-1], [27., .8559407943e-1], [28., .6822181079e-1], [29., .5015321931e-1], [30., .\ 3372312737e-1], [31., .2050994577e-1], [32., .1111321630e-1], [33., .5250610852\ e-2], [34., .2093324261e-2], [35., .6666343926e-3], [36., .1524980637e-3], [37. , .1906225796e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 406764363986363605 2 841477912040172689843007590967290 [------------------, --------------------------------------, 16677181699666569 16677181699666569 48188068504225659133761191335762621686761221847 1/2 841477912040172689843007590967290 / 35404253822574430316932455795191649213037904955704686219892497205, 767179618436689848037274062978956575418471391876051061262998963373 ------------------------------------------------------------------] 283234030580595442535459646361533193704303239645637489759139977640 and in floating-point [24.39047384, 3.478793865, .3948257178e-1, 2.708642097] Here is a plot + HHHHH + HH HH 0.1 HH HH + HH H + H HH 0.08 H H + HH HH + H H + HH HH 0.06 H H + H H + HH H + H HH 0.04 H H + HH HH + H H 0.02 HH HH + HH HH + HHH HH + HHH HHHH +********--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--***********- 0 15 20 25 30 35 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 14], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 14, to , 40 The probability distribution is [40 (-13 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)), 2912 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (n + 1)/ (243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n)), 65 (193 n + 98) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (n + 1)/ (243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n)), 640 n (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n + 1) (94 + 179 n)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-16 + 3 n)), 136 n (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) 2 (n + 1) (6087 n + 331 n - 1686)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 544 n (-1 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 2 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (n + 1) (1027 n + 101 n - 306)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 5168 n (-1 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) 2 (-13 + n) (2 n - 3) (n + 1) (859 n + 138 n - 280)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 1033600 (-1 + n) (-2 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) 2 (-13 + n) (2 n - 3) (n + 1) (61 n + 15 n - 22) n/(729 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 1808800 (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) 2 (-13 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (25 n + 9 n - 10) n/(729 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 454784 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) 2 (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (1181 n + 603 n - 518)/( 2187 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2615008 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (1132 n + 801 n - 526) n/(6561 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 7607296 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (2 n - 7) (n + 1) (445 n + 429 n - 202) n/(6561 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 23772800 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (2 n - 9) (n + 1) (229 n + 297 n - 82) n/(6561 (-25 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 95091200 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) (173 n + 299 n - 14) n/(6561 (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 123618560 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (7 n + 2) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 + n) (n + 1) n/(729 (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 6922639360 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 + n) (n + 1) n/(2187 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 8617640 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 + n) ( 5 4 3 2 64165 n - 1482259 n + 13468945 n - 60256605 n + 133065970 n - 116571896 2 2 ) (n + 1) n /(2187 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) 2 (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 172352800 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) 3 2 2 2 (2 + n) (829 n - 12711 n + 64534 n - 110056) (-1 + n) (n + 1) /(2187 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 333933550 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (24869 n - 626634 n + 5910835 n - 24780222 n + 39041640) (-1 + n) 2 2 2 (-2 + n) (n + 1) n /(19683 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 2 17097397760 n (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-11 + n) 3 2 (-12 + n) (-13 + n) (2 + n) (2879 n - 59637 n + 412954 n - 957480) 2 2 2 2 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) /(59049 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-32 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) 2 (-23 + 3 n)), 11754460960 n (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-12 + n) 3 2 2 (-13 + n) (2 + n) (2503 n - 59040 n + 464507 n - 1219890) (-1 + n) 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) /(59049 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-32 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n) (-23 + 3 n)), 799303345280 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-12 + n) 2 2 2 2 (-13 + 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1145190921497411389090796755475738913993130070373885999327772034612*n^28-\ 7600947813926174314168033567416077254881127771298044475608165931364*n^27+ 46113706942180563944502300602408297557642877167449887035140592714796*n^26-\ 255721478391338580593505661510507308575341905396845161245883437287805*n^25+ 1295881241582423810177575370287765521933816033185925964781676621870986*n^24-\ 5997817613604493554659788506166205599201215746126349304870933520863776*n^23+ 25333870890133237459593476085667494269138385229542292370160600717685712*n^22-\ 97547623308571840159878829592941127676143253194434941363534464246128368*n^21+ 341928029084840530508265363714325445606589446872728621474599287168043360*n^20-\ 1089209295369661055814194252861214591025384639163628430423916012845216128*n^19+ 3146655320284316119165474902333229673453702902052561684515784940328790528*n^18-\ 8223956895059549765918513642576623386938635399420328715284923421326154496*n^17+ 19388642027988211705430137770580281918187912198564114866548149532225713664*n^16 -41093278877291965559795131611072521273640518886293672959093682729623449600*n^ 15+77986280558254300054190276892162281999630575563342648870451958917215965184*n ^14-131903394952593519325103496725396134205447237202636840990070486832257142784 *n^13+ 197737599927757933254266925186447094711837006251478646444107175084981526528*n^ 12-261024860901301194629679761102936024997646016908402402110119648916708360192* n^11+ 301056389076781473244713087886262354362544806259020822139426252716670189568*n^ 10-300539543146138789235650330513457839713775064779029248043788576032649379840* n^9+256711664323975335007382577879338579915786708761768625589814161797126553600 *n^8-\ 184952145385517805357819851754921822844050259363122100261461593825476608000*n^7 +110363954790465148490604111145735998294720036950461423975030708733214720000*n^ 6-53258001705096348720587493650396310111158753389003383480309957997363200000*n^ 5+20120571882307696218146067076729238109821839909380361659791374811136000000*n^ 4-5680811637972538980629509533533873986551376378343627541593204981760000000*n^3 +1115488374726543608991243517769190882140496429937930668908268748800000000*n^2-\ 134199140875624612436192357917071967890286707762862187693998080000000000*n+ 7359562484126276156135723872313484170508441592345135153152000000000000)/(-38+3* n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(-22+3*n)^2/(-16+3*n)^2/(-\ 17+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/( -5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-25+3*n)^2/( -28+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-32+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[14., .2508901898e-4], [15., .2029422868e-3], [16., .8742826196e-3], [17., .\ 2661294457e-2], [18., .6410337271e-2], [19., .1297864244e-1], [20., .2291728045\ e-1], [21., .3616489737e-1], [22., .5187587737e-1], [23., .6846166582e-1], [24. , .8384927704e-1], [25., .9588931136e-1], [26., .1028026793], [27., .1035508793 ], [28., .9804412734e-1], [29., .8715033542e-1], [30., .7251246498e-1], [31., .\ 5621086275e-1], [32., .4033487684e-1], [33., .2656388120e-1], [34., .1587754735\ e-1], [35., .8483249428e-2], [36., .3964949656e-2], [37., .1568551512e-2], [38. , .4970710695e-3], [39., .1134456495e-3], [40., .1418070619e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 12002721172780987904 8 42883251707366346962103754398373514 [--------------------, ----------------------------------------, 450283905890997363 450283905890997363 3025945866158925678812254246565630093821196471096447 1/2 42883251707366346962103754398373514 / 29423572431957419389201830245231394467031425762648172573513098507331136, 639326627236160556998460911341827162604220379297811969770752987417561169 ------------------------------------------------------------------------] 235388579455659355113614641961851155736251406101185380588104788058649088 and in floating-point [26.65589646, 3.679149343, .2129656735e-1, 2.716047774] Here is a plot + HHHHHH 0.1 HHH HH + H HH + HH HH + H H 0.08 HH HH + H H + H H 0.06 HH HH + H H + H H + H H 0.04 HH H + H H + H HH + H HH 0.02 HH HH + H HH + HHHH H + HHH HHHH +**********--+--+-+--+--+--+--+-+--+--+--+--+-+--+--+--+--+-+--+-***********- 0 15 20 25 30 35 40 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 15], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 15, to , 43 The probability distribution is [136 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)) , 1190 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (n + 1)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n)) , 112 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (148 n + 75) (n + 1)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n)), 7072 n (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n + 1) (12 + 23 n)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 85 n (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) 2 (-14 + n) (n + 1) (1647 n + 77 n - 450)/(81 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 3230 (n + 1) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-1 + n) n 2 (845 n + 71 n - 246)/(243 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n)), 6460 (-1 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (3587 n + 489 n - 1130) n/(729 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n)), 2584 (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (15107 n + 3129 n - 5210) n/(729 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n)), 99484 n (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) 2 (-14 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (901 n + 271 n - 342)/(729 (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-14 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-16 + 3 n) (-22 + 3 n)), 22881320 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (149 n + 63 n - 62) n/(6561 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2615008 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (853 n + 495 n - 382) n/(6561 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 11886400 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (689 n + 539 n - 318) n/(6561 (-25 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 7726160 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (1829 n + 1903 n - 790) n/(6561 (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1188640 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) (1433 n + 1963 n - 446) n/ (729 (-25 + 3 n) (-26 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 11886400 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (n + 1) (661 n + 1183 n - 6) n/(2187 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 965175680 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (71 n + 23) (2 + n) (n + 1) n/(6561 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 31368209600 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) 2 (2 n - 13) (2 + n) (n + 1) n/(6561 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 66786710 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (2 + n) ( 5 4 3 2 77821 n - 1801955 n + 16428425 n - 73851325 n + 164259474 n - 145472760 2 2 ) (n + 1) n /(6561 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n) (-23 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1068587360 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-12 + n) 5 4 3 (-13 + n) (-14 + n) (2 + n) (106444 n - 3046565 n + 34639130 n 2 2 2 2 - 195955195 n + 553083066 n - 625470840) (-1 + n) (n + 1) n /(59049 (-25 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-32 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-20 + 3 n) (-19 + 3 n) 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596906212592488085834098708316160000000)/(-41+3*n)/(-22+3*n)/(-23+3*n)/(-40+3*n )/(-17+3*n)/(-19+3*n)/(-20+3*n)/(-16+3*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(3*n-4)/(-5+3*n)/(3 *n-7)/(3*n-8)/(-10+3*n)/(-11+3*n)/(-13+3*n)/(-14+3*n)/(-37+3*n)/(-38+3*n)/(-25+ 3*n)/(-28+3*n)/(-31+3*n)/(-34+3*n)/(-26+3*n)/(-29+3*n)/(-32+3*n)/(-35+3*n) and the variance is 34/282429536481*(-14+n)*(n+1)*(65226072898723761274005142605990911327*n^54-\ 24760933205420929920187301798542169051925*n^53+ 4585613013971124379119799344433353536836743*n^52-\ 552139850672788939312831084225723617367866075*n^51+ 48603207799675312443124832424261638702852660820*n^50-\ 3334693365028405416689440242942985293924547803030*n^49+ 185662627247070613177916377216803084031496848620570*n^48-\ 8623226660797016895306014371805711669422133712448530*n^47+ 340880145663158379018204216126161355159944738024733105*n^46-\ 11644059821405212618541284965857970783815888153631502455*n^45+ 347781838940917140631568328373343305832146617199860341685*n^44-\ 9168456219827532030333501665151684236142287617241514783105*n^43+ 214974224001684257582255418899636803702669192493170180262850*n^42-\ 4511287553160124734984733733026896597240655457052038603187780*n^41+ 85172311947691855247493947599003874986415679610585203116609340*n^40-\ 1453010781689455560005319640851262861906489073754952503548291580*n^39+ 22480039052666468140418797857515416364966025482960574231024485985*n^38-\ 316385180286932931961274038002549940762942033053523816189014991155*n^37+ 4061118407631469571798155885101215990931562521540895272762451467905*n^36-\ 47645493753710200251289601021883141916138474214682400502093493586605*n^35+ 511824268549433752629022644011569797324976953169691484199447632720336*n^34-\ 5041703004381914983857555405471777784017764969415136151331637165537830*n^33+ 45592986932670062159395298940612534993009212044185379015105800441713514*n^32-\ 378855851726963227740495137463794396393381935550630621038750461234800130*n^31+ 2894597097188438706299579478671774551913883730605993665364607756824234255*n^30-\ 20343327788931724197252700335042727887315257656674621858729563951146893345*n^29 +131540735997788263312174703980804180805025452666825799309219319481761021155*n^ 28-782516394824920566949477572768174302424086105687963247565007513720385187095* n^27+ 4281729033527233026623381374918495094631837916033503897577928335377904733370*n^ 26-\ 21539819406250159900496315132058970609560694721712834710638051509848194549920*n ^25+ 99557031887085452294593445730719068603246204302489744602646507786767766663840*n ^24-\ 422396958891190918848025254616128977687605678041003190749516108972767333453520* n^23+16432279901237352055651054186719210673530948015511727511318088954730293313\ 40000*n^22-58533293700621402961263440934100680335140906258791828248986887264395\ 25422766720*n^21+19059787332141529267829128331824123293545285061579442567131284\ 764865752116130560*n^20-5662337144744440153456027069249761067481823427674269173\ 5499595907132625864945920*n^19+153124706709634709710848221013684421082201093261\ 933108867596724828086351966615040*n^18-3759367739011082133231087338375841118152\ 16130965384496719363115961815598825246720*n^17+83535075281955764094066365319532\ 9316254923211593649095152592916995700121083576320*n^16-167401746087260376042076\ 7752934607226313450682329412015220948053939459971588075520*n^15+301295431702712\ 6321810893430576454712985192580066294943374478156063128077529587712*n^14-484703\ 6077673647521111928631916790501585799300845013539345533248246012694223749120*n^ 13+6930513443261019184611949868792793269460709070098017485073078264236337195534\ 778368*n^12-8749406213865703681075735125754653497384540592717104200726672469151\ 733249914961920*n^11+9675872462879051000262697041467244853736826421296545393306\ 560462065255350481715200*n^10-9284973713513954844451034958875124425297737158277\ 943649924093293604139271454720000*n^9+76423194935660481766718667932926715840799\ 95282059657359845200156621903484682240000*n^8-531842875680873773471252613074007\ 8306927252237679298822528402300553471302041600000*n^7+3072762826316680758660171\ 817672085300729749340413620397324593166113891680256000000*n^6-14391306781759478\ 57304952864607166307974518983727018676676346113347393945600000000*n^5+528963157\ 283896657202960889927530043116230113930221285455921304233102540800000000*n^4-14\ 5669182923370061684817874516882964711533722685251689169003659596398592000000000 *n^3+27975491142687290314048482558573581765640520981246582937486882682961920000\ 000000*n^2-33014887142668242976707953367252617932021240198438404616587281694720\ 00000000000*n+ 178148513315754291145883786342769123224995540560943279571258572800000000000000) /(-41+3*n)^2/(-22+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-20+3 *n)^2/(-16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-5+3*n)^2/(3*n-7)^2/(3*n-8)^ 2/(-10+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-25+ 3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-32+3*n)^2/ (-35+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[15., .9478073835e-5], [16., .8293314606e-4], [17., .3850699801e-3], [18., .\ 1259530701e-2], [19., .3252164085e-2], [20., .7044929418e-2], [21., .1329134087\ e-1], [22., .2239111084e-1], [23., .3427612137e-1], [24., .4828555430e-1], [25. , .6318324498e-1], [26., .7732646948e-1], [27., .8894975640e-1], [28., .\ 9649535335e-1], [29., .9891203934e-1], [30., .9585605802e-1], [31., .8775554608\ e-1], [32., .7573043831e-1], [33., .6138341807e-1], [34., .4649717221e-1], [35. , .3269735492e-1], [36., .2116319110e-1], [37., .1246671671e-1], [38., .\ 6582833082e-2], [39., .3048851830e-2], [40., .1198269673e-2], [41., .3781521650\ e-3], [42., .8613465980e-4], [43., .1076683247e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 351897410861791403381 2217686478556607883316174848603690985118 [---------------------, -------------------------------------------, 12157665459056928801 12157665459056928801 15817893712441795955968407601927439107836356934868386091 1/2 2217686478556607883316174848603690985118 /1446509799168472952078464075\ 48056408016224532180088114284404430283551214631586, 393928978837460518212\ / 315648892366187449142316436179282183680775643466664268569 / 1446509799\ / 16847295207846407548056408016224532180088114284404430283551214631586] and in floating-point [28.94448873, 3.873467224, .5149645665e-2, 2.723306673] Here is a plot 0.1 HHHHHH + HH H + H HH + HH HH 0.08 HH H + H H + HH H + H H 0.06 H HH + H H + H H + H HH 0.04 HH H + H HH + HH H + H HH 0.02 HHH HH + HH H + HH HHH + HHHHH HHHH +***********+--+-+--+-+--+--+-+--+-+--+--+-+--+-+--+--+-+--+-+--+***********- 0 15 20 25 30 35 40 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 16], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 16, to , 46 The probability distribution is [17 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n)/(81 (3 n - 8) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 160 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (n + 1)/(27 (3 n - 8) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 85 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (253 n + 128) (n + 1)/(243 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 952 (n + 1) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) n (41 + 79 n)/(243 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-17 + 3 n)), 19 (n + 1) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) n 2 (10903 n + 443 n - 2946)/(81 (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-11 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 8) (3 n - 7) (-5 + 3 n) (3 n - 4) (-2 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (-19 + 3 n) (-17 + 3 n)), 152 n (-1 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) 2 (n + 1) (9431 n + 685 n - 2694)/(81 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 13300 n (-1 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-15 + n) (2 n - 3) (n + 1) (973 n + 114 n - 298)/(729 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 83600 (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (277 n + 49 n - 92) n/(243 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 19228 n (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) 2 (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (8807 n + 2247 n - 3194)/( 729 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 307648 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (823 n + 293 n - 326)/(729 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2691920 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (196 n + 95 n - 84) n/(729 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 18179200 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (1019 n + 660 n - 461)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2272400 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) (1663 n + 1419 n - 754)/(2187 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1957760 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (2 n - 9) (n + 1) (2233 n + 2483 n - 906) n/(729 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4055360 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (n + 1) (1773 n + 2548 n - 466)/(729 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 16221440 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (2 n - 9) (2 n - 11) (n + 1) (4153 n + 7665 n + 248)/(6561 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 628580800 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) (53 n + 19) (2 + n) (n + 1) n/(2187 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 281604198400 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (2 n - 13) (2 + n) (n + 1) /(6561 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) 2 (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 43214930 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 + n) 6 5 4 3 2 (1114093 n - 34207683 n + 430303465 n - 2840670525 n + 10397647042 n 2 - 20072005272 n + 16052950080) (n + 1) /(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) 2 (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5877230480 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 + n) 4 3 2 2 2 (2299 n - 51498 n + 428861 n - 1585422 n + 2218680) (-1 + n) (n + 1) /( 6561 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) 2 (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5142576670 n (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-12 + n) (-13 + n) 5 4 3 (-14 + n) (-15 + n) (2 + n) (168749 n - 5750075 n + 78185905 n 2 2 2 2 - 531210325 n + 1807340346 n - 2470100040) (-1 + n) (-2 + n) (n + 1) /( 59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n)), 29386152400 n (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (21937 n - 652174 n + 7287143 n - 36335786 n + 68364840) (-1 + n) 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) /(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 12355541350 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (36067 n - 1215954 n + 15389213 n - 86739006 n + 183905640) (-1 + n) 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) n /(19683 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) 2 (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3756084570400 n (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) 3 2 2 2 2 (2 + n) (227 n - 6142 n + 55571 n - 168276) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) 2 2 2 (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) /(19683 (-38 + 3 n) 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1) n /(59049 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n)), 9624966711650 n (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-14 + n) 2 2 2 (-15 + n) (2 + n) (1003 n - 22723 n + 128724) (-1 + n) (-2 + n) 2 2 2 2 2 2 2 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (n + 1) /( 177147 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 538998135852400 2 2 n (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-15 + n) (7 n - 83) (2 + n) (-1 + n) 2 2 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + 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104297333409211055303740579565198874972405*n^16-\ 658659361052575062237232513099166693944815*n^15+ 3571050978724367237646225439123781889420090*n^14-\ 16585028984973641032921450440113831222199180*n^13+ 65745534440157374365954948145824076579377640*n^12-\ 221326208696233652472858058485847966467130320*n^11+ 628403187159519115478713928186256989603599072*n^10-\ 1491348223285258597464582582094977099651193152*n^9+ 2924028208141345461949127118915091088080358016*n^8-\ 4664799966244989316248549114205010683088867328*n^7+ 5934750774462800660793977259675092610424860672*n^6-\ 5859979936017156322173044874802042348432343040*n^5+ 4323354529003052635332579755944607822548992000*n^4-\ 2253785417906339730018261496699794831114240000*n^3+ 759776244247731336769724560745622534881280000*n^2-\ 141369585380609104442395143684032141721600000*n+ 10164118988024887125583032805207572480000000)/(-22+3*n)/(-1+3*n)/(-16+3*n)/(3*n -4)/(-10+3*n)/(-2+3*n)/(-5+3*n)/(-13+3*n)/(-19+3*n)/(-23+3*n)/(3*n-7)/(-11+3*n) /(-14+3*n)/(-17+3*n)/(3*n-8)/(-25+3*n)/(-32+3*n)/(-20+3*n)/(-29+3*n)/(-26+3*n)/ (-28+3*n)/(-35+3*n)/(-37+3*n)/(-34+3*n)/(-31+3*n)/(-38+3*n)/(-40+3*n)/(-43+3*n) /(-41+3*n)/(-44+3*n) and the variance is 8/282429536481*(-15+n)*(n+1)*(24696244160308774057955021068454544022129*n^58-\ 10792312335690236284307267989353872014775662*n^57+ 2304731714934075280053772983934866007205953604*n^56-\ 320562294204696594120335202275925659316542718644*n^55+ 32655945194533293499658738278763003873422289783043*n^54-\ 2597832613810856279844457050459027049073577940315734*n^53+ 168032665709663770440778027696755632218750982309292774*n^52-\ 9085377531519737727110901500856674632462189782041159460*n^51+ 418991101639946399466871692206481594617385428373799535145*n^50-\ 16734069660853711484362043415518181547396055758269409737510*n^49+ 585737161259657632385718368472915885482743009103278400740920*n^48-\ 18140056522167086876878001183611434631432611441116036614249620*n^47+ 500920828457332722262014456402325977361967235363781404425652675*n^46-\ 12412698715436461838967068234343236292796770864799223773310117550*n^45+ 277486710891866406320671659881302138762669232684437479626533572930*n^44-\ 5621363315381160404938598852592577779004107218570743180542086529060*n^43+ 103588115189941890522740684325985029532216796048267152037915454370875*n^42-\ 1741984973454980293716451414947630724498411019365756788006167998221450*n^41+ 26806115220101438406757008503417206794242743976007244772450832324248740*n^40-\ 378345971827913159840492132953185541394056059646171478125559927744825980*n^39+ 4907572980501488747004031225562819913907043889247163588881434945307990817*n^38-\ 58598747370114462545208365825931469921739077619668377376201006016268162626*n^37 +644993280394524065468302816789519400803624532071838031546950918085056133162*n^ 36-6551799145953872084223741234007161856899163889923571411183178157702369506252 *n^35+ 61475077453832692928041293184900581547542747182704487634164942894395029777819*n ^34-\ 533180378525725860963744234685225496150140847111122115953297008501339035933922* n^33+42766515564009805223166160908142063545027387248746686592019881764054461395\ 63392*n^32-31734031433228949952994294983144679138594571437426547241125620068450\ 118522089980*n^31+2178699675052857415391620205759311090257631861545283415813836\ 88760891996042721305*n^30-13838953336482921134062343806129431555632569990179612\ 53689545015052563795101272890*n^29+81311257786773521380233717788071989647457392\ 25862509948649718057143170526330126830*n^28-44174543667606405803870475806616734\ 414953663846354044248846624628922013418544121580*n^27+2217804203867333354411072\ 37468676775947011777670507704383745521211366538247291110800*n^26-10282079256837\ 90962281015206973982031841905739701007621203005563616107379820207600000*n^25+43\ 9784447455235481158295466237581955242731551559098704442867235234239198981355541\ 0720*n^24-173343494849911874907359492828440410573425764014311231222590065983792\ 46650398202072640*n^23+62877974207023151684191668104798891022445081202293434828\ 291795339718151678565738227200*n^22-2095688195940067041052793190808409264295078\ 38911259808021319254973287973215794930982400*n^21+64061248987800346216114143445\ 0952262581275023475686446832378163335995782131845911093760*n^20-179219776226630\ 6889236486388423645499146517064222216476449516340005499563559518297912320*n^19+ 4577647520999312716519265134092019024584483434825355634693542140915280339452197\ 780475904*n^18-1064518678563515409233104056766397219051349120155179273874138396\ 4185655317252345533120512*n^17+224661675981749017507150853111547304361535789793\ 21429930347554054011960001558703835766784*n^16-42871884298761808381729581769735\ 771130126995532664957126640917334481395437980081567023104*n^15+7366199653590913\ 4030230313340589483348679809669905239616329322641192439824675714582642688*n^14-\ 1133994091561275529635220260002617893348767866856916223596568020829524326215769\ 17916319744*n^13+15552216984542656140619411343791738715786243523199117642866215\ 3417697421521919625615376384*n^12-188744458971256715636811355390620608153062922\ 337108634566061396654041814916952900878991360*n^11+2010956711005325704377807018\ 75893617297572185053867701666515318519836400022762154465689600*n^10-18630942570\ 8145410016230635928339290967018387034593138040372535954328860682208348733440000 *n^9+14836349049674834100857915867321436133630968286261671339228294751014755241\ 0398852382720000*n^8-1000983243982268476299379503043291421299780886243345750406\ 24842335089880383229840588800000*n^7+561828560309511731989974303099268510309822\ 27734066329037276457223265420083617333248000000*n^6-256154976857751888411371475\ 66373181522146076759702059574899026592680155526306201600000000*n^5+918490592115\ 0068340114001739996961098899138337293420465184191928323979570734694400000000*n^ 4-24730195174973447277180021113410003715086201169050870308943054205409589733621\ 76000000000*n^3+465464684254192977520864791482952513580297677873440514801247553\ 541886244290560000000000*n^2-53976618619854556406451175496768451894377419267992\ 899645399441200713302016000000000000*n+2869703188964668209871975221697060308240\ 361965179468087654263864845926400000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-16+3*n) ^2/(3*n-4)^2/(-10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-23+3*n )^2/(3*n-7)^2/(-11+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3*n)^2/(-32+3* n)^2/(-20+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-\ 34+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-41+3*n)^2/(-44+3*n) ^2 as n goes to infinity, the distribution is [[16., .3554277688e-5], [17., .3345202530e-4], [18., .1665244917e-3], [19., .\ 5823749812e-3], [20., .1604125279e-2], [21., .3700145038e-2], [22., .7422827747\ e-2], [23., .1328284020e-1], [24., .2158512149e-1], [25., .3227351876e-1], [26. , .4483522452e-1], [27., .5830238431e-1], [28., .7136177511e-1], [29., .\ 8255374674e-1], [30., .9051811563e-1], [31., .9423368658e-1], [32., .9320126839\ e-1], [33., .8753494390e-1], [34., .7794645406e-1], [35., .6562571557e-1], [36. , .5203545096e-1], [37., .3865425447e-1], [38., .2672078040e-1], [39., .\ 1704187220e-1], [40., .9915545991e-2], [41., .5183465191e-2], [42., .2382161685\ e-2], [43., .9310143375e-3], [44., .2927628418e-3], [45., .6657139556e-4], [46. , .8321424445e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 3419801475363033649946 2 49392488320617548115910042136909088044258 [----------------------, ----------------------------------------------, - 109418989131512359209 109418989131512359209 51079705251980894290481102813238760571935790228196518019161 1/2 49392488320617548115910042136909088044258 /121980895125117044930231544\ 5255721993546997775660135594147691833391194417683385282, 3330513579819468\ / 037361317718928545553024313991000351103645702142504844067858346677 / 1\ / 219808951251170449302315445255721993546997775660135594147691833391194417\ 683385282] and in floating-point [31.25418634, 4.062260317, -.9306513665e-2, 2.730356730] Here is a plot + HHHHHH + HH HH + HH H 0.08 H HH + HH H + H H + HH H 0.06 H H + H HH + H H + HH H + H H 0.04 HH H + H H + H HH + HH H 0.02 H H + H HH + HHH HHH + HHHH HHH +************-+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--***********- 0 20 25 30 35 40 45 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 17], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 17, to , 49 The probability distribution is [19 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n)/(81 (3 n - 8) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 5168 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n + 1)/(729 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 16 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (572 n + 289) (n + 1)/(243 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 380 n (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (139 + 269 n) (n + 1)/(243 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 950 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-15 + n) (-16 + n) (n + 1) (8501 n + 303 n - 2276) n/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 532 (-1 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) 2 (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n + 1) (37133 n + 2355 n - 10442) n/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 5852 n (-1 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (10757 n + 1095 n - 3218)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 38456 (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) 2 (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (n + 1) (27887 n + 4263 n - 8972) n/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1922800 (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) 2 (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (479 n + 105 n - 167) n/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 19228000 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (227 n + 69 n - 86)/(6561 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 9998560 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (961 n + 395 n - 394) n/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1817920 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) 2 (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (807 n + 440 n - 353) n/( 729 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 6362720 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (79 n - 32) (17 n + 19) (n + 1)/(2187 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 141937600 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (2 n - 9) (n + 1) (1991 n + 1833 n - 878) n/(19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 101384000 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (2 n - 9) (2 n - 11) (n + 1) (1621 n + 1911 n - 610) n/(19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 251432320 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (n + 1) 2 (2171 n + 3255 n - 464) n/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1005729280 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) (n + 1) 2 (2578 n + 4890 n + 323)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 44252088320 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) (59 n + 23) (2 + n) (n + 1)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3761427507200 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 15) (2 + n) 2 (n + 1) n/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n)), 30250451000 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) 6 5 4 3 (-16 + n) (2 + n) (131071 n - 4030344 n + 50800372 n - 336318354 n 2 2 + 1236141637 n - 2401181622 n + 1938781080) (n + 1) /(177147 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) 2 (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 605009020 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-13 + n) 6 5 (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 + n) (1900351 n - 70952277 n 4 3 2 + 1095173695 n - 8959670115 n + 41070750154 n - 100348293168 n 2 2 + 102554845920) (-1 + n) (n + 1) /(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 6395809640 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) 5 4 3 2 (-16 + n) (2 + n) (444629 n - 15226625 n + 208379005 n - 1427631775 n 2 2 2 2 + 4910385366 n - 6807174840) (-1 + n) (-2 + n) (n + 1) n /(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 11047307560 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) 5 (-9 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 + n) (5408374 n 4 3 2 - 213479265 n + 3370006960 n - 26632101735 n + 105535994866 n 2 2 2 2 2 - 168092328840) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) n /(531441 (-31 + 3 n) (-38 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1436149982800 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (30392 n - 1034029 n + 13232188 n - 75585731 n + 162871140) (-1 + n) 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) n /(531441 (-31 + 3 n) (-38 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1795187478500 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (49687 n - 1884114 n + 26830913 n - 170189286 n + 406029960) (-1 + n) 2 2 2 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) n /(531441 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) 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00274394681585749042491107776360321560395172765090400*n^25+22587367948896053041\ 1557446874516341392942177459365089983733100784717367784924456266434516160*n^24-\ 8355338637309252715962079585292637721101290001931707398557866291567656146984263\ 28273895241600*n^23+28527598685833239651546202243489741100813975961670032235956\ 89345264119249363883404619945971968*n^22-89747424957020012790508836397511070183\ 04957435903062945670940867991303938333028476601707543040*n^21+25964619488481208\ 988694852725693367894603690080060642111874826443165796322224889951189194068992* n^20-68924713913007202240804690916200777775245264214184622824562423817258542765\ 283577342785368074240*n^19+1674549534313339216319967510921363189239883274952221\ 78449648974555284264452832675651553090801664*n^18-37127562324016351410104901581\ 1501776187456060399630165163982703579820582387379056155381150720000*n^17+748757\ 0371268922862475768720452428190227862499709453478050696592344242829026101662526\ 09455538176*n^16-13683535581066991797661264439704997762548107175925356234123502\ 58180545672608622493365841242849280*n^15+22562912209008568860006795018429765855\ 19862493272349828114423623229876121385995973702990448427008*n^14-33401857309573\ 7757640157748027657097665552935379623236375668265365305036617074073327590571769\ 8560*n^13+441383192140110718915008153315935925960241330834945700279252395385738\ 8413891994499877585857544192*n^12-517122303627603850883848590923124760736335168\ 7030783341518878412025619249483252011772684827361280*n^11+532879491214172395423\ 0892881460827569544095334969988673884286583229542623943759286952214187212800*n^ 10-4783694050431176713818611747675636617001302810351878395364610036210804794242\ 315648976939909120000*n^9+36977763669528043445465304750136787506801696704566039\ 07285672328075796212558177481371114536960000*n^8-242605795454334273527943408140\ 8004127221057803814814507755745368796431342657421718845810278400000*n^7+1326522\ 4703706863557914315859190166100014174198992572245412685163153484284498599309727\ 49824000000*n^6-590249000124815896105270431369740668575603690088486260461857097\ 423742411340752070115328000000000*n^5+20693664257444429802539352713797449820362\ 8491132030945216628947563810681660926476890931200000000*n^4-5458484958529255781\ 6714248079410052586883515494079693367787347098490671790026116825088000000000*n^ 3+10086351300300733790294831133491801079538862746215814427551424865305166358040\ 260116480000000000*n^2-11509788320352387586599643394833347829264971962465080345\ 02389945526353689363611648000000000000*n+60361618107595349663931694266747692835\ 437981131057519343592376251027970798387200000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/ (-16+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n)^2 /(-23+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-11+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3*n)^ 2/(-32+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+ 3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/ (-46+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-41+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[17., .1324142668e-5], [18., .1333951132e-4], [19., .7086873508e-4], [20., .\ 2638476872e-3], [21., .7720532800e-3], [22., .1888536230e-2], [23., .4011971857\ e-2], [24., .7594265709e-2], [25., .1304426175e-1], [26., .2060575795e-1], [27. , .3024114350e-1], [28., .4155546784e-1], [29., .5378809764e-1], [30., .\ 6588284021e-1], [31., .7662774197e-1], [32., .8483855500e-1], [33., .8954963705\ e-1], [34., .9017488665e-1], [35., .8660864820e-1], [36., .7924913882e-1], [37. , .6894027521e-1], [38., .5683938881e-1], [39., .4422985158e-1], [40., .\ 3231107434e-1], [41., .2201018293e-1], [42., .1386094940e-1], [43., .7979427457\ e-2], [44., .4135436452e-2], [45., .1887821193e-2], [46., .7342433334e-3], [47. , .2301716879e-3], [48., .5226120450e-4], [49., .6532650563e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 297645952509833391562753 2 354037999046719302005675760649465471091299574 [------------------------, --------------------------------------------------, 8862938119652501095929 8862938119652501095929 - 1958391592960387380488301849476095863889198389616697361613589216 1/2 354037999046719302005675760649465471091299574 /16492487469605897025751\ 96829818117510016690739486161334823189514211791614057293687007651, 361141\ 268750756298762658519230814685473458782921279401592745491791972368304538\ / 67470611041 / 13193989975684717620601574638544940080133525915889290678\ / 585516113694332912458349496061208] and in floating-point [33.58321456, 4.245972894, -.2234283674e-1, 2.737164947] Here is a plot + HHHHH + H HH 0.08 H HH + HH H + H HH + HH H + H HH 0.06 HH H + H H + H H + H H 0.04 HH H + H H + HH H + H H + HH H 0.02 H H + HH HH + HHH HH + HHHH HHHH +*************-+-+--+-+-+--+-+-+-+--+-+-+--+-+-+-+--+-+-+--+-+-+-***********- 0 20 25 30 35 40 45 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 18], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 18, to , 52 The probability distribution is [190 (n - 17) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(729 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 680 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (n + 1)/(243 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 323 (107 n + 54) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (n + 1)/(729 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 12160 (101 n + 52) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (n + 1) n/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 70 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (n + 1) (54341 n + 1713 n - 14438) n/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 3080 n (-1 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (n + 1) (9577 n + 535 n - 2658)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 35420 (-1 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (2 n - 3) (n + 1) 2 (8401 n + 750 n - 2464) n/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 16192 (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (2 n - 3) 2 (n + 1) (36667 n + 4893 n - 11482) n/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 101200 n (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (15919 n + 3031 n - 5364)/(6561 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5262400 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) 2 (1527 n + 401 n - 556) n/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1315600 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) 2 (n - 17) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (524 n + 185 n - 206) n/( 729 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 13395200 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (2009 n + 935 n - 846)/(6561 (-28 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9759042402771901349246745980845254586540247494813974271391273210898568799803033\ 83082759979008*n^24-17079843234799083354448359442126596970137809586656042965371\ 67807640285076292333270860864170333793306624*n^23+55299353352123082135677327515\ 13111738380459362984553618538443338687690348635212068382714403710944436224*n^22 -165355149993836750923173445734363023364460173896387760542465100429987709721356\ 55210420956756245756100608*n^21+45570452842419884747660960305359452626649817872\ 033635314836570418184792130145560384310426783195922366464*n^20-1154805441908758\ 1753028315089659772156187852247277941521485458395630600666303771381028583460817\ 0790879232*n^19+268383701114589299038746739721059925527343039008668167425616216\ 623569244535548797268062608577641354625024*n^18-5703460755790806603420744889510\ 07744735969091172867148394488461230906132576187448519819760857684987805696*n^17 +110457904760436665335653038683947497189697353244040295292955838178879446291764\ 8564255716415281995087085568*n^16-194209706851996646334700226363256800320249090\ 3334910516293599728127043147033191071695758312424445190078464*n^15+308647415190\ 0449384159520522378918849637964231938045434437750487689078672695324582513122788\ 774795019288576*n^14-4411525925641433901001139494779587771368689441730981942723\ 574030721401994427358040514794747991522478653440*n^13+5637942928076204108285035\ 3848357194754915758596672696393022222519670356326617813622960910791582326718464\ 00*n^12-63988709037942160606388677807330641145149477075058794977393661685238761\ 30592811888264405375744800194560000*n^11+63980570690659166791491176156404032037\ 04392843001776071872632794069114548860916412265346563914470522880000*n^10-55819\ 2134651327511217820770829448890257148421659370099643950890814468624696138878452\ 2363721212965683200000*n^9+4199971747772547219473862663084235998126936715188539\ 915541926741461721920708465618668401342715789312000000*n^8-26864150496543275755\ 7719625120518992111222987283902464171196306402857317639465665442892790135521280\ 0000000*n^7+1434287787727602336742745918165805093853703172637349695145552567041\ 742882483631631869815484422553600000000*n^6-62416799851028789146875297743186616\ 7682175260728890261397164829614622220799264320018193605197824000000000*n^5+2143\ 7123364202170173270809880945524294760989753255137313218140649200312565872132914\ 9775173386240000000000*n^4-5549112254257536679056023234363872993823371591498518\ 4071764077887108374719029193908946993152000000000000*n^3+1008164534721065936838\ 1499478954265069133372001872707783370748902036636139886689624313036800000000000\ 000*n^2-11334894813987149081639726224726746776635971255132178115515394037145504\ 79355084181340160000000000000000*n+58695939255916255989955499163456790251644070\ 041745987097305944628380853944205705216000000000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n) ^2/(-16+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n )^2/(-23+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-11+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3* n)^2/(-32+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-\ 37+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(-38+3*n) ^2/(-41+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-31+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[18., .4904232104e-6], [19., .5265596575e-5], [20., .2973599399e-4], [21., .\ 1174109493e-3], [22., .3636464206e-3], [23., .9399669854e-3], [24., .2107169269\ e-2], [25., .4204319926e-2], [26., .7605450053e-2], [27., .1264533275e-1], [28. , .1952697749e-1], [29., .2823223424e-1], [30., .3845984162e-1], [31., .\ 4961110752e-1], [32., .6083328955e-1], [33., .7111757138e-1], [34., .7943595055\ e-1], [35., .8489256353e-1], [36., .8686188986e-1], [37., .8508919823e-1], [38. , .7973608995e-1], [39., .7136333858e-1], [40., .6085215031e-1], [41., .\ 4927348190e-1], [42., .3772462671e-1], [43., .2716243137e-1], [44., .1826865334\ e-1], [45., .1137892246e-1], [46., .6490281685e-2], [47., .3338455107e-2], [48. , .1515116499e-2], [49., .5867924716e-3], [50., .1834490527e-3], [51., .\ 4159842464e-4], [52., .5199803080e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 25794099367138775065569940 [--------------------------, 717897987691852588770249 1/2 8 157677833557282202189116915200146102393289173870 -----------------------------------------------------, - 717897987691852588770249 13693873989066274611103555878790466830047296605412465205093866152384703 1/2 157677833557282202189116915200146102393289173870 /15911871485003513172\ 389808397798005330991673790772621441224522440711050542360245608542138097\ 2160, 3492612880645554622275988566243142729611615890925078856573615941508\ / 008996572584542009820326837117 / 1272949718800281053791184671823840426\ / 479333903261809715297961795256884043388819648683371047777280] and in floating-point [35.93003436, 4.424992848, -.3417357286e-1, 2.743716291] Here is a plot + HHHHH + H HH 0.08 HH HH + H H + HH H + H H 0.06 H H + HH HH + H H + H H + H H 0.04 H H + HH H + H HH + HH HH 0.02 H H + HH HH + HH H + HH HH + HHHH HHH +**************--+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+--+-+***********- 0 20 25 30 35 40 45 50 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 19], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 19, to , 55 The probability distribution is [70 (n - 17) (-18 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(729 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 266 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (n + 1)/(81 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 20 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (716 n + 361) (n + 1)/(243 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 4760 n (113 n + 58) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 77 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) 2 (n + 1) (22827 n + 641 n - 6026) n/(729 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3542 n (-1 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (n + 1) 2 (12161 n + 603 n - 3338)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 14168 n (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (3585 n + 283 n - 1034)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 708400 (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (451 n + 53 n - 138) n/(2187 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4604600 n (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) 2 (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (593 n + 99 n - 194)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 263120 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (n + 1) (18103 n + 4149 n - 6364)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3683680 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (349 n + 107 n - 132) n/(729 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 19423040 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (n + 1) (301 n + 121 n - 122)/(729 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 24278800 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (2 n - 9) (n + 1) (4643 n + 2409 n - 1994)/(19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 115791200 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) (1317 n + 871 n - 586) n/(6561 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 370531840 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (n + 1) (2383 n + 1989 n - 1054)/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 8151700480 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) 2 (n + 1) (133 n + 139 n - 54)/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 9898493440 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) 2 (n + 1) (193 n + 251 n - 60) n/(19683 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 203792512000 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (2 n - 13) (n + 1) (95 n + 153 n - 11)/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 407585024000 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 15) (n + 1) 2 (77 n + 153 n + 19)/(177147 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1206451671040 (9 n + 4) (2 n - 7) (2 n - 15) (-18 + n) (2 n - 9) (n - 17) (2 n - 5) (2 n - 13) (2 n - 11) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 n - 3) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (-3 + n) (n + 1)/( 19683 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 48710486218240 (2 n - 17) (2 n - 7) (2 n - 15) (-18 + n) (2 n - 9) (n - 17) (2 n - 5) (2 n - 13) (2 n - 11) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 n - 3) (-5 + n) (-8 + n) 2 n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (-3 + n) (n + 1) /(59049 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-22 + 3 n)), 15316280980 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 7 6 5 4 (-18 + n) (2 + n) (779149 n - 30641540 n + 507972046 n - 4604009460 n 3 2 + 24670629761 n - 78354411640 n + 137182229444 n - 102896848560) 2 (n + 1) /(59049 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 27847783600 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) 7 6 5 (n - 17) (-18 + n) (2 + n) (1179622 n - 55461447 n + 1107890881 n 4 3 2 - 12203952405 n + 80209542013 n - 315377848668 n + 689473394004 n 2 2 2 - 649812314160) (-1 + n) (n + 1) n /(59049 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 326216893600 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 6 5 4 3 (-18 + n) (2 + n) (265266 n - 11684959 n + 213962875 n - 2088565215 n 2 2 2 + 11491049459 n - 33895124186 n + 42044091240) (-1 + n) (-2 + n) 2 2 (n + 1) n /(59049 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 228351825520 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 6 (-10 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 + n) (2858237 n 5 4 3 2 - 144098463 n + 3024420650 n - 33872456055 n + 213855088313 n 2 2 2 2 - 723113425002 n + 1025457700680) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) 2 n /(531441 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) 2 (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 9819128497360 n (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-15 + n) 5 4 3 (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (2 + n) (52983 n - 2389925 n + 43223325 n 2 2 2 2 - 392348095 n + 1790472912 n - 3292440480) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) 2 2 (-4 + n) (n + 1) /(177147 (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 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7760728632238180052365021358256026749614367251377542166353836913157200889036800 *n^23+2352719836043901672779137078801766140032322187259932082788522222612160469\ 16506139694118443370192662038079406080*n^22-67242454058527581597508882063453038\ 9622778768800787425406413778372133274470841940279665666802112711173023334400*n^ 21+1774595469605386745693775290943750028125555055043293815482568010146442264726\ 562957619418276762314746846609866752*n^20-4314205754378773910318312969776258135\ 267747985545993640044799610966325471407015610709198641847327315090846318592*n^ 19+9635703490062363714603617829966568601889286282566550017625066540613005986799\ 779602532088874381761727183491694592*n^18-1971222888126101941177037267319037193\ 7079029254028306250046440347707521104764694244982071073552485060997902761984*n^ 17+3681088205020155258289781838531099296146483964736958439617886193399586596970\ 0074571651401677708956170701906116608*n^16-625063291494147833181107369775481571\ 18863551754533022154992943929245185918909075551807333381719091789597583081472*n ^15+960864244465668628564955218416937585855765706447289012606343778791505011858\ 40141654667223684168977850278271254528*n^14-13304247316962321595042799557369683\ 4341220829281317432393112093942546488625130779734545788684507207003020585861120 *n^13+1649548131737605361130224499409778233412782102560913781268650684391078483\ 72052080891626014099105087941860602675200*n^12-18189397556678682087658690935751\ 3456853456437522116904433482677360611949717275122169187337696172948882278318080\ 000*n^11+1769501124339399524662846442773325947537868750291911474699620324723516\ 65149862230554648582375025354465754480640000*n^10-15041226533711473832186755850\ 4135525290511234610731528253063409318330953815563172030384353765015947306441113\ 600000*n^9+11041977321124690227525085272094711590272987854205181598307247862018\ 0354518413971751356874567239629973487616000000*n^8-6900456629715697665519561201\ 4375023292196029967013897387267533489973693053442841021582445335103815444070400\ 000000*n^7+36045675760488772403861405192911572347829693367707205253174181844796\ 535148148577476203504226206116269260800000000*n^6-15369180562737583006826119528\ 5945946323539971934748894670988460620408345021690442899561569699919057387520000\ 00000*n^5+517954418608750624926101172295197558807840462354248730749830181443496\ 9450121967059887808142461181624320000000000*n^4-1317670688585209284389519999876\ 6394605424491390987872868283349368440397620064679649225798850875228160000000000\ 00*n^3+235676009947785263931254770420734340323187586894409254805855599699124816\ 929394086399578946823782400000000000000*n^2-26134913539257033259004299861374758\ 626112842140783244294597276293126108952913418188281589268480000000000000000*n+ 1337481359016375406070767896882017804402434779565809443559368416316620193531869\ 276120547328000000000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-16+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-\ 10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(3*n-7)^2/( -11+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3*n)^2/(-32+3*n)^2/(-20+3*n)^ 2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-52+ 3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/ (-50+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(-41+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[19., .1806822354e-6], [20., .2059777484e-5], [21., .1232080767e-4], [22., .\ 5142082581e-4], [23., .1680324714e-3], [24., .4575399146e-3], [25., .1079043233\ e-2], [26., .2262429093e-2], [27., .4296887380e-2], [28., .7495692820e-2], [29. , .1213852570e-1], [30., .1840013733e-1], [31., .2628025029e-1], [32., .\ 3555207271e-1], [33., .4574468669e-1], [34., .5616825567e-1], [35., .6598211488\ e-1], [36., .7429663448e-1], [37., .8029250323e-1], [38., .8333736180e-1], [39. , .8308014772e-1], [40., .7950760522e-1], [41., .7295365825e-1], [42., .\ 6405902984e-1], [43., .5368494790e-1], [44., .4279167632e-1], [45., .3230040786\ e-1], [46., .2296394350e-1], [47., .1527347716e-1], [48., .9422108862e-2], [49. , .5330739371e-2], [50., .2723952421e-2], [51., .1229890265e-2], [52., .\ 4745504495e-3], [53., .1480028161e-3], [54., .3352200535e-4], [55., .4190250669\ e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 247416152101623441621444403 [---------------------------, 6461081889226673298932241 1/2 2 220801586611389326156324717025019797217303228835531 --------------------------------------------------------, - 6461081889226673298932241 42156462812979484042730740787051394237729124321336014792759236014013759461 1/2 220801586611389326156324717025019797217303228835531 /13929525900030532\ 037534991725181699599008701202072075307000213039659491609283930650503186\ 138928014846, 76612583650057486227771751123995388813606193928574592425353\ / 267614921711806421767643592035939910666861 / 2785905180006106407506998\ / 345036339919801740240414415061400042607931898321856786130100637227785602\ 9692] and in floating-point [38.29330077, 4.599661213, -.4497062499e-1, 2.750006863] Here is a plot + HHHHH 0.08 HH HHH + HH HH + H H + H HH + H HH 0.06 H H + HH H + H H + H H 0.04 H H + HH HH + H H + HH H + HH H 0.02 H HH + HH H + HH HH + HH HHH + HHH HHH +****************-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+***********- 0 20 25 30 35 40 45 50 55 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 20], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 20, to , 58 The probability distribution is [77 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(729 (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 8360 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 133 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (397 n + 200) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 616 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (377 n + 193) (n + 1) n/(729 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1265 n (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (-18 + n) (-19 + n) (n + 1) (17041 n + 429 n - 4474)/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4048 n (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (-18 + n) (-19 + n) (n + 1) (15233 n + 675 n - 4142)/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 50600 (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (n + 1) (4523 n + 318 n - 1286) n/(6561 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 526240 n (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (2867 n + 299 n - 860)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 131560 n (-1 + n) (-2 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (1267 n + 187 n - 404)/( 729 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 36836800 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (n + 1) (223 n + 45 n - 76) n/(6561 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 53413360 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (1172 n + 315 n - 428)/(19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 305219200 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) 2 (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (325 n + 114 n - 127)/( 19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 236544880 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (313 n + 141 n - 130) n/(6561 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 105866240 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (26699 n + 15249 n - 11618)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2911321600 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (n + 1) 2 (653 n + 468 n - 290)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 197969868800 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) 2 (n + 1) (37 n + 33 n - 16) n/(59049 (-34 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 346447270400 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (2 n - 13) (n + 1) (39 n + 43 n - 15)/(59049 (-34 + 3 n) (-31 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 32606801920 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (2 n - 13) (n + 1) 2 (163 n + 221 n - 45)/(19683 (-34 + 3 n) (-31 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 21543779840 (2 n - 15) (2 n - 7) 2 (3778 n + 6273 n - 256) (2 n - 13) (-18 + n) (2 n - 9) (n - 17) (2 n - 5) (2 n - 11) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 n - 3) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/( 177147 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 861751193600 (2 n - 15) (2 n - 7) (2 n - 13) 2 (-18 + n) (2 n - 9) (928 n + 1881 n + 281) (n - 17) (2 n - 5) (2 n - 11) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 n - 3) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/( 531441 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5321313620480 (2 n - 15) (2 n - 17) (79 n + 37) (2 n - 7) (2 n - 13) (-18 + n) (2 n - 9) (n - 17) (2 n - 5) (2 n - 11) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 n - 3) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 425705089638400 (2 n - 15) (2 n - 17) (2 n - 7) (2 n - 13) (-18 + n) (2 n - 9) (n - 17) (2 n - 5) (2 n - 11) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-9 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 n - 3) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (-3 + n) 2 (n + 1) /(177147 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 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3455930883049960425809463206140481288557641333710305617571615574234619328654428\ 6179023572789194915840000000000000000*n^2-3760143731450192346707677213651556615\ 7566834293583829394911924938947709558482507349115149279349964800000000000000000\ 0*n+190318247462594154782245988654723605495248859393096420580723888168189787058\ 81087051484940258508800000000000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-16+3*n)^2/( 3*n-4)^2/(-10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-23+3*n)^2/ (3*n-7)^2/(-11+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3*n)^2/(-32+3*n)^2 /(-20+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-38+3 *n)^2/(-41+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-56+3*n)^2/( -31+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(-52+3*n )^2/(-55+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[20., .6625015299e-7], [21., .7992081948e-6], [22., .5047726303e-5], [23., .\ 2220116238e-4], [24., .7632652473e-4], [25., .2183312155e-3], [26., .5402263112\ e-3], [27., .1187104420e-2], [28., .2360751954e-2], [29., .4308964073e-2], [30. , .7297113648e-2], [31., .1156295434e-1], [32., .1726082246e-1], [33., .\ 2440575885e-1], [34., .3283017450e-1], [35., .4216473662e-1], [36., .5185123017\ e-1], [37., .6118914402e-1], [38., .6941105663e-1], [39., .7577608441e-1], [40. , .7966695771e-1], [41., .8067540021e-1], [42., .7866239018e-1], [43., .\ 7378382357e-1], [44., .6647693068e-1], [45., .5740772057e-1], [46., .4738482403\ e-1], [47., .3725086991e-1], [48., .2776853017e-1], [49., .1952243111e-1], [50. , .1285719730e-1], [51., .7864291647e-2], [52., .4417572854e-2], [53., .\ 2244167242e-2], [54., .1008653197e-2], [55., .3878974905e-3], [56., .1207191264\ e-3], [57., .2731422658e-4], [58., .3414278323e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 7095168695680449193491929302 [----------------------------, 174449211009120179071170507 1/2 4 43281841225851295259979238239253103199090114977156777 ----------------------------------------------------------, - 44919003407\ 174449211009120179071170507 066117158011096558756174539653274857438719011697557063809981581302 1/2 43281841225851295259979238239253103199090114977156777 /170301616354527\ 341198341606923205988120553645295877278351280833412191562859253810097778\ 837494592985184339, 46935800233383834217835486660709177332178106111679559\ / 9984874096372242252320890498653853995852028527773631 / 170301616354527\ / 341198341606923205988120553645295877278351280833412191562859253810097778\ 837494592985184339] and in floating-point [40.67183024, 4.770279716, -.5487369516e-1, 2.756039622] Here is a plot 0.08 HHHHH + HH HH + H H + HH HH + H H 0.06 H H + H H + H HH + HH H + H H 0.04 H HH + H H + H HH + HH H + H H 0.02 HH H + HH H + H HH + HHH HHH + HHH HHHH +****************+-+-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+**********- 0 20 25 30 35 40 45 50 55 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 21], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 21, to , 61 The probability distribution is [253 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 3220 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 220 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (292 n + 147) (n + 1)/( 2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 19228 n (139 n + 71) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (n + 1)/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 92 n (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) 2 (-20 + n) (n + 1) (104809 n + 2379 n - 27388)/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 920 (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) 2 (-19 + n) (-20 + n) (n + 1) (94253 n + 3755 n - 25422) n/(6561 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 59800 n (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (5633 n + 355 n - 1582)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 119600 n (-1 + n) (-2 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) 2 (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) (n + 1) (719 n + 67 n - 212)/(729 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 167440 (-1 + n) (-2 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (n + 1) (4801 n + 631 n - 1497) n/(2187 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1387360 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (29807 n + 5337 n - 9884)/(19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1387360 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) 2 (-20 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (26329 n + 6255 n - 9316)/ (19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 430081600 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (n + 1) (421 n + 130 n - 159) n/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1720326400 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (737 n + 291 n - 296)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 582264320 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (3209 n + 1599 n - 1358)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 9898493440 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) 2 (n + 1) (397 n + 247 n - 174) n/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) 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8097546148882496783957985648797072553738545060137128657997072516491077780771962\ 88*n^19+32156259534906527209393378249822573127595025303884196955177397148471560\ 583367403074765350164613576848461731695994923485774217216*n^18-6159301152629827\ 6278814670798012505536356604727869417180506783220998064330927073981754673410225\ 793914358608287759432967035813888*n^17+1079809059210715496184721075610294942797\ 5728246874032539788435549120796505211024920835799612723279614726372999193368032\ 2816770048*n^16-172584868112574894583028738115387492246933095251273319449202590\ 700509095029330351454537111502755371901432029169200932295729479680*n^15+2503547\ 7418567115999333896435133348868599363445172398511967251051811162546463429874964\ 6951772704046296103165557516643439371878400*n^14-327931701239541517508499068297\ 9628931812475097910322579429939974910342789133903342523881072914857409064818749\ 81295146450026496000*n^13+38558608988802297005512752331951657793998858692032341\ 5771490182659027230135782084695195776191889734673817305537079058534236160000*n^ 12-4041895451148724082617326479215096742995925342567743364869048085298878621812\ 64360661686456218231327979655963213271063225958400000*n^11+37468114086524287055\ 8837701929417123359507385465785056450310040800722237379120933794056657417216443\ 713723915125667127099392000000*n^10-3042028730330126469831037505341741088624559\ 2841796642709799033894676692243608641222659416598628767018022967643856623894528\ 0000000*n^9+2138046458002106002575729838485751686001122072155801894886098216826\ 40582611205259476927030814474658063772721407620179558400000000*n^8-128222059179\ 2964979391213982937714498654416860230996112993337807367751576147058737828705943\ 13413844044971963659151474688000000000*n^7+644302425463372934131374511577399257\ 5780480472142603509705789858963763064059987213708350277318968274075545470473601\ 0240000000000*n^6-2649121802343531838680072555636821495644112454227208150957422\ 7523426746410254792695024308450789360966480096457759129600000000000*n^5+8631082\ 5342959334589957487440175364537225730622245440078242529484535562852125102481307\ 63843482670785153237308669952000000000000*n^4-212854657539728351121427107979614\ 0613589528867156647223233520469259412522974528531560437572169188129328248494489\ 600000000000000*n^3+37015352922612160702515225458356374161110844521777064861740\ 3309233400833644269319385167202670857533211373731840000000000000000*n^2-4004079\ 1057979494488887550049272723057219343664333115029775842720451667916556734641127\ 678033867899832107008000000000000000000*n+2005778398067787969368192012228874375\ 4190031699576132945896449601304976809607094104578087764590778646528000000000000\ 00000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-16+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/( -5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-11+3*n)^2/(-14+3*n)^2 /(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3*n)^2/(-32+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-20+3*n)^2/(-29+3*n) ^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-31 +3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-41+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-49+3*n)^2/ (-55+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-56+3* n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[21., .2418656379e-7], [22., .3078289937e-6], [23., .2047094674e-5], [24., .\ 9463217032e-5], [25., .3414100423e-4], [26., .1023414679e-3], [27., .2650442020\ e-3], [28., .6089476410e-3], [29., .1265022616e-2], [30., .2410188672e-2], [31. , .4257916432e-2], [32., .7035343456e-2], [33., .1094758116e-1], [34., .\ 1613354211e-1], [35., .2262081140e-1], [36., .3028885380e-1], [37., .3884957306\ e-1], [38., .4785184014e-1], [39., .5671254969e-1], [40., .6477192419e-1], [41. , .7136620531e-1], [42., .7590750264e-1], [43., .7795905677e-1], [44., .\ 7729471836e-1], [45., .7393373866e-1], [46., .6814530954e-1], [47., .6042099423\ e-1], [48., .5141703229e-1], [49., .4187274921e-1], [50., .3251603558e-1], [51. , .2397115617e-1], [52., .1668600104e-1], [53., .1089329127e-1], [54., .\ 6612759744e-2], [55., .3690903394e-2], [56., .1865260155e-2], [57., .8349462444\ e-3], [58., .3201440194e-3], [59., .9944270370e-4], [60., .2247938513e-4], [61. , .2809923141e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 202839689347810432112140667981 [------------------------------, 4710128697246244834921603689 1/2 2 135192426340573132546116442839071830233955792436709951338 --------------------------------------------------------------, - 1093464\ 4710128697246244834921603689 038769446352514684117669266254594616597566846888103976010367819920252472\ 1/2 086 135192426340573132546116442839071830233955792436709951338 /1986629\ 580418618712461753933052553878502582809048367743751112823403687902834724\ 75037631808150457402061286173807, 438937328648173659873503263673884387222\ 949762830532797880934409945598985148326827105644469764601104558387974287\ / 1 / 158930366433489496996940314644204310280206624723869419500089025872\ / 2950322267779800301054465203659216490289390456] and in floating-point [43.06457475, 4.937116817, -.6399761483e-1, 2.761821661] Here is a plot + HHHHH + H HH | HH H + HH H + H HH 0.06 HH H + H H + H H + HH HH + H H 0.04 H HH + H H + H HH + H H + HH HH 0.02 H H + H HH + HH HH + HH HH + HHH HHH +*****************+---+--+---+---+--+---+--+---+---+--+---+---+--***********- 0 30 40 50 60 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 22], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 22, to , 64 The probability distribution is [92 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n)), 1232 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (n + 1)/(729 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 161 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (481 n + 242) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 7360 n (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (51 n + 26) (n + 1)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 500 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) 2 (-21 + n) (n + 1) (8507 n + 175 n - 2214) n/(2187 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1040 n (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (n + 1) 2 (115373 n + 4155 n - 30902)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 520 n (-1 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (104021 n + 5910 n - 28904)/(2187 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 4160 (-1 + n) (-2 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (31169 n + 2611 n - 9054) n/(729 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1055600 n (-1 + n) (-2 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (n + 1) (399 n + 47 n - 122)/(729 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 21112000 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (1069 n + 171 n - 346)/(19683 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 934960 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (22196 n + 4695 n - 7634) n/(6561 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 119674880 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (2683 n + 735 n - 982)/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 164552960 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) 2 (1579 n + 551 n - 614)/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 391244800 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (n + 1) (3053 n + 1339 n - 1254) n/(19683 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 978112000 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) (n + 1) (8011 n + 4368 n - 3436)/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2190970880 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (2 n - 11) 2 (n + 1) (4979 n + 3345 n - 2186)/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 20266480640 (2 n - 7) 2 (359 n + 295 n - 156) (2 n - 13) (2 n - 3) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(19683 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 12943298560 (2 n - 7) (2 n - 13) 2 (2161 n + 2159 n - 876) (2 n - 3) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(19683 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) 2 (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 525821504000 (886 n + 1071 n - 298) (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1771188224000 (2 n - 7) (2 n - 15) 2 (2 n - 13) (2 n - 3) (-20 + n) (2 n - 11) (313 n + 456 n - 64) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(177147 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 181546792960 2 (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) (15793 n + 27645 n + 398) (2 n - 17) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 726187171840 (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) (2 n - 17) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) 2 (2 n - 5) (4387 n + 9205 n + 1782) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-19 + n) (-9 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 109291169361920 (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) (2 n - 17) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-19 + n) (-9 + n) (2 n - 19) (47 n + 24) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 48088114519244800 (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) (2 n - 17) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-19 + n) (-9 + n) (2 n - 19) (-6 + n) (-7 + n) (-10 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) 2 (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (-3 + n) (n + 1) /(1594323 (-44 + 3 n) (-41 + 3 n) (-43 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 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7768630487484935584469695727455665674825674486721516833926715820246052906427912\ 1137747548902295914560728973967360*n^17+624580729363162881510869167048519594543\ 3728683190087300286705250421745012637107119966906941911069221659446419736384701\ 038085840385867776*n^16-9720792939141552759032656476237534877791399052423031212\ 4569944039024182737822168923897425268281047142128663679065726894318004230265241\ 60*n^15+13745934865063405547684729180518402938741489901992205149077002166634710\ 275645027013624718468832165612889887539368167152506253360286924800*n^14-1757015\ 0953828365977728080933199929407431818867182349136628971391479001455770544882167\ 636754539676210707898649276510135433804122161152000*n^13+2018063101971445034025\ 9751498202136172978811218883033453115109491719187633531334966972539596940453064\ 743685929621445148518084478238720000*n^12-2068530789381998680092680669950557060\ 5978227073865245766244363305653532342811485091143509110138910555332092075577054\ 118487639510220800000*n^11+1876897852731461676701371330926339098237068273799158\ 8933590031362002386651084721574844046969978417355024543137733131353176275943424\ 000000*n^10-1493070412757679419750605609975218583796051522777014984301675496019\ 9543089992999295370321100348263389484160090820641309497397084160000000*n^9+1029\ 2213270200535335354956793879609799102289240243866000108909436078347305143144281\ 527118075065505011716832979709541454776683724800000000*n^8-60599457103164388217\ 7732796981819008550035802838580805748819525223530591840773398921169541279898209\ 9893706459340711977765830656000000000*n^7+2992658009816689245387768056360378265\ 6437038128635620559512157961945299316789956955885090467512088352185312952356632\ 72901345280000000000*n^6-121057215580690499751274945349938110922841411372952872\ 7173070394183717857527149782351046740821160214559845370329697021539123200000000\ 000*n^5+38846954955853742807327867425547096869571603512527180567771056519126162\ 0626543312621005880506269552834992203301498078101504000000000000*n^4-9446972295\ 5937041150744549899968469558765785510723159066043473720534980723922411988116053\ 830809604025141354440542073651200000000000000*n^3+16220814652365566547307272018\ 5163753218677129657821189459514110222573192852065490767191635312616424507981606\ 60586823680000000000000000*n^2-173500113259595583423119774989738413383955006606\ 1487047574482776260395397153802145552479268537200013295803963539456000000000000\ 000000*n+8606909836633247654030759785057199436537216569269440222564617051611685\ 0134697550328527356464479165764790229401600000000000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+ 3*n)^2/(-16+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-10+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19 +3*n)^2/(-23+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-11+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-\ 25+3*n)^2/(-32+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-20+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^ 2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-40+ 3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-41+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-50+3*n)^2/ (-53+3*n)^2/(-56+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-62+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(-55+3*n )^2 as n goes to infinity, the distribution is [[22., .8795114105e-8], [23., .1177780498e-6], [24., .8225874776e-6], [25., .\ 3987118394e-5], [26., .1506039366e-4], [27., .4720466307e-4], [28., .1276800358\ e-3], [29., .3060658164e-3], [30., .6627956445e-3], [31., .1315378342e-2], [32. , .2419030518e-2], [33., .4158672916e-2], [34., .6730524589e-2], [35., .\ 1031371709e-1], [36., .1503497245e-1], [37., .2093177460e-1], [38., .2792094417\ e-1], [39., .3577962584e-1], [40., .4414427161e-1], [41., .5253047694e-1], [42. , .6037303286e-1], [43., .6708199713e-1], [44., .7210766761e-1], [45., .\ 7500561170e-1], [46., .7549264951e-1], [47., .7348584485e-1], [48., .6911874558\ e-1], [49., .6273182616e-1], [50., .5483700083e-1], [51., .4605924343e-1], [52. , .3706193773e-1], [53., .2846632281e-1], [54., .2077820143e-1], [55., .\ 1433534204e-1], [56., .9285569456e-2], [57., .5598685958e-2], [58., .3107061976\ e-2], [59., .1562878235e-2], [60., .6970386416e-3], [61., .2665539739e-3], [62. , .8265394473e-4], [63., .1866865054e-4], [64., .2333581317e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1927551444559971554429086904072 [-------------------------------, 42391158275216203514294433201 1/2 8 730434401431901671024724969126049860600475595333373205809 --------------------------------------------------------------, - 5720008\ 42391158275216203514294433201 909199264697340775891510342513732209622449331298821313171273871582040134\ 1/2 896739 730434401431901671024724969126049860600475595333373205809 /2134\ 137659180721911672908525842436795240895186114043082539965513784862951388\ 255689091680987286284628245479485377924, 23623729870411291960576332114623\ 130811165464104042059594612377568252721870387481838044519810088578504173\ / 915665982277 / 8536550636722887646691634103369747180963580744456172330\ / 159862055139451805553022756366723949145138512981917941511696] and in floating-point [45.47060102, 5.100412640, -.7243773886e-1, 2.767362472] Here is a plot + HHHHH 0.07 HH H + HH H + H H 0.06 H H + HH H + H H 0.05 H H + H H 0.04 H HH + H H + HH H 0.03 H H + H H + H H 0.02 H HH + HH HH 0.01 HH HH + HH H + HHH HHHH +******************+--+---+--+---+--+---+--+---+--+---+--+---+--+-**********- 0 30 40 50 60 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 23], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 23, to , 67 The probability distribution is [100 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(2187 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 12650 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (n + 1)/(6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 88 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1052 n + 529) (n + 1)/( 6561 (-20 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2800 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (503 n + 256) (n + 1) n/( 6561 (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 325 n (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (n + 1) 2 (51307 n + 961 n - 13306)/(6561 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 650 n (-1 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) 2 (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (n + 1) (9323 n + 305 n - 2482)/( 729 (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 9100 (-1 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (8449 n + 435 n - 2326) n/(2187 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 15080 n (-1 + n) (-2 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (114547 n + 8673 n - 32842)/(6561 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 37700 n (-1 + n) (-2 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) 2 (-21 + n) (-22 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (51619 n + 5481 n - 15514) /(6561 (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2337400 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (n + 1) (15461 n + 2223 n - 4898) n/(19683 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 261788800 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (1187 n + 225 n - 398)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 74796800 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (7417 n + 1815 n - 2638)/(59049 (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 699350080 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (n + 1) (1999 n + 621 n - 754) n/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 3765731200 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) (1771 n + 689 n - 706)/( 59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 97811200 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (2 n - 11) (n + 1) (17187 n + 8281 n - 7186)/(19683 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 7238028800 (2 n - 7) (2 n - 3) (-22 + n) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) 2 (-19 + n) (3019 n + 1785 n - 1306) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 68761273600 (2 n - 7) 2 (2 n - 13) (2 n - 3) (-22 + n) (1979 n + 1425 n - 866) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(177147 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 2 147230021120 (2 n - 7) (2 n - 13) (1229 n + 1071 n - 524) (2 n - 3) (-22 + n) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(177147 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 420657203200 (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) 2 (-22 + n) (2479 n + 2601 n - 964) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) 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(-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) 2 (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1588534438400 (4361 n + 6555 n - 734) (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) (-22 + n) (2 n - 17) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 19516280243200 (2 n - 7) (2 n - 15) (2 n - 13) (2 n - 3) 2 (1231 n + 2205 n + 86) (-22 + n) (2 n - 17) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 5) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 9) (-15 + n) (-19 + n) (-9 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + 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58006784000*n^15+89811707793190188035725504069929296328116313608649524911839217\ 5704639528444573395267918995268412701018206065664935009021618378315522648309760\ 000*n^14-1122255619503558169390082923109160743240038893918329690163499960667374\ 442722778305847912949516203890056187984616867757200989444503910534348800000*n^ 13+1261281027265137113512868790991747035773024039177977083680466834443761465193\ 249980848748650288439824967756302377542088722266594922305945600000000*n^12-1266\ 1909272338346498273532410085059991661340417147844282101416089894786471732636128\ 92428489305980199878322233650841763732604954989633208320000000*n^11+11262494428\ 9583465552238457996982748387958151619165987160505725233148097495926989261791367\ 9549939558467842640324124183952633174746464256000000000*n^10-879076502679433526\ 4312367802380507651959752323509258160600121616284010428755368770208285912251310\ 25579641971404657083875409932675186688000000000*n^9+595119780029455305423815369\ 3754224846310108959475280505539701825223642180123992752578612498165750120126549\ 95485542681872965052829532160000000000*n^8-344440512566141481025579247242182682\ 2888341673952814483866131718443514302037874833458585585796731825958079600059138\ 10360510387218022400000000000*n^7+167363509910689858411078789027691305496833284\ 5372638949747917573775729411651532884515720723504562121368078200659916136395544\ 85977088000000000000*n^6-666766637866688909320751521397706952341990069623587525\ 8111881557467255174963243947920761815136031061714927505374981559134120312832000\ 0000000000*n^5+2109413118709708523189960893816977663898543241179007944956916968\ 5800140201296903444191415603135745652927140640670829079038630297600000000000000 *n^4-50628182806827002651002818203915407884682245038052601373536907009993575176\ 72320095323587639073707211570598466078273403051048960000000000000000*n^3+858987\ 1446546224294037874745820399187892073640756880684925936943522601392555700337770\ 41358381070752057851403880712982495232000000000000000000*n^2-909085816141604775\ 8699417821864484351174355600558547667567078853318101401862002479457838281390485\ 3989532492754266882048000000000000000000000*n+446843216606520991804784149608857\ 6117068153651834476741468427105451135285073065780896089060095071953177461381796\ 986880000000000000000000000)/(-22+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-16+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-10+ 3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-23+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-11 +3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-17+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-25+3*n)^2/(-32+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-\ 20+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-28+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-34+3*n) ^2/(-52+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-40+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-41+3*n)^2/(3*n -59)^2/(-49+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-47+3*n)^2/ (-53+3*n)^2/(-64+3*n)^2/(-65+3*n)^2/(-50+3*n)^2/(-56+3*n)^2/(-62+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[23., .3186635545e-8], [24., .4478993294e-7], [25., .3277844136e-6], [26., .\ 1662243519e-5], [27., .6560053176e-5], [28., .2145650230e-4], [29., .6049563997\ e-4], [30., .1510149435e-3], [31., .3402638379e-3], [32., .7020902947e-3], [33. , .1341564684e-2], [34., .2395086115e-2], [35., .4023703770e-2], [36., .\ 6398308851e-2], [37., .9676921915e-2], [38., .1397621211e-1], [39., .1934119287\ e-1], [40., .2571827327e-1], [41., .3293714050e-1], [42., .4070614692e-1], [43. , .4862406272e-1], [44., .5620854789e-1], [45., .6293896215e-1], [46., .\ 6830868208e-1], [47., .7188037788e-1], [48., .7333701119e-1], [49., .7252171678\ e-1], [50., .6946105276e-1], [51., .6436801284e-1], [52., .5762338876e-1], [53. , .4973646174e-1], [54., .4128869509e-1], [55., .3286709262e-1], [56., .\ 2499669744e-1], [57., .1808329476e-1], [58., .1237658751e-1], [59., .7960396321\ e-2], [60., .4770443554e-2], [61., .2633794706e-2], [62., .1319242577e-2], [63. , .5864391311e-3], [64., .2237194263e-3], [65., .6926339910e-4], [66., .\ 1563236438e-4], [67., .1954045548e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 54811979132891728732720262178025 [--------------------------------, 1144561273430837494885949696427 1/2 10 362504014633875951177804817449757010518974566642278316755778 ------------------------------------------------------------------, - 876\ 1144561273430837494885949696427 019997773751165307132345295845730248220961824092751900983090437853312428\ 4637379642339 1/2 362504014633875951177804817449757010518974566642278316755778 /65704580\ 312838674880921634774857557906921899887539106455254059638107114562451276\ 725307902399581133629665749395448192642, 18217730386489440645059743858386\ 472374349045550551054684346586077040251130445623170427818142001207621611\ / 976357790289267051 / 6570458031283867488092163477485755790692189988753\ / 910645525405963810711456245127672530790239958113362966574939544819264200] and in floating-point [47.88907366, 5.260382968, -.8027397802e-1, 2.772672818] Here is a plot + HHHHH 0.07 H HHH + H HH + HH H 0.06 H HH + H H 0.05 H H + HH H + H HH 0.04 H H + H HH + H H 0.03 HH HH + H H + H H 0.02 HH H + HH HH 0.01 HH H + HH HH + HHHH HHH +*******************+--+--+---+--+--+---+--+--+---+--+--+---+--+-***********- 0 30 40 50 60 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 24], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 24, to , 70 The probability distribution is [325 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (3 n - 8) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 4784 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (n + 1)/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (3 n - 8) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 575 (191 n + 96) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (n + 1)/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 28600 n (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (61 n + 31) (n + 1)/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 13 n (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) 2 (n + 1) (61367 n + 1051 n - 15866)/(729 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 728 (-1 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (n + 1) 2 (33601 n + 1003 n - 8898) n/(2187 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 10556 n (-1 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) 2 (n + 1) (30593 n + 1434 n - 8354)/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 30160 n (-1 + n) (-2 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) 2 (-23 + n) (2 n - 3) (n + 1) (27787 n + 1911 n - 7876)/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 233740 (-1 + n) (-2 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) 2 (12587 n + 1211 n - 3726) n/(6561 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4)), 2991872 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) 2 (56863 n + 7389 n - 17674)/(59049 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4) (-32 + 3 n)), 8227648 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) 2 (20492 n + 3501 n - 6716)/(59049 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4) (-32 + 3 n)), 101723648 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (n + 1) (9203 n + 2024 n - 3189) n/(59049 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-34 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-2 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4) (-32 + 3 n)), 445040960 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) (n + 1) (5493 n + 1529 n - 2014)/(59049 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-34 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-35 + 3 n) (-2 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4) (-32 + 3 n)), 3560327680 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (n + 1) (377 n + 131 n - 146)/(19683 (-23 + 3 n) (-14 + 3 n) (-13 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-26 + 3 n) (-1 + 3 n) (-17 + 3 n) (-5 + 3 n) (-34 + 3 n) (-10 + 3 n) (-16 + 3 n) (-11 + 3 n) (-22 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (3 n - 7) (-35 + 3 n) (-2 + 3 n) (-31 + 3 n) (-28 + 3 n) (-19 + 3 n) (3 n - 4) (-32 + 3 n)), 20700762368 (2 n - 3) (2 n - 11) 2 (2 n - 5) (2 n - 9) (-23 + n) (457 n + 196 n - 186) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 7) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/ (59049 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) 2 (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 11001803776 (2 n - 3) (11573 n + 6069 n - 4904) (2 n - 11) (2 n - 5) (2 n - 9) (-23 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-21 + n) (-16 + n) (2 n - 7) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/( 177147 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 35755862272 (2 n - 3) (2 n - 11) (2 n - 5) (2 n - 9) (-23 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-21 + n) (2 n - 13) (-16 + n) (2 n - 7) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) 2 (2551 n + 1623 n - 1108) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(177147 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 168262881280 (2 n - 3) 2 (2 n - 11) (2 n - 5) (2 n - 9) (2239 n + 1717 n - 972) (-23 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-21 + n) (2 n - 13) (-16 + n) (2 n - 7) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(177147 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 862347266560 (2 n - 3) (2 n - 15) (2 n - 11) (2 n - 5) 2 (2 n - 9) (7822 n + 7191 n - 3256) (-23 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-21 + n) (2 n - 13) (-16 + n) (2 n - 7) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 508331020288 (2 n - 3) (2 n - 15) (2 n - 11) (2 n - 5) (2 n - 9) (-23 + n) 2 (16988 n + 18639 n - 6299) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-21 + n) (2 n - 13) (-16 + n) (2 n - 7) (-15 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-5 + n) (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/( 1594323 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) 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495818960764928000000000*n^10-1848285166396830228254669844889538372132301464375\ 6483934724740168929713509844659745906039250129016047699243902560818125016647763\ 5382556034596864000000000*n^9+1230280169065468810376267038457594491378585498463\ 5417123735078866778151175248101843899167901200028401101413533227180775474518698\ 4780193102561280000000000*n^8-7007097698751476143242919890799560558910827726377\ 0908414733034769028491960728559105670341135024060866993425042725052963150663282\ 315458982707200000000000*n^7+33533882967081317123763994737494149301707866616464\ 5670887453992438506105299164155568007455012449057464948132761404731343814695612\ 88333983744000000000000*n^6-131699361484073579051946532802823598950868349177468\ 6562565490431514644826708095734565090841388946217011860860430732671589932395241\ 8636431360000000000000*n^5+4111172678119825619154259775352904220805772015061722\ 1005218560641712683632109474427671181410786809660796586925432207583144070925483\ 24556800000000000000*n^4-974603997987921085629399141802354548422091952685184071\ 1529848442505938376206869202827406367940064473515729363278021512939630877055385\ 60000000000000000*n^3+163506413571421847246955490959466773012661193303047798289\ 6399438817086677370064924854483369052961737256809865590044451548088080793600000\ 00000000000000*n^2-171316717385602357731270966921458867505585589427679944541713\ 0450143359627554037941637069958292612770300535881109394821254207242240000000000\ 0000000000*n+834766687600111324237211103966786382575020279580223948903472830205\ 4200081999435671590569023965502331570117823303718295253811200000000000000000000\ 00)/(-65+3*n)^2/(-64+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-\ 46+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-41+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-40+3*n)^ 2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-35+3*n)^2/(-28+ 3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+3*n)^2/( -25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3*n)^2/ (-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+3*n)^2 /(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[24., .1150729502e-8], [25., .1693873828e-7], [26., .1296193514e-6], [27., .\ 6863462188e-6], [28., .2824672695e-5], [29., .9623453657e-5], [30., .2823295343\ e-4], [31., .7326690764e-4], [32., .1714742359e-3], [33., .3672422320e-3], [34. , .7278969278e-3], [35., .1347224368e-2], [36., .2345345910e-2], [37., .\ 3863224066e-2], [38., .6050741553e-2], [39., .9048433555e-2], [40., .1296436542\ e-1], [41., .1784903370e-1], [42., .2367219496e-1], [43., .3030591433e-1], [44. , .3751772174e-1], [45., .4497657930e-1], [46., .5227257971e-1], [47., .\ 5894921560e-1], [48., .6454505274e-1], [49., .6864005608e-1], [50., .7090092512\ e-1], [51., .7111971904e-1], [52., .6924074816e-1], [53., .6537198177e-1], [54. , .5977883729e-1], [55., .5286002817e-1], [56., .4510717713e-1], [57., .\ 3705220773e-1], [58., .2920895548e-1], [59., .2201742375e-1], [60., .1579976810\ e-1], [61., .1073565638e-1], [62., .6860994179e-2], [63., .4088921476e-2], [64. , .2246995305e-2], [65., .1121201273e-2], [66., .4969137828e-3], [67., .\ 1891516090e-3], [68., .5847806975e-4], [69., .1318908373e-4], [70., .1648635466\ e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1555023284663720584351801599573214 [----------------------------------, 30903154382632612361920641803529 1/2 52 10364593979183890573480630893179069658357851897405591605263155 --------------------------------------------------------------------, - 4\ 30903154382632612361920641803529 938438302695829002406820452528865967865399292524341976060291690104249378\ 10526700382258837572 1/2 10364593979183890573480630893179069658357851897405591605263155 /181547\ 926117136073447086798222245709792227659668112489482903534751989663774711\ 56642227647166174970866916732187315759293630225, 262234594287436705769106\ 683512897943176262679895501483140839123738313625344104190028637573714856\ / 6529783666350769638599154611763 / 944049215809107581924851350755677690\ / 919583830274184945311098380710346251628500145395837652641098485079670073\ 740419483268771700] and in floating-point [50.31924138, 5.417222569, -.8757385891e-1, 2.777764018] Here is a plot 0.07 HHHHH + HH HH + HH H 0.06 HH H + H H + HH H 0.05 H H + H H + H H 0.04 HH H + H H + H H 0.03 H HH + HH H 0.02 HH HH + H H + HH H 0.01 HH HH + H HH + HHHH HHH +*******************-+--+--+--+--+--+---+--+--+--+--+--+---+--+--+**********- 0 30 40 50 60 70 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 25], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 25, to , 73 The probability distribution is [13 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(729 (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 200 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (n + 1)/(243 (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-25 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 104 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1244 n + 625) (n + 1)/(6561 (-26 + 3 n) (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-25 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 1196 n (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (199 n + 101) (n + 1)/(2187 (-26 + 3 n) (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-25 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 70 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) 2 (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (n + 1) (14567 n + 229 n - 3756) n /(729 (-26 + 3 n) (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-28 + 3 n) (-25 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 812 n (-1 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (n + 1) 2 (13347 n + 365 n - 3518)/(729 (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-28 + 3 n) (-25 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 4060 n (-1 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (36611 n + 1569 n - 9926)/(6561 (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-28 + 3 n) (-25 + 3 n) (-22 + 3 n) (-19 + 3 n) (-16 + 3 n) (-13 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 7) (3 n - 4) (-1 + 3 n)), 7192 (-1 + n) (-2 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) 2 (-23 + n) (-24 + n) (2 n - 3) (n + 1) (55669 n + 3493 n - 15620) n/(2187 (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-23 + 3 n) (-20 + 3 n) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 8) (-5 + 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)^2/(-46+3*n)^2/(-55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-41+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-40 +3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-35+3*n)^2 /(-28+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+3* n)^2/(-25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23+3 *n)^2/(-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-16+ 3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[25., .4142626209e-9], [26., .6373271091e-8], [27., .5089804448e-7], [28., .\ 2809007431e-6], [29., .1203474222e-5], [30., .4263704197e-5], [31., .1299488644\ e-4], [32., .3500241118e-4], [33., .8496021577e-4], [34., .1885756786e-3], [35. , .3871191044e-3], [36., .7416796390e-3], [37., .1335916703e-2], [38., .\ 2275868047e-2], [39., .3685479449e-2], [40., .5697002601e-2], [41., .8436239355\ e-2], [42., .1200366475e-1], [43., .1645353270e-1], [44., .2177391927e-1], [45. , .2787107562e-1], [46., .3456130830e-1], [47., .4157285312e-1], [48., .\ 4855895272e-1], [49., .5512178417e-1], [50., .6084526710e-1], [51., .6533338671\ e-1], [52., .6824971652e-1], [53., .6935346851e-1], [54., .6852765814e-1], [55. , .6579575706e-1], [56., .6132435230e-1], [57., .5541069378e-1], [58., .\ 4845555092e-1], [59., .4092355356e-1], [60., .3329514919e-1], [61., .2601620963\ e-1], [62., .1945260820e-1], [63., .1385707247e-1], [64., .9353843063e-2], [65. , .5943264174e-2], [66., .3524208326e-2], [67., .1928446950e-2], [68., .\ 9589060660e-3], [69., .4238261328e-3], [70., .1610082759e-3], [71., .4971270020\ e-4], [72., .1120508481e-4], [73., .1400635601e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 14674172184204472477834401125352865 [-----------------------------------, 278128389443693511257285776231761 1/2 2 600224607312957389956313136628055423003292939597174722040545873570 -----------------------------------------------------------------------, - 278128389443693511257285776231761 168828501567109906256898291781996616874318623883565883152796053064608636\ 602617468569836669672238 1/2 600224607312957389956313136628055423003292939597174722040545873570 /13\ 856522277845919303326535658895830362242627796129610152069216491568482612\ 56434566286646137740316673234379500063337549782901632865, 308462534292499\ 229857832097931494671882060742198307167405744750302197069426338806313318\ / 36516686550112778579947560023338828187811777 / 11085217822276735442661\ / 228527116664289794102236903688121655373193254786090051476530293169101922\ 533385875036000506700398263213062920] and in floating-point [52.76042555, 5.571107938, -.9439487583e-1, 2.782647479] Here is a plot 0.07 HHHH + HH HHH + H HH 0.06 H HH + H H + H H 0.05 H H + HH HH 0.04 H H + H H + H HH 0.03 HH H + H H + H HH 0.02 H HH + HH HH + H HH 0.01 H HH + HHH H + HHHH HHH +********************+--+--+--+--+--+---+--+--+--+--+--+--+--+--+-**********- 0 30 40 50 60 70 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 26], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 26, to , 76 The probability distribution is [14 (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(729 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n)), 18200 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (n + 1)/(19683 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n)), 25 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (673 n + 338) (n + 1)/(2187 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n)), 448 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (647 n + 328) (n + 1) n/(2187 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 406 n (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (n + 1) 2 (257509 n + 3729 n - 66238)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 1624 n (-1 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) 2 (-24 + n) (-25 + n) (n + 1) (236813 n + 5955 n - 62162)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 125860 (-1 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (14491 n + 570 n - 3904) n/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 8055040 n (-1 + n) (-2 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (2 n - 3) (n + 1) 2 (5689 n + 327 n - 1582)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 4430272 n (-1 + n) (-2 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) 2 (13001 n + 1041 n - 3752)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 43036928 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) 2 (n + 1) (9223 n + 993 n - 2776) n/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 75314624 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) 2 (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) (n + 1) (50356 n + 7095 n - 15874)/(531441 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 547742720 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (n + 1) (4571 n + 825 n - 1514)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) 2 (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 2533310080 (2759 n + 627 n - 962) (2 n - 7) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (2 n - 9) (2 n - 3) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1) /(177147 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) 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1048371440284582949655695613139416357532821365707640324893140660774304746276126\ 720000000000*n^10-2412294979478683386414968820070223625888155388945809779953374\ 8637393849330680210081212333135395573460598397428263664028062824147139184542976\ 105795782120046592000000000000*n^9+15570013295262445257602432732028267981029281\ 5661312557976244986306988493491255308163133201800209021875262434576772342822494\ 57821576526873650417249410212691968000000000000*n^8-861184798613850698624116257\ 4136726398761618735114850355227552990884722625620828367881791014787406187901592\ 130935101228201327536459370374035669730031074017280000000000000*n^7+40084899825\ 8575301318882471558625858510818657662261936239207195325298694485054630645612220\ 8413083053895100545145696858108647680685061374232654999163869593600000000000000 *n^6-15335916838976968958280384828411751923934983890663431504782147962383935897\ 3163411329615188668064747718347563159339741470929383299418318786765269824962560\ 0000000000000000*n^5+4671419004303210284534967082150064302216129614032512222902\ 2247186914750666904902719355144956377141647820441686618687033033046169661558257\ 5718863816622080000000000000000*n^4-1082559624684493773992154897942121087586633\ 7198946269039694129142550921287966777457873656417302944200238418642320283311712\ 9794363207603027728921316556800000000000000000*n^3+1778939996192693312520860044\ 6000088554828580028162404452707635856555713854483895989046346085417850665365994\ 172285614266594939717234294398044172451840000000000000000000*n^2-18297423814426\ 7866615719699623322024136920267420074263286393206447838956958886827840529183877\ 0445292405606422614491416068863770606299146451156992000000000000000000000*n+877\ 2928115973589663689276176063095477839006805197716839872442426204587448093835265\ 0754996119313817223754989942534593671970019251930829265305600000000000000000000\ 000)/(-64+3*n)^2/(-53+3*n)^2/(-47+3*n)^2/(-44+3*n)^2/(-61+3*n)^2/(-46+3*n)^2/(-\ 55+3*n)^2/(-49+3*n)^2/(3*n-59)^2/(-41+3*n)^2*(-25+n)/(-73+3*n)^2/(-43+3*n)^2/(-\ 40+3*n)^2/(-38+3*n)^2/(-31+3*n)^2/(-52+3*n)^2/(-34+3*n)^2/(-37+3*n)^2/(-35+3*n) ^2/(-28+3*n)^2/(-26+3*n)^2/(-29+3*n)^2/(-20+3*n)^2/(3*n-58)^2/(-32+3*n)^2/(-68+ 3*n)^2/(-25+3*n)^2/(3*n-8)^2/(-17+3*n)^2/(-14+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(3*n-7)^2/(-23 +3*n)^2/(-19+3*n)^2/(-13+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-2+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(3*n-4)^2/(-\ 16+3*n)^2/(-1+3*n)^2/(-22+3*n)^2*(n+1) as n goes to infinity, the distribution is [[26., .1487096588e-9], [27., .2386698227e-8], [28., .1985746039e-7], [29., .\ 1140327695e-6], [30., .5077860952e-6], [31., .1867901294e-5], [32., .5905506926\ e-5], [33., .1648664267e-4], [34., .4144438837e-4], [35., .9520303708e-4], [36. , .2021414396e-3], [37., .4003445375e-3], [38., .7450662041e-3], [39., .\ 1310935650e-2], [40., .2191784676e-2], [41., .3497044621e-2], [42., .5344010155\ e-2], [43., .7845879431e-2], [44., .1109627381e-1], [45., .1515177464e-1], [46. , .2001471860e-1], [47., .2561890391e-1], [48., .3182085933e-1], [49., .\ 3839887195e-1], [50., .4506109962e-1], [51., .5146292986e-1], [52., .5723246759\ e-1], [53., .6200183989e-1], [54., .6544108676e-1], [55., .6729090081e-1], [56. , .6739044999e-1], [57., .6569693839e-1], [58., .6229433127e-1], [59., .\ 5738967522e-1], [60., .5129661083e-1], [61., .4440701018e-1], [62., .3715319518\ e-1], [63., .2996482066e-1], [64., .2322593204e-1], [65., .1723843461e-1], [66. , .1219773458e-1], [67., .8184409574e-2], [68., .5172707680e-2], [69., .\ 3053221722e-2], [70., .1664240814e-2], [71., .8248990006e-3], [72., .3636864064\ e-3], [73., .1379087361e-3], [74., .4252984112e-4], [75., .9580542596e-5], [76. , .1197567825e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 3731514715132334983352803704389341948 [-------------------------------------, 4 67585198634817523235520443624317923 1/2 9347795762463057378072411707934069873969633299992541060086025387460890 / 67585198634817523235520443624317923, - 6506349328656694829905772464610489\ 28929833141888370915483064638031361145336804260994970733964851665758 1/2 9347795762463057378072411707934069873969633299992541060086025387460890 / 624152040119444944548790470860556119441718374268521190279526117618820245\ 098376722332383587240804831614096736191959323611247116074580568515, 27835\ 527331070484727814268117613650512392387190733419983128665494688270504320\ / 102703034614474663437543022462988149157871121515559467677893733 / 9986\ / 432641911119112780647533768897911067493988296339044472417881901123921574\ 027557318137395852877305825547779071349177779953857193289096240] and in floating-point [55.21201077, 5.722199621, -.1007863205, 2.787334410] Here is a plot + HHHHH + H HH 0.06 HH H + HH H + HH HH 0.05 HH HH + H H + HH H 0.04 H HH + H H + H H 0.03 HH H + HH H + H H 0.02 H HH + H HH + HH HH 0.01 HH HH + HH HH + HHHH HHH +*********************+--+--+--+--+--+-+--+--+--+--+--+--+--+--+--**********- 0 30 40 50 60 70 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 27], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n], are all the integers from, 27, to , 79 The probability distribution is [406 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n)/(19683 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n)), 754 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (n + 1)/(2187 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n)), 364 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (484 n + 243) (n + 1)/(19683 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 40600 n (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (233 n + 118) (n + 1)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 725 n (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (n + 1) 2 (60301 n + 807 n - 15478)/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n)), 1798 (-1 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) 2 (-25 + n) (-26 + n) (n + 1) (278213 n + 6455 n - 72762) n/(59049 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 28768 n (-1 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (256271 n + 9285 n - 68654)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 632896 n (-1 + n) (-2 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) 2 (2 n - 3) (n + 1) (33661 n + 1779 n - 9286)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-31 + 3 n)), 26898080 (-1 + n) (-2 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (2 n - 3) 2 (2 n - 5) (n + 1) (3089 n + 227 n - 882) n/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 1882865600 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) 2 (-25 + n) (-26 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (n + 1) (943 n + 93 n - 280)/( 531441 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 150629248 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (n - 17) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (2 n - 3) (2 n - 5) (2 n - 7) 2 (n + 1) (4309 n + 555 n - 1336)/(177147 (-22 + 3 n) (-1 + 3 n) (-16 + 3 n) (3 n - 4) (-10 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-13 + 3 n) (-19 + 3 n) (-23 + 3 n) (3 n - 7) (-11 + 3 n) (-14 + 3 n) (-17 + 3 n) (3 n - 8) (-25 + 3 n) (-32 + 3 n) (-20 + 3 n) (-29 + 3 n) (-26 + 3 n) (-28 + 3 n) (-35 + 3 n) (-34 + 3 n) (-31 + 3 n)), 144760576 (2 n - 3) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 7) 2 (82513 n + 13585 n - 26802) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(531441 (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 687612736 2 (150127 n + 31053 n - 51202) (2 n - 3) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (2 n - 9) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 7) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-19 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 6876127360 (2 n - 3) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) 2 (-22 + n) (27247 n + 6981 n - 9766) (2 n - 9) (-20 + n) (-18 + n) (2 n - 7) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 1787793113600 (2 n - 3) (2 n - 5) (-24 + n) 2 (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (271 n + 85 n - 102) (2 n - 9) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 7) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(1594323 (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 3 n) (-26 + 3 n) (-29 + 3 n) (-20 + 3 n) (-32 + 3 n) (-25 + 3 n) (3 n - 8) (-17 + 3 n) (-14 + 3 n) (-11 + 3 n) (3 n - 7) (-23 + 3 n) (-19 + 3 n) (-13 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-10 + 3 n) (3 n - 4) (-16 + 3 n) (-1 + 3 n) (-22 + 3 n)), 5863961412608 2 (2 n - 3) (1223 n + 465 n - 482) (2 n - 5) (-24 + n) (-23 + n) (-26 + n) (-22 + n) (2 n - 9) (-20 + n) (2 n - 11) (-18 + n) (2 n - 7) (n - 17) (-25 + n) (-21 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-19 + n) (-6 + n) (-5 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-4 + n) (-3 + n) (n + 1)/(4782969 (-41 + 3 n) (-40 + 3 n) (-38 + 3 n) (-31 + 3 n) (-34 + 3 n) (-37 + 3 n) (-35 + 3 n) (-28 + 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