The Distribution of the Occupant of Cell [1,i] in a random Standard Young ta\ bleau of shape, [n, n], and its Limiting behavior as n goes to infinity for i from 2 to, 40 By Shalosh B. Ekhad --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 2], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 2, to , 3 The probability distribution is 3 (-1 + n) 1 + n [------------, ------------] 2 (-1 + 2 n) 2 (-1 + 2 n) and in Maple notation [3/2/(-1+2*n)*(-1+n), 1/2/(-1+2*n)*(1+n)] `The average is` 3/2*(-1+3*n)/(-1+2*n) and the variance is 3/4*(-1+n)*(1+n)/(-1+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[2., .7500000000], [3., .2500000000]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 3 2 3 [9/4, ----, ------, 7/3] 4 3 and in floating-point [2.250000000, .4330127020, 1.154700539, 2.333333333] Here is a plot +HHH + HHH 0.7 HHHH + HHHH + HHH + HHHH 0.6 HHHH + HHHH + HHH + HHHH 0.5 HHH + HHHH + HHH + HHHH 0.4 HHHH + HHHH + HHH + HHHH 0.3 HHHH + HHH ++--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+-+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+***- 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 3], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 3, to , 5 The probability distribution is -2 + n 3 (-2 + n) (1 + n) n (1 + n) [--------, ----------------------, ----------------------] -1 + 2 n 2 (-1 + 2 n) (2 n - 3) 2 (-1 + 2 n) (2 n - 3) and in Maple notation [(-2+n)/(-1+2*n), 3/2*(-2+n)*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n-3), 1/2*n*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n-\ 3)] `The average is` 1/2*(29*n^2-49*n+12)/(-1+2*n)/(2*n-3) and the variance is 1/4*(-2+n)*(1+n)*(31*n^2-63*n+36)/(-1+2*n)^2/(2*n-3)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[3., .5000000000], [4., .3750000000], [5., .1250000000]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 31 114 31 2173 [29/8, -----, ---------, ----] 8 961 961 and in floating-point [3.625000000, .6959705454, .6604840139, 2.261186264] Here is a plot 0.5HHHH + HHHHH + HHHHHH 0.45 HHHHHH + HHHH 0.4 HHHHHH + HHHHHH + HHH 0.35 HHH + HHH + HH 0.3 HH + HHH 0.25 HHH + HHH + HHH 0.2 HH + HHH + HHH 0.15 HHH ++---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+--**- 3 3.5 4 4.5 5 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 4], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 4, to , 7 The probability distribution is 5 (-2 + n) (-3 + n) 3 (-3 + n) (1 + n) [----------------------, ----------------------, 4 (-1 + 2 n) (2 n - 3) 2 (-1 + 2 n) (2 n - 3) 15 (-3 + n) n (1 + n) 5 (-1 + n) n (1 + n) ---------------------------------, ---------------------------------] 8 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) 8 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) and in Maple notation [5/4*(-2+n)*(-3+n)/(-1+2*n)/(2*n-3), 3/2*(-3+n)*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n-3), 15/8*(-\ 3+n)*n*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n), 5/8*(-1+n)*n*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5 +2*n)] `The average is` 5/8*(65*n^3-264*n^2+283*n-60)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n) and the variance is 15/64*(-3+n)*(1+n)*(233*n^4-1438*n^3+3253*n^2-3200*n+1200)/(-1+2*n)^2/(2*n-3)^2 /(-5+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[4., .3125000000], [5., .3750000000], [6., .2343750000], [7., .7812500000e-1]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 325 3495 2018 3495 1853699 [---, -------, ------------, -------] 64 64 271445 814335 and in floating-point [5.078125000, .9237269534, .4395040744, 2.276334678] Here is a plot + HHHHH + HHHHHH HHH 0.35 HHHHH HH + HHHHHH HHH +HHHHH HH 0.3 HHH + HHH + HH 0.25 HHH + HHH + HH + HH 0.2 HHH + HH + HH 0.15 HH + HHH + HH + HHH 0.1 HH ++--+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-**- 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 5], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 5, to , 9 The probability distribution is 3 (-3 + n) (-4 + n) 5 (-3 + n) (-4 + n) (1 + n) [----------------------, ---------------------------------, 4 (-1 + 2 n) (2 n - 3) 2 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) 9 n (-4 + n) (1 + n) ---------------------------------, 4 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) 21 (-4 + n) (-1 + n) n (1 + n) --------------------------------------------, 8 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) 7 (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n) --------------------------------------------] 8 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) and in Maple notation [3/4*(-3+n)*(-4+n)/(-1+2*n)/(2*n-3), 5/2*(-3+n)*(-4+n)*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/( -5+2*n), 9/4*n*(-4+n)*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n), 21/8*(-4+n)*(-1+n)*n*(1+ n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n), 7/8*(-2+n)*(-1+n)*n*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n-\ 3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)] `The average is` 3/8*(281*n^4-2092*n^3+5059*n^2-4328*n+840)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n) and the variance is 9/64*(1+n)*(-4+n)*(2319*n^6-28731*n^5+144037*n^4-373157*n^3+527012*n^2-386680*n +117600)/(-1+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-5+2*n)^2/(-7+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[5., .1875000000], [6., .3125000000], [7., .2812500000], [8., .1640625000], [9\ ., .5468750000e-1]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 843 3 2319 103094 2319 111685189 [---, ---------, --------------, ---------] 128 128 16133283 48399849 and in floating-point [6.585937500, 1.128656168, .3077237475, 2.307552426] Here is a plot + HHHHHH 0.3 HH HHHHHHH + HH HHHHHHH + HH HH + H HH 0.25 HH HH + HH HH + HH HH + HH HH 0.2 HH HH +H HH + HH + HHH 0.15 HH + HH + HH + HH 0.1 HHH + HH + HH 0.05---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+--**- 5 6 7 8 9 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 6], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 6, to , 11 The probability distribution is 7 (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) 15 (-4 + n) (n - 5) (1 + n) [---------------------------------, ---------------------------------, 8 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) 8 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) 35 n (-4 + n) (n - 5) (1 + n) --------------------------------------------, 8 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) 7 n (-1 + n) (n - 5) (1 + n) --------------------------------------------, 2 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) 63 (n - 5) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n) --------------------------------------------------------, 16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) 21 (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n) --------------------------------------------------------] 16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) and in Maple notation [7/8*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n), 15/8*(-4+n)*(n-5)*(1+n)/(-1 +2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n), 35/8*n*(-4+n)*(n-5)*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7 +2*n), 7/2*n*(-1+n)*(n-5)*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n), 63/16*(n-5) *(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)*(1+n), 21/16*(-3+n )*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)*(1+n)] `The average is` 7/16*(595*n^5-7043*n^4+30101*n^3-55837*n^2+41424*n-7560)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2 *n)/(-7+2*n)/(-9+2*n) and the variance is 21/256*(n-5)*(1+n)*(21643*n^8-447306*n^7+3937716*n^6-19242694*n^5+56980625*n^4-\ 104548640*n^3+116090976*n^2-71608320*n+19051200)/(-1+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-5+2*n)^ 2/(-7+2*n)^2/(-9+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[6., .1093750000], [7., .2343750000], [8., .2734375000], [9., .2187500000], [ 10., .1230468750], [11., .4101562500e-1]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 4165 454503 3181330 454503 23026115897 [----, ---------, -----------------, -----------] 512 512 9836808429 9836808429 and in floating-point [8.134765625, 1.316735111, .2180333283, 2.340811663] Here is a plot + HHHH + HHHHH HHH 0.25 HHHH HHH + HHHH HHH + H HHH + HH HH 0.2 H HH + HH HH + H HH + HH HH + H HH 0.15 HH HH + H HH + HH HH +H HH 0.1 H + HH + HHH + HH 0.05 HH ++--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+-+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+-**- 6 7 8 9 10 11 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 7], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 7, to , 13 The probability distribution is (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) [---------------------------------, 2 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) 21 (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (1 + n) --------------------------------------------, 8 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) 15 n (n - 5) (-6 + n) (1 + n) --------------------------------------------, 4 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) 15 (-6 + n) n (-1 + n) (n - 5) (1 + n) -------------------------------------------------------, 2 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) 45 (-2 + n) (-1 + n) n (-6 + n) (1 + n) -------------------------------------------------------, 8 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) 99 (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (-6 + n) (1 + n) --------------------------------------------------------------------, 16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) 33 (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n) --------------------------------------------------------------------] 16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) and in Maple notation [1/2*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n), 21/8*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(1 +n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n), 15/4*n*(n-5)*(-6+n)*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n -3)/(-5+2*n)/(-7+2*n), 15/2*(-6+n)*n*(-1+n)*(n-5)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7 +2*n)/(-9+2*n)*(1+n), 45/8*(-2+n)*(-1+n)*n*(-6+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7 +2*n)/(-9+2*n)*(1+n), 99/16*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n*(-6+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+ 2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)*(1+n), 33/16*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1 +2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)*(1+n)] `The average is` 1/16*(9949*n^6-171483*n^5+1137865*n^4-3638805*n^3+5693986*n^2-3817752*n+665280) /(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n) and the variance is 3/256*(-6+n)*(1+n)*(777661*n^10-24102725*n^9+328319220*n^8-2583785250*n^7+ 12985393533*n^6-43466000745*n^5+97964984930*n^4-146610082000*n^3+139423624656*n ^2-76308281280*n+18441561600)/(-1+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-5+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-9+2* n)^2/(-11+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[7., .6250000000e-1], [8., .1640625000], [9., .2343750000], [10., .2343750000] , [11., .1757812500], [12., .9667968750e-1], [13., .3222656250e-1]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 9949 2332983 60216634 2332983 4304229578287 [----, ----------, -------------------, -------------] 1024 1024 604756630921 1814269892763 and in floating-point [9.715820312, 1.491611869, .1520868356, 2.372430693] Here is a plot + HHHHHHHHHHHHHHH + H HH + HH HH 0.2 HH HH + HH HHH + HH HH + HH HH + H H 0.15 HH HH + H HH + H H + HH HH + H H 0.1 HH H + H HH + H HHH + HH HH +H HH 0.05 HH + HH ++--+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-**- 7 8 9 10 11 12 13 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 8], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 8, to , 15 The probability distribution is 9 (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) [---------------------------------------------, 16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) 7 (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (1 + n) --------------------------------------------, 4 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) 189 (-7 + n) n (n - 5) (-6 + n) (1 + n) --------------------------------------------------------, 32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) 225 (-7 + n) (-6 + n) (-1 + n) n (1 + n) --------------------------------------------------------, 32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) 825 (-6 + n) n (-1 + n) (-2 + n) (-7 + n) (1 + n) --------------------------------------------------------------------, 64 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) 297 (-7 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n) --------------------------------------------------------------------, 1287 32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (-4 + n) (-3 + n) n (-1 + n) (-2 + n) (-7 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 429 (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13))] and in Maple notation [9/16*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n), 7/4*(-7+n) *(-6+n)*(n-5)*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n), 189/32*(-7+n)*n*(n-5)*( -6+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)*(1+n), 225/32*(-7+n)*(-6+n)*( -1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)*(1+n), 825/64*(-6+n)*n*(-1+ n)*(-2+n)*(-7+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)*(1+n), 297/32*(-7+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n )/(-11+2*n)*(1+n), 1287/128*(-4+n)*(-3+n)*n*(-1+n)*(-2+n)*(-7+n)/(-1+2*n)/(2*n-\ 3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)*(1+n), 429/128*(n-5)*(-4+n)*(-\ 3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n -13)*(1+n)] `The average is` 9/128*(20613*n^7-487318*n^6+4630134*n^5-22595380*n^4+59853597*n^3-82918582*n^2+ 51476136*n-8648640)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-\ 13) and the variance is 9/16384*(-7+n)*(1+n)*(81768991*n^12-3545510538*n^11+69005183261*n^10-\ 796023602760*n^9+6052630517493*n^8-31905572834034*n^7+119354528231363*n^6-\ 318700012255260*n^5+601867992013516*n^4-783006946477728*n^3+665974997654976*n^2 -333263511060480*n+74798973849600)/(-1+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-5+2*n)^2/(-7+2*n)^2/( -9+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(2*n-13)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[8., .3515625000e-1], [9., .1093750000], [10., .1845703125], [11., .2197265625 ], [12., .2014160156], [13., .1450195312], [14., .7855224609e-1], [15., .\ 2618408203e-1]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 185517 3 81768991 224173533722 81768991 144510471357179557 [------, -------------, ------------------------, ------------------] 16384 16384 20058503667474243 60175511002422729 and in floating-point [11.32305908, 1.655753321, .1010601934, 2.401483078] Here is a plot + HHHHH + HHHH HHHH 0.2 HHH HHHH + HHH HH + HH HH + H HH + H HH 0.15 H HH + H HH + HH H + H HH + HH HH 0.1 H H + HH HH + H H | HH HH + H HHH + HH HH 0.05HH HH +H HH ++--+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-**- 8 9 10 11 12 13 14 15 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 9], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 9, to , 17 The probability distribution is 5 (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) [---------------------------------------------, 16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) 9 (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (1 + n) -------------------------------------------------------, 4 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) 35 (-8 + n) (-7 + n) n (-6 + n) (1 + n) -------------------------------------------------------, 8 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) 385 (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-1 + n) n (1 + n) --------------------------------------------------------------------, 32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) 825 n (-2 + n) (-1 + n) (-7 + n) (-8 + n) (1 + n) --------------------------------------------------------------------, 715 n 64 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-7 + n) (-8 + n) (1 + n)/(32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 1001 (-2 + n) (-1 + n) n (-3 + n) (-4 + n) (-8 + n) (1 + n)/(64 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 2145 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-8 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 715 (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n))] and in Maple notation [5/16*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n), 9/4*(n-5)* (-6+n)*(-7+n)*(-8+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)*(1+n), 35/8*(-\ 8+n)*(-7+n)*n*(-6+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)*(1+n), 385/32* (-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+ 2*n)*(1+n), 825/64*n*(-2+n)*(-1+n)*(-7+n)*(-8+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+ 2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)*(1+n), 715/32*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-7+n)*(-8+n)/(-1+ 2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)*(1+n), 1001/64*(-2+n )*(-1+n)*n*(-3+n)*(-4+n)*(-8+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-\ 11+2*n)/(2*n-13)*(1+n), 2145/128*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-8+n)/(-1 +2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)*(1+n), 715/128*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-\ 7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)*(1+n)] `The average is` 5/128*(84883*n^8-2635730*n^7+33922858*n^6-234050300*n^5+933731227*n^4-\ 2159206130*n^3+2725230312*n^2-1591130880*n+259459200)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n) /(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n) and the variance is 5/16384*(-8+n)*(1+n)*(704262131*n^14-40678059135*n^13+1070736539551*n^12-\ 17005118012175*n^11+181824384937953*n^10-1382782086887625*n^9+7702465382307733* n^8-31875300375250245*n^7+98319392086978616*n^6-224569158265855140*n^5+ 373307063757345216*n^4-437415442518214080*n^3+341409496857926400*n^2-\ 159171525152640000*n+33659538232320000)/(-1+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-5+2*n)^2/(-7+2*n )^2/(-9+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-15+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[9., .1953125000e-1], [10., .7031250000e-1], [11., .1367187500], [12., .187988\ 2812], [13., .2014160156], [14., .1745605469], [15., .1221923828], [16., .\ 6546020508e-1], [17., .2182006836e-1]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 424415 3521310655 2512360718502 3521310655 6020997957667853849 [------, -------------, ---------------------------, -------------------] 32768 32768 2479925745803305805 2479925745803305805 and in floating-point [12.95211792, 1.810932385, .6011674913e-1, 2.427894451] Here is a plot 0.2 HHHHH + HHHHHH HHHH 0.18 H HHH + HH HH + HH HH 0.16 HH HH + H HH 0.14 HH H + H HH 0.12 HH HH + H H 0.1 H HH + HH HH 0.08 H H + HH H + HH HH 0.06 HH HH + H HH 0.04 H HHH + HH HH 0.02*+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+-*- 10 12 14 16 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 10], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 10, to , 19 The probability distribution is 11 (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) [--------------------------------------------------------, 32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) 45 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (1 + n) --------------------------------------------------------, 32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) 99 n (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (1 + n) --------------------------------------------------------------------, 16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) 77 (-8 + n) (-7 + n) (-1 + n) n (-9 + n) (1 + n) -------------------------------------------------------------------, 3003 8 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (-8 + n) (-7 + n) (-1 + n) (-2 + n) n (-9 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 3003 (-9 + n) (-3 + n) (-1 + n) (-2 + n) n (-8 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 5005 (-9 + n) (-8 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) n (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 429 (-9 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 7293 (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-1 + n) (-2 + n) n (-9 + n) (1 + n)/(256 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 2431 (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(256 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n))] and in Maple notation [11/32*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9 +2*n), 45/32*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9 +2*n)*(1+n), 99/16*n*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+ 2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)*(1+n), 77/8*(-8+n)*(-7+n)*(-1+n)*n*(-9+n)/(-1+2*n)/(2*n -3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)*(1+n), 3003/128*(-8+n)*(-7+n)*(-1+n)*( -2+n)*n*(-9+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)*( 1+n), 3003/128*(-9+n)*(-3+n)*(-1+n)*(-2+n)*n*(-8+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/( -7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)*(1+n), 5005/128*(-9+n)*(-8+n)*(-1+n)*(-2+n) *(-3+n)*(-4+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13) /(-15+2*n)*(1+n), 429/16*(-9+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2 *n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)*(1+n), 7293/256*( -6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-1+n)*(-2+n)*n*(-9+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+ 2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 2431/256*(-7+n)*(-6 +n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+ 2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n)] `The average is` 55/256*(34793*n^9-1373127*n^8+22989156*n^7-212767170*n^6+1188116181*n^5-\ 4094873727*n^4+8530593502*n^3-9994264056*n^2+5547489408*n-882161280)/(-1+2*n)/( 2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n) and the variance is 165/65536*(-9+n)*(1+n)*(399368051*n^16-29628436642*n^15+1013212729190*n^14-\ 21181742296918*n^13+302689938189464*n^12-3131835111186418*n^11+ 24241757552866102*n^10-143013681809349554*n^9+648989196034163893*n^8-\ 2269614195843732164*n^7+6087017121509346148*n^6-12368509786084826528*n^5+ 18638269672050768192*n^4-20111624974859959296*n^3+14649380263410094080*n^2-\ 6444812297148825600*n+1297014206552064000)/(-1+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-5+2*n)^2/(-7+ 2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-15+2*n)^2/(-17+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[10., .1074218750e-1], [11., .4394531250e-1], [12., .9667968750e-1], [13., .15\ 03906250], [14., .1832885742], [15., .1832885742], [16., .1527404785], [17., .1\ 047363281], [18., .5564117432e-1], [19., .1854705811e-1]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 1913615 65895728415 900674879362 65895728415 64524696460895524409 [-------, --------------, ---------------------------, --------------------] 131072 131072 8772216208774623055 26316648626323869165 and in floating-point [14.59972382, 1.958478036, .2635647674e-1, 2.451858418] Here is a plot 0.18 HHHHHHHHHHH + HH HH + HH HH 0.16 HHH HH + HH HH 0.14 H HH + H H 0.12 HH HH + H HH + H H 0.1 H HH + HH H 0.08 H HH + HH H 0.06 H H + H HH + H HH 0.04 HHH HH + H HH 0.02 HHH HH +**--+--+--+--+---+--+--+--+---+--+--+--+---+--+--+--+---+--+--+--+---+--+--- 10 12 14 16 18 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 11], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 11, to , 21 The probability distribution is 3 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) [--------------------------------------------------------, 16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) 55 (-10 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (1 + n) --------------------------------------------------------------------, 32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) 135 (-10 + n) (-7 + n) (-8 + n) n (-9 + n) (1 + n) --------------------------------------------------------------------, 117 32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (-10 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-1 + n) n (-9 + n) (1 + n)/(8 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 637 (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 5733 (-8 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-3 + n) (-9 + n) (-10 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 1365 (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (-9 + n) (-10 + n) (1 + n)/(32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 1105 (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (-9 + n) (-10 + n) (1 + n)/(16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 5967 (-10 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 12597 (-10 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/( 256 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 4199 (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(256 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n))] and in Maple notation [3/16*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-\ 9+2*n), 55/32*(-10+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7 +2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)*(1+n), 135/32*(-10+n)*(-7+n)*(-8+n)*n*(-9+n)/(-1+2*n)/ (2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)*(1+n), 117/8*(-10+n)*(-7+n)*(-8+n) *(-1+n)*n*(-9+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13) *(1+n), 637/32*(-10+n)*(-9+n)*(-8+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/ (-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)*(1+n), 5733/128*(-8+n)*n*(-2+n)*(-1+n)*(-3 +n)*(-9+n)*(-10+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-\ 13)/(-15+2*n)*(1+n), 1365/32*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n*(-9+n)*(-10+n)/(-1+2 *n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)*(1+n), 1105 /16*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n*(-9+n)*(-10+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n )/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 5967/128*(-10 +n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2* n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 12597/256*(-10+n)*(-7 +n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2* n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)*(1+n), 4199/256*(-\ 8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n )/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)*(1+n)] `The average is` 3/256*(1421113*n^10-69469105*n^9+1466926410*n^8-17524329930*n^7+130235955129*n^ 6-623195367585*n^5+1918546882580*n^4-3675865264100*n^3+4049894065968*n^2-\ 2153998558080*n+335221286400)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+ 2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n) and the variance is 15/65536*(-10+n)*(1+n)*(20192337097*n^18-1870653443697*n^17+80598552849582*n^16 -2144366703684948*n^15+39446890988191074*n^14-532334791275494466*n^13+ 5456479225683009940*n^12-43391739302287336920*n^11+271089187923976906341*n^10-\ 1338864678673129603077*n^9+5232880663354910576214*n^8-16124360573917886275356*n ^7+38822184519718857100888*n^6-71935549711397982700800*n^5+ 100180691299316680354944*n^4-101060875605259194011136*n^3+ 69509801536939198494720*n^2-29121667796714843750400*n+5618665542783541248000)/( -1+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-5+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-\ 15+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-19+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[11., .5859375000e-2], [12., .2685546875e-1], [13., .6591796875e-1], [14., .11\ 42578125], [15., .1555175781], [16., .1749572754], [17., .1666259766], [18., .1\ 348876953], [19., .9104919434e-1], [20., .4805374146e-1], [21., .1601791382e-1] ] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 4263339 302885056455 4617897245006 302885056455 [-------, ---------------, - -----------------------------, 262144 262144 1223191432316647162227 3025732343585953659815 ----------------------] 1223191432316647162227 and in floating-point [16.26334763, 2.099418411, -.2077728314e-2, 2.473637620] Here is a plot + HHHHHH + HHHH HHHH 0.16 HHH HH + HH HH 0.14 HH HH + H HH 0.12 HH H + HH HH + H H 0.1 HH HH + H H 0.08 HH HH + H HH + HH H 0.06 H HH + HH HH 0.04 HH HH + H HH 0.02 HHHH HHH + HHHH H +**+--+--+--+--+--+-+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+-+--+--+--+--+--+--+ 12 14 16 18 20 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 12], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 12, to , 23 The probability distribution is 13 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) [--------------------------------------------------------------------, 64 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) 33 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (1 + n) --------------------------------------------------------------------, 715 32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (-11 + n) (-10 + n) (-7 + n) (-8 + n) n (-9 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 1365 (-11 + n) (-10 + n) (-8 + n) (-1 + n) n (-9 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 4095 n (-1 + n) (-2 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 637 (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (1 + n)/(16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 10829 (-10 + n) (-9 + n) n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 9945 (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (-10 + n) (-11 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 62985 (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (-10 + n) (-11 + n) (1 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 20995 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) n (-11 + n) (1 + n)/(256 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 88179 (-8 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) n (-11 + n) (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 29393 (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n))] and in Maple notation [13/64*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-\ 7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n), 33/32*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)/(-1+2*n)/ (2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)*(1+n), 715/128*(-11+n)*(-10+n)*(-7 +n)*(-8+n)*n*(-9+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-\ 13)*(1+n), 1365/128*(-11+n)*(-10+n)*(-8+n)*(-1+n)*n*(-9+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5 +2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)*(1+n), 4095/128*n*(-1+n)*(-2+n)*(-8+ n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n) /(2*n-13)/(-15+2*n)*(1+n), 637/16*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n) /(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)*(1+n) , 10829/128*(-10+n)*(-9+n)*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-11+n)/(-1+2*n)/(2*n-\ 3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 9945/128*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n*(-10+n)*(-11+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/( -5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 62985/ 512*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n*(-10+n)*(-11+n)/(-1+2*n)/(2*n-3) /(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)*(1 +n), 20995/256*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*n*(-11+n)/(-1+2* n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-\ 19+2*n)*(1+n), 88179/1024*(-8+n)*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n )*n*(-11+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15 +2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)*(1+n), 29393/1024*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+ n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2 *n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)*(1+n)] `The average is` 39/1024*(964743*n^11-57213916*n^10+1487115995*n^9-22265989640*n^8+212229169369* n^7-1342751786348*n^6+5700629031745*n^5-16026178096960*n^4+28652060963588*n^3-\ 29969497889136*n^2+15364373592960*n-2346549004800)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-\ 7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n) and the variance is 39/1048576*(-11+n)*(1+n)*(563096369033*n^20-63695870383470*n^19+ 3374983299390225*n^18-111308394998909480*n^17+2560942290698868618*n^16-\ 43661377665931041380*n^15+571888463347108957850*n^14-5888095348230743510360*n^ 13+48353013573011832301173*n^12-319512156609688000600990*n^11+ 1706339372527035432490725*n^10-7369002549778088247637840*n^9+ 25656979819145700952022168*n^8-71531312126349681596008000*n^7+ 157904528588474020069227600*n^6-271349249728384835152744320*n^5+ 353985564764309147523019008*n^4-337468751980074994547036160*n^3+ 221068438870383134572953600*n^2-88808437397396347158528000*n+ 16518876695783611269120000)/(-1+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-5+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-9+2*n) ^2/(-11+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-15+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-21+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[12., .3173828125e-2], [13., .1611328125e-1], [14., .4364013672e-1], [15., .\ 8331298828e-1], [16., .1249694824], [17., .1555175781], [18., .1652374268], [19\ ., .1517486572], [20., .1201343536], [21., .8008956909e-1], [22., .4204702377e-\ 1], [23., .1401567459e-1]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 37624977 21960758392287 23253681356972134 21960758392287 [--------, -----------------, - -----------------------------------, 2097152 2097152 4122007770635930777616157 790630797210873280629261 ------------------------] 317077520818148521355089 and in floating-point [17.94098711, 2.234568941, -.2643665953e-1, 2.493493689] Here is a plot + HHHHHH 0.16 HHHH HHHH + HH HH 0.14 HH H + HHH HH + H HH 0.12 HH HH + H H 0.1 HH HH + HH H + H H 0.08 H HH + H HH 0.06 H H + HH H 0.04 HH HH + HH HH + H HHH 0.02 HHH HH + HHHH H +***+--+-+--+--+-+--+--+-+--+--+-+--+--+-+--+--+-+--+--+-+--+--+-+--+--+-+--+ 0 12 14 16 18 20 22 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 13], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 13, to , 25 The probability distribution is 7 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) [--------------------------------------------------------------------, 39 64 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (1 + n)/(32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 231 (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) n (1 + n)/ (64 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 1925 (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 1575 (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(64 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 1071 (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-12 + n) (1 + n)/(16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 2499 (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 20349 (-11 + n) (-10 + n) n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-12 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 72675 (-12 + n) (-11 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 56525 (-12 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) n (-11 + n) (1 + n)/(256 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 74613 (-12 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 156009 (-12 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 52003 (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n))] and in Maple notation [7/64*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-\ 7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n), 39/32*(-12+n)*(-11+n)*(-10+n)*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)/( -1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)*(1+n), 231/64*(-\ 12+n)*(-11+n)*(-10+n)*(-9+n)*(-8+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2* n)/(-11+2*n)/(2*n-13)*(1+n), 1925/128*(-12+n)*(-11+n)*(-10+n)*(-9+n)*(-8+n)*(-1 +n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)* (1+n), 1575/64*(-12+n)*(-11+n)*(-10+n)*(-9+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/ (-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)*(1+n), 1071/16*(-11+n)* (-10+n)*(-9+n)*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-12+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n )/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 2499/32*(-12+n)*(-11+n )*(-10+n)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+ 2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 20349/128*(-11+n)*(-10+n)*n* (-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-12+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-\ 9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)*(1+n), 72675/512*(-12+n )*(-11+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/ (-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)*(1+n), 56525 /256*(-12+n)*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*n*(-11+n)/(-1+2*n) /(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19 +2*n)/(-21+2*n)*(1+n), 74613/512*(-12+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+ n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-\ 13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)*(1+n), 156009/1024*(-12+n)*(-9+n)*( -8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2* n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n) /(-23+2*n)*(1+n), 52003/1024*(-10+n)*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*( -3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2* n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)*(1+n)] `The average is` 7/1024*(11762641*n^12-831959376*n^11+26098432973*n^10-478481518740*n^9+ 5685838989423*n^8-45890507268648*n^7+256184780034839*n^6-987543500498580*n^5+ 2574986365108636*n^4-4341647628737376*n^3+4342551196500288*n^2-2155855691566080 *n+323823762662400)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-\ 13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n) and the variance is 21/1048576*(-12+n)*(1+n)*(4683947845939*n^22-635200129465007*n^21+ 40586954604161069*n^20-1624664493107972125*n^19+45694355248267122114*n^18-\ 959939706870262484142*n^17+15631875895901025842314*n^16-\ 202110034107550606994570*n^15+2108140655701809101214599*n^14-\ 17926444669590358263945307*n^13+125071427062011730347039369*n^12-\ 718221820285517942075080665*n^11+3395604309023412351468990004*n^10-\ 13184423399803226916541445432*n^9+41818544201269871244092974544*n^8-\ 107422174348208387449550338960*n^7+220661619149991267638894036544*n^6-\ 355953729804948211434427706112*n^5+439308343390157777095843912704*n^4-\ 399000260202134623246844743680*n^3+250576873067000035891619020800*n^2-\ 97035174061869742587592704000*n+17476971544139060722728960000)/(-1+2*n)^2/(2*n-\ 3)^2/(-5+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-15+2*n)^2/(-17+2 *n)^2/(-19+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-23+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[13., .1708984375e-2], [14., .9521484375e-2], [15., .2819824219e-1], [16., .\ 5874633789e-1], [17., .9613037109e-1], [18., .1307373047], [19., .1525268555], [20., .1552505493], [21., .1386165619], [22., .1078128815], [23., .7115650177e-\ 1], [24., .3719544411e-1], [25., .1239848137e-1]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 82338487 98362904764719 105290503530747842 98362904764719 [--------, -----------------, - ------------------------------------, 4194304 4194304 21939367423476598078791721 1157190698840798702274172393 ----------------------------] 460726715893008559654626141 and in floating-point [19.63102508, 2.364589562, -.4759713080e-1, 2.511663984] Here is a plot + HHHHHHHH + HH HHH 0.14 HH HHH + HH HH + HH HH 0.12 H H + H HH 0.1 H H + HH HH + H H 0.08 HH H + H H 0.06 H HH + HH H + HH HH 0.04 HH H + H HH + HHH HH 0.02 HHH HH + HHHH H +*****--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+ 0 14 16 18 20 22 24 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 14], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 14, to , 27 The probability distribution is [15 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 91 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 585 n (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 165 n (-1 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (1 + n)/(16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 4675 n (-1 + n) (-2 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 6885 n (-2 + n) (-1 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 8721 (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(64 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 4845 (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 305235 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 266475 n (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (-12 + n) (-13 + n) (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 408595 (-13 + n) (-12 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 66861 (-13 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/( 256 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 557175 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-13 + n) (1 + n)/(2048 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 185725 (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(2048 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n))] and in Maple notation [15/128*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/( -5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13), 91/128*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11 +n)*(-12+n)*(-13+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-\ 13)*(1+n), 585/128*n*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)/(-1+2*n)/(2* n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)*(1+n), 165/16*n*(-\ 1+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/ (-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)*(1+n), 4675/128*n*(-1+n)*(-2+n)*(-9+n)*(-\ 10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+ 2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 6885/128*n*(-2+n)*(-1+n)*(-3+n)*(-10+n )*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n) /(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 8721/64*(-13+n)*(-12+n)*(-11+n)*(-10+n)*(-\ 4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2* n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)*(1+n), 4845/32*(-13+n)*(-12+n)*(-11+n )*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2* n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)*(1+n), 305235/1024*n*(-1+n) *(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5 +2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2 *n)*(1+n), 266475/1024*n*(-7+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*(-12+n )*(-13+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2 *n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)*(1+n), 408595/1024*(-13+n)*(-12+n)*(-8+n)*(-7 +n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2* n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n )*(1+n), 66861/256*(-13+n)*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+ n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15 +2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)*(1+n), 557175/2048*n*(-1+n)*(-2+n )*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-13+n)/(-1+2*n)/(2*n -3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n) /(-21+2*n)/(-23+2*n)/(-25+2*n)*(1+n), 185725/2048*(-11+n)*(-10+n)*(-9+n)*(-8+n) *(-7+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-\ 7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23 +2*n)/(-25+2*n)*(1+n)] `The average is` 15/2048*(23859587*n^13-1984060567*n^12+73904157031*n^11-1628068051655*n^10+ 23584265175561*n^9-236242597652241*n^8+1674672700960333*n^7-8448596783363885*n^ 6+30058267773990752*n^5-73530666632323492*n^4+117872023127466336*n^3-\ 113372416582637760*n^2+54704172444364800*n-8095594066560000)/(-1+2*n)/(2*n-3)/( -5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21 +2*n)/(-23+2*n)/(-25+2*n) and the variance is 45/4194304*(-13+n)*(1+n)*(38782352667347*n^24-6210007970712426*n^23+ 470817484449018712*n^22-22482057327191208550*n^21+758730280690417290147*n^20-\ 19249775054507346302156*n^19+381287647027191802100672*n^18-\ 6044232193951415680222860*n^17+77987777578962961906179577*n^16-\ 828599792719779552402403426*n^15+7305823466680551439505902512*n^14-\ 53713255243639172530653509870*n^13+330055364731601807368549076417*n^12-\ 1695214199419167853446765059976*n^11+7262755418242425728342268069112*n^10-\ 25843608892144163357685862132480*n^9+75862955711765070910008618884112*n^8-\ 181919540943474346025685746230016*n^7+351544898871530779654494326548992*n^6-\ 537180827394232763461059481866240*n^5+631958371059127797767910103142400*n^4-\ 550244124636086817101943816192000*n^3+332985555007854953667708026880000*n^2-\ 124825372129731210971185152000000*n+21846214430173825903411200000000)/(-1+2*n)^ 2/(2*n-3)^2/(-5+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-15+2*n)^2 /(-17+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-25+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[14., .9155273438e-3], [15., .5554199219e-2], [16., .1785278320e-1], [17., .\ 4028320312e-1], [18., .7133483887e-1], [19., .1050567627], [20., .1330718994], [21., .1478576660], [22., .1455473900], [23., .1270651817], [24., .9741663933e-\ 1], [25., .6376361847e-1], [26., .3321021795e-1], [27., .1107007265e-1]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 357893805 3 193911763336735 35748319603538211258 193911763336735 [---------, --------------------, - ---------------------------------------, 16777216 16777216 7520354392072384828200092045 171127196743145725094277961249 ------------------------------] 67683189528651463453800828405 and in floating-point [21.33213311, 2.490023446, -.6619411844e-1, 2.528355976] Here is a plot + HHHHHHH 0.14 HHH HHH + HH HH + HH HH 0.12 H H + HH HH + HH HH 0.1 H H + HH HH 0.08 H H + HH H + H HH 0.06 H H + HH HH + H HH 0.04 HH H + H HH 0.02 HH HH + HHHH HH + HHH H +******-+-+--+-+-+-+--+-+-+-+--+-+-+-+--+-+-+-+--+-+-+-+--+-+-+-+--+-+-+-+--+ 0 14 16 18 20 22 24 26 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 15], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 15, to , 29 The probability distribution is [(-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n)/(16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 105 (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 91 (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) n (1 + n)/(32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 221 (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(16 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 1683 (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(64 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 10659 (-14 + n) n (-2 + n) (-1 + n) (-3 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 14535 (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 8721 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (1 + n)/(32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 74613 (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(256 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 572033 (-14 + n) n (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (-12 + n) (-13 + n) (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 245157 (-14 + n) (-13 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 185725 (-14 + n) (-13 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(256 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 482885 (-14 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 1002915 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-14 + n) (1 + n)/(2048 (-23 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-7 + 2 n) (-1 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-21 + 2 n) (-25 + 2 n) (-27 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n)), 334305 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (1 + n)/(2048 (-23 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-7 + 2 n) (-1 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-21 + 2 n) (-25 + 2 n) (-27 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n))] and in Maple notation [1/16*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-\ 5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13), 105/128*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-\ 11+n)*(-10+n)*(-9+n)*(-8+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2* n)/(2*n-13)/(-15+2*n)*(1+n), 91/32*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-11+n)*(-10+n)*(-9+ n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)*( 1+n), 221/16*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-11+n)*(-10+n)*(-9+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/( 2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 1683/64*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-11+n)*(-10+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3 )/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 10659/128*(-14+n)*n*(-2+n)*(-1+n)*(-3+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)/(-1+2* n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-\ 19+2*n)*(1+n), 14535/128*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-11+n)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*( -1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n )/(-17+2*n)/(-19+2*n)*(1+n), 8721/32*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-11+n )*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n) /(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)*(1+n), 74613/256*(-14+n)*(-13 +n)*(-12+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n )/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)* (1+n), 572033/1024*(-14+n)*n*(-7+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*(-\ 12+n)*(-13+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-\ 15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)*(1+n), 245157/512*(-14+n)*(-13+ n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-\ 5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+ 2*n)/(-23+2*n)*(1+n), 185725/256*(-14+n)*(-13+n)*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(n -5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/( -11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(-25+2*n)*( 1+n), 482885/1024*(-14+n)*(-10+n)*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+ n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-\ 13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(-25+2*n)*(1+n), 1002915/ 2048*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-\ 11+n)*(-14+n)*(1+n)/(-23+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(-7+2*n)/(-1+2*n)/(-9+2*n)/(2 *n-3)/(-15+2*n)/(-21+2*n)/(-25+2*n)/(-27+2*n)/(2*n-13)/(-19+2*n)/(-5+2*n), 334305/2048*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-\ 10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(1+n)/(-23+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(-7+2*n)/(-1+2*n)/(-9 +2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-21+2*n)/(-25+2*n)/(-27+2*n)/(2*n-13)/(-19+2*n)/(-5+2* n)] `The average is` 1/2048*(773201629*n^14-74679510623*n^13+3258218656631*n^12-84907886616247*n^11+ 1472316671124597*n^10-17909775382752849*n^9+156955486291580453*n^8-\ 1001481775154654461*n^7+4644001533712760554*n^6-15434691405068694428*n^5+ 35734091412876661416*n^4-54806482371076641792*n^3+50919402161384334720*n^2-\ 23951631507563289600*n+3497296636753920000)/(-23+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(-7+2 *n)/(-1+2*n)/(-9+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-21+2*n)/(-25+2*n)/(-27+2*n)/(2*n-13)/ (-19+2*n)/(-5+2*n) and the variance is 3/4194304*(-14+n)*(1+n)*(2559175569953213*n^26-477677385261493605*n^25+ 42390891073047263224*n^24-2380053543034265124310*n^23+94906119895055677623291*n ^22-2860285940864815905452975*n^21+67695162074624662811778554*n^20-\ 1290529407110472364019889900*n^19+20168477365659706306589697331*n^18-\ 261610970697366676441033210435*n^17+2841175216805851840262846427444*n^16-\ 25987641019076044649356558910390*n^15+200933212249479860760787053954581*n^14-\ 1315539355857162007909422068652345*n^13+7293066304900084548454530036960154*n^12 -34175485148180631485438149821402280*n^11+134893737066865369552702946715155616* n^10-446033608770953268973389348472512080*n^9+ 1225959693807987477604609994849541024*n^8-2771552290640295597621875628088965120 *n^7+5080449399148299132893039888761555968*n^6-\ 7405599686952945620941213396945858560*n^5+8353770650677256519047389791068569600 *n^4-7007418548583480215795388008521728000*n^3+ 4103138113990460698702514502942720000*n^2-1494051751305073424612825284608000000 *n+254814245113547505337388236800000000)/(-23+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(-\ 7+2*n)^2/(-1+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-15+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-\ 27+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-19+2*n)^2/(-5+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[15., .4882812500e-3], [16., .3204345703e-2], [17., .1110839844e-1], [18., .\ 2697753906e-1], [19., .5136108398e-1], [20., .8132171631e-1], [21., .1108932495 ], [22., .1330718994], [23., .1423130035], [24., .1363832951], [25., .116899967\ 2], [26., .8856058121e-1], [27., .5756437778e-1], [28., .2988919616e-1], [29., .9963065386e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 773201629 7677526709859639 6181519700768128421574 7677526709859639 [---------, -------------------, - ------------------------------------------, 33554432 33554432 6549379597845352605215009023369 16659972628949056692125676310373 --------------------------------] 6549379597845352605215009023369 and in floating-point [23.04320422, 2.611324097, -.8270004828e-1, 2.543748210] Here is a plot 0.14 HHHHHH + HHHH HHH + HH HH 0.12 H HH + HH HH + H H 0.1 H HH + HH H + H HH 0.08 HH H + HH H + H HH 0.06 HH H + HH HH 0.04 H H + HH H + HH HH 0.02 HH HH + HH HH + HHHHH H +*******-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+ 0 16 18 20 22 24 26 28 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 16], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 16, to , 31 The probability distribution is [17 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n)/(256 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 15 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (1 + n)/(32 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 1785 (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) n (1 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 4641 (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 37791 (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 31977 (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 373065 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (1 + n)/(2048 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 479655 (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(2048 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 2206413 (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(4096 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 572033 (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/( 1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 8580495 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (1 + n)/(8192 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 7243275 (-15 + n) (-14 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(8192 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 21729825 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-14 + n) (-15 + n) (1 + n) n/(16384 (-23 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-7 + 2 n) (-1 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-21 + 2 n) (-25 + 2 n) (-27 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n)), 7020405 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-15 + n) (1 + n) n/(8192 (-23 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-7 + 2 n) (-1 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-21 + 2 n) (-25 + 2 n) (-27 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n)), 29084535 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-15 + n) (1 + n)/(32768 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 9694845 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (1 + n)/(32768 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n))] and in Maple notation [17/256*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)/(-1+2*n)/ (2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n), 15/32*(-9+n)*( -10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2* n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)*(1+n), 1785/512*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n )*(-12+n)*(-11+n)*(-10+n)*(-9+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/ (-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 4641/512*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)* (-12+n)*(-11+n)*(-10+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-\ 11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 37791/1024*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)* (-12+n)*(-11+n)*(-10+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+ 2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)*(1+n), 31977/512*(-15+n)* (-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-11+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n )/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)*(1+n), 373065/2048*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+ n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-\ 17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)*(1+n), 479655/2048*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)* (n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n) /(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)*(1+n), 2206413/4096 *(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1 +2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n) /(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)*(1+n), 572033/1024*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)*(-7+n )*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n) /(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)* (1+n), 8580495/8192*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-\ 13+n)*(-14+n)*(-15+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2* n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(-25+2*n)*(1+n), 7243275/8192*(-15+n)*(-14+n)*(-9+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-\ 2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-\ 15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(-25+2*n)*(1+n), 21729825/16384 *(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-14+n)* (-15+n)*(1+n)*n/(-23+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(-7+2*n)/(-1+2*n)/(-9+2*n)/(2*n-3 )/(-15+2*n)/(-21+2*n)/(-25+2*n)/(-27+2*n)/(2*n-13)/(-19+2*n)/(-5+2*n), 7020405/ 8192*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11 +n)*(-15+n)*(1+n)*n/(-23+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(-7+2*n)/(-1+2*n)/(-9+2*n)/(2 *n-3)/(-15+2*n)/(-21+2*n)/(-25+2*n)/(-27+2*n)/(2*n-13)/(-19+2*n)/(-5+2*n), 29084535/32768*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)* (-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-15+n)*(1+n)/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(2*n-13)/(-\ 11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+ 2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n), 9694845/32768*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n )*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(1+n)/(-27+2*n)/(-23+2*n )/(-21+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/ (2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)] `The average is` 17/32768*(1564082093*n^15-173638146162*n^14+8770625690504*n^13-266837933301168* n^12+5455574377625102*n^11-79176371781318636*n^10+839807546836662052*n^9-\ 6602077631613494184*n^8+38585714589416329357*n^7-166547169599301969522*n^6+ 521897925485497244044*n^5-1151399543536960098648*n^4+1698159668406850136448*n^3 -1529577268103117911680*n^2+703133117618549990400*n-101421602465863680000)/(-27 +2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+ 2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n) and the variance is 51/1073741824*(-15+n)*(1+n)*(168343671150613037*n^28-36226793705455244398*n^27+ 3719733964258912252419*n^26-242569581573963059703624*n^25+ 11281195762334067152506713*n^24-398321994382713839880073866*n^23+ 11098651715819447011849253187*n^22-250430105752233512234842678284*n^21+ 4659488140714027916003650615443*n^20-72420807802430091272375841750786*n^19+ 949159913654944289298512787398097*n^18-10560369589160470104002940545203344*n^17 +100202475462784781248852599099951723*n^16-813153099667497345425377040501122566 *n^15+5651056058304394678355059619756303097*n^14-\ 33628197009161876156407935339265968924*n^13+ 171098445658723836652433001277455913788*n^12-\ 742143880246419315416957455893870613056*n^11+ 2732025054865253303130859617621902674672*n^10-\ 8482335987973314296707052843604473180864*n^9+ 22025513055075116512406289919581738213696*n^8-\ 47302023589132813452463383107484804707328*n^7+ 82787707880502728850433941826826341398528*n^6-\ 115759561159986449544456068750885172264960*n^5+ 125801695842561235596176250052627276185600*n^4-\ 102072081028357053241510499679323455488000*n^3+ 58024719003493944289945001224488222720000*n^2-\ 20580617320001254914920263742128128000000*n+ 3428780482247895231819896114380800000000)/(-27+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-21+2*n)^2/( 2*n-13)^2/(-11+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-7+2*n)^2 /(2*n-3)^2/(-15+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-1+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[16., .2593994141e-3], [17., .1831054688e-2], [18., .6809234619e-2], [19., .\ 1770401001e-1], [20., .3604030609e-1], [21., .6099128723e-1], [22., .8894562721\ e-1], [23., .1143586636], [24., .1315124631], [25., .1363832951], [26., .127859\ 3391], [27., .1079332083], [28., .8094990626e-1], [29., .5230609328e-1], [30., .2708708402e-1], [31., .9029028006e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 26589395581 8585527228681264887 [-----------, ----------------------, 1073741824 1073741824 1/2 16026920184658729783604902 8585527228681264887 - -------------------------------------------------, 481773057479917650052952995544177273 3697116989629958536272877219603485119 -------------------------------------] 1445319172439752950158858986632531819 and in floating-point [24.76330435, 2.728874827, -.9747450761e-1, 2.557993459] Here is a plot + HHHHHH + HHH HHH 0.12 HH HH + HH H + HH HH 0.1 H HH + HH H + H HH 0.08 HH H + H H + H H 0.06 H H + HH HH + H H 0.04 HH HH + HH HH + H H 0.02 HHH HHH + HH HH + HHHHH H +********+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-++- 0 16 18 20 22 24 26 28 30 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 17], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 17, to , 33 The probability distribution is [9 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(256 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n)), 17 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (1 + n)/(32 (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n)), 135 (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) n (1 + n)/(64 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 5985 (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 25935 (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 46683 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (1 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 144837 (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 793155 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (1 + n)/ (2048 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 1946835 (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(4096 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 1081575 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 2187185 (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/( 2048 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 16105635 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (1 + n)/( 8192 (-23 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-7 + 2 n) (-1 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-21 + 2 n) (-25 + 2 n) (-27 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n)), 26842725 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-15 + n) (-16 + n) (1 + n)/(16384 (-23 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-7 + 2 n) (-1 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-21 + 2 n) (-25 + 2 n) (-27 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n)), 19959975 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-15 + n) (-16 + n) (1 + n) n/(8192 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 25662825 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-16 + n) (1 + n) n/(16384 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 53036505 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-16 + n) (1 + n)/(32768 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 17678835 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (1 + n)/(32768 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n))] and in Maple notation [9/256*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)/(-1+2*n)/ (2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n), 17/32*(-9+n)*( -10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(1+n)/(-17+2*n)/(-15+2*n )/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(-5+2*n)/(2*n-3)/(-1+2*n), 135/64*(-16+n )*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-11+n)*(-10+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/( -7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)*(1+n), 5985/512*(-16+n) *(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-11+n)*(-10+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+ 2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)*(1+n), 25935/1024*(-16+n)*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-11+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+ 2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/ (-19+2*n)*(1+n), 46683/512*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+ n)*(-15+n)*(-16+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-\ 13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)*(1+n), 144837/1024*(-16+n)*(-15+n)* (-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n) /(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)*( 1+n), 793155/2048*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*( -15+n)*(-16+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/( -15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)*(1+n), 1946835/4096*(-16+n)*(-\ 15+n)*(-14+n)*(-13+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-\ 3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/ (-21+2*n)/(-23+2*n)*(1+n), 1081575/1024*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6 +n)*(-7+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/( -9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(-\ 25+2*n)*(1+n), 2187185/2048*(-16+n)*(-15+n)*(-14+n)*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(n-5)* (-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+ 2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(-25+2*n)*(1+n) , 16105635/8192*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n) *(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(1+n)/(-23+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(-7+2*n)/(-1+2*n)/ (-9+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-21+2*n)/(-25+2*n)/(-27+2*n)/(2*n-13)/(-19+2*n)/(-5 +2*n), 26842725/16384*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)* (-9+n)*(-10+n)*(-15+n)*(-16+n)*(1+n)/(-23+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(-7+2*n)/(-1 +2*n)/(-9+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-21+2*n)/(-25+2*n)/(-27+2*n)/(2*n-13)/(-19+2* n)/(-5+2*n), 19959975/8192*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+ n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-15+n)*(-16+n)*(1+n)*n/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n) /(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-\ 15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n), 25662825/16384*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n) *(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-16+n)*(1+n)*n/(-27 +2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+ 2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n), 53036505/32768*n*( -1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-\ 12+n)*(-13+n)*(-16+n)*(1+n)/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-\ 11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+ 2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n), 17678835/32768*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+ n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(1+n)/(-27+2*n) /(-23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n) /(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)] `The average is` 9/32768*(6321150767*n^16-799304361814*n^15+46274599183160*n^14-1625287737083920 *n^13+38683854607807514*n^12-660043447359190468*n^11+8328326626444500940*n^10-\ 79008416534556083960*n^9+567212992176882696271*n^8-3076186740420987476822*n^7+ 12478965581244333143140*n^6-37138731678128424237320*n^5+78507216945945509000448 *n^4-111803891578556517760896*n^3+97927598030926611317760*n^2-\ 44084706286627425484800*n+6288139352883548160000)/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n) /(-31+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/( 2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n) and the variance is 27/1073741824*(-16+n)*(1+n)*(1380545218286528541*n^30-339270656433004340625*n^ 29+39905423618952863440885*n^28-2990873855603398086396725*n^27+ 160436918465900114744609169*n^26-6558983313167429852696011905*n^25+ 212483578738356637881274947225*n^24-5599449183549202910148060202425*n^23+ 122270515010234612378365293039015*n^22-2242262059436113247044900934798175*n^21+ 34876889416330317161530284149878575*n^20-463492853311104733013047041921596175*n ^19+5290451531680908769570009719742398555*n^18-\ 52055388317661458497003266811649428875*n^17+ 442523029664685300592309873704432409875*n^16-\ 3253407838649845179955826034529921458675*n^15+ 20682611148370833791606374662975334375440*n^14-\ 113546690222589725910888350436606366720900*n^13+ 537001768651569786968537405284708843388400*n^12-\ 2179670419180434892651352819045293454446800*n^11+ 7554105643137059126743064097375310596370304*n^10-\ 22201722062830230159262932597907902089425600*n^9+ 54845306618499024765539522775570827830947840*n^8-\ 112571409971670228320452263252926276350003200*n^7+ 189099651535228039701622503721206158592638976*n^6-\ 254782349558130473922804288089700913672273920*n^5+ 267783034528493607162267646503227278471987200*n^4-\ 210852613470825713345589393858011325136896000*n^3+ 116693335560860409941045906221309993943040000*n^2-\ 40412206538587249849669971364721197056000000*n+ 6590116086880454635557840331839897600000000)/(-27+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-21+2*n)^ 2/(-31+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-11+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-9+2* n)^2/(-7+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-15+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-1+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[17., .1373291016e-3], [18., .1037597656e-2], [19., .4119873047e-2], [20., .\ 1141548157e-1], [21., .2473354340e-1], [22., .4452037811e-1], [23., .6906366348\ e-1], [24., .9455144405e-1], [25., .1160404086], [26., .1289337873], [27., .130\ 3663850], [28., .1199963316], [29., .9999694303e-1], [30., .7435670122e-1], [31\ ., .4780073650e-1], [32., .2469704719e-1], [33., .8232349064e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 56890356903 9 460181739428842847 [-----------, -----------------------, 2147483648 2147483648 1/2 933865235231283587928268246 460181739428842847 - -------------------------------------------------, 5717715299201396214834697442422766043 132313656118649680904221933913400862183 ---------------------------------------] 51459437692812565933512276981804894387 and in floating-point [26.49163683, 2.843003108, -.1107965844, 2.571222346] Here is a plot + HHHHHHH + HHH HHH 0.12 HHH HH + HH H + HH H 0.1 HH HH + H H + H H 0.08 H H + HH HH + H H 0.06 H H + H H + HH HH 0.04 HH HH + H H + HH HH 0.02 HHH H + HHH HHH + HHHH H +**********-++-+-+-+-++-+-+-+-+-++-+-+-+-+-++-+-+-+-+-++-+-+-+-++-+-+-+-+-++- 0 18 20 22 24 26 28 30 32 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 18], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 18, to , 35 The probability distribution is [19 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n)), 153 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (1 + n)/(512 (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n)), 323 n (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (1 + n)/(128 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 475 (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(64 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 69825 n (-1 + n) (-2 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (1 + n)/(2048 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 133133 (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(2048 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n)), 437437 (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(2048 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 158631 (-17 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-4 + n) n (-16 + n) (n - 5) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (1 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 6609625 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (1 + n)/(8192 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 7811375 (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-7 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/( 8192 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 8436285 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (1 + n) n/(4096 (-23 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-7 + 2 n) (-1 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-21 + 2 n) (-25 + 2 n) (-27 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n)), 4175535 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (1 + n) n/(2048 (-23 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-7 + 2 n) (-1 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-21 + 2 n) (-25 + 2 n) (-27 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n)), 121090515 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (1 + n)/(32768 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 99799875 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-16 + n) (-17 + n) (1 + n)/(32768 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 147323625 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-16 + n) (-17 + n) (1 + n) n/(32768 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 5892945 (-17 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (1 + n) n/(2048 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 194467185 n (-17 + n) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (1 + n)/(65536 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-29 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (-11 + 2 n) (-27 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-33 + 2 n) (-9 + 2 n) (-19 + 2 n) (-25 + 2 n) (-15 + 2 n)), 64822395 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (1 + n)/(65536 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-29 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (-11 + 2 n) (-27 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-33 + 2 n) (-9 + 2 n) (-19 + 2 n) (-25 + 2 n) (-15 + 2 n))] and in Maple notation [19/512*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)/ 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(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(1+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-29+2*n )/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(-11+2*n)/(-27+2*n)/(-17+2*n)/(2*n-13)/(-5+2*n)/(-23+2*n) /(-7+2*n)/(-33+2*n)/(-9+2*n)/(-19+2*n)/(-25+2*n)/(-15+2*n)] `The average is` 19/65536*(12761711209*n^17-1823446414739*n^16+119941224543682*n^15-\ 4816287770816120*n^14+132004531978347238*n^13-2615395735671608498*n^12+ 38699000907469275824*n^11-435604859704698150940*n^10+3763908338490937188497*n^9 -25007353332202265263987*n^8+127113863698164326284406*n^7-\ 488335581129811408862260*n^6+1388367948713739176809656*n^5-\ 2824743868066318144507776*n^4+3897681888637739235881088*n^3-\ 3328226505265811022535680*n^2+1469869969705091503718400*n-\ 207508598645157089280000)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-29+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(-11+2 *n)/(-27+2*n)/(-17+2*n)/(2*n-13)/(-5+2*n)/(-23+2*n)/(-7+2*n)/(-33+2*n)/(-9+2*n) /(-19+2*n)/(-25+2*n)/(-15+2*n) and the variance is 57/4294967296*(-17+n)*(1+n)*(11295963932530051903*n^32-3143881600813431581274*n ^31+419926899827448586351378*n^30-35843928867924934271172190*n^29+ 2196537871795441380684368082*n^28-102926082973887622421712589206*n^27+ 3835426256760875115888685600302*n^26-116707060390900980615739395498390*n^25+ 2954846717485590431001930518835120*n^24-63111577075833585866750244479285010*n^ 23+1148914302016874027655764226348728970*n^22-\ 17965145160784161082865381736533885850*n^21+ 242688441339865903930633422394117380990*n^20-\ 2844296955685278322524785268455498617170*n^19+ 29005191379226740568819002071311466727290*n^18-\ 257827587640255537646489423651251854193650*n^17+ 1999269655226343702367543322418648799371345*n^16-\ 13521351722778034881137962246768229252689260*n^15+ 79667944135990134620959929546712904440170620*n^14-\ 408083061598368830596406765613738510874387200*n^13+ 1811552102116548092941657490351830477307307632*n^12-\ 6939435397355325611111709824930547675452344256*n^11+ 22809783968760422185206649100742699600940871232*n^10-\ 63869942104781464988547154757264245783584476160*n^9+ 150950314301765096195511032684546863484777699328*n^8-\ 297569126236598935678356403510241720391776845824*n^7+ 481816690719706362336246739505575206506062430208*n^6-\ 627853513891854507891735333341096895076136386560*n^5+ 640247673488588733071246402187853746385688985600*n^4-\ 490586584697752869476682348933159463365378048000*n^3+ 264951041022148750052277767893198612589445120000*n^2-\ 89768377239383471251082704110698121658368000000*n+ 14353272837225630196244976242747296972800000000)/(-1+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-29+2*n) ^2/(-21+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-5+2 *n)^2/(-23+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-33+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-\ 15+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[18., .7247924805e-4], [19., .5836486816e-3], [20., .2464294434e-2], [21., .\ 7247924805e-2], [22., .1664757729e-1], [23., .3174138069e-1], [24., .5214655399\ e-1], [25., .7564115524e-1], [26., .9849108756e-1], [27., .1163985580], [28., .\ 1257104427], [29., .1244406402], [30., .1127743302], [31., .9294587653e-1], [32\ ., .6860290887e-1], [33., .4390586168e-1], [34., .2263895993e-1], [35., .\ 7546319976e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 242472512971 643869944154212958471 [------------, ------------------------, 8589934592 8589934592 1/2 35223037878811767004784262122 643869944154212958471 - ------------------------------------------------------, 7273131666406128313918874172076813520313 18790475724685302783778862336535393261269 -----------------------------------------] 7273131666406128313918874172076813520313 and in floating-point [28.22751563, 2.953991350, -.1228865740, 2.583546756] Here is a plot + HHHHHH 0.12 HHHH HH + H HH + H HH 0.1 HH H + H HH + H HH 0.08 HH H + H HH + HH H 0.06 H H + H HH + HH H + H H 0.04 HH HH + HH H + HH HH 0.02 HH HH + HHH HHH + HHHH H +***********++-+-+-++-+-+-++-+-++-+-+-++-+-++-+-+-++-+-++-+-+-++-+-++-+-+-++- 0 18 20 22 24 26 28 30 32 34 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 19], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 19, to , 37 The probability distribution is [5 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n)/(256 (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n)), 171 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (1 + n)/(512 (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n)), 765 (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) n (1 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 595 (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(64 (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n)), 5775 (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(256 (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n)), 185955 (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(2048 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 161161 (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(1024 (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n)), 246675 (-17 + n) (-15 + n) (-13 + n) (-18 + n) (-14 + n) (-4 + n) n (-16 + n) (n - 5) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (1 + n)/(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 2713425 (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-6 + n) (n - 5) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(4096 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 13567125 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (1 + n)/(8192 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (-27 + 2 n)), 15540525 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (1 + n)/(8192 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (-27 + 2 n)), 8194095 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (1 + n) n/(2048 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 31865925 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (1 + n) n/(8192 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 227963925 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (1 + n)/(32768 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n)), 23261625 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-17 + n) (-18 + n) (1 + n) /(4096 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n)), 17058525 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-17 + n) (-18 + n) (1 + n) n/(2048 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n) (-33 + 2 n)), 173996955 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-18 + n) (1 + n) n/(32768 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n) (-33 + 2 n)), 358229025 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-18 + n) (1 + n)/(65536 (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 119409675 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (1 + n)/(65536 (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n))] and in Maple notation [5/256*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)/ (-17+2*n)/(-15+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(-5+2*n)/(2*n-3)/(-1+2 *n), 171/512*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-\ 18+n)*(1+n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-\ 5+2*n)/(-1+2*n)/(-19+2*n), 765/512*(-18+n)*(-17+n)*(-16+n)*(-15+n)*(-14+n)*(-13 +n)*(-12+n)*(-11+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2* n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)*(1+n), 595/64*(-18+n)*(-17+n)*(-16+n)*(-15+ n)*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-11+n)*(-1+n)*n/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2* n)/(-5+2*n)/(2*n-13)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(-21+2*n)/(2*n-3)/(-1+2*n)*(1+n), 5775 /256*(-18+n)*(-17+n)*(-16+n)*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-\ 15+2*n)/(-19+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(-5+2*n)/(2*n-13)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(-21+ 2*n)/(2*n-3)/(-1+2*n)*(1+n), 185955/2048*(-18+n)*(-17+n)*(-16+n)*(-15+n)*(-14+n )*(-13+n)*(-12+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9 +2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)*(1+n ), 161161/1024*(-18+n)*(-17+n)*(-16+n)*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)*(-4+n)*(-3+n)*(-\ 2+n)*(-1+n)*n*(1+n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/( -7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-19+2*n), 246675/512*(-17+n)*(-15+ n)*(-13+n)*(-18+n)*(-14+n)*(-4+n)*n*(-16+n)*(n-5)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)/(-1+2*n) /(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19 +2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(-25+2*n)*(1+n), 2713425/4096*(-18+n)*(-17+n)*(-16+n) *(-15+n)*(-14+n)*(-6+n)*(n-5)*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-\ 5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+ 2*n)/(-23+2*n)/(-25+2*n)*(1+n), 13567125/8192*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-\ 5)*(-6+n)*(-7+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(1+n)/(-25+2*n)/(-21+2 *n)/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/ (-5+2*n)/(-1+2*n)/(-19+2*n)/(-27+2*n), 15540525/8192*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4 +n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(1+n)/(-25+2*n)/ (-21+2*n)/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15 +2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-19+2*n)/(-27+2*n), 8194095/2048*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)* (-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(1+n)* n/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n )/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n), 31865925/ 8192*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-16 +n)*(-17+n)*(-18+n)*(1+n)*n/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-\ 17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2 *n)/(-1+2*n), 227963925/32768*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n) *(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(1+n)/(-25+2*n)/(-21+2*n )/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-\ 5+2*n)/(-1+2*n)/(-19+2*n)/(-27+2*n)/(-29+2*n)/(-31+2*n), 23261625/4096*n*(-1+n) *(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n) *(-17+n)*(-18+n)*(1+n)/(-25+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2* n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-19+2*n)/(-27+2*n)/(-\ 29+2*n)/(-31+2*n), 17058525/2048*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n )*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-17+n)*(-18+n)*(1+n)*n/(-25+2* n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/( -15+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-19+2*n)/(-27+2*n)/(-29+2*n)/(-31+2*n)/(-33+2*n), 173996955/32768*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*( -10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-18+n)*(1+n)*n/(-25+2*n)/(-21+2*n)/(-23 +2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-5+2*n) /(-1+2*n)/(-19+2*n)/(-27+2*n)/(-29+2*n)/(-31+2*n)/(-33+2*n), 358229025/65536*n* (-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*( -12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-18+n)*(1+n)/(-33+2*n)/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21 +2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+ 2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n), 119409675/65536*n* (-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*( -12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(1+n)/(-33+2*n)/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21 +2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+ 2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)] `The average is` 5/65536*(102977321267*n^18-16509406521207*n^17+1224366119218056*n^16-\ 55735772242791540*n^15+1742596002658742994*n^14-39668581281990296874*n^13+ 680035871225623024892*n^12-8955896007188128120980*n^11+91606619763196729688211* n^10-730812772005720807348231*n^9+4539917924424840185121348*n^8-\ 21800026922170245160513920*n^7+79799996183701664917956128*n^6-\ 217772949890588412417332688*n^5+428044662892144325624920704*n^4-\ 573910901925009551023138560*n^3+478791710328189690654566400*n^2-\ 207756161197283983527936000*n+29051203810321992499200000)/(-33+2*n)/(-27+2*n)/( -23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/( -29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n) and the variance is 15/4294967296*(-18+n)*(1+n)*(184494306663993513233*n^34-57727892089966863586009 *n^33+8689414151078160331424498*n^32-837978018234539592334890520*n^31+ 58174227183388151108370982352*n^30-3097032849572990131751832647896*n^29+ 131523356714847701476178370328332*n^28-4576061219241006048501174455991060*n^27+ 132946950097208749270526788824358770*n^26-3270870753271986741577233351953167410 *n^25+68872875668747950740255280421061359520*n^24-\ 1251245382042210053691652208924667519300*n^23+ 19734496742847739116254771703425798624640*n^22-\ 271470861663019240270869418067776501914720*n^21+ 3268292859881114085970971848294637308401140*n^20-\ 34518321096037978464841077653130252992790300*n^19+ 320285520822701288777406823232028153610377045*n^18-\ 2612425216778990388940620527966690196744894285*n^17+ 18727500187123425055858239698078550449610318670*n^16-\ 117872033368770771516873796359039866264544494900*n^15+ 650203239783567285851531943210871330296728840152*n^14-\ 3134957893547842920452352753771965189090633690096*n^13+ 13163813855476459850244806279139333815942135972512*n^12-\ 47912730408072774199240276628191870856479140063680*n^11+ 150257247044871620191705450603246717678262076609408*n^10-\ 402953329180592316065800481307470513512161034051584*n^9+ 915326028017309762403935817315187251457908803555328*n^8-\ 1740008700650307809322566772205839563579509763850240*n^7+ 2725317435074376452411209393150020474149047342694400*n^6-\ 3445385350324399806099128536142935092821814018048000*n^5+ 3418021878134978978143637336366900161966488944640000*n^4-\ 2554627402300637254797569979016947433276991078400000*n^3+ 1349061349331175539678648138319788977865883648000000*n^2-\ 447947639575643542410938233436102833943347200000000*n+ 70331036902405587961600383589461755166720000000000)/(-33+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-\ 23+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-35+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(-17+2*n)^ 2/(-25+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-15+2*n)^2/(-19+2*n) ^2/(-5+2*n)^2/(-1+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[19., .3814697266e-4], [20., .3261566162e-3], [21., .1459121704e-2], [22., .\ 4539489746e-2], [23., .1101493835e-1], [24., .2216756344e-1], [25., .3842377663\ e-1], [26., .5881190300e-1], [27., .8086636662e-1], [28., .1010829583], [29., .\ 1157859340], [30., .1221015304], [31., .1187098213], [32., .1061539748], [33., .8665630594e-1], [34., .6354795769e-1], [35., .4051182303e-1], [36., .\ 2085167362e-1], [37., .6950557872e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 514886606335 2767414599959902698495 [------------, -------------------------, 17179869184 17179869184 1/2 433258753573310465185560959818 2767414599959902698495 - --------------------------------------------------------, 170190745957138406328678441057510730561445 1324967037483567080856340368765589139966771 -------------------------------------------] 510572237871415218986035323172532191684335 and in floating-point [29.97034499, 3.062085136, -.1339209490, 2.595062832] Here is a plot 0.12 HHHHHH + HHHH HHH + H H + HH HH 0.1 H H + H H + H H 0.08 HH HH + H H + H H 0.06 HH HH + H H + HH H 0.04 H H + HH H + HH HH + HH H 0.02 HH HHH + HHH HH + HHHH HH +************-++-+-++-++-+-++-++-+-++-+-++-++-+-++-+-++-++-+-++-+-++-++-+-++- 0 20 22 24 26 28 30 32 34 36 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 20], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 20, to , 39 The probability distribution is [21 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n)), 95 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (1 + n)/(512 (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 3591 (-19 + n) (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-11 + n) n (1 + n)/(2048 (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n)), 11781 (-19 + n) (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(2048 (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n)), 30107 (-19 + n) (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(1024 (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n)), 15939 (-19 + n) (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(256 (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n)), 929775 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (1 + n)/(4096 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 1496495 (-2 + n) (-3 + n) (-1 + n) (n - 5) (-16 + n) n (-4 + n) (-14 + n) (-18 + n) (-15 + n) (-17 + n) (-19 + n) (1 + n)/(4096 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 17316585 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (1 + n) n/(16384 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n)), 11396385 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (1 + n) n/(8192 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n)), 110165055 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (1 + n)/(32768 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n)), 122911425 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (1 + n)/(32768 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n)), 254016945 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (1 + n) n/(32768 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n)), 15197595 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (1 + n) n/(2048 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n)), 214937415 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (1 + n)/(16384 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n) (-33 + 2 n)), 173996955 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-18 + n) (-19 + n) (1 + n)/(16384 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n) (-33 + 2 n)), 2029964475 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-18 + n) (-19 + n) (1 + n) n/(131072 (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 644812245 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-19 + n) (1 + n) n/(65536 (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 2650894785 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-19 + n) (1 + n)/(262144 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 883631595 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (1 + n)/(262144 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n))] and in Maple notation [21/1024*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n )*(-19+n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2 *n)/(-17+2*n)/(-19+2*n), 95/512*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n) *(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(1+n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/( 2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n), 3591/2048*(-19+n)*(-18+n)*(-17+n) *(-16+n)*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-11+n)*n/(-21+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n) /(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-19+2*n)*(1+n ), 11781/2048*(-19+n)*(-18+n)*(-17+n)*(-16+n)*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*( -1+n)*n/(-21+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2 *n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-19+2*n)*(1+n), 30107/1024*(-19+n)*(-18+n)*(-17+n)*(-16+ n)*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)*(-12+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(2*n-13) /(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-19 +2*n)*(1+n), 15939/256*(-19+n)*(-18+n)*(-17+n)*(-16+n)*(-15+n)*(-14+n)*(-13+n)* (-3+n)*(-2+n)*(-1+n)*n/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n )/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-19+2*n)*(1+n), 929775/4096*n*( -1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19 +n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-\ 17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(-25+2*n)*(1+n), 1496495/4096*(-2+n)*(-3+ n)*(-1+n)*(n-5)*(-16+n)*n*(-4+n)*(-14+n)*(-18+n)*(-15+n)*(-17+n)*(-19+n)/(-1+2* n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-17+2*n)/(-\ 19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(-25+2*n)*(1+n), 17316585/16384*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n )*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(1+n)*n/( -25+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2* n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-27+2*n), 11396385/8192*(-1+n)*(-2+ n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(1 +n)*n/(-25+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2 *n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-27+2*n), 110165055/32768*n* (-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)* (-18+n)*(-19+n)*(1+n)/(-25+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n )/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-27+2*n)/(-\ 29+2*n), 122911425/32768*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+ n)*(-9+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(1+n)/(-25+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/( 2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2 *n)/(-1+2*n)/(-27+2*n)/(-29+2*n), 254016945/32768*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*( n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(1+n)* n/(-25+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/ (2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-27+2*n)/(-29+2*n)/(-31+2*n), 15197595/2048*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-\ 10+n)*(-11+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(1+n)*n/(-25+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(2* n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n )/(-1+2*n)/(-27+2*n)/(-29+2*n)/(-31+2*n), 214937415/16384*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n )*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-17+n)*(-18 +n)*(-19+n)*(1+n)/(-25+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-\ 9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-27+2*n)/(-29+2* n)/(-31+2*n)/(-33+2*n), 173996955/16384*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6 +n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-18+n)*(-19+n)*(1+n)/ (-25+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2 *n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-27+2*n)/(-29+2*n)/(-31+2*n)/(-33+ 2*n), 2029964475/131072*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)* (-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-18+n)*(-19+n)*(1+n)*n/(-33+2*n )/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n )/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-\ 1+2*n), 644812245/65536*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)* (-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-19+n)*(1+n)*n/(-33+2*n )/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n )/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-\ 1+2*n), 2650894785/262144*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8 +n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-19+n)*(1+n )/(-37+2*n)/(-33+2*n)/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n )/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/( -19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n), 883631595/262144*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5 )*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*( -16+n)*(-17+n)*(1+n)/(-37+2*n)/(-33+2*n)/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n )/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/ (2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)] `The average is` 21/262144*(207595672639*n^19-37109590077248*n^18+3081842494125201*n^17-\ 157860759086124732*n^16+5584049642261434278*n^15-144715435425522419136*n^14+ 2844624782432285607682*n^13-43315270806863506014824*n^12+ 517308083741223192622347*n^11-4875211264460994631787184*n^10+ 36287979008889726776796333*n^9-212492583323710505912397756*n^8+ 970062537520074270276195616*n^7-3400538042695452008240379632*n^6+ 8943146130995245315897028784*n^5-17035232421507378627345602688*n^4+ 22248101917403969874718245120*n^3-18167526915600845968667596800*n^2+ 7755586859914711434473472000*n-1074894540981913722470400000)/(-37+2*n)/(-33+2*n )/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n )/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-\ 1+2*n) and the variance is 63/68719476736*(-19+n)*(1+n)*(3008238534734364126073*n^36-\ 1051340903000636394252030*n^35+177133159247904603751405709*n^34-\ 19163342023477983099438111160*n^33+1496015000905665194103352617140*n^32-\ 89788459107613039096989827552440*n^31+4310435189079054910220297831186116*n^30-\ 170022450577833714612665614499256160*n^29+5617308700397937183629889674474570382 *n^28-157682603745742399637114337833192358660*n^27+ 3801722698658614947510997976856047151510*n^26-\ 79386444501869174770475803044693732692400*n^25+ 1445087056502791740389663809895358664299060*n^24-\ 23046067762327843119587909741656721288206200*n^23+ 323228990201327493777572517788071720917964020*n^22-\ 3998123825389170553114701260025430917719997600*n^21+ 43699997755981443750205251889515130838004867585*n^20-\ 422568851028319842699210366369941780046507144750*n^19+ 3616650094004752114955893950113277782390188303685*n^18-\ 27391426070846474361852071169076412986442437195800*n^17+ 183415310745461006407734968272389755609743252444432*n^16-\ 1084136087192751807256698286754696681222701032962720*n^15+ 5643617017930134266083758720483214023035759803888096*n^14-\ 25793479427254945964566023755678689820878823455226240*n^13+ 103087443694814251290008057619231921725763037798714880*n^12-\ 358475578082340572845876323289696977139863486393743360*n^11+ 1077825056976655619583522009814791589789628415646942464*n^10-\ 2780273755607828058693729486271887542626554658727792640*n^9+ 6093317779400805318001856064080029402599088758441320448*n^8-\ 11207811923904650600983381074096312365538087307145379840*n^7+ 17031578286275786907370836931228330071117854867949158400*n^6-\ 20944012417341377283575484500247994879392097225801728000*n^5+ 20260116277861660569385631271863696175317318738903040000*n^4-\ 14799523261964231932669092471604405354784815998566400000*n^3+ 7655201783868702184898516387277485349517255507968000000*n^2-\ 2494806384580786009682140398398059918142944051200000000*n+ 385132758077572999677723700535892571292958720000000000)/(-37+2*n)^2/(-33+2*n)^2 /(-27+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-35+2*n)^2/(-11+2* n)^2/(-17+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-15+2 *n)^2/(-19+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-1+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[20., .2002716064e-4], [21., .1811981201e-3], [22., .8561611176e-3], [23., .\ 2808809280e-2], [24., .7178068161e-2], [25., .1520061493e-1], [26., .2770945430\ e-1], [27., .4459902644e-1], [28., .6450930610e-1], [29., .8490968496e-1], [30. , .1025992027], [31., .1144701848], [32., .1182858576], [33., .1132309064], [34\ ., .1000880334], [35., .8102364605e-1], [36., .5907974191e-1], [37., .\ 3753301251e-1], [38., .1928779810e-1], [39., .6429266032e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 4359509125419 3 21057669743140548882511 [-------------, ----------------------------, 137438953472 137438953472 1/2 188638624174101490306807018577062 21057669743140548882511 - ------------------------------------------------------------, 190039480719075835693006477336166181806427909 495215047927338559674291242288552567538258673 ---------------------------------------------] 190039480719075835693006477336166181806427909 and in floating-point [31.71960362, 3.167499609, -.1440429278, 2.605853510] Here is a plot 0.12 HHHHHH + HHH HHH + H HH 0.1 HH H + H HH + H H 0.08 HH HH + H H + HH H + H HH 0.06 H H + H HH + HH H 0.04 H H + H HH + H H + HH HH 0.02 HH H + HHH HH + HHHHH HH +*************++-++-++-+-++-++-++-++-++-++-+-++-++-++-++-++-++-+-++-++-++-++- 0 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 21], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 21, to , 41 The probability distribution is [11 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n)/(1024 (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n)), 105 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (1 + n)/(512 (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-21 + 2 n)), 1045 (-20 + n) (-19 + n) (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) n (1 + n)/(1024 (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 14421 (-20 + n) (-19 + n) (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-12 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(2048 (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 38709 (-20 + n) (-19 + n) (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-13 + n) (-2 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(2048 (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 21505 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (1 + n)/(256 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 82225 (-19 + n) (-17 + n) (-15 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-14 + n) (-4 + n) n (-16 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (1 + n) /(512 (-1 + 2 n) (2 n - 3) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (-19 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 2220075 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (1 + n)/(4096 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n)), 13468455 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (1 + n)/(16384 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n)), 18599295 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (1 + n) n/(8192 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n)), 47213595 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (1 + n) n/(16384 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n)), 221760825 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (1 + n)/(32768 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n)), 60480225 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (1 + n)/(8192 (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 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2398428615/131072*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n) *(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*( -20+n)*(1+n)*n/(-23+2*n)/(-25+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2* n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-21+2*n)/(-27+2*n)/(-29+2*n)/ (-31+2*n)/(-33+2*n)/(-35+2*n)/(-37+2*n), 4923090315/262144*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+ n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-\ 14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-20+n)*(1+n)/(-37+2*n)/(-33+2*n)/(-39+2*n)/(-27+ 2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+ 2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n), 1641030105/262144*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+ n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(1+n )/(-37+2*n)/(-33+2*n)/(-39+2*n)/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13 )/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/( -15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)] `The average is` 11/262144*(836499257311*n^20-165792970458284*n^19+15324768072511473*n^18-\ 877457356412579856*n^17+34862909608853196438*n^16-1020374794445323084728*n^15+ 22792872802824570593986*n^14-397235226593275083342992*n^13+ 5475135315437979315114315*n^12-60133954261098585745443852*n^11+ 527754446411202479153112909*n^10-3695747715211149203051005248*n^9+ 20533903434698745645860584912*n^8-89586687401441014130921400176*n^7+ 302001947613954772593268901232*n^6-767977927747247215442045795904*n^5+ 1421472352252756766436262497024*n^4-1812111653268587247063500712960*n^3+ 1450729143886166292379017830400*n^2-609979403614344445498392576000*n+ 83841774196589270352691200000)/(-37+2*n)/(-33+2*n)/(-39+2*n)/(-27+2*n)/(-23+2*n )/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n )/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n) and the variance is 33/68719476736*(-20+n)*(1+n)*(24489165874456769847399*n^38-\ 9503903882784888240603891*n^37+1781482391480152416013669573*n^36-\ 214856674075464819726182506853*n^35+18738396863391581743997776114168*n^34-\ 1259254256025334433625595354672700*n^33+67849628242101900847064698651419268*n^ 32-3011397451594712410813481734165569572*n^31+ 112253210384443546355963404161702074658*n^30-\ 3565450449183721909007439605742219056154*n^29+ 97568345952449641050525562645886572963014*n^28-\ 2320095780736995774200252039179122636504390*n^27+ 48264048956370730844224483434131403384172500*n^26-\ 882986312805922284573768500438024567665817820*n^25+ 14265409390591569197984199321721863624395925780*n^24-\ 204166747630070009124014711639970380030716232340*n^23+ 2594603673559038302175808120935793996529085986895*n^22-\ 29325457233676904012533764547566341616520755769995*n^21+ 295070968753525309287446007290254150992482128175325*n^20-\ 2644071676959595441610620594749219229423947044768445*n^19+ 21095481035319167660056972832464607603341371382355036*n^18-\ 149737024890311448109566180871583733463961733122123344*n^17+ 944258711284775270221032381041200424356796256321969152*n^16-\ 5279641265672437895909480059422710301737652665513739232*n^15+ 26104050471217338265222269711358657428545273210986333952*n^14-\ 113740687350724080756523693814506543133606786581096483840*n^13+ 434882654424469361345665269557347593316775124857599494912*n^12-\ 1451394204320211350934194684726448260416610982895733599488*n^11+ 4200877722043757580774575895526762824831600572695432430592*n^10-\ 10460934769699194421425289464592020997287866481856651616256*n^9+ 22191255233121242332459214179293245593664930812721240702976*n^8-\ 39608223248946241298308089409657483230411902965904638279680*n^7+ 58545330822938943428699035672842026152286219336545684684800*n^6-\ 70187156537892849390717637466047170232965203917766393856000*n^5+ 66335079721767533339731804485391115022329945378971975680000*n^4-\ 47440897042857795937780902288987930009391260168408268800000*n^3+ 24072388759124309557598288825328690010742429577117696000000*n^2-\ 7709909657359735670390408845657667470860996732518400000000*n+ 1171573850071977065019635497030185201873180426240000000000)/(-37+2*n)^2/(-33+2* n)^2/(-39+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-\ 35+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-7+2*n)^2 /(2*n-3)^2/(-15+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-1+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[21., .1049041748e-4], [22., .1001358032e-3], [23., .4982948303e-3], [24., .\ 1719117165e-2], [25., .4614472389e-2], [26., .1025438309e-1], [27., .1960396767\ e-1], [28., .3308169544e-1], [29., .5017390475e-1], [30., .6928777322e-1], [31. , .8794217370e-1], [32., .1032654312], [33., .1126531977], [34., .1143863238], [35., .1080315281], [36., .9452758706e-1], [37., .7595966817e-1], [38., .\ 5510799456e-1], [39., .3490172989e-1], [40., .1791009823e-1], [41., .5970032744\ e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 9201491830421 9 9977067578482387715607 [-------------, ---------------------------, 274877906944 274877906944 1/2 3376436919964907651688278995258342 9977067578482387715607 - ------------------------------------------------------------, 2198970565831079366313534050595464654405905737 51772377775625889257165125499410545241719388493 -----------------------------------------------] 19790735092479714296821806455359181889653151633 and in floating-point [33.47483227, 3.270424526, -.1533700931, 2.615990641] Here is a plot + HHHHHH + HH HHH 0.1 HHH H + H HH + H H + HH H 0.08 H H + HH HH + H H + H H 0.06 HH HH + H H + HH H 0.04 H H + HH H + H HH + HH HH 0.02 HH HH + HHH HH + HHHH HH +**************-+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+- 0 25 30 35 40 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 22], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 22, to , 43 The probability distribution is [23 (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n)/(2048 (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 231 (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (1 + n)/(2048 (-21 + 2 n) (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13)), 2415 n (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (1 + n)/(2048 (-23 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-21 + 2 n)), 2185 (-1 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (1 + n) n/(512 (-21 + 2 n) (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-23 + 2 n)), 98325 n (-1 + n) (-2 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (1 + n)/(4096 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-21 + 2 n)), 228735 (-21 + n) (-19 + n) (-17 + n) (-15 + n) (-20 + n) (-18 + n) (-14 + n) n (-16 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (1 + n)/(4096 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-21 + 2 n)), 228735 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (1 + n) n/(1024 (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 201825 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (1 + n) n/(512 (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-23 + 2 n) (-25 + 2 n)), 40970475 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (1 + n)/(32768 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n)), 59179575 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (1 + n)/(32768 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n)), 157248585 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 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2*n-13)/(-23+2*n)/(-25+2*n)/(-31+2*n)/(-33+2*n)/(-35+2*n), 12290512185/262144*n *(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)* (-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-19+n)*(-20+n)*(-21+n)*(1+n)/(-29+2*n)/(-27+2*n)/(-21+ 2*n)/(-1+2*n)/(-5+2*n)/(-19+2*n)/(-15+2*n)/(2*n-3)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-17+2*n)/ (-11+2*n)/(2*n-13)/(-23+2*n)/(-25+2*n)/(-31+2*n)/(-33+2*n)/(-35+2*n)/(-37+2*n), 9811753425/262144*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+ n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-20+n)*(-21+n)*(1+n)/(-29+2 *n)/(-27+2*n)/(-21+2*n)/(-1+2*n)/(-5+2*n)/(-19+2*n)/(-15+2*n)/(2*n-3)/(-7+2*n)/ (-9+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-23+2*n)/(-25+2*n)/(-31+2*n)/(-33+2*n)/( -35+2*n)/(-37+2*n), 14172532725/262144*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n) *(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*( -20+n)*(-21+n)*(1+n)*n/(-29+2*n)/(-27+2*n)/(-21+2*n)/(-1+2*n)/(-5+2*n)/(-19+2*n )/(-15+2*n)/(2*n-3)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-23+2*n)/(-\ 25+2*n)/(-31+2*n)/(-33+2*n)/(-35+2*n)/(-37+2*n)/(-39+2*n), 2237768325/65536*(-1 +n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12 +n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-21+n)*(1+n)*n/(-29+2*n)/(-27+2*n) /(-21+2*n)/(-1+2*n)/(-5+2*n)/(-19+2*n)/(-15+2*n)/(2*n-3)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-17 +2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-23+2*n)/(-25+2*n)/(-31+2*n)/(-33+2*n)/(-35+2*n)/(-37 +2*n)/(-39+2*n), 18349700265/524288*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)* (-7+n)*(-8+n)*(-9+n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-\ 17+n)*(-18+n)*(-21+n)*(1+n)/(-37+2*n)/(-33+2*n)/(-39+2*n)/(-41+2*n)/(-27+2*n)/( -23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/( -29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n), 6116566755/524288*n*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n-5)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(-9+ n)*(-10+n)*(-11+n)*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19 +n)*(1+n)/(-37+2*n)/(-33+2*n)/(-39+2*n)/(-41+2*n)/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n) /(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/ (-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)] `The average is` 23/524288*(1684433835077*n^21-368283827761869*n^20+37682787064992415*n^19-\ 2397602686311996855*n^18+106311392982339102402*n^17-3489251949921077396514*n^16 +87880489259741515353470*n^15-1737624611796724689986910*n^14+ 27366251563077233337109657*n^13-346298916470560235029460769*n^12+ 3535953099379108193416703475*n^11-29145408182394426884601349515*n^10+ 193314240727948937032118282672*n^9-1024623615603503720993964322944*n^8+ 4290856482999541654365460288480*n^7-13959202627085807419440581818320*n^6+ 34421954696091583158775029504192*n^5-62051772972242775639801879707904*n^4+ 77355886488051123017533365212160*n^3-60799946472287838894975044198400*n^2+ 25204660110680413714784649216000*n-3437512742060160084460339200000)/(-37+2*n)/( -33+2*n)/(-39+2*n)/(-41+2*n)/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/( -35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15 +2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n) and the variance is 69/274877906944*(-21+n)*(1+n)*(199101872684894420978027*n^40-\ 85353749534522102366398570*n^39+17703765493632054319211375740*n^38-\ 2366902216184959381765686345830*n^37+229264965550801847858584625283669*n^36-\ 17146088401824675863669737368155400*n^35+1030310400699560954637061363435966720* n^34-51113388639397816796979736566552084440*n^33+ 2134752991249799045368942993357650040286*n^32-\ 76163445143275639079065909809297139853740*n^31+ 2347450550379127661514113718671002698177240*n^30-\ 63051986424777056915537035120243921386732180*n^29+ 1486133980013815664311090281956736177038659098*n^28-\ 30907271249516463101111013208628946758744319240*n^27+ 569639579211271938117930405174732574979593476000*n^26-\ 9336081291669793499878085255682743895108868810200*n^25+ 136427082650821184725801374407033952313004370677415*n^24-\ 1780978800987129919569861034810268032834660853605050*n^23+ 20798248110658855485929347704410677540465742381581900*n^22-\ 217446302920545291366685361437692542681304608960506550*n^21+ 2035900271100388136898429782796013353763810670862555713*n^20-\ 17066501810013978962012968240655243868723556532517803680*n^19+ 127998395961483737782923946608641660373716781973571040960*n^18-\ 857837196373202581512346187719700396808843774050272156320*n^17+ 5128416116783664029566726874429328662964241774884179571296*n^16-\ 27285341542577242719451407405046007217795702680265409436800*n^15+ 128812952433209017666033567160157987624100771821158606145280*n^14-\ 537626785609628196354188883220981405150443064570019328450560*n^13+ 1974890740199211111888837268415792227694381958949159690293504*n^12-\ 6349971981657305068210598134994993364702977498435789879900160*n^11+ 17753262967074589224469316692368213434558337046415844271042560*n^10-\ 42808703421033960989303803658778144671196043696510787614801920*n^9+ 88141752316344189614098781871305281114180994649785295853780992*n^8-\ 153034043730767547943630250731301808722768314563779652534927360*n^7+ 220504891835489442746032533904450008287693862279169731959193600*n^6-\ 258218803395701942066275619073097932539811204361408701530112000*n^5+ 238848569815808721516599323713978845275629643982921961308160000*n^4-\ 167490868037156442115509095586176733206430153290982988185600000*n^3+ 83480836990506185607365982500282250921182689117467574272000000*n^2-\ 26306586409041418734327702196744555159626770394434764800000000*n+ 3938831283941986892596014541015482648697632593018880000000000)/(-37+2*n)^2/(-33 +2*n)^2/(-39+2*n)^2/(-41+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-31+2*n)^2 /(2*n-13)^2/(-35+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-9+2*n )^2/(-7+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-15+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-1+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[22., .5483627319e-5], [23., .5507469177e-4], [24., .2878904343e-3], [25., .\ 1041889191e-2], [26., .2930313349e-2], [27., .6816834211e-2], [28., .1363366842\ e-1], [29., .2405941486e-1], [30., .3815672826e-1], [31., .5511527415e-1], [32. , .7322457852e-1], [33., .9012255818e-1], [34., .1032654312], [35., .1104867901 ], [36., .1104867901], [37., .1031210041], [38., .8942524571e-1], [39., .\ 7138990204e-1], [40., .5155937370e-1], [41., .3256381497e-1], [42., .1668895517\ e-1], [43., .5562985057e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 38741978206771 13738029215257715047483863 [--------------, -----------------------------, 1099511627776 1099511627776 1/2 39850271015066945581630705170924598 13738029215257715047483863 - -----------------------------------------------------------------, 911755781252533864386585803458042027829986692767 7181544897705968591151306457608878733915131608169 -------------------------------------------------] 2735267343757601593159757410374126083489960078301 and in floating-point [35.23562392, 3.371028244, -.1619999839, 2.625536737] Here is a plot + HHHHHHHH + HHH HHH 0.1 HH H + H HH + HH HH + H H 0.08 HH HH + H H + H H 0.06 H HH + H H + HH HH + HH H 0.04 H HH + H H + H H 0.02 HHH HH + HH HH + HHH HH + HHHH HH +***************---+--+---+--+---+--+---+--+---+--+---+--+---+--+---+--+---+- 0 25 30 35 40 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 23], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 23, to , 45 The probability distribution is [3 (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n)/(512 (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-21 + 2 n)), 253 (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n)/(2048 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 693 n (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 2625 (-1 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n) n/(512 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 30875 (-1 + n) (-2 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n) n/(2048 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 300105 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n)/(4096 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n)), 626535 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n)/(4096 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n)), 288405 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n) n/(512 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n)), 3817125 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n) n/(4096 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n)), 92035125 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n)/(32768 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n)), 15952755 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n)/(4096 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n)), 20510685 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n) n/(2048 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n)), 98346105 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n) n/(8192 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n)), 441296625 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n)/(16384 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n)), 464221125 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n)/(16384 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n)), 229015755 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n) n/(4096 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 3384343935 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n) n/( 65536 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 23292249435 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n)/(262144 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 9242956125 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n)/(131072 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 6648442125 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-21 + n) (-22 + n) (1 + n) n/(65536 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 16754074155 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-22 + n) (1 + n) n/(262144 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 34305961365 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-22 + n) (1 + n)/(524288 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 11435320455 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (1 + n)/(524288 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n))] and in Maple notation [3/512*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(-20+n)* (-21+n)*(-22+n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n )/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)/(-21+2*n), 253/2048*(-12+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+ n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(-20+n)*(-21+n)*(-22+n)*(1+n)/(-1+2*n)/(-5+2 *n)/(-19+2*n)/(-15+2*n)/(2*n-3)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/ (-21+2*n)/(-23+2*n), 693/1024*n*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n) *(-19+n)*(-20+n)*(-21+n)*(-22+n)*(1+n)/(-1+2*n)/(-5+2*n)/(-19+2*n)/(-15+2*n)/(2 *n-3)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-21+2*n)/(-23+2*n), 2625/ 512*(-1+n)*(-13+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(-20+n)*(-21 +n)*(-22+n)*(1+n)*n/(-1+2*n)/(-5+2*n)/(-19+2*n)/(-15+2*n)/(2*n-3)/(-7+2*n)/(-9+ 2*n)/(-25+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-13)/(-21+2*n)/(-23+2*n), 30875/2048*(-1 +n)*(-2+n)*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(-20+n)*(-21+n)*(-22 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1182504383268695069054356684800000)/(-37+2*n)/(-33+2*n)/(-39+2*n)/(-41+2*n)/(-\ 43+2*n)/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-\ 17+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2 *n)/(-1+2*n) and the variance is 9/274877906944*(-22+n)*(1+n)*(6467570129363372044297039*n^42-\ 3048230673028069340331438567*n^41+696184232944572791593284852884*n^40-\ 102654970853417660952626326670990*n^39+10985575746031568047204345511729043*n^38 -909325397101235285266497611383944679*n^37+ 60592328576214312495626704106457576038*n^36-\ 3340040048124844423829065400096470770600*n^35+ 155329551488237021700908700937206093495982*n^34-\ 6184701290430284182106905415413583150512846*n^33+ 213240461128498821722467781869476672821886432*n^32-\ 6423516334055475044070300648355773612602446580*n^31+ 170256443936963858409110451768128692769850576846*n^30-\ 3993247084211130385855589891916342047040519136038*n^29+ 83256801369143330589725802262807390518298593934356*n^28-\ 1548699632853492975934876013444378423169511604745480*n^27+ 25776291601334750834646425524969648002757263357452355*n^26-\ 384722441468554430460925155789207356846034997356795915*n^25+ 5157835785321643061427072804211222705724635306479014780*n^24-\ 62183563818313783660544649451610188481618283122967922350*n^23+ 674622403922976074109609921361626022509813241754046264991*n^22-\ 6587446377221843395573486047860583978159183641651143389523*n^21+ 57882865149297504912841402791936349301686935981694596165846*n^20-\ 457380325877726516671197199619771500360738507566051187177760*n^19+ 3246582582439826979355740994384191186844005123466744335992512*n^18-\ 20669244514429891262491968911638797863599421803316655708320736*n^17+ 117784057889086576516905286020522042360110181210118810582976192*n^16-\ 599230216145966418473969674551307033192438998341849734956108800*n^15+ 2713107632552479970738431600405014834310878108633540227643234048*n^14-\ 10890036882784217429445907098441995030953392622350933423464191744*n^13+ 38570527845378375154137463362361740507943579989762999745118965248*n^12-\ 119868549934581237594704397203153971082877659388171465887074590720*n^11+ 324661460659012951715600511895634683161206173779165024898106793984*n^10-\ 760063560150963102196081889835762102394580938856868844176766205952*n^9+ 1522526918490540639933809708191925238851305050821538021762992308224*n^8-\ 2576892793073218106598718541703484080643830870631790299767342366720*n^7+ 3626394955837411402574542116958907389143131854966851242889786163200*n^6-\ 4155131589264840575501562679178954634060510234049531978463576064000*n^5+ 3767224764225593282144441968153360322867257839221807176294072320000*n^4-\ 2593729662814524417816224346959632898019583423837050741404467200000*n^3+ 1271319469570178234632350966677400697197208614972595554484224000000*n^2-\ 394567419553694328120005809971249499301079411101198293401600000000*n+ 58263192352069870115280247090701019339535381315935272960000000000)/(-37+2*n)^2/ (-33+2*n)^2/(-39+2*n)^2/(-41+2*n)^2/(-43+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-21+2* n)^2/(-31+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-35+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-\ 29+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-15+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-\ 1+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[23., .2861022949e-5], [24., .3015995026e-4], [25., .1652240753e-3], [26., .\ 6258487701e-3], [27., .1840293407e-2], [28., .4471912980e-2], [29., .9336099029\ e-2], [30., .1719027758e-1], [31., .2843979746e-1], [32., .4285719479e-1], [33. , .5942864344e-1], [34., .7640825585e-1], [35., .9159194771e-1], [36., .1027473\ 772], [37., .1080849033], [38., .1066437713], [39., .9849737209e-1], [40., .\ 8473670981e-1], [41., .6725135700e-1], [42., .4837378310e-1], [43., .3047548335\ e-1], [44., .1560054505e-1], [45., .5200181683e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 81367413504171 3 6467570129363372044297039 [--------------, ------------------------------, 2199023255552 2199023255552 1/2 2796385833306309758861515830486559022 6467570129363372044297039 - ------------------------------------------------------------------, 41829463378233344999950427721672671273243664167521 991814969898452173327368327129869908039013925400517 ---------------------------------------------------] 376465170404100104999553849495054041459192977507689 and in floating-point [37.00161574, 3.469460967, -.1700142694, 2.634546428] Here is a plot + HHHHHH 0.1 HH HHH + H H + HH H + H HH 0.08 H H + H HH + HH H + H HH 0.06 H H + HH HH + HH H + H H 0.04 HH H + H HH + HH H 0.02 H H + HHH H + HHH HH + HHHHHH HH +****************-+--+---+--+--+---+--+--+---+--+--+---+--+--+---+--+--+---+- 0 25 30 35 40 45 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 24], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 24, to , 47 The probability distribution is [25 (-16 + n) (-14 + n) (-12 + n) (-18 + n) (-20 + n) (-13 + n) (-15 + n) (-17 + n) (-19 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-22 + n)/(4096 (-21 + 2 n) (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-23 + 2 n)), 69 (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n)/(1024 (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 6325 n (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n)/(8192 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 25025 (-22 + n) (-23 + n) (-21 + n) (-20 + n) (-19 + n) (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) (-1 + n) n (1 + n)/(8192 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 307125 (-1 + n) (-2 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n) n/(16384 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n)), 389025 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n) n/(8192 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n)), 6769035 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n)/(32768 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n)), 12978225 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n)/(32768 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n)), 44702775 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n) n/(32768 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n)), 4382625 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n) n/(2048 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n)), 202477275 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n)/(32768 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n) (-33 + 2 n)), 271196835 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n)/(32768 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n) (-33 + 2 n)), 1355984175 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n) n/(65536 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n) (-33 + 2 n) (-35 + 2 n)), 794333925 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n) n/(32768 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n) (-33 + 2 n) (-35 + 2 n)), 6997703625 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n)/(131072 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n) (-33 + 2 n) (-35 + 2 n) (-37 + 2 n)), 7252165575 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n)/(131072 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n) (-33 + 2 n) (-35 + 2 n) (-37 + 2 n)), 56566891485 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n) n/(524288 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n) (-27 + 2 n) (-29 + 2 n) (-31 + 2 n) (-33 + 2 n) (-35 + 2 n) (-37 + 2 n) (-39 + 2 n)), 12940138575 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (1 + n) 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)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n)] `The average is` 25/4194304*(54567418372945*n^23-14325317377546742*n^22+1770544756549868834*n^21 -136976985837470088940*n^20+7439207418616199256135*n^19-\ 301496624444023523645802*n^18+9462211980900990039512764*n^17-\ 235533295772889962615454680*n^16+4724477598647204865113479775*n^15-\ 77162741983127466931666794442*n^14+1032660993469305132109076853954*n^13-\ 11358553460117880419052956817420*n^12+102700033497155097441559303938265*n^11-\ 761322221017693820936752822738742*n^10+4601855730882648061867954805958464*n^9-\ 22483378303160604845841940121269360*n^8+87662873004570212971911140109788880*n^7 -267900076941884766329861293503154272*n^6+625576278043601583189932028834105984* n^5-1075831245777443078876172156509529600*n^4+ 1288429677335437525241787004372224000*n^3-979574238962855320762122136750080000* n^2+395764982629097317802824577679360000*n-53212697247091278107446050816000000) 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11240518676953142579474076004513610043863289809275338*n^30-\ 235465920071222711878108378340898225847287677269783800*n^29+ 4426981191539250156438877439725353858675745483638045465*n^28-\ 74883797189421129363436411544593918636353263742728815590*n^27+ 1141806955421870814584789569093386706274613337076131906315*n^26-\ 15715725068088859767424284492975911051769321760733408985000*n^25+ 195448831650642876162110307545331099602918231768357130227303*n^24-\ 2197506519267907867330582648187364917276806801378212577876118*n^23+ 22340747767203524125199773357351002834645206196680981041044633*n^22-\ 205325518915890987784230118604278598334168066116531472218880100*n^21+ 1704940560470385597003423302486836877400572481270064207627727636*n^20-\ 12778307209179569966165894426522370705899746960937119911831451296*n^19+ 86325355321442450024530308671254399906135336538534415140864091616*n^18-\ 524714545096332758846425215739036515579674953527527801046524579200*n^17+ 2863161522770667615200802886975433874012344607729357235851381727104*n^16-\ 13986299968998455679155445055278122467203576214733292885683855281664*n^15+ 60959183307535043627638120791499499993436193053014585497521556303104*n^14-\ 236107726539383417168826209968705708843266299420587776915797139072000*n^13+ 808780809406447406455749023910261822429784847461467063948401783718912*n^12-\ 2436167050275627785257134570080719071665359616957711516040869401239552*n^11+ 6408311425518761826761280964184221977709434584045453378907844893130752*n^10-\ 14598760564786029496184167261590742620814467355496416420518752138035200*n^9+ 28509450168047775607372413002118595280822394840401334874697158066176000*n^8-\ 47124780095550999309313744728156142126544214023572200454243500687360000*n^7+ 64878244263348135335086026823303731837672763800102934524371006914560000*n^6-\ 72844250685369351572861942030845920496349043508212934839068786688000000*n^5+ 64820096657290604123805715178893195530666478066118212711077642240000000*n^4-\ 43868951256783708064711855480343905507505675809430162677904179200000000*n^3+ 21167533478701030203894325139514072746109686995466874917172019200000000*n^2-\ 6476183430875780414933719379453776651362551284028785714790400000000000*n+ 943863716103531895867540002869356513300473177318151421952000000000000)/(-45+2*n )^2/(-37+2*n)^2/(-33+2*n)^2/(-39+2*n)^2/(-41+2*n)^2/(-43+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-\ 23+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-35+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(-17+2*n)^ 2/(-25+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-15+2*n)^2/(-19+2*n) ^2/(-5+2*n)^2/(-1+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[24., .1490116119e-5], [25., .1645088196e-4], [26., .9424984455e-4], [27., .\ 3729015589e-3], [28., .1144129783e-2], [29., .2898462117e-2], [30., .6304155104\ e-2], [31., .1208691392e-1], [32., .2081635175e-1], [33., .3265310079e-1], [34. , .4714291426e-1], [35., .6314293365e-1], [36., .7892866706e-1], [37., .\ 9247263952e-1], [38., .1018299899], [39., .1055328987], [40., .1028945762], [41\ ., .9415189979e-1], [42., .8042141441e-1], [43., .6349059032e-1], [44., .\ 4550158973e-1], [45., .2860099926e-1], [46., .1462551098e-1], [47., .4875170328\ e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1364185459323625 5 629633079430221800975223111 [----------------, --------------------------------, 35184372088832 35184372088832 1/2 1557804278958025593009021988739726563534 629633079430221800975223111 - -----------------------------------------------------------------------, 220243230395991108659444810120078901879499842349176845 2910588787069457802441244950057036939728455185132853053 -------------------------------------------------------] 1101216151979955543297224050600394509397499211745884225 and in floating-point [38.77248273, 3.565857371, -.1774819094, 2.643067650] Here is a plot + HHHHHH 0.1 HH HH + HH H + H HH + HH HH 0.08 H H + HH HH + HH H + H H 0.06 H H + HH H + H HH 0.04 H H + H HH + HH H + H HH 0.02 HH H + HHH H + HHH HH + HHHHH HH +*****************---+--+--+--+--+--+---+--+--+--+--+--+---+--+--+--+--+---+- 0 25 30 35 40 45 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 25], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 25, to , 49 The probability distribution is [13 (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n)/(4096 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 75 (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n)/(1024 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 897 (-24 + n) (-23 + n) (-22 + n) (-21 + n) (-20 + n) (-19 + n) (-18 + n) (-17 + n) (-16 + n) (-15 + n) (-14 + n) n (1 + n)/(2048 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 29601 n (-1 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n)/(8192 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n)), 189189 n (-1 + n) (-2 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n)/(16384 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n)), 498771 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n) n/(8192 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n)), 2256345 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n) n/( 16384 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n)), 17986293 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n)/(32768 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n)), 16092999 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n)/(16384 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n)), 6556407 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n) n/(2048 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n)), 19669221 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n) n/(4096 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n)), 438087195 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n)/(32768 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n)), 1139026707 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n)/(65536 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n)), 1389362247 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n) n/(32768 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 3190952853 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n) n/( 65536 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 13827462363 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n)/(131072 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 56566891485 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n)/(524288 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 27285206481 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n) n/(131072 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 49517596947 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n) n/(262144 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 336198421377 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n)/(1048576 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-43 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-37 + 2 n)), 528311805021 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-23 + n) (-24 + n) (1 + n)/(2097152 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) 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755676378925176059740311850446*n^15+11426121301037992725510505320142*n^14-\ 143006776773989528179216078143684*n^13+1483451656519325035421252822926663*n^12-\ 12739302409688932711758669351165426*n^11+90240315343109833731767143894290352*n^ 10-523972308498135167105408835559369104*n^9+ 2470536860955360709820221102790185648*n^8-9334504778773849297753277323983268896 *n^7+27746634186079716492835304300976753792*n^6-\ 63235127667399091597971579506559081984*n^5+ 106473144108008051841084602078260684800*n^4-\ 125224605175617027191121979938766848000*n^3+ 93780380213403785246353266532270080000*n^2-\ 37446181936061987656018742775644160000*n+5001993541226580142099928776704000000) /(-47+2*n)/(-45+2*n)/(-37+2*n)/(-33+2*n)/(-39+2*n)/(-41+2*n)/(-43+2*n)/(-27+2*n )/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)/(2*n-13)/(-35+2*n)/(-11+2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n )/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n) and the variance is 39/17592186044416*(-24+n)*(1+n)*(1701130200430163610236054641*n^46-\ 956997169731295943821357816949*n^45+261593198396529599811986168123133*n^44-\ 46296664979485448952358416592085613*n^43+5964127131991410634577585616331478415* n^42-596139285844581640977876793968534820983*n^41+ 48124720160114861873120909685895750760851*n^40-\ 3224891782138514883927404907608538683528771*n^39+ 182978405974086500172187586747193043619509314*n^38-\ 8922798588302618120420843160014457639926059422*n^37+ 378298715192481159584889319791643187491495261794*n^36-\ 14072362815727003876074309770098071783699447094914*n^35+ 462680527547932831295393130667385505575511269202238*n^34-\ 13525711914689804794094463058024669227999787319604206*n^33+ 353274314330544226732156490722581715008939806545861542*n^32-\ 8276786676664925168847952762173260248365093416926175622*n^31+ 174508627301011732644889086376834992661017383178292446597*n^30-\ 3319842347640176789189000060661017124596781431029767883905*n^29+ 57104821259188463644522416611207135684251385040741625812785*n^28-\ 889589090327648929034545915418921712696013294195926892850785*n^27+ 12565860293642204045977639277708546423226342776610457637171139*n^26-\ 161079177833169134086008930558940307145560706312308125464850731*n^25+ 1874708346208225311652765415705186733440578995524586506759658327*n^24-\ 19812050895305485692347323017882304989969816466568065713884431047*n^23+ 190079884686102722239356157215594898230669037281476590689193987640*n^22-\ 1654700638367854489100281509818369319260982991523921521716586945372*n^21+ 13058652888815934993176329451635467146814674518199360506708915644384*n^20-\ 93312573697414164870438679305973750958136485332670891850086590680864*n^19+ 602769310544433390687929480526510216069704789222156045843959838812416*n^18-\ 3512885437325459648200013153044802211702646676669357643273579757511808*n^17+ 18425551849820261224456849266302280689359589802296897243029799434831616*n^16-\ 86725853057943419168154060831330516419731323143629155009577568293348096*n^15+ 365033061506175946276248392068440466528396496297936229920326002286036992*n^14-\ 1368271082100279423847948699136764939260643422889401688284899983586356224*n^13+ 4545004468874817680142948965600095493084934960241765989637506723894509568*n^12-\ 13300897231853769239594766142727026911426717625674374847634319780055564288*n^11 +34054746350867676478403040685124461501809441577072212678046055934910660608*n^ 10-75642370302734669897052948997012271697488939441823738003397669983938150400*n ^9+144270346872767845721776347601107424145586562729246127831066347003969536000* n^8-233277702856042259726713550207324624833163444632525472187257034823434240000 *n^7+ 314652290798620338197972245577143720491173203933961162975926376611184640000*n^6 -346645425255811311826911412013446015888521183317884462905873515151360000000*n^ 5+303101773933061415135114050970302608313256116411716462432354345943040000000*n ^4-201852636918466864437979978774479684581857722657159398591128456396800000000* n^3+95969108260276419001134683964178387727882571245806166457904319692800000000* n^2-28967810115315572492510999348663417832272080173321124570736885760000000000* n+4169989897745403915942791732676817075761490497391592982183936000000000000)/(-\ 47+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-37+2*n)^2/(-33+2*n)^2/(-39+2*n)^2/(-41+2*n)^2/(-43+2*n) ^2/(-27+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-35+2*n)^2/(-11+ 2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-15 +2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-1+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[25., .7748603821e-6], [26., .8940696716e-5], [27., .5346536636e-4], [28., .\ 2205446362e-3], [29., .7047839463e-3], [30., .1858066767e-2], [31., .4202770069\ e-2], [32., .8375520352e-2], [33., .1498777326e-1], [34., .2442451939e-1], [35. , .3663677908e-1], [36., .5100006179e-1], [37., .6630008033e-1], [38., .\ 8087152656e-1], [39., .9286895083e-1], [40., .1006080301], [41., .1028945762], [42., .9926300292e-1], [43., .9007198414e-1], [44., .7644267075e-1], [45., .\ 6006209844e-1], [46., .4290149889e-1], [47., .2691094021e-1], [48., .1374798033\ e-1], [49., .4582660109e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 2853307081197859 66344077816776380799206130999 [----------------, --------------------------------, - 70368744177664 70368744177664 1/2 26941595133437232886766365157191896718754 66344077816776380799206130999 / 37619971464602392018558653155463825530499547575989305453, 299207731878431719669447485217343367874267811623980235819 ---------------------------------------------------------] 112859914393807176055675959466391476591498642727967916359 and in floating-point [40.54793239, 3.660338758, -.1844615801, 2.651142644] Here is a plot + HHHHHH 0.1 H HH + HH HH + H H 0.08 HH HH + H H + HH H + H H 0.06 H H + H H + H H + HH H 0.04 H HH + HH H + H H + HH HH 0.02 HH H + HHH H + HH HH + HHHHH HH +*****************--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+---+- 0 25 30 35 40 45 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 26], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 26, to , 51 The probability distribution is [27 (-16 + n) (-14 + n) (-25 + n) (-18 + n) (-20 + n) (-13 + n) (-15 + n) (-17 + n) (-19 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-22 + n) (-24 + n)/(8192 (-23 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 325 (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n)/(8192 (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 2025 (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n) n/(4096 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 4347 (-1 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n) n/(2048 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 462231 n (-1 + n) (-2 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n)/(32768 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 1266111 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n)/(32768 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 5946885 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n) n/(32768 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 768645 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n) n/(2048 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 45657513 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n)/(32768 (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 77163867 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n)/(32768 (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 60016341 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n) n/(8192 (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 43327305 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n) n/(4096 (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 3740590665 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n)/(131072 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 4738081509 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n)/(131072 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 11313378297 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n) n/(131072 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 3190952853 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n) n/(32768 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 218048444955 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n)/(1048576 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 220380513885 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n)/(1048576 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 210585824379 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n) n/(524288 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 94825195773 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n) n/( 262144 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 2560280285871 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n)/( 4194304 (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 2002940359695 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n)/(4194304 (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 2852672633505 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-24 + n) (-25 + n) (1 + n) n/(4194304 (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 223252640883 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-25 + n) (1 + n) n/(524288 (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 3646459801089 (-22 + n) (-21 + n) 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n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n))] and in Maple notation [27/8192*(-16+n)*(-14+n)*(-25+n)*(-18+n)*(-20+n)*(-13+n)*(-15+n)*(-17+n)*(-19+n )*(-21+n)*(-23+n)*(-22+n)*(-24+n)/(-23+2*n)/(-25+2*n)/(-21+2*n)/(2*n-13)/(-11+2 *n)/(-17+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n), 325/8192*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(-20+n)*(-21+n)*(-22+n )*(-23+n)*(-24+n)*(-25+n)*(1+n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(2*n-13)/(-11+2*n)/(-17+2*n )/(-25+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n)/(-1+2*n), 2025/4096*(-14+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(-20+n)*(-21+n)*(-22+ n)*(-23+n)*(-24+n)*(-25+n)*(1+n)*n/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(2*n-13)/(-11+ 2*n)/(-17+2*n)/(-25+2*n)/(-9+2*n)/(-7+2*n)/(2*n-3)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2*n) /(-1+2*n), 4347/2048*(-1+n)*(-15+n)*(-16+n)*(-17+n)*(-18+n)*(-19+n)*(-20+n)*(-\ 21+n)*(-22+n)*(-23+n)*(-24+n)*(-25+n)*(1+n)*n/(-27+2*n)/(-23+2*n)/(-21+2*n)/(2* 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2*n)/(-43+2*n)*(-21+n)/(-27+2*n)*(-19+n)*(-17+n)*(-15+n)/(-23+2*n)*(-13+n)*(-20 +n)*(-18+n)/(-21+2*n)/(-31+2*n)*(-8+n)/(2*n-13)/(-35+2*n)*(-7+n)*(-11+n)*(-10+n )/(-11+2*n)/(-17+2*n)*(-6+n)*(-12+n)/(-49+2*n)/(-25+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)*(-\ 14+n)/(-7+2*n)*(-4+n)/(2*n-3)*n*(-16+n)*(n-5)*(-1+n)/(-15+2*n)/(-19+2*n)/(-5+2* n)*(-3+n)*(1+n)/(-1+2*n)*(-2+n)*(-9+n)] `The average is` 27/8388608*(441266239318305*n^25-136975710862608679*n^24+20118082197547784208*n ^23-1859669709037852553566*n^22+121400347307388829397907*n^21-\ 5953053778399954342307569*n^20+227707410521312818820492238*n^19-\ 6964369095231438620441791876*n^18+173206324599128665432387934727*n^17-\ 3543480604762543151781375199369*n^16+60092635802119127994762144309588*n^15-\ 848754671882234805917753061059326*n^14+10006357453752377206409322272834277*n^13 -98467975466284945065860258936333839*n^12+807036681618298293998171705171995278* n^11-5484662774210945766338058244629115456*n^10+ 30694280197113726123697845905586242112*n^9-\ 140060294720951166555699864951614106544*n^8+ 514024868087917624471184966347716782688*n^7-\ 1489094470963531522999586460672116539776*n^6+ 3317614875105994640681009035793228892672*n^5-\ 5476671298305110848374260620713932544000*n^4+ 6332579033970054144126629281330446336000*n^3-\ 4675509844325974381870137930782883840000*n^2+ 1846291401306701407141381241823559680000*n-\ 245097683520102426962896510058496000000)/(-1+2*n)/(-5+2*n)/(-19+2*n)/(-15+2*n)/ (2*n-3)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/(-29+2*n)/(-25+2*n)/(-49+2*n)/(-17+2*n)/(-11+2*n)/(-\ 35+2*n)/(2*n-13)/(-31+2*n)/(-21+2*n)/(-23+2*n)/(-27+2*n)/(-43+2*n)/(-41+2*n)/(-\ 39+2*n)/(-33+2*n)/(-37+2*n)/(-45+2*n)/(-47+2*n) and the variance is 27/70368744177664*(-25+n)*(1+n)*(41331044989012701180471224101*n^48-\ 25261696759901744982403560133902*n^47+7511124747579316914147135039623042*n^46-\ 1447741373759700353136579698742095418*n^45+ 203381263915106166054587938781793119412*n^44-\ 22198320609510250023883542360030186595494*n^43+ 1959574443086433979908507701532559873332586*n^42-\ 143804316829281491901427352028483846738491046*n^41+ 8949385488718398536872913595383102494634155073*n^40-\ 479444192453622830528547063784640370939595868136*n^39+ 22369620413267880668460147153882128197880426597520*n^38-\ 917402088690648135419536964761769811115630434434724*n^37+ 33317098345727767091982297621428786873064345394864144*n^36-\ 1077976291857164183915402628374761411688376566940997548*n^35+ 31227958346401659667656254557625449635745172572729783124*n^34-\ 813296359789637493955843327653793761322794240476961097932*n^33+ 19106941957677424026456370338085790525695573786057605992055*n^32-\ 406045468873512823523589512128367784291006984631979397017790*n^31+ 7823098394294280432865368197673011650963086142015663334522978*n^30-\ 136894904532848391885611509830957389293607373115732171003146210*n^29+ 2178762734545890733666066876213573524715265172454384200547804444*n^28-\ 31571785762718200165478888105690496973273409567881049607956741838*n^27+ 416833038497285274574840494703903483729647911348475628333825200738*n^26-\ 5016140293686809757343139700368239717591714336522712415612070253742*n^25+ 55025219187179669723952763706077821636768816940495455448080409419683*n^24-\ 550111461342672570603310756732777880376269440992604869417675784423596*n^23+ 5009811035391859243079307362631776204101384803630483649470088432491244*n^22-\ 41526885907058319146637723397339363004571796421577815680494266148735264*n^21+ 312965550700261882649738640378052478575032644800266321186535926372883872*n^20-\ 2141428209578674754172487917159285362327920089330687630631753508976011904*n^19+ 13279431851032770956336750046646047342757130899338786782964603991917695360*n^18 -74471172282853627630262306978438128589944396752767887565474165960912027136*n^ 17+376712087496439275549103736025444369562246573248353568197067368966087032576* n^16-\ 1713625780819770235901790924212067028086879856850117270863928545502026017792*n^ 15+6984600909044372810008231873277812518477453637643605853851808246850952928256 *n^14-\ 25400503684102954939551971006143609634064447955688897510113462607304742576128*n ^13+ 82005651886075515310872583175630952887328973168368838077067629109019207024640*n ^12-\ 233653367822771053928833600776863632348290518991578734509266440136869281792000* n^11+ 583391855477703702885847614572125830210976439452517523194143365511469500465152* n^10-12656700842821399462746036834145199043354215071207014534966828731010579431\ 42400*n^9+236135080121993342446026096788832176790081100966644765073898367904924\ 8276480000*n^8-3740393707110477198997277591690510188277215647707841856794576845\ 080520294400000*n^7+49493487497113089973243014454471480419919297847862838599341\ 42501911642767360000*n^6-535636317912005616186816216130715565432048045301577027\ 5371219794006114304000000*n^5+4606995929408424464202622622965442159904146728227\ 632654300003119084339200000000*n^4-30218209732186833743956235620565033061869018\ 80184088202062876005892096000000000*n^3+141680507121458794708700586135491501762\ 6076544220493068225220592218931200000000*n^2-\ 422228728203177576276846541825255413629437984994756636703746603089920000000000* n+60072874466920288813071857700942226793420032105423288501341782016000000000000 )/(-1+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-15+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-7+2*n)^2/(-9+2*n)^2 /(-29+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-49+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(-35+2*n)^2/(2*n-\ 13)^2/(-31+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-43+2*n)^2/(-41+2*n)^2/( -39+2*n)^2/(-33+2*n)^2/(-37+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-47+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[26., .4023313522e-6], [27., .4842877388e-5], [28., .3017485142e-4], [29., .\ 1295506954e-3], [30., .4304861650e-3], [31., .1179157756e-2], [32., .2769234125\ e-2], [33., .5726851523e-2], [34., .1063046814e-1], [35., .1796611282e-1], [36. , .2794728661e-1], [37., .4035169724e-1], [38., .5443275826e-1], [39., .\ 6894816046e-1], [40., .8231566096e-1], [41., .9286895083e-1], [42., .9915695271\ e-1], [43., .1002174549], [44., .9576334577e-1], [45., .8624301315e-1], [46., .\ 7276754235e-1], [47., .5692698891e-1], [48., .4053891634e-1], [49., .2538088675\ e-1], [50., .1295482761e-1], [51., .4318275872e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 11914188461594235 3 123993134967038103541413672303 [-----------------, -----------------------------------, - 281474976710656 281474976710656 8339459767714288079519399560644576972142990 1/2 123993134967038103541413672303 / 15374297518954127246195453739569845701442286974620269323809, 122631951516829712710893057872262771896079764216050014365911 ------------------------------------------------------------] 46122892556862381738586361218709537104326860923860807971427 and in floating-point [42.32770032, 3.753014855, -.1910035579, 2.658808776] Here is a plot 0.1 HHHHHHH + HHH HHH + HH H + H HH 0.08 H H + H HH + HH H + H HH 0.06 HH H + H HH + H H + HH H 0.04 H H + HH HH + H H + HH H 0.02 H HH + HH HH + HHHH HH + HHHHH HH +******************+--+--+--+--+--+--+-+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+- 0 30 35 40 45 50 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 27], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 27, to , 53 The probability distribution is [7 (-26 + n) (-16 + n) (-14 + n) (-25 + n) (-18 + n) (-20 + n) (-15 + n) (-17 + n) (-19 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-22 + n) (-24 + n)/(4096 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n)), 351 (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n)/(8192 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 2275 n (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n)/(8192 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 5075 (-1 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n) n/(2048 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 70035 (-1 + n) (-2 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n) n/(8192 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 1592129 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n)/(32768 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 484561 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n)/(4096 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 1038345 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n) n/(2048 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 15970735 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n) n/(16384 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 111795145 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n)/(32768 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 180049023 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n)/(32768 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 67291049 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n) n/(4096 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 376038215 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n) n/(16384 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 7896802515 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n)/(131072 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-39 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 4888496795 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n)/(65536 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-39 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 5726524817 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n) n/(32768 (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-39 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 101755940979 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n) n/(524288 (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-39 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 428971123735 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n)/(1048576 (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-39 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 428971123735 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n)/(1048576 (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-39 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-19 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 203196848085 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (1 + n) n/(262144 (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-39 + 2 n) (-1 + 2 n) 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0574478402318878528378880*n^14-335210102167657211748203760034408843788941519995\ 533709094277754793465583875850240*n^13+1053980147615349042995150877490917576845\ 503597850581505991594705058273649719541760*n^12-2929163959906777894421920759869\ 576285661266777525387436120165454859361568060866560*n^11+7144257060837882188389\ 614881734200776953302923004581514622043533903853729610203136*n^10-1516213054598\ 9005873897427186133070016666511561963305567747767149405194280763392000*n^9+2771\ 0201707138071099169256619953389193652797986036511798774934143544770681634816000 *n^8-43053988220296780941199101604719501924593703592923287515355137793176384202\ 342400000*n^7+55952771830213696488546971309197810912429321605386406311400317001\ 376269525319680000*n^6-59547909137378043923982388689966132008959206059849770485\ 084478390862113406976000000*n^5+50427635317261420275252014971493876138725209174\ 310856524615599800921924567040000000*n^4-32605468898318155193232078425559708080\ 033115412218826067581535724962316288000000000*n^3+15086950395763856578449710815\ 242073926107085479425138125732832788033935769600000000*n^2-44420219722843770553\ 09074734197941613737040511260287923259427673855754240000000000*n+62499818595383\ 8684811199607520602927558742014024823893567959900094464000000000000)/(-11+2*n)^ 2/(2*n-13)^2/(-17+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-33+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-15+2* n)^2/(-9+2*n)^2/(-35+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-37+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-47+ 2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-49+2*n)^2/(-1+2*n)^2/(-39+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(-27+2*n)^2/( -43+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-51+2*n)^2/(-41+2*n)^2/(-7+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[27., .2086162567e-6], [28., .2615153790e-5], [29., .1695007086e-4], [30., .\ 7562339306e-4], [31., .2609007061e-3], [32., .7413928397e-3], [33., .1805130392\ e-2], [34., .3868136555e-2], [35., .7436953019e-2], [36., .1301466778e-1], [37. , .2096046496e-1], [38., .3133483650e-1], [39., .4377660982e-1], [40., .\ 5745680039e-1], [41., .7113699095e-1], [42., .8333190369e-1], [43., .9254648919\ e-1], [44., .9753674106e-1], [45., .9753674106e-1], [46., .9240322838e-1], [47. , .8264955427e-1], [48., .6936659019e-1], [49., .5405188846e-1], [50., .\ 3838467441e-1], [51., .2399042151e-1], [52., .1223511497e-1], [53., .4078371656\ e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 24832593115928087 4682771953677940224311007742447 [-----------------, ----------------------------------, - 562949953421312 562949953421312 285401265985828131959220260718076399759751934 1/2 4682771953677940224311007742447 / 3132621881450387592269690651247453981605604684588282783649687, 8351880769355470619846473396947078791774244345874571055567163 -------------------------------------------------------------] 3132621881450387592269690651247453981605604684588282783649687 and in floating-point [44.11154662, 3.843985287, -.1971511989, 2.666099225] Here is a plot + HHHHHH + HH HH + H H + H HH 0.08 HH HH + H H + H H + H HH 0.06 HH H + H H + HH H + H H 0.04 H H + H H + HH HH + H H 0.02 HH H + HH H + HH HH + HHHHH HH +*******************-+--+--+--+-+--+--+--+--+-+--+--+--+--+-+--+--+--+--+--+- 0 30 35 40 45 50 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 28], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 28, to , 55 The probability distribution is [29 (-26 + n) (-16 + n) (-14 + n) (-25 + n) (-18 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-15 + n) (-17 + n) (-19 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-22 + n) (-24 + n)/( 16384 (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 189 (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (1 + n)/(8192 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-1 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-23 + 2 n)), 10179 n (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (1 + n)/(32768 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-23 + 2 n)), 47125 n (-1 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (1 + n)/(32768 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-23 + 2 n)), 337125 (-1 + n) (-2 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (1 + n) n/(32768 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-23 + 2 n)), 62031 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (1 + n) n/(2048 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-23 + 2 n)), 2501917 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (1 + n)/(16384 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-23 + 2 n)), 5547729 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (1 + n)/(16384 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-23 + 2 n)), 88259325 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (1 + n) n/( 65536 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 3) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-23 + 2 n)), 79853675 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (1 + n) n/(32768 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 3) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-23 + 2 n)), 1063650951 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (1 + n)/(131072 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 3) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-23 + 2 n) (-37 + 2 n)), 1643824197 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (1 + n)/(131072 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (2 n - 3) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-23 + 2 n) (-37 + 2 n)), 2374412729 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (1 + n) n/( 65536 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) 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669636339201206399365167795655230310947372042240*n^16-1184364686500920298787569\ 76055599352416719093597016016016201351315950026247338311680*n^15+45581320763714\ 3111344318186634977962020168255450940650322278830001602881658092933120*n^14-157\ 0204420511726749472249566647089135626954042239493952166624846790036510121765928\ 960*n^13+4816785877606000231977414410951779630578466418187047177416853611185079\ 322811411136512*n^12-1307859132718229600594697678857131989702700535216526431428\ 9416663601731879845716033536*n^11+312068957480074589631914175813289652307375886\ 46268541876230056638916476750928551084032*n^10-64877402965759468776892254642325\ 930642789243517378797768517916320303218110407639040000*n^9+11629421258830664759\ 5069303278324510189341762914266425016158264492503044359561674752000*n^8-1774379\ 3957568815413694979231655960922218895840241147826013072534103312863160434688000\ 0*n^7+2267173506108996558169211672447894646737773898366793224817079446570021423\ 28065884160000*n^6-237499355307569239554716626543781956430391882756528361877146\ 555326085476177149952000000*n^5+19819290431714664816860247618658568947587238446\ 7773732015540642693695676277063680000000*n^4-1264188604898471549720792410198326\ 42207446720975577740252060608794366368651673600000000*n^3+577680244242520367675\ 22586968346324835282616953925002967752814395196414571315200000000*n^2-168139708\ 33527191918351070687717830496323194695115369491054407536182432890880000000000*n +234082653912577715417954626336716483135000842319430708937653247915379916800000\ 0000000)/(-37+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-43+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(2*n-3)^2/( -35+2*n)^2/(-51+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-1+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-33+2*n)^ 2/(-39+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-47+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(-49+2*n)^2/(-11+2 *n)^2/(-15+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-41+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-53+2*n)^2/( -5+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[28., .1080334187e-6], [29., .1408159733e-5], [30., .9479932487e-5], [31., .\ 4388857633e-4], [32., .1569860615e-3], [33., .4621669650e-3], [34., .1165045891\ e-2], [35., .2583362628e-2], [36., .5137368862e-2], [37., .9296191274e-2], [38. , .1547815847e-1], [39., .2392079036e-1], [40., .3455225275e-1], [41., .\ 4690351052e-1], [42., .6009512285e-1], [43., .7291541573e-1], [44., .8398293419\ e-1], [45., .9196321300e-1], [46., .9579501354e-1], [47., .9487831485e-1], [48. , .8918561596e-1], [49., .7927610307e-1], [50., .6621356336e-1], [51., .\ 5140804609e-1], [52., .3641403265e-1], [53., .2272235637e-1], [54., .1157966238\ e-1], [55., .3859887461e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 206711857857070633 313792612743050387126150344543599 [------------------, ------------------------------------, - 4503599627370496 4503599627370496 4322109286045727567976445758260750320823249078 1/2 313792612743050387126150344543599 / 377263616138352445210634705158596359631030881509941524872076141, 3025326233958817128935383983047842003515007627342170169012029739 ----------------------------------------------------------------] 1131790848415057335631904115475789078893092644529824574616228423 and in floating-point [45.89925281, 3.933340855, -.2029421132, 2.673043556] Here is a plot + HHHHHH + HH HHH + HH H 0.08 H HH + H H + HH H + H H 0.06 HH H + H HH + H H + H H + H H 0.04 H H + HH H + HH H + H HH 0.02 HH H + HHH H + HH HH + HHHH HH +********************--+--+--+-+--+--+-+--+--+-+--+--+--+-+--+--+-+--+--+--+- 0 30 35 40 45 50 55 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 29], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 29, to , 57 The probability distribution is [15 (-26 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-25 + n) (-18 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-15 + n) (-17 + n) (-19 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-22 + n) (-24 + n)/( 16384 (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 3) (-25 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n)), 203 (-15 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n)/(8192 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-23 + 2 n)), 2835 (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n) n/(16384 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-23 + 2 n)), 54405 n (-1 + n) (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n)/(32768 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-23 + 2 n)), 50375 n (-1 + n) (-2 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n)/(8192 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-23 + 2 n)), 76725 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n) n/(2048 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (-33 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-23 + 2 n)), 399993 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n) n/(4096 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (-33 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-23 + 2 n)), 7333205 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n)/(16384 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (-33 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-23 + 2 n)), 60259815 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n)/(65536 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (-33 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-23 + 2 n)), 112606725 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n) n/(32768 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (-33 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-37 + 2 n) (-23 + 2 n)), 387152645 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n) n/(65536 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (-33 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-37 + 2 n) (-23 + 2 n)), 2470737789 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n)/(131072 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (-33 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-37 + 2 n) (-23 + 2 n)), 3684433545 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n)/(131072 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (-33 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-1 + 2 n) (-37 + 2 n) (-23 + 2 n)), 1291126285 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (1 + n) n/(16384 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (-33 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130597984827670684290406058693441617185662888090115*n^46-\ 9055333062050616703499567672563203683004853457792775*n^45+ 549152002025794489765484956242137311965242943627762405*n^44-\ 29403138522304715366231263357798129325916423928971082005*n^43+ 1400644370459073781167963123357124293037774598964497199240*n^42-\ 59734431701466484197198596408769802827794050184274760906380*n^41+ 2292720385112721330490181360422334407160836913846485734255180*n^40-\ 79543208703689776380411197157359717325503220704720295214824780*n^39+ 2503653250896408791278933760063207707904719193989191482546575815*n^38-\ 71714341936956575920634308984439647533048451802609823033828288195*n^37+ 1874250317712685509966255013816974795417799209650605441390018486705*n^36-\ 44790433112305902533644784068501690597349714845901379995620523607105*n^35+ 980542061521771000017009655085933700224656948040598262044588459817410*n^34-\ 19693228985115330617317957985385580521492340384180768936597741708260414*n^33+ 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6561075463238133870634265603730309120*n^11+655124511793271758986895784351114558\ 655538369207943390122690992978417708467902618062028800*n^10-1335797325263602126\ 839502531213014747539218153896603269092033371121735983210640063856640000*n^9+23\ 5114854218806295209637819270953752582010832749733466867006527319287290353900438\ 1593600000*n^8-3526394201548986376633903708568452773251118848681792642481142221\ 148046461817230825881600000*n^7+44341176872940647229877680849312282056761824643\ 21745537573348754709974634873837584384000000*n^6-457602113941942912010404997537\ 8313960889318245907786304018013160415675158007224729600000000*n^5+3765926450784\ 783474098732829939799108149185465744086164695687820857928235861671936000000000* n^4-237136340682655671279633298230343645721319410255834261668515977279227318833\ 9843072000000000*n^3+1070796591014667017421950863906259887554333563870839613496\ 396213060307569113825280000000000*n^2-30827082559039642856727784863218015179165\ 1379713675443963250639862417454006272000000000000*n+424860016851328553483587646\ 80114041689002652880976673672184064496641454899200000000000000)/(-23+2*n)^2/(-\ 37+2*n)^2/(-1+2*n)^2/(-47+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(-43+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-53+2*n)^2/ (-33+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-15+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-35+2*n )^2/(-41+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-51+ 2*n)^2/(-39+2*n)^2/(-49+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-55+2*n)^2/(-19+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[29., .5587935448e-7], [30., .7562339306e-6], [31., .5280598998e-5], [32., .\ 2533430234e-4], [33., .9383074939e-4], [34., .2858228981e-3], [35., .7450450212\ e-3], [36., .1707394840e-2], [37., .3507582878e-2], [38., .6554574065e-2], [39. , .1126762494e-1], [40., .1797698343e-1], [41., .2680778231e-1], [42., .\ 3757672050e-1], [43., .4973389478e-1], [44., .6237459303e-1], [45., .7432972336\ e-1], [46., .8432363575e-1], [47., .9117042668e-1], [48., .9396951873e-1], [49. , .9226098203e-1], [50., .8611024989e-1], [51., .7610754410e-1], [52., .\ 6328507743e-1], [53., .4897059563e-1], [54., .3460588758e-1], [55., .2156212995\ e-1], [56., .1098071433e-1], [57., .3660238109e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 429558910067401935 5 52473885947022459693074247834999 [------------------, -------------------------------------, - 9007199254740992 9007199254740992 660161635421577928122470260378725639133373543102 1/2 52473885947022459693074247834999 / 22945905886509343179621382648590928259452262476096800322744416675, 307437072462153628662601764503361137501739201886632248357558640499 ------------------------------------------------------------------] 114729529432546715898106913242954641297261312380484001613722083375 and in floating-point [47.69061924, 4.021164572, -.2084091046, 2.679668207] Here is a plot + HHHHHH + H H + HH HH 0.08 H H + HH HH + HH H + H H 0.06 HH HH + H H + HH H + H HH 0.04 HH H + H H + H H + HH H + HH HH 0.02 HH H + HH H + HHH HH + HHHHH HH +*********************+--+--+-+--+-+--+--+-+--+-+--+--+-+--+-+--+--+-+--+--+- 0 30 35 40 45 50 55 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 30], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 30, to , 59 The probability distribution is [31 (-26 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-25 + n) (-18 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-15 + n) (-17 + n) (-19 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-22 + n) (-24 + n) (-29 + n)/(32768 (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-23 + 2 n)), 435 (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n)/(32768 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 6293 (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n) n/(32768 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 1953 (-1 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n) n/(2048 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 119691 n (-1 + n) (-2 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n)/(16384 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-33 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 376805 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n)/(16384 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-33 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 1014475 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n) n/(8192 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-33 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 1199979 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n) n/(4096 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-33 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 162797151 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n)/(131072 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-37 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-33 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 313797407 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n)/(131072 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-37 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-33 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 1112554443 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n) n/( 131072 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-37 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 457544035 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n) n/(32768 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-37 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 11255583261 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n)/(262144 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-37 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-41 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 16268191191 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n)/(262144 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-37 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-41 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 11103686051 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n) n/(65536 (-21 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-37 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-41 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 7184738033 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (1 + n) n/(32768 (-21 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-37 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-41 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 2263192480395 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) 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25310*n^29+80152381223378390519131903653631182281439061567926257446167315701933\ 987847464865*n^28-9304517061977265336334642511550562924554983541939872509526130\ 13869332154266224120*n^27+99674870266157552376867414370060703737962742083139365\ 37340055467140553679995971080*n^26-98480930411917809406067069232513162744035090\ 426866811646201888138631814002506232000*n^25+8967446828660929586880900824439110\ 05503561074318731093404305681848638826347097947120*n^24-75183604543986654023614\ 76497590529641308008668759623115467328032368953490429143919360*n^23+57970839311\ 370953415417906739011138645189854285923080609697690061848729677329736549120*n^ 22-4105094114521346080427415966262175088128703044327576793191465607179651179314\ 91117319680*n^21+26653299174495633676757985668699925077160888059871099385932212\ 28193638590855727638204160*n^20-15836611492132816967962857757152610883674201115\ 209627101500123525894219263429147502663680*n^19+8592013802779997316192338703651\ 0126168606405671699580614629462004311794003055607841392640*n^18-424560661629389\ 345334390124296811410815142514049879374910541915304066090743457938321899520*n^ 17+1905108685208151999427082625811617056048909355590060807512416832042847296507\ 976246156070912*n^16-7736868692524457242247110568550090001622684183033259393439\ 981514126272367127760923061518336*n^15+2832575039149872809222101011458545571994\ 6406537161464497085159454812637037629524605059465216*n^14-930695507407249196771\ 94644682837222487918622580514427266205080946255577439010238615080927232*n^13+27\ 3000810003100375482592367633756565309235933536802435400474917561645336914956002\ 657377976320*n^12-7105283028239854231385462258486750367654401419961788386945438\ 40861889537205890242023826391040*n^11+16289503408433115499268144287475460111087\ 24846667140815528063884811579024757577823694933196800*n^10-32612105972902659231\ 20715648172207976889030619556167193903969342075363406856857141116928000000*n^9+ 5642020471286859771861386178191475255372927098203982019142626242818294749524827\ 464479539200000*n^8-83263067169285914171728100732401930162466833342468975240017\ 65355658190352677595444884275200000*n^7+103118442689847361714933471128204384809\ 36088319950515928823347045601374816328713989259264000000*n^6-104919548661000084\ 72789631353058940971640207495329758421792730626378264433466453629337600000000*n ^5+8521238047103602144642916027447231268906605868426556087861401483635388445909\ 095284736000000000*n^4-53003621242146606730322321235504870288602981015019895664\ 22109947091236691788529926144000000000*n^3+236642690500107038398376571531079290\ 8161103351636579044315842097176259074203509063680000000000*n^2-6741868601027664\ 70631737989637532582192193965899282174145448183122407905256538112000000000000*n +920246796499977646845450842971270142983797461401954751739506836997253913116672\ 00000000000000)/(-47+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-51+ 2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-53+2*n)^2/(-41+2*n)^2/(-33+2*n)^2/(-39+2*n)^2/(2*n-13)^2/( -49+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-1+2*n)^2/(-57+2*n)^2/(-15+2*n)^2/(-35+2*n) ^2/(-7+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-55+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-37+2* n)^2/(-27+2*n)^2/(-43+2*n)^2/(-21+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[30., .2887099981e-7], [31., .4051253200e-6], [32., .2930406481e-5], [33., .\ 1455098391e-4], [34., .5573546514e-4], [35., .1754635014e-3], [36., .4724017344\ e-3], [37., .1117567532e-2], [38., .2369010341e-2], [39., .4566353266e-2], [40. , .8094898971e-2], [41., .1331628402e-1], [42., .2047378668e-1], [43., .\ 2959166739e-1], [44., .4039497453e-1], [45., .5227584940e-1], [46., .6432379906\ e-1], [47., .7542280753e-1], [48., .8440171319e-1], [49., .9021073798e-1], [50. , .9209012836e-1], [51., .8969817697e-1], [52., .8317467319e-1], [53., .\ 7312942280e-1], [54., .6056030326e-1], [55., .4671794823e-1], [56., .3294214298\ e-1], [57., .2049733341e-1], [58., .1043167861e-1], [59., .3477226204e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1782901697959731837 3 2433431060509818162401338061674239 [-------------------, ---------------------------------------, - 36028797018963968 36028797018963968 7443408564653126296339180689536096048099760685742 1/2 2433431060509818162401338061674239 / 1719170339880175636337127583081215874541000877833962625983284066519, 13853058588028752021126669435470180457849989452908880816101801132145 --------------------------------------------------------------------] 5157511019640526909011382749243647623623002633501887877949852199557 and in floating-point [49.48546289, 4.107532580, -.2135809292, 2.685996896] Here is a plot + HHHHHH + H HH + HH HH 0.08 HH HH + HH H + H HH + H H 0.06 H H + H H + H H + H H 0.04 H HH + HH H + H H + HH H + H H 0.02 HHH HH + HH H + HHH HH + HHHH HHH +**********************-+--+-+--+-+--+-+--+-+--+-+--+-+--+-+--+-+--+-+--+--+- 0 30 35 40 45 50 55 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 31], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 31, to , 61 The probability distribution is [(-26 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-25 + n) (-30 + n) (-18 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-17 + n) (-19 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-22 + n) (-24 + n) (-29 + n)/(2048 (-19 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-5 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-23 + 2 n)), 465 (-16 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n)/(32768 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-31 + 2 n)), 435 n (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n)/(4096 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-31 + 2 n)), 2233 (-1 + n) (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n) n/(2048 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n)), 35343 (-1 + n) (-2 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n) n/(8192 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n)), 459459 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n)/(16384 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-35 + 2 n)), 1276275 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n)/(16384 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-35 + 2 n)), 1556775 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n) n/(4096 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-35 + 2 n)), 27212427 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n) n/(32768 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-35 + 2 n)), 432375229 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n)/(131072 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-31 + 2 n) (-35 + 2 n)), 394777383 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n)/(65536 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-31 + 2 n) (-35 + 2 n)), 668837715 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n) n/(32768 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-31 + 2 n) (-35 + 2 n)), 4235972195 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n) n/(131072 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-31 + 2 n) (-35 + 2 n)), 25220326761 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (1 + n)/(262144 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-31 + 2 n) (-35 + 2 n)), 35460158679 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) 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32969446715081042495415687124585165548256295607936*n^8-\ 107450243927954810001354937666050141570542463270912*n^7+ 279938513976605835614021595568459704663683012898816*n^6-\ 567585065127734447303366225219488919893668836720640*n^5+ 862369562686160324826689709801160140924340113408000*n^4-\ 927954189534670244729119068681418826841346867200000*n^3+ 644841110996503321377920838893865414934930391040000*n^2-\ 242764593397758812276629865594507192683305369600000*n+ 31370018474571622355156067715319586116075520000000)/(-55+2*n)/(-57+2*n)/(-59+2* n)/(-49+2*n)/(-35+2*n)/(-31+2*n)/(-53+2*n)/(-43+2*n)/(-41+2*n)/(-39+2*n)/(-33+2 *n)/(-37+2*n)/(-45+2*n)/(-47+2*n)/(-51+2*n)/(-17+2*n)/(-19+2*n)/(-21+2*n)/(-23+ 2*n)/(-25+2*n)/(-27+2*n)/(-29+2*n)/(-1+2*n)/(2*n-3)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-9+2*n)/ (-11+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n) and the variance is 3/4503599627370496*(-30+n)*(1+n)*(30421981053740370838440103929926077*n^58-\ 26907890217891124315463225333882287397*n^57+ 11632355958197113611249291060926329883264*n^56-\ 3275807217351850221642914623783395730971262*n^55+ 675781273247557580279334114677185048947026727*n^54-\ 108886890499584009677249378113522048223079818091*n^53+ 14268047126061228587288483704400750293145072759322*n^52-\ 1563181943351866950256076231757835034582586664845780*n^51+ 146103334531826561876789205527305194035876070990356805*n^50-\ 11828853042932458658675325194791916587789967144341929525*n^49+ 839519300538551182510801358134941719428011644651184899700*n^48-\ 52730136687445380040735007851473523962217210462603212331170*n^47+ 2953873522048744606883424071098098550716508826756933993421735*n^46-\ 148527452911034111370736571908824707839794069557342421996810675*n^45+ 6739394753942829724347902650691921287599523241346315467987808150*n^44-\ 277194546917106331470917303902911768905851180248094149832266278640*n^43+ 10374076863808291149936077466021376729609714893421995284143495279215*n^42-\ 354420712201412226263138682273245078674244654086830643311482642705895*n^41+ 11083816440355702391809620177917603166841462961701815364450667547790840*n^40-\ 318037524163934688988380865993101344976279399712851582222282006547484450*n^39+ 8389786104782715294131845505154248027646020167806088557448888578210582701*n^38-\ 203815420158046148019514300508558549158997224344611162404227150296270061961*n^ 37+4566122172458003825868214197163821930835418702478467800216500469751531791782 *n^36-\ 94446462434075133760834451661247184570586036901217130620079937830390250115556*n ^35+180533209390843521363986262685043353029077379584647788391987905949383287432\ 6511*n^34-319136963712269791933530798981195883434513086029898701813443121643564\ 49762640143*n^33+52200754281039678041162383816752388861685485905906518161084684\ 4403843024932515956*n^32-790327971572581085396311545928064041110747034209664188\ 3232920950834210343810292350*n^31+110775436783136541726302699800929474359076527\ 605439376868243576435472925652340563845*n^30-1437425240851548438892979896249638\ 111630687425201537983363021067021849105627134616025*n^29+1726471547790288480916\ 6304060351259483973334937584821169614073890052833791743339836650*n^28-191875378\ 575828783677246219436465041430625113272289153492894722967744507986745672886680* n^27+19721672336304724171480895448128003977335771211652267833035310818669810965\ 11468495047840*n^26-18734222332357957067961988758691403373272201341620071868569\ 250814261051079175520323159600*n^25+1643306659134393809149927610032636341495938\ 10044677306688496801464961061606077561500450400*n^24-13296361319714769693289339\ 56653723818299122447902760767565949497570217450671398057559688960*n^23+99112793\ 9981931726287781610393380518624179870574112815708057756156151321780655494947622\ 0160*n^22-679618425758478564093928609496866463638306745761960793849328751723884\ 72885473342253767847680*n^21+42794756681613158731336943557565840338336709749286\ 3973026046667654545549388836258005597058560*n^20-246968969067267348596745899856\ 0635305720014771958656376809878754641176285291650465281212979200*n^19+130325293\ 9190640284015114689273311694196179896525329107210651955277101003266316366711903\ 1631872*n^18-627209818668422777894322946157443319545780627457551297930166925979\ 60315504310799790787011694592*n^17+27446875475480090022480417160938220828041897\ 8929243615820005510572086466836088984795765858607104*n^16-108836928418058701288\ 4091648186533452659248911462623671431197491791219874087937681580131386130432*n^ 15+3895357600116677102198021538178425014351097741336686249885321274168319026194\ 124669091785290022912*n^14-1252640186093668204174960861192418016511290792353283\ 0715010686369533614616350830283212497843388416*n^13+360011336949948049429248721\ 96757059081816518858083512583000628990724109999478167991064873792438272*n^12-91\ 9035451409793231434224715571907430012979064814869939956833659783555444365494639\ 68027835388395520*n^11+20687523168526251301846308889133197608333401268221521503\ 5115588540412661518464284596741051357593600*n^10-407068902519216773836345480619\ 644561176159951052812100359751762524673303040723024914704016343040000*n^9+69285\ 0931902860860184261518345489844891211543230405473673081584900524335190961341680\ 008204124160000*n^8-10069121743654258950755887241142290708704215390378760142816\ 07760601432399002115191054142118297600000*n^7+122919018005184523594806080550421\ 0930432647367473098112869493958193315092680831927484120301568000000*n^6-1233913\ 3718625488506988069402826167773081385485791928408657133953046864722262896205371\ 53945600000000*n^5+989626440231092360974683343735201752037752780010736934462301\ 232843503846100992129154364211200000000*n^4-60841716918080824707107102839769352\ 6793168867020796585828729985192138441625377513429532672000000000*n^3+2687155535\ 5888265902674839212832824605240671449726909550563886477068180476586375193296896\ 0000000000*n^2-7579544216413186996644267947317279106117480748894246567388183126\ 1922791348372320026624000000000000*n+102508131155725510037408460300255723767251\ 16682048654370576714558679810788989232742400000000000000)/(-55+2*n)^2/(-57+2*n) ^2/(-59+2*n)^2/(-49+2*n)^2/(-35+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(-53+2*n)^2/(-43+2*n)^2/(-41 +2*n)^2/(-39+2*n)^2/(-33+2*n)^2/(-37+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-47+2*n)^2/(-51+2*n)^2 /(-17+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-29+2 *n)^2/(-1+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-5+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(2*n-13 )^2/(-15+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[31., .1490116119e-7], [32., .2165324986e-6], [33., .1620501280e-5], [34., .\ 8318573236e-5], [35., .3291573375e-4], [36., .1069761347e-3], [37., .2971559297\ e-3], [38., .7249298505e-3], [39., .1583971723e-2], [40., .3145943840e-2], [41. , .5744767011e-2], [42., .9732869730e-2], [43., .1541037707e-1], [44., .\ 2293775357e-1], [45., .3225082644e-1], [46., .4300110192e-1], [47., .5454183884\ e-1], [48., .6597156242e-1], [49., .7623380546e-1], [50., .8425841656e-1], [51. , .8911947905e-1], [52., .9018042523e-1], [53., .8719925415e-1], [54., .\ 8037496470e-1], [55., .7032809411e-1], [56., .5802067764e-1], [57., .4463129049\ e-1], [58., .3140720442e-1], [59., .1951733418e-1], [60., .9926919969e-2], [61. , .3308973323e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 3695373947956092637 91265943161221112515320311789778231 [-------------------, --------------------------------------, - 72057594037927936 72057594037927936 669326606131011868933276251237936438209338192187078 1/2 91265943161221112515320311789778231 / 925496931234138084047985280641536410844244779282221429294370684609929, 7474454713418384474675263107087295670746149739910361552864040724180527 ----------------------------------------------------------------------] 2776490793702414252143955841924609232532734337846664287883112053829787 and in floating-point [51.28361552, 4.192514912, -.2184829137, 2.692050962] Here is a plot + HHHHH + HH HH 0.08 H H + HH HH + H HH + HH H + H HH 0.06 HH H + H H + H H + HH H 0.04 H H + HH HH + HH H + H H + HH H 0.02 H H + HHH H + HHH HH + HHHH HHH +**********************+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+--+- 0 35 40 45 50 55 60 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 32], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 32, to , 63 The probability distribution is [33 (-26 + n) (-16 + n) (-28 + n) (-25 + n) (-30 + n) (-18 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-17 + n) (-19 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-22 + n) (-31 + n) (-24 + n) (-29 + n)/(65536 (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-23 + 2 n) (-7 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n)), 31 (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n)/(4096 (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-15 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 15345 n (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n)/(131072 (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-15 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 81345 n (-1 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n)/(131072 (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-15 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 1328635 (-1 + n) (-2 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n) n/(262144 (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-15 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 2226609 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n) n/(131072 (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-15 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 50999949 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n)/(524288 (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-15 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-37 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 128174475 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n)/(524288 (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-15 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-37 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 1153570275 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n) n/(1048576 (-7 + 2 n) (-39 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-15 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-37 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 589602585 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n) n/(262144 (-7 + 2 n) (-39 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-15 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-37 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 17727384389 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n)/(2097152 (-7 + 2 n) (-39 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-37 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 30900302433 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n)/(2097152 (-7 + 2 n) (-39 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-37 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 201320152215 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n) n/(4194304 (-7 + 2 n) (-39 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-37 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 154124219095 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n) n/(2097152 (-7 + 2 n) (-39 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-37 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 1783437392385 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n)/(8388608 (-7 + 2 n) (-39 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-45 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-37 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 2446750948851 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n)/(8388608 (-7 + 2 n) (-39 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-45 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-37 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 12777477177333 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n) n/( 16777216 (-47 + 2 n) (-7 + 2 n) (-39 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-45 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-37 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 1989572570865 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-15 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (1 + n) n/(2097152 (-47 + 2 n) (-7 + 2 n) (-39 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-9 + 2 n) (-33 + 2 n) (-45 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 3) (-11 + 2 n) (-37 + 2 n) (-25 + 2 n) (-31 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (2 n - 13) (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n)), 75824821311855 (-29 + n) (-31 + n) (-15 + n) (-27 + n) (-13 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-25 + n) (-14 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (-16 + n) (n - 5) (-1 + n) (-26 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/( 33554432 (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 86466901495975 (-29 + n) (-31 + n) (-17 + n) (-15 + n) (-27 + n) (-13 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) 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n)/(-31+2*n)/(-25+2*n)/(-37+2*n)/(-11+2*n)/(2*n-3)/(-21+2*n)/(-35+2*n)/(-41+2*n )/(-15+2*n)/(-45+2*n)/(-33+2*n)/(-9+2*n)/(-27+2*n)/(-43+2*n)/(-53+2*n)/(-59+2*n )/(-39+2*n)/(-61+2*n)/(-7+2*n)/(-47+2*n) and the variance is 99/4611686018427387904*(-31+n)*(1+n)*(3928216764307225363934353902764190877*n^ 60-3712800237998874655466494570178865387630*n^59+ 1716446848923548812677997705666021070727435*n^58-\ 517320655453406465858568365819134936996860520*n^57+ 114307941979467882743110401192711650466631836941*n^56-\ 19744088994330230667965608163964647955364404034610*n^55+ 2775830628008876653722831908099035600697948113296615*n^54-\ 326583670818942786372020917811195550546607642725323580*n^53+ 32809970625132582342781863195003697111305939212706201117*n^52-\ 2858044021217281958574153778002434052864428971968566768910*n^51+ 218460905041492692200810328117179185739609687333606894721375*n^50-\ 14793546228204629942850843888141109401773156036702100542139600*n^49+ 894432688028762679805053433602912203539413994531949461775429385*n^48-\ 48595544685759653487828464238544619577849175840519253107046477250*n^47+ 2385376570479929089890295237296474950124335680347739576734497726475*n^46-\ 106267772790363270028192296309530431439827490239358385888972503651700*n^45+ 4313256586624211107118922734528597929394026327068809988978967009081515*n^44-\ 160028423597743624720754479781856703390780232704912490249406957289645050*n^43+ 5442516111877264462908377365950194108642458430230051671628723490301227425*n^42-\ 170082679632436188895214503893455597242872930543570462130136782992958794600*n^ 41+4894110590897048458999636556470559819811947612499567092274203669685815003991 *n^40-\ 129898486998856757372860982891866418580084418955154202498671811815098718496390* n^39+31849119255883903564895293274623077296265926403291847114880251668001462984\ 10405*n^38-72226336636070962091933866100147595857388325362252425435034981992364\ 748056804260*n^37+1516511413422868813822437129348398845600463895964576790568755\ 063179756852242652143*n^36-2950584439573458583192807816282728143042962648005558\ 1994994631953439471169255256330*n^35+532307439295360941644067423326572980557961\ 970222002858955674774294415173518658123045*n^34-8908681687210133521746303969174\ 628312495413040853103033002233204024216232713074260640*n^33+1383544834025523637\ 58108809002790265406240750590928358256791119133321804609186673073171*n^32-19941\ 8417494039384883871169532027020571979971565673390583933174624520178088922126482\ 3430*n^31+266762938807595902808878219496336242613721550966742025928065151218054\ 10108711620371920425*n^30-33113370117980778448562089101988433244491100244352277\ 9803553321420977991398663679876729900*n^29+381295719223661494280631716944607822\ 2301354350968315832743779301600560265811879712457234540*n^28-407096019615415189\ 51447468804786873756004149389577596809172085095205645057282429155185808000*n^27 +402749463106349887533202745139220004457075085343338128567405420702983361943448\ 237524759280400*n^26-3689195060532878110435329877517300474838792869604709666985\ 784511215947163160417203184136500800*n^25+3125843106333340737404958610547458102\ 7879952675749863511282770143115150161040379217979988052160*n^24-244704781721872\ 3876456929046112025085249313566465177604324223659874771125915717991461893813632\ 00*n^23+17675548240844414216817777844242506039099172790590629611787752203555770\ 40761275651794020214547200*n^22-11762003331583396113198815472953157737902979975\ 013807685348433654107772772181538250802002769638400*n^21+7197620030789275396922\ 1875217638070229079003215285665168495731959597918997392619269161443680658432*n^ 20-4042075689391307250266006414356704953061043350663187812482811972164140159330\ 96665168697280337428480*n^19+20783109299668316017199098956544094011100952963168\ 95334008049351821501990759200112387963022052700160*n^18-97576925668499105490337\ 61511342143010636929764721420794840970235810878938952707351426950514138398720*n ^17+417052745275379020355185412122355603942720860068168194921677165667841152202\ 88702549100483918875017216*n^16-16170738463891273696188451699680727248525396716\ 4094984447728694248816039807450429144546441594533314560*n^15+566539517717782973\ 6598198782772190647895927290253190974710238533792378924895048942689936034797610\ 59840*n^14-17852373991112429312427817333874851529802698920071531610145860652872\ 32671600370411301049186266675937280*n^13+50328641076071973518915423036157691327\ 80265745130334640541171805255422091785413327183072038111791808512*n^12-12615077\ 3795953024385424217971428410108539009807755911886052587624218664430579673467557\ 74193151938396160*n^11+27908853853043505062252858563521947049664236539134749754\ 648737343865099184329901366490763967981630259200*n^10-5402363680993059330351946\ 2475315852091672579000682631402463189943062628343167574641267435281275944960000 *n^9+90538898848650853197835949442657974379732874908008919304827245381128297589\ 658486008006993717766389760000*n^8-12967474865230635605330528574977268725124311\ 5132410908821071415392312549110735799851516624846507212800000*n^7+1561467956093\ 2993195448763630792000317547990319641599500517971548659724795899167493680274203\ 0565376000000*n^6-1547477108588424991759224206826401737397426369888015276598207\ 34792110813885178539413294703810969600000000*n^5+122632552900978556793440244545\ 877220028490116058309914904154694947652934841221931416942848193331200000000*n^4 -745578686598618672665390785304702847663203149503988342699798662633884458296455\ 42939172909613056000000000*n^3+325908519015100613127532289295868796105121304819\ 96711423465489921637535275774897425456897720320000000000*n^2-910530983813238807\ 5559473858857022783646167038883665495254360523448745760602626674328076288000000\ 000000*n+1220584819297454793117430018487204954041413093564897373213310555931122\ 430266525921103052800000000000000)/(-29+2*n)^2/(-1+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-51+2*n) ^2/(-49+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-55+2*n)^2/(-57+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-5+2 *n)^2/(-31+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-37+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-21+2*n)^2/(-\ 35+2*n)^2/(-41+2*n)^2/(-15+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-33+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-27+2*n)^ 2/(-43+2*n)^2/(-53+2*n)^2/(-59+2*n)^2/(-39+2*n)^2/(-61+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-47+2 *n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[32., .7683411241e-8], [33., .1154839993e-6], [34., .8931965567e-6], [35., .\ 4734902177e-5], [36., .1933418389e-4], [37., .6480285083e-4], [38., .1855367336\ e-3], [39., .4662960237e-3], [40., .1049166053e-2], [41., .2144961709e-2], [42. , .4030740545e-2], [43., .7025915336e-2], [44., .1144372574e-1], [45., .\ 1752189509e-1], [46., .2534416968e-1], [47., .3477042226e-1], [48., .4539471795\ e-1], [49., .5654705350e-1], [50., .6734596997e-1], [51., .7679803593e-1], [52. , .8392928212e-1], [53., .8792591460e-1], [54., .8825896731e-1], [55., .\ 8477047058e-1], [56., .7770626470e-1], [57., .6769079058e-1], [58., .5564964033\ e-1], [59., .4269416851e-1], [60., .2998757074e-1], [61., .1861297494e-1], [62. , .9461595595e-2], [63., .3153865198e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 244810992635573409309 3 43210384407379479003277892930406099647 [---------------------, -------------------------------------------, - 4611686018427387904 4611686018427387904 17285552008185635354533662156839537832691756784384382866 1/2 43210384407379479003277892930406099647 / 509219269263682802416688164758981630491523748171934758151923229548170961257 , 457932345620228443934793677573407194200447486393897860638022740425662799511 / / / 169739756421227600805562721586327210163841249390644919383974409849390320419 ] and in floating-point [53.08492201, 4.276176165, -.2231374618, 2.697849669] Here is a plot + HHHHH + HH HH 0.08 H HH + HH H + H HH + H HH 0.06 HH H + H HH + HH H + H H + H HH 0.04 H H + H HH + H H + HH H 0.02 HH H + H H + HH H + HHH HH + HHHHH HHH +***********************-+-+--+-+-+--+-+--+-+-+--+-+-+--+-+-+--+-+-+--+-+--+- 0 35 40 45 50 55 60 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 33], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 33, to , 65 The probability distribution is [17 (-26 + n) (-28 + n) (-25 + n) (-30 + n) (-18 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-17 + n) (-19 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-22 + n) (-31 + n) (-24 + n) (-29 + n) (-32 + n)/(65536 (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-31 + 2 n)), 33 (-17 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n)/(4096 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-17 + 2 n)), 527 (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n) n/(8192 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-17 + 2 n)), 92225 n (-1 + n) (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n)/(131072 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-17 + 2 n)), 776475 n (-1 + n) (-2 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n)/(262144 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-17 + 2 n)), 2681427 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n) n/(131072 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-37 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-17 + 2 n)), 15811173 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n) n/(262144 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-37 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-17 + 2 n)), 163597239 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n)/(524288 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-37 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-17 + 2 n)), 757394625 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n)/(1048576 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-37 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-17 + 2 n)), 796235375 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n) n/(262144 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-37 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-17 + 2 n)), 3076653489 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n) n/(524288 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-37 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-17 + 2 n)), 44098700009 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n)/(2097152 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-37 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-43 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-17 + 2 n)), 147634778291 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n)/(4194304 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-37 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-43 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-17 + 2 n)), 232292483325 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n) n/(2097152 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-37 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-43 + 2 n) (-45 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-17 + 2 n)), 690556566075 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n) n/(4194304 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-37 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-43 + 2 n) (-45 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-17 + 2 n)), 3894739032663 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n)/(8388608 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-37 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-47 + 2 n) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-43 + 2 n) (-45 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-17 + 2 n)), 10454299508727 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-14 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (1 + n)/(16777216 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-35 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-37 + 2 n) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-47 + 2 n) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-43 + 2 n) (-45 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-39 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-17 + 2 n)), 3348108992991 (-32 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-15 + n) (-27 + n) (-13 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-25 + n) (-14 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-26 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/( 2097152 (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 8206149492625 (-32 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-15 + n) (-27 + n) (-13 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-14 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (-16 + n) (n - 5) (-1 + n) (-26 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/(4194304 (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 154189229940375 (-32 + n) (-29 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+2*n)/(-31+2*n)/(-39+2*n)/(-27+2*n)/(-5+2*n)/(-45+2*n)/(-63+2*n)/(-43+2*n)/(-19 +2*n)/(-61+2*n)/(-11+2*n)/(-33+2*n)/(-47+2*n)/(-49+2*n)/(2*n-3)/(-59+2*n)/(-53+ 2*n)/(-57+2*n)/(-25+2*n)/(-7+2*n)/(-37+2*n)/(-55+2*n)/(2*n-13)/(-15+2*n)/(-51+2 *n)/(-1+2*n)/(-35+2*n)/(-29+2*n)/(-9+2*n)/(-23+2*n) and the variance is 561/4611686018427387904*(-32+n)*(1+n)*(2880751870303610091598655415535042911*n^ 62-2903336866215459672884587556891896840923*n^61+ 1432245385299283922751999340917537452424191*n^60-\ 460950335343127471843382072766501805872710815*n^59+ 108844057576638631720843851324789939272978326423*n^58-\ 20106545525033836285151751805144885068556466002679*n^57+ 3025626251397106117769270071127839475478833983437063*n^56-\ 381330146652282177481492173752770231292345080305510855*n^55+ 41074514571772245491506256236109326995648641368466928171*n^54-\ 3839590267700274985141794672326338562662958159395856600763*n^53+ 315241341878535874938357687714630723488722967554950501121851*n^52-\ 22951696238046510075230498880245309518103397262680444568136955*n^51+ 1493479197044339873891094871649984552947298995734701401219667955*n^50-\ 87419899552327252304788407193367521269049275674479473572576981715*n^49+ 4628122419212839959982018996769946191687428479980644061769037318755*n^48-\ 222625413035349282385530411297417972535911039888405462990623509891875*n^47+ 9768226201016435628037856751312733058980546581859136799146612005993245*n^46-\ 392264371276769256237607959780307664185363935904519535531907139648775685*n^45+ 14458072165875644450951201063846642837661764335396380037398664361501044845*n^44 -490323159366152559477003936205354917390745230765373855819935997611722172525*n^ 43+ 15332653452915065608034947948727541739096074464085879251562168373246343395013*n ^42-\ 442901517740057169348737700625756609058709749278780117124566976847014287145509* n^41+11836659743068761791995442451431994606109221792191792500559002704126126408\ 543253*n^40-2930611220564778220452443456365036931862672939584234892340832357011\ 96955569039445*n^39+67294105253668631994830260561951460367446610926795792577750\ 74404939563517662579129*n^38-14344464317019369127422596581548683835610273743241\ 6210436368371381832873687177017417*n^37+284054364432527862229473519398212867022\ 8976449812877209497764810317808475426752671849*n^36-522850590556546928286741834\ 83918379337157841635284586764568936508481823164759106257065*n^35+89493998810812\ 9188611916316504836850582449301624684997051592755269136240042095956367473*n^34-\ 1424841965392259617150304363893276949923431977297625709861251587097780243549626\ 9301684369*n^33+211032647743122136041039829993749810878840648272229085970713313\ 326995370002446652055077313*n^32-2907604435755741901907790498722348791111344071\ 026453502875308639450869920061001210199998465*n^31+3726111718947312269983105230\ 3614508278629352228456878518060403693959165260166955124270970720*n^30-444000078\ 8321165818306750694997612124240354477506205595080943271617728585960409759321618\ 08860*n^29+49173090259365971597607560969527124962945121521991833860467426143195\ 46609827310247487141145520*n^28-50586819098442303007971660223221620597716431152\ 081030422954775651482365649202102831437195722000*n^27+4830544538627760299444288\ 65163668849717018046378545429084148780740335804844307930822123814737280*n^26-42\ 7778933565302824711065679227595758591349790246814701068634378472341025941060271\ 2929575217160640*n^25+350954979564700244442330567008733819301492867920074347531\ 74063837094746795602876865712977353127680*n^24-26641564855278838795216436798053\ 8646076221626898751109922752346358617919287420972695482730547321600*n^23+186865\ 5766899777163618708927470163476225388575140652227383600166544072881328600260255\ 518719430782976*n^22-1209079707584612621135837560894364322384097351846221773685\ 4824737782976767811782739699421608212640768*n^21+720330989896267498498865013655\ 51456605018385789953346624377709476411885783857028293984569040951955456*n^20-39\ 4317276671709037702265897638890226980933585267419708386161772858498145816096551\ 410566718502368522240*n^19+1978594962292778517067247150751190552358660195387756\ 363232602771440029796717777653256465037882542030848*n^18-9075808114030105370676\ 1412696127353502221704666728511780503441745833556006395916840234845904424154071\ 04*n^17+37939300423138134204279004417227978600682686709540320344647714408894250\ 727743470620228893446863467839488*n^16-1440256389770123690637378004510131120337\ 24963425253620018616880759535910834679560462909688884090062766080*n^15+49452447\ 0386581056952904363304605182518561372140792471361571326076622754448549164113962\ 594402743412064256*n^14-1528702811248176077193977016573264592547105206816315431\ 621323423631916599215028081124182209409468824813568*n^13+4231758562354761664540\ 0875863018221355775662687931750009595320452322669770299119034664064355185737450\ 12736*n^12-10424895355765074716677509305778940593230960232368866559522984673510\ 770357960198212931597600305042245550080*n^11+2268752181397135693645287757759520\ 7466142648316480477726235809224162713710485817109005136793083831753113600*n^10-\ 4323845129662713489550763480230945062584558630613890433260945247788153833436117\ 0878829667555531156357120000*n^9+7140567037849516037412126681203173035160407116\ 2602420091597177422447376244028237989953942828061326049280000*n^8-1008618700562\ 0221220489784844815488630833185398689923135371579096521523218410663271220222009\ 2623578726400000*n^7+1198769430225740118224070995490836466467972117223364604176\ 79787732574723020743723088391716597670084608000000*n^6-117357087189549879015162\ 9159766238247599154151321138904270423677454328700459481513349149171065552896000\ 00000*n^5+919432342014659401108404809235914447156663541282462547187775541174024\ 86911679499444695751148018073600000000*n^4-553066108102730320764133085315025199\ 15797276383802981894373409593353644187976011533089273049776128000000000*n^3+239\ 3763543479147694457136743888625716832215035900717443120705651760193049244070623\ 2317320426946560000000000*n^2-6626750537183176645490756788838307956227406208714\ 590536147291172689637213143689539872100450304000000000000*n+8808183905075632861\ 6055995334103935683461246697437775896065992663465907740506206924691210240000000\ 0000000)/(-17+2*n)^2/(-41+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(-39+2*n)^2/(-27+2*n)^ 2/(-5+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-63+2*n)^2/(-43+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-61+2*n)^2/(-11+2 *n)^2/(-33+2*n)^2/(-47+2*n)^2/(-49+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-59+2*n)^2/(-53+2*n)^2/(-\ 57+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-37+2*n)^2/(-55+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-15+2*n)^2 /(-51+2*n)^2/(-1+2*n)^2/(-35+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-23+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[33., .3958120942e-8], [34., .6146728992e-7], [35., .4908069968e-6], [36., .\ 2684100764e-5], [37., .1129919838e-4], [38., .3901989840e-4], [39., .1150414246\ e-3], [40., .2975816442e-3], [41., .6888463986e-3], [42., .1448343710e-2], [43. , .2798200047e-2], [44., .5013441752e-2], [45., .8392065541e-2], [46., .\ 1320429893e-1], [47., .1962679807e-1], [48., .2767378527e-1], [49., .3714113287\ e-1], [50., .4757949047e-1], [51., .5830819911e-1], [52., .6847377329e-1], [53. , .7714711791e-1], [54., .8344484182e-1], [55., .8665425881e-1], [56., .\ 8634029411e-1], [57., .8241573528e-1], [58., .7516315058e-1], [59., .6520563918\ e-1], [60., .5343239877e-1], [61., .4089214192e-1], [62., .2867150180e-1], [63. , .1777633112e-1], [64., .9031523068e-2], [65., .3010507689e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 506263872236352303799 3 179566866582258362376316187568351008119 [---------------------, --------------------------------------------, - 9223372036854775808 9223372036854775808 26353886471513500239490930666389687162307465938941153746 1/2 179566866582258362376316187568351008119 /15518627602541987971495004956\ 96529231965585918274452298739422547716323183227, 11328502241861924745747759428397821676012447559560769957377969713511327643/ 4190448497536090361339785316912320158322914270768098016398080686902762871] and in floating-point [54.88923901, 4.358576068, -.2275644728, 2.703410446] Here is a plot + HHHHH + HH HHH 0.08 HH HH + H H + HH H + H H 0.06 H HH + HH H + H HH + H H + H H 0.04 HH HH + H H + HH HH + HH H 0.02 HHH H + HH H + HH H + HHH HH + HHHH HHH +************************--+-+-+-+--+-+-+--+-+-+-+--+-+-+--+-+-+-+--+-+-+--+- 0 35 40 45 50 55 60 65 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 34], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 34, to , 67 The probability distribution is [35 (-26 + n) (-28 + n) (-25 + n) (-30 + n) (-18 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-17 + n) (-19 + n) (-33 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-22 + n) (-31 + n) (-24 + n) (-29 + n) (-32 + n)/(131072 (-1 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-17 + 2 n) (-11 + 2 n) (2 n - 13) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-33 + 2 n)), 561 (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n)/(131072 (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n)), 1155 (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n) n/(16384 (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n)), 3255 (-1 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n) n/(8192 (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n)), 1806525 n (-1 + n) (-2 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n)/(524288 (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n)), 6421905 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n)/(524288 (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n)), 38959557 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n) n/(524288 (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n)), 25909065 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n) n/( 131072 (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n)), 1972790235 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n)/(2097152 (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n)), 4262201125 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n)/(2097152 (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n)), 8458829925 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n) n/(1048576 (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-43 + 2 n) (-11 + 2 n)), 7782123531 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n) n/(524288 (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-43 + 2 n) (-11 + 2 n)), 428016794205 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n)/(8388608 (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-45 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-43 + 2 n) (-11 + 2 n)), 691411744485 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n)/(8388608 (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-45 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-43 + 2 n) (-11 + 2 n)), 2110152726675 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n) n/(8388608 (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-45 + 2 n) (-5 + 2 n) (-47 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-43 + 2 n) (-11 + 2 n)), 381837160065 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (-13 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (1 + n) n/(1048576 (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-45 + 2 n) (-5 + 2 n) (-47 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-41 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-43 + 2 n) (-11 + 2 n)), 33678037517733 (-32 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-33 + n) (-27 + n) (-13 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-25 + n) (-14 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-26 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/(33554432 (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 44313207260175 (-32 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-33 + n) (-15 + n) (-27 + n) (-13 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-14 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-26 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/(33554432 (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 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56340781929090371410006016*n^20-44365393306345341161530197410438746214388106633\ 98621350676241425394927136974287831685536512874224306896896*n^19+21755868467493\ 0646994544112070402066074150423062780326986909117659446872436658124712852100766\ 78495262785536*n^18-97627583145716099056194900190104927460211014130904453136076\ 919089543620746003087999730022412933785706823680*n^17+3996455909655857242125632\ 5371450101723446043040950768923375648158004600958328377489630139316866393053016\ 8832*n^16-148709979543762526924962629714465037812482565889741492400050021808491\ 2728671546545957021061800346392840896512*n^15+500962700233946633953820425138291\ 5795655375573486566538533909044614698276213529657207806399465504369826332672*n^ 14-1520717122064193966757730941019805884758404112262544227933941503274573687586\ 1221142079287401368321747184517120*n^13+413745587533707830122110472921864349249\ 47052596757130749593369290477000625510158043937013088514841841238016000*n^12-10\ 0262991654787691361779497070380244226868175992853288762377172327885237228746557\ 910096813420203285764112384000*n^11+2148190857812391890963871392976257358451415\ 99504887907691593027592619086161293966561748941997126248279572480000*n^10-40339\ 0121491762932382523222767900402584063484189285754775316050879936881226139826050\ 825152700926939208089600000*n^9+65690523135483586072164804875134142039147201215\ 2051370395957716887954233830286510595607866818811196866560000000*n^8-9156964549\ 4250455201748313799017905739232845608760737514079358291040053446806110914277002\ 9311773974200320000000*n^7+1074853212721016102541712525633589621319791174710575\ 227534989172302225250675174580663579063847161220300800000000*n^6-10400202400085\ 0911034293209876886991671433336627760360347687571571482950947988038091309081663\ 1543693312000000000*n^5+8059292077490816284465488329702614976429067502877983828\ 35513349165528039564499718964042210283932876800000000000*n^4-479865495899221871\ 3935821849964440177167041366311968781684743596333711874745310295271449127932657\ 66400000000000*n^3+205732314781041768204898054085310511616865246502559410112674\ 826065856951584874337172117745483907072000000000000*n^2-56454861266846359623797\ 6291675631104787031336518510397143533189288847276898987675011987535822848000000\ 00000000*n+74429153997889097680567316057317825652524753459334920632175763800628\ 69204072774485136407265280000000000000000)/(-59+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(-65+2*n)^2/ (-43+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-51+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(-63+2*n )^2/(-19+2*n)^2/(-53+2*n)^2/(-57+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-21+2*n)^2/(-41+2*n)^2/(-7+ 2*n)^2/(2*n-3)^2/(-29+2*n)^2/(-37+2*n)^2/(-15+2*n)^2/(-35+2*n)^2/(-47+2*n)^2/(-\ 61+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-55+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-33+2*n)^ 2/(-49+2*n)^2/(-39+2*n)^2/(-1+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[34., .2037268132e-8], [35., .3265449777e-7], [36., .2689193934e-6], [37., .\ 1515727490e-5], [38., .6572099664e-5], [39., .2336275429e-4], [40., .7086702135\ e-4], [41., .1885132588e-3], [42., .4485605666e-3], [43., .9691123353e-3], [44. , .1923315250e-2], [45., .3538900060e-2], [46., .6082484478e-2], [47., .\ 9825551849e-2], [48., .1499353691e-1], [49., .2170492963e-1], [50., .2991210614\ e-1], [51., .3935803440e-1], [52., .4956196924e-1], [53., .5984262540e-1], [54. , .6938004382e-1], [55., .7730919169e-1], [56., .8283127681e-1], [57., .\ 8532452594e-1], [58., .8443572880e-1], [59., .8013718260e-1], [60., .7273990421\ e-1], [61., .6286164561e-1], [62., .5135571941e-1], [63., .3921249511e-1], [64. , .2744874658e-1], [65., .1700051401e-1], [66., .8633073521e-2], [67., .\ 2877691174e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 2091729204871437277475 26829981795637075311293151704400626689335 [----------------------, --------------------------------------------, - 36893488147419103232 36893488147419103232 293972327255076949313836664121476289154926495009417202234 1/2 26829981795637075311293151704400626689335 /207748318370625356431020000\ 354038481117023578028239244855937480374570713593865, 16882142192697750637\ / 98011304739636518792988748761603195438669362470408693647279 / 62324495\ / 5111876069293060001062115443351070734084717734567812441123712140781595] and in floating-point [56.69643370, 4.439769984, -.2317816886, 2.708749113] Here is a plot + HHHHH 0.08 HH HHH + HH H + H H + HH H + H H 0.06 H H + HH HH + HH H + H HH + H H 0.04 H H + H HH + H H + HH HH 0.02 HH H + HH H + HH HH + HH HH + HHHHH HHH +************************-+-+-+-+--+-+-+-+--+-+-+-+-+--+-+-+-+-+--+-+-+-+--+- 0 35 40 45 50 55 60 65 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 35], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 35, to , 69 The probability distribution is [9 (-26 + n) (-28 + n) (-25 + n) (-30 + n) (-18 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-19 + n) (-33 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-34 + n) (-22 + n) (-31 + n) (-24 + n) (-29 + n) (-32 + n)/(65536 (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-1 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-25 + 2 n) (2 n - 3) (-33 + 2 n) (-11 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (-21 + 2 n) (-17 + 2 n)), 595 (-18 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (1 + n)/(131072 (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-35 + 2 n)), 5049 n (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (1 + n)/(131072 (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-35 + 2 n)), 3663 (-1 + n) (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (1 + n) n/(8192 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-35 + 2 n)), 65379 (-1 + n) (-2 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (1 + n) n/( 32768 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-35 + 2 n)), 7649343 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (1 + n)/(524288 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-35 + 2 n)), 11926395 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (1 + n)/(262144 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-35 + 2 n)), 32598813 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (1 + n) n/(131072 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n)), 637362999 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (1 + n) n/(1048576 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n)), 5655332007 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (1 + n)/(2097152 (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 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3176909163966270963418975461229355575011039998203993276086138123059200000*n^10-\ 2628016216120194414420955428984386118888542711517352256171160864642182425949504\ 53634001991475468091166213904793600000*n^9+422278913706226063084585774830445203\ 5340850984819844203438899098632999563876419044619980859860350363672426577920000\ 00*n^8-581246946049903063493288454999673749978200775644555389609261286983247235\ 285052014674354736206725245859654533120000000*n^7+67419425157396372493483471641\ 8599694675511058699697184435726079413099526916842300870857390012447188007360921\ 600000000*n^6-64508196701066841656715563167428058011521127755760049601146811385\ 3571423930224711405635463848195915683725312000000000*n^5+4946683181586209238110\ 7126845750122075620486809887996300882222115722252919680413069274386310367009763\ 7539840000000000*n^4-2916643906118094242218371748062323708790985491732245647276\ 83747411699934632787796616916424229364252960358400000000000*n^3+123910813238562\ 1280355407449711711536441152596012527681056656230469594806580058761070052199943\ 31173093376000000000000*n^2-337159462181981542754746962886650476396461574760627\ 51580625738670060005046093947194000379583131969126400000000000000*n+44102846343\ 1411890524248019951315629547522376128219885507544844885349302113491437561860785\ 2227133440000000000000000)/(-49+2*n)^2/(-35+2*n)^2/(-53+2*n)^2/(-43+2*n)^2/(-41 +2*n)^2/(-55+2*n)^2/(-39+2*n)^2/(-47+2*n)^2/(-51+2*n)^2/(-57+2*n)^2/(-59+2*n)^2 /(-61+2*n)^2/(-63+2*n)^2/(-65+2*n)^2/(-67+2*n)^2/(-1+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-5+2*n)^ 2/(-7+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-15+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-19+2*n )^2/(-21+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(-\ 33+2*n)^2/(-37+2*n)^2/(-45+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[35., .1047737896e-8], [36., .1731677912e-7], [37., .1469452400e-6], [38., .\ 8528586477e-6], [39., .3805558663e-5], [40., .1391407386e-4], [41., .4338797226\ e-4], [42., .1185937908e-3], [43., .2898391353e-3], [44., .6429368121e-3], [45. , .1309686099e-2], [46., .2472833893e-2], [47., .4360430431e-2], [48., .\ 7225456836e-2], [49., .1130941070e-1], [50., .1679276134e-1], [51., .2373976678\ e-1], [52., .3204868515e-1], [53., .4141964572e-1], [54., .5135067189e-1], [55. , .6116771210e-1], [56., .7008800345e-1], [57., .7730919169e-1], [58., .\ 8211100483e-1], [59., .8395323892e-1], [60., .8255401827e-1], [61., .7793561165\ e-1], [62., .7043070090e-1], [63., .6064865911e-1], [64., .4940774384e-1], [65. , .3764399531e-1], [66., .2631031930e-1], [67., .1627951007e-1], [68., .\ 8263084656e-2], [69., .2754361552e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 4317009077605468112199 3 12358254897725732180449273736829670939031 [----------------------, ----------------------------------------------, - 73786976294838206464 73786976294838206464 971873988562465862221393974664444363988652984132831154837442 1/2 12358254897725732180449273736829670939031 /458179392351486141466266410\ 502831592474353066056250377570119575140113743957656883, 37303317500431536\ / 84780312629743266510680749025655427285385134869700967175019090229 / 13\ / 745381770544584243987992315084947774230591981687511327103587254203412318\ 72970649] and in floating-point [58.50638276, 4.519809340, -.2358049846, 2.713880060] Here is a plot + HHHHH 0.08 HH HH + HH H + H H + H HH + HH H 0.06 H H + H H + H H + HH H 0.04 H H + H H + HH HH + H H + HH H 0.02 HH H + HH H + H HH + HHH HH + HHHHH HHH +************************+-+-+--+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+--+- 0 35 40 45 50 55 60 65 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 36], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 36, to , 71 The probability distribution is [37 (-26 + n) (-28 + n) (-25 + n) (-30 + n) (-18 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-19 + n) (-33 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-34 + n) (-22 + n) (-31 + n) (-24 + n) (-29 + n) (-35 + n) (-32 + n)/(262144 (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-23 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-29 + 2 n) (2 n - 3) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-19 + 2 n) (-31 + 2 n) (-17 + 2 n) (-9 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n)), 315 (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (1 + n)/(131072 (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-9 + 2 n) (-21 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n)), 22015 n (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (1 + n)/(524288 (-37 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-9 + 2 n) (-21 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n)), 131461 n (-1 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (1 + n)/(524288 (-37 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-9 + 2 n) (-21 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n)), 301587 (-1 + n) (-2 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (1 + n) n/( 131072 (-39 + 2 n) (-37 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-9 + 2 n) (-21 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n)), 283309 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (1 + n) n/(32768 (-39 + 2 n) (-37 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-9 + 2 n) (-21 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n)), 58078345 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (1 + n)/(1048576 (-39 + 2 n) (-37 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-9 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n)), 162994065 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (1 + n)/(1048576 (-39 + 2 n) (-37 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-9 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n)), 3270747571 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (1 + n) n/(4194304 (-39 + 2 n) (-37 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-9 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-43 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n)), 3721885167 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (1 + n) n/(2097152 (-39 + 2 n) (-37 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-9 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-43 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n)), 62208652077 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (1 + n)/(8388608 (-39 + 2 n) (-37 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-45 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-9 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-43 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n)), 120437626075 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (1 + n)/(8388608 (-39 + 2 n) (-37 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) 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n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-45 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-9 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-35 + 2 n) (-47 + 2 n) (-15 + 2 n) (-43 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n)), 2372749510439 (-32 + n) (-35 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-34 + n) (-33 + n) (-27 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-25 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-26 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/(8388608 (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 3610705776755 (-32 + n) (-35 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-34 + n) (-33 + n) (-27 + n) (-13 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) 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4716896213201310217261780245633701530236408317149147694104576*n^14-776063871803\ 5116016276973665764522077434286637655469462909885919338430866120428812169708663\ 0378491308982619712834764800*n^13+204476788113294238762439161760302596874823536\ 651354957209666635930882816003745095056988813905250736746123263977770188800*n^ 12-4805944172451391416278251297036514635588692704301359849906228902602271892881\ 70843729192265573484532223601553921015808000*n^11+10002064763855508801001752911\ 7667301695230960595440111283335813609300471250282473053704142584355876145140909\ 3123112960000*n^10-182708757636928061023439583413138793626719911927112904875547\ 4380413707044831257212970831447437428181605287163068416000000*n^9+2898555892888\ 2744272279046102175587219149387713909700925870704895120843373726078348354485154\ 80904473392694851272704000000*n^8-394179004518814718506140633906831845766537871\ 4880523943479586522822271374517240170275734952642058523597320371568640000000*n^ 7+45202690996700366333079214506994836285037297198219037622882869348288801385031\ 85176291235146988787296507120320512000000000*n^6-427891204330047038949670963309\ 1240813202961736578937141042810108413336160836250336027268850689949313753614909\ 440000000000*n^5+32483402012670591618638043994029552035156103254190505511214089\ 82268165644695173133428410242144626704690268078080000000000*n^4-189734297763841\ 8507902353906971440916000124273215642176418492119084435486824096902248989596776\ 691065173101772800000000000*n^3+79903716487785692725914711953009499407134992230\ 7592826030832260291389887370507958732176462671867616331563008000000000000*n^2-\ 2156543194145670459687936533164195734666677217824881500031802005866688875142628\ 76307328458362792029926195200000000000000*n+27996486858626026810479264306509516\ 1636767204366193983320189467533219736981644364564269226459378430771200000000000\ 00000)/(-1+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-49+2*n)^2/(-\ 65+2*n)^2/(-17+2*n)^2/(-43+2*n)^2/(-55+2*n)^2/(-63+2*n)^2/(-15+2*n)^2/(-47+2*n) ^2/(-35+2*n)^2/(-51+2*n)^2/(-41+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-57+2*n)^2/(2*n-\ 3)^2/(-69+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-33+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-61+2*n)^2/(-\ 25+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-37+2*n)^2/(-53+2*n)^2/(-59+2*n)^ 2/(-67+2*n)^2/(-39+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[36., .5384208634e-9], [37., .9167706594e-8], [38., .8009010344e-7], [39., .\ 4782523320e-6], [40., .2194334229e-5], [41., .8245377103e-5], [42., .2641097353\ e-4], [43., .7412111927e-4], [44., .1859204742e-3], [45., .4231293550e-3], [46. , .8840381167e-3], [47., .1711521606e-2], [48., .3093904442e-2], [49., .\ 5254877699e-2], [50., .8429699642e-2], [51., .1282780380e-1], [52., .1858573846\ e-1], [53., .2571808068e-1], [54., .3407645690e-1], [55., .4332712941e-1], [56. , .5295538039e-1], [57., .6230044751e-1], [58., .7061897317e-1], [59., .\ 7716913880e-1], [60., .8130319981e-1], [61., .8255401827e-1], [62., .8070184478\ e-1], [63., .7581082389e-1], [64., .6822974150e-1], [65., .5855732604e-1], [66. , .4757782740e-1], [67., .3617668904e-1], [68., .2524831423e-1], [69., .\ 1560804879e-1], [70., .7918789462e-2], [71., .2639596487e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 35606036106491947006215 7369151639823893442521995417543717897626063 [-----------------------, ----------------------------------------------, - 590295810358705651712 590295810358705651712 43189500589343688462263670074091270936071068888882892697875150 1/2 7369151639823893442521995417543717897626063 /4892287918082808805975083\ 78865912619510798142300679601249159290844193224548567359279, 133012326734\ 356686189490956858175497617161754135464731546726066338931121940625657918\ / 7 / 489228791808280880597508378865912619510798142300679601249159290844\ / 193224548567359279] and in floating-point [60.31897141, 4.598742005, -.2396486137, 2.718816410] Here is a plot + HHHHH 0.08 HHH HH + HH HH + H HH + HH H 0.06 H H + HH H + H H + HH HH + H H 0.04 HH H + H H + HH H + H HH + HH H 0.02 H HH + HHH H + HH HH + HH HH + HHHHH HHH +*************************-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+- 0 40 45 50 55 60 65 70 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 37], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 37, to , 73 The probability distribution is [19 (-26 + n) (-28 + n) (-25 + n) (-30 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-19 + n) (-33 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-34 + n) (-22 + n) (-36 + n) (-31 + n) (-24 + n) (-29 + n) (-35 + n) (-32 + n)/(262144 (-33 + 2 n) (-31 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-25 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (-15 + 2 n) (2 n - 13) (-11 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (2 n - 3) (-1 + 2 n) (-35 + 2 n)), 333 (-19 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (1 + n)/(131072 (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-33 + 2 n) (-1 + 2 n)), 5985 (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (1 + n) n/(262144 (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-33 + 2 n) (-1 + 2 n)), 146965 n (-1 + n) (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (1 + n)/(524288 (-39 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-33 + 2 n) (-1 + 2 n)), 692835 n (-1 + n) (-2 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (1 + n)/(524288 (-39 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-33 + 2 n) (-1 + 2 n)), 334191 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (1 + n) n/(32768 (-39 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-37 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-33 + 2 n) (-1 + 2 n)), 2197559 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (1 + n) n/(65536 (-39 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-37 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-33 + 2 n) (-1 + 2 n)), 202489365 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (1 + n)/(1048576 (-39 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-5 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-37 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-33 + 2 n) (-1 + 2 n)), 2083680885 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (1 + n)/(4194304 (-39 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-5 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-37 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-33 + 2 n) (-1 + 2 n)), 4861922065 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (1 + n) n/(2097152 (-39 + 2 n) (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-5 + 2 n) (-43 + 2 n) (-45 + 2 n) (-27 + 2 n) (-15 + 2 n) (-41 + 2 n) (-37 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-33 + 2 n) (-1 + 2 n)), 20822438637 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 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59364*n^34-23449034960746747250046293916216430133198896506063438104666231806737\ 910508658600470792670172551453450897280*n^33+2970815175253101043285231658116329\ 88556666939732443448460800582356702529866703019627260526937920535907496800*n^32 -352559595110252862825977976398785706980349749368803909568700265570437247142919\ 7280284516626648994337867092800*n^31+391709422513295892615946821674889631622963\ 50105038134167398270293579054809704926520226320473159261815157207168*n^30-40718\ 5110813524821747417225489603190346084496380146142099021548313544885784737525559\ 834058026070890306880478720*n^29+3957211804701733295330688408520286580901265176\ 754826078205222528206695762704199427522796458183918819274737126400*n^28-3592344\ 9141340177920274889703522468279371863836448792704318047597977855670478831535271\ 813179228120440625091770880*n^27+3043163172390908715054002709342734782078327937\ 14445798791767727826286931447076912859682772424224315623591380226048*n^26-24029\ 2099082569217465518883507272676839151354478728258320368719096438857878051981302\ 1489011539556550148964073390080*n^25+176630627078951518156558542268063611929556\ 55899361061761613569617176872138562299583944663924935486594880727463731200*n^24 -120692708019627548148713322231215298756637901005853200576598231408829015346483\ 159402614239632590309087428620434882560*n^23+7653939807465906128704156239203950\ 8862214338381661874714915754358506828782339501425614804189846641705409292000103\ 6288*n^22-449670838993231202612151721996631936765770767392984819551128335614425\ 1073034233224806973971115476033700238357683568640*n^21+244249285455386020087572\ 9635693034742222601099247819325816503014426063799885352868522422303901259531664\ 7411412443136000*n^20-122382391248093767418434659347994568416391009397234559895\ 943380997856443541435933021873688244968466662438412248836669440*n^19+5642228716\ 3997136685227794930009662958495070294893666366195164005598391610028540360388232\ 6520810033663850268196514562048*n^18-238666485382657300907258807575894199839308\ 3672122546549643004151474919318235893791559599486209641150758789818983383040000 *n^17+9233086364320830118302337795966856573382274419389109490577248379626546692\ 981986102949786214285540481745954630869503180800*n^16-3254914546230627244853482\ 1627821748070376881592513209026561846074415408938517808025139674198024269228587\ 148017790584094720*n^15+1041300845190175792087005051213117315228200135515347542\ 32533995261956634819491639886687095795913536191193764329645112557568*n^14-30088\ 8922351602518474238901629927163503133307910246685279381593160930481685578528711\ 369294467643335265208192191323869020160*n^13+7810307526054811384369037187706349\ 3556516951736465639377625179254474044009482646306634151863788846129335142723411\ 8343065600*n^12-180975403196342168325607321050048898686008861860359320938714218\ 1359533695409819035239483091130289016521115294413386416128000*n^11+371571727455\ 8563274058074620349692916969942322078104752765436620797172878356992224710988018\ 820356890489212802114424668160000*n^10-6700618204369372775841911885689826514908\ 9229718682112968784273560536407744061287252879578832066717265907451888106733568\ 00000*n^9+105008791693711575221601811270837691279238720863265815064853736482711\ 07615555640604881251350048195424403651918758412288000000*n^8-141158889638046746\ 6279200167415819858374417535240965741100952644614262303749480914901463351398574\ 2943548821802414243840000000*n^7+1601138988668637057299251846613178379422730772\ 1288104398497174860606906559545082369496031929956548279401492628530790400000000 *n^6-15001155888272643885500886171974910662533365136167371916853256936727137949\ 512040995430030441086051694743369218523136000000000*n^5+11278558412851310910664\ 4070765237988288416565740358662671448731368179089030223496910118867355802214444\ 93729658306560000000000*n^4-652844284728555106872344869939858032964049610198322\ 3802890060669751084894286867291626506818370027423191047916748800000000000*n^3+ 2726266081589058575889961520193751351383999845026117257157650003079644423628806\ 291407741308073210442723687923712000000000000*n^2-73005070496080515688002811477\ 4960838571430738851721365298475792500573666999611613825486999075046297778834636\ 800000000000000*n+9408686016955586743441731424607631398739623181399892466113834\ 0388997379608297949451232078038781777967841280000000000000000)/(-65+2*n)^2/(-1+ 2*n)^2/(-33+2*n)^2/(-55+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-59+2*n)^2/(2*n-13)^2/(-51+2*n)^2/(-\ 21+2*n)^2/(-35+2*n)^2/(-37+2*n)^2/(-41+2*n)^2/(-69+2*n)^2/(-15+2*n)^2/(-57+2*n) ^2/(-27+2*n)^2/(-63+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-67+2*n)^2/(-43+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-25+ 2*n)^2/(-49+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-9+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-47+2*n)^2/(-\ 17+2*n)^2/(-61+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-53+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(-71+2*n)^2/(-11+2*n) ^2/(-39+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[37., .2764863893e-9], [38., .4845787771e-8], [39., .4354660632e-7], [40., .\ 2673277777e-6], [41., .1260259523e-5], [42., .4863119102e-5], [43., .1598934614\ e-4], [44., .4604075116e-4], [45., .1184435453e-3], [46., .2763682724e-3], [47. , .5918093006e-3], [48., .1174011307e-2], [49., .2174095014e-2], [50., .\ 3782153455e-2], [51., .6213537820e-2], [52., .9682763102e-2], [53., .1436627352\ e-1], [54., .2035862290e-1], [55., .2762955965e-1], [56., .3599113691e-1], [57. , .4508363465e-1], [58., .5438660688e-1], [59., .6325714972e-1], [60., .\ 7099239900e-1], [61., .7690843225e-1], [62., .8042424630e-1], [63., .8113807097\ e-1], [64., .7888423566e-1], [65., .7376188270e-1], [66., .6613134311e-1], [67. , .5657903799e-1], [68., .4585639773e-1], [69., .3480173042e-1], [70., .\ 2425575150e-1], [71., .1498149358e-1], [72., .7597757457e-2], [73., .2532585819\ e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 73354989133876763343049 3 3387034978208047256959358097481887050792567 [-----------------------, ------------------------------------------------, - 1180591620717411303424 1180591620717411303424 79829496575020282358338967757146472967732842278335487602016718 1/2 3387034978208047256959358097481887050792567 /6037897865055151135178885\ 92753983342172879804382093172439953577234292423565413813131, 148001746004\ 753613658211759228876416394555205952033093102472565594963348861599339172\ / 71 / 54341080785496360216609973347858500795559182394388385519595821951\ / 08631812088724318179] and in floating-point [62.13409264, 4.676612639, -.2433254129, 2.723570158] Here is a plot 0.08 HHHHH + HHH HHH + HH HH + H H + HH HH 0.06 HH H + H H + HH H + H H + H H 0.04 H H + H H + H H + HH HH + H H 0.02 H H + HH H + H H + HH HH + HHHHH HHH +**************************-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+- 0 40 45 50 55 60 65 70 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 38], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 38, to , 75 The probability distribution is [39 (-26 + n) (-28 + n) (-25 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-19 + n) (-33 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-34 + n) (-22 + n) (-36 + n) (-31 + n) (-24 + n) (-29 + n) (-35 + n) (-32 + n)/(524288 (-37 + 2 n) (-5 + 2 n) (-19 + 2 n) (-11 + 2 n) (-25 + 2 n) (-33 + 2 n) (-27 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-9 + 2 n) (-21 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-29 + 2 n) (-23 + 2 n) (-1 + 2 n)), 703 (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (1 + n)/(524288 (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-37 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n)), 12987 (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (1 + n) n/(524288 (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-37 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n)), 20475 (-1 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (1 + n) n/( 131072 (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-37 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n)), 1585675 n (-1 + n) (-2 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (1 + n)/(1048576 (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-37 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-41 + 2 n)), 6279273 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (1 + n)/( 1048576 (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-37 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-41 + 2 n)), 5294289 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (1 + n) n/(131072 (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-37 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-43 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-41 + 2 n)), 7815379 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (1 + n) n/(65536 (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-37 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-43 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-41 + 2 n)), 5275380825 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (1 + n)/(8388608 (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-43 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-41 + 2 n)), 12611752725 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (1 + n)/(8388608 (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-43 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-41 + 2 n)), 55323555287 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (1 + n) n/( 8388608 (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-43 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (-47 + 2 n) (2 n - 3) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-41 + 2 n)), 14047673913 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (1 + n) n/(1048576 (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-43 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (-47 + 2 n) (2 n - 3) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-41 + 2 n)), 426112775361 (-32 + n) (-35 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-36 + n) (-34 + n) (-33 + n) (-27 + n) (-8 + n) (-37 + n) (-7 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-25 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-26 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/( 8388608 (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 758747819375 (-32 + n) (-35 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-36 + n) (-34 + n) (-33 + n) (-27 + n) (-8 + n) (-37 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-26 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/(8388608 (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 1275696883125 (-32 + n) (-35 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-36 + n) (-34 + n) (-33 + n) (-27 + n) (-8 + n) (-37 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-26 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/(4194304 (-51 + 2 n) (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 1017155648145 (-32 + n) (-35 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-36 + n) (-34 + n) (-33 + n) (-27 + n) (-13 + n) (-8 + n) (-37 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/( 2097152 (-51 + 2 n) (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 197667247622845 (-32 + n) (-35 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-36 + n) (-34 + 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823322846042976516123285119616905365359767932651359265486069754912334336*n^28-\ 5222797856938060290510188069430523807958630304737611387850836986779999147279025\ 557199537906776047665250826057174366208*n^27+4312647590328580434060265163601917\ 3079683834830812114083740444194940407809446928909478466711220871238066241420619\ 227136*n^26-3322667652941740739327788847828396455487940347236902806602746019059\ 47685755036713341117589626617175814994086798071521280*n^25+23853948168511206983\ 5497616084041654997169660545441446661292305526840118817608209119695870967780849\ 5180614329327178039296*n^24-159339892032798420127540983501392979883600189655615\ 63390429339256128103555110442336238915353448922136818990299010846588928*n^23+98\ 8702065460670458906539747143490712814434199433442424315995976157714172540543225\ 89260824808506302447706909037534630117376*n^22-56883466172516829754131460629465\ 2191210419895837500422068027991777493383534669808705563996950276345252943304470\ 813092085760*n^21+3028285814568521207473948662328085148239459490662371799386357\ 631150317357224886656548551088462462966517636474700606603984896*n^20-1488347082\ 9069016108413110044719089867579533623475115391173195966085154026304573623020636\ 745455162376972487426900908421152768*n^19+6735909307686086930074959412587670817\ 7351146747370372342227080277153006925967025093797261421126344358350481347040324\ 386553856*n^18-2799146459194151418851971701799795389794317163837631306821267880\ 24485125825932561344461084855480540569545307447456168557936640*n^17+10646055603\ 7572115562183193667791988360531135671660347155176622360483014750913469358764581\ 0145308096499785882499676815927279616*n^16-369232098543595710731064577593711099\ 1577271258355344328863747508474096148458893442621821376676006479448540165044921\ 689930989568*n^15+1162938040718981053820900763901985227178296707283354011701436\ 1486537157617061309402611709269173245441572708988498147139026681856*n^14-331056\ 6615385201337934133280727713502939988606932034017308922434802443244542217982187\ 9169581994762354947988575471613659704197120*n^13+847166596403256634269038281521\ 4808314879513654252856019754103006180495486332461419120894160567879404039788525\ 0970024915710771200*n^12-193645662637047588482565589971938995488376754303871656\ 344629104474618191921583347926448260718953812012070500753810008704024576000*n^ 11+3924607903438639246571133995443855095960059579877373564763459479903836284046\ 17995211815321240480307658056803541998712987320320000*n^10-69904849634509548501\ 1747356675933481972058409600599778425429347674013704681797672874351695258036488\ 492583939609520774945177600000*n^9+10827459958791022720103284002560786081392026\ 7984936434470828479965983112785691813470123782148312789747301367778153560906137\ 6000000*n^8-1439408978301293374154987598189755353594887562846053727016461563500\ 038693702645228303919645381299646816699260199657935994880000000*n^7+16156380115\ 7956422447582091224030578687813728687005880267607663988401579489592358446292632\ 5475828230126588149746079943884800000000*n^6-1498789589988346983908236727680388\ 7144077272523094133895704137070917749756836093238261172267676205975268701809315\ 17284352000000000*n^5+111642672869474458904868850010371974903341543376126706266\ 7809124065635173216074109776891058131733356532666005036592005120000000000*n^4-\ 6406251926740892546767918188053843237324843994810948467690310366809742955415595\ 15940176710491607534267354551623981465600000000000*n^3+265358453327251282766619\ 3810181875748828165304981990567194477479453388291418411687209626465941951347998\ 28499262603264000000000000*n^2-705231300402222124286356900561640874772543865834\ 5823443274515382858963330350144953224491292985551393457961917480960000000000000\ 0*n+902499980118413791604417761711213219029902134806240485134571188679340664678\ 7155907261083389636025706231271260160000000000000000)/(-41+2*n)^2/(-33+2*n)^2/( -1+2*n)^2/(-27+2*n)^2/(-61+2*n)^2/(-21+2*n)^2/(-65+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-69+2*n)^ 2/(2*n-13)^2/(-71+2*n)^2/(-39+2*n)^2/(-55+2*n)^2/(2*n-3)^2/(-47+2*n)^2/(-9+2*n) ^2/(-49+2*n)^2/(-59+2*n)^2/(-15+2*n)^2/(-35+2*n)^2/(-73+2*n)^2/(-11+2*n)^2/(-43 +2*n)^2/(-25+2*n)^2/(-29+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-31+2*n)^2/(-37+2*n)^2/(-53+2*n)^2 /(-51+2*n)^2/(-67+2*n)^2/(-45+2*n)^2/(-63+2*n)^2/(-5+2*n)^2/(-23+2*n)^2/(-17+2* n)^2/(-57+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[38., .1418811735e-9], [39., .2557499101e-8], [40., .2362321538e-7], [41., .\ 1489752322e-6], [42., .7210815056e-6], [43., .2855482762e-5], [44., .9630255590\ e-5], [45., .2843218317e-4], [46., .7496767047e-4], [47., .1792237857e-3], [48. , .3930975033e-3], [49., .7985178123e-3], [50., .1513856686e-2], [51., .\ 2695613757e-2], [52., .4532185767e-2], [53., .7227325569e-2], [54., .1097273648\ e-1], [55., .1591187105e-1], [56., .2209982091e-1], [57., .2946642788e-1], [58. , .3779069375e-1], [59., .4669376446e-1], [60., .5565519400e-1], [61., .\ 6405329233e-1], [62., .7122592663e-1], [63., .7654412915e-1], [64., .7948813412\ e-1], [65., .7971459604e-1], [66., .7710489200e-1], [67., .7178731324e-1], [68. , .6412999983e-1], [69., .5470587799e-1], [70., .4423483103e-1], [71., .\ 3351123563e-1], [72., .2332644833e-1], [73., .1439575097e-1], [74., .7297845978\ e-2], [75., .2432615326e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 302003111920159686130263 503894485942463173518252296264562687389726319 [------------------------, ------------------------------------------------, - 4722366482869645213696 4722366482869645213696 71593338939707236711367164318832193310739558855768205490676887102 1/2 503894485942463173518252296264562687389726319 /65105039221338260715673\ 74135658815758912341379996169098307836226298228242318074608238199, 177616\ 462074419005063887319136919795324357316831398764915568222440253235597941\ / 04267523227 / 65105039221338260715673741356588157589123413799961690983\ / 07836226298228242318074608238199] and in floating-point [63.95164649, 4.753462970, -.2468469783, 2.728152294] Here is a plot 0.08 HHHHH + HH H + HH HH + H HH + H H 0.06 H HH + H H + H H + HH H + H H 0.04 H HH + HH H + H H + HH H + HH H 0.02 H H + HHH HH + HH H + HHH HH + HHHHH HHH +**************************+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+- 0 40 45 50 55 60 65 70 75 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 39], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 39, to , 77 The probability distribution is [5 (-26 + n) (-28 + n) (-25 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-33 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-34 + n) (-22 + n) (-36 + n) (-31 + n) (-24 + n) (-29 + n) (-38 + n) (-35 + n) (-32 + n)/(131072 (-11 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-9 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-5 + 2 n) (-27 + 2 n) (-15 + 2 n) (-37 + 2 n) (-35 + 2 n) (-21 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-33 + 2 n) (-1 + 2 n)), 741 (-20 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (1 + n)/(524288 (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-39 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-35 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 13)), 3515 n (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (1 + n)/(262144 (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-39 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-35 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 13)), 22755 (-1 + n) (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (1 + n) n/(131072 (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-35 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 13)), 452025 (-1 + n) (-2 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (1 + n) n/(524288 (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-5 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-35 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 13)), 7342895 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (1 + n)/(1048576 (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-43 + 2 n) (-5 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-35 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 13)), 25385437 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (1 + n)/(1048576 (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-43 + 2 n) (-5 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-35 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-37 + 2 n) (2 n - 13)), 9599535 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (1 + n) n/(65536 (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-43 + 2 n) (-5 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-35 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-37 + 2 n) (-45 + 2 n) (2 n - 13)), 207408135 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (1 + n) n/(524288 (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-43 + 2 n) (-5 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-35 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-37 + 2 n) (-45 + 2 n) (2 n - 13)), 16246970575 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (1 + n)/(8388608 (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-43 + 2 n) (-5 + 2 n) (-47 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-35 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-37 + 2 n) (-45 + 2 n) (2 n - 13)), 9119267355 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (1 + n)/( 2097152 (-19 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n) (-7 + 2 n) (-27 + 2 n) (-43 + 2 n) (-5 + 2 n) (-47 + 2 n) (-41 + 2 n) (-39 + 2 n) (-25 + 2 n) (-21 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-35 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 3) (-23 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-37 + 2 n) (-45 + 2 n) (2 n - 13)), 18957022441 (-32 + n) (-35 + n) (-38 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-36 + n) (-34 + n) (-33 + n) (-27 + n) (-8 + n) (-37 + n) (-7 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-25 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-26 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/(1048576 (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 147080346525 (-32 + n) (-35 + n) (-38 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-36 + n) (-34 + n) (-33 + n) (-27 + n) (-8 + n) (-37 + n) (-7 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-26 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/(4194304 (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 1071585381825 (-32 + n) (-35 + n) (-38 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-36 + n) (-34 + n) (-33 + n) (-27 + n) (-8 + n) (-37 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-26 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/(8388608 (-51 + 2 n) (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 1842673275625 (-32 + n) (-35 + n) (-38 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-36 + n) (-34 + n) (-33 + n) (-27 + n) (-8 + n) (-37 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/(8388608 (-51 + 2 n) (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 1502487440125 (-32 + n) (-35 + n) (-38 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-36 + n) (-34 + n) (-33 + n) (-27 + n) (-13 + n) (-8 + n) (-37 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/(2097152 (-51 + 2 n) (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-41 + 2 n) (-43 + 2 n) (-53 + 2 n) (-27 + 2 n) (-23 + 2 n) (-21 + 2 n) (-31 + 2 n) (2 n - 13) (-35 + 2 n) (-11 + 2 n) (-17 + 2 n) (-49 + 2 n) (-25 + 2 n) (-29 + 2 n) (-9 + 2 n) (-7 + 2 n) (2 n - 3) (-15 + 2 n) (-19 + 2 n) (-5 + 2 n) (-1 + 2 n)), 37321788012705 (-32 + n) (-35 + n) (-38 + n) (-29 + n) (-31 + n) (-36 + n) (-34 + n) (-33 + n) (-13 + n) (-8 + n) (-37 + n) (-7 + n) (-11 + n) (-10 + n) (-30 + n) (-6 + n) (-12 + n) (-14 + n) (-4 + n) (-28 + n) n (n - 5) (-1 + n) (-3 + n) (1 + n) (-2 + n) (-9 + n)/(33554432 (-51 + 2 n) (-47 + 2 n) (-45 + 2 n) (-37 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 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infinity, the distribution is [[39., .7275957614e-10], [40., .1347871148e-8], [41., .1278749551e-7], [42., .\ 8278220776e-7], [43., .4111143426e-6], [44., .1669581025e-5], [45., .5771980113\ e-5], [46., .1746145244e-4], [47., .4715914997e-4], [48., .1154416692e-3], [49. , .2591851670e-3], [50., .5387909835e-3], [51., .1045068718e-2], [52., .\ 1903518022e-2], [53., .3273245276e-2], [54., .5337907681e-2], [55., .8287101674\ e-2], [56., .1228847185e-1], [57., .1745319190e-1], [58., .2379980713e-1], [59. , .3122308031e-1], [60., .3947489439e-1], [61., .4816314866e-1], [62., .\ 5677202064e-1], [63., .6470340588e-1], [64., .7133550498e-1], [65., .7609120531\ e-1], [66., .7850679913e-1], [67., .7829112111e-1], [68., .7536645279e-1], [69. , .6988525623e-1], [70., .6222042167e-1], [71., .5293056705e-1], [72., .\ 4270534387e-1], [73., .3229815923e-1], [74., .2245491070e-1], [75., .1384719493\ e-1], [76., .7017159594e-2], [77., .2339053198e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 621194626342473013614335 2080431902564713284956843848313726596677479935 [------------------------, -------------------------------------------------, - 9444732965739290427392 9444732965739290427392 4748854834923779972262576725366932129740172453655387800551447828378 1/2 2080431902564713284956843848313726596677479935 /8656393802418065342667\ 54072947080190619173578181872187588797057871842784838136316465520845, 236\ 542271327531086622847111208023288856029436365104611729722829486172619494\ / 2655746240126361 / 865639380241806534266754072947080190619173578181872\ / 187588797057871842784838136316465520845] and in floating-point [65.77153940, 4.829332070, -.2502238150, 2.732572902] Here is a plot 0.08 HHHHH + HH HH + HH HH + H H + H H 0.06 HH H + HH H + H HH + HH H + H H 0.04 H HH + H H + H H + H HH + HH H 0.02 H HH + HH H + HH H + HHH HH + HHHH HHH +**************************-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+- 0 40 45 50 55 60 65 70 75 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 40], in a standard Young tableau of shape, [n, n], are all the integers from, 40, to , 79 The probability distribution is [41 (-26 + n) (-28 + n) (-25 + n) (-30 + n) (-37 + n) (-20 + n) (-27 + n) (-33 + n) (-21 + n) (-23 + n) (-34 + n) (-22 + n) (-39 + n) (-36 + n) (-31 + n) (-24 + n) (-29 + n) (-38 + n) (-35 + n) (-32 + n)/(1048576 (-17 + 2 n) (-23 + 2 n) (-5 + 2 n) (-37 + 2 n) (-31 + 2 n) (-19 + 2 n) (-29 + 2 n) (-25 + 2 n) (-11 + 2 n) (-35 + 2 n) (-15 + 2 n) (-9 + 2 n) (2 n - 3) (-39 + 2 n) (2 n - 13) (-7 + 2 n) (-21 + 2 n) (-27 + 2 n) (-1 + 2 n) (-33 + 2 n)), 195 (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (-39 + n) (1 + n)/(262144 (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-11 + 2 n) (-21 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-19 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-7 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-5 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13)), 30381 n (-21 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (-39 + n) (1 + n)/(2097152 (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-11 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-19 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-7 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-5 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13)), 201761 n (-1 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (-39 + n) (1 + n)/(2097152 (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-11 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-19 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-7 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-5 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13)), 4109553 (-1 + n) (-2 + n) (-22 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (-39 + n) (1 + n) n/(4194304 (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-11 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-43 + 2 n) (-19 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-7 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-5 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13)), 8552313 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (-39 + n) (1 + n) n/(2097152 (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-11 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-43 + 2 n) (-19 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-7 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-5 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13)), 242315535 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-23 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (-39 + n) (1 + n)/(8388608 (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-11 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-45 + 2 n) (-43 + 2 n) (-19 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-7 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-5 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13)), 750683637 n (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (-39 + n) (1 + n)/(8388608 (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-31 + 2 n) (-11 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-45 + 2 n) (-43 + 2 n) (-19 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-7 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-5 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13)), 2075419467 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-24 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (-39 + n) (1 + n) n/(4194304 (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-47 + 2 n) (-31 + 2 n) (-11 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-45 + 2 n) (-43 + 2 n) (-19 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-7 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-5 + 2 n) (-9 + 2 n) (-17 + 2 n) (2 n - 13)), 649878823 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n - 5) (-6 + n) (-7 + n) (-25 + n) (-26 + n) (-27 + n) (-28 + n) (-29 + n) (-30 + n) (-31 + n) (-32 + n) (-33 + n) (-34 + n) (-35 + n) (-36 + n) (-37 + n) (-38 + n) (-39 + n) (1 + n) n/(524288 (-37 + 2 n) (2 n - 3) (-47 + 2 n) (-31 + 2 n) (-11 + 2 n) (-21 + 2 n) (-41 + 2 n) (-15 + 2 n) (-1 + 2 n) (-29 + 2 n) (-27 + 2 n) (-45 + 2 n) (-43 + 2 n) (-19 + 2 n) (-25 + 2 n) (-35 + 2 n) (-7 + 2 n) (-23 + 2 n) (-33 + 2 n) (-39 + 2 n) (-5 + 2 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.7388266829e-4], [50. , .1696992537e-3], [51., .3607975336e-3], [52., .7155817749e-3], [53., .\ 1332462615e-2], [54., .2342006995e-2], [55., .3903344992e-2], [56., .6192806958\ e-2], [57., .9383923955e-2], [58., .1361972296e-1], [59., .1898034619e-1], [60. , .2545091875e-1], [61., .3289574533e-1], [62., .4104491860e-1], [63., .\ 4949810550e-1], [64., .5774778974e-1], [65., .6522103312e-1], [66., .7133550498\ e-1], [67., .7556279416e-1], [68., .7749041646e-1], [69., .7687378185e-1], [70. , .7367070761e-1], [71., .6805358620e-1], [72., .6039755776e-1], [73., .\ 5124641264e-1], [74., .4126089841e-1], [75., .3115618860e-1], [76., .2163624208\ e-1], [77., .1333260323e-1], [78., .6754016109e-2], [79., .2251338703e-2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 10214468674199891467390499 [--------------------------, 151115727451828646838272 1/2 549244476250892116854151677508823096979551201079 ---------------------------------------------------, - 151115727451828646838272 279602450795621804977529858558892573226177624816925445292055117482154 1/2 549244476250892116854151677508823096979551201079 /81753250594069592024\ 695248611183293982198678438074290180986210451448749477666990976507179068\ 9, 6712370083935273249241076056072385448154333082702668397049780891632349\ / 475946157007101274720919 / 2452597517822087760740857458335498819465960\ / 353142228705429586313543462484330009729295215372067] and in floating-point [67.59368364, 4.904256573, -.2534654642, 2.736841261] Here is a plot + HHHHH + H HH + H HH + HH H 0.06 HH H | H H + H HH + H H + H HH + H H 0.04 H H + H HH + HH H + HH H + H HH 0.02 HH H + H H + HH H + HHH HH + HHH HHH +***************************+--+---+---+---+--+---+---+---+--+---+---+---+--- 0 40 50 60 70 ----------------------- This took, 267.311, seconds.