The Hardin sequence A172556, let's call it a(n), enumerating 6 by 2*n balan\
    ced 0-1 natrices probably satisfies the empirically derived linear recur\
    rence



- 51200 (2 n + 7) (2 n + 5) (2 n + 3) (2 n + 1) (n + 2) (n + 1)

         2                       /                    5
    (33 n  + 242 n + 445) a(n)  /  ((n + 3) %1 (n + 4) ) + 128 (2 n + 7)
                               /

    (2 n + 5) (2 n + 3) (n + 2)

           4          3           2                                 /
    (7491 n  + 84898 n  + 351364 n  + 628997 n + 414370) a(n + 1)  /  ((n + 3)
                                                                  /

              5                                  6          5           4
    %1 (n + 4) ) - 16 (2 n + 5) (2 n + 7) (2772 n  + 48048 n  + 344379 n

                3            2                                   /
     + 1307394 n  + 2775099 n  + 3125336 n + 1460132) a(n + 2)  /  ((n + 3) %1
                                                               /

           5                       6          5           4            3
    (n + 4) ) - 2 (2 n + 7) (3201 n  + 61886 n  + 497179 n  + 2124170 n

                2                                   /            5
     + 5089654 n  + 6484024 n + 3431096) a(n + 3)  /  (%1 (n + 4) ) + a(n + 4)
                                                  /

     = 0

          2
%1 := 33 n  + 176 n + 236



                             and in Maple notation



-51200*(2*n+7)*(2*n+5)*(2*n+3)*(2*n+1)*(n+2)*(n+1)*(33*n^2+242*n+445)/(n+3)/(33
*n^2+176*n+236)/(n+4)^5*a(n)+128*(2*n+7)*(2*n+5)*(2*n+3)*(n+2)*(7491*n^4+84898*
n^3+351364*n^2+628997*n+414370)/(n+3)/(33*n^2+176*n+236)/(n+4)^5*a(n+1)-16*(2*n
+5)*(2*n+7)*(2772*n^6+48048*n^5+344379*n^4+1307394*n^3+2775099*n^2+3125336*n+
1460132)/(n+3)/(33*n^2+176*n+236)/(n+4)^5*a(n+2)-2*(2*n+7)*(3201*n^6+61886*n^5+
497179*n^4+2124170*n^3+5089654*n^2+6484024*n+3431096)/(33*n^2+176*n+236)/(n+4)^
5*a(n+3)+a(n+4) = 0


                           This took, 3.011, seconds





                          Just for fun here is a(1000)



3220829477723538282052413391473769141565822023938438066260317356488596888288395\
5404924825690970192016971652956196970397999937610826820601893224941737373293244\
6925273942087026338141425753899008344454115306913731627777387362486454562654991\
0069109961425020195267719418906427026269073010061492244743892905482848145368035\
7771891862461287437859959501454492292291752191244013364224611575110519358047470\
9874201548184680641982657514156061011966607673875184562151901980243245467971076\
7963621550885514767635804172740292145337147896921162474274619242549518247489956\
2161885325356111520087361161159814554234910211370018330976815398358076390331693\
3736886198130302140125145502526601627665502125394730706770844537098089071334062\
3142602192796982436357131481396030130939917195037785586242971315534636968316804\
4605970499144502719625506666818235703153678975703904581137126864662726624925912\
3511153735016457576544864623201972204575100975473715313974706804251735301943210\
5907103623365231270112710345064587308758556267406723857175013498961053992472464\
6261546902737225582330997406358741033902232439291832380775956407916896913153203\
8515698955745634148591513921797682836742119935770624274291759931818897304890579\
3741505662444451757996043284439421755545453736653205479707487935068010534615528\
4714335703424294260304723097530770771689993823843999545127033109298591595525651\
4440313822501547713554861672982477207908817956818777682582032189825812583711985\
7437471618937383538115518451873632114678759372107441868746683632329019529209343\
3441128301734538290454306850236987707682038371328490577760684027436088406254669\
6969923487384401650829804916743632011691947456536559260968612566732589558117881\
6030522407529310500854479397652524292672171809319185957050815156578226982158424\
6561167791577670296595826843993837778272003131577842303227483525059658418939894\
2682177411727041121838385916470752776014313166414739618167613773740374711953327\
8465270892330041171515628230548246371202993772283268014023948766065363694803482\
6518624956646551913882786302791276056522279195146994659350186314290541127991534\
3588727071524624719874059725122449662360206332475469275496280927262610118376640\
0135251944133866189057490141780306485562783792944241661839216609636044090560896\
8103387080281260914264788238008956154360541958108655729474203838852596250447405\
7023529911540019189483172929170547373837665724229018769552711303423486970371527\
0421370266831648574832005380474008607331363684582001857225828198120293488426087\
2972840676870317737435308155146483091190310779836452898822906199851454847136823\
198431976890415289166603987766633583013680891342199364098558464000


                     This took, 0.254,  additional seconds