The first, 55, terms starting at n=1 of the sequence enumerating 6 by 2*n bal\
    anced 0-1 matrices, i.e. where every row and every column has the same n\
    umber 0s and 1s are

          In other words OEIS sequence https://oeis.org/A172556a are:

[20, 1860, 297200, 60871300, 14367744720, 3718394156400, 1026608414145600,

    297348703692826500, 89365729945562642000, 27658131940039664137360,

    8766913970029589057611200, 2834492178580299130305958000,

    931874436031756882451601080000, 310768686646948895430510472680000,

    104923772318750486122754981962387200,

    35808547939654572191954911207683226500,

    12337213066034154959373411612795520914000,

    4286480050914725856131217361234536200970000,

    1500541765817438479209680637670120467447000000,

    528844884284971800023344508242868181163167718800,

    187524788254217999458899339512832890227588026696000,

    66864477376193760619034878615949516328469147464792000,

    23962217939210540375221727167138354871950247342109600000,

    8627172740686277465326959743180848725186914214551406630000,

    3119302130940733119429866525501734450144803051721938601494720,

    1132270875774328488325476497715176668588318515492998706713534400,

    412496014364424533901126282937075628214317158828453342052645331200,

    150782888768711695660991866042057098517385852566631539934529597544000,

    55289856561652958073400025464781532707847811009699730141586516738336000,

    20333327326852114967419148773884569918908562599188338953544487867182790400,
    7498224509740194718307147791518166197884502748280255990331998940158476928000,
    2772175018252954564700001817906731110677050441098363670459264352963789232794500,
    1027370613772799063715286566456908550357484609250782442890324084008474515757330000,
    381606734524428534333511524330603080313214844428434523515429993326380680661191690000,
    142046576823617417690829174284052299381703522286444665555716082107770964992292426865600,
    52980928285534685688984714366156407707914578335300339371301338418456907734867803228202000,
    19798615993447890386820563222893399967689410370627503312055294204719766599838405856149640000,
    7411955243460951012265447347774863922823202165401432569370568313655987290945698562233189400000,
    2779540656491241460081448518752242546399726962317515570962925931352198806974266030095974026400000,
    1044042576089316668454533209941473004679497136762546859690711173679865975184564455874036329634714000,
    392765853289376496316769978939319530527812308443643227341743507584723743787375006718523816010703880000,
    147974696780496934525303300646944744691817297058914853301486802851929112343325548570475383606594727080000,
    55827676674649236793857368972511750118004653563179126170153168909796842691338677907252531252664343554400000,
    21090758493583547267702815678097676898729270351712136478499192982090329688636402188509594050364170498519000000,
    7977915701089212314139385889173834701045125890054518483752918472058422006888098234204792875780470728367463392000,
    3021461336878778497062094118634807701454256542124820300890387024097937713689185204591674625129689945322110804640000,
    1145650907253292280197631975139409221854632846532736563094876186843261869726874163191306108695469819629377676292480000,
    434884535667956730348309582682385321253079909033299149096186233679811072589909807279251793878605949341612462129715750000,
    165257838891877796813147649075888707388680305671988544191203958676956579568968545702659006859712030476027563978641918200000,
    62863399727618088649707111786526294257477005982230393969847781050384254538126285255836411094598600826399946048967783621287360,
    23936668588135664352930414455052271569019913923088955240980006977232881800783669172800839384937137606866973947412320302399187200,
    9123111344805749174046956993421476359763944846394787155895903428616220613402733091566469054518827234810097966980491252869296241600,
    3480326547222665320161435283992624186350027029114320714933204241807173604584247403838372943037873862841986406434357409844343440352000,
    1328862245937122752073807252437502224755761113972371146783794622805972904312477179238126670311249960599464426640352006344024611479968000,
    507818936732343871652736032663035446085884487219677508396297958458851155611828708768388687085766206575969439255069530141324993954330803200]
: