אינסוף - מושג העולה על כל דמיון. מספיק קשה לנו לתפוס דברים שהם סתם גדולים בצורה קיצונית: מערכת השמש, הגלקסיה שלנו, היקום הנראה. אבל סדרי הגודל האלה הם אפילו לא אפס קצהו של האינסוף. רק המחשבה עליו עושה סחרחורת.

אבל אי אפשר להימנע ממנו. המתמטיקה, כידוע, גדושה באינסופים. ישר המספרים נמתח עד הנצח ולאחריו, והוא ניתן לחלוקה אינסופית: אפשר להכניס אינספור מספרים בין כל שני מספרים. מספר הספרות בקבוע כמו פאי הוא אינסופי. בגיאומטריה, טריגונומטריה וחשבון, המניפולציות המתמטיות המשמשות אותנו להבנת העולם מבוססות על הרעיון שיש דברים שלא נגמרים לעולם.

הבעיה היא שברגע שמשחררים אותם, האינסופים האלה הופכים לחיות פרא בלתי ניתנות לשליטה. הם מנפחים את המשוואות שעמן מנסים הפיזיקאים להסביר את כוחות היסוד בטבע. הם מפריעים לתפיסה אחידה של הכוחות המעצבים את היקום. וחמור מכל, הם מוסיפים אינסופים לתערובת הנפץ שהובילה להולדת היקום ומונעים מאיתנו לנבא כל ניבוי מדעי. כל אלה מעלים בקרב פיזיקאים ומתמטיקאים מסוימים שאלה מרחיקת לכת: האם ניתן להיפטר מהאינסוף?

אינפלציה קוסמית

האמונה באינסופיות לא תמיד היתה התפיסה הרווחת. “לאורך רוב ההיסטוריה של המתמטיקה היה נהוג לשמור מרחק מהאינסוף”, אומר המתמטיקאי נורמן ויילדברגר מאוניברסיטת ניו סאות’ וויילס שבסידני, אוסטרליה. עבור ההוגים הגדולים, מאריסטו ועד ניוטון וגאוס, האינסוף היחיד היה אינסוף “פוטנציאלי”. אינסוף כזה מאפשר לנו להוסיף 1 לכל מספר מבלי לחשוש שנגיע לסופו של ישר המספרים, אך לאינסוף עצמו לא מגיעים לעולם. תפיסה זו רחוקה מרחק רב מקבלת אינסוף “אקטואלי” - כזה שכבר הגענו אליו וארזנו לנוחיותנו כיישות מתמטית שניתן להשתמש בה במשוואות.

הדברים השתנו בסוף המאה ה–19, כשהמתמטיקאי הגרמני גיאורג קנטור המציא את תורת הקבוצות, שעליה מבוססת תורת המספרים המודרנית. הוא טען שקבוצות המכילות מספר אינסופי של איברים הן בעצמן אובייקטים מתמטיים. מהלך מבריק זה איפשר לתת הגדרה מחמירה של משמעות המספרים, אשר עד כה חמקה מהשגתם של מתמטיקאים.

במסגרת תורת הקבוצות ניתן היה להתייחס לרצף האינסופי של המספרים ה”ממשיים”, כולל כל המספרים הרציונליים ‏(מספרים כמו 1/2 שניתן לבטא אותם כמנה של מספרים שלמים‏) והמספרים האי־רציונליים ‏(שאינם ניתנים לביטוי כזה, כמו פאי‏) כאל אינסופים אקטואליים, בניגוד לאינסופים פוטנציאליים. “איש לא יגרש אותנו מגן העדן שברא קנטור”, הכריז מאוחר יותר המתמטיקאי דיוויד הילברט. עם זאת, עבור הפיזיקאים, גן העדן האינסופי הזה הפך להיות דומה יותר לגיהנום. כך, לדוגמה, המודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים סבל זמן רב מבעיות של גדלים אינסופיים עד זרא, למשל באלקטרודינמיקה הקוונטית, תורת הקוונטים של הכוח האלקטרומגנטי. בראשית דרכו הראה המודל כי המאסה והמטען של אלקטרון הם אינסופיים.

עשרות שנות עבודה, שתוגמלו בפרסי נובל רבים, סילקו את האינסופים חסרי ההיגיון האלה - או לפחות את רובם. כוח הכבידה נודע לשמצה באי התאחדותו עם שאר כוחות היסוד במסגרת המודל הסטנדרטי, ונראה כחסין בפני מיטב התכסיסים שמפעילים הפיזיקאים לנטרול השפעות האינסוף. בנסיבות קיצוניות, למשל, במרכזו של חור שחור, משוואות תורת היחסות הכללית של איינשטיין, המתארות את פעולת הכבידה, מתפרקות לגורמים כשהחומר נעשה צפוף וחם לאין שיעור והמרחב־זמן מתעוות עד אינסוף.

אבל המפץ הגדול הוא המקום שבו האינסוף באמת מחולל את מרבית ההרס. לפי רעיון האינפלציה הקוסמית, היקום עבר פרץ של התנפחות מהירה בחלקיק השנייה הראשון לקיומו. האינפלציה מסבירה את תכונות היסוד של היקום, ובהן את קיומם של כוכבים וגלקסיות, אבל היא בלתי ניתנת לעצירה. היא ממשיכה לנפח חלקים אחרים של המרחב־זמן הרבה אחרי שהיקום שלנו נרגע והתמסד, ויוצרת “רב־יקום” אינסופי בזרם נצחי של מפצים גדולים. ברב־יקום אינסופי שכזה, כל מה שיכול לקרות - יקרה, פעמים אינספור. הקוסמולוגיה הזאת מנבאת הכל - ולמעשה, לא כלום.

האסון הזה מוכר כבעיית המדידה, מפני שרוב הקוסמולוגים סבורים שניתן לתקן אותו בעזרת “מידת ההסתברות” הנכונה, שתאמר לנו מהי הסבירות למצוא את עצמנו ביקום מסוים וכך לאשש את כוחות הניבוי שלנו. אחרים סבורים שיש כאן בעיה מהותית יותר. “האינפלציה אומרת, ‘היי, יש משהו דפוק לגמרי במה שאנחנו עושים’”, אומר הקוסמולוג מקס טֶגמארק מהמכון הטכנולוגי במסצ’וסטס ‏(MIT‏). “יש פה משהו מאוד בסיסי שהנחנו, שהוא פשוט שגוי”.

עבור טגמארק, המשהו הזה הוא האינסוף. הפיזיקאים מתייחסים למרחב־זמן כאל רצף מתמטי הנמתח עד אינסוף; כמו הישר הממשי, אין בו הפסקות. אם מוותרים על ההנחה הזאת, כל הסיפור הקוסמי משתנה. האינפלציה תמתח את המרחב־זמן רק עד שהוא יקרוס. לכן האינפלציה מוכרחה להסתיים, כשהיא מותירה רב־יקום עצום אך סופי. “כל הבעיות שלנו עם האינפלציה ובעיית המדידה נובעות באופן ישיר מהנחת האינסוף שלנו”, אומר טגמארק. “זו ההנחה הלא בדוקה בהתגלמותה”.

המספר הכי גדול

יש גם סיבות טובות לחשוב שהנחת אינסופיותו של היקום לא מוצדקת. מחקרי התכונות הקוונטיות של חורים שחורים שערכו סטיבן הוקינג ויעקב בקנשטיין בשנות ה–70 הובילו לפיתוח עקרון ההולוגרפיה, שהופך את כמות המידע המקסימלית שיכולה להיכנס בכל נפח מרחב־זמני לפרופורציונלית לכרבע משטח האופק שלו ‏(אופק הוא מעטפת דמיונית המקיפה חור שחור, שאירועים המתרחשים עליה או מעבר לה אינם יכולים להשפיע על צופה חיצוני כלשהו והוא לא יכול להבחין בהם‏). מספר יחידות המידע הגדול ביותר שיקום בממדים כמו שלנו יכול להכיל הוא כ–10,122. אם עקרון ההולוגרפיה אכן שולט ביקום, פשוט אין מספיק מקום לאינסוף.

בהחלט איננו זקוקים למספר כה גדול של יחידות כדי לתעד תוצאות של ניסויים. דיוויד ויינלנד, פיזיקאי מהמכון הלאומי לתקנים וטכנולוגיה בבולדר, קולורדו, היה אחד הזוכים בפרס נובל לפיזיקה בשנה שעברה על מכשיר המדידה המדויק ביותר בעולם, שעון אטומי שיכול למדוד פרקי זמן בדיוק של עד 17 מקומות אחרי הנקודה העשרונית. המומנט המגנטי האנומלי של האלקטרון, אמת המידה של השפעות קוונטיות זעירות על הספין של החלקיק, נמדד ברמת דיוק של 14 מקומות אחרי הנקודה. אבל אפילו המכשיר הטוב ביותר לעולם לא יגיע לדיוק אינסופי, וזה דבר שמעכיר את שלוותם של חלק מהפיזיקאים. “אני לא חושב שיש מישהו שאוהב אינסוף”, אומר רפאל בוסו מאוניברסיטת קליפורניה בברקלי. “זו לא תוצאה של שום ניסוי”.

אבל אם האינסוף הוא חלק מהותי כל כך מהמתמטיקה, השפה המשמשת אותנו לתיאור העולם, איך אפשר להיפטר ממנו? ויילדברגר ניסה לפתור את השאלה הזאת, במחשבה על מה שהוא מזהה כהשפעתו המשבשת של האינסוף על תחום המחקר שלו. “המתמטיקה המודרנית סובלת מכמה חולשות לוגיות רציניות הקשורות בדרך זו או אחרת למערכות אינסופיות או מספרים ממשיים”, הוא אומר.

בעשור האחרון הוא עובד על גרסה חדשה, נטולת־אינסופים, של טריגונומטריה וגיאומטריה אוקלידית. בטריגונומטריה הסטנדרטית, האינסוף נוכח תמיד. הזוויות מוגדרות ביחס להיקף המעגל ולכן ביחס לשורה אינסופית של ספרות, המספר האי־רציונלי פאי. הפונקציות המתמטיות, כגון סינוס וקוסינוס, הקושרות בין הזוויות ליחס בין שני אורכי קווים, מוגדרות על ידי מספר אינסופי של מונחים ולרוב ניתן לחשב אותן רק בקירוב. ה”גיאומטריה הרציונלית” של ויילדברגר מנסה להימנע מאינסופים כאלה, ולהחליף את הזוויות, למשל, במשרע זווית, שאינה מוגדרת ביחס למעגל, אלא כפלט רציונלי המחולץ מווקטורים מתמטיים המייצגים שני קווים במרחב.

דורון זילברגר מאוניברסיטת ראטגרס בפיסקאטוויי, ניו ג’רזי, סבור שלמחקר הזה יש פוטנציאל. “הכל נעשה רציונלי לחלוטין. זו גישה מקסימה”, הוא אומר. זילברגר עצמו תומך בתפיסת אינסוף כה קיצונית, שהיתה גורמת גם לגדולי המתמטיקה הקדם־קנטוריים להתהפך בקברם. בעוד עבודתו של ויילדברגר מנסה להיפטר מהאינסוף האקטואלי כאובייקט אמיתי הלוקח חלק במניפולציות מתמטיות, זילברגר רוצה להיפטר גם מהאינסוף הפוטנציאלי. תשכחו כל מה שחשבתם שאתם יודעים על מתמטיקה: המספר הגדול ביותר קיים. התחילו ב–1 ופשוט המשיכו לספור ובסוף תגיעו למספר שאינכם יכולים לעבור - מעין מהירות האור של מתמטיקאים.

תפיסה זו מעלה שאלות רבות: כמה גדול הוא המספר הכי גדול? “הוא כל כך גדול שלעולם לא תוכל להגיע אליו”, אומר זילברגר, “אנחנו לא יודעים מהו, לכן צריך לתת לו שם, סמל. אני קורא לו N0”. מה קורה אם מוסיפים לו 1? זילברגר משיב על כך באנלוגיה למעבד של מחשב. לכל מחשב יש מספר שלם גדול ביותר שבו הוא יכול לטפל: אם תעבור אותו, תקבל “שגיאת עומס”, או שהמעבד יחזיר את המספר לאפס. זילברגר חושב שהאפשרות השנייה אלגנטית יותר. מספיק עם ישר־המספרים, הנמתח עד אינסוף לשני הכיוונים. “אפשר לבנות את המתמטיקה מחדש תוך הנחה שיש מספר גדול ביותר ולהפוך אותה למעגלית”, הוא אומר.

יו וודין, תיאורטיקן של תורת הקבוצות מאוניברסיטת קליפורניה בברקלי, מפקפק בכך. “ייתכן שהוא צודק, כמובן. אך בעיני זו תפיסה מגבילה, שלא כדאי לאמץ אותה אם אין ראיות מוצקות לנכונותה”. בשבילו, הצלחתה של תורת הקבוצות, על כל האינסופים שלה, היא סיבה מספקת לשמור על הסטטוס־קוו.

עד כה זכתה המתמטיקה הפיניטיסטית למרבית תשומת הלב ממדעני מחשבים וחוקרי רובוטיקה, שעובדים עם צורות סופיות של מתמטיקה כעניין שבשגרה. מעבדי מחשבים סופיים אינם יכולים להתמודד באמת עם מספרים ממשיים על מלוא הדרם האינסופי. הם יוצרים הערכה קרובה של המספרים בעזרת חישוב נקודה צפה - שיטת ייצוג מדעי המאפשרת למחשב להוריד ספרות ממספר ממשי, וכך לחסוך מקום בזיכרון מבלי לאבד את הטווח הכולל שלו.

הרעיון שהיקום הסופי שלנו עשוי לעבוד באופן דומה אינו חדש. ב–1938 בנה קונרד צוזה - מהנדס גרמני ומחלוצי שיטת הנקודה הצפה - את המחשב האלקטרוני הראשון הניתן לתכנות בסלון בית הוריו. כשראה שהמחשב שלו יכול לפתור משוואות דיפרנציאליות ‏(שבדרך כלל משתמשות בצעדים קטנים ביותר לחישוב ההתפתחות של מערכת פיזיקלית‏) מבלי להזדקק לאינסוף, הוא השתכנע כי מתמטיקה רציפה אינה אלא הערכה מקורבת של מציאות בדידה וסופית. ב–1969 כתב צוזה ספר בשם “חישוב המרחב” ‏(Calculating Space‏) ובו טען כי היקום עצמו הוא מחשב ספרתי - כזה שאין בו מקום לאינסופיות.

טגמארק, מצדו, מוקסם מהעובדה שאת כל החישובים וההדמיות המשמשים את הפיזיקאים כדי לאמת את התיאוריה מול עובדות העולם המוצקות ניתן לבצע במחשב סופי. “זה כבר מראה שאין לנו צורך באינסוף לשום דבר שאנחנו עושים”, הוא אומר. “אין שום ראיות לכך שהטבע עושה זאת בצורה אחרת, שהטבע צריך לעבד כמות אינסופית של מידע”.

סת לויד, פיזיקאי ומומחה למידע קוונטי, אף הוא מ–MIT, ממליץ להיזהר מאנלוגיות כאלה בין הקוסמוס למחשב רגיל, סופי. “אין כל ראיה לכך שהיקום מתנהג כאילו היה מחשב קלאסי”, הוא אומר, “ויש שפע ראיות לכך שהוא מתנהג כמו מחשב קוונטי”.

במבט ראשון, נראה כי זה לא מהווה בעיה לאלה המבקשים להיפטר מהאינסוף. פיזיקת הקוונטים נולדה בתחילת המאה ה–20, כשהפיזיקאי מקס פלאנק הראה כיצד להתמודד עם אינסוף בלתי הגיוני אחר. תיאוריות קלאסיות הראו כי כמות האנרגיה הנפלטת מגוף הבולע קרינה ומקרין באופן מושלם צריכה להיות אינסופית, מה שבבירור לא היה נכון. פלאנק פתר את הבעיה כשהניח כי האנרגיה נפלטת לא כרצף הניתן לחלוקה אינסופית, אלא במנות בדידוֹת - קוונטים.

הבעיות מתחילות עם החתול של שרדינגר. כשאיש אינו צופה, החתול הקוונטי המפורסם יכול להיות גם מת וגם חי בו־זמנית: הוא מרחף ב”סופרפוזיציה” של ריבוי מצבים, המוציאים זה את זה ומתערבבים זה בזה ללא הפסק. מבחינה מתמטית, ניתן לתאר את הרצף הזה רק בעזרת אינסופים. הדבר נכון גם לגבי “קיוביטים” ‏(סיביות קוונטיות‏) של מחשב קוונטי, שיכולים לבצע בו־זמנית מספר עצום של חישובים המוציאים זה את זה, אך רק כל עוד אין דרישה לפלט. “אם באמת תרצה לתאר את מצבו המלא של קיוביט אחד, זה ידרוש כמות אינסופית של מידע”, אומר לויד.

במורד מחילת הארנב

טגמארק לא מתרשם מכך. “כשהתגלתה מכניקת הקוונטים, הבנו שהמכניקה הקלאסית היתה רק הערכה קרובה” הוא אומר.”אני חושב שעומדת להתרחש מהפכה נוספת, ואנחנו עוד נראה שמכניקת הקוונטים כשלעצמה היא רק הערכה מקורבת של תיאוריה עמוקה יותר, סופית לחלוטין”. לויד סבור שצריך לעבוד עם מה שיש. “מדוע לא לקבל את מה שמכניקת הקוונטים אומרת לנו, במקום לכפות את דעותינו הקדומות על היקום? זה אף פעם לא עובד”, הוא אומר.

עם זאת, קל לראות מדוע פיזיקאים המחפשים דרך להתקדם נשבים בקסם של סילוק האינסוף. אילו רק היינו יכולים להוציא את האינסוף מהתשתית המתמטית, אולי היינו מוצאים דרך להאחדת הפיזיקה. ביחס לשד הפרטי של טגמארק - בעיית המדידה, למשל, סילוק האינסוף יאפשר לנו להשתחרר מהצורך למצוא מידת הסתברות שרירותית כדי לשחזר את כוחה הניבויי של הקוסמולוגיה. ברב־יקום סופי נוכל רק לספור את האפשרויות. אם קיים באמת מספר גדול ביותר, נצטרך לספור רק עד אליו.

וודין היה מעדיף להפריד בין שתי הסוגיות, של אינסופים מתמטיים ופיזיקליים. “יכול מאוד להיות שהפיזיקה היא סופית לגמרי”, הוא אומר. “אבל אם כך, התפיסה שלנו של תורת הקבוצות מייצגת את גילוי האמת שבאופן כלשהו נמצאת הרחק מעבר ליקום הפיזיקלי”. טגמארק, מנגד, סבור שהמתמטי והפיזיקלי קשורים זה בזה באופן בלתי פתיר - ככל שצוללים במחילת הארנב של הפיזיקה לרמות עמוקות יותר של המציאות, הדברים נראים יותר ויותר כעשויים ממתמטיקה טהורה. בשבילו, הודעת השגיאה החמורה שמופיעה בבעיית המדידה פירושה שאם ברצוננו לפטור את היקום הפיזיקלי מהאינסוף, עלינו לאתחל מחדש גם את המתמטיקה. “היא מודיעה לנו שהדברים הם לא רק מעט שגויים, אלא שגויים ביותר”.

אמנדה גפטר היא סופרת מדעית היושבת בקיימברידג’, מסצ’וסטס. ספרה “Trespassing on Einstein’s Lawn” ייצא לאור בהוצאת רנדום האוס בינואר 2014.

תרגום: מרב שמבן