#Please do not post homework

#Guy Adami, 2026-04-10, Assignment 21


#For this week, I read through and tested the functions in the provided preliminary 
#maple packages to familiarize myself with he project and the question being asked.
#My goal for next week is to begin looking at how to best get sequences/begin getting
#sequences.

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#Question 1

eknVC:= proc(k,n,x) local i,t:

	if k>n then 
 		RETURN(0):
	fi:


	coeff(expand(mul(t*x[i] + 1, i = 1 .. n)), t, k);

end:


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#Question 2

hkn:= proc(k,n,x) local f,h,i:

	f:= 1/(mul((1-t*x[i]),i=1..n)):
	h:= taylor(f,t=0,k+1):

	coeff(expand(h), t, k);
end:


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#Question 3

P:= proc(k,n,x) local i:
	convert({seq(x[i]^k, i = 1..n)}, `+`):
end:


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CheckNewton:=proc(k,n) local x, ke, ep,i:

	ke:= k* eknVC(k,n,x):
	ep:= 0;
	for i from 1 to k do
		if i = k then
			ep:= ep+(-1)^(i-1)*P(i,n,x):
		else
			ep:= ep + ((-1)^(i-1) *eknVC(k-i,n,x)*P(i,n,x)):
		fi:
	od:

	expand(ke - ep);
end:

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CheckCheckNewton:=proc(n_max,k_min) local n,k,Check:

	Check:=[]:
	for n from k_min to n_max do
		for k from k_min to n do
			Check:= [op(Check),CheckNewton(k,n)]:
		od:
	od:
	
	Check;
end:
			
#------------------------------------------
print("CheckNewton(n,k) returns 0 if true");
print("CheckCheckNewton Results for 5>=n>=k>=1", CheckCheckNewton(5,1));