1.
(i) TreeSeqL(67,12) =
721957528708706499707563316711326170747515338609659733532827323958281094496153535403937167287984750591253479327696044910846543697824004146063415395842260992
(ii) ATreeSeq(40,43) =
21905248668975873282378413557032195586145300959630623061601249937080116996926485921497261269764930996472052888800

2.

#for strictly binary tree, T(x)=x(1+T(x)^2/2)

SeqRTchild:=proc(S,N) local L,z,n,i:
L:=FunEqToSeq(1+((z^2)/2),z,N):
for i in S do:
   L:=L+TreeSeqL(N,i):
od:
[seq(L[n]*(n-1)!,n=1..N)]:
end:

(i) S={1,2}
[4, 6, 67, 1728, 84132, 6600960, 763373970, 122314752000, 25955822667600, 7047991222272000, 2383523377609978800, 982259120482969190400, 484507885740304987915200, 281799579467480354625945600, 190825167518105184909952707600, 148820987883850074454870720512000, 132414264985130329286962346389920000, 133312333064996662635061470050648064000, 150770839112887811418491741616464034336000, 190315963835209825490563298050426955366400000, 266587732281150382721877943205959259089107840000, 412249732541647144119512764285435705115164016640000, 700486430782598586581433181822421985108021722827200000, 1302290766116800924976030630197863526349326669232209920000, 2638738000223167652166942726049807123366324789138606993920000, 5806532700552537821414172789742510789574797511350730883072000000, 13830756645858669136253397658504513522094615394316003754395584000000, 35552418154792772436841752370112214085648691187319184526504099840000000, 98348882918263939124856687972856786381634517421738680362482897714944000000, 292022628169003512889042099417046968439701157246956798966900933106073600000000]
no

(ii) S={1,2,3}
[4, 6, 91, 3024, 186852, 18416160, 2650974930, 524796330240, 136768058617680, 45392503778496000, 18693165857100462000, 9353414965974586214400, 5589187149119103886910400, 3931339117128365224932249600, 3215235323000930738217368259600, 3025372848816499432515719110656000, 3245282401177713497874970116420000000, 3936739670388054927625784840204304384000, 5362154614224786930147579681961702062624000, 8149041125078131222662600588259825052221440000, 13739470859550026549082182776180532523556502400000, 25568487193407125815434671506424420764050521456640000, 52275225266869400213691472040607396686194352731277760000, 116925151419019114413752410519355906806815683813714165760000, 285012600364499439326989220724702071246122082606180912017920000, 754441183557055542774360858981525681225282403896895451430912000000, 2161597428171560828406513729101380470958603023367829695775918016000000, 6683487029966280884997635451254700829631643801009582193940609630208000000, 22238067820707121792840281904792775166653323552043815963827546561642240000000, 79419882809541688149738919868406355641244109259720457126201847981958758400000000]
no

(iii) S={1,2,3,4}
[11, 20, 301, 10320, 666492, 69876000, 10844518050, 2339640172800, 670291394850000, 246290354654400000, 112940192989678042800, 63230642367615233280000, 42446852295202892447064000, 33654943661952652567976448000, 31115710458562478084979254211600, 33179207812639578408138900480000000, 40417272385799284721258398170309024000, 55777179768707728636847479712612597760000, 86563229232344829742212576692588933863968000, 150089861504987366911376812325375028269875200000, 289043570563351382128291099796536523778025192320000, 615002950669851358615500977417750150989032780595200000, 1438863463949867407750052639506692891524028710294669760000, 3685582031714829085084805932783145410058004812416863436800000, 10294773613798055095967112514238846655786907977462045592465920000, 31244664105957924467422625147629792116404987313580956155904000000000, 102691417115910577617607725611259512237642024014425384462744438720000000, 364380147553979769221829834149532074830463437484691719508384216514560000000, 1391875164175024165827522342415728484556817934022161781783804397838335744000000, 5708508241380310417695586689067265484775331248048026519754313791787866521600000000]
no

(iv) S={1,3,4}
[9, 16, 253, 8976, 597372, 64208160, 10165851810, 2227895066880, 646071216008400, 239605243432128000, 110650791338464935600, 62278041763663342848000, 41973504229513193042059200, 33378086560887493051724697600, 30927430280450394462861484995600, 33031894470655618701391843270656000, 40285876248707468622480663590035872000, 55644644936903460747043681375127322624000, 86413125055441536406354315656266192575008000, 149900183311816188543002409027324601314508800000, 288777659709245944984824757507679504361564535680000, 614591493840579630782468047224600476476777273098240000, 1438163997939138207689614455154487782895022174965615040000, 3684281177605363466797459558739759720834971487673636618240000, 10292137080073355755903131239504435032288800615793350003601920000, 31238861245905981947131664689716181897536577008814359294246912000000, 102677592982602361384557312932207980032394562984747831256937547712000000, 364344608025727620950823880421496420946353212434126426148524797198336000000, 1391776842287194892224302215293876729652204815352896044809097512983920384000000, 5708216279433487634266300303936738168103915239690779562955346890854760448000000000]
no

(v) S={2,3,4}
[10, 18, 283, 9936, 651492, 68942880, 10759810770, 2329070526720, 668555751059280, 245927474654400000, 112846071263285934000, 63200983851084154521600, 42435692475152287852094400, 33650001183550331729602252800, 31113165469156456522479254211600, 33177700166739688040431086968832000, 40416254257905970490749287277588896000, 55776402267446999864016216580047224832000, 86562562570135235266652346048092752050720000, 150089223734323335454260652325375028269875200000, 289042893685175668889035564142227489230444919680000, 615002157766581439304414394846614389796173124075520000, 1438862443529814009223909390677075610431358270353263040000, 3685580595058177902447176276196333235754688810490858045440000, 10294771409522531268378926846247208472193157977462045592465920000, 31244660433309314449892171432753659824483822820836202286678016000000, 102691410492572935181521884892652539929367427001612243607585834944000000, 364380134664077124720398946125197616500488013844069693683717131730944000000, 1391875137179935175491617612849607382675049418223774187326888546931244800000000, 5708508180698964197611984032098375754478307555248026519754313791787866521600000000]
no


3.

#for strictly binary tree, T(x)=x(1+T(x)^2/2)
#max leaves in tree is num nodes / 2 rounded up

SeqRTchildNone:=proc(S,N) local L,z,n,i,max:
max:=ceil(N/2):
L:=FunEqToSeq(1+((z^2)/2),z,N):
for i from 1 to max do:
   if not i in S then:
     L:=L+TreeSeqL(N,i):
   fi:
od:
[seq(L[n]*(n-1)!,n=1..N)]:
end:

(i) S={1,2}
[118, 234, 8815, 628992, 80756532, 17007719040, 5334978383730, 2329868577254400, 1353063960480471120, 1009362854050387200000, 941025046880841070906800, 1072465020471364399969689600, 1467301049648797765310530776000, 2373718672761796103659718016614400, 4482623501091628453115567184768195600, 9773197014276353775410894847364005888000, 24366017426983148022581653084515810513312000, 68886539977296153190093105732029474382872576000, 219215180714225673768692237874413436876697942560000, 780069916131563249227269514688204894955753524428800000, 3085768005382538113737435133919875203480733745204722560000, 13497561587509048220489056211790510337743342637116893429760000, 64971687815319831590956888142374417559519322022468557387549120000, 342667996995669861788571885857479442269668114091986749270607790080000, 1972295593292576323955385793931586368645200041012772836383327570833920000, 12343326611037947851206223592886343065560671816198456315405689896828928000000, 83713180922991579032653044739198375767674435928748867169253189133921699776000000, 613350704867175655521537085362845190026072456149204551131844323127146462576640000000, 4840934169670666722849370763798873942957128478427518783010588367862291450903854848000000, 41048364770197836038018305276040841953145877646418775071408369061842479230349633126400000000]
no


(ii) S={1,2,3}
[115, 228, 8725, 625968, 80569692, 16989302880, 5332327409250, 2329343780924160, 1352927192421888720, 1009317461546608704000, 941006353714983975207600, 1072455667056398425383475200, 1467295460461648646207631806400, 2373714741422678975294493084364800, 4482620285856305452184829259583427600, 9773193988903504958911462331644895232000, 24366014181700746844868155209662567489952000, 68886536040556482802038178106244634178568192000, 219215175352071059543905307726833815712536812064000, 780069907982522124149138292025604306695928472207360000, 3085767991643067254187408584837692427340106516696398720000, 13497561561940561027081930396355838831318921873066371973120000, 64971687763044606324087487928682945518911957599705251108637120000, 342667996878744710369552771443727031750312207285171065456893624320000, 1972295593007563723590886354604597147920497969798159716897589676945920000, 12343326610283506667649168050111982206579146134973173911508794445398016000000, 83713180920829981604481483910791862038573055457790300718788981380934682560000000, 613350704860492168491570804477847554574817755319572907330834740933205852946432000000, 4840934169648428655028663642006033661052335703260865459508312959147203651478421248000000, 41048364770118416155208763587891103033277471290777530962148648604716277382367674368000000000]
no

(iii) S={1,2,3,4}
[111, 220, 8581, 620400, 80174172, 16944444000, 5324897239650, 2327651251833600, 1352419624908288720, 1009123611686955072000, 940914490211229002842800, 1072402772088117267705600000, 1467259087304388302723071627200, 2373685299617713618487504666112000, 4482592576206337408742667115466691600, 9773163983889529019682561163334246400000, 24365977142125027208427261113079986594208000, 68886484333428717547361131519611231820922880000, 219215094301767280536750307080328485904228112928000, 780069766232017708075112428801955867631152209920000000, 3085767716605555282667203388350653350150169226268638080000, 13497560972918347283179344740409045684278627353199276851200000, 64971686377156854071872078978903211234648852483547868815706560000, 342667993311390120839859601697649540116720567560331263522976563200000, 1972295583000441448157553865616640797132403192349231183710420585361920000, 12343326579799090277948851663285132090720622210583043799336084471808000000000, 83713180820313992673388325790726903554073428204628937770222120674931656640000000, 613350704502831060385712108913452197628910493532826762338339922803288750161920000000, 4840934168278889907557264861910476457229372850657082483505848324758849535963234048000000, 41048364764489619819266163861858144306178029208611883524517589498887132339494872678400000000]
no

(iv) S={1,3,4}
[113, 224, 8629, 621744, 80243292, 16950111840, 5325575905890, 2327762996939520, 1352443845087130320, 1009130296798177344000, 940916779612880215950000, 1072403724688721219596032000, 1467259560652453992422476632000, 2373685576474814683647020917862400, 4482592764486515520826289233235907600, 9773164131202871003642267910391455744000, 24365977273521164300243359890814566867360000, 68886484465963549351629021323409569306198016000, 219215094451871457440043642938589522226969401888000, 780069766421695901246290797176359165681579165286400000, 3085767716871466136772640531816995639007188642729294720000, 13497560973329804112451072573441975877428301865454784348160000, 64971686377856320082601279039341395586853961112554404144761280000, 342667993312690974949325219984995914160106256783364588266203381760000, 1972295583003077981882253205680622071866814815847338545379116174225920000, 12343326579804893138000794183576092548634232429451454104102681333465088000000, 83713180820327816806696542023777316233124960409876398799899673880738547648000000, 613350704502866599913964257184458151356946147416936987388905216163148169478144000000, 4840934168278988229445094135513696584351224605561695602175114061733556420817649408000000, 41048364764489911781212986645287430691308556525283299532874836455686099240427978752000000000]
no

(v) S={2,3,4}
[112, 222, 8599, 620784, 80189172, 16945377120, 5324981946930, 2327661821479680, 1352421360552079440, 1009123974566955072000, 940914584332955394951600, 1072402801746633798784358400, 1467259098464208353327666596800, 2373685304560192020808343040307200, 4482592578751326814764229615466691600, 9773163985397174919572928871147757568000, 24365977143143155101741491622190879314336000, 68886484334206218808089904350874364386295808000, 219215094302433942746344782640559130400409926176000, 780069766232655478739143885918115867631152209920000000, 3085767716606232160842916627606189004459203773848910720000, 13497560972919140186449264051495628255414388546058933370880000, 64971686377157874491925477505046460064266133576218308757113280000, 342667993311391557496510784335279196703532741863647265448981954560000, 1972295583000443652433077693204826465124041375942981183710420585361920000, 12343326579799093950597461680815585805596754502504208292080838341033984000000, 83713180820313999296725968226812744272680400512903534783035261530090260416000000, 613350704502831073275614753414883085653244951862802185978961948627955834945536000000, 4840934168278889934552353852246381186795493952538850999304235919215765386870324992000000, 41048364764489619879947510081941746963146918938908907217317589498887132339494872678400000000]
no


4.
(i) average number of leaves limit:1
(ii) standard deviation limit:
third=1
fourth=4
fifth=11
sixth=41