#Ok to post homework
#Tifany Tong, November 8th, 2020, HW #17

# Question 1:
# KingToursGF(3, 50, x);
#                    2 /   4      3      2    \
#                 2 x  \3 x  + 4 x  + 2 x  - 2/
#                 -----------------------------
#                    4      3       2          
#                 6 x  + 8 x  + 15 x  + 4 x - 1

# coeff(taylor(2*x^2*(3*x^4 + 4*x^3 + 2*x^2 - 2)/(6*x^4 + 8*x^3 + 15*x^2 + 4*x - 1), x = 0, 51), x, 50) =
#            3145849036836987795351683029577878807030

# --------------------------------------
# Question 2:
# Findrec([2, 8, 37, 187, 1005, 5633, 32566, 192792, 1162918, 7121902, 44165560, 276783968, 1750207940, 11153013440, 71550898197, 461746445731, 2995462031745, 19523143468973, 127777132138891, 839452832023207, 5533837097342891, 36594085887854795, 242680221398481381, 1613598426851118817, 10754859380597438069, 71842748551816723277, 480905190308830819225, 3225307676284611819217, 21670117616522081549953, 145840679672699944094433, 983053428271497814915238, 6636125814739273692660888, 44859345005089675067344174, 303638741080314921979131686, 2057763386337603966845020668, 13961702500509954172092227612, 94832904877320251327289447656, 644811242965640714216092401476, 4388701626430898296019153105026, 29898414203468535846138390257098, 203868052178975450132547578090878, 1391299997423028635726671660812258, 9502676021281003270491972199172678, 64954415289919470625783673910590162, 444318286253185235104169038220769834, 3041505111745155334565491437675951478, 20834291953518436333856265143938254112, 142808006475300877885644385533683# 789544, 979486623322036695091659490280293252388, 6722113044436452619618838139392108932544, 46159840685590887130990146271863301948932, 317149767247329603835205219424547271877640, 2180203616630012152899981082853344330863600, 14995250755906462987896738691799833800057188, 103187322871762288166267391213852436341593440, 710407013750971034635819594510254277572365908, 4893157170571776194472453475384072493044630796, 33718266588298580690524800941934001781023110080, 232449667852724654835837303938633160969451478544, 1603149509313335574652782178094291978073641328844, 11061005888953858476706566126351543539052272903756, 76345791014820550417385680327774598631812365390368, 527157144730437642987584509108354471713065062625621, 3641283643303109158841814353820675448155573305734211, 25160743257556118964998005719667382275056372270781361, 173917110784122314616054203855263522307332578924194557, 1202559579297119194159083942232889267537494006925283523, 8317869180316846721598239799022640050445573573445684655, 5755124134328810981713839# 1092180764447681302048248820131, 398318554948514061845085225547846089467734966995353286467, 2757629281094817943980892956461722313717173544306844753417, 19097088120874508128459436210573544074663528849756841343837, 132288142556896045959875193265324081279508027592435887834873, 916629626171229062090452158227727464778545824380718054761425, 6353059242748725566023984612140876384585725672934570546756325, 44043814816772341087901705777902157474143331399221938369818749, 305419695107616899368578836562967396449265469116289492687533533, 2118441286214424795488375375242088592503725825701269256579767213, 14697396286823356190808581001042069544758294571601291462019462715, 101992058240747051261997364270795867830034119767083551452240782119, 707932389395598767489001310274946005312379288732982749246937512211, 4914895296468833780765306183111901447633106633991384356972954580803, 34129623106926486002513939838826278425011873880804610789295353402559, 237050679570211885103583062835146196552717477089982972091632360381263, 16468014545109# 25919757511591374329782023186918978408163854645091260623, 11442726400624088077490918201249088270923656651263586288494119028220439, 79525059431914254320173991674495198118683400923035173498797993217200155, 552793282860951143053805456010581331408772694121789555555805068282359851, 3843296530698343279345179930567104750355511651302919535147197816686234091, 26725484701388444806278417713424707745964810248783699190670212084087619139, 185877184107020524483042497713140285413211254689628201596275812342514092131, 1293015322548665854131920399078826854475549179564799023521177926734074015163, 8996150254760647906323215165109779404945373838351436806306969229807469579427, 62601331989171111451520743222389803118190473819347767731975787964854524533995, 435695168699446738002543509264876646476963654139011730412756863836545742727205, 3032862433475797288961125692701615427437646073674378686183898904457046900416001, 21115045581629220700932659100213290244316033366973480005557635331787446395635397, 14702773598692204628841829117868195528# 7518409267240447774400163720444091066093117, 1023936642098208262411944997238078841046747930943878748613313510857794189695533841, 7132013267894941560779060684667859771030387498360300102558419881247499606292436761], n, N, 7) = 
       
#                                       2              3     
#   2 (2 n + 3)   (11 n + 23) N   (13 n + 41) N    5 (n + 3) N     4
# - ----------- - ------------- - -------------- - ------------ + N 
#      n + 5          n + 5           n + 5           n + 5         

# SeqFromRec(-2*(2*n + 3)/(n + 5) - (11*n + 23)*N/(n + 5) - (13*n + 41)*N^2/(n + 5) - 5*(n + 3)*N^3/(n + 5) + N^4, n, N, [2, 8, 37, 187], 3001)[3000] = 

# 95169091361304497661016734197678134770349822930308569276916914467565347871540683291808752282824707570651985872820372363152563131551499362536825304711559361666563103386330829999710178259606336618359856705840905896307823039694186915923739801088785552537207794661641719063082723104319582945468736368770654686751378287041101572685985713084393957598627298986861938927166053927103431921104126027579703091359302890708953724730599070838409654723308763002613165079306548111632722909218562889533100675786353470112016022196477554880490589499289089162582632715079250461763612854611196880347954440249628671174622179674903282050871247325146410790010719334253540172397663997792921830518354359522669329363082614972729965686428855219511297199827548476675004412199720715365099792501311123143368483881397876775712439421054798831717981977936622337062303624546576898187959341646575490702549296915200857634048143923818701102393144599106994024665053648913638391157955194662231996921003344586526221812096107389514125990119451880185515845934698037# 05510448689657366684485757388074285263939172291023169279443352012633934035266386969843001480577617089530846515799938312615413653489263817545757925631500280869377832164545980754006248519627547896135222407393738139259609427814771600034445210121621371821884699542240324668332656320299480709528283924432410636308684748047846373034521598541306451565500628071637159429786831418504147474702681667903529312705579740375549127852953001811042218840080712614560113646054499690725310802671073813322124169370698084217187360490026985645954179323470216793716367988647659678764300342426166426680861582306634666180462290864223667952872554267174740431401224979502173217069100857533665605098630664859310016422997284261176078539041533137351950878447291198197553722274342231258975157625794890981527636379149517334297785509411835570001655622691961542825089773370320996758271860792846406952422215973834080619562624139092470923535737401501625483995920908405439456943247143257668452250699877978837620044312678213225504758289126166624536163428519952# 3372050333572627938881441014457739772722775254541205569963083330946306737155223437987340685548656285567503838100825537658312256841838804244651258118811651131924827871017999511708744102921789247462817980894438730298698541980861879749020341945718568693083738317799328488585909649259726166330681988951268751122991503360075439622584181083778123619416313964846558075294830227299727374990124401764015434769152111199549890678059731046462531157554362228562028418125254044367001279506736510680059995930940034
# --------------------------------------
Question 3:
# Findrec([2, 10, 88, 1043, 14778, 236001, 4107925, 76314975, 1491934038, 30389576308, 640286048416, 13877540824735, 308102204007536, 6983346070924707, 161156356282624227, 3778249609096250059, 89826197363219012470, 2162338803354415120414, 52637415804379149938876, 1294313658632145337351381, 32118082448138745067175242, 803656789698224684452667975, 20262539635339176715000960941, 514456553505357928725536149803, 13146084523635788235064716197728, 337929024350121818044901686404816, 8734691492940974137071498064995420, 226931194428057541769204674879130191, 5923987397778903817189358328568041496, 155335609958542073698381974113868127891, 4090172312867860136825480052716884724147, 108121976818168155620957000319917917053675, 2868707794254575240567639311917494731749030, 76377538885644568975349924729052848698617526, 2040172740682907191699950846063214773112927416, 54665344392211673342456683384055104205997175257, 1469025374919143636369316715736858925903810273670, 39586979783512218527277338099905807341274587256147, 1069596920795# 621360143277142155882112468901055822299, 28971834889893726116466068771262180074158013962368089, 786624416885179957698948378595042627165085805977597238, 21406496941578870323675397740377275998112856431253739940, 583801369714608515305502011392156725334624008192909440168, 15954513928133137501267139726262869284981213941344807489857, 436879272160793629128022091511848928647620180950721848780592, 11985652641165379506890719555297678340424492500261026978221269, 329419762705629446970296352861004019084652585012933306375828775, 9069697602289298897479257949144657270732090889455197964425043207, 250127021374018898282936610542536017519164050047115725607341714968, 6909145395201492293479975824651120370386436412105562027156097665318], n, N, 7);
#                                          /   2           \  
#      (n - 1) (n - 3) (3 n + 8)   (n + 3) \9 n  - 3 n - 16/ N
#    - ------------------------- + ---------------------------
#      (3 n + 5) (n + 5) (n + 4)    (3 n + 5) (n + 5) (n + 4) 

#                     /    2            \  2     
#         2 (3 n + 7) \15 n  + 65 n + 62/ N     3
#       - ---------------------------------- + N 
#             (3 n + 5) (n + 5) (n + 4)          

# SeqFromRec(-(n - 1)*(n - 3)*(3*n + 8)/((3*n + 5)*(n + 5)*(n + 4)) + (n + 3)*(9*n^2 - 3*n - 16)*N/((3*n + 5)*(n + 5)*(n + 4)) - 2*(3*n + 7)*(15*n^2 + 65*n + 62)*N^2/((3*n + 5)*(n + 5)*(n + 4)) + N^3, n, N, [2, 10, 88], 3001)[3000] =

# 10559615971726381922057145338279551820693307101858871237156383387519123566238689343589548292658932654971840195164554979465013586144065921809165629955714358226380118646999484135187353797298374251678281979327730916172146035607040767634030580088705902105305068348891876702360696630005634039092915181394711411939336685690972307915923783277654532068803383671414658847746892733329746133277906701338647708397869076162527161726128103923226843570263189775437616311858920417528727927074725233393154648780926001227765104871175476117001018148244585127315611886775569251819770178239959654493438535335493283890070020038127275859932202942547402948661139231514796724294904816440885284111096348267713093768938270033492430681834768735339355943319885856753377620383948708831326021591738839223479999440788217281633709370526191555905683910690633175925099555987884834664182344084073882022990362333223791926150750216983932128687877335692682291846282895655895497415845743278929199088810107515172217223810128345565568248485772212276841378308161010# 20327876526681725444453682864636555747673248741474708131366459673977930419195224272687150280798146593067544755578201466060570093254935347120068461604351415848203621522648676607169207523056123186434484713066312780810175397901692245443312244602960976968454897460424230265560584944905249327347768975517831568652679595607920084575082584347314212810007985240690964634053969181170611215275387792197501045392327155456594027530404389193373166529959026406585893677752993907919001817631111686530612365744087948657981705511840245825626621270255357615436919191022104201504251202188647227781935143967146969540653262038857149021960306229530963054026491708200678862903006329234012195611754127295080517138419193838585920213543419469950079348946755215094694137847178186210286204470627994554250221170678469119109643939053546724329890548255475005106738694859949241621137720195040487766275618591781040165985869235563695957345264145252201054929162788252799455694036338904769031986390960043941243280986491172713827805499916660157385659508981509# 84914771597354745722902929552658435141028181373159317047081730911078987604974700901900994975720040933386691479712702938121952517108164936768290007998306829039315440411826401818536490560696558904550500557206663012212115037528081128999281702757801163809360343324437244343792533294787628265741780772372641529060440391820207209877011600699017535082049231486779638768566127370221555692245369817542052766542596148662377506904108281961498022323144057023262068981652515799685863079782567587415647464673206565260282177325021491109552383930187217351457294553477718582944659445841293955979082333533598894324961209674143711315973349610730943874951715581611361146618160641378659307976028647693250212254038252034601456275444068485896103314875752194451618878156055096734222367937672692725330093980990376052317468142697633258014539770676069965193893449231453661197140718555885369194398390062210191186943303498890167139874930304615480781134334707964726277538954795939725180979886184388219547711366050428182115036616903932416461759832720727# 50033839266457196188071071187754998370076929434211075570665661516324942264600596694822236270007553201022912655328711045166204080215034695649607448405273185017335878558120038198908900238934981302604989512863476948713371368663345573423567110061182389584275109757553226694976920714610101655917336740712854088805862406329568315417052169088496967534842605123462311465067710158792636485001353137519792942367000088858005096931209308417698173014803527390042672776124756362691751590404838951167627284739693544794291355274258228033555045592368688421508253999061210465960187921830366986100282460056637109733500434762006952486744461732963575135735214981831028889850703326157433032909319929490872040645967609805518559747723149327709965267849112254886089102129015396256498536954924761836509871829985179215572229980987827256327006962465941204603260380604837554793521971362297761187892965459198366328144527486212160521043946153357750399048530678484687549588620410440605810679124464718550148332350662077663706133682573080719549436534791801# 11042281881188887660434936081241799850788470218012237849400298660425782403148718872653901005280466525095291577169601084339235634955604898374949141660578599870423680499360451073008559080164788699736386609233499025062855391709957273487073386537359165683384170380942428413622358059424469862102618894310733782269292492850029973291

# --------------------------------------
# Question 4:
# Z(binomial(n, k)^2*binomial(n + k, k)^2, k, n, N) =
#            3   /    2            \                      3  2
#     (n + 1)  - \17 n  + 51 n + 39/ N (2 n + 3) + (n + 2)  N 

# SeqFromRec((n + 1)^3 - (17*n^2 + 51*n + 39)*N*(2*n + 3) + (n + 2)^3*N^2, n, N, [5, 73], 3000)[3000] =
# 272264271174732901335922791357271053796710447554773342108515987613938463467685073506390409308335926195632286757966
# 5053314255370804763722281790779093835410541511418166634290758716725111753006762131305688572559381260548003772062557
# 25024772146661423866377074389236480757699308408155846270057661427886278820872164595480646558306560218771568281410670
# 4612402275506072291084112985500212686023858801381107120776811844560415857377786813263183969424052055617010857380794491
# 8904109440563107695210294591730366792408778670052369083948667016770592196843482043613322499100030372869442723333756311
# 46873345814821227104852534785843936368959818832478077725569644407075253374474052536921206608748270422879828826902301431
# 18669695371059022594434011585791961926438456118399450548533509153708638074028140693909477210607630272338617131459754205
# 05634758433663200306257428269298588896603640076662932458172709114281119506354471403589881390940827256910428418896465605
# 61477476935832742178296234660221420178120796234990088001434096318656530218092868032853550310196018237804258196742181910
# 87701288754550205463709552779750186152317055357512914216945169343732867583211243247631446120323551535283957336675041816
# 555781065643589462703557160125580689594653645522295703916075061584820297576178725506002973277952526544203649039331712890
# 1846356097241773156867344507855494093752391994381023128371628704715908210
# 5754841857169756194494634425833952782575407721932063485805929378555372486286204664705392885565416618328738140564684819
# 874209577011008578605235725409673852669200538616779142911882809448774017475516610898770833177976041105575513647019297483667
# 721492589966734476750051230865501137037642171767581958604359908677951708693959031247271421635948013815292468609296409501597
# 72000100631413790792212965344708548770354323901339612899027847649119198063039365893013538457551513411093345561536822366986
# 265917412904840360563624377109175770777665445155239221619611485299625852134559025659912095119338611886550297595740548307375
# 649565634948493253019969871927649283571254688763936033373264896857823896269127788026425507808470356775700467388060895653270
# 527152866893161963931776506652204657885942928746306431235273664875073034043145202244923808794388369380516219822837239194142
# 849797804822593665338939337302309434901793013173302083269369688516505935783551307848007738581224037372934917042689578935550
# 744752847955956163759006312379601494705557456183072265285209531539735942356563341299018671880996309304048086427048684614070
# 266687579163017366103655516350454661153144028679506553320905507592580797070875042927687201669656031079427557267199902205653847
# 75869305712417000832849552693222377212141285698643606905616459908545743777822432168840462342827328807037734434306211999990843
# 41181624329225910905628054675958946
# 467806416224395631873656683071115380770254711587648083815618686290156826701401309487745682709925972492667940113612381192068
# 56341415052185892084189107926139916710579316845611503499017305367756723113374621149791283762657110141332311373814567195029
# 9949953354167200944500793378312048462099124093279690128341267438609586482025634135783937478829768463395935111072688320786121
# 2058907495280798091462231150213813952855461688960201019148953730459166837959519105093179596223451689703305293169085020980593
# 1083355558716380741263181548085215805281399035131706171628221919923270321741376286430739463746610276665672321579351016072824
# 5796353064696680315055947261471167973671181823890744445425303949175577692775312029684282290913729334103049282683274925976656
# 06985779187052947832886995670607597328576672367590871239494332163346732354372049724012157706525094234713863888393732416338376
# 292816636359143592277115651039460138234618018361589663036767340765411992955916668465373578134122931164300533407609504598223240
# 0718418203942823823946362321066604613177587218903326213735050538296473367328530803976648581842078152855073116318746580906239
# 139476932239066018208636019960255477470039272544833715681190995008672732092702019475835225430406358620347447413243690258984
# 50282401574641710510749342774620516505124008520070877996367769485909407472852144748999599243998191452958792623810638284969
# 94107541458776802879108223058328137249813328276196797021989013913918571335046847331380412813634587457021752621706732121705
# 91598101811195437125929460782730548197694063014873445282996532808077662123549379411300779700457257969410836161492122510165
# 2645029605843142668917464774633783499025540117492306484388480259084711514695051766832811090470921386402426109126721055203415
# 3798003542992734480500041363214110149539201741903501339475545184258347426576368029282689454411666791001


 

# ------------------
# Question 5:

# OddTTT3(50) =
# [16, 30, 72, 178, 444, 1114, 2808, 7098, 17984, 45656, 116106, 
#   295718, 754226, 1926060, 4924188, 12602416, 32284214, 82777240, 
#   212415744, 545495716, 1401849594, 3604921774, 9275890122, 
#   23881602058, 61518226734, 158548607640, 408814563524, 
#   1054590179342, 2721595930404, 7026452822306, 18147298366496, 
#   46885946293214, 121177055746484, 313283723643176, 
#   810192535596110, 2095874778731180, 5423295440740724, 
#   14037073630916630, 36341276369869088, 94108595062116434, 
#   243758321258056460, 631519064376051686, 1636463783015528228, 
#   4241461650592403456, 10995384407887915850, 
#   28509377078588235950, 73934029147665383810, 
#   191768567416391711378, 497489711804340577094, 
#   1290808418002135615116]


# OddTTT3(50)[50] = 1290808418002135615116
# ----------
# Question 6:

# SimuAvDegree(Bn(9)[1], 257, 1000) = [4510.155642023346303501945525291828793774, 4505.645487326525270404814651142799336182]

# ----------
# Question 7:

# y:=DiagSeq2(1/(11*x*y - 4*x - 5*y + 1), x, y, 50)

# Findrec(y, n, N, 7) = 
#                121 (n + 1)   29 (2 n + 3) N    2
#                ----------- - -------------- + N 
#                   n + 2          n + 2          

# SeqFromRec(121*(n + 1)/(n + 2) - 29*(2*n + 3)*N/(n + 2) + N^2, n, N, [29, 1201], 2001)[2000] =

# 77364685991575534508059288071198786811400006741126771108964546529730
# 218578214043765173724564788220678143866635976891679171565779761625327
# 1074975816775510891610817784007689815061811713118793808132127169156531
# 9566322102029318398621958085096409301940724757367976489584198915884002287
# 783021074803911465764687839270919788007307253817489275023874542054369281251989755113
# 784237947073658233799269861887497310899865006699173973966168739715040950848068671857
# 941482019942495697082246649393588981567052857661377058085238822468254608650558458496081
# 016025541244216555432819549428693477632655342888983451026469802497052457504111499010219065
# 338046528565426537644986773652144386156651506155173434776475588808276134272858853579218411
# 0004663423846133412020771774734430685464216178909642280682247712608045938331913941408489187
# 48133905750350568202748202491636215925437728659261188828297872334030860352872387797650549
# 41813725170004414582374135508817403257313682626312641850119576783617936793647393405068210
# 22792637757585413933601362499042586564094621547132003294828246894032484691456113877549
# 7162509724260118084959559782824445762245632299836411179392775648099505004754289691484084
# 437878335072556789083071128828642026102198988713371433916086729092810868873365284186949
# 520302620916959510360154686720720849426575947536973822089840926819039524739154650307471
# 233566116603524983355463110367522269735546877184343991825037545531189756117352626296189
# 893351782094577197526461536355028695315424139758095138
# 975823719895497596876668131934199439173229485368636994380428110961997982663512993479753
# 2745245645888978444110907312780826947162596422579122092267151629649827662056443752132799
# 62095754671175676851278122336924210409928907451885674299545970520895098122438167730023956
# 375082767841919536492659592553484758514186588962566254898054642148157529356160985269637101035
# 56332002768198829657539825858189993043385153729839612545974656364549851834461937161361885575
# 792015309112843983138565106171335417851835940061433418281155161130624659074827217222842165070
# 385256921028506368801489154676842803370791380945415114169784612197604101616119842207527053327
# 728458945202757807566839959383172051052349573115875467376441376097534057770025618179372326810
# 273770037743463062479024945879786891178804460080550848557424122925319818158511711573117698177
# 26694665983926547215718042995324086972033585809127239462279082321553385884281271741450781834
# 6866990882895255705516346967617015584408746406898238323707434433135097328783254581569504058009
# 84265925019715442066190308256833468012962803355240804381275907697946689392236302655677792247174
# 97406424337680111319658968840828783394398066924082596974045522418906009355130535708234172204495
# 769135348785825545908155547519817718720637411445747313149486470464529574488009448609563739552269
# 1190031385241901107750628014881582870295606191729430345849837633244883062897245613265
# 549247265834581177549249336115526750414697971488440281929041200494119677021192850103104503994
# 748999889935861446950131874263000622746142612328551809135890646207691728072795475955222634940
# 301113331999718999575742774078008125489614371478065233941238089616368770417436081984266140439
# 51238220331970986440053143097092028066307341624392350207383551740144663484185505423935912306650
# 37532055477748513177213613029778722516045844335809673585160699899544776137982737572876222612321
# 8580834402190682606068437153306290925913239883594710884034531237609827555387947652206110770058
# 576176763122989223205695856623992082656117211112586521163319820736781340880001