Explicit Expressions, in n, for the sum of the powers of the areas under Mot\ zkin paths of length n from the first all the way to the, 20, -th and the implied limiting scaled moments using AJ Bu's Maple package qEW.txt (and its extension qEWplus.txt) By Shalosh B. Ekhad Let M[n] denote the Motzkin numbers, that may be defined by n ----- \ n! (2 r)! M[n] = ) ----------------------- / 2 ----- (r!) (n - r)! (r + 1)! r = 0 The number of Motzkin paths is famously, M[n] ----------------------------------------- The sum of the, 1, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is n n 3 3 (-1) (-n - 1) M[n] + ---- + ----- 4 4 and in Maple notation (-n-1)*M[n]+3/4*3^n+1/4*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 4, 16, 56, 190, 624, 2014, 6412, 20219, 63284, 196938, 610052, 1882717, 5792528, 17776102, 54433100, 166374109, 507710420, 1547195902, 4709218604, 14318240578, 43493134160, 132003957436, 400337992056, 1213314272395, 3674980475284, 11124919273160, 33660499478792, 101799399463446] ----------------------------------------- The sum of the, 2, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is /25 3 2 191 \ |-- n + 11/3 n + --- n + 7/3| M[n] \36 36 / / 3 2 31 \ / 3 n \ n + M[n + 1] |-5/36 n - 2/3 n - -- n - 1/3| + |- --- - 3/2| 3 \ 36 / \ 2 / n + (- n/2 - 1/2) (-1) and in Maple notation (25/36*n^3+11/3*n^2+191/36*n+7/3)*M[n]+M[n+1]*(-5/36*n^3-2/3*n^2-31/36*n-1/3)+( -3/2*n-3/2)*3^n+(-1/2*n-1/2)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 6, 40, 198, 910, 3848, 15492, 59920, 224917, 824074, 2960828, 10466610, 36498195, 125801144, 429284612, 1452174984, 4874940295, 16254780970, 53873727516, 177594715034, 582603630260, 1902860189328, 6190199896600, 20064013907288, 64815504118695, 208739559416878, 670345766842528, 2147105001535030, 6860412695235518] ----------------------------------------- The sum of the, 3, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is / 25 4 133 3 251 2 203 \ |- -- n - --- n - --- n - --- n - 5| M[n] \ 12 12 12 12 / / 4 29 3 55 2 43 \ + M[n + 1] |5/12 n + -- n + -- n + -- n + 1| \ 12 12 12 / /15 3 207 2 1521 1503\ n + |-- n + --- n + ---- n + ----| 3 \64 64 256 512 / /15 3 93 2 585 545\ n + |-- n + -- n + --- n + ---| (-1) \64 64 256 512/ and in Maple notation (-25/12*n^4-133/12*n^3-251/12*n^2-203/12*n-5)*M[n]+M[n+1]*(5/12*n^4+29/12*n^3+ 55/12*n^2+43/12*n+1)+(15/64*n^3+207/64*n^2+1521/256*n+1503/512)*3^n+(15/64*n^3+ 93/64*n^2+585/256*n+545/512)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 10, 118, 818, 5092, 27564, 137836, 644836, 2870189, 12266918, 50724954, 204046142, 801892081, 3089123960, 11696423536, 43623049688, 160547844283, 583940294930, 2101624362838, 7492542382034, 26484322064854, 92891831844644, 323514376584988, 1119432296516028, 3850521166068067, 13172287164643534, 44833505143238762, 151881332985873566, 512282966204517672] ----------------------------------------- The sum of the, 4, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is /221 6 31441 5 411613 4 72251 3 34189 2 59401 3314\ |--- n + ----- n + ------ n + ----- n + ----- n + ----- n + ----| M[n] + \324 3780 11340 945 405 1260 315 / M[n + 1] / 221 6 1409 5 27248 4 10781 3 122653 2 6349 794\ |- ---- n - ---- n - ----- n - ----- n - ------ n - ---- n - ---| \ 1134 630 2835 540 5670 540 315/ / 15 4 3 1197 2 2241 735\ n + |- -- n - 63/8 n - ---- n - ---- n - ---| 3 \ 16 64 128 128/ / 15 4 3 573 2 947 289\ n + |- -- n - 19/4 n - --- n - --- n - ---| (-1) \ 16 64 128 128/ and in Maple notation (221/324*n^6+31441/3780*n^5+411613/11340*n^4+72251/945*n^3+34189/405*n^2+59401/ 1260*n+3314/315)*M[n]+M[n+1]*(-221/1134*n^6-1409/630*n^5-27248/2835*n^4-10781/ 540*n^3-122653/5670*n^2-6349/540*n-794/315)+(-15/16*n^4-63/8*n^3-1197/64*n^2-\ 2241/128*n-735/128)*3^n+(-15/16*n^4-19/4*n^3-573/64*n^2-947/128*n-289/128)*(-1) ^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 18, 388, 3738, 31738, 219680, 1364832, 7716256, 40692025, 202660582, 963484340, 4405673406, 19493049027, 83844990632, 351917234192, 1445769951336, 5828410675267, 23105121924574, 90228691060140, 347628256769750, 1323066787587524, 4980012288119304, 18555956353782160, 68503074044045576, 250746962449187079, 910642107501044098, 3283232966299440268, 11757788240445700618, 41843104021111225922] ----------------------------------------- The sum of the, 5, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is / 1105 7 35279 6 70351 5 625945 4 207226 3 648961 2 30797 |- ---- n - ----- n - ----- n - ------ n - ------ n - ------ n - ----- n \ 324 1134 567 2268 567 2268 252 1382\ /1105 7 5318 6 42607 5 186713 4 - ----| M[n] + M[n + 1] |---- n + ---- n + ----- n + ------ n 63 / \1134 567 1134 2268 242387 3 185855 2 25831 374\ /565 6 12425 5 126655 4 + ------ n + ------ n + ----- n + ---| + |---- n + ----- n + ------ n 2268 2268 756 63 / \6144 4096 6144 28545 3 7137985 2 2997855 1476039\ n / + ----- n + ------- n + ------- n + -------| 3 + | 512 98304 65536 131072 / \ 565 6 14685 5 16105 4 34035 3 1210065 2 1365195 621113\ ---- n + ----- n + ----- n + ----- n + ------- n + ------- n + ------| 2048 4096 1024 1024 32768 65536 131072/ n (-1) and in Maple notation (-1105/324*n^7-35279/1134*n^6-70351/567*n^5-625945/2268*n^4-207226/567*n^3-\ 648961/2268*n^2-30797/252*n-1382/63)*M[n]+M[n+1]*(1105/1134*n^7+5318/567*n^6+ 42607/1134*n^5+186713/2268*n^4+242387/2268*n^3+185855/2268*n^2+25831/756*n+374/ 63)+(565/6144*n^6+12425/4096*n^5+126655/6144*n^4+28545/512*n^3+7137985/98304*n^ 2+2997855/65536*n+1476039/131072)*3^n+(565/2048*n^6+14685/4096*n^5+16105/1024*n ^4+34035/1024*n^3+1210065/32768*n^2+1365195/65536*n+621113/131072)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 34, 1366, 18266, 213940, 1894524, 14660524, 100235572, 626672789, 3637743854, 19885134498, 103354082102, 514766124337, 2471690008088, 11497273771192, 52015122331640, 229623456481699, 991830442896650, 4201364384016982, 17487319372128794, 71641335066162118, 289294573659818900, 1152922055099589316, 4539638460391409196, 17677689282699864355, 68137360817134547254, 260154875432205058610, 984603190901265344822, 3696053534408618315256] ----------------------------------------- The sum of the, 6, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is /3395825 9 2330665 8 3327055 7 13177435 6 428376721 5 |------- n + ------- n + ------- n + -------- n + --------- n \3891888 144144 29484 30888 432432 23721773 4 398741021 3 94212175 2 32678153 136907\ + -------- n + --------- n + -------- n + -------- n + ------| M[n] + 16016 277992 108108 108108 3003 / / 82825 9 6691235 8 2988730 7 30375473 6 4252289 5 M[n + 1] |- ------ n - ------- n - ------- n - -------- n - ------- n \ 299376 1297296 81081 216216 13104 18815963 4 885266791 3 87768535 2 1419551 40811\ / - -------- n - --------- n - -------- n - ------- n - -----| + | 39312 1945944 324324 15444 3003 / \ 565 7 19205 6 115481 5 168235 4 4297345 3 7717535 2 - ---- n - ----- n - ------ n - ------ n - ------- n - ------- n 1024 2048 2048 1024 16384 32768 7347087 1451349\ n / 1695 7 28245 6 109827 5 15345 4 - ------- n - -------| 3 + |- ---- n - ----- n - ------ n - ----- n 65536 65536 / \ 1024 2048 2048 128 2628755 3 4144455 2 3557229 645803\ n - ------- n - ------- n - ------- n - ------| (-1) 16384 32768 65536 65536 / and in Maple notation (3395825/3891888*n^9+2330665/144144*n^8+3327055/29484*n^7+13177435/30888*n^6+ 428376721/432432*n^5+23721773/16016*n^4+398741021/277992*n^3+94212175/108108*n^ 2+32678153/108108*n+136907/3003)*M[n]+M[n+1]*(-82825/299376*n^9-6691235/1297296 *n^8-2988730/81081*n^7-30375473/216216*n^6-4252289/13104*n^5-18815963/39312*n^4 -885266791/1945944*n^3-87768535/324324*n^2-1419551/15444*n-40811/3003)+(-565/ 1024*n^7-19205/2048*n^6-115481/2048*n^5-168235/1024*n^4-4297345/16384*n^3-\ 7717535/32768*n^2-7347087/65536*n-1451349/65536)*3^n+(-1695/1024*n^7-28245/2048 *n^6-109827/2048*n^5-15345/128*n^4-2628755/16384*n^3-4144455/32768*n^2-3557229/ 65536*n-645803/65536)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 66, 5020, 93498, 1529890, 17347808, 167827992, 1389548320, 10313781097, 69841239094, 439258108268, 2596282767630, 14561139352515, 78066955291784, 402507148171232, 2005518355569864, 9695523183148195, 45631236936154030, 209665141392784236, 942771738420303014, 4157173041102291140, 18008357733183826728, 76755096748418906200, 322319206291024757768, 1335147347265520099815, 5461283699353276057138, 22079558036564522622508, 88303928614476131899690, 349614913029582058175978] ----------------------------------------- The sum of the, 7, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is / 3395825 10 9944315 9 76157573 8 136412621 7 653065529 6 |- ------- n - ------- n - -------- n - --------- n - --------- n \ 555984 138996 185328 92664 185328 66848252 5 328409015 4 1380121373 3 57238099 2 11186411 - -------- n - --------- n - ---------- n - -------- n - -------- n 11583 50544 277992 23166 15444 121861\ /82825 10 6782855 9 8853569 8 - ------| M[n] + M[n + 1] |----- n + ------- n + ------- n 1287 / \42768 277992 61776 3673663 7 228270865 6 16894369 5 1240104815 4 465109321 3 + ------- n + --------- n + -------- n + ---------- n + --------- n 7128 185328 8424 555984 277992 9449351 2 3637435 39493\ /19675 9 233125 8 8471215 7 + ------- n + ------- n + -----| + |------ n + ------ n + ------- n 11583 15444 1287 / \442368 98304 294912 5208343 6 1144171903 5 465621555 4 28426098815 3 + ------- n + ---------- n + --------- n + ----------- n 32768 2359296 524288 28311552 271000847 2 1105620477 368005767\ n /19675 9 248865 8 + --------- n + ---------- n + ---------| 3 + |----- n + ------ n 393216 4194304 8388608 / \49152 32768 1664095 7 6120009 6 112829647 5 338967125 4 1990880495 3 + ------- n + ------- n + --------- n + --------- n + ---------- n 32768 32768 262144 524288 3145728 25490309 2 566759853 168865145\ n + -------- n + --------- n + ---------| (-1) 65536 4194304 8388608 / and in Maple notation (-3395825/555984*n^10-9944315/138996*n^9-76157573/185328*n^8-136412621/92664*n^ 7-653065529/185328*n^6-66848252/11583*n^5-328409015/50544*n^4-1380121373/277992 *n^3-57238099/23166*n^2-11186411/15444*n-121861/1287)*M[n]+M[n+1]*(82825/42768* n^10+6782855/277992*n^9+8853569/61776*n^8+3673663/7128*n^7+228270865/185328*n^6 +16894369/8424*n^5+1240104815/555984*n^4+465109321/277992*n^3+9449351/11583*n^2 +3637435/15444*n+39493/1287)+(19675/442368*n^9+233125/98304*n^8+8471215/294912* n^7+5208343/32768*n^6+1144171903/2359296*n^5+465621555/524288*n^4+28426098815/ 28311552*n^3+271000847/393216*n^2+1105620477/4194304*n+368005767/8388608)*3^n+( 19675/49152*n^9+248865/32768*n^8+1664095/32768*n^7+6120009/32768*n^6+112829647/ 262144*n^5+338967125/524288*n^4+1990880495/3145728*n^3+25490309/65536*n^2+ 566759853/4194304*n+168865145/8388608)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 130, 18958, 494858, 11451532, 166405884, 2021498596, 20300332276, 179211551669, 1417329972398, 10266501959994, 69058406647862, 436402312546561, 2613718044905240, 14943141314982616, 82026011724244568, 434376421184132083, 2228012802045187850, 11106209980242480838, 53957563550650989914, 256118951107293561334, 1190292878091415031444, 5426111900966692421788, 24302258207780949254028, 107088722354283387322627, 464863289548504883355094, 1990104127390633218247682, 8410621445707039692356486, 35121255459673223907156432] ----------------------------------------- The sum of the, 8, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is /15640784605 12 123570936893 11 2350106890597 10 28168213114439 9 |----------- n + ------------ n + ------------- n + -------------- n \11313718416 3771239472 8081227440 18856197360 1759716999715 8 248665373735 7 1233654540884377 6 + ------------- n + ------------ n + ---------------- n 342839952 19953648 56568592080 520321697025749 5 4590412375057 4 37204243342001 3 + --------------- n + ------------- n + -------------- n 18856197360 183664260 2357024670 2600529245647 2 25127099599 415633628\ / + ------------- n + ----------- n + ---------| M[n] + M[n + 1] | 392837445 14965236 2078505 / \ 1282031525 12 169555361 11 417977078179 10 10268556950669 9 - ---------- n - --------- n - ------------ n - -------------- n 2828429604 15268176 4040613720 18856197360 46785748013 8 822207863645 7 225784988259949 6 - ----------- n - ------------ n - --------------- n 24810786 179582832 28284296040 37840870626511 5 9089120705519 4 26371917558211 3 - -------------- n - ------------- n - -------------- n 3771239472 1010153430 4714049340 1798546948279 2 8510747599 149584988\ / 19675 10 998435 9 - ------------- n - ---------- n - ---------| + |- ----- n - ------ n 785674890 14965236 2078505 / \ 55296 110592 1624295 8 8449463 7 424842103 6 1715774249 5 13700208545 4 - ------- n - ------- n - --------- n - ---------- n - ----------- n 18432 18432 294912 589824 3538944 11999283623 3 986818397 2 632744961 92215815\ n / - ----------- n - --------- n - --------- n - --------| 3 + | 3538944 524288 1048576 1048576 / \ 19675 10 406265 9 46795 8 332599 7 50605975 6 164696595 5 - ----- n - ------ n - ----- n - ------ n - -------- n - --------- n 6144 12288 256 512 32768 65536 1116277325 4 867702959 3 586235181 2 340782419 42001913\ - ---------- n - --------- n - --------- n - --------- n - --------| 393216 393216 524288 1048576 1048576 / n (-1) and in Maple notation (15640784605/11313718416*n^12+123570936893/3771239472*n^11+2350106890597/ 8081227440*n^10+28168213114439/18856197360*n^9+1759716999715/342839952*n^8+ 248665373735/19953648*n^7+1233654540884377/56568592080*n^6+520321697025749/ 18856197360*n^5+4590412375057/183664260*n^4+37204243342001/2357024670*n^3+ 2600529245647/392837445*n^2+25127099599/14965236*n+415633628/2078505)*M[n]+M[n+ 1]*(-1282031525/2828429604*n^12-169555361/15268176*n^11-417977078179/4040613720 *n^10-10268556950669/18856197360*n^9-46785748013/24810786*n^8-822207863645/ 179582832*n^7-225784988259949/28284296040*n^6-37840870626511/3771239472*n^5-\ 9089120705519/1010153430*n^4-26371917558211/4714049340*n^3-1798546948279/ 785674890*n^2-8510747599/14965236*n-149584988/2078505)+(-19675/55296*n^10-\ 998435/110592*n^9-1624295/18432*n^8-8449463/18432*n^7-424842103/294912*n^6-\ 1715774249/589824*n^5-13700208545/3538944*n^4-11999283623/3538944*n^3-986818397 /524288*n^2-632744961/1048576*n-92215815/1048576)*3^n+(-19675/6144*n^10-406265/ 12288*n^9-46795/256*n^8-332599/512*n^7-50605975/32768*n^6-164696595/65536*n^5-\ 1116277325/393216*n^4-867702959/393216*n^3-586235181/524288*n^2-340782419/ 1048576*n-42001913/1048576)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 258, 72868, 2685258, 88843258, 1655660480, 25377903552, 309585574816, 3257355092425, 30126626535382, 251627128682660, 1928019984581166, 13738647617228547, 91979653672774952, 583423918645109312, 3529771550537343336, 20483202337808823187, 114538601871238957294, 619592451382193971500, 3253145461554435538310, 16625744194068537711044, 82910107759096197779304, 404307571723432638945760, 1931556331918083385048136, 9055438989418075063051719, 41720662141836256732346578, 189145052158659151201899868, 844779011156756198363604538, 3720881144182003787269140002] ----------------------------------------- The sum of the, 9, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is / 15640784605 13 50520636871 12 3554877993827 11 842158970623 10 |- ----------- n - ----------- n - ------------- n - ------------ n \ 1257079824 314269956 3142699560 157134978 9428236482083 9 23108430790243 8 253725782335919 7 - ------------- n - -------------- n - --------------- n 523783260 523783260 3142699560 87654433899107 6 42774291412387 5 137925407975501 4 - -------------- n - -------------- n - --------------- n 785674890 369729360 1571349780 12267255504277 3 2928002146099 2 6280894247 20238884\ - -------------- n - ------------- n - ---------- n - --------| M[n] + 261891630 174594420 1662804 46189 / /1282031525 13 72341243201 12 2626536461891 11 M[n + 1] |---------- n + ----------- n + ------------- n \314269956 1257079824 6285399120 12657221342369 10 14347373920661 9 35346233060861 8 + -------------- n + -------------- n + -------------- n 6285399120 2095133040 2095133040 1353243479767 7 53155571180527 6 274447175611897 5 + ------------- n + -------------- n + --------------- n 43953840 1257079824 6285399120 2728408713907 4 1006729201081 3 38322084303 2 197369173 + ------------- n + ------------- n + ----------- n + --------- n 82702620 58198140 6466460 151164 8414500\ /16145585 12 393782023 11 7353217301 10 + -------| + |--------- n + --------- n + ---------- n 46189 / \622854144 207618048 226492416 13678970695 9 101665969217 8 6785193221 7 8481738106985 6 + ----------- n + ------------ n + ---------- n + ------------- n 50331648 75497472 1572864 905969664 8499096213743 5 213121704096991 4 16916427308465 3 + ------------- n + --------------- n + -------------- n 603979776 14495514624 1610612736 347053877378161 2 63909861359517 1542235665339\ n / + --------------- n + -------------- n + -------------| 3 + | 70866960384 47244640256 8589934592 / \ 16145585 12 380865555 11 1132230029 10 11138973225 9 -------- n + --------- n + ---------- n + ----------- n 23068672 23068672 8388608 16777216 4731674127 8 11472265089 7 320531407409 6 809759576619 5 + ---------- n + ----------- n + ------------ n + ------------ n 2097152 2097152 33554432 67108864 5877443892943 4 3750151228911 3 72049266201105 2 + ------------- n + ------------- n + -------------- n 536870912 536870912 23622320128 38476903038489 656787590213\ n + -------------- n + ------------| (-1) 47244640256 8589934592 / and in Maple notation (-15640784605/1257079824*n^13-50520636871/314269956*n^12-3554877993827/ 3142699560*n^11-842158970623/157134978*n^10-9428236482083/523783260*n^9-\ 23108430790243/523783260*n^8-253725782335919/3142699560*n^7-87654433899107/ 785674890*n^6-42774291412387/369729360*n^5-137925407975501/1571349780*n^4-\ 12267255504277/261891630*n^3-2928002146099/174594420*n^2-6280894247/1662804*n-\ 20238884/46189)*M[n]+M[n+1]*(1282031525/314269956*n^13+72341243201/1257079824*n ^12+2626536461891/6285399120*n^11+12657221342369/6285399120*n^10+14347373920661 /2095133040*n^9+35346233060861/2095133040*n^8+1353243479767/43953840*n^7+ 53155571180527/1257079824*n^6+274447175611897/6285399120*n^5+2728408713907/ 82702620*n^4+1006729201081/58198140*n^3+38322084303/6466460*n^2+197369173/ 151164*n+8414500/46189)+(16145585/622854144*n^12+393782023/207618048*n^11+ 7353217301/226492416*n^10+13678970695/50331648*n^9+101665969217/75497472*n^8+ 6785193221/1572864*n^7+8481738106985/905969664*n^6+8499096213743/603979776*n^5+ 213121704096991/14495514624*n^4+16916427308465/1610612736*n^3+347053877378161/ 70866960384*n^2+63909861359517/47244640256*n+1542235665339/8589934592)*3^n+( 16145585/23068672*n^12+380865555/23068672*n^11+1132230029/8388608*n^10+ 11138973225/16777216*n^9+4731674127/2097152*n^8+11472265089/2097152*n^7+ 320531407409/33554432*n^6+809759576619/67108864*n^5+5877443892943/536870912*n^4 +3750151228911/536870912*n^3+72049266201105/23622320128*n^2+38476903038489/ 47244640256*n+656787590213/8589934592)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 514, 283366, 14852186, 709058500, 16959965244, 329662033084, 4892222045812, 61487332235189, 665945451762254, 6421822512177618, 56105661003607382, 451206636114396817, 3379191845535649688, 23794879710079501912, 158755738074275128760, 1009990532100724357219, 6159535902155821641770, 36171009261339299466742, 205306561918339590761594, 1130021957668957931043238, 6048285153411286338901460, 31557255103301514915753076, 160847872914419290016536236, 802410577796762991270436195, 3924324838399511412412748374, 18843503298088970036919470450, 88952732084640428996914135862, 413305389847230556394911687176] ----------------------------------------- The sum of the, 10, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is /134109586577 6016891572179 15196833026707 2 17747465336019721 3 |------------ + ------------- n + -------------- n + ----------------- n \ 200783583 1032601284 380432052 130107761784 25067266464601597 4 512070281547249487 5 779175352022750075 6 + ----------------- n + ------------------ n + ------------------ n 86738507856 1170969856056 1561293141408 4098500613861111035 7 28977139760437537 8 365114004175028873 9 + ------------------- n + ----------------- n + ------------------ n 9367758848448 97580821338 2341939712112 4081123154775179 10 89564010385927223 11 3401071190741885 12 + ---------------- n + ----------------- n + ---------------- n 65053880892 4683879424224 780646570704 238635781355395 13 16078564984775 14 111216366875 15\ + --------------- n + -------------- n + ------------ n | M[n] + 334562816016 223041877344 42388049088 / / 31308392081 8885896587221 319133840724757 2 M[n + 1] |- ----------- - ------------- n - --------------- n \ 200783583 7228208988 21684626964 367792042733 3 7965228844475389 4 199047617262716045 5 - ------------ n - ---------------- n - ------------------ n 6907032 70967870064 1170969856056 17907507912634855 6 1610065885718755243 7 4351363031256203 8 - ----------------- n - ------------------- n - ---------------- n 91840773024 9367758848448 37173646224 35914123488196381 9 2731351547344243 10 448998470669201 11 - ----------------- n - ---------------- n - --------------- n 585484928028 111520938672 60829602912 80802380469905 12 307648188028855 13 12972093897625 14 - -------------- n - --------------- n - -------------- n 48790410669 1170969856056 520431047136 3351726125 15\ / 1614545838759 140652386990415 - ---------- n | + |- ------------- - --------------- n 3853459008 / \ 4294967296 47244640256 867947832411805 2 3248834363510515 3 45899447413135 4 - --------------- n - ---------------- n - -------------- n 70866960384 106300440576 905969664 427177019500643 5 44666295200795 6 13526996123725 7 - --------------- n - -------------- n - -------------- n 7247757312 905969664 452984832 491850690805 8 303236278195 9 191117726285 10 141049293095 11 - ------------ n - ------------ n - ------------ n - ------------ n 37748736 75497472 226492416 1245708288 1331585135 12 80727925 13\ n / 584477416793 107480181026765 - ---------- n - --------- n | 3 + |- ------------ - --------------- n 155713536 311427072 / \ 4294967296 47244640256 200972715891495 2 239660405554105 3 5039591808475 4 - --------------- n - --------------- n - ------------- n 23622320128 11811160064 134217728 13673139427523 5 1657940721345 6 592573808965 7 1256914905 8 - -------------- n - ------------- n - ------------ n - ---------- n 268435456 33554432 16777216 65536 66464356645 9 20230852175 10 23816936135 11 219239925 12 - ----------- n - ----------- n - ----------- n - --------- n 8388608 8388608 46137344 2883584 80727925 13\ n - -------- n | (-1) 11534336 / and in Maple notation (134109586577/200783583+6016891572179/1032601284*n+15196833026707/380432052*n^2 +17747465336019721/130107761784*n^3+25067266464601597/86738507856*n^4+ 512070281547249487/1170969856056*n^5+779175352022750075/1561293141408*n^6+ 4098500613861111035/9367758848448*n^7+28977139760437537/97580821338*n^8+ 365114004175028873/2341939712112*n^9+4081123154775179/65053880892*n^10+ 89564010385927223/4683879424224*n^11+3401071190741885/780646570704*n^12+ 238635781355395/334562816016*n^13+16078564984775/223041877344*n^14+111216366875 /42388049088*n^15)*M[n]+M[n+1]*(-31308392081/200783583-8885896587221/7228208988 *n-319133840724757/21684626964*n^2-367792042733/6907032*n^3-7965228844475389/ 70967870064*n^4-199047617262716045/1170969856056*n^5-17907507912634855/ 91840773024*n^6-1610065885718755243/9367758848448*n^7-4351363031256203/ 37173646224*n^8-35914123488196381/585484928028*n^9-2731351547344243/ 111520938672*n^10-448998470669201/60829602912*n^11-80802380469905/48790410669*n ^12-307648188028855/1170969856056*n^13-12972093897625/520431047136*n^14-\ 3351726125/3853459008*n^15)+(-1614545838759/4294967296-140652386990415/ 47244640256*n-867947832411805/70866960384*n^2-3248834363510515/106300440576*n^3 -45899447413135/905969664*n^4-427177019500643/7247757312*n^5-44666295200795/ 905969664*n^6-13526996123725/452984832*n^7-491850690805/37748736*n^8-\ 303236278195/75497472*n^9-191117726285/226492416*n^10-141049293095/1245708288*n ^11-1331585135/155713536*n^12-80727925/311427072*n^13)*3^n+(-584477416793/ 4294967296-107480181026765/47244640256*n-200972715891495/23622320128*n^2-\ 239660405554105/11811160064*n^3-5039591808475/134217728*n^4-13673139427523/ 268435456*n^5-1657940721345/33554432*n^6-592573808965/16777216*n^7-1256914905/ 65536*n^8-66464356645/8388608*n^9-20230852175/8388608*n^10-23816936135/46137344 *n^11-219239925/2883584*n^12-80727925/11534336*n^13)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 1026, 1110700, 83385498, 5787631570, 177856916768, 4406151013992, 79643345305120, 1198520973657577, 15221045968965814, 169691680433188508, 1692207376962430350, 15372888194032103235, 128889282821711054024, 1008221972851441187552, 7422282678437096916744, 51794371061121725833795, 344654497968460496478190, 2197994699160208892955756, 13491686171613458806294694, 80000532728103189340897220, 459705013473590610445388328, 2566956253585502573057141800, 13962208802723544179633043848, 74131739118077960386496858535, 384928759479391860203771195698, 1957960250442869846409890579788, 9770536542362910079520662515850, 47896178098069126517638185957338] ----------------------------------------- The sum of the, 11, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is /23931086407 8538809811901 3349793811211 2 4790492398813375 3 |----------- + ------------- n - ------------- n - ---------------- n \ 18253053 657109908 54759159 11827978344 22966554839390297 4 328904440825729823 5 841354858686228709 6 - ----------------- n - ------------------ n - ------------------ n 23655956688 212903610192 425807220384 10918619683571797 7 1445682288923757851 8 231023548541739293 9 - ----------------- n - ------------------- n - ------------------ n 5289530688 851614440768 212903610192 116002933142202317 10 5450139307702231 11 29240625778887749 12 - ------------------ n - ---------------- n - ----------------- n 212903610192 25047483552 425807220384 1760727989322371 13 1237897757051525 14 44480208121675 15 - ---------------- n - ---------------- n - -------------- n 106451805096 425807220384 121659205824 111216366875 16\ / 42622212679 10356951660205 - ------------ n | M[n] + M[n + 1] |- ----------- - -------------- n 3853459008 / \ 18253053 657109908 18740127622877 2 707131833991109 3 28319728190212181 4 + -------------- n + --------------- n + ----------------- n 985664862 3942659448 70967870064 129134843919988549 5 334419476677972325 6 101582174547942307 7 + ------------------ n + ------------------ n + ------------------ n 212903610192 425807220384 121659205824 25474663590869369 8 93131425387419469 9 46561311179984071 10 + ----------------- n + ----------------- n + ----------------- n 37026714816 212903610192 212903610192 311249873676845 11 126959921935255 12 14780627668759 13 + --------------- n + --------------- n + -------------- n 3578211936 4679200224 2314169676 466614379327225 14 114263084043125 15 36868987375 16\ / + --------------- n + --------------- n + ----------- n | + | 425807220384 851614440768 3853459008 / \ 1579372860748971 64624441829565015 3123733790031104441 2 - ---------------- + ----------------- n + ------------------- n 1099511627776 7146825580544 112562502893568 28887519385221446065 3 450917860449948145 4 929284842900577177 5 + -------------------- n + ------------------ n + ------------------ n 337687508680704 2783138807808 4174708211712 26008207949107505 6 352110844063507595 7 115533021727294655 8 + ----------------- n + ------------------ n + ------------------ n 115964116992 2087354105856 1217623228416 72482378897549335 9 263908501199431 10 172099038684545 11 + ----------------- n + --------------- n + --------------- n 1826434842624 21743271936 65229815808 4882177925 12 3742866461875 13 101364739225 14 13209845125 15 + ---------- n + ------------- n + ------------ n + ------------ n 12582912 105998450688 61832429568 741989154816 \ n /2705272767591595 75511537480463631 1879648546510905 2 | 3 + |---------------- + ----------------- n + ---------------- n / \ 1099511627776 7146825580544 137438953472 641851983186548755 3 12986322671914745 4 10018894726745677 5 + ------------------ n + ----------------- n + ----------------- n 12506944765952 103079215104 51539607552 2856670210586489 6 4950015959406155 7 276658777588215 8 + ---------------- n + ---------------- n + --------------- n 12884901888 25769803776 2147483648 1531317616655695 9 22374978171887 10 6895569879665 11 + ---------------- n + -------------- n + ------------- n 22548578304 805306368 805306368 197050448825 12 437943947125 13 80727925 14 13209845125 15\ + ------------ n + ------------ n + -------- n + ----------- n | 100663296 1308622848 2097152 9160359936 / n (-1) and in Maple notation (23931086407/18253053+8538809811901/657109908*n-3349793811211/54759159*n^2-\ 4790492398813375/11827978344*n^3-22966554839390297/23655956688*n^4-\ 328904440825729823/212903610192*n^5-841354858686228709/425807220384*n^6-\ 10918619683571797/5289530688*n^7-1445682288923757851/851614440768*n^8-\ 231023548541739293/212903610192*n^9-116002933142202317/212903610192*n^10-\ 5450139307702231/25047483552*n^11-29240625778887749/425807220384*n^12-\ 1760727989322371/106451805096*n^13-1237897757051525/425807220384*n^14-\ 44480208121675/121659205824*n^15-111216366875/3853459008*n^16)*M[n]+M[n+1]*(-\ 42622212679/18253053-10356951660205/657109908*n+18740127622877/985664862*n^2+ 707131833991109/3942659448*n^3+28319728190212181/70967870064*n^4+ 129134843919988549/212903610192*n^5+334419476677972325/425807220384*n^6+ 101582174547942307/121659205824*n^7+25474663590869369/37026714816*n^8+ 93131425387419469/212903610192*n^9+46561311179984071/212903610192*n^10+ 311249873676845/3578211936*n^11+126959921935255/4679200224*n^12+14780627668759/ 2314169676*n^13+466614379327225/425807220384*n^14+114263084043125/851614440768* n^15+36868987375/3853459008*n^16)+(-1579372860748971/1099511627776+ 64624441829565015/7146825580544*n+3123733790031104441/112562502893568*n^2+ 28887519385221446065/337687508680704*n^3+450917860449948145/2783138807808*n^4+ 929284842900577177/4174708211712*n^5+26008207949107505/115964116992*n^6+ 352110844063507595/2087354105856*n^7+115533021727294655/1217623228416*n^8+ 72482378897549335/1826434842624*n^9+263908501199431/21743271936*n^10+ 172099038684545/65229815808*n^11+4882177925/12582912*n^12+3742866461875/ 105998450688*n^13+101364739225/61832429568*n^14+13209845125/741989154816*n^15)* 3^n+(2705272767591595/1099511627776+75511537480463631/7146825580544*n+ 1879648546510905/137438953472*n^2+641851983186548755/12506944765952*n^3+ 12986322671914745/103079215104*n^4+10018894726745677/51539607552*n^5+ 2856670210586489/12884901888*n^6+4950015959406155/25769803776*n^7+ 276658777588215/2147483648*n^8+1531317616655695/22548578304*n^9+22374978171887/ 805306368*n^10+6895569879665/805306368*n^11+197050448825/100663296*n^12+ 437943947125/1308622848*n^13+80727925/2097152*n^14+13209845125/9160359936*n^15) *(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 2050, 4377598, 473757098, 48094102972, 1901132391804, 60321361651156, 1329469315280116, 24012909514711349, 358048611453658478, 4621189947716155434, 52655647341441787382, 540864747291199758241, 5080647012425837924120, 44180425288428547915096, 359096209683277816135448, 2750085600267275581116883, 19976745145778635119751370, 138414426609661867075366438, 919142492891738592365223194, 5873539705826034827299795414, 36246041954643437510090663444, 216667004999143643290753230988, 1257933323837791033017534522828, 7110109406826845720804090094787, 39205911408183104187180783143254, 211293161536553158299996502072802, 1114791405363729166985622368165606, 5766566965554615462373530315758592] ----------------------------------------- The sum of the, 12, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is / 4558545858915638 301144511601168317 6326722987006292369 2 |- ---------------- - ------------------ n + ------------------- n \ 27349157745 984569678820 9025222055850 138985832310999144073 3 52573840718633162347 4 + --------------------- n + -------------------- n 69623141573700 18744691962150 18704213269024124089 5 28522787395666664541127 6 + -------------------- n + ----------------------- n 3980270344050 3898895928127200 207267435190734140973307 7 1783565124619974999999077 8 + ------------------------ n + ------------------------- n 23393375568763200 210540380118868800 1463840290666307875313 9 74309451702116283552103 10 + ---------------------- n + ----------------------- n 227857554241200 19140034556260800 2023044500626555998031 11 80224266387378764317057 12 + ---------------------- n + ----------------------- n 1063335253125600 105270190059434400 1431698999060450279899 13 3210756494884917770173 14 + ---------------------- n + ---------------------- n 5848343892190800 52635095029717200 816733346481678617129 15 72335565801091521413 16 + --------------------- n + -------------------- n 70180126706289600 42108076023773760 30389209202520347 17 49003471093667245 18\ / + ----------------- n + ----------------- n | M[n] + M[n + 1] | 175450316765724 8421615204754752 / \ 4614556933977398 5552574380818273 20395953867530672723 2 ---------------- + ---------------- n - -------------------- n 27349157745 33950678580 40613499251325 6851007905435842117 3 6517962112728415771 4 - ------------------- n - ------------------- n 7384272591150 6143218374150 16375774611908792624833 5 34901547299167769631007 6 - ----------------------- n - ----------------------- n 8772515838286200 11696687784381600 51312707732713394389909 7 739696446003357299736241 8 - ----------------------- n - ------------------------ n 14036025341257920 210540380118868800 2416322399351142249821 9 15243851826341911774171 10 - ---------------------- n - ----------------------- n 911430216964800 9570017278130400 2484713537198773164533 11 1719433511801513820029 12 - ---------------------- n - ---------------------- n 3190005759376800 5540536318917600 313093210012537161877 13 100780069852000703911 14 - --------------------- n - --------------------- n 3190005759376800 4210807602377376 315004519042250847401 15 3882187785281670211 16 - --------------------- n - ------------------- n 70180126706289600 6015439431967680 169196869098343433 17 89585870372335 18\ /6917746862115585 - ------------------ n - -------------- n | + |---------------- 2807205068251584 46272611015136 / \ 274877906944 64145135933338365 2944696559811759565 2 115908968377025419 3 - ----------------- n - ------------------- n - ------------------ n 3573412790272 37520834297856 541165879296 42082686293059504895 4 537655137285816869 5 319119166818324733 6 - -------------------- n - ------------------ n - ------------------ n 84421877170176 695784701952 347892350976 143199641250017693 7 692059169532766145 8 91690877867634155 9 - ------------------ n - ------------------ n - ----------------- n 173946175488 1217623228416 304405807104 18544721601298915 10 100830596000347 11 45145640638625 12 - ----------------- n - --------------- n - -------------- n 152202903552 2717908992 5435817984 11624814104275 13 8548704313105 14 40334427925 15 - -------------- n - ------------- n - ----------- n 8833204224 61832429568 4756340736 13209845125 16\ n / 7480696815536897 328940453639548263 - ----------- n | 3 + |- ---------------- - ------------------ n 61832429568 / \ 274877906944 3573412790272 33008227234782615 2 78427179314165615 3 1201765096621542405 4 + ----------------- n + ----------------- n - ------------------- n 1786706395136 1563368095744 3126736191488 6971146444763635 5 3943607905071409 6 1879542379377949 7 - ---------------- n - ---------------- n - ---------------- n 8589934592 4294967296 2147483648 1556170223683295 8 1794224331104865 9 453712258705651 10 - ---------------- n - ---------------- n - --------------- n 2147483648 3758096384 1879048192 49853211569 11 2023713356825 12 412941767665 13 - ----------- n - ------------- n - ------------ n 524288 67108864 54525952 148530890725 14 130749703925 15 13209845125 16\ n - ------------ n - ------------ n - ----------- n | (-1) 109051904 763363328 763363328 / and in Maple notation (-4558545858915638/27349157745-301144511601168317/984569678820*n+ 6326722987006292369/9025222055850*n^2+138985832310999144073/69623141573700*n^3+ 52573840718633162347/18744691962150*n^4+18704213269024124089/3980270344050*n^5+ 28522787395666664541127/3898895928127200*n^6+207267435190734140973307/ 23393375568763200*n^7+1783565124619974999999077/210540380118868800*n^8+ 1463840290666307875313/227857554241200*n^9+74309451702116283552103/ 19140034556260800*n^10+2023044500626555998031/1063335253125600*n^11+ 80224266387378764317057/105270190059434400*n^12+1431698999060450279899/ 5848343892190800*n^13+3210756494884917770173/52635095029717200*n^14+ 816733346481678617129/70180126706289600*n^15+72335565801091521413/ 42108076023773760*n^16+30389209202520347/175450316765724*n^17+49003471093667245 /8421615204754752*n^18)*M[n]+M[n+1]*(4614556933977398/27349157745+ 5552574380818273/33950678580*n-20395953867530672723/40613499251325*n^2-\ 6851007905435842117/7384272591150*n^3-6517962112728415771/6143218374150*n^4-\ 16375774611908792624833/8772515838286200*n^5-34901547299167769631007/ 11696687784381600*n^6-51312707732713394389909/14036025341257920*n^7-\ 739696446003357299736241/210540380118868800*n^8-2416322399351142249821/ 911430216964800*n^9-15243851826341911774171/9570017278130400*n^10-\ 2484713537198773164533/3190005759376800*n^11-1719433511801513820029/ 5540536318917600*n^12-313093210012537161877/3190005759376800*n^13-\ 100780069852000703911/4210807602377376*n^14-315004519042250847401/ 70180126706289600*n^15-3882187785281670211/6015439431967680*n^16-\ 169196869098343433/2807205068251584*n^17-89585870372335/46272611015136*n^18)+( 6917746862115585/274877906944-64145135933338365/3573412790272*n-\ 2944696559811759565/37520834297856*n^2-115908968377025419/541165879296*n^3-\ 42082686293059504895/84421877170176*n^4-537655137285816869/695784701952*n^5-\ 319119166818324733/347892350976*n^6-143199641250017693/173946175488*n^7-\ 692059169532766145/1217623228416*n^8-91690877867634155/304405807104*n^9-\ 18544721601298915/152202903552*n^10-100830596000347/2717908992*n^11-\ 45145640638625/5435817984*n^12-11624814104275/8833204224*n^13-8548704313105/ 61832429568*n^14-40334427925/4756340736*n^15-13209845125/61832429568*n^16)*3^n+ (-7480696815536897/274877906944-328940453639548263/3573412790272*n+ 33008227234782615/1786706395136*n^2+78427179314165615/1563368095744*n^3-\ 1201765096621542405/3126736191488*n^4-6971146444763635/8589934592*n^5-\ 3943607905071409/4294967296*n^6-1879542379377949/2147483648*n^7-\ 1556170223683295/2147483648*n^8-1794224331104865/3758096384*n^9-453712258705651 /1879048192*n^10-49853211569/524288*n^11-2023713356825/67108864*n^12-\ 412941767665/54525952*n^13-148530890725/109051904*n^14-130749703925/763363328*n ^15-13209845125/763363328*n^16)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 4098, 17320948, 2717545578, 405405343978, 20642938186880, 842786500014672, 22669366749474976, 492661288283362825, 8634959475441797782, 129204164065427472980, 1683889375238956479726, 19575525666644124104067, 206187223793696419143272, 1994589001967491489941632, 17910380168757880019655336, 150615941724079459391630707, 1194924626098480551367301614, 8999172691300413977387497260, 64675247873073929757238403270, 445554638919691055249952314564, 2953770598996129310558459958504, 18907318639380561086553122374960, 117203547229061007014095834500296, 705399066510561770459126850964359, 4131495677665069215650478342682258, 23596183755858360710777237342574268, 131651785131566193966035300492877658, 718734759035785963288945805099536082] ----------------------------------------- The sum of the, 13, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is /367085510050762 210928041340506319 93267000488561172257 2 |--------------- + ------------------ n - -------------------- n \ 180324117 45441677484 12496461308100 2806595307295484974501 3 97028801892030464513 4 - ---------------------- n - -------------------- n 112468151772900 6248230654050 1309662481936162397803 5 43689491690167265319947 6 - ---------------------- n - ----------------------- n 1012213365956100 2699235642549600 36038634589938624092873 7 39449385352484137997 8 - ----------------------- n - -------------------- n 952671403252800 947100225456 1514905628386669128737 9 752715361073561256323 10 - ---------------------- n - --------------------- n 45365304916800 32718007788480 20252173617625873050941 11 482658677127381113509 12 - ----------------------- n - --------------------- n 1472310350481600 71032516909200 21684236529166746559139 13 95334467389542374419 14 - ----------------------- n - -------------------- n 8097706927648800 112468151772900 1200731247543999011513 15 1517771147718207563 16 - ---------------------- n - ------------------- n 5398471285099200 32133757649400 23693692185395498393 17 178481941474295467 18 - -------------------- n - ------------------ n 3239082771059520 215938851403968 49003471093667245 19\ / 367824117633994 - ----------------- n | M[n] + M[n + 1] |- --------------- 647816554211904 / \ 180324117 419698508143877 249043731596166305321 2 477383843352815618 3 - --------------- n + --------------------- n + ------------------ n 140686308 37489383924300 33592637925 83315367025876418711 4 5329255077047802048647 5 + -------------------- n - ---------------------- n 19847320901100 2024426731912200 6465993140810545671391 6 24989360468778679292671 7 + ---------------------- n + ----------------------- n 899745214183200 1472310350481600 987648924693355166537 8 2330550828544774954567 9 + --------------------- n + ---------------------- n 56234075886450 168702227659350 673976895571587590663 10 425880780824821259243 11 + --------------------- n + --------------------- n 70110016689600 73615517524080 63678503934009875639 12 158683259149007034257 13 + -------------------- n + --------------------- n 22493630354580 144601909422300 77374214480494051471 14 3628745715810722107 15 + -------------------- n + ------------------- n 224936303545800 40590009662400 12422380416244869887 16 12684690068107343 17 7466337771295547 18 + -------------------- n + ----------------- n + ---------------- n 674808910637400 4600969845255 23993205711552 1164616314840355 19\ / 218095512041474310993 + ---------------- n | + |- --------------------- 46272611015136 / \ 281474976710656 1450205169377694092799 36726442368881247375013 2 + ---------------------- n - ----------------------- n 2392537302040576 226094775042834432 395845245111258940421 3 2934356534490340831127 4 + --------------------- n + ---------------------- n 554153860399104 2137450604396544 38285920191567432762263 5 231381595769421903318229 6 + ----------------------- n + ------------------------ n 14962154230775808 67329694038491136 160507959891726105971 7 16538557516433114873269 8 + --------------------- n + ----------------------- n 44530220924928 5610807836540928 590938089859327679755 9 191765987129648859785 10 + --------------------- n + --------------------- n 311711546474496 200385994162176 1376938004692496441 11 15059895879094770509 12 + ------------------- n + -------------------- n 3652869685248 131503308668928 36614805698566445 13 194517501300293845 14 318205674792541 15 + ----------------- n + ------------------ n + --------------- n 1391569403904 43834436222976 608811614208 123050678288419 16 96498209867155 17 3947823419675 18\ n / + --------------- n + -------------- n + --------------- n | 3 + | 3131031158784 62098784649216 279444530921472 / \ 219248433546081157969 2316084631748272864197 --------------------- - ---------------------- n 281474976710656 2392537302040576 3502810571540314002347 2 202190496743895309583 3 - ---------------------- n + --------------------- n 1196268651020288 184717953466368 467520398942194271525 4 439643111470260067171 5 + --------------------- n + --------------------- n 184717953466368 184717953466368 950211798441323854789 6 6270438754440653221 7 + --------------------- n + ------------------- n 277076930199552 1649267441664 11619055142578277719 8 10773572546812084295 9 + -------------------- n + -------------------- n 3298534883328 3848290697216 10021263627326940703 10 75246257913467485 11 88792301685924421 12 + -------------------- n + ----------------- n + ----------------- n 5772436045824 90194313216 270582939648 5574825887543635 13 723215326676275 14 119654918738395 15 + ---------------- n + --------------- n + --------------- n 51539607552 25769803776 22548578304 70952580678745 16 24796799572325 17 3947823419675 18\ n + -------------- n + -------------- n + ------------- n | (-1) 90194313216 255550554112 1149977493504 / and in Maple notation (367085510050762/180324117+210928041340506319/45441677484*n-\ 93267000488561172257/12496461308100*n^2-2806595307295484974501/112468151772900* n^3-97028801892030464513/6248230654050*n^4-1309662481936162397803/ 1012213365956100*n^5-43689491690167265319947/2699235642549600*n^6-\ 36038634589938624092873/952671403252800*n^7-39449385352484137997/947100225456*n ^8-1514905628386669128737/45365304916800*n^9-752715361073561256323/ 32718007788480*n^10-20252173617625873050941/1472310350481600*n^11-\ 482658677127381113509/71032516909200*n^12-21684236529166746559139/ 8097706927648800*n^13-95334467389542374419/112468151772900*n^14-\ 1200731247543999011513/5398471285099200*n^15-1517771147718207563/32133757649400 *n^16-23693692185395498393/3239082771059520*n^17-178481941474295467/ 215938851403968*n^18-49003471093667245/647816554211904*n^19)*M[n]+M[n+1]*(-\ 367824117633994/180324117-419698508143877/140686308*n+249043731596166305321/ 37489383924300*n^2+477383843352815618/33592637925*n^3+83315367025876418711/ 19847320901100*n^4-5329255077047802048647/2024426731912200*n^5+ 6465993140810545671391/899745214183200*n^6+24989360468778679292671/ 1472310350481600*n^7+987648924693355166537/56234075886450*n^8+ 2330550828544774954567/168702227659350*n^9+673976895571587590663/70110016689600 *n^10+425880780824821259243/73615517524080*n^11+63678503934009875639/ 22493630354580*n^12+158683259149007034257/144601909422300*n^13+ 77374214480494051471/224936303545800*n^14+3628745715810722107/40590009662400*n^ 15+12422380416244869887/674808910637400*n^16+12684690068107343/4600969845255*n^ 17+7466337771295547/23993205711552*n^18+1164616314840355/46272611015136*n^19)+( -218095512041474310993/281474976710656+1450205169377694092799/2392537302040576* n-36726442368881247375013/226094775042834432*n^2+395845245111258940421/ 554153860399104*n^3+2934356534490340831127/2137450604396544*n^4+ 38285920191567432762263/14962154230775808*n^5+231381595769421903318229/ 67329694038491136*n^6+160507959891726105971/44530220924928*n^7+ 16538557516433114873269/5610807836540928*n^8+590938089859327679755/ 311711546474496*n^9+191765987129648859785/200385994162176*n^10+ 1376938004692496441/3652869685248*n^11+15059895879094770509/131503308668928*n^ 12+36614805698566445/1391569403904*n^13+194517501300293845/43834436222976*n^14+ 318205674792541/608811614208*n^15+123050678288419/3131031158784*n^16+ 96498209867155/62098784649216*n^17+3947823419675/279444530921472*n^18)*3^n+( 219248433546081157969/281474976710656-2316084631748272864197/2392537302040576*n -3502810571540314002347/1196268651020288*n^2+202190496743895309583/ 184717953466368*n^3+467520398942194271525/184717953466368*n^4+ 439643111470260067171/184717953466368*n^5+950211798441323854789/277076930199552 *n^6+6270438754440653221/1649267441664*n^7+11619055142578277719/3298534883328*n ^8+10773572546812084295/3848290697216*n^9+10021263627326940703/5772436045824*n^ 10+75246257913467485/90194313216*n^11+88792301685924421/270582939648*n^12+ 5574825887543635/51539607552*n^13+723215326676275/25769803776*n^14+ 119654918738395/22548578304*n^15+70952580678745/90194313216*n^16+24796799572325 /255550554112*n^17+3947823419675/1149977493504*n^18)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 8194, 68727766, 15709853306, 3456689961460, 227082790111164, 11981008057232044, 393617781657364852, 10318210907693751989, 212816438542100135054, 3696916292216321571138, 55164347487568535635862, 726491237242478069422897, 8587068006836466840020888, 92476034485330550802745432, 917962117398136353541429880, 8481367682545088251696486339, 73526623902035873056571574890, 602154836734649740548737417302, 4685485088544238636799325233594, 34811555447804430023827109364358, 248004740577711822579075471796820, 1700462367560397590635011752766436, 11257589622403841903699986451780076, 72165000717559590086199503801734435, 449054372011472452867841471370929494, 2718496488208130214120503719962990290, 16042729476861153970217126138361114902, 92452703962875061634409482430951888696] ----------------------------------------- The sum of the, 14, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is / 198583296524688683 13411414273574884069 731597024522501855474951 2 |- ------------------ + -------------------- n + ------------------------ n \ 6671992329 91107205596 2003599296398700 107369785912155135318877 3 58331405357978269931540387 4 + ------------------------ n - -------------------------- n 3730840069156200 216388724011059600 3985047484856380164896461 5 14856942165015122407869727 6 - ------------------------- n + -------------------------- n 67155121244811600 129833234406635760 15969421664049224082821641 7 11746655580363593235011735 8 + -------------------------- n + -------------------------- n 108866376676371600 66771377694841248 23141449775229382501670958851 9 46562554905462292513629641 10 + ----------------------------- n + -------------------------- n 140219893159166620800 378461250092217600 3255510107806672554221849 11 359828886932543920475786729 12 + ------------------------- n + --------------------------- n 38868993252714240 7190763751752134400 73972515041979493567894769 13 143062101175562709372577217 14 + -------------------------- n + --------------------------- n 3081755893608057600 15579988128796291200 13367086322875224526456349 15 38311298466744046086316241 16 + -------------------------- n + -------------------------- n 4523222359973116800 46739964386388873600 850708225878420020411173 17 111459388963091193837667 18 + ------------------------ n + ------------------------ n 4673996438638887360 3739197150911109888 374908942634339913565 19 241393754807795361935 20 + --------------------- n + --------------------- n 94265474392717056 534171021558729984 9759302398824629675 21\ /198637953485847851 + ------------------- n | M[n] + M[n + 1] |------------------ 659858320749019392 / \ 6671992329 311931857371874175041 1570652458157165117087 2 - --------------------- n - ---------------------- n 2642108962284 7554417120900 5740921845587944025328323 3 32022990608526680168371237 4 + ------------------------- n + -------------------------- n 108194362005529800 216388724011059600 1409266794498392009672069 5 297353051323783542106259711 6 + ------------------------- n - --------------------------- n 149807578161502800 5842495548298609200 224308598885625580613194667 7 101404438703995892664281003 8 - --------------------------- n - --------------------------- n 3505497328979165520 1298332344066357600 60330295058104566192754073 9 73913943237297543647295989 10 - -------------------------- n - -------------------------- n 870931013410972800 1438152750350426880 258011737114207806994909877 11 25199304231726549968383 12 - --------------------------- n - ----------------------- n 7190763751752134400 1177848280385280 11415669776162805446526361 13 177385003850228356504470809 14 - -------------------------- n - --------------------------- n 1135383750276652800 46739964386388873600 24425159653469339000424577 15 677803299588923789571713 16 - -------------------------- n - ------------------------ n 20031413308452374400 2032172364625603200 6422892425646073974551 17 6118252472192898723223 18 - ---------------------- n - ---------------------- n 89884546896901680 534171021558729984 17168585264687666867095 19 589526668855986377015 20 - ----------------------- n - --------------------- n 11217591452733329664 3739197150911109888 55269002704224457175 21\ /1303156415543280251703 - -------------------- n | + |---------------------- 11217591452733329664 / \ 140737488355328 605483787285031427403 145839593755709735753209 2 - --------------------- n - ------------------------ n 2392537302040576 32299253577547776 29976032654178072335789 3 734428870151883519901 4 + ----------------------- n - --------------------- n 16149626788773888 133590662774784 997954767265442512855 5 116996754996870567929081 6 - --------------------- n - ------------------------ n 133590662774784 9618527719784448 69636066285070965689869 7 5481672679465381440847 8 - ----------------------- n - ---------------------- n 4809263859892224 400771988324352 4156517964001338632827 9 1258593190786640437729 10 - ---------------------- n - ---------------------- n 400771988324352 200385994162176 305223600634226425151 11 11032545497398771697 12 - --------------------- n - -------------------- n 100192997081088 9393093476352 6698832785611005139 13 525165843397270205 14 46689697765919485 15 - ------------------- n - ------------------ n - ----------------- n 18786186952704 6262062317568 3131031158784 3019640675014153 16 4523426409590711 17 358976321787745 18 - ---------------- n - ---------------- n - --------------- n 1565515579392 26613764849664 39920647274496 3947823419675 19\ n / 1304309337047887098679 - -------------- n | 3 + |- ---------------------- 19960323637248 / \ 140737488355328 26125262492525928181279 74659358216228746405821 2 + ----------------------- n + ----------------------- n 2392537302040576 1196268651020288 24685065536873591298575 3 206460279710384754781 4 + ----------------------- n - --------------------- n 1794402976530432 3298534883328 49874019995172395537 5 250594763669896865101 6 - -------------------- n + --------------------- n 1649267441664 39582418599936 123350621677891607053 7 30434105925040550759 8 - --------------------- n - -------------------- n 19791209299968 1649267441664 27142198588792653067 9 8613255389538936851 10 - -------------------- n - ------------------- n 1649267441664 824633720832 788816641288359541 11 13918177469303731 12 93303104354833123 13 - ------------------ n - ----------------- n - ----------------- n 137438953472 4831838208 77309411328 9807400925996815 14 410905103732671 15 46656128459415 16 - ---------------- n - --------------- n - -------------- n 25769803776 4294967296 2147483648 396199034471495 17 58599105038275 18 3947823419675 19\ n - --------------- n - -------------- n - ------------- n | (-1) 109521666048 164282499072 82141249536 / and in Maple notation (-198583296524688683/6671992329+13411414273574884069/91107205596*n+ 731597024522501855474951/2003599296398700*n^2+107369785912155135318877/ 3730840069156200*n^3-58331405357978269931540387/216388724011059600*n^4-\ 3985047484856380164896461/67155121244811600*n^5+14856942165015122407869727/ 129833234406635760*n^6+15969421664049224082821641/108866376676371600*n^7+ 11746655580363593235011735/66771377694841248*n^8+23141449775229382501670958851/ 140219893159166620800*n^9+46562554905462292513629641/378461250092217600*n^10+ 3255510107806672554221849/38868993252714240*n^11+359828886932543920475786729/ 7190763751752134400*n^12+73972515041979493567894769/3081755893608057600*n^13+ 143062101175562709372577217/15579988128796291200*n^14+ 13367086322875224526456349/4523222359973116800*n^15+38311298466744046086316241/ 46739964386388873600*n^16+850708225878420020411173/4673996438638887360*n^17+ 111459388963091193837667/3739197150911109888*n^18+374908942634339913565/ 94265474392717056*n^19+241393754807795361935/534171021558729984*n^20+ 9759302398824629675/659858320749019392*n^21)*M[n]+M[n+1]*(198637953485847851/ 6671992329-311931857371874175041/2642108962284*n-1570652458157165117087/ 7554417120900*n^2+5740921845587944025328323/108194362005529800*n^3+ 32022990608526680168371237/216388724011059600*n^4+1409266794498392009672069/ 149807578161502800*n^5-297353051323783542106259711/5842495548298609200*n^6-\ 224308598885625580613194667/3505497328979165520*n^7-101404438703995892664281003 /1298332344066357600*n^8-60330295058104566192754073/870931013410972800*n^9-\ 73913943237297543647295989/1438152750350426880*n^10-258011737114207806994909877 /7190763751752134400*n^11-25199304231726549968383/1177848280385280*n^12-\ 11415669776162805446526361/1135383750276652800*n^13-177385003850228356504470809 /46739964386388873600*n^14-24425159653469339000424577/20031413308452374400*n^15 -677803299588923789571713/2032172364625603200*n^16-6422892425646073974551/ 89884546896901680*n^17-6118252472192898723223/534171021558729984*n^18-\ 17168585264687666867095/11217591452733329664*n^19-589526668855986377015/ 3739197150911109888*n^20-55269002704224457175/11217591452733329664*n^21)+( 1303156415543280251703/140737488355328-605483787285031427403/2392537302040576*n -145839593755709735753209/32299253577547776*n^2+29976032654178072335789/ 16149626788773888*n^3-734428870151883519901/133590662774784*n^4-\ 997954767265442512855/133590662774784*n^5-116996754996870567929081/ 9618527719784448*n^6-69636066285070965689869/4809263859892224*n^7-\ 5481672679465381440847/400771988324352*n^8-4156517964001338632827/ 400771988324352*n^9-1258593190786640437729/200385994162176*n^10-\ 305223600634226425151/100192997081088*n^11-11032545497398771697/9393093476352*n ^12-6698832785611005139/18786186952704*n^13-525165843397270205/6262062317568*n^ 14-46689697765919485/3131031158784*n^15-3019640675014153/1565515579392*n^16-\ 4523426409590711/26613764849664*n^17-358976321787745/39920647274496*n^18-\ 3947823419675/19960323637248*n^19)*3^n+(-1304309337047887098679/140737488355328 +26125262492525928181279/2392537302040576*n+74659358216228746405821/ 1196268651020288*n^2+24685065536873591298575/1794402976530432*n^3-\ 206460279710384754781/3298534883328*n^4-49874019995172395537/1649267441664*n^5+ 250594763669896865101/39582418599936*n^6-123350621677891607053/19791209299968*n ^7-30434105925040550759/1649267441664*n^8-27142198588792653067/1649267441664*n^ 9-8613255389538936851/824633720832*n^10-788816641288359541/137438953472*n^11-\ 13918177469303731/4831838208*n^12-93303104354833123/77309411328*n^13-\ 9807400925996815/25769803776*n^14-410905103732671/4294967296*n^15-\ 46656128459415/2147483648*n^16-396199034471495/109521666048*n^17-58599105038275 /164282499072*n^18-3947823419675/82141249536*n^19)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 16386, 273267580, 91395731898, 29746249091650, 2525370821493728, 172867286338371192, 6941609407276421920, 220030079488798543657, 5345662396331255663734, 107961900951709635417548, 1846250644799207179521870, 27570803423841570821295555, 365994262994120899722579464, 4390994931192823759052490272, 48214378362941815948353994824, 489709299356480906405440271395, 4641370590708407058969242426350, 41353254333563941889191833101676, 348535039374783656951998165561574, 2793729845674120291276577297634500, 21395892336481079823719955296175528, 157190868097512430953081803224612600, 1111726760700319963779379954908203528, 7592436523647811860371239380117009255, 50206425128301374818936830960196111858, 322242269476583859994052744820831876268, 2011811700682734749619185919118337719210, 12240877394874814432022289022250902540298] ----------------------------------------- The sum of the, 15, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is /680748253779201803 71160070702819221427 524575343592567060435947 2 |------------------ - -------------------- n - ------------------------ n \ 2223997443 30369068532 66786643213290 13917513303873869580041 3 39374915904162242116984283 4 - ----------------------- n + -------------------------- n 4109947274664 4808638311356880 223593293190655722098309 5 76503989868567182007866821 6 + ------------------------ n - -------------------------- n 31360684639284 43277744802211920 8212572451123174253289496999 7 138029202649210226777823929 8 - ---------------------------- n - --------------------------- n 2336998219319443680 137470483489379040 100306566273459833299112743 9 8422107095714208226877263579 10 - --------------------------- n - ---------------------------- n 549881933957516160 18695985754555549440 61385345286179420166280211 11 83793779086558601954296633 12 - -------------------------- n - -------------------------- n 119846062529202240 239692125058404480 127941723263495814987897301 13 1448962363430310412616731133 14 - --------------------------- n - ---------------------------- n 719076375175213440 18695985754555549440 405731462810980318846807 15 2714422675876714258819981 16 - ------------------------ n - ------------------------- n 12840649556700240 245999812559941440 480483250545455496883793 17 3964608195919906192476583 18 - ------------------------ n - ------------------------- n 163999875039960960 6231995251518516480 120631587423651140036989 19 5074403860044160916765 20 - ------------------------ n - ---------------------- n 934799287727777472 267085510779364992 3188261249016646427875 21 48796511994123148375 22\ / - ---------------------- n - -------------------- n | M[n] + M[n + 1] | 1869598575455554944 219952773583006464 / \ 680784691753307915 1580113466219767066967 - ------------------ + ---------------------- n 2223997443 880702987428 39842536950811515493142 2 27541724416388769619457 3 + ----------------------- n + ----------------------- n 8122699850265 50440262007240 238629787315164485599017049 4 9938950216322289134160743 5 - --------------------------- n - ------------------------- n 43277744802211920 3416664063332520 37390906158341640069853159 6 3344722792183986989904671 7 + -------------------------- n + ------------------------- n 22911747248229840 2114930515221216 121831539252478780107835183 8 460552732860290425803443 9 + --------------------------- n + ------------------------ n 467399643863888736 10398212321777280 3938156175475112938930049897 10 3245263738670402890550359 11 + ---------------------------- n + ------------------------- n 18695985754555549440 14099536768141440 2002637745813400510361201 12 7157524355459302914701 13 + ------------------------- n + ---------------------- n 13316229169911360 96133205237328 613067319901452525680849461 14 4851101796189279489790667 15 + --------------------------- n + ------------------------- n 18695985754555549440 359538187587606720 368065550646209855410457 16 193182140114071644751153 17 + ------------------------ n + ------------------------ n 80586145493773920 163999875039960960 229997477281995350095111 18 1045232857614504000067 19 + ------------------------ n + ---------------------- n 890285035931216640 20545039290720384 283741925807620674895 20 632880746121889865575 21 + --------------------- n + --------------------- n 40643447292512064 934799287727777472 276345013521122285875 22\ /7155751468973095357963299 + --------------------- n | + |------------------------- 3739197150911109888 / \ 72057594037927936 150011748093806010465580983 14653176603541538487566901 2 - --------------------------- n + -------------------------- n 612489549322387456 76561193665298432 7615891585074818331740846005 3 94745927978576652617627315 4 - ---------------------------- n + -------------------------- n 86820393616448421888 2067152228963057664 346252271472550073635761221 5 248940271303044727542703 6 + --------------------------- n + ------------------------ n 27906555091001278464 5699868278390784 24550084171884502032442085 7 4508701123079835947665405 8 + -------------------------- n + ------------------------- n 461689330549653504 76948221758275584 20466103221763472700908435 9 230796590853494884799971 10 + -------------------------- n + ------------------------ n 403978164230946816 6412351813189632 1595036766862062177128215 11 124675707370306247494495 12 + ------------------------- n + ------------------------ n 76948221758275584 12824703626379264 212599204712467924205815 13 1345258884156519047065 14 + ------------------------ n + ---------------------- n 57711166318706688 1202315964973056 6786145839473435602085 15 40091838202631378005 16 + ---------------------- n + -------------------- n 25248635264434176 801543976648704 143045127346462535125 17 596594970207740275 18 + --------------------- n + ------------------ n 20439371404541952 851640475189248 702620428394122025 19 4131679730849875 20 341769247961875 21\ + ------------------ n + ---------------- n + ----------------- n | 15329528553406464 2554921425567744 26826674968461312 / n / 7154570877352377946659875 820525800382559787323955159 3 + |- ------------------------- - --------------------------- n \ 72057594037927936 612489549322387456 18422969333365126920356835 2 1687129622566401571489824435 3 + -------------------------- n + ---------------------------- n 76561193665298432 1071856711314178048 15229126643710095480824035 4 12951816146460567110587131 5 - -------------------------- n - -------------------------- n 229683580995895296 38280596832649216 17034069871556348244215 6 17565781733419602642365 7 + ----------------------- n + ----------------------- n 211106232532992 633318697598976 703941967594923014705 8 99383015540661494740825 9 + --------------------- n + ----------------------- n 17592186044416 1108307720798208 1724296521751814733463 10 3607497758084193278695 11 + ---------------------- n + ---------------------- n 26388279066624 105553116266496 1040908308180327870595 12 843115484714955473815 13 + ---------------------- n + --------------------- n 52776558133248 79164837199872 2341310668915582605 14 44182911395862431285 15 + ------------------- n + -------------------- n 549755813888 34634616274944 379592226403751955 16 2415339646259488525 17 16872896137024125 18 + ------------------ n + ------------------- n + ----------------- n 1099511627776 28037546508288 1168231104512 34404628372705625 19 307178082111375 20 341769247961875 21\ n + ----------------- n + --------------- n + --------------- n | (-1) 21028159881216 1168231104512 36799279792128 / and in Maple notation (680748253779201803/2223997443-71160070702819221427/30369068532*n-\ 524575343592567060435947/66786643213290*n^2-13917513303873869580041/ 4109947274664*n^3+39374915904162242116984283/4808638311356880*n^4+ 223593293190655722098309/31360684639284*n^5-76503989868567182007866821/ 43277744802211920*n^6-8212572451123174253289496999/2336998219319443680*n^7-\ 138029202649210226777823929/137470483489379040*n^8-100306566273459833299112743/ 549881933957516160*n^9-8422107095714208226877263579/18695985754555549440*n^10-\ 61385345286179420166280211/119846062529202240*n^11-83793779086558601954296633/ 239692125058404480*n^12-127941723263495814987897301/719076375175213440*n^13-\ 1448962363430310412616731133/18695985754555549440*n^14-405731462810980318846807 /12840649556700240*n^15-2714422675876714258819981/245999812559941440*n^16-\ 480483250545455496883793/163999875039960960*n^17-3964608195919906192476583/ 6231995251518516480*n^18-120631587423651140036989/934799287727777472*n^19-\ 5074403860044160916765/267085510779364992*n^20-3188261249016646427875/ 1869598575455554944*n^21-48796511994123148375/219952773583006464*n^22)*M[n]+M[n +1]*(-680784691753307915/2223997443+1580113466219767066967/880702987428*n+ 39842536950811515493142/8122699850265*n^2+27541724416388769619457/ 50440262007240*n^3-238629787315164485599017049/43277744802211920*n^4-\ 9938950216322289134160743/3416664063332520*n^5+37390906158341640069853159/ 22911747248229840*n^6+3344722792183986989904671/2114930515221216*n^7+ 121831539252478780107835183/467399643863888736*n^8+460552732860290425803443/ 10398212321777280*n^9+3938156175475112938930049897/18695985754555549440*n^10+ 3245263738670402890550359/14099536768141440*n^11+2002637745813400510361201/ 13316229169911360*n^12+7157524355459302914701/96133205237328*n^13+ 613067319901452525680849461/18695985754555549440*n^14+4851101796189279489790667 /359538187587606720*n^15+368065550646209855410457/80586145493773920*n^16+ 193182140114071644751153/163999875039960960*n^17+229997477281995350095111/ 890285035931216640*n^18+1045232857614504000067/20545039290720384*n^19+ 283741925807620674895/40643447292512064*n^20+632880746121889865575/ 934799287727777472*n^21+276345013521122285875/3739197150911109888*n^22)+( 7155751468973095357963299/72057594037927936-150011748093806010465580983/ 612489549322387456*n+14653176603541538487566901/76561193665298432*n^2-\ 7615891585074818331740846005/86820393616448421888*n^3+ 94745927978576652617627315/2067152228963057664*n^4+346252271472550073635761221/ 27906555091001278464*n^5+248940271303044727542703/5699868278390784*n^6+ 24550084171884502032442085/461689330549653504*n^7+4508701123079835947665405/ 76948221758275584*n^8+20466103221763472700908435/403978164230946816*n^9+ 230796590853494884799971/6412351813189632*n^10+1595036766862062177128215/ 76948221758275584*n^11+124675707370306247494495/12824703626379264*n^12+ 212599204712467924205815/57711166318706688*n^13+1345258884156519047065/ 1202315964973056*n^14+6786145839473435602085/25248635264434176*n^15+ 40091838202631378005/801543976648704*n^16+143045127346462535125/ 20439371404541952*n^17+596594970207740275/851640475189248*n^18+ 702620428394122025/15329528553406464*n^19+4131679730849875/2554921425567744*n^ 20+341769247961875/26826674968461312*n^21)*3^n+(-7154570877352377946659875/ 72057594037927936-820525800382559787323955159/612489549322387456*n+ 18422969333365126920356835/76561193665298432*n^2+1687129622566401571489824435/ 1071856711314178048*n^3-15229126643710095480824035/229683580995895296*n^4-\ 12951816146460567110587131/38280596832649216*n^5+17034069871556348244215/ 211106232532992*n^6+17565781733419602642365/633318697598976*n^7+ 703941967594923014705/17592186044416*n^8+99383015540661494740825/ 1108307720798208*n^9+1724296521751814733463/26388279066624*n^10+ 3607497758084193278695/105553116266496*n^11+1040908308180327870595/ 52776558133248*n^12+843115484714955473815/79164837199872*n^13+ 2341310668915582605/549755813888*n^14+44182911395862431285/34634616274944*n^15+ 379592226403751955/1099511627776*n^16+2415339646259488525/28037546508288*n^17+ 16872896137024125/1168231104512*n^18+34404628372705625/21028159881216*n^19+ 307178082111375/1168231104512*n^20+341769247961875/36799279792128*n^21)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 32770, 1088189038, 534498958538, 257891470434412, 28343403385539324, 2526186646236616516, 124067889567967418356, 4766801087705194354229, 136537131724185850698158, 3210486050635202108309274, 62978430321862028493467702, 1067455280149461501811917121, 15926573814415478299201976600, 213022368491925009468416325976, 2588982021196836360332814778328, 28923896643762641750606705093683, 299856923233409372553580531444490, 2907881272388249940836266722965638, 26557336560130155194344882408438874, 229750352028291936959923069026567094, 1892178242316059384351036440755498644, 14900015430587191068466975945532350588, 112609911816122763770764461620559388428, 819555818257461299200291882718627196547, 5760637657717285871095822423459630973014, 39209136256502802905899025647303013997122, 259024265964834397655748215412325972905926, 1664317232824536313402232647897257322975152] ----------------------------------------- The sum of the, 16, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is /1239556744461998303803718985548399 14 173107594841376868418808232 |---------------------------------- n + --------------------------- \ 2224869044756496772233600 4528648153270395 301890039495141025 24 5190421913273006189201989978507 15 + ------------------ n + ------------------------------- n 7115754659625216 20043865268076547497600 129107543971749738910363725983 10 65812474123156635239074265311573 6 + ------------------------------ n + -------------------------------- n 5033640372752255140800 1404589043406879275400 84929454933521022796303979287 3 519220833456918144094267099013797 16 - ----------------------------- n + --------------------------------- n 280509794434925055 4449738089512993544467200 40779527118615541506738600029353 13 + -------------------------------- n 30900958954951344058800 112337727053577531291236432785231 7 - --------------------------------- n 12360383581980537623520 98952029737616578007688433791881 4 15313842952769029260428694731 20 - -------------------------------- n + ----------------------------- n 858359970970870668300 28707987674277377706240 814040671530469225405391252723419 12 + --------------------------------- n 342287545347153349574400 42153558200155587810656967446779 5 + -------------------------------- n 381493320431498074800 1355891409386900423313786975711803 11 + ---------------------------------- n 741623014918832257411200 3655304223966742965311268594259 17 146478542412894011064378877 21 + ------------------------------- n + --------------------------- n 92702876864854032176400 1854057537297080643528 70308271950583680971085002285347 9 2052113430028202033998836134 2 + -------------------------------- n - ---------------------------- n 18540575372970806435280 139434693140167425 54710949443598915523351055 22 62812461051363430398617559503 18 + -------------------------- n + ----------------------------- n 6845750906943066991488 6320650695330956739300 193709679814317531007282485257 19 2208717959520174815784025 23 + ------------------------------ n + ------------------------- n 82402557213203584156800 1744995329220781782144 411252370228876094684007537748573 8 330600695061592523968089518893 \ + --------------------------------- n + ------------------------------ n| 111243452237824838611680 2119407335730544860 / / 32381317532386185946948968803701 14 M[n] + M[n + 1] |- -------------------------------- n \ 139054315297281048264600 1509450197475705125 24 282756635185856248622988970511 15 - ------------------- n - ------------------------------ n 106758014268340512 2480344531501111228800 320866090981510299691846906403 10 + ------------------------------ n 1727382798723988177200 127791253420531805093838734184323 6 144618466651765013309897575543 3 - --------------------------------- n + ------------------------------ n 10300319651650448019600 815156667588671100 173107446446634182054504872 13971475252891973915919161828831 16 - --------------------------- - -------------------------------- n 4528648153270395 278108630594562096529200 201466794867949052358868905926563 13 - --------------------------------- n 370811507459416128705600 13682419014450267372163548047179 7 615204960214808410984363090391 4 + -------------------------------- n + ------------------------------ n 3371013704176510260960 30655713248959666725 23400322065683172701235989153 20 16871747180345892931134006997 12 - ----------------------------- n - ----------------------------- n 111243452237824838611680 15632423517864146400 769768375399868418736500996169 5 69911210192148431052312196913 11 - ------------------------------ n - ----------------------------- n 12103783374442359600 69342965396805260160 26260039299961856309719250801 17 434203859181608935718710799 21 - ----------------------------- n - --------------------------- n 1626366260786912845200 14832460298376645148224 30688561515930758900825134455431 9 861589681110724482038451486631 2 - -------------------------------- n + ------------------------------ n 37081150745941612870560 15895555017979086450 36206038432644099835467695 22 1123769335298430429560626638641 18 - -------------------------- n - ------------------------------- n 11124345223782483861168 278108630594562096529200 2128952620241423625266166037 19 208468182825784510885225 23 - ---------------------------- n - ------------------------ n 2174847551081619523200 470871755504020480896 317705956383492057697261528152833 8 202954591587524787143205084973 \ - --------------------------------- n - ------------------------------ n| 111243452237824838611680 2119407335730544860 / / 10375996772636755794526755 73877900221918280496526107 + |- -------------------------- + -------------------------- n \ 4503599627370496 76561193665298432 644263340790558043076232853 2 6110512656171242434561605329 3 + --------------------------- n - ---------------------------- n 1033576114481528832 5426274601028026368 754776708439154291851475765 4 1767021404273239327107439339 5 + --------------------------- n - ---------------------------- n 957577870769651712 3488319386375159808 298753926002301185285139601 6 1846845894692791854370913 7 + --------------------------- n - ------------------------- n 5232479079562739712 7213895789838336 6151604562393947246442275 8 23366663253270072931217405 9 - ------------------------- n - -------------------------- n 28855583159353344 100994541057736704 145281249171963928907365 10 594158454613595840505979 11 - ------------------------ n - ------------------------ n 789019852013568 4809263859892224 328509388308172677724625 12 224353236741861501408965 13 - ------------------------ n - ------------------------ n 4809263859892224 7213895789838336 41929460376035500583335 14 2789514802242699516217 15 - ----------------------- n - ---------------------- n 3606947894919168 789019852013568 2731632634792293502645 16 428362955481774348185 17 - ---------------------- n - --------------------- n 3156079408054272 2554921425567744 10679442110652287455 18 2670803710801581695 19 - -------------------- n - ------------------- n 425820237594624 958095534587904 12149383482608875 20 34390066083339125 21 341769247961875 22\ n - ----------------- n - ----------------- n - ---------------- n | 3 56358560858112 3353334371057664 1676667185528832 / /10375849198684166118113827 105615224535552621894784241 + |-------------------------- + --------------------------- n \ 4503599627370496 4503599627370496 428657638791187287599719359 2 2751792869870035245030738525 3 + --------------------------- n - ---------------------------- n 38280596832649216 66991044457136128 1713569491630357524284766565 4 263536277968028601233321285 5 - ---------------------------- n + --------------------------- n 66991044457136128 14355223812243456 260828272233336125992884787 6 60037692409600569507985 7 + --------------------------- n - ----------------------- n 21532835718365184 19791209299968 104818500329223157790705 8 469453377856554621755 9 - ------------------------ n - --------------------- n 39582418599936 1443109011456 5130212145122674221247 10 887449315957608893827 11 - ---------------------- n - --------------------- n 69269232549888 6597069766656 2743821759255888921415 12 912622077749941688375 13 - ---------------------- n - --------------------- n 19791209299968 9895604649984 179751753532395779815 14 357773949121920493 15 - --------------------- n - ------------------ n 4947802324992 30064771072 20661087903374655895 16 300227510184850355 17 - -------------------- n - ------------------ n 4329327034368 206158430208 1384597319643479375 18 72268762788642275 19 14399849129702375 20 - ------------------- n - ----------------- n - ----------------- n 5257039970304 1314259992576 1314259992576 783169582932125 21 341769247961875 22\ n - --------------- n - --------------- n | (-1) 1533303324672 2299954987008 / and in Maple notation (1239556744461998303803718985548399/2224869044756496772233600*n^14+ 173107594841376868418808232/4528648153270395+301890039495141025/ 7115754659625216*n^24+5190421913273006189201989978507/20043865268076547497600*n ^15+129107543971749738910363725983/5033640372752255140800*n^10+ 65812474123156635239074265311573/1404589043406879275400*n^6-\ 84929454933521022796303979287/280509794434925055*n^3+ 519220833456918144094267099013797/4449738089512993544467200*n^16+ 40779527118615541506738600029353/30900958954951344058800*n^13-\ 112337727053577531291236432785231/12360383581980537623520*n^7-\ 98952029737616578007688433791881/858359970970870668300*n^4+ 15313842952769029260428694731/28707987674277377706240*n^20+ 814040671530469225405391252723419/342287545347153349574400*n^12+ 42153558200155587810656967446779/381493320431498074800*n^5+ 1355891409386900423313786975711803/741623014918832257411200*n^11+ 3655304223966742965311268594259/92702876864854032176400*n^17+ 146478542412894011064378877/1854057537297080643528*n^21+ 70308271950583680971085002285347/18540575372970806435280*n^9-\ 2052113430028202033998836134/139434693140167425*n^2+54710949443598915523351055/ 6845750906943066991488*n^22+62812461051363430398617559503/ 6320650695330956739300*n^18+193709679814317531007282485257/ 82402557213203584156800*n^19+2208717959520174815784025/1744995329220781782144*n ^23+411252370228876094684007537748573/111243452237824838611680*n^8+ 330600695061592523968089518893/2119407335730544860*n)*M[n]+M[n+1]*(-\ 32381317532386185946948968803701/139054315297281048264600*n^14-\ 1509450197475705125/106758014268340512*n^24-282756635185856248622988970511/ 2480344531501111228800*n^15+320866090981510299691846906403/ 1727382798723988177200*n^10-127791253420531805093838734184323/ 10300319651650448019600*n^6+144618466651765013309897575543/815156667588671100*n ^3-173107446446634182054504872/4528648153270395-\ 13971475252891973915919161828831/278108630594562096529200*n^16-\ 201466794867949052358868905926563/370811507459416128705600*n^13+ 13682419014450267372163548047179/3371013704176510260960*n^7+ 615204960214808410984363090391/30655713248959666725*n^4-\ 23400322065683172701235989153/111243452237824838611680*n^20-\ 16871747180345892931134006997/15632423517864146400*n^12-\ 769768375399868418736500996169/12103783374442359600*n^5-\ 69911210192148431052312196913/69342965396805260160*n^11-\ 26260039299961856309719250801/1626366260786912845200*n^17-\ 434203859181608935718710799/14832460298376645148224*n^21-\ 30688561515930758900825134455431/37081150745941612870560*n^9+ 861589681110724482038451486631/15895555017979086450*n^2-\ 36206038432644099835467695/11124345223782483861168*n^22-\ 1123769335298430429560626638641/278108630594562096529200*n^18-\ 2128952620241423625266166037/2174847551081619523200*n^19-\ 208468182825784510885225/470871755504020480896*n^23-\ 317705956383492057697261528152833/111243452237824838611680*n^8-\ 202954591587524787143205084973/2119407335730544860*n)+(-\ 10375996772636755794526755/4503599627370496+73877900221918280496526107/ 76561193665298432*n+644263340790558043076232853/1033576114481528832*n^2-\ 6110512656171242434561605329/5426274601028026368*n^3+ 754776708439154291851475765/957577870769651712*n^4-1767021404273239327107439339 /3488319386375159808*n^5+298753926002301185285139601/5232479079562739712*n^6-\ 1846845894692791854370913/7213895789838336*n^7-6151604562393947246442275/ 28855583159353344*n^8-23366663253270072931217405/100994541057736704*n^9-\ 145281249171963928907365/789019852013568*n^10-594158454613595840505979/ 4809263859892224*n^11-328509388308172677724625/4809263859892224*n^12-\ 224353236741861501408965/7213895789838336*n^13-41929460376035500583335/ 3606947894919168*n^14-2789514802242699516217/789019852013568*n^15-\ 2731632634792293502645/3156079408054272*n^16-428362955481774348185/ 2554921425567744*n^17-10679442110652287455/425820237594624*n^18-\ 2670803710801581695/958095534587904*n^19-12149383482608875/56358560858112*n^20-\ 34390066083339125/3353334371057664*n^21-341769247961875/1676667185528832*n^22)* 3^n+(10375849198684166118113827/4503599627370496+105615224535552621894784241/ 4503599627370496*n+428657638791187287599719359/38280596832649216*n^2-\ 2751792869870035245030738525/66991044457136128*n^3-1713569491630357524284766565 /66991044457136128*n^4+263536277968028601233321285/14355223812243456*n^5+ 260828272233336125992884787/21532835718365184*n^6-60037692409600569507985/ 19791209299968*n^7-104818500329223157790705/39582418599936*n^8-\ 469453377856554621755/1443109011456*n^9-5130212145122674221247/69269232549888*n ^10-887449315957608893827/6597069766656*n^11-2743821759255888921415/ 19791209299968*n^12-912622077749941688375/9895604649984*n^13-\ 179751753532395779815/4947802324992*n^14-357773949121920493/30064771072*n^15-\ 20661087903374655895/4329327034368*n^16-300227510184850355/206158430208*n^17-\ 1384597319643479375/5257039970304*n^18-72268762788642275/1314259992576*n^19-\ 14399849129702375/1314259992576*n^20-783169582932125/1533303324672*n^21-\ 341769247961875/2299954987008*n^22)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 65538, 4338210628, 3139343170698, 2249402412903898, 320600401542658880, 37323551296269780192, 2243304171073270584736, 104719343544691880401225, 3539145300236748170717782, 97025052484247935085975300, 2185160353499217156717607086, 42077397487216448306499139587, 706152001157752489215465415592, 10537119732969337655285920137152, 141835445343561624209092497039336, 1743902942920343060365232161631827, 19785552996775096936995970010839534, 208933887213085083908177087406789420, 2068562673161717591315853171387194630, 19321426188401882265228321402928262084, 171181212623986671996563474394931532904, 1445264801243243999694488253474670629760, 11675740092218491765175565555840673098056, 90578123969031294940029166030945035036999, 676922050588390137542572721235023238157138, 4887091304688192276427971976622100116509468, 34170117018391319174573704835923916902681978, 231899942291532477200602827954383340330956162] ----------------------------------------- The sum of the, 17, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is / 25313815465588845362073150398699 14 22243383585712747303383625 24 |- -------------------------------- n - -------------------------- n \ 10067280745504510281600 10469971975324690692864 67839759203059991455133858301989 15 5132130671417397425 25 - -------------------------------- n - ------------------- n 32718662422889658415200 7115754659625216 6303268123710280223408748875441971 10 - ---------------------------------- n 65437324845779316830400 1208073856283238713374154314618351 6 - ---------------------------------- n 259671923991187765200 3417162818799651365656181501377 3 + ------------------------------- n 467516324058208425 45707090771951910927010162605577 16 35965450874382380673698456 - -------------------------------- n - -------------------------- 37392757054731038188800 53278213567887 23539742594853314691732937730857 13 - -------------------------------- n 4759078170602132133120 2139720209300010137769775006601777 7 - ---------------------------------- n 3635406935876628712800 75934665311127227532770356482229 4 41980742152383458382554595647 20 + -------------------------------- n - ----------------------------- n 10098352599657301980 4026912298201804112640 302167686168805933068950430670547 12 - --------------------------------- n 23795390853010660665600 399689778151888490028630887841071 5 - --------------------------------- n 201967051993146039600 178380378553144911943724371375979 11 - --------------------------------- n 3537152694366449558400 9416911083245524536032682188063 17 83221885385229500324882318549 21 - ------------------------------- n - ----------------------------- n 23795390853010660665600 52349859876623453464320 1257273371296812571800047402025919 9 60750562020262208705356030493 2 + ---------------------------------- n - ----------------------------- n 4674094631841379773600 47950392211098300 71909383769908045092878173 22 869969474086930598480895422489 18 - -------------------------- n - ------------------------------ n 227608086420101971584 8179665605722414603800 5060898425125613535393686071571 19 153264957986673203978313775 23 - ------------------------------- n - --------------------------- n 130874649691558633660800 2617492993831172673216 1272372456690086559080224214477957 8 78026577585828369583034302553 \ + ---------------------------------- n - ----------------------------- n| 1258410093188063785200 24934203949771116 / /3796598573414014948717815387959 14 M[n] + M[n + 1] |------------------------------- n \ 3444069728725227201600 5580651715774211578140025 24 130817011361929880433664329466063 15 + ------------------------- n + --------------------------------- n 5234985987662345346432 130874649691558633660800 25660653357086987125 25 8137295671731083193760028126759 10 + -------------------- n + ------------------------------- n 106758014268340512 161175676960047578400 12107396456968026638451574046329 6 + -------------------------------- n 5508192327085801080 28128623881808763431469924553733 3 - -------------------------------- n 5610195888698501100 68433988162349661226057016983279 16 + -------------------------------- n 130874649691558633660800 23545900173623281219815187593079 13 + -------------------------------- n 13087464969155863366080 33795345744562115075402037386867 7 - -------------------------------- n 376076579573444349600 23739025835602372484100367050317 4 105493221068440341095073960299 20 - -------------------------------- n + ------------------------------ n 7213108999755215700 26174929938311726732160 94908142650552313416354267492967 12 + -------------------------------- n 18696378527365519094400 179979896697979463839397949910157 5 + --------------------------------- n 86557307997062588400 2596706663478658252102788404015773 11 + ---------------------------------- n 130874649691558633660800 1580444940087317881118650001 17 35965447382741376288656024 + ---------------------------- n + -------------------------- 10073479810002973650 53278213567887 759254444197679106310350929 21 1136804976875215214148136988260207 9 + --------------------------- n - ---------------------------------- n 1189769542650533033280 16359331211444829207600 102195453416237174542428864683 2 347874672196904833622612213 22 - ------------------------------ n + --------------------------- n 1870065296232833700 2617492993831172673216 758133856694646819094648887179 18 312752403147111616253132832997 19 + ------------------------------ n + ------------------------------ n 16359331211444829207600 18696378527365519094400 104794948712870192747869645 23 1630946729970591109570929455306333 8 + --------------------------- n - ---------------------------------- n 5234985987662345346432 3271866242288965841520 1453734414178632675553529381 \ /127704326555505449643684659405 14 + ---------------------------- n| + |------------------------------ n 673897404047868 / \ 1279802824283639513088 56273155681006594625 24 931313482745885609364097 15 + ---------------------- n + ------------------------ n 4369326829780863025152 25248635264434176 3257343698569256681381702281367 10 + ------------------------------- n 3723062761552405856256 940675665305761503122651219930719 6 + --------------------------------- n 251513573224873640067072 14018033127118656103812588348808141 3 653879919816204530634699863 16 - ----------------------------------- n + --------------------------- n 117106848908935874740224 58172855649256341504 27404231419023409217352241469 13 263099414590481809321271626819 7 + ----------------------------- n - ------------------------------ n 121885983265108525056 1418309623448535564288 102932425682169156377387889983881093 4 426655636235135340654599 20 + ------------------------------------ n + ------------------------ n 2459243827087653369544704 39474437761995374592 4309324735403328027976769452225 12 + ------------------------------- n 10238422594269116104704 2060899224925578431778226302383171 5 - ---------------------------------- n 167675715483249093378048 205205589887966718459136728185 11 108565471792258225107348409 17 + ------------------------------ n + --------------------------- n 310255230129367154688 38781903766170894336 272101579227739242643 21 748838727650705594149383951697 9 + --------------------- n + ------------------------------ n 284280930384740352 827347280344979079168 16819377626163241419422629689939 + -------------------------------- 36893488147419103232 777237452147970665941716288006912053 2 21458247155534725620515 22 + ------------------------------------ n + ----------------------- n 2793215211013137160470528 379941463459205480448 32691317303029970462547185 18 1171577630207301948393475 19 + -------------------------- n + ------------------------- n 58172855649256341504 13158145920665124864 1340517925117108272475 23 63328485576560742957536359276259 8 + ---------------------- n + -------------------------------- n 728221138296810504192 59569004184838493700096 3762926105111404082522451243936573 \ n / - ---------------------------------- n| 3 + | 8061227160211074056192 / \ 28249716232481684316480275 14 56273155681006594625 24 -------------------------- n + -------------------- n 83598068083064832 1997863205203869696 294609565021000728129737 15 3313486908763198868083567151 10 + ------------------------ n + ---------------------------- n 3324923162394624 1702360659146047488 64731103743546561303378145621285 6 + -------------------------------- n 345011760253598957568 706306404043448424369575965646251 3 135026599376338578466087 16 + --------------------------------- n + ------------------------ n 3373448322479634251776 3324923162394624 141338087121252518215126225 13 60885564166014696482351640095 7 + --------------------------- n - ----------------------------- n 167196136166129664 1945555039024054272 10595032051617049902708677265767995 4 4298112212362597614095 20 - ----------------------------------- n + ---------------------- n 10120344967438902755328 18049582881570816 2180558517514098610653598969 12 2858240299330774411891723530853 5 + ---------------------------- n - ------------------------------- n 4681491812651630592 76669280056355323904 249242902271664189279708641 11 116034016360955992964885 17 - --------------------------- n + ------------------------ n 141863388262170624 5910974510923776 1495704087444919742575 21 7718941131776452533174219305 9 + ---------------------- n + ---------------------------- n 31586770042748928 486388759756013568 80948333407794280749635405704655073 2 353332176024250187675 22 + ----------------------------------- n + --------------------- n 44336749381160907309056 173727235235119104 133435207813670311528985 18 14939930177059436759375 19 + ------------------------ n + ----------------------- n 26599385299156992 18049582881570816 16819375208311602190164280277587 251759035344879896125 23 - -------------------------------- + --------------------- n 36893488147419103232 332977200867311616 39592164219390493199944940395 8 906421901141570544259677711669801 \ - ----------------------------- n - --------------------------------- n| 3891110078048108544 8061227160211074056192 / n (-1) and in Maple notation (-25313815465588845362073150398699/10067280745504510281600*n^14-\ 22243383585712747303383625/10469971975324690692864*n^24-\ 67839759203059991455133858301989/32718662422889658415200*n^15-\ 5132130671417397425/7115754659625216*n^25-6303268123710280223408748875441971/ 65437324845779316830400*n^10-1208073856283238713374154314618351/ 259671923991187765200*n^6+3417162818799651365656181501377/467516324058208425*n^ 3-45707090771951910927010162605577/37392757054731038188800*n^16-\ 35965450874382380673698456/53278213567887-23539742594853314691732937730857/ 4759078170602132133120*n^13-2139720209300010137769775006601777/ 3635406935876628712800*n^7+75934665311127227532770356482229/ 10098352599657301980*n^4-41980742152383458382554595647/4026912298201804112640*n ^20-302167686168805933068950430670547/23795390853010660665600*n^12-\ 399689778151888490028630887841071/201967051993146039600*n^5-\ 178380378553144911943724371375979/3537152694366449558400*n^11-\ 9416911083245524536032682188063/23795390853010660665600*n^17-\ 83221885385229500324882318549/52349859876623453464320*n^21+ 1257273371296812571800047402025919/4674094631841379773600*n^9-\ 60750562020262208705356030493/47950392211098300*n^2-71909383769908045092878173/ 227608086420101971584*n^22-869969474086930598480895422489/ 8179665605722414603800*n^18-5060898425125613535393686071571/ 130874649691558633660800*n^19-153264957986673203978313775/ 2617492993831172673216*n^23+1272372456690086559080224214477957/ 1258410093188063785200*n^8-78026577585828369583034302553/24934203949771116*n)*M [n]+M[n+1]*(3796598573414014948717815387959/3444069728725227201600*n^14+ 5580651715774211578140025/5234985987662345346432*n^24+ 130817011361929880433664329466063/130874649691558633660800*n^15+ 25660653357086987125/106758014268340512*n^25+8137295671731083193760028126759/ 161175676960047578400*n^10+12107396456968026638451574046329/5508192327085801080 *n^6-28128623881808763431469924553733/5610195888698501100*n^3+ 68433988162349661226057016983279/130874649691558633660800*n^16+ 23545900173623281219815187593079/13087464969155863366080*n^13-\ 33795345744562115075402037386867/376076579573444349600*n^7-\ 23739025835602372484100367050317/7213108999755215700*n^4+ 105493221068440341095073960299/26174929938311726732160*n^20+ 94908142650552313416354267492967/18696378527365519094400*n^12+ 179979896697979463839397949910157/86557307997062588400*n^5+ 2596706663478658252102788404015773/130874649691558633660800*n^11+ 1580444940087317881118650001/10073479810002973650*n^17+ 35965447382741376288656024/53278213567887+759254444197679106310350929/ 1189769542650533033280*n^21-1136804976875215214148136988260207/ 16359331211444829207600*n^9-102195453416237174542428864683/1870065296232833700* n^2+347874672196904833622612213/2617492993831172673216*n^22+ 758133856694646819094648887179/16359331211444829207600*n^18+ 312752403147111616253132832997/18696378527365519094400*n^19+ 104794948712870192747869645/5234985987662345346432*n^23-\ 1630946729970591109570929455306333/3271866242288965841520*n^8+ 1453734414178632675553529381/673897404047868*n)+(127704326555505449643684659405 /1279802824283639513088*n^14+56273155681006594625/4369326829780863025152*n^24+ 931313482745885609364097/25248635264434176*n^15+3257343698569256681381702281367 /3723062761552405856256*n^10+940675665305761503122651219930719/ 251513573224873640067072*n^6-14018033127118656103812588348808141/ 117106848908935874740224*n^3+653879919816204530634699863/58172855649256341504*n ^16+27404231419023409217352241469/121885983265108525056*n^13-\ 263099414590481809321271626819/1418309623448535564288*n^7+ 102932425682169156377387889983881093/2459243827087653369544704*n^4+ 426655636235135340654599/39474437761995374592*n^20+ 4309324735403328027976769452225/10238422594269116104704*n^12-\ 2060899224925578431778226302383171/167675715483249093378048*n^5+ 205205589887966718459136728185/310255230129367154688*n^11+ 108565471792258225107348409/38781903766170894336*n^17+272101579227739242643/ 284280930384740352*n^21+748838727650705594149383951697/827347280344979079168*n^ 9+16819377626163241419422629689939/36893488147419103232+ 777237452147970665941716288006912053/2793215211013137160470528*n^2+ 21458247155534725620515/379941463459205480448*n^22+32691317303029970462547185/ 58172855649256341504*n^18+1171577630207301948393475/13158145920665124864*n^19+ 1340517925117108272475/728221138296810504192*n^23+ 63328485576560742957536359276259/59569004184838493700096*n^8-\ 3762926105111404082522451243936573/8061227160211074056192*n)*3^n+( 28249716232481684316480275/83598068083064832*n^14+56273155681006594625/ 1997863205203869696*n^24+294609565021000728129737/3324923162394624*n^15+ 3313486908763198868083567151/1702360659146047488*n^10+ 64731103743546561303378145621285/345011760253598957568*n^6+ 706306404043448424369575965646251/3373448322479634251776*n^3+ 135026599376338578466087/3324923162394624*n^16+141338087121252518215126225/ 167196136166129664*n^13-60885564166014696482351640095/1945555039024054272*n^7-\ 10595032051617049902708677265767995/10120344967438902755328*n^4+ 4298112212362597614095/18049582881570816*n^20+2180558517514098610653598969/ 4681491812651630592*n^12-2858240299330774411891723530853/76669280056355323904*n ^5-249242902271664189279708641/141863388262170624*n^11+116034016360955992964885 /5910974510923776*n^17+1495704087444919742575/31586770042748928*n^21+ 7718941131776452533174219305/486388759756013568*n^9+ 80948333407794280749635405704655073/44336749381160907309056*n^2+ 353332176024250187675/173727235235119104*n^22+133435207813670311528985/ 26599385299156992*n^18+14939930177059436759375/18049582881570816*n^19-\ 16819375208311602190164280277587/36893488147419103232+251759035344879896125/ 332977200867311616*n^23-39592164219390493199944940395/3891110078048108544*n^8-\ 906421901141570544259677711669801/8061227160211074056192*n)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 131074, 17309402566, 18504595305626, 19716985660374820, 3650659107077908284, 556690992640066901404, 40971944373497484056692, 2329083109458531594251189, 92941338105426936112770254, 2974884866174324297153243058, 76984227099412880197091139542, 1685696405407928966794661850577, 31843732374694994504085479713688, 530482709933767885209524559857752, 7913298615701886224338668603443000, 107138648144366858601134452532321059, 1330938297398030582514006049212388010, 15311386782506339480119590039301076662, 164401758675255161498439153864509676794, 1658596139322887181953192104073702661478, 15813204134278451661313356971534582112980, 143191437226452087562209959388461301517396, 1236885702190499836619795760301813696060716, 10231145862456643212926228833687392885967075, 81315460896952492639713707622368013954134614, 622848497208826780114376350593594236977582130, 4610167267174739957021989564345562224084061942, 33053574581409542790738159611333457627144147816] ----------------------------------------- The sum of the, 18, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is / 3032845526184005318441979146329182383 14 |- ------------------------------------- n \ 100468106079886511106940800 5228425315224688222344259357045 24 + ------------------------------- n 19519517752663665015062784 3734692458293480525361631102089393587 15 + ------------------------------------- n 482246909183455253313315840 4151811670375145354738044538375 25 + ------------------------------- n 546546497074582620421757952 8698095892930600270640675947188314579 10 - ------------------------------------- n 4530392051347667609596800 2788864667267786156721243922631423083 6 - ------------------------------------- n 50959476171323269149600 6468288066232927350241072220101874111 3 - ------------------------------------- n 35618072308935408091800 42636924342417463606814050325 26 + ----------------------------- n 11386385355720471258786624 2564032467038925933678304259341398569 16 + ------------------------------------- n 200936212159773022213881600 1220681617804668184074015505444157953 13 + ------------------------------------- n 32149793945563683554221056 635471182823467947933494205158256465151 7 - --------------------------------------- n 18977308926200785431311040 4615768102535100880444397452898375561 4 + ------------------------------------- n 18431729726302239152400 568792456275285844981746626039484871 20 + ------------------------------------ n 3415915606716141377635987200 1208953057563307973542173124966749961 12 + ------------------------------------- n 2609561196880169119660800 155698675609122483202342474061101135717 5 + --------------------------------------- n 988401506572957574547450 8896274595275548962642902345563599397 11 + ------------------------------------- n 34504198047637791693292800 183150000192211693665338632823 + ------------------------------ 3616998721108773 244158228612700197546213314264999923 17 + ------------------------------------ n 53582989909272805923701760 1514810808473187144551417997040324753 21 + ------------------------------------- n 40990987280593696531631846400 172212500702380851216770779790790315091 9 + --------------------------------------- n 120090783048614345307515175 109931064972850853130151316558561717 2 - ------------------------------------ n 316947733388795117700 667182506462522323449216809375 27 + ------------------------------ n 4918918473671243583795821568 11471422104030424943942198834741 22 + -------------------------------- n 2388752172528770194151040 221614387030155653923971363909948959 18 + ------------------------------------ n 243993971908295812688284800 4822041264358079004578698810093639169 19 + ------------------------------------- n 13663662426864565510543948800 259612035068163624041177690560157 23 + --------------------------------- n 182182165691527540140585984 1706443158722141484587548762140971189239 8 + ---------------------------------------- n 213494725419758836102249200 14910641796121490105745014505931 \ / - -------------------------------- n| M[n] + M[n + 1] | 390635861879747484 / \ 515957003266648087077417424251945427 14 ------------------------------------ n 40187242431954604442776320 45214075595619617586789153625 24 - ----------------------------- n 500500455196504231155456 13818856845047919175595334080065545419 15 - -------------------------------------- n 2411234545917276266566579200 213391153012082853721848038525 25 - ------------------------------ n 49686045188598420038341632 428913007923619787482087897672343041211 10 + --------------------------------------- n 569319267786023562939331200 148360973650536083429599519404076641893 6 + --------------------------------------- n 4066566198471596878138080 2856054186981818972049661475858735899 3 + ------------------------------------- n 77521686790035888199800 23445581918217286026142850575 26 - ----------------------------- n 17822168382866824578970368 376394541497892185956991176821197 16 - --------------------------------- n 65345109645454641370368 2529793059330710118662877260101482647 13 + ------------------------------------- n 803744848639092088855526400 8247730491779852941575332337624488251907 7 + ---------------------------------------- n 853978901679035344408996800 1276147870279745017735774956228994185319 4 - ---------------------------------------- n 7907212052583660596379600 239084288046420832494057961077709303 20 - ------------------------------------ n 3415915606716141377635987200 183149999718124437292169538167 - ------------------------------ 3616998721108773 137028887368135438700653752601639489 12 - ------------------------------------ n 736030081171329751699200 59216634470599413722033766687966899111 5 - -------------------------------------- n 1186081807887549089456940 891418741995450884111660260661206986787 11 - --------------------------------------- n 3415915606716141377635987200 1396624925836825642550103372634479893 17 - ------------------------------------- n 803744848639092088855526400 562790919955993083174328952482307057 21 - ------------------------------------ n 40990987280593696531631846400 62948460491534412564918128932718728133 9 + -------------------------------------- n 202258160923982055254762400 1805946030914867047887448679944141 2 + ---------------------------------- n 7978089398802623100 17106084924373561349739445375 27 - ----------------------------- n 378378344128557198753524736 476336000162003394278159362752793 22 - --------------------------------- n 227727707114409425175732480 3121642667423057511980204225259497 18 - ---------------------------------- n 8561191996782309217132800 137006304796584057642259252511613901 19 - ------------------------------------ n 803744848639092088855526400 329758351295519040119545235970739 23 - --------------------------------- n 546546497074582620421757952 6391421454635630547010726158666798653 8 - ------------------------------------- n 1455645855134719337060790 1789240913009349099488107519121 \ / + ------------------------------- n| + | 35512351079977044 / \ 105051258254183232731355743899 14 436062668246980009925 24 - ------------------------------ n - --------------------- n 142200313809293279232 34677197061752881152 22856081568596384891978584013 15 56273155681006594625 25 - ----------------------------- n - --------------------- n 71100156904646639616 242740379432270168064 1799271198517478311572857889031 10 - ------------------------------- n 413673640172489539584 612206919847131445257883333817053 6 + --------------------------------- n 3992278940077359366144 12322141758767180122613088319833126371 3 - -------------------------------------- n 4189822816519705740705792 379983768942281968791921239 16 810465870760940539768684971205 13 - --------------------------- n - ------------------------------ n 3231825313847574528 568801255237173116928 1452930077919663204510262744663009 7 - ---------------------------------- n 41918928870812273344512 50178607660390457314740734105049875 4 43026346304890529509313 20 + ----------------------------------- n - ----------------------- n 34156164265106296799232 137064020006928384 96694529282977968005834038571 12 - ----------------------------- n 40628661088369508352 31690611027910294169137401505360861 5 - ----------------------------------- n 58553424454467937370112 90545493378492544466224580837 11 33181603381672219278642463 17 - ----------------------------- n - -------------------------- n 29548117155177824256 923378661099307008 630755098749239888916053 21 9781911512953504578444367289771 9 - ------------------------ n - ------------------------------- n 15351170240775979008 3309389121379916316672 146774482079008856371422240287979 - --------------------------------- 18446744073709551616 1067710701929740530084509639522479031 2 171696503546620540414249 22 + ------------------------------------- n - ------------------------ n 310357245668126351163392 42215718162133942272 8395503550924604854164811 18 115661222778686620770483935 19 - ------------------------- n - --------------------------- n 923378661099307008 61404680963103916032 19757322206962251934735 23 1430074262481715565650355021851 8 - ----------------------- n + ------------------------------- n 69354394123505762304 3309389121379916316672 5026508398842468406120885612895523 \ n / + ---------------------------------- n| 3 + | 8061227160211074056192 / \ 20316756580446992610512375 14 146774479661157217142163890875627 - -------------------------- n + --------------------------------- 9288674231451648 18446744073709551616 115486641801312748625 24 1075209996498944057443741 15 + --------------------- n + ------------------------- n 110992400289103872 4644337115725824 56273155681006594625 25 1111593238899055516343008387 10 - -------------------- n + ---------------------------- n 110992400289103872 189151184349560832 218881950814716052929313473024189 6 - --------------------------------- n 38334640028177661952 5681561738507936998329006252102136947 3 5100772231337686615085 16 - ------------------------------------- n - ---------------------- n 155178622834063175581696 11544872091648 1987102194005329264776820693 13 141075718088979260440287759114497 7 - ---------------------------- n - --------------------------------- n 260082878480646144 19167320014088830976 3080656147895958571580823923848113 4 3182636094853387744175 20 + ---------------------------------- n - ---------------------- n 120480297231415508992 501377302265856 143707936899825179503634143 12 45696013324635510829828415638544109 5 - --------------------------- n + ----------------------------------- n 32510359810080768 1686724161239817125888 4420665514732555189462135715 11 877676334897330199722541 17 - ---------------------------- n - ------------------------ n 94575592174780416 2955487255461888 5451630847910803284005 21 1388992553105961014352074401525 9 - ---------------------- n + ------------------------------- n 7019282231721984 1513209474796486656 1635854056527647617299628418370912759 2 1126828615170550804475 22 - ------------------------------------- n - ---------------------- n 44336749381160907309056 19303026137235456 117156669733658094410735 18 258489352029640671935615 19 - ------------------------ n - ------------------------ n 2955487255461888 28077128926887936 10264990898604879572425 23 85275831496524035329355353001 8 - ----------------------- n + ----------------------------- n 221984800578207744 216172782113783808 59105407751516363386193049203868681 \ n + ----------------------------------- n| (-1) 8061227160211074056192 / and in Maple notation (-3032845526184005318441979146329182383/100468106079886511106940800*n^14+ 5228425315224688222344259357045/19519517752663665015062784*n^24+ 3734692458293480525361631102089393587/482246909183455253313315840*n^15+ 4151811670375145354738044538375/546546497074582620421757952*n^25-\ 8698095892930600270640675947188314579/4530392051347667609596800*n^10-\ 2788864667267786156721243922631423083/50959476171323269149600*n^6-\ 6468288066232927350241072220101874111/35618072308935408091800*n^3+ 42636924342417463606814050325/11386385355720471258786624*n^26+ 2564032467038925933678304259341398569/200936212159773022213881600*n^16+ 1220681617804668184074015505444157953/32149793945563683554221056*n^13-\ 635471182823467947933494205158256465151/18977308926200785431311040*n^7+ 4615768102535100880444397452898375561/18431729726302239152400*n^4+ 568792456275285844981746626039484871/3415915606716141377635987200*n^20+ 1208953057563307973542173124966749961/2609561196880169119660800*n^12+ 155698675609122483202342474061101135717/988401506572957574547450*n^5+ 8896274595275548962642902345563599397/34504198047637791693292800*n^11+ 183150000192211693665338632823/3616998721108773+ 244158228612700197546213314264999923/53582989909272805923701760*n^17+ 1514810808473187144551417997040324753/40990987280593696531631846400*n^21+ 172212500702380851216770779790790315091/120090783048614345307515175*n^9-\ 109931064972850853130151316558561717/316947733388795117700*n^2+ 667182506462522323449216809375/4918918473671243583795821568*n^27+ 11471422104030424943942198834741/2388752172528770194151040*n^22+ 221614387030155653923971363909948959/243993971908295812688284800*n^18+ 4822041264358079004578698810093639169/13663662426864565510543948800*n^19+ 259612035068163624041177690560157/182182165691527540140585984*n^23+ 1706443158722141484587548762140971189239/213494725419758836102249200*n^8-\ 14910641796121490105745014505931/390635861879747484*n)*M[n]+M[n+1]*( 515957003266648087077417424251945427/40187242431954604442776320*n^14-\ 45214075595619617586789153625/500500455196504231155456*n^24-\ 13818856845047919175595334080065545419/2411234545917276266566579200*n^15-\ 213391153012082853721848038525/49686045188598420038341632*n^25+ 428913007923619787482087897672343041211/569319267786023562939331200*n^10+ 148360973650536083429599519404076641893/4066566198471596878138080*n^6+ 2856054186981818972049661475858735899/77521686790035888199800*n^3-\ 23445581918217286026142850575/17822168382866824578970368*n^26-\ 376394541497892185956991176821197/65345109645454641370368*n^16+ 2529793059330710118662877260101482647/803744848639092088855526400*n^13+ 8247730491779852941575332337624488251907/853978901679035344408996800*n^7-\ 1276147870279745017735774956228994185319/7907212052583660596379600*n^4-\ 239084288046420832494057961077709303/3415915606716141377635987200*n^20-\ 183149999718124437292169538167/3616998721108773-\ 137028887368135438700653752601639489/736030081171329751699200*n^12-\ 59216634470599413722033766687966899111/1186081807887549089456940*n^5-\ 891418741995450884111660260661206986787/3415915606716141377635987200*n^11-\ 1396624925836825642550103372634479893/803744848639092088855526400*n^17-\ 562790919955993083174328952482307057/40990987280593696531631846400*n^21+ 62948460491534412564918128932718728133/202258160923982055254762400*n^9+ 1805946030914867047887448679944141/7978089398802623100*n^2-\ 17106084924373561349739445375/378378344128557198753524736*n^27-\ 476336000162003394278159362752793/227727707114409425175732480*n^22-\ 3121642667423057511980204225259497/8561191996782309217132800*n^18-\ 137006304796584057642259252511613901/803744848639092088855526400*n^19-\ 329758351295519040119545235970739/546546497074582620421757952*n^23-\ 6391421454635630547010726158666798653/1455645855134719337060790*n^8+ 1789240913009349099488107519121/35512351079977044*n)+(-\ 105051258254183232731355743899/142200313809293279232*n^14-436062668246980009925 /34677197061752881152*n^24-22856081568596384891978584013/71100156904646639616*n ^15-56273155681006594625/242740379432270168064*n^25-\ 1799271198517478311572857889031/413673640172489539584*n^10+ 612206919847131445257883333817053/3992278940077359366144*n^6-\ 12322141758767180122613088319833126371/4189822816519705740705792*n^3-\ 379983768942281968791921239/3231825313847574528*n^16-\ 810465870760940539768684971205/568801255237173116928*n^13-\ 1452930077919663204510262744663009/41918928870812273344512*n^7+ 50178607660390457314740734105049875/34156164265106296799232*n^4-\ 43026346304890529509313/137064020006928384*n^20-96694529282977968005834038571/ 40628661088369508352*n^12-31690611027910294169137401505360861/ 58553424454467937370112*n^5-90545493378492544466224580837/29548117155177824256* n^11-33181603381672219278642463/923378661099307008*n^17-\ 630755098749239888916053/15351170240775979008*n^21-\ 9781911512953504578444367289771/3309389121379916316672*n^9-\ 146774482079008856371422240287979/18446744073709551616+ 1067710701929740530084509639522479031/310357245668126351163392*n^2-\ 171696503546620540414249/42215718162133942272*n^22-8395503550924604854164811/ 923378661099307008*n^18-115661222778686620770483935/61404680963103916032*n^19-\ 19757322206962251934735/69354394123505762304*n^23+ 1430074262481715565650355021851/3309389121379916316672*n^8+ 5026508398842468406120885612895523/8061227160211074056192*n)*3^n+(-\ 20316756580446992610512375/9288674231451648*n^14+ 146774479661157217142163890875627/18446744073709551616+115486641801312748625/ 110992400289103872*n^24+1075209996498944057443741/4644337115725824*n^15-\ 56273155681006594625/110992400289103872*n^25+1111593238899055516343008387/ 189151184349560832*n^10-218881950814716052929313473024189/38334640028177661952* n^6-5681561738507936998329006252102136947/155178622834063175581696*n^3-\ 5100772231337686615085/11544872091648*n^16-1987102194005329264776820693/ 260082878480646144*n^13-141075718088979260440287759114497/19167320014088830976* n^7+3080656147895958571580823923848113/120480297231415508992*n^4-\ 3182636094853387744175/501377302265856*n^20-143707936899825179503634143/ 32510359810080768*n^12+45696013324635510829828415638544109/ 1686724161239817125888*n^5-4420665514732555189462135715/94575592174780416*n^11-\ 877676334897330199722541/2955487255461888*n^17-5451630847910803284005/ 7019282231721984*n^21+1388992553105961014352074401525/1513209474796486656*n^9-\ 1635854056527647617299628418370912759/44336749381160907309056*n^2-\ 1126828615170550804475/19303026137235456*n^22-117156669733658094410735/ 2955487255461888*n^18-258489352029640671935615/28077128926887936*n^19-\ 10264990898604879572425/221984800578207744*n^23+85275831496524035329355353001/ 216172782113783808*n^8+59105407751516363386193049203868681/ 8061227160211074056192*n)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 262146, 69107683660, 109397060884698, 173529330897054130, 41809086808182358688, 8371538507767903091592, 754912970482666251634720, 52372086477116831630559337, 2469143348500344301293644854, 92403217808845833561865147388, 2749667279899064862467601746190, 68528223616339052500730655761475, 1458198044666923733562674416140104, 27138475152625511580910983138903392, 448904851288945638581786073892852104, 6696257367536307245607670627858388995, 91126433236196481015016851127331734510, 1142596553651898127772027665115545893996, 13310545188126655016637407600501533199654, 145096771867036593947120643107561801622980, 1489189712164878187863601460899995753644328, 14467450463236151662768114163237845135846600, 133662161592239079966510156696762393788764808, 1179174237226418864085223915414068785607111975, 9969441958732897938350556119134782905109757618, 81036466195682548713853455848237264686081255948, 635109972732308549470745607999144959072492525770, 4811582156838964789132352451447287974874007788858] ----------------------------------------- The sum of the, 19, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is / 6243005783428166877801163799416156937 14 |- ------------------------------------- n \ 42302360454689057308185600 125438880896071602576727227291611 24 - --------------------------------- n 28765605109188558969566208 859931625063661649681974785031626463 15 - ------------------------------------ n 126907081364067171924556800 21556723845891316191446443025 25 - ----------------------------- n 96206037154476785851392 717930526515609821902502993906532823121 10 - --------------------------------------- n 3728261030856812078428800 4225530551152686723848198200984579167643 6 - ---------------------------------------- n 2497014332394840188330400 29413002510086421932493051570948599827 3 + -------------------------------------- n 3015717792747391531800 14880967689640842897380475875 26 - ----------------------------- n 55639468296302821991424 109735519766453958008154767124558101 16 - ------------------------------------ n 590265494716591497323520 42565369047963038246268791306310424037 13 - -------------------------------------- n 42302360454689057308185600 15822816258073903419447961782914572213937 7 + ----------------------------------------- n 4994028664789680376660800 21126464672959495447972350791055398041 4 - -------------------------------------- n 5548920738655200418512 89125926701872039384646627020750909 20 - ----------------------------------- n 28765605109188558969566208 667182506462522323449216809375 28 - ------------------------------ n 258890445982697030726095872 265920760546780928478522432503828217193 12 + --------------------------------------- n 17978503193242849355978880 4196095541117105249708906515243184965543 5 - ---------------------------------------- n 416169055399140031388400 4696288130728202414216104585455214085227 11 + ---------------------------------------- n 179785031932428493559788800 121702815049930303259192639159063389 17 - ------------------------------------ n 3254027727283773639091200 605493239755821584513426097374983837 21 - ------------------------------------ n 2157420383189141922717465600 43182351372595640408489490807764188093639 9 - ----------------------------------------- n 101129080461991027627381200 2791995012774286622722621081550746 2 + ---------------------------------- n 339807511430482095 2199840513134244801227563593625 27 + ------------------------------- n 258890445982697030726095872 117396289894275856170653390482346977 22 - ------------------------------------ n 2157420383189141922717465600 4921439302358291985329692334828188771 18 + ------------------------------------- n 719140127729713974239155200 3403081214728007784413695897327880737 19 - ------------------------------------- n 719140127729713974239155200 6676015151417062374009908516016499 23 216508204706520677101532614633 - ---------------------------------- n - ------------------------------ 143828025545942794847831040 244759311954729 9471276976717477013088904672383859447523 8 + ---------------------------------------- n 8989251596621424677989440 355412704149672585959612494657 \ / + ------------------------------ n| M[n] + M[n + 1] | 1312326523672164 / \ 452873765937077837936524018823191009 14 - ------------------------------------ n 14100786818229685769395200 12960032523811302699921675619853 24 + -------------------------------- n 9588535036396186323188736 7147912356633111511207379557958726663 15 + ------------------------------------- n 126907081364067171924556800 2066952129288179206937015907985 25 + ------------------------------- n 9588535036396186323188736 49803543530459540457091685571706391924563 10 + ----------------------------------------- n 809032643695928221019049600 1355282444757866327983145880958453116679 6 - ---------------------------------------- n 7491042997184520564991200 319101784068607460617673722573887907901 3 - --------------------------------------- n 69361509233190005231400 7166274655049123378435734437425 26 + ------------------------------- n 86296815327565676908698624 10569168719963034556009140256406583023 16 + -------------------------------------- n 126907081364067171924556800 4219151398856726725055513031334521241 13 + ------------------------------------- n 8460472090937811461637120 75151889471122539715536736611454386361673 7 - ----------------------------------------- n 44946257983107123389947200 1645741128366728247486327863308871227189 4 + ---------------------------------------- n 416169055399140031388400 35924783679937636097124424516823839 20 + ----------------------------------- n 31266962075204955401702400 17106084924373561349739445375 28 + ----------------------------- n 19914649690976694671238144 59729307973879402976638694326418099 12 - ----------------------------------- n 12653788846595473927350 30983128602420930737006677851835118359 5 + -------------------------------------- n 6090278859499610215440 89145776758939952543502971730305218859 11 - -------------------------------------- n 5448031270679651319993600 136662089513945927349973679618237 17 + --------------------------------- n 18194563636425400992768 187337298201210400826549207134739 21 + --------------------------------- n 2125537323339056081495040 1945038169583152712505784203085618528915 9 + ---------------------------------------- n 8090326436959282210190496 29015841936799840894458975137200207 2 - ----------------------------------- n 5004437895612554490 400589872057026589887328107425 27 - ------------------------------ n 258890445982697030726095872 79938829955575481853639522255890933 22 + ----------------------------------- n 2157420383189141922717465600 501720484316821475522186908530734213 18 - ------------------------------------ n 239713375909904658079718400 138059406151669377209610519137999 19 + --------------------------------- n 49044542571759801830400 2542500321238685117957778666349 23 + ------------------------------- n 143971997543486281128960 891116979844053297238642825867162087009 8 - --------------------------------------- n 3288750584129789516337600 216508204642358492028472135657 24256179819767031378386433396287 \ / + ------------------------------ - -------------------------------- n| + | 244759311954729 61679346612591708 / \ 569801947785297978901706140201081 14 4409124661339059158952025 24 --------------------------------- n + ------------------------- n 118310661089332008321024 3270607217613745422336 15491687329985619672973283060147963 15 1083655297994646289863875 25 + ----------------------------------- n + ------------------------- n 6388775698823928449335296 14717732479261854400512 49202100520350348434796831563107 10 - -------------------------------- n 105900451884157322133504 14282578975270710620288792349074735 6 - ----------------------------------- n 8218024484837605244928 146597565612010414508602506070156490207203 3 + ------------------------------------------ n 9907387342136702079917359104 5193865799457528826625 26 18919703643966807852383301001159 16 + ---------------------- n + -------------------------------- n 2277744312266715561984 18201640167589539741696 2758241056262921494917370686979919 13 + ---------------------------------- n 327629523016611715350528 33325135554210104301673093854901374113 7 + -------------------------------------- n 55915438594835066086490112 25722996129214757425123999912789293791 4 - -------------------------------------- n 2646203884117708888866816 5182695288781051480709849 20 788724824403811149875763007133941 12 + ------------------------- n + --------------------------------- n 820781032088272896 72806560670358158966784 643886298001129559664242058439780142813 5 + --------------------------------------- n 142895009742356279998808064 202102191889832716971577102329202541 11 + ------------------------------------ n 10484144736531574891216896 30826615685671022368507465796329 17 96064315333117841974776511 21 + -------------------------------- n + -------------------------- n 81907380754152928837632 87259283473884512256 334467633735093619289663627710534937 9 + ------------------------------------ n 4901678058638138910179328 1090410281157479970754249416159611295355 2 - ---------------------------------------- n 366940271930988965922865152 6213057256272933701875 27 2733425742040608327633565 22 + ------------------------ n + ------------------------- n 430493675018409241214976 17775039226161659904 23880155089612229795940006949 18 55180991814674528523271616305 19 + ----------------------------- n + ----------------------------- n 206836820086244769792 1861531380776202928128 983961219626869456013543995 23 1031955352060621925267804052763121469 + --------------------------- n + ------------------------------------- 58870929917047417602048 4722366482869645213696 437441327093336210530553048494170601 8 - ------------------------------------ n 2541610845219775731204096 45451837344206619678978807940265641449 \ n / - -------------------------------------- n| 3 + | 597379360083010119532544 / \ 363580713299773469429730510377 14 1055910050942762045265775 24 ------------------------------ n + ------------------------- n 162291716171923193856 4486429653791145984 20288442391362034625159237965285 15 16320763267045728965125 25 - -------------------------------- n - ----------------------- n 973750297031539163136 2243214826895572992 552857608340073667793537153240233 10 - --------------------------------- n 145268109580462718976 23109063272824050923712345100071031 6 + ----------------------------------- n 199743650673136238592 102215356065298438074554287627017539348975 3 - ------------------------------------------ n 40771141325665440658096128 5491759125376437980125 26 2595515085659376790627676599 16 + ---------------------- n + ---------------------------- n 2430149395803537408 3566850904877432832 4362499231224022462311653388889 13 + ------------------------------- n 16645304222761353216 3559607126859929867363498618093397565 7 - ------------------------------------- n 25567187286161438539776 134491187926405076321334645391515689969 4 - --------------------------------------- n 196015102527237695471616 3725672060312141930067283 20 14572541605012957372114985908765 12 + ------------------------- n + -------------------------------- n 70931694131085312 33290608445522706432 24764719712466705820232299307659825985 5 + -------------------------------------- n 28002157503891099353088 2945978281843665830330001195808915 11 - ---------------------------------- n 1597949205385089908736 51176000646281475497222719969 17 1591090924795402762581895 21 + ----------------------------- n + ------------------------- n 12483978167071014912 53198770598313984 78940558909772371320929598698021351 9 + ----------------------------------- n 5229651944896657883136 2040503954086356237235301606271608621947 2 6213057256272933701875 27 + ---------------------------------------- n + ---------------------- n 1941482920269782888480768 65614033686695510016 127960186008374852240125 22 27687135797711842058918167 18 + ------------------------ n + -------------------------- n 97531079430242304 31525197391593472 3239579673358169752473845 19 1891321861618288121458075 23 - ------------------------- n + ------------------------- n 94575592174780416 8972859307582291968 7397358438020720284193820479487019 8 + ---------------------------------- n 1162144876643701751808 1151009499473425682631603652620757473567 + ---------------------------------------- n 597379360083010119532544 1031955350822681885982423777863997245\ n - -------------------------------------| (-1) 4722366482869645213696 / and in Maple notation (-6243005783428166877801163799416156937/42302360454689057308185600*n^14-\ 125438880896071602576727227291611/28765605109188558969566208*n^24-\ 859931625063661649681974785031626463/126907081364067171924556800*n^15-\ 21556723845891316191446443025/96206037154476785851392*n^25-\ 717930526515609821902502993906532823121/3728261030856812078428800*n^10-\ 4225530551152686723848198200984579167643/2497014332394840188330400*n^6+ 29413002510086421932493051570948599827/3015717792747391531800*n^3-\ 14880967689640842897380475875/55639468296302821991424*n^26-\ 109735519766453958008154767124558101/590265494716591497323520*n^16-\ 42565369047963038246268791306310424037/42302360454689057308185600*n^13+ 15822816258073903419447961782914572213937/4994028664789680376660800*n^7-\ 21126464672959495447972350791055398041/5548920738655200418512*n^4-\ 89125926701872039384646627020750909/28765605109188558969566208*n^20-\ 667182506462522323449216809375/258890445982697030726095872*n^28+ 265920760546780928478522432503828217193/17978503193242849355978880*n^12-\ 4196095541117105249708906515243184965543/416169055399140031388400*n^5+ 4696288130728202414216104585455214085227/179785031932428493559788800*n^11-\ 121702815049930303259192639159063389/3254027727283773639091200*n^17-\ 605493239755821584513426097374983837/2157420383189141922717465600*n^21-\ 43182351372595640408489490807764188093639/101129080461991027627381200*n^9+ 2791995012774286622722621081550746/339807511430482095*n^2+ 2199840513134244801227563593625/258890445982697030726095872*n^27-\ 117396289894275856170653390482346977/2157420383189141922717465600*n^22+ 4921439302358291985329692334828188771/719140127729713974239155200*n^18-\ 3403081214728007784413695897327880737/719140127729713974239155200*n^19-\ 6676015151417062374009908516016499/143828025545942794847831040*n^23-\ 216508204706520677101532614633/244759311954729+ 9471276976717477013088904672383859447523/8989251596621424677989440*n^8+ 355412704149672585959612494657/1312326523672164*n)*M[n]+M[n+1]*(-\ 452873765937077837936524018823191009/14100786818229685769395200*n^14+ 12960032523811302699921675619853/9588535036396186323188736*n^24+ 7147912356633111511207379557958726663/126907081364067171924556800*n^15+ 2066952129288179206937015907985/9588535036396186323188736*n^25+ 49803543530459540457091685571706391924563/809032643695928221019049600*n^10-\ 1355282444757866327983145880958453116679/7491042997184520564991200*n^6-\ 319101784068607460617673722573887907901/69361509233190005231400*n^3+ 7166274655049123378435734437425/86296815327565676908698624*n^26+ 10569168719963034556009140256406583023/126907081364067171924556800*n^16+ 4219151398856726725055513031334521241/8460472090937811461637120*n^13-\ 75151889471122539715536736611454386361673/44946257983107123389947200*n^7+ 1645741128366728247486327863308871227189/416169055399140031388400*n^4+ 35924783679937636097124424516823839/31266962075204955401702400*n^20+ 17106084924373561349739445375/19914649690976694671238144*n^28-\ 59729307973879402976638694326418099/12653788846595473927350*n^12+ 30983128602420930737006677851835118359/6090278859499610215440*n^5-\ 89145776758939952543502971730305218859/5448031270679651319993600*n^11+ 136662089513945927349973679618237/18194563636425400992768*n^17+ 187337298201210400826549207134739/2125537323339056081495040*n^21+ 1945038169583152712505784203085618528915/8090326436959282210190496*n^9-\ 29015841936799840894458975137200207/5004437895612554490*n^2-\ 400589872057026589887328107425/258890445982697030726095872*n^27+ 79938829955575481853639522255890933/2157420383189141922717465600*n^22-\ 501720484316821475522186908530734213/239713375909904658079718400*n^18+ 138059406151669377209610519137999/49044542571759801830400*n^19+ 2542500321238685117957778666349/143971997543486281128960*n^23-\ 891116979844053297238642825867162087009/3288750584129789516337600*n^8+ 216508204642358492028472135657/244759311954729-24256179819767031378386433396287 /61679346612591708*n)+(569801947785297978901706140201081/ 118310661089332008321024*n^14+4409124661339059158952025/3270607217613745422336* n^24+15491687329985619672973283060147963/6388775698823928449335296*n^15+ 1083655297994646289863875/14717732479261854400512*n^25-\ 49202100520350348434796831563107/105900451884157322133504*n^10-\ 14282578975270710620288792349074735/8218024484837605244928*n^6+ 146597565612010414508602506070156490207203/9907387342136702079917359104*n^3+ 5193865799457528826625/2277744312266715561984*n^26+ 18919703643966807852383301001159/18201640167589539741696*n^16+ 2758241056262921494917370686979919/327629523016611715350528*n^13+ 33325135554210104301673093854901374113/55915438594835066086490112*n^7-\ 25722996129214757425123999912789293791/2646203884117708888866816*n^4+ 5182695288781051480709849/820781032088272896*n^20+ 788724824403811149875763007133941/72806560670358158966784*n^12+ 643886298001129559664242058439780142813/142895009742356279998808064*n^5+ 202102191889832716971577102329202541/10484144736531574891216896*n^11+ 30826615685671022368507465796329/81907380754152928837632*n^17+ 96064315333117841974776511/87259283473884512256*n^21+ 334467633735093619289663627710534937/4901678058638138910179328*n^9-\ 1090410281157479970754249416159611295355/366940271930988965922865152*n^2+ 6213057256272933701875/430493675018409241214976*n^27+2733425742040608327633565/ 17775039226161659904*n^22+23880155089612229795940006949/206836820086244769792*n ^18+55180991814674528523271616305/1861531380776202928128*n^19+ 983961219626869456013543995/58870929917047417602048*n^23+ 1031955352060621925267804052763121469/4722366482869645213696-\ 437441327093336210530553048494170601/2541610845219775731204096*n^8-\ 45451837344206619678978807940265641449/597379360083010119532544*n)*3^n+( 363580713299773469429730510377/162291716171923193856*n^14+ 1055910050942762045265775/4486429653791145984*n^24-\ 20288442391362034625159237965285/973750297031539163136*n^15-\ 16320763267045728965125/2243214826895572992*n^25-\ 552857608340073667793537153240233/145268109580462718976*n^10+ 23109063272824050923712345100071031/199743650673136238592*n^6-\ 102215356065298438074554287627017539348975/40771141325665440658096128*n^3+ 5491759125376437980125/2430149395803537408*n^26+2595515085659376790627676599/ 3566850904877432832*n^16+4362499231224022462311653388889/16645304222761353216*n ^13-3559607126859929867363498618093397565/25567187286161438539776*n^7-\ 134491187926405076321334645391515689969/196015102527237695471616*n^4+ 3725672060312141930067283/70931694131085312*n^20+ 14572541605012957372114985908765/33290608445522706432*n^12+ 24764719712466705820232299307659825985/28002157503891099353088*n^5-\ 2945978281843665830330001195808915/1597949205385089908736*n^11+ 51176000646281475497222719969/12483978167071014912*n^17+ 1591090924795402762581895/53198770598313984*n^21+ 78940558909772371320929598698021351/5229651944896657883136*n^9+ 2040503954086356237235301606271608621947/1941482920269782888480768*n^2+ 6213057256272933701875/65614033686695510016*n^27+127960186008374852240125/ 97531079430242304*n^22+27687135797711842058918167/31525197391593472*n^18-\ 3239579673358169752473845/94575592174780416*n^19+1891321861618288121458075/ 8972859307582291968*n^23+7397358438020720284193820479487019/ 1162144876643701751808*n^8+1151009499473425682631603652620757473567/ 597379360083010119532544*n-1031955350822681885982423777863997245/ 4722366482869645213696)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 524290, 276041741278, 648335998579178, 1532346115060429852, 481203097144848696444, 126789669401871322314676, 14016699673783881890314996, 1189185398498293906800704309, 66276291561666409642430291438, 2903845932523001367222067253514, 99433494310337456864503219592822, 2823114147893540099998490711551201, 67713083777606039446628626820646680, 1408822850482109356172382905652135256, 25855965348760097798575187218478893208, 425169732208939189300945440690864142483, 6341418114670454947041829062079154555210, 86700296282228110854083288536193561758438, 1096254987356399550031237404417061690796954, 12917067134327948051601304415172554046740374, 142764107643329333946225263470568604700641044, 1488483877859193944183238880941974706680116588, 14712707090662151242884775033760941493649738828, 138469992470322878963908926643449801010252323907, 1245670006855109474815369932738253972590601964374, 10747709960219985580806777923066155650475076372642, 89210231958523673871863568892214255689026377505446, 714300227519295617225744218680032461204888468310112] ----------------------------------------- The sum of the, 20, -th power of the areas of all Motzkin paths of length n is / 2506622577257262704597711045281594 |- ---------------------------------- \ 64861217668003185 69896180307730966747665423202988659474551067 14 - -------------------------------------------- n 1886664125098904611416423667200 2061660268095922027823811883985385234373 24 + ---------------------------------------- n 8603188410451005028058891922432 12375282446246844845235483188900497050133 15 + ----------------------------------------- n 1790003913756076481419756800 1131874783683749257780085678166357329 25 + ------------------------------------- n 259758104180283968238493113600 844486214917924821995328914321681022788882063 10 - --------------------------------------------- n 288053183385636329064471827760 17993292695029110236730003993194698899657666119 6 - ----------------------------------------------- n 82978283279812934298407522400 689968190811309152708497554333904965850505117 3 + --------------------------------------------- n 1152476156664068531922326700 1376894640201452969708471029889204827 26 + ------------------------------------- n 2867729470150335009352963974144 536778464244140516941938988039075 30 + --------------------------------- n 1122155010058826742790290250752 3264842361796209365210151732495704853723221 16 + ------------------------------------------- n 665881455917260451088149529600 150213454483390769857286011761217688551930901 13 - --------------------------------------------- n 1257776083399269740944282444800 1084217606993816522918233966003717271575327759 7 + ---------------------------------------------- n 45260881788988873253676830400 931623217556004059232748129908833272040347043 4 + --------------------------------------------- n 1728714234996102797883490050 116124989564037631062813320306455884951727 20 + ------------------------------------------ n 2312685056572850813994325785600 98253208257606632913418564412766025 29 + ----------------------------------- n 8603188410451005028058891922432 133570211090175574868441814585642175 28 - ------------------------------------ n 2346324111941183189470606887936 10794936500927889410532624016737467022221359657 12 + ----------------------------------------------- n 40327445673989086069026055886400 26927539739165283324466728013183805648142049 5 - -------------------------------------------- n 141119529387436963092529800 4630899319546845271853232217291461627692806939 11 + ---------------------------------------------- n 4888175233210798311397097683200 1445930476334963971816058614070676574507 17 + ---------------------------------------- n 3728585227468190931653011200 32958167217271922599972420292672810969791 21 + ----------------------------------------- n 3258783488807198874264731788800 54268327496473389998087147857999601454659652311 9 - ----------------------------------------------- n 13442481891329695356342018628800 893150428162949174006888679306390946567939 2 - ------------------------------------------ n 3048878721333514634715150 1930740142401765472100740689602485 27 + ---------------------------------- n 1321128441408323867945161536 200914122262418244418301172599449100263429 22 - ------------------------------------------ n 215079710261275125701472298060800 9177212613389104258683176468459865080009 18 - ---------------------------------------- n 27813230345438397219898137600 6466197961997902035686480781714537065759 19 - ---------------------------------------- n 314444020849817435236070611200 6263915209793874131712415415624415325163 23 + ---------------------------------------- n 17923309188439593808456024838400 4674753453428919385402388472452394084709143611 8 + ---------------------------------------------- n 135782645366966619761030491200 16132589804142567843826853405109270541 \ / - -------------------------------------- n| M[n] + M[n + 1] | 39695065212817949220 / \ 4526868180164765037873781730724200147999 14 ---------------------------------------- n 392237863845926114639589120 685589145821681997669797399437727581807 24 - --------------------------------------- n 8272296548510581757748934540800 134256394244261942670441584159795396892583 15 - ------------------------------------------ n 31708640757964783385149977600 276245185966432485124954761165077281 25 - ------------------------------------ n 508462672012470746339178009600 220826267819969593193964163335587444902333 10 + ------------------------------------------ n 295727307002347239940939200 158311941929022700543892397559130297675678627 6 + --------------------------------------------- n 1929727518135184518567616800 24401253617350472146994901541824752774879524 3 - -------------------------------------------- n 57623807833203426596116335 1340582755852381537100210045551888069 26 - ------------------------------------- n 1433864735075167504676481987072 739347580980707014100261437225 30 - ------------------------------ n 4637004173796804722273926656 93298521896848307609373753653205538784837 16 - ----------------------------------------- n 47562961136947175077724966400 4384629958909718049810850799322407704292969 13 + ------------------------------------------- n 73986828435251161232016614400 7787302235095116745608162052928075232492019 7 - ------------------------------------------- n 320999161624034562082814400 25120460428249232326334155895899308479670503 4 - -------------------------------------------- n 123479588214007342705963575 2318604361116753122801765772883609254323 20 - ---------------------------------------- n 105122048026038673363378444800 511815907428331072771765859542175 29 - --------------------------------- n 126517476624279485706748410624 25102127987236648819014703225272425 28 + ----------------------------------- n 1843540373668072506012619697664 4502248619926820706517519816533348290657293057 12 - ---------------------------------------------- n 80654891347978172138052111772800 10136552222591427425224832530066928917851521 5 + -------------------------------------------- n 65234499433815199920131700 36924814385951222791020286259496704169549611 11 - -------------------------------------------- n 75202695895550743252263041280 91038432605000932527097139892402412357 17 - -------------------------------------- n 31184530993370324155643366400 2506622577291268662686433099138874 + ---------------------------------- 64861217668003185 18338519767974346024716409302677262877211 21 - ----------------------------------------- n 6517566977614397748529463577600 10364944086806482732650846112136236537188447197 9 + ----------------------------------------------- n 3360620472832423839085504657200 126217469262058825860154329825211885540522 2 + ------------------------------------------ n 1524439360666757317357575 7503083125383940751131373666117615 27 - ---------------------------------- n 16640596538589951698373098496 90547940589261062055798085572479632721 22 + -------------------------------------- n 289864838627055425473682342400 825677256329769846696065586511046724960457 18 + ------------------------------------------ n 5659992375296713834249271001600 74603078591032426641479156803097097277 19 - -------------------------------------- n 8114684409027546715769564160 1254371994977784636416955529413554113997 23 - ---------------------------------------- n 5514864365673721171832623027200 5898523837146488425915851742805075217567994391 8 - ---------------------------------------------- n 497869699678877605790445134400 480790332837693264579433467104533307 \ / + ------------------------------------ n| + | 1725872400557302140 / \ 29338593265935200146610743770690595 14 140793696165106625423222855 24 - ----------------------------------- n - --------------------------- n 1064795949803988074889216 2102533211323122057216 26432987774102823600648619455610789 15 44601566818690350317857475 25 - ----------------------------------- n - -------------------------- n 1597193924705982112333824 7358866239630927200256 1650099090198423425045936653476456025 10 - ------------------------------------- n 1225419514659534727544832 635230924959666910748189112607838152043 6 - --------------------------------------- n 5103393205084152857100288 146460634510917524060487711837956482981855 3 - ------------------------------------------ n 176917631109583965712809984 18815327284760716841278375 26 3172806889241911427456925478057705 16 - -------------------------- n - ---------------------------------- n 47832630557601026801664 399298481176495528083456 7336827562034153744899722365383175 13 - ---------------------------------- n 163814761508305857675264 796959348653745158560721709687310595159 7 + --------------------------------------- n 13978859648708766521622528 54801730093270435542277713656380940257585 4 + ----------------------------------------- n 2476846835534175519979339776 45123524303051004930671399105 20 31065286281364668509375 28 - ----------------------------- n - ------------------------ n 465382845194050732032 107623418754602310303744 3977565415698598441411366056210795825 - ------------------------------------- 1180591620717411303424 2616129253694771689738105319526005 12 - ---------------------------------- n 34039430962764853542912 880139823051175443971317570028000901263 5 + --------------------------------------- n 5103393205084152857100288 14230726464872187149928272882209901 11 + ----------------------------------- n 93608435147603347243008 19688417809961811105878811396355 17 7393994584246704732933810065 21 - -------------------------------- n - ---------------------------- n 5850527196725209202688 349037133895538049024 96990410224082169253233680882580267145 9 + -------------------------------------- n 17155873205233486185627648 102952566365458627788948370909268818992983 2 + ------------------------------------------ n 52420038847284137988980736 111185502732712440970625 27 922210547582510923211857975 22 - ------------------------ n - --------------------------- n 6726463672162644393984 239963029553182408704 3543724332410760675008298146495 18 86644955488664288606789884075 19 - ------------------------------- n - ----------------------------- n 2925263598362604601344 232691422597025366016 1195162018546102197787645265 23 - ---------------------------- n 2102533211323122057216 281562676573553667217778875316731851655 8 - --------------------------------------- n 13978859648708766521622528 279708762864083250210175892233946126931 \ n / - --------------------------------------- n| 3 + | 298689680041505059766272 / \ 308791813575397908845193153077375 14 4742978225083729507849375 24 - --------------------------------- n - ------------------------- n 162291716171923193856 747738275631857664 1390084252347402452651396381317 15 1746682181879071612875 25 + ------------------------------- n + ---------------------- n 1702360659146047488 1618481116086272 737758172781183814593237306365304367 10 - ------------------------------------ n 1307412986224164470784 4403670823867887436356215567248308323753 6 - ---------------------------------------- n 147011326895428271603712 4170140852473931239119868820808293235455 3 + ---------------------------------------- n 98007551263618847735808 2092489996313446500154375 26 4316575461226236037711937857435 16 - ------------------------- n + ------------------------------- n 7290448187410612224 121718787128942395392 5423251827381370109825102258935 13 - ------------------------------- n 3566850904877432832 445296447802700865705345315061616665 7 - ------------------------------------ n 913113831648622804992 758759820264319029014109310074276433167355 4 + ------------------------------------------ n 10192785331416360164524032 182459204906083333940010625 20 31065286281364668509375 28 - --------------------------- n - ----------------------- n 70931694131085312 16403508421673877504 14650582553176715254598951966448815 12 + ----------------------------------- n 399487301346272477184 22231645010604482177306915040221050945 5 - -------------------------------------- n 2227444346900428357632 8269524060538884673353128567232505 11 - ---------------------------------- n 199743650673136238592 828087927463847645446160388815 17 29828724923432317112790425 21 - ------------------------------ n - -------------------------- n 6241989083535507456 53198770598313984 1038080835105438306129006661916870635 9 + ------------------------------------- n 2614825972448328941568 111520403098975962305586025235156690178555 2 - ------------------------------------------ n 1941482920269782888480768 1543850033743184920625 27 16680619382422420061876825 22 + ---------------------- n + -------------------------- n 90129167152054272 146296619145363456 3977565415079628421768675918761233713 8612930652760279956314423095 18 + ------------------------------------- + ---------------------------- n 1180591620717411303424 3120994541767753728 5001136524849119696978045 19 58761700207270333642127875 23 + ------------------------- n - -------------------------- n 633318697598976 2243214826895572992 35333683940033501928618520999965999415 8 + -------------------------------------- n 6391796821540359634944 11058231036132832145284503147763984654793 \ n - ----------------------------------------- n| (-1) 298689680041505059766272 / and in Maple notation (-2506622577257262704597711045281594/64861217668003185-\ 69896180307730966747665423202988659474551067/1886664125098904611416423667200*n^ 14+2061660268095922027823811883985385234373/8603188410451005028058891922432*n^ 24+12375282446246844845235483188900497050133/1790003913756076481419756800*n^15+ 1131874783683749257780085678166357329/259758104180283968238493113600*n^25-\ 844486214917924821995328914321681022788882063/288053183385636329064471827760*n^ 10-17993292695029110236730003993194698899657666119/ 82978283279812934298407522400*n^6+689968190811309152708497554333904965850505117 /1152476156664068531922326700*n^3+1376894640201452969708471029889204827/ 2867729470150335009352963974144*n^26+536778464244140516941938988039075/ 1122155010058826742790290250752*n^30+ 3264842361796209365210151732495704853723221/665881455917260451088149529600*n^16 -150213454483390769857286011761217688551930901/1257776083399269740944282444800* n^13+1084217606993816522918233966003717271575327759/ 45260881788988873253676830400*n^7+931623217556004059232748129908833272040347043 /1728714234996102797883490050*n^4+116124989564037631062813320306455884951727/ 2312685056572850813994325785600*n^20+98253208257606632913418564412766025/ 8603188410451005028058891922432*n^29-133570211090175574868441814585642175/ 2346324111941183189470606887936*n^28+ 10794936500927889410532624016737467022221359657/ 40327445673989086069026055886400*n^12-\ 26927539739165283324466728013183805648142049/141119529387436963092529800*n^5+ 4630899319546845271853232217291461627692806939/4888175233210798311397097683200* n^11+1445930476334963971816058614070676574507/3728585227468190931653011200*n^17 +32958167217271922599972420292672810969791/3258783488807198874264731788800*n^21 -54268327496473389998087147857999601454659652311/ 13442481891329695356342018628800*n^9-893150428162949174006888679306390946567939 /3048878721333514634715150*n^2+1930740142401765472100740689602485/ 1321128441408323867945161536*n^27-200914122262418244418301172599449100263429/ 215079710261275125701472298060800*n^22-9177212613389104258683176468459865080009 /27813230345438397219898137600*n^18-6466197961997902035686480781714537065759/ 314444020849817435236070611200*n^19+6263915209793874131712415415624415325163/ 17923309188439593808456024838400*n^23+ 4674753453428919385402388472452394084709143611/135782645366966619761030491200*n ^8-16132589804142567843826853405109270541/39695065212817949220*n)*M[n]+M[n+1]*( 4526868180164765037873781730724200147999/392237863845926114639589120*n^14-\ 685589145821681997669797399437727581807/8272296548510581757748934540800*n^24-\ 134256394244261942670441584159795396892583/31708640757964783385149977600*n^15-\ 276245185966432485124954761165077281/508462672012470746339178009600*n^25+ 220826267819969593193964163335587444902333/295727307002347239940939200*n^10+ 158311941929022700543892397559130297675678627/1929727518135184518567616800*n^6-\ 24401253617350472146994901541824752774879524/57623807833203426596116335*n^3-\ 1340582755852381537100210045551888069/1433864735075167504676481987072*n^26-\ 739347580980707014100261437225/4637004173796804722273926656*n^30-\ 93298521896848307609373753653205538784837/47562961136947175077724966400*n^16+ 4384629958909718049810850799322407704292969/73986828435251161232016614400*n^13-\ 7787302235095116745608162052928075232492019/320999161624034562082814400*n^7-\ 25120460428249232326334155895899308479670503/123479588214007342705963575*n^4-\ 2318604361116753122801765772883609254323/105122048026038673363378444800*n^20-\ 511815907428331072771765859542175/126517476624279485706748410624*n^29+ 25102127987236648819014703225272425/1843540373668072506012619697664*n^28-\ 4502248619926820706517519816533348290657293057/80654891347978172138052111772800 *n^12+10136552222591427425224832530066928917851521/65234499433815199920131700*n ^5-36924814385951222791020286259496704169549611/75202695895550743252263041280*n ^11-91038432605000932527097139892402412357/31184530993370324155643366400*n^17+ 2506622577291268662686433099138874/64861217668003185-\ 18338519767974346024716409302677262877211/6517566977614397748529463577600*n^21+ 10364944086806482732650846112136236537188447197/3360620472832423839085504657200 *n^9+126217469262058825860154329825211885540522/1524439360666757317357575*n^2-\ 7503083125383940751131373666117615/16640596538589951698373098496*n^27+ 90547940589261062055798085572479632721/289864838627055425473682342400*n^22+ 825677256329769846696065586511046724960457/5659992375296713834249271001600*n^18 -74603078591032426641479156803097097277/8114684409027546715769564160*n^19-\ 1254371994977784636416955529413554113997/5514864365673721171832623027200*n^23-\ 5898523837146488425915851742805075217567994391/497869699678877605790445134400*n ^8+480790332837693264579433467104533307/1725872400557302140*n)+(-\ 29338593265935200146610743770690595/1064795949803988074889216*n^14-\ 140793696165106625423222855/2102533211323122057216*n^24-\ 26432987774102823600648619455610789/1597193924705982112333824*n^15-\ 44601566818690350317857475/7358866239630927200256*n^25-\ 1650099090198423425045936653476456025/1225419514659534727544832*n^10-\ 635230924959666910748189112607838152043/5103393205084152857100288*n^6-\ 146460634510917524060487711837956482981855/176917631109583965712809984*n^3-\ 18815327284760716841278375/47832630557601026801664*n^26-\ 3172806889241911427456925478057705/399298481176495528083456*n^16-\ 7336827562034153744899722365383175/163814761508305857675264*n^13+ 796959348653745158560721709687310595159/13978859648708766521622528*n^7+ 54801730093270435542277713656380940257585/2476846835534175519979339776*n^4-\ 45123524303051004930671399105/465382845194050732032*n^20-\ 31065286281364668509375/107623418754602310303744*n^28-\ 3977565415698598441411366056210795825/1180591620717411303424-\ 2616129253694771689738105319526005/34039430962764853542912*n^12+ 880139823051175443971317570028000901263/5103393205084152857100288*n^5+ 14230726464872187149928272882209901/93608435147603347243008*n^11-\ 19688417809961811105878811396355/5850527196725209202688*n^17-\ 7393994584246704732933810065/349037133895538049024*n^21+ 96990410224082169253233680882580267145/17155873205233486185627648*n^9+ 102952566365458627788948370909268818992983/52420038847284137988980736*n^2-\ 111185502732712440970625/6726463672162644393984*n^27-\ 922210547582510923211857975/239963029553182408704*n^22-\ 3543724332410760675008298146495/2925263598362604601344*n^18-\ 86644955488664288606789884075/232691422597025366016*n^19-\ 1195162018546102197787645265/2102533211323122057216*n^23-\ 281562676573553667217778875316731851655/13978859648708766521622528*n^8-\ 279708762864083250210175892233946126931/298689680041505059766272*n)*3^n+(-\ 308791813575397908845193153077375/162291716171923193856*n^14-\ 4742978225083729507849375/747738275631857664*n^24+ 1390084252347402452651396381317/1702360659146047488*n^15+1746682181879071612875 /1618481116086272*n^25-737758172781183814593237306365304367/ 1307412986224164470784*n^10-4403670823867887436356215567248308323753/ 147011326895428271603712*n^6+4170140852473931239119868820808293235455/ 98007551263618847735808*n^3-2092489996313446500154375/7290448187410612224*n^26+ 4316575461226236037711937857435/121718787128942395392*n^16-\ 5423251827381370109825102258935/3566850904877432832*n^13-\ 445296447802700865705345315061616665/913113831648622804992*n^7+ 758759820264319029014109310074276433167355/10192785331416360164524032*n^4-\ 182459204906083333940010625/70931694131085312*n^20-31065286281364668509375/ 16403508421673877504*n^28+14650582553176715254598951966448815/ 399487301346272477184*n^12-22231645010604482177306915040221050945/ 2227444346900428357632*n^5-8269524060538884673353128567232505/ 199743650673136238592*n^11-828087927463847645446160388815/6241989083535507456*n ^17-29828724923432317112790425/53198770598313984*n^21+ 1038080835105438306129006661916870635/2614825972448328941568*n^9-\ 111520403098975962305586025235156690178555/1941482920269782888480768*n^2+ 1543850033743184920625/90129167152054272*n^27+16680619382422420061876825/ 146296619145363456*n^22+3977565415079628421768675918761233713/ 1180591620717411303424+8612930652760279956314423095/3120994541767753728*n^18+ 5001136524849119696978045/633318697598976*n^19-58761700207270333642127875/ 2243214826895572992*n^23+35333683940033501928618520999965999415/ 6391796821540359634944*n^8-11058231036132832145284503147763984654793/ 298689680041505059766272*n)*(-1)^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [0, 1, 1048578, 1103001557908, 3850205791656618, 13568920957749763018, 5562447090408645716480, 1932174005051512547072112, 262017278788065131712232096, 27238220779694299603306815625, 1795408454613326960035504335382, 92222565740666691855970530429620, 3636157649464465655713274921691246, 117715668003571704867900137478079107, 3184615475507901899081508884240711912, 74121422888230642845731004239764911872, 1510184083889473838906969279248439127336, 27389602556239459619786511437941051530547, 447949653826026021571376857719418144963054, 6680978771882609794168370086900509703879980, 91726330177732409505675119497400153488472390, 1168685947707950364107808348392038527986257604, 13914393197236695765373094386646028081773718504, 155743465728757637027851949199219468253342590160, 1647470197159642566762687986108471942377457577416, 16545980156097133100861680642009627551460820901639, 158417965619724915964925790905366394327870864947218, 1451187036853739447668480925179093583778076844761468, 12759934887602957821234228550872402738502343847129498, 108001969295283860490178708556523828091586908358952242] ----------------------------------------------- 1/2 1/2 3/2 3 Pi n The average of the area is asympotic to, --------------- 6 / Pi \ 3 The variance of the area is asympotic to, |- ---- + 5/18| n \ 12 / 1/2 1/2 (8 Pi - 25) Pi 108 The limiting skewness is, ------------------------ 3/2 8 (-3 Pi + 10) and in Maple notation 1/8*(8*Pi-25)/(-3*Pi+10)^(3/2)*Pi^(1/2)*108^(1/2) 2 189 Pi - 315 Pi - 884 The limiting kurtosisis, - ----------------------- 2 7 (9 Pi - 60 Pi + 100) and in Maple notation -1/7*(189*Pi^2-315*Pi-884)/(9*Pi^2-60*Pi+100) The limiting scaled moments up to the, 20, -th is 1/2 1/2 2 (8 Pi - 25) Pi 108 189 Pi - 315 Pi - 884 [------------------------, - -----------------------, 3/2 2 8 (-3 Pi + 10) 7 (9 Pi - 60 Pi + 100) 1/2 1/2 2 Pi 3 (8064 Pi + 8400 Pi - 105845) ----------------------------------------, 5/2 224 (-3 Pi + 10) 3 2 15 (144144 Pi + 720720 Pi - 3013725 Pi - 2120320) ---------------------------------------------------, 3 16016 (-10 + 3 Pi) 1/2 1/2 3 2 3 Pi 3 (494208 Pi + 5045040 Pi - 9911330 Pi - 33965825) ---------------------------------------------------------------, - 3 ( 7/2 9152 (-3 Pi + 10) 4 3 2 488864376 Pi + 8147739600 Pi + 455885430 Pi - 86568885375 Pi / 4 1/2 1/2 4 - 32820007040) / (2586584 (-10 + 3 Pi) ), 27 Pi 3 (15891972096 Pi / 3 2 + 387366819840 Pi + 907208125824 Pi - 4944441622400 Pi - 6978220262525) / 9/2 5 / (662165504 (-3 Pi + 10) ), 3 (5551264502784 Pi / 4 3 2 + 185042150092800 Pi + 926881269874560 Pi - 1941922651536000 Pi / 5 - 8623390317162525 Pi - 2206571720704000) / (7614903296 (-10 + 3 Pi) ), / 1/2 1/2 5 4 3 15 Pi 3 (897174061056 Pi + 39064453908480 Pi + 316407390773760 Pi 2 / - 14631197978880 Pi - 3420316627602660 Pi - 3000580680184825) / ( / 11/2 6 5538111488 (-3 Pi + 10) ), - 27 (4066404049483776 Pi 5 4 + 223652222721607680 Pi + 2601772448089351680 Pi 3 2 + 4879832965588627200 Pi - 27707639928293288700 Pi / - 61080560747571248125 Pi - 11742199201442693120) / (13691596126208 / 6 1/2 1/2 6 (-10 + 3 Pi) ), 9 Pi 3 (32758723531505664 Pi 5 4 + 2218038572445696000 Pi + 34644794310161418240 Pi 3 2 + 135500423248295424000 Pi - 252209106117757372320 Pi / - 1535336500136741126000 Pi - 973706701878244366545) / (33702390464512 / 13/2 7 6 (-3 Pi + 10) ), 27 (8535012426771038208 Pi + 697026014852968120320 Pi 5 4 + 13985625466898062129152 Pi + 85891085391875116953600 Pi 3 2 + 15470508877240185568800 Pi - 939473013683624546126000 Pi / - 1380743199083686490875095 Pi - 212090575588599686758400) / ( / 7 1/2 1/2 7 8105424906715136 (-10 + 3 Pi) ), 81 Pi 3 (49021609835813142528 Pi 6 5 + 4748968452844398182400 Pi + 118591626833198361722880 Pi 4 3 + 1020030490214434642944000 Pi + 1971112698714992951289600 Pi 2 - 9385224454034355991064000 Pi - 29926697748142629084578200 Pi / 15/2 - 14836002272587117225133875) / (129686798507442176 (-3 Pi + 10) ), - / 8 7 135 (10417310936582774095872 Pi + 1180628572812714397532160 Pi 6 5 + 35824939397742667842109440 Pi + 405111377855896049280983040 Pi 4 3 + 1493647812566919650928418560 Pi - 1977493996481237408210836800 Pi 2 - 18273688197163438167546720120 Pi - 20158640308913467963875576525 Pi / 8 - 2574475657956381612436357120) / (14289864110538784768 (-10 + 3 Pi) ), / 1/2 1/2 8 27 Pi 3 (836653050906726327386112 Pi 7 6 + 109636410212568929151221760 Pi + 3966850272437762848157859840 Pi 5 4 + 56613967121122142134704537600 Pi + 313657528230552102813018316800 Pi 3 2 + 184476748941951280868951040000 Pi - 3278087868374507917015891269120 Pi - 7158184879749528331362659664000 Pi - 2909227901248319964015443780975) / 17/2 / (215188541899878170624 (-3 Pi + 10) ), 81 ( / 9 8 17401520660401160048106012672 Pi + 2610228099060174007215901900800 Pi 7 + 110900512651617321599438479687680 Pi 6 + 1940549691751421409493382725632000 Pi 5 + 14618851492702465358570654292418560 Pi 4 + 32177089143249420430663102596096000 Pi 3 - 110294918427047103581380767695393280 Pi 2 - 503463743356931689771762709604624000 Pi - 444523246304371066311581845815078825 Pi / - 48527130325484200319802203439104000) / (4212423301961065129050112 / 9 1/2 1/2 9 (-10 + 3 Pi) ), 81 Pi 3 (7757953483274820578722185216 Pi 8 + 1320468332465735086003338608640 Pi 7 + 65046055584738564776008460795904 Pi 6 + 1365371885189878817815324576972800 Pi 5 + 13225961953764378092823328346112000 Pi 4 + 49981264834617079501656324670464000 Pi 3 - 32090525316569906256146053456926720 Pi 2 - 602183632324715785945394512115846400 Pi - 1004000468215369988061079504052993700 Pi / - 345423011497575748257465277763075125) / (1773651916615185317494784 / 19/2 10 (-3 Pi + 10) ), - 81 (68031756831269523477483636129792 Pi 9 + 13039420059326658666517696924876800 Pi 8 + 736743431389296993116220705692712960 Pi 7 + 18236215565456993378965673505718272000 Pi 6 + 219048116873106214174703531500051660800 Pi 5 + 1185693256466128395438934408514915328000 Pi 4 + 1285007144541476305868844758598666700800 Pi 3 - 11044468935645454494178412916374472672000 Pi 2 - 34170008905027217167810411437026302666500 Pi - 25141659118456389235172202777026446914375 Pi / - 2394619496912901945833572982702315929600) / ( / 10 4911685570086601940472430592 (-10 + 3 Pi) )] and in Maple notation [1/8*(8*Pi-25)/(-3*Pi+10)^(3/2)*Pi^(1/2)*108^(1/2), -1/7*(189*Pi^2-315*Pi-884)/ (9*Pi^2-60*Pi+100), 1/224*Pi^(1/2)/(-3*Pi+10)^(5/2)*3^(1/2)*(8064*Pi^2+8400*Pi-\ 105845), 15/16016*(144144*Pi^3+720720*Pi^2-3013725*Pi-2120320)/(-10+3*Pi)^3, 3/ 9152*Pi^(1/2)/(-3*Pi+10)^(7/2)*3^(1/2)*(494208*Pi^3+5045040*Pi^2-9911330*Pi-\ 33965825), -3/2586584*(488864376*Pi^4+8147739600*Pi^3+455885430*Pi^2-\ 86568885375*Pi-32820007040)/(-10+3*Pi)^4, 27/662165504*Pi^(1/2)/(-3*Pi+10)^(9/2 )*3^(1/2)*(15891972096*Pi^4+387366819840*Pi^3+907208125824*Pi^2-4944441622400* Pi-6978220262525), 3/7614903296*(5551264502784*Pi^5+185042150092800*Pi^4+ 926881269874560*Pi^3-1941922651536000*Pi^2-8623390317162525*Pi-2206571720704000 )/(-10+3*Pi)^5, 15/5538111488*Pi^(1/2)/(-3*Pi+10)^(11/2)*3^(1/2)*(897174061056* Pi^5+39064453908480*Pi^4+316407390773760*Pi^3-14631197978880*Pi^2-\ 3420316627602660*Pi-3000580680184825), -27/13691596126208*(4066404049483776*Pi^ 6+223652222721607680*Pi^5+2601772448089351680*Pi^4+4879832965588627200*Pi^3-\ 27707639928293288700*Pi^2-61080560747571248125*Pi-11742199201442693120)/(-10+3* Pi)^6, 9/33702390464512*Pi^(1/2)/(-3*Pi+10)^(13/2)*3^(1/2)*(32758723531505664* Pi^6+2218038572445696000*Pi^5+34644794310161418240*Pi^4+135500423248295424000* Pi^3-252209106117757372320*Pi^2-1535336500136741126000*Pi-973706701878244366545 ), 27/8105424906715136*(8535012426771038208*Pi^7+697026014852968120320*Pi^6+ 13985625466898062129152*Pi^5+85891085391875116953600*Pi^4+ 15470508877240185568800*Pi^3-939473013683624546126000*Pi^2-\ 1380743199083686490875095*Pi-212090575588599686758400)/(-10+3*Pi)^7, 81/ 129686798507442176*Pi^(1/2)/(-3*Pi+10)^(15/2)*3^(1/2)*(49021609835813142528*Pi^ 7+4748968452844398182400*Pi^6+118591626833198361722880*Pi^5+ 1020030490214434642944000*Pi^4+1971112698714992951289600*Pi^3-\ 9385224454034355991064000*Pi^2-29926697748142629084578200*Pi-\ 14836002272587117225133875), -135/14289864110538784768*(10417310936582774095872 *Pi^8+1180628572812714397532160*Pi^7+35824939397742667842109440*Pi^6+ 405111377855896049280983040*Pi^5+1493647812566919650928418560*Pi^4-\ 1977493996481237408210836800*Pi^3-18273688197163438167546720120*Pi^2-\ 20158640308913467963875576525*Pi-2574475657956381612436357120)/(-10+3*Pi)^8, 27 /215188541899878170624*Pi^(1/2)/(-3*Pi+10)^(17/2)*3^(1/2)*( 836653050906726327386112*Pi^8+109636410212568929151221760*Pi^7+ 3966850272437762848157859840*Pi^6+56613967121122142134704537600*Pi^5+ 313657528230552102813018316800*Pi^4+184476748941951280868951040000*Pi^3-\ 3278087868374507917015891269120*Pi^2-7158184879749528331362659664000*Pi-\ 2909227901248319964015443780975), 81/4212423301961065129050112*( 17401520660401160048106012672*Pi^9+2610228099060174007215901900800*Pi^8+ 110900512651617321599438479687680*Pi^7+1940549691751421409493382725632000*Pi^6+ 14618851492702465358570654292418560*Pi^5+32177089143249420430663102596096000*Pi ^4-110294918427047103581380767695393280*Pi^3-\ 503463743356931689771762709604624000*Pi^2-444523246304371066311581845815078825* Pi-48527130325484200319802203439104000)/(-10+3*Pi)^9, 81/ 1773651916615185317494784*Pi^(1/2)/(-3*Pi+10)^(19/2)*3^(1/2)*( 7757953483274820578722185216*Pi^9+1320468332465735086003338608640*Pi^8+ 65046055584738564776008460795904*Pi^7+1365371885189878817815324576972800*Pi^6+ 13225961953764378092823328346112000*Pi^5+49981264834617079501656324670464000*Pi ^4-32090525316569906256146053456926720*Pi^3-\ 602183632324715785945394512115846400*Pi^2-1004000468215369988061079504052993700 *Pi-345423011497575748257465277763075125), -81/4911685570086601940472430592*( 68031756831269523477483636129792*Pi^10+13039420059326658666517696924876800*Pi^9 +736743431389296993116220705692712960*Pi^8+ 18236215565456993378965673505718272000*Pi^7+ 219048116873106214174703531500051660800*Pi^6+ 1185693256466128395438934408514915328000*Pi^5+ 1285007144541476305868844758598666700800*Pi^4-\ 11044468935645454494178412916374472672000*Pi^3-\ 34170008905027217167810411437026302666500*Pi^2-\ 25141659118456389235172202777026446914375*Pi-\ 2394619496912901945833572982702315929600)/(-10+3*Pi)^10] and in decimals [.7005665388, 3.560394568, 7.256376459, 27.68549546, 90.01733713, 358.8086679, 1460.708518, 6498.233818, 30390.60877, 150516.4157, 782054.3956, 4252735.227, 24125928.44, 142138325.6, 870446656.5, 5499911366., .3601268206e11, .2423157144\ e12] Note that the limits of the scaled moments up to the, 20, -th match those of the area under Brownian excursion ---------------------------------------------- This took, 732.703, moments