Explicit Expressions, in n, for the sum of the powers of the areas under Dyc\ k paths of length 2n from the first all the way to the, 20, -th and the implied limiting scaled moments using AJ Bu's Maple package qEW.txt By Shalosh B. Ekhad ------------------------------------------------------------ The sum of the, 1, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is (2 n)! (-2 n - 1) n ----------------- + 4 n! (1 + n)! and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(-2*n-1)+4^n For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 6, 29, 130, 562, 2380, 9949, 41226, 169766, 695860, 2842226, 11576916, 47050564, 190876696, 773201629, 3128164186, 12642301534, 51046844836, 205954642534, 830382690556, 3345997029244, 13475470680616, 54244942336114, 218269673491780, 877940640368572, 3530129914546440, 14190053209101764, 57023960788157416, 229098085369281032, 920207327979216432] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 2, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is 3 2 (2 n)! (10/3 n + 11 n + 26/3 n + 2) n ------------------------------------- + 4 (-4 n - 2) n! (1 + n)! and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(10/3*n^3+11*n^2+26/3*n+2)+4^n*(-4*n-2) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 20, 189, 1356, 8426, 47944, 257085, 1321036, 6574190, 31911320, 151841906, 710828600, 3282862644, 14988894992, 67769474077, 303823057164, 1352059744070, 5977826290936, 26277396651558, 114916296684008, 500229317398156, 2168403190878960, 9364025672275634, 40297947939428536, 172873611700777356, 739455580528797424, 3154511902367617220, 13423843737179250416, 56993411128258879976, 241460254460534022176] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 3, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is 4 3 2 (2 n)! (-20 n - 60 n - 61 n - 26 n - 4) ------------------------------------------ n! (1 + n)! n 3 2 + 4 (15/4 n + 75/4 n + 33/2 n + 4) and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(-20*n^4-60*n^3-61*n^2-26*n-4)+4^n*(15/4*n^3+75/4*n^2+33/2*n+4 ) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 72, 1349, 15544, 138898, 1061296, 7293133, 46424136, 278908502, 1601599600, 8869376546, 47677510512, 250006608964, 1283678134240, 6473321157181, 32137090124968, 157377432915118, 761437505823856, 3644730315397270, 17279355642329104, 81215489208704572, 378754615399982752, 1753858310154825874, 8068967536307091664, 36903202078865045788, 167857282778426269536, 759678545969041592228, 3422127144005432602336, 15349159417721681322248, 68568667386815250545088] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 4, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is /884 6 4568 5 108043 4 14016 3 74332 2 2416 \ (2 n)! |--- n + ---- n + ------ n + ----- n + ----- n + ---- n + 8| \63 35 315 35 315 35 / ------------------------------------------------------------------------ n! (1 + n)! n 4 3 2 + 4 (-30 n - 101 n - 111 n - 50 n - 8) and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(884/63*n^6+4568/35*n^5+108043/315*n^4+14016/35*n^3+74332/315* n^2+2416/35*n+8)+4^n*(-30*n^4-101*n^3-111*n^2-50*n-8) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 272, 10293, 191856, 2473130, 25411360, 223918797, 1765931440, 12806836190, 86981517536, 560441752514, 3458229668960, 20582104550004, 118803076853312, 667961627248573, 3670901622957360, 19775267334095510, 104668520307677536, 545383135504657398, 2802167603483208992, 14216792342570796940, 71309294753898916800, 353980017390177554834, 1740571702178628499936, 8484558672603096017004, 41029219428361810278592, 196948006393369303832804, 938949550243892441472704, 4448133394831673747511656, 20948300919196797791321216] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 5, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 8840 7 53044 6 128174 5 162091 4 116888 3 48520 2 (2 n)! |- ---- n - ----- n - ------ n - ------ n - ------ n - ----- n \ 63 63 63 63 63 63 3608 \ - ---- n - 16|/(n! (1 + n)!) 21 / n /565 6 6495 5 18485 4 22825 3 7035 2 \ + 4 |--- n + ---- n + ----- n + ----- n + ---- n + 535/4 n + 16| \32 32 32 32 16 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(-8840/63*n^7-53044/63*n^6-128174/63*n^5-162091/63*n^4-116888/ 63*n^3-48520/63*n^2-3608/21*n-16)+4^n*(565/32*n^6+6495/32*n^5+18485/32*n^4+ 22825/32*n^3+7035/16*n^2+535/4*n+16) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 1056, 82349, 2506720, 46845682, 649094080, 7346471869, 71855186976, 629431817606, 5058150116800, 37927499148626, 268675350929856, 1815000951078724, 11777161499380096, 73823421913189789, 449079375152741536, 2660998234361680894, 15406110848340093376, 87374014309061086534, 486465162926195999296, 2663794978358713787644, 14368629962412088905856, 76451910680493922116274, 401731330254269745628480, 2086936282089075417097852, 10727698564266725215098240, 54610964374752974725671044, 275512987244494695411170176, 1378392299119660333696994312, 6842626990184727812420328192] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 6, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is /662600 9 3522140 8 2318398 7 111243827 6 3796850 5 (2 n)! |------ n + ------- n + ------- n + --------- n + ------- n \ 9009 3003 429 9009 231 122396774 4 63848584 3 20486408 2 176096 \ + --------- n + -------- n + -------- n + ------ n + 32|/(n! (1 + n)!) 9009 9009 9009 429 / n / 7 21465 6 54747 5 72405 4 54175 3 2 + 4 |-1695/8 n - ----- n - ----- n - ----- n - ----- n - 11625/8 n \ 16 16 16 16 \ - 669/2 n - 32| / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(662600/9009*n^9+3522140/3003*n^8+2318398/429*n^7+111243827/ 9009*n^6+3796850/231*n^5+122396774/9009*n^4+63848584/9009*n^3+20486408/9009*n^2 +176096/429*n+32)+4^n*(-1695/8*n^7-21465/16*n^6-54747/16*n^5-72405/16*n^4-54175 /16*n^3-11625/8*n^2-669/2*n-32) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 4160, 681069, 34209216, 932350826, 17484832384, 254784352605, 3095616753856, 32790569845070, 312032065650560, 2724422552114066, 22165859197500800, 170013739495048884, 1240437506456636672, 8670262839850826077, 58387834624393162944, 380586383124177339110, 2410357887045959606656, 14879552192151347541318, 89772657156931113200768, 530562148400416682303116, 3077638310212792449166080, 17551883935418471590768754, 98558695120390744673854336, 545621812328727018654897996, 2981313172399308664716385024, 16094568937374145643641555460, 85920219159033739117134308096, 453944316154403160356422058216, 2375265034525795851189270780416] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 7, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 1325200 10 3894160 9 4981280 8 98013596 7 135119263 6 (2 n)! |- ------- n - ------- n - ------- n - -------- n - --------- n \ 1287 429 143 1287 1287 11196634 5 8392236 4 30889256 3 8085520 2 408992 \ - -------- n - ------- n - -------- n - ------- n - ------ n - 64|/(n! 117 143 1287 1287 429 / n /19675 9 59265 8 562535 7 1330875 6 5 (1 + n)!) + 4 |----- n + ----- n + ------ n + ------- n + 229229/8 n \ 192 32 64 64 1564255 4 157445 3 69155 2 \ + ------- n + ------ n + ----- n + 3209/4 n + 64| 64 12 16 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(-1325200/1287*n^10-3894160/429*n^9-4981280/143*n^8-98013596/ 1287*n^7-135119263/1287*n^6-11196634/117*n^5-8392236/143*n^4-30889256/1287*n^3-\ 8085520/1287*n^2-408992/429*n-64)+4^n*(19675/192*n^9+59265/32*n^8+562535/64*n^7 +1330875/64*n^6+229229/8*n^5+1564255/64*n^4+157445/12*n^3+69155/16*n^2+3209/4*n +64) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 16512, 5764949, 482660224, 19305843538, 492035412736, 9256819823533, 139988386905216, 1795704103296182, 20256529360940800, 206117699648200706, 1927276976670895872, 16792560643394441284, 137820209808900206080, 1074527507292209522941, 8012816267775098002048, 57467247700764076088398, 398204615835309613616896, 2676070297126596593713270, 17498022367710561435445504, 111626519378470701329894332, 696387201546856132591032832, 4257150041628426805393329874, 25546852700453423329846484224, 150721868420302056030343327708, 875438298764458612075263591936, 5011956982355252250914079244388, 28313000558023325720396907798016, 157970450201238294110363577527048, 871262519331407536178369148976128] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 8, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is /4102500880 12 30534219008 11 2923550216056 10 252836081024 9 (2 n)! |---------- n + ----------- n + ------------- n + ------------ n \ 8729721 2909907 43648605 1119195 6922754386591 8 465460871728 7 522983699080 6 6634452823136 5 + ------------- n + ------------ n + ------------ n + ------------- n 14549535 692835 793611 14549535 570682855024 4 1088599689088 3 80309809792 2 1500898816 + ------------ n + ------------- n + ----------- n + ---------- n + 128 2567565 14549535 4849845 692835 \ n / 19675 10 351175 9 8 7 |/(n! (1 + n)!) + 4 |- ----- n - ------ n - 57380 n - 1029381/8 n / \ 12 24 6 5 2571265 4 3 2 - 1456119/8 n - 681205/4 n - ------- n - 268949/6 n - 24001/2 n 24 \ - 1870 n - 128| / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(4102500880/8729721*n^12+30534219008/2909907*n^11+ 2923550216056/43648605*n^10+252836081024/1119195*n^9+6922754386591/14549535*n^8 +465460871728/692835*n^7+522983699080/793611*n^6+6634452823136/14549535*n^5+ 570682855024/2567565*n^4+1088599689088/14549535*n^3+80309809792/4849845*n^2+ 1500898816/692835*n+128)+4^n*(-19675/12*n^10-351175/24*n^9-57380*n^8-1029381/8* n^7-1456119/8*n^6-681205/4*n^5-2571265/24*n^4-268949/6*n^3-24001/2*n^2-1870*n-\ 128) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 65792, 49599333, 6986155776, 412680881450, 14354971517440, 349728311120877, 6597382943599360, 102653264988083390, 1374469788980481536, 16315270542868911074, 175464237753140610560, 1737864623811564408564, 16052693137290371843072, 139666212021325493975293, 1153710768131417446920960, 9106927334909831431847990, 69060609386797383407719936, 505362330616409929497975318, 3581921321345060912740086272, 24669117834973499682339449740, 165539747687734756280044477440, 1084894274096305805854982171474, 6958265527439795796273776590336, 43754608403237095857753720593964, 270173727991246538578067331976192, 1640465419662784435143766609814564, 9807004656295448202810124899052544, 57787494209475948265417385773074536, 335963798922171133663294002810423296] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 9, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 8205001760 13 30475648176 12 2331148282352 11 (2 n)! |- ---------- n - ----------- n - ------------- n \ 969969 323323 4849845 129812442568 10 138815229482 9 82012543971 8 7233658160832 7 - ------------ n - ------------ n - ----------- n - ------------- n 88179 46189 19019 1616615 3298529234368 6 8794048112 5 57216819872 4 11705668672 3 - ------------- n - ---------- n - ----------- n - ----------- n 969969 4641 74613 53295 40836469504 2 223266688 \ n /16145585 12 - ----------- n - --------- n - 256|/(n! (1 + n)!) + 4 |-------- n 969969 46189 / \ 22528 195276453 11 225184079 10 384437625 9 1650849837 8 + --------- n + --------- n + --------- n + ---------- n 11264 2048 1024 2048 1189388709 7 2383439021 6 842545023 5 209748817 4 + ---------- n + ---------- n + --------- n + --------- n 1024 2048 1024 512 36032757 3 22265325 2 377349 \ + -------- n + -------- n + ------ n + 256| 256 704 88 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(-8205001760/969969*n^13-30475648176/323323*n^12-2331148282352 /4849845*n^11-129812442568/88179*n^10-138815229482/46189*n^9-82012543971/19019* n^8-7233658160832/1616615*n^7-3298529234368/969969*n^6-8794048112/4641*n^5-\ 57216819872/74613*n^4-11705668672/53295*n^3-40836469504/969969*n^2-223266688/ 46189*n-256)+4^n*(16145585/22528*n^12+195276453/11264*n^11+225184079/2048*n^10+ 384437625/1024*n^9+1650849837/2048*n^8+1189388709/1024*n^7+2383439021/2048*n^6+ 842545023/1024*n^5+209748817/512*n^4+36032757/256*n^3+22265325/704*n^2+377349/ 88*n+256) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 262656, 431700029, 103133232640, 9050854312882, 431525144550400, 13656577123710109, 322104569514041856, 6090098495497065446, 96921485701474032640, 1343592699640381733426, 16634760752983781661696, 187421143738179975432004, 1949634559103177028130816, 18939129867254539989646429, 173378156613217009813490176, 1506858697200754225352996254, 12509640775889089746241739776, 99705964612828992467240485414, 766237093977587558736476087296, 5698414129792352646725598374524, 41138739785434852819027570640896, 289085723882330413341144750513394, 1981987047947918357199890269312000, 13285135213196235835717945328956732, 87218306097122173292177295555287040, 561721129215648074411126612533491524, 3554046387273987147639080102309410816, 22119039307189430224243216137083088392, 135564144708308105146131139479083692032] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 10, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 77543207424 1000223224960 2 5888732566144 3 (2 n)! |512 + ----------- n + ------------- n + ------------- n \ 7436429 9561123 9561123 494940177239104 4 4294799054844416 5 3068452641077360 6 + --------------- n + ---------------- n + ---------------- n 200783583 602350749 200783583 645685241186224 7 223975987949810 8 16738899781156694 9 + --------------- n + --------------- n + ----------------- n 26189163 7436429 602350749 3844696717607237 10 5800502332696150 11 682332965422552 12 + ---------------- n + ---------------- n + --------------- n 200783583 602350749 200783583 472906579045360 13 962696973200 14 9750476000 15\ + --------------- n + ------------ n + ---------- n |/(n! (1 + n)!) 602350749 9561123 2725569 / n / 430345 28232145 2 582696875 3 365227385 4 + 4 |-512 - ------ n - -------- n - --------- n - --------- n \ 44 352 1408 256 1766982863 5 6227125325 6 2013356045 7 7621159365 8 - ---------- n - ---------- n - ---------- n - ---------- n 512 1024 256 1024 1305971295 9 2525651455 10 2251340185 11 1770064985 12 - ---------- n - ---------- n - ---------- n - ---------- n 256 1024 2816 11264 80727925 13\ - -------- n | 5632 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(512+77543207424/7436429*n+1000223224960/9561123*n^2+ 5888732566144/9561123*n^3+494940177239104/200783583*n^4+4294799054844416/ 602350749*n^5+3068452641077360/200783583*n^6+645685241186224/26189163*n^7+ 223975987949810/7436429*n^8+16738899781156694/602350749*n^9+3844696717607237/ 200783583*n^10+5800502332696150/602350749*n^11+682332965422552/200783583*n^12+ 472906579045360/602350749*n^13+962696973200/9561123*n^14+9750476000/2725569*n^ 15)+4^n*(-512-430345/44*n-28232145/352*n^2-582696875/1408*n^3-365227385/256*n^4 -1766982863/512*n^5-6227125325/1024*n^6-2013356045/256*n^7-7621159365/1024*n^8-\ 1305971295/256*n^9-2525651455/1024*n^10-2251340185/2816*n^11-1770064985/11264*n ^12-80727925/5632*n^13) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 1049600, 3788849949, 1546004683776, 202678756827626, 13299718353332224, 548435234230412925, 16211204090602802176, 373132244377733691950, 7068401268284920985600, 114568477957074494799026, 1634499945854404798208000, 20965607082404249197820724, 245773730166486691284733952, 2667181613622328563784158877, 27072442998294401508454861824, 259174239992336081163025353350, 2356336252950924692124937394176, 20462422718198693998387063282278, 170549732932345302436296517142528, 1369948461338398657833827793307276, 10642573354476542161477976656588800, 80204683117502880285360389785434674, 587912229850366542797964168821979136, 4201364224797609080973802931041492236, 29330396560357991802546896306978074624, 200390839798460318354089111021208332100, 1342040704366909376768378031700550168576, 8822717888300451164992928938143805153256, 57009164639706938732717664672810092896256] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 11, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 42407866880 1542554522368 2 1135848580480 3 (2 n)! |-1024 - ----------- n - ------------- n - ------------- n \ 2028117 6084351 676039 7202277114112 4 1358432365849088 5 3395801783146144 6 - ------------- n - ---------------- n - ---------------- n 960687 54759159 54759159 6484715304645680 7 9595471281765580 8 1578205522320314 9 - ---------------- n - ---------------- n - ---------------- n 54759159 54759159 7822737 9845829544341667 10 960902028875644 11 494716697843276 12 - ---------------- n - --------------- n - --------------- n 54759159 7822737 7822737 186231550982080 13 340289273520080 14 7931037035200 15 - --------------- n - --------------- n - ------------- n 7822737 54759159 7822737 19500952000 16\ n / 638033 16788930 2 - ----------- n |/(n! (1 + n)!) + 4 |1024 + ------ n + -------- n 247779 / \ 26 91 13764339475 3 7076385425 4 10042618393 5 21194154245 6 + ----------- n + ---------- n + ----------- n + ----------- n 11648 1536 768 768 134631303895 7 3024103610495 8 8241692969015 9 800757629815 10 + ------------ n + ------------- n + ------------- n + ------------ n 3072 57344 172032 24576 399108611605 11 140071298225 12 422143438855 13 + ------------ n + ------------ n + ------------ n 24576 24576 319488 130749703925 14 13209845125 15\ + ------------ n + ----------- n | 745472 2236416 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(-1024-42407866880/2028117*n-1542554522368/6084351*n^2-\ 1135848580480/676039*n^3-7202277114112/960687*n^4-1358432365849088/54759159*n^5 -3395801783146144/54759159*n^6-6484715304645680/54759159*n^7-9595471281765580/ 54759159*n^8-1578205522320314/7822737*n^9-9845829544341667/54759159*n^10-\ 960902028875644/7822737*n^11-494716697843276/7822737*n^12-186231550982080/ 7822737*n^13-340289273520080/54759159*n^14-7931037035200/7822737*n^15-\ 19500952000/247779*n^16)+4^n*(1024+638033/26*n+16788930/91*n^2+13764339475/ 11648*n^3+7076385425/1536*n^4+10042618393/768*n^5+21194154245/768*n^6+ 134631303895/3072*n^7+3024103610495/57344*n^8+8241692969015/172032*n^9+ 800757629815/24576*n^10+399108611605/24576*n^11+140071298225/24576*n^12+ 422143438855/319488*n^13+130749703925/745472*n^14+13209845125/2236416*n^15) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 4196352, 33456219749, 23454630344704, 4616368136488978, 418552089444069376, 22557347057318421133, 837586386460966864896, 23512527637764515818262, 530962282648816431001600, 10074604203501739358391266, 165787415603291692371013632, 2423019497092619230500494404, 32032065402390545800940216320, 388574687784765220289462509501, 4375381622015060470869122787328, 46159713356764341462081737322478, 459783886550166751114016454209536, 4351797435490983114045761989558870, 39350389720858063014497548480712704, 341494993038148947707262092147890492, 2855482080670880501269705911031078912, 23083749281292343534456383319530009874, 180944242127851068307113752122558173184, 1378840911946645333927678311909989750428, 10237629773195417920361361532342561038336, 74211564746541821694561661143154952006948, 526144151996549870182521924196283692343296, 3654179530073171663588531002999679271978248, 24896961587259748094250243232073381005344768] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 12, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 9157644808192 16480130004780032 2 620707209842146304 3 (2 n)! |2048 + ------------- n + ----------------- n + ------------------ n \ 1302340845 23141595015 136745788725 19272427112940158848 4 220848371616218072576 5 + -------------------- n + --------------------- n 902522205585 2707566616755 209628101059068687616 6 6932089344157398591232 7 + --------------------- n + ---------------------- n 902522205585 13537833083775 268038378339084134248 8 13157016178430788688 9 + --------------------- n + -------------------- n 300840735195 10701844335 22107818886025042388 10 205206284495254741264 11 + -------------------- n + --------------------- n 16409494647 175816014075 238546123791691979819 12 102616129262391393704 13 + --------------------- n + --------------------- n 300840735195 246142419705 49788497630790784588 14 92093198839449490112 15 + -------------------- n + -------------------- n 300840735195 1933976154825 23513884510111984 16 191115488799737984 17 5733495703829440 18\ + ----------------- n + ------------------ n + ---------------- n |/( 2528073405 180504441117 180504441117 / n / 1008225 269246613 2 40141850 3 n! (1 + n)!) + 4 |-2048 - ------- n - --------- n - -------- n \ 13 728 13 170045040705 4 5814871335 5 28774150709 6 54531582303 7 - ------------ n - ---------- n - ----------- n - ----------- n 11648 128 256 256 4442590292965 8 720753097735 9 4444739762551 10 - ------------- n - ------------ n - ------------- n 14336 2048 14336 429202827459 11 219292447475 12 1070629087185 13 - ------------ n - ------------ n - ------------- n 2048 2048 26624 1968378805025 14 46792661925 15 13209845125 16\ - ------------- n - ----------- n - ----------- n | 186368 26624 93184 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(2048+9157644808192/1302340845*n+16480130004780032/23141595015 *n^2+620707209842146304/136745788725*n^3+19272427112940158848/902522205585*n^4+ 220848371616218072576/2707566616755*n^5+209628101059068687616/902522205585*n^6+ 6932089344157398591232/13537833083775*n^7+268038378339084134248/300840735195*n^ 8+13157016178430788688/10701844335*n^9+22107818886025042388/16409494647*n^10+ 205206284495254741264/175816014075*n^11+238546123791691979819/300840735195*n^12 +102616129262391393704/246142419705*n^13+49788497630790784588/300840735195*n^14 +92093198839449490112/1933976154825*n^15+23513884510111984/2528073405*n^16+ 191115488799737984/180504441117*n^17+5733495703829440/180504441117*n^18)+4^n*(-\ 2048-1008225/13*n-269246613/728*n^2-40141850/13*n^3-170045040705/11648*n^4-\ 5814871335/128*n^5-28774150709/256*n^6-54531582303/256*n^7-4442590292965/14336* n^8-720753097735/2048*n^9-4444739762551/14336*n^10-429202827459/2048*n^11-\ 219292447475/2048*n^12-1070629087185/26624*n^13-1968378805025/186368*n^14-\ 46792661925/26624*n^15-13209845125/93184*n^16) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 16781312, 296759636373, 359213795536896, 106619517643987370, 13405606078593310720, 946977045557046258957, 44272139225990768865280, 1518520952814319468568990, 40939091585557991477927936, 910446698903551021195832834, 17299129861365114255480872960, 288326692714237459333325579124, 4301597698605331220137857400832, 58366548070620696779159709860413, 729470715475869900966596416450560, 8484841283234423033684306168525270, 92631908484149941416321593293889536, 955940430548621081059359905929680438, 9380804026091728327203380897620631552, 87980194453954242658790387146721888140, 792040150624884944221464908068167598080, 6869913625569338660070511178137329341714, 57598208086451084839827963628197065383936, 468117694727324068601187387708911109714924, 3697223080248192760149356206812692961083392, 28440102933130202102771236441782344493716324, 213488716619995697660824086294169478651101184, 1566637662995083117553003763318398449763104616, 11256273887577396281103799969750210508307070976] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 13, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 395425605632 49149267377379328 2 1799573234018791424 3 (2 n)! |-4096 + ------------ n - ----------------- n - ------------------- n \ 1178589 23141595015 115707975075 19403003016446228224 4 50704139677986998656 5 - -------------------- n - -------------------- n 347123925225 208274355135 797051973626620672 6 2129265703409173570112 7 - ------------------ n - ---------------------- n 959789655 1041371775675 4227235758204051731344 8 1368657435641330245336 9 - ---------------------- n - ---------------------- n 1041371775675 208274355135 9521000686137810488 10 121356588581735251064 11 - ------------------- n - --------------------- n 1113766605 13524308775 376949511100487272051 12 30644797691270139178 13 - --------------------- n - -------------------- n 49589132175 5950695861 573907898498952167068 14 70060615285927949432 15 - --------------------- n - -------------------- n 208274355135 61257163275 53177621229672734384 16 5550830071897212896 17 - -------------------- n - ------------------- n 148767396525 69424785045 68856257549444032 18 11466991407658880 19\ n / - ----------------- n - ----------------- n |/(n! (1 + n)!) + 4 |4096 5950695861 13884957009 / \ 49829383 591217633 2 72932642513 3 109351209749 4 + -------- n - --------- n + ----------- n + ------------ n 68 238 5376 2688 12646130386499 5 55011602742599 6 11354344227707 7 + -------------- n + -------------- n + -------------- n 86016 129024 12288 548022112874197 8 993100876016535 9 3227754330488545 10 + --------------- n + --------------- n + ---------------- n 344064 458752 1376256 692911646227177 11 1399020319327969 12 69618900761765 13 + --------------- n + ---------------- n + -------------- n 344064 1032192 98304 193606906005895 14 28003882732465 15 2767727129039 16 + --------------- n + -------------- n + ------------- n 688128 344064 172032 15161876179935 17 3947823419675 18\ + -------------- n + ------------- n | 7798784 70189056 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(-4096+395425605632/1178589*n-49149267377379328/23141595015*n^ 2-1799573234018791424/115707975075*n^3-19403003016446228224/347123925225*n^4-\ 50704139677986998656/208274355135*n^5-797051973626620672/959789655*n^6-\ 2129265703409173570112/1041371775675*n^7-4227235758204051731344/1041371775675*n ^8-1368657435641330245336/208274355135*n^9-9521000686137810488/1113766605*n^10-\ 121356588581735251064/13524308775*n^11-376949511100487272051/49589132175*n^12-\ 30644797691270139178/5950695861*n^13-573907898498952167068/208274355135*n^14-\ 70060615285927949432/61257163275*n^15-53177621229672734384/148767396525*n^16-\ 5550830071897212896/69424785045*n^17-68856257549444032/5950695861*n^18-\ 11466991407658880/13884957009*n^19)+4^n*(4096+49829383/68*n-591217633/238*n^2+ 72932642513/5376*n^3+109351209749/2688*n^4+12646130386499/86016*n^5+ 55011602742599/129024*n^6+11354344227707/12288*n^7+548022112874197/344064*n^8+ 993100876016535/458752*n^9+3227754330488545/1376256*n^10+692911646227177/344064 *n^11+1399020319327969/1032192*n^12+69618900761765/98304*n^13+193606906005895/ 688128*n^14+28003882732465/344064*n^15+2767727129039/172032*n^16+15161876179935 /7798784*n^17+3947823419675/70189056*n^18) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 67117056, 2641197839309, 5542989328015360, 2490887477395437682, 435781829477548933120, 40460752063753700743549, 2386946866181711167758336, 100216549272642341891478086, 3230380063789040050672353280, 84305340391509057198707787026, 1851473582670563370927729524736, 35221784522017657372042472834884, 593466692024011193328398979137536, 9012680228565642074454484309994269, 125095774947073491588024566244745216, 1605016736106876270012972583107959614, 19213655470629347047781384145968152576, 216272703146515654473314415658319941894, 2304029849025681081145112707325915447296, 23360142781637502286711589482079480311804, 226477345788550223207746266939190810279936, 2108212663963751561943606343453892380753714, 18909927060973803234616219673086397009182720, 163946590868465412143596397867021043967702012, 1377654849537338690820394452263037364566589440, 11247463630490694117888440323848620482952512004, 89408389541803060581813299165160701724215443456, 693336968737314011848730167334469530265941336072, 5254110600534372112825163850129924690476140265472] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 14, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 7511077574156288 171417171292522153984 2 (2 n)! |8192 - ---------------- n + --------------------- n \ 741332481 3710369067405 3832730810711146018816 3 53307627302647934464 4 + ---------------------- n - -------------------- n 55655536011075 1795339871325 24173739275729423207936 5 288082838161220843890048 6 + ----------------------- n + ------------------------ n 29464695535275 100179964819935 3760009225493072325497728 7 260052760401471709155616 8 + ------------------------- n + ------------------------ n 500899824099675 15178782548475 1436474387025314427054304 9 122416180245892268910232 10 + ------------------------- n + ------------------------ n 45536347645425 2568717046665 2270621624754522926546024 11 328802641259489141980382 12 + ------------------------- n + ------------------------ n 38530755699975 5504393671425 1914462785713862826256802 13 160251843884248022202553 14 + ------------------------- n + ------------------------ n 38530755699975 4770474515235 435422566681376821093546 15 1315489090492523865270172 16 + ------------------------ n + ------------------------- n 23852372576175 166966608033225 440540561151419062102456 17 5977981887000865901648 18 + ------------------------ n + ---------------------- n 166966608033225 9107269529085 23070367652814001696 19 11678494805177973440 20 + -------------------- n + -------------------- n 202383767313 954094903047 6472490710101308800 21\ n / 247683697 + ------------------- n |/(n! (1 + n)!) + 4 |-8192 - --------- n 20035992963987 / \ 34 1040446753 2 110927786377 3 50553144671 4 645377383489 5 + ---------- n - ------------ n - ----------- n - ------------ n 34 6528 192 2048 102837087853 6 72016542119363 7 59274370686375 8 - ------------ n - -------------- n - -------------- n 72 18432 8192 380745807022191 9 493333434974809 10 767322666088355 11 - --------------- n - --------------- n - --------------- n 32768 32768 49152 966016107920383 12 1300569986302525 13 77014589568895 14 - --------------- n - ---------------- n - -------------- n 73728 147456 16384 1498265855441 15 941737055651 16 232685721411853 17 - ------------- n - ------------ n - --------------- n 768 1536 1671168 104393856706505 18 3947823419675 19\ - --------------- n - ------------- n | 5013504 2506752 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(8192-7511077574156288/741332481*n+171417171292522153984/ 3710369067405*n^2+3832730810711146018816/55655536011075*n^3-\ 53307627302647934464/1795339871325*n^4+24173739275729423207936/29464695535275*n ^5+288082838161220843890048/100179964819935*n^6+3760009225493072325497728/ 500899824099675*n^7+260052760401471709155616/15178782548475*n^8+ 1436474387025314427054304/45536347645425*n^9+122416180245892268910232/ 2568717046665*n^10+2270621624754522926546024/38530755699975*n^11+ 328802641259489141980382/5504393671425*n^12+1914462785713862826256802/ 38530755699975*n^13+160251843884248022202553/4770474515235*n^14+ 435422566681376821093546/23852372576175*n^15+1315489090492523865270172/ 166966608033225*n^16+440540561151419062102456/166966608033225*n^17+ 5977981887000865901648/9107269529085*n^18+23070367652814001696/202383767313*n^ 19+11678494805177973440/954094903047*n^20+6472490710101308800/20035992963987*n^ 21)+4^n*(-8192-247683697/34*n+1040446753/34*n^2-110927786377/6528*n^3-\ 50553144671/192*n^4-645377383489/2048*n^5-102837087853/72*n^6-72016542119363/ 18432*n^7-59274370686375/8192*n^8-380745807022191/32768*n^9-493333434974809/ 32768*n^10-767322666088355/49152*n^11-966016107920383/73728*n^12-\ 1300569986302525/147456*n^13-77014589568895/16384*n^14-1498265855441/768*n^15-\ 941737055651/1536*n^16-232685721411853/1671168*n^17-104393856706505/5013504*n^ 18-3947823419675/2506752*n^19) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 268451840, 23567227342029, 86050867293044736, 58748812857759032426, 14345640839866934001664, 1755193453118641279724445, 130943165496597297581572096, 6741441983410364484446927630, 260194801893412428025254871040, 7978391117991669571487109752786, 202729659430158951820234236723200, 4405798154520678977352899815382964, 83902733742485826390837183056248832, 1427051955325313252573598504851315677, 22009993766612870665283554245190139904, 311655368080200472797551284019079562790, 4092703018117054262222683829481417834496, 50268266300338719767578910265724526005638, 581580613218088925323476181596971717132288, 6376419411107095884272713677967018655991436, 66594268246415069487007462526816165612421120, 665463479545524158144076209463143868598186994, 6387331679937819262623584085050265650997723136, 59086963786834303565247017879831844764448195276, 528363201065292746316053275033833039828986036224, 4579139840782347269534854846482995669883803691140, 38553149043150426305419100518785667913931290771456, 315984128468183267094900552378009806673110080536296, 2525869149694846869563625997863131576282517824208896] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 15, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 1348842656980992 299055292347885334528 2 (2 n)! |-16384 + ---------------- n - --------------------- n \ 10743949 742073813481 17499685859252937623552 3 2421611136459537796096 4 - ----------------------- n + ---------------------- n 11131107202215 1077203922795 8989053062161281508864 5 36188868886038886723840 6 + ---------------------- n - ----------------------- n 5892939107055 2226221440443 2782979867963563434004096 7 5946011269947035880772544 8 - ------------------------- n - ------------------------- n 100179964819935 100179964819935 47835092085097793933216 9 693282768068143027377424 10 - ----------------------- n - ------------------------ n 335050049565 2862284709141 372609000662887857319304 11 3111717363154407095125292 12 - ------------------------ n - ------------------------- n 1100878734285 7706151139995 105954134379568949187358 13 6522181123800281105297267 14 - ------------------------ n - ------------------------- n 265729349655 20035992963987 22008706972081802280212252 15 12157917775646526445315048 16 - -------------------------- n - -------------------------- n 100179964819935 100179964819935 1808638143064207770753616 17 54881661813316994129792 18 - ------------------------- n - ----------------------- n 33393321606645 2862284709141 34933428087274081074880 19 7005772434018343158400 20 - ----------------------- n - ---------------------- n 6678664321329 6678664321329 24114665637291872000 21 64724907101013088000 22\ n - -------------------- n - -------------------- n |/(n! (1 + n)!) + 4 171247803111 6678664321329 / / 780007202475 2 166442900154505 3 |16384 + 1499941395/8 n - ------------ n + --------------- n \ 544 60928 7720106860645 4 78172921738859 5 10785902042335 6 - ------------- n - -------------- n + -------------- n 13056 139264 1536 3831669133245265 7 780155212042705 8 462545589995605205 9 + ---------------- n + --------------- n + ------------------ n 294912 24576 8257536 8244795769482025 10 163282177589516245 11 2550778611426305 12 + ---------------- n + ------------------ n + ---------------- n 98304 1572864 24576 403688086515787825 13 708865741246985 14 516020046269585365 15 + ------------------ n + --------------- n + ------------------ n 4718592 12288 16515072 220525048571695 16 3574009599430285 17 639622203475685 18 + --------------- n + ---------------- n + --------------- n 16384 786432 557056 16184237216955275 19 19739117098375 20 341769247961875 21\ + ----------------- n + -------------- n + --------------- n | 80216064 835584 561512448 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(-16384+1348842656980992/10743949*n-299055292347885334528/ 742073813481*n^2-17499685859252937623552/11131107202215*n^3+ 2421611136459537796096/1077203922795*n^4+8989053062161281508864/5892939107055*n ^5-36188868886038886723840/2226221440443*n^6-2782979867963563434004096/ 100179964819935*n^7-5946011269947035880772544/100179964819935*n^8-\ 47835092085097793933216/335050049565*n^9-693282768068143027377424/2862284709141 *n^10-372609000662887857319304/1100878734285*n^11-3111717363154407095125292/ 7706151139995*n^12-105954134379568949187358/265729349655*n^13-\ 6522181123800281105297267/20035992963987*n^14-22008706972081802280212252/ 100179964819935*n^15-12157917775646526445315048/100179964819935*n^16-\ 1808638143064207770753616/33393321606645*n^17-54881661813316994129792/ 2862284709141*n^18-34933428087274081074880/6678664321329*n^19-\ 7005772434018343158400/6678664321329*n^20-24114665637291872000/171247803111*n^ 21-64724907101013088000/6678664321329*n^22)+4^n*(16384+1499941395/8*n-\ 780007202475/544*n^2+166442900154505/60928*n^3-7720106860645/13056*n^4-\ 78172921738859/139264*n^5+10785902042335/1536*n^6+3831669133245265/294912*n^7+ 780155212042705/24576*n^8+462545589995605205/8257536*n^9+8244795769482025/98304 *n^10+163282177589516245/1572864*n^11+2550778611426305/24576*n^12+ 403688086515787825/4718592*n^13+708865741246985/12288*n^14+516020046269585365/ 16515072*n^15+220525048571695/16384*n^16+3574009599430285/786432*n^17+ 639622203475685/557056*n^18+16184237216955275/80216064*n^19+19739117098375/ 835584*n^20+341769247961875/561512448*n^21) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 1073774592, 210699743109749, 1342410608058793984, 1396636209400691627218, 477340886991743230345216, 77148819796152663867757933, 7293321719412407918947762176, 461223811576832351081129146742, 21345734929034757578381811712000, 769957309034392697041950814156226, 22659604551850210549686736364961792, 563057841590307874883305280259424324, 12128263517728767522295330277956648960, 231181457103570280752240534137274676861, 3964365610782884437786401448436229111808, 61982007965761463054373487106164677609358, 893307563341976206907151318743801173835776, 11977056643104352911659791186176768744726070, 150539744164963117674803528416828344374984704, 1785408702559334614295750631786172673299941052, 20092542797196799016444148381987787376277716992, 215593142493714616862739068343465701367781761874, 2214903247140254508326513537232987823823128428544, 21866660557269054423468397973858701652472200473948, 208120155685681077724048018954221511124426183540736, 1915065334483336582647597794562888526309202862183908, 17079947299086640902855205767177578448269610999218176, 147979105419096698451184177791422776551964784323587848, 1247960493767680677462733562520064678070538855515947008] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 16, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 1035598513616209408000 23 21651062806580102688952906688 17 (2 n)! |32768 + ---------------------- n + ----------------------------- n \ 6678664321329 26760193632961425 3819952064878074341292082207891 16 + ------------------------------- n 2649259169663181075 1886918189005008411705385987424 15 77283850110756102400 24 + ------------------------------- n + -------------------- n 883086389887727025 20847996613521 8091360327968354055105280 22 2953562335170384260122489146112 10 + ------------------------- n + ------------------------------- n 5577387725606697 2649259169663181075 487760244892773890839807615264 12 62492114522167225726233652672 13 + ------------------------------ n + ----------------------------- n 203789166897167775 22643240766351975 415195958399221851354112 21 983682026784128791681580851984 18 + ------------------------ n + ------------------------------ n 45461332812753 2649259169663181075 21586808273916992664576719264 20 17394111667049954022481170688 19 + ----------------------------- n + ----------------------------- n 529851833932636215 126155198555389575 509002911678982058793852838912 9 678907880130924205274796275968 8 + ------------------------------ n + ------------------------------ n 883086389887727025 2649259169663181075 243086981228653500117147248912 14 1589291828374614651673760813312 11 + ------------------------------ n + ------------------------------- n 91353764471144175 883086389887727025 142089501463433667615379456 7 100605493190931340057491034112 6 - --------------------------- n + ------------------------------ n 35323455595509081 883086389887727025 69780790810488204257260650496 5 33018497213921437772106194944 4 + ----------------------------- n - ----------------------------- n 883086389887727025 294362129962575675 41138389692892882463817728 3 612993466664365690978304 + -------------------------- n - ------------------------ n 5164247894080275 167727709380385 501586781823985849210830848 2\ n / + --------------------------- n |/(n! (1 + n)!) + 4 |-32768 19624141997505045 / \ 103659364110246815 12 204576505815231505 13 82867336650019585 14 - ------------------ n - ------------------ n - ----------------- n 147456 294912 147456 389530885740087893 15 107351721716951485 16 25882007200464295 17 - ------------------ n - ------------------ n - ----------------- n 1032192 516096 278528 41482881349345895 18 45779993717964875 19 4684361884804475 20 - ----------------- n - ----------------- n - ---------------- n 1253376 5013504 2506752 9184893708033875 21 341769247961875 22 41748080830 - ---------------- n - --------------- n - ----------- n 35094528 17547264 17 562043833275 2 20443381100165 3 16825817348545 4 + ------------ n - -------------- n - -------------- n 34 3808 238 784088136338175 5 45203870229731 6 2900014309996705 7 + --------------- n + -------------- n - ---------------- n 8704 39168 18432 555428304705745 8 120890151742249825 9 117623666126814209 10 - --------------- n - ------------------ n - ------------------ n 9216 516096 258048 19475853633394951 11\ - ----------------- n | 32768 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(32768+1035598513616209408000/6678664321329*n^23+ 21651062806580102688952906688/26760193632961425*n^17+ 3819952064878074341292082207891/2649259169663181075*n^16+ 1886918189005008411705385987424/883086389887727025*n^15+77283850110756102400/ 20847996613521*n^24+8091360327968354055105280/5577387725606697*n^22+ 2953562335170384260122489146112/2649259169663181075*n^10+ 487760244892773890839807615264/203789166897167775*n^12+ 62492114522167225726233652672/22643240766351975*n^13+415195958399221851354112/ 45461332812753*n^21+983682026784128791681580851984/2649259169663181075*n^18+ 21586808273916992664576719264/529851833932636215*n^20+ 17394111667049954022481170688/126155198555389575*n^19+ 509002911678982058793852838912/883086389887727025*n^9+ 678907880130924205274796275968/2649259169663181075*n^8+ 243086981228653500117147248912/91353764471144175*n^14+ 1589291828374614651673760813312/883086389887727025*n^11-\ 142089501463433667615379456/35323455595509081*n^7+ 100605493190931340057491034112/883086389887727025*n^6+ 69780790810488204257260650496/883086389887727025*n^5-\ 33018497213921437772106194944/294362129962575675*n^4+41138389692892882463817728 /5164247894080275*n^3-612993466664365690978304/167727709380385*n+ 501586781823985849210830848/19624141997505045*n^2)+4^n*(-32768-\ 103659364110246815/147456*n^12-204576505815231505/294912*n^13-82867336650019585 /147456*n^14-389530885740087893/1032192*n^15-107351721716951485/516096*n^16-\ 25882007200464295/278528*n^17-41482881349345895/1253376*n^18-45779993717964875/ 5013504*n^19-4684361884804475/2506752*n^20-9184893708033875/35094528*n^21-\ 341769247961875/17547264*n^22-41748080830/17*n+562043833275/34*n^2-\ 20443381100165/3808*n^3-16825817348545/238*n^4+784088136338175/8704*n^5+ 45203870229731/39168*n^6-2900014309996705/18432*n^7-555428304705745/9216*n^8-\ 120890151742249825/516096*n^9-117623666126814209/258048*n^10-19475853633394951/ 32768*n^11) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 4295032832, 1886558338249413, 21025318821863817216, 33423275218990465038890, 16029534284946263798579200, 3430032860523958971804821037, 411695746640720758044103475200, 32032805340351701318613083108990, 1780138502441229760155549520756736, 75624499105857890749965723179829794, 2580305371303889371707409551740764160, 73374097781926482912601770686489757684, 1788996330914668286296614686230942318592, 38241914052221904894414799302457626583933, 729543435029953158233593501585856032604160, 12600895250735240979798892973120034210879350, 199403567277116819661440258145372378754318336, 2919596785171101245764153569181414133509660758, 39881043169701008727235050918830698777946488832, 511816827887316243953066878967155016843890400140, 6208372521545619561404485992158503577544099102720, 71549645622167412642714139068414178262645145849554, 786970909516366402860567425353694357871435404148736, 8293535197614366372581823915151958557202035310995884, 84033417450676686395956531605863972410052048595976192, 821149807239215387878447654852243020694177638566930084, 7759412198580080287251066813924800510971692860354330624, 71075846258462768665198996926721704109594022257740129896, 632474714160324469889286987391937391087184441998959968256] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 17, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 88201326970332676844433920 23 (2 n)! |-65536 - -------------------------- n \ 6233550987442779 1481689251188763804778343539814 17 - ------------------------------- n 155838774686069475 2200484813782335885689714692627 16 2627650903765707481600 25 - ------------------------------- n - ---------------------- n 155838774686069475 20847996613521 2749309584485760688394668523456 15 11347394887145236386323200 24 - ------------------------------- n - -------------------------- n 155838774686069475 6233550987442779 476001185276289686815267072 22 23173752100401074781942251008 10 - --------------------------- n - ----------------------------- n 6233550987442779 3624157550838825 2064719769455086528722330292672 12 208676713895584982195677480736 13 - ------------------------------- n - ------------------------------ n 155838774686069475 11987598052774575 9658129174325238340465524544 21 839471019881481237405908449168 18 - ---------------------------- n - ------------------------------ n 31167754937213895 155838774686069475 153817240235786688531342840352 20 12778249568714105031855808736 19 - ------------------------------ n - ----------------------------- n 155838774686069475 5027057247937725 813369316824028357154143054592 9 101231655420544346894653305344 8 - ------------------------------ n + ------------------------------ n 155838774686069475 22262682098009925 2906251778946914691503482401856 14 148808472647289478917169851008 11 - ------------------------------- n - ------------------------------ n 155838774686069475 22262682098009925 6720018423717587895193858048 7 290086635419385927943767117824 6 + ---------------------------- n - ------------------------------ n 51946258228689825 51946258228689825 91288896426770876781826408448 5 1230565963781498090118053888 4 + ----------------------------- n + ---------------------------- n 51946258228689825 597083427915975 4435536008370257648198238208 3 303322435858791880032256 - ---------------------------- n + ------------------------ n 5771806469854425 5919801507543 365579811005488885842968576 2\ n / - --------------------------- n |/(n! (1 + n)!) + 4 |65536 1154361293970885 / \ 199034620057748521075 23 22948135527106347031 17 + --------------------- n + -------------------- n 635103608832 16515072 3917636428969165475273 16 1466602674003028983145 15 + ---------------------- n + ---------------------- n 1585446912 396361728 56273155681006594625 24 431063621803608019085 22 + -------------------- n + --------------------- n 7621243305984 165679202304 686745886046113932323 10 73020965685966097640653 12 + --------------------- n + ----------------------- n 396361728 17439916032 1477576162656973508471 13 61794867612676930013 21 + ---------------------- n + -------------------- n 311427072 3765436416 126931748217961589635 18 305783319108259944317 20 + --------------------- n + --------------------- n 198180864 4303355904 255730057268836928105 19 96509972823856904581 9 + --------------------- n + -------------------- n 1075838976 99090432 76975857725902664105 8 40554206194105618259435 14 + -------------------- n + ----------------------- n 99090432 8719958016 152512635481610022251 11 3024434009725643929 7 + --------------------- n - ------------------- n 44040192 3538944 333548312493590850833 6 5752300999523796589 5 + --------------------- n - ------------------- n 156893184 4358144 43561106548021982083 4 904683047788462541 3 522244908641963 - -------------------- n + ------------------ n + --------------- n 35954688 428032 6992 7815872808334794657 2\ - ------------------- n | 8614144 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(-65536-88201326970332676844433920/6233550987442779*n^23-\ 1481689251188763804778343539814/155838774686069475*n^17-\ 2200484813782335885689714692627/155838774686069475*n^16-2627650903765707481600/ 20847996613521*n^25-2749309584485760688394668523456/155838774686069475*n^15-\ 11347394887145236386323200/6233550987442779*n^24-476001185276289686815267072/ 6233550987442779*n^22-23173752100401074781942251008/3624157550838825*n^10-\ 2064719769455086528722330292672/155838774686069475*n^12-\ 208676713895584982195677480736/11987598052774575*n^13-\ 9658129174325238340465524544/31167754937213895*n^21-\ 839471019881481237405908449168/155838774686069475*n^18-\ 153817240235786688531342840352/155838774686069475*n^20-\ 12778249568714105031855808736/5027057247937725*n^19-\ 813369316824028357154143054592/155838774686069475*n^9+ 101231655420544346894653305344/22262682098009925*n^8-\ 2906251778946914691503482401856/155838774686069475*n^14-\ 148808472647289478917169851008/22262682098009925*n^11+ 6720018423717587895193858048/51946258228689825*n^7-\ 290086635419385927943767117824/51946258228689825*n^6+ 91288896426770876781826408448/51946258228689825*n^5+ 1230565963781498090118053888/597083427915975*n^4-4435536008370257648198238208/ 5771806469854425*n^3+303322435858791880032256/5919801507543*n-\ 365579811005488885842968576/1154361293970885*n^2)+4^n*(65536+ 199034620057748521075/635103608832*n^23+22948135527106347031/16515072*n^17+ 3917636428969165475273/1585446912*n^16+1466602674003028983145/396361728*n^15+ 56273155681006594625/7621243305984*n^24+431063621803608019085/165679202304*n^22 +686745886046113932323/396361728*n^10+73020965685966097640653/17439916032*n^12+ 1477576162656973508471/311427072*n^13+61794867612676930013/3765436416*n^21+ 126931748217961589635/198180864*n^18+305783319108259944317/4303355904*n^20+ 255730057268836928105/1075838976*n^19+96509972823856904581/99090432*n^9+ 76975857725902664105/99090432*n^8+40554206194105618259435/8719958016*n^14+ 152512635481610022251/44040192*n^11-3024434009725643929/3538944*n^7+ 333548312493590850833/156893184*n^6-5752300999523796589/4358144*n^5-\ 43561106548021982083/35954688*n^4+904683047788462541/428032*n^3+522244908641963 /6992*n-7815872808334794657/8614144*n^2) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 17180000256, 16911338221700189, 330383280318764154880, 804344718229975339980082, 542542414932725883295498240, 154026439359652649378317636189, 23515373365526890616823526588416, 2254700399882539207837579676815526, 150658775497484216783243021976862720, 7546738711959218660462250065325821426, 298829313325310204827884587460717182976, 9732839258853589512051010135286750871364, 268814232504139151140857854457552561504256, 6448260716715601209022349829544009678969309, 136928955955606199471949523109720506862534656, 2614120127127604229953355965864744040457290974, 45441285757367045503657261504351190345496395776, 726872259353018642130333507773488246856007743974, 10794515848860556729849609660085818950402705719296, 149953398692449355853967629402789990601757007279484, 1961171850112539834903238358745339037905994738302976, 24282510329885093240418236999175374723518954335013234, 286012139955447874974921950821162763570383188573552640, 3218237599122632669186708157259308804422351599183061692, 34721816238124194977662117200791536898376178405870141440, 360377753576549061972021970078044600766671973937100556484, 3608658826968789000249919144716097578494972599619114500096, 34953497886767328036972316088470022782357231330996505977352, 328246135450235441212540908808316747841202492055222209216512] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 18, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 887197151269900435128073658048 23 (2 n)! |131072 + ------------------------------ n \ 1427191548008024799 249477784528042383093245387000714 17 + --------------------------------- n 2658494060014948155 13987365580491346904558827888201358 16 + ----------------------------------- n 119632232700672666975 978654355374950716946585600 25 4888027677505739142592727948896 15 + --------------------------- n + ------------------------------- n 51454723742224803 38980851319867275 258329052733570612038102498560 24 + ------------------------------ n 1984144347230668623 188170330243444464159296321776096 22 + --------------------------------- n 81349918236457413543 58048415160908579579784544000 26 + ----------------------------- n 27116639412152471181 1881670226700003439039039114341632 10 + ---------------------------------- n 184886177810130485325 6169510998429993181051957260885632 12 + ---------------------------------- n 119632232700672666975 11419156898125046681619874004989184 13 + ----------------------------------- n 119632232700672666975 14288199459323777759572629959985952 21 + ----------------------------------- n 2033747955911435338575 127747260515184064350998855667466309 18 + ------------------------------------ n 2033747955911435338575 2724275700409742407835109255823216 20 + ---------------------------------- n 156442150454725795275 11569769460078287200880576000 27 + ----------------------------- n 244049754709372240629 837772334561664684339689320781854 19 + --------------------------------- n 23376413286338337225 8116932783548923616334618168495104 9 + ---------------------------------- n 358896698102018000925 73690774740870248020717623982031872 8 + ----------------------------------- n 2033747955911435338575 364085923835597133417578618305504 14 + --------------------------------- n 2917859334162747975 9607849176902608155394550543245568 11 + ---------------------------------- n 184886177810130485325 240264887644292823847509217567424512 7 - ------------------------------------ n 2033747955911435338575 40824982104649585975801212980805632 6 + ----------------------------------- n 677915985303811779525 205348701884552171540383123073122304 5 + ------------------------------------ n 2033747955911435338575 13337721385980209922257731759243264 4 - ----------------------------------- n 135583197060762355905 534444513189367703008075153408 3 776096075916157081152520192 - ------------------------------ n - --------------------------- n 76316107768075175 516714103015539 3017583347259399807148522569728 2\ n / + ------------------------------- n |/(n! (1 + n)!) + 4 |-131072 131762096268962445 / \ 680116181287794346945 23 720856814013354525977 17 - --------------------- n - --------------------- n 26462650368 44040192 717044639581226273883 16 56273155681006594625 25 - --------------------- n - -------------------- n 29360128 211701202944 3690147568112578750327 15 25762737157259187025 24 - ---------------------- n - -------------------- n 121110528 7428112384 416500486162882586583 22 268832480925769654809 10 - --------------------- n - --------------------- n 3068133376 7340032 6577656658754459975495 12 15715522110125750019409 13 - ---------------------- n - ----------------------- n 322961408 484442112 453448703146408242527 21 34022886385261890233 18 - --------------------- n - -------------------- n 836763648 3670016 136043343357505155479 20 1832482364287942208515 19 - --------------------- n - ---------------------- n 79691776 418381824 14395077852878623337 9 119647758123076020037 8 + -------------------- n + --------------------- n 5505024 1835008 5246926118096930579537 14 123066135858510461641 11 - ---------------------- n - --------------------- n 161480704 22020096 797970376047013724643 7 1762685550485186835 6 - --------------------- n - ------------------- n 8716288 458752 2121188470815141082287 5 305844607940672900367 4 + ---------------------- n - --------------------- n 23969792 5992448 358913814169533230469 3 3862242617578851 55673317808375946057 2\ - --------------------- n - ---------------- n + -------------------- n | 34456576 3496 4307072 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(131072+887197151269900435128073658048/1427191548008024799*n^ 23+249477784528042383093245387000714/2658494060014948155*n^17+ 13987365580491346904558827888201358/119632232700672666975*n^16+ 978654355374950716946585600/51454723742224803*n^25+ 4888027677505739142592727948896/38980851319867275*n^15+ 258329052733570612038102498560/1984144347230668623*n^24+ 188170330243444464159296321776096/81349918236457413543*n^22+ 58048415160908579579784544000/27116639412152471181*n^26+ 1881670226700003439039039114341632/184886177810130485325*n^10+ 6169510998429993181051957260885632/119632232700672666975*n^12+ 11419156898125046681619874004989184/119632232700672666975*n^13+ 14288199459323777759572629959985952/2033747955911435338575*n^21+ 127747260515184064350998855667466309/2033747955911435338575*n^18+ 2724275700409742407835109255823216/156442150454725795275*n^20+ 11569769460078287200880576000/244049754709372240629*n^27+ 837772334561664684339689320781854/23376413286338337225*n^19+ 8116932783548923616334618168495104/358896698102018000925*n^9+ 73690774740870248020717623982031872/2033747955911435338575*n^8+ 364085923835597133417578618305504/2917859334162747975*n^14+ 9607849176902608155394550543245568/184886177810130485325*n^11-\ 240264887644292823847509217567424512/2033747955911435338575*n^7+ 40824982104649585975801212980805632/677915985303811779525*n^6+ 205348701884552171540383123073122304/2033747955911435338575*n^5-\ 13337721385980209922257731759243264/135583197060762355905*n^4-\ 534444513189367703008075153408/76316107768075175*n^3-\ 776096075916157081152520192/516714103015539*n+3017583347259399807148522569728/ 131762096268962445*n^2)+4^n*(-131072-680116181287794346945/26462650368*n^23-\ 720856814013354525977/44040192*n^17-717044639581226273883/29360128*n^16-\ 56273155681006594625/211701202944*n^25-3690147568112578750327/121110528*n^15-\ 25762737157259187025/7428112384*n^24-416500486162882586583/3068133376*n^22-\ 268832480925769654809/7340032*n^10-6577656658754459975495/322961408*n^12-\ 15715522110125750019409/484442112*n^13-453448703146408242527/836763648*n^21-\ 34022886385261890233/3670016*n^18-136043343357505155479/79691776*n^20-\ 1832482364287942208515/418381824*n^19+14395077852878623337/5505024*n^9+ 119647758123076020037/1835008*n^8-5246926118096930579537/161480704*n^14-\ 123066135858510461641/22020096*n^11-797970376047013724643/8716288*n^7-\ 1762685550485186835/458752*n^6+2121188470815141082287/23969792*n^5-\ 305844607940672900367/5992448*n^4-358913814169533230469/34456576*n^3-\ 3862242617578851/3496*n+55673317808375946057/4307072*n^2) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 68719738880, 151730678676861309, 5205546351586170372096, 19448741669964919521301226, 18488222346328261359269576704, 6977132045202009706682797695165, 1357252179533475077357297346543616, 160609267583697802207188446188848110, 12920817105481143191848291117110394880, 764013306187136491558028112062972335346, 35143428901888017732817202334980204134400, 1312120350770764749852279794805654046487604, 41082253486273007699838762872993084381069312, 1106591628672023095448523237575478999308296477, 26171633715698347687492787785210569103353053184, 552538612743654040159389466782017251050420991430, 10555503569169111198211662856811855979054737391616, 184536062677004854218232664314959977913785470111398, 2980488541830916484462335541187604048251433790210048, 44832211333032730659012971212912739286715161345875596, 632378129440138947628038462495070679065134971659223040, 8414389409717083524103060250515592470418923013899361714, 106160418084881361969214926170791763420203948333935886336, 1275702251481324215506397379540857096500040871932735359116, 14658789721330467281269993515395933254828948284084478541824, 161630826068943306322153839152058285208866125292501654064580, 1715427985485762616517786432025456045815464917737089176436736, 17572851861206496377360371303138142298796635085022264703311336, 174183612359398688929893536439249016350069359163104390688014336] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 19, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 4333336453755654865359418901120 23 (2 n)! |-262144 - ------------------------------- n \ 251857332001416141 4912010261466675595738283917488578 17 - ---------------------------------- n 6296433300035403525 1887893968148653383769706257996156 16 - ---------------------------------- n 2098811100011801175 4819575996424209702129869739520 25 23139538920156574401761152000 28 - ------------------------------- n - ----------------------------- n 4281574644024074397 12844723932072223191 394248002063475619591092881867296 15 - --------------------------------- n 484341023079646425 21101384176981455583840523838592 24 - -------------------------------- n 4281574644024074397 27162252860226087697436167365472 22 - -------------------------------- n 548919826156932615 280300180565218290439904454400 26 - ------------------------------ n 1427191548008024799 1201584817977227348791717122862592 10 - ---------------------------------- n 936204368226838425 259969667002001468435555272972288 12 - --------------------------------- n 335546602196244075 652779487565716749031421317732096 13 - --------------------------------- n 699603700003933725 12717300470983106934909046139995904 21 - ----------------------------------- n 107039366100601859925 812224231611373606045815108699169 18 - --------------------------------- n 1321473655562985925 223880305367525842792075902185692 20 - --------------------------------- n 930777096526972695 318209090369247930756417766400 27 - ------------------------------ n 12844723932072223191 44554781858828812287086173240133548 19 - ----------------------------------- n 107039366100601859925 270408399175405261973162457640322048 9 - ------------------------------------ n 64223619660361115955 195940321884839214193108952123705344 8 + ------------------------------------ n 35679788700200619975 2865479771188918824283818878398144 14 - ---------------------------------- n 6296433300035403525 76861741830888694906623720213147392 11 + ----------------------------------- n 35679788700200619975 11367632496869143358227402706673664 7 + ----------------------------------- n 6296433300035403525 644352961284915030655137295696592896 6 - ------------------------------------ n 107039366100601859925 2587646109524375786718869324873728 5 + ---------------------------------- n 2610716246356142925 84391618911790797274767783133806592 4 + ----------------------------------- n 35679788700200619975 12061539769870857895050182950912 3 623863390730182351095463936 - -------------------------------- n + --------------------------- n 22653834095365473 27195479106081 505169198377945971677605855232 2\ n / - ------------------------------ n |/(n! (1 + n)!) + 4 |262144 1386969434410131 / \ 582457431188235594062749 23 944593175918837556414311 17 + ------------------------ n + ------------------------ n 534824091648 5813305344 2276908145277859305336875 16 2271465555280668747475 25 + ------------------------- n + ---------------------- n 11626610688 66853011456 202952395086151471135740635 15 2817669652008937733495 24 + --------------------------- n + ---------------------- n 906875633664 11626610688 93944424677160960090943 22 3487401643464928313875 26 + ----------------------- n + ---------------------- n 23253221376 772523687936 35453791846288856372113 10 106161745508579251267765 12 - ----------------------- n + ------------------------ n 132120576 1937768448 409014603149011159403801 13 38899903326182159632843 21 + ------------------------ n + ----------------------- n 3875536896 3170893824 25708980669084677266709 18 1973803131522717707005 20 + ----------------------- n + ---------------------- n 234881024 66060288 6213057256272933701875 27 14441906096291815704757 19 + ---------------------- n + ----------------------- n 62574418722816 234881024 106763232482340447020431 9 10509005473829123249855 8 + ------------------------ n + ----------------------- n 594542592 33030144 75757959360312537944822077 14 968134045108688727807199 11 + -------------------------- n + ------------------------ n 302291877888 2906652672 311698606959519883999397 7 18708167762799691376845 6 - ------------------------ n + ----------------------- n 181665792 6488064 101172101606472973978331 5 43945566794595271848445 4 - ------------------------ n - ----------------------- n 87048192 21762048 21980415638526232697011 3 25182528955233779 + ----------------------- n + ----------------- n 8840832 1012 54220614940754593715 2\ - -------------------- n | 64064 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(-262144-4333336453755654865359418901120/251857332001416141*n^ 23-4912010261466675595738283917488578/6296433300035403525*n^17-\ 1887893968148653383769706257996156/2098811100011801175*n^16-\ 4819575996424209702129869739520/4281574644024074397*n^25-\ 23139538920156574401761152000/12844723932072223191*n^28-\ 394248002063475619591092881867296/484341023079646425*n^15-\ 21101384176981455583840523838592/4281574644024074397*n^24-\ 27162252860226087697436167365472/548919826156932615*n^22-\ 280300180565218290439904454400/1427191548008024799*n^26-\ 1201584817977227348791717122862592/936204368226838425*n^10-\ 259969667002001468435555272972288/335546602196244075*n^12-\ 652779487565716749031421317732096/699603700003933725*n^13-\ 12717300470983106934909046139995904/107039366100601859925*n^21-\ 812224231611373606045815108699169/1321473655562985925*n^18-\ 223880305367525842792075902185692/930777096526972695*n^20-\ 318209090369247930756417766400/12844723932072223191*n^27-\ 44554781858828812287086173240133548/107039366100601859925*n^19-\ 270408399175405261973162457640322048/64223619660361115955*n^9+ 195940321884839214193108952123705344/35679788700200619975*n^8-\ 2865479771188918824283818878398144/6296433300035403525*n^14+ 76861741830888694906623720213147392/35679788700200619975*n^11+ 11367632496869143358227402706673664/6296433300035403525*n^7-\ 644352961284915030655137295696592896/107039366100601859925*n^6+ 2587646109524375786718869324873728/2610716246356142925*n^5+ 84391618911790797274767783133806592/35679788700200619975*n^4-\ 12061539769870857895050182950912/22653834095365473*n^3+ 623863390730182351095463936/27195479106081*n-505169198377945971677605855232/ 1386969434410131*n^2)+4^n*(262144+582457431188235594062749/534824091648*n^23+ 944593175918837556414311/5813305344*n^17+2276908145277859305336875/11626610688* n^16+2271465555280668747475/66853011456*n^25+202952395086151471135740635/ 906875633664*n^15+2817669652008937733495/11626610688*n^24+ 93944424677160960090943/23253221376*n^22+3487401643464928313875/772523687936*n^ 26-35453791846288856372113/132120576*n^10+106161745508579251267765/1937768448*n ^12+409014603149011159403801/3875536896*n^13+38899903326182159632843/3170893824 *n^21+25708980669084677266709/234881024*n^18+1973803131522717707005/66060288*n^ 20+6213057256272933701875/62574418722816*n^27+14441906096291815704757/234881024 *n^19+106763232482340447020431/594542592*n^9+10509005473829123249855/33030144*n ^8+75757959360312537944822077/302291877888*n^14+968134045108688727807199/ 2906652672*n^11-311698606959519883999397/181665792*n^7+18708167762799691376845/ 6488064*n^6-101172101606472973978331/87048192*n^5-43945566794595271848445/ 21762048*n^4+21980415638526232697011/8840832*n^3+25182528955233779/1012*n-\ 54220614940754593715/64064*n^2) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 274878431232, 1362288760993282949, 82203561857522809176064, 472162477660224137690362258, 633736159237457017500001632256, 318477107740838771479432232569933, 79065964179801131628723519009325056, 11563653265981972872464448137291761622, 1121433624622889822583781317064130560000, 78362098918520599253285194616054169607586, 4191245306270701673304468816364897123172352, 179534541430326949136326484986391325536255044, 6376968377866344225560107023685404207087616000, 193005759049594105789382616083792652148505161021, 5086892260368668045194762789060518038400873791488, 118824689442135099489853642254932246022445044917038, 2495811130467696886654226171863546109287175333871616, 47707450153633187357742904662803422957586207620174870, 838327270114626256589178994107579566440284007252885504, 13658746841707631283290577805285328256497382889009534012, 207853215965013685389402441095014271547449198204862595072, 2972971238692695628619677550705133500344241341224582633874, 40187415425985146662741530881794700084601008107894214754304, 515859116254756741129635418903287422325454789376148852618268, 6314481237647296287743881989026638269840755939488713865691136, 73981053728432152132827458227279984290953929902840252829039268, 832356038307205947926683771214051545922425808663690627730374656, 9019407524638381821747164870887834285106366344053591375107139848, 94377435422566117181431173652073350882461410906504412294543310848] ------------------------------------------------------------ The sum of the, 20, -th power of the areas of all Dyck paths of length 2n is / 82240834449230351970564527902878023552 23 (2 n)! |524288 + -------------------------------------- n \ 237135011659273360477845 189544073426162513968305607840188592 17 + ------------------------------------ n 28455973751322792675 55043581305072404192201198811367843112 16 + -------------------------------------- n 11012461841761920765225 45074855413462465046947327799384681216 25 + -------------------------------------- n 1185675058296366802389225 15351739551744281328209442725804800 28 + ----------------------------------- n 60977574426670292694303 55002381263397161593735277617278976 15 + ----------------------------------- n 26034188751210214575 6987634706594592165195445059884836832 24 + ------------------------------------- n 54723464229063083187195 2259954754345843293010206524068098964 22 + ------------------------------------- n 2811877608607984511595 445869779957368588485692828990023552 26 + ------------------------------------ n 47427002331854672095569 371669077994016465999518841138936537032704 10 - ------------------------------------------ n 10671075524667301221503025 10950528389151749022058148023217703595264 12 - ----------------------------------------- n 970097774969754656500275 44673736800772767434665478397914297344 13 + -------------------------------------- n 20801316812216961445425 62511706146146784165761011378133816 21 + ----------------------------------- n 38427323231125159695 974877229372504273832900118319029540836 18 + --------------------------------------- n 187211851309952653008825 659953951824576347448106796324535518789 20 + --------------------------------------- n 237135011659273360477845 274878680634946069110922565426145280 27 + ------------------------------------ n 142281006995564016286707 247105249190566204119296019838307718944 19 + --------------------------------------- n 62403950436650884336275 90950122658489286145592956526347152367616 9 + ----------------------------------------- n 3557025174889100407167675 36693373200311523724222782525553332088832 8 + ----------------------------------------- n 395225019432122267463075 498438661516818938712912698206395392 14 + ------------------------------------ n 50043264183360773325 1393144337631861322091962046283336341504 11 + ---------------------------------------- n 64673184997983643766685 235208980705060631995049346733985729118208 7 - ------------------------------------------ n 1185675058296366802389225 4555411674428614981618973569177600 29 + ---------------------------------- n 142281006995564016286707 12411342998758098072765044454400 30 + -------------------------------- n 18558392216812697776527 141822077141133739482351043500228050944 6 + --------------------------------------- n 3456778595616229744575 2537023575123408866172505256184819482624 5 + ---------------------------------------- n 13949118332898432969285 47859538088035328460199919067279434481664 4 - ----------------------------------------- n 395225019432122267463075 57626583464988526316708047634394513408 3 - -------------------------------------- n 2091137668953027870175 6247573428082221096885026816 68440164212194562706183665973198848 2\ - ---------------------------- n + ----------------------------------- n | 7206801963111465 2327797034085003195 / n / 63699352275658890682005 23 /(n! (1 + n)!) + 4 |-524288 - ----------------------- n \ 2122317824 15544064252973979584545 17 47478275641853317156429735 16 - ----------------------- n - -------------------------- n 11534336 28339863552 68143038730198525544375 25 31065286281364668509375 28 - ----------------------- n - ----------------------- n 33426505728 7821802340352 259460159275562270490802861 15 26492418483979859633675 24 - --------------------------- n - ----------------------- n 226718908416 3038773248 1500384716762376181011925 22 90059437485301537030625 26 - ------------------------- n - ----------------------- n 17439916032 248311185408 11580625247574659622945461 10 26212361889021802346725 12 - -------------------------- n + ----------------------- n 297271296 14680064 4958854876896295350654505 13 162726967639683854498495 21 - ------------------------- n - ------------------------ n 968884224 792723456 2051712808174148689031345 18 15614378977307490062515 20 - ------------------------- n - ----------------------- n 1937768448 37748736 748993668791069699988125 27 126942236181949518975025 19 - ------------------------ n - ------------------------ n 15643604680704 176160768 774304063253581057996835 9 458719717474966637969425 8 - ------------------------ n + ------------------------ n 148635648 4325376 321351717312817296306785 14 208256455355738224095835 11 - ------------------------ n + ------------------------ n 981467136 11534336 5091288399025507886285875 7 4147913997883999044794255 6 - ------------------------- n - ------------------------- n 45416448 130572288 64024976236671233386365 5 171610578217232989979975 4 + ----------------------- n - ------------------------ n 518144 3214848 32734878146182011507065 3 184031584880987015 - ----------------------- n - ------------------ n 1607424 506 1562804877182649357305 2\ + ---------------------- n | 105248 / and in Maple notation (2*n)!/n!/(1+n)!*(524288+82240834449230351970564527902878023552/ 237135011659273360477845*n^23+189544073426162513968305607840188592/ 28455973751322792675*n^17+55043581305072404192201198811367843112/ 11012461841761920765225*n^16+45074855413462465046947327799384681216/ 1185675058296366802389225*n^25+15351739551744281328209442725804800/ 60977574426670292694303*n^28+55002381263397161593735277617278976/ 26034188751210214575*n^15+6987634706594592165195445059884836832/ 54723464229063083187195*n^24+2259954754345843293010206524068098964/ 2811877608607984511595*n^22+445869779957368588485692828990023552/ 47427002331854672095569*n^26-371669077994016465999518841138936537032704/ 10671075524667301221503025*n^10-10950528389151749022058148023217703595264/ 970097774969754656500275*n^12+44673736800772767434665478397914297344/ 20801316812216961445425*n^13+62511706146146784165761011378133816/ 38427323231125159695*n^21+974877229372504273832900118319029540836/ 187211851309952653008825*n^18+659953951824576347448106796324535518789/ 237135011659273360477845*n^20+274878680634946069110922565426145280/ 142281006995564016286707*n^27+247105249190566204119296019838307718944/ 62403950436650884336275*n^19+90950122658489286145592956526347152367616/ 3557025174889100407167675*n^9+36693373200311523724222782525553332088832/ 395225019432122267463075*n^8+498438661516818938712912698206395392/ 50043264183360773325*n^14+1393144337631861322091962046283336341504/ 64673184997983643766685*n^11-235208980705060631995049346733985729118208/ 1185675058296366802389225*n^7+4555411674428614981618973569177600/ 142281006995564016286707*n^29+12411342998758098072765044454400/ 18558392216812697776527*n^30+141822077141133739482351043500228050944/ 3456778595616229744575*n^6+2537023575123408866172505256184819482624/ 13949118332898432969285*n^5-47859538088035328460199919067279434481664/ 395225019432122267463075*n^4-57626583464988526316708047634394513408/ 2091137668953027870175*n^3-6247573428082221096885026816/7206801963111465*n+ 68440164212194562706183665973198848/2327797034085003195*n^2)+4^n*(-524288-\ 63699352275658890682005/2122317824*n^23-15544064252973979584545/11534336*n^17-\ 47478275641853317156429735/28339863552*n^16-68143038730198525544375/33426505728 *n^25-31065286281364668509375/7821802340352*n^28-259460159275562270490802861/ 226718908416*n^15-26492418483979859633675/3038773248*n^24-\ 1500384716762376181011925/17439916032*n^22-90059437485301537030625/248311185408 *n^26-11580625247574659622945461/297271296*n^10+26212361889021802346725/ 14680064*n^12-4958854876896295350654505/968884224*n^13-162726967639683854498495 /792723456*n^21-2051712808174148689031345/1937768448*n^18-\ 15614378977307490062515/37748736*n^20-748993668791069699988125/15643604680704*n ^27-126942236181949518975025/176160768*n^19-774304063253581057996835/148635648* n^9+458719717474966637969425/4325376*n^8-321351717312817296306785/981467136*n^ 14+208256455355738224095835/11534336*n^11-5091288399025507886285875/45416448*n^ 7-4147913997883999044794255/130572288*n^6+64024976236671233386365/518144*n^5-\ 171610578217232989979975/3214848*n^4-32734878146182011507065/1607424*n^3-\ 184031584880987015/506*n+1562804877182649357305/105248*n^2) For the sake of the OEIS, the first 30 terms are [1, 1099512676352, 12237648463704606453, 1300565064758897578868736, 11502431230990333262460004010, 21834278657305103357209351290880, 14635242098777280585121259183415117, 4644008004966636148990776063290245120, 840588518918742871911084206821982999390, 98388394397036989861544974569990244007936, 8133134030365331407812783287188532477093954, 506282237330011083255203549395833935794012160, 24901646102417442624142701274264359179128880244, 1004136810181502883767309606144022759271250788352, 34170286840393897934603773159148521522295575665853, 1004189517392221486487507635306593498935349356789760, 25966395841606502512460790612998755969718826500862230, 599932142243117000487631117795575667614122289016078336, 12543706371434698419909577841360256573447430888090204278, 239902334865414471978096506205909933746691681521984602112, 4235176180043501106797219010381659843563704675548282873740, 69551867463090296620636093321122081143798457677571277455360, 1069674784129569612834854396781949431622053852550735396558994, 15496058073975066513001442912068319460551859880843102425972736, 212529121413594960021419822819803092792851941177497289021652844, 2771894615851873122967309643096698352593470949805447479759470592, 34514625539602472891039252545164223848169340939880251792315407844, 411730118090754266658891073604933592271562296091453313401816612864, 4720146375567359181952914977551551791369033749885819655284345558376, 52148335397574964556486493835550216513549340899484312881712789979136] ----------------------------------------------- 1/2 (3/2) The average of the area is asympotic to, Pi n 3 The variance of the area is asympotic to, (-Pi + 10/3) n 1/2 3 3 (8 Pi - 25) The limiting skewness is, ------------------- / 10 \3/2 4 Pi |-3 + ----| \ Pi / and in Maple notation 3/4*3^(1/2)*(8*Pi-25)/Pi/(-3+10/Pi)^(3/2) 2 189 Pi - 315 Pi - 884 The limiting kurtosisis, - ----------------------- 2 7 (9 Pi - 60 Pi + 100) and in Maple notation -1/7*(189*Pi^2-315*Pi-884)/(9*Pi^2-60*Pi+100) The limiting scaled moments up to the, 20, -th is 1/2 2 3 3 (8 Pi - 25) 189 Pi - 315 Pi - 884 [-------------------, - -----------------------, / 10 \3/2 2 4 Pi |-3 + ----| 7 (9 Pi - 60 Pi + 100) \ Pi / 1/2 2 3 (8064 Pi + 8400 Pi - 105845) ----------------------------------, 2 / 10 \5/2 224 Pi |-3 + ----| \ Pi / 3 2 15 (144144 Pi + 720720 Pi - 3013725 Pi - 2120320) ---------------------------------------------------, 3 2 16016 (27 Pi - 270 Pi + 900 Pi - 1000) 1/2 3 2 3 3 (494208 Pi + 5045040 Pi - 9911330 Pi - 33965825) ---------------------------------------------------------, - 3 ( 3 / 10 \7/2 9152 Pi |-3 + ----| \ Pi / 4 3 2 488864376 Pi + 8147739600 Pi + 455885430 Pi - 86568885375 Pi / - 32820007040) / (2586584 / 4 3 2 1/2 (81 Pi - 1080 Pi + 5400 Pi - 12000 Pi + 10000)), 27 3 ( 4 3 2 15891972096 Pi + 387366819840 Pi + 907208125824 Pi - 4944441622400 Pi / / 4 / 10 \9/2\ 5 - 6978220262525) / |662165504 Pi |-3 + ----| |, 3 (5551264502784 Pi / \ \ Pi / / 4 3 2 + 185042150092800 Pi + 926881269874560 Pi - 1941922651536000 Pi / - 8623390317162525 Pi - 2206571720704000) / (7614903296 / 5 4 3 2 1/2 (243 Pi - 4050 Pi + 27000 Pi - 90000 Pi + 150000 Pi - 100000)), 15 3 5 4 3 (897174061056 Pi + 39064453908480 Pi + 316407390773760 Pi 2 / / - 14631197978880 Pi - 3420316627602660 Pi - 3000580680184825) / | / \ 5 / 10 \11/2\ 6 5538111488 Pi |-3 + ----| |, - 27 (4066404049483776 Pi \ Pi / / 5 4 + 223652222721607680 Pi + 2601772448089351680 Pi 3 2 + 4879832965588627200 Pi - 27707639928293288700 Pi / - 61080560747571248125 Pi - 11742199201442693120) / (13691596126208 ( / 6 5 4 3 2 729 Pi - 14580 Pi + 121500 Pi - 540000 Pi + 1350000 Pi - 1800000 Pi 1/2 6 5 + 1000000)), 9 3 (32758723531505664 Pi + 2218038572445696000 Pi 4 3 + 34644794310161418240 Pi + 135500423248295424000 Pi 2 - 252209106117757372320 Pi - 1535336500136741126000 Pi / / 6 / 10 \13/2\ - 973706701878244366545) / |33702390464512 Pi |-3 + ----| |, 27 ( / \ \ Pi / / 7 6 8535012426771038208 Pi + 697026014852968120320 Pi 5 4 + 13985625466898062129152 Pi + 85891085391875116953600 Pi 3 2 + 15470508877240185568800 Pi - 939473013683624546126000 Pi / - 1380743199083686490875095 Pi - 212090575588599686758400) / ( / 7 6 5 4 8105424906715136 (2187 Pi - 51030 Pi + 510300 Pi - 2835000 Pi 3 2 1/2 + 9450000 Pi - 18900000 Pi + 21000000 Pi - 10000000)), 81 3 ( 7 6 49021609835813142528 Pi + 4748968452844398182400 Pi 5 4 + 118591626833198361722880 Pi + 1020030490214434642944000 Pi 3 2 + 1971112698714992951289600 Pi - 9385224454034355991064000 Pi / / - 29926697748142629084578200 Pi - 14836002272587117225133875) / | / \ 7 / 10 \15/2\ 8 129686798507442176 Pi |-3 + ----| |, - 135 (10417310936582774095872 Pi \ Pi / / 7 6 + 1180628572812714397532160 Pi + 35824939397742667842109440 Pi 5 4 + 405111377855896049280983040 Pi + 1493647812566919650928418560 Pi 3 2 - 1977493996481237408210836800 Pi - 18273688197163438167546720120 Pi / - 20158640308913467963875576525 Pi - 2574475657956381612436357120) / ( / 8 7 6 5 14289864110538784768 (6561 Pi - 174960 Pi + 2041200 Pi - 13608000 Pi 4 3 2 + 56700000 Pi - 151200000 Pi + 252000000 Pi - 240000000 Pi + 100000000) 8 7 ), 27 (836653050906726327386112 Pi + 109636410212568929151221760 Pi 6 5 + 3966850272437762848157859840 Pi + 56613967121122142134704537600 Pi 4 3 + 313657528230552102813018316800 Pi + 184476748941951280868951040000 Pi 2 - 3278087868374507917015891269120 Pi - 7158184879749528331362659664000 Pi 1/2 / / 8 - 2909227901248319964015443780975) 3 / |215188541899878170624 Pi / \ / 10 \17/2\ 9 |-3 + ----| |, 81 (17401520660401160048106012672 Pi \ Pi / / 8 + 2610228099060174007215901900800 Pi 7 + 110900512651617321599438479687680 Pi 6 + 1940549691751421409493382725632000 Pi 5 + 14618851492702465358570654292418560 Pi 4 + 32177089143249420430663102596096000 Pi 3 - 110294918427047103581380767695393280 Pi 2 - 503463743356931689771762709604624000 Pi - 444523246304371066311581845815078825 Pi / - 48527130325484200319802203439104000) / (4212423301961065129050112 ( / 9 8 7 6 5 19683 Pi - 590490 Pi + 7873200 Pi - 61236000 Pi + 306180000 Pi 4 3 2 - 1020600000 Pi + 2268000000 Pi - 3240000000 Pi + 2700000000 Pi 9 - 1000000000)), 81 (7757953483274820578722185216 Pi 8 + 1320468332465735086003338608640 Pi 7 + 65046055584738564776008460795904 Pi 6 + 1365371885189878817815324576972800 Pi 5 + 13225961953764378092823328346112000 Pi 4 + 49981264834617079501656324670464000 Pi 3 - 32090525316569906256146053456926720 Pi 2 - 602183632324715785945394512115846400 Pi - 1004000468215369988061079504052993700 Pi 1/2 / / - 345423011497575748257465277763075125) 3 / | / \ 9 / 10 \19/2\ 1773651916615185317494784 Pi |-3 + ----| |, - 81 ( \ Pi / / 10 68031756831269523477483636129792 Pi 9 + 13039420059326658666517696924876800 Pi 8 + 736743431389296993116220705692712960 Pi 7 + 18236215565456993378965673505718272000 Pi 6 + 219048116873106214174703531500051660800 Pi 5 + 1185693256466128395438934408514915328000 Pi 4 + 1285007144541476305868844758598666700800 Pi 3 - 11044468935645454494178412916374472672000 Pi 2 - 34170008905027217167810411437026302666500 Pi - 25141659118456389235172202777026446914375 Pi / - 2394619496912901945833572982702315929600) / ( / 10 9 8 4911685570086601940472430592 (59049 Pi - 1968300 Pi + 29524500 Pi 7 6 5 4 - 262440000 Pi + 1530900000 Pi - 6123600000 Pi + 17010000000 Pi 3 2 - 32400000000 Pi + 40500000000 Pi - 30000000000 Pi + 10000000000))] and in Maple notation [3/4*3^(1/2)*(8*Pi-25)/Pi/(-3+10/Pi)^(3/2), -1/7*(189*Pi^2-315*Pi-884)/(9*Pi^2-\ 60*Pi+100), 1/224*3^(1/2)*(8064*Pi^2+8400*Pi-105845)/Pi^2/(-3+10/Pi)^(5/2), 15/ 16016*(144144*Pi^3+720720*Pi^2-3013725*Pi-2120320)/(27*Pi^3-270*Pi^2+900*Pi-\ 1000), 3/9152*3^(1/2)*(494208*Pi^3+5045040*Pi^2-9911330*Pi-33965825)/Pi^3/(-3+ 10/Pi)^(7/2), -3/2586584*(488864376*Pi^4+8147739600*Pi^3+455885430*Pi^2-\ 86568885375*Pi-32820007040)/(81*Pi^4-1080*Pi^3+5400*Pi^2-12000*Pi+10000), 27/ 662165504*3^(1/2)*(15891972096*Pi^4+387366819840*Pi^3+907208125824*Pi^2-\ 4944441622400*Pi-6978220262525)/Pi^4/(-3+10/Pi)^(9/2), 3/7614903296*( 5551264502784*Pi^5+185042150092800*Pi^4+926881269874560*Pi^3-1941922651536000* Pi^2-8623390317162525*Pi-2206571720704000)/(243*Pi^5-4050*Pi^4+27000*Pi^3-90000 *Pi^2+150000*Pi-100000), 15/5538111488*3^(1/2)*(897174061056*Pi^5+ 39064453908480*Pi^4+316407390773760*Pi^3-14631197978880*Pi^2-3420316627602660* Pi-3000580680184825)/Pi^5/(-3+10/Pi)^(11/2), -27/13691596126208*( 4066404049483776*Pi^6+223652222721607680*Pi^5+2601772448089351680*Pi^4+ 4879832965588627200*Pi^3-27707639928293288700*Pi^2-61080560747571248125*Pi-\ 11742199201442693120)/(729*Pi^6-14580*Pi^5+121500*Pi^4-540000*Pi^3+1350000*Pi^2 -1800000*Pi+1000000), 9/33702390464512*3^(1/2)*(32758723531505664*Pi^6+ 2218038572445696000*Pi^5+34644794310161418240*Pi^4+135500423248295424000*Pi^3-\ 252209106117757372320*Pi^2-1535336500136741126000*Pi-973706701878244366545)/Pi^ 6/(-3+10/Pi)^(13/2), 27/8105424906715136*(8535012426771038208*Pi^7+ 697026014852968120320*Pi^6+13985625466898062129152*Pi^5+85891085391875116953600 *Pi^4+15470508877240185568800*Pi^3-939473013683624546126000*Pi^2-\ 1380743199083686490875095*Pi-212090575588599686758400)/(2187*Pi^7-51030*Pi^6+ 510300*Pi^5-2835000*Pi^4+9450000*Pi^3-18900000*Pi^2+21000000*Pi-10000000), 81/ 129686798507442176*3^(1/2)*(49021609835813142528*Pi^7+4748968452844398182400*Pi ^6+118591626833198361722880*Pi^5+1020030490214434642944000*Pi^4+ 1971112698714992951289600*Pi^3-9385224454034355991064000*Pi^2-\ 29926697748142629084578200*Pi-14836002272587117225133875)/Pi^7/(-3+10/Pi)^(15/2 ), -135/14289864110538784768*(10417310936582774095872*Pi^8+ 1180628572812714397532160*Pi^7+35824939397742667842109440*Pi^6+ 405111377855896049280983040*Pi^5+1493647812566919650928418560*Pi^4-\ 1977493996481237408210836800*Pi^3-18273688197163438167546720120*Pi^2-\ 20158640308913467963875576525*Pi-2574475657956381612436357120)/(6561*Pi^8-\ 174960*Pi^7+2041200*Pi^6-13608000*Pi^5+56700000*Pi^4-151200000*Pi^3+252000000* Pi^2-240000000*Pi+100000000), 27/215188541899878170624*( 836653050906726327386112*Pi^8+109636410212568929151221760*Pi^7+ 3966850272437762848157859840*Pi^6+56613967121122142134704537600*Pi^5+ 313657528230552102813018316800*Pi^4+184476748941951280868951040000*Pi^3-\ 3278087868374507917015891269120*Pi^2-7158184879749528331362659664000*Pi-\ 2909227901248319964015443780975)*3^(1/2)/Pi^8/(-3+10/Pi)^(17/2), 81/ 4212423301961065129050112*(17401520660401160048106012672*Pi^9+ 2610228099060174007215901900800*Pi^8+110900512651617321599438479687680*Pi^7+ 1940549691751421409493382725632000*Pi^6+14618851492702465358570654292418560*Pi^ 5+32177089143249420430663102596096000*Pi^4-110294918427047103581380767695393280 *Pi^3-503463743356931689771762709604624000*Pi^2-\ 444523246304371066311581845815078825*Pi-48527130325484200319802203439104000)/( 19683*Pi^9-590490*Pi^8+7873200*Pi^7-61236000*Pi^6+306180000*Pi^5-1020600000*Pi^ 4+2268000000*Pi^3-3240000000*Pi^2+2700000000*Pi-1000000000), 81/ 1773651916615185317494784*(7757953483274820578722185216*Pi^9+ 1320468332465735086003338608640*Pi^8+65046055584738564776008460795904*Pi^7+ 1365371885189878817815324576972800*Pi^6+13225961953764378092823328346112000*Pi^ 5+49981264834617079501656324670464000*Pi^4-32090525316569906256146053456926720* Pi^3-602183632324715785945394512115846400*Pi^2-\ 1004000468215369988061079504052993700*Pi-345423011497575748257465277763075125)* 3^(1/2)/Pi^9/(-3+10/Pi)^(19/2), -81/4911685570086601940472430592*( 68031756831269523477483636129792*Pi^10+13039420059326658666517696924876800*Pi^9 +736743431389296993116220705692712960*Pi^8+ 18236215565456993378965673505718272000*Pi^7+ 219048116873106214174703531500051660800*Pi^6+ 1185693256466128395438934408514915328000*Pi^5+ 1285007144541476305868844758598666700800*Pi^4-\ 11044468935645454494178412916374472672000*Pi^3-\ 34170008905027217167810411437026302666500*Pi^2-\ 25141659118456389235172202777026446914375*Pi-\ 2394619496912901945833572982702315929600)/(59049*Pi^10-1968300*Pi^9+29524500*Pi ^8-262440000*Pi^7+1530900000*Pi^6-6123600000*Pi^5+17010000000*Pi^4-32400000000* Pi^3+40500000000*Pi^2-30000000000*Pi+10000000000)] and in decimals [.7005665414, 3.560394568, 7.256376504, 27.68558186, 90.01733782, 358.8146804, 1460.708532, 6508.192397, 30390.60915, 155786.1778, 782054.4071, -2953899.429, 24125928.86, -5679028.812, 870446673.3, 1964798.553, .3601268283e11, 7392535.04\ 1] Note that the limits of the scaled moments up to the, 20, -th match those of the area under Brownian excursion ---------------------------------------------- This took, 197.430, moments