Created: June 4, 2002 This version: June 4, 2002 WZtriple: A Maple Program for finding a linear recurrence equation with polynomial coefficients, w.r.t. n, for expressions of the form Int_{z,w,x}F(n,z,w,x), where F is a hypergeometric term It is based on the method in Wilf's and Zeilberger's 1992 article An algorithmic proof theory for hypergeometric (ordinary and "q") multisum/integral identities}, Invent. Math. v. 108, 575-633 (1992). Available from Wilf's and Zeilberger's websites A better, and more general version was made by Akalu Tefera `` ` IMPORTANT WARNING: a, R1,R2,R3,Y1R1,Y2R2,Y3R3 are global ` variables, do not use them! `` Written by Doron Zeilberger, zeilberg@math.rutgers.edu `` Please report bugs to zeilberg@math.rutgers.edu `` The most current version of this package and paper are available from http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/ For a list of the procedures type ezra(), for help with a specific procedure, type ezra(procedure_name) Selberg's Integral n m (2 k) F := (x y z) ((1 - x) (1 - y) (1 - z)) ((x - y) (x - z) (y - z)) WZ3(F,n,x,y,z,[n,m,k],N) (n + 1 + 2 k) (n + 1) (n + k + 1) - (n + 3 k + m + 2) (n + m + 2 + 2 k) (n + 4 k + 2 + m) N, - 1/6 x (2 + 2 k + 2 y + 4 n + 2 z + 28 z k y + 2 n k + 8 n y z + 4 y k + 4 z k 2 2 + 2 n + 4 y n k + y n m + y n + 3 y n + y m + 8 y z m + 14 y z k m 2 2 2 + 14 y z n k + 4 y z n m + 24 y z k + 2 y z n + 2 y z m + 8 y z 2 + 4 z n k + z n m + z n + 3 z n + z m) (-1 + x), - 1/6 (2 + 2 k + 4 n 2 + 2 x + 2 z + 2 n k + 8 n x z + 28 k x z + 3 x n + x n + 4 z k + 8 x z 2 2 2 + 2 n + 8 x z m + 24 x z k + 2 x z n + 14 x z n k + 4 x z n m 2 + 14 x z k m + 4 z n k + z n m + z n + 3 z n + z m + 4 x k + 4 x n k 2 + x n m + 2 x z m + x m) (-1 + y) y, 1 It tool, 16.291, seconds Mehta's Integral 2 2 2 (2 n) F := exp(-x - y - z ) ((x - y) (x - z) (y - z)) WZ3(F,n,x,y,z,[n],N) 3 (3 n + 2) (3 n + 1) (1 + 2 n) - 4 N, 45/2 y - 12 x + 9/2 z + 22 x y z 3 2 2 3 2 2 3 2 2 - 48 y z - 2 x y n - 34 n z y - 40 n z y + 20 y x - 12 y z 2 3 2 2 3 + 76 y x n + 2 x z n + 197/2 n y - 40 y x n - 21 n x + 23/2 n z 2 2 4 2 2 2 3 2 4 - 10 y x - 48 y x n + 64 y x n + 56 y z n + 24 y z n 3 2 3 2 2 3 2 2 4 4 + 48 y z n + 2 y z n - 28 z n - 6 z n - 4 x y z - 12 z n 4 2 3 3 3 4 2 2 2 3 - 4 x y z + 8 x y z + 108 x n + 36 x n + 51 x n - 4 x y z 2 2 2 2 5 4 2 - 12 x y z n + 32 x y z - 72 y n - 48 x y z n + 58 x y z n 2 2 3 2 2 2 3 2 2 + 80 x y z n - 24 x y z n - 116 x y z n - 52 x y z n - 4 x y z 3 4 2 2 2 3 - 118 y n - 216 y n + 93 y n - 20 x y z - 12 x y z n 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 + 152 x y z n + 68 x y z n + 12 x y z n + 32 x y z - 8 x y z n 3 3 3 2 2 3 2 3 3 3 3 - 24 x y z n - 116 x y z n + 4 x y z - 4 x y z n + 4 x y z 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 3 2 2 3 - 4 x y z + 12 x y z n - 8 x z n + 2 x y + 6 x z + 84 y x n 3 2 2 2 2 2 + 88 y z n - 4 y x n + 74 y x n , 18 y - 15/2 x + 9/2 z - 6 x y z 4 3 4 3 3 2 2 2 2 - 8 x z + 8 x z n + 9 x + 42 n z y + 16 y x + 16 y z + 50 y x n 3 2 4 2 2 3 4 2 - 22 x z n + 87 n y + 8 x y z - 28 y x n - 12 x y z n - 19/2 n x 2 3 2 3 2 3 3 2 + 23/2 n z - 15 y x + 2 x y - 72 x y z n + 6 x y z - 2 x y n 3 2 4 2 2 2 3 2 4 - 18 x y z n - 48 y x n + 46 y x n - 100 y z n - 48 y z n 2 2 3 2 4 3 4 2 - 18 y z n - 28 z n - 6 z n - 12 z n + 80 x n + 24 x n + 45 x n 2 2 3 2 2 2 2 5 4 - 4 x y z + 12 x y z n + 28 x y z - 72 y n + 24 x y z n 2 2 2 3 2 2 2 3 + 78 x y z n + 4 x y z n - 24 x y z n - 44 x y z n + 104 x y z n 2 2 3 4 2 2 2 3 - 36 x y z - 90 y n - 204 y n + 99 y n + 10 x y z + 4 x y z n 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 + 108 x y z n - 24 x y z n + 70 x y z n + 16 x y z n 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 3 + 48 x y z n - 40 x y z n - 4 x y z + 8 x y z - 12 x y z n 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 + 20 x y z - 20 x y z + 16 x y z n + 4 x z n - 6 x z 2 3 3 2 3 3 3 2 2 2 + 84 y x n - 20 x n - 12 x n + 5 x n + 17 y x n + 112 y x n 2 4 - 4 x y z , 1 It tool, 33.469, seconds Dyson's Constant-Term Identity /(x - y) (x - z) (y - z)\(2 n) |-----------------------| \ x y z / F := ------------------------------ x y z WZ3(F,n,x,y,z,[n],N) 2 3 3 3 3 (2 + 3 n) (3 n + 1) + (n + 1) N, 1/2 (6 x y n + 3 x y n - y z n 2 2 3 3 3 3 3 2 2 + 2 n z y + 6 x z n - y z n + 3 x z n + 2 x y - y z + 2 y z 3 3 3 3 / 2 2 2 2 2 + 4 x z - y z + 2 x z + 4 x y) / (x y z ), 1/2 (2 x z n / 3 3 3 3 3 3 3 + 3 x y n + 3 y z n - x z n + 6 y z n - x z n + 6 x y n + 2 x y 3 3 3 3 3 2 2 / 2 2 2 + 2 y z - x z + 4 y z - x z + 4 x y + 2 x z ) / (x y z ), / 1 ----------------- x(%1) y(%1) z(%1) 3 3 3 3 3 2 2 %1 := - 1/2 (-3 x z n - 3 y z n + x y n - 6 x z n - 6 y z n - 2 x y n 3 3 3 3 3 2 2 3 3 + x y n - 2 y z + x y - 4 x z - 4 y z - 2 x y + x y - 2 x z)/(x y z) It tool, 5.900, seconds