On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ ation, 2 2 2 y Psi(x, y) + (Psi(x, 0) x y - y + x - y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1, 3, 13, 68, 399, 2530, 16965, 118668, 857956, 6369883, 48336171, 373537388, 2931682810, 23317105140, 187606350645, 1524813969276, 12504654858828, 103367824774012, 860593023907540, 7211115497448720, 60776550501588855, 514956972502029690, 4384387181372914755, 37495248874510995828, 321973371914323166604, 2775265555241813680074, 24005427634602793982722, 208318056954199178840392, 1813260799116658123072932, 15827868548437082733879976 , 138527083005463129610280725, 1215417968069890187390670300, 10688835346529297517134514940, 94208404652953355082470864580, 832049648783172760908539918940, 7363078915275373267621749900080, 65279164593636661064677738197740, 579765709301805935715699759959400, 5157679757210166896047095056322100, 45956203014247841039367646093722800, 410098754677005019826143247012574096, 3664850850422985533738932855002815163, 32795847008613571020092536540549133907, 293865903282209060043877088352341283660 , 2636466371208598356376687347657911174130, 23681787784365983277039149997743998702020, 212962902553828551132442258687729821480435, 1917211534227216099377043765026364529133220, 17277995200367217186974318192510589415334196, 155867546187734433454567963570101115909693428, 1407472573437013337779202359363100451799321308, 12721253890784928432979418272880742342531221424, 115082792595319452206802334025378261493635403474, 1041998163904262389091806582333429349962509838444, 9442478100070875624469346674706981106398340994642, 85635649664225689022107731965127925449897643995960, 777249709660001222425603435256541215987826355887880, 7059798634013468730472557304304753180472477018988388, 64171003753410857225129596733692699378863723538299636, 583699971140444853892127700421853450248550669234279248, 5312939756647350377863622228116726007892350751470629896, 48391048290797702040536242719454090290350431469985476688, 441032989404009149771541319551628819880953696156896947925, 4022021959702624841205667534038293843369734698766162412700, 36700917238852806555815471228095360202894625077402327291100, 335089403167081049257121692051017178373096384624427341956020, 3061175920776789119053486597683904225115492345140378866138060, 27980312139134041045817512663338235083658162258915955027251440, 255886077059957037701881817057312194715091478591575471691046100, 2341337640007637749981663757733543752259877605456663246241699800, 21433764654245099055915963311985200446546548162479260991340872700, 196310658318058897520610916188334380807764297790635402809211955600, 1798848337150421980350264073517414607170740592990559048261507073200, 16490921964365314688471131653342271534392392516951790987952520112540, 151248032048794089311185360081514905049865269221635961890330933224220, 1387790264236233722059460285904583183525407730809567765401883926321520, 12739205571521904764218029614474050085717960921735843500178854711039560, 116987792551771406432313844195654514166336775416167956618980244638210960, 1074765957576134222261228349453641923863724152538874544604361517733039860, 9877750373277083871012160505346493826603753183418738909487052592025818480, 90817339521332507855023840475700037536595901753111283835183172272050938800, 835299143314243247713815094397834070272383405595064239489499504757796316400, 7685531794413084184559728724325077685478748452012539725758012847976508573008, 70739285897550177595590788402895988061351583222761524558196888204049683960896, 651326345876307669931117764470361417019107764595018551149739159840120879585303, 5999075651695193692552164896668083313196711404375854427888464246751670396971866 , 55273168869480093752051347425542709730913441160647634189853619916841293863935\ 723, 50943109413396055745812407529815771723697176692945068557739516779966354125\ 0440020, 4696717445226139419036004520509976855928078807975527598146096554247758\ 943969244780] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 4 3 3 2 2 2 2 g x + 3 g x + 8 g x + 3 g x - 20 g x + g + 16 x - 1 = 0 and in Maple notation g^4*x^3+3*g^3*x^2+8*g^2*x^2+3*g^2*x-20*g*x+g+16*x-1 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 8 8 7 8 7 6 7 7 6 8 6 6 psi y - 4 psi y + 4 psi x y - 7 psi y + 6 psi y - 4 psi x y 6 7 5 8 6 2 4 6 5 6 6 + 25 psi y - 4 psi y + 6 psi x y - 21 psi x y + 21 psi y 5 6 5 7 4 8 5 2 4 5 5 - 4 psi x y - 33 psi y + psi y + 4 psi x y + 42 psi x y 5 6 4 6 4 7 5 3 2 5 2 3 - 66 psi y + 4 psi x y + 19 psi y + 4 psi x y - 21 psi x y 5 4 5 5 4 2 4 4 5 4 6 + 45 psi x y - 35 psi y + 6 psi x y - psi x y + 75 psi y 3 7 4 3 2 4 2 3 4 4 4 5 - 4 psi y + 4 psi x y + 5 psi x y - 129 psi x y + 95 psi y 3 5 3 6 4 4 4 3 4 2 2 - 20 psi x y - 36 psi y + psi x - 7 psi x y + 27 psi x y 4 3 4 4 3 2 3 3 4 3 5 - 50 psi x y + 35 psi y - 28 psi x y + 47 psi x y - 90 psi y 2 6 3 3 3 2 2 3 3 3 4 + 6 psi y - 12 psi x y - 42 psi x y + 176 psi x y - 80 psi y 2 4 2 5 3 3 3 2 3 2 + 36 psi x y + 34 psi y + 3 psi x - 15 psi x y + 30 psi x y 3 3 2 2 2 2 3 2 4 5 - 21 psi y + 54 psi x y - 95 psi x y + 60 psi y - 4 psi y 2 3 2 2 2 2 2 3 3 + 8 psi x + 53 psi x y - 114 psi x y + 39 psi y - 28 psi x y 4 2 2 2 2 2 2 - 16 psi y + 3 psi x - 9 psi x y + 7 psi y - 48 psi x y 2 3 4 2 2 + 73 psi x y - 21 psi y + y - 20 psi x + 30 psi x y - 10 psi y 2 3 2 2 + 8 x y + 3 y + psi x - psi y + 16 x - 20 x y + 3 y - x + y = 0 and in Maple notation psi^8*y^8-4*psi^7*y^8+4*psi^7*x*y^6-7*psi^7*y^7+6*psi^6*y^8-4*psi^6*x*y^6+25* psi^6*y^7-4*psi^5*y^8+6*psi^6*x^2*y^4-21*psi^6*x*y^5+21*psi^6*y^6-4*psi^5*x*y^6 -33*psi^5*y^7+psi^4*y^8+4*psi^5*x^2*y^4+42*psi^5*x*y^5-66*psi^5*y^6+4*psi^4*x*y ^6+19*psi^4*y^7+4*psi^5*x^3*y^2-21*psi^5*x^2*y^3+45*psi^5*x*y^4-35*psi^5*y^5+6* psi^4*x^2*y^4-psi^4*x*y^5+75*psi^4*y^6-4*psi^3*y^7+4*psi^4*x^3*y^2+5*psi^4*x^2* y^3-129*psi^4*x*y^4+95*psi^4*y^5-20*psi^3*x*y^5-36*psi^3*y^6+psi^4*x^4-7*psi^4* x^3*y+27*psi^4*x^2*y^2-50*psi^4*x*y^3+35*psi^4*y^4-28*psi^3*x^2*y^3+47*psi^3*x* y^4-90*psi^3*y^5+6*psi^2*y^6-12*psi^3*x^3*y-42*psi^3*x^2*y^2+176*psi^3*x*y^3-80 *psi^3*y^4+36*psi^2*x*y^4+34*psi^2*y^5+3*psi^3*x^3-15*psi^3*x^2*y+30*psi^3*x*y^ 2-21*psi^3*y^3+54*psi^2*x^2*y^2-95*psi^2*x*y^3+60*psi^2*y^4-4*psi*y^5+8*psi^2*x ^3+53*psi^2*x^2*y-114*psi^2*x*y^2+39*psi^2*y^3-28*psi*x*y^3-16*psi*y^4+3*psi^2* x^2-9*psi^2*x*y+7*psi^2*y^2-48*psi*x^2*y+73*psi*x*y^2-21*psi*y^3+y^4-20*psi*x^2 +30*psi*x*y-10*psi*y^2+8*x*y^2+3*y^3+psi*x-psi*y+16*x^2-20*x*y+3*y^2-x+y = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 1 (4 n + 5) (2 n + 1) (4 n + 3) a(n) -8/3 ---------------------------------- + a(n + 1) = 0 (3 n + 5) (3 n + 4) (n + 2) and in Maple notation -8/3*(4*n+5)*(2*n+1)*(4*n+3)/(3*n+5)/(3*n+4)/(n+2)*a(n)+a(n+1) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 1 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 971916972145580196581205042601861574138413467747362447080338099405602\ 9162669274726393496719280270022594298094562195877640239929144027886626786691614\ 2234143409385374189366908017496445184612454002512315167249839366054341707603615\ 3742058138630673617108025947188088221111036120585787618962749626045188277322621\ 1686943757594036220331346247068140687625106858467405310844840243673170498555984\ 0846056190098041661136830643103170376050029595863088814657375283724627793962753\ 3048879524040960753518275546646776065186350474294157663112857446575256876476039\ 9341953716271369358839165583357970573724602308665314705698865652997358027045788\ 6455329101727036959875035313710112846291113394632798119389519842314851621629257\ 2390127114692899868226861222160103802304286679126223053389370834411774779879190\ 7105511110893675456111697013440561859023120949404994925771013253355415344271278\ 5507635399790714017081687623439728329424486618725545549301607739045412850548053\ 9294825754857889882250067580800 --------------------------------------- This ends this paper that took, 123.803, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ ation, 2 2 2 y Psi(x, y) + (Psi(x, 0) x y - 2 y + x - y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1, 2, 6, 21, 82, 343, 1510, 6906, 32547, 157131, 773796, 3874361, 19674323, 101127767, 525321798, 2754260061, 14559498592, 77528819105, 415555109612, 2240600580333, 12145947965363, 66164105585069, 362040391231116, 1989192695830383, 10970901992342469, 60719713918840350, 337154364450178748, 1877763754429591301, 10487637348209263451, 58729875208520422255, 329695461796670590846, 1855127519663076327610, 10461206485113951211119, 59112928263771697705533, 334677063438851085567390, 1898306707295613533047428, 10786029588320015127044793, 61386480999558589885255358, 349916025002348200544256896, 1997568134668203729351702935, 11419712112266361909946924633, 65372602774980962217474950886, 374711238582082911526928254380, 2150468240905479509361546199811, 12356099787285932168074705272849, 71075516732901494283905589774549, 409287466720253485766732273745372, 2359323435805409792887225366878633, 13613791812273398489910479459912883, 78629651768548318092961408350237072, 454562121677813360036650885851022110, 2630175367786493306906595942225049749, 15231634457273396825023092470460558718, 88280584031949711476190229968748635623, 512068479165551036405460889950434743100, 2972507692937766274741578677639415765175, 17267863090101311120796892407811030644393, 100383890012347755042384093961099682658762, 583967871820711028348471405824382963762780, 3399410385003139849279399454114696319744109, 19801524396441437004266056081262440560669091, 115415771761459191129202954551361028465209039, 673123477829102497034725306663304420199868806, 3928070640898136569906062683149044219992333949, 22935652925491450732734577410687587031093714296, 133993223543065941679324668974617703871674443177, 783226614874838678333080753868505922800442597924, 4580555865265418103960663367372080978395637366891, 26802088538381343442834845871047727454307421343733, 156903499061237129950845324749997207024582745462575, 918976164289107091073768932298797951958273050908210, 5384902254961620933388843252450396994577126329405989, 31568062128351102925610450064206528273411049573786154, 185143862806003283021203148723203497920932421109805063, 1086318068808168578763588216144444028036567470845937104, 6376555603721428835268393284841062377558515956848732742, 37444852965192264477454193108020147086684465827315004998, 219973558301349719313278493211854789292710412554427560090, 1292757037945342274154104970941897684333345190535395982680, 7600239692173621478335077400131001270503113502062411583189, 44698982049200031033481782829986796147132298222383721136179, 262980837507503614853693016411577902789409767180986230686500, 1547757800923555634272371272438715379917950590466978240348494, 9112357596819967406096985919608494623261947250696030110443733, 53666579538086343248134904409366497997410366184125120202138102, 316168907905450894561011643312432390578708912424995684533493671, 1863259175436087406450650520669123788002898719897156988784190724, 10984066109555243719592362932265617286889408106368345826605184837, 64771769955000921907927168201007832309372179462237314826135501159] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 5 4 4 3 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 g x + 4 g x + 21 g x + 6 g x - g x - 55 g x + 4 g x + 68 g x 2 - 13 g x - 16 x + g + 8 x - 1 = 0 and in Maple notation g^5*x^4+4*g^4*x^3+21*g^3*x^3+6*g^3*x^2-g^2*x^3-55*g^2*x^2+4*g^2*x+68*g*x^2-13*g *x-16*x^2+g+8*x-1 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 10 10 9 10 9 8 9 9 8 10 8 8 -psi y + 10 psi y - 5 psi x y + 9 psi y - 40 psi y + 19 psi x y 8 9 7 10 8 2 6 8 7 8 8 - 77 psi y + 80 psi y - 10 psi x y + 36 psi x y - 36 psi y 7 2 7 7 8 7 9 6 10 7 2 6 - psi x y + 6 psi x y + 256 psi y - 80 psi y - 3 psi x y 7 7 7 8 6 2 7 6 8 6 9 - 186 psi x y + 260 psi y + 4 psi x y - 92 psi x y - 408 psi y 5 10 7 3 4 7 2 5 7 6 7 7 + 32 psi y - 10 psi x y + 54 psi x y - 112 psi x y + 84 psi y 6 3 5 6 2 6 6 7 6 8 - 2 psi x y + 69 psi x y + 205 psi x y - 706 psi y 5 2 7 5 8 5 9 6 3 4 - 4 psi x y + 88 psi x y + 304 psi y - 23 psi x y 6 2 5 6 6 6 7 5 3 5 - 104 psi x y + 666 psi x y - 504 psi y - 12 psi x y 5 2 6 5 7 5 8 4 9 6 4 2 - 54 psi x y + 260 psi x y + 876 psi y - 80 psi y - 5 psi x y 6 3 3 6 2 4 6 5 6 6 + 36 psi x y - 120 psi x y + 196 psi x y - 126 psi y 5 4 3 5 3 4 5 2 5 5 6 - psi x y + 26 psi x y + 12 psi x y - 1046 psi x y 5 7 4 2 6 4 7 4 8 + 1094 psi y + 16 psi x y - 428 psi x y - 472 psi y 5 4 2 5 3 3 5 2 4 5 5 - 11 psi x y + 42 psi x y + 471 psi x y - 1206 psi x y 5 6 4 3 4 4 2 5 4 6 + 616 psi y + 66 psi x y + 56 psi x y - 15 psi x y 4 7 3 8 5 5 5 4 5 3 2 - 1026 psi y + 80 psi y - psi x + 9 psi x y - 48 psi x y 5 2 3 5 4 5 5 4 4 2 + 140 psi x y - 210 psi x y + 126 psi y + 3 psi x y 4 3 3 4 2 4 4 5 4 6 - 15 psi x y - 688 psi x y + 2015 psi x y - 1040 psi y 3 2 5 3 6 3 7 4 4 - 25 psi x y + 678 psi x y + 384 psi y + 37 psi x y 4 3 2 4 2 3 4 4 4 5 + 44 psi x y - 772 psi x y + 1220 psi x y - 490 psi y 3 3 3 3 2 4 3 5 3 6 - 142 psi x y + 301 psi x y - 606 psi x y + 708 psi y 2 7 4 4 4 3 4 2 2 4 3 - 40 psi y - 4 psi x + 28 psi x y - 90 psi x y + 140 psi x y 4 4 3 4 3 3 2 3 2 3 - 84 psi y - 3 psi x y - 158 psi x y + 1265 psi x y 3 4 3 5 2 2 4 2 5 - 1922 psi x y + 620 psi y + 19 psi x y - 485 psi x y 2 6 3 4 3 3 3 2 2 - 173 psi y - 21 psi x - 118 psi x y + 575 psi x y 3 3 3 4 2 3 2 2 2 3 - 694 psi x y + 252 psi y + 150 psi x y - 572 psi x y 2 4 2 5 6 3 3 3 2 + 736 psi x y - 288 psi y + 10 psi y - 6 psi x + 30 psi x y 3 2 3 3 2 4 2 3 2 2 2 - 56 psi x y + 36 psi y + psi x + 207 psi x y - 867 psi x y 2 3 2 4 2 3 4 5 + 935 psi x y - 226 psi y - 7 psi x y + 163 psi x y + 41 psi y 2 3 2 2 2 2 2 3 3 + 55 psi x - 180 psi x y + 206 psi x y - 80 psi y - 78 psi x y 2 2 3 4 5 2 2 2 + 343 psi x y - 338 psi x y + 64 psi y - y - 4 psi x + 12 psi x y 2 2 3 2 2 3 2 2 - 9 psi y - 68 psi x + 218 psi x y - 206 psi x y + 46 psi y + x y 3 4 2 2 3 2 - 21 x y - 4 y + 13 psi x - 26 psi x y + 14 psi y + 16 x - 68 x y 2 3 2 2 + 55 x y - 6 y - psi x + psi y - 8 x + 13 x y - 4 y + x - y = 0 and in Maple notation -psi^10*y^10+10*psi^9*y^10-5*psi^9*x*y^8+9*psi^9*y^9-40*psi^8*y^10+19*psi^8*x*y ^8-77*psi^8*y^9+80*psi^7*y^10-10*psi^8*x^2*y^6+36*psi^8*x*y^7-36*psi^8*y^8-psi^ 7*x^2*y^7+6*psi^7*x*y^8+256*psi^7*y^9-80*psi^6*y^10-3*psi^7*x^2*y^6-186*psi^7*x *y^7+260*psi^7*y^8+4*psi^6*x^2*y^7-92*psi^6*x*y^8-408*psi^6*y^9+32*psi^5*y^10-\ 10*psi^7*x^3*y^4+54*psi^7*x^2*y^5-112*psi^7*x*y^6+84*psi^7*y^7-2*psi^6*x^3*y^5+ 69*psi^6*x^2*y^6+205*psi^6*x*y^7-706*psi^6*y^8-4*psi^5*x^2*y^7+88*psi^5*x*y^8+ 304*psi^5*y^9-23*psi^6*x^3*y^4-104*psi^6*x^2*y^5+666*psi^6*x*y^6-504*psi^6*y^7-\ 12*psi^5*x^3*y^5-54*psi^5*x^2*y^6+260*psi^5*x*y^7+876*psi^5*y^8-80*psi^4*y^9-5* psi^6*x^4*y^2+36*psi^6*x^3*y^3-120*psi^6*x^2*y^4+196*psi^6*x*y^5-126*psi^6*y^6- psi^5*x^4*y^3+26*psi^5*x^3*y^4+12*psi^5*x^2*y^5-1046*psi^5*x*y^6+1094*psi^5*y^7 +16*psi^4*x^2*y^6-428*psi^4*x*y^7-472*psi^4*y^8-11*psi^5*x^4*y^2+42*psi^5*x^3*y ^3+471*psi^5*x^2*y^4-1206*psi^5*x*y^5+616*psi^5*y^6+66*psi^4*x^3*y^4+56*psi^4*x ^2*y^5-15*psi^4*x*y^6-1026*psi^4*y^7+80*psi^3*y^8-psi^5*x^5+9*psi^5*x^4*y-48* psi^5*x^3*y^2+140*psi^5*x^2*y^3-210*psi^5*x*y^4+126*psi^5*y^5+3*psi^4*x^4*y^2-\ 15*psi^4*x^3*y^3-688*psi^4*x^2*y^4+2015*psi^4*x*y^5-1040*psi^4*y^6-25*psi^3*x^2 *y^5+678*psi^3*x*y^6+384*psi^3*y^7+37*psi^4*x^4*y+44*psi^4*x^3*y^2-772*psi^4*x^ 2*y^3+1220*psi^4*x*y^4-490*psi^4*y^5-142*psi^3*x^3*y^3+301*psi^3*x^2*y^4-606* psi^3*x*y^5+708*psi^3*y^6-40*psi^2*y^7-4*psi^4*x^4+28*psi^4*x^3*y-90*psi^4*x^2* y^2+140*psi^4*x*y^3-84*psi^4*y^4-3*psi^3*x^4*y-158*psi^3*x^3*y^2+1265*psi^3*x^2 *y^3-1922*psi^3*x*y^4+620*psi^3*y^5+19*psi^2*x^2*y^4-485*psi^2*x*y^5-173*psi^2* y^6-21*psi^3*x^4-118*psi^3*x^3*y+575*psi^3*x^2*y^2-694*psi^3*x*y^3+252*psi^3*y^ 4+150*psi^2*x^3*y^2-572*psi^2*x^2*y^3+736*psi^2*x*y^4-288*psi^2*y^5+10*psi*y^6-\ 6*psi^3*x^3+30*psi^3*x^2*y-56*psi^3*x*y^2+36*psi^3*y^3+psi^2*x^4+207*psi^2*x^3* y-867*psi^2*x^2*y^2+935*psi^2*x*y^3-226*psi^2*y^4-7*psi*x^2*y^3+163*psi*x*y^4+ 41*psi*y^5+55*psi^2*x^3-180*psi^2*x^2*y+206*psi^2*x*y^2-80*psi^2*y^3-78*psi*x^3 *y+343*psi*x^2*y^2-338*psi*x*y^3+64*psi*y^4-y^5-4*psi^2*x^2+12*psi^2*x*y-9*psi^ 2*y^2-68*psi*x^3+218*psi*x^2*y-206*psi*x*y^2+46*psi*y^3+x^2*y^2-21*x*y^3-4*y^4+ 13*psi*x^2-26*psi*x*y+14*psi*y^2+16*x^3-68*x^2*y+55*x*y^2-6*y^3-psi*x+psi*y-8*x ^2+13*x*y-4*y^2+x-y = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 5 -9/32 (3 n + 2) (2 n + 1) (3 n + 1) (n + 1) ( 3 319141050891814029953868124714194745 n 2 + 2287708835519187848205036152785585359 n + 4740108954821949690578150593496040500 n + 2984426532139031415923817335174272900) a(n)/((2 n + 11) (4 n + 23) 7 (n + 6) (4 n + 21) %1) - 3/64 (25792825632131064868726052666298705581729 n 6 + 313014740062175468197674316095492869730740 n 5 + 1530578151397936503619631842590718613797882 n 4 + 3955964640557580250406323696926701551965760 n 3 + 5858335489992504529530610008371032480407161 n 2 + 4955829469577649393948354898209998835450540 n + 2191840531589743492851495166960603485921628 n + 380059628196531478396317463222798368054000) a(n + 1)/((2 n + 11) (4 n + 23) (n + 6) (4 n + 21) %1) + 1/16 ( 7 40154300809921416613640974334401715723585 n 6 + 1062397049866344843609511916775452509860464 n 5 + 11510283767041105643268943372827764575547637 n 4 + 66859116906894639693661569802469455731425445 n 3 + 226330062039270938696810513637708836921703640 n 2 + 448560332395794365182491139534356607587918601 n + 483582527807955855365450603490444950050898028 n + 219362768365285527070706486022522265669751940) a(n + 2)/((2 n + 11) (4 n + 23) (n + 6) (4 n + 21) %1) + 1/8 ( 7 5821171791817101661623475685850256623120 n 6 + 151171640329259404399866656615302354639833 n 5 + 1702086120575170737264490115939633364780347 n 4 + 10714076159303703141547549841693092356617380 n 3 + 40517855168572952215785848318952760487515695 n 2 + 91659059512873007252899915484279472865732307 n + 114437115167457570191714625940694074882942138 n + 60655363429785217837376148669017388565594080) a(n + 3)/((2 n + 11) (4 n + 23) (n + 6) (4 n + 21) %1) - 1/8 ( 7 3151838288877582740893937421313252420992 n 6 + 93432497774271122881770059882521608691488 n 5 + 1174917984770374199834294187969545562931992 n 4 + 8115037410590432323787468273961076869601435 n 3 + 33204744842234878874334054168590184726719348 n 2 + 80371551314151511247618529504071485676505407 n + 106387881306463868387170845270248288167095478 n + 59318484755606212053122728301839515386702040) a(n + 4)/((2 n + 11) (4 n + 23) (n + 6) (4 n + 21) %1) + a(n + 5) = 0 3 %1 := 1088106366858881520614817550798491968 n 2 + 10301250140825730480002729312095629677 n + 31663926673383829780630398683112425130 n + 31682133729079286700833413048828775165 and in Maple notation -9/32*(3*n+2)*(2*n+1)*(3*n+1)*(n+1)*(319141050891814029953868124714194745*n^3+ 2287708835519187848205036152785585359*n^2+4740108954821949690578150593496040500 *n+2984426532139031415923817335174272900)/(2*n+11)/(4*n+23)/(n+6)/(4*n+21)/( 1088106366858881520614817550798491968*n^3+ 10301250140825730480002729312095629677*n^2+ 31663926673383829780630398683112425130*n+31682133729079286700833413048828775165 )*a(n)-3/64*(25792825632131064868726052666298705581729*n^7+ 313014740062175468197674316095492869730740*n^6+ 1530578151397936503619631842590718613797882*n^5+ 3955964640557580250406323696926701551965760*n^4+ 5858335489992504529530610008371032480407161*n^3+ 4955829469577649393948354898209998835450540*n^2+ 2191840531589743492851495166960603485921628*n+ 380059628196531478396317463222798368054000)/(2*n+11)/(4*n+23)/(n+6)/(4*n+21)/( 1088106366858881520614817550798491968*n^3+ 10301250140825730480002729312095629677*n^2+ 31663926673383829780630398683112425130*n+31682133729079286700833413048828775165 )*a(n+1)+1/16*(40154300809921416613640974334401715723585*n^7+ 1062397049866344843609511916775452509860464*n^6+ 11510283767041105643268943372827764575547637*n^5+ 66859116906894639693661569802469455731425445*n^4+ 226330062039270938696810513637708836921703640*n^3+ 448560332395794365182491139534356607587918601*n^2+ 483582527807955855365450603490444950050898028*n+ 219362768365285527070706486022522265669751940)/(2*n+11)/(4*n+23)/(n+6)/(4*n+21) /(1088106366858881520614817550798491968*n^3+ 10301250140825730480002729312095629677*n^2+ 31663926673383829780630398683112425130*n+31682133729079286700833413048828775165 )*a(n+2)+1/8*(5821171791817101661623475685850256623120*n^7+ 151171640329259404399866656615302354639833*n^6+ 1702086120575170737264490115939633364780347*n^5+ 10714076159303703141547549841693092356617380*n^4+ 40517855168572952215785848318952760487515695*n^3+ 91659059512873007252899915484279472865732307*n^2+ 114437115167457570191714625940694074882942138*n+ 60655363429785217837376148669017388565594080)/(2*n+11)/(4*n+23)/(n+6)/(4*n+21)/ (1088106366858881520614817550798491968*n^3+ 10301250140825730480002729312095629677*n^2+ 31663926673383829780630398683112425130*n+31682133729079286700833413048828775165 )*a(n+3)-1/8*(3151838288877582740893937421313252420992*n^7+ 93432497774271122881770059882521608691488*n^6+ 1174917984770374199834294187969545562931992*n^5+ 8115037410590432323787468273961076869601435*n^4+ 33204744842234878874334054168590184726719348*n^3+ 80371551314151511247618529504071485676505407*n^2+ 106387881306463868387170845270248288167095478*n+ 59318484755606212053122728301839515386702040)/(2*n+11)/(4*n+23)/(n+6)/(4*n+21)/ (1088106366858881520614817550798491968*n^3+ 10301250140825730480002729312095629677*n^2+ 31663926673383829780630398683112425130*n+31682133729079286700833413048828775165 )*a(n+4)+a(n+5) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 2, a(3) = 6, a(4) = 21, a(5) = 82 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 127485908299481337225259485044072614007867744092476414593306367154828\ 0564827545708642881934758098350741106436871071704224130126927563354076706497113\ 7070766034349904417148695893175094351241513588887366036867671511653666238635043\ 7103887120122448182872302001801108615713982036288172618825535737740901355165906\ 7430097753669417212734858777064920023006627343061166540990998695973209701824837\ 2840900090665671240106509015689528649477827137278135142172695137199839980488479\ 1860480379823715077165989389614881764217311707047531748769366293106314076161049\ 2390895822701546625382855101281947302006448809129400465733706240721073216706531\ 8640954117314674722344309989709399063692418240527665106691890597500142390786835\ 099767999476862249287671120068911987785385640183249445433117247051563652170 --------------------------------------- This ends this paper that took, 14.063, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ ation, 2 2 2 y Psi(x, y) + (Psi(x, 0) x y - 3 y + x - y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1, 1, 3, 4, 19, 18, 167, 8, 1876, -2227, 26061, -63384, 429810, -1461628, 8015695, -32257096, 162159196, -711204044, 3459726956, -15879134076, 76530876475, -360348516966, 1737688979073, -8311826508776, 40254810303196, -\ 194627788513770, 947740238899758, -4619127208176496, 22616760949885012, -\ 110940369757178744, 546002917090207391, -2692725744190874216, 13314700786801948364, -65970067509103615124, 327581123155605804516, -\ 1629706443808084284080, 8123249646375128610108, -40560238615668263765848, 202864788267065802860156, -1016240207970871154481824, 5098545955148365668831696 , -25616439829815971017002307, 128881037768687333662237445, -\ 649272926891988137293969976, 3274991601875244968225074186, -\ 16539141758129433033966814124, 83620801338220207231297922377, -\ 423246203741768872512175643064, 2144519986374129613385059266596, -\ 10876944980471071815546290917924, 55221285176614648105885127459108, -\ 280616071189483961099899908484872, 1427281990329314042105859113989322, -\ 7265805486289832954853314082436756, 37018673129978292605020640807065862, -\ 188759181239678042070427044444374512, 963237177543063417571932439631345128, -\ 4919088977167403690356900079309243620, 25139196048438173141190525264593845612, -128565035627502568517928444833035198944, 657944383107396831723257151449919304808, -\ 3369308883800548859203385043790746676208, 17265087017331068361699506285382169665855, -\ 88524688127409004685644324670897602992808, 454171119288911735869134910858081226358316, -\ 2331450798348593026304130866445257802229636, 11975044494805022461556804910731425467453428, -\ 61541063143494697552714085989505507418361936, 316433882278763452341863473341142311565110404, -\ 1627888038417685777378020451616419643599860456, 8378829821288531855701683916400184882550881556, -\ 43147284832004564172015161384610358316645348768, 222294677148343968212519755517071475802728525808, -\ 1145788885145290480964255585545562947610762734588, 5908466484273774414916340544562658757192298670916, -\ 30481368945510557048242617984753073085192614021344, 157318127191661012561483190252764244627765373818536, -\ 812274750740739417172178756505094417206401510940976, 4195681196792821765510249317712700667551522633340060, -\ 21680683904636437645847334234484372813956857388140576, 112075382538438216479081475246258624174663885350472176, -\ 579575715220954724769881761969511425136751305961087280, 2998257408639477171235845033119157743186945792976319472, -\ 15516103372417765948915149498417487628937224167082345468, 80324454834929502187065184907280477011836253813036505051, -\ 415968811707511283800523482481048736239764423045389036486, 2154855838856275322327613987550359345575225732415804001273, -\ 11166494699475714405909245026794083288152560507514114066472, 57883333307852046290074618844709221459615613766971720207932] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 2 3 2 2 2 2 - 1/2 + 3/2 g - g - 2 x g + 11/2 g x - 3 x g - 32 x + 144 x g - 210 x g 3 2 2 4 2 3 3 3 3 4 3 5 + 203/2 g x - 2 x g - 48 g x + 160 x g - 255/2 x g + 2 x g 4 4 5 4 4 6 5 7 - 2 x g + 31 g x + 3 x g + x g = 0 and in Maple notation -1/2+3/2*g-g^2-2*x*g+11/2*g^2*x-3*x*g^3-32*x^2+144*x^2*g-210*x^2*g^2+203/2*g^3* x^2-2*x^2*g^4-48*g^2*x^3+160*x^3*g^3-255/2*x^3*g^4+2*x^3*g^5-2*x^4*g^4+31*g^5*x ^4+3*x^4*g^6+x^5*g^7 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 14 14 13 14 13 12 13 13 12 14 -2 psi y + 42 psi y - 14 psi x y + 20 psi y - 378 psi y 12 12 12 13 11 14 12 2 10 + 190 psi x y - 374 psi y + 1890 psi y - 42 psi x y 12 11 12 12 11 2 11 11 12 + 120 psi x y - 88 psi y - 4 psi x y - 960 psi x y 11 13 10 14 11 2 10 11 11 + 2952 psi y - 5670 psi y + 320 psi x y - 1705 psi x y 11 12 10 2 11 10 12 10 13 + 1458 psi y + 48 psi x y + 1980 psi x y - 12690 psi y 9 14 11 3 8 11 2 9 11 10 + 10206 psi y - 70 psi x y + 300 psi x y - 446 psi x y 11 11 10 3 9 10 2 10 10 11 + 220 psi y - 16 psi x y - 352 psi x y + 9230 psi x y 10 12 9 2 11 9 12 9 13 - 10032 psi y - 216 psi x y - 270 psi x y + 31860 psi y 8 14 10 3 8 10 2 9 10 10 - 10206 psi y + 220 psi x y - 2970 psi x y + 6340 psi x y 10 11 9 3 9 9 2 10 9 11 - 3218 psi y + 48 psi x y - 2824 psi x y - 22110 psi x y 9 12 8 2 11 8 12 8 13 + 36810 psi y + 432 psi x y - 4698 psi x y - 46170 psi y 7 14 10 4 6 10 3 7 10 2 8 + 4374 psi y - 70 psi x y + 400 psi x y - 910 psi x y 10 9 10 10 9 4 7 9 3 8 + 924 psi x y - 330 psi y - 24 psi x y + 936 psi x y 9 2 9 9 10 9 11 8 3 9 + 9796 psi x y - 34533 psi x y + 19224 psi y + 144 psi x y 8 2 10 8 11 8 12 7 2 11 + 9054 psi x y + 15120 psi x y - 76680 psi y - 324 psi x y 7 12 7 13 9 4 6 9 3 7 + 4860 psi x y + 34992 psi y + 10 psi x y - 2310 psi x y 9 2 8 9 9 9 10 8 4 7 + 10521 psi x y - 12549 psi x y + 4272 psi y - 48 psi x y 8 3 8 8 2 9 8 10 8 11 - 3804 psi x y - 8064 psi x y + 86449 psi x y - 59938 psi y 7 3 9 7 2 10 7 11 7 12 - 432 psi x y - 8424 psi x y + 24975 psi x y + 88614 psi y 6 13 9 5 4 9 4 5 9 3 6 - 10206 psi y - 42 psi x y + 300 psi x y - 940 psi x y 9 2 7 9 8 9 9 8 5 5 + 1496 psi x y - 1116 psi x y + 264 psi y - 16 psi x y 8 4 6 8 3 7 8 2 8 8 9 + 990 psi x y + 3000 psi x y - 43762 psi x y + 66141 psi x y 8 10 7 4 7 7 3 8 7 2 9 - 22234 psi y + 296 psi x y + 1662 psi x y - 17124 psi x y 7 10 7 11 6 2 10 6 11 - 83169 psi x y + 103116 psi y + 1404 psi x y - 34830 psi x y 6 12 8 5 4 8 4 5 8 3 6 - 50544 psi y - 58 psi x y - 550 psi x y + 8041 psi x y 8 2 7 8 8 8 9 7 5 5 - 18540 psi x y + 13636 psi x y - 3132 psi y - 48 psi x y 7 4 6 7 3 7 7 2 8 7 9 - 570 psi x y + 2730 psi x y + 75927 psi x y - 165720 psi x y 7 10 6 3 8 6 2 9 6 10 + 59188 psi y + 3168 psi x y + 27954 psi x y - 22977 psi x y 6 11 5 12 8 6 2 8 5 3 - 94662 psi y + 10206 psi y - 14 psi x y + 120 psi x y 8 4 4 8 3 5 8 2 6 8 7 - 500 psi x y + 1144 psi x y - 1372 psi x y + 672 psi x y 7 6 3 7 5 4 7 4 5 7 3 6 - 4 psi x y + 296 psi x y - 1240 psi x y - 24309 psi x y 7 2 7 7 8 7 9 6 4 6 + 81341 psi x y - 67716 psi x y + 14768 psi y - 1832 psi x y 6 3 7 6 2 8 6 9 6 10 - 1812 psi x y - 40170 psi x y + 183295 psi x y - 84616 psi y 5 2 9 5 10 5 11 7 6 2 - 2484 psi x y + 65016 psi x y + 40608 psi y - 20 psi x y 7 5 3 7 4 4 7 3 5 7 2 6 + 231 psi x y + 2527 psi x y - 12796 psi x y + 16392 psi x y 7 7 7 8 6 5 4 6 4 5 - 6370 psi x y + 420 psi y + 320 psi x y + 414 psi x y 6 3 6 6 2 7 6 8 6 9 + 30642 psi x y - 157806 psi x y + 168472 psi x y - 34996 psi y 5 3 7 5 2 8 5 9 5 10 - 8880 psi x y - 13102 psi x y - 33405 psi x y + 62082 psi y 4 11 7 7 7 6 7 5 2 - 5670 psi y - 2 psi x + 20 psi x y - 118 psi x y 7 4 3 7 3 4 7 2 5 7 6 + 396 psi x y - 720 psi x y + 560 psi x y + 84 psi x y 7 7 6 6 2 6 5 3 6 4 4 - 264 psi y + 12 psi x y - 734 psi x y - 5400 psi x y 6 3 5 6 2 6 6 7 6 8 + 44499 psi x y - 69451 psi x y + 29928 psi x y - 3472 psi y 5 4 5 5 3 6 5 2 7 + 4272 psi x y - 19884 psi x y + 129440 psi x y 5 8 5 9 4 2 8 4 9 - 201493 psi x y + 43236 psi y + 2316 psi x y - 56610 psi x y 4 10 6 6 6 5 2 6 4 3 - 19980 psi y + 110 psi x y + 63 psi x y - 4078 psi x y 6 3 4 6 2 5 6 6 6 7 + 9295 psi x y - 4512 psi x y - 2352 psi x y + 1596 psi y 5 5 3 5 4 4 5 3 5 5 2 6 - 768 psi x y + 6766 psi x y - 61180 psi x y + 135357 psi x y 5 7 5 8 4 3 6 4 2 7 - 81868 psi x y + 10324 psi y + 12704 psi x y - 28252 psi x y 4 8 4 9 3 10 6 6 + 74255 psi x y - 25962 psi y + 1890 psi y - 6 psi x 6 5 6 4 2 6 3 3 6 2 4 + 44 psi x y - 138 psi x y + 160 psi x y + 140 psi x y 6 5 6 6 5 6 5 5 2 - 504 psi x y + 330 psi y - 12 psi x y - 348 psi x y 5 4 3 5 3 4 5 2 5 5 6 + 10920 psi x y - 30286 psi x y + 16697 psi x y + 7098 psi x y 5 7 4 4 4 4 3 5 4 2 6 - 2800 psi y - 4720 psi x y + 34288 psi x y - 120834 psi x y 4 7 4 8 3 2 7 3 8 + 113479 psi x y - 13244 psi y - 1228 psi x y + 26940 psi x y 3 9 5 6 5 5 5 4 2 + 6192 psi y - 62 psi x - 491 psi x y + 2522 psi x y 5 3 3 5 2 4 5 5 5 6 - 1478 psi x y - 3870 psi x y + 4990 psi x y - 1782 psi y 4 5 2 4 4 3 4 3 4 4 2 5 + 864 psi x y - 9174 psi x y + 36592 psi x y - 37312 psi x y 4 6 4 7 3 3 5 3 2 6 + 3394 psi x y + 540 psi y - 10128 psi x y + 36796 psi x y 3 7 3 8 2 9 5 5 5 4 - 54579 psi x y + 6930 psi y - 378 psi y - 4 psi x + 8 psi x y 5 3 2 5 2 3 5 4 5 5 4 6 + 60 psi x y - 280 psi x y + 426 psi x y - 220 psi y + 4 psi x 4 5 4 4 2 4 3 3 4 2 4 + 954 psi x y - 5546 psi x y + 2342 psi x y + 13949 psi x y 4 5 4 6 3 4 3 3 3 4 - 14562 psi x y + 3026 psi y + 2344 psi x y - 17826 psi x y 3 2 5 3 6 3 7 2 2 6 + 43116 psi x y - 27451 psi x y + 2052 psi y + 372 psi x y 2 7 2 8 4 5 4 4 - 7250 psi x y - 1184 psi y + 255 psi x - 228 psi x y 4 3 2 4 2 3 4 4 4 5 - 1641 psi x y + 3564 psi x y - 2866 psi x y + 978 psi y 3 5 3 4 2 3 3 3 3 2 4 - 464 psi x y + 2884 psi x y - 966 psi x y - 13567 psi x y 3 5 3 6 2 3 4 2 2 5 + 14488 psi x y - 1622 psi y + 4512 psi x y - 17574 psi x y 2 6 2 7 8 4 4 4 3 + 19725 psi x y - 1138 psi y + 42 psi y + 4 psi x - 40 psi x y 4 2 2 4 3 4 4 3 5 + 134 psi x y - 184 psi x y + 88 psi y - 320 psi x 3 4 3 3 2 3 2 3 3 4 - 120 psi x y + 5303 psi x y - 10069 psi x y + 6444 psi x y 3 5 2 4 2 2 3 3 2 2 4 - 1336 psi y - 168 psi x y + 1156 psi x y - 1046 psi x y 2 5 2 6 2 5 6 7 - 907 psi x y - 18 psi y - 60 psi x y + 1040 psi x y + 128 psi y 3 4 3 3 3 2 2 3 3 - 203 psi x + 680 psi x y - 960 psi x y + 779 psi x y 3 4 2 5 2 4 2 3 2 - 310 psi y + 96 psi x + 576 psi x y - 5190 psi x y 2 2 3 2 4 2 5 3 3 + 9722 psi x y - 5820 psi x y + 582 psi y - 1040 psi x y 2 4 5 6 7 3 3 + 3834 psi x y - 3551 psi x y + 104 psi y - 2 y + 6 psi x 3 2 3 2 3 3 2 4 2 3 - 28 psi x y + 42 psi x y - 20 psi y + 420 psi x - 1473 psi x y 2 2 2 2 3 2 4 4 + 1887 psi x y - 1134 psi x y + 320 psi y - 256 psi x y 3 2 2 3 4 5 2 4 + 1440 psi x y - 2640 psi x y + 1599 psi x y - 40 psi y + 4 x y 5 6 2 3 2 2 2 2 2 3 - 62 x y - 6 y - 11 psi x + 58 psi x y - 100 psi x y + 54 psi y 4 3 2 2 3 4 - 288 psi x + 1128 psi x y - 1485 psi x y + 746 psi x y - 94 psi y 3 2 2 3 4 5 2 2 2 + 96 x y - 320 x y + 255 x y - 4 y + 2 psi x - 4 psi x y 2 2 3 2 2 3 4 + 2 psi y + 4 psi x - 33 psi x y + 67 psi x y - 40 psi y + 64 x 3 2 2 3 4 2 2 - 288 x y + 420 x y - 203 x y + 4 y - 3 psi x + 7 psi x y - 4 psi y 2 2 3 2 2 + 4 x y - 11 x y + 6 y + x - 3 x y + 2 y = 0 and in Maple notation -2*psi^14*y^14+42*psi^13*y^14-14*psi^13*x*y^12+20*psi^13*y^13-378*psi^12*y^14+ 190*psi^12*x*y^12-374*psi^12*y^13+1890*psi^11*y^14-42*psi^12*x^2*y^10+120*psi^ 12*x*y^11-88*psi^12*y^12-4*psi^11*x^2*y^11-960*psi^11*x*y^12+2952*psi^11*y^13-\ 5670*psi^10*y^14+320*psi^11*x^2*y^10-1705*psi^11*x*y^11+1458*psi^11*y^12+48*psi ^10*x^2*y^11+1980*psi^10*x*y^12-12690*psi^10*y^13+10206*psi^9*y^14-70*psi^11*x^ 3*y^8+300*psi^11*x^2*y^9-446*psi^11*x*y^10+220*psi^11*y^11-16*psi^10*x^3*y^9-\ 352*psi^10*x^2*y^10+9230*psi^10*x*y^11-10032*psi^10*y^12-216*psi^9*x^2*y^11-270 *psi^9*x*y^12+31860*psi^9*y^13-10206*psi^8*y^14+220*psi^10*x^3*y^8-2970*psi^10* x^2*y^9+6340*psi^10*x*y^10-3218*psi^10*y^11+48*psi^9*x^3*y^9-2824*psi^9*x^2*y^ 10-22110*psi^9*x*y^11+36810*psi^9*y^12+432*psi^8*x^2*y^11-4698*psi^8*x*y^12-\ 46170*psi^8*y^13+4374*psi^7*y^14-70*psi^10*x^4*y^6+400*psi^10*x^3*y^7-910*psi^ 10*x^2*y^8+924*psi^10*x*y^9-330*psi^10*y^10-24*psi^9*x^4*y^7+936*psi^9*x^3*y^8+ 9796*psi^9*x^2*y^9-34533*psi^9*x*y^10+19224*psi^9*y^11+144*psi^8*x^3*y^9+9054* psi^8*x^2*y^10+15120*psi^8*x*y^11-76680*psi^8*y^12-324*psi^7*x^2*y^11+4860*psi^ 7*x*y^12+34992*psi^7*y^13+10*psi^9*x^4*y^6-2310*psi^9*x^3*y^7+10521*psi^9*x^2*y ^8-12549*psi^9*x*y^9+4272*psi^9*y^10-48*psi^8*x^4*y^7-3804*psi^8*x^3*y^8-8064* psi^8*x^2*y^9+86449*psi^8*x*y^10-59938*psi^8*y^11-432*psi^7*x^3*y^9-8424*psi^7* x^2*y^10+24975*psi^7*x*y^11+88614*psi^7*y^12-10206*psi^6*y^13-42*psi^9*x^5*y^4+ 300*psi^9*x^4*y^5-940*psi^9*x^3*y^6+1496*psi^9*x^2*y^7-1116*psi^9*x*y^8+264*psi ^9*y^9-16*psi^8*x^5*y^5+990*psi^8*x^4*y^6+3000*psi^8*x^3*y^7-43762*psi^8*x^2*y^ 8+66141*psi^8*x*y^9-22234*psi^8*y^10+296*psi^7*x^4*y^7+1662*psi^7*x^3*y^8-17124 *psi^7*x^2*y^9-83169*psi^7*x*y^10+103116*psi^7*y^11+1404*psi^6*x^2*y^10-34830* psi^6*x*y^11-50544*psi^6*y^12-58*psi^8*x^5*y^4-550*psi^8*x^4*y^5+8041*psi^8*x^3 *y^6-18540*psi^8*x^2*y^7+13636*psi^8*x*y^8-3132*psi^8*y^9-48*psi^7*x^5*y^5-570* psi^7*x^4*y^6+2730*psi^7*x^3*y^7+75927*psi^7*x^2*y^8-165720*psi^7*x*y^9+59188* psi^7*y^10+3168*psi^6*x^3*y^8+27954*psi^6*x^2*y^9-22977*psi^6*x*y^10-94662*psi^ 6*y^11+10206*psi^5*y^12-14*psi^8*x^6*y^2+120*psi^8*x^5*y^3-500*psi^8*x^4*y^4+ 1144*psi^8*x^3*y^5-1372*psi^8*x^2*y^6+672*psi^8*x*y^7-4*psi^7*x^6*y^3+296*psi^7 *x^5*y^4-1240*psi^7*x^4*y^5-24309*psi^7*x^3*y^6+81341*psi^7*x^2*y^7-67716*psi^7 *x*y^8+14768*psi^7*y^9-1832*psi^6*x^4*y^6-1812*psi^6*x^3*y^7-40170*psi^6*x^2*y^ 8+183295*psi^6*x*y^9-84616*psi^6*y^10-2484*psi^5*x^2*y^9+65016*psi^5*x*y^10+ 40608*psi^5*y^11-20*psi^7*x^6*y^2+231*psi^7*x^5*y^3+2527*psi^7*x^4*y^4-12796* psi^7*x^3*y^5+16392*psi^7*x^2*y^6-6370*psi^7*x*y^7+420*psi^7*y^8+320*psi^6*x^5* y^4+414*psi^6*x^4*y^5+30642*psi^6*x^3*y^6-157806*psi^6*x^2*y^7+168472*psi^6*x*y ^8-34996*psi^6*y^9-8880*psi^5*x^3*y^7-13102*psi^5*x^2*y^8-33405*psi^5*x*y^9+ 62082*psi^5*y^10-5670*psi^4*y^11-2*psi^7*x^7+20*psi^7*x^6*y-118*psi^7*x^5*y^2+ 396*psi^7*x^4*y^3-720*psi^7*x^3*y^4+560*psi^7*x^2*y^5+84*psi^7*x*y^6-264*psi^7* y^7+12*psi^6*x^6*y^2-734*psi^6*x^5*y^3-5400*psi^6*x^4*y^4+44499*psi^6*x^3*y^5-\ 69451*psi^6*x^2*y^6+29928*psi^6*x*y^7-3472*psi^6*y^8+4272*psi^5*x^4*y^5-19884* psi^5*x^3*y^6+129440*psi^5*x^2*y^7-201493*psi^5*x*y^8+43236*psi^5*y^9+2316*psi^ 4*x^2*y^8-56610*psi^4*x*y^9-19980*psi^4*y^10+110*psi^6*x^6*y+63*psi^6*x^5*y^2-\ 4078*psi^6*x^4*y^3+9295*psi^6*x^3*y^4-4512*psi^6*x^2*y^5-2352*psi^6*x*y^6+1596* psi^6*y^7-768*psi^5*x^5*y^3+6766*psi^5*x^4*y^4-61180*psi^5*x^3*y^5+135357*psi^5 *x^2*y^6-81868*psi^5*x*y^7+10324*psi^5*y^8+12704*psi^4*x^3*y^6-28252*psi^4*x^2* y^7+74255*psi^4*x*y^8-25962*psi^4*y^9+1890*psi^3*y^10-6*psi^6*x^6+44*psi^6*x^5* y-138*psi^6*x^4*y^2+160*psi^6*x^3*y^3+140*psi^6*x^2*y^4-504*psi^6*x*y^5+330*psi ^6*y^6-12*psi^5*x^6*y-348*psi^5*x^5*y^2+10920*psi^5*x^4*y^3-30286*psi^5*x^3*y^4 +16697*psi^5*x^2*y^5+7098*psi^5*x*y^6-2800*psi^5*y^7-4720*psi^4*x^4*y^4+34288* psi^4*x^3*y^5-120834*psi^4*x^2*y^6+113479*psi^4*x*y^7-13244*psi^4*y^8-1228*psi^ 3*x^2*y^7+26940*psi^3*x*y^8+6192*psi^3*y^9-62*psi^5*x^6-491*psi^5*x^5*y+2522* psi^5*x^4*y^2-1478*psi^5*x^3*y^3-3870*psi^5*x^2*y^4+4990*psi^5*x*y^5-1782*psi^5 *y^6+864*psi^4*x^5*y^2-9174*psi^4*x^4*y^3+36592*psi^4*x^3*y^4-37312*psi^4*x^2*y ^5+3394*psi^4*x*y^6+540*psi^4*y^7-10128*psi^3*x^3*y^5+36796*psi^3*x^2*y^6-54579 *psi^3*x*y^7+6930*psi^3*y^8-378*psi^2*y^9-4*psi^5*x^5+8*psi^5*x^4*y+60*psi^5*x^ 3*y^2-280*psi^5*x^2*y^3+426*psi^5*x*y^4-220*psi^5*y^5+4*psi^4*x^6+954*psi^4*x^5 *y-5546*psi^4*x^4*y^2+2342*psi^4*x^3*y^3+13949*psi^4*x^2*y^4-14562*psi^4*x*y^5+ 3026*psi^4*y^6+2344*psi^3*x^4*y^3-17826*psi^3*x^3*y^4+43116*psi^3*x^2*y^5-27451 *psi^3*x*y^6+2052*psi^3*y^7+372*psi^2*x^2*y^6-7250*psi^2*x*y^7-1184*psi^2*y^8+ 255*psi^4*x^5-228*psi^4*x^4*y-1641*psi^4*x^3*y^2+3564*psi^4*x^2*y^3-2866*psi^4* x*y^4+978*psi^4*y^5-464*psi^3*x^5*y+2884*psi^3*x^4*y^2-966*psi^3*x^3*y^3-13567* psi^3*x^2*y^4+14488*psi^3*x*y^5-1622*psi^3*y^6+4512*psi^2*x^3*y^4-17574*psi^2*x ^2*y^5+19725*psi^2*x*y^6-1138*psi^2*y^7+42*psi*y^8+4*psi^4*x^4-40*psi^4*x^3*y+ 134*psi^4*x^2*y^2-184*psi^4*x*y^3+88*psi^4*y^4-320*psi^3*x^5-120*psi^3*x^4*y+ 5303*psi^3*x^3*y^2-10069*psi^3*x^2*y^3+6444*psi^3*x*y^4-1336*psi^3*y^5-168*psi^ 2*x^4*y^2+1156*psi^2*x^3*y^3-1046*psi^2*x^2*y^4-907*psi^2*x*y^5-18*psi^2*y^6-60 *psi*x^2*y^5+1040*psi*x*y^6+128*psi*y^7-203*psi^3*x^4+680*psi^3*x^3*y-960*psi^3 *x^2*y^2+779*psi^3*x*y^3-310*psi^3*y^4+96*psi^2*x^5+576*psi^2*x^4*y-5190*psi^2* x^3*y^2+9722*psi^2*x^2*y^3-5820*psi^2*x*y^4+582*psi^2*y^5-1040*psi*x^3*y^3+3834 *psi*x^2*y^4-3551*psi*x*y^5+104*psi*y^6-2*y^7+6*psi^3*x^3-28*psi^3*x^2*y+42*psi ^3*x*y^2-20*psi^3*y^3+420*psi^2*x^4-1473*psi^2*x^3*y+1887*psi^2*x^2*y^2-1134* psi^2*x*y^3+320*psi^2*y^4-256*psi*x^4*y+1440*psi*x^3*y^2-2640*psi*x^2*y^3+1599* psi*x*y^4-40*psi*y^5+4*x^2*y^4-62*x*y^5-6*y^6-11*psi^2*x^3+58*psi^2*x^2*y-100* psi^2*x*y^2+54*psi^2*y^3-288*psi*x^4+1128*psi*x^3*y-1485*psi*x^2*y^2+746*psi*x* y^3-94*psi*y^4+96*x^3*y^2-320*x^2*y^3+255*x*y^4-4*y^5+2*psi^2*x^2-4*psi^2*x*y+2 *psi^2*y^2+4*psi*x^3-33*psi*x^2*y+67*psi*x*y^2-40*psi*y^3+64*x^4-288*x^3*y+420* x^2*y^2-203*x*y^3+4*y^4-3*psi*x^2+7*psi*x*y-4*psi*y^2+4*x^2*y-11*x*y^2+6*y^3+x^ 2-3*x*y+2*y^2 = 0 --------------------------------------- This ends this paper that took, 122.641, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ ation, 2 2 2 y Psi(x, y) + (Psi(x, 0) x y - y + x - 2 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1/2, 5/8, 17/16, 271/128, 1191/256, 11189/1024, 55161/2048, 2256955/32768, 11881771/65536, 128060707/262144, 703549639/524288, 15713245243/4194304, 88954609699/8388608, 1019221060629/33554432, 5899862740361/67108864, 551437479968595/2147483648, 3247446636799539/4294967296, 38525875770687863/ 17179869184, 230011252114449947/34359738368, 5525219812667631857/274877906944, 33357977521989338105/549755813888, 404749568184367964115/2199023255552, 2466449999674322928975/4398046511104, 120731826199093649644143/70368744177664, 741510517609881707866623/140737488355328, 9140226199132630910580527/ 562949953421312, 56516062853750673682613123/1125899906842624, 1402021848992004110345155795/9007199254740992, 8719629990658032736232089051/ 18014398509481984, 108745854487394728922081249237/72057594037927936, 679778178942161174557253973929/144115188075855872, 136293950315971961983322816517507/9223372036854775808, 855818414445431182109700144645955/18446744073709551616, 10769814859984741997051606878101183/73786976294838206464, 67896416810666403642720223341192803/147573952589676412928, 1715307323787920368375746819424755509/1180591620717411303424, 10852545132874978709168666892448699261/2361183241434822606848, 137552073657274901400906012325867880135/9444732965739290427392, 873077527123916323349922573846418885235/18889465931478580854784, 44399230914420529248828275389120889837525/302231454903657293676544, 282633941898849268029378357019009356244005/604462909807314587353088, 3603220039449091062055019327148486199190845/2417851639229258349412352, 22997901182410156854105465770649141531135705/4835703278458516698824704, 587870521685259895228979179116125852999604045/38685626227668133590597632, 3761213520347428589772794251288946492935574885/77371252455336267181195264, 48183166766986822821253468235932261558772090035/309485009821345068724781056, 308960772083222625852346738990031199246034157215/618970019642690137449562112, 31730931242244766060297772453862469574107254378775/ 19807040628566084398385987584, 203880551247107316749606630553052597531783283095863/ 39614081257132168796771975168, 2622498923485937573966483530554305549008318094149851/ 158456325028528675187087900672, 16882059157492769972834404877540653502665058871827247/ 316912650057057350374175801344, 435091922026810726085603099828105731179325767423928197/ 2535301200456458802993406410752, 2805743182549711227255930354164611587172141920452170605/ 5070602400912917605986812821504, 36216180161758344576506391785652929271039743020705581407/ 20282409603651670423947251286016, 233922757396865282736296866164716463809407968971906029067/ 40564819207303340847894502572032, 12096656136895211810376613899609334997378120783571053545687/ 649037107316853453566312041152512, 78250984844006330694016533998318889537335780005868677185703/ 1298074214633706907132624082305024, 1013106332845029328006302259702330112656406614346520541857415/ 5192296858534827628530496329220096, 6562822869847260163512544690517440504570400579824481193092667/ 10384593717069655257060992658440192, 170167629432182423795643130877283435642259207565832426197436163/ 83076749736557242056487941267521536, 1103785058372271074433481175330395312814362475632025473847970891/ 166153499473114484112975882535043072, 14328293369287217128254495128850925132217544740004065592110130005/ 664613997892457936451903530140172288, 93054706849348195652796723493584465392353944554570709904818949097/ 1329227995784915872903807060280344576, 38700630185208466664607489974277175308559392420958205654522831743459/ 170141183460469231731687303715884105728, 251632002892138614247665797984341016104216507901997495210503874026851/ 340282366920938463463374607431768211456, 3274043570864957400688162238270596368756990221175278238373955332591055/ 1361129467683753853853498429727072845824, 21311142755138618431429918403309662990872246525919817374448526000881523/ 2722258935367507707706996859454145691648, 555157191172126883491248789831090655390087656554561551996611201582628317/ 21778071482940061661655974875633165533184, 3617309862929655958872215382030924572781346137244864636132972747692023973/ 43556142965880123323311949751266331066368, 47162820714857913151734248677665111141375219643243467514790979071051770959/ 174224571863520493293247799005065324265472, 307604178284694111931205106754934695228128844200044177824916085128835968475/ 348449143727040986586495598010130648530944, 16057479991738984129496352828812883959889649108284543569439347938157580884985/ 5575186299632655785383929568162090376495104, 104826195186830893099276231268075177196439065424581378182353369747873522186185/ 11150372599265311570767859136324180752990208, 136925481809591242704902524056682\ 9980614991009244296816255155963599766726004369/ 44601490397061246283071436545296723011960832, 894655290646493703569825567887436\ 0757453389206869565159755349806732360236869341/ 89202980794122492566142873090593446023921664, 233921072561629147847091037117897\ 320722171877387925555934919519078766382728217385/ 713623846352979940529142984724747568191373312, 15296796295351821617353217882177\ 95531209929694739202753078483644906139248421516193/ 1427247692705959881058285969449495136382746624, 2001403521887334692131034174416\ 5107048808158009043808814705819961620685899954471271/ 5708990770823839524233143877797980545530986496, 1309807821854299619142101594284\ 55421745717704058554155877886341923749622149272141795/ 11417981541647679048466287755595961091061972992, 137203463795401110514965485300\ 90180486208700705566359374849311707842024019625249471965/ 365375409332725729550921208179070754913983135744, 89859332391350260204202372593\ 472417254337730456358540121672950616931353537421863113085/ 730750818665451459101842416358141509827966271488, 11774651002395204380261339306\ 23424741694083807288093778627503242661089020842044142266265/ 2923003274661805836407369665432566039311865085952, 7717132171629209195499034949\ 460859960457933049652591513483955376435973300551741944504885/ 5846006549323611672814739330865132078623730171904, 2023826491404080197910909117\ 97915410610406857525624592213359731990138331044195571775927055/ 46768052394588893382517914646921056628989841375232, 132732298927063141518309903\ 9288939393456931695698578267668953968362343875065489576229059975/ 93536104789177786765035829293842113257979682750464, 174161680323419979861972607\ 35494595153067702868114302246642793621497065106804175998093935885/ 374144419156711147060143317175368453031918731001856, 11429784133826062179214287\ 7478925651684733927724631700544379780110427983177672254255751926417/ 748288838313422294120286634350736906063837462003712, 60027429710037896569292796\ 24945459701101295103574252681356795275552898827389009510452281219481/ 11972621413014756705924586149611790497021399392059392, 394189250587835943546870\ 96053844280491051076747503878181609337887776078570001281749293366585353/ 23945242826029513411849172299223580994042798784118784] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 6 4 4 3 4 2 2 2 2 2 g x + 12 g x + 8 g x + 48 g x - 80 g x + 16 g + 64 x - 16 = 0 and in Maple notation g^6*x^4+12*g^4*x^3+8*g^4*x^2+48*g^2*x^2-80*g^2*x+16*g^2+64*x-16 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 12 12 11 12 11 10 11 11 10 12 psi y - 6 psi y + 6 psi x y - 12 psi y + 15 psi y 10 10 10 11 9 12 10 2 8 - 18 psi x y + 66 psi y - 20 psi y + 15 psi x y 10 9 10 10 9 10 9 11 - 60 psi x y + 68 psi y + 12 psi x y - 150 psi y 8 12 9 2 8 9 9 9 10 + 15 psi y - 12 psi x y + 150 psi x y - 332 psi y 8 10 8 11 7 12 9 3 6 + 12 psi x y + 180 psi y - 6 psi y + 20 psi x y 9 2 7 9 8 9 9 8 2 8 - 120 psi x y + 272 psi x y - 240 psi y - 6 psi x y 8 9 8 10 7 10 7 11 6 12 - 48 psi x y + 663 psi y - 18 psi x y - 120 psi y + psi y 8 3 6 8 2 7 8 8 8 9 + 12 psi x y + 36 psi x y - 644 psi x y + 1008 psi y 7 2 8 7 9 7 10 6 10 - 12 psi x y - 156 psi x y - 692 psi y + 6 psi x y 6 11 8 4 4 8 3 5 8 2 6 + 42 psi y + 15 psi x y - 120 psi x y + 408 psi x y 8 7 8 8 7 3 6 7 2 7 - 736 psi x y + 584 psi y + 12 psi x y + 84 psi x y 7 8 7 9 6 2 8 6 9 + 172 psi x y - 1704 psi y + 15 psi x y + 156 psi x y 6 10 5 11 7 4 4 7 3 5 + 398 psi y - 6 psi y + 18 psi x y - 132 psi x y 7 2 6 7 7 7 8 6 3 6 - 136 psi x y + 1936 psi x y - 2048 psi y + 20 psi x y 6 2 7 6 8 6 9 5 9 + 108 psi x y + 620 psi x y + 1484 psi y - 42 psi x y 5 10 7 5 2 7 4 3 7 3 4 - 120 psi y + 6 psi x y - 60 psi x y + 272 psi x y 7 2 5 7 6 7 7 6 4 4 - 768 psi x y + 1312 psi x y - 1024 psi y + 15 psi x y 6 3 5 6 2 6 6 7 6 8 - 96 psi x y - 126 psi x y - 952 psi x y + 2824 psi y 5 2 7 5 8 5 9 4 10 - 108 psi x y - 540 psi x y - 708 psi y + 15 psi y 6 5 2 6 4 3 6 3 4 6 2 5 + 6 psi x y - 102 psi x y + 344 psi x y + 816 psi x y 6 6 6 7 5 3 5 5 2 6 - 4128 psi x y + 2912 psi y - 132 psi x y - 444 psi x y 5 7 5 8 4 8 4 9 6 6 - 1028 psi x y - 1960 psi y + 120 psi x y + 180 psi y + psi x 6 5 6 4 2 6 3 3 6 2 4 - 12 psi x y + 68 psi x y - 288 psi x y + 880 psi x y 6 5 6 6 5 4 3 5 3 4 - 1600 psi x y + 1312 psi y - 78 psi x y + 348 psi x y 5 2 5 5 6 5 7 4 2 6 - 488 psi x y + 3056 psi x y - 3168 psi y + 330 psi x y 4 7 4 8 3 9 5 5 5 4 2 + 960 psi x y + 735 psi y - 20 psi y - 18 psi x y + 180 psi x y 5 3 3 5 2 4 5 5 5 6 - 208 psi x y - 2240 psi x y + 5792 psi x y - 2944 psi y 4 3 4 4 2 5 4 6 4 7 + 372 psi x y + 996 psi x y + 472 psi x y + 1680 psi y 3 7 3 8 5 4 5 3 2 - 180 psi x y - 150 psi y - 16 psi x y + 160 psi x y 5 2 3 5 4 5 5 4 4 2 - 640 psi x y + 1344 psi x y - 1216 psi y + 159 psi x y 4 3 3 4 2 4 4 5 4 6 - 648 psi x y + 1672 psi x y - 5088 psi x y + 2448 psi y 3 2 5 3 6 3 7 2 8 4 5 - 540 psi x y - 930 psi x y - 460 psi y + 15 psi y + 12 psi x 4 4 4 3 2 4 2 3 4 4 - 96 psi x y - 288 psi x y + 2848 psi x y - 4944 psi x y 4 5 3 3 3 3 2 4 3 5 + 2112 psi y - 588 psi x y - 1224 psi x y + 720 psi x y 3 6 2 6 2 7 4 4 4 3 - 960 psi y + 150 psi x y + 66 psi y + 8 psi x - 64 psi x y 4 2 2 4 3 4 4 3 4 + 288 psi x y - 768 psi x y + 784 psi y - 144 psi x y 3 3 2 3 2 3 3 4 3 5 + 576 psi x y - 1856 psi x y + 4480 psi x y - 1280 psi y 2 2 4 2 5 2 6 7 3 3 + 495 psi x y + 468 psi x y + 180 psi y - 6 psi y + 352 psi x y 3 2 2 3 3 3 4 2 3 2 - 1632 psi x y + 2304 psi x y - 1056 psi y + 552 psi x y 2 2 3 2 4 2 5 5 6 + 768 psi x y - 1072 psi x y + 352 psi y - 66 psi x y - 12 psi y 3 2 3 2 3 3 2 4 2 3 - 64 psi x y + 288 psi x y - 320 psi y + 48 psi x - 192 psi x y 2 2 2 2 3 2 4 2 3 + 800 psi x y - 1952 psi x y + 432 psi y - 240 psi x y 4 5 6 2 3 2 2 - 96 psi x y - 48 psi y + y - 80 psi x + 320 psi x y 2 2 2 3 3 2 2 - 480 psi x y + 352 psi y - 288 psi x y - 192 psi x y 3 4 4 2 2 2 + 512 psi x y - 64 psi y + 12 x y + 16 psi x - 64 psi x y 2 2 2 2 3 2 2 4 + 64 psi y - 64 psi x y + 320 psi x y - 96 psi y + 48 x y + 8 y 2 3 2 2 2 + 32 psi x y - 64 psi y + 64 x - 80 x y - 16 x + 16 y = 0 and in Maple notation psi^12*y^12-6*psi^11*y^12+6*psi^11*x*y^10-12*psi^11*y^11+15*psi^10*y^12-18*psi^ 10*x*y^10+66*psi^10*y^11-20*psi^9*y^12+15*psi^10*x^2*y^8-60*psi^10*x*y^9+68*psi ^10*y^10+12*psi^9*x*y^10-150*psi^9*y^11+15*psi^8*y^12-12*psi^9*x^2*y^8+150*psi^ 9*x*y^9-332*psi^9*y^10+12*psi^8*x*y^10+180*psi^8*y^11-6*psi^7*y^12+20*psi^9*x^3 *y^6-120*psi^9*x^2*y^7+272*psi^9*x*y^8-240*psi^9*y^9-6*psi^8*x^2*y^8-48*psi^8*x *y^9+663*psi^8*y^10-18*psi^7*x*y^10-120*psi^7*y^11+psi^6*y^12+12*psi^8*x^3*y^6+ 36*psi^8*x^2*y^7-644*psi^8*x*y^8+1008*psi^8*y^9-12*psi^7*x^2*y^8-156*psi^7*x*y^ 9-692*psi^7*y^10+6*psi^6*x*y^10+42*psi^6*y^11+15*psi^8*x^4*y^4-120*psi^8*x^3*y^ 5+408*psi^8*x^2*y^6-736*psi^8*x*y^7+584*psi^8*y^8+12*psi^7*x^3*y^6+84*psi^7*x^2 *y^7+172*psi^7*x*y^8-1704*psi^7*y^9+15*psi^6*x^2*y^8+156*psi^6*x*y^9+398*psi^6* y^10-6*psi^5*y^11+18*psi^7*x^4*y^4-132*psi^7*x^3*y^5-136*psi^7*x^2*y^6+1936*psi ^7*x*y^7-2048*psi^7*y^8+20*psi^6*x^3*y^6+108*psi^6*x^2*y^7+620*psi^6*x*y^8+1484 *psi^6*y^9-42*psi^5*x*y^9-120*psi^5*y^10+6*psi^7*x^5*y^2-60*psi^7*x^4*y^3+272* psi^7*x^3*y^4-768*psi^7*x^2*y^5+1312*psi^7*x*y^6-1024*psi^7*y^7+15*psi^6*x^4*y^ 4-96*psi^6*x^3*y^5-126*psi^6*x^2*y^6-952*psi^6*x*y^7+2824*psi^6*y^8-108*psi^5*x ^2*y^7-540*psi^5*x*y^8-708*psi^5*y^9+15*psi^4*y^10+6*psi^6*x^5*y^2-102*psi^6*x^ 4*y^3+344*psi^6*x^3*y^4+816*psi^6*x^2*y^5-4128*psi^6*x*y^6+2912*psi^6*y^7-132* psi^5*x^3*y^5-444*psi^5*x^2*y^6-1028*psi^5*x*y^7-1960*psi^5*y^8+120*psi^4*x*y^8 +180*psi^4*y^9+psi^6*x^6-12*psi^6*x^5*y+68*psi^6*x^4*y^2-288*psi^6*x^3*y^3+880* psi^6*x^2*y^4-1600*psi^6*x*y^5+1312*psi^6*y^6-78*psi^5*x^4*y^3+348*psi^5*x^3*y^ 4-488*psi^5*x^2*y^5+3056*psi^5*x*y^6-3168*psi^5*y^7+330*psi^4*x^2*y^6+960*psi^4 *x*y^7+735*psi^4*y^8-20*psi^3*y^9-18*psi^5*x^5*y+180*psi^5*x^4*y^2-208*psi^5*x^ 3*y^3-2240*psi^5*x^2*y^4+5792*psi^5*x*y^5-2944*psi^5*y^6+372*psi^4*x^3*y^4+996* psi^4*x^2*y^5+472*psi^4*x*y^6+1680*psi^4*y^7-180*psi^3*x*y^7-150*psi^3*y^8-16* psi^5*x^4*y+160*psi^5*x^3*y^2-640*psi^5*x^2*y^3+1344*psi^5*x*y^4-1216*psi^5*y^5 +159*psi^4*x^4*y^2-648*psi^4*x^3*y^3+1672*psi^4*x^2*y^4-5088*psi^4*x*y^5+2448* psi^4*y^6-540*psi^3*x^2*y^5-930*psi^3*x*y^6-460*psi^3*y^7+15*psi^2*y^8+12*psi^4 *x^5-96*psi^4*x^4*y-288*psi^4*x^3*y^2+2848*psi^4*x^2*y^3-4944*psi^4*x*y^4+2112* psi^4*y^5-588*psi^3*x^3*y^3-1224*psi^3*x^2*y^4+720*psi^3*x*y^5-960*psi^3*y^6+ 150*psi^2*x*y^6+66*psi^2*y^7+8*psi^4*x^4-64*psi^4*x^3*y+288*psi^4*x^2*y^2-768* psi^4*x*y^3+784*psi^4*y^4-144*psi^3*x^4*y+576*psi^3*x^3*y^2-1856*psi^3*x^2*y^3+ 4480*psi^3*x*y^4-1280*psi^3*y^5+495*psi^2*x^2*y^4+468*psi^2*x*y^5+180*psi^2*y^6 -6*psi*y^7+352*psi^3*x^3*y-1632*psi^3*x^2*y^2+2304*psi^3*x*y^3-1056*psi^3*y^4+ 552*psi^2*x^3*y^2+768*psi^2*x^2*y^3-1072*psi^2*x*y^4+352*psi^2*y^5-66*psi*x*y^5 -12*psi*y^6-64*psi^3*x^2*y+288*psi^3*x*y^2-320*psi^3*y^3+48*psi^2*x^4-192*psi^2 *x^3*y+800*psi^2*x^2*y^2-1952*psi^2*x*y^3+432*psi^2*y^4-240*psi*x^2*y^3-96*psi* x*y^4-48*psi*y^5+y^6-80*psi^2*x^3+320*psi^2*x^2*y-480*psi^2*x*y^2+352*psi^2*y^3 -288*psi*x^3*y-192*psi*x^2*y^2+512*psi*x*y^3-64*psi*y^4+12*x*y^4+16*psi^2*x^2-\ 64*psi^2*x*y+64*psi^2*y^2-64*psi*x^2*y+320*psi*x*y^2-96*psi*y^3+48*x^2*y^2+8*y^ 4+32*psi*x*y-64*psi*y^2+64*x^3-80*x*y^2-16*x^2+16*y^2 = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 2 (6 n + 5) (5 n + 12) (2 n + 1) (6 n + 7) a(n) 3/8 --------------------------------------------- (5 n + 7) (2 n + 5) (n + 3) (n + 2) 3 2 (295 n + 1458 n + 2294 n + 1155) a(n + 1) - 1/4 ------------------------------------------- + a(n + 2) = 0 (n + 3) (2 n + 5) (5 n + 7) and in Maple notation 3/8*(6*n+5)*(5*n+12)*(2*n+1)*(6*n+7)/(5*n+7)/(2*n+5)/(n+3)/(n+2)*a(n)-1/4*(295* n^3+1458*n^2+2294*n+1155)/(n+3)/(2*n+5)/(5*n+7)*a(n+1)+a(n+2) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 1/2, a(2) = 5/8 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 134385042157635848803274542845813870607528682663630532410869879685186\ 3422247824605155172856447375684469591912801542005537889630267967303355979748191\ 6717723365154640144112759611661274355547706148934613341238787622958008939466315\ 3850846884338104357501891850199737005052686327272928792166001132693265174267550\ 8205938079365373930779226356581100936860575307192288064602453323176286129977252\ 2759030600414326925773826930953649422045757559810802960502878141962836539445631\ 6901605111116095475578579216586129033662359989982758821173549003686139182980090\ 0525626086971668179761985561886897715873477863832128869704079106688847270222630\ 9919713009576838074747727122801908829812042313446809546731292771661184640345433\ 3853852063747946718388914271803213372481399508781973410350863276778530309171665\ 1424186407393282316101627377831927928804969687708745007839298777219066038533483\ 1629269239480568431374556949648638538798004242359331453895221542657086930744669\ 4490257300828267259772798335787249474625051662668386649382156007298832715163764\ 7331094460924304438624367622603041467264308105463021655594117284055915526941160\ 23829126962385867988073425/1793954211366022694113801876840128100034871409513586\ 2507463167762902597834255786154010304473695410467475718197484179105835111233763\ 4852395535301774401039560217390608039550437501076217419125070111607698421974197\ 2574712741619474818186676828531882286780795390571221287481389759837587864244524\ 0025659682864481460026392028821641500371794501236571703271058828192031674485410\ 2860190637706619189518376981067683135310930306903323471531028756315874770598830\ 5326397404720186258671215368588625611876280581509852855552819149745718992630449\ 787803625851701801184123166018366180137512856918294030710215034138299203584 --------------------------------------- This ends this paper that took, 189.773, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (Psi(x, 0) x y - 2 y + x - 2 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1/2, 1/2, 11/16, 35/32, 61/32, 113/32, 875/128, 14009/1024, 115101/4096, 482851/8192, 1030369/8192, 8922565/32768, 1222145/2048, 86616233/65536, 1548792795/524288, 1744853115/262144, 15838151545/1048576, 289357476605/8388608 , 664578460629/8388608, 12273763075601/67108864, 113868013794369/268435456, 530443046951003/536870912, 1240315958559447/536870912, 11642205603494307/ 2147483648, 54819695073676547/4294967296, 129458084860918669/4294967296, 2452660659810082381/34359738368, 11647322650542896889/68719476736, 27723522306001955057/68719476736, 132280315692368593989/137438953472, 632519634680416406925/274877906944, 12122382780773781697647/2199023255552, 116384593105936613850637/8796093022208, 559692273119361286003547/17592186044416 , 674025362979731422918821/8796093022208, 406505664812257704710567/ 2199023255552, 125714060490228046129515323/281474976710656, 76042153361951635232973537/70368744177664, 2947793639278095241138900043/ 1125899906842624, 28605074294447710661879421049/4503599627370496, 69480937416566428601397265721/4503599627370496, 1351730014755526751548157073035 /36028797018963968, 3290885797660341468669179336655/36028797018963968, 64164172837742066507847222256793/288230376151711744, 626165523422597599482469875997161/1152921504606846976, 3058324564954359545379757644404427/2305843009213693952, 7475808301177499766428657525159067/2305843009213693952, 73162118030831103137690569627101267/9223372036854775808, 358312787377234125203796067715613267/18446744073709551616, 878155796599445187385171369819088859/18446744073709551616, 17231385563299284308992976835538685241/147573952589676412928, 84595088800255282365853247524161317241/295147905179352825856, 207808871792609123851525892586624100211/295147905179352825856, 63856535021210516541965860723938302783/36893488147419103232, 5026756644426854787006719254513425877009/1180591620717411303424, 98992252665387975750707556787023051218863/9444732965739290427392, 975361188036024922969145825170233796657811/37778931862957161709568, 4808075056720655271651526981809634911483261/75557863725914323419136, 11857948853089555115600376243400159711395883/75557863725914323419136, 117047450453409647674186574730740746320366759/302231454903657293676544, 289001649839370203118522066610343974342548695/302231454903657293676544, 1427930089723132157678603677413411839881130435/604462909807314587353088, 28236084842683614473787189849931840353640108637/4835703278458516698824704, 69829018099697315327360343100793048258200600395/4835703278458516698824704, 345552953708135428900241400990852978325179109117/9671406556917033397649408, 6843276783237250590838406057036244462226199807445/77371252455336267181195264, 16948385580597688197160959957203430436382908622457/77371252455336267181195264, 335955246801868849992821334772398913664275093771917/618970019642690137449562112 , 3331177730127977982607823601488456168950443100476397/ 2475880078570760549798248448, 16522360911171105283607515887060829415826157812691999/ 4951760157141521099596496896, 40992007784134793756709788567716898780374309949144195/ 4951760157141521099596496896, 406971616865392884989814071093593171405570525940484451/ 19807040628566084398385987584, 2021027308305045576112867161019677403810403260402352767/ 39614081257132168796771975168, 2510087348064063553164226402586883099090276118306101343/ 19807040628566084398385987584, 99797505834312474913487326941550096621352229695031801761/ 316912650057057350374175801344, 496158665980143214822998967898772369993013832656473084845/ 633825300114114700748351602688, 1233807694162121578089189999374399698328609531283558981679/ 633825300114114700748351602688, 6138418256963841004010282422123661509228455817711466989441/ 1267650600228229401496703205376, 30550185893652467323783299544883748052339958696229901065989/ 2535301200456458802993406410752, 76047688972808893610258509394939095887351431132564380284981/ 2535301200456458802993406410752, 6059676970685553695560185233618641385906321415163852682786187/ 81129638414606681695789005144064, 30187761537741544493794577370500755735209845631090763859837493/ 162259276829213363391578010288128, 150434376480526157575514781299265756944211950955047332266839741/ 324518553658426726783156020576256, 1499770807256122398188572172448142220289796378738320644387158551/ 1298074214633706907132624082305024, 14956546569035154227701573962293724533714370734119133207361313633/ 5192296858534827628530496329220096, 18649770714482008396986220327232489583404115363232886662419584205/ 2596148429267413814265248164610048, 186092373230026479538322422273199241147526379382300110762538997075/ 10384593717069655257060992658440192, 3714786507918503618658121374771862960999450517012909716908726444499/ 83076749736557242056487941267521536, 9271857523175394786813649383334200957412782465956771640679191523605/ 83076749736557242056487941267521536] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 5 4 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 g x + 22 g x + 8 g x - g x - 68 g x + 88 g x - 40 g x - 16 x + 16 g + 32 x - 16 = 0 and in Maple notation g^5*x^4+22*g^3*x^3+8*g^3*x^2-g^2*x^3-68*g^2*x^2+88*g*x^2-40*g*x-16*x^2+16*g+32* x-16 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 10 10 9 10 9 8 9 9 8 10 -psi y + 10 psi y - 5 psi x y + 10 psi y - 40 psi y 8 8 8 9 7 10 8 2 6 8 7 + 18 psi x y - 85 psi y + 80 psi y - 10 psi x y + 40 psi x y 8 8 7 2 7 7 8 7 9 6 10 - 48 psi y - psi x y + 12 psi x y + 280 psi y - 80 psi y 7 2 6 7 7 7 8 6 2 7 - 6 psi x y - 152 psi x y + 328 psi y + 4 psi x y 6 8 6 9 5 10 7 3 4 - 104 psi x y - 440 psi y + 32 psi y - 10 psi x y 7 2 5 7 6 7 7 6 3 5 + 60 psi x y - 144 psi x y + 144 psi y - 2 psi x y 6 2 6 6 7 6 8 5 2 7 5 8 + 63 psi x y + 14 psi x y - 826 psi y - 4 psi x y + 96 psi x y 5 9 6 3 4 6 2 5 6 6 + 320 psi y - 26 psi x y - 10 psi x y + 662 psi x y 6 7 5 3 5 5 2 6 5 7 - 752 psi y - 12 psi x y - 30 psi x y + 488 psi x y 5 8 4 9 6 4 2 6 3 3 6 2 4 + 924 psi y - 80 psi y - 5 psi x y + 40 psi x y - 144 psi x y 6 5 6 6 5 4 3 5 3 4 5 2 5 + 304 psi x y - 296 psi y - psi x y + 14 psi x y - 15 psi x y 5 6 5 7 4 2 6 4 7 - 550 psi x y + 1340 psi y + 16 psi x y - 456 psi x y 4 8 5 4 2 5 3 3 5 2 4 - 440 psi y - 12 psi x y + 96 psi x y + 270 psi x y 5 5 5 6 4 3 4 4 2 5 - 1704 psi x y + 1120 psi y + 66 psi x y - 74 psi x y 4 6 4 7 3 8 5 5 5 4 - 754 psi x y - 954 psi y + 80 psi y - psi x + 10 psi x y 5 3 2 5 2 3 5 4 5 5 - 48 psi x y + 176 psi x y - 408 psi x y + 432 psi y 4 4 2 4 3 3 4 2 4 4 5 + 3 psi x y + 44 psi x y - 741 psi x y + 1934 psi x y 4 6 3 2 5 3 6 3 7 - 1328 psi y - 25 psi x y + 716 psi x y + 280 psi y 4 4 4 3 2 4 2 3 4 4 + 39 psi x y - 86 psi x y - 832 psi x y + 2556 psi x y 4 5 3 3 3 3 2 4 3 5 - 1112 psi y - 142 psi x y + 564 psi x y + 152 psi x y 3 6 2 7 4 3 4 2 2 4 3 + 584 psi y - 40 psi y + 16 psi x y - 120 psi x y + 352 psi x y 4 4 3 4 3 3 2 3 2 3 - 448 psi y - 3 psi x y - 260 psi x y + 1808 psi x y 3 4 3 5 2 2 4 2 5 - 2880 psi x y + 848 psi y + 19 psi x y - 510 psi x y 2 6 3 4 3 3 3 2 2 - 85 psi y - 22 psi x - 72 psi x y + 1024 psi x y 3 3 3 4 2 3 2 2 2 3 - 2144 psi x y + 736 psi y + 150 psi x y - 824 psi x y 2 4 2 5 6 3 3 3 2 + 474 psi x y - 240 psi y + 10 psi y - 8 psi x + 48 psi x y 3 2 3 3 2 4 2 3 2 2 2 - 192 psi x y + 320 psi y + psi x + 282 psi x y - 1524 psi x y 2 3 2 4 2 3 4 5 + 1936 psi x y - 312 psi y - 7 psi x y + 171 psi x y + 10 psi y 2 3 2 2 2 2 2 3 3 + 68 psi x - 456 psi x y + 888 psi x y - 320 psi y - 78 psi x y 2 2 3 4 5 2 + 458 psi x y - 344 psi x y + 64 psi y - y + 64 psi x y 2 2 3 2 2 3 - 144 psi y - 88 psi x + 472 psi x y - 536 psi x y + 48 psi y 2 2 3 2 2 3 2 + x y - 22 x y + 40 psi x - 160 psi x y + 96 psi y + 16 x - 88 x y 2 3 2 + 68 x y - 8 y - 16 psi x + 32 psi y - 32 x + 40 x y + 16 x - 16 y = 0 and in Maple notation -psi^10*y^10+10*psi^9*y^10-5*psi^9*x*y^8+10*psi^9*y^9-40*psi^8*y^10+18*psi^8*x* y^8-85*psi^8*y^9+80*psi^7*y^10-10*psi^8*x^2*y^6+40*psi^8*x*y^7-48*psi^8*y^8-psi ^7*x^2*y^7+12*psi^7*x*y^8+280*psi^7*y^9-80*psi^6*y^10-6*psi^7*x^2*y^6-152*psi^7 *x*y^7+328*psi^7*y^8+4*psi^6*x^2*y^7-104*psi^6*x*y^8-440*psi^6*y^9+32*psi^5*y^ 10-10*psi^7*x^3*y^4+60*psi^7*x^2*y^5-144*psi^7*x*y^6+144*psi^7*y^7-2*psi^6*x^3* y^5+63*psi^6*x^2*y^6+14*psi^6*x*y^7-826*psi^6*y^8-4*psi^5*x^2*y^7+96*psi^5*x*y^ 8+320*psi^5*y^9-26*psi^6*x^3*y^4-10*psi^6*x^2*y^5+662*psi^6*x*y^6-752*psi^6*y^7 -12*psi^5*x^3*y^5-30*psi^5*x^2*y^6+488*psi^5*x*y^7+924*psi^5*y^8-80*psi^4*y^9-5 *psi^6*x^4*y^2+40*psi^6*x^3*y^3-144*psi^6*x^2*y^4+304*psi^6*x*y^5-296*psi^6*y^6 -psi^5*x^4*y^3+14*psi^5*x^3*y^4-15*psi^5*x^2*y^5-550*psi^5*x*y^6+1340*psi^5*y^7 +16*psi^4*x^2*y^6-456*psi^4*x*y^7-440*psi^4*y^8-12*psi^5*x^4*y^2+96*psi^5*x^3*y ^3+270*psi^5*x^2*y^4-1704*psi^5*x*y^5+1120*psi^5*y^6+66*psi^4*x^3*y^4-74*psi^4* x^2*y^5-754*psi^4*x*y^6-954*psi^4*y^7+80*psi^3*y^8-psi^5*x^5+10*psi^5*x^4*y-48* psi^5*x^3*y^2+176*psi^5*x^2*y^3-408*psi^5*x*y^4+432*psi^5*y^5+3*psi^4*x^4*y^2+ 44*psi^4*x^3*y^3-741*psi^4*x^2*y^4+1934*psi^4*x*y^5-1328*psi^4*y^6-25*psi^3*x^2 *y^5+716*psi^3*x*y^6+280*psi^3*y^7+39*psi^4*x^4*y-86*psi^4*x^3*y^2-832*psi^4*x^ 2*y^3+2556*psi^4*x*y^4-1112*psi^4*y^5-142*psi^3*x^3*y^3+564*psi^3*x^2*y^4+152* psi^3*x*y^5+584*psi^3*y^6-40*psi^2*y^7+16*psi^4*x^3*y-120*psi^4*x^2*y^2+352*psi ^4*x*y^3-448*psi^4*y^4-3*psi^3*x^4*y-260*psi^3*x^3*y^2+1808*psi^3*x^2*y^3-2880* psi^3*x*y^4+848*psi^3*y^5+19*psi^2*x^2*y^4-510*psi^2*x*y^5-85*psi^2*y^6-22*psi^ 3*x^4-72*psi^3*x^3*y+1024*psi^3*x^2*y^2-2144*psi^3*x*y^3+736*psi^3*y^4+150*psi^ 2*x^3*y^2-824*psi^2*x^2*y^3+474*psi^2*x*y^4-240*psi^2*y^5+10*psi*y^6-8*psi^3*x^ 3+48*psi^3*x^2*y-192*psi^3*x*y^2+320*psi^3*y^3+psi^2*x^4+282*psi^2*x^3*y-1524* psi^2*x^2*y^2+1936*psi^2*x*y^3-312*psi^2*y^4-7*psi*x^2*y^3+171*psi*x*y^4+10*psi *y^5+68*psi^2*x^3-456*psi^2*x^2*y+888*psi^2*x*y^2-320*psi^2*y^3-78*psi*x^3*y+ 458*psi*x^2*y^2-344*psi*x*y^3+64*psi*y^4-y^5+64*psi^2*x*y-144*psi^2*y^2-88*psi* x^3+472*psi*x^2*y-536*psi*x*y^2+48*psi*y^3+x^2*y^2-22*x*y^3+40*psi*x^2-160*psi* x*y+96*psi*y^2+16*x^3-88*x^2*y+68*x*y^2-8*y^3-16*psi*x+32*psi*y-32*x^2+40*x*y+ 16*x-16*y = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 7 -3/8192 (3 n + 2) (2 n + 1) (3 n + 1) (n + 1) ( 2 2553533436048096032510385514623776313 n + 9304154606961853248071344141784339311 n + 8807309341336808056731262390413952650) a(n)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) 6 (2 n + 13) %1) - 3/4096 (14998361951942834150092787403062390358543 n 5 + 129981304012402795561757538031316068401582 n 4 + 465454339300189663295319758291097903870246 n 3 + 881473490193400510346146508342002768411204 n 2 + 932380684521904730729271394440321736731163 n + 523922556718686168923775771920891315059822 n + 122830798196249375602861959278520818222160) a(n + 1)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/2048 ( 6 72419716127415935982471386088341298508044 n 5 + 1134292418158064342442954868854922756533775 n 4 + 8163719434742813054773334805900689382896369 n 3 + 34116190527058630451629204816073870759550971 n 2 + 84554175396729309684823837243415236207140835 n + 114203411894640009682915452528277330947737886 n + 64303728912502856093286700355992006048347720) a(n + 2)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) + 1/1024 ( 6 83057703217815275140247761376144502625749 n 5 + 2682961592825874177223640927369276626475273 n 4 + 35443890029270861387712722088309190462901047 n 3 + 244003998762792524058325372375603651648687855 n 2 + 922567858040419716165721877334498203132219540 n + 1818250231959767169523440531618628758824745696 n + 1461727975652107828323990321882038658122705400) a(n + 3)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) + 1/256 ( 6 46292040848595031907556442725085813627005 n 5 + 1522713070624153048856800174203417563457199 n 4 + 20864437019676007341262207655861349925606697 n 3 + 152032642607126457552050330488791331206462341 n 2 + 620486851183329474266513188477295941049211370 n + 1344040610436090738694314864831547581466577748 n + 1207008650801482107573396616597489986241081560) a(n + 4)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/128 ( 6 11538450510729271185348256976551295780397 n 5 + 420085958063737847853553953865807065937696 n 4 + 6337791092747311161104301502937769118744172 n 3 + 50710996306397368015102861037962373470067834 n 2 + 226952051077512831686506350680992397064389431 n + 538656342893795101714352014897161137280872070 n + 529712351870270460167815690444069251273070320) a(n + 5)/((n + 8) (n + 7) 4 (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/8 (104052871340442545046018154162176928575 n 3 + 2374304085698429655040548731461004115607 n 2 + 20093169440399071099886499827533017414041 n + 74743375427626641960356672384342362986939 n + 103117817038464999314201805991716853062990) a(n + 6)/((2 n + 15) (n + 8) %1) + a(n + 7) = 0 2 %1 := 2902547952154558633620491722882903959 n + 30505912816399679349532908993239258992 n + 79148045346852300239225055079639032633 and in Maple notation -3/8192*(3*n+2)*(2*n+1)*(3*n+1)*(n+1)*(2553533436048096032510385514623776313*n^ 2+9304154606961853248071344141784339311*n+8807309341336808056731262390413952650 )/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/(2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n)-3/4096*(14998361951942834150092787403062390358543*n^6+ 129981304012402795561757538031316068401582*n^5+ 465454339300189663295319758291097903870246*n^4+ 881473490193400510346146508342002768411204*n^3+ 932380684521904730729271394440321736731163*n^2+ 523922556718686168923775771920891315059822*n+ 122830798196249375602861959278520818222160)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n+1)-1/2048*(72419716127415935982471386088341298508044*n^6+ 1134292418158064342442954868854922756533775*n^5+ 8163719434742813054773334805900689382896369*n^4+ 34116190527058630451629204816073870759550971*n^3+ 84554175396729309684823837243415236207140835*n^2+ 114203411894640009682915452528277330947737886*n+ 64303728912502856093286700355992006048347720)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n+2)+1/1024*(83057703217815275140247761376144502625749*n^6+ 2682961592825874177223640927369276626475273*n^5+ 35443890029270861387712722088309190462901047*n^4+ 244003998762792524058325372375603651648687855*n^3+ 922567858040419716165721877334498203132219540*n^2+ 1818250231959767169523440531618628758824745696*n+ 1461727975652107828323990321882038658122705400)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n+3)+1/256*(46292040848595031907556442725085813627005*n^6+ 1522713070624153048856800174203417563457199*n^5+ 20864437019676007341262207655861349925606697*n^4+ 152032642607126457552050330488791331206462341*n^3+ 620486851183329474266513188477295941049211370*n^2+ 1344040610436090738694314864831547581466577748*n+ 1207008650801482107573396616597489986241081560)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n+4)-1/128*(11538450510729271185348256976551295780397*n^6+ 420085958063737847853553953865807065937696*n^5+ 6337791092747311161104301502937769118744172*n^4+ 50710996306397368015102861037962373470067834*n^3+ 226952051077512831686506350680992397064389431*n^2+ 538656342893795101714352014897161137280872070*n+ 529712351870270460167815690444069251273070320)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n+5)-1/8*(104052871340442545046018154162176928575*n^4+ 2374304085698429655040548731461004115607*n^3+ 20093169440399071099886499827533017414041*n^2+ 74743375427626641960356672384342362986939*n+ 103117817038464999314201805991716853062990)/(2*n+15)/(n+8)/( 2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n+6)+a(n+7) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 1/2, a(2) = 1/2, a(3) = 11/16, a(4) = 35/32, a(5) = 61/32, a(6) = 113/32 , a(7) = 875/128 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 603801514607128091829338314195668398230830748709172436290826791166408\ 1532085270637124492342620895504340527925545190309361623081315235405238390074849\ 7036918562985740588591384621058593544883878985591081568077978570540874291923237\ 4129159369095413152220234904972179595458390192582176413745043037287109519471210\ 8108985755996036905420465040060094362597569027604257615012188054378843774610654\ 9477541171633201352839851075497411793227272022734871836117855343250771553007161\ 1761723620633161037466532986949764573865214829026576943163657101316537608387033\ 3075098252987616710445434626585878544281616765428640767795232996239886447749756\ 9976526454651571424384801787510825359659920031764610030847746499507059395804856\ 0321140870702173385620544375092278400418331288492647817636560557276774321022141\ 2697437510932328033521/23436579776793988170966017991229613682615436694506156866\ 1587935304001462031871371758206358440963630484517341077843078900130322095162778\ 9584819266155387471035402074486058266201687779407068304979622778688954037077147\ 9960473367322706999063912542118635783651777654383439009477433864917017458361049\ 1004542486280010006044833740783888997407934244880181477255716490596247474402637\ 17520458894542291025814093824 --------------------------------------- This ends this paper that took, 22.909, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (Psi(x, 0) x y - 3 y + x - 2 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1/2, 3/8, 7/16, 69/128, 193/256, 1111/1024, 3375/2048, 83657/32768, 266589/ 65536, 1723745/262144, 5667265/524288, 75337433/4194304, 253176565/8388608, 1715662935/33554432, 5859499775/67108864, 322243949105/2147483648, 1114260789237/4294967296, 7745044385949/17179869184, 27043656243309/34359738368 , 379273269571819/274877906944, 1334810444805359/549755813888, 9427309471737409 /2199023255552, 33394801648120457/4398046511104, 949053067735889861/ 70368744177664, 3380242957915228969/140737488355328, 24136758880031631013/ 562949953421312, 86366911222284248677/1125899906842624, 1238715429401454276257/ 9007199254740992, 4450099540562107909821/18014398509481984, 32031317601098623739479/72057594037927936, 115471910146668810494879/ 144115188075855872, 13341601430076709720315905/9223372036854775808, 48242304673286014246854949/18446744073709551616, 349364150820575200721912309/ 73786976294838206464, 1266671887792160727591570213/147573952589676412928, 18392615146349672411497324887/1180591620717411303424, 66844732945542189996796627531/2361183241434822606848, 486405298358554750122662150205/9444732965739290427392, 1771544209238367417306349503045/18889465931478580854784, 51668435411212746190166022506855/302231454903657293676544, 188545872950457293415914718469715/604462909807314587353088, 1377296417955202909223073304916543/2417851639229258349412352, 5034752909575446808869236820364063/4835703278458516698824704, 73678739210000490527261898092405247/38685626227668133590597632, 269763755155059293585610164368203843/77371252455336267181195264, 1976867330022794248113750225348601921/309485009821345068724781056, 7248532151922835952210706391195980953/618970019642690137449562112, 425537842959356484642040906183749653149/19807040628566084398385987584, 1562390880190004579714518602719152291153/39614081257132168796771975168, 11480031835759777509438101751751079511145/158456325028528675187087900672, 42201471339642766157780176085985420860345/316912650057057350374175801344, 620901940565249268983518116471102464354055/2535301200456458802993406410752, 2285071526007851995116359393969606443424795/5070602400912917605986812821504, 16828246992086049934504841145627266395779205/20282409603651670423947251286016, 61997148488200389986347513063914279119761325/40564819207303340847894502572032, 1828143185211321761030326001340040800382523325/ 649037107316853453566312041152512, 6741658153836662359782237582925241954045168065/ 1298074214633706907132624082305024, 49745522875758464594535505192334753994607762157/ 5192296858534827628530496329220096, 183613729785796912318855116275427768039256441453/ 10384593717069655257060992658440192, 2712087122336902250181379897628284658629669032241/ 83076749736557242056487941267521536, 10018974213067610227576523565847402607316499675981/ 166153499473114484112975882535043072, 74053927964954638824947621635478487443158442164823/ 664613997892457936451903530140172288, 273786823905424184492772037198655065904837289623775/ 1329227995784915872903807060280344576, 64806893608895185255939912319763922824835152695582625/ 170141183460469231731687303715884105728, 239777831218208331728642585561444651665283680077288325/ 340282366920938463463374607431768211456, 1774929505558639693259916770928182833645430977680741925/ 1361129467683753853853498429727072845824, 6571625480233828321228411307182768082260237822571705365/ 2722258935367507707706996859454145691648, 97357554627002282275074599353432026043324560985511361935/ 21778071482940061661655974875633165533184, 360701071589486544728932208522307465017403666727911192035/ 43556142965880123323311949751266331066368, 2673573033405153172653293029102198511589278782714937565205/ 174224571863520493293247799005065324265472, 9911505617571330245915268561271297444427457699250987029405/ 348449143727040986586495598010130648530944, 294040006670386309650631674294002962924645241794601132142195/ 5575186299632655785383929568162090376495104, 1090708960434692026630404127859934920883859183015687146542735/ 11150372599265311570767859136324180752990208, 8094006650684281786602734860554302517153093267849223151569115/ 44601490397061246283071436545296723011960832, 30040500934227844736314283425949328752879931845830793856746875/ 89202980794122492566142873090593446023921664, 446094171999686308266842653765178365465158486655489459607892275/ 713623846352979940529142984724747568191373312, 1656527601540843978759741882414545156893816006292523918652316775/ 1427247692705959881058285969449495136382746624, 12305821802133025145646458370648262684069972987318044876910616125/ 5708990770823839524233143877797980545530986496, 45719301706042789307461449727989039631368115902451111791406855925/ 11417981541647679048466287755595961091061972992, 2718396834750302259482614493669912135678488466404331319419039338975/ 365375409332725729550921208179070754913983135744, 10104337875034959933954769138018679963467247235736824708190600256475/ 730750818665451459101842416358141509827966271488, 75133232970670800342788685922458255823112087240053675921693666233875/ 2923003274661805836407369665432566039311865085952, 279397878302623990039267827964392436721215091335199865984836717929923/ 5846006549323611672814739330865132078623730171904, 4156890681035332695706054023142753179966303884465469108963913063905813/ 46768052394588893382517914646921056628989841375232, 15464872769633893360386206081124793394129007135320176880072905666228369/ 93536104789177786765035829293842113257979682750464, 115091744179713029644234841181444545552568025583135750116615219609356383/ 374144419156711147060143317175368453031918731001856, 428351197572897290129975129313108257719503528465381880892670253273034647/ 748288838313422294120286634350736906063837462003712, 12756506634666112173634136475180531129777987897217609595446281386139052435/ 11972621413014756705924586149611790497021399392059392, 47496058604851553937805397166936314255851270002560005085569005085761813135/ 23945242826029513411849172299223580994042798784118784] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 2 3 2 2 2 2 3 2 -8 + 32 g - 24 g - 8 g x + 16 x g - 32 x + 192 x g - 352 x g + 200 g x 2 4 2 3 3 3 3 4 3 5 4 4 - 12 x g - 48 g x + 192 x g - 178 x g + 8 x g - 2 x g 5 4 6 4 5 7 + 32 g x - 3/2 g x + x g = 0 and in Maple notation -8+32*g-24*g^2-8*g^2*x+16*x*g^3-32*x^2+192*x^2*g-352*x^2*g^2+200*g^3*x^2-12*x^2 *g^4-48*g^2*x^3+192*x^3*g^3-178*x^3*g^4+8*x^3*g^5-2*x^4*g^4+32*g^5*x^4-3/2*g^6* x^4+x^5*g^7 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 14 14 13 14 13 12 13 13 12 14 -2 psi y + 42 psi y - 14 psi x y + 25 psi y - 378 psi y 12 12 12 13 11 14 12 2 10 + 188 psi x y - 464 psi y + 1890 psi y - 42 psi x y 12 11 12 12 11 2 11 11 12 + 150 psi x y - 145 psi y - 4 psi x y - 930 psi x y 11 13 10 14 11 2 10 11 11 + 3627 psi y - 5670 psi y + 310 psi x y - 1922 psi x y 11 12 10 2 11 10 12 10 13 + 2316 psi y + 48 psi x y + 1800 psi x y - 15390 psi y 9 14 11 3 8 11 2 9 11 10 + 10206 psi y - 70 psi x y + 375 psi x y - 722 psi x y 11 11 10 3 9 10 2 10 10 11 + 512 psi y - 16 psi x y - 280 psi x y + 9112 psi x y 10 12 9 2 11 9 12 9 13 - 15207 psi y - 216 psi x y + 270 psi x y + 37935 psi y 8 14 10 3 8 10 2 9 10 10 - 10206 psi y + 200 psi x y - 2934 psi x y + 8972 psi x y 10 11 9 3 9 9 2 10 9 11 - 6854 psi y + 48 psi x y - 2932 psi x y - 17364 psi x y 9 12 8 2 11 8 12 8 13 + 52470 psi y + 432 psi x y - 5508 psi x y - 53460 psi y 7 14 10 4 6 10 3 7 10 2 8 + 4374 psi y - 70 psi x y + 500 psi x y - 1435 psi x y 10 9 10 10 9 4 7 9 3 8 + 2044 psi x y - 1204 psi y - 24 psi x y + 972 psi x y 9 2 9 9 10 9 11 8 3 9 + 6518 psi x y - 41262 psi x y + 36489 psi y + 144 psi x y 8 2 10 8 11 8 12 7 2 11 + 8838 psi x y + 918 psi x y - 100575 psi y - 324 psi x y 7 12 7 13 9 4 6 9 3 7 + 5346 psi x y + 38637 psi y - 10 psi x y - 1796 psi x y 9 2 8 9 9 9 10 8 4 7 + 12776 psi x y - 24498 psi x y + 13180 psi y - 48 psi x y 8 3 8 8 2 9 8 10 8 11 - 3384 psi x y + 2064 psi x y + 79304 psi x y - 97558 psi y 7 3 9 7 2 10 7 11 7 12 - 432 psi x y - 7938 psi x y + 38934 psi x y + 103680 psi y 6 13 9 5 4 9 4 5 9 3 6 - 10206 psi y - 42 psi x y + 375 psi x y - 1420 psi x y 9 2 7 9 8 9 9 8 5 5 + 3056 psi x y - 3712 psi x y + 1912 psi y - 16 psi x y 8 4 6 8 3 7 8 2 8 8 9 + 966 psi x y - 364 psi x y - 41270 psi x y + 107996 psi x y 8 10 7 4 7 7 3 8 7 2 9 - 55123 psi y + 296 psi x y + 618 psi x y - 23649 psi x y 7 10 7 11 6 2 10 6 11 - 30798 psi x y + 136326 psi y + 1404 psi x y - 36612 psi x y 6 12 8 5 4 8 4 5 8 3 6 - 51273 psi y - 68 psi x y - 44 psi x y + 7592 psi x y 8 2 7 8 8 8 9 7 5 5 - 31740 psi x y + 40964 psi x y - 16768 psi y - 48 psi x y 7 4 6 7 3 7 7 2 8 7 9 - 222 psi x y + 3684 psi x y + 55316 psi x y - 207656 psi x y 7 10 6 3 8 6 2 9 6 10 + 109832 psi y + 3168 psi x y + 23742 psi x y - 81108 psi x y 6 11 5 12 8 6 2 8 5 3 - 95958 psi y + 10206 psi y - 14 psi x y + 150 psi x y 8 4 4 8 3 5 8 2 6 8 7 - 695 psi x y + 2024 psi x y - 3928 psi x y + 4352 psi x y 8 8 7 6 3 7 5 4 7 4 5 - 1896 psi y - 4 psi x y + 278 psi x y - 1981 psi x y 7 3 6 7 2 7 7 8 7 9 - 18560 psi x y + 116182 psi x y - 168036 psi x y + 54128 psi y 6 4 6 6 3 7 6 2 8 6 9 - 1832 psi x y + 4296 psi x y - 22995 psi x y + 141488 psi x y 6 10 5 2 9 5 10 5 11 - 107656 psi y - 2484 psi x y + 67662 psi x y + 33561 psi y 7 6 2 7 5 3 7 4 4 7 3 5 - 22 psi x y + 390 psi x y + 1100 psi x y - 17812 psi x y 7 2 6 7 7 7 8 6 5 4 + 45432 psi x y - 38768 psi x y + 13280 psi y + 320 psi x y 6 4 5 6 3 6 6 2 7 - 1506 psi x y + 30392 psi x y - 190868 psi x y 6 8 6 9 5 3 7 5 2 8 + 317144 psi x y - 80548 psi y - 8880 psi x y - 1492 psi x y 5 9 5 10 4 11 7 7 + 35754 psi x y + 51498 psi y - 5670 psi y - 2 psi x 7 6 7 5 2 7 4 3 7 3 4 + 25 psi x y - 130 psi x y + 496 psi x y - 1552 psi x y 7 2 5 7 6 7 7 6 6 2 + 3056 psi x y - 2976 psi x y + 672 psi y + 12 psi x y 6 5 3 6 4 4 6 3 5 6 2 6 - 596 psi x y - 3983 psi x y + 57436 psi x y - 160210 psi x y 6 7 6 8 5 4 5 5 3 6 + 141288 psi x y - 33640 psi y + 4272 psi x y - 32868 psi x y 5 2 7 5 8 5 9 4 2 8 + 149006 psi x y - 262502 psi x y + 58611 psi y + 2316 psi x y 4 9 4 10 6 6 6 5 2 - 58680 psi x y - 11745 psi y + 114 psi x y - 436 psi x y 6 4 3 6 3 4 6 2 5 6 6 - 4126 psi x y + 22520 psi x y - 31952 psi x y + 12080 psi x y 6 7 5 5 3 5 4 4 5 3 5 - 4512 psi y - 768 psi x y + 10454 psi x y - 80600 psi x y 5 2 6 5 7 5 8 4 3 6 + 245224 psi x y - 257908 psi x y + 39320 psi y + 12704 psi x y 4 2 7 4 8 4 9 3 10 - 43444 psi x y + 44824 psi x y - 19392 psi y + 1890 psi y 6 6 6 5 6 4 2 6 3 3 + 3 psi x - 4 psi x y - 148 psi x y + 704 psi x y 6 2 4 6 5 6 6 5 6 - 1264 psi x y + 512 psi x y + 1152 psi y - 12 psi x y 5 5 2 5 4 3 5 3 4 5 2 5 - 634 psi x y + 14121 psi x y - 62596 psi x y + 89344 psi x y 5 6 5 7 4 4 4 4 3 5 - 33440 psi x y + 10928 psi y - 4720 psi x y + 47000 psi x y 4 2 6 4 7 4 8 3 2 7 - 171248 psi x y + 215246 psi x y - 22199 psi y - 1228 psi x y 3 8 3 9 5 6 5 5 + 27870 psi x y + 2007 psi y - 64 psi x - 410 psi x y 5 4 2 5 3 3 5 2 4 5 5 + 5228 psi x y - 11664 psi x y + 496 psi x y + 13488 psi x y 5 6 4 5 2 4 4 3 4 3 4 - 2848 psi y + 864 psi x y - 12182 psi x y + 57544 psi x y 4 2 5 4 6 4 7 3 3 5 - 107260 psi x y + 74216 psi x y - 10480 psi y - 10128 psi x y 3 2 6 3 7 3 8 2 9 + 47446 psi x y - 54966 psi x y + 6060 psi y - 378 psi y 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 - 16 psi x + 88 psi x y - 160 psi x y + 32 psi x y 5 4 5 5 4 6 4 5 + 1120 psi x y - 2224 psi y + 4 psi x + 1184 psi x y 4 4 2 4 3 3 4 2 4 4 5 - 9171 psi x y + 14888 psi x y + 16456 psi x y - 39056 psi x y 4 6 3 4 3 3 3 4 3 2 5 + 272 psi y + 2344 psi x y - 23222 psi x y + 71019 psi x y 3 6 3 7 2 2 6 2 7 - 76234 psi x y + 4432 psi y + 372 psi x y - 7492 psi x y 2 8 4 5 4 4 4 3 2 - 59 psi y + 356 psi x - 1328 psi x y - 2032 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 5 + 13184 psi x y - 15536 psi x y + 4864 psi y - 464 psi x y 3 4 2 3 3 3 3 2 4 3 5 + 3680 psi x y - 2972 psi x y - 16840 psi x y + 22272 psi x y 3 6 2 3 4 2 2 5 2 6 + 1280 psi y + 4512 psi x y - 21658 psi x y + 23708 psi x y 2 7 8 4 4 4 3 4 2 2 - 1510 psi y + 42 psi y + 24 psi x - 64 psi x y + 192 psi x y 4 3 4 4 3 5 3 4 - 1248 psi x y + 1904 psi y - 384 psi x + 208 psi x y 3 3 2 3 2 3 3 4 3 5 + 10576 psi x y - 32832 psi x y + 29120 psi x y - 1552 psi y 2 4 2 2 3 3 2 2 4 2 5 - 168 psi x y + 1376 psi x y - 4083 psi x y + 6380 psi x y 2 6 2 5 6 7 3 4 + 92 psi y - 60 psi x y + 1074 psi x y - 29 psi y - 400 psi x 3 3 3 2 2 3 3 3 4 + 2416 psi x y - 5312 psi x y + 5792 psi x y - 3264 psi y 2 5 2 4 2 3 2 2 2 3 + 96 psi x + 768 psi x y - 9128 psi x y + 22624 psi x y 2 4 2 5 3 3 2 4 - 16384 psi x y - 448 psi y - 1040 psi x y + 4640 psi x y 5 6 7 3 3 3 2 - 4682 psi x y + 236 psi y - 2 y - 32 psi x - 48 psi x y 3 2 3 3 2 4 2 3 + 672 psi x y - 896 psi y + 704 psi x - 4016 psi x y 2 2 2 2 3 2 4 4 + 7840 psi x y - 5984 psi x y + 912 psi y - 256 psi x y 3 2 2 3 4 5 2 4 + 1920 psi x y - 4016 psi x y + 2272 psi x y - 200 psi y + 4 x y 5 6 2 3 2 2 2 2 - 64 x y + 3 y + 16 psi x + 224 psi x y - 1152 psi x y 2 3 4 3 2 2 + 1248 psi y - 384 psi x + 2176 psi x y - 4016 psi x y 3 4 3 2 2 3 4 5 + 2320 psi x y + 224 psi y + 96 x y - 384 x y + 356 x y - 16 y 2 2 2 2 2 2 2 + 48 psi x - 192 psi x y + 192 psi y - 80 psi x y + 416 psi x y 3 4 3 2 2 3 4 2 - 336 psi y + 64 x - 384 x y + 704 x y - 400 x y + 24 y - 64 psi x 2 2 3 2 2 + 224 psi x y - 192 psi y + 16 x y - 32 y + 16 x - 64 x y + 48 y = 0 and in Maple notation -2*psi^14*y^14+42*psi^13*y^14-14*psi^13*x*y^12+25*psi^13*y^13-378*psi^12*y^14+ 188*psi^12*x*y^12-464*psi^12*y^13+1890*psi^11*y^14-42*psi^12*x^2*y^10+150*psi^ 12*x*y^11-145*psi^12*y^12-4*psi^11*x^2*y^11-930*psi^11*x*y^12+3627*psi^11*y^13-\ 5670*psi^10*y^14+310*psi^11*x^2*y^10-1922*psi^11*x*y^11+2316*psi^11*y^12+48*psi ^10*x^2*y^11+1800*psi^10*x*y^12-15390*psi^10*y^13+10206*psi^9*y^14-70*psi^11*x^ 3*y^8+375*psi^11*x^2*y^9-722*psi^11*x*y^10+512*psi^11*y^11-16*psi^10*x^3*y^9-\ 280*psi^10*x^2*y^10+9112*psi^10*x*y^11-15207*psi^10*y^12-216*psi^9*x^2*y^11+270 *psi^9*x*y^12+37935*psi^9*y^13-10206*psi^8*y^14+200*psi^10*x^3*y^8-2934*psi^10* x^2*y^9+8972*psi^10*x*y^10-6854*psi^10*y^11+48*psi^9*x^3*y^9-2932*psi^9*x^2*y^ 10-17364*psi^9*x*y^11+52470*psi^9*y^12+432*psi^8*x^2*y^11-5508*psi^8*x*y^12-\ 53460*psi^8*y^13+4374*psi^7*y^14-70*psi^10*x^4*y^6+500*psi^10*x^3*y^7-1435*psi^ 10*x^2*y^8+2044*psi^10*x*y^9-1204*psi^10*y^10-24*psi^9*x^4*y^7+972*psi^9*x^3*y^ 8+6518*psi^9*x^2*y^9-41262*psi^9*x*y^10+36489*psi^9*y^11+144*psi^8*x^3*y^9+8838 *psi^8*x^2*y^10+918*psi^8*x*y^11-100575*psi^8*y^12-324*psi^7*x^2*y^11+5346*psi^ 7*x*y^12+38637*psi^7*y^13-10*psi^9*x^4*y^6-1796*psi^9*x^3*y^7+12776*psi^9*x^2*y ^8-24498*psi^9*x*y^9+13180*psi^9*y^10-48*psi^8*x^4*y^7-3384*psi^8*x^3*y^8+2064* psi^8*x^2*y^9+79304*psi^8*x*y^10-97558*psi^8*y^11-432*psi^7*x^3*y^9-7938*psi^7* x^2*y^10+38934*psi^7*x*y^11+103680*psi^7*y^12-10206*psi^6*y^13-42*psi^9*x^5*y^4 +375*psi^9*x^4*y^5-1420*psi^9*x^3*y^6+3056*psi^9*x^2*y^7-3712*psi^9*x*y^8+1912* psi^9*y^9-16*psi^8*x^5*y^5+966*psi^8*x^4*y^6-364*psi^8*x^3*y^7-41270*psi^8*x^2* y^8+107996*psi^8*x*y^9-55123*psi^8*y^10+296*psi^7*x^4*y^7+618*psi^7*x^3*y^8-\ 23649*psi^7*x^2*y^9-30798*psi^7*x*y^10+136326*psi^7*y^11+1404*psi^6*x^2*y^10-\ 36612*psi^6*x*y^11-51273*psi^6*y^12-68*psi^8*x^5*y^4-44*psi^8*x^4*y^5+7592*psi^ 8*x^3*y^6-31740*psi^8*x^2*y^7+40964*psi^8*x*y^8-16768*psi^8*y^9-48*psi^7*x^5*y^ 5-222*psi^7*x^4*y^6+3684*psi^7*x^3*y^7+55316*psi^7*x^2*y^8-207656*psi^7*x*y^9+ 109832*psi^7*y^10+3168*psi^6*x^3*y^8+23742*psi^6*x^2*y^9-81108*psi^6*x*y^10-\ 95958*psi^6*y^11+10206*psi^5*y^12-14*psi^8*x^6*y^2+150*psi^8*x^5*y^3-695*psi^8* x^4*y^4+2024*psi^8*x^3*y^5-3928*psi^8*x^2*y^6+4352*psi^8*x*y^7-1896*psi^8*y^8-4 *psi^7*x^6*y^3+278*psi^7*x^5*y^4-1981*psi^7*x^4*y^5-18560*psi^7*x^3*y^6+116182* psi^7*x^2*y^7-168036*psi^7*x*y^8+54128*psi^7*y^9-1832*psi^6*x^4*y^6+4296*psi^6* x^3*y^7-22995*psi^6*x^2*y^8+141488*psi^6*x*y^9-107656*psi^6*y^10-2484*psi^5*x^2 *y^9+67662*psi^5*x*y^10+33561*psi^5*y^11-22*psi^7*x^6*y^2+390*psi^7*x^5*y^3+ 1100*psi^7*x^4*y^4-17812*psi^7*x^3*y^5+45432*psi^7*x^2*y^6-38768*psi^7*x*y^7+ 13280*psi^7*y^8+320*psi^6*x^5*y^4-1506*psi^6*x^4*y^5+30392*psi^6*x^3*y^6-190868 *psi^6*x^2*y^7+317144*psi^6*x*y^8-80548*psi^6*y^9-8880*psi^5*x^3*y^7-1492*psi^5 *x^2*y^8+35754*psi^5*x*y^9+51498*psi^5*y^10-5670*psi^4*y^11-2*psi^7*x^7+25*psi^ 7*x^6*y-130*psi^7*x^5*y^2+496*psi^7*x^4*y^3-1552*psi^7*x^3*y^4+3056*psi^7*x^2*y ^5-2976*psi^7*x*y^6+672*psi^7*y^7+12*psi^6*x^6*y^2-596*psi^6*x^5*y^3-3983*psi^6 *x^4*y^4+57436*psi^6*x^3*y^5-160210*psi^6*x^2*y^6+141288*psi^6*x*y^7-33640*psi^ 6*y^8+4272*psi^5*x^4*y^5-32868*psi^5*x^3*y^6+149006*psi^5*x^2*y^7-262502*psi^5* x*y^8+58611*psi^5*y^9+2316*psi^4*x^2*y^8-58680*psi^4*x*y^9-11745*psi^4*y^10+114 *psi^6*x^6*y-436*psi^6*x^5*y^2-4126*psi^6*x^4*y^3+22520*psi^6*x^3*y^4-31952*psi ^6*x^2*y^5+12080*psi^6*x*y^6-4512*psi^6*y^7-768*psi^5*x^5*y^3+10454*psi^5*x^4*y ^4-80600*psi^5*x^3*y^5+245224*psi^5*x^2*y^6-257908*psi^5*x*y^7+39320*psi^5*y^8+ 12704*psi^4*x^3*y^6-43444*psi^4*x^2*y^7+44824*psi^4*x*y^8-19392*psi^4*y^9+1890* psi^3*y^10+3*psi^6*x^6-4*psi^6*x^5*y-148*psi^6*x^4*y^2+704*psi^6*x^3*y^3-1264* psi^6*x^2*y^4+512*psi^6*x*y^5+1152*psi^6*y^6-12*psi^5*x^6*y-634*psi^5*x^5*y^2+ 14121*psi^5*x^4*y^3-62596*psi^5*x^3*y^4+89344*psi^5*x^2*y^5-33440*psi^5*x*y^6+ 10928*psi^5*y^7-4720*psi^4*x^4*y^4+47000*psi^4*x^3*y^5-171248*psi^4*x^2*y^6+ 215246*psi^4*x*y^7-22199*psi^4*y^8-1228*psi^3*x^2*y^7+27870*psi^3*x*y^8+2007* psi^3*y^9-64*psi^5*x^6-410*psi^5*x^5*y+5228*psi^5*x^4*y^2-11664*psi^5*x^3*y^3+ 496*psi^5*x^2*y^4+13488*psi^5*x*y^5-2848*psi^5*y^6+864*psi^4*x^5*y^2-12182*psi^ 4*x^4*y^3+57544*psi^4*x^3*y^4-107260*psi^4*x^2*y^5+74216*psi^4*x*y^6-10480*psi^ 4*y^7-10128*psi^3*x^3*y^5+47446*psi^3*x^2*y^6-54966*psi^3*x*y^7+6060*psi^3*y^8-\ 378*psi^2*y^9-16*psi^5*x^5+88*psi^5*x^4*y-160*psi^5*x^3*y^2+32*psi^5*x^2*y^3+ 1120*psi^5*x*y^4-2224*psi^5*y^5+4*psi^4*x^6+1184*psi^4*x^5*y-9171*psi^4*x^4*y^2 +14888*psi^4*x^3*y^3+16456*psi^4*x^2*y^4-39056*psi^4*x*y^5+272*psi^4*y^6+2344* psi^3*x^4*y^3-23222*psi^3*x^3*y^4+71019*psi^3*x^2*y^5-76234*psi^3*x*y^6+4432* psi^3*y^7+372*psi^2*x^2*y^6-7492*psi^2*x*y^7-59*psi^2*y^8+356*psi^4*x^5-1328* psi^4*x^4*y-2032*psi^4*x^3*y^2+13184*psi^4*x^2*y^3-15536*psi^4*x*y^4+4864*psi^4 *y^5-464*psi^3*x^5*y+3680*psi^3*x^4*y^2-2972*psi^3*x^3*y^3-16840*psi^3*x^2*y^4+ 22272*psi^3*x*y^5+1280*psi^3*y^6+4512*psi^2*x^3*y^4-21658*psi^2*x^2*y^5+23708* psi^2*x*y^6-1510*psi^2*y^7+42*psi*y^8+24*psi^4*x^4-64*psi^4*x^3*y+192*psi^4*x^2 *y^2-1248*psi^4*x*y^3+1904*psi^4*y^4-384*psi^3*x^5+208*psi^3*x^4*y+10576*psi^3* x^3*y^2-32832*psi^3*x^2*y^3+29120*psi^3*x*y^4-1552*psi^3*y^5-168*psi^2*x^4*y^2+ 1376*psi^2*x^3*y^3-4083*psi^2*x^2*y^4+6380*psi^2*x*y^5+92*psi^2*y^6-60*psi*x^2* y^5+1074*psi*x*y^6-29*psi*y^7-400*psi^3*x^4+2416*psi^3*x^3*y-5312*psi^3*x^2*y^2 +5792*psi^3*x*y^3-3264*psi^3*y^4+96*psi^2*x^5+768*psi^2*x^4*y-9128*psi^2*x^3*y^ 2+22624*psi^2*x^2*y^3-16384*psi^2*x*y^4-448*psi^2*y^5-1040*psi*x^3*y^3+4640*psi *x^2*y^4-4682*psi*x*y^5+236*psi*y^6-2*y^7-32*psi^3*x^3-48*psi^3*x^2*y+672*psi^3 *x*y^2-896*psi^3*y^3+704*psi^2*x^4-4016*psi^2*x^3*y+7840*psi^2*x^2*y^2-5984*psi ^2*x*y^3+912*psi^2*y^4-256*psi*x^4*y+1920*psi*x^3*y^2-4016*psi*x^2*y^3+2272*psi *x*y^4-200*psi*y^5+4*x^2*y^4-64*x*y^5+3*y^6+16*psi^2*x^3+224*psi^2*x^2*y-1152* psi^2*x*y^2+1248*psi^2*y^3-384*psi*x^4+2176*psi*x^3*y-4016*psi*x^2*y^2+2320*psi *x*y^3+224*psi*y^4+96*x^3*y^2-384*x^2*y^3+356*x*y^4-16*y^5+48*psi^2*x^2-192*psi ^2*x*y+192*psi^2*y^2-80*psi*x^2*y+416*psi*x*y^2-336*psi*y^3+64*x^4-384*x^3*y+ 704*x^2*y^2-400*x*y^3+24*y^4-64*psi*x^2+224*psi*x*y-192*psi*y^2+16*x*y^2-32*y^3 +16*x^2-64*x*y+48*y^2 = 0 --------------------------------------- This ends this paper that took, 186.256, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ ation, 2 2 2 y Psi(x, y) + (Psi(x, 0) x y - y + x - 3 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1/3, 7/27, 65/243, 698/2187, 8195/19683, 1262/2187, 148033/177147, 1994732/ 1594323, 248326640/129140163, 3508306103/1162261467, 50435981543/10460353203, 735759169168/94143178827, 10867769852770/847288609443, 162259151443552/ 7625597484987, 815118486248083/22876792454961, 12385895154001084/ 205891132094649, 189584224156614820/1853020188851841, 324536033548904900/ 1853020188851841, 15087890822771091188/50031545098999707, 78351534989739717922/ 150094635296999121, 11038628038622328631385/12157665459056928801, 173556988241710874611130/109418989131512359209, 2739753006852794903639669/ 984770902183611232881, 43409310095000247777627508/8862938119652501095929, 690133017880965969973336684/79766443076872509863361, 11006554950390018369245728678/717897987691852588770249, 528155831323792320748212094442/19383245667680019896796723, 8471000260814153603237188049936/174449211009120179071170507, 136210861868191226839758174082436/1570042899082081611640534563, 2195442875992806291645707820231124/14130386091738734504764811067, 35465128630612501970118864626036377/127173474825648610542883299603, 574105185155510173080333071487358900/1144561273430837494885949696427, 3103969193365864205571701136256652564/3433683820292512484657849089281, 50439777713604443668050668611871255804/30903154382632612361920641803529, 821094023893963349897517256133505128900/278128389443693511257285776231761, 40165840620124972520375552399637776283112/7509466514979724803946715958257547, 655971285893408318066168501766767441233660/67585198634817523235520443624317923, 10729098378396972286132990787992128486620056/ 608266787713357709119683992618861307, 175735639878458974552943380510458681147034052/ 5474401089420219382077155933569751763, 2882337543154502947237746834944832625931339528/ 49269609804781974438694403402127765867, 47335883292176207895469276631043826313769832652/ 443426488243037769948249630619149892803, 259447655115828175793280355827752323960367524285/ 1330279464729113309844748891857449678409, 4271113520365595162245741133396451127119800554981/ 11972515182562019788602740026717047105681, 70391609871293635519508121000151591992081819576352/ 107752636643058178097424660240453423951129, 1161363392649167553174322811835384118670632476846814/ 969773729787523602876821942164080815560161, 19180644108644177016564544080320371575175018083147880/ 8727963568087712425891397479476727340041449, 317093729318997638514564593242435057478957515684423045/ 78551672112789411833022577315290546060373041, 5247159278489769272734821537924315634787116482772506532/ 706965049015104706497203195837614914543357369, 86907391964403109211055416572063976465254127703175038172/ 6362685441135942358474828762538534230890216321, 1440687419505392919168151025662181705906554526902489812940/ 57264168970223481226273458862846808078011946889, 23902810416545642024270245998077042240240782253813257522660/ 515377520732011331036461129765621272702107522001, 396899652430319472021411276482917615281818175662475567635980/ 4638397686588101979328150167890591454318967698009, 6595567404017097011452395834474099979253620308294790456563598/ 41745579179292917813953351511015323088870709282081, 4062443908817149810446596107541623198171951570395302288084324/ 13915193059764305937984450503671774362956903094027, 608478012264223377746415741446193158463575016335717877620816042/ 1127130637840908780976740490797413723399509150616187, 3377876380843787435736258672713532134045521259205783962510509496/ 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, 506641948410849393276335648724633451535111322089579712638256933416/ 273892744995340833777347939263771534786080723599733441, 8448915578410658918869955049566863513522088803389592221675077498492/ 2465034704958067503996131453373943813074726512397600969, 140986133423780143831691299100707481243732242980568555111575500089388/ 22185312344622607535965183080365494317672538611578408721, 2354065550226741302381295168141633806539443365751493673278925920693504/ 199667811101603467823686647723289448859052847504205678489, 39329549415815403878176201896443081173570228396898679727431211453443592/ 1797010299914431210413179829509605039731475627537851106401, 657460403070618497468959588721406953103192371679601191108948866522109268/ 16173092699229880893718618465586445357583280647840659957609, 10996709771690969933820150000321800474790282370988159135046607257096597875/ 145557834293068928043467566190278008218249525830565939618481, 184031059354750583565357477130488508483730527132664717233812892091158783292/ 1310020508637620352391208095712502073964245732475093456566329, 3081397255194095340355725622288008616580061459440405517934794612369336043124/ 11790184577738583171520872861412518665678211592275841109096961, 5735658177975540829633542724209150547023409381506776273729440268813351669548/ 11790184577738583171520872861412518665678211592275841109096961, 288401631841346185123271210518549720498929429873769135790097608785121609473820/ 318334983598941745631063567258138003973311712991447709945617947, 537350180625762995992875577938946413245948611491140712123017343196094856021560/ 318334983598941745631063567258138003973311712991447709945617947, 24340331904317\ 1610761018048905514915440496600255493354824654012719287439007163372/ 77355401014542844188348446843727534965514746256921793516785161121, 408535076616\ 2926039357259338133689448397948734624523639334284121884114873173601784/ 696198609130885597695136021593547814689632716312296141651066450089, 68600036113\ 403675725357642773973917627889257811959370411898472796223612858759063140/ 6265787482177970379256224194341930332206694446810665274859598050801, 1152408126\ 779498253117427065804343581576566662643773741049871730002041287909412268400/ 56392087339601733413306017749077372989860250021295987473736382457209, 193673542\ 99675295524581788265663513165265702268038143233357220704868144562261382987872/ 507528786056415600719754159741696356908742250191663887263627442114881, 32562035\ 0243665367105929708543277556919064017480375699796081642363070327316400672684356 /4567759074507740406477787437675267212178680251724974985372646979033929, 547678\ 2099666937844657628554775822181445551252500069555691852233735743569712158496728\ 132/41109831670569663658300086939077404909608122265524774868353822811305361, 92\ 1526160847371367754901403141891205428314003706378323595513887162563350463911560\ 43796288/ 369988485035126972924700782451696644186473100389722973815184405301748249, 15511\ 5046446020393169198772105528905539204297585034254541046029005190924185636323808\ 5864312/ 3329896365316142756322307042065269797678257903507506764336659647715734241, 2611\ 9217727661782284808112448106582621521149129207527948886178369579155598928176650\ 222528576/ 29969067287845284806900763378587428179104321131567560879029936829441608169, 439\ 9693905864467281740838869765666005499226223601120141436647121944205934300956900\ 24095266092/ 269721605590607563262106870407286853611938890184108047911269431464974473521, 74\ 1373471461289593702660153653348215418269371083936751226895334202394596433966813\ 5598051446000/ 2427494450315468069358961833665581682507450011656972431201424883184770261689, 3749052444075781944795157196143561890922640076018395759889898626330903221984300\ 36126746985713904/ 65542350158517637872691969508970705427701150314738255642438471845988797065603, 6321641521512119892708833177761910177794966473033875003523517903031588317148054\ 991362600369712464/ 589881151426658740854227725580736348849310352832644300781946246613899173590427, 1066301345599423011157760905400308110782247623441772399439756394006992504857292\ 49120853686342411456/5308930362839928667688049530226627139643793175493798707037\ 516219525092562313843, 17991547686665065182067271628669305392498727466731485783\ 60315790234696143119389144795750363488743430/4778037326555935800919244577203964\ 4256794138579444188363337645975725833060824587, 3036633717810606868251285803101\ 3864916054747226910183922181395396656689023628646254010073366977344811/43002335\ 9390034222082732011948356798311147247214997695270038813781532497547421283, 5126\ 8258581291591613919473472219847688461167687889307507326271402762415767176189797\ 2296008717726326126/38702102345103079987445881075352111848003252249349792574303\ 49324033792477926791547, 288610941940127122031736676680785871533905195883737308\ 0796666337549667232300654550673863840233335677453/11610630703530923996233764322\ 605633554400975674804937772291047972101377433780374641, 48755627495024971317541\ 6891161387479531736290043796778305634869107501311037082114586909138765565025593\ 80/1044956763317783159661038789034507019896087810732444399506194317489123969040\ 23371769, 823873306122892241586335556933013943986681712584527346424237093424671\ 260160313926884503805840702347313964/940461086986004843694934910131056317906479\ 029659199959555574885740211572136210345921] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 2 3 2 2 -81/2 g + 81 g - 81/2 + 72 x + 90 x g - 333/2 g x - 36 x g + 52 x g 3 2 2 4 3 4 3 5 6 4 + 5/2 g x + 22 x g + 25/2 x g - 4 x g + g x = 0 and in Maple notation -81/2*g+81*g^2-81/2+72*x+90*x*g-333/2*g^2*x-36*x*g^3+52*x^2*g^2+5/2*g^3*x^2+22* x^2*g^4+25/2*x^3*g^4-4*x^3*g^5+g^6*x^4 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 12 12 11 12 11 10 11 11 10 12 2 psi y - 12 psi y + 12 psi x y - 28 psi y + 30 psi y 10 10 10 11 9 12 10 2 8 - 35 psi x y + 152 psi y - 40 psi y + 30 psi x y 10 9 10 10 9 10 9 11 - 140 psi x y + 186 psi y + 20 psi x y - 340 psi y 8 12 9 2 8 9 9 9 10 + 30 psi y - 20 psi x y + 265 psi x y - 876 psi y 8 10 8 11 7 12 9 3 6 + 30 psi x y + 400 psi y - 12 psi y + 40 psi x y 9 2 7 9 8 9 9 8 2 8 - 280 psi x y + 736 psi x y - 784 psi y - 16 psi x y 8 9 8 10 7 10 7 11 + 135 psi x y + 1674 psi y - 40 psi x y - 260 psi y 6 12 8 3 6 8 2 7 8 8 + 2 psi y + 30 psi x y - 155 psi x y - 1026 psi x y 8 9 7 2 8 7 9 7 10 + 3056 psi y - 28 psi x y - 595 psi x y - 1656 psi y 6 10 6 11 8 4 4 8 3 5 + 13 psi x y + 88 psi y + 30 psi x y - 280 psi x y 8 2 6 8 7 8 8 7 3 6 + 1084 psi x y - 2320 psi x y + 2324 psi y + 28 psi x y 7 2 7 7 8 7 9 6 2 8 + 310 psi x y - 1296 psi x y - 4704 psi y + 34 psi x y 6 9 6 10 5 11 7 4 4 + 425 psi x y + 894 psi y - 12 psi y + 40 psi x y 7 3 5 7 2 6 7 7 7 8 - 535 psi x y + 1141 psi x y + 4106 psi x y - 7176 psi y 6 3 6 6 2 7 6 8 6 9 + 46 psi x y + 369 psi x y + 2981 psi x y + 3656 psi y 5 9 5 10 7 5 2 7 4 3 - 90 psi x y - 252 psi y + 12 psi x y - 140 psi x y 7 3 4 7 2 5 7 6 7 7 + 696 psi x y - 2256 psi x y + 4856 psi x y - 5064 psi y 6 4 4 6 3 5 6 2 6 6 7 + 34 psi x y - 341 psi x y - 345 psi x y + 1696 psi x y 6 8 5 2 7 5 8 5 9 + 8380 psi y - 244 psi x y - 1650 psi x y - 1544 psi y 4 10 6 5 2 6 4 3 6 3 4 + 30 psi y + 13 psi x y - 305 psi x y + 1881 psi x y 6 2 5 6 6 6 7 5 3 5 - 555 psi x y - 14260 psi x y + 11840 psi y - 304 psi x y 5 2 6 5 7 5 8 4 8 - 1925 psi x y - 6257 psi x y - 4728 psi y + 255 psi x y 4 9 6 6 6 5 6 4 2 6 3 3 + 360 psi y + 2 psi x - 28 psi x y + 154 psi x y - 688 psi x y 6 2 4 6 5 6 6 5 4 3 + 2784 psi x y - 6984 psi x y + 8244 psi y - 176 psi x y 5 3 4 5 2 5 5 6 5 7 + 1584 psi x y - 3404 psi x y + 6000 psi x y - 10056 psi y 4 2 6 4 7 4 8 3 9 + 740 psi x y + 3155 psi x y + 1430 psi y - 40 psi y 5 5 5 4 2 5 3 3 5 2 4 - 38 psi x y + 615 psi x y - 1960 psi x y - 6555 psi x y 5 5 5 6 4 3 4 4 2 5 + 29760 psi x y - 13896 psi y + 860 psi x y + 4990 psi x y 4 6 4 7 3 7 3 8 5 5 + 5255 psi x y + 3960 psi y - 380 psi x y - 260 psi y - 8 psi x 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 + 32 psi x y + 296 psi x y - 2232 psi x y + 6912 psi x y 5 5 4 4 2 4 3 3 4 2 4 - 9936 psi y + 354 psi x y - 3406 psi x y + 11105 psi x y 4 5 4 6 3 2 5 3 6 - 20646 psi x y + 8436 psi y - 1200 psi x y - 3220 psi x y 3 7 2 8 4 5 4 4 4 3 2 - 740 psi y + 30 psi y + 25 psi x - 355 psi x y - 546 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 3 3 + 14091 psi x y - 33822 psi x y + 11664 psi y - 1360 psi x y 3 2 4 3 5 3 6 2 6 - 6870 psi x y + 595 psi x y - 2440 psi y + 315 psi x y 2 7 4 4 4 3 4 2 2 + 72 psi y + 44 psi x - 312 psi x y + 1188 psi x y 4 3 4 4 3 4 3 3 2 - 4752 psi x y + 8586 psi y - 316 psi x y + 3464 psi x y 3 2 3 3 4 3 5 2 2 4 - 12954 psi x y + 24144 psi x y - 4608 psi y + 1090 psi x y 2 5 2 6 7 3 4 3 3 + 1695 psi x y + 290 psi y - 12 psi y + 5 psi x + 1463 psi x y 3 2 2 3 3 3 4 2 3 2 - 10053 psi x y + 19062 psi x y - 7020 psi y + 1270 psi x y 2 2 3 2 4 2 5 5 + 4973 psi x y - 3805 psi x y + 1016 psi y - 138 psi x y 6 3 3 3 2 3 3 2 4 + 12 psi y - 72 psi x + 2268 psi x y - 4860 psi y + 104 psi x 2 3 2 2 2 2 3 2 4 - 1509 psi x y + 6105 psi x y - 12240 psi x y + 1350 psi y 2 3 4 5 6 2 3 - 524 psi x y - 370 psi x y - 144 psi y + 2 y - 333 psi x 2 2 2 2 2 3 3 + 2187 psi x y - 4617 psi x y + 3240 psi y - 656 psi x y 2 2 3 4 4 5 - 1689 psi x y + 2129 psi x y - 96 psi y + 25 x y - 8 y 2 2 2 2 2 3 2 + 162 psi x - 972 psi x y + 1458 psi y + 180 psi x - 720 psi x y 2 3 2 2 3 4 2 + 2268 psi x y - 324 psi y + 104 x y + 5 x y + 44 y - 81 psi x 2 3 2 2 3 2 + 567 psi x y - 972 psi y + 144 x + 180 x y - 333 x y - 72 y - 81 x 2 - 81 x y + 162 y = 0 and in Maple notation 2*psi^12*y^12-12*psi^11*y^12+12*psi^11*x*y^10-28*psi^11*y^11+30*psi^10*y^12-35* psi^10*x*y^10+152*psi^10*y^11-40*psi^9*y^12+30*psi^10*x^2*y^8-140*psi^10*x*y^9+ 186*psi^10*y^10+20*psi^9*x*y^10-340*psi^9*y^11+30*psi^8*y^12-20*psi^9*x^2*y^8+ 265*psi^9*x*y^9-876*psi^9*y^10+30*psi^8*x*y^10+400*psi^8*y^11-12*psi^7*y^12+40* psi^9*x^3*y^6-280*psi^9*x^2*y^7+736*psi^9*x*y^8-784*psi^9*y^9-16*psi^8*x^2*y^8+ 135*psi^8*x*y^9+1674*psi^8*y^10-40*psi^7*x*y^10-260*psi^7*y^11+2*psi^6*y^12+30* psi^8*x^3*y^6-155*psi^8*x^2*y^7-1026*psi^8*x*y^8+3056*psi^8*y^9-28*psi^7*x^2*y^ 8-595*psi^7*x*y^9-1656*psi^7*y^10+13*psi^6*x*y^10+88*psi^6*y^11+30*psi^8*x^4*y^ 4-280*psi^8*x^3*y^5+1084*psi^8*x^2*y^6-2320*psi^8*x*y^7+2324*psi^8*y^8+28*psi^7 *x^3*y^6+310*psi^7*x^2*y^7-1296*psi^7*x*y^8-4704*psi^7*y^9+34*psi^6*x^2*y^8+425 *psi^6*x*y^9+894*psi^6*y^10-12*psi^5*y^11+40*psi^7*x^4*y^4-535*psi^7*x^3*y^5+ 1141*psi^7*x^2*y^6+4106*psi^7*x*y^7-7176*psi^7*y^8+46*psi^6*x^3*y^6+369*psi^6*x ^2*y^7+2981*psi^6*x*y^8+3656*psi^6*y^9-90*psi^5*x*y^9-252*psi^5*y^10+12*psi^7*x ^5*y^2-140*psi^7*x^4*y^3+696*psi^7*x^3*y^4-2256*psi^7*x^2*y^5+4856*psi^7*x*y^6-\ 5064*psi^7*y^7+34*psi^6*x^4*y^4-341*psi^6*x^3*y^5-345*psi^6*x^2*y^6+1696*psi^6* x*y^7+8380*psi^6*y^8-244*psi^5*x^2*y^7-1650*psi^5*x*y^8-1544*psi^5*y^9+30*psi^4 *y^10+13*psi^6*x^5*y^2-305*psi^6*x^4*y^3+1881*psi^6*x^3*y^4-555*psi^6*x^2*y^5-\ 14260*psi^6*x*y^6+11840*psi^6*y^7-304*psi^5*x^3*y^5-1925*psi^5*x^2*y^6-6257*psi ^5*x*y^7-4728*psi^5*y^8+255*psi^4*x*y^8+360*psi^4*y^9+2*psi^6*x^6-28*psi^6*x^5* y+154*psi^6*x^4*y^2-688*psi^6*x^3*y^3+2784*psi^6*x^2*y^4-6984*psi^6*x*y^5+8244* psi^6*y^6-176*psi^5*x^4*y^3+1584*psi^5*x^3*y^4-3404*psi^5*x^2*y^5+6000*psi^5*x* y^6-10056*psi^5*y^7+740*psi^4*x^2*y^6+3155*psi^4*x*y^7+1430*psi^4*y^8-40*psi^3* y^9-38*psi^5*x^5*y+615*psi^5*x^4*y^2-1960*psi^5*x^3*y^3-6555*psi^5*x^2*y^4+ 29760*psi^5*x*y^5-13896*psi^5*y^6+860*psi^4*x^3*y^4+4990*psi^4*x^2*y^5+5255*psi ^4*x*y^6+3960*psi^4*y^7-380*psi^3*x*y^7-260*psi^3*y^8-8*psi^5*x^5+32*psi^5*x^4* y+296*psi^5*x^3*y^2-2232*psi^5*x^2*y^3+6912*psi^5*x*y^4-9936*psi^5*y^5+354*psi^ 4*x^4*y^2-3406*psi^4*x^3*y^3+11105*psi^4*x^2*y^4-20646*psi^4*x*y^5+8436*psi^4*y ^6-1200*psi^3*x^2*y^5-3220*psi^3*x*y^6-740*psi^3*y^7+30*psi^2*y^8+25*psi^4*x^5-\ 355*psi^4*x^4*y-546*psi^4*x^3*y^2+14091*psi^4*x^2*y^3-33822*psi^4*x*y^4+11664* psi^4*y^5-1360*psi^3*x^3*y^3-6870*psi^3*x^2*y^4+595*psi^3*x*y^5-2440*psi^3*y^6+ 315*psi^2*x*y^6+72*psi^2*y^7+44*psi^4*x^4-312*psi^4*x^3*y+1188*psi^4*x^2*y^2-\ 4752*psi^4*x*y^3+8586*psi^4*y^4-316*psi^3*x^4*y+3464*psi^3*x^3*y^2-12954*psi^3* x^2*y^3+24144*psi^3*x*y^4-4608*psi^3*y^5+1090*psi^2*x^2*y^4+1695*psi^2*x*y^5+ 290*psi^2*y^6-12*psi*y^7+5*psi^3*x^4+1463*psi^3*x^3*y-10053*psi^3*x^2*y^2+19062 *psi^3*x*y^3-7020*psi^3*y^4+1270*psi^2*x^3*y^2+4973*psi^2*x^2*y^3-3805*psi^2*x* y^4+1016*psi^2*y^5-138*psi*x*y^5+12*psi*y^6-72*psi^3*x^3+2268*psi^3*x*y^2-4860* psi^3*y^3+104*psi^2*x^4-1509*psi^2*x^3*y+6105*psi^2*x^2*y^2-12240*psi^2*x*y^3+ 1350*psi^2*y^4-524*psi*x^2*y^3-370*psi*x*y^4-144*psi*y^5+2*y^6-333*psi^2*x^3+ 2187*psi^2*x^2*y-4617*psi^2*x*y^2+3240*psi^2*y^3-656*psi*x^3*y-1689*psi*x^2*y^2 +2129*psi*x*y^3-96*psi*y^4+25*x*y^4-8*y^5+162*psi^2*x^2-972*psi^2*x*y+1458*psi^ 2*y^2+180*psi*x^3-720*psi*x^2*y+2268*psi*x*y^2-324*psi*y^3+104*x^2*y^2+5*x*y^3+ 44*y^4-81*psi*x^2+567*psi*x*y-972*psi*y^2+144*x^3+180*x^2*y-333*x*y^2-72*y^3-81 *x^2-81*x*y+162*y^2 = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 5 -1/839808 (4 n + 5) (2 n + 3) (2 n + 1) (4 n + 3) (n + 1) ( 3 1479271652486668685736083989670631211889038866 n 2 + 13833955972816620040319148037389490261740257825 n + 40200176255153231560471440766104114988270456193 n + 37147817324814970978167019164459265014313868634) a(n)/((2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) - 1/6718464 (2 n + 3) ( 7 5452105672148887688288226942125365668091861988211354 n 6 + 83702831194265564893415725402916950606494131651859041 n 5 + 526855301287467134521510153019992030601842935332774889 n 4 + 1777302923973519266839334892341052356139306919150739471 n 3 + 3488694457265456567595027272774900651299548856956621777 n 2 + 3998859715084329594952498336515438251293624917843636560 n + 2484678504361083464364892329024086642304629318758124892 n + 646919103925262479626392497112648478060734248444840560) a(n + 1)/( (2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) + 1/746496 ( 8 2180418309603952396069958815178706664331417396745546 n 7 + 33190584252848814886713220657341059185913367359436139 n 6 + 134090003228259729293803232237285409008917686334636014 n 5 - 557154931807004204711437258518193667783990188526405102 n 4 - 7492542874328118448189130286350539038117023778642797226 n 3 - 31742328194660899625041594422915223015157995064830439909 n 2 - 69582321886782743595847482447597776129855165134624878414 n - 79717005017756131563148175706560603094338464174540226328 n - 37915030582551765868661844846805397552511250552978543680) a(n + 2)/( (2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) - 1/13824 ( 7 23668346439786698971777343834730099390224621856000 n 6 + 128039745276663075355866543810124989300261443471143 n 5 - 3380104250733185126971861846150690770664750979681550 n 4 - 47042750884928999370540732283761091056201053396365222 n 3 - 259290466313893914253050284286177189668807278031640732 n 2 - 740955792864525542730340392001574473352199935698513305 n - 1090650038877355747108574787965943550127302797315741942 n - 656672357361761877513500161370669249112635156207302920) a(n + 3)/( (n + 5) (n + 6) (2 n + 9) (2 n + 11) %1) + 1/72 ( 5 11834173219893349485888671917365049695112310928 n 4 - 310679857023748019810072726616155597635931939186 n 3 - 6029810256329811189827172139208834576275544242842 n 2 - 35029456817311975744667980156038069148785268924444 n - 85770592704609868231188346493130639469039917159783 n - 76871859569665027909939221438224054690740197489762) a(n + 4)/((2 n + 11) (n + 6) %1) + a(n + 5) = 0 2 %1 := 569691455221636873167426995831938726103213543 n + 3286078542017123332847245581227180153975774146 n + 4806590919237239614268558073217957019948973000 and in Maple notation -1/839808*(4*n+5)*(2*n+3)*(2*n+1)*(4*n+3)*(n+1)*( 1479271652486668685736083989670631211889038866*n^3+ 13833955972816620040319148037389490261740257825*n^2+ 40200176255153231560471440766104114988270456193*n+ 37147817324814970978167019164459265014313868634)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n+6)/(n+5)/( n+4)/(569691455221636873167426995831938726103213543*n^2+ 3286078542017123332847245581227180153975774146*n+ 4806590919237239614268558073217957019948973000)*a(n)-1/6718464*(2*n+3)*( 5452105672148887688288226942125365668091861988211354*n^7+ 83702831194265564893415725402916950606494131651859041*n^6+ 526855301287467134521510153019992030601842935332774889*n^5+ 1777302923973519266839334892341052356139306919150739471*n^4+ 3488694457265456567595027272774900651299548856956621777*n^3+ 3998859715084329594952498336515438251293624917843636560*n^2+ 2484678504361083464364892329024086642304629318758124892*n+ 646919103925262479626392497112648478060734248444840560)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n+6)/ (n+5)/(n+4)/(569691455221636873167426995831938726103213543*n^2+ 3286078542017123332847245581227180153975774146*n+ 4806590919237239614268558073217957019948973000)*a(n+1)+1/746496*( 2180418309603952396069958815178706664331417396745546*n^8+ 33190584252848814886713220657341059185913367359436139*n^7+ 134090003228259729293803232237285409008917686334636014*n^6-\ 557154931807004204711437258518193667783990188526405102*n^5-\ 7492542874328118448189130286350539038117023778642797226*n^4-\ 31742328194660899625041594422915223015157995064830439909*n^3-\ 69582321886782743595847482447597776129855165134624878414*n^2-\ 79717005017756131563148175706560603094338464174540226328*n-\ 37915030582551765868661844846805397552511250552978543680)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n+6 )/(n+5)/(n+4)/(569691455221636873167426995831938726103213543*n^2+ 3286078542017123332847245581227180153975774146*n+ 4806590919237239614268558073217957019948973000)*a(n+2)-1/13824*( 23668346439786698971777343834730099390224621856000*n^7+ 128039745276663075355866543810124989300261443471143*n^6-\ 3380104250733185126971861846150690770664750979681550*n^5-\ 47042750884928999370540732283761091056201053396365222*n^4-\ 259290466313893914253050284286177189668807278031640732*n^3-\ 740955792864525542730340392001574473352199935698513305*n^2-\ 1090650038877355747108574787965943550127302797315741942*n-\ 656672357361761877513500161370669249112635156207302920)/(n+5)/(n+6)/(2*n+9)/(2* n+11)/(569691455221636873167426995831938726103213543*n^2+ 3286078542017123332847245581227180153975774146*n+ 4806590919237239614268558073217957019948973000)*a(n+3)+1/72*( 11834173219893349485888671917365049695112310928*n^5-\ 310679857023748019810072726616155597635931939186*n^4-\ 6029810256329811189827172139208834576275544242842*n^3-\ 35029456817311975744667980156038069148785268924444*n^2-\ 85770592704609868231188346493130639469039917159783*n-\ 76871859569665027909939221438224054690740197489762)/(2*n+11)/(n+6)/( 569691455221636873167426995831938726103213543*n^2+ 3286078542017123332847245581227180153975774146*n+ 4806590919237239614268558073217957019948973000)*a(n+4)+a(n+5) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 1/3, a(2) = 7/27, a(3) = 65/243, a(4) = 698/2187, a(5) = 8195/19683 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 620494812184633534478380660515497329266200442569382017857194126745228\ 9015513628697826997904632988680657151533921708869324884876113694223223738678038\ 0531925035243106131844999810689771633401168412238859953296656369428758423172727\ 7145284341531198355965014279901407745605746722393870483245638632259985127587615\ 5010652827277154823170715557111598598594023218087782109522147214457456484952856\ 8641191783422747898123808731481619472184459329757340218100230822476158290025631\ 1873676807156660519374018045061141127770834716156422588761460688946399674048140\ 3569059463120349675140307062643851844908187995769210202798622145114821095357364\ 6641444136718122143627082805411485689089232019072483359068258880534426640138436\ 8849440882391162540540073162654973808712981829456996841273570302951368340021040\ 2635851135864169095398966167748200597223132856347148541141046152434177688572309\ 6183196143242215869968720196962609421098805015627509116099330920337211970920913\ 3814184799813953657888243279318283517193531826560121389831908361327661595176251\ 5633905026327035526722838505960208648674090492491065737468895026253085409486482\ 8854606678467365262432295297139544946783156592767374112087666532189406488789877\ 626663028929859029474736092247846661737800090725981681408/582623750574217203219\ 9915397215535235096874958117295059372960039368954220757584964304954899548937036\ 9186965023204842552959045614529183621583813806736454616062430412669665905979384\ 3209492773507839773047560501474686470296738166833549271311939641900635134201828\ 0327126523264561836752750798037728813326388412256815898875428821355134452093251\ 0987308808169325015695415415803036848147911843404871715844936358511005108968931\ 1030566493296363274883613931855826202132325221519047912552342360134413325919288\ 4322822466979041259719235120314078960163693410813797276759874948036928214798389\ 4840932064507375660491780559419215183577202458399512468202153084893201438357926\ 9438167228226586018968649586415456214805383954379361758867865272136981719199914\ 0258725396372003950518673602572489286531199598300639777966550904251343759751440\ 8265442322530421536771878131812514759756297868234717784584104598043689694464992\ 2588096693777966793436802051574385960704149997224606351370146667 --------------------------------------- This ends this paper that took, 250.107, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (Psi(x, 0) x y - 2 y + x - 3 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1/3, 2/9, 16/81, 49/243, 490/2187, 1729/6561, 6356/19683, 72296/177147, 842429 /1594323, 3336233/4782969, 40273408/43046721, 164225887/129140163, 225761461/ 129140163, 940145041/387420489, 35533995496/10460353203, 150335354335/ 31381059609, 5761807154830/847288609443, 24679754679475/2541865828329, 35421454551784/2541865828329, 459701334098737/22876792454961, 5991487796485439/ 205891132094649, 26130999303236285/617673396283947, 343113545330332256/ 5559060566555523, 1506645801466489963/16677181699666569, 19907051681154618631/ 150094635296999121, 263757733438000399234/1350851717672992089, 3503628684073730816800/12157665459056928801, 15550550478959339166043/ 36472996377170786403, 207520168903105275916853/328256967394537077627, 925029757144468026847817/984770902183611232881, 1377128730378091711393220/ 984770902183611232881, 2053931732493093868494128/984770902183611232881, 248557999637669898438026723/79766443076872509863361, 1115854956362720765055519113/239299329230617529590083, 45153635905390615936391511976/6461081889226673298932241, 203311234697721073872779970382/19383245667680019896796723, 305563575870432988498800536491/19383245667680019896796723, 4138532306967715522097246226646/174449211009120179071170507, 56120916360718265406688024758092/1570042899082081611640534563, 253973989265724973743016959324059/4710128697246244834921603689, 3451897791078492335636306468965547/42391158275216203514294433201, 15655453108264391222431563086128430/127173474825648610542883299603, 71074291584240112432620180420371840/381520424476945831628649898809, 968947409213487020906653278740791271/3433683820292512484657849089281, 13221752246449594154828668982767100933/30903154382632612361920641803529, 60192243327238030470064742247138178757/92709463147897837085761925410587, 822775144621748803021739691023107116040/834385168331080533771857328695283, 3751917752479589290037918995235932652653/2503155504993241601315571986085849, 5707458804282672404817857484733633017517/2503155504993241601315571986085849, 26066262404051560889130129727275130258148/7509466514979724803946715958257547, 1072185515650531564367081188967544677266528/ 202755595904452569706561330872953769, 4903649763076597311871412501213307007014865/ 608266787713357709119683992618861307, 605929897829632506178639324684570259032350622/ 49269609804781974438694403402127765867, 2774857341565414964114662904573501966832520165/ 147808829414345923316083210206383297601, 4238447396245814999928158526415623529962547432/ 147808829414345923316083210206383297601, 58300878178473964389774661088063508709534873723/ 1330279464729113309844748891857449678409, 802405840598550478134094794739864273628244234587/ 11972515182562019788602740026717047105681, 3683273677596396269598529537283592385917702536930/ 35917545547686059365808220080151141317043, 50749205994033868783558265077072563482342713656416/ 323257909929174534292273980721360271853387, 233200609277996178054844819702436520791190926692433/ 969773729787523602876821942164080815560161, 1072134390184868918181311008636748062811416537407301/ 2909321189362570808630465826492242446680483, 14794564679590697541951901011733606419584971924151755/ 26183890704263137277674192438430182020124347, 204249354354933287825136430687436853210949435843703176/ 235655016338368235499067731945871638181119123, 940366520453492075008467286589105526200769289327756399/ 706965049015104706497203195837614914543357369, 12994155816233381670063129933369030758114617163863060682/ 6362685441135942358474828762538534230890216321, 59877706881331829768566098884911108465120340355578429081/ 19088056323407827075424486287615602692670648963, 92011672688059795872727556062951414342583119938115483160/ 19088056323407827075424486287615602692670648963, 424344537312190715911026842704621840837749747361762116095/ 57264168970223481226273458862846808078011946889, 17620103271688276019708771798301852307007075278245955630907/ 1546132562196033993109383389296863818106322566003, 81324721923391014928617078366945153882908683626096684787649/ 4638397686588101979328150167890591454318967698009, 3379414224011937021658512537627301577100642399951977019733112/ 125236737537878753441860054533045969266612127846243, 15609015940620967224415810049196190565961425713713428144483219/ 375710212613636260325580163599137907799836383538729, 24040410690619684994063196102606235280784255718211680894784672/ 375710212613636260325580163599137907799836383538729, 333349792736361689498010190265777216881271067897506148831618125/ 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, 4623853003098474035106037058241287251351386248105071129087356544/ 30432527221704537086371993251530170531786747066637049, 21385940460065039531509981304962731105851971259688310008259765346/ 91297581665113611259115979754590511595360241199911147, 296832933567897878300242338090502145024057570773277890060618613738/ 821678234986022501332043817791314604358242170799200323, 4121264390125404610493369334721786095717476781253728298289866851442/ 7395104114874202511988394360121831439224179537192802907, 57237437369902141673340974384211932985246972161287149530758338120956/ 66555937033867822607895549241096482953017615834735226163, 795166314101201653262184025005940028872758493318464165888419439079091/ 599003433304810403471059943169868346577158542512617035467, 11049961042590437287829486081793666274208524639116953075359580136076199/ 5391030899743293631239539488528815119194426882613553319203, 51199327008643601226079799593509918185286662577584909799329661816220904/ 16173092699229880893718618465586445357583280647840659957609, 711882165358896329792120632193139705894487575126799137605612877813415648/ 145557834293068928043467566190278008218249525830565939618481, 3300251474654771917332042220553393756509508879840089738106341752424201225/ 436673502879206784130402698570834024654748577491697818855443, 5101270205599226924449971264666062114698251850018262755989823612350991654/ 436673502879206784130402698570834024654748577491697818855443, 2629053359875756956600844554875249764263683295389988774907865636968160117/ 145557834293068928043467566190278008218249525830565939618481, 987999054664809076228978377352757185466968465106515381909071503740525557952/ 35370553733215749514562618584237555997034634776827523327290883, 4584951481199117242854109169481063716343993579125849946642428612722684577593/ 106111661199647248543687855752712667991103904330482569981872649, 191539890140496367818176463115249054310668112507093095574320114127627188960151/ 2865014852390475710679572105323242035759805416923029389510561523] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 5 4 4 3 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 g x - 4 g x + 23 g x + 22 g x - g x - 87 g x - 36 g x + 108 g x 2 - 63 g x - 16 x + 81 g + 72 x - 81 = 0 and in Maple notation g^5*x^4-4*g^4*x^3+23*g^3*x^3+22*g^3*x^2-g^2*x^3-87*g^2*x^2-36*g^2*x+108*g*x^2-\ 63*g*x-16*x^2+81*g+72*x-81 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 10 10 9 10 9 8 9 9 8 10 -psi y + 10 psi y - 5 psi x y + 11 psi y - 40 psi y 8 8 8 9 7 10 8 2 6 8 7 + 17 psi x y - 93 psi y + 80 psi y - 10 psi x y + 44 psi x y 8 8 7 2 7 7 8 7 9 6 10 - 60 psi y - psi x y + 18 psi x y + 304 psi y - 80 psi y 7 2 6 7 7 7 8 6 2 7 - 9 psi x y - 118 psi x y + 396 psi y + 4 psi x y 6 8 6 9 5 10 7 3 4 - 116 psi x y - 472 psi y + 32 psi y - 10 psi x y 7 2 5 7 6 7 7 6 3 5 + 66 psi x y - 176 psi x y + 212 psi y - 2 psi x y 6 2 6 6 7 6 8 5 2 7 + 57 psi x y - 177 psi x y - 946 psi y - 4 psi x y 5 8 5 9 6 3 4 6 2 5 + 104 psi x y + 336 psi y - 29 psi x y + 84 psi x y 6 6 6 7 5 3 5 5 2 6 + 592 psi x y - 1016 psi y - 12 psi x y - 6 psi x y 5 7 5 8 4 9 6 4 2 6 3 3 + 716 psi x y + 972 psi y - 80 psi y - 5 psi x y + 44 psi x y 6 2 4 6 5 6 6 5 4 3 5 3 4 - 168 psi x y + 420 psi x y - 526 psi y - psi x y + 2 psi x y 5 2 5 5 6 5 7 4 2 6 + 12 psi x y + 66 psi x y + 1554 psi y + 16 psi x y 4 7 4 8 5 4 2 5 3 3 - 484 psi x y - 408 psi y - 13 psi x y + 150 psi x y 5 2 4 5 5 5 6 4 3 4 + 9 psi x y - 2214 psi x y + 1704 psi y + 66 psi x y 4 2 5 4 6 4 7 3 8 5 5 - 204 psi x y - 1469 psi x y - 818 psi y + 80 psi y - psi x 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 + 11 psi x y - 48 psi x y + 204 psi x y - 642 psi x y 5 5 4 4 2 4 3 3 4 2 4 + 954 psi y + 3 psi x y + 103 psi x y - 1052 psi x y 4 5 4 6 3 2 5 3 6 + 1617 psi x y - 1536 psi y - 25 psi x y + 754 psi x y 3 7 4 4 4 3 2 4 2 3 + 176 psi y + 41 psi x y - 210 psi x y - 804 psi x y 4 4 4 5 3 3 3 3 2 4 + 4638 psi x y - 1866 psi y - 142 psi x y + 827 psi x y 3 5 3 6 2 7 4 4 4 3 + 838 psi x y + 460 psi y - 40 psi y + 4 psi x - 4 psi x y 4 2 2 4 3 4 4 3 4 - 138 psi x y + 612 psi x y - 1260 psi y - 3 psi x y 3 3 2 3 2 3 3 4 3 5 - 362 psi x y + 2805 psi x y - 4038 psi x y + 1116 psi y 2 2 4 2 5 2 6 3 4 3 3 + 19 psi x y - 535 psi x y + 3 psi y - 23 psi x - 38 psi x y 3 2 2 3 3 3 4 2 3 2 + 1617 psi x y - 5082 psi x y + 1332 psi y + 150 psi x y 2 2 3 2 4 2 5 6 3 3 - 1076 psi x y + 290 psi x y - 288 psi y + 10 psi y - 22 psi x 3 2 3 2 3 3 2 4 2 3 + 90 psi x y - 360 psi x y + 1188 psi y + psi x + 357 psi x y 2 2 2 2 3 2 4 2 3 - 2547 psi x y + 3297 psi x y - 354 psi y - 7 psi x y 4 5 2 3 2 2 2 2 + 179 psi x y - 21 psi y + 87 psi x - 840 psi x y + 2448 psi x y 2 3 3 2 2 3 4 - 576 psi y - 78 psi x y + 573 psi x y - 386 psi x y + 128 psi y 5 2 2 2 2 2 3 2 - y + 36 psi x + 108 psi x y - 729 psi y - 108 psi x + 858 psi x y 2 3 2 2 3 4 2 - 966 psi x y - 54 psi y + x y - 23 x y + 4 y + 63 psi x 2 3 2 2 3 - 522 psi x y + 270 psi y + 16 x - 108 x y + 87 x y - 22 y - 81 psi x 2 2 + 243 psi y - 72 x + 63 x y + 36 y + 81 x - 81 y = 0 and in Maple notation -psi^10*y^10+10*psi^9*y^10-5*psi^9*x*y^8+11*psi^9*y^9-40*psi^8*y^10+17*psi^8*x* y^8-93*psi^8*y^9+80*psi^7*y^10-10*psi^8*x^2*y^6+44*psi^8*x*y^7-60*psi^8*y^8-psi ^7*x^2*y^7+18*psi^7*x*y^8+304*psi^7*y^9-80*psi^6*y^10-9*psi^7*x^2*y^6-118*psi^7 *x*y^7+396*psi^7*y^8+4*psi^6*x^2*y^7-116*psi^6*x*y^8-472*psi^6*y^9+32*psi^5*y^ 10-10*psi^7*x^3*y^4+66*psi^7*x^2*y^5-176*psi^7*x*y^6+212*psi^7*y^7-2*psi^6*x^3* y^5+57*psi^6*x^2*y^6-177*psi^6*x*y^7-946*psi^6*y^8-4*psi^5*x^2*y^7+104*psi^5*x* y^8+336*psi^5*y^9-29*psi^6*x^3*y^4+84*psi^6*x^2*y^5+592*psi^6*x*y^6-1016*psi^6* y^7-12*psi^5*x^3*y^5-6*psi^5*x^2*y^6+716*psi^5*x*y^7+972*psi^5*y^8-80*psi^4*y^9 -5*psi^6*x^4*y^2+44*psi^6*x^3*y^3-168*psi^6*x^2*y^4+420*psi^6*x*y^5-526*psi^6*y ^6-psi^5*x^4*y^3+2*psi^5*x^3*y^4+12*psi^5*x^2*y^5+66*psi^5*x*y^6+1554*psi^5*y^7 +16*psi^4*x^2*y^6-484*psi^4*x*y^7-408*psi^4*y^8-13*psi^5*x^4*y^2+150*psi^5*x^3* y^3+9*psi^5*x^2*y^4-2214*psi^5*x*y^5+1704*psi^5*y^6+66*psi^4*x^3*y^4-204*psi^4* x^2*y^5-1469*psi^4*x*y^6-818*psi^4*y^7+80*psi^3*y^8-psi^5*x^5+11*psi^5*x^4*y-48 *psi^5*x^3*y^2+204*psi^5*x^2*y^3-642*psi^5*x*y^4+954*psi^5*y^5+3*psi^4*x^4*y^2+ 103*psi^4*x^3*y^3-1052*psi^4*x^2*y^4+1617*psi^4*x*y^5-1536*psi^4*y^6-25*psi^3*x ^2*y^5+754*psi^3*x*y^6+176*psi^3*y^7+41*psi^4*x^4*y-210*psi^4*x^3*y^2-804*psi^4 *x^2*y^3+4638*psi^4*x*y^4-1866*psi^4*y^5-142*psi^3*x^3*y^3+827*psi^3*x^2*y^4+ 838*psi^3*x*y^5+460*psi^3*y^6-40*psi^2*y^7+4*psi^4*x^4-4*psi^4*x^3*y-138*psi^4* x^2*y^2+612*psi^4*x*y^3-1260*psi^4*y^4-3*psi^3*x^4*y-362*psi^3*x^3*y^2+2805*psi ^3*x^2*y^3-4038*psi^3*x*y^4+1116*psi^3*y^5+19*psi^2*x^2*y^4-535*psi^2*x*y^5+3* psi^2*y^6-23*psi^3*x^4-38*psi^3*x^3*y+1617*psi^3*x^2*y^2-5082*psi^3*x*y^3+1332* psi^3*y^4+150*psi^2*x^3*y^2-1076*psi^2*x^2*y^3+290*psi^2*x*y^4-288*psi^2*y^5+10 *psi*y^6-22*psi^3*x^3+90*psi^3*x^2*y-360*psi^3*x*y^2+1188*psi^3*y^3+psi^2*x^4+ 357*psi^2*x^3*y-2547*psi^2*x^2*y^2+3297*psi^2*x*y^3-354*psi^2*y^4-7*psi*x^2*y^3 +179*psi*x*y^4-21*psi*y^5+87*psi^2*x^3-840*psi^2*x^2*y+2448*psi^2*x*y^2-576*psi ^2*y^3-78*psi*x^3*y+573*psi*x^2*y^2-386*psi*x*y^3+128*psi*y^4-y^5+36*psi^2*x^2+ 108*psi^2*x*y-729*psi^2*y^2-108*psi*x^3+858*psi*x^2*y-966*psi*x*y^2-54*psi*y^3+ x^2*y^2-23*x*y^3+4*y^4+63*psi*x^2-522*psi*x*y+270*psi*y^2+16*x^3-108*x^2*y+87*x *y^2-22*y^3-81*psi*x+243*psi*y-72*x^2+63*x*y+36*y^2+81*x-81*y = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 7 -1/1119744 (3 n + 2) (2 n + 1) (3 n + 1) (n + 1) ( 2 25235944125822993871784429298673088031 n + 178614528069098260799848898228676571027 n + 299548398951664660701928563431864468470) a(n)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/6718464 ( 6 1655271010066765108869192051711652390930863 n 5 + 20647155009592982507072347654420411260611518 n 4 + 101377825817459805685003738591734997738259450 n 3 + 254546413017321006714462600150360846598210700 n 2 + 350090432311018428254618843425884045215133967 n + 253327345371240559285290172954685131723605222 n + 76072062349560013371215343198533256817207320) a(n + 1)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/1119744 ( 6 12004985759150505119770087079111857058785746 n 5 + 236499664681023347688348494584488479753903271 n 4 + 1929096913601094494538582338108548134030262855 n 3 + 8326990032303882600721984154890429563536643005 n 2 + 20040307263035295515048745996545696917267754639 n + 25480875374227207124031004747110008750066891584 n + 13368745108327039313473082825657427565670249100) a(n + 2)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/186624 ( 6 7707806116525747002082351620373716640572009 n 5 + 158545501500811089015495735681158270305973856 n 4 + 1310330136149546074952642032791657194348761130 n 3 + 5479022277547608474440582007833580009034003460 n 2 + 11834552694437603774189366667493269572753800741 n + 11542228699793403564628685586563439958111944904 n + 2808400908529620812823603880290581190894963900) a(n + 3)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) + 1/31104 ( 6 1767246030327857637911024389128266931992658 n 5 + 59331272174452847476483287184829888662933481 n 4 + 801810209288193342933819781637388587072119965 n 3 + 5637131786361199599866089139900145556267432115 n 2 + 21881543985309765318074486882208645351355487757 n + 44658595236899984867345457678213426419037348764 n + 37561776375504713002177396324156461257057517420) a(n + 4)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) + 1/1728 ( 6 203565943578493177918866373742577238511950 n 5 + 5629754484995683813608127249110286470457619 n 4 + 64325710488365303022299028396410741577693865 n 3 + 388808411638722779709746478160459326692268380 n 2 + 1312075337006222626115822445658612785507231955 n + 2346549998644835005128498398314779123762789761 n + 1740512867229136026769165334993317668480996870) a(n + 5)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/144 ( 4 11988962761498369371152318266486659529512 n 3 + 242987783693047895214299260303273170912476 n 2 + 1837595239391847816840760988087029463876568 n + 6147871802252317068312952538158042966965229 n + 7692510666953395310935514186081568131035530) a(n + 6)/((2 n + 15) (n + 8) %1) + a(n + 7) = 0 2 %1 := 12881428819241754428019520069756971942 n + 108353681673766454815336422463979432911 n + 231834820243540203433763450651542734934 and in Maple notation -1/1119744*(3*n+2)*(2*n+1)*(3*n+1)*(n+1)*( 25235944125822993871784429298673088031*n^2+ 178614528069098260799848898228676571027*n+ 299548398951664660701928563431864468470)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n)-1/6718464*( 1655271010066765108869192051711652390930863*n^6+ 20647155009592982507072347654420411260611518*n^5+ 101377825817459805685003738591734997738259450*n^4+ 254546413017321006714462600150360846598210700*n^3+ 350090432311018428254618843425884045215133967*n^2+ 253327345371240559285290172954685131723605222*n+ 76072062349560013371215343198533256817207320)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n+1)-1/1119744*( 12004985759150505119770087079111857058785746*n^6+ 236499664681023347688348494584488479753903271*n^5+ 1929096913601094494538582338108548134030262855*n^4+ 8326990032303882600721984154890429563536643005*n^3+ 20040307263035295515048745996545696917267754639*n^2+ 25480875374227207124031004747110008750066891584*n+ 13368745108327039313473082825657427565670249100)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/ (12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n+2)-1/186624*( 7707806116525747002082351620373716640572009*n^6+ 158545501500811089015495735681158270305973856*n^5+ 1310330136149546074952642032791657194348761130*n^4+ 5479022277547608474440582007833580009034003460*n^3+ 11834552694437603774189366667493269572753800741*n^2+ 11542228699793403564628685586563439958111944904*n+ 2808400908529620812823603880290581190894963900)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n+3)+1/31104*( 1767246030327857637911024389128266931992658*n^6+ 59331272174452847476483287184829888662933481*n^5+ 801810209288193342933819781637388587072119965*n^4+ 5637131786361199599866089139900145556267432115*n^3+ 21881543985309765318074486882208645351355487757*n^2+ 44658595236899984867345457678213426419037348764*n+ 37561776375504713002177396324156461257057517420)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/ (12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n+4)+1/1728*( 203565943578493177918866373742577238511950*n^6+ 5629754484995683813608127249110286470457619*n^5+ 64325710488365303022299028396410741577693865*n^4+ 388808411638722779709746478160459326692268380*n^3+ 1312075337006222626115822445658612785507231955*n^2+ 2346549998644835005128498398314779123762789761*n+ 1740512867229136026769165334993317668480996870)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n+5)-1/144*( 11988962761498369371152318266486659529512*n^4+ 242987783693047895214299260303273170912476*n^3+ 1837595239391847816840760988087029463876568*n^2+ 6147871802252317068312952538158042966965229*n+ 7692510666953395310935514186081568131035530)/(2*n+15)/(n+8)/( 12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n+6)+a(n+7) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 1/3, a(2) = 2/9, a(3) = 16/81, a(4) = 49/243, a(5) = 490/2187, a(6) = 1729/6561, a(7) = 6356/19683 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 606323898711653674393535073356876601082757537745972709393085710332110\ 0436034745441182845476997281146487147109049320653124495737462795595649973547498\ 5157881818289626214887382921600521948243113244540248661876109135919256570274766\ 2431511274709370647048296066851395683321621615029075228284991707495702397993911\ 4298531391230587221870384407206196475973253790692006029832046523804334750605501\ 0227107807841349916041715396153438902606462661040140838355613663287621437582645\ 8216001156627428929210918363700065083920226508397895299034645349897534651532963\ 6500638738438107388623677498555590375630793081422659693857204452527214567752978\ 9571842575512508514803474294903211347377226567858475145020303462505589393480672\ 8611978720630297144890884326500214271207705818400388797130704305807575485914710\ 1933213472546138882814266683904869870549054110451303370837546056007287918226245\ 4774386885604805301635614805801911795581652434944/53412089745696686481576000070\ 9560276591582747165827943288161152416679369965797726207768625175760856852475381\ 9549730954511886572669352429351814397201942588209003190059552575219955135525776\ 8356478349660416413082929786545216025424826006582000538779604019700662910449556\ 5522512888743505570449923810835936362423006133843310124733013763024220438364477\ 2105699157258332633943511440449655520801797701667919843238647929827475182398546\ 2177362448833842770091821282506758257100099675366737710141221599055529979544034\ 4758719274478867988634211136064843008169535181168159619845720149232175657741248\ 4860206561422528082272505113129035094264821529968932061315087366071771309053414\ 973090377237712900231649897711624396664440924714758889 --------------------------------------- This ends this paper that took, 30.344, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (Psi(x, 0) x y - 3 y + x - 3 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1/3, 5/27, 35/243, 274/2187, 2339/19683, 778/6561, 21791/177147, 69752/531441, 18491972/129140163, 184803289/1162261467, 1873806413/10460353203, 19229437388/ 94143178827, 199356581314/847288609443, 2084875114736/7625597484987, 7322956105909/22876792454961, 77674695326528/205891132094649, 828702768778996/ 1853020188851841, 2962375509222116/5559060566555523, 10638657999595396/ 16677181699666569, 345286339024716194/450283905890997363, 11248694396328135545/ 12157665459056928801, 122570042481327763978/109418989131512359209, 1339730551505989558043/984770902183611232881, 14685473421069823061552/ 8862938119652501095929, 161397185779916465907220/79766443076872509863361, 1778087825405180881305482/717897987691852588770249, 58898270808753465723256238/ 19383245667680019896796723, 651675643263475687513753432/ 174449211009120179071170507, 7224347147988674379851703140/ 1570042899082081611640534563, 80231979969984119222253953876/ 14130386091738734504764811067, 892539199842509697727047632431/ 127173474825648610542883299603, 9944704301409407527287568336832/ 1144561273430837494885949696427, 36989468849881663076073691435460/ 3433683820292512484657849089281, 413323695398470221388253128917556/ 30903154382632612361920641803529, 4624580763844108763370986761508300/ 278128389443693511257285776231761, 155422392974974855540657769066319464/ 7509466514979724803946715958257547, 1743179527589971588046367109702239100/ 67585198634817523235520443624317923, 19572765111636542296692451331787951128/ 608266787713357709119683992618861307, 219998069313215125775095290396488767676/ 5474401089420219382077155933569751763, 2475250342197757810560317152188337506952 /49269609804781974438694403402127765867, 27876074519128132808934095038287414105728/ 443426488243037769948249630619149892803, 104740650149018045767678248436721774033891/ 1330279464729113309844748891857449678409, 1181664430687870230023538004196399774371159/ 11972515182562019788602740026717047105681, 13342275313067786045886661995080596009403252/ 107752636643058178097424660240453423951129, 150767059279417158698899213988619915980561086/ 969773729787523602876821942164080815560161, 1704939237283782180031461587846814861575033816/ 8727963568087712425891397479476727340041449, 19294042388061585666321468480775816643391966163/ 78551672112789411833022577315290546060373041, 218492391093674150411352520936905837875976335936/ 706965049015104706497203195837614914543357369, 2475915774440136263517771296914775941002642234892/ 6362685441135942358474828762538534230890216321, 28074389001349892878101640231890283226576439334916/ 57264168970223481226273458862846808078011946889, 318528853392472409792447203137919849457205400422028/ 515377520732011331036461129765621272702107522001, 3616104855030928763371231371187495402240914679664372/ 4638397686588101979328150167890591454318967698009, 41074979999117748254125806981560724349273885185578062/ 41745579179292917813953351511015323088870709282081, 155606393630075167294446159693821551797278742204211172/ 125236737537878753441860054533045969266612127846243, 589798791880278524919999147725684988659894086472639762/ 375710212613636260325580163599137907799836383538729, 20129873071138684985788337025878601452985813646173878048/ 10144175740568179028790664417176723510595582355545683, 687366997812438808604254065685541425391228088290021465144/ 273892744995340833777347939263771534786080723599733441, 7827412511972031247541301666301795473134331947189041249444/ 2465034704958067503996131453373943813074726512397600969, 89175176891284464475173382349928038802165890621501880560420/ 22185312344622607535965183080365494317672538611578408721, 1016387582653883083413257410955468852298898371742301022899504/ 199667811101603467823686647723289448859052847504205678489, 11589322913915613837297487901723880089636796306991684832250280/ 1797010299914431210413179829509605039731475627537851106401, 132200821242514623150598933814944343615631762649854799059420980/ 16173092699229880893718618465586445357583280647840659957609, 1508627215452357611793915899213870712208951463296977924326347973/ 145557834293068928043467566190278008218249525830565939618481, 17222492596151392638540493416368801782699023364167725375913285184/ 1310020508637620352391208095712502073964245732475093456566329, 196684981023974456197913120635481315656716544376347047416944733156/ 11790184577738583171520872861412518665678211592275841109096961, 748999164331124521063280054316900464271567396290413315976056066316/ 35370553733215749514562618584237555997034634776827523327290883, 2853270613546315183250911376482157154729116014357091784928976951708/ 106111661199647248543687855752712667991103904330482569981872649, 97857497378976593010334486337740475856246364012863790894209700958936/ 2865014852390475710679572105323242035759805416923029389510561523, 3357282993006712503980852592561039048286940136042418736518156603365484/ 77355401014542844188348446843727534965514746256921793516785161121, 38406004963172421490945247467033671148904747627349547593500861904633848/ 696198609130885597695136021593547814689632716312296141651066450089, 439485926397368908334703748325319744933998211816501090398210684285640220/ 6265787482177970379256224194341930332206694446810665274859598050801, 5030622098387714593291526071088483704838389941581445982422842479231833440/ 56392087339601733413306017749077372989860250021295987473736382457209, 57600424446570817040969746412305349421218612858993765267749446524074024336/ 507528786056415600719754159741696356908742250191663887263627442114881, 659710615099086661963076006720660521772068146584422170765369357926632147964/ 4567759074507740406477787437675267212178680251724974985372646979033929, 7557910260368478466012570326894603620734789464632023071893988589289313022060/ 41109831670569663658300086939077404909608122265524774868353822811305361, 86609845433344491414865570138561817795678441289181450021714957482185717859536/ 369988485035126972924700782451696644186473100389722973815184405301748249, 992766236731631005416648192348925816611402697547972759662064916765542568210424/ 3329896365316142756322307042065269797678257903507506764336659647715734241, 1138\ 2508521350475992146958808724704953489435127548418368060046015238956621988352/ 29969067287845284806900763378587428179104321131567560879029936829441608169, 130\ 538127982174638016888141625399160825555635577123802967261588556368319835824628/ 269721605590607563262106870407286853611938890184108047911269431464974473521, 14\ 9741595037256072092336612408001196731270879555143386358473742168516675497669440\ 0/2427494450315468069358961833665581682507450011656972431201424883184770261689, 5154325393252820707993608096911546478182958635737613943762125940704110395347339\ 9408/ 65542350158517637872691969508970705427701150314738255642438471845988797065603, 5915350311413399570704226992527833168549548000685953771820074663970189837992355\ 76016/ 589881151426658740854227725580736348849310352832644300781946246613899173590427, 6790272113615593451636406341549224257405026689486557553950826560419078621148306\ 620144/530893036283992866768804953022662713964379317549379870703751621952509256\ 2313843, 7796319115977012922723943519119180914997498043717100024765192253576110\ 5035879012831922/47780373265559358009192445772039644256794138579444188363337645\ 975725833060824587, 89533484048580897904149097730368019476180389836346205755711\ 3561714177125074558706122123/43002335939003422208273201194835679831114724721499\ 7695270038813781532497547421283, 1028424988625020559433680139184532888825794490\ 3765167423503986710837513724817492168834590/38702102345103079987445881075352111\ 84800325224934979257430349324033792477926791547, 393847094261997460292261750543\ 30094736976692121832335474263428770690147574499370226869699/1161063070353092399\ 6233764322605633554400975674804937772291047972101377433780374641, 4525754870638\ 50044137429942485573519417028319040218396793290022482292173840290504811304688/ 1044956763317783159661038789034507019896087810732444399506194317489123969040233\ 71769, 520163097838211611418470805051082328643097464233983758346811679665232845\ 7816044977639344564/94046108698600484369493491013105631790647902965919995955557\ 4885740211572136210345921] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 2 3 2 2 - 81/2 + 405/2 g - 162 g + 18 x g - 261/2 g x + 153 x g - 32 x + 240 x g 2 2 3 2 2 4 2 3 3 3 3 4 - 530 x g + 741/2 g x - 80 x g - 48 g x + 224 x g - 471/2 x g 3 5 4 4 5 4 6 4 5 7 + 30 x g - 2 x g + 33 g x - 6 g x + x g = 0 and in Maple notation -81/2+405/2*g-162*g^2+18*x*g-261/2*g^2*x+153*x*g^3-32*x^2+240*x^2*g-530*x^2*g^2 +741/2*g^3*x^2-80*x^2*g^4-48*g^2*x^3+224*x^3*g^3-471/2*x^3*g^4+30*x^3*g^5-2*x^4 *g^4+33*g^5*x^4-6*g^6*x^4+x^5*g^7 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 14 14 13 14 13 12 13 13 12 14 -2 psi y + 42 psi y - 14 psi x y + 30 psi y - 378 psi y 12 12 12 13 11 14 12 2 10 + 186 psi x y - 554 psi y + 1890 psi y - 42 psi x y 12 11 12 12 11 2 11 11 12 + 180 psi x y - 210 psi y - 4 psi x y - 900 psi x y 11 13 10 14 11 2 10 11 11 + 4302 psi y - 5670 psi y + 300 psi x y - 2133 psi x y 11 12 10 2 11 10 12 10 13 + 3294 psi y + 48 psi x y + 1620 psi x y - 18090 psi y 9 14 11 3 8 11 2 9 11 10 + 10206 psi y - 70 psi x y + 450 psi x y - 1038 psi x y 11 11 10 3 9 10 2 10 10 11 + 914 psi y - 16 psi x y - 208 psi x y + 8922 psi x y 10 12 9 2 11 9 12 9 13 - 21102 psi y - 216 psi x y + 810 psi x y + 44010 psi y 8 14 10 3 8 10 2 9 10 10 - 10206 psi y + 180 psi x y - 2874 psi x y + 11478 psi x y 10 11 9 3 9 9 2 10 9 11 - 11718 psi y + 48 psi x y - 3040 psi x y - 12294 psi x y 9 12 8 2 11 8 12 8 13 + 70290 psi y + 432 psi x y - 6318 psi x y - 60750 psi y 7 14 10 4 6 10 3 7 10 2 8 + 4374 psi y - 70 psi x y + 600 psi x y - 2040 psi x y 10 9 10 10 9 4 7 9 3 8 + 3560 psi x y - 2736 psi y - 24 psi x y + 1008 psi x y 9 2 9 9 10 9 11 8 3 9 + 3288 psi x y - 44679 psi x y + 58590 psi y + 144 psi x y 8 2 10 8 11 8 12 7 2 11 + 8622 psi x y - 13932 psi x y - 127710 psi y - 324 psi x y 7 12 7 13 9 4 6 9 3 7 + 5832 psi x y + 42282 psi y - 30 psi x y - 1246 psi x y 9 2 8 9 9 9 10 8 4 7 + 13935 psi x y - 38421 psi x y + 27644 psi y - 48 psi x y 8 3 8 8 2 9 8 10 8 11 - 2964 psi x y + 11256 psi x y + 59955 psi x y - 142090 psi y 7 3 9 7 2 10 7 11 7 12 - 432 psi x y - 7452 psi x y + 53379 psi x y + 120690 psi y 6 13 9 5 4 9 4 5 9 3 6 - 10206 psi y - 42 psi x y + 450 psi x y - 1980 psi x y 9 2 7 9 8 9 9 8 5 5 + 5100 psi x y - 8028 psi x y + 5820 psi y - 16 psi x y 8 4 6 8 3 7 8 2 8 8 9 + 942 psi x y - 3416 psi x y - 33138 psi x y + 146235 psi x y 8 10 7 4 7 7 3 8 7 2 9 - 102192 psi y + 296 psi x y - 426 psi x y - 28446 psi x y 7 10 7 11 6 2 10 6 11 + 35181 psi x y + 168510 psi y + 1404 psi x y - 38394 psi x y 6 12 8 5 4 8 4 5 8 3 6 - 52002 psi y - 78 psi x y + 486 psi x y + 5811 psi x y 8 2 7 8 8 8 9 7 5 5 - 44100 psi x y + 84192 psi x y - 44820 psi y - 48 psi x y 7 4 6 7 3 7 7 2 8 7 9 + 126 psi x y + 3378 psi x y + 33289 psi x y - 217552 psi x y 7 10 6 3 8 6 2 9 6 10 + 165732 psi y + 3168 psi x y + 19530 psi x y - 139725 psi x y 6 11 5 12 8 6 2 8 5 3 - 89802 psi y + 10206 psi y - 14 psi x y + 180 psi x y 8 4 4 8 3 5 8 2 6 8 7 - 930 psi x y + 3080 psi x y - 7728 psi x y + 12264 psi x y 8 8 7 6 3 7 5 4 7 4 5 - 8660 psi y - 4 psi x y + 260 psi x y - 2530 psi x y 7 3 6 7 2 7 7 8 7 9 - 12235 psi x y + 143433 psi x y - 308376 psi x y + 118860 psi y 6 4 6 6 3 7 6 2 8 6 9 - 1832 psi x y + 10404 psi x y - 16260 psi x y + 57885 psi x y 6 10 5 2 9 5 10 5 11 - 112930 psi y - 2484 psi x y + 70308 psi x y + 26514 psi y 7 6 2 7 5 3 7 4 4 7 3 5 - 24 psi x y + 555 psi x y - 807 psi x y - 20160 psi x y 7 2 6 7 7 7 8 6 5 4 + 88092 psi x y - 111906 psi x y + 49548 psi y + 320 psi x y 6 4 5 6 3 6 6 2 7 - 3426 psi x y + 36562 psi x y - 225682 psi x y 6 8 6 9 5 3 7 5 2 8 + 486294 psi x y - 133380 psi y - 8880 psi x y + 10118 psi x y 5 9 5 10 4 11 7 7 + 103239 psi x y + 33030 psi y - 5670 psi y - 2 psi x 7 6 7 5 2 7 4 3 7 3 4 + 30 psi x y - 150 psi x y + 530 psi x y - 2376 psi x y 7 2 5 7 6 7 7 6 6 2 + 7488 psi x y - 12428 psi x y + 8052 psi y + 12 psi x y 6 5 3 6 4 4 6 3 5 6 2 6 - 458 psi x y - 3598 psi x y + 71149 psi x y - 285555 psi x y 6 7 6 8 5 4 5 5 3 6 + 373212 psi x y - 95532 psi y + 4272 psi x y - 45852 psi x y 5 2 7 5 8 5 9 4 2 8 + 190364 psi x y - 315927 psi x y + 74250 psi y + 2316 psi x y 4 9 4 10 6 6 6 5 2 - 60750 psi x y - 3510 psi y + 118 psi x y - 933 psi x y 6 4 3 6 3 4 6 2 5 6 6 - 3114 psi x y + 39947 psi x y - 95040 psi x y + 66408 psi x y 6 7 5 5 3 5 4 4 5 3 5 - 35324 psi y - 768 psi x y + 14142 psi x y - 110988 psi x y 5 2 6 5 7 5 8 4 3 6 + 397627 psi x y - 567480 psi x y + 86564 psi y + 12704 psi x y 4 2 7 4 8 4 9 3 10 - 58636 psi x y + 18939 psi x y - 14622 psi y + 1890 psi y 6 6 6 5 6 3 3 6 2 4 + 12 psi x - 96 psi x y + 1464 psi x y - 4764 psi x y 6 5 6 6 5 6 5 5 2 + 7632 psi x y - 2034 psi y - 12 psi x y - 920 psi x y 5 4 3 5 3 4 5 2 5 + 19034 psi x y - 108826 psi x y + 236293 psi x y 5 6 5 7 4 4 4 4 3 5 - 178578 psi x y + 49356 psi y - 4720 psi x y + 59712 psi x y 4 2 6 4 7 4 8 3 2 7 - 242182 psi x y + 347493 psi x y - 39690 psi y - 1228 psi x y 3 8 3 9 5 6 5 5 + 28800 psi x y - 2178 psi y - 66 psi x - 351 psi x y 5 4 2 5 3 3 5 2 4 5 5 + 8874 psi x y - 34182 psi x y + 27846 psi x y + 24942 psi x y 5 6 4 5 2 4 4 3 4 3 4 + 12978 psi y + 864 psi x y - 15190 psi x y + 85624 psi x y 4 2 5 4 6 4 7 3 3 5 - 213016 psi x y + 235184 psi x y - 19332 psi y - 10128 psi x y 3 2 6 3 7 3 8 2 9 + 58096 psi x y - 58071 psi x y + 9990 psi y - 378 psi y 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 - 60 psi x + 420 psi x y - 836 psi x y + 1476 psi x y 5 4 5 5 4 6 4 5 - 1782 psi x y - 6426 psi y + 4 psi x + 1414 psi x y 4 4 2 4 3 3 4 2 4 4 5 - 13820 psi x y + 34730 psi x y + 8605 psi x y - 80406 psi x y 4 6 3 4 3 3 3 4 3 2 5 - 14106 psi y + 2344 psi x y - 28618 psi x y + 107498 psi x y 3 6 3 7 2 2 6 2 7 - 143649 psi x y + 5930 psi y + 372 psi x y - 7734 psi x y 2 8 4 5 4 4 4 3 2 + 1066 psi y + 471 psi x - 2988 psi x y - 1095 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 5 + 36084 psi x y - 57402 psi x y + 2430 psi y - 464 psi x y 3 4 2 3 3 3 3 2 4 3 5 + 4476 psi x y - 5374 psi x y - 23137 psi x y + 26424 psi x y 3 6 2 3 4 2 2 5 2 6 - 1542 psi y + 4512 psi x y - 25742 psi x y + 28713 psi x y 2 7 8 4 4 4 3 4 2 2 - 4110 psi y + 42 psi y + 160 psi x - 696 psi x y - 54 psi x y 4 3 4 4 3 5 3 4 - 1404 psi x y + 10854 psi y - 448 psi x + 616 psi x y 3 3 2 3 2 3 3 4 3 5 + 19289 psi x y - 80097 psi x y + 87276 psi x y + 12006 psi y 2 4 2 2 3 3 2 2 4 2 5 - 168 psi x y + 1596 psi x y - 7976 psi x y + 15759 psi x y 2 6 2 5 6 7 3 4 + 3600 psi y - 60 psi x y + 1108 psi x y - 186 psi y - 741 psi x 3 3 3 2 2 3 3 3 4 + 6004 psi x y - 17064 psi x y + 20439 psi x y - 7722 psi y 2 5 2 4 2 3 2 2 2 3 + 96 psi x + 960 psi x y - 14326 psi x y + 44390 psi x y 2 4 2 5 3 3 2 4 - 34770 psi x y - 2834 psi y - 1040 psi x y + 5446 psi x y 5 6 7 3 3 3 2 - 6003 psi x y + 804 psi y - 2 y - 306 psi x + 1134 psi x y 3 2 3 3 2 4 2 3 + 2106 psi x y - 8262 psi y + 1060 psi x - 8367 psi x y 2 2 2 2 3 2 4 4 + 20679 psi x y - 16902 psi x y - 3942 psi y - 256 psi x y 3 2 2 3 4 5 2 4 + 2400 psi x y - 5744 psi x y + 3681 psi x y - 1500 psi y + 4 x y 5 6 2 3 2 2 2 2 - 66 x y + 12 y + 261 psi x - 54 psi x y - 5022 psi x y 2 3 4 3 2 2 + 7938 psi y - 480 psi x + 3560 psi x y - 8259 psi x y 3 4 3 2 2 3 4 5 + 4438 psi x y + 2058 psi y + 96 x y - 448 x y + 471 x y - 60 y 2 2 2 2 2 3 2 + 324 psi x - 1944 psi x y + 2916 psi y - 36 psi x + 63 psi x y 2 3 4 3 2 2 3 + 1161 psi x y - 810 psi y + 64 x - 480 x y + 1060 x y - 741 x y 4 2 2 2 2 + 160 y - 405 psi x + 1863 psi x y - 1944 psi y - 36 x y + 261 x y 3 2 2 - 306 y + 81 x - 405 x y + 324 y = 0 and in Maple notation -2*psi^14*y^14+42*psi^13*y^14-14*psi^13*x*y^12+30*psi^13*y^13-378*psi^12*y^14+ 186*psi^12*x*y^12-554*psi^12*y^13+1890*psi^11*y^14-42*psi^12*x^2*y^10+180*psi^ 12*x*y^11-210*psi^12*y^12-4*psi^11*x^2*y^11-900*psi^11*x*y^12+4302*psi^11*y^13-\ 5670*psi^10*y^14+300*psi^11*x^2*y^10-2133*psi^11*x*y^11+3294*psi^11*y^12+48*psi ^10*x^2*y^11+1620*psi^10*x*y^12-18090*psi^10*y^13+10206*psi^9*y^14-70*psi^11*x^ 3*y^8+450*psi^11*x^2*y^9-1038*psi^11*x*y^10+914*psi^11*y^11-16*psi^10*x^3*y^9-\ 208*psi^10*x^2*y^10+8922*psi^10*x*y^11-21102*psi^10*y^12-216*psi^9*x^2*y^11+810 *psi^9*x*y^12+44010*psi^9*y^13-10206*psi^8*y^14+180*psi^10*x^3*y^8-2874*psi^10* x^2*y^9+11478*psi^10*x*y^10-11718*psi^10*y^11+48*psi^9*x^3*y^9-3040*psi^9*x^2*y ^10-12294*psi^9*x*y^11+70290*psi^9*y^12+432*psi^8*x^2*y^11-6318*psi^8*x*y^12-\ 60750*psi^8*y^13+4374*psi^7*y^14-70*psi^10*x^4*y^6+600*psi^10*x^3*y^7-2040*psi^ 10*x^2*y^8+3560*psi^10*x*y^9-2736*psi^10*y^10-24*psi^9*x^4*y^7+1008*psi^9*x^3*y ^8+3288*psi^9*x^2*y^9-44679*psi^9*x*y^10+58590*psi^9*y^11+144*psi^8*x^3*y^9+ 8622*psi^8*x^2*y^10-13932*psi^8*x*y^11-127710*psi^8*y^12-324*psi^7*x^2*y^11+ 5832*psi^7*x*y^12+42282*psi^7*y^13-30*psi^9*x^4*y^6-1246*psi^9*x^3*y^7+13935* psi^9*x^2*y^8-38421*psi^9*x*y^9+27644*psi^9*y^10-48*psi^8*x^4*y^7-2964*psi^8*x^ 3*y^8+11256*psi^8*x^2*y^9+59955*psi^8*x*y^10-142090*psi^8*y^11-432*psi^7*x^3*y^ 9-7452*psi^7*x^2*y^10+53379*psi^7*x*y^11+120690*psi^7*y^12-10206*psi^6*y^13-42* psi^9*x^5*y^4+450*psi^9*x^4*y^5-1980*psi^9*x^3*y^6+5100*psi^9*x^2*y^7-8028*psi^ 9*x*y^8+5820*psi^9*y^9-16*psi^8*x^5*y^5+942*psi^8*x^4*y^6-3416*psi^8*x^3*y^7-\ 33138*psi^8*x^2*y^8+146235*psi^8*x*y^9-102192*psi^8*y^10+296*psi^7*x^4*y^7-426* psi^7*x^3*y^8-28446*psi^7*x^2*y^9+35181*psi^7*x*y^10+168510*psi^7*y^11+1404*psi ^6*x^2*y^10-38394*psi^6*x*y^11-52002*psi^6*y^12-78*psi^8*x^5*y^4+486*psi^8*x^4* y^5+5811*psi^8*x^3*y^6-44100*psi^8*x^2*y^7+84192*psi^8*x*y^8-44820*psi^8*y^9-48 *psi^7*x^5*y^5+126*psi^7*x^4*y^6+3378*psi^7*x^3*y^7+33289*psi^7*x^2*y^8-217552* psi^7*x*y^9+165732*psi^7*y^10+3168*psi^6*x^3*y^8+19530*psi^6*x^2*y^9-139725*psi ^6*x*y^10-89802*psi^6*y^11+10206*psi^5*y^12-14*psi^8*x^6*y^2+180*psi^8*x^5*y^3-\ 930*psi^8*x^4*y^4+3080*psi^8*x^3*y^5-7728*psi^8*x^2*y^6+12264*psi^8*x*y^7-8660* psi^8*y^8-4*psi^7*x^6*y^3+260*psi^7*x^5*y^4-2530*psi^7*x^4*y^5-12235*psi^7*x^3* y^6+143433*psi^7*x^2*y^7-308376*psi^7*x*y^8+118860*psi^7*y^9-1832*psi^6*x^4*y^6 +10404*psi^6*x^3*y^7-16260*psi^6*x^2*y^8+57885*psi^6*x*y^9-112930*psi^6*y^10-\ 2484*psi^5*x^2*y^9+70308*psi^5*x*y^10+26514*psi^5*y^11-24*psi^7*x^6*y^2+555*psi ^7*x^5*y^3-807*psi^7*x^4*y^4-20160*psi^7*x^3*y^5+88092*psi^7*x^2*y^6-111906*psi ^7*x*y^7+49548*psi^7*y^8+320*psi^6*x^5*y^4-3426*psi^6*x^4*y^5+36562*psi^6*x^3*y ^6-225682*psi^6*x^2*y^7+486294*psi^6*x*y^8-133380*psi^6*y^9-8880*psi^5*x^3*y^7+ 10118*psi^5*x^2*y^8+103239*psi^5*x*y^9+33030*psi^5*y^10-5670*psi^4*y^11-2*psi^7 *x^7+30*psi^7*x^6*y-150*psi^7*x^5*y^2+530*psi^7*x^4*y^3-2376*psi^7*x^3*y^4+7488 *psi^7*x^2*y^5-12428*psi^7*x*y^6+8052*psi^7*y^7+12*psi^6*x^6*y^2-458*psi^6*x^5* y^3-3598*psi^6*x^4*y^4+71149*psi^6*x^3*y^5-285555*psi^6*x^2*y^6+373212*psi^6*x* y^7-95532*psi^6*y^8+4272*psi^5*x^4*y^5-45852*psi^5*x^3*y^6+190364*psi^5*x^2*y^7 -315927*psi^5*x*y^8+74250*psi^5*y^9+2316*psi^4*x^2*y^8-60750*psi^4*x*y^9-3510* psi^4*y^10+118*psi^6*x^6*y-933*psi^6*x^5*y^2-3114*psi^6*x^4*y^3+39947*psi^6*x^3 *y^4-95040*psi^6*x^2*y^5+66408*psi^6*x*y^6-35324*psi^6*y^7-768*psi^5*x^5*y^3+ 14142*psi^5*x^4*y^4-110988*psi^5*x^3*y^5+397627*psi^5*x^2*y^6-567480*psi^5*x*y^ 7+86564*psi^5*y^8+12704*psi^4*x^3*y^6-58636*psi^4*x^2*y^7+18939*psi^4*x*y^8-\ 14622*psi^4*y^9+1890*psi^3*y^10+12*psi^6*x^6-96*psi^6*x^5*y+1464*psi^6*x^3*y^3-\ 4764*psi^6*x^2*y^4+7632*psi^6*x*y^5-2034*psi^6*y^6-12*psi^5*x^6*y-920*psi^5*x^5 *y^2+19034*psi^5*x^4*y^3-108826*psi^5*x^3*y^4+236293*psi^5*x^2*y^5-178578*psi^5 *x*y^6+49356*psi^5*y^7-4720*psi^4*x^4*y^4+59712*psi^4*x^3*y^5-242182*psi^4*x^2* y^6+347493*psi^4*x*y^7-39690*psi^4*y^8-1228*psi^3*x^2*y^7+28800*psi^3*x*y^8-\ 2178*psi^3*y^9-66*psi^5*x^6-351*psi^5*x^5*y+8874*psi^5*x^4*y^2-34182*psi^5*x^3* y^3+27846*psi^5*x^2*y^4+24942*psi^5*x*y^5+12978*psi^5*y^6+864*psi^4*x^5*y^2-\ 15190*psi^4*x^4*y^3+85624*psi^4*x^3*y^4-213016*psi^4*x^2*y^5+235184*psi^4*x*y^6 -19332*psi^4*y^7-10128*psi^3*x^3*y^5+58096*psi^3*x^2*y^6-58071*psi^3*x*y^7+9990 *psi^3*y^8-378*psi^2*y^9-60*psi^5*x^5+420*psi^5*x^4*y-836*psi^5*x^3*y^2+1476* psi^5*x^2*y^3-1782*psi^5*x*y^4-6426*psi^5*y^5+4*psi^4*x^6+1414*psi^4*x^5*y-\ 13820*psi^4*x^4*y^2+34730*psi^4*x^3*y^3+8605*psi^4*x^2*y^4-80406*psi^4*x*y^5-\ 14106*psi^4*y^6+2344*psi^3*x^4*y^3-28618*psi^3*x^3*y^4+107498*psi^3*x^2*y^5-\ 143649*psi^3*x*y^6+5930*psi^3*y^7+372*psi^2*x^2*y^6-7734*psi^2*x*y^7+1066*psi^2 *y^8+471*psi^4*x^5-2988*psi^4*x^4*y-1095*psi^4*x^3*y^2+36084*psi^4*x^2*y^3-\ 57402*psi^4*x*y^4+2430*psi^4*y^5-464*psi^3*x^5*y+4476*psi^3*x^4*y^2-5374*psi^3* x^3*y^3-23137*psi^3*x^2*y^4+26424*psi^3*x*y^5-1542*psi^3*y^6+4512*psi^2*x^3*y^4 -25742*psi^2*x^2*y^5+28713*psi^2*x*y^6-4110*psi^2*y^7+42*psi*y^8+160*psi^4*x^4-\ 696*psi^4*x^3*y-54*psi^4*x^2*y^2-1404*psi^4*x*y^3+10854*psi^4*y^4-448*psi^3*x^5 +616*psi^3*x^4*y+19289*psi^3*x^3*y^2-80097*psi^3*x^2*y^3+87276*psi^3*x*y^4+ 12006*psi^3*y^5-168*psi^2*x^4*y^2+1596*psi^2*x^3*y^3-7976*psi^2*x^2*y^4+15759* psi^2*x*y^5+3600*psi^2*y^6-60*psi*x^2*y^5+1108*psi*x*y^6-186*psi*y^7-741*psi^3* x^4+6004*psi^3*x^3*y-17064*psi^3*x^2*y^2+20439*psi^3*x*y^3-7722*psi^3*y^4+96* psi^2*x^5+960*psi^2*x^4*y-14326*psi^2*x^3*y^2+44390*psi^2*x^2*y^3-34770*psi^2*x *y^4-2834*psi^2*y^5-1040*psi*x^3*y^3+5446*psi*x^2*y^4-6003*psi*x*y^5+804*psi*y^ 6-2*y^7-306*psi^3*x^3+1134*psi^3*x^2*y+2106*psi^3*x*y^2-8262*psi^3*y^3+1060*psi ^2*x^4-8367*psi^2*x^3*y+20679*psi^2*x^2*y^2-16902*psi^2*x*y^3-3942*psi^2*y^4-\ 256*psi*x^4*y+2400*psi*x^3*y^2-5744*psi*x^2*y^3+3681*psi*x*y^4-1500*psi*y^5+4*x ^2*y^4-66*x*y^5+12*y^6+261*psi^2*x^3-54*psi^2*x^2*y-5022*psi^2*x*y^2+7938*psi^2 *y^3-480*psi*x^4+3560*psi*x^3*y-8259*psi*x^2*y^2+4438*psi*x*y^3+2058*psi*y^4+96 *x^3*y^2-448*x^2*y^3+471*x*y^4-60*y^5+324*psi^2*x^2-1944*psi^2*x*y+2916*psi^2*y ^2-36*psi*x^3+63*psi*x^2*y+1161*psi*x*y^2-810*psi*y^3+64*x^4-480*x^3*y+1060*x^2 *y^2-741*x*y^3+160*y^4-405*psi*x^2+1863*psi*x*y-1944*psi*y^2-36*x^2*y+261*x*y^2 -306*y^3+81*x^2-405*x*y+324*y^2 = 0 --------------------------------------- This ends this paper that took, 261.503, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ ation, 2 2 2 y Psi(x, y) + (2 Psi(x, 0) x y - y + x - y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [2, 10, 68, 542, 4764, 44756, 441288, 4513910, 47527084, 512242828, 5628397112, 62852980972, 711636877592, 8153768485032, 94397803845776, 1102874959937190, 12989786547198156, 154103503082751452, 1840090016915599576, 22100879250670527428, 266863820175914704840, 3237996545474943712920, 39463199994789166863600, 482927304796374598576572, 5932084140879053662932984, 73121809593061047284644216, 904257005660010778921809968, 11216174791936032882761246360, 139514079850528523779713424816, 1739933671798315662753299987792, 21752901726149157585832127165728, 272587900631943923966645633035014, 3423273657781724728438800578583820, 43079259439938967988206427512404732, 543171334485331229141761786729542424, 6861229295151681473502987277699022036, 86820361062999829673349335139589594088, 1100416589258199211207248098606943041080, 13969240433982661173598761181542702163760, 177596923657682116995313101556483559350100, 2261071535190794144235026856152074849952040, 28825760315592728496440154617187889593526760, 367966418918562509665687452330386264498171280, 4702964173482079161831833432929006823996832360, 60179416325558857436364708020623143886969198160, 770930668271789165140055491774916184940353440560, 9886744706663124027275095647680998375873093030880, 126923724968979064241191089815449878296429017515100, 1631044409976858533996853044424420780254266264766904, 20979991387887500591731868244434444392066544753198808, 270112946519884319565350478040650456042640941949235952, 3480735376214485808684824798624845849434606139391425576, 44891890920795379636094885666633785394754270727234729680, 579458882588133513224102268570446868336635888331289302512, 7485528236699689047561499717270926841901055007100992930144, 96773249095161694483012911196874679979024966268568428365496, 1252015757504101291104264543973102232597372480093898834971248, 16209701325520469248100836155237281802502505829544328669718640, 210010331835112325232401430096558096146252818554383398178965344, 2722682070914918780730290094036534970276147321053318819158978608, 35321121867912674381871397610572650010059599220224815163135068512, 458505387817190948104143844123229604230961431680130098947524160160, 5955501238358284521778990303589405785110652451492525433908412742208, 77401260370416933329214979948554350617118784841916411309045663486918, 1006528011568554456990663191937364064416866031607989980842015496107404, 13096174283459829602752648953082385475027960884701112953495821330364220, 170489142041108947451439347226477303926977972207358538995588208007052184, 2220628764688507533964995159324362621560350626218246207986444806330513268, 28938478903437247670977723056247396582250769097958917089063781981536191784, 377302565718863305213873989421320889131001757145947740118327832568414167672, 4921666852555105790899281708078955123650061507200706845198657362061375495600, 64229919966955936517985411315251535839558596433138174277757391752630323539940, 838609561494647144794209850144601417571512523396651025458826957982988177489480, 1095403854476729941639220192453463984491992807395437453004124770879813380803495\ 2, 1431448465034389925711720908619897721192542273099130425560855969077177637899\ 09456, 187136858049303318277672829694317856577737501910340444747935615263013106\ 1825739080, 2447487407256291458776514861148472849935887511582724404925573831849\ 8227974744259088, 3202245635019735507409654679066417127809305281447009410352931\ 19385930974399271540336, 419138502993375878125472510171057349586296652987373298\ 8092362941559987908776708537440, 5488138551816044420598619412036072194483480282\ 2265437499397246831368096078500997887860, 7188746591308020816336189807477793380\ 34701843650868320973383604935450828299374904904680, 941972080191616350420907144\ 4987397933552670458304750229020025941288712166736353138130120, 1234741147460673\ 47127984559191373759367326928794441464215743286022975572808827871112078160, 161\ 9061193123264158328727294383323284883254860204996737706877855921106648353564574\ 207416440, 21237167828330102642929584628623030295310907131177252282703263493797\ 502001047833219664959600, 27865868851747196777915617176791352244908324588982883\ 5946284697943953041708866815969502974160, 3657530922824339897348572079325620853\ 911485687188214417420152963533695461685512136184061645344, 48021943768030317255\ 434236999563677608810360828594021450854362204423190619112076083618249755848, 63\ 0702800940537509674993536861508487856817227960062050905749406204417257120020507\ 988693865365648] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 2 2 2 2 4 3 4 6 4 1/16 g + x - 5/4 g x + 3 x g + 1/2 x g + 3 x g + g x - 1/16 = 0 and in Maple notation 1/16*g^2+x-5/4*g^2*x+3*x^2*g^2+1/2*x^2*g^4+3*x^3*g^4+g^6*x^4-1/16 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 12 12 11 12 11 10 11 11 10 12 16 psi y - 96 psi y + 96 psi x y - 96 psi y + 240 psi y 10 10 10 11 9 12 10 2 8 - 288 psi x y + 576 psi y - 320 psi y + 240 psi x y 10 9 10 10 9 10 9 11 - 480 psi x y + 272 psi y + 192 psi x y - 1440 psi y 8 12 9 2 8 9 9 9 10 + 240 psi y - 192 psi x y + 1440 psi x y - 1568 psi y 8 10 8 11 7 12 9 3 6 + 192 psi x y + 1920 psi y - 96 psi y + 320 psi x y 9 2 7 9 8 9 9 8 2 8 - 960 psi x y + 1088 psi x y - 480 psi y - 96 psi x y 8 9 8 10 7 10 7 11 - 960 psi x y + 3792 psi y - 288 psi x y - 1440 psi y 6 12 8 3 6 8 2 7 8 8 + 16 psi y + 192 psi x y + 768 psi x y - 3536 psi x y 8 9 7 2 8 7 9 7 10 + 2560 psi y - 192 psi x y - 960 psi x y - 4928 psi y 6 10 6 11 8 4 4 8 3 5 + 96 psi x y + 576 psi y + 240 psi x y - 960 psi x y 8 2 6 8 7 8 8 7 3 6 + 1632 psi x y - 1472 psi x y + 584 psi y + 192 psi x y 7 2 7 7 8 7 9 6 2 8 + 384 psi x y + 2752 psi x y - 5760 psi y + 240 psi x y 6 9 6 10 5 11 7 4 4 + 1440 psi x y + 3632 psi y - 96 psi y + 288 psi x y 7 3 5 7 2 6 7 7 7 8 - 576 psi x y - 1984 psi x y + 5504 psi x y - 2784 psi y 6 3 6 6 2 7 6 8 6 9 + 320 psi x y + 768 psi x y + 1760 psi x y + 7040 psi y 5 9 5 10 7 5 2 7 4 3 - 480 psi x y - 1440 psi y + 96 psi x y - 480 psi x y 7 3 4 7 2 5 7 6 7 7 + 1088 psi x y - 1536 psi x y + 1312 psi x y - 512 psi y 6 4 4 6 3 5 6 7 6 8 + 240 psi x y - 576 psi x y - 5248 psi x y + 5584 psi y 5 2 7 5 8 5 9 4 10 - 960 psi x y - 3072 psi x y - 4960 psi y + 240 psi y 6 5 2 6 4 3 6 3 4 6 2 5 + 96 psi x y - 576 psi x y + 416 psi x y + 3264 psi x y 6 6 6 7 5 3 5 5 2 6 - 5664 psi x y + 2112 psi y - 960 psi x y - 1344 psi x y 5 7 5 8 4 8 4 9 - 1280 psi x y - 6112 psi y + 1008 psi x y + 1920 psi y 6 6 6 5 6 4 2 6 3 3 + 16 psi x - 96 psi x y + 272 psi x y - 576 psi x y 6 2 4 6 5 6 6 5 4 3 + 880 psi x y - 800 psi x y + 328 psi y - 480 psi x y 5 3 4 5 2 5 5 6 5 7 + 768 psi x y - 1344 psi x y + 6368 psi x y - 3616 psi y 4 2 6 4 7 4 8 3 9 + 1632 psi x y + 3648 psi x y + 3928 psi y - 320 psi y 5 5 5 4 2 5 3 3 5 2 4 - 96 psi x y + 480 psi x y + 128 psi x y - 3104 psi x y 5 5 5 6 4 3 4 4 2 5 + 3776 psi x y - 1136 psi y + 1248 psi x y + 1344 psi x y 4 6 4 7 3 7 3 8 - 192 psi x y + 3328 psi y - 1152 psi x y - 1440 psi y 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 - 32 psi x y + 160 psi x y - 320 psi x y + 336 psi x y 5 5 4 4 2 4 3 3 4 2 4 - 152 psi y + 432 psi x y - 576 psi x y + 2000 psi x y 4 5 4 6 3 2 5 3 6 - 4768 psi x y + 1592 psi y - 1536 psi x y - 2592 psi x y 3 7 2 8 4 5 4 4 4 3 2 - 1792 psi y + 240 psi y + 48 psi x - 192 psi x y - 352 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 3 3 + 1664 psi x y - 1556 psi x y + 432 psi y - 896 psi x y 3 2 4 3 5 3 6 2 6 - 864 psi x y + 1024 psi x y - 1152 psi y + 768 psi x y 2 7 4 4 4 3 4 2 2 4 3 + 576 psi y + 8 psi x - 32 psi x y + 72 psi x y - 96 psi x y 4 4 3 4 3 3 2 3 2 3 + 49 psi y - 192 psi x y + 288 psi x y - 1312 psi x y 3 4 3 5 2 2 4 2 5 + 2120 psi x y - 472 psi y + 864 psi x y + 1056 psi x y 2 6 7 3 3 3 2 2 3 3 + 448 psi y - 96 psi y + 192 psi x y - 456 psi x y + 360 psi x y 3 4 2 3 2 2 2 3 2 4 - 114 psi y + 384 psi x y + 384 psi x y - 756 psi x y 2 5 5 6 3 2 3 2 + 256 psi y - 288 psi x y - 96 psi y - 8 psi x y + 18 psi x y 3 3 2 4 2 3 2 2 2 2 3 - 10 psi y + 48 psi x - 96 psi x y + 396 psi x y - 496 psi x y 2 4 2 3 4 5 6 + 89 psi y - 288 psi x y - 192 psi x y - 64 psi y + 16 y 2 3 2 2 2 2 2 3 3 - 20 psi x + 40 psi x y - 38 psi x y + 20 psi y - 96 psi x y 2 2 3 4 4 2 2 2 - 96 psi x y + 232 psi x y - 32 psi y + 48 x y + psi x - 2 psi x y 2 2 2 2 3 2 2 4 + psi y - 28 psi x y + 40 psi x y - 10 psi y + 48 x y + 8 y 2 3 2 2 2 + 2 psi x y - 2 psi y + 16 x - 20 x y - x + y = 0 and in Maple notation 16*psi^12*y^12-96*psi^11*y^12+96*psi^11*x*y^10-96*psi^11*y^11+240*psi^10*y^12-\ 288*psi^10*x*y^10+576*psi^10*y^11-320*psi^9*y^12+240*psi^10*x^2*y^8-480*psi^10* x*y^9+272*psi^10*y^10+192*psi^9*x*y^10-1440*psi^9*y^11+240*psi^8*y^12-192*psi^9 *x^2*y^8+1440*psi^9*x*y^9-1568*psi^9*y^10+192*psi^8*x*y^10+1920*psi^8*y^11-96* psi^7*y^12+320*psi^9*x^3*y^6-960*psi^9*x^2*y^7+1088*psi^9*x*y^8-480*psi^9*y^9-\ 96*psi^8*x^2*y^8-960*psi^8*x*y^9+3792*psi^8*y^10-288*psi^7*x*y^10-1440*psi^7*y^ 11+16*psi^6*y^12+192*psi^8*x^3*y^6+768*psi^8*x^2*y^7-3536*psi^8*x*y^8+2560*psi^ 8*y^9-192*psi^7*x^2*y^8-960*psi^7*x*y^9-4928*psi^7*y^10+96*psi^6*x*y^10+576*psi ^6*y^11+240*psi^8*x^4*y^4-960*psi^8*x^3*y^5+1632*psi^8*x^2*y^6-1472*psi^8*x*y^7 +584*psi^8*y^8+192*psi^7*x^3*y^6+384*psi^7*x^2*y^7+2752*psi^7*x*y^8-5760*psi^7* y^9+240*psi^6*x^2*y^8+1440*psi^6*x*y^9+3632*psi^6*y^10-96*psi^5*y^11+288*psi^7* x^4*y^4-576*psi^7*x^3*y^5-1984*psi^7*x^2*y^6+5504*psi^7*x*y^7-2784*psi^7*y^8+ 320*psi^6*x^3*y^6+768*psi^6*x^2*y^7+1760*psi^6*x*y^8+7040*psi^6*y^9-480*psi^5*x *y^9-1440*psi^5*y^10+96*psi^7*x^5*y^2-480*psi^7*x^4*y^3+1088*psi^7*x^3*y^4-1536 *psi^7*x^2*y^5+1312*psi^7*x*y^6-512*psi^7*y^7+240*psi^6*x^4*y^4-576*psi^6*x^3*y ^5-5248*psi^6*x*y^7+5584*psi^6*y^8-960*psi^5*x^2*y^7-3072*psi^5*x*y^8-4960*psi^ 5*y^9+240*psi^4*y^10+96*psi^6*x^5*y^2-576*psi^6*x^4*y^3+416*psi^6*x^3*y^4+3264* psi^6*x^2*y^5-5664*psi^6*x*y^6+2112*psi^6*y^7-960*psi^5*x^3*y^5-1344*psi^5*x^2* y^6-1280*psi^5*x*y^7-6112*psi^5*y^8+1008*psi^4*x*y^8+1920*psi^4*y^9+16*psi^6*x^ 6-96*psi^6*x^5*y+272*psi^6*x^4*y^2-576*psi^6*x^3*y^3+880*psi^6*x^2*y^4-800*psi^ 6*x*y^5+328*psi^6*y^6-480*psi^5*x^4*y^3+768*psi^5*x^3*y^4-1344*psi^5*x^2*y^5+ 6368*psi^5*x*y^6-3616*psi^5*y^7+1632*psi^4*x^2*y^6+3648*psi^4*x*y^7+3928*psi^4* y^8-320*psi^3*y^9-96*psi^5*x^5*y+480*psi^5*x^4*y^2+128*psi^5*x^3*y^3-3104*psi^5 *x^2*y^4+3776*psi^5*x*y^5-1136*psi^5*y^6+1248*psi^4*x^3*y^4+1344*psi^4*x^2*y^5-\ 192*psi^4*x*y^6+3328*psi^4*y^7-1152*psi^3*x*y^7-1440*psi^3*y^8-32*psi^5*x^4*y+ 160*psi^5*x^3*y^2-320*psi^5*x^2*y^3+336*psi^5*x*y^4-152*psi^5*y^5+432*psi^4*x^4 *y^2-576*psi^4*x^3*y^3+2000*psi^4*x^2*y^4-4768*psi^4*x*y^5+1592*psi^4*y^6-1536* psi^3*x^2*y^5-2592*psi^3*x*y^6-1792*psi^3*y^7+240*psi^2*y^8+48*psi^4*x^5-192* psi^4*x^4*y-352*psi^4*x^3*y^2+1664*psi^4*x^2*y^3-1556*psi^4*x*y^4+432*psi^4*y^5 -896*psi^3*x^3*y^3-864*psi^3*x^2*y^4+1024*psi^3*x*y^5-1152*psi^3*y^6+768*psi^2* x*y^6+576*psi^2*y^7+8*psi^4*x^4-32*psi^4*x^3*y+72*psi^4*x^2*y^2-96*psi^4*x*y^3+ 49*psi^4*y^4-192*psi^3*x^4*y+288*psi^3*x^3*y^2-1312*psi^3*x^2*y^3+2120*psi^3*x* y^4-472*psi^3*y^5+864*psi^2*x^2*y^4+1056*psi^2*x*y^5+448*psi^2*y^6-96*psi*y^7+ 192*psi^3*x^3*y-456*psi^3*x^2*y^2+360*psi^3*x*y^3-114*psi^3*y^4+384*psi^2*x^3*y ^2+384*psi^2*x^2*y^3-756*psi^2*x*y^4+256*psi^2*y^5-288*psi*x*y^5-96*psi*y^6-8* psi^3*x^2*y+18*psi^3*x*y^2-10*psi^3*y^3+48*psi^2*x^4-96*psi^2*x^3*y+396*psi^2*x ^2*y^2-496*psi^2*x*y^3+89*psi^2*y^4-288*psi*x^2*y^3-192*psi*x*y^4-64*psi*y^5+16 *y^6-20*psi^2*x^3+40*psi^2*x^2*y-38*psi^2*x*y^2+20*psi^2*y^3-96*psi*x^3*y-96* psi*x^2*y^2+232*psi*x*y^3-32*psi*y^4+48*x*y^4+psi^2*x^2-2*psi^2*x*y+psi^2*y^2-\ 28*psi*x^2*y+40*psi*x*y^2-10*psi*y^3+48*x^2*y^2+8*y^4+2*psi*x*y-2*psi*y^2+16*x^ 3-20*x*y^2-x^2+y^2 = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 2 6 (6 n + 5) (5 n + 12) (2 n + 1) (6 n + 7) a(n) ----------------------------------------------- (5 n + 7) (2 n + 5) (n + 3) (n + 2) 3 2 (295 n + 1458 n + 2294 n + 1155) a(n + 1) - ------------------------------------------- + a(n + 2) = 0 (n + 3) (2 n + 5) (5 n + 7) and in Maple notation 6*(6*n+5)*(5*n+12)*(2*n+1)*(6*n+7)/(5*n+7)/(2*n+5)/(n+3)/(n+2)*a(n)-(295*n^3+ 1458*n^2+2294*n+1155)/(n+3)/(2*n+5)/(5*n+7)*a(n+1)+a(n+2) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 2, a(2) = 10 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 860064269808869432340957074213208771888183569047235407429567229985192\ 5902386077472993106281263204380605388241929868835442493633714990741478270388426\ 6993429536989696922321661514632155875505319353181525383928240786931257212584418\ 4645420059763867888012107841278316832337192494546744269862407249236897115312325\ 2518003707938393156987048682119045995907681966030643613455701268328231231854414\ 5657795842651692324952492358103356301092848382789138947218420108562153852452042\ 8170272711143011043702906986151225815439103935889656455510713623591290771072576\ 3364006956618676350476707596076145381590258328525624766106106282808622529424838\ 3486163261291763678385453585932216510797070806059581099080273738631581698210773\ 6664653207986858997689051339540565583880956856204629826245524971382593978698656\ 9114793007317006823050415218124338744351806001335968050171512174202022646614292\ 2427323132675637960797164477751286648307227151099721304929417873005356356765884\ 4737646725300910462545909349038396637600330641077674556045798446712529377048094\ 2919004549915548407195952784659465390491571874963338595802350617957859372423425\ 525064125592695551236699200 --------------------------------------- This ends this paper that took, 111.863, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (2 Psi(x, 0) x y - 2 y + x - y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [2, 8, 44, 280, 1952, 14464, 112000, 896576, 7366464, 61804928, 527548928, 4568353280, 40047247360, 354780090368, 3171927644160, 28587673436160, 259492274913280, 2370416448348160, 21776906997891072, 201093334230646784, 1865613538006941696, 17381557762490466304, 162570693320303837184, 1525967172861205807104, 14370654145393864736768, 135746640791122654265344, 1285900552010508471369728, 12213102995615668648280064, 116280880502153224103395328, 1109647714459528726484877312, 10611918535274437028924620800, 101689917173861191339135205376, 976304728805204726440364343296, 9390078159654518077319284785152, 90466152833514861634371283058688, 872964268003692410827955205308416, 8436527788326487276691370197123072, 81649640451749681014835670562111488, 791292329753515006866550592381124608, 7678616162143949479677664206304313344, 74604588474893884863630069043879215104, 725704525799573104144056499719551057920 , 7067123437911019962063366947046099517440, 68895755978248422533665186739342312210432, 672340111245694669286328660678245470961664, 6567701993516200990015743491561505681309696, 64216704329445359575717445575484979925745664, 628457808497023015351967963032021714090328064, 6155766814095288730741893783567841641394864128, 60346406834999121465022444619656129374767284224, 592065899673095711738646353618593789223463026688, 5813330236788997027401363284026653238054015205376, 57122067722746437213025105174832598876906988765184, 561688022122450605832213265116786472498648647204864, 5526977380547594745429735662179498120876485964201984, 54421566432666903936119040673321835799443138982969344, 536210483763511489791155268628619237032859180537479168, 5286534432084111206254925899605496023685237976686657536, 52151810582180196127429750139595798324861046777899384832, 514780131100236603854350133115690507571822150277645991936, 5084170791117368015384287182625836831178382320895912837120, 50240823593657944571211924057587201835570329565882398801920, 496734457718404829347791788725044847198115189349589547220992, 4913780310835069531422920009732020206520260075587005348577280, 48632254798647905362426923049318335678081962049533720580325376, 481552793296569504507619430166347459001100460479902061669908480, 4770546436581952254116595175532415768544909791514409446032801792, 47281497634689361589052947418923694085045913232923584044283723776, 468821587003414260282446943424671126885879112048802763076813193216, 4650631152676939907286111724157448480594862579833046920453469241344, 46152897745449482149107734272126159853518834334470436477533348167680, 458209305516337915552685287923410960728941595495209463825436376039424, 4550948916294099896208847411018140463575003450834879478874823999881216, 45217713781634852448972191946507887141633605625643667283547745536704512, 449448010087914562543417817588739466628272406487988061857068045572243456, 4468999966449630745588836326738716089738133314700928513974748009715466240, 44452606973403053056539334800883274021998847993193900624195821617673142272, 442319650795305662538881418513001153873642540367271179102530051395630923776, 4402745785816084325755994258968324314721966834557956290692907398766325137408, 43838507996202177405326426896851205711715903300660900663528596216339369033728, 436645743154640570184710986818657401506067909458988600721781885720220802220032, 4350514931600710755307016119333848322232647025528968022055866156877742809808896 , 43359756919130272689239079210845296816645015552953357462100847260922346475618\ 304, 43227950391678853190102805987451559780757924500738175896354814331752481097\ 6722944, 4310931043523596224473953924137308942157488942563947775087611398950614\ 537393405952, 43003443425426617326341496818131898734826745754016506374462692311\ 046603675963228160, 42909979788044212140090566846379361212990160906597437577618\ 1235014144890514073190400, 4282857250002616060268707732644262035998647561017023\ 942145543937783436317351449985024, 42758895704478758852995161034985469225036839\ 031431847128672363559069816256578107473920] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 2 2 2 3 2 - 1/16 + 1/16 g + 1/2 x - 5/8 x g - x + 11/2 x g - 17/4 x g + 1/2 g x 2 3 3 3 5 4 - 1/4 g x + 11/2 x g + g x = 0 and in Maple notation -1/16+1/16*g+1/2*x-5/8*x*g-x^2+11/2*x^2*g-17/4*x^2*g^2+1/2*g^3*x^2-1/4*g^2*x^3+ 11/2*x^3*g^3+g^5*x^4 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 10 10 9 10 9 8 9 9 8 10 -16 psi y + 160 psi y - 80 psi x y + 80 psi y - 640 psi y 8 8 8 9 7 10 8 2 6 + 288 psi x y - 720 psi y + 1280 psi y - 160 psi x y 8 7 8 8 7 2 7 7 8 + 320 psi x y - 192 psi y - 32 psi x y + 192 psi x y 7 9 6 10 7 2 6 7 7 + 2560 psi y - 1280 psi y - 96 psi x y - 1376 psi x y 7 8 6 2 7 6 8 6 9 + 1472 psi y + 128 psi x y - 1664 psi x y - 4480 psi y 5 10 7 3 4 7 2 5 7 6 + 512 psi y - 160 psi x y + 480 psi x y - 576 psi x y 7 7 6 3 5 6 2 6 6 7 + 288 psi y - 64 psi x y + 1008 psi x y + 544 psi x y 6 8 5 2 7 5 8 5 9 - 4384 psi y - 128 psi x y + 1536 psi x y + 3840 psi y 6 3 4 6 2 5 6 6 6 7 - 416 psi x y - 320 psi x y + 3128 psi x y - 1792 psi y 5 3 5 5 2 6 5 7 5 8 - 384 psi x y - 512 psi x y + 4096 psi x y + 6336 psi y 4 9 6 4 2 6 3 3 6 2 4 - 1280 psi y - 80 psi x y + 320 psi x y - 576 psi x y 6 5 6 6 5 4 3 5 3 4 + 608 psi x y - 296 psi y - 32 psi x y + 224 psi x y 5 2 5 5 6 5 7 4 2 6 - 216 psi x y - 3440 psi x y + 4192 psi y + 320 psi x y 4 7 4 8 5 4 2 5 3 3 - 4480 psi x y - 4480 psi y - 192 psi x y + 608 psi x y 5 2 4 5 5 5 6 4 3 4 + 1560 psi x y - 3984 psi x y + 1424 psi y + 1024 psi x y 4 2 5 4 6 4 7 3 8 - 64 psi x y - 3584 psi x y - 4640 psi y + 1280 psi y 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 - 16 psi x + 80 psi x y - 192 psi x y + 352 psi x y 5 4 5 5 4 4 2 4 3 3 - 408 psi x y + 216 psi y + 48 psi x y + 144 psi x y 4 2 4 4 5 4 6 3 2 5 - 2716 psi x y + 5464 psi x y - 2464 psi y - 320 psi x y 3 6 3 7 4 4 4 3 2 + 5120 psi x y + 2560 psi y + 272 psi x y - 184 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 3 3 - 1952 psi x y + 2908 psi x y - 760 psi y - 1088 psi x y 3 2 4 3 5 3 6 2 7 + 1408 psi x y + 768 psi x y + 1920 psi y - 640 psi y 4 3 4 2 2 4 3 4 4 + 32 psi x y - 120 psi x y + 176 psi x y - 112 psi y 3 4 3 3 2 3 2 3 3 4 - 24 psi x y - 632 psi x y + 3472 psi x y - 4096 psi x y 3 5 2 2 4 2 5 2 6 3 4 + 928 psi y + 160 psi x y - 2880 psi x y - 720 psi y - 88 psi x 3 3 3 2 2 3 3 3 4 - 144 psi x y + 1072 psi x y - 1192 psi x y + 272 psi y 2 3 2 2 2 3 2 4 2 5 + 576 psi x y - 1496 psi x y + 664 psi x y - 480 psi y 6 3 3 3 2 3 2 3 3 + 160 psi y - 8 psi x + 24 psi x y - 48 psi x y + 40 psi y 2 4 2 3 2 2 2 2 3 + 4 psi x + 432 psi x y - 1668 psi x y + 1552 psi x y 2 4 2 3 4 5 2 3 - 216 psi y - 40 psi x y + 800 psi x y + 80 psi y + 68 psi x 2 2 2 2 2 3 3 - 240 psi x y + 246 psi x y - 64 psi y - 152 psi x y 2 2 3 4 5 2 + 608 psi x y - 416 psi x y + 80 psi y - 16 y + 8 psi x y 2 2 3 2 2 3 - 9 psi y - 88 psi x + 304 psi x y - 260 psi x y + 24 psi y 2 2 3 2 2 3 2 + 4 x y - 88 x y + 10 psi x - 20 psi x y + 10 psi y + 16 x - 88 x y 2 3 2 + 68 x y - 8 y - psi x + psi y - 8 x + 10 x y + x - y = 0 and in Maple notation -16*psi^10*y^10+160*psi^9*y^10-80*psi^9*x*y^8+80*psi^9*y^9-640*psi^8*y^10+288* psi^8*x*y^8-720*psi^8*y^9+1280*psi^7*y^10-160*psi^8*x^2*y^6+320*psi^8*x*y^7-192 *psi^8*y^8-32*psi^7*x^2*y^7+192*psi^7*x*y^8+2560*psi^7*y^9-1280*psi^6*y^10-96* psi^7*x^2*y^6-1376*psi^7*x*y^7+1472*psi^7*y^8+128*psi^6*x^2*y^7-1664*psi^6*x*y^ 8-4480*psi^6*y^9+512*psi^5*y^10-160*psi^7*x^3*y^4+480*psi^7*x^2*y^5-576*psi^7*x *y^6+288*psi^7*y^7-64*psi^6*x^3*y^5+1008*psi^6*x^2*y^6+544*psi^6*x*y^7-4384*psi ^6*y^8-128*psi^5*x^2*y^7+1536*psi^5*x*y^8+3840*psi^5*y^9-416*psi^6*x^3*y^4-320* psi^6*x^2*y^5+3128*psi^6*x*y^6-1792*psi^6*y^7-384*psi^5*x^3*y^5-512*psi^5*x^2*y ^6+4096*psi^5*x*y^7+6336*psi^5*y^8-1280*psi^4*y^9-80*psi^6*x^4*y^2+320*psi^6*x^ 3*y^3-576*psi^6*x^2*y^4+608*psi^6*x*y^5-296*psi^6*y^6-32*psi^5*x^4*y^3+224*psi^ 5*x^3*y^4-216*psi^5*x^2*y^5-3440*psi^5*x*y^6+4192*psi^5*y^7+320*psi^4*x^2*y^6-\ 4480*psi^4*x*y^7-4480*psi^4*y^8-192*psi^5*x^4*y^2+608*psi^5*x^3*y^3+1560*psi^5* x^2*y^4-3984*psi^5*x*y^5+1424*psi^5*y^6+1024*psi^4*x^3*y^4-64*psi^4*x^2*y^5-\ 3584*psi^4*x*y^6-4640*psi^4*y^7+1280*psi^3*y^8-16*psi^5*x^5+80*psi^5*x^4*y-192* psi^5*x^3*y^2+352*psi^5*x^2*y^3-408*psi^5*x*y^4+216*psi^5*y^5+48*psi^4*x^4*y^2+ 144*psi^4*x^3*y^3-2716*psi^4*x^2*y^4+5464*psi^4*x*y^5-2464*psi^4*y^6-320*psi^3* x^2*y^5+5120*psi^3*x*y^6+2560*psi^3*y^7+272*psi^4*x^4*y-184*psi^4*x^3*y^2-1952* psi^4*x^2*y^3+2908*psi^4*x*y^4-760*psi^4*y^5-1088*psi^3*x^3*y^3+1408*psi^3*x^2* y^4+768*psi^3*x*y^5+1920*psi^3*y^6-640*psi^2*y^7+32*psi^4*x^3*y-120*psi^4*x^2*y ^2+176*psi^4*x*y^3-112*psi^4*y^4-24*psi^3*x^4*y-632*psi^3*x^3*y^2+3472*psi^3*x^ 2*y^3-4096*psi^3*x*y^4+928*psi^3*y^5+160*psi^2*x^2*y^4-2880*psi^2*x*y^5-720*psi ^2*y^6-88*psi^3*x^4-144*psi^3*x^3*y+1072*psi^3*x^2*y^2-1192*psi^3*x*y^3+272*psi ^3*y^4+576*psi^2*x^3*y^2-1496*psi^2*x^2*y^3+664*psi^2*x*y^4-480*psi^2*y^5+160* psi*y^6-8*psi^3*x^3+24*psi^3*x^2*y-48*psi^3*x*y^2+40*psi^3*y^3+4*psi^2*x^4+432* psi^2*x^3*y-1668*psi^2*x^2*y^2+1552*psi^2*x*y^3-216*psi^2*y^4-40*psi*x^2*y^3+ 800*psi*x*y^4+80*psi*y^5+68*psi^2*x^3-240*psi^2*x^2*y+246*psi^2*x*y^2-64*psi^2* y^3-152*psi*x^3*y+608*psi*x^2*y^2-416*psi*x*y^3+80*psi*y^4-16*y^5+8*psi^2*x*y-9 *psi^2*y^2-88*psi*x^3+304*psi*x^2*y-260*psi*x*y^2+24*psi*y^3+4*x^2*y^2-88*x*y^3 +10*psi*x^2-20*psi*x*y+10*psi*y^2+16*x^3-88*x^2*y+68*x*y^2-8*y^3-psi*x+psi*y-8* x^2+10*x*y+x-y = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 7 - 6 (3 n + 2) (2 n + 1) (3 n + 1) (n + 1) ( 2 2553533436048096032510385514623776313 n + 9304154606961853248071344141784339311 n + 8807309341336808056731262390413952650) a(n)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) 6 (2 n + 13) %1) - 3 (14998361951942834150092787403062390358543 n 5 + 129981304012402795561757538031316068401582 n 4 + 465454339300189663295319758291097903870246 n 3 + 881473490193400510346146508342002768411204 n 2 + 932380684521904730729271394440321736731163 n + 523922556718686168923775771920891315059822 n + 122830798196249375602861959278520818222160) a(n + 1)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/2 ( 6 72419716127415935982471386088341298508044 n 5 + 1134292418158064342442954868854922756533775 n 4 + 8163719434742813054773334805900689382896369 n 3 + 34116190527058630451629204816073870759550971 n 2 + 84554175396729309684823837243415236207140835 n + 114203411894640009682915452528277330947737886 n + 64303728912502856093286700355992006048347720) a(n + 2)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) + 1/4 ( 6 83057703217815275140247761376144502625749 n 5 + 2682961592825874177223640927369276626475273 n 4 + 35443890029270861387712722088309190462901047 n 3 + 244003998762792524058325372375603651648687855 n 2 + 922567858040419716165721877334498203132219540 n + 1818250231959767169523440531618628758824745696 n + 1461727975652107828323990321882038658122705400) a(n + 3)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) + 1/4 ( 6 46292040848595031907556442725085813627005 n 5 + 1522713070624153048856800174203417563457199 n 4 + 20864437019676007341262207655861349925606697 n 3 + 152032642607126457552050330488791331206462341 n 2 + 620486851183329474266513188477295941049211370 n + 1344040610436090738694314864831547581466577748 n + 1207008650801482107573396616597489986241081560) a(n + 4)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/8 ( 6 11538450510729271185348256976551295780397 n 5 + 420085958063737847853553953865807065937696 n 4 + 6337791092747311161104301502937769118744172 n 3 + 50710996306397368015102861037962373470067834 n 2 + 226952051077512831686506350680992397064389431 n + 538656342893795101714352014897161137280872070 n + 529712351870270460167815690444069251273070320) a(n + 5)/((n + 8) (n + 7) 4 (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/2 (104052871340442545046018154162176928575 n 3 + 2374304085698429655040548731461004115607 n 2 + 20093169440399071099886499827533017414041 n + 74743375427626641960356672384342362986939 n + 103117817038464999314201805991716853062990) a(n + 6)/((2 n + 15) (n + 8) %1) + a(n + 7) = 0 2 %1 := 2902547952154558633620491722882903959 n + 30505912816399679349532908993239258992 n + 79148045346852300239225055079639032633 and in Maple notation -6*(3*n+2)*(2*n+1)*(3*n+1)*(n+1)*(2553533436048096032510385514623776313*n^2+ 9304154606961853248071344141784339311*n+8807309341336808056731262390413952650)/ (n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/(2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n)-3*(14998361951942834150092787403062390358543*n^6+ 129981304012402795561757538031316068401582*n^5+ 465454339300189663295319758291097903870246*n^4+ 881473490193400510346146508342002768411204*n^3+ 932380684521904730729271394440321736731163*n^2+ 523922556718686168923775771920891315059822*n+ 122830798196249375602861959278520818222160)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n+1)-1/2*(72419716127415935982471386088341298508044*n^6+ 1134292418158064342442954868854922756533775*n^5+ 8163719434742813054773334805900689382896369*n^4+ 34116190527058630451629204816073870759550971*n^3+ 84554175396729309684823837243415236207140835*n^2+ 114203411894640009682915452528277330947737886*n+ 64303728912502856093286700355992006048347720)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n+2)+1/4*(83057703217815275140247761376144502625749*n^6+ 2682961592825874177223640927369276626475273*n^5+ 35443890029270861387712722088309190462901047*n^4+ 244003998762792524058325372375603651648687855*n^3+ 922567858040419716165721877334498203132219540*n^2+ 1818250231959767169523440531618628758824745696*n+ 1461727975652107828323990321882038658122705400)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n+3)+1/4*(46292040848595031907556442725085813627005*n^6+ 1522713070624153048856800174203417563457199*n^5+ 20864437019676007341262207655861349925606697*n^4+ 152032642607126457552050330488791331206462341*n^3+ 620486851183329474266513188477295941049211370*n^2+ 1344040610436090738694314864831547581466577748*n+ 1207008650801482107573396616597489986241081560)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n+4)-1/8*(11538450510729271185348256976551295780397*n^6+ 420085958063737847853553953865807065937696*n^5+ 6337791092747311161104301502937769118744172*n^4+ 50710996306397368015102861037962373470067834*n^3+ 226952051077512831686506350680992397064389431*n^2+ 538656342893795101714352014897161137280872070*n+ 529712351870270460167815690444069251273070320)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n+5)-1/2*(104052871340442545046018154162176928575*n^4+ 2374304085698429655040548731461004115607*n^3+ 20093169440399071099886499827533017414041*n^2+ 74743375427626641960356672384342362986939*n+ 103117817038464999314201805991716853062990)/(2*n+15)/(n+8)/( 2902547952154558633620491722882903959*n^2+ 30505912816399679349532908993239258992*n+79148045346852300239225055079639032633 )*a(n+6)+a(n+7) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 2, a(2) = 8, a(3) = 44, a(4) = 280, a(5) = 1952, a(6) = 14464, a(7) = 112000 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 295795316285848537513954550659110925494449895620514376911270628684312\ 2241560079072015130703590190456711996861294529193118781860895239215800294566142\ 4978352762732458949217989389232857959646772592808848158616078718199765897991777\ 3518693430389206025431621666969951999385603232402769731392940181496472517030915\ 5730018652261673951598504791565537578788947892569368220127960846203666407708333\ 7779316450466698602127480650826678931129012053050884360231138357831870392055185\ 5262792884410531937146584903163177983356318773940702216169986125153102585633164\ 1450475203720981519840009081207017777304261684065577889586346214522919403372691\ 4454962706082443291980804160119516945578964927037595155906239873770994349004576\ 9669360695854711110574490561190232676811216649251618698912008081770341451307138\ 9634478303801208159973248839170705085019410879092237839034387936546736770143336\ 0242292734953665350646867667561687591562690721175807606779907291333856057310712\ 113399427819684624414782941898115569290315916896724657376438779904 --------------------------------------- This ends this paper that took, 17.335, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (2 Psi(x, 0) x y - 3 y + x - y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [2, 6, 28, 138, 772, 4444, 27000, 167314, 1066356, 6894980, 45338120, 301349732 , 2025412520, 13725303480, 93751996400, 644487898210, 4457043156948, 30980177543796, 216349249946472, 1517093078287276, 10678483558442872, 75418475773899272, 534316826369927312, 3796212270943559444, 27041943663321831752, 193094071040253048104, 1381870579556547978832, 9909723435211634210056, 71201592648993726557136, 512501081617577979831664, 3695101124693401935836128, 26683202860153419440631810, 192969218693144056987419796, 1397456603282300802887649236, 10133375102337285820732561704, 73570460585398689645989299548, 534757863564337519974373020248, 3891242386868438000981297201640, 28344707347813878676901592048720, 206673741644850984760664090027420, 1508366983603658347327317747757720, 11018371343641623273784586439332344, 80556046553207148941907789125825008, 589429913680003924218095184739241976, 4316220082480948697369762629891261488, 31629877280364707969820003605577630736, 231953028861530750470742604518271390496, 1702151371837425938568163624734998612596, 12499127041520036637716148821753218329224, 91840254686078220075504814014008636089160, 675223541434284258524482817375766733765520, 4967215524521994151868144931768819714832440, 36561144416125631921861750303513703094796720, 269251951873376798952077458330036262332467280, 1983908751622412479563120418045256931832362400, 14625145481690574088242608010720326403060186600, 107866530461386597756515801326803871264722689040, 795928366012135433512568083077356063913724194512, 5875639353145501194203363720813688577256206126496, 43393393957390436002902078362052554538074704515856, 320607174818163527282448754107116883434127989631392, 2369725694878548442398323892335311598181070149274336, 17522356729947147807537410380713924217909586535921600, 129613787217790370511879824639527845649670305391165250, 959111324872833326914570342245778606661134720309153300, 7099718022234558773039667083712731334581723910722967700, 52573003841870626569827290457462144658081902580573642920, 389430218508009129100298397413728104173298243942045447740, 2885608572715892357831457668178459720139229333823289536280, 21388584267241225381226344232817588092714230261719500521640, 158584089881141283934644296980340759110839323188015792470480, 1176160026681545238602526697176011851698580967178404528568780, 8725671683477536213043233022879479367070873464125497172341880, 64752053205474254292821878884434420137224746142793785212552920, 480648014947645515781028534815189260046078909533292701707950000, 3568753375997490466134741230121426923721267893243915676863138200, 26504441624653503660155870118632722510301056100680382698437068400, 196893148834128402330343333930372202945119567797088718030569858000, 1463017654593369257838766391295649268203779708878435577325019389600, 10873587339001209037930457974679648542713953865617325277676157355900, 80834703000279679471638153104149439707737977885894597665524802051800, 601065863765366402742309487379666046584896697920429407373549329871000, 4470366052841983840628285247430278987539441461363197855757387486878768, 33255125448282661565648432185142025439730431075723752871711304511246504, 247437964314142293766179297297996694306064114165122830081166490659653904, 1841467906875408474307757458903112728841088409330172001865843513749702128, 13707238322332713284159204138019464247024112910892220188565448104737108704, 102052053077328897389073091801444249038223903177740876763570251089112419480, 759936937677624863004886354670981028093620320040960081369104081372189010160] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 4 4 5 4 6 4 5 7 2 2 -1/2 x g + 8 g x - 3/8 g x + x g + 1/32 g - 3/128 g - 1/32 g x 3 2 2 2 2 3 2 2 4 + 1/16 x g - 1/2 x + 3 x g - 11/2 x g + 25/8 g x - 3/16 x g 2 3 3 3 3 4 3 5 - 3 g x + 12 x g - 89/8 x g + 1/2 x g - 1/128 = 0 and in Maple notation -1/2*x^4*g^4+8*g^5*x^4-3/8*g^6*x^4+x^5*g^7+1/32*g-3/128*g^2-1/32*g^2*x+1/16*x*g ^3-1/2*x^2+3*x^2*g-11/2*x^2*g^2+25/8*g^3*x^2-3/16*x^2*g^4-3*g^2*x^3+12*x^3*g^3-\ 89/8*x^3*g^4+1/2*x^3*g^5-1/128 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 14 14 13 14 13 12 13 13 -128 psi y + 2688 psi y - 896 psi x y + 800 psi y 12 14 12 12 12 13 11 14 - 24192 psi y + 12032 psi x y - 15296 psi y + 120960 psi y 12 2 10 12 11 12 12 11 2 11 - 2688 psi x y + 4800 psi x y - 2320 psi y - 512 psi x y 11 12 11 13 10 14 - 59520 psi x y + 124128 psi y - 362880 psi y 11 2 10 11 11 11 12 + 19840 psi x y - 64192 psi x y + 39456 psi y 10 2 11 10 12 10 13 + 6144 psi x y + 115200 psi x y - 552960 psi y 9 14 11 3 8 11 2 9 + 653184 psi y - 4480 psi x y + 12000 psi x y 11 10 11 11 10 3 9 - 11552 psi x y + 4096 psi y - 2048 psi x y 10 2 10 10 11 10 12 - 17920 psi x y + 321664 psi x y - 281328 psi y 9 2 11 9 12 9 13 - 27648 psi x y + 17280 psi x y + 1455840 psi y 8 14 10 3 8 10 2 9 - 653184 psi y + 12800 psi x y - 100608 psi x y 10 10 10 11 9 3 9 + 155552 psi x y - 60608 psi y + 6144 psi x y 9 2 10 9 11 9 12 - 188672 psi x y - 674688 psi x y + 1085760 psi y 8 2 11 8 12 8 13 + 55296 psi x y - 352512 psi x y - 2255040 psi y 7 14 10 4 6 10 3 7 + 279936 psi y - 4480 psi x y + 16000 psi x y 10 2 8 10 9 10 10 9 4 7 - 22960 psi x y + 16352 psi x y - 4816 psi y - 3072 psi x y 9 3 8 9 2 9 9 10 + 62208 psi x y + 248256 psi x y - 785856 psi x y 9 11 8 3 9 8 2 10 + 369792 psi y + 18432 psi x y + 574848 psi x y 8 11 8 12 7 2 11 + 202176 psi x y - 2438640 psi y - 41472 psi x y 7 12 7 13 9 4 6 9 3 7 + 342144 psi x y + 1889568 psi y - 640 psi x y - 66432 psi x y 9 2 8 9 9 9 10 8 4 7 + 228416 psi x y - 218944 psi x y + 60896 psi y - 6144 psi x y 8 3 8 8 2 9 8 10 - 219648 psi x y + 39552 psi x y + 1720640 psi x y 8 11 7 3 9 7 2 10 - 1199104 psi y - 55296 psi x y - 535680 psi x y 7 11 7 12 6 13 + 1263168 psi x y + 3175200 psi y - 653184 psi y 9 5 4 9 4 5 9 3 6 9 2 7 - 2688 psi x y + 12000 psi x y - 22720 psi x y + 24448 psi x y 9 8 9 9 8 5 5 8 4 6 - 14848 psi x y + 3824 psi y - 2048 psi x y + 61824 psi x y 8 3 7 8 2 8 8 9 + 7552 psi x y - 800992 psi x y + 1092416 psi x y 8 10 7 4 7 7 3 8 - 311056 psi y + 37888 psi x y + 45696 psi x y 7 2 9 7 10 7 11 - 950304 psi x y - 1012896 psi x y + 2224128 psi y 6 2 10 6 11 6 12 + 117504 psi x y - 1347840 psi x y - 2220048 psi y 8 5 4 8 4 5 8 3 6 - 4352 psi x y - 8128 psi x y + 145472 psi x y 8 2 7 8 8 8 9 7 5 5 - 288000 psi x y + 188304 psi x y - 40960 psi y - 6144 psi x y 7 4 6 7 3 7 7 2 8 - 17280 psi x y + 181632 psi x y + 1043008 psi x y 7 9 7 10 6 3 8 - 2421888 psi x y + 825280 psi y + 211968 psi x y 6 2 9 6 10 6 11 + 1072512 psi x y - 1663200 psi x y - 2372544 psi y 5 12 8 6 2 8 5 3 8 4 4 + 653184 psi y - 896 psi x y + 4800 psi x y - 11120 psi x y 8 3 5 8 2 6 8 7 8 8 + 16192 psi x y - 15712 psi x y + 8704 psi x y - 1896 psi y 7 6 3 7 5 4 7 4 5 7 3 6 - 512 psi x y + 17792 psi x y - 64032 psi x y - 345152 psi x y 7 2 7 7 8 7 9 + 1147648 psi x y - 906048 psi x y + 173728 psi y 6 4 6 6 3 7 6 2 8 - 120320 psi x y + 27648 psi x y - 10032 psi x y 6 9 6 10 5 2 9 + 1903328 psi x y - 1225456 psi y - 141696 psi x y 5 10 5 11 7 6 2 + 1924992 psi x y + 1385856 psi y - 1408 psi x y 7 5 3 7 4 4 7 3 5 + 9792 psi x y + 29600 psi x y - 164736 psi x y 7 2 6 7 7 7 8 6 5 4 + 206016 psi x y - 93248 psi x y + 17632 psi y + 19456 psi x y 6 4 5 6 3 6 6 2 7 - 14976 psi x y + 382912 psi x y - 1903616 psi x y 6 8 6 9 5 3 7 + 2016032 psi x y - 374080 psi y - 330240 psi x y 5 2 8 5 9 5 10 - 684032 psi x y + 821184 psi x y + 1036512 psi y 4 11 7 7 7 6 7 5 2 - 362880 psi y - 128 psi x + 800 psi x y - 2080 psi x y 7 4 3 7 3 4 7 2 5 7 6 + 3968 psi x y - 6208 psi x y + 6112 psi x y - 2976 psi x y 7 7 6 6 2 6 5 3 6 4 4 + 336 psi y + 768 psi x y - 21248 psi x y - 50672 psi x y 6 3 5 6 2 6 6 7 6 8 + 519488 psi x y - 834944 psi x y + 425664 psi x y - 63760 psi y 5 4 5 5 3 6 5 2 7 + 151296 psi x y - 347136 psi x y + 1165056 psi x y 5 8 5 9 4 2 8 - 1868608 psi x y + 437904 psi y + 94272 psi x y 4 9 4 10 6 6 6 5 2 - 1405440 psi x y - 494640 psi y + 3200 psi x y - 4576 psi x y 6 4 3 6 3 4 6 2 5 6 6 - 38208 psi x y + 98016 psi x y - 73216 psi x y + 18192 psi x y 6 7 5 5 3 5 4 4 5 3 5 - 3744 psi y - 23040 psi x y + 110720 psi x y - 661376 psi x y 5 2 6 5 7 5 8 + 1441856 psi x y - 973440 psi x y + 114400 psi y 4 3 6 4 2 7 4 8 4 9 + 275200 psi x y - 29440 psi x y + 85072 psi x y - 279168 psi y 3 10 6 6 6 5 6 4 2 + 120960 psi y + 48 psi x - 32 psi x y - 592 psi x y 6 3 3 6 2 4 6 5 6 6 + 1408 psi x y - 1264 psi x y + 256 psi x y + 288 psi y 5 6 5 5 2 5 4 3 5 3 4 - 384 psi x y - 1920 psi x y + 102784 psi x y - 307456 psi x y 5 2 5 5 6 5 7 4 4 4 + 282240 psi x y - 81040 psi x y + 13840 psi y - 95872 psi x y 4 3 5 4 2 6 4 7 + 388352 psi x y - 1054304 psi x y + 1011968 psi x y 4 8 3 2 7 3 8 3 9 - 107768 psi y - 37376 psi x y + 585600 psi x y + 98208 psi y 5 6 5 5 5 4 2 5 3 3 - 1024 psi x - 3136 psi x y + 20832 psi x y - 24512 psi x y 5 2 4 5 5 5 6 4 5 2 + 2608 psi x y + 5480 psi x y - 584 psi y + 13056 psi x y 4 4 3 4 3 4 4 2 5 - 92544 psi x y + 349088 psi x y - 491968 psi x y 4 6 4 7 3 3 5 3 2 6 + 229968 psi x y - 22336 psi y - 133632 psi x y + 224128 psi x y 3 7 3 8 2 9 5 5 - 258432 psi x y + 50400 psi y - 24192 psi y - 64 psi x 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 + 176 psi x y - 160 psi x y + 16 psi x y + 280 psi x y 5 5 4 6 4 5 4 4 2 - 278 psi y + 64 psi x + 6912 psi x y - 42992 psi x y 4 3 3 4 2 4 4 5 4 6 + 61504 psi x y - 9408 psi x y - 16448 psi x y - 928 psi y 3 4 3 3 3 4 3 2 5 + 31232 psi x y - 167808 psi x y + 390112 psi x y 3 6 3 7 2 2 6 2 7 - 290928 psi x y + 17984 psi y + 8832 psi x y - 141568 psi x y 2 8 4 5 4 4 4 3 2 - 8816 psi y + 1424 psi x - 2816 psi x y - 1680 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 5 + 6352 psi x y - 3868 psi x y + 748 psi y - 3584 psi x y 3 4 2 3 3 3 3 2 4 3 5 + 25088 psi x y - 59072 psi x y + 42448 psi x y - 3128 psi x y 3 6 2 3 4 2 2 5 2 6 + 2200 psi y + 38016 psi x y - 105600 psi x y + 109952 psi x y 2 7 8 4 4 4 3 4 2 2 - 7360 psi y + 2688 psi y + 24 psi x - 32 psi x y + 48 psi x y 4 3 4 4 3 5 3 4 - 156 psi x y + 119 psi y - 1536 psi x + 3264 psi x y 3 3 2 3 2 3 3 4 3 5 + 6352 psi x y - 18152 psi x y + 10480 psi x y - 326 psi y 2 4 2 2 3 3 2 2 4 2 5 - 4224 psi x y + 27392 psi x y - 56240 psi x y + 35376 psi x y 2 6 2 5 6 7 3 4 - 1408 psi y - 1152 psi x y + 18560 psi x y - 64 psi y - 400 psi x 3 3 3 2 2 3 3 3 4 + 1256 psi x y - 1376 psi x y + 772 psi x y - 282 psi y 2 5 2 4 2 3 2 2 2 3 + 384 psi x - 768 psi x y - 5152 psi x y + 14176 psi x y 2 4 2 5 3 3 2 4 - 9180 psi x y - 88 psi y - 5888 psi x y + 20736 psi x y 5 6 7 3 3 3 2 - 20224 psi x y + 928 psi y - 128 y - 8 psi x - 6 psi x y 3 2 3 3 2 4 2 3 + 42 psi x y - 28 psi y + 704 psi x - 2608 psi x y 2 2 2 2 3 2 4 4 + 3228 psi x y - 1424 psi x y + 111 psi y - 128 psi x y 3 2 2 3 4 5 2 4 + 384 psi x y - 960 psi x y + 784 psi x y - 112 psi y + 64 x y 5 6 2 3 2 2 2 2 2 3 - 1024 x y + 48 y + 4 psi x + 16 psi x y - 78 psi x y + 60 psi y 4 3 2 2 3 4 - 384 psi x + 1792 psi x y - 2608 psi x y + 1232 psi x y + 40 psi y 3 2 2 3 4 5 2 2 2 + 384 x y - 1536 x y + 1424 x y - 64 y + 3 psi x - 6 psi x y 2 2 2 2 3 4 3 + 3 psi y - 6 psi x y + 28 psi x y - 24 psi y + 64 x - 384 x y 2 2 3 4 2 2 2 + 704 x y - 400 x y + 24 y - 4 psi x + 10 psi x y - 6 psi y + 4 x y 3 2 2 - 8 y + x - 4 x y + 3 y = 0 and in Maple notation -128*psi^14*y^14+2688*psi^13*y^14-896*psi^13*x*y^12+800*psi^13*y^13-24192*psi^ 12*y^14+12032*psi^12*x*y^12-15296*psi^12*y^13+120960*psi^11*y^14-2688*psi^12*x^ 2*y^10+4800*psi^12*x*y^11-2320*psi^12*y^12-512*psi^11*x^2*y^11-59520*psi^11*x*y ^12+124128*psi^11*y^13-362880*psi^10*y^14+19840*psi^11*x^2*y^10-64192*psi^11*x* y^11+39456*psi^11*y^12+6144*psi^10*x^2*y^11+115200*psi^10*x*y^12-552960*psi^10* y^13+653184*psi^9*y^14-4480*psi^11*x^3*y^8+12000*psi^11*x^2*y^9-11552*psi^11*x* y^10+4096*psi^11*y^11-2048*psi^10*x^3*y^9-17920*psi^10*x^2*y^10+321664*psi^10*x *y^11-281328*psi^10*y^12-27648*psi^9*x^2*y^11+17280*psi^9*x*y^12+1455840*psi^9* y^13-653184*psi^8*y^14+12800*psi^10*x^3*y^8-100608*psi^10*x^2*y^9+155552*psi^10 *x*y^10-60608*psi^10*y^11+6144*psi^9*x^3*y^9-188672*psi^9*x^2*y^10-674688*psi^9 *x*y^11+1085760*psi^9*y^12+55296*psi^8*x^2*y^11-352512*psi^8*x*y^12-2255040*psi ^8*y^13+279936*psi^7*y^14-4480*psi^10*x^4*y^6+16000*psi^10*x^3*y^7-22960*psi^10 *x^2*y^8+16352*psi^10*x*y^9-4816*psi^10*y^10-3072*psi^9*x^4*y^7+62208*psi^9*x^3 *y^8+248256*psi^9*x^2*y^9-785856*psi^9*x*y^10+369792*psi^9*y^11+18432*psi^8*x^3 *y^9+574848*psi^8*x^2*y^10+202176*psi^8*x*y^11-2438640*psi^8*y^12-41472*psi^7*x ^2*y^11+342144*psi^7*x*y^12+1889568*psi^7*y^13-640*psi^9*x^4*y^6-66432*psi^9*x^ 3*y^7+228416*psi^9*x^2*y^8-218944*psi^9*x*y^9+60896*psi^9*y^10-6144*psi^8*x^4*y ^7-219648*psi^8*x^3*y^8+39552*psi^8*x^2*y^9+1720640*psi^8*x*y^10-1199104*psi^8* y^11-55296*psi^7*x^3*y^9-535680*psi^7*x^2*y^10+1263168*psi^7*x*y^11+3175200*psi ^7*y^12-653184*psi^6*y^13-2688*psi^9*x^5*y^4+12000*psi^9*x^4*y^5-22720*psi^9*x^ 3*y^6+24448*psi^9*x^2*y^7-14848*psi^9*x*y^8+3824*psi^9*y^9-2048*psi^8*x^5*y^5+ 61824*psi^8*x^4*y^6+7552*psi^8*x^3*y^7-800992*psi^8*x^2*y^8+1092416*psi^8*x*y^9 -311056*psi^8*y^10+37888*psi^7*x^4*y^7+45696*psi^7*x^3*y^8-950304*psi^7*x^2*y^9 -1012896*psi^7*x*y^10+2224128*psi^7*y^11+117504*psi^6*x^2*y^10-1347840*psi^6*x* y^11-2220048*psi^6*y^12-4352*psi^8*x^5*y^4-8128*psi^8*x^4*y^5+145472*psi^8*x^3* y^6-288000*psi^8*x^2*y^7+188304*psi^8*x*y^8-40960*psi^8*y^9-6144*psi^7*x^5*y^5-\ 17280*psi^7*x^4*y^6+181632*psi^7*x^3*y^7+1043008*psi^7*x^2*y^8-2421888*psi^7*x* y^9+825280*psi^7*y^10+211968*psi^6*x^3*y^8+1072512*psi^6*x^2*y^9-1663200*psi^6* x*y^10-2372544*psi^6*y^11+653184*psi^5*y^12-896*psi^8*x^6*y^2+4800*psi^8*x^5*y^ 3-11120*psi^8*x^4*y^4+16192*psi^8*x^3*y^5-15712*psi^8*x^2*y^6+8704*psi^8*x*y^7-\ 1896*psi^8*y^8-512*psi^7*x^6*y^3+17792*psi^7*x^5*y^4-64032*psi^7*x^4*y^5-345152 *psi^7*x^3*y^6+1147648*psi^7*x^2*y^7-906048*psi^7*x*y^8+173728*psi^7*y^9-120320 *psi^6*x^4*y^6+27648*psi^6*x^3*y^7-10032*psi^6*x^2*y^8+1903328*psi^6*x*y^9-\ 1225456*psi^6*y^10-141696*psi^5*x^2*y^9+1924992*psi^5*x*y^10+1385856*psi^5*y^11 -1408*psi^7*x^6*y^2+9792*psi^7*x^5*y^3+29600*psi^7*x^4*y^4-164736*psi^7*x^3*y^5 +206016*psi^7*x^2*y^6-93248*psi^7*x*y^7+17632*psi^7*y^8+19456*psi^6*x^5*y^4-\ 14976*psi^6*x^4*y^5+382912*psi^6*x^3*y^6-1903616*psi^6*x^2*y^7+2016032*psi^6*x* y^8-374080*psi^6*y^9-330240*psi^5*x^3*y^7-684032*psi^5*x^2*y^8+821184*psi^5*x*y ^9+1036512*psi^5*y^10-362880*psi^4*y^11-128*psi^7*x^7+800*psi^7*x^6*y-2080*psi^ 7*x^5*y^2+3968*psi^7*x^4*y^3-6208*psi^7*x^3*y^4+6112*psi^7*x^2*y^5-2976*psi^7*x *y^6+336*psi^7*y^7+768*psi^6*x^6*y^2-21248*psi^6*x^5*y^3-50672*psi^6*x^4*y^4+ 519488*psi^6*x^3*y^5-834944*psi^6*x^2*y^6+425664*psi^6*x*y^7-63760*psi^6*y^8+ 151296*psi^5*x^4*y^5-347136*psi^5*x^3*y^6+1165056*psi^5*x^2*y^7-1868608*psi^5*x *y^8+437904*psi^5*y^9+94272*psi^4*x^2*y^8-1405440*psi^4*x*y^9-494640*psi^4*y^10 +3200*psi^6*x^6*y-4576*psi^6*x^5*y^2-38208*psi^6*x^4*y^3+98016*psi^6*x^3*y^4-\ 73216*psi^6*x^2*y^5+18192*psi^6*x*y^6-3744*psi^6*y^7-23040*psi^5*x^5*y^3+110720 *psi^5*x^4*y^4-661376*psi^5*x^3*y^5+1441856*psi^5*x^2*y^6-973440*psi^5*x*y^7+ 114400*psi^5*y^8+275200*psi^4*x^3*y^6-29440*psi^4*x^2*y^7+85072*psi^4*x*y^8-\ 279168*psi^4*y^9+120960*psi^3*y^10+48*psi^6*x^6-32*psi^6*x^5*y-592*psi^6*x^4*y^ 2+1408*psi^6*x^3*y^3-1264*psi^6*x^2*y^4+256*psi^6*x*y^5+288*psi^6*y^6-384*psi^5 *x^6*y-1920*psi^5*x^5*y^2+102784*psi^5*x^4*y^3-307456*psi^5*x^3*y^4+282240*psi^ 5*x^2*y^5-81040*psi^5*x*y^6+13840*psi^5*y^7-95872*psi^4*x^4*y^4+388352*psi^4*x^ 3*y^5-1054304*psi^4*x^2*y^6+1011968*psi^4*x*y^7-107768*psi^4*y^8-37376*psi^3*x^ 2*y^7+585600*psi^3*x*y^8+98208*psi^3*y^9-1024*psi^5*x^6-3136*psi^5*x^5*y+20832* psi^5*x^4*y^2-24512*psi^5*x^3*y^3+2608*psi^5*x^2*y^4+5480*psi^5*x*y^5-584*psi^5 *y^6+13056*psi^4*x^5*y^2-92544*psi^4*x^4*y^3+349088*psi^4*x^3*y^4-491968*psi^4* x^2*y^5+229968*psi^4*x*y^6-22336*psi^4*y^7-133632*psi^3*x^3*y^5+224128*psi^3*x^ 2*y^6-258432*psi^3*x*y^7+50400*psi^3*y^8-24192*psi^2*y^9-64*psi^5*x^5+176*psi^5 *x^4*y-160*psi^5*x^3*y^2+16*psi^5*x^2*y^3+280*psi^5*x*y^4-278*psi^5*y^5+64*psi^ 4*x^6+6912*psi^4*x^5*y-42992*psi^4*x^4*y^2+61504*psi^4*x^3*y^3-9408*psi^4*x^2*y ^4-16448*psi^4*x*y^5-928*psi^4*y^6+31232*psi^3*x^4*y^3-167808*psi^3*x^3*y^4+ 390112*psi^3*x^2*y^5-290928*psi^3*x*y^6+17984*psi^3*y^7+8832*psi^2*x^2*y^6-\ 141568*psi^2*x*y^7-8816*psi^2*y^8+1424*psi^4*x^5-2816*psi^4*x^4*y-1680*psi^4*x^ 3*y^2+6352*psi^4*x^2*y^3-3868*psi^4*x*y^4+748*psi^4*y^5-3584*psi^3*x^5*y+25088* psi^3*x^4*y^2-59072*psi^3*x^3*y^3+42448*psi^3*x^2*y^4-3128*psi^3*x*y^5+2200*psi ^3*y^6+38016*psi^2*x^3*y^4-105600*psi^2*x^2*y^5+109952*psi^2*x*y^6-7360*psi^2*y ^7+2688*psi*y^8+24*psi^4*x^4-32*psi^4*x^3*y+48*psi^4*x^2*y^2-156*psi^4*x*y^3+ 119*psi^4*y^4-1536*psi^3*x^5+3264*psi^3*x^4*y+6352*psi^3*x^3*y^2-18152*psi^3*x^ 2*y^3+10480*psi^3*x*y^4-326*psi^3*y^5-4224*psi^2*x^4*y^2+27392*psi^2*x^3*y^3-\ 56240*psi^2*x^2*y^4+35376*psi^2*x*y^5-1408*psi^2*y^6-1152*psi*x^2*y^5+18560*psi *x*y^6-64*psi*y^7-400*psi^3*x^4+1256*psi^3*x^3*y-1376*psi^3*x^2*y^2+772*psi^3*x *y^3-282*psi^3*y^4+384*psi^2*x^5-768*psi^2*x^4*y-5152*psi^2*x^3*y^2+14176*psi^2 *x^2*y^3-9180*psi^2*x*y^4-88*psi^2*y^5-5888*psi*x^3*y^3+20736*psi*x^2*y^4-20224 *psi*x*y^5+928*psi*y^6-128*y^7-8*psi^3*x^3-6*psi^3*x^2*y+42*psi^3*x*y^2-28*psi^ 3*y^3+704*psi^2*x^4-2608*psi^2*x^3*y+3228*psi^2*x^2*y^2-1424*psi^2*x*y^3+111* psi^2*y^4-128*psi*x^4*y+384*psi*x^3*y^2-960*psi*x^2*y^3+784*psi*x*y^4-112*psi*y ^5+64*x^2*y^4-1024*x*y^5+48*y^6+4*psi^2*x^3+16*psi^2*x^2*y-78*psi^2*x*y^2+60* psi^2*y^3-384*psi*x^4+1792*psi*x^3*y-2608*psi*x^2*y^2+1232*psi*x*y^3+40*psi*y^4 +384*x^3*y^2-1536*x^2*y^3+1424*x*y^4-64*y^5+3*psi^2*x^2-6*psi^2*x*y+3*psi^2*y^2 -6*psi*x^2*y+28*psi*x*y^2-24*psi*y^3+64*x^4-384*x^3*y+704*x^2*y^2-400*x*y^3+24* y^4-4*psi*x^2+10*psi*x*y-6*psi*y^2+4*x*y^2-8*y^3+x^2-4*x*y+3*y^2 = 0 --------------------------------------- This ends this paper that took, 119.617, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (2 Psi(x, 0) x y - y + x - 2 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1, 9/4, 53/8, 1433/64, 10539/128, 164129/512, 1331901/1024, 89213265/16384, 765503807/32768, 13399116083/131072, 119189843595/262144, 4299140859637/2097152 , 39219093463063/4194304, 722731823772489/16777216, 6717353219896125/33554432, 1006587804276468801/1073741824, 9491137446823321095/2147483648, 180065562489139533983/8589934592, 1717357762608257730271/17179869184, 65836995639603766229079/137438953472, 633784844809313994915765/274877906944, 12251693409035345500290615/1099511627776, 118856915259535805878290123/ 2199023255552, 9255858186592991680233771645/35184372088832, 90381191594594630087241980163/70368744177664, 1770218082232271416367250142383/ 281474976710656, 17382497184097429784779659137399/562949953421312, 684452194830000527814231385057453/4503599627370496, 6753466993069221673353235613898543/9007199254740992, 133563390132294080211310008273540761/36028797018963968, 1323444189885682050979561963382066237/72057594037927936, 420443239485931262603256524530583101473/4611686018427387904, 4181610243338122408504896863468124257303/9223372036854775808, 83319997523614442649817546431158814080727/36893488147419103232, 831425551771532893819880717898289726508583/73786976294838206464, 33236719707902652305836495226075342305297123/590295810358705651712, 332643387773413894326832683154064656202390633/1180591620717411303424, 6667507887409895637584755710650159297090194635/4722366482869645213696, 66908682329497169633891826256494534831870566303/9444732965739290427392, 5378092436369977881927183269495603879990554141759/151115727451828646838272, 54099775163309373045858071479740081201127039979601/302231454903657293676544, 1089633333746282520738188980909117788876132129891405/1208925819614629174706176, 10985023306615811992232889586181732233506326819794005/2417851639229258349412352 , 443431643411907358941913689198018418084942858135383651/ 19342813113834066795298816, 4479383738745298874470709394811960417518634057877282001/ 38685626227668133590597632, 90583217033704442201674498091224376840308472556278421375/ 154742504910672534362390528, 916723236789875666922509393690395500960238950403038316875/ 309485009821345068724781056, 148567534725775393924139147609694992406741845307893901588237/ 9903520314283042199192993792, 1506086548733264818953677948329388118204518310013561070272251/ 19807040628566084398385987584, 30559923096507929964328434529148628454239549469033044638588739/ 79228162514264337593543950336, 310282810588465070331918016763593967591932759802025382367107875/ 158456325028528675187087900672, 12610835267468027432751353491515512260980661853243111399771864259/ 1267650600228229401496703205376, 128226837386076184394156725564162746336067880551579619648653403481/ 2535301200456458802993406410752, 2609407031452417785970383008897613786938209426796611082514562342835/ 10141204801825835211973625643008, 26568194306388881945204623645709697543892063571578619259434987290039/ 20282409603651670423947251286016, 2165457095203959761928284067021700273569732733213562703457067775717717/ 324518553658426726783156020576256, 22075728348001219284106643540466328799439794345040607362594343728218507/ 649037107316853453566312041152512, 450369973640707178280613225658826541435671533297840662089151080631682407/ 2596148429267413814265248164610048, 4596679604157437784515981735676464908287503066870088254452769534717638287/ 5192296858534827628530496329220096, 187767897808268465171194102253038662820245534857118675188717606191321473053/ 41538374868278621028243970633760768, 1918549755686491411213142070823035684210766892578959999160346450857857389151/ 83076749736557242056487941267521536, 39226724487482980434374605620312149117807473308903953375934772935886711482681/ 332306998946228968225951765070086144, 401218812380049193349922608553029813570037745223294600679737848906208477666877/ 664613997892457936451903530140172288, 26276897503886231695501308336693001582821\ 2324431679481494504531260206442810114017/85070591730234615865843651857942052864 , 26902591596918593781377615527336275753971377909761489309391409383497475725998\ 72055/170141183460469231731687303715884105728, 55111884532595202039824963040895\ 508317698237151459655397041364408606420198302408391/ 680564733841876926926749214863536422912, 56475710297908299620586497716536212237\ 1712148087800655531326340974095234579703927095/ 1361129467683753853853498429727072845824, 2315942936744795499016214377122028121\ 3460508285789144642158083008049620307812089125211/ 10889035741470030830827987437816582766592, 237529964552326757074665297651578196\ 221779673227454840462861984905935660287621008701297/ 21778071482940061661655974875633165533184, 487436703656727240585104101466702315\ 6267405176011566618998317571954678253810462373584019/ 87112285931760246646623899502532662132736, 500336790855366459463321591038169133\ 68874442818803536515744810879761028142941421735777255/ 174224571863520493293247799005065324265472, 41102318592553605620068263137547735\ 00794176414777199253085660708259034486797443045071090315/ 2787593149816327892691964784081045188247552, 4222264096914934133632014605774655\ 0123935894613234223267927558896052264826472721460078121957/ 5575186299632655785383929568162090376495104, 8677913413719848506173034331775532\ 92106179802733543533654914973710520178778010085768629686657/ 22300745198530623141535718272648361505980416, 892096686136125768540813826602954\ 2226421662099790060059592870828300864952011209851675711912073/ 44601490397061246283071436545296723011960832, 366962110464929580029296889210544\ 363002014339509955167803521397261793069846580769606916023250855/ 356811923176489970264571492362373784095686656, 37750210844099011970173021662625\ 25139323095300729789168905313673902916287828770740355302243953053/ 713623846352979940529142984724747568191373312, 77694930767062919707590764356422\ 175821010458688615414152382286157183575407900021716645822834875235/ 2854495385411919762116571938898990272765493248, 7997929639676026924564302508809\ 61384238294232730366669350945960072086582352731355783593782398655263/ 5708990770823839524233143877797980545530986496, 1317712345617195354955638311601\ 54153673749424546450224587124646449594837456856883954974635164108996751/ 182687704666362864775460604089535377456991567872, 13573083467475307097409238272\ 54552414167746968433666903273758386435437208553135609807817748091976276969/ 365375409332725729550921208179070754913983135744, 27970361862943282859496858459\ 529492015249492063447280785074183907152699099298459893611805254965135378225/ 1461501637330902918203684832716283019655932542976, 2882811494154897276292106594\ 64121450312542817906950694248690032566892971291679836181038322800803994667697/ 2923003274661805836407369665432566039311865085952, 1188830722901984966209570076\ 5016792404195319608611153994544653765556957313012022218807790731250259968284649 /23384026197294446691258957323460528314494920687616, 12259889718147437299422753\ 1551780772165461681863173464675548977746065986302200606499035371658816584964606\ 155/46768052394588893382517914646921056628989841375232, 25293160315554203063369\ 7190108742924742153331199221680331863033529126124436747871136999781599454850766\ 7501417/187072209578355573530071658587684226515959365500928, 260979837103123039\ 6665716433188540180880801150723886314463851395458599607131003840358774963107447\ 2827637698069/374144419156711147060143317175368453031918731001856, 215484253778\ 0089198271598477673444632843168936070311064089401160265396955276622608437192558\ 349751008176612165083/5986310706507378352962293074805895248510699696029696, 222\ 4571548346385230901899715401675053241933342281393256192216833764753080647676280\ 7608305985902632820360634169317/ 11972621413014756705924586149611790497021399392059392] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 2 3 2 2 2 4 -2/3 g + g + 4/3 x + 10/3 x g - 4 g x - 2 x g - 1/3 + 11/3 x g + 3 x g 3 4 3 5 6 4 + 10/3 x g - 2 x g + g x = 0 and in Maple notation -2/3*g+g^2+4/3*x+10/3*x*g-4*g^2*x-2*x*g^3-1/3+11/3*x^2*g^2+3*x^2*g^4+10/3*x^3*g ^4-2*x^3*g^5+g^6*x^4 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 12 12 11 12 11 10 11 11 10 12 3 psi y - 18 psi y + 18 psi x y - 24 psi y + 45 psi y 10 10 10 11 9 12 10 2 8 - 50 psi x y + 138 psi y - 60 psi y + 45 psi x y 10 9 10 10 9 10 9 11 - 120 psi x y + 90 psi y + 20 psi x y - 330 psi y 8 12 9 2 8 9 9 9 10 + 45 psi y - 20 psi x y + 210 psi x y - 474 psi y 8 10 8 11 7 12 9 3 6 + 60 psi x y + 420 psi y - 18 psi y + 60 psi x y 9 2 7 9 8 9 9 8 2 8 - 240 psi x y + 354 psi x y - 216 psi y - 34 psi x y 8 9 8 10 7 10 7 11 + 200 psi x y + 1041 psi y - 70 psi x y - 300 psi y 6 12 8 3 6 8 2 7 8 8 + 3 psi y + 60 psi x y - 220 psi x y - 414 psi x y 8 9 7 2 8 7 9 7 10 + 978 psi y - 52 psi x y - 660 psi x y - 1224 psi y 6 10 6 11 8 4 4 8 3 5 + 22 psi x y + 114 psi y + 45 psi x y - 240 psi x y 8 2 6 8 7 8 8 7 3 6 + 516 psi x y - 624 psi x y + 369 psi y + 52 psi x y 7 2 7 7 8 7 9 6 2 8 + 244 psi x y - 1064 psi x y - 1848 psi y + 61 psi x y 6 9 6 10 5 11 7 4 4 + 480 psi x y + 816 psi y - 18 psi y + 70 psi x y 7 3 5 7 2 6 7 7 7 8 - 540 psi x y + 844 psi x y + 1080 psi x y - 1356 psi y 6 3 6 6 2 7 6 8 6 9 + 84 psi x y + 460 psi x y + 2184 psi x y + 1896 psi y 5 9 5 10 7 5 2 7 4 3 - 110 psi x y - 294 psi y + 18 psi x y - 120 psi x y 7 3 4 7 2 5 7 6 7 7 + 324 psi x y - 576 psi x y + 732 psi x y - 468 psi y 6 4 4 6 3 5 6 2 6 6 7 + 61 psi x y - 408 psi x y - 118 psi x y + 1280 psi x y 6 8 5 2 7 5 8 5 9 + 2034 psi y - 244 psi x y - 1290 psi x y - 1140 psi y 4 10 6 5 2 6 4 3 6 3 4 + 45 psi y + 22 psi x y - 270 psi x y + 1044 psi x y 6 2 5 6 6 6 7 5 3 5 - 436 psi x y - 2604 psi x y + 1320 psi y - 252 psi x y 5 2 6 5 7 5 8 4 8 - 1224 psi x y - 3276 psi x y - 1656 psi y + 230 psi x y 4 9 6 6 6 5 6 4 2 6 3 3 + 390 psi y + 3 psi x - 24 psi x y + 66 psi x y - 144 psi x y 6 2 4 6 5 6 6 5 4 3 + 366 psi x y - 588 psi x y + 450 psi y - 122 psi x y 5 3 4 5 2 5 5 6 5 7 + 816 psi x y - 920 psi x y + 544 psi x y - 1464 psi y 4 2 6 4 7 4 8 3 9 + 414 psi x y + 1800 psi x y + 834 psi y - 60 psi y 5 5 5 4 2 5 3 3 5 2 4 - 22 psi x y + 270 psi x y - 648 psi x y - 980 psi x y 5 5 5 6 4 3 4 4 2 5 + 3348 psi x y - 906 psi y + 328 psi x y + 1648 psi x y 4 6 4 7 3 7 3 8 5 5 + 2352 psi x y + 828 psi y - 260 psi x y - 270 psi y - 6 psi x 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 + 24 psi x y + 12 psi x y - 156 psi x y + 318 psi x y 5 5 4 4 2 4 3 3 4 2 4 - 324 psi y + 109 psi x y - 832 psi x y + 1805 psi x y 4 5 4 6 3 2 5 3 6 - 2308 psi x y + 732 psi y - 388 psi x y - 1410 psi x y 3 7 2 8 4 5 4 4 4 3 2 - 276 psi y + 45 psi y + 10 psi x - 110 psi x y + 12 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 3 3 + 1328 psi x y - 2208 psi x y + 438 psi y - 236 psi x y 3 2 4 3 5 3 6 2 6 - 1306 psi x y - 540 psi x y - 282 psi y + 170 psi x y 2 7 4 4 4 3 4 2 2 4 3 + 78 psi y + 9 psi x - 36 psi x y + 54 psi x y - 120 psi x y 4 4 3 4 3 3 2 3 2 3 + 171 psi y - 48 psi x y + 474 psi x y - 1388 psi x y 3 4 3 5 2 2 4 2 5 + 1906 psi x y - 252 psi y + 216 psi x y + 600 psi x y 2 6 7 3 3 3 2 2 3 3 + 24 psi y - 18 psi y + 132 psi x y - 578 psi x y + 696 psi x y 3 4 2 3 2 2 2 3 2 4 - 150 psi y + 102 psi x y + 618 psi x y - 264 psi x y 2 5 5 6 3 3 3 2 + 102 psi y - 62 psi x y + 6 psi y - 6 psi x + 12 psi x y 3 2 3 3 2 4 2 3 2 2 2 + 30 psi x y - 60 psi y + 11 psi x - 144 psi x y + 464 psi x y 2 3 2 4 2 3 4 5 - 628 psi x y + 33 psi y - 70 psi x y - 110 psi x y - 12 psi y 6 2 3 2 2 2 2 2 3 + 3 y - 12 psi x + 50 psi x y - 72 psi x y + 42 psi y 3 2 2 3 4 4 5 - 26 psi x y - 154 psi x y + 156 psi x y - 18 psi y + 10 x y - 6 y 2 2 2 2 2 3 2 + 3 psi x - 12 psi x y + 12 psi y + 10 psi x - 32 psi x y 2 3 2 2 4 2 + 52 psi x y + 6 psi y + 11 x y + 9 y - 2 psi x + 10 psi x y 2 3 2 2 3 2 2 - 12 psi y + 4 x + 10 x y - 12 x y - 6 y - x - 2 x y + 3 y = 0 and in Maple notation 3*psi^12*y^12-18*psi^11*y^12+18*psi^11*x*y^10-24*psi^11*y^11+45*psi^10*y^12-50* psi^10*x*y^10+138*psi^10*y^11-60*psi^9*y^12+45*psi^10*x^2*y^8-120*psi^10*x*y^9+ 90*psi^10*y^10+20*psi^9*x*y^10-330*psi^9*y^11+45*psi^8*y^12-20*psi^9*x^2*y^8+ 210*psi^9*x*y^9-474*psi^9*y^10+60*psi^8*x*y^10+420*psi^8*y^11-18*psi^7*y^12+60* psi^9*x^3*y^6-240*psi^9*x^2*y^7+354*psi^9*x*y^8-216*psi^9*y^9-34*psi^8*x^2*y^8+ 200*psi^8*x*y^9+1041*psi^8*y^10-70*psi^7*x*y^10-300*psi^7*y^11+3*psi^6*y^12+60* psi^8*x^3*y^6-220*psi^8*x^2*y^7-414*psi^8*x*y^8+978*psi^8*y^9-52*psi^7*x^2*y^8-\ 660*psi^7*x*y^9-1224*psi^7*y^10+22*psi^6*x*y^10+114*psi^6*y^11+45*psi^8*x^4*y^4 -240*psi^8*x^3*y^5+516*psi^8*x^2*y^6-624*psi^8*x*y^7+369*psi^8*y^8+52*psi^7*x^3 *y^6+244*psi^7*x^2*y^7-1064*psi^7*x*y^8-1848*psi^7*y^9+61*psi^6*x^2*y^8+480*psi ^6*x*y^9+816*psi^6*y^10-18*psi^5*y^11+70*psi^7*x^4*y^4-540*psi^7*x^3*y^5+844* psi^7*x^2*y^6+1080*psi^7*x*y^7-1356*psi^7*y^8+84*psi^6*x^3*y^6+460*psi^6*x^2*y^ 7+2184*psi^6*x*y^8+1896*psi^6*y^9-110*psi^5*x*y^9-294*psi^5*y^10+18*psi^7*x^5*y ^2-120*psi^7*x^4*y^3+324*psi^7*x^3*y^4-576*psi^7*x^2*y^5+732*psi^7*x*y^6-468* psi^7*y^7+61*psi^6*x^4*y^4-408*psi^6*x^3*y^5-118*psi^6*x^2*y^6+1280*psi^6*x*y^7 +2034*psi^6*y^8-244*psi^5*x^2*y^7-1290*psi^5*x*y^8-1140*psi^5*y^9+45*psi^4*y^10 +22*psi^6*x^5*y^2-270*psi^6*x^4*y^3+1044*psi^6*x^3*y^4-436*psi^6*x^2*y^5-2604* psi^6*x*y^6+1320*psi^6*y^7-252*psi^5*x^3*y^5-1224*psi^5*x^2*y^6-3276*psi^5*x*y^ 7-1656*psi^5*y^8+230*psi^4*x*y^8+390*psi^4*y^9+3*psi^6*x^6-24*psi^6*x^5*y+66* psi^6*x^4*y^2-144*psi^6*x^3*y^3+366*psi^6*x^2*y^4-588*psi^6*x*y^5+450*psi^6*y^6 -122*psi^5*x^4*y^3+816*psi^5*x^3*y^4-920*psi^5*x^2*y^5+544*psi^5*x*y^6-1464*psi ^5*y^7+414*psi^4*x^2*y^6+1800*psi^4*x*y^7+834*psi^4*y^8-60*psi^3*y^9-22*psi^5*x ^5*y+270*psi^5*x^4*y^2-648*psi^5*x^3*y^3-980*psi^5*x^2*y^4+3348*psi^5*x*y^5-906 *psi^5*y^6+328*psi^4*x^3*y^4+1648*psi^4*x^2*y^5+2352*psi^4*x*y^6+828*psi^4*y^7-\ 260*psi^3*x*y^7-270*psi^3*y^8-6*psi^5*x^5+24*psi^5*x^4*y+12*psi^5*x^3*y^2-156* psi^5*x^2*y^3+318*psi^5*x*y^4-324*psi^5*y^5+109*psi^4*x^4*y^2-832*psi^4*x^3*y^3 +1805*psi^4*x^2*y^4-2308*psi^4*x*y^5+732*psi^4*y^6-388*psi^3*x^2*y^5-1410*psi^3 *x*y^6-276*psi^3*y^7+45*psi^2*y^8+10*psi^4*x^5-110*psi^4*x^4*y+12*psi^4*x^3*y^2 +1328*psi^4*x^2*y^3-2208*psi^4*x*y^4+438*psi^4*y^5-236*psi^3*x^3*y^3-1306*psi^3 *x^2*y^4-540*psi^3*x*y^5-282*psi^3*y^6+170*psi^2*x*y^6+78*psi^2*y^7+9*psi^4*x^4 -36*psi^4*x^3*y+54*psi^4*x^2*y^2-120*psi^4*x*y^3+171*psi^4*y^4-48*psi^3*x^4*y+ 474*psi^3*x^3*y^2-1388*psi^3*x^2*y^3+1906*psi^3*x*y^4-252*psi^3*y^5+216*psi^2*x ^2*y^4+600*psi^2*x*y^5+24*psi^2*y^6-18*psi*y^7+132*psi^3*x^3*y-578*psi^3*x^2*y^ 2+696*psi^3*x*y^3-150*psi^3*y^4+102*psi^2*x^3*y^2+618*psi^2*x^2*y^3-264*psi^2*x *y^4+102*psi^2*y^5-62*psi*x*y^5+6*psi*y^6-6*psi^3*x^3+12*psi^3*x^2*y+30*psi^3*x *y^2-60*psi^3*y^3+11*psi^2*x^4-144*psi^2*x^3*y+464*psi^2*x^2*y^2-628*psi^2*x*y^ 3+33*psi^2*y^4-70*psi*x^2*y^3-110*psi*x*y^4-12*psi*y^5+3*y^6-12*psi^2*x^3+50* psi^2*x^2*y-72*psi^2*x*y^2+42*psi^2*y^3-26*psi*x^3*y-154*psi*x^2*y^2+156*psi*x* y^3-18*psi*y^4+10*x*y^4-6*y^5+3*psi^2*x^2-12*psi^2*x*y+12*psi^2*y^2+10*psi*x^3-\ 32*psi*x^2*y+52*psi*x*y^2+6*psi*y^3+11*x^2*y^2+9*y^4-2*psi*x^2+10*psi*x*y-12* psi*y^2+4*x^3+10*x^2*y-12*x*y^2-6*y^3-x^2-2*x*y+3*y^2 = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 5 -1/243 (4 n + 3) (2 n + 3) (2 n + 1) (4 n + 5) (n + 1) ( 3 2 647081319767757869778 n + 5937089738546922490028 n + 17059882242718092150377 n + 15561025589249181062286) a(n)/((2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) - 1/81 (2 n + 3) ( 7 6 2669857525361768970704028 n + 40537479003039979226432660 n 5 4 + 253315530495711263331950510 n + 850384684300496113835514392 n 3 2 + 1665130930807836686340102029 n + 1910959154443292611742199077 n + 1196417383146643223372088422 n + 317333355413101224820900710) a(n + 1)/( (2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) + 1/27 ( 8 7 1327810868163439148784456 n + 19812982630316922143893980 n 6 5 + 74451025369892236390969422 n - 395041430259761226443823536 n 4 3 - 4797173377707716098700537006 n - 19890884673758237031604815190 n 2 - 43093063188713378449947415117 n - 48931985440247121278682047979 n - 23091783774006000700888430040) a(n + 2)/((2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) 7 (n + 5) (n + 4) %1) - 1/18 (207066022325682518328960 n 6 5 + 892787781852455513938168 n - 34204546620627373814322476 n 4 3 - 450702970854071702859065182 n - 2442842279950957434403843062 n 2 - 6912219529821935231910473695 n - 10094360387499192736411867176 n - 6032581025274386641525116285) a(n + 3)/((n + 5) (n + 6) (2 n + 9) 5 (2 n + 11) %1) + 1/6 (2588325279071031479112 n 4 3 - 77994613332415257367372 n - 1460744126163866512782120 n 2 - 8389569693055816344268057 n - 20356684359412601909298930 n - 18069641730090927039691764) a(n + 4)/((2 n + 11) (n + 6) %1) + a(n + 5) = 0 2 %1 := 643982093288365394169 n + 3677956946445687913763 n + 5308473771747392940270 and in Maple notation -1/243*(4*n+3)*(2*n+3)*(2*n+1)*(4*n+5)*(n+1)*(647081319767757869778*n^3+ 5937089738546922490028*n^2+17059882242718092150377*n+15561025589249181062286)/( 2*n+11)/(2*n+9)/(n+6)/(n+5)/(n+4)/(643982093288365394169*n^2+ 3677956946445687913763*n+5308473771747392940270)*a(n)-1/81*(2*n+3)*( 2669857525361768970704028*n^7+40537479003039979226432660*n^6+ 253315530495711263331950510*n^5+850384684300496113835514392*n^4+ 1665130930807836686340102029*n^3+1910959154443292611742199077*n^2+ 1196417383146643223372088422*n+317333355413101224820900710)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n +6)/(n+5)/(n+4)/(643982093288365394169*n^2+3677956946445687913763*n+ 5308473771747392940270)*a(n+1)+1/27*(1327810868163439148784456*n^8+ 19812982630316922143893980*n^7+74451025369892236390969422*n^6-\ 395041430259761226443823536*n^5-4797173377707716098700537006*n^4-\ 19890884673758237031604815190*n^3-43093063188713378449947415117*n^2-\ 48931985440247121278682047979*n-23091783774006000700888430040)/(2*n+11)/(2*n+9) /(n+6)/(n+5)/(n+4)/(643982093288365394169*n^2+3677956946445687913763*n+ 5308473771747392940270)*a(n+2)-1/18*(207066022325682518328960*n^7+ 892787781852455513938168*n^6-34204546620627373814322476*n^5-\ 450702970854071702859065182*n^4-2442842279950957434403843062*n^3-\ 6912219529821935231910473695*n^2-10094360387499192736411867176*n-\ 6032581025274386641525116285)/(n+5)/(n+6)/(2*n+9)/(2*n+11)/( 643982093288365394169*n^2+3677956946445687913763*n+5308473771747392940270)*a(n+ 3)+1/6*(2588325279071031479112*n^5-77994613332415257367372*n^4-\ 1460744126163866512782120*n^3-8389569693055816344268057*n^2-\ 20356684359412601909298930*n-18069641730090927039691764)/(2*n+11)/(n+6)/( 643982093288365394169*n^2+3677956946445687913763*n+5308473771747392940270)*a(n+ 4)+a(n+5) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 9/4, a(3) = 53/8, a(4) = 1433/64, a(5) = 10539/128 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 564692363602118049290293822169996074454582575757824332123618638247259\ 9409047291792781281664093995363619006408754054397098568859630924480226465129551\ 8277528446102936194722166319043394386030461369587977012830301613949824519409861\ 7428849275482095644855042428341686077041959766553270001474623391471872424664185\ 7147609856034512248965532891321154073896349951434251549434763958860395463290126\ 2676592796876511733419954431615467106717144626148396960330801022135013279609513\ 7178784539663808060901077920346439192651943711809184071381293420968262385370579\ 2393254063454012834495906780744120412503130106897340202541808144965281300545351\ 4526750813025270003856996957650843583260616133306095008685641484762448693108801\ 2491406467303086090861650765201852375207078548833976851493040841050989017919155\ 6250661184571932355997195358286367590520446505012224698045458448062028061088104\ 7840144956467050930538636354395915429438766463093080268671160603012520872757640\ 6937147521327005220521067104126341853111700521125325655884263601614865901969686\ 9427450574642422214203582328108567856260384752770743784303457786896189326136961\ 0642721654235636777710939421926245718128515219074990779585456276800391806698889\ 7772089620832919444676978441918157356104846285020186185972041669399393494999357\ 058086229885905270145622008795708777898614528281787633289571699/896977105683011\ 3470569009384200640500174357047567931253731583881451298917127893077005152236847\ 7052337378590987420895529175556168817426197767650887200519780108695304019775218\ 7505381087095625350558038492109870986287356370809737409093338414265941143390397\ 6952856106437406948799187939321222620012829841432240730013196014410820750185897\ 2506182858516355294140960158372427051430095318853309594759188490533841567655465\ 1534516617357655143781579373852994152663198702360093129335607684294312805938140\ 2907549264277764095748728594963152248939018129258509005920615830091830900687564\ 28459147015355107517069149601792 --------------------------------------- This ends this paper that took, 183.623, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (2 Psi(x, 0) x y - 2 y + x - 2 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1, 2, 21/4, 63/4, 205/4, 1409/8, 1259/2, 4635/2, 558801/64, 2144703/64, 2089407/16, 65969935/128, 263182045/128, 529848845/64, 17204924001/512, 70326134193/512, 578505774067/1024, 2392590188981/1024, 19888768581463/2048, 41516725261785/1024, 2784458839038713/16384, 11714744123730215/16384, 6181464165736077/2048, 418789496253627147/32768, 1778319939131859435/32768, 3785555838934414635/16384, 129247273663076277931/131072, 552841203971859300889/ 131072, 2369679706446863019685/131072, 20354421335209320460855/262144, 43788815977147069379081/131072, 47182778856891931502423/32768, 13036009872293908066298853/2097152, 56361913831190606627136483/2097152, 61008328385492363290323231/524288, 2116071906840162588757607319/4194304, 4593122484214937967021623781/2097152, 9981890017001765236894143629/1048576, 694972708073491694259408362933/16777216, 756864409542169212187129565321/4194304 , 52808112522749610790648666165615/67108864, 115256132088387699177316727525463/ 33554432, 2014319169045120871304492426930061/134217728, 4404481706812546643387011956250127/67108864, 308451027610804487362880450384210025/1073741824, 1351189700865580511309389610507214519/1073741824, 370228567468467314041778773086482025/67108864, 51978376976950373516989831876801913331/2147483648, 228213519641911272321050256532752578259/2147483648, 501341078699733432088239551136256695507/1073741824, 17633422594587197994624638768281953965079/8589934592, 77576505177723722980731551064524895104853/8589934592, 341502219506821504250633906339222989506059/8589934592, 3008476489538461611921669990876498800484779/17179869184, 1657410547798627939643635403215325413737625/2147483648, 14617564529965469308138004678841486377814079/4294967296, 2063825374968981135658783017834300012474475647/137438953472, 9110577751344757994682608333635455934606463313/137438953472, 10059498320638446525440564040985874935590327157/34359738368, 355604223184356230794461427662204188580646788673/274877906944, 1572066278028847941106887708283699627724799870967/274877906944, 3476494975988976748607790448305906240624851848775/137438953472, 123061705087386578215093546393945906361267377514727/1099511627776, 544752104169781332858680085831062355139538330797059/1099511627776, 4824850871788315336219928199488520644129256267132847/2199023255552, 21375312308007116727198230021608202930708709269379131/2199023255552, 189469569902369145596064827732352432450079500766611175/4398046511104, 420020004172744656834135784210410319718256505588032033/2199023255552, 29806380087823831002405842100604783863165738722012951685/35184372088832, 132246068795232171272162548791605809906723343160939779739/35184372088832, 73369616583180885319915111403501618060615321057780058555/4398046511104, 5212012873745816278851925777158489889001915150593054867231/70368744177664, 23148162964148773644732465412090561677044269358427480423055/70368744177664, 51420414539776877351543534087552590594336480678693310494223/35184372088832, 1828137764814786934983907285018133968523404723110512463383303/281474976710656, 8126865663437155578984768614480146783965900843472559059753373/281474976710656, 36138045382848282591628626821472461619868896674286082543187357/281474976710656, 321484764333927116135557381951480330971745032826257643016800707/562949953421312 , 715182985598239279695463541357666773667632402185909580290633381/ 281474976710656, 397861558510390946908363476821491903771428607153970279593534215/35184372088832, 226705396558445558466993809222861570523184025999959719624143105705/ 4503599627370496, 1009471559101232427116027279727184812644333218622198348509168435163/ 4503599627370496, 140503118361511269484172542181842712927015427007910070335833705139/ 140737488355328, 40060357082413677445039775198209183338771689250105382052039651035125/ 9007199254740992, 357024654642315471303449808027023364263485323435763948399273420719885/ 18014398509481984, 795652999376222212417114040146714648080654295250936821765898248087501/ 9007199254740992, 14188580436954221700580930288878607244405597390411466396986908206217947/ 36028797018963968, 126538212148202264640365838808350335734049134011494737005834048304707939/ 72057594037927936, 2257510379881938985232380515143442189632990879533874388106694081920375847/ 288230376151711744] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 2 2 2 2 3 2 2 3 -1 + g + 2 x - x g - 2 g x - x + 8 x g - 7 x g + 3 g x - 1/4 g x 3 3 3 4 5 4 + 6 x g - 2 x g + g x = 0 and in Maple notation -1+g+2*x-x*g-2*g^2*x-x^2+8*x^2*g-7*x^2*g^2+3*g^3*x^2-1/4*g^2*x^3+6*x^3*g^3-2*x^ 3*g^4+g^5*x^4 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 10 10 9 10 9 8 9 9 8 10 -4 psi y + 40 psi y - 20 psi x y + 24 psi y - 160 psi y 8 8 8 9 7 10 8 2 6 8 7 + 64 psi x y - 212 psi y + 320 psi y - 40 psi x y + 96 psi x y 8 8 7 2 7 7 8 7 9 6 10 - 72 psi y - 8 psi x y + 96 psi x y + 736 psi y - 320 psi y 7 2 6 7 7 7 8 6 2 7 - 48 psi x y - 208 psi x y + 512 psi y + 32 psi x y 6 8 6 9 5 10 7 3 4 - 512 psi x y - 1248 psi y + 128 psi y - 40 psi x y 7 2 5 7 6 7 7 6 3 5 + 144 psi x y - 208 psi x y + 144 psi y - 16 psi x y 6 2 6 6 7 6 8 5 2 7 + 204 psi x y - 640 psi x y - 1384 psi y - 32 psi x y 5 8 5 9 6 3 4 6 2 5 + 448 psi x y + 1024 psi y - 128 psi x y + 296 psi x y 6 6 6 7 5 3 5 5 2 6 + 600 psi x y - 752 psi y - 96 psi x y + 64 psi x y 5 7 5 8 4 9 6 4 2 + 1984 psi x y + 1776 psi y - 320 psi y - 20 psi x y 6 3 3 6 2 4 6 5 6 6 + 96 psi x y - 192 psi x y + 272 psi x y - 204 psi y 5 4 3 5 3 4 5 2 5 5 6 - 8 psi x y - 40 psi x y + 138 psi x y + 632 psi x y 5 7 4 2 6 4 7 4 8 + 1360 psi y + 80 psi x y - 1280 psi x y - 1120 psi y 5 4 2 5 3 3 5 2 4 5 5 - 56 psi x y + 368 psi x y - 168 psi x y - 1560 psi x y 5 6 4 3 4 4 2 5 4 6 + 728 psi y + 256 psi x y - 560 psi x y - 2720 psi x y 4 7 3 8 5 5 5 4 5 3 2 - 1064 psi y + 320 psi y - 4 psi x + 24 psi x y - 48 psi x y 5 2 3 5 4 5 5 4 4 2 + 112 psi x y - 228 psi x y + 216 psi y + 12 psi x y 4 3 3 4 2 4 4 5 4 6 + 260 psi x y - 1359 psi x y + 664 psi x y - 784 psi y 3 2 5 3 6 3 7 4 4 - 80 psi x y + 1440 psi x y + 480 psi y + 76 psi x y 4 3 2 4 2 3 4 4 4 5 - 280 psi x y - 416 psi x y + 2028 psi x y - 452 psi y 3 3 3 3 2 4 3 5 3 6 - 272 psi x y + 960 psi x y + 1520 psi x y + 288 psi y 2 7 4 4 4 3 4 2 2 4 3 - 160 psi y + 8 psi x - 16 psi x y - 36 psi x y + 112 psi x y 4 4 3 4 3 3 2 3 2 3 - 168 psi y - 6 psi x y - 350 psi x y + 1828 psi x y 3 4 3 5 2 2 4 2 5 - 1536 psi x y + 352 psi y + 40 psi x y - 800 psi x y 2 6 3 4 3 3 3 2 2 3 3 - 20 psi y - 24 psi x + 8 psi x y + 560 psi x y - 1304 psi x y 3 4 2 3 2 2 2 3 2 4 + 176 psi y + 144 psi x y - 710 psi x y - 200 psi x y 2 5 6 3 3 3 2 3 2 - 96 psi y + 40 psi y - 12 psi x + 24 psi x y - 32 psi x y 3 3 2 4 2 3 2 2 2 2 3 + 96 psi y + psi x + 180 psi x y - 972 psi x y + 920 psi x y 2 4 2 3 4 5 2 3 - 100 psi y - 10 psi x y + 220 psi x y - 40 psi y + 28 psi x 2 2 2 2 2 3 3 2 2 - 180 psi x y + 356 psi x y - 32 psi y - 38 psi x y + 244 psi x y 3 4 5 2 2 2 2 3 - 104 psi x y + 56 psi y - 4 y + 8 psi x - 36 psi y - 32 psi x 2 2 3 2 2 3 4 + 200 psi x y - 188 psi x y - 8 psi y + x y - 24 x y + 8 y 2 2 3 2 2 3 + 4 psi x - 32 psi x y + 8 psi y + 4 x - 32 x y + 28 x y - 12 y 2 2 - 4 psi x + 8 psi y - 8 x + 4 x y + 8 y + 4 x - 4 y = 0 and in Maple notation -4*psi^10*y^10+40*psi^9*y^10-20*psi^9*x*y^8+24*psi^9*y^9-160*psi^8*y^10+64*psi^ 8*x*y^8-212*psi^8*y^9+320*psi^7*y^10-40*psi^8*x^2*y^6+96*psi^8*x*y^7-72*psi^8*y ^8-8*psi^7*x^2*y^7+96*psi^7*x*y^8+736*psi^7*y^9-320*psi^6*y^10-48*psi^7*x^2*y^6 -208*psi^7*x*y^7+512*psi^7*y^8+32*psi^6*x^2*y^7-512*psi^6*x*y^8-1248*psi^6*y^9+ 128*psi^5*y^10-40*psi^7*x^3*y^4+144*psi^7*x^2*y^5-208*psi^7*x*y^6+144*psi^7*y^7 -16*psi^6*x^3*y^5+204*psi^6*x^2*y^6-640*psi^6*x*y^7-1384*psi^6*y^8-32*psi^5*x^2 *y^7+448*psi^5*x*y^8+1024*psi^5*y^9-128*psi^6*x^3*y^4+296*psi^6*x^2*y^5+600*psi ^6*x*y^6-752*psi^6*y^7-96*psi^5*x^3*y^5+64*psi^5*x^2*y^6+1984*psi^5*x*y^7+1776* psi^5*y^8-320*psi^4*y^9-20*psi^6*x^4*y^2+96*psi^6*x^3*y^3-192*psi^6*x^2*y^4+272 *psi^6*x*y^5-204*psi^6*y^6-8*psi^5*x^4*y^3-40*psi^5*x^3*y^4+138*psi^5*x^2*y^5+ 632*psi^5*x*y^6+1360*psi^5*y^7+80*psi^4*x^2*y^6-1280*psi^4*x*y^7-1120*psi^4*y^8 -56*psi^5*x^4*y^2+368*psi^5*x^3*y^3-168*psi^5*x^2*y^4-1560*psi^5*x*y^5+728*psi^ 5*y^6+256*psi^4*x^3*y^4-560*psi^4*x^2*y^5-2720*psi^4*x*y^6-1064*psi^4*y^7+320* psi^3*y^8-4*psi^5*x^5+24*psi^5*x^4*y-48*psi^5*x^3*y^2+112*psi^5*x^2*y^3-228*psi ^5*x*y^4+216*psi^5*y^5+12*psi^4*x^4*y^2+260*psi^4*x^3*y^3-1359*psi^4*x^2*y^4+ 664*psi^4*x*y^5-784*psi^4*y^6-80*psi^3*x^2*y^5+1440*psi^3*x*y^6+480*psi^3*y^7+ 76*psi^4*x^4*y-280*psi^4*x^3*y^2-416*psi^4*x^2*y^3+2028*psi^4*x*y^4-452*psi^4*y ^5-272*psi^3*x^3*y^3+960*psi^3*x^2*y^4+1520*psi^3*x*y^5+288*psi^3*y^6-160*psi^2 *y^7+8*psi^4*x^4-16*psi^4*x^3*y-36*psi^4*x^2*y^2+112*psi^4*x*y^3-168*psi^4*y^4-\ 6*psi^3*x^4*y-350*psi^3*x^3*y^2+1828*psi^3*x^2*y^3-1536*psi^3*x*y^4+352*psi^3*y ^5+40*psi^2*x^2*y^4-800*psi^2*x*y^5-20*psi^2*y^6-24*psi^3*x^4+8*psi^3*x^3*y+560 *psi^3*x^2*y^2-1304*psi^3*x*y^3+176*psi^3*y^4+144*psi^2*x^3*y^2-710*psi^2*x^2*y ^3-200*psi^2*x*y^4-96*psi^2*y^5+40*psi*y^6-12*psi^3*x^3+24*psi^3*x^2*y-32*psi^3 *x*y^2+96*psi^3*y^3+psi^2*x^4+180*psi^2*x^3*y-972*psi^2*x^2*y^2+920*psi^2*x*y^3 -100*psi^2*y^4-10*psi*x^2*y^3+220*psi*x*y^4-40*psi*y^5+28*psi^2*x^3-180*psi^2*x ^2*y+356*psi^2*x*y^2-32*psi^2*y^3-38*psi*x^3*y+244*psi*x^2*y^2-104*psi*x*y^3+56 *psi*y^4-4*y^5+8*psi^2*x^2-36*psi^2*y^2-32*psi*x^3+200*psi*x^2*y-188*psi*x*y^2-\ 8*psi*y^3+x^2*y^2-24*x*y^3+8*y^4+4*psi*x^2-32*psi*x*y+8*psi*y^2+4*x^3-32*x^2*y+ 28*x*y^2-12*y^3-4*psi*x+8*psi*y-8*x^2+4*x*y+8*y^2+4*x-4*y = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 7 1/576 (3 n + 2) (2 n + 1) (3 n + 1) (n + 1) ( 2 1268548959136512120325481082225067527 n + 7164318355486381562585580839808048385 n + 9907810639657883081871061564778020680) a(n)/((2 n + 15) (2 n + 13) 6 (n + 8) (n + 7) %1) + 1/864 (4207124550541726525981591706986468609152 n 5 + 44281335074527227240162733613150814571877 n 4 + 184292971196687187433359443856485979876365 n 3 + 387490761687087188702367801621561077434775 n 2 + 433469763647371628686736039337033827181843 n + 243632083031661540070010017743472773302628 n + 53252466156801927491955258470199216572880) a(n + 1)/((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) + 1/432 ( 6 4137970725142895241179187984569237641957 n 5 + 22639171922398696452449560339912495141249 n 4 - 133388629507722127211716875591032235210040 n 3 - 1394885736180202590287576169664614455078130 n 2 - 4304293204373483832213866305670339729869777 n - 5702456546853062708496412048764132017257599 n - 2738757259257900672418413856984537993717020) a(n + 2)/((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) - 1/864 ( 6 11283400715282791453143509795215513008597 n 5 + 340132002002103886241105110207352706023505 n 4 + 3505732098844778073964601570413579214987385 n 3 + 16791682567630664295302938821470688085421135 n 2 + 39067247748669965644374665374454243709645978 n + 37971565681760403308508098655380975168576680 n + 6091570979086808081806864227340746362680560) a(n + 3)/((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) - 5/432 ( 6 1161822363366392341014912445336272416658 n 5 + 17898889764706684477593671987131317095129 n 4 + 44424558414426353519566137335301276992361 n 3 - 714525615841076020147201187938032331415239 n 2 - 5857373191462356050018260410049101327029931 n - 16941967320600763182494740102958200471142170 n - 17574889981337844608234534883925964152302600) a(n + 4)/((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) + 1/432 ( 6 6368129437639783313197165852174769176211 n 5 + 197282143062975671307594531866446676775101 n 4 + 2527407638865376171853787322957801233725205 n 3 + 17126056097740808539232500700994097002163795 n 2 + 64676935534550289867563447936039023021480624 n + 128921840380497397775682851290995189200218104 n + 105822461643320068929384225357170891753969760) a(n + 5)/((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) - 1/36 ( 4 73866190799737033635761543067271702301 n 3 + 1841028327885405674000869945796667258996 n 2 + 16631842890640111576654655764435403811691 n + 64299151336796243706147062376560095562676 n + 88743273295900570640813656127342264069160) a(n + 6)/((2 n + 15) (n + 8) %1) + a(n + 7) = 0 2 %1 := 89407412269593819256491944494899533 n + 1327512760270037423524938024697087595 n + 3462344939554165515368214456475807992 and in Maple notation 1/576*(3*n+2)*(2*n+1)*(3*n+1)*(n+1)*(1268548959136512120325481082225067527*n^2+ 7164318355486381562585580839808048385*n+9907810639657883081871061564778020680)/ (2*n+15)/(2*n+13)/(n+8)/(n+7)/(89407412269593819256491944494899533*n^2+ 1327512760270037423524938024697087595*n+3462344939554165515368214456475807992)* a(n)+1/864*(4207124550541726525981591706986468609152*n^6+ 44281335074527227240162733613150814571877*n^5+ 184292971196687187433359443856485979876365*n^4+ 387490761687087188702367801621561077434775*n^3+ 433469763647371628686736039337033827181843*n^2+ 243632083031661540070010017743472773302628*n+ 53252466156801927491955258470199216572880)/(2*n+15)/(2*n+13)/(n+8)/(n+7)/( 89407412269593819256491944494899533*n^2+1327512760270037423524938024697087595*n +3462344939554165515368214456475807992)*a(n+1)+1/432*( 4137970725142895241179187984569237641957*n^6+ 22639171922398696452449560339912495141249*n^5-\ 133388629507722127211716875591032235210040*n^4-\ 1394885736180202590287576169664614455078130*n^3-\ 4304293204373483832213866305670339729869777*n^2-\ 5702456546853062708496412048764132017257599*n-\ 2738757259257900672418413856984537993717020)/(2*n+15)/(2*n+13)/(n+8)/(n+7)/( 89407412269593819256491944494899533*n^2+1327512760270037423524938024697087595*n +3462344939554165515368214456475807992)*a(n+2)-1/864*( 11283400715282791453143509795215513008597*n^6+ 340132002002103886241105110207352706023505*n^5+ 3505732098844778073964601570413579214987385*n^4+ 16791682567630664295302938821470688085421135*n^3+ 39067247748669965644374665374454243709645978*n^2+ 37971565681760403308508098655380975168576680*n+ 6091570979086808081806864227340746362680560)/(2*n+15)/(2*n+13)/(n+8)/(n+7)/( 89407412269593819256491944494899533*n^2+1327512760270037423524938024697087595*n +3462344939554165515368214456475807992)*a(n+3)-5/432*( 1161822363366392341014912445336272416658*n^6+ 17898889764706684477593671987131317095129*n^5+ 44424558414426353519566137335301276992361*n^4-\ 714525615841076020147201187938032331415239*n^3-\ 5857373191462356050018260410049101327029931*n^2-\ 16941967320600763182494740102958200471142170*n-\ 17574889981337844608234534883925964152302600)/(2*n+15)/(2*n+13)/(n+8)/(n+7)/( 89407412269593819256491944494899533*n^2+1327512760270037423524938024697087595*n +3462344939554165515368214456475807992)*a(n+4)+1/432*( 6368129437639783313197165852174769176211*n^6+ 197282143062975671307594531866446676775101*n^5+ 2527407638865376171853787322957801233725205*n^4+ 17126056097740808539232500700994097002163795*n^3+ 64676935534550289867563447936039023021480624*n^2+ 128921840380497397775682851290995189200218104*n+ 105822461643320068929384225357170891753969760)/(2*n+15)/(2*n+13)/(n+8)/(n+7)/( 89407412269593819256491944494899533*n^2+1327512760270037423524938024697087595*n +3462344939554165515368214456475807992)*a(n+5)-1/36*( 73866190799737033635761543067271702301*n^4+ 1841028327885405674000869945796667258996*n^3+ 16631842890640111576654655764435403811691*n^2+ 64299151336796243706147062376560095562676*n+ 88743273295900570640813656127342264069160)/(2*n+15)/(n+8)/( 89407412269593819256491944494899533*n^2+1327512760270037423524938024697087595*n +3462344939554165515368214456475807992)*a(n+6)+a(n+7) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 2, a(3) = 21/4, a(4) = 63/4, a(5) = 205/4, a(6) = 1409/8, a(7) = 1259/2 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 253388106456824302055426920703198672975437276356161198306504993526508\ 5755450784609487992080123001281907650612071172168408352962959647800674588744550\ 4263134364644446279413010677882694514522480940617755619747553722483016854827112\ 7715208940698450372832708313216585857713454713468212586752048736912947484386604\ 9570568625674988067582925067714118082401666888269528108657360817886641933137669\ 3831074583683477836009572153781777954189829272819317224043005836173222663983450\ 6353132768914392264570429715349019422567560251615994904563059520454993589696373\ 2961041610185381853347720401931529922424092038536731856472028944322016361762975\ 4489020141281289965796449931463103212400888748166094123664931358674298759632842\ 0039089779838596939322511315157713201977347311425218041298827890044543263018777\ 19645620248500634688491164247727314337288867822277325403064813416391941/1196016\ 4332659527433954712894046971690728104938041664944417518434121875894327515248082\ 0600800998100822357240960086033231005317981048024281861394564899726011616513089\ 1915497295074524972252293700255744 --------------------------------------- This ends this paper that took, 22.133, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (2 Psi(x, 0) x y - 3 y + x - 2 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1, 7/4, 33/8, 703/64, 4055/128, 49263/512, 310649/1024, 16116215/16384, 106816043/32768, 1440837133/131072, 9857388639/262144, 272981554659/2097152, 1909033309779/4194304, 26931901089575/16777216, 191396227023257/33554432, 21905638519639271/1073741824, 157601301278353523/2147483648, 2279375938472127041/8589934592, 16558823093733751619/17179869184, 483159641187079221009/137438953472, 3537597648962688940489/274877906944, 51978661752586735098105/1099511627776, 383047135079689000287279/2199023255552, 22646311070600377018783979/35184372088832, 167796175460018304957338623/ 70368744177664, 2492519637658482017193447633/281474976710656, 18553652816685160165744365915/562949953421312, 553573453940154227616633438251/ 4503599627370496, 4137080655988188846255014156939/9007199254740992, 61946921949480298279088551027607/36028797018963968, 464560247890472451723257110834649/72057594037927936, 111659375869288972354609656234034375/4611686018427387904, 839919557895320178662085005025418627/9223372036854775808, 12653528771809276762602127194307638857/36893488147419103232, 95438255897841983811502532430455893035/73786976294838206464, 2882892765814714939389144391260507670757/590295810358705651712, 21796187406519354801497889699442334234253/1180591620717411303424, 329945189794405326385690863109978729813733/4722366482869645213696, 2499928323169630759833847353756715938953011/9444732965739290427392, 151682299168367719286148779971480752323440505/151115727451828646838272, 1151496617362197061966833433023544786858890021/302231454903657293676544, 17498916228333908905200820161284406821314249715/1208925819614629174706176, 133076714185315750352550964913636794247220511105/2417851639229258349412352, 4051430176354650232600744319213522565133315674757/19342813113834066795298816, 30859872906118472948352317168420480252215784563637/38685626227668133590597632, 470472796835293197292477632894678329998516293190673/154742504910672534362390528 , 3588852502394260497893568887565538770204309603590863/ 309485009821345068724781056, 438323093640148204058057781372723135059475520005675387/ 9903520314283042199192993792, 3348100965561109114258185212350772173205466232352403575/ 19807040628566084398385987584, 51180753027664265694669308414613620783592345704465253533/ 79228162514264337593543950336, 391424422538512982464104018979573698985394651568560439415/ 158456325028528675187087900672, 11981248804316442097423505414077840491573937137087539587653/ 1267650600228229401496703205376, 91735953573974400784972589218294715116631146391876217606013/ 2535301200456458802993406410752, 1405533853479698266222095164434249987913646573130909960961725/ 10141204801825835211973625643008, 10773050866008843294143683602552009206878578288572954135476523/ 20282409603651670423947251286016, 660912014379501841680648298880836892935743955140856004597670995/ 324518553658426726783156020576256, 5070706329469801830705418814304704047012624917364163370307066535/ 649037107316853453566312041152512, 77844125304339247104810649279805828904392404627526178235434298009/ 2596148429267413814265248164610048, 597790340015351346057636416560236467887149668362294325221899892627/ 5192296858534827628530496329220096, 18370502162353244047267499498307185654223196533421835738951814696123/ 41538374868278621028243970633760768, 141193928973498443636401040122972304386686156210039796404837513828347/ 83076749736557242056487941267521536, 2171290473014994912664475544412223889696478917793102168453299326240887/ 332306998946228968225951765070086144, 16701715898062687981205101627201330879753506320286700485736387412366937/ 664613997892457936451903530140172288, 8225268804954456301693598645908578724638474806541008800045328895127682183/ 85070591730234615865843651857942052864, 63316932088024243828374574474443528576018881195474729831352701804460226979/ 170141183460469231731687303715884105728, 975159036171626951502952259130996430253816647572946206754822761041305769689/ 680564733841876926926749214863536422912, 7511941242947849753807125503373487799270587733313965102657999557010690858107/ 1361129467683753853853498429727072845824, 231545088685716489969899193045957803534399204005055290083904642415434984227373/ 10889035741470030830827987437816582766592, 178484850784498506059896004784572415\ 9482005865110193382407505043603885307119157/ 21778071482940061661655974875633165533184, 275255137896026164449131970425829762\ 44654681663516142193195455476781124751463453/ 87112285931760246646623899502532662132736, 212311677398891430381797290691820634\ 558003039197022434653631926799248397948328283/ 174224571863520493293247799005065324265472, 13104876345458934787575051863153680\ 011119869936818989174507010013547968110763175693/ 2787593149816327892691964784081045188247552, 1011414080269808188682535679522453\ 84503135516953942919545918224003330794837823262409/ 5575186299632655785383929568162090376495104, 1561631685306314159471944638626299\ 622761498856515373917931970383799979804281837466943/ 22300745198530623141535718272648361505980416, 120591992209333021256677544200590\ 54493332427868676111523346663874754660477220939629413/ 44601490397061246283071436545296723011960832, 372593582223721981500056045017879\ 682031618700633057528748863386446402140714631766903201/ 356811923176489970264571492362373784095686656, 28787653691441516988082283635221\ 90296442744677498556706068067671550068482263698038360497/ 713623846352979940529142984724747568191373312, 44495717388247472823726877557613\ 798381959121563414291646438040675790472474877965222548589/ 2854495385411919762116571938898990272765493248, 3439603477804390423970105331003\ 59291097565472325568752140242974511626791962317375001915923/ 5708990770823839524233143877797980545530986496, 4255239643027017344308694854241\ 0476242304096211471743181881010588220973434310174321237386185/ 182687704666362864775460604089535377456991567872, 32909596513245644758459704166\ 6130387012285388488271804260262659840824077687045899785371637565/ 365375409332725729550921208179070754913983135744, 50915666728736413147581903581\ 35837758772509697300279213736736249078794009360782823970330389231/ 1461501637330902918203684832716283019655932542976, 3939564637836964607219532181\ 9229296762224909490806970030218704942583068590427555819366873531149/ 2923003274661805836407369665432566039311865085952, 1219552734368503029139285003\ 228494803586393844477144154085725981126473465192179629845046902464943/ 23384026197294446691258957323460528314494920687616, 944030988370319352194599910\ 7252166484368633770998785650919855931584898303588793966100955031086007/ 46768052394588893382517914646921056628989841375232, 146181708105286726042280800\ 217634330339762147690168459694492832226218729196104651878145155446520935/ 187072209578355573530071658587684226515959365500928, 11320323291574042110717356\ 81251775291548464074524829922985044317607191633646975399689951215636313137/ 374144419156711147060143317175368453031918731001856, 70145786640744537320535810\ 580419134568750165205530956551665545047632203869188776518082739994597303933/ 5986310706507378352962293074805895248510699696029696, 5434246964103845366651142\ 36705351077910088288559400723194175944311667420842960316063809861999811462665/ 11972621413014756705924586149611790497021399392059392] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 2 3 2 2 - 1/8 + 3/4 g - 5/8 g + 1/4 x g - 2 g x + 9/4 x g - 1/2 x + 9/2 x g 2 2 3 2 2 4 2 3 3 3 3 4 - 93/8 x g + 10 g x - 31/8 x g - 3 g x + 16 x g - 75/4 x g 3 5 4 4 5 4 6 4 5 7 + 17/4 x g - 1/2 x g + 17/2 g x - 21/8 g x + x g = 0 and in Maple notation -1/8+3/4*g-5/8*g^2+1/4*x*g-2*g^2*x+9/4*x*g^3-1/2*x^2+9/2*x^2*g-93/8*x^2*g^2+10* g^3*x^2-31/8*x^2*g^4-3*g^2*x^3+16*x^3*g^3-75/4*x^3*g^4+17/4*x^3*g^5-1/2*x^4*g^4 +17/2*g^5*x^4-21/8*g^6*x^4+x^5*g^7 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 14 14 13 14 13 12 13 13 12 14 -8 psi y + 168 psi y - 56 psi x y + 70 psi y - 1512 psi y 12 12 12 13 11 14 12 2 10 + 736 psi x y - 1316 psi y + 7560 psi y - 168 psi x y 12 11 12 12 11 2 11 11 12 + 420 psi x y - 283 psi y - 32 psi x y - 3480 psi x y 11 13 10 14 11 2 10 11 11 + 10458 psi y - 22680 psi y + 1160 psi x y - 4844 psi x y 11 12 10 2 11 10 12 10 13 + 4602 psi y + 384 psi x y + 5760 psi x y - 45360 psi y 9 14 11 3 8 11 2 9 11 10 + 40824 psi y - 280 psi x y + 1050 psi x y - 1394 psi x y 11 11 10 3 9 10 2 10 10 11 + 716 psi y - 128 psi x y - 544 psi x y + 19160 psi x y 10 12 9 2 11 9 12 9 13 - 30993 psi y - 1728 psi x y + 5400 psi x y + 115290 psi y 8 14 10 3 8 10 2 9 10 10 - 40824 psi y + 640 psi x y - 6000 psi x y + 14902 psi x y 10 11 9 3 9 9 2 10 9 11 - 9638 psi y + 384 psi x y - 12656 psi x y - 20760 psi x y 9 12 8 2 11 8 12 8 13 + 111060 psi y + 3456 psi x y - 28512 psi x y - 170100 psi y 7 14 10 4 6 10 3 7 10 2 8 + 17496 psi y - 280 psi x y + 1400 psi x y - 2725 psi x y 10 9 10 10 9 4 7 9 3 8 + 2748 psi x y - 1266 psi y - 192 psi x y + 4176 psi x y 9 2 9 9 10 9 11 8 3 9 + 2532 psi x y - 54240 psi x y + 51888 psi y + 1152 psi x y 8 2 10 8 11 8 12 + 34200 psi x y - 50220 psi x y - 226125 psi y 7 2 11 7 12 7 13 9 4 6 - 2592 psi x y + 25272 psi x y + 132678 psi y - 200 psi x y 9 3 7 9 2 8 9 9 9 10 - 1880 psi x y + 16080 psi x y - 29494 psi x y + 13530 psi y 8 4 7 8 3 8 8 2 9 8 10 - 384 psi x y - 10368 psi x y + 38232 psi x y + 54940 psi x y 8 11 7 3 9 7 2 10 - 142156 psi y - 3456 psi x y - 29592 psi x y 7 11 7 12 6 13 9 5 4 + 142020 psi x y + 258714 psi y - 40824 psi y - 168 psi x y 9 4 5 9 3 6 9 2 7 9 8 + 1050 psi x y - 2620 psi x y + 3832 psi x y - 3594 psi x y 9 9 8 5 5 8 4 6 8 3 7 + 1626 psi y - 128 psi x y + 3672 psi x y - 11352 psi x y 8 2 8 8 9 8 10 7 4 7 - 28226 psi x y + 108708 psi x y - 54697 psi y + 2368 psi x y 7 3 8 7 2 9 7 10 7 11 - 5496 psi x y - 75990 psi x y + 104670 psi x y + 210612 psi y 6 2 10 6 11 6 12 8 5 4 + 7344 psi x y - 94608 psi x y - 154791 psi y - 352 psi x y 8 4 5 8 3 6 8 2 7 8 8 + 1660 psi x y + 4780 psi x y - 30876 psi x y + 39998 psi x y 8 9 7 5 5 7 4 6 7 3 7 - 13314 psi y - 384 psi x y + 1704 psi x y + 7896 psi x y 7 2 8 7 9 7 10 6 3 8 + 8412 psi x y - 137804 psi x y + 103928 psi y + 13248 psi x y 6 2 9 6 10 6 11 5 12 + 49320 psi x y - 256338 psi x y - 172422 psi y + 40824 psi y 8 6 2 8 5 3 8 4 4 8 3 5 - 56 psi x y + 420 psi x y - 1205 psi x y + 2168 psi x y 8 2 6 8 7 8 8 7 6 3 - 3220 psi x y + 3240 psi x y - 1521 psi y - 32 psi x y 7 5 4 7 4 5 7 3 6 7 2 7 + 968 psi x y - 5974 psi x y - 6588 psi x y + 93704 psi x y 7 8 7 9 6 4 6 6 3 7 - 148632 psi x y + 38956 psi y - 7520 psi x y + 27840 psi x y 6 2 8 6 9 6 10 5 2 9 + 19131 psi x y - 46460 psi x y - 96904 psi y - 8856 psi x y 5 10 5 11 7 6 2 7 5 3 + 132084 psi x y + 84672 psi y - 104 psi x y + 1284 psi x y 7 4 4 7 3 5 7 2 6 7 7 - 2150 psi x y - 11916 psi x y + 39252 psi x y - 34080 psi x y 7 8 6 5 4 6 4 5 6 3 6 + 9252 psi y + 1216 psi x y - 8712 psi x y + 37188 psi x y 6 2 7 6 8 6 9 5 3 7 - 133452 psi x y + 217792 psi x y - 50536 psi y - 20640 psi x y 5 2 8 5 9 5 10 4 11 - 13268 psi x y + 197490 psi x y + 49662 psi y - 22680 psi y 7 7 7 6 7 5 2 7 4 3 - 8 psi x + 70 psi x y - 178 psi x y + 252 psi x y 7 3 4 7 2 5 7 6 7 7 - 756 psi x y + 1756 psi x y - 2004 psi x y + 984 psi y 6 6 2 6 5 3 6 4 4 6 3 5 + 48 psi x y - 816 psi x y - 2265 psi x y + 42288 psi x y 6 2 6 6 7 6 8 5 4 5 - 126410 psi x y + 121872 psi x y - 20002 psi y + 9456 psi x y 5 3 6 5 2 7 5 8 5 9 - 53544 psi x y + 98984 psi x y - 89150 psi x y + 30576 psi y 4 2 8 4 9 4 10 6 6 + 5892 psi x y - 95220 psi x y - 19845 psi y + 216 psi x y 6 5 2 6 4 3 6 3 4 6 2 5 - 1218 psi x y - 990 psi x y + 15724 psi x y - 27540 psi x y 6 6 6 7 5 5 3 5 4 4 + 14428 psi x y - 4524 psi y - 1440 psi x y + 14944 psi x y 5 3 5 5 2 6 5 7 5 8 - 69892 psi x y + 173376 psi x y - 187620 psi x y + 21824 psi y 4 3 6 4 2 7 4 8 4 9 + 17200 psi x y - 26896 psi x y - 59230 psi x y - 4938 psi y 3 10 6 6 6 5 6 4 2 + 7560 psi y + 21 psi x - 116 psi x y + 102 psi x y 6 3 3 6 2 4 6 5 6 6 + 296 psi x y - 694 psi x y + 840 psi x y - 354 psi y 5 6 5 5 2 5 4 3 5 3 4 - 24 psi x y - 652 psi x y + 10152 psi x y - 43696 psi x y 5 2 5 5 6 5 7 4 4 4 + 75794 psi x y - 48744 psi x y + 7144 psi y - 5992 psi x y 4 3 5 4 2 6 4 7 4 8 + 43624 psi x y - 108870 psi x y + 109900 psi x y - 12842 psi y 3 2 7 3 8 3 9 5 6 - 2336 psi x y + 39360 psi x y - 882 psi y - 68 psi x 5 5 5 4 2 5 3 3 5 2 4 - 94 psi x y + 3090 psi x y - 9040 psi x y + 7068 psi x y 5 5 5 6 4 5 2 4 4 3 + 292 psi x y + 1578 psi y + 816 psi x y - 9560 psi x y 4 3 4 4 2 5 4 6 4 7 + 40280 psi x y - 81724 psi x y + 73600 psi x y - 5472 psi y 3 3 5 3 2 6 3 7 3 8 - 8352 psi x y + 26112 psi x y - 5376 psi x y + 1830 psi y 2 9 5 5 5 4 5 3 2 - 1512 psi y - 34 psi x + 154 psi x y - 180 psi x y 5 2 3 5 4 5 5 4 6 4 5 + 136 psi x y - 246 psi x y - 38 psi y + 4 psi x + 652 psi x y 4 4 2 4 3 3 4 2 4 4 5 - 5077 psi x y + 12676 psi x y - 10589 psi x y + 120 psi x y 4 6 3 4 3 3 3 4 3 2 5 - 1276 psi y + 1952 psi x y - 16448 psi x y + 44556 psi x y 3 6 3 7 2 2 6 2 7 - 46350 psi x y + 3996 psi y + 552 psi x y - 9464 psi x y 2 8 4 5 4 4 4 3 2 + 1519 psi y + 150 psi x - 730 psi x y + 404 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 5 + 2316 psi x y - 2628 psi x y - 402 psi y - 224 psi x y 3 4 2 3 3 3 3 2 4 3 5 + 2296 psi x y - 7056 psi x y + 9826 psi x y - 7468 psi x y 3 6 2 3 4 2 2 5 2 6 - 406 psi y + 2376 psi x y - 9976 psi x y + 8010 psi x y 2 7 8 4 4 4 3 4 2 2 - 1498 psi y + 168 psi y + 31 psi x - 104 psi x y + 26 psi x y 4 3 4 4 3 5 3 4 + 52 psi x y + 133 psi y - 128 psi x + 438 psi x y 3 3 2 3 2 3 3 4 3 5 + 950 psi x y - 4876 psi x y + 4710 psi x y + 502 psi y 2 4 2 2 3 3 2 2 4 2 5 - 264 psi x y + 2440 psi x y - 6868 psi x y + 7500 psi x y 2 6 2 5 6 7 3 4 - 72 psi y - 72 psi x y + 1236 psi x y - 308 psi y - 80 psi x 3 3 3 2 2 3 3 3 4 2 5 + 444 psi x y - 798 psi x y + 432 psi x y + 70 psi y + 24 psi x 2 4 2 3 2 2 2 3 2 4 - 48 psi x y - 786 psi x y + 2714 psi x y - 2116 psi x y 2 5 3 3 2 4 5 + 270 psi y - 368 psi x y + 1804 psi x y - 1894 psi x y 6 7 3 3 3 2 3 2 3 3 + 394 psi y - 8 y - 18 psi x + 58 psi x y - 6 psi x y - 76 psi y 2 4 2 3 2 2 2 2 3 + 93 psi x - 588 psi x y + 1136 psi x y - 660 psi x y 2 4 4 3 2 2 3 4 - 277 psi y - 8 psi x y + 60 psi x y - 120 psi x y - 10 psi x y 5 2 4 5 6 2 3 2 2 - 218 psi y + 4 x y - 68 x y + 21 y + 16 psi x - 46 psi x y 2 3 4 3 2 2 3 + 54 psi y - 36 psi x + 258 psi x y - 582 psi x y + 348 psi x y 4 3 2 2 3 4 5 2 2 + 58 psi y + 24 x y - 128 x y + 150 x y - 34 y + 5 psi x 2 2 2 3 2 2 - 20 psi x y + 20 psi y - 2 psi x + 22 psi x y - 28 psi x y 3 4 3 2 2 3 4 2 + 28 psi y + 4 x - 36 x y + 93 x y - 80 x y + 31 y - 6 psi x 2 2 2 3 2 2 + 22 psi x y - 20 psi y - 2 x y + 16 x y - 18 y + x - 6 x y + 5 y = 0 and in Maple notation -8*psi^14*y^14+168*psi^13*y^14-56*psi^13*x*y^12+70*psi^13*y^13-1512*psi^12*y^14 +736*psi^12*x*y^12-1316*psi^12*y^13+7560*psi^11*y^14-168*psi^12*x^2*y^10+420* psi^12*x*y^11-283*psi^12*y^12-32*psi^11*x^2*y^11-3480*psi^11*x*y^12+10458*psi^ 11*y^13-22680*psi^10*y^14+1160*psi^11*x^2*y^10-4844*psi^11*x*y^11+4602*psi^11*y ^12+384*psi^10*x^2*y^11+5760*psi^10*x*y^12-45360*psi^10*y^13+40824*psi^9*y^14-\ 280*psi^11*x^3*y^8+1050*psi^11*x^2*y^9-1394*psi^11*x*y^10+716*psi^11*y^11-128* psi^10*x^3*y^9-544*psi^10*x^2*y^10+19160*psi^10*x*y^11-30993*psi^10*y^12-1728* psi^9*x^2*y^11+5400*psi^9*x*y^12+115290*psi^9*y^13-40824*psi^8*y^14+640*psi^10* x^3*y^8-6000*psi^10*x^2*y^9+14902*psi^10*x*y^10-9638*psi^10*y^11+384*psi^9*x^3* y^9-12656*psi^9*x^2*y^10-20760*psi^9*x*y^11+111060*psi^9*y^12+3456*psi^8*x^2*y^ 11-28512*psi^8*x*y^12-170100*psi^8*y^13+17496*psi^7*y^14-280*psi^10*x^4*y^6+ 1400*psi^10*x^3*y^7-2725*psi^10*x^2*y^8+2748*psi^10*x*y^9-1266*psi^10*y^10-192* psi^9*x^4*y^7+4176*psi^9*x^3*y^8+2532*psi^9*x^2*y^9-54240*psi^9*x*y^10+51888* psi^9*y^11+1152*psi^8*x^3*y^9+34200*psi^8*x^2*y^10-50220*psi^8*x*y^11-226125* psi^8*y^12-2592*psi^7*x^2*y^11+25272*psi^7*x*y^12+132678*psi^7*y^13-200*psi^9*x ^4*y^6-1880*psi^9*x^3*y^7+16080*psi^9*x^2*y^8-29494*psi^9*x*y^9+13530*psi^9*y^ 10-384*psi^8*x^4*y^7-10368*psi^8*x^3*y^8+38232*psi^8*x^2*y^9+54940*psi^8*x*y^10 -142156*psi^8*y^11-3456*psi^7*x^3*y^9-29592*psi^7*x^2*y^10+142020*psi^7*x*y^11+ 258714*psi^7*y^12-40824*psi^6*y^13-168*psi^9*x^5*y^4+1050*psi^9*x^4*y^5-2620* psi^9*x^3*y^6+3832*psi^9*x^2*y^7-3594*psi^9*x*y^8+1626*psi^9*y^9-128*psi^8*x^5* y^5+3672*psi^8*x^4*y^6-11352*psi^8*x^3*y^7-28226*psi^8*x^2*y^8+108708*psi^8*x*y ^9-54697*psi^8*y^10+2368*psi^7*x^4*y^7-5496*psi^7*x^3*y^8-75990*psi^7*x^2*y^9+ 104670*psi^7*x*y^10+210612*psi^7*y^11+7344*psi^6*x^2*y^10-94608*psi^6*x*y^11-\ 154791*psi^6*y^12-352*psi^8*x^5*y^4+1660*psi^8*x^4*y^5+4780*psi^8*x^3*y^6-30876 *psi^8*x^2*y^7+39998*psi^8*x*y^8-13314*psi^8*y^9-384*psi^7*x^5*y^5+1704*psi^7*x ^4*y^6+7896*psi^7*x^3*y^7+8412*psi^7*x^2*y^8-137804*psi^7*x*y^9+103928*psi^7*y^ 10+13248*psi^6*x^3*y^8+49320*psi^6*x^2*y^9-256338*psi^6*x*y^10-172422*psi^6*y^ 11+40824*psi^5*y^12-56*psi^8*x^6*y^2+420*psi^8*x^5*y^3-1205*psi^8*x^4*y^4+2168* psi^8*x^3*y^5-3220*psi^8*x^2*y^6+3240*psi^8*x*y^7-1521*psi^8*y^8-32*psi^7*x^6*y ^3+968*psi^7*x^5*y^4-5974*psi^7*x^4*y^5-6588*psi^7*x^3*y^6+93704*psi^7*x^2*y^7-\ 148632*psi^7*x*y^8+38956*psi^7*y^9-7520*psi^6*x^4*y^6+27840*psi^6*x^3*y^7+19131 *psi^6*x^2*y^8-46460*psi^6*x*y^9-96904*psi^6*y^10-8856*psi^5*x^2*y^9+132084*psi ^5*x*y^10+84672*psi^5*y^11-104*psi^7*x^6*y^2+1284*psi^7*x^5*y^3-2150*psi^7*x^4* y^4-11916*psi^7*x^3*y^5+39252*psi^7*x^2*y^6-34080*psi^7*x*y^7+9252*psi^7*y^8+ 1216*psi^6*x^5*y^4-8712*psi^6*x^4*y^5+37188*psi^6*x^3*y^6-133452*psi^6*x^2*y^7+ 217792*psi^6*x*y^8-50536*psi^6*y^9-20640*psi^5*x^3*y^7-13268*psi^5*x^2*y^8+ 197490*psi^5*x*y^9+49662*psi^5*y^10-22680*psi^4*y^11-8*psi^7*x^7+70*psi^7*x^6*y -178*psi^7*x^5*y^2+252*psi^7*x^4*y^3-756*psi^7*x^3*y^4+1756*psi^7*x^2*y^5-2004* psi^7*x*y^6+984*psi^7*y^7+48*psi^6*x^6*y^2-816*psi^6*x^5*y^3-2265*psi^6*x^4*y^4 +42288*psi^6*x^3*y^5-126410*psi^6*x^2*y^6+121872*psi^6*x*y^7-20002*psi^6*y^8+ 9456*psi^5*x^4*y^5-53544*psi^5*x^3*y^6+98984*psi^5*x^2*y^7-89150*psi^5*x*y^8+ 30576*psi^5*y^9+5892*psi^4*x^2*y^8-95220*psi^4*x*y^9-19845*psi^4*y^10+216*psi^6 *x^6*y-1218*psi^6*x^5*y^2-990*psi^6*x^4*y^3+15724*psi^6*x^3*y^4-27540*psi^6*x^2 *y^5+14428*psi^6*x*y^6-4524*psi^6*y^7-1440*psi^5*x^5*y^3+14944*psi^5*x^4*y^4-\ 69892*psi^5*x^3*y^5+173376*psi^5*x^2*y^6-187620*psi^5*x*y^7+21824*psi^5*y^8+ 17200*psi^4*x^3*y^6-26896*psi^4*x^2*y^7-59230*psi^4*x*y^8-4938*psi^4*y^9+7560* psi^3*y^10+21*psi^6*x^6-116*psi^6*x^5*y+102*psi^6*x^4*y^2+296*psi^6*x^3*y^3-694 *psi^6*x^2*y^4+840*psi^6*x*y^5-354*psi^6*y^6-24*psi^5*x^6*y-652*psi^5*x^5*y^2+ 10152*psi^5*x^4*y^3-43696*psi^5*x^3*y^4+75794*psi^5*x^2*y^5-48744*psi^5*x*y^6+ 7144*psi^5*y^7-5992*psi^4*x^4*y^4+43624*psi^4*x^3*y^5-108870*psi^4*x^2*y^6+ 109900*psi^4*x*y^7-12842*psi^4*y^8-2336*psi^3*x^2*y^7+39360*psi^3*x*y^8-882*psi ^3*y^9-68*psi^5*x^6-94*psi^5*x^5*y+3090*psi^5*x^4*y^2-9040*psi^5*x^3*y^3+7068* psi^5*x^2*y^4+292*psi^5*x*y^5+1578*psi^5*y^6+816*psi^4*x^5*y^2-9560*psi^4*x^4*y ^3+40280*psi^4*x^3*y^4-81724*psi^4*x^2*y^5+73600*psi^4*x*y^6-5472*psi^4*y^7-\ 8352*psi^3*x^3*y^5+26112*psi^3*x^2*y^6-5376*psi^3*x*y^7+1830*psi^3*y^8-1512*psi ^2*y^9-34*psi^5*x^5+154*psi^5*x^4*y-180*psi^5*x^3*y^2+136*psi^5*x^2*y^3-246*psi ^5*x*y^4-38*psi^5*y^5+4*psi^4*x^6+652*psi^4*x^5*y-5077*psi^4*x^4*y^2+12676*psi^ 4*x^3*y^3-10589*psi^4*x^2*y^4+120*psi^4*x*y^5-1276*psi^4*y^6+1952*psi^3*x^4*y^3 -16448*psi^3*x^3*y^4+44556*psi^3*x^2*y^5-46350*psi^3*x*y^6+3996*psi^3*y^7+552* psi^2*x^2*y^6-9464*psi^2*x*y^7+1519*psi^2*y^8+150*psi^4*x^5-730*psi^4*x^4*y+404 *psi^4*x^3*y^2+2316*psi^4*x^2*y^3-2628*psi^4*x*y^4-402*psi^4*y^5-224*psi^3*x^5* y+2296*psi^3*x^4*y^2-7056*psi^3*x^3*y^3+9826*psi^3*x^2*y^4-7468*psi^3*x*y^5-406 *psi^3*y^6+2376*psi^2*x^3*y^4-9976*psi^2*x^2*y^5+8010*psi^2*x*y^6-1498*psi^2*y^ 7+168*psi*y^8+31*psi^4*x^4-104*psi^4*x^3*y+26*psi^4*x^2*y^2+52*psi^4*x*y^3+133* psi^4*y^4-128*psi^3*x^5+438*psi^3*x^4*y+950*psi^3*x^3*y^2-4876*psi^3*x^2*y^3+ 4710*psi^3*x*y^4+502*psi^3*y^5-264*psi^2*x^4*y^2+2440*psi^2*x^3*y^3-6868*psi^2* x^2*y^4+7500*psi^2*x*y^5-72*psi^2*y^6-72*psi*x^2*y^5+1236*psi*x*y^6-308*psi*y^7 -80*psi^3*x^4+444*psi^3*x^3*y-798*psi^3*x^2*y^2+432*psi^3*x*y^3+70*psi^3*y^4+24 *psi^2*x^5-48*psi^2*x^4*y-786*psi^2*x^3*y^2+2714*psi^2*x^2*y^3-2116*psi^2*x*y^4 +270*psi^2*y^5-368*psi*x^3*y^3+1804*psi*x^2*y^4-1894*psi*x*y^5+394*psi*y^6-8*y^ 7-18*psi^3*x^3+58*psi^3*x^2*y-6*psi^3*x*y^2-76*psi^3*y^3+93*psi^2*x^4-588*psi^2 *x^3*y+1136*psi^2*x^2*y^2-660*psi^2*x*y^3-277*psi^2*y^4-8*psi*x^4*y+60*psi*x^3* y^2-120*psi*x^2*y^3-10*psi*x*y^4-218*psi*y^5+4*x^2*y^4-68*x*y^5+21*y^6+16*psi^2 *x^3-46*psi^2*x^2*y+54*psi^2*y^3-36*psi*x^4+258*psi*x^3*y-582*psi*x^2*y^2+348* psi*x*y^3+58*psi*y^4+24*x^3*y^2-128*x^2*y^3+150*x*y^4-34*y^5+5*psi^2*x^2-20*psi ^2*x*y+20*psi^2*y^2-2*psi*x^3+22*psi*x^2*y-28*psi*x*y^2+28*psi*y^3+4*x^4-36*x^3 *y+93*x^2*y^2-80*x*y^3+31*y^4-6*psi*x^2+22*psi*x*y-20*psi*y^2-2*x^2*y+16*x*y^2-\ 18*y^3+x^2-6*x*y+5*y^2 = 0 --------------------------------------- This ends this paper that took, 195.093, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (2 Psi(x, 0) x y - y + x - 3 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [2/3, 26/27, 436/243, 8326/2187, 172108/19683, 1251020/59049, 28352120/531441, 661528682/4782969, 47371985692/129140163, 1151651147836/1162261467, 28421584759192/10460353203, 710286595552316/94143178827, 17941154873571320/ 847288609443, 457348059356897480/7625597484987, 3917225948160644080/ 22876792454961, 101358940067470330234/205891132094649, 2638906755855189345172/ 1853020188851841, 69082923934455393505988/16677181699666569, 1817414943245234188054760/150094635296999121, 48024521162578840384315580/ 1350851717672992089, 424712470552706724327494440/4052555153018976267, 3769766512283834722118174440/12157665459056928801, 302153288739288599076219976240/328256967394537077627, 24292459808364615408782029091332/8862938119652501095929, 652860355852212898899571019008456/79766443076872509863361, 17591450462570985561649180810006216/717897987691852588770249, 1425455766386032964171015953091402224/19383245667680019896796723, 38588672798254612687601480438621831224/174449211009120179071170507, 1046826191715068989782571240702689069424/1570042899082081611640534563, 28453648052914515006814233627177354453392/14130386091738734504764811067, 774810906468973269956910338806771548855200/127173474825648610542883299603, 21134826911561630765311320005858894518316750/1144561273430837494885949696427, 7128810847873756397346808589975290242046780/127173474825648610542883299603, 1755588091562920101957335187034758651411891340/10301051460877537453973547267843 , 48106958810106401857457987752122338440919921720/ 92709463147897837085761925410587, 11880197832114642421867152628602449217358705670660/ 7509466514979724803946715958257547, 326402449258432787600704256880305333118811051260680/ 67585198634817523235520443624317923, 8978640519521099104825061254858659366642822682011800/ 608266787713357709119683992618861307, 247268263730555903924242077878600223911245722608489200/ 5474401089420219382077155933569751763, 6817136265503144558278272295668565539242079610286114500/ 49269609804781974438694403402127765867, 188143125981906864658859401065613416959104062113959083592/ 443426488243037769948249630619149892803, 1732546437605686247202613215737798130376545697963663876312/ 1330279464729113309844748891857449678409, 47908676110291502567267356151031931252248434958594277577968/ 11972515182562019788602740026717047105681, 1325978271897044974135629512005537504428812040090666780678040/ 107752636643058178097424660240453423951129, 36731128778266886314864144685491419829595553828238366164854320/ 969773729787523602876821942164080815560161, 1018337114111508091644704747449621253022088248685885891535897680/ 8727963568087712425891397479476727340041449, 28254857970455985568594168283941753420797954587139055309018635040/ 78551672112789411833022577315290546060373041, 784557385047977251957899253185857136510441685546530134464811978980/ 706965049015104706497203195837614914543357369, 21800826974234224709502474347108116846522073011262864670315287484424/ 6362685441135942358474828762538534230890216321, 606213107902524460410870432666761075199177109850123544615918530885992/ 57264168970223481226273458862846808078011946889, 16868246848118775238224442292300855394534870478146352419175245017993872/ 515377520732011331036461129765621272702107522001, 469673104317846831171431014711604498804534691298162438837061662422891736/ 4638397686588101979328150167890591454318967698009, 13085551415461209978619412079261371640879408199166929225942803985599315376/ 41745579179292917813953351511015323088870709282081, 364795116501222353048125484588826610243155489414619050295628302821295477136/ 375710212613636260325580163599137907799836383538729, 10175534945935772621472353648599562343124733349248289700255492850854890013088/ 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, 283993126097557685495619939411257797548405390798515131206062600529950492989640/ 30432527221704537086371993251530170531786747066637049, 881149915745899554765196275763587524847635482228036756287968560687114024011920/ 30432527221704537086371993251530170531786747066637049, 738552628328609903928016\ 58091114951398246878227461284820812104350818900527625904/ 821678234986022501332043817791314604358242170799200323, 68815914959295854810337\ 0164901718124035336342094138330425863370333394188825391776/ 2465034704958067503996131453373943813074726512397600969, 1732092889248145811778\ 09141475107088158311620321723890597317177367549973919634411472/ 199667811101603467823686647723289448859052847504205678489, 48463544941139158126\ 02263846797058863093431241910714938311688008880235341661430914464/ 1797010299914431210413179829509605039731475627537851106401, 1356615763883985797\ 20920666225807902005152248822577817236760154380539551650023929714272/ 16173092699229880893718618465586445357583280647840659957609, 422131232519785848\ 811700701997223016632970658274745862013874877897391361836278413412800/ 16173092699229880893718618465586445357583280647840659957609, 354803090931106600\ 91637338400939286644030135930619001873491161269289967796433130252488350/ 436673502879206784130402698570834024654748577491697818855443, 11049519514878749\ 6539271159613794552789507132746738505078415736624140374396597075326560700/ 436673502879206784130402698570834024654748577491697818855443, 83652728610827550\ 828069553120979824789199390515621838492824593488992730797906772236614734180/ 106111661199647248543687855752712667991103904330482569981872649, 23465096488295\ 0705647708711549294767176541910232045908914087913885576225652696511482738083844\ 0/955004950796825236893190701774414011919935138974343129836853841, 658459269280\ 7884180390680339510731880500982122234977721266089986373335105901769344463940198\ 6060/8595044557171427132038716315969726107279416250769088168531684569, 18483963\ 3537945503028646582384120285857811724430220976955371587738645850110412306472623\ 4069573400/77355401014542844188348446843727534965514746256921793516785161121, 5190585731154228551212565275320929987281388835105188963230259703940076508693640\ 1607019040317712200/ 696198609130885597695136021593547814689632716312296141651066450089, 14581036258\ 2652726365798512518265996153958730360778333775035065362177146344152312463297044\ 5508686800/6265787482177970379256224194341930332206694446810665274859598050801, 4097387212354389558589346198296273295643693939616032988452960830754327988504135\ 7480047056284262487900/ 56392087339601733413306017749077372989860250021295987473736382457209, 115177656\ 1760792671150729426915724173524911279800596761733632647544633678389038160669951\ 287264494519800/ 507528786056415600719754159741696356908742250191663887263627442114881, 32386815\ 8440490672947732989237233792103386577812757188182887001999031620839442150427065\ 27412080860648760/ 4567759074507740406477787437675267212178680251724974985372646979033929, 9109685\ 4444957621395216373957342671335647557514405097507857119686850358352640559431342\ 1186162162856124080/ 41109831670569663658300086939077404909608122265524774868353822811305361, 256312\ 6827530325380509529607008042641001370054575908004645046335942583149109955562452\ 6553448828809409002680/ 369988485035126972924700782451696644186473100389722973815184405301748249, 72138\ 1508847018648921631788954232493999160126670903053874767729741636266182309283372\ 620441200280177409353840/ 3329896365316142756322307042065269797678257903507506764336659647715734241, 2030\ 8827380986952860204712840654118106718384417104219662414140608943973528805913046\ 606025347963649607434593040/ 29969067287845284806900763378587428179104321131567560879029936829441608169, 571\ 9084126837297679444698320230811371778788321120137547654136431084623561558258796\ 29783667167059761751632647840/ 269721605590607563262106870407286853611938890184108047911269431464974473521, 16\ 1096792988148663694101014135210048382374173999763810080940103926147730736176022\ 28755628401638538272533218310220/ 2427494450315468069358961833665581682507450011656972431201424883184770261689, 1361709359552327318661192895308107250921800914361438407460656134889777196896491\ 586175103869549614928143304977966600/ 65542350158517637872691969508970705427701150314738255642438471845988797065603, 3837724146003043110029178000014199577218913415059410245870823914090694174368341\ 7014800723020139837387242662594568680/ 589881151426658740854227725580736348849310352832644300781946246613899173590427, 1081865925855235610171343869294867433100356274484160371632056999762210450953122\ 513310045331897331655626668773363237776/530893036283992866768804953022662713964\ 3793175493798707037516219525092562313843, 3050569187649390744282889694282567082\ 2203665778173022131874387276395501047995820275312626534004404211088219857100133\ 272/477803732655593580091924457720396442567941385794441883633376459757258330608\ 24587, 860386424492499737794861604180104434213951760322731222531123412611085035\ 894660222615655203876825225168748187536256220976/430023359390034222082732011948\ 356798311147247214997695270038813781532497547421283, 24272193417853428467760508\ 2447062147971345178267072878963233821370871381702228581816916537535417416849837\ 62860202696130832/3870210234510307998744588107535211184800325224934979257430349\ 324033792477926791547, 76099613265849629835534842507405621789176129633142952663\ 543219262928260861607508137541502936856975928967726095629070079904/387021023451\ 0307998744588107535211184800325224934979257430349324033792477926791547, 7159378\ 5227042417868290719147186511312776551078204255021889672283648972961561379333221\ 8224570285212251691820198646739785720/11610630703530923996233764322605633554400\ 975674804937772291047972101377433780374641, 60632672926997614437077897471051736\ 1965542557113750258610000095865516690518412790277476413324954603913424332017779\ 87633071440/3134870289953349478983116367103521059688263432197333198518582952467\ 37190712070115307] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 81 81 2 117 2 3 2 2 3 2 - -- g + -- g + 9/5 x + 9 x g - --- g x - 9 x g + 23/5 x g - 7/5 g x 20 16 20 2 4 3 4 3 5 6 4 81 + 17/2 x g + 19/5 x g - 4 x g + g x - -- = 0 80 and in Maple notation -81/20*g+81/16*g^2+9/5*x+9*x*g-117/20*g^2*x-9*x*g^3+23/5*x^2*g^2-7/5*g^3*x^2+17 /2*x^2*g^4+19/5*x^3*g^4-4*x^3*g^5+g^6*x^4-81/80 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 12 12 11 12 11 10 11 11 10 12 80 psi y - 480 psi y + 480 psi x y - 800 psi y + 1200 psi y 10 10 10 11 9 12 10 2 8 - 1184 psi x y + 4480 psi y - 1600 psi y + 1200 psi x y 10 9 10 10 9 10 9 11 - 4000 psi x y + 3600 psi y - 64 psi x y - 10400 psi y 8 12 9 2 8 9 9 9 10 + 1200 psi y + 64 psi x y + 3488 psi x y - 18080 psi y 8 10 8 11 7 12 9 3 6 + 2496 psi x y + 12800 psi y - 480 psi y + 1600 psi x y 9 2 7 9 8 9 9 8 2 8 - 8000 psi x y + 14080 psi x y - 10400 psi y - 1504 psi x y 8 9 8 10 7 10 7 11 + 17216 psi x y + 37520 psi y - 2464 psi x y - 8800 psi y 6 12 8 3 6 8 2 7 8 8 + 80 psi y + 2496 psi x y - 17152 psi x y + 7024 psi x y 8 9 7 2 8 7 9 7 10 + 43200 psi y - 1984 psi x y - 32576 psi x y - 41280 psi y 6 10 6 11 8 4 4 8 3 5 + 736 psi x y + 3200 psi y + 1200 psi x y - 8000 psi x y 8 2 6 8 7 8 8 7 3 6 + 20320 psi x y - 29120 psi x y + 21800 psi y + 1984 psi x y 7 2 7 7 8 7 9 6 2 8 + 2816 psi x y - 96896 psi x y - 73600 psi y + 2224 psi x y 6 9 6 10 5 11 7 4 4 + 19552 psi x y + 25520 psi y - 480 psi y + 2464 psi x y 7 3 5 7 2 6 7 7 7 8 - 27584 psi x y + 79744 psi x y - 2848 psi x y - 69280 psi y 6 3 6 6 2 7 6 8 6 9 + 3136 psi x y + 31232 psi x y + 124064 psi x y + 67200 psi y 5 9 5 10 7 5 2 7 4 3 - 3680 psi x y - 8480 psi y + 480 psi x y - 4000 psi x y 7 3 4 7 2 5 7 6 7 7 + 12480 psi x y - 24960 psi x y + 40160 psi x y - 34080 psi y 6 4 4 6 3 5 6 2 6 6 7 + 2224 psi x y - 29248 psi x y + 43008 psi x y + 167776 psi x y 6 8 5 2 7 5 8 5 9 + 85840 psi y - 8896 psi x y - 55936 psi x y - 36000 psi y 4 10 6 5 2 6 4 3 6 3 4 + 1200 psi y + 736 psi x y - 12160 psi x y + 66400 psi x y 6 2 5 6 6 6 7 5 3 5 - 88032 psi x y - 127024 psi x y + 77600 psi y - 9408 psi x y 5 2 6 5 7 5 8 4 8 - 93696 psi x y - 206944 psi x y - 55840 psi y + 7664 psi x y 4 9 6 6 6 5 6 4 2 + 11200 psi y + 80 psi x - 800 psi x y + 2320 psi x y 6 3 3 6 2 4 6 5 6 6 - 4160 psi x y + 15600 psi x y - 37440 psi x y + 41400 psi y 5 4 3 5 3 4 5 2 5 5 6 - 4448 psi x y + 64448 psi x y - 137728 psi x y - 58992 psi x y 5 7 4 2 6 4 7 4 8 - 63360 psi y + 15072 psi x y + 79712 psi x y + 23480 psi y 3 9 5 5 5 4 2 5 3 3 - 1600 psi y - 736 psi x y + 12064 psi x y - 46560 psi x y 5 2 4 5 5 5 6 4 3 4 - 29040 psi x y + 279312 psi x y - 59040 psi y + 12256 psi x y 4 2 5 4 6 4 7 3 7 + 130208 psi x y + 163920 psi x y + 22560 psi y - 8576 psi x y 3 8 5 5 5 4 5 3 2 - 7200 psi y - 320 psi x + 2080 psi x y - 2080 psi x y 5 2 3 5 4 5 5 4 4 2 - 7200 psi x y + 21600 psi x y - 37800 psi y + 3952 psi x y 4 3 3 4 2 4 4 5 4 6 - 65760 psi x y + 180080 psi x y - 122448 psi x y + 35400 psi y 3 2 5 3 6 3 7 2 8 - 14080 psi x y - 61968 psi x y - 3520 psi y + 1200 psi y 4 5 4 4 4 3 2 4 2 3 + 304 psi x - 4576 psi x y + 4400 psi x y + 93408 psi x y 4 4 4 5 3 3 3 3 2 4 - 236484 psi x y + 30240 psi y - 8832 psi x y - 101168 psi x y 3 5 3 6 2 6 2 7 - 47888 psi x y - 8720 psi y + 5504 psi x y + 1280 psi y 4 4 4 3 4 2 2 4 3 + 680 psi x - 3840 psi x y + 5400 psi x y - 8640 psi x y 4 4 3 4 3 3 2 3 2 3 + 26325 psi y - 1728 psi x y + 35408 psi x y - 116928 psi x y 3 4 3 5 2 2 4 2 5 + 142152 psi x y - 14760 psi y + 7776 psi x y + 25456 psi x y 2 6 7 3 4 3 3 - 1920 psi y - 480 psi y - 112 psi x + 7472 psi x y 3 2 2 3 3 3 4 2 3 2 - 48744 psi x y + 85968 psi x y - 9450 psi y + 3840 psi x y 2 2 3 2 4 2 5 5 + 45152 psi x y - 11012 psi x y + 7280 psi y - 1952 psi x y 6 3 3 3 2 3 2 + 800 psi y - 720 psi x + 3240 psi x y + 810 psi x y 3 3 2 4 2 3 2 2 2 - 12150 psi y + 368 psi x - 9744 psi x y + 35292 psi x y 2 3 2 4 2 3 4 - 52632 psi x y - 675 psi y - 2464 psi x y - 4240 psi x y 5 6 2 3 2 2 2 2 - 640 psi y + 80 y - 468 psi x + 3888 psi x y - 8586 psi x y 2 3 3 2 2 3 + 3240 psi y - 992 psi x y - 10464 psi x y + 8408 psi x y 4 4 5 2 2 2 - 1680 psi y + 304 x y - 320 y + 405 psi x - 2430 psi x y 2 2 3 2 2 3 + 3645 psi y + 720 psi x - 2124 psi x y + 4212 psi x y + 2430 psi y 2 2 3 4 2 2 + 368 x y - 112 x y + 680 y - 324 psi x + 1782 psi x y - 2430 psi y 3 2 2 3 2 2 + 144 x + 720 x y - 468 x y - 720 y - 81 x - 324 x y + 405 y = 0 and in Maple notation 80*psi^12*y^12-480*psi^11*y^12+480*psi^11*x*y^10-800*psi^11*y^11+1200*psi^10*y^ 12-1184*psi^10*x*y^10+4480*psi^10*y^11-1600*psi^9*y^12+1200*psi^10*x^2*y^8-4000 *psi^10*x*y^9+3600*psi^10*y^10-64*psi^9*x*y^10-10400*psi^9*y^11+1200*psi^8*y^12 +64*psi^9*x^2*y^8+3488*psi^9*x*y^9-18080*psi^9*y^10+2496*psi^8*x*y^10+12800*psi ^8*y^11-480*psi^7*y^12+1600*psi^9*x^3*y^6-8000*psi^9*x^2*y^7+14080*psi^9*x*y^8-\ 10400*psi^9*y^9-1504*psi^8*x^2*y^8+17216*psi^8*x*y^9+37520*psi^8*y^10-2464*psi^ 7*x*y^10-8800*psi^7*y^11+80*psi^6*y^12+2496*psi^8*x^3*y^6-17152*psi^8*x^2*y^7+ 7024*psi^8*x*y^8+43200*psi^8*y^9-1984*psi^7*x^2*y^8-32576*psi^7*x*y^9-41280*psi ^7*y^10+736*psi^6*x*y^10+3200*psi^6*y^11+1200*psi^8*x^4*y^4-8000*psi^8*x^3*y^5+ 20320*psi^8*x^2*y^6-29120*psi^8*x*y^7+21800*psi^8*y^8+1984*psi^7*x^3*y^6+2816* psi^7*x^2*y^7-96896*psi^7*x*y^8-73600*psi^7*y^9+2224*psi^6*x^2*y^8+19552*psi^6* x*y^9+25520*psi^6*y^10-480*psi^5*y^11+2464*psi^7*x^4*y^4-27584*psi^7*x^3*y^5+ 79744*psi^7*x^2*y^6-2848*psi^7*x*y^7-69280*psi^7*y^8+3136*psi^6*x^3*y^6+31232* psi^6*x^2*y^7+124064*psi^6*x*y^8+67200*psi^6*y^9-3680*psi^5*x*y^9-8480*psi^5*y^ 10+480*psi^7*x^5*y^2-4000*psi^7*x^4*y^3+12480*psi^7*x^3*y^4-24960*psi^7*x^2*y^5 +40160*psi^7*x*y^6-34080*psi^7*y^7+2224*psi^6*x^4*y^4-29248*psi^6*x^3*y^5+43008 *psi^6*x^2*y^6+167776*psi^6*x*y^7+85840*psi^6*y^8-8896*psi^5*x^2*y^7-55936*psi^ 5*x*y^8-36000*psi^5*y^9+1200*psi^4*y^10+736*psi^6*x^5*y^2-12160*psi^6*x^4*y^3+ 66400*psi^6*x^3*y^4-88032*psi^6*x^2*y^5-127024*psi^6*x*y^6+77600*psi^6*y^7-9408 *psi^5*x^3*y^5-93696*psi^5*x^2*y^6-206944*psi^5*x*y^7-55840*psi^5*y^8+7664*psi^ 4*x*y^8+11200*psi^4*y^9+80*psi^6*x^6-800*psi^6*x^5*y+2320*psi^6*x^4*y^2-4160* psi^6*x^3*y^3+15600*psi^6*x^2*y^4-37440*psi^6*x*y^5+41400*psi^6*y^6-4448*psi^5* x^4*y^3+64448*psi^5*x^3*y^4-137728*psi^5*x^2*y^5-58992*psi^5*x*y^6-63360*psi^5* y^7+15072*psi^4*x^2*y^6+79712*psi^4*x*y^7+23480*psi^4*y^8-1600*psi^3*y^9-736* psi^5*x^5*y+12064*psi^5*x^4*y^2-46560*psi^5*x^3*y^3-29040*psi^5*x^2*y^4+279312* psi^5*x*y^5-59040*psi^5*y^6+12256*psi^4*x^3*y^4+130208*psi^4*x^2*y^5+163920*psi ^4*x*y^6+22560*psi^4*y^7-8576*psi^3*x*y^7-7200*psi^3*y^8-320*psi^5*x^5+2080*psi ^5*x^4*y-2080*psi^5*x^3*y^2-7200*psi^5*x^2*y^3+21600*psi^5*x*y^4-37800*psi^5*y^ 5+3952*psi^4*x^4*y^2-65760*psi^4*x^3*y^3+180080*psi^4*x^2*y^4-122448*psi^4*x*y^ 5+35400*psi^4*y^6-14080*psi^3*x^2*y^5-61968*psi^3*x*y^6-3520*psi^3*y^7+1200*psi ^2*y^8+304*psi^4*x^5-4576*psi^4*x^4*y+4400*psi^4*x^3*y^2+93408*psi^4*x^2*y^3-\ 236484*psi^4*x*y^4+30240*psi^4*y^5-8832*psi^3*x^3*y^3-101168*psi^3*x^2*y^4-\ 47888*psi^3*x*y^5-8720*psi^3*y^6+5504*psi^2*x*y^6+1280*psi^2*y^7+680*psi^4*x^4-\ 3840*psi^4*x^3*y+5400*psi^4*x^2*y^2-8640*psi^4*x*y^3+26325*psi^4*y^4-1728*psi^3 *x^4*y+35408*psi^3*x^3*y^2-116928*psi^3*x^2*y^3+142152*psi^3*x*y^4-14760*psi^3* y^5+7776*psi^2*x^2*y^4+25456*psi^2*x*y^5-1920*psi^2*y^6-480*psi*y^7-112*psi^3*x ^4+7472*psi^3*x^3*y-48744*psi^3*x^2*y^2+85968*psi^3*x*y^3-9450*psi^3*y^4+3840* psi^2*x^3*y^2+45152*psi^2*x^2*y^3-11012*psi^2*x*y^4+7280*psi^2*y^5-1952*psi*x*y ^5+800*psi*y^6-720*psi^3*x^3+3240*psi^3*x^2*y+810*psi^3*x*y^2-12150*psi^3*y^3+ 368*psi^2*x^4-9744*psi^2*x^3*y+35292*psi^2*x^2*y^2-52632*psi^2*x*y^3-675*psi^2* y^4-2464*psi*x^2*y^3-4240*psi*x*y^4-640*psi*y^5+80*y^6-468*psi^2*x^3+3888*psi^2 *x^2*y-8586*psi^2*x*y^2+3240*psi^2*y^3-992*psi*x^3*y-10464*psi*x^2*y^2+8408*psi *x*y^3-1680*psi*y^4+304*x*y^4-320*y^5+405*psi^2*x^2-2430*psi^2*x*y+3645*psi^2*y ^2+720*psi*x^3-2124*psi*x^2*y+4212*psi*x*y^2+2430*psi*y^3+368*x^2*y^2-112*x*y^3 +680*y^4-324*psi*x^2+1782*psi*x*y-2430*psi*y^2+144*x^3+720*x^2*y-468*x*y^2-720* y^3-81*x^2-324*x*y+405*y^2 = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 5 4096 - -------- (4 n + 3) (2 n + 3) (2 n + 1) (4 n + 5) (n + 1) ( 20503125 3 19695141650812855340367418538703228068092653912 n 2 + 164572363717600868367399498641030250414845032046 n + 430772377817310788618345206908101690601607122569 n + 349985981499166170570358154137780897425496319487) a(n)/((2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) - 2/20503125 (2 n + 3) ( 7 103353249474171381952589764629463072177982551486614624 n 6 + 1491607156164965333625940625557221541599302186904773816 n 5 + 8964531347181206354724741974165670557650316631967724844 n 4 + 29374471107271037730382223377282701381178332803240978138 n 3 + 57484771532814026271374521639362839282642705171364862059 n 2 + 68535351705942710490003747154160216769115865315966536982 n + 47232992721214332276827183776725301584610967271392586549 n + 14837729308313696770891489758740163376804953546531929340) a(n + 1)/( (2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) + 1/455625 ( 8 13942919494851500371093689178033947168841309132499544 n 7 + 199915411623870853020389534432900830631240945414942710 n 6 + 696496992798396288686942927478066059811337177450902387 n 5 - 4243766658370678149522777364230058884988760998272661997 n 4 - 47881674340088741734907407019157786611704855142330973444 n 3 - 193422554106397764652225469943409177988186458106796644135 n 2 - 411728539621781376121246703977389101486887066618663709877 n - 461188838028687500251237836277860820313545478448905931828 n - 215248272049228292990060182342497316975317407477612029080) a(n + 2)/( (2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) - 1/3375 ( 7 44511020130837053069230365897469295433889397841120 n 6 + 127283734070277006994608966477079695916978772550961 n 5 - 8368787456285427727253499465081681341905536050430045 n 4 - 103359140037834008734958276564828029759198561561075636 n 3 - 546186305939200335834313887565968196287218446487760156 n 2 - 1521624870951149544879648457429449916186372376142792372 n - 2197647403389376213888253143149192114817635879081162831 n - 1302306062788972276984216000284278175287102702566176705) a(n + 3)/( (n + 5) (n + 6) (2 n + 9) (2 n + 11) %1) + 1/45 ( 5 39390283301625710680734837077406456136185307824 n 4 - 1367542863871346588286767402329666278180113503754 n 3 - 24480834003912016807716587226648399415935095224776 n 2 - 138439150107215181392467356841913279080559861767459 n - 332978986471698038393058452936368744149940736292522 n - 293833308148243873201984438449512456544974517072966) a(n + 4)/( (2 n + 11) (n + 6) %1) + a(n + 5) = 0 2 %1 := 2531537954214397021182793242109778771501321861 n + 14445893850944075627655366022079769431630549359 n + 20822443810953959506722311190614544058718268609 and in Maple notation -4096/20503125*(4*n+3)*(2*n+3)*(2*n+1)*(4*n+5)*(n+1)*( 19695141650812855340367418538703228068092653912*n^3+ 164572363717600868367399498641030250414845032046*n^2+ 430772377817310788618345206908101690601607122569*n+ 349985981499166170570358154137780897425496319487)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n+6)/(n+5)/ (n+4)/(2531537954214397021182793242109778771501321861*n^2+ 14445893850944075627655366022079769431630549359*n+ 20822443810953959506722311190614544058718268609)*a(n)-2/20503125*(2*n+3)*( 103353249474171381952589764629463072177982551486614624*n^7+ 1491607156164965333625940625557221541599302186904773816*n^6+ 8964531347181206354724741974165670557650316631967724844*n^5+ 29374471107271037730382223377282701381178332803240978138*n^4+ 57484771532814026271374521639362839282642705171364862059*n^3+ 68535351705942710490003747154160216769115865315966536982*n^2+ 47232992721214332276827183776725301584610967271392586549*n+ 14837729308313696770891489758740163376804953546531929340)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n+6 )/(n+5)/(n+4)/(2531537954214397021182793242109778771501321861*n^2+ 14445893850944075627655366022079769431630549359*n+ 20822443810953959506722311190614544058718268609)*a(n+1)+1/455625*( 13942919494851500371093689178033947168841309132499544*n^8+ 199915411623870853020389534432900830631240945414942710*n^7+ 696496992798396288686942927478066059811337177450902387*n^6-\ 4243766658370678149522777364230058884988760998272661997*n^5-\ 47881674340088741734907407019157786611704855142330973444*n^4-\ 193422554106397764652225469943409177988186458106796644135*n^3-\ 411728539621781376121246703977389101486887066618663709877*n^2-\ 461188838028687500251237836277860820313545478448905931828*n-\ 215248272049228292990060182342497316975317407477612029080)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n+ 6)/(n+5)/(n+4)/(2531537954214397021182793242109778771501321861*n^2+ 14445893850944075627655366022079769431630549359*n+ 20822443810953959506722311190614544058718268609)*a(n+2)-1/3375*( 44511020130837053069230365897469295433889397841120*n^7+ 127283734070277006994608966477079695916978772550961*n^6-\ 8368787456285427727253499465081681341905536050430045*n^5-\ 103359140037834008734958276564828029759198561561075636*n^4-\ 546186305939200335834313887565968196287218446487760156*n^3-\ 1521624870951149544879648457429449916186372376142792372*n^2-\ 2197647403389376213888253143149192114817635879081162831*n-\ 1302306062788972276984216000284278175287102702566176705)/(n+5)/(n+6)/(2*n+9)/(2 *n+11)/(2531537954214397021182793242109778771501321861*n^2+ 14445893850944075627655366022079769431630549359*n+ 20822443810953959506722311190614544058718268609)*a(n+3)+1/45*( 39390283301625710680734837077406456136185307824*n^5-\ 1367542863871346588286767402329666278180113503754*n^4-\ 24480834003912016807716587226648399415935095224776*n^3-\ 138439150107215181392467356841913279080559861767459*n^2-\ 332978986471698038393058452936368744149940736292522*n-\ 293833308148243873201984438449512456544974517072966)/(2*n+11)/(n+6)/( 2531537954214397021182793242109778771501321861*n^2+ 14445893850944075627655366022079769431630549359*n+ 20822443810953959506722311190614544058718268609)*a(n+4)+a(n+5) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 2/3, a(2) = 26/27, a(3) = 436/243, a(4) = 8326/2187, a(5) = 172108/19683 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 191466110883078502124311216732141358838018749022830154027543235364929\ 4314675226314816881671328826437507428332000698261505212750700147404475686338675\ 6903619981397007643185102366258390754871771588634193183260494078033514434476989\ 0547275662346731341436600435246840278719021336068072504998253365665782501865855\ 2600106386873266794877488451748270460381746506579017971249993234914984075336827\ 0535267460894479450078316904978213036179754745499148478818338100634202220999879\ 5283051149782881146179497860296536613522850921965010688564113957668627553288330\ 8568395714044339401951815231270265549878461207071840681886950458634382952820379\ 7231863776158450173802959020175727047858788375441661262701090724916316077374565\ 2846305462156352765790660051862482839823224150472465344429934912115813611485371\ 4065885063605559652633045583016143496072143181637440036003356650893150935574228\ 1058077295790503762203320162349352663958230817737032876492018979120008310377006\ 3480079387962050978306211083611570826685982167072690850062210925838677224896383\ 8806589548759701099979377214842161501644017916194299079892152932696457313464919\ 4640198013746074669241487411933859968076029741385197745774133621177894348159173\ 3981962491639858736488317013779297628524132242704899036340481054087177035043764\ 1373184903965851345527309662872649209994171802322117618493266227554323441479812\ 3420823782985696632211735231331575719761392248405008729414470275121956714892008\ 461721966506592784102384480095655116193600/582623750574217203219991539721553523\ 5096874958117295059372960039368954220757584964304954899548937036918696502320484\ 2552959045614529183621583813806736454616062430412669665905979384320949277350783\ 9773047560501474686470296738166833549271311939641900635134201828032712652326456\ 1836752750798037728813326388412256815898875428821355134452093251098730880816932\ 5015695415415803036848147911843404871715844936358511005108968931103056649329636\ 3274883613931855826202132325221519047912552342360134413325919288432282246697904\ 1259719235120314078960163693410813797276759874948036928214798389484093206450737\ 5660491780559419215183577202458399512468202153084893201438357926943816722822658\ 6018968649586415456214805383954379361758867865272136981719199914025872539637200\ 3950518673602572489286531199598300639777966550904251343759751440826544232253042\ 1536771878131812514759756297868234717784584104598043689694464992258809669377796\ 6793436802051574385960704149997224606351370146667 --------------------------------------- This ends this paper that took, 247.278, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (2 Psi(x, 0) x y - 2 y + x - 3 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [2/3, 8/9, 124/81, 728/243, 13856/2187, 92608/6561, 642560/19683, 13757632/ 177147, 301111744/1594323, 2235903104/4782969, 50533717504/43046721, 385328557568/129140163, 2968403744768/387420489, 7689613979648/387420489, 541945232091136/10460353203, 4272262498033664/31381059609, 304900370701451264/ 847288609443, 2430454433025679360/2541865828329, 19464825726894309376/ 7625597484987, 156546789466072629248/22876792454961, 3791540011857092558848/ 205891132094649, 30716523140039583039488/617673396283947, 748902139054616327094272/5559060566555523, 2034681283054148504387584/ 5559060566555523, 149655077542348299417419776/150094635296999121, 3678205809516141305717063680/1350851717672992089, 90609142517751083804219932672 /12157665459056928801, 745602463886595735043013869568/36472996377170786403, 18442548888164879236730252689408/328256967394537077627, 152339717876550423856013618708480/984770902183611232881, 1260531016611225981828307135496192/2954312706550833698643, 3482362930142981000321377396326400/2954312706550833698643, 260145954646217193896179556706942976/79766443076872509863361, 2162407706161419573799141606544113664/239299329230617529590083, 161988829043780686275740698973128622080/6461081889226673298932241, 1350025516275169772698798225909291679744/19383245667680019896796723, 11264733503909891476882369338748077867008/58149737003040059690390169, 94101026282298416159630662670902903177216/174449211009120179071170507, 2360794168639748865750917527478993684529152/1570042899082081611640534563, 19762695915136730747185423149889245423861760/4710128697246244834921603689, 496797347547357270087215801406348991022497792/42391158275216203514294433201, 4166722879769069731997344568126978782184603648/127173474825648610542883299603, 11659325052515890053421011234044364613977374720/127173474825648610542883299603, 881623433535986026402761586914123552076947521536/ 3433683820292512484657849089281, 22239364490761293933021647204448082889113845366784/ 30903154382632612361920641803529, 187143975372681447462741495816283000518791237992448/ 92709463147897837085761925410587, 4727937683550862439660832570762099928246672093609984/ 834385168331080533771857328695283, 39843191045197856971371155266923288903749069315244032/ 2503155504993241601315571986085849, 335994068137729189369324571640577105682948052299546624/ 7509466514979724803946715958257547, 315028521293052973282294523818852613328328342611427328/ 2503155504993241601315571986085849, 71820188355850198491563690116464851214753978122575544320/ 202755595904452569706561330872953769, 606793697120142212836568254348960030810796207143280181248/ 608266787713357709119683992618861307, 138500408920691883970765307721754152481076928998934434545664/ 49269609804781974438694403402127765867, 1171492831705927425415371532121130808093745361973151172395008/ 147808829414345923316083210206383297601, 9914292240013389316644878445852197362948776768190209788477440/ 443426488243037769948249630619149892803, 83947723658767661699167709941903242851743381085642590540267520/ 1330279464729113309844748891857449678409, 2133509503292513448237470363753001870551085515895508159285952512/ 11972515182562019788602740026717047105681, 18082924033358767572582617061222799934466228818715753317459296256/ 35917545547686059365808220080151141317043, 460009206706319928324867381960451649782272785842717199176029962240/ 323257909929174534292273980721360271853387, 3902463856638732610191360398943749300346662755713772104064574685184/ 969773729787523602876821942164080815560161, 33120780522992509470889302281943891192315593210941494237072365453312/ 2909321189362570808630465826492242446680483, 843658457160436268801934093730981475346690001832889547599107816685568/ 26183890704263137277674192438430182020124347, 21498595976425034246916640060352088859768009355057951772177215858409472/ 235655016338368235499067731945871638181119123, 182685484762045708048516919998839001117635813500729311912152160771506176/ 706965049015104706497203195837614914543357369, 4658924749154574195320910279745257477560340807323652189179437325278511104/ 6362685441135942358474828762538534230890216321, 39619362423514393358301425334202203992761126293092030001454698065964302336/ 19088056323407827075424486287615602692670648963, 337043391268543448432220724074550126976837920262350207120358506808458870784/ 57264168970223481226273458862846808078011946889, 956081281251568059514119652287504135819400907404107186588545120163797663744/ 57264168970223481226273458862846808078011946889, 73251255846054127947957823971318096673533461636946406728664600873883681161216/ 1546132562196033993109383389296863818106322566003, 623786664118477221094218826209365288336224491803545669058049116502242581544960/ 4638397686588101979328150167890591454318967698009, 4782321971680626591267475751\ 4664860399153223051817054129530434348930204056944640/ 125236737537878753441860054533045969266612127846243, 40750631941987052697302091\ 5985265714880962647664717452404764476361505608057225216/ 375710212613636260325580163599137907799836383538729, 34734534079128031623955822\ 79333549030343799789141989080626936456357275447561551872/ 1127130637840908780976740490797413723399509150616187, 2961533342621881788083647\ 9004592111025480600401430157682814777981517455055397060608/ 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, 7577354710977064365028147\ 49420843522101922301648613710118398871830517140090366459904/ 30432527221704537086371993251530170531786747066637049, 646425748487456717969622\ 1197436527145897486177385691162224659876880229349947294613504/ 91297581665113611259115979754590511595360241199911147, 165485160854702071067871\ 709853166391150453076759503443428280968897636327344761645039616/ 821678234986022501332043817791314604358242170799200323, 42375471838438541573892\ 97763095843694183404605138028352921190255456186474552362553835520/ 7395104114874202511988394360121831439224179537192802907, 1085380937758502220834\ 69857895151252763968620772028923273168110833330374171678844680929280/ 66555937033867822607895549241096482953017615834735226163, 278073220495040395231\ 3914407719362164851071757750598573875077949883457513319062767568683008/ 599003433304810403471059943169868346577158542512617035467, 71259498784065085522\ 728182135975354051895283940887527377830667592127636978821695315994738688/ 5391030899743293631239539488528815119194426882613553319203, 6088483183595625802\ 40427546748729397218225516790789515568403856973533780588757052475823882240/ 16173092699229880893718618465586445357583280647840659957609, 156098309229733243\ 20670994674744507768929228857863041795956556895829354126167652917116839919616/ 145557834293068928043467566190278008218249525830565939618481, 13343356491690536\ 9811999976945660838375282229737046026574731330223867150086299267738292184940544 /436673502879206784130402698570834024654748577491697818855443, 1140850382759516\ 9028605917967059898256996081141940158425147560224835178461851974017300966167019\ 52/1310020508637620352391208095712502073964245732475093456566329, 3252111992032\ 4223807199184124865466628051629727742253057139896560446007986402437425091225835\ 27424/1310020508637620352391208095712502073964245732475093456566329, 2503561855\ 8082704607165684866330684867028565183598291019644604472266779524054876414761062\ 0283322368/35370553733215749514562618584237555997034634776827523327290883, 2141\ 8981209114861656086398876983944428823033700857598986569982359876654500030634666\ 94987764589395968/ 106111661199647248543687855752712667991103904330482569981872649, 16495668707829\ 4485714556310754297989940675658956425678811563388610200967540952270228836037160\ 828141568/2865014852390475710679572105323242035759805416923029389510561523] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 81 2 2 2 2 2 3 2 -- g + 9/2 x + 9/8 x g - 9 g x - x + 21/2 x g - 45/4 x g + 17/2 g x 16 2 3 3 3 3 4 5 4 81 - 1/4 g x + 13/2 x g - 4 x g + g x - -- = 0 16 and in Maple notation 81/16*g+9/2*x+9/8*x*g-9*g^2*x-x^2+21/2*x^2*g-45/4*x^2*g^2+17/2*g^3*x^2-1/4*g^2* x^3+13/2*x^3*g^3-4*x^3*g^4+g^5*x^4-81/16 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 10 10 9 10 9 8 9 9 8 10 -16 psi y + 160 psi y - 80 psi x y + 112 psi y - 640 psi y 8 8 8 9 7 10 8 2 6 + 224 psi x y - 976 psi y + 1280 psi y - 160 psi x y 8 7 8 8 7 2 7 7 8 + 448 psi x y - 384 psi y - 32 psi x y + 576 psi x y 7 9 6 10 7 2 6 7 7 + 3328 psi y - 1280 psi y - 288 psi x y - 288 psi x y 7 8 6 2 7 6 8 6 9 + 2624 psi y + 128 psi x y - 2432 psi x y - 5504 psi y 5 10 7 3 4 7 2 5 7 6 + 512 psi y - 160 psi x y + 672 psi x y - 1088 psi x y 7 7 6 3 5 6 2 6 6 7 + 928 psi y - 64 psi x y + 624 psi x y - 5664 psi x y 6 8 5 2 7 5 8 5 9 - 6688 psi y - 128 psi x y + 2048 psi x y + 4352 psi y 6 3 4 6 2 5 6 6 6 7 - 608 psi x y + 2688 psi x y + 616 psi x y - 4352 psi y 5 3 5 5 2 6 5 7 5 8 - 384 psi x y + 1024 psi x y + 11776 psi x y + 7872 psi y 4 9 6 4 2 6 3 3 6 2 4 - 1280 psi y - 80 psi x y + 448 psi x y - 960 psi x y 6 5 6 6 5 4 3 5 3 4 + 1632 psi x y - 1576 psi y - 32 psi x y - 544 psi x y 5 2 5 5 6 5 7 4 2 6 + 3048 psi x y + 10416 psi x y + 6432 psi y + 320 psi x y 4 7 4 8 5 4 2 5 3 3 - 5760 psi x y - 4480 psi y - 256 psi x y + 2336 psi x y 5 2 4 5 5 5 6 4 3 4 - 3864 psi x y - 8592 psi x y + 4752 psi y + 1024 psi x y 4 2 5 4 6 4 7 3 8 - 4416 psi x y - 17792 psi x y - 3360 psi y + 1280 psi y 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 - 16 psi x + 112 psi x y - 192 psi x y + 480 psi x y 5 4 5 5 4 4 2 4 3 3 - 1560 psi x y + 2088 psi y + 48 psi x y + 1936 psi x y 4 2 4 4 5 4 6 3 2 5 - 12284 psi x y - 2520 psi x y - 3360 psi y - 320 psi x y 3 6 3 7 4 4 4 3 2 + 6400 psi x y + 1280 psi y + 336 psi x y - 1960 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 3 3 - 672 psi x y + 17820 psi x y - 3000 psi y - 1088 psi x y 3 2 4 3 5 2 7 4 4 + 6272 psi x y + 10624 psi x y - 640 psi y + 64 psi x 4 3 4 2 2 4 3 4 4 - 224 psi x y - 120 psi x y + 720 psi x y - 2016 psi y 3 4 3 3 2 3 2 3 3 4 - 24 psi x y - 2168 psi x y + 14880 psi x y - 8160 psi x y 3 5 2 2 4 2 5 2 6 + 2400 psi y + 160 psi x y - 3520 psi x y + 560 psi y 3 4 3 3 3 2 2 3 3 - 104 psi x + 112 psi x y + 3744 psi x y - 14712 psi x y 3 4 2 3 2 2 2 3 2 4 + 1008 psi y + 576 psi x y - 4184 psi x y - 1688 psi x y 2 5 6 3 3 3 2 3 2 - 480 psi y + 160 psi y - 136 psi x + 360 psi x y - 144 psi x y 3 3 2 4 2 3 2 2 2 + 1512 psi y + 4 psi x + 1008 psi x y - 7668 psi x y 2 3 2 4 2 3 4 5 + 6432 psi x y - 984 psi y - 40 psi x y + 960 psi x y - 400 psi y 2 3 2 2 2 2 2 3 + 180 psi x - 1344 psi x y + 4554 psi x y + 288 psi y 3 2 2 3 4 5 - 152 psi x y + 1344 psi x y - 608 psi x y + 592 psi y - 16 y 2 2 2 2 2 3 2 + 144 psi x - 216 psi x y - 729 psi y - 168 psi x + 1584 psi x y 2 3 2 2 3 4 2 - 1308 psi x y - 216 psi y + 4 x y - 104 x y + 64 y - 18 psi x 2 3 2 2 3 - 468 psi x y - 54 psi y + 16 x - 168 x y + 180 x y - 136 y 2 2 - 81 psi x + 243 psi y - 72 x - 18 x y + 144 y + 81 x - 81 y = 0 and in Maple notation -16*psi^10*y^10+160*psi^9*y^10-80*psi^9*x*y^8+112*psi^9*y^9-640*psi^8*y^10+224* psi^8*x*y^8-976*psi^8*y^9+1280*psi^7*y^10-160*psi^8*x^2*y^6+448*psi^8*x*y^7-384 *psi^8*y^8-32*psi^7*x^2*y^7+576*psi^7*x*y^8+3328*psi^7*y^9-1280*psi^6*y^10-288* psi^7*x^2*y^6-288*psi^7*x*y^7+2624*psi^7*y^8+128*psi^6*x^2*y^7-2432*psi^6*x*y^8 -5504*psi^6*y^9+512*psi^5*y^10-160*psi^7*x^3*y^4+672*psi^7*x^2*y^5-1088*psi^7*x *y^6+928*psi^7*y^7-64*psi^6*x^3*y^5+624*psi^6*x^2*y^6-5664*psi^6*x*y^7-6688*psi ^6*y^8-128*psi^5*x^2*y^7+2048*psi^5*x*y^8+4352*psi^5*y^9-608*psi^6*x^3*y^4+2688 *psi^6*x^2*y^5+616*psi^6*x*y^6-4352*psi^6*y^7-384*psi^5*x^3*y^5+1024*psi^5*x^2* y^6+11776*psi^5*x*y^7+7872*psi^5*y^8-1280*psi^4*y^9-80*psi^6*x^4*y^2+448*psi^6* x^3*y^3-960*psi^6*x^2*y^4+1632*psi^6*x*y^5-1576*psi^6*y^6-32*psi^5*x^4*y^3-544* psi^5*x^3*y^4+3048*psi^5*x^2*y^5+10416*psi^5*x*y^6+6432*psi^5*y^7+320*psi^4*x^2 *y^6-5760*psi^4*x*y^7-4480*psi^4*y^8-256*psi^5*x^4*y^2+2336*psi^5*x^3*y^3-3864* psi^5*x^2*y^4-8592*psi^5*x*y^5+4752*psi^5*y^6+1024*psi^4*x^3*y^4-4416*psi^4*x^2 *y^5-17792*psi^4*x*y^6-3360*psi^4*y^7+1280*psi^3*y^8-16*psi^5*x^5+112*psi^5*x^4 *y-192*psi^5*x^3*y^2+480*psi^5*x^2*y^3-1560*psi^5*x*y^4+2088*psi^5*y^5+48*psi^4 *x^4*y^2+1936*psi^4*x^3*y^3-12284*psi^4*x^2*y^4-2520*psi^4*x*y^5-3360*psi^4*y^6 -320*psi^3*x^2*y^5+6400*psi^3*x*y^6+1280*psi^3*y^7+336*psi^4*x^4*y-1960*psi^4*x ^3*y^2-672*psi^4*x^2*y^3+17820*psi^4*x*y^4-3000*psi^4*y^5-1088*psi^3*x^3*y^3+ 6272*psi^3*x^2*y^4+10624*psi^3*x*y^5-640*psi^2*y^7+64*psi^4*x^4-224*psi^4*x^3*y -120*psi^4*x^2*y^2+720*psi^4*x*y^3-2016*psi^4*y^4-24*psi^3*x^4*y-2168*psi^3*x^3 *y^2+14880*psi^3*x^2*y^3-8160*psi^3*x*y^4+2400*psi^3*y^5+160*psi^2*x^2*y^4-3520 *psi^2*x*y^5+560*psi^2*y^6-104*psi^3*x^4+112*psi^3*x^3*y+3744*psi^3*x^2*y^2-\ 14712*psi^3*x*y^3+1008*psi^3*y^4+576*psi^2*x^3*y^2-4184*psi^2*x^2*y^3-1688*psi^ 2*x*y^4-480*psi^2*y^5+160*psi*y^6-136*psi^3*x^3+360*psi^3*x^2*y-144*psi^3*x*y^2 +1512*psi^3*y^3+4*psi^2*x^4+1008*psi^2*x^3*y-7668*psi^2*x^2*y^2+6432*psi^2*x*y^ 3-984*psi^2*y^4-40*psi*x^2*y^3+960*psi*x*y^4-400*psi*y^5+180*psi^2*x^3-1344*psi ^2*x^2*y+4554*psi^2*x*y^2+288*psi^2*y^3-152*psi*x^3*y+1344*psi*x^2*y^2-608*psi* x*y^3+592*psi*y^4-16*y^5+144*psi^2*x^2-216*psi^2*x*y-729*psi^2*y^2-168*psi*x^3+ 1584*psi*x^2*y-1308*psi*x*y^2-216*psi*y^3+4*x^2*y^2-104*x*y^3+64*y^4-18*psi*x^2 -468*psi*x*y-54*psi*y^2+16*x^3-168*x^2*y+180*x*y^2-136*y^3-81*psi*x+243*psi*y-\ 72*x^2-18*x*y+144*y^2+81*x-81*y = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 7 2/3645 (3 n + 2) (2 n + 1) (3 n + 1) (n + 1) ( 2 5433531853490477449085913240824588969946755205639829 n + 22536461926486258468657705019957211656294093056407067 n + 21128411270990750322823911919349781498262718482497462) a(n)/((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) + 1/54675 ( 6 233488728752507825521221764109589144674678294468613399817 n 5 + 1481072047673612495204487738644697228060987903871830287824 n 4 + 920120456510115733651048512289673381836622964713378792932 n 3 - 13631738956210878266165812041648547807034104357544849198290 n 2 - 41464801642631201577374693222145079234836078502090741666077 n - 46762063824677848736725548642139570408774853171997243971694 n - 18925079381120089206579357721055335541506742984370161267232) a(n + 1)/( (2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) - 1/12150 ( 6 773271237332713759974092440051939427090167189685335421974 n 5 + 23691145029557608534570409733414758323630958350112960973481 n 4 + 234085739810951132797628045335749487608531584561192884541363 n 3 + 1098101850097423245536293818090056081804875139324938314251285 n 2 + 2701864849060549574940216712321023105028639779999303274507991 n + 3376275070108219310321928590969900262982397177676617796605114 n + 1692751176589760955111045084139555734686610749031270810745752) a(n + 2)/ ((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) - 1/24300 ( 6 28368942422423460735523215327831909685087541129035363071845 n 5 + 689820479854875373480515465864222787551846572333647443921231 n 4 + 6679085937876090493974644280323031524704478029220035199573073 n 3 + 33295343357268888276891060139337956117142026497461679386229525 n 2 + 90673255195081662225991631306706094425579877203062448538927450 n + 128396784326907698611887407705538744890508990325147227751385124 n + 74054177665326995999645440612642957500389428002617401245338232) a(n + 3) /((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) - 1/8100 ( 6 23624605441531818261660623500573819960744181369805153407692 n 5 + 558524895893891889879004459414206608229552531918822255887285 n 4 + 5442980069710976105937344435202741181362593342371454688807075 n 3 + 28054125587258232973882990746792042095766834937462995591971265 n 2 + 81164482492103783618992318055902280757967800158061469033895993 n + 126596458073828817196169117253751501230061846414376447106936850 n + 85032361800729422682153199951889850979247897432585219814530880) a(n + 4) /((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) + 1/1800 ( 6 9532683961786966952422972085562034463244855687252308143485 n 5 + 272638621192682862456333560268759326038529937780136984529214 n 4 + 3182256823977065133741757790699690715650496038622914771640062 n 3 + 19252760670820735721174063795346424742340519425031673698216780 n 2 + 62846836862951175208537739673627018239939241492488393719978165 n + 102374789912250653386863474640907607036425155513745667510978246 n + 61435415429992824744873667600055893569246194587252707349083168) a(n + 5) /((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) - 1/450 ( 4 543326376706495577305352921717555084069446794707445527993 n 3 + 9985557938050840831396766248303375547774914976653501719147 n 2 + 63390382256808561241706769717309047263947421169999188897219 n + 151303772970272080028812616001971679159679300827068963733135 n + 78948008938893068278513660786069998128924989980721697418030) a(n + 6)/( (2 n + 15) (n + 8) %1) + a(n + 7) = 0 2 %1 := 84840544412069759358782401516444513925399253057152987 n + 482566663176788140673757244847722900113535281445795130 n + 127199972951591466434564660386695352667398525868065215 and in Maple notation 2/3645*(3*n+2)*(2*n+1)*(3*n+1)*(n+1)*( 5433531853490477449085913240824588969946755205639829*n^2+ 22536461926486258468657705019957211656294093056407067*n+ 21128411270990750322823911919349781498262718482497462)/(2*n+15)/(2*n+13)/(n+8)/ (n+7)/(84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n)+1/54675*( 233488728752507825521221764109589144674678294468613399817*n^6+ 1481072047673612495204487738644697228060987903871830287824*n^5+ 920120456510115733651048512289673381836622964713378792932*n^4-\ 13631738956210878266165812041648547807034104357544849198290*n^3-\ 41464801642631201577374693222145079234836078502090741666077*n^2-\ 46762063824677848736725548642139570408774853171997243971694*n-\ 18925079381120089206579357721055335541506742984370161267232)/(2*n+15)/(2*n+13)/ (n+8)/(n+7)/(84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n+1)-1/12150*( 773271237332713759974092440051939427090167189685335421974*n^6+ 23691145029557608534570409733414758323630958350112960973481*n^5+ 234085739810951132797628045335749487608531584561192884541363*n^4+ 1098101850097423245536293818090056081804875139324938314251285*n^3+ 2701864849060549574940216712321023105028639779999303274507991*n^2+ 3376275070108219310321928590969900262982397177676617796605114*n+ 1692751176589760955111045084139555734686610749031270810745752)/(2*n+15)/(2*n+13 )/(n+8)/(n+7)/(84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n+2)-1/24300*( 28368942422423460735523215327831909685087541129035363071845*n^6+ 689820479854875373480515465864222787551846572333647443921231*n^5+ 6679085937876090493974644280323031524704478029220035199573073*n^4+ 33295343357268888276891060139337956117142026497461679386229525*n^3+ 90673255195081662225991631306706094425579877203062448538927450*n^2+ 128396784326907698611887407705538744890508990325147227751385124*n+ 74054177665326995999645440612642957500389428002617401245338232)/(2*n+15)/(2*n+ 13)/(n+8)/(n+7)/(84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n+3)-1/8100*( 23624605441531818261660623500573819960744181369805153407692*n^6+ 558524895893891889879004459414206608229552531918822255887285*n^5+ 5442980069710976105937344435202741181362593342371454688807075*n^4+ 28054125587258232973882990746792042095766834937462995591971265*n^3+ 81164482492103783618992318055902280757967800158061469033895993*n^2+ 126596458073828817196169117253751501230061846414376447106936850*n+ 85032361800729422682153199951889850979247897432585219814530880)/(2*n+15)/(2*n+ 13)/(n+8)/(n+7)/(84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n+4)+1/1800*( 9532683961786966952422972085562034463244855687252308143485*n^6+ 272638621192682862456333560268759326038529937780136984529214*n^5+ 3182256823977065133741757790699690715650496038622914771640062*n^4+ 19252760670820735721174063795346424742340519425031673698216780*n^3+ 62846836862951175208537739673627018239939241492488393719978165*n^2+ 102374789912250653386863474640907607036425155513745667510978246*n+ 61435415429992824744873667600055893569246194587252707349083168)/(2*n+15)/(2*n+ 13)/(n+8)/(n+7)/(84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n+5)-1/450*( 543326376706495577305352921717555084069446794707445527993*n^4+ 9985557938050840831396766248303375547774914976653501719147*n^3+ 63390382256808561241706769717309047263947421169999188897219*n^2+ 151303772970272080028812616001971679159679300827068963733135*n+ 78948008938893068278513660786069998128924989980721697418030)/(2*n+15)/(n+8)/( 84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n+6)+a(n+7) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 2/3, a(2) = 8/9, a(3) = 124/81, a(4) = 728/243, a(5) = 13856/2187, a(6) = 92608/6561, a(7) = 642560/19683 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 344529254990721052091403179906205636435049025923168313503126746416040\ 7323128291793932365487526480403255730614318451755323998208436324773920239567167\ 9374213618098018305704355119894875051785530268542521799324457182253225938745665\ 0576147194007292171837007929289393406552498613926272723374547239963268415145125\ 5283040971311315491766649924069081436678299404573129010728438530116106711231591\ 7045728196066430661816211398309640367423524665258711517498395539059780813180835\ 2828873917931356547330454081795427665291902250551868962436933553813273500397715\ 0518238623852351483299459031465347642433601971524789256533250764517297336116518\ 0467004347575364432067766837683895006246851229408743243914747655493944428586708\ 5400922968387781642255941613386226713891747479435950867892826320815238625918821\ 0741907654903143703841310566426662857525012017320495766410619655257607958240799\ 1957679783944842854722897375961103849931283357971359770842785306690686908207598\ 6285806356168565331425251138606638532681786080208345652731566215955232236660206\ 0373347507471509790469715780011741582920267403376044865076251269148419620373363\ 08155043694913495113940834392104297860675453325748338680302528041006797946880/ 5341208974569668648157600007095602765915827471658279432881611524166793699657977\ 2620776862517576085685247538195497309545118865726693524293518143972019425882090\ 0319005955257521995513552577683564783496604164130829297865452160254248260065820\ 0053877960401970066291044955655225128887435055704499238108359363624230061338433\ 1012473301376302422043836447721056991572583326339435114404496555208017977016679\ 1984323864792982747518239854621773624488338427700918212825067582571000996753667\ 3771014122159905552997954403447587192744788679886342111360648430081695351811681\ 5961984572014923217565774124848602065614225280822725051131290350942648215299689\ 3206131508736607177130905341497309037723771290023164989771162439666444092471475\ 8889 --------------------------------------- This ends this paper that took, 33.211, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (2 Psi(x, 0) x y - 3 y + x - 3 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [2/3, 22/27, 316/243, 5138/2187, 90148/19683, 554692/59049, 10619048/531441, 208933342/4782969, 12598340692/129140163, 257582338196/1162261467, 5340640972552/10460353203, 112030341570292/94143178827, 2373368953850600/ 847288609443, 50707303212995224/7625597484987, 363781359894786640/ 22876792454961, 7879876024590427406/205891132094649, 171655617675938468284/ 1853020188851841, 3758225695855133076844/16677181699666569, 82653932060573153114744/150094635296999121, 1825173459008635062195316/ 1350851717672992089, 4494633889207079036321320/1350851717672992089, 299843959105648255791440872/36472996377170786403, 2229331773475031918776670128/ 109418989131512359209, 448774793029928258087076881996/8862938119652501095929, 10063595578508251091701071880024/79766443076872509863361, 226206709429346260307949901767320/717897987691852588770249, 15287282288808769353735141424065616/19383245667680019896796723, 345077717334944678395604239452721448/174449211009120179071170507, 7804148597916249080729575102052524624/1570042899082081611640534563, 176807686619421988994306230312712752432/14130386091738734504764811067, 4012306440945983956721305791443303279072/127173474825648610542883299603, 91192557306646535160349568751182540171338/1144561273430837494885949696427, 230628849994289541325330092636491223098452/1144561273430837494885949696427, 584066149281493429228119231566609581509092/1144561273430837494885949696427, 119965271267884103581901603868841686108439528/92709463147897837085761925410587, 24670496436202370422235267518281043127253619660/ 7509466514979724803946715958257547, 564362141163574626822221961678301161414235407896/ 67585198634817523235520443624317923, 12924435146170831025340171985956617490825079085704/ 608266787713357709119683992618861307, 296288362632769517446227740450266754011996359072592/ 5474401089420219382077155933569751763, 6798989658671725241023885152489244187753134716260492/ 49269609804781974438694403402127765867, 156163677271592778223104791247393955612734353891163352/ 443426488243037769948249630619149892803, 1196687819194816351641344595855538305250463882723052872/ 1330279464729113309844748891857449678409, 27534130702715922937221485608406807269384316248487763280/ 11972515182562019788602740026717047105681, 634035321595392406514484300999109372944323184689834334536/ 107752636643058178097424660240453423951129, 14611386423259591492509175268812922194003413026668015206544/ 969773729787523602876821942164080815560161, 336969523615092741206936296901551230763384671938551068689264/ 8727963568087712425891397479476727340041449, 7776735288308755276785145474532887564286480571263530851208288/ 78551672112789411833022577315290546060373041, 179596816960520802910701723190059055846976690910499321918192364/ 706965049015104706497203195837614914543357369, 4150328785894990033476930020249407278995285254171313236993277464/ 6362685441135942358474828762538534230890216321, 95970457766778825101592474131919570636790016848432056017496798584/ 57264168970223481226273458862846808078011946889, 2220512101955382891702603343697107066658203376115336691785712785712/ 515377520732011331036461129765621272702107522001, 51406634543369103014735618716105557620681370109549163891790007805192/ 4638397686588101979328150167890591454318967698009, 1190765266147459201370580148364125769756615227468884595015164828079888/ 41745579179292917813953351511015323088870709282081, 27597207342354804201514310834310497640730251976675766181719501284380976/ 375710212613636260325580163599137907799836383538729, 639922873983924631782871627295603689441156046380427047801408543473157088/ 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, 14845869300344538376315491823304237628338866147645308559771810524613121752/ 30432527221704537086371993251530170531786747066637049, 114860388834659641418295244395502288039378596519844384429198901060016249104/ 91297581665113611259115979754590511595360241199911147, 2667208033125574499445784408226829232412835180584482494694871663056886180240/ 821678234986022501332043817791314604358242170799200323, 61963703776670724614776985593348692012306928333070693309580354684177635378336/ 7395104114874202511988394360121831439224179537192802907, 4320425108336817215449\ 841411603731758975172886055331445626231507860158572022384/ 199667811101603467823686647723289448859052847504205678489, 10045592261143046018\ 2649572900363095601208745788373379435555721297151588148272352/ 1797010299914431210413179829509605039731475627537851106401, 2336683803016892529\ 284969589765159861713895285297932527159388739136693181129473568/ 16173092699229880893718618465586445357583280647840659957609, 181247840172187278\ 76253455379340759539607485845467433842393294704613119341415929280/ 48519278097689642681155855396759336072749841943521979872827, 421921254053101158\ 598712793964963493567121361337779151097403633758222319883893284026/ 436673502879206784130402698570834024654748577491697818855443, 98253787723115180\ 15354493797832188738113136803501739790402769994464030372991208819668/ 3930061525912861057173624287137506221892737197425280369698987, 6866618824150129\ 05461088356145401834317829650617727127990144792261029185484710128455756/ 106111661199647248543687855752712667991103904330482569981872649, 16001665077962\ 555396335152998527728847169316996671386065341876308345560202030177587872312/ 955004950796825236893190701774414011919935138974343129836853841, 37302061904894\ 4146133617642527137564182102249450698679929420481756892139285994384035082596/ 8595044557171427132038716315969726107279416250769088168531684569, 8698446418263\ 354630335812791721733459910708061065901836992169670779664799022916346971761736/ 77355401014542844188348446843727534965514746256921793516785161121, 202902634728\ 6838067652136292787881391703339412495659404986897100127967333065152038147212114\ 16/696198609130885597695136021593547814689632716312296141651066450089, 47344217\ 1551898770094247652698019416270446622699687665310629453335543154778992002501236\ 5720304/6265787482177970379256224194341930332206694446810665274859598050801, 11\ 0503423867639551724468069086408291510373147897777826167713558876420291047725554\ 032703678241748/ 56392087339601733413306017749077372989860250021295987473736382457209, 257994534\ 5262818835583763308789122410425211694379927880667042607952787137893093963533262\ 815379432/507528786056415600719754159741696356908742250191663887263627442114881 , 60251495873332915201513065547349821382162330208077980835420504593189327675850\ 718182771889544045928/ 4567759074507740406477787437675267212178680251724974985372646979033929, 1407487\ 1405072104910316478095602313710343793139352617226615313186962833550950368387373\ 99836338058384/ 41109831670569663658300086939077404909608122265524774868353822811305361, 328879\ 7691447280509713996290947429126596234474900047105502450906727176887249729616970\ 8463265778710184/ 369988485035126972924700782451696644186473100389722973815184405301748249, 76867\ 5385209108121975611448233563784063081864664007940837277768251666703435570159068\ 794037867112795984/ 3329896365316142756322307042065269797678257903507506764336659647715734241, 1797\ 0450675362011041514746756508318551816228061773683279709208084349786016023096141\ 622256996256295916976/ 29969067287845284806900763378587428179104321131567560879029936829441608169, 420\ 2254405681145168819395847220442561443259600408968578070640601542087027287581574\ 09607057804915673740000/ 269721605590607563262106870407286853611938890184108047911269431464974473521, 98\ 2902399166580327255443577197861754482049590743001078990371784144689978889466208\ 7017645482757438457228196/ 2427494450315468069358961833665581682507450011656972431201424883184770261689, 6898613109158120894650272737677463175971933075418461353217082059200637093208189\ 89490807737201817097965119512/ 65542350158517637872691969508970705427701150314738255642438471845988797065603, 1614327011547256114774530996568479697491303258492245916889949339607070194209501\ 5871412886883909042072593255160/ 589881151426658740854227725580736348849310352832644300781946246613899173590427, 3778491177959157885050680811547474370244992331635836143841985216265469145023168\ 59611042874897835353342576137264/5308930362839928667688049530226627139643793175\ 493798707037516219525092562313843, 88458620528840105020635115862513697180424400\ 90545977878068940104588933190365328387831878379118630330501827521864/4778037326\ 5559358009192445772039644256794138579444188363337645975725833060824587, 2071354\ 9277645027324798387828238779865081233906183452318039663567666442425807197193304\ 0877391269086811953859554192/43002335939003422208273201194835679831114724721499\ 7695270038813781532497547421283, 4851313358708429454766795179529950784414337737\ 073462749602656136840579695913719404996379969651588219854699616037808/387021023\ 4510307998744588107535211184800325224934979257430349324033792477926791547, 4209\ 0949973899866304428662626652207996431072594798672566002570797970373828539273570\ 51809891379365955694519347412128/1290070078170102666248196035845070394933441741\ 644993085810116441344597492642263849, 29586220390140463953161821147020746112546\ 5045671962301746056508972770007562497950585750997658649367487642756863047224/34\ 8318921105927719887012929678169006632029270244148133168731439163041323013411239\ 23, 855989362452405126731575156758885071926091275440744487853145951018382758340\ 06247205091547725727249345885239009048816/3870210234510307998744588107535211184\ 800325224934979257430349324033792477926791547] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 81 81 567 2 369 2 207 3 2 2 - --- + -- g - --- g + 9/8 x g - --- g x + --- x g - 1/2 x + 6 x g 128 16 128 32 16 2 2 3 2 263 2 4 2 3 3 3 3 4 - 20 x g + 99/4 g x - --- x g - 3 g x + 20 x g - 225/8 x g 16 3 5 4 4 5 4 6 4 5 7 + 12 x g - 1/2 x g + 9 g x - 39/8 g x + x g = 0 and in Maple notation -81/128+81/16*g-567/128*g^2+9/8*x*g-369/32*g^2*x+207/16*x*g^3-1/2*x^2+6*x^2*g-\ 20*x^2*g^2+99/4*g^3*x^2-263/16*x^2*g^4-3*g^2*x^3+20*x^3*g^3-225/8*x^3*g^4+12*x^ 3*g^5-1/2*x^4*g^4+9*g^5*x^4-39/8*g^6*x^4+x^5*g^7 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 14 14 13 14 13 12 13 13 -128 psi y + 2688 psi y - 896 psi x y + 1440 psi y 12 14 12 12 12 13 11 14 - 24192 psi y + 11520 psi x y - 26816 psi y + 120960 psi y 12 2 10 12 11 12 12 11 2 11 - 2688 psi x y + 8640 psi x y - 7248 psi y - 512 psi x y 11 12 11 13 10 14 - 51840 psi x y + 210528 psi y - 362880 psi y 11 2 10 11 11 11 12 + 17280 psi x y - 90048 psi x y + 115488 psi y 10 2 11 10 12 10 13 + 6144 psi x y + 69120 psi x y - 898560 psi y 9 14 11 3 8 11 2 9 + 653184 psi y - 4480 psi x y + 21600 psi x y 11 10 11 11 10 3 9 - 35616 psi x y + 22720 psi y - 2048 psi x y 10 2 10 10 11 10 12 + 512 psi x y + 282240 psi x y - 756528 psi y 9 2 11 9 12 9 13 - 27648 psi x y + 155520 psi x y + 2233440 psi y 8 14 10 3 8 10 2 9 - 653184 psi y + 7680 psi x y - 88320 psi x y 10 10 10 11 9 3 9 + 312480 psi x y - 292992 psi y + 6144 psi x y 9 2 10 9 11 9 12 - 216320 psi x y + 51840 psi x y + 2606400 psi y 8 2 11 8 12 8 13 + 55296 psi x y - 559872 psi x y - 3188160 psi y 7 14 10 4 6 10 3 7 + 279936 psi y - 4480 psi x y + 28800 psi x y 10 2 8 10 9 10 10 9 4 7 - 69360 psi x y + 85792 psi x y - 50640 psi y - 3072 psi x y 9 3 8 9 2 9 9 10 + 71424 psi x y - 161088 psi x y - 729408 psi x y 9 11 8 3 9 8 2 10 + 1481472 psi y + 18432 psi x y + 519552 psi x y 8 11 8 12 7 2 11 - 1892160 psi x y - 5004720 psi y - 41472 psi x y 7 12 7 13 9 4 6 + 466560 psi x y + 2356128 psi y - 5760 psi x y 9 3 7 9 2 8 9 9 + 10880 psi x y + 213696 psi x y - 743232 psi x y 9 10 8 4 7 8 3 8 + 498784 psi y - 6144 psi x y - 112128 psi x y 8 2 9 8 10 8 11 + 1064064 psi x y - 778176 psi x y - 3681664 psi y 7 3 9 7 2 10 7 11 - 55296 psi x y - 411264 psi x y + 3343680 psi x y 7 12 6 13 9 5 4 9 4 5 + 5228064 psi y - 653184 psi y - 2688 psi x y + 21600 psi x y 9 3 6 9 2 7 9 8 9 9 - 66240 psi x y + 115968 psi x y - 137664 psi x y + 83568 psi y 8 5 5 8 4 6 8 3 7 - 2048 psi x y + 55680 psi x y - 330880 psi x y 8 2 8 8 9 8 10 + 194208 psi x y + 1924416 psi x y - 1761360 psi y 7 4 7 7 3 8 7 2 9 + 37888 psi x y - 221568 psi x y - 1260192 psi x y 7 10 7 11 6 2 10 + 5295456 psi x y + 4651968 psi y + 117504 psi x y 6 11 6 12 8 5 4 - 1679616 psi x y - 2733264 psi y - 6912 psi x y 8 4 5 8 3 6 8 2 7 + 64320 psi x y - 80064 psi x y - 570240 psi x y 8 8 8 9 7 5 5 7 4 6 + 1390992 psi x y - 599616 psi y - 6144 psi x y + 71808 psi x y 7 3 7 7 2 8 7 9 - 90240 psi x y - 630208 psi x y - 258688 psi x y 7 10 6 3 8 6 2 9 + 2591424 psi y + 211968 psi x y + 505728 psi x y 6 10 6 11 5 12 8 6 2 - 6612192 psi x y - 3010176 psi y + 653184 psi y - 896 psi x y 8 5 3 8 4 4 8 3 5 + 8640 psi x y - 30000 psi x y + 60352 psi x y 8 2 6 8 7 8 8 7 6 3 - 110688 psi x y + 153984 psi x y - 103880 psi y - 512 psi x y 7 5 4 7 4 5 7 3 6 + 13184 psi x y - 102560 psi x y + 99776 psi x y 7 2 7 7 8 7 9 + 1513344 psi x y - 4327488 psi x y + 1389216 psi y 6 4 6 6 3 7 6 2 8 - 120320 psi x y + 863232 psi x y - 105840 psi x y 6 9 6 10 5 2 9 - 5066208 psi x y - 1357936 psi y - 141696 psi x y 5 10 5 11 7 6 2 + 2301696 psi x y + 1323648 psi y - 1920 psi x y 7 5 3 7 4 4 7 3 5 + 32064 psi x y - 129888 psi x y - 83328 psi x y 7 2 6 7 7 7 8 + 1252416 psi x y - 1725888 psi x y + 512352 psi y 6 5 4 6 4 5 6 3 6 + 19456 psi x y - 263808 psi x y + 1237952 psi x y 6 2 7 6 8 6 9 - 2867584 psi x y + 4452768 psi x y - 1153728 psi y 5 3 7 5 2 8 5 9 - 330240 psi x y + 259456 psi x y + 5469120 psi x y 5 10 4 11 7 7 7 6 + 245088 psi y - 362880 psi y - 128 psi x + 1440 psi x y 7 5 2 7 4 3 7 3 4 7 2 5 - 4128 psi x y + 2368 psi x y - 12480 psi x y + 67680 psi x y 7 6 7 7 6 6 2 6 5 3 - 119456 psi x y + 95568 psi y + 768 psi x y - 4864 psi x y 6 4 4 6 3 5 6 2 6 - 86320 psi x y + 989120 psi x y - 3797760 psi x y 6 7 6 8 5 4 5 + 5406528 psi x y - 838608 psi y + 151296 psi x y 5 3 6 5 2 7 5 8 - 1366272 psi x y + 2909440 psi x y - 262272 psi x y 5 9 4 2 8 4 9 4 10 + 311184 psi y + 94272 psi x y - 1641600 psi x y - 140400 psi y 6 6 6 5 2 6 4 3 6 3 4 + 3712 psi x y - 34272 psi x y + 36096 psi x y + 448096 psi x y 6 2 5 6 6 6 7 - 1384704 psi x y + 1070208 psi x y - 314720 psi y 5 5 3 5 4 4 5 3 5 - 23040 psi x y + 367488 psi x y - 1991040 psi x y 5 2 6 5 7 5 8 + 5086400 psi x y - 6633984 psi x y + 868192 psi y 4 3 6 4 2 7 4 8 + 275200 psi x y - 831232 psi x y - 1888560 psi x y 4 9 3 10 6 6 6 5 + 247872 psi y + 120960 psi y + 624 psi x - 5088 psi x y 6 4 2 6 3 3 6 2 4 6 5 + 9648 psi x y + 7680 psi x y - 35760 psi x y + 65088 psi x y 6 6 5 6 5 5 2 5 4 3 - 59760 psi y - 384 psi x y - 18944 psi x y + 277120 psi x y 5 3 4 5 2 5 5 6 - 1365760 psi x y + 3180416 psi x y - 3164544 psi x y 5 7 4 4 4 4 3 5 + 366480 psi y - 95872 psi x y + 1007616 psi x y 4 2 6 4 7 4 8 - 2984416 psi x y + 2704896 psi x y - 491928 psi y 3 2 7 3 8 3 9 5 6 - 37376 psi x y + 673920 psi x y - 126432 psi y - 1152 psi x 5 5 5 4 2 5 3 3 5 2 4 - 576 psi x y + 91488 psi x y - 429120 psi x y + 593280 psi x y 5 5 5 6 4 5 2 4 4 3 - 81960 psi x y + 156456 psi y + 13056 psi x y - 213376 psi x y 4 3 4 4 2 5 4 6 + 1113248 psi x y - 2665408 psi x y + 3313120 psi x y 4 7 3 3 5 3 2 6 3 7 - 245760 psi y - 133632 psi x y + 611456 psi x y + 23424 psi x y 3 8 2 9 5 5 5 4 + 27360 psi y - 24192 psi y - 1536 psi x + 10416 psi x y 5 3 2 5 2 3 5 4 5 5 - 18080 psi x y + 9360 psi x y - 30456 psi x y + 19170 psi y 4 6 4 5 4 4 2 4 3 3 + 64 psi x + 13952 psi x y - 137264 psi x y + 433216 psi x y 4 2 4 4 5 4 6 3 4 3 - 555488 psi x y + 214704 psi x y + 16944 psi y + 31232 psi x y 3 3 4 3 2 5 3 6 - 358528 psi x y + 1207264 psi x y - 1391232 psi x y 3 7 2 2 6 2 7 2 8 + 221824 psi y + 8832 psi x y - 161280 psi x y + 57424 psi y 4 5 4 4 4 3 2 4 2 3 + 3600 psi x - 25536 psi x y + 32256 psi x y + 126192 psi x y 4 4 4 5 3 5 3 4 2 - 260604 psi x y - 69012 psi y - 3584 psi x y + 48384 psi x y 3 3 3 3 2 4 3 5 - 189376 psi x y + 311584 psi x y - 423144 psi x y 3 6 2 3 4 2 2 5 2 6 - 108888 psi y + 38016 psi x y - 213632 psi x y + 167040 psi x y 2 7 8 4 4 4 3 - 66048 psi y + 2688 psi y + 2104 psi x - 12000 psi x y 4 2 2 4 3 4 4 3 5 + 12096 psi x y + 12852 psi x y + 6723 psi y - 2560 psi x 3 4 3 3 2 3 2 3 + 11840 psi x y + 40544 psi x y - 235752 psi x y 3 4 3 5 2 4 2 2 3 3 + 288192 psi x y + 19890 psi y - 4224 psi x y + 50688 psi x y 2 2 4 2 5 2 6 2 5 - 185264 psi x y + 235776 psi x y - 1728 psi y - 1152 psi x y 6 7 3 4 3 3 + 20992 psi x y - 9792 psi y - 3168 psi x + 22168 psi x y 3 2 2 3 3 3 4 2 5 - 54000 psi x y + 37044 psi x y + 41526 psi y + 384 psi x 2 4 2 3 2 2 2 3 2 4 - 768 psi x y - 23840 psi x y + 109952 psi x y - 87468 psi x y 2 5 3 3 2 4 5 + 45208 psi y - 5888 psi x y + 36992 psi x y - 43776 psi x y 6 7 3 3 3 2 3 2 + 17952 psi y - 128 y - 1656 psi x + 9234 psi x y - 9558 psi x y 3 3 2 4 2 3 2 2 2 - 9720 psi y + 2560 psi x - 23136 psi x y + 55788 psi x y 2 3 2 4 4 3 2 - 35856 psi x y - 38205 psi y - 128 psi x y + 1536 psi x y 2 3 4 5 2 4 5 - 3520 psi x y + 2976 psi x y - 14832 psi y + 64 x y - 1152 x y 6 2 3 2 2 2 2 2 3 + 624 y + 1476 psi x - 6048 psi x y + 4374 psi x y + 648 psi y 4 3 2 2 3 - 768 psi x + 7424 psi x y - 22704 psi x y + 13312 psi x y 4 3 2 2 3 4 5 2 2 + 2904 psi y + 384 x y - 2560 x y + 3600 x y - 1536 y + 567 psi x 2 2 2 3 2 - 3402 psi x y + 5103 psi y - 144 psi x + 2250 psi x y 2 3 4 3 2 2 3 - 4104 psi x y + 5832 psi y + 64 x - 768 x y + 2560 x y - 3168 x y 4 2 2 2 2 + 2104 y - 648 psi x + 3078 psi x y - 3402 psi y - 144 x y + 1476 x y 3 2 2 - 1656 y + 81 x - 648 x y + 567 y = 0 and in Maple notation -128*psi^14*y^14+2688*psi^13*y^14-896*psi^13*x*y^12+1440*psi^13*y^13-24192*psi^ 12*y^14+11520*psi^12*x*y^12-26816*psi^12*y^13+120960*psi^11*y^14-2688*psi^12*x^ 2*y^10+8640*psi^12*x*y^11-7248*psi^12*y^12-512*psi^11*x^2*y^11-51840*psi^11*x*y ^12+210528*psi^11*y^13-362880*psi^10*y^14+17280*psi^11*x^2*y^10-90048*psi^11*x* y^11+115488*psi^11*y^12+6144*psi^10*x^2*y^11+69120*psi^10*x*y^12-898560*psi^10* y^13+653184*psi^9*y^14-4480*psi^11*x^3*y^8+21600*psi^11*x^2*y^9-35616*psi^11*x* y^10+22720*psi^11*y^11-2048*psi^10*x^3*y^9+512*psi^10*x^2*y^10+282240*psi^10*x* y^11-756528*psi^10*y^12-27648*psi^9*x^2*y^11+155520*psi^9*x*y^12+2233440*psi^9* y^13-653184*psi^8*y^14+7680*psi^10*x^3*y^8-88320*psi^10*x^2*y^9+312480*psi^10*x *y^10-292992*psi^10*y^11+6144*psi^9*x^3*y^9-216320*psi^9*x^2*y^10+51840*psi^9*x *y^11+2606400*psi^9*y^12+55296*psi^8*x^2*y^11-559872*psi^8*x*y^12-3188160*psi^8 *y^13+279936*psi^7*y^14-4480*psi^10*x^4*y^6+28800*psi^10*x^3*y^7-69360*psi^10*x ^2*y^8+85792*psi^10*x*y^9-50640*psi^10*y^10-3072*psi^9*x^4*y^7+71424*psi^9*x^3* y^8-161088*psi^9*x^2*y^9-729408*psi^9*x*y^10+1481472*psi^9*y^11+18432*psi^8*x^3 *y^9+519552*psi^8*x^2*y^10-1892160*psi^8*x*y^11-5004720*psi^8*y^12-41472*psi^7* x^2*y^11+466560*psi^7*x*y^12+2356128*psi^7*y^13-5760*psi^9*x^4*y^6+10880*psi^9* x^3*y^7+213696*psi^9*x^2*y^8-743232*psi^9*x*y^9+498784*psi^9*y^10-6144*psi^8*x^ 4*y^7-112128*psi^8*x^3*y^8+1064064*psi^8*x^2*y^9-778176*psi^8*x*y^10-3681664* psi^8*y^11-55296*psi^7*x^3*y^9-411264*psi^7*x^2*y^10+3343680*psi^7*x*y^11+ 5228064*psi^7*y^12-653184*psi^6*y^13-2688*psi^9*x^5*y^4+21600*psi^9*x^4*y^5-\ 66240*psi^9*x^3*y^6+115968*psi^9*x^2*y^7-137664*psi^9*x*y^8+83568*psi^9*y^9-\ 2048*psi^8*x^5*y^5+55680*psi^8*x^4*y^6-330880*psi^8*x^3*y^7+194208*psi^8*x^2*y^ 8+1924416*psi^8*x*y^9-1761360*psi^8*y^10+37888*psi^7*x^4*y^7-221568*psi^7*x^3*y ^8-1260192*psi^7*x^2*y^9+5295456*psi^7*x*y^10+4651968*psi^7*y^11+117504*psi^6*x ^2*y^10-1679616*psi^6*x*y^11-2733264*psi^6*y^12-6912*psi^8*x^5*y^4+64320*psi^8* x^4*y^5-80064*psi^8*x^3*y^6-570240*psi^8*x^2*y^7+1390992*psi^8*x*y^8-599616*psi ^8*y^9-6144*psi^7*x^5*y^5+71808*psi^7*x^4*y^6-90240*psi^7*x^3*y^7-630208*psi^7* x^2*y^8-258688*psi^7*x*y^9+2591424*psi^7*y^10+211968*psi^6*x^3*y^8+505728*psi^6 *x^2*y^9-6612192*psi^6*x*y^10-3010176*psi^6*y^11+653184*psi^5*y^12-896*psi^8*x^ 6*y^2+8640*psi^8*x^5*y^3-30000*psi^8*x^4*y^4+60352*psi^8*x^3*y^5-110688*psi^8*x ^2*y^6+153984*psi^8*x*y^7-103880*psi^8*y^8-512*psi^7*x^6*y^3+13184*psi^7*x^5*y^ 4-102560*psi^7*x^4*y^5+99776*psi^7*x^3*y^6+1513344*psi^7*x^2*y^7-4327488*psi^7* x*y^8+1389216*psi^7*y^9-120320*psi^6*x^4*y^6+863232*psi^6*x^3*y^7-105840*psi^6* x^2*y^8-5066208*psi^6*x*y^9-1357936*psi^6*y^10-141696*psi^5*x^2*y^9+2301696*psi ^5*x*y^10+1323648*psi^5*y^11-1920*psi^7*x^6*y^2+32064*psi^7*x^5*y^3-129888*psi^ 7*x^4*y^4-83328*psi^7*x^3*y^5+1252416*psi^7*x^2*y^6-1725888*psi^7*x*y^7+512352* psi^7*y^8+19456*psi^6*x^5*y^4-263808*psi^6*x^4*y^5+1237952*psi^6*x^3*y^6-\ 2867584*psi^6*x^2*y^7+4452768*psi^6*x*y^8-1153728*psi^6*y^9-330240*psi^5*x^3*y^ 7+259456*psi^5*x^2*y^8+5469120*psi^5*x*y^9+245088*psi^5*y^10-362880*psi^4*y^11-\ 128*psi^7*x^7+1440*psi^7*x^6*y-4128*psi^7*x^5*y^2+2368*psi^7*x^4*y^3-12480*psi^ 7*x^3*y^4+67680*psi^7*x^2*y^5-119456*psi^7*x*y^6+95568*psi^7*y^7+768*psi^6*x^6* y^2-4864*psi^6*x^5*y^3-86320*psi^6*x^4*y^4+989120*psi^6*x^3*y^5-3797760*psi^6*x ^2*y^6+5406528*psi^6*x*y^7-838608*psi^6*y^8+151296*psi^5*x^4*y^5-1366272*psi^5* x^3*y^6+2909440*psi^5*x^2*y^7-262272*psi^5*x*y^8+311184*psi^5*y^9+94272*psi^4*x ^2*y^8-1641600*psi^4*x*y^9-140400*psi^4*y^10+3712*psi^6*x^6*y-34272*psi^6*x^5*y ^2+36096*psi^6*x^4*y^3+448096*psi^6*x^3*y^4-1384704*psi^6*x^2*y^5+1070208*psi^6 *x*y^6-314720*psi^6*y^7-23040*psi^5*x^5*y^3+367488*psi^5*x^4*y^4-1991040*psi^5* x^3*y^5+5086400*psi^5*x^2*y^6-6633984*psi^5*x*y^7+868192*psi^5*y^8+275200*psi^4 *x^3*y^6-831232*psi^4*x^2*y^7-1888560*psi^4*x*y^8+247872*psi^4*y^9+120960*psi^3 *y^10+624*psi^6*x^6-5088*psi^6*x^5*y+9648*psi^6*x^4*y^2+7680*psi^6*x^3*y^3-\ 35760*psi^6*x^2*y^4+65088*psi^6*x*y^5-59760*psi^6*y^6-384*psi^5*x^6*y-18944*psi ^5*x^5*y^2+277120*psi^5*x^4*y^3-1365760*psi^5*x^3*y^4+3180416*psi^5*x^2*y^5-\ 3164544*psi^5*x*y^6+366480*psi^5*y^7-95872*psi^4*x^4*y^4+1007616*psi^4*x^3*y^5-\ 2984416*psi^4*x^2*y^6+2704896*psi^4*x*y^7-491928*psi^4*y^8-37376*psi^3*x^2*y^7+ 673920*psi^3*x*y^8-126432*psi^3*y^9-1152*psi^5*x^6-576*psi^5*x^5*y+91488*psi^5* x^4*y^2-429120*psi^5*x^3*y^3+593280*psi^5*x^2*y^4-81960*psi^5*x*y^5+156456*psi^ 5*y^6+13056*psi^4*x^5*y^2-213376*psi^4*x^4*y^3+1113248*psi^4*x^3*y^4-2665408* psi^4*x^2*y^5+3313120*psi^4*x*y^6-245760*psi^4*y^7-133632*psi^3*x^3*y^5+611456* psi^3*x^2*y^6+23424*psi^3*x*y^7+27360*psi^3*y^8-24192*psi^2*y^9-1536*psi^5*x^5+ 10416*psi^5*x^4*y-18080*psi^5*x^3*y^2+9360*psi^5*x^2*y^3-30456*psi^5*x*y^4+ 19170*psi^5*y^5+64*psi^4*x^6+13952*psi^4*x^5*y-137264*psi^4*x^4*y^2+433216*psi^ 4*x^3*y^3-555488*psi^4*x^2*y^4+214704*psi^4*x*y^5+16944*psi^4*y^6+31232*psi^3*x ^4*y^3-358528*psi^3*x^3*y^4+1207264*psi^3*x^2*y^5-1391232*psi^3*x*y^6+221824* psi^3*y^7+8832*psi^2*x^2*y^6-161280*psi^2*x*y^7+57424*psi^2*y^8+3600*psi^4*x^5-\ 25536*psi^4*x^4*y+32256*psi^4*x^3*y^2+126192*psi^4*x^2*y^3-260604*psi^4*x*y^4-\ 69012*psi^4*y^5-3584*psi^3*x^5*y+48384*psi^3*x^4*y^2-189376*psi^3*x^3*y^3+ 311584*psi^3*x^2*y^4-423144*psi^3*x*y^5-108888*psi^3*y^6+38016*psi^2*x^3*y^4-\ 213632*psi^2*x^2*y^5+167040*psi^2*x*y^6-66048*psi^2*y^7+2688*psi*y^8+2104*psi^4 *x^4-12000*psi^4*x^3*y+12096*psi^4*x^2*y^2+12852*psi^4*x*y^3+6723*psi^4*y^4-\ 2560*psi^3*x^5+11840*psi^3*x^4*y+40544*psi^3*x^3*y^2-235752*psi^3*x^2*y^3+ 288192*psi^3*x*y^4+19890*psi^3*y^5-4224*psi^2*x^4*y^2+50688*psi^2*x^3*y^3-\ 185264*psi^2*x^2*y^4+235776*psi^2*x*y^5-1728*psi^2*y^6-1152*psi*x^2*y^5+20992* psi*x*y^6-9792*psi*y^7-3168*psi^3*x^4+22168*psi^3*x^3*y-54000*psi^3*x^2*y^2+ 37044*psi^3*x*y^3+41526*psi^3*y^4+384*psi^2*x^5-768*psi^2*x^4*y-23840*psi^2*x^3 *y^2+109952*psi^2*x^2*y^3-87468*psi^2*x*y^4+45208*psi^2*y^5-5888*psi*x^3*y^3+ 36992*psi*x^2*y^4-43776*psi*x*y^5+17952*psi*y^6-128*y^7-1656*psi^3*x^3+9234*psi ^3*x^2*y-9558*psi^3*x*y^2-9720*psi^3*y^3+2560*psi^2*x^4-23136*psi^2*x^3*y+55788 *psi^2*x^2*y^2-35856*psi^2*x*y^3-38205*psi^2*y^4-128*psi*x^4*y+1536*psi*x^3*y^2 -3520*psi*x^2*y^3+2976*psi*x*y^4-14832*psi*y^5+64*x^2*y^4-1152*x*y^5+624*y^6+ 1476*psi^2*x^3-6048*psi^2*x^2*y+4374*psi^2*x*y^2+648*psi^2*y^3-768*psi*x^4+7424 *psi*x^3*y-22704*psi*x^2*y^2+13312*psi*x*y^3+2904*psi*y^4+384*x^3*y^2-2560*x^2* y^3+3600*x*y^4-1536*y^5+567*psi^2*x^2-3402*psi^2*x*y+5103*psi^2*y^2-144*psi*x^3 +2250*psi*x^2*y-4104*psi*x*y^2+5832*psi*y^3+64*x^4-768*x^3*y+2560*x^2*y^2-3168* x*y^3+2104*y^4-648*psi*x^2+3078*psi*x*y-3402*psi*y^2-144*x^2*y+1476*x*y^2-1656* y^3+81*x^2-648*x*y+567*y^2 = 0 --------------------------------------- This ends this paper that took, 269.701, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ ation, 2 2 2 y Psi(x, y) + (3 Psi(x, 0) x y - y + x - y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [3, 21, 195, 2094, 24585, 306666, 3996891, 53857764, 744979920, 10524918309, 151307944629, 2207277507504, 32603309558310, 486777454330656, 7336066376232747, 111473056386009756, 1706258017409533380, 26287418717461296900, 407373052214819462076, 6346474334168917151682, 99347652347600957682465, 1562012894175397871500170, 24657777061675154132757021, 390683790855002229998647572, 6211197160928693729760030156, 99058994553510165323211558102, 1584467493971376962244636283326, 25413000782442460809711564149808, 408632585604573680519274522247308, 6586328627978418874937123460693372, 106395385891837505910356593878109131, 1722315555466530519240999214462076700, 27935722740292777850145310226309873076, 453957999422439993012456017506841302236, 7389846215045670149077655305201546160100, 120497521860374917561126657198913328849336, 1967913857680224954198505505300302323700980, 32187295135190916858398972363976385459860168, 527206919635376923658830141531376043441102156, 8647012629463508841713240504834497877794018584, 142007649876528623686407829893131478941309497956, 2335028896042453582139523202449770915643307718565, 38440021683290356460211670200568060144078204994829, 633524488841642719675573089001364327928736376187168, 10452270533842507978568905306518457068035692291621326, 172625796977797593149080896722883344176575162748330920, 2853843563870978746631081339181915517310617641159807405, 47224433506407923454613393841318840713084048344952558788, 782166527679627982899498749148575788187287149328575343548, 12966186775548536272513359230959635353158990742122408316460, 215125293748910778218432213982693380162167040284319317703940, 3572096871872875248192701488346258537536363580962280108723820, 59360106636153873103071562510266899813282582774653114109072382, 987173869842567403938522854132614437155784231606058456004490732, 16428906331134031199153225019047215278516525441064382695762033134, 273607986848346782294636952489796102857687221995668500963351269176, 4559777535697644539487020838521701063816001898806217413744312400744, 76040240205695930269829595446101771621698799230506329995075697486428, 1268875200814021294485221691906367331193590186825116996004179500804492, 21186589952040671721431656513274704258854990291763443059510333286241536, 353965944742338634903585817067987730562132055572088117546880903080992328, 5917143627635566477220636298492662577928731345116410719980539798698983412, 98970387945218729404381350002896204273112541338893432215419465313869380875, 1656279534192755252088217294174396576353574744193982455104316028820429049628, 27732575296746858063201530600592077549220553134963649661413151511324024388116, 464588312416018807200316960660941194308896159902048878172084661773881485233388, 7786844059716346998328322684000842453471094606591766666332635437198283455793140 , 13057609389206040802626876543916397841876551259234719304589321439665105001323\ 9080, 2190629871388544496849162440149634238964469402299440193421886114473586951\ 064470348, 36768156895466334354215334043203205035581538611620712754008557096957\ 033858562416056, 61740032502063308152821878496576525865100332030763433370708625\ 5166012515728831568260, 1037167314101548427805684359223909223418909996379396366\ 9448845570018371591184710415600, 1743061886970776597212360943909716184873913204\ 12343289100214986343813301060352446890848, 293058315219298830395336737688949801\ 2271576157323381298164734781267632945847606054159204, 4929103889700244060191865\ 6992982399633009961272500626001226670103621692127409426470553188, 8293735447626\ 34230979411262827702084885482603335740491235962498446307015417520404394166592, 1396035418014183538522788948949760149852838678265308290869414261046718317670726\ 9142772778808, 2350729595489560405632730120329592435936903421628677515399756053\ 26212400390353589852002757184, 395972451527802055356675498278909940494930360124\ 1008127292982409749785340870861210216857394828, 6672361243151606343323941382880\ 1339387644243397554307610420580078215513679057013220382463014000, 1124715733222\ 7345834385471588430685672767920228055187279669695878992709665952901083802409571\ 41712, 189649245645363596781264995332857305333848994191016250105705537090947649\ 51444164974087801109137392, 319890403679826903347328271620092433234674287032531\ 719831926918202097751457187747362561059027234368, 53974643059995195546201814886\ 00791617749618240019445735080947370704088429358167434387251090466230290, 910990\ 1153431820604753857409304159474816424168073055176654418618997006707088593876203\ 0220100932034433, 1538047757438747748417584204166595430653835030636679225219788\ 142082872473015285693916888026153178978378, 25974984774611440982856300901270728\ 438051467629536357727169997037947005090705890956064774562100021097077, 43880064\ 7455224741857875202045248731578562661039417100475071382196751179933373903128218\ 224889008523034420, 74148597551060301742770200123971254958801354132607461178181\ 33840822041341442825341960534252566321125825676] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 10 37 2 3 52 2 2 3 2 - 1/162 + 8/81 x + -- x g - --- g x - 4/81 x g + -- x g + 5/162 g x 81 162 81 22 2 4 25 3 4 3 5 6 4 2 + -- x g + -- x g - 4/9 x g + g x - 1/162 g + 1/81 g = 0 81 18 and in Maple notation -1/162+8/81*x+10/81*x*g-37/162*g^2*x-4/81*x*g^3+52/81*x^2*g^2+5/162*g^3*x^2+22/ 81*x^2*g^4+25/18*x^3*g^4-4/9*x^3*g^5+g^6*x^4-1/162*g+1/81*g^2 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 12 12 11 12 11 10 11 11 162 psi y - 972 psi y + 972 psi x y - 756 psi y 10 12 10 10 10 11 9 12 + 2430 psi y - 2835 psi x y + 4752 psi y - 3240 psi y 10 2 8 10 9 10 10 9 10 + 2430 psi x y - 3780 psi x y + 1674 psi y + 1620 psi x y 9 11 8 12 9 2 8 9 9 - 12420 psi y + 2430 psi y - 1620 psi x y + 10395 psi x y 9 10 8 10 8 11 7 12 - 10404 psi y + 2430 psi x y + 17280 psi y - 972 psi y 9 3 6 9 2 7 9 8 9 9 + 3240 psi x y - 7560 psi x y + 6624 psi x y - 2352 psi y 8 2 8 8 9 8 10 7 10 - 1296 psi x y - 3915 psi x y + 27306 psi y - 3240 psi x y 7 11 6 12 8 3 6 8 2 7 - 13500 psi y + 162 psi y + 2430 psi x y + 2295 psi x y 8 8 8 9 7 2 8 7 9 - 19314 psi x y + 13584 psi y - 2268 psi x y - 12825 psi x y 7 10 6 10 6 11 8 4 4 - 38664 psi y + 1053 psi x y + 5616 psi y + 2430 psi x y 8 3 5 8 2 6 8 7 8 8 - 7560 psi x y + 9756 psi x y - 6960 psi x y + 2324 psi y 7 3 6 7 2 7 7 8 7 9 + 2268 psi x y + 5130 psi x y + 7146 psi x y - 33840 psi y 6 2 8 6 9 6 10 5 11 + 2754 psi x y + 14715 psi x y + 31086 psi y - 972 psi y 7 4 4 7 3 5 7 2 6 7 7 + 3240 psi x y - 7965 psi x y - 4851 psi x y + 25326 psi x y 7 8 6 3 6 6 2 7 6 8 - 11816 psi y + 3726 psi x y + 8235 psi x y + 25209 psi x y 6 9 5 9 5 10 7 5 2 + 46776 psi y - 4590 psi x y - 13428 psi y + 972 psi x y 7 4 3 7 3 4 7 2 5 7 6 - 3780 psi x y + 6264 psi x y - 6768 psi x y + 4856 psi x y 7 7 6 4 4 6 3 5 6 2 6 - 1688 psi y + 2754 psi x y - 5967 psi x y - 3645 psi x y 6 7 6 8 5 2 7 5 8 - 15714 psi x y + 26076 psi y - 8100 psi x y - 27720 psi x y 5 9 4 10 6 5 2 6 4 3 - 37848 psi y + 2430 psi y + 1053 psi x y - 4995 psi x y 6 3 4 6 2 5 6 6 6 7 + 6849 psi x y + 10863 psi x y - 23284 psi x y + 7184 psi y 5 3 5 5 2 6 5 7 5 8 - 6696 psi x y - 11673 psi x y - 23847 psi x y - 32840 psi y 4 8 4 9 6 6 6 5 + 8055 psi x y + 16920 psi y + 162 psi x - 756 psi x y 6 4 2 6 3 3 6 2 4 6 5 + 1386 psi x y - 2064 psi x y + 2784 psi x y - 2328 psi x y 6 6 5 4 3 5 3 4 5 2 5 + 916 psi y - 2592 psi x y + 5706 psi x y - 4776 psi x y 5 6 5 7 4 2 6 4 7 + 21546 psi x y - 13080 psi y + 9684 psi x y + 28575 psi x y 4 8 3 9 5 5 5 4 2 + 25526 psi y - 3240 psi y - 378 psi x y + 3015 psi x y 5 3 3 5 2 4 5 5 5 6 - 2184 psi x y - 10683 psi x y + 13632 psi x y - 3096 psi y 4 3 4 4 2 5 4 6 4 7 + 5724 psi x y + 8814 psi x y + 10927 psi x y + 13448 psi y 3 7 3 8 5 5 5 4 - 7380 psi x y - 11700 psi y - 72 psi x + 96 psi x y 5 3 2 5 2 3 5 4 5 5 + 296 psi x y - 744 psi x y + 768 psi x y - 368 psi y 4 4 2 4 3 3 4 2 4 4 5 + 1746 psi x y - 3108 psi x y + 7937 psi x y - 15972 psi x y 4 6 3 2 5 3 6 3 7 + 4404 psi y - 6432 psi x y - 17960 psi x y - 8924 psi y 2 8 4 5 4 4 4 3 2 + 2430 psi y + 225 psi x - 1305 psi x y - 290 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 3 3 + 5289 psi x y - 4750 psi x y + 944 psi y - 2472 psi x y 3 2 4 3 5 3 6 2 6 - 4042 psi x y - 999 psi x y - 3256 psi y + 3915 psi x y 2 7 4 4 4 3 4 2 2 + 4032 psi y + 44 psi x - 104 psi x y + 132 psi x y 4 3 4 4 3 4 3 3 2 - 176 psi x y + 106 psi y - 348 psi x y + 934 psi x y 3 2 3 3 4 3 5 2 2 4 - 4822 psi x y + 6614 psi x y - 1008 psi y + 2546 psi x y 2 5 2 6 7 3 4 3 3 + 6945 psi x y + 1266 psi y - 972 psi y + 5 psi x + 605 psi x y 3 2 2 3 3 3 4 2 3 2 - 1325 psi x y + 882 psi x y - 204 psi y + 806 psi x y 2 2 3 2 4 2 5 5 + 1427 psi x y - 1537 psi x y + 584 psi y - 1278 psi x y 6 3 3 3 2 3 3 2 4 - 396 psi y - 8 psi x + 28 psi x y - 20 psi y + 104 psi x 2 3 2 2 2 2 3 2 4 - 493 psi x y + 1485 psi x y - 1390 psi x y + 134 psi y 2 3 4 5 6 2 3 - 556 psi x y - 1320 psi x y - 80 psi y + 162 y - 37 psi x 2 2 2 2 2 3 3 2 2 + 65 psi x y - 57 psi x y + 32 psi y - 80 psi x y - 513 psi x y 3 4 4 5 2 2 2 + 679 psi x y - 80 psi y + 225 x y - 72 y + 2 psi x - 4 psi x y 2 2 3 2 2 3 2 2 + 2 psi y + 20 psi x - 76 psi x y + 66 psi x y - 4 psi y + 104 x y 3 4 2 2 3 2 + 5 x y + 44 y - psi x + 5 psi x y - 4 psi y + 16 x + 20 x y 2 3 2 2 - 37 x y - 8 y - x - x y + 2 y = 0 and in Maple notation 162*psi^12*y^12-972*psi^11*y^12+972*psi^11*x*y^10-756*psi^11*y^11+2430*psi^10*y ^12-2835*psi^10*x*y^10+4752*psi^10*y^11-3240*psi^9*y^12+2430*psi^10*x^2*y^8-\ 3780*psi^10*x*y^9+1674*psi^10*y^10+1620*psi^9*x*y^10-12420*psi^9*y^11+2430*psi^ 8*y^12-1620*psi^9*x^2*y^8+10395*psi^9*x*y^9-10404*psi^9*y^10+2430*psi^8*x*y^10+ 17280*psi^8*y^11-972*psi^7*y^12+3240*psi^9*x^3*y^6-7560*psi^9*x^2*y^7+6624*psi^ 9*x*y^8-2352*psi^9*y^9-1296*psi^8*x^2*y^8-3915*psi^8*x*y^9+27306*psi^8*y^10-\ 3240*psi^7*x*y^10-13500*psi^7*y^11+162*psi^6*y^12+2430*psi^8*x^3*y^6+2295*psi^8 *x^2*y^7-19314*psi^8*x*y^8+13584*psi^8*y^9-2268*psi^7*x^2*y^8-12825*psi^7*x*y^9 -38664*psi^7*y^10+1053*psi^6*x*y^10+5616*psi^6*y^11+2430*psi^8*x^4*y^4-7560*psi ^8*x^3*y^5+9756*psi^8*x^2*y^6-6960*psi^8*x*y^7+2324*psi^8*y^8+2268*psi^7*x^3*y^ 6+5130*psi^7*x^2*y^7+7146*psi^7*x*y^8-33840*psi^7*y^9+2754*psi^6*x^2*y^8+14715* psi^6*x*y^9+31086*psi^6*y^10-972*psi^5*y^11+3240*psi^7*x^4*y^4-7965*psi^7*x^3*y ^5-4851*psi^7*x^2*y^6+25326*psi^7*x*y^7-11816*psi^7*y^8+3726*psi^6*x^3*y^6+8235 *psi^6*x^2*y^7+25209*psi^6*x*y^8+46776*psi^6*y^9-4590*psi^5*x*y^9-13428*psi^5*y ^10+972*psi^7*x^5*y^2-3780*psi^7*x^4*y^3+6264*psi^7*x^3*y^4-6768*psi^7*x^2*y^5+ 4856*psi^7*x*y^6-1688*psi^7*y^7+2754*psi^6*x^4*y^4-5967*psi^6*x^3*y^5-3645*psi^ 6*x^2*y^6-15714*psi^6*x*y^7+26076*psi^6*y^8-8100*psi^5*x^2*y^7-27720*psi^5*x*y^ 8-37848*psi^5*y^9+2430*psi^4*y^10+1053*psi^6*x^5*y^2-4995*psi^6*x^4*y^3+6849* psi^6*x^3*y^4+10863*psi^6*x^2*y^5-23284*psi^6*x*y^6+7184*psi^6*y^7-6696*psi^5*x ^3*y^5-11673*psi^5*x^2*y^6-23847*psi^5*x*y^7-32840*psi^5*y^8+8055*psi^4*x*y^8+ 16920*psi^4*y^9+162*psi^6*x^6-756*psi^6*x^5*y+1386*psi^6*x^4*y^2-2064*psi^6*x^3 *y^3+2784*psi^6*x^2*y^4-2328*psi^6*x*y^5+916*psi^6*y^6-2592*psi^5*x^4*y^3+5706* psi^5*x^3*y^4-4776*psi^5*x^2*y^5+21546*psi^5*x*y^6-13080*psi^5*y^7+9684*psi^4*x ^2*y^6+28575*psi^4*x*y^7+25526*psi^4*y^8-3240*psi^3*y^9-378*psi^5*x^5*y+3015* psi^5*x^4*y^2-2184*psi^5*x^3*y^3-10683*psi^5*x^2*y^4+13632*psi^5*x*y^5-3096*psi ^5*y^6+5724*psi^4*x^3*y^4+8814*psi^4*x^2*y^5+10927*psi^4*x*y^6+13448*psi^4*y^7-\ 7380*psi^3*x*y^7-11700*psi^3*y^8-72*psi^5*x^5+96*psi^5*x^4*y+296*psi^5*x^3*y^2-\ 744*psi^5*x^2*y^3+768*psi^5*x*y^4-368*psi^5*y^5+1746*psi^4*x^4*y^2-3108*psi^4*x ^3*y^3+7937*psi^4*x^2*y^4-15972*psi^4*x*y^5+4404*psi^4*y^6-6432*psi^3*x^2*y^5-\ 17960*psi^3*x*y^6-8924*psi^3*y^7+2430*psi^2*y^8+225*psi^4*x^5-1305*psi^4*x^4*y-\ 290*psi^4*x^3*y^2+5289*psi^4*x^2*y^3-4750*psi^4*x*y^4+944*psi^4*y^5-2472*psi^3* x^3*y^3-4042*psi^3*x^2*y^4-999*psi^3*x*y^5-3256*psi^3*y^6+3915*psi^2*x*y^6+4032 *psi^2*y^7+44*psi^4*x^4-104*psi^4*x^3*y+132*psi^4*x^2*y^2-176*psi^4*x*y^3+106* psi^4*y^4-348*psi^3*x^4*y+934*psi^3*x^3*y^2-4822*psi^3*x^2*y^3+6614*psi^3*x*y^4 -1008*psi^3*y^5+2546*psi^2*x^2*y^4+6945*psi^2*x*y^5+1266*psi^2*y^6-972*psi*y^7+ 5*psi^3*x^4+605*psi^3*x^3*y-1325*psi^3*x^2*y^2+882*psi^3*x*y^3-204*psi^3*y^4+ 806*psi^2*x^3*y^2+1427*psi^2*x^2*y^3-1537*psi^2*x*y^4+584*psi^2*y^5-1278*psi*x* y^5-396*psi*y^6-8*psi^3*x^3+28*psi^3*x*y^2-20*psi^3*y^3+104*psi^2*x^4-493*psi^2 *x^3*y+1485*psi^2*x^2*y^2-1390*psi^2*x*y^3+134*psi^2*y^4-556*psi*x^2*y^3-1320* psi*x*y^4-80*psi*y^5+162*y^6-37*psi^2*x^3+65*psi^2*x^2*y-57*psi^2*x*y^2+32*psi^ 2*y^3-80*psi*x^3*y-513*psi*x^2*y^2+679*psi*x*y^3-80*psi*y^4+225*x*y^4-72*y^5+2* psi^2*x^2-4*psi^2*x*y+2*psi^2*y^2+20*psi*x^3-76*psi*x^2*y+66*psi*x*y^2-4*psi*y^ 3+104*x^2*y^2+5*x*y^3+44*y^4-psi*x^2+5*psi*x*y-4*psi*y^2+16*x^3+20*x^2*y-37*x*y ^2-8*y^3-x^2-x*y+2*y^2 = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 5 9/128 (4 n + 3) (2 n + 3) (2 n + 1) (4 n + 5) (n + 1) ( 3 51530487410472535674965726202222862966935063697 n 2 + 480334717652286301267242829374425172173446481012 n + 1392746131478317268339305696697996727862976616697 n + 1284958395427377882819697043954112246487329840102) a(n)/((2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) + 1/1024 (2 n + 3) ( 7 189921694865443238785903697622423743554830705673052149 n 6 + 2909934858350555784400066858854451689720001399483584514 n 5 + 18289501242415119250066214948722430056108521765434692960 n 4 + 61629362986033217376105345687092285771926061370341011906 n 3 + 120865734248060126996280580476185434042103116301775581047 n 2 + 138438103364001806394509486173416438305662982691763433932 n + 85962386459113904871596261009801310845156307704787800916 n + 22367783666793494128013143687031458665870113001584449680) a(n + 1)/( (2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) - 1/1024 ( 8 84353735908076819217482126026482280869658331946428825 n 7 + 1391858650140986671250968681894954547617087157313339915 n 6 + 7549624902398771587597328639948585501971494685217098028 n 5 + 525605821460541930310530792491384663501952251439496194 n 4 - 175501603783769939100822137256362645222715790900181294755 n 3 - 873192503076457907094232169833968061429461037536554133765 n 2 - 2032124217596195804434376201136543035961007405079100158178 n - 2403016487705439226375412658063163811202786863715248104584 n - 1165898255303795413500123162820120352524420474007802920640) a(n + 2)/( (2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) + 1/512 ( 7 3313177776561725252346552068450054297853223858780683 n 6 + 35605829361426054148211831942301114376788647351056221 n 5 - 102997591741193272288653851538493626391585642616867348 n 4 - 3363130438302436107810452605132420535445089330132317066 n 3 - 21359221788578357621855201849754397675412348172570614209 n 2 - 64811853292781270299445164584127433070164947858009878827 n - 98668683232409431444098906506378178143181219732741760758 n - 60724037585726968448994789878981773041737767720643551080) a(n + 3)/( (n + 5) (n + 6) (2 n + 9) (2 n + 11) %1) - 1/8 ( 5 839512490700007940275296056491736948312890666826 n 4 - 2623426632695630505699099435379373530865524912732 n 3 - 148070057964637726763973752499830309602765613137642 n 2 - 989491897337048042530753392720480719307252285481949 n - 2564419053646453515146293947260873584353663719125831 n - 2371315690557101015798950558405315434236862907787526) a(n + 4)/( (2 n + 11) (n + 6) %1) + a(n + 5) = 0 3 %1 := 569691455221636873167426995831938726103213543 n 2 - 14242286380540921829185674895798468152580338575 n - 96433260056800580412717455892394800137411989222 n - 148327151520841432314107356470650574960303705080 and in Maple notation 9/128*(4*n+3)*(2*n+3)*(2*n+1)*(4*n+5)*(n+1)*( 51530487410472535674965726202222862966935063697*n^3+ 480334717652286301267242829374425172173446481012*n^2+ 1392746131478317268339305696697996727862976616697*n+ 1284958395427377882819697043954112246487329840102)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n+6)/(n+5) /(n+4)/(569691455221636873167426995831938726103213543*n^3-\ 14242286380540921829185674895798468152580338575*n^2-\ 96433260056800580412717455892394800137411989222*n-\ 148327151520841432314107356470650574960303705080)*a(n)+1/1024*(2*n+3)*( 189921694865443238785903697622423743554830705673052149*n^7+ 2909934858350555784400066858854451689720001399483584514*n^6+ 18289501242415119250066214948722430056108521765434692960*n^5+ 61629362986033217376105345687092285771926061370341011906*n^4+ 120865734248060126996280580476185434042103116301775581047*n^3+ 138438103364001806394509486173416438305662982691763433932*n^2+ 85962386459113904871596261009801310845156307704787800916*n+ 22367783666793494128013143687031458665870113001584449680)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n+6 )/(n+5)/(n+4)/(569691455221636873167426995831938726103213543*n^3-\ 14242286380540921829185674895798468152580338575*n^2-\ 96433260056800580412717455892394800137411989222*n-\ 148327151520841432314107356470650574960303705080)*a(n+1)-1/1024*( 84353735908076819217482126026482280869658331946428825*n^8+ 1391858650140986671250968681894954547617087157313339915*n^7+ 7549624902398771587597328639948585501971494685217098028*n^6+ 525605821460541930310530792491384663501952251439496194*n^5-\ 175501603783769939100822137256362645222715790900181294755*n^4-\ 873192503076457907094232169833968061429461037536554133765*n^3-\ 2032124217596195804434376201136543035961007405079100158178*n^2-\ 2403016487705439226375412658063163811202786863715248104584*n-\ 1165898255303795413500123162820120352524420474007802920640)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n +6)/(n+5)/(n+4)/(569691455221636873167426995831938726103213543*n^3-\ 14242286380540921829185674895798468152580338575*n^2-\ 96433260056800580412717455892394800137411989222*n-\ 148327151520841432314107356470650574960303705080)*a(n+2)+1/512*( 3313177776561725252346552068450054297853223858780683*n^7+ 35605829361426054148211831942301114376788647351056221*n^6-\ 102997591741193272288653851538493626391585642616867348*n^5-\ 3363130438302436107810452605132420535445089330132317066*n^4-\ 21359221788578357621855201849754397675412348172570614209*n^3-\ 64811853292781270299445164584127433070164947858009878827*n^2-\ 98668683232409431444098906506378178143181219732741760758*n-\ 60724037585726968448994789878981773041737767720643551080)/(n+5)/(n+6)/(2*n+9)/( 2*n+11)/(569691455221636873167426995831938726103213543*n^3-\ 14242286380540921829185674895798468152580338575*n^2-\ 96433260056800580412717455892394800137411989222*n-\ 148327151520841432314107356470650574960303705080)*a(n+3)-1/8*( 839512490700007940275296056491736948312890666826*n^5-\ 2623426632695630505699099435379373530865524912732*n^4-\ 148070057964637726763973752499830309602765613137642*n^3-\ 989491897337048042530753392720480719307252285481949*n^2-\ 2564419053646453515146293947260873584353663719125831*n-\ 2371315690557101015798950558405315434236862907787526)/(2*n+11)/(n+6)/( 569691455221636873167426995831938726103213543*n^3-\ 14242286380540921829185674895798468152580338575*n^2-\ 96433260056800580412717455892394800137411989222*n-\ 148327151520841432314107356470650574960303705080)*a(n+4)+a(n+5) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 3, a(2) = 21, a(3) = 195, a(4) = 2094, a(5) = 24585 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 186148443655390060343514198154649198779860132770814605357158238023568\ 6704654088609348099371389896604197145460176512660797465462834108266967121603411\ 4159577510572931839553499943206931490020350523671657985988996910828627526951818\ 3143585302459359506789504283970422323681724016718161144973691589677995538276284\ 6503195848183146446951214667133479579578206965426334632856644164337236945485857\ 0592357535026824369437142619444485841655337798927202065430069246742847487007689\ 3562103042146998155812205413518342338331250414846926776628438206683919902214442\ 1070717838936104902542092118793155553472456398730763060839586643534446328607209\ 3992433241015436643088124841623445706726769605721745007720477664160327992041531\ 0654832264717348762162021948796492142613894548837099052382071090885410502006312\ 0790755340759250728619689850324460179166939856904144562342313845730253306571692\ 8854958842972664760990616059088782826329641504688252734829799276101163591276274\ 0144255439944186097366472983795485055158059547968036416949572508398298478552875\ 4690171507898110658016851551788062594602227147747319721240668507875925622845944\ 8656382003540209578729688589141863484034946977830212233626299959656821946636963\ 2879989086789577088424208276743539985213400272177945044224 --------------------------------------- This ends this paper that took, 116.671, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (3 Psi(x, 0) x y - 2 y + x - y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [3, 18, 144, 1323, 13230, 140049, 1544508, 17567928, 204710247, 2432113857, 29359314432, 359162014869, 4443662836863, 55514624526009, 699415633347768, 8877152338127415, 113409650228518890, 1457314834068319275, 18824413228454640744 , 244304136694766890017, 3184122266052018187599, 41661253202133583610055, 547033816931691313382688, 7206240162394376031840147, 95214811072360425118895439 , 1261545062544219331523845746, 16757747383435448211099079200, 223133402621393014475008565001, 2977687604214949615340263429671, 39819497872495671845138487858057, 533527886139029445714808163684580, 7161617125575824540894070870497328, 96296461764487894873440649219727547, 1296915218541356820504789980721918771, 17493443702594390162087992465191276264, 236300813897354596876192619744399870394, 3196302929576417224240290353541750230673, 43290509672908722279162746844376150047138, 587044607209134410927453177400050952368676, 7969972896283241541629575048046223826832931, 108324210346009596382452568247200138974291123, 1473854121589047574449663777386520788578751610, 20073479227852374118952242900452210500865095040, 273659367658630968088375641883740570015700857351, 3734213358431379355078827928773094093283332636773, 51000202147990206442847219096759922525294092202351, 697128008170824763527139539305688898330769640765720, 9536871525728811224387951994644787356920676084406837, 130568350510814570864406843532231757057967176746551837, 1788937425282120976037001697150268497618135915779816684, 24528165514752549673341819063134839146396583532032845408, 336539333705165989891599672428358824988386930194709985795, 4620577504968075508918293772456435074361992023393965111914, 63479835495116823503681364906615002934483490982600886788565, 872658732736668208205058621607364907436537159865598175891368, 12003633810278222379452776451865529393422117380154290699008227, 165208246920194025908982229289212239051010366266230671043424963, 2275060161884229712137119227463958790612594109707542396533662710, 31346434425048540264946757493508630718403733163134814423334353952, 432125437044676862330447564426252091874701748030795286022012819153, 5960060010524757565779475402329068009902748961798377418702482073423, 82243881109667792680398206653661540649820555748796266578413885392865, 1135434531538935221988759440257005747684896471224983528558759135441048, 15682663325886106385144909660890337845089648073192215614550855156125031, 216705897581103261349129755685873399629153050572974021996275895213740058, 2995774192258038538082089278696801543911775698007571590537900439539279267, 41431375365543569489355046654050724744975707209179936571420158485030907080, 573226547113323910241339504767994830538232827260375287208698610346834572455, 7934048923378538419734249219669882125788123002476320947201180384388138298241, 109857640299491189473262029848151610618803539890607669043170334854547421908761, 1521695836411688930805791768754089346277899819861361588878890580381161755783656 , 21085465994572947866415626016462656305523930740966207039421596418144178380254\ 491, 29227527067488987131394729993350895642356715812598433608256900487457914653\ 0138272, 4052755260934650809754921119509713711484193534483721979141671501333955\ 945746118125, 56215257943526968159683665557102287901039043312270647517635995070\ 005073128309423744, 78000932892234232786307199872288281860943598214754452750241\ 2806906987737055067390438, 1082638651064691602776672495030312397652396710646562\ 8713572433068607718932221159404414, 1503148611704068528551852625001763831761001\ 42711271855304975031054860700636540714543126, 208762084583098059814164944343939\ 7943778674306113073446934073484466650530206347854161268, 2900209809346137550535\ 0160583487229702110222471965216797414209216164536714808902584399673, 4030251890\ 7427934499360470264161778928600271175618234759192063178740882374596172756112219\ 7, 5602178605499521392296604837148025632347189839911095879438968962870101708529\ 390869742704936, 77893426914322561606824330268027296233576529610552373075941023\ 722905251802534017178997502432, 10833305407095243739046818822092136643734636589\ 66164543927727367466141047473362869141293493075, 150707473879509799818074113834\ 74083352569350049414176152499190485646642317972627513481644125522, 209710235176\ 5899846989062443021214166920129176740360866068025387830794108294092365059912397\ 73237, 291885816125645719850419771168515748753235526737016100289767903493750672\ 9694680440567371400259136, 4063614125947685390710558035401081813720038608425287\ 1589907452882433960362454111767005418936918897, 5658687312534191707158517259327\ 14120805911578688795946564808017886150152731027788822935032469775093] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 16 2 2 29 2 2 22 3 2 8/81 x - 7/81 x g - 4/81 g x - -- x + 4/3 x g - -- x g + -- g x 81 27 81 2 3 3 3 3 4 5 4 - 1/9 g x + 23/9 x g - 4/9 x g + g x + 1/81 g - 1/81 = 0 and in Maple notation 8/81*x-7/81*x*g-4/81*g^2*x-16/81*x^2+4/3*x^2*g-29/27*x^2*g^2+22/81*g^3*x^2-1/9* g^2*x^3+23/9*x^3*g^3-4/9*x^3*g^4+g^5*x^4+1/81*g-1/81 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 10 10 9 10 9 8 9 9 8 10 -81 psi y + 810 psi y - 405 psi x y + 297 psi y - 3240 psi y 8 8 8 9 7 10 8 2 6 + 1377 psi x y - 2781 psi y + 6480 psi y - 810 psi x y 8 7 8 8 7 2 7 7 8 + 1188 psi x y - 540 psi y - 243 psi x y + 1458 psi x y 7 9 6 10 7 2 6 7 7 + 10368 psi y - 6480 psi y - 729 psi x y - 4266 psi x y 7 8 6 2 7 6 8 6 9 + 4356 psi y + 972 psi x y - 9396 psi x y - 19224 psi y 5 10 7 3 4 7 2 5 7 6 + 2592 psi y - 810 psi x y + 1782 psi x y - 1584 psi x y 7 7 6 3 5 6 2 6 6 7 + 636 psi y - 486 psi x y + 4617 psi x y - 2025 psi x y 6 8 5 2 7 5 8 5 9 - 13986 psi y - 972 psi x y + 8424 psi x y + 17712 psi y 6 3 4 6 2 5 6 6 6 7 - 2349 psi x y + 648 psi x y + 7704 psi x y - 4104 psi y 5 3 5 5 2 6 5 7 5 8 - 2916 psi x y - 810 psi x y + 21276 psi x y + 22572 psi y 4 9 6 4 2 6 3 3 6 2 4 - 6480 psi y - 405 psi x y + 1188 psi x y - 1512 psi x y 6 5 6 6 5 4 3 5 3 4 + 1260 psi x y - 526 psi y - 243 psi x y + 162 psi x y 5 2 5 5 6 5 7 4 2 6 - 648 psi x y - 4266 psi x y + 10278 psi y + 1944 psi x y 4 7 4 8 5 4 2 5 3 3 - 19332 psi x y - 18648 psi y - 1053 psi x y + 2970 psi x y 5 2 4 5 5 5 6 4 3 4 + 2457 psi x y - 8658 psi x y + 2544 psi y + 5022 psi x y 4 2 5 4 6 4 7 3 8 - 2268 psi x y - 18621 psi x y - 13026 psi y + 6480 psi y 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 - 81 psi x + 297 psi x y - 432 psi x y + 612 psi x y 5 4 5 5 4 4 2 4 3 3 - 642 psi x y + 318 psi y + 243 psi x y + 1215 psi x y 4 2 4 4 5 4 6 3 2 5 - 7092 psi x y + 9009 psi x y - 4512 psi y - 1539 psi x y 3 6 3 7 4 4 4 3 2 + 18018 psi x y + 9216 psi y + 837 psi x y - 1098 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 3 3 - 3276 psi x y + 5454 psi x y - 1050 psi y - 3510 psi x y 3 2 4 3 5 3 6 2 7 + 4203 psi x y + 7290 psi x y + 3812 psi y - 3240 psi y 4 4 4 3 4 2 2 4 3 4 4 + 36 psi x - 12 psi x y - 138 psi x y + 204 psi x y - 140 psi y 3 4 3 3 2 3 2 3 3 4 - 81 psi x y - 1494 psi x y + 6759 psi x y - 6462 psi x y 3 5 2 2 4 2 5 2 6 + 1284 psi y + 603 psi x y - 8559 psi x y - 1917 psi y 3 4 3 3 3 2 2 3 3 - 207 psi x - 18 psi x y + 1593 psi x y - 1878 psi x y 3 4 2 3 2 2 2 3 2 4 + 284 psi y + 1242 psi x y - 2808 psi x y - 678 psi x y 2 5 6 3 3 3 2 3 2 - 624 psi y + 810 psi y - 22 psi x + 30 psi x y - 40 psi x y 3 3 2 4 2 3 2 2 2 + 44 psi y + 9 psi x + 657 psi x y - 2571 psi x y 2 3 2 4 2 3 4 5 + 2241 psi x y - 242 psi y - 117 psi x y + 2079 psi x y + 9 psi y 2 3 2 2 2 2 2 3 3 + 87 psi x - 324 psi x y + 312 psi x y - 48 psi y - 222 psi x y 2 2 3 4 5 2 2 + 873 psi x y - 366 psi x y + 120 psi y - 81 y + 4 psi x 2 2 2 3 2 2 + 4 psi x y - 9 psi y - 108 psi x + 402 psi x y - 338 psi x y 3 2 2 3 4 2 + 14 psi y + 9 x y - 207 x y + 36 y + 7 psi x - 14 psi x y 2 3 2 2 3 2 + 6 psi y + 16 x - 108 x y + 87 x y - 22 y - psi x + psi y - 8 x 2 + 7 x y + 4 y + x - y = 0 and in Maple notation -81*psi^10*y^10+810*psi^9*y^10-405*psi^9*x*y^8+297*psi^9*y^9-3240*psi^8*y^10+ 1377*psi^8*x*y^8-2781*psi^8*y^9+6480*psi^7*y^10-810*psi^8*x^2*y^6+1188*psi^8*x* y^7-540*psi^8*y^8-243*psi^7*x^2*y^7+1458*psi^7*x*y^8+10368*psi^7*y^9-6480*psi^6 *y^10-729*psi^7*x^2*y^6-4266*psi^7*x*y^7+4356*psi^7*y^8+972*psi^6*x^2*y^7-9396* psi^6*x*y^8-19224*psi^6*y^9+2592*psi^5*y^10-810*psi^7*x^3*y^4+1782*psi^7*x^2*y^ 5-1584*psi^7*x*y^6+636*psi^7*y^7-486*psi^6*x^3*y^5+4617*psi^6*x^2*y^6-2025*psi^ 6*x*y^7-13986*psi^6*y^8-972*psi^5*x^2*y^7+8424*psi^5*x*y^8+17712*psi^5*y^9-2349 *psi^6*x^3*y^4+648*psi^6*x^2*y^5+7704*psi^6*x*y^6-4104*psi^6*y^7-2916*psi^5*x^3 *y^5-810*psi^5*x^2*y^6+21276*psi^5*x*y^7+22572*psi^5*y^8-6480*psi^4*y^9-405*psi ^6*x^4*y^2+1188*psi^6*x^3*y^3-1512*psi^6*x^2*y^4+1260*psi^6*x*y^5-526*psi^6*y^6 -243*psi^5*x^4*y^3+162*psi^5*x^3*y^4-648*psi^5*x^2*y^5-4266*psi^5*x*y^6+10278* psi^5*y^7+1944*psi^4*x^2*y^6-19332*psi^4*x*y^7-18648*psi^4*y^8-1053*psi^5*x^4*y ^2+2970*psi^5*x^3*y^3+2457*psi^5*x^2*y^4-8658*psi^5*x*y^5+2544*psi^5*y^6+5022* psi^4*x^3*y^4-2268*psi^4*x^2*y^5-18621*psi^4*x*y^6-13026*psi^4*y^7+6480*psi^3*y ^8-81*psi^5*x^5+297*psi^5*x^4*y-432*psi^5*x^3*y^2+612*psi^5*x^2*y^3-642*psi^5*x *y^4+318*psi^5*y^5+243*psi^4*x^4*y^2+1215*psi^4*x^3*y^3-7092*psi^4*x^2*y^4+9009 *psi^4*x*y^5-4512*psi^4*y^6-1539*psi^3*x^2*y^5+18018*psi^3*x*y^6+9216*psi^3*y^7 +837*psi^4*x^4*y-1098*psi^4*x^3*y^2-3276*psi^4*x^2*y^3+5454*psi^4*x*y^4-1050* psi^4*y^5-3510*psi^3*x^3*y^3+4203*psi^3*x^2*y^4+7290*psi^3*x*y^5+3812*psi^3*y^6 -3240*psi^2*y^7+36*psi^4*x^4-12*psi^4*x^3*y-138*psi^4*x^2*y^2+204*psi^4*x*y^3-\ 140*psi^4*y^4-81*psi^3*x^4*y-1494*psi^3*x^3*y^2+6759*psi^3*x^2*y^3-6462*psi^3*x *y^4+1284*psi^3*y^5+603*psi^2*x^2*y^4-8559*psi^2*x*y^5-1917*psi^2*y^6-207*psi^3 *x^4-18*psi^3*x^3*y+1593*psi^3*x^2*y^2-1878*psi^3*x*y^3+284*psi^3*y^4+1242*psi^ 2*x^3*y^2-2808*psi^2*x^2*y^3-678*psi^2*x*y^4-624*psi^2*y^5+810*psi*y^6-22*psi^3 *x^3+30*psi^3*x^2*y-40*psi^3*x*y^2+44*psi^3*y^3+9*psi^2*x^4+657*psi^2*x^3*y-\ 2571*psi^2*x^2*y^2+2241*psi^2*x*y^3-242*psi^2*y^4-117*psi*x^2*y^3+2079*psi*x*y^ 4+9*psi*y^5+87*psi^2*x^3-324*psi^2*x^2*y+312*psi^2*x*y^2-48*psi^2*y^3-222*psi*x ^3*y+873*psi*x^2*y^2-366*psi*x*y^3+120*psi*y^4-81*y^5+4*psi^2*x^2+4*psi^2*x*y-9 *psi^2*y^2-108*psi*x^3+402*psi*x^2*y-338*psi*x*y^2+14*psi*y^3+9*x^2*y^2-207*x*y ^3+36*y^4+7*psi*x^2-14*psi*x*y+6*psi*y^2+16*x^3-108*x^2*y+87*x*y^2-22*y^3-psi*x +psi*y-8*x^2+7*x*y+4*y^2+x-y = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 7 2187 - ---- (3 n + 2) (2 n + 1) (3 n + 1) (n + 1) ( 512 2 25235944125822993871784429298673088031 n + 178614528069098260799848898228676571027 n + 299548398951664660701928563431864468470) a(n)/((n + 8) (n + 7) 81 (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - ---- ( 1024 6 1655271010066765108869192051711652390930863 n 5 + 20647155009592982507072347654420411260611518 n 4 + 101377825817459805685003738591734997738259450 n 3 + 254546413017321006714462600150360846598210700 n 2 + 350090432311018428254618843425884045215133967 n + 253327345371240559285290172954685131723605222 n + 76072062349560013371215343198533256817207320) a(n + 1)/((n + 8) (n + 7) 27 (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - --- ( 512 6 12004985759150505119770087079111857058785746 n 5 + 236499664681023347688348494584488479753903271 n 4 + 1929096913601094494538582338108548134030262855 n 3 + 8326990032303882600721984154890429563536643005 n 2 + 20040307263035295515048745996545696917267754639 n + 25480875374227207124031004747110008750066891584 n + 13368745108327039313473082825657427565670249100) a(n + 2)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 9/256 ( 6 7707806116525747002082351620373716640572009 n 5 + 158545501500811089015495735681158270305973856 n 4 + 1310330136149546074952642032791657194348761130 n 3 + 5479022277547608474440582007833580009034003460 n 2 + 11834552694437603774189366667493269572753800741 n + 11542228699793403564628685586563439958111944904 n + 2808400908529620812823603880290581190894963900) a(n + 3)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) + 3/128 ( 6 1767246030327857637911024389128266931992658 n 5 + 59331272174452847476483287184829888662933481 n 4 + 801810209288193342933819781637388587072119965 n 3 + 5637131786361199599866089139900145556267432115 n 2 + 21881543985309765318074486882208645351355487757 n + 44658595236899984867345457678213426419037348764 n + 37561776375504713002177396324156461257057517420) a(n + 4)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) + 3/64 ( 6 203565943578493177918866373742577238511950 n 5 + 5629754484995683813608127249110286470457619 n 4 + 64325710488365303022299028396410741577693865 n 3 + 388808411638722779709746478160459326692268380 n 2 + 1312075337006222626115822445658612785507231955 n + 2346549998644835005128498398314779123762789761 n + 1740512867229136026769165334993317668480996870) a(n + 5)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/16 ( 4 11988962761498369371152318266486659529512 n 3 + 242987783693047895214299260303273170912476 n 2 + 1837595239391847816840760988087029463876568 n + 6147871802252317068312952538158042966965229 n + 7692510666953395310935514186081568131035530) a(n + 6)/((2 n + 15) (n + 8) %1) + a(n + 7) = 0 2 %1 := 12881428819241754428019520069756971942 n + 108353681673766454815336422463979432911 n + 231834820243540203433763450651542734934 and in Maple notation -2187/512*(3*n+2)*(2*n+1)*(3*n+1)*(n+1)*(25235944125822993871784429298673088031 *n^2+178614528069098260799848898228676571027*n+ 299548398951664660701928563431864468470)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n)-81/1024*( 1655271010066765108869192051711652390930863*n^6+ 20647155009592982507072347654420411260611518*n^5+ 101377825817459805685003738591734997738259450*n^4+ 254546413017321006714462600150360846598210700*n^3+ 350090432311018428254618843425884045215133967*n^2+ 253327345371240559285290172954685131723605222*n+ 76072062349560013371215343198533256817207320)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n+1)-27/512*( 12004985759150505119770087079111857058785746*n^6+ 236499664681023347688348494584488479753903271*n^5+ 1929096913601094494538582338108548134030262855*n^4+ 8326990032303882600721984154890429563536643005*n^3+ 20040307263035295515048745996545696917267754639*n^2+ 25480875374227207124031004747110008750066891584*n+ 13368745108327039313473082825657427565670249100)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/ (12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n+2)-9/256*( 7707806116525747002082351620373716640572009*n^6+ 158545501500811089015495735681158270305973856*n^5+ 1310330136149546074952642032791657194348761130*n^4+ 5479022277547608474440582007833580009034003460*n^3+ 11834552694437603774189366667493269572753800741*n^2+ 11542228699793403564628685586563439958111944904*n+ 2808400908529620812823603880290581190894963900)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n+3)+3/128*( 1767246030327857637911024389128266931992658*n^6+ 59331272174452847476483287184829888662933481*n^5+ 801810209288193342933819781637388587072119965*n^4+ 5637131786361199599866089139900145556267432115*n^3+ 21881543985309765318074486882208645351355487757*n^2+ 44658595236899984867345457678213426419037348764*n+ 37561776375504713002177396324156461257057517420)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/ (12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n+4)+3/64*( 203565943578493177918866373742577238511950*n^6+ 5629754484995683813608127249110286470457619*n^5+ 64325710488365303022299028396410741577693865*n^4+ 388808411638722779709746478160459326692268380*n^3+ 1312075337006222626115822445658612785507231955*n^2+ 2346549998644835005128498398314779123762789761*n+ 1740512867229136026769165334993317668480996870)/(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n+5)-1/16*( 11988962761498369371152318266486659529512*n^4+ 242987783693047895214299260303273170912476*n^3+ 1837595239391847816840760988087029463876568*n^2+ 6147871802252317068312952538158042966965229*n+ 7692510666953395310935514186081568131035530)/(2*n+15)/(n+8)/( 12881428819241754428019520069756971942*n^2+ 108353681673766454815336422463979432911*n+ 231834820243540203433763450651542734934)*a(n+6)+a(n+7) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 3, a(2) = 18, a(3) = 144, a(4) = 1323, a(5) = 13230, a(6) = 140049, a(7) = 1544508 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 198415024919686940992567158893726966331482341650314179939149749257697\ 7283076473035347307408818939579797790029615608875434864392391355930436074536503\ 3477492146359210864889553874903389252105575455189057262412784511191102529989840\ 9142506182724895547589791788786020370813536278106066740078901127855479974030905\ 7341747989804787667562984491461481112134201195721130735310594270013073074626569\ 1486108944489844025731755225322661046929765416177013112645981456453226461740768\ 0698596027251292213661978414896466768410429278299424519364301613877398102057343\ 8552091711892173584464164161494825693812775354052068281582176432434191692770267\ 4947754589880683433842085882749700959383759622797166930218478671345572156988035\ 4223345267239457670721408535948646578514896936037780285137175849425948063705326\ 5146804596488491567967727557120130726898271828361182432460517764702844221947665\ 9178836549251143539206869932551025208275075123326747953474847599871276808817401\ 9120290369497187562574807493656862628810623738362429364822436232683881533960775\ 3996490407521256482034906102176484678807209137969840471911815522348380294758406\ 1002042845606420146372900056748613823112187706474496 --------------------------------------- This ends this paper that took, 19.473, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (3 Psi(x, 0) x y - 3 y + x - y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [3, 15, 105, 822, 7017, 63018, 588357, 5649912, 55475916, 554409867, 5621419239 , 57688312164, 598069743942, 6254625344208, 65906604953181, 699072257938752, 7458324919010964, 79984138748997132, 861731297967227076, 9322731153667337238, 101238249566953219905, 1103130382331949875802, 12057574963553906022387, 132169260789628407553968, 1452574672019248193164980, 16002790428646627931749338 , 176694812426260397169768714, 1955026929790427062541260296, 21673041443966023139555109420, 240695939909952357666761861628, 2677617599527529093181142897293, 29834112904228222581862705010496, 332905219648934967684663222919140, 3719913258586231992494278160258004, 41621226874596978870338880853574700, 466267178924924566621973307198958392, 5229538582769914764139101329106717300, 58718295334909626890077353995363853384, 659994207939645377325285871189466303028, 7425751026593273431680951456565012520856, 83628223557384398426802285114862242317184, 942665851341162411909104235930495966305019, 10634979876190832070211842037767597969340431, 120080477817610074412979957955725364084629268, 1356903533514754428290092925897579243825049774, 15344453135554039620283154290621333754175304344, 173646381492554270996893216326982349790527695467, 1966431519843067353702172688432152540883787023424, 22283241969961226371659941672232983469023780114028, 252669501012149035902914762087012549039187954014244, 2866759680532251688132024828241278645114848603798252, 32544943695278358870341082340687458620168232116979348, 369674819992059734287132262834046519143464966670202558, 4201372628012029516950046311733181898526526039513701644, 47773702142302560518519930965780484081451421004283820722, 543506572920744494616285099698722239230616968446694707296, 6186302980311949277438286591169872828521052794610193186296, 70446712607748281227871714996716159258208987524701371244996, 802576592021560180276560441149352349219493015593516925043780, 9147488243884947750719316698599219670690085345680709206095536, 104303906225240524535677391115514920806731166762925163490252520, 1189807391182631608355390404334499092540685863848693191534788820, 13577644939071218506145243092924836409880563169672801318937131757, 155002433365362533746864440747319216044291210277509528383219566656, 1770164829215770105781218085719331840910448899387123426752502598404, 20222977436940362068708561466556312535332319699841159531353513790532, 231114919697251529843323821495054729533058397162924434579247133088348, 2642152429232368011279031131118992848118651828347322354143661925891272, 30215546937060412535827673333049351434582461224381768628663409430289356, 345654044668551793418507227203303040340142728646145928341507757141704632, 3955373337576320175012333734927877704405983906348509813583896158570761980, 45275598885489431339623734639796353343545509474233013841805582313086500960, 518403820019137353368727717710748144790967515730943887409745018716666219024, 5937395535891779957667684060485944695948613319259799536888324221339689331676, 68021192343316306194113132942051432586613105181688207647045897303603817198540, 779488608900100422733790131247056360161105971602633050195434617339671460735824, 8934896130584679048749833731140332349502624277931754836958584250889883113893816 , 10244257669215428392932262927852234458140491614793576531254041413715060959789\ 5168, 1174843151839571742151993274628592447430000720194114226705354297007314878\ 522421652, 13476743553353046488310295116720107705814379159962904772262636795166\ 500794790249600, 15462976179758462123980824290734639434548875907212841831286377\ 8221123311860420198224, 1774605093424019871211268097758349950564864400205786131\ 546022399191056951397706728048, 20370816340846780354909219024647672772215080068\ 459672661852479681257235863444919860432, 23388957347931038768171830557357542744\ 9924941311513000742955767607283315107637038495766, 2686004521457426937124472931\ 911040584285411695090386172671340685142531375223676118366369, 30852749658750616\ 783010404175535986664773834711295502270511960132512541174452476506503770, 35446\ 2384835797714263035575488970852632790229096491019268370858936211328170494332041\ 827291, 40731793835746503972368694823701616747532548713619655711396102023406295\ 64562614543301742192, 468146788054390450276623724545974095778787717810585382512\ 13051169870956120344404798754101076] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 29 2 17 3 32 2 - 1/1458 + 5/1458 g - 2/729 g + 2/729 x g - ---- g x + --- x g - --- x 1458 729 729 80 2 530 2 2 247 3 2 80 2 4 16 2 3 224 3 3 + --- x g - --- x g + --- g x - --- x g - -- g x + --- x g 243 729 486 729 27 81 157 3 4 10 3 5 4 4 5 4 6 4 5 7 - --- x g + -- x g - 2/9 x g + 11/3 g x - 2/3 g x + x g = 0 54 27 and in Maple notation -1/1458+5/1458*g-2/729*g^2+2/729*x*g-29/1458*g^2*x+17/729*x*g^3-32/729*x^2+80/ 243*x^2*g-530/729*x^2*g^2+247/486*g^3*x^2-80/729*x^2*g^4-16/27*g^2*x^3+224/81*x ^3*g^3-157/54*x^3*g^4+10/27*x^3*g^5-2/9*x^4*g^4+11/3*g^5*x^4-2/3*g^6*x^4+x^5*g^ 7 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 14 14 13 14 13 12 13 13 -1458 psi y + 30618 psi y - 10206 psi x y + 7290 psi y 12 14 12 12 12 13 - 275562 psi y + 135594 psi x y - 141426 psi y 11 14 12 2 10 12 11 + 1377810 psi y - 30618 psi x y + 43740 psi x y 12 12 11 2 11 11 12 - 17010 psi y - 8748 psi x y - 656100 psi x y 11 13 10 14 11 2 10 + 1167858 psi y - 4133430 psi y + 218700 psi x y 11 11 11 12 10 2 11 - 559143 psi x y + 295974 psi y + 104976 psi x y 10 12 10 13 9 14 + 1180980 psi x y - 5314410 psi y + 7440174 psi y 11 3 8 11 2 9 11 10 - 51030 psi x y + 109350 psi x y - 84078 psi x y 11 11 10 3 9 10 2 10 + 24678 psi y - 34992 psi x y - 151632 psi x y 10 11 10 12 9 2 11 + 2620026 psi x y - 2173878 psi y - 472392 psi x y 9 12 9 13 8 14 + 590490 psi x y + 14368590 psi y - 7440174 psi y 10 3 8 10 2 9 10 10 + 131220 psi x y - 800442 psi x y + 1075518 psi x y 10 11 9 3 9 9 2 10 - 372438 psi y + 104976 psi x y - 2239488 psi x y 9 11 9 12 8 2 11 - 4737042 psi x y + 8726130 psi y + 944784 psi x y 8 12 8 13 7 14 - 4605822 psi x y - 23029110 psi y + 3188646 psi y 10 4 6 10 3 7 10 2 8 - 51030 psi x y + 145800 psi x y - 165240 psi x y 10 9 10 10 9 4 7 + 96120 psi x y - 24624 psi y - 52488 psi x y 9 3 8 9 2 9 9 10 + 734832 psi x y + 1382184 psi x y - 5061447 psi x y 9 11 8 3 9 8 2 10 + 2340090 psi y + 314928 psi x y + 6495390 psi x y 8 11 8 12 7 2 11 - 1023516 psi x y - 20667150 psi y - 708588 psi x y 7 12 7 13 9 4 6 + 4251528 psi x y + 20194758 psi y - 21870 psi x y 9 3 7 9 2 8 9 9 - 438858 psi x y + 1420335 psi x y - 1257687 psi x y 9 10 8 4 7 8 3 8 + 312876 psi y - 104976 psi x y - 2230740 psi x y 8 2 9 8 10 8 11 + 2437776 psi x y + 9624987 psi x y - 7938810 psi y 7 3 9 7 2 10 7 11 - 944784 psi x y - 6062364 psi x y + 13758417 psi x y 7 12 6 13 9 5 4 + 28934010 psi y - 7440174 psi y - 30618 psi x y 9 4 5 9 3 6 9 2 7 + 109350 psi x y - 160380 psi x y + 137700 psi x y 9 8 9 9 8 5 5 8 4 6 - 72252 psi x y + 17460 psi y - 34992 psi x y + 686718 psi x y 8 3 7 8 2 8 8 9 - 567648 psi x y - 4144122 psi x y + 5954715 psi x y 8 10 7 4 7 7 3 8 - 1617408 psi y + 647352 psi x y - 170586 psi x y 7 2 9 7 10 7 11 - 9968346 psi x y - 1541835 psi x y + 15812010 psi y 6 2 10 6 11 6 12 + 1653372 psi x y - 12400290 psi x y - 22320522 psi y 8 5 4 8 4 5 8 3 6 - 56862 psi x y + 16038 psi x y + 762291 psi x y 8 2 7 8 8 8 9 - 1511460 psi x y + 941328 psi x y - 182628 psi y 7 5 5 7 4 6 7 3 7 - 104976 psi x y + 21870 psi x y + 1823958 psi x y 7 2 8 7 9 7 10 + 3519369 psi x y - 11719404 psi x y + 4411908 psi y 6 3 8 6 2 9 6 10 + 2519424 psi x y + 9460962 psi x y - 16986429 psi x y 6 11 5 12 8 6 2 - 18856314 psi y + 7440174 psi y - 10206 psi x y 8 5 3 8 4 4 8 3 5 + 43740 psi x y - 75330 psi x y + 83160 psi x y 8 2 6 8 7 8 8 7 6 3 - 69552 psi x y + 36792 psi x y - 8660 psi y - 8748 psi x y 7 5 4 7 4 5 7 3 6 + 189540 psi x y - 643950 psi x y - 1362339 psi x y 7 2 7 7 8 7 9 + 5491719 psi x y - 4388904 psi x y + 757188 psi y 6 4 6 6 3 7 6 2 8 - 1405512 psi x y + 1041012 psi x y + 3642084 psi x y 6 9 6 10 5 2 9 + 5369085 psi x y - 6976530 psi y - 1653372 psi x y 5 10 5 11 7 6 2 + 14880348 psi x y + 12951414 psi y - 17496 psi x y 7 5 3 7 4 4 7 3 5 + 94041 psi x y + 80433 psi x y - 745200 psi x y 7 2 6 7 7 7 8 6 5 4 + 959148 psi x y - 428454 psi x y + 74076 psi y + 209952 psi x y 6 4 5 6 3 6 6 2 7 - 339714 psi x y + 1531386 psi x y - 7826706 psi x y 6 8 6 9 5 3 7 + 8812638 psi x y - 1604772 psi y - 2834352 psi x y 5 2 8 5 9 5 10 - 5909274 psi x y + 10320453 psi x y + 6757830 psi y 4 11 7 7 7 6 7 5 2 - 4133430 psi y - 1458 psi x + 7290 psi x y - 12150 psi x y 7 4 3 7 3 4 7 2 5 7 6 + 14310 psi x y - 21384 psi x y + 22464 psi x y - 12428 psi x y 7 7 6 6 2 6 5 3 6 4 4 + 2684 psi y + 8748 psi x y - 149202 psi x y - 100926 psi x y 6 3 5 6 2 6 6 7 + 2154789 psi x y - 3678075 psi x y + 1942812 psi x y 6 8 5 4 5 5 3 6 - 247212 psi y + 1248048 psi x y - 2201580 psi x y 5 2 7 5 8 5 9 + 3193020 psi x y - 5994567 psi x y + 1888110 psi y 4 2 8 4 9 4 10 + 918540 psi x y - 9644670 psi x y - 4133430 psi y 6 6 6 5 2 6 4 3 + 21870 psi x y - 46413 psi x y - 124578 psi x y 6 3 4 6 2 5 6 6 6 7 + 397683 psi x y - 327888 psi x y + 96360 psi x y - 20060 psi y 5 5 3 5 4 4 5 3 5 - 163296 psi x y + 620622 psi x y - 2659068 psi x y 5 2 6 5 7 5 8 + 5722299 psi x y - 4054212 psi x y + 416772 psi y 4 3 6 4 2 7 4 8 + 1749600 psi x y + 1122660 psi x y - 2744685 psi x y 4 9 3 10 6 6 6 5 - 1299078 psi y + 1377810 psi y + 972 psi x - 2592 psi x y 6 3 3 6 2 4 6 5 6 6 + 4392 psi x y - 4764 psi x y + 2544 psi x y - 226 psi y 5 6 5 5 2 5 4 3 - 2916 psi x y + 5184 psi x y + 359046 psi x y 5 3 4 5 2 5 5 6 - 1189170 psi x y + 1239123 psi x y - 437778 psi x y 5 7 4 4 4 4 3 5 + 55476 psi y - 576720 psi x y + 1730160 psi x y 4 2 6 4 7 4 8 - 3532086 psi x y + 3415365 psi x y - 370170 psi y 3 2 7 3 8 3 9 5 6 - 306180 psi x y + 3674160 psi x y + 642978 psi y - 5346 psi x 5 5 5 4 2 5 3 3 5 2 4 - 5589 psi x y + 71226 psi x y - 102546 psi x y + 36630 psi x y 5 5 5 6 4 5 2 4 4 3 + 1962 psi x y + 3138 psi y + 62208 psi x y - 369846 psi x y 4 3 4 4 2 5 4 6 + 1296432 psi x y - 1953936 psi x y + 1033344 psi x y 4 7 3 3 5 3 2 6 3 7 - 77220 psi y - 641520 psi x y + 462672 psi x y - 108621 psi x y 3 8 2 9 5 5 5 4 + 138510 psi y - 275562 psi y - 540 psi x + 1260 psi x y 5 3 2 5 2 3 5 4 5 5 - 836 psi x y + 492 psi x y - 198 psi x y - 238 psi y 4 6 4 5 4 4 2 4 3 3 + 324 psi x + 20358 psi x y - 141876 psi x y + 254922 psi x y 4 2 4 4 5 4 6 3 4 3 - 138203 psi x y + 5562 psi x y - 7770 psi y + 143640 psi x y 3 3 4 3 2 5 3 6 - 630666 psi x y + 1328670 psi x y - 1036233 psi x y 3 7 2 2 6 2 7 2 8 + 65070 psi y + 61236 psi x y - 826686 psi x y - 10206 psi y 4 5 4 4 4 3 2 4 2 3 + 4239 psi x - 10764 psi x y + 2265 psi x y + 10356 psi x y 4 4 4 5 3 5 3 4 2 - 5722 psi x y - 42 psi y - 11664 psi x y + 86940 psi x y 3 3 3 3 2 4 3 5 3 6 - 239922 psi x y + 259839 psi x y - 94284 psi x y + 6570 psi y 2 3 4 2 2 5 2 6 2 7 + 139968 psi x y - 286902 psi x y + 249561 psi x y - 21870 psi y 8 4 4 4 3 4 2 2 4 3 + 30618 psi y + 160 psi x - 232 psi x y - 6 psi x y - 52 psi x y 4 4 3 5 3 4 3 3 2 + 134 psi y - 4032 psi x + 13152 psi x y - 1639 psi x y 3 2 3 3 4 3 5 2 4 2 - 24959 psi x y + 17436 psi x y + 906 psi y - 17064 psi x y 2 3 3 2 2 4 2 5 2 6 + 102492 psi x y - 211248 psi x y + 148095 psi x y - 6480 psi y 2 5 6 7 3 4 - 6804 psi x y + 102060 psi x y - 10206 psi y - 741 psi x 3 3 3 2 2 3 3 3 4 + 2428 psi x y - 2360 psi x y + 749 psi x y - 130 psi y 2 5 2 4 2 3 2 2 2 3 + 864 psi x - 5184 psi x y + 3210 psi x y + 11174 psi x y 2 4 2 5 3 3 2 4 - 12042 psi x y + 334 psi y - 16848 psi x y + 56646 psi x y 5 6 7 3 3 3 2 - 56457 psi x y + 5508 psi y - 1458 y - 34 psi x + 42 psi x y 3 2 3 3 2 4 2 3 + 26 psi x y - 34 psi y + 1060 psi x - 4271 psi x y 2 2 2 2 3 2 4 4 + 5535 psi x y - 2150 psi x y - 222 psi y + 384 psi x y 3 2 2 3 4 5 2 4 - 3744 psi x y + 6792 psi x y - 4095 psi x y - 660 psi y + 324 x y 5 6 2 3 2 2 2 2 - 5346 x y + 972 y + 29 psi x - 70 psi x y - 6 psi x y 2 3 4 3 2 2 3 + 50 psi y - 480 psi x + 2600 psi x y - 4259 psi x y + 2254 psi x y 4 3 2 2 3 4 5 2 2 + 74 psi y + 864 x y - 4032 x y + 4239 x y - 540 y + 4 psi x 2 2 2 3 2 2 - 8 psi x y + 4 psi y - 4 psi x + 41 psi x y - 55 psi x y 3 4 3 2 2 3 4 2 + 18 psi y + 64 x - 480 x y + 1060 x y - 741 x y + 160 y - 5 psi x 2 2 2 3 2 2 + 13 psi x y - 8 psi y - 4 x y + 29 x y - 34 y + x - 5 x y + 4 y = 0 and in Maple notation -1458*psi^14*y^14+30618*psi^13*y^14-10206*psi^13*x*y^12+7290*psi^13*y^13-275562 *psi^12*y^14+135594*psi^12*x*y^12-141426*psi^12*y^13+1377810*psi^11*y^14-30618* psi^12*x^2*y^10+43740*psi^12*x*y^11-17010*psi^12*y^12-8748*psi^11*x^2*y^11-\ 656100*psi^11*x*y^12+1167858*psi^11*y^13-4133430*psi^10*y^14+218700*psi^11*x^2* y^10-559143*psi^11*x*y^11+295974*psi^11*y^12+104976*psi^10*x^2*y^11+1180980*psi ^10*x*y^12-5314410*psi^10*y^13+7440174*psi^9*y^14-51030*psi^11*x^3*y^8+109350* psi^11*x^2*y^9-84078*psi^11*x*y^10+24678*psi^11*y^11-34992*psi^10*x^3*y^9-\ 151632*psi^10*x^2*y^10+2620026*psi^10*x*y^11-2173878*psi^10*y^12-472392*psi^9*x ^2*y^11+590490*psi^9*x*y^12+14368590*psi^9*y^13-7440174*psi^8*y^14+131220*psi^ 10*x^3*y^8-800442*psi^10*x^2*y^9+1075518*psi^10*x*y^10-372438*psi^10*y^11+ 104976*psi^9*x^3*y^9-2239488*psi^9*x^2*y^10-4737042*psi^9*x*y^11+8726130*psi^9* y^12+944784*psi^8*x^2*y^11-4605822*psi^8*x*y^12-23029110*psi^8*y^13+3188646*psi ^7*y^14-51030*psi^10*x^4*y^6+145800*psi^10*x^3*y^7-165240*psi^10*x^2*y^8+96120* psi^10*x*y^9-24624*psi^10*y^10-52488*psi^9*x^4*y^7+734832*psi^9*x^3*y^8+1382184 *psi^9*x^2*y^9-5061447*psi^9*x*y^10+2340090*psi^9*y^11+314928*psi^8*x^3*y^9+ 6495390*psi^8*x^2*y^10-1023516*psi^8*x*y^11-20667150*psi^8*y^12-708588*psi^7*x^ 2*y^11+4251528*psi^7*x*y^12+20194758*psi^7*y^13-21870*psi^9*x^4*y^6-438858*psi^ 9*x^3*y^7+1420335*psi^9*x^2*y^8-1257687*psi^9*x*y^9+312876*psi^9*y^10-104976* psi^8*x^4*y^7-2230740*psi^8*x^3*y^8+2437776*psi^8*x^2*y^9+9624987*psi^8*x*y^10-\ 7938810*psi^8*y^11-944784*psi^7*x^3*y^9-6062364*psi^7*x^2*y^10+13758417*psi^7*x *y^11+28934010*psi^7*y^12-7440174*psi^6*y^13-30618*psi^9*x^5*y^4+109350*psi^9*x ^4*y^5-160380*psi^9*x^3*y^6+137700*psi^9*x^2*y^7-72252*psi^9*x*y^8+17460*psi^9* y^9-34992*psi^8*x^5*y^5+686718*psi^8*x^4*y^6-567648*psi^8*x^3*y^7-4144122*psi^8 *x^2*y^8+5954715*psi^8*x*y^9-1617408*psi^8*y^10+647352*psi^7*x^4*y^7-170586*psi ^7*x^3*y^8-9968346*psi^7*x^2*y^9-1541835*psi^7*x*y^10+15812010*psi^7*y^11+ 1653372*psi^6*x^2*y^10-12400290*psi^6*x*y^11-22320522*psi^6*y^12-56862*psi^8*x^ 5*y^4+16038*psi^8*x^4*y^5+762291*psi^8*x^3*y^6-1511460*psi^8*x^2*y^7+941328*psi ^8*x*y^8-182628*psi^8*y^9-104976*psi^7*x^5*y^5+21870*psi^7*x^4*y^6+1823958*psi^ 7*x^3*y^7+3519369*psi^7*x^2*y^8-11719404*psi^7*x*y^9+4411908*psi^7*y^10+2519424 *psi^6*x^3*y^8+9460962*psi^6*x^2*y^9-16986429*psi^6*x*y^10-18856314*psi^6*y^11+ 7440174*psi^5*y^12-10206*psi^8*x^6*y^2+43740*psi^8*x^5*y^3-75330*psi^8*x^4*y^4+ 83160*psi^8*x^3*y^5-69552*psi^8*x^2*y^6+36792*psi^8*x*y^7-8660*psi^8*y^8-8748* psi^7*x^6*y^3+189540*psi^7*x^5*y^4-643950*psi^7*x^4*y^5-1362339*psi^7*x^3*y^6+ 5491719*psi^7*x^2*y^7-4388904*psi^7*x*y^8+757188*psi^7*y^9-1405512*psi^6*x^4*y^ 6+1041012*psi^6*x^3*y^7+3642084*psi^6*x^2*y^8+5369085*psi^6*x*y^9-6976530*psi^6 *y^10-1653372*psi^5*x^2*y^9+14880348*psi^5*x*y^10+12951414*psi^5*y^11-17496*psi ^7*x^6*y^2+94041*psi^7*x^5*y^3+80433*psi^7*x^4*y^4-745200*psi^7*x^3*y^5+959148* psi^7*x^2*y^6-428454*psi^7*x*y^7+74076*psi^7*y^8+209952*psi^6*x^5*y^4-339714* psi^6*x^4*y^5+1531386*psi^6*x^3*y^6-7826706*psi^6*x^2*y^7+8812638*psi^6*x*y^8-\ 1604772*psi^6*y^9-2834352*psi^5*x^3*y^7-5909274*psi^5*x^2*y^8+10320453*psi^5*x* y^9+6757830*psi^5*y^10-4133430*psi^4*y^11-1458*psi^7*x^7+7290*psi^7*x^6*y-12150 *psi^7*x^5*y^2+14310*psi^7*x^4*y^3-21384*psi^7*x^3*y^4+22464*psi^7*x^2*y^5-\ 12428*psi^7*x*y^6+2684*psi^7*y^7+8748*psi^6*x^6*y^2-149202*psi^6*x^5*y^3-100926 *psi^6*x^4*y^4+2154789*psi^6*x^3*y^5-3678075*psi^6*x^2*y^6+1942812*psi^6*x*y^7-\ 247212*psi^6*y^8+1248048*psi^5*x^4*y^5-2201580*psi^5*x^3*y^6+3193020*psi^5*x^2* y^7-5994567*psi^5*x*y^8+1888110*psi^5*y^9+918540*psi^4*x^2*y^8-9644670*psi^4*x* y^9-4133430*psi^4*y^10+21870*psi^6*x^6*y-46413*psi^6*x^5*y^2-124578*psi^6*x^4*y ^3+397683*psi^6*x^3*y^4-327888*psi^6*x^2*y^5+96360*psi^6*x*y^6-20060*psi^6*y^7-\ 163296*psi^5*x^5*y^3+620622*psi^5*x^4*y^4-2659068*psi^5*x^3*y^5+5722299*psi^5*x ^2*y^6-4054212*psi^5*x*y^7+416772*psi^5*y^8+1749600*psi^4*x^3*y^6+1122660*psi^4 *x^2*y^7-2744685*psi^4*x*y^8-1299078*psi^4*y^9+1377810*psi^3*y^10+972*psi^6*x^6 -2592*psi^6*x^5*y+4392*psi^6*x^3*y^3-4764*psi^6*x^2*y^4+2544*psi^6*x*y^5-226* psi^6*y^6-2916*psi^5*x^6*y+5184*psi^5*x^5*y^2+359046*psi^5*x^4*y^3-1189170*psi^ 5*x^3*y^4+1239123*psi^5*x^2*y^5-437778*psi^5*x*y^6+55476*psi^5*y^7-576720*psi^4 *x^4*y^4+1730160*psi^4*x^3*y^5-3532086*psi^4*x^2*y^6+3415365*psi^4*x*y^7-370170 *psi^4*y^8-306180*psi^3*x^2*y^7+3674160*psi^3*x*y^8+642978*psi^3*y^9-5346*psi^5 *x^6-5589*psi^5*x^5*y+71226*psi^5*x^4*y^2-102546*psi^5*x^3*y^3+36630*psi^5*x^2* y^4+1962*psi^5*x*y^5+3138*psi^5*y^6+62208*psi^4*x^5*y^2-369846*psi^4*x^4*y^3+ 1296432*psi^4*x^3*y^4-1953936*psi^4*x^2*y^5+1033344*psi^4*x*y^6-77220*psi^4*y^7 -641520*psi^3*x^3*y^5+462672*psi^3*x^2*y^6-108621*psi^3*x*y^7+138510*psi^3*y^8-\ 275562*psi^2*y^9-540*psi^5*x^5+1260*psi^5*x^4*y-836*psi^5*x^3*y^2+492*psi^5*x^2 *y^3-198*psi^5*x*y^4-238*psi^5*y^5+324*psi^4*x^6+20358*psi^4*x^5*y-141876*psi^4 *x^4*y^2+254922*psi^4*x^3*y^3-138203*psi^4*x^2*y^4+5562*psi^4*x*y^5-7770*psi^4* y^6+143640*psi^3*x^4*y^3-630666*psi^3*x^3*y^4+1328670*psi^3*x^2*y^5-1036233*psi ^3*x*y^6+65070*psi^3*y^7+61236*psi^2*x^2*y^6-826686*psi^2*x*y^7-10206*psi^2*y^8 +4239*psi^4*x^5-10764*psi^4*x^4*y+2265*psi^4*x^3*y^2+10356*psi^4*x^2*y^3-5722* psi^4*x*y^4-42*psi^4*y^5-11664*psi^3*x^5*y+86940*psi^3*x^4*y^2-239922*psi^3*x^3 *y^3+259839*psi^3*x^2*y^4-94284*psi^3*x*y^5+6570*psi^3*y^6+139968*psi^2*x^3*y^4 -286902*psi^2*x^2*y^5+249561*psi^2*x*y^6-21870*psi^2*y^7+30618*psi*y^8+160*psi^ 4*x^4-232*psi^4*x^3*y-6*psi^4*x^2*y^2-52*psi^4*x*y^3+134*psi^4*y^4-4032*psi^3*x ^5+13152*psi^3*x^4*y-1639*psi^3*x^3*y^2-24959*psi^3*x^2*y^3+17436*psi^3*x*y^4+ 906*psi^3*y^5-17064*psi^2*x^4*y^2+102492*psi^2*x^3*y^3-211248*psi^2*x^2*y^4+ 148095*psi^2*x*y^5-6480*psi^2*y^6-6804*psi*x^2*y^5+102060*psi*x*y^6-10206*psi*y ^7-741*psi^3*x^4+2428*psi^3*x^3*y-2360*psi^3*x^2*y^2+749*psi^3*x*y^3-130*psi^3* y^4+864*psi^2*x^5-5184*psi^2*x^4*y+3210*psi^2*x^3*y^2+11174*psi^2*x^2*y^3-12042 *psi^2*x*y^4+334*psi^2*y^5-16848*psi*x^3*y^3+56646*psi*x^2*y^4-56457*psi*x*y^5+ 5508*psi*y^6-1458*y^7-34*psi^3*x^3+42*psi^3*x^2*y+26*psi^3*x*y^2-34*psi^3*y^3+ 1060*psi^2*x^4-4271*psi^2*x^3*y+5535*psi^2*x^2*y^2-2150*psi^2*x*y^3-222*psi^2*y ^4+384*psi*x^4*y-3744*psi*x^3*y^2+6792*psi*x^2*y^3-4095*psi*x*y^4-660*psi*y^5+ 324*x^2*y^4-5346*x*y^5+972*y^6+29*psi^2*x^3-70*psi^2*x^2*y-6*psi^2*x*y^2+50*psi ^2*y^3-480*psi*x^4+2600*psi*x^3*y-4259*psi*x^2*y^2+2254*psi*x*y^3+74*psi*y^4+ 864*x^3*y^2-4032*x^2*y^3+4239*x*y^4-540*y^5+4*psi^2*x^2-8*psi^2*x*y+4*psi^2*y^2 -4*psi*x^3+41*psi*x^2*y-55*psi*x*y^2+18*psi*y^3+64*x^4-480*x^3*y+1060*x^2*y^2-\ 741*x*y^3+160*y^4-5*psi*x^2+13*psi*x*y-8*psi*y^2-4*x^2*y+29*x*y^2-34*y^3+x^2-5* x*y+4*y^2 = 0 --------------------------------------- This ends this paper that took, 125.052, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (3 Psi(x, 0) x y - y + x - 2 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [3/2, 39/8, 327/16, 12489/128, 129081/256, 2814795/1024, 31896135/2048, 2976879069/32768, 35528989269/65536, 863738360877/262144, 10658094284697/524288 , 532714946664237/4194304, 6727933077589245/8388608, 171505522258836555/ 33554432, 2203439595840362295/67108864, 456115230303616486053/2147483648, 5937540200674176026637/4294967296, 155436578852524635388473/17179869184, 2044591811150888461561605/34359738368, 108055172615802390864710055/274877906944 , 1433404588115385194605293735/549755813888, 38168885936873826561446516205/ 2199023255552, 509883674747549510941121209905/4398046511104, 54658034568820384669759565455497/70368744177664, 734467900333739511262017396384513/140737488355328, 19790381770392358756855328411256993/562949953421312, 267272956197381180782065491204637917/1125899906842624, 14470752299345479757850555164483186709/9007199254740992, 196279910946575435584232107631754200517/18014398509481984, 5335059009921471563777668805095753960011/72057594037927936, 72638522481466244058460344263134832705175/144115188075855872, 31702240367342446147966980008788341777475125/9223372036854775808, 433075259008330701138818621840998882204341885/18446744073709551616, 11850219618049710688212012512484620897030266545/73786976294838206464, 162360985984109106268920708663412892238104735805/147573952589676412928, 8910148374085981816400364471451836913019029252995/1180591620717411303424, 122400918471912295350264096330114499919554144222755/2361183241434822606848, 3366990194820412164309397970571997262491058505754425/9444732965739290427392, 46362799449479231985795389602237541983358572989091725/18889465931478580854784, 5112852199127358418708704221751424154431559707714585875/ 302231454903657293676544, 70553672243215074247072275399605031359664023292734656347/ 604462909807314587353088, 1949114742306397028102939867705022896673613910209121860851/ 2417851639229258349412352, 26948630312038970194087887834955461329389744664209281137607/ 4835703278458516698824704, 1491725555884175595902583201006229692482413545102000128262795/ 38685626227668133590597632, 20661259937775123552111081385588923654147499028384080967730555/ 77371252455336267181195264, 572814626687723301550146420440411954824924639885810813988942445/ 309485009821345068724781056, 7946678804190745941167109829858618149599424727632859305661491105/ 618970019642690137449562112, 1765254116357948816905273319668178557148493792479692802545826952705/ 19807040628566084398385987584, 24525930346013502798190283640496631452337332137670722754104698419977/ 39614081257132168796771975168, 681989746390340017962229236750106209599074248581388987692908347246741/ 158456325028528675187087900672, 9488388852066811071501248789419231159425864643957323235786075322621553/ 316912650057057350374175801344, 528382242357577685067859891550555061155101527710432743691694370225753203/ 2535301200456458802993406410752, 7360622671196930612973419294584521547994667112031397689592827241899614899/ 5070602400912917605986812821504, 205197253031937573589570585081214968261774962795723215791290920336978705889/ 20282409603651670423947251286016, 2861869203544436049789099463668626909003831254476081478196857364302937816181/ 40564819207303340847894502572032, 319492266859752396182572431837665022241956064648329522606820425596194304613345/ 649037107316853453566312041152512, 44608214484636164959988061460531618445411546\ 28779436078707840838478514746560345/1298074214633706907132624082305024, 1246307\ 56030452921287852798028756480484541607008840918135120426092006894640368713/ 5192296858534827628530496329220096, 1741902847407176324886655729907474001464445\ 115925787648890466656156404040464272933/10384593717069655257060992658440192, 97\ 4302250202082019125176420797477370890502864309696884609909122692468603297943564\ 53/83076749736557242056487941267521536, 136303720146953882229438670691167280524\ 5027536787388576400162252497566189842277444693/ 166153499473114484112975882535043072, 38154818359237100546508937376008472438949\ 069981350011097838793419526748901569230232139/ 664613997892457936451903530140172288, 53425984115785396490230870096523538042610\ 3489378975231611310392338885942324039866975575/ 1329227995784915872903807060280344576, 4789841727569939112371040684126803696944\ 06835063356525292130677135414565251847258408592725/ 170141183460469231731687303715884105728, 67125831052888404147607229465380190819\ 62558314364364183513755999916527744593272326088562525/ 340282366920938463463374607431768211456, 18821863937436198936315649452220460577\ 5698628660149136608855335350233644295290237532383151905/ 1361129467683753853853498429727072845824, 2639823354933195438536723004929566130\ 736096490110516475283489031212732538592835754180803443245/ 2722258935367507707706996859454145691648, 1481533355881773940587903076389914673\ 11272097750286998728487024693400039882789810250438654468635/ 21778071482940061661655974875633165533184, 207944587730188690907227405182135321\ 5900381899839985990747930362059765813742138447817013328270075/ 43556142965880123323311949751266331066368, 583940894754850712011413593473604623\ 56915624394933375836340421669325860722803451807896420357426225/ 174224571863520493293247799005065324265472, 82018328952742158580761663291524622\ 8366017858279378127484572242662246448185856757606045875598636325/ 348449143727040986586495598010130648530944, 92191212277973765068260289461666149\ 151983113641360742240191618691972379741343054330105876639590597775/ 5575186299632655785383929568162090376495104, 1295748631980891755044570605280189\ 695215525189775671356950336728487712888187667930753695198172556334775/ 11150372599265311570767859136324180752990208, 364351678245552007066199612891888\ 01611630990003935183670574787724891057344437241923044843338590968229855/ 44601490397061246283071436545296723011960832, 512419806252886620348092103510052\ 526263017511018528673481696298238533265733603146801299417216216606569795/ 89202980794122492566142873090593446023921664, 288351768097161605307322080788404\ 79711265413113978965052256771279354060427487000077592372629932410585128015/ 713623846352979940529142984724747568191373312, 40577709872644799001841788128675\ 5777874527571252382967804556847979670399727548971897098998175157599792761535/ 1427247692705959881058285969449495136382746624, 1142371540180516098386515097286\ 7941435029091234621123560107954092530985109953326088715889258229552904181958585 /5708990770823839524233143877797980545530986496, 160849241067298997234382140256\ 4915698312784215315038685277725871242550376688260286458766563907355579926466822\ 05/11417981541647679048466287755595961091061972992, 362467784223334493311727281\ 8042226088603418914994685726821152338338323941563960501470016390368671111319974\ 1197995/365375409332725729550921208179070754913983135744, 510641009832122744497\ 9473357405402190956753428855394027977460505836664488361843448156639510811055980\ 53739366737475/730750818665451459101842416358141509827966271488, 14391465547511\ 4116626094175000532484145709253064727884220155896778401031538812813805502711325\ 52439020215998472963255/2923003274661805836407369665432566039311865085952, 2028\ 4986109785667690712697549278764370631680146578006968101068745541445955371047124\ 5633499730749685430000395005607083/ 5846006549323611672814739330865132078623730171904, 1143963445368521529106083635\ 3559626558326374666814883299452895228648312892998432603242234950251651579158082\ 446412549977/46768052394588893382517914646921056628989841375232, 16132245459234\ 3700836536550783769581415115955060512104224585639864578444230248791740435350726\ 904729719140285163048041433/93536104789177786765035829293842113257979682750464, 4551036265847517837705095295882415274462722092507616480560634150703838406916785\ 909067185078789076565934455536288005524531/ 374144419156711147060143317175368453031918731001856, 64209048693060625173732523\ 3656234933846173593779643663098645912530957201019813349910506431029730734400665\ 18893187027879919/748288838313422294120286634350736906063837462003712, 72488707\ 5423804480916443531365263427041862579666818082096632931871945851235808965748870\ 9523774137774048379679511298240330415/ 11972621413014756705924586149611790497021399392059392, 102317635564308474362568\ 9519823998048316853065129453561404375161773059415249821583593241447485860894103\ 90356028000354130808055/23945242826029513411849172299223580994042798784118784] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 64 64 208 2 64 3 368 2 2 112 3 2 136 2 4 --- x + -- x g - --- g x - -- x g + --- x g - --- g x + --- x g 405 81 405 81 405 405 81 76 3 4 3 5 6 4 16 64 16 2 + -- x g - 16/9 x g + g x - --- - --- g + -- g = 0 45 405 405 81 and in Maple notation 64/405*x+64/81*x*g-208/405*g^2*x-64/81*x*g^3+368/405*x^2*g^2-112/405*g^3*x^2+ 136/81*x^2*g^4+76/45*x^3*g^4-16/9*x^3*g^5+g^6*x^4-16/405-64/405*g+16/81*g^2 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 12 12 11 12 11 10 11 11 405 psi y - 2430 psi y + 2430 psi x y - 2700 psi y 10 12 10 10 10 11 9 12 + 6075 psi y - 5994 psi x y + 15930 psi y - 8100 psi y 10 2 8 10 9 10 10 9 10 + 6075 psi x y - 13500 psi x y + 8100 psi y - 324 psi x y 9 11 8 12 9 2 8 9 9 - 39150 psi y + 6075 psi y + 324 psi x y + 15822 psi x y 9 10 8 10 8 11 7 12 - 45180 psi y + 12636 psi x y + 51300 psi y - 2430 psi y 9 3 6 9 2 7 9 8 9 9 + 8100 psi x y - 27000 psi x y + 31680 psi x y - 15600 psi y 8 2 8 8 9 8 10 7 10 - 7614 psi x y + 50112 psi x y + 105795 psi y - 12474 psi x y 7 11 6 12 8 3 6 8 2 7 - 37800 psi y + 405 psi y + 12636 psi x y - 49788 psi x y 8 8 8 9 7 2 8 7 9 - 2196 psi x y + 75360 psi y - 10044 psi x y - 110268 psi x y 7 10 6 10 6 11 8 4 4 - 133380 psi y + 3726 psi x y + 14850 psi y + 6075 psi x y 8 3 5 8 2 6 8 7 8 8 - 27000 psi x y + 45720 psi x y - 43680 psi x y + 21800 psi y 7 3 6 7 2 7 7 8 7 9 + 10044 psi x y + 9828 psi x y - 202212 psi x y - 155880 psi y 6 2 8 6 9 6 10 5 11 + 11259 psi x y + 74412 psi x y + 95670 psi y - 2430 psi y 7 4 4 7 3 5 7 2 6 + 12474 psi x y - 84996 psi x y + 152424 psi x y 7 7 7 8 6 3 6 6 2 7 + 26208 psi x y - 83840 psi y + 15876 psi x y + 100332 psi x y 6 8 6 9 5 9 5 10 + 314028 psi x y + 179580 psi y - 16578 psi x y - 37080 psi y 7 5 2 7 4 3 7 3 4 7 2 5 + 2430 psi x y - 13500 psi x y + 28080 psi x y - 37440 psi x y 7 6 7 7 6 4 4 6 3 5 + 40160 psi x y - 22720 psi y + 11259 psi x y - 90288 psi x y 6 2 6 6 7 6 8 5 2 7 + 62154 psi x y + 256392 psi x y + 136200 psi y - 33372 psi x y 5 8 5 9 4 10 6 5 2 - 171036 psi x y - 123060 psi y + 6075 psi y + 3726 psi x y 6 4 3 6 3 4 6 2 5 - 36990 psi x y + 131400 psi x y - 103968 psi x y 6 6 6 7 5 3 5 5 2 6 - 151984 psi x y + 65120 psi y - 28404 psi x y - 204156 psi x y 5 7 5 8 4 8 4 9 - 410676 psi x y - 127880 psi y + 29736 psi x y + 47700 psi y 6 6 6 5 6 4 2 6 3 3 + 405 psi x - 2700 psi x y + 5220 psi x y - 6240 psi x y 6 2 4 6 5 6 6 5 4 3 + 15600 psi x y - 24960 psi x y + 18400 psi y - 10854 psi x y 5 3 4 5 2 5 5 6 5 7 + 113868 psi x y - 134952 psi x y - 68688 psi x y - 73440 psi y 4 2 6 4 7 4 8 3 9 + 39762 psi x y + 199440 psi x y + 79595 psi y - 8100 psi y 5 5 5 4 2 5 3 3 5 2 4 - 1674 psi x y + 22644 psi x y - 62880 psi x y - 35280 psi x y 5 5 5 6 4 3 4 4 2 5 + 196608 psi x y - 34560 psi y + 24516 psi x y + 190164 psi x y 4 6 4 7 3 7 3 8 + 265720 psi x y + 43120 psi y - 27684 psi x y - 31950 psi y 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 - 720 psi x + 3120 psi x y - 2080 psi x y - 4800 psi x y 5 4 5 5 4 4 2 4 3 3 + 9600 psi x y - 11200 psi y + 6795 psi x y - 76296 psi x y 4 2 4 4 5 4 6 3 2 5 + 137480 psi x y - 95472 psi x y + 27600 psi y - 26124 psi x y 3 6 3 7 2 8 4 5 - 129002 psi x y - 18380 psi y + 6075 psi y + 684 psi x 4 4 4 3 2 4 2 3 4 4 - 8064 psi x y + 8560 psi x y + 60192 psi x y - 108304 psi x y 4 5 3 3 3 3 2 4 3 5 + 12160 psi y - 10716 psi x y - 103240 psi x y - 74112 psi x y 3 6 2 6 2 7 4 4 - 7360 psi y + 14526 psi x y + 8730 psi y + 680 psi x 4 3 4 2 2 4 3 4 4 - 2560 psi x y + 2400 psi x y - 2560 psi x y + 5200 psi y 3 4 3 3 2 3 2 3 3 4 - 1680 psi x y + 26944 psi x y - 71072 psi x y + 84416 psi x y 3 5 2 2 4 2 5 2 6 - 8640 psi y + 10523 psi x y + 46500 psi x y - 3180 psi y 7 3 4 3 3 3 2 2 - 2430 psi y - 112 psi x + 5888 psi x y - 24224 psi x y 3 3 3 4 2 3 2 2 2 3 + 27072 psi x y - 2720 psi y + 3176 psi x y + 33552 psi x y 2 4 2 5 5 6 3 3 - 3424 psi x y + 4640 psi y - 4410 psi x y + 900 psi y - 320 psi x 3 2 3 2 3 3 2 4 + 960 psi x y + 160 psi x y - 1600 psi y + 368 psi x 2 3 2 2 2 2 3 2 4 - 6608 psi x y + 20064 psi x y - 25056 psi x y + 560 psi y 2 3 4 5 6 2 3 - 2416 psi x y - 7728 psi x y + 400 psi y + 405 y - 208 psi x 2 2 2 2 2 3 3 + 832 psi x y - 1056 psi x y + 480 psi y - 416 psi x y 2 2 3 4 4 5 - 6928 psi x y + 6304 psi x y - 1600 psi y + 684 x y - 720 y 2 2 2 2 2 3 2 + 80 psi x - 320 psi x y + 320 psi y + 320 psi x - 768 psi x y 2 3 2 2 3 4 2 + 896 psi x y + 800 psi y + 368 x y - 112 x y + 680 y - 64 psi x 2 3 2 2 3 2 + 288 psi x y - 320 psi y + 64 x + 320 x y - 208 x y - 320 y - 16 x 2 - 64 x y + 80 y = 0 and in Maple notation 405*psi^12*y^12-2430*psi^11*y^12+2430*psi^11*x*y^10-2700*psi^11*y^11+6075*psi^ 10*y^12-5994*psi^10*x*y^10+15930*psi^10*y^11-8100*psi^9*y^12+6075*psi^10*x^2*y^ 8-13500*psi^10*x*y^9+8100*psi^10*y^10-324*psi^9*x*y^10-39150*psi^9*y^11+6075* psi^8*y^12+324*psi^9*x^2*y^8+15822*psi^9*x*y^9-45180*psi^9*y^10+12636*psi^8*x*y ^10+51300*psi^8*y^11-2430*psi^7*y^12+8100*psi^9*x^3*y^6-27000*psi^9*x^2*y^7+ 31680*psi^9*x*y^8-15600*psi^9*y^9-7614*psi^8*x^2*y^8+50112*psi^8*x*y^9+105795* psi^8*y^10-12474*psi^7*x*y^10-37800*psi^7*y^11+405*psi^6*y^12+12636*psi^8*x^3*y ^6-49788*psi^8*x^2*y^7-2196*psi^8*x*y^8+75360*psi^8*y^9-10044*psi^7*x^2*y^8-\ 110268*psi^7*x*y^9-133380*psi^7*y^10+3726*psi^6*x*y^10+14850*psi^6*y^11+6075* psi^8*x^4*y^4-27000*psi^8*x^3*y^5+45720*psi^8*x^2*y^6-43680*psi^8*x*y^7+21800* psi^8*y^8+10044*psi^7*x^3*y^6+9828*psi^7*x^2*y^7-202212*psi^7*x*y^8-155880*psi^ 7*y^9+11259*psi^6*x^2*y^8+74412*psi^6*x*y^9+95670*psi^6*y^10-2430*psi^5*y^11+ 12474*psi^7*x^4*y^4-84996*psi^7*x^3*y^5+152424*psi^7*x^2*y^6+26208*psi^7*x*y^7-\ 83840*psi^7*y^8+15876*psi^6*x^3*y^6+100332*psi^6*x^2*y^7+314028*psi^6*x*y^8+ 179580*psi^6*y^9-16578*psi^5*x*y^9-37080*psi^5*y^10+2430*psi^7*x^5*y^2-13500* psi^7*x^4*y^3+28080*psi^7*x^3*y^4-37440*psi^7*x^2*y^5+40160*psi^7*x*y^6-22720* psi^7*y^7+11259*psi^6*x^4*y^4-90288*psi^6*x^3*y^5+62154*psi^6*x^2*y^6+256392* psi^6*x*y^7+136200*psi^6*y^8-33372*psi^5*x^2*y^7-171036*psi^5*x*y^8-123060*psi^ 5*y^9+6075*psi^4*y^10+3726*psi^6*x^5*y^2-36990*psi^6*x^4*y^3+131400*psi^6*x^3*y ^4-103968*psi^6*x^2*y^5-151984*psi^6*x*y^6+65120*psi^6*y^7-28404*psi^5*x^3*y^5-\ 204156*psi^5*x^2*y^6-410676*psi^5*x*y^7-127880*psi^5*y^8+29736*psi^4*x*y^8+ 47700*psi^4*y^9+405*psi^6*x^6-2700*psi^6*x^5*y+5220*psi^6*x^4*y^2-6240*psi^6*x^ 3*y^3+15600*psi^6*x^2*y^4-24960*psi^6*x*y^5+18400*psi^6*y^6-10854*psi^5*x^4*y^3 +113868*psi^5*x^3*y^4-134952*psi^5*x^2*y^5-68688*psi^5*x*y^6-73440*psi^5*y^7+ 39762*psi^4*x^2*y^6+199440*psi^4*x*y^7+79595*psi^4*y^8-8100*psi^3*y^9-1674*psi^ 5*x^5*y+22644*psi^5*x^4*y^2-62880*psi^5*x^3*y^3-35280*psi^5*x^2*y^4+196608*psi^ 5*x*y^5-34560*psi^5*y^6+24516*psi^4*x^3*y^4+190164*psi^4*x^2*y^5+265720*psi^4*x *y^6+43120*psi^4*y^7-27684*psi^3*x*y^7-31950*psi^3*y^8-720*psi^5*x^5+3120*psi^5 *x^4*y-2080*psi^5*x^3*y^2-4800*psi^5*x^2*y^3+9600*psi^5*x*y^4-11200*psi^5*y^5+ 6795*psi^4*x^4*y^2-76296*psi^4*x^3*y^3+137480*psi^4*x^2*y^4-95472*psi^4*x*y^5+ 27600*psi^4*y^6-26124*psi^3*x^2*y^5-129002*psi^3*x*y^6-18380*psi^3*y^7+6075*psi ^2*y^8+684*psi^4*x^5-8064*psi^4*x^4*y+8560*psi^4*x^3*y^2+60192*psi^4*x^2*y^3-\ 108304*psi^4*x*y^4+12160*psi^4*y^5-10716*psi^3*x^3*y^3-103240*psi^3*x^2*y^4-\ 74112*psi^3*x*y^5-7360*psi^3*y^6+14526*psi^2*x*y^6+8730*psi^2*y^7+680*psi^4*x^4 -2560*psi^4*x^3*y+2400*psi^4*x^2*y^2-2560*psi^4*x*y^3+5200*psi^4*y^4-1680*psi^3 *x^4*y+26944*psi^3*x^3*y^2-71072*psi^3*x^2*y^3+84416*psi^3*x*y^4-8640*psi^3*y^5 +10523*psi^2*x^2*y^4+46500*psi^2*x*y^5-3180*psi^2*y^6-2430*psi*y^7-112*psi^3*x^ 4+5888*psi^3*x^3*y-24224*psi^3*x^2*y^2+27072*psi^3*x*y^3-2720*psi^3*y^4+3176* psi^2*x^3*y^2+33552*psi^2*x^2*y^3-3424*psi^2*x*y^4+4640*psi^2*y^5-4410*psi*x*y^ 5+900*psi*y^6-320*psi^3*x^3+960*psi^3*x^2*y+160*psi^3*x*y^2-1600*psi^3*y^3+368* psi^2*x^4-6608*psi^2*x^3*y+20064*psi^2*x^2*y^2-25056*psi^2*x*y^3+560*psi^2*y^4-\ 2416*psi*x^2*y^3-7728*psi*x*y^4+400*psi*y^5+405*y^6-208*psi^2*x^3+832*psi^2*x^2 *y-1056*psi^2*x*y^2+480*psi^2*y^3-416*psi*x^3*y-6928*psi*x^2*y^2+6304*psi*x*y^3 -1600*psi*y^4+684*x*y^4-720*y^5+80*psi^2*x^2-320*psi^2*x*y+320*psi^2*y^2+320* psi*x^3-768*psi*x^2*y+896*psi*x*y^2+800*psi*y^3+368*x^2*y^2-112*x*y^3+680*y^4-\ 64*psi*x^2+288*psi*x*y-320*psi*y^2+64*x^3+320*x^2*y-208*x*y^2-320*y^3-16*x^2-64 *x*y+80*y^2 = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 5 36 ---- (4 n + 3) (2 n + 3) (2 n + 1) (4 n + 5) (n + 1) ( 3125 3 21566109961716687110954876873408024888761157530260 n 2 - 325644805587913388972336605840173401003987300519000 n - 545281239287465488218920022644432383400962722487907 n + 1629123752810032228011645070509028611859196437900389) a(n)/((2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) + 1/400000 (2 n + 3) ( 7 12128945256991808764921164482652664508521975232417418960 n 6 - 4196064946916255562206449471570338709371031086615034789760 n 5 - 50317563627180187044222704706757799384379732752395219804344 n 4 - 276156411737727443902107967777526335222008132632938110873056 n 3 - 901993465546369141193834527681874213206002860315331042980091 n 2 - 1794681163838562245287909003318260826168189522247287012876736 n - 1977572041844073624135940157149992175366057173898324813541697 n - 913369188663629543117529417715498861772807822930156306311020) a(n + 1)/( (2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) - 1/40000 ( 8 734445846175168808884735635101483880666045421910079414324 n 7 + 25337503070723988601809857113581580079570818790609126746268 n 6 + 364523634350988517512297564103819979390814743329730163196659 n 5 + 2873464682086954355355845425786224149470247904515161870188401 n 4 + 13676944622223027694521981120011237236700102271527505692492946 n 3 + 40508335744863004314588724325674052302843770996880748934931397 n 2 + 73267581269495578149638049091683126656220155497367965061084721 n + 74265404170039348239783488494445088778071286236102549886524084 n + 32389088149320618612252888883471800609517924983851841668853240) a(n + 2) /((2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) + 3/2000 ( 7 8133831532314786500357454751767375686447274003907326102 n 6 + 271577975906050587384742062421306398139112810276900929109 n 5 + 3656006545409877154283799672145771735496150289864007359049 n 4 + 26164801606756896490029608132668860179752665350099360706852 n 3 + 108640578108478220644674662446421634497371926707586297880820 n 2 + 263516352895932873330072640400352584303574444353820368558218 n + 347360446775267625849304645510700535425101845851743045847493 n + 192598029699322852019895206857100364972132685272068717906565) a(n + 3)/( (n + 5) (n + 6) (2 n + 9) (2 n + 11) %1) - 1/20 ( 5 23272709682058987817269724953246326883515697441612884 n 4 + 609488347412924937141762497334514183629042656628879194 n 3 + 5774496111555970816776829289620304503586829768614319918 n 2 + 25541519241192372610190858632905281594978137675269610891 n + 53637986106316953242539692626585754773941743810378149166 n + 43251636825598726423994979331387098075023105998708385118) a(n + 4)/( (2 n + 11) (n + 6) %1) + a(n + 5) = 0 3 %1 := 34261913660966894458772588789822287365395538534738 n 2 + 576968204455104117464659842628844699323428287367863 n + 2436380190689295023539698443046702305830404278781925 n + 3058520474503032141867551697804494105216285429400837 and in Maple notation 36/3125*(4*n+3)*(2*n+3)*(2*n+1)*(4*n+5)*(n+1)*( 21566109961716687110954876873408024888761157530260*n^3-\ 325644805587913388972336605840173401003987300519000*n^2-\ 545281239287465488218920022644432383400962722487907*n+ 1629123752810032228011645070509028611859196437900389)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n+6)/(n +5)/(n+4)/(34261913660966894458772588789822287365395538534738*n^3+ 576968204455104117464659842628844699323428287367863*n^2+ 2436380190689295023539698443046702305830404278781925*n+ 3058520474503032141867551697804494105216285429400837)*a(n)+1/400000*(2*n+3)*( 12128945256991808764921164482652664508521975232417418960*n^7-\ 4196064946916255562206449471570338709371031086615034789760*n^6-\ 50317563627180187044222704706757799384379732752395219804344*n^5-\ 276156411737727443902107967777526335222008132632938110873056*n^4-\ 901993465546369141193834527681874213206002860315331042980091*n^3-\ 1794681163838562245287909003318260826168189522247287012876736*n^2-\ 1977572041844073624135940157149992175366057173898324813541697*n-\ 913369188663629543117529417715498861772807822930156306311020)/(2*n+11)/(2*n+9)/ (n+6)/(n+5)/(n+4)/(34261913660966894458772588789822287365395538534738*n^3+ 576968204455104117464659842628844699323428287367863*n^2+ 2436380190689295023539698443046702305830404278781925*n+ 3058520474503032141867551697804494105216285429400837)*a(n+1)-1/40000*( 734445846175168808884735635101483880666045421910079414324*n^8+ 25337503070723988601809857113581580079570818790609126746268*n^7+ 364523634350988517512297564103819979390814743329730163196659*n^6+ 2873464682086954355355845425786224149470247904515161870188401*n^5+ 13676944622223027694521981120011237236700102271527505692492946*n^4+ 40508335744863004314588724325674052302843770996880748934931397*n^3+ 73267581269495578149638049091683126656220155497367965061084721*n^2+ 74265404170039348239783488494445088778071286236102549886524084*n+ 32389088149320618612252888883471800609517924983851841668853240)/(2*n+11)/(2*n+9 )/(n+6)/(n+5)/(n+4)/(34261913660966894458772588789822287365395538534738*n^3+ 576968204455104117464659842628844699323428287367863*n^2+ 2436380190689295023539698443046702305830404278781925*n+ 3058520474503032141867551697804494105216285429400837)*a(n+2)+3/2000*( 8133831532314786500357454751767375686447274003907326102*n^7+ 271577975906050587384742062421306398139112810276900929109*n^6+ 3656006545409877154283799672145771735496150289864007359049*n^5+ 26164801606756896490029608132668860179752665350099360706852*n^4+ 108640578108478220644674662446421634497371926707586297880820*n^3+ 263516352895932873330072640400352584303574444353820368558218*n^2+ 347360446775267625849304645510700535425101845851743045847493*n+ 192598029699322852019895206857100364972132685272068717906565)/(n+5)/(n+6)/(2*n+ 9)/(2*n+11)/(34261913660966894458772588789822287365395538534738*n^3+ 576968204455104117464659842628844699323428287367863*n^2+ 2436380190689295023539698443046702305830404278781925*n+ 3058520474503032141867551697804494105216285429400837)*a(n+3)-1/20*( 23272709682058987817269724953246326883515697441612884*n^5+ 609488347412924937141762497334514183629042656628879194*n^4+ 5774496111555970816776829289620304503586829768614319918*n^3+ 25541519241192372610190858632905281594978137675269610891*n^2+ 53637986106316953242539692626585754773941743810378149166*n+ 43251636825598726423994979331387098075023105998708385118)/(2*n+11)/(n+6)/( 34261913660966894458772588789822287365395538534738*n^3+ 576968204455104117464659842628844699323428287367863*n^2+ 2436380190689295023539698443046702305830404278781925*n+ 3058520474503032141867551697804494105216285429400837)*a(n+4)+a(n+5) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 3/2, a(2) = 39/8, a(3) = 327/16, a(4) = 12489/128, a(5) = 129081/256 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 897497394764430478707708828431912619553212886044516347004108915773106\ 7100040123350704132834353873925816070306253273100805684768906940958479779712542\ 2985718662798473327430167341836206663461429321722780546533565990782098911610886\ 1940354667250303162984064540219563806495412512819089867179312651558355477496196\ 5312998688468438100988227117570017783039436749589146740234343288663987853141376\ 8134066222942872422242110492085373607092600369527258494460959846722822910936935\ 2889302264607255372716396220140015375888363696710987602644284176571691656039050\ 8914354909582840946649133896579369765055286908149253196345080274848670091345529\ 9524361450742735189701370407073720536838070509882787168911362773045231612693274\ 7717056853857903589643718993105388311671363205339681302015319900542876303837678\ 4683836235651060871717401170388172637838171163925500168765734301061645010504194\ 2459737324017986385328063261012590612304206958142341608556338964625038954892217\ 2562872131072113960810364454429238250090541408153238359666613714868799491701799\ 4405888509811098906153330694572632038956333982160776936994466872014643656866809\ 9875928189434725012069472243439968600356389412743114433316251349271379756996125\ 3040449179561837827288986002090457633706869887679214232846004941033642351767644\ 3936804237339928182159264044715543171847680323384926336687185441660891131936620\ 3535111482745452963492508896866761186381526164398478419130329414634172101056289\ 6643217179996536754799272504483833571575/17939542113660226941138018768401281000\ 3487140951358625074631677629025978342557861540103044736954104674757181974841791\ 0583511123376348523955353017744010395602173906080395504375010762174191250701116\ 0769842197419725747127416194748181866768285318822867807953905712212874813897598\ 3758786424452400256596828644814600263920288216415003717945012365717032710588281\ 9203167448541028601906377066191895183769810676831353109303069033234715310287563\ 1587477059883053263974047201862586712153685886256118762805815098528555528191497\ 4571899263044978780362585170180118412316601836618013751285691829403071021503413\ 8299203584 --------------------------------------- This ends this paper that took, 189.142, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (3 Psi(x, 0) x y - 2 y + x - 2 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [3/2, 9/2, 279/16, 2457/32, 11691/32, 117207/64, 304965/32, 52236009/1024, 1143283653/4096, 12734166897/8192, 71951328243/8192, 1645924912893/32768, 9509617660851/32768, 110855472627987/65536, 5208548829711831/524288, 30795022979295633/524288, 183146789444478309/524288, 17519031227506511295/ 8388608, 105228743989323310029/8388608, 5077843160439398447277/67108864, 122984607876058662510177/268435456, 1494508646307291508491993/536870912, 9109435310699257404036873/536870912, 222743625680424902753040579/2147483648, 2730543505011169827713916201/4294967296, 16777748453651055207123030045/ 4294967296, 826608123357744948486301435761/34359738368, 10202961362151737927178236974851/68719476736, 63092808446700871666448922139839/ 68719476736, 390870888987218054423425341650505/68719476736, 2425688221331379278349021397412439/68719476736, 482489615418243362568217702402467975/2199023255552, 12014612312365685374673092256928333933/8796093022208, 149803349543528345384973590789002081593/17592186044416, 233790991308834090403106251483303638645/4398046511104, 730661040653200445552804402626273574601/2199023255552, 585283295256720216739122532639913004270447/281474976710656, 916728723493989016560110786526083683736427/70368744177664, 91995078487524834278871220196611181285907651/1125899906842624, 2310329446745837304602596435109387905874238765/4503599627370496, 7259672124393614215322971200933374333350923411/2251799813685248, 730657087997816414093336041208943813917115000933/36028797018963968, 4600180923375357609253639166025599052546250311645/36028797018963968, 231896059293631691737310013557325964761392728754109/288230376151711744, 5849686828216279719322082847069372881019013624433721/1152921504606846976, 73837562771120248972862354732468829353585036299113993/2305843009213693952, 466351367699560803717887648548076691451800623359996461/2305843009213693952, 11790083466257486258194550036156507772932423095749179859/9223372036854775808, 149137079771702318520984828366740017757584595390781345657/18446744073709551616, 943860197601751350403698538643372330760152415705139836027/18446744073709551616, 47818045803956678387946986170343885769480817898828416140765/ 147573952589676412928, 606006948742839143187691948386004526751467234698781457071019/ 295147905179352825856, 3842245386969076533392256349895031584119802340441470702623797/ 295147905179352825856, 48748913056280902463337798576429624384971835257534571763432851/ 590295810358705651712, 154709964076084836338376571094009608090224835831253180685927255/ 295147905179352825856, 31439579944840122495976872723896371978312441456919261672961796335/ 9444732965739290427392, 799028724882351274500195874446554909781731721054384000353120475051/ 37778931862957161709568, 10158456554954063252291146952034198979921132717901045893705697033007/ 75557863725914323419136, 64604921369249686678707997032961981567574061234740580631375644117945/ 75557863725914323419136, 1644217334755055176974910861605285382108805568469036553995663118752911/ 302231454903657293676544, 2616508608908075516857772599701163148088321757891647445628494406590059/ 75557863725914323419136, 133296352397611976651607645929530683748339515373820156463011487081473577/ 604462909807314587353088, 6793470511687112211225517350423446594749703886786088344387623873472485841/ 4835703278458516698824704, 1352997280109981895961624077824171037646464665548027901539806782353387803/ 151115727451828646838272, 276037804407012022890422825995633510242554590560575946763398453869134541421/ 4835703278458516698824704, 28169010844943538542513205952770714673241105265633147953469089741360145396543/ 77371252455336267181195264, 179726118047496920907562308947844432885848204074704200143098063540048296892669/ 77371252455336267181195264, 917683025401797011156401169482493890900201417536716\ 9096784616121364132078489897/618970019642690137449562112, 234364432527783658379\ 751214155836741504321942559480664473044581685630109000762861/ 2475880078570760549798248448, 2993670330958589203319595557252906185762802326208\ 583099453658601602749068639647365/4951760157141521099596496896, 191260573302248\ 83480581937539267820839442709880199844053515387705408470154421703805/ 4951760157141521099596496896, 4889249996428644657575901986958594230062032347637\ 37563536248701867302807720918607651/19807040628566084398385987584, 625116025921\ 1176843817237472256885791944034916032302870528936497027360229614164768213/ 39614081257132168796771975168, 999348704495680063977300628083326717380129496775\ 5105927178900285878018409872890597281/9903520314283042199192993792, 20455402625\ 22308545331430943778809310476438179188687159808138253118158978338042889127349/ 316912650057057350374175801344, 26175821491106668706773212599247549873336249454\ 475808225155526574787224789656330116358111/633825300114114700748351602688, 1675\ 2542887158088027580261544584775314503449430045125837725902082394528875454341712\ 5914461/633825300114114700748351602688, 107244798517055457033086777086348957281\ 1843418730816664101605844674262996116203656530581605/ 633825300114114700748351602688, 13734532612162703958563396652494346501502650495\ 370183130708343461324276988080965115799155235/1267650600228229401496703205376, 4398462307788403652578334559156541477480303643379867243754311130237441380179606\ 1509529294537/633825300114114700748351602688, 360690288885053267781074166614055\ 28339048879426711354521842751922272395633130058062800992175199/ 81129638414606681695789005144064, 462266111010166088901833117181321147689776397\ 491867815585753779038855697792007423736822293641655/ 162259276829213363391578010288128, 59258567501106880227547259083748913305017812\ 92556774146638179021968370061191480059964623360978001/ 324518553658426726783156020576256, 15196350208838087403387700467232826444269247\ 8443939225524962903802850063853889624756418109720330527/ 1298074214633706907132624082305024, 3897841288231394997565126163984427376944406\ 803389542749836916144838572372846629317220378760924620673/ 5192296858534827628530496329220096, 1250009962880868076947316339808207332822680\ 8387627931207151241279649257807754224406760353947238035523/ 2596148429267413814265248164610048, 3207635807249749840435873976063278093326012\ 71701336638315033591284069442513503433119140688514755152737/ 10384593717069655257060992658440192, 164655706640773966063237656562866045158816\ 46083755369999240040172449891591343825013663440080677825678947/ 83076749736557242056487941267521536, 528368187598468334805750515710637851990455\ 48733066552069414495269692921484151684148027295810493888991853/ 41538374868278621028243970633760768] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 16 56 2 2 2 136 3 2 2 3 3 3 3 4 - -- + -- x g - 20/9 x g + --- g x - 1/9 g x + 26/9 x g - 16/9 x g 81 27 81 5 4 16 32 64 2 16 2 + g x + -- g + -- x + 8/81 x g - -- g x - -- x = 0 81 81 81 81 and in Maple notation -16/81+56/27*x^2*g-20/9*x^2*g^2+136/81*g^3*x^2-1/9*g^2*x^3+26/9*x^3*g^3-16/9*x^ 3*g^4+g^5*x^4+16/81*g+32/81*x+8/81*x*g-64/81*g^2*x-16/81*x^2 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 10 10 9 10 9 8 9 9 8 10 -81 psi y + 810 psi y - 405 psi x y + 378 psi y - 3240 psi y 8 8 8 9 7 10 8 2 6 + 1134 psi x y - 3429 psi y + 6480 psi y - 810 psi x y 8 7 8 8 7 2 7 7 8 + 1512 psi x y - 864 psi y - 243 psi x y + 2916 psi x y 7 9 6 10 7 2 6 7 7 + 12312 psi y - 6480 psi y - 1458 psi x y - 1512 psi x y 7 8 6 2 7 6 8 6 9 + 6408 psi y + 972 psi x y - 12312 psi x y - 21816 psi y 5 10 7 3 4 7 2 5 7 6 + 2592 psi y - 810 psi x y + 2268 psi x y - 2448 psi x y 7 7 6 3 5 6 2 6 6 7 + 1392 psi y - 486 psi x y + 3159 psi x y - 17982 psi x y 6 8 5 2 7 5 8 5 9 - 18522 psi y - 972 psi x y + 10368 psi x y + 19008 psi y 6 3 4 6 2 5 6 6 6 7 - 3078 psi x y + 8262 psi x y + 2898 psi x y - 7344 psi y 5 3 5 5 2 6 5 7 5 8 - 2916 psi x y + 5022 psi x y + 41688 psi x y + 26460 psi y 4 9 6 4 2 6 3 3 6 2 4 - 6480 psi y - 405 psi x y + 1512 psi x y - 2160 psi x y 6 5 6 6 5 4 3 5 3 4 + 2448 psi x y - 1576 psi y - 243 psi x y - 2754 psi x y 5 2 5 5 6 5 7 4 2 6 + 9315 psi x y + 22626 psi x y + 13788 psi y + 1944 psi x y 4 7 4 8 5 4 2 5 3 3 - 23544 psi x y - 19512 psi y - 1296 psi x y + 7344 psi x y 5 2 4 5 5 5 6 4 3 4 - 7182 psi x y - 14328 psi x y + 5568 psi y + 5022 psi x y 4 2 5 4 6 4 7 3 8 - 13770 psi x y - 48078 psi x y - 12378 psi y + 6480 psi y 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 - 81 psi x + 378 psi x y - 432 psi x y + 720 psi x y 5 4 5 5 4 4 2 4 3 3 - 1560 psi x y + 1392 psi y + 243 psi x y + 5508 psi x y 4 2 4 4 5 4 6 3 2 5 - 24021 psi x y - 4302 psi x y - 5520 psi y - 1539 psi x y 3 6 3 7 4 4 4 3 2 + 21636 psi x y + 7704 psi y + 999 psi x y - 3906 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 3 3 - 1440 psi x y + 18300 psi x y - 2520 psi y - 3510 psi x y 3 2 4 3 5 3 6 2 7 + 13356 psi x y + 24408 psi x y + 1160 psi y - 3240 psi y 4 4 4 3 4 2 2 4 3 + 144 psi x - 336 psi x y - 120 psi x y + 480 psi x y 4 4 3 4 3 3 2 3 2 3 - 896 psi y - 81 psi x y - 3924 psi x y + 19584 psi x y 3 4 3 5 2 2 4 2 5 - 8256 psi x y + 2160 psi y + 603 psi x y - 10098 psi x y 2 6 3 4 3 3 3 2 2 + 27 psi y - 234 psi x + 360 psi x y + 3408 psi x y 3 3 3 4 2 3 2 2 2 3 - 9888 psi x y + 608 psi y + 1242 psi x y - 6480 psi x y 2 4 2 5 6 3 3 3 2 - 4626 psi x y - 48 psi y + 810 psi y - 136 psi x + 240 psi x y 3 2 3 3 2 4 2 3 - 64 psi x y + 448 psi y + 9 psi x + 1278 psi x y 2 2 2 2 3 2 4 2 3 - 7332 psi x y + 5472 psi x y - 824 psi y - 117 psi x y 4 5 2 3 2 2 + 2403 psi x y - 774 psi y + 180 psi x - 1032 psi x y 2 2 2 3 3 2 2 + 2184 psi x y + 64 psi y - 222 psi x y + 1614 psi x y 3 4 5 2 2 2 - 360 psi x y + 480 psi y - 81 y + 64 psi x - 64 psi x y 2 2 3 2 2 3 - 144 psi y - 168 psi x + 1176 psi x y - 1016 psi x y - 16 psi y 2 2 3 4 2 2 3 + 9 x y - 234 x y + 144 y - 8 psi x - 96 psi x y - 32 psi y + 16 x 2 2 3 2 - 168 x y + 180 x y - 136 y - 16 psi x + 32 psi y - 32 x - 8 x y 2 + 64 y + 16 x - 16 y = 0 and in Maple notation -81*psi^10*y^10+810*psi^9*y^10-405*psi^9*x*y^8+378*psi^9*y^9-3240*psi^8*y^10+ 1134*psi^8*x*y^8-3429*psi^8*y^9+6480*psi^7*y^10-810*psi^8*x^2*y^6+1512*psi^8*x* y^7-864*psi^8*y^8-243*psi^7*x^2*y^7+2916*psi^7*x*y^8+12312*psi^7*y^9-6480*psi^6 *y^10-1458*psi^7*x^2*y^6-1512*psi^7*x*y^7+6408*psi^7*y^8+972*psi^6*x^2*y^7-\ 12312*psi^6*x*y^8-21816*psi^6*y^9+2592*psi^5*y^10-810*psi^7*x^3*y^4+2268*psi^7* x^2*y^5-2448*psi^7*x*y^6+1392*psi^7*y^7-486*psi^6*x^3*y^5+3159*psi^6*x^2*y^6-\ 17982*psi^6*x*y^7-18522*psi^6*y^8-972*psi^5*x^2*y^7+10368*psi^5*x*y^8+19008*psi ^5*y^9-3078*psi^6*x^3*y^4+8262*psi^6*x^2*y^5+2898*psi^6*x*y^6-7344*psi^6*y^7-\ 2916*psi^5*x^3*y^5+5022*psi^5*x^2*y^6+41688*psi^5*x*y^7+26460*psi^5*y^8-6480* psi^4*y^9-405*psi^6*x^4*y^2+1512*psi^6*x^3*y^3-2160*psi^6*x^2*y^4+2448*psi^6*x* y^5-1576*psi^6*y^6-243*psi^5*x^4*y^3-2754*psi^5*x^3*y^4+9315*psi^5*x^2*y^5+ 22626*psi^5*x*y^6+13788*psi^5*y^7+1944*psi^4*x^2*y^6-23544*psi^4*x*y^7-19512* psi^4*y^8-1296*psi^5*x^4*y^2+7344*psi^5*x^3*y^3-7182*psi^5*x^2*y^4-14328*psi^5* x*y^5+5568*psi^5*y^6+5022*psi^4*x^3*y^4-13770*psi^4*x^2*y^5-48078*psi^4*x*y^6-\ 12378*psi^4*y^7+6480*psi^3*y^8-81*psi^5*x^5+378*psi^5*x^4*y-432*psi^5*x^3*y^2+ 720*psi^5*x^2*y^3-1560*psi^5*x*y^4+1392*psi^5*y^5+243*psi^4*x^4*y^2+5508*psi^4* x^3*y^3-24021*psi^4*x^2*y^4-4302*psi^4*x*y^5-5520*psi^4*y^6-1539*psi^3*x^2*y^5+ 21636*psi^3*x*y^6+7704*psi^3*y^7+999*psi^4*x^4*y-3906*psi^4*x^3*y^2-1440*psi^4* x^2*y^3+18300*psi^4*x*y^4-2520*psi^4*y^5-3510*psi^3*x^3*y^3+13356*psi^3*x^2*y^4 +24408*psi^3*x*y^5+1160*psi^3*y^6-3240*psi^2*y^7+144*psi^4*x^4-336*psi^4*x^3*y-\ 120*psi^4*x^2*y^2+480*psi^4*x*y^3-896*psi^4*y^4-81*psi^3*x^4*y-3924*psi^3*x^3*y ^2+19584*psi^3*x^2*y^3-8256*psi^3*x*y^4+2160*psi^3*y^5+603*psi^2*x^2*y^4-10098* psi^2*x*y^5+27*psi^2*y^6-234*psi^3*x^4+360*psi^3*x^3*y+3408*psi^3*x^2*y^2-9888* psi^3*x*y^3+608*psi^3*y^4+1242*psi^2*x^3*y^2-6480*psi^2*x^2*y^3-4626*psi^2*x*y^ 4-48*psi^2*y^5+810*psi*y^6-136*psi^3*x^3+240*psi^3*x^2*y-64*psi^3*x*y^2+448*psi ^3*y^3+9*psi^2*x^4+1278*psi^2*x^3*y-7332*psi^2*x^2*y^2+5472*psi^2*x*y^3-824*psi ^2*y^4-117*psi*x^2*y^3+2403*psi*x*y^4-774*psi*y^5+180*psi^2*x^3-1032*psi^2*x^2* y+2184*psi^2*x*y^2+64*psi^2*y^3-222*psi*x^3*y+1614*psi*x^2*y^2-360*psi*x*y^3+ 480*psi*y^4-81*y^5+64*psi^2*x^2-64*psi^2*x*y-144*psi^2*y^2-168*psi*x^3+1176*psi *x^2*y-1016*psi*x*y^2-16*psi*y^3+9*x^2*y^2-234*x*y^3+144*y^4-8*psi*x^2-96*psi*x *y-32*psi*y^2+16*x^3-168*x^2*y+180*x*y^2-136*y^3-16*psi*x+32*psi*y-32*x^2-8*x*y +64*y^2+16*x-16*y = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 7 6561 ----- (3 n + 2) (2 n + 1) (3 n + 1) (n + 1) ( 40960 2 5433531853490477449085913240824588969946755205639829 n + 22536461926486258468657705019957211656294093056407067 n + 21128411270990750322823911919349781498262718482497462) a(n)/((2 n + 15) 243 (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) + ------ ( 102400 6 233488728752507825521221764109589144674678294468613399817 n 5 + 1481072047673612495204487738644697228060987903871830287824 n 4 + 920120456510115733651048512289673381836622964713378792932 n 3 - 13631738956210878266165812041648547807034104357544849198290 n 2 - 41464801642631201577374693222145079234836078502090741666077 n - 46762063824677848736725548642139570408774853171997243971694 n - 18925079381120089206579357721055335541506742984370161267232) a(n + 1)/( 243 (2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) - ----- ( 51200 6 773271237332713759974092440051939427090167189685335421974 n 5 + 23691145029557608534570409733414758323630958350112960973481 n 4 + 234085739810951132797628045335749487608531584561192884541363 n 3 + 1098101850097423245536293818090056081804875139324938314251285 n 2 + 2701864849060549574940216712321023105028639779999303274507991 n + 3376275070108219310321928590969900262982397177676617796605114 n + 1692751176589760955111045084139555734686610749031270810745752) a(n + 2)/ 27 ((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) - ----- ( 25600 6 28368942422423460735523215327831909685087541129035363071845 n 5 + 689820479854875373480515465864222787551846572333647443921231 n 4 + 6679085937876090493974644280323031524704478029220035199573073 n 3 + 33295343357268888276891060139337956117142026497461679386229525 n 2 + 90673255195081662225991631306706094425579877203062448538927450 n + 128396784326907698611887407705538744890508990325147227751385124 n + 74054177665326995999645440612642957500389428002617401245338232) a(n + 3) /((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) - 9/6400 ( 6 23624605441531818261660623500573819960744181369805153407692 n 5 + 558524895893891889879004459414206608229552531918822255887285 n 4 + 5442980069710976105937344435202741181362593342371454688807075 n 3 + 28054125587258232973882990746792042095766834937462995591971265 n 2 + 81164482492103783618992318055902280757967800158061469033895993 n + 126596458073828817196169117253751501230061846414376447106936850 n + 85032361800729422682153199951889850979247897432585219814530880) a(n + 4) /((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) + 9/3200 ( 6 9532683961786966952422972085562034463244855687252308143485 n 5 + 272638621192682862456333560268759326038529937780136984529214 n 4 + 3182256823977065133741757790699690715650496038622914771640062 n 3 + 19252760670820735721174063795346424742340519425031673698216780 n 2 + 62846836862951175208537739673627018239939241492488393719978165 n + 102374789912250653386863474640907607036425155513745667510978246 n + 61435415429992824744873667600055893569246194587252707349083168) a(n + 5) /((2 n + 15) (2 n + 13) (n + 8) (n + 7) %1) - 1/200 ( 4 543326376706495577305352921717555084069446794707445527993 n 3 + 9985557938050840831396766248303375547774914976653501719147 n 2 + 63390382256808561241706769717309047263947421169999188897219 n + 151303772970272080028812616001971679159679300827068963733135 n + 78948008938893068278513660786069998128924989980721697418030) a(n + 6)/( (2 n + 15) (n + 8) %1) + a(n + 7) = 0 2 %1 := 84840544412069759358782401516444513925399253057152987 n + 482566663176788140673757244847722900113535281445795130 n + 127199972951591466434564660386695352667398525868065215 and in Maple notation 6561/40960*(3*n+2)*(2*n+1)*(3*n+1)*(n+1)*( 5433531853490477449085913240824588969946755205639829*n^2+ 22536461926486258468657705019957211656294093056407067*n+ 21128411270990750322823911919349781498262718482497462)/(2*n+15)/(2*n+13)/(n+8)/ (n+7)/(84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n)+243/102400*( 233488728752507825521221764109589144674678294468613399817*n^6+ 1481072047673612495204487738644697228060987903871830287824*n^5+ 920120456510115733651048512289673381836622964713378792932*n^4-\ 13631738956210878266165812041648547807034104357544849198290*n^3-\ 41464801642631201577374693222145079234836078502090741666077*n^2-\ 46762063824677848736725548642139570408774853171997243971694*n-\ 18925079381120089206579357721055335541506742984370161267232)/(2*n+15)/(2*n+13)/ (n+8)/(n+7)/(84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n+1)-243/51200*( 773271237332713759974092440051939427090167189685335421974*n^6+ 23691145029557608534570409733414758323630958350112960973481*n^5+ 234085739810951132797628045335749487608531584561192884541363*n^4+ 1098101850097423245536293818090056081804875139324938314251285*n^3+ 2701864849060549574940216712321023105028639779999303274507991*n^2+ 3376275070108219310321928590969900262982397177676617796605114*n+ 1692751176589760955111045084139555734686610749031270810745752)/(2*n+15)/(2*n+13 )/(n+8)/(n+7)/(84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n+2)-27/25600*( 28368942422423460735523215327831909685087541129035363071845*n^6+ 689820479854875373480515465864222787551846572333647443921231*n^5+ 6679085937876090493974644280323031524704478029220035199573073*n^4+ 33295343357268888276891060139337956117142026497461679386229525*n^3+ 90673255195081662225991631306706094425579877203062448538927450*n^2+ 128396784326907698611887407705538744890508990325147227751385124*n+ 74054177665326995999645440612642957500389428002617401245338232)/(2*n+15)/(2*n+ 13)/(n+8)/(n+7)/(84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n+3)-9/6400*( 23624605441531818261660623500573819960744181369805153407692*n^6+ 558524895893891889879004459414206608229552531918822255887285*n^5+ 5442980069710976105937344435202741181362593342371454688807075*n^4+ 28054125587258232973882990746792042095766834937462995591971265*n^3+ 81164482492103783618992318055902280757967800158061469033895993*n^2+ 126596458073828817196169117253751501230061846414376447106936850*n+ 85032361800729422682153199951889850979247897432585219814530880)/(2*n+15)/(2*n+ 13)/(n+8)/(n+7)/(84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n+4)+9/3200*( 9532683961786966952422972085562034463244855687252308143485*n^6+ 272638621192682862456333560268759326038529937780136984529214*n^5+ 3182256823977065133741757790699690715650496038622914771640062*n^4+ 19252760670820735721174063795346424742340519425031673698216780*n^3+ 62846836862951175208537739673627018239939241492488393719978165*n^2+ 102374789912250653386863474640907607036425155513745667510978246*n+ 61435415429992824744873667600055893569246194587252707349083168)/(2*n+15)/(2*n+ 13)/(n+8)/(n+7)/(84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n+5)-1/200*( 543326376706495577305352921717555084069446794707445527993*n^4+ 9985557938050840831396766248303375547774914976653501719147*n^3+ 63390382256808561241706769717309047263947421169999188897219*n^2+ 151303772970272080028812616001971679159679300827068963733135*n+ 78948008938893068278513660786069998128924989980721697418030)/(2*n+15)/(n+8)/( 84840544412069759358782401516444513925399253057152987*n^2+ 482566663176788140673757244847722900113535281445795130*n+ 127199972951591466434564660386695352667398525868065215)*a(n+6)+a(n+7) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 3/2, a(2) = 9/2, a(3) = 279/16, a(4) = 2457/32, a(5) = 11691/32, a(6) = 117207/64, a(7) = 304965/32 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 230143587923016583915887067372084081122776083040832666272432056164676\ 5777839633429267220546541321932767135636108540778528655279887950205614277138563\ 1432990237162242610913143036149814726394079199875440541926529837889124858189858\ 9838394711022349206748801459104361769372780134245319931144899206941011682417294\ 0582721096903945894548479968136150527658527919022915086506049001191968633446857\ 9990199972655749452475691254056437849321070193485560631359007370003726287718319\ 3168996883011689917509410662648664796604919041764301227611554993944493561594291\ 3801112569441483812225067375661272072813922011231116711526289484226409512348661\ 9910898227812394305415732552434271308223506132216958416681412315448454661027970\ 7153235507434297622455488081893877790069610780074481698642466613729730264650470\ 1628145990427795510864983065674168979828825327013729448277775609757723702420092\ 8701665601291958230269629303554439650764927773357221400627826043581665141294268\ 7656407081594367985696431980137059351614777855466746369542974675569131549061668\ 2299936921444421323479998067279681719913245573887899670375860258595427110248495\ 3537363786979272970052620150018624763664906102938042006195031576604021463053047\ 420141301546330725483353250648525205/234365797767939881709660179912296136826154\ 3669450615686615879353040014620318713717582063584409636304845173410778430789001\ 3032209516277895848192661553874710354020744860582662016877794070683049796227786\ 8895403707714799604733673227069990639125421186357836517776543834390094774338649\ 1701745836104910045424862800100060448337407838889974079342448801814772557164905\ 9624747440263717520458894542291025814093824 --------------------------------------- This ends this paper that took, 27.933, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (3 Psi(x, 0) x y - 3 y + x - 2 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [3/2, 33/8, 237/16, 7707/128, 67611/256, 1248057/1024, 11946429/2048, 940200039 /32768, 9448755519/65536, 193186753647/262144, 2002740364707/524288, 84022756177719/4194304, 890013357693975/8388608, 19015238704873209/33554432, 204627014940817485/67108864, 35459442110656923327/2147483648, 386225139770861553639/4294967296, 8456007815674049422899/17179869184, 92985673568144797254087/34359738368, 4106640282769428889939461/274877906944, 45508168128221675242753365/549755813888, 1011973361981562863296112943/ 2199023255552, 11285992103217349088806892523/4398046511104, 1009743284317338580695922984491/70368744177664, 11321545025821782478163705865027/140737488355328, 254482548108014542846443639488235/562949953421312, 2866365429151644253825339017012303/1125899906842624, 129404144000604254398351589794770543/9007199254740992, 1463277862109296702636795331634848367/18014398509481984, 33151441241141622936432418183633641081/72057594037927936, 376153728838685995942622417947809682413/144115188075855872, 136788835959969802740524353126773810257007/9223372036854775808, 1556744737461454403945978125296315755914551/18446744073709551616, 35482018568850725825608243317671532076677339/73786976294838206464, 404882790529108849588917913057340690615983407/147573952589676412928, 18502872327151777816676450638710782345440214745/1180591620717411303424, 211635802936340485058333235629362935530338277961/2361183241434822606848, 4846663179814061634502564494733731559059404657139/9444732965739290427392, 55554067993644284521167701334425016377249317326111/18889465931478580854784, 5099242244003793930767913864366933140814851037195369/302231454903657293676544, 58561378976847291833664296717772733354775382709186257/604462909807314587353088, 1346273796594168395596512670337480593406771868063434481/ 2417851639229258349412352, 15487948520277706652187085654728829089028677889774366845/ 4835703278458516698824704, 713289736794816457328794838623998044562363582776063626353/ 38685626227668133590597632, 8218904863083520214536411088707268734126919827500758553681/ 77371252455336267181195264, 189545357033489666928901667007122567304403877965434976137711/ 309485009821345068724781056, 2187206799836837421595822164712374627455572660667868051902331/ 618970019642690137449562112, 404092838161171806549078877177632875655697554548623474315932819/ 19807040628566084398385987584, 4669119884131863787661546272780583188869695910942727391617437147/ 39614081257132168796771975168, 107966764987626178239291533398409516966388768954486063019683898407/ 158456325028528675187087900672, 1249038057349902876582714380829622724995239399064876889129463441963/ 316912650057057350374175801344, 57832463861290240891577571055618752323266541373242809378263758780841/ 2535301200456458802993406410752, 669805462207945800770951333454820745488096065451247584696030215794937/ 5070602400912917605986812821504, 15523429130074577363351799844299654922910766736880118477217219472464299/ 20282409603651670423947251286016, 179978308307978802688932645176888537655325138044495107194146152851825431/ 40564819207303340847894502572032, 16701602962887605673354928301217267331881224416100972129743286840189761971/ 649037107316853453566312041152512, 193826906158488144893373224917410111066451381627237398724273145538777420363/ 1298074214633706907132624082305024, 4500913555899406967814761188882774329696659367236314209797595931408495429155/ 5192296858534827628530496329220096, 52281875061565923893718081594387958885383970781028397479958424264774879850471/ 10384593717069655257060992658440192, 243023912343945968369053579402709911442353\ 4748406123938164755223171339196762591/83076749736557242056487941267521536, 2825\ 3228234464816926370192378227120637839959752980012966250046614823884166701599/ 166153499473114484112975882535043072, 65719231959850102386139769712145121110703\ 3048990043523263578082882194957192664441/664613997892457936451903530140172288, 7646393257264150822794426488159382930771908091056573652259671203508659722159845\ 165/1329227995784915872903807060280344576, 569593692971686564108262271852700716\ 3156138378060018539814949055736001318432559334351/ 170141183460469231731687303715884105728, 66321306713102746603642833135367273982\ 263673423636743585218697462632205017690659532759/ 340282366920938463463374607431768211456, 15449892354337790372874488013271541272\ 15116713889886037977825782587315667340597789025451/ 1361129467683753853853498429727072845824, 1800187321270787482087704712334369495\ 3065481621255309323509610846888755227283949786356351/ 2722258935367507707706996859454145691648, 8392963928601243288006396956860595194\ 09730061264072029841196083953007313393487364078935841/ 21778071482940061661655974875633165533184, 978575222054627395912778939068695014\ 2399546568699139566616190879627122898900780890343231953/ 43556142965880123323311949751266331066368, 228265464069769282610865332938636656\ 566625683905761683061025923764396324969829604291561362843/ 174224571863520493293247799005065324265472, 26631122149794305817801430464263592\ 16521262252685743117372290675012430245631830014069455717671/ 348449143727040986586495598010130648530944, 24863270370218899138005315544441865\ 5898339582770000108877355507471945654857382496573583276043933/ 5575186299632655785383929568162090376495104, 2902438513420671190031733722387762\ 711728363156177418865750422933946885530129730708974920667301861/ 11150372599265311570767859136324180752990208, 677829328574995296017021987407685\ 49054932621484087728439848067667337993635332057955618375737051669/ 44601490397061246283071436545296723011960832, 791711516535305901205301892877630\ 146206838364088584718997111366766659387240958221789787407940157841/ 89202980794122492566142873090593446023921664, 369989740287819057342824582731585\ 77674207637842625529936902572700680739981559458190922021174001048957/ 713623846352979940529142984724747568191373312, 43237990418012331861128143963137\ 9628535483548873504466720968744641562520682508214476196646300250947741/ 1427247692705959881058285969449495136382746624, 1010837850489113121085204505053\ 5929185396628284747696844836429547446754634012991579662519560394166453299/ 5708990770823839524233143877797980545530986496, 1181884051597822078730455082030\ 74947040591676261502241258236766918371197642463231771451985007632533239375/ 11417981541647679048466287755595961091061972992, 221153039812480573632474804869\ 51889475846115791717524277283365143255524525012989695789702336204236528763441/ 365375409332725729550921208179070754913983135744, 25869799159342953354938522766\ 2904869098947490328192300745640577220023890995307121059052901450681411736919817 /730750818665451459101842416358141509827966271488, 6053726293302210430404491237\ 1317988655923872193459221883373100235265132282856309517798325814658907772224706\ 85/2923003274661805836407369665432566039311865085952, 7084670958673421034470026\ 5216515144442093606218171927697037222804977546469184411177070539043344128751733\ 025737/5846006549323611672814739330865132078623730171904, 331719826983150393827\ 3816844844263644265915033954741704275852539220849946386998145436954392169486373\ 938185320699/46768052394588893382517914646921056628989841375232, 38837904895584\ 4262339969771779477122470273135740939730963243691893745795483884947374451645108\ 62953777241348666411/93536104789177786765035829293842113257979682750464, 909621\ 2547578305227687740961618657720776883257012742655504980256576086929838223884368\ 21244309672791222756178007089/ 374144419156711147060143317175368453031918731001856, 10654271712143403658308505\ 2273713401490966152505584139932694007332362508753490036225373937875540200753517\ 52098136949/748288838313422294120286634350736906063837462003712, 99853493816724\ 0658419211463711950181298444529142872768392940717783098775523430583226909617097\ 941615270794304412784381/11972621413014756705924586149611790497021399392059392, 1170030459802131257601221792394801032688976012118067621834268871798251932806072\ 8914845950929760343394965688607049360037/ 23945242826029513411849172299223580994042798784118784] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 5 7 64 56 2 32 328 2 368 3 32 2 128 2 x g + --- g - --- g + --- x g - --- g x + --- x g - --- x + --- x g 729 729 729 729 729 729 243 1280 2 2 176 3 2 1052 2 4 16 2 3 320 3 3 3 4 - ---- x g + --- g x - ---- x g - -- g x + --- x g - 50/9 x g 729 81 729 27 81 64 3 5 4 4 5 4 6 4 + -- x g - 2/9 x g + 4 g x - 13/6 g x - 8/729 = 0 27 and in Maple notation x^5*g^7+64/729*g-56/729*g^2+32/729*x*g-328/729*g^2*x+368/729*x*g^3-32/729*x^2+ 128/243*x^2*g-1280/729*x^2*g^2+176/81*g^3*x^2-1052/729*x^2*g^4-16/27*g^2*x^3+ 320/81*x^3*g^3-50/9*x^3*g^4+64/27*x^3*g^5-2/9*x^4*g^4+4*g^5*x^4-13/6*g^6*x^4-8/ 729 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 14 14 13 14 13 12 13 13 -1458 psi y + 30618 psi y - 10206 psi x y + 10935 psi y 12 14 12 12 12 13 - 275562 psi y + 131220 psi x y - 207036 psi y 11 14 12 2 10 12 11 + 1377810 psi y - 30618 psi x y + 65610 psi x y 12 12 11 2 11 11 12 - 36693 psi y - 8748 psi x y - 590490 psi x y 11 13 10 14 11 2 10 + 1659933 psi y - 4133430 psi y + 196830 psi x y 11 11 11 12 10 2 11 - 704214 psi x y + 606528 psi y + 104976 psi x y 10 12 10 13 9 14 + 787320 psi x y - 7282710 psi y + 7440174 psi y 11 3 8 11 2 9 11 10 - 51030 psi x y + 164025 psi x y - 180306 psi x y 11 11 10 3 9 10 2 10 + 76680 psi y - 34992 psi x y + 5832 psi x y 10 11 10 12 9 2 11 + 2361960 psi x y - 4174983 psi y - 472392 psi x y 9 12 9 13 8 14 + 1771470 psi x y + 18797265 psi y - 7440174 psi y 10 3 8 10 2 9 10 10 + 87480 psi x y - 721710 psi x y + 1691280 psi x y 10 11 9 3 9 9 2 10 - 1048950 psi y + 104976 psi x y - 2475684 psi x y 9 11 9 12 8 2 11 - 393660 psi x y + 15418350 psi y + 944784 psi x y 8 12 8 13 7 14 - 6377292 psi x y - 28343520 psi y + 3188646 psi y 10 4 6 10 3 7 10 2 8 - 51030 psi x y + 218700 psi x y - 351135 psi x y 10 9 10 10 9 4 7 + 289548 psi x y - 113940 psi y - 52488 psi x y 9 3 8 9 2 9 9 10 + 813564 psi x y - 960822 psi x y - 4623318 psi x y 9 11 8 3 9 8 2 10 + 5793363 psi y + 314928 psi x y + 6022998 psi x y 8 11 8 12 7 2 11 - 13581270 psi x y - 32772195 psi y - 708588 psi x y 7 12 7 13 9 4 6 + 5314410 psi x y + 22851963 psi y - 65610 psi x y 9 3 7 9 2 8 9 9 + 14580 psi x y + 1300536 psi x y - 2742498 psi x y 9 10 8 4 7 8 3 8 + 1218780 psi y - 104976 psi x y - 1312200 psi x y 8 2 9 8 10 8 11 + 8088984 psi x y - 1679616 psi x y - 16573086 psi y 7 3 9 7 2 10 7 11 - 944784 psi x y - 4999482 psi x y + 26572050 psi x y 7 12 6 13 9 5 4 + 39917124 psi y - 7440174 psi y - 30618 psi x y 9 4 5 9 3 6 9 2 7 + 164025 psi x y - 335340 psi x y + 391392 psi x y 9 8 9 9 8 5 5 8 4 6 - 309744 psi x y + 125352 psi y - 34992 psi x y + 634230 psi x y 8 3 7 8 2 8 8 9 - 2425140 psi x y + 302778 psi x y + 8080236 psi x y 8 10 7 4 7 7 3 8 - 4940919 psi y + 647352 psi x y - 2453814 psi x y 7 2 9 7 10 7 11 - 11260863 psi x y + 27201906 psi x y + 26519562 psi y 6 2 10 6 11 6 12 + 1653372 psi x y - 14880348 psi x y - 26040609 psi y 8 5 4 8 4 5 8 3 6 - 78732 psi x y + 437400 psi x y - 186624 psi x y 8 2 7 8 8 8 9 - 2259900 psi x y + 3390660 psi x y - 1002672 psi y 7 5 5 7 4 6 7 3 7 - 104976 psi x y + 782946 psi x y - 131220 psi x y 7 2 8 7 9 7 10 - 4217508 psi x y - 3219264 psi x y + 9494496 psi y 6 3 8 6 2 9 6 10 + 2519424 psi x y + 6075486 psi x y - 40625712 psi x y 6 11 5 12 8 6 2 - 24761214 psi y + 7440174 psi y - 10206 psi x y 8 5 3 8 4 4 8 3 5 + 65610 psi x y - 151875 psi x y + 203688 psi x y 8 2 6 8 7 8 8 7 6 3 - 249048 psi x y + 230976 psi x y - 103880 psi y - 8748 psi x y 7 5 4 7 4 5 7 3 6 + 150174 psi x y - 822555 psi x y + 597456 psi x y 7 2 7 7 8 7 9 + 5699970 psi x y - 11324772 psi x y + 2799360 psi y 6 4 6 6 3 7 6 2 8 - 1405512 psi x y + 6106104 psi x y + 3692385 psi x y 6 9 6 10 5 2 9 - 21152664 psi x y - 9325368 psi y - 1653372 psi x y 5 10 5 11 7 6 2 + 17360406 psi x y + 14191443 psi y - 21870 psi x y 7 5 3 7 4 4 7 3 5 + 223074 psi x y - 548208 psi x y - 483732 psi x y 7 2 6 7 7 7 8 + 3021624 psi x y - 2754864 psi x y + 589344 psi y 6 5 4 6 4 5 6 3 6 + 209952 psi x y - 1774386 psi x y + 5011632 psi x y 6 2 7 6 8 6 9 - 8195580 psi x y + 11885616 psi x y - 3237732 psi y 5 3 7 5 2 8 5 9 - 2834352 psi x y - 1618380 psi x y + 29721330 psi x y 5 10 4 11 7 7 7 6 + 5891778 psi y - 4133430 psi y - 1458 psi x + 10935 psi x y 7 5 2 7 4 3 7 3 4 - 20898 psi x y + 7992 psi x y - 28080 psi x y 7 2 5 7 6 7 7 6 6 2 + 101520 psi x y - 119456 psi x y + 63712 psi y + 8748 psi x y 6 5 3 6 4 4 6 3 5 - 63180 psi x y - 208575 psi x y + 2931012 psi x y 6 2 6 6 7 6 8 - 9000666 psi x y + 9337032 psi x y - 1180008 psi y 5 4 5 5 3 6 5 2 7 + 1248048 psi x y - 6768036 psi x y + 6889050 psi x y 5 8 5 9 4 2 8 + 2934954 psi x y + 1339173 psi y + 918540 psi x y 4 9 4 10 6 6 - 11022480 psi x y - 3444525 psi y + 24786 psi x y 6 5 2 6 4 3 6 3 4 - 151632 psi x y + 86994 psi x y + 1018872 psi x y 6 2 5 6 6 6 7 - 2105136 psi x y + 1137888 psi x y - 249632 psi y 5 5 3 5 4 4 5 3 5 - 163296 psi x y + 1664550 psi x y - 6091200 psi x y 5 2 6 5 7 5 8 + 11666160 psi x y - 12129588 psi x y + 1255608 psi y 4 3 6 4 2 7 4 8 + 1749600 psi x y - 1764180 psi x y - 10760040 psi x y 4 9 3 10 6 6 6 5 + 341172 psi y + 1377810 psi y + 3159 psi x - 17172 psi x y 6 4 2 6 3 3 6 2 4 6 5 + 21708 psi x y + 11520 psi x y - 35760 psi x y + 43392 psi x y 6 6 5 6 5 5 2 5 4 3 - 26560 psi y - 2916 psi x y - 54594 psi x y + 717795 psi x y 5 3 4 5 2 5 5 6 - 2911716 psi x y + 5368368 psi x y - 3919536 psi x y 5 7 4 4 4 4 3 5 + 372240 psi y - 576720 psi x y + 3858840 psi x y 4 2 6 4 7 4 8 - 7232976 psi x y + 4643730 psi x y - 592515 psi y 3 2 7 3 8 3 9 5 6 - 306180 psi x y + 4133430 psi x y - 45927 psi y - 5832 psi x 5 5 5 4 2 5 3 3 + 4374 psi x y + 177228 psi x y - 614736 psi x y 5 2 4 5 5 5 6 4 5 2 + 604800 psi x y - 78480 psi x y + 84000 psi y + 62208 psi x y 4 4 3 4 3 4 4 2 5 - 731430 psi x y + 2852928 psi x y - 5416092 psi x y 4 6 4 7 3 3 5 + 5185080 psi x y - 403920 psi y - 641520 psi x y 3 2 6 3 7 3 8 2 9 + 1592622 psi x y + 1404054 psi x y - 233280 psi y - 275562 psi y 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 - 3456 psi x + 15624 psi x y - 18080 psi x y + 6240 psi x y 5 4 5 5 4 6 4 5 - 13536 psi x y + 5680 psi y + 324 psi x + 37368 psi x y 4 4 2 4 3 3 4 2 4 - 301959 psi x y + 834792 psi x y - 1013336 psi x y 4 5 4 6 3 4 3 + 406656 psi x y - 24816 psi y + 143640 psi x y 3 3 4 3 2 5 3 6 - 1160406 psi x y + 2786589 psi x y - 2612250 psi x y 3 7 2 2 6 2 7 2 8 + 363960 psi y + 61236 psi x y - 918540 psi x y + 219429 psi y 4 5 4 4 4 3 2 4 2 3 + 8100 psi x - 44064 psi x y + 53088 psi x y + 66048 psi x y 4 4 4 5 3 5 3 4 2 - 111664 psi x y - 24960 psi y - 11664 psi x y + 142992 psi x y 3 3 3 3 2 4 3 5 3 6 - 514620 psi x y + 851112 psi x y - 775008 psi x y - 21888 psi y 2 3 4 2 2 5 2 6 2 7 + 139968 psi x y - 546426 psi x y + 233280 psi x y - 74358 psi y 8 4 4 4 3 4 2 2 + 30618 psi y + 2104 psi x - 8000 psi x y + 5376 psi x y 4 3 4 4 3 5 3 4 + 3808 psi x y + 1328 psi y - 5760 psi x + 28560 psi x y 3 3 2 3 2 3 3 4 3 5 - 5440 psi x y - 119776 psi x y + 162048 psi x y - 1392 psi y 2 4 2 2 3 3 2 2 4 - 17064 psi x y + 163728 psi x y - 450279 psi x y 2 5 2 6 2 5 6 + 488268 psi x y - 52164 psi y - 6804 psi x y + 112266 psi x y 7 3 4 3 3 3 2 2 - 45927 psi y - 3168 psi x + 17584 psi x y - 32000 psi x y 3 3 3 4 2 5 2 4 + 14560 psi x y + 9472 psi y + 864 psi x - 6912 psi x y 2 3 2 2 2 3 2 4 2 5 + 600 psi x y + 50336 psi x y - 46512 psi x y + 34048 psi y 3 3 2 4 5 6 - 16848 psi x y + 89208 psi x y - 92826 psi x y + 34668 psi y 7 3 3 3 2 3 2 3 3 - 1458 y - 736 psi x + 2736 psi x y - 1888 psi x y - 1280 psi y 2 4 2 3 2 2 2 2 3 + 2560 psi x - 18592 psi x y + 37920 psi x y - 24416 psi x y 2 4 4 3 2 2 3 - 10032 psi y + 384 psi x y - 4608 psi x y + 13200 psi x y 4 5 2 4 5 6 - 15552 psi x y - 9624 psi y + 324 x y - 5832 x y + 3159 y 2 3 2 2 2 2 2 3 4 + 656 psi x - 2528 psi x y + 2688 psi x y - 544 psi y - 768 psi x 3 2 2 3 4 + 6656 psi x y - 18400 psi x y + 13648 psi x y - 1376 psi y 3 2 2 3 4 5 2 2 + 864 x y - 5760 x y + 8100 x y - 3456 y + 112 psi x 2 2 2 3 2 2 - 448 psi x y + 448 psi y - 64 psi x + 1104 psi x y - 2144 psi x y 3 4 3 2 2 3 4 + 2064 psi y + 64 x - 768 x y + 2560 x y - 3168 x y + 2104 y 2 2 2 2 3 - 128 psi x + 480 psi x y - 448 psi y - 64 x y + 656 x y - 736 y 2 2 + 16 x - 128 x y + 112 y = 0 and in Maple notation -1458*psi^14*y^14+30618*psi^13*y^14-10206*psi^13*x*y^12+10935*psi^13*y^13-\ 275562*psi^12*y^14+131220*psi^12*x*y^12-207036*psi^12*y^13+1377810*psi^11*y^14-\ 30618*psi^12*x^2*y^10+65610*psi^12*x*y^11-36693*psi^12*y^12-8748*psi^11*x^2*y^ 11-590490*psi^11*x*y^12+1659933*psi^11*y^13-4133430*psi^10*y^14+196830*psi^11*x ^2*y^10-704214*psi^11*x*y^11+606528*psi^11*y^12+104976*psi^10*x^2*y^11+787320* psi^10*x*y^12-7282710*psi^10*y^13+7440174*psi^9*y^14-51030*psi^11*x^3*y^8+ 164025*psi^11*x^2*y^9-180306*psi^11*x*y^10+76680*psi^11*y^11-34992*psi^10*x^3*y ^9+5832*psi^10*x^2*y^10+2361960*psi^10*x*y^11-4174983*psi^10*y^12-472392*psi^9* x^2*y^11+1771470*psi^9*x*y^12+18797265*psi^9*y^13-7440174*psi^8*y^14+87480*psi^ 10*x^3*y^8-721710*psi^10*x^2*y^9+1691280*psi^10*x*y^10-1048950*psi^10*y^11+ 104976*psi^9*x^3*y^9-2475684*psi^9*x^2*y^10-393660*psi^9*x*y^11+15418350*psi^9* y^12+944784*psi^8*x^2*y^11-6377292*psi^8*x*y^12-28343520*psi^8*y^13+3188646*psi ^7*y^14-51030*psi^10*x^4*y^6+218700*psi^10*x^3*y^7-351135*psi^10*x^2*y^8+289548 *psi^10*x*y^9-113940*psi^10*y^10-52488*psi^9*x^4*y^7+813564*psi^9*x^3*y^8-\ 960822*psi^9*x^2*y^9-4623318*psi^9*x*y^10+5793363*psi^9*y^11+314928*psi^8*x^3*y ^9+6022998*psi^8*x^2*y^10-13581270*psi^8*x*y^11-32772195*psi^8*y^12-708588*psi^ 7*x^2*y^11+5314410*psi^7*x*y^12+22851963*psi^7*y^13-65610*psi^9*x^4*y^6+14580* psi^9*x^3*y^7+1300536*psi^9*x^2*y^8-2742498*psi^9*x*y^9+1218780*psi^9*y^10-\ 104976*psi^8*x^4*y^7-1312200*psi^8*x^3*y^8+8088984*psi^8*x^2*y^9-1679616*psi^8* x*y^10-16573086*psi^8*y^11-944784*psi^7*x^3*y^9-4999482*psi^7*x^2*y^10+26572050 *psi^7*x*y^11+39917124*psi^7*y^12-7440174*psi^6*y^13-30618*psi^9*x^5*y^4+164025 *psi^9*x^4*y^5-335340*psi^9*x^3*y^6+391392*psi^9*x^2*y^7-309744*psi^9*x*y^8+ 125352*psi^9*y^9-34992*psi^8*x^5*y^5+634230*psi^8*x^4*y^6-2425140*psi^8*x^3*y^7 +302778*psi^8*x^2*y^8+8080236*psi^8*x*y^9-4940919*psi^8*y^10+647352*psi^7*x^4*y ^7-2453814*psi^7*x^3*y^8-11260863*psi^7*x^2*y^9+27201906*psi^7*x*y^10+26519562* psi^7*y^11+1653372*psi^6*x^2*y^10-14880348*psi^6*x*y^11-26040609*psi^6*y^12-\ 78732*psi^8*x^5*y^4+437400*psi^8*x^4*y^5-186624*psi^8*x^3*y^6-2259900*psi^8*x^2 *y^7+3390660*psi^8*x*y^8-1002672*psi^8*y^9-104976*psi^7*x^5*y^5+782946*psi^7*x^ 4*y^6-131220*psi^7*x^3*y^7-4217508*psi^7*x^2*y^8-3219264*psi^7*x*y^9+9494496* psi^7*y^10+2519424*psi^6*x^3*y^8+6075486*psi^6*x^2*y^9-40625712*psi^6*x*y^10-\ 24761214*psi^6*y^11+7440174*psi^5*y^12-10206*psi^8*x^6*y^2+65610*psi^8*x^5*y^3-\ 151875*psi^8*x^4*y^4+203688*psi^8*x^3*y^5-249048*psi^8*x^2*y^6+230976*psi^8*x*y ^7-103880*psi^8*y^8-8748*psi^7*x^6*y^3+150174*psi^7*x^5*y^4-822555*psi^7*x^4*y^ 5+597456*psi^7*x^3*y^6+5699970*psi^7*x^2*y^7-11324772*psi^7*x*y^8+2799360*psi^7 *y^9-1405512*psi^6*x^4*y^6+6106104*psi^6*x^3*y^7+3692385*psi^6*x^2*y^8-21152664 *psi^6*x*y^9-9325368*psi^6*y^10-1653372*psi^5*x^2*y^9+17360406*psi^5*x*y^10+ 14191443*psi^5*y^11-21870*psi^7*x^6*y^2+223074*psi^7*x^5*y^3-548208*psi^7*x^4*y ^4-483732*psi^7*x^3*y^5+3021624*psi^7*x^2*y^6-2754864*psi^7*x*y^7+589344*psi^7* y^8+209952*psi^6*x^5*y^4-1774386*psi^6*x^4*y^5+5011632*psi^6*x^3*y^6-8195580* psi^6*x^2*y^7+11885616*psi^6*x*y^8-3237732*psi^6*y^9-2834352*psi^5*x^3*y^7-\ 1618380*psi^5*x^2*y^8+29721330*psi^5*x*y^9+5891778*psi^5*y^10-4133430*psi^4*y^ 11-1458*psi^7*x^7+10935*psi^7*x^6*y-20898*psi^7*x^5*y^2+7992*psi^7*x^4*y^3-\ 28080*psi^7*x^3*y^4+101520*psi^7*x^2*y^5-119456*psi^7*x*y^6+63712*psi^7*y^7+ 8748*psi^6*x^6*y^2-63180*psi^6*x^5*y^3-208575*psi^6*x^4*y^4+2931012*psi^6*x^3*y ^5-9000666*psi^6*x^2*y^6+9337032*psi^6*x*y^7-1180008*psi^6*y^8+1248048*psi^5*x^ 4*y^5-6768036*psi^5*x^3*y^6+6889050*psi^5*x^2*y^7+2934954*psi^5*x*y^8+1339173* psi^5*y^9+918540*psi^4*x^2*y^8-11022480*psi^4*x*y^9-3444525*psi^4*y^10+24786* psi^6*x^6*y-151632*psi^6*x^5*y^2+86994*psi^6*x^4*y^3+1018872*psi^6*x^3*y^4-\ 2105136*psi^6*x^2*y^5+1137888*psi^6*x*y^6-249632*psi^6*y^7-163296*psi^5*x^5*y^3 +1664550*psi^5*x^4*y^4-6091200*psi^5*x^3*y^5+11666160*psi^5*x^2*y^6-12129588* psi^5*x*y^7+1255608*psi^5*y^8+1749600*psi^4*x^3*y^6-1764180*psi^4*x^2*y^7-\ 10760040*psi^4*x*y^8+341172*psi^4*y^9+1377810*psi^3*y^10+3159*psi^6*x^6-17172* psi^6*x^5*y+21708*psi^6*x^4*y^2+11520*psi^6*x^3*y^3-35760*psi^6*x^2*y^4+43392* psi^6*x*y^5-26560*psi^6*y^6-2916*psi^5*x^6*y-54594*psi^5*x^5*y^2+717795*psi^5*x ^4*y^3-2911716*psi^5*x^3*y^4+5368368*psi^5*x^2*y^5-3919536*psi^5*x*y^6+372240* psi^5*y^7-576720*psi^4*x^4*y^4+3858840*psi^4*x^3*y^5-7232976*psi^4*x^2*y^6+ 4643730*psi^4*x*y^7-592515*psi^4*y^8-306180*psi^3*x^2*y^7+4133430*psi^3*x*y^8-\ 45927*psi^3*y^9-5832*psi^5*x^6+4374*psi^5*x^5*y+177228*psi^5*x^4*y^2-614736*psi ^5*x^3*y^3+604800*psi^5*x^2*y^4-78480*psi^5*x*y^5+84000*psi^5*y^6+62208*psi^4*x ^5*y^2-731430*psi^4*x^4*y^3+2852928*psi^4*x^3*y^4-5416092*psi^4*x^2*y^5+5185080 *psi^4*x*y^6-403920*psi^4*y^7-641520*psi^3*x^3*y^5+1592622*psi^3*x^2*y^6+ 1404054*psi^3*x*y^7-233280*psi^3*y^8-275562*psi^2*y^9-3456*psi^5*x^5+15624*psi^ 5*x^4*y-18080*psi^5*x^3*y^2+6240*psi^5*x^2*y^3-13536*psi^5*x*y^4+5680*psi^5*y^5 +324*psi^4*x^6+37368*psi^4*x^5*y-301959*psi^4*x^4*y^2+834792*psi^4*x^3*y^3-\ 1013336*psi^4*x^2*y^4+406656*psi^4*x*y^5-24816*psi^4*y^6+143640*psi^3*x^4*y^3-\ 1160406*psi^3*x^3*y^4+2786589*psi^3*x^2*y^5-2612250*psi^3*x*y^6+363960*psi^3*y^ 7+61236*psi^2*x^2*y^6-918540*psi^2*x*y^7+219429*psi^2*y^8+8100*psi^4*x^5-44064* psi^4*x^4*y+53088*psi^4*x^3*y^2+66048*psi^4*x^2*y^3-111664*psi^4*x*y^4-24960* psi^4*y^5-11664*psi^3*x^5*y+142992*psi^3*x^4*y^2-514620*psi^3*x^3*y^3+851112* psi^3*x^2*y^4-775008*psi^3*x*y^5-21888*psi^3*y^6+139968*psi^2*x^3*y^4-546426* psi^2*x^2*y^5+233280*psi^2*x*y^6-74358*psi^2*y^7+30618*psi*y^8+2104*psi^4*x^4-\ 8000*psi^4*x^3*y+5376*psi^4*x^2*y^2+3808*psi^4*x*y^3+1328*psi^4*y^4-5760*psi^3* x^5+28560*psi^3*x^4*y-5440*psi^3*x^3*y^2-119776*psi^3*x^2*y^3+162048*psi^3*x*y^ 4-1392*psi^3*y^5-17064*psi^2*x^4*y^2+163728*psi^2*x^3*y^3-450279*psi^2*x^2*y^4+ 488268*psi^2*x*y^5-52164*psi^2*y^6-6804*psi*x^2*y^5+112266*psi*x*y^6-45927*psi* y^7-3168*psi^3*x^4+17584*psi^3*x^3*y-32000*psi^3*x^2*y^2+14560*psi^3*x*y^3+9472 *psi^3*y^4+864*psi^2*x^5-6912*psi^2*x^4*y+600*psi^2*x^3*y^2+50336*psi^2*x^2*y^3 -46512*psi^2*x*y^4+34048*psi^2*y^5-16848*psi*x^3*y^3+89208*psi*x^2*y^4-92826* psi*x*y^5+34668*psi*y^6-1458*y^7-736*psi^3*x^3+2736*psi^3*x^2*y-1888*psi^3*x*y^ 2-1280*psi^3*y^3+2560*psi^2*x^4-18592*psi^2*x^3*y+37920*psi^2*x^2*y^2-24416*psi ^2*x*y^3-10032*psi^2*y^4+384*psi*x^4*y-4608*psi*x^3*y^2+13200*psi*x^2*y^3-15552 *psi*x*y^4-9624*psi*y^5+324*x^2*y^4-5832*x*y^5+3159*y^6+656*psi^2*x^3-2528*psi^ 2*x^2*y+2688*psi^2*x*y^2-544*psi^2*y^3-768*psi*x^4+6656*psi*x^3*y-18400*psi*x^2 *y^2+13648*psi*x*y^3-1376*psi*y^4+864*x^3*y^2-5760*x^2*y^3+8100*x*y^4-3456*y^5+ 112*psi^2*x^2-448*psi^2*x*y+448*psi^2*y^2-64*psi*x^3+1104*psi*x^2*y-2144*psi*x* y^2+2064*psi*y^3+64*x^4-768*x^3*y+2560*x^2*y^2-3168*x*y^3+2104*y^4-128*psi*x^2+ 480*psi*x*y-448*psi*y^2-64*x^2*y+656*x*y^2-736*y^3+16*x^2-128*x*y+112*y^2 = 0 --------------------------------------- This ends this paper that took, 202.874, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (3 Psi(x, 0) x y - y + x - 3 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1, 19/9, 461/81, 12668/729, 375503/6561, 3904406/19683, 126346583/177147, 4203380900/1594323, 428696407844/43046721, 14829305980331/387420489, 520329507863915/3486784401, 18475781587597564/31381059609, 662684436003127162/ 282429536481, 23975634624599292916/2541865828329, 97107550919749658765/ 2541865828329, 3563161930054810713404/22876792454961, 131504692606472446224620/ 205891132094649, 14635668138229040499568532/5559060566555523, 545471284652238702921485468/50031545098999707, 20414581840612478234575434776/ 450283905890997363, 766914076326907256390916716605/4052555153018976267, 28909607563548795876049184623390/36472996377170786403, 1093195517368773090313396730524033/328256967394537077627, 4606362262373440828370185347105020/328256967394537077627, 175149303393851326813718778959957476/2954312706550833698643, 6676028805433240520755282869633741086/26588814358957503287787, 6886092664088425336634052605981415242882/6461081889226673298932241, 263617889819697711031671534069424857418472/58149737003040059690390169, 10111724851185362621615134088005176716928164/523347633027360537213511521, 388568365600901447622954048560418000582122728/4710128697246244834921603689, 14957203737229147556928966295250930054246140117/42391158275216203514294433201, 576670669781269617402851920304925402990417128188/381520424476945831628649898809 , 7422265041091880405482786445379909137527711410772/ 1144561273430837494885949696427, 286998958903528484746942938518710126529023379358508/ 10301051460877537453973547267843, 11112277980948469813803997894632748301911496150993524/ 92709463147897837085761925410587, 1292390806482566688127781875990424386239240734659647376/ 2503155504993241601315571986085849, 50162656218960070698611530362132000026109245407037033452/ 22528399544939174411840147874772641, 1949203145323482174380219261233351644489253944304101478120/ 202755595904452569706561330872953769, 75822560024148063005492661395246502942481649789300417535284/ 1824800363140073127359051977856583921, 2952441344644796221305859762441418502130075907304568383534128/ 16423203268260658146231467800709255289, 115075810247241404871231612307820139830675214418501037129286224/ 147808829414345923316083210206383297601, 498820388189840027865414037245336726664299064393610341753532275/ 147808829414345923316083210206383297601, 19477272022716105176019128341700386622609810162813758744252927675/ 1330279464729113309844748891857449678409, 761160024510004606639400804994855060048388822285924700998825941436/ 11972515182562019788602740026717047105681, 29769498339423474016291006306225718157400033519328578477811906079842/ 107752636643058178097424660240453423951129, 1165197691438102633863624509165647029130614577127612721733546968656420/ 969773729787523602876821942164080815560161, 45640047470087383868036378743031676993522736809348367720136616035194715/ 8727963568087712425891397479476727340041449, 198771963097807762060477381042642000365143505456801717417171119708053444/ 8727963568087712425891397479476727340041449, 23389477794010176410172067923882021159484451876539743501318619479927120092/ 235655016338368235499067731945871638181119123, 306002008589707128849942338615641496548059086608507037023774790996742355316/ 706965049015104706497203195837614914543357369, 108158738314413122238191478012516630911171720333378120500353328313727207993340/ 57264168970223481226273458862846808078011946889, 425026347167118770430627154957\ 5359884993772416145780523602134111330743904965184/ 515377520732011331036461129765621272702107522001, 16711663815864055294777731753\ 7512170828761374513965768592577233346483634682221122/ 4638397686588101979328150167890591454318967698009, 1972355112496713698309848266\ 6796659571500368958298483202315941617618048898675707620/ 125236737537878753441860054533045969266612127846243, 77635586334536196469395367\ 1879210837670341748339746531212279114272861993129444621638/ 1127130637840908780976740490797413723399509150616187, 3057453295136398201404881\ 5620116603235311087053465656394549727531279862745791079305896/ 10144175740568179028790664417176723510595582355545683, 120468703028376553182753\ 0352182922745120887091415060436120804951225970270488412230036312/ 91297581665113611259115979754590511595360241199911147, 474893904504309802300438\ 67104215395111584827207682418572511468962974108156310992788588812/ 821678234986022501332043817791314604358242170799200323, 18729226455968703772409\ 95796761796066018295801344225145844275575878999593215351669404886524/ 7395104114874202511988394360121831439224179537192802907, 2463292577082663982182\ 3069624805456938811782727916164159619446539458976128380084138709862416/ 22185312344622607535965183080365494317672538611578408721, 972346799608699208585\ 984531841684349929332355277168233137284964137429308064275201475226260424/ 199667811101603467823686647723289448859052847504205678489, 38397953694612381302\ 983327938804032601595596743807734950686373304708887895397240767071529049744/ 1797010299914431210413179829509605039731475627537851106401, 4550845992595313863\ 902850268870236063981137054891306418200492470606115313034852263752217676148103/ 48519278097689642681155855396759336072749841943521979872827, 179856168269619507\ 5544783693497306882386356048821889022137958283807540120549483225909026477728516\ 04/436673502879206784130402698570834024654748577491697818855443, 71108852076934\ 8191992954566090912440733075949623813193525210314378797346059508590651812151299\ 8575860/3930061525912861057173624287137506221892737197425280369698987, 28124325\ 0714391887134746466881517845730272645986536697138240259491348289679864417681333\ 927492818332284/35370553733215749514562618584237555997034634776827523327290883, 1112745541995967270353125939332711984920686018539661637759449347145510183110819\ 4976953323956303003466820/ 318334983598941745631063567258138003973311712991447709945617947, 44041321746573\ 3662514247209669336029904922003406772101985650098753239188336505274137037035781\ 311736042544/2865014852390475710679572105323242035759805416923029389510561523, 5812325296384219260380910473970703430809585204229669662144752712370234963491205\ 936166882236469300807037492/ 8595044557171427132038716315969726107279416250769088168531684569, 2301987064086\ 7090444718938489967633526663862805633696951489934142304890534212082733833243582\ 9212585305123224/ 77355401014542844188348446843727534965514746256921793516785161121, 911998174581\ 8213057670721325177895834569340640999423447875742642525130156075529856541521124\ 200761840298063900/ 696198609130885597695136021593547814689632716312296141651066450089, 13386146284\ 3434897673808255335167628219456391406105717987576657932719102829831541031403033\ 79749122594770593200/ 232066203043628532565045340531182604896544238770765380550355483363, 47758867042\ 5675288336533491164083336116344796026452965308915724717517560304431506830417598\ 2339172719797540069904/ 18797362446533911137768672583025790996620083340431995824578794152403, 631270848\ 8102694988451149740654326349542914723676354151907947350890650894581829288725617\ 5980111464404156372386588/ 56392087339601733413306017749077372989860250021295987473736382457209, 225353781\ 5732934984466320576783043343106065570683583777932985646815873746837359794981548\ 3704264723402954381004883516/ 4567759074507740406477787437675267212178680251724974985372646979033929, 8941117\ 8950399411260774017041753772198510915723399994470096328851819672804261459325691\ 8184477586247790158191035201840/ 41109831670569663658300086939077404909608122265524774868353822811305361, 354842\ 8167636455916130144181113705752738815205260807721372411300369306573473202846745\ 8718433022103066259281200784401416/ 369988485035126972924700782451696644186473100389722973815184405301748249, 14086\ 2185214986411329107906713028529448602452960562702380754794258545796265351830747\ 2527257327474945987955048836124610320/ 3329896365316142756322307042065269797678257903507506764336659647715734241, 5593\ 2486633385285285108090952825226753719902729638199853773372551074273019751660152\ 578600958147475227831386753049145693012/ 29969067287845284806900763378587428179104321131567560879029936829441608169, 222\ 1479662549283614898846901762885834903676274771805969808848154246332219462487050\ 593808198863106413330281100169611935026288/ 269721605590607563262106870407286853611938890184108047911269431464974473521, 79\ 4271322002564717564841969173190677517451888219248889416778606414616287891214648\ 726666972748691245958968747514470441615399856/ 21847450052839212624230656502990235142567050104912751880812823948662932355201, 3156139115814843568223866610031331446415330447919030335782318193936676967685224\ 1545831161807034547484507127748402497236454498800/ 196627050475552913618075908526912116283103450944214766927315415537966391196809, 1254423320454093249208202382150707331182427187038022283250220663092149363914060\ 631343361480260677673308727876815959332655780475216/176964345427997622256268317\ 6742209046547931058497932902345838739841697520771281, 4986897219622149323430252\ 6269652375383389274940493868389708870885662062170763334247924113401261968588834\ 623553193139914481523131256/159267910885197860030641485906798814189313795264813\ 96121112548658575277686941529, 198295431457318464977718900938887078338588897613\ 9093983358591477679702128867006827304798461520054071305300977923469696899353742\ 508375/143341119796678074027577337316118932770382415738332565090012937927177499\ 182473761, 78865806676441865166803791179630807585832430842941938949527171337110\ 182626731052180983522143942258526916747542204220491271360753823546/129007007817\ 0102666248196035845070394933441741644993085810116441344597492642263849, 1045767\ 4530230608351664267764943810716843666316399966097367501177196572513690440926668\ 76645149825781173688603633641974945876472058479033/3870210234510307998744588107\ 535211184800325224934979257430349324033792477926791547, 41609475486978217196477\ 9313834983562814539992590498079561856628818763866358009192859026022225717291642\ 45531266158559208009269942446320764/3483189211059277198870129296781690066320292\ 7024414813316873143916304132301341123923, 1655910402287508830126284095290312821\ 0742543245149708917055268434792131398130515220363207743425226547680343683633033\ 28171043701711072672932/3134870289953349478983116367103521059688263432197333198\ 51858295246737190712070115307] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 35 13 2 3 97 2 2 - 1/8 - 7/8 g + g + 2/9 x + -- x g - -- g x - 28/9 x g + -- x g 18 72 81 805 3 2 358 2 4 145 3 4 3 5 6 4 - --- g x + --- x g + --- x g - 28/9 x g + g x = 0 648 81 72 and in Maple notation -1/8-7/8*g+g^2+2/9*x+35/18*x*g-13/72*g^2*x-28/9*x*g^3+97/81*x^2*g^2-805/648*g^3 *x^2+358/81*x^2*g^4+145/72*x^3*g^4-28/9*x^3*g^5+g^6*x^4 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 12 12 11 12 11 10 11 11 648 psi y - 3888 psi y + 3888 psi x y - 5616 psi y 10 12 10 10 10 11 9 12 + 9720 psi y - 7695 psi x y + 31968 psi y - 12960 psi y 10 2 8 10 9 10 10 9 10 + 9720 psi x y - 28080 psi x y + 20520 psi y - 8100 psi x y 9 11 8 12 9 2 8 9 9 - 75600 psi y + 9720 psi y + 8100 psi x y + 4725 psi x y 9 10 8 10 8 11 7 12 - 108144 psi y + 31590 psi x y + 95040 psi y - 3888 psi y 9 3 6 9 2 7 9 8 9 9 + 12960 psi x y - 56160 psi x y + 80064 psi x y - 47424 psi y 8 2 8 8 9 8 10 7 10 - 19764 psi x y + 189675 psi x y + 237096 psi y - 27540 psi x y 7 11 6 12 8 3 6 8 2 7 - 66960 psi y + 648 psi y + 31590 psi x y - 181575 psi x y 8 8 8 9 7 2 8 7 9 + 160236 psi x y + 209280 psi y - 23652 psi x y - 316575 psi x y 7 10 6 10 6 11 8 4 4 - 277344 psi y + 7857 psi x y + 25056 psi y + 9720 psi x y 8 3 5 8 2 6 8 7 8 8 - 56160 psi x y + 115056 psi x y - 129216 psi x y + 82064 psi y 7 3 6 7 2 7 7 8 7 9 + 23652 psi x y - 102114 psi x y - 883314 psi x y - 389376 psi y 6 2 8 6 9 6 10 5 11 + 25596 psi x y + 185625 psi x y + 183096 psi y - 3888 psi y 7 4 4 7 3 5 7 2 6 + 27540 psi x y - 253395 psi x y + 701739 psi x y 7 7 7 8 6 3 6 6 2 7 - 273636 psi x y - 269408 psi y + 36774 psi x y + 415989 psi x y 6 8 6 9 5 9 5 10 + 1029879 psi x y + 399648 psi y - 35370 psi x y - 64944 psi y 7 5 2 7 4 3 7 3 4 + 3888 psi x y - 28080 psi x y + 69984 psi x y 7 2 5 7 6 7 7 6 4 4 - 103104 psi x y + 140192 psi x y - 104352 psi y + 25596 psi x y 6 3 5 6 2 6 6 7 - 392337 psi x y + 833787 psi x y + 1408374 psi x y 6 8 5 2 7 5 8 5 9 + 358320 psi y - 76140 psi x y - 451080 psi x y - 244128 psi y 4 10 6 5 2 6 4 3 6 3 4 + 9720 psi y + 7857 psi x y - 103005 psi x y + 491499 psi x y 6 2 5 6 6 6 7 5 3 5 - 706635 psi x y - 462970 psi x y + 240704 psi y - 65664 psi x y 5 2 6 5 7 5 8 4 8 - 936423 psi x y - 1478607 psi x y - 272672 psi y + 64215 psi x y 4 9 6 6 6 5 6 4 2 + 84960 psi y + 648 psi x - 5616 psi x y + 12456 psi x y 6 3 3 6 2 4 6 5 6 6 - 8256 psi x y + 37056 psi x y - 100512 psi x y + 107280 psi y 5 4 3 5 3 4 5 2 5 - 24948 psi x y + 544086 psi x y - 1220712 psi x y 5 6 5 7 4 2 6 4 7 - 685314 psi x y - 189600 psi y + 90576 psi x y + 533385 psi x y 4 8 3 9 5 5 5 4 2 + 147416 psi y - 12960 psi y - 3942 psi x y + 59445 psi x y 5 3 3 5 2 4 5 5 - 242214 psi x y - 21321 psi x y + 1108446 psi x y 5 6 4 3 4 4 2 5 - 136800 psi y + 56916 psi x y + 912594 psi x y 4 6 4 7 3 7 3 8 + 1013227 psi x y + 56352 psi y - 60300 psi x y - 55440 psi y 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 - 2016 psi x + 13056 psi x y - 18208 psi x y - 12384 psi x y 5 4 5 5 4 4 2 4 3 3 + 36288 psi x y - 81216 psi y + 15084 psi x y - 368508 psi x y 4 2 4 4 5 4 6 3 2 5 + 931925 psi x y - 278340 psi x y + 82128 psi y - 59208 psi x y 3 6 3 7 2 8 4 5 - 336020 psi x y - 11024 psi y + 9720 psi y + 1305 psi x 4 4 4 3 2 4 2 3 - 18495 psi x y + 37300 psi x y + 257019 psi x y 4 4 4 5 3 3 3 3 2 4 - 752724 psi x y + 44928 psi y - 25008 psi x y - 496342 psi x y 3 5 3 6 2 6 2 7 - 296709 psi x y - 288 psi y + 31455 psi x y + 11808 psi y 4 4 4 3 4 2 2 4 3 + 2864 psi x - 16224 psi x y + 20304 psi x y - 8640 psi x y 4 4 3 4 3 3 2 3 2 3 + 49896 psi y - 4092 psi x y + 127834 psi x y - 384090 psi x y 3 4 3 5 2 2 4 2 5 + 381066 psi x y - 42624 psi y + 24044 psi x y + 112515 psi x y 2 6 7 3 4 3 3 - 22584 psi y - 3888 psi y - 805 psi x + 20105 psi x y 3 2 2 3 3 3 4 2 3 2 - 124047 psi x y + 216540 psi x y - 2160 psi y + 7094 psi x y 2 2 3 2 4 2 5 5 + 153805 psi x y - 3027 psi x y + 24416 psi y - 9162 psi x y 6 3 3 3 2 3 2 + 4464 psi y - 2016 psi x + 10368 psi x y - 6480 psi x y 3 3 2 4 2 3 2 2 2 - 19440 psi y + 776 psi x - 25971 psi x y + 88725 psi x y 2 3 2 4 2 3 4 - 127206 psi x y + 216 psi y - 5644 psi x y - 16080 psi x y 5 6 2 3 2 2 2 2 + 1600 psi y + 648 y - 117 psi x + 3159 psi x y - 7695 psi x y 2 3 3 2 2 3 - 2592 psi y - 1040 psi x y - 27231 psi x y + 20339 psi x y 4 4 5 2 2 2 - 10176 psi y + 1305 x y - 2016 y + 648 psi x - 3888 psi x y 2 2 3 2 2 3 + 5832 psi y + 1260 psi x - 2556 psi x y + 3726 psi x y + 9072 psi y 2 2 3 4 2 2 + 776 x y - 805 x y + 2864 y - 567 psi x + 2997 psi x y - 3888 psi y 3 2 2 3 2 2 + 144 x + 1260 x y - 117 x y - 2016 y - 81 x - 567 x y + 648 y = 0 and in Maple notation 648*psi^12*y^12-3888*psi^11*y^12+3888*psi^11*x*y^10-5616*psi^11*y^11+9720*psi^ 10*y^12-7695*psi^10*x*y^10+31968*psi^10*y^11-12960*psi^9*y^12+9720*psi^10*x^2*y ^8-28080*psi^10*x*y^9+20520*psi^10*y^10-8100*psi^9*x*y^10-75600*psi^9*y^11+9720 *psi^8*y^12+8100*psi^9*x^2*y^8+4725*psi^9*x*y^9-108144*psi^9*y^10+31590*psi^8*x *y^10+95040*psi^8*y^11-3888*psi^7*y^12+12960*psi^9*x^3*y^6-56160*psi^9*x^2*y^7+ 80064*psi^9*x*y^8-47424*psi^9*y^9-19764*psi^8*x^2*y^8+189675*psi^8*x*y^9+237096 *psi^8*y^10-27540*psi^7*x*y^10-66960*psi^7*y^11+648*psi^6*y^12+31590*psi^8*x^3* y^6-181575*psi^8*x^2*y^7+160236*psi^8*x*y^8+209280*psi^8*y^9-23652*psi^7*x^2*y^ 8-316575*psi^7*x*y^9-277344*psi^7*y^10+7857*psi^6*x*y^10+25056*psi^6*y^11+9720* psi^8*x^4*y^4-56160*psi^8*x^3*y^5+115056*psi^8*x^2*y^6-129216*psi^8*x*y^7+82064 *psi^8*y^8+23652*psi^7*x^3*y^6-102114*psi^7*x^2*y^7-883314*psi^7*x*y^8-389376* psi^7*y^9+25596*psi^6*x^2*y^8+185625*psi^6*x*y^9+183096*psi^6*y^10-3888*psi^5*y ^11+27540*psi^7*x^4*y^4-253395*psi^7*x^3*y^5+701739*psi^7*x^2*y^6-273636*psi^7* x*y^7-269408*psi^7*y^8+36774*psi^6*x^3*y^6+415989*psi^6*x^2*y^7+1029879*psi^6*x *y^8+399648*psi^6*y^9-35370*psi^5*x*y^9-64944*psi^5*y^10+3888*psi^7*x^5*y^2-\ 28080*psi^7*x^4*y^3+69984*psi^7*x^3*y^4-103104*psi^7*x^2*y^5+140192*psi^7*x*y^6 -104352*psi^7*y^7+25596*psi^6*x^4*y^4-392337*psi^6*x^3*y^5+833787*psi^6*x^2*y^6 +1408374*psi^6*x*y^7+358320*psi^6*y^8-76140*psi^5*x^2*y^7-451080*psi^5*x*y^8-\ 244128*psi^5*y^9+9720*psi^4*y^10+7857*psi^6*x^5*y^2-103005*psi^6*x^4*y^3+491499 *psi^6*x^3*y^4-706635*psi^6*x^2*y^5-462970*psi^6*x*y^6+240704*psi^6*y^7-65664* psi^5*x^3*y^5-936423*psi^5*x^2*y^6-1478607*psi^5*x*y^7-272672*psi^5*y^8+64215* psi^4*x*y^8+84960*psi^4*y^9+648*psi^6*x^6-5616*psi^6*x^5*y+12456*psi^6*x^4*y^2-\ 8256*psi^6*x^3*y^3+37056*psi^6*x^2*y^4-100512*psi^6*x*y^5+107280*psi^6*y^6-\ 24948*psi^5*x^4*y^3+544086*psi^5*x^3*y^4-1220712*psi^5*x^2*y^5-685314*psi^5*x*y ^6-189600*psi^5*y^7+90576*psi^4*x^2*y^6+533385*psi^4*x*y^7+147416*psi^4*y^8-\ 12960*psi^3*y^9-3942*psi^5*x^5*y+59445*psi^5*x^4*y^2-242214*psi^5*x^3*y^3-21321 *psi^5*x^2*y^4+1108446*psi^5*x*y^5-136800*psi^5*y^6+56916*psi^4*x^3*y^4+912594* psi^4*x^2*y^5+1013227*psi^4*x*y^6+56352*psi^4*y^7-60300*psi^3*x*y^7-55440*psi^3 *y^8-2016*psi^5*x^5+13056*psi^5*x^4*y-18208*psi^5*x^3*y^2-12384*psi^5*x^2*y^3+ 36288*psi^5*x*y^4-81216*psi^5*y^5+15084*psi^4*x^4*y^2-368508*psi^4*x^3*y^3+ 931925*psi^4*x^2*y^4-278340*psi^4*x*y^5+82128*psi^4*y^6-59208*psi^3*x^2*y^5-\ 336020*psi^3*x*y^6-11024*psi^3*y^7+9720*psi^2*y^8+1305*psi^4*x^5-18495*psi^4*x^ 4*y+37300*psi^4*x^3*y^2+257019*psi^4*x^2*y^3-752724*psi^4*x*y^4+44928*psi^4*y^5 -25008*psi^3*x^3*y^3-496342*psi^3*x^2*y^4-296709*psi^3*x*y^5-288*psi^3*y^6+ 31455*psi^2*x*y^6+11808*psi^2*y^7+2864*psi^4*x^4-16224*psi^4*x^3*y+20304*psi^4* x^2*y^2-8640*psi^4*x*y^3+49896*psi^4*y^4-4092*psi^3*x^4*y+127834*psi^3*x^3*y^2-\ 384090*psi^3*x^2*y^3+381066*psi^3*x*y^4-42624*psi^3*y^5+24044*psi^2*x^2*y^4+ 112515*psi^2*x*y^5-22584*psi^2*y^6-3888*psi*y^7-805*psi^3*x^4+20105*psi^3*x^3*y -124047*psi^3*x^2*y^2+216540*psi^3*x*y^3-2160*psi^3*y^4+7094*psi^2*x^3*y^2+ 153805*psi^2*x^2*y^3-3027*psi^2*x*y^4+24416*psi^2*y^5-9162*psi*x*y^5+4464*psi*y ^6-2016*psi^3*x^3+10368*psi^3*x^2*y-6480*psi^3*x*y^2-19440*psi^3*y^3+776*psi^2* x^4-25971*psi^2*x^3*y+88725*psi^2*x^2*y^2-127206*psi^2*x*y^3+216*psi^2*y^4-5644 *psi*x^2*y^3-16080*psi*x*y^4+1600*psi*y^5+648*y^6-117*psi^2*x^3+3159*psi^2*x^2* y-7695*psi^2*x*y^2-2592*psi^2*y^3-1040*psi*x^3*y-27231*psi*x^2*y^2+20339*psi*x* y^3-10176*psi*y^4+1305*x*y^4-2016*y^5+648*psi^2*x^2-3888*psi^2*x*y+5832*psi^2*y ^2+1260*psi*x^3-2556*psi*x^2*y+3726*psi*x*y^2+9072*psi*y^3+776*x^2*y^2-805*x*y^ 3+2864*y^4-567*psi*x^2+2997*psi*x*y-3888*psi*y^2+144*x^3+1260*x^2*y-117*x*y^2-\ 2016*y^3-81*x^2-567*x*y+648*y^2 = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 5 117649 - -------- (4 n + 5) (2 n + 3) (2 n + 1) (4 n + 3) (n + 1) ( 95551488 3 26142379683784937536520999689761326820443721734863914842177615120699 n 2 + 211277618736083372123773076593678556864363267005725629758742348755654 n + 552790758305732814888192318635032350844540453535994970566884204931509 n + 468159359474818529406773850889601651326397165186348956862337422680434) a(n)/((2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) - 1/6879707136 (2 n + 3) (1031325596825405539808264741005951438580998540510638054912433\ 7 54912901847006983 n + 1450945279545086292205953554819523043619415610633\ 6 026676258668861251117527657928 n + 850944025383841821647646195152456927\ 5 5246355990975576869510511092895976208707350 n + 26926626785960575952033\ 4 756613997638932162218108793036291688062183147828927722112 n + 494683183\ 3 85091431483375354753860205902668754429188064750707815074182666584061959 n + 523926002590802030564247256239700353468132759910204112569474640813479\ 2 97886668264 n + 2923113568624634730367839314065881783175561318671193717\ 0631005180363348239098652 n + 645381289202837553343385955211841910521364\ 7883674787798602610887094731366886160) a(n + 1)/((2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) + 1/191102976 (81296074963715728767215806959\ 8 81353646371353788239260369650514949395380141475 n + 1480652000031910827\ 7 89490014910788537734131469629407541069560040299230557914655 n + 1173259\ 6 111637397086819660283256196903263208204874443308835099713912972833243424 n + 533294791690920858615410956966991604695674508150264405147504276598009\ 5 7097996322 n + 15421726614468822503376906592946168166395575689981954699\ 4 257688369027914252895535 n + 295516236657103863065888032654594536369276\ 3 31655268431113212439226003884452039495 n + 3720418311623210905899277303\ 2 7570629524072280889134926913952198677817957720226126 n + 28304065807949\ 914691104111670469980724484369962224638529321335873649717619679608 n + 9\ 889459594433737005526215631285918818383111550245733843573836927253529773\ 766080) a(n + 2)/((2 n + 11) (2 n + 9) (n + 6) (n + 5) (n + 4) %1) - 1/2654208 ( 36832847676981177113525960600917931684517497092989687863058893076668302851 7 n + 636762869940768870354750671600830253063014891345662462734889487476048378597 6 n + 4900253342558596754645067894926100854343824623162037127152832704245\ 5 749538484 n + 225464129017484880962131144615989415507474671554121134823\ 4 19843901256405099958 n + 6837888774907663711874831947215772366507710584\ 3 7899907169920258878774823614887 n + 13477415112912703712542946651986277\ 2 0074092963774008981258718536358769989401981 n + 15317144235295528076656\ 5100026051800673643059500369393993744713634196332159394 n + 736359261748\ 15089428932957691493998915468330812831583767501069010468870321640) a(n + 3) /((n + 5) (n + 6) (2 n + 9) (2 n + 11) %1) + 1/288 ( 5 173873600174427612920874751839542696211136955852427712306973354304202 n + 4 2343250243687169551663075897667693615702392497536002630400470059288796 n + 3 17126132176958679981489702124184002337503732976709602259551089953556486 n + 2 69327358566819018273653258834496968096680408897922050859208470776720187 n + 128594516425912396079172313044462239700378069255919203631373509677765793 n + 74900979470828924065379137523922238343681885794782119057922911543511378) a(n + 4)/((2 n + 11) (n + 6) %1) + a(n + 5) = 0 3 %1 := 6090749101183400236838211688868379680900313994211330989714605641 n 2 - 152268727529585005920955292221709492022507849855283274742865141025 n - 721877873329805278074187873574414407730830276536352677699394792714 n - 424029180788222484367664934848565032785747622996588785054089028040 and in Maple notation -117649/95551488*(4*n+5)*(2*n+3)*(2*n+1)*(4*n+3)*(n+1)*( 26142379683784937536520999689761326820443721734863914842177615120699*n^3+ 211277618736083372123773076593678556864363267005725629758742348755654*n^2+ 552790758305732814888192318635032350844540453535994970566884204931509*n+ 468159359474818529406773850889601651326397165186348956862337422680434)/(2*n+11) /(2*n+9)/(n+6)/(n+5)/(n+4)/( 6090749101183400236838211688868379680900313994211330989714605641*n^3-\ 152268727529585005920955292221709492022507849855283274742865141025*n^2-\ 721877873329805278074187873574414407730830276536352677699394792714*n-\ 424029180788222484367664934848565032785747622996588785054089028040)*a(n)-1/ 6879707136*(2*n+3)*( 103132559682540553980826474100595143858099854051063805491243354912901847006983* n^7+145094527954508629220595355481952304361941561063302667625866886125111752765\ 7928*n^6+8509440253838418216476461951524569275246355990975576869510511092895976\ 208707350*n^5+26926626785960575952033756613997638932162218108793036291688062183\ 147828927722112*n^4+49468318385091431483375354753860205902668754429188064750707\ 815074182666584061959*n^3+52392600259080203056424725623970035346813275991020411\ 256947464081347997886668264*n^2+29231135686246347303678393140658817831755613186\ 711937170631005180363348239098652*n+6453812892028375533433859552118419105213647\ 883674787798602610887094731366886160)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n+6)/(n+5)/(n+4)/( 6090749101183400236838211688868379680900313994211330989714605641*n^3-\ 152268727529585005920955292221709492022507849855283274742865141025*n^2-\ 721877873329805278074187873574414407730830276536352677699394792714*n-\ 424029180788222484367664934848565032785747622996588785054089028040)*a(n+1)+1/ 191102976*( 8129607496371572876721580695981353646371353788239260369650514949395380141475*n^ 8+ 148065200003191082789490014910788537734131469629407541069560040299230557914655* n^7+117325911163739708681966028325619690326320820487444330883509971391297283324\ 3424*n^6+5332947916909208586154109569669916046956745081502644051475042765980097\ 097996322*n^5+15421726614468822503376906592946168166395575689981954699257688369\ 027914252895535*n^4+29551623665710386306588803265459453636927631655268431113212\ 439226003884452039495*n^3+37204183116232109058992773037570629524072280889134926\ 913952198677817957720226126*n^2+28304065807949914691104111670469980724484369962\ 224638529321335873649717619679608*n+9889459594433737005526215631285918818383111\ 550245733843573836927253529773766080)/(2*n+11)/(2*n+9)/(n+6)/(n+5)/(n+4)/( 6090749101183400236838211688868379680900313994211330989714605641*n^3-\ 152268727529585005920955292221709492022507849855283274742865141025*n^2-\ 721877873329805278074187873574414407730830276536352677699394792714*n-\ 424029180788222484367664934848565032785747622996588785054089028040)*a(n+2)-1/ 2654208*( 36832847676981177113525960600917931684517497092989687863058893076668302851*n^7+ 636762869940768870354750671600830253063014891345662462734889487476048378597*n^6 +4900253342558596754645067894926100854343824623162037127152832704245749538484*n ^5+ 22546412901748488096213114461598941550747467155412113482319843901256405099958*n ^4+ 68378887749076637118748319472157723665077105847899907169920258878774823614887*n ^3+ 134774151129127037125429466519862770074092963774008981258718536358769989401981* n^2+ 153171442352955280766565100026051800673643059500369393993744713634196332159394* n+73635926174815089428932957691493998915468330812831583767501069010468870321640 )/(n+5)/(n+6)/(2*n+9)/(2*n+11)/( 6090749101183400236838211688868379680900313994211330989714605641*n^3-\ 152268727529585005920955292221709492022507849855283274742865141025*n^2-\ 721877873329805278074187873574414407730830276536352677699394792714*n-\ 424029180788222484367664934848565032785747622996588785054089028040)*a(n+3)+1/ 288*(173873600174427612920874751839542696211136955852427712306973354304202*n^5+ 2343250243687169551663075897667693615702392497536002630400470059288796*n^4+ 17126132176958679981489702124184002337503732976709602259551089953556486*n^3+ 69327358566819018273653258834496968096680408897922050859208470776720187*n^2+ 128594516425912396079172313044462239700378069255919203631373509677765793*n+ 74900979470828924065379137523922238343681885794782119057922911543511378)/(2*n+ 11)/(n+6)/(6090749101183400236838211688868379680900313994211330989714605641*n^3 -152268727529585005920955292221709492022507849855283274742865141025*n^2-\ 721877873329805278074187873574414407730830276536352677699394792714*n-\ 424029180788222484367664934848565032785747622996588785054089028040)*a(n+4)+a(n+ 5) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 19/9, a(3) = 461/81, a(4) = 12668/729, a(5) = 375503/6561 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 298512298771504331920209984564326530974128986219794331432189377601941\ 5883330800076147395118442622169381217899668696541509365486350058756797605857175\ 5617656889709628476579788061008363748500207283971203254405188534484037299230192\ 8347626682239926950606331792075176240286510589545549982281285014812698252735439\ 3148163930669371713037317019694503084541941632613553418600812826275694036392977\ 4042257358370976564772601400136131497053032249331999415398736515832256185433725\ 5895906682221087680519567900261544616401027886484510325813127666175685003754625\ 7386934127782384370100176493491445377553496163046147161791514039672231167206273\ 0777210879884993447975761603199012084581279892943167128905316618769509808217800\ 2678715507956840824709359413031295648666013710821136338836284166412614468360327\ 1643601210471090490955736890247154060176366295624552622906703186566438769652682\ 9202951831327568725378826420243018156131448584319616159309852209324801527595995\ 2775252979054737511504983436520193189330661115470398651164990608518910433318240\ 9594206285134459438852100080570197608637015858572723281304292611843179487913892\ 1279877648434002301363444015258904293064618679748603201505855795415234150881638\ 9036008939984063142182393108963872265407185879259992790548374136937241309589258\ 1959332168417607836517658694985811061437468815479224138922277879456523841822398\ 2689427271197097491276617546032697766822442195369408144011540882616564261052130\ 0675233592898811075307283992043101346495309347075930485020621376601988393151592\ 7628678934343204176528476215973368521619481264178624095825227749389532888084492\ 17888673000313618729523923014528/1942079168580724010733305132405178411698958319\ 3724316864576533464563180735858616547683182998496456789728988341068280850986348\ 5381763945405279379355788182053541434708898886353264614403164257835946591015853\ 5004915621567655793889445164237706465473002117114006093442375507754853945584250\ 2660125762711087961374189386329584762737850448173644170329102936056441671898471\ 8052676789493826372811349572386149787861703350363229770343522164432121091627871\ 3106186087340441084071730159708507807867114711086397628107607488993013753239745\ 0401046929867212311369379324255866249826789760715994631613644021502458553497260\ 1864730717278590674861331708227340510282977338127859756479389076075528672989549\ 8621384854049351279847931205862892884240456605730666380086241798790667983506224\ 5341908297621770665327668799259888503014171145865838136088480774176807178923959\ 3772708382532520992894115725948613681993478965648216640862698897925988931145600\ 683858128653568049999074868783790048889 --------------------------------------- This ends this paper that took, 249.834, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (3 Psi(x, 0) x y - 2 y + x - 3 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1, 2, 46/9, 133/9, 3730/81, 12223/81, 124586/243, 1304930/729, 41884619/6561, 151942787/6561, 5030541268/59049, 18722757505/59049, 211122824345/177147, 266770442215/59049, 27505311697114/1594323, 105712330205407/1594323, 11032268944861048/43046721, 42858140858203609/43046721, 501748151769944948/ 129140163, 1966001088128022535/129140163, 69586173837838000409/1162261467, 274582693739664983735/1162261467, 9781220618454058987892/10460353203, 38822816483594757488237/10460353203, 463469902671702529271165/31381059609, 16638356074859533292148670/282429536481, 598626360180718268753814412/ 2541865828329, 2397987454372142326546292173/2541865828329, 86617834070081636647686918995/22876792454961, 348254598535439504759800065335/ 22876792454961, 4207551402763329694487644670194/68630377364883, 1885709648085486950989947401062/7625597484987, 616997276421616262202135556251773/617673396283947, 2495770774803861369223363181913623/617673396283947, 272931524013950481497065110682887238/16677181699666569, 1106805577863770189073174375659852284/16677181699666569, 13480741489588756323660616676735171771/50031545098999707, 54791342741372557142844567208448578138/50031545098999707, 2006342464828723646554845210075419886704/450283905890997363, 8171192466584079510877673157986639661317/450283905890997363, 299789944395821557755708831619227286578995/4052555153018976267, 1223194129409509760097704420685185556867458/4052555153018976267, 14985320096164439443677119420386907850483292/12157665459056928801, 183734535186926293305084634282343990923738889/36472996377170786403, 6763557152034093374816455748422491059063494355/328256967394537077627, 27684750081988221055208565406066103476232053007/328256967394537077627, 1020606492306643256677332764935419502757969405380/2954312706550833698643, 4183409236299486137168134161466162332096184837531/2954312706550833698643, 51476414137263010364906574682561281431370630738827/8862938119652501095929, 70423392212264225430963955829134347337972188691904/2954312706550833698643, 7808598415998568932459905204840606503833160971736822/79766443076872509863361, 32086165040740080046442995241287596777103259228474749/79766443076872509863361, 10685389053860851608175988445626781161354575108027482142/ 6461081889226673298932241, 43955335886638977500140070800774637471663523991590444751/ 6461081889226673298932241, 542724396430051698327021949724561592965274031270618561700/ 19383245667680019896796723, 2234822207591817369017952629393336564830773044476234550437/ 19383245667680019896796723, 82862612120105840424439091513258367115206021091579213134947/ 174449211009120179071170507, 341534040712102141322627493277080794198188412691287421330158/ 174449211009120179071170507, 12674978857385539379692396861834623051636358560599765233029092/ 1570042899082081611640534563, 52288574695963051253686672102944967604611659549499831420650791/ 1570042899082081611640534563, 647396317427383872557316354260162824637081855368515794042668867/ 4710128697246244834921603689, 8018817627923727675037204278013112274995893784461788290765984605/ 14130386091738734504764811067, 298086811055042266276214283226901801526231842232452446493880143386/ 127173474825648610542883299603, 1231681351540653817800011671885998344890029049843277108850147473407/ 127173474825648610542883299603, 45820207383032166534554675407789960952180233223441631071482000455632/ 1144561273430837494885949696427, 189464962837990714725612331730821044370219773399678831834640113293771/ 1144561273430837494885949696427, 2351110485850122354473832960600882511637767020526530725553835180807060/ 3433683820292512484657849089281, 3242807835129783135702413262149302223519892373582627791892911623914553/ 1144561273430837494885949696427, 362407099269976814460352486769746176682180064462878833908281399365534485/ 30903154382632612361920641803529, 1500536696835988713190521602057240093110989147934581498988558334422155743/ 30903154382632612361920641803529, 167801023223923230078499282364759553033752308648924204723973900312869306670/ 834385168331080533771857328695283, 695199374819097506240518851185829647324462413812948938909265560530764906887/ 834385168331080533771857328695283, 8643155999973512361913525161460992422216432682417344555926388652360005618770/ 2503155504993241601315571986085849, 35829239084743394237947951469591772606533287951783321408162973604735894204311/ 2503155504993241601315571986085849, 1337105049615497576874573476065066911663938\ 568535579073972396765907744953791888/22528399544939174411840147874772641, 55458\ 48316242071811006589734125502842344411590682803102237489141364363779401638/ 22528399544939174411840147874772641, 207074644796024481504620657305967612283110\ 215473030676670048195560564094681575558/202755595904452569706561330872953769, 8593189488272847863571121437548171137218087699147350993135164964348975444274636\ 74/202755595904452569706561330872953769, 32102035639323921319166698630648373498\ 217537671257045554081688515760991227800813896/ 1824800363140073127359051977856583921, 1199544186147871402555215494581234749393\ 654800166143523888253691698965049404860210045/ 16423203268260658146231467800709255289, 448335165825075998871157782520015030944\ 91336518179379956114241262036322173050713007875/ 147808829414345923316083210206383297601, 18622895492651268134567089891461444409\ 4805707068586004760459058340091074152078201671988/ 147808829414345923316083210206383297601, 69635715763346632940084594615742817851\ 83072552580571809395290313304149473058120445096982/ 1330279464729113309844748891857449678409, 2893809626287727502400513778371864210\ 6864041961523106540036435450576165407823285455640805/ 1330279464729113309844748891857449678409, 3608464608040978613125574281820135020\ 47378232453768090719044707835199844542901952638730930/ 3990838394187339929534246675572349035227, 1666872278448654066492916518471722767\ 17526158938312888327173795580420511357456283858304029/ 443426488243037769948249630619149892803, 56143407304299789408418896899865107800\ 590076458651521830655569139533208271416840109621888892/ 35917545547686059365808220080151141317043, 233505544093965931468096281479392538\ 711482719929723295026438137951315519370372693242936046767/ 35917545547686059365808220080151141317043, 262267474122736343417548710154571751\ 43227657895705914380519739191751597886385503448721083542343/ 969773729787523602876821942164080815560161] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 5 4 2 16 2 76 2 109 2 2 g x - 1 + g + 8/9 x + 11/9 x g - 28/9 g x - -- x + -- x g - --- x g 81 27 27 358 3 2 2 3 3 3 3 4 + --- g x - 1/9 g x + 29/9 x g - 28/9 x g = 0 81 and in Maple notation g^5*x^4-1+g+8/9*x+11/9*x*g-28/9*g^2*x-16/81*x^2+76/27*x^2*g-109/27*x^2*g^2+358/ 81*g^3*x^2-1/9*g^2*x^3+29/9*x^3*g^3-28/9*x^3*g^4 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 10 10 9 10 9 8 9 9 8 10 -81 psi y + 810 psi y - 405 psi x y + 459 psi y - 3240 psi y 8 8 8 9 7 10 8 2 6 + 891 psi x y - 4077 psi y + 6480 psi y - 810 psi x y 8 7 8 8 7 2 7 7 8 + 1836 psi x y - 1188 psi y - 243 psi x y + 4374 psi x y 7 9 6 10 7 2 6 7 7 + 14256 psi y - 6480 psi y - 2187 psi x y + 1242 psi x y 7 8 6 2 7 6 8 6 9 + 8460 psi y + 972 psi x y - 15228 psi x y - 24408 psi y 5 10 7 3 4 7 2 5 7 6 + 2592 psi y - 810 psi x y + 2754 psi x y - 3312 psi x y 7 7 6 3 5 6 2 6 6 7 + 2364 psi y - 486 psi x y + 1701 psi x y - 33939 psi x y 6 8 5 2 7 5 8 5 9 - 23058 psi y - 972 psi x y + 12312 psi x y + 20304 psi y 6 3 4 6 2 5 6 6 6 7 - 3807 psi x y + 15876 psi x y - 7254 psi x y - 11016 psi y 5 3 5 5 2 6 5 7 5 8 - 2916 psi x y + 10854 psi x y + 62100 psi x y + 30348 psi y 4 9 6 4 2 6 3 3 6 2 4 - 6480 psi y - 405 psi x y + 1836 psi x y - 2808 psi x y 6 5 6 6 5 4 3 5 3 4 + 3852 psi x y - 3166 psi y - 243 psi x y - 5670 psi x y 5 2 5 5 6 5 7 4 2 6 + 32400 psi x y + 59238 psi x y + 16434 psi y + 1944 psi x y 4 7 4 8 5 4 2 5 3 3 - 27756 psi x y - 20376 psi y - 1539 psi x y + 11718 psi x y 5 2 4 5 5 5 6 4 3 4 - 21681 psi x y - 20322 psi x y + 9456 psi y + 5022 psi x y 4 2 5 4 6 4 7 3 8 - 25272 psi x y - 75591 psi x y - 10002 psi y + 6480 psi y 5 5 5 4 5 3 2 5 2 3 - 81 psi x + 459 psi x y - 432 psi x y + 612 psi x y 5 4 5 5 4 4 2 4 3 3 - 2802 psi x y + 3546 psi y + 243 psi x y + 9801 psi x y 4 2 4 4 5 4 6 3 2 5 - 61848 psi x y - 27225 psi x y - 5232 psi y - 1539 psi x y 3 6 3 7 4 4 4 3 2 + 25254 psi x y + 6192 psi y + 1161 psi x y - 6228 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 3 3 + 2772 psi x y + 44700 psi x y - 4026 psi y - 3510 psi x y 3 2 4 3 5 3 6 2 7 + 22509 psi x y + 38286 psi x y - 3220 psi y - 3240 psi y 4 4 4 3 4 2 2 4 3 + 252 psi x - 876 psi x y + 6 psi x y + 612 psi x y 4 4 3 4 3 3 2 3 2 3 - 2772 psi y - 81 psi x y - 6354 psi x y + 45315 psi x y 3 4 3 5 2 2 4 2 5 - 8106 psi x y + 4404 psi y + 603 psi x y - 11637 psi x y 2 6 3 4 3 3 3 2 2 + 1971 psi y - 261 psi x + 414 psi x y + 5439 psi x y 3 3 3 4 2 3 2 2 2 3 - 29850 psi x y + 468 psi y + 1242 psi x y - 10152 psi x y 2 4 2 5 6 3 3 3 2 - 6576 psi x y + 528 psi y + 810 psi y - 358 psi x + 954 psi x y 3 2 3 3 2 4 2 3 + 72 psi x y + 1836 psi y + 9 psi x + 1899 psi x y 2 2 2 2 3 2 4 2 3 - 15819 psi x y + 9135 psi x y - 2802 psi y - 117 psi x y 4 5 2 3 2 2 + 2727 psi x y - 1557 psi y + 327 psi x - 1848 psi x y 2 2 2 3 3 2 2 + 7470 psi x y + 1152 psi y - 222 psi x y + 2355 psi x y 3 4 5 2 2 2 - 894 psi x y + 1272 psi y - 81 y + 252 psi x - 540 psi x y 2 2 3 2 2 3 - 729 psi y - 228 psi x + 2418 psi x y - 1650 psi x y - 54 psi y 2 2 3 4 2 2 + 9 x y - 261 x y + 252 y - 99 psi x - 414 psi x y - 378 psi y 3 2 2 3 2 + 16 x - 228 x y + 327 x y - 358 y - 81 psi x + 243 psi y - 72 x 2 - 99 x y + 252 y + 81 x - 81 y = 0 and in Maple notation -81*psi^10*y^10+810*psi^9*y^10-405*psi^9*x*y^8+459*psi^9*y^9-3240*psi^8*y^10+ 891*psi^8*x*y^8-4077*psi^8*y^9+6480*psi^7*y^10-810*psi^8*x^2*y^6+1836*psi^8*x*y ^7-1188*psi^8*y^8-243*psi^7*x^2*y^7+4374*psi^7*x*y^8+14256*psi^7*y^9-6480*psi^6 *y^10-2187*psi^7*x^2*y^6+1242*psi^7*x*y^7+8460*psi^7*y^8+972*psi^6*x^2*y^7-\ 15228*psi^6*x*y^8-24408*psi^6*y^9+2592*psi^5*y^10-810*psi^7*x^3*y^4+2754*psi^7* x^2*y^5-3312*psi^7*x*y^6+2364*psi^7*y^7-486*psi^6*x^3*y^5+1701*psi^6*x^2*y^6-\ 33939*psi^6*x*y^7-23058*psi^6*y^8-972*psi^5*x^2*y^7+12312*psi^5*x*y^8+20304*psi ^5*y^9-3807*psi^6*x^3*y^4+15876*psi^6*x^2*y^5-7254*psi^6*x*y^6-11016*psi^6*y^7-\ 2916*psi^5*x^3*y^5+10854*psi^5*x^2*y^6+62100*psi^5*x*y^7+30348*psi^5*y^8-6480* psi^4*y^9-405*psi^6*x^4*y^2+1836*psi^6*x^3*y^3-2808*psi^6*x^2*y^4+3852*psi^6*x* y^5-3166*psi^6*y^6-243*psi^5*x^4*y^3-5670*psi^5*x^3*y^4+32400*psi^5*x^2*y^5+ 59238*psi^5*x*y^6+16434*psi^5*y^7+1944*psi^4*x^2*y^6-27756*psi^4*x*y^7-20376* psi^4*y^8-1539*psi^5*x^4*y^2+11718*psi^5*x^3*y^3-21681*psi^5*x^2*y^4-20322*psi^ 5*x*y^5+9456*psi^5*y^6+5022*psi^4*x^3*y^4-25272*psi^4*x^2*y^5-75591*psi^4*x*y^6 -10002*psi^4*y^7+6480*psi^3*y^8-81*psi^5*x^5+459*psi^5*x^4*y-432*psi^5*x^3*y^2+ 612*psi^5*x^2*y^3-2802*psi^5*x*y^4+3546*psi^5*y^5+243*psi^4*x^4*y^2+9801*psi^4* x^3*y^3-61848*psi^4*x^2*y^4-27225*psi^4*x*y^5-5232*psi^4*y^6-1539*psi^3*x^2*y^5 +25254*psi^3*x*y^6+6192*psi^3*y^7+1161*psi^4*x^4*y-6228*psi^4*x^3*y^2+2772*psi^ 4*x^2*y^3+44700*psi^4*x*y^4-4026*psi^4*y^5-3510*psi^3*x^3*y^3+22509*psi^3*x^2*y ^4+38286*psi^3*x*y^5-3220*psi^3*y^6-3240*psi^2*y^7+252*psi^4*x^4-876*psi^4*x^3* y+6*psi^4*x^2*y^2+612*psi^4*x*y^3-2772*psi^4*y^4-81*psi^3*x^4*y-6354*psi^3*x^3* y^2+45315*psi^3*x^2*y^3-8106*psi^3*x*y^4+4404*psi^3*y^5+603*psi^2*x^2*y^4-11637 *psi^2*x*y^5+1971*psi^2*y^6-261*psi^3*x^4+414*psi^3*x^3*y+5439*psi^3*x^2*y^2-\ 29850*psi^3*x*y^3+468*psi^3*y^4+1242*psi^2*x^3*y^2-10152*psi^2*x^2*y^3-6576*psi ^2*x*y^4+528*psi^2*y^5+810*psi*y^6-358*psi^3*x^3+954*psi^3*x^2*y+72*psi^3*x*y^2 +1836*psi^3*y^3+9*psi^2*x^4+1899*psi^2*x^3*y-15819*psi^2*x^2*y^2+9135*psi^2*x*y ^3-2802*psi^2*y^4-117*psi*x^2*y^3+2727*psi*x*y^4-1557*psi*y^5+327*psi^2*x^3-\ 1848*psi^2*x^2*y+7470*psi^2*x*y^2+1152*psi^2*y^3-222*psi*x^3*y+2355*psi*x^2*y^2 -894*psi*x*y^3+1272*psi*y^4-81*y^5+252*psi^2*x^2-540*psi^2*x*y-729*psi^2*y^2-\ 228*psi*x^3+2418*psi*x^2*y-1650*psi*x*y^2-54*psi*y^3+9*x^2*y^2-261*x*y^3+252*y^ 4-99*psi*x^2-414*psi*x*y-378*psi*y^2+16*x^3-228*x^2*y+327*x*y^2-358*y^3-81*psi* x+243*psi*y-72*x^2-99*x*y+252*y^2+81*x-81*y = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 7 -1/49152 (3 n + 2) (2 n + 1) (3 n + 1) (n + 1) ( 2 594192121559453740560181969815995916475490965757507155112984795963 n + 4454185848930634517716516761490240922162891381342568082352707625015 n + 6067761872839047066359616519842921083167131413046888006592381781470) a(n)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/2654208 ( 6 36286251688886356583602984568214630757575276642363575215329506863040123 n + 5 484674597602478076403008152405346917014386194861118281479676517471036258 n + 2448910102038295820863936311776620647572182024366289739672598149748197310 4 n + 6265236284222352158191190472451346513300229049297046516650862592756302000 3 n + 8750318752689962202424706596839601213315085789311571894402212875073154607 2 n + 6404632929553367897283848590269559925922764011423554561841481407085833662 n + 1933201305796354761014314918269171991845901565657884946105077511864840520) a(n + 1)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/3981312 ( 1036292560838107901592000593294150676302255970166990276445593616373212469 6 n + 15733670352962611200357608589131816917339382534062760836667812562702785323 5 n + 87653489618982962933251018547898727429651080174811337927419752904373475745 4 n + 206628316987301995451413828150090312450064895871188625223489220893525907315 3 n + 109472066929392497970574442036697051096971440903314159423114448404159910766 2 n - 313703254736444995725058206643929292888181830105359078242701196471034828198 n - 380306015115043345188921769800729983101951304032095825701820551771360201340 ) a(n + 2)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/1990656 ( 1743694606514359691550069407548536970191345090291105316043132976926606334 6 n - 5 132875976097933327036891172957139994950004303015347251614256853761660985 n - 426458243121589866100451086736239608736941238143301048561927768383897295655 4 n - 4515324854281579502050888422497003780260755243950887643971917447302\ 3 543967305 n - 200527976721657760129811069249472787328195688593587712756\ 2 86841721479013899659 n - 4197170820106484513794540185324965096026862486\ 9887890342900082900550246265370 n - 341285510982562376983659169907865630\ 77625303612639621662821425427730506367280) a(n + 3)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) + 5/331776 ( 1090498424222891928458118057192551162841624000051832200256344669953859776 6 n + 39221393173506606516403830235159593895325831563393867948312324593695196820 5 n + 558695993407776143648572503545852093065533365817104231597309130126905281481 4 n + 4099662982956675707401330455544205491056534885101879393511133582762\ 3 818765181 n + 164948108618663647027686544674512038900543640745113639154\ 2 05072717817680518331 n + 3470093586315082181636538847024917147149634909\ 7765402650232426402701634095559 n + 299351120319571523502616145377929964\ 48878611524932520551006241997229061772820) a(n + 4)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) + 1/82944 ( 8418383218877010148103382455915224203676218421844125193526253990523555456 6 n + 280521666027081198103364360467066908470961595010814404121218515189233349296 5 n + 3892029091723710859698270197000890509250447898823437058690410873475\ 4 652438280 n + 287714100344449059055185762302903926705321565456645771024\ 3 92598263504825897845 n + 1194913038404239114771083507579604735563079265\ 2 23984223565387197510664693188654 n + 2642808585294682172044300749429468\ 29526396840841575841718150130447261293347359 n + 24312167962697384545566\ 9015657838884734363134362440200797054133251507672209910) a(n + 5)/((n + 8) (n + 7) (2 n + 15) (2 n + 13) %1) - 1/1152 ( 4 29082837969795604285548234364274594036168036981283987990490154271904256 n + 3 642724955515915410539614675505113054234604079106109522804464165070440016 n + 5252585680850461115400661524528793588275752058598766366454194189453115956 2 n + 18756272689352384522432501546315672269042852875108966883330763364790701201 n + 24598037490520140000535251866564938587500672613245435485423748376843174060) a(n + 6)/((2 n + 15) (n + 8) %1) + a(n + 7) = 0 2 %1 := 1512469927378068457199582985915251316679120562366917839454733331084 n + 13147584321473451856720794175547602298870895379541783476482261842255 n + 27056353231881415854870832333210448552695050449592009833822048768436 and in Maple notation -1/49152*(3*n+2)*(2*n+1)*(3*n+1)*(n+1)*( 594192121559453740560181969815995916475490965757507155112984795963*n^2+ 4454185848930634517716516761490240922162891381342568082352707625015*n+ 6067761872839047066359616519842921083167131413046888006592381781470)/(n+8)/(n+7 )/(2*n+15)/(2*n+13)/( 1512469927378068457199582985915251316679120562366917839454733331084*n^2+ 13147584321473451856720794175547602298870895379541783476482261842255*n+ 27056353231881415854870832333210448552695050449592009833822048768436)*a(n)-1/ 2654208*( 36286251688886356583602984568214630757575276642363575215329506863040123*n^6+ 484674597602478076403008152405346917014386194861118281479676517471036258*n^5+ 2448910102038295820863936311776620647572182024366289739672598149748197310*n^4+ 6265236284222352158191190472451346513300229049297046516650862592756302000*n^3+ 8750318752689962202424706596839601213315085789311571894402212875073154607*n^2+ 6404632929553367897283848590269559925922764011423554561841481407085833662*n+ 1933201305796354761014314918269171991845901565657884946105077511864840520)/(n+8 )/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 1512469927378068457199582985915251316679120562366917839454733331084*n^2+ 13147584321473451856720794175547602298870895379541783476482261842255*n+ 27056353231881415854870832333210448552695050449592009833822048768436)*a(n+1)-1/ 3981312*( 1036292560838107901592000593294150676302255970166990276445593616373212469*n^6+ 15733670352962611200357608589131816917339382534062760836667812562702785323*n^5+ 87653489618982962933251018547898727429651080174811337927419752904373475745*n^4+ 206628316987301995451413828150090312450064895871188625223489220893525907315*n^3 +109472066929392497970574442036697051096971440903314159423114448404159910766*n^ 2-313703254736444995725058206643929292888181830105359078242701196471034828198*n -380306015115043345188921769800729983101951304032095825701820551771360201340)/( n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 1512469927378068457199582985915251316679120562366917839454733331084*n^2+ 13147584321473451856720794175547602298870895379541783476482261842255*n+ 27056353231881415854870832333210448552695050449592009833822048768436)*a(n+2)-1/ 1990656*( 1743694606514359691550069407548536970191345090291105316043132976926606334*n^6-\ 132875976097933327036891172957139994950004303015347251614256853761660985*n^5-\ 426458243121589866100451086736239608736941238143301048561927768383897295655*n^4 -4515324854281579502050888422497003780260755243950887643971917447302543967305*n ^3-\ 20052797672165776012981106924947278732819568859358771275686841721479013899659*n ^2-\ 41971708201064845137945401853249650960268624869887890342900082900550246265370*n -34128551098256237698365916990786563077625303612639621662821425427730506367280) /(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 1512469927378068457199582985915251316679120562366917839454733331084*n^2+ 13147584321473451856720794175547602298870895379541783476482261842255*n+ 27056353231881415854870832333210448552695050449592009833822048768436)*a(n+3)+5/ 331776*( 1090498424222891928458118057192551162841624000051832200256344669953859776*n^6+ 39221393173506606516403830235159593895325831563393867948312324593695196820*n^5+ 558695993407776143648572503545852093065533365817104231597309130126905281481*n^4 +4099662982956675707401330455544205491056534885101879393511133582762818765181*n ^3+ 16494810861866364702768654467451203890054364074511363915405072717817680518331*n ^2+ 34700935863150821816365388470249171471496349097765402650232426402701634095559*n +29935112031957152350261614537792996448878611524932520551006241997229061772820) /(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 1512469927378068457199582985915251316679120562366917839454733331084*n^2+ 13147584321473451856720794175547602298870895379541783476482261842255*n+ 27056353231881415854870832333210448552695050449592009833822048768436)*a(n+4)+1/ 82944*( 8418383218877010148103382455915224203676218421844125193526253990523555456*n^6+ 280521666027081198103364360467066908470961595010814404121218515189233349296*n^5 +3892029091723710859698270197000890509250447898823437058690410873475652438280*n ^4+ 28771410034444905905518576230290392670532156545664577102492598263504825897845*n ^3+ 119491303840423911477108350757960473556307926523984223565387197510664693188654* n^2+ 264280858529468217204430074942946829526396840841575841718150130447261293347359* n+ 243121679626973845455669015657838884734363134362440200797054133251507672209910) /(n+8)/(n+7)/(2*n+15)/(2*n+13)/( 1512469927378068457199582985915251316679120562366917839454733331084*n^2+ 13147584321473451856720794175547602298870895379541783476482261842255*n+ 27056353231881415854870832333210448552695050449592009833822048768436)*a(n+5)-1/ 1152*(29082837969795604285548234364274594036168036981283987990490154271904256*n ^4+642724955515915410539614675505113054234604079106109522804464165070440016*n^3 +5252585680850461115400661524528793588275752058598766366454194189453115956*n^2+ 18756272689352384522432501546315672269042852875108966883330763364790701201*n+ 24598037490520140000535251866564938587500672613245435485423748376843174060)/(2* n+15)/(n+8)/( 1512469927378068457199582985915251316679120562366917839454733331084*n^2+ 13147584321473451856720794175547602298870895379541783476482261842255*n+ 27056353231881415854870832333210448552695050449592009833822048768436)*a(n+6)+a( n+7) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 2, a(3) = 46/9, a(4) = 133/9, a(5) = 3730/81, a(6) = 12223/81, a(7) = 124586/243 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 193881224658463514995141735572657224940250533317037900647569480847523\ 9568006384326294309564189434464054595391135626291436663231392623302980248379358\ 4136219373744130179752799577517887401269636423487817140810392123742276057735662\ 9431548107093271556313889815581478237849266577009488432532240607429467803342473\ 2389648127735981925143000714292256804078257702236278517868784812611495100806032\ 9656676077000080727828238599288706438069028654208954224480977570831327554194023\ 1025009388526886097584455614950200125560833522220714031214075838502579606854190\ 6715960942421973085157085865174061032784826967810895016357171802166816280897165\ 1882850398551203680429734535012059788817682432630710432412136425297538898207220\ 0935085396156829767409490350859752181572785325040586564179799961638735557315897\ 3328141594951823749798980364913255836692404367172695433393140047372304915690744\ 6248796241549285443148303629704701447819742171614101790132351337853605487509991\ 3263727625160209527875155085702588629129892389514237775824935121660893260138605\ 9620457468523516196796485094552933771556005090557286844932763437794584631060706\ 62/4896558590669654210705389850933868022094155676859808028388593956395661471654\ 4625908917715327800298591255917692476762309479664984522245144883901582416961247\ 1862081564888266964399264731195912904175700148191699488163381091783564109051133\ 9133974274395090705578437501779053353877979248292206731353215758948652669741735\ 4214021566304756162900292144330316903854996256948495305265623939256988722843148\ 8496514114466824477656088468186227537179869906357715559486802271175223247741798\ 22963 --------------------------------------- This ends this paper that took, 28.936, seconds to generate On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ 2 2 2 ation, y Psi(x, y) + (3 Psi(x, 0) x y - 3 y + x - 3 y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 89, (for the sake of the OEIS) are [1, 17/9, 371/81, 9148/729, 242915/6561, 2259622/19683, 65346077/177147, 1941122680/1594323, 176640958916/43046721, 5448656400541/387420489, 170393563452701/3486784401, 5390065369795448/31381059609, 172167018738518866/ 282429536481, 5545252046384983940/2541865828329, 19988727268912180679/ 2541865828329, 652583065741232181784/22876792454961, 21424400522141082870524/ 205891132094649, 2120588649386666116012924/5559060566555523, 70276514820380219773901732/50031545098999707, 2338292267566694352365661076/ 450283905890997363, 78083109537758489288627633497/4052555153018976267, 2616028819507849296274136693630/36472996377170786403, 87908529587660220944621426148379/328256967394537077627, 329133049280665080211985740646824/328256967394537077627, 11118684583602800547052317385898356/2954312706550833698643, 376486755787207550377956442434010306/26588814358957503287787, 344944293713029573023005902690464976910/6461081889226673298932241, 11728879994891372473375160065040394271024/58149737003040059690390169, 399554488271407181409856258265281839869972/523347633027360537213511521, 13634939166905620258300721076848196759849416/4710128697246244834921603689, 466057158636422933415451817780128847659418959/42391158275216203514294433201, 15954735233359949835520645785261497211205277240/381520424476945831628649898809, 182323600295172149088039170666005155665552284228/ 1144561273430837494885949696427, 6258997703545459963450931454545432824437012629348/ 10301051460877537453973547267843, 215139645887898367495236427074220332447869552866060/ 92709463147897837085761925410587, 22211623638299063081769430313855554455885936012150704/ 2503155504993241601315571986085849, 765267980124079068528300091797782731809046867743368572/ 22528399544939174411840147874772641, 26394615392709230445944394031844315055134051590174070312/ 202755595904452569706561330872953769, 911300535168054016990558064527429064148429150817880069948/ 1824800363140073127359051977856583921, 31494168117183956463899191409390159053896599295603538046560/ 16423203268260658146231467800709255289, 1089432316164335722157231499307813055869774172530940361100544/ 147808829414345923316083210206383297601, 4190928915628068043414419895457396276321068829356820376146405/ 147808829414345923316083210206383297601, 145220344350975293897805433751698383698240463429646663033407085/ 1330279464729113309844748891857449678409, 5036080253690872141110007023943194227132363266733228223072125912/ 11972515182562019788602740026717047105681, 174779437679176377263321086874035431515533283804414530930510483994/ 107752636643058178097424660240453423951129, 6070242807090145686069646633999638744456438092885530925755057154356/ 969773729787523602876821942164080815560161, 210972698513219477958555193899123501285689545251381475909144682367377/ 8727963568087712425891397479476727340041449, 815259186121312255021512257493102114620073173927907214187599900312744/ 8727963568087712425891397479476727340041449, 85115515358986373275320550228370438325651314281971571676733280084409900/ 235655016338368235499067731945871638181119123, 329326447571135515894024024091544122781402013696284037359877452439127284/ 235655016338368235499067731945871638181119123, 309819545265024014317483846748996124256953144813826549631388855762749209540/ 57264168970223481226273458862846808078011946889, 10801283305190747797727585527694180317749133547182182323213885211786599211848/ 515377520732011331036461129765621272702107522001, 376773740168219212593323497324058908575027588446335932607673771791858553061466/ 4638397686588101979328150167890591454318967698009, 3944909217244641573424855094\ 4247619314137703723108672873151650270810773714971620/ 125236737537878753441860054533045969266612127846243, 13775064217150183840789971\ 50691286111996575874035995287268530206272086259631962786/ 1127130637840908780976740490797413723399509150616187, 4812423177052143873895778\ 2978829969549802960389121889806008433359733789292044824560/ 10144175740568179028790664417176723510595582355545683, 168205439600484140315737\ 5315434634032159190534382331255339944531012727515528980391480/ 91297581665113611259115979754590511595360241199911147, 588186687876223183471424\ 35103928354558210010775542452839906954235804947299027653453044/ 821678234986022501332043817791314604358242170799200323, 20577021705378834597216\ 90531796469444494570985204202403738638418502924095431706435701604/ 7395104114874202511988394360121831439224179537192802907, 2400569784048132239253\ 8229724664600270393968589722390428287145180660588249059632578342496/ 22185312344622607535965183080365494317672538611578408721, 840518072020105849625\ 546370647363796508868570566773746978082433341965812494799505881817768/ 199667811101603467823686647723289448859052847504205678489, 29441071626281831925\ 594804498865569851992703690807074477591127701015475726623412203333883728/ 1797010299914431210413179829509605039731475627537851106401, 3094922180368837720\ 777353935766180097790337836825464299586489634116325812929906099480151049893/ 48519278097689642681155855396759336072749841943521979872827, 108489481490414017\ 923387505899956285193548853942717116645417885034825845792868405448698706235816/ 436673502879206784130402698570834024654748577491697818855443, 38043769435389875\ 2963218617649849142226248233307366970084293266391025268799042980704329637873827\ 6/3930061525912861057173624287137506221892737197425280369698987, 13345432612735\ 8178438246102734691755893590696156085120636057605369544482321075868975076489137\ 355796/35370553733215749514562618584237555997034634776827523327290883, 46830672\ 7654088151727120360903722222147671427977668959111461029982060558226205116138958\ 1610892244156/318334983598941745631063567258138003973311712991447709945617947, 1643888586705106441934790803440556046910316131123132309530043759480228354843756\ 09969322237328449618032/ 2865014852390475710679572105323242035759805416923029389510561523, 1924124464436\ 2254155492335501807832041541657896193020796571293448426351842415190979413847287\ 66682135332/8595044557171427132038716315969726107279416250769088168531684569, 6758514337726779665081927220194776904343646599714365572566796195562433063421658\ 9066445932994120817744088/ 77355401014542844188348446843727534965514746256921793516785161121, 237466044610\ 0684175695163582267941983449116577632432717000479144955809966375368320230641995\ 235211788613556/ 696198609130885597695136021593547814689632716312296141651066450089, 92733747001\ 6782244086922330185639475293182089961432808809258345699697429784821589558034175\ 0940609367673056/ 696198609130885597695136021593547814689632716312296141651066450089, 97805404458\ 9155402006585750520476126494092593730619233896964158827663440273470320827086551\ 158710768830557968/ 18797362446533911137768672583025790996620083340431995824578794152403, 382160449\ 9206567647910860199225042360334998003573781943647490235373636685385600996996181\ 896008457051294980524/ 18797362446533911137768672583025790996620083340431995824578794152403, 362955393\ 4726608282118699950039982774332651420729467824818117423920090332093489545521265\ 157969161182360619122276/ 4567759074507740406477787437675267212178680251724974985372646979033929, 1277062\ 7524229500327146460527642433803420919523814601658028103495208130834402301278211\ 7728495985028415805474103136/ 41109831670569663658300086939077404909608122265524774868353822811305361, 449452\ 1428042315418821900762318906536673052544518130106260818190523287114458409868832\ 368563372260206138961470823144/ 369988485035126972924700782451696644186473100389722973815184405301748249, 15822\ 0962213377615131125298917862213317512418048079556495813584580511747257175485900\ 119304614682093430130007270437968/ 3329896365316142756322307042065269797678257903507506764336659647715734241, 5571\ 2309433503436907852935132613617487068999403232820419602588467958336815359352845\ 46417058404238472234840255204268412/ 29969067287845284806900763378587428179104321131567560879029936829441608169, 196\ 2195184615974654947591126307895718026176856626064388877860333644845456383158013\ 16038973609581461385294301745422497120/ 269721605590607563262106870407286853611938890184108047911269431464974473521, 62\ 2124194440542633673998050279235281669147071541461167086888578004054852909319511\ 84486934284170705506726277908185006437360/ 21847450052839212624230656502990235142567050104912751880812823948662932355201, 2192140183065153799936998820574220597609838863451871759400879521148815269427977\ 321483658395495569424474145463273815770058704/ 196627050475552913618075908526912116283103450944214766927315415537966391196809, 7726023454940176205572947676294598277317321816233874641986016234777819486798398\ 1747793363908888860752995789932266977090408112/17696434542799762225626831767422\ 09046547931058497932902345838739841697520771281, 272356589450961493715049779057\ 7648436577701088802269075955528118305508087196142423703921522935941863332167318\ 700807238949491772/159267910885197860030641485906798814189313795264813961211125\ 48658575277686941529, 960310543086402993541397752954363161604124090994174794424\ 36362827615922496961843214043838449812797914576670282015986120964883371/1433411\ 19796678074027577337316118932770382415738332565090012937927177499182473761, 338\ 6688932466778530440736458587807478762402366806556667207569913182851926659839902\ 984783792480744892888726349800802869476740938010/129007007817010266624819603584\ 5070394933441741644993085810116441344597492642263849, 3982037981000259544675301\ 3158532737961755806668419534168488350939744421924554756886081744032809252961284\ 379256047740880276059043779/387021023451030799874458810753521118480032522493497\ 9257430349324033792477926791547, 1404890502496068801961419428902248329704850924\ 6429452178623215152521340879181990208644874328823906539637328583777311924084056\ 41108264/3483189211059277198870129296781690066320292702441481331687314391630413\ 2301341123923, 4957507253449342367972178218133623003512684193499340578740958753\ 9838113195904258132501920281129938236459043577374449811422377816627380/31348702\ 8995334947898311636710352105968826343219733319851858295246737190712070115307] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 11 2 14 389 2 221 3 32 2 176 2 2354 2 2 -- g - 5/9 g + -- x g - --- g x + --- x g - --- x + --- x g - ---- x g 18 81 162 81 729 243 729 2945 3 2 4058 2 4 16 2 3 416 3 3 485 3 4 166 3 5 + ---- g x - ---- x g - -- g x + --- x g - --- x g + --- x g 486 729 27 81 54 27 4 4 5 4 6 4 5 7 - 2/9 x g + 13/3 g x - 11/3 g x + x g - 1/18 = 0 and in Maple notation 11/18*g-5/9*g^2+14/81*x*g-389/162*g^2*x+221/81*x*g^3-32/729*x^2+176/243*x^2*g-\ 2354/729*x^2*g^2+2945/486*g^3*x^2-4058/729*x^2*g^4-16/27*g^2*x^3+416/81*x^3*g^3 -485/54*x^3*g^4+166/27*x^3*g^5-2/9*x^4*g^4+13/3*g^5*x^4-11/3*g^6*x^4+x^5*g^7-1/ 18 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 14 14 13 14 13 12 13 13 -1458 psi y + 30618 psi y - 10206 psi x y + 14580 psi y 12 14 12 12 12 13 - 275562 psi y + 126846 psi x y - 272646 psi y 11 14 12 2 10 12 11 + 1377810 psi y - 30618 psi x y + 87480 psi x y 12 12 11 2 11 11 12 - 62208 psi y - 8748 psi x y - 524880 psi x y 11 13 10 14 11 2 10 + 2152008 psi y - 4133430 psi y + 174960 psi x y 11 11 11 12 10 2 11 - 836163 psi x y + 1004562 psi y + 104976 psi x y 10 12 10 13 9 14 + 393660 psi x y - 9251010 psi y + 7440174 psi y 11 3 8 11 2 9 11 10 - 51030 psi x y + 218700 psi x y - 305694 psi x y 11 11 10 3 9 10 2 10 + 161244 psi y - 34992 psi x y + 163296 psi x y 10 11 10 12 9 2 11 + 1946430 psi x y - 6700968 psi y - 472392 psi x y 9 12 9 13 8 14 + 2952450 psi x y + 23225940 psi y - 7440174 psi y 10 3 8 10 2 9 10 10 + 43740 psi x y - 590490 psi x y + 2197692 psi x y 10 11 9 3 9 9 2 10 - 2113290 psi y + 104976 psi x y - 2711880 psi x y 9 11 9 12 8 2 11 + 4658310 psi x y + 23685210 psi y + 944784 psi x y 8 12 8 13 7 14 - 8148762 psi x y - 33657930 psi y + 3188646 psi y 10 4 6 10 3 7 10 2 8 - 51030 psi x y + 291600 psi x y - 595350 psi x y 10 9 10 10 9 4 7 + 602532 psi x y - 301266 psi y - 52488 psi x y 9 3 8 9 2 9 9 10 + 892296 psi x y - 3198852 psi x y - 1578285 psi x y 9 11 8 3 9 8 2 10 + 10969992 psi y + 314928 psi x y + 5550606 psi x y 8 11 8 12 7 2 11 - 27556200 psi x y - 47239200 psi y - 708588 psi x y 7 12 7 13 9 4 6 + 6377292 psi x y + 25509168 psi y - 109350 psi x y 9 3 7 9 2 8 9 9 + 546750 psi x y + 329265 psi x y - 4026591 psi x y 9 10 8 4 7 8 3 8 + 2965464 psi y - 104976 psi x y - 393660 psi x y 8 2 9 8 10 8 11 + 11693160 psi x y - 22668255 psi x y - 28566594 psi y 7 3 9 7 2 10 7 11 - 944784 psi x y - 3936600 psi x y + 40448565 psi x y 7 12 6 13 9 5 4 + 52317414 psi y - 7440174 psi y - 30618 psi x y 9 4 5 9 3 6 9 2 7 + 218700 psi x y - 568620 psi x y + 797688 psi x y 9 8 9 9 8 5 5 8 4 6 - 787644 psi x y + 421704 psi y - 34992 psi x y + 581742 psi x y 8 3 7 8 2 8 8 9 - 3600288 psi x y + 7391574 psi x y + 4052997 psi x y 8 10 7 4 7 7 3 8 - 10460178 psi y + 647352 psi x y - 4737042 psi x y 7 2 9 7 10 7 11 - 8774244 psi x y + 67283055 psi x y + 39549708 psi y 6 2 10 6 11 6 12 + 1653372 psi x y - 17360406 psi x y - 29760696 psi y 8 5 4 8 4 5 8 3 6 - 100602 psi x y + 911250 psi x y - 2159055 psi x y 8 2 7 8 8 8 9 - 1241244 psi x y + 7339140 psi x y - 2947644 psi y 7 5 5 7 4 6 7 3 7 - 104976 psi x y + 1544022 psi x y - 4842018 psi x y 7 2 8 7 9 7 10 - 7650369 psi x y + 23879124 psi x y + 15399396 psi y 6 3 8 6 2 9 6 10 + 2519424 psi x y + 2690010 psi x y - 65564073 psi x y 6 11 5 12 8 6 2 - 30429918 psi y + 7440174 psi y - 10206 psi x y 8 5 3 8 4 4 8 3 5 + 87480 psi x y - 257580 psi x y + 390312 psi x y 8 2 6 8 7 8 8 7 6 3 - 564300 psi x y + 720000 psi x y - 451856 psi y - 8748 psi x y 7 5 4 7 4 5 7 3 6 + 110808 psi x y - 581256 psi x y + 1350027 psi x y 7 2 7 7 8 7 9 + 3247371 psi x y - 18671796 psi x y + 6310224 psi y 6 4 6 6 3 7 6 2 8 - 1405512 psi x y + 11171196 psi x y - 5232762 psi x y 6 9 6 10 5 2 9 - 63237105 psi x y - 8433072 psi y - 1653372 psi x y 5 10 5 11 7 6 2 + 19840464 psi x y + 15431472 psi y - 26244 psi x y 7 5 3 7 4 4 7 3 5 + 365229 psi x y - 1544265 psi x y + 1153116 psi x y 7 2 6 7 7 7 8 + 5810184 psi x y - 9392310 psi x y + 2067972 psi y 6 5 4 6 4 5 6 3 6 + 209952 psi x y - 3209058 psi x y + 13626954 psi x y 6 2 7 6 8 6 9 - 16233534 psi x y + 6821496 psi x y - 3517668 psi y 5 3 7 5 2 8 5 9 - 2834352 psi x y + 2672514 psi x y + 49240305 psi x y 5 10 4 11 7 7 7 6 + 2899962 psi y - 4133430 psi y - 1458 psi x + 14580 psi x y 7 5 2 7 4 3 7 3 4 - 35478 psi x y - 8532 psi x y + 20304 psi x y 7 2 5 7 6 7 7 6 6 2 + 236304 psi x y - 449324 psi x y + 374136 psi y + 8748 psi x y 6 5 3 6 4 4 6 3 5 + 22842 psi x y - 1033560 psi x y + 5861187 psi x y 6 2 6 6 7 6 8 - 17798643 psi x y + 26763912 psi x y - 3045600 psi y 5 4 5 5 3 6 5 2 7 + 1248048 psi x y - 11334492 psi x y + 19088136 psi x y 5 8 5 9 4 2 8 + 18775395 psi x y - 1816668 psi y + 918540 psi x y 4 9 4 10 6 6 - 12400290 psi x y - 2755620 psi y + 27702 psi x y 6 5 2 6 4 3 6 3 4 - 255393 psi x y + 490050 psi x y + 1766583 psi x y 6 2 5 6 6 6 7 - 6984576 psi x y + 5646144 psi x y - 1005524 psi y 5 5 3 5 4 4 5 3 5 - 163296 psi x y + 2708478 psi x y - 13156668 psi x y 5 2 6 5 7 5 8 + 24911685 psi x y - 26034048 psi x y + 3231684 psi y 4 3 6 4 2 7 4 8 + 1749600 psi x y - 4651020 psi x y - 18184905 psi x y 4 9 3 10 6 6 6 5 + 3293622 psi y + 1377810 psi y + 5346 psi x - 42444 psi x y 6 4 2 6 3 3 6 2 4 6 5 + 89262 psi x y - 576 psi x y - 118164 psi x y + 185400 psi x y 6 6 5 6 5 5 2 5 4 3 - 221814 psi y - 2916 psi x y - 114372 psi x y + 1496448 psi x y 5 3 4 5 2 5 5 6 - 6350166 psi x y + 14302047 psi x y - 15979302 psi x y 5 7 4 4 4 4 3 5 + 1319184 psi y - 576720 psi x y + 5987520 psi x y 4 2 6 4 7 4 8 - 15045426 psi x y + 5901255 psi x y - 1310580 psi y 3 2 7 3 8 3 9 5 6 - 306180 psi x y + 4592700 psi x y - 734832 psi y - 6318 psi x 5 5 5 4 2 5 3 3 + 8991 psi x y + 343170 psi x y - 1843074 psi x y 5 2 4 5 5 5 6 + 2998242 psi x y - 808998 psi x y + 420138 psi y 4 5 2 4 4 3 4 3 4 + 62208 psi x y - 1093014 psi x y + 5589432 psi x y 4 2 5 4 6 4 7 - 11794248 psi x y + 14533290 psi x y - 1673460 psi y 3 3 5 3 2 6 3 7 - 641520 psi x y + 2722572 psi x y + 2501199 psi x y 3 8 2 9 5 5 5 4 - 780030 psi y - 275562 psi y - 8964 psi x + 61416 psi x y 5 3 2 5 2 3 5 4 5 5 - 112580 psi x y + 41544 psi x y - 78246 psi x y + 91908 psi y 4 6 4 5 4 4 2 4 3 3 + 324 psi x + 54378 psi x y - 559242 psi x y + 1814694 psi x y 4 2 4 4 5 4 6 - 2985371 psi x y + 2392110 psi x y + 259026 psi y 3 4 3 3 3 4 3 2 5 + 143640 psi x y - 1690146 psi x y + 5294268 psi x y 3 6 3 7 2 2 6 - 4950315 psi x y + 1360260 psi y + 61236 psi x y 2 7 2 8 4 5 4 4 - 1010394 psi x y + 449064 psi y + 13095 psi x - 95940 psi x y 4 3 2 4 2 3 4 4 + 189807 psi x y + 202044 psi x y - 784242 psi x y 4 5 3 5 3 4 2 3 3 3 - 144990 psi y - 11664 psi x y + 199044 psi x y - 938682 psi x y 3 2 4 3 5 3 6 + 1714329 psi x y - 2446740 psi x y - 220662 psi y 2 3 4 2 2 5 2 6 + 139968 psi x y - 805950 psi x y + 343845 psi x y 2 7 8 4 4 4 3 - 205578 psi y + 30618 psi y + 8116 psi x - 49656 psi x y 4 2 2 4 3 4 4 3 5 + 69606 psi x y + 22248 psi x y - 9072 psi y - 7488 psi x 3 4 3 3 2 3 2 3 + 49152 psi x y + 33455 psi x y - 434211 psi x y 3 4 3 5 2 4 2 2 3 3 + 651756 psi x y - 163224 psi y - 17064 psi x y + 224964 psi x y 2 2 4 2 5 2 6 2 5 - 811782 psi x y + 968085 psi x y - 209466 psi y - 6804 psi x y 6 7 3 4 3 3 + 122472 psi x y - 81648 psi y - 8835 psi x + 59464 psi x y 3 2 2 3 3 3 4 2 5 - 149904 psi x y + 119097 psi x y + 120906 psi y + 864 psi x 2 4 2 3 2 2 2 3 2 4 - 8640 psi x y - 6438 psi x y + 184106 psi x y - 135468 psi x y 2 5 3 3 2 4 5 + 226918 psi y - 16848 psi x y + 121770 psi x y - 148149 psi x y 6 7 3 3 3 2 + 92016 psi y - 1458 y - 3978 psi x + 23652 psi x y 3 2 3 3 2 4 2 3 - 32886 psi x y - 6804 psi y + 4708 psi x - 50217 psi x y 2 2 2 2 3 2 4 4 + 125511 psi x y - 99198 psi x y - 65016 psi y + 384 psi x y 3 2 2 3 4 5 - 5472 psi x y + 20904 psi x y - 16425 psi x y - 35976 psi y 2 4 5 6 2 3 2 2 + 324 x y - 6318 x y + 5346 y + 3501 psi x - 16902 psi x y 2 2 2 3 4 3 + 24948 psi x y - 18306 psi y - 1056 psi x + 12584 psi x y 2 2 3 4 3 2 2 3 - 49461 psi x y + 38458 psi x y - 13854 psi y + 864 x y - 7488 x y 4 5 2 2 2 2 2 + 13095 x y - 8964 y + 810 psi x - 4860 psi x y + 7290 psi y 3 2 2 3 4 - 252 psi x + 6057 psi x y - 14229 psi x y + 18792 psi y + 64 x 3 2 2 3 4 2 - 1056 x y + 4708 x y - 8835 x y + 8116 y - 891 psi x + 4293 psi x y 2 2 2 3 2 2 - 4860 psi y - 252 x y + 3501 x y - 3978 y + 81 x - 891 x y + 810 y = 0 and in Maple notation -1458*psi^14*y^14+30618*psi^13*y^14-10206*psi^13*x*y^12+14580*psi^13*y^13-\ 275562*psi^12*y^14+126846*psi^12*x*y^12-272646*psi^12*y^13+1377810*psi^11*y^14-\ 30618*psi^12*x^2*y^10+87480*psi^12*x*y^11-62208*psi^12*y^12-8748*psi^11*x^2*y^ 11-524880*psi^11*x*y^12+2152008*psi^11*y^13-4133430*psi^10*y^14+174960*psi^11*x ^2*y^10-836163*psi^11*x*y^11+1004562*psi^11*y^12+104976*psi^10*x^2*y^11+393660* psi^10*x*y^12-9251010*psi^10*y^13+7440174*psi^9*y^14-51030*psi^11*x^3*y^8+ 218700*psi^11*x^2*y^9-305694*psi^11*x*y^10+161244*psi^11*y^11-34992*psi^10*x^3* y^9+163296*psi^10*x^2*y^10+1946430*psi^10*x*y^11-6700968*psi^10*y^12-472392*psi ^9*x^2*y^11+2952450*psi^9*x*y^12+23225940*psi^9*y^13-7440174*psi^8*y^14+43740* psi^10*x^3*y^8-590490*psi^10*x^2*y^9+2197692*psi^10*x*y^10-2113290*psi^10*y^11+ 104976*psi^9*x^3*y^9-2711880*psi^9*x^2*y^10+4658310*psi^9*x*y^11+23685210*psi^9 *y^12+944784*psi^8*x^2*y^11-8148762*psi^8*x*y^12-33657930*psi^8*y^13+3188646* psi^7*y^14-51030*psi^10*x^4*y^6+291600*psi^10*x^3*y^7-595350*psi^10*x^2*y^8+ 602532*psi^10*x*y^9-301266*psi^10*y^10-52488*psi^9*x^4*y^7+892296*psi^9*x^3*y^8 -3198852*psi^9*x^2*y^9-1578285*psi^9*x*y^10+10969992*psi^9*y^11+314928*psi^8*x^ 3*y^9+5550606*psi^8*x^2*y^10-27556200*psi^8*x*y^11-47239200*psi^8*y^12-708588* psi^7*x^2*y^11+6377292*psi^7*x*y^12+25509168*psi^7*y^13-109350*psi^9*x^4*y^6+ 546750*psi^9*x^3*y^7+329265*psi^9*x^2*y^8-4026591*psi^9*x*y^9+2965464*psi^9*y^ 10-104976*psi^8*x^4*y^7-393660*psi^8*x^3*y^8+11693160*psi^8*x^2*y^9-22668255* psi^8*x*y^10-28566594*psi^8*y^11-944784*psi^7*x^3*y^9-3936600*psi^7*x^2*y^10+ 40448565*psi^7*x*y^11+52317414*psi^7*y^12-7440174*psi^6*y^13-30618*psi^9*x^5*y^ 4+218700*psi^9*x^4*y^5-568620*psi^9*x^3*y^6+797688*psi^9*x^2*y^7-787644*psi^9*x *y^8+421704*psi^9*y^9-34992*psi^8*x^5*y^5+581742*psi^8*x^4*y^6-3600288*psi^8*x^ 3*y^7+7391574*psi^8*x^2*y^8+4052997*psi^8*x*y^9-10460178*psi^8*y^10+647352*psi^ 7*x^4*y^7-4737042*psi^7*x^3*y^8-8774244*psi^7*x^2*y^9+67283055*psi^7*x*y^10+ 39549708*psi^7*y^11+1653372*psi^6*x^2*y^10-17360406*psi^6*x*y^11-29760696*psi^6 *y^12-100602*psi^8*x^5*y^4+911250*psi^8*x^4*y^5-2159055*psi^8*x^3*y^6-1241244* psi^8*x^2*y^7+7339140*psi^8*x*y^8-2947644*psi^8*y^9-104976*psi^7*x^5*y^5+ 1544022*psi^7*x^4*y^6-4842018*psi^7*x^3*y^7-7650369*psi^7*x^2*y^8+23879124*psi^ 7*x*y^9+15399396*psi^7*y^10+2519424*psi^6*x^3*y^8+2690010*psi^6*x^2*y^9-\ 65564073*psi^6*x*y^10-30429918*psi^6*y^11+7440174*psi^5*y^12-10206*psi^8*x^6*y^ 2+87480*psi^8*x^5*y^3-257580*psi^8*x^4*y^4+390312*psi^8*x^3*y^5-564300*psi^8*x^ 2*y^6+720000*psi^8*x*y^7-451856*psi^8*y^8-8748*psi^7*x^6*y^3+110808*psi^7*x^5*y ^4-581256*psi^7*x^4*y^5+1350027*psi^7*x^3*y^6+3247371*psi^7*x^2*y^7-18671796* psi^7*x*y^8+6310224*psi^7*y^9-1405512*psi^6*x^4*y^6+11171196*psi^6*x^3*y^7-\ 5232762*psi^6*x^2*y^8-63237105*psi^6*x*y^9-8433072*psi^6*y^10-1653372*psi^5*x^2 *y^9+19840464*psi^5*x*y^10+15431472*psi^5*y^11-26244*psi^7*x^6*y^2+365229*psi^7 *x^5*y^3-1544265*psi^7*x^4*y^4+1153116*psi^7*x^3*y^5+5810184*psi^7*x^2*y^6-\ 9392310*psi^7*x*y^7+2067972*psi^7*y^8+209952*psi^6*x^5*y^4-3209058*psi^6*x^4*y^ 5+13626954*psi^6*x^3*y^6-16233534*psi^6*x^2*y^7+6821496*psi^6*x*y^8-3517668*psi ^6*y^9-2834352*psi^5*x^3*y^7+2672514*psi^5*x^2*y^8+49240305*psi^5*x*y^9+2899962 *psi^5*y^10-4133430*psi^4*y^11-1458*psi^7*x^7+14580*psi^7*x^6*y-35478*psi^7*x^5 *y^2-8532*psi^7*x^4*y^3+20304*psi^7*x^3*y^4+236304*psi^7*x^2*y^5-449324*psi^7*x *y^6+374136*psi^7*y^7+8748*psi^6*x^6*y^2+22842*psi^6*x^5*y^3-1033560*psi^6*x^4* y^4+5861187*psi^6*x^3*y^5-17798643*psi^6*x^2*y^6+26763912*psi^6*x*y^7-3045600* psi^6*y^8+1248048*psi^5*x^4*y^5-11334492*psi^5*x^3*y^6+19088136*psi^5*x^2*y^7+ 18775395*psi^5*x*y^8-1816668*psi^5*y^9+918540*psi^4*x^2*y^8-12400290*psi^4*x*y^ 9-2755620*psi^4*y^10+27702*psi^6*x^6*y-255393*psi^6*x^5*y^2+490050*psi^6*x^4*y^ 3+1766583*psi^6*x^3*y^4-6984576*psi^6*x^2*y^5+5646144*psi^6*x*y^6-1005524*psi^6 *y^7-163296*psi^5*x^5*y^3+2708478*psi^5*x^4*y^4-13156668*psi^5*x^3*y^5+24911685 *psi^5*x^2*y^6-26034048*psi^5*x*y^7+3231684*psi^5*y^8+1749600*psi^4*x^3*y^6-\ 4651020*psi^4*x^2*y^7-18184905*psi^4*x*y^8+3293622*psi^4*y^9+1377810*psi^3*y^10 +5346*psi^6*x^6-42444*psi^6*x^5*y+89262*psi^6*x^4*y^2-576*psi^6*x^3*y^3-118164* psi^6*x^2*y^4+185400*psi^6*x*y^5-221814*psi^6*y^6-2916*psi^5*x^6*y-114372*psi^5 *x^5*y^2+1496448*psi^5*x^4*y^3-6350166*psi^5*x^3*y^4+14302047*psi^5*x^2*y^5-\ 15979302*psi^5*x*y^6+1319184*psi^5*y^7-576720*psi^4*x^4*y^4+5987520*psi^4*x^3*y ^5-15045426*psi^4*x^2*y^6+5901255*psi^4*x*y^7-1310580*psi^4*y^8-306180*psi^3*x^ 2*y^7+4592700*psi^3*x*y^8-734832*psi^3*y^9-6318*psi^5*x^6+8991*psi^5*x^5*y+ 343170*psi^5*x^4*y^2-1843074*psi^5*x^3*y^3+2998242*psi^5*x^2*y^4-808998*psi^5*x *y^5+420138*psi^5*y^6+62208*psi^4*x^5*y^2-1093014*psi^4*x^4*y^3+5589432*psi^4*x ^3*y^4-11794248*psi^4*x^2*y^5+14533290*psi^4*x*y^6-1673460*psi^4*y^7-641520*psi ^3*x^3*y^5+2722572*psi^3*x^2*y^6+2501199*psi^3*x*y^7-780030*psi^3*y^8-275562* psi^2*y^9-8964*psi^5*x^5+61416*psi^5*x^4*y-112580*psi^5*x^3*y^2+41544*psi^5*x^2 *y^3-78246*psi^5*x*y^4+91908*psi^5*y^5+324*psi^4*x^6+54378*psi^4*x^5*y-559242* psi^4*x^4*y^2+1814694*psi^4*x^3*y^3-2985371*psi^4*x^2*y^4+2392110*psi^4*x*y^5+ 259026*psi^4*y^6+143640*psi^3*x^4*y^3-1690146*psi^3*x^3*y^4+5294268*psi^3*x^2*y ^5-4950315*psi^3*x*y^6+1360260*psi^3*y^7+61236*psi^2*x^2*y^6-1010394*psi^2*x*y^ 7+449064*psi^2*y^8+13095*psi^4*x^5-95940*psi^4*x^4*y+189807*psi^4*x^3*y^2+ 202044*psi^4*x^2*y^3-784242*psi^4*x*y^4-144990*psi^4*y^5-11664*psi^3*x^5*y+ 199044*psi^3*x^4*y^2-938682*psi^3*x^3*y^3+1714329*psi^3*x^2*y^4-2446740*psi^3*x *y^5-220662*psi^3*y^6+139968*psi^2*x^3*y^4-805950*psi^2*x^2*y^5+343845*psi^2*x* y^6-205578*psi^2*y^7+30618*psi*y^8+8116*psi^4*x^4-49656*psi^4*x^3*y+69606*psi^4 *x^2*y^2+22248*psi^4*x*y^3-9072*psi^4*y^4-7488*psi^3*x^5+49152*psi^3*x^4*y+ 33455*psi^3*x^3*y^2-434211*psi^3*x^2*y^3+651756*psi^3*x*y^4-163224*psi^3*y^5-\ 17064*psi^2*x^4*y^2+224964*psi^2*x^3*y^3-811782*psi^2*x^2*y^4+968085*psi^2*x*y^ 5-209466*psi^2*y^6-6804*psi*x^2*y^5+122472*psi*x*y^6-81648*psi*y^7-8835*psi^3*x ^4+59464*psi^3*x^3*y-149904*psi^3*x^2*y^2+119097*psi^3*x*y^3+120906*psi^3*y^4+ 864*psi^2*x^5-8640*psi^2*x^4*y-6438*psi^2*x^3*y^2+184106*psi^2*x^2*y^3-135468* psi^2*x*y^4+226918*psi^2*y^5-16848*psi*x^3*y^3+121770*psi*x^2*y^4-148149*psi*x* y^5+92016*psi*y^6-1458*y^7-3978*psi^3*x^3+23652*psi^3*x^2*y-32886*psi^3*x*y^2-\ 6804*psi^3*y^3+4708*psi^2*x^4-50217*psi^2*x^3*y+125511*psi^2*x^2*y^2-99198*psi^ 2*x*y^3-65016*psi^2*y^4+384*psi*x^4*y-5472*psi*x^3*y^2+20904*psi*x^2*y^3-16425* psi*x*y^4-35976*psi*y^5+324*x^2*y^4-6318*x*y^5+5346*y^6+3501*psi^2*x^3-16902* psi^2*x^2*y+24948*psi^2*x*y^2-18306*psi^2*y^3-1056*psi*x^4+12584*psi*x^3*y-\ 49461*psi*x^2*y^2+38458*psi*x*y^3-13854*psi*y^4+864*x^3*y^2-7488*x^2*y^3+13095* x*y^4-8964*y^5+810*psi^2*x^2-4860*psi^2*x*y+7290*psi^2*y^2-252*psi*x^3+6057*psi *x^2*y-14229*psi*x*y^2+18792*psi*y^3+64*x^4-1056*x^3*y+4708*x^2*y^2-8835*x*y^3+ 8116*y^4-891*psi*x^2+4293*psi*x*y-4860*psi*y^2-252*x^2*y+3501*x*y^2-3978*y^3+81 *x^2-891*x*y+810*y^2 = 0 --------------------------------------- This ends this paper that took, 271.847, seconds to generate ---------------------------- All these, 27, cases took, 3633.075, seconds altogether