On the Statistical Distribution of the Total Height on Ordered Trees where \ each vertex must have a Number of Children in the set, {0, 1, 2} By Shalosh B. Ekhad Let T(n) be the set of ordered (rooted) trees on n vertices where each verte\ x may be a leaf or else must have a number of children in the set, {1, 2} Let R0(x) be the ordinary generating function of the enumerating sequence. B\ y generatingfunctionlogy, R0(x) is the unique formal power series satisfying 2 R0(x) = x (1 + R0(x) + R0(x) ) The first, 20, terms of the enumerating sequence starting at n=1, are [1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284] Let H[n] be the random variable "sum of heights (distances from the root) of\ all vertices", and let P[n](y) be the its weight-enumeator defined on T[n], i.e. the sum of y^(TotalHeight) over \ all trees in T[n] Let R(x,y) be the bi-variate generating function: infinity ----- \ n R(x, y) = ) P[n](y) x / ----- n = 0 By generatingfunctionology, R(x,y) satisfies the functional equation 2 R(x, y) = x (1 + R(x y, y) + R(x y, y) ) While R(x,y) does not seem to have closed-form, we can use it to compute the\ first, N, terms of the sequence of weight-enumerators, P[n](y) 3 2 6 5 4 10 9 8 7 6 [1, y, y + y , y + y + 2 y , y + y + 2 y + 2 y + 3 y , 15 14 13 12 11 10 9 8 21 20 19 y + y + 2 y + 2 y + 5 y + 2 y + 6 y + 2 y , y + y + 2 y 18 17 16 15 14 13 12 11 10 28 + 2 y + 5 y + 4 y + 8 y + 6 y + 6 y + 9 y + 6 y + y , y 27 26 25 24 23 22 21 20 19 + y + 2 y + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y + 8 y + 10 y + 13 y 18 17 16 15 14 13 36 35 34 + 18 y + 7 y + 18 y + 12 y + 12 y + 4 y , y + y + 2 y 33 32 31 30 29 28 27 26 + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y + 10 y + 12 y + 17 y + 22 y 25 24 23 22 21 20 19 18 + 17 y + 28 y + 30 y + 28 y + 22 y + 33 y + 24 y + 27 y 17 16 45 44 43 42 41 40 39 + 18 y + 10 y , y + y + 2 y + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y 38 37 36 35 34 33 32 31 + 10 y + 14 y + 19 y + 26 y + 21 y + 38 y + 38 y + 50 y 30 29 28 27 26 25 24 23 + 40 y + 57 y + 54 y + 75 y + 44 y + 70 y + 48 y + 60 y 22 21 20 19 55 54 53 52 51 + 52 y + 46 y + 32 y + 16 y , y + y + 2 y + 2 y + 5 y 50 49 48 47 46 45 44 43 + 4 y + 10 y + 10 y + 14 y + 21 y + 28 y + 25 y + 42 y 42 41 40 39 38 37 36 35 + 48 y + 58 y + 60 y + 79 y + 80 y + 113 y + 92 y + 114 y 34 33 32 31 30 29 28 + 114 y + 144 y + 130 y + 120 y + 143 y + 130 y + 109 y 27 26 25 24 23 22 66 65 + 130 y + 104 y + 104 y + 78 y + 54 y + 19 y , y + y 64 63 62 61 60 59 58 57 + 2 y + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y + 10 y + 14 y + 21 y 56 55 54 53 52 51 50 49 + 30 y + 27 y + 46 y + 52 y + 68 y + 68 y + 99 y + 100 y 48 47 46 45 44 43 42 + 143 y + 132 y + 170 y + 160 y + 230 y + 214 y + 242 y 41 40 39 38 37 36 35 + 247 y + 274 y + 259 y + 340 y + 248 y + 340 y + 286 y 34 33 32 31 30 29 28 + 298 y + 255 y + 296 y + 242 y + 248 y + 206 y + 188 y 27 26 25 78 77 76 75 74 73 + 126 y + 78 y + 16 y , y + y + 2 y + 2 y + 5 y + 4 y 72 71 70 69 68 67 66 65 + 10 y + 10 y + 14 y + 21 y + 30 y + 29 y + 48 y + 56 y 64 63 62 61 60 59 58 + 72 y + 78 y + 107 y + 120 y + 163 y + 160 y + 214 y 57 56 55 54 53 52 51 + 218 y + 284 y + 302 y + 348 y + 371 y + 414 y + 439 y 50 49 48 47 46 45 44 + 532 y + 518 y + 584 y + 570 y + 622 y + 651 y + 706 y 43 42 41 40 39 38 37 + 620 y + 733 y + 690 y + 703 y + 656 y + 676 y + 600 y 36 35 34 33 32 31 30 + 594 y + 570 y + 537 y + 432 y + 424 y + 278 y + 202 y 29 28 91 90 89 88 87 86 85 + 80 y + 10 y , y + y + 2 y + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y 84 83 82 81 80 79 78 77 + 10 y + 14 y + 21 y + 30 y + 29 y + 50 y + 58 y + 76 y 76 75 74 73 72 71 70 + 82 y + 117 y + 128 y + 183 y + 180 y + 242 y + 260 y 69 68 67 66 65 64 63 + 346 y + 358 y + 444 y + 479 y + 560 y + 583 y + 750 y 62 61 60 59 58 57 56 + 738 y + 900 y + 880 y + 1024 y + 1029 y + 1264 y + 1162 y 55 54 53 52 51 50 + 1363 y + 1348 y + 1467 y + 1412 y + 1696 y + 1404 y 49 48 47 46 45 44 + 1680 y + 1598 y + 1723 y + 1536 y + 1680 y + 1548 y 43 42 41 40 39 38 + 1604 y + 1382 y + 1454 y + 1284 y + 1278 y + 1086 y 37 36 35 34 33 32 31 105 + 1052 y + 820 y + 668 y + 426 y + 240 y + 60 y + 4 y , y 104 103 102 101 100 99 98 97 + y + 2 y + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y + 10 y + 14 y 96 95 94 93 92 91 90 89 + 21 y + 30 y + 29 y + 50 y + 60 y + 78 y + 86 y + 121 y 88 87 86 85 84 83 82 + 138 y + 191 y + 200 y + 262 y + 288 y + 388 y + 418 y 81 80 79 78 77 76 75 + 504 y + 577 y + 676 y + 731 y + 916 y + 960 y + 1160 y 74 73 72 71 70 69 + 1226 y + 1372 y + 1501 y + 1764 y + 1790 y + 2067 y 68 67 66 65 64 63 + 2162 y + 2363 y + 2404 y + 2814 y + 2720 y + 3082 y 62 61 60 59 58 57 + 3140 y + 3331 y + 3262 y + 3674 y + 3666 y + 3670 y 56 55 54 53 52 51 + 3763 y + 3898 y + 3853 y + 4034 y + 3778 y + 3996 y 50 49 48 47 46 45 + 3818 y + 3842 y + 3517 y + 3526 y + 3324 y + 3136 y 44 43 42 41 40 39 + 2916 y + 2788 y + 2352 y + 2260 y + 1778 y + 1394 y 38 37 36 35 34 120 119 118 + 941 y + 540 y + 210 y + 28 y + y , y + y + 2 y 117 116 115 114 113 112 111 + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y + 10 y + 14 y + 21 y 110 109 108 107 106 105 104 + 30 y + 29 y + 50 y + 60 y + 80 y + 88 y + 125 y 103 102 101 100 99 98 97 + 142 y + 201 y + 208 y + 282 y + 308 y + 416 y + 460 y 96 95 94 93 92 91 90 + 564 y + 635 y + 778 y + 849 y + 1072 y + 1128 y + 1404 y 89 88 87 86 85 84 + 1490 y + 1758 y + 1881 y + 2276 y + 2352 y + 2821 y 83 82 81 80 79 78 + 2940 y + 3353 y + 3482 y + 4092 y + 4060 y + 4824 y 77 76 75 74 73 72 + 4896 y + 5507 y + 5416 y + 6262 y + 6286 y + 6934 y 71 70 69 68 67 66 + 6913 y + 7610 y + 7623 y + 8228 y + 8004 y + 9126 y 65 64 63 62 61 60 + 8446 y + 9300 y + 8901 y + 9556 y + 9248 y + 9704 y 59 58 57 56 55 54 + 9246 y + 9874 y + 9112 y + 9768 y + 8954 y + 9190 y 53 52 51 50 49 48 + 8529 y + 8458 y + 7690 y + 7618 y + 6925 y + 6730 y 47 46 45 44 43 42 + 5678 y + 5508 y + 4536 y + 3870 y + 2846 y + 1984 y 41 40 39 38 136 135 134 133 + 1140 y + 528 y + 112 y + 8 y , y + y + 2 y + 2 y 132 131 130 129 128 127 126 + 5 y + 4 y + 10 y + 10 y + 14 y + 21 y + 30 y 125 124 123 122 121 120 119 + 29 y + 50 y + 60 y + 80 y + 90 y + 127 y + 146 y 118 117 116 115 114 113 + 205 y + 218 y + 290 y + 328 y + 436 y + 488 y 112 111 110 109 108 107 + 606 y + 695 y + 836 y + 949 y + 1194 y + 1286 y 106 105 104 103 102 101 + 1580 y + 1736 y + 2044 y + 2271 y + 2696 y + 2896 y 100 99 98 97 96 95 + 3425 y + 3758 y + 4249 y + 4550 y + 5350 y + 5534 y 94 93 92 91 90 89 + 6446 y + 6906 y + 7679 y + 8020 y + 9120 y + 9438 y 88 87 86 85 84 83 + 10492 y + 11067 y + 12010 y + 12639 y + 13670 y + 13970 y 82 81 80 79 78 77 + 15402 y + 15668 y + 16786 y + 17227 y + 18456 y + 18648 y 76 75 74 73 72 71 + 19448 y + 20032 y + 21428 y + 20708 y + 22279 y + 22000 y 70 69 68 67 66 65 + 22837 y + 22891 y + 23460 y + 22894 y + 23690 y + 23399 y 64 63 62 61 60 59 + 23701 y + 23000 y + 23362 y + 22482 y + 22626 y + 21422 y 58 57 56 55 54 53 + 20848 y + 19794 y + 19194 y + 17524 y + 17047 y + 15418 y 52 51 50 49 48 47 + 14594 y + 12684 y + 11629 y + 9596 y + 7924 y + 5810 y 46 45 44 43 42 153 152 151 + 3980 y + 2344 y + 1124 y + 316 y + 36 y , y + y + 2 y 150 149 148 147 146 145 144 + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y + 10 y + 14 y + 21 y 143 142 141 140 139 138 137 + 30 y + 29 y + 50 y + 60 y + 80 y + 90 y + 129 y 136 135 134 133 132 131 + 148 y + 209 y + 222 y + 300 y + 336 y + 456 y 130 129 128 127 126 125 + 508 y + 634 y + 737 y + 896 y + 1007 y + 1294 y 124 123 122 121 120 119 + 1406 y + 1742 y + 1914 y + 2298 y + 2559 y + 3108 y 118 117 116 115 114 113 + 3320 y + 4009 y + 4394 y + 5109 y + 5512 y + 6538 y 112 111 110 109 108 107 + 6862 y + 8104 y + 8728 y + 9985 y + 10456 y + 12184 y 106 105 104 103 102 + 12712 y + 14418 y + 15269 y + 17134 y + 17989 y 101 100 99 98 97 96 + 20192 y + 20808 y + 23284 y + 24014 y + 26612 y + 27151 y 95 94 93 92 91 90 + 30382 y + 30906 y + 33494 y + 34156 y + 37708 y + 37504 y 89 88 87 86 85 84 + 41193 y + 41178 y + 44313 y + 44923 y + 47522 y + 46952 y 83 82 81 80 79 78 + 51526 y + 50199 y + 53679 y + 52836 y + 55752 y + 54788 y 77 76 75 74 73 72 + 58008 y + 56644 y + 58486 y + 57188 y + 59694 y + 57318 y 71 70 69 68 67 66 + 59911 y + 57226 y + 58608 y + 56418 y + 57639 y + 54474 y 65 64 63 62 61 60 + 54932 y + 51026 y + 51016 y + 47260 y + 46136 y + 41948 y 59 58 57 56 55 54 + 41040 y + 36996 y + 34550 y + 31086 y + 28348 y + 23672 y 53 52 51 50 49 48 + 20426 y + 15520 y + 11756 y + 7662 y + 4664 y + 2192 y 47 46 171 170 169 168 167 166 + 716 y + 112 y , y + y + 2 y + 2 y + 5 y + 4 y 165 164 163 162 161 160 159 + 10 y + 10 y + 14 y + 21 y + 30 y + 29 y + 50 y 158 157 156 155 154 153 152 + 60 y + 80 y + 90 y + 129 y + 150 y + 211 y + 226 y 151 150 149 148 147 146 + 304 y + 346 y + 464 y + 528 y + 654 y + 765 y 145 144 143 142 141 140 + 938 y + 1067 y + 1352 y + 1506 y + 1862 y + 2074 y 139 138 137 136 135 134 + 2480 y + 2815 y + 3404 y + 3734 y + 4455 y + 4982 y 133 132 131 130 129 128 + 5785 y + 6404 y + 7542 y + 8116 y + 9554 y + 10458 y 127 126 125 124 123 + 11983 y + 12966 y + 14920 y + 16054 y + 18148 y 122 121 120 119 118 + 19655 y + 22096 y + 23825 y + 26588 y + 28322 y 117 116 115 114 113 + 31702 y + 33534 y + 36960 y + 39283 y + 43236 y 112 111 110 109 108 + 45784 y + 49800 y + 52210 y + 57122 y + 59438 y 107 106 105 104 103 + 64455 y + 66960 y + 72261 y + 75211 y + 80348 y 102 101 100 99 98 + 82380 y + 88842 y + 91089 y + 96805 y + 98778 y 97 96 95 94 93 + 104880 y + 107244 y + 113020 y + 113784 y + 119666 y 92 91 90 89 88 + 122468 y + 126172 y + 128147 y + 133279 y + 133719 y 87 86 85 84 83 + 138158 y + 138758 y + 143469 y + 142386 y + 146814 y 82 81 80 79 78 + 144829 y + 147678 y + 146818 y + 148912 y + 146264 y 77 76 75 74 73 + 148216 y + 144760 y + 146100 y + 142824 y + 141870 y 72 71 70 69 68 + 137541 y + 136070 y + 130590 y + 126454 y + 120365 y 67 66 65 64 63 62 + 116364 y + 108048 y + 104152 y + 95506 y + 90494 y + 82114 y 61 60 59 58 57 56 + 75730 y + 66732 y + 59854 y + 49529 y + 40514 y + 31072 y 55 54 53 52 51 50 190 + 22334 y + 14755 y + 8700 y + 4094 y + 1400 y + 266 y , y 189 188 187 186 185 184 183 182 + y + 2 y + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y + 10 y + 14 y 181 180 179 178 177 176 175 + 21 y + 30 y + 29 y + 50 y + 60 y + 80 y + 90 y 174 173 172 171 170 169 + 129 y + 150 y + 213 y + 228 y + 308 y + 350 y 168 167 166 165 164 163 + 474 y + 536 y + 674 y + 785 y + 966 y + 1109 y 162 161 160 159 158 157 + 1412 y + 1564 y + 1962 y + 2194 y + 2640 y + 2995 y 156 155 154 153 152 151 + 3664 y + 4032 y + 4877 y + 5430 y + 6395 y + 7084 y 150 149 148 147 146 + 8474 y + 9152 y + 10850 y + 11974 y + 13835 y 145 144 143 142 141 + 15038 y + 17608 y + 18986 y + 21794 y + 23667 y 140 139 138 137 136 + 26952 y + 29243 y + 33228 y + 35416 y + 40328 y 135 134 133 132 131 + 43018 y + 48098 y + 51353 y + 57626 y + 61016 y 130 129 128 127 126 + 67840 y + 71788 y + 79770 y + 83270 y + 92431 y 125 124 123 122 121 + 96416 y + 105919 y + 111165 y + 121076 y + 125440 y 120 119 118 117 116 + 137684 y + 142179 y + 154207 y + 158656 y + 172138 y 115 114 113 112 111 + 176476 y + 191312 y + 194758 y + 208354 y + 214120 y 110 109 108 107 106 + 228280 y + 231543 y + 247845 y + 250855 y + 265404 y 105 104 103 102 101 + 270284 y + 284395 y + 284750 y + 304110 y + 302263 y 100 99 98 97 96 + 317856 y + 319250 y + 333396 y + 331946 y + 346532 y 95 94 93 92 91 + 345648 y + 358692 y + 355232 y + 368430 y + 363383 y 90 89 88 87 86 + 375700 y + 369492 y + 378494 y + 371719 y + 380392 y 85 84 83 82 81 + 370774 y + 378276 y + 367198 y + 373428 y + 361692 y 80 79 78 77 76 + 364428 y + 350842 y + 352564 y + 336969 y + 331984 y 75 74 73 72 71 + 315300 y + 309746 y + 289189 y + 281258 y + 259450 y 70 69 68 67 66 + 250286 y + 229810 y + 216634 y + 196974 y + 181868 y 65 64 63 62 61 + 160858 y + 143916 y + 121050 y + 102040 y + 78532 y 60 59 58 57 56 55 + 60262 y + 41646 y + 27388 y + 15548 y + 7252 y + 2492 y 54 + 504 y ] and in Maple notation [1, y, y^3+y^2, y^6+y^5+2*y^4, y^10+y^9+2*y^8+2*y^7+3*y^6, y^15+y^14+2*y^13+2*y ^12+5*y^11+2*y^10+6*y^9+2*y^8, y^21+y^20+2*y^19+2*y^18+5*y^17+4*y^16+8*y^15+6*y ^14+6*y^13+9*y^12+6*y^11+y^10, y^28+y^27+2*y^26+2*y^25+5*y^24+4*y^23+10*y^22+8* y^21+10*y^20+13*y^19+18*y^18+7*y^17+18*y^16+12*y^15+12*y^14+4*y^13, y^36+y^35+2 *y^34+2*y^33+5*y^32+4*y^31+10*y^30+10*y^29+12*y^28+17*y^27+22*y^26+17*y^25+28*y ^24+30*y^23+28*y^22+22*y^21+33*y^20+24*y^19+27*y^18+18*y^17+10*y^16, y^45+y^44+ 2*y^43+2*y^42+5*y^41+4*y^40+10*y^39+10*y^38+14*y^37+19*y^36+26*y^35+21*y^34+38* y^33+38*y^32+50*y^31+40*y^30+57*y^29+54*y^28+75*y^27+44*y^26+70*y^25+48*y^24+60 *y^23+52*y^22+46*y^21+32*y^20+16*y^19, y^55+y^54+2*y^53+2*y^52+5*y^51+4*y^50+10 *y^49+10*y^48+14*y^47+21*y^46+28*y^45+25*y^44+42*y^43+48*y^42+58*y^41+60*y^40+ 79*y^39+80*y^38+113*y^37+92*y^36+114*y^35+114*y^34+144*y^33+130*y^32+120*y^31+ 143*y^30+130*y^29+109*y^28+130*y^27+104*y^26+104*y^25+78*y^24+54*y^23+19*y^22, y^66+y^65+2*y^64+2*y^63+5*y^62+4*y^61+10*y^60+10*y^59+14*y^58+21*y^57+30*y^56+ 27*y^55+46*y^54+52*y^53+68*y^52+68*y^51+99*y^50+100*y^49+143*y^48+132*y^47+170* y^46+160*y^45+230*y^44+214*y^43+242*y^42+247*y^41+274*y^40+259*y^39+340*y^38+ 248*y^37+340*y^36+286*y^35+298*y^34+255*y^33+296*y^32+242*y^31+248*y^30+206*y^ 29+188*y^28+126*y^27+78*y^26+16*y^25, y^78+y^77+2*y^76+2*y^75+5*y^74+4*y^73+10* y^72+10*y^71+14*y^70+21*y^69+30*y^68+29*y^67+48*y^66+56*y^65+72*y^64+78*y^63+ 107*y^62+120*y^61+163*y^60+160*y^59+214*y^58+218*y^57+284*y^56+302*y^55+348*y^ 54+371*y^53+414*y^52+439*y^51+532*y^50+518*y^49+584*y^48+570*y^47+622*y^46+651* y^45+706*y^44+620*y^43+733*y^42+690*y^41+703*y^40+656*y^39+676*y^38+600*y^37+ 594*y^36+570*y^35+537*y^34+432*y^33+424*y^32+278*y^31+202*y^30+80*y^29+10*y^28, y^91+y^90+2*y^89+2*y^88+5*y^87+4*y^86+10*y^85+10*y^84+14*y^83+21*y^82+30*y^81+ 29*y^80+50*y^79+58*y^78+76*y^77+82*y^76+117*y^75+128*y^74+183*y^73+180*y^72+242 *y^71+260*y^70+346*y^69+358*y^68+444*y^67+479*y^66+560*y^65+583*y^64+750*y^63+ 738*y^62+900*y^61+880*y^60+1024*y^59+1029*y^58+1264*y^57+1162*y^56+1363*y^55+ 1348*y^54+1467*y^53+1412*y^52+1696*y^51+1404*y^50+1680*y^49+1598*y^48+1723*y^47 +1536*y^46+1680*y^45+1548*y^44+1604*y^43+1382*y^42+1454*y^41+1284*y^40+1278*y^ 39+1086*y^38+1052*y^37+820*y^36+668*y^35+426*y^34+240*y^33+60*y^32+4*y^31, y^ 105+y^104+2*y^103+2*y^102+5*y^101+4*y^100+10*y^99+10*y^98+14*y^97+21*y^96+30*y^ 95+29*y^94+50*y^93+60*y^92+78*y^91+86*y^90+121*y^89+138*y^88+191*y^87+200*y^86+ 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18648*y^77+19448*y^76+20032*y^75+21428*y^74+20708*y^73+22279*y^72+22000*y^71+ 22837*y^70+22891*y^69+23460*y^68+22894*y^67+23690*y^66+23399*y^65+23701*y^64+ 23000*y^63+23362*y^62+22482*y^61+22626*y^60+21422*y^59+20848*y^58+19794*y^57+ 19194*y^56+17524*y^55+17047*y^54+15418*y^53+14594*y^52+12684*y^51+11629*y^50+ 9596*y^49+7924*y^48+5810*y^47+3980*y^46+2344*y^45+1124*y^44+316*y^43+36*y^42, y ^153+y^152+2*y^151+2*y^150+5*y^149+4*y^148+10*y^147+10*y^146+14*y^145+21*y^144+ 30*y^143+29*y^142+50*y^141+60*y^140+80*y^139+90*y^138+129*y^137+148*y^136+209*y ^135+222*y^134+300*y^133+336*y^132+456*y^131+508*y^130+634*y^129+737*y^128+896* y^127+1007*y^126+1294*y^125+1406*y^124+1742*y^123+1914*y^122+2298*y^121+2559*y^ 120+3108*y^119+3320*y^118+4009*y^117+4394*y^116+5109*y^115+5512*y^114+6538*y^ 113+6862*y^112+8104*y^111+8728*y^110+9985*y^109+10456*y^108+12184*y^107+12712*y ^106+14418*y^105+15269*y^104+17134*y^103+17989*y^102+20192*y^101+20808*y^100+ 23284*y^99+24014*y^98+26612*y^97+27151*y^96+30382*y^95+30906*y^94+33494*y^93+ 34156*y^92+37708*y^91+37504*y^90+41193*y^89+41178*y^88+44313*y^87+44923*y^86+ 47522*y^85+46952*y^84+51526*y^83+50199*y^82+53679*y^81+52836*y^80+55752*y^79+ 54788*y^78+58008*y^77+56644*y^76+58486*y^75+57188*y^74+59694*y^73+57318*y^72+ 59911*y^71+57226*y^70+58608*y^69+56418*y^68+57639*y^67+54474*y^66+54932*y^65+ 51026*y^64+51016*y^63+47260*y^62+46136*y^61+41948*y^60+41040*y^59+36996*y^58+ 34550*y^57+31086*y^56+28348*y^55+23672*y^54+20426*y^53+15520*y^52+11756*y^51+ 7662*y^50+4664*y^49+2192*y^48+716*y^47+112*y^46, y^171+y^170+2*y^169+2*y^168+5* y^167+4*y^166+10*y^165+10*y^164+14*y^163+21*y^162+30*y^161+29*y^160+50*y^159+60 *y^158+80*y^157+90*y^156+129*y^155+150*y^154+211*y^153+226*y^152+304*y^151+346* y^150+464*y^149+528*y^148+654*y^147+765*y^146+938*y^145+1067*y^144+1352*y^143+ 1506*y^142+1862*y^141+2074*y^140+2480*y^139+2815*y^138+3404*y^137+3734*y^136+ 4455*y^135+4982*y^134+5785*y^133+6404*y^132+7542*y^131+8116*y^130+9554*y^129+ 10458*y^128+11983*y^127+12966*y^126+14920*y^125+16054*y^124+18148*y^123+19655*y ^122+22096*y^121+23825*y^120+26588*y^119+28322*y^118+31702*y^117+33534*y^116+ 36960*y^115+39283*y^114+43236*y^113+45784*y^112+49800*y^111+52210*y^110+57122*y ^109+59438*y^108+64455*y^107+66960*y^106+72261*y^105+75211*y^104+80348*y^103+ 82380*y^102+88842*y^101+91089*y^100+96805*y^99+98778*y^98+104880*y^97+107244*y^ 96+113020*y^95+113784*y^94+119666*y^93+122468*y^92+126172*y^91+128147*y^90+ 133279*y^89+133719*y^88+138158*y^87+138758*y^86+143469*y^85+142386*y^84+146814* y^83+144829*y^82+147678*y^81+146818*y^80+148912*y^79+146264*y^78+148216*y^77+ 144760*y^76+146100*y^75+142824*y^74+141870*y^73+137541*y^72+136070*y^71+130590* y^70+126454*y^69+120365*y^68+116364*y^67+108048*y^66+104152*y^65+95506*y^64+ 90494*y^63+82114*y^62+75730*y^61+66732*y^60+59854*y^59+49529*y^58+40514*y^57+ 31072*y^56+22334*y^55+14755*y^54+8700*y^53+4094*y^52+1400*y^51+266*y^50, y^190+ y^189+2*y^188+2*y^187+5*y^186+4*y^185+10*y^184+10*y^183+14*y^182+21*y^181+30*y^ 180+29*y^179+50*y^178+60*y^177+80*y^176+90*y^175+129*y^174+150*y^173+213*y^172+ 228*y^171+308*y^170+350*y^169+474*y^168+536*y^167+674*y^166+785*y^165+966*y^164 +1109*y^163+1412*y^162+1564*y^161+1962*y^160+2194*y^159+2640*y^158+2995*y^157+ 3664*y^156+4032*y^155+4877*y^154+5430*y^153+6395*y^152+7084*y^151+8474*y^150+ 9152*y^149+10850*y^148+11974*y^147+13835*y^146+15038*y^145+17608*y^144+18986*y^ 143+21794*y^142+23667*y^141+26952*y^140+29243*y^139+33228*y^138+35416*y^137+ 40328*y^136+43018*y^135+48098*y^134+51353*y^133+57626*y^132+61016*y^131+67840*y ^130+71788*y^129+79770*y^128+83270*y^127+92431*y^126+96416*y^125+105919*y^124+ 111165*y^123+121076*y^122+125440*y^121+137684*y^120+142179*y^119+154207*y^118+ 158656*y^117+172138*y^116+176476*y^115+191312*y^114+194758*y^113+208354*y^112+ 214120*y^111+228280*y^110+231543*y^109+247845*y^108+250855*y^107+265404*y^106+ 270284*y^105+284395*y^104+284750*y^103+304110*y^102+302263*y^101+317856*y^100+ 319250*y^99+333396*y^98+331946*y^97+346532*y^96+345648*y^95+358692*y^94+355232* y^93+368430*y^92+363383*y^91+375700*y^90+369492*y^89+378494*y^88+371719*y^87+ 380392*y^86+370774*y^85+378276*y^84+367198*y^83+373428*y^82+361692*y^81+364428* y^80+350842*y^79+352564*y^78+336969*y^77+331984*y^76+315300*y^75+309746*y^74+ 289189*y^73+281258*y^72+259450*y^71+250286*y^70+229810*y^69+216634*y^68+196974* y^67+181868*y^66+160858*y^65+143916*y^64+121050*y^63+102040*y^62+78532*y^61+ 60262*y^60+41646*y^59+27388*y^58+15548*y^57+7252*y^56+2492*y^55+504*y^54] Let N[i](n) be the sum of the i-th powers of the Total Heights if all trees\ in T[n]. Note that N[0](n) is the straight enumeration. Let R[i](x) be the ordinary generating function of N[i](n), i.e. infinity ----- \ n R[i](x) = ) N[i](n) x / ----- n = 0 We have the following theorems expressing, R[i](x), in terms of R0(x) and x Theorem Number, 1, : x R0(x) - 2 R0(x) + 2 x R[1](x) = ----------------------- 2 3 x + 2 x - 1 and in Maple notation, abbreviating R0(x) to R0 (R0*x-2*R0+2*x)/(3*x^2+2*x-1) Theorem Number, 2, : 4 3 2 3 2 R[2](x) = (9 R0(x) x + 27 R0(x) x - 33 R0(x) x + 36 x - 19 x R0(x) + 14 x / 2 2 + 4 R0(x) - 4 x) / ((2 x R0(x) + x - 1) (3 x + 2 x - 1) ) / and in Maple notation, abbreviating R0(x) to R0 (9*R0*x^4+27*R0*x^3-33*R0*x^2+36*x^3-19*R0*x+14*x^2+4*R0-4*x)/(2*R0*x+x-1)/(3*x ^2+2*x-1)^2 Theorem Number, 3, : 8 7 6 7 5 R[3](x) = (81 R0(x) x + 729 R0(x) x - 2079 R0(x) x + 1188 x - 4269 R0(x) x 6 4 5 3 4 2 + 1458 x - 621 R0(x) x - 1134 x + 623 R0(x) x - 1088 x + 363 R0(x) x 3 2 / - 354 x - 51 x R0(x) + 42 x + 8 R0(x) - 8 x) / ((2 x R0(x) + x - 1) / 2 4 (3 x + 2 x - 1) ) and in Maple notation, abbreviating R0(x) to R0 (81*R0*x^8+729*R0*x^7-2079*R0*x^6+1188*x^7-4269*R0*x^5+1458*x^6-621*R0*x^4-1134 *x^5+623*R0*x^3-1088*x^4+363*R0*x^2-354*x^3-51*R0*x+42*x^2+8*R0-8*x)/(2*R0*x+x-\ 1)/(3*x^2+2*x-1)^4 Theorem Number, 4, : 10 9 8 9 R[4](x) = (243 R0(x) x + 6075 R0(x) x - 56052 R0(x) x + 11664 x 7 8 6 7 5 - 129420 R0(x) x + 13014 x - 5670 R0(x) x - 92448 x + 1122 R0(x) x 6 4 5 3 4 - 74862 x + 62092 R0(x) x - 79784 x + 19748 R0(x) x - 22286 x 2 3 2 / + 3531 R0(x) x - 3648 x + 235 x R0(x) - 218 x - 16 R0(x) + 16 x) / ( / 2 5 (3 x + 2 x - 1) (2 x R0(x) + x - 1)) and in Maple notation, abbreviating R0(x) to R0 (243*R0*x^10+6075*R0*x^9-56052*R0*x^8+11664*x^9-129420*R0*x^7+13014*x^8-5670*R0 *x^6-92448*x^7+1122*R0*x^5-74862*x^6+62092*R0*x^4-79784*x^5+19748*R0*x^3-22286* x^4+3531*R0*x^2-3648*x^3+235*R0*x-218*x^2-16*R0+16*x)/(3*x^2+2*x-1)^5/(2*R0*x+x -1) These can be used to crank-out many terms, obtain recurrences, that in turn \ generate MANY new terms, and using these we can estimate the limits of the sequence of averages divided by n^(3/2) from n=, 2000, to n= , 2020, are [1.479803656, 1.479817269, 1.479830873, 1.479844467, 1.479858051, 1.479871624, 1.479885187, 1.479898740, 1.479912283, 1.479925817, 1.479939340, 1.479952854, 1.479966356, 1.479979850, 1.479993333, 1.480006806, 1.480020269, 1.480033723, 1.480047167, 1.480060601, 1.480074025] the sequence of coefficients of variation (standard-deviation divided by the\ average) are from n=, 2000, to n= , 2020, are [0.2413810344, 0.2413824313, 0.2413838270, 0.2413852217, 0.2413866155, 0.2413880082, 0.2413894001, 0.2413907906, 0.2413921804, 0.2413935689, 0.2413949564, 0.2413963430, 0.2413977285, 0.2413991130, 0.2414004965, 0.2414018789, 0.2414032605, 0.2414046408, 0.2414060202, 0.2414073986, 0.2414087759] the sequence of coefficients of , 3, scaled moments (aka alpha coefficients) from n= , 2000, to n= , 2020, are [0.6759393142, 0.6759454796, 0.6759516409, 0.6759577969, 0.6759639486, 0.6759700958, 0.6759762382, 0.6759823764, 0.6759885091, 0.6759946380, 0.6760007621, 0.6760068819, 0.6760129969, 0.6760191070, 0.6760252127, 0.6760313150, 0.6760374116, 0.6760435040, 0.6760495919, 0.6760556749, 0.6760617531] the sequence of coefficients of , 4, scaled moments (aka alpha coefficients) from n= , 2000, to n= , 2020, are [3.477086304, 3.477107035, 3.477127751, 3.477148451, 3.477169136, 3.477189805, 3.477210459, 3.477231097, 3.477251720, 3.477272328, 3.477292921, 3.477313498, 3.477334060, 3.477354606, 3.477375138, 3.477395654, 3.477416155, 3.477436640, 3.477457111, 3.477477566, 3.477498007] ----------------------------------------------------------------------------\ ------ This ends this article that took, 8.557, seconds to generate. ----------------------------------------------------------------------------\ ---------