The first, 12, terms of the sequence of generating functions according to the\ statistic SumOfHeights defined on trees where every vertex is either a leaf or else must have a number of vertices in the \ set, {1, 3, 4, 5}, done from first-principle is 3 6 3 10 7 5 4 [1, y, y , y + y , y + y + 3 y + y , 15 12 10 9 8 7 6 5 21 18 16 15 y + y + 3 y + y + 3 y + 3 y + 4 y + y , y + y + 3 y + y 14 13 12 11 10 9 8 7 28 25 + 3 y + 3 y + 7 y + y + 6 y + 8 y + 6 y + 5 y , y + y 23 22 21 20 19 18 17 16 15 + 3 y + y + 3 y + 3 y + 7 y + y + 9 y + 8 y + 6 y 14 13 12 11 10 9 36 33 31 + 14 y + 7 y + 12 y + 21 y + 13 y + 10 y , y + y + 3 y 30 29 28 27 26 25 24 23 22 + y + 3 y + 3 y + 7 y + y + 9 y + 8 y + 9 y + 14 y 21 20 19 18 17 16 15 14 + 7 y + 15 y + 27 y + 26 y + 19 y + 18 y + 28 y + 47 y 13 12 11 45 42 40 39 38 37 + 36 y + 37 y + 15 y , y + y + 3 y + y + 3 y + 3 y 36 35 34 33 32 31 30 29 28 + 7 y + y + 9 y + 8 y + 9 y + 14 y + 10 y + 15 y + 27 y 27 26 25 24 23 22 21 20 + 29 y + 19 y + 33 y + 35 y + 56 y + 57 y + 68 y + 48 y 19 18 17 16 15 14 13 55 52 + 53 y + 68 y + 90 y + 109 y + 90 y + 73 y + 30 y , y + y 50 49 48 47 46 45 44 43 42 + 3 y + y + 3 y + 3 y + 7 y + y + 9 y + 8 y + 9 y 41 40 39 38 37 36 35 34 + 14 y + 10 y + 15 y + 30 y + 29 y + 19 y + 36 y + 35 y 33 32 31 30 29 28 27 26 + 65 y + 66 y + 81 y + 57 y + 80 y + 81 y + 138 y + 169 y 25 24 23 22 21 20 19 + 141 y + 154 y + 162 y + 111 y + 204 y + 219 y + 245 y 18 17 16 15 66 63 61 60 59 + 239 y + 197 y + 154 y + 56 y , y + y + 3 y + y + 3 y 58 57 56 55 54 53 52 51 50 + 3 y + 7 y + y + 9 y + 8 y + 9 y + 14 y + 10 y + 15 y 49 48 47 46 45 44 43 42 + 30 y + 29 y + 22 y + 36 y + 35 y + 68 y + 66 y + 90 y 41 40 39 38 37 36 35 + 60 y + 95 y + 94 y + 159 y + 178 y + 172 y + 202 y 34 33 32 31 30 29 28 + 210 y + 187 y + 272 y + 324 y + 396 y + 419 y + 419 y 27 26 25 24 23 22 21 + 389 y + 385 y + 410 y + 507 y + 588 y + 593 y + 586 y 20 19 18 17 + 544 y + 399 y + 320 y + 80 y ] and in Maple notation [1, y, y^3, y^6+y^3, y^10+y^7+3*y^5+y^4, y^15+y^12+3*y^10+y^9+3*y^8+3*y^7+4*y^6 +y^5, y^21+y^18+3*y^16+y^15+3*y^14+3*y^13+7*y^12+y^11+6*y^10+8*y^9+6*y^8+5*y^7, y^28+y^25+3*y^23+y^22+3*y^21+3*y^20+7*y^19+y^18+9*y^17+8*y^16+6*y^15+14*y^14+7* y^13+12*y^12+21*y^11+13*y^10+10*y^9, y^36+y^33+3*y^31+y^30+3*y^29+3*y^28+7*y^27 +y^26+9*y^25+8*y^24+9*y^23+14*y^22+7*y^21+15*y^20+27*y^19+26*y^18+19*y^17+18*y^ 16+28*y^15+47*y^14+36*y^13+37*y^12+15*y^11, y^45+y^42+3*y^40+y^39+3*y^38+3*y^37 +7*y^36+y^35+9*y^34+8*y^33+9*y^32+14*y^31+10*y^30+15*y^29+27*y^28+29*y^27+19*y^ 26+33*y^25+35*y^24+56*y^23+57*y^22+68*y^21+48*y^20+53*y^19+68*y^18+90*y^17+109* y^16+90*y^15+73*y^14+30*y^13, y^55+y^52+3*y^50+y^49+3*y^48+3*y^47+7*y^46+y^45+9 *y^44+8*y^43+9*y^42+14*y^41+10*y^40+15*y^39+30*y^38+29*y^37+19*y^36+36*y^35+35* y^34+65*y^33+66*y^32+81*y^31+57*y^30+80*y^29+81*y^28+138*y^27+169*y^26+141*y^25 +154*y^24+162*y^23+111*y^22+204*y^21+219*y^20+245*y^19+239*y^18+197*y^17+154*y^ 16+56*y^15, y^66+y^63+3*y^61+y^60+3*y^59+3*y^58+7*y^57+y^56+9*y^55+8*y^54+9*y^ 53+14*y^52+10*y^51+15*y^50+30*y^49+29*y^48+22*y^47+36*y^46+35*y^45+68*y^44+66*y ^43+90*y^42+60*y^41+95*y^40+94*y^39+159*y^38+178*y^37+172*y^36+202*y^35+210*y^ 34+187*y^33+272*y^32+324*y^31+396*y^30+419*y^29+419*y^28+389*y^27+385*y^26+410* y^25+507*y^24+588*y^23+593*y^22+586*y^21+544*y^20+399*y^19+320*y^18+80*y^17]