The first, 12, terms of the sequence of generating functions according to the\ statistic SumOfHeights defined on trees where every vertex is either a leaf or else must have a number of vertices in the \ set, {1, 2, 3}, done from first-principle is 3 2 6 5 4 3 10 9 8 7 6 5 [1, y, y + y , y + y + 2 y + y , y + y + 2 y + 3 y + 3 y + 3 y , 15 14 13 12 11 10 9 8 7 21 20 y + y + 2 y + 3 y + 5 y + 5 y + 6 y + 7 y + 6 y , y + y 19 18 17 16 15 14 13 12 + 2 y + 3 y + 5 y + 7 y + 8 y + 11 y + 14 y + 12 y 11 10 9 28 27 26 25 24 23 + 15 y + 15 y + 10 y , y + y + 2 y + 3 y + 5 y + 7 y 22 21 20 19 18 17 16 15 + 10 y + 13 y + 18 y + 18 y + 27 y + 30 y + 31 y + 30 y 14 13 12 11 36 35 34 33 32 + 39 y + 30 y + 32 y + 12 y , y + y + 2 y + 3 y + 5 y 31 30 29 28 27 26 25 24 + 7 y + 10 y + 15 y + 20 y + 22 y + 33 y + 40 y + 47 y 23 22 21 20 19 18 17 16 + 51 y + 68 y + 72 y + 80 y + 81 y + 78 y + 88 y + 84 y 15 14 13 45 44 43 42 41 40 + 70 y + 49 y + 12 y , y + y + 2 y + 3 y + 5 y + 7 y 39 38 37 36 35 34 33 32 + 10 y + 15 y + 22 y + 24 y + 37 y + 46 y + 57 y + 65 y 31 30 29 28 27 26 25 + 90 y + 103 y + 123 y + 129 y + 153 y + 181 y + 197 y 24 23 22 21 20 19 18 + 196 y + 226 y + 198 y + 222 y + 210 y + 208 y + 178 y 17 16 15 55 54 53 52 51 50 + 126 y + 60 y + 10 y , y + y + 2 y + 3 y + 5 y + 7 y 49 48 47 46 45 44 43 42 + 10 y + 15 y + 22 y + 26 y + 39 y + 50 y + 63 y + 75 y 41 40 39 38 37 36 35 + 104 y + 123 y + 155 y + 174 y + 204 y + 259 y + 296 y 34 33 32 31 30 29 28 + 321 y + 373 y + 402 y + 459 y + 493 y + 532 y + 562 y 27 26 25 24 23 22 21 + 585 y + 558 y + 556 y + 589 y + 538 y + 513 y + 436 y 20 19 18 17 66 65 64 63 62 + 321 y + 180 y + 60 y + 6 y , y + y + 2 y + 3 y + 5 y 61 60 59 58 57 56 55 54 + 7 y + 10 y + 15 y + 22 y + 26 y + 41 y + 52 y + 67 y 53 52 51 50 49 48 47 + 81 y + 114 y + 137 y + 175 y + 204 y + 250 y + 312 y 46 45 44 43 42 41 40 + 377 y + 425 y + 506 y + 561 y + 682 y + 763 y + 875 y 39 38 37 36 35 34 + 940 y + 1053 y + 1145 y + 1240 y + 1338 y + 1452 y 33 32 31 30 29 28 + 1488 y + 1588 y + 1569 y + 1582 y + 1532 y + 1544 y 27 26 25 24 23 22 21 + 1486 y + 1456 y + 1242 y + 1072 y + 788 y + 480 y + 210 y 20 19 + 42 y + 3 y ] and in Maple notation [1, y, y^3+y^2, y^6+y^5+2*y^4+y^3, y^10+y^9+2*y^8+3*y^7+3*y^6+3*y^5, y^15+y^14+ 2*y^13+3*y^12+5*y^11+5*y^10+6*y^9+7*y^8+6*y^7, y^21+y^20+2*y^19+3*y^18+5*y^17+7 *y^16+8*y^15+11*y^14+14*y^13+12*y^12+15*y^11+15*y^10+10*y^9, y^28+y^27+2*y^26+3 *y^25+5*y^24+7*y^23+10*y^22+13*y^21+18*y^20+18*y^19+27*y^18+30*y^17+31*y^16+30* y^15+39*y^14+30*y^13+32*y^12+12*y^11, y^36+y^35+2*y^34+3*y^33+5*y^32+7*y^31+10* y^30+15*y^29+20*y^28+22*y^27+33*y^26+40*y^25+47*y^24+51*y^23+68*y^22+72*y^21+80 *y^20+81*y^19+78*y^18+88*y^17+84*y^16+70*y^15+49*y^14+12*y^13, y^45+y^44+2*y^43 +3*y^42+5*y^41+7*y^40+10*y^39+15*y^38+22*y^37+24*y^36+37*y^35+46*y^34+57*y^33+ 65*y^32+90*y^31+103*y^30+123*y^29+129*y^28+153*y^27+181*y^26+197*y^25+196*y^24+ 226*y^23+198*y^22+222*y^21+210*y^20+208*y^19+178*y^18+126*y^17+60*y^16+10*y^15, y^55+y^54+2*y^53+3*y^52+5*y^51+7*y^50+10*y^49+15*y^48+22*y^47+26*y^46+39*y^45+ 50*y^44+63*y^43+75*y^42+104*y^41+123*y^40+155*y^39+174*y^38+204*y^37+259*y^36+ 296*y^35+321*y^34+373*y^33+402*y^32+459*y^31+493*y^30+532*y^29+562*y^28+585*y^ 27+558*y^26+556*y^25+589*y^24+538*y^23+513*y^22+436*y^21+321*y^20+180*y^19+60*y ^18+6*y^17, y^66+y^65+2*y^64+3*y^63+5*y^62+7*y^61+10*y^60+15*y^59+22*y^58+26*y^ 57+41*y^56+52*y^55+67*y^54+81*y^53+114*y^52+137*y^51+175*y^50+204*y^49+250*y^48 +312*y^47+377*y^46+425*y^45+506*y^44+561*y^43+682*y^42+763*y^41+875*y^40+940*y^ 39+1053*y^38+1145*y^37+1240*y^36+1338*y^35+1452*y^34+1488*y^33+1588*y^32+1569*y ^31+1582*y^30+1532*y^29+1544*y^28+1486*y^27+1456*y^26+1242*y^25+1072*y^24+788*y ^23+480*y^22+210*y^21+42*y^20+3*y^19]