The first, 12, terms of the sequence of generating functions according to the\ statistic SumOfHeights defined on trees where every vertex is either a leaf or else must have a number of vertices in the \ set, {1, 2}, done from first-principle is 3 2 6 5 4 10 9 8 7 6 [1, y, y + y , y + y + 2 y , y + y + 2 y + 2 y + 3 y , 15 14 13 12 11 10 9 8 21 20 19 y + y + 2 y + 2 y + 5 y + 2 y + 6 y + 2 y , y + y + 2 y 18 17 16 15 14 13 12 11 10 28 + 2 y + 5 y + 4 y + 8 y + 6 y + 6 y + 9 y + 6 y + y , y 27 26 25 24 23 22 21 20 19 + y + 2 y + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y + 8 y + 10 y + 13 y 18 17 16 15 14 13 36 35 34 + 18 y + 7 y + 18 y + 12 y + 12 y + 4 y , y + y + 2 y 33 32 31 30 29 28 27 26 + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y + 10 y + 12 y + 17 y + 22 y 25 24 23 22 21 20 19 18 + 17 y + 28 y + 30 y + 28 y + 22 y + 33 y + 24 y + 27 y 17 16 45 44 43 42 41 40 39 + 18 y + 10 y , y + y + 2 y + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y 38 37 36 35 34 33 32 31 + 10 y + 14 y + 19 y + 26 y + 21 y + 38 y + 38 y + 50 y 30 29 28 27 26 25 24 23 + 40 y + 57 y + 54 y + 75 y + 44 y + 70 y + 48 y + 60 y 22 21 20 19 55 54 53 52 51 + 52 y + 46 y + 32 y + 16 y , y + y + 2 y + 2 y + 5 y 50 49 48 47 46 45 44 43 + 4 y + 10 y + 10 y + 14 y + 21 y + 28 y + 25 y + 42 y 42 41 40 39 38 37 36 35 + 48 y + 58 y + 60 y + 79 y + 80 y + 113 y + 92 y + 114 y 34 33 32 31 30 29 28 + 114 y + 144 y + 130 y + 120 y + 143 y + 130 y + 109 y 27 26 25 24 23 22 66 65 + 130 y + 104 y + 104 y + 78 y + 54 y + 19 y , y + y 64 63 62 61 60 59 58 57 + 2 y + 2 y + 5 y + 4 y + 10 y + 10 y + 14 y + 21 y 56 55 54 53 52 51 50 49 + 30 y + 27 y + 46 y + 52 y + 68 y + 68 y + 99 y + 100 y 48 47 46 45 44 43 42 + 143 y + 132 y + 170 y + 160 y + 230 y + 214 y + 242 y 41 40 39 38 37 36 35 + 247 y + 274 y + 259 y + 340 y + 248 y + 340 y + 286 y 34 33 32 31 30 29 28 + 298 y + 255 y + 296 y + 242 y + 248 y + 206 y + 188 y 27 26 25 + 126 y + 78 y + 16 y ] and in Maple notation [1, y, y^3+y^2, y^6+y^5+2*y^4, y^10+y^9+2*y^8+2*y^7+3*y^6, y^15+y^14+2*y^13+2*y ^12+5*y^11+2*y^10+6*y^9+2*y^8, y^21+y^20+2*y^19+2*y^18+5*y^17+4*y^16+8*y^15+6*y ^14+6*y^13+9*y^12+6*y^11+y^10, y^28+y^27+2*y^26+2*y^25+5*y^24+4*y^23+10*y^22+8* y^21+10*y^20+13*y^19+18*y^18+7*y^17+18*y^16+12*y^15+12*y^14+4*y^13, y^36+y^35+2 *y^34+2*y^33+5*y^32+4*y^31+10*y^30+10*y^29+12*y^28+17*y^27+22*y^26+17*y^25+28*y ^24+30*y^23+28*y^22+22*y^21+33*y^20+24*y^19+27*y^18+18*y^17+10*y^16, y^45+y^44+ 2*y^43+2*y^42+5*y^41+4*y^40+10*y^39+10*y^38+14*y^37+19*y^36+26*y^35+21*y^34+38* y^33+38*y^32+50*y^31+40*y^30+57*y^29+54*y^28+75*y^27+44*y^26+70*y^25+48*y^24+60 *y^23+52*y^22+46*y^21+32*y^20+16*y^19, y^55+y^54+2*y^53+2*y^52+5*y^51+4*y^50+10 *y^49+10*y^48+14*y^47+21*y^46+28*y^45+25*y^44+42*y^43+48*y^42+58*y^41+60*y^40+ 79*y^39+80*y^38+113*y^37+92*y^36+114*y^35+114*y^34+144*y^33+130*y^32+120*y^31+ 143*y^30+130*y^29+109*y^28+130*y^27+104*y^26+104*y^25+78*y^24+54*y^23+19*y^22, y^66+y^65+2*y^64+2*y^63+5*y^62+4*y^61+10*y^60+10*y^59+14*y^58+21*y^57+30*y^56+ 27*y^55+46*y^54+52*y^53+68*y^52+68*y^51+99*y^50+100*y^49+143*y^48+132*y^47+170* y^46+160*y^45+230*y^44+214*y^43+242*y^42+247*y^41+274*y^40+259*y^39+340*y^38+ 248*y^37+340*y^36+286*y^35+298*y^34+255*y^33+296*y^32+242*y^31+248*y^30+206*y^ 29+188*y^28+126*y^27+78*y^26+16*y^25]