2 2 A rational generating function for the Constant Term of , P[k](z) P[k](1/z) where the sequence of Laurent polynomials, P[k](z), is defined by the recurrence 3 3 / 1 \ 1 P[k](z) = P[k - 1](z ) + 3 z P[k - 1](-z ) + |z + ----| P[k - 1](----) | 2 | 3 \ z / z 2 1 + (1/z + 1 + 3 z ) P[k - 1](- ----), P[0](z) = 1 3 z By Shalosh B. Ekhad Theorem: Let , P[k](z), be the sequence of Laurent polynomials defined by the recurrence 3 3 / 1 \ 1 P[k](z) = P[k - 1](z ) + 3 z P[k - 1](-z ) + |z + ----| P[k - 1](----) | 2 | 3 \ z / z 2 1 + (1/z + 1 + 3 z ) P[k - 1](- ----), P[0](z) = 1 3 z subject to the initial condition, P[0](z) = 1 For any non-negative integer, k, Let f(k) be the constant term of 2 2 P[k](z) P[k](1/z) Let F(t) be the (ordinary) generating function of the sequence f(k), in othe\ r words infinity ----- \ k F(t) = ) f(k) t / ----- k = 0 Then F(t) equals the rational function - (2073259224431354913963289040173212126864902743195640497653604689642426461\ 61 18339990714184709684145434424143683529495019520 t - 364649747275443825\ 485023908179060501397710852014267840510776918116971690591587791958741034\ 60 109215830501962566431220432896 t + 54400203376089736530251070995140382\ 258673487221194821829070347402732611524415156634973321085893703608922108\ 59 330549444608 t + 32845604408165544399978283933473905004127754739456092\ 58 51869235807488117393000142584827662268208607021211023120237174784 t + 131820239394462680591839317604480963193487365413333538897652395649317412\ 57 272694664028444351936418980058803707390571520 t - 17721685068659534277\ 483701878470226126315659161154878595543497482226741482227046198572430323\ 56 380573873665676773330176 t - 80441625949318554744509411719116915555741\ 217913884456484280585300680388725206140193824425001684205913744980714502\ 55 4 t - 2462989559253499380205715429072819529629914706834391256004490044\ 54 425798263985028826426378634663756834435258987104 t + 94585286870473579\ 177414019707748502033048965499749247257856762779487475605826206182908459\ 53 8228416843554926197760 t + 4942747408499925513297929668454306021726053\ 52 6813370392366240465290707846150916325494518538768474258106002286800 t - 100054417757465305492516017951654673398970709660772367865998536342772919\ 51 6581235605562533903095090346733323728 t - 4181089485653809675501752195\ 731134410857760444714112414004332947006362091846614109876727446321876114\ 50 6115272 t + 1769377571968357217595532351808139529463880277564840848347\ 49 100655775316623017472430223076950209190378331616 t - 12911361906420340\ 317131469320127067796487339500110913901075719466334677981366916041148972\ 48 820446420758660 t - 45117144302584691373987297106873969888774164317942\ 47 7593161821019517880432623824167674658224424784678716 t + 1576720993426\ 430234228043716876587428867052635952100394086179493035503731199550753755\ 46 4329791077380996 t - 4521876373815333828615751485076939590238243177278\ 45 30034717573189018131019633127797600612790602061748 t + 534779856386515\ 523820291936334323768574835702917264871592268585710012636917118162869976\ 44 7562868426 t + 4393718518463836323836775802228833766222104227484661785\ 43 5991710523622229377781608692823281474825 t - 1665774910306768891521130\ 42 720009941699430855551965984601392719698807783709793518860516955840488 t + 242335500201967735191593550378033020727732981218765817541709074884571\ 41 06252986868916389514823 t - 354992844136021491989848360407229227986304\ 40 840197557472525498003387086163464105937457652035 t - 48293642936773562\ 39 81977166725043863684013138036132345013972435144582570048785308258599126 t + 669846513894147018443574413618007861832855442356633048956715887726872\ 38 55688507903073421 t - 572251552624670385270990435133314534636601318622\ 37 331407556894092899713372262452611070 t + 51260703515617122922724319217\ 36 13381409137100143475205517907203343104181142650662042 t + 283170954729\ 35 808158628541989236794634063348630550681997322102101314158785924687596 t - 223642555173093926461863449080695534547749559061910066315974468224245\ 34 2458297908 t + 1895353093787405262497975863799890125409569225423171707\ 33 3318509315691642555789 t + 38483003610402234946178893727385998998609847200653159716205717109583820128 32 t - 3784248613485788381151221350375551225395746045802879398538903115155529974 31 t + 30 48623252806276168064444220137171428537165984737771145337847158432929409 t 29 + 8010068161780315965262240645020913775622150835660542218258643129587 t 28 - 1035866777852219705986195510198059431633669872034900972647685075832 t 27 + 29711430136439927149119770558798116485787144847730061926076938968 t 26 - 82621500220992688338784932348055965713647080954064470377270199 t 25 - 24558770497037703280847286651863799752763050316904394020297 t 24 + 7332412408118114805579038090675798572044687952148509067916 t 23 - 50278025913847080311473341370586060441201194165492890720 t 22 - 357977784108658340109433512646851091439397784273638119 t 21 - 2195341827636249969530183897378178142145516962867158 t 20 - 1121261326930406082024306025249694113916125182256 t 19 + 30430819153649548127866668152545301930461446325 t 18 - 1101043638245224562725573434424667262366531272 t 17 - 2834381894387982730193163720990807014130709 t 16 - 8709197046190775218375260557748387291605 t 15 + 98521121062326452409409300787427443316 t 14 - 91321476550926463828538972824825771 t 13 - 676313232902884493376324114652647 t 12 11 - 7210343500858552823630518812332 t + 112757017171889470574388957091 t 10 9 + 554137791850243586395634907 t - 56955468126103142152828 t 8 7 6 + 118885777954393948047 t - 2746094838752300668 t - 13550294920367312 t 5 4 3 2 - 5989614083444 t + 64288075008 t - 7223141 t + 72440 t + 2134 t + 1) / / (432801378801862410104774022172645839607102540544097730855544080756\ / 62 92816795936755636541864966028174992416086792641403944960 t - 198167859\ 988831764308424780622260951387908309917816962728603644268576056069321451\ 61 55496945789517607970290102851879955333120 t + 206867306563761956625166\ 262071006882531678773754758155746900146885017677469513568853568246971890\ 60 0951818923029335326457856 t + 2630810844558124118646852530176808837676\ 437316366951481961985334308296689237682006510535868548922386766821274189\ 59 7134080 t - 7029871732291035723221825360687924624715403444821574486625\ 58 946687059558739210187669566247872238150009223617350840781824 t + 34291\ 091061916087646797811681627699367538480605318992182693315277806739453138\ 57 230938028587149791528596148564465877760 t - 85627325501183537268020267\ 173583751481919805615535004150993722142255381068080893189443544661150301\ 56 02790166318672448 t + 107888786115385430784674630540997533740493354291\ 55 9174842227995844193634168151657554438215260913441033898592739913568 t - 515083956833080174114122996621207044062333711408965246017408194366810430\ 54 8282141589561879101958076171744887662752 t - 3169764087927035919714498\ 310633797526282716910141341089660300244809131938401078406199454169219121\ 53 174992848390832 t + 52960344867280514501446426726671587413156015279361\ 52 45454960366366114253557325154941785941684937114814588323168 t + 157666\ 681685064953058990116487226220963012244677129546528308515160112161144134\ 51 2815254394401071777631142619160 t - 7936376412374913095916008659664614\ 828180703901082079405641979486309813057617856089233497914985306686397208 50 t + 147975029180709192245679976889267403002476580900801784671683072949\ 49 1419982325397806628639465202464685549252 t + 4347786794162188087476108\ 618225785987519508347882982484592760953407139268128638175716271528742969\ 48 09912 t - 808545452137255448007829289722926027171284523873745863913438\ 47 577058684322222228169093913700134805677120 t + 48559494219216194046525\ 422371865595882402815363938077462940746216257049557498741582476162745918\ 46 1072 t - 1665185601814694825755305525807527616010155731632622048376878\ 45 31515396245244551799591177784412479114 t + 495408454209098136980697910\ 44 7761911110600649614381936416150441584501760329344034175276367149128345 t - 497561027274054856515020785658069859250463292987594036651014315107046\ 43 7778646710342413650634993 t + 7096450805518259686409770068935826875540\ 42 83701890109192163366997809336268183664706382602410033 t - 151219884348\ 124295341526007600184950492786759508274323161672163646846233503425543898\ 41 87800328 t - 250050293419837850226479171945577441667353262124474608717\ 40 108201180496009247503443265237835 t + 45064976815457046510608524009845\ 39 23149099444774905853148511741793844748464593180276841025 t - 879788080\ 762872193338793085659183158830152863623169276312164579123283295490237722\ 38 75839 t + 219390211470575136820848982789980763951749057093221595120104\ 37 4185924769355943752340556 t - 1130631266541553122814952074005076824664\ 36 4121648722414456755222944357644556640984710 t - 2898481819910597535764\ 35 4290900914258642241989726084461916825358071811311789655772 t + 9773264\ 34 11008977967058118434194821458008672806000448460158429312911484045732371 t - 783549034096840575581946473825457967216981582243789444874339038929596\ 33 2865961 t + 204757113904007144291488764122995878504675191611643151406834987407634055426 32 t - 1660751033664789894489363744845968456500750262799735937061792278003443367 31 t + 30 6477968929160311172290993620966431135978360904854059244336960748037344 t 29 + 63481194851374963673498645772975864214462796044254931423201516574761 t 28 - 321433854868582611364342499795408353708907872915067565088759304308 t 27 + 3804177565511750610506166211954327017024209356600369844277698491 t 26 - 129602759729338731389352415127855120583462603380034034991277892 t 25 - 275080497687727956513412194742363615703407609913997268276775 t 24 - 6423782418625416908310524649739370114605401834266255305456 t 23 - 44509690021462462038939640033873320925336000865575144305 t 22 - 475998101752767493204432550690440659775350869864777347 t 21 - 4113648815453212220780426952325611336640180357716862 t 20 - 2584333040207558464212776198351086200468972879465 t 19 + 2615217827091251933582173589734061877813437595 t 18 - 587795210871316867302657516072552847985964755 t 17 + 1181686039895260199200783009140984399525118 t 16 - 10305689337943485095514502181493298739027 t 15 + 91032465489308671127555333809856858755 t 14 + 155054080051834206268778098343480550 t 13 + 1557999292843688465992305313954147 t 12 11 - 6727603895383764104876398394687 t + 42640122094601850657573934510 t 10 9 + 554096523908522391221375645 t + 364078639775320572225253 t 8 7 6 + 996748553170931096901 t + 8211677325692498068 t + 2364826364757740 t 5 4 3 2 - 9705667880720 t + 58309523417 t + 67733969 t + 103726 t + 289 t - 1) and in Maple notation -(20732592244313549139632890401732121268649027431956404976536046896424264611833\ 9990714184709684145434424143683529495019520*t^61-364649747275443825485023908179\ 0605013977108520142678405107769181169716905915877919587410341092158305019625664\ 31220432896*t^60+54400203376089736530251070995140382258673487221194821829070347\ 402732611524415156634973321085893703608922108330549444608*t^59+3284560440816554\ 4399978283933473905004127754739456092518692358074881173930001425848276622682086\ 07021211023120237174784*t^58+13182023939446268059183931760448096319348736541333\ 3538897652395649317412272694664028444351936418980058803707390571520*t^57-177216\ 8506865953427748370187847022612631565916115487859554349748222674148222704619857\ 2430323380573873665676773330176*t^56-804416259493185547445094117191169155557412\ 179138844564842805853006803887252061401938244250016842059137449807145024*t^55-\ 2462989559253499380205715429072819529629914706834391256004490044425798263985028\ 826426378634663756834435258987104*t^54+9458528687047357917741401970774850203304\ 89654997492472578567627794874756058262061829084598228416843554926197760*t^53+49\ 4274740849992551329792966845430602172605368133703923662404652907078461509163254\ 94518538768474258106002286800*t^52-10005441775746530549251601795165467339897070\ 96607723678659985363427729196581235605562533903095090346733323728*t^51-41810894\ 8565380967550175219573113441085776044471411241400433294700636209184661410987672\ 74463218761146115272*t^50+17693775719683572175955323518081395294638802775648408\ 48347100655775316623017472430223076950209190378331616*t^49-12911361906420340317\ 1314693201270677964873395001109139010757194663346779813669160411489728204464207\ 58660*t^48-45117144302584691373987297106873969888774164317942759316182101951788\ 0432623824167674658224424784678716*t^47+157672099342643023422804371687658742886\ 70526359521003940861794930355037311995507537554329791077380996*t^46-45218763738\ 1533382861575148507693959023824317727830034717573189018131019633127797600612790\ 602061748*t^45+5347798563865155238202919363343237685748357029172648715922685857\ 100126369171181628699767562868426*t^44+4393718518463836323836775802228833766222\ 1042274846617855991710523622229377781608692823281474825*t^43-166577491030676889\ 1521130720009941699430855551965984601392719698807783709793518860516955840488*t^ 42+2423355002019677351915935503780330207277329812187658175417090748845710625298\ 6868916389514823*t^41-354992844136021491989848360407229227986304840197557472525\ 498003387086163464105937457652035*t^40-4829364293677356281977166725043863684013\ 138036132345013972435144582570048785308258599126*t^39+6698465138941470184435744\ 1361800786183285544235663304895671588772687255688507903073421*t^38-572251552624\ 670385270990435133314534636601318622331407556894092899713372262452611070*t^37+ 5126070351561712292272431921713381409137100143475205517907203343104181142650662\ 042*t^36+2831709547298081586285419892367946340633486305506819973221021013141587\ 85924687596*t^35-22364255517309392646186344908069553454774955906191006631597446\ 82242452458297908*t^34+ 18953530937874052624979758637998901254095692254231717073318509315691642555789*t ^33+38483003610402234946178893727385998998609847200653159716205717109583820128* t^32-3784248613485788381151221350375551225395746045802879398538903115155529974* t^31+48623252806276168064444220137171428537165984737771145337847158432929409*t^ 30+8010068161780315965262240645020913775622150835660542218258643129587*t^29-\ 1035866777852219705986195510198059431633669872034900972647685075832*t^28+ 29711430136439927149119770558798116485787144847730061926076938968*t^27-\ 82621500220992688338784932348055965713647080954064470377270199*t^26-\ 24558770497037703280847286651863799752763050316904394020297*t^25+ 7332412408118114805579038090675798572044687952148509067916*t^24-\ 50278025913847080311473341370586060441201194165492890720*t^23-\ 357977784108658340109433512646851091439397784273638119*t^22-\ 2195341827636249969530183897378178142145516962867158*t^21-\ 1121261326930406082024306025249694113916125182256*t^20+ 30430819153649548127866668152545301930461446325*t^19-\ 1101043638245224562725573434424667262366531272*t^18-\ 2834381894387982730193163720990807014130709*t^17-\ 8709197046190775218375260557748387291605*t^16+ 98521121062326452409409300787427443316*t^15-91321476550926463828538972824825771 *t^14-676313232902884493376324114652647*t^13-7210343500858552823630518812332*t^ 12+112757017171889470574388957091*t^11+554137791850243586395634907*t^10-\ 56955468126103142152828*t^9+118885777954393948047*t^8-2746094838752300668*t^7-\ 13550294920367312*t^6-5989614083444*t^5+64288075008*t^4-7223141*t^3+72440*t^2+ 2134*t+1)/(43280137880186241010477402217264583960710254054409773085554408075692\ 816795936755636541864966028174992416086792641403944960*t^62-1981678599888317643\ 0842478062226095138790830991781696272860364426857605606932145155496945789517607\ 970290102851879955333120*t^61+2068673065637619566251662620710068825316787737547\ 581557469001468850176774695135688535682469718900951818923029335326457856*t^60+ 2630810844558124118646852530176808837676437316366951481961985334308296689237682\ 0065105358685489223867668212741897134080*t^59-702987173229103572322182536068792\ 4624715403444821574486625946687059558739210187669566247872238150009223617350840\ 781824*t^58+3429109106191608764679781168162769936753848060531899218269331527780\ 6739453138230938028587149791528596148564465877760*t^57-856273255011835372680202\ 6717358375148191980561553500415099372214225538106808089318944354466115030102790\ 166318672448*t^56+1078887861153854307846746305409975337404933542919174842227995\ 844193634168151657554438215260913441033898592739913568*t^55-5150839568330801741\ 1412299662120704406233371140896524601740819436681043082821415895618791019580761\ 71744887662752*t^54-31697640879270359197144983106337975262827169101413410896603\ 00244809131938401078406199454169219121174992848390832*t^53+52960344867280514501\ 4464267266715874131560152793614545496036636611425355732515494178594168493711481\ 4588323168*t^52+157666681685064953058990116487226220963012244677129546528308515\ 1601121611441342815254394401071777631142619160*t^51-793637641237491309591600865\ 9664614828180703901082079405641979486309813057617856089233497914985306686397208 *t^50+1479750291807091922456799768892674030024765809008017846716830729491419982\ 325397806628639465202464685549252*t^49+4347786794162188087476108618225785987519\ 50834788298248459276095340713926812863817571627152874296909912*t^48-80854545213\ 7255448007829289722926027171284523873745863913438577058684322222228169093913700\ 134805677120*t^47+4855949421921619404652542237186559588240281536393807746294074\ 62162570495574987415824761627459181072*t^46-16651856018146948257553055258075276\ 1601015573163262204837687831515396245244551799591177784412479114*t^45+495408454\ 2090981369806979107761911110600649614381936416150441584501760329344034175276367\ 149128345*t^44-4975610272740548565150207856580698592504632929875940366510143151\ 070467778646710342413650634993*t^43+7096450805518259686409770068935826875540837\ 01890109192163366997809336268183664706382602410033*t^42-15121988434812429534152\ 600760018495049278675950827432316167216364684623350342554389887800328*t^41-2500\ 5029341983785022647917194557744166735326212447460871710820118049600924750344326\ 5237835*t^40+450649768154570465106085240098452314909944477490585314851174179384\ 4748464593180276841025*t^39-879788080762872193338793085659183158830152863623169\ 27631216457912328329549023772275839*t^38+21939021147057513682084898278998076395\ 17490570932215951201044185924769355943752340556*t^37-11306312665415531228149520\ 740050768246644121648722414456755222944357644556640984710*t^36-2898481819910597\ 5357644290900914258642241989726084461916825358071811311789655772*t^35+ 977326411008977967058118434194821458008672806000448460158429312911484045732371* t^34-\ 7835490340968405755819464738254579672169815822437894448743390389295962865961*t^ 33+204757113904007144291488764122995878504675191611643151406834987407634055426* t^32-1660751033664789894489363744845968456500750262799735937061792278003443367* t^31+6477968929160311172290993620966431135978360904854059244336960748037344*t^ 30+63481194851374963673498645772975864214462796044254931423201516574761*t^29-\ 321433854868582611364342499795408353708907872915067565088759304308*t^28+ 3804177565511750610506166211954327017024209356600369844277698491*t^27-\ 129602759729338731389352415127855120583462603380034034991277892*t^26-\ 275080497687727956513412194742363615703407609913997268276775*t^25-\ 6423782418625416908310524649739370114605401834266255305456*t^24-\ 44509690021462462038939640033873320925336000865575144305*t^23-\ 475998101752767493204432550690440659775350869864777347*t^22-\ 4113648815453212220780426952325611336640180357716862*t^21-\ 2584333040207558464212776198351086200468972879465*t^20+ 2615217827091251933582173589734061877813437595*t^19-\ 587795210871316867302657516072552847985964755*t^18+ 1181686039895260199200783009140984399525118*t^17-\ 10305689337943485095514502181493298739027*t^16+ 91032465489308671127555333809856858755*t^15+ 155054080051834206268778098343480550*t^14+1557999292843688465992305313954147*t^ 13-6727603895383764104876398394687*t^12+42640122094601850657573934510*t^11+ 554096523908522391221375645*t^10+364078639775320572225253*t^9+ 996748553170931096901*t^8+8211677325692498068*t^7+2364826364757740*t^6-\ 9705667880720*t^5+58309523417*t^4+67733969*t^3+103726*t^2+289*t-1) ----------------------- This ends this article, that took, 76.226, seconds.