The Distribution of the Occupant of Cell [1,i] in a random Standard Young ta\ bleau of shape, [n, n, n, n, n], and its Limiting behavior as n goes to infinity for i from 2 to, 7 By Shalosh B. Ekhad --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 2], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n, n], are all the integers from, 2, to , 6 The probability distribution is 3 (-1 + n) 8 (-1 + n) (n + 1) 9 (2 + n) (-1 + n) (n + 1) [----------, ---------------------, --------------------------------, -1 + 5 n (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) 24 (-1 + n) (n + 1) (2 + n) (3 + n) ---------------------------------------------, 5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (3 + n) (2 + n) (n + 1) (4 + n) ---------------------------------------------] 5 (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) and in Maple notation [3/(-1+5*n)*(-1+n), 8*(-1+n)*(n+1)/(-1+5*n)/(-2+5*n), 9*(2+n)*(-1+n)*(n+1)/(-1+ 5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n), 24/5*(-1+n)*(n+1)*(2+n)*(3+n)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n )/(-4+5*n), 1/5*(3+n)*(2+n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n)*(n+1)*(4+n)] `The average is` 72/5*(6*n-1)*(3*n-1)*(2*n-1)*(3*n-2)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n) and the variance is 144/25*(-1+n)*(6*n-1)*(11*n-4)*(3*n-1)*(2*n-1)*(n+1)*(76*n^2-55*n+6)/(-1+5*n)^2 /(-2+5*n)^2/(-3+5*n)^2/(-4+5*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[2., .6000000000], [3., .3200000000], [4., .7200000000e-1], [5., .7680000000e-\ 2], [6., .3200000000e-3]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 7776 144 209 4206431 209 43398167599 [----, ----------, --------------, -----------] 3125 3125 50320512 10869230592 and in floating-point [2.488320000, .6661708319, 1.208486661, 3.992754338] Here is a plot 0.6HH + HH + HH 0.5 HH + HH + HH + HH 0.4 HHH + HH + HH 0.3 HH + HH + HH 0.2 HH + HH + HHH + HH 0.1 HH + HHHHHHHH + HHHHHHHH ++---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+**********************- 0 2 3 4 5 6 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 3], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n, n], are all the integers from, 3, to , 11 The probability distribution is 7 (-2 + n) (-1 + n) 42 (n + 1) (-2 + n) (-1 + n) [---------------------, --------------------------------, (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) 28 (n + 1) (-2 + n) (-1 + n) (26 n + 27) ---------------------------------------------, 5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) 168 (-2 + n) (n + 1) (2 + n) (2 n + 1) ---------------------------------------------, 5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) 2 36 (-2 + n) (n + 1) (2 + n) (3 n + 7 n + 1) ------------------------------------------------------, (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) 14 (n + 1) (2 + n) (3 + n) n (-2 + n) (43 n + 67) -------------------------------------------------------------------, 56 5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) 2 (3 + n) (n + 1) (2 + n) (-2 + n) n (25 + 8 n)/(5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n)), 1008 n (-2 + n) 2 2 (n + 1) (3 + n) (2 + n) (4 + n)/(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) 2 (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n)), 42 n (n + 1) 2 2 (2 + n) (3 + n) (4 + n)/(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n))] and in Maple notation [7/(-2+5*n)/(-1+5*n)*(-2+n)*(-1+n), 42*(n+1)*(-2+n)*(-1+n)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-\ 3+5*n), 28/5*(n+1)*(-2+n)*(-1+n)*(26*n+27)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n), 168/5*(-2+n)*(n+1)*(2+n)*(2*n+1)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n), 36*(-2+n) *(n+1)*(2+n)*(3*n^2+7*n+1)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n), 14/5*( n+1)*(2+n)*(3+n)*n*(-2+n)*(43*n+67)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n )/(-7+5*n), 56/5*(3+n)*(n+1)^2*(2+n)*(-2+n)*n*(25+8*n)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5* n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n), 1008/25*n*(-2+n)*(n+1)^2*(3+n)*(2+n)^2* (4+n)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n), 42/25*n*(n+1)^2/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/ (-9+5*n)*(2+n)^2*(3+n)^2*(4+n)] `The average is` 7/25*(6011281*n^8-44251424*n^7+135103366*n^6-221380364*n^5+210593389*n^4-\ 117592676*n^3+37125084*n^2-5957136*n+362880)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n )/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n) and the variance is 28/625*(n+1)*(-2+n)*(4477356273787*n^14-56444444876709*n^13+322642750730171*n^ 12-1105633740245109*n^11+2530331845736865*n^10-4077790278411447*n^9+ 4754462025346433*n^8-4057234856165007*n^7+2534664213322984*n^6-1147860773045904 *n^5+368988754663296*n^4-81206013882384*n^3+11505724812864*n^2-935463997440*n+ 32920473600)/(-1+5*n)^2/(-2+5*n)^2/(-3+5*n)^2/(-4+5*n)^2/(-6+5*n)^2/(-7+5*n)^2/ (-8+5*n)^2/(-9+5*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[3., .2800000000], [4., .3360000000], [5., .2329600000], [6., .1075200000], [7\ ., .3456000000e-1], [8., .7705600000e-2], [9., .1146880000e-2], [10., .\ 1032192000e-3], [11., .4300800000e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 42078967 2 31341493916509 38547166845317645817 31341493916509 [--------, -------------------, --------------------------------------, 9765625 9765625 280654068833877330246499166 1842585632323636500698739379 ----------------------------] 561308137667754660492998332 and in floating-point [4.308886221, 1.146541553, .7689196644, 3.282663316] Here is a plot + HH + HHHH H 0.3 HHH HH +HHH H + HH 0.25 H + HH + H 0.2 H + H + H 0.15 HH + H + H 0.1 HHH + HH + HH 0.05 HH + HHHHH + HHHHH +--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+--+---*****************************- 0 4 6 8 10 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 4], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n, n], are all the integers from, 4, to , 16 The probability distribution is 14 (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) [--------------------------------, (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) 672 (n + 1) (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) ---------------------------------------------, 5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) 84 (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) (9 n + 8) ---------------------------------------------, 5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) 2 48 (-3 + n) (-2 + n) (n + 1) (13 n + 23 n + 8) ------------------------------------------------------, (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) 2 63 (2 + n) (n + 1) (-3 + n) (-2 + n) (159 n + 129 n + 20) -------------------------------------------------------------------, 1344 5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) 2 (19 n + 1) (-2 + n) (-3 + n) (n + 1) (2 + n) n/(5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n)), 84 n (-3 + n) 3 2 (-2 + n) (2 + n) (n + 1) (3091 n + 10788 n + 5669 n - 5028)/(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n)), 1008 n (-3 + n) (3 + n) (2 + n) 2 2 (83 n + 93 n - 116) (n + 1) /(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n)), 396 n (-3 + n) 2 3 2 (3 + n) (2 + n) (n + 1) (53 n + 155 n - 50 n - 128)/(5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) 2 2 (-9 + 5 n) (-11 + 5 n)), 2112 n (-3 + n) (-1 + n) (3 + n) (2 + n) (n + 1) 2 (47 n + 182 n + 60)/(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n)), 5148 2 2 2 n (-1 + n) (-3 + n) (n + 1) (2 + n) (3 + n) (4 + n) (25 + 13 n)/(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) 2 (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n)), 144144 n 2 2 3 (-1 + n) (-3 + n) (4 + n) (3 + n) (2 + n) (n + 1) /(125 (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) 2 (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 6006 n (4 + n) 2 3 3 (-1 + n) (3 + n) (2 + n) (n + 1) /(125 (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n))] and in Maple notation [14/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n)*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n), 672/5*(n+1)*(-3+n)*(-2+n)* (-1+n)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n), 84/5*(-2+n)*(-3+n)*(n+1)*(9*n+8)/(-\ 1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n), 48*(-3+n)*(-2+n)*(n+1)*(13*n^2+23*n+8)/(-1+5 *n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n), 63/5*(2+n)*(n+1)*(-3+n)*(-2+n)*(159*n^ 2+129*n+20)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n), 1344/5*(19*n +1)*(-2+n)*(-3+n)*(n+1)*(2+n)^2*n/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/ (-7+5*n)/(-8+5*n), 84/25*n*(-3+n)*(-2+n)*(2+n)*(n+1)*(3091*n^3+10788*n^2+5669*n -5028)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n), 1008/25*n*(-3+n)*(3+n)*(2+n)*(83*n^2+93*n-116)*(n+1)^2/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5* n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n), 396/5*n*(-3+n)*(3+n)*(2+n)*(n+ 1)^2*(53*n^3+155*n^2-50*n-128)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7 +5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n), 2112/25*n*(-3+n)*(-1+n)*(3+n)*(2+n)^2*(n+1)^ 2*(47*n^2+182*n+60)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5 *n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n), 5148/25*n^2*(-1+n)*(-3+n)*(n+1)^2*(2+n)^2*(3+ n)*(4+n)*(25+13*n)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5* n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n), 144144/125*n^2*(-1+n)*(-3+n)*(4+n)*( 3+n)^2*(2+n)^2*(n+1)^3/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n )/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 6006/125*n^2*(4+n)*(-1 +n)*(3+n)^2*(2+n)^3*(n+1)^3/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-\ 8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n)] `The average is` 8/125*(24332435707*n^12-415549728714*n^11+3143499074789*n^10-13876654772640*n^9 +39638224958721*n^8-76776962482242*n^7+102732614609267*n^6-94917854599620*n^5+ 59504465397772*n^4-24381218140944*n^3+6102793674144*n^2-821061843840*n+ 43589145600)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n) /(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n) and the variance is 48/15625*(-3+n)*(n+1)*(49697405468768859368*n^22-1552391865455917323511*n^21+ 22794654047546779376326*n^20-209134106625055549377845*n^19+ 1344164575528085885512458*n^18-6431486219427123210964566*n^17+ 23763731531912091759112556*n^16-69417012069185992751946970*n^15+ 162792128661639859842603868*n^14-309501793297019321383864211*n^13+ 479717308585735837261752126*n^12-607498211187674532228264945*n^11+ 628003207370145379294512818*n^10-527918917641902547493360336*n^9+ 358369359133914616416785776*n^8-194386918447142750989434320*n^7+ 82999487471820963089933088*n^6-27322277701605544088309376*n^5+ 6734430741583285020873216*n^4-1191098079489490964305920*n^3+ 141427329423967202918400*n^2-10005276994610946048000*n+316668935689666560000)/( -14+5*n)^2/(-13+5*n)^2/(-12+5*n)^2/(-11+5*n)^2/(-9+5*n)^2/(-8+5*n)^2/(-7+5*n)^2 /(-6+5*n)^2/(-4+5*n)^2/(-3+5*n)^2/(-2+5*n)^2/(-1+5*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[4., .1120000000], [5., .2150400000], [6., .2419200000], [7., .1996800000], [8\ ., .1282176000], [9., .6537216000e-1], [10., .2658754560e-1], [11., .8567193600\ e-2], [12., .2149171200e-2], [13., .4065853440e-3], [14., .5482414080e-4], [15. , .4723310592e-5], [16., .1968046080e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 194659485656 56 760674573501564174 [------------, ------------------------, 30517578125 30517578125 1/2 458658500096582420026989271603 760674573501564174 ----------------------------------------------------, 705666317236347694440949598050217531264 361232153508223903066740538572833186508569 ------------------------------------------] 118551941295706412666079532472436545252352 and in floating-point [6.378602026, 1.600432683, .5668778764, 3.047037017] Here is a plot + HHH + HHH HH + HH HH 0.2 H HH + H H + H H + H H + H H 0.15 H H + H HH + H H +H H 0.1 HH + H + H + HH 0.05 HH + HH + HHHH + HHHHHH ++--+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+-*****************************- 0 4 6 8 10 12 14 16 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 5], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n, n], are all the integers from, 5, to , 21 The probability distribution is 126 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) [---------------------------------------------, 5 (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) 336 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (n + 1) ---------------------------------------------, 5 (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) 432 (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (n + 1) (6 n + 5) --------------------------------------------------------, 5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) 2 252 (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (n + 1) (59 n + 91 n + 30) -------------------------------------------------------------------, 28 5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) 3 2 (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (n + 1) (2467 n + 5409 n + 2924 n + 420)/(5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n)), 1512 n (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (127 n + 93) (7 n + 1) (2 + n) (n + 1)/(25 (-9 + 5 n) (-4 + 5 n) (-8 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-2 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n)), 72 n (-3 + n) (-4 + n) (2 + n) (n + 1) 3 2 (12338 n + 20289 n - 6368 n + 381)/(25 (-9 + 5 n) (-4 + 5 n) (-8 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-2 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n)), 528 n (-4 + n) 4 3 2 (-3 + n) (2 + n) (n + 1) (4741 n + 11938 n - 3301 n - 10888 n + 5910)/( 25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n)), 297 n (-4 + n) (-3 + n) (2 + n) 2 4 3 2 (n + 1) (20231 n + 50516 n - 52205 n - 86582 n + 76440)/(25 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n)), 15444 (-1 + n) (-3 + n) (-4 + n) 3 2 2 (3 + n) (2 + n) (791 n + 1247 n - 1658 n - 1640) (n + 1) n/(25 (-9 + 5 n) (-4 + 5 n) (-13 + 5 n) (-8 + 5 n) (-3 + 5 n) (-12 + 5 n) (-7 + 5 n) (-2 + 5 n) (-11 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n)), 12012 n (-1 + n) (-3 + n) (-4 + n) (3 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (8668 n + 23797 n - 21367 n - 55078 n - 15000) (n + 1) /(125 (-14 + 5 n) (-9 + 5 n) (-4 + 5 n) (-13 + 5 n) (-8 + 5 n) (-3 + 5 n) (-12 + 5 n) 2 (-7 + 5 n) (-2 + 5 n) (-11 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n)), 108108 n 3 2 2 (-1 + n) (-4 + n) (3 + n) (271 n + 538 n - 1441 n - 808) (2 + n) 2 (n + 1) /(125 (-14 + 5 n) (-9 + 5 n) (-4 + 5 n) (-13 + 5 n) (-8 + 5 n) (-3 + 5 n) (-12 + 5 n) (-7 + 5 n) (-2 + 5 n) (-11 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n)), 72072 (-1 + n) (-4 + n) (3 + n) 4 3 2 2 2 2 (461 n + 1508 n - 2321 n - 5408 n + 1560) (2 + n) (n + 1) n /(125 (-14 + 5 n) (-9 + 5 n) (-4 + 5 n) (-13 + 5 n) (-8 + 5 n) (-3 + 5 n) (-12 + 5 n) (-7 + 5 n) (-2 + 5 n) (5 n - 16) (-11 + 5 n) (-6 + 5 n) 2 (-1 + 5 n)), 116688 n (-1 + n) (-2 + n) (-4 + n) (4 + n) (3 + n) 2 2 3 (251 n + 394 n - 405) (2 + n) (n + 1) /(125 (-14 + 5 n) (-9 + 5 n) (-4 + 5 n) (-13 + 5 n) (-8 + 5 n) (-3 + 5 n) (-17 + 5 n) (-12 + 5 n) (-7 + 5 n) (-2 + 5 n) (5 n - 16) (-11 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n)), 2 2 2 3150576 (6 n + 5) (4 + n) (-2 + n) (-4 + n) (-1 + n) (3 + n) (2 + n) 3 2 (n + 1) n /(125 (-14 + 5 n) (-9 + 5 n) (-4 + 5 n) (5 n - 18) (-13 + 5 n) (-8 + 5 n) (-3 + 5 n) (-17 + 5 n) (-12 + 5 n) (-7 + 5 n) (-2 + 5 n) 3 (5 n - 16) (-11 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n)), 39907296 n (4 + n) (-2 + n) 2 2 3 3 (-4 + n) (3 + n) (-1 + n) (2 + n) (n + 1) /(625 (-1 + 5 n) (-6 + 5 n) (-11 + 5 n) (5 n - 16) (-2 + 5 n) (-7 + 5 n) (-12 + 5 n) (-17 + 5 n) (-3 + 5 n) (-8 + 5 n) (-13 + 5 n) (5 n - 18) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) 3 2 2 (-14 + 5 n) (5 n - 19)), 1662804 n (4 + n) (-2 + n) (3 + n) (-1 + n) 3 4 (2 + n) (n + 1) /(625 (-1 + 5 n) (-6 + 5 n) (-11 + 5 n) (5 n - 16) (-2 + 5 n) (-7 + 5 n) (-12 + 5 n) (-17 + 5 n) (-3 + 5 n) (-8 + 5 n) (-13 + 5 n) (5 n - 18) (-4 + 5 n) (-9 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 19))] and in Maple notation [126/5*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 336/5*( -2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(n+1)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 432/5*(-4+n)*(-3 +n)*(-2+n)*(n+1)*(6*n+5)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n), 252/5*(-\ 4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(n+1)*(59*n^2+91*n+30)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/( -6+5*n)/(-7+5*n), 28/5*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(n+1)*(2467*n^3+5409*n^2+2924*n+420 )/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n), 1512/25*n*(-2 +n)*(-3+n)*(-4+n)*(127*n+93)*(7*n+1)*(2+n)*(n+1)/(-9+5*n)/(-4+5*n)/(-8+5*n)/(-3 +5*n)/(-7+5*n)/(-2+5*n)/(-6+5*n)/(-1+5*n), 72/25*n*(-3+n)*(-4+n)*(2+n)*(n+1)*( 12338*n^3+20289*n^2-6368*n+381)/(-9+5*n)/(-4+5*n)/(-8+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(-\ 2+5*n)/(-6+5*n)/(-1+5*n), 528/25*n*(-4+n)*(-3+n)*(2+n)*(n+1)*(4741*n^4+11938*n^ 3-3301*n^2-10888*n+5910)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/ (-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n), 297/25*n*(-4+n)*(-3+n)*(2+n)*(n+1)^2*(20231*n^4+ 50516*n^3-52205*n^2-86582*n+76440)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n) /(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n), 15444/25*(-1+n)*(-3+n)*(-4+n)* (3+n)*(2+n)*(791*n^3+1247*n^2-1658*n-1640)*(n+1)^2*n/(-9+5*n)/(-4+5*n)/(-13+5*n )/(-8+5*n)/(-3+5*n)/(-12+5*n)/(-7+5*n)/(-2+5*n)/(-11+5*n)/(-6+5*n)/(-1+5*n), 12012/125*n*(-1+n)*(-3+n)*(-4+n)*(3+n)*(2+n)*(8668*n^4+23797*n^3-21367*n^2-\ 55078*n-15000)*(n+1)^2/(-14+5*n)/(-9+5*n)/(-4+5*n)/(-13+5*n)/(-8+5*n)/(-3+5*n)/ (-12+5*n)/(-7+5*n)/(-2+5*n)/(-11+5*n)/(-6+5*n)/(-1+5*n), 108108/125*n^2*(-1+n)* (-4+n)*(3+n)*(271*n^3+538*n^2-1441*n-808)*(2+n)^2*(n+1)^2/(-14+5*n)/(-9+5*n)/(-\ 4+5*n)/(-13+5*n)/(-8+5*n)/(-3+5*n)/(-12+5*n)/(-7+5*n)/(-2+5*n)/(-11+5*n)/(-6+5* n)/(-1+5*n), 72072/125*(-1+n)*(-4+n)*(3+n)*(461*n^4+1508*n^3-2321*n^2-5408*n+ 1560)*(2+n)^2*(n+1)^2*n^2/(-14+5*n)/(-9+5*n)/(-4+5*n)/(-13+5*n)/(-8+5*n)/(-3+5* n)/(-12+5*n)/(-7+5*n)/(-2+5*n)/(5*n-16)/(-11+5*n)/(-6+5*n)/(-1+5*n), 116688/125 *n^2*(-1+n)*(-2+n)*(-4+n)*(4+n)*(3+n)*(251*n^2+394*n-405)*(2+n)^2*(n+1)^3/(-14+ 5*n)/(-9+5*n)/(-4+5*n)/(-13+5*n)/(-8+5*n)/(-3+5*n)/(-17+5*n)/(-12+5*n)/(-7+5*n) /(-2+5*n)/(5*n-16)/(-11+5*n)/(-6+5*n)/(-1+5*n), 3150576/125*(6*n+5)*(4+n)*(-2+n )*(-4+n)*(-1+n)^2*(3+n)^2*(2+n)^2*(n+1)^3*n^2/(-14+5*n)/(-9+5*n)/(-4+5*n)/(5*n-\ 18)/(-13+5*n)/(-8+5*n)/(-3+5*n)/(-17+5*n)/(-12+5*n)/(-7+5*n)/(-2+5*n)/(5*n-16)/ (-11+5*n)/(-6+5*n)/(-1+5*n), 39907296/625*n^3*(4+n)*(-2+n)*(-4+n)*(3+n)^2*(-1+n )^2*(2+n)^3*(n+1)^3/(-1+5*n)/(-6+5*n)/(-11+5*n)/(5*n-16)/(-2+5*n)/(-7+5*n)/(-12 +5*n)/(-17+5*n)/(-3+5*n)/(-8+5*n)/(-13+5*n)/(5*n-18)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(-14+5*n )/(5*n-19), 1662804/625*n^3*(4+n)*(-2+n)*(3+n)^2*(-1+n)^2*(2+n)^3*(n+1)^4/(-1+5 *n)/(-6+5*n)/(-11+5*n)/(5*n-16)/(-2+5*n)/(-7+5*n)/(-12+5*n)/(-17+5*n)/(-3+5*n)/ (-8+5*n)/(-13+5*n)/(5*n-18)/(-4+5*n)/(-9+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-19)] `The average is` 63/625*(13086928272183*n^16-403239115216232*n^15+5682400319790540*n^14-\ 48520367589700760*n^13+280366897170598746*n^12-1159582746270877064*n^11+ 3540633080663612340*n^10-8113270856035323880*n^9+14042599486594800759*n^8-\ 18328010512144256176*n^7+17869036390974870600*n^6-12779593969890417760*n^5+ 6509999667198795312*n^4-2255756300039622528*n^3+493511217777803520*n^2-\ 59596812245145600*n+2896311914496000)/(-1+5*n)/(-6+5*n)/(-11+5*n)/(5*n-16)/(-2+ 5*n)/(-7+5*n)/(-12+5*n)/(-17+5*n)/(-3+5*n)/(-8+5*n)/(-13+5*n)/(5*n-18)/(-4+5*n) /(-9+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-19) and the variance is 252/390625*(-4+n)*(n+1)*(149242125913072452246571517*n^30-\ 8649416508333534443471540085*n^29+239604088568504953670681002255*n^28-\ 4223350842802230028279728172485*n^27+53196546666829426273952525402343*n^26-\ 509802610343124974483022688129365*n^25+3864386603230428713906295674438475*n^24-\ 23780625841168586986296444305893425*n^23+120997720062338466858150896947070205*n ^22-515805431323615835687139283966278675*n^21+ 1860152655639531198227468117636315925*n^20-\ 5715044071694083988496884431962910575*n^19+ 15033521844047745632871967592797218285*n^18-\ 33970615044238421049413819491443343575*n^17+ 66061992909151978166394389205552174825*n^16-\ 110622622315926863669318113167874852875*n^15+ 159398070183300233795655358502649827730*n^14-\ 197260165801239034674225476649626052300*n^13+ 208991530010758178591353440189666471400*n^12-\ 188695962203975999500084233218369096400*n^11+ 144300240552966791471099903479531118048*n^10-\ 92716761627960311713278357225973112640*n^9+ 49540385954677914822342068984261013120*n^8-\ 21723376698671687970250035333954954240*n^7+ 7684826029158719842424680444442191872*n^6-2144344887071319277783031327372943360 *n^5+457735327140951934568923939651584000*n^4-\ 71550937120319174042658849669120000*n^3+7654969307015123358431467929600000*n^2-\ 496979521163214120328731033600000*n+14680089735590098426134528000000)/(-1+5*n)^ 2/(-6+5*n)^2/(-11+5*n)^2/(5*n-16)^2/(-2+5*n)^2/(-7+5*n)^2/(-12+5*n)^2/(-17+5*n) ^2/(-3+5*n)^2/(-8+5*n)^2/(-13+5*n)^2/(5*n-18)^2/(-4+5*n)^2/(-9+5*n)^2/(-14+5*n) ^2/(5*n-19)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[5., .4032000000e-1], [6., .1075200000], [7., .1658880000], [8., .1903104000], [9., .1768345600], [10., .1376428032], [11., .9096560640e-1], [12., .5126651904\ e-1], [13., .2461125427e-1], [14., .1000751432e-1], [15., .3411804684e-2], [16. , .9600128778e-3], [17., .2177446183e-3], [18., .3838926914e-4], [19., .\ 4955427570e-5], [20., .4184583281e-6], [21., .1743576367e-7]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 824476481147529 6 1044694881391507165726000619 [---------------, ---------------------------------, 95367431640625 95367431640625 1/2 12842666858636321294358737992685198508889 1044694881391507165726000619 -------------------------------------------------------------------------, 935474910176241621403560729736344678679669001818614138 16497448846958214454524259721813161914416001454813773641 --------------------------------------------------------] 5612849461057449728421364378418068072078014010911684828 and in floating-point [8.645262507, 2.033508055, .4437289930, 2.939228811] Here is a plot + HHHH 0.18 H HHHH + H H 0.16 HH HH + H H 0.14 H H + H HH 0.12 H H + H H 0.1 H H + H HH + H H 0.08 H H + H HH 0.06 H H + H HH 0.04 HH + HHH 0.02 HHH + HHHH +++-+-+-+-+-++-+-+-+-++-+-+-+-+-++-+-+-+-+-++-******************************- 0 6 8 10 12 14 16 18 20 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 6], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n, n], are all the integers from, 6, to , 26 The probability distribution is 42 (-5 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) [---------------------------------------------, 5 (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) 144 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) ------------------------------------------------------, (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n) 21 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) (67 n + 54) -----------------------------------------------------------------, 112 (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-2 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n) 2 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) (91 n + 131 n + 42)/( (-4 + 5 n) (-8 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-2 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n)), 72 (-5 + n) (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (n + 1) 3 2 (4187 n + 8088 n + 4132 n + 588)/(5 (-9 + 5 n) (-4 + 5 n) (-8 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-2 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n)), 96 n (-3 + n) 3 2 (-4 + n) (-5 + n) (n + 1) (15874 n + 36921 n + 20519 n + 2706)/(25 (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 33 n (-3 + n) (-5 + n) (-4 + n) (2 + n) (n + 1) 3 2 (40793 n + 27678 n - 6605 n - 546)/(5 (-9 + 5 n) (-4 + 5 n) (-8 + 5 n) (-3 + 5 n) (-7 + 5 n) (-2 + 5 n) (-11 + 5 n) (-6 + 5 n) (-1 + 5 n)), 5544 n (-5 + n) (-4 + n) (-3 + n) (2 + n) (n + 1) 4 3 2 (947 n + 983 n - 1289 n + 361 n - 42)/(5 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n)), 143 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (2 + n) (n + 1) 5 4 3 2 (126971 n + 182039 n - 361649 n - 127559 n + 406374 n - 179136) n/(5 (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 8008 n (-1 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (34783 n + 65316 n - 120121 n - 102714 n + 172656) (n + 1) /(25 (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 12012 n (-1 + n) (-4 + n) (-5 + n) (2 + n) 5 4 3 2 2 (62987 n + 149429 n - 316709 n - 561491 n + 541644 n + 535500) (n + 1) /(125 (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 18304 (-1 + n) (-4 + n) (-5 + n) (3 + n) (2 + n) 5 4 3 2 2 (19793 n - 1702 n - 122738 n + 22243 n + 156624 n + 44100) (n + 1) n/( 25 (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) 2 (-1 + 5 n)), 19448 n (-1 + n) (-4 + n) (-5 + n) (3 + n) (2 + n) 5 4 3 2 2 (39049 n + 19332 n - 356609 n - 51636 n + 651712 n + 232392) (n + 1) /( 25 (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 2800512 (-1 + n) (-2 + n) (-4 + n) (-5 + n) (3 + n) 4 3 2 2 2 2 (493 n + 544 n - 3853 n - 1342 n + 798) (2 + n) (n + 1) n /(25 (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) 2 (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 1939938 n (-1 + n) (-2 + n) (-4 + n) 5 4 3 2 (-5 + n) (3 + n) (5539 n + 9541 n - 56185 n - 51685 n + 71646 n - 8856) 2 2 (2 + n) (n + 1) /(125 (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 6651216 2 4 3 2 n (-2 + n) (-5 + n) (3 + n) (423 n + 986 n - 4671 n - 6914 n + 6600) 2 2 3 (2 + n) (-1 + n) (n + 1) /(125 (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 17459442 (-2 + n) (-5 + n) (4 + n) (3 + n) 4 3 2 2 2 3 2 (173 n - 190 n - 1397 n + 910 n + 1200) (2 + n) (-1 + n) (n + 1) n /( 125 (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) 3 (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 512143632 n 2 2 2 (-2 + n) (-3 + n) (-5 + n) (4 + n) (5 n - 3 n - 10) (-1 + n) (3 + n) 2 3 (2 + n) (n + 1) /(125 (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 70114902 (-3 + n) (-5 + n) (4 + n) (23 n - 5) 2 2 2 3 3 3 (-1 + n) (-2 + n) (3 + n) (2 + n) (n + 1) n /(125 (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 3 2 2 3 3365515296 n (4 + n) (-5 + n) (-3 + n) (3 + n) (-2 + n) (2 + n) 3 4 (-1 + n) (n + 1) /(625 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) 4 (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23) (5 n - 24)), 140229804 n (4 + n) (-3 + n) 2 2 3 3 4 (3 + n) (-2 + n) (2 + n) (-1 + n) (n + 1) /(625 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23) (5 n - 24))] and in Maple notation [42/5*(-5+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 144*(-2+ n)*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(n+1)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-6+5*n)/(-1+5*n), 21* (-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(n+1)*(67*n+54)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(-2+5*n) /(-6+5*n)/(-1+5*n), 112*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(n+1)*(91*n^2+131*n+42)/(-4 +5*n)/(-8+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(-2+5*n)/(-6+5*n)/(-1+5*n), 72/5*(-5+n)*(-4+n) *(-3+n)*(-2+n)*(n+1)*(4187*n^3+8088*n^2+4132*n+588)/(-9+5*n)/(-4+5*n)/(-8+5*n)/ (-3+5*n)/(-7+5*n)/(-2+5*n)/(-6+5*n)/(-1+5*n), 96/25*n*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(n+1 )*(15874*n^3+36921*n^2+20519*n+2706)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5* n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 33/5*n*(-3+n)*(-5+n)*(-4+n)*(2+n)*(n+1)*(40793*n ^3+27678*n^2-6605*n-546)/(-9+5*n)/(-4+5*n)/(-8+5*n)/(-3+5*n)/(-7+5*n)/(-2+5*n)/ (-11+5*n)/(-6+5*n)/(-1+5*n), 5544/5*n*(-5+n)*(-4+n)*(-3+n)*(2+n)*(n+1)*(947*n^4 +983*n^3-1289*n^2+361*n-42)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5* n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n), 143/5*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(2+n)*(n+1 )*(126971*n^5+182039*n^4-361649*n^3-127559*n^2+406374*n-179136)*n/(-13+5*n)/(-\ 12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n )/(-1+5*n), 8008/25*n*(-1+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(2+n)*(34783*n^4+65316*n^3-\ 120121*n^2-102714*n+172656)*(n+1)^2/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9 +5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 12012/125 *n*(-1+n)*(-4+n)*(-5+n)*(2+n)*(62987*n^5+149429*n^4-316709*n^3-561491*n^2+ 541644*n+535500)*(n+1)^2/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5 *n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 18304/25*(-1+n)*(-4+ n)*(-5+n)*(3+n)*(2+n)*(19793*n^5-1702*n^4-122738*n^3+22243*n^2+156624*n+44100)* (n+1)^2*n/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-\ 7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 19448/25*n^2*(-1+n)*(-4+n) *(-5+n)*(3+n)*(2+n)*(39049*n^5+19332*n^4-356609*n^3-51636*n^2+651712*n+232392)* (n+1)^2/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8 +5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 2800512/25*(-1+n)* (-2+n)*(-4+n)*(-5+n)*(3+n)*(493*n^4+544*n^3-3853*n^2-1342*n+798)*(2+n)^2*(n+1)^ 2*n^2/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5 *n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 1939938/125 *n^2*(-1+n)*(-2+n)*(-4+n)*(-5+n)*(3+n)*(5539*n^5+9541*n^4-56185*n^3-51685*n^2+ 71646*n-8856)*(2+n)^2*(n+1)^2/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-\ 13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5* n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 6651216/125*n^2*(-2+n)*(-5+n)*(3+n)*(423*n^4+986*n^3-4671 *n^2-6914*n+6600)*(2+n)^2*(-1+n)^2*(n+1)^3/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16) /(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-\ 4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 17459442/125*(-2+n)*(-5+n)*(4+n)*(3+n)*(173* n^4-190*n^3-1397*n^2+910*n+1200)*(2+n)^2*(-1+n)^2*(n+1)^3*n^2/(5*n-21)/(5*n-19) /(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/( -8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 512143632/125*n^ 3*(-2+n)*(-3+n)*(-5+n)*(4+n)*(5*n^2-3*n-10)*(-1+n)^2*(3+n)^2*(2+n)^2*(n+1)^3/(5 *n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16)/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5 *n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-\ 1+5*n), 70114902/125*(-3+n)*(-5+n)*(4+n)*(23*n-5)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(3+n)^2*(2+ n)^3*(n+1)^3*n^3/(5*n-23)/(5*n-22)/(5*n-21)/(5*n-19)/(5*n-18)/(-17+5*n)/(5*n-16 )/(-14+5*n)/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/( -4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 3365515296/625*n^3*(4+n)*(-5+n)*(-3+n)*(3+n )^2*(-2+n)^2*(2+n)^3*(-1+n)^3*(n+1)^4/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5 *n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14+5*n)/(5*n-16) /(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/(5*n-22)/(5*n-23)/(5*n-24), 140229804/625 *n^4*(4+n)*(-3+n)*(3+n)^2*(-2+n)^2*(2+n)^3*(-1+n)^3*(n+1)^4/(-1+5*n)/(-2+5*n)/( -3+5*n)/(-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5 *n)/(-14+5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/(5*n-22)/(5*n-23)/( 5*n-24)] `The average is` 2/625*(330004009184245577*n^20-16025470168103256970*n^19+362641551878252549655* n^18-5078766814124817469650*n^17+49307383182380357062962*n^16-\ 352245373383278987928900*n^15+1918193404850741528872910*n^14-\ 8138873941047315603932500*n^13+27270399119736071423406477*n^12-\ 72693051876942572163046530*n^11+154568211046763006781907515*n^10-\ 261756979597264536546133050*n^9+351036110136675957261229352*n^8-\ 369008838762724828656925360*n^7+299324688734517251584755120*n^6-\ 183128765512664624670928800*n^5+81760752352639361131045632*n^4-\ 25366222451760899609802240*n^3+5063003263481098224844800*n^2-\ 566795957558250663936000*n+25852016738884976640000)/(-1+5*n)/(-2+5*n)/(-3+5*n)/ (-4+5*n)/(-6+5*n)/(-7+5*n)/(-8+5*n)/(-9+5*n)/(-11+5*n)/(-12+5*n)/(-13+5*n)/(-14 +5*n)/(5*n-16)/(-17+5*n)/(5*n-18)/(5*n-19)/(5*n-21)/(5*n-22)/(5*n-23)/(5*n-24) and the variance is 16/390625*(-5+n)*(n+1)*(1330933684607835490917266835566299*n^38-\ 123440453172877794778136688584820834*n^37+5525085910430941771741502984655238404 *n^36-158969901652613000834847657836747515104*n^35+ 3304375467651314871369018675972142959717*n^34-\ 52870999049436799411819272947731929544182*n^33+ 677527081917405854522411531197041961032392*n^32-\ 7143641237806013859947517826214493852188592*n^31+ 63181008184805105065670183533872725448876654*n^30-\ 475516692055144474796560430190107479504173444*n^29+ 3079011095769867009360605278310517183002015064*n^28-\ 17298266973897448667354191799386586007134027664*n^27+ 84880856496271842154973759043225196555822531050*n^26-\ 365654225266662080986098891033639546926748962460*n^25+ 1388395530810369568033196580261711110111733632160*n^24-\ 4660597538538837939384305277894019118857161794160*n^23+ 13861050840642327390503455474435466966569666181415*n^22-\ 36575964752854431890947324038170088991736920831290*n^21+ 85697145898023023575093958759862630222098596788740*n^20-\ 178302764680649461382663168396119505311125937596240*n^19+ 329271139454661990841341273691621091061955135317921*n^18-\ 539098436789267428281431338063350936954968613158286*n^17+ 781159946595102869384619971576277217575989609877816*n^16-\ 999343024077811557317915011489534120733017084163616*n^15+ 1125166489881634055233930609379196814892532611087008*n^14-\ 1110484300678246243309105672231089836688657514699968*n^13+ 955993412869208908409465940322095145028646571531008*n^12-\ 713530163868205504008375373345768330646087359991808*n^11+ 458319167266972032533488028368838058216667425182976*n^10-\ 251063071568859213186826628178387237965107612571136*n^9+ 115984841984546315022029270911740088821555320764416*n^8-\ 44562473834967510743701881275087676718896758562816*n^7+ 13989703346878398933888753721071930604929453096960*n^6-\ 3507006028225557162401495782333342209725851238400*n^5+ 680621714941413544635314517111743886584709120000*n^4-\ 97863144896548861073447351707542727855964160000*n^3+ 9741337909031726824942167763846555710259200000*n^2-\ 594990809464461195274276104270533099520000000*n+ 16708169236689725561620529607333642240000000)/(-1+5*n)^2/(-2+5*n)^2/(-3+5*n)^2/ (-4+5*n)^2/(-6+5*n)^2/(-7+5*n)^2/(-8+5*n)^2/(-9+5*n)^2/(-11+5*n)^2/(-12+5*n)^2/ (-13+5*n)^2/(-14+5*n)^2/(5*n-16)^2/(-17+5*n)^2/(5*n-18)^2/(5*n-19)^2/(5*n-21)^2 /(5*n-22)^2/(5*n-23)^2/(5*n-24)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[6., .1344000000e-1], [7., .4608000000e-1], [8., .9004800000e-1], [9., .130457\ 6000], [10., .1543495680], [11., .1560477696], [12., .1378477056], [13., .10752\ 34406], [14., .7437046989e-1], [15., .4563636453e-1], [16., .2479226369e-1], [ 17., .1187155385e-1], [18., .4976967365e-2], [19., .1809648735e-2], [20., .\ 5633640540e-3], [21., .1475065607e-3], [22., .3167206471e-4], [23., .5370215211\ e-5], [24., .6763913920e-6], [25., .5646397707e-7], [26., .2352665711e-8]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 660008018368491154 4 1330933684607835490917266835566299 [------------------, ---------------------------------------, 59604644775390625 59604644775390625 69638414493878334692472134522412184476746786508783 1/2 1330933684607835490917266835566299 / 7085537891295157259017587845444751529547168031731327232432098229604, 81708011639204318103875929710978725324922134138542951861480104447877 --------------------------------------------------------------------] 28342151565180629036070351381779006118188672126925308929728392918416 and in floating-point [11.07309709, 2.448263149, .3585537411, 2.882914921] Here is a plot + HHHHH + H HH 0.14 H HH + HH H + H H 0.12 H H + H H 0.1 H H + H H + H H 0.08 H HH + H H 0.06 HH H + H HH + H H 0.04 H HH + H H 0.02HH HH +H HHH + HHHHH ++---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+---+--+-*****************************- 0 10 15 20 25 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 7], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n, n], are all the integers from, 7, to , 31 The probability distribution is 66 (-5 + n) (-6 + n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) [--------------------------------------------------------, 5 (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) 1386 (-4 + n) (-3 + n) (-2 + n) (-5 + n) (-6 + n) (n + 1) -------------------------------------------------------------------, 264 5 (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n) (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (62 n + 49) (n + 1)/(5 (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 528 (-2 + n) (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (n + 1) 2 (1348 n + 1865 n + 588)/(25 (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 126 (-3 + n) (-4 + n) 3 2 (-5 + n) (-6 + n) (n + 1) (8017 n + 14403 n + 7142 n + 1008)/(25 (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 1386 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (n + 1) 3 2 (4441 n + 9114 n + 4751 n + 654) n/(25 (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 44 n (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (n + 1) 4 3 2 (752924 n + 1642075 n + 582130 n - 142675 n - 27174)/(25 (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 10296 (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) 4 3 2 (-6 + n) (2 + n) (n + 1) (15543 n + 3430 n - 8895 n + 1730 n - 48) n/(25 (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 3003 n (-3 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (2 + n) (n + 1) 5 4 3 2 (1165291 n + 244863 n - 2444165 n + 1737825 n - 485126 n + 63552)/(125 (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 286 n (-1 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (2 + n) (n + 1) ( 5 4 3 2 9729911 n + 11485913 n - 29025305 n - 2736065 n + 31657914 n - 20095488 )/(125 (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 6864 (-1 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (2 + n) 5 4 3 2 (1467478 n + 222781 n - 8356096 n + 5120831 n + 11600646 n - 12277440) 2 (n + 1) n/(125 (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 1633632 n (-1 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (2 + n) 6 5 4 3 2 (20306 n + 2723 n - 174470 n + 69085 n + 442464 n - 227028 n - 312480) 2 (n + 1) /(125 (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 2450448 (-1 + n) (-4 + n) (-5 + n) 7 6 5 4 3 (-6 + n) (2 + n) (40477 n + 5265 n - 476638 n + 111935 n + 1726233 n 2 2 - 398300 n - 1830852 n - 493920) (n + 1) n/(125 (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) 2 (-1 + 5 n)), 19953648 n (-1 + n) (-2 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (3 + n) (2 + n) 5 4 3 2 2 (67241 n - 57973 n - 559685 n + 334725 n + 1148904 n + 329308) (n + 1) /(625 (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) 2 (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 13302432 n (-1 + n) (-2 + n) 6 5 4 (-5 + n) (-6 + n) (3 + n) (2 + n) (49144 n - 41671 n - 586073 n 3 2 2 + 374915 n + 1629361 n + 123056 n - 225732) (n + 1) /(625 (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 20692672 (-1 + n) (-2 + n) (-5 + n) 6 5 4 3 2 (-6 + n) (3 + n) (68873 n - 195303 n - 687265 n + 2095725 n + 40412 n 2 2 2 - 1150722 n + 269280) (2 + n) (n + 1) n /(625 (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) 2 (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 18290844 n (-2 + n) (-5 + n) (-6 + n) 6 5 4 3 2 (3 + n) (150769 n - 276981 n - 2349875 n + 3857805 n + 6946066 n 2 2 2 - 6172104 n + 70560) (-1 + n) (2 + n) (n + 1) /(625 (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 280459608 (-2 + n) (-3 + n) (-5 + n) (-6 + n) (3 + n) 5 4 3 2 2 (16711 n + 2220 n - 267785 n + 26010 n + 660484 n - 364560) (2 + n) 2 3 2 (-1 + n) (n + 1) n /(625 (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) 2 (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 2617623008 n (-2 + n) (-3 + n) (-5 + n) (-6 + n) (3 + n) 6 5 4 3 2 (2636 n + 147 n - 51904 n + 7251 n + 206426 n - 81828 n - 126000) 2 2 3 (2 + n) (-1 + n) (n + 1) /(625 (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) 3 (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 15705738048 n 4 3 2 (-3 + n) (-6 + n) (4 + n) (3 + n) (22 n - 46 n - 241 n + 244 n + 381) 2 2 2 3 (-1 + n) (-2 + n) (2 + n) (n + 1) /(125 (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 1822987452 4 3 2 (-3 + n) (-6 + n) (4 + n) (983 n - 5244 n + 2447 n + 12594 n - 4480) 2 2 2 2 3 3 (-1 + n) (-2 + n) (3 + n) (2 + n) (n + 1) n /(625 (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) 3 (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 5468962356 n (-3 + n) (-4 + n) (-6 + n) (4 + n) 2 2 2 3 3 3 (271 n - 734 n - 45) (3 + n) (-2 + n) (-1 + n) (2 + n) (n + 1) /(625 (-27 + 5 n) (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 229696418952 (-4 + n) 2 2 2 3 3 (-6 + n) (4 + n) (4 n - 5) (-2 + n) (-3 + n) (3 + n) (2 + n) (-1 + n) 4 3 (n + 1) n /(625 (-28 + 5 n) (-27 + 5 n) (-26 + 5 n) (5 n - 24) (5 n - 23) (5 n - 22) (5 n - 21) (5 n - 19) (5 n - 18) (-17 + 5 n) (5 n - 16) (-14 + 5 n) (-13 + 5 n) (-12 + 5 n) (-11 + 5 n) (-9 + 5 n) (-8 + 5 n) (-7 + 5 n) (-6 + 5 n) (-4 + 5 n) (-3 + 5 n) (-2 + 5 n) (-1 + 5 n)), 4 2 2 3 1903198899888 n (4 + n) (-6 + n) (-4 + n) (-3 + n) (3 + n) (-1 + n) 3 3 4 (-2 + n) (2 + n) (n + 1) /(3125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23) (5 n - 24) (-26 + 5 n) 4 (-27 + 5 n) (-28 + 5 n) (-29 + 5 n)), 79299954162 n (-4 + n) (4 + n) 2 2 3 3 4 4 (-3 + n) (3 + n) (-2 + n) (2 + n) (-1 + n) (n + 1) /(3125 (-1 + 5 n) (-2 + 5 n) (-3 + 5 n) (-4 + 5 n) (-6 + 5 n) (-7 + 5 n) (-8 + 5 n) (-9 + 5 n) (-11 + 5 n) (-12 + 5 n) (-13 + 5 n) (-14 + 5 n) (5 n - 16) (-17 + 5 n) (5 n - 18) (5 n - 19) (5 n - 21) (5 n - 22) (5 n - 23) (5 n - 24) (-26 + 5 n) (-27 + 5 n) (-28 + 5 n) (-29 + 5 n))] and in Maple notation [66/5*(-5+n)*(-6+n)*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-\ 1+5*n), 1386/5*(-4+n)*(-3+n)*(-2+n)*(-5+n)*(-6+n)*(n+1)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5 *n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 264/5*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(62*n+ 49)*(n+1)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 528/ 25*(-2+n)*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(n+1)*(1348*n^2+1865*n+588)/(-9+5*n)/(-8+ 5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 126/25*(-3+n)*(-4+n )*(-5+n)*(-6+n)*(n+1)*(8017*n^3+14403*n^2+7142*n+1008)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5* n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 1386/25*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*( -6+n)*(n+1)*(4441*n^3+9114*n^2+4751*n+654)*n/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5* n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 44/25*n*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*( -6+n)*(n+1)*(752924*n^4+1642075*n^3+582130*n^2-142675*n-27174)/(-12+5*n)/(-11+5 *n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/(-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 10296/25*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(2+n)*(n+1)*(15543*n^4+3430*n^3-8895*n^2+ 1730*n-48)*n/(-13+5*n)/(-12+5*n)/(-11+5*n)/(-9+5*n)/(-8+5*n)/(-7+5*n)/(-6+5*n)/ (-4+5*n)/(-3+5*n)/(-2+5*n)/(-1+5*n), 3003/125*n*(-3+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(2+ 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547201845062936237273879561533610628493696655130025717500019354*n^22-\ 1115224391323962885337278573887305037384364118375807068560257100*n^21+ 2055173399769421696447910205397032816841052744085949998083053224*n^20-\ 3419561134708030969376298779559139396789910753281042119007063680*n^19+ 5127637624090812787082703049762089302956117557021170543988327744*n^18-\ 6913351707641801082195040627484689023170475893085850710023084160*n^17+ 8357441794064503168996029074796057401609899733052581624253297664*n^16-\ 9028667527038774957320298274376108339107008744357581118029699840*n^15+ 8682016850459746473461401635942004505187256056362817921299956224*n^14-\ 7396558351209373047470009607485401490492018382343340540133227520*n^13+ 5551912880610231624709828235252362752014487263905913216064006144*n^12-\ 3647549614657975774036080443591864145275022090475616081718681600*n^11+ 2081108763338567055121977985862674043516349779273164754530074624*n^10-\ 1021458737233029073142575083427442156680184477751327526799278080*n^9+ 426372646833981862263263589965316135940371502328020784808198144*n^8-\ 149224325869140953883133999188286325654639383240186968366120960*n^7+ 43014304886771754278689510901411522526765744908326069390540800*n^6-\ 9978639594093738168392144828530225024656551848080266231808000*n^5+ 1806067044229560511133083397928949343021097556759365550080000*n^4-\ 244054124380803953443834168419060002536329620249955532800000*n^3+ 23006837745057920616084601267073043186621262646476800000000*n^2-\ 1340945156506425058789329438107631733822785564180480000000*n+ 36192942200898087641301052870707880440345762201600000000)/(-1+5*n)^2/(-2+5*n)^2 /(-3+5*n)^2/(-4+5*n)^2/(-6+5*n)^2/(-7+5*n)^2/(-8+5*n)^2/(-9+5*n)^2/(-11+5*n)^2/ (-12+5*n)^2/(-13+5*n)^2/(-14+5*n)^2/(5*n-16)^2/(-17+5*n)^2/(5*n-18)^2/(5*n-19)^ 2/(5*n-21)^2/(5*n-22)^2/(5*n-23)^2/(5*n-24)^2/(-26+5*n)^2/(-27+5*n)^2/(-28+5*n) ^2/(-29+5*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[7., .4224000000e-2], [8., .1774080000e-1], [9., .4190208000e-1], [10., .\ 7288258560e-1], [11., .1034385408], [12., .1260590285], [13., .1356949750], [14\ ., .1310971724], [15., .1146673192], [16., .9118530096e-1], [17., .6601289887e-\ 1], [18., .4347990035e-1], [19., .2600122023e-1], [20., .1406877822e-1], [21., .6854905359e-2], [22., .2988790563e-2], [23., .1156659967e-2], [24., .\ 3931539670e-3], [25., .1157637005e-3], [26., .2898484156e-4], [27., .6012943025\ e-5], [28., .9946129561e-6], [29., .1233173259e-6], [30., .1021772129e-7], [31. , .4257383871e-9]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 2539937247777341831837 281134297506521399571616341518164156564806 [----------------------, ---------------------------------------------, 186264514923095703125 186264514923095703125 222228131805110443667427741556123536945483443659986577095197 1/2 281134297506521399571616341518164156564806 /39917420825497618396267096\ 4024399015624844274662099082128955370394993863164029382, 3414823658840083\ / 588749027570880554460275218550136352316729763444883146509599907437 / 1\ / 197522624764928551888012892073197046874532823986297246386866111184981589\ 492088146] and in floating-point [13.63618427, 2.846602261, .2951844520, 2.851573397] Here is a plot + HHHH + HH HH 0.12 H HH + H H + H HH 0.1 H H + H H + H HH 0.08 H H + H H + H H 0.06 H H + H HH + H H 0.04 H HH + H H + H HH 0.02 H HH + HH HHHH +HHH HHHH ++---+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--*****************************- 0 10 15 20 25 30 ----------------------- This took, 3004.442, seconds.