Efficient computation of the sequence enumerating permutations of {1,...,n} \ such that |pi[i+1]-pi[i]| is never, 3 By Shalosh B. Ekhad Let a(n) be the number of permutations pi of {1,...,n} such that |pi[i+1]-pi\ [i]| is never, 3 Then infinity infinity ----- / \ n | ) a(n) z = | exp(-x) / | ----- / n = 0 0 3 7 3 6 2 5 2 4 2 3 4 3 2 (x z - x z + 2 x z - x z + x z + x z + x z + 2 x z + z + 1) / 2 3 6 2 3 3 / ((x z - x z + z + 1) (x z - x z + x z + 1)) dx / and in Maple notation Sum(a(n)*z^n,n = 0 .. infinity) = Int(exp(-x)*(x^3*z^7-x^3*z^6+2*x^2*z^5-x^2*z^ 4+x^2*z^3+x*z^4+x*z^3+2*x*z^2+z+1)/(x*z^2-x*z+z+1)/(x^3*z^6-x^2*z^3+x*z^3+1),x = 0 .. infinity) This can be used for fast computation of this sequence. Let's do it from n=1\ to n=, 200 [1, 2, 6, 12, 48, 240, 1392, 9936, 82416, 771888, 8081808, 93273936, 1174442160 , 16012371024, 234865643952, 3686260363152, 61627946597424, 1093150647044880, 20501844922196976, 405313119744707088, 8423466060115604208, 183582624178893950736, 4186520700374895202800, 99697398784352956533264, 2474726013785813664809712, 63922390767402268644275472, 1715494609619150973923837424, 47765601143125284027333699600, 1378019056802003925032691803376, 41140957260201936774910629270288, 1269621356542581523858076478997488, 40456554044839072756053456871907856, 1329787192395500824652210272792036080, 45044787117856597054242189974468672784, 1571053564430232969803502831535786812912, 56371380975109997056989155079530246030352, 2079242307098121808502148034465480113921264, 78778275552637636413124897188544942259988240, 3063769839885645468785458202906512102484150256, 122225915058193279524873554022534028571777910288, 4998639002754552223254451362154401640329545799408, 209439662823172519876699477863372522577628258566416, 8985343752288541189638773430787001482455789111609840, 394494253763717910457054315156864334854406836674418704, 17715334963734547331769579348986324527525050800470966512, 813286163155098084321071528244665032091712824969185078032, 38151782145230104286943399320099378645302142083067468446704, 1827951531242300253120063090530443325618401236655252033739280, 89413316011604613492517465180807457336340918843611459682065136, 4463180811234601762238432844398390165890894375177885177988924688, 227256292193505727066615045257266931427641100520673531254023519728, 11799070676218098261888679364237277660179297580147336824171413621776, 624421613384264675412649521168038949924065650109957054004244317865200, 33670549390922769183382772912093067233507468253149894824929145745854224, 1849329614994293307228661899720801362443814496200133153284895832341680112, 103424981919563690789194883412514212820048941377410164447723532190071287312, 5887676284654108106440148856567622550873815728300145592184955375285550268144, 341063282271563373431141212550047085157204259065121101749468841048568000104720, 2009872287737573571644217679119939294124611256760503154590976917923621911017521\ 6, 1204532977544724500111263391596673912609446865539615745250968515398154353660\ 035088, 73394605087651781511433634970635405028877728639793928261720796645088257\ 031771588848, 45455584565337507267249753522701187357128377544009026646819829353\ 36973690342924235536, 286071283780867211157541563737739720905519327230141819524\ 620792953597273235483005182960, 18290056259863824366041289883824790727994549024\ 963598715834670880398657289547201146454544, 11876893573270199666530405256180518\ 02091963941339637641765269363203795919014290471180329712, 783130796740272027760\ 00483761840488953715116304928179242404717786978044250907801741529451792, 524214\ 5288316322108293361929339281599201273839992894108340862015235815824730237082342\ 569715184, 35614742080986024633562175554640327521744097834910921155018549372819\ 7328908550683498454891295760, 2455286062719407978924215339850128132808768395527\ 0318233346243394601968034238115362169957518560496, 1717252736648254919769961197\ 002028588389592015688922225630549715178796220291189115226308809745225488, 12182\ 5177880304064919756213790223981529954009911613174911982579877014787961498196647\ 975934126467446768, 87644367312084462853226665212488905352840878920552503168304\ 84471967559508883012347388879482116698887696, 639309101594139836953312020378890\ 621353537729453213190025036226769111314769349270911739167326648880187120, 47273\ 2858236763548013589847043315320752945670392131949785957030746205040864378347259\ 80822656770187254075664, 354290111868128594008424638432530058101501078878970549\ 5218668504960050498891052726649875102064720955236899312, 2690686171938149763462\ 8353717542238746262250699411646064076210215920439778782196595787752055952206955\ 8092179472, 2070390697239753135048584972528050964935345978479480217693584992508\ 8586635834681391636450050043225279825235267824, 1613813125998362989807850449823\ 2817298488234058019166287301196524414407535038668523908915558899603677344847695\ 20400, 127407257271399677109497331234121691925106204183084709115411179382601359\ 733626334087925550265611870671875152367700976, 10186035849904683534845791207213\ 7290781555138373550651269046886242695252699667489271445815451625250940385984581\ 60015888, 824552307027799189071508906463442601754836807885972175424081256129525\ 387850148857337308369518938462772087491380774005488, 67571995469549868938858008\ 8388487014454452542335977542047745783192329587593694930858747071652757302393772\ 23142757891626256, 560513351911790684098895710101507650760084546113257952331092\ 7160775044734538893022190361461188459916372378246118417304669680, 4705573775552\ 4634829276571647524729333153146907905042056822206038792291371255404760299004722\ 8830418693571338626830606665325584, 3997466588995525193620224417589752345751142\ 9298741926510838789621412974274696151947316030948926089800126194695648362689470\ 108912, 34359149469500250421554530592223013581616821509326329174556599159276967\ 82208687985591872642769262946749641997794879903870111342352, 298762681051720994\ 4124534933396252468621258836379102992843317267917897645896082652930486075834466\ 21567321021648971818054609941422064, 262772007559710716416594990381007574331181\ 5340978108210813956758801998463200852142581795857504556843746980672381763600968\ 0102195674640, 2337461086253355589482602321214405000362525308432345384168063542\ 643242431932507240700939006019995500350250066969653681505522788036988656, 21026\ 5109132911260711016793653192835334199469278925198159134881337618259157394973036\ 488493926792976883148723462693710149311666095228246288, 19124662608810994892224\ 7015601424046743092268159978177435264591104922377308910010271468925117950412488\ 05632283768975608390583551773883073008, 175861790179455606710209060675706869435\ 3382475228672285971228559635129132461525955296866955316277924632157196594270685\ 217827062381544772915216, 16347406753748115548011560333289161518105092159441833\ 1253545352165627276536304200370276279581327999003321194285545975868777296701758\ 716056934640, 15359446196789064332405848929253334376276489919676515222580663297\ 0110620055102365256087600587391868322276503198377186023020647671844482932638523\ 04, 145848598681153589813308959804955812834990996036558956212229342845645834435\ 7018140238427325180741265196676218646045546641643247695102980968251798512, 1399\ 5251974132428974957726426632404174475719288661499701461801872485673629122487914\ 9545719823371265760342940260944187750921205345902717524265634812432, 1356949500\ 8250582904472174426115858354591170659233171629964240327043194944348058443259853\ 464558104018270235881119408600545261220170799029421680561713904, 13292444887225\ 7232333125434030453765782457550993302045502227026220400118788655129275150864178\ 0224417421039859420894135884529776921382156147959051056094480, 1315403307034412\ 4442760896082227678702668214350489452501196919975048788634771570991510426875509\ 4248540270478996288118486295839734424551179388739453437015536, 1314865837141361\ 3252518997453367108633353130731670939328711241244756442250048821975521999014280\ 640046103323862196079974393847473163657900855943824912952476688, 13274826834732\ 6612381632327779583075192541303418806878119240524687500277835151539060624582589\ 2087155257869949378054884231626355564193037779981386527487807577328, 1353500802\ 3530352547229780707963291898880363420068458578664412849635192847187532318232047\ 8200264562399210424303203290408849627353962847651944637368931459226658576, 1393\ 5692505291820089156954939098756770216949390992680160901321083143057256917529296\ 2826114373440949163134692227778820060380418906440740416876780832263009477005660\ 00, 144876498715196066065725061178367092627086751299775161835157569558384771653\ 7860936964866492230688525691125330530043278999469713606531794288954948325964649\ 407072183824, 15206400686366594609185706288879021495541106296173357573519125224\ 9871419735829041580794997305383413167302977623441227405988255454456131390091677\ 198967630571474382608112, 16112930599986542670944174485006467932318010587802172\ 7772275261252918137880145865100030032946076047721170303164634137505524141153926\ 94602832039443095665735915861204541712, 172346918086272109247682721386607719656\ 1803350164753319193224095976136765396876372898396398468332926922637746653544010\ 544882970838673809826436743569381117880630357225679344, 18606957598235622840327\ 1807968446208566251346868124013697647206313239485053120744035531501946699650418\ 595307444070016126773755290277671448723958667117988428268445238723835920, 20274\ 6217207372890186862048823564281960103381709144207616695901023967200064580217979\ 5192949565237396797211052162110650916990254009423517188238737211923316388669013\ 9560316133616, 2229456821643096348446841665284333485559395023747193570207277960\ 9339283148578345751268767424052821646008860492690556923895263893469198877714921\ 94772798318377265100156160576867088, 247387822147326373495070189837376537662740\ 2336717098473454601419743889406662546875680168355646138586054687952150886244954\ 38741665472413506486189909765453292564315702752685242686448, 276984325899701990\ 0654991536462385890836708334654794522143349419180476348282785612351255747436940\ 5635460453365730530353339787608063437512031036987933049528649092460206416770565\ 880336, 31289239162648080088262025759593626791171614523825303850744296255252915\ 0392963398366392329510898156847635125349964670867569177964445509945239570705183\ 0798695649792439842824474509867760, 3565854885004997681971906062476269082282765\ 6842102182177866447875556618738456138803882589399051949571730892320567802099901\ 8071369977154153706539612730342007527939396159243379684955088144, 4099469862276\ 9528568614168870064387394608798783877130374638952536199638664041031689837035628\ 9847500432732577093865313015405465701955008918612715477069357665568450876458695\ 85550925773577712, 475394550361981875109845261464982944876391689397074847135093\ 2856972421475869762041978004179686213314027541966605821600200294161001043771087\ 617719282007703096512521083182052410206922152242192, 55604614210232822975713600\ 0173249779813134480392344819998946136619803799930845132553184098466291119509489\ 4545118624426768704909250993758868832511532156690091994237191147911819991334817\ 21734384, 655942562695771825258937628529191878254989757646037395224765272194996\ 2368743939227203435360533219129404759600952562691382497921491197815194301420429\ 5309522567672016085892210971638216304253234960, 7803472291388830340266268668537\ 1580261342228293117365499483625723797555621701543387254757603875037618507605984\ 8121312081984984577501793744618764230899723918036715307579522577957872470255874\ 8454896, 9361519573097746597349384196437058586047999705760000941730784706493067\ 2888772907947823965355249336733239170668563986922216777182299336260042432567181\ 0815501936506863787115521697327894580983307177488, 1132428969504300475851792234\ 1383974560207445009806407849966406600427933318249493816075319795263601807634232\ 7898258933222955550313382259713127460568697956553213921861647445805917287699380\ 070940989808368, 13811856000075789306839994456931697930021533783329553083082644\ 6858173105358745161419707049212293758449058648509989781883439042408765669899812\ 94532504301330799094951399669213121994793894918312585484724496, 169840138076848\ 8550937209244377151287395586748886800221718818191675220961552847672499176744742\ 2565256450785879333636345022373442467286646489716063473522989573631275934550951\ 41464599836906928261950053863920, 210546047904614466629828156233961507667775824\ 9144212847585741319502939866744345866442867121476905447755815039697173876854750\ 4497483917988557296684027194621937608004286511920778538963336136661852355409157\ 3264, 2631140436363289413961592000350409762829577525140021445187157023314275453\ 6665449779830327520869553285904577172630378905965273470946882258625024860015187\ 225500786637395912514924977170325144456727848890870147312, 33143876340453886537\ 3009065647905489354442426575061806777840329223682001182408085101921442498768947\ 0933501292920103239764973643384587764538254013433295411547283571166867191839678\ 344915989810784473743075975385872, 42082110016899198516119346652017584062901562\ 9938338130195654762372035165240003395661110147854902106605408501368992592386132\ 8209355238076928680705192493887811698983859689212577690180989301184710270302235\ 35001175024, 538517328750631271899475858110289550353619997100378770839761807316\ 2308433425809669736261317383824520599912969372556326431089752251473439335149155\ 6651889680838783108788304349229466892793145647318065387202397643907600, 6945176\ 3553973396400144775706422761629294371143819314770967351575148655570627995720630\ 8445740643722962807594648398403758481952990099256114514104718965278648852867654\ 9663836277942520314380099673589104922932457389851376, 9026557549335074844745689\ 8369151423907717580997210802338440209069013017731823319844000147023650147729652\ 8742816940032323077520534112365433026619372136170821886229290062300142216883366\ 796141204476417855354175529638767888, 11821989749443805717938315016851679331526\ 1224010262708224191026867160828941900319272201326658839602526718725985883366915\ 2664381806519778253458782487900973919857208982264851156688864533373901928681947\ 43603353291355620591088, 156013867490058517931323658931700613219383992890197229\ 3791674576251861771651847944652152962218557959145999046090975072521858606293270\ 8841894627060544382480720918690352155890404801540465474686758178324690209832505\ 651898455056, 20745077776379183434403519126348160979067523013624583815852608453\ 8823067022565559898006662588676188909493226918787219691071415823834708069035648\ 8627676261126334181586477390840163042789910178975075210758538698343719625372298\ 480, 27792114171566309003312416459314073333198543779180932095758513354896082892\ 7457566958008400589427387776995571691231990891341570355307846036054800549671092\ 269058119545467243447517407291970272910804278525993865793775388196742887184, 37\ 5109908060263911574594589729800457034109337433528154526913419682780657763031015\ 2961362230549726023901510820635744908785683756130879138095644086770703479592489\ 7993236455230900280455957001179758617450412920128552101929119084156912, 5100374\ 3858245144751178000263305514647683898135660959883108602812046687955188365318630\ 2524895025759663866625522466669959260652076671835420974215837227269635852359969\ 1521494443886623978093764782557204716252416558648335241536465204752, 6986000845\ 2951119858107088502967105835846168697021827320498766378959743673829504692930988\ 9947182020744087868781087313092253418694345055061413717538507501497419303662263\ 350802578035905608906194558902256881867529768328759879877370177264, 96386253334\ 8065783206354471727219930180728031767865487785002630039542019194512369974594258\ 1444886798432941771082873547395943395830126349647346445606390361433609753090137\ 0142282033183156889411945896925149301609870887923662253832448749840, 1339487349\ 5545424318545398143216213214968796433931524687296923599575006006046935182832477\ 8451790287074652501381115618103356976056872371142054374678613316543147181913507\ 28953073410362511070258936023160358299479445491674127295580161269955056, 187489\ 3825408922300942894550350858065297919085426564569659825662454582146406864315458\ 3937632396681922259833682657959345098186168615727734111392026074090259182152892\ 08762180517170113167001835162551041961652421805226964219796153876955324598288, 2643060472856802098948317235255020889384879374082587879637968803747751317735247\ 4099491711975311126358910814808726553823474662854326575690994127559107740232660\ 4715258694662492645595684004963001252258245935375395590244505567661801156540628\ 922608, 37523903206569107392129450177411418647865373653801327738895176987330125\ 1880095382120946411384155549496454511333386537947393803000493928341981428568083\ 2511477805949100822405709711450182766117075927969553145131221660047527596387482\ 8690661791456016, 5364853107789388107254896384136003761508381307367511954521161\ 2937674263636450155764085250311945776295081251989648976775508649727431099576887\ 2478714692304768284133296178595324883602982289347783220938038012560698485439610\ 3858705039310600554607635440, 7723876489217851170261976226243751856360102151817\ 5733237097271380492665083538774787381891577653778064657246396850787694214851074\ 9964246117816898559710662145172588858924046845469500299144983230725631546434059\ 670700698270758633729989657947901740517904, 11197459313514877065879511172739335\ 0395279588804359298123719133526019702451755308447637090078955338081068918637253\ 8628235364941813166958611657130390959323291086168635292029245146120199989283554\ 36472363565142949015500798297080937051548840586622905846512, 163451786720511205\ 0794407925565237342552809220585078743850633877163864227625110112808420618816930\ 1312150610715554012551053570347659115128098631587631138430303856248683993033900\ 976922540059017440053843177723103432329536628945297814305550753961542874690832, 2402290145968608193657793313283847657364325304276242349727089460260307542042392\ 2784543725611640853958286412288806356615051899899822060402744435339457747805660\ 6216729900101015379242508252016031915343524526822672782275999912121466219161582\ 4980640403401797104, 3554730941466019531346840164294651786237169571599333748697\ 2200234274742679961344849835252434261633521393528816430621611281032717651792626\ 9184059481935098517471169069301980653399677094545409293462460387196806983410048\ 141676742560944024272766211458251341937680, 52955813755049754758182169619626423\ 0689636270863246468141136096114484700443529151745375596887207891374888369092553\ 2891184675351334804012777237683005483917599259382255011351423805739419297271393\ 8990316219686757362432236448151717660549587538601820162622384157936, 7941940163\ 0428604313772065878060477250496643743061990335334355328772836992515607030103034\ 1762389419664672812806316386566322535852316083508159759994023130694160421099695\ 8304326889388085543386730735794999617610742083185075476754835401349732002621078\ 571648143228688, 11990196608840149352238528487527820317230963012019814037211947\ 4007850141235895260096743740988230675618988642241245681669073601131246437896833\ 8995931104122072417693598116050076340848748373542895988276421207901961844762650\ 006959197805778598937799657295342429502930928, 18221900020198743098154250548251\ 8544146247496270069019195204268752110034108508455999364582757747778074496064431\ 3704047241438494493141734839416893246841038104141127149304414375307572097098389\ 17024968178048462523967989139321211159326025438009450177952051370793425231376, 2787467789327278938336449354637628249444921704821167681405020064307278173668070\ 9387000639110531698682136125670335750716740299077935052784675669138080131545083\ 0179717729013155893370407505442101642787185335075473317859126813112447015101765\ 08127952571508015700477757058800, 429196652985608623258949085885136065403091498\ 3741855812940941246477914686646623647415568528563854732296716006606119264770252\ 5422975372522416072922777375543737046100087082929139354898974962923327594062531\ 05158525061222307671875460924950629354008273718179806056533734193424, 665142555\ 3105004640834454285957679575656696337474292746994175737620410681330431126514572\ 6197831986024835919010813287278903151932135374118869401004072352842087841775490\ 4859011791592662714466760035702258417783348136313749038200827670739282918796218\ 105480390764882703055856112, 10374495482194656207368117815500605924854718233340\ 9734657106457286170525637055851252574578223089484734961774539676174506046628548\ 7921882822622912706329008763429382526754690948659266255834432192756919322617144\ 56673199093728820268203606853286821318445548546714429634499566596112, 162852794\ 8957159954796764977663731150053683679260148999213344024407130523764917973039236\ 7378450859645173517373557651358107989369203211685866597053159091478552173866460\ 2446707310042999043762158122358291814490353601742711624219649464633372030844582\ 48641364844531600737381167970544, 257265641436573560989452418260168318105944282\ 0601124277972940078301516345289024666283699775205902141217517107962633862856551\ 7989118143828016625390167913543602548179867558407463126187165096628201309772891\ 84481087098758957667007898247103238106027362521467896297420310466439366927120, 4089867975781840913486158694811806653951166226698273547067901339947127419898709\ 3167463600667047546921300259190605049205264005227939124381423719930480556241859\ 8025183200592911902690877151796777886569360660004932246710197847279637076988558\ 973798102033631671991747743686550181005612016, 65427529317926820603636846626501\ 6545218329816753778031059365344025046996083797673216104447770724512728774830952\ 3875292471368363057915882730824433221130354617594188459953514406413938269623561\ 8513121088760114067363024473312624075140322927422358664337892594389989626827423\ 032223226819088, 10532185585608402774837369876033340318990653576383088972841384\ 6504223180648476376400433993036953531875746409791065853199180189762304857837091\ 0881017439954695037286522251646169692745542963630713693797037247730551399387244\ 3480427161721861987323351544746195190441707612816330604856156984048, 1705950656\ 1319285497655297245029979377535810637592489613535506782076317771761393342097407\ 3804142929057282952684813563470855247863980532223232578430719128419549605286803\ 2436129036512316944086980345706663096596048147053959870902258737821304207849635\ 161959178902147840936640886592607466405136, 27802755653471218265734495676309602\ 1064271019367413188952406997082410215922374083399866538973667284663725579729285\ 8576464950509860949833223804135659019691523479496385905659846590996294532383711\ 8530437457243997890644822284391865444006722550093474208485270725437519848921591\ 1776846423424472560, 4558965174675434122521532059045732365078793962920440445063\ 1797293193693290026479655665151519550537242000834842744325953789008777529790669\ 9293253469841306699655888728644886094959181405725944636004767952672996347228362\ 08463273464870528837499627046823787071196093839100725709474674539318919881744, 7521173347684512065024096642968169792756776013514190471321648315165468229330761\ 0732287830780362469777212068636652543657851007339658338721773269089660800471176\ 5989925455054510665605533958844199797611666026424472874301709510479230488508920\ 9387307538914403552740540119549678621118030938684677225712, 1248331263455433130\ 6294818519053608669316797638029541953164201847401148277812118023517154549040724\ 3087237892760449372352705089520838638739393970285032762193092926333477519677133\ 3311750530307008639760861792158783394548297849785561274085391003769800536632210\ 105747835397873913195120945114868301432592, 20844104717519673869885154684638133\ 0879246780846527480177940248628433232418039630949193304363376803233125755664356\ 7964892737569992674949001152685887909507336389891361713823655533337003068190304\ 0938772413470650431626485125807749822700739029027853196208805221271871200250449\ 1367842913956099180751513584, 3501307140569446129604385130988962612455428153518\ 2570781932256688855059415054418307327341877572091515552013428983369762836737470\ 9401916875053063658259994741605325429922566943550000189503960252098009684898724\ 5962918081009045848753201678445674447354521272500398917817475688695106600480734\ 2282098784454160, 5916370126943397853640022059274452307250872630091395704779335\ 4500051053972257797191966908163763109369935488249984508286913974339581110956133\ 1138692697498665644381749243258124228418502907913727874544906607097622733136642\ 5874253208302396033016175305808311145110498460359906092090664049403577655992117\ 229296, 10056420051422108550578080701797542635649933440348133156394245298295079\ 6779165939084823123515799982094153029354957031474057799627353581980054366926832\ 5052784754445911767150027881327113298523133980356394670620186642613612532990232\ 114239360349001322387003065533397031488996143018326659208825827728760949129488, 1719409722728420833568595683017998909319234826331823542044170630757977167490024\ 4263604435703547549599761454576263761879052312808382328857715632643043099879719\ 4619852225086707721466607600844054950291685037004432766729539144524194594167985\ 035094707599200287237531195470960539195109585552748653132701534323689968, 29569\ 8001452437079365388014142580743406202322124168518416546101183013792289632904804\ 9419735256912167318747392709299722650733640352882404514794592726933391010480297\ 4674555632697395804868969953753040259824991857032610132152059841081897431253371\ 372306577341547095735122098312889745084456222048558311512564234721296, 51148834\ 9468343611537974383996274943435855921671044401324901505506065021753821300030505\ 8270274357033748377784621230689318264911539307812399020589799920362832761790535\ 7068101512127264871453052781617412626208332763183051743186826956223189933575060\ 83651166678786075599200683728166085158437472749692116932265172500720, 889870736\ 6381805247266471466526589762867499201046584969257768180849701031859659027569364\ 6442203787882934307130412076217693019264889310919999580420614291346424453242954\ 2208991489771762771437360493689265323187204827195665033753741403306027990263868\ 134298594970540096111061690702032840540704428460301596264734447790864, 15570679\ 6914666531897819402598540113246757525325484594400646653780440294775730763138279\ 3375993148065096249606930168647988923039644282273183789386114973270432446650692\ 7897184302225929069120711288561775203778771782816964589646761485797855475707310\ 2514598917876227432554613367139066256307390578848197643204412223767395312, 2740\ 0815595037718315303528716220675273851750393712852158390036606851915005548300289\ 4746090307809379300438121285379327454559855311961805934406325037118845370076075\ 5475518827567175906390573499752815618295749532719081104858496341700813474382752\ 8486365478230017078781316814129252661710904817532517586188953376108344365472272 , 48493178492107476404479865850283615051650093821809286700285934664169828454069\ 4260899286687187010460237885842595937538680396838776200482087081967822155927072\ 3121606525585042514651319686612680933716152079477338411847512003220833545776608\ 2252454416947635209758707425257980422024216106876487818541603220307014265545704\ 38122224, 863068329421934925989545702530732912047621361309949922754863802622965\ 0507203098433856780423176949383818662626391672618705036636269111055485243435522\ 2409987190133681192483075698927270404359372141773515912571928022942482080426829\ 7840043014494308145898173467961598715089248494509216038958593935041936331225114\ 625428455920534800, 15446972030426191841119783829429631822817170784529129632722\ 4186277334304746686407054965537909011417009870136272330659973308312485146501013\ 4337400257787222756240192150159938081354618124388297142920646310276950551268655\ 7796796605821084168004236116449587851766116180968645123763111677179747436796292\ 2545207858139588886596163681776, 2780107731769811401959076306734739634418561077\ 4894429293266160026687358965178144006912351769543850324719844277739975556127977\ 0282753524791697846394388879963576717983365644850135125774517157955184647883860\ 5328903060028279304664373121227979035778852211190727264390403798092177254238948\ 8888577327817454004229479282725519061773519888, 5031373545406116539479188959473\ 7926891149083765404212796389049285836743841044640704830844544255443477832373063\ 8340984978861455140237106884364896829885654511096952692109754787824059117461220\ 2738420010578361911732538580482041472249723937605364380676959674161441976407647\ 538630926841596645985013806319880148873713829729246762705896688, 91559814208622\ 4947276106269024783732905173380888323368123950123902011654197734400238646483472\ 9822461134200049225916093756905429530579197327489546001701865317544138636775642\ 2333206452697967466724883230999232610232648023941054029615137365663401145024183\ 7592519078879362999862439164464850245216069406735788878030931731843796198871043\ 856, 16753421954691610139653451410707993172441854306191890267330030284801047764\ 5069067344163591188962682214568721623199260419242307141698484083035882667270456\ 2424400882834320353594521776056613773016478623332461541990312595358482717198292\ 6827127294197914457192803161872629985960378109196932193391731897025613783934986\ 0717488705267737074487280, 3082261320255736854310031150886660500660201438282232\ 0710766193789705710273328695766163776583015224123678391300277155646895926163853\ 3940266651924718482673763865574377645758627860194215532781547190064572982400390\ 5576395549404589725872263273184099655996663079346034438952553750992533270661344\ 7614453658658003318170551408575981052629510368784, 5701509520868101867971305615\ 9865923780311870308765180696200697548496999500226418078473050573491694836430040\ 5597942624557242007833422754435590476168485481664058513098564151692438904578247\ 8023102039684217511913308130456052165474173743398393556936787928115651920640749\ 504574188378934807648162192473255114249004829305043485007089127761450204912, 10\ 6035678803126970915056580721540679265805578963174809433356184859067555686532634\ 2097021812624877440073008888036426428122496490534286598580507460224211869799101\ 5666558153411832023532001335539394044017231379299828059918723004535962834660707\ 6474124389168339109213156828075289961234776639153519735902517951200181476506473\ 8839240991043121338747152, 1982637859604207813874984608890750354348127298720203\ 1730253234356604434481576831649038617482594484306011720285940997163567557115283\ 0744327300592184779411240749457193540470567094348738934845890526578167405041998\ 1994635837285864598761330799292774882436479116960981647368331998775275752090225\ 43582934823577257028723276217397637712332292009388372464, 372693267780994933589\ 8385043316883731149482889334031140599556943991439197058544287179956227101015819\ 1561729861665373552329973528612193448340081354284604660550307601110865330093954\ 1208755757524917458128413429226198482934692462283976167477436946867305626907061\ 3238634681450900139185123061518637583413273893514149233019952818235261026558791\ 7614465040, 7043105325901027516827117608026247855252259217385220750840733238203\ 7078249994548373416174195292102463191269922888273927537763847026218368015504566\ 0191514585829768472676321837302839306139547947351287261333737444604741595621256\ 0630174546153975300510907339012579656070599443711790897716267898157379219903170\ 779320143075584875155498264454893026123401456, 13380401157862186759654831549574\ 0480742711049803329576040607480657637651741666512139116015579367425124880116510\ 0258426242517367119393126303717373693298170888196751190959679637055250800117517\ 6438436417643011806741702816861094336975153758825658305064835188031730302413957\ 7922234624226604874937041080163076831150572260004917474375511456618902922046095\ 0288, 2555373357979448990677197777770428148652559733865164916768484988488406213\ 7144303953169007739326201223774757155210586132270340401937448289100943386652992\ 7804454642429339490023197476917649739281506256442618926033607630773365571973770\ 5989259616349555596548471077828074474833160681170587864021639148363363562045205\ 65853204872082645738225898303618203088692208, 490577872345867457364453590824785\ 6314840837742915286238391721671254761315539854620792866332926235459138651843685\ 8940345225622325955713307132224006391447431195265614485196316429663231431445084\ 6451127517022567502844744534198460450570428896668442672068575616390125504685868\ 0587758628809307227332120218694879988054813137251171580422083491280424579067762\ 5356816, 9467125263618639341585063016109008193662179282711154791624667986355383\ 2028515866577823687977608896270721561398460012853318168416985211972015662929999\ 0820443258538468912073895399530645904787239604066139787254057131957441096194141\ 9134612578736171725350935218230506774901477921936562086144402939656197968432062\ 992235687726435049008149381282063949182194866496240, 18364250153304674469738140\ 3779114322728417693339645042557126210837228823522152372065756116378150637993095\ 4904186016851420698498595915911685902986221761753576097975637739233787818282388\ 2022100027079454750594961018277176984652266960518494868166213568431603363904965\ 3668836082181081708853987915077995641296677650059571781260888577050390124113887\ 1521904786110303504, 3580648070482983572266151289388756355490125418814610938820\ 2219064107534221502342388938613003387694874311775936779413671040828205102064631\ 5807265409641209246017205659594602137180705926921430703582955942596826083376438\ 2602916344529214640359281518118215147105759658430891146872405723478107728427633\ 26597335120217333215639848375012613791574803064584185297055687894512, 701733174\ 2099567095737706247670370947759040425065013378985937381490095543232595995038862\ 8125723673782441817889992251924556831884397400006424934162629760807588051877694\ 5222023746419157499740858953518003573248518306694941821596643732799685378372790\ 1738074209219667563170627351583595144551256521536555962514344384077647654294770\ 4928139208204009447214707971617303049232, 1382270369700927123661227994481977486\ 6068166368662549036941274759926057014306870065554046934409077161860643910575920\ 9086222727638818755215431746797904367606686347661684600620263265171003039108896\ 8205764092541052534758619505486556783663736533590979468872209686372618887054829\ 2922151806488950280940738105266843389741402711776439412585774186327803882857015\ 959613589720304, 27366131618668127478476519112055957414202621830898214161279033\ 1449093834979235803496197079892034659712923835129550976991287907116364495561155\ 2580894330191091690332735587490406674043606072660787154722495678576327428753019\ 1509618377984805529992558506318953510385700297364227627503718939205016823429269\ 86332404411946191726695896618814440011672072311299758788974386866820880, 544530\ 4390055470879077928075930852654060814535612948108439489708709823551049852143057\ 3443974594775823851213980621087438970343521021460130531323072140481864629890805\ 1366304228500618275824343843858179111329591790937033811329461952905527046013841\ 6276799453815203277412875857396091004706222203517885706747935155429346328782399\ 50048697656389923330560477752493208613426900580336, 108895084353145788282139160\ 6625092256342726639999375811666816525406521347342149315320053257024695381576030\ 6978240584967401940695109699194376270426586122072050203544731426335213664050290\ 4021755935540903863771114871246671482346434340096490583370679368334390119889297\ 3308293699808172328170503124994147457014961134608095495331873753343201871232309\ 99691536436342908345102037980688] Using the Continuous Almkvist-Zeilberger algorithm it follows that the gener\ ating function,let's call it G(z), namely infinity ----- \ n G(z) = ) a(n) z / ----- n = 0 satisdies the following differential equation 56 55 54 53 52 (302400 z - 1088640 z + 856800 z + 548640 z - 17332800 z 51 50 49 48 + 159423120 z - 961171800 z + 2148715696 z - 4174838540 z 47 46 45 44 + 4529171564 z - 7120157720 z + 45741685222 z - 135053960026 z 43 42 41 40 + 269547744544 z - 326581228350 z + 1087256989 z + 353257667777 z 39 38 37 - 445174773139 z - 211584167054 z + 1414576052275 z 36 35 34 - 2942067782328 z + 3268694768401 z - 1691353585885 z 33 32 31 - 1439519325809 z + 3338573408682 z - 1338136004389 z 30 29 28 - 1237037252734 z + 2460863959615 z - 2727472269387 z 27 26 25 + 1162558284373 z + 258000660130 z - 159090475744 z 24 23 22 21 + 55245879809 z - 48983845658 z - 138509647989 z + 26302592982 z 20 19 18 17 + 138050622324 z - 106350927062 z + 74254489763 z - 56007711093 z 16 15 14 13 + 14983631112 z + 4162412543 z - 7658307424 z + 11315504721 z 12 11 10 9 - 9655198209 z + 5482575477 z - 3209341734 z + 1869372657 z 8 7 6 5 4 - 842515092 z + 334954359 z - 142993431 z + 54097713 z - 15790950 z 3 2 2 55 + 4360635 z - 1280124 z + 274104 z - 26244) G(z) + z (1149120 z 54 53 52 51 50 - 3919104 z + 78624 z + 14817312 z - 94062720 z + 550533648 z 49 48 47 46 - 2338177896 z + 4619049536 z - 6666980548 z + 3067610188 z 45 44 43 42 - 10242359728 z + 100713111206 z - 285126348050 z + 425534907044 z 41 40 39 - 244649039916 z - 694791836467 z + 1623619643017 z 38 37 36 - 1185539963135 z - 819739481539 z + 836995989218 z 35 34 33 + 1371104493978 z - 674352250105 z - 4737728884415 z 32 31 30 + 8144852970077 z - 4618670163141 z - 148096647278 z 29 28 27 + 1710568222318 z - 236779470715 z - 3276140548095 z 26 25 24 + 4007170529225 z - 614843254651 z - 1269622805795 z 23 22 21 20 + 75469361737 z + 449172136094 z + 249657270216 z - 248555047149 z 19 18 17 16 - 195765104187 z + 190296129221 z - 59179358033 z + 85862839815 z 15 14 13 12 - 91527062403 z + 46017278350 z - 24818566646 z + 18793171629 z 11 10 9 8 - 9846342699 z + 4007642139 z - 2094849261 z + 1019162574 z 7 6 5 4 3 - 351732870 z + 125321877 z - 51410349 z + 15396723 z - 3518883 z 2 /d \ 5 53 52 + 1000188 z - 247860 z + 26244) |-- G(z)| + z (799200 z - 2483136 z \dz / 51 50 49 48 - 2202192 z + 18339696 z - 68377296 z + 292632072 z 47 46 45 44 - 999890688 z + 1401187904 z - 294470644 z - 5197246388 z 43 42 41 40 + 5455252550 z + 31815390080 z - 98236189436 z + 55892564816 z 39 38 37 + 284475269667 z - 878125404001 z + 1001475900514 z 36 35 34 - 12177424364 z - 1504217807650 z + 1056120478208 z 33 32 31 + 1535296271943 z - 2141611924975 z - 889518884312 z 30 29 28 + 2586541082498 z + 181408427016 z - 2430244021016 z 27 26 25 + 1060029356371 z + 533252682413 z - 1148118073572 z 24 23 22 + 1545470917862 z - 795484964527 z - 177072948521 z 21 20 19 18 - 13989245597 z + 209625705971 z + 130081327944 z - 159436626234 z 17 16 15 14 - 58783554765 z + 75380161325 z - 20518030202 z + 31824273420 z 13 12 11 10 - 36535395294 z + 18457037626 z - 8617671539 z + 5992980105 z 9 8 7 6 - 3104196150 z + 1110460068 z - 472968594 z + 219863628 z 5 4 3 2 - 69207435 z + 17808795 z - 6036876 z + 1705860 z - 241380 z + 11664) / 2 \ |d | 7 52 51 50 49 |--- G(z)| + 2 z (79920 z - 219456 z - 447240 z + 2641104 z | 2 | \dz / 48 47 46 45 44 - 6395472 z + 16141532 z - 44788752 z + 15378186 z + 216078204 z 43 42 41 40 - 843748192 z + 878942074 z + 2056149077 z - 6651308773 z 39 38 37 36 - 869756792 z + 38424360236 z - 83025257472 z + 42552335032 z 35 34 33 + 125103374289 z - 295011581903 z + 206944586414 z 32 31 30 29 + 147015008440 z - 300209913990 z + 19990404106 z + 169755800565 z 28 27 26 25 + 90103607309 z - 293115645994 z + 107192189796 z + 71775062221 z 24 23 22 21 - 87364779001 z + 108428447623 z - 74840117449 z - 4817013720 z 20 19 18 17 + 4029502328 z + 16145764231 z + 3678704153 z - 9287004204 z 16 15 14 13 - 3669366822 z + 5080572084 z - 1323490176 z + 1641307555 z 12 11 10 9 - 1897403615 z + 912458568 z - 389509544 z + 268244724 z 8 7 6 5 4 - 135177036 z + 44690487 z - 18344205 z + 8499366 z - 2493018 z / 3 \ 3 2 |d | 6 3 + 581850 z - 202824 z + 55080 z - 5832) |--- G(z)| + 4 (z + 11 z - 1) | 3 | \dz / 2 39 38 37 36 35 (z + 2 z - 1) (2160 z - 5184 z - 8232 z + 38832 z - 115824 z 34 33 32 31 30 + 432676 z - 1333528 z + 1880742 z - 1933780 z - 718920 z 29 28 27 26 25 - 4489346 z + 42915797 z - 93985289 z + 91091516 z - 4886714 z 24 23 22 21 - 148780449 z + 129914071 z + 40994890 z - 80498030 z 20 19 18 17 16 - 66364017 z + 92389425 z + 33127088 z - 50126376 z + 23068748 z 15 14 13 12 11 - 27923670 z - 2361496 z + 16284530 z + 2137623 z - 3339231 z 10 9 8 7 6 5 - 2834776 z + 134134 z + 1735003 z - 559845 z + 107574 z - 214698 z / 4 \ 4 3 2 2 11 |d | + 116829 z - 21393 z + 8424 z - 5292 z + 972) (z - 1) z |--- G(z)| | 4 | \dz / 56 55 54 53 52 = (77760 z - 226368 z + 200448 z - 859920 z + 5828880 z 51 50 49 48 + 14974896 z - 438336728 z + 1018826636 z - 2316609756 z 47 46 45 44 + 3304721448 z - 4728261490 z + 21972213120 z - 61508132922 z 43 42 41 + 155888922694 z - 191253385319 z - 125898253020 z 40 39 38 + 356946219451 z - 291913666563 z + 260781904934 z 37 36 35 - 166142817083 z - 2320232212205 z + 5772067117194 z 34 33 32 - 5787047327337 z + 103621080373 z + 6948071958368 z 31 30 29 - 7981512220655 z + 1888043393577 z + 4153644362494 z 28 27 26 - 3140189765735 z - 1872718198303 z + 2632011750405 z 25 24 23 22 + 412223683513 z - 710915481972 z - 723222547511 z + 50501572353 z 21 20 19 18 + 690655714908 z - 96606089663 z - 189546008469 z + 16251300737 z 17 16 15 14 - 32628950037 z + 78204216548 z - 37497613721 z + 14460681941 z 13 12 11 10 - 10249614750 z + 3421678329 z - 292456215 z + 1524150 z 9 8 7 6 5 + 265919751 z - 256417803 z + 108453114 z - 50933043 z + 26523855 z 4 3 2 - 8851356 z + 2296107 z - 784404 z + 221616 z - 26244)/(z + 1) and in Maple notation (302400*z^56-1088640*z^55+856800*z^54+548640*z^53-17332800*z^52+159423120*z^51-\ 961171800*z^50+2148715696*z^49-4174838540*z^48+4529171564*z^47-7120157720*z^46+ 45741685222*z^45-135053960026*z^44+269547744544*z^43-326581228350*z^42+ 1087256989*z^41+353257667777*z^40-445174773139*z^39-211584167054*z^38+ 1414576052275*z^37-2942067782328*z^36+3268694768401*z^35-1691353585885*z^34-\ 1439519325809*z^33+3338573408682*z^32-1338136004389*z^31-1237037252734*z^30+ 2460863959615*z^29-2727472269387*z^28+1162558284373*z^27+258000660130*z^26-\ 159090475744*z^25+55245879809*z^24-48983845658*z^23-138509647989*z^22+ 26302592982*z^21+138050622324*z^20-106350927062*z^19+74254489763*z^18-\ 56007711093*z^17+14983631112*z^16+4162412543*z^15-7658307424*z^14+11315504721*z ^13-9655198209*z^12+5482575477*z^11-3209341734*z^10+1869372657*z^9-842515092*z^ 8+334954359*z^7-142993431*z^6+54097713*z^5-15790950*z^4+4360635*z^3-1280124*z^2 +274104*z-26244)*G(z)+z^2*(1149120*z^55-3919104*z^54+78624*z^53+14817312*z^52-\ 94062720*z^51+550533648*z^50-2338177896*z^49+4619049536*z^48-6666980548*z^47+ 3067610188*z^46-10242359728*z^45+100713111206*z^44-285126348050*z^43+ 425534907044*z^42-244649039916*z^41-694791836467*z^40+1623619643017*z^39-\ 1185539963135*z^38-819739481539*z^37+836995989218*z^36+1371104493978*z^35-\ 674352250105*z^34-4737728884415*z^33+8144852970077*z^32-4618670163141*z^31-\ 148096647278*z^30+1710568222318*z^29-236779470715*z^28-3276140548095*z^27+ 4007170529225*z^26-614843254651*z^25-1269622805795*z^24+75469361737*z^23+ 449172136094*z^22+249657270216*z^21-248555047149*z^20-195765104187*z^19+ 190296129221*z^18-59179358033*z^17+85862839815*z^16-91527062403*z^15+ 46017278350*z^14-24818566646*z^13+18793171629*z^12-9846342699*z^11+4007642139*z ^10-2094849261*z^9+1019162574*z^8-351732870*z^7+125321877*z^6-51410349*z^5+ 15396723*z^4-3518883*z^3+1000188*z^2-247860*z+26244)*diff(G(z),z)+z^5*(799200*z ^53-2483136*z^52-2202192*z^51+18339696*z^50-68377296*z^49+292632072*z^48-\ 999890688*z^47+1401187904*z^46-294470644*z^45-5197246388*z^44+5455252550*z^43+ 31815390080*z^42-98236189436*z^41+55892564816*z^40+284475269667*z^39-\ 878125404001*z^38+1001475900514*z^37-12177424364*z^36-1504217807650*z^35+ 1056120478208*z^34+1535296271943*z^33-2141611924975*z^32-889518884312*z^31+ 2586541082498*z^30+181408427016*z^29-2430244021016*z^28+1060029356371*z^27+ 533252682413*z^26-1148118073572*z^25+1545470917862*z^24-795484964527*z^23-\ 177072948521*z^22-13989245597*z^21+209625705971*z^20+130081327944*z^19-\ 159436626234*z^18-58783554765*z^17+75380161325*z^16-20518030202*z^15+ 31824273420*z^14-36535395294*z^13+18457037626*z^12-8617671539*z^11+5992980105*z ^10-3104196150*z^9+1110460068*z^8-472968594*z^7+219863628*z^6-69207435*z^5+ 17808795*z^4-6036876*z^3+1705860*z^2-241380*z+11664)*diff(diff(G(z),z),z)+2*z^7 *(79920*z^52-219456*z^51-447240*z^50+2641104*z^49-6395472*z^48+16141532*z^47-\ 44788752*z^46+15378186*z^45+216078204*z^44-843748192*z^43+878942074*z^42+ 2056149077*z^41-6651308773*z^40-869756792*z^39+38424360236*z^38-83025257472*z^ 37+42552335032*z^36+125103374289*z^35-295011581903*z^34+206944586414*z^33+ 147015008440*z^32-300209913990*z^31+19990404106*z^30+169755800565*z^29+ 90103607309*z^28-293115645994*z^27+107192189796*z^26+71775062221*z^25-\ 87364779001*z^24+108428447623*z^23-74840117449*z^22-4817013720*z^21+4029502328* z^20+16145764231*z^19+3678704153*z^18-9287004204*z^17-3669366822*z^16+ 5080572084*z^15-1323490176*z^14+1641307555*z^13-1897403615*z^12+912458568*z^11-\ 389509544*z^10+268244724*z^9-135177036*z^8+44690487*z^7-18344205*z^6+8499366*z^ 5-2493018*z^4+581850*z^3-202824*z^2+55080*z-5832)*diff(diff(diff(G(z),z),z),z)+ 4*(z^6+11*z^3-1)*(z^2+2*z-1)*(2160*z^39-5184*z^38-8232*z^37+38832*z^36-115824*z ^35+432676*z^34-1333528*z^33+1880742*z^32-1933780*z^31-718920*z^30-4489346*z^29 +42915797*z^28-93985289*z^27+91091516*z^26-4886714*z^25-148780449*z^24+ 129914071*z^23+40994890*z^22-80498030*z^21-66364017*z^20+92389425*z^19+33127088 *z^18-50126376*z^17+23068748*z^16-27923670*z^15-2361496*z^14+16284530*z^13+ 2137623*z^12-3339231*z^11-2834776*z^10+134134*z^9+1735003*z^8-559845*z^7+107574 *z^6-214698*z^5+116829*z^4-21393*z^3+8424*z^2-5292*z+972)*(z-1)^2*z^11*diff( diff(diff(diff(G(z),z),z),z),z) = (77760*z^56-226368*z^55+200448*z^54-859920*z^ 53+5828880*z^52+14974896*z^51-438336728*z^50+1018826636*z^49-2316609756*z^48+ 3304721448*z^47-4728261490*z^46+21972213120*z^45-61508132922*z^44+155888922694* z^43-191253385319*z^42-125898253020*z^41+356946219451*z^40-291913666563*z^39+ 260781904934*z^38-166142817083*z^37-2320232212205*z^36+5772067117194*z^35-\ 5787047327337*z^34+103621080373*z^33+6948071958368*z^32-7981512220655*z^31+ 1888043393577*z^30+4153644362494*z^29-3140189765735*z^28-1872718198303*z^27+ 2632011750405*z^26+412223683513*z^25-710915481972*z^24-723222547511*z^23+ 50501572353*z^22+690655714908*z^21-96606089663*z^20-189546008469*z^19+ 16251300737*z^18-32628950037*z^17+78204216548*z^16-37497613721*z^15+14460681941 *z^14-10249614750*z^13+3421678329*z^12-292456215*z^11+1524150*z^10+265919751*z^ 9-256417803*z^8+108453114*z^7-50933043*z^6+26523855*z^5-8851356*z^4+2296107*z^3 -784404*z^2+221616*z-26244)/(z+1) This translates to a linear recurrence equation with polynomial coefficients\ for the sequence Since the right side is not a polynomial, we decided not to compute the resu\ lting (inhomog.) recurrence, that of course implies a higher-order homog\ . recurrence ----------------------------------------------- This ends this paper that took, 15.768, seconds to generate.