Efficient computation of the sequence enumerating permutations of {1,...,n} \ such that |pi[i+1]-pi[i]| is never, 2 By Shalosh B. Ekhad Let a(n) be the number of permutations pi of {1,...,n} such that |pi[i+1]-pi\ [i]| is never, 2 Then infinity infinity ----- / 3 2 \ n | exp(-x) (x z - x z - z - 1) ) a(n) z = | ------------------------------- dx / | 2 2 ----- / (x z - x z + z + 1) (x z - 1) n = 0 0 and in Maple notation Sum(a(n)*z^n,n = 0 .. infinity) = Int(exp(-x)*(x*z^3-x*z^2-z-1)/(x*z^2-x*z+z+1) /(x*z^2-1),x = 0 .. infinity) This can be used for fast computation of this sequence. Let's do it from n=1\ to n=, 200 [1, 2, 2, 8, 28, 152, 952, 7208, 62296, 605864, 6522952, 76951496, 986411272, 13647501224, 202653304456, 3214170659528, 54223248489064, 969422707369448, 18308139748071496, 364185707232235784, 7610646121718276392, 166694564791285014056, 3818542633160305746952, 91307469325468596346184, 2274963238184099666640616, 58964548810661178633521768, 1587450065309073566176880584, 44329654081940569700351917448, 1282359809971541057027180973736, 38381483199536853680095427042984, 1187243782775351072286519836603272, 37914551857693285302587826088248776, 1248791706732055493702504100215541352, 42382670730878451397701170114905549544, 1480882994708856350790239821769105561416, 53226611729862552994117126726744528135688, 1966409374578180438745319671517606101415464, 74616646169196145364236856449319069365489448, 2906100455847850254602698701784608270034227976, 116094213749038547096884753030365221148938419784, 4754029503254127868999026541230930826499048920552, 199436253116354260697771776592297690008065770933096, 8566219817142695725531593861181466875617030940862152, 376513562849434009818604716015860357691538993901997704, 16925927332271965665391370926868639127328678316661845416, 777837512536714705756894331379281310188562259270607364008, 36524420411288445536634884424892020115915794218167610577544, 1751612518301221661167612121504638103760680520195185243739848, 85755785587386071327527030891574840407966270086700800470957416, 4284277840198451456661445469771796356077933884289016303709866984, 218326273040612304999973189141319423160536553763786484197197698632, 11344379188860050657449872286803073961110030973913003222045662500616, 600814542012675585466805520591402979723302553708520815004734384096552, 32421251472666881784953035062687993651581201858254516809870456832282664, 1781964909141076179771950509896610299118066656380323117540818479446635016, 99725073391656848287339129875233773089834383490902257586805308834254835528, 5680758956109127507734302378352781108229493657846631294237354468173727368424, 329284229793727250375759059083375361516989679866017335129448836023589685996648, 1941638939550406398898118851962109955530205392735326448433986336868059895810605\ 6, 1164323752737495192555323655860808471476384676878819621298531313249938937325\ 256584, 70984856799080460839483647199170480158564798700904078544635698970625393\ 068024249512, 43987290371336399343945521425931120857873452594407145452589771870\ 06283511341320839336, 276977757119511138383419663045428018536111837214436697567\ 012925504955720024814378332552, 17717766862882689832933876333139634281679005025\ 882870947699538499541426882308458313492424, 11511001512806309618481838239497099\ 08979704912163869698960909405621607978399577135106010216, 759371286699761817081\ 61295297053700193133226748138773206359863837451234744358920351508950248, 508548\ 2539762221313736556105113932279404783407349669792546865260379024469277523887004\ 222412104, 34566075428222355109796719249925992523036897148016803836795801319301\ 7173901887041125705688483848, 2384040912282580519577635308158424942833310087873\ 8675559552818916015025202417104065028223820665896, 1668136528727339123496239235\ 641978882383437950231746221448682484025054382722066175588289875358732584, 11838\ 9959955503186805622825595903007321275268001115771391557443523133668424101326607\ 564181145631101192, 85207372592399172396868803717070825225181739236310187997201\ 92860296518379124892218983422040473825501256, 621776792913798143504552553948198\ 519308760893792599516977354437051996781923408329773492124380537878066152, 45994\ 4239210161065984067248774242090245747261283344021916942512122234860472124018117\ 95050703154303516314984, 344833701472525288878807965545020682476237687835731117\ 4289606652012020114758520921794544721920638579038627016, 2619815360945497442179\ 1209214694487897754176562178498770081331270274687498388627140810761192756547494\ 4680620168, 2016567517390594536474198648420078978067196213807270294606848465599\ 3379105597404753647660510521839044151476636584, 1572398224972468661874750378927\ 6922330416314054921793655606159718350542921760298225610618884969527558485790314\ 25448, 124179092787604459543895886471234048745539875873956417163403233547160323\ 754152783263927357015610509897345564430028936, 99311799204608582862988634446745\ 9010480849423699182472217265526261876118609172597403355582914190275361975015834\ 2518984, 8041770071635060267842517226042522559553462138829562828422985496149090\ 76243287081407388836357408684681889605416164301672, 659226359995648267354664440\ 9815927710296223359822579613594165330112320990319593139372907297393973385116159\ 5663396494118376, 5469969152878942809948953826153519914364155462071390607497254\ 232665637454981846424812407371176020030665922579334899279713352, 45934546115754\ 0549568584410708476450891987295136149899535140972131884908536250331049033949920\ 473642945887014429463917218478344, 39033415970478520275585672739672167314255129\ 6705847655561884609578227392215202923957926687159024036156919373826368522290905\ 01416, 335595440325371683248432438956473954040421974816120619455189942066404626\ 8983864585423662150401897106251851871121234392962684277288, 2918899099079014675\ 9648197064974441878965926303641687632022037928264123908144485791390695346810865\ 4431560506739970201228169979129864, 2567959543332393334462492092275184937757614\ 4180102490086399820759119632886479494654527104225459104374336521011339795372535\ 919845765448, 22848998119702696266724673516155136046682165349921817266335671448\ 31192895784610657109756312265418305088272978729384385808876029763347176, 205589\ 5893550819023937545544326486764254188766528308287988854413708768424938806264448\ 79608809258880798330316834267952899932705228964359784, 187040798292708892848398\ 5783786642011224513356866652718356321690230059425117331543732754901531078878049\ 5639534754025584413616843711552938952, 1720363901057156247959323941397563340845\ 8552410040505561151984257880293933212086682513438580934573212246954289884807748\ 05303728365596662882696, 159956411151112503240304037275655201807782092550713655\ 3910433278375985723617618697977915119978155562333398985283104505634374850984613\ 16500970152, 150324598077133646216264749559221916405608805492534539383437640320\ 2192229483502856556519148972620236697776686433447664971161462452403132903995050\ 4, 1427763576761571400816038088624994223183983711697192827001271094729508243159\ 738371982760368592593827327191651011704785677178823341269204257048129416, 13703\ 5220781312142253600305696251594345321657356513394829089196512637513547305886724\ 400813869455858276718722527320556333231831326577276685624747313608, 13289559246\ 3578843604757028460737857071964903472112732391998834585051064276484933379268678\ 91107394503478602205172831267217114922324857625962515528419944, 130210258140711\ 1145374814014493735868667993733079024010160156258941628698702643797646455974218\ 193390756933447069286410140249439632201857146908688085167848, 12888156179023420\ 7082402455670087669638385597804716462203533894875622744714865186739406740752426\ 870893452823364919759268781385046905645287965626531891532616, 12885550568099415\ 3024858230913967442575106098628842962822424407320720372527451312600763985669170\ 81619977731401692203319186883532440341953920384227785187518984, 130118270796152\ 5690273940076383944345541318476179026724472174329108073012762254440333876551452\ 690664871486095942289765903748703327490841491233512616349957141032, 13269485176\ 0553679026715127349679287120576965611439661581212849202117542180013903702967392\ 864545686776672954183132133133011665088737933744329436426889378246546216, 13664\ 9660448457012977788169417380790458329580280333019472713125952363190226220181272\ 6831281486474250480772301419378888192635741514191597206013199898723155699681255\ 2, 1420890946912902270632491119225743459098565387547177013105567622138396112330\ 1935170288694132931109394473397112380888054750289354802940637469230314283383399\ 71490939464, 149166206162901578651751183527225512425144943944375113120274470850\ 2159501558639640629948383615848826532028936502976719503715824663687019398136208\ 87473591503135134487016, 158087747122189717203704355997363295749400161597532550\ 5115189761271864351331724845056826699822678914485905358211680585030655251938828\ 8755864550689641363828622964858081128, 1691240421862047242767498759016702695994\ 6370628701316151761541269441541217998398945875669394487176134714518917682161850\ 83953347202153312395004585517542059038547498768474824, 182622333464743018647367\ 5798018287840347703621733664581415346824927746390100516322672966694488075018149\ 72567803389211842847805290360181014627640956085815155103417823126016648, 199024\ 5034001357588802995193796468640437726831089087811257027861980120914575081124099\ 0464745102012430772772537136138000588616939554667026596741595206122700797054247\ 696411257256, 21889041309591041571997133512914540117428428664206699711283826682\ 0531441335777210435075740115714189795476723487647549170358656851475397423102347\ 1016679811359254644614693146780584, 2429285363326594570850458502538634789498298\ 1055435543666239648674103848852913190184473304171864430398755973264640006832588\ 9463919538506690855592208506637135632015037654906584075912, 2720361639298486226\ 7368527856635112953567786327047199003143495012563256988090769718748762090608196\ 2988621752835057214367336518923808234032001295704046065169701345183473233150504\ 20936, 307352259179905294389669272089053144824171437526631714022087957348644862\ 6530472302435127944796665580342084009758977978013045969785712282974007588909488\ 618173263172332136690249119496552, 35032714585177316684279901970820019412408744\ 6219237260262297329505336362870226524975050048046788494931202015460540319849330\ 726730778695590520020052508123278542780222510533613024419893224, 40281472244444\ 0632771548581477140647469213701999579705178367700286364674463973406433595040680\ 4670509192509524950198650249132746961093975843488710549564283431409124850739869\ 7149567273030216, 4671949848031630967359869885323161247260595107280792426040138\ 5847507719687172746138744112813450502452248312141796983631568060138915670668949\ 09808402556015362465352921789922292252714069891848, 546537537868710266789647635\ 6332277705929589591758194038963874687233513938078880766563121449959081213294876\ 9756291285622022655687790598901028220851955503481807467963144206999903761709491\ 6702504, 6448208198971693787859575226984336159767120348203235992643332415198779\ 4438070566512901581070511561371469775887695957295412419138642382763440606258030\ 061549552743940166921871218218280316727415848, 76722742702454423572515136544667\ 7962847400470226131254548730695927285986238915326825281550479737068834303702536\ 8844507333847871354759216157926219312877270069088243588436391373823463632155436\ 953096, 92054390055271713880975858429604846672630369714509404969358570230147970\ 5934139402663600814819638341841295949077283117100664628745788244045873413484908\ 071519633755697453283331648111851834182284448584, 11137046183778935487772633181\ 9538263506467189938785027887313448007367612829019699108071003548773546657114090\ 0475619374581447183274899941894800588363746854698497574280143209302227034788171\ 03851063951592, 135853545981181721541487108302686707814255063868599940200388370\ 6104040404248657268031915692493244348657728808009108287619682994051208376129557\ 4318727376176215657739338979975071760645267937475230482378856, 1670775796333224\ 3316308218025716935900534480740599818365020405516855894287607451649806395429196\ 3705140629368222305809786926576915507302216963133173981443582799364042661710750\ 7674194728670652980217158558152, 2071490186416755319108010464615805420658360553\ 8925121475607345175931876784483550335653935321041214164251208351565811011554221\ 1516834854372488966643946432227461772491535089867815753804388534859372858981499\ 784, 25890284642239229942136957303594369155262881462896545063969205191602176931\ 7837885040638059090557223318598525778388371000471050866674499744712263942171438\ 35139177508268314570750190932532577239125190961791695016, 326176142828885992651\ 6139789362274317322230775478292468804657651090343527531920352376296323524714249\ 9626782782854841228132803920867903454879806479078621142862796643721215610614058\ 16206828508618352853255125017768, 414191903781179814189535806244517821113453748\ 5130483903907100534225199846387503522978009188121753795719953870589728108961255\ 9972804078413413513535667867939173507294414600945354299186188406662418026407074\ 9971950984, 5301003804851938669089798492712148657352774625667092849798589746123\ 7867527293797745541960998660054423280578142644542962427769076106910738327793565\ 026129461322906235392823731318860989740129512551660207346722791189448, 68374662\ 6045082557346361074135994259483919755308043043318897785134266987321368212562499\ 6137956641711535335450076995827658590106985231119139580325885481921336636101616\ 476660568438280914474942396722484573563357072812136, 88876456052788626145404097\ 8949345779282855101489890793481622630091830060987300634996923516957786880045335\ 0914784714124434175826988767900990469936035080535773565132505284832032142267189\ 23001821556188308886307612006346984, 116414478274476095696367461334304482503538\ 7821507571906763783149284743963915800037578748872083706292637733770274838018100\ 3593317167153675248357372466231238386722190419913564639894262941077319008191635\ 2808743386876026016072, 1536493306282257005755057906482828556684808252029071530\ 4238460929323697758518347875413683892530103207064251536967670439264889211873409\ 8647743054406839322315289217199032880397390601432687865175759335138301656761465\ 43024851976, 204330319872068667789260416515964176295206378034255943019187954115\ 1254748360068319771509240480649489697665566585572004819984346876851263438132898\ 7512537784273182527047461687035704935181560237556055766568289286337139219808133\ 52, 273771889706701070064507878981042759360416842872315675186780933573351172667\ 0482556284771595042806516629019574184933566540860639146604776522173490517070895\ 49294969682334320716587533085898063730404617443516685063150710477124687144, 369\ 5511731801614774572766289604628906241200817924817691182477831987590714252632080\ 8418396946945640003843383673253437644082385182385900004170889750027584472750811\ 985643332418231616764776197994561876642733263681975751861902206897416, 50253482\ 5496045273078291249209897927538759637748447086375970679306813705430996991949246\ 8473100401510415622150479789999965862492079258044357963517135761433395265904019\ 257662881925988173952170826178926286321241002735684958378678690888, 68839877988\ 4374159387423553180933021672283908417521976589825076663539696988623597084862644\ 2240241142096569574253773264230111185697766430456148352322781143249949209018984\ 74752740165628647134894980858756057017417199468960746547562508264, 949889781396\ 1669186172897051512841932916649900941003060696573652288687051423343803698843547\ 7778757521471834900812388539037417174459959460751304877939940675578866004858212\ 495518653864994201551378893101310580106916318031453570279921881448, 13202090787\ 5711660248649336015389204908959646497993988934433079109799715444682830373877145\ 4630442642245163049130681496008291697564776130001596543817586723754935025570730\ 7635477849806087727723327763918799534535863129480291682159966564786376, 1848102\ 6811426362624193448475877680452942925862545341437670602807289510670633652272937\ 6833655897432990909842626665278036824571695606312454630039287496759033523880410\ 0370587615271792230552975515765143464945408301467544607617097992120257819784, 2605560668521543910346522539602586955151680264056215266986833754341773724462494\ 3371185488746333305348660462862458565111876423053293723868295445105396875024993\ 6931715381876535787146027467804747953852856562350149886998038558487334400355274\ 557352, 36995264320853480686301263180657651379968394152485638132541690461198849\ 2933831452310166422734826518912254065856870080218275804140768498636028344429991\ 8450188704564602817814093419744858567776540831606475458534350000493188735283492\ 5595465466832296, 5289801551395816366651777304311615680819227240148906661782105\ 8262878255155096692246770526866854567491223197887372442096301629254541964971854\ 1121874736237563585102376158008465720000827496756275640201810038757472192081115\ 1873689295700848965670358152, 7616574140673206251849820016691064243457255555875\ 2099277232403773086566683220309032802078771528369249238755860366314119634777340\ 9516244730969839192610878128947309231564659795725021956862419259180404311446456\ 636441866694561190186198796755596200623304, 11042974278574880685300211336306477\ 5635926879219928564853684449042942369549236397605537720775057753400377978801595\ 5486288273498926244788216695684408378371163520274431031439222186020723204523055\ 77972498378796654979323321888288012860394115090270487533416, 161212187555459685\ 0213464781657663145597624274358247460591930185591052881036358732653138620988332\ 9381972216453769776397847060554259505166839969424970147321462008876831688210514\ 713991417391947817802888122862952578706157088981057508012983042059991523103208, 2369598243774156552678099361774178581938509767154956344116806748032547180156987\ 5572873620494184428956197327285916454340205039845820604555436207014475787163348\ 5038300373771838193961150230213416743527833758274265280352611259575893996893668\ 8633556965234102344, 3506682898947482315953626203714584075670187547019186218574\ 3523638531108360206277642764222640030987845036191619439041296694708207213760189\ 0838522563859154342214222881185259700151621703166898187914200998408683272062217\ 487447494664305401037249748899893186755848, 52244834874854356400271821892815983\ 0426407673564676587783685553240507474303918028728196876295238108245614547506039\ 8975868308718683509492326588071048537707880588506857287054666204709459554128027\ 2926128631073602894277458187761488627934033707179798834681532587816, 7836023730\ 7285090681393029271707368721406804219310917251521960268884293228196573219891575\ 8794851031191498759258295397381567869028031895902491769738537279676397470408229\ 9239825011728305382871569115852739605003870505517510788623309259588728316158297\ 672045219730984, 11831350695790490189627405252294431258329706495936391486660921\ 2395845944723783551844911508517499977081828017821017184624384387376153305728624\ 0572323842859883900030163226681776100154118697923629444608829981722708893153865\ 883715541270410735378213125801671192364903432, 17982085496378708675973156188135\ 2344771948394683712681280453498032447042429414118894048686792153489178231566886\ 8156070460022687935330171637699524763345046018904806967969651603925982787543035\ 38891571386124203021033822080614771997608713130048290754093637354331495871816, 2751022400827750955548514742308772206725083193001993043340473700295244162649857\ 1357919391622691495819001761942411910893472442981393179616951246873108523107267\ 2556392440566101744812323347467016355184483964171324829526599339924846217048316\ 09484401440898587095653768568552, 423621477592430245347854006081500692284264225\ 0543846102974926094421049460181583134304461934446825740643547492203938429774106\ 7850882574383638951671987395860572917226985421030480709842476390511934597333414\ 38151341438847804722345125126742205362129058444771861759116290716264, 656558257\ 7969032963384385675319419476971806053948273713271550458054451184196396832185970\ 4367370431058090262380514133448868804808381058614293195385600890241701202825207\ 4310635893678988214571311856873754195094713761012979125295978919919023096647302\ 694138681149956811598979016, 10241461395957162936173517634701648697968465479318\ 1678097997656123494386635563299986758552592538727985473402991020920117993408935\ 5894320920319393481911234065155429031161458756568374900471851730612498670105542\ 82173887700024085458378737851037676455927096303073296307676011406728, 160777809\ 9563019282665254241346623555602987393890631792091585506697100759042535462445778\ 5361786376060153926367927374355918484327367964378396998826667360686910451546552\ 1095045665133790440839663705004496344274964027928642868871559898575179752268532\ 55547738515559013518490577901224, 254008452504573003586587693704660056848610028\ 4488381069932114089012211058674724814271649224423369871170420584844777192168585\ 6872687833108474994377321054716082925049577770194414908715794522448695859555983\ 42416582312849276005712567290763487780458873435381755267190342640853475796648, 4038412772509586787221055060086141279570532300657714109787730362529326090016456\ 5851696267253804700044698253809912041701870880000532777334264988939235960243983\ 3722371727243850155839893667237709378083660964594842103966877665612663999587437\ 363610722750520792370049022041918411681688456, 64609523150881132415365586240293\ 7381084301750875020356533149133085259848191134111584091607131807178021814308149\ 0370519700024676021645561389625957466232603551008477571574887035297382108279836\ 6764832866844160782463258182974011491197716929942351452772658821446167936736033\ 338275324464584, 10401325381452221908217469672416864443409549549639729310685783\ 5645195668854978898801270207408070758565601199928623100377187234746368472744120\ 5403790730481760857032382359995129057435308164180542530189623195559722816980714\ 2507753708130745149014943363345785277868790671091160228640379422312, 1684885466\ 9545446985276667134905450491991863537998949076404152872856931623316547925734907\ 3814997469246420954883764213834913497370763677423353794003934848160975093478795\ 5523915278847680462473749680643661008388889789999895565170764888330094716371108\ 198434050125632592718583518568947250082536, 27461552436224416937694727741388640\ 8712888276135867947670037740124909049616842454983687141119021537805248906154603\ 3440786463254903824163608609545732458032480365649661643816905776871136372043201\ 4507940808766392554692001061651852007912598796061693361048772421049675669759087\ 5449604992714100552, 4503357556849573947604939281392011915577084319575961871867\ 3270163637950919566887004323782191603311218075275063307743852728679903840133962\ 1254678788142501603690856436140998872269116171917027459936254649370457163036122\ 14451190234104510307647994265075398664773600987639013382722728182811854614024, 7429990632158830914560385604107905935842848751512550117179102351322123341584402\ 5822890365955992912574903467173061910314736982309501079170178518552740028682041\ 4364226918294362727527956416367274170839887977019942261474042033781507041958117\ 6348219291861847320342701509063998745000545338616127090216, 1233288360683885847\ 8976844926916479901416711946794923695880449295826543355801798206126065473786719\ 8969091258831738377823707593021992980007791820480933828821906569135968262453801\ 4179605413473280631609716866208491282741469981654853555796768664561013746172464\ 047133787545673341514089109680991881713448, 20594429346557034675644211943153174\ 8881526507391659570146953265712989159417589460985998933707086221415660766949001\ 4499802003784480768431214848783851688991610799835633885333382854695958250866597\ 2385938934243923683662074098143305302397393573157054198069015275549876949808209\ 1551905232324909375598512904, 3459617426844129627136341641883764974991899796492\ 0392359750647816343035489726138013447216159937812508644580451315369059914239153\ 9600420778503212324859600648411066167191347500747310821732839486931234618680429\ 7091422440179627274733074194848691659867253649983296908412309283638514231835981\ 6089860861707848, 5846341487378299304655991947227258205419766346747575695305439\ 9496444798343226704324120729382505104633806273331517687338195094044287432055331\ 8475205805562689244113988413877132934725992423605785387038801987066850114454364\ 8020717511778998467354135939792771975197660182540017520200069174640765901989395\ 320296, 99380884799118680618550334562631430697411696349106026205144367732062524\ 4973282503129543973399529564788536288466595745082508917878793987474237998670830\ 0474403556221897508132699565275089206560539051352803185808491577493519644182055\ 03321041105573482418441048190173233804881278363640187404312819184538791924584, 1699296182339180965481949681313283352106916648388293837531287401206383401878562\ 2074506110994728137055525787225404663147894711714211846611102964209347231629660\ 8904978713374429875546460636133020514677088714794362649801757761168130136946444\ 617339573417900289415267804085423168127194007025403848490770009703521992, 29225\ 9063675408727457762099729299211187997943707699433801921880112972749127424672183\ 3438995123641221093609184156263901435663587136002157664371702543198727442468880\ 7392410783664884941394391182246746140720843135535026635984648522420938873729188\ 838986687382354337427765140676289445766684346224118642045273430136456, 50557418\ 8303890977551985757253406281412159752046781595659525454650109229970372527312217\ 8892322130596276560480093536103877938880806298241565962640235613003981200756779\ 2904496481841372666479485190044344180590043441078064990777598418231036646908978\ 16484816178873316457370226192179675129144715500063019655612082890152, 879640625\ 7550359496606968963812921492648109812333959619908173255527417986465732559330641\ 8807408783205238406435279277044008151234722845536428344266405542919939424708957\ 2317139573740551783579982555602642028222431303484251376234599908688223113132917\ 127851393494516650864526232919434662285887245969012016132913298204584, 15392699\ 6299778526322026248418967366607563788523579034778738446383761795011440996845038\ 2817910927785255288027331040955799530033036875965208380788567698603358507034159\ 0273757601383907198466919880653051636804232958442450145006612736720206565439091\ 0646600372446647192620867608860414684310569063841265743985966101782203016, 2708\ 9391771097502106932823960773323680531213404123011707053808339798502187692299370\ 5512264833059603669777852481449476878664640775461918422004903115956338502590888\ 8026871304985952520666226119903194689906810531558436822690519783476019678514731\ 1184325929046736029594510574932355820227881692670641151760718558352075681095368 , 47945144382200573158118037344417405818706666876567010601521914849958823368960\ 8171864762441275273450449078670554433960854383747740196236805875862816924137618\ 0384235358441400433982213181408872764611962087213955662268878757594493456306501\ 3242805714525782119692195636927753262164075226949172892997999613141623486917597\ 21985384, 853369382299689490492441358655920741685698022008598475574355279461864\ 0316166781021667733851914072541995454797603681181118381373306317055299506727517\ 6598556185169121434063652286723336981070256851121443705314492396489007745289427\ 5931548425803382893620940897086509607331948542560630067006085359797166330384431\ 117763046359913448, 15274352884200705786889411070638426578315317077997687225410\ 4582270106953544737276507303836581916909763008515675331910413789045027023862194\ 0622901614217612326702035834883894269136127009051185905931272892254459078593857\ 8740531473020794200935390040323502661214247773197411645174995676235831083903644\ 3374276668671637766873606475336, 2749212817814246793733287028641492889555890543\ 5864545349164531145609529254665667561061201789068701203015921684412435437037601\ 7377788054515321199387098750230771479065299751888971286987979796387062926012435\ 9149866508407450750353680134986985708840841002157162856988920915401403889690033\ 4194064758918031486689361745883280459885534984, 4975769664579258056579465129611\ 5099843740921364535671066282994889262924388229058333387120891851295526265507562\ 0733289992679907807837221023101294776443273882393222220753706886423224863052636\ 2926331268989528220273886545419851673684420794251305129437210981805644412342956\ 120108839527980181100460623664717981339051363303088916601650472, 90553508604627\ 3158551065633213055215059494937429903495680728212415963227599814959621234463414\ 1506822687318263872314621359942234749632841293156479309418519094780395411037399\ 1657433346265392038416683822066795976325232373837363075342286513412409524512741\ 7407796177879193466107576524950848391072718881437463931294710602973464071571265\ 576, 16570296765886282464349940184520050197590345548390216908287939199476679695\ 4728316985449153849651477307546724926803901123541064240319044857931782165402877\ 3737776807135927134184653699382467778435569781035999238549663985690734640930701\ 2886360321491766146446063684863135644284934997631245969568997702432536834987834\ 3548389925917493228153352, 3048753470040749638851851744001663341463533161825502\ 4485547149962098203269611959712034831988617239927685409168852221765910201853250\ 5191109948065179969051252805181471510085312266240504167849145846734226312987109\ 0553273714055279601341164201744517338078420310831555584350405065224667039037355\ 5460075471284344408325993306974404185028061615944, 5639862463211099077608351957\ 8565972885882344870232954114649469463594352857952940755646187897457997241907402\ 5138217553891933252476361938591130994541961323292425443869048453442992445858809\ 8666205488460535070353204175638873586235542645907369870364355922912720739055880\ 185976484510283478214840563963554223510467737970133775944341272258583133416, 10\ 4895343391103135554246861418936475793040144888723049089809649003714854945827734\ 1745273073565584703121526886942336150697470664653307540626077535553557726594818\ 8398285659202237320805797065869138850266847436446754507658937897598327347027742\ 1375494408643837301429636526897833203083157488057587889514774544981565002186289\ 1255977696719996989584488, 1961430107373005849664069663209860918544071753402129\ 6789120706474605450343737343645845984851442748481021173281953252152872392508420\ 8600524224723869703531308493670869361111647143195399723994573161325811865743787\ 9512998349524054605452991651484403659029909508541751192849037754325802305921154\ 58677773271517192194090259320181005287935150263843806664, 368727878028245315578\ 5524541419766119859047577925552625378706928742374975394649918981843817261920921\ 2704543973945459518781197360480650980767740986707132510642625884743827246624020\ 3796711796443090813643604532263951957798004529785179669010064380840396990071141\ 7468555269325816780774133755763904987628026642567892787515044115924025006348077\ 4488557448, 6968564551569605409912728815665342091685689154044008320679330774045\ 0590512169055567179863686608784125777536270954567681990094859993288277612097138\ 0650477358809765838449706817611347168211123099846839911515360185480438920404270\ 5223467271870669948430530510215988806287621455499987664501451002055187238348608\ 103045006767314802610693101574575445349905576, 13239535085954413459700277911363\ 3334054049307524541123411924113159981661112444957277279493983051743980718405392\ 9793051542976265573819751087682030063016577390872662493240592594755627546340115\ 0109478536270064983344011211725411734229429578697569961454660546207322896959523\ 5034177556021924725823187586266314098504179655489081997898593655492673602508823\ 9784, 2528611810255981302936818970783356443446381858203865589436061878332237096\ 8783592673962713345062379540341622784854015109959381451823699334539520206689762\ 3553408787497992114849979478788157158926997791464648532551297302881738597797285\ 6574030809313933462971311947216716632261204184911222167641699825077449611655265\ 18224290221731566651157536613242181393295752, 485466984763836651609799240715606\ 5644721097886495704151603723288117495535274936791331666480925986741009958167664\ 3558157205515976815418767974991382505197433630011695233166810279911529829765573\ 6106905095111293872329332705851177461080078969033236624171673572002837141327583\ 6001546282039983916995107286986670787232248366510426293812033558630824826107607\ 5261896, 9369007012994693503343398260063352360194841910065282936924100310619272\ 3596291059582537194081584222796725487716285798389311424874571086330977568049644\ 8202973399231859043195744529084503132474764098287474460970320671718412322828658\ 3760130582889755660530900692391631925305617495121554281460417879464950682370320\ 018963505509880187015666845659002695224817920386152, 18174902537144719652100684\ 4632391429299015137743246392016714489241574609615801789816370181418746459818962\ 9304969564633467846844806169728996960733437348113137890427093981695037171253500\ 5466423450694043263926828187448151405309080794596377355192584920797786160089999\ 0031897646671189509021951217332824259604115057390332442556410555507553929856281\ 8890010794827216104, 3543918588993867983868292591985373034386107206772955471590\ 2496585665502963373715396737147905692433351590844995205388558612048437947457307\ 9871355665327223063906378581815375042765401812710859353999277654487942929145356\ 7878595348139008757739081332081760325813998882407908809662903938690436007873235\ 71525517296525961308646041407801294216241410815627055530106521177416, 694571688\ 7213745824744206847323449097755808514133124761558992531640284820575684959678736\ 2006306325843173841045657447198918062468641568967610630699185407561081851472671\ 1003566449994498471897241742458249484515916140517359322761537452303624216864843\ 9572772309682001620210984696385118511800633479959194541689475011348263593040355\ 0955700112125602719737065483514644172808, 1368235338921913098313868603399662710\ 8780875158340044603814833015071470683129636859383347663506652861680533065486520\ 6645220348123154091754570888761860105260597559670774347908036208905350247812210\ 5502615175847908919497619744352806239647693680649594041914311420762263749721128\ 4001923970852363673621619425843235303256056429221754172184815738057345837325446\ 249429816904744, 27089670383242453471617174163219527224696258180333869991678464\ 9552258773765651772572050910378540902545757779549751359329090888686646544873742\ 7417231926229599233269682727789148360040617404934155811217983676543284214544138\ 9630082489510589661492405617981192938649409869736483853884209139165578540808121\ 98549661445674766531509118362371834998473886305439935690567057028503848, 539057\ 0723315056722718440301767632507754836419039048455072600378002556238190693210026\ 0432744883616261995348299277476544963357682993574492774403947397900653104316292\ 1884290301539185560112274365118346034372091889259705367719391895911146695765390\ 4611272507439502589772577896567747910448474582472589764016548952733763459752584\ 82496270661543688584088654252460380954469394123016, 107805995829011151538922889\ 1128281714604415504564499351105767945420912016733928252630846153612825077035543\ 7384223762992906337811049226556164520367926581714263561772122534313726839112411\ 2286090033405011257716110675452764785368244284849252452322417172789933046076648\ 0839152045990012107892977866817541607536906135988046232518490649368524080705264\ 70262706969590096710918398502984] Using the Continuous Almkvist-Zeilberger algorithm it follows that the gener\ ating function,let's call it G(z), namely infinity ----- \ n G(z) = ) a(n) z / ----- n = 0 satisdies the following differential equation 13 12 11 10 9 8 7 6 5 (6 z - 12 z - 39 z - 66 z - 8 z + 136 z - 20 z - 28 z + 32 z 4 3 2 2 12 11 10 - 56 z + 3 z + 38 z - 22 z + 4) G(z) + z (10 z - 20 z - 61 z 9 8 7 6 5 4 3 2 + 24 z + 120 z - 84 z - 134 z + 104 z + 82 z - 88 z + 3 z + 16 z /d \ 5 2 - 4) |-- G(z)| + z (z + 1) (z + 2 z - 1) \dz / / 2 \ 5 4 3 2 2 |d | 12 11 (2 z - 5 z - 3 z + z + 3 z - 2) (z - 1) |--- G(z)| = 4 z - 9 z | 2 | \dz / 10 9 8 7 6 5 4 3 - 30 z - 84 z + 146 z + 164 z - 118 z - 106 z + 54 z + 5 z 2 + 20 z - 18 z + 4 and in Maple notation (6*z^13-12*z^12-39*z^11-66*z^10-8*z^9+136*z^8-20*z^7-28*z^6+32*z^5-56*z^4+3*z^3 +38*z^2-22*z+4)*G(z)+z^2*(10*z^12-20*z^11-61*z^10+24*z^9+120*z^8-84*z^7-134*z^6 +104*z^5+82*z^4-88*z^3+3*z^2+16*z-4)*diff(G(z),z)+z^5*(z+1)*(z^2+2*z-1)*(2*z^5-\ 5*z^4-3*z^3+z^2+3*z-2)*(z-1)^2*diff(diff(G(z),z),z) = 4*z^12-9*z^11-30*z^10-84* z^9+146*z^8+164*z^7-118*z^6-106*z^5+54*z^4+5*z^3+20*z^2-18*z+4 This translates to a linear recurrence equation with polynomial coefficients\ for the sequence 2 1/2 (n + 3) (n + 1) a(n) + (-3/4 n - 23/4 n - 8) a(n + 1) 2 2 + (- 193/4 - 4 n - 109/4 n) a(n + 2) + (57/2 + 9/2 n + 57/2 n) a(n + 3) 2 2 + (184 + 11/2 n + 137/2 n) a(n + 4) + (-5 n - 66 n - 171) a(n + 5) 2 2 + (-341 - 9/2 n - 83 n) a(n + 6) + (322 + 7/2 n + 143/2 n) a(n + 7) 2 + (284 + 2 n + 101/2 n) a(n + 8) - 1/4 (n + 17) (9 n + 88) a(n + 9) 2 + (213/4 + 1/2 n + 41/4 n) a(n + 10) + (107/2 + 4 n) a(n + 11) + (- 35/2 - n) a(n + 12) + a(n + 13) = 0 and in Maple notation 1/2*(n+3)*(n+1)*a(n)+(-3/4*n^2-23/4*n-8)*a(n+1)+(-193/4-4*n^2-109/4*n)*a(n+2)+( 57/2+9/2*n^2+57/2*n)*a(n+3)+(184+11/2*n^2+137/2*n)*a(n+4)+(-5*n^2-66*n-171)*a(n +5)+(-341-9/2*n^2-83*n)*a(n+6)+(322+7/2*n^2+143/2*n)*a(n+7)+(284+2*n^2+101/2*n) *a(n+8)-1/4*(n+17)*(9*n+88)*a(n+9)+(213/4+1/2*n^2+41/4*n)*a(n+10)+(107/2+4*n)*a (n+11)+(-35/2-n)*a(n+12)+a(n+13) = 0 Subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 2, a(3) = 2, a(4) = 8, a(5) = 28, a(6) = 152, a(7) = 952, a(8) = 7208, a(9) = 62296, a(10) = 605864, a(11) = 6522952, a(12) = 76951496, a(13) = 986411272 Using this recurrence we can compute many terms. Just for fun we have a(3000) = 561929251948747355897887187470434327179210183045666965211789458440\ 482410136244553134190989465656822523514764233910873900092252158754254993\ 368549245390514805603529649736297585973542767087300443382222578739998028\ 857980417714748670869885007482784664975544382751388895872333253103939495\ 631936050913748595000956108473376342141430920531272103187777468637781847\ 247346356463084335013049920416591066384641147047455835802246068889576072\ 603501397962165599759220142472265593494411230546165471395014965149617191\ 374246662428628178566917537774379194425556782693400696257604158978882474\ 035618677182259350054546580671146479865897017700323614125894927818412649\ 693082200864221726755755733238254214024803963993455092910471911885206437\ 966664766724730294511816861402429463993053588984521938897560482786611878\ 751204213330956562072023122782049998742961537578655146691781517170155572\ 510483728720790864981458503967813653848759651978122608465314352983277183\ 981921688539976424216715598032255489384852625889537676990342140679354833\ 848263919998046986334320178128565081764864233968216422124933868207563880\ 214215408325503522968954159914164575174032130170879491873094533445574066\ 192407436398291517531395538626162725902169991488519759459232317231693560\ 962186082766398296728088675175812958525978642628605091323693729968476989\ 160563980086714161357294019226132257788142981108395272682385239621182987\ 415671996264084323844276960808810145057453035735747249612684864494511698\ 417800388921094024232114179846732000389824364923463352501457478209851656\ 891453117252649742308992710551130442988103349802905656233055242575931894\ 849074342469400747530792386235941876504459707383575828620339736161869368\ 306077679797576335955763765645036739576258561002451325463636714588518221\ 957221594790943575339113697276185259324547839657942505219825617196203474\ 085168771782638134620802996618583185912017567865341694499257917794398584\ 054959453902870370664962411433933059940031465110246192242370181330056383\ 293726139407453207932989062348758446326666728851143806726810342042384650\ 016730284109178342669830761045337342645539157677781626284685374626907858\ 906322476961814572706632185900393362064791975073551576765972189674504196\ 215784927360103193554752548558337818048074067852170803853731899844864276\ 789036733656857054502968447288885699331800752755484327698474102801530256\ 967686772863005219542454510676256101736671825997428846428934680826623969\ 333858587754271708703948918057379433144730167150848863797655993063227685\ 688699721628875089432367082136416548542938381747816016105845804657361116\ 066049065507882073512132542622471049542269069148840589730056190023473566\ 675096718407365295117295725662516022513140926297713168703106610740946030\ 735256240198950503827886374024644425959441655185762452091511917884953192\ 096562746763914375967143211506679060994277038269999154003179501062348559\ 181282887181803686264419909057431606653714115155057112750864788278682965\ 017617350333569121980086694017891049508265658590261719043956729913350435\ 109806212660833158425812263025245894155663312839257653407524071839559778\ 903560868804453467749403786295502506647726461022417805789012463461556866\ 119841263223275636466065582601936101700699035395993586148684176144681299\ 177079825840261715751424479106424208472061035102538920871426816469506223\ 648829720460025465625127382476090007619871468300874207034686835171500049\ 413067581799851735139336251379126337929765455223693540110305525788314124\ 661783689170231971927057722529978716046752865661435658054928170889227982\ 814327060435409576246842001836968045696878062316297044608917633137537766\ 251928772645276112110019367234284320171406287595534517879836473677675187\ 049739344692222060026628117417454590690891960921792936106816577791210446\ 820692263204423313565722117721713214819237732552977828435710584526041529\ 527925341370312447203845611753219149104721267069373382076976455365128715\ 434117837746623344700507553110086421985798491222627402022782729039191308\ 287899512188950965586155563778583731988566629441467122657859612849261209\ 156555858698177846924027481424606263268526845643550410790475915551380280\ 871677971621936080964208101023957821973570464317894729231647668426167604\ 552844434399058547748845771107185071356647440776203874827945373252233721\ 457283370166425908154134441698419343803731823385407671366568835096141420\ 677326515505570372430584325467161570513756201279807675904322131953491908\ 781045702451771465009354429695120487845491647786496183954117659119909189\ 355666832892254907970335025956006082867623515145700538968167726087356563\ 121129532107231286949007772975914037662437275139372981073725014607901742\ 816487647189811484646555005438341448807611332521368728180805228621353610\ 030469993810416066079552287731260693538886417873604331617749713165538429\ 003727953398398677125852369105340776767336527675159282295225600276622375\ 998894455109018117178577711683941060356624963321851977248594410762567674\ 774834605768224019723443407284810430449472228415623572782547426247860997\ 128599297882260570781135135170638522274794770796829090830804091506046666\ 800867450503267221994633731390950946182285723695032241657778113097813873\ 309157342331882758939087119054741351330110492712926626106563447045650684\ 563404490006008406075977343757281266711927102350477093723199482148572623\ 021924057607658713994772983982111181128891093150254594291595728357512368\ 695424576395072821691156469124796641162795942391195761238101067454850312\ 813611849894291639335929097668779102101454107236666730452706883438524827\ 145599405969470105744636326411747489609916573325856829027794919596995303\ 255976084377844881645831454406664194846183458493686839886757224891252011\ 733690986045684362733389913034019400836797453432069698925059249128026482\ 413627912611074573745763558213701865552616121573768337923029543524568752\ 614008031598495100798668367060127628979558737015620100433849683743205973\ 244794947847067982076485225446837230041729721455346933627933143245326875\ 576026502157248962978922745957126021119725200917219527068118676389040431\ 703241147760146879857462985610332387882721254899854181853215057806870448\ 985493600373480151986596228472097471444824387859336277908239258147111104\ 797800820612273947859837379791987667899573014473173925586524818967796671\ 448694856513679842279791383953030508354975064112225939271538510021269202\ 252125632652716195671599438153924382989252446088021207645904881577256947\ 600737709336229823752848663166919378405616255371432148372245891115809568\ 968980380853199152807895603935105113872807207556757371335542681067254134\ 203050401080132698953783747034901858740974465200149577853690764109183365\ 361470691599579237061690533191819337609090926471687544010539390653424854\ 688450589822925618489046179589940231519411611444400957389482596935372270\ 148867057967058637636759217944688908526115181685594527102614885275171617\ 922387126319857970061584051655904540689560207875693822828286956786661232\ 495291812489854876075658389088881902256051712398318448129859168065644171\ 688435569910064548998562534633840555078316350746258064238542104358712767\ 411417134136541270599993271413445233997388944566966939715869932298972948\ 989642064578872224300977906046207958471719887411691602866211815960183414\ 775759040243208382865634291883384297985106840771713689543606360043402164\ 627069849032344562697959520652107450462574781701351158809193063430368455\ 461442066226356193376214437313709943397388145491929386334859391716523524\ 462441877254407993546711354141606399934304194075359398472930846652328688\ 114781588842345321122477653380977518936391865791672444798087070383488649\ 783841046098310005806193356042493468371155762314001255094544225596142052\ 903862808414466264755760611211788360696811999469469155708638448768473214\ 588348129541949379164049341463915546587120727045235170057964477334716255\ 669204934825709949272556624473576656880162600829951810166550506115502600\ 488777903287920925996848459888143467901900457743152068473480732725064298\ 747415082891998021481345989402079499229816098469803901670006771658388250\ 784936709365344469400962592079239632771299678531448089981541386997186890\ 095878214926591938342454494563137962297208481306039963883113643424436585\ 783143521521318168495483082551904357322780500234613527302658658712888043\ 006618072660312939913120172633425737230177244669143479011683336554824484\ 289209694651483084485872925066919809280863598042866111386290271455242377\ 298456210518317063633376075689476221022053901714427637857527292513224601\ 093906808717040265608658025525573944620245890824315000386504648946701730\ 778076029698255923478325109422006609382112139568490504475871666927628334\ 633331447060594310509721896994313519021304713385473830564606576340447951\ 743653010716299649321890396431642099518614948410948471806186059908215549\ 203732226083743412929296521460960980070286363091372365788202593014376114\ 721019522321939075123067218430977717553650430128395959760390953732382599\ 091677498609476490729133416599773345930601468068530355668977639294057356\ 115847279372656691334631873693536278433758900116971275180763826570104728\ 022093746000875155000618223865130257300774870502825747813305487364157034\ 491417817743041085622689177785183523780220668969320491290761874723782567\ 195908216497618140787398196802561346841497294063558670323633450672459892\ 9815291516779931174166768443934317354382055530318367913327494984 ----------------------------------------------- This ends this paper that took, 14.526, seconds to generate.