Efficient computation of the sequence enumerating permutations of {1,...,n} \ such that |pi[i+1]-pi[i]| is never, 1 By Shalosh B. Ekhad Let a(n) be the number of permutations pi of {1,...,n} such that |pi[i+1]-pi\ [i]| is never, 1 Then infinity infinity ----- / \ n | exp(-x) (1 + z) ) a(n) z = | ------------------ dx / | 2 ----- / x z - x z + z + 1 n = 0 0 and in Maple notation Sum(a(n)*z^n,n = 0 .. infinity) = Int(exp(-x)*(1+z)/(x*z^2-x*z+z+1),x = 0 .. infinity) This can be used for fast computation of this sequence. Let's do it from n=1\ to n=, 200 [1, 0, 0, 2, 14, 90, 646, 5242, 47622, 479306, 5296790, 63779034, 831283558, 11661506218, 175203184374, 2806878055610, 47767457130566, 860568917787402, 16362838542699862, 327460573946510746, 6880329406055690790, 151436547414562736234, 3484423186862152966838, 83655126041771262574458, 2092014180086865279171334, 54406969991009281966468810, 1469338018629653986976409366, 41150196372502770671331103322, 1193582389760980498221633250022, 35813584121884333767012044281386, 1110392038956066804370138783529590, 35537496393064930638101703032280634, 1172885751272849638829453912565746118, 39882710261949712055631675791418498698, 1396041747291640242139965142726500859094, 50262345779975911553194577588882829962010, 1859871309871038116648435156189821851897766, 70680863154089897845305294557145995464484842, 2756760625444750821552128104613932547871395382, 110278077054327740340160424064903831534968959226, 4521691735925647675372206464577895512495362528390, 189922377973151294153016999180870366965453703631434, 8167114973142658723942423487920320642171239131483798, 359371609340005415400996773516085996617262319952971738, 16172501101729097608752572324463659513713610092263831654, 743968515918661345831693981583044257572830625963334647210, 34967991959984473257064456963531052567629088109171951115766, 1678529808482026716734417152305057826476233200125542749867962, 82251004122332324032912236221104203234137519143667913202735942, 4112693186313860119061958213019447094984716896795545060274080266, 209754212578750348339355683407105359811237879664352080674477743190, 10907555058124941456112326421263682765527864649397936782407831316634, 578117211574493622195245158512062617737733999669517627368391507139878, 31219185564510795504818086475639648300939014584512960113421350232905578, 1717099708865304234238772879409154971452918705887513981570145544441113014, 96159941507466539841515093906853504146247607990867869795027222768762188410, 5481243944125538039214090940971826106722159743524110659151200898573220175366, 317919146749624805051844630290701419031587105774824038153182349001176738612682, 1875762142090462589876115019001696787726656723372459081743335894697290631091970\ 2, 1125479608863442962132037364392773598423295166450021899032875320025555326461\ 660506, 68655550525630871016282779849119259083933993860453341134091354221821080\ 117686549990, 42567204793916049604851615619033030905971625725284775904474401330\ 71808341594408744234, 268177969738970408924807357892891743143462515890714834184\ 761735142039984140307158954358, 17163669340085925521193127616468088435611591168\ 767085315610701111477580967089082644732218, 11156558177674850414528574589782781\ 04140954252790780235728389751299549269233511735579647174, 736343742698921230201\ 53186900437608829327749509953918022805956188819954941644546705628169610, 493357\ 2838088755804399838188154853447213678203194019156688279648287423714070676369704\ 238148566, 33548748644829902441180607218063544458019559918823051392768072876461\ 0493683529278978051362879002, 2314893570455968462807108197866877049904017183057\ 4183832181634769614978462139818372478799499434662, 1620445537213853588578000368\ 358491759046121575101976932805136568908595925637013609696085773391795946, 11505\ 2995424630242438062641853516134077579099171604114456932728037233092384206776303\ 997727016992404790, 82839096483373973805407164816479930207522860712536574876484\ 34427335134583819604513202401474080596362234, 604731981430787436080811233021041\ 967390480849776507967720979427359904498168921085721220610147131988367238, 44750\ 6335075776077915384736056377528964554384528968257964274705796865310995702798645\ 42285433826834531043658, 335633112207173766488384246437443125016130914605662627\ 8356961774605408556562794321019534308163258370916298134, 2550836182746857999415\ 2906458477267887188889257739492777583883261809029779942158744257126971845487031\ 7618094810, 1964162009582419236108225806271582424714227753909683228577092538571\ 1524789306369686454190290701150862636393067366, 1532059976706836907200990022931\ 7284812801818283429895696085540280429828773876505483698010311336999671556490156\ 26922, 121033772282581440467142725984957179313923083378373082561621704044219974\ 111248594978624757048960263503261604883608822, 96827813966373837354563979113761\ 2604356565303566676269804989673358064846716863202823150985425331848103636609946\ 6662586, 7843115020020792871925772425544167988762976086164770500633514575601686\ 15153291291766831890790380768120487809683932843590, 643140335867139912073470981\ 8741747412699029832925855850823293344336435363799043413696849325525002789752523\ 3068505289658634, 5338104015374651729738429263477151524701151946269672535992591\ 978971336294781269619461636282498913659153919489542678060018518, 44840391424936\ 9813113158383710258669260283012276738151082518754946695874770021432702152374598\ 402913178601532908199227454591898, 38114593183025934885368293393692538044081492\ 0767966640390466743513052751032904011691247558047698655086411403738280049414338\ 49894, 327787662976585162119669761805839698799407778453717725169106987653121560\ 1507057771733729931394770228290700710874439423814739388010, 2851770822786065813\ 4612310449126896007958064990250067582959943865470662907935901968235908800206500\ 2391213889228713938123980953923766, 2509573753573464254422066935468085419744441\ 5512066032304816519171010217577649128131885600386303879938595438846699608175110\ 431942616442, 22335339082759924650969671509038514304543541680188428302602768823\ 72325695401649587279013705525931588774811212118425319439977057046610182, 201019\ 2058732437738496092154778495782209023118541784288878367237796263472870025747641\ 37454680888888963718029794644543941117527681534516426, 182928492846570312028907\ 7322880041109722008195299389218706907272929638169898517122360720349681649192130\ 6591762310194149676150001800907482390, 1682951171015132631261100080382875701523\ 1604573019188493481609432658369543236551593250080179087073736718695376319331002\ 27517679500626127161434, 156515272118453576886303440308251009117075357017089881\ 6438164368418495093625672643170861091804297714719310192334186456921780634783941\ 32529748198, 147125095726810975915291686575098665493059936693683244958549103388\ 6420295767250727246068212989038650456353424138649920091016186827824372550228893\ 8, 1397695216007112012646431138116182435710171243863152295350836339774468649507\ 069120246149797456807059144835994332451247796844273065865852654997006454, 13417\ 9373677553967184938132212703193573862435046239124045644165469485339341649247459\ 142188622910834806201924992674198784428672227138492489507113393210, 13015458736\ 4345056165803326277307737067183732200304124090100546307248763609602288952263296\ 77625178185229127746186088995759521002164400378595183982669766, 127552060706729\ 1618478793946628104748852829293162291189410973046993575333673141154331336979810\ 732056726505725861406101248266406628452703110787539394407562, 12627708252691006\ 1412908932270881854889049132221431233322383392528911707087393210879671128266993\ 565623689242118066704032872019327496186779182862304175446742, 12627760862544607\ 0687941221599887032871140235028349466250146237591088437099503713839542699664178\ 20416856795327241155920340428779313526914190416853572713693466, 127540900234606\ 3535523298936677751651211547919987674846678808297141582227219136705837864018706\ 431896512664296313745731426471156434579503408021882420551866017190, 13009222855\ 4925072837933555495979990388523932072721558782611272726928432960946600062423517\ 633039806185726861055173102553805321227329825246307239434282465858438634, 13399\ 5505676189784775706360458990142788974743262542312722310935308001174474764472021\ 2788201660290797472352485879245652011188974602396931975282994847548100241259627\ 8, 1393558412200005239430744703770413601710167418457571691108226395371448285175\ 7304134706922437881499485571333191165732686805970143061488236943047452333712699\ 45109206778, 146324158853598547387665993107878186442180877685578980023388295386\ 8747217296284314580119591042003991010944803715538501503809838405465298162464784\ 04332958720637568391814, 155104149673584556660357314862664232202323378738954152\ 1958935132979144466517836605933871914433411441856175758842408899086901492253437\ 7206744870829580221678546668207374410, 1659620030390299996295493802626810689518\ 7740664843663089407534455432534935447791621538254225730066507067314427588238806\ 90136279071529712010532604572509818197863071486217366, 179239554261274063645778\ 2475796819087364263803693403370713508116926034035676038135957303060220561739133\ 03366723859086755820461058359020478288512105190669894876246528938360282, 195371\ 7405269261810348874477340463894430125172354775943098097385413425896710245291572\ 3437664687521716180524368475028667359471697391182096129268398442149654128271303\ 622876966502, 21490958474998735364686518580833024920587899858170841887821719270\ 9491182383082803405010490530351112176532002060112368557732230729141263901729364\ 8697416670812400308948006136609706, 2385503627944539278128618823441160108788840\ 4880492675360145813209986219275223770927770625988924960570093563132128516354970\ 0913567468530390496996953918616438740361517161446756223990, 2671771951203608412\ 2577705094634177844148442653057884544036355828340069608442978970988995354675054\ 0601108663709986459482757467002805230484832046561652739795583236339363468148720\ 98234, 301911098083954501383268348120935147486650785685047331353153164510668093\ 6258513868805063393833619793046073036512638595844529381158689861118756870646420\ 774880962929016815630159190802758, 34417961477129411217686084344365713029249459\ 8125030636667396463219179242429785932579432032390459230628279096132109856817816\ 176886015170724217287949774906709658842066961849256026002577418, 39580763541129\ 5574355391960990579831786998201010010801534854860216974149529666156349757739074\ 0216505627539520768871336242025193307211654864285645894232428950616659210943127\ 1423428504549974, 4591380756011662361750894230851468574702920774032782278380870\ 1438272128767040394919952966551933005057766781007613659596887918444025004238531\ 73731459461996477268286486619576213596581106515610, 537192937463943690349086280\ 2005327920168695474111588621539428402698429108179600967035549387030573762990023\ 8543451634734343543953172997500310362702147102719344130328679093358685586552800\ 8438566, 6338892634488749737641084802292243436381272788934747310849288994610016\ 8091362777124467077665893593379071352339456713250568498010717081718777000104914\ 008385897709383837602560874064389993930634602, 75433007616656037149178815885716\ 6021030008620588548316509269786634043076503002220724705958545005471485506698828\ 1324473600383333339799750495077268994131754768111667706622978137564725639955073\ 857462, 90519825885658142465475337208286798654212182926497873971579314794872809\ 8583014388337706749306638982496617476602997188841952089081950800312512897440129\ 200926331924175720081229590120770679548613761146, 10952924506317534076146448101\ 8880271453596408625998463958545881993671720988054061171682796163214922657458010\ 1793702837205516298309431830304753315269012793428035341527660244550447263891946\ 43286131958790, 133625983288008973086791031614173810739323878251145438489542323\ 7247131606522118215708868902376938339390371522152348471535228179131743993547288\ 0840538582026405364922651429600009213180319222112894683788234, 1643603245920213\ 3733084081190603555904985441905049490618980341099974949247839310539820648408623\ 8660580913944998300774046414967661330675743348289199940346052388728778263997126\ 7254307340007126769191261807638, 2038072442927397659726939332487683035960216661\ 2256950563289828605125901989933674763605484365667170447960682257835342632164283\ 5430375513684323881286988614561655974917865168102425342867466244838050088865792\ 858, 25475959432405465867357032796987696733131654448234487601682454281641851301\ 5901406832397286279328407981292312565752808294586784874877592753365636187342204\ 61237125881494194930342703331372907148094634217931944934, 320997751723003253086\ 5927767641872766773235198163232696967596065541431113920407276612448227197049064\ 8617956678688691439293922825373689861983500300340708687983355035580112619981400\ 43930826431850081148561425920810, 407667966599392260572428746741286665806387155\ 7350771433956384513694293372580563179452275020878448281905362998810805790942284\ 5448248465456134016763038088896358488665332237266631702895442844916231203500749\ 5862165366, 5218160245704596823512326310261073052975028976406751665743264029280\ 7278645602685527870595312939375998951486485916180725656633988541279748700233663\ 694898311293948145343717602112711740244085377226531407500529148190522, 67314396\ 6041660501252819766444619639053683499397431060494601098481814104751171383609955\ 9642542597272137392834704528849501932671941545605905120271994570143293885100565\ 131221818103717369691016504586704390606657380647622, 87508879957139313688865798\ 2744801383337132928927237329203404121131976290651991579633455853316187875943840\ 0914866606924258636313498187622297782053918357585035332120892054807759481440078\ 44555892627418210939334704217723786, 114636843126820288952898443963328877198768\ 7695852183029695868267014242117407797005195915147379596414592433089019114865181\ 7094134885523478795641021873485170554803711920139985165645471639522664878168975\ 1960739814952321157590, 1513209043051266137303327875916347205744505923381663826\ 9421426080957789111964852558842570650449720349532603287912711024924799791578717\ 7332414690244463959344661134527937284454438349919272538927498407523544502423998\ 83184196634, 201257155495989388197075953801261421621306284528941246069569582780\ 4380302658380823717443589323118872295732533443511091626162703461282716096497915\ 5925079939620625857656598834744264083414545008941661487447300461098489122262509\ 18, 269685050466627386800038153350417811021003312288344082249362357456200297261\ 6815654936175699100772723006490946370731576850317551314864804332095504177883444\ 56143270368657718819586096873710410150268580197441551490449535973322405098, 364\ 0754280695898481280272529345705651614443549256849241448172026901585792274652260\ 9665388562285921169900177825383308869861019232913163553261335253318382124367474\ 983822653544848483182618274352981462968954243086854670575938202960694, 49514339\ 3348518036160819269658125607231443294759539053834311981785226808914951191118549\ 6819616916027028573130270501704478728667405703070352402729837072345704671128348\ 657321443565753208187587183475036963608638505211480060070462614010, 67834753579\ 9942196762924803259132473888962448089866355177808320019352562830783877447678954\ 2694386514699917699185698762943051722196686542254080697283835434550579865939964\ 81910197728921427807974430341965847038806023243101543826201189766, 936121066655\ 2646827058494868897103556261885802914509757346066978258457525129103038481040321\ 7677225807569133936941424597895907803495732619686069646688085757841185568278744\ 945671735173501941517005288679909143359479421569327178876580788042, 13012102780\ 0478482091788511617587418516898483303202511766079644211775536163056583215941004\ 9165891432194594715631768337555471343535249127310598486655933974425006752344104\ 5854172154497010819141636872878161969680230193949297763816685359704982, 1821697\ 1226960198401460238363628640469287341093139550810471401598402508216791657188113\ 4072943410537553248126258307527948413874149539663771942739676338460400522236590\ 8519392876766245699686027809075242022924937792993848750571607280783787153626, 2568596715018615951919978781826433792459402351167929792634324195292296678941945\ 4063255155717616045931468592608871735642644321089548481716383496424479053848155\ 6746970016312476972769665573906981192346789317551024447595593502898580072833553\ 836390, 36474125781590725287809685351725909084939692541197454500081603790209605\ 8482452621640844500709488609152978207112741531420891678460355147197500986678951\ 3541840084176615922253666788465098421128896470166914001862272972246211437881476\ 6083418447051434, 5215807326358759112483332123574522762743021224052646556969587\ 1944095228692183508793219400988082042727456970568633343252918154436064053450366\ 8643207551200555603318732711365129112481957860352956941109623767268601297272264\ 1811963431655330513015972598, 7510772898259897296962799554826542612417920724056\ 1189126512736599161902655773861399559975014971024520316699144031423992220770914\ 6039810401455164019341049328592120980161630670806355627514882667191156660850066\ 920277254789787669833587235545617840126138, 10890635396338912854537798091454582\ 5694317351902737426608034988448848759912925700106536324087039308762916827061656\ 3484365503159983235985410554800377884124264778251805266282769643352986995872865\ 95819356801687056745687410385098949310540796060625431901254, 159003486898502295\ 5753315488780431545254128505165943556711042576115290482462484006684397834729564\ 8301724171275599421951688131714409992732762300773413298377400504466757230519641\ 151868606421695670054953878454762879031345833299707961939583250669472187539210, 2337354282874242255995522442008576800076615672140474203766722494860132028926624\ 0719368002756019882184111508345323659420246175864396471443296601485092443124981\ 5951641649354795954117935491388300818125621822707779823262100671442800252339467\ 6590407337132263766, 3459288725371342227510618201549812780871383002099167861301\ 6281401315123161776306256580781489361040497804220269202895174445991517413363146\ 7317203492312440060600460610767709805696868918039482949327182693799273378566910\ 760411047465075917090472690395443382987162, 51543466051103960022784414075153300\ 6257248679529688070525133347670269528480364469564790526149493746129835223363211\ 4965325719713629267730617298970480472109729470823582119523499737789526462438701\ 2442114482079221909152123130232019911516704592412897885267057237542, 7731529321\ 5614427413299149825848884289259190067636644057597316438179556681068894165296563\ 7827795599079239236336824363283709002873975076520796241464533049589208132018288\ 3081181793179363406661593331413464038247254823467287686063884804491176955021641\ 498232350786666, 11674623207487682504300844319672839894062723728503734663640618\ 7668412556479761384844922042936408817575823862509259165545610709049092187695057\ 3644038066433684008851201020127805031420226075894291265604413628609382362946730\ 838766120328909959480096890305377687450091190, 17745448033021982165547927144294\ 8872671839238623110235555801921320147053061283735089244997120593819082273883935\ 1660486431736024573484104810036543764040788398218087430866123806817547519679657\ 15422706384024964008859420090832781463966747853479982966705377838133897120634, 2715056662560110510119715164323175521857050844237576180516152797664027320775730\ 2898461294354451377929050238767085162099189650707022842971443371301227568321641\ 0457760748325738097008315650677656448579156905110319989034615315515837640575396\ 94847381760923816093485862012678, 418119196153311386710246551367839307523604047\ 7527745639662391968838432276939217861204818347511771189335448010636162958428759\ 0704591348945233099071544226094169951427481002794749423109394427714523652275796\ 43217837460768082864578165349690576866591947775586428051611154827978, 648085468\ 5876720150270271994145320778846466405702520349525769504075767073308577756815286\ 6170754241898172557729755813088034555172135970092955865564603954229011210896299\ 8113777500440380886696147103931107737960921695344797466824971751506204234168537\ 973291658655436411110990614, 10110144242116343158047192313740546647044268698061\ 9007254880033497757913781540778255048258861604384309760289643929069673544687491\ 7071817972022348552190612847048785500320468125614770033974478341577950249964022\ 97812861695986113008653938235939854665784597356525562686547677560410, 158729432\ 9492184033664776064940408517220069209535512998938348517662862094874313924257673\ 1188219332442291380384898824932478889167000423063327721574672768470737293583475\ 1504930309369737404245856133056544212590896811570033165829779397635243287341703\ 55101251417077926382738067099366, 250792764988293124201479058896645848635353129\ 4642755871419439261255643307021020082501001943406066184706437018995575351606304\ 2698926034998404106103742777781723497912003197163332947494608774271995060512442\ 31547437522902521427900282861323652214907345134143779289524581982743986147882, 3987609033631665102978837473527568646696972003149510976509772757050178444976545\ 2667303749303502669366102383438344783408494818903562983917963982123964339690440\ 0964205637849278417917631473317903337817859112313274091763357680367061142631797\ 781407033387473204054436512269500952219293302, 63801808439504052259127524141928\ 4297104339360583806472061588545611923630333584661366434647208236064976010017551\ 3961516112226687878842388739995270705024900293698138825853692534955394517334531\ 6528406619617877481909905459271925688057433325627788665775629478623451861026188\ 843342471438906, 10272101254776571851218314278177621109929401843434974419065825\ 9421419670010951590666783584942012114006489711725287869547417892205054446652500\ 9850868982744933201472151414550306938919512180363783941256329679659269636001007\ 8193964370248908412001618551796442477122700813269321134630268097990, 1664082008\ 4769288776310755360836129550039692584615863276305965640979066949388732578682149\ 3097236818363978472842285775418366164877848165165298733565666625989750122103692\ 0866800752695554423280685779803442297251412033106928556453171668928320814026658\ 684745450227072295300691353616733638212234, 27124562420420840432983494483151107\ 9371156423280561953099865289592715285692294742667726710980474982555864575908107\ 7262788650786087130114097847167376378888074487865409861727825509497278542912939\ 4659538765092281347729766428024135649011087871480656585339181913651324491417684\ 6573373088102611158, 4448432371631277352147460166791493940625087142639254451475\ 3184864664945033865809312821702633558090535955952826178122380187221779534439974\ 2811654190633758716513002639680200891886417168123022981602714052806516773150406\ 17536990188346758836270299128863728175636580095565320783079664020612814542618, 7339920111121681399843239706147483322201965333268175573747185638544315245981344\ 2605680730707859460884989467828493290481504410898955459796886498432785387599689\ 6488320352956659464209699496283402097136344468556453652203450507575555936883969\ 9430974421141590120904689167232522804246212741087806372774, 1218427830167716003\ 1026091466922861730902359772046979022794828047947111158911253143703369721079153\ 6195524977556053426655265599229990527854989465679633053160836868628976461257096\ 1590776384766534700359565047011698398523417544065023369199854840486880026237098\ 917311363635471651424444954841560587461610, 20347762667368153791113203330025049\ 2478629524118882341033233743937111072938333498286451999648804064091109950372432\ 2255617429033304959289593917127735382271205336170019101024359113190828261036853\ 4767037523351295636204217215084137380780000650950400583432034623996424779085645\ 5134750059772949863514368566, 3418427082097963940800573710462858689033889351491\ 9598424989432722792269227671270036968976022948369309185523254604609310442153977\ 1259683670858234521676092587623359525872877653861930903928047466669298118392062\ 7324375827609625744363486381401853963351444139959209295676167276200034841825101\ 1431678370430202, 5777146672174624823304419804303451624663525453834462133356824\ 9344900178852567389004224789589965765562060136214325614264752624686457055404633\ 2201642747207609071838028413902339830205208964562168004376368227873389561162159\ 8431825524412536088515846794174136039453466251218062055299679738588581762755587\ 760262, 98211575311298274591932800405254558150041785069311510986689803620624273\ 4538375107396743349282891554418575574743095496855120426984759666989460864668933\ 6178357646611393184038803131444510804034589953683106288106754577897985426767551\ 76067166036396833573697409139537037312439823248855255154922482722377510006346, 1679419313431205192613426098679327827901626746709543501154639041509819352359605\ 8980727003240650305749177362506340172078147475505942509509841609623339502561817\ 7392011574272803587702923831279994080748381425708061139199686248458365982365246\ 276575093283970108274818615504454988296849862811405570668261698312112790, 28886\ 0354379781583486195538613256906796529373419794866675337459854148838498563198694\ 4853493071773283181520613634082225115051424858489061010117296411104074540186640\ 6473933602395744205090061075953121876776443857039553332509572764419214653586079\ 090663202737031867841520773337511736263885363167031324043092741174234, 49972880\ 8261693723245101830022993957633157740273610819480123250564252809347328844305457\ 2321342116993541624812163220180938528136701495505041662592638888952141672947651\ 5384889792280795887765520688299729714410753936187620556066911920758348377117083\ 67471631983468401706230293141223592182775130243947913056753831208038, 869528802\ 1180285673952600245801124194061286393354315396209141580177137316561029192394709\ 4443442305218045182250690047641556242846399308375018497483952288224490282275361\ 2817763096103136513979755411300148928160023336773165074604004467040291563608011\ 746558276491447548363541413196297602524798831911798658819508443462058, 15216765\ 6594468032450161785786932478185796376540994511146995017710615452849941619896342\ 0858083736228478212996687305797231499008682490348073729876713941527534000753939\ 1446518977402263482763968204172819205696646783026582309332975457485765436398361\ 0645324964706917940752548783307997688490060388707636404847101416934111734, 2678\ 1527666674308046906506027063587767586227144733955673073961543863443569602426906\ 5244563264801351451468557104368936044125335518549334137872000554142695970404329\ 8201257161520812105088087659103410669373287613086279141119121140087486693936807\ 0852979730464698019297056230696153279675376011771425055172017229106467261946810 , 47403338953381570011040662220575618996211824934364724522144521248876121861785\ 3562052957326359013986460115342754498533965224774614443454581264418245486473277\ 2283606969881986061876922951647564302315818283631663548929679237674501492351214\ 2082680275197883263794641328309009462331528194311617402831095578657860931229235\ 11703366, 843780045559144952666757724869103550786043743647025684398016916645076\ 3318842678488570141095957449593653420754197417308406670084453020895354047422051\ 7132144523770408772549758056461753929210343837399267267338178345563074312199130\ 2585050093309042510384438274566032469648943545891612481063745100298350311167405\ 091133918496794122, 15103673589686479698759452025156004012109952525176545507434\ 7933971823117211353202756872171760384932659969535082533174823296477162631341255\ 1801427014725148849030921004313195944535061288752674571635528860244581981531811\ 9295812764134344743020826133473089335612905702608561015908467738909623623822599\ 3117211965033146671944676366422, 2718663153112171327705725638136837354680169944\ 0026230031865145642706498559876460597793284356629271721195070449657430989822752\ 4765958723975280008124564849059476908853758717949043591707803388829259762094433\ 7622708622479367335857643796063934004811326316828190166241326806809813040031779\ 1891500740585645922116807376581117584809464986, 4920783701430027978443918089448\ 2253023573122719363098045127906699867750964772411141428392539421706182434158738\ 5791523031713338203495020680700982573955303953143015928299406141660553112635837\ 3800756686141601359283465716533483870899500369939581184515206868256541229930020\ 055327561053162881218375796252673690851848233045433067900471590, 89558324122046\ 7621683246427339927148535397995951000523152154314052607739691474358747593771318\ 3479837339969040235820413316934104695453567757996179162867330417130456396675116\ 7545187619586485001755839536629710310743297178825309326109366015639096794595784\ 8590895162147031612781442937398305486569233615775642404044053507065123363291894\ 634, 16389184250080712909631913503173422826110244882917784483421582006111593098\ 2186341401487489049987932984074878139147088781599466127673074867669726866418968\ 7902594321324475813956247736446039658347997892528812756891714138339053494540447\ 9338664360881658187110517690147975718610105957335465109110884835723741805126128\ 3308053721333501384443318, 3015611881324494493369465081712035928261700061034574\ 1244408862604210306320214594737463060040225841170371780984076250314242315423956\ 8756033515894376360847154140950207299216681614521880830245698271928579812444923\ 3894412065045574728977905508526101041816210461822495756505900310022058417790162\ 1175617937367945887042055553098644009333325938298, 5578885582685126029135767742\ 7097505554852490227801306381696039828633052283900976141649651641037655807910459\ 6119768343857517017945900570171933007032832043876510988414760137223544836989097\ 1453564310381377785146416813289365218613583086213906341946153888978401646130697\ 622791093496536620568532522544969320068802588014594249659328318210616191494, 10\ 3767337756872199483579708640702866707909296158217599079192545785707179098973735\ 6229169264214144712274388092811387023648180331717351008210747272445638139308560\ 4645280585300680091664906680558211292922831088539148238480274260972646006873268\ 8708203121162992547432816291032793401425898183793372583293617946887831602463868\ 5950213253999785087640010, 1940450428925979962822735565083922154918132694569742\ 6374463757642301671020839947657850790271367067336982527935135766473522863959255\ 6680829288376818721324562509874045149436923533536762475884272120914582730644227\ 5568940903337278978703510723360557867494431105461119960556768698260621841259032\ 39645631248049067113703839795040471047528756221897695766, 364804905012935880785\ 6172481002790667879081012008779526350454898689946067031328377691600237178100280\ 3093273369512263526596700219979297823186876208704617528438352284629804515939578\ 2659576426166316659570023201040285325532126818039343081686606938766349801504040\ 1879534592109196654456430378036549036767151182531360236063457659192390975046003\ 4898999642, 6894816877996111644208334191427134175412145608579614029467610065981\ 8885139157835843784695403698392373409041526940976743046535959928758738799792954\ 8603952636006642281818520200814182126413162359954919597542103353378495185475191\ 1159382236322572633485032324398535143602260930156485278355989878783297620476968\ 905293373035365076213054361041219854426679782, 13100159871950006042067230399843\ 9848660260189727166404974689218753142596873293212844394606465739484477561893540\ 4997704810586062104680592079002029770625565328714262902871484435672716160862179\ 0119232394133688329975691457309065002413214396672833105043975888814436019274869\ 0065860938362706732245049192867783501423534121584167450919723401146456439479887\ 0826, 2502132002607336741079761371014387394556409261263502720810764938493160132\ 9504972647210920405413446948462662289120616363741396763119934739026595677635326\ 9933379814141770067352923799561414060717368496838191400482017156098074691359049\ 9061917600600992330997585131780631097785277975716887983739359262349008659490438\ 01353275161356583112365686226414540293590390, 480409621768110684596507969726528\ 3322366776460213829465096564815656443954273130454239308169348344669669771765582\ 7953059659595957575475642125192298371109795511131961837592211471793489342065777\ 8206959019676186844650018328461989158402549605789593259448336944721549821016634\ 4232494267197881346167532647044280023529864076118477032951724456869155960508299\ 9301434, 9271910968061161308565252706160254150395530955075674817605163315162938\ 5412272144362268185606105060555264308186703353886292692756565907579158516929541\ 8109051311226622660940177723396629243847339555186443096098928353790717717376560\ 4248682121659389780769750083153973842183657004482453339410321124707700743794307\ 021986010786588109375722384814535811875024670156998, 17987517339521830056066803\ 2067668868044653815039807053554643162020978294092294966818382345178803197720957\ 0805562286658184887013911236271787639370028335014990784323577067435547681863692\ 4435051499916485822959199016286128408467125874618497214171546164222444809614885\ 0773633413680396146150817031186103694827698602622837357164042568843560251622719\ 6810905165910483338, 3507567812959129209242143441603355717544206186114756297105\ 7135713482808110760271627952204852770185640330504522416179807473448881665043310\ 4002252293340516536691376847575047830135391248831027183034893414824843914986329\ 4976664911829276338388877608582506808908556069556483688460351469309871834638777\ 72041426453794103027588074915654441719354017485522392158723616516054, 687483664\ 1581892236170880656671176914506832008674962212788725467141733218333414022062263\ 9169830077743521044087253932149770538540051724887993678666491344101855891609403\ 9526922999791568319599023290521918837316089928439061542573999219366130858561158\ 7550000039988519220913550238894048944629042188308333516021239289701234368746681\ 1673245039705998752860875317672685085210, 1354343541639725259276633928213511992\ 5094074797955316288666204710829943159769597025752085090063510987517072779990477\ 8780366873013825632133818917456842677242310650491303583497631182616247665219405\ 3557011762191280697156747918654920676629534151421708422538170385159622713483755\ 5508555767818341034296755687843770418536880088004157795047421842213881787746651\ 911017623897766, 26816016227433507666595543109920529455302315779516523283347291\ 2682179981077423602929236624373555924348611707656958214844681566971790604054243\ 3622527521514483654531788709652419088453816041869363547262737739961606053532978\ 7383431740724427185262917395487607799138288068746609884758421552791814108206524\ 51087718292711037948358431917288182911925352009798408607902355435606762, 533638\ 9993368843596991302229973674838233607034674776867806091961809062068162329255113\ 2967797869190142716416394149424222026527370869188118430710944238465232904286769\ 1600887646801424976248554238547443078948704666124995922557056501317442581636273\ 8130588081259204840268898613694895636140034219621264876312233374741504774480930\ 81458494015901321444690916603010205481943144108342, 106727854318932559299798698\ 8893693150591136437784020436848914413491219896378278043393829785635247855285324\ 9541553315246671926686361524551238152060652315472485841581664368053852858348140\ 5260178238376055233725990315255193038769235827952080444544013301713182199662179\ 0172195262980547161208442328107929477906333611088989675727489492578660013310627\ 53551102823142252137278017359866] Using the Continuous Almkvist-Zeilberger algorithm it follows that the gener\ ating function,let's call it G(z), namely infinity ----- \ n G(z) = ) a(n) z / ----- n = 0 satisdies the following differential equation 2 2 2 2 /d \ (z + 1) (z + 2 z - 1) G(z) + z (1 + z) (z - 1) |-- G(z)| = \dz / 3 2 z + 3 z + z - 1 and in Maple notation (z^2+1)*(z^2+2*z-1)*G(z)+z^2*(1+z)*(z-1)^2*diff(G(z),z) = z^3+3*z^2+z-1 This translates to a linear recurrence equation with polynomial coefficients\ for the sequence (-n - 1) a(n) + (n - 1) a(1 + n) + (n + 2) a(n + 2) + (-n - 5) a(n + 3) + a(n + 4) = 0 and in Maple notation (-n-1)*a(n)+(n-1)*a(1+n)+(n+2)*a(n+2)+(-n-5)*a(n+3)+a(n+4) = 0 Subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 0, a(3) = 0, a(4) = 2 Using this recurrence we can compute many terms. Just for fun we have a(3000) = 561554632322505492400629393279337841429446380918183333914426400029\ 074436138908541949398595309630460418214342938550699433420203835695988567\ 163172837096171505198712138369127873274349538084817719987771029492096161\ 886365411161900905780410005816328430435820074680438389603261606161464458\ 177465265563283829945562314938837485554998873405912374853727530977574837\ 457480095955938456830649514904167297413103733768961268114612472886353242\ 995622611741072787270146661486499269406984561090239647753353058722319435\ 915805747675826331183692199981455591659875068353974321171093401099807350\ 311867474899114380443597483347511358539192191668772313484850668643570015\ 952412170834034558916282169290855154762892430021117467404201090888856130\ 775774210742145172606041048020660619772310898998129682090998519430534794\ 473754995188768161346179090667233839589176789729587040323689876128440944\ 594305200280833190983046948401562443022220031143580191559703996662909448\ 994816817828823763001715571207403338395256136342071857750061487287312514\ 316498816100785119220836918579416096737857125619663104420467989881264572\ 496861942444155726260959192142987852089067242641847277867944692831862859\ 405990257056061940780744819455673621533743104137899837311803672951649353\ 399956637008233227776563680017933154906538961138634430687714423416294402\ 540264123781148700090904872620215003302394785642919491280621662009154566\ 863138289955027320888672336763933126762549730748249326007349674219819364\ 320032883587603483901762996624485996095187936485368221453326005207173942\ 543992205351539103550639087395114645773332328142537736859199968072937526\ 319620652920183626919349245819084692521454473663019658113931639097098789\ 283424280765062557633882527933379948291550554701133060131082794541887529\ 006284246079123411880668272032207785678320952835066625669142569148983921\ 662745075175591965807134447643964322679656240611037432862374437958542486\ 675490114577671129469413285932164822993190588590018768950180320986497686\ 213771721807289930229547043790445374243655913558898082581599365015619556\ 311357249312430528167332326194513522074558458439926928218683701705211256\ 052714734022821449145101555110783920299563711263192699839410011869986115\ 151845746589338058687794330434695517929824627431265315707849624078484255\ 249122530100268934115975013320967690008775224225399185875457557302932475\ 049646149006580788806967201824857178505929241940154756642097387461684798\ 237090206948173191148857882404032295392928784328183533386550939377977841\ 529021322512199416117547244774829512738652450877268306093666311784370811\ 570343151260216694300484241973227480980750878266664546090492270144988884\ 186134108743269750481137828023017124775491550790689251217300106502535381\ 915860330586438752547295209834961107516398712455376535473096108015910105\ 077579693096763077850693159376620141380404474460062070730810547802243641\ 922605192244083651283929220125563853813755643880227530706889954522903141\ 485775666786469631456864708946403781485475380997009726370151704073938088\ 472268569108737715993056422656209636088811505967529452569671009420415378\ 179920300979436677952831884173435051267837102968982087660595884352821700\ 239718540714231069107662209487732131424216492885870200863928448009107907\ 344800559658262889359559825908909639185149592383863435814178007960312081\ 543763672447384422365279130733257845238404939297639723943172012190402359\ 779109004448018375766014527383483342764799589748599085543987158555925525\ 197973082661704053763148703258202619868062705905621044760596034644696736\ 283598755540288726249288890223036379605506918234289150427461142161600269\ 916440405462537304614604834128476103932823996181292486809567201574695740\ 787315205457993152048949989932332097872440446714771243673712871971132756\ 219745808778082571420018144295374421882547835755067800458102086766224200\ 372548585751376147536065716750045582575770414578750858074306364910656691\ 054326878286884548372171562232505051334333462655012471600414968795198789\ 312887781343461849842570860522608283277706349829172823794073915157912762\ 296613595157731075097375114461388508037624742877986133846192088300239965\ 459432339218437162859183104507699672063973554259572326717756951749786438\ 612532879838143659475108265674453398985297476917245460458793204710296121\ 174849858691654183544673962334745231467086530299200535401658925407353437\ 629388519926327130864209608412930696948096920051464341203011035982946578\ 830169309053714291495319548807275056977980921841819723042270025721806441\ 874319882459194247018173046444097914324090853167909720652477235934724464\ 111717304932568562600994042128278225603327218036837938012652014922762460\ 497461094480967073624428883791284231735305029014997434235318122343693406\ 147081224325286385537813138753669584565413896154109333395232436347938719\ 310118245827284136755561320435445888807312592480056110139534029494262508\ 142746496220829960722382116410566480464183841153438215925482061766886877\ 361312735162939919829052993369831215797219172808105162709712799954860743\ 522379329826888868777468581488936321671301165022346919068281968213132995\ 690685170503681283742482738162690970546644894279465555748249617425684454\ 624415180698284699481727575448139405021931145765137580546702387945833640\ 659607023303126994155660882776095811712869974911794063371082531290106471\ 502812523117021344774063521198637591221651112893853596924882707490154907\ 728139435925286502524401407392803519868485711235970923186220104687586455\ 853801627301422189606095393053475912918466134677551088888113984242032344\ 836382528666353087013063394034973563138644784706540504014034880358682355\ 275090669042182590598132753938185891658750502979793795392710842013960581\ 740167582655958744016725266605204863832334736786766276393716202461307212\ 064523052252488666426797365069919841842149721120430951647083857582017501\ 844233187696166903645574658043960608877590941975718056050023261587357770\ 504663238437283119208725262798645374407804573875256679689408765021366982\ 450556758315451669057898297362022320905435540289954389304464494327734876\ 849712364420338698965611066270367444264333536801962411628153909049418573\ 525126743548706817017903276503241536334242093566464642915486421899993792\ 841257478731193613356057994160210839762177192244459860872063702939259131\ 170441962799817111175468464194494032896839654113494376552770571128486857\ 069420118712059307793030988838055601724785972296935862872977011301094538\ 367483079070834559878000613449695461775544038562589770791305895398251665\ 643657957477016539343564028019021924974771666528693697340682691293809955\ 785427628865359671584088942781197030726320279411885239264813045815202481\ 185069267732476302769544326493672854367674470543884803334399336077472950\ 842509506599334304088244207430903146920760835455361024757524266191302270\ 443094418642242082401055518078778961627691764105692166425526624855387009\ 502095147628545454275268240350233091689506060839585990238715578620119161\ 809232174221008928019632193476144192050931663012659566481140873811051132\ 465909976573906210111585761980711093068955957449051897159583290655043067\ 934464030811300363008016108670756882726678071303468179940586604388425417\ 545052082336718812300676591246377071489622093196442140796815594761109174\ 395704237778179469664875397684330263533564401009811126700827455957033309\ 995745434584742663448255659235103515236447028675825769464196581338167935\ 812644262610661133806216992946039040191604788010337348252308644981225410\ 156710682964793542759845411964296094851939003274609840361047481516569049\ 566624640573291320128397876578384559622485665874603405256837744149258211\ 132389544801863621699830160537397379094052327755976586491136541683829588\ 841347108585118433845379566808304925445984580080729372678340619853989738\ 089024299680603355703159526738833590462961982196085986815179532402202858\ 836996388507116339956675814609952228623660554416960602650402500322193678\ 237181775961660547068548126112022145625576326467172648295914003302494191\ 083836245924039166989971593015119894289101549340803303827086100969244072\ 466741914450024174422872277584839442361271696072802129384908025545387257\ 178793173060048082102155890086302538155740513928709080547146908926639688\ 686384812156001906248171195167152428345439831413051945124715015503637930\ 457869059524029439062814001563484178638362222797346232024028982969666716\ 004631491151527047514080727091644689084570273418006016155565403754435161\ 651742557428664867977516680315644984525680047375329294371410612577593279\ 677184725535823498946323357692195217856028002085566911479952197352545168\ 942390956246825919798125466324422471539569265507419073869128374538307485\ 189096939284305808995283242164671469176957877601380165562963489662281874\ 286978737102707693879564671574401436123263039941409100149736450748880037\ 568676228520780350281626037691337901513078609724232015201973821523511486\ 069102904535343803078950319600211063054254522906144548145017681274651470\ 221523338748576212747359974329159231828373507176712128234992389372916455\ 084830512795431997809159014834279645111854260961043592064213067253675816\ 461289581877919071903532188345646066936370329673883666036573928834314484\ 654413308889181049511588655774800978751808505263496047051527997319318048\ 324737550249782877081236182637550222250638017735020741910057139455146871\ 1818164548613243469827677858516090277333990033369053687387539066 ----------------------------------------------- This ends this paper that took, 13.525, seconds to generate.