The Number of MONOMER-DIMER Tilings of Holey Rectangles with thin Boundaries up to width, 3 By Shalosh B. Ekhad [ShaloshBEkhad@gmail.com ] ------------------------------------------ Theorem Number, 1, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 1, d[1] = 1, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n -7 + 2 t ) A(n) t = - ------------ / 2 ----- 1 - 7 t + t n = 0 and in Maple input format: -(-7+2*t)/(1-7*t+t^2) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 7 A(n - 1) - A(n - 2) subject to the initial conditions A(0) = 7, A(1) = 47 n A(n) is asymptotic to, 6.854101991 6.854101966 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [7, 47, 322, 2207, 15127, 103682, 710647, 4870847, 33385282, 228826127, 1568397607, 10749957122, 73681302247, 505019158607, 3461452808002, 23725150497407, 162614600673847, 1114577054219522, 7639424778862807, 52361396397820127, 358890350005878082, 2459871053643326447, 16860207025497407047, 115561578124838522882, 792070839848372253127, 5428934300813767249007, 37210469265847998489922, 255044350560122222180447, 1748099984655007556773207, 11981655542024930675232002] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 2, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 1, d[1] = 1, d[2] = 2 Then infinity ----- \ n ) A(n) t = / ----- n = 0 2 3 4 5 6 7 -22 - 112 t + 23 t + 520 t + 122 t - 144 t + 7 t + 2 t - ------------------------------------------------------------- 2 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 1) (t + 4 t - 55 t - 64 t + 27 t + 12 t - 1) and in Maple input format: -(-22-112*t+23*t^2+520*t^3+122*t^4-144*t^5+7*t^6+2*t^7)/(t^2-4*t-1)/(t^6+4*t^5-\ 55*t^4-64*t^3+27*t^2+12*t-1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 8 A(n - 1) + 76 A(n - 2) + 32 A(n - 3) - 338 A(n - 4) - 152 A(n - 5) + 72 A(n - 6) - A(n - 8) subject to the initial conditions A(0) = 22, A(1) = 288, A(2) = 3953, A(3) = 53696, A(4) = 731654, A(5) = 9960080, A(6) = 135626303, A(7) = 1846660062 n A(n) is asymptotic to, 21.28262091 13.61607693 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [22, 288, 3953, 53696, 731654, 9960080, 135626303, 1846660062, 25144425834, 342367760456, 4661708621577, 63474171167012, 864269249011386, 11767956370477952, 160233400215384743, 2181750300914929658, 29706879965237065614, 404491163017208476656, 5507582795208070055345, 74991671060702509308456, 1021092362604541131131422, 13903272166295555003639440, 189308023455817199779155327, 2577632611666942958006764566, 35097243948991921939455996738, 477886773793710610437394676696, 6506943077891594719421493343401, 88599037556118096935761568769932, 1206371311674968524984812486852850, 16426044591179501493152651679508352] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 3, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 1, d[1] = 1, d[2] = 3 Then infinity ----- \ n 2 3 4 5 ) A(n) t = - (-71 - 956 t - 1176 t + 22070 t + 33956 t - 181909 t / ----- n = 0 6 7 8 9 10 11 - 134356 t + 471918 t + 111861 t - 382888 t + 77414 t + 27405 t 12 13 14 15 / 2 2 - 3935 t - 768 t + 23 t + 4 t ) / ((t + 7 t + 1) (t - 3 t + 1) / 2 10 9 8 7 6 5 4 (t - 4 t - 1) (t + 4 t - 163 t - 648 t + 1853 t + 1308 t - 1213 t 3 2 - 504 t + 187 t + 20 t - 1)) and in Maple input format: -(-71-956*t-1176*t^2+22070*t^3+33956*t^4-181909*t^5-134356*t^6+471918*t^7+ 111861*t^8-382888*t^9+77414*t^10+27405*t^11-3935*t^12-768*t^13+23*t^14+4*t^15)/ (t^2+7*t+1)/(t^2-3*t+1)/(t^2-4*t-1)/(t^10+4*t^9-163*t^8-648*t^7+1853*t^6+1308*t ^5-1213*t^4-504*t^3+187*t^2+20*t-1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 12 A(n - 1) + 351 A(n - 2) + 988 A(n - 3) - 7549 A(n - 4) - 19872 A(n - 5) + 62206 A(n - 6) + 82968 A(n - 7) - 156022 A(n - 8) - 91944 A(n - 9) + 117854 A(n - 10) - 12256 A(n - 11) - 8029 A(n - 12) + 716 A(n - 13) + 199 A(n - 14) - 4 A(n - 15) - A(n - 16) subject to the initial conditions A(0) = 71, A(1) = 1808, A(2) = 47793, A(3) = 1256202, A(4) = 33066136, A(5) = 870062423, A(6) = 22895923437, A(7) = 602497409949, A(8) = 15854592040970, A(9) = 417209496612000, A(10) = 10978765522177887, A(11) = 288903482132191140, A(12) = 7602423504892996015, A(13) = 200055887621259704328, A(14) = 5264421044349589646153, A(15) = 138531933446888930636874 n A(n) is asymptotic to, 68.95419774 26.31475186 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [71, 1808, 47793, 1256202, 33066136, 870062423, 22895923437, 602497409949, 15854592040970, 417209496612000, 10978765522177887, 288903482132191140, 7602423504892996015, 200055887621259704328, 5264421044349589646153, 138531933446888930636874, 3645433453615663914175568, 95928676754873076702276279, 2524339325133242832612206405, 66427362952806449170078031893, 1748019572859217381705113368082, 45998701307295345349572951002560, 1210444410812377025574154334365239, 31852544311603957693128303969627140, 838191799689321437658000902855791127, 22056809220432496790611852208592252288, 580419461472756540051584523109298820129, 15273594103731329040707637289123370276746, 401920838859546337939802274940162205615368, 10576447142201926396545069496561945600613847] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 4, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 1, d[1] = 2, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n ) A(n) t = / ----- n = 0 2 3 4 5 6 7 -22 - 112 t + 23 t + 520 t + 122 t - 144 t + 7 t + 2 t - ------------------------------------------------------------- 2 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 1) (t + 4 t - 55 t - 64 t + 27 t + 12 t - 1) and in Maple input format: -(-22-112*t+23*t^2+520*t^3+122*t^4-144*t^5+7*t^6+2*t^7)/(t^2-4*t-1)/(t^6+4*t^5-\ 55*t^4-64*t^3+27*t^2+12*t-1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 8 A(n - 1) + 76 A(n - 2) + 32 A(n - 3) - 338 A(n - 4) - 152 A(n - 5) + 72 A(n - 6) - A(n - 8) subject to the initial conditions A(0) = 22, A(1) = 288, A(2) = 3953, A(3) = 53696, A(4) = 731654, A(5) = 9960080, A(6) = 135626303, A(7) = 1846660062 n A(n) is asymptotic to, 21.28262091 13.61607693 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [22, 288, 3953, 53696, 731654, 9960080, 135626303, 1846660062, 25144425834, 342367760456, 4661708621577, 63474171167012, 864269249011386, 11767956370477952, 160233400215384743, 2181750300914929658, 29706879965237065614, 404491163017208476656, 5507582795208070055345, 74991671060702509308456, 1021092362604541131131422, 13903272166295555003639440, 189308023455817199779155327, 2577632611666942958006764566, 35097243948991921939455996738, 477886773793710610437394676696, 6506943077891594719421493343401, 88599037556118096935761568769932, 1206371311674968524984812486852850, 16426044591179501493152651679508352] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 5, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 1, d[1] = 2, d[2] = 2 Then infinity ----- \ n 2 3 4 5 ) A(n) t = - (-71 - 604 t + 5777 t + 34470 t - 226823 t - 542336 t / ----- n = 0 6 7 8 9 10 + 4079119 t + 760190 t - 26541937 t + 8993066 t + 88167538 t 11 12 13 14 - 38601830 t - 169315307 t + 64422418 t + 192370005 t 15 16 17 18 - 57566382 t - 128213568 t + 33081206 t + 50009761 t 19 20 21 22 23 - 12724322 t - 11008647 t + 2998698 t + 1233686 t - 365758 t 24 25 26 27 28 29 / - 58542 t + 18502 t + 1170 t - 360 t - 9 t + 2 t ) / ((t + 1) / 2 3 2 3 2 (t - 3 t + 1) (t + 7 t + 11 t + 1) (t - t - 3 t + 1) 3 2 6 5 4 3 2 (t - 3 t - t + 1) (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 21 t + 126 t - 249 t + 170 t - 33 t + 1) 6 5 4 3 2 (t + 9 t + 2 t - 27 t - 20 t + 3 t + 1)) and in Maple input format: -(-71-604*t+5777*t^2+34470*t^3-226823*t^4-542336*t^5+4079119*t^6+760190*t^7-\ 26541937*t^8+8993066*t^9+88167538*t^10-38601830*t^11-169315307*t^12+64422418*t^ 13+192370005*t^14-57566382*t^15-128213568*t^16+33081206*t^17+50009761*t^18-\ 12724322*t^19-11008647*t^20+2998698*t^21+1233686*t^22-365758*t^23-58542*t^24+ 18502*t^25+1170*t^26-360*t^27-9*t^28+2*t^29)/(t+1)/(t^2-3*t+1)/(t^3+7*t^2+11*t+ 1)/(t^3-t^2-3*t+1)/(t^3-3*t^2-t+1)/(t^6+3*t^5-20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-\ 21*t^5+126*t^4-249*t^3+170*t^2-33*t+1)/(t^6+9*t^5+2*t^4-27*t^3-20*t^2+3*t+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -756920 A(n - 23) + 117983 A(n - 24) + 40544 A(n - 25) - 6856 A(n - 26) - 956 A(n - 27) + 152 A(n - 28) + 8 A(n - 29) - A(n - 30) + 75768352 A(n - 17) - 2385550 A(n - 18) + 2002528 A(n - 20) + 6471424 A(n - 21) - 754880 A(n - 22) - 29228584 A(n - 19) - 51288408 A(n - 11) + 1661602 A(n - 12) + 101115904 A(n - 13) - 4713456 A(n - 14) + 14586648 A(n - 9) + 2624064 A(n - 10) - 115162596 A(n - 15) + 2712592 A(n - 16) + 16 A(n - 1) + 376 A(n - 2) - 1352 A(n - 3) - 23336 A(n - 4) + 79304 A(n - 5) + 472703 A(n - 6) - 2007784 A(n - 7) - 2092320 A(n - 8) subject to the initial conditions A(0) = 71, A(1) = 1740, A(2) = 48759, A(3) = 1303922, A(4) = 35413623, A(5) = 956538752, A(6) = 25886871466, A(7) = 700086946222, A(8) = 18938041310658, A(9) = 512244812492940, A(10) = 13855909889642103, A(11) = 374789119160644782, A(12) = 10137735842555667591, A(13) = 274216883663363465792, A(14) = 7417331736690375725671, A(15) = 200632417039309479415682, A(16) = 5426934111368636657147319, A(17) = 146793889130587052448060520, A(18) = 3970648203875740333519019330, A(19) = 107402611717440681445730486514, A(20) = 2905148085220238207952119607882, A(21) = 78581751930803328866315739904400, A(22) = 2125568665398082372533136158499367, A(23) = 57494800507973264082129518964876978, A(24) = 1555184802731456486910235681899985919, A(25) = 42066408601123450573501546821793735820, A(26) = 1137860098362183151193276219173096962063, A(27) = 30778135013104700417001592565010019456834, A(28) = 832522026432999156842701178717022236087463, A(29) = 22519003318452186630813343885559953217748992 n A(n) is asymptotic to, 66.08450447 27.04913816 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [71, 1740, 48759, 1303922, 35413623, 956538752, 25886871466, 700086946222, 18938041310658, 512244812492940, 13855909889642103, 374789119160644782, 10137735842555667591, 274216883663363465792, 7417331736690375725671, 200632417039309479415682, 5426934111368636657147319, 146793889130587052448060520, 3970648203875740333519019330, 107402611717440681445730486514, 2905148085220238207952119607882, 78581751930803328866315739904400, 2125568665398082372533136158499367, 57494800507973264082129518964876978, 1555184802731456486910235681899985919, 42066408601123450573501546821793735820, 1137860098362183151193276219173096962063, 30778135013104700417001592565010019456834, 832522026432999156842701178717022236087463, 22519003318452186630813343885559953217748992] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 6, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 1, d[1] = 2, d[2] = 3 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-228 - 8694 t - 89983010909153129101058164 t / ----- n = 0 40 39 - 7101458508049127408080500 t + 73470993623759704407137888 t 38 37 + 7548653892457382268570749 t - 49077510143608216316639680 t 36 35 - 6582501756922331745830230 t + 26682951823143464221716546 t 34 33 + 4498227614777447555584588 t - 11735520079052069293795330 t 32 31 - 2372456956140311133567141 t + 4150295201081654565604692 t 30 54 + 960508280570912838066020 t + 795158546239183070895304 t 53 52 - 4727287444648961873039260 t - 1824668094117228210744871 t 51 50 + 12809046258042327920328514 t + 3252111706082694984156705 t 49 48 - 28217165310874875308121826 t - 4558231044492884914824636 t 47 46 + 50741829258955464499778176 t + 5248159416755970226233400 t 45 44 - 74758958034200650141133564 t - 5528367846216042481754188 t 43 42 + 90466212451391924119107308 t + 6113737790007132299814072 t 58 57 + 70376493920924436191120 t - 341333829387051769765040 t 56 55 - 268590034397624105560817 t + 1413222112975206999580614 t 68 67 - 1892065201525833834 t + 11060901438364890206 t 66 65 + 26177047062622175148 t - 135215154035363256730 t 64 63 - 277063155404208472654 t + 1325131900784350703254 t 62 61 + 2262367311084733686575 t - 10455535747079191396176 t 60 59 87 - 14318922610674663318862 t + 66518798355448579150550 t + 4 t 86 85 84 83 82 81 + 7 t - 2896 t - 5322 t + 845142 t + 1754060 t - 135232354 t 80 79 78 77 - 318529411 t + 13491633832 t + 35211906420 t - 900848312714 t 76 75 74 - 2522246782193 t + 42186041192264 t + 122484902575185 t 73 72 71 - 1436461709412642 t - 4179990973481620 t + 36660978760012344 t 70 69 2 3 + 103274619303295084 t - 719211873108861918 t + 19891 t + 3727882 t 4 5 6 7 + 9372871 t - 761643704 t - 2006841312 t + 95109197950 t 8 9 10 + 134226735929 t - 7655440103340 t + 120242209816 t 11 12 13 + 398319440682194 t - 450176680771058 t - 13636825841871008 t 14 15 16 + 24980246298757453 t + 325218241219472902 t - 723205001999356990 t 17 18 - 5711821644965973106 t + 13574301297512483548 t 19 20 + 77070194097334859382 t - 179585951939049639018 t 21 22 - 821334502136927549286 t + 1745479990440673592220 t 23 24 + 7013262938302724411912 t - 12735907823897207758956 t 25 26 - 48184784858656221340422 t + 70516285904921539453403 t 27 28 + 265924249001532692290668 t - 297709413248981616767663 t 29 / 2 - 1175031597442572066119586 t ) / ((t + 1) (t - 3 t + 1) / 2 2 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t - t - 3 t + 1) 5 4 3 2 (t - t - 9 t + 9 t + 5 t - 1) 6 5 4 3 2 (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 55 t + 64 t + 27 t - 12 t - 1) 6 5 4 3 2 10 9 8 7 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 15 14 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) (t + t 13 12 11 10 9 8 7 - 66 t - 64 t + 1215 t + 925 t - 6841 t - 2241 t + 9983 t 6 5 4 3 2 + 3157 t - 4733 t - 1709 t + 422 t + 124 t - 15 t - 1) (1 - 45 t 30 2 3 4 5 6 + t - 643 t + 13176 t + 51389 t - 1200573 t + 1014883 t 7 8 9 10 + 26967984 t - 35933608 t - 268372122 t + 305637102 t 11 12 13 14 + 1311635442 t - 1086269752 t - 2979007482 t + 2176379842 t 15 16 17 18 + 3230889474 t - 2365202364 t - 1641456804 t + 1244628572 t 19 20 21 22 + 417258588 t - 327373460 t - 56101710 t + 43593486 t 23 24 25 26 27 28 + 4062786 t - 2716561 t - 148317 t + 61013 t + 1350 t - 461 t 29 - 3 t )) and in Maple input format: -(-228-8694*t-89983010909153129101058164*t^41-7101458508049127408080500*t^40+ 73470993623759704407137888*t^39+7548653892457382268570749*t^38-\ 49077510143608216316639680*t^37-6582501756922331745830230*t^36+ 26682951823143464221716546*t^35+4498227614777447555584588*t^34-\ 11735520079052069293795330*t^33-2372456956140311133567141*t^32+ 4150295201081654565604692*t^31+960508280570912838066020*t^30+ 795158546239183070895304*t^54-4727287444648961873039260*t^53-\ 1824668094117228210744871*t^52+12809046258042327920328514*t^51+ 3252111706082694984156705*t^50-28217165310874875308121826*t^49-\ 4558231044492884914824636*t^48+50741829258955464499778176*t^47+ 5248159416755970226233400*t^46-74758958034200650141133564*t^45-\ 5528367846216042481754188*t^44+90466212451391924119107308*t^43+ 6113737790007132299814072*t^42+70376493920924436191120*t^58-\ 341333829387051769765040*t^57-268590034397624105560817*t^56+ 1413222112975206999580614*t^55-1892065201525833834*t^68+11060901438364890206*t^ 67+26177047062622175148*t^66-135215154035363256730*t^65-277063155404208472654*t ^64+1325131900784350703254*t^63+2262367311084733686575*t^62-\ 10455535747079191396176*t^61-14318922610674663318862*t^60+ 66518798355448579150550*t^59+4*t^87+7*t^86-2896*t^85-5322*t^84+845142*t^83+ 1754060*t^82-135232354*t^81-318529411*t^80+13491633832*t^79+35211906420*t^78-\ 900848312714*t^77-2522246782193*t^76+42186041192264*t^75+122484902575185*t^74-\ 1436461709412642*t^73-4179990973481620*t^72+36660978760012344*t^71+ 103274619303295084*t^70-719211873108861918*t^69+19891*t^2+3727882*t^3+9372871*t ^4-761643704*t^5-2006841312*t^6+95109197950*t^7+134226735929*t^8-7655440103340* t^9+120242209816*t^10+398319440682194*t^11-450176680771058*t^12-\ 13636825841871008*t^13+24980246298757453*t^14+325218241219472902*t^15-\ 723205001999356990*t^16-5711821644965973106*t^17+13574301297512483548*t^18+ 77070194097334859382*t^19-179585951939049639018*t^20-821334502136927549286*t^21 +1745479990440673592220*t^22+7013262938302724411912*t^23-\ 12735907823897207758956*t^24-48184784858656221340422*t^25+ 70516285904921539453403*t^26+265924249001532692290668*t^27-\ 297709413248981616767663*t^28-1175031597442572066119586*t^29)/(t+1)/(t^2-3*t+1) /(t^2+4*t-1)/(t^2-t-1)/(t^3-t^2-3*t+1)/(t^5-t^4-9*t^3+9*t^2+5*t-1)/(t^6+3*t^5-\ 20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-4*t^5-55*t^4+64*t^3+27*t^2-12*t-1)/(t^6+t^5-10* t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-189*t^7+253*t^6+456*t^5-187*t^4-297*t^ 3-38*t^2+15*t+1)/(t^15+t^14-66*t^13-64*t^12+1215*t^11+925*t^10-6841*t^9-2241*t^ 8+9983*t^7+3157*t^6-4733*t^5-1709*t^4+422*t^3+124*t^2-15*t-1)/(1-45*t+t^30-643* t^2+13176*t^3+51389*t^4-1200573*t^5+1014883*t^6+26967984*t^7-35933608*t^8-\ 268372122*t^9+305637102*t^10+1311635442*t^11-1086269752*t^12-2979007482*t^13+ 2176379842*t^14+3230889474*t^15-2365202364*t^16-1641456804*t^17+1244628572*t^18 +417258588*t^19-327373460*t^20-56101710*t^21+43593486*t^22+4062786*t^23-2716561 *t^24-148317*t^25+61013*t^26+1350*t^27-461*t^28-3*t^29) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -8397044 A(n - 5) + 174906184 A(n - 6) + 1434196544 A(n - 7) - 23386575344 A(n - 8) - 123377673742 A(n - 9) + 2061874873532 A(n - 10) + 5260793930440 A(n - 11) - 116765277829775 A(n - 12) + 10 A(n - 1) + 2188 A(n - 2) + 19088 A(n - 3) - 847785 A(n - 4) - 5801479407858323718792 A(n - 59) - 18267318168910916845533 A(n - 60) + 1534956830752557750540 A(n - 61) + 2890953655064485724116 A(n - 62) - 280938637031942650464 A(n - 63) - 367716982075445261333 A(n - 64) + 37596523932213702216 A(n - 65) + 37485222699192369180 A(n - 66) - 90584992348466638943933 A(n - 28) + 41135287444001973891092 A(n - 29) + 390381733645000480159812 A(n - 30) - 93319969603721286900032 A(n - 31) - 1339301265288695821214976 A(n - 32) + 83864304450706096357742 A(n - 33) + 3669685678735463663504976 A(n - 34) + 263398683928011956344184 A(n - 35) + 744826603134980020959200 A(n - 51) - 3415770505215542162563499 A(n - 52) - 171622277009236630726284 A(n - 53) + 1266810349027300675062800 A(n - 54) + 7138150596037281022880 A(n - 55) - 381511778330829542953584 A(n - 56) + 12344125059685376291694 A(n - 57) + 92943891843199614653148 A(n - 58) - 8079731997721972232454859 A(n - 36) - 1341559665101909157332072 A(n - 37) + 14405644146536767791488092 A(n - 38) + 3230015100757435304598432 A(n - 39) - 20960739809051760596737011 A(n - 40) - 5260854639010122060895440 A(n - 41) + 25052280102885078030333688 A(n - 42) + 6295676744203786775741232 A(n - 43) - 3746359752514436920 A(n - 67) - 3047273492598635952 A(n - 68) + 278533275902046860 A(n - 69) + 195907550958802324 A(n - 70) - 15320185696251744 A(n - 71) - 9835016077394183 A(n - 72) + 612495821641834 A(n - 73) + 378788716624356 A(n - 74) - 17321133512776 A(n - 75) - 10937962036847 A(n - 76) + 333403251820 A(n - 77) + 230184469348 A(n - 78) - 4136953824 A(n - 79) - 3409503648 A(n - 80) + 30398258 A(n - 81) - 26781786705297545712 A(n - 20) + 33344315556329717164 A(n - 21) + 288516149337318285220 A(n - 22) - 327664468534374363360 A(n - 23) - 2461650158757138377893 A(n - 24) + 2302589731454880666870 A(n - 25) + 16728905009675724806732 A(n - 26) - 11624571454191924289000 A(n - 27) + 33936152 A(n - 82) - 112952 A(n - 83) - 211401 A(n - 84) + 144 A(n - 85) + 724 A(n - 86) - A(n - 88) - 24703623628542264002326880 A(n - 44) - 5694437465347732101951032 A(n - 45) + 20134524916100129692094920 A(n - 46) + 3913311343100983164926912 A(n - 47) - 13554110049842494826754899 A(n - 48) - 2015784438211353192924522 A(n - 49) + 7514281837002231771444548 A(n - 50) - 78644563664180 A(n - 13) + 4262736773420796 A(n - 14) - 1659658491958656 A(n - 15) - 106651877519161719 A(n - 16) + 101746545600762248 A(n - 17) + 1939867565173079532 A(n - 18) - 2340383564523638968 A(n - 19) subject to the initial conditions A(0) = 228, A(1) = 10974, A(2) = 588713, A(3) = 30522424, A(4) = 1600132145, A(5) = 83565263988, A(6) = 4369988042155, A(7) = 228415406293140, A(8) = 11941157541566690, A(9) = 624222830687208896, A(10) = 32631958994346040689, A(11) = 1705857786125653784402, A(12) = 89175166030682492014328, A(13) = 4661701859577614611560792, A(14) = 243694240290421049753301215, A(15) = 12739311544153018595300696388, A(16) = 665957755995614605133458619935, A(17) = 34813476383689623813696871303642, A(18) = 1819902446680044313794011766563557, A(19) = 95136862141398509347211927034152390, A(20) = 4973355889023424055745188257634038510, A(21) = 259986173908931093795354249061086899200, A(22) = 13590986075732879937120999943467554975023, A(23) = 710479714053278913533493695711775702308856, A(24) = 37140897745253942325789920169212105340741696, A(25) = 1941570263052724091233585160848057728963683066, A(26) = 101497145067484292640742507217521270217792617813, A(27) = 5305844785980585110597903945588230712414059559872, A(28) = 277367298106925528313804348441124311436882819337921, A(29) = 14499598303816539266839082759022302879028152342970640, A(30) = 757978148134143804794806076293065555882198929980699755, A(31) = 39623916539647862735959972900554096684000865648117647456, A(32) = 2071372065020452765932278459619462668593316388406039966702, A(33) = 108282638528523500950909178838417279285727427718374589470016, A(34) = 5660561907106307561707883235317242215406776045123519913239177, A(35) = 295910420540247300066540341759552319523343402503623867705022574, A(36) = 15468954923782192782859138874973500415805844197452250930319898804, A(37) = 808652044078519562320317846604480944487430004584705971360618597340, A(38) = 42272935153946623664956395184318125634151215944548925990881684574331, A(39) = 2209851640907074296022102493380197343146836950229708690317028259537276, A(40) = 115521769591714000524663072551602435758725019882644631949508022574682607, A(41) = 6038993298266503488188580029817632390388349231936683714961467148980193366, A(42) = 315693225488155751854245904460484442497785274717069593852370215567058582757 , A(43) = 16503116942971877128964859089918733616898156486564924841114824\ 710214966488234, A(44) = 86271369432228640046903568366222320834900050621\ 0772099531909728175069160303242, A(45) = 4509905134545926443550328219964\ 6090482425733930238811357969509112024216889313280, A(46) = 2357589134896\ 185122694460534144945995591024426190619160957381040068268571271369735, A(47) = 1232448657601345513999691374263123058595748259337202449235871192\ 77688377514783262284, A(48) = 644272435404756671243475782564659367459247\ 1319395888071328770317463451565967128863596, A(49) = 3367985907260752005\ 81694042676904910165903293939398083828756521945821642121067886924790, A(50) = 176064168636684202210760432316740958344463292064723416297029606340399\ 82906524155304037985, A(51) = 920389583902342581446234033415248442980981\ 382713325750177686595501977423396735198528297608, A(52) = 48114104801414\ 122564554397871887734384069759679152484549721846989088549779982144940644\ 461313, A(53) = 25152034761478676198947928972373570995677660014880342931\ 28592725993175718666668979255770607884, A(54) = 131484282052783448835595\ 951274869347056154993581212192367874221621255234401364093628406546379259, A(55) = 6873446459056798622870206193127492618500006827005057322700673336\ 393566446437694835695709256727500, A(56) = 35931493474295704633059868562\ 2452843621546148096201925366543564420333124919314252000524652236005898, A(57) = 1878347683340390519354758634618923556053164025661156443162769105\ 7550622667412405649380897113237567168, A(58) = 9819213392936677093694445\ 460867275782009066418879333864582530338038125929180898042123944936804222\ 08881, A(59) = 513307267398772187032860570059197862997833111192625204566\ 61435139149366967410003520597108971442545037194, A(60) = 268335497173254\ 874466619000536238203235334918322786278830757250926038506593293900973623\ 4799269513420797728, A(61) = 1402745365521589060211718021265005167523984\ 83797851778757878747057937274511109148833192511553111345488255840, A(62) = 733296407378344255547324956011004338663794727060967354896521318401425372\ 6085042265620381104077407821022090551, A(63) = 3833365871603093447436325\ 752458346272464862193397825155285961765234935582004383083087332478991762\ 37262724179636, A(64) = 200392280089129326873147251337574640741805453790\ 58738860088794757282569123553809073196954216917527860654481738575, A(65) = 104756674067551460420873085682159049884652566858347062729003049331547506\ 3159529438103023999381689914394015645252274, A(66) = 5476239282678091905\ 045423023401394315191134923167464410617072235705674729489865744664451575\ 9145234480642957983241685, A(67) = 2862748072911171393688268343438765885\ 971934100682000845110777955193587964312731009923896955997269809948283498\ 907090830, A(68) = 14965245501377717743717381454201491204259451106026295\ 5271060101922998892969754455529923048752294099230313800845076176214, A(69) = 782320229417739826726404012479603050754263117073604642638068940211899\ 5455744280528427895435891037149529928522228757882880, A(70) = 4089641839\ 152463978730282964349541095368321008571220686720557009954366734652125493\ 94591655556137367198881516676022627656015, A(71) = 213789312146439677869\ 223380485072331399762429474216372810415289164013818232092534410758771087\ 99144731490268290285659725983552, A(72) = 111760080187168393586349086109\ 253858459817656351968834880984589426047409394751242185220611621455612605\ 7551586598704695922766888, A(73) = 5842347963066925337821092701715614684\ 587118704050155253043337682270661161748932143572452020661875185886181671\ 4634186435473964562, A(74) = 3054134326352353185963998749800189441185944\ 157269617338087082065597128904952991234566875654114622070069390533052419\ 156701486199501, A(75) = 15965732514342009916625054077476212672083984846\ 698432918809149969986692931711480100733824998930712880873455608409017900\ 6121749533712, A(76) = 8346214916616260306618851248801679694798515593106\ 219242356039010329933654222131767900342415059051339450480972103871965241\ 895355597105, A(77) = 43630508886311886956250515732293960133110262683302\ 638502121662159971505969594444349590605356128492248295866048491197953635\ 8057467246312, A(78) = 2280819898237548160981604490478137108442702334057\ 688341766049841747703293803905728013922861833644071052527638153053694747\ 4671851609565723, A(79) = 1192316922489161347040222998657464076202654333\ 305662714583581413250301646132643571302519932229658266631865199523585716\ 173586990411759448728, A(80) = 62329324851670625973758058754629137083169\ 555034411493253185583050404465941126550181199239601415186728732074442100\ 253284500881332289042600054, A(81) = 32583155226503138486895705376046187\ 690980998050785050577210519651028436834729599073051465468214318472415634\ 05825561888485765276522967120698944, A(82) = 170331061188438789966731095\ 503294062379160697085822297318525505683652406787460590749681122284524271\ 998129433314026120572691276791780139363458537, A(83) = 89041930420479269\ 490583790074266661673154581984243310641343445136916419325097082300621316\ 81258847416002556563287750563777554273082440340173393382, A(84) = 465473\ 843565979944984463928526066622368022404406034302620817072948435959837074\ 803903674143091573370040101725801723675099415163840805283776213189116, A(85) = 2433301906426931237469654779967814963973185137679826270931558404\ 042659371642034409350263194954654580263867099252545116899705571987279266\ 9240103881508, A(86) = 1272028117081868762852716567473189406238883566436\ 085610062051686885373543805650777262053661285714054718486873653305670534\ 653307062900378918567973218323, A(87) = 66496291577020241113098497964557\ 070700069204164223631612953269760190307121087018928351257172851193152971\ 867168218144777702312426047810151706692861824620 n A(n) is asymptotic to, 214.1091578 52.27580325 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [228, 10974, 588713, 30522424, 1600132145, 83565263988, 4369988042155, 228415406293140, 11941157541566690, 624222830687208896, 32631958994346040689, 1705857786125653784402, 89175166030682492014328, 4661701859577614611560792, 243694240290421049753301215, 12739311544153018595300696388, 665957755995614605133458619935, 34813476383689623813696871303642, 1819902446680044313794011766563557, 95136862141398509347211927034152390, 4973355889023424055745188257634038510, 259986173908931093795354249061086899200, 13590986075732879937120999943467554975023, 710479714053278913533493695711775702308856, 37140897745253942325789920169212105340741696, 1941570263052724091233585160848057728963683066, 101497145067484292640742507217521270217792617813, 5305844785980585110597903945588230712414059559872, 277367298106925528313804348441124311436882819337921, 14499598303816539266839082759022302879028152342970640, 757978148134143804794806076293065555882198929980699755, 39623916539647862735959972900554096684000865648117647456, 2071372065020452765932278459619462668593316388406039966702, 108282638528523500950909178838417279285727427718374589470016, 5660561907106307561707883235317242215406776045123519913239177, 295910420540247300066540341759552319523343402503623867705022574, 15468954923782192782859138874973500415805844197452250930319898804, 808652044078519562320317846604480944487430004584705971360618597340, 42272935153946623664956395184318125634151215944548925990881684574331, 2209851640907074296022102493380197343146836950229708690317028259537276, 115521769591714000524663072551602435758725019882644631949508022574682607, 6038993298266503488188580029817632390388349231936683714961467148980193366, 315693225488155751854245904460484442497785274717069593852370215567058582757 , 16503116942971877128964859089918733616898156486564924841114824710214966\ 488234, 86271369432228640046903568366222320834900050621077209953190972817\ 5069160303242, 4509905134545926443550328219964609048242573393023881135796\ 9509112024216889313280, 2357589134896185122694460534144945995591024426190\ 619160957381040068268571271369735, 12324486576013455139996913742631230585\ 9574825933720244923587119277688377514783262284, 6442724354047566712434757\ 825646593674592471319395888071328770317463451565967128863596, 33679859072\ 607520058169404267690491016590329393939808382875652194582164212106788692\ 4790, 1760641686366842022107604323167409583444632920647234162970296063403\ 9982906524155304037985, 9203895839023425814462340334152484429809813827133\ 25750177686595501977423396735198528297608, 481141048014141225645543978718\ 87734384069759679152484549721846989088549779982144940644461313, 251520347\ 614786761989479289723735709956776600148803429312859272599317571866666897\ 9255770607884, 1314842820527834488355959512748693470561549935812121923678\ 74221621255234401364093628406546379259, 687344645905679862287020619312749\ 2618500006827005057322700673336393566446437694835695709256727500, 3593149\ 347429570463305986856224528436215461480962019253665435644203331249193142\ 52000524652236005898, 187834768334039051935475863461892355605316402566115\ 64431627691057550622667412405649380897113237567168, 981921339293667709369\ 444546086727578200906641887933386458253033803812592918089804212394493680\ 422208881, 51330726739877218703286057005919786299783311119262520456661435\ 139149366967410003520597108971442545037194, 26833549717325487446661900053\ 623820323533491832278627883075725092603850659329390097362347992695134207\ 97728, 140274536552158906021171802126500516752398483797851778757878747057\ 937274511109148833192511553111345488255840, 73329640737834425554732495601\ 100433866379472706096735489652131840142537260850422656203811040774078210\ 22090551, 383336587160309344743632575245834627246486219339782515528596176\ 523493558200438308308733247899176237262724179636, 20039228008912932687314\ 725133757464074180545379058738860088794757282569123553809073196954216917\ 527860654481738575, 10475667406755146042087308568215904988465256685834706\ 27290030493315475063159529438103023999381689914394015645252274, 547623928\ 267809190504542302340139431519113492316746441061707223570567472948986574\ 46644515759145234480642957983241685, 286274807291117139368826834343876588\ 597193410068200084511077795519358796431273100992389695599726980994828349\ 8907090830, 1496524550137771774371738145420149120425945110602629552710601\ 01922998892969754455529923048752294099230313800845076176214, 782320229417\ 739826726404012479603050754263117073604642638068940211899545574428052842\ 7895435891037149529928522228757882880, 4089641839152463978730282964349541\ 095368321008571220686720557009954366734652125493945916555561373671988815\ 16676022627656015, 213789312146439677869223380485072331399762429474216372\ 81041528916401381823209253441075877108799144731490268290285659725983552, 111760080187168393586349086109253858459817656351968834880984589426047409\ 3947512421852206116214556126057551586598704695922766888, 5842347963066925\ 337821092701715614684587118704050155253043337682270661161748932143572452\ 0206618751858861816714634186435473964562, 3054134326352353185963998749800\ 189441185944157269617338087082065597128904952991234566875654114622070069\ 390533052419156701486199501, 15965732514342009916625054077476212672083984\ 846698432918809149969986692931711480100733824998930712880873455608409017\ 9006121749533712, 8346214916616260306618851248801679694798515593106219242\ 356039010329933654222131767900342415059051339450480972103871965241895355\ 597105, 43630508886311886956250515732293960133110262683302638502121662159\ 9715059695944443495906053561284922482958660484911979536358057467246312, 2\ 280819898237548160981604490478137108442702334057688341766049841747703293\ 8039057280139228618336440710525276381530536947474671851609565723, 1192316\ 922489161347040222998657464076202654333305662714583581413250301646132643\ 571302519932229658266631865199523585716173586990411759448728, 62329324851\ 670625973758058754629137083169555034411493253185583050404465941126550181\ 199239601415186728732074442100253284500881332289042600054, 32583155226503\ 138486895705376046187690980998050785050577210519651028436834729599073051\ 46546821431847241563405825561888485765276522967120698944, 170331061188438\ 789966731095503294062379160697085822297318525505683652406787460590749681\ 122284524271998129433314026120572691276791780139363458537, 89041930420479\ 269490583790074266661673154581984243310641343445136916419325097082300621\ 31681258847416002556563287750563777554273082440340173393382, 465473843565\ 979944984463928526066622368022404406034302620817072948435959837074803903\ 674143091573370040101725801723675099415163840805283776213189116, 24333019\ 064269312374696547799678149639731851376798262709315584040426593716420344\ 093502631949546545802638670992525451168997055719872792669240103881508, 12\ 720281170818687628527165674731894062388835664360856100620516868853735438\ 056507772620536612857140547184868736533056705346533070629003789185679732\ 18323, 664962915770202411130984979645570707000692041642236316129532697601\ 903071210870189283512571728511931529718671682181447777023124260478101517\ 06692861824620] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 7, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 1, d[1] = 3, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 2 3 4 5 ) A(n) t = - (-71 - 956 t - 1176 t + 22070 t + 33956 t - 181909 t / ----- n = 0 6 7 8 9 10 11 - 134356 t + 471918 t + 111861 t - 382888 t + 77414 t + 27405 t 12 13 14 15 / 2 2 - 3935 t - 768 t + 23 t + 4 t ) / ((t + 7 t + 1) (t - 3 t + 1) / 2 10 9 8 7 6 5 4 (t - 4 t - 1) (t + 4 t - 163 t - 648 t + 1853 t + 1308 t - 1213 t 3 2 - 504 t + 187 t + 20 t - 1)) and in Maple input format: -(-71-956*t-1176*t^2+22070*t^3+33956*t^4-181909*t^5-134356*t^6+471918*t^7+ 111861*t^8-382888*t^9+77414*t^10+27405*t^11-3935*t^12-768*t^13+23*t^14+4*t^15)/ (t^2+7*t+1)/(t^2-3*t+1)/(t^2-4*t-1)/(t^10+4*t^9-163*t^8-648*t^7+1853*t^6+1308*t ^5-1213*t^4-504*t^3+187*t^2+20*t-1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 12 A(n - 1) + 351 A(n - 2) + 988 A(n - 3) - 7549 A(n - 4) - 19872 A(n - 5) + 62206 A(n - 6) + 82968 A(n - 7) - 156022 A(n - 8) - 91944 A(n - 9) + 117854 A(n - 10) - 12256 A(n - 11) - 8029 A(n - 12) + 716 A(n - 13) + 199 A(n - 14) - 4 A(n - 15) - A(n - 16) subject to the initial conditions A(0) = 71, A(1) = 1808, A(2) = 47793, A(3) = 1256202, A(4) = 33066136, A(5) = 870062423, A(6) = 22895923437, A(7) = 602497409949, A(8) = 15854592040970, A(9) = 417209496612000, A(10) = 10978765522177887, A(11) = 288903482132191140, A(12) = 7602423504892996015, A(13) = 200055887621259704328, A(14) = 5264421044349589646153, A(15) = 138531933446888930636874 n A(n) is asymptotic to, 68.95419774 26.31475186 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [71, 1808, 47793, 1256202, 33066136, 870062423, 22895923437, 602497409949, 15854592040970, 417209496612000, 10978765522177887, 288903482132191140, 7602423504892996015, 200055887621259704328, 5264421044349589646153, 138531933446888930636874, 3645433453615663914175568, 95928676754873076702276279, 2524339325133242832612206405, 66427362952806449170078031893, 1748019572859217381705113368082, 45998701307295345349572951002560, 1210444410812377025574154334365239, 31852544311603957693128303969627140, 838191799689321437658000902855791127, 22056809220432496790611852208592252288, 580419461472756540051584523109298820129, 15273594103731329040707637289123370276746, 401920838859546337939802274940162205615368, 10576447142201926396545069496561945600613847] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 8, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 1, d[1] = 3, d[2] = 2 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-228 - 8694 t - 89983010909153129101058164 t / ----- n = 0 40 39 - 7101458508049127408080500 t + 73470993623759704407137888 t 38 37 + 7548653892457382268570749 t - 49077510143608216316639680 t 36 35 - 6582501756922331745830230 t + 26682951823143464221716546 t 34 33 + 4498227614777447555584588 t - 11735520079052069293795330 t 32 31 - 2372456956140311133567141 t + 4150295201081654565604692 t 30 54 + 960508280570912838066020 t + 795158546239183070895304 t 53 52 - 4727287444648961873039260 t - 1824668094117228210744871 t 51 50 + 12809046258042327920328514 t + 3252111706082694984156705 t 49 48 - 28217165310874875308121826 t - 4558231044492884914824636 t 47 46 + 50741829258955464499778176 t + 5248159416755970226233400 t 45 44 - 74758958034200650141133564 t - 5528367846216042481754188 t 43 42 + 90466212451391924119107308 t + 6113737790007132299814072 t 58 57 + 70376493920924436191120 t - 341333829387051769765040 t 56 55 - 268590034397624105560817 t + 1413222112975206999580614 t 68 67 - 1892065201525833834 t + 11060901438364890206 t 66 65 + 26177047062622175148 t - 135215154035363256730 t 64 63 - 277063155404208472654 t + 1325131900784350703254 t 62 61 + 2262367311084733686575 t - 10455535747079191396176 t 60 59 87 - 14318922610674663318862 t + 66518798355448579150550 t + 4 t 86 85 84 83 82 81 + 7 t - 2896 t - 5322 t + 845142 t + 1754060 t - 135232354 t 80 79 78 77 - 318529411 t + 13491633832 t + 35211906420 t - 900848312714 t 76 75 74 - 2522246782193 t + 42186041192264 t + 122484902575185 t 73 72 71 - 1436461709412642 t - 4179990973481620 t + 36660978760012344 t 70 69 2 3 + 103274619303295084 t - 719211873108861918 t + 19891 t + 3727882 t 4 5 6 7 + 9372871 t - 761643704 t - 2006841312 t + 95109197950 t 8 9 10 + 134226735929 t - 7655440103340 t + 120242209816 t 11 12 13 + 398319440682194 t - 450176680771058 t - 13636825841871008 t 14 15 16 + 24980246298757453 t + 325218241219472902 t - 723205001999356990 t 17 18 - 5711821644965973106 t + 13574301297512483548 t 19 20 + 77070194097334859382 t - 179585951939049639018 t 21 22 - 821334502136927549286 t + 1745479990440673592220 t 23 24 + 7013262938302724411912 t - 12735907823897207758956 t 25 26 - 48184784858656221340422 t + 70516285904921539453403 t 27 28 + 265924249001532692290668 t - 297709413248981616767663 t 29 / 2 - 1175031597442572066119586 t ) / ((t + 1) (t - 3 t + 1) / 2 2 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t - t - 3 t + 1) 5 4 3 2 (t - t - 9 t + 9 t + 5 t - 1) 6 5 4 3 2 (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 55 t + 64 t + 27 t - 12 t - 1) 6 5 4 3 2 10 9 8 7 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 15 14 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) (t + t 13 12 11 10 9 8 7 - 66 t - 64 t + 1215 t + 925 t - 6841 t - 2241 t + 9983 t 6 5 4 3 2 + 3157 t - 4733 t - 1709 t + 422 t + 124 t - 15 t - 1) (1 - 45 t 30 2 3 4 5 6 + t - 643 t + 13176 t + 51389 t - 1200573 t + 1014883 t 7 8 9 10 + 26967984 t - 35933608 t - 268372122 t + 305637102 t 11 12 13 14 + 1311635442 t - 1086269752 t - 2979007482 t + 2176379842 t 15 16 17 18 + 3230889474 t - 2365202364 t - 1641456804 t + 1244628572 t 19 20 21 22 + 417258588 t - 327373460 t - 56101710 t + 43593486 t 23 24 25 26 27 28 + 4062786 t - 2716561 t - 148317 t + 61013 t + 1350 t - 461 t 29 - 3 t )) and in Maple input format: -(-228-8694*t-89983010909153129101058164*t^41-7101458508049127408080500*t^40+ 73470993623759704407137888*t^39+7548653892457382268570749*t^38-\ 49077510143608216316639680*t^37-6582501756922331745830230*t^36+ 26682951823143464221716546*t^35+4498227614777447555584588*t^34-\ 11735520079052069293795330*t^33-2372456956140311133567141*t^32+ 4150295201081654565604692*t^31+960508280570912838066020*t^30+ 795158546239183070895304*t^54-4727287444648961873039260*t^53-\ 1824668094117228210744871*t^52+12809046258042327920328514*t^51+ 3252111706082694984156705*t^50-28217165310874875308121826*t^49-\ 4558231044492884914824636*t^48+50741829258955464499778176*t^47+ 5248159416755970226233400*t^46-74758958034200650141133564*t^45-\ 5528367846216042481754188*t^44+90466212451391924119107308*t^43+ 6113737790007132299814072*t^42+70376493920924436191120*t^58-\ 341333829387051769765040*t^57-268590034397624105560817*t^56+ 1413222112975206999580614*t^55-1892065201525833834*t^68+11060901438364890206*t^ 67+26177047062622175148*t^66-135215154035363256730*t^65-277063155404208472654*t ^64+1325131900784350703254*t^63+2262367311084733686575*t^62-\ 10455535747079191396176*t^61-14318922610674663318862*t^60+ 66518798355448579150550*t^59+4*t^87+7*t^86-2896*t^85-5322*t^84+845142*t^83+ 1754060*t^82-135232354*t^81-318529411*t^80+13491633832*t^79+35211906420*t^78-\ 900848312714*t^77-2522246782193*t^76+42186041192264*t^75+122484902575185*t^74-\ 1436461709412642*t^73-4179990973481620*t^72+36660978760012344*t^71+ 103274619303295084*t^70-719211873108861918*t^69+19891*t^2+3727882*t^3+9372871*t ^4-761643704*t^5-2006841312*t^6+95109197950*t^7+134226735929*t^8-7655440103340* t^9+120242209816*t^10+398319440682194*t^11-450176680771058*t^12-\ 13636825841871008*t^13+24980246298757453*t^14+325218241219472902*t^15-\ 723205001999356990*t^16-5711821644965973106*t^17+13574301297512483548*t^18+ 77070194097334859382*t^19-179585951939049639018*t^20-821334502136927549286*t^21 +1745479990440673592220*t^22+7013262938302724411912*t^23-\ 12735907823897207758956*t^24-48184784858656221340422*t^25+ 70516285904921539453403*t^26+265924249001532692290668*t^27-\ 297709413248981616767663*t^28-1175031597442572066119586*t^29)/(t+1)/(t^2-3*t+1) /(t^2+4*t-1)/(t^2-t-1)/(t^3-t^2-3*t+1)/(t^5-t^4-9*t^3+9*t^2+5*t-1)/(t^6+3*t^5-\ 20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-4*t^5-55*t^4+64*t^3+27*t^2-12*t-1)/(t^6+t^5-10* t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-189*t^7+253*t^6+456*t^5-187*t^4-297*t^ 3-38*t^2+15*t+1)/(t^15+t^14-66*t^13-64*t^12+1215*t^11+925*t^10-6841*t^9-2241*t^ 8+9983*t^7+3157*t^6-4733*t^5-1709*t^4+422*t^3+124*t^2-15*t-1)/(1-45*t+t^30-643* t^2+13176*t^3+51389*t^4-1200573*t^5+1014883*t^6+26967984*t^7-35933608*t^8-\ 268372122*t^9+305637102*t^10+1311635442*t^11-1086269752*t^12-2979007482*t^13+ 2176379842*t^14+3230889474*t^15-2365202364*t^16-1641456804*t^17+1244628572*t^18 +417258588*t^19-327373460*t^20-56101710*t^21+43593486*t^22+4062786*t^23-2716561 *t^24-148317*t^25+61013*t^26+1350*t^27-461*t^28-3*t^29) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 10 A(n - 1) + 2188 A(n - 2) + 19088 A(n - 3) - 847785 A(n - 4) - 8397044 A(n - 5) + 174906184 A(n - 6) + 1434196544 A(n - 7) - 20960739809051760596737011 A(n - 40) - 5260854639010122060895440 A(n - 41) + 25052280102885078030333688 A(n - 42) + 6295676744203786775741232 A(n - 43) + 263398683928011956344184 A(n - 35) - 8079731997721972232454859 A(n - 36) - 1341559665101909157332072 A(n - 37) + 14405644146536767791488092 A(n - 38) + 3230015100757435304598432 A(n - 39) - 78644563664180 A(n - 13) + 4262736773420796 A(n - 14) - 1659658491958656 A(n - 15) - 106651877519161719 A(n - 16) - 23386575344 A(n - 8) - 123377673742 A(n - 9) + 2061874873532 A(n - 10) + 5260793930440 A(n - 11) - 116765277829775 A(n - 12) - 3409503648 A(n - 80) + 30398258 A(n - 81) + 33936152 A(n - 82) - 112952 A(n - 83) - 211401 A(n - 84) - 3746359752514436920 A(n - 67) - 3047273492598635952 A(n - 68) + 278533275902046860 A(n - 69) + 195907550958802324 A(n - 70) + 288516149337318285220 A(n - 22) - 327664468534374363360 A(n - 23) - 2461650158757138377893 A(n - 24) + 2302589731454880666870 A(n - 25) + 2890953655064485724116 A(n - 62) - 280938637031942650464 A(n - 63) - 367716982075445261333 A(n - 64) + 37596523932213702216 A(n - 65) + 37485222699192369180 A(n - 66) + 16728905009675724806732 A(n - 26) - 11624571454191924289000 A(n - 27) - 90584992348466638943933 A(n - 28) + 41135287444001973891092 A(n - 29) + 390381733645000480159812 A(n - 30) - 24703623628542264002326880 A(n - 44) - 5694437465347732101951032 A(n - 45) + 20134524916100129692094920 A(n - 46) + 3913311343100983164926912 A(n - 47) - 13554110049842494826754899 A(n - 48) - 10937962036847 A(n - 76) + 333403251820 A(n - 77) + 230184469348 A(n - 78) - 4136953824 A(n - 79) - 171622277009236630726284 A(n - 53) + 1266810349027300675062800 A(n - 54) + 7138150596037281022880 A(n - 55) - 381511778330829542953584 A(n - 56) + 12344125059685376291694 A(n - 57) + 92943891843199614653148 A(n - 58) - 5801479407858323718792 A(n - 59) - 18267318168910916845533 A(n - 60) + 1534956830752557750540 A(n - 61) - 93319969603721286900032 A(n - 31) - 1339301265288695821214976 A(n - 32) + 83864304450706096357742 A(n - 33) + 3669685678735463663504976 A(n - 34) - 15320185696251744 A(n - 71) - 9835016077394183 A(n - 72) + 612495821641834 A(n - 73) + 378788716624356 A(n - 74) - 17321133512776 A(n - 75) + 144 A(n - 85) + 724 A(n - 86) - A(n - 88) + 101746545600762248 A(n - 17) + 1939867565173079532 A(n - 18) - 2340383564523638968 A(n - 19) - 26781786705297545712 A(n - 20) + 33344315556329717164 A(n - 21) - 2015784438211353192924522 A(n - 49) + 7514281837002231771444548 A(n - 50) + 744826603134980020959200 A(n - 51) - 3415770505215542162563499 A(n - 52) subject to the initial conditions A(0) = 228, A(1) = 10974, A(2) = 588713, A(3) = 30522424, A(4) = 1600132145, A(5) = 83565263988, A(6) = 4369988042155, A(7) = 228415406293140, A(8) = 11941157541566690, A(9) = 624222830687208896, A(10) = 32631958994346040689, A(11) = 1705857786125653784402, A(12) = 89175166030682492014328, A(13) = 4661701859577614611560792, A(14) = 243694240290421049753301215, A(15) = 12739311544153018595300696388, A(16) = 665957755995614605133458619935, A(17) = 34813476383689623813696871303642, A(18) = 1819902446680044313794011766563557, A(19) = 95136862141398509347211927034152390, A(20) = 4973355889023424055745188257634038510, A(21) = 259986173908931093795354249061086899200, A(22) = 13590986075732879937120999943467554975023, A(23) = 710479714053278913533493695711775702308856, A(24) = 37140897745253942325789920169212105340741696, A(25) = 1941570263052724091233585160848057728963683066, A(26) = 101497145067484292640742507217521270217792617813, A(27) = 5305844785980585110597903945588230712414059559872, A(28) = 277367298106925528313804348441124311436882819337921, A(29) = 14499598303816539266839082759022302879028152342970640, A(30) = 757978148134143804794806076293065555882198929980699755, A(31) = 39623916539647862735959972900554096684000865648117647456, A(32) = 2071372065020452765932278459619462668593316388406039966702, A(33) = 108282638528523500950909178838417279285727427718374589470016, A(34) = 5660561907106307561707883235317242215406776045123519913239177, A(35) = 295910420540247300066540341759552319523343402503623867705022574, A(36) = 15468954923782192782859138874973500415805844197452250930319898804, A(37) = 808652044078519562320317846604480944487430004584705971360618597340, A(38) = 42272935153946623664956395184318125634151215944548925990881684574331, A(39) = 2209851640907074296022102493380197343146836950229708690317028259537276, A(40) = 115521769591714000524663072551602435758725019882644631949508022574682607, A(41) = 6038993298266503488188580029817632390388349231936683714961467148980193366, A(42) = 315693225488155751854245904460484442497785274717069593852370215567058582757 , A(43) = 16503116942971877128964859089918733616898156486564924841114824\ 710214966488234, A(44) = 86271369432228640046903568366222320834900050621\ 0772099531909728175069160303242, A(45) = 4509905134545926443550328219964\ 6090482425733930238811357969509112024216889313280, A(46) = 2357589134896\ 185122694460534144945995591024426190619160957381040068268571271369735, A(47) = 1232448657601345513999691374263123058595748259337202449235871192\ 77688377514783262284, A(48) = 644272435404756671243475782564659367459247\ 1319395888071328770317463451565967128863596, A(49) = 3367985907260752005\ 81694042676904910165903293939398083828756521945821642121067886924790, A(50) = 176064168636684202210760432316740958344463292064723416297029606340399\ 82906524155304037985, A(51) = 920389583902342581446234033415248442980981\ 382713325750177686595501977423396735198528297608, A(52) = 48114104801414\ 122564554397871887734384069759679152484549721846989088549779982144940644\ 461313, A(53) = 25152034761478676198947928972373570995677660014880342931\ 28592725993175718666668979255770607884, A(54) = 131484282052783448835595\ 951274869347056154993581212192367874221621255234401364093628406546379259, A(55) = 6873446459056798622870206193127492618500006827005057322700673336\ 393566446437694835695709256727500, A(56) = 35931493474295704633059868562\ 2452843621546148096201925366543564420333124919314252000524652236005898, A(57) = 1878347683340390519354758634618923556053164025661156443162769105\ 7550622667412405649380897113237567168, A(58) = 9819213392936677093694445\ 460867275782009066418879333864582530338038125929180898042123944936804222\ 08881, A(59) = 513307267398772187032860570059197862997833111192625204566\ 61435139149366967410003520597108971442545037194, A(60) = 268335497173254\ 874466619000536238203235334918322786278830757250926038506593293900973623\ 4799269513420797728, A(61) = 1402745365521589060211718021265005167523984\ 83797851778757878747057937274511109148833192511553111345488255840, A(62) = 733296407378344255547324956011004338663794727060967354896521318401425372\ 6085042265620381104077407821022090551, A(63) = 3833365871603093447436325\ 752458346272464862193397825155285961765234935582004383083087332478991762\ 37262724179636, A(64) = 200392280089129326873147251337574640741805453790\ 58738860088794757282569123553809073196954216917527860654481738575, A(65) = 104756674067551460420873085682159049884652566858347062729003049331547506\ 3159529438103023999381689914394015645252274, A(66) = 5476239282678091905\ 045423023401394315191134923167464410617072235705674729489865744664451575\ 9145234480642957983241685, A(67) = 2862748072911171393688268343438765885\ 971934100682000845110777955193587964312731009923896955997269809948283498\ 907090830, A(68) = 14965245501377717743717381454201491204259451106026295\ 5271060101922998892969754455529923048752294099230313800845076176214, A(69) = 782320229417739826726404012479603050754263117073604642638068940211899\ 5455744280528427895435891037149529928522228757882880, A(70) = 4089641839\ 152463978730282964349541095368321008571220686720557009954366734652125493\ 94591655556137367198881516676022627656015, A(71) = 213789312146439677869\ 223380485072331399762429474216372810415289164013818232092534410758771087\ 99144731490268290285659725983552, A(72) = 111760080187168393586349086109\ 253858459817656351968834880984589426047409394751242185220611621455612605\ 7551586598704695922766888, A(73) = 5842347963066925337821092701715614684\ 587118704050155253043337682270661161748932143572452020661875185886181671\ 4634186435473964562, A(74) = 3054134326352353185963998749800189441185944\ 157269617338087082065597128904952991234566875654114622070069390533052419\ 156701486199501, A(75) = 15965732514342009916625054077476212672083984846\ 698432918809149969986692931711480100733824998930712880873455608409017900\ 6121749533712, A(76) = 8346214916616260306618851248801679694798515593106\ 219242356039010329933654222131767900342415059051339450480972103871965241\ 895355597105, A(77) = 43630508886311886956250515732293960133110262683302\ 638502121662159971505969594444349590605356128492248295866048491197953635\ 8057467246312, A(78) = 2280819898237548160981604490478137108442702334057\ 688341766049841747703293803905728013922861833644071052527638153053694747\ 4671851609565723, A(79) = 1192316922489161347040222998657464076202654333\ 305662714583581413250301646132643571302519932229658266631865199523585716\ 173586990411759448728, A(80) = 62329324851670625973758058754629137083169\ 555034411493253185583050404465941126550181199239601415186728732074442100\ 253284500881332289042600054, A(81) = 32583155226503138486895705376046187\ 690980998050785050577210519651028436834729599073051465468214318472415634\ 05825561888485765276522967120698944, A(82) = 170331061188438789966731095\ 503294062379160697085822297318525505683652406787460590749681122284524271\ 998129433314026120572691276791780139363458537, A(83) = 89041930420479269\ 490583790074266661673154581984243310641343445136916419325097082300621316\ 81258847416002556563287750563777554273082440340173393382, A(84) = 465473\ 843565979944984463928526066622368022404406034302620817072948435959837074\ 803903674143091573370040101725801723675099415163840805283776213189116, A(85) = 2433301906426931237469654779967814963973185137679826270931558404\ 042659371642034409350263194954654580263867099252545116899705571987279266\ 9240103881508, A(86) = 1272028117081868762852716567473189406238883566436\ 085610062051686885373543805650777262053661285714054718486873653305670534\ 653307062900378918567973218323, A(87) = 66496291577020241113098497964557\ 070700069204164223631612953269760190307121087018928351257172851193152971\ 867168218144777702312426047810151706692861824620 n A(n) is asymptotic to, 214.1091578 52.27580325 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [228, 10974, 588713, 30522424, 1600132145, 83565263988, 4369988042155, 228415406293140, 11941157541566690, 624222830687208896, 32631958994346040689, 1705857786125653784402, 89175166030682492014328, 4661701859577614611560792, 243694240290421049753301215, 12739311544153018595300696388, 665957755995614605133458619935, 34813476383689623813696871303642, 1819902446680044313794011766563557, 95136862141398509347211927034152390, 4973355889023424055745188257634038510, 259986173908931093795354249061086899200, 13590986075732879937120999943467554975023, 710479714053278913533493695711775702308856, 37140897745253942325789920169212105340741696, 1941570263052724091233585160848057728963683066, 101497145067484292640742507217521270217792617813, 5305844785980585110597903945588230712414059559872, 277367298106925528313804348441124311436882819337921, 14499598303816539266839082759022302879028152342970640, 757978148134143804794806076293065555882198929980699755, 39623916539647862735959972900554096684000865648117647456, 2071372065020452765932278459619462668593316388406039966702, 108282638528523500950909178838417279285727427718374589470016, 5660561907106307561707883235317242215406776045123519913239177, 295910420540247300066540341759552319523343402503623867705022574, 15468954923782192782859138874973500415805844197452250930319898804, 808652044078519562320317846604480944487430004584705971360618597340, 42272935153946623664956395184318125634151215944548925990881684574331, 2209851640907074296022102493380197343146836950229708690317028259537276, 115521769591714000524663072551602435758725019882644631949508022574682607, 6038993298266503488188580029817632390388349231936683714961467148980193366, 315693225488155751854245904460484442497785274717069593852370215567058582757 , 16503116942971877128964859089918733616898156486564924841114824710214966\ 488234, 86271369432228640046903568366222320834900050621077209953190972817\ 5069160303242, 4509905134545926443550328219964609048242573393023881135796\ 9509112024216889313280, 2357589134896185122694460534144945995591024426190\ 619160957381040068268571271369735, 12324486576013455139996913742631230585\ 9574825933720244923587119277688377514783262284, 6442724354047566712434757\ 825646593674592471319395888071328770317463451565967128863596, 33679859072\ 607520058169404267690491016590329393939808382875652194582164212106788692\ 4790, 1760641686366842022107604323167409583444632920647234162970296063403\ 9982906524155304037985, 9203895839023425814462340334152484429809813827133\ 25750177686595501977423396735198528297608, 481141048014141225645543978718\ 87734384069759679152484549721846989088549779982144940644461313, 251520347\ 614786761989479289723735709956776600148803429312859272599317571866666897\ 9255770607884, 1314842820527834488355959512748693470561549935812121923678\ 74221621255234401364093628406546379259, 687344645905679862287020619312749\ 2618500006827005057322700673336393566446437694835695709256727500, 3593149\ 347429570463305986856224528436215461480962019253665435644203331249193142\ 52000524652236005898, 187834768334039051935475863461892355605316402566115\ 64431627691057550622667412405649380897113237567168, 981921339293667709369\ 444546086727578200906641887933386458253033803812592918089804212394493680\ 422208881, 51330726739877218703286057005919786299783311119262520456661435\ 139149366967410003520597108971442545037194, 26833549717325487446661900053\ 623820323533491832278627883075725092603850659329390097362347992695134207\ 97728, 140274536552158906021171802126500516752398483797851778757878747057\ 937274511109148833192511553111345488255840, 73329640737834425554732495601\ 100433866379472706096735489652131840142537260850422656203811040774078210\ 22090551, 383336587160309344743632575245834627246486219339782515528596176\ 523493558200438308308733247899176237262724179636, 20039228008912932687314\ 725133757464074180545379058738860088794757282569123553809073196954216917\ 527860654481738575, 10475667406755146042087308568215904988465256685834706\ 27290030493315475063159529438103023999381689914394015645252274, 547623928\ 267809190504542302340139431519113492316746441061707223570567472948986574\ 46644515759145234480642957983241685, 286274807291117139368826834343876588\ 597193410068200084511077795519358796431273100992389695599726980994828349\ 8907090830, 1496524550137771774371738145420149120425945110602629552710601\ 01922998892969754455529923048752294099230313800845076176214, 782320229417\ 739826726404012479603050754263117073604642638068940211899545574428052842\ 7895435891037149529928522228757882880, 4089641839152463978730282964349541\ 095368321008571220686720557009954366734652125493945916555561373671988815\ 16676022627656015, 213789312146439677869223380485072331399762429474216372\ 81041528916401381823209253441075877108799144731490268290285659725983552, 111760080187168393586349086109253858459817656351968834880984589426047409\ 3947512421852206116214556126057551586598704695922766888, 5842347963066925\ 337821092701715614684587118704050155253043337682270661161748932143572452\ 0206618751858861816714634186435473964562, 3054134326352353185963998749800\ 189441185944157269617338087082065597128904952991234566875654114622070069\ 390533052419156701486199501, 15965732514342009916625054077476212672083984\ 846698432918809149969986692931711480100733824998930712880873455608409017\ 9006121749533712, 8346214916616260306618851248801679694798515593106219242\ 356039010329933654222131767900342415059051339450480972103871965241895355\ 597105, 43630508886311886956250515732293960133110262683302638502121662159\ 9715059695944443495906053561284922482958660484911979536358057467246312, 2\ 280819898237548160981604490478137108442702334057688341766049841747703293\ 8039057280139228618336440710525276381530536947474671851609565723, 1192316\ 922489161347040222998657464076202654333305662714583581413250301646132643\ 571302519932229658266631865199523585716173586990411759448728, 62329324851\ 670625973758058754629137083169555034411493253185583050404465941126550181\ 199239601415186728732074442100253284500881332289042600054, 32583155226503\ 138486895705376046187690980998050785050577210519651028436834729599073051\ 46546821431847241563405825561888485765276522967120698944, 170331061188438\ 789966731095503294062379160697085822297318525505683652406787460590749681\ 122284524271998129433314026120572691276791780139363458537, 89041930420479\ 269490583790074266661673154581984243310641343445136916419325097082300621\ 31681258847416002556563287750563777554273082440340173393382, 465473843565\ 979944984463928526066622368022404406034302620817072948435959837074803903\ 674143091573370040101725801723675099415163840805283776213189116, 24333019\ 064269312374696547799678149639731851376798262709315584040426593716420344\ 093502631949546545802638670992525451168997055719872792669240103881508, 12\ 720281170818687628527165674731894062388835664360856100620516868853735438\ 056507772620536612857140547184868736533056705346533070629003789185679732\ 18323, 664962915770202411130984979645570707000692041642236316129532697601\ 903071210870189283512571728511931529718671682181447777023124260478101517\ 06692861824620] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 9, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 1, d[1] = 3, d[2] = 3 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-733 - 30258 t + 1486677808387782061450246949855 t / ----- n = 0 40 39 + 66859197007941765343853589121 t - 1006115890490661517294612550759 t 38 37 + 44292084498390690367228489388 t + 542072703073231038935358052047 t 36 35 - 58901180893178506468918078544 t - 232941482806703695678948379893 t 34 33 + 35717130557354004805742883207 t + 79961797059589640388087378757 t 32 31 - 14511344655726112792679770903 t - 21934008205136870615976225443 t 30 54 + 4298853206342297622708048078 t - 80024561911086465290285161640 t 53 52 + 128629514386223603855267232424 t + 196176784499900183789565672262 t 51 50 - 339200707385138165007712168904 t - 376867884482267209434617806115 t 49 48 + 716954540365454987586073457654 t + 560578219761377884108924785445 t 47 46 - 1211105432757701376852225053468 t - 632904925652666158134958545596 t 45 44 + 1630652088746206065075532807644 t + 522183840476341072426681675100 t 43 42 - 1746504185187290358453306261980 t - 286418427627489843078452797527 t 58 57 - 6586127703397297171821237101 t + 9616858265283670590244232689 t 56 55 + 25775791611691304261952016397 t - 39199198067632885988596799407 t 68 67 + 227953431610462220977242 t - 307476144213729558086550 t 66 65 - 2833199900521538174915587 t + 3876046006541085460170323 t 64 63 + 27804537398156572910784105 t - 38371903547826321015231195 t 62 61 - 216355125123162715565666078 t + 301792523014459316952896495 t 60 59 + 1338222116484611172643596446 t - 1900008995375928197381751905 t 87 86 85 84 + 3149151 t - 87687872 t - 608226191 t + 19665400908 t 83 82 81 + 65971390877 t - 2726792132751 t - 3907853859693 t 80 79 78 + 252255939216575 t + 76358383763755 t - 16340521140928442 t 77 76 75 + 6372281104691330 t + 766879542091408672 t - 626788577162470194 t 74 91 73 90 - 26751607346021563529 t + 8 t + 28789904778316265300 t - 193 t 72 71 89 + 707399608684513785487 t - 867675400025052455722 t - 8279 t 70 88 69 - 14394304932395588832778 t + 210255 t + 18831307673108716418122 t 2 3 4 5 + 924171 t + 33869892 t - 690666922 t - 13596053956 t 6 7 8 + 301881419508 t + 1858056061511 t - 64154707310357 t 9 10 11 + 15900688068823 t + 6647565506883285 t - 19406150829628647 t 12 13 - 405247075888932538 t + 1772133514485484145 t 14 15 + 16367327242536825618 t - 86394806076572634877 t 16 17 - 471563427793045180761 t + 2739781386733305731077 t 18 19 + 10153871042160817445307 t - 61022329695562741660598 t 20 21 - 167717272625340285609046 t + 994306178558182004770618 t 22 23 + 2146396252706690849117286 t - 12171278156578798667965722 t 24 25 - 21283048373762751929634999 t + 114188955713695899063394632 t 26 27 + 162913328315358117019725761 t - 834083122886851735126481002 t 28 29 / - 958123624748635035318241180 t + 4799729662299501003264220346 t ) / / 2 2 2 ((t - 1) (t + 1) (t + 3 t + 1) (1 - 7 t + t ) (t - 3 t + 1) 2 2 5 4 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t + 19 t + 109 t + 173 t + 43 t + 1) 5 4 3 2 10 9 8 7 (t - t - 9 t + 9 t + 5 t - 1) (t - 57 t + 1124 t - 9327 t 6 5 4 3 2 10 + 36911 t - 71400 t + 63631 t - 24279 t + 3060 t - 129 t + 1) (t 9 8 7 6 5 4 3 2 + 3 t - 62 t - 189 t + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) ( 10 9 8 7 6 5 4 3 2 t + t - 28 t - 27 t + 143 t + 72 t - 223 t + 9 t + 52 t + 5 t - 1 10 9 8 7 6 5 4 3 ) (t - 4 t - 163 t + 648 t + 1853 t - 1308 t - 1213 t + 504 t 2 10 9 8 7 6 5 + 187 t - 20 t - 1) (t - 9 t - 14 t + 175 t - 51 t - 404 t 4 3 2 20 19 18 17 + 205 t + 119 t - 46 t - 9 t + 1) (t + 27 t - 17 t - 3528 t 16 15 14 13 12 - 13226 t + 48780 t + 272525 t + 51585 t - 1073573 t 11 10 9 8 7 - 799644 t + 1470068 t + 1293636 t - 722293 t - 611679 t 6 5 4 3 2 + 102621 t + 99324 t + 4254 t - 3384 t - 241 t + 27 t + 1)) and in Maple input format: -(-733-30258*t+1486677808387782061450246949855*t^41+ 66859197007941765343853589121*t^40-1006115890490661517294612550759*t^39+ 44292084498390690367228489388*t^38+542072703073231038935358052047*t^37-\ 58901180893178506468918078544*t^36-232941482806703695678948379893*t^35+ 35717130557354004805742883207*t^34+79961797059589640388087378757*t^33-\ 14511344655726112792679770903*t^32-21934008205136870615976225443*t^31+ 4298853206342297622708048078*t^30-80024561911086465290285161640*t^54+ 128629514386223603855267232424*t^53+196176784499900183789565672262*t^52-\ 339200707385138165007712168904*t^51-376867884482267209434617806115*t^50+ 716954540365454987586073457654*t^49+560578219761377884108924785445*t^48-\ 1211105432757701376852225053468*t^47-632904925652666158134958545596*t^46+ 1630652088746206065075532807644*t^45+522183840476341072426681675100*t^44-\ 1746504185187290358453306261980*t^43-286418427627489843078452797527*t^42-\ 6586127703397297171821237101*t^58+9616858265283670590244232689*t^57+ 25775791611691304261952016397*t^56-39199198067632885988596799407*t^55+ 227953431610462220977242*t^68-307476144213729558086550*t^67-\ 2833199900521538174915587*t^66+3876046006541085460170323*t^65+ 27804537398156572910784105*t^64-38371903547826321015231195*t^63-\ 216355125123162715565666078*t^62+301792523014459316952896495*t^61+ 1338222116484611172643596446*t^60-1900008995375928197381751905*t^59+3149151*t^ 87-87687872*t^86-608226191*t^85+19665400908*t^84+65971390877*t^83-2726792132751 *t^82-3907853859693*t^81+252255939216575*t^80+76358383763755*t^79-\ 16340521140928442*t^78+6372281104691330*t^77+766879542091408672*t^76-\ 626788577162470194*t^75-26751607346021563529*t^74+8*t^91+28789904778316265300*t ^73-193*t^90+707399608684513785487*t^72-867675400025052455722*t^71-8279*t^89-\ 14394304932395588832778*t^70+210255*t^88+18831307673108716418122*t^69+924171*t^ 2+33869892*t^3-690666922*t^4-13596053956*t^5+301881419508*t^6+1858056061511*t^7 -64154707310357*t^8+15900688068823*t^9+6647565506883285*t^10-19406150829628647* t^11-405247075888932538*t^12+1772133514485484145*t^13+16367327242536825618*t^14 -86394806076572634877*t^15-471563427793045180761*t^16+2739781386733305731077*t^ 17+10153871042160817445307*t^18-61022329695562741660598*t^19-\ 167717272625340285609046*t^20+994306178558182004770618*t^21+ 2146396252706690849117286*t^22-12171278156578798667965722*t^23-\ 21283048373762751929634999*t^24+114188955713695899063394632*t^25+ 162913328315358117019725761*t^26-834083122886851735126481002*t^27-\ 958123624748635035318241180*t^28+4799729662299501003264220346*t^29)/(t-1)/(t+1) /(t^2+3*t+1)/(1-7*t+t^2)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t^2-t-1)/(t^5+19*t^4+109*t^3+ 173*t^2+43*t+1)/(t^5-t^4-9*t^3+9*t^2+5*t-1)/(t^10-57*t^9+1124*t^8-9327*t^7+ 36911*t^6-71400*t^5+63631*t^4-24279*t^3+3060*t^2-129*t+1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-\ 189*t^7+253*t^6+456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(t^10+t^9-28*t^8-27*t^7+ 143*t^6+72*t^5-223*t^4+9*t^3+52*t^2+5*t-1)/(t^10-4*t^9-163*t^8+648*t^7+1853*t^6 -1308*t^5-1213*t^4+504*t^3+187*t^2-20*t-1)/(t^10-9*t^9-14*t^8+175*t^7-51*t^6-\ 404*t^5+205*t^4+119*t^3-46*t^2-9*t+1)/(t^20+27*t^19-17*t^18-3528*t^17-13226*t^ 16+48780*t^15+272525*t^14+51585*t^13-1073573*t^12-799644*t^11+1470068*t^10+ 1293636*t^9-722293*t^8-611679*t^7+102621*t^6+99324*t^5+4254*t^4-3384*t^3-241*t^ 2+27*t+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -2508421941 A(n - 85) + 66899183 A(n - 86) + 11256696 A(n - 87) - 370858 A(n - 88) - 27128 A(n - 89) + 1013 A(n - 90) + 25 A(n - 91) - A(n - 92) - 653754118401447378047471 A(n - 66) + 324537732230022124803469 A(n - 67) + 52932144533845050011475 A(n - 68) - 26484994226218747886528 A(n - 69) - 3329267112462826959688 A(n - 70) + 1695591336209187818816 A(n - 71) + 159530728024612489697 A(n - 72) - 84462621757023473581 A(n - 73) - 5654761406788802477 A(n - 74) + 3236699831023556472 A(n - 75) + 140967232884728378 A(n - 76) - 93978582191606200 A(n - 77) - 2209498145093207 A(n - 78) + 2026610328371265 A(n - 79) + 13454570691419 A(n - 80) - 31626003869200 A(n - 81) + 227594206140 A(n - 82) + 345091409808 A(n - 83) - 6280724779 A(n - 84) + 6062494544440601389284528431 A(n - 56) - 2660192531794373700102333008 A(n - 57) - 1514066324054630701590073244 A(n - 58) + 700415656463659750639465552 A(n - 59) + 304394060384825910789120033 A(n - 60) - 145685880626514231988431289 A(n - 61) - 49175714292954693005667053 A(n - 62) + 24010637676125617644935288 A(n - 63) + 6358581721900265557546870 A(n - 64) - 3137369231592426758946040 A(n - 65) + 33865937853392234927236457216 A(n - 47) + 174872443361665027247143732237 A(n - 48) - 41191525309826100117885262849 A(n - 49) - 105214990254331610959926436585 A(n - 50) + 32249054368627436620395947064 A(n - 51) + 50631803799896781712342671498 A(n - 52) - 18349636108877429150407524472 A(n - 53) - 19540987097310344384450826683 A(n - 54) + 7931262827528803320862633221 A(n - 55) + 23185559444512532952933540609 A(n - 37) - 73097292028197836420976280131 A(n - 38) - 35978370028201219542424650840 A(n - 39) + 137264683588662588494822979058 A(n - 40) + 38489246232412232963617772248 A(n - 41) - 205461795337369885119312314737 A(n - 42) - 21925085525996540452788524053 A(n - 43) + 244725488453977890454324801293 A(n - 44) - 8240565032465245046264518656 A(n - 45) - 231852273330763334288209464176 A(n - 46) + 110979824972477673536554206 A(n - 28) + 238161704769267732012642072 A(n - 29) - 635087669981328368000614901 A(n - 30) - 1108294766466153641341873981 A(n - 31) + 2898808878592390208958699585 A(n - 32) + 3987453312701570573346184784 A(n - 33) - 10602553646811888150772203324 A(n - 34) - 11033927308574828695546992848 A(n - 35) + 31105173982391738702174724559 A(n - 36) + 10070328013328 A(n - 9) + 30473891502236 A(n - 10) - 1165316131789584 A(n - 11) + 814767953472507 A(n - 12) + 76546376942241453 A(n - 13) - 180903703251883391 A(n - 14) - 3287126746507218840 A(n - 15) + 10548188679708568642 A(n - 16) + 99891398543982230552 A(n - 17) - 358742554848769092821 A(n - 18) - 2249101098921140569937 A(n - 19) + 8223373131649853992161 A(n - 20) + 38446247561271926838208 A(n - 21) - 135039403005056628000456 A(n - 22) - 504145169584858070497344 A(n - 23) + 1647138837137897943303507 A(n - 24) + 5088368577857078074123961 A(n - 25) - 15323650799006240535258871 A(n - 26) - 39602360269699746293934552 A(n - 27) + 53 A(n - 1) + 5965 A(n - 2) - 55768 A(n - 3) - 6559906 A(n - 4) + 59061016 A(n - 5) + 3001419335 A(n - 6) - 37640894537 A(n - 7) - 559211974667 A(n - 8) subject to the initial conditions A(0) = 733, A(1) = 69107, A(2) = 7110845, A(3) = 714350204, A(4) = 72305047885, A(5) = 7300261255547, A(6) = 737708788806533, A(7) = 74524190080857833, A(8) = 7529365591896336914, A(9) = 760679134582191779328, A(10) = 76851319531291738926615, A(11) = 7764234386677928406199912, A(12) = 784416815497648369180364685, A(13) = 79249182974603531483171493603, A(14) = 8006502217890790415831883173789, A(15) = 808892504775654990158159150731260, A(16) = 81721967494307394106406732422311037, A(17) = 8256325551503797356437092320489537051, A(18) = 834132047381035051535397606288634174965, A(19) = 84271903569846011560902409266716233068057, A(20) = 8513944237486998324904488767334329679051746, A(21) = 860159120440425959148378517724099971096115200, A(22) = 86901404559670305528970173804577516318556971047, A(23) = 8779601279090606509797358679581136714073305319240, A(24) = 886998305861140013454132418573560457236488308947389, A(25) = 89612952750845193979975730161595927139351164104686547, A(26) = 9053547507007603002700933814101283672062370762191971069, A(27) = 914674943135130944588979756081134360220168176893639216508, A(28) = 92409108247573840629458282502121312393398331718720757891757, A(29) = 9336041564493602861259974630503602822222935743462827588542651, A(30) = 943215162951711140039476600442390212619325479054255068843644133, A(31) = 95292511015106792443384196636755309589341245294382856434427216713, A(32) = 9627350165944296784385621303319114346836965612349513340242675281586 , A(33) = 972645911314203822442172247547487846702001030872181503060938864037376, A(34) = 98265883393620924079899668458179640082490497259867288529442461408692791, A(35) = 9927748347887068898487668580434948696918121286173845433260061152003212968, A(36) = 1002994975012585359246244410661301038723099488106782376205134735\ 818395694445, A(37) = 10133203266726681857213525388042815484847525270688\ 6835216468152153957303879875, A(38) = 1023751972870171867023734522679677\ 5096784295183109942127640349526590848700065501, A(39) = 1034291007856319\ 707546427859061953712402993797949200227797817450578706071392456444, A(40) = 104493853714712598539042955491554180545731034985680412492079397566316\ 996933407365085, A(41) = 10556956776393614889091229009979276010363283234\ 577710281322442057260935856637257994587, A(42) = 10665635577277129702028\ 57067645252223821272429903129278211543410450176896323523701533781, A(43) = 107754331742314865747240042467621034816749660998645238471847729260976862\ 348588474105148025, A(44) = 10886361084725022994851856398520287616294050\ 485043969600759548633240498484146924978507725442, A(45) = 10998430944792\ 882641849061952278347797021809801538184761640354066615991723426076747953\ 86265600, A(46) = 111116545102576037311201502530191688082978175720377057\ 682935844179423265069391854687564566118471, A(47) = 11226043657962272719\ 962632299688456614541802767078804984286917294658238667054008822632359992\ 912008, A(48) = 11341610387016372742319859043213916586889546706535551050\ 99202466258142860542849666327943693740971677, A(49) = 114583668200544574\ 535820359043007659007150643445271466946187814289663709603628328345469195\ 846006548915, A(50) = 11576325204507782318770913608705722104169069805420\ 842973459314660374394851053085045508127440858551789373, A(51) = 11695497\ 913889026734033800539483306542196882189083964420840464196948849703894958\ 03482064864685058191330428, A(52) = 118158974490902417455725580140291387\ 750786165809486906642661246768112817563856096011973986684224964705953805, A(53) = 1193753643969415951707360216142913441432013818677438098287651827\ 8942530863589058280447114286087688232253259771, A(54) = 1206042764529900\ 209846590343572929674023482678648535702997908099916455933149045785158696\ 768150159621552300873797, A(55) = 12184583956856928464815963787981915448\ 558192815296892816727466092763551427280775095403713715993561874838046286\ 4297, A(56) = 1231001839802626022480841547502222030995667021399906139486\ 2321160811014478196301630490837334666489020860269145118546, A(57) = 1243\ 674412653762784359710944308431503634227647366421050783278221853377523937\ 632186878836613743275525368932299277688320, A(58) = 12564774435574180685\ 038863138060805916301871361029586538743493555968826985441346895055971880\ 6248488396430263758147122775, A(59) = 1269412275516600565357703393577224\ 067482239746629149643967649592022626890988707848098637402434116165238022\ 9391281886996712, A(60) = 1282480265359890070648591484095262272849762778\ 723178460693337512932874464197792434929605455595211462876803344210701156\ 749645, A(61) = 12956827838837651012973491483048803155949860476061088148\ 9667580027331111592925334805554959438179189967099637680412093275105955, A(62) = 1309021215996395705792825814159576859785386464762083424517767811\ 8194103663726610034953318643446803631060302063053643882661253149, A(63) = 132249696086291655250447773582836798241144411692482524554674981166068086\ 3298401694608773464242485756069972377332587705002679942652, A(64) = 1336\ 111432052195534683384608708906560228696966289177972493975854333541786497\ 85756961233534931693754086738879140459725076923236536125, A(65) = 134986\ 605768511328777793280780172859442941963006828997752533839619680194532209\ 67288056914948983685516997662076660238151265493841132699, A(66) = 136376\ 228058436917318095066296339047121021311818631061345599545060331429464871\ 1185307114776738606680043057675926607322236200669273582773, A(67) = 1377\ 801558425829442647244813128576181467748419165310410396239692082059975928\ 76716917323656507469157270705599236455961634458279157969432281, A(68) = 139198536389143345939103118707210754620075059211392053095083450443125497\ 85997864703692081514230154638056838166707010159316521811578864762146, A(69) = 140631518482367401530864870813831080844516101871804163077720939208899\ 436921013685971314300253067157020768954903099324180367762804476279686553\ 6, A(70) = 1420792524381667948890332440794464291889276015330890538380263\ 876316839796224648391688936432527475924552373014399903056416797709775464\ 42118971495, A(71) = 143541890119883343520302603824966220264751880678649\ 432199195346511926599491462467775335330256928130754271654022905331756914\ 50665565368629601305544, A(72) = 145019584954219048786172979403446082219\ 723698890284734533647725525556731885309802567050406094265287882435142488\ 8349867892112503199672114905477052797, A(73) = 1465124919473301383177389\ 259496359269923047791372342149182831460398497126878059107117274041743854\ 57171502394582036854203345100628572463041546062182291, A(74) = 148020767\ 701086788869269117644404237802694073419957344810676067856367560450077877\ 34294494961752002180099927857269325131416743988066071958439218965278077, A(75) = 1495445704295002352111393170554219551350702677269108134517355971\ 900799502053113981902140705878124690135846355023983842044403157553765212\ 850368659006364540, A(76) = 15108405997531898822102018004374282907421113\ 995987236510035645865837370911649035166265980963283509649567020131432422\ 1335337965959604113728423298195035310445, A(77) = 1526393978267959030713\ 148377720829758194096972654818148171199855984613142802426580643120236660\ 8273694755247013510549082319063389476902366075303432995806410555, A(78) = 154210747134627856332550129022086044022491712990863921344993556906052113\ 555439802138594128807656291549710549614524634599207749507396131381757175\ 4588831246441893, A(79) = 1557982727290698089186296756912768775041648359\ 896588154626730066492466216816698566621020940562013458320221278228514515\ 04214910680891514444727942694647906436486153, A(80) = 157402141137225050\ 092455993426405848485288895141113584721957264866427029645253016222698052\ 582867443560139426090174336729319526019482932192995493685065432807841064\ 82, A(81) = 159022520600513436231341351581936235051561985734335969123774\ 823544143718208845381533109212553946969041320393261504962265899279388076\ 9766203358985807900978002789359104, A(82) = 1606595810923194567227917393\ 689436012516718365288243231028316202006989658470439120888579496370136970\ 66847373518160437292276068089896965705378170198290240443174059692663, A(83) = 162313494335821978224623612407355073504001913608071025768136296151331\ 488897610324831997363436633240174323359570982410557974257599179940534434\ 53205800343736342735978804520, A(84) = 163984433822007537580937802515286\ 631308062104445737959457541578608856423211616255865653403594359254769893\ 1489631218080131035652422950503939859059562547342701301293510165293, A(85) = 165672574827869072939228160002554747777159288732433744639704173540399\ 617679864070146383659929569385487434960479192647079422638381552962059554\ 774525315402909179106036459478147, A(86) = 16737809443479200206586382815\ 658745486328910222208634150418051219758372744536746227704093086395229175\ 503822766091244449664119337442592172103239545528963029141046348351442840\ 413, A(87) = 16910117154712957650939398168677301843260010220284818905406\ 841457975165527492544384117228430299602793577041449228300160189274505398\ 03784831229782622971852507959314710090487373052, A(88) = 170841986910969\ 460115643857828531299553135585063057997351602313874751468213351616373653\ 320097599515143159526009871670157040854461937388738291375365458213510474\ 725601953149530321565, A(89) = 17260072313309350045748365557564273550948\ 219629938307296516914108166791190582369877974511242840525657141136059335\ 479927236191479152021308457189900889224759961913871106868632470339547, A(90) = 1743775647001326820075615003249632019179909211340849451668701796\ 621459977212405547169803961524092726852297841670632812274431902570348554\ 948883922023642326461708255309764731268996988693, A(91) = 17617269799791\ 927035632395425669559845412396021271718086670630537838996879802280854711\ 925280125508437222396578102408770738217226968788644033516863341333197213\ 6853660062526201429666251577 n A(n) is asymptotic to, 693.6986499 101.0294520 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [733, 69107, 7110845, 714350204, 72305047885, 7300261255547, 737708788806533, 74524190080857833, 7529365591896336914, 760679134582191779328, 76851319531291738926615, 7764234386677928406199912, 784416815497648369180364685, 79249182974603531483171493603, 8006502217890790415831883173789, 808892504775654990158159150731260, 81721967494307394106406732422311037, 8256325551503797356437092320489537051, 834132047381035051535397606288634174965, 84271903569846011560902409266716233068057, 8513944237486998324904488767334329679051746, 860159120440425959148378517724099971096115200, 86901404559670305528970173804577516318556971047, 8779601279090606509797358679581136714073305319240, 886998305861140013454132418573560457236488308947389, 89612952750845193979975730161595927139351164104686547, 9053547507007603002700933814101283672062370762191971069, 914674943135130944588979756081134360220168176893639216508, 92409108247573840629458282502121312393398331718720757891757, 9336041564493602861259974630503602822222935743462827588542651, 943215162951711140039476600442390212619325479054255068843644133, 95292511015106792443384196636755309589341245294382856434427216713, 9627350165944296784385621303319114346836965612349513340242675281586, 972645911314203822442172247547487846702001030872181503060938864037376, 98265883393620924079899668458179640082490497259867288529442461408692791, 9927748347887068898487668580434948696918121286173845433260061152003212968, 100299497501258535924624441066130103872309948810678237620513473581839569\ 4445, 1013320326672668185721352538804281548484752527068868352164681521539\ 57303879875, 102375197287017186702373452267967750967842951831099421276403\ 49526590848700065501, 103429100785631970754642785906195371240299379794920\ 0227797817450578706071392456444, 1044938537147125985390429554915541805457\ 31034985680412492079397566316996933407365085, 105569567763936148890912290\ 09979276010363283234577710281322442057260935856637257994587, 106656355772\ 771297020285706764525222382127242990312927821154341045017689632352370153\ 3781, 1077543317423148657472400424676210348167496609986452384718477292609\ 76862348588474105148025, 108863610847250229948518563985202876162940504850\ 43969600759548633240498484146924978507725442, 109984309447928826418490619\ 5227834779702180980153818476164035406661599172342607674795386265600, 1111\ 165451025760373112015025301916880829781757203770576829358441794232650693\ 91854687564566118471, 112260436579622727199626322996884566145418027670788\ 04984286917294658238667054008822632359992912008, 113416103870163727423198\ 590432139165868895467065355510509920246625814286054284966632794369374097\ 1677, 1145836682005445745358203590430076590071506434452714669461878142896\ 63709603628328345469195846006548915, 115763252045077823187709136087057221\ 04169069805420842973459314660374394851053085045508127440858551789373, 116\ 954979138890267340338005394833065421968821890839644208404641969488497038\ 9495803482064864685058191330428, 1181589744909024174557255801402913877507\ 86165809486906642661246768112817563856096011973986684224964705953805, 119\ 375364396941595170736021614291344143201381867743809828765182789425308635\ 89058280447114286087688232253259771, 120604276452990020984659034357292967\ 402348267864853570299790809991645593314904578515869676815015962155230087\ 3797, 1218458395685692846481596378798191544855819281529689281672746609276\ 35514272807750954037137159935618748380462864297, 123100183980262602248084\ 154750222203099566702139990613948623211608110144781963016304908373346664\ 89020860269145118546, 124367441265376278435971094430843150363422764736642\ 1050783278221853377523937632186878836613743275525368932299277688320, 1256\ 477443557418068503886313806080591630187136102958653874349355596882698544\ 13468950559718806248488396430263758147122775, 126941227551660056535770339\ 357722406748223974662914964396764959202262689098870784809863740243411616\ 52380229391281886996712, 128248026535989007064859148409526227284976277872\ 317846069333751293287446419779243492960545559521146287680334421070115674\ 9645, 1295682783883765101297349148304880315594986047606108814896675800273\ 31111592925334805554959438179189967099637680412093275105955, 130902121599\ 639570579282581415957685978538646476208342451776781181941036637266100349\ 53318643446803631060302063053643882661253149, 132249696086291655250447773\ 582836798241144411692482524554674981166068086329840169460877346424248575\ 6069972377332587705002679942652, 1336111432052195534683384608708906560228\ 696966289177972493975854333541786497857569612335349316937540867388791404\ 59725076923236536125, 134986605768511328777793280780172859442941963006828\ 997752533839619680194532209672880569149489836855169976620766602381512654\ 93841132699, 136376228058436917318095066296339047121021311818631061345599\ 545060331429464871118530711477673860668004305767592660732223620066927358\ 2773, 1377801558425829442647244813128576181467748419165310410396239692082\ 05997592876716917323656507469157270705599236455961634458279157969432281, 139198536389143345939103118707210754620075059211392053095083450443125497\ 85997864703692081514230154638056838166707010159316521811578864762146, 140\ 631518482367401530864870813831080844516101871804163077720939208899436921\ 0136859713143002530671570207689549030993241803677628044762796865536, 1420\ 792524381667948890332440794464291889276015330890538380263876316839796224\ 64839168893643252747592455237301439990305641679770977546442118971495, 143\ 541890119883343520302603824966220264751880678649432199195346511926599491\ 46246777533533025692813075427165402290533175691450665565368629601305544, 145019584954219048786172979403446082219723698890284734533647725525556731\ 885309802567050406094265287882435142488834986789211250319967211490547705\ 2797, 1465124919473301383177389259496359269923047791372342149182831460398\ 497126878059107117274041743854571715023945820368542033451006285724630415\ 46062182291, 148020767701086788869269117644404237802694073419957344810676\ 067856367560450077877342944949617520021800999278572693251314167439880660\ 71958439218965278077, 149544570429500235211139317055421955135070267726910\ 813451735597190079950205311398190214070587812469013584635502398384204440\ 3157553765212850368659006364540, 1510840599753189882210201800437428290742\ 111399598723651003564586583737091164903516626598096328350964956702013143\ 24221335337965959604113728423298195035310445, 152639397826795903071314837\ 772082975819409697265481814817119985598461314280242658064312023666082736\ 94755247013510549082319063389476902366075303432995806410555, 154210747134\ 627856332550129022086044022491712990863921344993556906052113555439802138\ 594128807656291549710549614524634599207749507396131381757175458883124644\ 1893, 1557982727290698089186296756912768775041648359896588154626730066492\ 466216816698566621020940562013458320221278228514515042149106808915144447\ 27942694647906436486153, 157402141137225050092455993426405848485288895141\ 113584721957264866427029645253016222698052582867443560139426090174336729\ 31952601948293219299549368506543280784106482, 159022520600513436231341351\ 581936235051561985734335969123774823544143718208845381533109212553946969\ 0413203932615049622658992793880769766203358985807900978002789359104, 1606\ 595810923194567227917393689436012516718365288243231028316202006989658470\ 439120888579496370136970668473735181604372922760680898969657053781701982\ 90240443174059692663, 162313494335821978224623612407355073504001913608071\ 025768136296151331488897610324831997363436633240174323359570982410557974\ 25759917994053443453205800343736342735978804520, 163984433822007537580937\ 802515286631308062104445737959457541578608856423211616255865653403594359\ 254769893148963121808013103565242295050393985905956254734270130129351016\ 5293, 1656725748278690729392281600025547477771592887324337446397041735403\ 996176798640701463836599295693854874349604791926470794226383815529620595\ 54774525315402909179106036459478147, 167378094434792002065863828156587454\ 863289102222086341504180512197583727445367462277040930863952291755038227\ 66091244449664119337442592172103239545528963029141046348351442840413, 169\ 101171547129576509393981686773018432600102202848189054068414579751655274\ 925443841172284302996027935770414492283001601892745053980378483122978262\ 2971852507959314710090487373052, 1708419869109694601156438578285312995531\ 355850630579973516023138747514682133516163736533200975995151431595260098\ 71670157040854461937388738291375365458213510474725601953149530321565, 172\ 600723133093500457483655575642735509482196299383072965169141081667911905\ 823698779745112428405256571411360593354799272361914791520213084571899008\ 89224759961913871106868632470339547, 174377564700132682007561500324963201\ 917990921134084945166870179662145997721240554716980396152409272685229784\ 167063281227443190257034855494888392202364232646170825530976473126899698\ 8693, 1761726979979192703563239542566955984541239602127171808667063053783\ 899687980228085471192528012550843722239657810240877073821722696878864403\ 35168633413331972136853660062526201429666251577] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 10, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 2, d[1] = 1, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n ) A(n) t = / ----- n = 0 2 3 4 5 6 7 -22 - 112 t + 23 t + 520 t + 122 t - 144 t + 7 t + 2 t - ------------------------------------------------------------- 2 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 1) (t + 4 t - 55 t - 64 t + 27 t + 12 t - 1) and in Maple input format: -(-22-112*t+23*t^2+520*t^3+122*t^4-144*t^5+7*t^6+2*t^7)/(t^2-4*t-1)/(t^6+4*t^5-\ 55*t^4-64*t^3+27*t^2+12*t-1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 8 A(n - 1) + 76 A(n - 2) + 32 A(n - 3) - 338 A(n - 4) - 152 A(n - 5) + 72 A(n - 6) - A(n - 8) subject to the initial conditions A(0) = 22, A(1) = 288, A(2) = 3953, A(3) = 53696, A(4) = 731654, A(5) = 9960080, A(6) = 135626303, A(7) = 1846660062 n A(n) is asymptotic to, 21.28262091 13.61607693 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [22, 288, 3953, 53696, 731654, 9960080, 135626303, 1846660062, 25144425834, 342367760456, 4661708621577, 63474171167012, 864269249011386, 11767956370477952, 160233400215384743, 2181750300914929658, 29706879965237065614, 404491163017208476656, 5507582795208070055345, 74991671060702509308456, 1021092362604541131131422, 13903272166295555003639440, 189308023455817199779155327, 2577632611666942958006764566, 35097243948991921939455996738, 477886773793710610437394676696, 6506943077891594719421493343401, 88599037556118096935761568769932, 1206371311674968524984812486852850, 16426044591179501493152651679508352] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 11, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 2, d[1] = 1, d[2] = 2 Then infinity ----- \ n 2 3 4 5 ) A(n) t = - (-131 - 384 t + 8948 t + 1683 t - 190013 t + 343705 t / ----- n = 0 6 7 8 9 10 + 559306 t - 1474764 t - 438998 t + 2202635 t - 238491 t 11 12 13 14 15 16 - 1345114 t + 450965 t + 282559 t - 157007 t + 6419 t + 6471 t 17 18 19 / 2 - 618 t - 65 t + 6 t ) / ((t - 3 t + 1) / 6 5 4 3 2 (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 21 t + 126 t - 249 t + 170 t - 33 t + 1) 6 5 4 3 2 (t + 9 t + 2 t - 27 t - 20 t + 3 t + 1)) and in Maple input format: -(-131-384*t+8948*t^2+1683*t^3-190013*t^4+343705*t^5+559306*t^6-1474764*t^7-\ 438998*t^8+2202635*t^9-238491*t^10-1345114*t^11+450965*t^12+282559*t^13-157007* t^14+6419*t^15+6471*t^16-618*t^17-65*t^18+6*t^19)/(t^2-3*t+1)/(t^6+3*t^5-20*t^4 -27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-21*t^5+126*t^4-249*t^3+170*t^2-33*t+1)/(t^6+9*t^5+2*t ^4-27*t^3-20*t^2+3*t+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 24 A(n - 1) + 153 A(n - 2) - 1896 A(n - 3) - 1795 A(n - 4) + 42612 A(n - 5) - 64046 A(n - 6) - 140640 A(n - 7) + 296459 A(n - 8) + 153936 A(n - 9) - 459013 A(n - 10) - 18060 A(n - 11) + 289915 A(n - 12) - 63504 A(n - 13) - 65598 A(n - 14) + 27804 A(n - 15) - 67 A(n - 16) - 1188 A(n - 17) + 89 A(n - 18) + 12 A(n - 19) - A(n - 20) subject to the initial conditions A(0) = 131, A(1) = 3528, A(2) = 95767, A(3) = 2588133, A(4) = 70033323, A(5) = 1894115576, A(6) = 51236256114, A(7) = 1385878870761, A(8) = 37486982264146, A(9) = 1013989258107884, A(10) = 27427546640193651, A(11) = 741891404639010966, A(12) = 20067523901947642495, A(13) = 542809219950981569488, A(14) = 14682521644259265452263, A(15) = 397149556090948343553217, A(16) = 10742553218914212896310539, A(17) = 290576806230297777206727068, A(18) = 7859852179573904474684885758, A(19) = 212602227559965185026567302877 n A(n) is asymptotic to, 130.8135122 27.04913816 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [131, 3528, 95767, 2588133, 70033323, 1894115576, 51236256114, 1385878870761, 37486982264146, 1013989258107884, 27427546640193651, 741891404639010966, 20067523901947642495, 542809219950981569488, 14682521644259265452263, 397149556090948343553217, 10742553218914212896310539, 290576806230297777206727068, 7859852179573904474684885758, 212602227559965185026567302877, 5750707027492328904705877502654, 155551668933337239211443045916960, 4207538584787245306906323482780047, 113810292514781632578033489653527470, 3078470326840011937612652858151851915, 83269969207777722422597890497960040080, 2252380902102714006591523596161541405679, 60924962221352150494382799191581900133613, 1647967720827319556270496819755957528303219, 44576106572241638832524983909830502578572640] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 12, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 2, d[1] = 1, d[2] = 3 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-823 - 27723 t - 3697479337102980268 t / ----- n = 0 40 39 - 2655783796462062760 t + 14619803018173735392 t 38 37 + 6113243159998997850 t - 42431165408550507472 t 36 35 - 8549480112256952804 t + 90905909117468473574 t 34 33 + 5406853012343685158 t - 145242459876446469120 t 32 31 + 3222252675649512758 t + 174887237309705640610 t 30 54 53 - 10090559973283033052 t + 63093782422 t - 1269824862887 t 52 51 50 - 3088422945106 t + 36081372678512 t + 88362072872668 t 49 48 47 - 693975444829187 t - 1574506444230475 t + 9458675990081856 t 46 45 44 + 18318683824432150 t - 93913068797027916 t - 142842390724031356 t 43 42 58 + 686625636613700128 t + 752420621249143432 t + 4237046 t 57 56 55 63 62 - 395137386 t - 716481289 t + 28626790845 t + 20 t + 14 t 61 60 59 2 3 - 12880 t - 11896 t + 3149057 t + 25162 t + 8272868 t 4 5 6 7 + 24455918 t - 1128593235 t - 3225481354 t + 89430268489 t 8 9 10 + 146862280395 t - 4238116240230 t - 1981316415940 t 11 12 13 + 119169998019497 t - 16601496245268 t - 2148268378440880 t 14 15 16 + 802377813514880 t + 26455860433292372 t - 10471426446695472 t 17 18 19 - 231263190283184708 t + 71346901003374552 t + 1463859633470808392 t 20 21 - 264985666312446204 t - 6775681345169757204 t 22 23 + 403304600447336194 t + 23092657358542392752 t 24 25 + 688220366911822690 t - 58460862436120842290 t 26 27 - 4543205738652815438 t + 111088633780180230548 t 28 29 / 2 + 9582051103949401868 t - 159845103041674714326 t ) / ((t - 3 t + 1) / 2 2 6 5 4 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 55 t + 64 t + 27 t - 12 t - 1) 6 5 4 3 2 10 9 8 7 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 30 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) (1 - 45 t + t 2 3 4 5 6 7 - 643 t + 13176 t + 51389 t - 1200573 t + 1014883 t + 26967984 t 8 9 10 11 - 35933608 t - 268372122 t + 305637102 t + 1311635442 t 12 13 14 15 - 1086269752 t - 2979007482 t + 2176379842 t + 3230889474 t 16 17 18 19 - 2365202364 t - 1641456804 t + 1244628572 t + 417258588 t 20 21 22 23 24 - 327373460 t - 56101710 t + 43593486 t + 4062786 t - 2716561 t 25 26 27 28 29 - 148317 t + 61013 t + 1350 t - 461 t - 3 t )) and in Maple input format: -(-823-27723*t-3697479337102980268*t^41-2655783796462062760*t^40+ 14619803018173735392*t^39+6113243159998997850*t^38-42431165408550507472*t^37-\ 8549480112256952804*t^36+90905909117468473574*t^35+5406853012343685158*t^34-\ 145242459876446469120*t^33+3222252675649512758*t^32+174887237309705640610*t^31-\ 10090559973283033052*t^30+63093782422*t^54-1269824862887*t^53-3088422945106*t^ 52+36081372678512*t^51+88362072872668*t^50-693975444829187*t^49-\ 1574506444230475*t^48+9458675990081856*t^47+18318683824432150*t^46-\ 93913068797027916*t^45-142842390724031356*t^44+686625636613700128*t^43+ 752420621249143432*t^42+4237046*t^58-395137386*t^57-716481289*t^56+28626790845* t^55+20*t^63+14*t^62-12880*t^61-11896*t^60+3149057*t^59+25162*t^2+8272868*t^3+ 24455918*t^4-1128593235*t^5-3225481354*t^6+89430268489*t^7+146862280395*t^8-\ 4238116240230*t^9-1981316415940*t^10+119169998019497*t^11-16601496245268*t^12-\ 2148268378440880*t^13+802377813514880*t^14+26455860433292372*t^15-\ 10471426446695472*t^16-231263190283184708*t^17+71346901003374552*t^18+ 1463859633470808392*t^19-264985666312446204*t^20-6775681345169757204*t^21+ 403304600447336194*t^22+23092657358542392752*t^23+688220366911822690*t^24-\ 58460862436120842290*t^25-4543205738652815438*t^26+111088633780180230548*t^27+ 9582051103949401868*t^28-159845103041674714326*t^29)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t ^2-t-1)/(t^6+3*t^5-20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-4*t^5-55*t^4+64*t^3+27*t^2-\ 12*t-1)/(t^6+t^5-10*t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-189*t^7+253*t^6+ 456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(1-45*t+t^30-643*t^2+13176*t^3+51389*t^4 -1200573*t^5+1014883*t^6+26967984*t^7-35933608*t^8-268372122*t^9+305637102*t^10 +1311635442*t^11-1086269752*t^12-2979007482*t^13+2176379842*t^14+3230889474*t^ 15-2365202364*t^16-1641456804*t^17+1244628572*t^18+417258588*t^19-327373460*t^ 20-56101710*t^21+43593486*t^22+4062786*t^23-2716561*t^24-148317*t^25+61013*t^26 +1350*t^27-461*t^28-3*t^29) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 18 A(n - 1) - 10302729142383235968 A(n - 32) + 2940154802696207616 A(n - 31) + 9569655270135078160 A(n - 30) - 2441276798924177640 A(n - 29) - 6792150653279177786 A(n - 28) + 1384351019321452512 A(n - 27) + 3660800893000616328 A(n - 26) - 528792528145961076 A(n - 25) - 1480581268735474602 A(n - 24) + 131623964950108896 A(n - 23) + 443220092302143072 A(n - 22) - 20349404213214744 A(n - 21) - 97128313588208192 A(n - 20) + 1901371270337376 A(n - 19) + 15457967764826000 A(n - 18) - 152895672282864 A(n - 17) - 1768887293425253 A(n - 16) + 25300611926592 A(n - 15) + 142710868607188 A(n - 14) - 4072401415944 A(n - 13) - 7815912693181 A(n - 12) + 365357960808 A(n - 11) + 272711157972 A(n - 10) - 16676532990 A(n - 9) - 5607386272 A(n - 8) + 344387040 A(n - 7) + 68954768 A(n - 6) - 3158460 A(n - 5) - 503433 A(n - 4) + 9216 A(n - 3) + 1812 A(n - 2) + 37882187006692 A(n - 50) + 58398668118258 A(n - 49) - 529053113417685 A(n - 48) - 661319028845088 A(n - 47) + 5345856437450944 A(n - 46) + 4832379985745928 A(n - 45) - 39484271694782400 A(n - 44) - 22180564156337184 A(n - 43) + 213557973632288688 A(n - 42) + 56339768327894736 A(n - 41) - 845381212713038106 A(n - 40) - 25651110172801152 A(n - 39) + 2454715080855219496 A(n - 38) - 329592605709757080 A(n - 37) - 5269835601731878474 A(n - 36) + 1240670189558911920 A(n - 35) + 8466663132847395816 A(n - 34) - 2391291261773411028 A(n - 33) - A(n - 64) + 644 A(n - 62) + 144 A(n - 61) - 157689 A(n - 60) - 101592 A(n - 59) + 19882148 A(n - 58) + 22062690 A(n - 57) - 1455545312 A(n - 56) - 2173424544 A(n - 55) + 65737975968 A(n - 54) + 112273315524 A(n - 53) - 1915849697341 A(n - 52) - 3282688992288 A(n - 51) subject to the initial conditions A(0) = 823, A(1) = 42537, A(2) = 2231780, A(3) = 116560984, A(4) = 6095322787, A(5) = 318607048788, A(6) = 16655949938430, A(7) = 870695061615563, A(8) = 45516414439458360, A(9) = 2379405034245344600, A(10) = 124385343065198655940, A(11) = 6502343180427949370568, A(12) = 339915221479148119201141, A(13) = 17769341099131060121736971, A(14) = 928906581451522198426866330, A(15) = 48559337652832624489438207076, A(16) = 2538478381684091942596893179479, A(17) = 132700996425611348013072407270182, A(18) = 6937051180378672372725598193731164, A(19) = 362639922638008602442725873117312253, A(20) = 18957293246455479273971284040359260272, A(21) = 991007731903298904882481442367461203792, A(22) = 51805725212201324867511855411618974688466, A(23) = 2708185898415629511268155622423110261501336, A(24) = 141572593189961319133190197853246871822789347, A(25) = 7400821027188491107611846563231476516197339961, A(26) = 386883863905655805895612913844590929618047970148, A(27) = 20224664750125897815994987769487144881288900284424, A(28) = 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, A(29) = 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, A(30) = 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, A(31) = 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, A(32) = 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, A(33) = 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, A(34) = 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, A(35) = 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, A(36) = 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, A(37) = 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931 , A(38) = 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, A(39) = 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, A(40) = 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, A(41) = 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, A(42) = 1203350249945744297230902203789652925116525705795754708615426198\ 005798519584, A(43) = 62906100906983610103890489529925482479618280225620\ 412353548287939261270201949, A(44) = 32884669542371576848611424155619355\ 40094310471134506035602267705943213664159584, A(45) = 171907251493778011\ 548928419326330298708012970727648666939110057867738569664145024, A(46) = 898658965633437336508155367056895298951545990151975034129376544481843346\ 4295499638, A(47) = 4697811927628830942002506750414637554803190379763800\ 91255451505989480172657272960076, A(48) = 245581892034156009000951285850\ 09978303926846519482571960377056336089552848441483597263, A(49) = 128379\ 906697365181392758888409750495691084568575324462573806293088942466709660\ 9715173689, A(50) = 6711162743762852028699549902487377323352571807844598\ 7553219874861661566451010682398683252, A(51) = 3508314231715741653379785\ 429834057801659985988302950595056014332591170388087383547782587384, A(52) = 183399944516293253904771759950218373184765419104470487811223835936290\ 760934249653056628238515, A(53) = 95873794155918518632516230837685296045\ 48138608224736815958163535922778238573654169555118300220, A(54) = 501187\ 960012432698853892723594807928737388299141355545675365150812041251626588\ 423121231017333782, A(55) = 26200003188871118359445504277671837924103905\ 313710839495864455377624705955526683334904192799724075, A(56) = 13696262\ 118503976446274169469974036873274719275683899731162213071280541361671421\ 36275290431957886680, A(57) = 715983103767132154883877822532132524891436\ 24963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, A(58) = 374\ 285918628439615412214501233096940635862992321477225080144307990671160820\ 5572563386526543872034155740, A(59) = 1956609704146008306824082347892313\ 19767086561228157026014477574482430493769693356504602896219914077780224, A(60) = 1022833439309474534842250764466023605698968368992466576933897808\ 6066449946703158881015845401963507857848957, A(61) = 5346943963084723120\ 302478691539526399152396049769762392986738917314640533158750739045990249\ 42352933839030923, A(62) = 279515790602910304289268909759472197788211501\ 09476242619562007214929808563759314046632234748037697213112282490, A(63) = 146119124748216542231523675555440059257091784067247102789283341910030663\ 9171067303033140815861349908979106872340 n A(n) is asymptotic to, 816.1350569 52.27580325 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [823, 42537, 2231780, 116560984, 6095322787, 318607048788, 16655949938430, 870695061615563, 45516414439458360, 2379405034245344600, 124385343065198655940, 6502343180427949370568, 339915221479148119201141, 17769341099131060121736971, 928906581451522198426866330, 48559337652832624489438207076, 2538478381684091942596893179479, 132700996425611348013072407270182, 6937051180378672372725598193731164, 362639922638008602442725873117312253, 18957293246455479273971284040359260272, 991007731903298904882481442367461203792, 51805725212201324867511855411618974688466, 2708185898415629511268155622423110261501336, 141572593189961319133190197853246871822789347, 7400821027188491107611846563231476516197339961, 386883863905655805895612913844590929618047970148, 20224664750125897815994987769487144881288900284424, 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931, 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, 120335024994574429723090220378965292511652570579575470861542619800579851\ 9584, 6290610090698361010389048952992548247961828022562041235354828793926\ 1270201949, 3288466954237157684861142415561935540094310471134506035602267\ 705943213664159584, 17190725149377801154892841932633029870801297072764866\ 6939110057867738569664145024, 8986589656334373365081553670568952989515459\ 901519750341293765444818433464295499638, 46978119276288309420025067504146\ 3755480319037976380091255451505989480172657272960076, 2455818920341560090\ 0095128585009978303926846519482571960377056336089552848441483597263, 1283\ 799066973651813927588884097504956910845685753244625738062930889424667096\ 609715173689, 67111627437628520286995499024873773233525718078445987553219\ 874861661566451010682398683252, 35083142317157416533797854298340578016599\ 85988302950595056014332591170388087383547782587384, 183399944516293253904\ 771759950218373184765419104470487811223835936290760934249653056628238515, 958737941559185186325162308376852960454813860822473681595816353592277823\ 8573654169555118300220, 5011879600124326988538927235948079287373882991413\ 55545675365150812041251626588423121231017333782, 262000031888711183594455\ 042776718379241039053137108394958644553776247059555266833349041927997240\ 75, 136962621185039764462741694699740368732747192756838997311622130712805\ 4136167142136275290431957886680, 7159831037671321548838778225321325248914\ 3624963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, 3742859186\ 284396154122145012330969406358629923214772250801443079906711608205572563\ 386526543872034155740, 19566097041460083068240823478923131976708656122815\ 7026014477574482430493769693356504602896219914077780224, 1022833439309474\ 534842250764466023605698968368992466576933897808606644994670315888101584\ 5401963507857848957, 5346943963084723120302478691539526399152396049769762\ 39298673891731464053315875073904599024942352933839030923, 279515790602910\ 304289268909759472197788211501094762426195620072149298085637593140466322\ 34748037697213112282490, 146119124748216542231523675555440059257091784067\ 2471027892833419100306639171067303033140815861349908979106872340] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 13, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 2, d[1] = 2, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 2 3 4 5 ) A(n) t = - (-131 - 384 t + 8948 t + 1683 t - 190013 t + 343705 t / ----- n = 0 6 7 8 9 10 + 559306 t - 1474764 t - 438998 t + 2202635 t - 238491 t 11 12 13 14 15 16 - 1345114 t + 450965 t + 282559 t - 157007 t + 6419 t + 6471 t 17 18 19 / 2 - 618 t - 65 t + 6 t ) / ((t - 3 t + 1) / 6 5 4 3 2 (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 21 t + 126 t - 249 t + 170 t - 33 t + 1) 6 5 4 3 2 (t + 9 t + 2 t - 27 t - 20 t + 3 t + 1)) and in Maple input format: -(-131-384*t+8948*t^2+1683*t^3-190013*t^4+343705*t^5+559306*t^6-1474764*t^7-\ 438998*t^8+2202635*t^9-238491*t^10-1345114*t^11+450965*t^12+282559*t^13-157007* t^14+6419*t^15+6471*t^16-618*t^17-65*t^18+6*t^19)/(t^2-3*t+1)/(t^6+3*t^5-20*t^4 -27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-21*t^5+126*t^4-249*t^3+170*t^2-33*t+1)/(t^6+9*t^5+2*t ^4-27*t^3-20*t^2+3*t+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 24 A(n - 1) + 153 A(n - 2) - 1896 A(n - 3) - 1795 A(n - 4) + 42612 A(n - 5) - 64046 A(n - 6) - 140640 A(n - 7) + 296459 A(n - 8) + 153936 A(n - 9) - 459013 A(n - 10) - 18060 A(n - 11) + 289915 A(n - 12) - 63504 A(n - 13) - 65598 A(n - 14) + 27804 A(n - 15) - 67 A(n - 16) - 1188 A(n - 17) + 89 A(n - 18) + 12 A(n - 19) - A(n - 20) subject to the initial conditions A(0) = 131, A(1) = 3528, A(2) = 95767, A(3) = 2588133, A(4) = 70033323, A(5) = 1894115576, A(6) = 51236256114, A(7) = 1385878870761, A(8) = 37486982264146, A(9) = 1013989258107884, A(10) = 27427546640193651, A(11) = 741891404639010966, A(12) = 20067523901947642495, A(13) = 542809219950981569488, A(14) = 14682521644259265452263, A(15) = 397149556090948343553217, A(16) = 10742553218914212896310539, A(17) = 290576806230297777206727068, A(18) = 7859852179573904474684885758, A(19) = 212602227559965185026567302877 n A(n) is asymptotic to, 130.8135122 27.04913816 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [131, 3528, 95767, 2588133, 70033323, 1894115576, 51236256114, 1385878870761, 37486982264146, 1013989258107884, 27427546640193651, 741891404639010966, 20067523901947642495, 542809219950981569488, 14682521644259265452263, 397149556090948343553217, 10742553218914212896310539, 290576806230297777206727068, 7859852179573904474684885758, 212602227559965185026567302877, 5750707027492328904705877502654, 155551668933337239211443045916960, 4207538584787245306906323482780047, 113810292514781632578033489653527470, 3078470326840011937612652858151851915, 83269969207777722422597890497960040080, 2252380902102714006591523596161541405679, 60924962221352150494382799191581900133613, 1647967720827319556270496819755957528303219, 44576106572241638832524983909830502578572640] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 14, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 2, d[1] = 2, d[2] = 2 Then infinity ----- \ n 37 36 35 34 ) A(n) t = - (823 + 22179 t + 16 t + 62 t - 5526 t - 5810 t / ----- n = 0 33 32 31 30 2 + 603200 t + 123782 t - 30401156 t + 203535 t - 90408 t 3 4 5 6 7 - 4564123 t + 9288097 t + 333164670 t - 992797519 t - 7685351925 t 8 9 10 11 + 22754782768 t + 90931193837 t - 214663134465 t - 636000002090 t 12 13 14 + 943970802025 t + 2568154857217 t - 1958664741480 t 15 16 17 - 5629875501725 t + 2137885907754 t + 7030569449173 t 18 19 20 - 1320782342591 t - 5242628429036 t + 481028799335 t 21 22 23 + 2396424043717 t - 103900080524 t - 678099427757 t 24 25 26 27 + 12438683127 t + 118807143838 t - 635034919 t - 12759765293 t 28 29 / 2 - 3096246 t + 821189575 t ) / ((t - t - 1) / 6 5 4 3 2 (t + 3 t - 12 t - t + 10 t + t - 1) 6 5 4 3 2 (t - 7 t - 16 t + 73 t + 100 t - 11 t - 1) 6 5 4 3 2 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) 6 5 4 3 2 12 10 9 (t + 7 t - 148 t + 227 t + 1110 t + 33 t - 1) (t - 111 t - 304 t 8 7 6 5 4 3 2 + 1110 t + 2812 t - 1651 t - 2812 t + 1110 t + 304 t - 111 t + 1)) and in Maple input format: -(823+22179*t+16*t^37+62*t^36-5526*t^35-5810*t^34+603200*t^33+123782*t^32-\ 30401156*t^31+203535*t^30-90408*t^2-4564123*t^3+9288097*t^4+333164670*t^5-\ 992797519*t^6-7685351925*t^7+22754782768*t^8+90931193837*t^9-214663134465*t^10-\ 636000002090*t^11+943970802025*t^12+2568154857217*t^13-1958664741480*t^14-\ 5629875501725*t^15+2137885907754*t^16+7030569449173*t^17-1320782342591*t^18-\ 5242628429036*t^19+481028799335*t^20+2396424043717*t^21-103900080524*t^22-\ 678099427757*t^23+12438683127*t^24+118807143838*t^25-635034919*t^26-12759765293 *t^27-3096246*t^28+821189575*t^29)/(t^2-t-1)/(t^6+3*t^5-12*t^4-t^3+10*t^2+t-1)/ (t^6-7*t^5-16*t^4+73*t^3+100*t^2-11*t-1)/(t^6+t^5-10*t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^6 +7*t^5-148*t^4+227*t^3+1110*t^2+33*t-1)/(t^12-111*t^10-304*t^9+1110*t^8+2812*t^ 7-1651*t^6-2812*t^5+1110*t^4+304*t^3-111*t^2+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 855 A(n - 3) + 1642 A(n - 2) + 25 A(n - 1) - 58718108 A(n - 7) + 25945833 A(n - 6) + 116687 A(n - 5) - 339472 A(n - 4) + A(n - 38) + 3 A(n - 37) - 348 A(n - 36) - 81 A(n - 35) + 37990 A(n - 34) - 20731 A(n - 33) - 1919649 A(n - 32) + 1331116 A(n - 31) + 52381738 A(n - 30) - 32410038 A(n - 29) - 829821916 A(n - 28) + 401187854 A(n - 27) + 7940092660 A(n - 26) - 2719550990 A(n - 25) - 46857375690 A(n - 24) + 9780306936 A(n - 23) + 171905051163 A(n - 22) - 14025329255 A(n - 21) - 391125668548 A(n - 20) - 15492830163 A(n - 19) + 544816143214 A(n - 18) + 81061567651 A(n - 17) - 450876207459 A(n - 16) - 105970023400 A(n - 15) + 210529380578 A(n - 14) + 59636356270 A(n - 13) - 52531174312 A(n - 12) - 14238977514 A(n - 11) + 7437263616 A(n - 10) + 1490357598 A(n - 9) - 615255850 A(n - 8) subject to the initial conditions A(0) = 823, A(1) = 42754, A(2) = 2329808, A(3) = 124586810, A(4) = 6706672297, A(5) = 360145747468, A(6) = 19356966198586, A(7) = 1040049079652090, A(8) = 55888555081075738, A(9) = 3003118575696664960, A(10) = 161372420990704857186, A(11) = 8671284709215693689866, A(12) = 465949221587172349494301, A(13) = 25037637890935662761870728, A(14) = 1345390204592048039459280708, A(15) = 72294143089013844237835368322, A(16) = 3884704492830374441663329641555, A(17) = 208743448374934319042626169964974, A(18) = 11216767611768230721062899692312170, A(19) = 602729696715776875173472080027878800, A(20) = 32387502374574107788100127302775121338, A(21) = 1740332881198694120140304304852899474960, A(22) = 93516273739962609728679154158553540056794, A(23) = 5025069369319487124214664819486775394851348, A(24) = 270020619482904552399307561282148755050444255, A(25) = 14509478295068320326274990762584285953316932966, A(26) = 779662533916317652403664101218146156269991231104, A(27) = 41894936153474538091608654320604162361623552163282, A(28) = 2251212029502071066956309995621196980116801621997549, A(29) = 120968213991505825280014785556390012932677127093904496, A(30) = 6500191276755178857779169680296091685041218355580638718, A(31) = 349285859815785840827931173388933873095968440682296910638, A(32) = 18768772590359102389296442294139703363842446294402277227646, A(33) = 1008534455801904487810034512177363568232928261243284079012040, A(34) = 54193301327659385335316291954521101452258539752840192022383774, A(35) = 2912061052445939628816691649557911880454252628154925244936677406, A(36) = 156478741199042794630876703207239395864946218244156589595731017413, A(37) = 8408338975816019201760447502840827159161361669156474999625648640116 n A(n) is asymptotic to, 804.0445331 53.73470486 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [823, 42754, 2329808, 124586810, 6706672297, 360145747468, 19356966198586, 1040049079652090, 55888555081075738, 3003118575696664960, 161372420990704857186, 8671284709215693689866, 465949221587172349494301, 25037637890935662761870728, 1345390204592048039459280708, 72294143089013844237835368322, 3884704492830374441663329641555, 208743448374934319042626169964974, 11216767611768230721062899692312170, 602729696715776875173472080027878800, 32387502374574107788100127302775121338, 1740332881198694120140304304852899474960, 93516273739962609728679154158553540056794, 5025069369319487124214664819486775394851348, 270020619482904552399307561282148755050444255, 14509478295068320326274990762584285953316932966, 779662533916317652403664101218146156269991231104, 41894936153474538091608654320604162361623552163282, 2251212029502071066956309995621196980116801621997549, 120968213991505825280014785556390012932677127093904496, 6500191276755178857779169680296091685041218355580638718, 349285859815785840827931173388933873095968440682296910638, 18768772590359102389296442294139703363842446294402277227646, 1008534455801904487810034512177363568232928261243284079012040, 54193301327659385335316291954521101452258539752840192022383774, 2912061052445939628816691649557911880454252628154925244936677406, 156478741199042794630876703207239395864946218244156589595731017413, 8408338975816019201760447502840827159161361669156474999625648640116] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 15, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 2, d[1] = 3, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-823 - 27723 t - 3697479337102980268 t / ----- n = 0 40 39 - 2655783796462062760 t + 14619803018173735392 t 38 37 + 6113243159998997850 t - 42431165408550507472 t 36 35 - 8549480112256952804 t + 90905909117468473574 t 34 33 + 5406853012343685158 t - 145242459876446469120 t 32 31 + 3222252675649512758 t + 174887237309705640610 t 30 54 53 - 10090559973283033052 t + 63093782422 t - 1269824862887 t 52 51 50 - 3088422945106 t + 36081372678512 t + 88362072872668 t 49 48 47 - 693975444829187 t - 1574506444230475 t + 9458675990081856 t 46 45 44 + 18318683824432150 t - 93913068797027916 t - 142842390724031356 t 43 42 58 + 686625636613700128 t + 752420621249143432 t + 4237046 t 57 56 55 63 62 - 395137386 t - 716481289 t + 28626790845 t + 20 t + 14 t 61 60 59 2 3 - 12880 t - 11896 t + 3149057 t + 25162 t + 8272868 t 4 5 6 7 + 24455918 t - 1128593235 t - 3225481354 t + 89430268489 t 8 9 10 + 146862280395 t - 4238116240230 t - 1981316415940 t 11 12 13 + 119169998019497 t - 16601496245268 t - 2148268378440880 t 14 15 16 + 802377813514880 t + 26455860433292372 t - 10471426446695472 t 17 18 19 - 231263190283184708 t + 71346901003374552 t + 1463859633470808392 t 20 21 - 264985666312446204 t - 6775681345169757204 t 22 23 + 403304600447336194 t + 23092657358542392752 t 24 25 + 688220366911822690 t - 58460862436120842290 t 26 27 - 4543205738652815438 t + 111088633780180230548 t 28 29 / 2 + 9582051103949401868 t - 159845103041674714326 t ) / ((t - 3 t + 1) / 2 2 6 5 4 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 55 t + 64 t + 27 t - 12 t - 1) 6 5 4 3 2 10 9 8 7 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 30 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) (1 - 45 t + t 2 3 4 5 6 7 - 643 t + 13176 t + 51389 t - 1200573 t + 1014883 t + 26967984 t 8 9 10 11 - 35933608 t - 268372122 t + 305637102 t + 1311635442 t 12 13 14 15 - 1086269752 t - 2979007482 t + 2176379842 t + 3230889474 t 16 17 18 19 - 2365202364 t - 1641456804 t + 1244628572 t + 417258588 t 20 21 22 23 24 - 327373460 t - 56101710 t + 43593486 t + 4062786 t - 2716561 t 25 26 27 28 29 - 148317 t + 61013 t + 1350 t - 461 t - 3 t )) and in Maple input format: -(-823-27723*t-3697479337102980268*t^41-2655783796462062760*t^40+ 14619803018173735392*t^39+6113243159998997850*t^38-42431165408550507472*t^37-\ 8549480112256952804*t^36+90905909117468473574*t^35+5406853012343685158*t^34-\ 145242459876446469120*t^33+3222252675649512758*t^32+174887237309705640610*t^31-\ 10090559973283033052*t^30+63093782422*t^54-1269824862887*t^53-3088422945106*t^ 52+36081372678512*t^51+88362072872668*t^50-693975444829187*t^49-\ 1574506444230475*t^48+9458675990081856*t^47+18318683824432150*t^46-\ 93913068797027916*t^45-142842390724031356*t^44+686625636613700128*t^43+ 752420621249143432*t^42+4237046*t^58-395137386*t^57-716481289*t^56+28626790845* t^55+20*t^63+14*t^62-12880*t^61-11896*t^60+3149057*t^59+25162*t^2+8272868*t^3+ 24455918*t^4-1128593235*t^5-3225481354*t^6+89430268489*t^7+146862280395*t^8-\ 4238116240230*t^9-1981316415940*t^10+119169998019497*t^11-16601496245268*t^12-\ 2148268378440880*t^13+802377813514880*t^14+26455860433292372*t^15-\ 10471426446695472*t^16-231263190283184708*t^17+71346901003374552*t^18+ 1463859633470808392*t^19-264985666312446204*t^20-6775681345169757204*t^21+ 403304600447336194*t^22+23092657358542392752*t^23+688220366911822690*t^24-\ 58460862436120842290*t^25-4543205738652815438*t^26+111088633780180230548*t^27+ 9582051103949401868*t^28-159845103041674714326*t^29)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t ^2-t-1)/(t^6+3*t^5-20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-4*t^5-55*t^4+64*t^3+27*t^2-\ 12*t-1)/(t^6+t^5-10*t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-189*t^7+253*t^6+ 456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(1-45*t+t^30-643*t^2+13176*t^3+51389*t^4 -1200573*t^5+1014883*t^6+26967984*t^7-35933608*t^8-268372122*t^9+305637102*t^10 +1311635442*t^11-1086269752*t^12-2979007482*t^13+2176379842*t^14+3230889474*t^ 15-2365202364*t^16-1641456804*t^17+1244628572*t^18+417258588*t^19-327373460*t^ 20-56101710*t^21+43593486*t^22+4062786*t^23-2716561*t^24-148317*t^25+61013*t^26 +1350*t^27-461*t^28-3*t^29) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 3660800893000616328 A(n - 26) - 528792528145961076 A(n - 25) - 1480581268735474602 A(n - 24) + 131623964950108896 A(n - 23) + 443220092302143072 A(n - 22) - 20349404213214744 A(n - 21) - 97128313588208192 A(n - 20) + 1901371270337376 A(n - 19) + 15457967764826000 A(n - 18) - 152895672282864 A(n - 17) - 1768887293425253 A(n - 16) + 25300611926592 A(n - 15) + 142710868607188 A(n - 14) - 4072401415944 A(n - 13) - 7815912693181 A(n - 12) + 365357960808 A(n - 11) + 272711157972 A(n - 10) - 16676532990 A(n - 9) - 5607386272 A(n - 8) + 344387040 A(n - 7) + 68954768 A(n - 6) - 3158460 A(n - 5) - 503433 A(n - 4) + 9216 A(n - 3) + 1812 A(n - 2) + 18 A(n - 1) + 56339768327894736 A(n - 41) - 845381212713038106 A(n - 40) - 25651110172801152 A(n - 39) + 2454715080855219496 A(n - 38) - 329592605709757080 A(n - 37) - 5269835601731878474 A(n - 36) + 1240670189558911920 A(n - 35) + 8466663132847395816 A(n - 34) - 2391291261773411028 A(n - 33) - 10302729142383235968 A(n - 32) + 2940154802696207616 A(n - 31) + 9569655270135078160 A(n - 30) - 2441276798924177640 A(n - 29) - 6792150653279177786 A(n - 28) + 1384351019321452512 A(n - 27) - A(n - 64) + 644 A(n - 62) + 144 A(n - 61) - 157689 A(n - 60) - 101592 A(n - 59) + 19882148 A(n - 58) + 22062690 A(n - 57) - 1455545312 A(n - 56) - 2173424544 A(n - 55) + 65737975968 A(n - 54) + 112273315524 A(n - 53) - 1915849697341 A(n - 52) - 3282688992288 A(n - 51) + 37882187006692 A(n - 50) + 58398668118258 A(n - 49) - 529053113417685 A(n - 48) - 661319028845088 A(n - 47) + 5345856437450944 A(n - 46) + 4832379985745928 A(n - 45) - 39484271694782400 A(n - 44) - 22180564156337184 A(n - 43) + 213557973632288688 A(n - 42) subject to the initial conditions A(0) = 823, A(1) = 42537, A(2) = 2231780, A(3) = 116560984, A(4) = 6095322787, A(5) = 318607048788, A(6) = 16655949938430, A(7) = 870695061615563, A(8) = 45516414439458360, A(9) = 2379405034245344600, A(10) = 124385343065198655940, A(11) = 6502343180427949370568, A(12) = 339915221479148119201141, A(13) = 17769341099131060121736971, A(14) = 928906581451522198426866330, A(15) = 48559337652832624489438207076, A(16) = 2538478381684091942596893179479, A(17) = 132700996425611348013072407270182, A(18) = 6937051180378672372725598193731164, A(19) = 362639922638008602442725873117312253, A(20) = 18957293246455479273971284040359260272, A(21) = 991007731903298904882481442367461203792, A(22) = 51805725212201324867511855411618974688466, A(23) = 2708185898415629511268155622423110261501336, A(24) = 141572593189961319133190197853246871822789347, A(25) = 7400821027188491107611846563231476516197339961, A(26) = 386883863905655805895612913844590929618047970148, A(27) = 20224664750125897815994987769487144881288900284424, A(28) = 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, A(29) = 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, A(30) = 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, A(31) = 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, A(32) = 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, A(33) = 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, A(34) = 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, A(35) = 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, A(36) = 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, A(37) = 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931 , A(38) = 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, A(39) = 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, A(40) = 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, A(41) = 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, A(42) = 1203350249945744297230902203789652925116525705795754708615426198\ 005798519584, A(43) = 62906100906983610103890489529925482479618280225620\ 412353548287939261270201949, A(44) = 32884669542371576848611424155619355\ 40094310471134506035602267705943213664159584, A(45) = 171907251493778011\ 548928419326330298708012970727648666939110057867738569664145024, A(46) = 898658965633437336508155367056895298951545990151975034129376544481843346\ 4295499638, A(47) = 4697811927628830942002506750414637554803190379763800\ 91255451505989480172657272960076, A(48) = 245581892034156009000951285850\ 09978303926846519482571960377056336089552848441483597263, A(49) = 128379\ 906697365181392758888409750495691084568575324462573806293088942466709660\ 9715173689, A(50) = 6711162743762852028699549902487377323352571807844598\ 7553219874861661566451010682398683252, A(51) = 3508314231715741653379785\ 429834057801659985988302950595056014332591170388087383547782587384, A(52) = 183399944516293253904771759950218373184765419104470487811223835936290\ 760934249653056628238515, A(53) = 95873794155918518632516230837685296045\ 48138608224736815958163535922778238573654169555118300220, A(54) = 501187\ 960012432698853892723594807928737388299141355545675365150812041251626588\ 423121231017333782, A(55) = 26200003188871118359445504277671837924103905\ 313710839495864455377624705955526683334904192799724075, A(56) = 13696262\ 118503976446274169469974036873274719275683899731162213071280541361671421\ 36275290431957886680, A(57) = 715983103767132154883877822532132524891436\ 24963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, A(58) = 374\ 285918628439615412214501233096940635862992321477225080144307990671160820\ 5572563386526543872034155740, A(59) = 1956609704146008306824082347892313\ 19767086561228157026014477574482430493769693356504602896219914077780224, A(60) = 1022833439309474534842250764466023605698968368992466576933897808\ 6066449946703158881015845401963507857848957, A(61) = 5346943963084723120\ 302478691539526399152396049769762392986738917314640533158750739045990249\ 42352933839030923, A(62) = 279515790602910304289268909759472197788211501\ 09476242619562007214929808563759314046632234748037697213112282490, A(63) = 146119124748216542231523675555440059257091784067247102789283341910030663\ 9171067303033140815861349908979106872340 n A(n) is asymptotic to, 816.1350569 52.27580325 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [823, 42537, 2231780, 116560984, 6095322787, 318607048788, 16655949938430, 870695061615563, 45516414439458360, 2379405034245344600, 124385343065198655940, 6502343180427949370568, 339915221479148119201141, 17769341099131060121736971, 928906581451522198426866330, 48559337652832624489438207076, 2538478381684091942596893179479, 132700996425611348013072407270182, 6937051180378672372725598193731164, 362639922638008602442725873117312253, 18957293246455479273971284040359260272, 991007731903298904882481442367461203792, 51805725212201324867511855411618974688466, 2708185898415629511268155622423110261501336, 141572593189961319133190197853246871822789347, 7400821027188491107611846563231476516197339961, 386883863905655805895612913844590929618047970148, 20224664750125897815994987769487144881288900284424, 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931, 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, 120335024994574429723090220378965292511652570579575470861542619800579851\ 9584, 6290610090698361010389048952992548247961828022562041235354828793926\ 1270201949, 3288466954237157684861142415561935540094310471134506035602267\ 705943213664159584, 17190725149377801154892841932633029870801297072764866\ 6939110057867738569664145024, 8986589656334373365081553670568952989515459\ 901519750341293765444818433464295499638, 46978119276288309420025067504146\ 3755480319037976380091255451505989480172657272960076, 2455818920341560090\ 0095128585009978303926846519482571960377056336089552848441483597263, 1283\ 799066973651813927588884097504956910845685753244625738062930889424667096\ 609715173689, 67111627437628520286995499024873773233525718078445987553219\ 874861661566451010682398683252, 35083142317157416533797854298340578016599\ 85988302950595056014332591170388087383547782587384, 183399944516293253904\ 771759950218373184765419104470487811223835936290760934249653056628238515, 958737941559185186325162308376852960454813860822473681595816353592277823\ 8573654169555118300220, 5011879600124326988538927235948079287373882991413\ 55545675365150812041251626588423121231017333782, 262000031888711183594455\ 042776718379241039053137108394958644553776247059555266833349041927997240\ 75, 136962621185039764462741694699740368732747192756838997311622130712805\ 4136167142136275290431957886680, 7159831037671321548838778225321325248914\ 3624963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, 3742859186\ 284396154122145012330969406358629923214772250801443079906711608205572563\ 386526543872034155740, 19566097041460083068240823478923131976708656122815\ 7026014477574482430493769693356504602896219914077780224, 1022833439309474\ 534842250764466023605698968368992466576933897808606644994670315888101584\ 5401963507857848957, 5346943963084723120302478691539526399152396049769762\ 39298673891731464053315875073904599024942352933839030923, 279515790602910\ 304289268909759472197788211501094762426195620072149298085637593140466322\ 34748037697213112282490, 146119124748216542231523675555440059257091784067\ 2471027892833419100306639171067303033140815861349908979106872340] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 16, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 3, d[1] = 1, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 2 3 4 5 ) A(n) t = - (-71 - 956 t - 1176 t + 22070 t + 33956 t - 181909 t / ----- n = 0 6 7 8 9 10 11 - 134356 t + 471918 t + 111861 t - 382888 t + 77414 t + 27405 t 12 13 14 15 / 2 2 - 3935 t - 768 t + 23 t + 4 t ) / ((t + 7 t + 1) (t - 3 t + 1) / 2 10 9 8 7 6 5 4 (t - 4 t - 1) (t + 4 t - 163 t - 648 t + 1853 t + 1308 t - 1213 t 3 2 - 504 t + 187 t + 20 t - 1)) and in Maple input format: -(-71-956*t-1176*t^2+22070*t^3+33956*t^4-181909*t^5-134356*t^6+471918*t^7+ 111861*t^8-382888*t^9+77414*t^10+27405*t^11-3935*t^12-768*t^13+23*t^14+4*t^15)/ (t^2+7*t+1)/(t^2-3*t+1)/(t^2-4*t-1)/(t^10+4*t^9-163*t^8-648*t^7+1853*t^6+1308*t ^5-1213*t^4-504*t^3+187*t^2+20*t-1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 12 A(n - 1) + 351 A(n - 2) + 988 A(n - 3) - 7549 A(n - 4) - 19872 A(n - 5) + 62206 A(n - 6) + 82968 A(n - 7) - 156022 A(n - 8) - 91944 A(n - 9) + 117854 A(n - 10) - 12256 A(n - 11) - 8029 A(n - 12) + 716 A(n - 13) + 199 A(n - 14) - 4 A(n - 15) - A(n - 16) subject to the initial conditions A(0) = 71, A(1) = 1808, A(2) = 47793, A(3) = 1256202, A(4) = 33066136, A(5) = 870062423, A(6) = 22895923437, A(7) = 602497409949, A(8) = 15854592040970, A(9) = 417209496612000, A(10) = 10978765522177887, A(11) = 288903482132191140, A(12) = 7602423504892996015, A(13) = 200055887621259704328, A(14) = 5264421044349589646153, A(15) = 138531933446888930636874 n A(n) is asymptotic to, 68.95419774 26.31475186 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [71, 1808, 47793, 1256202, 33066136, 870062423, 22895923437, 602497409949, 15854592040970, 417209496612000, 10978765522177887, 288903482132191140, 7602423504892996015, 200055887621259704328, 5264421044349589646153, 138531933446888930636874, 3645433453615663914175568, 95928676754873076702276279, 2524339325133242832612206405, 66427362952806449170078031893, 1748019572859217381705113368082, 45998701307295345349572951002560, 1210444410812377025574154334365239, 31852544311603957693128303969627140, 838191799689321437658000902855791127, 22056809220432496790611852208592252288, 580419461472756540051584523109298820129, 15273594103731329040707637289123370276746, 401920838859546337939802274940162205615368, 10576447142201926396545069496561945600613847] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 17, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 3, d[1] = 1, d[2] = 2 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-823 - 27723 t - 3697479337102980268 t / ----- n = 0 40 39 - 2655783796462062760 t + 14619803018173735392 t 38 37 + 6113243159998997850 t - 42431165408550507472 t 36 35 - 8549480112256952804 t + 90905909117468473574 t 34 33 + 5406853012343685158 t - 145242459876446469120 t 32 31 + 3222252675649512758 t + 174887237309705640610 t 30 54 53 - 10090559973283033052 t + 63093782422 t - 1269824862887 t 52 51 50 - 3088422945106 t + 36081372678512 t + 88362072872668 t 49 48 47 - 693975444829187 t - 1574506444230475 t + 9458675990081856 t 46 45 44 + 18318683824432150 t - 93913068797027916 t - 142842390724031356 t 43 42 58 + 686625636613700128 t + 752420621249143432 t + 4237046 t 57 56 55 63 62 - 395137386 t - 716481289 t + 28626790845 t + 20 t + 14 t 61 60 59 2 3 - 12880 t - 11896 t + 3149057 t + 25162 t + 8272868 t 4 5 6 7 + 24455918 t - 1128593235 t - 3225481354 t + 89430268489 t 8 9 10 + 146862280395 t - 4238116240230 t - 1981316415940 t 11 12 13 + 119169998019497 t - 16601496245268 t - 2148268378440880 t 14 15 16 + 802377813514880 t + 26455860433292372 t - 10471426446695472 t 17 18 19 - 231263190283184708 t + 71346901003374552 t + 1463859633470808392 t 20 21 - 264985666312446204 t - 6775681345169757204 t 22 23 + 403304600447336194 t + 23092657358542392752 t 24 25 + 688220366911822690 t - 58460862436120842290 t 26 27 - 4543205738652815438 t + 111088633780180230548 t 28 29 / 2 + 9582051103949401868 t - 159845103041674714326 t ) / ((t - 3 t + 1) / 2 2 6 5 4 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 55 t + 64 t + 27 t - 12 t - 1) 6 5 4 3 2 10 9 8 7 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 30 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) (1 - 45 t + t 2 3 4 5 6 7 - 643 t + 13176 t + 51389 t - 1200573 t + 1014883 t + 26967984 t 8 9 10 11 - 35933608 t - 268372122 t + 305637102 t + 1311635442 t 12 13 14 15 - 1086269752 t - 2979007482 t + 2176379842 t + 3230889474 t 16 17 18 19 - 2365202364 t - 1641456804 t + 1244628572 t + 417258588 t 20 21 22 23 24 - 327373460 t - 56101710 t + 43593486 t + 4062786 t - 2716561 t 25 26 27 28 29 - 148317 t + 61013 t + 1350 t - 461 t - 3 t )) and in Maple input format: -(-823-27723*t-3697479337102980268*t^41-2655783796462062760*t^40+ 14619803018173735392*t^39+6113243159998997850*t^38-42431165408550507472*t^37-\ 8549480112256952804*t^36+90905909117468473574*t^35+5406853012343685158*t^34-\ 145242459876446469120*t^33+3222252675649512758*t^32+174887237309705640610*t^31-\ 10090559973283033052*t^30+63093782422*t^54-1269824862887*t^53-3088422945106*t^ 52+36081372678512*t^51+88362072872668*t^50-693975444829187*t^49-\ 1574506444230475*t^48+9458675990081856*t^47+18318683824432150*t^46-\ 93913068797027916*t^45-142842390724031356*t^44+686625636613700128*t^43+ 752420621249143432*t^42+4237046*t^58-395137386*t^57-716481289*t^56+28626790845* t^55+20*t^63+14*t^62-12880*t^61-11896*t^60+3149057*t^59+25162*t^2+8272868*t^3+ 24455918*t^4-1128593235*t^5-3225481354*t^6+89430268489*t^7+146862280395*t^8-\ 4238116240230*t^9-1981316415940*t^10+119169998019497*t^11-16601496245268*t^12-\ 2148268378440880*t^13+802377813514880*t^14+26455860433292372*t^15-\ 10471426446695472*t^16-231263190283184708*t^17+71346901003374552*t^18+ 1463859633470808392*t^19-264985666312446204*t^20-6775681345169757204*t^21+ 403304600447336194*t^22+23092657358542392752*t^23+688220366911822690*t^24-\ 58460862436120842290*t^25-4543205738652815438*t^26+111088633780180230548*t^27+ 9582051103949401868*t^28-159845103041674714326*t^29)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t ^2-t-1)/(t^6+3*t^5-20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-4*t^5-55*t^4+64*t^3+27*t^2-\ 12*t-1)/(t^6+t^5-10*t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-189*t^7+253*t^6+ 456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(1-45*t+t^30-643*t^2+13176*t^3+51389*t^4 -1200573*t^5+1014883*t^6+26967984*t^7-35933608*t^8-268372122*t^9+305637102*t^10 +1311635442*t^11-1086269752*t^12-2979007482*t^13+2176379842*t^14+3230889474*t^ 15-2365202364*t^16-1641456804*t^17+1244628572*t^18+417258588*t^19-327373460*t^ 20-56101710*t^21+43593486*t^22+4062786*t^23-2716561*t^24-148317*t^25+61013*t^26 +1350*t^27-461*t^28-3*t^29) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -7815912693181 A(n - 12) + 365357960808 A(n - 11) + 272711157972 A(n - 10) - 16676532990 A(n - 9) - 5607386272 A(n - 8) + 344387040 A(n - 7) + 68954768 A(n - 6) - 3158460 A(n - 5) - 503433 A(n - 4) + 9216 A(n - 3) + 1812 A(n - 2) - 157689 A(n - 60) - 101592 A(n - 59) + 19882148 A(n - 58) + 22062690 A(n - 57) - 1455545312 A(n - 56) - 2173424544 A(n - 55) + 65737975968 A(n - 54) + 112273315524 A(n - 53) - 1915849697341 A(n - 52) - 3282688992288 A(n - 51) + 37882187006692 A(n - 50) + 58398668118258 A(n - 49) - 529053113417685 A(n - 48) - 661319028845088 A(n - 47) + 5345856437450944 A(n - 46) + 4832379985745928 A(n - 45) - 39484271694782400 A(n - 44) - 22180564156337184 A(n - 43) + 213557973632288688 A(n - 42) + 56339768327894736 A(n - 41) - 845381212713038106 A(n - 40) - 25651110172801152 A(n - 39) + 2454715080855219496 A(n - 38) - 329592605709757080 A(n - 37) - 5269835601731878474 A(n - 36) + 1240670189558911920 A(n - 35) + 8466663132847395816 A(n - 34) - 2391291261773411028 A(n - 33) - 10302729142383235968 A(n - 32) + 2940154802696207616 A(n - 31) + 9569655270135078160 A(n - 30) - 2441276798924177640 A(n - 29) - 6792150653279177786 A(n - 28) + 1384351019321452512 A(n - 27) + 3660800893000616328 A(n - 26) - 528792528145961076 A(n - 25) - 1480581268735474602 A(n - 24) + 131623964950108896 A(n - 23) + 443220092302143072 A(n - 22) - 20349404213214744 A(n - 21) - 97128313588208192 A(n - 20) + 1901371270337376 A(n - 19) + 15457967764826000 A(n - 18) - 152895672282864 A(n - 17) - 1768887293425253 A(n - 16) + 25300611926592 A(n - 15) + 142710868607188 A(n - 14) - 4072401415944 A(n - 13) - A(n - 64) + 644 A(n - 62) + 144 A(n - 61) + 18 A(n - 1) subject to the initial conditions A(0) = 823, A(1) = 42537, A(2) = 2231780, A(3) = 116560984, A(4) = 6095322787, A(5) = 318607048788, A(6) = 16655949938430, A(7) = 870695061615563, A(8) = 45516414439458360, A(9) = 2379405034245344600, A(10) = 124385343065198655940, A(11) = 6502343180427949370568, A(12) = 339915221479148119201141, A(13) = 17769341099131060121736971, A(14) = 928906581451522198426866330, A(15) = 48559337652832624489438207076, A(16) = 2538478381684091942596893179479, A(17) = 132700996425611348013072407270182, A(18) = 6937051180378672372725598193731164, A(19) = 362639922638008602442725873117312253, A(20) = 18957293246455479273971284040359260272, A(21) = 991007731903298904882481442367461203792, A(22) = 51805725212201324867511855411618974688466, A(23) = 2708185898415629511268155622423110261501336, A(24) = 141572593189961319133190197853246871822789347, A(25) = 7400821027188491107611846563231476516197339961, A(26) = 386883863905655805895612913844590929618047970148, A(27) = 20224664750125897815994987769487144881288900284424, A(28) = 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, A(29) = 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, A(30) = 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, A(31) = 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, A(32) = 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, A(33) = 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, A(34) = 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, A(35) = 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, A(36) = 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, A(37) = 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931 , A(38) = 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, A(39) = 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, A(40) = 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, A(41) = 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, A(42) = 1203350249945744297230902203789652925116525705795754708615426198\ 005798519584, A(43) = 62906100906983610103890489529925482479618280225620\ 412353548287939261270201949, A(44) = 32884669542371576848611424155619355\ 40094310471134506035602267705943213664159584, A(45) = 171907251493778011\ 548928419326330298708012970727648666939110057867738569664145024, A(46) = 898658965633437336508155367056895298951545990151975034129376544481843346\ 4295499638, A(47) = 4697811927628830942002506750414637554803190379763800\ 91255451505989480172657272960076, A(48) = 245581892034156009000951285850\ 09978303926846519482571960377056336089552848441483597263, A(49) = 128379\ 906697365181392758888409750495691084568575324462573806293088942466709660\ 9715173689, A(50) = 6711162743762852028699549902487377323352571807844598\ 7553219874861661566451010682398683252, A(51) = 3508314231715741653379785\ 429834057801659985988302950595056014332591170388087383547782587384, A(52) = 183399944516293253904771759950218373184765419104470487811223835936290\ 760934249653056628238515, A(53) = 95873794155918518632516230837685296045\ 48138608224736815958163535922778238573654169555118300220, A(54) = 501187\ 960012432698853892723594807928737388299141355545675365150812041251626588\ 423121231017333782, A(55) = 26200003188871118359445504277671837924103905\ 313710839495864455377624705955526683334904192799724075, A(56) = 13696262\ 118503976446274169469974036873274719275683899731162213071280541361671421\ 36275290431957886680, A(57) = 715983103767132154883877822532132524891436\ 24963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, A(58) = 374\ 285918628439615412214501233096940635862992321477225080144307990671160820\ 5572563386526543872034155740, A(59) = 1956609704146008306824082347892313\ 19767086561228157026014477574482430493769693356504602896219914077780224, A(60) = 1022833439309474534842250764466023605698968368992466576933897808\ 6066449946703158881015845401963507857848957, A(61) = 5346943963084723120\ 302478691539526399152396049769762392986738917314640533158750739045990249\ 42352933839030923, A(62) = 279515790602910304289268909759472197788211501\ 09476242619562007214929808563759314046632234748037697213112282490, A(63) = 146119124748216542231523675555440059257091784067247102789283341910030663\ 9171067303033140815861349908979106872340 n A(n) is asymptotic to, 816.1350569 52.27580325 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [823, 42537, 2231780, 116560984, 6095322787, 318607048788, 16655949938430, 870695061615563, 45516414439458360, 2379405034245344600, 124385343065198655940, 6502343180427949370568, 339915221479148119201141, 17769341099131060121736971, 928906581451522198426866330, 48559337652832624489438207076, 2538478381684091942596893179479, 132700996425611348013072407270182, 6937051180378672372725598193731164, 362639922638008602442725873117312253, 18957293246455479273971284040359260272, 991007731903298904882481442367461203792, 51805725212201324867511855411618974688466, 2708185898415629511268155622423110261501336, 141572593189961319133190197853246871822789347, 7400821027188491107611846563231476516197339961, 386883863905655805895612913844590929618047970148, 20224664750125897815994987769487144881288900284424, 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931, 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, 120335024994574429723090220378965292511652570579575470861542619800579851\ 9584, 6290610090698361010389048952992548247961828022562041235354828793926\ 1270201949, 3288466954237157684861142415561935540094310471134506035602267\ 705943213664159584, 17190725149377801154892841932633029870801297072764866\ 6939110057867738569664145024, 8986589656334373365081553670568952989515459\ 901519750341293765444818433464295499638, 46978119276288309420025067504146\ 3755480319037976380091255451505989480172657272960076, 2455818920341560090\ 0095128585009978303926846519482571960377056336089552848441483597263, 1283\ 799066973651813927588884097504956910845685753244625738062930889424667096\ 609715173689, 67111627437628520286995499024873773233525718078445987553219\ 874861661566451010682398683252, 35083142317157416533797854298340578016599\ 85988302950595056014332591170388087383547782587384, 183399944516293253904\ 771759950218373184765419104470487811223835936290760934249653056628238515, 958737941559185186325162308376852960454813860822473681595816353592277823\ 8573654169555118300220, 5011879600124326988538927235948079287373882991413\ 55545675365150812041251626588423121231017333782, 262000031888711183594455\ 042776718379241039053137108394958644553776247059555266833349041927997240\ 75, 136962621185039764462741694699740368732747192756838997311622130712805\ 4136167142136275290431957886680, 7159831037671321548838778225321325248914\ 3624963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, 3742859186\ 284396154122145012330969406358629923214772250801443079906711608205572563\ 386526543872034155740, 19566097041460083068240823478923131976708656122815\ 7026014477574482430493769693356504602896219914077780224, 1022833439309474\ 534842250764466023605698968368992466576933897808606644994670315888101584\ 5401963507857848957, 5346943963084723120302478691539526399152396049769762\ 39298673891731464053315875073904599024942352933839030923, 279515790602910\ 304289268909759472197788211501094762426195620072149298085637593140466322\ 34748037697213112282490, 146119124748216542231523675555440059257091784067\ 2471027892833419100306639171067303033140815861349908979106872340] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 18, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 3, d[1] = 1, d[2] = 3 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (10012 + 167906 t + 1698464618770349324848584 t / ----- n = 0 40 39 + 152553241990252843848214 t - 4130995319156687403629002 t 38 37 + 1027120780528508367414742 t + 7173501023222949901353876 t 36 35 - 3781419700323311298384708 t - 8738638287268675338499388 t 34 33 + 6878910077317743039310300 t + 7260032332389171071585478 t 32 31 - 7903325285752785569066066 t - 3894274347639570103658178 t 30 54 + 6130109469984498261239296 t - 4946290046936917404 t 53 52 + 6369100084947263426 t + 76161588310522589497 t 51 50 - 137464499184156459489 t - 826298751736412233757 t 49 48 + 1836978571969418440042 t + 6345916524084080345156 t 47 46 - 16745698933269824176872 t - 34134162611915065423396 t 45 44 + 108202197515440596626078 t + 123803983293959773110558 t 43 42 - 503817428815464744977894 t - 268355288732671539846636 t 58 57 56 - 6680328112199922 t - 4476266745256825 t + 222304538528892403 t 55 68 67 66 - 120617260420954977 t - 79033 t + 4110585 t - 1652226 t 65 64 63 62 - 1197651936 t + 6616662287 t + 159844086643 t - 1359236572453 t 61 60 59 70 - 10797037983006 t + 126494029874810 t + 369111200115774 t + 134 t 69 2 3 4 5 - 4641 t - 12416033 t - 76613061 t + 6248666853 t - 15928345422 t 6 7 8 - 1249776749236 t + 9815886566195 t + 79954916231391 t 9 10 11 - 1028243083885805 t - 1713999028606762 t + 50964933694604718 t 12 13 - 27361698513234310 t - 1488699027899038902 t 14 15 + 2379902659757154927 t + 28112378354173568087 t 16 17 - 62351517986314818069 t - 358354498432923998136 t 18 19 + 954027941075172499006 t + 3131975078962623896541 t 20 21 - 9697655665376019967717 t - 18636977100874823781597 t 22 23 + 68844458441338514209758 t + 72307873683132094809656 t 24 25 - 348752305712700576067856 t - 155137161896330919702284 t 26 27 + 1269452690275560545038622 t + 449598634838995036582 t 28 29 / - 3311891861948264043858222 t + 1141078002753674035373404 t ) / ( / 2 2 2 2 (t - 1) (t + 3 t + 1) (1 - 7 t + t ) (t - 3 t + 1) (t + 4 t - 1) 2 10 9 8 7 6 5 (t - t - 1) (t - 57 t + 1124 t - 9327 t + 36911 t - 71400 t 4 3 2 10 9 8 7 + 63631 t - 24279 t + 3060 t - 129 t + 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) ( 10 9 8 7 6 5 4 3 2 t + t - 28 t - 27 t + 143 t + 72 t - 223 t + 9 t + 52 t + 5 t - 1 10 9 8 7 6 5 4 3 ) (t - 4 t - 163 t + 648 t + 1853 t - 1308 t - 1213 t + 504 t 2 20 19 18 17 16 + 187 t - 20 t - 1) (t + 27 t - 17 t - 3528 t - 13226 t 15 14 13 12 11 + 48780 t + 272525 t + 51585 t - 1073573 t - 799644 t 10 9 8 7 6 5 + 1470068 t + 1293636 t - 722293 t - 611679 t + 102621 t + 99324 t 4 3 2 + 4254 t - 3384 t - 241 t + 27 t + 1)) and in Maple input format: -(10012+167906*t+1698464618770349324848584*t^41+152553241990252843848214*t^40-\ 4130995319156687403629002*t^39+1027120780528508367414742*t^38+ 7173501023222949901353876*t^37-3781419700323311298384708*t^36-\ 8738638287268675338499388*t^35+6878910077317743039310300*t^34+ 7260032332389171071585478*t^33-7903325285752785569066066*t^32-\ 3894274347639570103658178*t^31+6130109469984498261239296*t^30-\ 4946290046936917404*t^54+6369100084947263426*t^53+76161588310522589497*t^52-\ 137464499184156459489*t^51-826298751736412233757*t^50+1836978571969418440042*t^ 49+6345916524084080345156*t^48-16745698933269824176872*t^47-\ 34134162611915065423396*t^46+108202197515440596626078*t^45+ 123803983293959773110558*t^44-503817428815464744977894*t^43-\ 268355288732671539846636*t^42-6680328112199922*t^58-4476266745256825*t^57+ 222304538528892403*t^56-120617260420954977*t^55-79033*t^68+4110585*t^67-1652226 *t^66-1197651936*t^65+6616662287*t^64+159844086643*t^63-1359236572453*t^62-\ 10797037983006*t^61+126494029874810*t^60+369111200115774*t^59+134*t^70-4641*t^ 69-12416033*t^2-76613061*t^3+6248666853*t^4-15928345422*t^5-1249776749236*t^6+ 9815886566195*t^7+79954916231391*t^8-1028243083885805*t^9-1713999028606762*t^10 +50964933694604718*t^11-27361698513234310*t^12-1488699027899038902*t^13+ 2379902659757154927*t^14+28112378354173568087*t^15-62351517986314818069*t^16-\ 358354498432923998136*t^17+954027941075172499006*t^18+3131975078962623896541*t^ 19-9697655665376019967717*t^20-18636977100874823781597*t^21+ 68844458441338514209758*t^22+72307873683132094809656*t^23-\ 348752305712700576067856*t^24-155137161896330919702284*t^25+ 1269452690275560545038622*t^26+449598634838995036582*t^27-\ 3311891861948264043858222*t^28+1141078002753674035373404*t^29)/(t-1)/(t^2+3*t+1 )/(1-7*t+t^2)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t^2-t-1)/(t^10-57*t^9+1124*t^8-9327*t^7+ 36911*t^6-71400*t^5+63631*t^4-24279*t^3+3060*t^2-129*t+1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-\ 189*t^7+253*t^6+456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(t^10+t^9-28*t^8-27*t^7+ 143*t^6+72*t^5-223*t^4+9*t^3+52*t^2+5*t-1)/(t^10-4*t^9-163*t^8+648*t^7+1853*t^6 -1308*t^5-1213*t^4+504*t^3+187*t^2-20*t-1)/(t^20+27*t^19-17*t^18-3528*t^17-\ 13226*t^16+48780*t^15+272525*t^14+51585*t^13-1073573*t^12-799644*t^11+1470068*t ^10+1293636*t^9-722293*t^8-611679*t^7+102621*t^6+99324*t^5+4254*t^4-3384*t^3-\ 241*t^2+27*t+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -20225165805961049093254 A(n - 32) + 57121044748472736438758 A(n - 31) + 1133520298604909559182 A(n - 30) - 29998606494074987327090 A(n - 29) + 4182090751155768776566 A(n - 28) + 11208563728236588285162 A(n - 27) - 2815813167471530928006 A(n - 26) - 3000502372295110114306 A(n - 25) + 1008356916405456213878 A(n - 24) + 575407630765148742725 A(n - 23) - 234027408296101254511 A(n - 22) - 78199075242995287493 A(n - 21) + 37109621418111653635 A(n - 20) + 7302872658844054701 A(n - 19) - 4078234325711790999 A(n - 18) - 432772270164713351 A(n - 17) + 309206134259570053 A(n - 16) + 12274189149285019 A(n - 15) - 15831793691814653 A(n - 14) + 207432840962273 A(n - 13) + 521776821347093 A(n - 12) - 30297643121057 A(n - 11) - 9987497546237 A(n - 10) + 1013437611825 A(n - 9) + 84795487353 A(n - 8) - 14191765833 A(n - 7) + 16976475 A(n - 6) + 65795515 A(n - 5) - 1569377 A(n - 4) - 116431 A(n - 3) + 3065 A(n - 2) + 83 A(n - 1) + A(n - 71) - 35 A(n - 70) - 577 A(n - 69) + 30887 A(n - 68) - 23607 A(n - 67) - 8929515 A(n - 66) + 52631205 A(n - 65) + 1173985857 A(n - 64) - 10571033569 A(n - 63) - 76806749017 A(n - 62) + 972169730925 A(n - 61) + 2411166177105 A(n - 60) - 50779934325605 A(n - 59) - 15635257716785 A(n - 58) + 1669028931227381 A(n - 57) - 1480045546429027 A(n - 56) - 36582191248408621 A(n - 55) + 60211682825574215 A(n - 54) + 552579485460006503 A(n - 53) - 1218500570647169317 A(n - 52) - 5841412435789179531 A(n - 51) + 15784534944320757021 A(n - 50) + 43182600643494694879 A(n - 49) - 140982432132328362245 A(n - 48) - 217996657817867556918 A(n - 47) + 895889612717861021538 A(n - 46) + 693758041919954346358 A(n - 45) - 4104448809352625894714 A(n - 44) - 956968199365072079078 A(n - 43) + 13588949393380950852946 A(n - 42) - 2332881939893522908366 A(n - 41) - 32308986414914863647670 A(n - 40) + 16088899784600510035382 A(n - 39) + 54341573873646478730438 A(n - 38) - 43098815633301671170174 A(n - 37) - 62919753344580343578838 A(n - 36) + 70332470925001753913590 A(n - 35) + 47553437839440239308894 A(n - 34) - 76383507173091512182678 A(n - 33) subject to the initial conditions A(0) = 10012, A(1) = 998902, A(2) = 101179613, A(3) = 10217222276, A(4) = 1032377868320, A(5) = 104297868352001, A(6) = 10537214338531820, A(7) = 1064568145873528497, A(8) = 107552740681911619056, A(9) = 10865994954551451188928, A(10) = 1097785483661983592747857, A(11) = 110908667240169279450593574, A(12) = 11205041815436066962796253660, A(13) = 1132039236110136336249177468982, A(14) = 114369303575638566121355519921501, A(15) = 11554668066380660525072624312096852, A(16) = 1167361782510399277908548281779462800, A(17) = 117937921155676765281000507792478063889, A(18) = 11915203542289112245608278361147682368028, A(19) = 1203786484146726672455428607192017662549137, A(20) = 121617888797845536905207493185976894996105056, A(21) = 12286988656583856961952345647797107205952909568, A(22) = 1241347730496432385195960935068637214634275443185, A(23) = 125412680932450951505529169542639125452977319736262, A(24) = 12670374426329579039413797031262643883864577556976412, A(25) = 1280080984712035759851241047935269637828297426286170358, A(26) = 129325880379370177091249878844622030539397149221014375261, A(27) = 13065722821952269577864505045008450747153271912447302295972, A(28) = 1320022816464168184851636579056846920751937314809170561880320, A(29) = 133361181752487094794738920299791551510083921004524533981335073, A(30) = 13473407108264687327168454768202333442821465098439091550988547276, A(31) = 1361210936492409605217498162040437810439799672691396985387608471665 , A(32) = 137522394947152096049546704349359958784397932296176117039877337167952, A(33) = 13893812196906297699580929077150383267938280252366969942628499156093632, A(34) = 1403684232208753868125318372316057834249928817981534442459106729858606097, A(35) = 141813448737288059997328601639720580392960610125176200780954764707340548198 , A(36) = 14327335009753491235897824141888242128896043855372003823083132\ 117554261245660, A(37) = 14474828044128528915270645372477877897521216789\ 49948937149924113691129651184694, A(38) = 146238394484707898526924735665\ 610170887452751288888489578315552338403150473646813, A(39) = 14774384853\ 670011548524876542436080101599840200587002519643509113187241372077690996, A(40) = 1492648005152843587294043270967967796925350930791060563999456828\ 453272450424804392816, A(41) = 15080140996417326033199704292762790199991\ 2898809964870993472094489742426930166236057905, A(42) = 1523538380695053\ 658759394061059908927704116033535656497802527989467274946629010398486271\ 6, A(43) = 1539222476767531205911619860060088244480335652168020450492691\ 576804752081930427153586166353, A(44) = 15550680330780491508980071861760\ 0604635448998191329290525927716784993835152804714748194352320, A(45) = 1\ 571076711782229825599807824802818004280506627087832635628134442587660566\ 0071985883420130729984, A(46) = 1587250192146789577244834718374364514779\ 860733507206289503782521709304743280025608916159270252977, A(47) = 16035\ 901707256892650687066560692413746435133841446117129701988756919408637943\ 1419370673568979996422, A(48) = 1620098361538098141757101627232681079466\ 2184499030328666578953482521123646854889918135328519645587740, A(49) = 1\ 636776496248189787594619698936831286006701021184329811629808462011641226\ 901088087164286915606075264502, A(50) = 16536263243467889574231700651856\ 495964363383828068618939106576430540419273572383577591699136032922915529\ 3, A(51) = 1670649613334888394668505526193120385397888848198548076638568\ 1812269793090798040699224088216136639619713220, A(52) = 1687848148909054\ 862847969298959668351000243672551878444601414947405761260339525050672537\ 067326900968689902048, A(53) = 17052237351487438431462786029145242434923\ 7551317436359149484631910585048219580398499096389897456913319588145729, A(54) = 1722778194705542546860032045638836490095990148277042703285784425\ 8560811392790494715667629676714655712681521922476, A(55) = 1740513368994\ 361093786596199231605465837600243246198742387595871786377399182641511015\ 525393577622947307149962437169, A(56) = 17584311183865919119903187322808\ 718264761117217871820181067601700324487219040016165387496464551309935845\ 7568848752816, A(57) = 1776533322405257620840067651558798931777696134659\ 3696438949151599732019377701872410087260406411176849849004261288469696, A(58) = 1794821879922167867798565786434133339659820348054138727107724735\ 228815826600767352402576129340211623458113957530567516881, A(59) = 18132\ 987093571058001777567772598712960655160344334015549941302893917768524724\ 1233458199393439239373108701873953220112859046, A(60) = 1831965748879065\ 065977608901291093716133458199315600142799495552630524782189235663636177\ 7472075817679408841092690967174260188, A(61) = 1850824956609558453020669\ 048444605445870932442308957047543731616762001661733146719702176959367491\ 365955055161183089387084026422, A(62) = 18698783108280194929038839129308\ 862211890409326260374428645676310096943396272919185648955200313201147325\ 6813678263669741574225501, A(63) = 1889127810179318575835504138197113804\ 312988575114147846954465976747171992257184100725960622400765555615292744\ 2412988389247875518100, A(64) = 1908575473883415344231309549391531746694\ 470040202052291769721633483710485349848009356989481228724324427220297365\ 957803682054259231824, A(65) = 19282233419471693570342066182117523614437\ 662275652333394114900397119006862515497789826081966361942670942716484892\ 2593447812491125886289, A(66) = 1948073475378331243117959339485543516684\ 018453058918611208015130561718666016802540876881341578557553900237872085\ 4116590171791157730405340, A(67) = 1968127956401736790863170154311586281\ 658096736692190080911131262733165440663576107722276036371816449184426096\ 229100129863806422099159740433, A(68) = 19883888886777266520756213065634\ 782636019258037022981468390751564888530707960079718064375652213119222427\ 2297449604008944830730822256015757344, A(69) = 2008858397522814571877958\ 938669729591756818511742303904795117156079547909712922651163430139280844\ 9123556655738566686540892227613109770873875712, A(70) = 2029538630132627\ 292069941727291353281980543883639653734474384701884176158091292106790893\ 335634798647019261009580527107522243327117029449285459825 n A(n) is asymptotic to, 9909.175223 101.0294520 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [10012, 998902, 101179613, 10217222276, 1032377868320, 104297868352001, 10537214338531820, 1064568145873528497, 107552740681911619056, 10865994954551451188928, 1097785483661983592747857, 110908667240169279450593574, 11205041815436066962796253660, 1132039236110136336249177468982, 114369303575638566121355519921501, 11554668066380660525072624312096852, 1167361782510399277908548281779462800, 117937921155676765281000507792478063889, 11915203542289112245608278361147682368028, 1203786484146726672455428607192017662549137, 121617888797845536905207493185976894996105056, 12286988656583856961952345647797107205952909568, 1241347730496432385195960935068637214634275443185, 125412680932450951505529169542639125452977319736262, 12670374426329579039413797031262643883864577556976412, 1280080984712035759851241047935269637828297426286170358, 129325880379370177091249878844622030539397149221014375261, 13065722821952269577864505045008450747153271912447302295972, 1320022816464168184851636579056846920751937314809170561880320, 133361181752487094794738920299791551510083921004524533981335073, 13473407108264687327168454768202333442821465098439091550988547276, 1361210936492409605217498162040437810439799672691396985387608471665, 137522394947152096049546704349359958784397932296176117039877337167952, 13893812196906297699580929077150383267938280252366969942628499156093632, 1403684232208753868125318372316057834249928817981534442459106729858606097, 141813448737288059997328601639720580392960610125176200780954764707340548198 , 14327335009753491235897824141888242128896043855372003823083132117554261\ 245660, 14474828044128528915270645372477877897521216789499489371499241136\ 91129651184694, 146238394484707898526924735665610170887452751288888489578\ 315552338403150473646813, 14774384853670011548524876542436080101599840200\ 587002519643509113187241372077690996, 14926480051528435872940432709679677\ 96925350930791060563999456828453272450424804392816, 150801409964173260331\ 997042927627901999912898809964870993472094489742426930166236057905, 15235\ 383806950536587593940610599089277041160335356564978025279894672749466290\ 103984862716, 15392224767675312059116198600600882444803356521680204504926\ 91576804752081930427153586166353, 155506803307804915089800718617600604635\ 448998191329290525927716784993835152804714748194352320, 15710767117822298\ 255998078248028180042805066270878326356281344425876605660071985883420130\ 729984, 15872501921467895772448347183743645147798607335072062895037825217\ 09304743280025608916159270252977, 160359017072568926506870665606924137464\ 351338414461171297019887569194086379431419370673568979996422, 16200983615\ 380981417571016272326810794662184499030328666578953482521123646854889918\ 135328519645587740, 16367764962481897875946196989368312860067010211843298\ 11629808462011641226901088087164286915606075264502, 165362632434678895742\ 317006518564959643633838280686189391065764305404192735723835775916991360\ 329229155293, 16706496133348883946685055261931203853978888481985480766385\ 681812269793090798040699224088216136639619713220, 16878481489090548628479\ 692989596683510002436725518784446014149474057612603395250506725370673269\ 00968689902048, 170522373514874384314627860291452424349237551317436359149\ 484631910585048219580398499096389897456913319588145729, 17227781947055425\ 468600320456388364900959901482770427032857844258560811392790494715667629\ 676714655712681521922476, 17405133689943610937865961992316054658376002432\ 46198742387595871786377399182641511015525393577622947307149962437169, 175\ 843111838659191199031873228087182647611172178718201810676017003244872190\ 400161653874964645513099358457568848752816, 17765333224052576208400676515\ 587989317776961346593696438949151599732019377701872410087260406411176849\ 849004261288469696, 17948218799221678677985657864341333396598203480541387\ 27107724735228815826600767352402576129340211623458113957530567516881, 181\ 329870935710580017775677725987129606551603443340155499413028939177685247\ 241233458199393439239373108701873953220112859046, 18319657488790650659776\ 089012910937161334581993156001427994955526305247821892356636361777472075\ 817679408841092690967174260188, 18508249566095584530206690484446054458709\ 324423089570475437316167620016617331467197021769593674913659550551611830\ 89387084026422, 186987831082801949290388391293088622118904093262603744286\ 456763100969433962729191856489552003132011473256813678263669741574225501, 188912781017931857583550413819711380431298857511414784695446597674717199\ 22571841007259606224007655556152927442412988389247875518100, 190857547388\ 341534423130954939153174669447004020205229176972163348371048534984800935\ 6989481228724324427220297365957803682054259231824, 1928223341947169357034\ 206618211752361443766227565233339411490039711900686251549778982608196636\ 19426709427164848922593447812491125886289, 194807347537833124311795933948\ 554351668401845305891861120801513056171866601680254087688134157855755390\ 02378720854116590171791157730405340, 196812795640173679086317015431158628\ 165809673669219008091113126273316544066357610772227603637181644918442609\ 6229100129863806422099159740433, 1988388888677726652075621306563478263601\ 925803702298146839075156488853070796007971806437565221311922242722974496\ 04008944830730822256015757344, 200885839752281457187795893866972959175681\ 851174230390479511715607954790971292265116343013928084491235566557385666\ 86540892227613109770873875712, 202953863013262729206994172729135328198054\ 388363965373447438470188417615809129210679089333563479864701926100958052\ 7107522243327117029449285459825] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 19, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 3, d[1] = 2, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-823 - 27723 t - 3697479337102980268 t / ----- n = 0 40 39 - 2655783796462062760 t + 14619803018173735392 t 38 37 + 6113243159998997850 t - 42431165408550507472 t 36 35 - 8549480112256952804 t + 90905909117468473574 t 34 33 + 5406853012343685158 t - 145242459876446469120 t 32 31 + 3222252675649512758 t + 174887237309705640610 t 30 54 53 - 10090559973283033052 t + 63093782422 t - 1269824862887 t 52 51 50 - 3088422945106 t + 36081372678512 t + 88362072872668 t 49 48 47 - 693975444829187 t - 1574506444230475 t + 9458675990081856 t 46 45 44 + 18318683824432150 t - 93913068797027916 t - 142842390724031356 t 43 42 58 + 686625636613700128 t + 752420621249143432 t + 4237046 t 57 56 55 63 62 - 395137386 t - 716481289 t + 28626790845 t + 20 t + 14 t 61 60 59 2 3 - 12880 t - 11896 t + 3149057 t + 25162 t + 8272868 t 4 5 6 7 + 24455918 t - 1128593235 t - 3225481354 t + 89430268489 t 8 9 10 + 146862280395 t - 4238116240230 t - 1981316415940 t 11 12 13 + 119169998019497 t - 16601496245268 t - 2148268378440880 t 14 15 16 + 802377813514880 t + 26455860433292372 t - 10471426446695472 t 17 18 19 - 231263190283184708 t + 71346901003374552 t + 1463859633470808392 t 20 21 - 264985666312446204 t - 6775681345169757204 t 22 23 + 403304600447336194 t + 23092657358542392752 t 24 25 + 688220366911822690 t - 58460862436120842290 t 26 27 - 4543205738652815438 t + 111088633780180230548 t 28 29 / 2 + 9582051103949401868 t - 159845103041674714326 t ) / ((t - 3 t + 1) / 2 2 6 5 4 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 55 t + 64 t + 27 t - 12 t - 1) 6 5 4 3 2 10 9 8 7 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 30 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) (1 - 45 t + t 2 3 4 5 6 7 - 643 t + 13176 t + 51389 t - 1200573 t + 1014883 t + 26967984 t 8 9 10 11 - 35933608 t - 268372122 t + 305637102 t + 1311635442 t 12 13 14 15 - 1086269752 t - 2979007482 t + 2176379842 t + 3230889474 t 16 17 18 19 - 2365202364 t - 1641456804 t + 1244628572 t + 417258588 t 20 21 22 23 24 - 327373460 t - 56101710 t + 43593486 t + 4062786 t - 2716561 t 25 26 27 28 29 - 148317 t + 61013 t + 1350 t - 461 t - 3 t )) and in Maple input format: -(-823-27723*t-3697479337102980268*t^41-2655783796462062760*t^40+ 14619803018173735392*t^39+6113243159998997850*t^38-42431165408550507472*t^37-\ 8549480112256952804*t^36+90905909117468473574*t^35+5406853012343685158*t^34-\ 145242459876446469120*t^33+3222252675649512758*t^32+174887237309705640610*t^31-\ 10090559973283033052*t^30+63093782422*t^54-1269824862887*t^53-3088422945106*t^ 52+36081372678512*t^51+88362072872668*t^50-693975444829187*t^49-\ 1574506444230475*t^48+9458675990081856*t^47+18318683824432150*t^46-\ 93913068797027916*t^45-142842390724031356*t^44+686625636613700128*t^43+ 752420621249143432*t^42+4237046*t^58-395137386*t^57-716481289*t^56+28626790845* t^55+20*t^63+14*t^62-12880*t^61-11896*t^60+3149057*t^59+25162*t^2+8272868*t^3+ 24455918*t^4-1128593235*t^5-3225481354*t^6+89430268489*t^7+146862280395*t^8-\ 4238116240230*t^9-1981316415940*t^10+119169998019497*t^11-16601496245268*t^12-\ 2148268378440880*t^13+802377813514880*t^14+26455860433292372*t^15-\ 10471426446695472*t^16-231263190283184708*t^17+71346901003374552*t^18+ 1463859633470808392*t^19-264985666312446204*t^20-6775681345169757204*t^21+ 403304600447336194*t^22+23092657358542392752*t^23+688220366911822690*t^24-\ 58460862436120842290*t^25-4543205738652815438*t^26+111088633780180230548*t^27+ 9582051103949401868*t^28-159845103041674714326*t^29)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t ^2-t-1)/(t^6+3*t^5-20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-4*t^5-55*t^4+64*t^3+27*t^2-\ 12*t-1)/(t^6+t^5-10*t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-189*t^7+253*t^6+ 456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(1-45*t+t^30-643*t^2+13176*t^3+51389*t^4 -1200573*t^5+1014883*t^6+26967984*t^7-35933608*t^8-268372122*t^9+305637102*t^10 +1311635442*t^11-1086269752*t^12-2979007482*t^13+2176379842*t^14+3230889474*t^ 15-2365202364*t^16-1641456804*t^17+1244628572*t^18+417258588*t^19-327373460*t^ 20-56101710*t^21+43593486*t^22+4062786*t^23-2716561*t^24-148317*t^25+61013*t^26 +1350*t^27-461*t^28-3*t^29) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -10302729142383235968 A(n - 32) + 2940154802696207616 A(n - 31) + 9569655270135078160 A(n - 30) - 2441276798924177640 A(n - 29) - 6792150653279177786 A(n - 28) + 1384351019321452512 A(n - 27) + 3660800893000616328 A(n - 26) - 528792528145961076 A(n - 25) - 1480581268735474602 A(n - 24) + 131623964950108896 A(n - 23) + 443220092302143072 A(n - 22) - 20349404213214744 A(n - 21) - 97128313588208192 A(n - 20) + 1901371270337376 A(n - 19) + 15457967764826000 A(n - 18) - 152895672282864 A(n - 17) - 1768887293425253 A(n - 16) + 25300611926592 A(n - 15) + 142710868607188 A(n - 14) - 4072401415944 A(n - 13) - 7815912693181 A(n - 12) + 365357960808 A(n - 11) + 272711157972 A(n - 10) - 16676532990 A(n - 9) - 5607386272 A(n - 8) + 344387040 A(n - 7) + 68954768 A(n - 6) - 3158460 A(n - 5) - 503433 A(n - 4) + 9216 A(n - 3) + 1812 A(n - 2) + 18 A(n - 1) - A(n - 64) + 644 A(n - 62) + 144 A(n - 61) - 157689 A(n - 60) - 101592 A(n - 59) + 19882148 A(n - 58) + 22062690 A(n - 57) - 1455545312 A(n - 56) - 2173424544 A(n - 55) + 65737975968 A(n - 54) + 112273315524 A(n - 53) - 1915849697341 A(n - 52) - 3282688992288 A(n - 51) + 37882187006692 A(n - 50) + 58398668118258 A(n - 49) - 529053113417685 A(n - 48) - 661319028845088 A(n - 47) + 5345856437450944 A(n - 46) + 4832379985745928 A(n - 45) - 39484271694782400 A(n - 44) - 22180564156337184 A(n - 43) + 213557973632288688 A(n - 42) + 56339768327894736 A(n - 41) - 845381212713038106 A(n - 40) - 25651110172801152 A(n - 39) + 2454715080855219496 A(n - 38) - 329592605709757080 A(n - 37) - 5269835601731878474 A(n - 36) + 1240670189558911920 A(n - 35) + 8466663132847395816 A(n - 34) - 2391291261773411028 A(n - 33) subject to the initial conditions A(0) = 823, A(1) = 42537, A(2) = 2231780, A(3) = 116560984, A(4) = 6095322787, A(5) = 318607048788, A(6) = 16655949938430, A(7) = 870695061615563, A(8) = 45516414439458360, A(9) = 2379405034245344600, A(10) = 124385343065198655940, A(11) = 6502343180427949370568, A(12) = 339915221479148119201141, A(13) = 17769341099131060121736971, A(14) = 928906581451522198426866330, A(15) = 48559337652832624489438207076, A(16) = 2538478381684091942596893179479, A(17) = 132700996425611348013072407270182, A(18) = 6937051180378672372725598193731164, A(19) = 362639922638008602442725873117312253, A(20) = 18957293246455479273971284040359260272, A(21) = 991007731903298904882481442367461203792, A(22) = 51805725212201324867511855411618974688466, A(23) = 2708185898415629511268155622423110261501336, A(24) = 141572593189961319133190197853246871822789347, A(25) = 7400821027188491107611846563231476516197339961, A(26) = 386883863905655805895612913844590929618047970148, A(27) = 20224664750125897815994987769487144881288900284424, A(28) = 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, A(29) = 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, A(30) = 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, A(31) = 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, A(32) = 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, A(33) = 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, A(34) = 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, A(35) = 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, A(36) = 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, A(37) = 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931 , A(38) = 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, A(39) = 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, A(40) = 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, A(41) = 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, A(42) = 1203350249945744297230902203789652925116525705795754708615426198\ 005798519584, A(43) = 62906100906983610103890489529925482479618280225620\ 412353548287939261270201949, A(44) = 32884669542371576848611424155619355\ 40094310471134506035602267705943213664159584, A(45) = 171907251493778011\ 548928419326330298708012970727648666939110057867738569664145024, A(46) = 898658965633437336508155367056895298951545990151975034129376544481843346\ 4295499638, A(47) = 4697811927628830942002506750414637554803190379763800\ 91255451505989480172657272960076, A(48) = 245581892034156009000951285850\ 09978303926846519482571960377056336089552848441483597263, A(49) = 128379\ 906697365181392758888409750495691084568575324462573806293088942466709660\ 9715173689, A(50) = 6711162743762852028699549902487377323352571807844598\ 7553219874861661566451010682398683252, A(51) = 3508314231715741653379785\ 429834057801659985988302950595056014332591170388087383547782587384, A(52) = 183399944516293253904771759950218373184765419104470487811223835936290\ 760934249653056628238515, A(53) = 95873794155918518632516230837685296045\ 48138608224736815958163535922778238573654169555118300220, A(54) = 501187\ 960012432698853892723594807928737388299141355545675365150812041251626588\ 423121231017333782, A(55) = 26200003188871118359445504277671837924103905\ 313710839495864455377624705955526683334904192799724075, A(56) = 13696262\ 118503976446274169469974036873274719275683899731162213071280541361671421\ 36275290431957886680, A(57) = 715983103767132154883877822532132524891436\ 24963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, A(58) = 374\ 285918628439615412214501233096940635862992321477225080144307990671160820\ 5572563386526543872034155740, A(59) = 1956609704146008306824082347892313\ 19767086561228157026014477574482430493769693356504602896219914077780224, A(60) = 1022833439309474534842250764466023605698968368992466576933897808\ 6066449946703158881015845401963507857848957, A(61) = 5346943963084723120\ 302478691539526399152396049769762392986738917314640533158750739045990249\ 42352933839030923, A(62) = 279515790602910304289268909759472197788211501\ 09476242619562007214929808563759314046632234748037697213112282490, A(63) = 146119124748216542231523675555440059257091784067247102789283341910030663\ 9171067303033140815861349908979106872340 n A(n) is asymptotic to, 816.1350569 52.27580325 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [823, 42537, 2231780, 116560984, 6095322787, 318607048788, 16655949938430, 870695061615563, 45516414439458360, 2379405034245344600, 124385343065198655940, 6502343180427949370568, 339915221479148119201141, 17769341099131060121736971, 928906581451522198426866330, 48559337652832624489438207076, 2538478381684091942596893179479, 132700996425611348013072407270182, 6937051180378672372725598193731164, 362639922638008602442725873117312253, 18957293246455479273971284040359260272, 991007731903298904882481442367461203792, 51805725212201324867511855411618974688466, 2708185898415629511268155622423110261501336, 141572593189961319133190197853246871822789347, 7400821027188491107611846563231476516197339961, 386883863905655805895612913844590929618047970148, 20224664750125897815994987769487144881288900284424, 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931, 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, 120335024994574429723090220378965292511652570579575470861542619800579851\ 9584, 6290610090698361010389048952992548247961828022562041235354828793926\ 1270201949, 3288466954237157684861142415561935540094310471134506035602267\ 705943213664159584, 17190725149377801154892841932633029870801297072764866\ 6939110057867738569664145024, 8986589656334373365081553670568952989515459\ 901519750341293765444818433464295499638, 46978119276288309420025067504146\ 3755480319037976380091255451505989480172657272960076, 2455818920341560090\ 0095128585009978303926846519482571960377056336089552848441483597263, 1283\ 799066973651813927588884097504956910845685753244625738062930889424667096\ 609715173689, 67111627437628520286995499024873773233525718078445987553219\ 874861661566451010682398683252, 35083142317157416533797854298340578016599\ 85988302950595056014332591170388087383547782587384, 183399944516293253904\ 771759950218373184765419104470487811223835936290760934249653056628238515, 958737941559185186325162308376852960454813860822473681595816353592277823\ 8573654169555118300220, 5011879600124326988538927235948079287373882991413\ 55545675365150812041251626588423121231017333782, 262000031888711183594455\ 042776718379241039053137108394958644553776247059555266833349041927997240\ 75, 136962621185039764462741694699740368732747192756838997311622130712805\ 4136167142136275290431957886680, 7159831037671321548838778225321325248914\ 3624963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, 3742859186\ 284396154122145012330969406358629923214772250801443079906711608205572563\ 386526543872034155740, 19566097041460083068240823478923131976708656122815\ 7026014477574482430493769693356504602896219914077780224, 1022833439309474\ 534842250764466023605698968368992466576933897808606644994670315888101584\ 5401963507857848957, 5346943963084723120302478691539526399152396049769762\ 39298673891731464053315875073904599024942352933839030923, 279515790602910\ 304289268909759472197788211501094762426195620072149298085637593140466322\ 34748037697213112282490, 146119124748216542231523675555440059257091784067\ 2471027892833419100306639171067303033140815861349908979106872340] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 20, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 1, c[2] = 3, d[1] = 3, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (10012 + 167906 t + 1698464618770349324848584 t / ----- n = 0 40 39 + 152553241990252843848214 t - 4130995319156687403629002 t 38 37 + 1027120780528508367414742 t + 7173501023222949901353876 t 36 35 - 3781419700323311298384708 t - 8738638287268675338499388 t 34 33 + 6878910077317743039310300 t + 7260032332389171071585478 t 32 31 - 7903325285752785569066066 t - 3894274347639570103658178 t 30 54 + 6130109469984498261239296 t - 4946290046936917404 t 53 52 + 6369100084947263426 t + 76161588310522589497 t 51 50 - 137464499184156459489 t - 826298751736412233757 t 49 48 + 1836978571969418440042 t + 6345916524084080345156 t 47 46 - 16745698933269824176872 t - 34134162611915065423396 t 45 44 + 108202197515440596626078 t + 123803983293959773110558 t 43 42 - 503817428815464744977894 t - 268355288732671539846636 t 58 57 56 - 6680328112199922 t - 4476266745256825 t + 222304538528892403 t 55 68 67 66 - 120617260420954977 t - 79033 t + 4110585 t - 1652226 t 65 64 63 62 - 1197651936 t + 6616662287 t + 159844086643 t - 1359236572453 t 61 60 59 70 - 10797037983006 t + 126494029874810 t + 369111200115774 t + 134 t 69 2 3 4 5 - 4641 t - 12416033 t - 76613061 t + 6248666853 t - 15928345422 t 6 7 8 - 1249776749236 t + 9815886566195 t + 79954916231391 t 9 10 11 - 1028243083885805 t - 1713999028606762 t + 50964933694604718 t 12 13 - 27361698513234310 t - 1488699027899038902 t 14 15 + 2379902659757154927 t + 28112378354173568087 t 16 17 - 62351517986314818069 t - 358354498432923998136 t 18 19 + 954027941075172499006 t + 3131975078962623896541 t 20 21 - 9697655665376019967717 t - 18636977100874823781597 t 22 23 + 68844458441338514209758 t + 72307873683132094809656 t 24 25 - 348752305712700576067856 t - 155137161896330919702284 t 26 27 + 1269452690275560545038622 t + 449598634838995036582 t 28 29 / - 3311891861948264043858222 t + 1141078002753674035373404 t ) / ( / 2 2 2 2 (t - 1) (t + 3 t + 1) (1 - 7 t + t ) (t - 3 t + 1) (t + 4 t - 1) 2 10 9 8 7 6 5 (t - t - 1) (t - 57 t + 1124 t - 9327 t + 36911 t - 71400 t 4 3 2 10 9 8 7 + 63631 t - 24279 t + 3060 t - 129 t + 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) ( 10 9 8 7 6 5 4 3 2 t + t - 28 t - 27 t + 143 t + 72 t - 223 t + 9 t + 52 t + 5 t - 1 10 9 8 7 6 5 4 3 ) (t - 4 t - 163 t + 648 t + 1853 t - 1308 t - 1213 t + 504 t 2 20 19 18 17 16 + 187 t - 20 t - 1) (t + 27 t - 17 t - 3528 t - 13226 t 15 14 13 12 11 + 48780 t + 272525 t + 51585 t - 1073573 t - 799644 t 10 9 8 7 6 5 + 1470068 t + 1293636 t - 722293 t - 611679 t + 102621 t + 99324 t 4 3 2 + 4254 t - 3384 t - 241 t + 27 t + 1)) and in Maple input format: -(10012+167906*t+1698464618770349324848584*t^41+152553241990252843848214*t^40-\ 4130995319156687403629002*t^39+1027120780528508367414742*t^38+ 7173501023222949901353876*t^37-3781419700323311298384708*t^36-\ 8738638287268675338499388*t^35+6878910077317743039310300*t^34+ 7260032332389171071585478*t^33-7903325285752785569066066*t^32-\ 3894274347639570103658178*t^31+6130109469984498261239296*t^30-\ 4946290046936917404*t^54+6369100084947263426*t^53+76161588310522589497*t^52-\ 137464499184156459489*t^51-826298751736412233757*t^50+1836978571969418440042*t^ 49+6345916524084080345156*t^48-16745698933269824176872*t^47-\ 34134162611915065423396*t^46+108202197515440596626078*t^45+ 123803983293959773110558*t^44-503817428815464744977894*t^43-\ 268355288732671539846636*t^42-6680328112199922*t^58-4476266745256825*t^57+ 222304538528892403*t^56-120617260420954977*t^55-79033*t^68+4110585*t^67-1652226 *t^66-1197651936*t^65+6616662287*t^64+159844086643*t^63-1359236572453*t^62-\ 10797037983006*t^61+126494029874810*t^60+369111200115774*t^59+134*t^70-4641*t^ 69-12416033*t^2-76613061*t^3+6248666853*t^4-15928345422*t^5-1249776749236*t^6+ 9815886566195*t^7+79954916231391*t^8-1028243083885805*t^9-1713999028606762*t^10 +50964933694604718*t^11-27361698513234310*t^12-1488699027899038902*t^13+ 2379902659757154927*t^14+28112378354173568087*t^15-62351517986314818069*t^16-\ 358354498432923998136*t^17+954027941075172499006*t^18+3131975078962623896541*t^ 19-9697655665376019967717*t^20-18636977100874823781597*t^21+ 68844458441338514209758*t^22+72307873683132094809656*t^23-\ 348752305712700576067856*t^24-155137161896330919702284*t^25+ 1269452690275560545038622*t^26+449598634838995036582*t^27-\ 3311891861948264043858222*t^28+1141078002753674035373404*t^29)/(t-1)/(t^2+3*t+1 )/(1-7*t+t^2)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t^2-t-1)/(t^10-57*t^9+1124*t^8-9327*t^7+ 36911*t^6-71400*t^5+63631*t^4-24279*t^3+3060*t^2-129*t+1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-\ 189*t^7+253*t^6+456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(t^10+t^9-28*t^8-27*t^7+ 143*t^6+72*t^5-223*t^4+9*t^3+52*t^2+5*t-1)/(t^10-4*t^9-163*t^8+648*t^7+1853*t^6 -1308*t^5-1213*t^4+504*t^3+187*t^2-20*t-1)/(t^20+27*t^19-17*t^18-3528*t^17-\ 13226*t^16+48780*t^15+272525*t^14+51585*t^13-1073573*t^12-799644*t^11+1470068*t ^10+1293636*t^9-722293*t^8-611679*t^7+102621*t^6+99324*t^5+4254*t^4-3384*t^3-\ 241*t^2+27*t+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -577 A(n - 69) + 30887 A(n - 68) - 23607 A(n - 67) - 8929515 A(n - 66) + 52631205 A(n - 65) + 1173985857 A(n - 64) - 10571033569 A(n - 63) - 76806749017 A(n - 62) + 972169730925 A(n - 61) + 2411166177105 A(n - 60) - 50779934325605 A(n - 59) - 15635257716785 A(n - 58) + 1669028931227381 A(n - 57) - 1480045546429027 A(n - 56) - 36582191248408621 A(n - 55) + 60211682825574215 A(n - 54) + 552579485460006503 A(n - 53) - 1218500570647169317 A(n - 52) - 5841412435789179531 A(n - 51) + 15784534944320757021 A(n - 50) + 43182600643494694879 A(n - 49) - 140982432132328362245 A(n - 48) - 217996657817867556918 A(n - 47) + 895889612717861021538 A(n - 46) + 693758041919954346358 A(n - 45) - 4104448809352625894714 A(n - 44) - 956968199365072079078 A(n - 43) + 13588949393380950852946 A(n - 42) - 2332881939893522908366 A(n - 41) - 32308986414914863647670 A(n - 40) + 16088899784600510035382 A(n - 39) + 54341573873646478730438 A(n - 38) - 43098815633301671170174 A(n - 37) - 62919753344580343578838 A(n - 36) + 70332470925001753913590 A(n - 35) + 47553437839440239308894 A(n - 34) - 76383507173091512182678 A(n - 33) - 20225165805961049093254 A(n - 32) + 57121044748472736438758 A(n - 31) + 1133520298604909559182 A(n - 30) - 29998606494074987327090 A(n - 29) + 4182090751155768776566 A(n - 28) + 11208563728236588285162 A(n - 27) - 2815813167471530928006 A(n - 26) - 3000502372295110114306 A(n - 25) + 1008356916405456213878 A(n - 24) + 575407630765148742725 A(n - 23) - 234027408296101254511 A(n - 22) - 78199075242995287493 A(n - 21) + 37109621418111653635 A(n - 20) + 7302872658844054701 A(n - 19) - 4078234325711790999 A(n - 18) - 432772270164713351 A(n - 17) + 309206134259570053 A(n - 16) + 12274189149285019 A(n - 15) - 15831793691814653 A(n - 14) + 207432840962273 A(n - 13) + 521776821347093 A(n - 12) - 30297643121057 A(n - 11) - 9987497546237 A(n - 10) + 1013437611825 A(n - 9) + 84795487353 A(n - 8) - 14191765833 A(n - 7) + 16976475 A(n - 6) + 65795515 A(n - 5) - 1569377 A(n - 4) - 116431 A(n - 3) + 3065 A(n - 2) + 83 A(n - 1) + A(n - 71) - 35 A(n - 70) subject to the initial conditions A(0) = 10012, A(1) = 998902, A(2) = 101179613, A(3) = 10217222276, A(4) = 1032377868320, A(5) = 104297868352001, A(6) = 10537214338531820, A(7) = 1064568145873528497, A(8) = 107552740681911619056, A(9) = 10865994954551451188928, A(10) = 1097785483661983592747857, A(11) = 110908667240169279450593574, A(12) = 11205041815436066962796253660, A(13) = 1132039236110136336249177468982, A(14) = 114369303575638566121355519921501, A(15) = 11554668066380660525072624312096852, A(16) = 1167361782510399277908548281779462800, A(17) = 117937921155676765281000507792478063889, A(18) = 11915203542289112245608278361147682368028, A(19) = 1203786484146726672455428607192017662549137, A(20) = 121617888797845536905207493185976894996105056, A(21) = 12286988656583856961952345647797107205952909568, A(22) = 1241347730496432385195960935068637214634275443185, A(23) = 125412680932450951505529169542639125452977319736262, A(24) = 12670374426329579039413797031262643883864577556976412, A(25) = 1280080984712035759851241047935269637828297426286170358, A(26) = 129325880379370177091249878844622030539397149221014375261, A(27) = 13065722821952269577864505045008450747153271912447302295972, A(28) = 1320022816464168184851636579056846920751937314809170561880320, A(29) = 133361181752487094794738920299791551510083921004524533981335073, A(30) = 13473407108264687327168454768202333442821465098439091550988547276, A(31) = 1361210936492409605217498162040437810439799672691396985387608471665 , A(32) = 137522394947152096049546704349359958784397932296176117039877337167952, A(33) = 13893812196906297699580929077150383267938280252366969942628499156093632, A(34) = 1403684232208753868125318372316057834249928817981534442459106729858606097, A(35) = 141813448737288059997328601639720580392960610125176200780954764707340548198 , A(36) = 14327335009753491235897824141888242128896043855372003823083132\ 117554261245660, A(37) = 14474828044128528915270645372477877897521216789\ 49948937149924113691129651184694, A(38) = 146238394484707898526924735665\ 610170887452751288888489578315552338403150473646813, A(39) = 14774384853\ 670011548524876542436080101599840200587002519643509113187241372077690996, A(40) = 1492648005152843587294043270967967796925350930791060563999456828\ 453272450424804392816, A(41) = 15080140996417326033199704292762790199991\ 2898809964870993472094489742426930166236057905, A(42) = 1523538380695053\ 658759394061059908927704116033535656497802527989467274946629010398486271\ 6, A(43) = 1539222476767531205911619860060088244480335652168020450492691\ 576804752081930427153586166353, A(44) = 15550680330780491508980071861760\ 0604635448998191329290525927716784993835152804714748194352320, A(45) = 1\ 571076711782229825599807824802818004280506627087832635628134442587660566\ 0071985883420130729984, A(46) = 1587250192146789577244834718374364514779\ 860733507206289503782521709304743280025608916159270252977, A(47) = 16035\ 901707256892650687066560692413746435133841446117129701988756919408637943\ 1419370673568979996422, A(48) = 1620098361538098141757101627232681079466\ 2184499030328666578953482521123646854889918135328519645587740, A(49) = 1\ 636776496248189787594619698936831286006701021184329811629808462011641226\ 901088087164286915606075264502, A(50) = 16536263243467889574231700651856\ 495964363383828068618939106576430540419273572383577591699136032922915529\ 3, A(51) = 1670649613334888394668505526193120385397888848198548076638568\ 1812269793090798040699224088216136639619713220, A(52) = 1687848148909054\ 862847969298959668351000243672551878444601414947405761260339525050672537\ 067326900968689902048, A(53) = 17052237351487438431462786029145242434923\ 7551317436359149484631910585048219580398499096389897456913319588145729, A(54) = 1722778194705542546860032045638836490095990148277042703285784425\ 8560811392790494715667629676714655712681521922476, A(55) = 1740513368994\ 361093786596199231605465837600243246198742387595871786377399182641511015\ 525393577622947307149962437169, A(56) = 17584311183865919119903187322808\ 718264761117217871820181067601700324487219040016165387496464551309935845\ 7568848752816, A(57) = 1776533322405257620840067651558798931777696134659\ 3696438949151599732019377701872410087260406411176849849004261288469696, A(58) = 1794821879922167867798565786434133339659820348054138727107724735\ 228815826600767352402576129340211623458113957530567516881, A(59) = 18132\ 987093571058001777567772598712960655160344334015549941302893917768524724\ 1233458199393439239373108701873953220112859046, A(60) = 1831965748879065\ 065977608901291093716133458199315600142799495552630524782189235663636177\ 7472075817679408841092690967174260188, A(61) = 1850824956609558453020669\ 048444605445870932442308957047543731616762001661733146719702176959367491\ 365955055161183089387084026422, A(62) = 18698783108280194929038839129308\ 862211890409326260374428645676310096943396272919185648955200313201147325\ 6813678263669741574225501, A(63) = 1889127810179318575835504138197113804\ 312988575114147846954465976747171992257184100725960622400765555615292744\ 2412988389247875518100, A(64) = 1908575473883415344231309549391531746694\ 470040202052291769721633483710485349848009356989481228724324427220297365\ 957803682054259231824, A(65) = 19282233419471693570342066182117523614437\ 662275652333394114900397119006862515497789826081966361942670942716484892\ 2593447812491125886289, A(66) = 1948073475378331243117959339485543516684\ 018453058918611208015130561718666016802540876881341578557553900237872085\ 4116590171791157730405340, A(67) = 1968127956401736790863170154311586281\ 658096736692190080911131262733165440663576107722276036371816449184426096\ 229100129863806422099159740433, A(68) = 19883888886777266520756213065634\ 782636019258037022981468390751564888530707960079718064375652213119222427\ 2297449604008944830730822256015757344, A(69) = 2008858397522814571877958\ 938669729591756818511742303904795117156079547909712922651163430139280844\ 9123556655738566686540892227613109770873875712, A(70) = 2029538630132627\ 292069941727291353281980543883639653734474384701884176158091292106790893\ 335634798647019261009580527107522243327117029449285459825 n A(n) is asymptotic to, 9909.175223 101.0294520 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [10012, 998902, 101179613, 10217222276, 1032377868320, 104297868352001, 10537214338531820, 1064568145873528497, 107552740681911619056, 10865994954551451188928, 1097785483661983592747857, 110908667240169279450593574, 11205041815436066962796253660, 1132039236110136336249177468982, 114369303575638566121355519921501, 11554668066380660525072624312096852, 1167361782510399277908548281779462800, 117937921155676765281000507792478063889, 11915203542289112245608278361147682368028, 1203786484146726672455428607192017662549137, 121617888797845536905207493185976894996105056, 12286988656583856961952345647797107205952909568, 1241347730496432385195960935068637214634275443185, 125412680932450951505529169542639125452977319736262, 12670374426329579039413797031262643883864577556976412, 1280080984712035759851241047935269637828297426286170358, 129325880379370177091249878844622030539397149221014375261, 13065722821952269577864505045008450747153271912447302295972, 1320022816464168184851636579056846920751937314809170561880320, 133361181752487094794738920299791551510083921004524533981335073, 13473407108264687327168454768202333442821465098439091550988547276, 1361210936492409605217498162040437810439799672691396985387608471665, 137522394947152096049546704349359958784397932296176117039877337167952, 13893812196906297699580929077150383267938280252366969942628499156093632, 1403684232208753868125318372316057834249928817981534442459106729858606097, 141813448737288059997328601639720580392960610125176200780954764707340548198 , 14327335009753491235897824141888242128896043855372003823083132117554261\ 245660, 14474828044128528915270645372477877897521216789499489371499241136\ 91129651184694, 146238394484707898526924735665610170887452751288888489578\ 315552338403150473646813, 14774384853670011548524876542436080101599840200\ 587002519643509113187241372077690996, 14926480051528435872940432709679677\ 96925350930791060563999456828453272450424804392816, 150801409964173260331\ 997042927627901999912898809964870993472094489742426930166236057905, 15235\ 383806950536587593940610599089277041160335356564978025279894672749466290\ 103984862716, 15392224767675312059116198600600882444803356521680204504926\ 91576804752081930427153586166353, 155506803307804915089800718617600604635\ 448998191329290525927716784993835152804714748194352320, 15710767117822298\ 255998078248028180042805066270878326356281344425876605660071985883420130\ 729984, 15872501921467895772448347183743645147798607335072062895037825217\ 09304743280025608916159270252977, 160359017072568926506870665606924137464\ 351338414461171297019887569194086379431419370673568979996422, 16200983615\ 380981417571016272326810794662184499030328666578953482521123646854889918\ 135328519645587740, 16367764962481897875946196989368312860067010211843298\ 11629808462011641226901088087164286915606075264502, 165362632434678895742\ 317006518564959643633838280686189391065764305404192735723835775916991360\ 329229155293, 16706496133348883946685055261931203853978888481985480766385\ 681812269793090798040699224088216136639619713220, 16878481489090548628479\ 692989596683510002436725518784446014149474057612603395250506725370673269\ 00968689902048, 170522373514874384314627860291452424349237551317436359149\ 484631910585048219580398499096389897456913319588145729, 17227781947055425\ 468600320456388364900959901482770427032857844258560811392790494715667629\ 676714655712681521922476, 17405133689943610937865961992316054658376002432\ 46198742387595871786377399182641511015525393577622947307149962437169, 175\ 843111838659191199031873228087182647611172178718201810676017003244872190\ 400161653874964645513099358457568848752816, 17765333224052576208400676515\ 587989317776961346593696438949151599732019377701872410087260406411176849\ 849004261288469696, 17948218799221678677985657864341333396598203480541387\ 27107724735228815826600767352402576129340211623458113957530567516881, 181\ 329870935710580017775677725987129606551603443340155499413028939177685247\ 241233458199393439239373108701873953220112859046, 18319657488790650659776\ 089012910937161334581993156001427994955526305247821892356636361777472075\ 817679408841092690967174260188, 18508249566095584530206690484446054458709\ 324423089570475437316167620016617331467197021769593674913659550551611830\ 89387084026422, 186987831082801949290388391293088622118904093262603744286\ 456763100969433962729191856489552003132011473256813678263669741574225501, 188912781017931857583550413819711380431298857511414784695446597674717199\ 22571841007259606224007655556152927442412988389247875518100, 190857547388\ 341534423130954939153174669447004020205229176972163348371048534984800935\ 6989481228724324427220297365957803682054259231824, 1928223341947169357034\ 206618211752361443766227565233339411490039711900686251549778982608196636\ 19426709427164848922593447812491125886289, 194807347537833124311795933948\ 554351668401845305891861120801513056171866601680254087688134157855755390\ 02378720854116590171791157730405340, 196812795640173679086317015431158628\ 165809673669219008091113126273316544066357610772227603637181644918442609\ 6229100129863806422099159740433, 1988388888677726652075621306563478263601\ 925803702298146839075156488853070796007971806437565221311922242722974496\ 04008944830730822256015757344, 200885839752281457187795893866972959175681\ 851174230390479511715607954790971292265116343013928084491235566557385666\ 86540892227613109770873875712, 202953863013262729206994172729135328198054\ 388363965373447438470188417615809129210679089333563479864701926100958052\ 7107522243327117029449285459825] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 21, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 2, c[2] = 1, d[1] = 1, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n ) A(n) t = / ----- n = 0 2 3 4 5 6 7 -22 - 112 t + 23 t + 520 t + 122 t - 144 t + 7 t + 2 t - ------------------------------------------------------------- 2 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 1) (t + 4 t - 55 t - 64 t + 27 t + 12 t - 1) and in Maple input format: -(-22-112*t+23*t^2+520*t^3+122*t^4-144*t^5+7*t^6+2*t^7)/(t^2-4*t-1)/(t^6+4*t^5-\ 55*t^4-64*t^3+27*t^2+12*t-1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 8 A(n - 1) + 76 A(n - 2) + 32 A(n - 3) - 338 A(n - 4) - 152 A(n - 5) + 72 A(n - 6) - A(n - 8) subject to the initial conditions A(0) = 22, A(1) = 288, A(2) = 3953, A(3) = 53696, A(4) = 731654, A(5) = 9960080, A(6) = 135626303, A(7) = 1846660062 n A(n) is asymptotic to, 21.28262091 13.61607693 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [22, 288, 3953, 53696, 731654, 9960080, 135626303, 1846660062, 25144425834, 342367760456, 4661708621577, 63474171167012, 864269249011386, 11767956370477952, 160233400215384743, 2181750300914929658, 29706879965237065614, 404491163017208476656, 5507582795208070055345, 74991671060702509308456, 1021092362604541131131422, 13903272166295555003639440, 189308023455817199779155327, 2577632611666942958006764566, 35097243948991921939455996738, 477886773793710610437394676696, 6506943077891594719421493343401, 88599037556118096935761568769932, 1206371311674968524984812486852850, 16426044591179501493152651679508352] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 22, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 2, c[2] = 1, d[1] = 1, d[2] = 2 Then infinity ----- \ n 2 3 4 5 ) A(n) t = - (-131 - 384 t + 8948 t + 1683 t - 190013 t + 343705 t / ----- n = 0 6 7 8 9 10 + 559306 t - 1474764 t - 438998 t + 2202635 t - 238491 t 11 12 13 14 15 16 - 1345114 t + 450965 t + 282559 t - 157007 t + 6419 t + 6471 t 17 18 19 / 2 - 618 t - 65 t + 6 t ) / ((t - 3 t + 1) / 6 5 4 3 2 (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 21 t + 126 t - 249 t + 170 t - 33 t + 1) 6 5 4 3 2 (t + 9 t + 2 t - 27 t - 20 t + 3 t + 1)) and in Maple input format: -(-131-384*t+8948*t^2+1683*t^3-190013*t^4+343705*t^5+559306*t^6-1474764*t^7-\ 438998*t^8+2202635*t^9-238491*t^10-1345114*t^11+450965*t^12+282559*t^13-157007* t^14+6419*t^15+6471*t^16-618*t^17-65*t^18+6*t^19)/(t^2-3*t+1)/(t^6+3*t^5-20*t^4 -27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-21*t^5+126*t^4-249*t^3+170*t^2-33*t+1)/(t^6+9*t^5+2*t ^4-27*t^3-20*t^2+3*t+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 24 A(n - 1) + 153 A(n - 2) - 1896 A(n - 3) - 1795 A(n - 4) + 42612 A(n - 5) - 64046 A(n - 6) - 140640 A(n - 7) + 296459 A(n - 8) + 153936 A(n - 9) - 459013 A(n - 10) - 18060 A(n - 11) + 289915 A(n - 12) - 63504 A(n - 13) - 65598 A(n - 14) + 27804 A(n - 15) - 67 A(n - 16) - 1188 A(n - 17) + 89 A(n - 18) + 12 A(n - 19) - A(n - 20) subject to the initial conditions A(0) = 131, A(1) = 3528, A(2) = 95767, A(3) = 2588133, A(4) = 70033323, A(5) = 1894115576, A(6) = 51236256114, A(7) = 1385878870761, A(8) = 37486982264146, A(9) = 1013989258107884, A(10) = 27427546640193651, A(11) = 741891404639010966, A(12) = 20067523901947642495, A(13) = 542809219950981569488, A(14) = 14682521644259265452263, A(15) = 397149556090948343553217, A(16) = 10742553218914212896310539, A(17) = 290576806230297777206727068, A(18) = 7859852179573904474684885758, A(19) = 212602227559965185026567302877 n A(n) is asymptotic to, 130.8135122 27.04913816 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [131, 3528, 95767, 2588133, 70033323, 1894115576, 51236256114, 1385878870761, 37486982264146, 1013989258107884, 27427546640193651, 741891404639010966, 20067523901947642495, 542809219950981569488, 14682521644259265452263, 397149556090948343553217, 10742553218914212896310539, 290576806230297777206727068, 7859852179573904474684885758, 212602227559965185026567302877, 5750707027492328904705877502654, 155551668933337239211443045916960, 4207538584787245306906323482780047, 113810292514781632578033489653527470, 3078470326840011937612652858151851915, 83269969207777722422597890497960040080, 2252380902102714006591523596161541405679, 60924962221352150494382799191581900133613, 1647967720827319556270496819755957528303219, 44576106572241638832524983909830502578572640] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 23, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 2, c[2] = 1, d[1] = 1, d[2] = 3 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-823 - 27723 t - 3697479337102980268 t / ----- n = 0 40 39 - 2655783796462062760 t + 14619803018173735392 t 38 37 + 6113243159998997850 t - 42431165408550507472 t 36 35 - 8549480112256952804 t + 90905909117468473574 t 34 33 + 5406853012343685158 t - 145242459876446469120 t 32 31 + 3222252675649512758 t + 174887237309705640610 t 30 54 53 - 10090559973283033052 t + 63093782422 t - 1269824862887 t 52 51 50 - 3088422945106 t + 36081372678512 t + 88362072872668 t 49 48 47 - 693975444829187 t - 1574506444230475 t + 9458675990081856 t 46 45 44 + 18318683824432150 t - 93913068797027916 t - 142842390724031356 t 43 42 58 + 686625636613700128 t + 752420621249143432 t + 4237046 t 57 56 55 63 62 - 395137386 t - 716481289 t + 28626790845 t + 20 t + 14 t 61 60 59 2 3 - 12880 t - 11896 t + 3149057 t + 25162 t + 8272868 t 4 5 6 7 + 24455918 t - 1128593235 t - 3225481354 t + 89430268489 t 8 9 10 + 146862280395 t - 4238116240230 t - 1981316415940 t 11 12 13 + 119169998019497 t - 16601496245268 t - 2148268378440880 t 14 15 16 + 802377813514880 t + 26455860433292372 t - 10471426446695472 t 17 18 19 - 231263190283184708 t + 71346901003374552 t + 1463859633470808392 t 20 21 - 264985666312446204 t - 6775681345169757204 t 22 23 + 403304600447336194 t + 23092657358542392752 t 24 25 + 688220366911822690 t - 58460862436120842290 t 26 27 - 4543205738652815438 t + 111088633780180230548 t 28 29 / 2 + 9582051103949401868 t - 159845103041674714326 t ) / ((t - 3 t + 1) / 2 2 6 5 4 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 55 t + 64 t + 27 t - 12 t - 1) 6 5 4 3 2 10 9 8 7 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 30 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) (1 - 45 t + t 2 3 4 5 6 7 - 643 t + 13176 t + 51389 t - 1200573 t + 1014883 t + 26967984 t 8 9 10 11 - 35933608 t - 268372122 t + 305637102 t + 1311635442 t 12 13 14 15 - 1086269752 t - 2979007482 t + 2176379842 t + 3230889474 t 16 17 18 19 - 2365202364 t - 1641456804 t + 1244628572 t + 417258588 t 20 21 22 23 24 - 327373460 t - 56101710 t + 43593486 t + 4062786 t - 2716561 t 25 26 27 28 29 - 148317 t + 61013 t + 1350 t - 461 t - 3 t )) and in Maple input format: -(-823-27723*t-3697479337102980268*t^41-2655783796462062760*t^40+ 14619803018173735392*t^39+6113243159998997850*t^38-42431165408550507472*t^37-\ 8549480112256952804*t^36+90905909117468473574*t^35+5406853012343685158*t^34-\ 145242459876446469120*t^33+3222252675649512758*t^32+174887237309705640610*t^31-\ 10090559973283033052*t^30+63093782422*t^54-1269824862887*t^53-3088422945106*t^ 52+36081372678512*t^51+88362072872668*t^50-693975444829187*t^49-\ 1574506444230475*t^48+9458675990081856*t^47+18318683824432150*t^46-\ 93913068797027916*t^45-142842390724031356*t^44+686625636613700128*t^43+ 752420621249143432*t^42+4237046*t^58-395137386*t^57-716481289*t^56+28626790845* t^55+20*t^63+14*t^62-12880*t^61-11896*t^60+3149057*t^59+25162*t^2+8272868*t^3+ 24455918*t^4-1128593235*t^5-3225481354*t^6+89430268489*t^7+146862280395*t^8-\ 4238116240230*t^9-1981316415940*t^10+119169998019497*t^11-16601496245268*t^12-\ 2148268378440880*t^13+802377813514880*t^14+26455860433292372*t^15-\ 10471426446695472*t^16-231263190283184708*t^17+71346901003374552*t^18+ 1463859633470808392*t^19-264985666312446204*t^20-6775681345169757204*t^21+ 403304600447336194*t^22+23092657358542392752*t^23+688220366911822690*t^24-\ 58460862436120842290*t^25-4543205738652815438*t^26+111088633780180230548*t^27+ 9582051103949401868*t^28-159845103041674714326*t^29)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t ^2-t-1)/(t^6+3*t^5-20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-4*t^5-55*t^4+64*t^3+27*t^2-\ 12*t-1)/(t^6+t^5-10*t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-189*t^7+253*t^6+ 456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(1-45*t+t^30-643*t^2+13176*t^3+51389*t^4 -1200573*t^5+1014883*t^6+26967984*t^7-35933608*t^8-268372122*t^9+305637102*t^10 +1311635442*t^11-1086269752*t^12-2979007482*t^13+2176379842*t^14+3230889474*t^ 15-2365202364*t^16-1641456804*t^17+1244628572*t^18+417258588*t^19-327373460*t^ 20-56101710*t^21+43593486*t^22+4062786*t^23-2716561*t^24-148317*t^25+61013*t^26 +1350*t^27-461*t^28-3*t^29) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -3158460 A(n - 5) - 503433 A(n - 4) + 9216 A(n - 3) + 1812 A(n - 2) + 18 A(n - 1) - A(n - 64) + 644 A(n - 62) + 144 A(n - 61) - 157689 A(n - 60) - 101592 A(n - 59) + 19882148 A(n - 58) + 22062690 A(n - 57) - 1455545312 A(n - 56) - 2173424544 A(n - 55) + 65737975968 A(n - 54) + 112273315524 A(n - 53) - 1915849697341 A(n - 52) - 3282688992288 A(n - 51) + 37882187006692 A(n - 50) + 58398668118258 A(n - 49) - 529053113417685 A(n - 48) - 661319028845088 A(n - 47) + 5345856437450944 A(n - 46) + 4832379985745928 A(n - 45) - 39484271694782400 A(n - 44) - 22180564156337184 A(n - 43) + 213557973632288688 A(n - 42) + 56339768327894736 A(n - 41) - 845381212713038106 A(n - 40) - 25651110172801152 A(n - 39) + 2454715080855219496 A(n - 38) - 329592605709757080 A(n - 37) - 5269835601731878474 A(n - 36) + 1240670189558911920 A(n - 35) + 8466663132847395816 A(n - 34) - 2391291261773411028 A(n - 33) - 10302729142383235968 A(n - 32) + 2940154802696207616 A(n - 31) + 9569655270135078160 A(n - 30) - 2441276798924177640 A(n - 29) - 6792150653279177786 A(n - 28) + 1384351019321452512 A(n - 27) + 3660800893000616328 A(n - 26) - 528792528145961076 A(n - 25) - 1480581268735474602 A(n - 24) + 131623964950108896 A(n - 23) + 443220092302143072 A(n - 22) - 20349404213214744 A(n - 21) - 97128313588208192 A(n - 20) + 1901371270337376 A(n - 19) + 15457967764826000 A(n - 18) - 152895672282864 A(n - 17) - 1768887293425253 A(n - 16) + 25300611926592 A(n - 15) + 142710868607188 A(n - 14) - 4072401415944 A(n - 13) - 7815912693181 A(n - 12) + 365357960808 A(n - 11) + 272711157972 A(n - 10) - 16676532990 A(n - 9) - 5607386272 A(n - 8) + 344387040 A(n - 7) + 68954768 A(n - 6) subject to the initial conditions A(0) = 823, A(1) = 42537, A(2) = 2231780, A(3) = 116560984, A(4) = 6095322787, A(5) = 318607048788, A(6) = 16655949938430, A(7) = 870695061615563, A(8) = 45516414439458360, A(9) = 2379405034245344600, A(10) = 124385343065198655940, A(11) = 6502343180427949370568, A(12) = 339915221479148119201141, A(13) = 17769341099131060121736971, A(14) = 928906581451522198426866330, A(15) = 48559337652832624489438207076, A(16) = 2538478381684091942596893179479, A(17) = 132700996425611348013072407270182, A(18) = 6937051180378672372725598193731164, A(19) = 362639922638008602442725873117312253, A(20) = 18957293246455479273971284040359260272, A(21) = 991007731903298904882481442367461203792, A(22) = 51805725212201324867511855411618974688466, A(23) = 2708185898415629511268155622423110261501336, A(24) = 141572593189961319133190197853246871822789347, A(25) = 7400821027188491107611846563231476516197339961, A(26) = 386883863905655805895612913844590929618047970148, A(27) = 20224664750125897815994987769487144881288900284424, A(28) = 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, A(29) = 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, A(30) = 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, A(31) = 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, A(32) = 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, A(33) = 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, A(34) = 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, A(35) = 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, A(36) = 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, A(37) = 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931 , A(38) = 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, A(39) = 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, A(40) = 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, A(41) = 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, A(42) = 1203350249945744297230902203789652925116525705795754708615426198\ 005798519584, A(43) = 62906100906983610103890489529925482479618280225620\ 412353548287939261270201949, A(44) = 32884669542371576848611424155619355\ 40094310471134506035602267705943213664159584, A(45) = 171907251493778011\ 548928419326330298708012970727648666939110057867738569664145024, A(46) = 898658965633437336508155367056895298951545990151975034129376544481843346\ 4295499638, A(47) = 4697811927628830942002506750414637554803190379763800\ 91255451505989480172657272960076, A(48) = 245581892034156009000951285850\ 09978303926846519482571960377056336089552848441483597263, A(49) = 128379\ 906697365181392758888409750495691084568575324462573806293088942466709660\ 9715173689, A(50) = 6711162743762852028699549902487377323352571807844598\ 7553219874861661566451010682398683252, A(51) = 3508314231715741653379785\ 429834057801659985988302950595056014332591170388087383547782587384, A(52) = 183399944516293253904771759950218373184765419104470487811223835936290\ 760934249653056628238515, A(53) = 95873794155918518632516230837685296045\ 48138608224736815958163535922778238573654169555118300220, A(54) = 501187\ 960012432698853892723594807928737388299141355545675365150812041251626588\ 423121231017333782, A(55) = 26200003188871118359445504277671837924103905\ 313710839495864455377624705955526683334904192799724075, A(56) = 13696262\ 118503976446274169469974036873274719275683899731162213071280541361671421\ 36275290431957886680, A(57) = 715983103767132154883877822532132524891436\ 24963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, A(58) = 374\ 285918628439615412214501233096940635862992321477225080144307990671160820\ 5572563386526543872034155740, A(59) = 1956609704146008306824082347892313\ 19767086561228157026014477574482430493769693356504602896219914077780224, A(60) = 1022833439309474534842250764466023605698968368992466576933897808\ 6066449946703158881015845401963507857848957, A(61) = 5346943963084723120\ 302478691539526399152396049769762392986738917314640533158750739045990249\ 42352933839030923, A(62) = 279515790602910304289268909759472197788211501\ 09476242619562007214929808563759314046632234748037697213112282490, A(63) = 146119124748216542231523675555440059257091784067247102789283341910030663\ 9171067303033140815861349908979106872340 n A(n) is asymptotic to, 816.1350569 52.27580325 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [823, 42537, 2231780, 116560984, 6095322787, 318607048788, 16655949938430, 870695061615563, 45516414439458360, 2379405034245344600, 124385343065198655940, 6502343180427949370568, 339915221479148119201141, 17769341099131060121736971, 928906581451522198426866330, 48559337652832624489438207076, 2538478381684091942596893179479, 132700996425611348013072407270182, 6937051180378672372725598193731164, 362639922638008602442725873117312253, 18957293246455479273971284040359260272, 991007731903298904882481442367461203792, 51805725212201324867511855411618974688466, 2708185898415629511268155622423110261501336, 141572593189961319133190197853246871822789347, 7400821027188491107611846563231476516197339961, 386883863905655805895612913844590929618047970148, 20224664750125897815994987769487144881288900284424, 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931, 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, 120335024994574429723090220378965292511652570579575470861542619800579851\ 9584, 6290610090698361010389048952992548247961828022562041235354828793926\ 1270201949, 3288466954237157684861142415561935540094310471134506035602267\ 705943213664159584, 17190725149377801154892841932633029870801297072764866\ 6939110057867738569664145024, 8986589656334373365081553670568952989515459\ 901519750341293765444818433464295499638, 46978119276288309420025067504146\ 3755480319037976380091255451505989480172657272960076, 2455818920341560090\ 0095128585009978303926846519482571960377056336089552848441483597263, 1283\ 799066973651813927588884097504956910845685753244625738062930889424667096\ 609715173689, 67111627437628520286995499024873773233525718078445987553219\ 874861661566451010682398683252, 35083142317157416533797854298340578016599\ 85988302950595056014332591170388087383547782587384, 183399944516293253904\ 771759950218373184765419104470487811223835936290760934249653056628238515, 958737941559185186325162308376852960454813860822473681595816353592277823\ 8573654169555118300220, 5011879600124326988538927235948079287373882991413\ 55545675365150812041251626588423121231017333782, 262000031888711183594455\ 042776718379241039053137108394958644553776247059555266833349041927997240\ 75, 136962621185039764462741694699740368732747192756838997311622130712805\ 4136167142136275290431957886680, 7159831037671321548838778225321325248914\ 3624963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, 3742859186\ 284396154122145012330969406358629923214772250801443079906711608205572563\ 386526543872034155740, 19566097041460083068240823478923131976708656122815\ 7026014477574482430493769693356504602896219914077780224, 1022833439309474\ 534842250764466023605698968368992466576933897808606644994670315888101584\ 5401963507857848957, 5346943963084723120302478691539526399152396049769762\ 39298673891731464053315875073904599024942352933839030923, 279515790602910\ 304289268909759472197788211501094762426195620072149298085637593140466322\ 34748037697213112282490, 146119124748216542231523675555440059257091784067\ 2471027892833419100306639171067303033140815861349908979106872340] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 24, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 2, c[2] = 1, d[1] = 2, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 2 3 4 5 ) A(n) t = - (-131 - 384 t + 8948 t + 1683 t - 190013 t + 343705 t / ----- n = 0 6 7 8 9 10 + 559306 t - 1474764 t - 438998 t + 2202635 t - 238491 t 11 12 13 14 15 16 - 1345114 t + 450965 t + 282559 t - 157007 t + 6419 t + 6471 t 17 18 19 / 2 - 618 t - 65 t + 6 t ) / ((t - 3 t + 1) / 6 5 4 3 2 (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 21 t + 126 t - 249 t + 170 t - 33 t + 1) 6 5 4 3 2 (t + 9 t + 2 t - 27 t - 20 t + 3 t + 1)) and in Maple input format: -(-131-384*t+8948*t^2+1683*t^3-190013*t^4+343705*t^5+559306*t^6-1474764*t^7-\ 438998*t^8+2202635*t^9-238491*t^10-1345114*t^11+450965*t^12+282559*t^13-157007* t^14+6419*t^15+6471*t^16-618*t^17-65*t^18+6*t^19)/(t^2-3*t+1)/(t^6+3*t^5-20*t^4 -27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-21*t^5+126*t^4-249*t^3+170*t^2-33*t+1)/(t^6+9*t^5+2*t ^4-27*t^3-20*t^2+3*t+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 24 A(n - 1) + 153 A(n - 2) - 1896 A(n - 3) - 1795 A(n - 4) + 42612 A(n - 5) - 64046 A(n - 6) - 140640 A(n - 7) + 296459 A(n - 8) + 153936 A(n - 9) - 459013 A(n - 10) - 18060 A(n - 11) + 289915 A(n - 12) - 63504 A(n - 13) - 65598 A(n - 14) + 27804 A(n - 15) - 67 A(n - 16) - 1188 A(n - 17) + 89 A(n - 18) + 12 A(n - 19) - A(n - 20) subject to the initial conditions A(0) = 131, A(1) = 3528, A(2) = 95767, A(3) = 2588133, A(4) = 70033323, A(5) = 1894115576, A(6) = 51236256114, A(7) = 1385878870761, A(8) = 37486982264146, A(9) = 1013989258107884, A(10) = 27427546640193651, A(11) = 741891404639010966, A(12) = 20067523901947642495, A(13) = 542809219950981569488, A(14) = 14682521644259265452263, A(15) = 397149556090948343553217, A(16) = 10742553218914212896310539, A(17) = 290576806230297777206727068, A(18) = 7859852179573904474684885758, A(19) = 212602227559965185026567302877 n A(n) is asymptotic to, 130.8135122 27.04913816 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [131, 3528, 95767, 2588133, 70033323, 1894115576, 51236256114, 1385878870761, 37486982264146, 1013989258107884, 27427546640193651, 741891404639010966, 20067523901947642495, 542809219950981569488, 14682521644259265452263, 397149556090948343553217, 10742553218914212896310539, 290576806230297777206727068, 7859852179573904474684885758, 212602227559965185026567302877, 5750707027492328904705877502654, 155551668933337239211443045916960, 4207538584787245306906323482780047, 113810292514781632578033489653527470, 3078470326840011937612652858151851915, 83269969207777722422597890497960040080, 2252380902102714006591523596161541405679, 60924962221352150494382799191581900133613, 1647967720827319556270496819755957528303219, 44576106572241638832524983909830502578572640] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 25, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 2, c[2] = 1, d[1] = 2, d[2] = 2 Then infinity ----- \ n 37 36 35 34 ) A(n) t = - (823 + 22179 t + 16 t + 62 t - 5526 t - 5810 t / ----- n = 0 33 32 31 30 2 + 603200 t + 123782 t - 30401156 t + 203535 t - 90408 t 3 4 5 6 7 - 4564123 t + 9288097 t + 333164670 t - 992797519 t - 7685351925 t 8 9 10 11 + 22754782768 t + 90931193837 t - 214663134465 t - 636000002090 t 12 13 14 + 943970802025 t + 2568154857217 t - 1958664741480 t 15 16 17 - 5629875501725 t + 2137885907754 t + 7030569449173 t 18 19 20 - 1320782342591 t - 5242628429036 t + 481028799335 t 21 22 23 + 2396424043717 t - 103900080524 t - 678099427757 t 24 25 26 27 + 12438683127 t + 118807143838 t - 635034919 t - 12759765293 t 28 29 / 2 - 3096246 t + 821189575 t ) / ((t - t - 1) / 6 5 4 3 2 (t + 3 t - 12 t - t + 10 t + t - 1) 6 5 4 3 2 (t - 7 t - 16 t + 73 t + 100 t - 11 t - 1) 6 5 4 3 2 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) 6 5 4 3 2 12 10 9 (t + 7 t - 148 t + 227 t + 1110 t + 33 t - 1) (t - 111 t - 304 t 8 7 6 5 4 3 2 + 1110 t + 2812 t - 1651 t - 2812 t + 1110 t + 304 t - 111 t + 1)) and in Maple input format: -(823+22179*t+16*t^37+62*t^36-5526*t^35-5810*t^34+603200*t^33+123782*t^32-\ 30401156*t^31+203535*t^30-90408*t^2-4564123*t^3+9288097*t^4+333164670*t^5-\ 992797519*t^6-7685351925*t^7+22754782768*t^8+90931193837*t^9-214663134465*t^10-\ 636000002090*t^11+943970802025*t^12+2568154857217*t^13-1958664741480*t^14-\ 5629875501725*t^15+2137885907754*t^16+7030569449173*t^17-1320782342591*t^18-\ 5242628429036*t^19+481028799335*t^20+2396424043717*t^21-103900080524*t^22-\ 678099427757*t^23+12438683127*t^24+118807143838*t^25-635034919*t^26-12759765293 *t^27-3096246*t^28+821189575*t^29)/(t^2-t-1)/(t^6+3*t^5-12*t^4-t^3+10*t^2+t-1)/ (t^6-7*t^5-16*t^4+73*t^3+100*t^2-11*t-1)/(t^6+t^5-10*t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^6 +7*t^5-148*t^4+227*t^3+1110*t^2+33*t-1)/(t^12-111*t^10-304*t^9+1110*t^8+2812*t^ 7-1651*t^6-2812*t^5+1110*t^4+304*t^3-111*t^2+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = A(n - 38) + 3 A(n - 37) - 348 A(n - 36) - 81 A(n - 35) + 37990 A(n - 34) - 20731 A(n - 33) - 1919649 A(n - 32) + 1331116 A(n - 31) + 52381738 A(n - 30) - 32410038 A(n - 29) - 829821916 A(n - 28) + 401187854 A(n - 27) + 7940092660 A(n - 26) - 2719550990 A(n - 25) - 46857375690 A(n - 24) + 9780306936 A(n - 23) + 171905051163 A(n - 22) - 14025329255 A(n - 21) - 391125668548 A(n - 20) - 15492830163 A(n - 19) + 544816143214 A(n - 18) + 81061567651 A(n - 17) - 450876207459 A(n - 16) - 105970023400 A(n - 15) + 210529380578 A(n - 14) - 52531174312 A(n - 12) + 7437263616 A(n - 10) + 59636356270 A(n - 13) - 14238977514 A(n - 11) + 1490357598 A(n - 9) - 615255850 A(n - 8) - 58718108 A(n - 7) + 25945833 A(n - 6) + 116687 A(n - 5) - 339472 A(n - 4) + 855 A(n - 3) + 1642 A(n - 2) + 25 A(n - 1) subject to the initial conditions A(0) = 823, A(1) = 42754, A(2) = 2329808, A(3) = 124586810, A(4) = 6706672297, A(5) = 360145747468, A(6) = 19356966198586, A(7) = 1040049079652090, A(8) = 55888555081075738, A(9) = 3003118575696664960, A(10) = 161372420990704857186, A(11) = 8671284709215693689866, A(12) = 465949221587172349494301, A(13) = 25037637890935662761870728, A(14) = 1345390204592048039459280708, A(15) = 72294143089013844237835368322, A(16) = 3884704492830374441663329641555, A(17) = 208743448374934319042626169964974, A(18) = 11216767611768230721062899692312170, A(19) = 602729696715776875173472080027878800, A(20) = 32387502374574107788100127302775121338, A(21) = 1740332881198694120140304304852899474960, A(22) = 93516273739962609728679154158553540056794, A(23) = 5025069369319487124214664819486775394851348, A(24) = 270020619482904552399307561282148755050444255, A(25) = 14509478295068320326274990762584285953316932966, A(26) = 779662533916317652403664101218146156269991231104, A(27) = 41894936153474538091608654320604162361623552163282, A(28) = 2251212029502071066956309995621196980116801621997549, A(29) = 120968213991505825280014785556390012932677127093904496, A(30) = 6500191276755178857779169680296091685041218355580638718, A(31) = 349285859815785840827931173388933873095968440682296910638, A(32) = 18768772590359102389296442294139703363842446294402277227646, A(33) = 1008534455801904487810034512177363568232928261243284079012040, A(34) = 54193301327659385335316291954521101452258539752840192022383774, A(35) = 2912061052445939628816691649557911880454252628154925244936677406, A(36) = 156478741199042794630876703207239395864946218244156589595731017413, A(37) = 8408338975816019201760447502840827159161361669156474999625648640116 n A(n) is asymptotic to, 804.0445331 53.73470486 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [823, 42754, 2329808, 124586810, 6706672297, 360145747468, 19356966198586, 1040049079652090, 55888555081075738, 3003118575696664960, 161372420990704857186, 8671284709215693689866, 465949221587172349494301, 25037637890935662761870728, 1345390204592048039459280708, 72294143089013844237835368322, 3884704492830374441663329641555, 208743448374934319042626169964974, 11216767611768230721062899692312170, 602729696715776875173472080027878800, 32387502374574107788100127302775121338, 1740332881198694120140304304852899474960, 93516273739962609728679154158553540056794, 5025069369319487124214664819486775394851348, 270020619482904552399307561282148755050444255, 14509478295068320326274990762584285953316932966, 779662533916317652403664101218146156269991231104, 41894936153474538091608654320604162361623552163282, 2251212029502071066956309995621196980116801621997549, 120968213991505825280014785556390012932677127093904496, 6500191276755178857779169680296091685041218355580638718, 349285859815785840827931173388933873095968440682296910638, 18768772590359102389296442294139703363842446294402277227646, 1008534455801904487810034512177363568232928261243284079012040, 54193301327659385335316291954521101452258539752840192022383774, 2912061052445939628816691649557911880454252628154925244936677406, 156478741199042794630876703207239395864946218244156589595731017413, 8408338975816019201760447502840827159161361669156474999625648640116] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 26, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 2, c[2] = 1, d[1] = 3, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-823 - 27723 t - 3697479337102980268 t / ----- n = 0 40 39 - 2655783796462062760 t + 14619803018173735392 t 38 37 + 6113243159998997850 t - 42431165408550507472 t 36 35 - 8549480112256952804 t + 90905909117468473574 t 34 33 + 5406853012343685158 t - 145242459876446469120 t 32 31 + 3222252675649512758 t + 174887237309705640610 t 30 54 53 - 10090559973283033052 t + 63093782422 t - 1269824862887 t 52 51 50 - 3088422945106 t + 36081372678512 t + 88362072872668 t 49 48 47 - 693975444829187 t - 1574506444230475 t + 9458675990081856 t 46 45 44 + 18318683824432150 t - 93913068797027916 t - 142842390724031356 t 43 42 58 + 686625636613700128 t + 752420621249143432 t + 4237046 t 57 56 55 63 62 - 395137386 t - 716481289 t + 28626790845 t + 20 t + 14 t 61 60 59 2 3 - 12880 t - 11896 t + 3149057 t + 25162 t + 8272868 t 4 5 6 7 + 24455918 t - 1128593235 t - 3225481354 t + 89430268489 t 8 9 10 + 146862280395 t - 4238116240230 t - 1981316415940 t 11 12 13 + 119169998019497 t - 16601496245268 t - 2148268378440880 t 14 15 16 + 802377813514880 t + 26455860433292372 t - 10471426446695472 t 17 18 19 - 231263190283184708 t + 71346901003374552 t + 1463859633470808392 t 20 21 - 264985666312446204 t - 6775681345169757204 t 22 23 + 403304600447336194 t + 23092657358542392752 t 24 25 + 688220366911822690 t - 58460862436120842290 t 26 27 - 4543205738652815438 t + 111088633780180230548 t 28 29 / 2 + 9582051103949401868 t - 159845103041674714326 t ) / ((t - 3 t + 1) / 2 2 6 5 4 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 55 t + 64 t + 27 t - 12 t - 1) 6 5 4 3 2 10 9 8 7 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 30 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) (1 - 45 t + t 2 3 4 5 6 7 - 643 t + 13176 t + 51389 t - 1200573 t + 1014883 t + 26967984 t 8 9 10 11 - 35933608 t - 268372122 t + 305637102 t + 1311635442 t 12 13 14 15 - 1086269752 t - 2979007482 t + 2176379842 t + 3230889474 t 16 17 18 19 - 2365202364 t - 1641456804 t + 1244628572 t + 417258588 t 20 21 22 23 24 - 327373460 t - 56101710 t + 43593486 t + 4062786 t - 2716561 t 25 26 27 28 29 - 148317 t + 61013 t + 1350 t - 461 t - 3 t )) and in Maple input format: -(-823-27723*t-3697479337102980268*t^41-2655783796462062760*t^40+ 14619803018173735392*t^39+6113243159998997850*t^38-42431165408550507472*t^37-\ 8549480112256952804*t^36+90905909117468473574*t^35+5406853012343685158*t^34-\ 145242459876446469120*t^33+3222252675649512758*t^32+174887237309705640610*t^31-\ 10090559973283033052*t^30+63093782422*t^54-1269824862887*t^53-3088422945106*t^ 52+36081372678512*t^51+88362072872668*t^50-693975444829187*t^49-\ 1574506444230475*t^48+9458675990081856*t^47+18318683824432150*t^46-\ 93913068797027916*t^45-142842390724031356*t^44+686625636613700128*t^43+ 752420621249143432*t^42+4237046*t^58-395137386*t^57-716481289*t^56+28626790845* t^55+20*t^63+14*t^62-12880*t^61-11896*t^60+3149057*t^59+25162*t^2+8272868*t^3+ 24455918*t^4-1128593235*t^5-3225481354*t^6+89430268489*t^7+146862280395*t^8-\ 4238116240230*t^9-1981316415940*t^10+119169998019497*t^11-16601496245268*t^12-\ 2148268378440880*t^13+802377813514880*t^14+26455860433292372*t^15-\ 10471426446695472*t^16-231263190283184708*t^17+71346901003374552*t^18+ 1463859633470808392*t^19-264985666312446204*t^20-6775681345169757204*t^21+ 403304600447336194*t^22+23092657358542392752*t^23+688220366911822690*t^24-\ 58460862436120842290*t^25-4543205738652815438*t^26+111088633780180230548*t^27+ 9582051103949401868*t^28-159845103041674714326*t^29)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t ^2-t-1)/(t^6+3*t^5-20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-4*t^5-55*t^4+64*t^3+27*t^2-\ 12*t-1)/(t^6+t^5-10*t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-189*t^7+253*t^6+ 456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(1-45*t+t^30-643*t^2+13176*t^3+51389*t^4 -1200573*t^5+1014883*t^6+26967984*t^7-35933608*t^8-268372122*t^9+305637102*t^10 +1311635442*t^11-1086269752*t^12-2979007482*t^13+2176379842*t^14+3230889474*t^ 15-2365202364*t^16-1641456804*t^17+1244628572*t^18+417258588*t^19-327373460*t^ 20-56101710*t^21+43593486*t^22+4062786*t^23-2716561*t^24-148317*t^25+61013*t^26 +1350*t^27-461*t^28-3*t^29) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -1768887293425253 A(n - 16) + 25300611926592 A(n - 15) + 142710868607188 A(n - 14) - 4072401415944 A(n - 13) - 7815912693181 A(n - 12) + 365357960808 A(n - 11) + 272711157972 A(n - 10) - 16676532990 A(n - 9) - 5607386272 A(n - 8) + 344387040 A(n - 7) + 68954768 A(n - 6) - 3158460 A(n - 5) - 503433 A(n - 4) + 9216 A(n - 3) + 1812 A(n - 2) + 18 A(n - 1) + 644 A(n - 62) + 144 A(n - 61) - 157689 A(n - 60) - 101592 A(n - 59) + 19882148 A(n - 58) + 22062690 A(n - 57) - 1455545312 A(n - 56) - 2173424544 A(n - 55) + 65737975968 A(n - 54) + 112273315524 A(n - 53) - 1915849697341 A(n - 52) - 3282688992288 A(n - 51) + 37882187006692 A(n - 50) + 58398668118258 A(n - 49) - 529053113417685 A(n - 48) - 661319028845088 A(n - 47) + 5345856437450944 A(n - 46) + 4832379985745928 A(n - 45) - 39484271694782400 A(n - 44) - 22180564156337184 A(n - 43) + 213557973632288688 A(n - 42) + 56339768327894736 A(n - 41) - 845381212713038106 A(n - 40) - 25651110172801152 A(n - 39) + 2454715080855219496 A(n - 38) - 329592605709757080 A(n - 37) - 5269835601731878474 A(n - 36) + 1240670189558911920 A(n - 35) + 8466663132847395816 A(n - 34) - 2391291261773411028 A(n - 33) - 10302729142383235968 A(n - 32) + 2940154802696207616 A(n - 31) + 9569655270135078160 A(n - 30) - 2441276798924177640 A(n - 29) - 6792150653279177786 A(n - 28) + 1384351019321452512 A(n - 27) + 3660800893000616328 A(n - 26) - 528792528145961076 A(n - 25) - 1480581268735474602 A(n - 24) + 131623964950108896 A(n - 23) + 443220092302143072 A(n - 22) - 20349404213214744 A(n - 21) - 97128313588208192 A(n - 20) + 1901371270337376 A(n - 19) + 15457967764826000 A(n - 18) - 152895672282864 A(n - 17) - A(n - 64) subject to the initial conditions A(0) = 823, A(1) = 42537, A(2) = 2231780, A(3) = 116560984, A(4) = 6095322787, A(5) = 318607048788, A(6) = 16655949938430, A(7) = 870695061615563, A(8) = 45516414439458360, A(9) = 2379405034245344600, A(10) = 124385343065198655940, A(11) = 6502343180427949370568, A(12) = 339915221479148119201141, A(13) = 17769341099131060121736971, A(14) = 928906581451522198426866330, A(15) = 48559337652832624489438207076, A(16) = 2538478381684091942596893179479, A(17) = 132700996425611348013072407270182, A(18) = 6937051180378672372725598193731164, A(19) = 362639922638008602442725873117312253, A(20) = 18957293246455479273971284040359260272, A(21) = 991007731903298904882481442367461203792, A(22) = 51805725212201324867511855411618974688466, A(23) = 2708185898415629511268155622423110261501336, A(24) = 141572593189961319133190197853246871822789347, A(25) = 7400821027188491107611846563231476516197339961, A(26) = 386883863905655805895612913844590929618047970148, A(27) = 20224664750125897815994987769487144881288900284424, A(28) = 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, A(29) = 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, A(30) = 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, A(31) = 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, A(32) = 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, A(33) = 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, A(34) = 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, A(35) = 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, A(36) = 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, A(37) = 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931 , A(38) = 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, A(39) = 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, A(40) = 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, A(41) = 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, A(42) = 1203350249945744297230902203789652925116525705795754708615426198\ 005798519584, A(43) = 62906100906983610103890489529925482479618280225620\ 412353548287939261270201949, A(44) = 32884669542371576848611424155619355\ 40094310471134506035602267705943213664159584, A(45) = 171907251493778011\ 548928419326330298708012970727648666939110057867738569664145024, A(46) = 898658965633437336508155367056895298951545990151975034129376544481843346\ 4295499638, A(47) = 4697811927628830942002506750414637554803190379763800\ 91255451505989480172657272960076, A(48) = 245581892034156009000951285850\ 09978303926846519482571960377056336089552848441483597263, A(49) = 128379\ 906697365181392758888409750495691084568575324462573806293088942466709660\ 9715173689, A(50) = 6711162743762852028699549902487377323352571807844598\ 7553219874861661566451010682398683252, A(51) = 3508314231715741653379785\ 429834057801659985988302950595056014332591170388087383547782587384, A(52) = 183399944516293253904771759950218373184765419104470487811223835936290\ 760934249653056628238515, A(53) = 95873794155918518632516230837685296045\ 48138608224736815958163535922778238573654169555118300220, A(54) = 501187\ 960012432698853892723594807928737388299141355545675365150812041251626588\ 423121231017333782, A(55) = 26200003188871118359445504277671837924103905\ 313710839495864455377624705955526683334904192799724075, A(56) = 13696262\ 118503976446274169469974036873274719275683899731162213071280541361671421\ 36275290431957886680, A(57) = 715983103767132154883877822532132524891436\ 24963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, A(58) = 374\ 285918628439615412214501233096940635862992321477225080144307990671160820\ 5572563386526543872034155740, A(59) = 1956609704146008306824082347892313\ 19767086561228157026014477574482430493769693356504602896219914077780224, A(60) = 1022833439309474534842250764466023605698968368992466576933897808\ 6066449946703158881015845401963507857848957, A(61) = 5346943963084723120\ 302478691539526399152396049769762392986738917314640533158750739045990249\ 42352933839030923, A(62) = 279515790602910304289268909759472197788211501\ 09476242619562007214929808563759314046632234748037697213112282490, A(63) = 146119124748216542231523675555440059257091784067247102789283341910030663\ 9171067303033140815861349908979106872340 n A(n) is asymptotic to, 816.1350569 52.27580325 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [823, 42537, 2231780, 116560984, 6095322787, 318607048788, 16655949938430, 870695061615563, 45516414439458360, 2379405034245344600, 124385343065198655940, 6502343180427949370568, 339915221479148119201141, 17769341099131060121736971, 928906581451522198426866330, 48559337652832624489438207076, 2538478381684091942596893179479, 132700996425611348013072407270182, 6937051180378672372725598193731164, 362639922638008602442725873117312253, 18957293246455479273971284040359260272, 991007731903298904882481442367461203792, 51805725212201324867511855411618974688466, 2708185898415629511268155622423110261501336, 141572593189961319133190197853246871822789347, 7400821027188491107611846563231476516197339961, 386883863905655805895612913844590929618047970148, 20224664750125897815994987769487144881288900284424, 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931, 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, 120335024994574429723090220378965292511652570579575470861542619800579851\ 9584, 6290610090698361010389048952992548247961828022562041235354828793926\ 1270201949, 3288466954237157684861142415561935540094310471134506035602267\ 705943213664159584, 17190725149377801154892841932633029870801297072764866\ 6939110057867738569664145024, 8986589656334373365081553670568952989515459\ 901519750341293765444818433464295499638, 46978119276288309420025067504146\ 3755480319037976380091255451505989480172657272960076, 2455818920341560090\ 0095128585009978303926846519482571960377056336089552848441483597263, 1283\ 799066973651813927588884097504956910845685753244625738062930889424667096\ 609715173689, 67111627437628520286995499024873773233525718078445987553219\ 874861661566451010682398683252, 35083142317157416533797854298340578016599\ 85988302950595056014332591170388087383547782587384, 183399944516293253904\ 771759950218373184765419104470487811223835936290760934249653056628238515, 958737941559185186325162308376852960454813860822473681595816353592277823\ 8573654169555118300220, 5011879600124326988538927235948079287373882991413\ 55545675365150812041251626588423121231017333782, 262000031888711183594455\ 042776718379241039053137108394958644553776247059555266833349041927997240\ 75, 136962621185039764462741694699740368732747192756838997311622130712805\ 4136167142136275290431957886680, 7159831037671321548838778225321325248914\ 3624963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, 3742859186\ 284396154122145012330969406358629923214772250801443079906711608205572563\ 386526543872034155740, 19566097041460083068240823478923131976708656122815\ 7026014477574482430493769693356504602896219914077780224, 1022833439309474\ 534842250764466023605698968368992466576933897808606644994670315888101584\ 5401963507857848957, 5346943963084723120302478691539526399152396049769762\ 39298673891731464053315875073904599024942352933839030923, 279515790602910\ 304289268909759472197788211501094762426195620072149298085637593140466322\ 34748037697213112282490, 146119124748216542231523675555440059257091784067\ 2471027892833419100306639171067303033140815861349908979106872340] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 27, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 2, c[2] = 2, d[1] = 1, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 2 3 4 5 ) A(n) t = - (-71 - 604 t + 5777 t + 34470 t - 226823 t - 542336 t / ----- n = 0 6 7 8 9 10 + 4079119 t + 760190 t - 26541937 t + 8993066 t + 88167538 t 11 12 13 14 - 38601830 t - 169315307 t + 64422418 t + 192370005 t 15 16 17 18 - 57566382 t - 128213568 t + 33081206 t + 50009761 t 19 20 21 22 23 - 12724322 t - 11008647 t + 2998698 t + 1233686 t - 365758 t 24 25 26 27 28 29 / - 58542 t + 18502 t + 1170 t - 360 t - 9 t + 2 t ) / ((t + 1) / 2 3 2 3 2 (t - 3 t + 1) (t + 7 t + 11 t + 1) (t - t - 3 t + 1) 3 2 6 5 4 3 2 (t - 3 t - t + 1) (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 21 t + 126 t - 249 t + 170 t - 33 t + 1) 6 5 4 3 2 (t + 9 t + 2 t - 27 t - 20 t + 3 t + 1)) and in Maple input format: -(-71-604*t+5777*t^2+34470*t^3-226823*t^4-542336*t^5+4079119*t^6+760190*t^7-\ 26541937*t^8+8993066*t^9+88167538*t^10-38601830*t^11-169315307*t^12+64422418*t^ 13+192370005*t^14-57566382*t^15-128213568*t^16+33081206*t^17+50009761*t^18-\ 12724322*t^19-11008647*t^20+2998698*t^21+1233686*t^22-365758*t^23-58542*t^24+ 18502*t^25+1170*t^26-360*t^27-9*t^28+2*t^29)/(t+1)/(t^2-3*t+1)/(t^3+7*t^2+11*t+ 1)/(t^3-t^2-3*t+1)/(t^3-3*t^2-t+1)/(t^6+3*t^5-20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-\ 21*t^5+126*t^4-249*t^3+170*t^2-33*t+1)/(t^6+9*t^5+2*t^4-27*t^3-20*t^2+3*t+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -A(n - 30) + 8 A(n - 29) + 152 A(n - 28) - 956 A(n - 27) - 6856 A(n - 26) + 40544 A(n - 25) + 117983 A(n - 24) - 756920 A(n - 23) - 754880 A(n - 22) + 6471424 A(n - 21) + 2002528 A(n - 20) - 29228584 A(n - 19) - 2385550 A(n - 18) + 75768352 A(n - 17) + 2712592 A(n - 16) - 115162596 A(n - 15) - 4713456 A(n - 14) + 101115904 A(n - 13) + 1661602 A(n - 12) - 51288408 A(n - 11) + 2624064 A(n - 10) + 14586648 A(n - 9) - 2092320 A(n - 8) - 2007784 A(n - 7) + 472703 A(n - 6) + 79304 A(n - 5) - 23336 A(n - 4) - 1352 A(n - 3) + 376 A(n - 2) + 16 A(n - 1) subject to the initial conditions A(0) = 71, A(1) = 1740, A(2) = 48759, A(3) = 1303922, A(4) = 35413623, A(5) = 956538752, A(6) = 25886871466, A(7) = 700086946222, A(8) = 18938041310658, A(9) = 512244812492940, A(10) = 13855909889642103, A(11) = 374789119160644782, A(12) = 10137735842555667591, A(13) = 274216883663363465792, A(14) = 7417331736690375725671, A(15) = 200632417039309479415682, A(16) = 5426934111368636657147319, A(17) = 146793889130587052448060520, A(18) = 3970648203875740333519019330, A(19) = 107402611717440681445730486514, A(20) = 2905148085220238207952119607882, A(21) = 78581751930803328866315739904400, A(22) = 2125568665398082372533136158499367, A(23) = 57494800507973264082129518964876978, A(24) = 1555184802731456486910235681899985919, A(25) = 42066408601123450573501546821793735820, A(26) = 1137860098362183151193276219173096962063, A(27) = 30778135013104700417001592565010019456834, A(28) = 832522026432999156842701178717022236087463, A(29) = 22519003318452186630813343885559953217748992 n A(n) is asymptotic to, 66.08450447 27.04913816 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [71, 1740, 48759, 1303922, 35413623, 956538752, 25886871466, 700086946222, 18938041310658, 512244812492940, 13855909889642103, 374789119160644782, 10137735842555667591, 274216883663363465792, 7417331736690375725671, 200632417039309479415682, 5426934111368636657147319, 146793889130587052448060520, 3970648203875740333519019330, 107402611717440681445730486514, 2905148085220238207952119607882, 78581751930803328866315739904400, 2125568665398082372533136158499367, 57494800507973264082129518964876978, 1555184802731456486910235681899985919, 42066408601123450573501546821793735820, 1137860098362183151193276219173096962063, 30778135013104700417001592565010019456834, 832522026432999156842701178717022236087463, 22519003318452186630813343885559953217748992] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 28, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 2, c[2] = 2, d[1] = 1, d[2] = 2 Then infinity ----- \ n 37 36 35 34 ) A(n) t = - (823 + 22179 t + 16 t + 62 t - 5526 t - 5810 t / ----- n = 0 33 32 31 30 2 + 603200 t + 123782 t - 30401156 t + 203535 t - 90408 t 3 4 5 6 7 - 4564123 t + 9288097 t + 333164670 t - 992797519 t - 7685351925 t 8 9 10 11 + 22754782768 t + 90931193837 t - 214663134465 t - 636000002090 t 12 13 14 + 943970802025 t + 2568154857217 t - 1958664741480 t 15 16 17 - 5629875501725 t + 2137885907754 t + 7030569449173 t 18 19 20 - 1320782342591 t - 5242628429036 t + 481028799335 t 21 22 23 + 2396424043717 t - 103900080524 t - 678099427757 t 24 25 26 27 + 12438683127 t + 118807143838 t - 635034919 t - 12759765293 t 28 29 / 2 - 3096246 t + 821189575 t ) / ((t - t - 1) / 6 5 4 3 2 (t + 3 t - 12 t - t + 10 t + t - 1) 6 5 4 3 2 (t - 7 t - 16 t + 73 t + 100 t - 11 t - 1) 6 5 4 3 2 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) 6 5 4 3 2 12 10 9 (t + 7 t - 148 t + 227 t + 1110 t + 33 t - 1) (t - 111 t - 304 t 8 7 6 5 4 3 2 + 1110 t + 2812 t - 1651 t - 2812 t + 1110 t + 304 t - 111 t + 1)) and in Maple input format: -(823+22179*t+16*t^37+62*t^36-5526*t^35-5810*t^34+603200*t^33+123782*t^32-\ 30401156*t^31+203535*t^30-90408*t^2-4564123*t^3+9288097*t^4+333164670*t^5-\ 992797519*t^6-7685351925*t^7+22754782768*t^8+90931193837*t^9-214663134465*t^10-\ 636000002090*t^11+943970802025*t^12+2568154857217*t^13-1958664741480*t^14-\ 5629875501725*t^15+2137885907754*t^16+7030569449173*t^17-1320782342591*t^18-\ 5242628429036*t^19+481028799335*t^20+2396424043717*t^21-103900080524*t^22-\ 678099427757*t^23+12438683127*t^24+118807143838*t^25-635034919*t^26-12759765293 *t^27-3096246*t^28+821189575*t^29)/(t^2-t-1)/(t^6+3*t^5-12*t^4-t^3+10*t^2+t-1)/ (t^6-7*t^5-16*t^4+73*t^3+100*t^2-11*t-1)/(t^6+t^5-10*t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^6 +7*t^5-148*t^4+227*t^3+1110*t^2+33*t-1)/(t^12-111*t^10-304*t^9+1110*t^8+2812*t^ 7-1651*t^6-2812*t^5+1110*t^4+304*t^3-111*t^2+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = A(n - 38) + 3 A(n - 37) - 348 A(n - 36) - 81 A(n - 35) + 37990 A(n - 34) - 20731 A(n - 33) - 1919649 A(n - 32) + 1331116 A(n - 31) + 52381738 A(n - 30) - 32410038 A(n - 29) - 829821916 A(n - 28) + 401187854 A(n - 27) + 7940092660 A(n - 26) - 2719550990 A(n - 25) - 46857375690 A(n - 24) + 9780306936 A(n - 23) + 171905051163 A(n - 22) - 14025329255 A(n - 21) - 391125668548 A(n - 20) - 15492830163 A(n - 19) + 544816143214 A(n - 18) + 81061567651 A(n - 17) - 450876207459 A(n - 16) - 105970023400 A(n - 15) + 210529380578 A(n - 14) + 59636356270 A(n - 13) - 52531174312 A(n - 12) - 14238977514 A(n - 11) + 7437263616 A(n - 10) + 1490357598 A(n - 9) - 615255850 A(n - 8) - 58718108 A(n - 7) + 25945833 A(n - 6) + 116687 A(n - 5) - 339472 A(n - 4) + 855 A(n - 3) + 1642 A(n - 2) + 25 A(n - 1) subject to the initial conditions A(0) = 823, A(1) = 42754, A(2) = 2329808, A(3) = 124586810, A(4) = 6706672297, A(5) = 360145747468, A(6) = 19356966198586, A(7) = 1040049079652090, A(8) = 55888555081075738, A(9) = 3003118575696664960, A(10) = 161372420990704857186, A(11) = 8671284709215693689866, A(12) = 465949221587172349494301, A(13) = 25037637890935662761870728, A(14) = 1345390204592048039459280708, A(15) = 72294143089013844237835368322, A(16) = 3884704492830374441663329641555, A(17) = 208743448374934319042626169964974, A(18) = 11216767611768230721062899692312170, A(19) = 602729696715776875173472080027878800, A(20) = 32387502374574107788100127302775121338, A(21) = 1740332881198694120140304304852899474960, A(22) = 93516273739962609728679154158553540056794, A(23) = 5025069369319487124214664819486775394851348, A(24) = 270020619482904552399307561282148755050444255, A(25) = 14509478295068320326274990762584285953316932966, A(26) = 779662533916317652403664101218146156269991231104, A(27) = 41894936153474538091608654320604162361623552163282, A(28) = 2251212029502071066956309995621196980116801621997549, A(29) = 120968213991505825280014785556390012932677127093904496, A(30) = 6500191276755178857779169680296091685041218355580638718, A(31) = 349285859815785840827931173388933873095968440682296910638, A(32) = 18768772590359102389296442294139703363842446294402277227646, A(33) = 1008534455801904487810034512177363568232928261243284079012040, A(34) = 54193301327659385335316291954521101452258539752840192022383774, A(35) = 2912061052445939628816691649557911880454252628154925244936677406, A(36) = 156478741199042794630876703207239395864946218244156589595731017413, A(37) = 8408338975816019201760447502840827159161361669156474999625648640116 n A(n) is asymptotic to, 804.0445331 53.73470486 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [823, 42754, 2329808, 124586810, 6706672297, 360145747468, 19356966198586, 1040049079652090, 55888555081075738, 3003118575696664960, 161372420990704857186, 8671284709215693689866, 465949221587172349494301, 25037637890935662761870728, 1345390204592048039459280708, 72294143089013844237835368322, 3884704492830374441663329641555, 208743448374934319042626169964974, 11216767611768230721062899692312170, 602729696715776875173472080027878800, 32387502374574107788100127302775121338, 1740332881198694120140304304852899474960, 93516273739962609728679154158553540056794, 5025069369319487124214664819486775394851348, 270020619482904552399307561282148755050444255, 14509478295068320326274990762584285953316932966, 779662533916317652403664101218146156269991231104, 41894936153474538091608654320604162361623552163282, 2251212029502071066956309995621196980116801621997549, 120968213991505825280014785556390012932677127093904496, 6500191276755178857779169680296091685041218355580638718, 349285859815785840827931173388933873095968440682296910638, 18768772590359102389296442294139703363842446294402277227646, 1008534455801904487810034512177363568232928261243284079012040, 54193301327659385335316291954521101452258539752840192022383774, 2912061052445939628816691649557911880454252628154925244936677406, 156478741199042794630876703207239395864946218244156589595731017413, 8408338975816019201760447502840827159161361669156474999625648640116] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 29, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 2, c[2] = 2, d[1] = 2, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 37 36 35 34 ) A(n) t = - (823 + 22179 t + 16 t + 62 t - 5526 t - 5810 t / ----- n = 0 33 32 31 30 2 + 603200 t + 123782 t - 30401156 t + 203535 t - 90408 t 3 4 5 6 7 - 4564123 t + 9288097 t + 333164670 t - 992797519 t - 7685351925 t 8 9 10 11 + 22754782768 t + 90931193837 t - 214663134465 t - 636000002090 t 12 13 14 + 943970802025 t + 2568154857217 t - 1958664741480 t 15 16 17 - 5629875501725 t + 2137885907754 t + 7030569449173 t 18 19 20 - 1320782342591 t - 5242628429036 t + 481028799335 t 21 22 23 + 2396424043717 t - 103900080524 t - 678099427757 t 24 25 26 27 + 12438683127 t + 118807143838 t - 635034919 t - 12759765293 t 28 29 / 2 - 3096246 t + 821189575 t ) / ((t - t - 1) / 6 5 4 3 2 (t + 3 t - 12 t - t + 10 t + t - 1) 6 5 4 3 2 (t - 7 t - 16 t + 73 t + 100 t - 11 t - 1) 6 5 4 3 2 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) 6 5 4 3 2 12 10 9 (t + 7 t - 148 t + 227 t + 1110 t + 33 t - 1) (t - 111 t - 304 t 8 7 6 5 4 3 2 + 1110 t + 2812 t - 1651 t - 2812 t + 1110 t + 304 t - 111 t + 1)) and in Maple input format: -(823+22179*t+16*t^37+62*t^36-5526*t^35-5810*t^34+603200*t^33+123782*t^32-\ 30401156*t^31+203535*t^30-90408*t^2-4564123*t^3+9288097*t^4+333164670*t^5-\ 992797519*t^6-7685351925*t^7+22754782768*t^8+90931193837*t^9-214663134465*t^10-\ 636000002090*t^11+943970802025*t^12+2568154857217*t^13-1958664741480*t^14-\ 5629875501725*t^15+2137885907754*t^16+7030569449173*t^17-1320782342591*t^18-\ 5242628429036*t^19+481028799335*t^20+2396424043717*t^21-103900080524*t^22-\ 678099427757*t^23+12438683127*t^24+118807143838*t^25-635034919*t^26-12759765293 *t^27-3096246*t^28+821189575*t^29)/(t^2-t-1)/(t^6+3*t^5-12*t^4-t^3+10*t^2+t-1)/ (t^6-7*t^5-16*t^4+73*t^3+100*t^2-11*t-1)/(t^6+t^5-10*t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^6 +7*t^5-148*t^4+227*t^3+1110*t^2+33*t-1)/(t^12-111*t^10-304*t^9+1110*t^8+2812*t^ 7-1651*t^6-2812*t^5+1110*t^4+304*t^3-111*t^2+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = A(n - 38) + 3 A(n - 37) - 348 A(n - 36) - 81 A(n - 35) + 37990 A(n - 34) - 20731 A(n - 33) - 1919649 A(n - 32) + 1331116 A(n - 31) + 52381738 A(n - 30) - 32410038 A(n - 29) - 829821916 A(n - 28) + 401187854 A(n - 27) + 7940092660 A(n - 26) - 2719550990 A(n - 25) - 46857375690 A(n - 24) + 9780306936 A(n - 23) + 171905051163 A(n - 22) - 14025329255 A(n - 21) - 391125668548 A(n - 20) - 15492830163 A(n - 19) + 544816143214 A(n - 18) + 81061567651 A(n - 17) - 450876207459 A(n - 16) - 105970023400 A(n - 15) + 210529380578 A(n - 14) + 59636356270 A(n - 13) - 52531174312 A(n - 12) - 14238977514 A(n - 11) + 7437263616 A(n - 10) + 1490357598 A(n - 9) - 615255850 A(n - 8) - 58718108 A(n - 7) + 25945833 A(n - 6) + 116687 A(n - 5) - 339472 A(n - 4) + 855 A(n - 3) + 1642 A(n - 2) + 25 A(n - 1) subject to the initial conditions A(0) = 823, A(1) = 42754, A(2) = 2329808, A(3) = 124586810, A(4) = 6706672297, A(5) = 360145747468, A(6) = 19356966198586, A(7) = 1040049079652090, A(8) = 55888555081075738, A(9) = 3003118575696664960, A(10) = 161372420990704857186, A(11) = 8671284709215693689866, A(12) = 465949221587172349494301, A(13) = 25037637890935662761870728, A(14) = 1345390204592048039459280708, A(15) = 72294143089013844237835368322, A(16) = 3884704492830374441663329641555, A(17) = 208743448374934319042626169964974, A(18) = 11216767611768230721062899692312170, A(19) = 602729696715776875173472080027878800, A(20) = 32387502374574107788100127302775121338, A(21) = 1740332881198694120140304304852899474960, A(22) = 93516273739962609728679154158553540056794, A(23) = 5025069369319487124214664819486775394851348, A(24) = 270020619482904552399307561282148755050444255, A(25) = 14509478295068320326274990762584285953316932966, A(26) = 779662533916317652403664101218146156269991231104, A(27) = 41894936153474538091608654320604162361623552163282, A(28) = 2251212029502071066956309995621196980116801621997549, A(29) = 120968213991505825280014785556390012932677127093904496, A(30) = 6500191276755178857779169680296091685041218355580638718, A(31) = 349285859815785840827931173388933873095968440682296910638, A(32) = 18768772590359102389296442294139703363842446294402277227646, A(33) = 1008534455801904487810034512177363568232928261243284079012040, A(34) = 54193301327659385335316291954521101452258539752840192022383774, A(35) = 2912061052445939628816691649557911880454252628154925244936677406, A(36) = 156478741199042794630876703207239395864946218244156589595731017413, A(37) = 8408338975816019201760447502840827159161361669156474999625648640116 n A(n) is asymptotic to, 804.0445331 53.73470486 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [823, 42754, 2329808, 124586810, 6706672297, 360145747468, 19356966198586, 1040049079652090, 55888555081075738, 3003118575696664960, 161372420990704857186, 8671284709215693689866, 465949221587172349494301, 25037637890935662761870728, 1345390204592048039459280708, 72294143089013844237835368322, 3884704492830374441663329641555, 208743448374934319042626169964974, 11216767611768230721062899692312170, 602729696715776875173472080027878800, 32387502374574107788100127302775121338, 1740332881198694120140304304852899474960, 93516273739962609728679154158553540056794, 5025069369319487124214664819486775394851348, 270020619482904552399307561282148755050444255, 14509478295068320326274990762584285953316932966, 779662533916317652403664101218146156269991231104, 41894936153474538091608654320604162361623552163282, 2251212029502071066956309995621196980116801621997549, 120968213991505825280014785556390012932677127093904496, 6500191276755178857779169680296091685041218355580638718, 349285859815785840827931173388933873095968440682296910638, 18768772590359102389296442294139703363842446294402277227646, 1008534455801904487810034512177363568232928261243284079012040, 54193301327659385335316291954521101452258539752840192022383774, 2912061052445939628816691649557911880454252628154925244936677406, 156478741199042794630876703207239395864946218244156589595731017413, 8408338975816019201760447502840827159161361669156474999625648640116] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 30, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 2, c[2] = 2, d[1] = 2, d[2] = 2 Then infinity ----- \ n 30 2 3 ) A(n) t = - (10012 + 226706 t + 94 t - 6962033 t - 73176689 t / ----- n = 0 4 5 6 7 + 1679236205 t - 657867045 t - 67451928324 t + 87120095554 t 8 9 10 + 944330286322 t - 1059903067708 t - 5123918478955 t 11 12 13 + 4837640809485 t + 11693567793807 t - 9751493606823 t 14 15 16 - 11643454084810 t + 9040256915004 t + 4977782472712 t 17 18 19 - 3924729557742 t - 823823428983 t + 796609853769 t 20 21 22 23 + 29007687275 t - 74767156291 t + 3505671568 t + 3200500450 t 24 25 26 27 28 - 266911158 t - 61186056 t + 5787443 t + 494267 t - 43975 t 29 / 3 2 3 2 - 1361 t ) / ((t - 1) (t - 7 t + 11 t - 1) (t + 7 t - 33 t - 1) / 3 2 3 2 3 2 (t - 11 t + 7 t - 1) (t + t - 3 t - 1) (t - 27 t + 107 t - 1) 3 2 6 5 4 3 2 (t + 3 t - t - 1) (t + 20 t + 55 t - 304 t - 337 t + 8 t + 1) 6 4 3 2 (t - 37 t - 76 t - 37 t + 1)) and in Maple input format: -(10012+226706*t+94*t^30-6962033*t^2-73176689*t^3+1679236205*t^4-657867045*t^5-\ 67451928324*t^6+87120095554*t^7+944330286322*t^8-1059903067708*t^9-\ 5123918478955*t^10+4837640809485*t^11+11693567793807*t^12-9751493606823*t^13-\ 11643454084810*t^14+9040256915004*t^15+4977782472712*t^16-3924729557742*t^17-\ 823823428983*t^18+796609853769*t^19+29007687275*t^20-74767156291*t^21+ 3505671568*t^22+3200500450*t^23-266911158*t^24-61186056*t^25+5787443*t^26+ 494267*t^27-43975*t^28-1361*t^29)/(t-1)/(t^3-7*t^2+11*t-1)/(t^3+7*t^2-33*t-1)/( t^3-11*t^2+7*t-1)/(t^3+t^2-3*t-1)/(t^3-27*t^2+107*t-1)/(t^3+3*t^2-t-1)/(t^6+20* t^5+55*t^4-304*t^3-337*t^2+8*t+1)/(t^6-37*t^4-76*t^3-37*t^2+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 12584402245 A(n - 9) + 812696875 A(n - 8) - 869788481 A(n - 7) + 6047455 A(n - 6) + 20697221 A(n - 5) - 1205225 A(n - 4) - 65521 A(n - 3) + 3451 A(n - 2) + 81 A(n - 1) + A(n - 31) - 15 A(n - 30) - 461 A(n - 29) + 5505 A(n - 28) + 59201 A(n - 27) - 684491 A(n - 26) - 2558281 A(n - 25) + 35755001 A(n - 24) + 23154605 A(n - 23) - 829335475 A(n - 22) + 627980015 A(n - 21) + 8711396645 A(n - 20) - 12098392195 A(n - 19) - 41909378655 A(n - 18) + 69258780275 A(n - 17) + 93418829085 A(n - 16) - 160636810285 A(n - 15) - 97612599005 A(n - 14) + 160967323545 A(n - 13) + 47627137795 A(n - 12) - 69742481165 A(n - 11) - 10390969745 A(n - 10) subject to the initial conditions A(0) = 10012, A(1) = 1037678, A(2) = 111641297, A(3) = 11894798894, A(4) = 1270375649628, A(5) = 135590456424382, A(6) = 14474451482814545, A(7) = 1545089361997791998, A(8) = 164934430549168741724, A(9) = 17606263762060561030030, A(10) = 1879419099578805232090609, A(11) = 200622621159027976576378702, A(12) = 21415894354969320282385322524, A(13) = 2286085744862517344562960137758, A(14) = 244033146827939472987566723680817, A(15) = 26049843789785605839595352558374430, A(16) = 2780746677343417858580625584673886748, A(17) = 296836792702867689378913381216230992814, A(18) = 31686482709548483545087060496311583469265, A(19) = 3382441837239302389906170164331523652116718, A(20) = 361066038389106049326616698717542243623075676, A(21) = 38542771864482853513781430358283359250403930494, A(22) = 4114331188905950979457186561135407531813581995729, A(23) = 439193143438602420933795630490542457676128759459774, A(24) = 46882617948602915008577942674467851484047504508865372, A(25) = 5004586019958823607095951797440318530199280849628167118, A(26) = 534225312644126446127715265479595224469364615100414024817, A(27) = 57027031513000551570118232188420303838855173757900755503374, A(28) = 6087473293035688842361611871627704092693546748629184967402268, A(29) = 649820446729280292872727764295263544391895908743752278496894942, A(30) = 69366483048152542150394963571402294475652216074980631924359355185 n A(n) is asymptotic to, 9782.741470 106.7471536 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [10012, 1037678, 111641297, 11894798894, 1270375649628, 135590456424382, 14474451482814545, 1545089361997791998, 164934430549168741724, 17606263762060561030030, 1879419099578805232090609, 200622621159027976576378702, 21415894354969320282385322524, 2286085744862517344562960137758, 244033146827939472987566723680817, 26049843789785605839595352558374430, 2780746677343417858580625584673886748, 296836792702867689378913381216230992814, 31686482709548483545087060496311583469265, 3382441837239302389906170164331523652116718, 361066038389106049326616698717542243623075676, 38542771864482853513781430358283359250403930494, 4114331188905950979457186561135407531813581995729, 439193143438602420933795630490542457676128759459774, 46882617948602915008577942674467851484047504508865372, 5004586019958823607095951797440318530199280849628167118, 534225312644126446127715265479595224469364615100414024817, 57027031513000551570118232188420303838855173757900755503374, 6087473293035688842361611871627704092693546748629184967402268, 649820446729280292872727764295263544391895908743752278496894942, 69366483048152542150394963571402294475652216074980631924359355185] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 31, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 2, c[2] = 3, d[1] = 1, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-228 - 8694 t - 89983010909153129101058164 t / ----- n = 0 40 39 - 7101458508049127408080500 t + 73470993623759704407137888 t 38 37 + 7548653892457382268570749 t - 49077510143608216316639680 t 36 35 - 6582501756922331745830230 t + 26682951823143464221716546 t 34 33 + 4498227614777447555584588 t - 11735520079052069293795330 t 32 31 - 2372456956140311133567141 t + 4150295201081654565604692 t 30 54 + 960508280570912838066020 t + 795158546239183070895304 t 53 52 - 4727287444648961873039260 t - 1824668094117228210744871 t 51 50 + 12809046258042327920328514 t + 3252111706082694984156705 t 49 48 - 28217165310874875308121826 t - 4558231044492884914824636 t 47 46 + 50741829258955464499778176 t + 5248159416755970226233400 t 45 44 - 74758958034200650141133564 t - 5528367846216042481754188 t 43 42 + 90466212451391924119107308 t + 6113737790007132299814072 t 58 57 + 70376493920924436191120 t - 341333829387051769765040 t 56 55 - 268590034397624105560817 t + 1413222112975206999580614 t 68 67 - 1892065201525833834 t + 11060901438364890206 t 66 65 + 26177047062622175148 t - 135215154035363256730 t 64 63 - 277063155404208472654 t + 1325131900784350703254 t 62 61 + 2262367311084733686575 t - 10455535747079191396176 t 60 59 87 - 14318922610674663318862 t + 66518798355448579150550 t + 4 t 86 85 84 83 82 81 + 7 t - 2896 t - 5322 t + 845142 t + 1754060 t - 135232354 t 80 79 78 77 - 318529411 t + 13491633832 t + 35211906420 t - 900848312714 t 76 75 74 - 2522246782193 t + 42186041192264 t + 122484902575185 t 73 72 71 - 1436461709412642 t - 4179990973481620 t + 36660978760012344 t 70 69 2 3 + 103274619303295084 t - 719211873108861918 t + 19891 t + 3727882 t 4 5 6 7 + 9372871 t - 761643704 t - 2006841312 t + 95109197950 t 8 9 10 + 134226735929 t - 7655440103340 t + 120242209816 t 11 12 13 + 398319440682194 t - 450176680771058 t - 13636825841871008 t 14 15 16 + 24980246298757453 t + 325218241219472902 t - 723205001999356990 t 17 18 - 5711821644965973106 t + 13574301297512483548 t 19 20 + 77070194097334859382 t - 179585951939049639018 t 21 22 - 821334502136927549286 t + 1745479990440673592220 t 23 24 + 7013262938302724411912 t - 12735907823897207758956 t 25 26 - 48184784858656221340422 t + 70516285904921539453403 t 27 28 + 265924249001532692290668 t - 297709413248981616767663 t 29 / 2 - 1175031597442572066119586 t ) / ((t + 1) (t - 3 t + 1) / 2 2 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t - t - 3 t + 1) 5 4 3 2 (t - t - 9 t + 9 t + 5 t - 1) 6 5 4 3 2 (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 55 t + 64 t + 27 t - 12 t - 1) 6 5 4 3 2 10 9 8 7 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 15 14 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) (t + t 13 12 11 10 9 8 7 - 66 t - 64 t + 1215 t + 925 t - 6841 t - 2241 t + 9983 t 6 5 4 3 2 + 3157 t - 4733 t - 1709 t + 422 t + 124 t - 15 t - 1) (1 - 45 t 30 2 3 4 5 6 + t - 643 t + 13176 t + 51389 t - 1200573 t + 1014883 t 7 8 9 10 + 26967984 t - 35933608 t - 268372122 t + 305637102 t 11 12 13 14 + 1311635442 t - 1086269752 t - 2979007482 t + 2176379842 t 15 16 17 18 + 3230889474 t - 2365202364 t - 1641456804 t + 1244628572 t 19 20 21 22 + 417258588 t - 327373460 t - 56101710 t + 43593486 t 23 24 25 26 27 28 + 4062786 t - 2716561 t - 148317 t + 61013 t + 1350 t - 461 t 29 - 3 t )) and in Maple input format: -(-228-8694*t-89983010909153129101058164*t^41-7101458508049127408080500*t^40+ 73470993623759704407137888*t^39+7548653892457382268570749*t^38-\ 49077510143608216316639680*t^37-6582501756922331745830230*t^36+ 26682951823143464221716546*t^35+4498227614777447555584588*t^34-\ 11735520079052069293795330*t^33-2372456956140311133567141*t^32+ 4150295201081654565604692*t^31+960508280570912838066020*t^30+ 795158546239183070895304*t^54-4727287444648961873039260*t^53-\ 1824668094117228210744871*t^52+12809046258042327920328514*t^51+ 3252111706082694984156705*t^50-28217165310874875308121826*t^49-\ 4558231044492884914824636*t^48+50741829258955464499778176*t^47+ 5248159416755970226233400*t^46-74758958034200650141133564*t^45-\ 5528367846216042481754188*t^44+90466212451391924119107308*t^43+ 6113737790007132299814072*t^42+70376493920924436191120*t^58-\ 341333829387051769765040*t^57-268590034397624105560817*t^56+ 1413222112975206999580614*t^55-1892065201525833834*t^68+11060901438364890206*t^ 67+26177047062622175148*t^66-135215154035363256730*t^65-277063155404208472654*t ^64+1325131900784350703254*t^63+2262367311084733686575*t^62-\ 10455535747079191396176*t^61-14318922610674663318862*t^60+ 66518798355448579150550*t^59+4*t^87+7*t^86-2896*t^85-5322*t^84+845142*t^83+ 1754060*t^82-135232354*t^81-318529411*t^80+13491633832*t^79+35211906420*t^78-\ 900848312714*t^77-2522246782193*t^76+42186041192264*t^75+122484902575185*t^74-\ 1436461709412642*t^73-4179990973481620*t^72+36660978760012344*t^71+ 103274619303295084*t^70-719211873108861918*t^69+19891*t^2+3727882*t^3+9372871*t ^4-761643704*t^5-2006841312*t^6+95109197950*t^7+134226735929*t^8-7655440103340* t^9+120242209816*t^10+398319440682194*t^11-450176680771058*t^12-\ 13636825841871008*t^13+24980246298757453*t^14+325218241219472902*t^15-\ 723205001999356990*t^16-5711821644965973106*t^17+13574301297512483548*t^18+ 77070194097334859382*t^19-179585951939049639018*t^20-821334502136927549286*t^21 +1745479990440673592220*t^22+7013262938302724411912*t^23-\ 12735907823897207758956*t^24-48184784858656221340422*t^25+ 70516285904921539453403*t^26+265924249001532692290668*t^27-\ 297709413248981616767663*t^28-1175031597442572066119586*t^29)/(t+1)/(t^2-3*t+1) /(t^2+4*t-1)/(t^2-t-1)/(t^3-t^2-3*t+1)/(t^5-t^4-9*t^3+9*t^2+5*t-1)/(t^6+3*t^5-\ 20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-4*t^5-55*t^4+64*t^3+27*t^2-12*t-1)/(t^6+t^5-10* t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-189*t^7+253*t^6+456*t^5-187*t^4-297*t^ 3-38*t^2+15*t+1)/(t^15+t^14-66*t^13-64*t^12+1215*t^11+925*t^10-6841*t^9-2241*t^ 8+9983*t^7+3157*t^6-4733*t^5-1709*t^4+422*t^3+124*t^2-15*t-1)/(1-45*t+t^30-643* t^2+13176*t^3+51389*t^4-1200573*t^5+1014883*t^6+26967984*t^7-35933608*t^8-\ 268372122*t^9+305637102*t^10+1311635442*t^11-1086269752*t^12-2979007482*t^13+ 2176379842*t^14+3230889474*t^15-2365202364*t^16-1641456804*t^17+1244628572*t^18 +417258588*t^19-327373460*t^20-56101710*t^21+43593486*t^22+4062786*t^23-2716561 *t^24-148317*t^25+61013*t^26+1350*t^27-461*t^28-3*t^29) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 3669685678735463663504976 A(n - 34) + 83864304450706096357742 A(n - 33) - 1339301265288695821214976 A(n - 32) - 93319969603721286900032 A(n - 31) + 390381733645000480159812 A(n - 30) + 41135287444001973891092 A(n - 29) - 90584992348466638943933 A(n - 28) - 11624571454191924289000 A(n - 27) + 16728905009675724806732 A(n - 26) + 2302589731454880666870 A(n - 25) - 2461650158757138377893 A(n - 24) - 327664468534374363360 A(n - 23) - A(n - 88) + 724 A(n - 86) + 144 A(n - 85) - 211401 A(n - 84) - 112952 A(n - 83) + 33936152 A(n - 82) + 30398258 A(n - 81) - 3409503648 A(n - 80) - 4136953824 A(n - 79) + 230184469348 A(n - 78) + 333403251820 A(n - 77) - 10937962036847 A(n - 76) - 17321133512776 A(n - 75) + 378788716624356 A(n - 74) + 612495821641834 A(n - 73) - 9835016077394183 A(n - 72) - 15320185696251744 A(n - 71) + 195907550958802324 A(n - 70) + 278533275902046860 A(n - 69) - 3047273492598635952 A(n - 68) - 3746359752514436920 A(n - 67) + 37485222699192369180 A(n - 66) + 37596523932213702216 A(n - 65) - 367716982075445261333 A(n - 64) - 280938637031942650464 A(n - 63) + 2890953655064485724116 A(n - 62) + 1534956830752557750540 A(n - 61) - 18267318168910916845533 A(n - 60) - 5801479407858323718792 A(n - 59) + 92943891843199614653148 A(n - 58) + 12344125059685376291694 A(n - 57) - 381511778330829542953584 A(n - 56) + 7138150596037281022880 A(n - 55) + 1266810349027300675062800 A(n - 54) - 171622277009236630726284 A(n - 53) - 3415770505215542162563499 A(n - 52) + 744826603134980020959200 A(n - 51) + 7514281837002231771444548 A(n - 50) - 2015784438211353192924522 A(n - 49) - 13554110049842494826754899 A(n - 48) + 3913311343100983164926912 A(n - 47) + 20134524916100129692094920 A(n - 46) - 5694437465347732101951032 A(n - 45) - 24703623628542264002326880 A(n - 44) + 6295676744203786775741232 A(n - 43) + 25052280102885078030333688 A(n - 42) - 5260854639010122060895440 A(n - 41) - 20960739809051760596737011 A(n - 40) + 3230015100757435304598432 A(n - 39) + 14405644146536767791488092 A(n - 38) - 1341559665101909157332072 A(n - 37) - 8079731997721972232454859 A(n - 36) + 263398683928011956344184 A(n - 35) + 288516149337318285220 A(n - 22) + 33344315556329717164 A(n - 21) - 26781786705297545712 A(n - 20) - 2340383564523638968 A(n - 19) + 1939867565173079532 A(n - 18) + 101746545600762248 A(n - 17) - 106651877519161719 A(n - 16) - 1659658491958656 A(n - 15) + 4262736773420796 A(n - 14) - 78644563664180 A(n - 13) - 116765277829775 A(n - 12) + 5260793930440 A(n - 11) + 2061874873532 A(n - 10) - 123377673742 A(n - 9) - 23386575344 A(n - 8) + 1434196544 A(n - 7) + 174906184 A(n - 6) - 8397044 A(n - 5) - 847785 A(n - 4) + 19088 A(n - 3) + 2188 A(n - 2) + 10 A(n - 1) subject to the initial conditions A(0) = 228, A(1) = 10974, A(2) = 588713, A(3) = 30522424, A(4) = 1600132145, A(5) = 83565263988, A(6) = 4369988042155, A(7) = 228415406293140, A(8) = 11941157541566690, A(9) = 624222830687208896, A(10) = 32631958994346040689, A(11) = 1705857786125653784402, A(12) = 89175166030682492014328, A(13) = 4661701859577614611560792, A(14) = 243694240290421049753301215, A(15) = 12739311544153018595300696388, A(16) = 665957755995614605133458619935, A(17) = 34813476383689623813696871303642, A(18) = 1819902446680044313794011766563557, A(19) = 95136862141398509347211927034152390, A(20) = 4973355889023424055745188257634038510, A(21) = 259986173908931093795354249061086899200, A(22) = 13590986075732879937120999943467554975023, A(23) = 710479714053278913533493695711775702308856, A(24) = 37140897745253942325789920169212105340741696, A(25) = 1941570263052724091233585160848057728963683066, A(26) = 101497145067484292640742507217521270217792617813, A(27) = 5305844785980585110597903945588230712414059559872, A(28) = 277367298106925528313804348441124311436882819337921, A(29) = 14499598303816539266839082759022302879028152342970640, A(30) = 757978148134143804794806076293065555882198929980699755, A(31) = 39623916539647862735959972900554096684000865648117647456, A(32) = 2071372065020452765932278459619462668593316388406039966702, A(33) = 108282638528523500950909178838417279285727427718374589470016, A(34) = 5660561907106307561707883235317242215406776045123519913239177, A(35) = 295910420540247300066540341759552319523343402503623867705022574, A(36) = 15468954923782192782859138874973500415805844197452250930319898804, A(37) = 808652044078519562320317846604480944487430004584705971360618597340, A(38) = 42272935153946623664956395184318125634151215944548925990881684574331, A(39) = 2209851640907074296022102493380197343146836950229708690317028259537276, A(40) = 115521769591714000524663072551602435758725019882644631949508022574682607, A(41) = 6038993298266503488188580029817632390388349231936683714961467148980193366, A(42) = 315693225488155751854245904460484442497785274717069593852370215567058582757 , A(43) = 16503116942971877128964859089918733616898156486564924841114824\ 710214966488234, A(44) = 86271369432228640046903568366222320834900050621\ 0772099531909728175069160303242, A(45) = 4509905134545926443550328219964\ 6090482425733930238811357969509112024216889313280, A(46) = 2357589134896\ 185122694460534144945995591024426190619160957381040068268571271369735, A(47) = 1232448657601345513999691374263123058595748259337202449235871192\ 77688377514783262284, A(48) = 644272435404756671243475782564659367459247\ 1319395888071328770317463451565967128863596, A(49) = 3367985907260752005\ 81694042676904910165903293939398083828756521945821642121067886924790, A(50) = 176064168636684202210760432316740958344463292064723416297029606340399\ 82906524155304037985, A(51) = 920389583902342581446234033415248442980981\ 382713325750177686595501977423396735198528297608, A(52) = 48114104801414\ 122564554397871887734384069759679152484549721846989088549779982144940644\ 461313, A(53) = 25152034761478676198947928972373570995677660014880342931\ 28592725993175718666668979255770607884, A(54) = 131484282052783448835595\ 951274869347056154993581212192367874221621255234401364093628406546379259, A(55) = 6873446459056798622870206193127492618500006827005057322700673336\ 393566446437694835695709256727500, A(56) = 35931493474295704633059868562\ 2452843621546148096201925366543564420333124919314252000524652236005898, A(57) = 1878347683340390519354758634618923556053164025661156443162769105\ 7550622667412405649380897113237567168, A(58) = 9819213392936677093694445\ 460867275782009066418879333864582530338038125929180898042123944936804222\ 08881, A(59) = 513307267398772187032860570059197862997833111192625204566\ 61435139149366967410003520597108971442545037194, A(60) = 268335497173254\ 874466619000536238203235334918322786278830757250926038506593293900973623\ 4799269513420797728, A(61) = 1402745365521589060211718021265005167523984\ 83797851778757878747057937274511109148833192511553111345488255840, A(62) = 733296407378344255547324956011004338663794727060967354896521318401425372\ 6085042265620381104077407821022090551, A(63) = 3833365871603093447436325\ 752458346272464862193397825155285961765234935582004383083087332478991762\ 37262724179636, A(64) = 200392280089129326873147251337574640741805453790\ 58738860088794757282569123553809073196954216917527860654481738575, A(65) = 104756674067551460420873085682159049884652566858347062729003049331547506\ 3159529438103023999381689914394015645252274, A(66) = 5476239282678091905\ 045423023401394315191134923167464410617072235705674729489865744664451575\ 9145234480642957983241685, A(67) = 2862748072911171393688268343438765885\ 971934100682000845110777955193587964312731009923896955997269809948283498\ 907090830, A(68) = 14965245501377717743717381454201491204259451106026295\ 5271060101922998892969754455529923048752294099230313800845076176214, A(69) = 782320229417739826726404012479603050754263117073604642638068940211899\ 5455744280528427895435891037149529928522228757882880, A(70) = 4089641839\ 152463978730282964349541095368321008571220686720557009954366734652125493\ 94591655556137367198881516676022627656015, A(71) = 213789312146439677869\ 223380485072331399762429474216372810415289164013818232092534410758771087\ 99144731490268290285659725983552, A(72) = 111760080187168393586349086109\ 253858459817656351968834880984589426047409394751242185220611621455612605\ 7551586598704695922766888, A(73) = 5842347963066925337821092701715614684\ 587118704050155253043337682270661161748932143572452020661875185886181671\ 4634186435473964562, A(74) = 3054134326352353185963998749800189441185944\ 157269617338087082065597128904952991234566875654114622070069390533052419\ 156701486199501, A(75) = 15965732514342009916625054077476212672083984846\ 698432918809149969986692931711480100733824998930712880873455608409017900\ 6121749533712, A(76) = 8346214916616260306618851248801679694798515593106\ 219242356039010329933654222131767900342415059051339450480972103871965241\ 895355597105, A(77) = 43630508886311886956250515732293960133110262683302\ 638502121662159971505969594444349590605356128492248295866048491197953635\ 8057467246312, A(78) = 2280819898237548160981604490478137108442702334057\ 688341766049841747703293803905728013922861833644071052527638153053694747\ 4671851609565723, A(79) = 1192316922489161347040222998657464076202654333\ 305662714583581413250301646132643571302519932229658266631865199523585716\ 173586990411759448728, A(80) = 62329324851670625973758058754629137083169\ 555034411493253185583050404465941126550181199239601415186728732074442100\ 253284500881332289042600054, A(81) = 32583155226503138486895705376046187\ 690980998050785050577210519651028436834729599073051465468214318472415634\ 05825561888485765276522967120698944, A(82) = 170331061188438789966731095\ 503294062379160697085822297318525505683652406787460590749681122284524271\ 998129433314026120572691276791780139363458537, A(83) = 89041930420479269\ 490583790074266661673154581984243310641343445136916419325097082300621316\ 81258847416002556563287750563777554273082440340173393382, A(84) = 465473\ 843565979944984463928526066622368022404406034302620817072948435959837074\ 803903674143091573370040101725801723675099415163840805283776213189116, A(85) = 2433301906426931237469654779967814963973185137679826270931558404\ 042659371642034409350263194954654580263867099252545116899705571987279266\ 9240103881508, A(86) = 1272028117081868762852716567473189406238883566436\ 085610062051686885373543805650777262053661285714054718486873653305670534\ 653307062900378918567973218323, A(87) = 66496291577020241113098497964557\ 070700069204164223631612953269760190307121087018928351257172851193152971\ 867168218144777702312426047810151706692861824620 n A(n) is asymptotic to, 214.1091578 52.27580325 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [228, 10974, 588713, 30522424, 1600132145, 83565263988, 4369988042155, 228415406293140, 11941157541566690, 624222830687208896, 32631958994346040689, 1705857786125653784402, 89175166030682492014328, 4661701859577614611560792, 243694240290421049753301215, 12739311544153018595300696388, 665957755995614605133458619935, 34813476383689623813696871303642, 1819902446680044313794011766563557, 95136862141398509347211927034152390, 4973355889023424055745188257634038510, 259986173908931093795354249061086899200, 13590986075732879937120999943467554975023, 710479714053278913533493695711775702308856, 37140897745253942325789920169212105340741696, 1941570263052724091233585160848057728963683066, 101497145067484292640742507217521270217792617813, 5305844785980585110597903945588230712414059559872, 277367298106925528313804348441124311436882819337921, 14499598303816539266839082759022302879028152342970640, 757978148134143804794806076293065555882198929980699755, 39623916539647862735959972900554096684000865648117647456, 2071372065020452765932278459619462668593316388406039966702, 108282638528523500950909178838417279285727427718374589470016, 5660561907106307561707883235317242215406776045123519913239177, 295910420540247300066540341759552319523343402503623867705022574, 15468954923782192782859138874973500415805844197452250930319898804, 808652044078519562320317846604480944487430004584705971360618597340, 42272935153946623664956395184318125634151215944548925990881684574331, 2209851640907074296022102493380197343146836950229708690317028259537276, 115521769591714000524663072551602435758725019882644631949508022574682607, 6038993298266503488188580029817632390388349231936683714961467148980193366, 315693225488155751854245904460484442497785274717069593852370215567058582757 , 16503116942971877128964859089918733616898156486564924841114824710214966\ 488234, 86271369432228640046903568366222320834900050621077209953190972817\ 5069160303242, 4509905134545926443550328219964609048242573393023881135796\ 9509112024216889313280, 2357589134896185122694460534144945995591024426190\ 619160957381040068268571271369735, 12324486576013455139996913742631230585\ 9574825933720244923587119277688377514783262284, 6442724354047566712434757\ 825646593674592471319395888071328770317463451565967128863596, 33679859072\ 607520058169404267690491016590329393939808382875652194582164212106788692\ 4790, 1760641686366842022107604323167409583444632920647234162970296063403\ 9982906524155304037985, 9203895839023425814462340334152484429809813827133\ 25750177686595501977423396735198528297608, 481141048014141225645543978718\ 87734384069759679152484549721846989088549779982144940644461313, 251520347\ 614786761989479289723735709956776600148803429312859272599317571866666897\ 9255770607884, 1314842820527834488355959512748693470561549935812121923678\ 74221621255234401364093628406546379259, 687344645905679862287020619312749\ 2618500006827005057322700673336393566446437694835695709256727500, 3593149\ 347429570463305986856224528436215461480962019253665435644203331249193142\ 52000524652236005898, 187834768334039051935475863461892355605316402566115\ 64431627691057550622667412405649380897113237567168, 981921339293667709369\ 444546086727578200906641887933386458253033803812592918089804212394493680\ 422208881, 51330726739877218703286057005919786299783311119262520456661435\ 139149366967410003520597108971442545037194, 26833549717325487446661900053\ 623820323533491832278627883075725092603850659329390097362347992695134207\ 97728, 140274536552158906021171802126500516752398483797851778757878747057\ 937274511109148833192511553111345488255840, 73329640737834425554732495601\ 100433866379472706096735489652131840142537260850422656203811040774078210\ 22090551, 383336587160309344743632575245834627246486219339782515528596176\ 523493558200438308308733247899176237262724179636, 20039228008912932687314\ 725133757464074180545379058738860088794757282569123553809073196954216917\ 527860654481738575, 10475667406755146042087308568215904988465256685834706\ 27290030493315475063159529438103023999381689914394015645252274, 547623928\ 267809190504542302340139431519113492316746441061707223570567472948986574\ 46644515759145234480642957983241685, 286274807291117139368826834343876588\ 597193410068200084511077795519358796431273100992389695599726980994828349\ 8907090830, 1496524550137771774371738145420149120425945110602629552710601\ 01922998892969754455529923048752294099230313800845076176214, 782320229417\ 739826726404012479603050754263117073604642638068940211899545574428052842\ 7895435891037149529928522228757882880, 4089641839152463978730282964349541\ 095368321008571220686720557009954366734652125493945916555561373671988815\ 16676022627656015, 213789312146439677869223380485072331399762429474216372\ 81041528916401381823209253441075877108799144731490268290285659725983552, 111760080187168393586349086109253858459817656351968834880984589426047409\ 3947512421852206116214556126057551586598704695922766888, 5842347963066925\ 337821092701715614684587118704050155253043337682270661161748932143572452\ 0206618751858861816714634186435473964562, 3054134326352353185963998749800\ 189441185944157269617338087082065597128904952991234566875654114622070069\ 390533052419156701486199501, 15965732514342009916625054077476212672083984\ 846698432918809149969986692931711480100733824998930712880873455608409017\ 9006121749533712, 8346214916616260306618851248801679694798515593106219242\ 356039010329933654222131767900342415059051339450480972103871965241895355\ 597105, 43630508886311886956250515732293960133110262683302638502121662159\ 9715059695944443495906053561284922482958660484911979536358057467246312, 2\ 280819898237548160981604490478137108442702334057688341766049841747703293\ 8039057280139228618336440710525276381530536947474671851609565723, 1192316\ 922489161347040222998657464076202654333305662714583581413250301646132643\ 571302519932229658266631865199523585716173586990411759448728, 62329324851\ 670625973758058754629137083169555034411493253185583050404465941126550181\ 199239601415186728732074442100253284500881332289042600054, 32583155226503\ 138486895705376046187690980998050785050577210519651028436834729599073051\ 46546821431847241563405825561888485765276522967120698944, 170331061188438\ 789966731095503294062379160697085822297318525505683652406787460590749681\ 122284524271998129433314026120572691276791780139363458537, 89041930420479\ 269490583790074266661673154581984243310641343445136916419325097082300621\ 31681258847416002556563287750563777554273082440340173393382, 465473843565\ 979944984463928526066622368022404406034302620817072948435959837074803903\ 674143091573370040101725801723675099415163840805283776213189116, 24333019\ 064269312374696547799678149639731851376798262709315584040426593716420344\ 093502631949546545802638670992525451168997055719872792669240103881508, 12\ 720281170818687628527165674731894062388835664360856100620516868853735438\ 056507772620536612857140547184868736533056705346533070629003789185679732\ 18323, 664962915770202411130984979645570707000692041642236316129532697601\ 903071210870189283512571728511931529718671682181447777023124260478101517\ 06692861824620] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 32, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 3, c[2] = 1, d[1] = 1, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 2 3 4 5 ) A(n) t = - (-71 - 956 t - 1176 t + 22070 t + 33956 t - 181909 t / ----- n = 0 6 7 8 9 10 11 - 134356 t + 471918 t + 111861 t - 382888 t + 77414 t + 27405 t 12 13 14 15 / 2 2 - 3935 t - 768 t + 23 t + 4 t ) / ((t + 7 t + 1) (t - 3 t + 1) / 2 10 9 8 7 6 5 4 (t - 4 t - 1) (t + 4 t - 163 t - 648 t + 1853 t + 1308 t - 1213 t 3 2 - 504 t + 187 t + 20 t - 1)) and in Maple input format: -(-71-956*t-1176*t^2+22070*t^3+33956*t^4-181909*t^5-134356*t^6+471918*t^7+ 111861*t^8-382888*t^9+77414*t^10+27405*t^11-3935*t^12-768*t^13+23*t^14+4*t^15)/ (t^2+7*t+1)/(t^2-3*t+1)/(t^2-4*t-1)/(t^10+4*t^9-163*t^8-648*t^7+1853*t^6+1308*t ^5-1213*t^4-504*t^3+187*t^2+20*t-1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = 12 A(n - 1) + 351 A(n - 2) + 988 A(n - 3) - 7549 A(n - 4) - 19872 A(n - 5) + 62206 A(n - 6) + 82968 A(n - 7) - 156022 A(n - 8) - 91944 A(n - 9) + 117854 A(n - 10) - 12256 A(n - 11) - 8029 A(n - 12) + 716 A(n - 13) + 199 A(n - 14) - 4 A(n - 15) - A(n - 16) subject to the initial conditions A(0) = 71, A(1) = 1808, A(2) = 47793, A(3) = 1256202, A(4) = 33066136, A(5) = 870062423, A(6) = 22895923437, A(7) = 602497409949, A(8) = 15854592040970, A(9) = 417209496612000, A(10) = 10978765522177887, A(11) = 288903482132191140, A(12) = 7602423504892996015, A(13) = 200055887621259704328, A(14) = 5264421044349589646153, A(15) = 138531933446888930636874 n A(n) is asymptotic to, 68.95419774 26.31475186 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [71, 1808, 47793, 1256202, 33066136, 870062423, 22895923437, 602497409949, 15854592040970, 417209496612000, 10978765522177887, 288903482132191140, 7602423504892996015, 200055887621259704328, 5264421044349589646153, 138531933446888930636874, 3645433453615663914175568, 95928676754873076702276279, 2524339325133242832612206405, 66427362952806449170078031893, 1748019572859217381705113368082, 45998701307295345349572951002560, 1210444410812377025574154334365239, 31852544311603957693128303969627140, 838191799689321437658000902855791127, 22056809220432496790611852208592252288, 580419461472756540051584523109298820129, 15273594103731329040707637289123370276746, 401920838859546337939802274940162205615368, 10576447142201926396545069496561945600613847] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 33, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 3, c[2] = 1, d[1] = 1, d[2] = 2 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-823 - 27723 t - 3697479337102980268 t / ----- n = 0 40 39 - 2655783796462062760 t + 14619803018173735392 t 38 37 + 6113243159998997850 t - 42431165408550507472 t 36 35 - 8549480112256952804 t + 90905909117468473574 t 34 33 + 5406853012343685158 t - 145242459876446469120 t 32 31 + 3222252675649512758 t + 174887237309705640610 t 30 54 53 - 10090559973283033052 t + 63093782422 t - 1269824862887 t 52 51 50 - 3088422945106 t + 36081372678512 t + 88362072872668 t 49 48 47 - 693975444829187 t - 1574506444230475 t + 9458675990081856 t 46 45 44 + 18318683824432150 t - 93913068797027916 t - 142842390724031356 t 43 42 58 + 686625636613700128 t + 752420621249143432 t + 4237046 t 57 56 55 63 62 - 395137386 t - 716481289 t + 28626790845 t + 20 t + 14 t 61 60 59 2 3 - 12880 t - 11896 t + 3149057 t + 25162 t + 8272868 t 4 5 6 7 + 24455918 t - 1128593235 t - 3225481354 t + 89430268489 t 8 9 10 + 146862280395 t - 4238116240230 t - 1981316415940 t 11 12 13 + 119169998019497 t - 16601496245268 t - 2148268378440880 t 14 15 16 + 802377813514880 t + 26455860433292372 t - 10471426446695472 t 17 18 19 - 231263190283184708 t + 71346901003374552 t + 1463859633470808392 t 20 21 - 264985666312446204 t - 6775681345169757204 t 22 23 + 403304600447336194 t + 23092657358542392752 t 24 25 + 688220366911822690 t - 58460862436120842290 t 26 27 - 4543205738652815438 t + 111088633780180230548 t 28 29 / 2 + 9582051103949401868 t - 159845103041674714326 t ) / ((t - 3 t + 1) / 2 2 6 5 4 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 55 t + 64 t + 27 t - 12 t - 1) 6 5 4 3 2 10 9 8 7 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 30 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) (1 - 45 t + t 2 3 4 5 6 7 - 643 t + 13176 t + 51389 t - 1200573 t + 1014883 t + 26967984 t 8 9 10 11 - 35933608 t - 268372122 t + 305637102 t + 1311635442 t 12 13 14 15 - 1086269752 t - 2979007482 t + 2176379842 t + 3230889474 t 16 17 18 19 - 2365202364 t - 1641456804 t + 1244628572 t + 417258588 t 20 21 22 23 24 - 327373460 t - 56101710 t + 43593486 t + 4062786 t - 2716561 t 25 26 27 28 29 - 148317 t + 61013 t + 1350 t - 461 t - 3 t )) and in Maple input format: -(-823-27723*t-3697479337102980268*t^41-2655783796462062760*t^40+ 14619803018173735392*t^39+6113243159998997850*t^38-42431165408550507472*t^37-\ 8549480112256952804*t^36+90905909117468473574*t^35+5406853012343685158*t^34-\ 145242459876446469120*t^33+3222252675649512758*t^32+174887237309705640610*t^31-\ 10090559973283033052*t^30+63093782422*t^54-1269824862887*t^53-3088422945106*t^ 52+36081372678512*t^51+88362072872668*t^50-693975444829187*t^49-\ 1574506444230475*t^48+9458675990081856*t^47+18318683824432150*t^46-\ 93913068797027916*t^45-142842390724031356*t^44+686625636613700128*t^43+ 752420621249143432*t^42+4237046*t^58-395137386*t^57-716481289*t^56+28626790845* t^55+20*t^63+14*t^62-12880*t^61-11896*t^60+3149057*t^59+25162*t^2+8272868*t^3+ 24455918*t^4-1128593235*t^5-3225481354*t^6+89430268489*t^7+146862280395*t^8-\ 4238116240230*t^9-1981316415940*t^10+119169998019497*t^11-16601496245268*t^12-\ 2148268378440880*t^13+802377813514880*t^14+26455860433292372*t^15-\ 10471426446695472*t^16-231263190283184708*t^17+71346901003374552*t^18+ 1463859633470808392*t^19-264985666312446204*t^20-6775681345169757204*t^21+ 403304600447336194*t^22+23092657358542392752*t^23+688220366911822690*t^24-\ 58460862436120842290*t^25-4543205738652815438*t^26+111088633780180230548*t^27+ 9582051103949401868*t^28-159845103041674714326*t^29)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t ^2-t-1)/(t^6+3*t^5-20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-4*t^5-55*t^4+64*t^3+27*t^2-\ 12*t-1)/(t^6+t^5-10*t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-189*t^7+253*t^6+ 456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(1-45*t+t^30-643*t^2+13176*t^3+51389*t^4 -1200573*t^5+1014883*t^6+26967984*t^7-35933608*t^8-268372122*t^9+305637102*t^10 +1311635442*t^11-1086269752*t^12-2979007482*t^13+2176379842*t^14+3230889474*t^ 15-2365202364*t^16-1641456804*t^17+1244628572*t^18+417258588*t^19-327373460*t^ 20-56101710*t^21+43593486*t^22+4062786*t^23-2716561*t^24-148317*t^25+61013*t^26 +1350*t^27-461*t^28-3*t^29) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -A(n - 64) + 644 A(n - 62) + 144 A(n - 61) - 157689 A(n - 60) - 101592 A(n - 59) + 19882148 A(n - 58) + 22062690 A(n - 57) - 1455545312 A(n - 56) - 2173424544 A(n - 55) + 65737975968 A(n - 54) + 112273315524 A(n - 53) - 1915849697341 A(n - 52) - 3282688992288 A(n - 51) + 37882187006692 A(n - 50) + 58398668118258 A(n - 49) - 529053113417685 A(n - 48) - 661319028845088 A(n - 47) + 5345856437450944 A(n - 46) + 4832379985745928 A(n - 45) - 39484271694782400 A(n - 44) - 22180564156337184 A(n - 43) + 213557973632288688 A(n - 42) + 56339768327894736 A(n - 41) - 845381212713038106 A(n - 40) - 25651110172801152 A(n - 39) + 2454715080855219496 A(n - 38) - 329592605709757080 A(n - 37) - 5269835601731878474 A(n - 36) + 1240670189558911920 A(n - 35) + 8466663132847395816 A(n - 34) - 2391291261773411028 A(n - 33) - 10302729142383235968 A(n - 32) + 2940154802696207616 A(n - 31) + 9569655270135078160 A(n - 30) - 2441276798924177640 A(n - 29) - 6792150653279177786 A(n - 28) + 1384351019321452512 A(n - 27) + 3660800893000616328 A(n - 26) - 528792528145961076 A(n - 25) - 1480581268735474602 A(n - 24) + 131623964950108896 A(n - 23) + 443220092302143072 A(n - 22) - 20349404213214744 A(n - 21) - 97128313588208192 A(n - 20) + 1901371270337376 A(n - 19) + 15457967764826000 A(n - 18) - 152895672282864 A(n - 17) - 1768887293425253 A(n - 16) + 25300611926592 A(n - 15) + 142710868607188 A(n - 14) - 4072401415944 A(n - 13) - 7815912693181 A(n - 12) + 365357960808 A(n - 11) + 272711157972 A(n - 10) - 16676532990 A(n - 9) - 5607386272 A(n - 8) + 18 A(n - 1) + 1812 A(n - 2) + 9216 A(n - 3) - 503433 A(n - 4) - 3158460 A(n - 5) + 68954768 A(n - 6) + 344387040 A(n - 7) subject to the initial conditions A(0) = 823, A(1) = 42537, A(2) = 2231780, A(3) = 116560984, A(4) = 6095322787, A(5) = 318607048788, A(6) = 16655949938430, A(7) = 870695061615563, A(8) = 45516414439458360, A(9) = 2379405034245344600, A(10) = 124385343065198655940, A(11) = 6502343180427949370568, A(12) = 339915221479148119201141, A(13) = 17769341099131060121736971, A(14) = 928906581451522198426866330, A(15) = 48559337652832624489438207076, A(16) = 2538478381684091942596893179479, A(17) = 132700996425611348013072407270182, A(18) = 6937051180378672372725598193731164, A(19) = 362639922638008602442725873117312253, A(20) = 18957293246455479273971284040359260272, A(21) = 991007731903298904882481442367461203792, A(22) = 51805725212201324867511855411618974688466, A(23) = 2708185898415629511268155622423110261501336, A(24) = 141572593189961319133190197853246871822789347, A(25) = 7400821027188491107611846563231476516197339961, A(26) = 386883863905655805895612913844590929618047970148, A(27) = 20224664750125897815994987769487144881288900284424, A(28) = 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, A(29) = 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, A(30) = 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, A(31) = 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, A(32) = 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, A(33) = 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, A(34) = 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, A(35) = 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, A(36) = 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, A(37) = 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931 , A(38) = 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, A(39) = 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, A(40) = 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, A(41) = 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, A(42) = 1203350249945744297230902203789652925116525705795754708615426198\ 005798519584, A(43) = 62906100906983610103890489529925482479618280225620\ 412353548287939261270201949, A(44) = 32884669542371576848611424155619355\ 40094310471134506035602267705943213664159584, A(45) = 171907251493778011\ 548928419326330298708012970727648666939110057867738569664145024, A(46) = 898658965633437336508155367056895298951545990151975034129376544481843346\ 4295499638, A(47) = 4697811927628830942002506750414637554803190379763800\ 91255451505989480172657272960076, A(48) = 245581892034156009000951285850\ 09978303926846519482571960377056336089552848441483597263, A(49) = 128379\ 906697365181392758888409750495691084568575324462573806293088942466709660\ 9715173689, A(50) = 6711162743762852028699549902487377323352571807844598\ 7553219874861661566451010682398683252, A(51) = 3508314231715741653379785\ 429834057801659985988302950595056014332591170388087383547782587384, A(52) = 183399944516293253904771759950218373184765419104470487811223835936290\ 760934249653056628238515, A(53) = 95873794155918518632516230837685296045\ 48138608224736815958163535922778238573654169555118300220, A(54) = 501187\ 960012432698853892723594807928737388299141355545675365150812041251626588\ 423121231017333782, A(55) = 26200003188871118359445504277671837924103905\ 313710839495864455377624705955526683334904192799724075, A(56) = 13696262\ 118503976446274169469974036873274719275683899731162213071280541361671421\ 36275290431957886680, A(57) = 715983103767132154883877822532132524891436\ 24963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, A(58) = 374\ 285918628439615412214501233096940635862992321477225080144307990671160820\ 5572563386526543872034155740, A(59) = 1956609704146008306824082347892313\ 19767086561228157026014477574482430493769693356504602896219914077780224, A(60) = 1022833439309474534842250764466023605698968368992466576933897808\ 6066449946703158881015845401963507857848957, A(61) = 5346943963084723120\ 302478691539526399152396049769762392986738917314640533158750739045990249\ 42352933839030923, A(62) = 279515790602910304289268909759472197788211501\ 09476242619562007214929808563759314046632234748037697213112282490, A(63) = 146119124748216542231523675555440059257091784067247102789283341910030663\ 9171067303033140815861349908979106872340 n A(n) is asymptotic to, 816.1350569 52.27580325 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [823, 42537, 2231780, 116560984, 6095322787, 318607048788, 16655949938430, 870695061615563, 45516414439458360, 2379405034245344600, 124385343065198655940, 6502343180427949370568, 339915221479148119201141, 17769341099131060121736971, 928906581451522198426866330, 48559337652832624489438207076, 2538478381684091942596893179479, 132700996425611348013072407270182, 6937051180378672372725598193731164, 362639922638008602442725873117312253, 18957293246455479273971284040359260272, 991007731903298904882481442367461203792, 51805725212201324867511855411618974688466, 2708185898415629511268155622423110261501336, 141572593189961319133190197853246871822789347, 7400821027188491107611846563231476516197339961, 386883863905655805895612913844590929618047970148, 20224664750125897815994987769487144881288900284424, 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931, 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, 120335024994574429723090220378965292511652570579575470861542619800579851\ 9584, 6290610090698361010389048952992548247961828022562041235354828793926\ 1270201949, 3288466954237157684861142415561935540094310471134506035602267\ 705943213664159584, 17190725149377801154892841932633029870801297072764866\ 6939110057867738569664145024, 8986589656334373365081553670568952989515459\ 901519750341293765444818433464295499638, 46978119276288309420025067504146\ 3755480319037976380091255451505989480172657272960076, 2455818920341560090\ 0095128585009978303926846519482571960377056336089552848441483597263, 1283\ 799066973651813927588884097504956910845685753244625738062930889424667096\ 609715173689, 67111627437628520286995499024873773233525718078445987553219\ 874861661566451010682398683252, 35083142317157416533797854298340578016599\ 85988302950595056014332591170388087383547782587384, 183399944516293253904\ 771759950218373184765419104470487811223835936290760934249653056628238515, 958737941559185186325162308376852960454813860822473681595816353592277823\ 8573654169555118300220, 5011879600124326988538927235948079287373882991413\ 55545675365150812041251626588423121231017333782, 262000031888711183594455\ 042776718379241039053137108394958644553776247059555266833349041927997240\ 75, 136962621185039764462741694699740368732747192756838997311622130712805\ 4136167142136275290431957886680, 7159831037671321548838778225321325248914\ 3624963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, 3742859186\ 284396154122145012330969406358629923214772250801443079906711608205572563\ 386526543872034155740, 19566097041460083068240823478923131976708656122815\ 7026014477574482430493769693356504602896219914077780224, 1022833439309474\ 534842250764466023605698968368992466576933897808606644994670315888101584\ 5401963507857848957, 5346943963084723120302478691539526399152396049769762\ 39298673891731464053315875073904599024942352933839030923, 279515790602910\ 304289268909759472197788211501094762426195620072149298085637593140466322\ 34748037697213112282490, 146119124748216542231523675555440059257091784067\ 2471027892833419100306639171067303033140815861349908979106872340] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 34, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 3, c[2] = 1, d[1] = 1, d[2] = 3 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (10012 + 167906 t + 1698464618770349324848584 t / ----- n = 0 40 39 + 152553241990252843848214 t - 4130995319156687403629002 t 38 37 + 1027120780528508367414742 t + 7173501023222949901353876 t 36 35 - 3781419700323311298384708 t - 8738638287268675338499388 t 34 33 + 6878910077317743039310300 t + 7260032332389171071585478 t 32 31 - 7903325285752785569066066 t - 3894274347639570103658178 t 30 54 + 6130109469984498261239296 t - 4946290046936917404 t 53 52 + 6369100084947263426 t + 76161588310522589497 t 51 50 - 137464499184156459489 t - 826298751736412233757 t 49 48 + 1836978571969418440042 t + 6345916524084080345156 t 47 46 - 16745698933269824176872 t - 34134162611915065423396 t 45 44 + 108202197515440596626078 t + 123803983293959773110558 t 43 42 - 503817428815464744977894 t - 268355288732671539846636 t 58 57 56 - 6680328112199922 t - 4476266745256825 t + 222304538528892403 t 55 68 67 66 - 120617260420954977 t - 79033 t + 4110585 t - 1652226 t 65 64 63 62 - 1197651936 t + 6616662287 t + 159844086643 t - 1359236572453 t 61 60 59 70 - 10797037983006 t + 126494029874810 t + 369111200115774 t + 134 t 69 2 3 4 5 - 4641 t - 12416033 t - 76613061 t + 6248666853 t - 15928345422 t 6 7 8 - 1249776749236 t + 9815886566195 t + 79954916231391 t 9 10 11 - 1028243083885805 t - 1713999028606762 t + 50964933694604718 t 12 13 - 27361698513234310 t - 1488699027899038902 t 14 15 + 2379902659757154927 t + 28112378354173568087 t 16 17 - 62351517986314818069 t - 358354498432923998136 t 18 19 + 954027941075172499006 t + 3131975078962623896541 t 20 21 - 9697655665376019967717 t - 18636977100874823781597 t 22 23 + 68844458441338514209758 t + 72307873683132094809656 t 24 25 - 348752305712700576067856 t - 155137161896330919702284 t 26 27 + 1269452690275560545038622 t + 449598634838995036582 t 28 29 / - 3311891861948264043858222 t + 1141078002753674035373404 t ) / ( / 2 2 2 2 (t - 1) (t + 3 t + 1) (1 - 7 t + t ) (t - 3 t + 1) (t + 4 t - 1) 2 10 9 8 7 6 5 (t - t - 1) (t - 57 t + 1124 t - 9327 t + 36911 t - 71400 t 4 3 2 10 9 8 7 + 63631 t - 24279 t + 3060 t - 129 t + 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) ( 10 9 8 7 6 5 4 3 2 t + t - 28 t - 27 t + 143 t + 72 t - 223 t + 9 t + 52 t + 5 t - 1 10 9 8 7 6 5 4 3 ) (t - 4 t - 163 t + 648 t + 1853 t - 1308 t - 1213 t + 504 t 2 20 19 18 17 16 + 187 t - 20 t - 1) (t + 27 t - 17 t - 3528 t - 13226 t 15 14 13 12 11 + 48780 t + 272525 t + 51585 t - 1073573 t - 799644 t 10 9 8 7 6 5 + 1470068 t + 1293636 t - 722293 t - 611679 t + 102621 t + 99324 t 4 3 2 + 4254 t - 3384 t - 241 t + 27 t + 1)) and in Maple input format: -(10012+167906*t+1698464618770349324848584*t^41+152553241990252843848214*t^40-\ 4130995319156687403629002*t^39+1027120780528508367414742*t^38+ 7173501023222949901353876*t^37-3781419700323311298384708*t^36-\ 8738638287268675338499388*t^35+6878910077317743039310300*t^34+ 7260032332389171071585478*t^33-7903325285752785569066066*t^32-\ 3894274347639570103658178*t^31+6130109469984498261239296*t^30-\ 4946290046936917404*t^54+6369100084947263426*t^53+76161588310522589497*t^52-\ 137464499184156459489*t^51-826298751736412233757*t^50+1836978571969418440042*t^ 49+6345916524084080345156*t^48-16745698933269824176872*t^47-\ 34134162611915065423396*t^46+108202197515440596626078*t^45+ 123803983293959773110558*t^44-503817428815464744977894*t^43-\ 268355288732671539846636*t^42-6680328112199922*t^58-4476266745256825*t^57+ 222304538528892403*t^56-120617260420954977*t^55-79033*t^68+4110585*t^67-1652226 *t^66-1197651936*t^65+6616662287*t^64+159844086643*t^63-1359236572453*t^62-\ 10797037983006*t^61+126494029874810*t^60+369111200115774*t^59+134*t^70-4641*t^ 69-12416033*t^2-76613061*t^3+6248666853*t^4-15928345422*t^5-1249776749236*t^6+ 9815886566195*t^7+79954916231391*t^8-1028243083885805*t^9-1713999028606762*t^10 +50964933694604718*t^11-27361698513234310*t^12-1488699027899038902*t^13+ 2379902659757154927*t^14+28112378354173568087*t^15-62351517986314818069*t^16-\ 358354498432923998136*t^17+954027941075172499006*t^18+3131975078962623896541*t^ 19-9697655665376019967717*t^20-18636977100874823781597*t^21+ 68844458441338514209758*t^22+72307873683132094809656*t^23-\ 348752305712700576067856*t^24-155137161896330919702284*t^25+ 1269452690275560545038622*t^26+449598634838995036582*t^27-\ 3311891861948264043858222*t^28+1141078002753674035373404*t^29)/(t-1)/(t^2+3*t+1 )/(1-7*t+t^2)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t^2-t-1)/(t^10-57*t^9+1124*t^8-9327*t^7+ 36911*t^6-71400*t^5+63631*t^4-24279*t^3+3060*t^2-129*t+1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-\ 189*t^7+253*t^6+456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(t^10+t^9-28*t^8-27*t^7+ 143*t^6+72*t^5-223*t^4+9*t^3+52*t^2+5*t-1)/(t^10-4*t^9-163*t^8+648*t^7+1853*t^6 -1308*t^5-1213*t^4+504*t^3+187*t^2-20*t-1)/(t^20+27*t^19-17*t^18-3528*t^17-\ 13226*t^16+48780*t^15+272525*t^14+51585*t^13-1073573*t^12-799644*t^11+1470068*t ^10+1293636*t^9-722293*t^8-611679*t^7+102621*t^6+99324*t^5+4254*t^4-3384*t^3-\ 241*t^2+27*t+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -30297643121057 A(n - 11) - 9987497546237 A(n - 10) + 1013437611825 A(n - 9) + 84795487353 A(n - 8) - 14191765833 A(n - 7) + 16976475 A(n - 6) + 65795515 A(n - 5) - 1569377 A(n - 4) - 116431 A(n - 3) + 3065 A(n - 2) + 83 A(n - 1) + A(n - 71) - 35 A(n - 70) - 577 A(n - 69) + 30887 A(n - 68) - 23607 A(n - 67) - 8929515 A(n - 66) + 52631205 A(n - 65) + 1173985857 A(n - 64) - 10571033569 A(n - 63) - 76806749017 A(n - 62) + 972169730925 A(n - 61) + 2411166177105 A(n - 60) - 50779934325605 A(n - 59) - 15635257716785 A(n - 58) + 1669028931227381 A(n - 57) - 1480045546429027 A(n - 56) - 36582191248408621 A(n - 55) + 60211682825574215 A(n - 54) + 552579485460006503 A(n - 53) - 1218500570647169317 A(n - 52) - 5841412435789179531 A(n - 51) + 15784534944320757021 A(n - 50) + 43182600643494694879 A(n - 49) - 140982432132328362245 A(n - 48) - 217996657817867556918 A(n - 47) + 895889612717861021538 A(n - 46) + 693758041919954346358 A(n - 45) - 4104448809352625894714 A(n - 44) - 956968199365072079078 A(n - 43) + 13588949393380950852946 A(n - 42) - 2332881939893522908366 A(n - 41) - 32308986414914863647670 A(n - 40) + 16088899784600510035382 A(n - 39) + 54341573873646478730438 A(n - 38) - 43098815633301671170174 A(n - 37) - 62919753344580343578838 A(n - 36) + 70332470925001753913590 A(n - 35) + 47553437839440239308894 A(n - 34) - 76383507173091512182678 A(n - 33) - 20225165805961049093254 A(n - 32) + 57121044748472736438758 A(n - 31) + 1133520298604909559182 A(n - 30) - 29998606494074987327090 A(n - 29) + 4182090751155768776566 A(n - 28) + 11208563728236588285162 A(n - 27) - 2815813167471530928006 A(n - 26) - 3000502372295110114306 A(n - 25) + 1008356916405456213878 A(n - 24) + 575407630765148742725 A(n - 23) - 234027408296101254511 A(n - 22) - 78199075242995287493 A(n - 21) + 37109621418111653635 A(n - 20) + 7302872658844054701 A(n - 19) - 4078234325711790999 A(n - 18) - 432772270164713351 A(n - 17) + 309206134259570053 A(n - 16) + 12274189149285019 A(n - 15) - 15831793691814653 A(n - 14) + 207432840962273 A(n - 13) + 521776821347093 A(n - 12) subject to the initial conditions A(0) = 10012, A(1) = 998902, A(2) = 101179613, A(3) = 10217222276, A(4) = 1032377868320, A(5) = 104297868352001, A(6) = 10537214338531820, A(7) = 1064568145873528497, A(8) = 107552740681911619056, A(9) = 10865994954551451188928, A(10) = 1097785483661983592747857, A(11) = 110908667240169279450593574, A(12) = 11205041815436066962796253660, A(13) = 1132039236110136336249177468982, A(14) = 114369303575638566121355519921501, A(15) = 11554668066380660525072624312096852, A(16) = 1167361782510399277908548281779462800, A(17) = 117937921155676765281000507792478063889, A(18) = 11915203542289112245608278361147682368028, A(19) = 1203786484146726672455428607192017662549137, A(20) = 121617888797845536905207493185976894996105056, A(21) = 12286988656583856961952345647797107205952909568, A(22) = 1241347730496432385195960935068637214634275443185, A(23) = 125412680932450951505529169542639125452977319736262, A(24) = 12670374426329579039413797031262643883864577556976412, A(25) = 1280080984712035759851241047935269637828297426286170358, A(26) = 129325880379370177091249878844622030539397149221014375261, A(27) = 13065722821952269577864505045008450747153271912447302295972, A(28) = 1320022816464168184851636579056846920751937314809170561880320, A(29) = 133361181752487094794738920299791551510083921004524533981335073, A(30) = 13473407108264687327168454768202333442821465098439091550988547276, A(31) = 1361210936492409605217498162040437810439799672691396985387608471665 , A(32) = 137522394947152096049546704349359958784397932296176117039877337167952, A(33) = 13893812196906297699580929077150383267938280252366969942628499156093632, A(34) = 1403684232208753868125318372316057834249928817981534442459106729858606097, A(35) = 141813448737288059997328601639720580392960610125176200780954764707340548198 , A(36) = 14327335009753491235897824141888242128896043855372003823083132\ 117554261245660, A(37) = 14474828044128528915270645372477877897521216789\ 49948937149924113691129651184694, A(38) = 146238394484707898526924735665\ 610170887452751288888489578315552338403150473646813, A(39) = 14774384853\ 670011548524876542436080101599840200587002519643509113187241372077690996, A(40) = 1492648005152843587294043270967967796925350930791060563999456828\ 453272450424804392816, A(41) = 15080140996417326033199704292762790199991\ 2898809964870993472094489742426930166236057905, A(42) = 1523538380695053\ 658759394061059908927704116033535656497802527989467274946629010398486271\ 6, A(43) = 1539222476767531205911619860060088244480335652168020450492691\ 576804752081930427153586166353, A(44) = 15550680330780491508980071861760\ 0604635448998191329290525927716784993835152804714748194352320, A(45) = 1\ 571076711782229825599807824802818004280506627087832635628134442587660566\ 0071985883420130729984, A(46) = 1587250192146789577244834718374364514779\ 860733507206289503782521709304743280025608916159270252977, A(47) = 16035\ 901707256892650687066560692413746435133841446117129701988756919408637943\ 1419370673568979996422, A(48) = 1620098361538098141757101627232681079466\ 2184499030328666578953482521123646854889918135328519645587740, A(49) = 1\ 636776496248189787594619698936831286006701021184329811629808462011641226\ 901088087164286915606075264502, A(50) = 16536263243467889574231700651856\ 495964363383828068618939106576430540419273572383577591699136032922915529\ 3, A(51) = 1670649613334888394668505526193120385397888848198548076638568\ 1812269793090798040699224088216136639619713220, A(52) = 1687848148909054\ 862847969298959668351000243672551878444601414947405761260339525050672537\ 067326900968689902048, A(53) = 17052237351487438431462786029145242434923\ 7551317436359149484631910585048219580398499096389897456913319588145729, A(54) = 1722778194705542546860032045638836490095990148277042703285784425\ 8560811392790494715667629676714655712681521922476, A(55) = 1740513368994\ 361093786596199231605465837600243246198742387595871786377399182641511015\ 525393577622947307149962437169, A(56) = 17584311183865919119903187322808\ 718264761117217871820181067601700324487219040016165387496464551309935845\ 7568848752816, A(57) = 1776533322405257620840067651558798931777696134659\ 3696438949151599732019377701872410087260406411176849849004261288469696, A(58) = 1794821879922167867798565786434133339659820348054138727107724735\ 228815826600767352402576129340211623458113957530567516881, A(59) = 18132\ 987093571058001777567772598712960655160344334015549941302893917768524724\ 1233458199393439239373108701873953220112859046, A(60) = 1831965748879065\ 065977608901291093716133458199315600142799495552630524782189235663636177\ 7472075817679408841092690967174260188, A(61) = 1850824956609558453020669\ 048444605445870932442308957047543731616762001661733146719702176959367491\ 365955055161183089387084026422, A(62) = 18698783108280194929038839129308\ 862211890409326260374428645676310096943396272919185648955200313201147325\ 6813678263669741574225501, A(63) = 1889127810179318575835504138197113804\ 312988575114147846954465976747171992257184100725960622400765555615292744\ 2412988389247875518100, A(64) = 1908575473883415344231309549391531746694\ 470040202052291769721633483710485349848009356989481228724324427220297365\ 957803682054259231824, A(65) = 19282233419471693570342066182117523614437\ 662275652333394114900397119006862515497789826081966361942670942716484892\ 2593447812491125886289, A(66) = 1948073475378331243117959339485543516684\ 018453058918611208015130561718666016802540876881341578557553900237872085\ 4116590171791157730405340, A(67) = 1968127956401736790863170154311586281\ 658096736692190080911131262733165440663576107722276036371816449184426096\ 229100129863806422099159740433, A(68) = 19883888886777266520756213065634\ 782636019258037022981468390751564888530707960079718064375652213119222427\ 2297449604008944830730822256015757344, A(69) = 2008858397522814571877958\ 938669729591756818511742303904795117156079547909712922651163430139280844\ 9123556655738566686540892227613109770873875712, A(70) = 2029538630132627\ 292069941727291353281980543883639653734474384701884176158091292106790893\ 335634798647019261009580527107522243327117029449285459825 n A(n) is asymptotic to, 9909.175223 101.0294520 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [10012, 998902, 101179613, 10217222276, 1032377868320, 104297868352001, 10537214338531820, 1064568145873528497, 107552740681911619056, 10865994954551451188928, 1097785483661983592747857, 110908667240169279450593574, 11205041815436066962796253660, 1132039236110136336249177468982, 114369303575638566121355519921501, 11554668066380660525072624312096852, 1167361782510399277908548281779462800, 117937921155676765281000507792478063889, 11915203542289112245608278361147682368028, 1203786484146726672455428607192017662549137, 121617888797845536905207493185976894996105056, 12286988656583856961952345647797107205952909568, 1241347730496432385195960935068637214634275443185, 125412680932450951505529169542639125452977319736262, 12670374426329579039413797031262643883864577556976412, 1280080984712035759851241047935269637828297426286170358, 129325880379370177091249878844622030539397149221014375261, 13065722821952269577864505045008450747153271912447302295972, 1320022816464168184851636579056846920751937314809170561880320, 133361181752487094794738920299791551510083921004524533981335073, 13473407108264687327168454768202333442821465098439091550988547276, 1361210936492409605217498162040437810439799672691396985387608471665, 137522394947152096049546704349359958784397932296176117039877337167952, 13893812196906297699580929077150383267938280252366969942628499156093632, 1403684232208753868125318372316057834249928817981534442459106729858606097, 141813448737288059997328601639720580392960610125176200780954764707340548198 , 14327335009753491235897824141888242128896043855372003823083132117554261\ 245660, 14474828044128528915270645372477877897521216789499489371499241136\ 91129651184694, 146238394484707898526924735665610170887452751288888489578\ 315552338403150473646813, 14774384853670011548524876542436080101599840200\ 587002519643509113187241372077690996, 14926480051528435872940432709679677\ 96925350930791060563999456828453272450424804392816, 150801409964173260331\ 997042927627901999912898809964870993472094489742426930166236057905, 15235\ 383806950536587593940610599089277041160335356564978025279894672749466290\ 103984862716, 15392224767675312059116198600600882444803356521680204504926\ 91576804752081930427153586166353, 155506803307804915089800718617600604635\ 448998191329290525927716784993835152804714748194352320, 15710767117822298\ 255998078248028180042805066270878326356281344425876605660071985883420130\ 729984, 15872501921467895772448347183743645147798607335072062895037825217\ 09304743280025608916159270252977, 160359017072568926506870665606924137464\ 351338414461171297019887569194086379431419370673568979996422, 16200983615\ 380981417571016272326810794662184499030328666578953482521123646854889918\ 135328519645587740, 16367764962481897875946196989368312860067010211843298\ 11629808462011641226901088087164286915606075264502, 165362632434678895742\ 317006518564959643633838280686189391065764305404192735723835775916991360\ 329229155293, 16706496133348883946685055261931203853978888481985480766385\ 681812269793090798040699224088216136639619713220, 16878481489090548628479\ 692989596683510002436725518784446014149474057612603395250506725370673269\ 00968689902048, 170522373514874384314627860291452424349237551317436359149\ 484631910585048219580398499096389897456913319588145729, 17227781947055425\ 468600320456388364900959901482770427032857844258560811392790494715667629\ 676714655712681521922476, 17405133689943610937865961992316054658376002432\ 46198742387595871786377399182641511015525393577622947307149962437169, 175\ 843111838659191199031873228087182647611172178718201810676017003244872190\ 400161653874964645513099358457568848752816, 17765333224052576208400676515\ 587989317776961346593696438949151599732019377701872410087260406411176849\ 849004261288469696, 17948218799221678677985657864341333396598203480541387\ 27107724735228815826600767352402576129340211623458113957530567516881, 181\ 329870935710580017775677725987129606551603443340155499413028939177685247\ 241233458199393439239373108701873953220112859046, 18319657488790650659776\ 089012910937161334581993156001427994955526305247821892356636361777472075\ 817679408841092690967174260188, 18508249566095584530206690484446054458709\ 324423089570475437316167620016617331467197021769593674913659550551611830\ 89387084026422, 186987831082801949290388391293088622118904093262603744286\ 456763100969433962729191856489552003132011473256813678263669741574225501, 188912781017931857583550413819711380431298857511414784695446597674717199\ 22571841007259606224007655556152927442412988389247875518100, 190857547388\ 341534423130954939153174669447004020205229176972163348371048534984800935\ 6989481228724324427220297365957803682054259231824, 1928223341947169357034\ 206618211752361443766227565233339411490039711900686251549778982608196636\ 19426709427164848922593447812491125886289, 194807347537833124311795933948\ 554351668401845305891861120801513056171866601680254087688134157855755390\ 02378720854116590171791157730405340, 196812795640173679086317015431158628\ 165809673669219008091113126273316544066357610772227603637181644918442609\ 6229100129863806422099159740433, 1988388888677726652075621306563478263601\ 925803702298146839075156488853070796007971806437565221311922242722974496\ 04008944830730822256015757344, 200885839752281457187795893866972959175681\ 851174230390479511715607954790971292265116343013928084491235566557385666\ 86540892227613109770873875712, 202953863013262729206994172729135328198054\ 388363965373447438470188417615809129210679089333563479864701926100958052\ 7107522243327117029449285459825] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 35, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 3, c[2] = 1, d[1] = 2, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-823 - 27723 t - 3697479337102980268 t / ----- n = 0 40 39 - 2655783796462062760 t + 14619803018173735392 t 38 37 + 6113243159998997850 t - 42431165408550507472 t 36 35 - 8549480112256952804 t + 90905909117468473574 t 34 33 + 5406853012343685158 t - 145242459876446469120 t 32 31 + 3222252675649512758 t + 174887237309705640610 t 30 54 53 - 10090559973283033052 t + 63093782422 t - 1269824862887 t 52 51 50 - 3088422945106 t + 36081372678512 t + 88362072872668 t 49 48 47 - 693975444829187 t - 1574506444230475 t + 9458675990081856 t 46 45 44 + 18318683824432150 t - 93913068797027916 t - 142842390724031356 t 43 42 58 + 686625636613700128 t + 752420621249143432 t + 4237046 t 57 56 55 63 62 - 395137386 t - 716481289 t + 28626790845 t + 20 t + 14 t 61 60 59 2 3 - 12880 t - 11896 t + 3149057 t + 25162 t + 8272868 t 4 5 6 7 + 24455918 t - 1128593235 t - 3225481354 t + 89430268489 t 8 9 10 + 146862280395 t - 4238116240230 t - 1981316415940 t 11 12 13 + 119169998019497 t - 16601496245268 t - 2148268378440880 t 14 15 16 + 802377813514880 t + 26455860433292372 t - 10471426446695472 t 17 18 19 - 231263190283184708 t + 71346901003374552 t + 1463859633470808392 t 20 21 - 264985666312446204 t - 6775681345169757204 t 22 23 + 403304600447336194 t + 23092657358542392752 t 24 25 + 688220366911822690 t - 58460862436120842290 t 26 27 - 4543205738652815438 t + 111088633780180230548 t 28 29 / 2 + 9582051103949401868 t - 159845103041674714326 t ) / ((t - 3 t + 1) / 2 2 6 5 4 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 55 t + 64 t + 27 t - 12 t - 1) 6 5 4 3 2 10 9 8 7 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 30 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) (1 - 45 t + t 2 3 4 5 6 7 - 643 t + 13176 t + 51389 t - 1200573 t + 1014883 t + 26967984 t 8 9 10 11 - 35933608 t - 268372122 t + 305637102 t + 1311635442 t 12 13 14 15 - 1086269752 t - 2979007482 t + 2176379842 t + 3230889474 t 16 17 18 19 - 2365202364 t - 1641456804 t + 1244628572 t + 417258588 t 20 21 22 23 24 - 327373460 t - 56101710 t + 43593486 t + 4062786 t - 2716561 t 25 26 27 28 29 - 148317 t + 61013 t + 1350 t - 461 t - 3 t )) and in Maple input format: -(-823-27723*t-3697479337102980268*t^41-2655783796462062760*t^40+ 14619803018173735392*t^39+6113243159998997850*t^38-42431165408550507472*t^37-\ 8549480112256952804*t^36+90905909117468473574*t^35+5406853012343685158*t^34-\ 145242459876446469120*t^33+3222252675649512758*t^32+174887237309705640610*t^31-\ 10090559973283033052*t^30+63093782422*t^54-1269824862887*t^53-3088422945106*t^ 52+36081372678512*t^51+88362072872668*t^50-693975444829187*t^49-\ 1574506444230475*t^48+9458675990081856*t^47+18318683824432150*t^46-\ 93913068797027916*t^45-142842390724031356*t^44+686625636613700128*t^43+ 752420621249143432*t^42+4237046*t^58-395137386*t^57-716481289*t^56+28626790845* t^55+20*t^63+14*t^62-12880*t^61-11896*t^60+3149057*t^59+25162*t^2+8272868*t^3+ 24455918*t^4-1128593235*t^5-3225481354*t^6+89430268489*t^7+146862280395*t^8-\ 4238116240230*t^9-1981316415940*t^10+119169998019497*t^11-16601496245268*t^12-\ 2148268378440880*t^13+802377813514880*t^14+26455860433292372*t^15-\ 10471426446695472*t^16-231263190283184708*t^17+71346901003374552*t^18+ 1463859633470808392*t^19-264985666312446204*t^20-6775681345169757204*t^21+ 403304600447336194*t^22+23092657358542392752*t^23+688220366911822690*t^24-\ 58460862436120842290*t^25-4543205738652815438*t^26+111088633780180230548*t^27+ 9582051103949401868*t^28-159845103041674714326*t^29)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t ^2-t-1)/(t^6+3*t^5-20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-4*t^5-55*t^4+64*t^3+27*t^2-\ 12*t-1)/(t^6+t^5-10*t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-189*t^7+253*t^6+ 456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(1-45*t+t^30-643*t^2+13176*t^3+51389*t^4 -1200573*t^5+1014883*t^6+26967984*t^7-35933608*t^8-268372122*t^9+305637102*t^10 +1311635442*t^11-1086269752*t^12-2979007482*t^13+2176379842*t^14+3230889474*t^ 15-2365202364*t^16-1641456804*t^17+1244628572*t^18+417258588*t^19-327373460*t^ 20-56101710*t^21+43593486*t^22+4062786*t^23-2716561*t^24-148317*t^25+61013*t^26 +1350*t^27-461*t^28-3*t^29) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -A(n - 64) + 644 A(n - 62) + 144 A(n - 61) - 157689 A(n - 60) - 101592 A(n - 59) + 19882148 A(n - 58) + 22062690 A(n - 57) - 1455545312 A(n - 56) - 2173424544 A(n - 55) + 65737975968 A(n - 54) + 112273315524 A(n - 53) - 1915849697341 A(n - 52) - 3282688992288 A(n - 51) + 37882187006692 A(n - 50) + 58398668118258 A(n - 49) - 529053113417685 A(n - 48) - 661319028845088 A(n - 47) + 5345856437450944 A(n - 46) + 4832379985745928 A(n - 45) - 39484271694782400 A(n - 44) - 22180564156337184 A(n - 43) + 213557973632288688 A(n - 42) + 56339768327894736 A(n - 41) - 845381212713038106 A(n - 40) - 25651110172801152 A(n - 39) + 2454715080855219496 A(n - 38) - 329592605709757080 A(n - 37) - 5269835601731878474 A(n - 36) + 1240670189558911920 A(n - 35) + 8466663132847395816 A(n - 34) - 2391291261773411028 A(n - 33) - 10302729142383235968 A(n - 32) + 2940154802696207616 A(n - 31) + 9569655270135078160 A(n - 30) - 2441276798924177640 A(n - 29) - 6792150653279177786 A(n - 28) + 1384351019321452512 A(n - 27) + 3660800893000616328 A(n - 26) - 528792528145961076 A(n - 25) - 1480581268735474602 A(n - 24) + 131623964950108896 A(n - 23) + 443220092302143072 A(n - 22) - 20349404213214744 A(n - 21) - 97128313588208192 A(n - 20) + 1901371270337376 A(n - 19) + 15457967764826000 A(n - 18) - 152895672282864 A(n - 17) - 1768887293425253 A(n - 16) + 25300611926592 A(n - 15) + 142710868607188 A(n - 14) - 4072401415944 A(n - 13) - 7815912693181 A(n - 12) + 365357960808 A(n - 11) + 272711157972 A(n - 10) - 16676532990 A(n - 9) - 5607386272 A(n - 8) + 344387040 A(n - 7) + 68954768 A(n - 6) - 3158460 A(n - 5) - 503433 A(n - 4) + 9216 A(n - 3) + 1812 A(n - 2) + 18 A(n - 1) subject to the initial conditions A(0) = 823, A(1) = 42537, A(2) = 2231780, A(3) = 116560984, A(4) = 6095322787, A(5) = 318607048788, A(6) = 16655949938430, A(7) = 870695061615563, A(8) = 45516414439458360, A(9) = 2379405034245344600, A(10) = 124385343065198655940, A(11) = 6502343180427949370568, A(12) = 339915221479148119201141, A(13) = 17769341099131060121736971, A(14) = 928906581451522198426866330, A(15) = 48559337652832624489438207076, A(16) = 2538478381684091942596893179479, A(17) = 132700996425611348013072407270182, A(18) = 6937051180378672372725598193731164, A(19) = 362639922638008602442725873117312253, A(20) = 18957293246455479273971284040359260272, A(21) = 991007731903298904882481442367461203792, A(22) = 51805725212201324867511855411618974688466, A(23) = 2708185898415629511268155622423110261501336, A(24) = 141572593189961319133190197853246871822789347, A(25) = 7400821027188491107611846563231476516197339961, A(26) = 386883863905655805895612913844590929618047970148, A(27) = 20224664750125897815994987769487144881288900284424, A(28) = 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, A(29) = 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, A(30) = 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, A(31) = 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, A(32) = 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, A(33) = 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, A(34) = 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, A(35) = 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, A(36) = 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, A(37) = 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931 , A(38) = 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, A(39) = 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, A(40) = 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, A(41) = 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, A(42) = 1203350249945744297230902203789652925116525705795754708615426198\ 005798519584, A(43) = 62906100906983610103890489529925482479618280225620\ 412353548287939261270201949, A(44) = 32884669542371576848611424155619355\ 40094310471134506035602267705943213664159584, A(45) = 171907251493778011\ 548928419326330298708012970727648666939110057867738569664145024, A(46) = 898658965633437336508155367056895298951545990151975034129376544481843346\ 4295499638, A(47) = 4697811927628830942002506750414637554803190379763800\ 91255451505989480172657272960076, A(48) = 245581892034156009000951285850\ 09978303926846519482571960377056336089552848441483597263, A(49) = 128379\ 906697365181392758888409750495691084568575324462573806293088942466709660\ 9715173689, A(50) = 6711162743762852028699549902487377323352571807844598\ 7553219874861661566451010682398683252, A(51) = 3508314231715741653379785\ 429834057801659985988302950595056014332591170388087383547782587384, A(52) = 183399944516293253904771759950218373184765419104470487811223835936290\ 760934249653056628238515, A(53) = 95873794155918518632516230837685296045\ 48138608224736815958163535922778238573654169555118300220, A(54) = 501187\ 960012432698853892723594807928737388299141355545675365150812041251626588\ 423121231017333782, A(55) = 26200003188871118359445504277671837924103905\ 313710839495864455377624705955526683334904192799724075, A(56) = 13696262\ 118503976446274169469974036873274719275683899731162213071280541361671421\ 36275290431957886680, A(57) = 715983103767132154883877822532132524891436\ 24963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, A(58) = 374\ 285918628439615412214501233096940635862992321477225080144307990671160820\ 5572563386526543872034155740, A(59) = 1956609704146008306824082347892313\ 19767086561228157026014477574482430493769693356504602896219914077780224, A(60) = 1022833439309474534842250764466023605698968368992466576933897808\ 6066449946703158881015845401963507857848957, A(61) = 5346943963084723120\ 302478691539526399152396049769762392986738917314640533158750739045990249\ 42352933839030923, A(62) = 279515790602910304289268909759472197788211501\ 09476242619562007214929808563759314046632234748037697213112282490, A(63) = 146119124748216542231523675555440059257091784067247102789283341910030663\ 9171067303033140815861349908979106872340 n A(n) is asymptotic to, 816.1350569 52.27580325 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [823, 42537, 2231780, 116560984, 6095322787, 318607048788, 16655949938430, 870695061615563, 45516414439458360, 2379405034245344600, 124385343065198655940, 6502343180427949370568, 339915221479148119201141, 17769341099131060121736971, 928906581451522198426866330, 48559337652832624489438207076, 2538478381684091942596893179479, 132700996425611348013072407270182, 6937051180378672372725598193731164, 362639922638008602442725873117312253, 18957293246455479273971284040359260272, 991007731903298904882481442367461203792, 51805725212201324867511855411618974688466, 2708185898415629511268155622423110261501336, 141572593189961319133190197853246871822789347, 7400821027188491107611846563231476516197339961, 386883863905655805895612913844590929618047970148, 20224664750125897815994987769487144881288900284424, 1057260595274482096695148881102957283156212954404251, 55269146862530499471454842806714157135485264851353160, 2889239047180152213638412358269486198745687694986813386, 151037291972562824493972918322690461409279182582889536851, 7895595758568183902693313468905913457757060158257376020744, 412748610416323879164227241812188142598917915422420460699696, 21576765149828322117444965717360817069276546555345166720720592, 1127942729743551463356953694528156306776859869262769065570895068, 58964112217324532961239994222981615262662843792552449486829633833, 3082396329082874871535137926103701894853855625172481976207027498931, 161134744037611380441765888792655495549293491528032530779012830783778, 8423448176046813652244791589005048082229494564992611587715478429600748, 440342519537465499658270905930330074444181892111440546978435074787228135, 23019258913943078991328657794907996976763569509200231823107483884651121698, 120335024994574429723090220378965292511652570579575470861542619800579851\ 9584, 6290610090698361010389048952992548247961828022562041235354828793926\ 1270201949, 3288466954237157684861142415561935540094310471134506035602267\ 705943213664159584, 17190725149377801154892841932633029870801297072764866\ 6939110057867738569664145024, 8986589656334373365081553670568952989515459\ 901519750341293765444818433464295499638, 46978119276288309420025067504146\ 3755480319037976380091255451505989480172657272960076, 2455818920341560090\ 0095128585009978303926846519482571960377056336089552848441483597263, 1283\ 799066973651813927588884097504956910845685753244625738062930889424667096\ 609715173689, 67111627437628520286995499024873773233525718078445987553219\ 874861661566451010682398683252, 35083142317157416533797854298340578016599\ 85988302950595056014332591170388087383547782587384, 183399944516293253904\ 771759950218373184765419104470487811223835936290760934249653056628238515, 958737941559185186325162308376852960454813860822473681595816353592277823\ 8573654169555118300220, 5011879600124326988538927235948079287373882991413\ 55545675365150812041251626588423121231017333782, 262000031888711183594455\ 042776718379241039053137108394958644553776247059555266833349041927997240\ 75, 136962621185039764462741694699740368732747192756838997311622130712805\ 4136167142136275290431957886680, 7159831037671321548838778225321325248914\ 3624963682000115483211731944543763174186347816369392103270216, 3742859186\ 284396154122145012330969406358629923214772250801443079906711608205572563\ 386526543872034155740, 19566097041460083068240823478923131976708656122815\ 7026014477574482430493769693356504602896219914077780224, 1022833439309474\ 534842250764466023605698968368992466576933897808606644994670315888101584\ 5401963507857848957, 5346943963084723120302478691539526399152396049769762\ 39298673891731464053315875073904599024942352933839030923, 279515790602910\ 304289268909759472197788211501094762426195620072149298085637593140466322\ 34748037697213112282490, 146119124748216542231523675555440059257091784067\ 2471027892833419100306639171067303033140815861349908979106872340] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 36, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 3, c[2] = 1, d[1] = 3, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (10012 + 167906 t + 1698464618770349324848584 t / ----- n = 0 40 39 + 152553241990252843848214 t - 4130995319156687403629002 t 38 37 + 1027120780528508367414742 t + 7173501023222949901353876 t 36 35 - 3781419700323311298384708 t - 8738638287268675338499388 t 34 33 + 6878910077317743039310300 t + 7260032332389171071585478 t 32 31 - 7903325285752785569066066 t - 3894274347639570103658178 t 30 54 + 6130109469984498261239296 t - 4946290046936917404 t 53 52 + 6369100084947263426 t + 76161588310522589497 t 51 50 - 137464499184156459489 t - 826298751736412233757 t 49 48 + 1836978571969418440042 t + 6345916524084080345156 t 47 46 - 16745698933269824176872 t - 34134162611915065423396 t 45 44 + 108202197515440596626078 t + 123803983293959773110558 t 43 42 - 503817428815464744977894 t - 268355288732671539846636 t 58 57 56 - 6680328112199922 t - 4476266745256825 t + 222304538528892403 t 55 68 67 66 - 120617260420954977 t - 79033 t + 4110585 t - 1652226 t 65 64 63 62 - 1197651936 t + 6616662287 t + 159844086643 t - 1359236572453 t 61 60 59 70 - 10797037983006 t + 126494029874810 t + 369111200115774 t + 134 t 69 2 3 4 5 - 4641 t - 12416033 t - 76613061 t + 6248666853 t - 15928345422 t 6 7 8 - 1249776749236 t + 9815886566195 t + 79954916231391 t 9 10 11 - 1028243083885805 t - 1713999028606762 t + 50964933694604718 t 12 13 - 27361698513234310 t - 1488699027899038902 t 14 15 + 2379902659757154927 t + 28112378354173568087 t 16 17 - 62351517986314818069 t - 358354498432923998136 t 18 19 + 954027941075172499006 t + 3131975078962623896541 t 20 21 - 9697655665376019967717 t - 18636977100874823781597 t 22 23 + 68844458441338514209758 t + 72307873683132094809656 t 24 25 - 348752305712700576067856 t - 155137161896330919702284 t 26 27 + 1269452690275560545038622 t + 449598634838995036582 t 28 29 / - 3311891861948264043858222 t + 1141078002753674035373404 t ) / ( / 2 2 2 2 (t - 1) (t + 3 t + 1) (1 - 7 t + t ) (t - 3 t + 1) (t + 4 t - 1) 2 10 9 8 7 6 5 (t - t - 1) (t - 57 t + 1124 t - 9327 t + 36911 t - 71400 t 4 3 2 10 9 8 7 + 63631 t - 24279 t + 3060 t - 129 t + 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) ( 10 9 8 7 6 5 4 3 2 t + t - 28 t - 27 t + 143 t + 72 t - 223 t + 9 t + 52 t + 5 t - 1 10 9 8 7 6 5 4 3 ) (t - 4 t - 163 t + 648 t + 1853 t - 1308 t - 1213 t + 504 t 2 20 19 18 17 16 + 187 t - 20 t - 1) (t + 27 t - 17 t - 3528 t - 13226 t 15 14 13 12 11 + 48780 t + 272525 t + 51585 t - 1073573 t - 799644 t 10 9 8 7 6 5 + 1470068 t + 1293636 t - 722293 t - 611679 t + 102621 t + 99324 t 4 3 2 + 4254 t - 3384 t - 241 t + 27 t + 1)) and in Maple input format: -(10012+167906*t+1698464618770349324848584*t^41+152553241990252843848214*t^40-\ 4130995319156687403629002*t^39+1027120780528508367414742*t^38+ 7173501023222949901353876*t^37-3781419700323311298384708*t^36-\ 8738638287268675338499388*t^35+6878910077317743039310300*t^34+ 7260032332389171071585478*t^33-7903325285752785569066066*t^32-\ 3894274347639570103658178*t^31+6130109469984498261239296*t^30-\ 4946290046936917404*t^54+6369100084947263426*t^53+76161588310522589497*t^52-\ 137464499184156459489*t^51-826298751736412233757*t^50+1836978571969418440042*t^ 49+6345916524084080345156*t^48-16745698933269824176872*t^47-\ 34134162611915065423396*t^46+108202197515440596626078*t^45+ 123803983293959773110558*t^44-503817428815464744977894*t^43-\ 268355288732671539846636*t^42-6680328112199922*t^58-4476266745256825*t^57+ 222304538528892403*t^56-120617260420954977*t^55-79033*t^68+4110585*t^67-1652226 *t^66-1197651936*t^65+6616662287*t^64+159844086643*t^63-1359236572453*t^62-\ 10797037983006*t^61+126494029874810*t^60+369111200115774*t^59+134*t^70-4641*t^ 69-12416033*t^2-76613061*t^3+6248666853*t^4-15928345422*t^5-1249776749236*t^6+ 9815886566195*t^7+79954916231391*t^8-1028243083885805*t^9-1713999028606762*t^10 +50964933694604718*t^11-27361698513234310*t^12-1488699027899038902*t^13+ 2379902659757154927*t^14+28112378354173568087*t^15-62351517986314818069*t^16-\ 358354498432923998136*t^17+954027941075172499006*t^18+3131975078962623896541*t^ 19-9697655665376019967717*t^20-18636977100874823781597*t^21+ 68844458441338514209758*t^22+72307873683132094809656*t^23-\ 348752305712700576067856*t^24-155137161896330919702284*t^25+ 1269452690275560545038622*t^26+449598634838995036582*t^27-\ 3311891861948264043858222*t^28+1141078002753674035373404*t^29)/(t-1)/(t^2+3*t+1 )/(1-7*t+t^2)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t^2-t-1)/(t^10-57*t^9+1124*t^8-9327*t^7+ 36911*t^6-71400*t^5+63631*t^4-24279*t^3+3060*t^2-129*t+1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-\ 189*t^7+253*t^6+456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(t^10+t^9-28*t^8-27*t^7+ 143*t^6+72*t^5-223*t^4+9*t^3+52*t^2+5*t-1)/(t^10-4*t^9-163*t^8+648*t^7+1853*t^6 -1308*t^5-1213*t^4+504*t^3+187*t^2-20*t-1)/(t^20+27*t^19-17*t^18-3528*t^17-\ 13226*t^16+48780*t^15+272525*t^14+51585*t^13-1073573*t^12-799644*t^11+1470068*t ^10+1293636*t^9-722293*t^8-611679*t^7+102621*t^6+99324*t^5+4254*t^4-3384*t^3-\ 241*t^2+27*t+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -140982432132328362245 A(n - 48) - 217996657817867556918 A(n - 47) + 895889612717861021538 A(n - 46) + 693758041919954346358 A(n - 45) - 4104448809352625894714 A(n - 44) - 956968199365072079078 A(n - 43) + 13588949393380950852946 A(n - 42) - 2332881939893522908366 A(n - 41) - 32308986414914863647670 A(n - 40) + 16088899784600510035382 A(n - 39) + 54341573873646478730438 A(n - 38) - 43098815633301671170174 A(n - 37) - 62919753344580343578838 A(n - 36) + 70332470925001753913590 A(n - 35) + 47553437839440239308894 A(n - 34) - 76383507173091512182678 A(n - 33) - 20225165805961049093254 A(n - 32) + 57121044748472736438758 A(n - 31) + 1133520298604909559182 A(n - 30) - 29998606494074987327090 A(n - 29) + 4182090751155768776566 A(n - 28) + 11208563728236588285162 A(n - 27) - 2815813167471530928006 A(n - 26) - 3000502372295110114306 A(n - 25) + 1008356916405456213878 A(n - 24) + 575407630765148742725 A(n - 23) - 234027408296101254511 A(n - 22) - 78199075242995287493 A(n - 21) + 37109621418111653635 A(n - 20) + 7302872658844054701 A(n - 19) - 4078234325711790999 A(n - 18) - 432772270164713351 A(n - 17) + 309206134259570053 A(n - 16) + 12274189149285019 A(n - 15) - 15831793691814653 A(n - 14) + 207432840962273 A(n - 13) + 521776821347093 A(n - 12) - 30297643121057 A(n - 11) - 9987497546237 A(n - 10) + 1013437611825 A(n - 9) + 84795487353 A(n - 8) - 14191765833 A(n - 7) + 16976475 A(n - 6) + 65795515 A(n - 5) - 1569377 A(n - 4) - 116431 A(n - 3) + 3065 A(n - 2) + 83 A(n - 1) + A(n - 71) - 35 A(n - 70) - 577 A(n - 69) + 30887 A(n - 68) - 23607 A(n - 67) - 8929515 A(n - 66) + 52631205 A(n - 65) + 1173985857 A(n - 64) - 10571033569 A(n - 63) - 76806749017 A(n - 62) + 972169730925 A(n - 61) + 2411166177105 A(n - 60) - 50779934325605 A(n - 59) - 15635257716785 A(n - 58) + 1669028931227381 A(n - 57) - 1480045546429027 A(n - 56) - 36582191248408621 A(n - 55) + 60211682825574215 A(n - 54) + 552579485460006503 A(n - 53) - 1218500570647169317 A(n - 52) - 5841412435789179531 A(n - 51) + 15784534944320757021 A(n - 50) + 43182600643494694879 A(n - 49) subject to the initial conditions A(0) = 10012, A(1) = 998902, A(2) = 101179613, A(3) = 10217222276, A(4) = 1032377868320, A(5) = 104297868352001, A(6) = 10537214338531820, A(7) = 1064568145873528497, A(8) = 107552740681911619056, A(9) = 10865994954551451188928, A(10) = 1097785483661983592747857, A(11) = 110908667240169279450593574, A(12) = 11205041815436066962796253660, A(13) = 1132039236110136336249177468982, A(14) = 114369303575638566121355519921501, A(15) = 11554668066380660525072624312096852, A(16) = 1167361782510399277908548281779462800, A(17) = 117937921155676765281000507792478063889, A(18) = 11915203542289112245608278361147682368028, A(19) = 1203786484146726672455428607192017662549137, A(20) = 121617888797845536905207493185976894996105056, A(21) = 12286988656583856961952345647797107205952909568, A(22) = 1241347730496432385195960935068637214634275443185, A(23) = 125412680932450951505529169542639125452977319736262, A(24) = 12670374426329579039413797031262643883864577556976412, A(25) = 1280080984712035759851241047935269637828297426286170358, A(26) = 129325880379370177091249878844622030539397149221014375261, A(27) = 13065722821952269577864505045008450747153271912447302295972, A(28) = 1320022816464168184851636579056846920751937314809170561880320, A(29) = 133361181752487094794738920299791551510083921004524533981335073, A(30) = 13473407108264687327168454768202333442821465098439091550988547276, A(31) = 1361210936492409605217498162040437810439799672691396985387608471665 , A(32) = 137522394947152096049546704349359958784397932296176117039877337167952, A(33) = 13893812196906297699580929077150383267938280252366969942628499156093632, A(34) = 1403684232208753868125318372316057834249928817981534442459106729858606097, A(35) = 141813448737288059997328601639720580392960610125176200780954764707340548198 , A(36) = 14327335009753491235897824141888242128896043855372003823083132\ 117554261245660, A(37) = 14474828044128528915270645372477877897521216789\ 49948937149924113691129651184694, A(38) = 146238394484707898526924735665\ 610170887452751288888489578315552338403150473646813, A(39) = 14774384853\ 670011548524876542436080101599840200587002519643509113187241372077690996, A(40) = 1492648005152843587294043270967967796925350930791060563999456828\ 453272450424804392816, A(41) = 15080140996417326033199704292762790199991\ 2898809964870993472094489742426930166236057905, A(42) = 1523538380695053\ 658759394061059908927704116033535656497802527989467274946629010398486271\ 6, A(43) = 1539222476767531205911619860060088244480335652168020450492691\ 576804752081930427153586166353, A(44) = 15550680330780491508980071861760\ 0604635448998191329290525927716784993835152804714748194352320, A(45) = 1\ 571076711782229825599807824802818004280506627087832635628134442587660566\ 0071985883420130729984, A(46) = 1587250192146789577244834718374364514779\ 860733507206289503782521709304743280025608916159270252977, A(47) = 16035\ 901707256892650687066560692413746435133841446117129701988756919408637943\ 1419370673568979996422, A(48) = 1620098361538098141757101627232681079466\ 2184499030328666578953482521123646854889918135328519645587740, A(49) = 1\ 636776496248189787594619698936831286006701021184329811629808462011641226\ 901088087164286915606075264502, A(50) = 16536263243467889574231700651856\ 495964363383828068618939106576430540419273572383577591699136032922915529\ 3, A(51) = 1670649613334888394668505526193120385397888848198548076638568\ 1812269793090798040699224088216136639619713220, A(52) = 1687848148909054\ 862847969298959668351000243672551878444601414947405761260339525050672537\ 067326900968689902048, A(53) = 17052237351487438431462786029145242434923\ 7551317436359149484631910585048219580398499096389897456913319588145729, A(54) = 1722778194705542546860032045638836490095990148277042703285784425\ 8560811392790494715667629676714655712681521922476, A(55) = 1740513368994\ 361093786596199231605465837600243246198742387595871786377399182641511015\ 525393577622947307149962437169, A(56) = 17584311183865919119903187322808\ 718264761117217871820181067601700324487219040016165387496464551309935845\ 7568848752816, A(57) = 1776533322405257620840067651558798931777696134659\ 3696438949151599732019377701872410087260406411176849849004261288469696, A(58) = 1794821879922167867798565786434133339659820348054138727107724735\ 228815826600767352402576129340211623458113957530567516881, A(59) = 18132\ 987093571058001777567772598712960655160344334015549941302893917768524724\ 1233458199393439239373108701873953220112859046, A(60) = 1831965748879065\ 065977608901291093716133458199315600142799495552630524782189235663636177\ 7472075817679408841092690967174260188, A(61) = 1850824956609558453020669\ 048444605445870932442308957047543731616762001661733146719702176959367491\ 365955055161183089387084026422, A(62) = 18698783108280194929038839129308\ 862211890409326260374428645676310096943396272919185648955200313201147325\ 6813678263669741574225501, A(63) = 1889127810179318575835504138197113804\ 312988575114147846954465976747171992257184100725960622400765555615292744\ 2412988389247875518100, A(64) = 1908575473883415344231309549391531746694\ 470040202052291769721633483710485349848009356989481228724324427220297365\ 957803682054259231824, A(65) = 19282233419471693570342066182117523614437\ 662275652333394114900397119006862515497789826081966361942670942716484892\ 2593447812491125886289, A(66) = 1948073475378331243117959339485543516684\ 018453058918611208015130561718666016802540876881341578557553900237872085\ 4116590171791157730405340, A(67) = 1968127956401736790863170154311586281\ 658096736692190080911131262733165440663576107722276036371816449184426096\ 229100129863806422099159740433, A(68) = 19883888886777266520756213065634\ 782636019258037022981468390751564888530707960079718064375652213119222427\ 2297449604008944830730822256015757344, A(69) = 2008858397522814571877958\ 938669729591756818511742303904795117156079547909712922651163430139280844\ 9123556655738566686540892227613109770873875712, A(70) = 2029538630132627\ 292069941727291353281980543883639653734474384701884176158091292106790893\ 335634798647019261009580527107522243327117029449285459825 n A(n) is asymptotic to, 9909.175223 101.0294520 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [10012, 998902, 101179613, 10217222276, 1032377868320, 104297868352001, 10537214338531820, 1064568145873528497, 107552740681911619056, 10865994954551451188928, 1097785483661983592747857, 110908667240169279450593574, 11205041815436066962796253660, 1132039236110136336249177468982, 114369303575638566121355519921501, 11554668066380660525072624312096852, 1167361782510399277908548281779462800, 117937921155676765281000507792478063889, 11915203542289112245608278361147682368028, 1203786484146726672455428607192017662549137, 121617888797845536905207493185976894996105056, 12286988656583856961952345647797107205952909568, 1241347730496432385195960935068637214634275443185, 125412680932450951505529169542639125452977319736262, 12670374426329579039413797031262643883864577556976412, 1280080984712035759851241047935269637828297426286170358, 129325880379370177091249878844622030539397149221014375261, 13065722821952269577864505045008450747153271912447302295972, 1320022816464168184851636579056846920751937314809170561880320, 133361181752487094794738920299791551510083921004524533981335073, 13473407108264687327168454768202333442821465098439091550988547276, 1361210936492409605217498162040437810439799672691396985387608471665, 137522394947152096049546704349359958784397932296176117039877337167952, 13893812196906297699580929077150383267938280252366969942628499156093632, 1403684232208753868125318372316057834249928817981534442459106729858606097, 141813448737288059997328601639720580392960610125176200780954764707340548198 , 14327335009753491235897824141888242128896043855372003823083132117554261\ 245660, 14474828044128528915270645372477877897521216789499489371499241136\ 91129651184694, 146238394484707898526924735665610170887452751288888489578\ 315552338403150473646813, 14774384853670011548524876542436080101599840200\ 587002519643509113187241372077690996, 14926480051528435872940432709679677\ 96925350930791060563999456828453272450424804392816, 150801409964173260331\ 997042927627901999912898809964870993472094489742426930166236057905, 15235\ 383806950536587593940610599089277041160335356564978025279894672749466290\ 103984862716, 15392224767675312059116198600600882444803356521680204504926\ 91576804752081930427153586166353, 155506803307804915089800718617600604635\ 448998191329290525927716784993835152804714748194352320, 15710767117822298\ 255998078248028180042805066270878326356281344425876605660071985883420130\ 729984, 15872501921467895772448347183743645147798607335072062895037825217\ 09304743280025608916159270252977, 160359017072568926506870665606924137464\ 351338414461171297019887569194086379431419370673568979996422, 16200983615\ 380981417571016272326810794662184499030328666578953482521123646854889918\ 135328519645587740, 16367764962481897875946196989368312860067010211843298\ 11629808462011641226901088087164286915606075264502, 165362632434678895742\ 317006518564959643633838280686189391065764305404192735723835775916991360\ 329229155293, 16706496133348883946685055261931203853978888481985480766385\ 681812269793090798040699224088216136639619713220, 16878481489090548628479\ 692989596683510002436725518784446014149474057612603395250506725370673269\ 00968689902048, 170522373514874384314627860291452424349237551317436359149\ 484631910585048219580398499096389897456913319588145729, 17227781947055425\ 468600320456388364900959901482770427032857844258560811392790494715667629\ 676714655712681521922476, 17405133689943610937865961992316054658376002432\ 46198742387595871786377399182641511015525393577622947307149962437169, 175\ 843111838659191199031873228087182647611172178718201810676017003244872190\ 400161653874964645513099358457568848752816, 17765333224052576208400676515\ 587989317776961346593696438949151599732019377701872410087260406411176849\ 849004261288469696, 17948218799221678677985657864341333396598203480541387\ 27107724735228815826600767352402576129340211623458113957530567516881, 181\ 329870935710580017775677725987129606551603443340155499413028939177685247\ 241233458199393439239373108701873953220112859046, 18319657488790650659776\ 089012910937161334581993156001427994955526305247821892356636361777472075\ 817679408841092690967174260188, 18508249566095584530206690484446054458709\ 324423089570475437316167620016617331467197021769593674913659550551611830\ 89387084026422, 186987831082801949290388391293088622118904093262603744286\ 456763100969433962729191856489552003132011473256813678263669741574225501, 188912781017931857583550413819711380431298857511414784695446597674717199\ 22571841007259606224007655556152927442412988389247875518100, 190857547388\ 341534423130954939153174669447004020205229176972163348371048534984800935\ 6989481228724324427220297365957803682054259231824, 1928223341947169357034\ 206618211752361443766227565233339411490039711900686251549778982608196636\ 19426709427164848922593447812491125886289, 194807347537833124311795933948\ 554351668401845305891861120801513056171866601680254087688134157855755390\ 02378720854116590171791157730405340, 196812795640173679086317015431158628\ 165809673669219008091113126273316544066357610772227603637181644918442609\ 6229100129863806422099159740433, 1988388888677726652075621306563478263601\ 925803702298146839075156488853070796007971806437565221311922242722974496\ 04008944830730822256015757344, 200885839752281457187795893866972959175681\ 851174230390479511715607954790971292265116343013928084491235566557385666\ 86540892227613109770873875712, 202953863013262729206994172729135328198054\ 388363965373447438470188417615809129210679089333563479864701926100958052\ 7107522243327117029449285459825] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 37, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 3, c[2] = 2, d[1] = 1, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-228 - 8694 t - 89983010909153129101058164 t / ----- n = 0 40 39 - 7101458508049127408080500 t + 73470993623759704407137888 t 38 37 + 7548653892457382268570749 t - 49077510143608216316639680 t 36 35 - 6582501756922331745830230 t + 26682951823143464221716546 t 34 33 + 4498227614777447555584588 t - 11735520079052069293795330 t 32 31 - 2372456956140311133567141 t + 4150295201081654565604692 t 30 54 + 960508280570912838066020 t + 795158546239183070895304 t 53 52 - 4727287444648961873039260 t - 1824668094117228210744871 t 51 50 + 12809046258042327920328514 t + 3252111706082694984156705 t 49 48 - 28217165310874875308121826 t - 4558231044492884914824636 t 47 46 + 50741829258955464499778176 t + 5248159416755970226233400 t 45 44 - 74758958034200650141133564 t - 5528367846216042481754188 t 43 42 + 90466212451391924119107308 t + 6113737790007132299814072 t 58 57 + 70376493920924436191120 t - 341333829387051769765040 t 56 55 - 268590034397624105560817 t + 1413222112975206999580614 t 68 67 - 1892065201525833834 t + 11060901438364890206 t 66 65 + 26177047062622175148 t - 135215154035363256730 t 64 63 - 277063155404208472654 t + 1325131900784350703254 t 62 61 + 2262367311084733686575 t - 10455535747079191396176 t 60 59 87 - 14318922610674663318862 t + 66518798355448579150550 t + 4 t 86 85 84 83 82 81 + 7 t - 2896 t - 5322 t + 845142 t + 1754060 t - 135232354 t 80 79 78 77 - 318529411 t + 13491633832 t + 35211906420 t - 900848312714 t 76 75 74 - 2522246782193 t + 42186041192264 t + 122484902575185 t 73 72 71 - 1436461709412642 t - 4179990973481620 t + 36660978760012344 t 70 69 2 3 + 103274619303295084 t - 719211873108861918 t + 19891 t + 3727882 t 4 5 6 7 + 9372871 t - 761643704 t - 2006841312 t + 95109197950 t 8 9 10 + 134226735929 t - 7655440103340 t + 120242209816 t 11 12 13 + 398319440682194 t - 450176680771058 t - 13636825841871008 t 14 15 16 + 24980246298757453 t + 325218241219472902 t - 723205001999356990 t 17 18 - 5711821644965973106 t + 13574301297512483548 t 19 20 + 77070194097334859382 t - 179585951939049639018 t 21 22 - 821334502136927549286 t + 1745479990440673592220 t 23 24 + 7013262938302724411912 t - 12735907823897207758956 t 25 26 - 48184784858656221340422 t + 70516285904921539453403 t 27 28 + 265924249001532692290668 t - 297709413248981616767663 t 29 / 2 - 1175031597442572066119586 t ) / ((t + 1) (t - 3 t + 1) / 2 2 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t - t - 3 t + 1) 5 4 3 2 (t - t - 9 t + 9 t + 5 t - 1) 6 5 4 3 2 (t + 3 t - 20 t - 27 t + 2 t + 9 t + 1) 6 5 4 3 2 (t - 4 t - 55 t + 64 t + 27 t - 12 t - 1) 6 5 4 3 2 10 9 8 7 (t + t - 10 t - t + 12 t + 3 t - 1) (t + 3 t - 62 t - 189 t 6 5 4 3 2 15 14 + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) (t + t 13 12 11 10 9 8 7 - 66 t - 64 t + 1215 t + 925 t - 6841 t - 2241 t + 9983 t 6 5 4 3 2 + 3157 t - 4733 t - 1709 t + 422 t + 124 t - 15 t - 1) (1 - 45 t 30 2 3 4 5 6 + t - 643 t + 13176 t + 51389 t - 1200573 t + 1014883 t 7 8 9 10 + 26967984 t - 35933608 t - 268372122 t + 305637102 t 11 12 13 14 + 1311635442 t - 1086269752 t - 2979007482 t + 2176379842 t 15 16 17 18 + 3230889474 t - 2365202364 t - 1641456804 t + 1244628572 t 19 20 21 22 + 417258588 t - 327373460 t - 56101710 t + 43593486 t 23 24 25 26 27 28 + 4062786 t - 2716561 t - 148317 t + 61013 t + 1350 t - 461 t 29 - 3 t )) and in Maple input format: -(-228-8694*t-89983010909153129101058164*t^41-7101458508049127408080500*t^40+ 73470993623759704407137888*t^39+7548653892457382268570749*t^38-\ 49077510143608216316639680*t^37-6582501756922331745830230*t^36+ 26682951823143464221716546*t^35+4498227614777447555584588*t^34-\ 11735520079052069293795330*t^33-2372456956140311133567141*t^32+ 4150295201081654565604692*t^31+960508280570912838066020*t^30+ 795158546239183070895304*t^54-4727287444648961873039260*t^53-\ 1824668094117228210744871*t^52+12809046258042327920328514*t^51+ 3252111706082694984156705*t^50-28217165310874875308121826*t^49-\ 4558231044492884914824636*t^48+50741829258955464499778176*t^47+ 5248159416755970226233400*t^46-74758958034200650141133564*t^45-\ 5528367846216042481754188*t^44+90466212451391924119107308*t^43+ 6113737790007132299814072*t^42+70376493920924436191120*t^58-\ 341333829387051769765040*t^57-268590034397624105560817*t^56+ 1413222112975206999580614*t^55-1892065201525833834*t^68+11060901438364890206*t^ 67+26177047062622175148*t^66-135215154035363256730*t^65-277063155404208472654*t ^64+1325131900784350703254*t^63+2262367311084733686575*t^62-\ 10455535747079191396176*t^61-14318922610674663318862*t^60+ 66518798355448579150550*t^59+4*t^87+7*t^86-2896*t^85-5322*t^84+845142*t^83+ 1754060*t^82-135232354*t^81-318529411*t^80+13491633832*t^79+35211906420*t^78-\ 900848312714*t^77-2522246782193*t^76+42186041192264*t^75+122484902575185*t^74-\ 1436461709412642*t^73-4179990973481620*t^72+36660978760012344*t^71+ 103274619303295084*t^70-719211873108861918*t^69+19891*t^2+3727882*t^3+9372871*t ^4-761643704*t^5-2006841312*t^6+95109197950*t^7+134226735929*t^8-7655440103340* t^9+120242209816*t^10+398319440682194*t^11-450176680771058*t^12-\ 13636825841871008*t^13+24980246298757453*t^14+325218241219472902*t^15-\ 723205001999356990*t^16-5711821644965973106*t^17+13574301297512483548*t^18+ 77070194097334859382*t^19-179585951939049639018*t^20-821334502136927549286*t^21 +1745479990440673592220*t^22+7013262938302724411912*t^23-\ 12735907823897207758956*t^24-48184784858656221340422*t^25+ 70516285904921539453403*t^26+265924249001532692290668*t^27-\ 297709413248981616767663*t^28-1175031597442572066119586*t^29)/(t+1)/(t^2-3*t+1) /(t^2+4*t-1)/(t^2-t-1)/(t^3-t^2-3*t+1)/(t^5-t^4-9*t^3+9*t^2+5*t-1)/(t^6+3*t^5-\ 20*t^4-27*t^3+2*t^2+9*t+1)/(t^6-4*t^5-55*t^4+64*t^3+27*t^2-12*t-1)/(t^6+t^5-10* t^4-t^3+12*t^2+3*t-1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-189*t^7+253*t^6+456*t^5-187*t^4-297*t^ 3-38*t^2+15*t+1)/(t^15+t^14-66*t^13-64*t^12+1215*t^11+925*t^10-6841*t^9-2241*t^ 8+9983*t^7+3157*t^6-4733*t^5-1709*t^4+422*t^3+124*t^2-15*t-1)/(1-45*t+t^30-643* t^2+13176*t^3+51389*t^4-1200573*t^5+1014883*t^6+26967984*t^7-35933608*t^8-\ 268372122*t^9+305637102*t^10+1311635442*t^11-1086269752*t^12-2979007482*t^13+ 2176379842*t^14+3230889474*t^15-2365202364*t^16-1641456804*t^17+1244628572*t^18 +417258588*t^19-327373460*t^20-56101710*t^21+43593486*t^22+4062786*t^23-2716561 *t^24-148317*t^25+61013*t^26+1350*t^27-461*t^28-3*t^29) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -18267318168910916845533 A(n - 60) - 5801479407858323718792 A(n - 59) + 92943891843199614653148 A(n - 58) + 12344125059685376291694 A(n - 57) - 381511778330829542953584 A(n - 56) + 7138150596037281022880 A(n - 55) + 1266810349027300675062800 A(n - 54) - 171622277009236630726284 A(n - 53) - 3415770505215542162563499 A(n - 52) + 744826603134980020959200 A(n - 51) + 7514281837002231771444548 A(n - 50) - 2015784438211353192924522 A(n - 49) - 13554110049842494826754899 A(n - 48) + 3913311343100983164926912 A(n - 47) + 20134524916100129692094920 A(n - 46) - 5694437465347732101951032 A(n - 45) - 24703623628542264002326880 A(n - 44) + 6295676744203786775741232 A(n - 43) + 25052280102885078030333688 A(n - 42) - 5260854639010122060895440 A(n - 41) - 20960739809051760596737011 A(n - 40) + 3230015100757435304598432 A(n - 39) + 14405644146536767791488092 A(n - 38) - 1341559665101909157332072 A(n - 37) - 8079731997721972232454859 A(n - 36) + 263398683928011956344184 A(n - 35) + 3669685678735463663504976 A(n - 34) + 83864304450706096357742 A(n - 33) - 1339301265288695821214976 A(n - 32) - 93319969603721286900032 A(n - 31) + 390381733645000480159812 A(n - 30) + 41135287444001973891092 A(n - 29) - 90584992348466638943933 A(n - 28) - 11624571454191924289000 A(n - 27) + 16728905009675724806732 A(n - 26) + 2302589731454880666870 A(n - 25) - 2461650158757138377893 A(n - 24) - 327664468534374363360 A(n - 23) + 288516149337318285220 A(n - 22) + 33344315556329717164 A(n - 21) - 26781786705297545712 A(n - 20) - 2340383564523638968 A(n - 19) + 1939867565173079532 A(n - 18) + 101746545600762248 A(n - 17) - 106651877519161719 A(n - 16) - 1659658491958656 A(n - 15) + 4262736773420796 A(n - 14) - 78644563664180 A(n - 13) - 116765277829775 A(n - 12) + 5260793930440 A(n - 11) + 2061874873532 A(n - 10) - 123377673742 A(n - 9) - 23386575344 A(n - 8) + 1434196544 A(n - 7) + 174906184 A(n - 6) - 8397044 A(n - 5) - 847785 A(n - 4) + 19088 A(n - 3) + 2188 A(n - 2) + 10 A(n - 1) - A(n - 88) + 724 A(n - 86) + 144 A(n - 85) - 211401 A(n - 84) - 112952 A(n - 83) + 33936152 A(n - 82) + 30398258 A(n - 81) - 3409503648 A(n - 80) - 4136953824 A(n - 79) + 230184469348 A(n - 78) + 333403251820 A(n - 77) - 10937962036847 A(n - 76) - 17321133512776 A(n - 75) + 378788716624356 A(n - 74) + 612495821641834 A(n - 73) - 9835016077394183 A(n - 72) - 15320185696251744 A(n - 71) + 195907550958802324 A(n - 70) + 278533275902046860 A(n - 69) - 3047273492598635952 A(n - 68) - 3746359752514436920 A(n - 67) + 37485222699192369180 A(n - 66) + 37596523932213702216 A(n - 65) - 367716982075445261333 A(n - 64) - 280938637031942650464 A(n - 63) + 2890953655064485724116 A(n - 62) + 1534956830752557750540 A(n - 61) subject to the initial conditions A(0) = 228, A(1) = 10974, A(2) = 588713, A(3) = 30522424, A(4) = 1600132145, A(5) = 83565263988, A(6) = 4369988042155, A(7) = 228415406293140, A(8) = 11941157541566690, A(9) = 624222830687208896, A(10) = 32631958994346040689, A(11) = 1705857786125653784402, A(12) = 89175166030682492014328, A(13) = 4661701859577614611560792, A(14) = 243694240290421049753301215, A(15) = 12739311544153018595300696388, A(16) = 665957755995614605133458619935, A(17) = 34813476383689623813696871303642, A(18) = 1819902446680044313794011766563557, A(19) = 95136862141398509347211927034152390, A(20) = 4973355889023424055745188257634038510, A(21) = 259986173908931093795354249061086899200, A(22) = 13590986075732879937120999943467554975023, A(23) = 710479714053278913533493695711775702308856, A(24) = 37140897745253942325789920169212105340741696, A(25) = 1941570263052724091233585160848057728963683066, A(26) = 101497145067484292640742507217521270217792617813, A(27) = 5305844785980585110597903945588230712414059559872, A(28) = 277367298106925528313804348441124311436882819337921, A(29) = 14499598303816539266839082759022302879028152342970640, A(30) = 757978148134143804794806076293065555882198929980699755, A(31) = 39623916539647862735959972900554096684000865648117647456, A(32) = 2071372065020452765932278459619462668593316388406039966702, A(33) = 108282638528523500950909178838417279285727427718374589470016, A(34) = 5660561907106307561707883235317242215406776045123519913239177, A(35) = 295910420540247300066540341759552319523343402503623867705022574, A(36) = 15468954923782192782859138874973500415805844197452250930319898804, A(37) = 808652044078519562320317846604480944487430004584705971360618597340, A(38) = 42272935153946623664956395184318125634151215944548925990881684574331, A(39) = 2209851640907074296022102493380197343146836950229708690317028259537276, A(40) = 115521769591714000524663072551602435758725019882644631949508022574682607, A(41) = 6038993298266503488188580029817632390388349231936683714961467148980193366, A(42) = 315693225488155751854245904460484442497785274717069593852370215567058582757 , A(43) = 16503116942971877128964859089918733616898156486564924841114824\ 710214966488234, A(44) = 86271369432228640046903568366222320834900050621\ 0772099531909728175069160303242, A(45) = 4509905134545926443550328219964\ 6090482425733930238811357969509112024216889313280, A(46) = 2357589134896\ 185122694460534144945995591024426190619160957381040068268571271369735, A(47) = 1232448657601345513999691374263123058595748259337202449235871192\ 77688377514783262284, A(48) = 644272435404756671243475782564659367459247\ 1319395888071328770317463451565967128863596, A(49) = 3367985907260752005\ 81694042676904910165903293939398083828756521945821642121067886924790, A(50) = 176064168636684202210760432316740958344463292064723416297029606340399\ 82906524155304037985, A(51) = 920389583902342581446234033415248442980981\ 382713325750177686595501977423396735198528297608, A(52) = 48114104801414\ 122564554397871887734384069759679152484549721846989088549779982144940644\ 461313, A(53) = 25152034761478676198947928972373570995677660014880342931\ 28592725993175718666668979255770607884, A(54) = 131484282052783448835595\ 951274869347056154993581212192367874221621255234401364093628406546379259, A(55) = 6873446459056798622870206193127492618500006827005057322700673336\ 393566446437694835695709256727500, A(56) = 35931493474295704633059868562\ 2452843621546148096201925366543564420333124919314252000524652236005898, A(57) = 1878347683340390519354758634618923556053164025661156443162769105\ 7550622667412405649380897113237567168, A(58) = 9819213392936677093694445\ 460867275782009066418879333864582530338038125929180898042123944936804222\ 08881, A(59) = 513307267398772187032860570059197862997833111192625204566\ 61435139149366967410003520597108971442545037194, A(60) = 268335497173254\ 874466619000536238203235334918322786278830757250926038506593293900973623\ 4799269513420797728, A(61) = 1402745365521589060211718021265005167523984\ 83797851778757878747057937274511109148833192511553111345488255840, A(62) = 733296407378344255547324956011004338663794727060967354896521318401425372\ 6085042265620381104077407821022090551, A(63) = 3833365871603093447436325\ 752458346272464862193397825155285961765234935582004383083087332478991762\ 37262724179636, A(64) = 200392280089129326873147251337574640741805453790\ 58738860088794757282569123553809073196954216917527860654481738575, A(65) = 104756674067551460420873085682159049884652566858347062729003049331547506\ 3159529438103023999381689914394015645252274, A(66) = 5476239282678091905\ 045423023401394315191134923167464410617072235705674729489865744664451575\ 9145234480642957983241685, A(67) = 2862748072911171393688268343438765885\ 971934100682000845110777955193587964312731009923896955997269809948283498\ 907090830, A(68) = 14965245501377717743717381454201491204259451106026295\ 5271060101922998892969754455529923048752294099230313800845076176214, A(69) = 782320229417739826726404012479603050754263117073604642638068940211899\ 5455744280528427895435891037149529928522228757882880, A(70) = 4089641839\ 152463978730282964349541095368321008571220686720557009954366734652125493\ 94591655556137367198881516676022627656015, A(71) = 213789312146439677869\ 223380485072331399762429474216372810415289164013818232092534410758771087\ 99144731490268290285659725983552, A(72) = 111760080187168393586349086109\ 253858459817656351968834880984589426047409394751242185220611621455612605\ 7551586598704695922766888, A(73) = 5842347963066925337821092701715614684\ 587118704050155253043337682270661161748932143572452020661875185886181671\ 4634186435473964562, A(74) = 3054134326352353185963998749800189441185944\ 157269617338087082065597128904952991234566875654114622070069390533052419\ 156701486199501, A(75) = 15965732514342009916625054077476212672083984846\ 698432918809149969986692931711480100733824998930712880873455608409017900\ 6121749533712, A(76) = 8346214916616260306618851248801679694798515593106\ 219242356039010329933654222131767900342415059051339450480972103871965241\ 895355597105, A(77) = 43630508886311886956250515732293960133110262683302\ 638502121662159971505969594444349590605356128492248295866048491197953635\ 8057467246312, A(78) = 2280819898237548160981604490478137108442702334057\ 688341766049841747703293803905728013922861833644071052527638153053694747\ 4671851609565723, A(79) = 1192316922489161347040222998657464076202654333\ 305662714583581413250301646132643571302519932229658266631865199523585716\ 173586990411759448728, A(80) = 62329324851670625973758058754629137083169\ 555034411493253185583050404465941126550181199239601415186728732074442100\ 253284500881332289042600054, A(81) = 32583155226503138486895705376046187\ 690980998050785050577210519651028436834729599073051465468214318472415634\ 05825561888485765276522967120698944, A(82) = 170331061188438789966731095\ 503294062379160697085822297318525505683652406787460590749681122284524271\ 998129433314026120572691276791780139363458537, A(83) = 89041930420479269\ 490583790074266661673154581984243310641343445136916419325097082300621316\ 81258847416002556563287750563777554273082440340173393382, A(84) = 465473\ 843565979944984463928526066622368022404406034302620817072948435959837074\ 803903674143091573370040101725801723675099415163840805283776213189116, A(85) = 2433301906426931237469654779967814963973185137679826270931558404\ 042659371642034409350263194954654580263867099252545116899705571987279266\ 9240103881508, A(86) = 1272028117081868762852716567473189406238883566436\ 085610062051686885373543805650777262053661285714054718486873653305670534\ 653307062900378918567973218323, A(87) = 66496291577020241113098497964557\ 070700069204164223631612953269760190307121087018928351257172851193152971\ 867168218144777702312426047810151706692861824620 n A(n) is asymptotic to, 214.1091578 52.27580325 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [228, 10974, 588713, 30522424, 1600132145, 83565263988, 4369988042155, 228415406293140, 11941157541566690, 624222830687208896, 32631958994346040689, 1705857786125653784402, 89175166030682492014328, 4661701859577614611560792, 243694240290421049753301215, 12739311544153018595300696388, 665957755995614605133458619935, 34813476383689623813696871303642, 1819902446680044313794011766563557, 95136862141398509347211927034152390, 4973355889023424055745188257634038510, 259986173908931093795354249061086899200, 13590986075732879937120999943467554975023, 710479714053278913533493695711775702308856, 37140897745253942325789920169212105340741696, 1941570263052724091233585160848057728963683066, 101497145067484292640742507217521270217792617813, 5305844785980585110597903945588230712414059559872, 277367298106925528313804348441124311436882819337921, 14499598303816539266839082759022302879028152342970640, 757978148134143804794806076293065555882198929980699755, 39623916539647862735959972900554096684000865648117647456, 2071372065020452765932278459619462668593316388406039966702, 108282638528523500950909178838417279285727427718374589470016, 5660561907106307561707883235317242215406776045123519913239177, 295910420540247300066540341759552319523343402503623867705022574, 15468954923782192782859138874973500415805844197452250930319898804, 808652044078519562320317846604480944487430004584705971360618597340, 42272935153946623664956395184318125634151215944548925990881684574331, 2209851640907074296022102493380197343146836950229708690317028259537276, 115521769591714000524663072551602435758725019882644631949508022574682607, 6038993298266503488188580029817632390388349231936683714961467148980193366, 315693225488155751854245904460484442497785274717069593852370215567058582757 , 16503116942971877128964859089918733616898156486564924841114824710214966\ 488234, 86271369432228640046903568366222320834900050621077209953190972817\ 5069160303242, 4509905134545926443550328219964609048242573393023881135796\ 9509112024216889313280, 2357589134896185122694460534144945995591024426190\ 619160957381040068268571271369735, 12324486576013455139996913742631230585\ 9574825933720244923587119277688377514783262284, 6442724354047566712434757\ 825646593674592471319395888071328770317463451565967128863596, 33679859072\ 607520058169404267690491016590329393939808382875652194582164212106788692\ 4790, 1760641686366842022107604323167409583444632920647234162970296063403\ 9982906524155304037985, 9203895839023425814462340334152484429809813827133\ 25750177686595501977423396735198528297608, 481141048014141225645543978718\ 87734384069759679152484549721846989088549779982144940644461313, 251520347\ 614786761989479289723735709956776600148803429312859272599317571866666897\ 9255770607884, 1314842820527834488355959512748693470561549935812121923678\ 74221621255234401364093628406546379259, 687344645905679862287020619312749\ 2618500006827005057322700673336393566446437694835695709256727500, 3593149\ 347429570463305986856224528436215461480962019253665435644203331249193142\ 52000524652236005898, 187834768334039051935475863461892355605316402566115\ 64431627691057550622667412405649380897113237567168, 981921339293667709369\ 444546086727578200906641887933386458253033803812592918089804212394493680\ 422208881, 51330726739877218703286057005919786299783311119262520456661435\ 139149366967410003520597108971442545037194, 26833549717325487446661900053\ 623820323533491832278627883075725092603850659329390097362347992695134207\ 97728, 140274536552158906021171802126500516752398483797851778757878747057\ 937274511109148833192511553111345488255840, 73329640737834425554732495601\ 100433866379472706096735489652131840142537260850422656203811040774078210\ 22090551, 383336587160309344743632575245834627246486219339782515528596176\ 523493558200438308308733247899176237262724179636, 20039228008912932687314\ 725133757464074180545379058738860088794757282569123553809073196954216917\ 527860654481738575, 10475667406755146042087308568215904988465256685834706\ 27290030493315475063159529438103023999381689914394015645252274, 547623928\ 267809190504542302340139431519113492316746441061707223570567472948986574\ 46644515759145234480642957983241685, 286274807291117139368826834343876588\ 597193410068200084511077795519358796431273100992389695599726980994828349\ 8907090830, 1496524550137771774371738145420149120425945110602629552710601\ 01922998892969754455529923048752294099230313800845076176214, 782320229417\ 739826726404012479603050754263117073604642638068940211899545574428052842\ 7895435891037149529928522228757882880, 4089641839152463978730282964349541\ 095368321008571220686720557009954366734652125493945916555561373671988815\ 16676022627656015, 213789312146439677869223380485072331399762429474216372\ 81041528916401381823209253441075877108799144731490268290285659725983552, 111760080187168393586349086109253858459817656351968834880984589426047409\ 3947512421852206116214556126057551586598704695922766888, 5842347963066925\ 337821092701715614684587118704050155253043337682270661161748932143572452\ 0206618751858861816714634186435473964562, 3054134326352353185963998749800\ 189441185944157269617338087082065597128904952991234566875654114622070069\ 390533052419156701486199501, 15965732514342009916625054077476212672083984\ 846698432918809149969986692931711480100733824998930712880873455608409017\ 9006121749533712, 8346214916616260306618851248801679694798515593106219242\ 356039010329933654222131767900342415059051339450480972103871965241895355\ 597105, 43630508886311886956250515732293960133110262683302638502121662159\ 9715059695944443495906053561284922482958660484911979536358057467246312, 2\ 280819898237548160981604490478137108442702334057688341766049841747703293\ 8039057280139228618336440710525276381530536947474671851609565723, 1192316\ 922489161347040222998657464076202654333305662714583581413250301646132643\ 571302519932229658266631865199523585716173586990411759448728, 62329324851\ 670625973758058754629137083169555034411493253185583050404465941126550181\ 199239601415186728732074442100253284500881332289042600054, 32583155226503\ 138486895705376046187690980998050785050577210519651028436834729599073051\ 46546821431847241563405825561888485765276522967120698944, 170331061188438\ 789966731095503294062379160697085822297318525505683652406787460590749681\ 122284524271998129433314026120572691276791780139363458537, 89041930420479\ 269490583790074266661673154581984243310641343445136916419325097082300621\ 31681258847416002556563287750563777554273082440340173393382, 465473843565\ 979944984463928526066622368022404406034302620817072948435959837074803903\ 674143091573370040101725801723675099415163840805283776213189116, 24333019\ 064269312374696547799678149639731851376798262709315584040426593716420344\ 093502631949546545802638670992525451168997055719872792669240103881508, 12\ 720281170818687628527165674731894062388835664360856100620516868853735438\ 056507772620536612857140547184868736533056705346533070629003789185679732\ 18323, 664962915770202411130984979645570707000692041642236316129532697601\ 903071210870189283512571728511931529718671682181447777023124260478101517\ 06692861824620] ------------------------------------------------------------------- Theorem Number, 38, : Let A(n) be the number of ways to tile, with MONOMERS (unit squares) and DIMERS (domino pieces) the region in the plane obtained by removing from the c[1] + n + c[2], by , d[1] + n + d[2], rectangle the central , n, by , n, square. where , c[1] = 3, c[2] = 3, d[1] = 1, d[2] = 1 Then infinity ----- \ n 41 ) A(n) t = - (-733 - 30258 t + 1486677808387782061450246949855 t / ----- n = 0 40 39 + 66859197007941765343853589121 t - 1006115890490661517294612550759 t 38 37 + 44292084498390690367228489388 t + 542072703073231038935358052047 t 36 35 - 58901180893178506468918078544 t - 232941482806703695678948379893 t 34 33 + 35717130557354004805742883207 t + 79961797059589640388087378757 t 32 31 - 14511344655726112792679770903 t - 21934008205136870615976225443 t 30 54 + 4298853206342297622708048078 t - 80024561911086465290285161640 t 53 52 + 128629514386223603855267232424 t + 196176784499900183789565672262 t 51 50 - 339200707385138165007712168904 t - 376867884482267209434617806115 t 49 48 + 716954540365454987586073457654 t + 560578219761377884108924785445 t 47 46 - 1211105432757701376852225053468 t - 632904925652666158134958545596 t 45 44 + 1630652088746206065075532807644 t + 522183840476341072426681675100 t 43 42 - 1746504185187290358453306261980 t - 286418427627489843078452797527 t 58 57 - 6586127703397297171821237101 t + 9616858265283670590244232689 t 56 55 + 25775791611691304261952016397 t - 39199198067632885988596799407 t 68 67 + 227953431610462220977242 t - 307476144213729558086550 t 66 65 - 2833199900521538174915587 t + 3876046006541085460170323 t 64 63 + 27804537398156572910784105 t - 38371903547826321015231195 t 62 61 - 216355125123162715565666078 t + 301792523014459316952896495 t 60 59 + 1338222116484611172643596446 t - 1900008995375928197381751905 t 87 86 85 84 + 3149151 t - 87687872 t - 608226191 t + 19665400908 t 83 82 81 + 65971390877 t - 2726792132751 t - 3907853859693 t 80 79 78 + 252255939216575 t + 76358383763755 t - 16340521140928442 t 77 76 75 + 6372281104691330 t + 766879542091408672 t - 626788577162470194 t 74 91 73 90 - 26751607346021563529 t + 8 t + 28789904778316265300 t - 193 t 72 71 89 + 707399608684513785487 t - 867675400025052455722 t - 8279 t 70 88 69 - 14394304932395588832778 t + 210255 t + 18831307673108716418122 t 2 3 4 5 + 924171 t + 33869892 t - 690666922 t - 13596053956 t 6 7 8 + 301881419508 t + 1858056061511 t - 64154707310357 t 9 10 11 + 15900688068823 t + 6647565506883285 t - 19406150829628647 t 12 13 - 405247075888932538 t + 1772133514485484145 t 14 15 + 16367327242536825618 t - 86394806076572634877 t 16 17 - 471563427793045180761 t + 2739781386733305731077 t 18 19 + 10153871042160817445307 t - 61022329695562741660598 t 20 21 - 167717272625340285609046 t + 994306178558182004770618 t 22 23 + 2146396252706690849117286 t - 12171278156578798667965722 t 24 25 - 21283048373762751929634999 t + 114188955713695899063394632 t 26 27 + 162913328315358117019725761 t - 834083122886851735126481002 t 28 29 / - 958123624748635035318241180 t + 4799729662299501003264220346 t ) / / 2 2 2 ((t - 1) (t + 1) (t + 3 t + 1) (1 - 7 t + t ) (t - 3 t + 1) 2 2 5 4 3 2 (t + 4 t - 1) (t - t - 1) (t + 19 t + 109 t + 173 t + 43 t + 1) 5 4 3 2 10 9 8 7 (t - t - 9 t + 9 t + 5 t - 1) (t - 57 t + 1124 t - 9327 t 6 5 4 3 2 10 + 36911 t - 71400 t + 63631 t - 24279 t + 3060 t - 129 t + 1) (t 9 8 7 6 5 4 3 2 + 3 t - 62 t - 189 t + 253 t + 456 t - 187 t - 297 t - 38 t + 15 t + 1) ( 10 9 8 7 6 5 4 3 2 t + t - 28 t - 27 t + 143 t + 72 t - 223 t + 9 t + 52 t + 5 t - 1 10 9 8 7 6 5 4 3 ) (t - 4 t - 163 t + 648 t + 1853 t - 1308 t - 1213 t + 504 t 2 10 9 8 7 6 5 + 187 t - 20 t - 1) (t - 9 t - 14 t + 175 t - 51 t - 404 t 4 3 2 20 19 18 17 + 205 t + 119 t - 46 t - 9 t + 1) (t + 27 t - 17 t - 3528 t 16 15 14 13 12 - 13226 t + 48780 t + 272525 t + 51585 t - 1073573 t 11 10 9 8 7 - 799644 t + 1470068 t + 1293636 t - 722293 t - 611679 t 6 5 4 3 2 + 102621 t + 99324 t + 4254 t - 3384 t - 241 t + 27 t + 1)) and in Maple input format: -(-733-30258*t+1486677808387782061450246949855*t^41+ 66859197007941765343853589121*t^40-1006115890490661517294612550759*t^39+ 44292084498390690367228489388*t^38+542072703073231038935358052047*t^37-\ 58901180893178506468918078544*t^36-232941482806703695678948379893*t^35+ 35717130557354004805742883207*t^34+79961797059589640388087378757*t^33-\ 14511344655726112792679770903*t^32-21934008205136870615976225443*t^31+ 4298853206342297622708048078*t^30-80024561911086465290285161640*t^54+ 128629514386223603855267232424*t^53+196176784499900183789565672262*t^52-\ 339200707385138165007712168904*t^51-376867884482267209434617806115*t^50+ 716954540365454987586073457654*t^49+560578219761377884108924785445*t^48-\ 1211105432757701376852225053468*t^47-632904925652666158134958545596*t^46+ 1630652088746206065075532807644*t^45+522183840476341072426681675100*t^44-\ 1746504185187290358453306261980*t^43-286418427627489843078452797527*t^42-\ 6586127703397297171821237101*t^58+9616858265283670590244232689*t^57+ 25775791611691304261952016397*t^56-39199198067632885988596799407*t^55+ 227953431610462220977242*t^68-307476144213729558086550*t^67-\ 2833199900521538174915587*t^66+3876046006541085460170323*t^65+ 27804537398156572910784105*t^64-38371903547826321015231195*t^63-\ 216355125123162715565666078*t^62+301792523014459316952896495*t^61+ 1338222116484611172643596446*t^60-1900008995375928197381751905*t^59+3149151*t^ 87-87687872*t^86-608226191*t^85+19665400908*t^84+65971390877*t^83-2726792132751 *t^82-3907853859693*t^81+252255939216575*t^80+76358383763755*t^79-\ 16340521140928442*t^78+6372281104691330*t^77+766879542091408672*t^76-\ 626788577162470194*t^75-26751607346021563529*t^74+8*t^91+28789904778316265300*t ^73-193*t^90+707399608684513785487*t^72-867675400025052455722*t^71-8279*t^89-\ 14394304932395588832778*t^70+210255*t^88+18831307673108716418122*t^69+924171*t^ 2+33869892*t^3-690666922*t^4-13596053956*t^5+301881419508*t^6+1858056061511*t^7 -64154707310357*t^8+15900688068823*t^9+6647565506883285*t^10-19406150829628647* t^11-405247075888932538*t^12+1772133514485484145*t^13+16367327242536825618*t^14 -86394806076572634877*t^15-471563427793045180761*t^16+2739781386733305731077*t^ 17+10153871042160817445307*t^18-61022329695562741660598*t^19-\ 167717272625340285609046*t^20+994306178558182004770618*t^21+ 2146396252706690849117286*t^22-12171278156578798667965722*t^23-\ 21283048373762751929634999*t^24+114188955713695899063394632*t^25+ 162913328315358117019725761*t^26-834083122886851735126481002*t^27-\ 958123624748635035318241180*t^28+4799729662299501003264220346*t^29)/(t-1)/(t+1) /(t^2+3*t+1)/(1-7*t+t^2)/(t^2-3*t+1)/(t^2+4*t-1)/(t^2-t-1)/(t^5+19*t^4+109*t^3+ 173*t^2+43*t+1)/(t^5-t^4-9*t^3+9*t^2+5*t-1)/(t^10-57*t^9+1124*t^8-9327*t^7+ 36911*t^6-71400*t^5+63631*t^4-24279*t^3+3060*t^2-129*t+1)/(t^10+3*t^9-62*t^8-\ 189*t^7+253*t^6+456*t^5-187*t^4-297*t^3-38*t^2+15*t+1)/(t^10+t^9-28*t^8-27*t^7+ 143*t^6+72*t^5-223*t^4+9*t^3+52*t^2+5*t-1)/(t^10-4*t^9-163*t^8+648*t^7+1853*t^6 -1308*t^5-1213*t^4+504*t^3+187*t^2-20*t-1)/(t^10-9*t^9-14*t^8+175*t^7-51*t^6-\ 404*t^5+205*t^4+119*t^3-46*t^2-9*t+1)/(t^20+27*t^19-17*t^18-3528*t^17-13226*t^ 16+48780*t^15+272525*t^14+51585*t^13-1073573*t^12-799644*t^11+1470068*t^10+ 1293636*t^9-722293*t^8-611679*t^7+102621*t^6+99324*t^5+4254*t^4-3384*t^3-241*t^ 2+27*t+1) Equivalently, A(n) satisfies the linear recurrence A(n) = -A(n - 92) + 25 A(n - 91) + 1013 A(n - 90) - 27128 A(n - 89) - 370858 A(n - 88) + 11256696 A(n - 87) + 66899183 A(n - 86) - 2508421941 A(n - 85) - 6280724779 A(n - 84) + 345091409808 A(n - 83) + 227594206140 A(n - 82) - 31626003869200 A(n - 81) + 13454570691419 A(n - 80) + 2026610328371265 A(n - 79) - 2209498145093207 A(n - 78) - 93978582191606200 A(n - 77) + 140967232884728378 A(n - 76) + 3236699831023556472 A(n - 75) - 5654761406788802477 A(n - 74) - 84462621757023473581 A(n - 73) + 159530728024612489697 A(n - 72) + 1695591336209187818816 A(n - 71) - 3329267112462826959688 A(n - 70) - 26484994226218747886528 A(n - 69) + 52932144533845050011475 A(n - 68) + 324537732230022124803469 A(n - 67) - 653754118401447378047471 A(n - 66) - 3137369231592426758946040 A(n - 65) + 6358581721900265557546870 A(n - 64) + 24010637676125617644935288 A(n - 63) - 49175714292954693005667053 A(n - 62) - 145685880626514231988431289 A(n - 61) + 304394060384825910789120033 A(n - 60) + 700415656463659750639465552 A(n - 59) - 1514066324054630701590073244 A(n - 58) - 2660192531794373700102333008 A(n - 57) + 6062494544440601389284528431 A(n - 56) + 7931262827528803320862633221 A(n - 55) - 19540987097310344384450826683 A(n - 54) - 18349636108877429150407524472 A(n - 53) + 50631803799896781712342671498 A(n - 52) + 32249054368627436620395947064 A(n - 51) - 105214990254331610959926436585 A(n - 50) - 41191525309826100117885262849 A(n - 49) + 174872443361665027247143732237 A(n - 48) + 33865937853392234927236457216 A(n - 47) - 231852273330763334288209464176 A(n - 46) - 8240565032465245046264518656 A(n - 45) + 244725488453977890454324801293 A(n - 44) - 21925085525996540452788524053 A(n - 43) - 205461795337369885119312314737 A(n - 42) + 38489246232412232963617772248 A(n - 41) + 137264683588662588494822979058 A(n - 40) - 35978370028201219542424650840 A(n - 39) - 73097292028197836420976280131 A(n - 38) + 23185559444512532952933540609 A(n - 37) + 31105173982391738702174724559 A(n - 36) - 11033927308574828695546992848 A(n - 35) - 10602553646811888150772203324 A(n - 34) + 3987453312701570573346184784 A(n - 33) + 2898808878592390208958699585 A(n - 32) - 1108294766466153641341873981 A(n - 31) - 635087669981328368000614901 A(n - 30) + 238161704769267732012642072 A(n - 29) + 110979824972477673536554206 A(n - 28) - 39602360269699746293934552 A(n - 27) - 15323650799006240535258871 A(n - 26) + 5088368577857078074123961 A(n - 25) + 1647138837137897943303507 A(n - 24) - 504145169584858070497344 A(n - 23) - 135039403005056628000456 A(n - 22) + 38446247561271926838208 A(n - 21) + 8223373131649853992161 A(n - 20) - 2249101098921140569937 A(n - 19) - 358742554848769092821 A(n - 18) + 99891398543982230552 A(n - 17) + 10548188679708568642 A(n - 16) - 3287126746507218840 A(n - 15) - 180903703251883391 A(n - 14) + 76546376942241453 A(n - 13) + 814767953472507 A(n - 12) - 1165316131789584 A(n - 11) + 30473891502236 A(n - 10) + 10070328013328 A(n - 9) - 559211974667 A(n - 8) - 37640894537 A(n - 7) + 3001419335 A(n - 6) + 59061016 A(n - 5) - 6559906 A(n - 4) - 55768 A(n - 3) + 5965 A(n - 2) + 53 A(n - 1) subject to the initial conditions A(0) = 733, A(1) = 69107, A(2) = 7110845, A(3) = 714350204, A(4) = 72305047885, A(5) = 7300261255547, A(6) = 737708788806533, A(7) = 74524190080857833, A(8) = 7529365591896336914, A(9) = 760679134582191779328, A(10) = 76851319531291738926615, A(11) = 7764234386677928406199912, A(12) = 784416815497648369180364685, A(13) = 79249182974603531483171493603, A(14) = 8006502217890790415831883173789, A(15) = 808892504775654990158159150731260, A(16) = 81721967494307394106406732422311037, A(17) = 8256325551503797356437092320489537051, A(18) = 834132047381035051535397606288634174965, A(19) = 84271903569846011560902409266716233068057, A(20) = 8513944237486998324904488767334329679051746, A(21) = 860159120440425959148378517724099971096115200, A(22) = 86901404559670305528970173804577516318556971047, A(23) = 8779601279090606509797358679581136714073305319240, A(24) = 886998305861140013454132418573560457236488308947389, A(25) = 89612952750845193979975730161595927139351164104686547, A(26) = 9053547507007603002700933814101283672062370762191971069, A(27) = 914674943135130944588979756081134360220168176893639216508, A(28) = 92409108247573840629458282502121312393398331718720757891757, A(29) = 9336041564493602861259974630503602822222935743462827588542651, A(30) = 943215162951711140039476600442390212619325479054255068843644133, A(31) = 95292511015106792443384196636755309589341245294382856434427216713, A(32) = 9627350165944296784385621303319114346836965612349513340242675281586 , A(33) = 972645911314203822442172247547487846702001030872181503060938864037376, A(34) = 98265883393620924079899668458179640082490497259867288529442461408692791, A(35) = 9927748347887068898487668580434948696918121286173845433260061152003212968, A(36) = 1002994975012585359246244410661301038723099488106782376205134735\ 818395694445, A(37) = 10133203266726681857213525388042815484847525270688\ 6835216468152153957303879875, A(38) = 1023751972870171867023734522679677\ 5096784295183109942127640349526590848700065501, A(39) = 1034291007856319\ 707546427859061953712402993797949200227797817450578706071392456444, A(40) = 104493853714712598539042955491554180545731034985680412492079397566316\ 996933407365085, A(41) = 10556956776393614889091229009979276010363283234\ 577710281322442057260935856637257994587, A(42) = 10665635577277129702028\ 57067645252223821272429903129278211543410450176896323523701533781, A(43) = 107754331742314865747240042467621034816749660998645238471847729260976862\ 348588474105148025, A(44) = 10886361084725022994851856398520287616294050\ 485043969600759548633240498484146924978507725442, A(45) = 10998430944792\ 882641849061952278347797021809801538184761640354066615991723426076747953\ 86265600, A(46) = 111116545102576037311201502530191688082978175720377057\ 682935844179423265069391854687564566118471, A(47) = 11226043657962272719\ 962632299688456614541802767078804984286917294658238667054008822632359992\ 912008, A(48) = 11341610387016372742319859043213916586889546706535551050\ 99202466258142860542849666327943693740971677, A(49) = 114583668200544574\ 535820359043007659007150643445271466946187814289663709603628328345469195\ 846006548915, A(50) = 11576325204507782318770913608705722104169069805420\ 842973459314660374394851053085045508127440858551789373, A(51) = 11695497\ 913889026734033800539483306542196882189083964420840464196948849703894958\ 03482064864685058191330428, A(52) = 118158974490902417455725580140291387\ 750786165809486906642661246768112817563856096011973986684224964705953805, A(53) = 1193753643969415951707360216142913441432013818677438098287651827\ 8942530863589058280447114286087688232253259771, A(54) = 1206042764529900\ 209846590343572929674023482678648535702997908099916455933149045785158696\ 768150159621552300873797, A(55) = 12184583956856928464815963787981915448\ 558192815296892816727466092763551427280775095403713715993561874838046286\ 4297, A(56) = 1231001839802626022480841547502222030995667021399906139486\ 2321160811014478196301630490837334666489020860269145118546, A(57) = 1243\ 674412653762784359710944308431503634227647366421050783278221853377523937\ 632186878836613743275525368932299277688320, A(58) = 12564774435574180685\ 038863138060805916301871361029586538743493555968826985441346895055971880\ 6248488396430263758147122775, A(59) = 1269412275516600565357703393577224\ 067482239746629149643967649592022626890988707848098637402434116165238022\ 9391281886996712, A(60) = 1282480265359890070648591484095262272849762778\ 723178460693337512932874464197792434929605455595211462876803344210701156\ 749645, A(61) = 12956827838837651012973491483048803155949860476061088148\ 9667580027331111592925334805554959438179189967099637680412093275105955, A(62) = 1309021215996395705792825814159576859785386464762083424517767811\ 8194103663726610034953318643446803631060302063053643882661253149, A(63) = 132249696086291655250447773582836798241144411692482524554674981166068086\ 3298401694608773464242485756069972377332587705002679942652, A(64) = 1336\ 111432052195534683384608708906560228696966289177972493975854333541786497\ 85756961233534931693754086738879140459725076923236536125, A(65) = 134986\ 605768511328777793280780172859442941963006828997752533839619680194532209\ 67288056914948983685516997662076660238151265493841132699, A(66) = 136376\ 228058436917318095066296339047121021311818631061345599545060331429464871\ 1185307114776738606680043057675926607322236200669273582773, A(67) = 1377\ 801558425829442647244813128576181467748419165310410396239692082059975928\ 76716917323656507469157270705599236455961634458279157969432281, A(68) = 139198536389143345939103118707210754620075059211392053095083450443125497\ 85997864703692081514230154638056838166707010159316521811578864762146, A(69) = 140631518482367401530864870813831080844516101871804163077720939208899\ 436921013685971314300253067157020768954903099324180367762804476279686553\ 6, A(70) = 1420792524381667948890332440794464291889276015330890538380263\ 876316839796224648391688936432527475924552373014399903056416797709775464\ 42118971495, A(71) = 143541890119883343520302603824966220264751880678649\ 432199195346511926599491462467775335330256928130754271654022905331756914\ 50665565368629601305544, A(72) = 145019584954219048786172979403446082219\ 723698890284734533647725525556731885309802567050406094265287882435142488\ 8349867892112503199672114905477052797, A(73) = 1465124919473301383177389\ 259496359269923047791372342149182831460398497126878059107117274041743854\ 57171502394582036854203345100628572463041546062182291, A(74) = 148020767\ 701086788869269117644404237802694073419957344810676067856367560450077877\ 34294494961752002180099927857269325131416743988066071958439218965278077, A(75) = 1495445704295002352111393170554219551350702677269108134517355971\ 900799502053113981902140705878124690135846355023983842044403157553765212\ 850368659006364540, A(76) = 15108405997531898822102018004374282907421113\ 995987236510035645865837370911649035166265980963283509649567020131432422\ 1335337965959604113728423298195035310445, A(77) = 1526393978267959030713\ 148377720829758194096972654818148171199855984613142802426580643120236660\ 8273694755247013510549082319063389476902366075303432995806410555, A(78) = 154210747134627856332550129022086044022491712990863921344993556906052113\ 555439802138594128807656291549710549614524634599207749507396131381757175\ 4588831246441893, A(79) = 1557982727290698089186296756912768775041648359\ 896588154626730066492466216816698566621020940562013458320221278228514515\ 04214910680891514444727942694647906436486153, A(80) = 157402141137225050\ 092455993426405848485288895141113584721957264866427029645253016222698052\ 582867443560139426090174336729319526019482932192995493685065432807841064\ 82, A(81) = 159022520600513436231341351581936235051561985734335969123774\ 823544143718208845381533109212553946969041320393261504962265899279388076\ 9766203358985807900978002789359104, A(82) = 1606595810923194567227917393\ 689436012516718365288243231028316202006989658470439120888579496370136970\ 66847373518160437292276068089896965705378170198290240443174059692663, A(83) = 162313494335821978224623612407355073504001913608071025768136296151331\ 488897610324831997363436633240174323359570982410557974257599179940534434\ 53205800343736342735978804520, A(84) = 163984433822007537580937802515286\ 631308062104445737959457541578608856423211616255865653403594359254769893\ 1489631218080131035652422950503939859059562547342701301293510165293, A(85) = 165672574827869072939228160002554747777159288732433744639704173540399\ 617679864070146383659929569385487434960479192647079422638381552962059554\ 774525315402909179106036459478147, A(86) = 16737809443479200206586382815\ 658745486328910222208634150418051219758372744536746227704093086395229175\ 503822766091244449664119337442592172103239545528963029141046348351442840\ 413, A(87) = 16910117154712957650939398168677301843260010220284818905406\ 841457975165527492544384117228430299602793577041449228300160189274505398\ 03784831229782622971852507959314710090487373052, A(88) = 170841986910969\ 460115643857828531299553135585063057997351602313874751468213351616373653\ 320097599515143159526009871670157040854461937388738291375365458213510474\ 725601953149530321565, A(89) = 17260072313309350045748365557564273550948\ 219629938307296516914108166791190582369877974511242840525657141136059335\ 479927236191479152021308457189900889224759961913871106868632470339547, A(90) = 1743775647001326820075615003249632019179909211340849451668701796\ 621459977212405547169803961524092726852297841670632812274431902570348554\ 948883922023642326461708255309764731268996988693, A(91) = 17617269799791\ 927035632395425669559845412396021271718086670630537838996879802280854711\ 925280125508437222396578102408770738217226968788644033516863341333197213\ 6853660062526201429666251577 n A(n) is asymptotic to, 693.6986499 101.0294520 For the sake of Sloane here are the first 31 terms, starting at n=0 [733, 69107, 7110845, 714350204, 72305047885, 7300261255547, 737708788806533, 74524190080857833, 7529365591896336914, 760679134582191779328, 76851319531291738926615, 7764234386677928406199912, 784416815497648369180364685, 79249182974603531483171493603, 8006502217890790415831883173789, 808892504775654990158159150731260, 81721967494307394106406732422311037, 8256325551503797356437092320489537051, 834132047381035051535397606288634174965, 84271903569846011560902409266716233068057, 8513944237486998324904488767334329679051746, 860159120440425959148378517724099971096115200, 86901404559670305528970173804577516318556971047, 8779601279090606509797358679581136714073305319240, 886998305861140013454132418573560457236488308947389, 89612952750845193979975730161595927139351164104686547, 9053547507007603002700933814101283672062370762191971069, 914674943135130944588979756081134360220168176893639216508, 92409108247573840629458282502121312393398331718720757891757, 9336041564493602861259974630503602822222935743462827588542651, 943215162951711140039476600442390212619325479054255068843644133, 95292511015106792443384196636755309589341245294382856434427216713, 9627350165944296784385621303319114346836965612349513340242675281586, 972645911314203822442172247547487846702001030872181503060938864037376, 98265883393620924079899668458179640082490497259867288529442461408692791, 9927748347887068898487668580434948696918121286173845433260061152003212968, 100299497501258535924624441066130103872309948810678237620513473581839569\ 4445, 1013320326672668185721352538804281548484752527068868352164681521539\ 57303879875, 102375197287017186702373452267967750967842951831099421276403\ 49526590848700065501, 103429100785631970754642785906195371240299379794920\ 0227797817450578706071392456444, 1044938537147125985390429554915541805457\ 31034985680412492079397566316996933407365085, 105569567763936148890912290\ 09979276010363283234577710281322442057260935856637257994587, 106656355772\ 771297020285706764525222382127242990312927821154341045017689632352370153\ 3781, 1077543317423148657472400424676210348167496609986452384718477292609\ 76862348588474105148025, 108863610847250229948518563985202876162940504850\ 43969600759548633240498484146924978507725442, 109984309447928826418490619\ 5227834779702180980153818476164035406661599172342607674795386265600, 1111\ 165451025760373112015025301916880829781757203770576829358441794232650693\ 91854687564566118471, 112260436579622727199626322996884566145418027670788\ 04984286917294658238667054008822632359992912008, 113416103870163727423198\ 590432139165868895467065355510509920246625814286054284966632794369374097\ 1677, 1145836682005445745358203590430076590071506434452714669461878142896\ 63709603628328345469195846006548915, 115763252045077823187709136087057221\ 04169069805420842973459314660374394851053085045508127440858551789373, 116\ 954979138890267340338005394833065421968821890839644208404641969488497038\ 9495803482064864685058191330428, 1181589744909024174557255801402913877507\ 86165809486906642661246768112817563856096011973986684224964705953805, 119\ 375364396941595170736021614291344143201381867743809828765182789425308635\ 89058280447114286087688232253259771, 120604276452990020984659034357292967\ 402348267864853570299790809991645593314904578515869676815015962155230087\ 3797, 1218458395685692846481596378798191544855819281529689281672746609276\ 35514272807750954037137159935618748380462864297, 123100183980262602248084\ 154750222203099566702139990613948623211608110144781963016304908373346664\ 89020860269145118546, 124367441265376278435971094430843150363422764736642\ 1050783278221853377523937632186878836613743275525368932299277688320, 1256\ 477443557418068503886313806080591630187136102958653874349355596882698544\ 13468950559718806248488396430263758147122775, 126941227551660056535770339\ 357722406748223974662914964396764959202262689098870784809863740243411616\ 52380229391281886996712, 128248026535989007064859148409526227284976277872\ 317846069333751293287446419779243492960545559521146287680334421070115674\ 9645, 1295682783883765101297349148304880315594986047606108814896675800273\ 31111592925334805554959438179189967099637680412093275105955, 130902121599\ 639570579282581415957685978538646476208342451776781181941036637266100349\ 53318643446803631060302063053643882661253149, 132249696086291655250447773\ 582836798241144411692482524554674981166068086329840169460877346424248575\ 6069972377332587705002679942652, 1336111432052195534683384608708906560228\ 696966289177972493975854333541786497857569612335349316937540867388791404\ 59725076923236536125, 134986605768511328777793280780172859442941963006828\ 997752533839619680194532209672880569149489836855169976620766602381512654\ 93841132699, 136376228058436917318095066296339047121021311818631061345599\ 545060331429464871118530711477673860668004305767592660732223620066927358\ 2773, 1377801558425829442647244813128576181467748419165310410396239692082\ 05997592876716917323656507469157270705599236455961634458279157969432281, 139198536389143345939103118707210754620075059211392053095083450443125497\ 85997864703692081514230154638056838166707010159316521811578864762146, 140\ 631518482367401530864870813831080844516101871804163077720939208899436921\ 0136859713143002530671570207689549030993241803677628044762796865536, 1420\ 792524381667948890332440794464291889276015330890538380263876316839796224\ 64839168893643252747592455237301439990305641679770977546442118971495, 143\ 541890119883343520302603824966220264751880678649432199195346511926599491\ 46246777533533025692813075427165402290533175691450665565368629601305544, 145019584954219048786172979403446082219723698890284734533647725525556731\ 885309802567050406094265287882435142488834986789211250319967211490547705\ 2797, 1465124919473301383177389259496359269923047791372342149182831460398\ 497126878059107117274041743854571715023945820368542033451006285724630415\ 46062182291, 148020767701086788869269117644404237802694073419957344810676\ 067856367560450077877342944949617520021800999278572693251314167439880660\ 71958439218965278077, 149544570429500235211139317055421955135070267726910\ 813451735597190079950205311398190214070587812469013584635502398384204440\ 3157553765212850368659006364540, 1510840599753189882210201800437428290742\ 111399598723651003564586583737091164903516626598096328350964956702013143\ 24221335337965959604113728423298195035310445, 152639397826795903071314837\ 772082975819409697265481814817119985598461314280242658064312023666082736\ 94755247013510549082319063389476902366075303432995806410555, 154210747134\ 627856332550129022086044022491712990863921344993556906052113555439802138\ 594128807656291549710549614524634599207749507396131381757175458883124644\ 1893, 1557982727290698089186296756912768775041648359896588154626730066492\ 466216816698566621020940562013458320221278228514515042149106808915144447\ 27942694647906436486153, 157402141137225050092455993426405848485288895141\ 113584721957264866427029645253016222698052582867443560139426090174336729\ 31952601948293219299549368506543280784106482, 159022520600513436231341351\ 581936235051561985734335969123774823544143718208845381533109212553946969\ 0413203932615049622658992793880769766203358985807900978002789359104, 1606\ 595810923194567227917393689436012516718365288243231028316202006989658470\ 439120888579496370136970668473735181604372922760680898969657053781701982\ 90240443174059692663, 162313494335821978224623612407355073504001913608071\ 025768136296151331488897610324831997363436633240174323359570982410557974\ 25759917994053443453205800343736342735978804520, 163984433822007537580937\ 802515286631308062104445737959457541578608856423211616255865653403594359\ 254769893148963121808013103565242295050393985905956254734270130129351016\ 5293, 1656725748278690729392281600025547477771592887324337446397041735403\ 996176798640701463836599295693854874349604791926470794226383815529620595\ 54774525315402909179106036459478147, 167378094434792002065863828156587454\ 863289102222086341504180512197583727445367462277040930863952291755038227\ 66091244449664119337442592172103239545528963029141046348351442840413, 169\ 101171547129576509393981686773018432600102202848189054068414579751655274\ 925443841172284302996027935770414492283001601892745053980378483122978262\ 2971852507959314710090487373052, 1708419869109694601156438578285312995531\ 355850630579973516023138747514682133516163736533200975995151431595260098\ 71670157040854461937388738291375365458213510474725601953149530321565, 172\ 600723133093500457483655575642735509482196299383072965169141081667911905\ 823698779745112428405256571411360593354799272361914791520213084571899008\ 89224759961913871106868632470339547, 174377564700132682007561500324963201\ 917990921134084945166870179662145997721240554716980396152409272685229784\ 167063281227443190257034855494888392202364232646170825530976473126899698\ 8693, 1761726979979192703563239542566955984541239602127171808667063053783\ 899687980228085471192528012550843722239657810240877073821722696878864403\ 35168633413331972136853660062526201429666251577] ------------------------------------------------------------------- I hope, dear reader, that you enjoined reading these, 38, theorems as much as I did discovering them. This ends this fascinating book! It took, 4039.826, seconds to generate it.