A Pure Recurrence Scheme that enables Linear-Time and Constant-Space Calculation of the Taylor coefficients of the function with,two variables , x[1], x[2] 1 ----------------------------------------------------------------- 2 2 (1/3) (-95 x[1] - 56 x[1] x[2] + 86 x[2] - 8 x[1] + 21 x[2] + 1) By Shalosh B. Ekhad m[1] m[2] Theorem: Let , F(m[1], m[2]), be the coefficient of, x[1] x[2] , in \ the Taylor expansion (around the origing) of the multivariable function \ (that may also be viewed as a formal power series) of, x[1], x[2] 1 ----------------------------------------------------------------- 2 2 (1/3) (-95 x[1] - 56 x[1] x[2] + 86 x[2] - 8 x[1] + 21 x[2] + 1) The following PURE recurrence relations hold in each of the, 2, discrete variables, m[1], m[2] 2 2 F(m[1], m[2]) = 8/291 (415809 m[1] + 871695 m[1] m[2] + 27936 m[2] - 892161 m[1] - 1450713 m[2] + 20423) F(m[1] - 1, m[2])/(%1 m[1]) - 1/873 3 2 2 3 (621085941 m[1] - 553863366 m[1] m[2] + 1695168 m[1] m[2] + 663552 m[2] 2 2 - 3606238755 m[1] + 1695441042 m[1] m[2] + 14284224 m[2] + 6459642678 m[1] - 1169758284 m[2] - 3466896392) F(m[1] - 2, m[2])/(m[1] 2 (m[1] - 1) %1) + 8/291 (3 m[1] - 7 + 3 m[2]) (119629134 m[1] 2 + 17902086 m[1] m[2] + 456000 m[2] - 432934395 m[1] - 39627986 m[2] 3402520 + 320496561) F(m[1] - 3, m[2])/(m[1] (m[1] - 1) %1) + ------- 873 (2949 m[1] - 2981 + 96 m[2]) (3 m[1] - 7 + 3 m[2]) (3 m[1] - 10 + 3 m[2]) F(m[1] - 4, m[2])/(m[1] (m[1] - 1) %1) %1 := 2949 m[1] - 5930 + 96 m[2] 2 2 F(m[1], m[2]) = -7/666 (293706 m[1] + 717156 m[1] m[2] + 280800 m[2] - 957561 m[1] - 1008372 m[2] + 701993) F(m[1], m[2] - 1)/(m[2] %1) - 3 2 2 1/1332 (21241647 m[1] + 126282996 m[1] m[2] + 171591660 m[1] m[2] 3 2 2 + 56245536 m[2] - 201738684 m[1] - 581108730 m[1] m[2] - 309875892 m[2] + 485712707 m[1] + 543988730 m[2] - 308159682) F(m[1], m[2] - 2)/(%1 m[2] 2 (m[2] - 1)) - 7/999 (3 m[1] - 7 + 3 m[2]) (12022542 m[1] 2 + 29757276 m[1] m[2] + 11690784 m[2] - 60604263 m[1] - 47878140 m[2] 20812 + 45133847) F(m[1], m[2] - 3)/(%1 m[2] (m[2] - 1)) - ----- 27 (147 m[1] - 121 + 72 m[2]) (3 m[1] - 7 + 3 m[2]) (3 m[1] - 10 + 3 m[2]) F(m[1], m[2] - 4)/(%1 m[2] (m[2] - 1)) %1 := 147 m[1] + 72 m[2] - 193 and in Maple notation F(m[1],m[2]) = 8/291*(415809*m[1]^2+871695*m[1]*m[2]+27936*m[2]^2-892161*m[1]-\ 1450713*m[2]+20423)/(2949*m[1]-5930+96*m[2])/m[1]*F(m[1]-1,m[2])-1/873*( 621085941*m[1]^3-553863366*m[1]^2*m[2]+1695168*m[1]*m[2]^2+663552*m[2]^3-\ 3606238755*m[1]^2+1695441042*m[1]*m[2]+14284224*m[2]^2+6459642678*m[1]-\ 1169758284*m[2]-3466896392)/m[1]/(m[1]-1)/(2949*m[1]-5930+96*m[2])*F(m[1]-2,m[2 ])+8/291*(3*m[1]-7+3*m[2])*(119629134*m[1]^2+17902086*m[1]*m[2]+456000*m[2]^2-\ 432934395*m[1]-39627986*m[2]+320496561)/m[1]/(m[1]-1)/(2949*m[1]-5930+96*m[2])* F(m[1]-3,m[2])+3402520/873*(2949*m[1]-2981+96*m[2])*(3*m[1]-7+3*m[2])*(3*m[1]-\ 10+3*m[2])/m[1]/(m[1]-1)/(2949*m[1]-5930+96*m[2])*F(m[1]-4,m[2]) F(m[1],m[2]) = -7/666*(293706*m[1]^2+717156*m[1]*m[2]+280800*m[2]^2-957561*m[1] -1008372*m[2]+701993)/m[2]/(147*m[1]+72*m[2]-193)*F(m[1],m[2]-1)-1/1332*( 21241647*m[1]^3+126282996*m[1]^2*m[2]+171591660*m[1]*m[2]^2+56245536*m[2]^3-\ 201738684*m[1]^2-581108730*m[1]*m[2]-309875892*m[2]^2+485712707*m[1]+543988730* m[2]-308159682)/(147*m[1]+72*m[2]-193)/m[2]/(m[2]-1)*F(m[1],m[2]-2)-7/999*(3*m[ 1]-7+3*m[2])*(12022542*m[1]^2+29757276*m[1]*m[2]+11690784*m[2]^2-60604263*m[1]-\ 47878140*m[2]+45133847)/(147*m[1]+72*m[2]-193)/m[2]/(m[2]-1)*F(m[1],m[2]-3)-\ 20812/27*(147*m[1]-121+72*m[2])*(3*m[1]-7+3*m[2])*(3*m[1]-10+3*m[2])/(147*m[1]+ 72*m[2]-193)/m[2]/(m[2]-1)*F(m[1],m[2]-4) Subject to the initial conditions F(0, 0) = 1, F(0, 1) = -7, F(0, 2) = 208/3, F(0, 3) = -798, F(1, 0) = 8/3, F(1, 1) = -56, F(1, 2) = 9008/9, F(1, 3) = -153328/9, F(2, 0) = 413/9, 825386 -16245068 34528 F(2, 1) = -12460/9, F(2, 2) = ------, F(2, 3) = ---------, F(3, 0) = -----, 27 27 81 -1500352 130019008 -1049324416 F(3, 1) = --------, F(3, 2) = ---------, F(3, 3) = ----------- 81 243 81 -------------------------------------------- By the way, it took, 0.686, seconds to geneate the scheme. -------------------------------------------- Using this scheme we can compute any value very fast. For example F(1000, 2000) = 105166311046521595608784720455137527403279129387634526988973\ 493787619566099175154271360211717168529093369903130793141210799843457024\ 616902499801948210443840598000896330104360192512169835678078563356049096\ 133369551570502147532294926711980157855870608219486876598857420213484035\ 449837423825287511234866598388453215641692525753308548471197600961554570\ 816528454533564109214859581515460122081908812825195472716171189845039420\ 459587935931662772702440812666123445052737897599139591884373791920807607\ 331141228079816328173635434830428309176256620052833584832433010264794003\ 097338177870434886522868735091628400221760954378754487289586512465584181\ 176126549973600665192229396124126902595632921693977138341279218049653397\ 547816721622203940850861415720843554284738598716903349026785052789459437\ 064158246883777356921457397905169170840300515158815743758307226527930800\ 046247821157371395186353977872637576419353793913527585355154448121065163\ 976191644642482447813257633120889344292083094301408755984472610986047831\ 888685265062256323888503724222496636343398369712742005267052185593100725\ 587212183908804321836499373566298367995488131016485725772043685352817474\ 836667947938908378002329059432196723686057751589332656199819200716523402\ 038755729959903878569061389568442417327707799659505552688225883423971231\ 423252879066353922595966276899693690835878530019435131706071427985400310\ 858454431931075040122626314337455258453177115361011262512551568785344291\ 048727863379281504190269726279278900623699274534225907042619576309109312\ 090005749407965560712993232243081029192314582603489931350918528733625293\ 487622811632524773259209410211030610696732722013574351981100116397308839\ 127792993104889292634855300813615599600124146728216408343400024505506597\ 017665280461043301393772230122750258470002341330151070435895300683321482\ 766894863843911057926118305209177421176377641230967683678953271682152066\ 198156073248612752518899635818520417023706147165980847124455649282698306\ 350188987762064464891822793564775596141270360293032201423929527490869950\ 950264589503615188764281812240104109915309454523698068174932408463793198\ 380595156999130313326585658037517073809568732397684187721803791995652166\ 447853698523874339685719482713241926114473533135118964169541124428173980\ 690762549111406956690957520624032331748465803681507185369472593791778689\ 672280945328648691733133478471663125302711984408308671651068046318980946\ 370357561425937087956801650318652991471446680824802893386781945466638692\ 541862479768671271051266908854028768382977492789377826025541923899733561\ 782001357069518236173853957528731291971723884771592996386810044868781934\ 641346444736344828012666933768032061223177808810104631123349952715162390\ 825477678922022960261613012845515426412270003722200767979611520567663973\ 029725718858350074281524435847433818837724442829987561441327080493045912\ 486179550793950516540379294563059782691816685625563780075728169378115958\ 129832455911227918264703260051589957118575622391868121286021203483816949\ 008945293561692196100981335605004348375547183442439296043436303633625055\ 853855407489048198887709536142208458837171014001907891387326920513566793\ 470602398909229509114904187343138686328399061908500874820096755097452213\ 188376329682546697310946315881372295372820982078399159531756792245873700\ 433083919339237038362262078459957422024816930268519094060400297932720805\ 578218188784027859497238210825658316844475805191001260109656929042805729\ 789287493457049374418404823200342282662984735164657840365356261948419219\ 951329571546970768083578538833577005103323218992341955592269717613093941\ 267430786880462031639056848710035561212754381458770461638379622858301082\ 803151272442544209713849597742224226988153238464348039130595606901608752\ 187819964870174435827367722324458602404019896818410677016253397618087081\ 523120054609780147183804106317727983243529468642977567519110319033300457\ 752039486239054510073575932571525976576962462656456850947014631124996066\ 969546603486941113980469504736632264260239143178447400363029283883801673\ 088738920631541143513317386898296178563062393646947104534105739658664297\ 696733711895227105550463529939796207556498979835912357602556205354141484\ 254191187087486450819466682431572543769232577681858093767064005202292164\ 015000901905319148085186531780516075849832322533131506173063130057320663\ 867757919558781037216358080231142609159970408285428158721612315787795042\ 294685089071784103662307584453367771915061771516207569444968077459758289\ 344884640008094650909012188109016118232850173747755584565206114029416938\ 061302170862223761811333826217544168547687243767856811398720829282537610\ 198720000215902131220195944700979906546648794911681817614453561022754331\ 326055940818199141771843606571034285091160566573280574827577267461783826\ 374512956044159599364107303640019083728020058590891800195409468202513086\ 243803604836589198347891313267683534812795848000051626573968245261606353\ 170966012595941981216873174648495779084267916796142084008114694950461120\ 387490991472016017762595326563590109177466652853532247095830492630652199\ 412433242030405023149975872306800578505553015618001884097878631898043618\ 551533324166288085843580139451831303832046770560951774135677750244117649\ 863233331925324507622200179977069304515690884754328080445909827062555050\ 511016316414339773149133664531702167031602193412502694981245349126347256\ 135487353196497901766411881860780441823980248480528560010949733069553917\ 514097463410662592674260583125594125325081631468071826640527304816181511\ 559148535320619607007767209142384152448335770240164049299330315011197238\ 668292410431849727025705267832309094647073941219183798157104608310967447\ 135970129939230031589068240030725596145388574818450973549603365112039951\ / 8688302999146555118981548991625772689467883962813971162473543680 / 285\ / 285133100235712678161658170967018084564006715590594139396964607337723083\ 122484210088906137810174008628360186907207003229444627923782269571767144\ 397992068098171382560874858107828776949691202689480945727055348946445848\ 499177496684517326049449230802236694637383758606985166058198603545771281\ 619769812246874132331503763224883331417700866921757051049239828927597729\ 722549838332132738866252564884304948175623522550395055825855994054637493\ 840825296288314383877049068167271023296217395529195631552527256464558046\ 631855271997568601213006051870724548731846448784698760589145335100345747\ 691602906160718540345241271587691374257632354870572039409258554474350845\ 687211921924293398392814800999024304342523981333400756542559306749530940\ 750389498319421619521239570261401160043975086088317008228014957562691007\ 489032492846947815027515036679137472541521935102953096392152563608423504\ 415082148757155215596990278335877445206716096055275972387965273287465055\ 137570555276349092242955441851100388603790492918389625412031100047925508\ 570122449698321483745400113978046343228873704195496264377469953785935064\ 638686662230038434414311228050564374486622958330750139654563508182272393\ 550873131087361908696959566291947785170827909962953357182280070983567759\ 601601773528018921300210983049324010618311650190361958376515597917275896\ 439331826967474118775987746853971654658585856048530751813398955968567079\ 35985593895372083483061930494141776315977799627141404514321 This took, 1.238, seconds. --------------------------- A Pure Recurrence Scheme that enables Linear-Time and Constant-Space Calcula\ tion of the Taylor coefficients of the function with, 2, variables , x[1], x[2] 1 ----------------------------------------------------------------- 2 2 (1/3) (38 x[1] - 10 x[1] x[2] + 84 x[2] + 27 x[1] - 61 x[2] + 1) By Shalosh B. Ekhad m[1] m[2] Theorem: Let , F(m[1], m[2]), be the coefficient of, x[1] x[2] , in \ the Taylor expansion (around the origing) of the multivariable function \ (that may also be viewed as a formal power series) of, x[1], x[2] 1 ----------------------------------------------------------------- 2 2 (1/3) (38 x[1] - 10 x[1] x[2] + 84 x[2] + 27 x[1] - 61 x[2] + 1) The following PURE recurrence relations hold in each of the, 2, discrete variables, m[1], m[2] 2 F(m[1], m[2]) = -1/10155 (94006927836 m[1] + 96725805795 m[1] m[2] 2 - 6691484925 m[2] - 244228534629 m[1] - 198998975415 m[2] + 115021977514) 3 F(m[1] - 1, m[2])/(%1 m[1]) + 2/10155 (54035726292 m[1] 2 2 3 - 28978059771 m[1] m[2] + 26899487136 m[1] m[2] - 1642432095 m[2] 2 2 - 299749688847 m[1] + 31693892433 m[1] m[2] - 57360446337 m[2] + 536423579553 m[1] + 51884774228 m[2] - 305464437454) F(m[1] - 2, m[2])/( 2 %1 m[1] (m[1] - 1)) + 4/30465 (3 m[1] - 7 + 3 m[2]) (180156220956 m[1] 2 + 72215106543 m[1] m[2] - 5461399710 m[2] - 614696972613 m[1] - 107336678832 m[2] + 446854764610) F(m[1] - 3, m[2])/(%1 m[1] (m[1] - 1)) 481384 + ------ (3 m[1] - 7 + 3 m[2]) (3 m[1] - 10 + 3 m[2]) 30465 (375084 m[1] - 366949 - 24405 m[2]) F(m[1] - 4, m[2])/(%1 m[1] (m[1] - 1)) %1 := 375084 m[1] - 742033 - 24405 m[2] 2 F(m[1], m[2]) = 1/1731 (2576948355 m[1] - 12274702443 m[1] m[2] 2 - 10686408210 m[2] + 26491653501 m[1] + 26088245631 m[2] - 10364602222) 3 F(m[1], m[2] - 1)/(m[2] %1) + 2/5193 (13730887530 m[1] 2 2 3 - 27876913938 m[1] m[2] - 209343730986 m[1] m[2] - 300938784732 m[2] 2 2 + 84045426561 m[1] + 758537688618 m[1] m[2] + 1454863712436 m[2] - 674846882907 m[1] - 2298424374522 m[2] + 1179634258006) F(m[1], m[2] - 2)/(%1 m[2] (m[2] - 1)) - 4/5193 (3 m[1] - 7 + 3 m[2]) ( 2 2 13425580980 m[1] - 46474746183 m[1] m[2] - 152052264846 m[2] + 55351279092 m[1] + 511312792023 m[2] - 363711102700) F(m[1], m[2] - 3)/( 354704 %1 m[2] (m[2] - 1)) + ------ (-134598 m[2] + 126463 + 24405 m[1]) 1731 (3 m[1] - 7 + 3 m[2]) (3 m[1] - 10 + 3 m[2]) F(m[1], m[2] - 4)/(%1 m[2] (m[2] - 1)) %1 := 24405 m[1] - 134598 m[2] + 261061 and in Maple notation F(m[1],m[2]) = -1/10155*(94006927836*m[1]^2+96725805795*m[1]*m[2]-6691484925*m[ 2]^2-244228534629*m[1]-198998975415*m[2]+115021977514)/(375084*m[1]-742033-\ 24405*m[2])/m[1]*F(m[1]-1,m[2])+2/10155*(54035726292*m[1]^3-28978059771*m[1]^2* m[2]+26899487136*m[1]*m[2]^2-1642432095*m[2]^3-299749688847*m[1]^2+31693892433* m[1]*m[2]-57360446337*m[2]^2+536423579553*m[1]+51884774228*m[2]-305464437454)/( 375084*m[1]-742033-24405*m[2])/m[1]/(m[1]-1)*F(m[1]-2,m[2])+4/30465*(3*m[1]-7+3 *m[2])*(180156220956*m[1]^2+72215106543*m[1]*m[2]-5461399710*m[2]^2-\ 614696972613*m[1]-107336678832*m[2]+446854764610)/(375084*m[1]-742033-24405*m[2 ])/m[1]/(m[1]-1)*F(m[1]-3,m[2])+481384/30465*(3*m[1]-7+3*m[2])*(3*m[1]-10+3*m[2 ])*(375084*m[1]-366949-24405*m[2])/(375084*m[1]-742033-24405*m[2])/m[1]/(m[1]-1 )*F(m[1]-4,m[2]) F(m[1],m[2]) = 1/1731*(2576948355*m[1]^2-12274702443*m[1]*m[2]-10686408210*m[2] ^2+26491653501*m[1]+26088245631*m[2]-10364602222)/m[2]/(24405*m[1]-134598*m[2]+ 261061)*F(m[1],m[2]-1)+2/5193*(13730887530*m[1]^3-27876913938*m[1]^2*m[2]-\ 209343730986*m[1]*m[2]^2-300938784732*m[2]^3+84045426561*m[1]^2+758537688618*m[ 1]*m[2]+1454863712436*m[2]^2-674846882907*m[1]-2298424374522*m[2]+1179634258006 )/(24405*m[1]-134598*m[2]+261061)/m[2]/(m[2]-1)*F(m[1],m[2]-2)-4/5193*(3*m[1]-7 +3*m[2])*(13425580980*m[1]^2-46474746183*m[1]*m[2]-152052264846*m[2]^2+ 55351279092*m[1]+511312792023*m[2]-363711102700)/(24405*m[1]-134598*m[2]+261061 )/m[2]/(m[2]-1)*F(m[1],m[2]-3)+354704/1731*(-134598*m[2]+126463+24405*m[1])*(3* m[1]-7+3*m[2])*(3*m[1]-10+3*m[2])/(24405*m[1]-134598*m[2]+261061)/m[2]/(m[2]-1) *F(m[1],m[2]-4) Subject to the initial conditions 2993270 F(0, 0) = 1, F(0, 1) = 61/3, F(0, 2) = 7190/9, F(0, 3) = -------, F(1, 0) = -9, 81 -90947416 F(1, 1) = -2186/3, F(1, 2) = -457334/9, F(1, 3) = ---------, 27 60035078 F(2, 0) = 448/3, F(2, 1) = 197170/9, F(2, 2) = --------, 27 47049493274 F(2, 3) = -----------, F(3, 0) = -2946, F(3, 1) = -5609024/9, 243 -2246941382 -729135482180 F(3, 2) = -----------, F(3, 3) = ------------- 27 81 -------------------------------------------- By the way, it took, 0.667, seconds to geneate the scheme. -------------------------------------------- Using this scheme we can compute any value very fast. For example F(1000, 2000) = 458961586059074006058872470656763719222483375719858733097995\ 865263272605379233140793653053344256102412163850341988899208360251484496\ 387717935321694654861389244997076970089351056612697735512860723879825458\ 051848603235241919436962468769522262810830558672532374089178794629092915\ 213714190245365955398400786124332951099067232131798459212376231512093429\ 564919348702787529813443156722013532043462206983117762179127319390924888\ 660322170442466262504031801199254505874875198219695234517097090837726515\ 059954110317753939601249110728540661632283952053834840467857319166934340\ 464797334195775336304229693718582784391256329610141281736177796921740765\ 471770254406550782967868083295080273143555887818212185254017727900643095\ 001806116224987373989821083752955639852007728078070941057792583180152967\ 444667430518863125156332864228889948440541412933124917974903442020315681\ 815286073699247539383512188120623788708261444312248589416123637525015963\ 776698964462071821786561320740260188005550647613211202119570977496972711\ 512063045920554861864635155353296549527487040835039727016881802124582967\ 545493421491834363067364844020074986885687344260365405316532925109233251\ 507657227433877955773331120342626663821918611710407332404466122412062035\ 008333828081655387455154088676867842834712217095099056374666213111927579\ 035540085851952872265332661967756657469308243953617720136095904115785237\ 497087824651755143364382166651064383763507800808822361994574141507157924\ 674450718516274792252579367452533273525786000776121374485768710028750210\ 992981179833672126945988831246874719427183817927554025046704320518775692\ 818556737477494161627069473579878538494023888505550596529519646978459023\ 172746713986479886532715382508655617523012232259321345517516498078357880\ 979525680076948895197058930670241491158482496954742121145415473362805419\ 112148048028785132619667668210771111487951814585438868446517996872234766\ 018818107337024655014387455246346849722224730255276305634805801620786284\ 734972864061348614627755782870291221183665210664223906259938350874386333\ 188033148583030003071302059537393843961194225435312040285161567537051245\ 937613130674287598115981764128369360425742775094759154401243053387586136\ 216398764749182002792768225817003811068045139944063842255589171343005176\ 472751047157121765022167037412242407005175433950825010374936856597517833\ 148323188807835569898192950574041170095951918589451617740632634426512735\ 037237764002553713126700329314400784875639138255651684182783035001990020\ 332303054219163579843208204435730234224430296806814037898056664083627906\ 926290736860306440059171180478933738838131258511147432737923552996657151\ 952352737426753026027657469171292198669163924609522873037369986504224632\ 773004611391376378796857443056287333313788032258587757793283245648566135\ 377924247688272272503236710816705471393696951866289836490830546150232584\ 595576433403586964977429274578622394919288715958427822380513746933828993\ 529148674243437700421642553315305723088532825279215159685193681946746339\ 806007534282661575841898608524993794738500935221874761424838772237878765\ 596098613043569743793715068365807589317771628308441313265028533963121647\ 802231096251699662319356696032212586534340410041376908687577485479078815\ 140136768215730517741920709413274075017770454626480931247825958919704428\ 798077882341580174217822277273730013935261871337049582429135852020839204\ 126180547496137837591360521714674552502677368361235818960665546153299240\ 733962766660700594581852379354286812107390693298270698961929384916309569\ 930899789754272609190357983901762438642523477134231518076550475654093672\ 938524297364393714550843318024814991591309051538267939198689751381094765\ 220592029138519099629152445824885269509551052204907493586234348687516865\ 464448306593060781625992749819696245013880916884934345133614135921078138\ 709945525202065278673681173031290608077012666757364638995797906539735994\ 581211286173495008626937968428874847380416984432916104026362698675697768\ 672413107446547097550436809587300003200729188006014987076776701495992514\ 358109226337701473208788240262645385436066325024150877610604177649529984\ 609001831426063180595924261550526352239945641788662506586745689987368761\ 870844880798332096225833771716921936236219803439929483388738169475997294\ 901746195456822916187158132998504266802580404658854477808863194350007385\ 944671961546868250952535322352455852771972358370537133843880457698331762\ 729032251343390989422333707295656351407371139954446235026513764126309467\ 340824662089174069197044855559961528729627063868187343517693053958757897\ 961764102337096454285416180566896928195499587511637299498741431207003164\ 973711263144997665173794463444010315888078280821601733526266660952501304\ 870581825933097343018522308707279192134846794556165127816696656679636669\ 549211614235607099617600118930417186225117782414654775721712542496628531\ 172528604319420815125944223011339361684000394181295087472376833887796618\ 697300205568771303369624996115403032110260685905116959139888501146873425\ 154325573496767968474410541607755958563236153212079709189382441677468692\ 506716960686144368128533044622583756565282964829269319223098281163659690\ 464322533893099150080465771691198207358630871094892886169940203007833205\ 006919501200469863512197695396093592528668976600363615201581778474370299\ 363487232513313974733013238730646001552623641188961174840505974626951818\ 204294622540586604722471671368532937837329888347574985507377609064972763\ 178160435386079269482960176122316109818799860282689077660863678999420185\ 857836877442895671877573350111729326094263975329780052104965114690655748\ 615576682455541568684483640622890599949124679599602421403920118160765619\ 204581214552671423062170830322622229762254817869609436775228633863494956\ 668425816160019497499311643882570835315504644180777958414082730624512261\ 086727108831991907007086605824904842286679642084694024313175049514475569\ 663857008289450971024692149910882894574584762090514218592031994704257095\ 333694804118497150030144988501299904924577895362601213214854317303095295\ 277825161469081685974537907931372809314102003030365128477684902740264161\ 179746377138658718106340681633663874851987461529071310161260249132524646\ 199927018599194025233029473473500694035943596816937101419860517845114532\ 459388774200994120161688997344876512456127599264914958234224182166619391\ 136632507048292006409486288108344779360788840860514960598977919631173255\ 817945523698869947628134352473213326271874693995272476381389508204253418\ 184432585281083912128309795657226683460228111733596072641286566835104944\ 555930884322754425869204436299200837060135883889487828064736341360950161\ 838122315239771563918765295632078749990398506840843970759186381795425861\ 520494362663930485443390923061461712607790231417747379784733037463251402\ 923474063156835098244640531485013965941274472658406524752323158911198153\ 100695001586065555684180393704152866994945899930981857411292387199803316\ 467601180251208977931028666117400868868580515786743882184897631282750710\ 557661364212631579304813273091253210879975679868979390807715788470415694\ 731311964706100023443688264160553043052738932464968971618610755526310810\ 546473442598387993053868993752249086399171225019070160863562066447835915\ 682571108556186407293566844818961203012378751468443640085655064910848066\ 716537749527286935909077621440103541455225275718381103781355591854839782\ 433539424975918534632260757599928239850532924514026765735740786332858616\ 133909144795730973362976522373793031192432358335631644420751784831333566\ 422536453403996095097562129500353118976013315835407160082696838791012757\ 332329886285602710236527398371984375623708264789810569797328609378027511\ 438250235269201407578295341107856363775709874981072577933130509916890536\ / 041439813645180475778861474949132265656320 / 7325822903463506386693796\ / 623548671823259050837946892781393021034090368172761208895835746824696689\ 867241005728805142807462763356416235735329212233759757350995844352642778\ 460492818233324167734585982816931634352179786472345929807704037829880786\ 279067369776230328928875429956826727308736541289055571599353995205610993\ 288955857156300287839119615667039896602451824687717524780698250166352154\ 951776318576290926828596281367874601428873873115912022181534622283425253\ 038743823218469979565815169962909229212609453467025022352740646697999581\ 516780021860751633614164632517660309381323848559027016028731330513724238\ 432214598202123421151475063461123179664623379181921324340450095548327374\ 839705504123913183474441056930600351088114773923044197045540248971250621\ 846421271783876463304991471686695136687315476233449744684346174718582841\ 467442084009165580984096746679123952550868826282410500643618067531177053\ 804966546622644415961349336731589782032919939063320225369148795779560135\ 816577119365406341126601602209362558277989502883996138531027770638511485\ 197454841237753824695085329201458118388173007664657543190748483977293301\ 106760160443099083271313179600060713648060096377152962349274636459892307\ 138044026338636720585060360884372377752227399730967237985385429215671203\ 638367349305222002827104910394436329849961755586956966782842707437331064\ 150279079620591348461054883240030169365033777987057481294112686743720885\ 874977187396169725562356463360830271693989001762143870354136106290638913\ 174380077011705809623626090007780114927954636650647333453772222623269993\ 487944633381100342853696554506193008703209505944042110725252589105550718\ 938386413606643976834383618331721929413894317054685717425969483449982884\ 641163983704148117904406886372729437343157382499986706003009330907817358\ 145016807361235682715412805955627 This took, 1.721, seconds. --------------------------- A Pure Recurrence Scheme that enables Linear-Time and Constant-Space Calcula\ tion of the Taylor coefficients of the function with, 2, variables , x[1], x[2] 1 ----------------------------------------------------------------- 2 2 (1/3) (-92 x[1] - 58 x[1] x[2] - 3 x[2] - 36 x[1] + 82 x[2] + 1) By Shalosh B. Ekhad m[1] m[2] Theorem: Let , F(m[1], m[2]), be the coefficient of, x[1] x[2] , in \ the Taylor expansion (around the origing) of the multivariable function \ (that may also be viewed as a formal power series) of, x[1], x[2] 1 ----------------------------------------------------------------- 2 2 (1/3) (-92 x[1] - 58 x[1] x[2] - 3 x[2] - 36 x[1] + 82 x[2] + 1) The following PURE recurrence relations hold in each of the, 2, discrete variables, m[1], m[2] 2 F(m[1], m[2]) = 1/5052 (111675353850 m[1] + 118954732230 m[1] m[2] 2 + 11218410576 m[2] - 303893289735 m[1] - 224420377983 m[2] + 155342311847 3 ) F(m[1] - 1, m[2])/(%1 m[1]) + 1/5052 (114784426845 m[1] 2 2 3 + 401938306083 m[1] m[2] - 35197587585 m[1] m[2] - 7945078815 m[2] 2 2 - 421217434701 m[1] - 1192744938606 m[1] m[2] + 55543920819 m[2] + 459715499372 m[1] + 775434594368 m[2] - 150124920312) F(m[1] - 2, m[2])/ 113 2 (m[1] (m[1] - 1) %1) - ---- (3 m[1] - 7 + 3 m[2]) (815755635 m[1] 3789 2 + 980692299 m[1] m[2] + 93634794 m[2] - 2571847503 m[1] - 1077179400 m[2] 12995 + 1777850369) F(m[1] - 3, m[2])/(m[1] (m[1] - 1) %1) + ----- 3789 (3 m[1] - 10 + 3 m[2]) (589845 m[1] - 610406 + 61683 m[2]) (3 m[1] - 7 + 3 m[2]) F(m[1] - 4, m[2])/(m[1] (m[1] - 1) %1) %1 := 589845 m[1] - 1200251 + 61683 m[2] 2 F(m[1], m[2]) = -1/624 (3156195744 m[1] + 10541490390 m[1] m[2] 2 + 8249960250 m[2] - 17197138047 m[1] - 24146459055 m[2] + 13647107783) 3 F(m[1], m[2] - 1)/(m[2] %1) - 1/3744 (109150227405 m[1] 2 2 3 + 617482708515 m[1] m[2] + 1204029635751 m[1] m[2] + 815567112585 m[2] 2 2 - 1019781672057 m[1] - 3992558810022 m[1] m[2] - 4073146644537 m[2] + 3204343582896 m[1] + 6568684256604 m[2] - 3409052243704) 113 F(m[1], m[2] - 2)/(%1 m[2] (m[2] - 1)) + ---- (3 m[1] - 7 + 3 m[2]) ( 1872 2 2 21095586 m[1] + 27211851 m[1] m[2] - 35163765 m[2] + 5231280 m[1] + 156572613 m[2] - 134567179) F(m[1], m[2] - 3)/(%1 m[2] (m[2] - 1)) + 565 ---- (128805 m[2] - 149366 + 61683 m[1]) (3 m[1] - 7 + 3 m[2]) 1248 (3 m[1] - 10 + 3 m[2]) F(m[1], m[2] - 4)/(%1 m[2] (m[2] - 1)) %1 := 61683 m[1] + 128805 m[2] - 278171 and in Maple notation F(m[1],m[2]) = 1/5052*(111675353850*m[1]^2+118954732230*m[1]*m[2]+11218410576*m [2]^2-303893289735*m[1]-224420377983*m[2]+155342311847)/(589845*m[1]-1200251+ 61683*m[2])/m[1]*F(m[1]-1,m[2])+1/5052*(114784426845*m[1]^3+401938306083*m[1]^2 *m[2]-35197587585*m[1]*m[2]^2-7945078815*m[2]^3-421217434701*m[1]^2-\ 1192744938606*m[1]*m[2]+55543920819*m[2]^2+459715499372*m[1]+775434594368*m[2]-\ 150124920312)/m[1]/(m[1]-1)/(589845*m[1]-1200251+61683*m[2])*F(m[1]-2,m[2])-113 /3789*(3*m[1]-7+3*m[2])*(815755635*m[1]^2+980692299*m[1]*m[2]+93634794*m[2]^2-\ 2571847503*m[1]-1077179400*m[2]+1777850369)/m[1]/(m[1]-1)/(589845*m[1]-1200251+ 61683*m[2])*F(m[1]-3,m[2])+12995/3789*(3*m[1]-10+3*m[2])*(589845*m[1]-610406+ 61683*m[2])*(3*m[1]-7+3*m[2])/m[1]/(m[1]-1)/(589845*m[1]-1200251+61683*m[2])*F( m[1]-4,m[2]) F(m[1],m[2]) = -1/624*(3156195744*m[1]^2+10541490390*m[1]*m[2]+8249960250*m[2]^ 2-17197138047*m[1]-24146459055*m[2]+13647107783)/m[2]/(61683*m[1]+128805*m[2]-\ 278171)*F(m[1],m[2]-1)-1/3744*(109150227405*m[1]^3+617482708515*m[1]^2*m[2]+ 1204029635751*m[1]*m[2]^2+815567112585*m[2]^3-1019781672057*m[1]^2-\ 3992558810022*m[1]*m[2]-4073146644537*m[2]^2+3204343582896*m[1]+6568684256604*m [2]-3409052243704)/(61683*m[1]+128805*m[2]-278171)/m[2]/(m[2]-1)*F(m[1],m[2]-2) +113/1872*(3*m[1]-7+3*m[2])*(21095586*m[1]^2+27211851*m[1]*m[2]-35163765*m[2]^2 +5231280*m[1]+156572613*m[2]-134567179)/(61683*m[1]+128805*m[2]-278171)/m[2]/(m [2]-1)*F(m[1],m[2]-3)+565/1248*(128805*m[2]-149366+61683*m[1])*(3*m[1]-7+3*m[2] )*(3*m[1]-10+3*m[2])/(61683*m[1]+128805*m[2]-278171)/m[2]/(m[2]-1)*F(m[1],m[2]-\ 4) Subject to the initial conditions -7728008 F(0, 0) = 1, F(0, 1) = -82/3, F(0, 2) = 13457/9, F(0, 3) = --------, 81 F(1, 0) = 12, F(1, 1) = -3878/3, F(1, 2) = 1111040/9, F(1, 3) = -33728008/3, 207278152 F(2, 0) = 956/3, F(2, 1) = -517760/9, F(2, 2) = ---------, 27 -218131513264 F(2, 3) = -------------, F(3, 0) = 9536, F(3, 1) = -22000096/9, 243 11316873568 -4838932031920 F(3, 2) = -----------, F(3, 3) = -------------- 27 81 -------------------------------------------- By the way, it took, 0.728, seconds to geneate the scheme. -------------------------------------------- Using this scheme we can compute any value very fast. For example F(1000, 2000) = 136231773491205739619708465293400218785023055430707953947891\ 620227575753425843668620563873375718239741479757428755739970266132707358\ 887165136675121038315091302307454347326743434040479353630899509397813048\ 192462116952494186251477956254233679743204537966705177190135733795312894\ 151193350068783913278057652135682500050609470595121069410539745023645706\ 058748040721655306291907650542318276477920721595715877905086054091084783\ 566599696276917007482588563416436560518908264184164381676652874721595462\ 056541083414484636072626577916537156670201002855385281697977191794561818\ 738424299612733078709825411055675199534072688534152250673599728718864983\ 890085343136640962684511054156623966926544709293478500889562935559709504\ 443972219752400031690614939350107789878196838602242439334739660431437713\ 802539634281983739539744729887129084895084214577505395208504979816471240\ 618672713988433318268418007893833357384985170542907937830696141574265466\ 771035607708971401655840494116873724574407700793474657485352787179265350\ 131833102137559984096121147009662159160739573878527512295442693597800530\ 655534003785671456855091884724479551017654282970107371790940860384666026\ 938457280039599771650638494925002736656092377539056745604570158289081300\ 902522201068523892045247838734547830882110423307619074909626654243547199\ 729169792704125223342738489504033630912128007483472169614148287814204715\ 953695727333217367851347029301337421459855775983216602029420517707741271\ 397395355837518848558453026307147587146642857741803196166457776976384750\ 384359248544109394438244007201062477906553844862041504185598729724441908\ 893850253450240780484779937663145976786313397778230393216489772976540760\ 505495957835121655658081308253970082196447761311981220308542463454232848\ 493328917681246256372813788173875975815093762337289246845853404755995723\ 925435241974782791706358327351167456768299233020341689115124133829767772\ 676720482361057533833529311117230174696421192077740535414130678703169474\ 540660670120699679915710149557636254438362368255966873038587729866704732\ 275320272389703563871233420080604378888021239026361388059325849489440178\ 337411058683938570028323952903486332329213211801478511044516210570586142\ 781971017285434719897368463125686359687600091154879412890514721664452043\ 572161540316203888483188842555819615703048642753846435630154536236016999\ 662884744960853880768664978810581475731683718021627989113391642135219447\ 901672140044442589550904386624472597145951063784069187672904971444970954\ 502437139070880981183129167426410587370502921149329431850915947042560857\ 854526781643324619421522334989329472051537800670546164459851589855540035\ 210187759624493767584822986442130849480109215754898725101664588020785691\ 814344371596592407954107941464555723295535621775614181758913955813450143\ 702658532583627844629406123674257850648630466754297785061664048480123427\ 405583087659958500907246429520482791957654933036897582141334272222909725\ 218905218080458832933461241455434632334619512305559951733575101446932292\ 798847514909425191595232701909085523089853122862068093939279037515318476\ 444498861198023361835154587542039224205438209164649877111464858137650944\ 989674305962593735564472683077386316176076966318033980195552510588006259\ 108172588529341820403106289100210579142586769603843664766372127156658225\ 748603676489079317339153210790440180541101562477936969458594170934042592\ 013128930909632582939911564900224035881874165834544799379054316128367714\ 728599832251189130848743489587580684910506892792697986227335470562357215\ 058831475806856976648882535669490980646235599794558285168286559311071111\ 175225291060928738936342669543641052688313553690077025269255320355372118\ 126235947878395442729275066522044876729562547754951698872304254303473697\ 806234577937922722372833126392538762462979875963973536143786365652505821\ 046518282234915787954944264873107854379793321257080764875896904895677939\ 800735264319695891840735492368554830720649435128719095934151729193717787\ 649761294335912775087923465232672522124104474409784565934450397410247145\ 257625335122236427185613415353374359713470260201482311525920451338347649\ 423246477084509054380640279992528144111448639939526343828873209855764796\ 028608544518112963668243035638209721012338740137008318679650292073844744\ 700797202536780082075057559796900487865691369471662849035810488733375731\ 166771268218042569261136170866980235255677001446690303777149912296444850\ 190984522971895788962047548950693926365384296102978435211349365487830114\ 974756378002668096478876176749592230075664302436112602482420658597267921\ 324068183984511807293567767819564528933287761360470927591402953420214335\ 761484206190992316165346067742397167605977924096725103274142458410082740\ 953101872786836789703619802343540846316849177054482945506874746536421742\ 149294146563915515270173727470006293936751071063883484924671468987465307\ 892296329126485453003398578188110986314568536762050369777061459809084302\ 095419051836523354702623327762541090425941890851817886506014208320116063\ 418111575340739175400524720763379104517156145922714700480521639744333655\ 470920885247385757213664421153624617248317262053414276403658622553774540\ 722208558090118940304167076351871555196343262089899763819641187054305366\ 434319450274114018772833349329816022338929206847034593665945723568632681\ 948840559196174295255330517944150272972230913261093886063320425311040350\ 189181026700400350416992057656111166154576380862810107311351119237401289\ 975416419467359473897839375280976902985783832183695653603040025881936060\ 335384597058529725972806994466067800527164845560732966942175760909124636\ 069051840913319542524866764005547805608353653061249014161931757881650694\ 373369502476731035935807507267934403355301090381635266051037435481746176\ 600357000822890783587471185695419053152615784938417194594067468916688544\ 603260313488685804224974155672905112735513259017370682457624357967163997\ 431140455762078681809455482131153641201239785149456153384833058339291532\ 807361184421297447137723233354885876772178848413562217672140116659091695\ 255479076424459787460084433577611426149482146789185391132929064236244551\ 637592858029142868930590758096436470881255083280605087052801607191621449\ 658324254205565406072416433099868799046651611897631342059383515233690169\ 936197603098743285568935962622925374553015722996381362958633653997905890\ 301912505785924440162448196148979672629821271909822870552242863090181282\ 884360248953141233222675156492282758782380467752287385379403597018541729\ 337782403212086990928829654043518233443529607280334067199861886154602740\ 687942220409395220633146459228937615837748351240320841731254803657619204\ 079196120793991777692796203102227277132576674728387067900703585481488058\ 110251736080820268220509378479663010700674008491954224276806007286666431\ 835305023647515420092400216518833938425635195295086010916952333984990173\ 543795789103893757963216320944871039688922701766015903318433797411226171\ 758529791703012908829934909674548445546124719218343506521749783666127185\ 186261630177563436373697971049624417608944118432869643464589298176944217\ 878288121583855090544476228912412366630387584772604242673362240291315986\ 098472721250844627485345400308486411590024259680023384736191786199632499\ 462916970569558227045597214204553711150825576117929558134963265117961321\ 650376178534597419316034430448735964887665422495041313912193969830527541\ 708309255796131779240178339435863110999111297467375637843250333771704688\ 897751312922871502227375508377957931494593743518134063834601923098766311\ 268590680604244528699350247739119896474926310845657673006193716576843731\ 714606831189832571417070353821699688472872498441405483367979447480757753\ 692152016680238395762764762649074182682092799504443641003484027844001824\ 982997323662969238916365251093006807788013277816301954005291259730616239\ 352757721078431158369262551829937296165088852962469279146838976961132272\ 183957930431249104338756641851680103445511215094495128003883729237130494\ 646304524560014869697104171041616847272070658535633185024366327498806675\ 606506913564719099639097517939676381320021959972248205626596183970593929\ 161625906303735920818944933576268816625280678729005590756839841690812367\ / 76656701299569459200 / 73258229034635063866937966235486718232590508379\ / 468927813930210340903681727612088958357468246966898672410057288051428074\ 627633564162357353292122337597573509958443526427784604928182333241677345\ 859828169316343521797864723459298077040378298807862790673697762303289288\ 754299568267273087365412890555715993539952056109932889558571563002878391\ 196156670398966024518246877175247806982501663521549517763185762909268285\ 962813678746014288738731159120221815346222834252530387438232184699795658\ 151699629092292126094534670250223527406466979995815167800218607516336141\ 646325176603093813238485590270160287313305137242384322145982021234211514\ 750634611231796646233791819213243404500955483273748397055041239131834744\ 410569306003510881147739230441970455402489712506218464212717838764633049\ 914716866951366873154762334497446843461747185828414674420840091655809840\ 967466791239525508688262824105006436180675311770538049665466226444159613\ 493367315897820329199390633202253691487957795601358165771193654063411266\ 016022093625582779895028839961385310277706385114851974548412377538246950\ 853292014581183881730076646575431907484839772933011067601604430990832713\ 131796000607136480600963771529623492746364598923071380440263386367205850\ 603608843723777522273997309672379853854292156712036383673493052220028271\ 049103944363298499617555869569667828427074373310641502790796205913484610\ 548832400301693650337779870574812941126867437208858749771873961697255623\ 564633608302716939890017621438703541361062906389131743800770117058096236\ 260900077801149279546366506473334537722226232699934879446333811003428536\ 965545061930087032095059440421107252525891055507189383864136066439768343\ 836183317219294138943170546857174259694834499828846411639837041481179044\ 068863727294373431573824999867060030093309078173581450168073612356827154\ 12805955627 This took, 1.764, seconds. --------------------------- A Pure Recurrence Scheme that enables Linear-Time and Constant-Space Calcula\ tion of the Taylor coefficients of the function with, 2, variables , x[1], x[2] 1 ----------------------------------------------------------------- 2 2 (1/3) (17 x[1] + 58 x[1] x[2] - 28 x[2] - 34 x[1] - 53 x[2] + 1) By Shalosh B. Ekhad m[1] m[2] Theorem: Let , F(m[1], m[2]), be the coefficient of, x[1] x[2] , in \ the Taylor expansion (around the origing) of the multivariable function \ (that may also be viewed as a formal power series) of, x[1], x[2] 1 ----------------------------------------------------------------- 2 2 (1/3) (17 x[1] + 58 x[1] x[2] - 28 x[2] - 34 x[1] - 53 x[2] + 1) The following PURE recurrence relations hold in each of the, 2, discrete variables, m[1], m[2] 2 F(m[1], m[2]) = 2/8763 (8752363095 m[1] + 15968873499 m[1] m[2] 2 + 7283788074 m[2] - 26409688943 m[1] - 24023872299 m[2] + 14362657487) 3 F(m[1] - 1, m[2])/(%1 m[1]) - 1/26289 (189078436539 m[1] 2 2 3 + 383538248172 m[1] m[2] + 256828569948 m[1] m[2] + 58754941920 m[2] 2 2 - 960921585567 m[1] - 1249742116032 m[1] m[2] - 407951959284 m[2] + 1563721650328 m[1] + 980981318940 m[2] - 815522272916) F(m[1] - 2, m[2]) 34 2 /(m[1] (m[1] - 1) %1) + ----- (3 m[2] - 7 + 3 m[1]) (1641378462 m[1] 26289 2 + 2300364438 m[1] m[2] + 730182996 m[2] - 6120625285 m[1] - 4330453434 m[2] + 5074811711) F(m[1] - 3, m[2])/(m[1] (m[1] - 1) %1) - 29852 ----- (48894 m[2] - 69697 + 53399 m[1]) (3 m[2] - 7 + 3 m[1]) 8763 (3 m[2] - 10 + 3 m[1]) F(m[1] - 4, m[2])/(m[1] (m[1] - 1) %1) %1 := 53399 m[1] - 123096 + 48894 m[2] 2 2 F(m[1], m[2]) = 1/96 (124386336 m[1] + 464794626 m[1] m[2] + 341677680 m[2] - 797662365 m[1] - 953848462 m[2] + 483189871) F(m[1], m[2] - 1)/(m[2] %1) 3 2 - 1/9792 (11749008177 m[1] + 22643508276 m[1] m[2] 2 3 2 - 27359727768 m[1] m[2] - 4311627840 m[2] - 27691351812 m[1] 2 + 103029348678 m[1] m[2] + 10631222136 m[2] - 94670900763 m[1] - 11211605350 m[2] + 11351494058) F(m[1], m[2] - 2)/(%1 m[2] (m[2] - 1)) 2 - 1/2448 (3 m[2] - 7 + 3 m[1]) (174551580 m[1] - 4468057161 m[1] m[2] 2 - 13503077880 m[2] + 14323764894 m[1] + 51397859947 m[2] - 41199412598) 3073 F(m[1], m[2] - 3)/(%1 m[2] (m[2] - 1)) + ---- (3 m[2] - 10 + 3 m[1]) 204 (66760 m[2] - 74909 + 24447 m[1]) (3 m[2] - 7 + 3 m[1]) F(m[1], m[2] - 4)/( %1 m[2] (m[2] - 1)) %1 := 24447 m[1] + 66760 m[2] - 141669 and in Maple notation F(m[1],m[2]) = 2/8763*(8752363095*m[1]^2+15968873499*m[1]*m[2]+7283788074*m[2]^ 2-26409688943*m[1]-24023872299*m[2]+14362657487)/(53399*m[1]-123096+48894*m[2]) /m[1]*F(m[1]-1,m[2])-1/26289*(189078436539*m[1]^3+383538248172*m[1]^2*m[2]+ 256828569948*m[1]*m[2]^2+58754941920*m[2]^3-960921585567*m[1]^2-1249742116032*m [1]*m[2]-407951959284*m[2]^2+1563721650328*m[1]+980981318940*m[2]-815522272916) /m[1]/(m[1]-1)/(53399*m[1]-123096+48894*m[2])*F(m[1]-2,m[2])+34/26289*(3*m[2]-7 +3*m[1])*(1641378462*m[1]^2+2300364438*m[1]*m[2]+730182996*m[2]^2-6120625285*m[ 1]-4330453434*m[2]+5074811711)/m[1]/(m[1]-1)/(53399*m[1]-123096+48894*m[2])*F(m [1]-3,m[2])-29852/8763*(48894*m[2]-69697+53399*m[1])*(3*m[2]-7+3*m[1])*(3*m[2]-\ 10+3*m[1])/m[1]/(m[1]-1)/(53399*m[1]-123096+48894*m[2])*F(m[1]-4,m[2]) F(m[1],m[2]) = 1/96*(124386336*m[1]^2+464794626*m[1]*m[2]+341677680*m[2]^2-\ 797662365*m[1]-953848462*m[2]+483189871)/m[2]/(24447*m[1]+66760*m[2]-141669)*F( m[1],m[2]-1)-1/9792*(11749008177*m[1]^3+22643508276*m[1]^2*m[2]-27359727768*m[1 ]*m[2]^2-4311627840*m[2]^3-27691351812*m[1]^2+103029348678*m[1]*m[2]+ 10631222136*m[2]^2-94670900763*m[1]-11211605350*m[2]+11351494058)/(24447*m[1]+ 66760*m[2]-141669)/m[2]/(m[2]-1)*F(m[1],m[2]-2)-1/2448*(3*m[2]-7+3*m[1])*( 174551580*m[1]^2-4468057161*m[1]*m[2]-13503077880*m[2]^2+14323764894*m[1]+ 51397859947*m[2]-41199412598)/(24447*m[1]+66760*m[2]-141669)/m[2]/(m[2]-1)*F(m[ 1],m[2]-3)+3073/204*(3*m[2]-10+3*m[1])*(66760*m[2]-74909+24447*m[1])*(3*m[2]-7+ 3*m[1])/(24447*m[1]+66760*m[2]-141669)/m[2]/(m[2]-1)*F(m[1],m[2]-4) Subject to the initial conditions 2137702 F(0, 0) = 1, F(0, 1) = 53/3, F(0, 2) = 5702/9, F(0, 3) = -------, 81 1311620 700665868 F(1, 0) = 34/3, F(1, 1) = 7034/9, F(1, 2) = -------, F(1, 3) = ---------, 27 243 823276 217922182 F(2, 0) = 2261/9, F(2, 1) = ------, F(2, 2) = ---------, 27 81 150738202412 529448 275574352 F(2, 3) = ------------, F(3, 0) = ------, F(3, 1) = ---------, 729 81 243 94478008912 80175079185824 F(3, 2) = -----------, F(3, 3) = -------------- 729 6561 -------------------------------------------- By the way, it took, 0.668, seconds to geneate the scheme. -------------------------------------------- Using this scheme we can compute any value very fast. For example F(1000, 2000) = 119039544024291374888133480030376021819887122256692460141338\ 098665277725555061328555762064455048514218446619435703250821108434632402\ 962508966681930791127138846689536835618441959578402740340603579294928992\ 206865118616073731108557974397848679758046432288287131554461569673886555\ 699714072953898099830095802550060332829718381764175812497440613008252706\ 151971265803172765300041615581542037359699406351538377097196764791044516\ 733874490267335697531856068252494459849757919361917581403999524090745624\ 971027863826661715340303735551740901236670383567620594800991215507955664\ 817380679344243719997629424239696196626095326530287837190411722049985470\ 728462052471229104685903650365890536398232567797708974358841952534300107\ 041784211221979915433586135684392903347226069412910314656673445515803705\ 117797471687795722531082232429460623269970847874365938477926398138301204\ 646296174584991694395299469682462390620690774205247118504859582563647941\ 239598450519711379092805331591268542292664151079086729979867926252596217\ 038284136491578627672654332130283802634730659125611389394078512506224883\ 374019671723727736082922961646904434561580576954204555522806319056575477\ 042269820249366386860597435432973221712830826392812588178054267109622365\ 498646190647162992936669809810061755613411436949810819378650285039792270\ 348060128192755335666362454772852517245345879061067468986732630603331462\ 619693101711912634345446519040306497496776251133299879679300848341549686\ 892686938786400400696153037763245178048901685292535609240621226185411378\ 012182617759912299864337807292586873035290314664731362990503971047986237\ 508932135753258709043858488891033091556095557759041861642507900233550797\ 752971294913883786612742527962137569379312077481380711772536394452952007\ 475179082909182171143319008400221156178517341021428495815115830388609838\ 523191801839382706539541251720428747974525704993039137544932292065894703\ 966128829629502993497795827565276860418302074003756620215321162075924533\ 458217590678748772272388461974321534158677383582891979742869636858143417\ 857685297906630607513545521300875367776745367010143834459928465617911704\ 984005595805157204574550198378053431551181408078006243675637101644131805\ 291043557723946511988109214724370600941116061922647570726779066764331820\ 443117374504379838541457282229791856788592960144954963687103110738541789\ 694785276710098210931573850575893438494567547776390846527748143111809124\ 989467275759906045961489036202404418673701903785250383829629918113756622\ 290198012265326629538215822464888872432981215814086188349292161852935957\ 751166110918933860558450227415717093563231066399655326122397627054329158\ 277526977738731931863788904103762367668638044957679118579146844610366441\ 576281357509020441863766063504027145385418826353368341861580954483947131\ 072871055963895537038460521431311053691115618760848388627568883380932893\ 196207883062958311157554709724665984117214627934520380786300896838412500\ 070479509517240970743335005103039793676457586191045700020474067889889129\ 947807188811650245571862552242877284318107661642931923130873482760259302\ 790917151500452189018159884958937135949548627995703144739267808422104910\ 153094414667714721517924623429041899823493634443902523149593070640436455\ 207229503408888895993921465169061415602852377559658572182898130320482921\ 729784092087803902628373814379761631644311721297284284123453394418355823\ 049799411158403756668070585974718742592902473339617792235510825927634714\ 880934269742689837421654926792317318234836457004475981387472409666144712\ 425903066525457025840284575912072125454223562029072755330661718811268992\ 052103778900801001582682292660450563823913940402758850277168837677595147\ 708449526314166170382343734901389447188757424489294351481385248239064914\ 537339845160142681663980586809733719113651202595042816258325149236018825\ 910456754262029139865377083530236229540125856161251542641836340181815269\ 198038790490181983864184567266069177079544943289403457041528301803532344\ 828109841172290425415582467028636287035169307826499300708174595087632894\ 139303003349420863925883488456066842579428721824715346618769192768212260\ 532337445819736822568814883830898392000816794452333732761315069628990570\ 044035842568363027791571820457366768235469921306221498837259655982168454\ 965061294979704948172466288833760187456790888836102702217997822562439940\ 806337126034263709946561487002090931004885517651811131121249448442526089\ 869757001901816028564542986785433898415811884338001039655856040992220000\ 633828362133281838231904671153341625170058568585799877494438851925548345\ 469886478531669102080556338774684105510362450174731363454679447490261615\ 807541321630618429963942170563139427040165934088487363200916924648503747\ 624166774085183809457843499625190912469827135374685369068780405086797607\ 882683433179393684995970749112634452737334441390493974648728765595627221\ 501967551322588626752668403852223685038231484805548557025399732670275036\ 393282576395421127722700162119383278576303790999355068086841990608883956\ 915452683620144477671039179707397513161674601760788501971464704616647039\ 643043665691358562327493107601797959053591246927917687372849527095951077\ 792169204427764872696234303641449651101591716183619782022461130260105714\ 432232907506207869143951716662470707612954858714181286866230116040780658\ 279960716039227155908221508079049248233035371968526573153756436650912993\ 550738116848477556950690887056542097913268806163147382528146930034315200\ 099724365189653635301196025076442770854885403541656014762374919824526425\ 969609829433568246413650366706296132134108526121938158891547261200971814\ 746452276825556962821820938736755695679217422464905025418204691192038195\ 731571924809013306611254334701417951161698904390954007361895077503609213\ 304728418777401913777131318370126221405122960614373640932276187258651051\ 400406053399893389313687773678277867469578661397220054034831441239501540\ 100371673850055558298462370434210599920225706902066619946646621947572643\ 571172039865589136266825889731432726017315700790580944637367524850521469\ 143562284883701631972991357589840714863778419026876941686896861177585843\ 453730198831973247165785737861320498764545414744530229959828328599490883\ 564748315126333619379312706431845047061999368146893053585881679084330691\ 685061960611019235482406503715998980631643270305035195926498613947784401\ 042546191792861267189318340067621919229284823756457611234243533284089022\ 591679743061804010085943365994530393425802323423848001326746469543077026\ 740768895132627489367102846667319380177846432963778056961701514450318387\ 675218453163371128101948452323659327318377231294707155880315182220337179\ 402958193494947336323373166834075787967350690592874144868084627431950207\ 259696193864700488127265107020505583403020842792010478000067355667667581\ 081576523022494597829883650965867905728642845537332717180976396774062863\ 264170028134378379918335360927694899244128704026116712097119289785968750\ 108674719670208223636469246527245906541087297916701795356945904543903138\ 067628134882375707425324712148488190992686813758855531310811848221694299\ 817933784610443154508685410588376181659086006537471831227289883119154693\ 800142651114993758633257741019582367975838172046932193655944279660705538\ 059821458966015085876150478145539999420091094010217087031056187390051610\ 476748287333519203658041087583381164857034522762031309167961428181605959\ 160969134408655719544729627103262464304746072689998198327383683985147170\ 632141110246834516100077191570749718767697965298248233783259866905182509\ 363165023756035604477706603956137412062584174264349263202560292025458537\ 363360033019009941199666511304895956809479438626382898219092548480606886\ 908623595051878644895916178372461685384334574215309953414385518656774821\ 779293665246735003725442009342801507934457307679828225628227176252145514\ 045031701365868504922717043245937248093396514745054189859805903250758508\ 560488270775099794483233997256204199054362976899711005162851603786523504\ 733699779433302737574987071487242506132534604878804877144150687997713822\ 429372443604480928729244649787516000683959487380760520561057464841517389\ / 849550976465040386262573096231352320 / 1523767513226281426184554888369\ / 041402005762282099072291260199645651398151812845692218008602377165847637\ 528368417953327356169455359290691599272306673324317797610798743625802070\ 870590687513690361692115793790673906373329231412405801719287999066204746\ 077459660284689940941533748696968422239909409785399361104024479376610355\ 544699718675355821881644742113057942394709762960292499261040177753430823\ 991645847528551793225196695380319692930923189743831203553905228244475713\ 765141085510937989888666390047427524160802380320323400575669471358723318\ 682632752702380488671144444555598892943709982267344474665070895048811459\ 381356159173126903083899269543074235438542282040744969289462390115501519\ 761389152518840858573384730625010094645651126585634378356730845456847229\ 068199063430609893110491013866235400225232775164675879826210933912313049\ 845233874420888307565290377651143139396609330820198293207312598427093954\ 997266692627667325696297837274132067429401856893596656301292689964466300\ 252395582600059956443885012171602240654168800207303541037318887985127546\ 441382547916607846802844315511739389294641803578822265554929607153155450\ 262913820816004897892718729800943532099625850477467544031444384844044102\ 307748422962561669831994978742219252173003958850366134844641754450782438\ 580640744212792504767109007272711094608118121642108097225004124320279012\ 495895552697855776242253677539317651092446801811434115344906854282074266\ 550360076065142737367549714681360795925434843769894290889615830139820951\ 475697194953275056452683230388617392403574829413588105933392258561257494\ 238746241703516800964304280592695824004636619747003465105503025266894875\ 672187369777336166440319775277520261467407347823642566324019362278536369\ 849288314024171557983460709753555226729848343502199637414787307087947938\ 541449617479454371605026371237879972137493426208507088050115252693840352\ 091025100721811237834556978819303808715693484670058741723278276869921978\ 493432255051288702243012846399989397254232121982279953978541314056041282\ 480211868895779431904654452295919809039251022668364805386531690966316703\ 925955163796497587366468050811429617615694638856920480222107289240648718\ 50279429421009159662549369 This took, 1.869, seconds. --------------------------- A Pure Recurrence Scheme that enables Linear-Time and Constant-Space Calcula\ tion of the Taylor coefficients of the function with, 2, variables , x[1], x[2] 1 ------------------------------------------------------------------ 2 2 (1/3) (-36 x[1] - 99 x[1] x[2] + 40 x[2] + 65 x[1] + 97 x[2] + 1) By Shalosh B. Ekhad m[1] m[2] Theorem: Let , F(m[1], m[2]), be the coefficient of, x[1] x[2] , in \ the Taylor expansion (around the origing) of the multivariable function \ (that may also be viewed as a formal power series) of, x[1], x[2] 1 ------------------------------------------------------------------ 2 2 (1/3) (-36 x[1] - 99 x[1] x[2] + 40 x[2] + 65 x[1] + 97 x[2] + 1) The following PURE recurrence relations hold in each of the, 2, discrete variables, m[1], m[2] 2 F(m[1], m[2]) = -1/27747 (337542548976 m[1] + 723007040103 m[1] m[2] 2 + 387041099445 m[2] - 1014031922925 m[1] - 1074353833347 m[2] 3 + 511002334388) F(m[1] - 1, m[2])/(%1 m[1]) + 1/83241 (3971632216176 m[1] 2 2 + 8918869083039 m[1] m[2] + 6425530281810 m[1] m[2] 3 2 + 1550899247436 m[2] - 20330752964805 m[1] - 29044659458853 m[1] m[2] 2 - 10191377347749 m[2] + 33239569642005 m[1] + 22783437241695 m[2] - 17405344443100) F(m[1] - 2, m[2])/(m[1] (m[1] - 1) %1) - 1/9249 2 (3 m[2] - 7 + 3 m[1]) (136302870096 m[1] + 218528724429 m[1] m[2] 2 + 76241015928 m[2] - 514341279615 m[1] - 414215836392 m[2] + 434796222848 20748 ) F(m[1] - 3, m[2])/(m[1] (m[1] - 1) %1) + ----- (3 m[2] - 7 + 3 m[1]) 3083 (3 m[1] - 10 + 3 m[2]) (214599 m[2] - 268381 + 196848 m[1]) F(m[1] - 4, m[2])/(m[1] (m[1] - 1) %1) %1 := 196848 m[1] - 465229 + 214599 m[2] 2 F(m[1], m[2]) = -1/13107 (818509986063 m[1] + 2862455156349 m[1] m[2] 2 + 2047114640616 m[2] - 4923841373049 m[1] - 5735160994927 m[2] 3 + 2923894893500) F(m[1], m[2] - 1)/(m[2] %1) + 1/13107 (570285683352 m[1] 2 2 3 + 541848897306 m[1] m[2] - 2770411319733 m[1] m[2] - 1430105362152 m[2] 2 2 - 385241706909 m[1] + 9945636005799 m[1] m[2] + 6719763768575 m[2] - 8766903264549 m[1] - 10753559885895 m[2] + 5955938514724) F(m[1], m[2] - 2)/(%1 m[2] (m[2] - 1)) - 1/4369 (3 m[2] - 7 + 3 m[1]) ( 2 2 9425188080 m[1] + 356856289743 m[1] m[2] + 831548931768 m[2] - 998560461768 m[1] - 3148371743997 m[2] + 2529676959784) 69160 F(m[1], m[2] - 3)/(%1 m[2] (m[2] - 1)) - ----- 4369 (1605992 m[2] - 1820591 + 643797 m[1]) (3 m[2] - 7 + 3 m[1]) (3 m[1] - 10 + 3 m[2]) F(m[1], m[2] - 4)/(%1 m[2] (m[2] - 1)) %1 := 643797 m[1] + 1605992 m[2] - 3426583 and in Maple notation F(m[1],m[2]) = -1/27747*(337542548976*m[1]^2+723007040103*m[1]*m[2]+ 387041099445*m[2]^2-1014031922925*m[1]-1074353833347*m[2]+511002334388)/(196848 *m[1]-465229+214599*m[2])/m[1]*F(m[1]-1,m[2])+1/83241*(3971632216176*m[1]^3+ 8918869083039*m[1]^2*m[2]+6425530281810*m[1]*m[2]^2+1550899247436*m[2]^3-\ 20330752964805*m[1]^2-29044659458853*m[1]*m[2]-10191377347749*m[2]^2+ 33239569642005*m[1]+22783437241695*m[2]-17405344443100)/m[1]/(m[1]-1)/(196848*m [1]-465229+214599*m[2])*F(m[1]-2,m[2])-1/9249*(3*m[2]-7+3*m[1])*(136302870096*m [1]^2+218528724429*m[1]*m[2]+76241015928*m[2]^2-514341279615*m[1]-414215836392* m[2]+434796222848)/m[1]/(m[1]-1)/(196848*m[1]-465229+214599*m[2])*F(m[1]-3,m[2] )+20748/3083*(3*m[2]-7+3*m[1])*(3*m[1]-10+3*m[2])*(214599*m[2]-268381+196848*m[ 1])/m[1]/(m[1]-1)/(196848*m[1]-465229+214599*m[2])*F(m[1]-4,m[2]) F(m[1],m[2]) = -1/13107*(818509986063*m[1]^2+2862455156349*m[1]*m[2]+ 2047114640616*m[2]^2-4923841373049*m[1]-5735160994927*m[2]+2923894893500)/m[2]/ (643797*m[1]+1605992*m[2]-3426583)*F(m[1],m[2]-1)+1/13107*(570285683352*m[1]^3+ 541848897306*m[1]^2*m[2]-2770411319733*m[1]*m[2]^2-1430105362152*m[2]^3-\ 385241706909*m[1]^2+9945636005799*m[1]*m[2]+6719763768575*m[2]^2-8766903264549* m[1]-10753559885895*m[2]+5955938514724)/(643797*m[1]+1605992*m[2]-3426583)/m[2] /(m[2]-1)*F(m[1],m[2]-2)-1/4369*(3*m[2]-7+3*m[1])*(9425188080*m[1]^2+ 356856289743*m[1]*m[2]+831548931768*m[2]^2-998560461768*m[1]-3148371743997*m[2] +2529676959784)/(643797*m[1]+1605992*m[2]-3426583)/m[2]/(m[2]-1)*F(m[1],m[2]-3) -69160/4369*(1605992*m[2]-1820591+643797*m[1])*(3*m[2]-7+3*m[1])*(3*m[1]-10+3*m [2])/(643797*m[1]+1605992*m[2]-3426583)/m[2]/(m[2]-1)*F(m[1],m[2]-4) Subject to the initial conditions -12637742 F(0, 0) = 1, F(0, 1) = -97/3, F(0, 2) = 18698/9, F(0, 3) = ---------, 81 -8646226 F(1, 0) = -65/3, F(1, 1) = 25517/9, F(1, 2) = --------, 27 8358710086 -5856674 F(1, 3) = ----------, F(2, 0) = 8558/9, F(2, 1) = --------, 243 27 2842397116 -3578492236396 -3928990 F(2, 2) = ----------, F(2, 3) = --------------, F(3, 0) = --------, 81 729 81 3839694022 -2426072199068 3764269862061716 F(3, 1) = ----------, F(3, 2) = --------------, F(3, 3) = ---------------- 243 729 6561 -------------------------------------------- By the way, it took, 0.707, seconds to geneate the scheme. -------------------------------------------- Using this scheme we can compute any value very fast. For example F(1000, 2000) = 449958490882243487475207250021643474786213785012136407437851\ 058299614394756915691326891199828594476636514242350612255825174523129616\ 652624877874953049887961830465146495860492295502966086230800095117995285\ 078210866203580652112225047564907565685698504531516213582095926394877635\ 390662135801922496006505032892989894322014553642669354194905466584686551\ 062984555858438195419488592248425892508922032766818758620302106423987573\ 374552506756510902959364724419329506110449050594513654788780549360731131\ 892877020275068956493395664226105452131284870610030981244355380685933664\ 749177416849152686555996154304606179268588844051228485374120933606719348\ 270563582276609513699192067855900679108980425334822079483174612975371289\ 259354619711214739153337546741255344592055431434489602563138431769428585\ 469200368351541283737598754918587505353910293739919515142865300303903904\ 099775855827047381187193012391146756398237592081940596585015146618251307\ 861585435171442168564968570408285656206992550848650757413083446068804136\ 539903229945551936144229528783188191000233870202546427615916085736259387\ 543197500698143500845692045632216827386202136315485590532167625529418958\ 365687521134553130879712892556523447821879051133582115043354209804381705\ 891644694231984834508606696495223955384305107717075851830133849627588030\ 648417055714202330219722202433889997084439351137458298230147727552831338\ 648573850658120100119249567994141827384828638880858501081498086810909107\ 034214669928455247312021993088173259586620224492985401580883180175004659\ 524916658271966034885002774295740048007171042899502971610129135953620468\ 390065712922249772365642311711530665453585797729320734917190840126647380\ 703321127727762381568534849718262304518163191641416122765429681411894070\ 982575423686699864540827033158674848118311690359830795593381350213577655\ 761277979058730846986637791542596241396014123113595216791097883599640612\ 248318506163803321958708358379105203966212107744843346743499034794109318\ 774447434174177498802446522002356286453233956548460889397280581440948774\ 587332310442797913418250754074742775886661753737760992338493739581549366\ 621861567810143436288362037241580695491432012188478711291243308136965272\ 909916289150336052492173315018320973347651059906809171067821533781284067\ 479691741176745801526055039805277042558747208924381412790318596060013749\ 878606079211333689858088976999767783617162208644953500779954981521019844\ 571245095588874762384552415799778798774918772414607470486900265638464930\ 357928300625640155873273580772286442312041935500130143601993603758288069\ 683501641507876535126222858299773025829839789235143208291925009228450366\ 156064883452610066562235877769222879670066711395376363518724293713342311\ 604224224145756912369248750837008050950891951811198139756065230227060417\ 512506980116074202720429747760107877466844497139440150818404246185092888\ 690406049871120623673542325079342421040345322321312482129463867522360382\ 273529931998511049125079078445244626486117262447839265740854227969046997\ 138336018947827106887879506221773875254536486876938540547636883061352006\ 098127476024693521714010972289367659094429288377612710724180450582890528\ 169807353903516898538989192491747835374320586056565104359406876049837982\ 358494794162560533160793215443231457897274242877325573059424359141777565\ 618035038271023648903554642366424222794272161745827776278394355643905133\ 606922009054429280593220130088253707667143611971193289783258756233311799\ 160739657987215631053459762446413922739257862187964890053758348875795212\ 667278474052702819416182021335823524403721091724749226733174492276721964\ 194416862336859426802638473849618362308751865376776703117286889353596769\ 456958580686866565241104836545638375416039191461559361343676343838038674\ 438744252857518151528959194742289226100706114458896588376991347777844326\ 585789789425997286768833637828146933714384414497637586949210900532604836\ 509030360566253808434431227747878494997935449762730464654543762180673063\ 550566216451596997654892184383798978555573420091127961084704293161780498\ 051906228622163310511826009325330269397299827644587440547263684530386206\ 992158704960025541414642954663648963529665027131692751293552615140974707\ 725165001118617917217603574859235054627637169819365415665736437883189350\ 017527544684929438741574770050524201058693101339208725114367987980352147\ 464914032747428860464065440893882574517965325354306487823758762509968907\ 798795845983032376508900292651753983083428258272597797225723763158329757\ 195595472394644615244067179788100911016168586346794583581106213381667142\ 105138911171712152368688074269696179941589567497186285648894665346876834\ 234075605254163493216785834807985318367207147572559320706473510040004139\ 149359274929231807134116696706943457378353491553087900751296971216956086\ 678005326517950817632412913959859181503684711739626617485537654814085498\ 203442243693337981019105701386708311773854277082441163812429103604646340\ 674625777092494361889162527856493674416154815316252196877533377838201816\ 819399577690707679325324525627884095913730526295812873302775656700472372\ 775101478398820483845833847939260049476001707061027571360793333304335631\ 989269744355372589989439355091915358620289194014519886271311368879274513\ 051448978401483299927706420289324541810185702213245237742670500222005663\ 634195250156978417410229211683289053574125867716242253351662982204906002\ 212422814103117515207837677595215013619197529223047883685552517941975453\ 090172088318951590425579501848789774104058177575672682108444500081065356\ 241710037546887700250213983116238428451321319227326744324309543189109023\ 384852315591020036847124527953769872976475168590477034957599826250066272\ 330852199077708204329798289601477231865485649427969092761650464321115928\ 990982198037358160883741339573544095565552183896986973260053682659364495\ 575280303652994969340840509047594980283079504138141801703509826108138251\ 154470557600897524263036870909976330973784515738665640113859236591435546\ 787497049669364662029583174601275619099826621170343415820303397595572667\ 811515654631502457242078998255097364100014498882717446196344004690450866\ 173388574558096255550062723329351511106845072519062223458480802053212576\ 237737150493706825894491933493912480067917672148957059665205441522066809\ 980650397145064284846959888907394796366583654097712336117032080739232437\ 016652500951125752551292578013248869010967664590504989500152792262775499\ 247063145409252332530953531884269197119328556409508571922811489070231141\ 468830708535364588413545037862695596066007546889678289807284525332661946\ 997789180976953542483040704679896963257264731261310241874395656000133509\ 237275737993407935738036604861440370252497240147271431759877768684667315\ 385176000116983814264528184248110915442759724883338218116732052787240551\ 598315827944593277358043659590493483583565293117358601843362976885950630\ 799902884064851570360309691505490889601713859464728080995274693252288704\ 960206857093775679341616060685927191359655999519338994849728043476718400\ 711872813519702039849095859518853570255044137447624413981249845693303155\ 434810240012607428148143281089012530734939396585198204697890005061059448\ 317140124156397241795757994737079103328314501968840157260436173213436542\ 575168712739887286551798974147130751329630756992464840659628042629185744\ 247294813026805789579114684559840664102987266882303045771128168120219343\ 288626488633107550434297967390458788397162817891435820897310499670228481\ 587742684646801055347122310258137343843424174888960423827002672858752593\ 519048480160923151531578643668970529842933460487470751496995596082665455\ 435852261792781346900260555921203059222418087840554176579757708800936173\ 408883456027376242011019820860669430163850869296537877794936132822640461\ 218014758204494889743410350339317688225040161231398453175098882917948740\ 117313267283170463051008286803934687156754456236406693160910043324874939\ 121142383694703547259035147985644073451662254088888304515014641390221542\ 322968838543794975348125251414449424323783595499010018075330047544719747\ 182610797564321178322320782038998548316071761836724705035974818938021926\ 323974823144074770755080731426327483453358444548265792516907928969712704\ 216963951430277079508305677408360134840615140569662818080756678927623647\ 934207882484974952272292171948557129494567768375097294836935893986360958\ 514408630145141306645446302010081579506333208942810911885990499461451064\ 105241502672266339986476171877918233820541838410487106937754664272192445\ 688554364908257801958880275243915420462957118582350386189345714229406232\ 316584670964521543135749366321346777781983531055019265204912978214245631\ 704101456397150170525707645233461232056938771801615580028676214518260645\ 296178780055433896531952478495376397040667070563549409309096843001813295\ 229689001194998338226246758247598116286211273226206408276636068376249857\ 077931434837664620784044545259497981485014653420864235228228425270097042\ / 08049151578962109933464236970801576617558822155173231482880 / 15237675\ / 132262814261845548883690414020057622820990722912601996456513981518128456\ 922180086023771658476375283684179533273561694553592906915992723066733243\ 177976107987436258020708705906875136903616921157937906739063733292314124\ 058017192879990662047460774596602846899409415337486969684222399094097853\ 993611040244793766103555446997186753558218816447421130579423947097629602\ 924992610401777534308239916458475285517932251966953803196929309231897438\ 312035539052282444757137651410855109379898886663900474275241608023803203\ 234005756694713587233186826327527023804886711444445555988929437099822673\ 444746650708950488114593813561591731269030838992695430742354385422820407\ 449692894623901155015197613891525188408585733847306250100946456511265856\ 343783567308454568472290681990634306098931104910138662354002252327751646\ 758798262109339123130498452338744208883075652903776511431393966093308201\ 982932073125984270939549972666926276673256962978372741320674294018568935\ 966563012926899644663002523955826000599564438850121716022406541688002073\ 035410373188879851275464413825479166078468028443155117393892946418035788\ 222655549296071531554502629138208160048978927187298009435320996258504774\ 675440314443848440441023077484229625616698319949787422192521730039588503\ 661348446417544507824385806407442127925047671090072727110946081181216421\ 080972250041243202790124958955526978557762422536775393176510924468018114\ 341153449068542820742665503600760651427373675497146813607959254348437698\ 942908896158301398209514756971949532750564526832303886173924035748294135\ 881059333922585612574942387462417035168009643042805926958240046366197470\ 034651055030252668948756721873697773361664403197752775202614674073478236\ 425663240193622785363698492883140241715579834607097535552267298483435021\ 996374147873070879479385414496174794543716050263712378799721374934262085\ 070880501152526938403520910251007218112378345569788193038087156934846700\ 587417232782768699219784934322550512887022430128463999893972542321219822\ 799539785413140560412824802118688957794319046544522959198090392510226683\ 648053865316909663167039259551637964975873664680508114296176156946388569\ 2048022210728924064871850279429421009159662549369 This took, 1.949, seconds.