Explicit (Efficient!) Exact Expressions for the Factorial Moments of the Sum\ of Parking Functions up to the, 20, -th moment in terms of the length and the Expectation Definition: A (simple) parking function of length n is a permutation of a we\ akly increasing sequence of positive integers such that for all i x[i] <= i For any parking function, p, let X[p] be its sum of entries Let E be the expectation. In this article we will present explicit expressi\ on in terms of E and n for all factorial moments up to the , 20, -th Theorem Number, 1, : the , 2, -th factorial moment of X is 4 3 2 2 n 5 n 13 n (n + 10/3 n + 1/3) E - ---- - ---- - ----- - n 4 4 6 and in Maple format (n^2+10/3*n+1/3)*E-1/4*n^4-5/4*n^3-13/6*n^2-n and in latex \left( {n}^{2}+10/3\,n+1/3 \right) E-1/4\,{n}^{4}-5/4\,{n}^{3}-{\frac {13}{6}}\,{n}^{2}-n Theorem Number, 2, : the , 3, -th factorial moment of X is 2 5 4 /833 2 221 4 25 175 3\ 95 n 135 n 57 n 1159 n |--- n - --- n + 3/4 n - -- + --- n | E + ----- - ------ + ---- - ------- \96 96 96 32 / 192 64 32 192 3 6 1193 n n - ------- - ---- 192 4 and in Maple format (833/96*n^2-221/96*n+3/4*n^4-25/96+175/32*n^3)*E+95/192*n^2-135/64*n^5+57/32*n-\ 1159/192*n^4-1193/192*n^3-1/4*n^6 and in latex \left( {\frac {833}{96}}\,{n}^{2}-{\frac {221}{96}}\,n+3/4\,{n}^{4}-{ \frac {25}{96}}+{\frac {175}{32}}\,{n}^{3} \right) E+{\frac {95}{192}} \,{n}^{2}-{\frac {135}{64}}\,{n}^{5}+{\frac {57}{32}}\,n-{\frac {1159}{ 192}}\,{n}^{4}-{\frac {1193}{192}}\,{n}^{3}-1/4\,{n}^{6} Theorem Number, 3, : the , 4, -th factorial moment of X is 7 / 58127 2 2431 3 959 4 95 5 6 6733 2613 \ 75 n |- ----- n + ---- n + --- n + -- n + 1/2 n + ----- + ---- n| E - ----- \ 2520 216 48 16 15120 560 / 32 8 2 3 4 5 6 3 n 26381 n 50161 n 167831 n 15019 n 129377 n 20495 n - ---- - ------- + -------- + --------- - -------- - --------- - -------- 16 5040 30240 10080 5040 7560 2016 and in Maple format (-58127/2520*n^2+2431/216*n^3+959/48*n^4+95/16*n^5+1/2*n^6+6733/15120+2613/560* n)*E-75/32*n^7-3/16*n^8-26381/5040*n+50161/30240*n^2+167831/10080*n^3-15019/ 5040*n^4-129377/7560*n^5-20495/2016*n^6 and in latex \left( -{\frac {58127}{2520}}\,{n}^{2}+{\frac {2431}{216}}\,{n}^{3}+{ \frac {959}{48}}\,{n}^{4}+{\frac {95}{16}}\,{n}^{5}+1/2\,{n}^{6}+{ \frac {6733}{15120}}+{\frac {2613}{560}}\,n \right) E-{\frac {75}{32}} \,{n}^{7}-3/16\,{n}^{8}-{\frac {26381}{5040}}\,n+{\frac {50161}{30240}} \,{n}^{2}+{\frac {167831}{10080}}\,{n}^{3}-{\frac {15019}{5040}}\,{n}^{ 4}-{\frac {129377}{7560}}\,{n}^{5}-{\frac {20495}{2016}}\,{n}^{6} Theorem Number, 4, : the , 5, -th factorial moment of X is / 51282689 4 59285 6 6904999 159115 5 828259 8 |- -------- n + ----- n - ------- + ------ n - ------ n + 5/16 n \ 1161216 2048 5806080 3456 51840 2 7 17464103 2 1025 7 409511 3\ 155709937 n 4284437 n + -------- n + ---- n - ------ n | E - ------------ - ---------- 215040 192 4536 / 11612160 129024 8 4 10 3 6 40409543 n 3398635 n 191607281 n n 65722591 n 41130167 n + ---------- - ---------- + ------------ - --- - ----------- - ----------- 1935360 258048 3870720 8 1161216 2322432 9 5 275 n 46236097 n - ------ + ----------- 128 829440 and in Maple format (-51282689/1161216*n^4+59285/2048*n^6-6904999/5806080+159115/3456*n^5-828259/ 51840*n+5/16*n^8+17464103/215040*n^2+1025/192*n^7-409511/4536*n^3)*E-155709937/ 11612160*n^2-4284437/129024*n^7+40409543/1935360*n-3398635/258048*n^8+191607281 /3870720*n^4-1/8*n^10-65722591/1161216*n^3-41130167/2322432*n^6-275/128*n^9+ 46236097/829440*n^5 and in latex \left( -{\frac {51282689}{1161216}}\,{n}^{4}+{\frac {59285}{2048}}\,{n }^{6}-{\frac {6904999}{5806080}}+{\frac {159115}{3456}}\,{n}^{5}-{ \frac {828259}{51840}}\,n+{\frac {5}{16}}\,{n}^{8}+{\frac {17464103}{ 215040}}\,{n}^{2}+{\frac {1025}{192}}\,{n}^{7}-{\frac {409511}{4536}}\, {n}^{3} \right) E-{\frac {155709937}{11612160}}\,{n}^{2}-{\frac { 4284437}{129024}}\,{n}^{7}+{\frac {40409543}{1935360}}\,n-{\frac { 3398635}{258048}}\,{n}^{8}+{\frac {191607281}{3870720}}\,{n}^{4}-1/8\,{ n}^{10}-{\frac {65722591}{1161216}}\,{n}^{3}-{\frac {41130167}{2322432} }\,{n}^{6}-{\frac {275}{128}}\,{n}^{9}+{\frac {46236097}{829440}}\,{n}^ {5} Theorem Number, 5, : the , 6, -th factorial moment of X is /856345 7 4996009 4 502998577 3 2074834901 204605 8 10 |------ n - ------- n + --------- n + ---------- n + ------ n + 3/16 n \ 9216 322560 912384 27675648 6144 11003402401 2 30467435 5 1460735 6 275 9 3599544499\ - ----------- n - -------- n - ------- n + --- n + ----------| E 29652480 82944 96768 64 830269440 / 11 12 3 4 225 n 5 n 28954629203 n 67281288463 n 35024021341 n - ------- - ----- - ------------- + -------------- - -------------- 128 64 276756480 276756480 103783680 8 2 9 7 725779255 n 150531505633 n 22525577 n 100699179631 n - ------------ + --------------- - ----------- + --------------- 13837824 1660538880 439296 830269440 6 5 10 254702911 n 113340755041 n 414265 n + ------------ - --------------- - ---------- 1013760 830269440 28672 and in Maple format (856345/9216*n^7-4996009/322560*n^4+502998577/912384*n^3+2074834901/27675648*n+ 204605/6144*n^8+3/16*n^10-11003402401/29652480*n^2-30467435/82944*n^5-1460735/ 96768*n^6+275/64*n^9+3599544499/830269440)*E-225/128*n^11-5/64*n^12-28954629203 /276756480*n+67281288463/276756480*n^3-35024021341/103783680*n^4-725779255/ 13837824*n^8+150531505633/1660538880*n^2-22525577/439296*n^9+100699179631/ 830269440*n^7+254702911/1013760*n^6-113340755041/830269440*n^5-414265/28672*n^ 10 and in latex \left( {\frac {856345}{9216}}\,{n}^{7}-{\frac {4996009}{322560}}\,{n}^ {4}+{\frac {502998577}{912384}}\,{n}^{3}+{\frac {2074834901}{27675648}} \,n+{\frac {204605}{6144}}\,{n}^{8}+3/16\,{n}^{10}-{\frac {11003402401} {29652480}}\,{n}^{2}-{\frac {30467435}{82944}}\,{n}^{5}-{\frac {1460735 }{96768}}\,{n}^{6}+{\frac {275}{64}}\,{n}^{9}+{\frac {3599544499}{ 830269440}} \right) E-{\frac {225}{128}}\,{n}^{11}-{\frac {5}{64}}\,{n} ^{12}-{\frac {28954629203}{276756480}}\,n+{\frac {67281288463}{ 276756480}}\,{n}^{3}-{\frac {35024021341}{103783680}}\,{n}^{4}-{\frac { 725779255}{13837824}}\,{n}^{8}+{\frac {150531505633}{1660538880}}\,{n}^ {2}-{\frac {22525577}{439296}}\,{n}^{9}+{\frac {100699179631}{830269440 }}\,{n}^{7}+{\frac {254702911}{1013760}}\,{n}^{6}-{\frac {113340755041} {830269440}}\,{n}^{5}-{\frac {414265}{28672}}\,{n}^{10} Theorem Number, 6, : the , 7, -th factorial moment of X is / 29253545033 6 1645 11 12 504638135 7 52438004010923 |- ----------- n + ---- n + 7/64 n - --------- n - -------------- n \ 29859840 512 663552 119558799360 82593679 8 10450119276011 2 469351634779 5 6833898713 + -------- n + -------------- n + ------------ n - ---------- 884736 4981616640 218972160 340623360 122077315 9 816571 10 107596899540943 3 15555224031859 4\ + --------- n + ------ n - --------------- n + -------------- n | E 884736 24576 29889699840 11955879936 / 2 5 11 12 10441366935521 n 488998720591 n 16996032517 n 2081809 n - ----------------- + --------------- - --------------- - ----------- 15941173248 29889699840 253034496 147456 14 3 4 13 3 n 303089223676853 n 1642294505383 n 1365 n - ----- - ------------------ + ---------------- - -------- 64 239117598720 711659520 1024 10 7 8 9 28013454103 n 98235949507 n 46084753689647 n 1071176999567 n - --------------- + -------------- + ----------------- + ---------------- 253034496 39852933120 59779399680 5693276160 6 216533900449297 n 71529387961 n - ------------------ + ------------- 119558799360 113541120 and in Maple format (-29253545033/29859840*n^6+1645/512*n^11+7/64*n^12-504638135/663552*n^7-\ 52438004010923/119558799360*n+82593679/884736*n^8+10450119276011/4981616640*n^2 +469351634779/218972160*n^5-6833898713/340623360+122077315/884736*n^9+816571/ 24576*n^10-107596899540943/29889699840*n^3+15555224031859/11955879936*n^4)*E-\ 10441366935521/15941173248*n^2+488998720591/29889699840*n^5-16996032517/ 253034496*n^11-2081809/147456*n^12-3/64*n^14-303089223676853/239117598720*n^3+ 1642294505383/711659520*n^4-1365/1024*n^13-28013454103/253034496*n^10+ 98235949507/39852933120*n^7+46084753689647/59779399680*n^8+1071176999567/ 5693276160*n^9-216533900449297/119558799360*n^6+71529387961/113541120*n and in latex \left( -{\frac {29253545033}{29859840}}\,{n}^{6}+{\frac {1645}{512}}\, {n}^{11}+{\frac {7}{64}}\,{n}^{12}-{\frac {504638135}{663552}}\,{n}^{7} -{\frac {52438004010923}{119558799360}}\,n+{\frac {82593679}{884736}}\, {n}^{8}+{\frac {10450119276011}{4981616640}}\,{n}^{2}+{\frac { 469351634779}{218972160}}\,{n}^{5}-{\frac {6833898713}{340623360}}+{ \frac {122077315}{884736}}\,{n}^{9}+{\frac {816571}{24576}}\,{n}^{10}-{ \frac {107596899540943}{29889699840}}\,{n}^{3}+{\frac {15555224031859}{ 11955879936}}\,{n}^{4} \right) E-{\frac {10441366935521}{15941173248}} \,{n}^{2}+{\frac {488998720591}{29889699840}}\,{n}^{5}-{\frac { 16996032517}{253034496}}\,{n}^{11}-{\frac {2081809}{147456}}\,{n}^{12}- {\frac {3}{64}}\,{n}^{14}-{\frac {303089223676853}{239117598720}}\,{n}^ {3}+{\frac {1642294505383}{711659520}}\,{n}^{4}-{\frac {1365}{1024}}\,{ n}^{13}-{\frac {28013454103}{253034496}}\,{n}^{10}+{\frac {98235949507} {39852933120}}\,{n}^{7}+{\frac {46084753689647}{59779399680}}\,{n}^{8}+ {\frac {1071176999567}{5693276160}}\,{n}^{9}-{\frac {216533900449297}{ 119558799360}}\,{n}^{6}+{\frac {71529387961}{113541120}}\,n Theorem Number, 7, : the , 8, -th factorial moment of X is /11039009485183 7 184681 12 1102249342896429479 2 617294929065628529 |-------------- n + ------ n - ------------------- n + ------------------ n \ 3448811520 6144 77977628467200 202741834014720 723949611953 8 14 181196215 10 515324366494999 5 - ------------ n + 1/16 n + --------- n - --------------- n 209018880 663552 44834549760 574512734211109 6 37712923 11 12687624276700783 + --------------- n + -------- n + ----------------- 44834549760 221184 112634352230400 1403075170702396481 3 1180921437099101 4 26423363 9 875 13\ + ------------------- n - ---------------- n - -------- n + --- n | E 53353114214400 74724249600 24576 384 / 8 11 167039682858883117 n 166220367528043151 n 1325465818777523 n - --------------------- - -------------------- + -------------------- 28963119144960 37544784076800 6436248698880 12 6 15 16 80231492079239 n 164128922704689599 n 245 n 7 n - ------------------ + --------------------- - ------- - ----- 429083246592 13516122267648 256 256 3 4 2 37037548489146917 n 35005494317090733647 n 3537037122201387953 n + -------------------- - ----------------------- + ---------------------- 4770396094464 2027418340147200 675806113382400 13 7 14 182162407 n 5058998393742679999 n 466939 n - ------------- - ---------------------- - ---------- 2342912 1013709170073600 36864 9 5 10 7977385614935171 n 545392298802858337 n 3718920478052887 n + ------------------- + --------------------- + -------------------- 7240779786240 119259902361600 2145416232960 and in Maple format (11039009485183/3448811520*n^7+184681/6144*n^12-1102249342896429479/ 77977628467200*n^2+617294929065628529/202741834014720*n-723949611953/209018880* n^8+1/16*n^14+181196215/663552*n^10-515324366494999/44834549760*n^5+ 574512734211109/44834549760*n^6+37712923/221184*n^11+12687624276700783/ 112634352230400+1403075170702396481/53353114214400*n^3-1180921437099101/ 74724249600*n^4-26423363/24576*n^9+875/384*n^13)*E-167039682858883117/ 28963119144960*n^8-166220367528043151/37544784076800*n+1325465818777523/ 6436248698880*n^11-80231492079239/429083246592*n^12+164128922704689599/ 13516122267648*n^6-245/256*n^15-7/256*n^16+37037548489146917/4770396094464*n^3-\ 35005494317090733647/2027418340147200*n^4+3537037122201387953/675806113382400*n ^2-182162407/2342912*n^13-5058998393742679999/1013709170073600*n^7-466939/36864 *n^14+7977385614935171/7240779786240*n^9+545392298802858337/119259902361600*n^5 +3718920478052887/2145416232960*n^10 and in latex \left( {\frac {11039009485183}{3448811520}}\,{n}^{7}+{\frac {184681}{ 6144}}\,{n}^{12}-{\frac {1102249342896429479}{77977628467200}}\,{n}^{2} +{\frac {617294929065628529}{202741834014720}}\,n-{\frac {723949611953} {209018880}}\,{n}^{8}+1/16\,{n}^{14}+{\frac {181196215}{663552}}\,{n}^{ 10}-{\frac {515324366494999}{44834549760}}\,{n}^{5}+{\frac { 574512734211109}{44834549760}}\,{n}^{6}+{\frac {37712923}{221184}}\,{n} ^{11}+{\frac {12687624276700783}{112634352230400}}+{\frac { 1403075170702396481}{53353114214400}}\,{n}^{3}-{\frac {1180921437099101 }{74724249600}}\,{n}^{4}-{\frac {26423363}{24576}}\,{n}^{9}+{\frac {875 }{384}}\,{n}^{13} \right) E-{\frac {167039682858883117}{28963119144960} }\,{n}^{8}-{\frac {166220367528043151}{37544784076800}}\,n+{\frac { 1325465818777523}{6436248698880}}\,{n}^{11}-{\frac {80231492079239}{ 429083246592}}\,{n}^{12}+{\frac {164128922704689599}{13516122267648}}\, {n}^{6}-{\frac {245}{256}}\,{n}^{15}-{\frac {7}{256}}\,{n}^{16}+{\frac {37037548489146917}{4770396094464}}\,{n}^{3}-{\frac { 35005494317090733647}{2027418340147200}}\,{n}^{4}+{\frac { 3537037122201387953}{675806113382400}}\,{n}^{2}-{\frac {182162407}{ 2342912}}\,{n}^{13}-{\frac {5058998393742679999}{1013709170073600}}\,{n }^{7}-{\frac {466939}{36864}}\,{n}^{14}+{\frac {7977385614935171}{ 7240779786240}}\,{n}^{9}+{\frac {545392298802858337}{119259902361600}} \,{n}^{5}+{\frac {3718920478052887}{2145416232960}}\,{n}^{10} Theorem Number, 8, : the , 9, -th factorial moment of X is /4354914313662551 7 16 2024714293277 12 414571 14 |---------------- n + 9/256 n + ------------- n + ------ n \ 637646929920 4152360960 16384 1051145875782844349888509 2 26052891280165212769 + ------------------------- n - -------------------- n 9515350076424192000 1070102347776000 260596351730846557 8 795 15 89411172921739 10 + ------------------ n + --- n - -------------- n 6121410527232 512 11890851840 60569360876732664433 5 5061352082606489207 6 1717922526391 11 + -------------------- n - ------------------- n - ------------- n 1138199769907200 38258815795200 1557135360 14157836725798171176751 102613077689961226354961 3 - ----------------------- - ------------------------ n 19030700152848384000 475767503821209600 97161489956723352426559 4 49517438321011 9 18270787 13\ + ----------------------- n - -------------- n + -------- n | E 576687883419648000 98099527680 98304 / 15 16 17 18 8 3831578119 n 348715 n 675 n n 63887867379647888387029 n - -------------- - ---------- - ------- - --- + -------------------------- 46858240 32768 1024 64 1903070015284838400 11 225545766553394326375247 n 11005268331924359 n + -------------------------- + --------------------- 6343566717616128000 2477713784832 12 6 97324717728863153 n 346856247771667316952439 n + --------------------- - --------------------------- 31384374607872 4229044478410752000 2 3 352930053011189070257189 n 13296282028755779268361 n - --------------------------- - -------------------------- 7612280061139353600 243983335292928000 4 14 22550442859512184759039 n 65603068545708973 n + -------------------------- - --------------------- 157278513659904000 244100691394560 13 7 45238298235631931 n 48025856822490850687361 n + --------------------- + -------------------------- 366151037091840 679667862601728000 10 9 1263289457523656271367 n 7045687984011661194391 n - -------------------------- - ------------------------- 98860780014796800 253742668704645120 5 255487033750405478578313 n - --------------------------- 3806140030569676800 and in Maple format (4354914313662551/637646929920*n^7+9/256*n^16+2024714293277/4152360960*n^12+ 414571/16384*n^14+1051145875782844349888509/9515350076424192000*n^2-\ 26052891280165212769/1070102347776000*n+260596351730846557/6121410527232*n^8+ 795/512*n^15-89411172921739/11890851840*n^10+60569360876732664433/ 1138199769907200*n^5-5061352082606489207/38258815795200*n^6-1717922526391/ 1557135360*n^11-14157836725798171176751/19030700152848384000-\ 102613077689961226354961/475767503821209600*n^3+97161489956723352426559/ 576687883419648000*n^4-49517438321011/98099527680*n^9+18270787/98304*n^13)*E-\ 3831578119/46858240*n^15-348715/32768*n^16-675/1024*n^17-1/64*n^18+ 63887867379647888387029/1903070015284838400*n^8+225545766553394326375247/ 6343566717616128000*n+11005268331924359/2477713784832*n^11+97324717728863153/ 31384374607872*n^12-346856247771667316952439/4229044478410752000*n^6-\ 352930053011189070257189/7612280061139353600*n^2-13296282028755779268361/ 243983335292928000*n^3+22550442859512184759039/157278513659904000*n^4-\ 65603068545708973/244100691394560*n^14+45238298235631931/366151037091840*n^13+ 48025856822490850687361/679667862601728000*n^7-1263289457523656271367/ 98860780014796800*n^10-7045687984011661194391/253742668704645120*n^9-\ 255487033750405478578313/3806140030569676800*n^5 and in latex \left( {\frac {4354914313662551}{637646929920}}\,{n}^{7}+{\frac {9}{ 256}}\,{n}^{16}+{\frac {2024714293277}{4152360960}}\,{n}^{12}+{\frac { 414571}{16384}}\,{n}^{14}+{\frac {1051145875782844349888509}{ 9515350076424192000}}\,{n}^{2}-{\frac {26052891280165212769}{ 1070102347776000}}\,n+{\frac {260596351730846557}{6121410527232}}\,{n}^ {8}+{\frac {795}{512}}\,{n}^{15}-{\frac {89411172921739}{11890851840}} \,{n}^{10}+{\frac {60569360876732664433}{1138199769907200}}\,{n}^{5}-{ \frac {5061352082606489207}{38258815795200}}\,{n}^{6}-{\frac { 1717922526391}{1557135360}}\,{n}^{11}-{\frac {14157836725798171176751}{ 19030700152848384000}}-{\frac {102613077689961226354961}{ 475767503821209600}}\,{n}^{3}+{\frac {97161489956723352426559}{ 576687883419648000}}\,{n}^{4}-{\frac {49517438321011}{98099527680}}\,{n }^{9}+{\frac {18270787}{98304}}\,{n}^{13} \right) E-{\frac {3831578119} {46858240}}\,{n}^{15}-{\frac {348715}{32768}}\,{n}^{16}-{\frac {675}{ 1024}}\,{n}^{17}-{\frac {1}{64}}\,{n}^{18}+{\frac { 63887867379647888387029}{1903070015284838400}}\,{n}^{8}+{\frac { 225545766553394326375247}{6343566717616128000}}\,n+{\frac { 11005268331924359}{2477713784832}}\,{n}^{11}+{\frac {97324717728863153} {31384374607872}}\,{n}^{12}-{\frac {346856247771667316952439}{ 4229044478410752000}}\,{n}^{6}-{\frac {352930053011189070257189}{ 7612280061139353600}}\,{n}^{2}-{\frac {13296282028755779268361}{ 243983335292928000}}\,{n}^{3}+{\frac {22550442859512184759039}{ 157278513659904000}}\,{n}^{4}-{\frac {65603068545708973}{ 244100691394560}}\,{n}^{14}+{\frac {45238298235631931}{366151037091840} }\,{n}^{13}+{\frac {48025856822490850687361}{679667862601728000}}\,{n}^ {7}-{\frac {1263289457523656271367}{98860780014796800}}\,{n}^{10}-{ \frac {7045687984011661194391}{253742668704645120}}\,{n}^{9}-{\frac { 255487033750405478578313}{3806140030569676800}}\,{n}^{5} Theorem Number, 9, : the , 10, -th factorial moment of X is /54487555 15 2798554661686781 11 18 |-------- n - ---------------- n + 5/256 n \ 294912 196199055360 62224245449719134789227873 4 330155 16 574756203037 14 - -------------------------- n + ------ n + ------------ n 34255260275127091200 16384 830472192 1642655309246554520867 7 7579433062260664139 8 - ---------------------- n - ------------------- n 4097519171665920 18364231581696 2711651771162040607 10 566442678551069973619321 5 + ------------------- n - ------------------------ n 30607052636160 5709210045854515200 4089208290301148813099633 6 11197901755725603553 9 525 17 + ------------------------- n + -------------------- n + --- n 3114114570466099200 82639042117632 512 129594441033218050143357947 3 173471851177245781675667 + --------------------------- n + ------------------------ 65655915527326924800 30696272194594406400 9743195535620087 12 909984926923 13 7807081622492614773604021 2 - ---------------- n - ------------ n - ------------------------- n 784796221440 1245708288 7958292791191142400 3 6661087046216641692381713 \ 2566056277737096091148107 n + ------------------------- n| E + ---------------------------- 30302730243381657600 / 5968719593393356800 4 17 18 40758657729107264177572547 n 6720684121 n 834305 n - ----------------------------- - -------------- - ---------- 30896901424624435200 84344832 98304 13 7 519023587687391547689 n 108018400541565866990236493 n + ------------------------- - ------------------------------ 45475958806806528 131311831054653849600 8 20 11 182084182710663867315855421 n 9 n 5477765274322449889729747 n - ------------------------------ - ----- - ----------------------------- 1575741972655846195200 1024 59090323974594232320 12 6 82992934591006467884683 n 175376817774637014100387327 n - --------------------------- + ------------------------------ 4092836292612587520 315148394531169239040 10 2 2676850093800944998906901 n 428385178547707978908741641 n + ----------------------------- + ------------------------------ 63029678906233847808 945445183593507717120 14 15 701470579989733692683 n 353794840266776137 n + ------------------------- - ---------------------- 151586529356021760 4210736926556160 16 5 19 16681259635960237 n 3453677825338752125513743 n 225 n - --------------------- + ---------------------------- - ------- 48820138278912 4168629557290598400 512 9 288197280976836963354813551 n 3286198510846696021800499 n + ------------------------------ - --------------------------- 787870986327923097600 10232090731531468800 and in Maple format (54487555/294912*n^15-2798554661686781/196199055360*n^11+5/256*n^18-\ 62224245449719134789227873/34255260275127091200*n^4+330155/16384*n^16+ 574756203037/830472192*n^14-1642655309246554520867/4097519171665920*n^7-\ 7579433062260664139/18364231581696*n^8+2711651771162040607/30607052636160*n^10-\ 566442678551069973619321/5709210045854515200*n^5+4089208290301148813099633/ 3114114570466099200*n^6+11197901755725603553/82639042117632*n^9+525/512*n^17+ 129594441033218050143357947/65655915527326924800*n^3+173471851177245781675667/ 30696272194594406400-9743195535620087/784796221440*n^12-909984926923/1245708288 *n^13-7807081622492614773604021/7958292791191142400*n^2+ 6661087046216641692381713/30302730243381657600*n)*E+2566056277737096091148107/ 5968719593393356800*n^3-40758657729107264177572547/30896901424624435200*n^4-\ 6720684121/84344832*n^17-834305/98304*n^18+519023587687391547689/ 45475958806806528*n^13-108018400541565866990236493/131311831054653849600*n^7-\ 182084182710663867315855421/1575741972655846195200*n^8-9/1024*n^20-\ 5477765274322449889729747/59090323974594232320*n^11-82992934591006467884683/ 4092836292612587520*n^12+175376817774637014100387327/315148394531169239040*n^6+ 2676850093800944998906901/63029678906233847808*n^10+428385178547707978908741641 /945445183593507717120*n^2+701470579989733692683/151586529356021760*n^14-\ 353794840266776137/4210736926556160*n^15-16681259635960237/48820138278912*n^16+ 3453677825338752125513743/4168629557290598400*n^5-225/512*n^19+ 288197280976836963354813551/787870986327923097600*n^9-3286198510846696021800499 /10232090731531468800*n and in latex \left( {\frac {54487555}{294912}}\,{n}^{15}-{\frac {2798554661686781}{ 196199055360}}\,{n}^{11}+{\frac {5}{256}}\,{n}^{18}-{\frac { 62224245449719134789227873}{34255260275127091200}}\,{n}^{4}+{\frac { 330155}{16384}}\,{n}^{16}+{\frac {574756203037}{830472192}}\,{n}^{14}-{ \frac {1642655309246554520867}{4097519171665920}}\,{n}^{7}-{\frac { 7579433062260664139}{18364231581696}}\,{n}^{8}+{\frac { 2711651771162040607}{30607052636160}}\,{n}^{10}-{\frac { 566442678551069973619321}{5709210045854515200}}\,{n}^{5}+{\frac { 4089208290301148813099633}{3114114570466099200}}\,{n}^{6}+{\frac { 11197901755725603553}{82639042117632}}\,{n}^{9}+{\frac {525}{512}}\,{n} ^{17}+{\frac {129594441033218050143357947}{65655915527326924800}}\,{n}^ {3}+{\frac {173471851177245781675667}{30696272194594406400}}-{\frac { 9743195535620087}{784796221440}}\,{n}^{12}-{\frac {909984926923}{ 1245708288}}\,{n}^{13}-{\frac {7807081622492614773604021}{ 7958292791191142400}}\,{n}^{2}+{\frac {6661087046216641692381713}{ 30302730243381657600}}\,n \right) E+{\frac {2566056277737096091148107}{ 5968719593393356800}}\,{n}^{3}-{\frac {40758657729107264177572547}{ 30896901424624435200}}\,{n}^{4}-{\frac {6720684121}{84344832}}\,{n}^{17 }-{\frac {834305}{98304}}\,{n}^{18}+{\frac {519023587687391547689}{ 45475958806806528}}\,{n}^{13}-{\frac {108018400541565866990236493}{ 131311831054653849600}}\,{n}^{7}-{\frac {182084182710663867315855421}{ 1575741972655846195200}}\,{n}^{8}-{\frac {9}{1024}}\,{n}^{20}-{\frac { 5477765274322449889729747}{59090323974594232320}}\,{n}^{11}-{\frac { 82992934591006467884683}{4092836292612587520}}\,{n}^{12}+{\frac { 175376817774637014100387327}{315148394531169239040}}\,{n}^{6}+{\frac { 2676850093800944998906901}{63029678906233847808}}\,{n}^{10}+{\frac { 428385178547707978908741641}{945445183593507717120}}\,{n}^{2}+{\frac { 701470579989733692683}{151586529356021760}}\,{n}^{14}-{\frac { 353794840266776137}{4210736926556160}}\,{n}^{15}-{\frac { 16681259635960237}{48820138278912}}\,{n}^{16}+{\frac { 3453677825338752125513743}{4168629557290598400}}\,{n}^{5}-{\frac {225}{ 512}}\,{n}^{19}+{\frac {288197280976836963354813551}{ 787870986327923097600}}\,{n}^{9}-{\frac {3286198510846696021800499}{ 10232090731531468800}}\,n Theorem Number, 10, : the , 11, -th factorial moment of X is /403573445 17 180507238217056423020331 9 739990226974348465 13 |--------- n - ------------------------ n - ------------------ n \ 2359296 66018770430197760 17807739715584 237219282414717356057 11 3862541252058346877 12 + --------------------- n + ------------------- n 480808972320768 29679566192640 4146480995209088071047881381717 6894509853866107462687 10 - ------------------------------- n - ---------------------- n 1877138437243837140172800 10096988418736128 34758677942693781234089119 7 7208417908398253854080269 8 16225 19 + -------------------------- n + ------------------------- n + ----- n 4745317440710246400 2090594396956262400 24576 11 20 3018785 18 563879776276908337324310957 6 + ---- n + ------- n - --------------------------- n 1024 196608 42707856966392217600 4170511011189605019183465648973 3 12880498451852848690737398956529 4 - ------------------------------- n + -------------------------------- n 208570937471537460019200 625712812414612380057600 501766100434234931 14 91120450911666748543066373153 - ------------------ n - ----------------------------- 29679566192640 1877138437243837140172800 320965078787531654731674002063 2 15097226561485 15 + ------------------------------ n + -------------- n 32932253284979598950400 659545915392 5391097849825 16 134565648168593821980808487503 5\ + ------------- n - ------------------------------ n | E 6341787648 48131754801124029235200 / 9 10 577316352091092064754824756159 n 65333754740476632835476685 n - --------------------------------- + ------------------------------ 139047291647691640012800 103637732905111781376 17 18 1041049376174486167 n 21007508411192455 n - ----------------------- - --------------------- 2578824529182720 53258332667904 15 16 30132308255671149177031 n 137580613217877596243 n + --------------------------- + ------------------------- 1322936983470735360 23209420762644480 13 7 209745376351763784818796409 n 11645996915520712200148861234733 n - ------------------------------- + ----------------------------------- 916795329545219604480 1251425624829224760115200 11 12 650637007727546600651547526087 n 562620506423449797708266677 n + ---------------------------------- - ------------------------------- 536325267783953468620800 8251157965906976440320 21 5 4675 n 845727146955439338147219597937 n - -------- - --------------------------------- 16384 83428374988614984007680 6 235382383828971834477478657549 n 2016419705333688099696031127041 n - --------------------------------- + --------------------------------- 65864506569959197900800 625712812414612380057600 20 3 17857015 n 563492900077051973055967942733 n - ------------ - --------------------------------- 2752512 150171074979506971213824 4 8 3346072578630755446156664364353 n 1231140411535157844095114973943 n + ---------------------------------- - ---------------------------------- 250285124965844952023040 1251425624829224760115200 19 14 10445373973 n 346584771940128604814495 n - --------------- - ---------------------------- 143130624 16669005991731265536 2 22 2603258893496358230942669831951 n 5 n - ---------------------------------- - ----- 536325267783953468620800 1024 and in Maple format (403573445/2359296*n^17-180507238217056423020331/66018770430197760*n^9-\ 739990226974348465/17807739715584*n^13+237219282414717356057/480808972320768*n^ 11+3862541252058346877/29679566192640*n^12-4146480995209088071047881381717/ 1877138437243837140172800*n-6894509853866107462687/10096988418736128*n^10+ 34758677942693781234089119/4745317440710246400*n^7+7208417908398253854080269/ 2090594396956262400*n^8+16225/24576*n^19+11/1024*n^20+3018785/196608*n^18-\ 563879776276908337324310957/42707856966392217600*n^6-\ 4170511011189605019183465648973/208570937471537460019200*n^3+ 12880498451852848690737398956529/625712812414612380057600*n^4-\ 501766100434234931/29679566192640*n^14-91120450911666748543066373153/ 1877138437243837140172800+320965078787531654731674002063/ 32932253284979598950400*n^2+15097226561485/659545915392*n^15+5391097849825/ 6341787648*n^16-134565648168593821980808487503/48131754801124029235200*n^5)*E-\ 577316352091092064754824756159/139047291647691640012800*n^9+ 65333754740476632835476685/103637732905111781376*n^10-1041049376174486167/ 2578824529182720*n^17-21007508411192455/53258332667904*n^18+ 30132308255671149177031/1322936983470735360*n^15+137580613217877596243/ 23209420762644480*n^16-209745376351763784818796409/916795329545219604480*n^13+ 11645996915520712200148861234733/1251425624829224760115200*n^7+ 650637007727546600651547526087/536325267783953468620800*n^11-\ 562620506423449797708266677/8251157965906976440320*n^12-4675/16384*n^21-\ 845727146955439338147219597937/83428374988614984007680*n^5-\ 235382383828971834477478657549/65864506569959197900800*n^6+ 2016419705333688099696031127041/625712812414612380057600*n-17857015/2752512*n^ 20-563492900077051973055967942733/150171074979506971213824*n^3+ 3346072578630755446156664364353/250285124965844952023040*n^4-\ 1231140411535157844095114973943/1251425624829224760115200*n^8-10445373973/ 143130624*n^19-346584771940128604814495/16669005991731265536*n^14-\ 2603258893496358230942669831951/536325267783953468620800*n^2-5/1024*n^22 and in latex \left( {\frac {403573445}{2359296}}\,{n}^{17}-{\frac { 180507238217056423020331}{66018770430197760}}\,{n}^{9}-{\frac { 739990226974348465}{17807739715584}}\,{n}^{13}+{\frac { 237219282414717356057}{480808972320768}}\,{n}^{11}+{\frac { 3862541252058346877}{29679566192640}}\,{n}^{12}-{\frac { 4146480995209088071047881381717}{1877138437243837140172800}}\,n-{\frac {6894509853866107462687}{10096988418736128}}\,{n}^{10}+{\frac { 34758677942693781234089119}{4745317440710246400}}\,{n}^{7}+{\frac { 7208417908398253854080269}{2090594396956262400}}\,{n}^{8}+{\frac {16225 }{24576}}\,{n}^{19}+{\frac {11}{1024}}\,{n}^{20}+{\frac {3018785}{ 196608}}\,{n}^{18}-{\frac {563879776276908337324310957}{ 42707856966392217600}}\,{n}^{6}-{\frac {4170511011189605019183465648973 }{208570937471537460019200}}\,{n}^{3}+{\frac { 12880498451852848690737398956529}{625712812414612380057600}}\,{n}^{4}-{ \frac {501766100434234931}{29679566192640}}\,{n}^{14}-{\frac { 91120450911666748543066373153}{1877138437243837140172800}}+{\frac { 320965078787531654731674002063}{32932253284979598950400}}\,{n}^{2}+{ \frac {15097226561485}{659545915392}}\,{n}^{15}+{\frac {5391097849825}{ 6341787648}}\,{n}^{16}-{\frac {134565648168593821980808487503}{ 48131754801124029235200}}\,{n}^{5} \right) E-{\frac { 577316352091092064754824756159}{139047291647691640012800}}\,{n}^{9}+{ \frac {65333754740476632835476685}{103637732905111781376}}\,{n}^{10}-{ \frac {1041049376174486167}{2578824529182720}}\,{n}^{17}-{\frac { 21007508411192455}{53258332667904}}\,{n}^{18}+{\frac { 30132308255671149177031}{1322936983470735360}}\,{n}^{15}+{\frac { 137580613217877596243}{23209420762644480}}\,{n}^{16}-{\frac { 209745376351763784818796409}{916795329545219604480}}\,{n}^{13}+{\frac { 11645996915520712200148861234733}{1251425624829224760115200}}\,{n}^{7}+ {\frac {650637007727546600651547526087}{536325267783953468620800}}\,{n} ^{11}-{\frac {562620506423449797708266677}{8251157965906976440320}}\,{n }^{12}-{\frac {4675}{16384}}\,{n}^{21}-{\frac { 845727146955439338147219597937}{83428374988614984007680}}\,{n}^{5}-{ \frac {235382383828971834477478657549}{65864506569959197900800}}\,{n}^{ 6}+{\frac {2016419705333688099696031127041}{625712812414612380057600}} \,n-{\frac {17857015}{2752512}}\,{n}^{20}-{\frac { 563492900077051973055967942733}{150171074979506971213824}}\,{n}^{3}+{ \frac {3346072578630755446156664364353}{250285124965844952023040}}\,{n} ^{4}-{\frac {1231140411535157844095114973943}{1251425624829224760115200 }}\,{n}^{8}-{\frac {10445373973}{143130624}}\,{n}^{19}-{\frac { 346584771940128604814495}{16669005991731265536}}\,{n}^{14}-{\frac { 2603258893496358230942669831951}{536325267783953468620800}}\,{n}^{2}-{ \frac {5}{1024}}\,{n}^{22} Theorem Number, 11, : the , 12, -th factorial moment of X is /338668400756695 17 8983747172447413061 13 1705 21 |--------------- n + ------------------- n + ---- n \ 329772957696 7705271992320 4096 329936107254517463625910207 8 1371926860708404871081310371 9 - --------------------------- n + ---------------------------- n 14947749938237276160 32030892724794163200 629952366212499704970954179127759407 884548425944480085805967 10 + ------------------------------------ n + ------------------------ n 25781975008200424276623360000 849303973763481600 424850517428501627923321728479 7 6280258187427530265439 12 - ------------------------------ n - ---------------------- n 3760293343837814784000 23138931792936960 19611955 19 1109317 20 995549216587 18 + -------- n + ------- n + ------------ n 131072 98304 1056964608 124158683095657459182805515724590959 2 - ------------------------------------ n 1160188875369019092448051200 45343058340547608419551578174497 3 7833279224844328050068436257 4 + -------------------------------- n - ---------------------------- n 203842307148959711232000 31545576168357888000 72166473362080537 14 107952272723235222928854464059286653 22 + ----------------- n + ------------------------------------ + 3/512 n 556491866112 232037775073803818489610240000 18962263017650153 15 97627562631237133 16 - ----------------- n - ----------------- n 231871610880 4946594365440 46055233733196910144762925983787 5 + -------------------------------- n 651784179598554562560000 22250894628755654561802171425723 6 2647076556117691195954537 11\ + -------------------------------- n - ------------------------- n | E 162946044899638640640000 295021380359946240 / 17 18 446114683770111853768669 n 253154941436848796747593 n + ---------------------------- + ---------------------------- 11722691603532349440 38252993653631877120 11 4540713374654127341705050762301 n - ----------------------------------- 347089151600619002265600 12 9290455225580731409043139111373 n + ----------------------------------- 1931716409205825994752000 7 92215826550138601746351340353637613 n - -------------------------------------- 859399166940014142554112000 8 22094621485118454351585541187788481 n + -------------------------------------- 644549375205010606915584000 5 497212528946039945893825136388061681 n + --------------------------------------- 3867296251230063641493504000 6 13515663499496530527817326603993203 n + -------------------------------------- 789244132904094620712960000 3 40966812787699798942660742683206469 n + -------------------------------------- 1145865555920018856738816000 4 15954537721360397357300466396972103 n - -------------------------------------- 107624199941467448279040000 15 16 8014961945549667562036924787 n 5404093532601631273117 n - -------------------------------- - -------------------------- 17762909509938629836800 1996141888662405120 13 14 768105279597301937217803001989 n 839156563937981222760034272017 n + ---------------------------------- - ---------------------------------- 262041530292268569722880 1545373127364660795801600 19 20 21 19359929148260387887 n 3738758532826157 n 4543950571 n - ------------------------ - -------------------- - -------------- 24498833027235840 8876388777984 71565312 22 6589187 n 2750441741300047648106120477501176541 n - ----------- - --------------------------------------- 1376256 77345925024601272829870080000 9 245459668802526000785076164467343131 n + --------------------------------------- 5524708930328662344990720000 10 23 24 363301387229643373263312266383199 n 1485 n 11 n - ------------------------------------- - -------- - ------ 18750527278691217655726080 8192 4096 2 181248432805140064408396935308455153 n + --------------------------------------- 3200521035500742323994624000 and in Maple format (338668400756695/329772957696*n^17+8983747172447413061/7705271992320*n^13+1705/ 4096*n^21-329936107254517463625910207/14947749938237276160*n^8+ 1371926860708404871081310371/32030892724794163200*n^9+ 629952366212499704970954179127759407/25781975008200424276623360000*n+ 884548425944480085805967/849303973763481600*n^10-424850517428501627923321728479 /3760293343837814784000*n^7-6280258187427530265439/23138931792936960*n^12+ 19611955/131072*n^19+1109317/98304*n^20+995549216587/1056964608*n^18-\ 124158683095657459182805515724590959/1160188875369019092448051200*n^2+ 45343058340547608419551578174497/203842307148959711232000*n^3-\ 7833279224844328050068436257/31545576168357888000*n^4+72166473362080537/ 556491866112*n^14+107952272723235222928854464059286653/ 232037775073803818489610240000+3/512*n^22-18962263017650153/231871610880*n^15-\ 97627562631237133/4946594365440*n^16+46055233733196910144762925983787/ 651784179598554562560000*n^5+22250894628755654561802171425723/ 162946044899638640640000*n^6-2647076556117691195954537/295021380359946240*n^11) *E+446114683770111853768669/11722691603532349440*n^17+253154941436848796747593/ 38252993653631877120*n^18-4540713374654127341705050762301/ 347089151600619002265600*n^11+9290455225580731409043139111373/ 1931716409205825994752000*n^12-92215826550138601746351340353637613/ 859399166940014142554112000*n^7+22094621485118454351585541187788481/ 644549375205010606915584000*n^8+497212528946039945893825136388061681/ 3867296251230063641493504000*n^5+13515663499496530527817326603993203/ 789244132904094620712960000*n^6+40966812787699798942660742683206469/ 1145865555920018856738816000*n^3-15954537721360397357300466396972103/ 107624199941467448279040000*n^4-8014961945549667562036924787/ 17762909509938629836800*n^15-5404093532601631273117/1996141888662405120*n^16+ 768105279597301937217803001989/262041530292268569722880*n^13-\ 839156563937981222760034272017/1545373127364660795801600*n^14-\ 19359929148260387887/24498833027235840*n^19-3738758532826157/8876388777984*n^20 -4543950571/71565312*n^21-6589187/1376256*n^22-\ 2750441741300047648106120477501176541/77345925024601272829870080000*n+ 245459668802526000785076164467343131/5524708930328662344990720000*n^9-\ 363301387229643373263312266383199/18750527278691217655726080*n^10-1485/8192*n^ 23-11/4096*n^24+181248432805140064408396935308455153/ 3200521035500742323994624000*n^2 and in latex \left( {\frac {338668400756695}{329772957696}}\,{n}^{17}+{\frac { 8983747172447413061}{7705271992320}}\,{n}^{13}+{\frac {1705}{4096}}\,{n }^{21}-{\frac {329936107254517463625910207}{14947749938237276160}}\,{n} ^{8}+{\frac {1371926860708404871081310371}{32030892724794163200}}\,{n}^ {9}+{\frac {629952366212499704970954179127759407}{ 25781975008200424276623360000}}\,n+{\frac {884548425944480085805967}{ 849303973763481600}}\,{n}^{10}-{\frac {424850517428501627923321728479}{ 3760293343837814784000}}\,{n}^{7}-{\frac {6280258187427530265439}{ 23138931792936960}}\,{n}^{12}+{\frac {19611955}{131072}}\,{n}^{19}+{ \frac {1109317}{98304}}\,{n}^{20}+{\frac {995549216587}{1056964608}}\,{ n}^{18}-{\frac {124158683095657459182805515724590959}{ 1160188875369019092448051200}}\,{n}^{2}+{\frac { 45343058340547608419551578174497}{203842307148959711232000}}\,{n}^{3}-{ \frac {7833279224844328050068436257}{31545576168357888000}}\,{n}^{4}+{ \frac {72166473362080537}{556491866112}}\,{n}^{14}+{\frac { 107952272723235222928854464059286653}{232037775073803818489610240000}}+ {\frac {3}{512}}\,{n}^{22}-{\frac {18962263017650153}{231871610880}}\,{ n}^{15}-{\frac {97627562631237133}{4946594365440}}\,{n}^{16}+{\frac { 46055233733196910144762925983787}{651784179598554562560000}}\,{n}^{5}+{ \frac {22250894628755654561802171425723}{162946044899638640640000}}\,{n }^{6}-{\frac {2647076556117691195954537}{295021380359946240}}\,{n}^{11} \right) E+{\frac {446114683770111853768669}{11722691603532349440}}\,{n }^{17}+{\frac {253154941436848796747593}{38252993653631877120}}\,{n}^{ 18}-{\frac {4540713374654127341705050762301}{347089151600619002265600}} \,{n}^{11}+{\frac {9290455225580731409043139111373}{ 1931716409205825994752000}}\,{n}^{12}-{\frac { 92215826550138601746351340353637613}{859399166940014142554112000}}\,{n} ^{7}+{\frac {22094621485118454351585541187788481}{ 644549375205010606915584000}}\,{n}^{8}+{\frac { 497212528946039945893825136388061681}{3867296251230063641493504000}}\,{ n}^{5}+{\frac {13515663499496530527817326603993203}{ 789244132904094620712960000}}\,{n}^{6}+{\frac { 40966812787699798942660742683206469}{1145865555920018856738816000}}\,{n }^{3}-{\frac {15954537721360397357300466396972103}{ 107624199941467448279040000}}\,{n}^{4}-{\frac { 8014961945549667562036924787}{17762909509938629836800}}\,{n}^{15}-{ \frac {5404093532601631273117}{1996141888662405120}}\,{n}^{16}+{\frac { 768105279597301937217803001989}{262041530292268569722880}}\,{n}^{13}-{ \frac {839156563937981222760034272017}{1545373127364660795801600}}\,{n} ^{14}-{\frac {19359929148260387887}{24498833027235840}}\,{n}^{19}-{ \frac {3738758532826157}{8876388777984}}\,{n}^{20}-{\frac {4543950571}{ 71565312}}\,{n}^{21}-{\frac {6589187}{1376256}}\,{n}^{22}-{\frac { 2750441741300047648106120477501176541}{77345925024601272829870080000}} \,n+{\frac {245459668802526000785076164467343131}{ 5524708930328662344990720000}}\,{n}^{9}-{\frac { 363301387229643373263312266383199}{18750527278691217655726080}}\,{n}^{ 10}-{\frac {1485}{8192}}\,{n}^{23}-{\frac {11}{4096}}\,{n}^{24}+{\frac {181248432805140064408396935308455153}{3200521035500742323994624000}}\, {n}^{2} Theorem Number, 12, : the , 13, -th factorial moment of X is / 5760178469153839219 17 49873153023469811299 18 |- ------------------- n - -------------------- n \ 44356274749440 2483951385968640 1717728041763905315350761953 11 4321343754711014149842773471 12 + ---------------------------- n - ---------------------------- n 12935552831166873600 180627355897021071360 18180870479935412232140052328383607 7 + ----------------------------------- n 10829644830252906577920000 1657455582131869861372653962355107 8 + ---------------------------------- n 346548634568093010493440000 44816575717538242375240247128794248839 5 - -------------------------------------- n 34546567008506771983564800000 25680848908316015316222237060190717 6 - ----------------------------------- n 17681052784086378086400000 29468650108656805318235878631388643684399 3 - ----------------------------------------- n 10923624488089841301203189760000 7399018626998461103929796755438273297 4 392548147283958042203 15 + ------------------------------------- n + --------------------- n 2312428776817727247482880000 184926527815680 20020817391761498729 16 145835327895778529916885961 13 + -------------------- n - --------------------------- n 438344362229760 7262064747321753600 2318226044979642203583797 14 213159111027911 19 2718931047365 20 + ------------------------- n + --------------- n + ------------- n 1139147411344588800 101468602368 2818572288 1768471991 21 12657593 22 + ---------- n + -------- n 14155776 1572864 64425645512389206459008236207560031741181 - ----------------------------------------- n 218472489761796826024063795200000 1233826755307225570082822906812699 9 - ---------------------------------- n 1999319045585151983616000 2031331395619218912081948053939 10 4225 23 13 24 + ------------------------------- n + ----- n + ---- n 19869009148672317849600 16384 4096 374021257787577111581930612146397652331 - --------------------------------------- 75990431221494548182283059200000 1577391289940951022295456603139603372621 2\ + ---------------------------------------- n | E 1226512223224122532064919552000 / 17 18 13198181380076149841221380031 n 37406204675186750844811718129 n - --------------------------------- + --------------------------------- 17848658723453785866240 811519016626365464051712 11 20224118014819563547298586553563870082067 n + --------------------------------------------- 174777991809437460819251036160000 12 3382160361716990336542459999295555492717 n - -------------------------------------------- 31777816692624992876227461120000 7 37362096695203311791408700698055421890707 n + -------------------------------------------- 29129665301572910136541839360000 8 3555789184735139558593528375330882709909 n - ------------------------------------------- 5296302782104165479371243520000 5 150026500194178999427319716539784169001537 n - --------------------------------------------- 87388995904718730409625518080000 6 25 26 2247974166364172031898598454921674284489 n 3705 n 3 n + ------------------------------------------- - -------- - ----- 41613807573675585909345484800000 32768 2048 3 18344915327682028262522468378773428367021 n - -------------------------------------------- 49936569088410703091214581760000 4 2082240164708642729854262368817999759470177 n + ---------------------------------------------- 1165186612062916405461673574400000 15 767115688634012024396402161435553 n + ------------------------------------- 143570148606781390061568000 16 123518856985902321644662232947 n - ---------------------------------- 70119730699282730188800 13 55503926170836224855365394981530043 n - --------------------------------------- 2076981483178104109557350400 14 28956832809078500176569714588715141 n + --------------------------------------- 1570826331815372855967744000 19 20 1784734479248859461427351239 n 15380683428316918357175527 n + -------------------------------- + ------------------------------ 32203135580411327938560 2385417450400839106560 21 22 1408288324621360951 n 2303870398200493 n - ----------------------- - -------------------- 1190226705776640 5462393094144 10840431182413186787957177971032830378507 n + ------------------------------------------- 25330143740498182727427686400000 9 132195414060473161869337626218393274885197 n - --------------------------------------------- 291296653015729101365418393600000 10 23 2047498713517089054204401961775316404289 n 1497880165 n + -------------------------------------------- - -------------- 5548507676490078121246064640000 28311552 24 2 226591469 n 500099761730215531742127880974793515472927 n - ------------- - --------------------------------------------- 66060288 699111967237749843277004144640000 and in Maple format (-5760178469153839219/44356274749440*n^17-49873153023469811299/2483951385968640 *n^18+1717728041763905315350761953/12935552831166873600*n^11-\ 4321343754711014149842773471/180627355897021071360*n^12+ 18180870479935412232140052328383607/10829644830252906577920000*n^7+ 1657455582131869861372653962355107/346548634568093010493440000*n^8-\ 44816575717538242375240247128794248839/34546567008506771983564800000*n^5-\ 25680848908316015316222237060190717/17681052784086378086400000*n^6-\ 29468650108656805318235878631388643684399/10923624488089841301203189760000*n^3+ 7399018626998461103929796755438273297/2312428776817727247482880000*n^4+ 392548147283958042203/184926527815680*n^15+20020817391761498729/438344362229760 *n^16-145835327895778529916885961/7262064747321753600*n^13+ 2318226044979642203583797/1139147411344588800*n^14+213159111027911/101468602368 *n^19+2718931047365/2818572288*n^20+1768471991/14155776*n^21+12657593/1572864*n ^22-64425645512389206459008236207560031741181/218472489761796826024063795200000 *n-1233826755307225570082822906812699/1999319045585151983616000*n^9+ 2031331395619218912081948053939/19869009148672317849600*n^10+4225/16384*n^23+13 /4096*n^24-374021257787577111581930612146397652331/ 75990431221494548182283059200000+1577391289940951022295456603139603372621/ 1226512223224122532064919552000*n^2)*E-13198181380076149841221380031/ 17848658723453785866240*n^17+37406204675186750844811718129/ 811519016626365464051712*n^18+20224118014819563547298586553563870082067/ 174777991809437460819251036160000*n^11-3382160361716990336542459999295555492717 /31777816692624992876227461120000*n^12+ 37362096695203311791408700698055421890707/29129665301572910136541839360000*n^7-\ 3555789184735139558593528375330882709909/5296302782104165479371243520000*n^8-\ 150026500194178999427319716539784169001537/87388995904718730409625518080000*n^5 +2247974166364172031898598454921674284489/41613807573675585909345484800000*n^6-\ 3705/32768*n^25-3/2048*n^26-18344915327682028262522468378773428367021/ 49936569088410703091214581760000*n^3+ 2082240164708642729854262368817999759470177/1165186612062916405461673574400000* n^4+767115688634012024396402161435553/143570148606781390061568000*n^15-\ 123518856985902321644662232947/70119730699282730188800*n^16-\ 55503926170836224855365394981530043/2076981483178104109557350400*n^13+ 28956832809078500176569714588715141/1570826331815372855967744000*n^14+ 1784734479248859461427351239/32203135580411327938560*n^19+ 15380683428316918357175527/2385417450400839106560*n^20-1408288324621360951/ 1190226705776640*n^21-2303870398200493/5462393094144*n^22+ 10840431182413186787957177971032830378507/25330143740498182727427686400000*n-\ 132195414060473161869337626218393274885197/291296653015729101365418393600000*n^ 9+2047498713517089054204401961775316404289/5548507676490078121246064640000*n^10 -1497880165/28311552*n^23-226591469/66060288*n^24-\ 500099761730215531742127880974793515472927/699111967237749843277004144640000*n^ 2 and in latex \left( -{\frac {5760178469153839219}{44356274749440}}\,{n}^{17}-{ \frac {49873153023469811299}{2483951385968640}}\,{n}^{18}+{\frac { 1717728041763905315350761953}{12935552831166873600}}\,{n}^{11}-{\frac { 4321343754711014149842773471}{180627355897021071360}}\,{n}^{12}+{\frac {18180870479935412232140052328383607}{10829644830252906577920000}}\,{n} ^{7}+{\frac {1657455582131869861372653962355107}{ 346548634568093010493440000}}\,{n}^{8}-{\frac { 44816575717538242375240247128794248839}{34546567008506771983564800000}} \,{n}^{5}-{\frac {25680848908316015316222237060190717}{ 17681052784086378086400000}}\,{n}^{6}-{\frac { 29468650108656805318235878631388643684399}{ 10923624488089841301203189760000}}\,{n}^{3}+{\frac { 7399018626998461103929796755438273297}{2312428776817727247482880000}}\, {n}^{4}+{\frac {392548147283958042203}{184926527815680}}\,{n}^{15}+{ \frac {20020817391761498729}{438344362229760}}\,{n}^{16}-{\frac { 145835327895778529916885961}{7262064747321753600}}\,{n}^{13}+{\frac { 2318226044979642203583797}{1139147411344588800}}\,{n}^{14}+{\frac { 213159111027911}{101468602368}}\,{n}^{19}+{\frac {2718931047365}{ 2818572288}}\,{n}^{20}+{\frac {1768471991}{14155776}}\,{n}^{21}+{\frac {12657593}{1572864}}\,{n}^{22}-{\frac { 64425645512389206459008236207560031741181}{ 218472489761796826024063795200000}}\,n-{\frac { 1233826755307225570082822906812699}{1999319045585151983616000}}\,{n}^{9 }+{\frac {2031331395619218912081948053939}{19869009148672317849600}}\,{ n}^{10}+{\frac {4225}{16384}}\,{n}^{23}+{\frac {13}{4096}}\,{n}^{24}-{ \frac {374021257787577111581930612146397652331}{ 75990431221494548182283059200000}}+{\frac { 1577391289940951022295456603139603372621}{ 1226512223224122532064919552000}}\,{n}^{2} \right) E-{\frac { 13198181380076149841221380031}{17848658723453785866240}}\,{n}^{17}+{ \frac {37406204675186750844811718129}{811519016626365464051712}}\,{n}^{ 18}+{\frac {20224118014819563547298586553563870082067}{ 174777991809437460819251036160000}}\,{n}^{11}-{\frac { 3382160361716990336542459999295555492717}{ 31777816692624992876227461120000}}\,{n}^{12}+{\frac { 37362096695203311791408700698055421890707}{ 29129665301572910136541839360000}}\,{n}^{7}-{\frac { 3555789184735139558593528375330882709909}{ 5296302782104165479371243520000}}\,{n}^{8}-{\frac { 150026500194178999427319716539784169001537}{ 87388995904718730409625518080000}}\,{n}^{5}+{\frac { 2247974166364172031898598454921674284489}{ 41613807573675585909345484800000}}\,{n}^{6}-{\frac {3705}{32768}}\,{n}^ {25}-{\frac {3}{2048}}\,{n}^{26}-{\frac { 18344915327682028262522468378773428367021}{ 49936569088410703091214581760000}}\,{n}^{3}+{\frac { 2082240164708642729854262368817999759470177}{ 1165186612062916405461673574400000}}\,{n}^{4}+{\frac { 767115688634012024396402161435553}{143570148606781390061568000}}\,{n}^{ 15}-{\frac {123518856985902321644662232947}{70119730699282730188800}}\, {n}^{16}-{\frac {55503926170836224855365394981530043}{ 2076981483178104109557350400}}\,{n}^{13}+{\frac { 28956832809078500176569714588715141}{1570826331815372855967744000}}\,{n }^{14}+{\frac {1784734479248859461427351239}{32203135580411327938560}} \,{n}^{19}+{\frac {15380683428316918357175527}{2385417450400839106560}} \,{n}^{20}-{\frac {1408288324621360951}{1190226705776640}}\,{n}^{21}-{ \frac {2303870398200493}{5462393094144}}\,{n}^{22}+{\frac { 10840431182413186787957177971032830378507}{ 25330143740498182727427686400000}}\,n-{\frac { 132195414060473161869337626218393274885197}{ 291296653015729101365418393600000}}\,{n}^{9}+{\frac { 2047498713517089054204401961775316404289}{ 5548507676490078121246064640000}}\,{n}^{10}-{\frac {1497880165}{ 28311552}}\,{n}^{23}-{\frac {226591469}{66060288}}\,{n}^{24}-{\frac { 500099761730215531742127880974793515472927}{ 699111967237749843277004144640000}}\,{n}^{2} Theorem Number, 13, : the , 14, -th factorial moment of X is 17 39067856829278472960180156438852499 n --------------------------------------- 5535292788301790063886336000 18 7412789292653060018500357459763207 n - -------------------------------------- 1792380521926293925448908800 11 56096497594964956503294127733708208706416497 n - ------------------------------------------------ 97001785454237790754684325068800000 12 1747035016602730629630693554340865200999821 n + ----------------------------------------------- 923826528135598007187469762560000 7 3358641737704615982234551338527871261916338473 n - ------------------------------------------------- 210170535150848546635149370982400000 8 273133002420639782398543791034073629052783231 n + ------------------------------------------------ 23352281683427616292794374553600000 5 1800060041904238360091132038841252344679323741 n + ------------------------------------------------- 74177835935593604694758601523200000 6 25 2828174507085624832883683012848340777364599843 n 2004992461 n - ------------------------------------------------- - -------------- 720584691945766445606226414796800000 47185920 26 3 22609925 n 3381851605340585632157031540740357378049933511 n - ------------ + ------------------------------------------------- 9437184 840682140603394186540597483929600000 4 58719931391962005125194148551392446173082142941 n - -------------------------------------------------- 2522046421810182559621792451788800000 15 171714947201981970413913032446274359 n - ---------------------------------------- 6706220108904091808169984000 16 8398687577611972890804770731851928181 n + ----------------------------------------- 164674960451978254400618496000 13 51743952698052462147116097744714230287837 n + --------------------------------------------- 692869896101698505390602321920000 14 191525951680571319880737906960867051902717 n - ---------------------------------------------- 503905378983053458465892597760000 19 9278960361840726301235418628231 n - ----------------------------------- 9052426878415625886105600 20 92886818940190811710953619326427 n + ------------------------------------ 697036869638003193230131200 21 22 558640305921525991022034771103 n 115310488395961579872446041 n + ---------------------------------- + ------------------------------- 7744854107088924369223680 21468757053607551959040 60906108227598367071751331426597851703519701 n / - ---------------------------------------------- + | 10917949877966158266761006284800000 \ 319108274965310350140911 17 6590159155295392597 18 ------------------------ n - ------------------- n 100600031131729920 43834436222976 5923156476485862069543913236127433 11 - ---------------------------------- n 3427404078145974829056000 230019146020258915347113172460333 12 + --------------------------------- n 298035137230084767744000 800504175509185609798750086761167269313 7 - --------------------------------------- n 31889138777083174138675200000 2877029544280493028937971968274130037 8 + ------------------------------------- n 742604216931627879628800000 4869723138611690829654784170768430359306899 5 + ------------------------------------------- n 218472489761796826024063795200000 22437212026048440008411905980413560818191 6 7735 25 26 + ----------------------------------------- n + ----- n + 7/4096 n 1427924769684946575320678400000 49152 1343432463346101712266145945580535426150797 3 + ------------------------------------------- n 37910687878576534882929868800000 286817777391333955982637382651239228351391 4 - ------------------------------------------ n 6513465533270961272767119360000 4184939258816984003971219 15 2138417647112726699236181 16 - ------------------------- n + ------------------------- n 125750038914662400 278974876247654400 7261546346907130603094759644667 13 439180043912038836626333310661 14 + ------------------------------- n - ------------------------------ n 27674691314222157004800 4193135047609417728000 94596459704670935771 19 6296711999998808419 20 667776316555627 21 - -------------------- n - ------------------- n + --------------- n 532275296993280 354850197995520 217432719360 50439692436679 22 1620529802687917178777322281256052764376495087 + -------------- n + ---------------------------------------------- n 54358179840 420341070301697093270298741964800000 112777305776408694809643616244266193 9 + ------------------------------------ n 13104780298793433169920000 229628277128854984697377716175699211 10 1420163849 23 2933021 24 - ------------------------------------ n + ---------- n + ------- n 74260421693162787962880000 14155776 524288 1866115047907654513947870090529440184418933 + ------------------------------------------- 32753849633898474800283018854400000 21161840454430164134492397271156488798603598001 2\ - ----------------------------------------------- n | E 1261023210905091279810896225894400000 / 9 6179013167828997157031752295607622255645061 n + ---------------------------------------------- 1454467371286149111661933363200000 10 10627779764208028963189496877340840486132099 n - ------------------------------------------------ 1705237607714795510224335667200000 23 24 27 28 547482736774725383 n 14051647834973461 n 2275 n 13 n - ---------------------- - --------------------- - -------- - ------ 358957260472320 35115384176640 32768 16384 2 49081377795790456790775483740825977286387989243 n + -------------------------------------------------- 5044092843620365119243584903577600000 and in Maple format 39067856829278472960180156438852499/5535292788301790063886336000*n^17-\ 7412789292653060018500357459763207/1792380521926293925448908800*n^18-\ 56096497594964956503294127733708208706416497/ 97001785454237790754684325068800000*n^11+ 1747035016602730629630693554340865200999821/923826528135598007187469762560000*n ^12-3358641737704615982234551338527871261916338473/ 210170535150848546635149370982400000*n^7+ 273133002420639782398543791034073629052783231/ 23352281683427616292794374553600000*n^8+ 1800060041904238360091132038841252344679323741/ 74177835935593604694758601523200000*n^5-\ 2828174507085624832883683012848340777364599843/ 720584691945766445606226414796800000*n^6-2004992461/47185920*n^25-22609925/ 9437184*n^26+3381851605340585632157031540740357378049933511/ 840682140603394186540597483929600000*n^3-\ 58719931391962005125194148551392446173082142941/ 2522046421810182559621792451788800000*n^4-171714947201981970413913032446274359/ 6706220108904091808169984000*n^15+8398687577611972890804770731851928181/ 164674960451978254400618496000*n^16+51743952698052462147116097744714230287837/ 692869896101698505390602321920000*n^13-\ 191525951680571319880737906960867051902717/503905378983053458465892597760000*n^ 14-9278960361840726301235418628231/9052426878415625886105600*n^19+ 92886818940190811710953619326427/697036869638003193230131200*n^20+ 558640305921525991022034771103/7744854107088924369223680*n^21+ 115310488395961579872446041/21468757053607551959040*n^22-\ 60906108227598367071751331426597851703519701/ 10917949877966158266761006284800000*n+(319108274965310350140911/ 100600031131729920*n^17-6590159155295392597/43834436222976*n^18-\ 5923156476485862069543913236127433/3427404078145974829056000*n^11+ 230019146020258915347113172460333/298035137230084767744000*n^12-\ 800504175509185609798750086761167269313/31889138777083174138675200000*n^7+ 2877029544280493028937971968274130037/742604216931627879628800000*n^8+ 4869723138611690829654784170768430359306899/218472489761796826024063795200000*n ^5+22437212026048440008411905980413560818191/1427924769684946575320678400000*n^ 6+7735/49152*n^25+7/4096*n^26+1343432463346101712266145945580535426150797/ 37910687878576534882929868800000*n^3-286817777391333955982637382651239228351391 /6513465533270961272767119360000*n^4-4184939258816984003971219/ 125750038914662400*n^15+2138417647112726699236181/278974876247654400*n^16+ 7261546346907130603094759644667/27674691314222157004800*n^13-\ 439180043912038836626333310661/4193135047609417728000*n^14-94596459704670935771 /532275296993280*n^19-6296711999998808419/354850197995520*n^20+667776316555627/ 217432719360*n^21+50439692436679/54358179840*n^22+ 1620529802687917178777322281256052764376495087/ 420341070301697093270298741964800000*n+112777305776408694809643616244266193/ 13104780298793433169920000*n^9-229628277128854984697377716175699211/ 74260421693162787962880000*n^10+1420163849/14155776*n^23+2933021/524288*n^24+ 1866115047907654513947870090529440184418933/32753849633898474800283018854400000 -21161840454430164134492397271156488798603598001/ 1261023210905091279810896225894400000*n^2)*E+ 6179013167828997157031752295607622255645061/1454467371286149111661933363200000* n^9-10627779764208028963189496877340840486132099/ 1705237607714795510224335667200000*n^10-547482736774725383/358957260472320*n^23 -14051647834973461/35115384176640*n^24-2275/32768*n^27-13/16384*n^28+ 49081377795790456790775483740825977286387989243/ 5044092843620365119243584903577600000*n^2 and in latex {\frac {39067856829278472960180156438852499}{ 5535292788301790063886336000}}\,{n}^{17}-{\frac { 7412789292653060018500357459763207}{1792380521926293925448908800}}\,{n} ^{18}-{\frac {56096497594964956503294127733708208706416497}{ 97001785454237790754684325068800000}}\,{n}^{11}+{\frac { 1747035016602730629630693554340865200999821}{ 923826528135598007187469762560000}}\,{n}^{12}-{\frac { 3358641737704615982234551338527871261916338473}{ 210170535150848546635149370982400000}}\,{n}^{7}+{\frac { 273133002420639782398543791034073629052783231}{ 23352281683427616292794374553600000}}\,{n}^{8}+{\frac { 1800060041904238360091132038841252344679323741}{ 74177835935593604694758601523200000}}\,{n}^{5}-{\frac { 2828174507085624832883683012848340777364599843}{ 720584691945766445606226414796800000}}\,{n}^{6}-{\frac {2004992461}{ 47185920}}\,{n}^{25}-{\frac {22609925}{9437184}}\,{n}^{26}+{\frac { 3381851605340585632157031540740357378049933511}{ 840682140603394186540597483929600000}}\,{n}^{3}-{\frac { 58719931391962005125194148551392446173082142941}{ 2522046421810182559621792451788800000}}\,{n}^{4}-{\frac { 171714947201981970413913032446274359}{6706220108904091808169984000}}\,{ n}^{15}+{\frac {8398687577611972890804770731851928181}{ 164674960451978254400618496000}}\,{n}^{16}+{\frac { 51743952698052462147116097744714230287837}{ 692869896101698505390602321920000}}\,{n}^{13}-{\frac { 191525951680571319880737906960867051902717}{ 503905378983053458465892597760000}}\,{n}^{14}-{\frac { 9278960361840726301235418628231}{9052426878415625886105600}}\,{n}^{19}+ {\frac {92886818940190811710953619326427}{697036869638003193230131200}} \,{n}^{20}+{\frac {558640305921525991022034771103}{ 7744854107088924369223680}}\,{n}^{21}+{\frac { 115310488395961579872446041}{21468757053607551959040}}\,{n}^{22}-{ \frac {60906108227598367071751331426597851703519701}{ 10917949877966158266761006284800000}}\,n+ \left( {\frac { 319108274965310350140911}{100600031131729920}}\,{n}^{17}-{\frac { 6590159155295392597}{43834436222976}}\,{n}^{18}-{\frac { 5923156476485862069543913236127433}{3427404078145974829056000}}\,{n}^{ 11}+{\frac {230019146020258915347113172460333}{298035137230084767744000 }}\,{n}^{12}-{\frac {800504175509185609798750086761167269313}{ 31889138777083174138675200000}}\,{n}^{7}+{\frac { 2877029544280493028937971968274130037}{742604216931627879628800000}}\,{ n}^{8}+{\frac {4869723138611690829654784170768430359306899}{ 218472489761796826024063795200000}}\,{n}^{5}+{\frac { 22437212026048440008411905980413560818191}{ 1427924769684946575320678400000}}\,{n}^{6}+{\frac {7735}{49152}}\,{n}^{ 25}+{\frac {7}{4096}}\,{n}^{26}+{\frac { 1343432463346101712266145945580535426150797}{ 37910687878576534882929868800000}}\,{n}^{3}-{\frac { 286817777391333955982637382651239228351391}{ 6513465533270961272767119360000}}\,{n}^{4}-{\frac { 4184939258816984003971219}{125750038914662400}}\,{n}^{15}+{\frac { 2138417647112726699236181}{278974876247654400}}\,{n}^{16}+{\frac { 7261546346907130603094759644667}{27674691314222157004800}}\,{n}^{13}-{ \frac {439180043912038836626333310661}{4193135047609417728000}}\,{n}^{ 14}-{\frac {94596459704670935771}{532275296993280}}\,{n}^{19}-{\frac { 6296711999998808419}{354850197995520}}\,{n}^{20}+{\frac { 667776316555627}{217432719360}}\,{n}^{21}+{\frac {50439692436679}{ 54358179840}}\,{n}^{22}+{\frac { 1620529802687917178777322281256052764376495087}{ 420341070301697093270298741964800000}}\,n+{\frac { 112777305776408694809643616244266193}{13104780298793433169920000}}\,{n} ^{9}-{\frac {229628277128854984697377716175699211}{ 74260421693162787962880000}}\,{n}^{10}+{\frac {1420163849}{14155776}}\, {n}^{23}+{\frac {2933021}{524288}}\,{n}^{24}+{\frac { 1866115047907654513947870090529440184418933}{ 32753849633898474800283018854400000}}-{\frac { 21161840454430164134492397271156488798603598001}{ 1261023210905091279810896225894400000}}\,{n}^{2} \right) E+{\frac { 6179013167828997157031752295607622255645061}{ 1454467371286149111661933363200000}}\,{n}^{9}-{\frac { 10627779764208028963189496877340840486132099}{ 1705237607714795510224335667200000}}\,{n}^{10}-{\frac { 547482736774725383}{358957260472320}}\,{n}^{23}-{\frac { 14051647834973461}{35115384176640}}\,{n}^{24}-{\frac {2275}{32768}}\,{n }^{27}-{\frac {13}{16384}}\,{n}^{28}+{\frac { 49081377795790456790775483740825977286387989243}{ 5044092843620365119243584903577600000}}\,{n}^{2} Theorem Number, 14, : the , 15, -th factorial moment of X is / 118604124006069395806773172769 17 249733667072511687639074285 18 |- ------------------------------ n + --------------------------- n \ 2974541720502990274560 14164484383347572736 22600339370613013715544527013969361811 11 + -------------------------------------- n 1174188314771891612024832000 1458528211270041701093532415984860643 12 - ------------------------------------- n 82655078058476842254336000 1075934537678397799735661902217854136217418973 7 + ---------------------------------------------- n 2796447868950999373108016578560000 8274056165725190329078280606371657614479743 8 - ------------------------------------------- n 73109748207869264656418734080000 2334643820682117362848550188130494131719424441163 5 - ------------------------------------------------- n 6107442145788982630867908207575040000 40719608431764947439508570427383078369719631 6 5884284835 25 - -------------------------------------------- n + ---------- n 241668334353790069280939704320000 75497472 23935765 26 18881177557926626293313154412003146806043841780783 3 + -------- n - -------------------------------------------------- n 6291456 37662559899032059557018767280046080000 705361746396460547251678170434510783777936483447 4 + ------------------------------------------------ n 1091668402870494479913587457392640000 91667882986160634811761394432793 15 + -------------------------------- n 317904146378757085593600 63222172866788474647606667256793 16 - -------------------------------- n 224911777029868958515200 24532445295594686028307115866693307 13 - ----------------------------------- n 10863238830542670696284160 34089420916665961692713824020063211 14 244363668585509687215571 19 + ----------------------------------- n + ------------------------ n 12398261708771526338150400 61318114213625856 219719107576039529288513 20 34456194984475387856827 21 - ------------------------ n - ----------------------- n 476918666105978880 158972888701992960 43557846942374802617 22 - -------------------- n 3311935181291520 943311689975825427270428653698882685803576074183 - ------------------------------------------------ n 17382719953399412103239431052328960000 1073155667200577319421263604138395656992381 9 - ------------------------------------------- n 9096604615725668874300948480000 6893040266870444994382450363010740199063 10 1326504544239113 23 + ---------------------------------------- n + ---------------- n 99806006755610787022110720000 347892350976 12289152597293 24 5221310896164409112173798829996746423407703093 + -------------- n - ---------------------------------------------- 14495514624 7289527722393301849745567860654080000 12425 27 15 28 + ------ n + ----- n 131072 16384 29 26686133583269734641070836415450270738098303028427 2\ 11025 n + -------------------------------------------------- n | E - --------- 112987679697096178671056301840138240000 / 262144 30 17 7 n 1317549370258564308096378762106445025109 n - ----- + -------------------------------------------- 16384 25294073925423859875935000985600 18 75813683510660068086570674106243436471 n + ------------------------------------------ 674508638011302930024933359616 11 55260430373945470380526545471898807596065067571 n - --------------------------------------------------- 6456438839834067352631788676579328000 12 26119677060742852453621519496963844640978716107 n - --------------------------------------------------- 849531426293956230609445878497280000 7 5517007884851290003122775797450500848852243122199 n + ---------------------------------------------------- 26585336399316747922601482785914880000 8 287986455010638505355992618563346034551568297647 n - --------------------------------------------------- 1448559996116617675269952587694080000 5 351096355909334341662094717465207815201222152959 n - --------------------------------------------------- 965706664077745116846635058462720000 6 14699619555200578144581108041643504670129970610787 n + ----------------------------------------------------- 150650239596128238228075069120184320000 25 26 321099875124706796567 n 23768412002477041 n - ------------------------- - --------------------- 180914459278049280 65548717129728 3 4188545844134632008451254743001877896109471413157 n - ---------------------------------------------------- 90390143757676942936845041472110592000 4 73695393527440426611327971790422821986082874980691 n + ----------------------------------------------------- 225975359394192357342112603680276480000 15 6347078063780822063709442739097229804836613 n - ----------------------------------------------- 7883319706757102994666408640512000 16 1638564395802873058948950641047126677736769 n - ----------------------------------------------- 1612497212745771067090856312832000 13 2343305511459594897457682736450262817220823 n + ----------------------------------------------- 524333975428312382457753108480000 14 154457950563837526386026790689426610631197607 n + ------------------------------------------------- 23649959120271308983999225921536000 19 3074766347172918587424869008608612607 n + ----------------------------------------- 624545035195650861134197555200 20 1484307785838583142327668910922151759 n - ----------------------------------------- 187363510558695258340259266560 21 37451515272278567589313896477852169 n - --------------------------------------- 31227251759782543056709877760 22 80774928645983201979136656607883 n + ------------------------------------ 313055155486541785029672960 190242418869352431444556231968483204805198947221 n + -------------------------------------------------- 2429842574131100616581855953551360000 9 67368909097621500739509485026398609071877400387 n - -------------------------------------------------- 2215444699943062326883456898826240000 10 7640088572985031351124116280569919270950041110543 n + ----------------------------------------------------- 75325119798064119114037534560092160000 23 24 11273768936680282808298212650283 n 5958355829459189387922941 n + ------------------------------------ + ----------------------------- 132178843427650975901417472 1683824082635886428160 27 28 1663898873 n 6866535 n - -------------- - ----------- 50331648 4194304 2 64112239219469590402024937882491355770369224097483 n - ----------------------------------------------------- 451950718788384714684225207360552960000 and in Maple format (-118604124006069395806773172769/2974541720502990274560*n^17+ 249733667072511687639074285/14164484383347572736*n^18+ 22600339370613013715544527013969361811/1174188314771891612024832000*n^11-\ 1458528211270041701093532415984860643/82655078058476842254336000*n^12+ 1075934537678397799735661902217854136217418973/ 2796447868950999373108016578560000*n^7-\ 8274056165725190329078280606371657614479743/73109748207869264656418734080000*n^ 8-2334643820682117362848550188130494131719424441163/ 6107442145788982630867908207575040000*n^5-\ 40719608431764947439508570427383078369719631/241668334353790069280939704320000* n^6+5884284835/75497472*n^25+23935765/6291456*n^26-\ 18881177557926626293313154412003146806043841780783/ 37662559899032059557018767280046080000*n^3+ 705361746396460547251678170434510783777936483447/ 1091668402870494479913587457392640000*n^4+91667882986160634811761394432793/ 317904146378757085593600*n^15-63222172866788474647606667256793/ 224911777029868958515200*n^16-24532445295594686028307115866693307/ 10863238830542670696284160*n^13+34089420916665961692713824020063211/ 12398261708771526338150400*n^14+244363668585509687215571/61318114213625856*n^19 -219719107576039529288513/476918666105978880*n^20-34456194984475387856827/ 158972888701992960*n^21-43557846942374802617/3311935181291520*n^22-\ 943311689975825427270428653698882685803576074183/ 17382719953399412103239431052328960000*n-\ 1073155667200577319421263604138395656992381/9096604615725668874300948480000*n^9 +6893040266870444994382450363010740199063/99806006755610787022110720000*n^10+ 1326504544239113/347892350976*n^23+12289152597293/14495514624*n^24-\ 5221310896164409112173798829996746423407703093/ 7289527722393301849745567860654080000+12425/131072*n^27+15/16384*n^28+ 26686133583269734641070836415450270738098303028427/ 112987679697096178671056301840138240000*n^2)*E-11025/262144*n^29-7/16384*n^30+ 1317549370258564308096378762106445025109/25294073925423859875935000985600*n^17+ 75813683510660068086570674106243436471/674508638011302930024933359616*n^18-\ 55260430373945470380526545471898807596065067571/ 6456438839834067352631788676579328000*n^11-\ 26119677060742852453621519496963844640978716107/ 849531426293956230609445878497280000*n^12+ 5517007884851290003122775797450500848852243122199/ 26585336399316747922601482785914880000*n^7-\ 287986455010638505355992618563346034551568297647/ 1448559996116617675269952587694080000*n^8-\ 351096355909334341662094717465207815201222152959/ 965706664077745116846635058462720000*n^5+ 14699619555200578144581108041643504670129970610787/ 150650239596128238228075069120184320000*n^6-321099875124706796567/ 180914459278049280*n^25-23768412002477041/65548717129728*n^26-\ 4188545844134632008451254743001877896109471413157/ 90390143757676942936845041472110592000*n^3+ 73695393527440426611327971790422821986082874980691/ 225975359394192357342112603680276480000*n^4-\ 6347078063780822063709442739097229804836613/7883319706757102994666408640512000* n^15-1638564395802873058948950641047126677736769/ 1612497212745771067090856312832000*n^16+ 2343305511459594897457682736450262817220823/524333975428312382457753108480000*n ^13+154457950563837526386026790689426610631197607/ 23649959120271308983999225921536000*n^14+3074766347172918587424869008608612607/ 624545035195650861134197555200*n^19-1484307785838583142327668910922151759/ 187363510558695258340259266560*n^20-37451515272278567589313896477852169/ 31227251759782543056709877760*n^21+80774928645983201979136656607883/ 313055155486541785029672960*n^22+ 190242418869352431444556231968483204805198947221/ 2429842574131100616581855953551360000*n-\ 67368909097621500739509485026398609071877400387/ 2215444699943062326883456898826240000*n^9+ 7640088572985031351124116280569919270950041110543/ 75325119798064119114037534560092160000*n^10+11273768936680282808298212650283/ 132178843427650975901417472*n^23+5958355829459189387922941/ 1683824082635886428160*n^24-1663898873/50331648*n^27-6866535/4194304*n^28-\ 64112239219469590402024937882491355770369224097483/ 451950718788384714684225207360552960000*n^2 and in latex \left( -{\frac {118604124006069395806773172769}{2974541720502990274560 }}\,{n}^{17}+{\frac {249733667072511687639074285}{14164484383347572736} }\,{n}^{18}+{\frac {22600339370613013715544527013969361811}{ 1174188314771891612024832000}}\,{n}^{11}-{\frac { 1458528211270041701093532415984860643}{82655078058476842254336000}}\,{n }^{12}+{\frac {1075934537678397799735661902217854136217418973}{ 2796447868950999373108016578560000}}\,{n}^{7}-{\frac { 8274056165725190329078280606371657614479743}{ 73109748207869264656418734080000}}\,{n}^{8}-{\frac { 2334643820682117362848550188130494131719424441163}{ 6107442145788982630867908207575040000}}\,{n}^{5}-{\frac { 40719608431764947439508570427383078369719631}{ 241668334353790069280939704320000}}\,{n}^{6}+{\frac {5884284835}{ 75497472}}\,{n}^{25}+{\frac {23935765}{6291456}}\,{n}^{26}-{\frac { 18881177557926626293313154412003146806043841780783}{ 37662559899032059557018767280046080000}}\,{n}^{3}+{\frac { 705361746396460547251678170434510783777936483447}{ 1091668402870494479913587457392640000}}\,{n}^{4}+{\frac { 91667882986160634811761394432793}{317904146378757085593600}}\,{n}^{15}- {\frac {63222172866788474647606667256793}{224911777029868958515200}}\,{ n}^{16}-{\frac {24532445295594686028307115866693307}{ 10863238830542670696284160}}\,{n}^{13}+{\frac { 34089420916665961692713824020063211}{12398261708771526338150400}}\,{n}^ {14}+{\frac {244363668585509687215571}{61318114213625856}}\,{n}^{19}-{ \frac {219719107576039529288513}{476918666105978880}}\,{n}^{20}-{\frac {34456194984475387856827}{158972888701992960}}\,{n}^{21}-{\frac { 43557846942374802617}{3311935181291520}}\,{n}^{22}-{\frac { 943311689975825427270428653698882685803576074183}{ 17382719953399412103239431052328960000}}\,n-{\frac { 1073155667200577319421263604138395656992381}{ 9096604615725668874300948480000}}\,{n}^{9}+{\frac { 6893040266870444994382450363010740199063}{99806006755610787022110720000 }}\,{n}^{10}+{\frac {1326504544239113}{347892350976}}\,{n}^{23}+{\frac {12289152597293}{14495514624}}\,{n}^{24}-{\frac { 5221310896164409112173798829996746423407703093}{ 7289527722393301849745567860654080000}}+{\frac {12425}{131072}}\,{n}^{ 27}+{\frac {15}{16384}}\,{n}^{28}+{\frac { 26686133583269734641070836415450270738098303028427}{ 112987679697096178671056301840138240000}}\,{n}^{2} \right) E-{\frac { 11025}{262144}}\,{n}^{29}-{\frac {7}{16384}}\,{n}^{30}+{\frac { 1317549370258564308096378762106445025109}{ 25294073925423859875935000985600}}\,{n}^{17}+{\frac { 75813683510660068086570674106243436471}{674508638011302930024933359616} }\,{n}^{18}-{\frac {55260430373945470380526545471898807596065067571}{ 6456438839834067352631788676579328000}}\,{n}^{11}-{\frac { 26119677060742852453621519496963844640978716107}{ 849531426293956230609445878497280000}}\,{n}^{12}+{\frac { 5517007884851290003122775797450500848852243122199}{ 26585336399316747922601482785914880000}}\,{n}^{7}-{\frac { 287986455010638505355992618563346034551568297647}{ 1448559996116617675269952587694080000}}\,{n}^{8}-{\frac { 351096355909334341662094717465207815201222152959}{ 965706664077745116846635058462720000}}\,{n}^{5}+{\frac { 14699619555200578144581108041643504670129970610787}{ 150650239596128238228075069120184320000}}\,{n}^{6}-{\frac { 321099875124706796567}{180914459278049280}}\,{n}^{25}-{\frac { 23768412002477041}{65548717129728}}\,{n}^{26}-{\frac { 4188545844134632008451254743001877896109471413157}{ 90390143757676942936845041472110592000}}\,{n}^{3}+{\frac { 73695393527440426611327971790422821986082874980691}{ 225975359394192357342112603680276480000}}\,{n}^{4}-{\frac { 6347078063780822063709442739097229804836613}{ 7883319706757102994666408640512000}}\,{n}^{15}-{\frac { 1638564395802873058948950641047126677736769}{ 1612497212745771067090856312832000}}\,{n}^{16}+{\frac { 2343305511459594897457682736450262817220823}{ 524333975428312382457753108480000}}\,{n}^{13}+{\frac { 154457950563837526386026790689426610631197607}{ 23649959120271308983999225921536000}}\,{n}^{14}+{\frac { 3074766347172918587424869008608612607}{624545035195650861134197555200}} \,{n}^{19}-{\frac {1484307785838583142327668910922151759}{ 187363510558695258340259266560}}\,{n}^{20}-{\frac { 37451515272278567589313896477852169}{31227251759782543056709877760}}\,{ n}^{21}+{\frac {80774928645983201979136656607883}{ 313055155486541785029672960}}\,{n}^{22}+{\frac { 190242418869352431444556231968483204805198947221}{ 2429842574131100616581855953551360000}}\,n-{\frac { 67368909097621500739509485026398609071877400387}{ 2215444699943062326883456898826240000}}\,{n}^{9}+{\frac { 7640088572985031351124116280569919270950041110543}{ 75325119798064119114037534560092160000}}\,{n}^{10}+{\frac { 11273768936680282808298212650283}{132178843427650975901417472}}\,{n}^{ 23}+{\frac {5958355829459189387922941}{1683824082635886428160}}\,{n}^{ 24}-{\frac {1663898873}{50331648}}\,{n}^{27}-{\frac {6866535}{4194304}} \,{n}^{28}-{\frac {64112239219469590402024937882491355770369224097483}{ 451950718788384714684225207360552960000}}\,{n}^{2} Theorem Number, 15, : the , 16, -th factorial moment of X is 29 30 31 32 1416557201 n 5178205 n 825 n 15 n - -------------- - ----------- - ------- - ------ 56623104 4718592 32768 65536 17 2760676815003193665866577611927322845289174199 n - -------------------------------------------------- 606552642286656561932837905760256000 18 443738485674415369431504189402248982113500021 n - ------------------------------------------------- 208012140444204467654720464355328000 11 130788990265990198684662113361300802246912530205218647 n + ---------------------------------------------------------- 320138484598897333388151846660263116800000 12 213091715925245444227064589245429872465235451075480403 n / 925 29 + ---------------------------------------------------------- + |----- n 448193878438456266743412585324368363520000 \16384 30 612458365578576593982866272021273 17 + 1/2048 n - --------------------------------- n 4132753902923842112716800 2381664120337164090499392997503823 18 - ---------------------------------- n 4132753902923842112716800 2055373481623977092994338183340910556103913 11 - ------------------------------------------- n 14327152269767928477023993856000 80270846391974903225941091919107368374793 12 + ----------------------------------------- n 224563515200124270799749120000 221607765529049514125980823546465430690368293223 7 - ------------------------------------------------ n 36353822296362991850404215521280000 1142538097185373019187590710413707429404936636267 8 + ------------------------------------------------- n 440440539359782401264512611123200000 2841269776256129014067625376561168009702049593621711 5 + ---------------------------------------------------- n 423703798864110670016461131900518400000 2142158387743237127097422508582369888864702517757891 6 + ---------------------------------------------------- n 1271111396592332010049383395701555200000 185407434359525 25 1344128746795 26 + --------------- n + ------------- n 43486543872 1811939328 396070884545928844949836630482424352333348970316076707 3 + ------------------------------------------------------ n 52115567260285612412024719223763763200000 2563703251372938684760626335140333251544531540928401 4 - ---------------------------------------------------- n 254222279318466402009876679140311040000 3970267705870562678385850411084240993 15 + ------------------------------------- n 1283220086857852975998566400 84939182582639012519004710481490883 16 + ----------------------------------- n 12398261708771526338150400 7805602008526407680729111559606346619 13 - ------------------------------------- n 816594600727724621089996800 125250163513921272524837299790838656359 14 - --------------------------------------- n 2138700144763088293330944000 9441631733944306442237942003 19 564191260475219977414713601 20 - ---------------------------- n + --------------------------- n 371817715062873784320 17705605479184465920 1347366407905295356067633 21 5683896450534169103431 22 + ------------------------- n - ---------------------- n 321920099621535744 6623870362583040 63226600558587055854116285166265064698219841174402717 + ----------------------------------------------------- n 77274806627320045990243549193856614400000 4598419855214569657027238360593354193976187241 9 + ---------------------------------------------- n 2904003556218345502842940293120000 9101738859234348434211985903958795861447003 10 - ------------------------------------------- n 6474369101498626571249909760000 954413940192410082719 23 26503928538430595243 24 - --------------------- n - -------------------- n 3974322217549824 3725927078952960 21780208878235727389901380461873214890338951874442159 1666026505 27 + ----------------------------------------------------- + ---------- n 2240969392192281333717062926621841817600000 28311552 1996255 28 319594935535644647452042974005374667816833841982289769 2\ + ------- n - ------------------------------------------------------ n | 786432 89638775687691253348682517064873672704000 / 7 4181446296421029153473391807516253848769484093284421311 n E - ---------------------------------------------------------- 1493979594794854222478041951081227878400000 8 1175482119644575204607874908676562799150729415090572521 n + ---------------------------------------------------------- 344764521875735589802625065634129510400000 5 1360965626665506266992105390558282728805940386358555683 n + ---------------------------------------------------------- 235891514967608561443901360697035980800000 6 1850451401037574373012525840849364563898249166287887207 n - ---------------------------------------------------------- 896387756876912533486825170648736727040000 25 26 22956831615492233367233330316517 n 5684006473947035358671201 n + ------------------------------------ + ----------------------------- 247835331426845579815157760 4600447940058761134080 3 17316272281349467395123917995450636851683187738281171 n + -------------------------------------------------------- 31342229261430508163875005966739046400000 4 6891515285470825372112696116073488726157149650096967 n - ------------------------------------------------------- 1409858063662964035053200960441548800000 15 457951578137523382540861014275049588320016201421 n + ---------------------------------------------------- 13064210756943372103168816431759360000 16 6686622932487503275650671987381170515610234169 n + -------------------------------------------------- 407884675392766151792517084453273600 13 136463266061188201981051464372582163543896876674269 n - ------------------------------------------------------- 831528531425707359449745056260423680000 14 375232295892616750170032816516298901598460677123857 n - ------------------------------------------------------- 3766335112928203922213551137179566080000 19 740417899856900726800774811070134632150877 n + ---------------------------------------------- 2229672616526113248063670336880640 20 176634315959382962728203736524228978317563 n + ---------------------------------------------- 857566390971582018486027052646400 21 1978589736958814162831430410697661578803 n - -------------------------------------------- 337829184322138370918737929830400 22 1075469789869586243133513321314434743809 n - -------------------------------------------- 82580467278744935113469271736320 21446445185465365992970236771342805929457283170606903 n - ------------------------------------------------------- 18219263351156758810707828671722291200000 9 203383128739422892193490513532495528609698656793619 n - ------------------------------------------------------ 5768260983763915916903636876761497600000 10 408429942095866651866262765943138704204036798107966481 n - ---------------------------------------------------------- 248996599132475703746340325180204646400000 23 94213441564717372705805492147346219839 n - ------------------------------------------ 82580467278744935113469271736320 24 27 1612415018865708482200437880863902603 n 129736975077762041681 n + ----------------------------------------- - ------------------------- 3932403203749758814927108177920 67842922229268480 28 2587735779551815 n - -------------------- 8193589641216 2 9891784373959090666692498534948950890611528308722353427 n + ---------------------------------------------------------- 4481938784384562667434125853243683635200000 and in Maple format -1416557201/56623104*n^29-5178205/4718592*n^30-825/32768*n^31-15/65536*n^32-\ 2760676815003193665866577611927322845289174199/ 606552642286656561932837905760256000*n^17-\ 443738485674415369431504189402248982113500021/ 208012140444204467654720464355328000*n^18+ 130788990265990198684662113361300802246912530205218647/ 320138484598897333388151846660263116800000*n^11+ 213091715925245444227064589245429872465235451075480403/ 448193878438456266743412585324368363520000*n^12+(925/16384*n^29+1/2048*n^30-\ 612458365578576593982866272021273/4132753902923842112716800*n^17-\ 2381664120337164090499392997503823/4132753902923842112716800*n^18-\ 2055373481623977092994338183340910556103913/14327152269767928477023993856000*n^ 11+80270846391974903225941091919107368374793/224563515200124270799749120000*n^ 12-221607765529049514125980823546465430690368293223/ 36353822296362991850404215521280000*n^7+ 1142538097185373019187590710413707429404936636267/ 440440539359782401264512611123200000*n^8+ 2841269776256129014067625376561168009702049593621711/ 423703798864110670016461131900518400000*n^5+ 2142158387743237127097422508582369888864702517757891/ 1271111396592332010049383395701555200000*n^6+185407434359525/43486543872*n^25+ 1344128746795/1811939328*n^26+ 396070884545928844949836630482424352333348970316076707/ 52115567260285612412024719223763763200000*n^3-\ 2563703251372938684760626335140333251544531540928401/ 254222279318466402009876679140311040000*n^4+ 3970267705870562678385850411084240993/1283220086857852975998566400*n^15+ 84939182582639012519004710481490883/12398261708771526338150400*n^16-\ 7805602008526407680729111559606346619/816594600727724621089996800*n^13-\ 125250163513921272524837299790838656359/2138700144763088293330944000*n^14-\ 9441631733944306442237942003/371817715062873784320*n^19+ 564191260475219977414713601/17705605479184465920*n^20+1347366407905295356067633 /321920099621535744*n^21-5683896450534169103431/6623870362583040*n^22+ 63226600558587055854116285166265064698219841174402717/ 77274806627320045990243549193856614400000*n+ 4598419855214569657027238360593354193976187241/ 2904003556218345502842940293120000*n^9-\ 9101738859234348434211985903958795861447003/6474369101498626571249909760000*n^ 10-954413940192410082719/3974322217549824*n^23-26503928538430595243/ 3725927078952960*n^24+21780208878235727389901380461873214890338951874442159/ 2240969392192281333717062926621841817600000+1666026505/28311552*n^27+1996255/ 786432*n^28-319594935535644647452042974005374667816833841982289769/ 89638775687691253348682517064873672704000*n^2)*E-\ 4181446296421029153473391807516253848769484093284421311/ 1493979594794854222478041951081227878400000*n^7+ 1175482119644575204607874908676562799150729415090572521/ 344764521875735589802625065634129510400000*n^8+ 1360965626665506266992105390558282728805940386358555683/ 235891514967608561443901360697035980800000*n^5-\ 1850451401037574373012525840849364563898249166287887207/ 896387756876912533486825170648736727040000*n^6+22956831615492233367233330316517 /247835331426845579815157760*n^25+5684006473947035358671201/ 4600447940058761134080*n^26+ 17316272281349467395123917995450636851683187738281171/ 31342229261430508163875005966739046400000*n^3-\ 6891515285470825372112696116073488726157149650096967/ 1409858063662964035053200960441548800000*n^4+ 457951578137523382540861014275049588320016201421/ 13064210756943372103168816431759360000*n^15+ 6686622932487503275650671987381170515610234169/ 407884675392766151792517084453273600*n^16-\ 136463266061188201981051464372582163543896876674269/ 831528531425707359449745056260423680000*n^13-\ 375232295892616750170032816516298901598460677123857/ 3766335112928203922213551137179566080000*n^14+ 740417899856900726800774811070134632150877/2229672616526113248063670336880640*n ^19+176634315959382962728203736524228978317563/ 857566390971582018486027052646400*n^20-1978589736958814162831430410697661578803 /337829184322138370918737929830400*n^21-\ 1075469789869586243133513321314434743809/82580467278744935113469271736320*n^22-\ 21446445185465365992970236771342805929457283170606903/ 18219263351156758810707828671722291200000*n-\ 203383128739422892193490513532495528609698656793619/ 5768260983763915916903636876761497600000*n^9-\ 408429942095866651866262765943138704204036798107966481/ 248996599132475703746340325180204646400000*n^10-\ 94213441564717372705805492147346219839/82580467278744935113469271736320*n^23+ 1612415018865708482200437880863902603/3932403203749758814927108177920*n^24-\ 129736975077762041681/67842922229268480*n^27-2587735779551815/8193589641216*n^ 28+9891784373959090666692498534948950890611528308722353427/ 4481938784384562667434125853243683635200000*n^2 and in latex -{\frac {1416557201}{56623104}}\,{n}^{29}-{\frac {5178205}{4718592}}\,{ n}^{30}-{\frac {825}{32768}}\,{n}^{31}-{\frac {15}{65536}}\,{n}^{32}-{ \frac {2760676815003193665866577611927322845289174199}{ 606552642286656561932837905760256000}}\,{n}^{17}-{\frac { 443738485674415369431504189402248982113500021}{ 208012140444204467654720464355328000}}\,{n}^{18}+{\frac { 130788990265990198684662113361300802246912530205218647}{ 320138484598897333388151846660263116800000}}\,{n}^{11}+{\frac { 213091715925245444227064589245429872465235451075480403}{ 448193878438456266743412585324368363520000}}\,{n}^{12}+ \left( {\frac { 925}{16384}}\,{n}^{29}+{\frac {1}{2048}}\,{n}^{30}-{\frac { 612458365578576593982866272021273}{4132753902923842112716800}}\,{n}^{17 }-{\frac {2381664120337164090499392997503823}{4132753902923842112716800 }}\,{n}^{18}-{\frac {2055373481623977092994338183340910556103913}{ 14327152269767928477023993856000}}\,{n}^{11}+{\frac { 80270846391974903225941091919107368374793}{ 224563515200124270799749120000}}\,{n}^{12}-{\frac { 221607765529049514125980823546465430690368293223}{ 36353822296362991850404215521280000}}\,{n}^{7}+{\frac { 1142538097185373019187590710413707429404936636267}{ 440440539359782401264512611123200000}}\,{n}^{8}+{\frac { 2841269776256129014067625376561168009702049593621711}{ 423703798864110670016461131900518400000}}\,{n}^{5}+{\frac { 2142158387743237127097422508582369888864702517757891}{ 1271111396592332010049383395701555200000}}\,{n}^{6}+{\frac { 185407434359525}{43486543872}}\,{n}^{25}+{\frac {1344128746795}{ 1811939328}}\,{n}^{26}+{\frac { 396070884545928844949836630482424352333348970316076707}{ 52115567260285612412024719223763763200000}}\,{n}^{3}-{\frac { 2563703251372938684760626335140333251544531540928401}{ 254222279318466402009876679140311040000}}\,{n}^{4}+{\frac { 3970267705870562678385850411084240993}{1283220086857852975998566400}}\, {n}^{15}+{\frac {84939182582639012519004710481490883}{ 12398261708771526338150400}}\,{n}^{16}-{\frac { 7805602008526407680729111559606346619}{816594600727724621089996800}}\,{ n}^{13}-{\frac {125250163513921272524837299790838656359}{ 2138700144763088293330944000}}\,{n}^{14}-{\frac { 9441631733944306442237942003}{371817715062873784320}}\,{n}^{19}+{\frac {564191260475219977414713601}{17705605479184465920}}\,{n}^{20}+{\frac { 1347366407905295356067633}{321920099621535744}}\,{n}^{21}-{\frac { 5683896450534169103431}{6623870362583040}}\,{n}^{22}+{\frac { 63226600558587055854116285166265064698219841174402717}{ 77274806627320045990243549193856614400000}}\,n+{\frac { 4598419855214569657027238360593354193976187241}{ 2904003556218345502842940293120000}}\,{n}^{9}-{\frac { 9101738859234348434211985903958795861447003}{ 6474369101498626571249909760000}}\,{n}^{10}-{\frac { 954413940192410082719}{3974322217549824}}\,{n}^{23}-{\frac { 26503928538430595243}{3725927078952960}}\,{n}^{24}+{\frac { 21780208878235727389901380461873214890338951874442159}{ 2240969392192281333717062926621841817600000}}+{\frac {1666026505}{ 28311552}}\,{n}^{27}+{\frac {1996255}{786432}}\,{n}^{28}-{\frac { 319594935535644647452042974005374667816833841982289769}{ 89638775687691253348682517064873672704000}}\,{n}^{2} \right) E-{\frac { 4181446296421029153473391807516253848769484093284421311}{ 1493979594794854222478041951081227878400000}}\,{n}^{7}+{\frac { 1175482119644575204607874908676562799150729415090572521}{ 344764521875735589802625065634129510400000}}\,{n}^{8}+{\frac { 1360965626665506266992105390558282728805940386358555683}{ 235891514967608561443901360697035980800000}}\,{n}^{5}-{\frac { 1850451401037574373012525840849364563898249166287887207}{ 896387756876912533486825170648736727040000}}\,{n}^{6}+{\frac { 22956831615492233367233330316517}{247835331426845579815157760}}\,{n}^{ 25}+{\frac {5684006473947035358671201}{4600447940058761134080}}\,{n}^{ 26}+{\frac {17316272281349467395123917995450636851683187738281171}{ 31342229261430508163875005966739046400000}}\,{n}^{3}-{\frac { 6891515285470825372112696116073488726157149650096967}{ 1409858063662964035053200960441548800000}}\,{n}^{4}+{\frac { 457951578137523382540861014275049588320016201421}{ 13064210756943372103168816431759360000}}\,{n}^{15}+{\frac { 6686622932487503275650671987381170515610234169}{ 407884675392766151792517084453273600}}\,{n}^{16}-{\frac { 136463266061188201981051464372582163543896876674269}{ 831528531425707359449745056260423680000}}\,{n}^{13}-{\frac { 375232295892616750170032816516298901598460677123857}{ 3766335112928203922213551137179566080000}}\,{n}^{14}+{\frac { 740417899856900726800774811070134632150877}{ 2229672616526113248063670336880640}}\,{n}^{19}+{\frac { 176634315959382962728203736524228978317563}{ 857566390971582018486027052646400}}\,{n}^{20}-{\frac { 1978589736958814162831430410697661578803}{ 337829184322138370918737929830400}}\,{n}^{21}-{\frac { 1075469789869586243133513321314434743809}{ 82580467278744935113469271736320}}\,{n}^{22}-{\frac { 21446445185465365992970236771342805929457283170606903}{ 18219263351156758810707828671722291200000}}\,n-{\frac { 203383128739422892193490513532495528609698656793619}{ 5768260983763915916903636876761497600000}}\,{n}^{9}-{\frac { 408429942095866651866262765943138704204036798107966481}{ 248996599132475703746340325180204646400000}}\,{n}^{10}-{\frac { 94213441564717372705805492147346219839}{ 82580467278744935113469271736320}}\,{n}^{23}+{\frac { 1612415018865708482200437880863902603}{3932403203749758814927108177920} }\,{n}^{24}-{\frac {129736975077762041681}{67842922229268480}}\,{n}^{27 }-{\frac {2587735779551815}{8193589641216}}\,{n}^{28}+{\frac { 9891784373959090666692498534948950890611528308722353427}{ 4481938784384562667434125853243683635200000}}\,{n}^{2} Theorem Number, 16, : the , 17, -th factorial moment of X is 33 34 29 30 1955 n n 340277465180753316221 n 67628885964544999 n - -------- - ---- - ------------------------- - --------------------- 131072 8192 175593445769871360 254483254738944 31 32 5114666155 n 27303071 n - -------------- - ------------ 276824064 37748736 17 2472735409796993966109000268867867477145199918376899689 n + ----------------------------------------------------------- 16910265220876415887058504059607454842880000 18 87241647940561916124186348094622255218585021025851 n + ------------------------------------------------------ 2991643559642001926060770289183096832000 11 112771427192479032964044461947063278423045799864209613357 n - ------------------------------------------------------------- 10102640067619182285466937167964012544000000 12 3418463020462192894634473772996238456102354056679337380292171 n / - ----------------------------------------------------------------- + | 486656295225297153709684923705428041059532800000 \ 4907805565 29 10478069 30 6545 31 17 32 ---------- n + -------- n + ------ n + ----- n 113246208 6291456 196608 65536 1294119880244575474222655196765640306073 17 + ---------------------------------------- n 48309462093472112037593088000 162799773363875260504601101187474587 18 + ------------------------------------ n 12446882342923571539476480 431431023175880452950350422113786068546960303563 11 - ------------------------------------------------ n 426376051548293551476234057154560000 274572738683600643739139263725329312509951277651 12 - ------------------------------------------------ n 40129510733957040138939675967488000 8039098062874588982660246232544508632469348141569856131 7 + ------------------------------------------------------- n 80225162193232304025262121583378432000000 1635162922860279827870668221758015319442654814173771583 8 - ------------------------------------------------------- n 29448372626935474621958565547474944000000 14964978279060264930444743808395832811792391090802208788871 5 - ----------------------------------------------------------- n 123017263707102414992336937235952487628800000 153736148214971066365709801603209721377524665583284428291 6 - --------------------------------------------------------- n 12001684264107552682179213388873413427200000 113158961073443364965777 25 1021266360346579931 26 - ------------------------ n - ------------------- n 462891646514626560 1753377448919040 6797129939775447552986944521699197884230569079123135383119727 3 - ------------------------------------------------------------- n 55301851730147403830646014057435004665856000000 2355397860563895491951170786239854807414079404349695150297029 4 + ------------------------------------------------------------- n 14105979571747743585787968803055885248102400000 6720780656363628380331811037265575526585419 15 - ------------------------------------------- n 27898714358980144701710008320000 1571988268646795529462360298227347784895169 16 - ------------------------------------------- n 11594270902433306889022341120000 312887281221513927144977783957904125745446183 13 + --------------------------------------------- n 269687572136808065449863413760000 124083121504666869361706319402449959709020793 14 + --------------------------------------------- n 111594857435920578806840033280000 76308127707135741809945293546748249 19 - ----------------------------------- n 46675808785963393273036800 17201275818346138429996339551203383 20 - ----------------------------------- n 17781260489890816484966400 721597006196340733950422573039 21 742478738419022944210717047277 22 + ------------------------------ n + ------------------------------ n 26595902442144383631360 15197658538368219217920 320093903835842261000388782617513765829915690700618149859769 - ------------------------------------------------------------ n 24332814761264857685484246185271402052976640000 7461482203287069349150746574054391819457918439679 9 - ------------------------------------------------- n 368123535966743009339063559782400000 1656248123326407732513174658168538087141727909592369 10 + ---------------------------------------------------- n 59692647216761097206672768001638400000 100937552802583014388149790673 23 13381121605747710557306570351 24 + ------------------------------ n - ----------------------------- n 29128845531872420167680 10356922855776860504064 275585256557673281778232990613265071055232297535843239478983 - ------------------------------------------------------------ 1946625180901188614838739694821712164238131200000 256200072915565 27 54407044761937 28 + --------------- n + -------------- n 57982058496 86973087744 139792464931927779832163445689662884896137517297115955180517177 2\ + --------------------------------------------------------------- n | E 2433281476126485768548424618527140205297664000000 / 7 861630314062203037019793164961787871558632708397242703833829 n + --------------------------------------------------------------- 22120740692058961532258405622974001866342400000 8 291422808220567474134783808261177795312695132036470105360064239 n - ------------------------------------------------------------------ 4866562952252971537096849237054280410595328000000 5 503991932069293379399862996262710196232995053512693185666511 n - --------------------------------------------------------------- 5204880162837402713472566028935059262668800000 6 3171723448295275123838488132084235153263167303213904197477023 n + ---------------------------------------------------------------- 75450588407022814528633321504717525745664000000 25 115497788216855535975360001869678717281 n - ------------------------------------------- 153526504163825006456413460889600 26 27067512078691889469972081390172304309 n + ------------------------------------------ 47373892713408859135121867931648 3 2024535397894159174474017166597794443411502323531716370319559 n - ---------------------------------------------------------------- 304160184515810721068553077315892525662208000000 4 490253406119111065901616031290150867407903139949763795023703 n + --------------------------------------------------------------- 6279436067423189080124966757489394078187520000 15 11230534985651279198836592597862515410226530544157647821 n - ------------------------------------------------------------ 11704095604264000810718733133848678236160000 16 11370025944171613307330858597237752254025271888455085441 n - ------------------------------------------------------------ 54958361967848351632940138193724228239360000 13 20839583193185843715238167722612355683841742840124282201 n + ------------------------------------------------------------ 4922830909549117955326228023361300070400000 14 6890159298281504250426811352311428306706165920175771274023 n + -------------------------------------------------------------- 5204880162837402713472566028935059262668800000 19 558765388457937747015618123577963166115380906513 n - ---------------------------------------------------- 36789598172680868593050560558530560000 20 4975540321588394148607503340261045407661592507717 n - ----------------------------------------------------- 1412720569830945353973141525447573504000 21 5555435607124838837797496823255121900859196919 n + -------------------------------------------------- 5540080666003707270482907942931660800 22 9415549898672523549403755859470127838389963 n + ----------------------------------------------- 29452847772481165712296161312768000 298714449843454550806662622999235507621518071801983913460111 n + -------------------------------------------------------------- 15826220982936492803566989388794407839334400000 9 17295915390260781541828699678280630030982712134552919602619279 n + ----------------------------------------------------------------- 1946625180901188614838739694821712164238131200000 10 888196045466336438748831824243933390067669198415783610474069 n + ---------------------------------------------------------------- 33275644117969036151089567432849780585267200000 23 3000715705375935629054221832654755223857 n - -------------------------------------------- 97832885957542333659725011353600 24 352098273695756459330921418973859311200827 n - ---------------------------------------------- 18653470255904738284454235498086400 27 28 560962240227658483251455136683 n 6078726061701713424910211 n + ---------------------------------- - ----------------------------- 6032502996190967460003840 5051472247907659284480 2 142125036858747842427132139443425281520582656973836592246880721 n - ------------------------------------------------------------------ 3893250361802377229677479389643424328476262400000 and in Maple format -1955/131072*n^33-1/8192*n^34-340277465180753316221/175593445769871360*n^29-\ 67628885964544999/254483254738944*n^30-5114666155/276824064*n^31-27303071/ 37748736*n^32+2472735409796993966109000268867867477145199918376899689/ 16910265220876415887058504059607454842880000*n^17+ 87241647940561916124186348094622255218585021025851/ 2991643559642001926060770289183096832000*n^18-\ 112771427192479032964044461947063278423045799864209613357/ 10102640067619182285466937167964012544000000*n^11-\ 3418463020462192894634473772996238456102354056679337380292171/ 486656295225297153709684923705428041059532800000*n^12+(4907805565/113246208*n^ 29+10478069/6291456*n^30+6545/196608*n^31+17/65536*n^32+ 1294119880244575474222655196765640306073/48309462093472112037593088000*n^17+ 162799773363875260504601101187474587/12446882342923571539476480*n^18-\ 431431023175880452950350422113786068546960303563/ 426376051548293551476234057154560000*n^11-\ 274572738683600643739139263725329312509951277651/ 40129510733957040138939675967488000*n^12+ 8039098062874588982660246232544508632469348141569856131/ 80225162193232304025262121583378432000000*n^7-\ 1635162922860279827870668221758015319442654814173771583/ 29448372626935474621958565547474944000000*n^8-\ 14964978279060264930444743808395832811792391090802208788871/ 123017263707102414992336937235952487628800000*n^5-\ 153736148214971066365709801603209721377524665583284428291/ 12001684264107552682179213388873413427200000*n^6-113158961073443364965777/ 462891646514626560*n^25-1021266360346579931/1753377448919040*n^26-\ 6797129939775447552986944521699197884230569079123135383119727/ 55301851730147403830646014057435004665856000000*n^3+ 2355397860563895491951170786239854807414079404349695150297029/ 14105979571747743585787968803055885248102400000*n^4-\ 6720780656363628380331811037265575526585419/27898714358980144701710008320000*n^ 15-1571988268646795529462360298227347784895169/11594270902433306889022341120000 *n^16+312887281221513927144977783957904125745446183/ 269687572136808065449863413760000*n^13+ 124083121504666869361706319402449959709020793/111594857435920578806840033280000 *n^14-76308127707135741809945293546748249/46675808785963393273036800*n^19-\ 17201275818346138429996339551203383/17781260489890816484966400*n^20+ 721597006196340733950422573039/26595902442144383631360*n^21+ 742478738419022944210717047277/15197658538368219217920*n^22-\ 320093903835842261000388782617513765829915690700618149859769/ 24332814761264857685484246185271402052976640000*n-\ 7461482203287069349150746574054391819457918439679/ 368123535966743009339063559782400000*n^9+ 1656248123326407732513174658168538087141727909592369/ 59692647216761097206672768001638400000*n^10+100937552802583014388149790673/ 29128845531872420167680*n^23-13381121605747710557306570351/ 10356922855776860504064*n^24-\ 275585256557673281778232990613265071055232297535843239478983/ 1946625180901188614838739694821712164238131200000+256200072915565/57982058496*n ^27+54407044761937/86973087744*n^28+ 139792464931927779832163445689662884896137517297115955180517177/ 2433281476126485768548424618527140205297664000000*n^2)*E+ 861630314062203037019793164961787871558632708397242703833829/ 22120740692058961532258405622974001866342400000*n^7-\ 291422808220567474134783808261177795312695132036470105360064239/ 4866562952252971537096849237054280410595328000000*n^8-\ 503991932069293379399862996262710196232995053512693185666511/ 5204880162837402713472566028935059262668800000*n^5+ 3171723448295275123838488132084235153263167303213904197477023/ 75450588407022814528633321504717525745664000000*n^6-\ 115497788216855535975360001869678717281/153526504163825006456413460889600*n^25+ 27067512078691889469972081390172304309/47373892713408859135121867931648*n^26-\ 2024535397894159174474017166597794443411502323531716370319559/ 304160184515810721068553077315892525662208000000*n^3+ 490253406119111065901616031290150867407903139949763795023703/ 6279436067423189080124966757489394078187520000*n^4-\ 11230534985651279198836592597862515410226530544157647821/ 11704095604264000810718733133848678236160000*n^15-\ 11370025944171613307330858597237752254025271888455085441/ 54958361967848351632940138193724228239360000*n^16+ 20839583193185843715238167722612355683841742840124282201/ 4922830909549117955326228023361300070400000*n^13+ 6890159298281504250426811352311428306706165920175771274023/ 5204880162837402713472566028935059262668800000*n^14-\ 558765388457937747015618123577963166115380906513/ 36789598172680868593050560558530560000*n^19-\ 4975540321588394148607503340261045407661592507717/ 1412720569830945353973141525447573504000*n^20+ 5555435607124838837797496823255121900859196919/ 5540080666003707270482907942931660800*n^21+ 9415549898672523549403755859470127838389963/29452847772481165712296161312768000 *n^22+298714449843454550806662622999235507621518071801983913460111/ 15826220982936492803566989388794407839334400000*n+ 17295915390260781541828699678280630030982712134552919602619279/ 1946625180901188614838739694821712164238131200000*n^9+ 888196045466336438748831824243933390067669198415783610474069/ 33275644117969036151089567432849780585267200000*n^10-\ 3000715705375935629054221832654755223857/97832885957542333659725011353600*n^23-\ 352098273695756459330921418973859311200827/18653470255904738284454235498086400* n^24+560962240227658483251455136683/6032502996190967460003840*n^27-\ 6078726061701713424910211/5051472247907659284480*n^28-\ 142125036858747842427132139443425281520582656973836592246880721/ 3893250361802377229677479389643424328476262400000*n^2 and in latex -{\frac {1955}{131072}}\,{n}^{33}-{\frac {1}{8192}}\,{n}^{34}-{\frac { 340277465180753316221}{175593445769871360}}\,{n}^{29}-{\frac { 67628885964544999}{254483254738944}}\,{n}^{30}-{\frac {5114666155}{ 276824064}}\,{n}^{31}-{\frac {27303071}{37748736}}\,{n}^{32}+{\frac { 2472735409796993966109000268867867477145199918376899689}{ 16910265220876415887058504059607454842880000}}\,{n}^{17}+{\frac { 87241647940561916124186348094622255218585021025851}{ 2991643559642001926060770289183096832000}}\,{n}^{18}-{\frac { 112771427192479032964044461947063278423045799864209613357}{ 10102640067619182285466937167964012544000000}}\,{n}^{11}-{\frac { 3418463020462192894634473772996238456102354056679337380292171}{ 486656295225297153709684923705428041059532800000}}\,{n}^{12}+ \left( { \frac {4907805565}{113246208}}\,{n}^{29}+{\frac {10478069}{6291456}}\,{ n}^{30}+{\frac {6545}{196608}}\,{n}^{31}+{\frac {17}{65536}}\,{n}^{32}+ {\frac {1294119880244575474222655196765640306073}{ 48309462093472112037593088000}}\,{n}^{17}+{\frac { 162799773363875260504601101187474587}{12446882342923571539476480}}\,{n} ^{18}-{\frac {431431023175880452950350422113786068546960303563}{ 426376051548293551476234057154560000}}\,{n}^{11}-{\frac { 274572738683600643739139263725329312509951277651}{ 40129510733957040138939675967488000}}\,{n}^{12}+{\frac { 8039098062874588982660246232544508632469348141569856131}{ 80225162193232304025262121583378432000000}}\,{n}^{7}-{\frac { 1635162922860279827870668221758015319442654814173771583}{ 29448372626935474621958565547474944000000}}\,{n}^{8}-{\frac { 14964978279060264930444743808395832811792391090802208788871}{ 123017263707102414992336937235952487628800000}}\,{n}^{5}-{\frac { 153736148214971066365709801603209721377524665583284428291}{ 12001684264107552682179213388873413427200000}}\,{n}^{6}-{\frac { 113158961073443364965777}{462891646514626560}}\,{n}^{25}-{\frac { 1021266360346579931}{1753377448919040}}\,{n}^{26}-{\frac { 6797129939775447552986944521699197884230569079123135383119727}{ 55301851730147403830646014057435004665856000000}}\,{n}^{3}+{\frac { 2355397860563895491951170786239854807414079404349695150297029}{ 14105979571747743585787968803055885248102400000}}\,{n}^{4}-{\frac { 6720780656363628380331811037265575526585419}{ 27898714358980144701710008320000}}\,{n}^{15}-{\frac { 1571988268646795529462360298227347784895169}{ 11594270902433306889022341120000}}\,{n}^{16}+{\frac { 312887281221513927144977783957904125745446183}{ 269687572136808065449863413760000}}\,{n}^{13}+{\frac { 124083121504666869361706319402449959709020793}{ 111594857435920578806840033280000}}\,{n}^{14}-{\frac { 76308127707135741809945293546748249}{46675808785963393273036800}}\,{n}^ {19}-{\frac {17201275818346138429996339551203383}{ 17781260489890816484966400}}\,{n}^{20}+{\frac { 721597006196340733950422573039}{26595902442144383631360}}\,{n}^{21}+{ \frac {742478738419022944210717047277}{15197658538368219217920}}\,{n}^{ 22}-{\frac { 320093903835842261000388782617513765829915690700618149859769}{ 24332814761264857685484246185271402052976640000}}\,n-{\frac { 7461482203287069349150746574054391819457918439679}{ 368123535966743009339063559782400000}}\,{n}^{9}+{\frac { 1656248123326407732513174658168538087141727909592369}{ 59692647216761097206672768001638400000}}\,{n}^{10}+{\frac { 100937552802583014388149790673}{29128845531872420167680}}\,{n}^{23}-{ \frac {13381121605747710557306570351}{10356922855776860504064}}\,{n}^{ 24}-{\frac { 275585256557673281778232990613265071055232297535843239478983}{ 1946625180901188614838739694821712164238131200000}}+{\frac { 256200072915565}{57982058496}}\,{n}^{27}+{\frac {54407044761937}{ 86973087744}}\,{n}^{28}+{\frac { 139792464931927779832163445689662884896137517297115955180517177}{ 2433281476126485768548424618527140205297664000000}}\,{n}^{2} \right) E+ {\frac {861630314062203037019793164961787871558632708397242703833829}{ 22120740692058961532258405622974001866342400000}}\,{n}^{7}-{\frac { 291422808220567474134783808261177795312695132036470105360064239}{ 4866562952252971537096849237054280410595328000000}}\,{n}^{8}-{\frac { 503991932069293379399862996262710196232995053512693185666511}{ 5204880162837402713472566028935059262668800000}}\,{n}^{5}+{\frac { 3171723448295275123838488132084235153263167303213904197477023}{ 75450588407022814528633321504717525745664000000}}\,{n}^{6}-{\frac { 115497788216855535975360001869678717281}{ 153526504163825006456413460889600}}\,{n}^{25}+{\frac { 27067512078691889469972081390172304309}{ 47373892713408859135121867931648}}\,{n}^{26}-{\frac { 2024535397894159174474017166597794443411502323531716370319559}{ 304160184515810721068553077315892525662208000000}}\,{n}^{3}+{\frac { 490253406119111065901616031290150867407903139949763795023703}{ 6279436067423189080124966757489394078187520000}}\,{n}^{4}-{\frac { 11230534985651279198836592597862515410226530544157647821}{ 11704095604264000810718733133848678236160000}}\,{n}^{15}-{\frac { 11370025944171613307330858597237752254025271888455085441}{ 54958361967848351632940138193724228239360000}}\,{n}^{16}+{\frac { 20839583193185843715238167722612355683841742840124282201}{ 4922830909549117955326228023361300070400000}}\,{n}^{13}+{\frac { 6890159298281504250426811352311428306706165920175771274023}{ 5204880162837402713472566028935059262668800000}}\,{n}^{14}-{\frac { 558765388457937747015618123577963166115380906513}{ 36789598172680868593050560558530560000}}\,{n}^{19}-{\frac { 4975540321588394148607503340261045407661592507717}{ 1412720569830945353973141525447573504000}}\,{n}^{20}+{\frac { 5555435607124838837797496823255121900859196919}{ 5540080666003707270482907942931660800}}\,{n}^{21}+{\frac { 9415549898672523549403755859470127838389963}{ 29452847772481165712296161312768000}}\,{n}^{22}+{\frac { 298714449843454550806662622999235507621518071801983913460111}{ 15826220982936492803566989388794407839334400000}}\,n+{\frac { 17295915390260781541828699678280630030982712134552919602619279}{ 1946625180901188614838739694821712164238131200000}}\,{n}^{9}+{\frac { 888196045466336438748831824243933390067669198415783610474069}{ 33275644117969036151089567432849780585267200000}}\,{n}^{10}-{\frac { 3000715705375935629054221832654755223857}{ 97832885957542333659725011353600}}\,{n}^{23}-{\frac { 352098273695756459330921418973859311200827}{ 18653470255904738284454235498086400}}\,{n}^{24}+{\frac { 560962240227658483251455136683}{6032502996190967460003840}}\,{n}^{27}-{ \frac {6078726061701713424910211}{5051472247907659284480}}\,{n}^{28}-{ \frac {142125036858747842427132139443425281520582656973836592246880721} {3893250361802377229677479389643424328476262400000}}\,{n}^{2} Theorem Number, 17, : the , 18, -th factorial moment of X is /1275 33 34 250265888739799 29 34561585545535 30 |----- n + 9/65536 n + --------------- n + -------------- n \65536 57982058496 67645734912 392890451 31 2257787 32 + --------- n + ------- n 12582912 2097152 378878553161856081868418208122291079766395119 17 - --------------------------------------------- n 361354776459171398041196298240000 33673242535956990972014485508478038342272771 18 - -------------------------------------------- n 153302026376618168865962065920000 128869432433832923367616491586609247662761682491799 11 + --------------------------------------------------- n 1486598493904011999399896521113600000 50962221124773009533209209390002724920807186791283 12 + -------------------------------------------------- n 401970688328357556947291367014400000 1041871220189510505102234996621217147712770218188574859481107 7 - ------------------------------------------------------------- n 608873325418991750972172719652694130688000000 269965900781477962576602938194420834649971380505853218482259 8 + ------------------------------------------------------------ n 230620599584811796637953512178351865856000000 13023082345912936452000396849780264137698581447855810665835092207 5 + ----------------------------------------------------------------- n 5677656777628466793279657443229993812361216000000 1752632325232878474302530801181588447559071154449967940559 6 - ---------------------------------------------------------- n 60377801762403207227904966137575636992000000 43641066355305302055462568067 25 29374746229041113493661973633 26 + ----------------------------- n - ----------------------------- n 25892307139442151260160 17261538092961434173440 1597048117699302945499375748488991390146206712868794415776200546871 3 + ------------------------------------------------------------------- n 756074627554190827971741049523460842679435264000000 33220062060638035488714369554519413417379657458584968458381736059 4 - ----------------------------------------------------------------- n 11355313555256933586559314886459987624722432000000 455859895989207191839620216322757250102725437 15 + --------------------------------------------- n 55038280027920013357114982400000 1095979554373859073719412687610430225538159629 16 + ---------------------------------------------- n 495977144159647016919289036800000 162524707832251288076953021729611125393456808061877 13 - --------------------------------------------------- n 3979509814450739813778184533442560000 1282910126643588446009174076130722430270201425847 14 - ------------------------------------------------- n 66882517889928400231566126612480000 6687526683959333107113126115967327650487 19 + ---------------------------------------- n 75148052145401063169589248000 2405805989327512720228702492711677691 20 + ------------------------------------- n 124468823429235715394764800 100865402186366166993662520077327309 21 - ------------------------------------ n 20744803904872619232460800 2692309659544448186958512020465241 22 - ---------------------------------- n 1975695609987868498329600 14267606833630648331121966279107219124758300759244130211553092742503 + -------------------------------------------------------------------- n 63510268714552029549626248159970710785072562176000000 118709362781629313035059520891631153430969747823664608231 9 + --------------------------------------------------------- n 519553431346647302258840406444736512000000 208657637312854660230410519321661893531324610786084549091 10 - --------------------------------------------------------- n 382828844150161170085461352117174272000000 268164679875278695175573000557093 23 + --------------------------------- n 2039019187231069411737600 32509222183216404397809087900833 24 + -------------------------------- n 494307681752986524057600 55975019046456307889405640923052631401095899047253213027451652647 + ----------------------------------------------------------------- 25404107485820811819850499263988284314029024870400000 1689009507166982287229 27 1085763675921032033 28 - ---------------------- n + ------------------- n 7347486452613120 194819716546560 5951993100549652083650689544646432868375373204565298815199285606943 2\ - ------------------------------------------------------------------- n | 6048597020433526623773928396187686741435482112000000 / 33 34 29 8625538081 n 13787357 n 1681020086466247478059476708677 n E - -------------- - ------------ + ----------------------------------- 645922816 29360128 19438065209948672926679040 30 31 5844177615241013370792181 n 5203416397673727041 n - ----------------------------- - ----------------------- 1683824082635886428160 2787197551902720 32 6133978740090479 n - -------------------- 28275917193216 17 2876900404977884129593361822518157236207551265923492068743471 n - ----------------------------------------------------------------- 776290526686655823372054981328900972162842624000 18 6003116112211336005560796752002807329487347056205865543 n - ----------------------------------------------------------- 41746149696789859018152509011798605692928000 11 1300584728249199921373871201252538389424836927750526521888493664819 n + ----------------------------------------------------------------------- 4885405285734771503817403704613131598851735552000000 12 202900778093574154504766753732014154030532214565488939125616608601 n + ---------------------------------------------------------------------- 2099513015357091885938057790412254901985869824000000 7 114139824513790674991917569783643336255383870252591599989149165903 n - --------------------------------------------------------------------- 206202171151142953083202104415489320730755072000000 8 5512190727637686049398784762447111928978631667962450560860794060841 n + ---------------------------------------------------------------------- 5080821497164162363970099852797656862805804974080000 5 1452676148737293641119107191715939947736504085271526181361235358093 n + ---------------------------------------------------------------------- 846803582860693727328349975466276143800967495680000 6 676960618004012892902073148846273363975828003163418607154644690961 n - --------------------------------------------------------------------- 788947437447851298753121095154915661926367232000000 35 36 25 2295 n 17 n 25634681631683542755406576062609522903572855099 n - -------- - ------ - --------------------------------------------------- 262144 262144 347762863804250670749841797135990784000 26 1135506842811507425950691597337431359334956327 n - -------------------------------------------------- 46368381840566756099978906284798771200 3 447343523184315145912517287844953142952727563830508138163669214837 n + --------------------------------------------------------------------- 5773660792232002686329658923633700980461142016000000 4 37368486723543022165362968991552870253369597509570326175394304532461 n - ----------------------------------------------------------------------- 28226786095356457577611665848875871460032249856000000 15 21959313231694111561289450199971175962387536346772661721741 n + --------------------------------------------------------------- 970363158358319779215068726661126215203553280 16 274598973569332536322009007934589728202969816612704652496041 n + ---------------------------------------------------------------- 225665850781004599817457843409564236093849600000 13 8683520687314025362682560928586087806682272838169608797570955563 n - -------------------------------------------------------------------- 88949956182845979761381299943936569726992384000000 14 461427313376192635855770389442526780611563478874280075435018467 n - ------------------------------------------------------------------- 35579982473138391904552519977574627890796953600000 19 121184252292537168808498620328873355798748361303036783081 n + ------------------------------------------------------------- 272719473415114746413835678216218266828800000 20 77577297925100478088983608545180689339057962111633267 n + --------------------------------------------------------- 2829126497670145348000126028787618938880000 21 5656868368299797064479177828850288738882199286309767 n - -------------------------------------------------------- 146553850104534556315321843833592872960000 22 15401100592533052787453251447152619412471331598458937 n - --------------------------------------------------------- 3614994969245185722444605481228624199680000 66404704610836839144889561169259444901060093174078985152274991599 n - ------------------------------------------------------------------- 206537459234315543250817067186896620439260364800000 9 9696767361530985536418353206283257276712019527172755215380974507 n - ------------------------------------------------------------------- 32898352092490043796750193297058125244792832000000 10 1714189495643527294851159057753620398955520344245515694587725103173 n - ----------------------------------------------------------------------- 3908324228587817203053922963690505279081388441600000 23 279433516099237044809397898061887204451258805653 n + ---------------------------------------------------- 122959012559360058586551206844511027200 24 437646818859274248800362060244955995977398955217 n + ---------------------------------------------------- 1043288591412752012249525391407972352000 27 27835266340633251431186624527121920533763 n + --------------------------------------------- 3864031820047229674998242190399897600 28 44257897560904976215534222565901197461 n + ------------------------------------------ 61410601665530002582565384355840 2 162525771322111697798275281001892163904397519551304133041815925996353 n + ------------------------------------------------------------------------ 254041074858208118198504992639882843140290248704000000 and in Maple format (1275/65536*n^33+9/65536*n^34+250265888739799/57982058496*n^29+34561585545535/ 67645734912*n^30+392890451/12582912*n^31+2257787/2097152*n^32-\ 378878553161856081868418208122291079766395119/361354776459171398041196298240000 *n^17-33673242535956990972014485508478038342272771/ 153302026376618168865962065920000*n^18+ 128869432433832923367616491586609247662761682491799/ 1486598493904011999399896521113600000*n^11+ 50962221124773009533209209390002724920807186791283/ 401970688328357556947291367014400000*n^12-\ 1041871220189510505102234996621217147712770218188574859481107/ 608873325418991750972172719652694130688000000*n^7+ 269965900781477962576602938194420834649971380505853218482259/ 230620599584811796637953512178351865856000000*n^8+ 13023082345912936452000396849780264137698581447855810665835092207/ 5677656777628466793279657443229993812361216000000*n^5-\ 1752632325232878474302530801181588447559071154449967940559/ 60377801762403207227904966137575636992000000*n^6+43641066355305302055462568067/ 25892307139442151260160*n^25-29374746229041113493661973633/ 17261538092961434173440*n^26+ 1597048117699302945499375748488991390146206712868794415776200546871/ 756074627554190827971741049523460842679435264000000*n^3-\ 33220062060638035488714369554519413417379657458584968458381736059/ 11355313555256933586559314886459987624722432000000*n^4+ 455859895989207191839620216322757250102725437/55038280027920013357114982400000* n^15+1095979554373859073719412687610430225538159629/ 495977144159647016919289036800000*n^16-\ 162524707832251288076953021729611125393456808061877/ 3979509814450739813778184533442560000*n^13-\ 1282910126643588446009174076130722430270201425847/ 66882517889928400231566126612480000*n^14+ 6687526683959333107113126115967327650487/75148052145401063169589248000*n^19+ 2405805989327512720228702492711677691/124468823429235715394764800*n^20-\ 100865402186366166993662520077327309/20744803904872619232460800*n^21-\ 2692309659544448186958512020465241/1975695609987868498329600*n^22+ 14267606833630648331121966279107219124758300759244130211553092742503/ 63510268714552029549626248159970710785072562176000000*n+ 118709362781629313035059520891631153430969747823664608231/ 519553431346647302258840406444736512000000*n^9-\ 208657637312854660230410519321661893531324610786084549091/ 382828844150161170085461352117174272000000*n^10+ 268164679875278695175573000557093/2039019187231069411737600*n^23+ 32509222183216404397809087900833/494307681752986524057600*n^24+ 55975019046456307889405640923052631401095899047253213027451652647/ 25404107485820811819850499263988284314029024870400000-1689009507166982287229/ 7347486452613120*n^27+1085763675921032033/194819716546560*n^28-\ 5951993100549652083650689544646432868375373204565298815199285606943/ 6048597020433526623773928396187686741435482112000000*n^2)*E-8625538081/ 645922816*n^33-13787357/29360128*n^34+1681020086466247478059476708677/ 19438065209948672926679040*n^29-5844177615241013370792181/ 1683824082635886428160*n^30-5203416397673727041/2787197551902720*n^31-\ 6133978740090479/28275917193216*n^32-\ 2876900404977884129593361822518157236207551265923492068743471/ 776290526686655823372054981328900972162842624000*n^17-\ 6003116112211336005560796752002807329487347056205865543/ 41746149696789859018152509011798605692928000*n^18+ 1300584728249199921373871201252538389424836927750526521888493664819/ 4885405285734771503817403704613131598851735552000000*n^11+ 202900778093574154504766753732014154030532214565488939125616608601/ 2099513015357091885938057790412254901985869824000000*n^12-\ 114139824513790674991917569783643336255383870252591599989149165903/ 206202171151142953083202104415489320730755072000000*n^7+ 5512190727637686049398784762447111928978631667962450560860794060841/ 5080821497164162363970099852797656862805804974080000*n^8+ 1452676148737293641119107191715939947736504085271526181361235358093/ 846803582860693727328349975466276143800967495680000*n^5-\ 676960618004012892902073148846273363975828003163418607154644690961/ 788947437447851298753121095154915661926367232000000*n^6-2295/262144*n^35-17/ 262144*n^36-25634681631683542755406576062609522903572855099/ 347762863804250670749841797135990784000*n^25-\ 1135506842811507425950691597337431359334956327/ 46368381840566756099978906284798771200*n^26+ 447343523184315145912517287844953142952727563830508138163669214837/ 5773660792232002686329658923633700980461142016000000*n^3-\ 37368486723543022165362968991552870253369597509570326175394304532461/ 28226786095356457577611665848875871460032249856000000*n^4+ 21959313231694111561289450199971175962387536346772661721741/ 970363158358319779215068726661126215203553280*n^15+ 274598973569332536322009007934589728202969816612704652496041/ 225665850781004599817457843409564236093849600000*n^16-\ 8683520687314025362682560928586087806682272838169608797570955563/ 88949956182845979761381299943936569726992384000000*n^13-\ 461427313376192635855770389442526780611563478874280075435018467/ 35579982473138391904552519977574627890796953600000*n^14+ 121184252292537168808498620328873355798748361303036783081/ 272719473415114746413835678216218266828800000*n^19+ 77577297925100478088983608545180689339057962111633267/ 2829126497670145348000126028787618938880000*n^20-\ 5656868368299797064479177828850288738882199286309767/ 146553850104534556315321843833592872960000*n^21-\ 15401100592533052787453251447152619412471331598458937/ 3614994969245185722444605481228624199680000*n^22-\ 66404704610836839144889561169259444901060093174078985152274991599/ 206537459234315543250817067186896620439260364800000*n-\ 9696767361530985536418353206283257276712019527172755215380974507/ 32898352092490043796750193297058125244792832000000*n^9-\ 1714189495643527294851159057753620398955520344245515694587725103173/ 3908324228587817203053922963690505279081388441600000*n^10+ 279433516099237044809397898061887204451258805653/ 122959012559360058586551206844511027200*n^23+ 437646818859274248800362060244955995977398955217/ 1043288591412752012249525391407972352000*n^24+ 27835266340633251431186624527121920533763/3864031820047229674998242190399897600 *n^27+44257897560904976215534222565901197461/61410601665530002582565384355840*n ^28+162525771322111697798275281001892163904397519551304133041815925996353/ 254041074858208118198504992639882843140290248704000000*n^2 and in latex \left( {\frac {1275}{65536}}\,{n}^{33}+{\frac {9}{65536}}\,{n}^{34}+{ \frac {250265888739799}{57982058496}}\,{n}^{29}+{\frac {34561585545535} {67645734912}}\,{n}^{30}+{\frac {392890451}{12582912}}\,{n}^{31}+{ \frac {2257787}{2097152}}\,{n}^{32}-{\frac { 378878553161856081868418208122291079766395119}{ 361354776459171398041196298240000}}\,{n}^{17}-{\frac { 33673242535956990972014485508478038342272771}{ 153302026376618168865962065920000}}\,{n}^{18}+{\frac { 128869432433832923367616491586609247662761682491799}{ 1486598493904011999399896521113600000}}\,{n}^{11}+{\frac { 50962221124773009533209209390002724920807186791283}{ 401970688328357556947291367014400000}}\,{n}^{12}-{\frac { 1041871220189510505102234996621217147712770218188574859481107}{ 608873325418991750972172719652694130688000000}}\,{n}^{7}+{\frac { 269965900781477962576602938194420834649971380505853218482259}{ 230620599584811796637953512178351865856000000}}\,{n}^{8}+{\frac { 13023082345912936452000396849780264137698581447855810665835092207}{ 5677656777628466793279657443229993812361216000000}}\,{n}^{5}-{\frac { 1752632325232878474302530801181588447559071154449967940559}{ 60377801762403207227904966137575636992000000}}\,{n}^{6}+{\frac { 43641066355305302055462568067}{25892307139442151260160}}\,{n}^{25}-{ \frac {29374746229041113493661973633}{17261538092961434173440}}\,{n}^{ 26}+{\frac { 1597048117699302945499375748488991390146206712868794415776200546871}{ 756074627554190827971741049523460842679435264000000}}\,{n}^{3}-{\frac { 33220062060638035488714369554519413417379657458584968458381736059}{ 11355313555256933586559314886459987624722432000000}}\,{n}^{4}+{\frac { 455859895989207191839620216322757250102725437}{ 55038280027920013357114982400000}}\,{n}^{15}+{\frac { 1095979554373859073719412687610430225538159629}{ 495977144159647016919289036800000}}\,{n}^{16}-{\frac { 162524707832251288076953021729611125393456808061877}{ 3979509814450739813778184533442560000}}\,{n}^{13}-{\frac { 1282910126643588446009174076130722430270201425847}{ 66882517889928400231566126612480000}}\,{n}^{14}+{\frac { 6687526683959333107113126115967327650487}{75148052145401063169589248000 }}\,{n}^{19}+{\frac {2405805989327512720228702492711677691}{ 124468823429235715394764800}}\,{n}^{20}-{\frac { 100865402186366166993662520077327309}{20744803904872619232460800}}\,{n} ^{21}-{\frac {2692309659544448186958512020465241}{ 1975695609987868498329600}}\,{n}^{22}+{\frac { 14267606833630648331121966279107219124758300759244130211553092742503}{ 63510268714552029549626248159970710785072562176000000}}\,n+{\frac { 118709362781629313035059520891631153430969747823664608231}{ 519553431346647302258840406444736512000000}}\,{n}^{9}-{\frac { 208657637312854660230410519321661893531324610786084549091}{ 382828844150161170085461352117174272000000}}\,{n}^{10}+{\frac { 268164679875278695175573000557093}{2039019187231069411737600}}\,{n}^{23 }+{\frac {32509222183216404397809087900833}{494307681752986524057600}} \,{n}^{24}+{\frac { 55975019046456307889405640923052631401095899047253213027451652647}{ 25404107485820811819850499263988284314029024870400000}}-{\frac { 1689009507166982287229}{7347486452613120}}\,{n}^{27}+{\frac { 1085763675921032033}{194819716546560}}\,{n}^{28}-{\frac { 5951993100549652083650689544646432868375373204565298815199285606943}{ 6048597020433526623773928396187686741435482112000000}}\,{n}^{2} \right) E-{\frac {8625538081}{645922816}}\,{n}^{33}-{\frac {13787357}{ 29360128}}\,{n}^{34}+{\frac {1681020086466247478059476708677}{ 19438065209948672926679040}}\,{n}^{29}-{\frac { 5844177615241013370792181}{1683824082635886428160}}\,{n}^{30}-{\frac { 5203416397673727041}{2787197551902720}}\,{n}^{31}-{\frac { 6133978740090479}{28275917193216}}\,{n}^{32}-{\frac { 2876900404977884129593361822518157236207551265923492068743471}{ 776290526686655823372054981328900972162842624000}}\,{n}^{17}-{\frac { 6003116112211336005560796752002807329487347056205865543}{ 41746149696789859018152509011798605692928000}}\,{n}^{18}+{\frac { 1300584728249199921373871201252538389424836927750526521888493664819}{ 4885405285734771503817403704613131598851735552000000}}\,{n}^{11}+{ \frac { 202900778093574154504766753732014154030532214565488939125616608601}{ 2099513015357091885938057790412254901985869824000000}}\,{n}^{12}-{ \frac { 114139824513790674991917569783643336255383870252591599989149165903}{ 206202171151142953083202104415489320730755072000000}}\,{n}^{7}+{\frac { 5512190727637686049398784762447111928978631667962450560860794060841}{ 5080821497164162363970099852797656862805804974080000}}\,{n}^{8}+{\frac {1452676148737293641119107191715939947736504085271526181361235358093}{ 846803582860693727328349975466276143800967495680000}}\,{n}^{5}-{\frac { 676960618004012892902073148846273363975828003163418607154644690961}{ 788947437447851298753121095154915661926367232000000}}\,{n}^{6}-{\frac { 2295}{262144}}\,{n}^{35}-{\frac {17}{262144}}\,{n}^{36}-{\frac { 25634681631683542755406576062609522903572855099}{ 347762863804250670749841797135990784000}}\,{n}^{25}-{\frac { 1135506842811507425950691597337431359334956327}{ 46368381840566756099978906284798771200}}\,{n}^{26}+{\frac { 447343523184315145912517287844953142952727563830508138163669214837}{ 5773660792232002686329658923633700980461142016000000}}\,{n}^{3}-{\frac {37368486723543022165362968991552870253369597509570326175394304532461}{ 28226786095356457577611665848875871460032249856000000}}\,{n}^{4}+{ \frac {21959313231694111561289450199971175962387536346772661721741}{ 970363158358319779215068726661126215203553280}}\,{n}^{15}+{\frac { 274598973569332536322009007934589728202969816612704652496041}{ 225665850781004599817457843409564236093849600000}}\,{n}^{16}-{\frac { 8683520687314025362682560928586087806682272838169608797570955563}{ 88949956182845979761381299943936569726992384000000}}\,{n}^{13}-{\frac { 461427313376192635855770389442526780611563478874280075435018467}{ 35579982473138391904552519977574627890796953600000}}\,{n}^{14}+{\frac { 121184252292537168808498620328873355798748361303036783081}{ 272719473415114746413835678216218266828800000}}\,{n}^{19}+{\frac { 77577297925100478088983608545180689339057962111633267}{ 2829126497670145348000126028787618938880000}}\,{n}^{20}-{\frac { 5656868368299797064479177828850288738882199286309767}{ 146553850104534556315321843833592872960000}}\,{n}^{21}-{\frac { 15401100592533052787453251447152619412471331598458937}{ 3614994969245185722444605481228624199680000}}\,{n}^{22}-{\frac { 66404704610836839144889561169259444901060093174078985152274991599}{ 206537459234315543250817067186896620439260364800000}}\,n-{\frac { 9696767361530985536418353206283257276712019527172755215380974507}{ 32898352092490043796750193297058125244792832000000}}\,{n}^{9}-{\frac { 1714189495643527294851159057753620398955520344245515694587725103173}{ 3908324228587817203053922963690505279081388441600000}}\,{n}^{10}+{ \frac {279433516099237044809397898061887204451258805653}{ 122959012559360058586551206844511027200}}\,{n}^{23}+{\frac { 437646818859274248800362060244955995977398955217}{ 1043288591412752012249525391407972352000}}\,{n}^{24}+{\frac { 27835266340633251431186624527121920533763}{ 3864031820047229674998242190399897600}}\,{n}^{27}+{\frac { 44257897560904976215534222565901197461}{ 61410601665530002582565384355840}}\,{n}^{28}+{\frac { 162525771322111697798275281001892163904397519551304133041815925996353}{ 254041074858208118198504992639882843140290248704000000}}\,{n}^{2} Theorem Number, 18, : the , 19, -th factorial moment of X is /6662820421 33 5761123 34 82130830933011029734273 29 |---------- n + ------- n - ----------------------- n \301989888 8388608 411459241346334720 25045121507922720139 30 130470267187630171 31 548955432253997 32 + -------------------- n + ------------------ n + --------------- n 2337836598558720 32469952757760 1352914698240 8896624807621115965791896254309351912164750799549 17 + ------------------------------------------------- n 285104529701875797774365727129600000 2177621228566065207479963425885928432775658155803 18 + ------------------------------------------------- n 1150249309486878218606923795660800000 11339983524048931434869226553670383108686133061467374166769 11 - ----------------------------------------------------------- n 3801886452249876447745271358956765184000000 905044708272953951162010488100043990591135474723095327469 12 - --------------------------------------------------------- n 395650862853755084873012689269424128000000 174938880451370708223022808628206470111580205809727385777010977517 7 + ------------------------------------------------------------------ n 5764873363736584767188007759028792508547072000000 868373528463031261956519318348921648078230804963464476532318974889 8 - ------------------------------------------------------------------ n - 34923435739737571488182423815565728530038784000000 11506827698911205431297583681077218312109071801066269887803364766042543 5 ----------------------------------------------------------------------- n 255405420050787109166273547917218411578208026624000000 66268761110898862867666333913225572862748445025487001833179832163 6 + ----------------------------------------------------------------- n 13240203659570837542223006831176017959190528000000 23655 35 19 36 730302971558963438185226305299787 25 + ------- n + ------ n + --------------------------------- n 2097152 262144 2497554602541405595238400 9410942904143149772159167171026017 26 + ---------------------------------- n - 119050102721140333373030400 2886460824279401875412362370073317992480871172220890539006000472299364481 ------------------------------------------------------------------------- 75089193494931410094884423087662213003993159827456000000 3 n 445695089096929744884439703419738944827986798417381448683068562388671 4 + --------------------------------------------------------------------- n 8238884517767326102137856384426400373490581504000000 1826877007753667848311474522922436534997562259927303357 15 - ------------------------------------------------------- n 7841728813317668348834485733267865600000 6573696501285978357531073604264023634070690325445939 16 - ---------------------------------------------------- n 263587523136728347859982713723289600000 9082201820132992177678871206668417977157744889405243997 13 + ------------------------------------------------------- n 7841728813317668348834485733267865600000 2278584316385736807994185973157344064170523201261837903 14 + ------------------------------------------------------- n 7841728813317668348834485733267865600000 25665844298297513845523271674470139250460687927 19 - ----------------------------------------------- n 8520365255458357174866102190080000 24277774199348231750497532626924463871381949 20 - -------------------------------------------- n 129096443264520563255547002880000 322182881133388131636548693714725760596223 21 + ------------------------------------------ n 1518781685464947803006435328000 21182724790199401817916136323002287973 22 + -------------------------------------- n - 1048158513088300761219072000 101644495062731553292028856341595699700575031178148095722852239639645001 ------------------------------------------------------------------------ n 25029731164977136698294807695887404334664386609152000000 1052911486847035174525245342590739225136177049003974166291840237 9 - ---------------------------------------------------------------- n 664505119783590155166261763932540289155072000000 641300763947953531089830139845004117232179948812692033082855429 10 + --------------------------------------------------------------- n 59427287135117818754706336611853196591104000000 16638454539732029349465594773953918183 23 - -------------------------------------- n 1607176386735394500535910400 25733358596116297082882513305219357571 24 - -------------------------------------- n 16071763867353945005359104000 83034418241186189590551786101117406202076656711996372851282750622111 - -------------------------------------------------------------------- 2275430105907012427117709790535218575878580600832000000 10992181960106916452845798298963 27 19189090356681133509750202985 28 - -------------------------------- n - ----------------------------- n 10204294518954885717688320 9448420850884153442304 + 40619299514201018953198226089825688902100696502039397242169544665140923 2\ ----------------------------------------------------------------------- n | 2275430105907012427117709790535218575878580600832000000 / 33 34 24536805170892784925 n 66701434787317283 n E - ------------------------ - --------------------- 14239156616036352 386933603696640 29 258988050390518541481066645749177868952800013 n + ------------------------------------------------- 234282350352337293978840789649509580800 30 1462917941032860751887717759382316882963 n + -------------------------------------------- 1745353942072957968136068818534400 31 32 1823824191180358429186688991439 n 5676761888450159471896013 n + ----------------------------------- - ----------------------------- 24553345528356218433699840 1063467841664770375680 17 24580960580675031800035064533068203373868187893446140760494196571 n + --------------------------------------------------------------------- 294173252218101154119936624503583526293287731200000 18 3605102396207500728441890623196791477401599591431173787944643 n - ----------------------------------------------------------------- 414036948934695501928130365240793140455014400000 38 37 9 n 21375 n - ------ - --------- - 262144 4194304 11 6849496773532065064985670339459794416717138742141116369291405576423529 n / 1129160804435058798419314632897176135398393380864000000 - 12 8058856856033503047657526891520565235775697382920216383126198873365259 n / 7151351761422039056655659341682115524189824745472000000 + 7 4819210909601484394123820300633744703890926114122379568003755416634901 n ------------------------------------------------------------------------- 610481247926271626787678236485058642308887478272000000 - 509244167232348397164165170507956411028975092984452230483052267307848581 8 n /25029731164977136698294807695887404334664386609152000000 - 5 686869453165119386311205052542612523417489008546682025412091525533430469 n /21454055284266117169966978025046346572569474236416000000 + 6 149048632792129103693703562604733747774467056697984018961361654490216123 n /8343243721659045566098269231962468111554795536384000000 35 36 28618659601097 n 105982855 n - ------------------ - ------------- 3022918778880 352321536 25 1443872659022092658764007727682870740285501645359 n + ----------------------------------------------------- 337121405303508606161413345571241984000 26 4738117607796672811871871865958809766672251878553 n + ----------------------------------------------------- - 10542705765855178229047835534227931136000 3 3529324783328714418830134967671439389538199855232528952546019807061271 n ------------------------------------------------------------------------- 4550860211814024854235419581070437151757161201664000000 + 4 1005137518586070813735320028281179999948845204081091457902155287523119 n ------------------------------------------------------------------------- 42315690895988396784944729832438553397572927488000000 15 446947237424892991707694587351279873244447817463933471281142178459 n - ---------------------------------------------------------------------- 898862715110864637588695241538727441451712512000000 16 13654481887822049812996854011011889156895619159460269005630771883 n + --------------------------------------------------------------------- + 323590577439911269531930286953941878922616504320000 13 8286521141287259090819537251141827580432254377080430876979873754307213 n / 3850727871534944107429970414751908359179136401408000000 14 1183926837160388120722933611428088883042905852258615874855194252857 n - ----------------------------------------------------------------------- 70440143991492880013962873440583689497179324416000000 19 486026977123789738387373606864423989627271027801037781028309219 n - ------------------------------------------------------------------- 45257423418169408326144096077474388660505804800000 20 9828399902981693909042199821577232040258539331519514017703289 n + ----------------------------------------------------------------- 10962978343531720029314408366593174892917555200000 21 3908129167859669671781732897609356292050661862552265952757701 n + ----------------------------------------------------------------- 3654326114510573343104802788864391630972518400000 22 1950581178551143992984923381858354302081231201014366869 n - ----------------------------------------------------------- 52122751597640469877404119082361883197440000 107262234392153542107298916818461975727150752155315219675645569291687 n + ----------------------------------------------------------------------- 18499431755341564448111461711668443706329923584000000 + 9 7565008479717632836259101265851159988304422507980768405206357535244267 n ------------------------------------------------------------------------- 962681967883736026857492603687977089794784100352000000 + 363341523974257130381841892501080547601167185330204012404586116851197521 10 n /50059462329954273396589615391774808669328773218304000000 23 2125624169085928618179798291607703268304059308696319649 n - ----------------------------------------------------------- 26383121179052583518192208424405397667840000 24 46107059654041645318977604173254423075959585659157 n - ------------------------------------------------------ 19369287104288543246898594976723107840000 27 478070949616712764060336847568102896359253118541 n - ---------------------------------------------------- 3514235255285059409682611844742643712000 28 2236487990231320711907657035339047981401826163 n - -------------------------------------------------- - 78094116784112431326280263216503193600 2 23713934194515529840881118985858936951477808028624002237078266468432933 n / 2002378493198170935863584615670992346773150928732160000 and in Maple format (6662820421/301989888*n^33+5761123/8388608*n^34-82130830933011029734273/ 411459241346334720*n^29+25045121507922720139/2337836598558720*n^30+ 130470267187630171/32469952757760*n^31+548955432253997/1352914698240*n^32+ 8896624807621115965791896254309351912164750799549/ 285104529701875797774365727129600000*n^17+ 2177621228566065207479963425885928432775658155803/ 1150249309486878218606923795660800000*n^18-\ 11339983524048931434869226553670383108686133061467374166769/ 3801886452249876447745271358956765184000000*n^11-\ 905044708272953951162010488100043990591135474723095327469/ 395650862853755084873012689269424128000000*n^12+ 174938880451370708223022808628206470111580205809727385777010977517/ 5764873363736584767188007759028792508547072000000*n^7-\ 868373528463031261956519318348921648078230804963464476532318974889/ 34923435739737571488182423815565728530038784000000*n^8-\ 11506827698911205431297583681077218312109071801066269887803364766042543/ 255405420050787109166273547917218411578208026624000000*n^5+ 66268761110898862867666333913225572862748445025487001833179832163/ 13240203659570837542223006831176017959190528000000*n^6+23655/2097152*n^35+19/ 262144*n^36+730302971558963438185226305299787/2497554602541405595238400*n^25+ 9410942904143149772159167171026017/119050102721140333373030400*n^26-\ 2886460824279401875412362370073317992480871172220890539006000472299364481/ 75089193494931410094884423087662213003993159827456000000*n^3+ 445695089096929744884439703419738944827986798417381448683068562388671/ 8238884517767326102137856384426400373490581504000000*n^4-\ 1826877007753667848311474522922436534997562259927303357/ 7841728813317668348834485733267865600000*n^15-\ 6573696501285978357531073604264023634070690325445939/ 263587523136728347859982713723289600000*n^16+ 9082201820132992177678871206668417977157744889405243997/ 7841728813317668348834485733267865600000*n^13+ 2278584316385736807994185973157344064170523201261837903/ 7841728813317668348834485733267865600000*n^14-\ 25665844298297513845523271674470139250460687927/ 8520365255458357174866102190080000*n^19-\ 24277774199348231750497532626924463871381949/129096443264520563255547002880000* n^20+322182881133388131636548693714725760596223/1518781685464947803006435328000 *n^21+21182724790199401817916136323002287973/1048158513088300761219072000*n^22-\ 101644495062731553292028856341595699700575031178148095722852239639645001/ 25029731164977136698294807695887404334664386609152000000*n-\ 1052911486847035174525245342590739225136177049003974166291840237/ 664505119783590155166261763932540289155072000000*n^9+ 641300763947953531089830139845004117232179948812692033082855429/ 59427287135117818754706336611853196591104000000*n^10-\ 16638454539732029349465594773953918183/1607176386735394500535910400*n^23-\ 25733358596116297082882513305219357571/16071763867353945005359104000*n^24-\ 83034418241186189590551786101117406202076656711996372851282750622111/ 2275430105907012427117709790535218575878580600832000000-\ 10992181960106916452845798298963/10204294518954885717688320*n^27-\ 19189090356681133509750202985/9448420850884153442304*n^28+ 40619299514201018953198226089825688902100696502039397242169544665140923/ 2275430105907012427117709790535218575878580600832000000*n^2)*E-\ 24536805170892784925/14239156616036352*n^33-66701434787317283/386933603696640*n ^34+258988050390518541481066645749177868952800013/ 234282350352337293978840789649509580800*n^29+ 1462917941032860751887717759382316882963/1745353942072957968136068818534400*n^ 30+1823824191180358429186688991439/24553345528356218433699840*n^31-\ 5676761888450159471896013/1063467841664770375680*n^32+ 24580960580675031800035064533068203373868187893446140760494196571/ 294173252218101154119936624503583526293287731200000*n^17-\ 3605102396207500728441890623196791477401599591431173787944643/ 414036948934695501928130365240793140455014400000*n^18-9/262144*n^38-21375/ 4194304*n^37-\ 6849496773532065064985670339459794416717138742141116369291405576423529/ 1129160804435058798419314632897176135398393380864000000*n^11-\ 8058856856033503047657526891520565235775697382920216383126198873365259/ 7151351761422039056655659341682115524189824745472000000*n^12+ 4819210909601484394123820300633744703890926114122379568003755416634901/ 610481247926271626787678236485058642308887478272000000*n^7-\ 509244167232348397164165170507956411028975092984452230483052267307848581/ 25029731164977136698294807695887404334664386609152000000*n^8-\ 686869453165119386311205052542612523417489008546682025412091525533430469/ 21454055284266117169966978025046346572569474236416000000*n^5+ 149048632792129103693703562604733747774467056697984018961361654490216123/ 8343243721659045566098269231962468111554795536384000000*n^6-28618659601097/ 3022918778880*n^35-105982855/352321536*n^36+ 1443872659022092658764007727682870740285501645359/ 337121405303508606161413345571241984000*n^25+ 4738117607796672811871871865958809766672251878553/ 10542705765855178229047835534227931136000*n^26-\ 3529324783328714418830134967671439389538199855232528952546019807061271/ 4550860211814024854235419581070437151757161201664000000*n^3+ 1005137518586070813735320028281179999948845204081091457902155287523119/ 42315690895988396784944729832438553397572927488000000*n^4-\ 446947237424892991707694587351279873244447817463933471281142178459/ 898862715110864637588695241538727441451712512000000*n^15+ 13654481887822049812996854011011889156895619159460269005630771883/ 323590577439911269531930286953941878922616504320000*n^16+ 8286521141287259090819537251141827580432254377080430876979873754307213/ 3850727871534944107429970414751908359179136401408000000*n^13-\ 1183926837160388120722933611428088883042905852258615874855194252857/ 70440143991492880013962873440583689497179324416000000*n^14-\ 486026977123789738387373606864423989627271027801037781028309219/ 45257423418169408326144096077474388660505804800000*n^19+ 9828399902981693909042199821577232040258539331519514017703289/ 10962978343531720029314408366593174892917555200000*n^20+ 3908129167859669671781732897609356292050661862552265952757701/ 3654326114510573343104802788864391630972518400000*n^21-\ 1950581178551143992984923381858354302081231201014366869/ 52122751597640469877404119082361883197440000*n^22+ 107262234392153542107298916818461975727150752155315219675645569291687/ 18499431755341564448111461711668443706329923584000000*n+ 7565008479717632836259101265851159988304422507980768405206357535244267/ 962681967883736026857492603687977089794784100352000000*n^9+ 363341523974257130381841892501080547601167185330204012404586116851197521/ 50059462329954273396589615391774808669328773218304000000*n^10-\ 2125624169085928618179798291607703268304059308696319649/ 26383121179052583518192208424405397667840000*n^23-\ 46107059654041645318977604173254423075959585659157/ 19369287104288543246898594976723107840000*n^24-\ 478070949616712764060336847568102896359253118541/ 3514235255285059409682611844742643712000*n^27-\ 2236487990231320711907657035339047981401826163/ 78094116784112431326280263216503193600*n^28-\ 23713934194515529840881118985858936951477808028624002237078266468432933/ 2002378493198170935863584615670992346773150928732160000*n^2 and in latex \left( {\frac {6662820421}{301989888}}\,{n}^{33}+{\frac {5761123}{ 8388608}}\,{n}^{34}-{\frac {82130830933011029734273}{411459241346334720 }}\,{n}^{29}+{\frac {25045121507922720139}{2337836598558720}}\,{n}^{30} +{\frac {130470267187630171}{32469952757760}}\,{n}^{31}+{\frac { 548955432253997}{1352914698240}}\,{n}^{32}+{\frac { 8896624807621115965791896254309351912164750799549}{ 285104529701875797774365727129600000}}\,{n}^{17}+{\frac { 2177621228566065207479963425885928432775658155803}{ 1150249309486878218606923795660800000}}\,{n}^{18}-{\frac { 11339983524048931434869226553670383108686133061467374166769}{ 3801886452249876447745271358956765184000000}}\,{n}^{11}-{\frac { 905044708272953951162010488100043990591135474723095327469}{ 395650862853755084873012689269424128000000}}\,{n}^{12}+{\frac { 174938880451370708223022808628206470111580205809727385777010977517}{ 5764873363736584767188007759028792508547072000000}}\,{n}^{7}-{\frac { 868373528463031261956519318348921648078230804963464476532318974889}{ 34923435739737571488182423815565728530038784000000}}\,{n}^{8}-{\frac { 11506827698911205431297583681077218312109071801066269887803364766042543 }{255405420050787109166273547917218411578208026624000000}}\,{n}^{5}+{ \frac { 66268761110898862867666333913225572862748445025487001833179832163}{ 13240203659570837542223006831176017959190528000000}}\,{n}^{6}+{\frac { 23655}{2097152}}\,{n}^{35}+{\frac {19}{262144}}\,{n}^{36}+{\frac { 730302971558963438185226305299787}{2497554602541405595238400}}\,{n}^{25 }+{\frac {9410942904143149772159167171026017}{ 119050102721140333373030400}}\,{n}^{26}-{\frac { 2886460824279401875412362370073317992480871172220890539006000472299364481 }{75089193494931410094884423087662213003993159827456000000}}\,{n}^{3}+{ \frac { 445695089096929744884439703419738944827986798417381448683068562388671}{ 8238884517767326102137856384426400373490581504000000}}\,{n}^{4}-{\frac {1826877007753667848311474522922436534997562259927303357}{ 7841728813317668348834485733267865600000}}\,{n}^{15}-{\frac { 6573696501285978357531073604264023634070690325445939}{ 263587523136728347859982713723289600000}}\,{n}^{16}+{\frac { 9082201820132992177678871206668417977157744889405243997}{ 7841728813317668348834485733267865600000}}\,{n}^{13}+{\frac { 2278584316385736807994185973157344064170523201261837903}{ 7841728813317668348834485733267865600000}}\,{n}^{14}-{\frac { 25665844298297513845523271674470139250460687927}{ 8520365255458357174866102190080000}}\,{n}^{19}-{\frac { 24277774199348231750497532626924463871381949}{ 129096443264520563255547002880000}}\,{n}^{20}+{\frac { 322182881133388131636548693714725760596223}{ 1518781685464947803006435328000}}\,{n}^{21}+{\frac { 21182724790199401817916136323002287973}{1048158513088300761219072000}} \,{n}^{22}-{\frac { 101644495062731553292028856341595699700575031178148095722852239639645001 }{25029731164977136698294807695887404334664386609152000000}}\,n-{\frac {1052911486847035174525245342590739225136177049003974166291840237}{ 664505119783590155166261763932540289155072000000}}\,{n}^{9}+{\frac { 641300763947953531089830139845004117232179948812692033082855429}{ 59427287135117818754706336611853196591104000000}}\,{n}^{10}-{\frac { 16638454539732029349465594773953918183}{1607176386735394500535910400}} \,{n}^{23}-{\frac {25733358596116297082882513305219357571}{ 16071763867353945005359104000}}\,{n}^{24}-{\frac { 83034418241186189590551786101117406202076656711996372851282750622111}{ 2275430105907012427117709790535218575878580600832000000}}-{\frac { 10992181960106916452845798298963}{10204294518954885717688320}}\,{n}^{27 }-{\frac {19189090356681133509750202985}{9448420850884153442304}}\,{n}^ {28}+{\frac { 40619299514201018953198226089825688902100696502039397242169544665140923 }{2275430105907012427117709790535218575878580600832000000}}\,{n}^{2} \right) E-{\frac {24536805170892784925}{14239156616036352}}\,{n}^{33}- {\frac {66701434787317283}{386933603696640}}\,{n}^{34}+{\frac { 258988050390518541481066645749177868952800013}{ 234282350352337293978840789649509580800}}\,{n}^{29}+{\frac { 1462917941032860751887717759382316882963}{ 1745353942072957968136068818534400}}\,{n}^{30}+{\frac { 1823824191180358429186688991439}{24553345528356218433699840}}\,{n}^{31} -{\frac {5676761888450159471896013}{1063467841664770375680}}\,{n}^{32}+ {\frac { 24580960580675031800035064533068203373868187893446140760494196571}{ 294173252218101154119936624503583526293287731200000}}\,{n}^{17}-{\frac {3605102396207500728441890623196791477401599591431173787944643}{ 414036948934695501928130365240793140455014400000}}\,{n}^{18}-{\frac {9} {262144}}\,{n}^{38}-{\frac {21375}{4194304}}\,{n}^{37}-{\frac { 6849496773532065064985670339459794416717138742141116369291405576423529} {1129160804435058798419314632897176135398393380864000000}}\,{n}^{11}-{ \frac { 8058856856033503047657526891520565235775697382920216383126198873365259} {7151351761422039056655659341682115524189824745472000000}}\,{n}^{12}+{ \frac { 4819210909601484394123820300633744703890926114122379568003755416634901} {610481247926271626787678236485058642308887478272000000}}\,{n}^{7}-{ \frac { 509244167232348397164165170507956411028975092984452230483052267307848581 }{25029731164977136698294807695887404334664386609152000000}}\,{n}^{8}-{ \frac { 686869453165119386311205052542612523417489008546682025412091525533430469 }{21454055284266117169966978025046346572569474236416000000}}\,{n}^{5}+{ \frac { 149048632792129103693703562604733747774467056697984018961361654490216123 }{8343243721659045566098269231962468111554795536384000000}}\,{n}^{6}-{ \frac {28618659601097}{3022918778880}}\,{n}^{35}-{\frac {105982855}{ 352321536}}\,{n}^{36}+{\frac { 1443872659022092658764007727682870740285501645359}{ 337121405303508606161413345571241984000}}\,{n}^{25}+{\frac { 4738117607796672811871871865958809766672251878553}{ 10542705765855178229047835534227931136000}}\,{n}^{26}-{\frac { 3529324783328714418830134967671439389538199855232528952546019807061271} {4550860211814024854235419581070437151757161201664000000}}\,{n}^{3}+{ \frac { 1005137518586070813735320028281179999948845204081091457902155287523119} {42315690895988396784944729832438553397572927488000000}}\,{n}^{4}-{ \frac { 446947237424892991707694587351279873244447817463933471281142178459}{ 898862715110864637588695241538727441451712512000000}}\,{n}^{15}+{\frac {13654481887822049812996854011011889156895619159460269005630771883}{ 323590577439911269531930286953941878922616504320000}}\,{n}^{16}+{\frac {8286521141287259090819537251141827580432254377080430876979873754307213 }{3850727871534944107429970414751908359179136401408000000}}\,{n}^{13}-{ \frac { 1183926837160388120722933611428088883042905852258615874855194252857}{ 70440143991492880013962873440583689497179324416000000}}\,{n}^{14}-{ \frac {486026977123789738387373606864423989627271027801037781028309219} {45257423418169408326144096077474388660505804800000}}\,{n}^{19}+{\frac {9828399902981693909042199821577232040258539331519514017703289}{ 10962978343531720029314408366593174892917555200000}}\,{n}^{20}+{\frac { 3908129167859669671781732897609356292050661862552265952757701}{ 3654326114510573343104802788864391630972518400000}}\,{n}^{21}-{\frac { 1950581178551143992984923381858354302081231201014366869}{ 52122751597640469877404119082361883197440000}}\,{n}^{22}+{\frac { 107262234392153542107298916818461975727150752155315219675645569291687}{ 18499431755341564448111461711668443706329923584000000}}\,n+{\frac { 7565008479717632836259101265851159988304422507980768405206357535244267} {962681967883736026857492603687977089794784100352000000}}\,{n}^{9}+{ \frac { 363341523974257130381841892501080547601167185330204012404586116851197521 }{50059462329954273396589615391774808669328773218304000000}}\,{n}^{10}- {\frac {2125624169085928618179798291607703268304059308696319649}{ 26383121179052583518192208424405397667840000}}\,{n}^{23}-{\frac { 46107059654041645318977604173254423075959585659157}{ 19369287104288543246898594976723107840000}}\,{n}^{24}-{\frac { 478070949616712764060336847568102896359253118541}{ 3514235255285059409682611844742643712000}}\,{n}^{27}-{\frac { 2236487990231320711907657035339047981401826163}{ 78094116784112431326280263216503193600}}\,{n}^{28}-{\frac { 23713934194515529840881118985858936951477808028624002237078266468432933 }{2002378493198170935863584615670992346773150928732160000}}\,{n}^{2} Theorem Number, 19, : the , 20, -th factorial moment of X is /128324337883356977 33 1403458110411911 34 |------------------ n + ---------------- n \ 35716948033536 4464618504192 4638802146089780514180887675843 29 2518284426594797189546528639 30 - ------------------------------- n - ---------------------------- n 1020429451895488571768832 1124812006057637314560 97978187777560207949219 31 16922006691523980881 32 - ----------------------- n + -------------------- n 617188862019502080 1168918299279360 7695029095209707948877819038367019636967942955517996873 17 - ------------------------------------------------------- n 9410074575981202018601382879921438720000 102638852647848665135293730630635917210130947570800837 18 + ------------------------------------------------------ n 2016444551995971861128867759983165440000 38 20425 37 + 5/131072 n + ------- n 3145728 6264836234204457540399340331692346827014869243959451067316552187 11 + ---------------------------------------------------------------- n 73095563176194917068288794032579431807057920000 73483995951174936032271583075593064212087695303826486463381027 12 + -------------------------------------------------------------- n - 1844295117986415064801231136229926790758400000 5239570664281056500956999359560928439894537567669235592557687140320365929 ------------------------------------------------------------------------- 9386149186866426261860552885957776625499144978432000000 7 n + 1945364063452174374703554756315225064228710543421493599904729665261327 8 ---------------------------------------------------------------------- n 3614575599062838649026880864911052902859014144000000 + 25399443081255693044524077527876478035546304604465694077522704281615866961/ 5 27532704281474850368124288465476144768130825270067200000 n - 22319336549961297928523521279663111455207834324967700313678894875429743 6 ----------------------------------------------------------------------- n 123946747965823155918926868842179523265895071744000000 2313369605 35 5447395 36 + ---------- n + -------- n 150994944 12582912 137273693364798684990082183995638420377 25 - --------------------------------------- n 7576688680324002645383577600 1189170844779952513305529362517139983 26 - ------------------------------------- n + 1400221105155859094252343\ 803588193367697250267955200 444128582715190250314064601150527345111036126371933/ 3 1896116253062359945944608103059348784449617548804096000000 n - 100376698785078481863634244115994953524300733260123502356693688114036760933 4 /95305514820489866658891767765109731889683625934848000000 n 25871627242660769020515497778183726246004263923230726739 15 + -------------------------------------------------------- n 4312950847324717591858967153297326080000 22161563710296319260871957097348216240696593340787797 16 - ----------------------------------------------------- n 241283963486697487656445714869780480000 944479837978014357405559675240829178833755280072703444914873 13 - ------------------------------------------------------------ n 31186331441169700804219068775899636695040000 76220029415609286958304543621803358889780796950980322607 14 - -------------------------------------------------------- n 23467526669266845720409085981176627200000 7950672311079343377240019672844243202016283572718867 19 + ---------------------------------------------------- n 95068105429090484767862251711365120000 11805733972543862717442623380987199503570044605419 20 - -------------------------------------------------- n 2185473688025068615353155211755520000 1888995882443507315084142986718162502956415439 21 - ---------------------------------------------- n 284012175181945239162203406336000 49034788065440048306114366696058934487031683 22 + -------------------------------------------- n + 107388910713113330\ 213009131386458929371652554752000 48197781095591889751675773951978335986817043286282881329801/ 138627166057225871603505792423672388907538705234788352000000 n 20402325313915761024412167022279722902654385228465181795895388742189 9 - -------------------------------------------------------------------- n 834132830552962765160049430364089131429003264000000 29542160138909366077265703461927302565631789627939455432251491811 10 - ----------------------------------------------------------------- n 136340769949814116567513800321034509877248000000 14805857976625600378100289324537506566867 23 + ----------------------------------------- n 36318692478509621376240844800 361868153611828206030948824029699809643 24 + --------------------------------------- n + 53036820762268018517685043200 20499284883910307164704878946437239547681855165411706691217607039610312829/ 31990884474744431908501336713155166670970470438797312000000 348772551835883394014815872054869 27 + --------------------------------- n 695747353565105844387840 1827934646753871697511538375245227 28 + ---------------------------------- n - 21429018489805260007145472 551093592241046403006201302611008213381305805227195327871123844030173872239 2\ /1611943791363091530273323167717120801250450060869632000000 n | E / 39 40 33 6175 n 19 n 6217922799364139822714363989 n - -------- - ------- + -------------------------------- 2097152 1048576 106753676210244427972608 34 4195109175516629119371617 n - ----------------------------- 628412815529182494720 29 30230828131370651528800140713218427585973433231 n - --------------------------------------------------- 141101870098566779328165475584363724800 30 197282385206193008677353346851326478446589165971 n - ---------------------------------------------------- 6542383852570185391773830488103237713920 31 41943445673461275516978250858942964347671857 n + ------------------------------------------------ 17180705692504734891781657907630702592 32 158730376257726974337319407394895455409 n + ------------------------------------------- - 174535394207295796813606881853440 17 148760892172659298179880176781135424466383867720178124161450595759817 n ------------------------------------------------------------------------- 85751503021576486425961526042794597914493373644800000 18 15791423433939854735583878746247881890605347096347093928998645022183 n + ------------------------------------------------------------------------ 34300601208630594570384610417117839165797349457920000 38 37 11178935 n 94956249137 n - ------------ - --------------- + 341032783014585098676873856570456714\ 58720256 14394851328 11 649372891550430739957532346396268696299163 n / 2495288989030065688863104263626103000335696694226190336000000 + 82146846\ 12 50551932467081296842260398029836587615333175305486949107350099186817 n / 1247644494515032844431552131813051500167848347113095168000000 - 90930531\ 7 380100817813451953893020741371681652424726407005800230031057623724409 n / 831762996343355229621034754542034333445232231408730112000000 + 530628136652101888569050849106933856072399623432698943914470178872633242997 8 n /1341553219908637467130701217003281182976181018401177600000 + 97961270\ 5 745381551900902190287374915650092572131933653187830081090913787949261 n / 155955561814379105553944016476631437520981043389136896000000 - 415058401\ 6 44012555610805329517799394722278211975944663451971101456752227479453 n / 108490825610002856037526272331569695666769421488095232000000 35 36 7795868482958248699 n 2217703730194573 n - ----------------------- - -------------------- 5085413077155840 16582868729856 25 10219967887269839237469662245356727194888250220311644943523 n - --------------------------------------------------------------- 71733068173726069327612795485115835719090176000 26 442073570145587188582210121993222747164652983392354431 n + ---------------------------------------------------------- + 85549276295439557933944896225540650827776000 932350924737151529032738387265368814412214641157471149616127618767123586867 3 n /277254332114451743207011584847344777815077410469576704000000 - 186985\ 4 734897159330680943173500951624410827619744833630580122846046565853074643 n /415881498171677614810517377271017166722616115704365056000000 + 384730278473384219984777159381169181171146542893195523040013242839148617 15 n /36735943894443366784881917756733205746568961269432320000 16 36230888524141872921117040549925098861170919961166310987345265752309 n - ------------------------------------------------------------------------ 15306643289351402827034132398638835727737067195596800 - 880874412753529471630896124276067152025233763184467991509387816812089658079 13 n /18903704462348982491387153512318962123755277986562048000000 + 14977840818702339788199669026562660973593958142974281670650352428921509569 14 n /2387836353138818841017324654187658373526982482513100800000 19 3327187694548613398211429668422657483081128042668917639228136645799 n + ----------------------------------------------------------------------- 14700257660841683387307690178764788213913149767680000 20 26315449915438185673100689620230063367958775107160770249190663929 n - --------------------------------------------------------------------- 452647230025916937145837967381320458199671767040000 21 186129784667993187949635652751263905426344328064870392451913385337 n - ---------------------------------------------------------------------- 7717635271941883778336537343851513812304403628032000 22 95475563713802244067330972851558841009420614318525737833697279 n + ------------------------------------------------------------------ - 19367928406906038718455454780981275644154347520000 28703077878714687578043569414736378799033511101841034876498022437484134293 n/260088491664588877304888916367115176186751792185344000000 - 7415649038\ 9 560049761667708208558753259715866442141072300075158838628383483083 n / 37807408924697964982774307024637924247510555973124096000000 - 5864237175\ 10 525083416555651534130948878655200094066304196591088785065587344619 n / 48927235079020895860060867914237313732072484200513536000000 23 40589646911797447050194317316367547568367996898199696088920479 n + ------------------------------------------------------------------ 19367928406906038718455454780981275644154347520000 24 71552160621174518039490563210829152522228307460582255909 n - ------------------------------------------------------------ 275190798620432491026647553011953333960704000 27 516227037155011164341065871965528181979082507233619 n + ------------------------------------------------------- 73756769537922826890418657397458606227456 28 663152263752678330134399306389040358551291670983719 n + ------------------------------------------------------- + 39199161523\ 1946359196139630154052714570210713219891200 2 23464854240273714390430638723701902303616713618635479242829139037 n / 16974755027415412849408872541674170070310861865484288000000 and in Maple format (128324337883356977/35716948033536*n^33+1403458110411911/4464618504192*n^34-\ 4638802146089780514180887675843/1020429451895488571768832*n^29-\ 2518284426594797189546528639/1124812006057637314560*n^30-\ 97978187777560207949219/617188862019502080*n^31+16922006691523980881/ 1168918299279360*n^32-7695029095209707948877819038367019636967942955517996873/ 9410074575981202018601382879921438720000*n^17+ 102638852647848665135293730630635917210130947570800837/ 2016444551995971861128867759983165440000*n^18+5/131072*n^38+20425/3145728*n^37+ 6264836234204457540399340331692346827014869243959451067316552187/ 73095563176194917068288794032579431807057920000*n^11+ 73483995951174936032271583075593064212087695303826486463381027/ 1844295117986415064801231136229926790758400000*n^12-\ 5239570664281056500956999359560928439894537567669235592557687140320365929/ 9386149186866426261860552885957776625499144978432000000*n^7+ 1945364063452174374703554756315225064228710543421493599904729665261327/ 3614575599062838649026880864911052902859014144000000*n^8+ 25399443081255693044524077527876478035546304604465694077522704281615866961/ 27532704281474850368124288465476144768130825270067200000*n^5-\ 22319336549961297928523521279663111455207834324967700313678894875429743/ 123946747965823155918926868842179523265895071744000000*n^6+2313369605/150994944 *n^35+5447395/12582912*n^36-137273693364798684990082183995638420377/ 7576688680324002645383577600*n^25-1189170844779952513305529362517139983/ 803588193367697250267955200*n^26+ 1400221105155859094252343444128582715190250314064601150527345111036126371933/ 1896116253062359945944608103059348784449617548804096000000*n^3-\ 100376698785078481863634244115994953524300733260123502356693688114036760933/ 95305514820489866658891767765109731889683625934848000000*n^4+ 25871627242660769020515497778183726246004263923230726739/ 4312950847324717591858967153297326080000*n^15-\ 22161563710296319260871957097348216240696593340787797/ 241283963486697487656445714869780480000*n^16-\ 944479837978014357405559675240829178833755280072703444914873/ 31186331441169700804219068775899636695040000*n^13-\ 76220029415609286958304543621803358889780796950980322607/ 23467526669266845720409085981176627200000*n^14+ 7950672311079343377240019672844243202016283572718867/ 95068105429090484767862251711365120000*n^19-\ 11805733972543862717442623380987199503570044605419/ 2185473688025068615353155211755520000*n^20-\ 1888995882443507315084142986718162502956415439/ 284012175181945239162203406336000*n^21+ 49034788065440048306114366696058934487031683/213009131386458929371652554752000* n^22+ 10738891071311333048197781095591889751675773951978335986817043286282881329801/ 138627166057225871603505792423672388907538705234788352000000*n-\ 20402325313915761024412167022279722902654385228465181795895388742189/ 834132830552962765160049430364089131429003264000000*n^9-\ 29542160138909366077265703461927302565631789627939455432251491811/ 136340769949814116567513800321034509877248000000*n^10+ 14805857976625600378100289324537506566867/36318692478509621376240844800*n^23+ 361868153611828206030948824029699809643/53036820762268018517685043200*n^24+ 20499284883910307164704878946437239547681855165411706691217607039610312829/ 31990884474744431908501336713155166670970470438797312000000+ 348772551835883394014815872054869/695747353565105844387840*n^27+ 1827934646753871697511538375245227/21429018489805260007145472*n^28-\ 551093592241046403006201302611008213381305805227195327871123844030173872239/ 1611943791363091530273323167717120801250450060869632000000*n^2)*E-6175/2097152* n^39-19/1048576*n^40+6217922799364139822714363989/106753676210244427972608*n^33 -4195109175516629119371617/628412815529182494720*n^34-\ 30230828131370651528800140713218427585973433231/ 141101870098566779328165475584363724800*n^29-\ 197282385206193008677353346851326478446589165971/ 6542383852570185391773830488103237713920*n^30+ 41943445673461275516978250858942964347671857/ 17180705692504734891781657907630702592*n^31+ 158730376257726974337319407394895455409/174535394207295796813606881853440*n^32-\ 148760892172659298179880176781135424466383867720178124161450595759817/ 85751503021576486425961526042794597914493373644800000*n^17+ 15791423433939854735583878746247881890605347096347093928998645022183/ 34300601208630594570384610417117839165797349457920000*n^18-11178935/58720256*n^ 38-94956249137/14394851328*n^37+ 341032783014585098676873856570456714649372891550430739957532346396268696299163/ 2495288989030065688863104263626103000335696694226190336000000*n^11+ 8214684650551932467081296842260398029836587615333175305486949107350099186817/ 1247644494515032844431552131813051500167848347113095168000000*n^12-\ 90930531380100817813451953893020741371681652424726407005800230031057623724409/ 831762996343355229621034754542034333445232231408730112000000*n^7+ 530628136652101888569050849106933856072399623432698943914470178872633242997/ 1341553219908637467130701217003281182976181018401177600000*n^8+ 97961270745381551900902190287374915650092572131933653187830081090913787949261/ 155955561814379105553944016476631437520981043389136896000000*n^5-\ 41505840144012555610805329517799394722278211975944663451971101456752227479453/ 108490825610002856037526272331569695666769421488095232000000*n^6-\ 7795868482958248699/5085413077155840*n^35-2217703730194573/16582868729856*n^36-\ 10219967887269839237469662245356727194888250220311644943523/ 71733068173726069327612795485115835719090176000*n^25+ 442073570145587188582210121993222747164652983392354431/ 85549276295439557933944896225540650827776000*n^26+ 932350924737151529032738387265368814412214641157471149616127618767123586867/ 277254332114451743207011584847344777815077410469576704000000*n^3-\ 186985734897159330680943173500951624410827619744833630580122846046565853074643/ 415881498171677614810517377271017166722616115704365056000000*n^4+ 384730278473384219984777159381169181171146542893195523040013242839148617/ 36735943894443366784881917756733205746568961269432320000*n^15-\ 36230888524141872921117040549925098861170919961166310987345265752309/ 15306643289351402827034132398638835727737067195596800*n^16-\ 880874412753529471630896124276067152025233763184467991509387816812089658079/ 18903704462348982491387153512318962123755277986562048000000*n^13+ 14977840818702339788199669026562660973593958142974281670650352428921509569/ 2387836353138818841017324654187658373526982482513100800000*n^14+ 3327187694548613398211429668422657483081128042668917639228136645799/ 14700257660841683387307690178764788213913149767680000*n^19-\ 26315449915438185673100689620230063367958775107160770249190663929/ 452647230025916937145837967381320458199671767040000*n^20-\ 186129784667993187949635652751263905426344328064870392451913385337/ 7717635271941883778336537343851513812304403628032000*n^21+ 95475563713802244067330972851558841009420614318525737833697279/ 19367928406906038718455454780981275644154347520000*n^22-\ 28703077878714687578043569414736378799033511101841034876498022437484134293/ 260088491664588877304888916367115176186751792185344000000*n-\ 7415649038560049761667708208558753259715866442141072300075158838628383483083/ 37807408924697964982774307024637924247510555973124096000000*n^9-\ 5864237175525083416555651534130948878655200094066304196591088785065587344619/ 48927235079020895860060867914237313732072484200513536000000*n^10+ 40589646911797447050194317316367547568367996898199696088920479/ 19367928406906038718455454780981275644154347520000*n^23-\ 71552160621174518039490563210829152522228307460582255909/ 275190798620432491026647553011953333960704000*n^24+ 516227037155011164341065871965528181979082507233619/ 73756769537922826890418657397458606227456*n^27+ 663152263752678330134399306389040358551291670983719/ 1946359196139630154052714570210713219891200*n^28+ 3919916152323464854240273714390430638723701902303616713618635479242829139037/ 16974755027415412849408872541674170070310861865484288000000*n^2 and in latex \left( {\frac {128324337883356977}{35716948033536}}\,{n}^{33}+{\frac { 1403458110411911}{4464618504192}}\,{n}^{34}-{\frac { 4638802146089780514180887675843}{1020429451895488571768832}}\,{n}^{29}- {\frac {2518284426594797189546528639}{1124812006057637314560}}\,{n}^{30 }-{\frac {97978187777560207949219}{617188862019502080}}\,{n}^{31}+{ \frac {16922006691523980881}{1168918299279360}}\,{n}^{32}-{\frac { 7695029095209707948877819038367019636967942955517996873}{ 9410074575981202018601382879921438720000}}\,{n}^{17}+{\frac { 102638852647848665135293730630635917210130947570800837}{ 2016444551995971861128867759983165440000}}\,{n}^{18}+{\frac {5}{131072} }\,{n}^{38}+{\frac {20425}{3145728}}\,{n}^{37}+{\frac { 6264836234204457540399340331692346827014869243959451067316552187}{ 73095563176194917068288794032579431807057920000}}\,{n}^{11}+{\frac { 73483995951174936032271583075593064212087695303826486463381027}{ 1844295117986415064801231136229926790758400000}}\,{n}^{12}-{\frac { 5239570664281056500956999359560928439894537567669235592557687140320365929 }{9386149186866426261860552885957776625499144978432000000}}\,{n}^{7}+{ \frac { 1945364063452174374703554756315225064228710543421493599904729665261327} {3614575599062838649026880864911052902859014144000000}}\,{n}^{8}+{ \frac { 25399443081255693044524077527876478035546304604465694077522704281615866961 }{27532704281474850368124288465476144768130825270067200000}}\,{n}^{5}-{ \frac { 22319336549961297928523521279663111455207834324967700313678894875429743 }{123946747965823155918926868842179523265895071744000000}}\,{n}^{6}+{ \frac {2313369605}{150994944}}\,{n}^{35}+{\frac {5447395}{12582912}}\,{ n}^{36}-{\frac {137273693364798684990082183995638420377}{ 7576688680324002645383577600}}\,{n}^{25}-{\frac { 1189170844779952513305529362517139983}{803588193367697250267955200}}\,{ n}^{26}+{\frac { 1400221105155859094252343444128582715190250314064601150527345111036126371933 }{1896116253062359945944608103059348784449617548804096000000}}\,{n}^{3} -{\frac { 100376698785078481863634244115994953524300733260123502356693688114036760933 }{95305514820489866658891767765109731889683625934848000000}}\,{n}^{4}+{ \frac {25871627242660769020515497778183726246004263923230726739}{ 4312950847324717591858967153297326080000}}\,{n}^{15}-{\frac { 22161563710296319260871957097348216240696593340787797}{ 241283963486697487656445714869780480000}}\,{n}^{16}-{\frac { 944479837978014357405559675240829178833755280072703444914873}{ 31186331441169700804219068775899636695040000}}\,{n}^{13}-{\frac { 76220029415609286958304543621803358889780796950980322607}{ 23467526669266845720409085981176627200000}}\,{n}^{14}+{\frac { 7950672311079343377240019672844243202016283572718867}{ 95068105429090484767862251711365120000}}\,{n}^{19}-{\frac { 11805733972543862717442623380987199503570044605419}{ 2185473688025068615353155211755520000}}\,{n}^{20}-{\frac { 1888995882443507315084142986718162502956415439}{ 284012175181945239162203406336000}}\,{n}^{21}+{\frac { 49034788065440048306114366696058934487031683}{ 213009131386458929371652554752000}}\,{n}^{22}+{\frac { 10738891071311333048197781095591889751675773951978335986817043286282881329801 }{138627166057225871603505792423672388907538705234788352000000}}\,n-{ \frac { 20402325313915761024412167022279722902654385228465181795895388742189}{ 834132830552962765160049430364089131429003264000000}}\,{n}^{9}-{\frac { 29542160138909366077265703461927302565631789627939455432251491811}{ 136340769949814116567513800321034509877248000000}}\,{n}^{10}+{\frac { 14805857976625600378100289324537506566867}{ 36318692478509621376240844800}}\,{n}^{23}+{\frac { 361868153611828206030948824029699809643}{53036820762268018517685043200} }\,{n}^{24}+{\frac { 20499284883910307164704878946437239547681855165411706691217607039610312829 }{31990884474744431908501336713155166670970470438797312000000}}+{\frac {348772551835883394014815872054869}{695747353565105844387840}}\,{n}^{27 }+{\frac {1827934646753871697511538375245227}{ 21429018489805260007145472}}\,{n}^{28}-{\frac { 551093592241046403006201302611008213381305805227195327871123844030173872239 }{1611943791363091530273323167717120801250450060869632000000}}\,{n}^{2} \right) E-{\frac {6175}{2097152}}\,{n}^{39}-{\frac {19}{1048576}}\,{n} ^{40}+{\frac {6217922799364139822714363989}{106753676210244427972608}} \,{n}^{33}-{\frac {4195109175516629119371617}{628412815529182494720}}\, {n}^{34}-{\frac {30230828131370651528800140713218427585973433231}{ 141101870098566779328165475584363724800}}\,{n}^{29}-{\frac { 197282385206193008677353346851326478446589165971}{ 6542383852570185391773830488103237713920}}\,{n}^{30}+{\frac { 41943445673461275516978250858942964347671857}{ 17180705692504734891781657907630702592}}\,{n}^{31}+{\frac { 158730376257726974337319407394895455409}{ 174535394207295796813606881853440}}\,{n}^{32}-{\frac { 148760892172659298179880176781135424466383867720178124161450595759817}{ 85751503021576486425961526042794597914493373644800000}}\,{n}^{17}+{ \frac { 15791423433939854735583878746247881890605347096347093928998645022183}{ 34300601208630594570384610417117839165797349457920000}}\,{n}^{18}-{ \frac {11178935}{58720256}}\,{n}^{38}-{\frac {94956249137}{14394851328} }\,{n}^{37}+{\frac { 341032783014585098676873856570456714649372891550430739957532346396268696299163 }{2495288989030065688863104263626103000335696694226190336000000}}\,{n}^ {11}+{\frac { 8214684650551932467081296842260398029836587615333175305486949107350099186817 }{1247644494515032844431552131813051500167848347113095168000000}}\,{n}^ {12}-{\frac { 90930531380100817813451953893020741371681652424726407005800230031057623724409 }{831762996343355229621034754542034333445232231408730112000000}}\,{n}^{ 7}+{\frac { 530628136652101888569050849106933856072399623432698943914470178872633242997 }{1341553219908637467130701217003281182976181018401177600000}}\,{n}^{8} +{\frac { 97961270745381551900902190287374915650092572131933653187830081090913787949261 }{155955561814379105553944016476631437520981043389136896000000}}\,{n}^{ 5}-{\frac { 41505840144012555610805329517799394722278211975944663451971101456752227479453 }{108490825610002856037526272331569695666769421488095232000000}}\,{n}^{ 6}-{\frac {7795868482958248699}{5085413077155840}}\,{n}^{35}-{\frac { 2217703730194573}{16582868729856}}\,{n}^{36}-{\frac { 10219967887269839237469662245356727194888250220311644943523}{ 71733068173726069327612795485115835719090176000}}\,{n}^{25}+{\frac { 442073570145587188582210121993222747164652983392354431}{ 85549276295439557933944896225540650827776000}}\,{n}^{26}+{\frac { 932350924737151529032738387265368814412214641157471149616127618767123586867 }{277254332114451743207011584847344777815077410469576704000000}}\,{n}^{ 3}-{\frac { 186985734897159330680943173500951624410827619744833630580122846046565853074643 }{415881498171677614810517377271017166722616115704365056000000}}\,{n}^{ 4}+{\frac { 384730278473384219984777159381169181171146542893195523040013242839148617 }{36735943894443366784881917756733205746568961269432320000}}\,{n}^{15}- {\frac { 36230888524141872921117040549925098861170919961166310987345265752309}{ 15306643289351402827034132398638835727737067195596800}}\,{n}^{16}-{ \frac { 880874412753529471630896124276067152025233763184467991509387816812089658079 }{18903704462348982491387153512318962123755277986562048000000}}\,{n}^{ 13}+{\frac { 14977840818702339788199669026562660973593958142974281670650352428921509569 }{2387836353138818841017324654187658373526982482513100800000}}\,{n}^{14 }+{\frac { 3327187694548613398211429668422657483081128042668917639228136645799}{ 14700257660841683387307690178764788213913149767680000}}\,{n}^{19}-{ \frac { 26315449915438185673100689620230063367958775107160770249190663929}{ 452647230025916937145837967381320458199671767040000}}\,{n}^{20}-{\frac {186129784667993187949635652751263905426344328064870392451913385337}{ 7717635271941883778336537343851513812304403628032000}}\,{n}^{21}+{ \frac {95475563713802244067330972851558841009420614318525737833697279}{ 19367928406906038718455454780981275644154347520000}}\,{n}^{22}-{\frac { 28703077878714687578043569414736378799033511101841034876498022437484134293 }{260088491664588877304888916367115176186751792185344000000}}\,n-{ \frac { 7415649038560049761667708208558753259715866442141072300075158838628383483083 }{37807408924697964982774307024637924247510555973124096000000}}\,{n}^{9 }-{\frac { 5864237175525083416555651534130948878655200094066304196591088785065587344619 }{48927235079020895860060867914237313732072484200513536000000}}\,{n}^{ 10}+{\frac { 40589646911797447050194317316367547568367996898199696088920479}{ 19367928406906038718455454780981275644154347520000}}\,{n}^{23}-{\frac { 71552160621174518039490563210829152522228307460582255909}{ 275190798620432491026647553011953333960704000}}\,{n}^{24}+{\frac { 516227037155011164341065871965528181979082507233619}{ 73756769537922826890418657397458606227456}}\,{n}^{27}+{\frac { 663152263752678330134399306389040358551291670983719}{ 1946359196139630154052714570210713219891200}}\,{n}^{28}+{\frac { 3919916152323464854240273714390430638723701902303616713618635479242829139037 }{16974755027415412849408872541674170070310861865484288000000}}\,{n}^{2 } --------------------------- This ends this article, that took, 311.250, seconds to generate.