Ramanujan-type congrunences for the number of partitions of n into at most m parts modulo a for m from 2 to , 5, and for a from 2 to , 10 By Shalosh B. Ekhad Theorem Number, 1, : Let, p[2](n), be the number of partitions of n into at most, 2, parts The following congruences hold: p[2](4 n) = 1, mod , 2 p[2](4 n + 1) = 1, mod , 2 p[2](4 n + 2) = 0, mod , 2 p[2](4 n + 3) = 0, mod , 2 Proof: routine Theorem Number, 2, : Let, p[2](n), be the number of partitions of n into at most, 2, parts The following congruences hold: p[2](6 n) = 1, mod , 3 p[2](6 n + 1) = 1, mod , 3 p[2](6 n + 2) = 2, mod , 3 p[2](6 n + 3) = 2, mod , 3 p[2](6 n + 4) = 0, mod , 3 p[2](6 n + 5) = 0, mod , 3 Proof: routine Theorem Number, 3, : Let, p[2](n), be the number of partitions of n into at most, 2, parts The following congruences hold: p[2](8 n) = 1, mod , 4 p[2](8 n + 1) = 1, mod , 4 p[2](8 n + 2) = 2, mod , 4 p[2](8 n + 3) = 2, mod , 4 p[2](8 n + 4) = 3, mod , 4 p[2](8 n + 5) = 3, mod , 4 p[2](8 n + 6) = 0, mod , 4 p[2](8 n + 7) = 0, mod , 4 Proof: routine Theorem Number, 4, : Let, p[2](n), be the number of partitions of n into at most, 2, parts The following congruences hold: p[2](10 n) = 1, mod , 5 p[2](10 n + 1) = 1, mod , 5 p[2](10 n + 2) = 2, mod , 5 p[2](10 n + 3) = 2, mod , 5 p[2](10 n + 4) = 3, mod , 5 p[2](10 n + 5) = 3, mod , 5 p[2](10 n + 6) = 4, mod , 5 p[2](10 n + 7) = 4, mod , 5 p[2](10 n + 8) = 0, mod , 5 p[2](10 n + 9) = 0, mod , 5 Proof: routine Theorem Number, 5, : Let, p[2](n), be the number of partitions of n into at most, 2, parts The following congruences hold: p[2](12 n) = 1, mod , 6 p[2](12 n + 1) = 1, mod , 6 p[2](12 n + 2) = 2, mod , 6 p[2](12 n + 3) = 2, mod , 6 p[2](12 n + 4) = 3, mod , 6 p[2](12 n + 5) = 3, mod , 6 p[2](12 n + 6) = 4, mod , 6 p[2](12 n + 7) = 4, mod , 6 p[2](12 n + 8) = 5, mod , 6 p[2](12 n + 9) = 5, mod , 6 p[2](12 n + 10) = 0, mod , 6 p[2](12 n + 11) = 0, mod , 6 Proof: routine Theorem Number, 6, : Let, p[2](n), be the number of partitions of n into at most, 2, parts The following congruences hold: p[2](14 n) = 1, mod , 7 p[2](14 n + 1) = 1, mod , 7 p[2](14 n + 2) = 2, mod , 7 p[2](14 n + 3) = 2, mod , 7 p[2](14 n + 4) = 3, mod , 7 p[2](14 n + 5) = 3, mod , 7 p[2](14 n + 6) = 4, mod , 7 p[2](14 n + 7) = 4, mod , 7 p[2](14 n + 8) = 5, mod , 7 p[2](14 n + 9) = 5, mod , 7 p[2](14 n + 10) = 6, mod , 7 p[2](14 n + 11) = 6, mod , 7 p[2](14 n + 12) = 0, mod , 7 p[2](14 n + 13) = 0, mod , 7 Proof: routine Theorem Number, 7, : Let, p[2](n), be the number of partitions of n into at most, 2, parts The following congruences hold: p[2](16 n) = 1, mod , 8 p[2](16 n + 1) = 1, mod , 8 p[2](16 n + 2) = 2, mod , 8 p[2](16 n + 3) = 2, mod , 8 p[2](16 n + 4) = 3, mod , 8 p[2](16 n + 5) = 3, mod , 8 p[2](16 n + 6) = 4, mod , 8 p[2](16 n + 7) = 4, mod , 8 p[2](16 n + 8) = 5, mod , 8 p[2](16 n + 9) = 5, mod , 8 p[2](16 n + 10) = 6, mod , 8 p[2](16 n + 11) = 6, mod , 8 p[2](16 n + 12) = 7, mod , 8 p[2](16 n + 13) = 7, mod , 8 p[2](16 n + 14) = 0, mod , 8 p[2](16 n + 15) = 0, mod , 8 Proof: routine Theorem Number, 8, : Let, p[2](n), be the number of partitions of n into at most, 2, parts The following congruences hold: p[2](18 n) = 1, mod , 9 p[2](18 n + 1) = 1, mod , 9 p[2](18 n + 2) = 2, mod , 9 p[2](18 n + 3) = 2, mod , 9 p[2](18 n + 4) = 3, mod , 9 p[2](18 n + 5) = 3, mod , 9 p[2](18 n + 6) = 4, mod , 9 p[2](18 n + 7) = 4, mod , 9 p[2](18 n + 8) = 5, mod , 9 p[2](18 n + 9) = 5, mod , 9 p[2](18 n + 10) = 6, mod , 9 p[2](18 n + 11) = 6, mod , 9 p[2](18 n + 12) = 7, mod , 9 p[2](18 n + 13) = 7, mod , 9 p[2](18 n + 14) = 8, mod , 9 p[2](18 n + 15) = 8, mod , 9 p[2](18 n + 16) = 0, mod , 9 p[2](18 n + 17) = 0, mod , 9 Proof: routine Theorem Number, 9, : Let, p[2](n), be the number of partitions of n into at most, 2, parts The following congruences hold: p[2](20 n) = 1, mod , 10 p[2](20 n + 1) = 1, mod , 10 p[2](20 n + 2) = 2, mod , 10 p[2](20 n + 3) = 2, mod , 10 p[2](20 n + 4) = 3, mod , 10 p[2](20 n + 5) = 3, mod , 10 p[2](20 n + 6) = 4, mod , 10 p[2](20 n + 7) = 4, mod , 10 p[2](20 n + 8) = 5, mod , 10 p[2](20 n + 9) = 5, mod , 10 p[2](20 n + 10) = 6, mod , 10 p[2](20 n + 11) = 6, mod , 10 p[2](20 n + 12) = 7, mod , 10 p[2](20 n + 13) = 7, mod , 10 p[2](20 n + 14) = 8, mod , 10 p[2](20 n + 15) = 8, mod , 10 p[2](20 n + 16) = 9, mod , 10 p[2](20 n + 17) = 9, mod , 10 p[2](20 n + 18) = 0, mod , 10 p[2](20 n + 19) = 0, mod , 10 Proof: routine Theorem Number, 10, : Let, p[3](n), be the number of partitions of n into at most, 3, parts The following congruences hold: p[3](12 n) = 1, mod , 2 p[3](12 n + 1) = 1, mod , 2 p[3](12 n + 2) = 0, mod , 2 p[3](12 n + 3) = 1, mod , 2 p[3](12 n + 4) = 0, mod , 2 p[3](12 n + 5) = 1, mod , 2 p[3](12 n + 6) = 1, mod , 2 p[3](12 n + 7) = 0, mod , 2 p[3](12 n + 8) = 0, mod , 2 p[3](12 n + 9) = 0, mod , 2 p[3](12 n + 10) = 0, mod , 2 p[3](12 n + 11) = 0, mod , 2 Proof: routine Theorem Number, 11, : Let, p[3](n), be the number of partitions of n into at most, 3, parts The following congruences hold: p[3](18 n) = 1, mod , 3 p[3](18 n + 1) = 1, mod , 3 p[3](18 n + 2) = 2, mod , 3 p[3](18 n + 3) = 0, mod , 3 p[3](18 n + 4) = 1, mod , 3 p[3](18 n + 5) = 2, mod , 3 p[3](18 n + 6) = 1, mod , 3 p[3](18 n + 7) = 2, mod , 3 p[3](18 n + 8) = 1, mod , 3 p[3](18 n + 9) = 0, mod , 3 p[3](18 n + 10) = 2, mod , 3 p[3](18 n + 11) = 1, mod , 3 p[3](18 n + 12) = 1, mod , 3 p[3](18 n + 13) = 0, mod , 3 p[3](18 n + 14) = 0, mod , 3 p[3](18 n + 15) = 0, mod , 3 p[3](18 n + 16) = 0, mod , 3 p[3](18 n + 17) = 0, mod , 3 Proof: routine Theorem Number, 12, : Let, p[3](n), be the number of partitions of n into at most, 3, parts The following congruences hold: p[3](24 n) = 1, mod , 4 p[3](24 n + 1) = 1, mod , 4 p[3](24 n + 2) = 2, mod , 4 p[3](24 n + 3) = 3, mod , 4 p[3](24 n + 4) = 0, mod , 4 p[3](24 n + 5) = 1, mod , 4 p[3](24 n + 6) = 3, mod , 4 p[3](24 n + 7) = 0, mod , 4 p[3](24 n + 8) = 2, mod , 4 p[3](24 n + 9) = 0, mod , 4 p[3](24 n + 10) = 2, mod , 4 p[3](24 n + 11) = 0, mod , 4 p[3](24 n + 12) = 3, mod , 4 p[3](24 n + 13) = 1, mod , 4 p[3](24 n + 14) = 0, mod , 4 p[3](24 n + 15) = 3, mod , 4 p[3](24 n + 16) = 2, mod , 4 p[3](24 n + 17) = 1, mod , 4 p[3](24 n + 18) = 1, mod , 4 p[3](24 n + 19) = 0, mod , 4 p[3](24 n + 20) = 0, mod , 4 p[3](24 n + 21) = 0, mod , 4 p[3](24 n + 22) = 0, mod , 4 p[3](24 n + 23) = 0, mod , 4 Proof: routine Theorem Number, 13, : Let, p[3](n), be the number of partitions of n into at most, 3, parts The following congruences hold: p[3](30 n) = 1, mod , 5 p[3](30 n + 1) = 1, mod , 5 p[3](30 n + 2) = 2, mod , 5 p[3](30 n + 3) = 3, mod , 5 p[3](30 n + 4) = 4, mod , 5 p[3](30 n + 5) = 0, mod , 5 p[3](30 n + 6) = 2, mod , 5 p[3](30 n + 7) = 3, mod , 5 p[3](30 n + 8) = 0, mod , 5 p[3](30 n + 9) = 2, mod , 5 p[3](30 n + 10) = 4, mod , 5 p[3](30 n + 11) = 1, mod , 5 p[3](30 n + 12) = 4, mod , 5 p[3](30 n + 13) = 1, mod , 5 p[3](30 n + 14) = 4, mod , 5 p[3](30 n + 15) = 2, mod , 5 p[3](30 n + 16) = 0, mod , 5 p[3](30 n + 17) = 3, mod , 5 p[3](30 n + 18) = 2, mod , 5 p[3](30 n + 19) = 0, mod , 5 p[3](30 n + 20) = 4, mod , 5 p[3](30 n + 21) = 3, mod , 5 p[3](30 n + 22) = 2, mod , 5 p[3](30 n + 23) = 1, mod , 5 p[3](30 n + 24) = 1, mod , 5 p[3](30 n + 25) = 0, mod , 5 p[3](30 n + 26) = 0, mod , 5 p[3](30 n + 27) = 0, mod , 5 p[3](30 n + 28) = 0, mod , 5 p[3](30 n + 29) = 0, mod , 5 Proof: routine Theorem Number, 14, : Let, p[3](n), be the number of partitions of n into at most, 3, parts The following congruences hold: p[3](36 n) = 1, mod , 6 p[3](36 n + 1) = 1, mod , 6 p[3](36 n + 2) = 2, mod , 6 p[3](36 n + 3) = 3, mod , 6 p[3](36 n + 4) = 4, mod , 6 p[3](36 n + 5) = 5, mod , 6 p[3](36 n + 6) = 1, mod , 6 p[3](36 n + 7) = 2, mod , 6 p[3](36 n + 8) = 4, mod , 6 p[3](36 n + 9) = 0, mod , 6 p[3](36 n + 10) = 2, mod , 6 p[3](36 n + 11) = 4, mod , 6 p[3](36 n + 12) = 1, mod , 6 p[3](36 n + 13) = 3, mod , 6 p[3](36 n + 14) = 0, mod , 6 p[3](36 n + 15) = 3, mod , 6 p[3](36 n + 16) = 0, mod , 6 p[3](36 n + 17) = 3, mod , 6 p[3](36 n + 18) = 1, mod , 6 p[3](36 n + 19) = 4, mod , 6 p[3](36 n + 20) = 2, mod , 6 p[3](36 n + 21) = 0, mod , 6 p[3](36 n + 22) = 4, mod , 6 p[3](36 n + 23) = 2, mod , 6 p[3](36 n + 24) = 1, mod , 6 p[3](36 n + 25) = 5, mod , 6 p[3](36 n + 26) = 4, mod , 6 p[3](36 n + 27) = 3, mod , 6 p[3](36 n + 28) = 2, mod , 6 p[3](36 n + 29) = 1, mod , 6 p[3](36 n + 30) = 1, mod , 6 p[3](36 n + 31) = 0, mod , 6 p[3](36 n + 32) = 0, mod , 6 p[3](36 n + 33) = 0, mod , 6 p[3](36 n + 34) = 0, mod , 6 p[3](36 n + 35) = 0, mod , 6 Proof: routine Theorem Number, 15, : Let, p[3](n), be the number of partitions of n into at most, 3, parts The following congruences hold: p[3](42 n) = 1, mod , 7 p[3](42 n + 1) = 1, mod , 7 p[3](42 n + 2) = 2, mod , 7 p[3](42 n + 3) = 3, mod , 7 p[3](42 n + 4) = 4, mod , 7 p[3](42 n + 5) = 5, mod , 7 p[3](42 n + 6) = 0, mod , 7 p[3](42 n + 7) = 1, mod , 7 p[3](42 n + 8) = 3, mod , 7 p[3](42 n + 9) = 5, mod , 7 p[3](42 n + 10) = 0, mod , 7 p[3](42 n + 11) = 2, mod , 7 p[3](42 n + 12) = 5, mod , 7 p[3](42 n + 13) = 0, mod , 7 p[3](42 n + 14) = 3, mod , 7 p[3](42 n + 15) = 6, mod , 7 p[3](42 n + 16) = 2, mod , 7 p[3](42 n + 17) = 5, mod , 7 p[3](42 n + 18) = 2, mod , 7 p[3](42 n + 19) = 5, mod , 7 p[3](42 n + 20) = 2, mod , 7 p[3](42 n + 21) = 6, mod , 7 p[3](42 n + 22) = 3, mod , 7 p[3](42 n + 23) = 0, mod , 7 p[3](42 n + 24) = 5, mod , 7 p[3](42 n + 25) = 2, mod , 7 p[3](42 n + 26) = 0, mod , 7 p[3](42 n + 27) = 5, mod , 7 p[3](42 n + 28) = 3, mod , 7 p[3](42 n + 29) = 1, mod , 7 p[3](42 n + 30) = 0, mod , 7 p[3](42 n + 31) = 5, mod , 7 p[3](42 n + 32) = 4, mod , 7 p[3](42 n + 33) = 3, mod , 7 p[3](42 n + 34) = 2, mod , 7 p[3](42 n + 35) = 1, mod , 7 p[3](42 n + 36) = 1, mod , 7 p[3](42 n + 37) = 0, mod , 7 p[3](42 n + 38) = 0, mod , 7 p[3](42 n + 39) = 0, mod , 7 p[3](42 n + 40) = 0, mod , 7 p[3](42 n + 41) = 0, mod , 7 Proof: routine Theorem Number, 16, : Let, p[3](n), be the number of partitions of n into at most, 3, parts The following congruences hold: p[3](48 n) = 1, mod , 8 p[3](48 n + 1) = 1, mod , 8 p[3](48 n + 2) = 2, mod , 8 p[3](48 n + 3) = 3, mod , 8 p[3](48 n + 4) = 4, mod , 8 p[3](48 n + 5) = 5, mod , 8 p[3](48 n + 6) = 7, mod , 8 p[3](48 n + 7) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 8) = 2, mod , 8 p[3](48 n + 9) = 4, mod , 8 p[3](48 n + 10) = 6, mod , 8 p[3](48 n + 11) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 12) = 3, mod , 8 p[3](48 n + 13) = 5, mod , 8 p[3](48 n + 14) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 15) = 3, mod , 8 p[3](48 n + 16) = 6, mod , 8 p[3](48 n + 17) = 1, mod , 8 p[3](48 n + 18) = 5, mod , 8 p[3](48 n + 19) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 20) = 4, mod , 8 p[3](48 n + 21) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 22) = 4, mod , 8 p[3](48 n + 23) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 24) = 5, mod , 8 p[3](48 n + 25) = 1, mod , 8 p[3](48 n + 26) = 6, mod , 8 p[3](48 n + 27) = 3, mod , 8 p[3](48 n + 28) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 29) = 5, mod , 8 p[3](48 n + 30) = 3, mod , 8 p[3](48 n + 31) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 32) = 6, mod , 8 p[3](48 n + 33) = 4, mod , 8 p[3](48 n + 34) = 2, mod , 8 p[3](48 n + 35) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 36) = 7, mod , 8 p[3](48 n + 37) = 5, mod , 8 p[3](48 n + 38) = 4, mod , 8 p[3](48 n + 39) = 3, mod , 8 p[3](48 n + 40) = 2, mod , 8 p[3](48 n + 41) = 1, mod , 8 p[3](48 n + 42) = 1, mod , 8 p[3](48 n + 43) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 44) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 45) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 46) = 0, mod , 8 p[3](48 n + 47) = 0, mod , 8 Proof: routine Theorem Number, 17, : Let, p[3](n), be the number of partitions of n into at most, 3, parts The following congruences hold: p[3](54 n) = 1, mod , 9 p[3](54 n + 1) = 1, mod , 9 p[3](54 n + 2) = 2, mod , 9 p[3](54 n + 3) = 3, mod , 9 p[3](54 n + 4) = 4, mod , 9 p[3](54 n + 5) = 5, mod , 9 p[3](54 n + 6) = 7, mod , 9 p[3](54 n + 7) = 8, mod , 9 p[3](54 n + 8) = 1, mod , 9 p[3](54 n + 9) = 3, mod , 9 p[3](54 n + 10) = 5, mod , 9 p[3](54 n + 11) = 7, mod , 9 p[3](54 n + 12) = 1, mod , 9 p[3](54 n + 13) = 3, mod , 9 p[3](54 n + 14) = 6, mod , 9 p[3](54 n + 15) = 0, mod , 9 p[3](54 n + 16) = 3, mod , 9 p[3](54 n + 17) = 6, mod , 9 p[3](54 n + 18) = 1, mod , 9 p[3](54 n + 19) = 4, mod , 9 p[3](54 n + 20) = 8, mod , 9 p[3](54 n + 21) = 3, mod , 9 p[3](54 n + 22) = 7, mod , 9 p[3](54 n + 23) = 2, mod , 9 p[3](54 n + 24) = 7, mod , 9 p[3](54 n + 25) = 2, mod , 9 p[3](54 n + 26) = 7, mod , 9 p[3](54 n + 27) = 3, mod , 9 p[3](54 n + 28) = 8, mod , 9 p[3](54 n + 29) = 4, mod , 9 p[3](54 n + 30) = 1, mod , 9 p[3](54 n + 31) = 6, mod , 9 p[3](54 n + 32) = 3, mod , 9 p[3](54 n + 33) = 0, mod , 9 p[3](54 n + 34) = 6, mod , 9 p[3](54 n + 35) = 3, mod , 9 p[3](54 n + 36) = 1, mod , 9 p[3](54 n + 37) = 7, mod , 9 p[3](54 n + 38) = 5, mod , 9 p[3](54 n + 39) = 3, mod , 9 p[3](54 n + 40) = 1, mod , 9 p[3](54 n + 41) = 8, mod , 9 p[3](54 n + 42) = 7, mod , 9 p[3](54 n + 43) = 5, mod , 9 p[3](54 n + 44) = 4, mod , 9 p[3](54 n + 45) = 3, mod , 9 p[3](54 n + 46) = 2, mod , 9 p[3](54 n + 47) = 1, mod , 9 p[3](54 n + 48) = 1, mod , 9 p[3](54 n + 49) = 0, mod , 9 p[3](54 n + 50) = 0, mod , 9 p[3](54 n + 51) = 0, mod , 9 p[3](54 n + 52) = 0, mod , 9 p[3](54 n + 53) = 0, mod , 9 Proof: routine Theorem Number, 18, : Let, p[3](n), be the number of partitions of n into at most, 3, parts The following congruences hold: p[3](60 n) = 1, mod , 10 p[3](60 n + 1) = 1, mod , 10 p[3](60 n + 2) = 2, mod , 10 p[3](60 n + 3) = 3, mod , 10 p[3](60 n + 4) = 4, mod , 10 p[3](60 n + 5) = 5, mod , 10 p[3](60 n + 6) = 7, mod , 10 p[3](60 n + 7) = 8, mod , 10 p[3](60 n + 8) = 0, mod , 10 p[3](60 n + 9) = 2, mod , 10 p[3](60 n + 10) = 4, mod , 10 p[3](60 n + 11) = 6, mod , 10 p[3](60 n + 12) = 9, mod , 10 p[3](60 n + 13) = 1, mod , 10 p[3](60 n + 14) = 4, mod , 10 p[3](60 n + 15) = 7, mod , 10 p[3](60 n + 16) = 0, mod , 10 p[3](60 n + 17) = 3, mod , 10 p[3](60 n + 18) = 7, mod , 10 p[3](60 n + 19) = 0, mod , 10 p[3](60 n + 20) = 4, mod , 10 p[3](60 n + 21) = 8, mod , 10 p[3](60 n + 22) = 2, mod , 10 p[3](60 n + 23) = 6, mod , 10 p[3](60 n + 24) = 1, mod , 10 p[3](60 n + 25) = 5, mod , 10 p[3](60 n + 26) = 0, mod , 10 p[3](60 n + 27) = 5, mod , 10 p[3](60 n + 28) = 0, mod , 10 p[3](60 n + 29) = 5, mod , 10 p[3](60 n + 30) = 1, mod , 10 p[3](60 n + 31) = 6, mod , 10 p[3](60 n + 32) = 2, mod , 10 p[3](60 n + 33) = 8, mod , 10 p[3](60 n + 34) = 4, mod , 10 p[3](60 n + 35) = 0, mod , 10 p[3](60 n + 36) = 7, mod , 10 p[3](60 n + 37) = 3, mod , 10 p[3](60 n + 38) = 0, mod , 10 p[3](60 n + 39) = 7, mod , 10 p[3](60 n + 40) = 4, mod , 10 p[3](60 n + 41) = 1, mod , 10 p[3](60 n + 42) = 9, mod , 10 p[3](60 n + 43) = 6, mod , 10 p[3](60 n + 44) = 4, mod , 10 p[3](60 n + 45) = 2, mod , 10 p[3](60 n + 46) = 0, mod , 10 p[3](60 n + 47) = 8, mod , 10 p[3](60 n + 48) = 7, mod , 10 p[3](60 n + 49) = 5, mod , 10 p[3](60 n + 50) = 4, mod , 10 p[3](60 n + 51) = 3, mod , 10 p[3](60 n + 52) = 2, mod , 10 p[3](60 n + 53) = 1, mod , 10 p[3](60 n + 54) = 1, mod , 10 p[3](60 n + 55) = 0, mod , 10 p[3](60 n + 56) = 0, mod , 10 p[3](60 n + 57) = 0, mod , 10 p[3](60 n + 58) = 0, mod , 10 p[3](60 n + 59) = 0, mod , 10 Proof: routine Theorem Number, 19, : Let, p[4](n), be the number of partitions of n into at most, 4, parts The following congruences hold: p[4](24 n) = 1, mod , 2 p[4](24 n + 1) = 1, mod , 2 p[4](24 n + 2) = 0, mod , 2 p[4](24 n + 3) = 1, mod , 2 p[4](24 n + 4) = 1, mod , 2 p[4](24 n + 5) = 0, mod , 2 p[4](24 n + 6) = 1, mod , 2 p[4](24 n + 7) = 1, mod , 2 p[4](24 n + 8) = 1, mod , 2 p[4](24 n + 9) = 0, mod , 2 p[4](24 n + 10) = 1, mod , 2 p[4](24 n + 11) = 1, mod , 2 p[4](24 n + 12) = 0, mod , 2 p[4](24 n + 13) = 1, mod , 2 p[4](24 n + 14) = 1, mod , 2 p[4](24 n + 15) = 0, mod , 2 p[4](24 n + 16) = 0, mod , 2 p[4](24 n + 17) = 0, mod , 2 p[4](24 n + 18) = 0, mod , 2 p[4](24 n + 19) = 0, mod , 2 p[4](24 n + 20) = 0, mod , 2 p[4](24 n + 21) = 0, mod , 2 p[4](24 n + 22) = 0, mod , 2 p[4](24 n + 23) = 0, mod , 2 Proof: routine Theorem Number, 20, : Let, p[4](n), be the number of partitions of n into at most, 4, parts The following congruences hold: p[4](36 n) = 1, mod , 3 p[4](36 n + 1) = 1, mod , 3 p[4](36 n + 2) = 2, mod , 3 p[4](36 n + 3) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 4) = 2, mod , 3 p[4](36 n + 5) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 6) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 7) = 2, mod , 3 p[4](36 n + 8) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 9) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 10) = 2, mod , 3 p[4](36 n + 11) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 12) = 1, mod , 3 p[4](36 n + 13) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 14) = 2, mod , 3 p[4](36 n + 15) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 16) = 1, mod , 3 p[4](36 n + 17) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 18) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 19) = 1, mod , 3 p[4](36 n + 20) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 21) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 22) = 1, mod , 3 p[4](36 n + 23) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 24) = 1, mod , 3 p[4](36 n + 25) = 2, mod , 3 p[4](36 n + 26) = 2, mod , 3 p[4](36 n + 27) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 28) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 29) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 30) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 31) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 32) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 33) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 34) = 0, mod , 3 p[4](36 n + 35) = 0, mod , 3 Proof: routine Theorem Number, 21, : Let, p[4](n), be the number of partitions of n into at most, 4, parts The following congruences hold: p[4](48 n) = 1, mod , 4 p[4](48 n + 1) = 1, mod , 4 p[4](48 n + 2) = 2, mod , 4 p[4](48 n + 3) = 3, mod , 4 p[4](48 n + 4) = 1, mod , 4 p[4](48 n + 5) = 2, mod , 4 p[4](48 n + 6) = 1, mod , 4 p[4](48 n + 7) = 3, mod , 4 p[4](48 n + 8) = 3, mod , 4 p[4](48 n + 9) = 2, mod , 4 p[4](48 n + 10) = 3, mod , 4 p[4](48 n + 11) = 3, mod , 4 p[4](48 n + 12) = 2, mod , 4 p[4](48 n + 13) = 3, mod , 4 p[4](48 n + 14) = 3, mod , 4 p[4](48 n + 15) = 2, mod , 4 p[4](48 n + 16) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 17) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 18) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 19) = 2, mod , 4 p[4](48 n + 20) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 21) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 22) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 23) = 2, mod , 4 p[4](48 n + 24) = 1, mod , 4 p[4](48 n + 25) = 1, mod , 4 p[4](48 n + 26) = 2, mod , 4 p[4](48 n + 27) = 1, mod , 4 p[4](48 n + 28) = 1, mod , 4 p[4](48 n + 29) = 2, mod , 4 p[4](48 n + 30) = 1, mod , 4 p[4](48 n + 31) = 1, mod , 4 p[4](48 n + 32) = 3, mod , 4 p[4](48 n + 33) = 2, mod , 4 p[4](48 n + 34) = 3, mod , 4 p[4](48 n + 35) = 1, mod , 4 p[4](48 n + 36) = 2, mod , 4 p[4](48 n + 37) = 3, mod , 4 p[4](48 n + 38) = 3, mod , 4 p[4](48 n + 39) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 40) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 41) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 42) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 43) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 44) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 45) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 46) = 0, mod , 4 p[4](48 n + 47) = 0, mod , 4 Proof: routine Theorem Number, 22, : Let, p[4](n), be the number of partitions of n into at most, 4, parts The following congruences hold: p[4](60 n) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 1) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 2) = 2, mod , 5 p[4](60 n + 3) = 3, mod , 5 p[4](60 n + 4) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 5) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 6) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 7) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 8) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 9) = 3, mod , 5 p[4](60 n + 10) = 3, mod , 5 p[4](60 n + 11) = 2, mod , 5 p[4](60 n + 12) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 13) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 14) = 2, mod , 5 p[4](60 n + 15) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 16) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 17) = 2, mod , 5 p[4](60 n + 18) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 19) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 20) = 3, mod , 5 p[4](60 n + 21) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 22) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 23) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 24) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 25) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 26) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 27) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 28) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 29) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 30) = 2, mod , 5 p[4](60 n + 31) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 32) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 33) = 3, mod , 5 p[4](60 n + 34) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 35) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 36) = 3, mod , 5 p[4](60 n + 37) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 38) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 39) = 3, mod , 5 p[4](60 n + 40) = 2, mod , 5 p[4](60 n + 41) = 2, mod , 5 p[4](60 n + 42) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 43) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 44) = 1, mod , 5 p[4](60 n + 45) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 46) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 47) = 2, mod , 5 p[4](60 n + 48) = 3, mod , 5 p[4](60 n + 49) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 50) = 4, mod , 5 p[4](60 n + 51) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 52) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 53) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 54) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 55) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 56) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 57) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 58) = 0, mod , 5 p[4](60 n + 59) = 0, mod , 5 Proof: routine Theorem Number, 23, : Let, p[4](n), be the number of partitions of n into at most, 4, parts The following congruences hold: p[4](72 n) = 1, mod , 6 p[4](72 n + 1) = 1, mod , 6 p[4](72 n + 2) = 2, mod , 6 p[4](72 n + 3) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 4) = 5, mod , 6 p[4](72 n + 5) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 6) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 7) = 5, mod , 6 p[4](72 n + 8) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 9) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 10) = 5, mod , 6 p[4](72 n + 11) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 12) = 4, mod , 6 p[4](72 n + 13) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 14) = 5, mod , 6 p[4](72 n + 15) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 16) = 4, mod , 6 p[4](72 n + 17) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 18) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 19) = 4, mod , 6 p[4](72 n + 20) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 21) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 22) = 4, mod , 6 p[4](72 n + 23) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 24) = 1, mod , 6 p[4](72 n + 25) = 5, mod , 6 p[4](72 n + 26) = 2, mod , 6 p[4](72 n + 27) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 28) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 29) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 30) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 31) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 32) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 33) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 34) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 35) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 36) = 4, mod , 6 p[4](72 n + 37) = 1, mod , 6 p[4](72 n + 38) = 5, mod , 6 p[4](72 n + 39) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 40) = 2, mod , 6 p[4](72 n + 41) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 42) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 43) = 2, mod , 6 p[4](72 n + 44) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 45) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 46) = 2, mod , 6 p[4](72 n + 47) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 48) = 1, mod , 6 p[4](72 n + 49) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 50) = 2, mod , 6 p[4](72 n + 51) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 52) = 1, mod , 6 p[4](72 n + 53) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 54) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 55) = 1, mod , 6 p[4](72 n + 56) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 57) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 58) = 1, mod , 6 p[4](72 n + 59) = 3, mod , 6 p[4](72 n + 60) = 4, mod , 6 p[4](72 n + 61) = 5, mod , 6 p[4](72 n + 62) = 5, mod , 6 p[4](72 n + 63) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 64) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 65) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 66) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 67) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 68) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 69) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 70) = 0, mod , 6 p[4](72 n + 71) = 0, mod , 6 Proof: routine Theorem Number, 24, : Let, p[4](n), be the number of partitions of n into at most, 4, parts The following congruences hold: p[4](84 n) = 1, mod , 7 p[4](84 n + 1) = 1, mod , 7 p[4](84 n + 2) = 2, mod , 7 p[4](84 n + 3) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 4) = 5, mod , 7 p[4](84 n + 5) = 6, mod , 7 p[4](84 n + 6) = 2, mod , 7 p[4](84 n + 7) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 8) = 1, mod , 7 p[4](84 n + 9) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 10) = 2, mod , 7 p[4](84 n + 11) = 6, mod , 7 p[4](84 n + 12) = 6, mod , 7 p[4](84 n + 13) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 14) = 5, mod , 7 p[4](84 n + 15) = 5, mod , 7 p[4](84 n + 16) = 1, mod , 7 p[4](84 n + 17) = 2, mod , 7 p[4](84 n + 18) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 19) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 20) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 21) = 1, mod , 7 p[4](84 n + 22) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 23) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 24) = 1, mod , 7 p[4](84 n + 25) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 26) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 27) = 1, mod , 7 p[4](84 n + 28) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 29) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 30) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 31) = 6, mod , 7 p[4](84 n + 32) = 1, mod , 7 p[4](84 n + 33) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 34) = 5, mod , 7 p[4](84 n + 35) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 36) = 2, mod , 7 p[4](84 n + 37) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 38) = 5, mod , 7 p[4](84 n + 39) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 40) = 2, mod , 7 p[4](84 n + 41) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 42) = 6, mod , 7 p[4](84 n + 43) = 1, mod , 7 p[4](84 n + 44) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 45) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 46) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 47) = 6, mod , 7 p[4](84 n + 48) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 49) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 50) = 6, mod , 7 p[4](84 n + 51) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 52) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 53) = 6, mod , 7 p[4](84 n + 54) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 55) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 56) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 57) = 5, mod , 7 p[4](84 n + 58) = 6, mod , 7 p[4](84 n + 59) = 2, mod , 7 p[4](84 n + 60) = 2, mod , 7 p[4](84 n + 61) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 62) = 1, mod , 7 p[4](84 n + 63) = 1, mod , 7 p[4](84 n + 64) = 5, mod , 7 p[4](84 n + 65) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 66) = 6, mod , 7 p[4](84 n + 67) = 3, mod , 7 p[4](84 n + 68) = 5, mod , 7 p[4](84 n + 69) = 1, mod , 7 p[4](84 n + 70) = 2, mod , 7 p[4](84 n + 71) = 4, mod , 7 p[4](84 n + 72) = 5, mod , 7 p[4](84 n + 73) = 6, mod , 7 p[4](84 n + 74) = 6, mod , 7 p[4](84 n + 75) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 76) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 77) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 78) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 79) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 80) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 81) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 82) = 0, mod , 7 p[4](84 n + 83) = 0, mod , 7 Proof: routine Theorem Number, 25, : Let, p[4](n), be the number of partitions of n into at most, 4, parts The following congruences hold: p[4](96 n) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 1) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 2) = 2, mod , 8 p[4](96 n + 3) = 3, mod , 8 p[4](96 n + 4) = 5, mod , 8 p[4](96 n + 5) = 6, mod , 8 p[4](96 n + 6) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 7) = 3, mod , 8 p[4](96 n + 8) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 9) = 2, mod , 8 p[4](96 n + 10) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 11) = 3, mod , 8 p[4](96 n + 12) = 2, mod , 8 p[4](96 n + 13) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 14) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 15) = 6, mod , 8 p[4](96 n + 16) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 17) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 18) = 4, mod , 8 p[4](96 n + 19) = 6, mod , 8 p[4](96 n + 20) = 4, mod , 8 p[4](96 n + 21) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 22) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 23) = 6, mod , 8 p[4](96 n + 24) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 25) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 26) = 6, mod , 8 p[4](96 n + 27) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 28) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 29) = 6, mod , 8 p[4](96 n + 30) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 31) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 32) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 33) = 2, mod , 8 p[4](96 n + 34) = 3, mod , 8 p[4](96 n + 35) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 36) = 6, mod , 8 p[4](96 n + 37) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 38) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 39) = 4, mod , 8 p[4](96 n + 40) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 41) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 42) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 43) = 4, mod , 8 p[4](96 n + 44) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 45) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 46) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 47) = 4, mod , 8 p[4](96 n + 48) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 49) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 50) = 2, mod , 8 p[4](96 n + 51) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 52) = 5, mod , 8 p[4](96 n + 53) = 6, mod , 8 p[4](96 n + 54) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 55) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 56) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 57) = 2, mod , 8 p[4](96 n + 58) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 59) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 60) = 2, mod , 8 p[4](96 n + 61) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 62) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 63) = 2, mod , 8 p[4](96 n + 64) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 65) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 66) = 4, mod , 8 p[4](96 n + 67) = 2, mod , 8 p[4](96 n + 68) = 4, mod , 8 p[4](96 n + 69) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 70) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 71) = 2, mod , 8 p[4](96 n + 72) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 73) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 74) = 6, mod , 8 p[4](96 n + 75) = 5, mod , 8 p[4](96 n + 76) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 77) = 6, mod , 8 p[4](96 n + 78) = 1, mod , 8 p[4](96 n + 79) = 5, mod , 8 p[4](96 n + 80) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 81) = 2, mod , 8 p[4](96 n + 82) = 3, mod , 8 p[4](96 n + 83) = 5, mod , 8 p[4](96 n + 84) = 6, mod , 8 p[4](96 n + 85) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 86) = 7, mod , 8 p[4](96 n + 87) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 88) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 89) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 90) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 91) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 92) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 93) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 94) = 0, mod , 8 p[4](96 n + 95) = 0, mod , 8 Proof: routine Theorem Number, 26, : Let, p[4](n), be the number of partitions of n into at most, 4, parts The following congruences hold: p[4](108 n) = 1, mod , 9 p[4](108 n + 1) = 1, mod , 9 p[4](108 n + 2) = 2, mod , 9 p[4](108 n + 3) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 4) = 5, mod , 9 p[4](108 n + 5) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 6) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 7) = 2, mod , 9 p[4](108 n + 8) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 9) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 10) = 5, mod , 9 p[4](108 n + 11) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 12) = 7, mod , 9 p[4](108 n + 13) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 14) = 2, mod , 9 p[4](108 n + 15) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 16) = 1, mod , 9 p[4](108 n + 17) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 18) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 19) = 4, mod , 9 p[4](108 n + 20) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 21) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 22) = 1, mod , 9 p[4](108 n + 23) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 24) = 7, mod , 9 p[4](108 n + 25) = 5, mod , 9 p[4](108 n + 26) = 8, mod , 9 p[4](108 n + 27) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 28) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 29) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 30) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 31) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 32) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 33) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 34) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 35) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 36) = 1, mod , 9 p[4](108 n + 37) = 7, mod , 9 p[4](108 n + 38) = 2, mod , 9 p[4](108 n + 39) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 40) = 2, mod , 9 p[4](108 n + 41) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 42) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 43) = 8, mod , 9 p[4](108 n + 44) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 45) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 46) = 2, mod , 9 p[4](108 n + 47) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 48) = 7, mod , 9 p[4](108 n + 49) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 50) = 2, mod , 9 p[4](108 n + 51) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 52) = 7, mod , 9 p[4](108 n + 53) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 54) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 55) = 1, mod , 9 p[4](108 n + 56) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 57) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 58) = 7, mod , 9 p[4](108 n + 59) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 60) = 7, mod , 9 p[4](108 n + 61) = 2, mod , 9 p[4](108 n + 62) = 8, mod , 9 p[4](108 n + 63) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 64) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 65) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 66) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 67) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 68) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 69) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 70) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 71) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 72) = 1, mod , 9 p[4](108 n + 73) = 4, mod , 9 p[4](108 n + 74) = 2, mod , 9 p[4](108 n + 75) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 76) = 8, mod , 9 p[4](108 n + 77) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 78) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 79) = 5, mod , 9 p[4](108 n + 80) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 81) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 82) = 8, mod , 9 p[4](108 n + 83) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 84) = 7, mod , 9 p[4](108 n + 85) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 86) = 2, mod , 9 p[4](108 n + 87) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 88) = 4, mod , 9 p[4](108 n + 89) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 90) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 91) = 7, mod , 9 p[4](108 n + 92) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 93) = 3, mod , 9 p[4](108 n + 94) = 4, mod , 9 p[4](108 n + 95) = 6, mod , 9 p[4](108 n + 96) = 7, mod , 9 p[4](108 n + 97) = 8, mod , 9 p[4](108 n + 98) = 8, mod , 9 p[4](108 n + 99) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 100) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 101) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 102) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 103) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 104) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 105) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 106) = 0, mod , 9 p[4](108 n + 107) = 0, mod , 9 Proof: routine Theorem Number, 27, : Let, p[4](n), be the number of partitions of n into at most, 4, parts The following congruences hold: p[4](120 n) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 1) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 2) = 2, mod , 10 p[4](120 n + 3) = 3, mod , 10 p[4](120 n + 4) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 5) = 6, mod , 10 p[4](120 n + 6) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 7) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 8) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 9) = 8, mod , 10 p[4](120 n + 10) = 3, mod , 10 p[4](120 n + 11) = 7, mod , 10 p[4](120 n + 12) = 4, mod , 10 p[4](120 n + 13) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 14) = 7, mod , 10 p[4](120 n + 15) = 4, mod , 10 p[4](120 n + 16) = 4, mod , 10 p[4](120 n + 17) = 2, mod , 10 p[4](120 n + 18) = 4, mod , 10 p[4](120 n + 19) = 4, mod , 10 p[4](120 n + 20) = 8, mod , 10 p[4](120 n + 21) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 22) = 6, mod , 10 p[4](120 n + 23) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 24) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 25) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 26) = 6, mod , 10 p[4](120 n + 27) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 28) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 29) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 30) = 7, mod , 10 p[4](120 n + 31) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 32) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 33) = 8, mod , 10 p[4](120 n + 34) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 35) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 36) = 8, mod , 10 p[4](120 n + 37) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 38) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 39) = 8, mod , 10 p[4](120 n + 40) = 2, mod , 10 p[4](120 n + 41) = 2, mod , 10 p[4](120 n + 42) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 43) = 4, mod , 10 p[4](120 n + 44) = 6, mod , 10 p[4](120 n + 45) = 4, mod , 10 p[4](120 n + 46) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 47) = 2, mod , 10 p[4](120 n + 48) = 3, mod , 10 p[4](120 n + 49) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 50) = 4, mod , 10 p[4](120 n + 51) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 52) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 53) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 54) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 55) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 56) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 57) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 58) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 59) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 60) = 6, mod , 10 p[4](120 n + 61) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 62) = 7, mod , 10 p[4](120 n + 63) = 8, mod , 10 p[4](120 n + 64) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 65) = 6, mod , 10 p[4](120 n + 66) = 4, mod , 10 p[4](120 n + 67) = 6, mod , 10 p[4](120 n + 68) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 69) = 8, mod , 10 p[4](120 n + 70) = 8, mod , 10 p[4](120 n + 71) = 2, mod , 10 p[4](120 n + 72) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 73) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 74) = 2, mod , 10 p[4](120 n + 75) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 76) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 77) = 2, mod , 10 p[4](120 n + 78) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 79) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 80) = 3, mod , 10 p[4](120 n + 81) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 82) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 83) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 84) = 4, mod , 10 p[4](120 n + 85) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 86) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 87) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 88) = 4, mod , 10 p[4](120 n + 89) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 90) = 2, mod , 10 p[4](120 n + 91) = 6, mod , 10 p[4](120 n + 92) = 6, mod , 10 p[4](120 n + 93) = 8, mod , 10 p[4](120 n + 94) = 6, mod , 10 p[4](120 n + 95) = 6, mod , 10 p[4](120 n + 96) = 3, mod , 10 p[4](120 n + 97) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 98) = 6, mod , 10 p[4](120 n + 99) = 3, mod , 10 p[4](120 n + 100) = 7, mod , 10 p[4](120 n + 101) = 2, mod , 10 p[4](120 n + 102) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 103) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 104) = 1, mod , 10 p[4](120 n + 105) = 4, mod , 10 p[4](120 n + 106) = 5, mod , 10 p[4](120 n + 107) = 7, mod , 10 p[4](120 n + 108) = 8, mod , 10 p[4](120 n + 109) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 110) = 9, mod , 10 p[4](120 n + 111) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 112) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 113) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 114) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 115) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 116) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 117) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 118) = 0, mod , 10 p[4](120 n + 119) = 0, mod , 10 Proof: routine Theorem Number, 28, : Let, p[5](n), be the number of partitions of n into at most, 5, parts The following congruences hold: p[5](240 n) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 1) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 2) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 3) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 4) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 5) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 6) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 7) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 8) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 9) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 10) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 11) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 12) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 13) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 14) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 15) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 16) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 17) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 18) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 19) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 20) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 21) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 22) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 23) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 24) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 25) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 26) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 27) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 28) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 29) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 30) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 31) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 32) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 33) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 34) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 35) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 36) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 37) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 38) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 39) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 40) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 41) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 42) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 43) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 44) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 45) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 46) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 47) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 48) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 49) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 50) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 51) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 52) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 53) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 54) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 55) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 56) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 57) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 58) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 59) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 60) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 61) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 62) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 63) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 64) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 65) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 66) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 67) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 68) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 69) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 70) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 71) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 72) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 73) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 74) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 75) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 76) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 77) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 78) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 79) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 80) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 81) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 82) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 83) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 84) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 85) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 86) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 87) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 88) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 89) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 90) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 91) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 92) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 93) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 94) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 95) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 96) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 97) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 98) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 99) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 100) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 101) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 102) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 103) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 104) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 105) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 106) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 107) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 108) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 109) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 110) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 111) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 112) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 113) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 114) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 115) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 116) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 117) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 118) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 119) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 120) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 121) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 122) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 123) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 124) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 125) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 126) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 127) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 128) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 129) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 130) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 131) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 132) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 133) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 134) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 135) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 136) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 137) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 138) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 139) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 140) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 141) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 142) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 143) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 144) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 145) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 146) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 147) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 148) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 149) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 150) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 151) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 152) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 153) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 154) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 155) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 156) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 157) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 158) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 159) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 160) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 161) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 162) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 163) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 164) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 165) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 166) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 167) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 168) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 169) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 170) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 171) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 172) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 173) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 174) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 175) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 176) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 177) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 178) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 179) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 180) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 181) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 182) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 183) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 184) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 185) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 186) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 187) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 188) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 189) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 190) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 191) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 192) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 193) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 194) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 195) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 196) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 197) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 198) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 199) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 200) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 201) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 202) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 203) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 204) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 205) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 206) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 207) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 208) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 209) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 210) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 211) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 212) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 213) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 214) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 215) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 216) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 217) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 218) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 219) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 220) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 221) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 222) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 223) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 224) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 225) = 1, mod , 2 p[5](240 n + 226) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 227) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 228) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 229) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 230) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 231) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 232) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 233) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 234) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 235) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 236) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 237) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 238) = 0, mod , 2 p[5](240 n + 239) = 0, mod , 2 Proof: routine Theorem Number, 29, : Let, p[5](n), be the number of partitions of n into at most, 5, parts The following congruences hold: p[5](180 n) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 1) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 2) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 3) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 4) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 5) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 6) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 7) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 8) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 9) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 10) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 11) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 12) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 13) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 14) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 15) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 16) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 17) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 18) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 19) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 20) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 21) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 22) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 23) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 24) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 25) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 26) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 27) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 28) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 29) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 30) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 31) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 32) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 33) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 34) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 35) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 36) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 37) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 38) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 39) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 40) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 41) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 42) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 43) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 44) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 45) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 46) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 47) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 48) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 49) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 50) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 51) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 52) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 53) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 54) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 55) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 56) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 57) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 58) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 59) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 60) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 61) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 62) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 63) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 64) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 65) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 66) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 67) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 68) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 69) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 70) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 71) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 72) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 73) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 74) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 75) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 76) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 77) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 78) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 79) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 80) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 81) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 82) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 83) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 84) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 85) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 86) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 87) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 88) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 89) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 90) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 91) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 92) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 93) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 94) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 95) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 96) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 97) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 98) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 99) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 100) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 101) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 102) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 103) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 104) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 105) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 106) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 107) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 108) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 109) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 110) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 111) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 112) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 113) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 114) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 115) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 116) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 117) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 118) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 119) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 120) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 121) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 122) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 123) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 124) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 125) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 126) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 127) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 128) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 129) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 130) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 131) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 132) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 133) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 134) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 135) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 136) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 137) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 138) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 139) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 140) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 141) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 142) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 143) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 144) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 145) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 146) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 147) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 148) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 149) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 150) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 151) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 152) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 153) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 154) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 155) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 156) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 157) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 158) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 159) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 160) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 161) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 162) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 163) = 2, mod , 3 p[5](180 n + 164) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 165) = 1, mod , 3 p[5](180 n + 166) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 167) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 168) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 169) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 170) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 171) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 172) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 173) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 174) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 175) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 176) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 177) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 178) = 0, mod , 3 p[5](180 n + 179) = 0, mod , 3 Proof: routine Theorem Number, 30, : Let, p[5](n), be the number of partitions of n into at most, 5, parts The following congruences hold: p[5](480 n) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 1) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 2) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 3) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 4) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 5) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 6) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 7) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 8) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 9) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 10) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 11) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 12) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 13) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 14) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 15) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 16) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 17) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 18) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 19) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 20) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 21) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 22) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 23) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 24) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 25) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 26) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 27) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 28) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 29) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 30) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 31) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 32) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 33) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 34) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 35) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 36) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 37) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 38) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 39) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 40) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 41) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 42) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 43) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 44) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 45) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 46) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 47) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 48) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 49) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 50) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 51) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 52) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 53) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 54) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 55) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 56) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 57) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 58) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 59) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 60) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 61) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 62) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 63) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 64) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 65) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 66) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 67) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 68) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 69) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 70) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 71) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 72) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 73) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 74) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 75) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 76) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 77) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 78) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 79) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 80) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 81) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 82) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 83) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 84) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 85) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 86) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 87) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 88) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 89) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 90) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 91) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 92) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 93) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 94) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 95) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 96) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 97) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 98) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 99) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 100) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 101) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 102) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 103) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 104) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 105) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 106) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 107) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 108) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 109) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 110) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 111) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 112) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 113) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 114) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 115) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 116) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 117) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 118) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 119) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 120) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 121) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 122) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 123) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 124) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 125) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 126) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 127) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 128) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 129) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 130) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 131) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 132) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 133) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 134) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 135) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 136) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 137) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 138) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 139) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 140) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 141) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 142) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 143) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 144) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 145) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 146) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 147) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 148) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 149) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 150) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 151) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 152) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 153) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 154) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 155) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 156) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 157) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 158) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 159) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 160) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 161) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 162) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 163) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 164) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 165) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 166) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 167) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 168) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 169) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 170) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 171) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 172) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 173) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 174) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 175) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 176) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 177) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 178) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 179) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 180) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 181) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 182) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 183) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 184) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 185) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 186) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 187) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 188) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 189) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 190) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 191) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 192) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 193) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 194) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 195) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 196) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 197) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 198) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 199) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 200) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 201) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 202) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 203) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 204) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 205) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 206) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 207) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 208) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 209) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 210) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 211) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 212) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 213) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 214) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 215) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 216) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 217) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 218) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 219) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 220) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 221) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 222) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 223) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 224) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 225) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 226) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 227) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 228) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 229) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 230) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 231) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 232) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 233) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 234) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 235) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 236) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 237) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 238) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 239) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 240) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 241) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 242) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 243) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 244) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 245) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 246) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 247) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 248) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 249) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 250) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 251) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 252) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 253) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 254) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 255) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 256) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 257) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 258) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 259) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 260) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 261) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 262) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 263) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 264) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 265) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 266) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 267) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 268) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 269) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 270) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 271) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 272) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 273) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 274) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 275) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 276) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 277) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 278) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 279) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 280) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 281) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 282) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 283) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 284) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 285) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 286) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 287) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 288) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 289) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 290) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 291) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 292) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 293) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 294) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 295) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 296) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 297) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 298) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 299) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 300) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 301) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 302) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 303) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 304) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 305) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 306) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 307) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 308) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 309) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 310) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 311) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 312) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 313) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 314) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 315) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 316) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 317) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 318) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 319) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 320) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 321) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 322) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 323) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 324) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 325) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 326) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 327) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 328) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 329) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 330) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 331) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 332) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 333) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 334) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 335) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 336) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 337) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 338) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 339) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 340) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 341) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 342) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 343) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 344) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 345) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 346) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 347) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 348) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 349) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 350) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 351) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 352) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 353) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 354) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 355) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 356) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 357) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 358) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 359) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 360) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 361) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 362) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 363) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 364) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 365) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 366) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 367) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 368) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 369) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 370) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 371) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 372) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 373) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 374) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 375) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 376) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 377) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 378) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 379) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 380) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 381) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 382) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 383) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 384) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 385) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 386) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 387) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 388) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 389) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 390) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 391) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 392) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 393) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 394) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 395) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 396) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 397) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 398) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 399) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 400) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 401) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 402) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 403) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 404) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 405) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 406) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 407) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 408) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 409) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 410) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 411) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 412) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 413) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 414) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 415) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 416) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 417) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 418) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 419) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 420) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 421) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 422) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 423) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 424) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 425) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 426) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 427) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 428) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 429) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 430) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 431) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 432) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 433) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 434) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 435) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 436) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 437) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 438) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 439) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 440) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 441) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 442) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 443) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 444) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 445) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 446) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 447) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 448) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 449) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 450) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 451) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 452) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 453) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 454) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 455) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 456) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 457) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 458) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 459) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 460) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 461) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 462) = 3, mod , 4 p[5](480 n + 463) = 2, mod , 4 p[5](480 n + 464) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 465) = 1, mod , 4 p[5](480 n + 466) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 467) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 468) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 469) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 470) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 471) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 472) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 473) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 474) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 475) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 476) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 477) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 478) = 0, mod , 4 p[5](480 n + 479) = 0, mod , 4 Proof: routine Theorem Number, 31, : Let, p[5](n), be the number of partitions of n into at most, 5, parts The following congruences hold: p[5](300 n) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 1) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 2) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 3) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 4) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 5) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 6) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 7) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 8) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 9) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 10) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 11) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 12) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 13) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 14) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 15) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 16) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 17) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 18) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 19) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 20) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 21) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 22) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 23) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 24) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 25) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 26) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 27) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 28) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 29) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 30) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 31) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 32) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 33) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 34) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 35) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 36) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 37) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 38) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 39) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 40) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 41) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 42) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 43) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 44) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 45) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 46) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 47) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 48) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 49) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 50) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 51) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 52) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 53) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 54) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 55) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 56) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 57) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 58) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 59) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 60) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 61) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 62) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 63) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 64) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 65) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 66) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 67) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 68) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 69) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 70) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 71) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 72) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 73) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 74) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 75) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 76) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 77) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 78) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 79) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 80) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 81) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 82) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 83) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 84) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 85) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 86) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 87) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 88) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 89) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 90) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 91) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 92) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 93) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 94) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 95) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 96) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 97) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 98) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 99) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 100) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 101) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 102) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 103) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 104) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 105) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 106) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 107) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 108) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 109) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 110) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 111) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 112) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 113) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 114) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 115) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 116) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 117) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 118) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 119) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 120) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 121) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 122) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 123) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 124) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 125) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 126) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 127) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 128) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 129) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 130) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 131) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 132) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 133) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 134) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 135) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 136) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 137) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 138) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 139) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 140) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 141) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 142) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 143) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 144) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 145) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 146) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 147) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 148) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 149) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 150) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 151) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 152) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 153) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 154) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 155) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 156) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 157) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 158) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 159) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 160) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 161) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 162) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 163) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 164) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 165) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 166) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 167) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 168) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 169) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 170) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 171) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 172) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 173) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 174) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 175) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 176) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 177) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 178) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 179) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 180) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 181) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 182) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 183) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 184) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 185) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 186) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 187) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 188) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 189) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 190) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 191) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 192) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 193) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 194) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 195) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 196) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 197) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 198) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 199) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 200) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 201) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 202) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 203) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 204) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 205) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 206) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 207) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 208) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 209) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 210) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 211) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 212) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 213) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 214) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 215) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 216) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 217) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 218) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 219) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 220) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 221) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 222) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 223) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 224) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 225) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 226) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 227) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 228) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 229) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 230) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 231) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 232) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 233) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 234) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 235) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 236) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 237) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 238) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 239) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 240) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 241) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 242) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 243) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 244) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 245) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 246) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 247) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 248) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 249) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 250) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 251) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 252) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 253) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 254) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 255) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 256) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 257) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 258) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 259) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 260) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 261) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 262) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 263) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 264) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 265) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 266) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 267) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 268) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 269) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 270) = 4, mod , 5 p[5](300 n + 271) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 272) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 273) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 274) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 275) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 276) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 277) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 278) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 279) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 280) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 281) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 282) = 3, mod , 5 p[5](300 n + 283) = 2, mod , 5 p[5](300 n + 284) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 285) = 1, mod , 5 p[5](300 n + 286) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 287) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 288) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 289) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 290) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 291) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 292) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 293) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 294) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 295) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 296) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 297) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 298) = 0, mod , 5 p[5](300 n + 299) = 0, mod , 5 Proof: routine Theorem Number, 32, : Let, p[5](n), be the number of partitions of n into at most, 5, parts The following congruences hold: p[5](720 n) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 1) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 2) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 3) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 4) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 5) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 6) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 7) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 8) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 9) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 10) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 11) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 12) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 13) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 14) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 15) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 16) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 17) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 18) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 19) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 20) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 21) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 22) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 23) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 24) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 25) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 26) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 27) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 28) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 29) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 30) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 31) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 32) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 33) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 34) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 35) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 36) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 37) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 38) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 39) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 40) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 41) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 42) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 43) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 44) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 45) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 46) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 47) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 48) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 49) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 50) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 51) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 52) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 53) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 54) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 55) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 56) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 57) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 58) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 59) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 60) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 61) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 62) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 63) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 64) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 65) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 66) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 67) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 68) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 69) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 70) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 71) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 72) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 73) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 74) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 75) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 76) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 77) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 78) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 79) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 80) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 81) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 82) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 83) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 84) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 85) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 86) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 87) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 88) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 89) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 90) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 91) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 92) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 93) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 94) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 95) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 96) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 97) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 98) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 99) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 100) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 101) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 102) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 103) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 104) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 105) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 106) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 107) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 108) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 109) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 110) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 111) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 112) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 113) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 114) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 115) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 116) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 117) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 118) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 119) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 120) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 121) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 122) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 123) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 124) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 125) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 126) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 127) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 128) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 129) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 130) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 131) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 132) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 133) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 134) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 135) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 136) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 137) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 138) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 139) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 140) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 141) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 142) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 143) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 144) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 145) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 146) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 147) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 148) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 149) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 150) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 151) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 152) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 153) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 154) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 155) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 156) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 157) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 158) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 159) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 160) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 161) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 162) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 163) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 164) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 165) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 166) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 167) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 168) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 169) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 170) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 171) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 172) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 173) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 174) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 175) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 176) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 177) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 178) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 179) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 180) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 181) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 182) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 183) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 184) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 185) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 186) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 187) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 188) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 189) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 190) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 191) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 192) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 193) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 194) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 195) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 196) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 197) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 198) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 199) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 200) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 201) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 202) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 203) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 204) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 205) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 206) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 207) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 208) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 209) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 210) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 211) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 212) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 213) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 214) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 215) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 216) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 217) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 218) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 219) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 220) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 221) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 222) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 223) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 224) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 225) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 226) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 227) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 228) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 229) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 230) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 231) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 232) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 233) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 234) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 235) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 236) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 237) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 238) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 239) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 240) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 241) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 242) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 243) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 244) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 245) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 246) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 247) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 248) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 249) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 250) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 251) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 252) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 253) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 254) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 255) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 256) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 257) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 258) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 259) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 260) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 261) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 262) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 263) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 264) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 265) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 266) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 267) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 268) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 269) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 270) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 271) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 272) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 273) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 274) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 275) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 276) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 277) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 278) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 279) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 280) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 281) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 282) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 283) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 284) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 285) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 286) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 287) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 288) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 289) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 290) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 291) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 292) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 293) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 294) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 295) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 296) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 297) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 298) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 299) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 300) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 301) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 302) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 303) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 304) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 305) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 306) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 307) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 308) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 309) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 310) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 311) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 312) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 313) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 314) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 315) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 316) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 317) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 318) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 319) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 320) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 321) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 322) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 323) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 324) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 325) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 326) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 327) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 328) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 329) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 330) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 331) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 332) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 333) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 334) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 335) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 336) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 337) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 338) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 339) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 340) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 341) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 342) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 343) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 344) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 345) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 346) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 347) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 348) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 349) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 350) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 351) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 352) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 353) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 354) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 355) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 356) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 357) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 358) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 359) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 360) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 361) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 362) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 363) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 364) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 365) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 366) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 367) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 368) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 369) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 370) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 371) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 372) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 373) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 374) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 375) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 376) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 377) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 378) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 379) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 380) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 381) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 382) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 383) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 384) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 385) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 386) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 387) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 388) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 389) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 390) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 391) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 392) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 393) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 394) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 395) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 396) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 397) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 398) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 399) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 400) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 401) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 402) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 403) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 404) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 405) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 406) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 407) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 408) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 409) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 410) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 411) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 412) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 413) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 414) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 415) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 416) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 417) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 418) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 419) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 420) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 421) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 422) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 423) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 424) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 425) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 426) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 427) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 428) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 429) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 430) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 431) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 432) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 433) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 434) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 435) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 436) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 437) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 438) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 439) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 440) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 441) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 442) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 443) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 444) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 445) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 446) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 447) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 448) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 449) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 450) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 451) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 452) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 453) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 454) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 455) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 456) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 457) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 458) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 459) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 460) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 461) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 462) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 463) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 464) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 465) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 466) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 467) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 468) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 469) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 470) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 471) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 472) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 473) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 474) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 475) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 476) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 477) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 478) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 479) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 480) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 481) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 482) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 483) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 484) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 485) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 486) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 487) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 488) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 489) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 490) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 491) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 492) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 493) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 494) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 495) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 496) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 497) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 498) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 499) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 500) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 501) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 502) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 503) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 504) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 505) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 506) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 507) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 508) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 509) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 510) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 511) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 512) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 513) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 514) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 515) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 516) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 517) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 518) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 519) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 520) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 521) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 522) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 523) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 524) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 525) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 526) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 527) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 528) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 529) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 530) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 531) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 532) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 533) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 534) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 535) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 536) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 537) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 538) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 539) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 540) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 541) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 542) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 543) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 544) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 545) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 546) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 547) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 548) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 549) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 550) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 551) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 552) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 553) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 554) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 555) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 556) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 557) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 558) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 559) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 560) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 561) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 562) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 563) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 564) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 565) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 566) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 567) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 568) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 569) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 570) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 571) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 572) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 573) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 574) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 575) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 576) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 577) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 578) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 579) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 580) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 581) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 582) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 583) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 584) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 585) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 586) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 587) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 588) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 589) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 590) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 591) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 592) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 593) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 594) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 595) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 596) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 597) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 598) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 599) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 600) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 601) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 602) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 603) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 604) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 605) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 606) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 607) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 608) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 609) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 610) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 611) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 612) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 613) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 614) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 615) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 616) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 617) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 618) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 619) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 620) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 621) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 622) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 623) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 624) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 625) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 626) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 627) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 628) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 629) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 630) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 631) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 632) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 633) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 634) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 635) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 636) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 637) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 638) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 639) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 640) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 641) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 642) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 643) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 644) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 645) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 646) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 647) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 648) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 649) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 650) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 651) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 652) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 653) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 654) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 655) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 656) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 657) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 658) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 659) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 660) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 661) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 662) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 663) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 664) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 665) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 666) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 667) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 668) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 669) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 670) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 671) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 672) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 673) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 674) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 675) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 676) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 677) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 678) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 679) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 680) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 681) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 682) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 683) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 684) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 685) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 686) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 687) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 688) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 689) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 690) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 691) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 692) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 693) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 694) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 695) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 696) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 697) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 698) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 699) = 4, mod , 6 p[5](720 n + 700) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 701) = 5, mod , 6 p[5](720 n + 702) = 3, mod , 6 p[5](720 n + 703) = 2, mod , 6 p[5](720 n + 704) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 705) = 1, mod , 6 p[5](720 n + 706) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 707) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 708) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 709) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 710) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 711) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 712) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 713) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 714) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 715) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 716) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 717) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 718) = 0, mod , 6 p[5](720 n + 719) = 0, mod , 6 Proof: routine Theorem Number, 33, : Let, p[5](n), be the number of partitions of n into at most, 5, parts The following congruences hold: p[5](420 n) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 1) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 2) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 3) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 4) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 5) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 6) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 7) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 8) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 9) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 10) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 11) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 12) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 13) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 14) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 15) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 16) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 17) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 18) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 19) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 20) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 21) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 22) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 23) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 24) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 25) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 26) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 27) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 28) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 29) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 30) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 31) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 32) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 33) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 34) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 35) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 36) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 37) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 38) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 39) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 40) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 41) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 42) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 43) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 44) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 45) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 46) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 47) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 48) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 49) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 50) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 51) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 52) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 53) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 54) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 55) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 56) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 57) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 58) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 59) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 60) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 61) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 62) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 63) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 64) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 65) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 66) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 67) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 68) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 69) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 70) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 71) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 72) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 73) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 74) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 75) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 76) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 77) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 78) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 79) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 80) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 81) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 82) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 83) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 84) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 85) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 86) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 87) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 88) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 89) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 90) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 91) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 92) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 93) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 94) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 95) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 96) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 97) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 98) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 99) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 100) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 101) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 102) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 103) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 104) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 105) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 106) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 107) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 108) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 109) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 110) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 111) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 112) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 113) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 114) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 115) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 116) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 117) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 118) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 119) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 120) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 121) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 122) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 123) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 124) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 125) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 126) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 127) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 128) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 129) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 130) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 131) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 132) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 133) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 134) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 135) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 136) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 137) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 138) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 139) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 140) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 141) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 142) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 143) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 144) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 145) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 146) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 147) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 148) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 149) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 150) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 151) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 152) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 153) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 154) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 155) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 156) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 157) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 158) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 159) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 160) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 161) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 162) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 163) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 164) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 165) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 166) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 167) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 168) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 169) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 170) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 171) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 172) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 173) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 174) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 175) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 176) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 177) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 178) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 179) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 180) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 181) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 182) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 183) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 184) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 185) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 186) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 187) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 188) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 189) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 190) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 191) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 192) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 193) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 194) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 195) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 196) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 197) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 198) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 199) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 200) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 201) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 202) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 203) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 204) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 205) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 206) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 207) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 208) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 209) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 210) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 211) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 212) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 213) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 214) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 215) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 216) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 217) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 218) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 219) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 220) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 221) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 222) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 223) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 224) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 225) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 226) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 227) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 228) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 229) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 230) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 231) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 232) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 233) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 234) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 235) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 236) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 237) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 238) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 239) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 240) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 241) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 242) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 243) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 244) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 245) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 246) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 247) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 248) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 249) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 250) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 251) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 252) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 253) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 254) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 255) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 256) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 257) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 258) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 259) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 260) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 261) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 262) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 263) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 264) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 265) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 266) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 267) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 268) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 269) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 270) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 271) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 272) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 273) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 274) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 275) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 276) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 277) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 278) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 279) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 280) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 281) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 282) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 283) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 284) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 285) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 286) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 287) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 288) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 289) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 290) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 291) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 292) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 293) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 294) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 295) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 296) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 297) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 298) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 299) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 300) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 301) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 302) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 303) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 304) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 305) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 306) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 307) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 308) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 309) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 310) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 311) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 312) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 313) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 314) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 315) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 316) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 317) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 318) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 319) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 320) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 321) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 322) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 323) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 324) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 325) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 326) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 327) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 328) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 329) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 330) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 331) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 332) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 333) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 334) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 335) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 336) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 337) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 338) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 339) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 340) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 341) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 342) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 343) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 344) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 345) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 346) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 347) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 348) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 349) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 350) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 351) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 352) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 353) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 354) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 355) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 356) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 357) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 358) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 359) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 360) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 361) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 362) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 363) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 364) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 365) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 366) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 367) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 368) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 369) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 370) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 371) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 372) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 373) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 374) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 375) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 376) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 377) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 378) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 379) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 380) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 381) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 382) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 383) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 384) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 385) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 386) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 387) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 388) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 389) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 390) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 391) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 392) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 393) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 394) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 395) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 396) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 397) = 4, mod , 7 p[5](420 n + 398) = 6, mod , 7 p[5](420 n + 399) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 400) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 401) = 5, mod , 7 p[5](420 n + 402) = 3, mod , 7 p[5](420 n + 403) = 2, mod , 7 p[5](420 n + 404) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 405) = 1, mod , 7 p[5](420 n + 406) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 407) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 408) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 409) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 410) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 411) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 412) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 413) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 414) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 415) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 416) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 417) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 418) = 0, mod , 7 p[5](420 n + 419) = 0, mod , 7 Proof: routine Theorem Number, 34, : Let, p[5](n), be the number of partitions of n into at most, 5, parts The following congruences hold: p[5](960 n) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 1) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 2) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 3) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 4) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 5) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 6) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 7) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 8) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 9) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 10) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 11) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 12) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 13) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 14) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 15) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 16) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 17) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 18) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 19) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 20) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 21) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 22) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 23) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 24) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 25) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 26) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 27) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 28) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 29) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 30) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 31) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 32) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 33) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 34) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 35) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 36) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 37) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 38) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 39) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 40) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 41) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 42) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 43) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 44) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 45) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 46) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 47) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 48) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 49) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 50) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 51) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 52) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 53) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 54) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 55) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 56) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 57) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 58) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 59) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 60) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 61) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 62) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 63) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 64) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 65) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 66) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 67) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 68) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 69) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 70) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 71) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 72) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 73) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 74) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 75) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 76) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 77) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 78) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 79) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 80) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 81) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 82) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 83) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 84) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 85) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 86) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 87) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 88) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 89) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 90) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 91) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 92) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 93) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 94) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 95) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 96) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 97) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 98) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 99) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 100) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 101) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 102) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 103) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 104) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 105) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 106) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 107) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 108) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 109) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 110) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 111) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 112) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 113) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 114) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 115) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 116) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 117) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 118) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 119) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 120) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 121) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 122) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 123) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 124) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 125) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 126) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 127) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 128) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 129) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 130) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 131) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 132) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 133) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 134) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 135) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 136) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 137) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 138) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 139) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 140) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 141) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 142) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 143) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 144) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 145) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 146) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 147) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 148) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 149) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 150) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 151) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 152) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 153) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 154) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 155) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 156) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 157) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 158) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 159) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 160) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 161) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 162) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 163) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 164) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 165) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 166) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 167) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 168) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 169) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 170) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 171) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 172) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 173) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 174) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 175) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 176) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 177) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 178) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 179) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 180) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 181) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 182) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 183) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 184) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 185) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 186) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 187) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 188) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 189) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 190) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 191) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 192) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 193) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 194) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 195) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 196) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 197) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 198) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 199) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 200) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 201) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 202) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 203) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 204) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 205) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 206) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 207) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 208) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 209) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 210) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 211) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 212) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 213) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 214) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 215) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 216) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 217) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 218) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 219) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 220) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 221) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 222) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 223) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 224) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 225) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 226) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 227) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 228) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 229) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 230) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 231) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 232) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 233) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 234) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 235) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 236) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 237) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 238) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 239) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 240) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 241) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 242) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 243) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 244) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 245) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 246) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 247) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 248) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 249) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 250) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 251) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 252) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 253) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 254) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 255) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 256) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 257) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 258) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 259) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 260) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 261) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 262) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 263) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 264) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 265) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 266) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 267) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 268) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 269) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 270) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 271) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 272) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 273) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 274) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 275) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 276) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 277) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 278) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 279) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 280) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 281) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 282) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 283) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 284) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 285) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 286) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 287) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 288) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 289) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 290) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 291) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 292) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 293) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 294) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 295) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 296) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 297) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 298) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 299) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 300) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 301) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 302) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 303) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 304) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 305) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 306) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 307) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 308) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 309) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 310) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 311) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 312) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 313) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 314) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 315) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 316) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 317) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 318) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 319) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 320) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 321) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 322) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 323) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 324) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 325) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 326) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 327) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 328) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 329) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 330) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 331) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 332) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 333) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 334) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 335) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 336) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 337) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 338) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 339) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 340) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 341) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 342) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 343) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 344) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 345) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 346) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 347) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 348) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 349) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 350) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 351) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 352) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 353) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 354) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 355) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 356) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 357) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 358) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 359) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 360) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 361) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 362) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 363) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 364) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 365) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 366) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 367) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 368) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 369) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 370) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 371) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 372) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 373) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 374) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 375) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 376) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 377) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 378) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 379) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 380) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 381) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 382) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 383) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 384) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 385) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 386) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 387) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 388) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 389) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 390) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 391) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 392) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 393) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 394) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 395) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 396) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 397) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 398) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 399) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 400) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 401) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 402) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 403) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 404) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 405) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 406) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 407) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 408) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 409) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 410) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 411) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 412) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 413) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 414) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 415) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 416) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 417) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 418) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 419) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 420) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 421) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 422) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 423) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 424) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 425) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 426) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 427) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 428) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 429) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 430) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 431) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 432) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 433) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 434) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 435) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 436) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 437) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 438) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 439) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 440) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 441) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 442) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 443) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 444) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 445) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 446) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 447) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 448) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 449) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 450) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 451) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 452) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 453) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 454) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 455) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 456) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 457) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 458) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 459) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 460) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 461) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 462) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 463) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 464) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 465) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 466) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 467) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 468) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 469) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 470) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 471) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 472) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 473) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 474) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 475) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 476) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 477) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 478) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 479) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 480) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 481) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 482) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 483) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 484) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 485) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 486) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 487) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 488) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 489) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 490) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 491) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 492) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 493) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 494) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 495) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 496) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 497) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 498) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 499) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 500) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 501) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 502) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 503) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 504) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 505) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 506) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 507) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 508) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 509) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 510) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 511) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 512) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 513) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 514) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 515) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 516) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 517) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 518) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 519) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 520) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 521) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 522) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 523) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 524) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 525) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 526) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 527) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 528) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 529) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 530) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 531) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 532) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 533) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 534) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 535) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 536) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 537) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 538) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 539) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 540) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 541) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 542) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 543) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 544) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 545) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 546) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 547) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 548) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 549) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 550) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 551) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 552) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 553) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 554) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 555) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 556) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 557) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 558) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 559) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 560) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 561) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 562) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 563) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 564) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 565) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 566) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 567) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 568) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 569) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 570) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 571) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 572) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 573) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 574) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 575) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 576) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 577) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 578) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 579) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 580) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 581) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 582) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 583) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 584) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 585) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 586) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 587) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 588) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 589) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 590) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 591) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 592) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 593) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 594) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 595) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 596) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 597) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 598) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 599) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 600) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 601) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 602) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 603) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 604) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 605) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 606) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 607) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 608) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 609) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 610) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 611) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 612) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 613) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 614) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 615) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 616) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 617) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 618) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 619) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 620) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 621) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 622) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 623) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 624) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 625) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 626) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 627) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 628) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 629) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 630) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 631) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 632) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 633) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 634) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 635) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 636) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 637) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 638) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 639) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 640) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 641) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 642) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 643) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 644) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 645) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 646) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 647) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 648) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 649) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 650) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 651) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 652) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 653) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 654) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 655) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 656) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 657) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 658) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 659) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 660) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 661) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 662) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 663) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 664) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 665) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 666) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 667) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 668) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 669) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 670) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 671) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 672) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 673) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 674) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 675) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 676) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 677) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 678) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 679) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 680) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 681) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 682) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 683) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 684) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 685) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 686) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 687) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 688) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 689) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 690) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 691) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 692) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 693) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 694) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 695) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 696) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 697) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 698) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 699) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 700) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 701) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 702) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 703) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 704) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 705) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 706) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 707) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 708) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 709) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 710) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 711) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 712) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 713) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 714) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 715) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 716) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 717) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 718) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 719) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 720) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 721) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 722) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 723) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 724) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 725) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 726) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 727) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 728) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 729) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 730) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 731) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 732) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 733) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 734) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 735) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 736) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 737) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 738) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 739) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 740) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 741) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 742) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 743) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 744) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 745) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 746) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 747) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 748) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 749) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 750) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 751) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 752) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 753) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 754) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 755) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 756) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 757) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 758) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 759) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 760) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 761) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 762) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 763) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 764) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 765) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 766) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 767) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 768) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 769) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 770) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 771) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 772) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 773) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 774) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 775) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 776) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 777) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 778) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 779) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 780) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 781) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 782) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 783) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 784) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 785) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 786) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 787) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 788) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 789) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 790) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 791) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 792) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 793) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 794) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 795) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 796) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 797) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 798) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 799) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 800) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 801) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 802) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 803) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 804) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 805) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 806) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 807) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 808) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 809) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 810) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 811) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 812) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 813) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 814) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 815) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 816) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 817) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 818) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 819) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 820) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 821) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 822) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 823) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 824) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 825) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 826) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 827) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 828) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 829) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 830) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 831) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 832) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 833) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 834) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 835) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 836) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 837) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 838) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 839) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 840) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 841) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 842) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 843) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 844) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 845) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 846) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 847) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 848) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 849) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 850) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 851) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 852) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 853) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 854) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 855) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 856) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 857) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 858) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 859) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 860) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 861) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 862) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 863) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 864) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 865) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 866) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 867) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 868) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 869) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 870) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 871) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 872) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 873) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 874) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 875) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 876) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 877) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 878) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 879) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 880) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 881) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 882) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 883) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 884) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 885) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 886) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 887) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 888) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 889) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 890) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 891) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 892) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 893) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 894) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 895) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 896) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 897) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 898) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 899) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 900) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 901) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 902) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 903) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 904) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 905) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 906) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 907) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 908) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 909) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 910) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 911) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 912) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 913) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 914) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 915) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 916) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 917) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 918) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 919) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 920) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 921) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 922) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 923) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 924) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 925) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 926) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 927) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 928) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 929) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 930) = 4, mod , 8 p[5](960 n + 931) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 932) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 933) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 934) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 935) = 6, mod , 8 p[5](960 n + 936) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 937) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 938) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 939) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 940) = 7, mod , 8 p[5](960 n + 941) = 5, mod , 8 p[5](960 n + 942) = 3, mod , 8 p[5](960 n + 943) = 2, mod , 8 p[5](960 n + 944) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 945) = 1, mod , 8 p[5](960 n + 946) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 947) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 948) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 949) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 950) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 951) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 952) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 953) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 954) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 955) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 956) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 957) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 958) = 0, mod , 8 p[5](960 n + 959) = 0, mod , 8 Proof: routine Theorem Number, 35, : Let, p[5](n), be the number of partitions of n into at most, 5, parts The following congruences hold: p[5](540 n) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 1) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 2) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 3) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 4) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 5) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 6) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 7) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 8) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 9) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 10) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 11) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 12) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 13) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 14) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 15) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 16) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 17) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 18) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 19) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 20) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 21) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 22) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 23) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 24) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 25) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 26) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 27) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 28) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 29) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 30) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 31) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 32) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 33) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 34) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 35) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 36) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 37) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 38) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 39) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 40) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 41) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 42) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 43) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 44) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 45) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 46) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 47) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 48) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 49) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 50) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 51) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 52) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 53) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 54) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 55) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 56) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 57) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 58) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 59) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 60) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 61) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 62) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 63) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 64) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 65) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 66) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 67) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 68) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 69) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 70) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 71) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 72) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 73) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 74) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 75) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 76) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 77) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 78) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 79) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 80) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 81) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 82) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 83) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 84) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 85) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 86) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 87) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 88) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 89) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 90) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 91) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 92) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 93) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 94) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 95) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 96) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 97) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 98) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 99) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 100) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 101) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 102) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 103) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 104) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 105) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 106) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 107) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 108) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 109) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 110) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 111) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 112) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 113) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 114) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 115) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 116) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 117) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 118) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 119) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 120) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 121) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 122) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 123) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 124) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 125) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 126) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 127) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 128) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 129) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 130) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 131) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 132) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 133) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 134) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 135) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 136) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 137) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 138) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 139) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 140) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 141) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 142) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 143) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 144) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 145) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 146) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 147) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 148) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 149) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 150) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 151) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 152) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 153) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 154) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 155) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 156) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 157) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 158) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 159) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 160) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 161) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 162) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 163) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 164) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 165) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 166) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 167) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 168) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 169) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 170) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 171) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 172) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 173) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 174) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 175) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 176) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 177) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 178) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 179) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 180) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 181) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 182) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 183) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 184) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 185) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 186) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 187) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 188) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 189) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 190) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 191) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 192) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 193) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 194) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 195) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 196) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 197) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 198) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 199) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 200) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 201) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 202) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 203) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 204) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 205) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 206) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 207) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 208) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 209) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 210) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 211) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 212) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 213) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 214) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 215) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 216) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 217) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 218) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 219) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 220) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 221) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 222) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 223) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 224) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 225) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 226) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 227) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 228) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 229) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 230) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 231) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 232) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 233) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 234) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 235) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 236) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 237) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 238) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 239) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 240) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 241) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 242) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 243) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 244) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 245) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 246) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 247) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 248) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 249) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 250) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 251) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 252) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 253) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 254) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 255) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 256) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 257) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 258) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 259) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 260) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 261) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 262) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 263) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 264) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 265) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 266) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 267) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 268) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 269) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 270) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 271) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 272) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 273) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 274) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 275) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 276) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 277) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 278) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 279) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 280) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 281) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 282) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 283) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 284) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 285) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 286) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 287) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 288) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 289) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 290) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 291) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 292) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 293) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 294) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 295) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 296) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 297) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 298) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 299) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 300) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 301) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 302) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 303) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 304) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 305) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 306) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 307) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 308) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 309) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 310) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 311) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 312) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 313) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 314) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 315) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 316) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 317) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 318) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 319) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 320) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 321) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 322) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 323) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 324) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 325) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 326) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 327) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 328) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 329) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 330) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 331) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 332) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 333) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 334) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 335) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 336) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 337) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 338) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 339) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 340) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 341) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 342) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 343) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 344) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 345) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 346) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 347) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 348) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 349) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 350) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 351) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 352) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 353) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 354) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 355) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 356) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 357) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 358) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 359) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 360) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 361) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 362) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 363) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 364) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 365) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 366) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 367) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 368) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 369) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 370) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 371) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 372) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 373) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 374) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 375) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 376) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 377) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 378) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 379) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 380) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 381) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 382) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 383) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 384) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 385) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 386) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 387) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 388) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 389) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 390) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 391) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 392) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 393) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 394) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 395) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 396) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 397) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 398) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 399) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 400) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 401) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 402) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 403) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 404) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 405) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 406) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 407) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 408) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 409) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 410) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 411) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 412) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 413) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 414) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 415) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 416) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 417) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 418) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 419) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 420) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 421) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 422) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 423) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 424) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 425) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 426) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 427) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 428) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 429) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 430) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 431) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 432) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 433) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 434) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 435) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 436) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 437) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 438) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 439) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 440) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 441) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 442) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 443) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 444) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 445) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 446) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 447) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 448) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 449) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 450) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 451) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 452) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 453) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 454) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 455) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 456) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 457) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 458) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 459) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 460) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 461) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 462) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 463) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 464) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 465) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 466) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 467) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 468) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 469) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 470) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 471) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 472) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 473) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 474) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 475) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 476) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 477) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 478) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 479) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 480) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 481) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 482) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 483) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 484) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 485) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 486) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 487) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 488) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 489) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 490) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 491) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 492) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 493) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 494) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 495) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 496) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 497) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 498) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 499) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 500) = 8, mod , 9 p[5](540 n + 501) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 502) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 503) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 504) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 505) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 506) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 507) = 6, mod , 9 p[5](540 n + 508) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 509) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 510) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 511) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 512) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 513) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 514) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 515) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 516) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 517) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 518) = 4, mod , 9 p[5](540 n + 519) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 520) = 7, mod , 9 p[5](540 n + 521) = 5, mod , 9 p[5](540 n + 522) = 3, mod , 9 p[5](540 n + 523) = 2, mod , 9 p[5](540 n + 524) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 525) = 1, mod , 9 p[5](540 n + 526) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 527) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 528) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 529) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 530) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 531) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 532) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 533) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 534) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 535) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 536) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 537) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 538) = 0, mod , 9 p[5](540 n + 539) = 0, mod , 9 Proof: routine Theorem Number, 36, : Let, p[5](n), be the number of partitions of n into at most, 5, parts The following congruences hold: p[5](1200 n) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 2) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 3) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 4) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 5) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 6) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 7) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 8) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 9) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 10) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 11) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 12) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 13) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 14) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 15) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 16) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 17) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 18) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 19) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 20) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 21) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 22) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 23) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 24) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 25) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 26) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 27) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 28) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 29) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 30) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 31) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 32) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 33) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 34) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 35) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 36) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 37) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 38) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 39) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 40) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 41) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 42) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 43) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 44) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 45) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 46) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 47) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 48) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 49) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 50) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 51) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 52) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 53) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 54) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 55) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 56) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 57) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 58) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 59) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 60) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 61) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 62) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 63) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 64) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 65) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 66) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 67) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 68) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 69) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 70) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 71) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 72) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 73) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 74) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 75) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 76) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 77) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 78) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 79) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 80) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 81) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 82) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 83) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 84) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 85) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 86) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 87) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 88) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 89) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 90) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 91) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 92) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 93) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 94) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 95) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 96) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 97) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 98) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 99) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 100) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 101) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 102) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 103) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 104) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 105) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 106) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 107) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 108) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 109) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 110) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 111) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 112) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 113) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 114) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 115) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 116) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 117) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 118) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 119) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 120) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 121) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 122) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 123) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 124) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 125) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 126) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 127) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 128) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 129) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 130) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 131) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 132) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 133) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 134) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 135) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 136) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 137) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 138) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 139) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 140) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 141) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 142) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 143) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 144) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 145) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 146) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 147) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 148) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 149) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 150) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 151) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 152) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 153) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 154) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 155) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 156) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 157) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 158) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 159) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 160) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 161) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 162) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 163) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 164) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 165) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 166) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 167) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 168) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 169) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 170) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 171) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 172) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 173) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 174) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 175) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 176) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 177) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 178) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 179) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 180) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 181) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 182) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 183) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 184) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 185) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 186) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 187) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 188) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 189) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 190) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 191) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 192) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 193) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 194) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 195) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 196) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 197) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 198) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 199) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 200) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 201) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 202) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 203) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 204) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 205) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 206) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 207) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 208) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 209) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 210) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 211) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 212) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 213) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 214) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 215) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 216) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 217) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 218) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 219) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 220) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 221) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 222) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 223) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 224) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 225) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 226) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 227) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 228) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 229) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 230) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 231) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 232) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 233) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 234) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 235) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 236) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 237) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 238) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 239) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 240) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 241) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 242) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 243) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 244) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 245) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 246) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 247) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 248) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 249) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 250) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 251) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 252) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 253) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 254) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 255) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 256) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 257) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 258) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 259) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 260) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 261) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 262) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 263) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 264) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 265) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 266) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 267) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 268) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 269) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 270) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 271) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 272) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 273) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 274) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 275) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 276) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 277) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 278) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 279) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 280) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 281) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 282) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 283) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 284) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 285) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 286) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 287) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 288) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 289) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 290) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 291) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 292) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 293) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 294) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 295) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 296) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 297) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 298) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 299) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 300) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 301) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 302) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 303) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 304) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 305) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 306) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 307) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 308) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 309) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 310) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 311) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 312) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 313) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 314) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 315) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 316) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 317) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 318) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 319) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 320) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 321) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 322) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 323) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 324) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 325) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 326) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 327) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 328) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 329) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 330) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 331) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 332) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 333) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 334) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 335) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 336) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 337) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 338) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 339) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 340) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 341) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 342) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 343) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 344) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 345) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 346) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 347) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 348) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 349) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 350) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 351) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 352) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 353) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 354) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 355) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 356) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 357) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 358) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 359) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 360) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 361) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 362) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 363) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 364) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 365) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 366) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 367) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 368) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 369) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 370) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 371) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 372) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 373) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 374) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 375) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 376) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 377) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 378) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 379) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 380) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 381) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 382) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 383) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 384) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 385) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 386) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 387) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 388) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 389) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 390) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 391) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 392) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 393) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 394) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 395) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 396) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 397) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 398) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 399) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 400) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 401) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 402) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 403) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 404) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 405) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 406) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 407) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 408) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 409) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 410) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 411) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 412) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 413) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 414) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 415) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 416) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 417) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 418) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 419) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 420) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 421) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 422) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 423) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 424) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 425) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 426) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 427) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 428) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 429) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 430) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 431) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 432) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 433) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 434) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 435) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 436) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 437) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 438) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 439) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 440) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 441) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 442) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 443) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 444) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 445) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 446) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 447) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 448) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 449) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 450) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 451) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 452) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 453) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 454) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 455) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 456) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 457) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 458) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 459) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 460) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 461) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 462) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 463) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 464) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 465) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 466) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 467) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 468) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 469) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 470) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 471) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 472) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 473) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 474) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 475) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 476) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 477) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 478) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 479) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 480) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 481) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 482) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 483) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 484) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 485) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 486) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 487) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 488) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 489) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 490) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 491) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 492) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 493) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 494) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 495) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 496) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 497) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 498) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 499) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 500) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 501) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 502) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 503) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 504) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 505) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 506) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 507) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 508) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 509) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 510) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 511) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 512) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 513) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 514) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 515) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 516) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 517) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 518) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 519) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 520) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 521) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 522) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 523) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 524) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 525) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 526) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 527) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 528) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 529) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 530) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 531) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 532) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 533) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 534) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 535) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 536) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 537) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 538) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 539) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 540) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 541) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 542) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 543) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 544) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 545) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 546) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 547) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 548) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 549) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 550) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 551) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 552) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 553) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 554) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 555) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 556) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 557) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 558) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 559) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 560) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 561) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 562) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 563) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 564) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 565) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 566) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 567) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 568) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 569) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 570) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 571) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 572) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 573) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 574) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 575) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 576) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 577) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 578) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 579) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 580) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 581) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 582) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 583) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 584) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 585) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 586) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 587) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 588) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 589) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 590) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 591) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 592) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 593) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 594) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 595) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 596) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 597) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 598) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 599) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 600) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 601) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 602) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 603) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 604) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 605) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 606) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 607) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 608) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 609) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 610) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 611) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 612) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 613) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 614) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 615) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 616) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 617) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 618) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 619) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 620) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 621) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 622) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 623) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 624) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 625) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 626) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 627) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 628) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 629) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 630) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 631) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 632) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 633) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 634) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 635) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 636) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 637) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 638) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 639) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 640) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 641) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 642) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 643) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 644) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 645) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 646) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 647) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 648) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 649) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 650) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 651) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 652) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 653) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 654) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 655) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 656) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 657) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 658) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 659) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 660) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 661) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 662) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 663) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 664) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 665) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 666) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 667) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 668) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 669) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 670) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 671) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 672) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 673) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 674) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 675) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 676) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 677) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 678) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 679) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 680) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 681) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 682) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 683) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 684) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 685) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 686) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 687) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 688) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 689) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 690) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 691) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 692) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 693) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 694) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 695) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 696) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 697) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 698) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 699) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 700) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 701) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 702) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 703) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 704) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 705) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 706) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 707) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 708) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 709) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 710) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 711) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 712) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 713) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 714) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 715) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 716) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 717) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 718) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 719) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 720) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 721) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 722) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 723) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 724) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 725) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 726) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 727) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 728) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 729) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 730) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 731) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 732) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 733) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 734) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 735) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 736) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 737) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 738) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 739) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 740) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 741) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 742) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 743) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 744) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 745) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 746) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 747) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 748) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 749) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 750) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 751) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 752) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 753) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 754) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 755) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 756) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 757) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 758) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 759) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 760) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 761) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 762) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 763) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 764) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 765) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 766) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 767) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 768) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 769) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 770) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 771) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 772) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 773) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 774) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 775) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 776) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 777) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 778) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 779) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 780) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 781) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 782) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 783) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 784) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 785) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 786) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 787) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 788) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 789) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 790) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 791) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 792) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 793) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 794) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 795) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 796) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 797) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 798) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 799) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 800) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 801) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 802) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 803) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 804) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 805) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 806) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 807) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 808) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 809) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 810) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 811) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 812) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 813) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 814) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 815) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 816) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 817) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 818) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 819) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 820) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 821) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 822) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 823) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 824) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 825) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 826) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 827) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 828) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 829) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 830) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 831) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 832) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 833) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 834) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 835) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 836) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 837) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 838) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 839) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 840) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 841) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 842) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 843) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 844) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 845) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 846) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 847) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 848) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 849) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 850) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 851) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 852) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 853) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 854) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 855) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 856) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 857) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 858) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 859) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 860) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 861) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 862) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 863) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 864) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 865) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 866) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 867) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 868) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 869) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 870) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 871) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 872) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 873) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 874) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 875) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 876) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 877) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 878) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 879) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 880) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 881) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 882) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 883) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 884) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 885) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 886) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 887) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 888) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 889) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 890) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 891) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 892) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 893) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 894) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 895) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 896) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 897) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 898) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 899) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 900) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 901) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 902) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 903) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 904) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 905) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 906) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 907) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 908) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 909) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 910) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 911) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 912) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 913) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 914) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 915) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 916) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 917) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 918) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 919) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 920) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 921) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 922) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 923) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 924) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 925) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 926) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 927) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 928) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 929) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 930) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 931) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 932) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 933) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 934) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 935) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 936) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 937) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 938) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 939) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 940) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 941) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 942) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 943) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 944) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 945) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 946) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 947) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 948) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 949) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 950) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 951) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 952) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 953) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 954) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 955) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 956) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 957) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 958) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 959) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 960) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 961) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 962) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 963) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 964) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 965) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 966) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 967) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 968) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 969) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 970) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 971) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 972) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 973) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 974) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 975) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 976) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 977) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 978) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 979) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 980) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 981) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 982) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 983) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 984) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 985) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 986) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 987) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 988) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 989) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 990) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 991) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 992) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 993) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 994) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 995) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 996) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 997) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 998) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 999) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1000) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1001) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1002) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1003) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1004) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1005) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1006) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1007) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1008) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1009) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1010) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1011) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1012) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1013) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1014) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1015) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1016) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1017) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1018) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1019) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1020) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1021) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1022) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1023) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1024) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1025) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1026) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1027) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1028) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1029) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1030) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1031) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1032) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1033) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1034) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1035) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1036) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1037) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1038) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1039) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1040) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1041) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1042) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1043) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1044) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1045) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1046) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1047) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1048) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1049) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1050) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1051) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1052) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1053) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1054) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1055) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1056) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1057) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1058) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1059) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1060) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1061) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1062) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1063) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1064) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1065) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1066) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1067) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1068) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1069) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1070) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1071) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1072) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1073) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1074) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1075) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1076) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1077) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1078) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1079) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1080) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1081) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1082) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1083) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1084) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1085) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1086) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1087) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1088) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1089) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1090) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1091) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1092) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1093) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1094) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1095) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1096) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1097) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1098) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1099) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1100) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1101) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1102) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1103) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1104) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1105) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1106) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1107) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1108) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1109) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1110) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1111) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1112) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1113) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1114) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1115) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1116) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1117) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1118) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1119) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1120) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1121) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1122) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1123) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1124) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1125) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1126) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1127) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1128) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1129) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1130) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1131) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1132) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1133) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1134) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1135) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1136) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1137) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1138) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1139) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1140) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1141) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1142) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1143) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1144) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1145) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1146) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1147) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1148) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1149) = 6, mod , 10 p[5](1200 n + 1150) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1151) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1152) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1153) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1154) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1155) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1156) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1157) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1158) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1159) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1160) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1161) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1162) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1163) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1164) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1165) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1166) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1167) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1168) = 9, mod , 10 p[5](1200 n + 1169) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1170) = 4, mod , 10 p[5](1200 n + 1171) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1172) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1173) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1174) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1175) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1176) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1177) = 8, mod , 10 p[5](1200 n + 1178) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1179) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1180) = 7, mod , 10 p[5](1200 n + 1181) = 5, mod , 10 p[5](1200 n + 1182) = 3, mod , 10 p[5](1200 n + 1183) = 2, mod , 10 p[5](1200 n + 1184) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1185) = 1, mod , 10 p[5](1200 n + 1186) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1187) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1188) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1189) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1190) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1191) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1192) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1193) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1194) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1195) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1196) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1197) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1198) = 0, mod , 10 p[5](1200 n + 1199) = 0, mod , 10 Proof: routine This took, 7585.721, seconds.