The pure recurrence operator, in a3,  annihilatating the (a1,a2,2*a3) scaled mixed \
    moment of the Ekhad-Zeilberger tri-variate distribution

               where the shift operator is a3 is denoted by A3 is

                             3
         4 (-1 + c) (1 + 2 c)  (2 a3 + 3) (2 a3 + 1) (a3 + 2) (a3 + 1)
ope := - ------------------------------------------------------------- - 4
                                          5
                                   (c + 1)

             2
    (1 + 2 c)  (a3 + 2) (2 a3 + 3) (

           3       2       2         2      3               2
    -2 a3 c  + a1 c  + a2 c  - 4 a3 c  - 4 c  + 4 a3 c - 6 c  + 4 a3 + 7 c + 7)

         /        5                2  4            4     2  4       2  4
    A3  /  (c + 1)  + (1 + 2 c) (a1  c  - 2 a1 a2 c  + a2  c  - 4 a3  c
       /

                3            3        2  3          4            2          3
     + 8 a1 a3 c  + 8 a2 a3 c  - 24 a3  c  - 20 a3 c  + 8 a1 a3 c  + 18 a1 c

                2          3           3       4          2          2
     + 8 a2 a3 c  + 18 a2 c  - 104 a3 c  - 25 c  + 18 a1 c  + 18 a2 c

            2           2        3        2                  2
     + 48 a3  c + 8 a3 c  - 114 c  + 24 a3  + 216 a3 c + 18 c  + 108 a3 + 246 c

              2   /        4          3       3         3       2       2
     + 123) A3   /  (c + 1)  - 2 (a1 c  + a2 c  - 2 a3 c  + a1 c  + a2 c
                /

          3             2                       3   /        2     4
     - 5 c  + 8 a3 c + c  + 4 a3 + 22 c + 11) A3   /  (c + 1)  + A3
                                                  /

-4*(-1+c)*(1+2*c)^3*(2*a3+3)*(2*a3+1)*(a3+2)*(a3+1)/(c+1)^5-4*(1+2*c)^2*(a3+2)*
(2*a3+3)*(-2*a3*c^3+a1*c^2+a2*c^2-4*a3*c^2-4*c^3+4*a3*c-6*c^2+4*a3+7*c+7)/(c+1)
^5*A3+(1+2*c)*(a1^2*c^4-2*a1*a2*c^4+a2^2*c^4-4*a3^2*c^4+8*a1*a3*c^3+8*a2*a3*c^3
-24*a3^2*c^3-20*a3*c^4+8*a1*a3*c^2+18*a1*c^3+8*a2*a3*c^2+18*a2*c^3-104*a3*c^3-\
25*c^4+18*a1*c^2+18*a2*c^2+48*a3^2*c+8*a3*c^2-114*c^3+24*a3^2+216*a3*c+18*c^2+
108*a3+246*c+123)/(c+1)^4*A3^2-2*(a1*c^3+a2*c^3-2*a3*c^3+a1*c^2+a2*c^2-5*c^3+8*
a3*c+c^2+4*a3+22*c+11)/(c+1)^2*A3^3+A3^4
                   -----------------------------------------

                          This took, 10.502, seconds.