Counting Words in the Alphabet, {1, 2}, That Avoid A Certain set of , 2, consecutive subwords of length, 3, For all the possibilities, According to their Number of Good Neighbors By Shalosh B. Ekhad ------------------------------------------------ "Theorem Number 1" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1], [2, 1, 1]}, and h\ aving m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this property\ , then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| ) | ) C(m, n) x y | = / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 3 3 3 2 3 2 2 2 2 x y - 3 x y + x y - 2 x y + x y - x y - 1 - --------------------------------------------------- 3 2 3 2 x y - x y - x y - x y + 1 and in Maple notation -(2*x^3*y^3-3*x^3*y^2+x^3*y-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y-1)/(x^3*y^2-x^3*y-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 3 2 2 (a + 2 a - 2 a - 1) - ----------------------- 2 (2 a + 1) (a + a + 1) 2 where a is the root of the polynomial, x + x - 1, and in decimals this is, 0.5527864060 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5531856061 ------------------------------------------------ "Theorem Number 2" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1], [1, 2, 1]}, and h\ aving m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this property\ , then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 8 6 8 5 7 6 8 4 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y + x y + 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 7 5 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 5 3 - 4 x y - x y + 5 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y - x y 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 3 2 2 - x y + x y - x y + 2 x y - 2 x y + 4 x y - x y + 2 x y / 9 6 9 5 9 4 8 5 9 3 8 4 + x y + 1) / (x y - 3 x y + 3 x y - x y - x y + 2 x y / 8 3 6 3 5 4 6 2 5 2 4 3 3 - x y - x y - x y + x y + x y + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(x^8*y^6-3*x^8*y^5+x^7*y^6+3*x^8*y^4-4*x^7*y^5-x^8*y^3+5*x^7*y^4-x^6*y^5-2*x^7 *y^3+2*x^6*y^4-x^6*y^3-x^5*y^3-x^4*y^4+x^5*y^2-x^4*y^3+2*x^4*y^2-2*x^3*y^3+4*x^ 3*y^2-x^3*y+2*x^2*y^2+x*y+1)/(x^9*y^6-3*x^9*y^5+3*x^9*y^4-x^8*y^5-x^9*y^3+2*x^8 *y^4-x^8*y^3-x^6*y^3-x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^2+x^4*y^3+x^3*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 2 (2 a + 1) ------------------------------------- 3 2 3 2 (4 a + 3 a + 1) (a + 2 a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.5527864064 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5529028900 ------------------------------------------------ "Theorem Number 3" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2], [1, 2, 1]}, and h\ aving m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this property\ , then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - x y - x y + 2 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 3 3 3 2 2 2 / - 2 x y + x y + 2 x y - x y + x y - x + 1) / ( / 6 2 6 4 2 3 2 x y - x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^5*y^4-x^5*y^3-x^4*y^4+2*x^4*y^3-x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y -x+1)/(x^6*y^2-x^6*y-x^4*y^2+x^3*y-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 4 2 3 2 2 (a + a - 2 a - 1) (4 a - 3 a + 2 a - 2) - --------------------------------------------- 2 2 3 2 (3 a + 1) (a - a - 1) 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.3885080076 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.3888361930 ------------------------------------------------ "Theorem Number 4" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1], [2, 1, 1]}, and h\ aving m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this property\ , then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - x y - x y + 2 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 3 3 3 2 2 2 / - 2 x y + x y + 2 x y - x y + x y - x + 1) / ((x - 1) / 5 2 5 4 2 4 3 (x y - x y + x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation -(x^5*y^4-x^5*y^3-x^4*y^4+2*x^4*y^3-x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y -x+1)/(x-1)/(x^5*y^2-x^5*y+x^4*y^2-x^4*y-x^3*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 4 2 3 2 2 (a + a - 2 a - 1) (4 a - 3 a + 2 a - 2) - --------------------------------------------- 2 2 3 2 (3 a + 1) (a - a - 1) 3 where a is the root of the polynomial, (x - 1) (x + x - 1), and in decimals this is, 0.3885080076 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.3888361930 ------------------------------------------------ "Theorem Number 5" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1], [2, 2, 2]}, and h\ aving m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this property\ , then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 5 4 5 3 5 2 4 3 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 4 2 4 3 2 3 2 2 3 2 2 + 4 x y - 2 x y - x y + 2 x y - 4 x y - x + 2 x y + x - 2 x y / 3 2 3 2 + x - 1) / (x y - x + x + x - 1) / and in Maple notation (2*x^5*y^4-4*x^5*y^3+2*x^5*y^2-2*x^4*y^3+4*x^4*y^2-2*x^4*y-x^3*y^2+2*x^3*y-4*x^ 2*y^2-x^3+2*x^2*y+x^2-2*x*y+x-1)/(x^3*y^2-x^3+x^2+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 4 3 2 2 (a - 2 a - 3 a + 2 a + 1) ------------------------------ 3 2 2 a + 3 a + 3 a + 1 2 where a is the root of the polynomial, x + x - 1, and in decimals this is, 0.3416407884 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.3430216170 ------------------------------------------------ "Theorem Number 6" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1], [2, 1, 2]}, and h\ aving m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this property\ , then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 5 4 5 3 5 2 4 3 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 4 2 4 3 2 3 2 2 3 2 2 + 4 x y - 2 x y - x y + 2 x y - 4 x y - x + 2 x y + x - 2 x y / 3 2 3 2 + x - 1) / (x y - x + x + x - 1) / and in Maple notation (2*x^5*y^4-4*x^5*y^3+2*x^5*y^2-2*x^4*y^3+4*x^4*y^2-2*x^4*y-x^3*y^2+2*x^3*y-4*x^ 2*y^2-x^3+2*x^2*y+x^2-2*x*y+x-1)/(x^3*y^2-x^3+x^2+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 4 3 2 2 (a - 2 a - 3 a + 2 a + 1) ------------------------------ 3 2 2 a + 3 a + 3 a + 1 2 where a is the root of the polynomial, x + x - 1, and in decimals this is, 0.3416407884 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.3430216170 ------------------------------------------------ "Theorem Number 7" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2], [1, 2, 2]}, and h\ aving m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this property\ , then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 5 3 4 4 5 2 5 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - x y - 4 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 4 2 3 3 4 3 2 4 2 2 3 2 + 4 x y - 2 x y - 4 x y + 4 x y + x - 4 x y - 2 x + 4 x y / 4 3 - 2 x y + 2 x - 1) / (x - 2 x + 2 x - 1) / and in Maple notation (2*x^5*y^3-x^4*y^4-4*x^5*y^2+2*x^5*y+4*x^4*y^2-2*x^3*y^3-4*x^4*y+4*x^3*y^2+x^4-\ 4*x^2*y^2-2*x^3+4*x^2*y-2*x*y+2*x-1)/(x^4-2*x^3+2*x-1) ------------------------------------------------ "Theorem Number 8" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2], [2, 1, 2]}, and h\ aving m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this property\ , then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| ) | ) C(m, n) x y | = / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 x y - 4 x y + 2 x y + 4 x y - 4 x y + x + 2 x y - 2 x + 1 -------------------------------------------------------------------- 2 x - 2 x + 1 and in Maple notation (2*x^3*y^3-4*x^3*y^2+2*x^3*y+4*x^2*y^2-4*x^2*y+x^2+2*x*y-2*x+1)/(x^2-2*x+1) ------------------------------------------------ "Theorem Number 9" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1], [1, 2, 2]}, and h\ aving m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this property\ , then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 7 4 7 3 6 4 7 2 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y - x y + 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 6 3 7 6 2 5 3 4 4 6 5 2 5 + 4 x y - x y - 5 x y - x y - x y + 2 x y + 2 x y - x y 4 2 3 3 3 2 4 2 2 2 2 + 2 x y - 2 x y + 2 x y - x - 4 x y + 2 x y + x - 2 x y + x - 1 / 4 2 ) / (x - x - x + 1) / and in Maple notation -(x^7*y^4-3*x^7*y^3-x^6*y^4+3*x^7*y^2+4*x^6*y^3-x^7*y-5*x^6*y^2-x^5*y^3-x^4*y^4 +2*x^6*y+2*x^5*y^2-x^5*y+2*x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^3*y^2-x^4-4*x^2*y^2+2*x^2*y+x^ 2-2*x*y+x-1)/(x^4-x^2-x+1) ------------------------------------------------ "Theorem Number 10" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1], [2, 2, 1]}, and h\ aving m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this property\ , then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 7 4 7 3 6 4 7 2 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y - x y + 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 6 3 7 6 2 5 3 4 4 6 5 2 5 + 4 x y - x y - 5 x y - x y - x y + 2 x y + 2 x y - x y 4 2 3 3 3 2 4 2 2 2 2 + 2 x y - 2 x y + 2 x y - x - 4 x y + 2 x y + x - 2 x y + x - 1 / 3 2 ) / ((x - 1) (x + x - 1)) / and in Maple notation -(x^7*y^4-3*x^7*y^3-x^6*y^4+3*x^7*y^2+4*x^6*y^3-x^7*y-5*x^6*y^2-x^5*y^3-x^4*y^4 +2*x^6*y+2*x^5*y^2-x^5*y+2*x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^3*y^2-x^4-4*x^2*y^2+2*x^2*y+x^ 2-2*x*y+x-1)/(x-1)/(x^3+x^2-1) ------------------------------------------------ "Theorem Number 11" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1], [2, 1, 2]}, and h\ aving m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this property\ , then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 7 4 7 3 7 2 6 3 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 2 x y + x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 6 2 5 3 4 4 6 5 2 5 4 2 - 4 x y - 2 x y - x y + 2 x y + 5 x y - 4 x y - 3 x y 3 3 5 4 3 2 4 3 2 2 3 2 - 2 x y + x + 4 x y + 2 x y - x - 2 x y - 4 x y + x + 2 x y / 3 - 2 x y + x - 1) / (x + x - 1) / and in Maple notation (x^7*y^4-2*x^7*y^3+x^7*y^2+2*x^6*y^3-4*x^6*y^2-2*x^5*y^3-x^4*y^4+2*x^6*y+5*x^5* y^2-4*x^5*y-3*x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^5+4*x^4*y+2*x^3*y^2-x^4-2*x^3*y-4*x^2*y^2+x^3 +2*x^2*y-2*x*y+x-1)/(x^3+x-1) ---------------------------------- This ends this paper that took, 1.038, seconds to produce ------------------------------ Counting Words in the Alphabet, {1, 2}, That Avoid A Certain set of , 2, consecutive subwords of length, 4, For all the possibilities, According to their Number of Good Neighbors By Shalosh B. Ekhad ------------------------------------------------ "Theorem Number 1" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 6 6 6 5 6 4 6 3 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 5 x y + 4 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 + 2 x y - 3 x y + x y - 3 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y - 1 / 6 5 6 4 6 3 4 3 4 2 3 3 2 ) / (x y - 2 x y + x y + x y - x y - x y - x y - x y + 1) / and in Maple notation -(2*x^6*y^6-5*x^6*y^5+4*x^6*y^4-x^6*y^3+2*x^4*y^4-3*x^4*y^3+x^4*y^2-3*x^3*y^3+2 *x^3*y^2-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y-1)/(x^6*y^5-2*x^6*y^4+x^6*y^3+x^4*y^3-x^4*y^2-x^3* y^3-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 4 3 2 2 (a - 1) (a + 3 a + 6 a + 3 a + 1) - -------------------------------------- 5 4 3 2 3 a + 5 a + 6 a + 6 a + 3 a + 1 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.7631601552 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7627813896 ------------------------------------------------ "Theorem Number 2" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 9 9 9 8 9 7 8 8 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y + 6 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 - 5 x y - 5 x y + 3 x y + 8 x y - x y - x y - 5 x y 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 6 4 5 4 + 3 x y + x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 + 2 x y - x y + 3 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y / 10 8 10 7 10 6 9 7 10 5 9 6 + x y + 1) / (x y - 4 x y + 5 x y - x y - 2 x y + 3 x y / 9 5 9 4 8 5 8 4 7 5 7 4 6 4 6 3 5 4 - 3 x y + x y - x y + x y - x y + x y - x y + x y + x y 4 4 4 3 4 2 2 + x y - x y + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(x^9*y^9-4*x^9*y^8+6*x^9*y^7+x^8*y^8-5*x^9*y^6-5*x^8*y^7+3*x^9*y^5+8*x^8*y^6-x ^7*y^7-x^9*y^4-5*x^8*y^5+3*x^7*y^6+x^8*y^4-4*x^7*y^5+2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+2*x^6* y^4-2*x^5*y^4+2*x^5*y^3-x^4*y^4+3*x^4*y^3-x^4*y^2+4*x^3*y^3-2*x^3*y^2+2*x^2*y^2 -x^2*y+x*y+1)/(x^10*y^8-4*x^10*y^7+5*x^10*y^6-x^9*y^7-2*x^10*y^5+3*x^9*y^6-3*x^ 9*y^5+x^9*y^4-x^8*y^5+x^8*y^4-x^7*y^5+x^7*y^4-x^6*y^4+x^6*y^3+x^5*y^4+x^4*y^4-x ^4*y^3+x^4*y^2+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 4 3 2 2 (2 a + a - 3 a - 2 a - 1) - ------------------------------------------------ 4 3 4 3 2 (5 a + 4 a + 2 a + 1) (a + 2 a + a + a + 1) 5 4 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.7198576462 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7197180298 ------------------------------------------------ "Theorem Number 3" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 9 9 9 8 9 7 8 8 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y + 6 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 - 5 x y - 5 x y + 3 x y + 8 x y - x y - x y - 5 x y 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 6 4 5 4 + 3 x y + x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 + 2 x y - x y + 3 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y / 10 8 10 7 10 6 9 7 10 5 9 6 + x y + 1) / (x y - 4 x y + 5 x y - x y - 2 x y + 3 x y / 9 5 9 4 8 5 8 4 7 5 7 4 6 4 6 3 5 4 - 3 x y + x y - x y + x y - x y + x y - x y + x y + x y 4 4 4 3 4 2 2 + x y - x y + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(x^9*y^9-4*x^9*y^8+6*x^9*y^7+x^8*y^8-5*x^9*y^6-5*x^8*y^7+3*x^9*y^5+8*x^8*y^6-x ^7*y^7-x^9*y^4-5*x^8*y^5+3*x^7*y^6+x^8*y^4-4*x^7*y^5+2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+2*x^6* y^4-2*x^5*y^4+2*x^5*y^3-x^4*y^4+3*x^4*y^3-x^4*y^2+4*x^3*y^3-2*x^3*y^2+2*x^2*y^2 -x^2*y+x*y+1)/(x^10*y^8-4*x^10*y^7+5*x^10*y^6-x^9*y^7-2*x^10*y^5+3*x^9*y^6-3*x^ 9*y^5+x^9*y^4-x^8*y^5+x^8*y^4-x^7*y^5+x^7*y^4-x^6*y^4+x^6*y^3+x^5*y^4+x^4*y^4-x ^4*y^3+x^4*y^2+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 4 3 2 2 (2 a + a - 3 a - 2 a - 1) - ------------------------------------------------ 4 3 4 3 2 (5 a + 4 a + 2 a + 1) (a + 2 a + a + a + 1) 5 4 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.7198576462 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7197180298 ------------------------------------------------ "Theorem Number 4" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 7 6 7 5 7 4 6 5 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 6 4 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 + 4 x y - 2 x y - x y + 2 x y + 2 x y - x y - 3 x y + x y 3 3 3 2 3 2 2 2 / - 4 x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y - x y - 1) / ( / 5 4 5 3 5 2 4 3 4 2 3 2 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x y - x y - x y + 1) and in Maple notation -(2*x^7*y^6-4*x^7*y^5+2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+4*x^6*y^4-2*x^6*y^3-x^5*y^4+2*x^5*y^3 +2*x^4*y^4-x^5*y^2-3*x^4*y^3+x^4*y^2-4*x^3*y^3+2*x^3*y^2+x^3*y-2*x^2*y^2+x^2*y- x*y-1)/(x^5*y^4-2*x^5*y^3+x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y^2-x^3*y-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 6 5 4 3 2 2 (a - 2 a - 3 a - 4 a + 3 a + 2 a + 1) -------------------------------------------- 5 4 3 2 3 a + 5 a + 6 a + 6 a + 3 a + 1 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.6724562346 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6726978997 ------------------------------------------------ "Theorem Number 5" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2], [2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 7 6 7 5 7 4 6 5 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 6 4 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 + 4 x y - 2 x y - x y + 2 x y + 2 x y - x y - 3 x y + x y 3 3 3 2 3 2 2 2 / - 4 x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y - x y - 1) / ( / 5 4 5 3 5 2 4 3 4 2 3 2 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x y - x y - x y + 1) and in Maple notation -(2*x^7*y^6-4*x^7*y^5+2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+4*x^6*y^4-2*x^6*y^3-x^5*y^4+2*x^5*y^3 +2*x^4*y^4-x^5*y^2-3*x^4*y^3+x^4*y^2-4*x^3*y^3+2*x^3*y^2+x^3*y-2*x^2*y^2+x^2*y- x*y-1)/(x^5*y^4-2*x^5*y^3+x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y^2-x^3*y-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 6 5 4 3 2 2 (a - 2 a - 3 a - 4 a + 3 a + 2 a + 1) -------------------------------------------- 5 4 3 2 3 a + 5 a + 6 a + 6 a + 3 a + 1 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.6724562346 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6726978997 ------------------------------------------------ "Theorem Number 6" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 10 9 10 8 9 9 10 7 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y - x y + 6 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 + 4 x y - 4 x y - 5 x y - x y + x y + x y + 4 x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 7 5 + 2 x y - 5 x y - 2 x y - x y + 2 x y + 5 x y - 2 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 6 2 5 3 - x y - 2 x y - x y + x y + 5 x y - 4 x y + x y + x y 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 3 2 2 - x y - x y - 3 x y + 3 x y + 4 x y - 4 x y + x y + 2 x y 2 / 9 6 9 5 8 6 9 4 8 5 - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y / 7 5 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 5 4 + x y - x y - 3 x y - x y + 2 x y + 2 x y + x y - x y 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 - 2 x y - x y + x y + x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^10*y^9-4*x^10*y^8-x^9*y^9+6*x^10*y^7+4*x^9*y^8-4*x^10*y^6-5*x^9*y^7-x^8*y^8 +x^10*y^5+x^9*y^6+4*x^8*y^7+2*x^9*y^5-5*x^8*y^6-2*x^7*y^7-x^9*y^4+2*x^8*y^5+5*x ^7*y^6-2*x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^7*y^4-x^6*y^5+x^7*y^3+5*x^6*y^4-4*x^6*y^3+x^6*y^2+ x^5*y^3-x^4*y^4-x^5*y^2-3*x^4*y^3+3*x^4*y^2+4*x^3*y^3-4*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2 -2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^9*y^6-2*x^9*y^5-x^8*y^6+x^9*y^4+2*x^8*y^5+x^7*y^5-x^8*y^3-\ 3*x^7*y^4-x^6*y^5+2*x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^6*y^3-x^5*y^4-2*x^6*y^2-x^5*y^3+x^4*y^4 +x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y^2-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6529495387 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 7" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 10 9 10 8 9 9 10 7 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y - x y + 6 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 + 4 x y - 4 x y - 5 x y - x y + x y + x y + 4 x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 7 5 + 2 x y - 5 x y - 2 x y - x y + 2 x y + 5 x y - 2 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 6 2 5 3 - x y - 2 x y - x y + x y + 5 x y - 4 x y + x y + x y 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 3 2 2 - x y - x y - 3 x y + 3 x y + 4 x y - 4 x y + x y + 2 x y 2 / 9 6 9 5 8 6 9 4 8 5 - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y / 7 5 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 5 4 + x y - x y - 3 x y - x y + 2 x y + 2 x y + x y - x y 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 - 2 x y - x y + x y + x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^10*y^9-4*x^10*y^8-x^9*y^9+6*x^10*y^7+4*x^9*y^8-4*x^10*y^6-5*x^9*y^7-x^8*y^8 +x^10*y^5+x^9*y^6+4*x^8*y^7+2*x^9*y^5-5*x^8*y^6-2*x^7*y^7-x^9*y^4+2*x^8*y^5+5*x ^7*y^6-2*x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^7*y^4-x^6*y^5+x^7*y^3+5*x^6*y^4-4*x^6*y^3+x^6*y^2+ x^5*y^3-x^4*y^4-x^5*y^2-3*x^4*y^3+3*x^4*y^2+4*x^3*y^3-4*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2 -2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^9*y^6-2*x^9*y^5-x^8*y^6+x^9*y^4+2*x^8*y^5+x^7*y^5-x^8*y^3-\ 3*x^7*y^4-x^6*y^5+2*x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^6*y^3-x^5*y^4-2*x^6*y^2-x^5*y^3+x^4*y^4 +x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y^2-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6529495387 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 8" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2], [1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 9 13 10 14 8 13 9 ) | ) C(m, n) x y | = (x y + x y - 5 x y - 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 10 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 - x y + 10 x y + 10 x y + 6 x y - 10 x y - 10 x y 12 8 14 5 13 6 12 7 11 8 10 9 - 13 x y + 5 x y + 5 x y + 12 x y + 2 x y - 2 x y 14 4 13 5 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 - x y - x y - 3 x y - 6 x y + 7 x y - 2 x y + 7 x y 10 7 9 8 12 4 11 5 9 7 8 8 11 4 - 7 x y - 4 x y + x y - 5 x y + 8 x y + 2 x y + 3 x y 10 5 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 7 7 + 4 x y - 7 x y - x y - 3 x y - 7 x y + 4 x y + 3 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 + x y + 2 x y + 5 x y - 7 x y + x y - 6 x y + 2 x y + x y 8 3 7 4 6 5 8 2 6 4 5 5 6 3 + 3 x y + 2 x y - 2 x y - x y - 3 x y + 2 x y + 6 x y 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 5 4 2 + 3 x y - 2 x y - 6 x y + x y + 3 x y + 3 x y - x y - 3 x y 3 3 3 2 3 2 2 2 / 9 6 - 4 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / (x y / 9 5 8 6 9 4 8 5 7 5 8 3 7 4 6 5 - 2 x y - x y + x y + 2 x y + x y - x y - 3 x y - x y 7 3 6 4 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 + 2 x y + 2 x y + x y - x y - 2 x y - x y + x y + x y 4 3 4 2 3 - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^14*y^9+x^13*y^10-5*x^14*y^8-5*x^13*y^9-x^12*y^10+10*x^14*y^7+10*x^13*y^8+6*x ^12*y^9-10*x^14*y^6-10*x^13*y^7-13*x^12*y^8+5*x^14*y^5+5*x^13*y^6+12*x^12*y^7+2 *x^11*y^8-2*x^10*y^9-x^14*y^4-x^13*y^5-3*x^12*y^6-6*x^11*y^7+7*x^10*y^8-2*x^12* y^5+7*x^11*y^6-7*x^10*y^7-4*x^9*y^8+x^12*y^4-5*x^11*y^5+8*x^9*y^7+2*x^8*y^8+3*x ^11*y^4+4*x^10*y^5-7*x^8*y^7-x^11*y^3-3*x^10*y^4-7*x^9*y^5+4*x^8*y^6+3*x^7*y^7+ x^10*y^3+2*x^9*y^4+5*x^8*y^5-7*x^7*y^6+x^9*y^3-6*x^8*y^4+2*x^7*y^5+x^6*y^6+3*x^ 8*y^3+2*x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^8*y^2-3*x^6*y^4+2*x^5*y^5+6*x^6*y^3+3*x^5*y^4-2*x^6 *y^2-6*x^5*y^3+x^4*y^4+3*x^5*y^2+3*x^4*y^3-x^5*y-3*x^4*y^2-4*x^3*y^3+4*x^3*y^2- x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x^9*y^6-2*x^9*y^5-x^8*y^6+x^9*y^4+2*x^8*y^5+x ^7*y^5-x^8*y^3-3*x^7*y^4-x^6*y^5+2*x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^6*y^3-x^5*y^4-2*x^6*y^2- x^5*y^3+x^4*y^4+x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y^2-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6526050862 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 9" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1], [2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 9 13 10 14 8 13 9 ) | ) C(m, n) x y | = (x y + x y - 5 x y - 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 10 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 - x y + 10 x y + 10 x y + 6 x y - 10 x y - 10 x y 12 8 14 5 13 6 12 7 11 8 10 9 - 13 x y + 5 x y + 5 x y + 12 x y + 2 x y - 2 x y 14 4 13 5 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 - x y - x y - 3 x y - 6 x y + 7 x y - 2 x y + 7 x y 10 7 9 8 12 4 11 5 9 7 8 8 11 4 - 7 x y - 4 x y + x y - 5 x y + 8 x y + 2 x y + 3 x y 10 5 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 7 7 + 4 x y - 7 x y - x y - 3 x y - 7 x y + 4 x y + 3 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 + x y + 2 x y + 5 x y - 7 x y + x y - 6 x y + 2 x y + x y 8 3 7 4 6 5 8 2 6 4 5 5 6 3 + 3 x y + 2 x y - 2 x y - x y - 3 x y + 2 x y + 6 x y 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 5 4 2 + 3 x y - 2 x y - 6 x y + x y + 3 x y + 3 x y - x y - 3 x y 3 3 3 2 3 2 2 2 / - 4 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / ((x - 1) / 8 6 8 5 8 4 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 (x y - 2 x y + x y + x y + x y - x y - 2 x y + x y 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 2 + 2 x y - x y - 2 x y + x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (x^14*y^9+x^13*y^10-5*x^14*y^8-5*x^13*y^9-x^12*y^10+10*x^14*y^7+10*x^13*y^8+6*x ^12*y^9-10*x^14*y^6-10*x^13*y^7-13*x^12*y^8+5*x^14*y^5+5*x^13*y^6+12*x^12*y^7+2 *x^11*y^8-2*x^10*y^9-x^14*y^4-x^13*y^5-3*x^12*y^6-6*x^11*y^7+7*x^10*y^8-2*x^12* y^5+7*x^11*y^6-7*x^10*y^7-4*x^9*y^8+x^12*y^4-5*x^11*y^5+8*x^9*y^7+2*x^8*y^8+3*x ^11*y^4+4*x^10*y^5-7*x^8*y^7-x^11*y^3-3*x^10*y^4-7*x^9*y^5+4*x^8*y^6+3*x^7*y^7+ x^10*y^3+2*x^9*y^4+5*x^8*y^5-7*x^7*y^6+x^9*y^3-6*x^8*y^4+2*x^7*y^5+x^6*y^6+3*x^ 8*y^3+2*x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^8*y^2-3*x^6*y^4+2*x^5*y^5+6*x^6*y^3+3*x^5*y^4-2*x^6 *y^2-6*x^5*y^3+x^4*y^4+3*x^5*y^2+3*x^4*y^3-x^5*y-3*x^4*y^2-4*x^3*y^3+4*x^3*y^2- x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^8*y^6-2*x^8*y^5+x^8*y^4+x^7*y^4+x^6*y ^5-x^7*y^3-2*x^6*y^4+x^6*y^3+2*x^5*y^3-x^4*y^4-2*x^5*y^2+x^4*y^3-x^4*y^2-x^2*y- x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6526050862 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 10" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 10 12 9 12 8 11 9 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 7 x y + 8 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 7 11 8 12 6 10 8 9 9 12 5 11 6 - 2 x y + 4 x y - 2 x y - 2 x y - x y + x y - 4 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 + 7 x y + 3 x y + 2 x y - 8 x y - 2 x y - x y + 3 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 + 2 x y - 2 x y - 3 x y + 3 x y + 3 x y + 4 x y - 5 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 - x y - 2 x y + 5 x y + x y - 4 x y - 2 x y + x y + 6 x y 5 5 6 3 5 4 6 2 4 4 4 3 3 3 3 2 + x y - 6 x y - 2 x y + x y + x y - 2 x y - 4 x y + x y 3 2 2 / 9 7 9 6 8 6 9 4 8 5 + x y - 2 x y - x y - 1) / (x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y / 9 3 8 4 8 3 5 5 6 3 6 2 4 4 5 2 3 2 - x y + x y - x y - x y - x y + x y + x y + x y + x y 3 + x y + x y - 1) and in Maple notation (2*x^12*y^10-7*x^12*y^9+8*x^12*y^8-2*x^11*y^9-2*x^12*y^7+4*x^11*y^8-2*x^12*y^6-\ 2*x^10*y^8-x^9*y^9+x^12*y^5-4*x^11*y^6+7*x^10*y^7+3*x^9*y^8+2*x^11*y^5-8*x^10*y ^6-2*x^9*y^7-x^8*y^8+3*x^10*y^5+2*x^8*y^7-2*x^9*y^5-3*x^8*y^6+3*x^7*y^7+3*x^9*y ^4+4*x^8*y^5-5*x^7*y^6-x^9*y^3-2*x^8*y^4+5*x^7*y^5+x^6*y^6-4*x^7*y^4-2*x^6*y^5+ x^7*y^3+6*x^6*y^4+x^5*y^5-6*x^6*y^3-2*x^5*y^4+x^6*y^2+x^4*y^4-2*x^4*y^3-4*x^3*y ^3+x^3*y^2+x^3*y-2*x^2*y^2-x*y-1)/(x^9*y^7-2*x^9*y^6-x^8*y^6+2*x^9*y^4+x^8*y^5- x^9*y^3+x^8*y^4-x^8*y^3-x^5*y^5-x^6*y^3+x^6*y^2+x^4*y^4+x^5*y^2+x^3*y^2+x^3*y+x *y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 8 7 6 5 2 2 (a + 3 a + 2 a - 3 a - 4 a - 9 a + 5 a + 2 a + 1) ----------------------------------------------------------- 3 2 2 2 (a + 1) (4 a + 6 a + 1) (a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x + 2 x + x - 1, and in decimals this is, 0.6414553196 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6418245682 ------------------------------------------------ "Theorem Number 11" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 10 12 9 12 8 11 9 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 7 x y + 8 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 7 11 8 12 6 10 8 9 9 12 5 11 6 - 2 x y + 4 x y - 2 x y - 2 x y - x y + x y - 4 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 + 7 x y + 3 x y + 2 x y - 8 x y - 2 x y - x y + 3 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 + 2 x y - 2 x y - 3 x y + 3 x y + 3 x y + 4 x y - 5 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 - x y - 2 x y + 5 x y + x y - 4 x y - 2 x y + x y + 6 x y 5 5 6 3 5 4 6 2 4 4 4 3 3 3 3 2 + x y - 6 x y - 2 x y + x y + x y - 2 x y - 4 x y + x y 3 2 2 / 9 7 9 6 8 6 9 4 8 5 + x y - 2 x y - x y - 1) / (x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y / 9 3 8 4 8 3 5 5 6 3 6 2 4 4 5 2 3 2 - x y + x y - x y - x y - x y + x y + x y + x y + x y 3 + x y + x y - 1) and in Maple notation (2*x^12*y^10-7*x^12*y^9+8*x^12*y^8-2*x^11*y^9-2*x^12*y^7+4*x^11*y^8-2*x^12*y^6-\ 2*x^10*y^8-x^9*y^9+x^12*y^5-4*x^11*y^6+7*x^10*y^7+3*x^9*y^8+2*x^11*y^5-8*x^10*y ^6-2*x^9*y^7-x^8*y^8+3*x^10*y^5+2*x^8*y^7-2*x^9*y^5-3*x^8*y^6+3*x^7*y^7+3*x^9*y ^4+4*x^8*y^5-5*x^7*y^6-x^9*y^3-2*x^8*y^4+5*x^7*y^5+x^6*y^6-4*x^7*y^4-2*x^6*y^5+ x^7*y^3+6*x^6*y^4+x^5*y^5-6*x^6*y^3-2*x^5*y^4+x^6*y^2+x^4*y^4-2*x^4*y^3-4*x^3*y ^3+x^3*y^2+x^3*y-2*x^2*y^2-x*y-1)/(x^9*y^7-2*x^9*y^6-x^8*y^6+2*x^9*y^4+x^8*y^5- x^9*y^3+x^8*y^4-x^8*y^3-x^5*y^5-x^6*y^3+x^6*y^2+x^4*y^4+x^5*y^2+x^3*y^2+x^3*y+x *y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 8 7 6 5 2 2 (a + 3 a + 2 a - 3 a - 4 a - 9 a + 5 a + 2 a + 1) ----------------------------------------------------------- 3 2 2 2 (a + 1) (4 a + 6 a + 1) (a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x + 2 x + x - 1, and in decimals this is, 0.6414553196 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6418245682 ------------------------------------------------ "Theorem Number 12" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1], [1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 17 13 17 12 17 11 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 13 17 10 15 12 17 9 15 11 14 12 - x y - 10 x y + 3 x y + 5 x y - 2 x y - x y 17 8 15 10 14 11 13 12 15 9 14 10 - x y - 2 x y + 4 x y + x y + 3 x y - 6 x y 13 11 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 - 3 x y - x y + 4 x y + 4 x y + x y - x y - 7 x y 12 10 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 - 5 x y + 13 x y + 10 x y + x y - 13 x y - 11 x y 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 - 5 x y + 6 x y + 8 x y + 12 x y + 5 x y - x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 - 4 x y - 16 x y - 13 x y - x y + x y + 12 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 + 13 x y + 8 x y - 5 x y - 8 x y - 16 x y - 3 x y + x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 + 4 x y + 13 x y + 9 x y - x y - 5 x y - 11 x y - 4 x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 + x y + 8 x y + 10 x y - 4 x y - 9 x y - 2 x y + x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 6 2 + 6 x y + 5 x y - 3 x y - 5 x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 4 3 2 - x y - x y + 2 x y - 2 x y + x y + 4 x y + x y - 3 x y 2 2 2 / 18 13 18 12 17 13 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 5 x y - x y / 18 11 17 12 18 10 17 11 16 12 18 9 + 10 x y + 5 x y - 10 x y - 10 x y - 2 x y + 5 x y 17 10 16 11 15 12 18 8 17 9 16 10 + 10 x y + 8 x y + x y - x y - 5 x y - 12 x y 15 11 17 8 16 9 15 10 14 11 16 8 - 4 x y + x y + 8 x y + 6 x y + x y - 2 x y 15 9 14 10 15 8 14 9 13 10 14 8 13 9 - 4 x y - 3 x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y + 3 x y 12 10 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 11 9 + x y - 3 x y - 3 x y - 2 x y + x y + x y + 2 x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 12 5 + 3 x y - 2 x y - x y - 3 x y - 4 x y + 2 x y + x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 10 5 9 6 + 6 x y + x y - x y - 2 x y - 4 x y + 2 x y + 4 x y 9 5 9 4 7 6 8 4 7 5 8 3 6 5 6 4 - 4 x y + x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y - x y - x y 6 3 6 2 5 3 4 4 5 2 4 2 4 3 2 - x y + 2 x y + x y + x y - x y + x y - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^17*y^13-5*x^17*y^12+10*x^17*y^11-x^15*y^13-10*x^17*y^10+3*x^15*y^12+5*x^17* y^9-2*x^15*y^11-x^14*y^12-x^17*y^8-2*x^15*y^10+4*x^14*y^11+x^13*y^12+3*x^15*y^9 -6*x^14*y^10-3*x^13*y^11-x^15*y^8+4*x^14*y^9+4*x^13*y^10+x^12*y^11-x^14*y^8-7*x ^13*y^9-5*x^12*y^10+13*x^13*y^8+10*x^12*y^9+x^11*y^10-13*x^13*y^7-11*x^12*y^8-5 *x^11*y^9+6*x^13*y^6+8*x^12*y^7+12*x^11*y^8+5*x^10*y^9-x^13*y^5-4*x^12*y^6-16*x ^11*y^7-13*x^10*y^8-x^9*y^9+x^12*y^5+12*x^11*y^6+13*x^10*y^7+8*x^9*y^8-5*x^11*y ^5-8*x^10*y^6-16*x^9*y^7-3*x^8*y^8+x^11*y^4+4*x^10*y^5+13*x^9*y^6+9*x^8*y^7-x^ 10*y^4-5*x^9*y^5-11*x^8*y^6-4*x^7*y^7+x^9*y^4+8*x^8*y^5+10*x^7*y^6-4*x^8*y^4-9* x^7*y^5-2*x^6*y^6+x^8*y^3+6*x^7*y^4+5*x^6*y^5-3*x^7*y^3-5*x^6*y^4-2*x^5*y^5+4*x ^6*y^3-2*x^6*y^2-x^5*y^3-x^4*y^4+2*x^5*y^2-2*x^4*y^3+x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-3* x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^18*y^13-5*x^18*y^12-x^17*y^13+10*x^18*y^ 11+5*x^17*y^12-10*x^18*y^10-10*x^17*y^11-2*x^16*y^12+5*x^18*y^9+10*x^17*y^10+8* x^16*y^11+x^15*y^12-x^18*y^8-5*x^17*y^9-12*x^16*y^10-4*x^15*y^11+x^17*y^8+8*x^ 16*y^9+6*x^15*y^10+x^14*y^11-2*x^16*y^8-4*x^15*y^9-3*x^14*y^10+x^15*y^8+2*x^14* y^9-x^13*y^10+2*x^14*y^8+3*x^13*y^9+x^12*y^10-3*x^14*y^7-3*x^13*y^8-2*x^12*y^9+ x^14*y^6+x^13*y^7+2*x^11*y^9+3*x^12*y^7-2*x^11*y^8-x^10*y^9-3*x^12*y^6-4*x^11*y ^7+2*x^10*y^8+x^12*y^5+6*x^11*y^6+x^10*y^7-x^9*y^8-2*x^11*y^5-4*x^10*y^6+2*x^10 *y^5+4*x^9*y^6-4*x^9*y^5+x^9*y^4-x^7*y^6+2*x^8*y^4+x^7*y^5-2*x^8*y^3-x^6*y^5-x^ 6*y^4-x^6*y^3+2*x^6*y^2+x^5*y^3+x^4*y^4-x^5*y^2+x^4*y^2-x^4*y-x^3*y^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 3 6 4 3 2 2 2 (2 a + 1) (a - 4 a - 2 a + 3 a + 2 a + 1) (3 a - 2) ----------------------------------------------------------- 4 3 2 5 4 3 (5 a + 4 a + 2 a + 1) (a + a - a - 1) 6 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6319888640 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6323358431 ------------------------------------------------ "Theorem Number 13" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1], [1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 12 15 11 15 10 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 9 15 8 13 10 15 7 13 9 13 8 12 9 - 10 x y + 5 x y + x y - x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y 13 7 12 8 13 6 12 7 11 8 12 6 11 7 - 4 x y + 8 x y + x y - 12 x y - x y + 8 x y + 3 x y 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 2 x y - 2 x y - 3 x y + 5 x y + x y + x y - 4 x y 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 9 4 8 5 7 6 - 3 x y + x y + 4 x y + x y - 3 x y + x y - 2 x y + x y 8 4 7 5 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 + x y - x y + x y - 3 x y + x y + 3 x y - 5 x y - x y 5 3 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 + 3 x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y + 3 x y - 2 x y + x y - x y / 12 8 12 7 11 8 12 6 11 7 12 5 + x - 1) / (x y - 3 x y - x y + 3 x y + 4 x y - x y / 11 6 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 8 5 - 5 x y + 2 x y - x y - x y + 2 x y + x y - x y - x y 8 4 7 5 7 4 6 4 6 3 6 2 3 2 2 + x y + x y - x y + x y + x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^15*y^12-5*x^15*y^11+10*x^15*y^10-10*x^15*y^9+5*x^15*y^8+x^13*y^10-x^15*y^7-4 *x^13*y^9+6*x^13*y^8-2*x^12*y^9-4*x^13*y^7+8*x^12*y^8+x^13*y^6-12*x^12*y^7-x^11 *y^8+8*x^12*y^6+3*x^11*y^7-2*x^10*y^8-2*x^12*y^5-3*x^11*y^6+5*x^10*y^7+x^9*y^8+ x^11*y^5-4*x^10*y^6-3*x^9*y^7+x^10*y^5+4*x^9*y^6+x^8*y^7-3*x^9*y^5+x^9*y^4-2*x^ 8*y^5+x^7*y^6+x^8*y^4-x^7*y^5+x^6*y^5-3*x^6*y^4+x^5*y^5+3*x^6*y^3-5*x^5*y^4-x^6 *y^2+3*x^5*y^3+2*x^4*y^4-2*x^4*y^3-4*x^3*y^3+3*x^3*y^2-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1) /(x^12*y^8-3*x^12*y^7-x^11*y^8+3*x^12*y^6+4*x^11*y^7-x^12*y^5-5*x^11*y^6+2*x^11 *y^5-x^10*y^6-x^9*y^7+2*x^10*y^5+x^9*y^6-x^10*y^4-x^8*y^5+x^8*y^4+x^7*y^5-x^7*y ^4+x^6*y^4+x^6*y^3-x^6*y^2+x^3*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 9 6 5 4 3 2 2 (a - 1) (a + a - 2 a + 4 a - 3 a + 3 a + a + 1) - ------------------------------------------------------- 5 2 5 3 2 (6 a + 3 a - 2 a + 2) (a + a + a + 1) 6 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6231679562 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6236813593 ------------------------------------------------ "Theorem Number 14" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 12 15 11 15 10 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 9 15 8 13 10 15 7 13 9 13 8 12 9 - 10 x y + 5 x y + x y - x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y 13 7 12 8 13 6 12 7 11 8 12 6 11 7 - 4 x y + 8 x y + x y - 12 x y - x y + 8 x y + 3 x y 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 2 x y - 2 x y - 3 x y + 5 x y + x y + x y - 4 x y 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 9 4 8 5 7 6 - 3 x y + x y + 4 x y + x y - 3 x y + x y - 2 x y + x y 8 4 7 5 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 + x y - x y + x y - 3 x y + x y + 3 x y - 5 x y - x y 5 3 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 + 3 x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y + 3 x y - 2 x y + x y - x y / 12 8 12 7 11 8 12 6 11 7 12 5 + x - 1) / (x y - 3 x y - x y + 3 x y + 4 x y - x y / 11 6 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 8 5 - 5 x y + 2 x y - x y - x y + 2 x y + x y - x y - x y 8 4 7 5 7 4 6 4 6 3 6 2 3 2 2 + x y + x y - x y + x y + x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^15*y^12-5*x^15*y^11+10*x^15*y^10-10*x^15*y^9+5*x^15*y^8+x^13*y^10-x^15*y^7-4 *x^13*y^9+6*x^13*y^8-2*x^12*y^9-4*x^13*y^7+8*x^12*y^8+x^13*y^6-12*x^12*y^7-x^11 *y^8+8*x^12*y^6+3*x^11*y^7-2*x^10*y^8-2*x^12*y^5-3*x^11*y^6+5*x^10*y^7+x^9*y^8+ x^11*y^5-4*x^10*y^6-3*x^9*y^7+x^10*y^5+4*x^9*y^6+x^8*y^7-3*x^9*y^5+x^9*y^4-2*x^ 8*y^5+x^7*y^6+x^8*y^4-x^7*y^5+x^6*y^5-3*x^6*y^4+x^5*y^5+3*x^6*y^3-5*x^5*y^4-x^6 *y^2+3*x^5*y^3+2*x^4*y^4-2*x^4*y^3-4*x^3*y^3+3*x^3*y^2-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1) /(x^12*y^8-3*x^12*y^7-x^11*y^8+3*x^12*y^6+4*x^11*y^7-x^12*y^5-5*x^11*y^6+2*x^11 *y^5-x^10*y^6-x^9*y^7+2*x^10*y^5+x^9*y^6-x^10*y^4-x^8*y^5+x^8*y^4+x^7*y^5-x^7*y ^4+x^6*y^4+x^6*y^3-x^6*y^2+x^3*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 9 6 5 4 3 2 2 (a - 1) (a + a - 2 a + 4 a - 3 a + 3 a + a + 1) - ------------------------------------------------------- 5 2 5 3 2 (6 a + 3 a - 2 a + 2) (a + a + a + 1) 6 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6231679562 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6236813593 ------------------------------------------------ "Theorem Number 15" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 9 9 10 7 9 8 10 6 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y + x y - 3 x y - 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 9 7 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 + x y + 3 x y + 5 x y - x y - x y - 6 x y + 3 x y 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 - 2 x y + 2 x y - 4 x y + 4 x y + 3 x y + x y + x y - x y 7 4 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 - 6 x y + 3 x y - 3 x y - 2 x y + 2 x y + 3 x y - x y 4 4 4 3 3 3 4 3 2 3 2 2 - 2 x y + 3 x y + 3 x y - x y - x y - x y + x y + x y + 1) / 9 7 9 6 9 5 8 6 9 4 8 5 8 4 7 5 / (x y - 3 x y + 3 x y - x y - x y + 2 x y - x y - x y / 7 4 7 3 6 4 6 3 6 2 5 3 4 3 3 3 + 3 x y - 2 x y + 2 x y - 3 x y + x y - x y - x y - x y 4 3 2 3 2 2 + x y + x y + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(x^9*y^9+x^10*y^7-3*x^9*y^8-3*x^10*y^6+x^9*y^7+3*x^10*y^5+5*x^9*y^6-x^8*y^7-x^ 10*y^4-6*x^9*y^5+3*x^8*y^6-2*x^7*y^7+2*x^9*y^4-4*x^8*y^5+4*x^7*y^6+3*x^8*y^4+x^ 7*y^5+x^6*y^6-x^8*y^3-6*x^7*y^4+3*x^7*y^3-3*x^6*y^4-2*x^5*y^5+2*x^6*y^3+3*x^5*y ^4-x^5*y^3-2*x^4*y^4+3*x^4*y^3+3*x^3*y^3-x^4*y-x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2+x*y+1)/(x^ 9*y^7-3*x^9*y^6+3*x^9*y^5-x^8*y^6-x^9*y^4+2*x^8*y^5-x^8*y^4-x^7*y^5+3*x^7*y^4-2 *x^7*y^3+2*x^6*y^4-3*x^6*y^3+x^6*y^2-x^5*y^3-x^4*y^3-x^3*y^3+x^4*y+x^3*y^2+x^3* y+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 5 4 3 2 2 (a + 3 a - 4 a - 6 a - 4 a + 3 a + 2 a + 1) - --------------------------------------------------- 7 6 5 3 2 5 a + 5 a + 2 a - 6 a - 6 a - 3 a - 1 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x - x - x - x + 1, and in decimals this is, 0.6050553608 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6059734754 ------------------------------------------------ "Theorem Number 16" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 9 9 10 7 9 8 10 6 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y + x y - 3 x y - 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 9 7 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 + x y + 3 x y + 5 x y - x y - x y - 6 x y + 3 x y 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 - 2 x y + 2 x y - 4 x y + 4 x y + 3 x y + x y + x y - x y 7 4 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 - 6 x y + 3 x y - 3 x y - 2 x y + 2 x y + 3 x y - x y 4 4 4 3 3 3 4 3 2 3 2 2 - 2 x y + 3 x y + 3 x y - x y - x y - x y + x y + x y + 1) / 9 7 9 6 9 5 8 6 9 4 8 5 8 4 7 5 / (x y - 3 x y + 3 x y - x y - x y + 2 x y - x y - x y / 7 4 7 3 6 4 6 3 6 2 5 3 4 3 3 3 + 3 x y - 2 x y + 2 x y - 3 x y + x y - x y - x y - x y 4 3 2 3 2 2 + x y + x y + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(x^9*y^9+x^10*y^7-3*x^9*y^8-3*x^10*y^6+x^9*y^7+3*x^10*y^5+5*x^9*y^6-x^8*y^7-x^ 10*y^4-6*x^9*y^5+3*x^8*y^6-2*x^7*y^7+2*x^9*y^4-4*x^8*y^5+4*x^7*y^6+3*x^8*y^4+x^ 7*y^5+x^6*y^6-x^8*y^3-6*x^7*y^4+3*x^7*y^3-3*x^6*y^4-2*x^5*y^5+2*x^6*y^3+3*x^5*y ^4-x^5*y^3-2*x^4*y^4+3*x^4*y^3+3*x^3*y^3-x^4*y-x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2+x*y+1)/(x^ 9*y^7-3*x^9*y^6+3*x^9*y^5-x^8*y^6-x^9*y^4+2*x^8*y^5-x^8*y^4-x^7*y^5+3*x^7*y^4-2 *x^7*y^3+2*x^6*y^4-3*x^6*y^3+x^6*y^2-x^5*y^3-x^4*y^3-x^3*y^3+x^4*y+x^3*y^2+x^3* y+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 5 4 3 2 2 (a + 3 a - 4 a - 6 a - 4 a + 3 a + 2 a + 1) - --------------------------------------------------- 7 6 5 3 2 5 a + 5 a + 2 a - 6 a - 6 a - 3 a - 1 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x - x - x - x + 1, and in decimals this is, 0.6050553608 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6059734754 ------------------------------------------------ "Theorem Number 17" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 9 9 9 8 9 7 9 6 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 6 x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 - x y + x y + 3 x y + x y - 3 x y - 3 x y + x y + 5 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 5 x y - 2 x y + 2 x y + 4 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y 5 3 5 2 4 3 3 3 4 3 2 2 2 2 + 2 x y - 2 x y + x y - 4 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y / 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 5 4 - x y + x - 1) / (x y - 2 x y - x y + x y + x y + x y / 4 3 4 - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^9*y^9-4*x^9*y^8+6*x^9*y^7-4*x^9*y^6-x^8*y^7+x^9*y^5+3*x^8*y^6+x^7*y^7-3*x^8* y^5-3*x^7*y^6+x^8*y^4+5*x^7*y^5-5*x^7*y^4-2*x^6*y^5+2*x^7*y^3+4*x^6*y^4-2*x^5*y ^5-2*x^6*y^3+2*x^5*y^4+2*x^5*y^3-2*x^5*y^2+x^4*y^3-4*x^3*y^3-x^4*y+4*x^3*y^2-2* x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x^7*y^5-2*x^7*y^4-x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4+x^5*y^4-x^4 *y^3-x^4*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6055208894 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 18" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2], [1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 9 9 9 8 9 7 9 6 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 6 x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 - x y + x y + 3 x y + x y - 3 x y - 3 x y + x y + 5 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 5 x y - 2 x y + 2 x y + 4 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y 5 3 5 2 4 3 3 3 4 3 2 2 2 2 + 2 x y - 2 x y + x y - 4 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y / - x y + x - 1) / ((x - 1) / 6 5 6 4 6 3 5 4 5 3 4 3 3 2 (x y - 2 x y + x y - x y + x y + x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (x^9*y^9-4*x^9*y^8+6*x^9*y^7-4*x^9*y^6-x^8*y^7+x^9*y^5+3*x^8*y^6+x^7*y^7-3*x^8* y^5-3*x^7*y^6+x^8*y^4+5*x^7*y^5-5*x^7*y^4-2*x^6*y^5+2*x^7*y^3+4*x^6*y^4-2*x^5*y ^5-2*x^6*y^3+2*x^5*y^4+2*x^5*y^3-2*x^5*y^2+x^4*y^3-4*x^3*y^3-x^4*y+4*x^3*y^2-2* x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^6*y^5-2*x^6*y^4+x^6*y^3-x^5*y^4+x^5*y^3+x^4*y ^3-x^3*y-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6055208894 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 19" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2], [2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 10 9 10 8 10 7 9 8 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 - 10 x y - 5 x y + 5 x y + 3 x y - 2 x y - x y + x y 8 6 9 4 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 + 3 x y - x y + 4 x y - x y - 7 x y - x y + 5 x y + x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 - 2 x y - 3 x y - 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y 5 2 4 3 3 3 4 3 2 2 2 2 + 2 x y + x y + 4 x y + x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x / 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 5 4 4 3 4 + 1) / (x y - 2 x y - x y + x y + x y + x y - x y - x y / + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^10*y^9-5*x^10*y^8+10*x^10*y^7+2*x^9*y^8-10*x^10*y^6-5*x^9*y^7+5*x^10*y^5+3* x^9*y^6-2*x^8*y^7-x^10*y^4+x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^9*y^4+4*x^7*y^6-x^8*y^4-7*x^7*y^ 5-x^6*y^6+5*x^7*y^4+x^6*y^5-2*x^7*y^3-3*x^6*y^4-2*x^5*y^5+2*x^6*y^3+x^5*y^4-2*x ^5*y^3-2*x^4*y^4+2*x^5*y^2+x^4*y^3+4*x^3*y^3+x^4*y-4*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+ x*y-x+1)/(x^7*y^5-2*x^7*y^4-x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4+x^5*y^4-x^4*y^3-x^4*y+x*y+x -1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6045632689 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 20" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2], [2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 10 9 10 8 10 7 9 8 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 - 10 x y - 5 x y + 5 x y + 3 x y - 2 x y - x y + x y 8 6 9 4 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 + 3 x y - x y + 4 x y - x y - 7 x y - x y + 5 x y + x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 - 2 x y - 3 x y - 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y 5 2 4 3 3 3 4 3 2 2 2 2 + 2 x y + x y + 4 x y + x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x / + 1) / ( / 6 5 6 4 6 3 5 4 5 3 4 3 3 2 (x y - 2 x y + x y - x y + x y + x y - x y - x y - x y + 1) (x - 1)) and in Maple notation -(x^10*y^9-5*x^10*y^8+10*x^10*y^7+2*x^9*y^8-10*x^10*y^6-5*x^9*y^7+5*x^10*y^5+3* x^9*y^6-2*x^8*y^7-x^10*y^4+x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^9*y^4+4*x^7*y^6-x^8*y^4-7*x^7*y^ 5-x^6*y^6+5*x^7*y^4+x^6*y^5-2*x^7*y^3-3*x^6*y^4-2*x^5*y^5+2*x^6*y^3+x^5*y^4-2*x ^5*y^3-2*x^4*y^4+2*x^5*y^2+x^4*y^3+4*x^3*y^3+x^4*y-4*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+ x*y-x+1)/(x^6*y^5-2*x^6*y^4+x^6*y^3-x^5*y^4+x^5*y^3+x^4*y^3-x^3*y-x^2*y-x*y+1)/ (x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6045632689 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 21" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2], [1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 11 10 11 9 11 8 11 7 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y - 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 10 8 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 8 8 - x y + 5 x y + 4 x y - x y - 6 x y - 2 x y + x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 + 4 x y + 7 x y - x y - x y - 9 x y - 3 x y + x y 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 8 3 6 5 + 5 x y + 6 x y - 2 x y - x y - 4 x y + x y + x y - 3 x y 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 5 2 4 2 + 5 x y + 2 x y - x y - 5 x y - x y + 4 x y - x y + x y 3 3 4 3 2 3 2 2 2 / - 4 x y - x y + 3 x y + x y - 2 x y + x y - x y + x - 1) / ( / 8 6 8 5 8 4 7 5 8 3 7 4 7 3 (x - 1) (x y - 3 x y + 3 x y - x y - x y + 2 x y - x y 5 4 5 2 3 2 3 + x y - x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (x^11*y^10-5*x^11*y^9+10*x^11*y^8-10*x^11*y^7-x^10*y^8+5*x^11*y^6+4*x^10*y^7-x^ 11*y^5-6*x^10*y^6-2*x^9*y^7+x^8*y^8+4*x^10*y^5+7*x^9*y^6-x^8*y^7-x^10*y^4-9*x^9 *y^5-3*x^8*y^6+x^7*y^7+5*x^9*y^4+6*x^8*y^5-2*x^7*y^6-x^9*y^3-4*x^8*y^4+x^7*y^5+ x^8*y^3-3*x^6*y^5+5*x^6*y^4+2*x^5*y^5-x^6*y^3-5*x^5*y^4-x^6*y^2+4*x^5*y^3-x^5*y ^2+x^4*y^2-4*x^3*y^3-x^4*y+3*x^3*y^2+x^3*y-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^8* y^6-3*x^8*y^5+3*x^8*y^4-x^7*y^5-x^8*y^3+2*x^7*y^4-x^7*y^3+x^5*y^4-x^5*y^2-x^3*y ^2-x^3*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.5847672036 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 22" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2], [1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 11 10 11 9 11 8 11 7 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y - 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 10 8 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 8 8 - x y + 5 x y + 4 x y - x y - 6 x y - 2 x y + x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 + 4 x y + 7 x y - x y - x y - 9 x y - 3 x y + x y 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 8 3 6 5 + 5 x y + 6 x y - 2 x y - x y - 4 x y + x y + x y - 3 x y 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 5 2 4 2 + 5 x y + 2 x y - x y - 5 x y - x y + 4 x y - x y + x y 3 3 4 3 2 3 2 2 2 / - 4 x y - x y + 3 x y + x y - 2 x y + x y - x y + x - 1) / ( / 9 6 9 5 8 6 9 4 8 5 9 3 8 4 7 5 x y - 3 x y - x y + 3 x y + 2 x y - x y - x y + x y 7 4 7 3 6 4 5 4 6 2 5 2 4 2 4 3 2 - 2 x y + x y + x y - x y - x y + x y - x y - x y + x y 3 2 + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^11*y^10-5*x^11*y^9+10*x^11*y^8-10*x^11*y^7-x^10*y^8+5*x^11*y^6+4*x^10*y^7-x^ 11*y^5-6*x^10*y^6-2*x^9*y^7+x^8*y^8+4*x^10*y^5+7*x^9*y^6-x^8*y^7-x^10*y^4-9*x^9 *y^5-3*x^8*y^6+x^7*y^7+5*x^9*y^4+6*x^8*y^5-2*x^7*y^6-x^9*y^3-4*x^8*y^4+x^7*y^5+ x^8*y^3-3*x^6*y^5+5*x^6*y^4+2*x^5*y^5-x^6*y^3-5*x^5*y^4-x^6*y^2+4*x^5*y^3-x^5*y ^2+x^4*y^2-4*x^3*y^3-x^4*y+3*x^3*y^2+x^3*y-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x^9*y^6-3* x^9*y^5-x^8*y^6+3*x^9*y^4+2*x^8*y^5-x^9*y^3-x^8*y^4+x^7*y^5-2*x^7*y^4+x^7*y^3+x ^6*y^4-x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^2-x^4*y^2-x^4*y+x^3*y^2+x^3*y-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.5847672036 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 23" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2], [2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 11 9 11 8 10 9 11 7 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y - x y + 6 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 4 x y - 4 x y - 7 x y + x y + x y + 7 x y - 2 x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 9 4 - 4 x y - 2 x y + 3 x y + x y + 7 x y - 3 x y - 5 x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 - 3 x y - x y + x y + 4 x y + 3 x y - 2 x y - x y - 2 x y 5 5 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 - 2 x y + 5 x y + x y - 4 x y - 2 x y + x y + 2 x y - x y 3 3 4 3 2 3 2 2 2 / + 4 x y + x y - 3 x y - x y + 2 x y - x y + x y - x + 1) / ( / 9 6 9 5 8 6 9 4 8 5 9 3 8 4 7 5 x y - 3 x y - x y + 3 x y + 2 x y - x y - x y + x y 7 4 7 3 6 4 5 4 6 2 5 2 4 2 4 3 2 - 2 x y + x y + x y - x y - x y + x y - x y - x y + x y 3 2 + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^11*y^9-4*x^11*y^8-x^10*y^9+6*x^11*y^7+4*x^10*y^8-4*x^11*y^6-7*x^10*y^7+x^9* y^8+x^11*y^5+7*x^10*y^6-2*x^9*y^7-4*x^10*y^5-2*x^9*y^6+3*x^8*y^7+x^10*y^4+7*x^9 *y^5-3*x^8*y^6-5*x^9*y^4-3*x^8*y^5-x^7*y^6+x^9*y^3+4*x^8*y^4+3*x^7*y^5-2*x^6*y^ 6-x^8*y^3-2*x^7*y^4-2*x^5*y^5+5*x^5*y^4+x^6*y^2-4*x^5*y^3-2*x^4*y^4+x^5*y^2+2*x ^4*y^3-x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-3*x^3*y^2-x^3*y+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^9*y^ 6-3*x^9*y^5-x^8*y^6+3*x^9*y^4+2*x^8*y^5-x^9*y^3-x^8*y^4+x^7*y^5-2*x^7*y^4+x^7*y ^3+x^6*y^4-x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^2-x^4*y^2-x^4*y+x^3*y^2+x^3*y-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.5841414258 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 24" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2], [2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 11 9 11 8 10 9 11 7 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y - x y + 6 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 4 x y - 4 x y - 7 x y + x y + x y + 7 x y - 2 x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 9 4 - 4 x y - 2 x y + 3 x y + x y + 7 x y - 3 x y - 5 x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 - 3 x y - x y + x y + 4 x y + 3 x y - 2 x y - x y - 2 x y 5 5 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 - 2 x y + 5 x y + x y - 4 x y - 2 x y + x y + 2 x y - x y 3 3 4 3 2 3 2 2 2 / + 4 x y + x y - 3 x y - x y + 2 x y - x y + x y - x + 1) / (( / 8 6 8 5 8 4 7 5 8 3 7 4 7 3 5 4 5 2 x y - 3 x y + 3 x y - x y - x y + 2 x y - x y + x y - x y 3 2 3 - x y - x y - x y + 1) (x - 1)) and in Maple notation -(x^11*y^9-4*x^11*y^8-x^10*y^9+6*x^11*y^7+4*x^10*y^8-4*x^11*y^6-7*x^10*y^7+x^9* y^8+x^11*y^5+7*x^10*y^6-2*x^9*y^7-4*x^10*y^5-2*x^9*y^6+3*x^8*y^7+x^10*y^4+7*x^9 *y^5-3*x^8*y^6-5*x^9*y^4-3*x^8*y^5-x^7*y^6+x^9*y^3+4*x^8*y^4+3*x^7*y^5-2*x^6*y^ 6-x^8*y^3-2*x^7*y^4-2*x^5*y^5+5*x^5*y^4+x^6*y^2-4*x^5*y^3-2*x^4*y^4+x^5*y^2+2*x ^4*y^3-x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-3*x^3*y^2-x^3*y+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^8*y^ 6-3*x^8*y^5+3*x^8*y^4-x^7*y^5-x^8*y^3+2*x^7*y^4-x^7*y^3+x^5*y^4-x^5*y^2-x^3*y^2 -x^3*y-x*y+1)/(x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.5841414258 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 25" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1], [1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 13 12 13 11 13 10 12 11 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + 20 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 9 12 10 13 8 12 9 11 10 13 7 - 31 x y - 7 x y + 29 x y + 19 x y - x y - 17 x y 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 - 27 x y + 4 x y + 6 x y + 22 x y - 6 x y - x y - x y 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 - 10 x y + 4 x y + 4 x y + 2 x y - x y - 7 x y - x y 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 7 x y + 3 x y - 4 x y - 4 x y - x y + x y + 3 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 + 4 x y + x y - x y - 5 x y - 3 x y + 2 x y + 4 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 + 4 x y - 3 x y - 5 x y + x y + x y + 2 x y + x y - 4 x y 6 2 5 3 3 3 3 2 3 2 2 2 - x y + 2 x y - 4 x y + 3 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x / 14 10 14 9 14 8 14 7 13 8 14 6 - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - 4 x y + x y + x y / 13 7 12 8 13 6 12 7 11 8 13 5 12 6 - 3 x y - x y + 3 x y + 3 x y + x y - x y - 3 x y 11 7 12 5 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 - 3 x y + x y + 3 x y + x y - x y - 2 x y - x y 10 5 9 6 9 5 9 4 7 6 7 4 6 5 7 3 6 4 + x y + x y + x y - x y - x y - x y + x y + 2 x y + x y 6 3 6 2 4 2 3 2 3 - x y - x y + 2 x y - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^13*y^12-7*x^13*y^11+20*x^13*y^10+x^12*y^11-31*x^13*y^9-7*x^12*y^10+29*x^13*y ^8+19*x^12*y^9-x^11*y^10-17*x^13*y^7-27*x^12*y^8+4*x^11*y^9+6*x^13*y^6+22*x^12* y^7-6*x^11*y^8-x^10*y^9-x^13*y^5-10*x^12*y^6+4*x^11*y^7+4*x^10*y^8+2*x^12*y^5-x ^11*y^6-7*x^10*y^7-x^9*y^8+7*x^10*y^6+3*x^9*y^7-4*x^10*y^5-4*x^9*y^6-x^8*y^7+x^ 10*y^4+3*x^9*y^5+4*x^8*y^6+x^7*y^7-x^9*y^4-5*x^8*y^5-3*x^7*y^6+2*x^8*y^4+4*x^7* y^5+4*x^6*y^6-3*x^7*y^4-5*x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4+2*x^5*y^5+x^6*y^3-4*x^5*y^4-x ^6*y^2+2*x^5*y^3-4*x^3*y^3+3*x^3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x^14*y^ 10-4*x^14*y^9+6*x^14*y^8-4*x^14*y^7+x^13*y^8+x^14*y^6-3*x^13*y^7-x^12*y^8+3*x^ 13*y^6+3*x^12*y^7+x^11*y^8-x^13*y^5-3*x^12*y^6-3*x^11*y^7+x^12*y^5+3*x^11*y^6+x ^10*y^7-x^11*y^5-2*x^10*y^6-x^9*y^7+x^10*y^5+x^9*y^6+x^9*y^5-x^9*y^4-x^7*y^6-x^ 7*y^4+x^6*y^5+2*x^7*y^3+x^6*y^4-x^6*y^3-x^6*y^2+2*x^4*y^2-x^3*y^2-x^3*y+x*y+x-1 ) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 6 5 4 3 a - 2 a - a + 3 a - 1 - ---------------------------- 3 2 3 (4 a - 3 a + 1) (2 a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.5724815509 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5734689017 ------------------------------------------------ "Theorem Number 26" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1], [1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 13 12 13 11 13 10 12 11 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + 20 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 9 12 10 13 8 12 9 11 10 13 7 - 31 x y - 7 x y + 29 x y + 19 x y - x y - 17 x y 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 - 27 x y + 4 x y + 6 x y + 22 x y - 6 x y - x y - x y 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 - 10 x y + 4 x y + 4 x y + 2 x y - x y - 7 x y - x y 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 7 x y + 3 x y - 4 x y - 4 x y - x y + x y + 3 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 + 4 x y + x y - x y - 5 x y - 3 x y + 2 x y + 4 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 + 4 x y - 3 x y - 5 x y + x y + x y + 2 x y + x y - 4 x y 6 2 5 3 3 3 3 2 3 2 2 2 - x y + 2 x y - 4 x y + 3 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x / 14 10 14 9 14 8 14 7 13 8 14 6 - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - 4 x y + x y + x y / 13 7 12 8 13 6 12 7 11 8 13 5 12 6 - 3 x y - x y + 3 x y + 3 x y + x y - x y - 3 x y 11 7 12 5 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 - 3 x y + x y + 3 x y + x y - x y - 2 x y - x y 10 5 9 6 9 5 9 4 7 6 7 4 6 5 7 3 6 4 + x y + x y + x y - x y - x y - x y + x y + 2 x y + x y 6 3 6 2 4 2 3 2 3 - x y - x y + 2 x y - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^13*y^12-7*x^13*y^11+20*x^13*y^10+x^12*y^11-31*x^13*y^9-7*x^12*y^10+29*x^13*y ^8+19*x^12*y^9-x^11*y^10-17*x^13*y^7-27*x^12*y^8+4*x^11*y^9+6*x^13*y^6+22*x^12* y^7-6*x^11*y^8-x^10*y^9-x^13*y^5-10*x^12*y^6+4*x^11*y^7+4*x^10*y^8+2*x^12*y^5-x ^11*y^6-7*x^10*y^7-x^9*y^8+7*x^10*y^6+3*x^9*y^7-4*x^10*y^5-4*x^9*y^6-x^8*y^7+x^ 10*y^4+3*x^9*y^5+4*x^8*y^6+x^7*y^7-x^9*y^4-5*x^8*y^5-3*x^7*y^6+2*x^8*y^4+4*x^7* y^5+4*x^6*y^6-3*x^7*y^4-5*x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4+2*x^5*y^5+x^6*y^3-4*x^5*y^4-x ^6*y^2+2*x^5*y^3-4*x^3*y^3+3*x^3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x^14*y^ 10-4*x^14*y^9+6*x^14*y^8-4*x^14*y^7+x^13*y^8+x^14*y^6-3*x^13*y^7-x^12*y^8+3*x^ 13*y^6+3*x^12*y^7+x^11*y^8-x^13*y^5-3*x^12*y^6-3*x^11*y^7+x^12*y^5+3*x^11*y^6+x ^10*y^7-x^11*y^5-2*x^10*y^6-x^9*y^7+x^10*y^5+x^9*y^6+x^9*y^5-x^9*y^4-x^7*y^6-x^ 7*y^4+x^6*y^5+2*x^7*y^3+x^6*y^4-x^6*y^3-x^6*y^2+2*x^4*y^2-x^3*y^2-x^3*y+x*y+x-1 ) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 6 5 4 3 a - 2 a - a + 3 a - 1 - ---------------------------- 3 2 3 (4 a - 3 a + 1) (2 a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.5724815509 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5734689017 ------------------------------------------------ "Theorem Number 27" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1], [2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 11 15 10 15 9 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 14 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 10 15 8 14 9 15 7 14 8 13 9 + x y - 16 x y - 5 x y + 9 x y + 10 x y + 5 x y 15 6 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 - 2 x y - 10 x y - 20 x y - x y + 5 x y + 30 x y 12 8 14 5 13 6 12 7 11 8 13 5 + 5 x y - x y - 20 x y - 13 x y - 2 x y + 5 x y 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 + 19 x y + 11 x y + x y - 14 x y - 22 x y - 2 x y 12 4 11 5 10 6 11 4 10 5 9 6 + 4 x y + 20 x y + 2 x y - 8 x y - 6 x y + 3 x y 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 10 3 9 4 + 2 x y + x y + 9 x y - 6 x y - 3 x y - 4 x y + 2 x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 + 3 x y + x y + 2 x y - 5 x y - 3 x y + x y - x y + 3 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 + 7 x y + 7 x y - 8 x y - 9 x y - x y + 3 x y + 4 x y 5 4 6 2 5 3 4 4 6 5 2 4 3 5 + 3 x y - 3 x y - 4 x y - 2 x y + x y + 3 x y + 2 x y - x y 4 2 3 3 4 3 2 2 2 2 / - x y + 4 x y + x y - 3 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / ( / 12 7 12 6 12 5 11 6 12 4 11 5 10 6 x y - 3 x y + 3 x y + x y - x y - 3 x y - x y 11 4 10 5 11 3 10 4 10 3 9 4 8 5 + 3 x y + 4 x y - x y - 5 x y + 2 x y + x y + x y 9 3 8 4 9 2 8 3 7 4 7 2 6 2 5 3 6 - 2 x y - 2 x y + x y + x y + x y - x y + x y + x y - x y 5 2 5 4 2 4 3 2 - x y + x y + x y - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^15*y^11-6*x^15*y^10+14*x^15*y^9+x^14*y^10-16*x^15*y^8-5*x^14*y^9+9*x^15*y^7 +10*x^14*y^8+5*x^13*y^9-2*x^15*y^6-10*x^14*y^7-20*x^13*y^8-x^12*y^9+5*x^14*y^6+ 30*x^13*y^7+5*x^12*y^8-x^14*y^5-20*x^13*y^6-13*x^12*y^7-2*x^11*y^8+5*x^13*y^5+ 19*x^12*y^6+11*x^11*y^7+x^10*y^8-14*x^12*y^5-22*x^11*y^6-2*x^10*y^7+4*x^12*y^4+ 20*x^11*y^5+2*x^10*y^6-8*x^11*y^4-6*x^10*y^5+3*x^9*y^6+2*x^8*y^7+x^11*y^3+9*x^ 10*y^4-6*x^9*y^5-3*x^8*y^6-4*x^10*y^3+2*x^9*y^4+3*x^8*y^5+x^7*y^6+2*x^9*y^3-5*x ^8*y^4-3*x^7*y^5+x^6*y^6-x^9*y^2+3*x^8*y^3+7*x^7*y^4+7*x^6*y^5-8*x^7*y^3-9*x^6* y^4-x^5*y^5+3*x^7*y^2+4*x^6*y^3+3*x^5*y^4-3*x^6*y^2-4*x^5*y^3-2*x^4*y^4+x^6*y+3 *x^5*y^2+2*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-3*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x* y-x+1)/(x^12*y^7-3*x^12*y^6+3*x^12*y^5+x^11*y^6-x^12*y^4-3*x^11*y^5-x^10*y^6+3* x^11*y^4+4*x^10*y^5-x^11*y^3-5*x^10*y^4+2*x^10*y^3+x^9*y^4+x^8*y^5-2*x^9*y^3-2* x^8*y^4+x^9*y^2+x^8*y^3+x^7*y^4-x^7*y^2+x^6*y^2+x^5*y^3-x^6*y-x^5*y^2+x^5*y+x^4 *y^2-x^4*y-x^3*y^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (a - 5 a + 2 a + 7 a - 3 a - 12 a + 8 a + 5 a - 6 a + 1) --------------------------------------------------------------------- 4 2 6 3 (5 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 5 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.5559730470 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5572236223 ------------------------------------------------ "Theorem Number 28" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 11 15 10 15 9 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 14 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 10 15 8 14 9 15 7 14 8 13 9 + x y - 16 x y - 5 x y + 9 x y + 10 x y + 5 x y 15 6 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 - 2 x y - 10 x y - 20 x y - x y + 5 x y + 30 x y 12 8 14 5 13 6 12 7 11 8 13 5 + 5 x y - x y - 20 x y - 13 x y - 2 x y + 5 x y 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 + 19 x y + 11 x y + x y - 14 x y - 22 x y - 2 x y 12 4 11 5 10 6 11 4 10 5 9 6 + 4 x y + 20 x y + 2 x y - 8 x y - 6 x y + 3 x y 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 10 3 9 4 + 2 x y + x y + 9 x y - 6 x y - 3 x y - 4 x y + 2 x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 + 3 x y + x y + 2 x y - 5 x y - 3 x y + x y - x y + 3 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 + 7 x y + 7 x y - 8 x y - 9 x y - x y + 3 x y + 4 x y 5 4 6 2 5 3 4 4 6 5 2 4 3 5 + 3 x y - 3 x y - 4 x y - 2 x y + x y + 3 x y + 2 x y - x y 4 2 3 3 4 3 2 2 2 2 / - x y + 4 x y + x y - 3 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / ( / 12 7 12 6 12 5 11 6 12 4 11 5 10 6 x y - 3 x y + 3 x y + x y - x y - 3 x y - x y 11 4 10 5 11 3 10 4 10 3 9 4 8 5 + 3 x y + 4 x y - x y - 5 x y + 2 x y + x y + x y 9 3 8 4 9 2 8 3 7 4 7 2 6 2 5 3 6 - 2 x y - 2 x y + x y + x y + x y - x y + x y + x y - x y 5 2 5 4 2 4 3 2 - x y + x y + x y - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^15*y^11-6*x^15*y^10+14*x^15*y^9+x^14*y^10-16*x^15*y^8-5*x^14*y^9+9*x^15*y^7 +10*x^14*y^8+5*x^13*y^9-2*x^15*y^6-10*x^14*y^7-20*x^13*y^8-x^12*y^9+5*x^14*y^6+ 30*x^13*y^7+5*x^12*y^8-x^14*y^5-20*x^13*y^6-13*x^12*y^7-2*x^11*y^8+5*x^13*y^5+ 19*x^12*y^6+11*x^11*y^7+x^10*y^8-14*x^12*y^5-22*x^11*y^6-2*x^10*y^7+4*x^12*y^4+ 20*x^11*y^5+2*x^10*y^6-8*x^11*y^4-6*x^10*y^5+3*x^9*y^6+2*x^8*y^7+x^11*y^3+9*x^ 10*y^4-6*x^9*y^5-3*x^8*y^6-4*x^10*y^3+2*x^9*y^4+3*x^8*y^5+x^7*y^6+2*x^9*y^3-5*x ^8*y^4-3*x^7*y^5+x^6*y^6-x^9*y^2+3*x^8*y^3+7*x^7*y^4+7*x^6*y^5-8*x^7*y^3-9*x^6* y^4-x^5*y^5+3*x^7*y^2+4*x^6*y^3+3*x^5*y^4-3*x^6*y^2-4*x^5*y^3-2*x^4*y^4+x^6*y+3 *x^5*y^2+2*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-3*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x* y-x+1)/(x^12*y^7-3*x^12*y^6+3*x^12*y^5+x^11*y^6-x^12*y^4-3*x^11*y^5-x^10*y^6+3* x^11*y^4+4*x^10*y^5-x^11*y^3-5*x^10*y^4+2*x^10*y^3+x^9*y^4+x^8*y^5-2*x^9*y^3-2* x^8*y^4+x^9*y^2+x^8*y^3+x^7*y^4-x^7*y^2+x^6*y^2+x^5*y^3-x^6*y-x^5*y^2+x^5*y+x^4 *y^2-x^4*y-x^3*y^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (a - 5 a + 2 a + 7 a - 3 a - 12 a + 8 a + 5 a - 6 a + 1) --------------------------------------------------------------------- 4 2 6 3 (5 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 5 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.5559730470 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5572236223 ------------------------------------------------ "Theorem Number 29" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1], [2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 6 6 6 5 6 4 5 5 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 5 x y + 4 x y + 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 6 3 5 4 5 3 5 2 4 3 4 2 3 3 4 - x y - 8 x y + 5 x y - x y - x y + 2 x y - 4 x y - x y 3 2 3 2 2 2 / 6 5 6 4 + 2 x y + x y - 2 x y + x y - x y + x - 1) / (x y - 2 x y / 6 3 5 3 5 2 4 3 4 3 2 + x y + x y - x y - x y + x y - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation -(2*x^6*y^6-5*x^6*y^5+4*x^6*y^4+4*x^5*y^5-x^6*y^3-8*x^5*y^4+5*x^5*y^3-x^5*y^2-x ^4*y^3+2*x^4*y^2-4*x^3*y^3-x^4*y+2*x^3*y^2+x^3*y-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x^6* y^5-2*x^6*y^4+x^6*y^3+x^5*y^3-x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y-x^3*y+x^2*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 5 4 3 2 2 (a - a + 5 a - 2 a - 1) - ----------------------------- 5 4 2 3 a + a + 5 a - 2 a + 2 3 2 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.5557511628 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5570843973 ------------------------------------------------ "Theorem Number 30" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2], [2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 10 7 9 8 10 6 9 7 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y + 2 x y - 3 x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 9 4 + 3 x y - x y - 2 x y - x y + 7 x y + 4 x y - 5 x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 - 2 x y + x y + x y + x y - 3 x y + 2 x y - 2 x y + 3 x y 6 5 8 2 7 3 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 - 4 x y + x y - x y + 3 x y - 5 x y - x y + 6 x y - 6 x y 4 3 5 4 2 3 3 3 2 2 / 10 7 + 8 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x y + 1) / (x y / 10 6 10 5 9 6 10 4 9 5 9 4 7 6 9 3 - 3 x y + 3 x y - x y - x y + 3 x y - 3 x y + x y + x y 8 4 7 5 8 3 7 4 6 5 8 2 7 3 6 4 - x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y 6 3 5 4 6 2 5 3 5 3 2 2 + x y + x y - x y - 2 x y + x y + x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^10*y^7+2*x^9*y^8-3*x^10*y^6-4*x^9*y^7+3*x^10*y^5-x^9*y^6-2*x^8*y^7-x^10*y^4 +7*x^9*y^5+4*x^8*y^6-5*x^9*y^4-2*x^8*y^5+x^7*y^6+x^9*y^3+x^8*y^4-3*x^7*y^5+2*x^ 6*y^6-2*x^8*y^3+3*x^7*y^4-4*x^6*y^5+x^8*y^2-x^7*y^3+3*x^6*y^3-5*x^5*y^4-x^6*y^2 +6*x^5*y^3-6*x^4*y^4+8*x^4*y^3-x^5*y-2*x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y+x^2*y^2+1)/(x^10 *y^7-3*x^10*y^6+3*x^10*y^5-x^9*y^6-x^10*y^4+3*x^9*y^5-3*x^9*y^4+x^7*y^6+x^9*y^3 -x^8*y^4-x^7*y^5+2*x^8*y^3-x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^8*y^2+x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^6*y^3+ x^5*y^4-x^6*y^2-2*x^5*y^3+x^5*y+x^3*y-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 6 5 4 3 2 2 (a - 2 a + 3 a - 6 a + 2 a + 1) -------------------------------------- 5 4 2 3 a + a + 5 a - 2 a + 2 3 2 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.5557511632 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5568055937 ------------------------------------------------ "Theorem Number 31" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1], [2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 10 7 9 8 10 6 9 7 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y + 2 x y - 3 x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 9 4 + 3 x y - x y - 2 x y - x y + 7 x y + 4 x y - 5 x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 - 2 x y + x y + x y + x y - 3 x y + 2 x y - 2 x y + 3 x y 6 5 8 2 7 3 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 - 4 x y + x y - x y + 3 x y - 5 x y - x y + 6 x y - 6 x y 4 3 5 4 2 3 3 3 2 2 / 10 7 + 8 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x y + 1) / (x y / 10 6 10 5 9 6 10 4 9 5 9 4 7 6 9 3 - 3 x y + 3 x y - x y - x y + 3 x y - 3 x y + x y + x y 8 4 7 5 8 3 7 4 6 5 8 2 7 3 6 4 - x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y 6 3 5 4 6 2 5 3 5 3 2 2 + x y + x y - x y - 2 x y + x y + x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^10*y^7+2*x^9*y^8-3*x^10*y^6-4*x^9*y^7+3*x^10*y^5-x^9*y^6-2*x^8*y^7-x^10*y^4 +7*x^9*y^5+4*x^8*y^6-5*x^9*y^4-2*x^8*y^5+x^7*y^6+x^9*y^3+x^8*y^4-3*x^7*y^5+2*x^ 6*y^6-2*x^8*y^3+3*x^7*y^4-4*x^6*y^5+x^8*y^2-x^7*y^3+3*x^6*y^3-5*x^5*y^4-x^6*y^2 +6*x^5*y^3-6*x^4*y^4+8*x^4*y^3-x^5*y-2*x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y+x^2*y^2+1)/(x^10 *y^7-3*x^10*y^6+3*x^10*y^5-x^9*y^6-x^10*y^4+3*x^9*y^5-3*x^9*y^4+x^7*y^6+x^9*y^3 -x^8*y^4-x^7*y^5+2*x^8*y^3-x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^8*y^2+x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^6*y^3+ x^5*y^4-x^6*y^2-2*x^5*y^3+x^5*y+x^3*y-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 6 5 4 3 2 2 (a - 2 a + 3 a - 6 a + 2 a + 1) -------------------------------------- 5 4 2 3 a + a + 5 a - 2 a + 2 3 2 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.5557511632 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5568055937 ------------------------------------------------ "Theorem Number 32" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2], [2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 6 6 6 5 6 4 6 3 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 6 x y + 6 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 5 4 5 3 5 2 4 2 3 3 4 3 2 2 2 - 2 x y + 4 x y - 2 x y + x y - 4 x y - x y + 3 x y - 2 x y 2 / 3 2 3 2 + 2 x y - x y + x - 1) / ((x - 1) (x y - x y - x y - x y + 1)) / and in Maple notation (2*x^6*y^6-6*x^6*y^5+6*x^6*y^4-2*x^6*y^3-2*x^5*y^4+4*x^5*y^3-2*x^5*y^2+x^4*y^2-\ 4*x^3*y^3-x^4*y+3*x^3*y^2-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^3*y^2-x^3*y-x^2*y -x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.5542889722 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 33" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2], [2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 6 6 6 5 6 4 6 3 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 6 x y + 6 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 5 4 5 3 5 2 4 2 3 3 4 3 2 2 2 - 2 x y + 4 x y - 2 x y + x y - 4 x y - x y + 3 x y - 2 x y 2 / 3 2 3 2 + 2 x y - x y + x - 1) / ((x - 1) (x y - x y - x y - x y + 1)) / and in Maple notation (2*x^6*y^6-6*x^6*y^5+6*x^6*y^4-2*x^6*y^3-2*x^5*y^4+4*x^5*y^3-2*x^5*y^2+x^4*y^2-\ 4*x^3*y^3-x^4*y+3*x^3*y^2-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^3*y^2-x^3*y-x^2*y -x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.5542889722 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 34" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 13 15 12 15 11 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y + x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 10 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 + 6 x y - 4 x y + x y - 9 x y + 4 x y - 5 x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 + 5 x y + 5 x y + 7 x y - x y - x y - 15 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 + 14 x y - 7 x y + 9 x y - x y - 6 x y + 5 x y 12 8 11 9 14 5 13 6 12 7 11 8 12 6 - 19 x y + 2 x y + x y - x y + 19 x y - x y - 12 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 + 3 x y + x y - x y + 5 x y - 7 x y - 4 x y + 2 x y 12 4 11 5 10 6 8 8 11 4 10 5 10 4 - x y + 5 x y + 8 x y - x y - x y - 9 x y + 5 x y 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 - 3 x y + 7 x y - x y + 2 x y - 10 x y + x y + 5 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 + 3 x y + 2 x y - x y - 8 x y + x y + 5 x y - 3 x y 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 + 4 x y - x y - x y - 4 x y + x y - 3 x y + 2 x y + x y 4 3 5 4 2 3 3 4 2 2 3 / - 4 x y + x y - x y - 3 x y + 2 x y - x y + x - x y - 1) / ( / 16 13 16 12 16 11 15 12 16 10 15 11 16 9 x y - 3 x y + x y - x y + 6 x y + 3 x y - 9 x y 15 10 14 11 16 8 15 9 14 10 16 7 15 8 - x y - x y + 5 x y - 6 x y + 3 x y - x y + 9 x y 14 9 15 7 14 8 13 9 15 6 14 7 13 8 - 5 x y - 5 x y + 8 x y - x y + x y - 9 x y + 4 x y 12 9 14 6 13 7 12 8 14 5 13 6 12 7 + x y + 5 x y - 6 x y - 3 x y - x y + 4 x y + 3 x y 11 8 10 9 13 5 11 7 10 8 12 5 11 6 - x y - x y - x y + 4 x y + x y - 2 x y - 6 x y 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 11 4 + 3 x y + x y + x y + 4 x y - 5 x y - 2 x y - x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 10 3 9 4 8 5 + 3 x y - x y + x y - 2 x y + 5 x y + x y - 3 x y - x y 8 4 7 5 8 3 7 4 6 5 7 3 7 2 5 3 - x y + 2 x y + x y - x y - x y - 2 x y + x y - x y 5 2 5 4 2 3 3 2 2 3 + 2 x y - x y - x y + x y - x y - x - x y + 1) and in Maple notation -(x^15*y^13-3*x^15*y^12+x^15*y^11+x^14*y^12+6*x^15*y^10-4*x^14*y^11+x^13*y^12-9 *x^15*y^9+4*x^14*y^10-5*x^13*y^11+5*x^15*y^8+5*x^14*y^9+7*x^13*y^10-x^12*y^11-x ^15*y^7-15*x^14*y^8+14*x^14*y^7-7*x^13*y^8+9*x^12*y^9-x^11*y^10-6*x^14*y^6+5*x^ 13*y^7-19*x^12*y^8+2*x^11*y^9+x^14*y^5-x^13*y^6+19*x^12*y^7-x^11*y^8-12*x^12*y^ 6+3*x^11*y^7+x^10*y^8-x^9*y^9+5*x^12*y^5-7*x^11*y^6-4*x^10*y^7+2*x^9*y^8-x^12*y ^4+5*x^11*y^5+8*x^10*y^6-x^8*y^8-x^11*y^4-9*x^10*y^5+5*x^10*y^4-3*x^9*y^5+7*x^8 *y^6-x^10*y^3+2*x^9*y^4-10*x^8*y^5+x^7*y^6+5*x^8*y^4+3*x^7*y^5+2*x^6*y^6-x^8*y^ 3-8*x^7*y^4+x^6*y^5+5*x^7*y^3-3*x^6*y^4+4*x^5*y^5-x^7*y^2-x^6*y^3-4*x^5*y^4+x^6 *y^2-3*x^5*y^3+2*x^4*y^4+x^5*y^2-4*x^4*y^3+x^5*y-x^4*y^2-3*x^3*y^3+2*x^4*y-x^2* y^2+x^3-x*y-1)/(x^16*y^13-3*x^16*y^12+x^16*y^11-x^15*y^12+6*x^16*y^10+3*x^15*y^ 11-9*x^16*y^9-x^15*y^10-x^14*y^11+5*x^16*y^8-6*x^15*y^9+3*x^14*y^10-x^16*y^7+9* x^15*y^8-5*x^14*y^9-5*x^15*y^7+8*x^14*y^8-x^13*y^9+x^15*y^6-9*x^14*y^7+4*x^13*y ^8+x^12*y^9+5*x^14*y^6-6*x^13*y^7-3*x^12*y^8-x^14*y^5+4*x^13*y^6+3*x^12*y^7-x^ 11*y^8-x^10*y^9-x^13*y^5+4*x^11*y^7+x^10*y^8-2*x^12*y^5-6*x^11*y^6+3*x^10*y^7+x ^9*y^8+x^12*y^4+4*x^11*y^5-5*x^10*y^6-2*x^9*y^7-x^11*y^4+3*x^10*y^5-x^9*y^6+x^8 *y^7-2*x^10*y^4+5*x^9*y^5+x^10*y^3-3*x^9*y^4-x^8*y^5-x^8*y^4+2*x^7*y^5+x^8*y^3- x^7*y^4-x^6*y^5-2*x^7*y^3+x^7*y^2-x^5*y^3+2*x^5*y^2-x^5*y-x^4*y^2+x^3*y^3-x^2*y ^2-x^3-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 6 5 4 3 2 2 (2 a + 4 a + 4 a + 2 a - 3 a - 2 a - 1) - ----------------------------------------------------- 5 3 5 4 3 2 (6 a + 4 a + 2 a + 1) (a + a + 2 a + a + a + 1) 6 4 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.5454132022 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5465812777 ------------------------------------------------ "Theorem Number 35" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1], [2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 12 15 11 15 10 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 10 x y + 20 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 11 15 9 14 10 15 8 14 9 13 10 + 3 x y - 20 x y - 15 x y + 10 x y + 30 x y + 3 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 - 2 x y - 30 x y - 13 x y - 2 x y + 15 x y + 22 x y 12 9 14 6 13 7 12 8 11 9 13 6 + 12 x y - 3 x y - 18 x y - 28 x y - 4 x y + 7 x y 12 7 11 8 13 5 12 6 11 7 10 8 + 32 x y + 15 x y - x y - 18 x y - 23 x y - 5 x y 12 5 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 + 4 x y + 19 x y + 16 x y - 9 x y - 18 x y - 4 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 + 2 x y + 8 x y + 13 x y + 2 x y - x y - 15 x y - 4 x y 9 4 8 5 7 6 9 3 7 5 7 4 6 5 + 7 x y + 2 x y + 3 x y - x y - 8 x y + 7 x y - x y 7 3 6 4 5 5 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 - 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y + x y + 4 x y 3 2 3 2 2 2 / 12 8 12 7 - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 3 x y / 11 8 12 6 11 7 12 5 11 6 11 5 10 6 - x y + 3 x y + 3 x y - x y - 4 x y + 3 x y + x y 11 4 10 5 9 6 10 4 9 5 8 6 9 4 - x y - 2 x y - 2 x y + x y + 4 x y + x y - 3 x y 8 5 9 3 8 4 7 4 7 3 6 4 6 3 4 3 - 2 x y + x y + x y - x y + x y + 2 x y - x y - x y 4 2 3 + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(2*x^15*y^12-10*x^15*y^11+20*x^15*y^10+3*x^14*y^11-20*x^15*y^9-15*x^14*y^10+10 *x^15*y^8+30*x^14*y^9+3*x^13*y^10-2*x^15*y^7-30*x^14*y^8-13*x^13*y^9-2*x^12*y^ 10+15*x^14*y^7+22*x^13*y^8+12*x^12*y^9-3*x^14*y^6-18*x^13*y^7-28*x^12*y^8-4*x^ 11*y^9+7*x^13*y^6+32*x^12*y^7+15*x^11*y^8-x^13*y^5-18*x^12*y^6-23*x^11*y^7-5*x^ 10*y^8+4*x^12*y^5+19*x^11*y^6+16*x^10*y^7-9*x^11*y^5-18*x^10*y^6-4*x^9*y^7+2*x^ 11*y^4+8*x^10*y^5+13*x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^10*y^4-15*x^9*y^5-4*x^8*y^6+7*x^9*y^4+ 2*x^8*y^5+3*x^7*y^6-x^9*y^3-8*x^7*y^5+7*x^7*y^4-x^6*y^5-2*x^7*y^3+x^6*y^4-2*x^5 *y^5+2*x^5*y^3-2*x^4*y^4+x^4*y^3+x^4*y^2+4*x^3*y^3-4*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-2* x^2*y+x*y-x+1)/(x^12*y^8-3*x^12*y^7-x^11*y^8+3*x^12*y^6+3*x^11*y^7-x^12*y^5-4*x ^11*y^6+3*x^11*y^5+x^10*y^6-x^11*y^4-2*x^10*y^5-2*x^9*y^6+x^10*y^4+4*x^9*y^5+x^ 8*y^6-3*x^9*y^4-2*x^8*y^5+x^9*y^3+x^8*y^4-x^7*y^4+x^7*y^3+2*x^6*y^4-x^6*y^3-x^4 *y^3+x^4*y^2-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (2 a + a - a - 3 a - 2 a + 8 a + 2 a - 6 a + 1) ---------------------------------------------------------- 5 2 3 (6 a - 3 a + 2) (a + 1) 6 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.5384176160 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5393525675 ------------------------------------------------ "Theorem Number 36" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2], [1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 12 15 11 15 10 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 10 x y + 20 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 11 15 9 14 10 15 8 14 9 13 10 + 3 x y - 20 x y - 15 x y + 10 x y + 30 x y + 3 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 - 2 x y - 30 x y - 13 x y - 2 x y + 15 x y + 22 x y 12 9 14 6 13 7 12 8 11 9 13 6 + 12 x y - 3 x y - 18 x y - 28 x y - 4 x y + 7 x y 12 7 11 8 13 5 12 6 11 7 10 8 + 32 x y + 15 x y - x y - 18 x y - 23 x y - 5 x y 12 5 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 + 4 x y + 19 x y + 16 x y - 9 x y - 18 x y - 4 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 + 2 x y + 8 x y + 13 x y + 2 x y - x y - 15 x y - 4 x y 9 4 8 5 7 6 9 3 7 5 7 4 6 5 + 7 x y + 2 x y + 3 x y - x y - 8 x y + 7 x y - x y 7 3 6 4 5 5 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 - 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y + x y + 4 x y 3 2 3 2 2 2 / 12 8 12 7 - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 3 x y / 11 8 12 6 11 7 12 5 11 6 11 5 10 6 - x y + 3 x y + 3 x y - x y - 4 x y + 3 x y + x y 11 4 10 5 9 6 10 4 9 5 8 6 9 4 - x y - 2 x y - 2 x y + x y + 4 x y + x y - 3 x y 8 5 9 3 8 4 7 4 7 3 6 4 6 3 4 3 - 2 x y + x y + x y - x y + x y + 2 x y - x y - x y 4 2 3 + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(2*x^15*y^12-10*x^15*y^11+20*x^15*y^10+3*x^14*y^11-20*x^15*y^9-15*x^14*y^10+10 *x^15*y^8+30*x^14*y^9+3*x^13*y^10-2*x^15*y^7-30*x^14*y^8-13*x^13*y^9-2*x^12*y^ 10+15*x^14*y^7+22*x^13*y^8+12*x^12*y^9-3*x^14*y^6-18*x^13*y^7-28*x^12*y^8-4*x^ 11*y^9+7*x^13*y^6+32*x^12*y^7+15*x^11*y^8-x^13*y^5-18*x^12*y^6-23*x^11*y^7-5*x^ 10*y^8+4*x^12*y^5+19*x^11*y^6+16*x^10*y^7-9*x^11*y^5-18*x^10*y^6-4*x^9*y^7+2*x^ 11*y^4+8*x^10*y^5+13*x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^10*y^4-15*x^9*y^5-4*x^8*y^6+7*x^9*y^4+ 2*x^8*y^5+3*x^7*y^6-x^9*y^3-8*x^7*y^5+7*x^7*y^4-x^6*y^5-2*x^7*y^3+x^6*y^4-2*x^5 *y^5+2*x^5*y^3-2*x^4*y^4+x^4*y^3+x^4*y^2+4*x^3*y^3-4*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-2* x^2*y+x*y-x+1)/(x^12*y^8-3*x^12*y^7-x^11*y^8+3*x^12*y^6+3*x^11*y^7-x^12*y^5-4*x ^11*y^6+3*x^11*y^5+x^10*y^6-x^11*y^4-2*x^10*y^5-2*x^9*y^6+x^10*y^4+4*x^9*y^5+x^ 8*y^6-3*x^9*y^4-2*x^8*y^5+x^9*y^3+x^8*y^4-x^7*y^4+x^7*y^3+2*x^6*y^4-x^6*y^3-x^4 *y^3+x^4*y^2-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (2 a + a - a - 3 a - 2 a + 8 a + 2 a - 6 a + 1) ---------------------------------------------------------- 5 2 3 (6 a - 3 a + 2) (a + 1) 6 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.5384176160 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5393525675 ------------------------------------------------ "Theorem Number 37" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 9 12 8 12 7 11 8 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y + 3 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 6 11 7 11 6 11 5 10 6 8 8 10 5 - x y - 6 x y + 6 x y - 2 x y - x y - x y + 2 x y 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 + x y + x y - x y - 4 x y - 3 x y - 2 x y + 5 x y + 6 x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 6 5 8 2 + x y - 2 x y - 4 x y + x y + x y + 2 x y + x y - x y 7 3 5 5 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 + x y - 2 x y - x y - x y + 5 x y - x y - 2 x y - x y 4 3 3 3 4 3 2 2 / 7 4 7 3 + 4 x y + 3 x y - x y - x y + x y + x y + 1) / (x y - 2 x y / 7 2 6 3 6 2 5 2 5 3 3 4 3 2 2 + x y - x y + x y - x y + x y - x y + x y + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(x^12*y^9-3*x^12*y^8+3*x^12*y^7+2*x^11*y^8-x^12*y^6-6*x^11*y^7+6*x^11*y^6-2*x^ 11*y^5-x^10*y^6-x^8*y^8+2*x^10*y^5+x^9*y^6+x^8*y^7-x^10*y^4-4*x^9*y^5-3*x^8*y^6 -2*x^7*y^7+5*x^9*y^4+6*x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^9*y^3-4*x^8*y^4+x^7*y^5+x^6*y^6+2*x^ 8*y^3+x^6*y^5-x^8*y^2+x^7*y^3-2*x^5*y^5-x^7*y^2-x^6*y^3+5*x^5*y^4-x^5*y^3-2*x^4 *y^4-x^5*y^2+4*x^4*y^3+3*x^3*y^3-x^4*y-x^3*y+x^2*y^2+x*y+1)/(x^7*y^4-2*x^7*y^3+ x^7*y^2-x^6*y^3+x^6*y^2-x^5*y^2+x^5*y-x^3*y^3+x^4*y+x^3*y+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 6 5 4 3 2 3 2 (4 a - 5 a + 12 a - 8 a + 6 a - 2 a - 1) (4 a + 2 a + 1) - ----------------------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 (a + 1) (3 a - 2 a + 2) (a - a + 1) (a + 1) 4 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.5242515314 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5261364359 ------------------------------------------------ "Theorem Number 38" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2], [1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 10 12 9 12 8 11 9 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 9 9 11 6 - 4 x y + 7 x y + x y - 9 x y - x y - x y + 5 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 + 3 x y + 3 x y - x y - 3 x y - 2 x y + x y + x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 - 3 x y - 2 x y + 5 x y + 3 x y + x y - 2 x y - 4 x y 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 5 5 - 2 x y + 2 x y + 2 x y + 3 x y - x y - 5 x y - 2 x y 6 3 5 4 5 3 4 4 4 3 5 3 3 3 + 2 x y + 2 x y + x y - 5 x y + 4 x y - x y + 2 x y - x y / 10 6 10 5 10 4 9 5 8 6 9 4 8 5 + 1) / (x y - 2 x y + x y - x y + x y + 2 x y - 2 x y / 9 3 7 5 8 3 7 4 7 3 6 4 7 2 6 3 - x y - 2 x y + x y + 4 x y - x y - x y - x y - x y 6 2 5 3 4 4 5 2 5 3 3 3 + 2 x y + 3 x y - x y - x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^12*y^10-4*x^12*y^9+6*x^12*y^8-2*x^11*y^9-4*x^12*y^7+7*x^11*y^8+x^12*y^6-9*x^ 11*y^7-x^10*y^8-x^9*y^9+5*x^11*y^6+3*x^10*y^7+3*x^9*y^8-x^11*y^5-3*x^10*y^6-2*x ^9*y^7+x^8*y^8+x^10*y^5-3*x^9*y^6-2*x^8*y^7+5*x^9*y^5+3*x^8*y^6+x^7*y^7-2*x^9*y ^4-4*x^8*y^5-2*x^7*y^6+2*x^8*y^4+2*x^7*y^5+3*x^6*y^6-x^7*y^4-5*x^6*y^5-2*x^5*y^ 5+2*x^6*y^3+2*x^5*y^4+x^5*y^3-5*x^4*y^4+4*x^4*y^3-x^5*y+2*x^3*y^3-x^3*y+1)/(x^ 10*y^6-2*x^10*y^5+x^10*y^4-x^9*y^5+x^8*y^6+2*x^9*y^4-2*x^8*y^5-x^9*y^3-2*x^7*y^ 5+x^8*y^3+4*x^7*y^4-x^7*y^3-x^6*y^4-x^7*y^2-x^6*y^3+2*x^6*y^2+3*x^5*y^3-x^4*y^4 -x^5*y^2-x^5*y+2*x^3*y^3-x^3*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 9 7 6 5 4 3 2 (a - a + a - a - 4 a + 6 a - 1) - --------------------------------------- 4 3 2 4 3 (5 a - 4 a + 3 a - 2) (a - a - 1) 5 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.5242515320 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.5260386934 ------------------------------------------------ "Theorem Number 39" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2], [2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 10 12 9 12 8 11 9 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 9 9 11 6 - 4 x y + 7 x y + x y - 9 x y - x y - x y + 5 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 + 3 x y + 3 x y - x y - 3 x y - 2 x y + x y + x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 - 3 x y - 2 x y + 5 x y + 3 x y + x y - 2 x y - 4 x y 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 5 5 - 2 x y + 2 x y + 2 x y + 3 x y - x y - 5 x y - 2 x y 6 3 5 4 5 3 4 4 4 3 5 3 3 3 + 2 x y + 2 x y + x y - 5 x y + 4 x y - x y + 2 x y - x y / 9 5 9 4 9 3 7 5 7 4 6 4 7 2 + 1) / ((x y - 2 x y + x y + x y - 2 x y - x y + x y / 6 3 6 2 5 3 5 2 5 4 2 3 3 3 2 2 + 2 x y - x y - 2 x y + x y + x y + x y - x y + x y + x y + x y - 1) (x y - 1)) and in Maple notation (x^12*y^10-4*x^12*y^9+6*x^12*y^8-2*x^11*y^9-4*x^12*y^7+7*x^11*y^8+x^12*y^6-9*x^ 11*y^7-x^10*y^8-x^9*y^9+5*x^11*y^6+3*x^10*y^7+3*x^9*y^8-x^11*y^5-3*x^10*y^6-2*x ^9*y^7+x^8*y^8+x^10*y^5-3*x^9*y^6-2*x^8*y^7+5*x^9*y^5+3*x^8*y^6+x^7*y^7-2*x^9*y ^4-4*x^8*y^5-2*x^7*y^6+2*x^8*y^4+2*x^7*y^5+3*x^6*y^6-x^7*y^4-5*x^6*y^5-2*x^5*y^ 5+2*x^6*y^3+2*x^5*y^4+x^5*y^3-5*x^4*y^4+4*x^4*y^3-x^5*y+2*x^3*y^3-x^3*y+1)/(x^9 *y^5-2*x^9*y^4+x^9*y^3+x^7*y^5-2*x^7*y^4-x^6*y^4+x^7*y^2+2*x^6*y^3-x^6*y^2-2*x^ 5*y^3+x^5*y^2+x^5*y+x^4*y^2-x^3*y^3+x^3*y+x^2*y^2+x*y-1)/(x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.5260386934 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 40" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 13 10 13 9 12 10 13 8 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 9 13 7 13 6 12 7 11 8 10 9 - 3 x y - 10 x y + 5 x y + 10 x y + 3 x y - 3 x y 13 5 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 - x y - 15 x y - 12 x y + 7 x y + 9 x y + 19 x y 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 11 4 - 6 x y - 2 x y - 15 x y - 13 x y + 16 x y + 6 x y 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 + 14 x y - 10 x y - 7 x y - x y - 6 x y - 7 x y + 18 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 + x y + 10 x y - 9 x y - 6 x y - 3 x y - 9 x y + 15 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 8 2 7 3 6 4 + 3 x y + 8 x y - 9 x y - 10 x y - x y - 3 x y + 12 x y 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 6 + 5 x y + 3 x y - 5 x y - 9 x y - x y + 5 x y + 6 x y + x y 4 3 5 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 - 9 x y - x y + 3 x y + 8 x y - 8 x y + x y + 4 x y - 3 x y / 10 6 10 5 10 4 10 3 + 2 x y - x + 1) / ((x - 1) (x y - 3 x y + 3 x y - x y / 8 5 8 4 7 5 8 3 7 3 6 4 7 2 6 3 - x y + 2 x y - x y - x y + 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y 5 3 5 2 4 3 5 4 2 3 2 2 - x y + x y + x y + x y + x y + 2 x y + x y - 1)) and in Maple notation (x^13*y^10-5*x^13*y^9+x^12*y^10+10*x^13*y^8-3*x^12*y^9-10*x^13*y^7+5*x^13*y^6+ 10*x^12*y^7+3*x^11*y^8-3*x^10*y^9-x^13*y^5-15*x^12*y^6-12*x^11*y^7+7*x^10*y^8+9 *x^12*y^5+19*x^11*y^6-6*x^9*y^8-2*x^12*y^4-15*x^11*y^5-13*x^10*y^6+16*x^9*y^7+6 *x^11*y^4+14*x^10*y^5-10*x^9*y^6-7*x^8*y^7-x^11*y^3-6*x^10*y^4-7*x^9*y^5+18*x^8 *y^6+x^10*y^3+10*x^9*y^4-9*x^8*y^5-6*x^7*y^6-3*x^9*y^3-9*x^8*y^4+15*x^7*y^5+3*x ^6*y^6+8*x^8*y^3-9*x^7*y^4-10*x^6*y^5-x^8*y^2-3*x^7*y^3+12*x^6*y^4+5*x^5*y^5+3* x^7*y^2-5*x^6*y^3-9*x^5*y^4-x^6*y^2+5*x^5*y^3+6*x^4*y^4+x^6*y-9*x^4*y^3-x^5*y+3 *x^4*y^2+8*x^3*y^3-8*x^3*y^2+x^3*y+4*x^2*y^2-3*x^2*y+2*x*y-x+1)/(x-1)/(x^10*y^6 -3*x^10*y^5+3*x^10*y^4-x^10*y^3-x^8*y^5+2*x^8*y^4-x^7*y^5-x^8*y^3+2*x^7*y^3-2*x ^6*y^4-x^7*y^2+2*x^6*y^3-x^5*y^3+x^5*y^2+x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2+2*x^3*y^2+x^2*y-\ 1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.5178488264 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 41" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 13 10 13 9 12 10 13 8 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 9 13 7 13 6 12 7 11 8 10 9 - 3 x y - 10 x y + 5 x y + 10 x y + 3 x y - 3 x y 13 5 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 - x y - 15 x y - 12 x y + 7 x y + 9 x y + 19 x y 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 11 4 - 6 x y - 2 x y - 15 x y - 13 x y + 16 x y + 6 x y 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 + 14 x y - 10 x y - 7 x y - x y - 6 x y - 7 x y + 18 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 + x y + 10 x y - 9 x y - 6 x y - 3 x y - 9 x y + 15 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 8 2 7 3 6 4 + 3 x y + 8 x y - 9 x y - 10 x y - x y - 3 x y + 12 x y 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 6 + 5 x y + 3 x y - 5 x y - 9 x y - x y + 5 x y + 6 x y + x y 4 3 5 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 - 9 x y - x y + 3 x y + 8 x y - 8 x y + x y + 4 x y - 3 x y / 10 6 10 5 10 4 10 3 + 2 x y - x + 1) / ((x - 1) (x y - 3 x y + 3 x y - x y / 8 5 8 4 7 5 8 3 7 3 6 4 7 2 6 3 - x y + 2 x y - x y - x y + 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y 5 3 5 2 4 3 5 4 2 3 2 2 - x y + x y + x y + x y + x y + 2 x y + x y - 1)) and in Maple notation (x^13*y^10-5*x^13*y^9+x^12*y^10+10*x^13*y^8-3*x^12*y^9-10*x^13*y^7+5*x^13*y^6+ 10*x^12*y^7+3*x^11*y^8-3*x^10*y^9-x^13*y^5-15*x^12*y^6-12*x^11*y^7+7*x^10*y^8+9 *x^12*y^5+19*x^11*y^6-6*x^9*y^8-2*x^12*y^4-15*x^11*y^5-13*x^10*y^6+16*x^9*y^7+6 *x^11*y^4+14*x^10*y^5-10*x^9*y^6-7*x^8*y^7-x^11*y^3-6*x^10*y^4-7*x^9*y^5+18*x^8 *y^6+x^10*y^3+10*x^9*y^4-9*x^8*y^5-6*x^7*y^6-3*x^9*y^3-9*x^8*y^4+15*x^7*y^5+3*x ^6*y^6+8*x^8*y^3-9*x^7*y^4-10*x^6*y^5-x^8*y^2-3*x^7*y^3+12*x^6*y^4+5*x^5*y^5+3* x^7*y^2-5*x^6*y^3-9*x^5*y^4-x^6*y^2+5*x^5*y^3+6*x^4*y^4+x^6*y-9*x^4*y^3-x^5*y+3 *x^4*y^2+8*x^3*y^3-8*x^3*y^2+x^3*y+4*x^2*y^2-3*x^2*y+2*x*y-x+1)/(x-1)/(x^10*y^6 -3*x^10*y^5+3*x^10*y^4-x^10*y^3-x^8*y^5+2*x^8*y^4-x^7*y^5-x^8*y^3+2*x^7*y^3-2*x ^6*y^4-x^7*y^2+2*x^6*y^3-x^5*y^3+x^5*y^2+x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2+2*x^3*y^2+x^2*y-\ 1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.5178488264 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 42" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2], [1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 9 12 8 11 9 12 7 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 7 x y - x y + 9 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 + 4 x y - x y - 5 x y - 7 x y + x y + x y + 7 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 + 2 x y + x y - 4 x y - 3 x y - x y + x y + x y 9 6 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 - 3 x y + 5 x y + x y - 2 x y - 5 x y - 2 x y + 7 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 8 2 7 3 + 7 x y + 3 x y - 4 x y - 10 x y - 6 x y + x y + 7 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 + 2 x y + 2 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y - x y + x y 4 4 5 2 4 3 5 3 3 4 3 2 4 3 + 2 x y + x y - 2 x y - x y - 4 x y + x y + 3 x y - x - x y 2 2 3 2 / 13 9 13 8 12 9 - 2 x y + x + 2 x y - x y + x - 1) / (x y - 3 x y - x y / 13 7 12 8 13 6 11 8 12 6 11 7 12 5 + 3 x y + 2 x y - x y + x y - 2 x y - 3 x y + x y 11 6 11 5 10 6 11 4 10 5 10 4 8 6 9 4 + 2 x y + x y + x y - x y - 2 x y + x y - x y - x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 4 6 5 8 2 7 3 + x y + x y + x y + x y - 2 x y - x y - x y - x y 6 4 7 2 6 3 6 2 5 3 5 2 5 4 2 + 2 x y + 2 x y + x y - x y - x y + x y - x y - 2 x y 4 3 2 4 3 3 + x y + x y + x + x y - x - x y - x + 1) and in Maple notation -(2*x^12*y^9-7*x^12*y^8-x^11*y^9+9*x^12*y^7+4*x^11*y^8-x^10*y^9-5*x^12*y^6-7*x^ 11*y^7+x^10*y^8+x^12*y^5+7*x^11*y^6+2*x^10*y^7+x^9*y^8-4*x^11*y^5-3*x^10*y^6-x^ 9*y^7+x^11*y^4+x^10*y^5-3*x^9*y^6+5*x^9*y^5+x^8*y^6-2*x^9*y^4-5*x^8*y^5-2*x^7*y ^6+7*x^8*y^4+7*x^7*y^5+3*x^6*y^6-4*x^8*y^3-10*x^7*y^4-6*x^6*y^5+x^8*y^2+7*x^7*y ^3+2*x^6*y^4+2*x^5*y^5-2*x^7*y^2+2*x^6*y^3-2*x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^3+2*x^4*y^4+ x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^5*y-4*x^3*y^3+x^4*y+3*x^3*y^2-x^4-x^3*y-2*x^2*y^2+x^3+2*x^2 *y-x*y+x-1)/(x^13*y^9-3*x^13*y^8-x^12*y^9+3*x^13*y^7+2*x^12*y^8-x^13*y^6+x^11*y ^8-2*x^12*y^6-3*x^11*y^7+x^12*y^5+2*x^11*y^6+x^11*y^5+x^10*y^6-x^11*y^4-2*x^10* y^5+x^10*y^4-x^8*y^6-x^9*y^4+x^8*y^5+x^7*y^6+x^9*y^3+x^8*y^4-2*x^7*y^4-x^6*y^5- x^8*y^2-x^7*y^3+2*x^6*y^4+2*x^7*y^2+x^6*y^3-x^6*y^2-x^5*y^3+x^5*y^2-x^5*y-2*x^4 *y^2+x^4*y+x^3*y^2+x^4+x^3*y-x^3-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.4941572301 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 43" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1], [2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 9 12 8 11 9 12 7 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 7 x y - x y + 9 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 + 4 x y - x y - 5 x y - 7 x y + x y + x y + 7 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 + 2 x y + x y - 4 x y - 3 x y - x y + x y + x y 9 6 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 - 3 x y + 5 x y + x y - 2 x y - 5 x y - 2 x y + 7 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 8 2 7 3 + 7 x y + 3 x y - 4 x y - 10 x y - 6 x y + x y + 7 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 + 2 x y + 2 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y - x y + x y 4 4 5 2 4 3 5 3 3 4 3 2 4 3 + 2 x y + x y - 2 x y - x y - 4 x y + x y + 3 x y - x - x y 2 2 3 2 / 12 9 12 8 - 2 x y + x + 2 x y - x y + x - 1) / ((x - 1) (x y - 3 x y / 12 7 11 8 12 6 11 7 11 6 11 5 10 6 + 3 x y - x y - x y + 3 x y - 3 x y + x y - x y 10 5 10 4 7 6 8 4 7 5 8 3 6 5 7 3 + 2 x y - x y - x y - x y + x y + x y + x y + x y 6 4 7 2 6 2 5 3 4 2 4 3 2 3 2 - 2 x y - x y + x y + x y + x y - x y - x y + x + x y + x y - 1)) and in Maple notation -(2*x^12*y^9-7*x^12*y^8-x^11*y^9+9*x^12*y^7+4*x^11*y^8-x^10*y^9-5*x^12*y^6-7*x^ 11*y^7+x^10*y^8+x^12*y^5+7*x^11*y^6+2*x^10*y^7+x^9*y^8-4*x^11*y^5-3*x^10*y^6-x^ 9*y^7+x^11*y^4+x^10*y^5-3*x^9*y^6+5*x^9*y^5+x^8*y^6-2*x^9*y^4-5*x^8*y^5-2*x^7*y ^6+7*x^8*y^4+7*x^7*y^5+3*x^6*y^6-4*x^8*y^3-10*x^7*y^4-6*x^6*y^5+x^8*y^2+7*x^7*y ^3+2*x^6*y^4+2*x^5*y^5-2*x^7*y^2+2*x^6*y^3-2*x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^3+2*x^4*y^4+ x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^5*y-4*x^3*y^3+x^4*y+3*x^3*y^2-x^4-x^3*y-2*x^2*y^2+x^3+2*x^2 *y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^12*y^9-3*x^12*y^8+3*x^12*y^7-x^11*y^8-x^12*y^6+3*x^11*y^7-\ 3*x^11*y^6+x^11*y^5-x^10*y^6+2*x^10*y^5-x^10*y^4-x^7*y^6-x^8*y^4+x^7*y^5+x^8*y^ 3+x^6*y^5+x^7*y^3-2*x^6*y^4-x^7*y^2+x^6*y^2+x^5*y^3+x^4*y^2-x^4*y-x^3*y^2+x^3+x ^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.4941572301 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 44" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2], [1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 10 12 9 12 8 11 9 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 7 11 8 12 6 11 7 12 5 11 6 10 7 - 10 x y + 4 x y + 5 x y - 6 x y - x y + 4 x y - x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - x y + 3 x y - x y - x y - 3 x y + 4 x y + x y + x y 9 5 8 6 9 4 8 5 8 4 7 5 6 6 - 5 x y + 3 x y + 2 x y - 6 x y + 4 x y - 2 x y - x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 6 2 - x y + 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y - 3 x y + x y 5 3 4 4 5 2 4 3 5 4 2 3 3 4 - 2 x y + 4 x y - x y - 4 x y + x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y 3 2 2 / 12 8 12 7 12 6 11 7 + x y - x y - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y / 12 5 11 6 12 4 11 5 10 6 9 7 11 4 - 4 x y + 6 x y + x y - 6 x y + x y - x y + 2 x y 10 5 9 6 10 4 9 5 8 6 8 5 8 4 6 4 - 2 x y + 2 x y + x y - x y + x y - 2 x y + x y + x y 6 3 5 3 5 2 5 4 2 4 3 2 2 - x y - 2 x y + 3 x y - x y + 2 x y - 2 x y - x y + x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^12*y^10-5*x^12*y^9+10*x^12*y^8-x^11*y^9-10*x^12*y^7+4*x^11*y^8+5*x^12*y^6-6 *x^11*y^7-x^12*y^5+4*x^11*y^6-x^10*y^7-x^11*y^5+3*x^10*y^6-x^9*y^7-x^8*y^8-3*x^ 10*y^5+4*x^9*y^6+x^8*y^7+x^10*y^4-5*x^9*y^5+3*x^8*y^6+2*x^9*y^4-6*x^8*y^5+4*x^8 *y^4-2*x^7*y^5-x^6*y^6-x^8*y^3+4*x^7*y^4+2*x^6*y^5-2*x^7*y^3+x^6*y^4+2*x^5*y^5-\ 3*x^6*y^3+x^6*y^2-2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-x^5*y^2-4*x^4*y^3+x^5*y-2*x^4*y^2-2*x^3*y ^3+2*x^4*y+x^3*y-x^2*y^2-1)/(x^12*y^8-4*x^12*y^7+6*x^12*y^6-2*x^11*y^7-4*x^12*y ^5+6*x^11*y^6+x^12*y^4-6*x^11*y^5+x^10*y^6-x^9*y^7+2*x^11*y^4-2*x^10*y^5+2*x^9* y^6+x^10*y^4-x^9*y^5+x^8*y^6-2*x^8*y^5+x^8*y^4+x^6*y^4-x^6*y^3-2*x^5*y^3+3*x^5* y^2-x^5*y+2*x^4*y^2-2*x^4*y-x^3*y+x^2*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 5 4 3 2 2 (a - 2 a + 2 a - 6 a + 2 a + 1) -------------------------------------- 5 4 2 3 a + a + 5 a - 2 a + 2 3 2 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.4689735320 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.4708319923 ------------------------------------------------ "Theorem Number 45" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2], [2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 10 12 9 12 8 11 9 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 7 11 8 12 6 11 7 12 5 11 6 10 7 - 10 x y + 4 x y + 5 x y - 6 x y - x y + 4 x y - x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - x y + 3 x y - x y - x y - 3 x y + 4 x y + x y + x y 9 5 8 6 9 4 8 5 8 4 7 5 6 6 - 5 x y + 3 x y + 2 x y - 6 x y + 4 x y - 2 x y - x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 6 2 - x y + 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y - 3 x y + x y 5 3 4 4 5 2 4 3 5 4 2 3 3 4 - 2 x y + 4 x y - x y - 4 x y + x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y 3 2 2 / 12 8 12 7 12 6 11 7 + x y - x y - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y / 12 5 11 6 12 4 11 5 10 6 9 7 11 4 - 4 x y + 6 x y + x y - 6 x y + x y - x y + 2 x y 10 5 9 6 10 4 9 5 8 6 8 5 8 4 6 4 - 2 x y + 2 x y + x y - x y + x y - 2 x y + x y + x y 6 3 5 3 5 2 5 4 2 4 3 2 2 - x y - 2 x y + 3 x y - x y + 2 x y - 2 x y - x y + x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^12*y^10-5*x^12*y^9+10*x^12*y^8-x^11*y^9-10*x^12*y^7+4*x^11*y^8+5*x^12*y^6-6 *x^11*y^7-x^12*y^5+4*x^11*y^6-x^10*y^7-x^11*y^5+3*x^10*y^6-x^9*y^7-x^8*y^8-3*x^ 10*y^5+4*x^9*y^6+x^8*y^7+x^10*y^4-5*x^9*y^5+3*x^8*y^6+2*x^9*y^4-6*x^8*y^5+4*x^8 *y^4-2*x^7*y^5-x^6*y^6-x^8*y^3+4*x^7*y^4+2*x^6*y^5-2*x^7*y^3+x^6*y^4+2*x^5*y^5-\ 3*x^6*y^3+x^6*y^2-2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-x^5*y^2-4*x^4*y^3+x^5*y-2*x^4*y^2-2*x^3*y ^3+2*x^4*y+x^3*y-x^2*y^2-1)/(x^12*y^8-4*x^12*y^7+6*x^12*y^6-2*x^11*y^7-4*x^12*y ^5+6*x^11*y^6+x^12*y^4-6*x^11*y^5+x^10*y^6-x^9*y^7+2*x^11*y^4-2*x^10*y^5+2*x^9* y^6+x^10*y^4-x^9*y^5+x^8*y^6-2*x^8*y^5+x^8*y^4+x^6*y^4-x^6*y^3-2*x^5*y^3+3*x^5* y^2-x^5*y+2*x^4*y^2-2*x^4*y-x^3*y+x^2*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 5 4 3 2 2 (a - 2 a + 2 a - 6 a + 2 a + 1) -------------------------------------- 5 4 2 3 a + a + 5 a - 2 a + 2 3 2 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.4689735320 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.4708319923 ------------------------------------------------ "Theorem Number 46" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 11 16 10 15 11 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 9 15 10 16 8 15 9 16 7 15 8 + 10 x y - 4 x y - 10 x y + 6 x y + 5 x y - 4 x y 13 10 16 6 15 7 13 9 12 10 13 8 12 9 - 3 x y - x y + x y + 13 x y - x y - 23 x y - x y 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 + 21 x y + 12 x y + x y - 10 x y - 20 x y - 8 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 12 5 + 2 x y + 2 x y + 13 x y + 19 x y - 2 x y - 3 x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 - 21 x y - 5 x y + 5 x y + 13 x y + 8 x y - 9 x y 11 4 10 5 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 - 5 x y - 4 x y + 7 x y + x y + 2 x y + 9 x y - 11 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 - x y - 6 x y - x y + 5 x y + x y + 9 x y - 6 x y - 2 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 7 2 - 4 x y - 3 x y - 2 x y + 6 x y + 4 x y - 5 x y - 2 x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 6 5 2 - 2 x y + 3 x y + 2 x y + 3 x y - 6 x y - x y - 3 x y 4 3 5 4 2 3 3 4 3 2 2 2 2 + 5 x y + x y + x y - 8 x y - x y + 6 x y - 4 x y + 3 x y / 11 6 11 5 11 4 10 5 9 6 - 2 x y + x - 1) / (x y - 3 x y + 3 x y + x y + x y / 11 3 10 4 9 5 10 3 9 4 8 5 9 3 8 4 - x y - 2 x y - 3 x y + x y + 3 x y + x y - x y - 2 x y 8 3 7 4 7 3 6 4 6 3 6 5 2 4 3 5 + x y - x y + x y + x y - 2 x y + x y + x y - x y - x y 4 2 4 2 - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation -(x^16*y^11-5*x^16*y^10+x^15*y^11+10*x^16*y^9-4*x^15*y^10-10*x^16*y^8+6*x^15*y^ 9+5*x^16*y^7-4*x^15*y^8-3*x^13*y^10-x^16*y^6+x^15*y^7+13*x^13*y^9-x^12*y^10-23* x^13*y^8-x^12*y^9+21*x^13*y^7+12*x^12*y^8+x^11*y^9-10*x^13*y^6-20*x^12*y^7-8*x^ 11*y^8+2*x^10*y^9+2*x^13*y^5+13*x^12*y^6+19*x^11*y^7-2*x^10*y^8-3*x^12*y^5-21*x ^11*y^6-5*x^10*y^7+5*x^9*y^8+13*x^11*y^5+8*x^10*y^6-9*x^9*y^7-5*x^11*y^4-4*x^10 *y^5+7*x^8*y^7+x^11*y^3+2*x^10*y^4+9*x^9*y^5-11*x^8*y^6-x^10*y^3-6*x^9*y^4-x^8* y^5+5*x^7*y^6+x^9*y^3+9*x^8*y^4-6*x^7*y^5-2*x^6*y^6-4*x^8*y^3-3*x^7*y^4-2*x^6*y ^5+6*x^7*y^3+4*x^6*y^4-5*x^5*y^5-2*x^7*y^2-2*x^6*y^3+3*x^5*y^4+2*x^6*y^2+3*x^5* y^3-6*x^4*y^4-x^6*y-3*x^5*y^2+5*x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-8*x^3*y^3-x^4*y+6*x^3*y^2 -4*x^2*y^2+3*x^2*y-2*x*y+x-1)/(x^11*y^6-3*x^11*y^5+3*x^11*y^4+x^10*y^5+x^9*y^6- x^11*y^3-2*x^10*y^4-3*x^9*y^5+x^10*y^3+3*x^9*y^4+x^8*y^5-x^9*y^3-2*x^8*y^4+x^8* y^3-x^7*y^4+x^7*y^3+x^6*y^4-2*x^6*y^3+x^6*y+x^5*y^2-x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+x^4*y -x^2*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 2 10 8 7 6 5 4 3 2 3 (a + a - 2 a + 3 a - 10 a + 6 a - 6 a + 2 a + 1) (4 a + 2 a + 1) / 2 2 2 2 2 / ((a + 1) (a - a + 1) (a + 1) (3 a - 2 a + 2) ) / 4 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.4510237724 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.4533443851 ------------------------------------------------ "Theorem Number 47" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 11 16 10 15 11 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 9 15 10 16 8 15 9 16 7 15 8 + 10 x y - 4 x y - 10 x y + 6 x y + 5 x y - 4 x y 13 10 16 6 15 7 13 9 12 10 13 8 12 9 - 3 x y - x y + x y + 13 x y - x y - 23 x y - x y 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 + 21 x y + 12 x y + x y - 10 x y - 20 x y - 8 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 12 5 + 2 x y + 2 x y + 13 x y + 19 x y - 2 x y - 3 x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 - 21 x y - 5 x y + 5 x y + 13 x y + 8 x y - 9 x y 11 4 10 5 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 - 5 x y - 4 x y + 7 x y + x y + 2 x y + 9 x y - 11 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 - x y - 6 x y - x y + 5 x y + x y + 9 x y - 6 x y - 2 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 7 2 - 4 x y - 3 x y - 2 x y + 6 x y + 4 x y - 5 x y - 2 x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 6 5 2 - 2 x y + 3 x y + 2 x y + 3 x y - 6 x y - x y - 3 x y 4 3 5 4 2 3 3 4 3 2 2 2 2 + 5 x y + x y + x y - 8 x y - x y + 6 x y - 4 x y + 3 x y / 11 6 11 5 11 4 10 5 9 6 - 2 x y + x - 1) / (x y - 3 x y + 3 x y + x y + x y / 11 3 10 4 9 5 10 3 9 4 8 5 9 3 8 4 - x y - 2 x y - 3 x y + x y + 3 x y + x y - x y - 2 x y 8 3 7 4 7 3 6 4 6 3 6 5 2 4 3 5 + x y - x y + x y + x y - 2 x y + x y + x y - x y - x y 4 2 4 2 - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation -(x^16*y^11-5*x^16*y^10+x^15*y^11+10*x^16*y^9-4*x^15*y^10-10*x^16*y^8+6*x^15*y^ 9+5*x^16*y^7-4*x^15*y^8-3*x^13*y^10-x^16*y^6+x^15*y^7+13*x^13*y^9-x^12*y^10-23* x^13*y^8-x^12*y^9+21*x^13*y^7+12*x^12*y^8+x^11*y^9-10*x^13*y^6-20*x^12*y^7-8*x^ 11*y^8+2*x^10*y^9+2*x^13*y^5+13*x^12*y^6+19*x^11*y^7-2*x^10*y^8-3*x^12*y^5-21*x ^11*y^6-5*x^10*y^7+5*x^9*y^8+13*x^11*y^5+8*x^10*y^6-9*x^9*y^7-5*x^11*y^4-4*x^10 *y^5+7*x^8*y^7+x^11*y^3+2*x^10*y^4+9*x^9*y^5-11*x^8*y^6-x^10*y^3-6*x^9*y^4-x^8* y^5+5*x^7*y^6+x^9*y^3+9*x^8*y^4-6*x^7*y^5-2*x^6*y^6-4*x^8*y^3-3*x^7*y^4-2*x^6*y ^5+6*x^7*y^3+4*x^6*y^4-5*x^5*y^5-2*x^7*y^2-2*x^6*y^3+3*x^5*y^4+2*x^6*y^2+3*x^5* y^3-6*x^4*y^4-x^6*y-3*x^5*y^2+5*x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-8*x^3*y^3-x^4*y+6*x^3*y^2 -4*x^2*y^2+3*x^2*y-2*x*y+x-1)/(x^11*y^6-3*x^11*y^5+3*x^11*y^4+x^10*y^5+x^9*y^6- x^11*y^3-2*x^10*y^4-3*x^9*y^5+x^10*y^3+3*x^9*y^4+x^8*y^5-x^9*y^3-2*x^8*y^4+x^8* y^3-x^7*y^4+x^7*y^3+x^6*y^4-2*x^6*y^3+x^6*y+x^5*y^2-x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+x^4*y -x^2*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 2 10 8 7 6 5 4 3 2 3 (a + a - 2 a + 3 a - 10 a + 6 a - 6 a + 2 a + 1) (4 a + 2 a + 1) / 2 2 2 2 2 / ((a + 1) (a - a + 1) (a + 1) (3 a - 2 a + 2) ) / 4 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.4510237724 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.4533443851 ------------------------------------------------ "Theorem Number 48" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2], [1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 8 12 7 11 8 12 6 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 2 x y + 6 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 - 8 x y + 2 x y - 4 x y + 12 x y - 8 x y + 2 x y + x y 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 - 8 x y + 11 x y - 4 x y + x y + 2 x y - 6 x y - 2 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 - 2 x y + 2 x y + 8 x y - 4 x y - 2 x y - 2 x y - 2 x y 8 5 10 2 9 3 8 4 7 5 6 6 9 2 + 12 x y + x y - 4 x y - 6 x y + 6 x y + 2 x y + 2 x y 8 3 7 4 6 5 8 2 7 3 6 4 7 2 - 4 x y - 2 x y - 4 x y + 3 x y - 4 x y + 3 x y + 2 x y 6 3 6 2 4 4 5 2 4 3 5 4 2 - 2 x y + x y - 4 x y + 2 x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y 3 3 4 3 2 2 / 10 4 10 3 9 4 + 2 x y - 2 x y - 2 x y + x y + 1) / (x y - 2 x y + 2 x y / 10 2 9 3 8 4 9 2 8 3 8 2 7 3 + x y - 4 x y + x y + 2 x y - 4 x y + 3 x y - 2 x y 7 2 6 3 6 2 5 3 5 2 5 4 2 + 2 x y - 2 x y + 3 x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y + 4 x y 4 3 2 2 - 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^12*y^8-4*x^12*y^7+2*x^11*y^8+6*x^12*y^6-8*x^11*y^7+2*x^10*y^8-4*x^12*y^5+12* x^11*y^6-8*x^10*y^7+2*x^9*y^8+x^12*y^4-8*x^11*y^5+11*x^10*y^6-4*x^9*y^7+x^8*y^8 +2*x^11*y^4-6*x^10*y^5-2*x^9*y^6-2*x^8*y^7+2*x^10*y^4+8*x^9*y^5-4*x^8*y^6-2*x^7 *y^7-2*x^10*y^3-2*x^9*y^4+12*x^8*y^5+x^10*y^2-4*x^9*y^3-6*x^8*y^4+6*x^7*y^5+2*x ^6*y^6+2*x^9*y^2-4*x^8*y^3-2*x^7*y^4-4*x^6*y^5+3*x^8*y^2-4*x^7*y^3+3*x^6*y^4+2* x^7*y^2-2*x^6*y^3+x^6*y^2-4*x^4*y^4+2*x^5*y^2+4*x^4*y^3-2*x^5*y+2*x^4*y^2+2*x^3 *y^3-2*x^4*y-2*x^3*y+x^2*y^2+1)/(x^10*y^4-2*x^10*y^3+2*x^9*y^4+x^10*y^2-4*x^9*y ^3+x^8*y^4+2*x^9*y^2-4*x^8*y^3+3*x^8*y^2-2*x^7*y^3+2*x^7*y^2-2*x^6*y^3+3*x^6*y^ 2-2*x^5*y^3+4*x^5*y^2-2*x^5*y+4*x^4*y^2-2*x^4*y-2*x^3*y+x^2*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.3933189680 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 49" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2], [1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 10 8 10 7 9 8 10 6 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 4 x y - 2 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 6 x y + x y + 8 x y - 2 x y - 4 x y - 2 x y - 10 x y 8 6 7 7 10 3 9 4 7 6 10 2 9 3 + 6 x y + 2 x y - 4 x y + 10 x y - 8 x y + 2 x y + 2 x y 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 7 4 6 5 - 12 x y + 10 x y + 6 x y - 6 x y + 12 x y + 2 x y - 16 x y 9 7 3 6 4 5 5 8 7 2 6 3 + 2 x y - 16 x y + 10 x y + 8 x y - 4 x y + 12 x y + 8 x y 5 4 8 6 2 5 3 4 4 7 6 5 2 - 16 x y + x - 12 x y + 6 x y + 8 x y - 2 x + 4 x y + 4 x y 4 3 5 4 2 3 3 5 4 3 2 4 - 16 x y - 4 x y + 6 x y + 8 x y + 2 x + 4 x y - 10 x y - 2 x 2 2 3 2 / 7 4 6 4 + 4 x y + 2 x - 4 x y + 2 x y - 2 x + 1) / ((x - 1) (x y - x y / 7 2 6 2 7 6 4 2 5 3 2 4 3 2 - 2 x y + 2 x y + x - x - 2 x y - x + 2 x y + x - x + x + x - 1)) and in Maple notation (2*x^10*y^8-4*x^10*y^7-2*x^9*y^8-2*x^10*y^6+6*x^9*y^7+x^8*y^8+8*x^10*y^5-2*x^9* y^6-4*x^8*y^7-2*x^10*y^4-10*x^9*y^5+6*x^8*y^6+2*x^7*y^7-4*x^10*y^3+10*x^9*y^4-8 *x^7*y^6+2*x^10*y^2+2*x^9*y^3-12*x^8*y^4+10*x^7*y^5+6*x^6*y^6-6*x^9*y^2+12*x^8* y^3+2*x^7*y^4-16*x^6*y^5+2*x^9*y-16*x^7*y^3+10*x^6*y^4+8*x^5*y^5-4*x^8*y+12*x^7 *y^2+8*x^6*y^3-16*x^5*y^4+x^8-12*x^6*y^2+6*x^5*y^3+8*x^4*y^4-2*x^7+4*x^6*y+4*x^ 5*y^2-16*x^4*y^3-4*x^5*y+6*x^4*y^2+8*x^3*y^3+2*x^5+4*x^4*y-10*x^3*y^2-2*x^4+4*x ^2*y^2+2*x^3-4*x^2*y+2*x*y-2*x+1)/(x-1)/(x^7*y^4-x^6*y^4-2*x^7*y^2+2*x^6*y^2+x^ 7-x^6-2*x^4*y^2-x^5+2*x^3*y^2+x^4-x^3+x^2+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 4 8 7 6 5 4 3 2 5 3 (a + 2 a - a - 6 a - 8 a - 4 a + 3 a + 2 a + 1) (3 a - 4 a + 1) / 4 3 2 2 / (5 a + 4 a - 3 a - 2 a - 1) / 5 4 3 2 where a is the root of the polynomial, (x - 1) (x + x - x - x - x + 1), and in decimals this is, 0.3416407910 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.3457492879 ------------------------------------------------ "Theorem Number 50" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2], [2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 6 6 6 5 6 4 5 5 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 4 x y - 2 x y + 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 + 8 x y - 4 x y - 4 x y - 6 x y + 6 x y + 8 x y - 10 x y 5 4 2 3 3 4 3 2 4 2 2 3 - 2 x y + x y + 8 x y + 4 x y - 9 x y - x + 4 x y + 2 x 2 / 3 2 3 2 - 4 x y + 2 x y - 2 x + 1) / ((x - 1) (x y - x + x + x - 1)) / and in Maple notation (2*x^6*y^6-4*x^6*y^5-2*x^6*y^4+4*x^5*y^5+8*x^6*y^3-4*x^5*y^4-4*x^6*y^2-6*x^5*y^ 3+6*x^4*y^4+8*x^5*y^2-10*x^4*y^3-2*x^5*y+x^4*y^2+8*x^3*y^3+4*x^4*y-9*x^3*y^2-x^ 4+4*x^2*y^2+2*x^3-4*x^2*y+2*x*y-2*x+1)/(x-1)/(x^3*y^2-x^3+x^2+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.3452283491 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 51" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1], [2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 6 6 6 5 6 4 5 5 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 4 x y - 2 x y + 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 + 8 x y - 4 x y - 4 x y - 6 x y + 6 x y + 8 x y - 10 x y 5 4 2 3 3 4 3 2 4 2 2 3 - 2 x y + x y + 8 x y + 4 x y - 9 x y - x + 4 x y + 2 x 2 / 4 2 3 2 4 3 - 4 x y + 2 x y - 2 x + 1) / (x y - x y - x + 2 x - 2 x + 1) / and in Maple notation (2*x^6*y^6-4*x^6*y^5-2*x^6*y^4+4*x^5*y^5+8*x^6*y^3-4*x^5*y^4-4*x^6*y^2-6*x^5*y^ 3+6*x^4*y^4+8*x^5*y^2-10*x^4*y^3-2*x^5*y+x^4*y^2+8*x^3*y^3+4*x^4*y-9*x^3*y^2-x^ 4+4*x^2*y^2+2*x^3-4*x^2*y+2*x*y-2*x+1)/(x^4*y^2-x^3*y^2-x^4+2*x^3-2*x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.3452283491 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 52" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 6 6 6 5 6 4 5 5 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 4 x y - 2 x y + 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 + 8 x y - 4 x y - 4 x y - 6 x y + 6 x y + 8 x y - 10 x y 5 4 2 3 3 4 3 2 4 2 2 3 - 2 x y + x y + 8 x y + 4 x y - 9 x y - x + 4 x y + 2 x 2 / 3 2 3 2 - 4 x y + 2 x y - 2 x + 1) / ((x - 1) (x y - x + x + x - 1)) / and in Maple notation (2*x^6*y^6-4*x^6*y^5-2*x^6*y^4+4*x^5*y^5+8*x^6*y^3-4*x^5*y^4-4*x^6*y^2-6*x^5*y^ 3+6*x^4*y^4+8*x^5*y^2-10*x^4*y^3-2*x^5*y+x^4*y^2+8*x^3*y^3+4*x^4*y-9*x^3*y^2-x^ 4+4*x^2*y^2+2*x^3-4*x^2*y+2*x*y-2*x+1)/(x-1)/(x^3*y^2-x^3+x^2+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.3452283491 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 53" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 2], [2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 6 6 6 5 6 4 5 5 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 4 x y - 2 x y + 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 + 8 x y - 4 x y - 4 x y - 6 x y + 6 x y + 8 x y - 10 x y 5 4 2 3 3 4 3 2 4 2 2 3 - 2 x y + x y + 8 x y + 4 x y - 9 x y - x + 4 x y + 2 x 2 / 3 2 3 2 - 4 x y + 2 x y - 2 x + 1) / ((x - 1) (x y - x + x + x - 1)) / and in Maple notation (2*x^6*y^6-4*x^6*y^5-2*x^6*y^4+4*x^5*y^5+8*x^6*y^3-4*x^5*y^4-4*x^6*y^2-6*x^5*y^ 3+6*x^4*y^4+8*x^5*y^2-10*x^4*y^3-2*x^5*y+x^4*y^2+8*x^3*y^3+4*x^4*y-9*x^3*y^2-x^ 4+4*x^2*y^2+2*x^3-4*x^2*y+2*x*y-2*x+1)/(x-1)/(x^3*y^2-x^3+x^2+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.3452283491 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 54" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2], [2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 13 9 13 8 13 7 12 8 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 5 x y + 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 7 13 5 12 6 11 7 13 4 12 5 - 11 x y - 5 x y + 13 x y + 4 x y + 4 x y - 2 x y 11 6 10 7 9 8 13 3 12 4 11 5 10 6 - 14 x y - 2 x y - x y - x y - 7 x y + 16 x y + 11 x y 9 7 12 3 11 4 10 5 9 6 8 7 12 2 + 4 x y + 5 x y - 3 x y - 20 x y - 10 x y - 3 x y - x y 11 3 10 4 9 5 8 6 7 7 11 2 10 3 - 7 x y + 12 x y + 18 x y + 9 x y - x y + 5 x y + 4 x y 9 4 8 5 11 10 2 9 3 8 4 7 5 - 16 x y - 12 x y - x y - 7 x y + 2 x y + 14 x y + 5 x y 6 6 10 9 2 8 3 7 4 6 5 9 - 5 x y + 2 x y + 5 x y - 12 x y - 11 x y + 7 x y - 2 x y 8 2 7 3 6 4 5 5 8 7 2 6 3 + 2 x y + 15 x y + 5 x y - 8 x y + 3 x y - 9 x y - 13 x y 5 4 8 7 6 2 5 3 4 4 7 6 + 10 x y - x - x y + 9 x y + 3 x y - 8 x y + 2 x - 3 x y 5 2 4 3 5 3 3 5 4 3 2 4 - 8 x y + 12 x y + 5 x y - 8 x y - 2 x - 6 x y + 8 x y + 2 x 3 2 2 3 2 / 11 4 11 3 + x y - 4 x y - 2 x + 4 x y - 2 x y + 2 x - 1) / (x y - 3 x y / 10 4 11 2 10 3 11 10 2 9 3 10 - x y + 3 x y + 4 x y - x y - 5 x y - x y + 2 x y 9 2 8 3 9 8 2 7 3 8 7 2 8 7 + 2 x y - x y - x y + x y + x y + x y - 2 x y - x - x y 6 2 7 6 5 5 4 4 3 3 + x y + 2 x - x y + 2 x y - 2 x - 2 x y + 2 x + x y - 2 x + 2 x - 1) and in Maple notation (x^13*y^9-4*x^13*y^8+5*x^13*y^7+3*x^12*y^8-11*x^12*y^7-5*x^13*y^5+13*x^12*y^6+4 *x^11*y^7+4*x^13*y^4-2*x^12*y^5-14*x^11*y^6-2*x^10*y^7-x^9*y^8-x^13*y^3-7*x^12* y^4+16*x^11*y^5+11*x^10*y^6+4*x^9*y^7+5*x^12*y^3-3*x^11*y^4-20*x^10*y^5-10*x^9* y^6-3*x^8*y^7-x^12*y^2-7*x^11*y^3+12*x^10*y^4+18*x^9*y^5+9*x^8*y^6-x^7*y^7+5*x^ 11*y^2+4*x^10*y^3-16*x^9*y^4-12*x^8*y^5-x^11*y-7*x^10*y^2+2*x^9*y^3+14*x^8*y^4+ 5*x^7*y^5-5*x^6*y^6+2*x^10*y+5*x^9*y^2-12*x^8*y^3-11*x^7*y^4+7*x^6*y^5-2*x^9*y+ 2*x^8*y^2+15*x^7*y^3+5*x^6*y^4-8*x^5*y^5+3*x^8*y-9*x^7*y^2-13*x^6*y^3+10*x^5*y^ 4-x^8-x^7*y+9*x^6*y^2+3*x^5*y^3-8*x^4*y^4+2*x^7-3*x^6*y-8*x^5*y^2+12*x^4*y^3+5* x^5*y-8*x^3*y^3-2*x^5-6*x^4*y+8*x^3*y^2+2*x^4+x^3*y-4*x^2*y^2-2*x^3+4*x^2*y-2*x *y+2*x-1)/(x^11*y^4-3*x^11*y^3-x^10*y^4+3*x^11*y^2+4*x^10*y^3-x^11*y-5*x^10*y^2 -x^9*y^3+2*x^10*y+2*x^9*y^2-x^8*y^3-x^9*y+x^8*y^2+x^7*y^3+x^8*y-2*x^7*y^2-x^8-x ^7*y+x^6*y^2+2*x^7-x^6*y+2*x^5*y-2*x^5-2*x^4*y+2*x^4+x^3*y-2*x^3+2*x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.2164622277 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 55" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1], [1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 13 9 13 8 13 7 12 8 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 5 x y + 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 7 13 5 12 6 11 7 13 4 12 5 - 11 x y - 5 x y + 13 x y + 4 x y + 4 x y - 2 x y 11 6 10 7 9 8 13 3 12 4 11 5 10 6 - 14 x y - 2 x y - x y - x y - 7 x y + 16 x y + 11 x y 9 7 12 3 11 4 10 5 9 6 8 7 12 2 + 4 x y + 5 x y - 3 x y - 20 x y - 10 x y - 3 x y - x y 11 3 10 4 9 5 8 6 7 7 11 2 10 3 - 7 x y + 12 x y + 18 x y + 9 x y - x y + 5 x y + 4 x y 9 4 8 5 11 10 2 9 3 8 4 7 5 - 16 x y - 12 x y - x y - 7 x y + 2 x y + 14 x y + 5 x y 6 6 10 9 2 8 3 7 4 6 5 9 - 5 x y + 2 x y + 5 x y - 12 x y - 11 x y + 7 x y - 2 x y 8 2 7 3 6 4 5 5 8 7 2 6 3 + 2 x y + 15 x y + 5 x y - 8 x y + 3 x y - 9 x y - 13 x y 5 4 8 7 6 2 5 3 4 4 7 6 + 10 x y - x - x y + 9 x y + 3 x y - 8 x y + 2 x - 3 x y 5 2 4 3 5 3 3 5 4 3 2 4 - 8 x y + 12 x y + 5 x y - 8 x y - 2 x - 6 x y + 8 x y + 2 x 3 2 2 3 2 / 10 4 + x y - 4 x y - 2 x + 4 x y - 2 x y + 2 x - 1) / ((x - 1) (x y / 10 3 10 2 9 3 10 9 2 9 7 3 7 2 - 3 x y + 3 x y + x y - x y - 2 x y + x y - x y + x y 7 6 2 7 6 5 5 4 4 3 3 2 + x y - x y - x + x - x y + x + x y - x - x y + x - x - x + 1) ) and in Maple notation (x^13*y^9-4*x^13*y^8+5*x^13*y^7+3*x^12*y^8-11*x^12*y^7-5*x^13*y^5+13*x^12*y^6+4 *x^11*y^7+4*x^13*y^4-2*x^12*y^5-14*x^11*y^6-2*x^10*y^7-x^9*y^8-x^13*y^3-7*x^12* y^4+16*x^11*y^5+11*x^10*y^6+4*x^9*y^7+5*x^12*y^3-3*x^11*y^4-20*x^10*y^5-10*x^9* y^6-3*x^8*y^7-x^12*y^2-7*x^11*y^3+12*x^10*y^4+18*x^9*y^5+9*x^8*y^6-x^7*y^7+5*x^ 11*y^2+4*x^10*y^3-16*x^9*y^4-12*x^8*y^5-x^11*y-7*x^10*y^2+2*x^9*y^3+14*x^8*y^4+ 5*x^7*y^5-5*x^6*y^6+2*x^10*y+5*x^9*y^2-12*x^8*y^3-11*x^7*y^4+7*x^6*y^5-2*x^9*y+ 2*x^8*y^2+15*x^7*y^3+5*x^6*y^4-8*x^5*y^5+3*x^8*y-9*x^7*y^2-13*x^6*y^3+10*x^5*y^ 4-x^8-x^7*y+9*x^6*y^2+3*x^5*y^3-8*x^4*y^4+2*x^7-3*x^6*y-8*x^5*y^2+12*x^4*y^3+5* x^5*y-8*x^3*y^3-2*x^5-6*x^4*y+8*x^3*y^2+2*x^4+x^3*y-4*x^2*y^2-2*x^3+4*x^2*y-2*x *y+2*x-1)/(x-1)/(x^10*y^4-3*x^10*y^3+3*x^10*y^2+x^9*y^3-x^10*y-2*x^9*y^2+x^9*y- x^7*y^3+x^7*y^2+x^7*y-x^6*y^2-x^7+x^6-x^5*y+x^5+x^4*y-x^4-x^3*y+x^3-x^2-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.2164622277 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 56" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2], [2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 13 9 13 8 13 7 12 8 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 5 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 7 13 5 12 6 11 7 13 4 12 5 - 7 x y - 5 x y + 7 x y + 2 x y + 4 x y + 2 x y 11 6 10 7 13 3 12 4 11 5 10 6 9 7 - 7 x y - 2 x y - x y - 8 x y + 7 x y + 9 x y + x y 12 3 11 4 10 5 9 6 8 7 12 2 11 3 + 5 x y + 2 x y - 13 x y - 7 x y - x y - x y - 8 x y 10 4 9 5 8 6 11 2 10 3 9 4 8 5 + 3 x y + 15 x y + 3 x y + 5 x y + 9 x y - 9 x y - 7 x y 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 6 10 - x y - 8 x y - 7 x y + 12 x y + 2 x y - 3 x y + 2 x y 9 2 8 3 7 4 6 5 9 8 2 7 3 + 10 x y - 7 x y - 10 x y + 4 x y - 3 x y - 4 x y + 17 x y 6 4 5 5 8 7 2 6 3 5 4 8 7 + 6 x y - 6 x y + 5 x y - 10 x y - 16 x y + 8 x y - x - x y 6 2 5 3 4 4 7 6 5 2 4 3 + 14 x y + 4 x y - 8 x y + 2 x - 5 x y - 10 x y + 12 x y 5 3 3 5 4 3 2 4 3 2 2 + 6 x y - 8 x y - 2 x - 6 x y + 8 x y + 2 x + x y - 4 x y 3 2 / 11 4 11 3 10 4 - 2 x + 4 x y - 2 x y + 2 x - 1) / (x y - 3 x y - x y / 11 2 10 3 11 10 2 9 3 10 9 2 + 3 x y + 4 x y - x y - 5 x y - x y + 2 x y + 2 x y 8 3 9 8 2 7 3 8 7 2 8 7 6 2 7 - x y - x y + x y + x y + x y - 2 x y - x - x y + x y + 2 x 6 5 5 4 4 3 3 - x y + 2 x y - 2 x - 2 x y + 2 x + x y - 2 x + 2 x - 1) and in Maple notation (x^13*y^9-4*x^13*y^8+5*x^13*y^7+2*x^12*y^8-7*x^12*y^7-5*x^13*y^5+7*x^12*y^6+2*x ^11*y^7+4*x^13*y^4+2*x^12*y^5-7*x^11*y^6-2*x^10*y^7-x^13*y^3-8*x^12*y^4+7*x^11* y^5+9*x^10*y^6+x^9*y^7+5*x^12*y^3+2*x^11*y^4-13*x^10*y^5-7*x^9*y^6-x^8*y^7-x^12 *y^2-8*x^11*y^3+3*x^10*y^4+15*x^9*y^5+3*x^8*y^6+5*x^11*y^2+9*x^10*y^3-9*x^9*y^4 -7*x^8*y^5-x^11*y-8*x^10*y^2-7*x^9*y^3+12*x^8*y^4+2*x^7*y^5-3*x^6*y^6+2*x^10*y+ 10*x^9*y^2-7*x^8*y^3-10*x^7*y^4+4*x^6*y^5-3*x^9*y-4*x^8*y^2+17*x^7*y^3+6*x^6*y^ 4-6*x^5*y^5+5*x^8*y-10*x^7*y^2-16*x^6*y^3+8*x^5*y^4-x^8-x^7*y+14*x^6*y^2+4*x^5* y^3-8*x^4*y^4+2*x^7-5*x^6*y-10*x^5*y^2+12*x^4*y^3+6*x^5*y-8*x^3*y^3-2*x^5-6*x^4 *y+8*x^3*y^2+2*x^4+x^3*y-4*x^2*y^2-2*x^3+4*x^2*y-2*x*y+2*x-1)/(x^11*y^4-3*x^11* y^3-x^10*y^4+3*x^11*y^2+4*x^10*y^3-x^11*y-5*x^10*y^2-x^9*y^3+2*x^10*y+2*x^9*y^2 -x^8*y^3-x^9*y+x^8*y^2+x^7*y^3+x^8*y-2*x^7*y^2-x^8-x^7*y+x^6*y^2+2*x^7-x^6*y+2* x^5*y-2*x^5-2*x^4*y+2*x^4+x^3*y-2*x^3+2*x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.2161710141 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 57" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1], [1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming distance 1) that also obey this pro\ perty, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 13 9 13 8 13 7 12 8 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 5 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 7 13 5 12 6 11 7 13 4 12 5 - 7 x y - 5 x y + 7 x y + 2 x y + 4 x y + 2 x y 11 6 10 7 13 3 12 4 11 5 10 6 9 7 - 7 x y - 2 x y - x y - 8 x y + 7 x y + 9 x y + x y 12 3 11 4 10 5 9 6 8 7 12 2 11 3 + 5 x y + 2 x y - 13 x y - 7 x y - x y - x y - 8 x y 10 4 9 5 8 6 11 2 10 3 9 4 8 5 + 3 x y + 15 x y + 3 x y + 5 x y + 9 x y - 9 x y - 7 x y 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 6 10 - x y - 8 x y - 7 x y + 12 x y + 2 x y - 3 x y + 2 x y 9 2 8 3 7 4 6 5 9 8 2 7 3 + 10 x y - 7 x y - 10 x y + 4 x y - 3 x y - 4 x y + 17 x y 6 4 5 5 8 7 2 6 3 5 4 8 7 + 6 x y - 6 x y + 5 x y - 10 x y - 16 x y + 8 x y - x - x y 6 2 5 3 4 4 7 6 5 2 4 3 + 14 x y + 4 x y - 8 x y + 2 x - 5 x y - 10 x y + 12 x y 5 3 3 5 4 3 2 4 3 2 2 + 6 x y - 8 x y - 2 x - 6 x y + 8 x y + 2 x + x y - 4 x y 3 2 / 11 4 11 3 10 4 - 2 x + 4 x y - 2 x y + 2 x - 1) / (x y - 3 x y - x y / 11 2 10 3 11 10 2 9 3 10 9 2 + 3 x y + 4 x y - x y - 5 x y - x y + 2 x y + 2 x y 8 3 9 8 2 7 3 8 7 2 8 7 6 2 7 - x y - x y + x y + x y + x y - 2 x y - x - x y + x y + 2 x 6 5 5 4 4 3 3 - x y + 2 x y - 2 x - 2 x y + 2 x + x y - 2 x + 2 x - 1) and in Maple notation (x^13*y^9-4*x^13*y^8+5*x^13*y^7+2*x^12*y^8-7*x^12*y^7-5*x^13*y^5+7*x^12*y^6+2*x ^11*y^7+4*x^13*y^4+2*x^12*y^5-7*x^11*y^6-2*x^10*y^7-x^13*y^3-8*x^12*y^4+7*x^11* y^5+9*x^10*y^6+x^9*y^7+5*x^12*y^3+2*x^11*y^4-13*x^10*y^5-7*x^9*y^6-x^8*y^7-x^12 *y^2-8*x^11*y^3+3*x^10*y^4+15*x^9*y^5+3*x^8*y^6+5*x^11*y^2+9*x^10*y^3-9*x^9*y^4 -7*x^8*y^5-x^11*y-8*x^10*y^2-7*x^9*y^3+12*x^8*y^4+2*x^7*y^5-3*x^6*y^6+2*x^10*y+ 10*x^9*y^2-7*x^8*y^3-10*x^7*y^4+4*x^6*y^5-3*x^9*y-4*x^8*y^2+17*x^7*y^3+6*x^6*y^ 4-6*x^5*y^5+5*x^8*y-10*x^7*y^2-16*x^6*y^3+8*x^5*y^4-x^8-x^7*y+14*x^6*y^2+4*x^5* y^3-8*x^4*y^4+2*x^7-5*x^6*y-10*x^5*y^2+12*x^4*y^3+6*x^5*y-8*x^3*y^3-2*x^5-6*x^4 *y+8*x^3*y^2+2*x^4+x^3*y-4*x^2*y^2-2*x^3+4*x^2*y-2*x*y+2*x-1)/(x^11*y^4-3*x^11* y^3-x^10*y^4+3*x^11*y^2+4*x^10*y^3-x^11*y-5*x^10*y^2-x^9*y^3+2*x^10*y+2*x^9*y^2 -x^8*y^3-x^9*y+x^8*y^2+x^7*y^3+x^8*y-2*x^7*y^2-x^8-x^7*y+x^6*y^2+2*x^7-x^6*y+2* x^5*y-2*x^5-2*x^4*y+2*x^4+x^3*y-2*x^3+2*x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.2161710141 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ---------------------------------- This ends this paper that took, 65.136, seconds to produce ------------------------------ Counting Words in the Alphabet, {1, 2}, That Avoid A Certain set of , 2, consecutive subwords of length, 5, For all the possibilities, According to their Number of Good Neighbors By Shalosh B. Ekhad ------------------------------------------------ "Theorem Number 1" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 10 10 10 9 10 8 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 7 x y + 9 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 10 7 10 6 8 8 8 7 8 6 8 5 6 6 - 5 x y + x y - 2 x y + 5 x y - 4 x y + x y - 3 x y 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 + 5 x y - 2 x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y + 3 x y - 2 x y 3 3 3 2 2 2 / 10 9 10 8 10 7 + 2 x y - x y + x y + x y + 1) / (x y - 3 x y + 3 x y / 10 6 8 7 8 6 8 5 6 6 6 5 5 4 5 3 - x y - x y + 2 x y - x y - x y + x y - 2 x y + 2 x y 4 4 3 2 2 2 + x y + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(2*x^10*y^10-7*x^10*y^9+9*x^10*y^8-5*x^10*y^7+x^10*y^6-2*x^8*y^8+5*x^8*y^7-4*x ^8*y^6+x^8*y^5-3*x^6*y^6+5*x^6*y^5-2*x^6*y^4-4*x^5*y^5+6*x^5*y^4-2*x^5*y^3+3*x^ 4*y^4-2*x^4*y^3+2*x^3*y^3-x^3*y^2+x^2*y^2+x*y+1)/(x^10*y^9-3*x^10*y^8+3*x^10*y^ 7-x^10*y^6-x^8*y^7+2*x^8*y^6-x^8*y^5-x^6*y^6+x^6*y^5-2*x^5*y^4+2*x^5*y^3+x^4*y^ 4+x^3*y^2+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 6 5 4 3 2 2 (a - 1) (a + 3 a + 6 a + 10 a + 6 a + 3 a + 1) - ----------------------------------------------------- 7 6 5 4 3 2 4 a + 7 a + 9 a + 10 a + 10 a + 6 a + 3 a + 1 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.8673142244 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.8664352945 ------------------------------------------------ "Theorem Number 2" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 20 22 19 22 18 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 7 x y + 21 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 19 22 17 21 18 20 19 22 16 21 17 + 2 x y - 35 x y - 13 x y + x y + 35 x y + 36 x y 20 18 22 15 21 16 20 17 19 18 22 14 - 6 x y - 21 x y - 55 x y + 15 x y + x y + 7 x y 21 15 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 + 50 x y - 20 x y - 7 x y - x y - 27 x y + 15 x y 19 16 21 13 20 14 19 15 18 16 21 12 + 20 x y + 8 x y - 6 x y - 30 x y - x y - x y 20 13 19 14 18 15 17 16 19 13 18 14 + x y + 25 x y + 5 x y - x y - 11 x y - 10 x y 17 15 19 12 18 13 17 14 18 12 16 14 + 4 x y + 2 x y + 10 x y - 5 x y - 5 x y - x y 15 15 18 11 17 12 16 13 15 14 17 11 - x y + x y + 5 x y + 4 x y + 3 x y - 4 x y 16 12 15 13 14 14 17 10 16 11 15 12 - 6 x y - 2 x y - x y + x y + 4 x y - 3 x y 14 13 16 10 15 11 14 12 13 13 15 10 + 2 x y - x y + 6 x y - 6 x y - x y - 4 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 + 18 x y + 3 x y + x y - 23 x y - 12 x y - x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 12 x y + 30 x y + x y - 2 x y - 32 x y + 5 x y 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 - x y + 13 x y - 6 x y + 2 x y - x y - 2 x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 11 7 10 8 + 6 x y + x y + 3 x y - 14 x y + x y + 7 x y - 3 x y 9 9 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 + x y - 2 x y + x y + 6 x y + 2 x y - 6 x y + x y + x y 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 6 5 6 4 + 6 x y - 3 x y - x y - 5 x y + 6 x y - 8 x y + x y 5 5 5 4 5 3 4 4 4 2 3 3 2 2 + 3 x y - 8 x y + 3 x y - 4 x y + x y - 2 x y - x y - x y / 23 20 23 19 23 18 22 19 23 17 - 1) / (x y - 7 x y + 21 x y + 2 x y - 35 x y / 22 18 23 16 22 17 21 18 23 15 22 16 - 13 x y + 35 x y + 36 x y + x y - 21 x y - 55 x y 21 17 23 14 22 15 21 16 20 17 23 13 - 6 x y + 7 x y + 50 x y + 15 x y - x y - x y 22 14 21 15 20 16 22 13 21 14 - 27 x y - 20 x y + 5 x y + 8 x y + 15 x y 20 15 19 16 22 12 21 13 20 14 19 15 - 10 x y - x y - x y - 6 x y + 10 x y + 5 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 20 12 19 13 + x y - 5 x y - 10 x y - x y + x y + 10 x y 18 14 19 12 18 13 17 14 16 15 19 11 + 5 x y - 5 x y - 10 x y - x y - x y + x y 18 12 17 13 16 14 18 11 17 12 16 13 + 10 x y + 4 x y + 4 x y - 5 x y - 6 x y - 7 x y 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 - x y + x y + 4 x y + 7 x y + x y - x y 16 11 16 10 15 11 14 12 15 10 14 11 - 4 x y + x y + 4 x y - 3 x y - 7 x y + 4 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 14 9 13 10 + x y + 3 x y + 7 x y - 3 x y - 14 x y + 6 x y 14 8 13 9 12 10 13 8 12 9 13 7 12 8 + 6 x y - 5 x y + 2 x y - x y - x y + 2 x y - 4 x y 11 9 12 7 11 8 10 8 9 9 10 7 9 8 + x y + 3 x y - x y + x y + x y + 2 x y - x y 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 7 7 - 3 x y + 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y + x y 8 5 7 6 7 5 6 6 6 5 6 4 5 5 5 3 - 3 x y - x y - x y - x y - 2 x y + x y - x y - x y 4 2 2 2 - x y - x y - x y + 1) and in Maple notation -(x^22*y^20-7*x^22*y^19+21*x^22*y^18+2*x^21*y^19-35*x^22*y^17-13*x^21*y^18+x^20 *y^19+35*x^22*y^16+36*x^21*y^17-6*x^20*y^18-21*x^22*y^15-55*x^21*y^16+15*x^20*y ^17+x^19*y^18+7*x^22*y^14+50*x^21*y^15-20*x^20*y^16-7*x^19*y^17-x^22*y^13-27*x^ 21*y^14+15*x^20*y^15+20*x^19*y^16+8*x^21*y^13-6*x^20*y^14-30*x^19*y^15-x^18*y^ 16-x^21*y^12+x^20*y^13+25*x^19*y^14+5*x^18*y^15-x^17*y^16-11*x^19*y^13-10*x^18* y^14+4*x^17*y^15+2*x^19*y^12+10*x^18*y^13-5*x^17*y^14-5*x^18*y^12-x^16*y^14-x^ 15*y^15+x^18*y^11+5*x^17*y^12+4*x^16*y^13+3*x^15*y^14-4*x^17*y^11-6*x^16*y^12-2 *x^15*y^13-x^14*y^14+x^17*y^10+4*x^16*y^11-3*x^15*y^12+2*x^14*y^13-x^16*y^10+6* x^15*y^11-6*x^14*y^12-x^13*y^13-4*x^15*y^10+18*x^14*y^11+3*x^13*y^12+x^15*y^9-\ 23*x^14*y^10-12*x^13*y^11-x^12*y^12+12*x^14*y^9+30*x^13*y^10+x^12*y^11-2*x^14*y ^8-32*x^13*y^9+5*x^12*y^10-x^11*y^11+13*x^13*y^8-6*x^12*y^9+2*x^11*y^10-x^13*y^ 7-2*x^12*y^8+6*x^11*y^9+x^10*y^10+3*x^12*y^7-14*x^11*y^8+x^10*y^9+7*x^11*y^7-3* x^10*y^8+x^9*y^9-2*x^9*y^8+x^10*y^6+6*x^9*y^7+2*x^8*y^8-6*x^9*y^6+x^8*y^7+x^9*y ^5+6*x^7*y^7-3*x^8*y^5-x^7*y^6-5*x^7*y^5+6*x^6*y^6-8*x^6*y^5+x^6*y^4+3*x^5*y^5-\ 8*x^5*y^4+3*x^5*y^3-4*x^4*y^4+x^4*y^2-2*x^3*y^3-x^2*y^2-x*y-1)/(x^23*y^20-7*x^ 23*y^19+21*x^23*y^18+2*x^22*y^19-35*x^23*y^17-13*x^22*y^18+35*x^23*y^16+36*x^22 *y^17+x^21*y^18-21*x^23*y^15-55*x^22*y^16-6*x^21*y^17+7*x^23*y^14+50*x^22*y^15+ 15*x^21*y^16-x^20*y^17-x^23*y^13-27*x^22*y^14-20*x^21*y^15+5*x^20*y^16+8*x^22*y ^13+15*x^21*y^14-10*x^20*y^15-x^19*y^16-x^22*y^12-6*x^21*y^13+10*x^20*y^14+5*x^ 19*y^15+x^21*y^12-5*x^20*y^13-10*x^19*y^14-x^18*y^15+x^20*y^12+10*x^19*y^13+5*x ^18*y^14-5*x^19*y^12-10*x^18*y^13-x^17*y^14-x^16*y^15+x^19*y^11+10*x^18*y^12+4* x^17*y^13+4*x^16*y^14-5*x^18*y^11-6*x^17*y^12-7*x^16*y^13-x^15*y^14+x^18*y^10+4 *x^17*y^11+7*x^16*y^12+x^15*y^13-x^17*y^10-4*x^16*y^11+x^16*y^10+4*x^15*y^11-3* x^14*y^12-7*x^15*y^10+4*x^14*y^11+x^13*y^12+3*x^15*y^9+7*x^14*y^10-3*x^13*y^11-\ 14*x^14*y^9+6*x^13*y^10+6*x^14*y^8-5*x^13*y^9+2*x^12*y^10-x^13*y^8-x^12*y^9+2*x ^13*y^7-4*x^12*y^8+x^11*y^9+3*x^12*y^7-x^11*y^8+x^10*y^8+x^9*y^9+2*x^10*y^7-x^9 *y^8-3*x^10*y^6+4*x^9*y^7+2*x^8*y^8-2*x^9*y^6+x^8*y^7-2*x^9*y^5+x^7*y^7-3*x^8*y ^5-x^7*y^6-x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^6*y^5+x^6*y^4-x^5*y^5-x^5*y^3-x^4*y^2-x^2*y^2-x* y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 / (a + 2 a + 3 a + 2 a + a + 2 a + 2 a + 6 a + 3 a + 2 a + 1) / ( / 6 5 4 3 (7 a + 12 a + 10 a + 4 a + 2 a + 1) 6 5 4 3 2 (a + 2 a + 3 a + 2 a + a + a + 1)) 7 6 5 4 2 where a is the root of the polynomial, x + 2 x + 2 x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.8405861284 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.8398773774 ------------------------------------------------ "Theorem Number 3" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 11 12 10 11 11 12 9 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y + x y + 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 11 10 12 8 11 9 10 10 11 8 10 9 - 3 x y - x y + 5 x y - 2 x y - 5 x y + 11 x y 11 7 10 8 9 9 10 7 9 8 10 6 9 7 + 2 x y - 18 x y + x y + 11 x y - x y - 2 x y - x y 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 5 - x y + 2 x y + 7 x y - x y - 9 x y + x y + 3 x y - 2 x y 6 6 7 4 6 5 6 4 5 4 5 3 4 4 4 3 - x y + x y + 4 x y - 3 x y - 2 x y + x y - 6 x y + 4 x y 3 3 3 2 2 2 2 / 13 11 13 10 - 3 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y - 1) / (x y - 3 x y / 13 9 13 8 12 9 12 8 11 9 12 7 11 8 + 3 x y - x y + 2 x y - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y 10 9 11 7 10 8 10 7 10 6 9 7 9 6 + x y + x y - 3 x y + 4 x y - 2 x y + 3 x y - 5 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 7 5 7 4 + x y + 2 x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y + x y - 2 x y 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 3 3 2 - 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y - x y - x y - x y - x y + 1) and in Maple notation -(x^12*y^11-3*x^12*y^10+x^11*y^11+3*x^12*y^9-3*x^11*y^10-x^12*y^8+5*x^11*y^9-2* x^10*y^10-5*x^11*y^8+11*x^10*y^9+2*x^11*y^7-18*x^10*y^8+x^9*y^9+11*x^10*y^7-x^9 *y^8-2*x^10*y^6-x^9*y^7-x^8*y^8+2*x^9*y^6+7*x^8*y^7-x^9*y^5-9*x^8*y^6+x^7*y^7+3 *x^8*y^5-2*x^7*y^5-x^6*y^6+x^7*y^4+4*x^6*y^5-3*x^6*y^4-2*x^5*y^4+x^5*y^3-6*x^4* y^4+4*x^4*y^3-3*x^3*y^3+2*x^3*y^2-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y-1)/(x^13*y^11-3*x^13*y^10 +3*x^13*y^9-x^13*y^8+2*x^12*y^9-4*x^12*y^8+x^11*y^9+2*x^12*y^7-2*x^11*y^8+x^10* y^9+x^11*y^7-3*x^10*y^8+4*x^10*y^7-2*x^10*y^6+3*x^9*y^7-5*x^9*y^6+x^8*y^7+2*x^9 *y^5-2*x^8*y^6-x^7*y^7+x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^7*y^5-2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+x^6*y^4-2* x^5*y^5+2*x^5*y^4-x^5*y^3-x^3*y^3-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 6 5 4 3 2 2 (2 a + 4 a + 2 a - 4 a - 3 a - 2 a - 1) - ------------------------------------------------------------ 5 4 2 5 4 3 2 (6 a + 5 a + 3 a + 2 a + 1) (a + 2 a + a + a + a + 1) 6 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.8352918830 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.8346990207 ------------------------------------------------ "Theorem Number 4" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 11 12 10 11 11 12 9 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y + x y + 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 11 10 12 8 11 9 10 10 11 8 10 9 - 3 x y - x y + 5 x y - 2 x y - 5 x y + 11 x y 11 7 10 8 9 9 10 7 9 8 10 6 9 7 + 2 x y - 18 x y + x y + 11 x y - x y - 2 x y - x y 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 5 - x y + 2 x y + 7 x y - x y - 9 x y + x y + 3 x y - 2 x y 6 6 7 4 6 5 6 4 5 4 5 3 4 4 4 3 - x y + x y + 4 x y - 3 x y - 2 x y + x y - 6 x y + 4 x y 3 3 3 2 2 2 2 / 13 11 13 10 - 3 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y - 1) / (x y - 3 x y / 13 9 13 8 12 9 12 8 11 9 12 7 11 8 + 3 x y - x y + 2 x y - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y 10 9 11 7 10 8 10 7 10 6 9 7 9 6 + x y + x y - 3 x y + 4 x y - 2 x y + 3 x y - 5 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 7 5 7 4 + x y + 2 x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y + x y - 2 x y 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 3 3 2 - 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y - x y - x y - x y - x y + 1) and in Maple notation -(x^12*y^11-3*x^12*y^10+x^11*y^11+3*x^12*y^9-3*x^11*y^10-x^12*y^8+5*x^11*y^9-2* x^10*y^10-5*x^11*y^8+11*x^10*y^9+2*x^11*y^7-18*x^10*y^8+x^9*y^9+11*x^10*y^7-x^9 *y^8-2*x^10*y^6-x^9*y^7-x^8*y^8+2*x^9*y^6+7*x^8*y^7-x^9*y^5-9*x^8*y^6+x^7*y^7+3 *x^8*y^5-2*x^7*y^5-x^6*y^6+x^7*y^4+4*x^6*y^5-3*x^6*y^4-2*x^5*y^4+x^5*y^3-6*x^4* y^4+4*x^4*y^3-3*x^3*y^3+2*x^3*y^2-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y-1)/(x^13*y^11-3*x^13*y^10 +3*x^13*y^9-x^13*y^8+2*x^12*y^9-4*x^12*y^8+x^11*y^9+2*x^12*y^7-2*x^11*y^8+x^10* y^9+x^11*y^7-3*x^10*y^8+4*x^10*y^7-2*x^10*y^6+3*x^9*y^7-5*x^9*y^6+x^8*y^7+2*x^9 *y^5-2*x^8*y^6-x^7*y^7+x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^7*y^5-2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+x^6*y^4-2* x^5*y^5+2*x^5*y^4-x^5*y^3-x^3*y^3-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 6 5 4 3 2 2 (2 a + 4 a + 2 a - 4 a - 3 a - 2 a - 1) - ------------------------------------------------------------ 5 4 2 5 4 3 2 (6 a + 5 a + 3 a + 2 a + 1) (a + 2 a + a + a + a + 1) 6 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.8352918830 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.8346990207 ------------------------------------------------ "Theorem Number 5" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 13 14 12 14 11 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 8 x y + 12 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 12 14 10 13 11 14 9 13 10 12 11 - 2 x y - 8 x y + 8 x y + 2 x y - 12 x y - x y 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 + 8 x y + 4 x y + 2 x y - 2 x y - 6 x y - 6 x y 12 8 11 9 12 7 11 8 10 9 10 8 9 9 + 4 x y + 6 x y - x y - 2 x y - 2 x y + 6 x y - 2 x y 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 - 6 x y + 2 x y + 2 x y + 3 x y - 2 x y - 4 x y + 7 x y 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 + x y - 8 x y - x y + 3 x y + 3 x y - 3 x y - 4 x y + x y 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 + 7 x y - 3 x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y 4 2 3 3 3 2 2 2 / 12 11 12 10 - x y + 2 x y - x y + x y + x y + 1) / (x y - 4 x y / 12 9 12 8 12 7 9 7 9 6 8 7 9 5 8 6 + 6 x y - 4 x y + x y - x y + 2 x y - x y - x y + 2 x y 7 7 8 5 7 6 7 5 7 4 6 5 6 4 4 2 3 2 - x y - x y + x y + x y - x y - x y + x y + x y + x y 2 2 + x y + x y - 1) and in Maple notation -(2*x^14*y^13-8*x^14*y^12+12*x^14*y^11-2*x^13*y^12-8*x^14*y^10+8*x^13*y^11+2*x^ 14*y^9-12*x^13*y^10-x^12*y^11+8*x^13*y^9+4*x^12*y^10+2*x^11*y^11-2*x^13*y^8-6*x ^12*y^9-6*x^11*y^10+4*x^12*y^8+6*x^11*y^9-x^12*y^7-2*x^11*y^8-2*x^10*y^9+6*x^10 *y^8-2*x^9*y^9-6*x^10*y^7+2*x^9*y^8+2*x^10*y^6+3*x^9*y^7-2*x^8*y^8-4*x^9*y^6+7* x^8*y^7+x^9*y^5-8*x^8*y^6-x^7*y^7+3*x^8*y^5+3*x^7*y^6-3*x^7*y^5-4*x^6*y^6+x^7*y ^4+7*x^6*y^5-3*x^6*y^4-4*x^5*y^5+6*x^5*y^4-2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-2*x^4*y^3-x^4*y^ 2+2*x^3*y^3-x^3*y^2+x^2*y^2+x*y+1)/(x^12*y^11-4*x^12*y^10+6*x^12*y^9-4*x^12*y^8 +x^12*y^7-x^9*y^7+2*x^9*y^6-x^8*y^7-x^9*y^5+2*x^8*y^6-x^7*y^7-x^8*y^5+x^7*y^6+x ^7*y^5-x^7*y^4-x^6*y^5+x^6*y^4+x^4*y^2+x^3*y^2+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 3 2 2 (a - 2 a - 3 a - 4 a - 5 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) ---------------------------------------------------------- 7 6 5 4 3 2 4 a + 7 a + 9 a + 10 a + 10 a + 6 a + 3 a + 1 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.8278311802 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.8272964703 ------------------------------------------------ "Theorem Number 6" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 1], [2, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 13 14 12 14 11 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 8 x y + 12 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 12 14 10 13 11 14 9 13 10 12 11 - 2 x y - 8 x y + 8 x y + 2 x y - 12 x y - x y 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 + 8 x y + 4 x y + 2 x y - 2 x y - 6 x y - 6 x y 12 8 11 9 12 7 11 8 10 9 10 8 9 9 + 4 x y + 6 x y - x y - 2 x y - 2 x y + 6 x y - 2 x y 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 - 6 x y + 2 x y + 2 x y + 3 x y - 2 x y - 4 x y + 7 x y 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 + x y - 8 x y - x y + 3 x y + 3 x y - 3 x y - 4 x y + x y 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 + 7 x y - 3 x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y 4 2 3 3 3 2 2 2 / 12 11 12 10 - x y + 2 x y - x y + x y + x y + 1) / (x y - 4 x y / 12 9 12 8 12 7 9 7 9 6 8 7 9 5 8 6 + 6 x y - 4 x y + x y - x y + 2 x y - x y - x y + 2 x y 7 7 8 5 7 6 7 5 7 4 6 5 6 4 4 2 3 2 - x y - x y + x y + x y - x y - x y + x y + x y + x y 2 2 + x y + x y - 1) and in Maple notation -(2*x^14*y^13-8*x^14*y^12+12*x^14*y^11-2*x^13*y^12-8*x^14*y^10+8*x^13*y^11+2*x^ 14*y^9-12*x^13*y^10-x^12*y^11+8*x^13*y^9+4*x^12*y^10+2*x^11*y^11-2*x^13*y^8-6*x ^12*y^9-6*x^11*y^10+4*x^12*y^8+6*x^11*y^9-x^12*y^7-2*x^11*y^8-2*x^10*y^9+6*x^10 *y^8-2*x^9*y^9-6*x^10*y^7+2*x^9*y^8+2*x^10*y^6+3*x^9*y^7-2*x^8*y^8-4*x^9*y^6+7* x^8*y^7+x^9*y^5-8*x^8*y^6-x^7*y^7+3*x^8*y^5+3*x^7*y^6-3*x^7*y^5-4*x^6*y^6+x^7*y ^4+7*x^6*y^5-3*x^6*y^4-4*x^5*y^5+6*x^5*y^4-2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-2*x^4*y^3-x^4*y^ 2+2*x^3*y^3-x^3*y^2+x^2*y^2+x*y+1)/(x^12*y^11-4*x^12*y^10+6*x^12*y^9-4*x^12*y^8 +x^12*y^7-x^9*y^7+2*x^9*y^6-x^8*y^7-x^9*y^5+2*x^8*y^6-x^7*y^7-x^8*y^5+x^7*y^6+x ^7*y^5-x^7*y^4-x^6*y^5+x^6*y^4+x^4*y^2+x^3*y^2+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 3 2 2 (a - 2 a - 3 a - 4 a - 5 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) ---------------------------------------------------------- 7 6 5 4 3 2 4 a + 7 a + 9 a + 10 a + 10 a + 6 a + 3 a + 1 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.8278311802 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.8272964703 ------------------------------------------------ "Theorem Number 7" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 13 12 13 11 12 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 8 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 10 12 11 13 9 12 10 11 11 13 8 + 12 x y + 8 x y - 8 x y - 11 x y - 2 x y + 2 x y 12 9 11 10 12 8 11 9 10 10 12 7 + 5 x y + 8 x y + x y - 12 x y - 3 x y - x y 11 8 10 9 11 7 10 8 9 9 10 7 + 8 x y + 12 x y - 2 x y - 16 x y - 5 x y + 8 x y 9 8 10 6 9 7 8 8 8 7 9 5 7 7 + 13 x y - x y - 9 x y - 2 x y + 3 x y + x y - 2 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 5 4 - 2 x y + 2 x y + x y + 2 x y + x y - 2 x y - x y - 6 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 3 + 5 x y + 6 x y - 7 x y + 2 x y + 3 x y - 4 x y + x y 2 2 2 / 11 8 11 7 10 8 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (2 x y - 4 x y - 2 x y / 11 6 10 7 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 + 2 x y + 4 x y - x y + 2 x y - x y - 4 x y - 2 x y 9 5 8 6 9 4 8 5 8 4 7 4 6 5 7 3 + x y + 3 x y + x y + x y - 2 x y + x y - 3 x y - x y 6 4 5 5 5 4 5 3 4 3 3 3 3 + 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x y + x y + x - 1 ) and in Maple notation -(2*x^13*y^12-8*x^13*y^11-2*x^12*y^12+12*x^13*y^10+8*x^12*y^11-8*x^13*y^9-11*x^ 12*y^10-2*x^11*y^11+2*x^13*y^8+5*x^12*y^9+8*x^11*y^10+x^12*y^8-12*x^11*y^9-3*x^ 10*y^10-x^12*y^7+8*x^11*y^8+12*x^10*y^9-2*x^11*y^7-16*x^10*y^8-5*x^9*y^9+8*x^10 *y^7+13*x^9*y^8-x^10*y^6-9*x^9*y^7-2*x^8*y^8+3*x^8*y^7+x^9*y^5-2*x^7*y^7-2*x^8* y^5+2*x^7*y^6+x^8*y^4+2*x^7*y^5+x^6*y^6-2*x^7*y^4-x^6*y^5-6*x^5*y^4+5*x^5*y^3+6 *x^4*y^4-7*x^4*y^3+2*x^4*y^2+3*x^3*y^3-4*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+ 1)/(2*x^11*y^8-4*x^11*y^7-2*x^10*y^8+2*x^11*y^6+4*x^10*y^7-x^10*y^6+2*x^9*y^7-x ^10*y^5-4*x^9*y^6-2*x^8*y^7+x^9*y^5+3*x^8*y^6+x^9*y^4+x^8*y^5-2*x^8*y^4+x^7*y^4 -3*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^6*y^4+2*x^5*y^5-2*x^5*y^4+x^5*y^3-x^4*y^3+x^3*y^3-x^3*y+ x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.8049999620 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 8" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 13 12 13 11 12 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 8 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 10 12 11 13 9 12 10 11 11 13 8 + 12 x y + 8 x y - 8 x y - 11 x y - 2 x y + 2 x y 12 9 11 10 12 8 11 9 10 10 12 7 + 5 x y + 8 x y + x y - 12 x y - 3 x y - x y 11 8 10 9 11 7 10 8 9 9 10 7 + 8 x y + 12 x y - 2 x y - 16 x y - 5 x y + 8 x y 9 8 10 6 9 7 8 8 8 7 9 5 7 7 + 13 x y - x y - 9 x y - 2 x y + 3 x y + x y - 2 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 5 4 - 2 x y + 2 x y + x y + 2 x y + x y - 2 x y - x y - 6 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 3 + 5 x y + 6 x y - 7 x y + 2 x y + 3 x y - 4 x y + x y 2 2 2 / 10 8 10 7 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / ((x - 1) (2 x y - 4 x y / 10 6 9 6 8 7 9 5 8 6 8 4 7 5 7 4 + 2 x y + x y + 2 x y - x y - 3 x y + x y + x y - x y 6 5 5 5 6 3 5 4 5 3 3 3 2 + x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation -(2*x^13*y^12-8*x^13*y^11-2*x^12*y^12+12*x^13*y^10+8*x^12*y^11-8*x^13*y^9-11*x^ 12*y^10-2*x^11*y^11+2*x^13*y^8+5*x^12*y^9+8*x^11*y^10+x^12*y^8-12*x^11*y^9-3*x^ 10*y^10-x^12*y^7+8*x^11*y^8+12*x^10*y^9-2*x^11*y^7-16*x^10*y^8-5*x^9*y^9+8*x^10 *y^7+13*x^9*y^8-x^10*y^6-9*x^9*y^7-2*x^8*y^8+3*x^8*y^7+x^9*y^5-2*x^7*y^7-2*x^8* y^5+2*x^7*y^6+x^8*y^4+2*x^7*y^5+x^6*y^6-2*x^7*y^4-x^6*y^5-6*x^5*y^4+5*x^5*y^3+6 *x^4*y^4-7*x^4*y^3+2*x^4*y^2+3*x^3*y^3-4*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+ 1)/(x-1)/(2*x^10*y^8-4*x^10*y^7+2*x^10*y^6+x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^9*y^5-3*x^8*y^6+ x^8*y^4+x^7*y^5-x^7*y^4+x^6*y^5-2*x^5*y^5-x^6*y^3+2*x^5*y^4-x^5*y^3-x^3*y^3-x^2 *y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.8049999620 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 9" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 11 17 12 16 13 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y + 2 x y + 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 - 10 x y - 10 x y - 22 x y - 3 x y + 20 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 + 20 x y + 38 x y + 20 x y - 2 x y - 20 x y - 20 x y 16 10 15 11 14 12 18 7 17 8 16 9 - 30 x y - 46 x y + 6 x y + 10 x y + 10 x y + 6 x y 15 10 14 11 13 12 18 6 17 7 16 8 + 47 x y + 3 x y - 6 x y - 2 x y - 2 x y + 6 x y 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 - 19 x y - 26 x y + 20 x y - 2 x y - x y + 32 x y 13 10 12 11 16 6 15 7 14 8 13 9 - 16 x y - 9 x y - 2 x y + x y - 16 x y - 9 x y 12 10 11 11 16 5 15 6 14 7 13 8 + 19 x y + 2 x y + x y + 2 x y + 4 x y + 15 x y 12 9 11 10 15 5 14 6 13 7 12 8 11 9 - x y - 11 x y - x y - 3 x y - x y - 19 x y + 10 x y 10 10 14 5 13 6 12 7 11 8 10 9 + 5 x y + 3 x y - 5 x y + 8 x y + 9 x y - 21 x y 14 4 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 - x y + 2 x y + 5 x y - 14 x y + 22 x y + 8 x y 12 5 11 6 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 - 3 x y + 3 x y - 19 x y - x y + x y - 9 x y + 8 x y 8 8 12 3 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 + 4 x y + x y + 2 x y + 6 x y - 8 x y - 5 x y - 4 x y 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 10 2 8 4 + 5 x y + 2 x y + 2 x y + 12 x y + x y - x y - 4 x y 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 7 2 - 12 x y + 2 x y + 8 x y + 3 x y - x y - 5 x y + x y 6 3 5 4 7 6 2 5 3 4 4 4 3 4 2 + 2 x y + 6 x y - x y - x y - 5 x y - 6 x y + 7 x y - 2 x y 3 3 3 2 3 2 2 2 / - 3 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / ((x - 1) / 10 8 10 7 10 6 9 6 8 7 9 5 8 6 8 4 (2 x y - 4 x y + 2 x y + x y + 2 x y - x y - 3 x y + x y 7 5 7 4 6 5 5 5 6 3 5 4 5 3 3 3 2 + x y - x y + x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (2*x^18*y^11+2*x^17*y^12+5*x^16*y^13-10*x^18*y^10-10*x^17*y^11-22*x^16*y^12-3*x ^15*y^13+20*x^18*y^9+20*x^17*y^10+38*x^16*y^11+20*x^15*y^12-2*x^14*y^13-20*x^18 *y^8-20*x^17*y^9-30*x^16*y^10-46*x^15*y^11+6*x^14*y^12+10*x^18*y^7+10*x^17*y^8+ 6*x^16*y^9+47*x^15*y^10+3*x^14*y^11-6*x^13*y^12-2*x^18*y^6-2*x^17*y^7+6*x^16*y^ 8-19*x^15*y^9-26*x^14*y^10+20*x^13*y^11-2*x^16*y^7-x^15*y^8+32*x^14*y^9-16*x^13 *y^10-9*x^12*y^11-2*x^16*y^6+x^15*y^7-16*x^14*y^8-9*x^13*y^9+19*x^12*y^10+2*x^ 11*y^11+x^16*y^5+2*x^15*y^6+4*x^14*y^7+15*x^13*y^8-x^12*y^9-11*x^11*y^10-x^15*y ^5-3*x^14*y^6-x^13*y^7-19*x^12*y^8+10*x^11*y^9+5*x^10*y^10+3*x^14*y^5-5*x^13*y^ 6+8*x^12*y^7+9*x^11*y^8-21*x^10*y^9-x^14*y^4+2*x^13*y^5+5*x^12*y^6-14*x^11*y^7+ 22*x^10*y^8+8*x^9*y^9-3*x^12*y^5+3*x^11*y^6-19*x^9*y^8-x^12*y^4+x^11*y^5-9*x^10 *y^6+8*x^9*y^7+4*x^8*y^8+x^12*y^3+2*x^10*y^5+6*x^9*y^6-8*x^8*y^7-5*x^9*y^5-4*x^ 8*y^6+5*x^7*y^7+2*x^10*y^3+2*x^9*y^4+12*x^8*y^5+x^7*y^6-x^10*y^2-4*x^8*y^4-12*x ^7*y^5+2*x^6*y^6+8*x^7*y^4+3*x^6*y^5-x^7*y^3-5*x^6*y^4+x^7*y^2+2*x^6*y^3+6*x^5* y^4-x^7*y-x^6*y^2-5*x^5*y^3-6*x^4*y^4+7*x^4*y^3-2*x^4*y^2-3*x^3*y^3+4*x^3*y^2-x ^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(2*x^10*y^8-4*x^10*y^7+2*x^10*y^6+x^9*y^6 +2*x^8*y^7-x^9*y^5-3*x^8*y^6+x^8*y^4+x^7*y^5-x^7*y^4+x^6*y^5-2*x^5*y^5-x^6*y^3+ 2*x^5*y^4-x^5*y^3-x^3*y^3-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.8047575805 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 10" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 11 17 12 16 13 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y + 2 x y + 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 - 10 x y - 10 x y - 22 x y - 3 x y + 20 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 + 20 x y + 38 x y + 20 x y - 2 x y - 20 x y - 20 x y 16 10 15 11 14 12 18 7 17 8 16 9 - 30 x y - 46 x y + 6 x y + 10 x y + 10 x y + 6 x y 15 10 14 11 13 12 18 6 17 7 16 8 + 47 x y + 3 x y - 6 x y - 2 x y - 2 x y + 6 x y 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 - 19 x y - 26 x y + 20 x y - 2 x y - x y + 32 x y 13 10 12 11 16 6 15 7 14 8 13 9 - 16 x y - 9 x y - 2 x y + x y - 16 x y - 9 x y 12 10 11 11 16 5 15 6 14 7 13 8 + 19 x y + 2 x y + x y + 2 x y + 4 x y + 15 x y 12 9 11 10 15 5 14 6 13 7 12 8 11 9 - x y - 11 x y - x y - 3 x y - x y - 19 x y + 10 x y 10 10 14 5 13 6 12 7 11 8 10 9 + 5 x y + 3 x y - 5 x y + 8 x y + 9 x y - 21 x y 14 4 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 - x y + 2 x y + 5 x y - 14 x y + 22 x y + 8 x y 12 5 11 6 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 - 3 x y + 3 x y - 19 x y - x y + x y - 9 x y + 8 x y 8 8 12 3 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 + 4 x y + x y + 2 x y + 6 x y - 8 x y - 5 x y - 4 x y 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 10 2 8 4 + 5 x y + 2 x y + 2 x y + 12 x y + x y - x y - 4 x y 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 7 2 - 12 x y + 2 x y + 8 x y + 3 x y - x y - 5 x y + x y 6 3 5 4 7 6 2 5 3 4 4 4 3 4 2 + 2 x y + 6 x y - x y - x y - 5 x y - 6 x y + 7 x y - 2 x y 3 3 3 2 3 2 2 2 / - 3 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / ((x - 1) / 10 8 10 7 10 6 9 6 8 7 9 5 8 6 8 4 (2 x y - 4 x y + 2 x y + x y + 2 x y - x y - 3 x y + x y 7 5 7 4 6 5 5 5 6 3 5 4 5 3 3 3 2 + x y - x y + x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (2*x^18*y^11+2*x^17*y^12+5*x^16*y^13-10*x^18*y^10-10*x^17*y^11-22*x^16*y^12-3*x ^15*y^13+20*x^18*y^9+20*x^17*y^10+38*x^16*y^11+20*x^15*y^12-2*x^14*y^13-20*x^18 *y^8-20*x^17*y^9-30*x^16*y^10-46*x^15*y^11+6*x^14*y^12+10*x^18*y^7+10*x^17*y^8+ 6*x^16*y^9+47*x^15*y^10+3*x^14*y^11-6*x^13*y^12-2*x^18*y^6-2*x^17*y^7+6*x^16*y^ 8-19*x^15*y^9-26*x^14*y^10+20*x^13*y^11-2*x^16*y^7-x^15*y^8+32*x^14*y^9-16*x^13 *y^10-9*x^12*y^11-2*x^16*y^6+x^15*y^7-16*x^14*y^8-9*x^13*y^9+19*x^12*y^10+2*x^ 11*y^11+x^16*y^5+2*x^15*y^6+4*x^14*y^7+15*x^13*y^8-x^12*y^9-11*x^11*y^10-x^15*y ^5-3*x^14*y^6-x^13*y^7-19*x^12*y^8+10*x^11*y^9+5*x^10*y^10+3*x^14*y^5-5*x^13*y^ 6+8*x^12*y^7+9*x^11*y^8-21*x^10*y^9-x^14*y^4+2*x^13*y^5+5*x^12*y^6-14*x^11*y^7+ 22*x^10*y^8+8*x^9*y^9-3*x^12*y^5+3*x^11*y^6-19*x^9*y^8-x^12*y^4+x^11*y^5-9*x^10 *y^6+8*x^9*y^7+4*x^8*y^8+x^12*y^3+2*x^10*y^5+6*x^9*y^6-8*x^8*y^7-5*x^9*y^5-4*x^ 8*y^6+5*x^7*y^7+2*x^10*y^3+2*x^9*y^4+12*x^8*y^5+x^7*y^6-x^10*y^2-4*x^8*y^4-12*x ^7*y^5+2*x^6*y^6+8*x^7*y^4+3*x^6*y^5-x^7*y^3-5*x^6*y^4+x^7*y^2+2*x^6*y^3+6*x^5* y^4-x^7*y-x^6*y^2-5*x^5*y^3-6*x^4*y^4+7*x^4*y^3-2*x^4*y^2-3*x^3*y^3+4*x^3*y^2-x ^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(2*x^10*y^8-4*x^10*y^7+2*x^10*y^6+x^9*y^6 +2*x^8*y^7-x^9*y^5-3*x^8*y^6+x^8*y^4+x^7*y^5-x^7*y^4+x^6*y^5-2*x^5*y^5-x^6*y^3+ 2*x^5*y^4-x^5*y^3-x^3*y^3-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.8047575805 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 11" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 24 21 24 20 24 19 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 20 24 18 23 19 24 17 23 18 24 16 + x y - 20 x y - 7 x y + 15 x y + 21 x y - 6 x y 23 17 22 18 24 15 23 16 22 17 21 18 - 35 x y + 3 x y + x y + 35 x y - 16 x y + 4 x y 20 19 23 15 22 16 21 17 20 18 23 14 - x y - 21 x y + 35 x y - 22 x y + 4 x y + 7 x y 22 15 21 16 20 17 19 18 23 13 22 14 - 40 x y + 50 x y - 4 x y - x y - x y + 25 x y 21 15 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 - 60 x y - 4 x y + 6 x y - 8 x y + 40 x y + 11 x y 19 16 22 12 21 13 20 14 19 15 18 16 - 11 x y + x y - 14 x y - 8 x y + 3 x y - x y 21 12 20 13 19 14 18 15 17 16 19 13 + 2 x y + 2 x y + 13 x y + 5 x y - 4 x y - 16 x y 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 16 15 - 10 x y + 14 x y + 7 x y + 10 x y - 13 x y - x y 19 11 18 12 17 13 16 14 15 15 18 11 - x y - 5 x y - 10 x y + 3 x y - x y + x y 17 12 16 13 17 11 16 12 15 13 14 14 + 30 x y - 4 x y - 26 x y + 4 x y + 7 x y - x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 + 11 x y - 2 x y - 14 x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 + 14 x y - 5 x y - x y + 3 x y - 8 x y + 15 x y 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 + 2 x y - x y + 2 x y - 26 x y + 5 x y - 3 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 27 x y - 22 x y + 11 x y - 16 x y + 27 x y - 18 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 - 4 x y + 4 x y - 11 x y + 11 x y + 9 x y - x y 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 + 3 x y - 5 x y - 3 x y + x y - 4 x y - 3 x y 10 9 11 7 10 8 9 9 9 8 11 5 10 6 + 10 x y + 4 x y - 9 x y - 5 x y + 13 x y - x y + x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 - 7 x y - 3 x y + 2 x y - 9 x y + 7 x y - x y + 9 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 4 6 4 - 11 x y - 2 x y - x y + 6 x y + 2 x y + x y + x y + 3 x y 5 5 6 3 5 4 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 + x y - x y + 2 x y + 6 x y - x y - 2 x y - x y + 3 x y 3 2 2 2 / 25 21 25 20 25 19 - x y + 2 x y + x y + 1) / (x y - 6 x y + 15 x y / 24 20 25 18 24 19 25 17 24 18 23 19 - x y - 20 x y + 6 x y + 15 x y - 15 x y + 2 x y 25 16 24 17 23 18 25 15 24 16 23 17 - 6 x y + 20 x y - 10 x y + x y - 15 x y + 20 x y 21 19 24 15 23 16 21 18 24 14 23 15 - x y + 6 x y - 20 x y + 4 x y - x y + 10 x y 21 17 20 18 23 14 21 16 20 17 21 15 - 4 x y + x y - 2 x y - 4 x y - 3 x y + 11 x y 20 16 19 17 21 14 20 15 19 16 21 13 + x y - 2 x y - 8 x y + 7 x y + 6 x y + 2 x y 20 14 19 15 20 13 19 14 18 15 20 12 - 13 x y - x y + 11 x y - 17 x y - x y - 5 x y 19 13 18 14 17 15 20 11 19 12 18 13 + 28 x y + 2 x y - x y + x y - 20 x y + 2 x y 17 14 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 + 4 x y - x y + 7 x y - 8 x y - 7 x y + 2 x y 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 - x y + 7 x y + 7 x y - 3 x y + x y - 2 x y 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 - 4 x y + 8 x y - 4 x y + x y - 13 x y + 5 x y 14 13 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 - 2 x y + 11 x y - 3 x y + 8 x y - 5 x y + 3 x y 14 11 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 - 11 x y + x y - 3 x y + 3 x y - 3 x y + x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 5 x y + 5 x y - x y - 3 x y - x y + 4 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 13 6 - 2 x y - 7 x y - x y + 2 x y + 6 x y + 2 x y - x y 12 7 11 8 10 9 11 7 10 8 11 6 - 2 x y + 3 x y - 2 x y - 9 x y + 5 x y + 6 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 - 7 x y + x y - x y + 5 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y 8 7 10 4 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 7 5 - 2 x y + x y + 5 x y + x y + x y - 2 x y - x y - 2 x y 7 4 6 5 5 5 6 3 5 2 4 2 3 3 3 2 + 3 x y + 2 x y + x y - x y + x y + x y + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(x^24*y^21-6*x^24*y^20+15*x^24*y^19+x^23*y^20-20*x^24*y^18-7*x^23*y^19+15*x^24 *y^17+21*x^23*y^18-6*x^24*y^16-35*x^23*y^17+3*x^22*y^18+x^24*y^15+35*x^23*y^16-\ 16*x^22*y^17+4*x^21*y^18-x^20*y^19-21*x^23*y^15+35*x^22*y^16-22*x^21*y^17+4*x^ 20*y^18+7*x^23*y^14-40*x^22*y^15+50*x^21*y^16-4*x^20*y^17-x^19*y^18-x^23*y^13+ 25*x^22*y^14-60*x^21*y^15-4*x^20*y^16+6*x^19*y^17-8*x^22*y^13+40*x^21*y^14+11*x ^20*y^15-11*x^19*y^16+x^22*y^12-14*x^21*y^13-8*x^20*y^14+3*x^19*y^15-x^18*y^16+ 2*x^21*y^12+2*x^20*y^13+13*x^19*y^14+5*x^18*y^15-4*x^17*y^16-16*x^19*y^13-10*x^ 18*y^14+14*x^17*y^15+7*x^19*y^12+10*x^18*y^13-13*x^17*y^14-x^16*y^15-x^19*y^11-\ 5*x^18*y^12-10*x^17*y^13+3*x^16*y^14-x^15*y^15+x^18*y^11+30*x^17*y^12-4*x^16*y^ 13-26*x^17*y^11+4*x^16*y^12+7*x^15*y^13-x^14*y^14+11*x^17*y^10-2*x^16*y^11-14*x ^15*y^12+2*x^14*y^13-2*x^17*y^9-2*x^16*y^10+14*x^15*y^11-5*x^14*y^12-x^13*y^13+ 3*x^16*y^9-8*x^15*y^10+15*x^14*y^11+2*x^13*y^12-x^16*y^8+2*x^15*y^9-26*x^14*y^ 10+5*x^13*y^11-3*x^12*y^12+27*x^14*y^9-22*x^13*y^10+11*x^12*y^11-16*x^14*y^8+27 *x^13*y^9-18*x^12*y^10-4*x^11*y^11+4*x^14*y^7-11*x^13*y^8+11*x^12*y^9+9*x^11*y^ 10-x^13*y^7+3*x^12*y^8-5*x^11*y^9-3*x^10*y^10+x^13*y^6-4*x^12*y^7-3*x^11*y^8+10 *x^10*y^9+4*x^11*y^7-9*x^10*y^8-5*x^9*y^9+13*x^9*y^8-x^11*y^5+x^10*y^6-7*x^9*y^ 7-3*x^8*y^8+2*x^10*y^5-9*x^9*y^6+7*x^8*y^7-x^10*y^4+9*x^9*y^5-11*x^8*y^6-2*x^7* y^7-x^9*y^4+6*x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^8*y^4+x^7*y^4+3*x^6*y^4+x^5*y^5-x^6*y^3+2*x^5 *y^4+6*x^4*y^4-x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^4*y^2+3*x^3*y^3-x^3*y^2+2*x^2*y^2+x*y+1)/(x^ 25*y^21-6*x^25*y^20+15*x^25*y^19-x^24*y^20-20*x^25*y^18+6*x^24*y^19+15*x^25*y^ 17-15*x^24*y^18+2*x^23*y^19-6*x^25*y^16+20*x^24*y^17-10*x^23*y^18+x^25*y^15-15* x^24*y^16+20*x^23*y^17-x^21*y^19+6*x^24*y^15-20*x^23*y^16+4*x^21*y^18-x^24*y^14 +10*x^23*y^15-4*x^21*y^17+x^20*y^18-2*x^23*y^14-4*x^21*y^16-3*x^20*y^17+11*x^21 *y^15+x^20*y^16-2*x^19*y^17-8*x^21*y^14+7*x^20*y^15+6*x^19*y^16+2*x^21*y^13-13* x^20*y^14-x^19*y^15+11*x^20*y^13-17*x^19*y^14-x^18*y^15-5*x^20*y^12+28*x^19*y^ 13+2*x^18*y^14-x^17*y^15+x^20*y^11-20*x^19*y^12+2*x^18*y^13+4*x^17*y^14-x^16*y^ 15+7*x^19*y^11-8*x^18*y^12-7*x^17*y^13+2*x^16*y^14-x^19*y^10+7*x^18*y^11+7*x^17 *y^12-3*x^16*y^13+x^15*y^14-2*x^18*y^10-4*x^17*y^11+8*x^16*y^12-4*x^15*y^13+x^ 17*y^10-13*x^16*y^11+5*x^15*y^12-2*x^14*y^13+11*x^16*y^10-3*x^15*y^11+8*x^14*y^ 12-5*x^16*y^9+3*x^15*y^10-11*x^14*y^11+x^16*y^8-3*x^15*y^9+3*x^14*y^10-3*x^13*y ^11+x^15*y^8+5*x^14*y^9+5*x^13*y^10-x^12*y^11-3*x^14*y^8-x^13*y^9+4*x^12*y^10-2 *x^13*y^8-7*x^12*y^9-x^11*y^10+2*x^13*y^7+6*x^12*y^8+2*x^11*y^9-x^13*y^6-2*x^12 *y^7+3*x^11*y^8-2*x^10*y^9-9*x^11*y^7+5*x^10*y^8+6*x^11*y^6-7*x^10*y^7+x^9*y^8- x^11*y^5+5*x^10*y^6-4*x^9*y^7-2*x^10*y^5+2*x^9*y^6-2*x^8*y^7+x^10*y^4+5*x^8*y^6 +x^7*y^7+x^9*y^4-2*x^8*y^5-x^7*y^6-2*x^7*y^5+3*x^7*y^4+2*x^6*y^5+x^5*y^5-x^6*y^ 3+x^5*y^2+x^4*y^2+x^3*y^3+x^3*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 2 8 7 6 5 4 3 2 (a + 2 a - 2 a - 6 a - 3 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) 7 6 5 4 3 2 / (8 a + 7 a + 6 a + 10 a + 4 a + 6 a + 1) / ( / 5 4 2 2 (6 a + 5 a + 3 a + 2 a + 1) 7 6 5 4 3 2 (a + 2 a + 2 a + 3 a + 2 a + 2 a + a + 1)) 8 7 6 5 4 3 where a is the root of the polynomial, x + x + x + 2 x + x + 2 x + x - 1, and in decimals this is, 0.8011838170 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.8008217804 ------------------------------------------------ "Theorem Number 12" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 15 12 14 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y + x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 11 14 12 15 10 14 11 13 12 15 9 - 4 x y + 4 x y + 6 x y + 4 x y - x y - 4 x y 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 14 8 - 11 x y + 5 x y + x y + 8 x y - 10 x y - 2 x y 13 9 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 + 10 x y + x y - 5 x y + x y - 3 x y + x y - 3 x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 2 x y + x y + 3 x y + 2 x y - 3 x y - x y - 3 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 + 4 x y - 4 x y + x y - 5 x y + 9 x y + 5 x y - 3 x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 - x y - 2 x y - 5 x y + 5 x y + 3 x y - 6 x y + x y + x y 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 6 4 5 5 - x y + x y - x y - 2 x y + x y + 3 x y - x y - 2 x y 5 4 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 + 3 x y + 4 x y - x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y + x y / 14 12 14 11 14 10 13 11 14 9 + x y + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - x y - 4 x y / 13 10 14 8 13 9 13 8 13 7 11 9 11 8 + 4 x y + x y - 6 x y + 4 x y - x y + x y - 2 x y 11 7 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 8 5 + x y - 2 x y - x y + 4 x y + x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y 7 6 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 4 5 2 4 2 + x y - x y - 2 x y + x y + x y - x y - x y + x y + x y 3 2 2 2 + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(x^14*y^14+x^15*y^12-4*x^14*y^13-4*x^15*y^11+4*x^14*y^12+6*x^15*y^10+4*x^14*y^ 11-x^13*y^12-4*x^15*y^9-11*x^14*y^10+5*x^13*y^11+x^15*y^8+8*x^14*y^9-10*x^13*y^ 10-2*x^14*y^8+10*x^13*y^9+x^11*y^11-5*x^13*y^8+x^12*y^9-3*x^11*y^10+x^13*y^7-3* x^12*y^8+2*x^11*y^9+x^10*y^10+3*x^12*y^7+2*x^11*y^8-3*x^10*y^9-x^12*y^6-3*x^11* y^7+4*x^10*y^8-4*x^9*y^9+x^11*y^6-5*x^10*y^7+9*x^9*y^8+5*x^10*y^6-3*x^9*y^7-x^8 *y^8-2*x^10*y^5-5*x^9*y^6+5*x^8*y^7+3*x^9*y^5-6*x^8*y^6+x^7*y^7+x^8*y^5-x^7*y^6 +x^8*y^4-x^7*y^5-2*x^6*y^6+x^7*y^4+3*x^6*y^5-x^6*y^4-2*x^5*y^5+3*x^5*y^4+4*x^4* y^4-x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2+x^2*y^2+x*y+1)/(x^14*y^12-4*x^ 14*y^11+6*x^14*y^10-x^13*y^11-4*x^14*y^9+4*x^13*y^10+x^14*y^8-6*x^13*y^9+4*x^13 *y^8-x^13*y^7+x^11*y^9-2*x^11*y^8+x^11*y^7-2*x^9*y^7-x^8*y^8+4*x^9*y^6+x^8*y^7-\ 2*x^9*y^5+2*x^8*y^6-2*x^8*y^5+x^7*y^6-x^6*y^6-2*x^7*y^4+x^6*y^5+x^7*y^3-x^6*y^4 -x^5*y^4+x^5*y^2+x^4*y^2+x^3*y^2+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 7 6 5 4 3 2 2 (a + 3 a - 4 a - 6 a - 8 a - 5 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) - ------------------------------------------------------------------ 5 3 2 4 3 2 (6 a - 4 a - 3 a - 2 a - 1) (a + a + a + a + 1) 6 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x - x - x - x - x + 1, and in decimals this is, 0.7994807748 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7992708416 ------------------------------------------------ "Theorem Number 13" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 15 12 14 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y + x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 11 14 12 15 10 14 11 13 12 15 9 - 4 x y + 4 x y + 6 x y + 4 x y - x y - 4 x y 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 14 8 - 11 x y + 5 x y + x y + 8 x y - 10 x y - 2 x y 13 9 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 + 10 x y + x y - 5 x y + x y - 3 x y + x y - 3 x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 2 x y + x y + 3 x y + 2 x y - 3 x y - x y - 3 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 + 4 x y - 4 x y + x y - 5 x y + 9 x y + 5 x y - 3 x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 - x y - 2 x y - 5 x y + 5 x y + 3 x y - 6 x y + x y + x y 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 6 4 5 5 - x y + x y - x y - 2 x y + x y + 3 x y - x y - 2 x y 5 4 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 + 3 x y + 4 x y - x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y + x y / 14 12 14 11 14 10 13 11 14 9 + x y + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - x y - 4 x y / 13 10 14 8 13 9 13 8 13 7 11 9 11 8 + 4 x y + x y - 6 x y + 4 x y - x y + x y - 2 x y 11 7 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 8 5 + x y - 2 x y - x y + 4 x y + x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y 7 6 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 4 5 2 4 2 + x y - x y - 2 x y + x y + x y - x y - x y + x y + x y 3 2 2 2 + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(x^14*y^14+x^15*y^12-4*x^14*y^13-4*x^15*y^11+4*x^14*y^12+6*x^15*y^10+4*x^14*y^ 11-x^13*y^12-4*x^15*y^9-11*x^14*y^10+5*x^13*y^11+x^15*y^8+8*x^14*y^9-10*x^13*y^ 10-2*x^14*y^8+10*x^13*y^9+x^11*y^11-5*x^13*y^8+x^12*y^9-3*x^11*y^10+x^13*y^7-3* x^12*y^8+2*x^11*y^9+x^10*y^10+3*x^12*y^7+2*x^11*y^8-3*x^10*y^9-x^12*y^6-3*x^11* y^7+4*x^10*y^8-4*x^9*y^9+x^11*y^6-5*x^10*y^7+9*x^9*y^8+5*x^10*y^6-3*x^9*y^7-x^8 *y^8-2*x^10*y^5-5*x^9*y^6+5*x^8*y^7+3*x^9*y^5-6*x^8*y^6+x^7*y^7+x^8*y^5-x^7*y^6 +x^8*y^4-x^7*y^5-2*x^6*y^6+x^7*y^4+3*x^6*y^5-x^6*y^4-2*x^5*y^5+3*x^5*y^4+4*x^4* y^4-x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2+x^2*y^2+x*y+1)/(x^14*y^12-4*x^ 14*y^11+6*x^14*y^10-x^13*y^11-4*x^14*y^9+4*x^13*y^10+x^14*y^8-6*x^13*y^9+4*x^13 *y^8-x^13*y^7+x^11*y^9-2*x^11*y^8+x^11*y^7-2*x^9*y^7-x^8*y^8+4*x^9*y^6+x^8*y^7-\ 2*x^9*y^5+2*x^8*y^6-2*x^8*y^5+x^7*y^6-x^6*y^6-2*x^7*y^4+x^6*y^5+x^7*y^3-x^6*y^4 -x^5*y^4+x^5*y^2+x^4*y^2+x^3*y^2+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 7 6 5 4 3 2 2 (a + 3 a - 4 a - 6 a - 8 a - 5 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) - ------------------------------------------------------------------ 5 3 2 4 3 2 (6 a - 4 a - 3 a - 2 a - 1) (a + a + a + a + 1) 6 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x - x - x - x - x + 1, and in decimals this is, 0.7994807748 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7992708416 ------------------------------------------------ "Theorem Number 14" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 16 20 17 21 15 20 16 ) | ) C(m, n) x y | = (x y + x y - 7 x y - 7 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 17 21 14 20 15 19 16 21 13 20 14 - x y + 21 x y + 22 x y + 8 x y - 35 x y - 41 x y 19 15 18 16 21 12 20 13 19 14 - 27 x y - 2 x y + 35 x y + 50 x y + 50 x y 18 15 21 11 20 12 19 13 18 14 + 13 x y - 21 x y - 41 x y - 55 x y - 36 x y 17 15 21 10 20 11 19 12 18 13 - 2 x y + 7 x y + 22 x y + 36 x y + 54 x y 17 14 21 9 20 10 19 11 18 12 17 13 + 11 x y - x y - 7 x y - 13 x y - 45 x y - 25 x y 16 14 20 9 19 10 18 11 17 12 16 13 - x y + x y + 2 x y + 17 x y + 30 x y + 4 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 + 2 x y - 20 x y - 5 x y - x y + x y - 4 x y 17 10 15 12 14 13 18 8 17 9 16 10 + 7 x y + 3 x y - 5 x y + x y - x y + 5 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 - x y + 10 x y + 3 x y - 4 x y - 6 x y - 10 x y 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 - 15 x y + x y + 9 x y + 7 x y + 31 x y + 4 x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 - 5 x y - 9 x y - 35 x y - 18 x y + x y + 12 x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 + 25 x y + 34 x y + x y - 8 x y - 14 x y - 37 x y 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 - 5 x y + 2 x y + 8 x y + 25 x y + 12 x y - 2 x y 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 - 4 x y - 7 x y - 15 x y + 6 x y + x y - 3 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 + 9 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y - x y + 6 x y 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 + x y - 4 x y - x y + 4 x y + 5 x y - 7 x y - 6 x y 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 - 6 x y + 3 x y + 3 x y + 11 x y - x y - 5 x y - 8 x y 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 11 x y - 6 x y - 3 x y + x y + 2 x y + x y - x y + 4 x y 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 + x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y + x y - x y + x y - x + 1) / 17 13 17 12 16 13 17 11 16 12 17 10 / (x y - 5 x y - x y + 10 x y + 6 x y - 10 x y / 16 11 17 9 16 10 14 12 17 8 16 9 - 14 x y + 5 x y + 16 x y - x y - x y - 9 x y 14 11 16 8 14 10 13 11 14 9 13 10 + 6 x y + 2 x y - 13 x y - 2 x y + 13 x y + 8 x y 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 13 7 - 6 x y - 11 x y - x y + x y + 5 x y + x y + x y 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 12 6 11 7 + 2 x y + x y - x y - 3 x y - 3 x y + x y + 2 x y 10 8 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 + x y - 2 x y - x y - 2 x y + 3 x y + x y + 3 x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 8 4 - 3 x y - 3 x y - x y + 5 x y + x y + 2 x y - 4 x y + x y 7 5 7 4 6 5 6 4 5 5 6 3 5 3 5 2 + 2 x y - 2 x y + x y - x y - x y + x y - x y + x y 4 2 3 2 2 2 2 - x y + x y - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^21*y^16+x^20*y^17-7*x^21*y^15-7*x^20*y^16-x^19*y^17+21*x^21*y^14+22*x^20*y^ 15+8*x^19*y^16-35*x^21*y^13-41*x^20*y^14-27*x^19*y^15-2*x^18*y^16+35*x^21*y^12+ 50*x^20*y^13+50*x^19*y^14+13*x^18*y^15-21*x^21*y^11-41*x^20*y^12-55*x^19*y^13-\ 36*x^18*y^14-2*x^17*y^15+7*x^21*y^10+22*x^20*y^11+36*x^19*y^12+54*x^18*y^13+11* x^17*y^14-x^21*y^9-7*x^20*y^10-13*x^19*y^11-45*x^18*y^12-25*x^17*y^13-x^16*y^14 +x^20*y^9+2*x^19*y^10+17*x^18*y^11+30*x^17*y^12+4*x^16*y^13+2*x^18*y^10-20*x^17 *y^11-5*x^16*y^12-x^15*y^13+x^14*y^14-4*x^18*y^9+7*x^17*y^10+3*x^15*y^12-5*x^14 *y^13+x^18*y^8-x^17*y^9+5*x^16*y^10-x^15*y^11+10*x^14*y^12+3*x^13*y^13-4*x^16*y ^9-6*x^15*y^10-10*x^14*y^11-15*x^13*y^12+x^16*y^8+9*x^15*y^9+7*x^14*y^10+31*x^ 13*y^11+4*x^12*y^12-5*x^15*y^8-9*x^14*y^9-35*x^13*y^10-18*x^12*y^11+x^15*y^7+12 *x^14*y^8+25*x^13*y^9+34*x^12*y^10+x^11*y^11-8*x^14*y^7-14*x^13*y^8-37*x^12*y^9 -5*x^11*y^10+2*x^14*y^6+8*x^13*y^7+25*x^12*y^8+12*x^11*y^9-2*x^10*y^10-4*x^13*y ^6-7*x^12*y^7-15*x^11*y^8+6*x^10*y^9+x^13*y^5-3*x^12*y^6+9*x^11*y^7-4*x^10*y^8-\ 2*x^9*y^9+2*x^12*y^5-2*x^11*y^6-x^10*y^7+6*x^9*y^8+x^10*y^6-4*x^9*y^7-x^8*y^8+4 *x^9*y^6+5*x^8*y^7-7*x^9*y^5-6*x^8*y^6-6*x^7*y^7+3*x^9*y^4+3*x^8*y^5+11*x^7*y^6 -x^8*y^4-5*x^7*y^5-8*x^6*y^6+11*x^6*y^5-6*x^6*y^4-3*x^5*y^5+x^6*y^3+2*x^5*y^4+x ^6*y^2-x^5*y^3+4*x^4*y^4+x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2+x^2*y^2-x^ 2*y+x*y-x+1)/(x^17*y^13-5*x^17*y^12-x^16*y^13+10*x^17*y^11+6*x^16*y^12-10*x^17* y^10-14*x^16*y^11+5*x^17*y^9+16*x^16*y^10-x^14*y^12-x^17*y^8-9*x^16*y^9+6*x^14* y^11+2*x^16*y^8-13*x^14*y^10-2*x^13*y^11+13*x^14*y^9+8*x^13*y^10-6*x^14*y^8-11* x^13*y^9-x^12*y^10+x^14*y^7+5*x^13*y^8+x^12*y^9+x^13*y^7+2*x^12*y^8+x^11*y^9-x^ 13*y^6-3*x^12*y^7-3*x^11*y^8+x^12*y^6+2*x^11*y^7+x^10*y^8-2*x^10*y^7-x^9*y^8-2* x^10*y^6+3*x^9*y^7+x^8*y^8+3*x^10*y^5-3*x^9*y^6-3*x^8*y^7-x^9*y^5+5*x^8*y^6+x^7 *y^7+2*x^9*y^4-4*x^8*y^5+x^8*y^4+2*x^7*y^5-2*x^7*y^4+x^6*y^5-x^6*y^4-x^5*y^5+x^ 6*y^3-x^5*y^3+x^5*y^2-x^4*y^2+x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7958066609 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 15" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 16 20 17 21 15 20 16 ) | ) C(m, n) x y | = (x y + x y - 7 x y - 7 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 17 21 14 20 15 19 16 21 13 20 14 - x y + 21 x y + 22 x y + 8 x y - 35 x y - 41 x y 19 15 18 16 21 12 20 13 19 14 - 27 x y - 2 x y + 35 x y + 50 x y + 50 x y 18 15 21 11 20 12 19 13 18 14 + 13 x y - 21 x y - 41 x y - 55 x y - 36 x y 17 15 21 10 20 11 19 12 18 13 - 2 x y + 7 x y + 22 x y + 36 x y + 54 x y 17 14 21 9 20 10 19 11 18 12 17 13 + 11 x y - x y - 7 x y - 13 x y - 45 x y - 25 x y 16 14 20 9 19 10 18 11 17 12 16 13 - x y + x y + 2 x y + 17 x y + 30 x y + 4 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 + 2 x y - 20 x y - 5 x y - x y + x y - 4 x y 17 10 15 12 14 13 18 8 17 9 16 10 + 7 x y + 3 x y - 5 x y + x y - x y + 5 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 - x y + 10 x y + 3 x y - 4 x y - 6 x y - 10 x y 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 - 15 x y + x y + 9 x y + 7 x y + 31 x y + 4 x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 - 5 x y - 9 x y - 35 x y - 18 x y + x y + 12 x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 + 25 x y + 34 x y + x y - 8 x y - 14 x y - 37 x y 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 - 5 x y + 2 x y + 8 x y + 25 x y + 12 x y - 2 x y 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 - 4 x y - 7 x y - 15 x y + 6 x y + x y - 3 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 + 9 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y - x y + 6 x y 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 + x y - 4 x y - x y + 4 x y + 5 x y - 7 x y - 6 x y 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 - 6 x y + 3 x y + 3 x y + 11 x y - x y - 5 x y - 8 x y 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 11 x y - 6 x y - 3 x y + x y + 2 x y + x y - x y + 4 x y 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 + x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y + x y - x y + x y - x + 1) / 16 13 16 12 16 11 15 12 16 10 / ((x - 1) (x y - 5 x y + 10 x y + x y - 10 x y / 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 16 8 - 4 x y + x y + 5 x y + 6 x y - 4 x y - x y 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 - 4 x y + 6 x y + 2 x y + x y - 4 x y - 7 x y 14 8 13 9 12 10 13 8 12 9 13 7 11 9 + x y + 9 x y + x y - 5 x y - 2 x y + x y - x y 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 10 7 9 7 8 8 + 2 x y + 2 x y - x y - x y - x y + x y - x y - x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 8 4 - 2 x y + 2 x y + 3 x y - 5 x y - x y + 2 x y + 2 x y 7 5 7 4 6 4 5 5 5 3 4 2 2 2 - 2 x y + 3 x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y - 1)) and in Maple notation (x^21*y^16+x^20*y^17-7*x^21*y^15-7*x^20*y^16-x^19*y^17+21*x^21*y^14+22*x^20*y^ 15+8*x^19*y^16-35*x^21*y^13-41*x^20*y^14-27*x^19*y^15-2*x^18*y^16+35*x^21*y^12+ 50*x^20*y^13+50*x^19*y^14+13*x^18*y^15-21*x^21*y^11-41*x^20*y^12-55*x^19*y^13-\ 36*x^18*y^14-2*x^17*y^15+7*x^21*y^10+22*x^20*y^11+36*x^19*y^12+54*x^18*y^13+11* x^17*y^14-x^21*y^9-7*x^20*y^10-13*x^19*y^11-45*x^18*y^12-25*x^17*y^13-x^16*y^14 +x^20*y^9+2*x^19*y^10+17*x^18*y^11+30*x^17*y^12+4*x^16*y^13+2*x^18*y^10-20*x^17 *y^11-5*x^16*y^12-x^15*y^13+x^14*y^14-4*x^18*y^9+7*x^17*y^10+3*x^15*y^12-5*x^14 *y^13+x^18*y^8-x^17*y^9+5*x^16*y^10-x^15*y^11+10*x^14*y^12+3*x^13*y^13-4*x^16*y ^9-6*x^15*y^10-10*x^14*y^11-15*x^13*y^12+x^16*y^8+9*x^15*y^9+7*x^14*y^10+31*x^ 13*y^11+4*x^12*y^12-5*x^15*y^8-9*x^14*y^9-35*x^13*y^10-18*x^12*y^11+x^15*y^7+12 *x^14*y^8+25*x^13*y^9+34*x^12*y^10+x^11*y^11-8*x^14*y^7-14*x^13*y^8-37*x^12*y^9 -5*x^11*y^10+2*x^14*y^6+8*x^13*y^7+25*x^12*y^8+12*x^11*y^9-2*x^10*y^10-4*x^13*y ^6-7*x^12*y^7-15*x^11*y^8+6*x^10*y^9+x^13*y^5-3*x^12*y^6+9*x^11*y^7-4*x^10*y^8-\ 2*x^9*y^9+2*x^12*y^5-2*x^11*y^6-x^10*y^7+6*x^9*y^8+x^10*y^6-4*x^9*y^7-x^8*y^8+4 *x^9*y^6+5*x^8*y^7-7*x^9*y^5-6*x^8*y^6-6*x^7*y^7+3*x^9*y^4+3*x^8*y^5+11*x^7*y^6 -x^8*y^4-5*x^7*y^5-8*x^6*y^6+11*x^6*y^5-6*x^6*y^4-3*x^5*y^5+x^6*y^3+2*x^5*y^4+x ^6*y^2-x^5*y^3+4*x^4*y^4+x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2+x^2*y^2-x^ 2*y+x*y-x+1)/(x-1)/(x^16*y^13-5*x^16*y^12+10*x^16*y^11+x^15*y^12-10*x^16*y^10-4 *x^15*y^11+x^14*y^12+5*x^16*y^9+6*x^15*y^10-4*x^14*y^11-x^16*y^8-4*x^15*y^9+6*x ^14*y^10+2*x^13*y^11+x^15*y^8-4*x^14*y^9-7*x^13*y^10+x^14*y^8+9*x^13*y^9+x^12*y ^10-5*x^13*y^8-2*x^12*y^9+x^13*y^7-x^11*y^9+2*x^12*y^7+2*x^11*y^8-x^12*y^6-x^11 *y^7-x^10*y^8+x^10*y^7-x^9*y^7-x^8*y^8-2*x^9*y^6+2*x^8*y^7+3*x^9*y^5-5*x^8*y^6- x^7*y^7+2*x^8*y^5+2*x^8*y^4-2*x^7*y^5+3*x^7*y^4+x^6*y^4+x^5*y^5+x^5*y^3+x^4*y^2 +x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7958066609 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 16" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 11 14 10 12 12 14 9 12 11 12 10 - 10 x y + 5 x y - x y - x y + 4 x y - 6 x y 12 9 11 10 12 8 11 9 10 9 11 7 10 8 + 4 x y + x y - x y - 2 x y - x y + 2 x y + 2 x y 9 9 11 6 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 - 2 x y - x y + 6 x y - 2 x y - 8 x y - x y + x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 8 4 7 5 6 6 + 6 x y + 4 x y - 2 x y - 4 x y + x y + x y - 2 x y - x y 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 + 4 x y + x y - 5 x y - x y + 2 x y + x y - x y + 4 x y 5 2 4 3 3 3 3 2 2 2 2 / + x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x + 1) / ( / 11 9 11 8 10 9 11 7 10 8 11 6 9 8 x y - 3 x y - x y + 3 x y + 2 x y - x y + x y 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 6 - 2 x y - 4 x y + x y + 5 x y + x y - 2 x y - x y - x y 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 5 4 5 3 + 2 x y - 2 x y - 2 x y + x y + x y + x y + x y - x y 5 2 2 2 2 + x y - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^14*y^14-5*x^14*y^13+10*x^14*y^12-10*x^14*y^11+5*x^14*y^10-x^12*y^12-x^14*y^9 +4*x^12*y^11-6*x^12*y^10+4*x^12*y^9+x^11*y^10-x^12*y^8-2*x^11*y^9-x^10*y^9+2*x^ 11*y^7+2*x^10*y^8-2*x^9*y^9-x^11*y^6+6*x^9*y^8-2*x^10*y^6-8*x^9*y^7-x^8*y^8+x^ 10*y^5+6*x^9*y^6+4*x^8*y^7-2*x^9*y^5-4*x^8*y^6+x^7*y^7+x^8*y^4-2*x^7*y^5-x^6*y^ 6+4*x^6*y^5+x^7*y^3-5*x^6*y^4-x^5*y^5+2*x^6*y^3+x^5*y^4-x^5*y^3+4*x^4*y^4+x^5*y ^2-4*x^4*y^3+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^11*y^9-3*x^11*y^8-x^ 10*y^9+3*x^11*y^7+2*x^10*y^8-x^11*y^6+x^9*y^8-2*x^10*y^6-4*x^9*y^7+x^10*y^5+5*x ^9*y^6+x^8*y^7-2*x^9*y^5-x^8*y^6-x^7*y^6+2*x^7*y^5-2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+x^7*y^3+ x^6*y^4+x^5*y^5+x^5*y^4-x^5*y^3+x^5*y^2-x^2*y^2+x^2*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7946137118 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 17" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 11 14 10 12 12 14 9 12 11 12 10 - 10 x y + 5 x y - x y - x y + 4 x y - 6 x y 12 9 11 10 12 8 11 9 10 9 11 7 10 8 + 4 x y + x y - x y - 2 x y - x y + 2 x y + 2 x y 9 9 11 6 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 - 2 x y - x y + 6 x y - 2 x y - 8 x y - x y + x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 8 4 7 5 6 6 + 6 x y + 4 x y - 2 x y - 4 x y + x y + x y - 2 x y - x y 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 + 4 x y + x y - 5 x y - x y + 2 x y + x y - x y + 4 x y 5 2 4 3 3 3 3 2 2 2 2 / + x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x + 1) / ( / 11 9 11 8 10 9 11 7 10 8 11 6 9 8 x y - 3 x y - x y + 3 x y + 2 x y - x y + x y 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 6 - 2 x y - 4 x y + x y + 5 x y + x y - 2 x y - x y - x y 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 5 4 5 3 + 2 x y - 2 x y - 2 x y + x y + x y + x y + x y - x y 5 2 2 2 2 + x y - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^14*y^14-5*x^14*y^13+10*x^14*y^12-10*x^14*y^11+5*x^14*y^10-x^12*y^12-x^14*y^9 +4*x^12*y^11-6*x^12*y^10+4*x^12*y^9+x^11*y^10-x^12*y^8-2*x^11*y^9-x^10*y^9+2*x^ 11*y^7+2*x^10*y^8-2*x^9*y^9-x^11*y^6+6*x^9*y^8-2*x^10*y^6-8*x^9*y^7-x^8*y^8+x^ 10*y^5+6*x^9*y^6+4*x^8*y^7-2*x^9*y^5-4*x^8*y^6+x^7*y^7+x^8*y^4-2*x^7*y^5-x^6*y^ 6+4*x^6*y^5+x^7*y^3-5*x^6*y^4-x^5*y^5+2*x^6*y^3+x^5*y^4-x^5*y^3+4*x^4*y^4+x^5*y ^2-4*x^4*y^3+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^11*y^9-3*x^11*y^8-x^ 10*y^9+3*x^11*y^7+2*x^10*y^8-x^11*y^6+x^9*y^8-2*x^10*y^6-4*x^9*y^7+x^10*y^5+5*x ^9*y^6+x^8*y^7-2*x^9*y^5-x^8*y^6-x^7*y^6+2*x^7*y^5-2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+x^7*y^3+ x^6*y^4+x^5*y^5+x^5*y^4-x^5*y^3+x^5*y^2-x^2*y^2+x^2*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7946137118 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 18" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 16 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 16 11 15 12 16 10 15 11 - 20 x y - x y + 15 x y + 5 x y - 6 x y - 10 x y 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 15 9 + 3 x y + x y + 10 x y - 12 x y - 4 x y - 5 x y 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 12 11 + 18 x y + 17 x y + x y - 12 x y - 29 x y - x y 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 + 3 x y + 25 x y + x y - 2 x y - 11 x y + 2 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 12 7 + 11 x y + 2 x y - 2 x y - 19 x y - 4 x y - x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 + 15 x y + 13 x y + x y - 7 x y - 15 x y - 4 x y 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 + 2 x y + 5 x y + 2 x y + 2 x y + 6 x y + 4 x y - x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 7 6 8 4 - 6 x y - 6 x y + 2 x y + 4 x y + 6 x y - 8 x y - x y 7 5 6 6 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 + 4 x y + 6 x y - 8 x y - x y + 5 x y + 3 x y - 2 x y 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 3 3 3 2 2 2 - 3 x y + x y - 4 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y 2 / 11 9 11 8 10 9 11 7 + x y - x y + x - 1) / (x y - 3 x y - x y + 3 x y / 10 8 11 6 9 8 10 6 9 7 10 5 9 6 + 2 x y - x y + x y - 2 x y - 4 x y + x y + 5 x y 8 7 9 5 8 6 7 6 7 5 7 4 6 5 7 3 + x y - 2 x y - x y - x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y + x y 6 4 5 5 5 4 5 3 5 2 2 2 2 + x y + x y + x y - x y + x y - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation -(x^16*y^15-6*x^16*y^14+15*x^16*y^13-20*x^16*y^12-x^15*y^13+15*x^16*y^11+5*x^15 *y^12-6*x^16*y^10-10*x^15*y^11+3*x^14*y^12+x^16*y^9+10*x^15*y^10-12*x^14*y^11-4 *x^13*y^12-5*x^15*y^9+18*x^14*y^10+17*x^13*y^11+x^15*y^8-12*x^14*y^9-29*x^13*y^ 10-x^12*y^11+3*x^14*y^8+25*x^13*y^9+x^12*y^10-2*x^11*y^11-11*x^13*y^8+2*x^12*y^ 9+11*x^11*y^10+2*x^13*y^7-2*x^12*y^8-19*x^11*y^9-4*x^10*y^10-x^12*y^7+15*x^11*y ^8+13*x^10*y^9+x^12*y^6-7*x^11*y^7-15*x^10*y^8-4*x^9*y^9+2*x^11*y^6+5*x^10*y^7+ 2*x^9*y^8+2*x^10*y^6+6*x^9*y^7+4*x^8*y^8-x^10*y^5-6*x^9*y^6-6*x^8*y^7+2*x^9*y^5 +4*x^8*y^6+6*x^7*y^7-8*x^7*y^6-x^8*y^4+4*x^7*y^5+6*x^6*y^6-8*x^6*y^5-x^7*y^3+5* x^6*y^4+3*x^5*y^5-2*x^6*y^3-3*x^5*y^4+x^5*y^3-4*x^4*y^4-x^5*y^2+4*x^4*y^3-2*x^3 *y^3+2*x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x^11*y^9-3*x^11*y^8-x^10*y^9+3*x^11*y^7+ 2*x^10*y^8-x^11*y^6+x^9*y^8-2*x^10*y^6-4*x^9*y^7+x^10*y^5+5*x^9*y^6+x^8*y^7-2*x ^9*y^5-x^8*y^6-x^7*y^6+2*x^7*y^5-2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4+x^5*y^5+x^ 5*y^4-x^5*y^3+x^5*y^2-x^2*y^2+x^2*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7941568608 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 19" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 16 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 16 11 15 12 16 10 15 11 - 20 x y - x y + 15 x y + 5 x y - 6 x y - 10 x y 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 15 9 + 3 x y + x y + 10 x y - 12 x y - 4 x y - 5 x y 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 12 11 + 18 x y + 17 x y + x y - 12 x y - 29 x y - x y 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 + 3 x y + 25 x y + x y - 2 x y - 11 x y + 2 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 12 7 + 11 x y + 2 x y - 2 x y - 19 x y - 4 x y - x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 + 15 x y + 13 x y + x y - 7 x y - 15 x y - 4 x y 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 + 2 x y + 5 x y + 2 x y + 2 x y + 6 x y + 4 x y - x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 7 6 8 4 - 6 x y - 6 x y + 2 x y + 4 x y + 6 x y - 8 x y - x y 7 5 6 6 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 + 4 x y + 6 x y - 8 x y - x y + 5 x y + 3 x y - 2 x y 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 3 3 3 2 2 2 - 3 x y + x y - 4 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y 2 / 10 9 10 8 10 7 9 8 + x y - x y + x - 1) / ((x - 1) (x y - 3 x y + 3 x y - x y / 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 8 6 8 5 7 6 - x y + 3 x y - 3 x y - x y + x y + 2 x y - x y + x y 7 5 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 2 3 2 - x y + x y - 2 x y - x y + x y - x y + x y + x y + x y 2 2 + x y + x y - 1)) and in Maple notation -(x^16*y^15-6*x^16*y^14+15*x^16*y^13-20*x^16*y^12-x^15*y^13+15*x^16*y^11+5*x^15 *y^12-6*x^16*y^10-10*x^15*y^11+3*x^14*y^12+x^16*y^9+10*x^15*y^10-12*x^14*y^11-4 *x^13*y^12-5*x^15*y^9+18*x^14*y^10+17*x^13*y^11+x^15*y^8-12*x^14*y^9-29*x^13*y^ 10-x^12*y^11+3*x^14*y^8+25*x^13*y^9+x^12*y^10-2*x^11*y^11-11*x^13*y^8+2*x^12*y^ 9+11*x^11*y^10+2*x^13*y^7-2*x^12*y^8-19*x^11*y^9-4*x^10*y^10-x^12*y^7+15*x^11*y ^8+13*x^10*y^9+x^12*y^6-7*x^11*y^7-15*x^10*y^8-4*x^9*y^9+2*x^11*y^6+5*x^10*y^7+ 2*x^9*y^8+2*x^10*y^6+6*x^9*y^7+4*x^8*y^8-x^10*y^5-6*x^9*y^6-6*x^8*y^7+2*x^9*y^5 +4*x^8*y^6+6*x^7*y^7-8*x^7*y^6-x^8*y^4+4*x^7*y^5+6*x^6*y^6-8*x^6*y^5-x^7*y^3+5* x^6*y^4+3*x^5*y^5-2*x^6*y^3-3*x^5*y^4+x^5*y^3-4*x^4*y^4-x^5*y^2+4*x^4*y^3-2*x^3 *y^3+2*x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^10*y^9-3*x^10*y^8+3*x^10*y^7-x^9 *y^8-x^10*y^6+3*x^9*y^7-3*x^9*y^6-x^8*y^7+x^9*y^5+2*x^8*y^6-x^8*y^5+x^7*y^6-x^7 *y^5+x^6*y^5-2*x^6*y^4-x^5*y^5+x^6*y^3-x^5*y^4+x^5*y^3+x^4*y^2+x^3*y^2+x^2*y^2+ x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7941568608 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 20" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [1, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 25 23 25 22 25 21 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 9 x y + 35 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 25 20 24 21 23 22 25 19 24 20 23 21 - 77 x y - x y - x y + 105 x y + 7 x y + 8 x y 25 18 24 19 23 20 22 21 25 17 24 18 - 91 x y - 21 x y - 27 x y + x y + 49 x y + 35 x y 23 19 22 20 25 16 24 17 23 18 + 50 x y - 7 x y - 15 x y - 35 x y - 55 x y 22 19 21 20 25 15 24 16 23 17 22 18 + 21 x y - x y + 2 x y + 21 x y + 36 x y - 35 x y 21 19 24 15 23 16 22 17 21 18 24 14 + 8 x y - 7 x y - 13 x y + 35 x y - 29 x y + x y 23 15 22 16 21 17 20 18 22 15 21 16 + 2 x y - 21 x y + 62 x y + x y + 7 x y - 85 x y 20 17 19 18 22 14 21 15 20 16 19 17 - 6 x y + 2 x y - x y + 76 x y + 15 x y - 10 x y 18 18 21 14 20 15 19 16 18 17 21 13 - x y - 43 x y - 20 x y + 21 x y + 9 x y + 14 x y 20 14 19 15 18 16 21 12 20 13 + 15 x y - 25 x y - 33 x y - 2 x y - 6 x y 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 + 20 x y + 63 x y - 5 x y + x y - 12 x y - 66 x y 17 15 19 12 18 13 17 14 16 15 19 11 + 21 x y + 5 x y + 35 x y - 35 x y + x y - x y 18 12 17 13 15 15 18 11 17 12 16 13 - 5 x y + 30 x y - 3 x y - 3 x y - 15 x y - 9 x y 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 + 18 x y + x y + 5 x y + 17 x y - 46 x y - x y 17 10 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 - x y - 12 x y + 63 x y - x y + 3 x y - 47 x y 14 12 13 13 15 10 14 11 13 12 14 10 + 8 x y + 5 x y + 16 x y - 6 x y - 20 x y - 5 x y 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 + 34 x y + x y - x y + 7 x y - 31 x y + 2 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 - 2 x y + 15 x y - 11 x y - 4 x y - 3 x y + 14 x y 11 10 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 + 12 x y - 8 x y - 13 x y + 5 x y + 2 x y + 7 x y 10 9 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 7 - 16 x y - 3 x y + 17 x y + 2 x y + x y - 6 x y - 4 x y 8 8 9 6 8 7 8 6 7 7 8 5 7 6 - 6 x y + 2 x y + 14 x y - 11 x y - x y + 4 x y - 3 x y 8 4 7 5 6 6 6 5 6 4 5 5 5 4 - x y + 3 x y + 2 x y - 4 x y + 2 x y - 6 x y + 7 x y 5 3 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 / - 2 x y + 3 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y + 1) / ( / 21 18 21 17 21 16 20 17 21 15 20 16 x y - 6 x y + 15 x y + x y - 20 x y - 5 x y 21 14 20 15 19 16 21 13 20 14 19 15 + 15 x y + 10 x y - x y - 6 x y - 10 x y + 4 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 20 12 19 13 + x y + 5 x y - 6 x y - 2 x y - x y + 4 x y 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 18 12 + 7 x y - x y - x y - 8 x y + 6 x y + 2 x y 17 13 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 - 13 x y - x y + 2 x y + 13 x y + 4 x y - x y 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 - x y - 6 x y - 6 x y + 5 x y + x y + 4 x y 15 12 16 10 15 11 14 12 15 10 14 11 - 13 x y - x y + 18 x y + 2 x y - 11 x y - 6 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 2 x y + x y + 7 x y - 6 x y + x y - 4 x y 13 10 14 8 13 9 11 11 13 8 11 10 + 9 x y + x y - 8 x y + x y + 3 x y - 5 x y 11 9 11 8 10 9 11 7 10 8 9 9 11 6 + 10 x y - 10 x y + 2 x y + 5 x y - 4 x y - x y - x y 10 7 9 8 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 + 4 x y + 4 x y - 2 x y - 6 x y + 4 x y - 3 x y - x y 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 + 4 x y + x y - 3 x y - 3 x y + x y + x y - 2 x y + x y 6 5 6 4 5 4 5 3 4 4 4 3 3 2 2 2 + 4 x y - 3 x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^25*y^23-9*x^25*y^22+35*x^25*y^21-77*x^25*y^20-x^24*y^21-x^23*y^22+105*x^25* y^19+7*x^24*y^20+8*x^23*y^21-91*x^25*y^18-21*x^24*y^19-27*x^23*y^20+x^22*y^21+ 49*x^25*y^17+35*x^24*y^18+50*x^23*y^19-7*x^22*y^20-15*x^25*y^16-35*x^24*y^17-55 *x^23*y^18+21*x^22*y^19-x^21*y^20+2*x^25*y^15+21*x^24*y^16+36*x^23*y^17-35*x^22 *y^18+8*x^21*y^19-7*x^24*y^15-13*x^23*y^16+35*x^22*y^17-29*x^21*y^18+x^24*y^14+ 2*x^23*y^15-21*x^22*y^16+62*x^21*y^17+x^20*y^18+7*x^22*y^15-85*x^21*y^16-6*x^20 *y^17+2*x^19*y^18-x^22*y^14+76*x^21*y^15+15*x^20*y^16-10*x^19*y^17-x^18*y^18-43 *x^21*y^14-20*x^20*y^15+21*x^19*y^16+9*x^18*y^17+14*x^21*y^13+15*x^20*y^14-25*x ^19*y^15-33*x^18*y^16-2*x^21*y^12-6*x^20*y^13+20*x^19*y^14+63*x^18*y^15-5*x^17* y^16+x^20*y^12-12*x^19*y^13-66*x^18*y^14+21*x^17*y^15+5*x^19*y^12+35*x^18*y^13-\ 35*x^17*y^14+x^16*y^15-x^19*y^11-5*x^18*y^12+30*x^17*y^13-3*x^15*y^15-3*x^18*y^ 11-15*x^17*y^12-9*x^16*y^13+18*x^15*y^14+x^18*y^10+5*x^17*y^11+17*x^16*y^12-46* x^15*y^13-x^14*y^14-x^17*y^10-12*x^16*y^11+63*x^15*y^12-x^14*y^13+3*x^16*y^10-\ 47*x^15*y^11+8*x^14*y^12+5*x^13*y^13+16*x^15*y^10-6*x^14*y^11-20*x^13*y^12-5*x^ 14*y^10+34*x^13*y^11+x^12*y^12-x^15*y^8+7*x^14*y^9-31*x^13*y^10+2*x^12*y^11-2*x ^14*y^8+15*x^13*y^9-11*x^12*y^10-4*x^11*y^11-3*x^13*y^8+14*x^12*y^9+12*x^11*y^ 10-8*x^12*y^8-13*x^11*y^9+5*x^10*y^10+2*x^12*y^7+7*x^11*y^8-16*x^10*y^9-3*x^11* y^7+17*x^10*y^8+2*x^9*y^9+x^11*y^6-6*x^10*y^7-4*x^9*y^7-6*x^8*y^8+2*x^9*y^6+14* x^8*y^7-11*x^8*y^6-x^7*y^7+4*x^8*y^5-3*x^7*y^6-x^8*y^4+3*x^7*y^5+2*x^6*y^6-4*x^ 6*y^5+2*x^6*y^4-6*x^5*y^5+7*x^5*y^4-2*x^5*y^3+3*x^4*y^4-2*x^4*y^3+2*x^3*y^3-2*x ^3*y^2+x^2*y^2+1)/(x^21*y^18-6*x^21*y^17+15*x^21*y^16+x^20*y^17-20*x^21*y^15-5* x^20*y^16+15*x^21*y^14+10*x^20*y^15-x^19*y^16-6*x^21*y^13-10*x^20*y^14+4*x^19*y ^15+x^21*y^12+5*x^20*y^13-6*x^19*y^14-2*x^18*y^15-x^20*y^12+4*x^19*y^13+7*x^18* y^14-x^17*y^15-x^19*y^12-8*x^18*y^13+6*x^17*y^14+2*x^18*y^12-13*x^17*y^13-x^16* y^14+2*x^18*y^11+13*x^17*y^12+4*x^16*y^13-x^15*y^14-x^18*y^10-6*x^17*y^11-6*x^ 16*y^12+5*x^15*y^13+x^17*y^10+4*x^16*y^11-13*x^15*y^12-x^16*y^10+18*x^15*y^11+2 *x^14*y^12-11*x^15*y^10-6*x^14*y^11+2*x^13*y^12+x^15*y^9+7*x^14*y^10-6*x^13*y^ 11+x^15*y^8-4*x^14*y^9+9*x^13*y^10+x^14*y^8-8*x^13*y^9+x^11*y^11+3*x^13*y^8-5*x ^11*y^10+10*x^11*y^9-10*x^11*y^8+2*x^10*y^9+5*x^11*y^7-4*x^10*y^8-x^9*y^9-x^11* y^6+4*x^10*y^7+4*x^9*y^8-2*x^10*y^6-6*x^9*y^7+4*x^9*y^6-3*x^8*y^7-x^9*y^5+4*x^8 *y^6+x^7*y^7-3*x^8*y^5-3*x^7*y^6+x^8*y^4+x^7*y^5-2*x^6*y^6+x^7*y^4+4*x^6*y^5-3* x^6*y^4-x^5*y^4+2*x^5*y^3+x^4*y^4-2*x^4*y^3+2*x^3*y^2-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 2 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (a + 1) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 2 / (a - a + a - 2 a + 4 a - 6 a + 4 a - 5 a + 8 a - a - 1) / ( / 7 5 4 3 2 7 5 4 2 (8 a + 6 a - 5 a + 4 a - 6 a + 2 a - 2) (a + a - a - a - 1)) 8 6 5 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - x + x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7858069620 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7857372928 ------------------------------------------------ "Theorem Number 21" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 1], [2, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 25 23 25 22 25 21 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 9 x y + 35 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 25 20 24 21 23 22 25 19 24 20 23 21 - 77 x y - x y - x y + 105 x y + 7 x y + 8 x y 25 18 24 19 23 20 22 21 25 17 24 18 - 91 x y - 21 x y - 27 x y + x y + 49 x y + 35 x y 23 19 22 20 25 16 24 17 23 18 + 50 x y - 7 x y - 15 x y - 35 x y - 55 x y 22 19 21 20 25 15 24 16 23 17 22 18 + 21 x y - x y + 2 x y + 21 x y + 36 x y - 35 x y 21 19 24 15 23 16 22 17 21 18 24 14 + 8 x y - 7 x y - 13 x y + 35 x y - 29 x y + x y 23 15 22 16 21 17 20 18 22 15 21 16 + 2 x y - 21 x y + 62 x y + x y + 7 x y - 85 x y 20 17 19 18 22 14 21 15 20 16 19 17 - 6 x y + 2 x y - x y + 76 x y + 15 x y - 10 x y 18 18 21 14 20 15 19 16 18 17 21 13 - x y - 43 x y - 20 x y + 21 x y + 9 x y + 14 x y 20 14 19 15 18 16 21 12 20 13 + 15 x y - 25 x y - 33 x y - 2 x y - 6 x y 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 + 20 x y + 63 x y - 5 x y + x y - 12 x y - 66 x y 17 15 19 12 18 13 17 14 16 15 19 11 + 21 x y + 5 x y + 35 x y - 35 x y + x y - x y 18 12 17 13 15 15 18 11 17 12 16 13 - 5 x y + 30 x y - 3 x y - 3 x y - 15 x y - 9 x y 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 + 18 x y + x y + 5 x y + 17 x y - 46 x y - x y 17 10 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 - x y - 12 x y + 63 x y - x y + 3 x y - 47 x y 14 12 13 13 15 10 14 11 13 12 14 10 + 8 x y + 5 x y + 16 x y - 6 x y - 20 x y - 5 x y 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 + 34 x y + x y - x y + 7 x y - 31 x y + 2 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 - 2 x y + 15 x y - 11 x y - 4 x y - 3 x y + 14 x y 11 10 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 + 12 x y - 8 x y - 13 x y + 5 x y + 2 x y + 7 x y 10 9 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 7 - 16 x y - 3 x y + 17 x y + 2 x y + x y - 6 x y - 4 x y 8 8 9 6 8 7 8 6 7 7 8 5 7 6 - 6 x y + 2 x y + 14 x y - 11 x y - x y + 4 x y - 3 x y 8 4 7 5 6 6 6 5 6 4 5 5 5 4 - x y + 3 x y + 2 x y - 4 x y + 2 x y - 6 x y + 7 x y 5 3 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 / - 2 x y + 3 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y + 1) / ( / 21 18 21 17 21 16 20 17 21 15 20 16 x y - 6 x y + 15 x y + x y - 20 x y - 5 x y 21 14 20 15 19 16 21 13 20 14 19 15 + 15 x y + 10 x y - x y - 6 x y - 10 x y + 4 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 20 12 19 13 + x y + 5 x y - 6 x y - 2 x y - x y + 4 x y 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 18 12 + 7 x y - x y - x y - 8 x y + 6 x y + 2 x y 17 13 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 - 13 x y - x y + 2 x y + 13 x y + 4 x y - x y 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 - x y - 6 x y - 6 x y + 5 x y + x y + 4 x y 15 12 16 10 15 11 14 12 15 10 14 11 - 13 x y - x y + 18 x y + 2 x y - 11 x y - 6 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 2 x y + x y + 7 x y - 6 x y + x y - 4 x y 13 10 14 8 13 9 11 11 13 8 11 10 + 9 x y + x y - 8 x y + x y + 3 x y - 5 x y 11 9 11 8 10 9 11 7 10 8 9 9 11 6 + 10 x y - 10 x y + 2 x y + 5 x y - 4 x y - x y - x y 10 7 9 8 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 + 4 x y + 4 x y - 2 x y - 6 x y + 4 x y - 3 x y - x y 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 + 4 x y + x y - 3 x y - 3 x y + x y + x y - 2 x y + x y 6 5 6 4 5 4 5 3 4 4 4 3 3 2 2 2 + 4 x y - 3 x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^25*y^23-9*x^25*y^22+35*x^25*y^21-77*x^25*y^20-x^24*y^21-x^23*y^22+105*x^25* y^19+7*x^24*y^20+8*x^23*y^21-91*x^25*y^18-21*x^24*y^19-27*x^23*y^20+x^22*y^21+ 49*x^25*y^17+35*x^24*y^18+50*x^23*y^19-7*x^22*y^20-15*x^25*y^16-35*x^24*y^17-55 *x^23*y^18+21*x^22*y^19-x^21*y^20+2*x^25*y^15+21*x^24*y^16+36*x^23*y^17-35*x^22 *y^18+8*x^21*y^19-7*x^24*y^15-13*x^23*y^16+35*x^22*y^17-29*x^21*y^18+x^24*y^14+ 2*x^23*y^15-21*x^22*y^16+62*x^21*y^17+x^20*y^18+7*x^22*y^15-85*x^21*y^16-6*x^20 *y^17+2*x^19*y^18-x^22*y^14+76*x^21*y^15+15*x^20*y^16-10*x^19*y^17-x^18*y^18-43 *x^21*y^14-20*x^20*y^15+21*x^19*y^16+9*x^18*y^17+14*x^21*y^13+15*x^20*y^14-25*x ^19*y^15-33*x^18*y^16-2*x^21*y^12-6*x^20*y^13+20*x^19*y^14+63*x^18*y^15-5*x^17* y^16+x^20*y^12-12*x^19*y^13-66*x^18*y^14+21*x^17*y^15+5*x^19*y^12+35*x^18*y^13-\ 35*x^17*y^14+x^16*y^15-x^19*y^11-5*x^18*y^12+30*x^17*y^13-3*x^15*y^15-3*x^18*y^ 11-15*x^17*y^12-9*x^16*y^13+18*x^15*y^14+x^18*y^10+5*x^17*y^11+17*x^16*y^12-46* x^15*y^13-x^14*y^14-x^17*y^10-12*x^16*y^11+63*x^15*y^12-x^14*y^13+3*x^16*y^10-\ 47*x^15*y^11+8*x^14*y^12+5*x^13*y^13+16*x^15*y^10-6*x^14*y^11-20*x^13*y^12-5*x^ 14*y^10+34*x^13*y^11+x^12*y^12-x^15*y^8+7*x^14*y^9-31*x^13*y^10+2*x^12*y^11-2*x ^14*y^8+15*x^13*y^9-11*x^12*y^10-4*x^11*y^11-3*x^13*y^8+14*x^12*y^9+12*x^11*y^ 10-8*x^12*y^8-13*x^11*y^9+5*x^10*y^10+2*x^12*y^7+7*x^11*y^8-16*x^10*y^9-3*x^11* y^7+17*x^10*y^8+2*x^9*y^9+x^11*y^6-6*x^10*y^7-4*x^9*y^7-6*x^8*y^8+2*x^9*y^6+14* x^8*y^7-11*x^8*y^6-x^7*y^7+4*x^8*y^5-3*x^7*y^6-x^8*y^4+3*x^7*y^5+2*x^6*y^6-4*x^ 6*y^5+2*x^6*y^4-6*x^5*y^5+7*x^5*y^4-2*x^5*y^3+3*x^4*y^4-2*x^4*y^3+2*x^3*y^3-2*x ^3*y^2+x^2*y^2+1)/(x^21*y^18-6*x^21*y^17+15*x^21*y^16+x^20*y^17-20*x^21*y^15-5* x^20*y^16+15*x^21*y^14+10*x^20*y^15-x^19*y^16-6*x^21*y^13-10*x^20*y^14+4*x^19*y ^15+x^21*y^12+5*x^20*y^13-6*x^19*y^14-2*x^18*y^15-x^20*y^12+4*x^19*y^13+7*x^18* y^14-x^17*y^15-x^19*y^12-8*x^18*y^13+6*x^17*y^14+2*x^18*y^12-13*x^17*y^13-x^16* y^14+2*x^18*y^11+13*x^17*y^12+4*x^16*y^13-x^15*y^14-x^18*y^10-6*x^17*y^11-6*x^ 16*y^12+5*x^15*y^13+x^17*y^10+4*x^16*y^11-13*x^15*y^12-x^16*y^10+18*x^15*y^11+2 *x^14*y^12-11*x^15*y^10-6*x^14*y^11+2*x^13*y^12+x^15*y^9+7*x^14*y^10-6*x^13*y^ 11+x^15*y^8-4*x^14*y^9+9*x^13*y^10+x^14*y^8-8*x^13*y^9+x^11*y^11+3*x^13*y^8-5*x ^11*y^10+10*x^11*y^9-10*x^11*y^8+2*x^10*y^9+5*x^11*y^7-4*x^10*y^8-x^9*y^9-x^11* y^6+4*x^10*y^7+4*x^9*y^8-2*x^10*y^6-6*x^9*y^7+4*x^9*y^6-3*x^8*y^7-x^9*y^5+4*x^8 *y^6+x^7*y^7-3*x^8*y^5-3*x^7*y^6+x^8*y^4+x^7*y^5-2*x^6*y^6+x^7*y^4+4*x^6*y^5-3* x^6*y^4-x^5*y^4+2*x^5*y^3+x^4*y^4-2*x^4*y^3+2*x^3*y^2-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 2 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (a + 1) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 2 / (a - a + a - 2 a + 4 a - 6 a + 4 a - 5 a + 8 a - a - 1) / ( / 7 5 4 3 2 7 5 4 2 (8 a + 6 a - 5 a + 4 a - 6 a + 2 a - 2) (a + a - a - a - 1)) 8 6 5 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - x + x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7858069620 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7857372928 ------------------------------------------------ "Theorem Number 22" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [1, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 14 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 14 14 16 11 15 12 14 13 + 10 x y + 9 x y + x y - 10 x y - 17 x y - 5 x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 + 5 x y + 18 x y + 14 x y - x y - 12 x y - 25 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 - 3 x y + 5 x y + 26 x y + 11 x y - x y - 14 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 11 11 13 8 - 15 x y + x y + 3 x y + 9 x y - 2 x y - 2 x y 12 9 11 10 12 8 11 9 10 10 12 7 - 7 x y + 5 x y + 12 x y - 5 x y - 3 x y - 8 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 + 5 x y + 15 x y + 2 x y - 6 x y - 24 x y - 8 x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 + 4 x y + 14 x y + 21 x y - x y - x y - 19 x y - 5 x y 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 - x y + 9 x y + 17 x y - 5 x y - 19 x y - 7 x y + 2 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 + 9 x y + 11 x y - 2 x y - 5 x y - x y + 3 x y + 2 x y 7 3 6 4 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 - 2 x y - 4 x y + 3 x y - 3 x y + x y + 6 x y + x y 4 3 3 3 3 2 3 2 2 2 - 5 x y + 3 x y - 3 x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / 16 13 16 12 15 13 16 11 15 12 16 10 / (x y - 4 x y - x y + 6 x y + 4 x y - 4 x y / 15 11 16 9 15 10 14 11 15 9 14 10 - 7 x y + x y + 7 x y + x y - 4 x y - 3 x y 13 11 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 - x y + x y + 3 x y + 4 x y + x y - x y - 7 x y 12 10 13 8 12 9 13 7 12 8 11 9 10 10 - 3 x y + 6 x y + 2 x y - 2 x y + 3 x y + x y + x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 10 7 - 5 x y - 4 x y - x y + 2 x y + 4 x y + x y - 6 x y 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 - x y - x y + 8 x y + 5 x y + x y - 3 x y - 7 x y - x y 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 5 + x y + 2 x y + 2 x y - 3 x y - x y + x y + 3 x y + x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 5 2 4 3 - 2 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y + x y - x y + x y + x y 4 2 3 3 3 2 3 - 2 x y - x y + x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^16*y^14-5*x^16*y^13-2*x^15*y^14+10*x^16*y^12+9*x^15*y^13+x^14*y^14-10*x^16*y ^11-17*x^15*y^12-5*x^14*y^13+5*x^16*y^10+18*x^15*y^11+14*x^14*y^12-x^16*y^9-12* x^15*y^10-25*x^14*y^11-3*x^13*y^12+5*x^15*y^9+26*x^14*y^10+11*x^13*y^11-x^15*y^ 8-14*x^14*y^9-15*x^13*y^10+x^12*y^11+3*x^14*y^8+9*x^13*y^9-2*x^11*y^11-2*x^13*y ^8-7*x^12*y^9+5*x^11*y^10+12*x^12*y^8-5*x^11*y^9-3*x^10*y^10-8*x^12*y^7+5*x^11* y^8+15*x^10*y^9+2*x^12*y^6-6*x^11*y^7-24*x^10*y^8-8*x^9*y^9+4*x^11*y^6+14*x^10* y^7+21*x^9*y^8-x^11*y^5-x^10*y^6-19*x^9*y^7-5*x^8*y^8-x^10*y^5+9*x^9*y^6+17*x^8 *y^7-5*x^9*y^5-19*x^8*y^6-7*x^7*y^7+2*x^9*y^4+9*x^8*y^5+11*x^7*y^6-2*x^8*y^4-5* x^7*y^5-x^6*y^6+3*x^7*y^4+2*x^6*y^5-2*x^7*y^3-4*x^6*y^4+3*x^6*y^3-3*x^5*y^4+x^5 *y^3+6*x^4*y^4+x^5*y^2-5*x^4*y^3+3*x^3*y^3-3*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x* y-x+1)/(x^16*y^13-4*x^16*y^12-x^15*y^13+6*x^16*y^11+4*x^15*y^12-4*x^16*y^10-7*x ^15*y^11+x^16*y^9+7*x^15*y^10+x^14*y^11-4*x^15*y^9-3*x^14*y^10-x^13*y^11+x^15*y ^8+3*x^14*y^9+4*x^13*y^10+x^12*y^11-x^14*y^8-7*x^13*y^9-3*x^12*y^10+6*x^13*y^8+ 2*x^12*y^9-2*x^13*y^7+3*x^12*y^8+x^11*y^9+x^10*y^10-5*x^12*y^7-4*x^11*y^8-x^10* y^9+2*x^12*y^6+4*x^11*y^7+x^10*y^8-6*x^10*y^7-x^9*y^8-x^11*y^5+8*x^10*y^6+5*x^9 *y^7+x^8*y^8-3*x^10*y^5-7*x^9*y^6-x^8*y^7+x^9*y^5+2*x^8*y^6+2*x^9*y^4-3*x^8*y^5 -x^7*y^6+x^8*y^4+3*x^7*y^5+x^6*y^5-2*x^7*y^3-2*x^6*y^4-2*x^5*y^5+2*x^6*y^3+x^5* y^4-x^5*y^3+x^5*y^2+x^4*y^3-2*x^4*y^2-x^3*y^3+x^3*y^2+x^3*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 7 6 5 4 3 2 (a - 2 a + 3 a - 3 a - 4 a + 8 a - 2 a - 1) - ----------------------------------------------------- 5 4 3 2 5 4 3 (6 a - 5 a - 4 a + 3 a - 2) (a - a - a - 1) 6 5 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7837964330 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7836031442 ------------------------------------------------ "Theorem Number 23" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [1, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 14 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 14 14 16 11 15 12 14 13 + 10 x y + 9 x y + x y - 10 x y - 17 x y - 5 x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 + 5 x y + 18 x y + 14 x y - x y - 12 x y - 25 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 - 3 x y + 5 x y + 26 x y + 11 x y - x y - 14 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 11 11 13 8 - 15 x y + x y + 3 x y + 9 x y - 2 x y - 2 x y 12 9 11 10 12 8 11 9 10 10 12 7 - 7 x y + 5 x y + 12 x y - 5 x y - 3 x y - 8 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 + 5 x y + 15 x y + 2 x y - 6 x y - 24 x y - 8 x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 + 4 x y + 14 x y + 21 x y - x y - x y - 19 x y - 5 x y 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 - x y + 9 x y + 17 x y - 5 x y - 19 x y - 7 x y + 2 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 + 9 x y + 11 x y - 2 x y - 5 x y - x y + 3 x y + 2 x y 7 3 6 4 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 - 2 x y - 4 x y + 3 x y - 3 x y + x y + 6 x y + x y 4 3 3 3 3 2 3 2 2 2 - 5 x y + 3 x y - 3 x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / 16 13 16 12 15 13 16 11 15 12 16 10 / (x y - 4 x y - x y + 6 x y + 4 x y - 4 x y / 15 11 16 9 15 10 14 11 15 9 14 10 - 7 x y + x y + 7 x y + x y - 4 x y - 3 x y 13 11 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 - x y + x y + 3 x y + 4 x y + x y - x y - 7 x y 12 10 13 8 12 9 13 7 12 8 11 9 10 10 - 3 x y + 6 x y + 2 x y - 2 x y + 3 x y + x y + x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 10 7 - 5 x y - 4 x y - x y + 2 x y + 4 x y + x y - 6 x y 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 - x y - x y + 8 x y + 5 x y + x y - 3 x y - 7 x y - x y 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 5 + x y + 2 x y + 2 x y - 3 x y - x y + x y + 3 x y + x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 5 2 4 3 - 2 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y + x y - x y + x y + x y 4 2 3 3 3 2 3 - 2 x y - x y + x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^16*y^14-5*x^16*y^13-2*x^15*y^14+10*x^16*y^12+9*x^15*y^13+x^14*y^14-10*x^16*y ^11-17*x^15*y^12-5*x^14*y^13+5*x^16*y^10+18*x^15*y^11+14*x^14*y^12-x^16*y^9-12* x^15*y^10-25*x^14*y^11-3*x^13*y^12+5*x^15*y^9+26*x^14*y^10+11*x^13*y^11-x^15*y^ 8-14*x^14*y^9-15*x^13*y^10+x^12*y^11+3*x^14*y^8+9*x^13*y^9-2*x^11*y^11-2*x^13*y ^8-7*x^12*y^9+5*x^11*y^10+12*x^12*y^8-5*x^11*y^9-3*x^10*y^10-8*x^12*y^7+5*x^11* y^8+15*x^10*y^9+2*x^12*y^6-6*x^11*y^7-24*x^10*y^8-8*x^9*y^9+4*x^11*y^6+14*x^10* y^7+21*x^9*y^8-x^11*y^5-x^10*y^6-19*x^9*y^7-5*x^8*y^8-x^10*y^5+9*x^9*y^6+17*x^8 *y^7-5*x^9*y^5-19*x^8*y^6-7*x^7*y^7+2*x^9*y^4+9*x^8*y^5+11*x^7*y^6-2*x^8*y^4-5* x^7*y^5-x^6*y^6+3*x^7*y^4+2*x^6*y^5-2*x^7*y^3-4*x^6*y^4+3*x^6*y^3-3*x^5*y^4+x^5 *y^3+6*x^4*y^4+x^5*y^2-5*x^4*y^3+3*x^3*y^3-3*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x* y-x+1)/(x^16*y^13-4*x^16*y^12-x^15*y^13+6*x^16*y^11+4*x^15*y^12-4*x^16*y^10-7*x ^15*y^11+x^16*y^9+7*x^15*y^10+x^14*y^11-4*x^15*y^9-3*x^14*y^10-x^13*y^11+x^15*y ^8+3*x^14*y^9+4*x^13*y^10+x^12*y^11-x^14*y^8-7*x^13*y^9-3*x^12*y^10+6*x^13*y^8+ 2*x^12*y^9-2*x^13*y^7+3*x^12*y^8+x^11*y^9+x^10*y^10-5*x^12*y^7-4*x^11*y^8-x^10* y^9+2*x^12*y^6+4*x^11*y^7+x^10*y^8-6*x^10*y^7-x^9*y^8-x^11*y^5+8*x^10*y^6+5*x^9 *y^7+x^8*y^8-3*x^10*y^5-7*x^9*y^6-x^8*y^7+x^9*y^5+2*x^8*y^6+2*x^9*y^4-3*x^8*y^5 -x^7*y^6+x^8*y^4+3*x^7*y^5+x^6*y^5-2*x^7*y^3-2*x^6*y^4-2*x^5*y^5+2*x^6*y^3+x^5* y^4-x^5*y^3+x^5*y^2+x^4*y^3-2*x^4*y^2-x^3*y^3+x^3*y^2+x^3*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 7 6 5 4 3 2 (a - 2 a + 3 a - 3 a - 4 a + 8 a - 2 a - 1) - ----------------------------------------------------- 5 4 3 2 5 4 3 (6 a - 5 a - 4 a + 3 a - 2) (a - a - a - 1) 6 5 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7837964330 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7836031442 ------------------------------------------------ "Theorem Number 24" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [1, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 9 x y + 17 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 14 11 13 12 14 10 13 11 + 5 x y - 18 x y - 23 x y + 12 x y + 44 x y 12 12 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 + 4 x y - 5 x y - 46 x y - 19 x y + x y + 29 x y 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 + 38 x y - x y - 11 x y - 40 x y + x y + 2 x y 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 + 22 x y + 5 x y - 5 x y - 5 x y - 11 x y + 11 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 9 7 + 8 x y - 7 x y - 2 x y - 2 x y + x y + 4 x y - 2 x y 8 8 8 7 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 - 2 x y + x y + 3 x y - 3 x y - 3 x y + 6 x y + x y 7 5 6 6 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 - 3 x y - 3 x y + 5 x y - 4 x y + 3 x y + 2 x y - 4 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 + x y + 7 x y - 6 x y + x y + 3 x y - 3 x y + 2 x y - x y / 15 14 15 13 15 12 14 13 15 11 + x y - x + 1) / (x y - 3 x y + 2 x y + x y + 2 x y / 14 12 15 10 14 11 15 9 14 10 14 9 - 3 x y - 3 x y + 2 x y + x y + 2 x y - 3 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 13 8 + 2 x y - 2 x y + x y - 6 x y + 5 x y + 6 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 - 3 x y - 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y + 2 x y 10 9 11 7 10 8 10 7 9 8 9 7 9 6 + 2 x y - 2 x y - 4 x y + 2 x y - 3 x y + 5 x y - 3 x y 8 7 9 5 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 - x y + x y + 3 x y - x y - x y - x y - 2 x y + x y 7 4 6 5 5 5 6 3 5 3 4 4 4 2 3 3 + 3 x y + x y + x y - 2 x y + x y - x y - x y + x y 3 2 2 + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(2*x^14*y^14-9*x^14*y^13+17*x^14*y^12+5*x^13*y^13-18*x^14*y^11-23*x^13*y^12+12 *x^14*y^10+44*x^13*y^11+4*x^12*y^12-5*x^14*y^9-46*x^13*y^10-19*x^12*y^11+x^14*y ^8+29*x^13*y^9+38*x^12*y^10-x^11*y^11-11*x^13*y^8-40*x^12*y^9+x^11*y^10+2*x^13* y^7+22*x^12*y^8+5*x^11*y^9-5*x^10*y^10-5*x^12*y^7-11*x^11*y^8+11*x^10*y^9+8*x^ 11*y^7-7*x^10*y^8-2*x^9*y^9-2*x^11*y^6+x^10*y^7+4*x^9*y^8-2*x^9*y^7-2*x^8*y^8+x ^8*y^7+3*x^8*y^6-3*x^7*y^7-3*x^8*y^5+6*x^7*y^6+x^8*y^4-3*x^7*y^5-3*x^6*y^6+5*x^ 6*y^5-4*x^6*y^4+3*x^5*y^5+2*x^6*y^3-4*x^5*y^4+x^5*y^3+7*x^4*y^4-6*x^4*y^3+x^4*y ^2+3*x^3*y^3-3*x^3*y^2+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^15*y^14-3*x^15*y^13+2*x^15*y ^12+x^14*y^13+2*x^15*y^11-3*x^14*y^12-3*x^15*y^10+2*x^14*y^11+x^15*y^9+2*x^14*y ^10-3*x^14*y^9+2*x^13*y^10-2*x^12*y^11+x^14*y^8-6*x^13*y^9+5*x^12*y^10+6*x^13*y ^8-3*x^12*y^9-2*x^11*y^10-2*x^13*y^7-x^12*y^8+2*x^11*y^9+x^12*y^7+2*x^11*y^8+2* x^10*y^9-2*x^11*y^7-4*x^10*y^8+2*x^10*y^7-3*x^9*y^8+5*x^9*y^7-3*x^9*y^6-x^8*y^7 +x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^8*y^5-x^7*y^6-x^8*y^4-2*x^7*y^5+x^6*y^6+3*x^7*y^4+x^6*y^5+ x^5*y^5-2*x^6*y^3+x^5*y^3-x^4*y^4-x^4*y^2+x^3*y^3+x^3*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 6 4 2 2 a - a - 4 a + 2 a + 1 -------------------------------------------- 4 3 2 4 2 (5 a - 4 a + 3 a - a + 1) (2 a + a + 1) 5 4 3 2 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7831072319 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7829936274 ------------------------------------------------ "Theorem Number 25" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [1, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 9 x y + 17 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 14 11 13 12 14 10 13 11 + 5 x y - 18 x y - 23 x y + 12 x y + 44 x y 12 12 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 + 4 x y - 5 x y - 46 x y - 19 x y + x y + 29 x y 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 + 38 x y - x y - 11 x y - 40 x y + x y + 2 x y 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 + 22 x y + 5 x y - 5 x y - 5 x y - 11 x y + 11 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 9 7 + 8 x y - 7 x y - 2 x y - 2 x y + x y + 4 x y - 2 x y 8 8 8 7 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 - 2 x y + x y + 3 x y - 3 x y - 3 x y + 6 x y + x y 7 5 6 6 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 - 3 x y - 3 x y + 5 x y - 4 x y + 3 x y + 2 x y - 4 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 + x y + 7 x y - 6 x y + x y + 3 x y - 3 x y + 2 x y - x y / 15 14 15 13 15 12 14 13 15 11 + x y - x + 1) / (x y - 3 x y + 2 x y + x y + 2 x y / 14 12 15 10 14 11 15 9 14 10 14 9 - 3 x y - 3 x y + 2 x y + x y + 2 x y - 3 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 13 8 + 2 x y - 2 x y + x y - 6 x y + 5 x y + 6 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 - 3 x y - 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y + 2 x y 10 9 11 7 10 8 10 7 9 8 9 7 9 6 + 2 x y - 2 x y - 4 x y + 2 x y - 3 x y + 5 x y - 3 x y 8 7 9 5 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 - x y + x y + 3 x y - x y - x y - x y - 2 x y + x y 7 4 6 5 5 5 6 3 5 3 4 4 4 2 3 3 + 3 x y + x y + x y - 2 x y + x y - x y - x y + x y 3 2 2 + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(2*x^14*y^14-9*x^14*y^13+17*x^14*y^12+5*x^13*y^13-18*x^14*y^11-23*x^13*y^12+12 *x^14*y^10+44*x^13*y^11+4*x^12*y^12-5*x^14*y^9-46*x^13*y^10-19*x^12*y^11+x^14*y ^8+29*x^13*y^9+38*x^12*y^10-x^11*y^11-11*x^13*y^8-40*x^12*y^9+x^11*y^10+2*x^13* y^7+22*x^12*y^8+5*x^11*y^9-5*x^10*y^10-5*x^12*y^7-11*x^11*y^8+11*x^10*y^9+8*x^ 11*y^7-7*x^10*y^8-2*x^9*y^9-2*x^11*y^6+x^10*y^7+4*x^9*y^8-2*x^9*y^7-2*x^8*y^8+x ^8*y^7+3*x^8*y^6-3*x^7*y^7-3*x^8*y^5+6*x^7*y^6+x^8*y^4-3*x^7*y^5-3*x^6*y^6+5*x^ 6*y^5-4*x^6*y^4+3*x^5*y^5+2*x^6*y^3-4*x^5*y^4+x^5*y^3+7*x^4*y^4-6*x^4*y^3+x^4*y ^2+3*x^3*y^3-3*x^3*y^2+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^15*y^14-3*x^15*y^13+2*x^15*y ^12+x^14*y^13+2*x^15*y^11-3*x^14*y^12-3*x^15*y^10+2*x^14*y^11+x^15*y^9+2*x^14*y ^10-3*x^14*y^9+2*x^13*y^10-2*x^12*y^11+x^14*y^8-6*x^13*y^9+5*x^12*y^10+6*x^13*y ^8-3*x^12*y^9-2*x^11*y^10-2*x^13*y^7-x^12*y^8+2*x^11*y^9+x^12*y^7+2*x^11*y^8+2* x^10*y^9-2*x^11*y^7-4*x^10*y^8+2*x^10*y^7-3*x^9*y^8+5*x^9*y^7-3*x^9*y^6-x^8*y^7 +x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^8*y^5-x^7*y^6-x^8*y^4-2*x^7*y^5+x^6*y^6+3*x^7*y^4+x^6*y^5+ x^5*y^5-2*x^6*y^3+x^5*y^3-x^4*y^4-x^4*y^2+x^3*y^3+x^3*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 6 4 2 2 a - a - 4 a + 2 a + 1 -------------------------------------------- 4 3 2 4 2 (5 a - 4 a + 3 a - a + 1) (2 a + a + 1) 5 4 3 2 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7831072319 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7829936274 ------------------------------------------------ "Theorem Number 26" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [1, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 19 21 18 21 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 16 21 15 19 17 21 14 19 16 21 13 - 20 x y + 15 x y - x y - 6 x y + 6 x y + x y 19 15 18 16 19 14 18 15 19 13 18 14 - 16 x y + x y + 24 x y - 4 x y - 21 x y + 6 x y 17 15 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 + x y + 10 x y - 4 x y - 4 x y - 2 x y + x y 17 13 16 14 17 12 16 13 15 14 17 11 + 7 x y - x y - 8 x y + 8 x y + 4 x y + 7 x y 16 12 15 13 17 10 16 11 14 13 17 9 - 20 x y - 9 x y - 4 x y + 22 x y + x y + x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 - 11 x y + 13 x y + x y + 2 x y - 9 x y - 16 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 + 34 x y - 9 x y - x y + x y - 30 x y + 27 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 + 10 x y + 11 x y - 27 x y - 29 x y - 2 x y - x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 8 x y + 36 x y - 2 x y + 2 x y - 23 x y + 16 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 + 2 x y - x y + 10 x y - 22 x y - 13 x y - 3 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 + 12 x y + 25 x y + 2 x y - x y - 21 x y - 3 x y - x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 + 8 x y + 2 x y + x y - x y - x y - 2 x y - x y + 3 x y 7 7 9 4 8 5 7 6 7 5 6 6 8 3 7 4 + x y + x y - 3 x y + 6 x y - 6 x y - 6 x y + x y - x y 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 + 13 x y + x y - 8 x y - 2 x y + x y + 3 x y - 2 x y 4 4 5 2 4 3 3 3 3 2 2 2 2 + 5 x y + x y - 4 x y + 3 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x / 16 14 16 13 16 12 15 13 16 11 + 1) / (x y - 3 x y + 2 x y + x y + 2 x y / 15 12 16 10 15 11 16 9 15 10 14 11 - 3 x y - 3 x y + 4 x y + x y - 4 x y + x y 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 13 10 + x y + 3 x y - 2 x y - 4 x y - x y + 8 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 + x y + 2 x y - 10 x y - 3 x y - x y + 8 x y + x y 11 10 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 - x y - 4 x y + 3 x y + 4 x y + x y - 2 x y - 9 x y 10 9 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 - 2 x y + 11 x y + 3 x y - 6 x y + 2 x y + x y + x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 - 6 x y - 4 x y - x y + 3 x y + 5 x y + x y - 3 x y 8 6 9 4 8 5 8 4 8 3 7 4 6 5 7 3 + 3 x y + x y - 4 x y + 2 x y - x y + x y + 3 x y - x y 6 4 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 3 3 2 2 2 - 3 x y + x y - x y + 2 x y + x y - x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^21*y^19-6*x^21*y^18+15*x^21*y^17-20*x^21*y^16+15*x^21*y^15-x^19*y^17-6*x^21 *y^14+6*x^19*y^16+x^21*y^13-16*x^19*y^15+x^18*y^16+24*x^19*y^14-4*x^18*y^15-21* x^19*y^13+6*x^18*y^14+x^17*y^15+10*x^19*y^12-4*x^18*y^13-4*x^17*y^14-2*x^19*y^ 11+x^18*y^12+7*x^17*y^13-x^16*y^14-8*x^17*y^12+8*x^16*y^13+4*x^15*y^14+7*x^17*y ^11-20*x^16*y^12-9*x^15*y^13-4*x^17*y^10+22*x^16*y^11+x^14*y^13+x^17*y^9-11*x^ 16*y^10+13*x^15*y^11+x^14*y^12+2*x^16*y^9-9*x^15*y^10-16*x^14*y^11+34*x^14*y^10 -9*x^13*y^11-x^12*y^12+x^15*y^8-30*x^14*y^9+27*x^13*y^10+10*x^12*y^11+11*x^14*y ^8-27*x^13*y^9-29*x^12*y^10-2*x^11*y^11-x^14*y^7+8*x^13*y^8+36*x^12*y^9-2*x^11* y^10+2*x^13*y^7-23*x^12*y^8+16*x^11*y^9+2*x^10*y^10-x^13*y^6+10*x^12*y^7-22*x^ 11*y^8-13*x^10*y^9-3*x^12*y^6+12*x^11*y^7+25*x^10*y^8+2*x^9*y^9-x^11*y^6-21*x^ 10*y^7-3*x^9*y^8-x^11*y^5+8*x^10*y^6+2*x^9*y^7+x^8*y^8-x^10*y^5-x^9*y^6-2*x^8*y ^7-x^9*y^5+3*x^8*y^6+x^7*y^7+x^9*y^4-3*x^8*y^5+6*x^7*y^6-6*x^7*y^5-6*x^6*y^6+x^ 8*y^3-x^7*y^4+13*x^6*y^5+x^7*y^3-8*x^6*y^4-2*x^5*y^5+x^6*y^3+3*x^5*y^4-2*x^5*y^ 3+5*x^4*y^4+x^5*y^2-4*x^4*y^3+3*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^16* y^14-3*x^16*y^13+2*x^16*y^12+x^15*y^13+2*x^16*y^11-3*x^15*y^12-3*x^16*y^10+4*x^ 15*y^11+x^16*y^9-4*x^15*y^10+x^14*y^11+x^13*y^12+3*x^15*y^9-2*x^14*y^10-4*x^13* y^11-x^15*y^8+8*x^13*y^10+x^12*y^11+2*x^14*y^8-10*x^13*y^9-3*x^12*y^10-x^14*y^7 +8*x^13*y^8+x^12*y^9-x^11*y^10-4*x^13*y^7+3*x^12*y^8+4*x^11*y^9+x^13*y^6-2*x^12 *y^7-9*x^11*y^8-2*x^10*y^9+11*x^11*y^7+3*x^10*y^8-6*x^11*y^6+2*x^10*y^7+x^9*y^8 +x^11*y^5-6*x^10*y^6-4*x^9*y^7-x^8*y^8+3*x^10*y^5+5*x^9*y^6+x^8*y^7-3*x^9*y^5+3 *x^8*y^6+x^9*y^4-4*x^8*y^5+2*x^8*y^4-x^8*y^3+x^7*y^4+3*x^6*y^5-x^7*y^3-3*x^6*y^ 4+x^6*y^3-x^5*y^4+2*x^5*y^3+x^4*y^4-x^5*y^2-x^3*y^3+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7774581744 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 27" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 19 21 18 21 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 16 21 15 19 17 21 14 19 16 21 13 - 20 x y + 15 x y - x y - 6 x y + 6 x y + x y 19 15 18 16 19 14 18 15 19 13 18 14 - 16 x y + x y + 24 x y - 4 x y - 21 x y + 6 x y 17 15 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 + x y + 10 x y - 4 x y - 4 x y - 2 x y + x y 17 13 16 14 17 12 16 13 15 14 17 11 + 7 x y - x y - 8 x y + 8 x y + 4 x y + 7 x y 16 12 15 13 17 10 16 11 14 13 17 9 - 20 x y - 9 x y - 4 x y + 22 x y + x y + x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 - 11 x y + 13 x y + x y + 2 x y - 9 x y - 16 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 + 34 x y - 9 x y - x y + x y - 30 x y + 27 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 + 10 x y + 11 x y - 27 x y - 29 x y - 2 x y - x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 8 x y + 36 x y - 2 x y + 2 x y - 23 x y + 16 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 + 2 x y - x y + 10 x y - 22 x y - 13 x y - 3 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 + 12 x y + 25 x y + 2 x y - x y - 21 x y - 3 x y - x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 + 8 x y + 2 x y + x y - x y - x y - 2 x y - x y + 3 x y 7 7 9 4 8 5 7 6 7 5 6 6 8 3 7 4 + x y + x y - 3 x y + 6 x y - 6 x y - 6 x y + x y - x y 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 + 13 x y + x y - 8 x y - 2 x y + x y + 3 x y - 2 x y 4 4 5 2 4 3 3 3 3 2 2 2 2 + 5 x y + x y - 4 x y + 3 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x / 16 14 16 13 16 12 15 13 16 11 + 1) / (x y - 3 x y + 2 x y + x y + 2 x y / 15 12 16 10 15 11 16 9 15 10 14 11 - 3 x y - 3 x y + 4 x y + x y - 4 x y + x y 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 13 10 + x y + 3 x y - 2 x y - 4 x y - x y + 8 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 + x y + 2 x y - 10 x y - 3 x y - x y + 8 x y + x y 11 10 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 - x y - 4 x y + 3 x y + 4 x y + x y - 2 x y - 9 x y 10 9 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 - 2 x y + 11 x y + 3 x y - 6 x y + 2 x y + x y + x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 - 6 x y - 4 x y - x y + 3 x y + 5 x y + x y - 3 x y 8 6 9 4 8 5 8 4 8 3 7 4 6 5 7 3 + 3 x y + x y - 4 x y + 2 x y - x y + x y + 3 x y - x y 6 4 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 3 3 2 2 2 - 3 x y + x y - x y + 2 x y + x y - x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^21*y^19-6*x^21*y^18+15*x^21*y^17-20*x^21*y^16+15*x^21*y^15-x^19*y^17-6*x^21 *y^14+6*x^19*y^16+x^21*y^13-16*x^19*y^15+x^18*y^16+24*x^19*y^14-4*x^18*y^15-21* x^19*y^13+6*x^18*y^14+x^17*y^15+10*x^19*y^12-4*x^18*y^13-4*x^17*y^14-2*x^19*y^ 11+x^18*y^12+7*x^17*y^13-x^16*y^14-8*x^17*y^12+8*x^16*y^13+4*x^15*y^14+7*x^17*y ^11-20*x^16*y^12-9*x^15*y^13-4*x^17*y^10+22*x^16*y^11+x^14*y^13+x^17*y^9-11*x^ 16*y^10+13*x^15*y^11+x^14*y^12+2*x^16*y^9-9*x^15*y^10-16*x^14*y^11+34*x^14*y^10 -9*x^13*y^11-x^12*y^12+x^15*y^8-30*x^14*y^9+27*x^13*y^10+10*x^12*y^11+11*x^14*y ^8-27*x^13*y^9-29*x^12*y^10-2*x^11*y^11-x^14*y^7+8*x^13*y^8+36*x^12*y^9-2*x^11* y^10+2*x^13*y^7-23*x^12*y^8+16*x^11*y^9+2*x^10*y^10-x^13*y^6+10*x^12*y^7-22*x^ 11*y^8-13*x^10*y^9-3*x^12*y^6+12*x^11*y^7+25*x^10*y^8+2*x^9*y^9-x^11*y^6-21*x^ 10*y^7-3*x^9*y^8-x^11*y^5+8*x^10*y^6+2*x^9*y^7+x^8*y^8-x^10*y^5-x^9*y^6-2*x^8*y ^7-x^9*y^5+3*x^8*y^6+x^7*y^7+x^9*y^4-3*x^8*y^5+6*x^7*y^6-6*x^7*y^5-6*x^6*y^6+x^ 8*y^3-x^7*y^4+13*x^6*y^5+x^7*y^3-8*x^6*y^4-2*x^5*y^5+x^6*y^3+3*x^5*y^4-2*x^5*y^ 3+5*x^4*y^4+x^5*y^2-4*x^4*y^3+3*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^16* y^14-3*x^16*y^13+2*x^16*y^12+x^15*y^13+2*x^16*y^11-3*x^15*y^12-3*x^16*y^10+4*x^ 15*y^11+x^16*y^9-4*x^15*y^10+x^14*y^11+x^13*y^12+3*x^15*y^9-2*x^14*y^10-4*x^13* y^11-x^15*y^8+8*x^13*y^10+x^12*y^11+2*x^14*y^8-10*x^13*y^9-3*x^12*y^10-x^14*y^7 +8*x^13*y^8+x^12*y^9-x^11*y^10-4*x^13*y^7+3*x^12*y^8+4*x^11*y^9+x^13*y^6-2*x^12 *y^7-9*x^11*y^8-2*x^10*y^9+11*x^11*y^7+3*x^10*y^8-6*x^11*y^6+2*x^10*y^7+x^9*y^8 +x^11*y^5-6*x^10*y^6-4*x^9*y^7-x^8*y^8+3*x^10*y^5+5*x^9*y^6+x^8*y^7-3*x^9*y^5+3 *x^8*y^6+x^9*y^4-4*x^8*y^5+2*x^8*y^4-x^8*y^3+x^7*y^4+3*x^6*y^5-x^7*y^3-3*x^6*y^ 4+x^6*y^3-x^5*y^4+2*x^5*y^3+x^4*y^4-x^5*y^2-x^3*y^3+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7774581744 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 28" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [1, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 25 20 24 21 25 19 24 20 ) | ) C(m, n) x y | = (x y + x y - 9 x y - 9 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 21 25 18 24 19 23 20 25 17 24 18 - x y + 35 x y + 36 x y + 10 x y - 78 x y - 88 x y 23 19 22 20 25 16 24 17 23 18 - 45 x y - 2 x y + 111 x y + 152 x y + 119 x y 22 19 25 15 24 16 23 17 22 18 + 18 x y - 106 x y - 199 x y - 206 x y - 71 x y 21 19 25 14 24 15 23 16 22 17 - 2 x y + 69 x y + 200 x y + 248 x y + 160 x y 21 18 20 19 25 13 24 14 23 15 + 16 x y + x y - 30 x y - 151 x y - 215 x y 22 16 21 17 20 18 25 12 24 13 - 229 x y - 57 x y - 6 x y + 8 x y + 83 x y 23 14 22 15 21 16 20 17 19 18 + 135 x y + 223 x y + 111 x y + 14 x y + 2 x y 25 11 24 12 23 13 22 14 21 15 - x y - 32 x y - 59 x y - 158 x y - 120 x y 20 16 19 17 24 11 23 12 22 13 - 18 x y - 6 x y + 8 x y + 16 x y + 86 x y 21 14 20 15 19 16 18 17 24 10 23 11 + 62 x y + 16 x y - x y + 4 x y - x y - 2 x y 22 12 21 13 20 14 19 15 18 16 22 11 - 35 x y - x y - 4 x y + 28 x y - 9 x y + 9 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 17 16 22 10 - 13 x y - 20 x y - 49 x y - 8 x y + 5 x y - x y 21 11 20 12 19 13 18 14 17 15 16 16 + 4 x y + 29 x y + 37 x y + 44 x y - 17 x y - x y 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 - 9 x y - 13 x y - 52 x y + 17 x y + 8 x y - 8 x y 19 11 18 12 16 14 15 15 20 9 19 10 + x y + 22 x y - 26 x y - 3 x y + 6 x y + 7 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 20 8 19 9 + 2 x y - 3 x y + 40 x y + 15 x y - x y - 11 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 19 8 - 3 x y - 8 x y - 26 x y - 33 x y - 4 x y + 6 x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 19 7 + x y + 3 x y + 5 x y + 38 x y + 17 x y - x y 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 - 2 x y + 7 x y - 3 x y - 10 x y - 29 x y - 5 x y 18 7 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 + x y - 3 x y - 6 x y - 25 x y + 22 x y + 11 x y 17 7 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 - 2 x y + 21 x y + 18 x y + 2 x y - 12 x y - 3 x y 17 6 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11 + x y - 15 x y + 6 x y - 22 x y + 9 x y - 6 x y 16 6 15 7 14 8 12 10 11 11 14 7 + 3 x y - 6 x y + 21 x y + 19 x y + x y - 8 x y 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 - 5 x y - 10 x y - 16 x y + 2 x y + 5 x y + 5 x y 11 9 10 10 14 5 13 6 12 7 11 8 + 34 x y + 7 x y - x y - 6 x y - 7 x y - 29 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 13 4 - 21 x y + 4 x y + x y + 18 x y + 27 x y + 8 x y - x y 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 + x y - 12 x y - 25 x y - 22 x y + 6 x y + 17 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 + 24 x y + 7 x y - 3 x y - 7 x y - 22 x y - 18 x y + x y 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 8 5 7 6 + 3 x y + 13 x y + 16 x y + 6 x y - x y - 11 x y - 5 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 8 2 - x y + 7 x y + x y + 5 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y + x y 7 3 6 4 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 + x y - 3 x y - x y + 5 x y - x y - 3 x y - 6 x y - x y 4 3 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 + 6 x y - x y - 3 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x / 26 18 25 19 26 17 25 18 24 19 26 16 - 1) / (x y + x y - 6 x y - 6 x y - x y + 15 x y / 25 17 24 18 26 15 25 16 24 17 23 18 + 16 x y + 7 x y - 20 x y - 26 x y - 20 x y - x y 26 14 25 15 24 16 23 17 22 18 26 13 + 15 x y + 30 x y + 30 x y + 8 x y + x y - 6 x y 25 14 24 15 23 16 22 17 21 18 26 12 - 26 x y - 25 x y - 25 x y - 5 x y - x y + x y 25 13 24 14 23 15 22 16 21 17 20 18 + 16 x y + 11 x y + 40 x y + 12 x y + 6 x y - x y 25 12 24 13 23 14 22 15 21 16 20 17 - 6 x y - 2 x y - 35 x y - 18 x y - 13 x y + 2 x y 25 11 23 13 22 14 21 15 20 16 19 17 + x y + 16 x y + 15 x y + 9 x y + x y - 2 x y 23 12 22 13 21 14 20 15 19 16 22 12 - 3 x y - x y + 9 x y - 3 x y + 6 x y - 10 x y 21 13 20 14 19 15 18 16 22 11 21 12 - 22 x y - 4 x y - 6 x y - x y + 8 x y + 21 x y 20 13 19 14 18 15 17 16 22 10 21 11 + 10 x y + 5 x y + 4 x y + x y - 2 x y - 15 x y 20 12 19 13 18 14 17 15 21 10 20 11 - 4 x y - 12 x y - 5 x y - 4 x y + 8 x y - 3 x y 19 12 17 14 16 15 21 9 20 10 19 11 + 18 x y + 6 x y + x y - 2 x y + x y - 12 x y 18 12 17 13 16 14 20 9 19 10 18 11 + 5 x y - x y - 4 x y + 2 x y + 4 x y - 6 x y 17 12 16 13 15 14 20 8 19 9 18 10 - 11 x y + 5 x y + x y - x y - 3 x y + 7 x y 17 11 16 12 15 13 19 8 18 9 17 10 + 13 x y - x y - x y + 3 x y - 6 x y + 3 x y 16 11 15 12 14 13 19 7 18 8 17 9 - 3 x y - 3 x y + x y - x y + 2 x y - 13 x y 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 + 3 x y + 6 x y + 3 x y + 8 x y - 2 x y - 3 x y 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 14 10 - 8 x y + x y - 3 x y + 5 x y - 2 x y + 5 x y 13 11 17 6 16 7 15 8 14 9 13 10 + 2 x y + x y - 7 x y + 5 x y - 3 x y - 3 x y 12 11 16 6 15 7 13 9 15 6 14 7 - x y + 3 x y - 5 x y - 5 x y + 2 x y + 4 x y 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 + 7 x y + 8 x y - 2 x y - 2 x y - 3 x y - 11 x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 13 5 11 7 + x y - x y + 3 x y + 5 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y 10 8 13 4 12 5 11 6 10 7 12 4 11 5 - 3 x y - x y + 2 x y + 2 x y + 7 x y - x y - 2 x y 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 - 3 x y - 3 x y - x y - x y - 4 x y + 5 x y - x y 11 3 10 4 9 5 8 6 10 3 8 5 7 6 9 3 + x y + 3 x y - x y - x y - x y + x y - 2 x y - x y 8 4 8 3 7 4 8 2 7 3 6 4 5 5 6 3 + x y - x y - x y + x y + 2 x y + x y + 2 x y - x y 5 4 5 3 5 2 4 3 4 2 3 3 3 - x y + x y - x y - 2 x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^25*y^20+x^24*y^21-9*x^25*y^19-9*x^24*y^20-x^23*y^21+35*x^25*y^18+36*x^24*y^ 19+10*x^23*y^20-78*x^25*y^17-88*x^24*y^18-45*x^23*y^19-2*x^22*y^20+111*x^25*y^ 16+152*x^24*y^17+119*x^23*y^18+18*x^22*y^19-106*x^25*y^15-199*x^24*y^16-206*x^ 23*y^17-71*x^22*y^18-2*x^21*y^19+69*x^25*y^14+200*x^24*y^15+248*x^23*y^16+160*x ^22*y^17+16*x^21*y^18+x^20*y^19-30*x^25*y^13-151*x^24*y^14-215*x^23*y^15-229*x^ 22*y^16-57*x^21*y^17-6*x^20*y^18+8*x^25*y^12+83*x^24*y^13+135*x^23*y^14+223*x^ 22*y^15+111*x^21*y^16+14*x^20*y^17+2*x^19*y^18-x^25*y^11-32*x^24*y^12-59*x^23*y ^13-158*x^22*y^14-120*x^21*y^15-18*x^20*y^16-6*x^19*y^17+8*x^24*y^11+16*x^23*y^ 12+86*x^22*y^13+62*x^21*y^14+16*x^20*y^15-x^19*y^16+4*x^18*y^17-x^24*y^10-2*x^ 23*y^11-35*x^22*y^12-x^21*y^13-4*x^20*y^14+28*x^19*y^15-9*x^18*y^16+9*x^22*y^11 -13*x^21*y^12-20*x^20*y^13-49*x^19*y^14-8*x^18*y^15+5*x^17*y^16-x^22*y^10+4*x^ 21*y^11+29*x^20*y^12+37*x^19*y^13+44*x^18*y^14-17*x^17*y^15-x^16*y^16-9*x^20*y^ 11-13*x^19*y^12-52*x^18*y^13+17*x^17*y^14+8*x^16*y^15-8*x^20*y^10+x^19*y^11+22* x^18*y^12-26*x^16*y^14-3*x^15*y^15+6*x^20*y^9+7*x^19*y^10+2*x^18*y^11-3*x^17*y^ 12+40*x^16*y^13+15*x^15*y^14-x^20*y^8-11*x^19*y^9-3*x^18*y^10-8*x^17*y^11-26*x^ 16*y^12-33*x^15*y^13-4*x^14*y^14+6*x^19*y^8+x^18*y^9+3*x^17*y^10+5*x^16*y^11+38 *x^15*y^12+17*x^14*y^13-x^19*y^7-2*x^18*y^8+7*x^17*y^9-3*x^16*y^10-10*x^15*y^11 -29*x^14*y^12-5*x^13*y^13+x^18*y^7-3*x^17*y^8-6*x^16*y^9-25*x^15*y^10+22*x^14*y ^11+11*x^13*y^12-2*x^17*y^7+21*x^16*y^8+18*x^15*y^9+2*x^14*y^10-12*x^13*y^11-3* x^12*y^12+x^17*y^6-15*x^16*y^7+6*x^15*y^8-22*x^14*y^9+9*x^13*y^10-6*x^12*y^11+3 *x^16*y^6-6*x^15*y^7+21*x^14*y^8+19*x^12*y^10+x^11*y^11-8*x^14*y^7-5*x^13*y^8-\ 10*x^12*y^9-16*x^11*y^10+2*x^14*y^6+5*x^13*y^7+5*x^12*y^8+34*x^11*y^9+7*x^10*y^ 10-x^14*y^5-6*x^13*y^6-7*x^12*y^7-29*x^11*y^8-21*x^10*y^9+4*x^13*y^5+x^12*y^6+ 18*x^11*y^7+27*x^10*y^8+8*x^9*y^9-x^13*y^4+x^12*y^5-12*x^11*y^6-25*x^10*y^7-22* x^9*y^8+6*x^11*y^5+17*x^10*y^6+24*x^9*y^7+7*x^8*y^8-3*x^11*y^4-7*x^10*y^5-22*x^ 9*y^6-18*x^8*y^7+x^11*y^3+3*x^10*y^4+13*x^9*y^5+16*x^8*y^6+6*x^7*y^7-x^10*y^3-\ 11*x^8*y^5-5*x^7*y^6-x^9*y^3+7*x^8*y^4+x^7*y^5+5*x^6*y^6-2*x^8*y^3-2*x^7*y^4+2* x^6*y^5+x^8*y^2+x^7*y^3-3*x^6*y^4-x^6*y^3+5*x^5*y^4-x^6*y^2-3*x^5*y^3-6*x^4*y^4 -x^5*y^2+6*x^4*y^3-x^4*y^2-3*x^3*y^3+4*x^3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1) /(x^26*y^18+x^25*y^19-6*x^26*y^17-6*x^25*y^18-x^24*y^19+15*x^26*y^16+16*x^25*y^ 17+7*x^24*y^18-20*x^26*y^15-26*x^25*y^16-20*x^24*y^17-x^23*y^18+15*x^26*y^14+30 *x^25*y^15+30*x^24*y^16+8*x^23*y^17+x^22*y^18-6*x^26*y^13-26*x^25*y^14-25*x^24* y^15-25*x^23*y^16-5*x^22*y^17-x^21*y^18+x^26*y^12+16*x^25*y^13+11*x^24*y^14+40* x^23*y^15+12*x^22*y^16+6*x^21*y^17-x^20*y^18-6*x^25*y^12-2*x^24*y^13-35*x^23*y^ 14-18*x^22*y^15-13*x^21*y^16+2*x^20*y^17+x^25*y^11+16*x^23*y^13+15*x^22*y^14+9* x^21*y^15+x^20*y^16-2*x^19*y^17-3*x^23*y^12-x^22*y^13+9*x^21*y^14-3*x^20*y^15+6 *x^19*y^16-10*x^22*y^12-22*x^21*y^13-4*x^20*y^14-6*x^19*y^15-x^18*y^16+8*x^22*y ^11+21*x^21*y^12+10*x^20*y^13+5*x^19*y^14+4*x^18*y^15+x^17*y^16-2*x^22*y^10-15* x^21*y^11-4*x^20*y^12-12*x^19*y^13-5*x^18*y^14-4*x^17*y^15+8*x^21*y^10-3*x^20*y ^11+18*x^19*y^12+6*x^17*y^14+x^16*y^15-2*x^21*y^9+x^20*y^10-12*x^19*y^11+5*x^18 *y^12-x^17*y^13-4*x^16*y^14+2*x^20*y^9+4*x^19*y^10-6*x^18*y^11-11*x^17*y^12+5*x ^16*y^13+x^15*y^14-x^20*y^8-3*x^19*y^9+7*x^18*y^10+13*x^17*y^11-x^16*y^12-x^15* y^13+3*x^19*y^8-6*x^18*y^9+3*x^17*y^10-3*x^16*y^11-3*x^15*y^12+x^14*y^13-x^19*y ^7+2*x^18*y^8-13*x^17*y^9+3*x^16*y^10+6*x^15*y^11+3*x^14*y^12+8*x^17*y^8-2*x^16 *y^9-3*x^15*y^10-8*x^14*y^11+x^13*y^12-3*x^17*y^7+5*x^16*y^8-2*x^15*y^9+5*x^14* y^10+2*x^13*y^11+x^17*y^6-7*x^16*y^7+5*x^15*y^8-3*x^14*y^9-3*x^13*y^10-x^12*y^ 11+3*x^16*y^6-5*x^15*y^7-5*x^13*y^9+2*x^15*y^6+4*x^14*y^7+7*x^13*y^8+8*x^12*y^9 -2*x^11*y^10-2*x^14*y^6-3*x^13*y^7-11*x^12*y^8+x^11*y^9-x^10*y^10+3*x^12*y^7+5* x^11*y^8+2*x^10*y^9+2*x^13*y^5-4*x^11*y^7-3*x^10*y^8-x^13*y^4+2*x^12*y^5+2*x^11 *y^6+7*x^10*y^7-x^12*y^4-2*x^11*y^5-3*x^10*y^6-3*x^9*y^7-x^8*y^8-x^11*y^4-4*x^ 10*y^5+5*x^9*y^6-x^8*y^7+x^11*y^3+3*x^10*y^4-x^9*y^5-x^8*y^6-x^10*y^3+x^8*y^5-2 *x^7*y^6-x^9*y^3+x^8*y^4-x^8*y^3-x^7*y^4+x^8*y^2+2*x^7*y^3+x^6*y^4+2*x^5*y^5-x^ 6*y^3-x^5*y^4+x^5*y^3-x^5*y^2-2*x^4*y^3+x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 7 6 5 4 2 2 (a - 1) (a + 1) (a + 2 a - 6 a - 5 a + 2 a + 7 a - a - 1) ------------------------------------------------------------------- 7 6 4 3 7 6 5 4 (8 a + 7 a - 5 a + 4 a - 2) (a + 2 a + a - a - 1) 8 7 5 4 where a is the root of the polynomial, x + x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7763603950 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7760879359 ------------------------------------------------ "Theorem Number 29" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 16 18 15 18 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 15 18 13 17 14 18 12 17 13 18 11 + x y - 10 x y - 7 x y + 5 x y + 19 x y - x y 17 12 16 13 15 14 17 11 16 12 15 13 - 26 x y - x y - 2 x y + 19 x y + 4 x y + 8 x y 17 10 16 11 15 12 17 9 16 10 15 11 - 7 x y - 6 x y - 14 x y + x y + 4 x y + 16 x y 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 + 4 x y + x y - x y - 15 x y - 20 x y - 2 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 + 11 x y + 39 x y - 2 x y + 2 x y - 5 x y - 37 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 5 x y - 6 x y + x y + 17 x y + 2 x y + 7 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 + x y - 3 x y - 7 x y - 5 x y - 5 x y + 3 x y 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 + 4 x y + 8 x y + x y - 3 x y - 6 x y + 2 x y + x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 + 4 x y - 9 x y + 6 x y - 3 x y + 10 x y - 12 x y + x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - 4 x y + 5 x y + 4 x y - x y + 6 x y - 8 x y + x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 8 4 7 5 - 7 x y + 7 x y - x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y - x y 6 6 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 + 2 x y + x y + x y - 3 x y - 2 x y + x y + 2 x y - 3 x y 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 - 5 x y + x y + 2 x y + x y - 3 x y + x y - x y - x y - 1) / 11 10 11 9 11 8 11 7 10 8 11 6 10 7 / (x y - 2 x y - x y + 5 x y - x y - 4 x y + 3 x y / 11 5 10 6 10 5 10 4 7 7 7 6 8 4 7 5 + x y - 4 x y + 3 x y - x y + x y + x y + x y - 3 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 + x y - x y + 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y - x y 5 4 4 4 5 2 4 2 3 3 3 2 2 2 + x y - x y - x y - x y + x y - x y - x y - x y + 1) and in Maple notation -(x^18*y^16-5*x^18*y^15+10*x^18*y^14+x^17*y^15-10*x^18*y^13-7*x^17*y^14+5*x^18* y^12+19*x^17*y^13-x^18*y^11-26*x^17*y^12-x^16*y^13-2*x^15*y^14+19*x^17*y^11+4*x ^16*y^12+8*x^15*y^13-7*x^17*y^10-6*x^16*y^11-14*x^15*y^12+x^17*y^9+4*x^16*y^10+ 16*x^15*y^11+4*x^14*y^12+x^13*y^13-x^16*y^9-15*x^15*y^10-20*x^14*y^11-2*x^13*y^ 12+11*x^15*y^9+39*x^14*y^10-2*x^13*y^11+2*x^12*y^12-5*x^15*y^8-37*x^14*y^9+5*x^ 13*y^10-6*x^12*y^11+x^15*y^7+17*x^14*y^8+2*x^13*y^9+7*x^12*y^10+x^11*y^11-3*x^ 14*y^7-7*x^13*y^8-5*x^12*y^9-5*x^11*y^10+3*x^13*y^7+4*x^12*y^8+8*x^11*y^9+x^10* y^10-3*x^12*y^7-6*x^11*y^8+2*x^10*y^9+x^12*y^6+4*x^11*y^7-9*x^10*y^8+6*x^9*y^9-\ 3*x^11*y^6+10*x^10*y^7-12*x^9*y^8+x^11*y^5-4*x^10*y^6+5*x^9*y^7+4*x^8*y^8-x^10* y^5+6*x^9*y^6-8*x^8*y^7+x^10*y^4-7*x^9*y^5+7*x^8*y^6-x^7*y^7+2*x^9*y^4-2*x^8*y^ 5-2*x^8*y^4-x^7*y^5+2*x^6*y^6+x^8*y^3+x^7*y^4-3*x^6*y^5-2*x^6*y^4+x^5*y^5+2*x^6 *y^3-3*x^5*y^4-5*x^4*y^4+x^5*y^2+2*x^4*y^3+x^4*y^2-3*x^3*y^3+x^3*y^2-x^2*y^2-x* y-1)/(x^11*y^10-2*x^11*y^9-x^11*y^8+5*x^11*y^7-x^10*y^8-4*x^11*y^6+3*x^10*y^7+x ^11*y^5-4*x^10*y^6+3*x^10*y^5-x^10*y^4+x^7*y^7+x^7*y^6+x^8*y^4-3*x^7*y^5+x^6*y^ 6-x^8*y^3+2*x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^6*y^4-x^5*y^5-x^6*y^3+x^5*y^4-x^4*y^4 -x^5*y^2-x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y^2-x^2*y^2-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7671692762 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 30" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 16 18 15 18 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 15 18 13 17 14 18 12 17 13 18 11 + x y - 10 x y - 7 x y + 5 x y + 19 x y - x y 17 12 16 13 15 14 17 11 16 12 15 13 - 26 x y - x y - 2 x y + 19 x y + 4 x y + 8 x y 17 10 16 11 15 12 17 9 16 10 15 11 - 7 x y - 6 x y - 14 x y + x y + 4 x y + 16 x y 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 + 4 x y + x y - x y - 15 x y - 20 x y - 2 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 + 11 x y + 39 x y - 2 x y + 2 x y - 5 x y - 37 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 5 x y - 6 x y + x y + 17 x y + 2 x y + 7 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 + x y - 3 x y - 7 x y - 5 x y - 5 x y + 3 x y 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 + 4 x y + 8 x y + x y - 3 x y - 6 x y + 2 x y + x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 + 4 x y - 9 x y + 6 x y - 3 x y + 10 x y - 12 x y + x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - 4 x y + 5 x y + 4 x y - x y + 6 x y - 8 x y + x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 8 4 7 5 - 7 x y + 7 x y - x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y - x y 6 6 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 + 2 x y + x y + x y - 3 x y - 2 x y + x y + 2 x y - 3 x y 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 - 5 x y + x y + 2 x y + x y - 3 x y + x y - x y - x y - 1) / 11 10 11 9 11 8 11 7 10 8 11 6 10 7 / (x y - 2 x y - x y + 5 x y - x y - 4 x y + 3 x y / 11 5 10 6 10 5 10 4 7 7 7 6 8 4 7 5 + x y - 4 x y + 3 x y - x y + x y + x y + x y - 3 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 + x y - x y + 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y - x y 5 4 4 4 5 2 4 2 3 3 3 2 2 2 + x y - x y - x y - x y + x y - x y - x y - x y + 1) and in Maple notation -(x^18*y^16-5*x^18*y^15+10*x^18*y^14+x^17*y^15-10*x^18*y^13-7*x^17*y^14+5*x^18* y^12+19*x^17*y^13-x^18*y^11-26*x^17*y^12-x^16*y^13-2*x^15*y^14+19*x^17*y^11+4*x ^16*y^12+8*x^15*y^13-7*x^17*y^10-6*x^16*y^11-14*x^15*y^12+x^17*y^9+4*x^16*y^10+ 16*x^15*y^11+4*x^14*y^12+x^13*y^13-x^16*y^9-15*x^15*y^10-20*x^14*y^11-2*x^13*y^ 12+11*x^15*y^9+39*x^14*y^10-2*x^13*y^11+2*x^12*y^12-5*x^15*y^8-37*x^14*y^9+5*x^ 13*y^10-6*x^12*y^11+x^15*y^7+17*x^14*y^8+2*x^13*y^9+7*x^12*y^10+x^11*y^11-3*x^ 14*y^7-7*x^13*y^8-5*x^12*y^9-5*x^11*y^10+3*x^13*y^7+4*x^12*y^8+8*x^11*y^9+x^10* y^10-3*x^12*y^7-6*x^11*y^8+2*x^10*y^9+x^12*y^6+4*x^11*y^7-9*x^10*y^8+6*x^9*y^9-\ 3*x^11*y^6+10*x^10*y^7-12*x^9*y^8+x^11*y^5-4*x^10*y^6+5*x^9*y^7+4*x^8*y^8-x^10* y^5+6*x^9*y^6-8*x^8*y^7+x^10*y^4-7*x^9*y^5+7*x^8*y^6-x^7*y^7+2*x^9*y^4-2*x^8*y^ 5-2*x^8*y^4-x^7*y^5+2*x^6*y^6+x^8*y^3+x^7*y^4-3*x^6*y^5-2*x^6*y^4+x^5*y^5+2*x^6 *y^3-3*x^5*y^4-5*x^4*y^4+x^5*y^2+2*x^4*y^3+x^4*y^2-3*x^3*y^3+x^3*y^2-x^2*y^2-x* y-1)/(x^11*y^10-2*x^11*y^9-x^11*y^8+5*x^11*y^7-x^10*y^8-4*x^11*y^6+3*x^10*y^7+x ^11*y^5-4*x^10*y^6+3*x^10*y^5-x^10*y^4+x^7*y^7+x^7*y^6+x^8*y^4-3*x^7*y^5+x^6*y^ 6-x^8*y^3+2*x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^6*y^4-x^5*y^5-x^6*y^3+x^5*y^4-x^4*y^4 -x^5*y^2-x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y^2-x^2*y^2-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7671692762 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 31" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 18 20 17 20 16 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 15 19 16 18 17 20 14 19 15 18 16 - 10 x y + 2 x y - 2 x y + 5 x y - 11 x y + 10 x y 20 13 19 14 18 15 17 16 19 13 18 14 - x y + 24 x y - 23 x y - x y - 26 x y + 33 x y 17 15 19 12 18 13 17 14 16 15 19 11 + 3 x y + 14 x y - 32 x y + 6 x y - 2 x y - 3 x y 18 12 17 13 16 14 18 11 17 12 + 20 x y - 35 x y + 13 x y - 7 x y + 55 x y 16 13 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 - 32 x y - 6 x y + x y - 39 x y + 38 x y + 15 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 + 12 x y - 22 x y - 4 x y - 4 x y - x y + 5 x y 15 11 14 12 13 13 15 10 14 11 - 21 x y + 14 x y + 2 x y + 27 x y - 18 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 - 3 x y - 14 x y + 10 x y + 2 x y + 3 x y - x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 - 2 x y - 3 x y - 2 x y - 3 x y + 6 x y + 2 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + x y + 7 x y - x y - 8 x y - 3 x y - 5 x y + 14 x y 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 5 x y + 4 x y - 17 x y - x y - x y + 13 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 13 x y + 6 x y - 3 x y + 11 x y - 8 x y - x y - x y 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 + 4 x y - x y - 4 x y - 6 x y + 2 x y + 9 x y + 2 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 5 7 3 6 4 6 3 - 5 x y - 3 x y + x y - x y - 4 x y + x y + x y + x y 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 - 5 x y + 3 x y - 6 x y + 2 x y + x y - 3 x y + x y 2 2 / 14 12 14 11 13 12 14 10 - 2 x y - x y - 1) / (x y - 3 x y + x y + 3 x y / 13 11 14 9 13 10 13 9 12 10 13 8 - 3 x y - x y + 5 x y - 7 x y + 2 x y + 6 x y 12 9 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 - 8 x y - 2 x y + 11 x y - 2 x y - 6 x y + 5 x y 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 + x y - 5 x y - x y + 3 x y + x y - x y - x y + x y 9 7 8 8 10 5 9 6 9 5 8 5 7 6 8 4 + 2 x y - x y - x y - 2 x y + x y + 2 x y - x y - x y 7 5 7 4 7 3 6 3 5 4 5 3 4 2 3 3 3 2 + 2 x y - x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation (x^20*y^18-5*x^20*y^17+10*x^20*y^16-10*x^20*y^15+2*x^19*y^16-2*x^18*y^17+5*x^20 *y^14-11*x^19*y^15+10*x^18*y^16-x^20*y^13+24*x^19*y^14-23*x^18*y^15-x^17*y^16-\ 26*x^19*y^13+33*x^18*y^14+3*x^17*y^15+14*x^19*y^12-32*x^18*y^13+6*x^17*y^14-2*x ^16*y^15-3*x^19*y^11+20*x^18*y^12-35*x^17*y^13+13*x^16*y^14-7*x^18*y^11+55*x^17 *y^12-32*x^16*y^13-6*x^15*y^14+x^18*y^10-39*x^17*y^11+38*x^16*y^12+15*x^15*y^13 +12*x^17*y^10-22*x^16*y^11-4*x^15*y^12-4*x^14*y^13-x^17*y^9+5*x^16*y^10-21*x^15 *y^11+14*x^14*y^12+2*x^13*y^13+27*x^15*y^10-18*x^14*y^11-3*x^13*y^12-14*x^15*y^ 9+10*x^14*y^10+2*x^13*y^11+3*x^15*y^8-x^14*y^9-2*x^13*y^10-3*x^12*y^11-2*x^14*y ^8-3*x^13*y^9+6*x^12*y^10+2*x^11*y^11+x^14*y^7+7*x^13*y^8-x^12*y^9-8*x^11*y^10-\ 3*x^13*y^7-5*x^12*y^8+14*x^11*y^9+5*x^10*y^10+4*x^12*y^7-17*x^11*y^8-x^10*y^9-x ^12*y^6+13*x^11*y^7-13*x^10*y^8+6*x^9*y^9-3*x^11*y^6+11*x^10*y^7-8*x^9*y^8-x^11 *y^5-x^10*y^6+4*x^9*y^7-x^10*y^5-4*x^9*y^6-6*x^8*y^7+2*x^9*y^5+9*x^8*y^6+2*x^7* y^7-5*x^8*y^5-3*x^7*y^6+x^8*y^4-x^7*y^5-4*x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4+x^6*y^3-5*x^5 *y^4+3*x^5*y^3-6*x^4*y^4+2*x^4*y^3+x^4*y^2-3*x^3*y^3+x^3*y^2-2*x^2*y^2-x*y-1)/( x^14*y^12-3*x^14*y^11+x^13*y^12+3*x^14*y^10-3*x^13*y^11-x^14*y^9+5*x^13*y^10-7* x^13*y^9+2*x^12*y^10+6*x^13*y^8-8*x^12*y^9-2*x^13*y^7+11*x^12*y^8-2*x^11*y^9-6* x^12*y^7+5*x^11*y^8+x^12*y^6-5*x^11*y^7-x^10*y^8+3*x^11*y^6+x^10*y^7-x^9*y^8-x^ 11*y^5+x^10*y^6+2*x^9*y^7-x^8*y^8-x^10*y^5-2*x^9*y^6+x^9*y^5+2*x^8*y^5-x^7*y^6- x^8*y^4+2*x^7*y^5-x^7*y^4+x^7*y^3+x^6*y^3+x^5*y^4+x^5*y^3+x^4*y^2+x^3*y^3+x^3*y ^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 15 13 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a + 2 a - 2 a 12 11 10 9 8 7 6 5 4 - 9 a - 12 a - 22 a - 18 a - 24 a - 8 a - 7 a + 4 a + 4 a 3 2 / 6 5 4 3 2 + 8 a + 5 a + 2 a + 1) / ((7 a + 6 a + 10 a + 4 a + 6 a + 1) / 8 7 6 5 4 3 2 (a + a + 2 a + 2 a + 3 a + 2 a + 2 a + a + 1)) 7 6 5 4 3 where a is the root of the polynomial, x + x + 2 x + x + 2 x + x - 1, and in decimals this is, 0.7663458152 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7664562846 ------------------------------------------------ "Theorem Number 32" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 19 16 19 15 18 16 19 14 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y - x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 18 15 19 13 18 14 17 15 19 12 17 14 + 4 x y - 20 x y - 5 x y + x y + 15 x y - 4 x y 19 11 18 12 17 13 19 10 18 11 16 13 - 6 x y + 5 x y + 5 x y + x y - 4 x y - x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 17 10 + x y - 5 x y + 4 x y - 2 x y - x y + 4 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 - 6 x y + 10 x y + 3 x y - x y + 4 x y - 20 x y 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 15 9 - 3 x y - x y + 20 x y + 5 x y + x y - 10 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - 15 x y - 3 x y - x y + 2 x y + 21 x y + 6 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 + 4 x y - 13 x y - 13 x y - 7 x y + 3 x y + 18 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 + 10 x y + x y - 12 x y - 14 x y - 4 x y - x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 3 x y + 13 x y + 9 x y + 2 x y - 6 x y - 12 x y 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 + x y + x y + 8 x y - 3 x y + x y - 2 x y - x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 - 3 x y + x y + 3 x y + 2 x y - 5 x y - x y + x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 + 5 x y - 2 x y - x y + x y - x y - 2 x y + 8 x y - 4 x y 7 4 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 - 5 x y + 4 x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y + x y + x y 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 - 6 x y + 3 x y + 2 x y - 4 x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y / 14 11 14 10 14 9 14 8 13 9 - x y - 1) / (2 x y - 7 x y + 9 x y - 5 x y - 2 x y / 14 7 13 8 13 7 13 6 12 7 11 8 12 6 + x y + 6 x y - 6 x y + 2 x y + x y + x y - 2 x y 11 7 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 - 2 x y - x y + x y + x y - x y + 2 x y + x y - x y 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 - x y + x y - 2 x y + 3 x y - x y + 4 x y - 3 x y 9 4 8 5 8 4 7 5 6 6 6 5 6 3 5 4 - 2 x y + 2 x y - x y - x y - x y + x y - x y + x y 5 3 4 4 4 3 3 2 - x y + 2 x y - x y + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation (x^19*y^16-6*x^19*y^15-x^18*y^16+15*x^19*y^14+4*x^18*y^15-20*x^19*y^13-5*x^18*y ^14+x^17*y^15+15*x^19*y^12-4*x^17*y^14-6*x^19*y^11+5*x^18*y^12+5*x^17*y^13+x^19 *y^10-4*x^18*y^11-x^16*y^13+x^18*y^10-5*x^17*y^11+4*x^16*y^12-2*x^15*y^13-x^14* y^14+4*x^17*y^10-6*x^16*y^11+10*x^15*y^12+3*x^14*y^13-x^17*y^9+4*x^16*y^10-20*x ^15*y^11-3*x^14*y^12-x^16*y^9+20*x^15*y^10+5*x^14*y^11+x^13*y^12-10*x^15*y^9-15 *x^14*y^10-3*x^13*y^11-x^12*y^12+2*x^15*y^8+21*x^14*y^9+6*x^13*y^10+4*x^12*y^11 -13*x^14*y^8-13*x^13*y^9-7*x^12*y^10+3*x^14*y^7+18*x^13*y^8+10*x^12*y^9+x^11*y^ 10-12*x^13*y^7-14*x^12*y^8-4*x^11*y^9-x^10*y^10+3*x^13*y^6+13*x^12*y^7+9*x^11*y ^8+2*x^10*y^9-6*x^12*y^6-12*x^11*y^7+x^10*y^8+x^12*y^5+8*x^11*y^6-3*x^10*y^7+x^ 9*y^8-2*x^11*y^5-x^10*y^6-3*x^9*y^7+x^8*y^8+3*x^10*y^5+2*x^9*y^6-5*x^8*y^7-x^10 *y^4+x^9*y^5+5*x^8*y^6-2*x^7*y^7-x^9*y^4+x^8*y^5-x^7*y^6-2*x^8*y^4+8*x^7*y^5-4* x^6*y^6-5*x^7*y^4+4*x^6*y^5+2*x^6*y^4-2*x^5*y^5-2*x^6*y^3+x^5*y^4+x^5*y^3-6*x^4 *y^4+3*x^4*y^3+2*x^4*y^2-4*x^3*y^3+2*x^3*y^2+x^3*y-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y-1)/(2*x^ 14*y^11-7*x^14*y^10+9*x^14*y^9-5*x^14*y^8-2*x^13*y^9+x^14*y^7+6*x^13*y^8-6*x^13 *y^7+2*x^13*y^6+x^12*y^7+x^11*y^8-2*x^12*y^6-2*x^11*y^7-x^9*y^9+x^12*y^5+x^11*y ^6-x^10*y^7+2*x^9*y^8+x^10*y^6-x^9*y^7-x^8*y^8+x^10*y^5-2*x^9*y^6+3*x^8*y^7-x^ 10*y^4+4*x^9*y^5-3*x^8*y^6-2*x^9*y^4+2*x^8*y^5-x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^6+x^6*y^5- x^6*y^3+x^5*y^4-x^5*y^3+2*x^4*y^4-x^4*y^3+x^3*y+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 12 11 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (a + 3 a 10 9 8 7 6 5 4 3 2 + 5 a + 4 a - a - 7 a - 12 a - 9 a - 5 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) / 6 5 3 2 4 3 2 / ((7 a + 6 a - 4 a - 3 a - 2 a - 1) (a + a + a + a + 1)) / 7 6 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - x - x - x - x + 1, and in decimals this is, 0.7653631460 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7655447709 ------------------------------------------------ "Theorem Number 33" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 19 16 19 15 18 16 19 14 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y - x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 18 15 19 13 18 14 17 15 19 12 17 14 + 4 x y - 20 x y - 5 x y + x y + 15 x y - 4 x y 19 11 18 12 17 13 19 10 18 11 16 13 - 6 x y + 5 x y + 5 x y + x y - 4 x y - x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 17 10 + x y - 5 x y + 4 x y - 2 x y - x y + 4 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 - 6 x y + 10 x y + 3 x y - x y + 4 x y - 20 x y 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 15 9 - 3 x y - x y + 20 x y + 5 x y + x y - 10 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - 15 x y - 3 x y - x y + 2 x y + 21 x y + 6 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 + 4 x y - 13 x y - 13 x y - 7 x y + 3 x y + 18 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 + 10 x y + x y - 12 x y - 14 x y - 4 x y - x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 3 x y + 13 x y + 9 x y + 2 x y - 6 x y - 12 x y 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 + x y + x y + 8 x y - 3 x y + x y - 2 x y - x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 - 3 x y + x y + 3 x y + 2 x y - 5 x y - x y + x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 + 5 x y - 2 x y - x y + x y - x y - 2 x y + 8 x y - 4 x y 7 4 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 - 5 x y + 4 x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y + x y + x y 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 - 6 x y + 3 x y + 2 x y - 4 x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y / 14 11 14 10 14 9 14 8 13 9 - x y - 1) / (2 x y - 7 x y + 9 x y - 5 x y - 2 x y / 14 7 13 8 13 7 13 6 12 7 11 8 12 6 + x y + 6 x y - 6 x y + 2 x y + x y + x y - 2 x y 11 7 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 - 2 x y - x y + x y + x y - x y + 2 x y + x y - x y 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 - x y + x y - 2 x y + 3 x y - x y + 4 x y - 3 x y 9 4 8 5 8 4 7 5 6 6 6 5 6 3 5 4 - 2 x y + 2 x y - x y - x y - x y + x y - x y + x y 5 3 4 4 4 3 3 2 - x y + 2 x y - x y + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation (x^19*y^16-6*x^19*y^15-x^18*y^16+15*x^19*y^14+4*x^18*y^15-20*x^19*y^13-5*x^18*y ^14+x^17*y^15+15*x^19*y^12-4*x^17*y^14-6*x^19*y^11+5*x^18*y^12+5*x^17*y^13+x^19 *y^10-4*x^18*y^11-x^16*y^13+x^18*y^10-5*x^17*y^11+4*x^16*y^12-2*x^15*y^13-x^14* y^14+4*x^17*y^10-6*x^16*y^11+10*x^15*y^12+3*x^14*y^13-x^17*y^9+4*x^16*y^10-20*x ^15*y^11-3*x^14*y^12-x^16*y^9+20*x^15*y^10+5*x^14*y^11+x^13*y^12-10*x^15*y^9-15 *x^14*y^10-3*x^13*y^11-x^12*y^12+2*x^15*y^8+21*x^14*y^9+6*x^13*y^10+4*x^12*y^11 -13*x^14*y^8-13*x^13*y^9-7*x^12*y^10+3*x^14*y^7+18*x^13*y^8+10*x^12*y^9+x^11*y^ 10-12*x^13*y^7-14*x^12*y^8-4*x^11*y^9-x^10*y^10+3*x^13*y^6+13*x^12*y^7+9*x^11*y ^8+2*x^10*y^9-6*x^12*y^6-12*x^11*y^7+x^10*y^8+x^12*y^5+8*x^11*y^6-3*x^10*y^7+x^ 9*y^8-2*x^11*y^5-x^10*y^6-3*x^9*y^7+x^8*y^8+3*x^10*y^5+2*x^9*y^6-5*x^8*y^7-x^10 *y^4+x^9*y^5+5*x^8*y^6-2*x^7*y^7-x^9*y^4+x^8*y^5-x^7*y^6-2*x^8*y^4+8*x^7*y^5-4* x^6*y^6-5*x^7*y^4+4*x^6*y^5+2*x^6*y^4-2*x^5*y^5-2*x^6*y^3+x^5*y^4+x^5*y^3-6*x^4 *y^4+3*x^4*y^3+2*x^4*y^2-4*x^3*y^3+2*x^3*y^2+x^3*y-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y-1)/(2*x^ 14*y^11-7*x^14*y^10+9*x^14*y^9-5*x^14*y^8-2*x^13*y^9+x^14*y^7+6*x^13*y^8-6*x^13 *y^7+2*x^13*y^6+x^12*y^7+x^11*y^8-2*x^12*y^6-2*x^11*y^7-x^9*y^9+x^12*y^5+x^11*y ^6-x^10*y^7+2*x^9*y^8+x^10*y^6-x^9*y^7-x^8*y^8+x^10*y^5-2*x^9*y^6+3*x^8*y^7-x^ 10*y^4+4*x^9*y^5-3*x^8*y^6-2*x^9*y^4+2*x^8*y^5-x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^6+x^6*y^5- x^6*y^3+x^5*y^4-x^5*y^3+2*x^4*y^4-x^4*y^3+x^3*y+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 12 11 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (a + 3 a 10 9 8 7 6 5 4 3 2 + 5 a + 4 a - a - 7 a - 12 a - 9 a - 5 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) / 6 5 3 2 4 3 2 / ((7 a + 6 a - 4 a - 3 a - 2 a - 1) (a + a + a + a + 1)) / 7 6 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - x - x - x - x + 1, and in decimals this is, 0.7653631460 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7655447709 ------------------------------------------------ "Theorem Number 34" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 24 22 24 21 24 20 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 21 24 19 23 20 24 18 23 19 - 3 x y - 20 x y + 18 x y + 15 x y - 45 x y 22 20 24 17 23 18 22 19 24 16 23 17 + 4 x y - 6 x y + 60 x y - 25 x y + x y - 45 x y 22 18 21 19 23 16 22 17 21 18 + 65 x y - 9 x y + 18 x y - 90 x y + 53 x y 20 19 23 15 22 16 21 17 20 18 + 6 x y - 3 x y + 70 x y - 130 x y - 31 x y 22 15 21 16 20 17 19 18 22 14 - 29 x y + 170 x y + 61 x y - 5 x y + 5 x y 21 15 20 16 19 17 21 14 20 15 - 125 x y - 51 x y + 24 x y + 49 x y + 4 x y 19 16 18 17 21 13 20 14 19 15 - 40 x y + 3 x y - 8 x y + 23 x y + 16 x y 18 16 20 13 19 14 18 15 17 16 - 20 x y - 15 x y + 31 x y + 55 x y - 4 x y 20 12 19 13 18 14 17 15 16 16 19 12 + 3 x y - 44 x y - 79 x y + 26 x y + x y + 22 x y 18 13 17 14 16 15 19 11 18 12 + 61 x y - 65 x y - 8 x y - 4 x y - 22 x y 17 13 16 14 15 15 18 11 17 12 16 13 + 79 x y + 16 x y - 6 x y + x y - 45 x y - 6 x y 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 + 22 x y + x y + 5 x y - 15 x y - 21 x y - 2 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 + 6 x y + 20 x y - 10 x y + 16 x y - 2 x y - 10 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 + 26 x y - 40 x y + 4 x y + 2 x y - 12 x y + 40 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 14 9 - 6 x y + x y - 10 x y + x y + x y - 8 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 - 4 x y - 16 x y + 4 x y + 10 x y + 30 x y + 6 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 - 6 x y - 9 x y - 5 x y + x y - 14 x y - 8 x y 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 9 x y + 9 x y + 6 x y - 24 x y - x y + 2 x y 10 8 9 9 10 7 11 5 10 6 9 7 8 8 + 20 x y - 3 x y - 4 x y - x y - x y + 12 x y - 9 x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 - 12 x y + 4 x y + 3 x y + 11 x y + 6 x y - 9 x y - 4 x y 8 4 7 5 6 6 6 5 7 3 6 4 5 5 + 2 x y - 4 x y - 4 x y + 7 x y + 2 x y - 3 x y - 8 x y 5 4 5 3 4 4 4 2 3 3 3 / 21 19 + 9 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + 2 x y - x y + 1) / (x y / 21 18 21 17 20 18 21 16 20 17 21 15 - 7 x y + 20 x y - x y - 30 x y + 7 x y + 25 x y 20 16 21 14 20 15 19 16 21 13 - 20 x y - 11 x y + 30 x y - 4 x y + 2 x y 20 14 19 15 20 13 19 14 18 15 17 16 - 25 x y + 19 x y + 11 x y - 36 x y + 3 x y + x y 20 12 19 13 18 14 17 15 19 12 - 2 x y + 34 x y - 13 x y - 5 x y - 16 x y 18 13 17 14 16 15 19 11 18 12 17 13 + 22 x y + 8 x y - 2 x y + 3 x y - 18 x y - x y 16 14 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 + 9 x y + 7 x y - 11 x y - 17 x y - x y + 13 x y 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 17 9 + 17 x y - 2 x y - 6 x y - 9 x y + 11 x y + x y 16 10 15 11 14 12 15 10 14 11 15 9 + 2 x y - 21 x y + 5 x y + 17 x y - 17 x y - 5 x y 14 10 13 11 12 12 14 9 13 10 12 11 + 21 x y - 4 x y - x y - 11 x y + 14 x y + 4 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 + 2 x y - 16 x y - 4 x y + x y + 6 x y - 5 x y 11 10 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 - x y + 10 x y + 2 x y + x y - 3 x y - 2 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 10 7 9 8 - 2 x y - x y - x y - 3 x y - x y + 7 x y - x y 11 5 10 6 9 7 8 8 8 7 9 5 8 6 8 5 + x y - 3 x y + 3 x y + x y + 2 x y - x y - 7 x y + x y 7 6 8 4 7 5 6 6 6 5 7 3 6 4 5 4 - x y + 2 x y + 4 x y - 2 x y - x y - 2 x y + 2 x y + x y 5 3 4 4 3 3 3 - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^24*y^22-6*x^24*y^21+15*x^24*y^20-3*x^23*y^21-20*x^24*y^19+18*x^23*y^20+15*x ^24*y^18-45*x^23*y^19+4*x^22*y^20-6*x^24*y^17+60*x^23*y^18-25*x^22*y^19+x^24*y^ 16-45*x^23*y^17+65*x^22*y^18-9*x^21*y^19+18*x^23*y^16-90*x^22*y^17+53*x^21*y^18 +6*x^20*y^19-3*x^23*y^15+70*x^22*y^16-130*x^21*y^17-31*x^20*y^18-29*x^22*y^15+ 170*x^21*y^16+61*x^20*y^17-5*x^19*y^18+5*x^22*y^14-125*x^21*y^15-51*x^20*y^16+ 24*x^19*y^17+49*x^21*y^14+4*x^20*y^15-40*x^19*y^16+3*x^18*y^17-8*x^21*y^13+23*x ^20*y^14+16*x^19*y^15-20*x^18*y^16-15*x^20*y^13+31*x^19*y^14+55*x^18*y^15-4*x^ 17*y^16+3*x^20*y^12-44*x^19*y^13-79*x^18*y^14+26*x^17*y^15+x^16*y^16+22*x^19*y^ 12+61*x^18*y^13-65*x^17*y^14-8*x^16*y^15-4*x^19*y^11-22*x^18*y^12+79*x^17*y^13+ 16*x^16*y^14-6*x^15*y^15+x^18*y^11-45*x^17*y^12-6*x^16*y^13+22*x^15*y^14+x^18*y ^10+5*x^17*y^11-15*x^16*y^12-21*x^15*y^13-2*x^14*y^14+6*x^17*y^10+20*x^16*y^11-\ 10*x^15*y^12+16*x^14*y^13-2*x^17*y^9-10*x^16*y^10+26*x^15*y^11-40*x^14*y^12+4*x ^13*y^13+2*x^16*y^9-12*x^15*y^10+40*x^14*y^11-6*x^13*y^12+x^15*y^9-10*x^14*y^10 +x^13*y^11+x^12*y^12-8*x^14*y^9-4*x^13*y^10-16*x^12*y^11+4*x^14*y^8+10*x^13*y^9 +30*x^12*y^10+6*x^11*y^11-6*x^13*y^8-9*x^12*y^9-5*x^11*y^10+x^13*y^7-14*x^12*y^ 8-8*x^11*y^9+9*x^10*y^10+9*x^12*y^7+6*x^11*y^8-24*x^10*y^9-x^12*y^6+2*x^11*y^7+ 20*x^10*y^8-3*x^9*y^9-4*x^10*y^7-x^11*y^5-x^10*y^6+12*x^9*y^7-9*x^8*y^8-12*x^9* y^6+4*x^8*y^7+3*x^9*y^5+11*x^8*y^6+6*x^7*y^7-9*x^8*y^5-4*x^7*y^6+2*x^8*y^4-4*x^ 7*y^5-4*x^6*y^6+7*x^6*y^5+2*x^7*y^3-3*x^6*y^4-8*x^5*y^5+9*x^5*y^4-2*x^5*y^3+2*x ^4*y^4-2*x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y+1)/(x^21*y^19-7*x^21*y^18+20*x^21*y^17-x^20*y^ 18-30*x^21*y^16+7*x^20*y^17+25*x^21*y^15-20*x^20*y^16-11*x^21*y^14+30*x^20*y^15 -4*x^19*y^16+2*x^21*y^13-25*x^20*y^14+19*x^19*y^15+11*x^20*y^13-36*x^19*y^14+3* x^18*y^15+x^17*y^16-2*x^20*y^12+34*x^19*y^13-13*x^18*y^14-5*x^17*y^15-16*x^19*y ^12+22*x^18*y^13+8*x^17*y^14-2*x^16*y^15+3*x^19*y^11-18*x^18*y^12-x^17*y^13+9*x ^16*y^14+7*x^18*y^11-11*x^17*y^12-17*x^16*y^13-x^18*y^10+13*x^17*y^11+17*x^16*y ^12-2*x^15*y^13-6*x^17*y^10-9*x^16*y^11+11*x^15*y^12+x^17*y^9+2*x^16*y^10-21*x^ 15*y^11+5*x^14*y^12+17*x^15*y^10-17*x^14*y^11-5*x^15*y^9+21*x^14*y^10-4*x^13*y^ 11-x^12*y^12-11*x^14*y^9+14*x^13*y^10+4*x^12*y^11+2*x^14*y^8-16*x^13*y^9-4*x^12 *y^10+x^11*y^11+6*x^13*y^8-5*x^12*y^9-x^11*y^10+10*x^12*y^8+2*x^11*y^9+x^10*y^ 10-3*x^12*y^7-2*x^11*y^8-2*x^10*y^9-x^12*y^6-x^11*y^7-3*x^10*y^8-x^9*y^9+7*x^10 *y^7-x^9*y^8+x^11*y^5-3*x^10*y^6+3*x^9*y^7+x^8*y^8+2*x^8*y^7-x^9*y^5-7*x^8*y^6+ x^8*y^5-x^7*y^6+2*x^8*y^4+4*x^7*y^5-2*x^6*y^6-x^6*y^5-2*x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^5*y ^4-2*x^5*y^3+2*x^4*y^4-2*x^3*y^3+x^3*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 14 13 11 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a - 2 a - 2 a 10 9 8 7 6 5 4 3 2 - 10 a - 4 a - 10 a - 14 a + a - 4 a - a + 6 a + 3 a + 2 a + 1) 7 6 5 4 3 2 / (8 a - 7 a + 6 a + 5 a - 8 a + 3 a - 2) / ( / 6 4 3 2 8 5 3 (7 a + 5 a + 8 a + 2 a + 1) (a + a - a - 1)) 8 7 6 5 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + x + x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7645053742 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7646330218 ------------------------------------------------ "Theorem Number 35" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 16 20 15 19 16 ) | ) C(m, n) x y | = - (3 x y - 17 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 14 19 15 20 13 19 14 18 15 + 40 x y + 11 x y - 50 x y - 25 x y + 3 x y 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 + 35 x y + 30 x y - 13 x y - 2 x y - 13 x y 19 12 18 13 17 14 20 10 19 11 18 12 - 20 x y + 23 x y + 6 x y + 2 x y + 7 x y - 23 x y 17 13 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 - x y - x y + 17 x y - 15 x y - x y + 3 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 17 10 - 11 x y + 19 x y + 4 x y - 15 x y + 5 x y - 4 x y 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 16 10 - 6 x y + 34 x y + x y - x y - 7 x y + 3 x y 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 14 11 - 43 x y - 5 x y + 5 x y + 3 x y + 28 x y + 9 x y 13 12 17 7 16 8 15 9 14 10 13 11 - x y - x y - 6 x y - 4 x y - 11 x y + 4 x y 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11 16 6 + 4 x y - 5 x y + 12 x y - 7 x y + x y - x y 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 + 2 x y - 7 x y + 7 x y + 2 x y + 2 x y - 5 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 - 11 x y - 6 x y + x y + 3 x y + 12 x y + 8 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 + 4 x y - x y - 5 x y - 3 x y - 12 x y + 2 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 - 5 x y + 15 x y + x y - x y + 4 x y - 9 x y - 10 x y 11 5 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 + x y + 19 x y + 2 x y - x y + 3 x y - 15 x y - 8 x y 10 4 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 - x y + 5 x y + 11 x y + 4 x y - 7 x y - 6 x y + 2 x y 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 5 3 + 5 x y + 3 x y - x y - 7 x y - x y + 6 x y - 2 x y + x y 4 4 5 2 4 3 3 3 3 2 2 2 2 - 6 x y - x y + 5 x y - 3 x y + 3 x y - 2 x y + x y - x y + x / 20 16 20 15 20 14 20 13 18 15 - 1) / ((x - 1) (x y - 5 x y + 10 x y - 10 x y + x y / 20 12 18 14 20 11 18 13 17 14 18 12 + 5 x y - 4 x y - x y + 7 x y - x y - 8 x y 17 13 16 14 18 11 17 12 16 13 18 10 + 5 x y - x y + 7 x y - 9 x y + 5 x y - 4 x y 17 11 16 12 18 9 17 10 16 11 17 9 + 6 x y - 10 x y + x y + x y + 9 x y - 3 x y 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 - x y + 2 x y + x y + x y - 5 x y - 6 x y 14 11 16 8 15 9 13 11 16 7 15 8 14 9 - 3 x y + 4 x y + 5 x y - 2 x y - x y + x y + 6 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 4 x y - x y - 3 x y - 4 x y - 2 x y + 3 x y 15 6 14 7 12 9 14 6 12 8 11 9 12 7 + x y - x y - 5 x y + x y + 5 x y - x y - 2 x y 11 8 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 + 4 x y - 6 x y + x y + 4 x y - 3 x y - x y - x y 10 6 9 7 10 5 8 7 10 4 9 5 8 6 9 4 + 4 x y + x y - 3 x y - x y + x y - 2 x y + x y + 2 x y 8 5 8 4 6 6 7 4 6 5 6 3 5 3 4 2 - 3 x y + 3 x y + x y + x y - x y + x y + x y + x y 3 3 3 2 + x y + x y + x y - 1)) and in Maple notation -(3*x^20*y^16-17*x^20*y^15-2*x^19*y^16+40*x^20*y^14+11*x^19*y^15-50*x^20*y^13-\ 25*x^19*y^14+3*x^18*y^15+35*x^20*y^12+30*x^19*y^13-13*x^18*y^14-2*x^17*y^15-13* x^20*y^11-20*x^19*y^12+23*x^18*y^13+6*x^17*y^14+2*x^20*y^10+7*x^19*y^11-23*x^18 *y^12-x^17*y^13-x^19*y^10+17*x^18*y^11-15*x^17*y^12-x^16*y^13+3*x^15*y^14-11*x^ 18*y^10+19*x^17*y^11+4*x^16*y^12-15*x^15*y^13+5*x^18*y^9-4*x^17*y^10-6*x^16*y^ 11+34*x^15*y^12+x^14*y^13-x^18*y^8-7*x^17*y^9+3*x^16*y^10-43*x^15*y^11-5*x^14*y ^12+5*x^17*y^8+3*x^16*y^9+28*x^15*y^10+9*x^14*y^11-x^13*y^12-x^17*y^7-6*x^16*y^ 8-4*x^15*y^9-11*x^14*y^10+4*x^13*y^11+4*x^16*y^7-5*x^15*y^8+12*x^14*y^9-7*x^13* y^10+x^12*y^11-x^16*y^6+2*x^15*y^7-7*x^14*y^8+7*x^13*y^9+2*x^12*y^10+2*x^11*y^ 11-5*x^13*y^8-11*x^12*y^9-6*x^11*y^10+x^14*y^6+3*x^13*y^7+12*x^12*y^8+8*x^11*y^ 9+4*x^10*y^10-x^13*y^6-5*x^12*y^7-3*x^11*y^8-12*x^10*y^9+2*x^12*y^6-5*x^11*y^7+ 15*x^10*y^8+x^9*y^9-x^12*y^5+4*x^11*y^6-9*x^10*y^7-10*x^9*y^8+x^11*y^5+19*x^9*y ^7+2*x^8*y^8-x^11*y^4+3*x^10*y^5-15*x^9*y^6-8*x^8*y^7-x^10*y^4+5*x^9*y^5+11*x^8 *y^6+4*x^7*y^7-7*x^8*y^5-6*x^7*y^6+2*x^8*y^4+5*x^7*y^5+3*x^6*y^6-x^7*y^4-7*x^6* y^5-x^7*y^3+6*x^6*y^4-2*x^6*y^3+x^5*y^3-6*x^4*y^4-x^5*y^2+5*x^4*y^3-3*x^3*y^3+3 *x^3*y^2-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^20*y^16-5*x^20*y^15+10*x^20*y^14-10* x^20*y^13+x^18*y^15+5*x^20*y^12-4*x^18*y^14-x^20*y^11+7*x^18*y^13-x^17*y^14-8*x ^18*y^12+5*x^17*y^13-x^16*y^14+7*x^18*y^11-9*x^17*y^12+5*x^16*y^13-4*x^18*y^10+ 6*x^17*y^11-10*x^16*y^12+x^18*y^9+x^17*y^10+9*x^16*y^11-3*x^17*y^9-x^16*y^10+2* x^15*y^11+x^14*y^12+x^17*y^8-5*x^16*y^9-6*x^15*y^10-3*x^14*y^11+4*x^16*y^8+5*x^ 15*y^9-2*x^13*y^11-x^16*y^7+x^15*y^8+6*x^14*y^9+4*x^13*y^10-x^12*y^11-3*x^15*y^ 7-4*x^14*y^8-2*x^13*y^9+3*x^12*y^10+x^15*y^6-x^14*y^7-5*x^12*y^9+x^14*y^6+5*x^ 12*y^8-x^11*y^9-2*x^12*y^7+4*x^11*y^8-6*x^11*y^7+x^10*y^8+4*x^11*y^6-3*x^10*y^7 -x^9*y^8-x^11*y^5+4*x^10*y^6+x^9*y^7-3*x^10*y^5-x^8*y^7+x^10*y^4-2*x^9*y^5+x^8* y^6+2*x^9*y^4-3*x^8*y^5+3*x^8*y^4+x^6*y^6+x^7*y^4-x^6*y^5+x^6*y^3+x^5*y^3+x^4*y ^2+x^3*y^3+x^3*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7641185024 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 36" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 1], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 16 20 15 19 16 ) | ) C(m, n) x y | = - (3 x y - 17 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 14 19 15 20 13 19 14 18 15 + 40 x y + 11 x y - 50 x y - 25 x y + 3 x y 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 + 35 x y + 30 x y - 13 x y - 2 x y - 13 x y 19 12 18 13 17 14 20 10 19 11 18 12 - 20 x y + 23 x y + 6 x y + 2 x y + 7 x y - 23 x y 17 13 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 - x y - x y + 17 x y - 15 x y - x y + 3 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 17 10 - 11 x y + 19 x y + 4 x y - 15 x y + 5 x y - 4 x y 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 16 10 - 6 x y + 34 x y + x y - x y - 7 x y + 3 x y 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 14 11 - 43 x y - 5 x y + 5 x y + 3 x y + 28 x y + 9 x y 13 12 17 7 16 8 15 9 14 10 13 11 - x y - x y - 6 x y - 4 x y - 11 x y + 4 x y 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11 16 6 + 4 x y - 5 x y + 12 x y - 7 x y + x y - x y 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 + 2 x y - 7 x y + 7 x y + 2 x y + 2 x y - 5 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 - 11 x y - 6 x y + x y + 3 x y + 12 x y + 8 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 + 4 x y - x y - 5 x y - 3 x y - 12 x y + 2 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 - 5 x y + 15 x y + x y - x y + 4 x y - 9 x y - 10 x y 11 5 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 + x y + 19 x y + 2 x y - x y + 3 x y - 15 x y - 8 x y 10 4 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 - x y + 5 x y + 11 x y + 4 x y - 7 x y - 6 x y + 2 x y 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 5 3 + 5 x y + 3 x y - x y - 7 x y - x y + 6 x y - 2 x y + x y 4 4 5 2 4 3 3 3 3 2 2 2 2 - 6 x y - x y + 5 x y - 3 x y + 3 x y - 2 x y + x y - x y + x / 20 16 20 15 20 14 20 13 18 15 - 1) / ((x - 1) (x y - 5 x y + 10 x y - 10 x y + x y / 20 12 18 14 20 11 18 13 17 14 18 12 + 5 x y - 4 x y - x y + 7 x y - x y - 8 x y 17 13 16 14 18 11 17 12 16 13 18 10 + 5 x y - x y + 7 x y - 9 x y + 5 x y - 4 x y 17 11 16 12 18 9 17 10 16 11 17 9 + 6 x y - 10 x y + x y + x y + 9 x y - 3 x y 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 - x y + 2 x y + x y + x y - 5 x y - 6 x y 14 11 16 8 15 9 13 11 16 7 15 8 14 9 - 3 x y + 4 x y + 5 x y - 2 x y - x y + x y + 6 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 4 x y - x y - 3 x y - 4 x y - 2 x y + 3 x y 15 6 14 7 12 9 14 6 12 8 11 9 12 7 + x y - x y - 5 x y + x y + 5 x y - x y - 2 x y 11 8 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 + 4 x y - 6 x y + x y + 4 x y - 3 x y - x y - x y 10 6 9 7 10 5 8 7 10 4 9 5 8 6 9 4 + 4 x y + x y - 3 x y - x y + x y - 2 x y + x y + 2 x y 8 5 8 4 6 6 7 4 6 5 6 3 5 3 4 2 - 3 x y + 3 x y + x y + x y - x y + x y + x y + x y 3 3 3 2 + x y + x y + x y - 1)) and in Maple notation -(3*x^20*y^16-17*x^20*y^15-2*x^19*y^16+40*x^20*y^14+11*x^19*y^15-50*x^20*y^13-\ 25*x^19*y^14+3*x^18*y^15+35*x^20*y^12+30*x^19*y^13-13*x^18*y^14-2*x^17*y^15-13* x^20*y^11-20*x^19*y^12+23*x^18*y^13+6*x^17*y^14+2*x^20*y^10+7*x^19*y^11-23*x^18 *y^12-x^17*y^13-x^19*y^10+17*x^18*y^11-15*x^17*y^12-x^16*y^13+3*x^15*y^14-11*x^ 18*y^10+19*x^17*y^11+4*x^16*y^12-15*x^15*y^13+5*x^18*y^9-4*x^17*y^10-6*x^16*y^ 11+34*x^15*y^12+x^14*y^13-x^18*y^8-7*x^17*y^9+3*x^16*y^10-43*x^15*y^11-5*x^14*y ^12+5*x^17*y^8+3*x^16*y^9+28*x^15*y^10+9*x^14*y^11-x^13*y^12-x^17*y^7-6*x^16*y^ 8-4*x^15*y^9-11*x^14*y^10+4*x^13*y^11+4*x^16*y^7-5*x^15*y^8+12*x^14*y^9-7*x^13* y^10+x^12*y^11-x^16*y^6+2*x^15*y^7-7*x^14*y^8+7*x^13*y^9+2*x^12*y^10+2*x^11*y^ 11-5*x^13*y^8-11*x^12*y^9-6*x^11*y^10+x^14*y^6+3*x^13*y^7+12*x^12*y^8+8*x^11*y^ 9+4*x^10*y^10-x^13*y^6-5*x^12*y^7-3*x^11*y^8-12*x^10*y^9+2*x^12*y^6-5*x^11*y^7+ 15*x^10*y^8+x^9*y^9-x^12*y^5+4*x^11*y^6-9*x^10*y^7-10*x^9*y^8+x^11*y^5+19*x^9*y ^7+2*x^8*y^8-x^11*y^4+3*x^10*y^5-15*x^9*y^6-8*x^8*y^7-x^10*y^4+5*x^9*y^5+11*x^8 *y^6+4*x^7*y^7-7*x^8*y^5-6*x^7*y^6+2*x^8*y^4+5*x^7*y^5+3*x^6*y^6-x^7*y^4-7*x^6* y^5-x^7*y^3+6*x^6*y^4-2*x^6*y^3+x^5*y^3-6*x^4*y^4-x^5*y^2+5*x^4*y^3-3*x^3*y^3+3 *x^3*y^2-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^20*y^16-5*x^20*y^15+10*x^20*y^14-10* x^20*y^13+x^18*y^15+5*x^20*y^12-4*x^18*y^14-x^20*y^11+7*x^18*y^13-x^17*y^14-8*x ^18*y^12+5*x^17*y^13-x^16*y^14+7*x^18*y^11-9*x^17*y^12+5*x^16*y^13-4*x^18*y^10+ 6*x^17*y^11-10*x^16*y^12+x^18*y^9+x^17*y^10+9*x^16*y^11-3*x^17*y^9-x^16*y^10+2* x^15*y^11+x^14*y^12+x^17*y^8-5*x^16*y^9-6*x^15*y^10-3*x^14*y^11+4*x^16*y^8+5*x^ 15*y^9-2*x^13*y^11-x^16*y^7+x^15*y^8+6*x^14*y^9+4*x^13*y^10-x^12*y^11-3*x^15*y^ 7-4*x^14*y^8-2*x^13*y^9+3*x^12*y^10+x^15*y^6-x^14*y^7-5*x^12*y^9+x^14*y^6+5*x^ 12*y^8-x^11*y^9-2*x^12*y^7+4*x^11*y^8-6*x^11*y^7+x^10*y^8+4*x^11*y^6-3*x^10*y^7 -x^9*y^8-x^11*y^5+4*x^10*y^6+x^9*y^7-3*x^10*y^5-x^8*y^7+x^10*y^4-2*x^9*y^5+x^8* y^6+2*x^9*y^4-3*x^8*y^5+3*x^8*y^4+x^6*y^6+x^7*y^4-x^6*y^5+x^6*y^3+x^5*y^3+x^4*y ^2+x^3*y^3+x^3*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7641185024 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 37" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [1, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 20 22 19 22 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 17 22 16 20 18 22 15 20 17 22 14 - 20 x y + 15 x y + x y - 6 x y - 8 x y + x y 20 16 18 18 20 15 18 17 20 14 18 16 + 25 x y + x y - 40 x y - 6 x y + 35 x y + 10 x y 20 13 18 15 20 12 18 14 16 16 18 13 - 16 x y + 6 x y + 3 x y - 39 x y - 2 x y + 50 x y 16 15 18 12 16 14 18 11 16 13 + 10 x y - 28 x y - 19 x y + 6 x y + 16 x y 15 14 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 + 4 x y - 4 x y - 18 x y - 2 x y + 32 x y - 4 x y 16 10 15 11 14 12 15 10 14 11 13 12 + x y - 28 x y + 16 x y + 12 x y - 22 x y - 4 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 14 9 13 10 - 2 x y + 10 x y + 14 x y - x y + 2 x y - 20 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 + 10 x y - 2 x y + 16 x y - 21 x y - 2 x y - 8 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 + 12 x y + 6 x y + 2 x y + 5 x y - 8 x y + 3 x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - 6 x y + 10 x y - 6 x y + x y - 10 x y - 2 x y 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 + 2 x y + 4 x y + 12 x y - 8 x y - 9 x y + 14 x y + 4 x y 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 + 2 x y - 12 x y - 12 x y + 4 x y + 11 x y - 2 x y - 2 x y 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 7 3 6 4 + 6 x y - x y - 6 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 3 x y 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 + 4 x y - 2 x y - 6 x y + 4 x y - 3 x y - 2 x y + 2 x y 4 2 3 3 3 2 2 2 2 / 18 16 18 15 + x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / (x y - 4 x y / 18 14 18 12 16 14 18 11 16 13 18 10 + 5 x y - 5 x y - x y + 4 x y + 2 x y - x y 16 12 16 11 16 10 14 12 16 9 14 11 + 2 x y - 8 x y + 7 x y - x y - 2 x y + 4 x y 14 10 14 9 13 10 14 8 13 9 12 10 - 6 x y + 4 x y - 2 x y - x y + 6 x y - x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 - 6 x y + 4 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y - 6 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 + 8 x y - 2 x y + x y - 6 x y + 5 x y + 2 x y - 4 x y 9 8 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 8 6 - 2 x y - x y + 4 x y + 2 x y - 2 x y + 2 x y - x y 8 5 8 4 7 5 6 6 7 3 6 4 5 5 - 2 x y + 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y - 2 x y 6 3 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 2 3 + 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y - 2 x y 2 2 2 - x y + x + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^22*y^20-6*x^22*y^19+15*x^22*y^18-20*x^22*y^17+15*x^22*y^16+x^20*y^18-6*x^22* y^15-8*x^20*y^17+x^22*y^14+25*x^20*y^16+x^18*y^18-40*x^20*y^15-6*x^18*y^17+35*x ^20*y^14+10*x^18*y^16-16*x^20*y^13+6*x^18*y^15+3*x^20*y^12-39*x^18*y^14-2*x^16* y^16+50*x^18*y^13+10*x^16*y^15-28*x^18*y^12-19*x^16*y^14+6*x^18*y^11+16*x^16*y^ 13+4*x^15*y^14-4*x^16*y^12-18*x^15*y^13-2*x^16*y^11+32*x^15*y^12-4*x^14*y^13+x^ 16*y^10-28*x^15*y^11+16*x^14*y^12+12*x^15*y^10-22*x^14*y^11-4*x^13*y^12-2*x^15* y^9+10*x^14*y^10+14*x^13*y^11-x^12*y^12+2*x^14*y^9-20*x^13*y^10+10*x^12*y^11-2* x^14*y^8+16*x^13*y^9-21*x^12*y^10-2*x^11*y^11-8*x^13*y^8+12*x^12*y^9+6*x^11*y^ 10+2*x^13*y^7+5*x^12*y^8-8*x^11*y^9+3*x^10*y^10-6*x^12*y^7+10*x^11*y^8-6*x^10*y ^9+x^12*y^6-10*x^11*y^7-2*x^10*y^8+2*x^9*y^9+4*x^11*y^6+12*x^10*y^7-8*x^9*y^8-9 *x^10*y^6+14*x^9*y^7+4*x^8*y^8+2*x^10*y^5-12*x^9*y^6-12*x^8*y^7+4*x^9*y^5+11*x^ 8*y^6-2*x^7*y^7-2*x^8*y^5+6*x^7*y^6-x^8*y^4-6*x^7*y^5-x^6*y^6+4*x^7*y^4-2*x^7*y ^3+3*x^6*y^4+4*x^5*y^5-2*x^6*y^3-6*x^5*y^4+4*x^5*y^3-3*x^4*y^4-2*x^5*y^2+2*x^4* y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^3*y^2-x^2*y^2+x^2-1)/(x^18*y^16-4*x^18*y^15+5*x^18*y^ 14-5*x^18*y^12-x^16*y^14+4*x^18*y^11+2*x^16*y^13-x^18*y^10+2*x^16*y^12-8*x^16*y ^11+7*x^16*y^10-x^14*y^12-2*x^16*y^9+4*x^14*y^11-6*x^14*y^10+4*x^14*y^9-2*x^13* y^10-x^14*y^8+6*x^13*y^9-x^12*y^10-6*x^13*y^8+4*x^12*y^9+2*x^11*y^10+2*x^13*y^7 -4*x^12*y^8-6*x^11*y^9+8*x^11*y^8-2*x^10*y^9+x^12*y^6-6*x^11*y^7+5*x^10*y^8+2*x ^11*y^6-4*x^10*y^7-2*x^9*y^8-x^10*y^6+4*x^9*y^7+2*x^10*y^5-2*x^9*y^6+2*x^8*y^7- x^8*y^6-2*x^8*y^5+2*x^8*y^4+2*x^7*y^5+x^6*y^6-2*x^7*y^3-2*x^6*y^4-2*x^5*y^5+2*x ^6*y^3+2*x^5*y^3+x^4*y^4-2*x^5*y^2-2*x^4*y^3+x^4*y^2+2*x^3*y^2-2*x^3*y-x^2*y^2+ x^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 14 12 11 10 9 8 7 6 5 4 a + 3 a - 4 a + a - 8 a + 3 a + 6 a + 3 a + 6 a - 10 a + 1 ------------------------------------------------------------------------ 7 5 4 4 a + 3 a - 5 a + 1 8 6 5 where a is the root of the polynomial, x + x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7640510254 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7641125444 ------------------------------------------------ "Theorem Number 38" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 10 10 10 9 10 8 9 9 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 8 x y + 12 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 - 8 x y - 8 x y + 2 x y + 12 x y + 4 x y - 8 x y - 14 x y 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 + 2 x y + 18 x y + 2 x y - 10 x y - 8 x y + 2 x y + 11 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 - 2 x y - 6 x y + x y + x y + 4 x y - 2 x y - 3 x y 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 + 4 x y - x y - 6 x y - x y + 6 x y - x y - 3 x y + 4 x y 3 2 2 2 / 7 5 7 4 6 5 - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / (x y - 2 x y - x y / 7 3 6 4 6 3 5 3 5 2 4 3 4 2 3 3 3 + x y + 2 x y - x y + x y - x y - 2 x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (2*x^10*y^10-8*x^10*y^9+12*x^10*y^8+2*x^9*y^9-8*x^10*y^7-8*x^9*y^8+2*x^10*y^6+ 12*x^9*y^7+4*x^8*y^8-8*x^9*y^6-14*x^8*y^7+2*x^9*y^5+18*x^8*y^6+2*x^7*y^7-10*x^8 *y^5-8*x^7*y^6+2*x^8*y^4+11*x^7*y^5-2*x^6*y^6-6*x^7*y^4+x^6*y^5+x^7*y^3+4*x^6*y ^4-2*x^5*y^5-3*x^6*y^3+4*x^5*y^4-x^5*y^3-6*x^4*y^4-x^5*y^2+6*x^4*y^3-x^4*y^2-3* x^3*y^3+4*x^3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x^7*y^5-2*x^7*y^4-x^6*y^5+x ^7*y^3+2*x^6*y^4-x^6*y^3+x^5*y^3-x^5*y^2-2*x^4*y^3+x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y+x*y+x-\ 1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7634351696 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 39" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [2, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 10 10 10 9 10 8 9 9 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 8 x y + 12 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 - 8 x y - 8 x y + 2 x y + 12 x y + 4 x y - 8 x y - 14 x y 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 + 2 x y + 18 x y + 2 x y - 10 x y - 8 x y + 2 x y + 11 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 - 2 x y - 6 x y + x y + x y + 4 x y - 2 x y - 3 x y 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 + 4 x y - x y - 6 x y - x y + 6 x y - x y - 3 x y + 4 x y 3 2 2 2 / - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / ((x - 1) / 6 5 6 4 6 3 4 3 4 2 3 3 2 (x y - 2 x y + x y + x y - x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (2*x^10*y^10-8*x^10*y^9+12*x^10*y^8+2*x^9*y^9-8*x^10*y^7-8*x^9*y^8+2*x^10*y^6+ 12*x^9*y^7+4*x^8*y^8-8*x^9*y^6-14*x^8*y^7+2*x^9*y^5+18*x^8*y^6+2*x^7*y^7-10*x^8 *y^5-8*x^7*y^6+2*x^8*y^4+11*x^7*y^5-2*x^6*y^6-6*x^7*y^4+x^6*y^5+x^7*y^3+4*x^6*y ^4-2*x^5*y^5-3*x^6*y^3+4*x^5*y^4-x^5*y^3-6*x^4*y^4-x^5*y^2+6*x^4*y^3-x^4*y^2-3* x^3*y^3+4*x^3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^6*y^5-2*x^6*y^4+x^6 *y^3+x^4*y^3-x^4*y^2-x^3*y^3-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7634351696 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 40" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [1, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 13 16 12 15 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 + 10 x y + 5 x y + x y - 10 x y - 10 x y - 5 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 + 5 x y + 10 x y + 12 x y - 2 x y - x y - 5 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - 18 x y + 7 x y + 3 x y + x y + 17 x y - 8 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 - 13 x y - 9 x y + x y + 24 x y + 2 x y + 2 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 5 x y - 24 x y - 8 x y - 4 x y + 12 x y + 16 x y 10 10 13 6 11 8 10 9 12 6 11 7 + x y + x y - 21 x y - 8 x y - 3 x y + 16 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 10 6 + 17 x y + 4 x y + x y - 5 x y - 14 x y - 9 x y + 3 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 7 x y + x y + 2 x y - 4 x y - 6 x y - x y + 3 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 + 6 x y + 4 x y - x y + x y - 7 x y - 2 x y + x y + 6 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 + 3 x y - 8 x y - x y - x y + 2 x y + 4 x y - 5 x y - x y 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 4 3 2 + x y + 7 x y + 2 x y - 8 x y + x y + 4 x y + x y - 4 x y 2 2 2 / 15 12 15 11 15 10 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y / 15 9 13 11 15 8 13 10 13 9 13 8 11 9 - 4 x y + x y + x y - 3 x y + 3 x y - x y + x y 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 - x y - 3 x y + 2 x y + 2 x y + x y - x y + x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 - 2 x y + x y - x y + x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y 10 4 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 + x y - 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y + x y - x y - 2 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 4 6 2 5 3 4 4 + 2 x y + 2 x y - x y - 2 x y - x y + x y + x y + x y 4 2 4 - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^16*y^13-5*x^16*y^12-x^15*y^13+10*x^16*y^11+5*x^15*y^12+x^14*y^13-10*x^16*y^ 10-10*x^15*y^11-5*x^14*y^12+5*x^16*y^9+10*x^15*y^10+12*x^14*y^11-2*x^13*y^12-x^ 16*y^8-5*x^15*y^9-18*x^14*y^10+7*x^13*y^11+3*x^12*y^12+x^15*y^8+17*x^14*y^9-8*x ^13*y^10-13*x^12*y^11-9*x^14*y^8+x^13*y^9+24*x^12*y^10+2*x^11*y^11+2*x^14*y^7+5 *x^13*y^8-24*x^12*y^9-8*x^11*y^10-4*x^13*y^7+12*x^12*y^8+16*x^11*y^9+x^10*y^10+ x^13*y^6-21*x^11*y^8-8*x^10*y^9-3*x^12*y^6+16*x^11*y^7+17*x^10*y^8+4*x^9*y^9+x^ 12*y^5-5*x^11*y^6-14*x^10*y^7-9*x^9*y^8+3*x^10*y^6+7*x^9*y^7+x^8*y^8+2*x^10*y^5 -4*x^9*y^6-6*x^8*y^7-x^10*y^4+3*x^9*y^5+6*x^8*y^6+4*x^7*y^7-x^9*y^4+x^8*y^5-7*x ^7*y^6-2*x^8*y^4+x^7*y^5+6*x^6*y^6+3*x^7*y^4-8*x^6*y^5-x^7*y^3-x^6*y^4+2*x^5*y^ 5+4*x^6*y^3-5*x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^3+7*x^4*y^4+2*x^5*y^2-8*x^4*y^3+x^4*y^2+4*x ^3*y^3+x^4*y-4*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^15*y^12-4*x^15*y^11+6*x^15 *y^10-4*x^15*y^9+x^13*y^11+x^15*y^8-3*x^13*y^10+3*x^13*y^9-x^13*y^8+x^11*y^9-x^ 12*y^7-3*x^11*y^8+2*x^12*y^6+2*x^11*y^7+x^10*y^8-x^12*y^5+x^11*y^6-2*x^10*y^7+x ^9*y^8-x^11*y^5+x^10*y^6-2*x^9*y^7-x^10*y^5+2*x^9*y^6+x^8*y^7+x^10*y^4-2*x^9*y^ 5-2*x^8*y^6+x^9*y^4+2*x^8*y^5+x^7*y^6-x^8*y^4-2*x^7*y^5+2*x^7*y^4+2*x^6*y^5-x^7 *y^3-2*x^6*y^4-x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3+x^4*y^4-x^4*y^2-x^4*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 11 10 9 8 7 5 4 a - 2 a + a + 3 a - 3 a - 7 a + 8 a - 1 - ------------------------------------------------ 5 3 4 (3 a - 2 a + 1) (a + 1) 6 4 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7624078256 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7625411041 ------------------------------------------------ "Theorem Number 41" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [2, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 13 16 12 15 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 + 10 x y + 5 x y + x y - 10 x y - 10 x y - 5 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 + 5 x y + 10 x y + 12 x y - 2 x y - x y - 5 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - 18 x y + 7 x y + 3 x y + x y + 17 x y - 8 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 - 13 x y - 9 x y + x y + 24 x y + 2 x y + 2 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 5 x y - 24 x y - 8 x y - 4 x y + 12 x y + 16 x y 10 10 13 6 11 8 10 9 12 6 11 7 + x y + x y - 21 x y - 8 x y - 3 x y + 16 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 10 6 + 17 x y + 4 x y + x y - 5 x y - 14 x y - 9 x y + 3 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 7 x y + x y + 2 x y - 4 x y - 6 x y - x y + 3 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 + 6 x y + 4 x y - x y + x y - 7 x y - 2 x y + x y + 6 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 + 3 x y - 8 x y - x y - x y + 2 x y + 4 x y - 5 x y - x y 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 4 3 2 + x y + 7 x y + 2 x y - 8 x y + x y + 4 x y + x y - 4 x y 2 2 2 / 15 12 15 11 15 10 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y / 15 9 13 11 15 8 13 10 13 9 13 8 11 9 - 4 x y + x y + x y - 3 x y + 3 x y - x y + x y 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 - x y - 3 x y + 2 x y + 2 x y + x y - x y + x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 - 2 x y + x y - x y + x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y 10 4 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 + x y - 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y + x y - x y - 2 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 4 6 2 5 3 4 4 + 2 x y + 2 x y - x y - 2 x y - x y + x y + x y + x y 4 2 4 - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^16*y^13-5*x^16*y^12-x^15*y^13+10*x^16*y^11+5*x^15*y^12+x^14*y^13-10*x^16*y^ 10-10*x^15*y^11-5*x^14*y^12+5*x^16*y^9+10*x^15*y^10+12*x^14*y^11-2*x^13*y^12-x^ 16*y^8-5*x^15*y^9-18*x^14*y^10+7*x^13*y^11+3*x^12*y^12+x^15*y^8+17*x^14*y^9-8*x ^13*y^10-13*x^12*y^11-9*x^14*y^8+x^13*y^9+24*x^12*y^10+2*x^11*y^11+2*x^14*y^7+5 *x^13*y^8-24*x^12*y^9-8*x^11*y^10-4*x^13*y^7+12*x^12*y^8+16*x^11*y^9+x^10*y^10+ x^13*y^6-21*x^11*y^8-8*x^10*y^9-3*x^12*y^6+16*x^11*y^7+17*x^10*y^8+4*x^9*y^9+x^ 12*y^5-5*x^11*y^6-14*x^10*y^7-9*x^9*y^8+3*x^10*y^6+7*x^9*y^7+x^8*y^8+2*x^10*y^5 -4*x^9*y^6-6*x^8*y^7-x^10*y^4+3*x^9*y^5+6*x^8*y^6+4*x^7*y^7-x^9*y^4+x^8*y^5-7*x ^7*y^6-2*x^8*y^4+x^7*y^5+6*x^6*y^6+3*x^7*y^4-8*x^6*y^5-x^7*y^3-x^6*y^4+2*x^5*y^ 5+4*x^6*y^3-5*x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^3+7*x^4*y^4+2*x^5*y^2-8*x^4*y^3+x^4*y^2+4*x ^3*y^3+x^4*y-4*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^15*y^12-4*x^15*y^11+6*x^15 *y^10-4*x^15*y^9+x^13*y^11+x^15*y^8-3*x^13*y^10+3*x^13*y^9-x^13*y^8+x^11*y^9-x^ 12*y^7-3*x^11*y^8+2*x^12*y^6+2*x^11*y^7+x^10*y^8-x^12*y^5+x^11*y^6-2*x^10*y^7+x ^9*y^8-x^11*y^5+x^10*y^6-2*x^9*y^7-x^10*y^5+2*x^9*y^6+x^8*y^7+x^10*y^4-2*x^9*y^ 5-2*x^8*y^6+x^9*y^4+2*x^8*y^5+x^7*y^6-x^8*y^4-2*x^7*y^5+2*x^7*y^4+2*x^6*y^5-x^7 *y^3-2*x^6*y^4-x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3+x^4*y^4-x^4*y^2-x^4*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 11 10 9 8 7 5 4 a - 2 a + a + 3 a - 3 a - 7 a + 8 a - 1 - ------------------------------------------------ 5 3 4 (3 a - 2 a + 1) (a + 1) 6 4 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7624078256 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7625411041 ------------------------------------------------ "Theorem Number 42" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 19 17 19 16 19 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 18 16 19 14 18 15 19 13 18 14 19 12 + x y - 20 x y - 3 x y + 15 x y + x y - 6 x y 18 13 17 14 16 15 19 11 18 12 17 13 + 6 x y + 2 x y + x y + x y - 9 x y - 9 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 - 2 x y + 5 x y + 16 x y - 3 x y - x y - 14 x y 16 12 15 13 14 14 17 10 16 11 15 12 + 12 x y + 2 x y + x y + 6 x y - 13 x y - 7 x y 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 16 9 - 4 x y - x y + 6 x y + 9 x y + 5 x y - x y 15 10 14 11 15 9 14 10 13 11 12 12 - 5 x y + x y + x y - 8 x y - 2 x y - x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 7 x y + 4 x y + 3 x y - 2 x y - 2 x y - x y 12 9 11 10 12 8 11 9 12 7 11 8 - 7 x y - 4 x y + 10 x y + 8 x y - 4 x y - 4 x y 10 9 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - 4 x y - x y + 8 x y - 4 x y + 2 x y - 6 x y + 7 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 - x y + 3 x y + x y - 3 x y - x y - 7 x y + 3 x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 + 2 x y + 5 x y + 2 x y + x y - 10 x y - 4 x y + 5 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 5 4 4 4 5 2 + x y + x y + x y + x y - x y + 3 x y + 6 x y - 2 x y 4 3 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 / - 2 x y - x y + 3 x y - x y - x y - x y + x y + x y + 1) / ( / 19 16 19 15 19 14 19 13 19 12 19 11 17 13 x y - 3 x y + x y + 6 x y - 9 x y + 5 x y + x y 19 10 17 12 16 13 17 11 16 12 17 10 - x y - 4 x y + x y + 6 x y - 3 x y - 4 x y 16 11 17 9 16 10 14 12 14 11 14 10 13 11 + 3 x y + x y - x y - x y + x y + x y + 2 x y 14 9 13 10 12 11 13 9 13 8 12 9 12 8 - x y - 6 x y - x y + 6 x y - 2 x y + 4 x y - 5 x y 11 9 12 7 11 8 12 6 10 8 11 6 10 7 - 2 x y + 3 x y + 3 x y - x y + x y - 2 x y - 2 x y 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 - x y + x y + x y + x y + x y - 2 x y - x y + 3 x y 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 6 5 - 3 x y - x y + 4 x y + x y - x y + x y - x y + 2 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 4 2 3 3 4 3 2 - x y + x y + 2 x y - 2 x y - x y - x y - x y + x y + x y 3 2 2 + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(x^19*y^17-6*x^19*y^16+15*x^19*y^15+x^18*y^16-20*x^19*y^14-3*x^18*y^15+15*x^19 *y^13+x^18*y^14-6*x^19*y^12+6*x^18*y^13+2*x^17*y^14+x^16*y^15+x^19*y^11-9*x^18* y^12-9*x^17*y^13-2*x^16*y^14+5*x^18*y^11+16*x^17*y^12-3*x^16*y^13-x^18*y^10-14* x^17*y^11+12*x^16*y^12+2*x^15*y^13+x^14*y^14+6*x^17*y^10-13*x^16*y^11-7*x^15*y^ 12-4*x^14*y^13-x^17*y^9+6*x^16*y^10+9*x^15*y^11+5*x^14*y^12-x^16*y^9-5*x^15*y^ 10+x^14*y^11+x^15*y^9-8*x^14*y^10-2*x^13*y^11-x^12*y^12+7*x^14*y^9+4*x^13*y^10+ 3*x^12*y^11-2*x^14*y^8-2*x^13*y^9-x^12*y^10-7*x^12*y^9-4*x^11*y^10+10*x^12*y^8+ 8*x^11*y^9-4*x^12*y^7-4*x^11*y^8-4*x^10*y^9-x^11*y^7+8*x^10*y^8-4*x^9*y^9+2*x^ 11*y^6-6*x^10*y^7+7*x^9*y^8-x^11*y^5+3*x^10*y^6+x^9*y^7-3*x^8*y^8-x^10*y^5-7*x^ 9*y^6+3*x^8*y^7+2*x^9*y^5+5*x^8*y^6+2*x^7*y^7+x^9*y^4-10*x^8*y^5-4*x^7*y^6+5*x^ 8*y^4+x^7*y^4+x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4-x^6*y^3+3*x^5*y^4+6*x^4*y^4-2*x^5*y^2-2*x ^4*y^3-x^4*y^2+3*x^3*y^3-x^4*y-x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2+x*y+1)/(x^19*y^16-3*x^19*y ^15+x^19*y^14+6*x^19*y^13-9*x^19*y^12+5*x^19*y^11+x^17*y^13-x^19*y^10-4*x^17*y^ 12+x^16*y^13+6*x^17*y^11-3*x^16*y^12-4*x^17*y^10+3*x^16*y^11+x^17*y^9-x^16*y^10 -x^14*y^12+x^14*y^11+x^14*y^10+2*x^13*y^11-x^14*y^9-6*x^13*y^10-x^12*y^11+6*x^ 13*y^9-2*x^13*y^8+4*x^12*y^9-5*x^12*y^8-2*x^11*y^9+3*x^12*y^7+3*x^11*y^8-x^12*y ^6+x^10*y^8-2*x^11*y^6-2*x^10*y^7-x^9*y^8+x^11*y^5+x^10*y^6+x^9*y^7+x^8*y^8-2*x ^9*y^6-x^8*y^7+3*x^9*y^5-3*x^8*y^6-x^9*y^4+4*x^8*y^5+x^7*y^6-x^8*y^4+x^7*y^5-x^ 6*y^6+2*x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^4+2*x^5*y^5-2*x^6*y^3-x^5*y^4-x^4*y^2-x^3*y^3+x^4 *y+x^3*y^2+x^3*y+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 2 11 10 9 7 6 5 4 3 2 (a + 2 a + 3 a - 3 a - 8 a - 6 a - 3 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) / 6 4 2 6 5 4 3 2 / ((7 a + 5 a + 3 a + 2 a + 1) (a + a + 2 a + a + a + a + 1)) / 7 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.7592089758 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7593219731 ------------------------------------------------ "Theorem Number 43" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 19 17 19 16 19 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 18 16 19 14 18 15 19 13 18 14 19 12 + x y - 20 x y - 3 x y + 15 x y + x y - 6 x y 18 13 17 14 16 15 19 11 18 12 17 13 + 6 x y + 2 x y + x y + x y - 9 x y - 9 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 - 2 x y + 5 x y + 16 x y - 3 x y - x y - 14 x y 16 12 15 13 14 14 17 10 16 11 15 12 + 12 x y + 2 x y + x y + 6 x y - 13 x y - 7 x y 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 16 9 - 4 x y - x y + 6 x y + 9 x y + 5 x y - x y 15 10 14 11 15 9 14 10 13 11 12 12 - 5 x y + x y + x y - 8 x y - 2 x y - x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 7 x y + 4 x y + 3 x y - 2 x y - 2 x y - x y 12 9 11 10 12 8 11 9 12 7 11 8 - 7 x y - 4 x y + 10 x y + 8 x y - 4 x y - 4 x y 10 9 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - 4 x y - x y + 8 x y - 4 x y + 2 x y - 6 x y + 7 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 - x y + 3 x y + x y - 3 x y - x y - 7 x y + 3 x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 + 2 x y + 5 x y + 2 x y + x y - 10 x y - 4 x y + 5 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 5 4 4 4 5 2 + x y + x y + x y + x y - x y + 3 x y + 6 x y - 2 x y 4 3 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 / - 2 x y - x y + 3 x y - x y - x y - x y + x y + x y + 1) / ( / 19 16 19 15 19 14 19 13 19 12 19 11 17 13 x y - 3 x y + x y + 6 x y - 9 x y + 5 x y + x y 19 10 17 12 16 13 17 11 16 12 17 10 - x y - 4 x y + x y + 6 x y - 3 x y - 4 x y 16 11 17 9 16 10 14 12 14 11 14 10 13 11 + 3 x y + x y - x y - x y + x y + x y + 2 x y 14 9 13 10 12 11 13 9 13 8 12 9 12 8 - x y - 6 x y - x y + 6 x y - 2 x y + 4 x y - 5 x y 11 9 12 7 11 8 12 6 10 8 11 6 10 7 - 2 x y + 3 x y + 3 x y - x y + x y - 2 x y - 2 x y 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 - x y + x y + x y + x y + x y - 2 x y - x y + 3 x y 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 6 5 - 3 x y - x y + 4 x y + x y - x y + x y - x y + 2 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 4 2 3 3 4 3 2 - x y + x y + 2 x y - 2 x y - x y - x y - x y + x y + x y 3 2 2 + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(x^19*y^17-6*x^19*y^16+15*x^19*y^15+x^18*y^16-20*x^19*y^14-3*x^18*y^15+15*x^19 *y^13+x^18*y^14-6*x^19*y^12+6*x^18*y^13+2*x^17*y^14+x^16*y^15+x^19*y^11-9*x^18* y^12-9*x^17*y^13-2*x^16*y^14+5*x^18*y^11+16*x^17*y^12-3*x^16*y^13-x^18*y^10-14* x^17*y^11+12*x^16*y^12+2*x^15*y^13+x^14*y^14+6*x^17*y^10-13*x^16*y^11-7*x^15*y^ 12-4*x^14*y^13-x^17*y^9+6*x^16*y^10+9*x^15*y^11+5*x^14*y^12-x^16*y^9-5*x^15*y^ 10+x^14*y^11+x^15*y^9-8*x^14*y^10-2*x^13*y^11-x^12*y^12+7*x^14*y^9+4*x^13*y^10+ 3*x^12*y^11-2*x^14*y^8-2*x^13*y^9-x^12*y^10-7*x^12*y^9-4*x^11*y^10+10*x^12*y^8+ 8*x^11*y^9-4*x^12*y^7-4*x^11*y^8-4*x^10*y^9-x^11*y^7+8*x^10*y^8-4*x^9*y^9+2*x^ 11*y^6-6*x^10*y^7+7*x^9*y^8-x^11*y^5+3*x^10*y^6+x^9*y^7-3*x^8*y^8-x^10*y^5-7*x^ 9*y^6+3*x^8*y^7+2*x^9*y^5+5*x^8*y^6+2*x^7*y^7+x^9*y^4-10*x^8*y^5-4*x^7*y^6+5*x^ 8*y^4+x^7*y^4+x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4-x^6*y^3+3*x^5*y^4+6*x^4*y^4-2*x^5*y^2-2*x ^4*y^3-x^4*y^2+3*x^3*y^3-x^4*y-x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2+x*y+1)/(x^19*y^16-3*x^19*y ^15+x^19*y^14+6*x^19*y^13-9*x^19*y^12+5*x^19*y^11+x^17*y^13-x^19*y^10-4*x^17*y^ 12+x^16*y^13+6*x^17*y^11-3*x^16*y^12-4*x^17*y^10+3*x^16*y^11+x^17*y^9-x^16*y^10 -x^14*y^12+x^14*y^11+x^14*y^10+2*x^13*y^11-x^14*y^9-6*x^13*y^10-x^12*y^11+6*x^ 13*y^9-2*x^13*y^8+4*x^12*y^9-5*x^12*y^8-2*x^11*y^9+3*x^12*y^7+3*x^11*y^8-x^12*y ^6+x^10*y^8-2*x^11*y^6-2*x^10*y^7-x^9*y^8+x^11*y^5+x^10*y^6+x^9*y^7+x^8*y^8-2*x ^9*y^6-x^8*y^7+3*x^9*y^5-3*x^8*y^6-x^9*y^4+4*x^8*y^5+x^7*y^6-x^8*y^4+x^7*y^5-x^ 6*y^6+2*x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^4+2*x^5*y^5-2*x^6*y^3-x^5*y^4-x^4*y^2-x^3*y^3+x^4 *y+x^3*y^2+x^3*y+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 2 11 10 9 7 6 5 4 3 2 (a + 2 a + 3 a - 3 a - 8 a - 6 a - 3 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) / 6 4 2 6 5 4 3 2 / ((7 a + 5 a + 3 a + 2 a + 1) (a + a + 2 a + a + a + a + 1)) / 7 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.7592089758 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7593219731 ------------------------------------------------ "Theorem Number 44" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 19 22 18 22 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 12 x y + 30 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 18 22 16 21 17 22 15 21 16 + 3 x y - 40 x y - 18 x y + 30 x y + 45 x y 20 17 22 14 21 15 20 16 19 17 22 13 + 3 x y - 12 x y - 60 x y - 16 x y + 2 x y + 2 x y 21 14 20 15 19 16 21 13 20 14 + 45 x y + 35 x y - 3 x y - 18 x y - 40 x y 19 15 18 16 21 12 20 13 19 14 - 15 x y + 5 x y + 3 x y + 25 x y + 50 x y 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 - 20 x y - 8 x y - 60 x y + 25 x y + 6 x y + x y 19 12 17 14 19 11 18 12 17 13 + 33 x y - 27 x y - 7 x y - 25 x y + 47 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + 4 x y + 20 x y - 38 x y - 16 x y - 2 x y - 5 x y 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 + 12 x y + 24 x y + 5 x y + x y - 16 x y - 2 x y 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 - 8 x y - x y + 4 x y - 5 x y + 26 x y + 2 x y 15 10 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 + 7 x y - 32 x y - 16 x y - 4 x y + 20 x y + 28 x y 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 + x y + x y - 8 x y - 8 x y - 11 x y + 2 x y 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 - 14 x y + 13 x y + x y + 8 x y + 17 x y - 9 x y 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 11 7 - 34 x y + 16 x y + x y + 14 x y - 2 x y - 13 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 - 6 x y - 2 x y + 7 x y + 10 x y + 9 x y - 7 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 - 18 x y - 3 x y + 2 x y + 18 x y + 7 x y - 8 x y - 8 x y 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 - 4 x y + x y + 6 x y + 2 x y - 2 x y + 3 x y - 4 x y 6 5 7 3 6 3 5 4 5 3 4 4 4 3 + 3 x y - x y + x y - 3 x y + 3 x y + 6 x y - 7 x y 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 + 2 x y + 3 x y - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / 16 12 16 11 16 10 14 12 16 9 15 10 / (x y - 3 x y + 3 x y - x y - x y - x y / 14 11 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 3 x y + 2 x y - 5 x y - x y - x y + 5 x y 13 10 14 8 13 9 13 8 12 9 12 8 11 9 + 3 x y - 2 x y - 3 x y + x y - x y + x y - x y 11 8 10 9 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 + 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y + x y + x y + x y 9 7 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 - x y - 3 x y + x y + 4 x y + x y - x y - x y + 2 x y 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 5 4 5 3 4 3 - x y - x y - x y + x y + 2 x y - x y - x y + x y - x y 3 3 3 + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(2*x^22*y^19-12*x^22*y^18+30*x^22*y^17+3*x^21*y^18-40*x^22*y^16-18*x^21*y^17+ 30*x^22*y^15+45*x^21*y^16+3*x^20*y^17-12*x^22*y^14-60*x^21*y^15-16*x^20*y^16+2* x^19*y^17+2*x^22*y^13+45*x^21*y^14+35*x^20*y^15-3*x^19*y^16-18*x^21*y^13-40*x^ 20*y^14-15*x^19*y^15+5*x^18*y^16+3*x^21*y^12+25*x^20*y^13+50*x^19*y^14-20*x^18* y^15-8*x^20*y^12-60*x^19*y^13+25*x^18*y^14+6*x^17*y^15+x^20*y^11+33*x^19*y^12-\ 27*x^17*y^14-7*x^19*y^11-25*x^18*y^12+47*x^17*y^13+4*x^16*y^14+20*x^18*y^11-38* x^17*y^12-16*x^16*y^13-2*x^15*y^14-5*x^18*y^10+12*x^17*y^11+24*x^16*y^12+5*x^15 *y^13+x^17*y^10-16*x^16*y^11-2*x^15*y^12-8*x^14*y^13-x^17*y^9+4*x^16*y^10-5*x^ 15*y^11+26*x^14*y^12+2*x^13*y^13+7*x^15*y^10-32*x^14*y^11-16*x^13*y^12-4*x^15*y ^9+20*x^14*y^10+28*x^13*y^11+x^12*y^12+x^15*y^8-8*x^14*y^9-8*x^13*y^10-11*x^12* y^11+2*x^14*y^8-14*x^13*y^9+13*x^12*y^10+x^11*y^11+8*x^13*y^8+17*x^12*y^9-9*x^ 11*y^10-34*x^12*y^8+16*x^11*y^9+x^10*y^10+14*x^12*y^7-2*x^11*y^8-13*x^11*y^7-6* x^10*y^8-2*x^9*y^9+7*x^11*y^6+10*x^10*y^7+9*x^9*y^8-7*x^10*y^6-18*x^9*y^7-3*x^8 *y^8+2*x^10*y^5+18*x^9*y^6+7*x^8*y^7-8*x^9*y^5-8*x^8*y^6-4*x^7*y^7+x^9*y^4+6*x^ 8*y^5+2*x^7*y^6-2*x^8*y^4+3*x^7*y^5-4*x^6*y^6+3*x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^3-3*x^5*y ^4+3*x^5*y^3+6*x^4*y^4-7*x^4*y^3+2*x^4*y^2+3*x^3*y^3-4*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-\ 2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^16*y^12-3*x^16*y^11+3*x^16*y^10-x^14*y^12-x^16*y^9-x^15*y^ 10+3*x^14*y^11+2*x^15*y^9-5*x^14*y^10-x^13*y^11-x^15*y^8+5*x^14*y^9+3*x^13*y^10 -2*x^14*y^8-3*x^13*y^9+x^13*y^8-x^12*y^9+x^12*y^8-x^11*y^9+2*x^11*y^8+x^10*y^9-\ 2*x^11*y^7-2*x^10*y^8+x^11*y^6+x^10*y^7+x^9*y^8-x^9*y^7-3*x^9*y^6+x^8*y^7+4*x^9 *y^5+x^8*y^6-x^9*y^4-x^8*y^5+2*x^7*y^6-x^7*y^5-x^7*y^4-x^6*y^5+x^7*y^3+2*x^6*y^ 4-x^6*y^3-x^5*y^4+x^5*y^3-x^4*y^3+x^3*y^3-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (2 a + 5 a 12 11 10 9 8 7 6 5 4 / + 4 a + a - 4 a - 5 a - 3 a + 9 a + 9 a + a - 8 a + 1) / ( / 7 6 3 4 (8 a + 7 a - 4 a + 2) (a + 1)) 8 7 4 where a is the root of the polynomial, x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7591743990 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7590293289 ------------------------------------------------ "Theorem Number 45" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [1, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 19 22 18 22 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 12 x y + 30 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 18 22 16 21 17 22 15 21 16 + 3 x y - 40 x y - 18 x y + 30 x y + 45 x y 20 17 22 14 21 15 20 16 19 17 22 13 + 3 x y - 12 x y - 60 x y - 16 x y + 2 x y + 2 x y 21 14 20 15 19 16 21 13 20 14 + 45 x y + 35 x y - 3 x y - 18 x y - 40 x y 19 15 18 16 21 12 20 13 19 14 - 15 x y + 5 x y + 3 x y + 25 x y + 50 x y 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 - 20 x y - 8 x y - 60 x y + 25 x y + 6 x y + x y 19 12 17 14 19 11 18 12 17 13 + 33 x y - 27 x y - 7 x y - 25 x y + 47 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + 4 x y + 20 x y - 38 x y - 16 x y - 2 x y - 5 x y 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 + 12 x y + 24 x y + 5 x y + x y - 16 x y - 2 x y 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 - 8 x y - x y + 4 x y - 5 x y + 26 x y + 2 x y 15 10 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 + 7 x y - 32 x y - 16 x y - 4 x y + 20 x y + 28 x y 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 + x y + x y - 8 x y - 8 x y - 11 x y + 2 x y 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 - 14 x y + 13 x y + x y + 8 x y + 17 x y - 9 x y 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 11 7 - 34 x y + 16 x y + x y + 14 x y - 2 x y - 13 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 - 6 x y - 2 x y + 7 x y + 10 x y + 9 x y - 7 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 - 18 x y - 3 x y + 2 x y + 18 x y + 7 x y - 8 x y - 8 x y 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 - 4 x y + x y + 6 x y + 2 x y - 2 x y + 3 x y - 4 x y 6 5 7 3 6 3 5 4 5 3 4 4 4 3 + 3 x y - x y + x y - 3 x y + 3 x y + 6 x y - 7 x y 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 + 2 x y + 3 x y - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / 16 12 16 11 16 10 14 12 16 9 15 10 / (x y - 3 x y + 3 x y - x y - x y - x y / 14 11 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 3 x y + 2 x y - 5 x y - x y - x y + 5 x y 13 10 14 8 13 9 13 8 12 9 12 8 11 9 + 3 x y - 2 x y - 3 x y + x y - x y + x y - x y 11 8 10 9 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 + 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y + x y + x y + x y 9 7 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 - x y - 3 x y + x y + 4 x y + x y - x y - x y + 2 x y 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 5 4 5 3 4 3 - x y - x y - x y + x y + 2 x y - x y - x y + x y - x y 3 3 3 + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(2*x^22*y^19-12*x^22*y^18+30*x^22*y^17+3*x^21*y^18-40*x^22*y^16-18*x^21*y^17+ 30*x^22*y^15+45*x^21*y^16+3*x^20*y^17-12*x^22*y^14-60*x^21*y^15-16*x^20*y^16+2* x^19*y^17+2*x^22*y^13+45*x^21*y^14+35*x^20*y^15-3*x^19*y^16-18*x^21*y^13-40*x^ 20*y^14-15*x^19*y^15+5*x^18*y^16+3*x^21*y^12+25*x^20*y^13+50*x^19*y^14-20*x^18* y^15-8*x^20*y^12-60*x^19*y^13+25*x^18*y^14+6*x^17*y^15+x^20*y^11+33*x^19*y^12-\ 27*x^17*y^14-7*x^19*y^11-25*x^18*y^12+47*x^17*y^13+4*x^16*y^14+20*x^18*y^11-38* x^17*y^12-16*x^16*y^13-2*x^15*y^14-5*x^18*y^10+12*x^17*y^11+24*x^16*y^12+5*x^15 *y^13+x^17*y^10-16*x^16*y^11-2*x^15*y^12-8*x^14*y^13-x^17*y^9+4*x^16*y^10-5*x^ 15*y^11+26*x^14*y^12+2*x^13*y^13+7*x^15*y^10-32*x^14*y^11-16*x^13*y^12-4*x^15*y ^9+20*x^14*y^10+28*x^13*y^11+x^12*y^12+x^15*y^8-8*x^14*y^9-8*x^13*y^10-11*x^12* y^11+2*x^14*y^8-14*x^13*y^9+13*x^12*y^10+x^11*y^11+8*x^13*y^8+17*x^12*y^9-9*x^ 11*y^10-34*x^12*y^8+16*x^11*y^9+x^10*y^10+14*x^12*y^7-2*x^11*y^8-13*x^11*y^7-6* x^10*y^8-2*x^9*y^9+7*x^11*y^6+10*x^10*y^7+9*x^9*y^8-7*x^10*y^6-18*x^9*y^7-3*x^8 *y^8+2*x^10*y^5+18*x^9*y^6+7*x^8*y^7-8*x^9*y^5-8*x^8*y^6-4*x^7*y^7+x^9*y^4+6*x^ 8*y^5+2*x^7*y^6-2*x^8*y^4+3*x^7*y^5-4*x^6*y^6+3*x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^3-3*x^5*y ^4+3*x^5*y^3+6*x^4*y^4-7*x^4*y^3+2*x^4*y^2+3*x^3*y^3-4*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-\ 2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^16*y^12-3*x^16*y^11+3*x^16*y^10-x^14*y^12-x^16*y^9-x^15*y^ 10+3*x^14*y^11+2*x^15*y^9-5*x^14*y^10-x^13*y^11-x^15*y^8+5*x^14*y^9+3*x^13*y^10 -2*x^14*y^8-3*x^13*y^9+x^13*y^8-x^12*y^9+x^12*y^8-x^11*y^9+2*x^11*y^8+x^10*y^9-\ 2*x^11*y^7-2*x^10*y^8+x^11*y^6+x^10*y^7+x^9*y^8-x^9*y^7-3*x^9*y^6+x^8*y^7+4*x^9 *y^5+x^8*y^6-x^9*y^4-x^8*y^5+2*x^7*y^6-x^7*y^5-x^7*y^4-x^6*y^5+x^7*y^3+2*x^6*y^ 4-x^6*y^3-x^5*y^4+x^5*y^3-x^4*y^3+x^3*y^3-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (2 a + 5 a 12 11 10 9 8 7 6 5 4 / + 4 a + a - 4 a - 5 a - 3 a + 9 a + 9 a + a - 8 a + 1) / ( / 7 6 3 4 (8 a + 7 a - 4 a + 2) (a + 1)) 8 7 4 where a is the root of the polynomial, x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7591743990 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7590293289 ------------------------------------------------ "Theorem Number 46" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 15 18 14 18 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y + 6 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 14 18 12 17 13 18 11 17 12 16 13 + 2 x y - 4 x y - 8 x y + x y + 12 x y + x y 17 11 16 12 17 10 16 11 15 12 16 10 - 8 x y - 4 x y + 2 x y + 6 x y - 2 x y - 4 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 + 8 x y + 2 x y - x y + x y - 12 x y - 6 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 + 3 x y + 8 x y + 5 x y - 5 x y - 2 x y - 2 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 11 11 14 7 + x y + 2 x y + 3 x y - 3 x y + 5 x y - x y + x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 - 3 x y - 2 x y - x y - 3 x y + 2 x y + 8 x y 10 10 13 6 11 8 10 9 12 6 11 7 + 3 x y + 2 x y - 11 x y - 7 x y - 2 x y + 7 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 10 6 + 5 x y - x y + x y - 2 x y - 3 x y - x y + 3 x y 9 7 8 8 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 + 5 x y + 3 x y - 6 x y + x y - x y + 5 x y - x y + 2 x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 - 2 x y - 4 x y + 2 x y + 2 x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y 6 5 7 3 5 5 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 - 3 x y + x y + x y + x y + 6 x y - x y - 3 x y - x y 3 3 3 2 2 2 2 / 11 8 11 7 + 3 x y - 2 x y + 2 x y - x y + x y + 1) / (x y - 3 x y / 11 6 10 7 11 5 10 6 10 5 8 5 8 4 6 6 + 3 x y - x y - x y + 2 x y - x y - x y + 2 x y - x y 8 3 6 5 6 4 5 5 6 3 6 2 5 3 5 2 4 3 - x y + x y + x y + x y - 2 x y + x y - x y + x y - x y 4 2 3 3 2 + x y + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation -(x^18*y^15-4*x^18*y^14+6*x^18*y^13+2*x^17*y^14-4*x^18*y^12-8*x^17*y^13+x^18*y^ 11+12*x^17*y^12+x^16*y^13-8*x^17*y^11-4*x^16*y^12+2*x^17*y^10+6*x^16*y^11-2*x^ 15*y^12-4*x^16*y^10+8*x^15*y^11+2*x^14*y^12-x^13*y^13+x^16*y^9-12*x^15*y^10-6*x ^14*y^11+3*x^13*y^12+8*x^15*y^9+5*x^14*y^10-5*x^13*y^11-2*x^12*y^12-2*x^15*y^8+ x^14*y^9+2*x^13*y^10+3*x^12*y^11-3*x^14*y^8+5*x^13*y^9-x^11*y^11+x^14*y^7-3*x^ 13*y^8-2*x^12*y^9-x^11*y^10-3*x^13*y^7+2*x^12*y^8+8*x^11*y^9+3*x^10*y^10+2*x^13 *y^6-11*x^11*y^8-7*x^10*y^9-2*x^12*y^6+7*x^11*y^7+5*x^10*y^8-x^9*y^9+x^12*y^5-2 *x^11*y^6-3*x^10*y^7-x^9*y^8+3*x^10*y^6+5*x^9*y^7+3*x^8*y^8-6*x^9*y^6+x^8*y^7-x ^10*y^4+5*x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^7*y^7-2*x^9*y^4-4*x^8*y^5+2*x^7*y^6+2*x^8*y^4-2*x ^7*y^5+4*x^6*y^6-2*x^7*y^4-3*x^6*y^5+x^7*y^3+x^5*y^5+x^5*y^3+6*x^4*y^4-x^5*y^2-\ 3*x^4*y^3-x^4*y^2+3*x^3*y^3-2*x^3*y^2+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y+1)/(x^11*y^8-3*x^11*y ^7+3*x^11*y^6-x^10*y^7-x^11*y^5+2*x^10*y^6-x^10*y^5-x^8*y^5+2*x^8*y^4-x^6*y^6-x ^8*y^3+x^6*y^5+x^6*y^4+x^5*y^5-2*x^6*y^3+x^6*y^2-x^5*y^3+x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y^ 2+x^3*y^3+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 12 11 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (5 a + 4 a 10 9 8 7 6 5 4 3 2 + 8 a + 12 a + 18 a + 6 a + 5 a + 4 a + 3 a - 4 a - 3 a - 2 a / 4 2 4 3 2 4 - 1) / ((5 a + 3 a + 2 a + 1) (a + a + a + a + 1) (a + 1)) / 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.7576181268 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7580073123 ------------------------------------------------ "Theorem Number 47" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [1, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y + 7 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 14 11 13 12 14 10 13 11 12 12 + x y - 8 x y - 6 x y + 7 x y + 15 x y + 2 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 4 x y - 20 x y - 7 x y + x y + 15 x y + 11 x y 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 - x y - 6 x y - 12 x y + 5 x y + x y + 10 x y 11 9 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - 8 x y - 5 x y + 3 x y - x y + x y + 4 x y - x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 - 4 x y + 5 x y - 3 x y + x y - 3 x y + 5 x y - 4 x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 - x y + x y - x y + 8 x y - 5 x y - 7 x y + 6 x y + 2 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 2 x y - 2 x y + 6 x y + x y - 5 x y + x y + x y - x y 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 + 6 x y - 5 x y + x y + 3 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x / 15 13 15 12 15 11 14 12 15 10 + 1) / (2 x y - 8 x y + 12 x y - x y - 8 x y / 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 14 9 + 4 x y + x y + 2 x y - 6 x y - 3 x y + 4 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 13 8 + 4 x y - x y - x y - 4 x y + 5 x y + 3 x y 12 9 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 10 9 - 10 x y - x y + 10 x y - 3 x y - 5 x y + 6 x y + x y 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 + x y - 4 x y - 5 x y + 2 x y + 7 x y - 3 x y - x y 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 8 5 7 6 - 3 x y + 5 x y - 5 x y - x y + 3 x y + x y + 3 x y 7 5 7 4 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 - 3 x y + x y - x y + x y + x y - x y - x y + 2 x y 4 3 4 2 3 3 2 2 2 + x y - x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^14*y^14-4*x^14*y^13+7*x^14*y^12+x^13*y^13-8*x^14*y^11-6*x^13*y^12+7*x^14*y^ 10+15*x^13*y^11+2*x^12*y^12-4*x^14*y^9-20*x^13*y^10-7*x^12*y^11+x^14*y^8+15*x^ 13*y^9+11*x^12*y^10-x^11*y^11-6*x^13*y^8-12*x^12*y^9+5*x^11*y^10+x^13*y^7+10*x^ 12*y^8-8*x^11*y^9-5*x^12*y^7+3*x^11*y^8-x^10*y^9+x^12*y^6+4*x^11*y^7-x^10*y^8-4 *x^11*y^6+5*x^10*y^7-3*x^9*y^8+x^11*y^5-3*x^10*y^6+5*x^9*y^7-4*x^8*y^8-x^9*y^6+ x^8*y^7-x^9*y^5+8*x^8*y^6-5*x^7*y^7-7*x^8*y^5+6*x^7*y^6+2*x^8*y^4-2*x^6*y^6-2*x ^7*y^4+6*x^6*y^5+x^7*y^3-5*x^6*y^4+x^5*y^5+x^6*y^3-x^5*y^4+6*x^4*y^4-5*x^4*y^3+ x^4*y^2+3*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(2*x^15*y^13-8*x^15*y^12+12* x^15*y^11-x^14*y^12-8*x^15*y^10+4*x^14*y^11+x^13*y^12+2*x^15*y^9-6*x^14*y^10-3* x^13*y^11+4*x^14*y^9+4*x^13*y^10-x^12*y^11-x^14*y^8-4*x^13*y^9+5*x^12*y^10+3*x^ 13*y^8-10*x^12*y^9-x^13*y^7+10*x^12*y^8-3*x^11*y^9-5*x^12*y^7+6*x^11*y^8+x^10*y ^9+x^12*y^6-4*x^11*y^7-5*x^10*y^8+2*x^11*y^6+7*x^10*y^7-3*x^9*y^8-x^11*y^5-3*x^ 10*y^6+5*x^9*y^7-5*x^9*y^6-x^8*y^7+3*x^9*y^5+x^8*y^5+3*x^7*y^6-3*x^7*y^5+x^7*y^ 4-x^7*y^3+x^6*y^4+x^5*y^5-x^6*y^3-x^5*y^4+2*x^5*y^3+x^4*y^3-x^4*y^2-x^3*y^3+x^2 *y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 3 2 (a - a - a - a + 5 a - 2 a - 1) - --------------------------------------- 4 2 4 3 (10 a - 3 a + 2) (2 a + a + 1) 5 3 where a is the root of the polynomial, 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7575589550 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7577177240 ------------------------------------------------ "Theorem Number 48" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [1, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y + 7 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 14 11 13 12 14 10 13 11 12 12 + x y - 8 x y - 6 x y + 7 x y + 15 x y + 2 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 4 x y - 20 x y - 7 x y + x y + 15 x y + 11 x y 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 - x y - 6 x y - 12 x y + 5 x y + x y + 10 x y 11 9 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - 8 x y - 5 x y + 3 x y - x y + x y + 4 x y - x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 - 4 x y + 5 x y - 3 x y + x y - 3 x y + 5 x y - 4 x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 - x y + x y - x y + 8 x y - 5 x y - 7 x y + 6 x y + 2 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 2 x y - 2 x y + 6 x y + x y - 5 x y + x y + x y - x y 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 + 6 x y - 5 x y + x y + 3 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x / 15 13 15 12 15 11 14 12 15 10 + 1) / (2 x y - 8 x y + 12 x y - x y - 8 x y / 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 14 9 + 4 x y + x y + 2 x y - 6 x y - 3 x y + 4 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 13 8 + 4 x y - x y - x y - 4 x y + 5 x y + 3 x y 12 9 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 10 9 - 10 x y - x y + 10 x y - 3 x y - 5 x y + 6 x y + x y 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 + x y - 4 x y - 5 x y + 2 x y + 7 x y - 3 x y - x y 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 8 5 7 6 - 3 x y + 5 x y - 5 x y - x y + 3 x y + x y + 3 x y 7 5 7 4 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 - 3 x y + x y - x y + x y + x y - x y - x y + 2 x y 4 3 4 2 3 3 2 2 2 + x y - x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^14*y^14-4*x^14*y^13+7*x^14*y^12+x^13*y^13-8*x^14*y^11-6*x^13*y^12+7*x^14*y^ 10+15*x^13*y^11+2*x^12*y^12-4*x^14*y^9-20*x^13*y^10-7*x^12*y^11+x^14*y^8+15*x^ 13*y^9+11*x^12*y^10-x^11*y^11-6*x^13*y^8-12*x^12*y^9+5*x^11*y^10+x^13*y^7+10*x^ 12*y^8-8*x^11*y^9-5*x^12*y^7+3*x^11*y^8-x^10*y^9+x^12*y^6+4*x^11*y^7-x^10*y^8-4 *x^11*y^6+5*x^10*y^7-3*x^9*y^8+x^11*y^5-3*x^10*y^6+5*x^9*y^7-4*x^8*y^8-x^9*y^6+ x^8*y^7-x^9*y^5+8*x^8*y^6-5*x^7*y^7-7*x^8*y^5+6*x^7*y^6+2*x^8*y^4-2*x^6*y^6-2*x ^7*y^4+6*x^6*y^5+x^7*y^3-5*x^6*y^4+x^5*y^5+x^6*y^3-x^5*y^4+6*x^4*y^4-5*x^4*y^3+ x^4*y^2+3*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(2*x^15*y^13-8*x^15*y^12+12* x^15*y^11-x^14*y^12-8*x^15*y^10+4*x^14*y^11+x^13*y^12+2*x^15*y^9-6*x^14*y^10-3* x^13*y^11+4*x^14*y^9+4*x^13*y^10-x^12*y^11-x^14*y^8-4*x^13*y^9+5*x^12*y^10+3*x^ 13*y^8-10*x^12*y^9-x^13*y^7+10*x^12*y^8-3*x^11*y^9-5*x^12*y^7+6*x^11*y^8+x^10*y ^9+x^12*y^6-4*x^11*y^7-5*x^10*y^8+2*x^11*y^6+7*x^10*y^7-3*x^9*y^8-x^11*y^5-3*x^ 10*y^6+5*x^9*y^7-5*x^9*y^6-x^8*y^7+3*x^9*y^5+x^8*y^5+3*x^7*y^6-3*x^7*y^5+x^7*y^ 4-x^7*y^3+x^6*y^4+x^5*y^5-x^6*y^3-x^5*y^4+2*x^5*y^3+x^4*y^3-x^4*y^2-x^3*y^3+x^2 *y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 3 2 (a - a - a - a + 5 a - 2 a - 1) - --------------------------------------- 4 2 4 3 (10 a - 3 a + 2) (2 a + a + 1) 5 3 where a is the root of the polynomial, 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7575589550 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7577177240 ------------------------------------------------ "Theorem Number 49" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [2, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 28 24 28 23 28 22 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 8 x y + 28 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 27 23 28 21 27 22 28 20 27 21 26 22 + x y - 56 x y - 8 x y + 70 x y + 28 x y + 2 x y 28 19 27 20 26 21 28 18 27 19 - 56 x y - 56 x y - 15 x y + 28 x y + 70 x y 26 20 25 21 24 22 28 17 27 18 26 19 + 50 x y + 3 x y + 2 x y - 8 x y - 56 x y - 97 x y 25 20 24 21 28 16 27 17 26 18 - 18 x y - 10 x y + x y + 28 x y + 120 x y 25 19 24 20 23 21 27 16 26 17 25 18 + 46 x y + 19 x y + x y - 8 x y - 97 x y - 66 x y 24 19 23 20 27 15 26 16 25 17 24 18 - 16 x y - 4 x y + x y + 50 x y + 60 x y + 3 x y 23 19 22 20 26 15 25 16 24 17 23 18 - x y + x y - 15 x y - 38 x y + 9 x y + 30 x y 22 19 26 14 25 15 24 16 23 17 - 6 x y + 2 x y + 18 x y - 20 x y - 66 x y 22 18 25 14 24 15 23 16 22 17 21 18 + 10 x y - 6 x y + 26 x y + 70 x y + 6 x y + 4 x y 20 19 25 13 24 14 23 15 22 16 21 17 + 2 x y + x y - 19 x y - 46 x y - 42 x y - 22 x y 20 18 24 13 23 14 22 15 21 16 20 17 - 7 x y + 7 x y + 26 x y + 66 x y + 50 x y + 8 x y 19 18 24 12 23 13 22 14 21 15 20 16 + 2 x y - x y - 15 x y - 64 x y - 58 x y - 15 x y 19 17 23 12 22 13 21 14 20 15 - 15 x y + 6 x y + 50 x y + 30 x y + 48 x y 19 16 18 17 23 11 22 12 21 13 20 14 + 25 x y - 3 x y - x y - 31 x y + 5 x y - 67 x y 19 15 18 16 22 11 21 12 20 13 19 14 - 5 x y + 5 x y + 12 x y - 14 x y + 32 x y + 5 x y 18 15 17 16 22 10 21 11 20 12 19 13 - 12 x y - x y - 2 x y + 4 x y + 7 x y - 52 x y 18 14 17 15 21 10 20 11 19 12 + 58 x y + 3 x y + 2 x y - 10 x y + 56 x y 18 13 17 14 16 15 21 9 20 10 19 11 - 96 x y - 13 x y - 2 x y - x y + 2 x y - 8 x y 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 + 46 x y + 63 x y + 6 x y - 12 x y + 13 x y 17 12 16 13 15 14 19 9 18 10 - 128 x y - 10 x y - 5 x y + 4 x y - 5 x y 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 17 10 + 104 x y + 30 x y - 4 x y - x y - 10 x y - 16 x y 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 16 10 - 66 x y + 43 x y - 13 x y + 4 x y - 16 x y + 69 x y 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 14 11 - 35 x y + 37 x y + 2 x y - 30 x y - 33 x y + 5 x y 13 12 17 7 16 8 15 9 14 10 13 11 + x y + 2 x y + x y + 50 x y - 66 x y + 24 x y 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 + 2 x y - 17 x y + 32 x y - 27 x y + 12 x y + x y 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 + 13 x y - 35 x y - x y - 4 x y - 6 x y + 44 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 - 29 x y + 26 x y - x y - 2 x y + 3 x y - 33 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 + x y - 4 x y + 23 x y + 2 x y + x y - x y - 6 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 + 7 x y - 6 x y + 8 x y - 2 x y + 6 x y + 5 x y - 7 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 - 4 x y - 2 x y - x y + 11 x y + 2 x y - 5 x y - 18 x y 10 4 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 - x y + 5 x y + x y - 3 x y + 4 x y - 3 x y + x y + 3 x y 6 6 7 4 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 - 6 x y + x y + 4 x y - 8 x y + 9 x y - 2 x y + 2 x y 4 2 / 26 20 25 21 26 19 25 20 26 18 - 2 x y + 1) / (x y + x y - 6 x y - 6 x y + 15 x y / 25 19 24 20 26 17 25 18 24 19 26 16 + 16 x y + x y - 20 x y - 26 x y - 6 x y + 15 x y 25 17 24 18 26 15 25 16 24 17 23 18 + 30 x y + 15 x y - 6 x y - 26 x y - 21 x y - x y 26 14 25 15 24 16 23 17 22 18 21 19 + x y + 16 x y + 20 x y + 4 x y + x y + x y 25 14 24 15 23 16 22 17 21 18 25 13 - 6 x y - 16 x y - 6 x y - 4 x y - 4 x y + x y 24 14 23 15 22 16 21 17 24 13 23 14 + 11 x y + 5 x y + 5 x y + 7 x y - 5 x y - 5 x y 21 16 24 12 23 13 22 14 21 15 20 16 - 10 x y + x y + 6 x y - 5 x y + 13 x y - 3 x y 19 17 23 12 22 13 21 14 20 15 19 16 - x y - 4 x y + 4 x y - 8 x y + 8 x y + 3 x y 23 11 22 12 21 13 20 14 19 15 21 12 + x y - x y - 2 x y - 3 x y - 8 x y + 2 x y 20 13 19 14 21 11 20 12 19 13 18 14 - 8 x y + 17 x y + 4 x y + 7 x y - 14 x y - x y 17 15 21 10 19 12 18 13 17 14 21 9 + 2 x y - 4 x y - 2 x y + 6 x y - 8 x y + x y 20 10 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 - x y + 5 x y - 10 x y + 11 x y - 3 x y + 2 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 19 9 18 10 + 4 x y - 4 x y + 3 x y - x y - 2 x y + 3 x y 17 11 16 12 18 9 16 11 15 12 17 9 - 2 x y + 8 x y - 2 x y - 9 x y + 2 x y - x y 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 - 3 x y + 5 x y + 2 x y + 4 x y + 2 x y - 6 x y 17 7 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 - 2 x y + 4 x y - 6 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 + 7 x y - 2 x y + 2 x y - x y - x y - 7 x y - 2 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 12 8 + 4 x y + 2 x y + 7 x y - 2 x y - x y - 5 x y 11 9 12 7 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 + 5 x y - x y + 5 x y + x y - x y - 5 x y - 4 x y 12 5 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 9 6 + 2 x y - 5 x y + 3 x y + 2 x y + 3 x y - 3 x y - x y 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 7 6 7 5 7 4 - 2 x y + x y + x y + x y + x y - 6 x y + 3 x y + x y 6 5 6 4 5 4 5 3 4 4 4 2 + 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^28*y^24-8*x^28*y^23+28*x^28*y^22+x^27*y^23-56*x^28*y^21-8*x^27*y^22+70*x^28 *y^20+28*x^27*y^21+2*x^26*y^22-56*x^28*y^19-56*x^27*y^20-15*x^26*y^21+28*x^28*y ^18+70*x^27*y^19+50*x^26*y^20+3*x^25*y^21+2*x^24*y^22-8*x^28*y^17-56*x^27*y^18-\ 97*x^26*y^19-18*x^25*y^20-10*x^24*y^21+x^28*y^16+28*x^27*y^17+120*x^26*y^18+46* x^25*y^19+19*x^24*y^20+x^23*y^21-8*x^27*y^16-97*x^26*y^17-66*x^25*y^18-16*x^24* y^19-4*x^23*y^20+x^27*y^15+50*x^26*y^16+60*x^25*y^17+3*x^24*y^18-x^23*y^19+x^22 *y^20-15*x^26*y^15-38*x^25*y^16+9*x^24*y^17+30*x^23*y^18-6*x^22*y^19+2*x^26*y^ 14+18*x^25*y^15-20*x^24*y^16-66*x^23*y^17+10*x^22*y^18-6*x^25*y^14+26*x^24*y^15 +70*x^23*y^16+6*x^22*y^17+4*x^21*y^18+2*x^20*y^19+x^25*y^13-19*x^24*y^14-46*x^ 23*y^15-42*x^22*y^16-22*x^21*y^17-7*x^20*y^18+7*x^24*y^13+26*x^23*y^14+66*x^22* y^15+50*x^21*y^16+8*x^20*y^17+2*x^19*y^18-x^24*y^12-15*x^23*y^13-64*x^22*y^14-\ 58*x^21*y^15-15*x^20*y^16-15*x^19*y^17+6*x^23*y^12+50*x^22*y^13+30*x^21*y^14+48 *x^20*y^15+25*x^19*y^16-3*x^18*y^17-x^23*y^11-31*x^22*y^12+5*x^21*y^13-67*x^20* y^14-5*x^19*y^15+5*x^18*y^16+12*x^22*y^11-14*x^21*y^12+32*x^20*y^13+5*x^19*y^14 -12*x^18*y^15-x^17*y^16-2*x^22*y^10+4*x^21*y^11+7*x^20*y^12-52*x^19*y^13+58*x^ 18*y^14+3*x^17*y^15+2*x^21*y^10-10*x^20*y^11+56*x^19*y^12-96*x^18*y^13-13*x^17* y^14-2*x^16*y^15-x^21*y^9+2*x^20*y^10-8*x^19*y^11+46*x^18*y^12+63*x^17*y^13+6*x ^16*y^14-12*x^19*y^10+13*x^18*y^11-128*x^17*y^12-10*x^16*y^13-5*x^15*y^14+4*x^ 19*y^9-5*x^18*y^10+104*x^17*y^11+30*x^16*y^12-4*x^15*y^13-x^14*y^14-10*x^18*y^9 -16*x^17*y^10-66*x^16*y^11+43*x^15*y^12-13*x^14*y^13+4*x^18*y^8-16*x^17*y^9+69* x^16*y^10-35*x^15*y^11+37*x^14*y^12+2*x^17*y^8-30*x^16*y^9-33*x^15*y^10+5*x^14* y^11+x^13*y^12+2*x^17*y^7+x^16*y^8+50*x^15*y^9-66*x^14*y^10+24*x^13*y^11+2*x^16 *y^7-17*x^15*y^8+32*x^14*y^9-27*x^13*y^10+12*x^12*y^11+x^15*y^7+13*x^14*y^8-35* x^13*y^9-x^12*y^10-4*x^11*y^11-6*x^14*y^7+44*x^13*y^8-29*x^12*y^9+26*x^11*y^10- x^14*y^6-2*x^13*y^7+3*x^12*y^8-33*x^11*y^9+x^10*y^10-4*x^13*y^6+23*x^12*y^7+2*x ^11*y^8+x^10*y^9-x^13*y^5-6*x^12*y^6+7*x^11*y^7-6*x^10*y^8+8*x^9*y^9-2*x^12*y^5 +6*x^11*y^6+5*x^10*y^7-7*x^9*y^8-4*x^11*y^5-2*x^10*y^6-x^9*y^7+11*x^8*y^8+2*x^ 10*y^5-5*x^9*y^6-18*x^8*y^7-x^10*y^4+5*x^9*y^5+x^8*y^6-3*x^7*y^7+4*x^8*y^5-3*x^ 7*y^6+x^8*y^4+3*x^7*y^5-6*x^6*y^6+x^7*y^4+4*x^6*y^4-8*x^5*y^5+9*x^5*y^4-2*x^5*y ^3+2*x^4*y^4-2*x^4*y^2+1)/(x^26*y^20+x^25*y^21-6*x^26*y^19-6*x^25*y^20+15*x^26* y^18+16*x^25*y^19+x^24*y^20-20*x^26*y^17-26*x^25*y^18-6*x^24*y^19+15*x^26*y^16+ 30*x^25*y^17+15*x^24*y^18-6*x^26*y^15-26*x^25*y^16-21*x^24*y^17-x^23*y^18+x^26* y^14+16*x^25*y^15+20*x^24*y^16+4*x^23*y^17+x^22*y^18+x^21*y^19-6*x^25*y^14-16*x ^24*y^15-6*x^23*y^16-4*x^22*y^17-4*x^21*y^18+x^25*y^13+11*x^24*y^14+5*x^23*y^15 +5*x^22*y^16+7*x^21*y^17-5*x^24*y^13-5*x^23*y^14-10*x^21*y^16+x^24*y^12+6*x^23* y^13-5*x^22*y^14+13*x^21*y^15-3*x^20*y^16-x^19*y^17-4*x^23*y^12+4*x^22*y^13-8*x ^21*y^14+8*x^20*y^15+3*x^19*y^16+x^23*y^11-x^22*y^12-2*x^21*y^13-3*x^20*y^14-8* x^19*y^15+2*x^21*y^12-8*x^20*y^13+17*x^19*y^14+4*x^21*y^11+7*x^20*y^12-14*x^19* y^13-x^18*y^14+2*x^17*y^15-4*x^21*y^10-2*x^19*y^12+6*x^18*y^13-8*x^17*y^14+x^21 *y^9-x^20*y^10+5*x^19*y^11-10*x^18*y^12+11*x^17*y^13-3*x^16*y^14+2*x^19*y^10+4* x^18*y^11-4*x^17*y^12+3*x^16*y^13-x^15*y^14-2*x^19*y^9+3*x^18*y^10-2*x^17*y^11+ 8*x^16*y^12-2*x^18*y^9-9*x^16*y^11+2*x^15*y^12-x^17*y^9-3*x^16*y^10+5*x^15*y^11 +2*x^14*y^12+4*x^17*y^8+2*x^16*y^9-6*x^15*y^10-2*x^17*y^7+4*x^16*y^8-6*x^15*y^9 -2*x^14*y^10+2*x^13*y^11-2*x^16*y^7+7*x^15*y^8-2*x^14*y^9+2*x^13*y^10-x^15*y^7- x^14*y^8-7*x^13*y^9-2*x^12*y^10+4*x^14*y^7+2*x^13*y^8+7*x^12*y^9-2*x^11*y^10-x^ 14*y^6-5*x^12*y^8+5*x^11*y^9-x^12*y^7+5*x^10*y^9+x^13*y^5-x^12*y^6-5*x^11*y^7-4 *x^10*y^8+2*x^12*y^5-5*x^10*y^7+3*x^9*y^8+2*x^11*y^5+3*x^10*y^6-3*x^9*y^7-x^9*y ^6-2*x^8*y^7+x^10*y^4+x^9*y^5+x^8*y^6+x^7*y^7-6*x^7*y^6+3*x^7*y^5+x^7*y^4+2*x^6 *y^5-2*x^6*y^4+x^5*y^4-2*x^5*y^3-2*x^4*y^4+2*x^4*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a - 3 a - 2 a 12 11 10 9 8 7 6 4 / - 6 a - 6 a - 3 a - 4 a + 14 a + 10 a + 3 a - 10 a + 1) / ( / 7 6 4 8 7 6 5 (8 a + 7 a + 5 a - 2) (a + 2 a + 2 a + a - 1)) 8 7 5 where a is the root of the polynomial, x + x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7576090970 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7576188921 ------------------------------------------------ "Theorem Number 50" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [1, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 6 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 14 11 13 12 14 10 13 11 13 10 - 2 x y - 4 x y + 6 x y + x y - 4 x y - 4 x y 12 11 13 9 12 10 13 8 12 9 12 8 + 2 x y + 6 x y - 8 x y - 2 x y + 12 x y - 8 x y 10 10 12 7 10 9 10 8 9 9 10 7 + 2 x y + 2 x y - 6 x y + 6 x y + 2 x y - 2 x y 9 8 9 7 8 8 8 7 8 6 5 5 5 4 - 4 x y + 2 x y - 4 x y + 8 x y - 4 x y + 4 x y - 6 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 / 10 10 10 9 + 2 x y - 3 x y + 2 x y + x y - 1) / (x y - 2 x y / 10 8 9 9 9 8 9 7 9 6 8 7 8 6 + x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 2 x y + 2 x y - 4 x y 8 5 6 6 6 5 5 4 4 4 4 3 4 2 + 2 x y + 3 x y - 2 x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^14*y^14-4*x^14*y^13+6*x^14*y^12-2*x^13*y^13-4*x^14*y^11+6*x^13*y^12+x^14*y^ 10-4*x^13*y^11-4*x^13*y^10+2*x^12*y^11+6*x^13*y^9-8*x^12*y^10-2*x^13*y^8+12*x^ 12*y^9-8*x^12*y^8+2*x^10*y^10+2*x^12*y^7-6*x^10*y^9+6*x^10*y^8+2*x^9*y^9-2*x^10 *y^7-4*x^9*y^8+2*x^9*y^7-4*x^8*y^8+8*x^8*y^7-4*x^8*y^6+4*x^5*y^5-6*x^5*y^4+2*x^ 5*y^3-3*x^4*y^4+2*x^4*y^3+x^4*y^2-1)/(x^10*y^10-2*x^10*y^9+x^10*y^8-2*x^9*y^9+2 *x^9*y^8+2*x^9*y^7-2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-4*x^8*y^6+2*x^8*y^5+3*x^6*y^6-2*x^6*y^5-\ 2*x^5*y^4-3*x^4*y^4+2*x^4*y^3+x^4*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 8 5 4 a - 4 a + 4 a + 6 a - 9 a + 1 ----------------------------------- 5 4 3 a - 5 a + 1 6 5 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7562371639 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7568433370 ------------------------------------------------ "Theorem Number 51" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 19 23 18 23 17 22 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y + 15 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 16 22 17 23 15 22 16 21 17 23 14 - 20 x y - 5 x y + 15 x y + 10 x y - x y - 6 x y 22 15 21 16 20 17 23 13 22 14 21 15 - 10 x y + 5 x y - x y + x y + 5 x y - 10 x y 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 + 5 x y - x y - x y + 10 x y - 11 x y + 4 x y 21 13 20 14 19 15 18 16 21 12 20 13 - 5 x y + 14 x y - 5 x y - 5 x y + x y - 11 x y 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 + 23 x y + 5 x y + 5 x y - 39 x y - 3 x y - x y 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 17 13 - 4 x y + 26 x y + 15 x y + x y + x y - 29 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 + 2 x y - 9 x y + 27 x y - 18 x y + 3 x y - 12 x y 16 12 17 10 16 11 15 12 14 13 16 10 + 47 x y + 2 x y - 55 x y + 2 x y + 3 x y + 33 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 - 6 x y - 9 x y + 5 x y - 11 x y + 6 x y + 11 x y 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 - 18 x y + 2 x y - 2 x y - 8 x y + 29 x y + 2 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 3 x y - 25 x y - 12 x y + x y + 8 x y + 22 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 - x y + 3 x y - 18 x y + 12 x y - 2 x y + 7 x y 11 9 10 10 11 8 10 9 12 6 11 7 - 26 x y + 4 x y + 23 x y - 10 x y - x y - 14 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 + 9 x y - 2 x y + 5 x y - x y + x y - 4 x y + 4 x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 - 8 x y + 2 x y - 2 x y + 9 x y - 2 x y - 3 x y - 2 x y 9 4 8 5 7 6 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 + x y + x y + 5 x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 - 6 x y + 6 x y - x y + 3 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y 2 2 2 / 18 14 18 13 18 12 17 13 + x y - x y + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - x y / 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 16 12 - 4 x y + 5 x y + x y + x y - 9 x y - 4 x y 15 13 17 10 16 11 15 12 17 9 16 10 + x y + 7 x y + 4 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 16 8 + 5 x y - x y - 5 x y - x y + 4 x y + 2 x y 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 14 8 - 2 x y - 5 x y - x y + x y + x y + 4 x y + 2 x y 13 9 12 10 14 7 12 9 11 10 13 7 12 8 - 4 x y + 2 x y - x y - 9 x y - x y + x y + 11 x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + x y - x y - 3 x y + 2 x y + 3 x y - x y - 3 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 - 2 x y + x y + x y - x y - 3 x y + x y + 2 x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 + 2 x y - x y - 3 x y + x y - x y + x y - 2 x y + 4 x y 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 3 + 2 x y - 3 x y + 2 x y + x y - 2 x y - x y + x y + x y 4 4 4 2 3 2 2 2 2 - x y - x y + x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^23*y^19-6*x^23*y^18+15*x^23*y^17+x^22*y^18-20*x^23*y^16-5*x^22*y^17+15*x^23* y^15+10*x^22*y^16-x^21*y^17-6*x^23*y^14-10*x^22*y^15+5*x^21*y^16-x^20*y^17+x^23 *y^13+5*x^22*y^14-10*x^21*y^15+5*x^20*y^16-x^19*y^17-x^22*y^13+10*x^21*y^14-11* x^20*y^15+4*x^19*y^16-5*x^21*y^13+14*x^20*y^14-5*x^19*y^15-5*x^18*y^16+x^21*y^ 12-11*x^20*y^13+23*x^18*y^15+5*x^20*y^12+5*x^19*y^13-39*x^18*y^14-3*x^17*y^15-x ^20*y^11-4*x^19*y^12+26*x^18*y^13+15*x^17*y^14+x^19*y^11+x^18*y^12-29*x^17*y^13 +2*x^16*y^14-9*x^18*y^11+27*x^17*y^12-18*x^16*y^13+3*x^18*y^10-12*x^17*y^11+47* x^16*y^12+2*x^17*y^10-55*x^16*y^11+2*x^15*y^12+3*x^14*y^13+33*x^16*y^10-6*x^15* y^11-9*x^14*y^12+5*x^13*y^13-11*x^16*y^9+6*x^15*y^10+11*x^14*y^11-18*x^13*y^12+ 2*x^16*y^8-2*x^15*y^9-8*x^14*y^10+29*x^13*y^11+2*x^12*y^12+3*x^14*y^9-25*x^13*y ^10-12*x^12*y^11+x^14*y^8+8*x^13*y^9+22*x^12*y^10-x^14*y^7+3*x^13*y^8-18*x^12*y ^9+12*x^11*y^10-2*x^13*y^7+7*x^12*y^8-26*x^11*y^9+4*x^10*y^10+23*x^11*y^8-10*x^ 10*y^9-x^12*y^6-14*x^11*y^7+9*x^10*y^8-2*x^9*y^9+5*x^11*y^6-x^10*y^7+x^9*y^8-4* x^10*y^6+4*x^9*y^7-8*x^8*y^8+2*x^10*y^5-2*x^9*y^6+9*x^8*y^7-2*x^9*y^5-3*x^8*y^6 -2*x^7*y^7+x^9*y^4+x^8*y^5+5*x^7*y^6-4*x^7*y^5+2*x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^ 6*y^4-6*x^5*y^5+6*x^5*y^4-x^5*y^3+3*x^4*y^4-2*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2 +x^2*y^2-x^2*y+1)/(x^18*y^14-4*x^18*y^13+6*x^18*y^12-x^17*y^13-4*x^18*y^11+5*x^ 17*y^12+x^16*y^13+x^18*y^10-9*x^17*y^11-4*x^16*y^12+x^15*y^13+7*x^17*y^10+4*x^ 16*y^11-4*x^15*y^12-2*x^17*y^9+2*x^16*y^10+5*x^15*y^11-x^14*y^12-5*x^16*y^9-x^ 15*y^10+4*x^14*y^11+2*x^16*y^8-2*x^15*y^9-5*x^14*y^10-x^13*y^11+x^15*y^8+x^14*y ^9+4*x^13*y^10+2*x^14*y^8-4*x^13*y^9+2*x^12*y^10-x^14*y^7-9*x^12*y^9-x^11*y^10+ x^13*y^7+11*x^12*y^8+x^11*y^9-x^10*y^10-3*x^12*y^7+2*x^11*y^8+3*x^10*y^9-x^12*y ^6-3*x^11*y^7-2*x^10*y^8+x^9*y^9+x^11*y^6-x^10*y^7-3*x^9*y^8+x^10*y^6+2*x^9*y^7 +2*x^9*y^6-x^8*y^7-3*x^9*y^5+x^8*y^6-x^7*y^7+x^9*y^4-2*x^8*y^5+4*x^7*y^6+2*x^8* y^4-3*x^7*y^5+2*x^6*y^6+x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^4+x^5*y^3-x^4*y^4-x^4*y ^2+x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7553533624 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 52" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [2, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 19 23 18 23 17 22 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y + 15 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 16 22 17 23 15 22 16 21 17 23 14 - 20 x y - 5 x y + 15 x y + 10 x y - x y - 6 x y 22 15 21 16 20 17 23 13 22 14 21 15 - 10 x y + 5 x y - x y + x y + 5 x y - 10 x y 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 + 5 x y - x y - x y + 10 x y - 11 x y + 4 x y 21 13 20 14 19 15 18 16 21 12 20 13 - 5 x y + 14 x y - 5 x y - 5 x y + x y - 11 x y 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 + 23 x y + 5 x y + 5 x y - 39 x y - 3 x y - x y 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 17 13 - 4 x y + 26 x y + 15 x y + x y + x y - 29 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 + 2 x y - 9 x y + 27 x y - 18 x y + 3 x y - 12 x y 16 12 17 10 16 11 15 12 14 13 16 10 + 47 x y + 2 x y - 55 x y + 2 x y + 3 x y + 33 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 - 6 x y - 9 x y + 5 x y - 11 x y + 6 x y + 11 x y 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 - 18 x y + 2 x y - 2 x y - 8 x y + 29 x y + 2 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 3 x y - 25 x y - 12 x y + x y + 8 x y + 22 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 - x y + 3 x y - 18 x y + 12 x y - 2 x y + 7 x y 11 9 10 10 11 8 10 9 12 6 11 7 - 26 x y + 4 x y + 23 x y - 10 x y - x y - 14 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 + 9 x y - 2 x y + 5 x y - x y + x y - 4 x y + 4 x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 - 8 x y + 2 x y - 2 x y + 9 x y - 2 x y - 3 x y - 2 x y 9 4 8 5 7 6 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 + x y + x y + 5 x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 - 6 x y + 6 x y - x y + 3 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y 2 2 2 / 18 14 18 13 18 12 17 13 + x y - x y + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - x y / 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 16 12 - 4 x y + 5 x y + x y + x y - 9 x y - 4 x y 15 13 17 10 16 11 15 12 17 9 16 10 + x y + 7 x y + 4 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 16 8 + 5 x y - x y - 5 x y - x y + 4 x y + 2 x y 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 14 8 - 2 x y - 5 x y - x y + x y + x y + 4 x y + 2 x y 13 9 12 10 14 7 12 9 11 10 13 7 12 8 - 4 x y + 2 x y - x y - 9 x y - x y + x y + 11 x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + x y - x y - 3 x y + 2 x y + 3 x y - x y - 3 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 - 2 x y + x y + x y - x y - 3 x y + x y + 2 x y 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 + 2 x y - x y - 3 x y + x y - x y + x y - 2 x y + 4 x y 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 3 + 2 x y - 3 x y + 2 x y + x y - 2 x y - x y + x y + x y 4 4 4 2 3 2 2 2 2 - x y - x y + x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^23*y^19-6*x^23*y^18+15*x^23*y^17+x^22*y^18-20*x^23*y^16-5*x^22*y^17+15*x^23* y^15+10*x^22*y^16-x^21*y^17-6*x^23*y^14-10*x^22*y^15+5*x^21*y^16-x^20*y^17+x^23 *y^13+5*x^22*y^14-10*x^21*y^15+5*x^20*y^16-x^19*y^17-x^22*y^13+10*x^21*y^14-11* x^20*y^15+4*x^19*y^16-5*x^21*y^13+14*x^20*y^14-5*x^19*y^15-5*x^18*y^16+x^21*y^ 12-11*x^20*y^13+23*x^18*y^15+5*x^20*y^12+5*x^19*y^13-39*x^18*y^14-3*x^17*y^15-x ^20*y^11-4*x^19*y^12+26*x^18*y^13+15*x^17*y^14+x^19*y^11+x^18*y^12-29*x^17*y^13 +2*x^16*y^14-9*x^18*y^11+27*x^17*y^12-18*x^16*y^13+3*x^18*y^10-12*x^17*y^11+47* x^16*y^12+2*x^17*y^10-55*x^16*y^11+2*x^15*y^12+3*x^14*y^13+33*x^16*y^10-6*x^15* y^11-9*x^14*y^12+5*x^13*y^13-11*x^16*y^9+6*x^15*y^10+11*x^14*y^11-18*x^13*y^12+ 2*x^16*y^8-2*x^15*y^9-8*x^14*y^10+29*x^13*y^11+2*x^12*y^12+3*x^14*y^9-25*x^13*y ^10-12*x^12*y^11+x^14*y^8+8*x^13*y^9+22*x^12*y^10-x^14*y^7+3*x^13*y^8-18*x^12*y ^9+12*x^11*y^10-2*x^13*y^7+7*x^12*y^8-26*x^11*y^9+4*x^10*y^10+23*x^11*y^8-10*x^ 10*y^9-x^12*y^6-14*x^11*y^7+9*x^10*y^8-2*x^9*y^9+5*x^11*y^6-x^10*y^7+x^9*y^8-4* x^10*y^6+4*x^9*y^7-8*x^8*y^8+2*x^10*y^5-2*x^9*y^6+9*x^8*y^7-2*x^9*y^5-3*x^8*y^6 -2*x^7*y^7+x^9*y^4+x^8*y^5+5*x^7*y^6-4*x^7*y^5+2*x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^ 6*y^4-6*x^5*y^5+6*x^5*y^4-x^5*y^3+3*x^4*y^4-2*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2 +x^2*y^2-x^2*y+1)/(x^18*y^14-4*x^18*y^13+6*x^18*y^12-x^17*y^13-4*x^18*y^11+5*x^ 17*y^12+x^16*y^13+x^18*y^10-9*x^17*y^11-4*x^16*y^12+x^15*y^13+7*x^17*y^10+4*x^ 16*y^11-4*x^15*y^12-2*x^17*y^9+2*x^16*y^10+5*x^15*y^11-x^14*y^12-5*x^16*y^9-x^ 15*y^10+4*x^14*y^11+2*x^16*y^8-2*x^15*y^9-5*x^14*y^10-x^13*y^11+x^15*y^8+x^14*y ^9+4*x^13*y^10+2*x^14*y^8-4*x^13*y^9+2*x^12*y^10-x^14*y^7-9*x^12*y^9-x^11*y^10+ x^13*y^7+11*x^12*y^8+x^11*y^9-x^10*y^10-3*x^12*y^7+2*x^11*y^8+3*x^10*y^9-x^12*y ^6-3*x^11*y^7-2*x^10*y^8+x^9*y^9+x^11*y^6-x^10*y^7-3*x^9*y^8+x^10*y^6+2*x^9*y^7 +2*x^9*y^6-x^8*y^7-3*x^9*y^5+x^8*y^6-x^7*y^7+x^9*y^4-2*x^8*y^5+4*x^7*y^6+2*x^8* y^4-3*x^7*y^5+2*x^6*y^6+x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^4+x^5*y^3-x^4*y^4-x^4*y ^2+x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7553533624 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 53" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [2, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 7 7 7 6 7 5 6 6 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 4 x y + 2 x y - 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 + 8 x y - 3 x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y + 3 x y - 2 x y 3 3 3 2 2 2 / 6 6 6 4 5 5 5 3 + 2 x y - 2 x y + x y + 1) / (x y - x y - 2 x y + 2 x y / 4 4 4 3 3 2 2 2 + x y - 2 x y + 2 x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^7*y^7-4*x^7*y^6+2*x^7*y^5-5*x^6*y^6+8*x^6*y^5-3*x^6*y^4-2*x^5*y^5+4*x^5*y ^4-2*x^5*y^3+3*x^4*y^4-2*x^4*y^3+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2+1)/(x^6*y^6-x^6*y^ 4-2*x^5*y^5+2*x^5*y^3+x^4*y^4-2*x^4*y^3+2*x^3*y^2-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 6 4 2 2 a - 3 a - 6 a + 2 a + 1 - ----------------------------------- 3 2 4 2 (2 a - 3 a + a - 1) (a + a + 1) 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7547496117 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7551010405 ------------------------------------------------ "Theorem Number 54" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 22 23 21 23 20 22 21 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 9 x y + 36 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 19 22 20 23 18 22 19 23 17 - 84 x y - 9 x y + 126 x y + 36 x y - 126 x y 22 18 21 19 23 16 22 17 21 18 - 84 x y - 2 x y + 84 x y + 126 x y + 16 x y 23 15 22 16 21 17 20 18 23 14 - 36 x y - 126 x y - 56 x y - 6 x y + 9 x y 22 15 21 16 20 17 19 18 23 13 22 14 + 84 x y + 112 x y + 41 x y + x y - x y - 36 x y 21 15 20 16 19 17 18 18 22 13 - 140 x y - 121 x y - 12 x y - x y + 9 x y 21 14 20 15 19 16 18 17 22 12 + 112 x y + 201 x y + 55 x y + 3 x y - x y 21 13 20 14 19 15 18 16 17 17 - 56 x y - 205 x y - 133 x y - 5 x y - x y 21 12 20 13 19 14 18 15 17 16 + 16 x y + 131 x y + 190 x y + 22 x y - 3 x y 21 11 20 12 19 13 18 14 17 15 - 2 x y - 51 x y - 166 x y - 72 x y + 24 x y 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 + 11 x y + 87 x y + 121 x y - 33 x y - 6 x y - x y 19 11 18 12 17 13 16 14 15 15 19 10 - 25 x y - 113 x y - 22 x y + 24 x y + x y + 3 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + 60 x y + 100 x y - 24 x y - 8 x y - 17 x y 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 17 10 - 108 x y - 26 x y + 26 x y - x y + 2 x y + 55 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 + 74 x y - 43 x y - 5 x y - 13 x y - 60 x y 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 15 10 + 37 x y + 41 x y + 6 x y + x y + 20 x y - 14 x y 14 11 13 12 16 8 14 10 13 11 - 94 x y - 29 x y - 2 x y + 99 x y + 66 x y 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 + 11 x y + x y - 47 x y - 87 x y - 33 x y + 5 x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 + 64 x y + 41 x y + 9 x y + 2 x y - 21 x y - 38 x y 11 10 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 - 26 x y + 34 x y + 33 x y + 9 x y + x y - 19 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 - 37 x y - 34 x y + 4 x y + 36 x y + 50 x y + 14 x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 - 17 x y - 41 x y - 40 x y + 2 x y + 23 x y + 39 x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 + 4 x y - 7 x y - 16 x y - 10 x y + 5 x y + 8 x y - 5 x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 - 2 x y - 3 x y + 3 x y + 2 x y + 6 x y - 5 x y - x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 5 x y + 4 x y + x y + 3 x y - 8 x y - 2 x y + 12 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 - 4 x y - 11 x y + 12 x y - 2 x y - 6 x y + 5 x y - 3 x y 2 / 19 17 19 16 19 15 + 2 x y - 2 x y + x - 1) / ((x - 1) (x y - 7 x y + 21 x y / 19 14 19 13 19 12 19 11 16 14 19 10 - 35 x y + 35 x y - 21 x y + 7 x y + x y - x y 16 13 15 14 16 12 15 13 16 11 15 12 - 7 x y - x y + 19 x y + 5 x y - 26 x y - 11 x y 14 13 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 - x y + 19 x y + 14 x y + 3 x y - 7 x y - 11 x y 14 11 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 13 10 - 3 x y + x y + 5 x y + x y - 3 x y - x y + 9 x y 12 11 13 9 12 10 13 8 11 10 12 8 - x y - 9 x y + 2 x y + 3 x y - 2 x y - x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 7 x y + x y - x y - 7 x y - x y + x y + x y 10 8 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 10 5 - 2 x y + x y + 5 x y + 4 x y - 5 x y - 8 x y + 2 x y 9 6 8 7 9 5 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 + 6 x y + 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y + x y - 2 x y + x y 7 3 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 3 2 - x y - 3 x y - 2 x y + x y - 2 x y - x y - 2 x y - 2 x y 2 2 - x y + 1)) and in Maple notation (x^23*y^22-9*x^23*y^21+36*x^23*y^20+x^22*y^21-84*x^23*y^19-9*x^22*y^20+126*x^23 *y^18+36*x^22*y^19-126*x^23*y^17-84*x^22*y^18-2*x^21*y^19+84*x^23*y^16+126*x^22 *y^17+16*x^21*y^18-36*x^23*y^15-126*x^22*y^16-56*x^21*y^17-6*x^20*y^18+9*x^23*y ^14+84*x^22*y^15+112*x^21*y^16+41*x^20*y^17+x^19*y^18-x^23*y^13-36*x^22*y^14-\ 140*x^21*y^15-121*x^20*y^16-12*x^19*y^17-x^18*y^18+9*x^22*y^13+112*x^21*y^14+ 201*x^20*y^15+55*x^19*y^16+3*x^18*y^17-x^22*y^12-56*x^21*y^13-205*x^20*y^14-133 *x^19*y^15-5*x^18*y^16-x^17*y^17+16*x^21*y^12+131*x^20*y^13+190*x^19*y^14+22*x^ 18*y^15-3*x^17*y^16-2*x^21*y^11-51*x^20*y^12-166*x^19*y^13-72*x^18*y^14+24*x^17 *y^15+11*x^20*y^11+87*x^19*y^12+121*x^18*y^13-33*x^17*y^14-6*x^16*y^15-x^20*y^ 10-25*x^19*y^11-113*x^18*y^12-22*x^17*y^13+24*x^16*y^14+x^15*y^15+3*x^19*y^10+ 60*x^18*y^11+100*x^17*y^12-24*x^16*y^13-8*x^15*y^14-17*x^18*y^10-108*x^17*y^11-\ 26*x^16*y^12+26*x^15*y^13-x^14*y^14+2*x^18*y^9+55*x^17*y^10+74*x^16*y^11-43*x^ 15*y^12-5*x^14*y^13-13*x^17*y^9-60*x^16*y^10+37*x^15*y^11+41*x^14*y^12+6*x^13*y ^13+x^17*y^8+20*x^16*y^9-14*x^15*y^10-94*x^14*y^11-29*x^13*y^12-2*x^16*y^8+99*x ^14*y^10+66*x^13*y^11+11*x^12*y^12+x^15*y^8-47*x^14*y^9-87*x^13*y^10-33*x^12*y^ 11+5*x^14*y^8+64*x^13*y^9+41*x^12*y^10+9*x^11*y^11+2*x^14*y^7-21*x^13*y^8-38*x^ 12*y^9-26*x^11*y^10+34*x^12*y^8+33*x^11*y^9+9*x^10*y^10+x^13*y^6-19*x^12*y^7-37 *x^11*y^8-34*x^10*y^9+4*x^12*y^6+36*x^11*y^7+50*x^10*y^8+14*x^9*y^9-17*x^11*y^6 -41*x^10*y^7-40*x^9*y^8+2*x^11*y^5+23*x^10*y^6+39*x^9*y^7+4*x^8*y^8-7*x^10*y^5-\ 16*x^9*y^6-10*x^8*y^7+5*x^9*y^5+8*x^8*y^6-5*x^7*y^7-2*x^9*y^4-3*x^8*y^5+3*x^7*y ^6+2*x^8*y^4+6*x^7*y^5-5*x^6*y^6-x^8*y^3-5*x^7*y^4+4*x^6*y^5+x^7*y^3+3*x^6*y^4-\ 8*x^5*y^5-2*x^6*y^3+12*x^5*y^4-4*x^5*y^3-11*x^4*y^4+12*x^4*y^3-2*x^4*y^2-6*x^3* y^3+5*x^3*y^2-3*x^2*y^2+2*x^2*y-2*x*y+x-1)/(x-1)/(x^19*y^17-7*x^19*y^16+21*x^19 *y^15-35*x^19*y^14+35*x^19*y^13-21*x^19*y^12+7*x^19*y^11+x^16*y^14-x^19*y^10-7* x^16*y^13-x^15*y^14+19*x^16*y^12+5*x^15*y^13-26*x^16*y^11-11*x^15*y^12-x^14*y^ 13+19*x^16*y^10+14*x^15*y^11+3*x^14*y^12-7*x^16*y^9-11*x^15*y^10-3*x^14*y^11+x^ 16*y^8+5*x^15*y^9+x^14*y^10-3*x^13*y^11-x^15*y^8+9*x^13*y^10-x^12*y^11-9*x^13*y ^9+2*x^12*y^10+3*x^13*y^8-2*x^11*y^10-x^12*y^8+7*x^11*y^9+x^10*y^10-x^12*y^7-7* x^11*y^8-x^10*y^9+x^12*y^6+x^11*y^7-2*x^10*y^8+x^11*y^6+5*x^10*y^7+4*x^9*y^8-5* x^10*y^6-8*x^9*y^7+2*x^10*y^5+6*x^9*y^6+2*x^8*y^7-2*x^9*y^5+x^7*y^7-2*x^8*y^5+x ^7*y^6-2*x^7*y^5+x^6*y^6-x^7*y^3-3*x^6*y^4-2*x^5*y^5+x^5*y^4-2*x^5*y^3-x^4*y^4-\ 2*x^4*y^3-2*x^3*y^2-x^2*y^2+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7550728260 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 55" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 22 23 21 23 20 22 21 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 9 x y + 36 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 19 22 20 23 18 22 19 23 17 - 84 x y - 9 x y + 126 x y + 36 x y - 126 x y 22 18 21 19 23 16 22 17 21 18 - 84 x y - 2 x y + 84 x y + 126 x y + 16 x y 23 15 22 16 21 17 20 18 23 14 - 36 x y - 126 x y - 56 x y - 6 x y + 9 x y 22 15 21 16 20 17 19 18 23 13 22 14 + 84 x y + 112 x y + 41 x y + x y - x y - 36 x y 21 15 20 16 19 17 18 18 22 13 - 140 x y - 121 x y - 12 x y - x y + 9 x y 21 14 20 15 19 16 18 17 22 12 + 112 x y + 201 x y + 55 x y + 3 x y - x y 21 13 20 14 19 15 18 16 17 17 - 56 x y - 205 x y - 133 x y - 5 x y - x y 21 12 20 13 19 14 18 15 17 16 + 16 x y + 131 x y + 190 x y + 22 x y - 3 x y 21 11 20 12 19 13 18 14 17 15 - 2 x y - 51 x y - 166 x y - 72 x y + 24 x y 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 + 11 x y + 87 x y + 121 x y - 33 x y - 6 x y - x y 19 11 18 12 17 13 16 14 15 15 19 10 - 25 x y - 113 x y - 22 x y + 24 x y + x y + 3 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + 60 x y + 100 x y - 24 x y - 8 x y - 17 x y 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 17 10 - 108 x y - 26 x y + 26 x y - x y + 2 x y + 55 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 + 74 x y - 43 x y - 5 x y - 13 x y - 60 x y 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 15 10 + 37 x y + 41 x y + 6 x y + x y + 20 x y - 14 x y 14 11 13 12 16 8 14 10 13 11 - 94 x y - 29 x y - 2 x y + 99 x y + 66 x y 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 + 11 x y + x y - 47 x y - 87 x y - 33 x y + 5 x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 + 64 x y + 41 x y + 9 x y + 2 x y - 21 x y - 38 x y 11 10 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 - 26 x y + 34 x y + 33 x y + 9 x y + x y - 19 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 - 37 x y - 34 x y + 4 x y + 36 x y + 50 x y + 14 x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 - 17 x y - 41 x y - 40 x y + 2 x y + 23 x y + 39 x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 + 4 x y - 7 x y - 16 x y - 10 x y + 5 x y + 8 x y - 5 x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 - 2 x y - 3 x y + 3 x y + 2 x y + 6 x y - 5 x y - x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 5 x y + 4 x y + x y + 3 x y - 8 x y - 2 x y + 12 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 - 4 x y - 11 x y + 12 x y - 2 x y - 6 x y + 5 x y - 3 x y 2 / 19 17 19 16 19 15 + 2 x y - 2 x y + x - 1) / ((x - 1) (x y - 7 x y + 21 x y / 19 14 19 13 19 12 19 11 16 14 19 10 - 35 x y + 35 x y - 21 x y + 7 x y + x y - x y 16 13 15 14 16 12 15 13 16 11 15 12 - 7 x y - x y + 19 x y + 5 x y - 26 x y - 11 x y 14 13 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 - x y + 19 x y + 14 x y + 3 x y - 7 x y - 11 x y 14 11 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 13 10 - 3 x y + x y + 5 x y + x y - 3 x y - x y + 9 x y 12 11 13 9 12 10 13 8 11 10 12 8 - x y - 9 x y + 2 x y + 3 x y - 2 x y - x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 7 x y + x y - x y - 7 x y - x y + x y + x y 10 8 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 10 5 - 2 x y + x y + 5 x y + 4 x y - 5 x y - 8 x y + 2 x y 9 6 8 7 9 5 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 + 6 x y + 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y + x y - 2 x y + x y 7 3 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 3 2 - x y - 3 x y - 2 x y + x y - 2 x y - x y - 2 x y - 2 x y 2 2 - x y + 1)) and in Maple notation (x^23*y^22-9*x^23*y^21+36*x^23*y^20+x^22*y^21-84*x^23*y^19-9*x^22*y^20+126*x^23 *y^18+36*x^22*y^19-126*x^23*y^17-84*x^22*y^18-2*x^21*y^19+84*x^23*y^16+126*x^22 *y^17+16*x^21*y^18-36*x^23*y^15-126*x^22*y^16-56*x^21*y^17-6*x^20*y^18+9*x^23*y ^14+84*x^22*y^15+112*x^21*y^16+41*x^20*y^17+x^19*y^18-x^23*y^13-36*x^22*y^14-\ 140*x^21*y^15-121*x^20*y^16-12*x^19*y^17-x^18*y^18+9*x^22*y^13+112*x^21*y^14+ 201*x^20*y^15+55*x^19*y^16+3*x^18*y^17-x^22*y^12-56*x^21*y^13-205*x^20*y^14-133 *x^19*y^15-5*x^18*y^16-x^17*y^17+16*x^21*y^12+131*x^20*y^13+190*x^19*y^14+22*x^ 18*y^15-3*x^17*y^16-2*x^21*y^11-51*x^20*y^12-166*x^19*y^13-72*x^18*y^14+24*x^17 *y^15+11*x^20*y^11+87*x^19*y^12+121*x^18*y^13-33*x^17*y^14-6*x^16*y^15-x^20*y^ 10-25*x^19*y^11-113*x^18*y^12-22*x^17*y^13+24*x^16*y^14+x^15*y^15+3*x^19*y^10+ 60*x^18*y^11+100*x^17*y^12-24*x^16*y^13-8*x^15*y^14-17*x^18*y^10-108*x^17*y^11-\ 26*x^16*y^12+26*x^15*y^13-x^14*y^14+2*x^18*y^9+55*x^17*y^10+74*x^16*y^11-43*x^ 15*y^12-5*x^14*y^13-13*x^17*y^9-60*x^16*y^10+37*x^15*y^11+41*x^14*y^12+6*x^13*y ^13+x^17*y^8+20*x^16*y^9-14*x^15*y^10-94*x^14*y^11-29*x^13*y^12-2*x^16*y^8+99*x ^14*y^10+66*x^13*y^11+11*x^12*y^12+x^15*y^8-47*x^14*y^9-87*x^13*y^10-33*x^12*y^ 11+5*x^14*y^8+64*x^13*y^9+41*x^12*y^10+9*x^11*y^11+2*x^14*y^7-21*x^13*y^8-38*x^ 12*y^9-26*x^11*y^10+34*x^12*y^8+33*x^11*y^9+9*x^10*y^10+x^13*y^6-19*x^12*y^7-37 *x^11*y^8-34*x^10*y^9+4*x^12*y^6+36*x^11*y^7+50*x^10*y^8+14*x^9*y^9-17*x^11*y^6 -41*x^10*y^7-40*x^9*y^8+2*x^11*y^5+23*x^10*y^6+39*x^9*y^7+4*x^8*y^8-7*x^10*y^5-\ 16*x^9*y^6-10*x^8*y^7+5*x^9*y^5+8*x^8*y^6-5*x^7*y^7-2*x^9*y^4-3*x^8*y^5+3*x^7*y ^6+2*x^8*y^4+6*x^7*y^5-5*x^6*y^6-x^8*y^3-5*x^7*y^4+4*x^6*y^5+x^7*y^3+3*x^6*y^4-\ 8*x^5*y^5-2*x^6*y^3+12*x^5*y^4-4*x^5*y^3-11*x^4*y^4+12*x^4*y^3-2*x^4*y^2-6*x^3* y^3+5*x^3*y^2-3*x^2*y^2+2*x^2*y-2*x*y+x-1)/(x-1)/(x^19*y^17-7*x^19*y^16+21*x^19 *y^15-35*x^19*y^14+35*x^19*y^13-21*x^19*y^12+7*x^19*y^11+x^16*y^14-x^19*y^10-7* x^16*y^13-x^15*y^14+19*x^16*y^12+5*x^15*y^13-26*x^16*y^11-11*x^15*y^12-x^14*y^ 13+19*x^16*y^10+14*x^15*y^11+3*x^14*y^12-7*x^16*y^9-11*x^15*y^10-3*x^14*y^11+x^ 16*y^8+5*x^15*y^9+x^14*y^10-3*x^13*y^11-x^15*y^8+9*x^13*y^10-x^12*y^11-9*x^13*y ^9+2*x^12*y^10+3*x^13*y^8-2*x^11*y^10-x^12*y^8+7*x^11*y^9+x^10*y^10-x^12*y^7-7* x^11*y^8-x^10*y^9+x^12*y^6+x^11*y^7-2*x^10*y^8+x^11*y^6+5*x^10*y^7+4*x^9*y^8-5* x^10*y^6-8*x^9*y^7+2*x^10*y^5+6*x^9*y^6+2*x^8*y^7-2*x^9*y^5+x^7*y^7-2*x^8*y^5+x ^7*y^6-2*x^7*y^5+x^6*y^6-x^7*y^3-3*x^6*y^4-2*x^5*y^5+x^5*y^4-2*x^5*y^3-x^4*y^4-\ 2*x^4*y^3-2*x^3*y^2-x^2*y^2+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7550728260 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 56" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [1, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 25 22 25 21 24 22 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 8 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 25 20 24 21 23 22 25 19 24 20 23 21 + 27 x y - 16 x y + x y - 50 x y + 53 x y - 7 x y 25 18 24 19 23 20 22 21 25 17 24 18 + 55 x y - 94 x y + 18 x y + x y - 36 x y + 95 x y 23 19 22 20 25 16 24 17 23 18 - 18 x y - 8 x y + 13 x y - 52 x y - 5 x y 22 19 25 15 24 16 23 17 22 18 + 24 x y - 2 x y + 11 x y + 29 x y - 34 x y 21 19 24 15 23 16 22 17 21 18 20 19 - 3 x y + 2 x y - 28 x y + 20 x y + 17 x y - x y 24 14 23 15 22 16 21 17 20 18 23 14 - x y + 12 x y + 4 x y - 40 x y + 5 x y - 2 x y 22 15 21 16 20 17 19 18 22 14 21 15 - 12 x y + 50 x y - 11 x y - x y + 6 x y - 35 x y 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 + 16 x y + 2 x y - x y + 13 x y - 20 x y + 7 x y 18 17 21 13 20 14 19 15 18 16 17 17 - 3 x y - 2 x y + 21 x y - 30 x y + 14 x y - x y 20 13 19 14 18 15 17 16 20 12 - 15 x y + 45 x y - 29 x y + 2 x y + 6 x y 19 13 18 14 16 16 20 11 19 12 18 13 - 34 x y + 37 x y - 2 x y - x y + 13 x y - 33 x y 17 14 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 + 4 x y + 9 x y - 2 x y + 20 x y - 19 x y - 15 x y 15 15 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 - 3 x y - 7 x y + 23 x y + 11 x y + 14 x y + x y 17 11 16 12 15 13 14 14 17 10 16 11 - 9 x y - 5 x y - 25 x y - 3 x y - x y + 5 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 + 23 x y + 18 x y + x y - 3 x y - 16 x y - 35 x y 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 - x y - x y + 14 x y + 24 x y + 8 x y + x y 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 - 10 x y + 4 x y - 18 x y + 2 x y + 3 x y - 12 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 + 18 x y - x y + 4 x y - 9 x y - 8 x y + 5 x y 13 8 12 9 11 10 12 8 11 9 10 10 + 2 x y + 11 x y - 17 x y - 4 x y + 19 x y + 4 x y 11 8 10 9 10 8 9 9 10 7 9 8 - 7 x y - 11 x y + 16 x y + 5 x y - 13 x y - 10 x y 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 + 4 x y + 9 x y + 3 x y - 5 x y - 6 x y + x y + 7 x y 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 6 5 + 6 x y - 4 x y - 14 x y + 8 x y + x y - x y - 8 x y 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 + 9 x y - x y - 3 x y - x y + 2 x y - 7 x y - x y + 4 x y 4 2 3 3 3 2 2 2 2 / 26 22 + x y - 3 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y + x - 1) / (x y / 26 21 25 22 26 20 25 21 26 19 25 20 - 8 x y + x y + 27 x y - 8 x y - 50 x y + 26 x y 24 21 26 18 25 19 24 20 26 17 25 18 + x y + 55 x y - 44 x y - 8 x y - 36 x y + 40 x y 24 19 26 16 25 17 24 18 23 19 + 26 x y + 13 x y - 16 x y - 45 x y - 2 x y 26 15 25 16 24 17 23 18 22 19 25 15 - 2 x y - 2 x y + 45 x y + 11 x y - x y + 4 x y 24 16 23 17 22 18 25 14 24 15 23 16 - 26 x y - 25 x y + 6 x y - x y + 8 x y + 30 x y 22 17 21 18 24 14 23 15 22 16 21 17 - 15 x y - x y - x y - 20 x y + 20 x y + 4 x y 23 14 22 15 21 16 20 17 23 13 22 14 + 7 x y - 15 x y - 4 x y - 2 x y - x y + 6 x y 21 15 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 - 5 x y + 11 x y - x y - x y + 15 x y - 25 x y 19 16 21 13 20 14 19 15 18 16 21 12 + 3 x y - 14 x y + 30 x y - 4 x y - x y + 6 x y 20 13 19 14 18 15 17 16 21 11 20 12 - 20 x y + 7 x y + 4 x y - x y - x y + 7 x y 19 13 18 14 17 15 20 11 19 12 18 13 - 13 x y - 3 x y + 5 x y - x y + 13 x y - 6 x y 17 14 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 - 12 x y - x y - 6 x y + 10 x y + 17 x y + 6 x y 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + x y - 3 x y - 15 x y - 12 x y - x y - 2 x y 17 11 16 12 15 13 18 9 17 10 16 11 + 8 x y + 13 x y + 5 x y + x y - x y - 13 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 - 8 x y + x y - 2 x y + 13 x y + 2 x y - 3 x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 + x y - 8 x y + 7 x y + 6 x y + x y + 2 x y 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 - 7 x y - 8 x y - x y + 2 x y + 5 x y - 4 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 + x y - x y + 7 x y - 3 x y + x y - 3 x y + 2 x y 11 10 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 - 3 x y + x y + 7 x y + x y - x y - 5 x y - 4 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 - 2 x y + 4 x y + x y + 2 x y + x y - x y - 2 x y 9 7 8 8 8 7 9 5 8 6 7 7 7 6 8 4 + x y - x y + 3 x y - x y - 5 x y - x y + 2 x y + 2 x y 7 5 6 6 7 4 6 4 5 5 6 3 5 4 4 4 5 2 + x y - x y - 2 x y - x y - x y + x y - x y + x y + x y 4 2 3 3 2 - x y - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation -(x^25*y^22-8*x^25*y^21+2*x^24*y^22+27*x^25*y^20-16*x^24*y^21+x^23*y^22-50*x^25 *y^19+53*x^24*y^20-7*x^23*y^21+55*x^25*y^18-94*x^24*y^19+18*x^23*y^20+x^22*y^21 -36*x^25*y^17+95*x^24*y^18-18*x^23*y^19-8*x^22*y^20+13*x^25*y^16-52*x^24*y^17-5 *x^23*y^18+24*x^22*y^19-2*x^25*y^15+11*x^24*y^16+29*x^23*y^17-34*x^22*y^18-3*x^ 21*y^19+2*x^24*y^15-28*x^23*y^16+20*x^22*y^17+17*x^21*y^18-x^20*y^19-x^24*y^14+ 12*x^23*y^15+4*x^22*y^16-40*x^21*y^17+5*x^20*y^18-2*x^23*y^14-12*x^22*y^15+50*x ^21*y^16-11*x^20*y^17-x^19*y^18+6*x^22*y^14-35*x^21*y^15+16*x^20*y^16+2*x^19*y^ 17-x^22*y^13+13*x^21*y^14-20*x^20*y^15+7*x^19*y^16-3*x^18*y^17-2*x^21*y^13+21*x ^20*y^14-30*x^19*y^15+14*x^18*y^16-x^17*y^17-15*x^20*y^13+45*x^19*y^14-29*x^18* y^15+2*x^17*y^16+6*x^20*y^12-34*x^19*y^13+37*x^18*y^14-2*x^16*y^16-x^20*y^11+13 *x^19*y^12-33*x^18*y^13+4*x^17*y^14+9*x^16*y^15-2*x^19*y^11+20*x^18*y^12-19*x^ 17*y^13-15*x^16*y^14-3*x^15*y^15-7*x^18*y^11+23*x^17*y^12+11*x^16*y^13+14*x^15* y^14+x^18*y^10-9*x^17*y^11-5*x^16*y^12-25*x^15*y^13-3*x^14*y^14-x^17*y^10+5*x^ 16*y^11+23*x^15*y^12+18*x^14*y^13+x^17*y^9-3*x^16*y^10-16*x^15*y^11-35*x^14*y^ 12-x^13*y^13-x^16*y^9+14*x^15*y^10+24*x^14*y^11+8*x^13*y^12+x^16*y^8-10*x^15*y^ 9+4*x^14*y^10-18*x^13*y^11+2*x^12*y^12+3*x^15*y^8-12*x^14*y^9+18*x^13*y^10-x^12 *y^11+4*x^14*y^8-9*x^13*y^9-8*x^12*y^10+5*x^11*y^11+2*x^13*y^8+11*x^12*y^9-17*x ^11*y^10-4*x^12*y^8+19*x^11*y^9+4*x^10*y^10-7*x^11*y^8-11*x^10*y^9+16*x^10*y^8+ 5*x^9*y^9-13*x^10*y^7-10*x^9*y^8+4*x^10*y^6+9*x^9*y^7+3*x^8*y^8-5*x^9*y^6-6*x^8 *y^7+x^9*y^5+7*x^8*y^6+6*x^7*y^7-4*x^8*y^5-14*x^7*y^6+8*x^7*y^5+x^6*y^6-x^7*y^4 -8*x^6*y^5+9*x^6*y^4-x^5*y^5-3*x^6*y^3-x^5*y^4+2*x^5*y^3-7*x^4*y^4-x^5*y^2+4*x^ 4*y^3+x^4*y^2-3*x^3*y^3+2*x^3*y^2-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x^26*y^22-8*x^26*y^ 21+x^25*y^22+27*x^26*y^20-8*x^25*y^21-50*x^26*y^19+26*x^25*y^20+x^24*y^21+55*x^ 26*y^18-44*x^25*y^19-8*x^24*y^20-36*x^26*y^17+40*x^25*y^18+26*x^24*y^19+13*x^26 *y^16-16*x^25*y^17-45*x^24*y^18-2*x^23*y^19-2*x^26*y^15-2*x^25*y^16+45*x^24*y^ 17+11*x^23*y^18-x^22*y^19+4*x^25*y^15-26*x^24*y^16-25*x^23*y^17+6*x^22*y^18-x^ 25*y^14+8*x^24*y^15+30*x^23*y^16-15*x^22*y^17-x^21*y^18-x^24*y^14-20*x^23*y^15+ 20*x^22*y^16+4*x^21*y^17+7*x^23*y^14-15*x^22*y^15-4*x^21*y^16-2*x^20*y^17-x^23* y^13+6*x^22*y^14-5*x^21*y^15+11*x^20*y^16-x^19*y^17-x^22*y^13+15*x^21*y^14-25*x ^20*y^15+3*x^19*y^16-14*x^21*y^13+30*x^20*y^14-4*x^19*y^15-x^18*y^16+6*x^21*y^ 12-20*x^20*y^13+7*x^19*y^14+4*x^18*y^15-x^17*y^16-x^21*y^11+7*x^20*y^12-13*x^19 *y^13-3*x^18*y^14+5*x^17*y^15-x^20*y^11+13*x^19*y^12-6*x^18*y^13-12*x^17*y^14-x ^16*y^15-6*x^19*y^11+10*x^18*y^12+17*x^17*y^13+6*x^16*y^14+x^19*y^10-3*x^18*y^ 11-15*x^17*y^12-12*x^16*y^13-x^15*y^14-2*x^18*y^10+8*x^17*y^11+13*x^16*y^12+5*x ^15*y^13+x^18*y^9-x^17*y^10-13*x^16*y^11-8*x^15*y^12+x^14*y^13-2*x^17*y^9+13*x^ 16*y^10+2*x^15*y^11-3*x^14*y^12+x^17*y^8-8*x^16*y^9+7*x^15*y^10+6*x^14*y^11+x^ 13*y^12+2*x^16*y^8-7*x^15*y^9-8*x^14*y^10-x^13*y^11+2*x^15*y^8+5*x^14*y^9-4*x^ 13*y^10+x^12*y^11-x^14*y^8+7*x^13*y^9-3*x^12*y^10+x^11*y^11-3*x^13*y^8+2*x^12*y ^9-3*x^11*y^10+x^12*y^8+7*x^11*y^9+x^10*y^10-x^12*y^7-5*x^11*y^8-4*x^10*y^9-2*x ^11*y^7+4*x^10*y^8+x^9*y^9+2*x^11*y^6+x^10*y^7-x^9*y^8-2*x^10*y^6+x^9*y^7-x^8*y ^8+3*x^8*y^7-x^9*y^5-5*x^8*y^6-x^7*y^7+2*x^7*y^6+2*x^8*y^4+x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^ 7*y^4-x^6*y^4-x^5*y^5+x^6*y^3-x^5*y^4+x^4*y^4+x^5*y^2-x^4*y^2-x^3*y^3+x^2*y-x*y -x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 6 5 4 3 2 2 (6 a - 6 a + 5 a - 2 a - 2 a - 1) - ------------------------------------------------------------------------- 7 5 4 2 7 6 5 4 3 2 (8 a + 6 a + 5 a + 3 a - 2 a + 2) (a + a + a + 2 a + a + a + 1) 8 6 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7523148908 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7524252346 ------------------------------------------------ "Theorem Number 57" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 14 15 13 15 12 14 13 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 11 14 12 15 10 14 11 13 12 15 9 - 10 x y + 5 x y + 5 x y - 10 x y - 2 x y - x y 14 10 13 11 12 12 14 9 13 10 12 11 + 10 x y + 5 x y - 2 x y - 5 x y - x y + 11 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 + x y - 7 x y - 27 x y - 2 x y + 7 x y + 37 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 + 11 x y - 2 x y - 29 x y - 22 x y + 12 x y + 22 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 + 3 x y - 2 x y - 13 x y - 6 x y + 5 x y + 2 x y - x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - x y + x y + 4 x y + x y + x y - 5 x y - 5 x y - x y 9 5 8 6 7 7 7 6 7 5 6 6 8 3 + 2 x y + 5 x y + 2 x y - 5 x y + 4 x y + 3 x y - x y 7 4 6 5 6 4 6 3 5 3 4 4 5 2 4 3 - x y - 7 x y + 6 x y - 2 x y + x y - 5 x y - x y + 5 x y 3 3 3 2 2 2 2 / 11 9 - 3 x y + 2 x y - x y + x y - x y + x - 1) / ((x - 1) (x y / 11 8 10 9 11 7 10 8 11 6 10 6 9 7 - 3 x y - x y + 3 x y + 2 x y - x y - 2 x y - 2 x y 10 5 9 6 8 6 9 4 8 5 8 4 7 5 6 6 + x y + 3 x y + x y - x y - 2 x y + x y + x y + x y 6 5 7 3 6 4 6 3 5 4 5 3 4 4 4 2 3 3 - x y - x y + x y - x y + x y - x y - x y - x y + x y 3 2 2 2 - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (x^15*y^14-5*x^15*y^13+10*x^15*y^12-x^14*y^13-10*x^15*y^11+5*x^14*y^12+5*x^15*y ^10-10*x^14*y^11-2*x^13*y^12-x^15*y^9+10*x^14*y^10+5*x^13*y^11-2*x^12*y^12-5*x^ 14*y^9-x^13*y^10+11*x^12*y^11+x^14*y^8-7*x^13*y^9-27*x^12*y^10-2*x^11*y^11+7*x^ 13*y^8+37*x^12*y^9+11*x^11*y^10-2*x^13*y^7-29*x^12*y^8-22*x^11*y^9+12*x^12*y^7+ 22*x^11*y^8+3*x^10*y^9-2*x^12*y^6-13*x^11*y^7-6*x^10*y^8+5*x^11*y^6+2*x^10*y^7- x^9*y^8-x^11*y^5+x^10*y^6+4*x^9*y^7+x^8*y^8+x^10*y^5-5*x^9*y^6-5*x^8*y^7-x^10*y ^4+2*x^9*y^5+5*x^8*y^6+2*x^7*y^7-5*x^7*y^6+4*x^7*y^5+3*x^6*y^6-x^8*y^3-x^7*y^4-\ 7*x^6*y^5+6*x^6*y^4-2*x^6*y^3+x^5*y^3-5*x^4*y^4-x^5*y^2+5*x^4*y^3-3*x^3*y^3+2*x ^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^11*y^9-3*x^11*y^8-x^10*y^9+3*x^11*y^7+2* x^10*y^8-x^11*y^6-2*x^10*y^6-2*x^9*y^7+x^10*y^5+3*x^9*y^6+x^8*y^6-x^9*y^4-2*x^8 *y^5+x^8*y^4+x^7*y^5+x^6*y^6-x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^4-x^6*y^3+x^5*y^4-x^5*y^3-x^ 4*y^4-x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y^2-x^2*y^2-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7513471424 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 58" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1, 2], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 14 15 13 15 12 14 13 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 11 14 12 15 10 14 11 13 12 15 9 - 10 x y + 5 x y + 5 x y - 10 x y - 2 x y - x y 14 10 13 11 12 12 14 9 13 10 12 11 + 10 x y + 5 x y - 2 x y - 5 x y - x y + 11 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 + x y - 7 x y - 27 x y - 2 x y + 7 x y + 37 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 + 11 x y - 2 x y - 29 x y - 22 x y + 12 x y + 22 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 + 3 x y - 2 x y - 13 x y - 6 x y + 5 x y + 2 x y - x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - x y + x y + 4 x y + x y + x y - 5 x y - 5 x y - x y 9 5 8 6 7 7 7 6 7 5 6 6 8 3 + 2 x y + 5 x y + 2 x y - 5 x y + 4 x y + 3 x y - x y 7 4 6 5 6 4 6 3 5 3 4 4 5 2 4 3 - x y - 7 x y + 6 x y - 2 x y + x y - 5 x y - x y + 5 x y 3 3 3 2 2 2 2 / 12 9 12 8 - 3 x y + 2 x y - x y + x y - x y + x - 1) / (x y - 3 x y / 11 9 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - 2 x y + 3 x y + 5 x y + x y - x y - 3 x y - 2 x y 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 - x y - 2 x y + x y + 5 x y + 2 x y - x y - 2 x y 10 4 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 - x y - 2 x y - x y + 2 x y + 3 x y + x y - x y - 2 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 - x y - x y + x y + x y - 2 x y + x y + x y - x y + x y 3 3 2 2 2 - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^15*y^14-5*x^15*y^13+10*x^15*y^12-x^14*y^13-10*x^15*y^11+5*x^14*y^12+5*x^15*y ^10-10*x^14*y^11-2*x^13*y^12-x^15*y^9+10*x^14*y^10+5*x^13*y^11-2*x^12*y^12-5*x^ 14*y^9-x^13*y^10+11*x^12*y^11+x^14*y^8-7*x^13*y^9-27*x^12*y^10-2*x^11*y^11+7*x^ 13*y^8+37*x^12*y^9+11*x^11*y^10-2*x^13*y^7-29*x^12*y^8-22*x^11*y^9+12*x^12*y^7+ 22*x^11*y^8+3*x^10*y^9-2*x^12*y^6-13*x^11*y^7-6*x^10*y^8+5*x^11*y^6+2*x^10*y^7- x^9*y^8-x^11*y^5+x^10*y^6+4*x^9*y^7+x^8*y^8+x^10*y^5-5*x^9*y^6-5*x^8*y^7-x^10*y ^4+2*x^9*y^5+5*x^8*y^6+2*x^7*y^7-5*x^7*y^6+4*x^7*y^5+3*x^6*y^6-x^8*y^3-x^7*y^4-\ 7*x^6*y^5+6*x^6*y^4-2*x^6*y^3+x^5*y^3-5*x^4*y^4-x^5*y^2+5*x^4*y^3-3*x^3*y^3+2*x ^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x^12*y^9-3*x^12*y^8-2*x^11*y^9+3*x^12*y^7+5*x^11 *y^8+x^10*y^9-x^12*y^6-3*x^11*y^7-2*x^10*y^8-x^11*y^6-2*x^10*y^7+x^11*y^5+5*x^ 10*y^6+2*x^9*y^7-x^10*y^5-2*x^9*y^6-x^10*y^4-2*x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^9*y^4+3*x^8* y^5+x^7*y^6-x^8*y^4-2*x^7*y^5-x^6*y^6-x^8*y^3+x^7*y^4+x^6*y^5-2*x^5*y^4+x^5*y^3 +x^4*y^4-x^5*y^2+x^4*y^3-x^3*y^3+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7513471424 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 59" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 16 21 15 21 14 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 11 x y + 25 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 15 21 13 20 14 19 15 21 12 20 13 - 2 x y - 30 x y + 11 x y + x y + 20 x y - 24 x y 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 18 14 - 8 x y - x y - 7 x y + 26 x y + 26 x y + 5 x y 21 10 20 11 19 12 18 13 17 14 20 10 + x y - 14 x y - 44 x y - 10 x y - x y + 3 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 + 41 x y + 10 x y + x y - 2 x y - 20 x y - 5 x y 17 12 16 13 19 9 18 10 17 11 16 12 + 4 x y + 6 x y + 4 x y + x y - 6 x y - 5 x y 15 13 17 10 16 11 17 9 16 10 14 12 - x y - x y + 2 x y + 5 x y - 4 x y - x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 - 2 x y + 2 x y + 17 x y + 4 x y - x y + 3 x y 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 - 35 x y - 12 x y - 2 x y - 2 x y + 24 x y + 24 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 11 x y + 2 x y - 4 x y - 25 x y - 16 x y - 9 x y 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 - 2 x y - x y + 12 x y + 19 x y + 12 x y + 6 x y 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 - 2 x y - 18 x y - 8 x y - 9 x y - 5 x y + 7 x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 + 10 x y + 5 x y + 10 x y - 11 x y + 2 x y - 4 x y 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 2 x y + 4 x y + x y - 7 x y + 2 x y - 5 x y + 12 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 + 4 x y - 4 x y + 2 x y - 7 x y - 10 x y - 6 x y + x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 + 9 x y + 16 x y + 3 x y - 3 x y - 12 x y - 7 x y + 7 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 + 6 x y - 2 x y - 2 x y - 4 x y + 3 x y + 3 x y + x y 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 - x y - 3 x y + 2 x y + x y - x y - 6 x y - x y + 6 x y 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 / - x y - 3 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / ( / 17 12 17 11 17 10 17 9 16 10 15 11 17 8 x y - 4 x y + 6 x y - 4 x y + x y + x y + x y 16 9 15 10 16 8 15 9 14 10 16 7 15 8 - 3 x y - 4 x y + 3 x y + 7 x y + x y - x y - 7 x y 14 9 15 7 15 6 14 7 13 8 14 6 13 7 - 2 x y + 4 x y - x y + 2 x y + x y - x y - 2 x y 12 8 13 6 12 7 12 6 11 7 12 5 11 6 10 7 + x y + x y - x y - x y - x y + x y + 4 x y + x y 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 - 5 x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y + 3 x y + x y 9 5 8 6 9 4 8 5 6 5 7 3 7 2 6 3 6 2 - x y - 2 x y - x y + x y + x y + x y - x y - x y + x y 5 3 5 2 4 3 4 2 3 3 3 + x y - x y - 2 x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (2*x^21*y^16-11*x^21*y^15+25*x^21*y^14-2*x^20*y^15-30*x^21*y^13+11*x^20*y^14+x^ 19*y^15+20*x^21*y^12-24*x^20*y^13-8*x^19*y^14-x^18*y^15-7*x^21*y^11+26*x^20*y^ 12+26*x^19*y^13+5*x^18*y^14+x^21*y^10-14*x^20*y^11-44*x^19*y^12-10*x^18*y^13-x^ 17*y^14+3*x^20*y^10+41*x^19*y^11+10*x^18*y^12+x^17*y^13-2*x^16*y^14-20*x^19*y^ 10-5*x^18*y^11+4*x^17*y^12+6*x^16*y^13+4*x^19*y^9+x^18*y^10-6*x^17*y^11-5*x^16* y^12-x^15*y^13-x^17*y^10+2*x^16*y^11+5*x^17*y^9-4*x^16*y^10-x^14*y^12-2*x^17*y^ 8+2*x^16*y^9+17*x^15*y^10+4*x^14*y^11-x^13*y^12+3*x^16*y^8-35*x^15*y^9-12*x^14* y^10-2*x^13*y^11-2*x^16*y^7+24*x^15*y^8+24*x^14*y^9+11*x^13*y^10+2*x^12*y^11-4* x^15*y^7-25*x^14*y^8-16*x^13*y^9-9*x^12*y^10-2*x^11*y^11-x^15*y^6+12*x^14*y^7+ 19*x^13*y^8+12*x^12*y^9+6*x^11*y^10-2*x^14*y^6-18*x^13*y^7-8*x^12*y^8-9*x^11*y^ 9-5*x^10*y^10+7*x^13*y^6+10*x^12*y^7+5*x^11*y^8+10*x^10*y^9-11*x^12*y^6+2*x^11* y^7-4*x^10*y^8-2*x^9*y^9+4*x^12*y^5+x^11*y^6-7*x^10*y^7+2*x^9*y^8-5*x^11*y^5+12 *x^10*y^6+4*x^9*y^7-4*x^8*y^8+2*x^11*y^4-7*x^10*y^5-10*x^9*y^6-6*x^8*y^7+x^10*y ^4+9*x^9*y^5+16*x^8*y^6+3*x^7*y^7-3*x^9*y^4-12*x^8*y^5-7*x^7*y^6+7*x^8*y^4+6*x^ 7*y^5-2*x^6*y^6-2*x^8*y^3-4*x^7*y^4+3*x^6*y^5+3*x^7*y^3+x^6*y^4-x^7*y^2-3*x^6*y ^3+2*x^5*y^4+x^6*y^2-x^5*y^3-6*x^4*y^4-x^5*y^2+6*x^4*y^3-x^4*y^2-3*x^3*y^3+4*x^ 3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x^17*y^12-4*x^17*y^11+6*x^17*y^10-4*x^ 17*y^9+x^16*y^10+x^15*y^11+x^17*y^8-3*x^16*y^9-4*x^15*y^10+3*x^16*y^8+7*x^15*y^ 9+x^14*y^10-x^16*y^7-7*x^15*y^8-2*x^14*y^9+4*x^15*y^7-x^15*y^6+2*x^14*y^7+x^13* y^8-x^14*y^6-2*x^13*y^7+x^12*y^8+x^13*y^6-x^12*y^7-x^12*y^6-x^11*y^7+x^12*y^5+4 *x^11*y^6+x^10*y^7-5*x^11*y^5-2*x^10*y^6-x^9*y^7+2*x^11*y^4+x^10*y^5+3*x^9*y^6+ x^8*y^7-x^9*y^5-2*x^8*y^6-x^9*y^4+x^8*y^5+x^6*y^5+x^7*y^3-x^7*y^2-x^6*y^3+x^6*y ^2+x^5*y^3-x^5*y^2-2*x^4*y^3+x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 13 12 bors of a random word of length n tends to n times, (a - 6 a + 2 a 11 10 9 8 7 6 5 4 / + 6 a + 3 a - 3 a - 16 a + 9 a + 2 a + 6 a - 8 a + 1) / ( / 5 3 8 4 (3 a - 2 a + 1) (a + a + 1)) 6 4 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7508374831 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7511505382 ------------------------------------------------ "Theorem Number 60" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 16 21 15 21 14 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 11 x y + 25 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 15 21 13 20 14 19 15 21 12 20 13 - 2 x y - 30 x y + 11 x y + x y + 20 x y - 24 x y 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 18 14 - 8 x y - x y - 7 x y + 26 x y + 26 x y + 5 x y 21 10 20 11 19 12 18 13 17 14 20 10 + x y - 14 x y - 44 x y - 10 x y - x y + 3 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 + 41 x y + 10 x y + x y - 2 x y - 20 x y - 5 x y 17 12 16 13 19 9 18 10 17 11 16 12 + 4 x y + 6 x y + 4 x y + x y - 6 x y - 5 x y 15 13 17 10 16 11 17 9 16 10 14 12 - x y - x y + 2 x y + 5 x y - 4 x y - x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 - 2 x y + 2 x y + 17 x y + 4 x y - x y + 3 x y 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 - 35 x y - 12 x y - 2 x y - 2 x y + 24 x y + 24 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 11 x y + 2 x y - 4 x y - 25 x y - 16 x y - 9 x y 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 - 2 x y - x y + 12 x y + 19 x y + 12 x y + 6 x y 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 - 2 x y - 18 x y - 8 x y - 9 x y - 5 x y + 7 x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 + 10 x y + 5 x y + 10 x y - 11 x y + 2 x y - 4 x y 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 2 x y + 4 x y + x y - 7 x y + 2 x y - 5 x y + 12 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 + 4 x y - 4 x y + 2 x y - 7 x y - 10 x y - 6 x y + x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 + 9 x y + 16 x y + 3 x y - 3 x y - 12 x y - 7 x y + 7 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 + 6 x y - 2 x y - 2 x y - 4 x y + 3 x y + 3 x y + x y 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 - x y - 3 x y + 2 x y + x y - x y - 6 x y - x y + 6 x y 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 / - x y - 3 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / ( / 17 12 17 11 17 10 17 9 16 10 15 11 17 8 x y - 4 x y + 6 x y - 4 x y + x y + x y + x y 16 9 15 10 16 8 15 9 14 10 16 7 15 8 - 3 x y - 4 x y + 3 x y + 7 x y + x y - x y - 7 x y 14 9 15 7 15 6 14 7 13 8 14 6 13 7 - 2 x y + 4 x y - x y + 2 x y + x y - x y - 2 x y 12 8 13 6 12 7 12 6 11 7 12 5 11 6 10 7 + x y + x y - x y - x y - x y + x y + 4 x y + x y 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 - 5 x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y + 3 x y + x y 9 5 8 6 9 4 8 5 6 5 7 3 7 2 6 3 6 2 - x y - 2 x y - x y + x y + x y + x y - x y - x y + x y 5 3 5 2 4 3 4 2 3 3 3 + x y - x y - 2 x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (2*x^21*y^16-11*x^21*y^15+25*x^21*y^14-2*x^20*y^15-30*x^21*y^13+11*x^20*y^14+x^ 19*y^15+20*x^21*y^12-24*x^20*y^13-8*x^19*y^14-x^18*y^15-7*x^21*y^11+26*x^20*y^ 12+26*x^19*y^13+5*x^18*y^14+x^21*y^10-14*x^20*y^11-44*x^19*y^12-10*x^18*y^13-x^ 17*y^14+3*x^20*y^10+41*x^19*y^11+10*x^18*y^12+x^17*y^13-2*x^16*y^14-20*x^19*y^ 10-5*x^18*y^11+4*x^17*y^12+6*x^16*y^13+4*x^19*y^9+x^18*y^10-6*x^17*y^11-5*x^16* y^12-x^15*y^13-x^17*y^10+2*x^16*y^11+5*x^17*y^9-4*x^16*y^10-x^14*y^12-2*x^17*y^ 8+2*x^16*y^9+17*x^15*y^10+4*x^14*y^11-x^13*y^12+3*x^16*y^8-35*x^15*y^9-12*x^14* y^10-2*x^13*y^11-2*x^16*y^7+24*x^15*y^8+24*x^14*y^9+11*x^13*y^10+2*x^12*y^11-4* x^15*y^7-25*x^14*y^8-16*x^13*y^9-9*x^12*y^10-2*x^11*y^11-x^15*y^6+12*x^14*y^7+ 19*x^13*y^8+12*x^12*y^9+6*x^11*y^10-2*x^14*y^6-18*x^13*y^7-8*x^12*y^8-9*x^11*y^ 9-5*x^10*y^10+7*x^13*y^6+10*x^12*y^7+5*x^11*y^8+10*x^10*y^9-11*x^12*y^6+2*x^11* y^7-4*x^10*y^8-2*x^9*y^9+4*x^12*y^5+x^11*y^6-7*x^10*y^7+2*x^9*y^8-5*x^11*y^5+12 *x^10*y^6+4*x^9*y^7-4*x^8*y^8+2*x^11*y^4-7*x^10*y^5-10*x^9*y^6-6*x^8*y^7+x^10*y ^4+9*x^9*y^5+16*x^8*y^6+3*x^7*y^7-3*x^9*y^4-12*x^8*y^5-7*x^7*y^6+7*x^8*y^4+6*x^ 7*y^5-2*x^6*y^6-2*x^8*y^3-4*x^7*y^4+3*x^6*y^5+3*x^7*y^3+x^6*y^4-x^7*y^2-3*x^6*y ^3+2*x^5*y^4+x^6*y^2-x^5*y^3-6*x^4*y^4-x^5*y^2+6*x^4*y^3-x^4*y^2-3*x^3*y^3+4*x^ 3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x^17*y^12-4*x^17*y^11+6*x^17*y^10-4*x^ 17*y^9+x^16*y^10+x^15*y^11+x^17*y^8-3*x^16*y^9-4*x^15*y^10+3*x^16*y^8+7*x^15*y^ 9+x^14*y^10-x^16*y^7-7*x^15*y^8-2*x^14*y^9+4*x^15*y^7-x^15*y^6+2*x^14*y^7+x^13* y^8-x^14*y^6-2*x^13*y^7+x^12*y^8+x^13*y^6-x^12*y^7-x^12*y^6-x^11*y^7+x^12*y^5+4 *x^11*y^6+x^10*y^7-5*x^11*y^5-2*x^10*y^6-x^9*y^7+2*x^11*y^4+x^10*y^5+3*x^9*y^6+ x^8*y^7-x^9*y^5-2*x^8*y^6-x^9*y^4+x^8*y^5+x^6*y^5+x^7*y^3-x^7*y^2-x^6*y^3+x^6*y ^2+x^5*y^3-x^5*y^2-2*x^4*y^3+x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 13 12 bors of a random word of length n tends to n times, (a - 6 a + 2 a 11 10 9 8 7 6 5 4 / + 6 a + 3 a - 3 a - 16 a + 9 a + 2 a + 6 a - 8 a + 1) / ( / 5 3 8 4 (3 a - 2 a + 1) (a + a + 1)) 6 4 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7508374831 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7511505382 ------------------------------------------------ "Theorem Number 61" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 16 18 15 18 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 15 18 13 17 14 16 15 18 12 17 13 + x y - 20 x y - 5 x y - x y + 15 x y + 10 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 + 4 x y - 6 x y - 10 x y - 5 x y + x y + 5 x y 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 14 13 - x y - x y - x y + 9 x y + 6 x y - 3 x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 13 12 - 10 x y - 15 x y + 8 x y + 5 x y + 20 x y + x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 - x y - 15 x y - 18 x y - 10 x y + x y + 6 x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 + 19 x y + 23 x y + 2 x y - x y - 6 x y - 20 x y 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 12 8 - 10 x y + x y + 6 x y + 6 x y - 3 x y + 6 x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 + 10 x y + 3 x y - 6 x y - 17 x y - 8 x y + x y 11 7 10 8 11 6 10 7 11 5 10 6 8 8 + 13 x y + 10 x y - 5 x y - 6 x y + x y + x y - 6 x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 8 5 - x y + x y + 4 x y + x y - x y + 3 x y - x y - 3 x y 7 6 7 5 6 6 8 3 6 5 6 4 5 5 + 2 x y - x y - 3 x y + x y + 7 x y - 6 x y - 2 x y 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 3 3 + 2 x y + 2 x y - x y + 5 x y + x y - 5 x y + 3 x y 3 2 2 2 2 / 12 9 12 8 11 9 - 2 x y + x y - x y + x y - x + 1) / (x y - 3 x y - 2 x y / 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 + 3 x y + 5 x y + x y - x y - 3 x y - 2 x y - x y 10 7 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 - 2 x y + x y + 5 x y + 2 x y - x y - 2 x y - x y 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 - 2 x y - x y + 2 x y + 3 x y + x y - x y - 2 x y - x y 8 3 7 4 6 5 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 3 3 - x y + x y + x y - 2 x y + x y + x y - x y + x y - x y 2 2 2 + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^18*y^16-6*x^18*y^15+15*x^18*y^14+x^17*y^15-20*x^18*y^13-5*x^17*y^14-x^16*y^ 15+15*x^18*y^12+10*x^17*y^13+4*x^16*y^14-6*x^18*y^11-10*x^17*y^12-5*x^16*y^13+x ^18*y^10+5*x^17*y^11-x^16*y^12-x^15*y^13-x^17*y^10+9*x^16*y^11+6*x^15*y^12-3*x^ 14*y^13-10*x^16*y^10-15*x^15*y^11+8*x^14*y^12+5*x^16*y^9+20*x^15*y^10+x^13*y^12 -x^16*y^8-15*x^15*y^9-18*x^14*y^10-10*x^13*y^11+x^12*y^12+6*x^15*y^8+19*x^14*y^ 9+23*x^13*y^10+2*x^12*y^11-x^15*y^7-6*x^14*y^8-20*x^13*y^9-10*x^12*y^10+x^11*y^ 11+6*x^13*y^8+6*x^12*y^9-3*x^11*y^10+6*x^12*y^8+10*x^11*y^9+3*x^10*y^10-6*x^12* y^7-17*x^11*y^8-8*x^10*y^9+x^12*y^6+13*x^11*y^7+10*x^10*y^8-5*x^11*y^6-6*x^10*y ^7+x^11*y^5+x^10*y^6-6*x^8*y^8-x^10*y^5+x^9*y^6+4*x^8*y^7+x^10*y^4-x^9*y^5+3*x^ 8*y^6-x^7*y^7-3*x^8*y^5+2*x^7*y^6-x^7*y^5-3*x^6*y^6+x^8*y^3+7*x^6*y^5-6*x^6*y^4 -2*x^5*y^5+2*x^6*y^3+2*x^5*y^4-x^5*y^3+5*x^4*y^4+x^5*y^2-5*x^4*y^3+3*x^3*y^3-2* x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^12*y^9-3*x^12*y^8-2*x^11*y^9+3*x^12*y^7+5*x^ 11*y^8+x^10*y^9-x^12*y^6-3*x^11*y^7-2*x^10*y^8-x^11*y^6-2*x^10*y^7+x^11*y^5+5*x ^10*y^6+2*x^9*y^7-x^10*y^5-2*x^9*y^6-x^10*y^4-2*x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^9*y^4+3*x^8 *y^5+x^7*y^6-x^8*y^4-2*x^7*y^5-x^6*y^6-x^8*y^3+x^7*y^4+x^6*y^5-2*x^5*y^4+x^5*y^ 3+x^4*y^4-x^5*y^2+x^4*y^3-x^3*y^3+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7511185887 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 62" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 16 18 15 18 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 15 18 13 17 14 16 15 18 12 17 13 + x y - 20 x y - 5 x y - x y + 15 x y + 10 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 + 4 x y - 6 x y - 10 x y - 5 x y + x y + 5 x y 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 14 13 - x y - x y - x y + 9 x y + 6 x y - 3 x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 13 12 - 10 x y - 15 x y + 8 x y + 5 x y + 20 x y + x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 - x y - 15 x y - 18 x y - 10 x y + x y + 6 x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 + 19 x y + 23 x y + 2 x y - x y - 6 x y - 20 x y 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 12 8 - 10 x y + x y + 6 x y + 6 x y - 3 x y + 6 x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 + 10 x y + 3 x y - 6 x y - 17 x y - 8 x y + x y 11 7 10 8 11 6 10 7 11 5 10 6 8 8 + 13 x y + 10 x y - 5 x y - 6 x y + x y + x y - 6 x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 8 5 - x y + x y + 4 x y + x y - x y + 3 x y - x y - 3 x y 7 6 7 5 6 6 8 3 6 5 6 4 5 5 + 2 x y - x y - 3 x y + x y + 7 x y - 6 x y - 2 x y 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 3 3 + 2 x y + 2 x y - x y + 5 x y + x y - 5 x y + 3 x y 3 2 2 2 2 / 11 9 11 8 10 9 - 2 x y + x y - x y + x y - x + 1) / ((x y - 3 x y - x y / 11 7 10 8 11 6 10 6 9 7 10 5 9 6 + 3 x y + 2 x y - x y - 2 x y - 2 x y + x y + 3 x y 8 6 9 4 8 5 8 4 7 5 6 6 6 5 7 3 6 4 + x y - x y - 2 x y + x y + x y + x y - x y - x y + x y 6 3 5 4 5 3 4 4 4 2 3 3 3 2 2 2 - x y + x y - x y - x y - x y + x y - x y - x y - x y + 1) (x - 1)) and in Maple notation -(x^18*y^16-6*x^18*y^15+15*x^18*y^14+x^17*y^15-20*x^18*y^13-5*x^17*y^14-x^16*y^ 15+15*x^18*y^12+10*x^17*y^13+4*x^16*y^14-6*x^18*y^11-10*x^17*y^12-5*x^16*y^13+x ^18*y^10+5*x^17*y^11-x^16*y^12-x^15*y^13-x^17*y^10+9*x^16*y^11+6*x^15*y^12-3*x^ 14*y^13-10*x^16*y^10-15*x^15*y^11+8*x^14*y^12+5*x^16*y^9+20*x^15*y^10+x^13*y^12 -x^16*y^8-15*x^15*y^9-18*x^14*y^10-10*x^13*y^11+x^12*y^12+6*x^15*y^8+19*x^14*y^ 9+23*x^13*y^10+2*x^12*y^11-x^15*y^7-6*x^14*y^8-20*x^13*y^9-10*x^12*y^10+x^11*y^ 11+6*x^13*y^8+6*x^12*y^9-3*x^11*y^10+6*x^12*y^8+10*x^11*y^9+3*x^10*y^10-6*x^12* y^7-17*x^11*y^8-8*x^10*y^9+x^12*y^6+13*x^11*y^7+10*x^10*y^8-5*x^11*y^6-6*x^10*y ^7+x^11*y^5+x^10*y^6-6*x^8*y^8-x^10*y^5+x^9*y^6+4*x^8*y^7+x^10*y^4-x^9*y^5+3*x^ 8*y^6-x^7*y^7-3*x^8*y^5+2*x^7*y^6-x^7*y^5-3*x^6*y^6+x^8*y^3+7*x^6*y^5-6*x^6*y^4 -2*x^5*y^5+2*x^6*y^3+2*x^5*y^4-x^5*y^3+5*x^4*y^4+x^5*y^2-5*x^4*y^3+3*x^3*y^3-2* x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^11*y^9-3*x^11*y^8-x^10*y^9+3*x^11*y^7+2*x^10* y^8-x^11*y^6-2*x^10*y^6-2*x^9*y^7+x^10*y^5+3*x^9*y^6+x^8*y^6-x^9*y^4-2*x^8*y^5+ x^8*y^4+x^7*y^5+x^6*y^6-x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^4-x^6*y^3+x^5*y^4-x^5*y^3-x^4*y^4 -x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y^2-x^2*y^2-x*y+1)/(x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7511185887 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 63" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 16 13 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 11 x y + 25 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 14 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 + x y - 30 x y - 8 x y + 20 x y + 25 x y + x y 16 10 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 - 7 x y - 40 x y - 6 x y + 2 x y + x y + 35 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 + 17 x y - 9 x y - 16 x y - 28 x y + 14 x y + x y 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 + 3 x y + 27 x y - 4 x y - 7 x y - 14 x y - 14 x y 12 10 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 + 17 x y + 3 x y + 19 x y - 17 x y - 3 x y - 10 x y 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 + 3 x y + 12 x y + 2 x y + 7 x y - 17 x y - 2 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 10 7 9 8 - 5 x y + 9 x y + 7 x y - x y + x y - 10 x y + 4 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 10 4 - x y + 6 x y - 9 x y - 2 x y + 9 x y + 9 x y - x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 - 2 x y - 15 x y + 2 x y - x y + 11 x y + 2 x y - 3 x y 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 - 12 x y + 2 x y + 10 x y - 2 x y - 2 x y - 5 x y + 3 x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 + 6 x y - 5 x y - x y - x y + 6 x y + 3 x y - 7 x y 3 3 4 3 2 2 2 2 / + 4 x y + x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / ((x - 1) / 12 10 12 9 12 8 11 9 12 7 11 8 12 6 (2 x y - 7 x y + 9 x y - x y - 5 x y + 2 x y + x y 11 6 10 7 11 5 10 6 8 8 10 5 9 6 8 7 - 2 x y + x y + x y - 2 x y - x y + x y - x y + 2 x y 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 5 + 2 x y - 3 x y - x y + 4 x y + x y - 2 x y - x y - x y 5 5 5 4 4 4 5 2 4 3 3 2 - x y + x y + 2 x y - x y - x y + x y + x y + x y - 1)) and in Maple notation (2*x^16*y^15-11*x^16*y^14+25*x^16*y^13+x^15*y^14-30*x^16*y^12-8*x^15*y^13+20*x^ 16*y^11+25*x^15*y^12+x^14*y^13-7*x^16*y^10-40*x^15*y^11-6*x^14*y^12+2*x^13*y^13 +x^16*y^9+35*x^15*y^10+17*x^14*y^11-9*x^13*y^12-16*x^15*y^9-28*x^14*y^10+14*x^ 13*y^11+x^12*y^12+3*x^15*y^8+27*x^14*y^9-4*x^13*y^10-7*x^12*y^11-14*x^14*y^8-14 *x^13*y^9+17*x^12*y^10+3*x^14*y^7+19*x^13*y^8-17*x^12*y^9-3*x^11*y^10-10*x^13*y ^7+3*x^12*y^8+12*x^11*y^9+2*x^13*y^6+7*x^12*y^7-17*x^11*y^8-2*x^10*y^9-5*x^12*y ^6+9*x^11*y^7+7*x^10*y^8-x^9*y^9+x^12*y^5-10*x^10*y^7+4*x^9*y^8-x^11*y^5+6*x^10 *y^6-9*x^9*y^7-2*x^8*y^8+9*x^9*y^6+9*x^8*y^7-x^10*y^4-2*x^9*y^5-15*x^8*y^6+2*x^ 7*y^7-x^9*y^4+11*x^8*y^5+2*x^7*y^6-3*x^8*y^4-12*x^7*y^5+2*x^6*y^6+10*x^7*y^4-2* x^6*y^5-2*x^7*y^3-5*x^6*y^4+3*x^5*y^5+6*x^6*y^3-5*x^5*y^4-x^6*y^2-x^5*y^3+6*x^4 *y^4+3*x^5*y^2-7*x^4*y^3+4*x^3*y^3+x^4*y-4*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/( x-1)/(2*x^12*y^10-7*x^12*y^9+9*x^12*y^8-x^11*y^9-5*x^12*y^7+2*x^11*y^8+x^12*y^6 -2*x^11*y^6+x^10*y^7+x^11*y^5-2*x^10*y^6-x^8*y^8+x^10*y^5-x^9*y^6+2*x^8*y^7+2*x ^9*y^5-3*x^8*y^6-x^9*y^4+4*x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^5-x^5*y^5+x^ 5*y^4+2*x^4*y^4-x^5*y^2-x^4*y^3+x^3*y+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7489262540 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 64" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 2], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 16 13 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 11 x y + 25 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 14 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 + x y - 30 x y - 8 x y + 20 x y + 25 x y + x y 16 10 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 - 7 x y - 40 x y - 6 x y + 2 x y + x y + 35 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 + 17 x y - 9 x y - 16 x y - 28 x y + 14 x y + x y 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 + 3 x y + 27 x y - 4 x y - 7 x y - 14 x y - 14 x y 12 10 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 + 17 x y + 3 x y + 19 x y - 17 x y - 3 x y - 10 x y 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 + 3 x y + 12 x y + 2 x y + 7 x y - 17 x y - 2 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 10 7 9 8 - 5 x y + 9 x y + 7 x y - x y + x y - 10 x y + 4 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 10 4 - x y + 6 x y - 9 x y - 2 x y + 9 x y + 9 x y - x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 - 2 x y - 15 x y + 2 x y - x y + 11 x y + 2 x y - 3 x y 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 - 12 x y + 2 x y + 10 x y - 2 x y - 2 x y - 5 x y + 3 x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 + 6 x y - 5 x y - x y - x y + 6 x y + 3 x y - 7 x y 3 3 4 3 2 2 2 2 / + 4 x y + x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / ((x - 1) / 12 10 12 9 12 8 11 9 12 7 11 8 12 6 (2 x y - 7 x y + 9 x y - x y - 5 x y + 2 x y + x y 11 6 10 7 11 5 10 6 8 8 10 5 9 6 8 7 - 2 x y + x y + x y - 2 x y - x y + x y - x y + 2 x y 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 5 + 2 x y - 3 x y - x y + 4 x y + x y - 2 x y - x y - x y 5 5 5 4 4 4 5 2 4 3 3 2 - x y + x y + 2 x y - x y - x y + x y + x y + x y - 1)) and in Maple notation (2*x^16*y^15-11*x^16*y^14+25*x^16*y^13+x^15*y^14-30*x^16*y^12-8*x^15*y^13+20*x^ 16*y^11+25*x^15*y^12+x^14*y^13-7*x^16*y^10-40*x^15*y^11-6*x^14*y^12+2*x^13*y^13 +x^16*y^9+35*x^15*y^10+17*x^14*y^11-9*x^13*y^12-16*x^15*y^9-28*x^14*y^10+14*x^ 13*y^11+x^12*y^12+3*x^15*y^8+27*x^14*y^9-4*x^13*y^10-7*x^12*y^11-14*x^14*y^8-14 *x^13*y^9+17*x^12*y^10+3*x^14*y^7+19*x^13*y^8-17*x^12*y^9-3*x^11*y^10-10*x^13*y ^7+3*x^12*y^8+12*x^11*y^9+2*x^13*y^6+7*x^12*y^7-17*x^11*y^8-2*x^10*y^9-5*x^12*y ^6+9*x^11*y^7+7*x^10*y^8-x^9*y^9+x^12*y^5-10*x^10*y^7+4*x^9*y^8-x^11*y^5+6*x^10 *y^6-9*x^9*y^7-2*x^8*y^8+9*x^9*y^6+9*x^8*y^7-x^10*y^4-2*x^9*y^5-15*x^8*y^6+2*x^ 7*y^7-x^9*y^4+11*x^8*y^5+2*x^7*y^6-3*x^8*y^4-12*x^7*y^5+2*x^6*y^6+10*x^7*y^4-2* x^6*y^5-2*x^7*y^3-5*x^6*y^4+3*x^5*y^5+6*x^6*y^3-5*x^5*y^4-x^6*y^2-x^5*y^3+6*x^4 *y^4+3*x^5*y^2-7*x^4*y^3+4*x^3*y^3+x^4*y-4*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/( x-1)/(2*x^12*y^10-7*x^12*y^9+9*x^12*y^8-x^11*y^9-5*x^12*y^7+2*x^11*y^8+x^12*y^6 -2*x^11*y^6+x^10*y^7+x^11*y^5-2*x^10*y^6-x^8*y^8+x^10*y^5-x^9*y^6+2*x^8*y^7+2*x ^9*y^5-3*x^8*y^6-x^9*y^4+4*x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^5-x^5*y^5+x^ 5*y^4+2*x^4*y^4-x^5*y^2-x^4*y^3+x^3*y+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7489262540 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 65" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 14 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (3 x y - 13 x y - 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 + 22 x y + 15 x y - 18 x y - 34 x y - 2 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 + 7 x y + 46 x y + 10 x y - 2 x y - x y - 39 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 - 24 x y + 11 x y + 19 x y + 37 x y - 20 x y 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 - 3 x y - 4 x y - 37 x y + 7 x y + 11 x y + 21 x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 + 22 x y - 20 x y + x y - 5 x y - 31 x y + 19 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 + 6 x y + 16 x y - 2 x y - 27 x y - x y - 3 x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - 11 x y + 36 x y + 8 x y + 7 x y - 18 x y - 21 x y 9 9 12 5 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 3 x y - x y + 22 x y - 8 x y + 2 x y - 9 x y + 5 x y 8 8 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 + 9 x y - 14 x y + x y - x y + 9 x y + 2 x y + x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 - 5 x y - 5 x y + 2 x y + 12 x y + 2 x y - 10 x y - 4 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 2 x y + 7 x y - x y - 6 x y + 3 x y + x y + x y - 6 x y 5 2 4 3 3 3 4 3 2 2 2 2 - 3 x y + 7 x y - 4 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y / 12 10 12 9 12 8 11 9 12 7 + x - 1) / ((x - 1) (2 x y - 7 x y + 9 x y - x y - 5 x y / 11 8 12 6 11 6 10 7 11 5 10 6 8 8 + 2 x y + x y - 2 x y + x y + x y - 2 x y - x y 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 + x y - x y + 2 x y + 2 x y - 3 x y - x y + 4 x y + x y 8 4 7 5 6 5 5 5 5 4 4 4 5 2 4 3 3 - 2 x y - x y - x y - x y + x y + 2 x y - x y - x y + x y 2 + x y + x y - 1)) and in Maple notation -(3*x^16*y^14-13*x^16*y^13-3*x^15*y^14+22*x^16*y^12+15*x^15*y^13-18*x^16*y^11-\ 34*x^15*y^12-2*x^14*y^13+7*x^16*y^10+46*x^15*y^11+10*x^14*y^12-2*x^13*y^13-x^16 *y^9-39*x^15*y^10-24*x^14*y^11+11*x^13*y^12+19*x^15*y^9+37*x^14*y^10-20*x^13*y^ 11-3*x^12*y^12-4*x^15*y^8-37*x^14*y^9+7*x^13*y^10+11*x^12*y^11+21*x^14*y^8+22*x ^13*y^9-20*x^12*y^10+x^11*y^11-5*x^14*y^7-31*x^13*y^8+19*x^12*y^9+6*x^11*y^10+ 16*x^13*y^7-2*x^12*y^8-27*x^11*y^9-x^10*y^10-3*x^13*y^6-11*x^12*y^7+36*x^11*y^8 +8*x^10*y^9+7*x^12*y^6-18*x^11*y^7-21*x^10*y^8+3*x^9*y^9-x^12*y^5+22*x^10*y^7-8 *x^9*y^8+2*x^11*y^5-9*x^10*y^6+5*x^9*y^7+9*x^8*y^8-14*x^8*y^7+x^10*y^4-x^9*y^5+ 9*x^8*y^6+2*x^7*y^7+x^9*y^4-5*x^8*y^5-5*x^7*y^6+2*x^8*y^4+12*x^7*y^5+2*x^6*y^6-\ 10*x^7*y^4-4*x^6*y^5+2*x^7*y^3+7*x^6*y^4-x^5*y^5-6*x^6*y^3+3*x^5*y^4+x^6*y^2+x^ 5*y^3-6*x^4*y^4-3*x^5*y^2+7*x^4*y^3-4*x^3*y^3-x^4*y+4*x^3*y^2-2*x^2*y^2+2*x^2*y -x*y+x-1)/(x-1)/(2*x^12*y^10-7*x^12*y^9+9*x^12*y^8-x^11*y^9-5*x^12*y^7+2*x^11*y ^8+x^12*y^6-2*x^11*y^6+x^10*y^7+x^11*y^5-2*x^10*y^6-x^8*y^8+x^10*y^5-x^9*y^6+2* x^8*y^7+2*x^9*y^5-3*x^8*y^6-x^9*y^4+4*x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^5 -x^5*y^5+x^5*y^4+2*x^4*y^4-x^5*y^2-x^4*y^3+x^3*y+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7485531141 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 66" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 14 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (3 x y - 13 x y - 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 + 22 x y + 15 x y - 18 x y - 34 x y - 2 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 + 7 x y + 46 x y + 10 x y - 2 x y - x y - 39 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 - 24 x y + 11 x y + 19 x y + 37 x y - 20 x y 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 - 3 x y - 4 x y - 37 x y + 7 x y + 11 x y + 21 x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 + 22 x y - 20 x y + x y - 5 x y - 31 x y + 19 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 + 6 x y + 16 x y - 2 x y - 27 x y - x y - 3 x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - 11 x y + 36 x y + 8 x y + 7 x y - 18 x y - 21 x y 9 9 12 5 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 3 x y - x y + 22 x y - 8 x y + 2 x y - 9 x y + 5 x y 8 8 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 + 9 x y - 14 x y + x y - x y + 9 x y + 2 x y + x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 - 5 x y - 5 x y + 2 x y + 12 x y + 2 x y - 10 x y - 4 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 2 x y + 7 x y - x y - 6 x y + 3 x y + x y + x y - 6 x y 5 2 4 3 3 3 4 3 2 2 2 2 - 3 x y + 7 x y - 4 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y / 12 10 12 9 12 8 11 9 12 7 + x - 1) / ((x - 1) (2 x y - 7 x y + 9 x y - x y - 5 x y / 11 8 12 6 11 6 10 7 11 5 10 6 8 8 + 2 x y + x y - 2 x y + x y + x y - 2 x y - x y 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 + x y - x y + 2 x y + 2 x y - 3 x y - x y + 4 x y + x y 8 4 7 5 6 5 5 5 5 4 4 4 5 2 4 3 3 - 2 x y - x y - x y - x y + x y + 2 x y - x y - x y + x y 2 + x y + x y - 1)) and in Maple notation -(3*x^16*y^14-13*x^16*y^13-3*x^15*y^14+22*x^16*y^12+15*x^15*y^13-18*x^16*y^11-\ 34*x^15*y^12-2*x^14*y^13+7*x^16*y^10+46*x^15*y^11+10*x^14*y^12-2*x^13*y^13-x^16 *y^9-39*x^15*y^10-24*x^14*y^11+11*x^13*y^12+19*x^15*y^9+37*x^14*y^10-20*x^13*y^ 11-3*x^12*y^12-4*x^15*y^8-37*x^14*y^9+7*x^13*y^10+11*x^12*y^11+21*x^14*y^8+22*x ^13*y^9-20*x^12*y^10+x^11*y^11-5*x^14*y^7-31*x^13*y^8+19*x^12*y^9+6*x^11*y^10+ 16*x^13*y^7-2*x^12*y^8-27*x^11*y^9-x^10*y^10-3*x^13*y^6-11*x^12*y^7+36*x^11*y^8 +8*x^10*y^9+7*x^12*y^6-18*x^11*y^7-21*x^10*y^8+3*x^9*y^9-x^12*y^5+22*x^10*y^7-8 *x^9*y^8+2*x^11*y^5-9*x^10*y^6+5*x^9*y^7+9*x^8*y^8-14*x^8*y^7+x^10*y^4-x^9*y^5+ 9*x^8*y^6+2*x^7*y^7+x^9*y^4-5*x^8*y^5-5*x^7*y^6+2*x^8*y^4+12*x^7*y^5+2*x^6*y^6-\ 10*x^7*y^4-4*x^6*y^5+2*x^7*y^3+7*x^6*y^4-x^5*y^5-6*x^6*y^3+3*x^5*y^4+x^6*y^2+x^ 5*y^3-6*x^4*y^4-3*x^5*y^2+7*x^4*y^3-4*x^3*y^3-x^4*y+4*x^3*y^2-2*x^2*y^2+2*x^2*y -x*y+x-1)/(x-1)/(2*x^12*y^10-7*x^12*y^9+9*x^12*y^8-x^11*y^9-5*x^12*y^7+2*x^11*y ^8+x^12*y^6-2*x^11*y^6+x^10*y^7+x^11*y^5-2*x^10*y^6-x^8*y^8+x^10*y^5-x^9*y^6+2* x^8*y^7+2*x^9*y^5-3*x^8*y^6-x^9*y^4+4*x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^5 -x^5*y^5+x^5*y^4+2*x^4*y^4-x^5*y^2-x^4*y^3+x^3*y+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7485531141 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 67" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 17 20 16 19 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 7 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 15 19 16 20 14 19 15 18 16 20 13 + 21 x y - 7 x y - 35 x y + 21 x y - x y + 35 x y 19 14 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 - 35 x y + 5 x y - 21 x y + 35 x y - 10 x y + x y 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 + 7 x y - 21 x y + 10 x y - 5 x y + x y - x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 + 7 x y - 5 x y + 10 x y - 7 x y - x y + x y 17 12 16 13 15 14 17 11 16 12 - 10 x y + 18 x y - 3 x y + 5 x y - 21 x y 15 13 17 10 16 11 15 12 14 13 16 10 + 13 x y - x y + 9 x y - 21 x y - 2 x y + 3 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 + 15 x y + 9 x y - 4 x y - 5 x y - 15 x y - x y 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 13 10 + x y + 3 x y + 10 x y + 4 x y - 3 x y - 9 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 - x y + x y - 3 x y + 14 x y + 5 x y - x y + x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 - 13 x y - 9 x y + 5 x y + 6 x y + 8 x y - 9 x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 - x y - 5 x y + 8 x y + 7 x y + 3 x y - 4 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 10 6 - 20 x y + 4 x y - x y + x y + 17 x y - 10 x y - 2 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 + 7 x y - 2 x y - 2 x y - x y + 5 x y + x y - 3 x y - x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 - x y - x y + 5 x y + x y - 6 x y + 2 x y + x y - 2 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + x y - 2 x y + 2 x y + x y - 4 x y + x y + 2 x y - 5 x y 4 3 3 3 3 2 2 2 / 16 12 16 11 + 4 x y - 2 x y + x y - x y - x y - 1) / (x y - 4 x y / 16 10 15 11 16 9 15 10 16 8 15 9 + 6 x y - x y - 4 x y + 4 x y + x y - 6 x y 15 8 13 10 15 7 13 9 12 10 12 9 13 7 + 4 x y + x y - x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y 12 8 11 9 13 6 11 8 12 6 11 7 12 5 + x y - 2 x y - x y + 4 x y - 2 x y - 2 x y + x y 9 8 9 7 9 6 8 7 9 4 8 5 7 6 7 4 - x y + 3 x y - 3 x y - x y + x y + x y + x y - x y 6 5 7 3 6 4 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 2 x y + x y + x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + x y 4 3 3 2 2 2 - 2 x y - x y - x y - x y + 1) and in Maple notation -(x^20*y^17-7*x^20*y^16+x^19*y^17+21*x^20*y^15-7*x^19*y^16-35*x^20*y^14+21*x^19 *y^15-x^18*y^16+35*x^20*y^13-35*x^19*y^14+5*x^18*y^15-21*x^20*y^12+35*x^19*y^13 -10*x^18*y^14+x^17*y^15+7*x^20*y^11-21*x^19*y^12+10*x^18*y^13-5*x^17*y^14+x^16* y^15-x^20*y^10+7*x^19*y^11-5*x^18*y^12+10*x^17*y^13-7*x^16*y^14-x^19*y^10+x^18* y^11-10*x^17*y^12+18*x^16*y^13-3*x^15*y^14+5*x^17*y^11-21*x^16*y^12+13*x^15*y^ 13-x^17*y^10+9*x^16*y^11-21*x^15*y^12-2*x^14*y^13+3*x^16*y^10+15*x^15*y^11+9*x^ 14*y^12-4*x^16*y^9-5*x^15*y^10-15*x^14*y^11-x^13*y^12+x^16*y^8+3*x^15*y^9+10*x^ 14*y^10+4*x^13*y^11-3*x^15*y^8-9*x^13*y^10-x^12*y^11+x^15*y^7-3*x^14*y^8+14*x^ 13*y^9+5*x^12*y^10-x^11*y^11+x^14*y^7-13*x^13*y^8-9*x^12*y^9+5*x^11*y^10+6*x^13 *y^7+8*x^12*y^8-9*x^11*y^9-x^13*y^6-5*x^12*y^7+8*x^11*y^8+7*x^10*y^9+3*x^12*y^6 -4*x^11*y^7-20*x^10*y^8+4*x^9*y^9-x^12*y^5+x^11*y^6+17*x^10*y^7-10*x^9*y^8-2*x^ 10*y^6+7*x^9*y^7-2*x^8*y^8-2*x^10*y^5-x^9*y^6+5*x^8*y^7+x^9*y^5-3*x^8*y^6-x^7*y ^7-x^9*y^4-x^8*y^5+5*x^7*y^6+x^8*y^4-6*x^7*y^5+2*x^6*y^6+x^7*y^4-2*x^6*y^5+x^7* y^3-2*x^6*y^4+2*x^5*y^5+x^6*y^3-4*x^5*y^4+x^6*y^2+2*x^5*y^3-5*x^4*y^4+4*x^4*y^3 -2*x^3*y^3+x^3*y^2-x^2*y^2-x*y-1)/(x^16*y^12-4*x^16*y^11+6*x^16*y^10-x^15*y^11-\ 4*x^16*y^9+4*x^15*y^10+x^16*y^8-6*x^15*y^9+4*x^15*y^8+x^13*y^10-x^15*y^7-2*x^13 *y^9-x^12*y^10+x^12*y^9+2*x^13*y^7+x^12*y^8-2*x^11*y^9-x^13*y^6+4*x^11*y^8-2*x^ 12*y^6-2*x^11*y^7+x^12*y^5-x^9*y^8+3*x^9*y^7-3*x^9*y^6-x^8*y^7+x^9*y^4+x^8*y^5+ x^7*y^6-x^7*y^4+2*x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4-x^6*y^3+2*x^5*y^4-x^6*y^2-2*x^5*y^3+x ^4*y^4-2*x^4*y^3-x^3*y^2-x^2*y^2-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 12 11 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (a + 2 a 10 8 7 6 5 4 3 2 / + 3 a - 4 a - 9 a - 12 a - 9 a - 5 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) / ( / 6 5 3 2 4 3 2 (7 a + 6 a - 4 a - 3 a - 2 a - 1) (a + a + a + a + 1)) 7 6 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - x - x - x - x + 1, and in decimals this is, 0.7467388320 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7472262534 ------------------------------------------------ "Theorem Number 68" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 17 20 16 19 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 7 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 15 19 16 20 14 19 15 18 16 20 13 + 21 x y - 7 x y - 35 x y + 21 x y - x y + 35 x y 19 14 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 - 35 x y + 5 x y - 21 x y + 35 x y - 10 x y + x y 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 + 7 x y - 21 x y + 10 x y - 5 x y + x y - x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 + 7 x y - 5 x y + 10 x y - 7 x y - x y + x y 17 12 16 13 15 14 17 11 16 12 - 10 x y + 18 x y - 3 x y + 5 x y - 21 x y 15 13 17 10 16 11 15 12 14 13 16 10 + 13 x y - x y + 9 x y - 21 x y - 2 x y + 3 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 + 15 x y + 9 x y - 4 x y - 5 x y - 15 x y - x y 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 13 10 + x y + 3 x y + 10 x y + 4 x y - 3 x y - 9 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 - x y + x y - 3 x y + 14 x y + 5 x y - x y + x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 - 13 x y - 9 x y + 5 x y + 6 x y + 8 x y - 9 x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 - x y - 5 x y + 8 x y + 7 x y + 3 x y - 4 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 10 6 - 20 x y + 4 x y - x y + x y + 17 x y - 10 x y - 2 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 + 7 x y - 2 x y - 2 x y - x y + 5 x y + x y - 3 x y - x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 - x y - x y + 5 x y + x y - 6 x y + 2 x y + x y - 2 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + x y - 2 x y + 2 x y + x y - 4 x y + x y + 2 x y - 5 x y 4 3 3 3 3 2 2 2 / 16 12 16 11 + 4 x y - 2 x y + x y - x y - x y - 1) / (x y - 4 x y / 16 10 15 11 16 9 15 10 16 8 15 9 + 6 x y - x y - 4 x y + 4 x y + x y - 6 x y 15 8 13 10 15 7 13 9 12 10 12 9 13 7 + 4 x y + x y - x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y 12 8 11 9 13 6 11 8 12 6 11 7 12 5 + x y - 2 x y - x y + 4 x y - 2 x y - 2 x y + x y 9 8 9 7 9 6 8 7 9 4 8 5 7 6 7 4 - x y + 3 x y - 3 x y - x y + x y + x y + x y - x y 6 5 7 3 6 4 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 2 x y + x y + x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + x y 4 3 3 2 2 2 - 2 x y - x y - x y - x y + 1) and in Maple notation -(x^20*y^17-7*x^20*y^16+x^19*y^17+21*x^20*y^15-7*x^19*y^16-35*x^20*y^14+21*x^19 *y^15-x^18*y^16+35*x^20*y^13-35*x^19*y^14+5*x^18*y^15-21*x^20*y^12+35*x^19*y^13 -10*x^18*y^14+x^17*y^15+7*x^20*y^11-21*x^19*y^12+10*x^18*y^13-5*x^17*y^14+x^16* y^15-x^20*y^10+7*x^19*y^11-5*x^18*y^12+10*x^17*y^13-7*x^16*y^14-x^19*y^10+x^18* y^11-10*x^17*y^12+18*x^16*y^13-3*x^15*y^14+5*x^17*y^11-21*x^16*y^12+13*x^15*y^ 13-x^17*y^10+9*x^16*y^11-21*x^15*y^12-2*x^14*y^13+3*x^16*y^10+15*x^15*y^11+9*x^ 14*y^12-4*x^16*y^9-5*x^15*y^10-15*x^14*y^11-x^13*y^12+x^16*y^8+3*x^15*y^9+10*x^ 14*y^10+4*x^13*y^11-3*x^15*y^8-9*x^13*y^10-x^12*y^11+x^15*y^7-3*x^14*y^8+14*x^ 13*y^9+5*x^12*y^10-x^11*y^11+x^14*y^7-13*x^13*y^8-9*x^12*y^9+5*x^11*y^10+6*x^13 *y^7+8*x^12*y^8-9*x^11*y^9-x^13*y^6-5*x^12*y^7+8*x^11*y^8+7*x^10*y^9+3*x^12*y^6 -4*x^11*y^7-20*x^10*y^8+4*x^9*y^9-x^12*y^5+x^11*y^6+17*x^10*y^7-10*x^9*y^8-2*x^ 10*y^6+7*x^9*y^7-2*x^8*y^8-2*x^10*y^5-x^9*y^6+5*x^8*y^7+x^9*y^5-3*x^8*y^6-x^7*y ^7-x^9*y^4-x^8*y^5+5*x^7*y^6+x^8*y^4-6*x^7*y^5+2*x^6*y^6+x^7*y^4-2*x^6*y^5+x^7* y^3-2*x^6*y^4+2*x^5*y^5+x^6*y^3-4*x^5*y^4+x^6*y^2+2*x^5*y^3-5*x^4*y^4+4*x^4*y^3 -2*x^3*y^3+x^3*y^2-x^2*y^2-x*y-1)/(x^16*y^12-4*x^16*y^11+6*x^16*y^10-x^15*y^11-\ 4*x^16*y^9+4*x^15*y^10+x^16*y^8-6*x^15*y^9+4*x^15*y^8+x^13*y^10-x^15*y^7-2*x^13 *y^9-x^12*y^10+x^12*y^9+2*x^13*y^7+x^12*y^8-2*x^11*y^9-x^13*y^6+4*x^11*y^8-2*x^ 12*y^6-2*x^11*y^7+x^12*y^5-x^9*y^8+3*x^9*y^7-3*x^9*y^6-x^8*y^7+x^9*y^4+x^8*y^5+ x^7*y^6-x^7*y^4+2*x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4-x^6*y^3+2*x^5*y^4-x^6*y^2-2*x^5*y^3+x ^4*y^4-2*x^4*y^3-x^3*y^2-x^2*y^2-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 12 11 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (a + 2 a 10 8 7 6 5 4 3 2 / + 3 a - 4 a - 9 a - 12 a - 9 a - 5 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) / ( / 6 5 3 2 4 3 2 (7 a + 6 a - 4 a - 3 a - 2 a - 1) (a + a + a + a + 1)) 7 6 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - x - x - x - x + 1, and in decimals this is, 0.7467388320 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7472262534 ------------------------------------------------ "Theorem Number 69" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 16 18 15 18 14 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 15 18 13 17 14 18 12 17 13 16 14 - 2 x y - 10 x y + 9 x y + 5 x y - 16 x y - 2 x y 18 11 17 12 16 13 17 11 16 12 15 13 - x y + 14 x y + 9 x y - 6 x y - 16 x y - 3 x y 14 14 17 10 16 11 15 12 14 13 16 10 - x y + x y + 14 x y + 10 x y + 4 x y - 6 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 - 11 x y - 8 x y + x y + x y + 3 x y + 9 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 - 4 x y + 2 x y - 4 x y + 10 x y + 2 x y - x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - x y - 20 x y - 5 x y + x y + 25 x y + 5 x y 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 + 3 x y - 16 x y - 7 x y - 9 x y + 4 x y + 10 x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 + 15 x y + 6 x y - 6 x y - 19 x y - 13 x y + x y 11 7 10 8 9 9 11 6 9 8 11 5 10 6 + 15 x y + 7 x y - 2 x y - 6 x y + 4 x y + x y + x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 8 6 7 7 8 5 - x y + 2 x y - x y - x y - 2 x y - 3 x y - 9 x y + 4 x y 7 6 8 4 7 5 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 + 14 x y - 2 x y - 5 x y + x y + x y + x y - x y - 2 x y 5 5 6 3 5 4 6 2 4 4 4 3 4 2 2 2 - 6 x y + 2 x y + 5 x y - x y + 3 x y - x y - x y + x y 2 / 15 11 14 12 15 10 14 11 15 9 - x y + 1) / (x y + x y - 3 x y - 3 x y + 3 x y / 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 14 8 + 2 x y - x y - x y + 2 x y + 3 x y - 3 x y 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 - 2 x y + 2 x y + x y - x y - 5 x y + x y + 2 x y 11 9 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 9 9 - 3 x y + 3 x y + 7 x y - 2 x y - 3 x y + x y - x y 11 6 10 7 9 8 11 5 9 7 8 8 10 5 9 6 - 3 x y - 2 x y + x y + 2 x y - x y + x y + x y + x y 8 7 9 5 7 7 9 4 7 6 8 4 7 5 6 6 - x y + 3 x y - 2 x y - 3 x y + x y - x y + 2 x y + 3 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 5 5 6 3 5 4 6 2 + x y - 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y + x y + x y - x y 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 + 3 x y - x y - x y - 2 x y + 2 x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^18*y^16-5*x^18*y^15+10*x^18*y^14-2*x^17*y^15-10*x^18*y^13+9*x^17*y^14+5*x^18 *y^12-16*x^17*y^13-2*x^16*y^14-x^18*y^11+14*x^17*y^12+9*x^16*y^13-6*x^17*y^11-\ 16*x^16*y^12-3*x^15*y^13-x^14*y^14+x^17*y^10+14*x^16*y^11+10*x^15*y^12+4*x^14*y ^13-6*x^16*y^10-11*x^15*y^11-8*x^14*y^12+x^13*y^13+x^16*y^9+3*x^15*y^10+9*x^14* y^11-4*x^13*y^12+2*x^15*y^9-4*x^14*y^10+10*x^13*y^11+2*x^12*y^12-x^15*y^8-x^14* y^9-20*x^13*y^10-5*x^12*y^11+x^14*y^8+25*x^13*y^9+5*x^12*y^10+3*x^11*y^11-16*x^ 13*y^8-7*x^12*y^9-9*x^11*y^10+4*x^13*y^7+10*x^12*y^8+15*x^11*y^9+6*x^10*y^10-6* x^12*y^7-19*x^11*y^8-13*x^10*y^9+x^12*y^6+15*x^11*y^7+7*x^10*y^8-2*x^9*y^9-6*x^ 11*y^6+4*x^9*y^8+x^11*y^5+x^10*y^6-x^9*y^7+2*x^8*y^8-x^10*y^5-x^9*y^6-2*x^8*y^7 -3*x^8*y^6-9*x^7*y^7+4*x^8*y^5+14*x^7*y^6-2*x^8*y^4-5*x^7*y^5+x^8*y^3+x^7*y^4+x ^6*y^5-x^7*y^3-2*x^6*y^4-6*x^5*y^5+2*x^6*y^3+5*x^5*y^4-x^6*y^2+3*x^4*y^4-x^4*y^ 3-x^4*y^2+x^2*y^2-x^2*y+1)/(x^15*y^11+x^14*y^12-3*x^15*y^10-3*x^14*y^11+3*x^15* y^9+2*x^14*y^10-x^13*y^11-x^15*y^8+2*x^14*y^9+3*x^13*y^10-3*x^14*y^8-2*x^13*y^9 +2*x^12*y^10+x^14*y^7-x^13*y^8-5*x^12*y^9+x^13*y^7+2*x^12*y^8-3*x^11*y^9+3*x^12 *y^7+7*x^11*y^8-2*x^12*y^6-3*x^11*y^7+x^10*y^8-x^9*y^9-3*x^11*y^6-2*x^10*y^7+x^ 9*y^8+2*x^11*y^5-x^9*y^7+x^8*y^8+x^10*y^5+x^9*y^6-x^8*y^7+3*x^9*y^5-2*x^7*y^7-3 *x^9*y^4+x^7*y^6-x^8*y^4+2*x^7*y^5+3*x^6*y^6+x^8*y^3-2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+x^7*y^ 3-2*x^5*y^5+x^6*y^3+x^5*y^4-x^6*y^2+3*x^4*y^4-x^4*y^3-x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^3*y ^2+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 12 10 9 8 7 5 4 2 (a + a - a + a - 2 a - 5 a + 8 a - 1) - ------------------------------------------------ 5 4 3 5 4 (6 a - 5 a + 4 a - 2) (a - a - 1) 6 5 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7436499296 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7441346478 ------------------------------------------------ "Theorem Number 70" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 16 18 15 18 14 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 15 18 13 17 14 18 12 17 13 16 14 - 2 x y - 10 x y + 9 x y + 5 x y - 16 x y - 2 x y 18 11 17 12 16 13 17 11 16 12 15 13 - x y + 14 x y + 9 x y - 6 x y - 16 x y - 3 x y 14 14 17 10 16 11 15 12 14 13 16 10 - x y + x y + 14 x y + 10 x y + 4 x y - 6 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 - 11 x y - 8 x y + x y + x y + 3 x y + 9 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 - 4 x y + 2 x y - 4 x y + 10 x y + 2 x y - x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - x y - 20 x y - 5 x y + x y + 25 x y + 5 x y 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 + 3 x y - 16 x y - 7 x y - 9 x y + 4 x y + 10 x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 + 15 x y + 6 x y - 6 x y - 19 x y - 13 x y + x y 11 7 10 8 9 9 11 6 9 8 11 5 10 6 + 15 x y + 7 x y - 2 x y - 6 x y + 4 x y + x y + x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 8 6 7 7 8 5 - x y + 2 x y - x y - x y - 2 x y - 3 x y - 9 x y + 4 x y 7 6 8 4 7 5 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 + 14 x y - 2 x y - 5 x y + x y + x y + x y - x y - 2 x y 5 5 6 3 5 4 6 2 4 4 4 3 4 2 2 2 - 6 x y + 2 x y + 5 x y - x y + 3 x y - x y - x y + x y 2 / 15 11 14 12 15 10 14 11 15 9 - x y + 1) / (x y + x y - 3 x y - 3 x y + 3 x y / 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 14 8 + 2 x y - x y - x y + 2 x y + 3 x y - 3 x y 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 - 2 x y + 2 x y + x y - x y - 5 x y + x y + 2 x y 11 9 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 9 9 - 3 x y + 3 x y + 7 x y - 2 x y - 3 x y + x y - x y 11 6 10 7 9 8 11 5 9 7 8 8 10 5 9 6 - 3 x y - 2 x y + x y + 2 x y - x y + x y + x y + x y 8 7 9 5 7 7 9 4 7 6 8 4 7 5 6 6 - x y + 3 x y - 2 x y - 3 x y + x y - x y + 2 x y + 3 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 5 5 6 3 5 4 6 2 + x y - 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y + x y + x y - x y 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 + 3 x y - x y - x y - 2 x y + 2 x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^18*y^16-5*x^18*y^15+10*x^18*y^14-2*x^17*y^15-10*x^18*y^13+9*x^17*y^14+5*x^18 *y^12-16*x^17*y^13-2*x^16*y^14-x^18*y^11+14*x^17*y^12+9*x^16*y^13-6*x^17*y^11-\ 16*x^16*y^12-3*x^15*y^13-x^14*y^14+x^17*y^10+14*x^16*y^11+10*x^15*y^12+4*x^14*y ^13-6*x^16*y^10-11*x^15*y^11-8*x^14*y^12+x^13*y^13+x^16*y^9+3*x^15*y^10+9*x^14* y^11-4*x^13*y^12+2*x^15*y^9-4*x^14*y^10+10*x^13*y^11+2*x^12*y^12-x^15*y^8-x^14* y^9-20*x^13*y^10-5*x^12*y^11+x^14*y^8+25*x^13*y^9+5*x^12*y^10+3*x^11*y^11-16*x^ 13*y^8-7*x^12*y^9-9*x^11*y^10+4*x^13*y^7+10*x^12*y^8+15*x^11*y^9+6*x^10*y^10-6* x^12*y^7-19*x^11*y^8-13*x^10*y^9+x^12*y^6+15*x^11*y^7+7*x^10*y^8-2*x^9*y^9-6*x^ 11*y^6+4*x^9*y^8+x^11*y^5+x^10*y^6-x^9*y^7+2*x^8*y^8-x^10*y^5-x^9*y^6-2*x^8*y^7 -3*x^8*y^6-9*x^7*y^7+4*x^8*y^5+14*x^7*y^6-2*x^8*y^4-5*x^7*y^5+x^8*y^3+x^7*y^4+x ^6*y^5-x^7*y^3-2*x^6*y^4-6*x^5*y^5+2*x^6*y^3+5*x^5*y^4-x^6*y^2+3*x^4*y^4-x^4*y^ 3-x^4*y^2+x^2*y^2-x^2*y+1)/(x^15*y^11+x^14*y^12-3*x^15*y^10-3*x^14*y^11+3*x^15* y^9+2*x^14*y^10-x^13*y^11-x^15*y^8+2*x^14*y^9+3*x^13*y^10-3*x^14*y^8-2*x^13*y^9 +2*x^12*y^10+x^14*y^7-x^13*y^8-5*x^12*y^9+x^13*y^7+2*x^12*y^8-3*x^11*y^9+3*x^12 *y^7+7*x^11*y^8-2*x^12*y^6-3*x^11*y^7+x^10*y^8-x^9*y^9-3*x^11*y^6-2*x^10*y^7+x^ 9*y^8+2*x^11*y^5-x^9*y^7+x^8*y^8+x^10*y^5+x^9*y^6-x^8*y^7+3*x^9*y^5-2*x^7*y^7-3 *x^9*y^4+x^7*y^6-x^8*y^4+2*x^7*y^5+3*x^6*y^6+x^8*y^3-2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+x^7*y^ 3-2*x^5*y^5+x^6*y^3+x^5*y^4-x^6*y^2+3*x^4*y^4-x^4*y^3-x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^3*y ^2+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 12 10 9 8 7 5 4 2 (a + a - a + a - 2 a - 5 a + 8 a - 1) - ------------------------------------------------ 5 4 3 5 4 (6 a - 5 a + 4 a - 2) (a - a - 1) 6 5 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7436499296 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7441346478 ------------------------------------------------ "Theorem Number 71" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [1, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 18 20 17 20 16 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 17 20 15 19 16 18 17 20 14 19 15 + x y - 10 x y - 6 x y + 2 x y + 5 x y + 15 x y 18 16 20 13 19 14 18 15 19 13 18 14 - 11 x y - x y - 20 x y + 23 x y + 15 x y - 23 x y 17 15 19 12 18 13 17 14 16 15 19 11 - 3 x y - 6 x y + 11 x y + 11 x y - x y + x y 18 12 17 13 16 14 17 12 16 13 15 14 - 2 x y - 15 x y - x y + 9 x y + 12 x y - 3 x y 17 11 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 - 2 x y - 19 x y + 7 x y + 9 x y - 4 x y - 2 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 + 3 x y - x y + 5 x y - x y - 4 x y + x y 14 11 13 12 16 8 13 11 12 12 14 9 - 4 x y - 2 x y + x y + 9 x y - x y + 2 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 - 4 x y + 2 x y - x y - 8 x y - 4 x y + x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 + 8 x y + 5 x y - x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y 11 8 10 9 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 - 7 x y - x y + 7 x y + 4 x y + 5 x y - 2 x y - 3 x y 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 10 4 9 5 - 8 x y - x y - x y + 3 x y + 6 x y + x y + x y - 2 x y 8 6 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 6 5 - 11 x y + x y + 7 x y - 3 x y + 6 x y + x y - 4 x y 7 3 6 4 5 5 5 4 6 2 4 4 4 2 - 3 x y + 4 x y + 6 x y - 5 x y - x y - 3 x y + 2 x y 3 3 3 / 21 18 21 17 21 16 20 17 - 2 x y + 2 x y - 1) / (x y - 5 x y + 10 x y - x y / 21 15 20 16 19 17 21 14 20 15 19 16 - 10 x y + 5 x y + x y + 5 x y - 10 x y - 5 x y 21 13 20 14 19 15 18 16 20 13 19 14 - x y + 10 x y + 8 x y - x y - 5 x y - 3 x y 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 19 12 + 4 x y + x y - 4 x y - 6 x y - x y + 4 x y 18 13 17 14 19 11 18 12 17 13 17 12 + 4 x y + 3 x y - x y - x y - 2 x y - 3 x y 16 13 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 - 4 x y + 6 x y + 10 x y + x y - 4 x y - 6 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 16 9 - x y - x y + x y - 3 x y - 4 x y + x y + 4 x y 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 + 7 x y + 3 x y + x y - x y - 3 x y - 4 x y 13 11 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 5 x y + 4 x y + 2 x y + x y + 3 x y + x y 13 8 12 9 11 10 12 8 11 9 12 7 - 3 x y - 9 x y - 3 x y + 7 x y + 5 x y - x y 11 8 10 9 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 + 3 x y + x y - 8 x y - 3 x y + 2 x y + x y + 4 x y 11 5 10 6 9 7 9 6 8 7 10 4 9 5 + x y + 2 x y - 5 x y - 2 x y - 3 x y - x y + 3 x y 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 6 6 6 5 7 3 + 8 x y - x y - x y - x y - 3 x y + 3 x y + 2 x y + x y 6 4 5 5 5 4 6 2 5 3 4 4 4 2 3 3 - 5 x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y + 2 x y 3 - 2 x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^20*y^18-5*x^20*y^17+10*x^20*y^16+x^19*y^17-10*x^20*y^15-6*x^19*y^16+2*x^18* y^17+5*x^20*y^14+15*x^19*y^15-11*x^18*y^16-x^20*y^13-20*x^19*y^14+23*x^18*y^15+ 15*x^19*y^13-23*x^18*y^14-3*x^17*y^15-6*x^19*y^12+11*x^18*y^13+11*x^17*y^14-x^ 16*y^15+x^19*y^11-2*x^18*y^12-15*x^17*y^13-x^16*y^14+9*x^17*y^12+12*x^16*y^13-3 *x^15*y^14-2*x^17*y^11-19*x^16*y^12+7*x^15*y^13+9*x^16*y^11-4*x^15*y^12-2*x^14* y^13+3*x^16*y^10-x^15*y^11+5*x^14*y^12-x^13*y^13-4*x^16*y^9+x^15*y^10-4*x^14*y^ 11-2*x^13*y^12+x^16*y^8+9*x^13*y^11-x^12*y^12+2*x^14*y^9-4*x^13*y^10+2*x^12*y^ 11-x^14*y^8-8*x^13*y^9-4*x^12*y^10+x^11*y^11+8*x^13*y^8+5*x^12*y^9-x^11*y^10-2* x^13*y^7-x^12*y^8+2*x^11*y^9-x^12*y^7-7*x^11*y^8-x^10*y^9+7*x^11*y^7+4*x^10*y^8 +5*x^9*y^9-2*x^11*y^6-3*x^10*y^7-8*x^9*y^8-x^10*y^6-x^9*y^7+3*x^8*y^8+6*x^9*y^6 +x^8*y^7+x^10*y^4-2*x^9*y^5-11*x^8*y^6+x^7*y^7+7*x^8*y^5-3*x^7*y^6+6*x^7*y^5+x^ 6*y^6-4*x^6*y^5-3*x^7*y^3+4*x^6*y^4+6*x^5*y^5-5*x^5*y^4-x^6*y^2-3*x^4*y^4+2*x^4 *y^2-2*x^3*y^3+2*x^3*y-1)/(x^21*y^18-5*x^21*y^17+10*x^21*y^16-x^20*y^17-10*x^21 *y^15+5*x^20*y^16+x^19*y^17+5*x^21*y^14-10*x^20*y^15-5*x^19*y^16-x^21*y^13+10*x ^20*y^14+8*x^19*y^15-x^18*y^16-5*x^20*y^13-3*x^19*y^14+4*x^18*y^15+x^20*y^12-4* x^19*y^13-6*x^18*y^14-x^17*y^15+4*x^19*y^12+4*x^18*y^13+3*x^17*y^14-x^19*y^11-x ^18*y^12-2*x^17*y^13-3*x^17*y^12-4*x^16*y^13+6*x^17*y^11+10*x^16*y^12+x^15*y^13 -4*x^17*y^10-6*x^16*y^11-x^15*y^12-x^14*y^13+x^17*y^9-3*x^16*y^10-4*x^15*y^11+x ^14*y^12+4*x^16*y^9+7*x^15*y^10+3*x^14*y^11+x^13*y^12-x^16*y^8-3*x^15*y^9-4*x^ 14*y^10-5*x^13*y^11+4*x^13*y^10+2*x^12*y^11+x^14*y^8+3*x^13*y^9+x^12*y^10-3*x^ 13*y^8-9*x^12*y^9-3*x^11*y^10+7*x^12*y^8+5*x^11*y^9-x^12*y^7+3*x^11*y^8+x^10*y^ 9-8*x^11*y^7-3*x^10*y^8+2*x^11*y^6+x^10*y^7+4*x^9*y^8+x^11*y^5+2*x^10*y^6-5*x^9 *y^7-2*x^9*y^6-3*x^8*y^7-x^10*y^4+3*x^9*y^5+8*x^8*y^6-x^7*y^7-x^8*y^5-x^7*y^6-3 *x^8*y^4+3*x^6*y^6+2*x^6*y^5+x^7*y^3-5*x^6*y^4-2*x^5*y^5-x^5*y^4+x^6*y^2+2*x^5* y^3-x^4*y^4+2*x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 8 7 6 5 4 3 2 (2 a + 4 a + 9 a + 6 a + 3 a - 4 a - 3 a - 2 a - 1) 7 6 5 4 3 / 6 4 2 2 (8 a - 7 a + 6 a - 5 a + 4 a - 2) / ((7 a + 5 a + 3 a + 2 a + 1) / 7 5 4 (a + a - a - 1)) 8 7 6 5 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7436457164 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7439725141 ------------------------------------------------ "Theorem Number 72" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [1, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 19 17 19 16 19 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 14 19 13 17 15 19 12 17 14 19 11 - 20 x y + 15 x y + x y - 6 x y - 5 x y + x y 17 13 17 12 15 14 17 11 15 13 + 11 x y - 14 x y + 2 x y + 11 x y - 17 x y 17 10 15 12 14 13 17 9 15 11 14 12 - 5 x y + 48 x y - 2 x y + x y - 62 x y + 12 x y 15 10 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 + 38 x y - 23 x y + 2 x y - 9 x y + 19 x y - 7 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 7 x y + 11 x y + 2 x y + x y - 11 x y - 6 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 + 7 x y + 6 x y - x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y - x y 11 8 10 9 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 - 3 x y - 7 x y + 3 x y + 18 x y - x y - x y - 14 x y 9 8 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 8 6 + 3 x y + 5 x y - 3 x y - x y + x y + x y - 3 x y 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 6 5 + 4 x y + 2 x y - 6 x y + 5 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 - 6 x y + 10 x y - 4 x y + 3 x y - x y - x y + 2 x y - x y / 18 14 18 13 18 12 17 13 18 11 + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - x y - 4 x y / 17 12 18 10 17 11 17 10 15 12 17 9 + 4 x y + x y - 6 x y + 4 x y - x y - x y 15 11 14 12 15 10 14 11 15 9 14 10 + 5 x y + x y - 7 x y - 2 x y + 3 x y - 2 x y 13 11 14 9 13 10 14 8 13 9 12 10 13 8 - x y + 6 x y + 3 x y - 3 x y - x y - x y - 3 x y 12 9 11 10 13 7 11 9 11 8 10 9 11 7 + x y - x y + 2 x y + 2 x y - 3 x y + x y + 3 x y 10 8 11 6 10 7 10 6 9 7 10 5 9 6 - x y - x y + x y - 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y 8 6 8 5 7 6 7 5 7 4 6 5 6 4 + 4 x y - 3 x y - 4 x y + x y + 2 x y + 6 x y - 5 x y 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 - 2 x y + 2 x y + x y - x y + x y - 2 x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^19*y^17-6*x^19*y^16+15*x^19*y^15-20*x^19*y^14+15*x^19*y^13+x^17*y^15-6*x^19 *y^12-5*x^17*y^14+x^19*y^11+11*x^17*y^13-14*x^17*y^12+2*x^15*y^14+11*x^17*y^11-\ 17*x^15*y^13-5*x^17*y^10+48*x^15*y^12-2*x^14*y^13+x^17*y^9-62*x^15*y^11+12*x^14 *y^12+38*x^15*y^10-23*x^14*y^11+2*x^13*y^12-9*x^15*y^9+19*x^14*y^10-7*x^13*y^11 -7*x^14*y^9+11*x^13*y^10+2*x^12*y^11+x^14*y^8-11*x^13*y^9-6*x^12*y^10+7*x^13*y^ 8+6*x^12*y^9-x^11*y^10-2*x^13*y^7-2*x^12*y^8+2*x^11*y^9-x^10*y^10-3*x^11*y^8-7* x^10*y^9+3*x^11*y^7+18*x^10*y^8-x^9*y^9-x^11*y^6-14*x^10*y^7+3*x^9*y^8+5*x^10*y ^6-3*x^9*y^7-x^10*y^5+x^9*y^6+x^8*y^7-3*x^8*y^6+4*x^7*y^7+2*x^8*y^5-6*x^7*y^6+5 *x^7*y^5-2*x^6*y^6-2*x^7*y^4+2*x^6*y^5-6*x^5*y^5+10*x^5*y^4-4*x^5*y^3+3*x^4*y^4 -x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2+1)/(x^18*y^14-4*x^18*y^13+6*x^18*y^12-x^17*y ^13-4*x^18*y^11+4*x^17*y^12+x^18*y^10-6*x^17*y^11+4*x^17*y^10-x^15*y^12-x^17*y^ 9+5*x^15*y^11+x^14*y^12-7*x^15*y^10-2*x^14*y^11+3*x^15*y^9-2*x^14*y^10-x^13*y^ 11+6*x^14*y^9+3*x^13*y^10-3*x^14*y^8-x^13*y^9-x^12*y^10-3*x^13*y^8+x^12*y^9-x^ 11*y^10+2*x^13*y^7+2*x^11*y^9-3*x^11*y^8+x^10*y^9+3*x^11*y^7-x^10*y^8-x^11*y^6+ x^10*y^7-2*x^10*y^6-2*x^9*y^7+x^10*y^5+2*x^9*y^6+4*x^8*y^6-3*x^8*y^5-4*x^7*y^6+ x^7*y^5+2*x^7*y^4+6*x^6*y^5-5*x^6*y^4-2*x^5*y^4+2*x^5*y^3+x^4*y^4-x^4*y^3+x^4*y ^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 14 13 12 10 9 8 7 6 5 4 3 (a - a + a + a - a - 2 a + 8 a - 2 a - 6 a + 8 a - 2 a - 1) / 7 6 5 3 2 7 4 3 / ((8 a - 7 a + 6 a + 4 a - 3 a + 2) (a + a + a + 1)) / 8 7 6 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7415135220 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7418957389 ------------------------------------------------ "Theorem Number 73" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [2, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 19 17 19 16 19 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 14 19 13 17 15 19 12 17 14 19 11 - 20 x y + 15 x y + x y - 6 x y - 5 x y + x y 17 13 17 12 15 14 17 11 15 13 + 11 x y - 14 x y + 2 x y + 11 x y - 17 x y 17 10 15 12 14 13 17 9 15 11 14 12 - 5 x y + 48 x y - 2 x y + x y - 62 x y + 12 x y 15 10 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 + 38 x y - 23 x y + 2 x y - 9 x y + 19 x y - 7 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 7 x y + 11 x y + 2 x y + x y - 11 x y - 6 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 + 7 x y + 6 x y - x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y - x y 11 8 10 9 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 - 3 x y - 7 x y + 3 x y + 18 x y - x y - x y - 14 x y 9 8 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 8 6 + 3 x y + 5 x y - 3 x y - x y + x y + x y - 3 x y 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 6 5 + 4 x y + 2 x y - 6 x y + 5 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 - 6 x y + 10 x y - 4 x y + 3 x y - x y - x y + 2 x y - x y / 18 14 18 13 18 12 17 13 18 11 + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - x y - 4 x y / 17 12 18 10 17 11 17 10 15 12 17 9 + 4 x y + x y - 6 x y + 4 x y - x y - x y 15 11 14 12 15 10 14 11 15 9 14 10 + 5 x y + x y - 7 x y - 2 x y + 3 x y - 2 x y 13 11 14 9 13 10 14 8 13 9 12 10 13 8 - x y + 6 x y + 3 x y - 3 x y - x y - x y - 3 x y 12 9 11 10 13 7 11 9 11 8 10 9 11 7 + x y - x y + 2 x y + 2 x y - 3 x y + x y + 3 x y 10 8 11 6 10 7 10 6 9 7 10 5 9 6 - x y - x y + x y - 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y 8 6 8 5 7 6 7 5 7 4 6 5 6 4 + 4 x y - 3 x y - 4 x y + x y + 2 x y + 6 x y - 5 x y 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 - 2 x y + 2 x y + x y - x y + x y - 2 x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^19*y^17-6*x^19*y^16+15*x^19*y^15-20*x^19*y^14+15*x^19*y^13+x^17*y^15-6*x^19 *y^12-5*x^17*y^14+x^19*y^11+11*x^17*y^13-14*x^17*y^12+2*x^15*y^14+11*x^17*y^11-\ 17*x^15*y^13-5*x^17*y^10+48*x^15*y^12-2*x^14*y^13+x^17*y^9-62*x^15*y^11+12*x^14 *y^12+38*x^15*y^10-23*x^14*y^11+2*x^13*y^12-9*x^15*y^9+19*x^14*y^10-7*x^13*y^11 -7*x^14*y^9+11*x^13*y^10+2*x^12*y^11+x^14*y^8-11*x^13*y^9-6*x^12*y^10+7*x^13*y^ 8+6*x^12*y^9-x^11*y^10-2*x^13*y^7-2*x^12*y^8+2*x^11*y^9-x^10*y^10-3*x^11*y^8-7* x^10*y^9+3*x^11*y^7+18*x^10*y^8-x^9*y^9-x^11*y^6-14*x^10*y^7+3*x^9*y^8+5*x^10*y ^6-3*x^9*y^7-x^10*y^5+x^9*y^6+x^8*y^7-3*x^8*y^6+4*x^7*y^7+2*x^8*y^5-6*x^7*y^6+5 *x^7*y^5-2*x^6*y^6-2*x^7*y^4+2*x^6*y^5-6*x^5*y^5+10*x^5*y^4-4*x^5*y^3+3*x^4*y^4 -x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2+1)/(x^18*y^14-4*x^18*y^13+6*x^18*y^12-x^17*y ^13-4*x^18*y^11+4*x^17*y^12+x^18*y^10-6*x^17*y^11+4*x^17*y^10-x^15*y^12-x^17*y^ 9+5*x^15*y^11+x^14*y^12-7*x^15*y^10-2*x^14*y^11+3*x^15*y^9-2*x^14*y^10-x^13*y^ 11+6*x^14*y^9+3*x^13*y^10-3*x^14*y^8-x^13*y^9-x^12*y^10-3*x^13*y^8+x^12*y^9-x^ 11*y^10+2*x^13*y^7+2*x^11*y^9-3*x^11*y^8+x^10*y^9+3*x^11*y^7-x^10*y^8-x^11*y^6+ x^10*y^7-2*x^10*y^6-2*x^9*y^7+x^10*y^5+2*x^9*y^6+4*x^8*y^6-3*x^8*y^5-4*x^7*y^6+ x^7*y^5+2*x^7*y^4+6*x^6*y^5-5*x^6*y^4-2*x^5*y^4+2*x^5*y^3+x^4*y^4-x^4*y^3+x^4*y ^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 14 13 12 10 9 8 7 6 5 4 3 (a - a + a + a - a - 2 a + 8 a - 2 a - 6 a + 8 a - 2 a - 1) / 7 6 5 3 2 7 4 3 / ((8 a - 7 a + 6 a + 4 a - 3 a + 2) (a + a + a + 1)) / 8 7 6 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7415135220 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7418957389 ------------------------------------------------ "Theorem Number 74" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [2, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 18 22 17 22 16 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 17 22 15 21 16 22 14 21 15 - 2 x y - 20 x y + 10 x y + 15 x y - 20 x y 20 16 22 13 21 14 20 15 19 16 22 12 + 2 x y - 6 x y + 20 x y - 10 x y - 2 x y + x y 21 13 20 14 19 15 21 12 20 13 - 10 x y + 21 x y + 10 x y + 2 x y - 24 x y 19 14 18 15 20 12 19 13 18 14 - 20 x y + 4 x y + 16 x y + 20 x y - 15 x y 20 11 19 12 18 13 17 14 20 10 19 11 - 6 x y - 10 x y + 16 x y - 4 x y + x y + 2 x y 18 12 17 13 16 14 18 11 16 13 18 10 + 6 x y + 10 x y + x y - 24 x y - 6 x y + 17 x y 17 11 16 12 15 13 18 9 17 10 16 11 - 20 x y + 19 x y - 4 x y - 4 x y + 20 x y - 32 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 + 16 x y - 2 x y - 6 x y + 27 x y - 20 x y + 15 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 - 10 x y + 2 x y - 30 x y + 2 x y + x y + 14 x y 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 15 7 + 13 x y - 10 x y - 10 x y + 20 x y + 14 x y + 2 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 - 21 x y - 2 x y - 6 x y + 2 x y + 4 x y - 6 x y 12 9 11 10 14 6 12 8 11 9 10 10 + 16 x y - 16 x y + x y - 13 x y + 34 x y - 5 x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 2 x y + 2 x y - 26 x y + 18 x y + x y + 2 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 - 23 x y + 6 x y + 6 x y + 10 x y - 6 x y - 2 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 8 6 - 10 x y - x y + 2 x y + 12 x y - 16 x y - 2 x y + 23 x y 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 4 6 5 - 6 x y - 2 x y - 6 x y + 8 x y - x y - 2 x y + 2 x y 6 4 5 5 5 4 6 2 5 3 4 4 4 2 - 3 x y + 6 x y - 8 x y + x y + 2 x y - 3 x y + 2 x y 3 3 3 2 / 14 10 14 9 14 8 13 9 - 2 x y + 2 x y - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y / 14 7 13 8 14 6 13 7 12 8 13 6 12 7 - 4 x y + 6 x y + x y - 6 x y + x y + 2 x y - 2 x y 11 8 12 6 11 7 10 8 11 6 11 5 10 6 - 2 x y + x y + 6 x y + x y - 6 x y + 2 x y - 5 x y 10 5 10 4 9 5 9 4 7 6 7 5 6 5 + 6 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y + 4 x y + 2 x y 7 3 6 4 5 4 6 2 5 3 4 4 4 3 - 2 x y - 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y - 4 x y 4 2 3 3 3 2 + 2 x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^22*y^18-6*x^22*y^17+15*x^22*y^16-2*x^21*y^17-20*x^22*y^15+10*x^21*y^16+15*x^ 22*y^14-20*x^21*y^15+2*x^20*y^16-6*x^22*y^13+20*x^21*y^14-10*x^20*y^15-2*x^19*y ^16+x^22*y^12-10*x^21*y^13+21*x^20*y^14+10*x^19*y^15+2*x^21*y^12-24*x^20*y^13-\ 20*x^19*y^14+4*x^18*y^15+16*x^20*y^12+20*x^19*y^13-15*x^18*y^14-6*x^20*y^11-10* x^19*y^12+16*x^18*y^13-4*x^17*y^14+x^20*y^10+2*x^19*y^11+6*x^18*y^12+10*x^17*y^ 13+x^16*y^14-24*x^18*y^11-6*x^16*y^13+17*x^18*y^10-20*x^17*y^11+19*x^16*y^12-4* x^15*y^13-4*x^18*y^9+20*x^17*y^10-32*x^16*y^11+16*x^15*y^12-2*x^14*y^13-6*x^17* y^9+27*x^16*y^10-20*x^15*y^11+15*x^14*y^12-10*x^16*y^9+2*x^15*y^10-30*x^14*y^11 +2*x^13*y^12+x^16*y^8+14*x^15*y^9+13*x^14*y^10-10*x^13*y^11-10*x^15*y^8+20*x^14 *y^9+14*x^13*y^10+2*x^15*y^7-21*x^14*y^8-2*x^13*y^9-6*x^12*y^10+2*x^11*y^11+4*x ^14*y^7-6*x^13*y^8+16*x^12*y^9-16*x^11*y^10+x^14*y^6-13*x^12*y^8+34*x^11*y^9-5* x^10*y^10+2*x^13*y^6+2*x^12*y^7-26*x^11*y^8+18*x^10*y^9+x^12*y^6+2*x^11*y^7-23* x^10*y^8+6*x^9*y^9+6*x^11*y^6+10*x^10*y^7-6*x^9*y^8-2*x^11*y^5-10*x^9*y^7-x^8*y ^8+2*x^10*y^5+12*x^9*y^6-16*x^8*y^7-2*x^10*y^4+23*x^8*y^6-6*x^7*y^7-2*x^9*y^4-6 *x^8*y^5+8*x^7*y^6-x^8*y^4-2*x^7*y^4+2*x^6*y^5-3*x^6*y^4+6*x^5*y^5-8*x^5*y^4+x^ 6*y^2+2*x^5*y^3-3*x^4*y^4+2*x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^3*y^2-1)/(x^14*y^10-4*x^14*y^ 9+6*x^14*y^8-2*x^13*y^9-4*x^14*y^7+6*x^13*y^8+x^14*y^6-6*x^13*y^7+x^12*y^8+2*x^ 13*y^6-2*x^12*y^7-2*x^11*y^8+x^12*y^6+6*x^11*y^7+x^10*y^8-6*x^11*y^6+2*x^11*y^5 -5*x^10*y^6+6*x^10*y^5-2*x^10*y^4+2*x^9*y^5-2*x^9*y^4-2*x^7*y^6+4*x^7*y^5+2*x^6 *y^5-2*x^7*y^3-2*x^6*y^4+2*x^5*y^4+x^6*y^2-2*x^5*y^3+x^4*y^4-4*x^4*y^3+2*x^4*y^ 2-2*x^3*y^3+2*x^3*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, (a + a - 6 a 12 11 10 9 8 7 6 5 4 / + a + 6 a + 3 a - 2 a - 16 a + 8 a + 2 a + 6 a - 8 a + 1) / / 5 3 8 4 ((3 a - 2 a + 1) (a + a + 1)) 6 4 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7412699385 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7417309346 ------------------------------------------------ "Theorem Number 75" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [1, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 16 16 15 16 14 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 13 15 14 16 12 15 13 16 11 - 20 x y + 2 x y + 15 x y - 10 x y - 6 x y 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 13 13 + 20 x y + 2 x y + x y - 20 x y - 5 x y - 2 x y 15 10 13 12 15 9 14 10 13 11 14 9 + 10 x y + 2 x y - 2 x y + 10 x y + 10 x y - 10 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 13 8 - 20 x y - 8 x y + 3 x y + 10 x y + 25 x y + 2 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 - 28 x y + 4 x y - 2 x y + 14 x y - 10 x y + 4 x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 - 4 x y + 6 x y - 6 x y + x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 - 2 x y + 6 x y + 12 x y - 2 x y - 10 x y - 8 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 7 5 + 14 x y + 2 x y - 4 x y + 4 x y - 2 x y - 4 x y - 4 x y 6 6 7 4 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 + 7 x y + 4 x y - 6 x y - x y + 4 x y - 6 x y + 2 x y 4 4 4 3 4 2 3 3 / 16 14 16 13 - 3 x y + 2 x y + x y - 2 x y - 1) / (x y - 4 x y / 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 16 10 + 6 x y - 2 x y - 4 x y + 8 x y - 2 x y + x y 15 11 14 12 15 10 14 11 13 12 15 9 - 12 x y + 4 x y + 8 x y - 4 x y + 4 x y - 2 x y 14 10 13 11 14 9 13 10 12 11 14 8 + 8 x y - 6 x y - 10 x y - 2 x y - 2 x y + 4 x y 13 9 12 10 13 8 12 9 13 7 11 9 + 2 x y + 7 x y + 6 x y - 6 x y - 4 x y - 4 x y 10 10 11 8 10 9 12 6 10 8 9 9 11 6 - x y + 6 x y - 2 x y + x y + 6 x y + 2 x y - 2 x y 10 7 9 8 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 - 2 x y + 4 x y - x y - 12 x y + 4 x y + 2 x y + 2 x y 8 6 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 + 4 x y - 2 x y - 6 x y - 6 x y + 4 x y + x y + 4 x y 6 5 6 4 5 4 4 4 4 3 4 2 3 3 + 2 x y - 3 x y - 2 x y + x y + 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^16*y^16-6*x^16*y^15+15*x^16*y^14-20*x^16*y^13+2*x^15*y^14+15*x^16*y^12-10*x^ 15*y^13-6*x^16*y^11+20*x^15*y^12+2*x^14*y^13+x^16*y^10-20*x^15*y^11-5*x^14*y^12 -2*x^13*y^13+10*x^15*y^10+2*x^13*y^12-2*x^15*y^9+10*x^14*y^10+10*x^13*y^11-10*x ^14*y^9-20*x^13*y^10-8*x^12*y^11+3*x^14*y^8+10*x^13*y^9+25*x^12*y^10+2*x^13*y^8 -28*x^12*y^9+4*x^11*y^10-2*x^13*y^7+14*x^12*y^8-10*x^11*y^9+4*x^10*y^10-4*x^12* y^7+6*x^11*y^8-6*x^10*y^9+x^12*y^6+2*x^11*y^7-2*x^10*y^8-4*x^9*y^9-2*x^11*y^6+6 *x^10*y^7+12*x^9*y^8-2*x^10*y^6-10*x^9*y^7-8*x^8*y^8+14*x^8*y^7+2*x^9*y^5-4*x^8 *y^6+4*x^7*y^7-2*x^8*y^5-4*x^7*y^6-4*x^7*y^5+7*x^6*y^6+4*x^7*y^4-6*x^6*y^5-x^6* y^4+4*x^5*y^5-6*x^5*y^4+2*x^5*y^3-3*x^4*y^4+2*x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3-1)/(x^ 16*y^14-4*x^16*y^13+6*x^16*y^12-2*x^15*y^13-4*x^16*y^11+8*x^15*y^12-2*x^14*y^13 +x^16*y^10-12*x^15*y^11+4*x^14*y^12+8*x^15*y^10-4*x^14*y^11+4*x^13*y^12-2*x^15* y^9+8*x^14*y^10-6*x^13*y^11-10*x^14*y^9-2*x^13*y^10-2*x^12*y^11+4*x^14*y^8+2*x^ 13*y^9+7*x^12*y^10+6*x^13*y^8-6*x^12*y^9-4*x^13*y^7-4*x^11*y^9-x^10*y^10+6*x^11 *y^8-2*x^10*y^9+x^12*y^6+6*x^10*y^8+2*x^9*y^9-2*x^11*y^6-2*x^10*y^7+4*x^9*y^8-x ^10*y^6-12*x^9*y^7+4*x^9*y^6+2*x^8*y^7+2*x^9*y^5+4*x^8*y^6-2*x^7*y^7-6*x^8*y^5-\ 6*x^7*y^6+4*x^7*y^5+x^6*y^6+4*x^7*y^4+2*x^6*y^5-3*x^6*y^4-2*x^5*y^4+x^4*y^4+2*x ^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 4 3 4 a - 8 a + 5 a - 9 a + 4 a + 1 - ------------------------------------ 4 3 2 3 (5 a - 8 a + 3 a - 1) (2 a + 1) 5 4 3 where a is the root of the polynomial, 2 x - 4 x + 2 x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7407339784 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7411491237 ------------------------------------------------ "Theorem Number 76" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [1, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 15 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 13 15 14 16 12 15 13 14 14 16 11 + 16 x y - 5 x y - 25 x y + 9 x y + 3 x y + 25 x y 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 - 4 x y - 14 x y - 16 x y - 10 x y + 26 x y 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 + 3 x y + 6 x y + 19 x y - 22 x y - 13 x y - x y 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 - 15 x y + 3 x y + 22 x y + 4 x y + 6 x y + 10 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 - 17 x y - 15 x y - x y - 8 x y + 3 x y + 21 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 + x y + 2 x y + 5 x y - 12 x y - 2 x y - 4 x y 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 - x y + x y - x y + x y + 6 x y - x y + 3 x y 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 - 4 x y + 2 x y - 6 x y + x y - x y + 8 x y + 4 x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - 6 x y - 11 x y - x y + 3 x y + 10 x y + 3 x y - x y 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 - 3 x y - 9 x y + 3 x y + 11 x y - 2 x y - 4 x y - 6 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 + 6 x y + 6 x y - 8 x y - x y - x y + 5 x y + 4 x y 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 - 8 x y - x y + x y + 8 x y + 2 x y - 8 x y + x y + 4 x y 4 3 2 2 2 2 / 17 14 + x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y / 17 13 17 12 17 11 15 13 17 10 15 12 - 5 x y + 10 x y - 10 x y + x y + 5 x y - 3 x y 17 9 15 11 15 10 15 9 13 11 15 8 - x y + 3 x y - 2 x y + 3 x y + x y - 3 x y 13 10 15 7 13 9 13 8 12 9 12 8 11 9 - 3 x y + x y + 3 x y - x y + x y - 2 x y - 2 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 + 4 x y + x y + 2 x y - 3 x y - x y - x y + 2 x y 11 5 9 7 10 5 9 6 8 7 10 4 8 6 7 7 - x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y + x y + x y + x y 8 5 7 6 8 4 7 5 7 3 6 4 5 5 6 2 - 3 x y - 2 x y + x y + 2 x y - x y - x y + x y + x y 5 3 4 2 4 + x y - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^16*y^15-6*x^16*y^14+x^15*y^15+16*x^16*y^13-5*x^15*y^14-25*x^16*y^12+9*x^15* y^13+3*x^14*y^14+25*x^16*y^11-4*x^15*y^12-14*x^14*y^13-16*x^16*y^10-10*x^15*y^ 11+26*x^14*y^12+3*x^13*y^13+6*x^16*y^9+19*x^15*y^10-22*x^14*y^11-13*x^13*y^12-x ^16*y^8-15*x^15*y^9+3*x^14*y^10+22*x^13*y^11+4*x^12*y^12+6*x^15*y^8+10*x^14*y^9 -17*x^13*y^10-15*x^12*y^11-x^15*y^7-8*x^14*y^8+3*x^13*y^9+21*x^12*y^10+x^11*y^ 11+2*x^14*y^7+5*x^13*y^8-12*x^12*y^9-2*x^11*y^10-4*x^13*y^7-x^12*y^8+x^11*y^9-x ^10*y^10+x^13*y^6+6*x^12*y^7-x^11*y^8+3*x^10*y^9-4*x^12*y^6+2*x^11*y^7-6*x^10*y ^8+x^12*y^5-x^11*y^6+8*x^10*y^7+4*x^9*y^8-6*x^10*y^6-11*x^9*y^7-x^8*y^8+3*x^10* y^5+10*x^9*y^6+3*x^8*y^7-x^10*y^4-3*x^9*y^5-9*x^8*y^6+3*x^7*y^7+11*x^8*y^5-2*x^ 7*y^6-4*x^8*y^4-6*x^7*y^5+6*x^6*y^6+6*x^7*y^4-8*x^6*y^5-x^7*y^3-x^6*y^4+5*x^5*y ^5+4*x^6*y^3-8*x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^3+8*x^4*y^4+2*x^5*y^2-8*x^4*y^3+x^4*y^2+4* x^3*y^3+x^4*y-4*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^17*y^14-5*x^17*y^13+10*x^ 17*y^12-10*x^17*y^11+x^15*y^13+5*x^17*y^10-3*x^15*y^12-x^17*y^9+3*x^15*y^11-2*x ^15*y^10+3*x^15*y^9+x^13*y^11-3*x^15*y^8-3*x^13*y^10+x^15*y^7+3*x^13*y^9-x^13*y ^8+x^12*y^9-2*x^12*y^8-2*x^11*y^9+4*x^11*y^8+x^10*y^9+2*x^12*y^6-3*x^11*y^7-x^ 10*y^8-x^12*y^5+2*x^11*y^6-x^11*y^5-2*x^9*y^7-x^10*y^5+2*x^9*y^6+x^8*y^7+x^10*y ^4+x^8*y^6+x^7*y^7-3*x^8*y^5-2*x^7*y^6+x^8*y^4+2*x^7*y^5-x^7*y^3-x^6*y^4+x^5*y^ 5+x^6*y^2+x^5*y^3-x^4*y^2-x^4*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 2 a - 4 a - a - a + 5 a - 1 - -------------------------------- 4 3 4 (5 a - 4 a + 1) (2 a + 1) 5 4 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7386268633 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7390664148 ------------------------------------------------ "Theorem Number 77" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [1, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 15 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 13 15 14 16 12 15 13 14 14 16 11 + 16 x y - 5 x y - 25 x y + 9 x y + 3 x y + 25 x y 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 - 4 x y - 14 x y - 16 x y - 10 x y + 26 x y 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 + 3 x y + 6 x y + 19 x y - 22 x y - 13 x y - x y 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 - 15 x y + 3 x y + 22 x y + 4 x y + 6 x y + 10 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 - 17 x y - 15 x y - x y - 8 x y + 3 x y + 21 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 + x y + 2 x y + 5 x y - 12 x y - 2 x y - 4 x y 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 - x y + x y - x y + x y + 6 x y - x y + 3 x y 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 - 4 x y + 2 x y - 6 x y + x y - x y + 8 x y + 4 x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - 6 x y - 11 x y - x y + 3 x y + 10 x y + 3 x y - x y 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 - 3 x y - 9 x y + 3 x y + 11 x y - 2 x y - 4 x y - 6 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 + 6 x y + 6 x y - 8 x y - x y - x y + 5 x y + 4 x y 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 - 8 x y - x y + x y + 8 x y + 2 x y - 8 x y + x y + 4 x y 4 3 2 2 2 2 / 17 14 + x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y / 17 13 17 12 17 11 15 13 17 10 15 12 - 5 x y + 10 x y - 10 x y + x y + 5 x y - 3 x y 17 9 15 11 15 10 15 9 13 11 15 8 - x y + 3 x y - 2 x y + 3 x y + x y - 3 x y 13 10 15 7 13 9 13 8 12 9 12 8 11 9 - 3 x y + x y + 3 x y - x y + x y - 2 x y - 2 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 + 4 x y + x y + 2 x y - 3 x y - x y - x y + 2 x y 11 5 9 7 10 5 9 6 8 7 10 4 8 6 7 7 - x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y + x y + x y + x y 8 5 7 6 8 4 7 5 7 3 6 4 5 5 6 2 - 3 x y - 2 x y + x y + 2 x y - x y - x y + x y + x y 5 3 4 2 4 + x y - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^16*y^15-6*x^16*y^14+x^15*y^15+16*x^16*y^13-5*x^15*y^14-25*x^16*y^12+9*x^15* y^13+3*x^14*y^14+25*x^16*y^11-4*x^15*y^12-14*x^14*y^13-16*x^16*y^10-10*x^15*y^ 11+26*x^14*y^12+3*x^13*y^13+6*x^16*y^9+19*x^15*y^10-22*x^14*y^11-13*x^13*y^12-x ^16*y^8-15*x^15*y^9+3*x^14*y^10+22*x^13*y^11+4*x^12*y^12+6*x^15*y^8+10*x^14*y^9 -17*x^13*y^10-15*x^12*y^11-x^15*y^7-8*x^14*y^8+3*x^13*y^9+21*x^12*y^10+x^11*y^ 11+2*x^14*y^7+5*x^13*y^8-12*x^12*y^9-2*x^11*y^10-4*x^13*y^7-x^12*y^8+x^11*y^9-x ^10*y^10+x^13*y^6+6*x^12*y^7-x^11*y^8+3*x^10*y^9-4*x^12*y^6+2*x^11*y^7-6*x^10*y ^8+x^12*y^5-x^11*y^6+8*x^10*y^7+4*x^9*y^8-6*x^10*y^6-11*x^9*y^7-x^8*y^8+3*x^10* y^5+10*x^9*y^6+3*x^8*y^7-x^10*y^4-3*x^9*y^5-9*x^8*y^6+3*x^7*y^7+11*x^8*y^5-2*x^ 7*y^6-4*x^8*y^4-6*x^7*y^5+6*x^6*y^6+6*x^7*y^4-8*x^6*y^5-x^7*y^3-x^6*y^4+5*x^5*y ^5+4*x^6*y^3-8*x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^3+8*x^4*y^4+2*x^5*y^2-8*x^4*y^3+x^4*y^2+4* x^3*y^3+x^4*y-4*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^17*y^14-5*x^17*y^13+10*x^ 17*y^12-10*x^17*y^11+x^15*y^13+5*x^17*y^10-3*x^15*y^12-x^17*y^9+3*x^15*y^11-2*x ^15*y^10+3*x^15*y^9+x^13*y^11-3*x^15*y^8-3*x^13*y^10+x^15*y^7+3*x^13*y^9-x^13*y ^8+x^12*y^9-2*x^12*y^8-2*x^11*y^9+4*x^11*y^8+x^10*y^9+2*x^12*y^6-3*x^11*y^7-x^ 10*y^8-x^12*y^5+2*x^11*y^6-x^11*y^5-2*x^9*y^7-x^10*y^5+2*x^9*y^6+x^8*y^7+x^10*y ^4+x^8*y^6+x^7*y^7-3*x^8*y^5-2*x^7*y^6+x^8*y^4+2*x^7*y^5-x^7*y^3-x^6*y^4+x^5*y^ 5+x^6*y^2+x^5*y^3-x^4*y^2-x^4*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 2 a - 4 a - a - a + 5 a - 1 - -------------------------------- 4 3 4 (5 a - 4 a + 1) (2 a + 1) 5 4 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7386268633 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7390664148 ------------------------------------------------ "Theorem Number 78" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [1, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 8 x y + 12 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 14 11 13 12 14 10 13 11 13 10 + x y - 8 x y - 4 x y + 2 x y + 6 x y - 4 x y 13 9 12 10 11 11 12 9 11 10 12 8 + x y + x y + 4 x y - 3 x y - 12 x y + 3 x y 11 9 12 7 11 8 11 7 10 8 9 9 11 6 + 10 x y - x y + 2 x y - 6 x y - x y - 5 x y + 2 x y 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 9 5 8 6 + 2 x y + 11 x y - x y - 6 x y + x y - x y + x y - 3 x y 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 + 2 x y - 3 x y + 2 x y - 3 x y + 3 x y + x y - 2 x y 6 4 5 5 6 3 5 4 4 4 4 3 4 2 + 3 x y - 4 x y - x y + 4 x y + 4 x y - 2 x y - x y 3 3 3 2 2 2 / 15 13 15 12 15 11 + 2 x y - x y + x y + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y / 15 10 15 9 13 11 13 10 13 9 12 10 13 8 - 4 x y + x y + x y - 3 x y + 3 x y + x y - x y 12 9 12 8 12 7 10 8 10 7 10 6 9 7 - 3 x y + 3 x y - x y - x y + 2 x y - x y - x y 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 7 6 6 6 - x y + 2 x y + 2 x y - x y - x y + 2 x y - 3 x y - 3 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 4 2 - x y + 3 x y + 2 x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y 3 2 2 2 + x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^14*y^14-8*x^14*y^13+12*x^14*y^12+x^13*y^13-8*x^14*y^11-4*x^13*y^12+2*x^14 *y^10+6*x^13*y^11-4*x^13*y^10+x^13*y^9+x^12*y^10+4*x^11*y^11-3*x^12*y^9-12*x^11 *y^10+3*x^12*y^8+10*x^11*y^9-x^12*y^7+2*x^11*y^8-6*x^11*y^7-x^10*y^8-5*x^9*y^9+ 2*x^11*y^6+2*x^10*y^7+11*x^9*y^8-x^10*y^6-6*x^9*y^7+x^8*y^8-x^9*y^6+x^9*y^5-3*x ^8*y^6+2*x^8*y^5-3*x^7*y^6+2*x^7*y^5-3*x^6*y^6+3*x^7*y^4+x^6*y^5-2*x^7*y^3+3*x^ 6*y^4-4*x^5*y^5-x^6*y^3+4*x^5*y^4+4*x^4*y^4-2*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2 +x^2*y^2+1)/(x^15*y^13-4*x^15*y^12+6*x^15*y^11-4*x^15*y^10+x^15*y^9+x^13*y^11-3 *x^13*y^10+3*x^13*y^9+x^12*y^10-x^13*y^8-3*x^12*y^9+3*x^12*y^8-x^12*y^7-x^10*y^ 8+2*x^10*y^7-x^10*y^6-x^9*y^7-x^8*y^8+2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^7 *y^7-3*x^7*y^6-3*x^6*y^6-x^7*y^4+3*x^6*y^5+2*x^7*y^3-x^6*y^4+2*x^5*y^5+x^6*y^3-\ 2*x^5*y^4+x^4*y^2+x^3*y^2-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 3 2 2 (a - 2 a - 3 a + 2 a - 7 a + 2 a + 2 a + 1) ---------------------------------------------------- 3 2 4 3 2 (4 a + 3 a - 2 a + 2) (a + a + a + 1) 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7370145422 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7373112035 ------------------------------------------------ "Theorem Number 79" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 1], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 8 x y + 12 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 14 11 13 12 14 10 13 11 13 10 + x y - 8 x y - 4 x y + 2 x y + 6 x y - 4 x y 13 9 12 10 11 11 12 9 11 10 12 8 + x y + x y + 4 x y - 3 x y - 12 x y + 3 x y 11 9 12 7 11 8 11 7 10 8 9 9 11 6 + 10 x y - x y + 2 x y - 6 x y - x y - 5 x y + 2 x y 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 9 5 8 6 + 2 x y + 11 x y - x y - 6 x y + x y - x y + x y - 3 x y 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 + 2 x y - 3 x y + 2 x y - 3 x y + 3 x y + x y - 2 x y 6 4 5 5 6 3 5 4 4 4 4 3 4 2 + 3 x y - 4 x y - x y + 4 x y + 4 x y - 2 x y - x y 3 3 3 2 2 2 / 15 13 15 12 15 11 + 2 x y - x y + x y + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y / 15 10 15 9 13 11 13 10 13 9 12 10 13 8 - 4 x y + x y + x y - 3 x y + 3 x y + x y - x y 12 9 12 8 12 7 10 8 10 7 10 6 9 7 - 3 x y + 3 x y - x y - x y + 2 x y - x y - x y 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 7 6 6 6 - x y + 2 x y + 2 x y - x y - x y + 2 x y - 3 x y - 3 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 4 2 - x y + 3 x y + 2 x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y 3 2 2 2 + x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^14*y^14-8*x^14*y^13+12*x^14*y^12+x^13*y^13-8*x^14*y^11-4*x^13*y^12+2*x^14 *y^10+6*x^13*y^11-4*x^13*y^10+x^13*y^9+x^12*y^10+4*x^11*y^11-3*x^12*y^9-12*x^11 *y^10+3*x^12*y^8+10*x^11*y^9-x^12*y^7+2*x^11*y^8-6*x^11*y^7-x^10*y^8-5*x^9*y^9+ 2*x^11*y^6+2*x^10*y^7+11*x^9*y^8-x^10*y^6-6*x^9*y^7+x^8*y^8-x^9*y^6+x^9*y^5-3*x ^8*y^6+2*x^8*y^5-3*x^7*y^6+2*x^7*y^5-3*x^6*y^6+3*x^7*y^4+x^6*y^5-2*x^7*y^3+3*x^ 6*y^4-4*x^5*y^5-x^6*y^3+4*x^5*y^4+4*x^4*y^4-2*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2 +x^2*y^2+1)/(x^15*y^13-4*x^15*y^12+6*x^15*y^11-4*x^15*y^10+x^15*y^9+x^13*y^11-3 *x^13*y^10+3*x^13*y^9+x^12*y^10-x^13*y^8-3*x^12*y^9+3*x^12*y^8-x^12*y^7-x^10*y^ 8+2*x^10*y^7-x^10*y^6-x^9*y^7-x^8*y^8+2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^7 *y^7-3*x^7*y^6-3*x^6*y^6-x^7*y^4+3*x^6*y^5+2*x^7*y^3-x^6*y^4+2*x^5*y^5+x^6*y^3-\ 2*x^5*y^4+x^4*y^2+x^3*y^2-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 3 2 2 (a - 2 a - 3 a + 2 a - 7 a + 2 a + 2 a + 1) ---------------------------------------------------- 3 2 4 3 2 (4 a + 3 a - 2 a + 2) (a + a + a + 1) 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7370145422 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7373112035 ------------------------------------------------ "Theorem Number 80" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [1, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 15 15 14 15 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y + 6 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 14 15 12 14 13 15 11 14 12 14 11 - x y - 4 x y + 5 x y + x y - 9 x y + 7 x y 13 12 14 10 13 11 12 11 13 9 12 10 - x y - 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y 11 11 13 8 11 10 12 8 11 9 10 10 12 7 + x y + x y - 3 x y + 2 x y + 3 x y - 5 x y - x y 11 8 10 9 10 8 9 9 10 7 9 8 10 6 - x y + 11 x y - 6 x y + x y - x y - 3 x y + x y 9 7 8 8 8 7 8 6 7 7 8 5 7 6 + 2 x y + 5 x y - 10 x y + 7 x y - 3 x y - 3 x y + 5 x y 8 4 7 5 7 4 5 5 5 4 4 4 4 3 4 2 + x y - x y - x y + 6 x y - 5 x y - 3 x y + x y + x y 3 3 3 2 / 16 14 16 13 16 12 15 13 - 2 x y + 2 x y - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - x y / 16 11 15 12 16 10 15 11 15 10 14 11 - 4 x y + 5 x y + x y - 9 x y + 7 x y - x y 15 9 14 10 13 11 13 10 14 8 13 9 11 11 - 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y + x y - x y 14 7 13 8 11 10 13 7 11 9 10 10 13 6 + x y - x y + 3 x y + 2 x y - 6 x y + x y - x y 11 8 10 9 11 7 10 8 10 7 9 8 10 6 + 7 x y - 4 x y - 3 x y + 7 x y - 6 x y + x y + x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 - x y + x y - 3 x y + x y + 3 x y - 2 x y - x y + 4 x y 8 4 6 6 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 4 4 - 2 x y + 3 x y - 3 x y + 2 x y - 2 x y - x y + x y - x y 4 3 4 2 3 3 3 2 + 3 x y - x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^15*y^15-4*x^15*y^14+6*x^15*y^13-x^14*y^14-4*x^15*y^12+5*x^14*y^13+x^15*y^11 -9*x^14*y^12+7*x^14*y^11-x^13*y^12-2*x^14*y^10+2*x^13*y^11+x^12*y^11-2*x^13*y^9 -2*x^12*y^10+x^11*y^11+x^13*y^8-3*x^11*y^10+2*x^12*y^8+3*x^11*y^9-5*x^10*y^10-x ^12*y^7-x^11*y^8+11*x^10*y^9-6*x^10*y^8+x^9*y^9-x^10*y^7-3*x^9*y^8+x^10*y^6+2*x ^9*y^7+5*x^8*y^8-10*x^8*y^7+7*x^8*y^6-3*x^7*y^7-3*x^8*y^5+5*x^7*y^6+x^8*y^4-x^7 *y^5-x^7*y^4+6*x^5*y^5-5*x^5*y^4-3*x^4*y^4+x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^3*y^2-\ 1)/(x^16*y^14-4*x^16*y^13+6*x^16*y^12-x^15*y^13-4*x^16*y^11+5*x^15*y^12+x^16*y^ 10-9*x^15*y^11+7*x^15*y^10-x^14*y^11-2*x^15*y^9+2*x^14*y^10+x^13*y^11-2*x^13*y^ 10-2*x^14*y^8+x^13*y^9-x^11*y^11+x^14*y^7-x^13*y^8+3*x^11*y^10+2*x^13*y^7-6*x^ 11*y^9+x^10*y^10-x^13*y^6+7*x^11*y^8-4*x^10*y^9-3*x^11*y^7+7*x^10*y^8-6*x^10*y^ 7+x^9*y^8+x^10*y^6-x^8*y^8+x^10*y^5-3*x^9*y^6+x^8*y^7+3*x^9*y^5-2*x^8*y^6-x^9*y ^4+4*x^8*y^5-2*x^8*y^4+3*x^6*y^6-3*x^6*y^5+2*x^6*y^4-2*x^5*y^5-x^6*y^3+x^5*y^4- x^4*y^4+3*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 8 7 5 4 2 (a - a + 2 a - 2 a - 5 a + 8 a - 1) - -------------------------------------------- 5 4 3 5 4 (6 a - 5 a + 4 a - 2) (a - a - 1) 6 5 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7365614546 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7371819968 ------------------------------------------------ "Theorem Number 81" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [2, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 15 15 14 15 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y + 6 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 14 15 12 14 13 15 11 14 12 14 11 - x y - 4 x y + 5 x y + x y - 9 x y + 7 x y 13 12 14 10 13 11 12 11 13 9 12 10 - x y - 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y 11 11 13 8 11 10 12 8 11 9 10 10 12 7 + x y + x y - 3 x y + 2 x y + 3 x y - 5 x y - x y 11 8 10 9 10 8 9 9 10 7 9 8 10 6 - x y + 11 x y - 6 x y + x y - x y - 3 x y + x y 9 7 8 8 8 7 8 6 7 7 8 5 7 6 + 2 x y + 5 x y - 10 x y + 7 x y - 3 x y - 3 x y + 5 x y 8 4 7 5 7 4 5 5 5 4 4 4 4 3 4 2 + x y - x y - x y + 6 x y - 5 x y - 3 x y + x y + x y 3 3 3 2 / 16 14 16 13 16 12 15 13 - 2 x y + 2 x y - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - x y / 16 11 15 12 16 10 15 11 15 10 14 11 - 4 x y + 5 x y + x y - 9 x y + 7 x y - x y 15 9 14 10 13 11 13 10 14 8 13 9 11 11 - 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y + x y - x y 14 7 13 8 11 10 13 7 11 9 10 10 13 6 + x y - x y + 3 x y + 2 x y - 6 x y + x y - x y 11 8 10 9 11 7 10 8 10 7 9 8 10 6 + 7 x y - 4 x y - 3 x y + 7 x y - 6 x y + x y + x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 - x y + x y - 3 x y + x y + 3 x y - 2 x y - x y + 4 x y 8 4 6 6 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 4 4 - 2 x y + 3 x y - 3 x y + 2 x y - 2 x y - x y + x y - x y 4 3 4 2 3 3 3 2 + 3 x y - x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^15*y^15-4*x^15*y^14+6*x^15*y^13-x^14*y^14-4*x^15*y^12+5*x^14*y^13+x^15*y^11 -9*x^14*y^12+7*x^14*y^11-x^13*y^12-2*x^14*y^10+2*x^13*y^11+x^12*y^11-2*x^13*y^9 -2*x^12*y^10+x^11*y^11+x^13*y^8-3*x^11*y^10+2*x^12*y^8+3*x^11*y^9-5*x^10*y^10-x ^12*y^7-x^11*y^8+11*x^10*y^9-6*x^10*y^8+x^9*y^9-x^10*y^7-3*x^9*y^8+x^10*y^6+2*x ^9*y^7+5*x^8*y^8-10*x^8*y^7+7*x^8*y^6-3*x^7*y^7-3*x^8*y^5+5*x^7*y^6+x^8*y^4-x^7 *y^5-x^7*y^4+6*x^5*y^5-5*x^5*y^4-3*x^4*y^4+x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^3*y^2-\ 1)/(x^16*y^14-4*x^16*y^13+6*x^16*y^12-x^15*y^13-4*x^16*y^11+5*x^15*y^12+x^16*y^ 10-9*x^15*y^11+7*x^15*y^10-x^14*y^11-2*x^15*y^9+2*x^14*y^10+x^13*y^11-2*x^13*y^ 10-2*x^14*y^8+x^13*y^9-x^11*y^11+x^14*y^7-x^13*y^8+3*x^11*y^10+2*x^13*y^7-6*x^ 11*y^9+x^10*y^10-x^13*y^6+7*x^11*y^8-4*x^10*y^9-3*x^11*y^7+7*x^10*y^8-6*x^10*y^ 7+x^9*y^8+x^10*y^6-x^8*y^8+x^10*y^5-3*x^9*y^6+x^8*y^7+3*x^9*y^5-2*x^8*y^6-x^9*y ^4+4*x^8*y^5-2*x^8*y^4+3*x^6*y^6-3*x^6*y^5+2*x^6*y^4-2*x^5*y^5-x^6*y^3+x^5*y^4- x^4*y^4+3*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 8 7 5 4 2 (a - a + 2 a - 2 a - 5 a + 8 a - 1) - -------------------------------------------- 5 4 3 5 4 (6 a - 5 a + 4 a - 2) (a - a - 1) 6 5 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7365614546 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7371819968 ------------------------------------------------ "Theorem Number 82" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 17 20 16 19 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 15 19 16 18 17 20 14 19 15 18 16 + 10 x y - 11 x y - x y - 10 x y + 25 x y + 6 x y 20 13 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 + 5 x y - 30 x y - 15 x y + 2 x y - x y + 20 x y 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 + 20 x y - 11 x y - 7 x y - 15 x y + 23 x y 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 18 11 + 4 x y + x y + 6 x y - 20 x y - 16 x y - x y 16 13 15 14 17 11 16 12 15 13 17 10 + 22 x y - 3 x y + 13 x y - 7 x y + 10 x y - 9 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 - 12 x y - 14 x y - 7 x y + 2 x y + 14 x y + 14 x y 14 12 16 9 15 10 14 11 16 8 15 9 + 16 x y - 6 x y - 14 x y - 3 x y + x y + 11 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - 17 x y - 5 x y - 2 x y - 5 x y + 14 x y + 18 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 + 6 x y + x y - 3 x y - 24 x y - 4 x y - 2 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 11 9 10 10 + 14 x y - 2 x y - 3 x y - 3 x y + 22 x y + 2 x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 + 4 x y - 31 x y - 4 x y - 2 x y + 17 x y + 10 x y 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 4 x y - 2 x y - 18 x y + 2 x y - x y + 14 x y - 11 x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 + 2 x y - 4 x y + x y + 10 x y + 6 x y - 22 x y + 3 x y 9 4 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 6 5 - 2 x y + 10 x y - 6 x y - x y + 4 x y + 3 x y - 9 x y 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 4 3 + 2 x y + x y + 2 x y - 5 x y + 3 x y - 6 x y + 3 x y 4 2 3 3 3 2 2 / 17 14 17 13 + x y - 3 x y + x y - x y - x y - 1) / (x y - 5 x y / 17 12 16 13 17 11 16 12 17 10 16 11 + 10 x y - x y - 10 x y + 5 x y + 5 x y - 10 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 - x y + x y - x y + 10 x y + 2 x y - 3 x y 16 9 15 10 14 11 16 8 15 9 14 10 15 8 - 5 x y + x y + 3 x y + x y - 5 x y - x y + 4 x y 12 11 15 7 12 10 12 9 12 8 12 7 11 8 - 2 x y - x y + 3 x y + 2 x y - 5 x y + 2 x y - x y 10 9 11 7 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 + x y + 3 x y - x y - 3 x y - 3 x y + x y + x y 10 6 9 7 9 6 9 5 7 7 9 4 7 5 7 4 + 2 x y + x y + x y - 4 x y + 2 x y + 2 x y - 3 x y + x y 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 3 4 2 + x y + x y - x y - 2 x y + x y - x y - 3 x y + x y 3 3 3 2 2 + x y - x y - x y - x y + 1) and in Maple notation -(x^20*y^17-5*x^20*y^16+2*x^19*y^17+10*x^20*y^15-11*x^19*y^16-x^18*y^17-10*x^20 *y^14+25*x^19*y^15+6*x^18*y^16+5*x^20*y^13-30*x^19*y^14-15*x^18*y^15+2*x^17*y^ 16-x^20*y^12+20*x^19*y^13+20*x^18*y^14-11*x^17*y^15-7*x^19*y^12-15*x^18*y^13+23 *x^17*y^14+4*x^16*y^15+x^19*y^11+6*x^18*y^12-20*x^17*y^13-16*x^16*y^14-x^18*y^ 11+22*x^16*y^13-3*x^15*y^14+13*x^17*y^11-7*x^16*y^12+10*x^15*y^13-9*x^17*y^10-\ 12*x^16*y^11-14*x^15*y^12-7*x^14*y^13+2*x^17*y^9+14*x^16*y^10+14*x^15*y^11+16*x ^14*y^12-6*x^16*y^9-14*x^15*y^10-3*x^14*y^11+x^16*y^8+11*x^15*y^9-17*x^14*y^10-\ 5*x^13*y^11-2*x^12*y^12-5*x^15*y^8+14*x^14*y^9+18*x^13*y^10+6*x^12*y^11+x^15*y^ 7-3*x^14*y^8-24*x^13*y^9-4*x^12*y^10-2*x^11*y^11+14*x^13*y^8-2*x^12*y^9-3*x^11* y^10-3*x^13*y^7+22*x^11*y^9+2*x^10*y^10+4*x^12*y^7-31*x^11*y^8-4*x^10*y^9-2*x^ 12*y^6+17*x^11*y^7+10*x^10*y^8+4*x^9*y^9-2*x^11*y^6-18*x^10*y^7+2*x^9*y^8-x^11* y^5+14*x^10*y^6-11*x^9*y^7+2*x^8*y^8-4*x^10*y^5+x^9*y^6+10*x^8*y^7+6*x^9*y^5-22 *x^8*y^6+3*x^7*y^7-2*x^9*y^4+10*x^8*y^5-6*x^7*y^6-x^7*y^5+4*x^6*y^6+3*x^7*y^4-9 *x^6*y^5+2*x^6*y^4+x^5*y^5+2*x^6*y^3-5*x^5*y^4+3*x^5*y^3-6*x^4*y^4+3*x^4*y^3+x^ 4*y^2-3*x^3*y^3+x^3*y-x^2*y^2-x*y-1)/(x^17*y^14-5*x^17*y^13+10*x^17*y^12-x^16*y ^13-10*x^17*y^11+5*x^16*y^12+5*x^17*y^10-10*x^16*y^11-x^15*y^12+x^14*y^13-x^17* y^9+10*x^16*y^10+2*x^15*y^11-3*x^14*y^12-5*x^16*y^9+x^15*y^10+3*x^14*y^11+x^16* y^8-5*x^15*y^9-x^14*y^10+4*x^15*y^8-2*x^12*y^11-x^15*y^7+3*x^12*y^10+2*x^12*y^9 -5*x^12*y^8+2*x^12*y^7-x^11*y^8+x^10*y^9+3*x^11*y^7-x^9*y^9-3*x^11*y^6-3*x^10*y ^7+x^9*y^8+x^11*y^5+2*x^10*y^6+x^9*y^7+x^9*y^6-4*x^9*y^5+2*x^7*y^7+2*x^9*y^4-3* x^7*y^5+x^7*y^4+x^6*y^5+x^6*y^4-x^5*y^5-2*x^6*y^3+x^5*y^4-x^5*y^3-3*x^4*y^3+x^4 *y^2+x^3*y^3-x^3*y-x^2*y^2-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7331326313 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 83" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 17 20 16 19 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 15 19 16 18 17 20 14 19 15 18 16 + 10 x y - 11 x y - x y - 10 x y + 25 x y + 6 x y 20 13 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 + 5 x y - 30 x y - 15 x y + 2 x y - x y + 20 x y 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 + 20 x y - 11 x y - 7 x y - 15 x y + 23 x y 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 18 11 + 4 x y + x y + 6 x y - 20 x y - 16 x y - x y 16 13 15 14 17 11 16 12 15 13 17 10 + 22 x y - 3 x y + 13 x y - 7 x y + 10 x y - 9 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 - 12 x y - 14 x y - 7 x y + 2 x y + 14 x y + 14 x y 14 12 16 9 15 10 14 11 16 8 15 9 + 16 x y - 6 x y - 14 x y - 3 x y + x y + 11 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - 17 x y - 5 x y - 2 x y - 5 x y + 14 x y + 18 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 + 6 x y + x y - 3 x y - 24 x y - 4 x y - 2 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 11 9 10 10 + 14 x y - 2 x y - 3 x y - 3 x y + 22 x y + 2 x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 + 4 x y - 31 x y - 4 x y - 2 x y + 17 x y + 10 x y 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 4 x y - 2 x y - 18 x y + 2 x y - x y + 14 x y - 11 x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 + 2 x y - 4 x y + x y + 10 x y + 6 x y - 22 x y + 3 x y 9 4 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 6 5 - 2 x y + 10 x y - 6 x y - x y + 4 x y + 3 x y - 9 x y 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 4 3 + 2 x y + x y + 2 x y - 5 x y + 3 x y - 6 x y + 3 x y 4 2 3 3 3 2 2 / 17 14 17 13 + x y - 3 x y + x y - x y - x y - 1) / (x y - 5 x y / 17 12 16 13 17 11 16 12 17 10 16 11 + 10 x y - x y - 10 x y + 5 x y + 5 x y - 10 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 - x y + x y - x y + 10 x y + 2 x y - 3 x y 16 9 15 10 14 11 16 8 15 9 14 10 15 8 - 5 x y + x y + 3 x y + x y - 5 x y - x y + 4 x y 12 11 15 7 12 10 12 9 12 8 12 7 11 8 - 2 x y - x y + 3 x y + 2 x y - 5 x y + 2 x y - x y 10 9 11 7 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 + x y + 3 x y - x y - 3 x y - 3 x y + x y + x y 10 6 9 7 9 6 9 5 7 7 9 4 7 5 7 4 + 2 x y + x y + x y - 4 x y + 2 x y + 2 x y - 3 x y + x y 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 3 4 2 + x y + x y - x y - 2 x y + x y - x y - 3 x y + x y 3 3 3 2 2 + x y - x y - x y - x y + 1) and in Maple notation -(x^20*y^17-5*x^20*y^16+2*x^19*y^17+10*x^20*y^15-11*x^19*y^16-x^18*y^17-10*x^20 *y^14+25*x^19*y^15+6*x^18*y^16+5*x^20*y^13-30*x^19*y^14-15*x^18*y^15+2*x^17*y^ 16-x^20*y^12+20*x^19*y^13+20*x^18*y^14-11*x^17*y^15-7*x^19*y^12-15*x^18*y^13+23 *x^17*y^14+4*x^16*y^15+x^19*y^11+6*x^18*y^12-20*x^17*y^13-16*x^16*y^14-x^18*y^ 11+22*x^16*y^13-3*x^15*y^14+13*x^17*y^11-7*x^16*y^12+10*x^15*y^13-9*x^17*y^10-\ 12*x^16*y^11-14*x^15*y^12-7*x^14*y^13+2*x^17*y^9+14*x^16*y^10+14*x^15*y^11+16*x ^14*y^12-6*x^16*y^9-14*x^15*y^10-3*x^14*y^11+x^16*y^8+11*x^15*y^9-17*x^14*y^10-\ 5*x^13*y^11-2*x^12*y^12-5*x^15*y^8+14*x^14*y^9+18*x^13*y^10+6*x^12*y^11+x^15*y^ 7-3*x^14*y^8-24*x^13*y^9-4*x^12*y^10-2*x^11*y^11+14*x^13*y^8-2*x^12*y^9-3*x^11* y^10-3*x^13*y^7+22*x^11*y^9+2*x^10*y^10+4*x^12*y^7-31*x^11*y^8-4*x^10*y^9-2*x^ 12*y^6+17*x^11*y^7+10*x^10*y^8+4*x^9*y^9-2*x^11*y^6-18*x^10*y^7+2*x^9*y^8-x^11* y^5+14*x^10*y^6-11*x^9*y^7+2*x^8*y^8-4*x^10*y^5+x^9*y^6+10*x^8*y^7+6*x^9*y^5-22 *x^8*y^6+3*x^7*y^7-2*x^9*y^4+10*x^8*y^5-6*x^7*y^6-x^7*y^5+4*x^6*y^6+3*x^7*y^4-9 *x^6*y^5+2*x^6*y^4+x^5*y^5+2*x^6*y^3-5*x^5*y^4+3*x^5*y^3-6*x^4*y^4+3*x^4*y^3+x^ 4*y^2-3*x^3*y^3+x^3*y-x^2*y^2-x*y-1)/(x^17*y^14-5*x^17*y^13+10*x^17*y^12-x^16*y ^13-10*x^17*y^11+5*x^16*y^12+5*x^17*y^10-10*x^16*y^11-x^15*y^12+x^14*y^13-x^17* y^9+10*x^16*y^10+2*x^15*y^11-3*x^14*y^12-5*x^16*y^9+x^15*y^10+3*x^14*y^11+x^16* y^8-5*x^15*y^9-x^14*y^10+4*x^15*y^8-2*x^12*y^11-x^15*y^7+3*x^12*y^10+2*x^12*y^9 -5*x^12*y^8+2*x^12*y^7-x^11*y^8+x^10*y^9+3*x^11*y^7-x^9*y^9-3*x^11*y^6-3*x^10*y ^7+x^9*y^8+x^11*y^5+2*x^10*y^6+x^9*y^7+x^9*y^6-4*x^9*y^5+2*x^7*y^7+2*x^9*y^4-3* x^7*y^5+x^7*y^4+x^6*y^5+x^6*y^4-x^5*y^5-2*x^6*y^3+x^5*y^4-x^5*y^3-3*x^4*y^3+x^4 *y^2+x^3*y^3-x^3*y-x^2*y^2-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7331326313 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 84" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 24 22 24 21 24 20 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 21 24 19 23 20 24 18 23 19 + 3 x y - 20 x y - 18 x y + 15 x y + 45 x y 22 20 24 17 23 18 22 19 24 16 23 17 + 3 x y - 6 x y - 60 x y - 17 x y + x y + 45 x y 22 18 21 19 23 16 22 17 21 18 + 40 x y + 3 x y - 18 x y - 50 x y - 15 x y 20 19 23 15 22 16 21 17 20 18 - 4 x y + 3 x y + 35 x y + 30 x y + 27 x y 22 15 21 16 20 17 19 18 22 14 - 13 x y - 30 x y - 76 x y - 7 x y + 2 x y 21 15 20 16 19 17 21 14 20 15 + 15 x y + 115 x y + 42 x y - 3 x y - 100 x y 19 16 18 17 20 14 19 15 18 16 - 107 x y - 18 x y + 49 x y + 149 x y + 86 x y 20 13 19 14 18 15 17 16 20 12 - 12 x y - 121 x y - 168 x y - 32 x y + x y 19 13 18 14 17 15 16 16 19 12 + 56 x y + 172 x y + 144 x y - x y - 13 x y 18 13 17 14 16 15 19 11 18 12 - 98 x y - 260 x y - 39 x y + x y + 30 x y 17 13 16 14 15 15 18 11 17 12 + 238 x y + 183 x y + 3 x y - 4 x y - 114 x y 16 13 15 14 17 11 16 12 15 13 - 331 x y - 55 x y + 26 x y + 301 x y + 194 x y 14 14 17 10 16 11 15 12 14 13 + 9 x y - 2 x y - 141 x y - 298 x y - 72 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 16 9 + 29 x y + 235 x y + 194 x y + 17 x y - x y 15 10 14 11 13 12 15 9 14 10 - 95 x y - 244 x y - 81 x y + 16 x y + 153 x y 13 11 12 12 14 9 13 10 12 11 + 167 x y + 24 x y - 44 x y - 184 x y - 77 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 + 4 x y + 107 x y + 113 x y + 32 x y - 27 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 - 106 x y - 70 x y + x y + 62 x y + 56 x y + 34 x y 12 7 11 8 10 9 11 7 10 8 9 9 - 16 x y - 32 x y - 66 x y + 20 x y + 38 x y + 28 x y 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 - 6 x y - 9 x y - 54 x y + 4 x y + 31 x y + 11 x y - x y 9 6 8 7 9 5 8 6 8 5 7 6 7 5 - 6 x y - 33 x y + x y + 29 x y - 8 x y - 18 x y + 24 x y 6 6 7 4 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 - 5 x y - 8 x y - 5 x y + 12 x y - 10 x y - 4 x y + 8 x y 5 3 4 4 5 2 4 3 3 3 3 2 2 2 + x y - 12 x y - x y + 9 x y - 6 x y + 4 x y - 3 x y 2 / 19 17 19 16 19 15 18 16 + 2 x y - 2 x y + x - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y + 4 x y / 19 14 18 15 17 16 19 13 18 14 17 15 - 4 x y - 16 x y + x y + x y + 24 x y + x y 18 13 17 14 16 15 18 12 17 13 16 14 - 16 x y - 13 x y + x y + 4 x y + 23 x y + x y 17 12 16 13 15 14 17 11 16 12 15 13 - 16 x y - 10 x y + x y + 4 x y + 14 x y + 2 x y 16 11 15 12 16 10 15 11 14 12 15 10 - 7 x y - 13 x y + x y + 17 x y + 4 x y - 8 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 - 14 x y - 2 x y + x y + 18 x y + 5 x y - x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 10 x y - 6 x y - x y + 2 x y + 6 x y + 3 x y 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 - x y - 4 x y - 2 x y - 2 x y + x y + 3 x y + 2 x y 10 10 12 7 10 9 11 7 10 8 9 9 11 6 - x y - 2 x y - 5 x y + 4 x y + 11 x y - x y - 3 x y 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 - 7 x y - 3 x y + 3 x y + 8 x y - x y - x y - 5 x y 8 7 9 5 8 6 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 + x y + x y + 3 x y - 2 x y + x y + 2 x y + x y - 2 x y 6 5 6 4 5 5 6 3 5 3 5 2 4 3 2 2 - x y + 3 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y + x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^24*y^22-6*x^24*y^21+15*x^24*y^20+3*x^23*y^21-20*x^24*y^19-18*x^23*y^20+15*x^ 24*y^18+45*x^23*y^19+3*x^22*y^20-6*x^24*y^17-60*x^23*y^18-17*x^22*y^19+x^24*y^ 16+45*x^23*y^17+40*x^22*y^18+3*x^21*y^19-18*x^23*y^16-50*x^22*y^17-15*x^21*y^18 -4*x^20*y^19+3*x^23*y^15+35*x^22*y^16+30*x^21*y^17+27*x^20*y^18-13*x^22*y^15-30 *x^21*y^16-76*x^20*y^17-7*x^19*y^18+2*x^22*y^14+15*x^21*y^15+115*x^20*y^16+42*x ^19*y^17-3*x^21*y^14-100*x^20*y^15-107*x^19*y^16-18*x^18*y^17+49*x^20*y^14+149* x^19*y^15+86*x^18*y^16-12*x^20*y^13-121*x^19*y^14-168*x^18*y^15-32*x^17*y^16+x^ 20*y^12+56*x^19*y^13+172*x^18*y^14+144*x^17*y^15-x^16*y^16-13*x^19*y^12-98*x^18 *y^13-260*x^17*y^14-39*x^16*y^15+x^19*y^11+30*x^18*y^12+238*x^17*y^13+183*x^16* y^14+3*x^15*y^15-4*x^18*y^11-114*x^17*y^12-331*x^16*y^13-55*x^15*y^14+26*x^17*y ^11+301*x^16*y^12+194*x^15*y^13+9*x^14*y^14-2*x^17*y^10-141*x^16*y^11-298*x^15* y^12-72*x^14*y^13+29*x^16*y^10+235*x^15*y^11+194*x^14*y^12+17*x^13*y^13-x^16*y^ 9-95*x^15*y^10-244*x^14*y^11-81*x^13*y^12+16*x^15*y^9+153*x^14*y^10+167*x^13*y^ 11+24*x^12*y^12-44*x^14*y^9-184*x^13*y^10-77*x^12*y^11+4*x^14*y^8+107*x^13*y^9+ 113*x^12*y^10+32*x^11*y^11-27*x^13*y^8-106*x^12*y^9-70*x^11*y^10+x^13*y^7+62*x^ 12*y^8+56*x^11*y^9+34*x^10*y^10-16*x^12*y^7-32*x^11*y^8-66*x^10*y^9+20*x^11*y^7 +38*x^10*y^8+28*x^9*y^9-6*x^11*y^6-9*x^10*y^7-54*x^9*y^8+4*x^10*y^6+31*x^9*y^7+ 11*x^8*y^8-x^10*y^5-6*x^9*y^6-33*x^8*y^7+x^9*y^5+29*x^8*y^6-8*x^8*y^5-18*x^7*y^ 6+24*x^7*y^5-5*x^6*y^6-8*x^7*y^4-5*x^6*y^5+12*x^6*y^4-10*x^5*y^5-4*x^6*y^3+8*x^ 5*y^4+x^5*y^3-12*x^4*y^4-x^5*y^2+9*x^4*y^3-6*x^3*y^3+4*x^3*y^2-3*x^2*y^2+2*x^2* y-2*x*y+x-1)/(x^19*y^17-4*x^19*y^16+6*x^19*y^15+4*x^18*y^16-4*x^19*y^14-16*x^18 *y^15+x^17*y^16+x^19*y^13+24*x^18*y^14+x^17*y^15-16*x^18*y^13-13*x^17*y^14+x^16 *y^15+4*x^18*y^12+23*x^17*y^13+x^16*y^14-16*x^17*y^12-10*x^16*y^13+x^15*y^14+4* x^17*y^11+14*x^16*y^12+2*x^15*y^13-7*x^16*y^11-13*x^15*y^12+x^16*y^10+17*x^15*y ^11+4*x^14*y^12-8*x^15*y^10-14*x^14*y^11-2*x^13*y^12+x^15*y^9+18*x^14*y^10+5*x^ 13*y^11-x^12*y^12-10*x^14*y^9-6*x^13*y^10-x^12*y^11+2*x^14*y^8+6*x^13*y^9+3*x^ 12*y^10-x^11*y^11-4*x^13*y^8-2*x^12*y^9-2*x^11*y^10+x^13*y^7+3*x^12*y^8+2*x^11* y^9-x^10*y^10-2*x^12*y^7-5*x^10*y^9+4*x^11*y^7+11*x^10*y^8-x^9*y^9-3*x^11*y^6-7 *x^10*y^7-3*x^9*y^8+3*x^10*y^6+8*x^9*y^7-x^8*y^8-x^10*y^5-5*x^9*y^6+x^8*y^7+x^9 *y^5+3*x^8*y^6-2*x^8*y^5+x^7*y^6+2*x^7*y^5+x^6*y^6-2*x^7*y^4-x^6*y^5+3*x^6*y^4+ 2*x^5*y^5-2*x^6*y^3+x^5*y^3-x^5*y^2+x^4*y^3+x^2*y^2+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a - 3 a - 6 a 12 11 10 9 8 7 4 3 2 - 12 a - 16 a - 13 a - 14 a - 20 a - 10 a + a + 6 a + 3 a / 7 6 5 4 3 + 2 a + 1) / ((8 a + 7 a + 6 a + 10 a + 4 a + 2 a + 1) / 8 7 6 5 4 3 2 (a + 2 a + 2 a + 2 a + 3 a + 2 a + a + a + 1)) 8 7 6 5 4 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + 2 x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.7310516246 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7315523464 ------------------------------------------------ "Theorem Number 85" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [1, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 20 23 19 23 18 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 7 x y + 21 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 19 23 17 22 18 23 16 22 17 21 18 - x y - 35 x y + 6 x y + 35 x y - 15 x y + x y 23 15 22 16 21 17 23 14 22 15 - 21 x y + 20 x y - 5 x y + 7 x y - 15 x y 21 16 20 17 19 18 23 13 22 14 21 15 + 10 x y + 2 x y - 2 x y - x y + 6 x y - 10 x y 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 - 12 x y + 12 x y - x y + 5 x y + 30 x y - 31 x y 18 17 21 13 20 14 19 15 18 16 20 13 + x y - x y - 40 x y + 45 x y - 2 x y + 30 x y 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 - 40 x y - 2 x y + x y - 12 x y + 22 x y + 7 x y 17 15 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 - 4 x y + 2 x y - 7 x y - 3 x y + 5 x y - x y 19 11 18 12 17 13 16 14 18 11 16 13 + x y - 4 x y - x y + 6 x y + 4 x y - 14 x y 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 + 2 x y - x y - 6 x y + 18 x y - 5 x y + 9 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 - 16 x y + x y - x y - 5 x y + 11 x y + 4 x y 14 12 13 13 17 8 16 9 15 10 14 11 + 5 x y + 2 x y + x y - 5 x y + 4 x y - 9 x y 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 - 7 x y + x y - 13 x y + 8 x y + 10 x y + 3 x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 + 9 x y - 4 x y - 7 x y - 10 x y - 2 x y + x y 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 + 12 x y + 2 x y + 5 x y - 6 x y - 16 x y - 4 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 + 33 x y + 6 x y + x y + 2 x y - 28 x y - 20 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - x y + 9 x y + 23 x y + 5 x y + x y - 10 x y - 13 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 - x y - x y + 14 x y + 2 x y + 3 x y - 8 x y - 11 x y 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 - x y + x y + 18 x y + 4 x y + x y - 10 x y - 8 x y 7 5 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 5 4 + 10 x y + x y - 5 x y - 3 x y + 3 x y + 2 x y - 5 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 3 + 3 x y + 7 x y - 8 x y + 2 x y + 4 x y - 4 x y + x y 2 2 2 / 22 17 22 16 22 15 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 5 x y + 10 x y / 22 14 22 13 19 16 22 12 19 15 19 14 - 10 x y + 5 x y + x y - x y - 4 x y + 7 x y 19 13 19 12 17 14 19 11 17 13 19 10 - 8 x y + 7 x y + x y - 4 x y - 4 x y + x y 17 12 16 13 17 11 16 12 17 10 16 11 + 6 x y + x y - 3 x y - 4 x y - 2 x y + 6 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 + x y + x y + 3 x y - 4 x y - 3 x y - 3 x y 17 8 16 9 15 10 14 11 15 9 14 10 - x y + x y + 2 x y + 4 x y + 3 x y - 5 x y 15 8 14 9 15 7 14 8 13 9 14 7 13 8 - 5 x y + 6 x y + 2 x y - 4 x y + x y + x y - 4 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 - 2 x y + x y + 5 x y + x y - 3 x y - 2 x y + 3 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 9 8 + 4 x y + x y - 2 x y - 4 x y - x y + 2 x y + x y 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 8 6 8 5 8 4 - 2 x y - x y + 2 x y + x y - x y + x y + 2 x y - x y 7 5 8 3 7 4 6 5 6 4 5 4 5 3 4 4 3 - 2 x y - x y + 2 x y + x y - x y - x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^23*y^20-7*x^23*y^19+21*x^23*y^18-x^22*y^19-35*x^23*y^17+6*x^22*y^18+35*x^23 *y^16-15*x^22*y^17+x^21*y^18-21*x^23*y^15+20*x^22*y^16-5*x^21*y^17+7*x^23*y^14-\ 15*x^22*y^15+10*x^21*y^16+2*x^20*y^17-2*x^19*y^18-x^23*y^13+6*x^22*y^14-10*x^21 *y^15-12*x^20*y^16+12*x^19*y^17-x^22*y^13+5*x^21*y^14+30*x^20*y^15-31*x^19*y^16 +x^18*y^17-x^21*y^13-40*x^20*y^14+45*x^19*y^15-2*x^18*y^16+30*x^20*y^13-40*x^19 *y^14-2*x^18*y^15+x^17*y^16-12*x^20*y^12+22*x^19*y^13+7*x^18*y^14-4*x^17*y^15+2 *x^20*y^11-7*x^19*y^12-3*x^18*y^13+5*x^17*y^14-x^16*y^15+x^19*y^11-4*x^18*y^12- x^17*y^13+6*x^16*y^14+4*x^18*y^11-14*x^16*y^13+2*x^15*y^14-x^18*y^10-6*x^17*y^ 11+18*x^16*y^12-5*x^15*y^13+9*x^17*y^10-16*x^16*y^11+x^15*y^12-x^14*y^13-5*x^17 *y^9+11*x^16*y^10+4*x^15*y^11+5*x^14*y^12+2*x^13*y^13+x^17*y^8-5*x^16*y^9+4*x^ 15*y^10-9*x^14*y^11-7*x^13*y^12+x^16*y^8-13*x^15*y^9+8*x^14*y^10+10*x^13*y^11+3 *x^12*y^12+9*x^15*y^8-4*x^14*y^9-7*x^13*y^10-10*x^12*y^11-2*x^15*y^7+x^14*y^8+ 12*x^12*y^10+2*x^11*y^11+5*x^13*y^8-6*x^12*y^9-16*x^11*y^10-4*x^13*y^7+33*x^11* y^9+6*x^10*y^10+x^13*y^6+2*x^12*y^7-28*x^11*y^8-20*x^10*y^9-x^12*y^6+9*x^11*y^7 +23*x^10*y^8+5*x^9*y^9+x^11*y^6-10*x^10*y^7-13*x^9*y^8-x^11*y^5-x^10*y^6+14*x^9 *y^7+2*x^8*y^8+3*x^10*y^5-8*x^9*y^6-11*x^8*y^7-x^10*y^4+x^9*y^5+18*x^8*y^6+4*x^ 7*y^7+x^9*y^4-10*x^8*y^5-8*x^7*y^6+10*x^7*y^5+x^8*y^3-5*x^7*y^4-3*x^6*y^5+3*x^6 *y^4+2*x^5*y^5-5*x^5*y^4+3*x^5*y^3+7*x^4*y^4-8*x^4*y^3+2*x^4*y^2+4*x^3*y^3-4*x^ 3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^22*y^17-5*x^22*y^16+10*x^22*y^15-10*x ^22*y^14+5*x^22*y^13+x^19*y^16-x^22*y^12-4*x^19*y^15+7*x^19*y^14-8*x^19*y^13+7* x^19*y^12+x^17*y^14-4*x^19*y^11-4*x^17*y^13+x^19*y^10+6*x^17*y^12+x^16*y^13-3*x ^17*y^11-4*x^16*y^12-2*x^17*y^10+6*x^16*y^11+x^15*y^12+x^14*y^13+3*x^17*y^9-4*x ^16*y^10-3*x^15*y^11-3*x^14*y^12-x^17*y^8+x^16*y^9+2*x^15*y^10+4*x^14*y^11+3*x^ 15*y^9-5*x^14*y^10-5*x^15*y^8+6*x^14*y^9+2*x^15*y^7-4*x^14*y^8+x^13*y^9+x^14*y^ 7-4*x^13*y^8-2*x^12*y^9+x^11*y^10+5*x^13*y^7+x^12*y^8-3*x^11*y^9-2*x^13*y^6+3*x ^12*y^7+4*x^11*y^8+x^10*y^9-2*x^12*y^6-4*x^11*y^7-x^10*y^8+2*x^11*y^6+x^9*y^8-2 *x^9*y^7-x^10*y^5+2*x^9*y^6+x^10*y^4-x^9*y^5+x^8*y^6+2*x^8*y^5-x^8*y^4-2*x^7*y^ 5-x^8*y^3+2*x^7*y^4+x^6*y^5-x^6*y^4-x^5*y^4+x^5*y^3+x^4*y^4-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7295247833 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 86" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 20 23 19 23 18 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 7 x y + 21 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 19 23 17 22 18 23 16 22 17 21 18 - x y - 35 x y + 6 x y + 35 x y - 15 x y + x y 23 15 22 16 21 17 23 14 22 15 - 21 x y + 20 x y - 5 x y + 7 x y - 15 x y 21 16 20 17 19 18 23 13 22 14 21 15 + 10 x y + 2 x y - 2 x y - x y + 6 x y - 10 x y 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 - 12 x y + 12 x y - x y + 5 x y + 30 x y - 31 x y 18 17 21 13 20 14 19 15 18 16 20 13 + x y - x y - 40 x y + 45 x y - 2 x y + 30 x y 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 - 40 x y - 2 x y + x y - 12 x y + 22 x y + 7 x y 17 15 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 - 4 x y + 2 x y - 7 x y - 3 x y + 5 x y - x y 19 11 18 12 17 13 16 14 18 11 16 13 + x y - 4 x y - x y + 6 x y + 4 x y - 14 x y 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 + 2 x y - x y - 6 x y + 18 x y - 5 x y + 9 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 - 16 x y + x y - x y - 5 x y + 11 x y + 4 x y 14 12 13 13 17 8 16 9 15 10 14 11 + 5 x y + 2 x y + x y - 5 x y + 4 x y - 9 x y 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 - 7 x y + x y - 13 x y + 8 x y + 10 x y + 3 x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 + 9 x y - 4 x y - 7 x y - 10 x y - 2 x y + x y 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 + 12 x y + 2 x y + 5 x y - 6 x y - 16 x y - 4 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 + 33 x y + 6 x y + x y + 2 x y - 28 x y - 20 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - x y + 9 x y + 23 x y + 5 x y + x y - 10 x y - 13 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 - x y - x y + 14 x y + 2 x y + 3 x y - 8 x y - 11 x y 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 - x y + x y + 18 x y + 4 x y + x y - 10 x y - 8 x y 7 5 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 5 4 + 10 x y + x y - 5 x y - 3 x y + 3 x y + 2 x y - 5 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 3 + 3 x y + 7 x y - 8 x y + 2 x y + 4 x y - 4 x y + x y 2 2 2 / 22 17 22 16 22 15 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 5 x y + 10 x y / 22 14 22 13 19 16 22 12 19 15 19 14 - 10 x y + 5 x y + x y - x y - 4 x y + 7 x y 19 13 19 12 17 14 19 11 17 13 19 10 - 8 x y + 7 x y + x y - 4 x y - 4 x y + x y 17 12 16 13 17 11 16 12 17 10 16 11 + 6 x y + x y - 3 x y - 4 x y - 2 x y + 6 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 + x y + x y + 3 x y - 4 x y - 3 x y - 3 x y 17 8 16 9 15 10 14 11 15 9 14 10 - x y + x y + 2 x y + 4 x y + 3 x y - 5 x y 15 8 14 9 15 7 14 8 13 9 14 7 13 8 - 5 x y + 6 x y + 2 x y - 4 x y + x y + x y - 4 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 - 2 x y + x y + 5 x y + x y - 3 x y - 2 x y + 3 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 9 8 + 4 x y + x y - 2 x y - 4 x y - x y + 2 x y + x y 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 8 6 8 5 8 4 - 2 x y - x y + 2 x y + x y - x y + x y + 2 x y - x y 7 5 8 3 7 4 6 5 6 4 5 4 5 3 4 4 3 - 2 x y - x y + 2 x y + x y - x y - x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^23*y^20-7*x^23*y^19+21*x^23*y^18-x^22*y^19-35*x^23*y^17+6*x^22*y^18+35*x^23 *y^16-15*x^22*y^17+x^21*y^18-21*x^23*y^15+20*x^22*y^16-5*x^21*y^17+7*x^23*y^14-\ 15*x^22*y^15+10*x^21*y^16+2*x^20*y^17-2*x^19*y^18-x^23*y^13+6*x^22*y^14-10*x^21 *y^15-12*x^20*y^16+12*x^19*y^17-x^22*y^13+5*x^21*y^14+30*x^20*y^15-31*x^19*y^16 +x^18*y^17-x^21*y^13-40*x^20*y^14+45*x^19*y^15-2*x^18*y^16+30*x^20*y^13-40*x^19 *y^14-2*x^18*y^15+x^17*y^16-12*x^20*y^12+22*x^19*y^13+7*x^18*y^14-4*x^17*y^15+2 *x^20*y^11-7*x^19*y^12-3*x^18*y^13+5*x^17*y^14-x^16*y^15+x^19*y^11-4*x^18*y^12- x^17*y^13+6*x^16*y^14+4*x^18*y^11-14*x^16*y^13+2*x^15*y^14-x^18*y^10-6*x^17*y^ 11+18*x^16*y^12-5*x^15*y^13+9*x^17*y^10-16*x^16*y^11+x^15*y^12-x^14*y^13-5*x^17 *y^9+11*x^16*y^10+4*x^15*y^11+5*x^14*y^12+2*x^13*y^13+x^17*y^8-5*x^16*y^9+4*x^ 15*y^10-9*x^14*y^11-7*x^13*y^12+x^16*y^8-13*x^15*y^9+8*x^14*y^10+10*x^13*y^11+3 *x^12*y^12+9*x^15*y^8-4*x^14*y^9-7*x^13*y^10-10*x^12*y^11-2*x^15*y^7+x^14*y^8+ 12*x^12*y^10+2*x^11*y^11+5*x^13*y^8-6*x^12*y^9-16*x^11*y^10-4*x^13*y^7+33*x^11* y^9+6*x^10*y^10+x^13*y^6+2*x^12*y^7-28*x^11*y^8-20*x^10*y^9-x^12*y^6+9*x^11*y^7 +23*x^10*y^8+5*x^9*y^9+x^11*y^6-10*x^10*y^7-13*x^9*y^8-x^11*y^5-x^10*y^6+14*x^9 *y^7+2*x^8*y^8+3*x^10*y^5-8*x^9*y^6-11*x^8*y^7-x^10*y^4+x^9*y^5+18*x^8*y^6+4*x^ 7*y^7+x^9*y^4-10*x^8*y^5-8*x^7*y^6+10*x^7*y^5+x^8*y^3-5*x^7*y^4-3*x^6*y^5+3*x^6 *y^4+2*x^5*y^5-5*x^5*y^4+3*x^5*y^3+7*x^4*y^4-8*x^4*y^3+2*x^4*y^2+4*x^3*y^3-4*x^ 3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^22*y^17-5*x^22*y^16+10*x^22*y^15-10*x ^22*y^14+5*x^22*y^13+x^19*y^16-x^22*y^12-4*x^19*y^15+7*x^19*y^14-8*x^19*y^13+7* x^19*y^12+x^17*y^14-4*x^19*y^11-4*x^17*y^13+x^19*y^10+6*x^17*y^12+x^16*y^13-3*x ^17*y^11-4*x^16*y^12-2*x^17*y^10+6*x^16*y^11+x^15*y^12+x^14*y^13+3*x^17*y^9-4*x ^16*y^10-3*x^15*y^11-3*x^14*y^12-x^17*y^8+x^16*y^9+2*x^15*y^10+4*x^14*y^11+3*x^ 15*y^9-5*x^14*y^10-5*x^15*y^8+6*x^14*y^9+2*x^15*y^7-4*x^14*y^8+x^13*y^9+x^14*y^ 7-4*x^13*y^8-2*x^12*y^9+x^11*y^10+5*x^13*y^7+x^12*y^8-3*x^11*y^9-2*x^13*y^6+3*x ^12*y^7+4*x^11*y^8+x^10*y^9-2*x^12*y^6-4*x^11*y^7-x^10*y^8+2*x^11*y^6+x^9*y^8-2 *x^9*y^7-x^10*y^5+2*x^9*y^6+x^10*y^4-x^9*y^5+x^8*y^6+2*x^8*y^5-x^8*y^4-2*x^7*y^ 5-x^8*y^3+2*x^7*y^4+x^6*y^5-x^6*y^4-x^5*y^4+x^5*y^3+x^4*y^4-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7295247833 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 87" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 8 8 8 7 8 6 7 7 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 6 x y + 7 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 - 4 x y - 4 x y + x y + 4 x y - 2 x y - 3 x y + 3 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 + x y + x y - 4 x y - 2 x y + 6 x y - x y - 7 x y - x y 4 3 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 + 7 x y - x y - 4 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x / 8 6 8 5 8 4 7 4 6 5 7 3 6 4 5 3 - 1) / (x y - 2 x y + x y + x y - x y - x y + x y - x y / 4 4 5 2 4 3 4 2 3 - x y + x y + x y - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation -(2*x^8*y^8-6*x^8*y^7+7*x^8*y^6+2*x^7*y^7-4*x^8*y^5-4*x^7*y^6+x^8*y^4+4*x^7*y^5 -2*x^6*y^6-3*x^7*y^4+3*x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4-4*x^5*y^5-2*x^6*y^3+6*x^5*y^4-x^ 5*y^3-7*x^4*y^4-x^5*y^2+7*x^4*y^3-x^4*y^2-4*x^3*y^3+4*x^3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2 *x^2*y-x*y+x-1)/(x^8*y^6-2*x^8*y^5+x^8*y^4+x^7*y^4-x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^4-x^5* y^3-x^4*y^4+x^5*y^2+x^4*y^3-x^4*y^2+x^3*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 6 4 3 2 (a - 3 a + 7 a - 2 a - 1) - ------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7280670770 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7286428254 ------------------------------------------------ "Theorem Number 88" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 8 8 8 7 8 6 7 7 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 6 x y + 7 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 - 4 x y - 4 x y + x y + 4 x y - 2 x y - 3 x y + 3 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 + x y + x y - 4 x y - 2 x y + 6 x y - x y - 7 x y - x y 4 3 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 + 7 x y - x y - 4 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x / 8 6 8 5 8 4 7 4 6 5 7 3 6 4 5 3 - 1) / (x y - 2 x y + x y + x y - x y - x y + x y - x y / 4 4 5 2 4 3 4 2 3 - x y + x y + x y - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation -(2*x^8*y^8-6*x^8*y^7+7*x^8*y^6+2*x^7*y^7-4*x^8*y^5-4*x^7*y^6+x^8*y^4+4*x^7*y^5 -2*x^6*y^6-3*x^7*y^4+3*x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4-4*x^5*y^5-2*x^6*y^3+6*x^5*y^4-x^ 5*y^3-7*x^4*y^4-x^5*y^2+7*x^4*y^3-x^4*y^2-4*x^3*y^3+4*x^3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2 *x^2*y-x*y+x-1)/(x^8*y^6-2*x^8*y^5+x^8*y^4+x^7*y^4-x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^4-x^5* y^3-x^4*y^4+x^5*y^2+x^4*y^3-x^4*y^2+x^3*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 6 4 3 2 (a - 3 a + 7 a - 2 a - 1) - ------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7280670770 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7286428254 ------------------------------------------------ "Theorem Number 89" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 11 14 12 15 10 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y + x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 - 8 x y - x y + 6 x y + 22 x y + 5 x y - 4 x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 - 29 x y - 12 x y + x y + x y + 20 x y + 18 x y 12 10 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 - 5 x y - 7 x y - 17 x y + 11 x y - 2 x y + x y 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 + 9 x y - 11 x y + 7 x y + 2 x y - 2 x y + 3 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 - 10 x y - 8 x y + 2 x y + 8 x y + 12 x y - 2 x y 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 - x y - 4 x y - 7 x y + 8 x y + x y + x y - 15 x y 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 - 4 x y + 12 x y + 9 x y - x y - 5 x y + 2 x y - 2 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 - 2 x y - x y + 3 x y - x y - 2 x y - x y - 2 x y + 3 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 2 x y - 5 x y - x y + 2 x y + x y + x y - x y + 6 x y 4 3 5 3 3 3 2 3 2 2 2 - 5 x y + x y + 3 x y - 2 x y - x y + x y - x y + x y - x + 1) / 16 12 16 11 15 12 16 10 15 11 16 9 / (x y - 4 x y - x y + 6 x y + 3 x y - 4 x y / 15 10 14 11 16 8 15 9 14 10 14 9 13 10 - 3 x y + x y + x y + x y - 4 x y + 7 x y + x y 14 8 13 9 14 7 13 8 12 9 14 6 12 8 - 7 x y - 2 x y + 4 x y + x y - 2 x y - x y + 5 x y 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 10 7 9 8 - 4 x y + x y + x y - x y - 2 x y + 3 x y + x y 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 - x y - x y - x y - x y + 2 x y + 3 x y - x y - x y 7 6 8 4 7 5 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 - x y - 2 x y - 3 x y + x y + 3 x y + x y + x y + x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 3 5 4 2 3 3 3 - 2 x y - x y + x y + x y + x y - x y - 2 x y - x y + x y 2 2 2 + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^15*y^11+x^14*y^12-4*x^15*y^10-8*x^14*y^11-x^13*y^12+6*x^15*y^9+22*x^14*y^10 +5*x^13*y^11-4*x^15*y^8-29*x^14*y^9-12*x^13*y^10+x^12*y^11+x^15*y^7+20*x^14*y^8 +18*x^13*y^9-5*x^12*y^10-7*x^14*y^7-17*x^13*y^8+11*x^12*y^9-2*x^11*y^10+x^14*y^ 6+9*x^13*y^7-11*x^12*y^8+7*x^11*y^9+2*x^10*y^10-2*x^13*y^6+3*x^12*y^7-10*x^11*y ^8-8*x^10*y^9+2*x^12*y^6+8*x^11*y^7+12*x^10*y^8-2*x^9*y^9-x^12*y^5-4*x^11*y^6-7 *x^10*y^7+8*x^9*y^8+x^11*y^5+x^10*y^6-15*x^9*y^7-4*x^8*y^8+12*x^9*y^6+9*x^8*y^7 -x^9*y^5-5*x^8*y^6+2*x^7*y^7-2*x^9*y^4-2*x^8*y^5-x^7*y^6+3*x^8*y^4-x^7*y^5-2*x^ 6*y^6-x^8*y^3-2*x^7*y^4+3*x^6*y^5+2*x^7*y^3-5*x^6*y^4-x^5*y^5+2*x^6*y^3+x^5*y^4 +x^6*y^2-x^5*y^3+6*x^4*y^4-5*x^4*y^3+x^5*y+3*x^3*y^3-2*x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2-x^ 2*y+x*y-x+1)/(x^16*y^12-4*x^16*y^11-x^15*y^12+6*x^16*y^10+3*x^15*y^11-4*x^16*y^ 9-3*x^15*y^10+x^14*y^11+x^16*y^8+x^15*y^9-4*x^14*y^10+7*x^14*y^9+x^13*y^10-7*x^ 14*y^8-2*x^13*y^9+4*x^14*y^7+x^13*y^8-2*x^12*y^9-x^14*y^6+5*x^12*y^8-4*x^12*y^7 +x^11*y^8+x^12*y^6-x^11*y^7-2*x^10*y^8+3*x^10*y^7+x^9*y^8-x^10*y^6-x^9*y^7-x^9* y^6-x^8*y^7+2*x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^9*y^4-x^8*y^5-x^7*y^6-2*x^8*y^4-3*x^7*y^5+x^8 *y^3+3*x^7*y^4+x^6*y^5+x^6*y^4+x^5*y^5-2*x^6*y^3-x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3+x^4*y^ 3-x^5*y-2*x^4*y^2-x^3*y^3+x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7285320127 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 90" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 11 14 12 15 10 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y + x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 - 8 x y - x y + 6 x y + 22 x y + 5 x y - 4 x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 - 29 x y - 12 x y + x y + x y + 20 x y + 18 x y 12 10 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 - 5 x y - 7 x y - 17 x y + 11 x y - 2 x y + x y 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 + 9 x y - 11 x y + 7 x y + 2 x y - 2 x y + 3 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 - 10 x y - 8 x y + 2 x y + 8 x y + 12 x y - 2 x y 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 - x y - 4 x y - 7 x y + 8 x y + x y + x y - 15 x y 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 - 4 x y + 12 x y + 9 x y - x y - 5 x y + 2 x y - 2 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 - 2 x y - x y + 3 x y - x y - 2 x y - x y - 2 x y + 3 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 2 x y - 5 x y - x y + 2 x y + x y + x y - x y + 6 x y 4 3 5 3 3 3 2 3 2 2 2 - 5 x y + x y + 3 x y - 2 x y - x y + x y - x y + x y - x + 1) / 15 12 15 11 15 10 14 11 15 9 14 10 / ((x y - 4 x y + 6 x y - x y - 4 x y + 3 x y / 15 8 14 9 13 10 14 8 13 9 13 8 12 9 + x y - 3 x y - x y + x y + 4 x y - 6 x y + 2 x y 13 7 12 8 13 6 12 7 12 6 10 8 10 7 + 4 x y - 5 x y - x y + 4 x y - x y + x y - x y 9 8 9 7 9 6 8 7 8 6 8 5 7 6 8 4 - x y + 2 x y - x y + x y - 2 x y + 2 x y + x y - x y 7 5 7 4 6 5 7 3 5 5 6 3 5 4 5 3 + x y - 3 x y - 2 x y + x y - x y + x y + x y - x y 5 2 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 + x y + x y + x y - x y - x y - x y - x y - x y + 1) (x - 1)) and in Maple notation -(x^15*y^11+x^14*y^12-4*x^15*y^10-8*x^14*y^11-x^13*y^12+6*x^15*y^9+22*x^14*y^10 +5*x^13*y^11-4*x^15*y^8-29*x^14*y^9-12*x^13*y^10+x^12*y^11+x^15*y^7+20*x^14*y^8 +18*x^13*y^9-5*x^12*y^10-7*x^14*y^7-17*x^13*y^8+11*x^12*y^9-2*x^11*y^10+x^14*y^ 6+9*x^13*y^7-11*x^12*y^8+7*x^11*y^9+2*x^10*y^10-2*x^13*y^6+3*x^12*y^7-10*x^11*y ^8-8*x^10*y^9+2*x^12*y^6+8*x^11*y^7+12*x^10*y^8-2*x^9*y^9-x^12*y^5-4*x^11*y^6-7 *x^10*y^7+8*x^9*y^8+x^11*y^5+x^10*y^6-15*x^9*y^7-4*x^8*y^8+12*x^9*y^6+9*x^8*y^7 -x^9*y^5-5*x^8*y^6+2*x^7*y^7-2*x^9*y^4-2*x^8*y^5-x^7*y^6+3*x^8*y^4-x^7*y^5-2*x^ 6*y^6-x^8*y^3-2*x^7*y^4+3*x^6*y^5+2*x^7*y^3-5*x^6*y^4-x^5*y^5+2*x^6*y^3+x^5*y^4 +x^6*y^2-x^5*y^3+6*x^4*y^4-5*x^4*y^3+x^5*y+3*x^3*y^3-2*x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2-x^ 2*y+x*y-x+1)/(x^15*y^12-4*x^15*y^11+6*x^15*y^10-x^14*y^11-4*x^15*y^9+3*x^14*y^ 10+x^15*y^8-3*x^14*y^9-x^13*y^10+x^14*y^8+4*x^13*y^9-6*x^13*y^8+2*x^12*y^9+4*x^ 13*y^7-5*x^12*y^8-x^13*y^6+4*x^12*y^7-x^12*y^6+x^10*y^8-x^10*y^7-x^9*y^8+2*x^9* y^7-x^9*y^6+x^8*y^7-2*x^8*y^6+2*x^8*y^5+x^7*y^6-x^8*y^4+x^7*y^5-3*x^7*y^4-2*x^6 *y^5+x^7*y^3-x^5*y^5+x^6*y^3+x^5*y^4-x^5*y^3+x^5*y^2+x^4*y^2+x^3*y^3-x^4*y-x^3* y^2-x^3*y-x^2*y^2-x*y+1)/(x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7285320127 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 91" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [1, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 16 13 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 14 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 - 4 x y - 10 x y + 19 x y + 5 x y - 36 x y - 2 x y 16 10 15 11 14 12 15 10 14 11 13 12 - x y + 34 x y + 8 x y - 16 x y - 12 x y - x y 15 9 14 10 13 11 14 9 13 10 12 11 + 3 x y + 8 x y + 8 x y - 2 x y - 21 x y + 2 x y 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 + 25 x y - 3 x y - 3 x y - 14 x y - 5 x y + 16 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 + 3 x y + 13 x y - 36 x y - 2 x y - 9 x y + 41 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 11 6 + 8 x y + 2 x y - 23 x y - 16 x y - 5 x y + 5 x y 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 + 18 x y + 10 x y - 10 x y - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 - x y + x y - x y + 7 x y + 2 x y - 11 x y - x y + 4 x y 6 6 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 + 6 x y - 11 x y + 7 x y + 3 x y - 2 x y - 5 x y + 3 x y 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 - 4 x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y - x y + x y - x y / 15 12 15 11 15 10 15 9 15 8 + x - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - 4 x y + x y / 13 10 12 11 13 9 12 10 13 8 12 9 11 10 - x y + x y + 3 x y - 2 x y - 3 x y - x y - x y 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 12 6 11 7 + x y + 5 x y + 4 x y - 4 x y - 5 x y + x y + 2 x y 8 7 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 - x y - x y + 4 x y + x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y + x y 6 4 5 5 5 4 5 3 5 2 4 2 3 2 2 2 2 - x y - x y + x y + x y - x y + x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^16*y^15-5*x^16*y^14+10*x^16*y^13-4*x^15*y^14-10*x^16*y^12+19*x^15*y^13+5*x^ 16*y^11-36*x^15*y^12-2*x^14*y^13-x^16*y^10+34*x^15*y^11+8*x^14*y^12-16*x^15*y^ 10-12*x^14*y^11-x^13*y^12+3*x^15*y^9+8*x^14*y^10+8*x^13*y^11-2*x^14*y^9-21*x^13 *y^10+2*x^12*y^11+25*x^13*y^9-3*x^12*y^10-3*x^11*y^11-14*x^13*y^8-5*x^12*y^9+16 *x^11*y^10+3*x^13*y^7+13*x^12*y^8-36*x^11*y^9-2*x^10*y^10-9*x^12*y^7+41*x^11*y^ 8+8*x^10*y^9+2*x^12*y^6-23*x^11*y^7-16*x^10*y^8-5*x^9*y^9+5*x^11*y^6+18*x^10*y^ 7+10*x^9*y^8-10*x^10*y^6-4*x^9*y^7+x^8*y^8+2*x^10*y^5-2*x^9*y^6-x^8*y^7+x^9*y^5 -x^8*y^6+7*x^7*y^7+2*x^8*y^5-11*x^7*y^6-x^8*y^4+4*x^7*y^5+6*x^6*y^6-11*x^6*y^5+ 7*x^6*y^4+3*x^5*y^5-2*x^6*y^3-5*x^5*y^4+3*x^5*y^3-4*x^4*y^4-x^5*y^2+2*x^4*y^3+x ^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x^15*y^12-4*x^15*y^11+6*x^15*y ^10-4*x^15*y^9+x^15*y^8-x^13*y^10+x^12*y^11+3*x^13*y^9-2*x^12*y^10-3*x^13*y^8-x ^12*y^9-x^11*y^10+x^13*y^7+5*x^12*y^8+4*x^11*y^9-4*x^12*y^7-5*x^11*y^8+x^12*y^6 +2*x^11*y^7-x^8*y^7-x^8*y^6+4*x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^8*y^4-3*x^7*y^5+2*x^7*y^4+x^6 *y^5-x^6*y^4-x^5*y^5+x^5*y^4+x^5*y^3-x^5*y^2+x^4*y^2-x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y+ x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 3 2 (a - 2 a + 3 a + 2 a - 8 a + 2 a + 1) --------------------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7280670770 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7285003608 ------------------------------------------------ "Theorem Number 92" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [2, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 16 13 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 14 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 - 4 x y - 10 x y + 19 x y + 5 x y - 36 x y - 2 x y 16 10 15 11 14 12 15 10 14 11 13 12 - x y + 34 x y + 8 x y - 16 x y - 12 x y - x y 15 9 14 10 13 11 14 9 13 10 12 11 + 3 x y + 8 x y + 8 x y - 2 x y - 21 x y + 2 x y 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 + 25 x y - 3 x y - 3 x y - 14 x y - 5 x y + 16 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 + 3 x y + 13 x y - 36 x y - 2 x y - 9 x y + 41 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 11 6 + 8 x y + 2 x y - 23 x y - 16 x y - 5 x y + 5 x y 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 + 18 x y + 10 x y - 10 x y - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 - x y + x y - x y + 7 x y + 2 x y - 11 x y - x y + 4 x y 6 6 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 + 6 x y - 11 x y + 7 x y + 3 x y - 2 x y - 5 x y + 3 x y 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 - 4 x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y - x y + x y - x y / 15 12 15 11 15 10 15 9 15 8 + x - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - 4 x y + x y / 13 10 12 11 13 9 12 10 13 8 12 9 11 10 - x y + x y + 3 x y - 2 x y - 3 x y - x y - x y 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 12 6 11 7 + x y + 5 x y + 4 x y - 4 x y - 5 x y + x y + 2 x y 8 7 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 - x y - x y + 4 x y + x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y + x y 6 4 5 5 5 4 5 3 5 2 4 2 3 2 2 2 2 - x y - x y + x y + x y - x y + x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^16*y^15-5*x^16*y^14+10*x^16*y^13-4*x^15*y^14-10*x^16*y^12+19*x^15*y^13+5*x^ 16*y^11-36*x^15*y^12-2*x^14*y^13-x^16*y^10+34*x^15*y^11+8*x^14*y^12-16*x^15*y^ 10-12*x^14*y^11-x^13*y^12+3*x^15*y^9+8*x^14*y^10+8*x^13*y^11-2*x^14*y^9-21*x^13 *y^10+2*x^12*y^11+25*x^13*y^9-3*x^12*y^10-3*x^11*y^11-14*x^13*y^8-5*x^12*y^9+16 *x^11*y^10+3*x^13*y^7+13*x^12*y^8-36*x^11*y^9-2*x^10*y^10-9*x^12*y^7+41*x^11*y^ 8+8*x^10*y^9+2*x^12*y^6-23*x^11*y^7-16*x^10*y^8-5*x^9*y^9+5*x^11*y^6+18*x^10*y^ 7+10*x^9*y^8-10*x^10*y^6-4*x^9*y^7+x^8*y^8+2*x^10*y^5-2*x^9*y^6-x^8*y^7+x^9*y^5 -x^8*y^6+7*x^7*y^7+2*x^8*y^5-11*x^7*y^6-x^8*y^4+4*x^7*y^5+6*x^6*y^6-11*x^6*y^5+ 7*x^6*y^4+3*x^5*y^5-2*x^6*y^3-5*x^5*y^4+3*x^5*y^3-4*x^4*y^4-x^5*y^2+2*x^4*y^3+x ^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x^15*y^12-4*x^15*y^11+6*x^15*y ^10-4*x^15*y^9+x^15*y^8-x^13*y^10+x^12*y^11+3*x^13*y^9-2*x^12*y^10-3*x^13*y^8-x ^12*y^9-x^11*y^10+x^13*y^7+5*x^12*y^8+4*x^11*y^9-4*x^12*y^7-5*x^11*y^8+x^12*y^6 +2*x^11*y^7-x^8*y^7-x^8*y^6+4*x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^8*y^4-3*x^7*y^5+2*x^7*y^4+x^6 *y^5-x^6*y^4-x^5*y^5+x^5*y^4+x^5*y^3-x^5*y^2+x^4*y^2-x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y+ x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 3 2 (a - 2 a + 3 a + 2 a - 8 a + 2 a + 1) --------------------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7280670770 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7285003608 ------------------------------------------------ "Theorem Number 93" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 18 21 17 21 16 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 17 21 15 20 16 21 14 20 15 19 16 + x y - 20 x y - 6 x y + 15 x y + 15 x y - x y 21 13 20 14 19 15 21 12 20 13 19 14 - 6 x y - 20 x y + 4 x y + x y + 15 x y - 5 x y 18 15 20 12 18 14 17 15 20 11 19 12 - 2 x y - 6 x y + 11 x y + 2 x y + x y + 5 x y 18 13 17 14 19 11 18 12 17 13 19 10 - 25 x y - 9 x y - 4 x y + 30 x y + 16 x y + x y 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 17 11 - 20 x y - 14 x y + 4 x y - x y + 7 x y + 6 x y 16 12 15 13 18 9 17 10 16 11 15 12 - 16 x y + 3 x y - x y - x y + 24 x y - 3 x y 14 13 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 - 2 x y - 16 x y + 2 x y + 11 x y + 4 x y - 3 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 - 24 x y - x y + 3 x y + 29 x y + 8 x y + x y 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 - x y - 24 x y - 15 x y - x y + 15 x y + 9 x y 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 - 2 x y - x y - 6 x y - x y + 2 x y + x y + x y 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 + x y + 2 x y + 10 x y - 2 x y - x y - 3 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 9 9 11 6 10 7 - 21 x y + 2 x y + x y + 13 x y - 2 x y - x y + 3 x y 9 8 11 5 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 + 6 x y - x y - 3 x y - 7 x y + 3 x y - x y + 2 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 6 6 + 6 x y - 3 x y - 2 x y - 9 x y + 2 x y + 5 x y - 6 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - x y - 2 x y + 9 x y + 2 x y - 7 x y - x y + 2 x y + x y 6 2 5 3 4 4 4 3 5 3 3 3 2 3 + x y - x y + 6 x y - 5 x y + x y + 3 x y - 2 x y - x y 2 2 2 / 16 12 16 11 15 12 + x y - x y + x y - x + 1) / (x y - 4 x y - x y / 16 10 15 11 16 9 15 10 14 11 16 8 15 9 + 6 x y + 3 x y - 4 x y - 3 x y + x y + x y + x y 14 10 14 9 13 10 14 8 13 9 14 7 13 8 - 4 x y + 7 x y + x y - 7 x y - 2 x y + 4 x y + x y 12 9 14 6 12 8 12 7 11 8 12 6 11 7 - 2 x y - x y + 5 x y - 4 x y + x y + x y - x y 10 8 10 7 9 8 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 - 2 x y + 3 x y + x y - x y - x y - x y - x y + 2 x y 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 8 3 7 4 + 3 x y - x y - x y - x y - 2 x y - 3 x y + x y + 3 x y 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 3 5 + x y + x y + x y - 2 x y - x y + x y + x y + x y - x y 4 2 3 3 3 2 2 2 - 2 x y - x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^21*y^18-6*x^21*y^17+15*x^21*y^16+x^20*y^17-20*x^21*y^15-6*x^20*y^16+15*x^21 *y^14+15*x^20*y^15-x^19*y^16-6*x^21*y^13-20*x^20*y^14+4*x^19*y^15+x^21*y^12+15* x^20*y^13-5*x^19*y^14-2*x^18*y^15-6*x^20*y^12+11*x^18*y^14+2*x^17*y^15+x^20*y^ 11+5*x^19*y^12-25*x^18*y^13-9*x^17*y^14-4*x^19*y^11+30*x^18*y^12+16*x^17*y^13+x ^19*y^10-20*x^18*y^11-14*x^17*y^12+4*x^16*y^13-x^15*y^14+7*x^18*y^10+6*x^17*y^ 11-16*x^16*y^12+3*x^15*y^13-x^18*y^9-x^17*y^10+24*x^16*y^11-3*x^15*y^12-2*x^14* y^13-16*x^16*y^10+2*x^15*y^11+11*x^14*y^12+4*x^16*y^9-3*x^15*y^10-24*x^14*y^11- x^13*y^12+3*x^15*y^9+29*x^14*y^10+8*x^13*y^11+x^12*y^12-x^15*y^8-24*x^14*y^9-15 *x^13*y^10-x^12*y^11+15*x^14*y^8+9*x^13*y^9-2*x^12*y^10-x^11*y^11-6*x^14*y^7-x^ 13*y^8+2*x^12*y^9+x^11*y^10+x^14*y^6+x^13*y^7+2*x^12*y^8+10*x^11*y^9-2*x^10*y^ 10-x^13*y^6-3*x^12*y^7-21*x^11*y^8+2*x^10*y^9+x^12*y^6+13*x^11*y^7-2*x^9*y^9-x^ 11*y^6+3*x^10*y^7+6*x^9*y^8-x^11*y^5-3*x^10*y^6-7*x^9*y^7+3*x^9*y^6-x^8*y^7+2*x ^9*y^5+6*x^8*y^6-3*x^7*y^7-2*x^9*y^4-9*x^8*y^5+2*x^7*y^6+5*x^8*y^4-6*x^6*y^6-x^ 8*y^3-2*x^7*y^4+9*x^6*y^5+2*x^7*y^3-7*x^6*y^4-x^5*y^5+2*x^6*y^3+x^5*y^4+x^6*y^2 -x^5*y^3+6*x^4*y^4-5*x^4*y^3+x^5*y+3*x^3*y^3-2*x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+x*y- x+1)/(x^16*y^12-4*x^16*y^11-x^15*y^12+6*x^16*y^10+3*x^15*y^11-4*x^16*y^9-3*x^15 *y^10+x^14*y^11+x^16*y^8+x^15*y^9-4*x^14*y^10+7*x^14*y^9+x^13*y^10-7*x^14*y^8-2 *x^13*y^9+4*x^14*y^7+x^13*y^8-2*x^12*y^9-x^14*y^6+5*x^12*y^8-4*x^12*y^7+x^11*y^ 8+x^12*y^6-x^11*y^7-2*x^10*y^8+3*x^10*y^7+x^9*y^8-x^10*y^6-x^9*y^7-x^9*y^6-x^8* y^7+2*x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^9*y^4-x^8*y^5-x^7*y^6-2*x^8*y^4-3*x^7*y^5+x^8*y^3+3*x ^7*y^4+x^6*y^5+x^6*y^4+x^5*y^5-2*x^6*y^3-x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3+x^4*y^3-x^5*y-\ 2*x^4*y^2-x^3*y^3+x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7283359963 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 94" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 18 21 17 21 16 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 17 21 15 20 16 21 14 20 15 19 16 + x y - 20 x y - 6 x y + 15 x y + 15 x y - x y 21 13 20 14 19 15 21 12 20 13 19 14 - 6 x y - 20 x y + 4 x y + x y + 15 x y - 5 x y 18 15 20 12 18 14 17 15 20 11 19 12 - 2 x y - 6 x y + 11 x y + 2 x y + x y + 5 x y 18 13 17 14 19 11 18 12 17 13 19 10 - 25 x y - 9 x y - 4 x y + 30 x y + 16 x y + x y 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 17 11 - 20 x y - 14 x y + 4 x y - x y + 7 x y + 6 x y 16 12 15 13 18 9 17 10 16 11 15 12 - 16 x y + 3 x y - x y - x y + 24 x y - 3 x y 14 13 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 - 2 x y - 16 x y + 2 x y + 11 x y + 4 x y - 3 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 - 24 x y - x y + 3 x y + 29 x y + 8 x y + x y 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 - x y - 24 x y - 15 x y - x y + 15 x y + 9 x y 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 - 2 x y - x y - 6 x y - x y + 2 x y + x y + x y 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 + x y + 2 x y + 10 x y - 2 x y - x y - 3 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 9 9 11 6 10 7 - 21 x y + 2 x y + x y + 13 x y - 2 x y - x y + 3 x y 9 8 11 5 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 + 6 x y - x y - 3 x y - 7 x y + 3 x y - x y + 2 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 6 6 + 6 x y - 3 x y - 2 x y - 9 x y + 2 x y + 5 x y - 6 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - x y - 2 x y + 9 x y + 2 x y - 7 x y - x y + 2 x y + x y 6 2 5 3 4 4 4 3 5 3 3 3 2 3 + x y - x y + 6 x y - 5 x y + x y + 3 x y - 2 x y - x y 2 2 2 / 15 12 15 11 15 10 + x y - x y + x y - x + 1) / ((x y - 4 x y + 6 x y / 14 11 15 9 14 10 15 8 14 9 13 10 14 8 - x y - 4 x y + 3 x y + x y - 3 x y - x y + x y 13 9 13 8 12 9 13 7 12 8 13 6 12 7 + 4 x y - 6 x y + 2 x y + 4 x y - 5 x y - x y + 4 x y 12 6 10 8 10 7 9 8 9 7 9 6 8 7 8 6 - x y + x y - x y - x y + 2 x y - x y + x y - 2 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 7 3 5 5 + 2 x y + x y - x y + x y - 3 x y - 2 x y + x y - x y 6 3 5 4 5 3 5 2 4 2 3 3 4 3 2 3 + x y + x y - x y + x y + x y + x y - x y - x y - x y 2 2 - x y - x y + 1) (x - 1)) and in Maple notation -(x^21*y^18-6*x^21*y^17+15*x^21*y^16+x^20*y^17-20*x^21*y^15-6*x^20*y^16+15*x^21 *y^14+15*x^20*y^15-x^19*y^16-6*x^21*y^13-20*x^20*y^14+4*x^19*y^15+x^21*y^12+15* x^20*y^13-5*x^19*y^14-2*x^18*y^15-6*x^20*y^12+11*x^18*y^14+2*x^17*y^15+x^20*y^ 11+5*x^19*y^12-25*x^18*y^13-9*x^17*y^14-4*x^19*y^11+30*x^18*y^12+16*x^17*y^13+x ^19*y^10-20*x^18*y^11-14*x^17*y^12+4*x^16*y^13-x^15*y^14+7*x^18*y^10+6*x^17*y^ 11-16*x^16*y^12+3*x^15*y^13-x^18*y^9-x^17*y^10+24*x^16*y^11-3*x^15*y^12-2*x^14* y^13-16*x^16*y^10+2*x^15*y^11+11*x^14*y^12+4*x^16*y^9-3*x^15*y^10-24*x^14*y^11- x^13*y^12+3*x^15*y^9+29*x^14*y^10+8*x^13*y^11+x^12*y^12-x^15*y^8-24*x^14*y^9-15 *x^13*y^10-x^12*y^11+15*x^14*y^8+9*x^13*y^9-2*x^12*y^10-x^11*y^11-6*x^14*y^7-x^ 13*y^8+2*x^12*y^9+x^11*y^10+x^14*y^6+x^13*y^7+2*x^12*y^8+10*x^11*y^9-2*x^10*y^ 10-x^13*y^6-3*x^12*y^7-21*x^11*y^8+2*x^10*y^9+x^12*y^6+13*x^11*y^7-2*x^9*y^9-x^ 11*y^6+3*x^10*y^7+6*x^9*y^8-x^11*y^5-3*x^10*y^6-7*x^9*y^7+3*x^9*y^6-x^8*y^7+2*x ^9*y^5+6*x^8*y^6-3*x^7*y^7-2*x^9*y^4-9*x^8*y^5+2*x^7*y^6+5*x^8*y^4-6*x^6*y^6-x^ 8*y^3-2*x^7*y^4+9*x^6*y^5+2*x^7*y^3-7*x^6*y^4-x^5*y^5+2*x^6*y^3+x^5*y^4+x^6*y^2 -x^5*y^3+6*x^4*y^4-5*x^4*y^3+x^5*y+3*x^3*y^3-2*x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+x*y- x+1)/(x^15*y^12-4*x^15*y^11+6*x^15*y^10-x^14*y^11-4*x^15*y^9+3*x^14*y^10+x^15*y ^8-3*x^14*y^9-x^13*y^10+x^14*y^8+4*x^13*y^9-6*x^13*y^8+2*x^12*y^9+4*x^13*y^7-5* x^12*y^8-x^13*y^6+4*x^12*y^7-x^12*y^6+x^10*y^8-x^10*y^7-x^9*y^8+2*x^9*y^7-x^9*y ^6+x^8*y^7-2*x^8*y^6+2*x^8*y^5+x^7*y^6-x^8*y^4+x^7*y^5-3*x^7*y^4-2*x^6*y^5+x^7* y^3-x^5*y^5+x^6*y^3+x^5*y^4-x^5*y^3+x^5*y^2+x^4*y^2+x^3*y^3-x^4*y-x^3*y^2-x^3*y -x^2*y^2-x*y+1)/(x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7283359963 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 95" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [2, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 18 20 17 20 16 19 17 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y + 15 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 15 19 16 20 14 19 15 18 16 20 13 - 20 x y + 3 x y + 15 x y + x y - x y - 6 x y 19 14 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 - 15 x y + 2 x y + x y + 25 x y + 6 x y - 2 x y 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 - 19 x y - 25 x y + 13 x y + 7 x y + 35 x y 17 13 19 10 18 11 17 12 16 13 18 10 - 33 x y - x y - 24 x y + 42 x y + x y + 8 x y 17 11 16 12 15 13 18 9 17 10 16 11 - 28 x y - 6 x y + 5 x y - x y + 9 x y + 13 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 - 23 x y - x y - x y - 13 x y + 40 x y + 4 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 + 6 x y - 32 x y - 6 x y + 3 x y - x y + 11 x y 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 12 11 + 3 x y - 9 x y - x y + 2 x y + 11 x y + 2 x y 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 11 10 - 3 x y - 9 x y - 6 x y + x y + 6 x y + 7 x y + x y 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 11 7 10 8 - 2 x y - 4 x y - 2 x y + x y + 3 x y - 4 x y - 2 x y 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 + 2 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y - 5 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 + 3 x y + 2 x y + 3 x y - x y - 5 x y + 6 x y + x y 7 5 6 6 6 5 5 5 5 4 5 3 4 4 - 5 x y + 2 x y - 2 x y + 4 x y - 7 x y + 2 x y - 4 x y 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 / 19 15 19 14 + 2 x y + x y - 2 x y + x y - x y - 1) / (x y - 5 x y / 19 13 18 14 19 12 18 13 19 11 18 12 + 10 x y + x y - 10 x y - 5 x y + 5 x y + 10 x y 17 13 19 10 18 11 17 12 16 13 18 10 - 3 x y - x y - 10 x y + 11 x y + x y + 5 x y 17 11 16 12 18 9 17 10 16 11 15 12 - 15 x y - 2 x y - x y + 9 x y + x y - 3 x y 17 9 16 10 15 11 16 9 15 10 14 11 - 2 x y - x y + 11 x y + 2 x y - 15 x y + 2 x y 16 8 15 9 14 10 15 8 14 9 13 10 14 8 - x y + 9 x y - 5 x y - 2 x y + 5 x y - x y - 3 x y 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 + x y - 2 x y + x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y 11 9 12 7 11 8 11 7 10 8 11 6 10 6 + 2 x y - 2 x y - 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y - x y 9 6 8 7 9 5 8 6 8 5 7 6 8 4 7 4 - 2 x y + x y + 2 x y - 3 x y + x y - 2 x y + x y + x y 6 5 5 4 4 2 3 2 2 2 + 2 x y - x y + x y + x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^20*y^18-6*x^20*y^17+15*x^20*y^16-x^19*y^17-20*x^20*y^15+3*x^19*y^16+15*x^20* y^14+x^19*y^15-x^18*y^16-6*x^20*y^13-15*x^19*y^14+2*x^18*y^15+x^20*y^12+25*x^19 *y^13+6*x^18*y^14-2*x^17*y^15-19*x^19*y^12-25*x^18*y^13+13*x^17*y^14+7*x^19*y^ 11+35*x^18*y^12-33*x^17*y^13-x^19*y^10-24*x^18*y^11+42*x^17*y^12+x^16*y^13+8*x^ 18*y^10-28*x^17*y^11-6*x^16*y^12+5*x^15*y^13-x^18*y^9+9*x^17*y^10+13*x^16*y^11-\ 23*x^15*y^12-x^14*y^13-x^17*y^9-13*x^16*y^10+40*x^15*y^11+4*x^14*y^12+6*x^16*y^ 9-32*x^15*y^10-6*x^14*y^11+3*x^13*y^12-x^16*y^8+11*x^15*y^9+3*x^14*y^10-9*x^13* y^11-x^15*y^8+2*x^14*y^9+11*x^13*y^10+2*x^12*y^11-3*x^14*y^8-9*x^13*y^9-6*x^12* y^10+x^14*y^7+6*x^13*y^8+7*x^12*y^9+x^11*y^10-2*x^13*y^7-4*x^12*y^8-2*x^11*y^9+ x^12*y^7+3*x^11*y^8-4*x^11*y^7-2*x^10*y^8+2*x^11*y^6+4*x^10*y^7-x^9*y^8-2*x^10* y^6+4*x^9*y^7-2*x^8*y^8-5*x^9*y^6+3*x^8*y^7+2*x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^7*y^7-5*x^8*y ^5+6*x^7*y^6+x^8*y^4-5*x^7*y^5+2*x^6*y^6-2*x^6*y^5+4*x^5*y^5-7*x^5*y^4+2*x^5*y^ 3-4*x^4*y^4+2*x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2-x^2*y^2-1)/(x^19*y^15-5*x^19*y^ 14+10*x^19*y^13+x^18*y^14-10*x^19*y^12-5*x^18*y^13+5*x^19*y^11+10*x^18*y^12-3*x ^17*y^13-x^19*y^10-10*x^18*y^11+11*x^17*y^12+x^16*y^13+5*x^18*y^10-15*x^17*y^11 -2*x^16*y^12-x^18*y^9+9*x^17*y^10+x^16*y^11-3*x^15*y^12-2*x^17*y^9-x^16*y^10+11 *x^15*y^11+2*x^16*y^9-15*x^15*y^10+2*x^14*y^11-x^16*y^8+9*x^15*y^9-5*x^14*y^10-\ 2*x^15*y^8+5*x^14*y^9-x^13*y^10-3*x^14*y^8+x^13*y^9-2*x^12*y^10+x^14*y^7+x^13*y ^8+2*x^12*y^9-x^13*y^7+2*x^12*y^8+2*x^11*y^9-2*x^12*y^7-2*x^11*y^8-2*x^11*y^7+x ^10*y^8+2*x^11*y^6-x^10*y^6-2*x^9*y^6+x^8*y^7+2*x^9*y^5-3*x^8*y^6+x^8*y^5-2*x^7 *y^6+x^8*y^4+x^7*y^4+2*x^6*y^5-x^5*y^4+x^4*y^2+x^3*y^2-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 12 11 10 9 7 6 5 4 3 2 (a - 3 a + 3 a - 4 a + a - 9 a + 5 a - 7 a + 2 a + 2 a + 1) / / ( / 11 10 8 7 6 5 4 3 2 7 a - 5 a - 4 a - 14 a + 7 a - 19 a + 2 a - 4 a - 5 a + 2 a - 2) 7 6 5 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + x - x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7265409194 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7269996629 ------------------------------------------------ "Theorem Number 96" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 1], [1, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 18 20 17 20 16 19 17 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y + 15 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 15 19 16 20 14 19 15 18 16 20 13 - 20 x y + 3 x y + 15 x y + x y - x y - 6 x y 19 14 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 - 15 x y + 2 x y + x y + 25 x y + 6 x y - 2 x y 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 - 19 x y - 25 x y + 13 x y + 7 x y + 35 x y 17 13 19 10 18 11 17 12 16 13 18 10 - 33 x y - x y - 24 x y + 42 x y + x y + 8 x y 17 11 16 12 15 13 18 9 17 10 16 11 - 28 x y - 6 x y + 5 x y - x y + 9 x y + 13 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 - 23 x y - x y - x y - 13 x y + 40 x y + 4 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 + 6 x y - 32 x y - 6 x y + 3 x y - x y + 11 x y 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 12 11 + 3 x y - 9 x y - x y + 2 x y + 11 x y + 2 x y 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 11 10 - 3 x y - 9 x y - 6 x y + x y + 6 x y + 7 x y + x y 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 11 7 10 8 - 2 x y - 4 x y - 2 x y + x y + 3 x y - 4 x y - 2 x y 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 + 2 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y - 5 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 + 3 x y + 2 x y + 3 x y - x y - 5 x y + 6 x y + x y 7 5 6 6 6 5 5 5 5 4 5 3 4 4 - 5 x y + 2 x y - 2 x y + 4 x y - 7 x y + 2 x y - 4 x y 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 / 19 15 19 14 + 2 x y + x y - 2 x y + x y - x y - 1) / (x y - 5 x y / 19 13 18 14 19 12 18 13 19 11 18 12 + 10 x y + x y - 10 x y - 5 x y + 5 x y + 10 x y 17 13 19 10 18 11 17 12 16 13 18 10 - 3 x y - x y - 10 x y + 11 x y + x y + 5 x y 17 11 16 12 18 9 17 10 16 11 15 12 - 15 x y - 2 x y - x y + 9 x y + x y - 3 x y 17 9 16 10 15 11 16 9 15 10 14 11 - 2 x y - x y + 11 x y + 2 x y - 15 x y + 2 x y 16 8 15 9 14 10 15 8 14 9 13 10 14 8 - x y + 9 x y - 5 x y - 2 x y + 5 x y - x y - 3 x y 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 + x y - 2 x y + x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y 11 9 12 7 11 8 11 7 10 8 11 6 10 6 + 2 x y - 2 x y - 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y - x y 9 6 8 7 9 5 8 6 8 5 7 6 8 4 7 4 - 2 x y + x y + 2 x y - 3 x y + x y - 2 x y + x y + x y 6 5 5 4 4 2 3 2 2 2 + 2 x y - x y + x y + x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^20*y^18-6*x^20*y^17+15*x^20*y^16-x^19*y^17-20*x^20*y^15+3*x^19*y^16+15*x^20* y^14+x^19*y^15-x^18*y^16-6*x^20*y^13-15*x^19*y^14+2*x^18*y^15+x^20*y^12+25*x^19 *y^13+6*x^18*y^14-2*x^17*y^15-19*x^19*y^12-25*x^18*y^13+13*x^17*y^14+7*x^19*y^ 11+35*x^18*y^12-33*x^17*y^13-x^19*y^10-24*x^18*y^11+42*x^17*y^12+x^16*y^13+8*x^ 18*y^10-28*x^17*y^11-6*x^16*y^12+5*x^15*y^13-x^18*y^9+9*x^17*y^10+13*x^16*y^11-\ 23*x^15*y^12-x^14*y^13-x^17*y^9-13*x^16*y^10+40*x^15*y^11+4*x^14*y^12+6*x^16*y^ 9-32*x^15*y^10-6*x^14*y^11+3*x^13*y^12-x^16*y^8+11*x^15*y^9+3*x^14*y^10-9*x^13* y^11-x^15*y^8+2*x^14*y^9+11*x^13*y^10+2*x^12*y^11-3*x^14*y^8-9*x^13*y^9-6*x^12* y^10+x^14*y^7+6*x^13*y^8+7*x^12*y^9+x^11*y^10-2*x^13*y^7-4*x^12*y^8-2*x^11*y^9+ x^12*y^7+3*x^11*y^8-4*x^11*y^7-2*x^10*y^8+2*x^11*y^6+4*x^10*y^7-x^9*y^8-2*x^10* y^6+4*x^9*y^7-2*x^8*y^8-5*x^9*y^6+3*x^8*y^7+2*x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^7*y^7-5*x^8*y ^5+6*x^7*y^6+x^8*y^4-5*x^7*y^5+2*x^6*y^6-2*x^6*y^5+4*x^5*y^5-7*x^5*y^4+2*x^5*y^ 3-4*x^4*y^4+2*x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2-x^2*y^2-1)/(x^19*y^15-5*x^19*y^ 14+10*x^19*y^13+x^18*y^14-10*x^19*y^12-5*x^18*y^13+5*x^19*y^11+10*x^18*y^12-3*x ^17*y^13-x^19*y^10-10*x^18*y^11+11*x^17*y^12+x^16*y^13+5*x^18*y^10-15*x^17*y^11 -2*x^16*y^12-x^18*y^9+9*x^17*y^10+x^16*y^11-3*x^15*y^12-2*x^17*y^9-x^16*y^10+11 *x^15*y^11+2*x^16*y^9-15*x^15*y^10+2*x^14*y^11-x^16*y^8+9*x^15*y^9-5*x^14*y^10-\ 2*x^15*y^8+5*x^14*y^9-x^13*y^10-3*x^14*y^8+x^13*y^9-2*x^12*y^10+x^14*y^7+x^13*y ^8+2*x^12*y^9-x^13*y^7+2*x^12*y^8+2*x^11*y^9-2*x^12*y^7-2*x^11*y^8-2*x^11*y^7+x ^10*y^8+2*x^11*y^6-x^10*y^6-2*x^9*y^6+x^8*y^7+2*x^9*y^5-3*x^8*y^6+x^8*y^5-2*x^7 *y^6+x^8*y^4+x^7*y^4+2*x^6*y^5-x^5*y^4+x^4*y^2+x^3*y^2-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 12 11 10 9 7 6 5 4 3 2 (a - 3 a + 3 a - 4 a + a - 9 a + 5 a - 7 a + 2 a + 2 a + 1) / / ( / 11 10 8 7 6 5 4 3 2 7 a - 5 a - 4 a - 14 a + 7 a - 19 a + 2 a - 4 a - 5 a + 2 a - 2) 7 6 5 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + x - x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7265409194 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7269996629 ------------------------------------------------ "Theorem Number 97" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [1, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 25 23 25 22 25 21 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 9 x y + 36 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 24 22 25 20 24 21 23 22 25 19 + 3 x y - 84 x y - 26 x y + 2 x y + 126 x y 24 20 23 21 25 18 24 19 23 20 + 101 x y - 14 x y - 126 x y - 232 x y + 40 x y 22 21 25 17 24 18 23 19 22 20 + 4 x y + 84 x y + 350 x y - 55 x y - 29 x y 25 16 24 17 23 18 22 19 21 20 - 36 x y - 364 x y + 21 x y + 90 x y + 4 x y 25 15 24 16 23 17 22 18 21 19 + 9 x y + 266 x y + 49 x y - 155 x y - 29 x y 25 14 24 15 23 16 22 17 21 18 - x y - 136 x y - 91 x y + 160 x y + 89 x y 20 19 24 14 23 15 22 16 21 17 + 2 x y + 47 x y + 75 x y - 99 x y - 149 x y 20 18 24 13 23 14 22 15 21 16 - 16 x y - 10 x y - 35 x y + 34 x y + 144 x y 20 17 19 18 24 12 23 13 22 14 21 15 + 49 x y - 2 x y + x y + 9 x y - 5 x y - 74 x y 20 16 19 17 23 12 21 14 20 15 19 16 - 71 x y + 11 x y - x y + 9 x y + 39 x y - 35 x y 18 17 21 13 20 14 19 15 18 16 - 4 x y + 11 x y + 23 x y + 87 x y + 24 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 17 16 21 11 - 6 x y - 49 x y - 158 x y - 67 x y - 4 x y + x y 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 + 31 x y + 191 x y + 119 x y + 21 x y - 9 x y 19 12 18 13 17 14 20 10 19 11 - 147 x y - 150 x y - 45 x y + x y + 69 x y 18 12 17 13 16 14 15 15 19 10 + 134 x y + 54 x y + 2 x y - 2 x y - 18 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 19 9 - 79 x y - 46 x y - 10 x y + 10 x y + 2 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 + 27 x y + 34 x y + 26 x y - 15 x y - 3 x y - 4 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 - 20 x y - 42 x y - x y + 10 x y + 7 x y + 40 x y 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 15 10 + 35 x y - 9 x y - 6 x y - x y - 20 x y - 61 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 - 4 x y + 21 x y + 4 x y + 55 x y + 20 x y - 27 x y 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 - 6 x y - 26 x y - 33 x y + 11 x y + 15 x y + 5 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 + 30 x y + 16 x y - 10 x y - 6 x y - 13 x y - 34 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 + x y + 10 x y + 2 x y + 28 x y + 2 x y + 2 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 - 4 x y - 10 x y - 9 x y - 5 x y + 5 x y + x y 12 6 11 7 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 + 10 x y - 4 x y - 3 x y - 3 x y + x y + 5 x y + 7 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 + 3 x y - 10 x y - 9 x y - 3 x y - x y + 4 x y + 10 x y 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 - 2 x y - 6 x y + 3 x y + x y + 8 x y - 4 x y - 7 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + 2 x y + x y + 5 x y - 4 x y - 2 x y - x y + 3 x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 + 4 x y - 6 x y - x y + x y + 8 x y + 2 x y - 8 x y + x y 3 3 4 3 2 2 2 2 / 26 23 + 4 x y + x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y / 26 22 26 21 25 22 26 20 25 21 24 22 - 9 x y + 36 x y + x y - 84 x y - 7 x y + x y 26 19 25 20 24 21 26 18 25 19 + 126 x y + 20 x y - 8 x y - 126 x y - 28 x y 24 20 23 21 26 17 25 18 24 19 23 20 + 29 x y + x y + 84 x y + 14 x y - 63 x y - 6 x y 26 16 25 17 24 18 23 19 26 15 - 36 x y + 14 x y + 91 x y + 13 x y + 9 x y 25 16 24 17 23 18 26 14 25 15 24 16 - 28 x y - 91 x y - 8 x y - x y + 20 x y + 63 x y 23 17 21 19 25 14 24 15 23 16 22 17 - 15 x y - x y - 7 x y - 29 x y + 34 x y - x y 21 18 25 13 24 14 23 15 22 16 21 17 + 5 x y + x y + 8 x y - 29 x y + 5 x y - 11 x y 20 18 24 13 23 14 22 15 21 16 20 17 - x y - x y + 12 x y - 10 x y + 16 x y + 4 x y 23 13 22 14 21 15 20 16 22 13 21 14 - 2 x y + 10 x y - 20 x y - 6 x y - 5 x y + 21 x y 20 15 19 16 22 12 21 13 20 14 19 15 + 4 x y + 2 x y + x y - 15 x y - x y - 10 x y 18 16 21 12 19 14 18 15 21 11 19 13 - 2 x y + 6 x y + 21 x y + 11 x y - x y - 24 x y 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 16 15 - 23 x y + x y + 16 x y + 23 x y - 5 x y - 2 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 - 6 x y - 11 x y + 9 x y + 10 x y + x y + 2 x y 17 12 16 13 15 14 17 11 16 12 15 13 - 4 x y - 18 x y - 2 x y - 8 x y + 15 x y + 5 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 + 12 x y - 5 x y - 2 x y - x y - 6 x y - 3 x y 15 11 17 8 16 9 15 10 14 11 16 8 - 4 x y + x y + 6 x y + 7 x y + 5 x y - 4 x y 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 13 10 - 9 x y - 8 x y - x y + x y + 7 x y + 7 x y + x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 - x y - 2 x y - 4 x y + 5 x y + 2 x y + x y - 8 x y 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 + x y - 3 x y - 4 x y + 3 x y + 4 x y + 6 x y + x y 13 5 12 6 11 7 11 6 10 7 9 8 11 5 - x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y - 3 x y - 3 x y - 3 x y 10 6 9 7 8 8 11 4 9 6 8 7 9 5 7 7 + 2 x y + 2 x y + x y + x y + x y - 2 x y - x y + x y 9 4 7 6 8 4 7 5 8 3 6 4 5 5 6 2 5 3 + x y + x y + x y - x y - x y - x y + x y + x y + x y 4 2 4 - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^25*y^23-9*x^25*y^22+36*x^25*y^21+3*x^24*y^22-84*x^25*y^20-26*x^24*y^21+2*x^ 23*y^22+126*x^25*y^19+101*x^24*y^20-14*x^23*y^21-126*x^25*y^18-232*x^24*y^19+40 *x^23*y^20+4*x^22*y^21+84*x^25*y^17+350*x^24*y^18-55*x^23*y^19-29*x^22*y^20-36* x^25*y^16-364*x^24*y^17+21*x^23*y^18+90*x^22*y^19+4*x^21*y^20+9*x^25*y^15+266*x ^24*y^16+49*x^23*y^17-155*x^22*y^18-29*x^21*y^19-x^25*y^14-136*x^24*y^15-91*x^ 23*y^16+160*x^22*y^17+89*x^21*y^18+2*x^20*y^19+47*x^24*y^14+75*x^23*y^15-99*x^ 22*y^16-149*x^21*y^17-16*x^20*y^18-10*x^24*y^13-35*x^23*y^14+34*x^22*y^15+144*x ^21*y^16+49*x^20*y^17-2*x^19*y^18+x^24*y^12+9*x^23*y^13-5*x^22*y^14-74*x^21*y^ 15-71*x^20*y^16+11*x^19*y^17-x^23*y^12+9*x^21*y^14+39*x^20*y^15-35*x^19*y^16-4* x^18*y^17+11*x^21*y^13+23*x^20*y^14+87*x^19*y^15+24*x^18*y^16-6*x^21*y^12-49*x^ 20*y^13-158*x^19*y^14-67*x^18*y^15-4*x^17*y^16+x^21*y^11+31*x^20*y^12+191*x^19* y^13+119*x^18*y^14+21*x^17*y^15-9*x^20*y^11-147*x^19*y^12-150*x^18*y^13-45*x^17 *y^14+x^20*y^10+69*x^19*y^11+134*x^18*y^12+54*x^17*y^13+2*x^16*y^14-2*x^15*y^15 -18*x^19*y^10-79*x^18*y^11-46*x^17*y^12-10*x^16*y^13+10*x^15*y^14+2*x^19*y^9+27 *x^18*y^10+34*x^17*y^11+26*x^16*y^12-15*x^15*y^13-3*x^14*y^14-4*x^18*y^9-20*x^ 17*y^10-42*x^16*y^11-x^15*y^12+10*x^14*y^13+7*x^17*y^9+40*x^16*y^10+35*x^15*y^ 11-9*x^14*y^12-6*x^13*y^13-x^17*y^8-20*x^16*y^9-61*x^15*y^10-4*x^14*y^11+21*x^ 13*y^12+4*x^16*y^8+55*x^15*y^9+20*x^14*y^10-27*x^13*y^11-6*x^12*y^12-26*x^15*y^ 8-33*x^14*y^9+11*x^13*y^10+15*x^12*y^11+5*x^15*y^7+30*x^14*y^8+16*x^13*y^9-10*x ^12*y^10-6*x^11*y^11-13*x^14*y^7-34*x^13*y^8+x^12*y^9+10*x^11*y^10+2*x^14*y^6+ 28*x^13*y^7+2*x^12*y^8+2*x^11*y^9-4*x^10*y^10-10*x^13*y^6-9*x^12*y^7-5*x^11*y^8 +5*x^10*y^9+x^13*y^5+10*x^12*y^6-4*x^11*y^7-3*x^9*y^9-3*x^12*y^5+x^11*y^6+5*x^ 10*y^7+7*x^9*y^8+3*x^11*y^5-10*x^10*y^6-9*x^9*y^7-3*x^8*y^8-x^11*y^4+4*x^10*y^5 +10*x^9*y^6-2*x^8*y^7-6*x^9*y^5+3*x^8*y^6+x^9*y^4+8*x^8*y^5-4*x^7*y^6-7*x^8*y^4 +2*x^6*y^6+x^8*y^3+5*x^7*y^4-4*x^6*y^5-2*x^7*y^3-x^6*y^4+3*x^5*y^5+4*x^6*y^3-6* x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^3+8*x^4*y^4+2*x^5*y^2-8*x^4*y^3+x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-4 *x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^26*y^23-9*x^26*y^22+36*x^26*y^21+x^25*y^ 22-84*x^26*y^20-7*x^25*y^21+x^24*y^22+126*x^26*y^19+20*x^25*y^20-8*x^24*y^21-\ 126*x^26*y^18-28*x^25*y^19+29*x^24*y^20+x^23*y^21+84*x^26*y^17+14*x^25*y^18-63* x^24*y^19-6*x^23*y^20-36*x^26*y^16+14*x^25*y^17+91*x^24*y^18+13*x^23*y^19+9*x^ 26*y^15-28*x^25*y^16-91*x^24*y^17-8*x^23*y^18-x^26*y^14+20*x^25*y^15+63*x^24*y^ 16-15*x^23*y^17-x^21*y^19-7*x^25*y^14-29*x^24*y^15+34*x^23*y^16-x^22*y^17+5*x^ 21*y^18+x^25*y^13+8*x^24*y^14-29*x^23*y^15+5*x^22*y^16-11*x^21*y^17-x^20*y^18-x ^24*y^13+12*x^23*y^14-10*x^22*y^15+16*x^21*y^16+4*x^20*y^17-2*x^23*y^13+10*x^22 *y^14-20*x^21*y^15-6*x^20*y^16-5*x^22*y^13+21*x^21*y^14+4*x^20*y^15+2*x^19*y^16 +x^22*y^12-15*x^21*y^13-x^20*y^14-10*x^19*y^15-2*x^18*y^16+6*x^21*y^12+21*x^19* y^14+11*x^18*y^15-x^21*y^11-24*x^19*y^13-23*x^18*y^14+x^17*y^15+16*x^19*y^12+23 *x^18*y^13-5*x^17*y^14-2*x^16*y^15-6*x^19*y^11-11*x^18*y^12+9*x^17*y^13+10*x^16 *y^14+x^19*y^10+2*x^18*y^11-4*x^17*y^12-18*x^16*y^13-2*x^15*y^14-8*x^17*y^11+15 *x^16*y^12+5*x^15*y^13+12*x^17*y^10-5*x^16*y^11-2*x^15*y^12-x^14*y^13-6*x^17*y^ 9-3*x^16*y^10-4*x^15*y^11+x^17*y^8+6*x^16*y^9+7*x^15*y^10+5*x^14*y^11-4*x^16*y^ 8-9*x^15*y^9-8*x^14*y^10-x^13*y^11+x^16*y^7+7*x^15*y^8+7*x^14*y^9+x^13*y^10-x^ 12*y^11-2*x^15*y^7-4*x^14*y^8+5*x^13*y^9+2*x^12*y^10+x^14*y^7-8*x^13*y^8+x^13*y ^7-3*x^12*y^8-4*x^11*y^9+3*x^13*y^6+4*x^12*y^7+6*x^11*y^8+x^10*y^9-x^13*y^5-2*x ^12*y^6-2*x^11*y^7+2*x^11*y^6-3*x^10*y^7-3*x^9*y^8-3*x^11*y^5+2*x^10*y^6+2*x^9* y^7+x^8*y^8+x^11*y^4+x^9*y^6-2*x^8*y^7-x^9*y^5+x^7*y^7+x^9*y^4+x^7*y^6+x^8*y^4- x^7*y^5-x^8*y^3-x^6*y^4+x^5*y^5+x^6*y^2+x^5*y^3-x^4*y^2-x^4*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 12 11 10 9 8 7 6 5 4 2 (a + 2 a - 2 a - 3 a - 3 a + 8 a + 3 a + a - 6 a + 1) ------------------------------------------------------------------- 7 6 4 3 7 4 (8 a - 7 a - 10 a + 8 a - 2) (a - 2 a - 1) 8 7 5 4 where a is the root of the polynomial, x - x - 2 x + 2 x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7233377370 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7236557487 ------------------------------------------------ "Theorem Number 98" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [1, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 25 23 25 22 25 21 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 9 x y + 36 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 24 22 25 20 24 21 23 22 25 19 + 3 x y - 84 x y - 26 x y + 2 x y + 126 x y 24 20 23 21 25 18 24 19 23 20 + 101 x y - 14 x y - 126 x y - 232 x y + 40 x y 22 21 25 17 24 18 23 19 22 20 + 4 x y + 84 x y + 350 x y - 55 x y - 29 x y 25 16 24 17 23 18 22 19 21 20 - 36 x y - 364 x y + 21 x y + 90 x y + 4 x y 25 15 24 16 23 17 22 18 21 19 + 9 x y + 266 x y + 49 x y - 155 x y - 29 x y 25 14 24 15 23 16 22 17 21 18 - x y - 136 x y - 91 x y + 160 x y + 89 x y 20 19 24 14 23 15 22 16 21 17 + 2 x y + 47 x y + 75 x y - 99 x y - 149 x y 20 18 24 13 23 14 22 15 21 16 - 16 x y - 10 x y - 35 x y + 34 x y + 144 x y 20 17 19 18 24 12 23 13 22 14 21 15 + 49 x y - 2 x y + x y + 9 x y - 5 x y - 74 x y 20 16 19 17 23 12 21 14 20 15 19 16 - 71 x y + 11 x y - x y + 9 x y + 39 x y - 35 x y 18 17 21 13 20 14 19 15 18 16 - 4 x y + 11 x y + 23 x y + 87 x y + 24 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 17 16 21 11 - 6 x y - 49 x y - 158 x y - 67 x y - 4 x y + x y 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 + 31 x y + 191 x y + 119 x y + 21 x y - 9 x y 19 12 18 13 17 14 20 10 19 11 - 147 x y - 150 x y - 45 x y + x y + 69 x y 18 12 17 13 16 14 15 15 19 10 + 134 x y + 54 x y + 2 x y - 2 x y - 18 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 19 9 - 79 x y - 46 x y - 10 x y + 10 x y + 2 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 + 27 x y + 34 x y + 26 x y - 15 x y - 3 x y - 4 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 - 20 x y - 42 x y - x y + 10 x y + 7 x y + 40 x y 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 15 10 + 35 x y - 9 x y - 6 x y - x y - 20 x y - 61 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 - 4 x y + 21 x y + 4 x y + 55 x y + 20 x y - 27 x y 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 - 6 x y - 26 x y - 33 x y + 11 x y + 15 x y + 5 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 + 30 x y + 16 x y - 10 x y - 6 x y - 13 x y - 34 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 + x y + 10 x y + 2 x y + 28 x y + 2 x y + 2 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 - 4 x y - 10 x y - 9 x y - 5 x y + 5 x y + x y 12 6 11 7 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 + 10 x y - 4 x y - 3 x y - 3 x y + x y + 5 x y + 7 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 + 3 x y - 10 x y - 9 x y - 3 x y - x y + 4 x y + 10 x y 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 - 2 x y - 6 x y + 3 x y + x y + 8 x y - 4 x y - 7 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + 2 x y + x y + 5 x y - 4 x y - 2 x y - x y + 3 x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 + 4 x y - 6 x y - x y + x y + 8 x y + 2 x y - 8 x y + x y 3 3 4 3 2 2 2 2 / 26 23 + 4 x y + x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y / 26 22 26 21 25 22 26 20 25 21 24 22 - 9 x y + 36 x y + x y - 84 x y - 7 x y + x y 26 19 25 20 24 21 26 18 25 19 + 126 x y + 20 x y - 8 x y - 126 x y - 28 x y 24 20 23 21 26 17 25 18 24 19 23 20 + 29 x y + x y + 84 x y + 14 x y - 63 x y - 6 x y 26 16 25 17 24 18 23 19 26 15 - 36 x y + 14 x y + 91 x y + 13 x y + 9 x y 25 16 24 17 23 18 26 14 25 15 24 16 - 28 x y - 91 x y - 8 x y - x y + 20 x y + 63 x y 23 17 21 19 25 14 24 15 23 16 22 17 - 15 x y - x y - 7 x y - 29 x y + 34 x y - x y 21 18 25 13 24 14 23 15 22 16 21 17 + 5 x y + x y + 8 x y - 29 x y + 5 x y - 11 x y 20 18 24 13 23 14 22 15 21 16 20 17 - x y - x y + 12 x y - 10 x y + 16 x y + 4 x y 23 13 22 14 21 15 20 16 22 13 21 14 - 2 x y + 10 x y - 20 x y - 6 x y - 5 x y + 21 x y 20 15 19 16 22 12 21 13 20 14 19 15 + 4 x y + 2 x y + x y - 15 x y - x y - 10 x y 18 16 21 12 19 14 18 15 21 11 19 13 - 2 x y + 6 x y + 21 x y + 11 x y - x y - 24 x y 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 16 15 - 23 x y + x y + 16 x y + 23 x y - 5 x y - 2 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 - 6 x y - 11 x y + 9 x y + 10 x y + x y + 2 x y 17 12 16 13 15 14 17 11 16 12 15 13 - 4 x y - 18 x y - 2 x y - 8 x y + 15 x y + 5 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 + 12 x y - 5 x y - 2 x y - x y - 6 x y - 3 x y 15 11 17 8 16 9 15 10 14 11 16 8 - 4 x y + x y + 6 x y + 7 x y + 5 x y - 4 x y 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 13 10 - 9 x y - 8 x y - x y + x y + 7 x y + 7 x y + x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 - x y - 2 x y - 4 x y + 5 x y + 2 x y + x y - 8 x y 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 + x y - 3 x y - 4 x y + 3 x y + 4 x y + 6 x y + x y 13 5 12 6 11 7 11 6 10 7 9 8 11 5 - x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y - 3 x y - 3 x y - 3 x y 10 6 9 7 8 8 11 4 9 6 8 7 9 5 7 7 + 2 x y + 2 x y + x y + x y + x y - 2 x y - x y + x y 9 4 7 6 8 4 7 5 8 3 6 4 5 5 6 2 5 3 + x y + x y + x y - x y - x y - x y + x y + x y + x y 4 2 4 - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^25*y^23-9*x^25*y^22+36*x^25*y^21+3*x^24*y^22-84*x^25*y^20-26*x^24*y^21+2*x^ 23*y^22+126*x^25*y^19+101*x^24*y^20-14*x^23*y^21-126*x^25*y^18-232*x^24*y^19+40 *x^23*y^20+4*x^22*y^21+84*x^25*y^17+350*x^24*y^18-55*x^23*y^19-29*x^22*y^20-36* x^25*y^16-364*x^24*y^17+21*x^23*y^18+90*x^22*y^19+4*x^21*y^20+9*x^25*y^15+266*x ^24*y^16+49*x^23*y^17-155*x^22*y^18-29*x^21*y^19-x^25*y^14-136*x^24*y^15-91*x^ 23*y^16+160*x^22*y^17+89*x^21*y^18+2*x^20*y^19+47*x^24*y^14+75*x^23*y^15-99*x^ 22*y^16-149*x^21*y^17-16*x^20*y^18-10*x^24*y^13-35*x^23*y^14+34*x^22*y^15+144*x ^21*y^16+49*x^20*y^17-2*x^19*y^18+x^24*y^12+9*x^23*y^13-5*x^22*y^14-74*x^21*y^ 15-71*x^20*y^16+11*x^19*y^17-x^23*y^12+9*x^21*y^14+39*x^20*y^15-35*x^19*y^16-4* x^18*y^17+11*x^21*y^13+23*x^20*y^14+87*x^19*y^15+24*x^18*y^16-6*x^21*y^12-49*x^ 20*y^13-158*x^19*y^14-67*x^18*y^15-4*x^17*y^16+x^21*y^11+31*x^20*y^12+191*x^19* y^13+119*x^18*y^14+21*x^17*y^15-9*x^20*y^11-147*x^19*y^12-150*x^18*y^13-45*x^17 *y^14+x^20*y^10+69*x^19*y^11+134*x^18*y^12+54*x^17*y^13+2*x^16*y^14-2*x^15*y^15 -18*x^19*y^10-79*x^18*y^11-46*x^17*y^12-10*x^16*y^13+10*x^15*y^14+2*x^19*y^9+27 *x^18*y^10+34*x^17*y^11+26*x^16*y^12-15*x^15*y^13-3*x^14*y^14-4*x^18*y^9-20*x^ 17*y^10-42*x^16*y^11-x^15*y^12+10*x^14*y^13+7*x^17*y^9+40*x^16*y^10+35*x^15*y^ 11-9*x^14*y^12-6*x^13*y^13-x^17*y^8-20*x^16*y^9-61*x^15*y^10-4*x^14*y^11+21*x^ 13*y^12+4*x^16*y^8+55*x^15*y^9+20*x^14*y^10-27*x^13*y^11-6*x^12*y^12-26*x^15*y^ 8-33*x^14*y^9+11*x^13*y^10+15*x^12*y^11+5*x^15*y^7+30*x^14*y^8+16*x^13*y^9-10*x ^12*y^10-6*x^11*y^11-13*x^14*y^7-34*x^13*y^8+x^12*y^9+10*x^11*y^10+2*x^14*y^6+ 28*x^13*y^7+2*x^12*y^8+2*x^11*y^9-4*x^10*y^10-10*x^13*y^6-9*x^12*y^7-5*x^11*y^8 +5*x^10*y^9+x^13*y^5+10*x^12*y^6-4*x^11*y^7-3*x^9*y^9-3*x^12*y^5+x^11*y^6+5*x^ 10*y^7+7*x^9*y^8+3*x^11*y^5-10*x^10*y^6-9*x^9*y^7-3*x^8*y^8-x^11*y^4+4*x^10*y^5 +10*x^9*y^6-2*x^8*y^7-6*x^9*y^5+3*x^8*y^6+x^9*y^4+8*x^8*y^5-4*x^7*y^6-7*x^8*y^4 +2*x^6*y^6+x^8*y^3+5*x^7*y^4-4*x^6*y^5-2*x^7*y^3-x^6*y^4+3*x^5*y^5+4*x^6*y^3-6* x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^3+8*x^4*y^4+2*x^5*y^2-8*x^4*y^3+x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-4 *x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^26*y^23-9*x^26*y^22+36*x^26*y^21+x^25*y^ 22-84*x^26*y^20-7*x^25*y^21+x^24*y^22+126*x^26*y^19+20*x^25*y^20-8*x^24*y^21-\ 126*x^26*y^18-28*x^25*y^19+29*x^24*y^20+x^23*y^21+84*x^26*y^17+14*x^25*y^18-63* x^24*y^19-6*x^23*y^20-36*x^26*y^16+14*x^25*y^17+91*x^24*y^18+13*x^23*y^19+9*x^ 26*y^15-28*x^25*y^16-91*x^24*y^17-8*x^23*y^18-x^26*y^14+20*x^25*y^15+63*x^24*y^ 16-15*x^23*y^17-x^21*y^19-7*x^25*y^14-29*x^24*y^15+34*x^23*y^16-x^22*y^17+5*x^ 21*y^18+x^25*y^13+8*x^24*y^14-29*x^23*y^15+5*x^22*y^16-11*x^21*y^17-x^20*y^18-x ^24*y^13+12*x^23*y^14-10*x^22*y^15+16*x^21*y^16+4*x^20*y^17-2*x^23*y^13+10*x^22 *y^14-20*x^21*y^15-6*x^20*y^16-5*x^22*y^13+21*x^21*y^14+4*x^20*y^15+2*x^19*y^16 +x^22*y^12-15*x^21*y^13-x^20*y^14-10*x^19*y^15-2*x^18*y^16+6*x^21*y^12+21*x^19* y^14+11*x^18*y^15-x^21*y^11-24*x^19*y^13-23*x^18*y^14+x^17*y^15+16*x^19*y^12+23 *x^18*y^13-5*x^17*y^14-2*x^16*y^15-6*x^19*y^11-11*x^18*y^12+9*x^17*y^13+10*x^16 *y^14+x^19*y^10+2*x^18*y^11-4*x^17*y^12-18*x^16*y^13-2*x^15*y^14-8*x^17*y^11+15 *x^16*y^12+5*x^15*y^13+12*x^17*y^10-5*x^16*y^11-2*x^15*y^12-x^14*y^13-6*x^17*y^ 9-3*x^16*y^10-4*x^15*y^11+x^17*y^8+6*x^16*y^9+7*x^15*y^10+5*x^14*y^11-4*x^16*y^ 8-9*x^15*y^9-8*x^14*y^10-x^13*y^11+x^16*y^7+7*x^15*y^8+7*x^14*y^9+x^13*y^10-x^ 12*y^11-2*x^15*y^7-4*x^14*y^8+5*x^13*y^9+2*x^12*y^10+x^14*y^7-8*x^13*y^8+x^13*y ^7-3*x^12*y^8-4*x^11*y^9+3*x^13*y^6+4*x^12*y^7+6*x^11*y^8+x^10*y^9-x^13*y^5-2*x ^12*y^6-2*x^11*y^7+2*x^11*y^6-3*x^10*y^7-3*x^9*y^8-3*x^11*y^5+2*x^10*y^6+2*x^9* y^7+x^8*y^8+x^11*y^4+x^9*y^6-2*x^8*y^7-x^9*y^5+x^7*y^7+x^9*y^4+x^7*y^6+x^8*y^4- x^7*y^5-x^8*y^3-x^6*y^4+x^5*y^5+x^6*y^2+x^5*y^3-x^4*y^2-x^4*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 12 11 10 9 8 7 6 5 4 2 (a + 2 a - 2 a - 3 a - 3 a + 8 a + 3 a + a - 6 a + 1) ------------------------------------------------------------------- 7 6 4 3 7 4 (8 a - 7 a - 10 a + 8 a - 2) (a - 2 a - 1) 8 7 5 4 where a is the root of the polynomial, x - x - 2 x + 2 x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7233377370 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7236557487 ------------------------------------------------ "Theorem Number 99" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 1], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 28 24 28 23 28 22 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 8 x y + 28 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 27 23 28 21 27 22 26 23 28 20 27 21 - 4 x y - 56 x y + 31 x y - x y + 70 x y - 105 x y 26 22 28 19 27 20 26 21 28 18 + 12 x y - 56 x y + 203 x y - 60 x y + 28 x y 27 19 26 20 25 21 24 22 28 17 - 245 x y + 168 x y - 3 x y - 2 x y - 8 x y 27 18 26 19 25 20 24 21 28 16 + 189 x y - 294 x y + 26 x y + 13 x y + x y 27 17 26 18 25 19 24 20 23 21 - 91 x y + 336 x y - 98 x y - 35 x y + 3 x y 27 16 26 17 25 18 24 19 23 20 + 25 x y - 252 x y + 210 x y + 41 x y - 19 x y 27 15 26 16 25 17 24 18 23 19 - 3 x y + 120 x y - 280 x y + 18 x y + 44 x y 22 20 26 15 25 16 24 17 23 18 - 2 x y - 33 x y + 238 x y - 143 x y - 25 x y 22 19 26 14 25 15 24 16 23 17 + 13 x y + 4 x y - 126 x y + 242 x y - 92 x y 22 18 21 19 25 14 24 15 23 16 - 22 x y - 4 x y + 38 x y - 225 x y + 251 x y 22 17 21 18 20 19 25 13 24 14 - 29 x y + 12 x y - 2 x y - 5 x y + 124 x y 23 15 22 16 21 17 20 18 24 13 - 316 x y + 166 x y - 5 x y + 14 x y - 38 x y 23 14 22 15 21 16 20 17 19 18 + 241 x y - 285 x y - 9 x y - 21 x y + 2 x y 24 12 23 13 22 14 21 15 20 16 + 5 x y - 115 x y + 272 x y - 24 x y - 33 x y 19 17 23 12 22 13 21 14 20 15 - 10 x y + 32 x y - 163 x y + 92 x y + 124 x y 19 16 18 17 23 11 22 12 21 13 + 5 x y - 9 x y - 4 x y + 64 x y - 109 x y 20 14 19 15 18 16 22 11 21 12 - 117 x y + 45 x y + 38 x y - 16 x y + 63 x y 20 13 19 14 18 15 17 16 22 10 21 11 + 7 x y - 95 x y - 58 x y + 6 x y + 2 x y - 18 x y 20 12 19 13 18 14 17 15 21 10 + 57 x y + 63 x y + 29 x y - 29 x y + 2 x y 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 - 36 x y + 14 x y + 17 x y + 41 x y - 6 x y 20 10 19 11 18 12 17 13 16 14 + 7 x y - 42 x y - 25 x y + 10 x y + 31 x y 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 19 9 + 22 x y + 7 x y - 78 x y - 41 x y - 3 x y - 4 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 + 2 x y + 75 x y - 21 x y - 8 x y - 2 x y - x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 - 33 x y + 89 x y + 35 x y + 7 x y + 14 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 - 70 x y - 11 x y + 13 x y + 2 x y - 8 x y + 18 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 15 9 14 10 - 45 x y - 47 x y + x y + 2 x y + 33 x y + 22 x y 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 - 25 x y - 7 x y + 8 x y + 25 x y + 45 x y + 16 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 15 6 - 9 x y - 19 x y - 23 x y + 6 x y + 6 x y - x y 13 8 12 9 11 10 15 5 13 7 12 8 - 8 x y - 26 x y - 15 x y + x y + 10 x y + 2 x y 11 9 10 10 14 5 13 6 12 7 11 8 + 10 x y - 5 x y + x y - 2 x y + 9 x y + 3 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 + 14 x y + 4 x y - 7 x y + 8 x y + 6 x y - 4 x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 + 4 x y - 38 x y - 11 x y - x y + 17 x y - x y - 11 x y 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 10 3 + 6 x y + 7 x y + 14 x y + 2 x y - 2 x y + 8 x y - 2 x y 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 - 2 x y - 4 x y - 7 x y - x y + 2 x y - 4 x y + 2 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 5 4 4 4 5 2 + x y - x y + 2 x y - x y + 7 x y - 10 x y - 4 x y + 2 x y 4 3 5 4 2 2 2 / 27 22 27 21 27 20 + x y + x y + x y - x y - 1) / (x y - 7 x y + 21 x y / 26 21 27 19 26 20 27 18 26 19 - 2 x y - 35 x y + 14 x y + 35 x y - 42 x y 25 20 27 17 26 18 25 19 24 20 27 16 + 2 x y - 21 x y + 70 x y - 14 x y + x y + 7 x y 26 17 25 18 24 19 27 15 26 16 25 17 - 70 x y + 42 x y - 7 x y - x y + 42 x y - 70 x y 24 18 23 19 26 15 25 16 24 17 + 23 x y - 2 x y - 14 x y + 70 x y - 47 x y 23 18 26 14 25 15 24 16 23 17 + 13 x y + 2 x y - 42 x y + 65 x y - 38 x y 22 18 21 19 25 14 24 15 23 16 22 17 + 2 x y + x y + 14 x y - 61 x y + 67 x y - 15 x y 21 18 25 13 24 14 23 15 22 16 21 17 - 4 x y - 2 x y + 37 x y - 80 x y + 47 x y + 5 x y 20 18 24 13 23 14 22 15 21 16 20 17 - 2 x y - 13 x y + 67 x y - 81 x y + 6 x y + 8 x y 24 12 23 13 22 14 21 15 20 16 + 2 x y - 38 x y + 85 x y - 34 x y - 11 x y 19 17 23 12 22 13 21 14 19 16 23 11 + 2 x y + 13 x y - 57 x y + 61 x y - 8 x y - 2 x y 22 12 21 13 20 14 19 15 18 16 22 11 + 25 x y - 59 x y + 23 x y + 8 x y + x y - 7 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 22 10 21 11 + 32 x y - 40 x y + 14 x y + x y + x y - 9 x y 20 12 19 13 18 14 17 15 21 10 20 11 + 35 x y - 46 x y - 4 x y - 4 x y + x y - 16 x y 19 12 18 13 17 14 20 10 19 11 + 53 x y - 18 x y + 5 x y + 3 x y - 31 x y 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 + 56 x y + 9 x y + 4 x y + 9 x y - 55 x y - 6 x y 16 13 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 - 3 x y + 2 x y - x y + 20 x y - 27 x y - 18 x y 15 13 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 - 7 x y + 33 x y + 23 x y + 3 x y - 4 x y - x y 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 - 5 x y + 9 x y + 15 x y + 10 x y - 8 x y - 22 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 - 18 x y - 6 x y + 4 x y + 3 x y + 3 x y - 4 x y 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 13 10 - 7 x y - 9 x y + 6 x y + 14 x y + 10 x y + x y 12 11 16 6 15 7 14 8 13 9 12 10 - x y - 2 x y - 3 x y + x y + 14 x y + 4 x y 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 15 5 13 7 - 3 x y - 5 x y - 13 x y - x y - x y + x y + x y 12 8 11 9 14 5 13 6 12 7 11 8 - 15 x y - 3 x y + x y + 2 x y + 16 x y + 4 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 + 2 x y + 10 x y + 6 x y + x y - 5 x y - 10 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 - 8 x y - x y - 4 x y - 4 x y - 5 x y - 2 x y + 4 x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 + 6 x y + 5 x y + 4 x y + 2 x y + 3 x y + 2 x y + 2 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 - 2 x y - 2 x y - 2 x y - 5 x y - x y - x y - 4 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 - 2 x y + 4 x y + 3 x y + 2 x y + 5 x y + 3 x y - 4 x y 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 5 4 2 - 2 x y - 2 x y - 2 x y - 4 x y + 2 x y + x y + x y + x y 3 3 2 2 + 2 x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^28*y^24-8*x^28*y^23+28*x^28*y^22-4*x^27*y^23-56*x^28*y^21+31*x^27*y^22-x^26* y^23+70*x^28*y^20-105*x^27*y^21+12*x^26*y^22-56*x^28*y^19+203*x^27*y^20-60*x^26 *y^21+28*x^28*y^18-245*x^27*y^19+168*x^26*y^20-3*x^25*y^21-2*x^24*y^22-8*x^28*y ^17+189*x^27*y^18-294*x^26*y^19+26*x^25*y^20+13*x^24*y^21+x^28*y^16-91*x^27*y^ 17+336*x^26*y^18-98*x^25*y^19-35*x^24*y^20+3*x^23*y^21+25*x^27*y^16-252*x^26*y^ 17+210*x^25*y^18+41*x^24*y^19-19*x^23*y^20-3*x^27*y^15+120*x^26*y^16-280*x^25*y ^17+18*x^24*y^18+44*x^23*y^19-2*x^22*y^20-33*x^26*y^15+238*x^25*y^16-143*x^24*y ^17-25*x^23*y^18+13*x^22*y^19+4*x^26*y^14-126*x^25*y^15+242*x^24*y^16-92*x^23*y ^17-22*x^22*y^18-4*x^21*y^19+38*x^25*y^14-225*x^24*y^15+251*x^23*y^16-29*x^22*y ^17+12*x^21*y^18-2*x^20*y^19-5*x^25*y^13+124*x^24*y^14-316*x^23*y^15+166*x^22*y ^16-5*x^21*y^17+14*x^20*y^18-38*x^24*y^13+241*x^23*y^14-285*x^22*y^15-9*x^21*y^ 16-21*x^20*y^17+2*x^19*y^18+5*x^24*y^12-115*x^23*y^13+272*x^22*y^14-24*x^21*y^ 15-33*x^20*y^16-10*x^19*y^17+32*x^23*y^12-163*x^22*y^13+92*x^21*y^14+124*x^20*y ^15+5*x^19*y^16-9*x^18*y^17-4*x^23*y^11+64*x^22*y^12-109*x^21*y^13-117*x^20*y^ 14+45*x^19*y^15+38*x^18*y^16-16*x^22*y^11+63*x^21*y^12+7*x^20*y^13-95*x^19*y^14 -58*x^18*y^15+6*x^17*y^16+2*x^22*y^10-18*x^21*y^11+57*x^20*y^12+63*x^19*y^13+29 *x^18*y^14-29*x^17*y^15+2*x^21*y^10-36*x^20*y^11+14*x^19*y^12+17*x^18*y^13+41*x ^17*y^14-6*x^16*y^15+7*x^20*y^10-42*x^19*y^11-25*x^18*y^12+10*x^17*y^13+31*x^16 *y^14+22*x^19*y^10+7*x^18*y^11-78*x^17*y^12-41*x^16*y^13-3*x^15*y^14-4*x^19*y^9 +2*x^18*y^10+75*x^17*y^11-21*x^16*y^12-8*x^15*y^13-2*x^14*y^14-x^18*y^9-33*x^17 *y^10+89*x^16*y^11+35*x^15*y^12+7*x^14*y^13+14*x^17*y^9-70*x^16*y^10-11*x^15*y^ 11+13*x^14*y^12+2*x^13*y^13-8*x^17*y^8+18*x^16*y^9-45*x^15*y^10-47*x^14*y^11+x^ 13*y^12+2*x^17*y^7+33*x^15*y^9+22*x^14*y^10-25*x^13*y^11-7*x^12*y^12+8*x^15*y^8 +25*x^14*y^9+45*x^13*y^10+16*x^12*y^11-9*x^15*y^7-19*x^14*y^8-23*x^13*y^9+6*x^ 12*y^10+6*x^11*y^11-x^15*y^6-8*x^13*y^8-26*x^12*y^9-15*x^11*y^10+x^15*y^5+10*x^ 13*y^7+2*x^12*y^8+10*x^11*y^9-5*x^10*y^10+x^14*y^5-2*x^13*y^6+9*x^12*y^7+3*x^11 *y^8+14*x^10*y^9+4*x^12*y^6-7*x^11*y^7+8*x^10*y^8+6*x^9*y^9-4*x^12*y^5+4*x^11*y ^6-38*x^10*y^7-11*x^9*y^8-x^11*y^5+17*x^10*y^6-x^9*y^7-11*x^8*y^8+6*x^10*y^5+7* x^9*y^6+14*x^8*y^7+2*x^9*y^5-2*x^8*y^6+8*x^7*y^7-2*x^10*y^3-2*x^9*y^4-4*x^8*y^5 -7*x^7*y^6-x^9*y^3+2*x^8*y^4-4*x^7*y^5+2*x^6*y^6+x^7*y^4-x^6*y^5+2*x^7*y^3-x^6* y^4+7*x^5*y^5-10*x^5*y^4-4*x^4*y^4+2*x^5*y^2+x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-x^2*y^2-1)/( x^27*y^22-7*x^27*y^21+21*x^27*y^20-2*x^26*y^21-35*x^27*y^19+14*x^26*y^20+35*x^ 27*y^18-42*x^26*y^19+2*x^25*y^20-21*x^27*y^17+70*x^26*y^18-14*x^25*y^19+x^24*y^ 20+7*x^27*y^16-70*x^26*y^17+42*x^25*y^18-7*x^24*y^19-x^27*y^15+42*x^26*y^16-70* x^25*y^17+23*x^24*y^18-2*x^23*y^19-14*x^26*y^15+70*x^25*y^16-47*x^24*y^17+13*x^ 23*y^18+2*x^26*y^14-42*x^25*y^15+65*x^24*y^16-38*x^23*y^17+2*x^22*y^18+x^21*y^ 19+14*x^25*y^14-61*x^24*y^15+67*x^23*y^16-15*x^22*y^17-4*x^21*y^18-2*x^25*y^13+ 37*x^24*y^14-80*x^23*y^15+47*x^22*y^16+5*x^21*y^17-2*x^20*y^18-13*x^24*y^13+67* x^23*y^14-81*x^22*y^15+6*x^21*y^16+8*x^20*y^17+2*x^24*y^12-38*x^23*y^13+85*x^22 *y^14-34*x^21*y^15-11*x^20*y^16+2*x^19*y^17+13*x^23*y^12-57*x^22*y^13+61*x^21*y ^14-8*x^19*y^16-2*x^23*y^11+25*x^22*y^12-59*x^21*y^13+23*x^20*y^14+8*x^19*y^15+ x^18*y^16-7*x^22*y^11+32*x^21*y^12-40*x^20*y^13+14*x^19*y^14+x^18*y^15+x^22*y^ 10-9*x^21*y^11+35*x^20*y^12-46*x^19*y^13-4*x^18*y^14-4*x^17*y^15+x^21*y^10-16*x ^20*y^11+53*x^19*y^12-18*x^18*y^13+5*x^17*y^14+3*x^20*y^10-31*x^19*y^11+56*x^18 *y^12+9*x^17*y^13+4*x^16*y^14+9*x^19*y^10-55*x^18*y^11-6*x^17*y^12-3*x^16*y^13+ 2*x^15*y^14-x^19*y^9+20*x^18*y^10-27*x^17*y^11-18*x^16*y^12-7*x^15*y^13+33*x^17 *y^10+23*x^16*y^11+3*x^15*y^12-4*x^14*y^13-x^18*y^8-5*x^17*y^9+9*x^16*y^10+15*x ^15*y^11+10*x^14*y^12-8*x^17*y^8-22*x^16*y^9-18*x^15*y^10-6*x^14*y^11+4*x^13*y^ 12+3*x^17*y^7+3*x^16*y^8-4*x^15*y^9-7*x^14*y^10-9*x^13*y^11+6*x^16*y^7+14*x^15* y^8+10*x^14*y^9+x^13*y^10-x^12*y^11-2*x^16*y^6-3*x^15*y^7+x^14*y^8+14*x^13*y^9+ 4*x^12*y^10-3*x^15*y^6-5*x^14*y^7-13*x^13*y^8-x^12*y^9-x^11*y^10+x^15*y^5+x^13* y^7-15*x^12*y^8-3*x^11*y^9+x^14*y^5+2*x^13*y^6+16*x^12*y^7+4*x^11*y^8+2*x^12*y^ 6+10*x^11*y^7+6*x^10*y^8+x^9*y^9-5*x^12*y^5-10*x^11*y^6-8*x^10*y^7-x^9*y^8-4*x^ 11*y^5-4*x^10*y^6-5*x^9*y^7-2*x^8*y^8+4*x^11*y^4+6*x^10*y^5+5*x^9*y^6+4*x^8*y^7 +2*x^10*y^4+3*x^9*y^5+2*x^8*y^6+2*x^7*y^7-2*x^10*y^3-2*x^9*y^4-2*x^8*y^5-5*x^7* y^6-x^9*y^3-x^8*y^4-4*x^7*y^5-2*x^6*y^6+4*x^7*y^4+3*x^6*y^5+2*x^7*y^3+5*x^6*y^4 +3*x^5*y^5-4*x^6*y^3-2*x^5*y^4-2*x^6*y^2-2*x^5*y^3-4*x^4*y^4+2*x^5*y^2+x^4*y^3+ x^5*y+x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 15 14 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a - 4 a + 4 a 13 12 11 10 9 8 7 6 5 + 2 a - 11 a + 16 a - 20 a + 18 a - 23 a + 18 a - 10 a + 2 a 4 2 / 7 6 4 3 2 - 5 a + 2 a + 1) / ((8 a - 7 a + 10 a - 8 a + 6 a - 2 a + 2) / 8 4 2 (a + 2 a + a + 1)) where a is the root of the polynomial, 8 7 5 4 3 2 x - x + 2 x - 2 x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7206941646 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7213017585 ------------------------------------------------ "Theorem Number 100" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 20 23 19 23 18 22 19 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y + 15 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 17 22 18 23 16 22 17 23 15 - 20 x y - 5 x y + 15 x y + 10 x y - 6 x y 22 16 20 18 23 14 22 15 20 17 19 18 - 10 x y - 3 x y + x y + 5 x y + 19 x y - x y 22 14 20 16 19 17 20 15 19 16 18 17 - x y - 50 x y + 4 x y + 70 x y - 3 x y - 5 x y 20 14 19 15 18 16 20 13 19 14 - 55 x y - 9 x y + 24 x y + 23 x y + 21 x y 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 - 48 x y - 3 x y - 4 x y - 18 x y + 52 x y 17 15 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 + 14 x y + 7 x y - 33 x y - 30 x y - x y + 12 x y 17 13 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 + 38 x y + 2 x y - 2 x y - 29 x y - 11 x y + 8 x y 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 + 12 x y + 22 x y - 29 x y - 2 x y - 20 x y 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 + 35 x y + 10 x y + 8 x y - 11 x y - 40 x y 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 15 9 + 6 x y - x y - 7 x y + 58 x y - 3 x y + 4 x y 14 10 13 11 12 12 14 9 13 10 12 11 - 35 x y - 31 x y + 6 x y + 6 x y + 52 x y - 3 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 + x y - 29 x y - 22 x y + 2 x y + 5 x y + 31 x y 11 10 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 + 5 x y - 13 x y - 26 x y - 3 x y + x y + 30 x y 10 9 11 7 10 8 9 9 10 7 9 8 + 14 x y - 11 x y - 21 x y - 5 x y + 15 x y + 16 x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 8 6 - 6 x y - 15 x y - 19 x y + x y + 4 x y + 34 x y - 19 x y 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 6 5 - 24 x y + 3 x y + 42 x y - 22 x y - 22 x y + 3 x y + 35 x y 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 - 14 x y - 18 x y + 27 x y - 10 x y - 16 x y + 18 x y 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 - 4 x y - 8 x y + 8 x y - x y - 4 x y + 3 x y - 2 x y + x - 1) / 17 15 17 14 17 13 17 12 16 13 15 14 / (x y - 6 x y + 14 x y - 16 x y - x y + x y / 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 + 9 x y + 3 x y - 4 x y - 2 x y - 3 x y + 6 x y 16 10 15 11 15 10 14 11 14 10 14 9 13 10 + x y - 4 x y + x y - x y + 3 x y - 3 x y - x y 12 11 14 8 13 9 12 10 13 8 12 9 12 8 - x y + x y + 2 x y + 3 x y - x y - 2 x y - x y 11 9 10 10 12 7 11 8 11 7 10 8 10 7 + x y - x y + x y - 2 x y + x y + 4 x y - 3 x y 9 8 10 6 9 7 10 5 9 6 8 6 8 5 7 6 - x y - x y + 3 x y + x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y 7 5 7 4 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 4 3 - 2 x y + x y + x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y 4 2 3 2 3 2 - 2 x y + 2 x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^23*y^20-6*x^23*y^19+15*x^23*y^18+x^22*y^19-20*x^23*y^17-5*x^22*y^18+15*x^23* y^16+10*x^22*y^17-6*x^23*y^15-10*x^22*y^16-3*x^20*y^18+x^23*y^14+5*x^22*y^15+19 *x^20*y^17-x^19*y^18-x^22*y^14-50*x^20*y^16+4*x^19*y^17+70*x^20*y^15-3*x^19*y^ 16-5*x^18*y^17-55*x^20*y^14-9*x^19*y^15+24*x^18*y^16+23*x^20*y^13+21*x^19*y^14-\ 48*x^18*y^15-3*x^17*y^16-4*x^20*y^12-18*x^19*y^13+52*x^18*y^14+14*x^17*y^15+7*x ^19*y^12-33*x^18*y^13-30*x^17*y^14-x^19*y^11+12*x^18*y^12+38*x^17*y^13+2*x^16*y ^14-2*x^18*y^11-29*x^17*y^12-11*x^16*y^13+8*x^15*y^14+12*x^17*y^11+22*x^16*y^12 -29*x^15*y^13-2*x^17*y^10-20*x^16*y^11+35*x^15*y^12+10*x^14*y^13+8*x^16*y^10-11 *x^15*y^11-40*x^14*y^12+6*x^13*y^13-x^16*y^9-7*x^15*y^10+58*x^14*y^11-3*x^13*y^ 12+4*x^15*y^9-35*x^14*y^10-31*x^13*y^11+6*x^12*y^12+6*x^14*y^9+52*x^13*y^10-3*x ^12*y^11+x^14*y^8-29*x^13*y^9-22*x^12*y^10+2*x^11*y^11+5*x^13*y^8+31*x^12*y^9+5 *x^11*y^10-13*x^12*y^8-26*x^11*y^9-3*x^10*y^10+x^12*y^7+30*x^11*y^8+14*x^10*y^9 -11*x^11*y^7-21*x^10*y^8-5*x^9*y^9+15*x^10*y^7+16*x^9*y^8-6*x^10*y^6-15*x^9*y^7 -19*x^8*y^8+x^10*y^5+4*x^9*y^6+34*x^8*y^7-19*x^8*y^6-24*x^7*y^7+3*x^8*y^5+42*x^ 7*y^6-22*x^7*y^5-22*x^6*y^6+3*x^7*y^4+35*x^6*y^5-14*x^6*y^4-18*x^5*y^5+27*x^5*y ^4-10*x^5*y^3-16*x^4*y^4+18*x^4*y^3-4*x^4*y^2-8*x^3*y^3+8*x^3*y^2-x^3*y-4*x^2*y ^2+3*x^2*y-2*x*y+x-1)/(x^17*y^15-6*x^17*y^14+14*x^17*y^13-16*x^17*y^12-x^16*y^ 13+x^15*y^14+9*x^17*y^11+3*x^16*y^12-4*x^15*y^13-2*x^17*y^10-3*x^16*y^11+6*x^15 *y^12+x^16*y^10-4*x^15*y^11+x^15*y^10-x^14*y^11+3*x^14*y^10-3*x^14*y^9-x^13*y^ 10-x^12*y^11+x^14*y^8+2*x^13*y^9+3*x^12*y^10-x^13*y^8-2*x^12*y^9-x^12*y^8+x^11* y^9-x^10*y^10+x^12*y^7-2*x^11*y^8+x^11*y^7+4*x^10*y^8-3*x^10*y^7-x^9*y^8-x^10*y ^6+3*x^9*y^7+x^10*y^5-2*x^9*y^6+2*x^8*y^6-2*x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^7*y^5+x^7*y^4+x ^6*y^5-x^6*y^4+2*x^5*y^5+x^5*y^4-2*x^5*y^3+2*x^4*y^3-2*x^4*y^2+2*x^3*y^2-x^3*y+ x^2*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 15 14 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a + 2 a + 3 a 13 12 11 10 9 8 7 6 5 + 4 a + 2 a + 3 a - 3 a - 10 a - 17 a - 8 a - 8 a - 6 a 4 3 2 / 4 3 2 4 - 3 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) / ((a + a + a + a + 1) (a + 1) / 4 2 (5 a + 3 a + 2 a + 1)) 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.7189503374 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7196731825 ------------------------------------------------ "Theorem Number 101" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 20 23 19 23 18 22 19 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y + 15 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 17 22 18 23 16 22 17 23 15 - 20 x y - 5 x y + 15 x y + 10 x y - 6 x y 22 16 20 18 23 14 22 15 20 17 19 18 - 10 x y - 3 x y + x y + 5 x y + 19 x y - x y 22 14 20 16 19 17 20 15 19 16 18 17 - x y - 50 x y + 4 x y + 70 x y - 3 x y - 5 x y 20 14 19 15 18 16 20 13 19 14 - 55 x y - 9 x y + 24 x y + 23 x y + 21 x y 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 - 48 x y - 3 x y - 4 x y - 18 x y + 52 x y 17 15 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 + 14 x y + 7 x y - 33 x y - 30 x y - x y + 12 x y 17 13 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 + 38 x y + 2 x y - 2 x y - 29 x y - 11 x y + 8 x y 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 + 12 x y + 22 x y - 29 x y - 2 x y - 20 x y 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 + 35 x y + 10 x y + 8 x y - 11 x y - 40 x y 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 15 9 + 6 x y - x y - 7 x y + 58 x y - 3 x y + 4 x y 14 10 13 11 12 12 14 9 13 10 12 11 - 35 x y - 31 x y + 6 x y + 6 x y + 52 x y - 3 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 + x y - 29 x y - 22 x y + 2 x y + 5 x y + 31 x y 11 10 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 + 5 x y - 13 x y - 26 x y - 3 x y + x y + 30 x y 10 9 11 7 10 8 9 9 10 7 9 8 + 14 x y - 11 x y - 21 x y - 5 x y + 15 x y + 16 x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 8 6 - 6 x y - 15 x y - 19 x y + x y + 4 x y + 34 x y - 19 x y 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 6 5 - 24 x y + 3 x y + 42 x y - 22 x y - 22 x y + 3 x y + 35 x y 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 - 14 x y - 18 x y + 27 x y - 10 x y - 16 x y + 18 x y 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 - 4 x y - 8 x y + 8 x y - x y - 4 x y + 3 x y - 2 x y + x - 1) / 17 15 17 14 17 13 17 12 16 13 15 14 / (x y - 6 x y + 14 x y - 16 x y - x y + x y / 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 + 9 x y + 3 x y - 4 x y - 2 x y - 3 x y + 6 x y 16 10 15 11 15 10 14 11 14 10 14 9 13 10 + x y - 4 x y + x y - x y + 3 x y - 3 x y - x y 12 11 14 8 13 9 12 10 13 8 12 9 12 8 - x y + x y + 2 x y + 3 x y - x y - 2 x y - x y 11 9 10 10 12 7 11 8 11 7 10 8 10 7 + x y - x y + x y - 2 x y + x y + 4 x y - 3 x y 9 8 10 6 9 7 10 5 9 6 8 6 8 5 7 6 - x y - x y + 3 x y + x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y 7 5 7 4 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 4 3 - 2 x y + x y + x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y 4 2 3 2 3 2 - 2 x y + 2 x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^23*y^20-6*x^23*y^19+15*x^23*y^18+x^22*y^19-20*x^23*y^17-5*x^22*y^18+15*x^23* y^16+10*x^22*y^17-6*x^23*y^15-10*x^22*y^16-3*x^20*y^18+x^23*y^14+5*x^22*y^15+19 *x^20*y^17-x^19*y^18-x^22*y^14-50*x^20*y^16+4*x^19*y^17+70*x^20*y^15-3*x^19*y^ 16-5*x^18*y^17-55*x^20*y^14-9*x^19*y^15+24*x^18*y^16+23*x^20*y^13+21*x^19*y^14-\ 48*x^18*y^15-3*x^17*y^16-4*x^20*y^12-18*x^19*y^13+52*x^18*y^14+14*x^17*y^15+7*x ^19*y^12-33*x^18*y^13-30*x^17*y^14-x^19*y^11+12*x^18*y^12+38*x^17*y^13+2*x^16*y ^14-2*x^18*y^11-29*x^17*y^12-11*x^16*y^13+8*x^15*y^14+12*x^17*y^11+22*x^16*y^12 -29*x^15*y^13-2*x^17*y^10-20*x^16*y^11+35*x^15*y^12+10*x^14*y^13+8*x^16*y^10-11 *x^15*y^11-40*x^14*y^12+6*x^13*y^13-x^16*y^9-7*x^15*y^10+58*x^14*y^11-3*x^13*y^ 12+4*x^15*y^9-35*x^14*y^10-31*x^13*y^11+6*x^12*y^12+6*x^14*y^9+52*x^13*y^10-3*x ^12*y^11+x^14*y^8-29*x^13*y^9-22*x^12*y^10+2*x^11*y^11+5*x^13*y^8+31*x^12*y^9+5 *x^11*y^10-13*x^12*y^8-26*x^11*y^9-3*x^10*y^10+x^12*y^7+30*x^11*y^8+14*x^10*y^9 -11*x^11*y^7-21*x^10*y^8-5*x^9*y^9+15*x^10*y^7+16*x^9*y^8-6*x^10*y^6-15*x^9*y^7 -19*x^8*y^8+x^10*y^5+4*x^9*y^6+34*x^8*y^7-19*x^8*y^6-24*x^7*y^7+3*x^8*y^5+42*x^ 7*y^6-22*x^7*y^5-22*x^6*y^6+3*x^7*y^4+35*x^6*y^5-14*x^6*y^4-18*x^5*y^5+27*x^5*y ^4-10*x^5*y^3-16*x^4*y^4+18*x^4*y^3-4*x^4*y^2-8*x^3*y^3+8*x^3*y^2-x^3*y-4*x^2*y ^2+3*x^2*y-2*x*y+x-1)/(x^17*y^15-6*x^17*y^14+14*x^17*y^13-16*x^17*y^12-x^16*y^ 13+x^15*y^14+9*x^17*y^11+3*x^16*y^12-4*x^15*y^13-2*x^17*y^10-3*x^16*y^11+6*x^15 *y^12+x^16*y^10-4*x^15*y^11+x^15*y^10-x^14*y^11+3*x^14*y^10-3*x^14*y^9-x^13*y^ 10-x^12*y^11+x^14*y^8+2*x^13*y^9+3*x^12*y^10-x^13*y^8-2*x^12*y^9-x^12*y^8+x^11* y^9-x^10*y^10+x^12*y^7-2*x^11*y^8+x^11*y^7+4*x^10*y^8-3*x^10*y^7-x^9*y^8-x^10*y ^6+3*x^9*y^7+x^10*y^5-2*x^9*y^6+2*x^8*y^6-2*x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^7*y^5+x^7*y^4+x ^6*y^5-x^6*y^4+2*x^5*y^5+x^5*y^4-2*x^5*y^3+2*x^4*y^3-2*x^4*y^2+2*x^3*y^2-x^3*y+ x^2*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 15 14 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a + 2 a + 3 a 13 12 11 10 9 8 7 6 5 + 4 a + 2 a + 3 a - 3 a - 10 a - 17 a - 8 a - 8 a - 6 a 4 3 2 / 4 3 2 4 - 3 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) / ((a + a + a + a + 1) (a + 1) / 4 2 (5 a + 3 a + 2 a + 1)) 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.7189503374 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7196731825 ------------------------------------------------ "Theorem Number 102" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 18 22 17 22 16 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 12 x y + 30 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 17 22 15 21 16 22 14 21 15 20 16 + x y - 40 x y - 6 x y + 30 x y + 15 x y - x y 22 13 21 14 20 15 22 12 21 13 20 14 - 12 x y - 20 x y + 4 x y + 2 x y + 15 x y - 5 x y 19 15 18 16 21 12 19 14 18 15 21 11 + x y + 2 x y - 6 x y - 5 x y - 12 x y + x y 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 19 12 + 5 x y + 10 x y + 30 x y + 3 x y - 4 x y - 10 x y 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 18 12 - 40 x y - 17 x y + x y + x y + 5 x y + 30 x y 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 16 13 + 37 x y - 6 x y - x y - 12 x y - 39 x y + 11 x y 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 + 7 x y + 2 x y + 21 x y - 4 x y - 35 x y - 7 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 - 9 x y + 68 x y + 9 x y + 3 x y + 10 x y - 61 x y 14 12 17 8 16 9 15 10 14 11 15 9 - 37 x y - x y - 3 x y + 21 x y + 60 x y + x y 14 10 13 11 14 9 13 10 12 11 15 7 - 47 x y - 5 x y + 16 x y + 19 x y - 11 x y - x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 - 26 x y + 27 x y - x y - x y + 14 x y - 14 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 - 5 x y - x y - 10 x y + 17 x y - 4 x y - x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 9 9 11 6 + 9 x y - 9 x y + 9 x y - x y - 8 x y - 6 x y + 6 x y 10 7 9 8 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 - 8 x y + 13 x y - 6 x y - x y + 3 x y - x y - x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 7 5 - 2 x y + 5 x y + 4 x y + 2 x y - 3 x y - 2 x y - 4 x y 6 6 7 4 6 5 6 4 5 5 5 3 4 4 + 3 x y + 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y - 3 x y + 7 x y 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 + x y - 5 x y - x y + 4 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y / 20 15 20 14 20 13 20 12 20 11 + x y + 1) / (x y - 5 x y + 10 x y - 10 x y + 5 x y / 18 13 20 10 18 12 18 11 17 12 18 10 - x y - x y + 4 x y - 6 x y + x y + 4 x y 17 11 16 12 18 9 17 10 16 11 15 12 - 4 x y - x y - x y + 6 x y + 4 x y - x y 17 9 16 10 15 11 17 8 16 9 15 10 - 4 x y - 6 x y + 2 x y + x y + 4 x y - x y 14 11 16 8 15 9 14 10 15 8 14 9 15 7 - 2 x y - x y + x y + 6 x y - 2 x y - 6 x y + x y 14 8 13 9 12 10 13 8 12 9 11 10 13 7 + 2 x y + x y + x y - x y - 2 x y + x y - x y 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 + 2 x y - x y + x y - 2 x y - 2 x y + x y + x y 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 + 3 x y - 3 x y - x y + 5 x y - x y - 3 x y + x y 9 6 8 7 8 6 9 4 8 5 7 6 7 5 6 6 + 2 x y - x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y - x y + x y - x y 7 4 6 4 6 3 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 - x y - 2 x y + 2 x y + x y + x y - x y + x y - x y + x y 2 + x y + x y - 1) and in Maple notation -(2*x^22*y^18-12*x^22*y^17+30*x^22*y^16+x^21*y^17-40*x^22*y^15-6*x^21*y^16+30*x ^22*y^14+15*x^21*y^15-x^20*y^16-12*x^22*y^13-20*x^21*y^14+4*x^20*y^15+2*x^22*y^ 12+15*x^21*y^13-5*x^20*y^14+x^19*y^15+2*x^18*y^16-6*x^21*y^12-5*x^19*y^14-12*x^ 18*y^15+x^21*y^11+5*x^20*y^12+10*x^19*y^13+30*x^18*y^14+3*x^17*y^15-4*x^20*y^11 -10*x^19*y^12-40*x^18*y^13-17*x^17*y^14+x^16*y^15+x^20*y^10+5*x^19*y^11+30*x^18 *y^12+37*x^17*y^13-6*x^16*y^14-x^19*y^10-12*x^18*y^11-39*x^17*y^12+11*x^16*y^13 +7*x^15*y^14+2*x^18*y^10+21*x^17*y^11-4*x^16*y^12-35*x^15*y^13-7*x^17*y^10-9*x^ 16*y^11+68*x^15*y^12+9*x^14*y^13+3*x^17*y^9+10*x^16*y^10-61*x^15*y^11-37*x^14*y ^12-x^17*y^8-3*x^16*y^9+21*x^15*y^10+60*x^14*y^11+x^15*y^9-47*x^14*y^10-5*x^13* y^11+16*x^14*y^9+19*x^13*y^10-11*x^12*y^11-x^15*y^7-26*x^13*y^9+27*x^12*y^10-x^ 11*y^11-x^14*y^7+14*x^13*y^8-14*x^12*y^9-5*x^11*y^10-x^13*y^7-10*x^12*y^8+17*x^ 11*y^9-4*x^10*y^10-x^13*y^6+9*x^12*y^7-9*x^11*y^8+9*x^10*y^9-x^12*y^6-8*x^11*y^ 7-6*x^9*y^9+6*x^11*y^6-8*x^10*y^7+13*x^9*y^8-6*x^9*y^7-x^8*y^8+3*x^10*y^5-x^9*y ^6-x^8*y^7-2*x^9*y^5+5*x^8*y^6+4*x^7*y^7+2*x^9*y^4-3*x^8*y^5-2*x^7*y^6-4*x^7*y^ 5+3*x^6*y^6+2*x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^6*y^4+2*x^5*y^5-3*x^5*y^3+7*x^4*y^4+x^5*y^2-5 *x^4*y^3-x^4*y^2+4*x^3*y^3-2*x^3*y^2-x^3*y+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y+1)/(x^20*y^15-5* x^20*y^14+10*x^20*y^13-10*x^20*y^12+5*x^20*y^11-x^18*y^13-x^20*y^10+4*x^18*y^12 -6*x^18*y^11+x^17*y^12+4*x^18*y^10-4*x^17*y^11-x^16*y^12-x^18*y^9+6*x^17*y^10+4 *x^16*y^11-x^15*y^12-4*x^17*y^9-6*x^16*y^10+2*x^15*y^11+x^17*y^8+4*x^16*y^9-x^ 15*y^10-2*x^14*y^11-x^16*y^8+x^15*y^9+6*x^14*y^10-2*x^15*y^8-6*x^14*y^9+x^15*y^ 7+2*x^14*y^8+x^13*y^9+x^12*y^10-x^13*y^8-2*x^12*y^9+x^11*y^10-x^13*y^7+2*x^12*y ^8-x^11*y^9+x^13*y^6-2*x^12*y^7-2*x^11*y^8+x^10*y^9+x^12*y^6+3*x^11*y^7-3*x^10* y^8-x^11*y^6+5*x^10*y^7-x^9*y^8-3*x^10*y^6+x^9*y^7+2*x^9*y^6-x^8*y^7+2*x^8*y^6-\ 2*x^9*y^4-2*x^8*y^5-x^7*y^6+x^7*y^5-x^6*y^6-x^7*y^4-2*x^6*y^4+2*x^6*y^3+x^5*y^3 +x^4*y^4-x^5*y^2+x^4*y^3-x^4*y^2+x^3*y+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (2 a + 5 a 12 11 10 8 7 6 5 4 3 + 8 a + 9 a + 6 a - 7 a - 15 a - 13 a - 10 a - 5 a + 4 a 2 / 7 6 5 3 2 + 3 a + 2 a + 1) / ((8 a + 7 a + 6 a - 4 a - 3 a - 2 a - 1) / 4 3 2 (a + a + a + a + 1)) 8 7 6 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x - x - x - x - x + 1, and in decimals this is, 0.7188568216 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7196663397 ------------------------------------------------ "Theorem Number 103" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 18 22 17 22 16 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 12 x y + 30 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 17 22 15 21 16 22 14 21 15 20 16 + x y - 40 x y - 6 x y + 30 x y + 15 x y - x y 22 13 21 14 20 15 22 12 21 13 20 14 - 12 x y - 20 x y + 4 x y + 2 x y + 15 x y - 5 x y 19 15 18 16 21 12 19 14 18 15 21 11 + x y + 2 x y - 6 x y - 5 x y - 12 x y + x y 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 19 12 + 5 x y + 10 x y + 30 x y + 3 x y - 4 x y - 10 x y 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 18 12 - 40 x y - 17 x y + x y + x y + 5 x y + 30 x y 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 16 13 + 37 x y - 6 x y - x y - 12 x y - 39 x y + 11 x y 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 + 7 x y + 2 x y + 21 x y - 4 x y - 35 x y - 7 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 - 9 x y + 68 x y + 9 x y + 3 x y + 10 x y - 61 x y 14 12 17 8 16 9 15 10 14 11 15 9 - 37 x y - x y - 3 x y + 21 x y + 60 x y + x y 14 10 13 11 14 9 13 10 12 11 15 7 - 47 x y - 5 x y + 16 x y + 19 x y - 11 x y - x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 - 26 x y + 27 x y - x y - x y + 14 x y - 14 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 - 5 x y - x y - 10 x y + 17 x y - 4 x y - x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 9 9 11 6 + 9 x y - 9 x y + 9 x y - x y - 8 x y - 6 x y + 6 x y 10 7 9 8 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 - 8 x y + 13 x y - 6 x y - x y + 3 x y - x y - x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 7 5 - 2 x y + 5 x y + 4 x y + 2 x y - 3 x y - 2 x y - 4 x y 6 6 7 4 6 5 6 4 5 5 5 3 4 4 + 3 x y + 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y - 3 x y + 7 x y 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 + x y - 5 x y - x y + 4 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y / 20 15 20 14 20 13 20 12 20 11 + x y + 1) / (x y - 5 x y + 10 x y - 10 x y + 5 x y / 18 13 20 10 18 12 18 11 17 12 18 10 - x y - x y + 4 x y - 6 x y + x y + 4 x y 17 11 16 12 18 9 17 10 16 11 15 12 - 4 x y - x y - x y + 6 x y + 4 x y - x y 17 9 16 10 15 11 17 8 16 9 15 10 - 4 x y - 6 x y + 2 x y + x y + 4 x y - x y 14 11 16 8 15 9 14 10 15 8 14 9 15 7 - 2 x y - x y + x y + 6 x y - 2 x y - 6 x y + x y 14 8 13 9 12 10 13 8 12 9 11 10 13 7 + 2 x y + x y + x y - x y - 2 x y + x y - x y 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 + 2 x y - x y + x y - 2 x y - 2 x y + x y + x y 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 + 3 x y - 3 x y - x y + 5 x y - x y - 3 x y + x y 9 6 8 7 8 6 9 4 8 5 7 6 7 5 6 6 + 2 x y - x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y - x y + x y - x y 7 4 6 4 6 3 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 - x y - 2 x y + 2 x y + x y + x y - x y + x y - x y + x y 2 + x y + x y - 1) and in Maple notation -(2*x^22*y^18-12*x^22*y^17+30*x^22*y^16+x^21*y^17-40*x^22*y^15-6*x^21*y^16+30*x ^22*y^14+15*x^21*y^15-x^20*y^16-12*x^22*y^13-20*x^21*y^14+4*x^20*y^15+2*x^22*y^ 12+15*x^21*y^13-5*x^20*y^14+x^19*y^15+2*x^18*y^16-6*x^21*y^12-5*x^19*y^14-12*x^ 18*y^15+x^21*y^11+5*x^20*y^12+10*x^19*y^13+30*x^18*y^14+3*x^17*y^15-4*x^20*y^11 -10*x^19*y^12-40*x^18*y^13-17*x^17*y^14+x^16*y^15+x^20*y^10+5*x^19*y^11+30*x^18 *y^12+37*x^17*y^13-6*x^16*y^14-x^19*y^10-12*x^18*y^11-39*x^17*y^12+11*x^16*y^13 +7*x^15*y^14+2*x^18*y^10+21*x^17*y^11-4*x^16*y^12-35*x^15*y^13-7*x^17*y^10-9*x^ 16*y^11+68*x^15*y^12+9*x^14*y^13+3*x^17*y^9+10*x^16*y^10-61*x^15*y^11-37*x^14*y ^12-x^17*y^8-3*x^16*y^9+21*x^15*y^10+60*x^14*y^11+x^15*y^9-47*x^14*y^10-5*x^13* y^11+16*x^14*y^9+19*x^13*y^10-11*x^12*y^11-x^15*y^7-26*x^13*y^9+27*x^12*y^10-x^ 11*y^11-x^14*y^7+14*x^13*y^8-14*x^12*y^9-5*x^11*y^10-x^13*y^7-10*x^12*y^8+17*x^ 11*y^9-4*x^10*y^10-x^13*y^6+9*x^12*y^7-9*x^11*y^8+9*x^10*y^9-x^12*y^6-8*x^11*y^ 7-6*x^9*y^9+6*x^11*y^6-8*x^10*y^7+13*x^9*y^8-6*x^9*y^7-x^8*y^8+3*x^10*y^5-x^9*y ^6-x^8*y^7-2*x^9*y^5+5*x^8*y^6+4*x^7*y^7+2*x^9*y^4-3*x^8*y^5-2*x^7*y^6-4*x^7*y^ 5+3*x^6*y^6+2*x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^6*y^4+2*x^5*y^5-3*x^5*y^3+7*x^4*y^4+x^5*y^2-5 *x^4*y^3-x^4*y^2+4*x^3*y^3-2*x^3*y^2-x^3*y+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y+1)/(x^20*y^15-5* x^20*y^14+10*x^20*y^13-10*x^20*y^12+5*x^20*y^11-x^18*y^13-x^20*y^10+4*x^18*y^12 -6*x^18*y^11+x^17*y^12+4*x^18*y^10-4*x^17*y^11-x^16*y^12-x^18*y^9+6*x^17*y^10+4 *x^16*y^11-x^15*y^12-4*x^17*y^9-6*x^16*y^10+2*x^15*y^11+x^17*y^8+4*x^16*y^9-x^ 15*y^10-2*x^14*y^11-x^16*y^8+x^15*y^9+6*x^14*y^10-2*x^15*y^8-6*x^14*y^9+x^15*y^ 7+2*x^14*y^8+x^13*y^9+x^12*y^10-x^13*y^8-2*x^12*y^9+x^11*y^10-x^13*y^7+2*x^12*y ^8-x^11*y^9+x^13*y^6-2*x^12*y^7-2*x^11*y^8+x^10*y^9+x^12*y^6+3*x^11*y^7-3*x^10* y^8-x^11*y^6+5*x^10*y^7-x^9*y^8-3*x^10*y^6+x^9*y^7+2*x^9*y^6-x^8*y^7+2*x^8*y^6-\ 2*x^9*y^4-2*x^8*y^5-x^7*y^6+x^7*y^5-x^6*y^6-x^7*y^4-2*x^6*y^4+2*x^6*y^3+x^5*y^3 +x^4*y^4-x^5*y^2+x^4*y^3-x^4*y^2+x^3*y+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (2 a + 5 a 12 11 10 8 7 6 5 4 3 + 8 a + 9 a + 6 a - 7 a - 15 a - 13 a - 10 a - 5 a + 4 a 2 / 7 6 5 3 2 + 3 a + 2 a + 1) / ((8 a + 7 a + 6 a - 4 a - 3 a - 2 a - 1) / 4 3 2 (a + a + a + a + 1)) 8 7 6 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x - x - x - x - x + 1, and in decimals this is, 0.7188568216 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7196663397 ------------------------------------------------ "Theorem Number 104" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 28 23 28 22 28 21 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 8 x y + 28 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 28 20 27 21 28 19 27 20 26 21 28 18 - 56 x y - x y + 70 x y + 7 x y - 2 x y - 56 x y 27 19 26 20 28 17 27 18 26 19 - 21 x y + 16 x y + 28 x y + 35 x y - 56 x y 25 20 24 21 28 16 27 17 26 18 25 19 + 3 x y - x y - 8 x y - 35 x y + 112 x y - 22 x y 24 20 28 15 27 16 26 17 25 18 24 19 + 8 x y + x y + 21 x y - 140 x y + 70 x y - 30 x y 23 20 27 15 26 16 25 17 24 18 23 19 + x y - 7 x y + 112 x y - 126 x y + 69 x y - 5 x y 27 14 26 15 25 16 24 17 23 18 22 19 + x y - 56 x y + 140 x y - 104 x y + 13 x y - x y 26 14 25 15 24 16 23 17 22 18 21 19 + 16 x y - 98 x y + 99 x y - 26 x y + 5 x y - x y 26 13 25 14 24 15 23 16 22 17 21 18 - 2 x y + 42 x y - 48 x y + 39 x y - 7 x y + 7 x y 25 13 24 14 23 15 22 16 21 17 20 18 - 10 x y - 5 x y - 36 x y - 8 x y - 16 x y - 3 x y 25 12 24 13 23 14 22 15 21 16 20 17 + x y + 21 x y + 15 x y + 43 x y + 7 x y + 12 x y 19 18 24 12 23 13 22 14 21 15 + 2 x y - 11 x y + 2 x y - 74 x y + 32 x y 20 16 19 17 24 11 23 12 22 13 21 14 - 21 x y - 7 x y + 2 x y - 4 x y + 75 x y - 67 x y 20 15 19 16 23 11 22 12 21 13 20 14 + 26 x y + 7 x y + x y - 48 x y + 59 x y - 28 x y 19 15 18 16 22 11 21 12 20 13 19 14 - 2 x y - 3 x y + 18 x y - 23 x y + 21 x y + 9 x y 18 15 17 16 22 10 21 11 20 12 19 13 + 5 x y - 2 x y - 3 x y - x y - 9 x y - 26 x y 18 14 17 15 21 10 20 11 19 12 + 13 x y + 12 x y + 4 x y + 4 x y + 34 x y 18 13 17 14 16 15 21 9 20 10 19 11 - 55 x y - 25 x y - 3 x y - x y - 3 x y - 30 x y 18 12 17 13 16 14 20 9 19 10 18 11 + 91 x y + 14 x y + 4 x y + x y + 19 x y - 84 x y 17 12 16 13 19 9 18 10 17 11 16 12 + 21 x y + 9 x y - 7 x y + 40 x y - 35 x y - 15 x y 15 13 19 8 18 9 17 10 16 11 14 13 + 2 x y + x y - 6 x y + 18 x y - 10 x y + 2 x y 18 8 17 9 16 10 15 11 13 13 16 9 - x y - 3 x y + 30 x y - 10 x y + 2 x y - 16 x y 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 + 7 x y - 5 x y - 3 x y - x y + 8 x y - x y 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 + 3 x y + x y + 2 x y - 8 x y + 7 x y - 6 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 15 6 + 3 x y - 3 x y + 12 x y - 12 x y - 3 x y + x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 10 10 - 17 x y + 22 x y + 3 x y + 10 x y - 18 x y - 9 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 - 2 x y + 4 x y + 17 x y - x y + 7 x y - 4 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 - 10 x y + 9 x y - x y - x y - 2 x y - 15 x y + x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 + 10 x y - 2 x y + x y - 6 x y + 8 x y - 10 x y + 3 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 8 4 6 6 8 3 7 4 + 9 x y + x y - 3 x y - x y + x y + x y - x y - 3 x y 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 + 3 x y + 2 x y - 6 x y + 6 x y + x y - 5 x y + x y 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 / 24 18 - 4 x y + 2 x y - 2 x y + 2 x y - x y + x y - 1) / (x y / 24 17 24 16 23 17 24 15 23 16 22 17 - 6 x y + 15 x y - x y - 20 x y + 6 x y + x y 24 14 23 15 22 16 24 13 23 14 22 15 + 15 x y - 15 x y - 4 x y - 6 x y + 20 x y + 5 x y 21 16 20 17 24 12 23 13 21 15 20 16 - 2 x y + x y + x y - 15 x y + 9 x y - 5 x y 23 12 22 13 21 14 20 15 19 16 23 11 + 6 x y - 5 x y - 16 x y + 12 x y - x y - x y 22 12 21 13 20 14 19 15 22 11 21 12 + 4 x y + 15 x y - 19 x y + 3 x y - x y - 10 x y 20 13 19 14 21 11 20 12 19 13 18 14 + 21 x y - 3 x y + 7 x y - 15 x y + x y + 3 x y 17 15 21 10 20 11 18 13 17 14 21 9 - x y - 4 x y + 6 x y - 13 x y + x y + x y 20 10 19 11 18 12 16 14 19 10 18 11 - x y + x y + 23 x y + x y - 3 x y - 22 x y 17 12 19 9 18 10 17 11 16 12 19 8 + 9 x y + 3 x y + 13 x y - 24 x y - 5 x y - x y 18 9 17 10 16 11 15 12 18 8 17 9 - 5 x y + 24 x y + 3 x y - 4 x y + x y - 11 x y 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 + 6 x y + 10 x y + 2 x y + 2 x y - 7 x y - 6 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 2 x y - 2 x y - 7 x y - 2 x y + x y + 5 x y 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 14 7 + 5 x y + 2 x y - x y - 2 x y - x y - x y + 3 x y 13 8 12 9 14 6 13 7 12 8 11 9 13 6 - 2 x y + x y - 2 x y + x y + 2 x y + 2 x y - x y 12 7 11 8 13 5 12 6 11 7 10 8 12 5 - 2 x y - 3 x y + x y - x y + x y - x y + x y 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 + x y - 3 x y - x y + 5 x y - x y - x y + 6 x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 - 6 x y + 3 x y - x y + x y - 7 x y - x y + 3 x y - 2 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 5 5 6 3 5 4 6 2 + 3 x y + x y + 3 x y + x y - 2 x y - x y - x y - x y 4 3 2 2 2 + 2 x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^28*y^23-8*x^28*y^22+28*x^28*y^21-56*x^28*y^20-x^27*y^21+70*x^28*y^19+7*x^27 *y^20-2*x^26*y^21-56*x^28*y^18-21*x^27*y^19+16*x^26*y^20+28*x^28*y^17+35*x^27*y ^18-56*x^26*y^19+3*x^25*y^20-x^24*y^21-8*x^28*y^16-35*x^27*y^17+112*x^26*y^18-\ 22*x^25*y^19+8*x^24*y^20+x^28*y^15+21*x^27*y^16-140*x^26*y^17+70*x^25*y^18-30*x ^24*y^19+x^23*y^20-7*x^27*y^15+112*x^26*y^16-126*x^25*y^17+69*x^24*y^18-5*x^23* y^19+x^27*y^14-56*x^26*y^15+140*x^25*y^16-104*x^24*y^17+13*x^23*y^18-x^22*y^19+ 16*x^26*y^14-98*x^25*y^15+99*x^24*y^16-26*x^23*y^17+5*x^22*y^18-x^21*y^19-2*x^ 26*y^13+42*x^25*y^14-48*x^24*y^15+39*x^23*y^16-7*x^22*y^17+7*x^21*y^18-10*x^25* y^13-5*x^24*y^14-36*x^23*y^15-8*x^22*y^16-16*x^21*y^17-3*x^20*y^18+x^25*y^12+21 *x^24*y^13+15*x^23*y^14+43*x^22*y^15+7*x^21*y^16+12*x^20*y^17+2*x^19*y^18-11*x^ 24*y^12+2*x^23*y^13-74*x^22*y^14+32*x^21*y^15-21*x^20*y^16-7*x^19*y^17+2*x^24*y ^11-4*x^23*y^12+75*x^22*y^13-67*x^21*y^14+26*x^20*y^15+7*x^19*y^16+x^23*y^11-48 *x^22*y^12+59*x^21*y^13-28*x^20*y^14-2*x^19*y^15-3*x^18*y^16+18*x^22*y^11-23*x^ 21*y^12+21*x^20*y^13+9*x^19*y^14+5*x^18*y^15-2*x^17*y^16-3*x^22*y^10-x^21*y^11-\ 9*x^20*y^12-26*x^19*y^13+13*x^18*y^14+12*x^17*y^15+4*x^21*y^10+4*x^20*y^11+34*x ^19*y^12-55*x^18*y^13-25*x^17*y^14-3*x^16*y^15-x^21*y^9-3*x^20*y^10-30*x^19*y^ 11+91*x^18*y^12+14*x^17*y^13+4*x^16*y^14+x^20*y^9+19*x^19*y^10-84*x^18*y^11+21* x^17*y^12+9*x^16*y^13-7*x^19*y^9+40*x^18*y^10-35*x^17*y^11-15*x^16*y^12+2*x^15* y^13+x^19*y^8-6*x^18*y^9+18*x^17*y^10-10*x^16*y^11+2*x^14*y^13-x^18*y^8-3*x^17* y^9+30*x^16*y^10-10*x^15*y^11+2*x^13*y^13-16*x^16*y^9+7*x^15*y^10-5*x^14*y^11-3 *x^13*y^12-x^16*y^8+8*x^15*y^9-x^14*y^10+3*x^13*y^11+x^12*y^12+2*x^16*y^7-8*x^ 15*y^8+7*x^14*y^9-6*x^13*y^10+3*x^12*y^11-3*x^14*y^8+12*x^13*y^9-12*x^12*y^10-3 *x^11*y^11+x^15*y^6-17*x^13*y^8+22*x^12*y^9+3*x^11*y^10+10*x^13*y^7-18*x^12*y^8 -9*x^10*y^10-2*x^12*y^7+4*x^11*y^8+17*x^10*y^9-x^13*y^5+7*x^12*y^6-4*x^11*y^7-\ 10*x^10*y^8+9*x^9*y^9-x^12*y^5-x^11*y^6-2*x^10*y^7-15*x^9*y^8+x^11*y^5+10*x^10* y^6-2*x^9*y^7+x^8*y^8-6*x^10*y^5+8*x^9*y^6-10*x^8*y^7+3*x^9*y^5+9*x^8*y^6+x^7*y ^7-3*x^9*y^4-x^8*y^5+x^8*y^4+x^6*y^6-x^8*y^3-3*x^7*y^4+3*x^6*y^5+2*x^7*y^3-6*x^ 6*y^4+6*x^5*y^5+x^6*y^3-5*x^5*y^4+x^6*y^2-4*x^4*y^4+2*x^4*y^3-2*x^3*y^3+2*x^3*y ^2-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^24*y^18-6*x^24*y^17+15*x^24*y^16-x^23*y^17-20*x^24*y^15+ 6*x^23*y^16+x^22*y^17+15*x^24*y^14-15*x^23*y^15-4*x^22*y^16-6*x^24*y^13+20*x^23 *y^14+5*x^22*y^15-2*x^21*y^16+x^20*y^17+x^24*y^12-15*x^23*y^13+9*x^21*y^15-5*x^ 20*y^16+6*x^23*y^12-5*x^22*y^13-16*x^21*y^14+12*x^20*y^15-x^19*y^16-x^23*y^11+4 *x^22*y^12+15*x^21*y^13-19*x^20*y^14+3*x^19*y^15-x^22*y^11-10*x^21*y^12+21*x^20 *y^13-3*x^19*y^14+7*x^21*y^11-15*x^20*y^12+x^19*y^13+3*x^18*y^14-x^17*y^15-4*x^ 21*y^10+6*x^20*y^11-13*x^18*y^13+x^17*y^14+x^21*y^9-x^20*y^10+x^19*y^11+23*x^18 *y^12+x^16*y^14-3*x^19*y^10-22*x^18*y^11+9*x^17*y^12+3*x^19*y^9+13*x^18*y^10-24 *x^17*y^11-5*x^16*y^12-x^19*y^8-5*x^18*y^9+24*x^17*y^10+3*x^16*y^11-4*x^15*y^12 +x^18*y^8-11*x^17*y^9+6*x^16*y^10+10*x^15*y^11+2*x^14*y^12+2*x^17*y^8-7*x^16*y^ 9-6*x^15*y^10+2*x^16*y^8-2*x^15*y^9-7*x^14*y^10-2*x^13*y^11+x^15*y^8+5*x^14*y^9 +5*x^13*y^10+2*x^15*y^7-x^14*y^8-2*x^13*y^9-x^12*y^10-x^15*y^6+3*x^14*y^7-2*x^ 13*y^8+x^12*y^9-2*x^14*y^6+x^13*y^7+2*x^12*y^8+2*x^11*y^9-x^13*y^6-2*x^12*y^7-3 *x^11*y^8+x^13*y^5-x^12*y^6+x^11*y^7-x^10*y^8+x^12*y^5+x^11*y^6-3*x^10*y^7-x^11 *y^5+5*x^10*y^6-x^9*y^7-x^10*y^5+6*x^9*y^6-6*x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^7*y^7+x^9*y^4-\ 7*x^8*y^5-x^7*y^6+3*x^8*y^4-2*x^7*y^5+3*x^6*y^6+x^8*y^3+3*x^7*y^4+x^6*y^5-2*x^5 *y^5-x^6*y^3-x^5*y^4-x^6*y^2+2*x^4*y^3+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a - 4 a + 7 a 12 11 10 9 8 7 6 5 4 - 11 a + 9 a + 5 a - 3 a - 18 a + 10 a + 8 a - a - 6 a + 1) / 6 5 4 3 8 5 4 / ((7 a - 12 a + 15 a - 8 a + 2) (a - a + 2 a + 1)) / 7 6 5 4 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + 3 x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7187968814 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7193562386 ------------------------------------------------ "Theorem Number 105" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 28 23 28 22 28 21 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 8 x y + 28 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 28 20 27 21 28 19 27 20 26 21 28 18 - 56 x y - x y + 70 x y + 7 x y - 2 x y - 56 x y 27 19 26 20 28 17 27 18 26 19 - 21 x y + 16 x y + 28 x y + 35 x y - 56 x y 25 20 24 21 28 16 27 17 26 18 25 19 + 3 x y - x y - 8 x y - 35 x y + 112 x y - 22 x y 24 20 28 15 27 16 26 17 25 18 24 19 + 8 x y + x y + 21 x y - 140 x y + 70 x y - 30 x y 23 20 27 15 26 16 25 17 24 18 23 19 + x y - 7 x y + 112 x y - 126 x y + 69 x y - 5 x y 27 14 26 15 25 16 24 17 23 18 22 19 + x y - 56 x y + 140 x y - 104 x y + 13 x y - x y 26 14 25 15 24 16 23 17 22 18 21 19 + 16 x y - 98 x y + 99 x y - 26 x y + 5 x y - x y 26 13 25 14 24 15 23 16 22 17 21 18 - 2 x y + 42 x y - 48 x y + 39 x y - 7 x y + 7 x y 25 13 24 14 23 15 22 16 21 17 20 18 - 10 x y - 5 x y - 36 x y - 8 x y - 16 x y - 3 x y 25 12 24 13 23 14 22 15 21 16 20 17 + x y + 21 x y + 15 x y + 43 x y + 7 x y + 12 x y 19 18 24 12 23 13 22 14 21 15 + 2 x y - 11 x y + 2 x y - 74 x y + 32 x y 20 16 19 17 24 11 23 12 22 13 21 14 - 21 x y - 7 x y + 2 x y - 4 x y + 75 x y - 67 x y 20 15 19 16 23 11 22 12 21 13 20 14 + 26 x y + 7 x y + x y - 48 x y + 59 x y - 28 x y 19 15 18 16 22 11 21 12 20 13 19 14 - 2 x y - 3 x y + 18 x y - 23 x y + 21 x y + 9 x y 18 15 17 16 22 10 21 11 20 12 19 13 + 5 x y - 2 x y - 3 x y - x y - 9 x y - 26 x y 18 14 17 15 21 10 20 11 19 12 + 13 x y + 12 x y + 4 x y + 4 x y + 34 x y 18 13 17 14 16 15 21 9 20 10 19 11 - 55 x y - 25 x y - 3 x y - x y - 3 x y - 30 x y 18 12 17 13 16 14 20 9 19 10 18 11 + 91 x y + 14 x y + 4 x y + x y + 19 x y - 84 x y 17 12 16 13 19 9 18 10 17 11 16 12 + 21 x y + 9 x y - 7 x y + 40 x y - 35 x y - 15 x y 15 13 19 8 18 9 17 10 16 11 14 13 + 2 x y + x y - 6 x y + 18 x y - 10 x y + 2 x y 18 8 17 9 16 10 15 11 13 13 16 9 - x y - 3 x y + 30 x y - 10 x y + 2 x y - 16 x y 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 + 7 x y - 5 x y - 3 x y - x y + 8 x y - x y 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 + 3 x y + x y + 2 x y - 8 x y + 7 x y - 6 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 15 6 + 3 x y - 3 x y + 12 x y - 12 x y - 3 x y + x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 10 10 - 17 x y + 22 x y + 3 x y + 10 x y - 18 x y - 9 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 - 2 x y + 4 x y + 17 x y - x y + 7 x y - 4 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 - 10 x y + 9 x y - x y - x y - 2 x y - 15 x y + x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 + 10 x y - 2 x y + x y - 6 x y + 8 x y - 10 x y + 3 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 8 4 6 6 8 3 7 4 + 9 x y + x y - 3 x y - x y + x y + x y - x y - 3 x y 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 + 3 x y + 2 x y - 6 x y + 6 x y + x y - 5 x y + x y 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 / 24 18 - 4 x y + 2 x y - 2 x y + 2 x y - x y + x y - 1) / (x y / 24 17 24 16 23 17 24 15 23 16 22 17 - 6 x y + 15 x y - x y - 20 x y + 6 x y + x y 24 14 23 15 22 16 24 13 23 14 22 15 + 15 x y - 15 x y - 4 x y - 6 x y + 20 x y + 5 x y 21 16 20 17 24 12 23 13 21 15 20 16 - 2 x y + x y + x y - 15 x y + 9 x y - 5 x y 23 12 22 13 21 14 20 15 19 16 23 11 + 6 x y - 5 x y - 16 x y + 12 x y - x y - x y 22 12 21 13 20 14 19 15 22 11 21 12 + 4 x y + 15 x y - 19 x y + 3 x y - x y - 10 x y 20 13 19 14 21 11 20 12 19 13 18 14 + 21 x y - 3 x y + 7 x y - 15 x y + x y + 3 x y 17 15 21 10 20 11 18 13 17 14 21 9 - x y - 4 x y + 6 x y - 13 x y + x y + x y 20 10 19 11 18 12 16 14 19 10 18 11 - x y + x y + 23 x y + x y - 3 x y - 22 x y 17 12 19 9 18 10 17 11 16 12 19 8 + 9 x y + 3 x y + 13 x y - 24 x y - 5 x y - x y 18 9 17 10 16 11 15 12 18 8 17 9 - 5 x y + 24 x y + 3 x y - 4 x y + x y - 11 x y 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 + 6 x y + 10 x y + 2 x y + 2 x y - 7 x y - 6 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 2 x y - 2 x y - 7 x y - 2 x y + x y + 5 x y 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 14 7 + 5 x y + 2 x y - x y - 2 x y - x y - x y + 3 x y 13 8 12 9 14 6 13 7 12 8 11 9 13 6 - 2 x y + x y - 2 x y + x y + 2 x y + 2 x y - x y 12 7 11 8 13 5 12 6 11 7 10 8 12 5 - 2 x y - 3 x y + x y - x y + x y - x y + x y 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 + x y - 3 x y - x y + 5 x y - x y - x y + 6 x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 - 6 x y + 3 x y - x y + x y - 7 x y - x y + 3 x y - 2 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 5 5 6 3 5 4 6 2 + 3 x y + x y + 3 x y + x y - 2 x y - x y - x y - x y 4 3 2 2 2 + 2 x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^28*y^23-8*x^28*y^22+28*x^28*y^21-56*x^28*y^20-x^27*y^21+70*x^28*y^19+7*x^27 *y^20-2*x^26*y^21-56*x^28*y^18-21*x^27*y^19+16*x^26*y^20+28*x^28*y^17+35*x^27*y ^18-56*x^26*y^19+3*x^25*y^20-x^24*y^21-8*x^28*y^16-35*x^27*y^17+112*x^26*y^18-\ 22*x^25*y^19+8*x^24*y^20+x^28*y^15+21*x^27*y^16-140*x^26*y^17+70*x^25*y^18-30*x ^24*y^19+x^23*y^20-7*x^27*y^15+112*x^26*y^16-126*x^25*y^17+69*x^24*y^18-5*x^23* y^19+x^27*y^14-56*x^26*y^15+140*x^25*y^16-104*x^24*y^17+13*x^23*y^18-x^22*y^19+ 16*x^26*y^14-98*x^25*y^15+99*x^24*y^16-26*x^23*y^17+5*x^22*y^18-x^21*y^19-2*x^ 26*y^13+42*x^25*y^14-48*x^24*y^15+39*x^23*y^16-7*x^22*y^17+7*x^21*y^18-10*x^25* y^13-5*x^24*y^14-36*x^23*y^15-8*x^22*y^16-16*x^21*y^17-3*x^20*y^18+x^25*y^12+21 *x^24*y^13+15*x^23*y^14+43*x^22*y^15+7*x^21*y^16+12*x^20*y^17+2*x^19*y^18-11*x^ 24*y^12+2*x^23*y^13-74*x^22*y^14+32*x^21*y^15-21*x^20*y^16-7*x^19*y^17+2*x^24*y ^11-4*x^23*y^12+75*x^22*y^13-67*x^21*y^14+26*x^20*y^15+7*x^19*y^16+x^23*y^11-48 *x^22*y^12+59*x^21*y^13-28*x^20*y^14-2*x^19*y^15-3*x^18*y^16+18*x^22*y^11-23*x^ 21*y^12+21*x^20*y^13+9*x^19*y^14+5*x^18*y^15-2*x^17*y^16-3*x^22*y^10-x^21*y^11-\ 9*x^20*y^12-26*x^19*y^13+13*x^18*y^14+12*x^17*y^15+4*x^21*y^10+4*x^20*y^11+34*x ^19*y^12-55*x^18*y^13-25*x^17*y^14-3*x^16*y^15-x^21*y^9-3*x^20*y^10-30*x^19*y^ 11+91*x^18*y^12+14*x^17*y^13+4*x^16*y^14+x^20*y^9+19*x^19*y^10-84*x^18*y^11+21* x^17*y^12+9*x^16*y^13-7*x^19*y^9+40*x^18*y^10-35*x^17*y^11-15*x^16*y^12+2*x^15* y^13+x^19*y^8-6*x^18*y^9+18*x^17*y^10-10*x^16*y^11+2*x^14*y^13-x^18*y^8-3*x^17* y^9+30*x^16*y^10-10*x^15*y^11+2*x^13*y^13-16*x^16*y^9+7*x^15*y^10-5*x^14*y^11-3 *x^13*y^12-x^16*y^8+8*x^15*y^9-x^14*y^10+3*x^13*y^11+x^12*y^12+2*x^16*y^7-8*x^ 15*y^8+7*x^14*y^9-6*x^13*y^10+3*x^12*y^11-3*x^14*y^8+12*x^13*y^9-12*x^12*y^10-3 *x^11*y^11+x^15*y^6-17*x^13*y^8+22*x^12*y^9+3*x^11*y^10+10*x^13*y^7-18*x^12*y^8 -9*x^10*y^10-2*x^12*y^7+4*x^11*y^8+17*x^10*y^9-x^13*y^5+7*x^12*y^6-4*x^11*y^7-\ 10*x^10*y^8+9*x^9*y^9-x^12*y^5-x^11*y^6-2*x^10*y^7-15*x^9*y^8+x^11*y^5+10*x^10* y^6-2*x^9*y^7+x^8*y^8-6*x^10*y^5+8*x^9*y^6-10*x^8*y^7+3*x^9*y^5+9*x^8*y^6+x^7*y ^7-3*x^9*y^4-x^8*y^5+x^8*y^4+x^6*y^6-x^8*y^3-3*x^7*y^4+3*x^6*y^5+2*x^7*y^3-6*x^ 6*y^4+6*x^5*y^5+x^6*y^3-5*x^5*y^4+x^6*y^2-4*x^4*y^4+2*x^4*y^3-2*x^3*y^3+2*x^3*y ^2-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^24*y^18-6*x^24*y^17+15*x^24*y^16-x^23*y^17-20*x^24*y^15+ 6*x^23*y^16+x^22*y^17+15*x^24*y^14-15*x^23*y^15-4*x^22*y^16-6*x^24*y^13+20*x^23 *y^14+5*x^22*y^15-2*x^21*y^16+x^20*y^17+x^24*y^12-15*x^23*y^13+9*x^21*y^15-5*x^ 20*y^16+6*x^23*y^12-5*x^22*y^13-16*x^21*y^14+12*x^20*y^15-x^19*y^16-x^23*y^11+4 *x^22*y^12+15*x^21*y^13-19*x^20*y^14+3*x^19*y^15-x^22*y^11-10*x^21*y^12+21*x^20 *y^13-3*x^19*y^14+7*x^21*y^11-15*x^20*y^12+x^19*y^13+3*x^18*y^14-x^17*y^15-4*x^ 21*y^10+6*x^20*y^11-13*x^18*y^13+x^17*y^14+x^21*y^9-x^20*y^10+x^19*y^11+23*x^18 *y^12+x^16*y^14-3*x^19*y^10-22*x^18*y^11+9*x^17*y^12+3*x^19*y^9+13*x^18*y^10-24 *x^17*y^11-5*x^16*y^12-x^19*y^8-5*x^18*y^9+24*x^17*y^10+3*x^16*y^11-4*x^15*y^12 +x^18*y^8-11*x^17*y^9+6*x^16*y^10+10*x^15*y^11+2*x^14*y^12+2*x^17*y^8-7*x^16*y^ 9-6*x^15*y^10+2*x^16*y^8-2*x^15*y^9-7*x^14*y^10-2*x^13*y^11+x^15*y^8+5*x^14*y^9 +5*x^13*y^10+2*x^15*y^7-x^14*y^8-2*x^13*y^9-x^12*y^10-x^15*y^6+3*x^14*y^7-2*x^ 13*y^8+x^12*y^9-2*x^14*y^6+x^13*y^7+2*x^12*y^8+2*x^11*y^9-x^13*y^6-2*x^12*y^7-3 *x^11*y^8+x^13*y^5-x^12*y^6+x^11*y^7-x^10*y^8+x^12*y^5+x^11*y^6-3*x^10*y^7-x^11 *y^5+5*x^10*y^6-x^9*y^7-x^10*y^5+6*x^9*y^6-6*x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^7*y^7+x^9*y^4-\ 7*x^8*y^5-x^7*y^6+3*x^8*y^4-2*x^7*y^5+3*x^6*y^6+x^8*y^3+3*x^7*y^4+x^6*y^5-2*x^5 *y^5-x^6*y^3-x^5*y^4-x^6*y^2+2*x^4*y^3+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a - 4 a + 7 a 12 11 10 9 8 7 6 5 4 - 11 a + 9 a + 5 a - 3 a - 18 a + 10 a + 8 a - a - 6 a + 1) / 6 5 4 3 8 5 4 / ((7 a - 12 a + 15 a - 8 a + 2) (a - a + 2 a + 1)) / 7 6 5 4 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + 3 x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7187968814 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7193562386 ------------------------------------------------ "Theorem Number 106" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 24 20 24 19 23 20 24 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + x y + 21 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 19 24 17 23 18 22 19 24 16 - 7 x y - 35 x y + 21 x y - 2 x y + 35 x y 23 17 22 18 24 15 23 16 22 17 - 35 x y + 13 x y - 21 x y + 35 x y - 34 x y 21 18 24 14 23 15 22 16 21 17 20 18 - 2 x y + 7 x y - 21 x y + 43 x y + 12 x y - x y 24 13 23 14 22 15 21 16 20 17 19 18 - x y + 7 x y - 20 x y - 30 x y + 2 x y - x y 23 13 22 14 21 15 20 16 19 17 22 13 - x y - 13 x y + 40 x y + 5 x y + 5 x y + 22 x y 21 14 20 15 19 16 18 17 22 12 - 30 x y - 17 x y - 6 x y - 2 x y - 11 x y 21 13 20 14 19 15 18 16 22 11 + 12 x y + 12 x y - 14 x y + 10 x y + 2 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 17 16 20 12 - 2 x y + 6 x y + 53 x y - 22 x y - x y - 7 x y 19 13 18 14 17 15 20 11 19 12 - 71 x y + 25 x y + 3 x y - 5 x y + 48 x y 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 18 12 - 13 x y + 2 x y + 3 x y + 7 x y - 16 x y + 8 x y 17 13 16 14 20 9 19 10 18 11 17 12 - 21 x y - 19 x y - 2 x y + 2 x y - 23 x y + 33 x y 16 13 15 14 18 10 17 11 16 12 + 50 x y + 4 x y + 29 x y - 10 x y - 75 x y 15 13 18 9 17 10 16 11 15 12 - 16 x y - 13 x y - 26 x y + 74 x y + 37 x y 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 18 7 + 3 x y + 33 x y - 46 x y - 57 x y - 9 x y + x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 - 16 x y + 8 x y + 55 x y + 14 x y + 6 x y + 3 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 + 11 x y - 35 x y - 14 x y - 11 x y + x y - 7 x y 15 8 14 9 12 11 16 6 15 7 14 8 + 13 x y + 4 x y + 5 x y + x y + 3 x y + 6 x y 13 9 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 + 5 x y - 19 x y + 2 x y - 5 x y - 5 x y + 13 x y 12 9 15 5 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 + 18 x y + x y + x y - 22 x y - 3 x y + 9 x y + x y 13 6 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 + 9 x y - 34 x y - 14 x y - 5 x y + 31 x y + 33 x y 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 - 2 x y + 3 x y - 4 x y - 32 x y - 13 x y - 6 x y 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 + 15 x y + 35 x y + 2 x y - x y - 32 x y - 17 x y 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 - 3 x y + 16 x y + 25 x y + 4 x y + x y - 2 x y - 16 x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 - 13 x y - 2 x y + 10 x y + 10 x y + 4 x y - 2 x y - 6 x y 6 5 8 2 7 3 6 4 6 3 6 2 5 3 4 4 - 6 x y - x y + 4 x y + 5 x y - 4 x y + x y + x y - 6 x y 5 2 4 3 3 3 3 2 3 2 2 2 - x y + 5 x y - 3 x y + 3 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x / 19 16 19 15 19 14 19 13 19 12 - 1) / (x y - 5 x y + 9 x y - 5 x y - 5 x y / 17 14 19 11 17 13 19 10 17 12 16 13 + x y + 9 x y - 4 x y - 5 x y + 6 x y - x y 19 9 17 11 16 12 17 10 16 11 17 9 + x y - 5 x y + 4 x y + 5 x y - 5 x y - 6 x y 15 11 17 8 16 9 15 10 14 11 17 7 + x y + 4 x y + 5 x y - 3 x y - 2 x y - x y 16 8 15 9 14 10 16 7 15 8 14 9 - 4 x y + 3 x y + 5 x y + x y - 2 x y - 4 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 14 7 13 8 + 3 x y + 2 x y - x y - x y - 3 x y - 2 x y + 3 x y 15 5 14 6 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 + x y + x y - 3 x y + x y + x y + x y + x y 11 8 10 9 10 8 12 5 11 6 10 7 11 5 - 2 x y - x y + x y - x y + 2 x y + 2 x y - x y 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y + x y - 4 x y 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 8 3 7 4 8 2 - 2 x y + x y + x y + 6 x y + x y - 2 x y - 2 x y - x y 7 3 6 4 6 3 6 2 5 3 5 2 4 3 4 2 + 2 x y + x y - 2 x y + x y + x y - x y - x y + 2 x y 3 3 3 2 3 + x y - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^24*y^20-7*x^24*y^19+x^23*y^20+21*x^24*y^18-7*x^23*y^19-35*x^24*y^17+21*x^23* y^18-2*x^22*y^19+35*x^24*y^16-35*x^23*y^17+13*x^22*y^18-21*x^24*y^15+35*x^23*y^ 16-34*x^22*y^17-2*x^21*y^18+7*x^24*y^14-21*x^23*y^15+43*x^22*y^16+12*x^21*y^17- x^20*y^18-x^24*y^13+7*x^23*y^14-20*x^22*y^15-30*x^21*y^16+2*x^20*y^17-x^19*y^18 -x^23*y^13-13*x^22*y^14+40*x^21*y^15+5*x^20*y^16+5*x^19*y^17+22*x^22*y^13-30*x^ 21*y^14-17*x^20*y^15-6*x^19*y^16-2*x^18*y^17-11*x^22*y^12+12*x^21*y^13+12*x^20* y^14-14*x^19*y^15+10*x^18*y^16+2*x^22*y^11-2*x^21*y^12+6*x^20*y^13+53*x^19*y^14 -22*x^18*y^15-x^17*y^16-7*x^20*y^12-71*x^19*y^13+25*x^18*y^14+3*x^17*y^15-5*x^ 20*y^11+48*x^19*y^12-13*x^18*y^13+2*x^17*y^14+3*x^16*y^15+7*x^20*y^10-16*x^19*y ^11+8*x^18*y^12-21*x^17*y^13-19*x^16*y^14-2*x^20*y^9+2*x^19*y^10-23*x^18*y^11+ 33*x^17*y^12+50*x^16*y^13+4*x^15*y^14+29*x^18*y^10-10*x^17*y^11-75*x^16*y^12-16 *x^15*y^13-13*x^18*y^9-26*x^17*y^10+74*x^16*y^11+37*x^15*y^12+3*x^14*y^13+33*x^ 17*y^9-46*x^16*y^10-57*x^15*y^11-9*x^14*y^12+x^18*y^7-16*x^17*y^8+8*x^16*y^9+55 *x^15*y^10+14*x^14*y^11+6*x^13*y^12+3*x^17*y^7+11*x^16*y^8-35*x^15*y^9-14*x^14* y^10-11*x^13*y^11+x^12*y^12-7*x^16*y^7+13*x^15*y^8+4*x^14*y^9+5*x^12*y^11+x^16* y^6+3*x^15*y^7+6*x^14*y^8+5*x^13*y^9-19*x^12*y^10+2*x^11*y^11-5*x^15*y^6-5*x^14 *y^7+13*x^13*y^8+18*x^12*y^9+x^15*y^5+x^14*y^6-22*x^13*y^7-3*x^12*y^8+9*x^11*y^ 9+x^10*y^10+9*x^13*y^6-34*x^11*y^8-14*x^10*y^9-5*x^12*y^6+31*x^11*y^7+33*x^10*y ^8-2*x^9*y^9+3*x^12*y^5-4*x^11*y^6-32*x^10*y^7-13*x^9*y^8-6*x^11*y^5+15*x^10*y^ 6+35*x^9*y^7+2*x^11*y^4-x^10*y^5-32*x^9*y^6-17*x^8*y^7-3*x^10*y^4+16*x^9*y^5+25 *x^8*y^6+4*x^7*y^7+x^10*y^3-2*x^9*y^4-16*x^8*y^5-13*x^7*y^6-2*x^9*y^3+10*x^8*y^ 4+10*x^7*y^5+4*x^6*y^6-2*x^8*y^3-6*x^7*y^4-6*x^6*y^5-x^8*y^2+4*x^7*y^3+5*x^6*y^ 4-4*x^6*y^3+x^6*y^2+x^5*y^3-6*x^4*y^4-x^5*y^2+5*x^4*y^3-3*x^3*y^3+3*x^3*y^2-x^3 *y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x^19*y^16-5*x^19*y^15+9*x^19*y^14-5*x^19*y^13-5* x^19*y^12+x^17*y^14+9*x^19*y^11-4*x^17*y^13-5*x^19*y^10+6*x^17*y^12-x^16*y^13+x ^19*y^9-5*x^17*y^11+4*x^16*y^12+5*x^17*y^10-5*x^16*y^11-6*x^17*y^9+x^15*y^11+4* x^17*y^8+5*x^16*y^9-3*x^15*y^10-2*x^14*y^11-x^17*y^7-4*x^16*y^8+3*x^15*y^9+5*x^ 14*y^10+x^16*y^7-2*x^15*y^8-4*x^14*y^9+3*x^15*y^7+2*x^14*y^8-x^13*y^9-x^12*y^10 -3*x^15*y^6-2*x^14*y^7+3*x^13*y^8+x^15*y^5+x^14*y^6-3*x^13*y^7+x^12*y^8+x^11*y^ 9+x^13*y^6+x^12*y^7-2*x^11*y^8-x^10*y^9+x^10*y^8-x^12*y^5+2*x^11*y^6+2*x^10*y^7 -x^11*y^5-2*x^10*y^6+2*x^9*y^7-2*x^10*y^5+x^9*y^6-x^8*y^7+x^10*y^4-4*x^9*y^5-2* x^8*y^6+x^10*y^3+x^9*y^4+6*x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^8*y^3-2*x^7*y^4-x^8*y^2+2*x^7*y^ 3+x^6*y^4-2*x^6*y^3+x^6*y^2+x^5*y^3-x^5*y^2-x^4*y^3+2*x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y^2-x ^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 15 14 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a + 2 a - 4 a 13 12 10 9 8 7 6 4 3 - 6 a + 2 a + a + 4 a - 15 a - 6 a + 15 a - 8 a + 2 a + 1) / 6 3 2 8 7 4 3 / ((7 a + 4 a - 3 a + 2) (a + a + a + a + 1)) / 7 4 3 where a is the root of the polynomial, x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7171731466 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7177655753 ------------------------------------------------ "Theorem Number 107" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 26 24 26 23 26 22 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 8 x y + 28 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 25 23 26 21 25 22 26 20 25 21 24 22 + x y - 56 x y - 8 x y + 70 x y + 30 x y + x y 26 19 25 20 24 21 23 22 26 18 - 56 x y - 69 x y - 8 x y + 2 x y + 28 x y 25 19 24 20 23 21 26 17 25 18 + 106 x y + 29 x y - 16 x y - 8 x y - 111 x y 24 19 23 20 26 16 25 17 24 18 - 63 x y + 59 x y + x y + 78 x y + 91 x y 23 19 22 20 25 16 24 17 23 18 - 130 x y + x y - 35 x y - 91 x y + 186 x y 22 19 21 20 25 15 24 16 23 17 22 18 - 3 x y + x y + 9 x y + 63 x y - 177 x y - 4 x y 21 19 25 14 24 15 23 16 22 17 21 18 - 9 x y - x y - 29 x y + 111 x y + 31 x y + 36 x y 20 19 24 14 23 15 22 16 21 17 20 18 + x y + 8 x y - 44 x y - 60 x y - 85 x y - 6 x y 24 13 23 14 22 15 21 16 20 17 19 18 - x y + 10 x y + 59 x y + 131 x y + 18 x y + x y 23 13 22 14 21 15 20 16 19 17 18 18 - x y - 32 x y - 136 x y - 39 x y - 9 x y - x y 22 13 21 14 20 15 19 16 18 17 22 12 + 9 x y + 94 x y + 65 x y + 25 x y + 6 x y - x y 21 13 20 14 19 15 18 16 17 17 21 12 - 41 x y - 77 x y - 30 x y - 23 x y - x y + 10 x y 20 13 19 14 18 15 17 16 21 11 20 12 + 60 x y + 16 x y + 55 x y + 8 x y - x y - 29 x y 19 13 18 14 17 15 16 16 20 11 19 12 - 5 x y - 78 x y - 37 x y - x y + 8 x y + 5 x y 18 13 17 14 20 10 19 11 18 12 17 13 + 69 x y + 95 x y - x y - 4 x y - 44 x y - 138 x y 15 15 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 - 2 x y + x y + 24 x y + 118 x y + 22 x y + 2 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 - 10 x y - 62 x y - 53 x y + 9 x y - x y + 2 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 + 22 x y + 48 x y - 13 x y - 5 x y - 6 x y - 18 x y 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 15 10 - 5 x y + 32 x y - 2 x y + x y + 2 x y + 15 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 - 57 x y - x y - 5 x y + 45 x y + 28 x y - x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 13 9 - 2 x y - 15 x y - 56 x y + 4 x y + x y + 42 x y 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 + 4 x y + 2 x y + x y - 11 x y - 21 x y - x y 12 8 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 + 19 x y + 4 x y - 6 x y - 7 x y + x y + 2 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 + 9 x y - 13 x y + 7 x y - x y - 3 x y + 3 x y - 10 x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 + 10 x y - x y + 9 x y - 5 x y + 3 x y - 17 x y + 3 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 + 10 x y + 5 x y - 2 x y - 3 x y - 12 x y + 2 x y + 6 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 5 4 - x y - x y - x y - 2 x y + x y + x y - x y - 2 x y 6 2 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 + x y + 2 x y - 7 x y + 4 x y + x y - 3 x y + 2 x y 2 2 2 / 27 24 27 23 27 22 - 2 x y + x y - x y - 1) / (x y - 8 x y + 28 x y / 26 23 27 21 26 22 27 20 26 21 27 19 - x y - 56 x y + 9 x y + 70 x y - 34 x y - 56 x y 26 20 25 21 24 22 27 18 26 19 25 20 + 71 x y - x y + x y + 28 x y - 90 x y + 6 x y 24 21 27 17 26 18 25 19 24 20 23 21 - 7 x y - 8 x y + 71 x y - 15 x y + 22 x y - x y 27 16 26 17 25 18 24 19 23 20 26 16 + x y - 34 x y + 20 x y - 39 x y + 8 x y + 9 x y 25 17 24 18 23 19 26 15 25 16 24 17 - 15 x y + 39 x y - 28 x y - x y + 6 x y - 16 x y 23 18 22 19 25 15 24 16 23 17 22 18 + 55 x y - x y - x y - 8 x y - 65 x y + 5 x y 21 19 24 15 23 16 22 17 21 18 24 14 + x y + 13 x y + 46 x y - 10 x y - 6 x y - 6 x y 23 15 22 16 21 17 24 13 23 14 22 15 - 18 x y + 10 x y + 17 x y + x y + 3 x y - 5 x y 21 16 20 17 19 18 22 14 21 15 20 16 - 31 x y - 3 x y - x y + x y + 39 x y + 11 x y 19 17 21 14 20 15 19 16 18 17 21 13 + 5 x y - 32 x y - 14 x y - 10 x y + x y + 15 x y 20 14 19 15 18 16 21 12 20 13 19 14 + 7 x y + 8 x y - 6 x y - 3 x y - 3 x y + 3 x y 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 + 16 x y + 5 x y - 12 x y - 24 x y - 3 x y - 4 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 + 11 x y + 20 x y + 8 x y - x y + x y - 5 x y 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 - 6 x y - x y + 4 x y + x y - 4 x y - 16 x y 16 13 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 - 6 x y + 4 x y + 20 x y + 7 x y + 2 x y - x y 17 10 16 11 15 12 17 9 16 10 - 11 x y - 11 x y - 11 x y + 4 x y + 13 x y 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 14 11 + 20 x y - x y - x y - 8 x y - 12 x y + 6 x y 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 - x y + 2 x y - 3 x y - 10 x y + 5 x y + 5 x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 + 4 x y - 5 x y + 4 x y - x y + 3 x y - x y 12 10 14 7 12 9 11 10 13 7 12 8 - 12 x y - 2 x y + 13 x y - x y + 4 x y - 4 x y 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 6 x y - 2 x y - x y - 8 x y - x y - x y + 2 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 9 8 10 6 9 7 + 2 x y + x y + x y + x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y 8 8 10 5 8 7 9 5 8 6 7 6 7 5 6 6 - x y + x y + x y - x y - 2 x y + 2 x y - 4 x y + x y 8 3 7 4 7 3 5 5 6 2 4 4 4 2 3 3 2 + x y + x y + x y - x y - x y + x y - x y - x y - x y - x y + 1) and in Maple notation -(x^26*y^24-8*x^26*y^23+28*x^26*y^22+x^25*y^23-56*x^26*y^21-8*x^25*y^22+70*x^26 *y^20+30*x^25*y^21+x^24*y^22-56*x^26*y^19-69*x^25*y^20-8*x^24*y^21+2*x^23*y^22+ 28*x^26*y^18+106*x^25*y^19+29*x^24*y^20-16*x^23*y^21-8*x^26*y^17-111*x^25*y^18-\ 63*x^24*y^19+59*x^23*y^20+x^26*y^16+78*x^25*y^17+91*x^24*y^18-130*x^23*y^19+x^ 22*y^20-35*x^25*y^16-91*x^24*y^17+186*x^23*y^18-3*x^22*y^19+x^21*y^20+9*x^25*y^ 15+63*x^24*y^16-177*x^23*y^17-4*x^22*y^18-9*x^21*y^19-x^25*y^14-29*x^24*y^15+ 111*x^23*y^16+31*x^22*y^17+36*x^21*y^18+x^20*y^19+8*x^24*y^14-44*x^23*y^15-60*x ^22*y^16-85*x^21*y^17-6*x^20*y^18-x^24*y^13+10*x^23*y^14+59*x^22*y^15+131*x^21* y^16+18*x^20*y^17+x^19*y^18-x^23*y^13-32*x^22*y^14-136*x^21*y^15-39*x^20*y^16-9 *x^19*y^17-x^18*y^18+9*x^22*y^13+94*x^21*y^14+65*x^20*y^15+25*x^19*y^16+6*x^18* y^17-x^22*y^12-41*x^21*y^13-77*x^20*y^14-30*x^19*y^15-23*x^18*y^16-x^17*y^17+10 *x^21*y^12+60*x^20*y^13+16*x^19*y^14+55*x^18*y^15+8*x^17*y^16-x^21*y^11-29*x^20 *y^12-5*x^19*y^13-78*x^18*y^14-37*x^17*y^15-x^16*y^16+8*x^20*y^11+5*x^19*y^12+ 69*x^18*y^13+95*x^17*y^14-x^20*y^10-4*x^19*y^11-44*x^18*y^12-138*x^17*y^13-2*x^ 15*y^15+x^19*y^10+24*x^18*y^11+118*x^17*y^12+22*x^16*y^13+2*x^15*y^14-10*x^18*y ^10-62*x^17*y^11-53*x^16*y^12+9*x^15*y^13-x^14*y^14+2*x^18*y^9+22*x^17*y^10+48* x^16*y^11-13*x^15*y^12-5*x^14*y^13-6*x^17*y^9-18*x^16*y^10-5*x^15*y^11+32*x^14* y^12-2*x^13*y^13+x^17*y^8+2*x^16*y^9+15*x^15*y^10-57*x^14*y^11-x^13*y^12-5*x^15 *y^9+45*x^14*y^10+28*x^13*y^11-x^12*y^12-2*x^15*y^8-15*x^14*y^9-56*x^13*y^10+4* x^12*y^11+x^15*y^7+42*x^13*y^9+4*x^12*y^10+2*x^11*y^11+x^14*y^7-11*x^13*y^8-21* x^12*y^9-x^11*y^10+19*x^12*y^8+4*x^10*y^10-6*x^12*y^7-7*x^11*y^8+x^10*y^9+2*x^ 12*y^6+9*x^11*y^7-13*x^10*y^8+7*x^9*y^9-x^12*y^5-3*x^11*y^6+3*x^10*y^7-10*x^9*y ^8+10*x^10*y^6-x^9*y^7+9*x^8*y^8-5*x^10*y^5+3*x^9*y^6-17*x^8*y^7+3*x^9*y^5+10*x ^8*y^6+5*x^7*y^7-2*x^9*y^4-3*x^8*y^5-12*x^7*y^6+2*x^8*y^4+6*x^7*y^5-x^6*y^6-x^8 *y^3-x^7*y^4-2*x^6*y^5+x^7*y^3+x^6*y^4-x^5*y^5-2*x^5*y^4+x^6*y^2+2*x^5*y^3-7*x^ 4*y^4+4*x^4*y^3+x^4*y^2-3*x^3*y^3+2*x^3*y^2-2*x^2*y^2+x^2*y-x*y-1)/(x^27*y^24-8 *x^27*y^23+28*x^27*y^22-x^26*y^23-56*x^27*y^21+9*x^26*y^22+70*x^27*y^20-34*x^26 *y^21-56*x^27*y^19+71*x^26*y^20-x^25*y^21+x^24*y^22+28*x^27*y^18-90*x^26*y^19+6 *x^25*y^20-7*x^24*y^21-8*x^27*y^17+71*x^26*y^18-15*x^25*y^19+22*x^24*y^20-x^23* y^21+x^27*y^16-34*x^26*y^17+20*x^25*y^18-39*x^24*y^19+8*x^23*y^20+9*x^26*y^16-\ 15*x^25*y^17+39*x^24*y^18-28*x^23*y^19-x^26*y^15+6*x^25*y^16-16*x^24*y^17+55*x^ 23*y^18-x^22*y^19-x^25*y^15-8*x^24*y^16-65*x^23*y^17+5*x^22*y^18+x^21*y^19+13*x ^24*y^15+46*x^23*y^16-10*x^22*y^17-6*x^21*y^18-6*x^24*y^14-18*x^23*y^15+10*x^22 *y^16+17*x^21*y^17+x^24*y^13+3*x^23*y^14-5*x^22*y^15-31*x^21*y^16-3*x^20*y^17-x ^19*y^18+x^22*y^14+39*x^21*y^15+11*x^20*y^16+5*x^19*y^17-32*x^21*y^14-14*x^20*y ^15-10*x^19*y^16+x^18*y^17+15*x^21*y^13+7*x^20*y^14+8*x^19*y^15-6*x^18*y^16-3*x ^21*y^12-3*x^20*y^13+3*x^19*y^14+16*x^18*y^15+5*x^20*y^12-12*x^19*y^13-24*x^18* y^14-3*x^17*y^15-4*x^20*y^11+11*x^19*y^12+20*x^18*y^13+8*x^17*y^14-x^16*y^15+x^ 20*y^10-5*x^19*y^11-6*x^18*y^12-x^17*y^13+4*x^16*y^14+x^19*y^10-4*x^18*y^11-16* x^17*y^12-6*x^16*y^13+4*x^18*y^10+20*x^17*y^11+7*x^16*y^12+2*x^15*y^13-x^18*y^9 -11*x^17*y^10-11*x^16*y^11-11*x^15*y^12+4*x^17*y^9+13*x^16*y^10+20*x^15*y^11-x^ 14*y^12-x^17*y^8-8*x^16*y^9-12*x^15*y^10+6*x^14*y^11-x^13*y^12+2*x^16*y^8-3*x^ 15*y^9-10*x^14*y^10+5*x^13*y^11+5*x^15*y^8+4*x^14*y^9-5*x^13*y^10+4*x^12*y^11-x ^15*y^7+3*x^14*y^8-x^13*y^9-12*x^12*y^10-2*x^14*y^7+13*x^12*y^9-x^11*y^10+4*x^ 13*y^7-4*x^12*y^8+6*x^11*y^9-2*x^13*y^6-x^12*y^7-8*x^11*y^8-x^10*y^9-x^12*y^6+2 *x^11*y^7+2*x^10*y^8+x^9*y^9+x^12*y^5+x^11*y^6-2*x^9*y^8-2*x^10*y^6+2*x^9*y^7-x ^8*y^8+x^10*y^5+x^8*y^7-x^9*y^5-2*x^8*y^6+2*x^7*y^6-4*x^7*y^5+x^6*y^6+x^8*y^3+x ^7*y^4+x^7*y^3-x^5*y^5-x^6*y^2+x^4*y^4-x^4*y^2-x^3*y^3-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (a + 4 a + 7 a + 10 a + 9 a + 6 a + 3 a - 4 a - 3 a - 2 a - 1) / 7 4 2 / ((8 a + 5 a + 3 a + 2 a + 1) / 7 6 5 4 3 2 (a + a + a + 2 a + a + a + a + 1)) 8 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.7169514370 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7176617283 ------------------------------------------------ "Theorem Number 108" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 17 22 16 21 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y - 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 15 21 16 20 17 22 14 21 15 22 13 + 15 x y + 20 x y - x y - 20 x y - 57 x y + 15 x y 21 14 20 15 19 16 22 12 21 13 + 90 x y + 22 x y + 2 x y - 6 x y - 85 x y 20 14 19 15 18 16 22 11 21 12 20 13 - 76 x y - 15 x y + 3 x y + x y + 48 x y + 120 x y 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 + 45 x y - 11 x y - 15 x y - 104 x y - 70 x y 18 14 17 15 21 10 20 11 19 12 18 13 + 9 x y - x y + 2 x y + 50 x y + 60 x y + 12 x y 17 14 16 15 20 10 19 11 18 12 + 7 x y - 2 x y - 12 x y - 27 x y - 21 x y 17 13 16 14 20 9 19 10 18 11 17 12 - 22 x y + 11 x y + x y + 5 x y + x y + 37 x y 16 13 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 - 19 x y + 15 x y - 31 x y + 2 x y + 9 x y - 10 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 + 5 x y + 29 x y - 24 x y - 7 x y + 2 x y + 12 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 - 29 x y + 18 x y + 24 x y - x y - 9 x y + 2 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 - 8 x y - 28 x y - x y + 2 x y + 11 x y + 23 x y 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 + 19 x y + 2 x y + x y - 6 x y - 30 x y - 24 x y 13 10 12 11 16 6 15 7 14 8 13 9 + 8 x y - 4 x y + x y + 14 x y + 26 x y - 7 x y 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 + 5 x y - 4 x y - 2 x y - 11 x y - 11 x y - 6 x y 11 10 14 6 13 7 12 8 10 10 13 6 + 8 x y + x y + 13 x y + 12 x y - 6 x y - 2 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 - 15 x y - 10 x y + 21 x y - x y + 8 x y + 13 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 12 4 - 33 x y - 9 x y - 14 x y + 22 x y + 29 x y - x y 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 11 3 + 8 x y + x y - 27 x y - 6 x y + 6 x y + 9 x y - x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 - x y - 8 x y - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y + 9 x y 7 5 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 7 2 - 4 x y + 2 x y - x y + 6 x y - x y - 6 x y + x y + x y 5 4 5 3 4 4 6 5 2 4 3 5 4 2 - x y + 2 x y + 7 x y + x y - x y - 6 x y - x y + x y 3 3 3 2 2 2 2 / 20 14 + 3 x y - 3 x y + 2 x y - x y + x y - x + 1) / (x y / 20 13 20 12 19 13 18 14 20 11 19 12 - 5 x y + 10 x y + x y - x y - 10 x y - 4 x y 18 13 20 10 19 11 18 12 20 9 19 10 + 4 x y + 5 x y + 6 x y - 6 x y - x y - 4 x y 18 11 19 9 18 10 16 11 16 10 16 9 + 4 x y + x y - x y - 2 x y + 8 x y - 11 x y 15 10 14 11 16 8 15 9 14 10 16 7 - 2 x y + 2 x y + 5 x y + 4 x y - 4 x y + x y 14 9 16 6 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 + x y - x y - 4 x y + x y + x y - x y + 2 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 + x y - x y + 3 x y - x y - x y - x y - 2 x y 11 9 13 6 12 7 12 6 11 7 10 8 12 5 + x y + x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y 10 7 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 + 2 x y - x y - 5 x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y 9 6 8 7 11 3 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 - 6 x y + x y + x y + 3 x y + x y - x y + x y + 3 x y 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + 2 x y - 4 x y - 2 x y - x y - 2 x y + x y + 6 x y + x y 7 2 6 3 5 4 6 2 4 4 6 5 2 5 4 2 + x y - 2 x y - x y - 2 x y - x y - x y + x y + x y - x y 3 3 3 2 2 + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^22*y^17-6*x^22*y^16-3*x^21*y^17+15*x^22*y^15+20*x^21*y^16-x^20*y^17-20*x^22 *y^14-57*x^21*y^15+15*x^22*y^13+90*x^21*y^14+22*x^20*y^15+2*x^19*y^16-6*x^22*y^ 12-85*x^21*y^13-76*x^20*y^14-15*x^19*y^15+3*x^18*y^16+x^22*y^11+48*x^21*y^12+ 120*x^20*y^13+45*x^19*y^14-11*x^18*y^15-15*x^21*y^11-104*x^20*y^12-70*x^19*y^13 +9*x^18*y^14-x^17*y^15+2*x^21*y^10+50*x^20*y^11+60*x^19*y^12+12*x^18*y^13+7*x^ 17*y^14-2*x^16*y^15-12*x^20*y^10-27*x^19*y^11-21*x^18*y^12-22*x^17*y^13+11*x^16 *y^14+x^20*y^9+5*x^19*y^10+x^18*y^11+37*x^17*y^12-19*x^16*y^13+15*x^18*y^10-31* x^17*y^11+2*x^16*y^12+9*x^15*y^13-10*x^18*y^9+5*x^17*y^10+29*x^16*y^11-24*x^15* y^12-7*x^14*y^13+2*x^18*y^8+12*x^17*y^9-29*x^16*y^10+18*x^15*y^11+24*x^14*y^12- x^13*y^13-9*x^17*y^8+2*x^16*y^9-8*x^15*y^10-28*x^14*y^11-x^13*y^12+2*x^17*y^7+ 11*x^16*y^8+23*x^15*y^9+19*x^14*y^10+2*x^13*y^11+x^12*y^12-6*x^16*y^7-30*x^15*y ^8-24*x^14*y^9+8*x^13*y^10-4*x^12*y^11+x^16*y^6+14*x^15*y^7+26*x^14*y^8-7*x^13* y^9+5*x^12*y^10-4*x^11*y^11-2*x^15*y^6-11*x^14*y^7-11*x^13*y^8-6*x^12*y^9+8*x^ 11*y^10+x^14*y^6+13*x^13*y^7+12*x^12*y^8-6*x^10*y^10-2*x^13*y^6-15*x^12*y^7-10* x^11*y^8+21*x^10*y^9-x^13*y^5+8*x^12*y^6+13*x^11*y^7-33*x^10*y^8-9*x^9*y^9-14*x ^11*y^6+22*x^10*y^7+29*x^9*y^8-x^12*y^4+8*x^11*y^5+x^10*y^6-27*x^9*y^7-6*x^10*y ^5+6*x^9*y^6+9*x^8*y^7-x^11*y^3-x^9*y^5-8*x^8*y^6-4*x^7*y^7+x^10*y^3+2*x^9*y^4-\ 2*x^8*y^5+9*x^7*y^6-4*x^7*y^5+2*x^8*y^3-x^7*y^4+6*x^6*y^5-x^7*y^3-6*x^6*y^4+x^5 *y^5+x^7*y^2-x^5*y^4+2*x^5*y^3+7*x^4*y^4+x^6*y-x^5*y^2-6*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+ 3*x^3*y^3-3*x^3*y^2+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^20*y^14-5*x^20*y^13+10*x^20*y^ 12+x^19*y^13-x^18*y^14-10*x^20*y^11-4*x^19*y^12+4*x^18*y^13+5*x^20*y^10+6*x^19* y^11-6*x^18*y^12-x^20*y^9-4*x^19*y^10+4*x^18*y^11+x^19*y^9-x^18*y^10-2*x^16*y^ 11+8*x^16*y^10-11*x^16*y^9-2*x^15*y^10+2*x^14*y^11+5*x^16*y^8+4*x^15*y^9-4*x^14 *y^10+x^16*y^7+x^14*y^9-x^16*y^6-4*x^15*y^7+x^14*y^8+x^13*y^9-x^12*y^10+2*x^15* y^6+x^14*y^7-x^13*y^8+3*x^12*y^9-x^11*y^10-x^14*y^6-x^13*y^7-2*x^12*y^8+x^11*y^ 9+x^13*y^6-2*x^12*y^7+2*x^12*y^6+2*x^11*y^7-2*x^10*y^8+x^12*y^5+2*x^10*y^7-x^12 *y^4-5*x^11*y^5+x^10*y^6+2*x^9*y^7-x^8*y^8+2*x^11*y^4-6*x^9*y^6+x^8*y^7+x^11*y^ 3+3*x^9*y^5+x^8*y^6-x^10*y^3+x^9*y^4+3*x^8*y^5+2*x^7*y^6-4*x^8*y^4-2*x^7*y^5-x^ 7*y^4-2*x^6*y^5+x^7*y^3+6*x^6*y^4+x^5*y^5+x^7*y^2-2*x^6*y^3-x^5*y^4-2*x^6*y^2-x ^4*y^4-x^6*y+x^5*y^2+x^5*y-x^4*y^2+x^3*y^3+x^3*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (3 a - 6 a 12 11 10 9 8 7 6 5 4 + 10 a - 12 a + 13 a - 12 a + 18 a - 11 a + 7 a - 2 a + 5 a 2 / 6 5 4 3 2 - 2 a - 1) / ((7 a - 6 a + 10 a - 8 a + 6 a - 2 a + 2) / 8 6 4 2 (a + a + 2 a + a + 1)) where a is the root of the polynomial, 7 6 5 4 3 2 x - x + 2 x - 2 x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7168728122 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7175341376 ------------------------------------------------ "Theorem Number 109" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [2, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 17 22 16 21 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y - 3 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 15 21 16 20 17 22 14 21 15 22 13 + 15 x y + 20 x y - x y - 20 x y - 57 x y + 15 x y 21 14 20 15 19 16 22 12 21 13 + 90 x y + 22 x y + 2 x y - 6 x y - 85 x y 20 14 19 15 18 16 22 11 21 12 20 13 - 76 x y - 15 x y + 3 x y + x y + 48 x y + 120 x y 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 + 45 x y - 11 x y - 15 x y - 104 x y - 70 x y 18 14 17 15 21 10 20 11 19 12 18 13 + 9 x y - x y + 2 x y + 50 x y + 60 x y + 12 x y 17 14 16 15 20 10 19 11 18 12 + 7 x y - 2 x y - 12 x y - 27 x y - 21 x y 17 13 16 14 20 9 19 10 18 11 17 12 - 22 x y + 11 x y + x y + 5 x y + x y + 37 x y 16 13 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 - 19 x y + 15 x y - 31 x y + 2 x y + 9 x y - 10 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 + 5 x y + 29 x y - 24 x y - 7 x y + 2 x y + 12 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 - 29 x y + 18 x y + 24 x y - x y - 9 x y + 2 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 - 8 x y - 28 x y - x y + 2 x y + 11 x y + 23 x y 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 + 19 x y + 2 x y + x y - 6 x y - 30 x y - 24 x y 13 10 12 11 16 6 15 7 14 8 13 9 + 8 x y - 4 x y + x y + 14 x y + 26 x y - 7 x y 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 + 5 x y - 4 x y - 2 x y - 11 x y - 11 x y - 6 x y 11 10 14 6 13 7 12 8 10 10 13 6 + 8 x y + x y + 13 x y + 12 x y - 6 x y - 2 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 - 15 x y - 10 x y + 21 x y - x y + 8 x y + 13 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 12 4 - 33 x y - 9 x y - 14 x y + 22 x y + 29 x y - x y 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 11 3 + 8 x y + x y - 27 x y - 6 x y + 6 x y + 9 x y - x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 - x y - 8 x y - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y + 9 x y 7 5 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 7 2 - 4 x y + 2 x y - x y + 6 x y - x y - 6 x y + x y + x y 5 4 5 3 4 4 6 5 2 4 3 5 4 2 - x y + 2 x y + 7 x y + x y - x y - 6 x y - x y + x y 3 3 3 2 2 2 2 / 20 14 + 3 x y - 3 x y + 2 x y - x y + x y - x + 1) / (x y / 20 13 20 12 19 13 18 14 20 11 19 12 - 5 x y + 10 x y + x y - x y - 10 x y - 4 x y 18 13 20 10 19 11 18 12 20 9 19 10 + 4 x y + 5 x y + 6 x y - 6 x y - x y - 4 x y 18 11 19 9 18 10 16 11 16 10 16 9 + 4 x y + x y - x y - 2 x y + 8 x y - 11 x y 15 10 14 11 16 8 15 9 14 10 16 7 - 2 x y + 2 x y + 5 x y + 4 x y - 4 x y + x y 14 9 16 6 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 + x y - x y - 4 x y + x y + x y - x y + 2 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 + x y - x y + 3 x y - x y - x y - x y - 2 x y 11 9 13 6 12 7 12 6 11 7 10 8 12 5 + x y + x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y 10 7 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 + 2 x y - x y - 5 x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y 9 6 8 7 11 3 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 - 6 x y + x y + x y + 3 x y + x y - x y + x y + 3 x y 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + 2 x y - 4 x y - 2 x y - x y - 2 x y + x y + 6 x y + x y 7 2 6 3 5 4 6 2 4 4 6 5 2 5 4 2 + x y - 2 x y - x y - 2 x y - x y - x y + x y + x y - x y 3 3 3 2 2 + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^22*y^17-6*x^22*y^16-3*x^21*y^17+15*x^22*y^15+20*x^21*y^16-x^20*y^17-20*x^22 *y^14-57*x^21*y^15+15*x^22*y^13+90*x^21*y^14+22*x^20*y^15+2*x^19*y^16-6*x^22*y^ 12-85*x^21*y^13-76*x^20*y^14-15*x^19*y^15+3*x^18*y^16+x^22*y^11+48*x^21*y^12+ 120*x^20*y^13+45*x^19*y^14-11*x^18*y^15-15*x^21*y^11-104*x^20*y^12-70*x^19*y^13 +9*x^18*y^14-x^17*y^15+2*x^21*y^10+50*x^20*y^11+60*x^19*y^12+12*x^18*y^13+7*x^ 17*y^14-2*x^16*y^15-12*x^20*y^10-27*x^19*y^11-21*x^18*y^12-22*x^17*y^13+11*x^16 *y^14+x^20*y^9+5*x^19*y^10+x^18*y^11+37*x^17*y^12-19*x^16*y^13+15*x^18*y^10-31* x^17*y^11+2*x^16*y^12+9*x^15*y^13-10*x^18*y^9+5*x^17*y^10+29*x^16*y^11-24*x^15* y^12-7*x^14*y^13+2*x^18*y^8+12*x^17*y^9-29*x^16*y^10+18*x^15*y^11+24*x^14*y^12- x^13*y^13-9*x^17*y^8+2*x^16*y^9-8*x^15*y^10-28*x^14*y^11-x^13*y^12+2*x^17*y^7+ 11*x^16*y^8+23*x^15*y^9+19*x^14*y^10+2*x^13*y^11+x^12*y^12-6*x^16*y^7-30*x^15*y ^8-24*x^14*y^9+8*x^13*y^10-4*x^12*y^11+x^16*y^6+14*x^15*y^7+26*x^14*y^8-7*x^13* y^9+5*x^12*y^10-4*x^11*y^11-2*x^15*y^6-11*x^14*y^7-11*x^13*y^8-6*x^12*y^9+8*x^ 11*y^10+x^14*y^6+13*x^13*y^7+12*x^12*y^8-6*x^10*y^10-2*x^13*y^6-15*x^12*y^7-10* x^11*y^8+21*x^10*y^9-x^13*y^5+8*x^12*y^6+13*x^11*y^7-33*x^10*y^8-9*x^9*y^9-14*x ^11*y^6+22*x^10*y^7+29*x^9*y^8-x^12*y^4+8*x^11*y^5+x^10*y^6-27*x^9*y^7-6*x^10*y ^5+6*x^9*y^6+9*x^8*y^7-x^11*y^3-x^9*y^5-8*x^8*y^6-4*x^7*y^7+x^10*y^3+2*x^9*y^4-\ 2*x^8*y^5+9*x^7*y^6-4*x^7*y^5+2*x^8*y^3-x^7*y^4+6*x^6*y^5-x^7*y^3-6*x^6*y^4+x^5 *y^5+x^7*y^2-x^5*y^4+2*x^5*y^3+7*x^4*y^4+x^6*y-x^5*y^2-6*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+ 3*x^3*y^3-3*x^3*y^2+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^20*y^14-5*x^20*y^13+10*x^20*y^ 12+x^19*y^13-x^18*y^14-10*x^20*y^11-4*x^19*y^12+4*x^18*y^13+5*x^20*y^10+6*x^19* y^11-6*x^18*y^12-x^20*y^9-4*x^19*y^10+4*x^18*y^11+x^19*y^9-x^18*y^10-2*x^16*y^ 11+8*x^16*y^10-11*x^16*y^9-2*x^15*y^10+2*x^14*y^11+5*x^16*y^8+4*x^15*y^9-4*x^14 *y^10+x^16*y^7+x^14*y^9-x^16*y^6-4*x^15*y^7+x^14*y^8+x^13*y^9-x^12*y^10+2*x^15* y^6+x^14*y^7-x^13*y^8+3*x^12*y^9-x^11*y^10-x^14*y^6-x^13*y^7-2*x^12*y^8+x^11*y^ 9+x^13*y^6-2*x^12*y^7+2*x^12*y^6+2*x^11*y^7-2*x^10*y^8+x^12*y^5+2*x^10*y^7-x^12 *y^4-5*x^11*y^5+x^10*y^6+2*x^9*y^7-x^8*y^8+2*x^11*y^4-6*x^9*y^6+x^8*y^7+x^11*y^ 3+3*x^9*y^5+x^8*y^6-x^10*y^3+x^9*y^4+3*x^8*y^5+2*x^7*y^6-4*x^8*y^4-2*x^7*y^5-x^ 7*y^4-2*x^6*y^5+x^7*y^3+6*x^6*y^4+x^5*y^5+x^7*y^2-2*x^6*y^3-x^5*y^4-2*x^6*y^2-x ^4*y^4-x^6*y+x^5*y^2+x^5*y-x^4*y^2+x^3*y^3+x^3*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (3 a - 6 a 12 11 10 9 8 7 6 5 4 + 10 a - 12 a + 13 a - 12 a + 18 a - 11 a + 7 a - 2 a + 5 a 2 / 6 5 4 3 2 - 2 a - 1) / ((7 a - 6 a + 10 a - 8 a + 6 a - 2 a + 2) / 8 6 4 2 (a + a + 2 a + a + 1)) where a is the root of the polynomial, 7 6 5 4 3 2 x - x + 2 x - 2 x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7168728122 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7175341376 ------------------------------------------------ "Theorem Number 110" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 20 23 19 23 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + 21 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 17 22 18 21 19 23 16 22 17 21 18 - 35 x y + x y - x y + 35 x y - 6 x y + 6 x y 23 15 22 16 21 17 23 14 22 15 - 21 x y + 15 x y - 15 x y + 7 x y - 20 x y 21 16 20 17 23 13 22 14 21 15 20 16 + 20 x y - 3 x y - x y + 15 x y - 15 x y + 17 x y 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 22 12 + x y - 6 x y + 6 x y - 40 x y - 9 x y + x y 21 13 20 14 19 15 18 16 20 13 19 14 - x y + 50 x y + 33 x y + 5 x y - 35 x y - 64 x y 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 17 15 - 29 x y - x y + 13 x y + 71 x y + 68 x y + 9 x y 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 - 2 x y - 45 x y - 80 x y - 28 x y - 3 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 + 15 x y + 45 x y + 39 x y + 16 x y - 2 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 17 11 - 5 x y - 22 x y - 33 x y - x y - 6 x y - 2 x y 16 12 18 9 17 10 16 11 15 12 17 9 + 30 x y + 2 x y + 7 x y - 6 x y + 11 x y - 2 x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 - 9 x y - 29 x y + 3 x y + 6 x y + 36 x y - 7 x y 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 + 2 x y - x y - 23 x y + 2 x y - x y + 6 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 5 x y - 9 x y - 2 x y - 2 x y + 15 x y + 16 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 - 2 x y - 11 x y - 34 x y - 4 x y + x y + 6 x y 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 + 25 x y + 18 x y - 2 x y - x y - 22 x y - 8 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 - 5 x y + 6 x y + 20 x y - 2 x y + x y + 2 x y 10 7 9 8 11 5 9 7 8 8 11 4 9 6 - 13 x y + 6 x y + x y - 6 x y - 3 x y - x y + 4 x y 8 7 10 4 9 5 7 7 8 5 8 4 7 5 8 3 + 3 x y + x y - 2 x y - 3 x y + 4 x y - 5 x y - x y + x y 7 4 6 5 7 3 5 5 6 3 5 4 6 2 + 6 x y - 4 x y - 3 x y + 2 x y + 4 x y - 5 x y - x y 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 4 3 2 + x y + 7 x y + 2 x y - 8 x y + x y + 4 x y + x y - 4 x y 2 2 2 / 17 12 17 11 17 10 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 3 x y + 3 x y / 16 11 15 12 17 9 16 10 15 11 16 9 - 2 x y + x y - x y + 6 x y - 2 x y - 6 x y 14 11 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 - 2 x y + 2 x y + 2 x y + 6 x y - x y - x y 14 9 13 10 14 8 13 9 12 10 12 9 12 8 - 6 x y + 2 x y + 2 x y - x y + x y - 2 x y + x y 11 9 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - x y + 2 x y + x y + x y - 4 x y - 2 x y - x y 12 5 11 6 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 + 2 x y + 3 x y + x y - x y - x y - 2 x y + x y 10 4 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 8 3 + x y + x y + 2 x y - x y - 5 x y + 2 x y + 2 x y + x y 6 5 7 3 6 4 5 4 6 2 5 3 4 4 4 2 4 - 2 x y - x y + 2 x y + x y - x y - x y - x y + x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^23*y^20-7*x^23*y^19+21*x^23*y^18-35*x^23*y^17+x^22*y^18-x^21*y^19+35*x^23*y^ 16-6*x^22*y^17+6*x^21*y^18-21*x^23*y^15+15*x^22*y^16-15*x^21*y^17+7*x^23*y^14-\ 20*x^22*y^15+20*x^21*y^16-3*x^20*y^17-x^23*y^13+15*x^22*y^14-15*x^21*y^15+17*x^ 20*y^16+x^19*y^17-6*x^22*y^13+6*x^21*y^14-40*x^20*y^15-9*x^19*y^16+x^22*y^12-x^ 21*y^13+50*x^20*y^14+33*x^19*y^15+5*x^18*y^16-35*x^20*y^13-64*x^19*y^14-29*x^18 *y^15-x^17*y^16+13*x^20*y^12+71*x^19*y^13+68*x^18*y^14+9*x^17*y^15-2*x^20*y^11-\ 45*x^19*y^12-80*x^18*y^13-28*x^17*y^14-3*x^16*y^15+15*x^19*y^11+45*x^18*y^12+39 *x^17*y^13+16*x^16*y^14-2*x^19*y^10-5*x^18*y^11-22*x^17*y^12-33*x^16*y^13-x^15* y^14-6*x^18*y^10-2*x^17*y^11+30*x^16*y^12+2*x^18*y^9+7*x^17*y^10-6*x^16*y^11+11 *x^15*y^12-2*x^17*y^9-9*x^16*y^10-29*x^15*y^11+3*x^14*y^12+6*x^16*y^9+36*x^15*y ^10-7*x^14*y^11+2*x^13*y^12-x^16*y^8-23*x^15*y^9+2*x^14*y^10-x^13*y^11+6*x^15*y ^8+5*x^14*y^9-9*x^13*y^10-2*x^12*y^11-2*x^14*y^8+15*x^13*y^9+16*x^12*y^10-2*x^ 14*y^7-11*x^13*y^8-34*x^12*y^9-4*x^11*y^10+x^14*y^6+6*x^13*y^7+25*x^12*y^8+18*x ^11*y^9-2*x^13*y^6-x^12*y^7-22*x^11*y^8-8*x^10*y^9-5*x^12*y^6+6*x^11*y^7+20*x^ 10*y^8-2*x^9*y^9+x^12*y^5+2*x^11*y^6-13*x^10*y^7+6*x^9*y^8+x^11*y^5-6*x^9*y^7-3 *x^8*y^8-x^11*y^4+4*x^9*y^6+3*x^8*y^7+x^10*y^4-2*x^9*y^5-3*x^7*y^7+4*x^8*y^5-5* x^8*y^4-x^7*y^5+x^8*y^3+6*x^7*y^4-4*x^6*y^5-3*x^7*y^3+2*x^5*y^5+4*x^6*y^3-5*x^5 *y^4-x^6*y^2+x^5*y^3+7*x^4*y^4+2*x^5*y^2-8*x^4*y^3+x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-4*x^ 3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^17*y^12-3*x^17*y^11+3*x^17*y^10-2*x^16*y^11 +x^15*y^12-x^17*y^9+6*x^16*y^10-2*x^15*y^11-6*x^16*y^9-2*x^14*y^11+2*x^16*y^8+2 *x^15*y^9+6*x^14*y^10-x^13*y^11-x^15*y^8-6*x^14*y^9+2*x^13*y^10+2*x^14*y^8-x^13 *y^9+x^12*y^10-2*x^12*y^9+x^12*y^8-x^11*y^9+2*x^12*y^7+x^11*y^8+x^10*y^9-4*x^12 *y^6-2*x^11*y^7-x^10*y^8+2*x^12*y^5+3*x^11*y^6+x^10*y^6-x^9*y^7-x^11*y^4-2*x^10 *y^5+x^9*y^6+x^10*y^4+x^9*y^5+2*x^8*y^6-x^9*y^4-5*x^8*y^5+2*x^7*y^6+2*x^8*y^4+x ^8*y^3-2*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^5*y^4-x^6*y^2-x^5*y^3-x^4*y^4+x^4*y^2+x^4* y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7138463392 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 111" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [1, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 20 23 19 23 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + 21 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 17 22 18 21 19 23 16 22 17 21 18 - 35 x y + x y - x y + 35 x y - 6 x y + 6 x y 23 15 22 16 21 17 23 14 22 15 - 21 x y + 15 x y - 15 x y + 7 x y - 20 x y 21 16 20 17 23 13 22 14 21 15 20 16 + 20 x y - 3 x y - x y + 15 x y - 15 x y + 17 x y 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 22 12 + x y - 6 x y + 6 x y - 40 x y - 9 x y + x y 21 13 20 14 19 15 18 16 20 13 19 14 - x y + 50 x y + 33 x y + 5 x y - 35 x y - 64 x y 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 17 15 - 29 x y - x y + 13 x y + 71 x y + 68 x y + 9 x y 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 - 2 x y - 45 x y - 80 x y - 28 x y - 3 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 + 15 x y + 45 x y + 39 x y + 16 x y - 2 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 17 11 - 5 x y - 22 x y - 33 x y - x y - 6 x y - 2 x y 16 12 18 9 17 10 16 11 15 12 17 9 + 30 x y + 2 x y + 7 x y - 6 x y + 11 x y - 2 x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 - 9 x y - 29 x y + 3 x y + 6 x y + 36 x y - 7 x y 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 + 2 x y - x y - 23 x y + 2 x y - x y + 6 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 5 x y - 9 x y - 2 x y - 2 x y + 15 x y + 16 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 - 2 x y - 11 x y - 34 x y - 4 x y + x y + 6 x y 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 + 25 x y + 18 x y - 2 x y - x y - 22 x y - 8 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 - 5 x y + 6 x y + 20 x y - 2 x y + x y + 2 x y 10 7 9 8 11 5 9 7 8 8 11 4 9 6 - 13 x y + 6 x y + x y - 6 x y - 3 x y - x y + 4 x y 8 7 10 4 9 5 7 7 8 5 8 4 7 5 8 3 + 3 x y + x y - 2 x y - 3 x y + 4 x y - 5 x y - x y + x y 7 4 6 5 7 3 5 5 6 3 5 4 6 2 + 6 x y - 4 x y - 3 x y + 2 x y + 4 x y - 5 x y - x y 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 4 3 2 + x y + 7 x y + 2 x y - 8 x y + x y + 4 x y + x y - 4 x y 2 2 2 / 17 12 17 11 17 10 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 3 x y + 3 x y / 16 11 15 12 17 9 16 10 15 11 16 9 - 2 x y + x y - x y + 6 x y - 2 x y - 6 x y 14 11 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 - 2 x y + 2 x y + 2 x y + 6 x y - x y - x y 14 9 13 10 14 8 13 9 12 10 12 9 12 8 - 6 x y + 2 x y + 2 x y - x y + x y - 2 x y + x y 11 9 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - x y + 2 x y + x y + x y - 4 x y - 2 x y - x y 12 5 11 6 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 + 2 x y + 3 x y + x y - x y - x y - 2 x y + x y 10 4 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 8 3 + x y + x y + 2 x y - x y - 5 x y + 2 x y + 2 x y + x y 6 5 7 3 6 4 5 4 6 2 5 3 4 4 4 2 4 - 2 x y - x y + 2 x y + x y - x y - x y - x y + x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^23*y^20-7*x^23*y^19+21*x^23*y^18-35*x^23*y^17+x^22*y^18-x^21*y^19+35*x^23*y^ 16-6*x^22*y^17+6*x^21*y^18-21*x^23*y^15+15*x^22*y^16-15*x^21*y^17+7*x^23*y^14-\ 20*x^22*y^15+20*x^21*y^16-3*x^20*y^17-x^23*y^13+15*x^22*y^14-15*x^21*y^15+17*x^ 20*y^16+x^19*y^17-6*x^22*y^13+6*x^21*y^14-40*x^20*y^15-9*x^19*y^16+x^22*y^12-x^ 21*y^13+50*x^20*y^14+33*x^19*y^15+5*x^18*y^16-35*x^20*y^13-64*x^19*y^14-29*x^18 *y^15-x^17*y^16+13*x^20*y^12+71*x^19*y^13+68*x^18*y^14+9*x^17*y^15-2*x^20*y^11-\ 45*x^19*y^12-80*x^18*y^13-28*x^17*y^14-3*x^16*y^15+15*x^19*y^11+45*x^18*y^12+39 *x^17*y^13+16*x^16*y^14-2*x^19*y^10-5*x^18*y^11-22*x^17*y^12-33*x^16*y^13-x^15* y^14-6*x^18*y^10-2*x^17*y^11+30*x^16*y^12+2*x^18*y^9+7*x^17*y^10-6*x^16*y^11+11 *x^15*y^12-2*x^17*y^9-9*x^16*y^10-29*x^15*y^11+3*x^14*y^12+6*x^16*y^9+36*x^15*y ^10-7*x^14*y^11+2*x^13*y^12-x^16*y^8-23*x^15*y^9+2*x^14*y^10-x^13*y^11+6*x^15*y ^8+5*x^14*y^9-9*x^13*y^10-2*x^12*y^11-2*x^14*y^8+15*x^13*y^9+16*x^12*y^10-2*x^ 14*y^7-11*x^13*y^8-34*x^12*y^9-4*x^11*y^10+x^14*y^6+6*x^13*y^7+25*x^12*y^8+18*x ^11*y^9-2*x^13*y^6-x^12*y^7-22*x^11*y^8-8*x^10*y^9-5*x^12*y^6+6*x^11*y^7+20*x^ 10*y^8-2*x^9*y^9+x^12*y^5+2*x^11*y^6-13*x^10*y^7+6*x^9*y^8+x^11*y^5-6*x^9*y^7-3 *x^8*y^8-x^11*y^4+4*x^9*y^6+3*x^8*y^7+x^10*y^4-2*x^9*y^5-3*x^7*y^7+4*x^8*y^5-5* x^8*y^4-x^7*y^5+x^8*y^3+6*x^7*y^4-4*x^6*y^5-3*x^7*y^3+2*x^5*y^5+4*x^6*y^3-5*x^5 *y^4-x^6*y^2+x^5*y^3+7*x^4*y^4+2*x^5*y^2-8*x^4*y^3+x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-4*x^ 3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^17*y^12-3*x^17*y^11+3*x^17*y^10-2*x^16*y^11 +x^15*y^12-x^17*y^9+6*x^16*y^10-2*x^15*y^11-6*x^16*y^9-2*x^14*y^11+2*x^16*y^8+2 *x^15*y^9+6*x^14*y^10-x^13*y^11-x^15*y^8-6*x^14*y^9+2*x^13*y^10+2*x^14*y^8-x^13 *y^9+x^12*y^10-2*x^12*y^9+x^12*y^8-x^11*y^9+2*x^12*y^7+x^11*y^8+x^10*y^9-4*x^12 *y^6-2*x^11*y^7-x^10*y^8+2*x^12*y^5+3*x^11*y^6+x^10*y^6-x^9*y^7-x^11*y^4-2*x^10 *y^5+x^9*y^6+x^10*y^4+x^9*y^5+2*x^8*y^6-x^9*y^4-5*x^8*y^5+2*x^7*y^6+2*x^8*y^4+x ^8*y^3-2*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^5*y^4-x^6*y^2-x^5*y^3-x^4*y^4+x^4*y^2+x^4* y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7138463392 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 112" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [1, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 25 23 25 22 25 21 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 10 x y + 45 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 25 20 24 21 23 22 25 19 24 20 23 21 - 120 x y - x y + x y + 210 x y + 9 x y - 11 x y 25 18 24 19 23 20 25 17 24 18 - 252 x y - 36 x y + 53 x y + 210 x y + 84 x y 23 19 25 16 24 17 23 18 22 19 - 147 x y - 120 x y - 126 x y + 259 x y - x y 21 20 25 15 24 16 23 17 22 18 21 19 - x y + 45 x y + 126 x y - 301 x y + 8 x y + 9 x y 25 14 24 15 23 16 22 17 21 18 - 10 x y - 84 x y + 231 x y - 29 x y - 38 x y 20 19 25 13 24 14 23 15 22 16 21 17 - x y + x y + 36 x y - 113 x y + 62 x y + 96 x y 20 18 24 13 23 14 22 15 21 16 20 17 + x y - 9 x y + 32 x y - 85 x y - 157 x y + 14 x y 24 12 23 13 22 14 21 15 20 16 19 17 + x y - 4 x y + 76 x y + 172 x y - 51 x y - 6 x y 22 13 21 14 20 15 19 16 18 17 - 43 x y - 129 x y + 81 x y + 31 x y - 2 x y 22 12 21 13 20 14 19 15 18 16 17 17 + 14 x y + 68 x y - 74 x y - 62 x y + 5 x y - x y 22 11 21 12 20 13 19 14 17 16 21 11 - 2 x y - 26 x y + 44 x y + 53 x y + x y + 7 x y 20 12 18 14 17 15 16 16 21 10 20 11 - 19 x y - 9 x y + 3 x y - x y - x y + 6 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 - 39 x y + 7 x y - 8 x y + 6 x y - x y + 34 x y 18 12 17 13 16 14 15 15 19 10 18 11 - x y + 21 x y - 26 x y + x y - 13 x y + 2 x y 17 12 16 13 15 14 19 9 18 10 17 11 - 42 x y + 64 x y - 6 x y + 2 x y - 3 x y + 41 x y 16 12 15 13 14 14 18 9 17 10 16 11 - 79 x y + 10 x y + 2 x y + x y - 16 x y + 40 x y 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 13 13 + x y - 12 x y + 7 x y - 22 x y + 34 x y - x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 + x y - 17 x y + 27 x y - 61 x y + 8 x y + 7 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 - 11 x y + 69 x y - 21 x y + 2 x y - x y - 2 x y 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 - 43 x y + 19 x y + 2 x y + 11 x y + 6 x y - 13 x y 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 + 7 x y - 21 x y + 21 x y - 15 x y + 12 x y - 12 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 + 12 x y + 4 x y - 2 x y - x y - 7 x y - 9 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 + 5 x y + x y + 14 x y - 6 x y - 2 x y + 4 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 - 18 x y + 15 x y - 2 x y + 11 x y - 11 x y - x y 10 5 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 - 2 x y + 9 x y + 4 x y - 19 x y + 4 x y - 2 x y + 14 x y 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 - 13 x y - 3 x y + 11 x y - 5 x y - x y + x y - x y 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 + 4 x y - 8 x y - x y + 9 x y - 2 x y + 3 x y - x y - x y 3 3 3 2 / 22 18 22 17 22 16 + 2 x y - 2 x y + 1) / (x y - 7 x y + 21 x y / 22 15 21 16 20 17 22 14 21 15 20 16 - 35 x y + x y + x y + 35 x y - 5 x y - 6 x y 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 22 12 + x y - 21 x y + 10 x y + 16 x y - 6 x y + 7 x y 21 13 20 14 19 15 18 16 22 11 21 12 - 10 x y - 26 x y + 18 x y - x y - x y + 5 x y 20 13 19 14 18 15 17 16 21 11 20 12 + 29 x y - 35 x y + 8 x y + x y - x y - 22 x y 19 13 18 14 17 15 20 11 19 12 + 47 x y - 22 x y - 5 x y + 10 x y - 44 x y 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 18 12 + 28 x y + 10 x y - x y - 2 x y + 28 x y - 18 x y 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 - 11 x y + 8 x y - 11 x y + 7 x y + 10 x y 16 13 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 - 23 x y + 2 x y - 3 x y - 12 x y + 36 x y - x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 + x y + 13 x y - 35 x y + 7 x y + x y - 8 x y 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 + 21 x y - 17 x y - 8 x y + 2 x y - 8 x y + 17 x y 14 11 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 + 19 x y + 3 x y - 4 x y - 20 x y + 5 x y - x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 - 4 x y + 13 x y - 14 x y - 2 x y + 2 x y - 8 x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 + 14 x y + 4 x y - x y + 3 x y - 5 x y - 3 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 + 3 x y - x y + 6 x y - 9 x y + x y + x y - 10 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 + 13 x y - x y + 7 x y - 9 x y + x y - 2 x y + 5 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 - 3 x y - 3 x y - 2 x y + x y + 10 x y - x y + x y 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 - 10 x y + 2 x y + 5 x y - 8 x y - 2 x y + 7 x y + x y 8 4 7 5 6 6 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 - x y + x y + 3 x y - 3 x y - x y + 2 x y - 2 x y - x y 5 4 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 + x y - x y + 3 x y - x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^25*y^23-10*x^25*y^22+45*x^25*y^21-120*x^25*y^20-x^24*y^21+x^23*y^22+210*x^25 *y^19+9*x^24*y^20-11*x^23*y^21-252*x^25*y^18-36*x^24*y^19+53*x^23*y^20+210*x^25 *y^17+84*x^24*y^18-147*x^23*y^19-120*x^25*y^16-126*x^24*y^17+259*x^23*y^18-x^22 *y^19-x^21*y^20+45*x^25*y^15+126*x^24*y^16-301*x^23*y^17+8*x^22*y^18+9*x^21*y^ 19-10*x^25*y^14-84*x^24*y^15+231*x^23*y^16-29*x^22*y^17-38*x^21*y^18-x^20*y^19+ x^25*y^13+36*x^24*y^14-113*x^23*y^15+62*x^22*y^16+96*x^21*y^17+x^20*y^18-9*x^24 *y^13+32*x^23*y^14-85*x^22*y^15-157*x^21*y^16+14*x^20*y^17+x^24*y^12-4*x^23*y^ 13+76*x^22*y^14+172*x^21*y^15-51*x^20*y^16-6*x^19*y^17-43*x^22*y^13-129*x^21*y^ 14+81*x^20*y^15+31*x^19*y^16-2*x^18*y^17+14*x^22*y^12+68*x^21*y^13-74*x^20*y^14 -62*x^19*y^15+5*x^18*y^16-x^17*y^17-2*x^22*y^11-26*x^21*y^12+44*x^20*y^13+53*x^ 19*y^14+x^17*y^16+7*x^21*y^11-19*x^20*y^12-9*x^18*y^14+3*x^17*y^15-x^16*y^16-x^ 21*y^10+6*x^20*y^11-39*x^19*y^12+7*x^18*y^13-8*x^17*y^14+6*x^16*y^15-x^20*y^10+ 34*x^19*y^11-x^18*y^12+21*x^17*y^13-26*x^16*y^14+x^15*y^15-13*x^19*y^10+2*x^18* y^11-42*x^17*y^12+64*x^16*y^13-6*x^15*y^14+2*x^19*y^9-3*x^18*y^10+41*x^17*y^11-\ 79*x^16*y^12+10*x^15*y^13+2*x^14*y^14+x^18*y^9-16*x^17*y^10+40*x^16*y^11+x^15*y ^12-12*x^14*y^13+7*x^16*y^10-22*x^15*y^11+34*x^14*y^12-x^13*y^13+x^17*y^8-17*x^ 16*y^9+27*x^15*y^10-61*x^14*y^11+8*x^13*y^12+7*x^16*y^8-11*x^15*y^9+69*x^14*y^ 10-21*x^13*y^11+2*x^12*y^12-x^16*y^7-2*x^15*y^8-43*x^14*y^9+19*x^13*y^10+2*x^15 *y^7+11*x^14*y^8+6*x^13*y^9-13*x^12*y^10+7*x^11*y^11-21*x^13*y^8+21*x^12*y^9-15 *x^11*y^10+12*x^13*y^7-12*x^12*y^8+12*x^11*y^9+4*x^10*y^10-2*x^13*y^6-x^12*y^7-\ 7*x^11*y^8-9*x^10*y^9+5*x^12*y^6+x^11*y^7+14*x^10*y^8-6*x^9*y^9-2*x^12*y^5+4*x^ 11*y^6-18*x^10*y^7+15*x^9*y^8-2*x^11*y^5+11*x^10*y^6-11*x^9*y^7-x^8*y^8-2*x^10* y^5+9*x^8*y^7+4*x^9*y^5-19*x^8*y^6+4*x^7*y^7-2*x^9*y^4+14*x^8*y^5-13*x^7*y^6-3* x^8*y^4+11*x^7*y^5-5*x^6*y^6-x^7*y^4+x^6*y^5-x^7*y^3+4*x^6*y^4-8*x^5*y^5-x^6*y^ 3+9*x^5*y^4-2*x^5*y^3+3*x^4*y^4-x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+1)/(x^22*y^ 18-7*x^22*y^17+21*x^22*y^16-35*x^22*y^15+x^21*y^16+x^20*y^17+35*x^22*y^14-5*x^ 21*y^15-6*x^20*y^16+x^19*y^17-21*x^22*y^13+10*x^21*y^14+16*x^20*y^15-6*x^19*y^ 16+7*x^22*y^12-10*x^21*y^13-26*x^20*y^14+18*x^19*y^15-x^18*y^16-x^22*y^11+5*x^ 21*y^12+29*x^20*y^13-35*x^19*y^14+8*x^18*y^15+x^17*y^16-x^21*y^11-22*x^20*y^12+ 47*x^19*y^13-22*x^18*y^14-5*x^17*y^15+10*x^20*y^11-44*x^19*y^12+28*x^18*y^13+10 *x^17*y^14-x^16*y^15-2*x^20*y^10+28*x^19*y^11-18*x^18*y^12-11*x^17*y^13+8*x^16* y^14-11*x^19*y^10+7*x^18*y^11+10*x^17*y^12-23*x^16*y^13+2*x^19*y^9-3*x^18*y^10-\ 12*x^17*y^11+36*x^16*y^12-x^15*y^13+x^18*y^9+13*x^17*y^10-35*x^16*y^11+7*x^15*y ^12+x^14*y^13-8*x^17*y^9+21*x^16*y^10-17*x^15*y^11-8*x^14*y^12+2*x^17*y^8-8*x^ 16*y^9+17*x^15*y^10+19*x^14*y^11+3*x^16*y^8-4*x^15*y^9-20*x^14*y^10+5*x^13*y^11 -x^16*y^7-4*x^15*y^8+13*x^14*y^9-14*x^13*y^10-2*x^12*y^11+2*x^15*y^7-8*x^14*y^8 +14*x^13*y^9+4*x^12*y^10-x^11*y^11+3*x^14*y^7-5*x^13*y^8-3*x^12*y^9+3*x^11*y^10 -x^13*y^7+6*x^12*y^8-9*x^11*y^9+x^10*y^10+x^13*y^6-10*x^12*y^7+13*x^11*y^8-x^10 *y^9+7*x^12*y^6-9*x^11*y^7+x^10*y^8-2*x^12*y^5+5*x^11*y^6-3*x^10*y^7-3*x^9*y^8-\ 2*x^11*y^5+x^10*y^6+10*x^9*y^7-x^8*y^8+x^10*y^5-10*x^9*y^6+2*x^8*y^7+5*x^9*y^5-\ 8*x^8*y^6-2*x^9*y^4+7*x^8*y^5+x^7*y^6-x^8*y^4+x^7*y^5+3*x^6*y^6-3*x^6*y^5-x^7*y ^3+2*x^6*y^4-2*x^5*y^5-x^6*y^3+x^5*y^4-x^4*y^4+3*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^ 3*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 12 11 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (2 a + 5 a 10 9 8 7 6 5 4 3 2 + 4 a + 2 a - a - 6 a - 13 a - 11 a - 3 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) 7 6 5 4 3 / 6 4 2 2 (8 a - 7 a - 6 a + 5 a - 4 a + 2) / ((7 a - 5 a - 3 a - 2 a - 1) / 6 5 4 (a + a - a - 1)) 8 7 6 5 4 where a is the root of the polynomial, x - x - x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7128745348 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7135173581 ------------------------------------------------ "Theorem Number 113" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [2, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 25 23 25 22 25 21 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 10 x y + 45 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 25 20 24 21 23 22 25 19 24 20 23 21 - 120 x y - x y + x y + 210 x y + 9 x y - 11 x y 25 18 24 19 23 20 25 17 24 18 - 252 x y - 36 x y + 53 x y + 210 x y + 84 x y 23 19 25 16 24 17 23 18 22 19 - 147 x y - 120 x y - 126 x y + 259 x y - x y 21 20 25 15 24 16 23 17 22 18 21 19 - x y + 45 x y + 126 x y - 301 x y + 8 x y + 9 x y 25 14 24 15 23 16 22 17 21 18 - 10 x y - 84 x y + 231 x y - 29 x y - 38 x y 20 19 25 13 24 14 23 15 22 16 21 17 - x y + x y + 36 x y - 113 x y + 62 x y + 96 x y 20 18 24 13 23 14 22 15 21 16 20 17 + x y - 9 x y + 32 x y - 85 x y - 157 x y + 14 x y 24 12 23 13 22 14 21 15 20 16 19 17 + x y - 4 x y + 76 x y + 172 x y - 51 x y - 6 x y 22 13 21 14 20 15 19 16 18 17 - 43 x y - 129 x y + 81 x y + 31 x y - 2 x y 22 12 21 13 20 14 19 15 18 16 17 17 + 14 x y + 68 x y - 74 x y - 62 x y + 5 x y - x y 22 11 21 12 20 13 19 14 17 16 21 11 - 2 x y - 26 x y + 44 x y + 53 x y + x y + 7 x y 20 12 18 14 17 15 16 16 21 10 20 11 - 19 x y - 9 x y + 3 x y - x y - x y + 6 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 - 39 x y + 7 x y - 8 x y + 6 x y - x y + 34 x y 18 12 17 13 16 14 15 15 19 10 18 11 - x y + 21 x y - 26 x y + x y - 13 x y + 2 x y 17 12 16 13 15 14 19 9 18 10 17 11 - 42 x y + 64 x y - 6 x y + 2 x y - 3 x y + 41 x y 16 12 15 13 14 14 18 9 17 10 16 11 - 79 x y + 10 x y + 2 x y + x y - 16 x y + 40 x y 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 13 13 + x y - 12 x y + 7 x y - 22 x y + 34 x y - x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 + x y - 17 x y + 27 x y - 61 x y + 8 x y + 7 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 - 11 x y + 69 x y - 21 x y + 2 x y - x y - 2 x y 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 - 43 x y + 19 x y + 2 x y + 11 x y + 6 x y - 13 x y 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 + 7 x y - 21 x y + 21 x y - 15 x y + 12 x y - 12 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 + 12 x y + 4 x y - 2 x y - x y - 7 x y - 9 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 + 5 x y + x y + 14 x y - 6 x y - 2 x y + 4 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 - 18 x y + 15 x y - 2 x y + 11 x y - 11 x y - x y 10 5 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 - 2 x y + 9 x y + 4 x y - 19 x y + 4 x y - 2 x y + 14 x y 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 - 13 x y - 3 x y + 11 x y - 5 x y - x y + x y - x y 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 + 4 x y - 8 x y - x y + 9 x y - 2 x y + 3 x y - x y - x y 3 3 3 2 / 22 18 22 17 22 16 + 2 x y - 2 x y + 1) / (x y - 7 x y + 21 x y / 22 15 21 16 20 17 22 14 21 15 20 16 - 35 x y + x y + x y + 35 x y - 5 x y - 6 x y 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 22 12 + x y - 21 x y + 10 x y + 16 x y - 6 x y + 7 x y 21 13 20 14 19 15 18 16 22 11 21 12 - 10 x y - 26 x y + 18 x y - x y - x y + 5 x y 20 13 19 14 18 15 17 16 21 11 20 12 + 29 x y - 35 x y + 8 x y + x y - x y - 22 x y 19 13 18 14 17 15 20 11 19 12 + 47 x y - 22 x y - 5 x y + 10 x y - 44 x y 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 18 12 + 28 x y + 10 x y - x y - 2 x y + 28 x y - 18 x y 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 - 11 x y + 8 x y - 11 x y + 7 x y + 10 x y 16 13 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 - 23 x y + 2 x y - 3 x y - 12 x y + 36 x y - x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 + x y + 13 x y - 35 x y + 7 x y + x y - 8 x y 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 + 21 x y - 17 x y - 8 x y + 2 x y - 8 x y + 17 x y 14 11 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 + 19 x y + 3 x y - 4 x y - 20 x y + 5 x y - x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 - 4 x y + 13 x y - 14 x y - 2 x y + 2 x y - 8 x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 + 14 x y + 4 x y - x y + 3 x y - 5 x y - 3 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 + 3 x y - x y + 6 x y - 9 x y + x y + x y - 10 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 + 13 x y - x y + 7 x y - 9 x y + x y - 2 x y + 5 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 - 3 x y - 3 x y - 2 x y + x y + 10 x y - x y + x y 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 - 10 x y + 2 x y + 5 x y - 8 x y - 2 x y + 7 x y + x y 8 4 7 5 6 6 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 - x y + x y + 3 x y - 3 x y - x y + 2 x y - 2 x y - x y 5 4 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 + x y - x y + 3 x y - x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^25*y^23-10*x^25*y^22+45*x^25*y^21-120*x^25*y^20-x^24*y^21+x^23*y^22+210*x^25 *y^19+9*x^24*y^20-11*x^23*y^21-252*x^25*y^18-36*x^24*y^19+53*x^23*y^20+210*x^25 *y^17+84*x^24*y^18-147*x^23*y^19-120*x^25*y^16-126*x^24*y^17+259*x^23*y^18-x^22 *y^19-x^21*y^20+45*x^25*y^15+126*x^24*y^16-301*x^23*y^17+8*x^22*y^18+9*x^21*y^ 19-10*x^25*y^14-84*x^24*y^15+231*x^23*y^16-29*x^22*y^17-38*x^21*y^18-x^20*y^19+ x^25*y^13+36*x^24*y^14-113*x^23*y^15+62*x^22*y^16+96*x^21*y^17+x^20*y^18-9*x^24 *y^13+32*x^23*y^14-85*x^22*y^15-157*x^21*y^16+14*x^20*y^17+x^24*y^12-4*x^23*y^ 13+76*x^22*y^14+172*x^21*y^15-51*x^20*y^16-6*x^19*y^17-43*x^22*y^13-129*x^21*y^ 14+81*x^20*y^15+31*x^19*y^16-2*x^18*y^17+14*x^22*y^12+68*x^21*y^13-74*x^20*y^14 -62*x^19*y^15+5*x^18*y^16-x^17*y^17-2*x^22*y^11-26*x^21*y^12+44*x^20*y^13+53*x^ 19*y^14+x^17*y^16+7*x^21*y^11-19*x^20*y^12-9*x^18*y^14+3*x^17*y^15-x^16*y^16-x^ 21*y^10+6*x^20*y^11-39*x^19*y^12+7*x^18*y^13-8*x^17*y^14+6*x^16*y^15-x^20*y^10+ 34*x^19*y^11-x^18*y^12+21*x^17*y^13-26*x^16*y^14+x^15*y^15-13*x^19*y^10+2*x^18* y^11-42*x^17*y^12+64*x^16*y^13-6*x^15*y^14+2*x^19*y^9-3*x^18*y^10+41*x^17*y^11-\ 79*x^16*y^12+10*x^15*y^13+2*x^14*y^14+x^18*y^9-16*x^17*y^10+40*x^16*y^11+x^15*y ^12-12*x^14*y^13+7*x^16*y^10-22*x^15*y^11+34*x^14*y^12-x^13*y^13+x^17*y^8-17*x^ 16*y^9+27*x^15*y^10-61*x^14*y^11+8*x^13*y^12+7*x^16*y^8-11*x^15*y^9+69*x^14*y^ 10-21*x^13*y^11+2*x^12*y^12-x^16*y^7-2*x^15*y^8-43*x^14*y^9+19*x^13*y^10+2*x^15 *y^7+11*x^14*y^8+6*x^13*y^9-13*x^12*y^10+7*x^11*y^11-21*x^13*y^8+21*x^12*y^9-15 *x^11*y^10+12*x^13*y^7-12*x^12*y^8+12*x^11*y^9+4*x^10*y^10-2*x^13*y^6-x^12*y^7-\ 7*x^11*y^8-9*x^10*y^9+5*x^12*y^6+x^11*y^7+14*x^10*y^8-6*x^9*y^9-2*x^12*y^5+4*x^ 11*y^6-18*x^10*y^7+15*x^9*y^8-2*x^11*y^5+11*x^10*y^6-11*x^9*y^7-x^8*y^8-2*x^10* y^5+9*x^8*y^7+4*x^9*y^5-19*x^8*y^6+4*x^7*y^7-2*x^9*y^4+14*x^8*y^5-13*x^7*y^6-3* x^8*y^4+11*x^7*y^5-5*x^6*y^6-x^7*y^4+x^6*y^5-x^7*y^3+4*x^6*y^4-8*x^5*y^5-x^6*y^ 3+9*x^5*y^4-2*x^5*y^3+3*x^4*y^4-x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+1)/(x^22*y^ 18-7*x^22*y^17+21*x^22*y^16-35*x^22*y^15+x^21*y^16+x^20*y^17+35*x^22*y^14-5*x^ 21*y^15-6*x^20*y^16+x^19*y^17-21*x^22*y^13+10*x^21*y^14+16*x^20*y^15-6*x^19*y^ 16+7*x^22*y^12-10*x^21*y^13-26*x^20*y^14+18*x^19*y^15-x^18*y^16-x^22*y^11+5*x^ 21*y^12+29*x^20*y^13-35*x^19*y^14+8*x^18*y^15+x^17*y^16-x^21*y^11-22*x^20*y^12+ 47*x^19*y^13-22*x^18*y^14-5*x^17*y^15+10*x^20*y^11-44*x^19*y^12+28*x^18*y^13+10 *x^17*y^14-x^16*y^15-2*x^20*y^10+28*x^19*y^11-18*x^18*y^12-11*x^17*y^13+8*x^16* y^14-11*x^19*y^10+7*x^18*y^11+10*x^17*y^12-23*x^16*y^13+2*x^19*y^9-3*x^18*y^10-\ 12*x^17*y^11+36*x^16*y^12-x^15*y^13+x^18*y^9+13*x^17*y^10-35*x^16*y^11+7*x^15*y ^12+x^14*y^13-8*x^17*y^9+21*x^16*y^10-17*x^15*y^11-8*x^14*y^12+2*x^17*y^8-8*x^ 16*y^9+17*x^15*y^10+19*x^14*y^11+3*x^16*y^8-4*x^15*y^9-20*x^14*y^10+5*x^13*y^11 -x^16*y^7-4*x^15*y^8+13*x^14*y^9-14*x^13*y^10-2*x^12*y^11+2*x^15*y^7-8*x^14*y^8 +14*x^13*y^9+4*x^12*y^10-x^11*y^11+3*x^14*y^7-5*x^13*y^8-3*x^12*y^9+3*x^11*y^10 -x^13*y^7+6*x^12*y^8-9*x^11*y^9+x^10*y^10+x^13*y^6-10*x^12*y^7+13*x^11*y^8-x^10 *y^9+7*x^12*y^6-9*x^11*y^7+x^10*y^8-2*x^12*y^5+5*x^11*y^6-3*x^10*y^7-3*x^9*y^8-\ 2*x^11*y^5+x^10*y^6+10*x^9*y^7-x^8*y^8+x^10*y^5-10*x^9*y^6+2*x^8*y^7+5*x^9*y^5-\ 8*x^8*y^6-2*x^9*y^4+7*x^8*y^5+x^7*y^6-x^8*y^4+x^7*y^5+3*x^6*y^6-3*x^6*y^5-x^7*y ^3+2*x^6*y^4-2*x^5*y^5-x^6*y^3+x^5*y^4-x^4*y^4+3*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^ 3*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 12 11 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (2 a + 5 a 10 9 8 7 6 5 4 3 2 + 4 a + 2 a - a - 6 a - 13 a - 11 a - 3 a + 4 a + 3 a + 2 a + 1) 7 6 5 4 3 / 6 4 2 2 (8 a - 7 a - 6 a + 5 a - 4 a + 2) / ((7 a - 5 a - 3 a - 2 a - 1) / 6 5 4 (a + a - a - 1)) 8 7 6 5 4 where a is the root of the polynomial, x - x - x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7128745348 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7135173581 ------------------------------------------------ "Theorem Number 114" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [2, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 19 21 18 21 17 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 11 x y + 25 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 18 21 16 20 17 21 15 20 16 - 2 x y - 30 x y + 11 x y + 20 x y - 25 x y 19 17 21 14 20 15 19 16 18 17 21 13 - 6 x y - 7 x y + 30 x y + 25 x y + 2 x y + x y 20 14 19 15 18 16 20 13 19 14 - 20 x y - 38 x y - 2 x y + 7 x y + 22 x y 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 17 15 - 17 x y - x y - x y + 2 x y + 50 x y + 10 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 19 11 18 12 - 7 x y - 59 x y - 26 x y + 5 x y + 2 x y + 35 x y 17 13 16 14 18 11 17 12 16 13 + 26 x y - 24 x y - 10 x y - 7 x y + 48 x y 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 - 10 x y + x y - 4 x y - 53 x y + 37 x y + 2 x y 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 + 35 x y - 47 x y - 2 x y - 13 x y + 19 x y 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 15 9 - 3 x y + 2 x y + 5 x y + 14 x y + 15 x y - 4 x y 14 10 13 11 14 9 13 10 14 8 13 9 - 8 x y - 39 x y - 4 x y + 29 x y + 3 x y - x y 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 12 8 + x y - 2 x y - 4 x y - 3 x y - 11 x y + 4 x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 + 28 x y - 2 x y - 3 x y - 14 x y + 4 x y + x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 - 4 x y - 4 x y - x y + 3 x y + 3 x y - 2 x y - x y 9 7 8 8 9 6 8 7 8 6 9 4 8 5 7 6 + 7 x y + 5 x y - 5 x y - 2 x y - x y + x y - x y + x y 7 5 6 6 7 4 6 4 5 5 5 4 5 3 - 2 x y + 4 x y + x y - 3 x y + 4 x y - 5 x y + x y 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 / 18 14 - 4 x y + 4 x y - 2 x y + x y - x y + x y - 1) / (x y / 17 15 18 13 17 14 18 12 17 13 16 14 - 2 x y - 4 x y + 7 x y + 6 x y - 9 x y + 4 x y 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 16 12 - 4 x y + 5 x y - 14 x y + x y - x y + 16 x y 15 13 16 11 15 12 16 10 15 11 14 12 - 3 x y - 4 x y + 12 x y - 4 x y - 17 x y + 2 x y 16 9 15 10 14 11 15 9 14 10 13 11 + 2 x y + 10 x y - 11 x y - 2 x y + 20 x y - 2 x y 14 9 13 10 14 8 13 9 12 10 13 8 - 15 x y + 11 x y + 4 x y - 18 x y - x y + 11 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 - 2 x y + x y - 2 x y + 8 x y + x y - 6 x y - x y 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 - 2 x y + x y - 5 x y + 5 x y + 4 x y - 4 x y + 2 x y 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 8 6 9 4 + 3 x y - 5 x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - x y + x y 8 5 7 6 7 5 7 4 6 5 6 4 5 4 5 3 - x y - 6 x y + 4 x y + x y + 4 x y - 3 x y - 3 x y + x y 4 3 3 2 2 2 2 + 2 x y - x y - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (2*x^21*y^19-11*x^21*y^18+25*x^21*y^17-2*x^20*y^18-30*x^21*y^16+11*x^20*y^17+20 *x^21*y^15-25*x^20*y^16-6*x^19*y^17-7*x^21*y^14+30*x^20*y^15+25*x^19*y^16+2*x^ 18*y^17+x^21*y^13-20*x^20*y^14-38*x^19*y^15-2*x^18*y^16+7*x^20*y^13+22*x^19*y^ 14-17*x^18*y^15-x^17*y^16-x^20*y^12+2*x^19*y^13+50*x^18*y^14+10*x^17*y^15-7*x^ 19*y^12-59*x^18*y^13-26*x^17*y^14+5*x^16*y^15+2*x^19*y^11+35*x^18*y^12+26*x^17* y^13-24*x^16*y^14-10*x^18*y^11-7*x^17*y^12+48*x^16*y^13-10*x^15*y^14+x^18*y^10-\ 4*x^17*y^11-53*x^16*y^12+37*x^15*y^13+2*x^17*y^10+35*x^16*y^11-47*x^15*y^12-2*x ^14*y^13-13*x^16*y^10+19*x^15*y^11-3*x^14*y^12+2*x^16*y^9+5*x^15*y^10+14*x^14*y ^11+15*x^13*y^12-4*x^15*y^9-8*x^14*y^10-39*x^13*y^11-4*x^14*y^9+29*x^13*y^10+3* x^14*y^8-x^13*y^9+x^12*y^10-2*x^11*y^11-4*x^13*y^8-3*x^12*y^9-11*x^11*y^10+4*x^ 12*y^8+28*x^11*y^9-2*x^10*y^10-3*x^12*y^7-14*x^11*y^8+4*x^10*y^9+x^12*y^6-4*x^ 11*y^7-4*x^10*y^8-x^9*y^9+3*x^11*y^6+3*x^10*y^7-2*x^9*y^8-x^10*y^6+7*x^9*y^7+5* x^8*y^8-5*x^9*y^6-2*x^8*y^7-x^8*y^6+x^9*y^4-x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^7*y^5+4*x^6*y^6 +x^7*y^4-3*x^6*y^4+4*x^5*y^5-5*x^5*y^4+x^5*y^3-4*x^4*y^4+4*x^4*y^3-2*x^3*y^3+x^ 3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^18*y^14-2*x^17*y^15-4*x^18*y^13+7*x^17*y^14+6*x^18*y^ 12-9*x^17*y^13+4*x^16*y^14-4*x^18*y^11+5*x^17*y^12-14*x^16*y^13+x^18*y^10-x^17* y^11+16*x^16*y^12-3*x^15*y^13-4*x^16*y^11+12*x^15*y^12-4*x^16*y^10-17*x^15*y^11 +2*x^14*y^12+2*x^16*y^9+10*x^15*y^10-11*x^14*y^11-2*x^15*y^9+20*x^14*y^10-2*x^ 13*y^11-15*x^14*y^9+11*x^13*y^10+4*x^14*y^8-18*x^13*y^9-x^12*y^10+11*x^13*y^8-2 *x^12*y^9+x^11*y^10-2*x^13*y^7+8*x^12*y^8+x^11*y^9-6*x^12*y^7-x^11*y^8-2*x^10*y ^9+x^12*y^6-5*x^11*y^7+5*x^10*y^8+4*x^11*y^6-4*x^10*y^7+2*x^9*y^8+3*x^10*y^6-5* x^9*y^7-2*x^10*y^5+2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^8*y^6+x^9*y^4-x^8*y^5-6*x^7*y^6+4*x^7* y^5+x^7*y^4+4*x^6*y^5-3*x^6*y^4-3*x^5*y^4+x^5*y^3+2*x^4*y^3-x^3*y^2-x^2*y^2+x^2 *y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7127691406 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 115" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 2], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 19 21 18 21 17 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 11 x y + 25 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 18 21 16 20 17 21 15 20 16 - 2 x y - 30 x y + 11 x y + 20 x y - 25 x y 19 17 21 14 20 15 19 16 18 17 21 13 - 6 x y - 7 x y + 30 x y + 25 x y + 2 x y + x y 20 14 19 15 18 16 20 13 19 14 - 20 x y - 38 x y - 2 x y + 7 x y + 22 x y 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 17 15 - 17 x y - x y - x y + 2 x y + 50 x y + 10 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 19 11 18 12 - 7 x y - 59 x y - 26 x y + 5 x y + 2 x y + 35 x y 17 13 16 14 18 11 17 12 16 13 + 26 x y - 24 x y - 10 x y - 7 x y + 48 x y 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 - 10 x y + x y - 4 x y - 53 x y + 37 x y + 2 x y 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 + 35 x y - 47 x y - 2 x y - 13 x y + 19 x y 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 15 9 - 3 x y + 2 x y + 5 x y + 14 x y + 15 x y - 4 x y 14 10 13 11 14 9 13 10 14 8 13 9 - 8 x y - 39 x y - 4 x y + 29 x y + 3 x y - x y 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 12 8 + x y - 2 x y - 4 x y - 3 x y - 11 x y + 4 x y 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 + 28 x y - 2 x y - 3 x y - 14 x y + 4 x y + x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 - 4 x y - 4 x y - x y + 3 x y + 3 x y - 2 x y - x y 9 7 8 8 9 6 8 7 8 6 9 4 8 5 7 6 + 7 x y + 5 x y - 5 x y - 2 x y - x y + x y - x y + x y 7 5 6 6 7 4 6 4 5 5 5 4 5 3 - 2 x y + 4 x y + x y - 3 x y + 4 x y - 5 x y + x y 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 / 18 14 - 4 x y + 4 x y - 2 x y + x y - x y + x y - 1) / (x y / 17 15 18 13 17 14 18 12 17 13 16 14 - 2 x y - 4 x y + 7 x y + 6 x y - 9 x y + 4 x y 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 16 12 - 4 x y + 5 x y - 14 x y + x y - x y + 16 x y 15 13 16 11 15 12 16 10 15 11 14 12 - 3 x y - 4 x y + 12 x y - 4 x y - 17 x y + 2 x y 16 9 15 10 14 11 15 9 14 10 13 11 + 2 x y + 10 x y - 11 x y - 2 x y + 20 x y - 2 x y 14 9 13 10 14 8 13 9 12 10 13 8 - 15 x y + 11 x y + 4 x y - 18 x y - x y + 11 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 - 2 x y + x y - 2 x y + 8 x y + x y - 6 x y - x y 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 - 2 x y + x y - 5 x y + 5 x y + 4 x y - 4 x y + 2 x y 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 8 6 9 4 + 3 x y - 5 x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - x y + x y 8 5 7 6 7 5 7 4 6 5 6 4 5 4 5 3 - x y - 6 x y + 4 x y + x y + 4 x y - 3 x y - 3 x y + x y 4 3 3 2 2 2 2 + 2 x y - x y - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (2*x^21*y^19-11*x^21*y^18+25*x^21*y^17-2*x^20*y^18-30*x^21*y^16+11*x^20*y^17+20 *x^21*y^15-25*x^20*y^16-6*x^19*y^17-7*x^21*y^14+30*x^20*y^15+25*x^19*y^16+2*x^ 18*y^17+x^21*y^13-20*x^20*y^14-38*x^19*y^15-2*x^18*y^16+7*x^20*y^13+22*x^19*y^ 14-17*x^18*y^15-x^17*y^16-x^20*y^12+2*x^19*y^13+50*x^18*y^14+10*x^17*y^15-7*x^ 19*y^12-59*x^18*y^13-26*x^17*y^14+5*x^16*y^15+2*x^19*y^11+35*x^18*y^12+26*x^17* y^13-24*x^16*y^14-10*x^18*y^11-7*x^17*y^12+48*x^16*y^13-10*x^15*y^14+x^18*y^10-\ 4*x^17*y^11-53*x^16*y^12+37*x^15*y^13+2*x^17*y^10+35*x^16*y^11-47*x^15*y^12-2*x ^14*y^13-13*x^16*y^10+19*x^15*y^11-3*x^14*y^12+2*x^16*y^9+5*x^15*y^10+14*x^14*y ^11+15*x^13*y^12-4*x^15*y^9-8*x^14*y^10-39*x^13*y^11-4*x^14*y^9+29*x^13*y^10+3* x^14*y^8-x^13*y^9+x^12*y^10-2*x^11*y^11-4*x^13*y^8-3*x^12*y^9-11*x^11*y^10+4*x^ 12*y^8+28*x^11*y^9-2*x^10*y^10-3*x^12*y^7-14*x^11*y^8+4*x^10*y^9+x^12*y^6-4*x^ 11*y^7-4*x^10*y^8-x^9*y^9+3*x^11*y^6+3*x^10*y^7-2*x^9*y^8-x^10*y^6+7*x^9*y^7+5* x^8*y^8-5*x^9*y^6-2*x^8*y^7-x^8*y^6+x^9*y^4-x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^7*y^5+4*x^6*y^6 +x^7*y^4-3*x^6*y^4+4*x^5*y^5-5*x^5*y^4+x^5*y^3-4*x^4*y^4+4*x^4*y^3-2*x^3*y^3+x^ 3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^18*y^14-2*x^17*y^15-4*x^18*y^13+7*x^17*y^14+6*x^18*y^ 12-9*x^17*y^13+4*x^16*y^14-4*x^18*y^11+5*x^17*y^12-14*x^16*y^13+x^18*y^10-x^17* y^11+16*x^16*y^12-3*x^15*y^13-4*x^16*y^11+12*x^15*y^12-4*x^16*y^10-17*x^15*y^11 +2*x^14*y^12+2*x^16*y^9+10*x^15*y^10-11*x^14*y^11-2*x^15*y^9+20*x^14*y^10-2*x^ 13*y^11-15*x^14*y^9+11*x^13*y^10+4*x^14*y^8-18*x^13*y^9-x^12*y^10+11*x^13*y^8-2 *x^12*y^9+x^11*y^10-2*x^13*y^7+8*x^12*y^8+x^11*y^9-6*x^12*y^7-x^11*y^8-2*x^10*y ^9+x^12*y^6-5*x^11*y^7+5*x^10*y^8+4*x^11*y^6-4*x^10*y^7+2*x^9*y^8+3*x^10*y^6-5* x^9*y^7-2*x^10*y^5+2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^8*y^6+x^9*y^4-x^8*y^5-6*x^7*y^6+4*x^7* y^5+x^7*y^4+4*x^6*y^5-3*x^6*y^4-3*x^5*y^4+x^5*y^3+2*x^4*y^3-x^3*y^2-x^2*y^2+x^2 *y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.7127691406 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 116" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [1, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 16 16 15 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 3 x y + 11 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 16 10 - 19 x y - 5 x y + 15 x y + 10 x y - 2 x y - 6 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 - 10 x y + 7 x y + x y + 5 x y - 8 x y + 2 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 14 9 13 10 - x y + 2 x y - 8 x y - x y + 2 x y + 13 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 + 4 x y - x y - 11 x y - 5 x y - x y + 5 x y + x y 13 7 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 - x y + x y + 5 x y - 3 x y + 2 x y - 6 x y + 6 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 - 3 x y + 3 x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y - 4 x y 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 - 3 x y + x y + x y - x y + 2 x y + 2 x y + 2 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 - 5 x y - x y + x y + 2 x y + x y - x y + 2 x y - 3 x y 8 4 7 5 6 6 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 - x y + 2 x y + 2 x y - x y - x y + 4 x y - 3 x y + x y 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 - 3 x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y - x y + x y - 1) / 16 12 15 13 16 11 15 12 16 10 14 12 / (x y - x y - 4 x y + 2 x y + 6 x y + x y / 16 9 15 10 14 11 16 8 15 9 14 10 14 9 - 4 x y - 2 x y - x y + x y + x y - 3 x y + 5 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 13 8 12 9 11 10 - x y - x y - 2 x y + 3 x y - 4 x y + 2 x y + x y 13 7 12 8 10 10 13 6 12 7 12 6 11 7 + 3 x y - x y + x y - x y + 2 x y - 3 x y - 2 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 11 5 10 6 - x y - x y + x y - x y - 4 x y + 2 x y + 4 x y 9 7 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 - x y + x y + 6 x y + x y - x y - 3 x y + x y + x y 9 4 8 5 6 6 6 5 6 4 6 3 5 4 5 3 - x y - 2 x y - 2 x y - x y - x y + 2 x y - x y + x y 4 4 5 2 4 3 4 2 3 2 3 2 2 2 + x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + x y - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^16*y^16-3*x^16*y^15+11*x^16*y^13+x^15*y^14-19*x^16*y^12-5*x^15*y^13+15*x^16* y^11+10*x^15*y^12-2*x^14*y^13-6*x^16*y^10-10*x^15*y^11+7*x^14*y^12+x^16*y^9+5*x ^15*y^10-8*x^14*y^11+2*x^13*y^12-x^15*y^9+2*x^14*y^10-8*x^13*y^11-x^12*y^12+2*x ^14*y^9+13*x^13*y^10+4*x^12*y^11-x^14*y^8-11*x^13*y^9-5*x^12*y^10-x^11*y^11+5*x ^13*y^8+x^12*y^9-x^13*y^7+x^12*y^8+5*x^11*y^9-3*x^10*y^10+2*x^12*y^7-6*x^11*y^8 +6*x^10*y^9-3*x^12*y^6+3*x^11*y^7-x^10*y^8+2*x^9*y^9+x^12*y^5-2*x^11*y^6-4*x^10 *y^7-3*x^9*y^8+x^11*y^5+x^10*y^6-x^9*y^7+2*x^8*y^8+2*x^10*y^5+2*x^9*y^6-5*x^8*y ^7-x^10*y^4+x^9*y^5+2*x^8*y^6+x^7*y^7-x^9*y^4+2*x^8*y^5-3*x^7*y^6-x^8*y^4+2*x^7 *y^5+2*x^6*y^6-x^6*y^5-x^6*y^4+4*x^5*y^5-3*x^5*y^4+x^5*y^3-3*x^4*y^4-x^5*y^2+2* x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^16*y^12-x^15*y^13-4*x^16*y^ 11+2*x^15*y^12+6*x^16*y^10+x^14*y^12-4*x^16*y^9-2*x^15*y^10-x^14*y^11+x^16*y^8+ x^15*y^9-3*x^14*y^10+5*x^14*y^9-x^13*y^10-x^12*y^11-2*x^14*y^8+3*x^13*y^9-4*x^ 13*y^8+2*x^12*y^9+x^11*y^10+3*x^13*y^7-x^12*y^8+x^10*y^10-x^13*y^6+2*x^12*y^7-3 *x^12*y^6-2*x^11*y^7-x^10*y^8-x^9*y^9+x^12*y^5-x^11*y^6-4*x^10*y^7+2*x^11*y^5+4 *x^10*y^6-x^9*y^7+x^10*y^5+6*x^9*y^6+x^8*y^7-x^10*y^4-3*x^9*y^5+x^8*y^6+x^7*y^7 -x^9*y^4-2*x^8*y^5-2*x^6*y^6-x^6*y^5-x^6*y^4+2*x^6*y^3-x^5*y^4+x^5*y^3+x^4*y^4- x^5*y^2+2*x^4*y^3-x^4*y^2-2*x^3*y^2+x^3*y-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 (a - 2 a - 4 a + 5 a + 2 a - 4 a + 9 a - a - 10 a + 2 a + 1) / 6 5 4 3 2 5 3 / ((7 a - 12 a - 5 a + 8 a - 3 a + 2) (a - a - 1)) / 7 6 5 4 3 where a is the root of the polynomial, x - 2 x - x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7115855490 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7123183525 ------------------------------------------------ "Theorem Number 117" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 2], [1, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 16 16 15 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 3 x y + 11 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 16 10 - 19 x y - 5 x y + 15 x y + 10 x y - 2 x y - 6 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 - 10 x y + 7 x y + x y + 5 x y - 8 x y + 2 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 14 9 13 10 - x y + 2 x y - 8 x y - x y + 2 x y + 13 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 + 4 x y - x y - 11 x y - 5 x y - x y + 5 x y + x y 13 7 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 - x y + x y + 5 x y - 3 x y + 2 x y - 6 x y + 6 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 - 3 x y + 3 x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y - 4 x y 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 - 3 x y + x y + x y - x y + 2 x y + 2 x y + 2 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 - 5 x y - x y + x y + 2 x y + x y - x y + 2 x y - 3 x y 8 4 7 5 6 6 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 - x y + 2 x y + 2 x y - x y - x y + 4 x y - 3 x y + x y 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 - 3 x y - x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y - x y + x y - 1) / 16 12 15 13 16 11 15 12 16 10 14 12 / (x y - x y - 4 x y + 2 x y + 6 x y + x y / 16 9 15 10 14 11 16 8 15 9 14 10 14 9 - 4 x y - 2 x y - x y + x y + x y - 3 x y + 5 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 13 8 12 9 11 10 - x y - x y - 2 x y + 3 x y - 4 x y + 2 x y + x y 13 7 12 8 10 10 13 6 12 7 12 6 11 7 + 3 x y - x y + x y - x y + 2 x y - 3 x y - 2 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 11 5 10 6 - x y - x y + x y - x y - 4 x y + 2 x y + 4 x y 9 7 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 - x y + x y + 6 x y + x y - x y - 3 x y + x y + x y 9 4 8 5 6 6 6 5 6 4 6 3 5 4 5 3 - x y - 2 x y - 2 x y - x y - x y + 2 x y - x y + x y 4 4 5 2 4 3 4 2 3 2 3 2 2 2 + x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + x y - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^16*y^16-3*x^16*y^15+11*x^16*y^13+x^15*y^14-19*x^16*y^12-5*x^15*y^13+15*x^16* y^11+10*x^15*y^12-2*x^14*y^13-6*x^16*y^10-10*x^15*y^11+7*x^14*y^12+x^16*y^9+5*x ^15*y^10-8*x^14*y^11+2*x^13*y^12-x^15*y^9+2*x^14*y^10-8*x^13*y^11-x^12*y^12+2*x ^14*y^9+13*x^13*y^10+4*x^12*y^11-x^14*y^8-11*x^13*y^9-5*x^12*y^10-x^11*y^11+5*x ^13*y^8+x^12*y^9-x^13*y^7+x^12*y^8+5*x^11*y^9-3*x^10*y^10+2*x^12*y^7-6*x^11*y^8 +6*x^10*y^9-3*x^12*y^6+3*x^11*y^7-x^10*y^8+2*x^9*y^9+x^12*y^5-2*x^11*y^6-4*x^10 *y^7-3*x^9*y^8+x^11*y^5+x^10*y^6-x^9*y^7+2*x^8*y^8+2*x^10*y^5+2*x^9*y^6-5*x^8*y ^7-x^10*y^4+x^9*y^5+2*x^8*y^6+x^7*y^7-x^9*y^4+2*x^8*y^5-3*x^7*y^6-x^8*y^4+2*x^7 *y^5+2*x^6*y^6-x^6*y^5-x^6*y^4+4*x^5*y^5-3*x^5*y^4+x^5*y^3-3*x^4*y^4-x^5*y^2+2* x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^16*y^12-x^15*y^13-4*x^16*y^ 11+2*x^15*y^12+6*x^16*y^10+x^14*y^12-4*x^16*y^9-2*x^15*y^10-x^14*y^11+x^16*y^8+ x^15*y^9-3*x^14*y^10+5*x^14*y^9-x^13*y^10-x^12*y^11-2*x^14*y^8+3*x^13*y^9-4*x^ 13*y^8+2*x^12*y^9+x^11*y^10+3*x^13*y^7-x^12*y^8+x^10*y^10-x^13*y^6+2*x^12*y^7-3 *x^12*y^6-2*x^11*y^7-x^10*y^8-x^9*y^9+x^12*y^5-x^11*y^6-4*x^10*y^7+2*x^11*y^5+4 *x^10*y^6-x^9*y^7+x^10*y^5+6*x^9*y^6+x^8*y^7-x^10*y^4-3*x^9*y^5+x^8*y^6+x^7*y^7 -x^9*y^4-2*x^8*y^5-2*x^6*y^6-x^6*y^5-x^6*y^4+2*x^6*y^3-x^5*y^4+x^5*y^3+x^4*y^4- x^5*y^2+2*x^4*y^3-x^4*y^2-2*x^3*y^2+x^3*y-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 (a - 2 a - 4 a + 5 a + 2 a - 4 a + 9 a - a - 10 a + 2 a + 1) / 6 5 4 3 2 5 3 / ((7 a - 12 a - 5 a + 8 a - 3 a + 2) (a - a - 1)) / 7 6 5 4 3 where a is the root of the polynomial, x - 2 x - x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7115855490 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7123183525 ------------------------------------------------ "Theorem Number 118" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 1], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 18 20 17 20 16 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 17 20 15 19 16 18 17 20 14 19 15 + x y - 10 x y - 6 x y + x y + 5 x y + 15 x y 18 16 20 13 19 14 18 15 17 16 19 13 - 6 x y - x y - 20 x y + 14 x y + x y + 15 x y 18 14 17 15 16 16 19 12 18 13 17 14 - 16 x y - 6 x y + x y - 6 x y + 9 x y + 14 x y 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 15 15 - 5 x y + x y - 2 x y - 15 x y + 9 x y + x y 17 12 16 13 15 14 17 11 16 12 15 13 + 5 x y - 7 x y - 6 x y + 4 x y + 2 x y + 13 x y 14 14 17 10 15 12 14 13 17 9 15 11 + x y - 4 x y - 12 x y - 6 x y + x y + 3 x y 14 12 13 13 15 10 14 11 13 12 15 9 + 13 x y + 2 x y + 2 x y - 12 x y - 11 x y - x y 14 10 13 11 12 12 13 10 12 11 13 9 + 4 x y + 23 x y - 2 x y - 20 x y + 5 x y + 2 x y 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 13 7 - 4 x y - 5 x y + 7 x y + 3 x y + 16 x y - 3 x y 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 - 5 x y - 17 x y - 4 x y + 4 x y + 6 x y + 14 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - x y - x y - 18 x y - 3 x y + 2 x y + 11 x y + 10 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 - x y - 3 x y - 8 x y + x y - 2 x y + 5 x y + 3 x y 8 6 7 7 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 - 9 x y + 5 x y + 3 x y - 6 x y - 2 x y + 5 x y + 2 x y 6 5 7 3 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 - 11 x y + x y + 5 x y + 4 x y - 8 x y + 4 x y - 4 x y 4 3 4 2 2 2 / 21 18 21 17 21 16 + x y + x y - x y - 1) / (x y - 5 x y + 10 x y / 20 17 21 15 20 16 21 14 20 15 21 13 - x y - 10 x y + 5 x y + 5 x y - 10 x y - x y 20 14 19 15 20 13 19 14 17 16 20 12 + 10 x y - x y - 5 x y + 4 x y + x y + x y 19 13 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 - 6 x y + x y - 4 x y + 4 x y - 4 x y + 5 x y 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 18 11 - x y - x y + 6 x y - 2 x y + 4 x y - 4 x y 17 12 16 13 18 10 17 11 16 12 17 10 + 2 x y - 5 x y + x y - 5 x y + x y + 4 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 + 2 x y - x y - x y - x y - x y + 4 x y + 5 x y 15 10 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 - 5 x y - 8 x y + x y + 2 x y + 3 x y - 8 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 3 x y + 16 x y - x y - 2 x y - 10 x y + 4 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 - x y - 5 x y + x y + 2 x y + x y - 4 x y + 2 x y 11 8 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 + 6 x y - x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y - 9 x y + 2 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 + x y + 5 x y - 3 x y + x y + 4 x y - 3 x y - 3 x y 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 + x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y + 3 x y + x y - 2 x y 6 5 7 3 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 - x y - x y + x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + 4 x y - x y 4 2 3 3 2 2 - x y - 2 x y + x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^20*y^18-5*x^20*y^17+10*x^20*y^16+x^19*y^17-10*x^20*y^15-6*x^19*y^16+x^18*y^ 17+5*x^20*y^14+15*x^19*y^15-6*x^18*y^16-x^20*y^13-20*x^19*y^14+14*x^18*y^15+x^ 17*y^16+15*x^19*y^13-16*x^18*y^14-6*x^17*y^15+x^16*y^16-6*x^19*y^12+9*x^18*y^13 +14*x^17*y^14-5*x^16*y^15+x^19*y^11-2*x^18*y^12-15*x^17*y^13+9*x^16*y^14+x^15*y ^15+5*x^17*y^12-7*x^16*y^13-6*x^15*y^14+4*x^17*y^11+2*x^16*y^12+13*x^15*y^13+x^ 14*y^14-4*x^17*y^10-12*x^15*y^12-6*x^14*y^13+x^17*y^9+3*x^15*y^11+13*x^14*y^12+ 2*x^13*y^13+2*x^15*y^10-12*x^14*y^11-11*x^13*y^12-x^15*y^9+4*x^14*y^10+23*x^13* y^11-2*x^12*y^12-20*x^13*y^10+5*x^12*y^11+2*x^13*y^9-4*x^12*y^10-5*x^11*y^11+7* x^13*y^8+3*x^12*y^9+16*x^11*y^10-3*x^13*y^7-5*x^12*y^8-17*x^11*y^9-4*x^10*y^10+ 4*x^12*y^7+6*x^11*y^8+14*x^10*y^9-x^12*y^6-x^11*y^7-18*x^10*y^8-3*x^9*y^9+2*x^ 11*y^6+11*x^10*y^7+10*x^9*y^8-x^11*y^5-3*x^10*y^6-8*x^9*y^7+x^8*y^8-2*x^9*y^6+5 *x^8*y^7+3*x^9*y^5-9*x^8*y^6+5*x^7*y^7+3*x^8*y^5-6*x^7*y^6-2*x^7*y^5+5*x^6*y^6+ 2*x^7*y^4-11*x^6*y^5+x^7*y^3+5*x^6*y^4+4*x^5*y^5-8*x^5*y^4+4*x^5*y^3-4*x^4*y^4+ x^4*y^3+x^4*y^2-x^2*y^2-1)/(x^21*y^18-5*x^21*y^17+10*x^21*y^16-x^20*y^17-10*x^ 21*y^15+5*x^20*y^16+5*x^21*y^14-10*x^20*y^15-x^21*y^13+10*x^20*y^14-x^19*y^15-5 *x^20*y^13+4*x^19*y^14+x^17*y^16+x^20*y^12-6*x^19*y^13+x^18*y^14-4*x^17*y^15+4* x^19*y^12-4*x^18*y^13+5*x^17*y^14-x^16*y^15-x^19*y^11+6*x^18*y^12-2*x^17*y^13+4 *x^16*y^14-4*x^18*y^11+2*x^17*y^12-5*x^16*y^13+x^18*y^10-5*x^17*y^11+x^16*y^12+ 4*x^17*y^10+2*x^16*y^11-x^15*y^12-x^14*y^13-x^17*y^9-x^16*y^10+4*x^15*y^11+5*x^ 14*y^12-5*x^15*y^10-8*x^14*y^11+x^13*y^12+2*x^15*y^9+3*x^14*y^10-8*x^13*y^11+3* x^14*y^9+16*x^13*y^10-x^12*y^11-2*x^14*y^8-10*x^13*y^9+4*x^12*y^10-x^13*y^8-5*x ^12*y^9+x^11*y^10+2*x^13*y^7+x^12*y^8-4*x^11*y^9+2*x^12*y^7+6*x^11*y^8-x^12*y^6 -2*x^11*y^7+4*x^10*y^8-2*x^11*y^6-9*x^10*y^7+2*x^9*y^8+x^11*y^5+5*x^10*y^6-3*x^ 9*y^7+x^8*y^8+4*x^9*y^6-3*x^8*y^7-3*x^9*y^5+x^8*y^6-2*x^7*y^7-x^8*y^5+x^7*y^6+2 *x^8*y^4+3*x^7*y^5+x^6*y^6-2*x^7*y^4-x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^4-2*x^5*y^5+2*x^5*y^ 4-2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-x^4*y^3-x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^2*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 6 4 2 2 (2 a + 5 a + 4 a - 2 a - 1) - ------------------------------------------------------------------ 6 5 4 3 2 6 4 2 (7 a - 6 a + 10 a - 8 a + 6 a - 2 a + 2) (a + 2 a + a + 1) where a is the root of the polynomial, 7 6 5 4 3 2 x - x + 2 x - 2 x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7103573870 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7112266083 ------------------------------------------------ "Theorem Number 119" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [1, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 22 23 21 23 20 22 21 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 8 x y + 28 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 19 22 20 23 18 22 19 21 20 23 17 - 56 x y + 5 x y + 70 x y - 7 x y + x y - 56 x y 22 18 21 19 23 16 22 17 21 18 20 19 - 8 x y - 6 x y + 28 x y + 41 x y + 16 x y - x y 23 15 22 16 21 17 20 18 23 14 22 15 - 8 x y - 64 x y - 27 x y + 5 x y + x y + 55 x y 21 16 20 17 19 18 22 14 21 15 20 16 + 36 x y - 9 x y + x y - 28 x y - 41 x y + 3 x y 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 22 12 - 4 x y + 8 x y + 36 x y + 17 x y + 5 x y - x y 21 13 20 14 19 15 18 16 21 12 20 13 - 21 x y - 40 x y - 2 x y - x y + 7 x y + 50 x y 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 18 14 + 4 x y + 6 x y - x y - 41 x y - 12 x y - 11 x y 17 15 16 16 20 11 19 12 18 13 17 14 + 6 x y - x y + 22 x y + 13 x y + 3 x y - 28 x y 16 15 20 10 19 11 18 12 17 13 16 14 + 4 x y - 7 x y - 6 x y + 14 x y + 56 x y - 9 x y 20 9 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 + x y + x y - 20 x y - 62 x y + 21 x y + x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 + 13 x y + 37 x y - 40 x y - 4 x y + 3 x y - 5 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 - 3 x y + 50 x y + 10 x y - 12 x y + x y - 13 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 - 44 x y - 17 x y + 18 x y - x y + 9 x y + 30 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 + 13 x y - 16 x y - 3 x y - 2 x y - 14 x y + 3 x y 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 + 22 x y + 15 x y - 3 x y + 3 x y - 10 x y - 31 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 - 21 x y + 13 x y + 3 x y + 21 x y + 12 x y - 19 x y 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 + 5 x y + 2 x y - 5 x y + 2 x y + 10 x y - 8 x y 15 5 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 - x y - 7 x y - 2 x y - 6 x y + 4 x y + 4 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 + 6 x y + 12 x y - 16 x y - x y - 8 x y - 2 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 + 14 x y - 7 x y + 3 x y + x y + x y + 19 x y - 2 x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 + 2 x y - 11 x y - x y - 6 x y - 3 x y + 5 x y - x y 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 - 8 x y + 7 x y + 2 x y + 2 x y + 5 x y - 13 x y - 2 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + 9 x y - 5 x y + x y - x y + x y - x y + 4 x y - 7 x y 6 3 5 4 4 4 5 2 4 3 5 4 2 3 3 - x y + 10 x y + 3 x y - 2 x y - x y - x y - x y + 2 x y 3 2 / 23 20 23 19 23 18 22 19 23 17 - x y + 1) / (x y - 6 x y + 15 x y - x y - 20 x y / 22 18 23 16 22 17 21 18 23 15 22 16 + 5 x y + 15 x y - 9 x y + x y - 6 x y + 5 x y 21 17 20 18 23 14 22 15 21 16 20 17 - 4 x y - x y + x y + 5 x y + 4 x y + 4 x y 22 14 21 15 20 16 19 17 22 13 21 14 - 9 x y + 5 x y - 7 x y + x y + 5 x y - 15 x y 20 15 19 16 22 12 21 13 20 14 19 15 + 11 x y - 5 x y - x y + 14 x y - 19 x y + 12 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 21 11 20 12 - 6 x y + 22 x y - 22 x y - x y + x y - 13 x y 19 13 20 11 19 12 18 13 17 14 + 30 x y + 3 x y - 21 x y + 13 x y + 3 x y 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 - 30 x y - 8 x y - x y + 8 x y + 24 x y - 3 x y 16 13 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 + 2 x y - 3 x y - x y + 29 x y - x y + 4 x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 - 8 x y - 31 x y + 7 x y - 13 x y + x y + 3 x y 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 + 6 x y - 22 x y + 15 x y - 7 x y + 7 x y + 23 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 - 9 x y + 16 x y - x y - 3 x y - 6 x y + 6 x y 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 13 10 - 11 x y + 4 x y - 4 x y - 4 x y - 3 x y - 6 x y 12 11 16 6 14 8 13 9 12 10 15 6 - 2 x y + 2 x y + 6 x y - x y + 4 x y + 2 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 15 5 14 6 - 4 x y + 8 x y - 3 x y + 3 x y - x y + 2 x y 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 - 4 x y + 9 x y - 6 x y + x y - 10 x y + 6 x y - x y 13 5 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 - x y - 2 x y - 11 x y + x y + 4 x y + 9 x y - 3 x y 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 - 2 x y + 3 x y + 7 x y + 5 x y - x y - 4 x y - 5 x y 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 - 2 x y + 2 x y - x y - x y - 4 x y + x y + 2 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 + 2 x y + 3 x y - x y + x y + x y + x y - 2 x y - 5 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 - x y - 2 x y - x y + 3 x y + 2 x y + 2 x y + 2 x y - x y 5 2 4 3 5 4 2 3 3 3 2 - 2 x y + x y - x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^23*y^22-8*x^23*y^21+28*x^23*y^20-x^22*y^21-56*x^23*y^19+5*x^22*y^20+70*x^23* y^18-7*x^22*y^19+x^21*y^20-56*x^23*y^17-8*x^22*y^18-6*x^21*y^19+28*x^23*y^16+41 *x^22*y^17+16*x^21*y^18-x^20*y^19-8*x^23*y^15-64*x^22*y^16-27*x^21*y^17+5*x^20* y^18+x^23*y^14+55*x^22*y^15+36*x^21*y^16-9*x^20*y^17+x^19*y^18-28*x^22*y^14-41* x^21*y^15+3*x^20*y^16-4*x^19*y^17+8*x^22*y^13+36*x^21*y^14+17*x^20*y^15+5*x^19* y^16-x^22*y^12-21*x^21*y^13-40*x^20*y^14-2*x^19*y^15-x^18*y^16+7*x^21*y^12+50*x ^20*y^13+4*x^19*y^14+6*x^18*y^15-x^21*y^11-41*x^20*y^12-12*x^19*y^13-11*x^18*y^ 14+6*x^17*y^15-x^16*y^16+22*x^20*y^11+13*x^19*y^12+3*x^18*y^13-28*x^17*y^14+4*x ^16*y^15-7*x^20*y^10-6*x^19*y^11+14*x^18*y^12+56*x^17*y^13-9*x^16*y^14+x^20*y^9 +x^19*y^10-20*x^18*y^11-62*x^17*y^12+21*x^16*y^13+x^15*y^14+13*x^18*y^10+37*x^ 17*y^11-40*x^16*y^12-4*x^15*y^13+3*x^14*y^14-5*x^18*y^9-3*x^17*y^10+50*x^16*y^ 11+10*x^15*y^12-12*x^14*y^13+x^18*y^8-13*x^17*y^9-44*x^16*y^10-17*x^15*y^11+18* x^14*y^12-x^13*y^13+9*x^17*y^8+30*x^16*y^9+13*x^15*y^10-16*x^14*y^11-3*x^13*y^ 12-2*x^17*y^7-14*x^16*y^8+3*x^15*y^9+22*x^14*y^10+15*x^13*y^11-3*x^12*y^12+3*x^ 16*y^7-10*x^15*y^8-31*x^14*y^9-21*x^13*y^10+13*x^12*y^11+3*x^15*y^7+21*x^14*y^8 +12*x^13*y^9-19*x^12*y^10+5*x^11*y^11+2*x^15*y^6-5*x^14*y^7+2*x^13*y^8+10*x^12* y^9-8*x^11*y^10-x^15*y^5-7*x^13*y^7-2*x^12*y^8-6*x^11*y^9+4*x^10*y^10+4*x^13*y^ 6+6*x^12*y^7+12*x^11*y^8-16*x^10*y^9-x^13*y^5-8*x^12*y^6-2*x^11*y^7+14*x^10*y^8 -7*x^9*y^9+3*x^12*y^5+x^11*y^6+x^10*y^7+19*x^9*y^8-2*x^11*y^5+2*x^10*y^6-11*x^9 *y^7-x^8*y^8-6*x^10*y^5-3*x^9*y^6+5*x^8*y^7-x^10*y^4-8*x^8*y^6+7*x^7*y^7+2*x^10 *y^3+2*x^9*y^4+5*x^8*y^5-13*x^7*y^6-2*x^8*y^4+9*x^7*y^5-5*x^6*y^6+x^8*y^3-x^7*y ^4+x^6*y^5-x^7*y^3+4*x^6*y^4-7*x^5*y^5-x^6*y^3+10*x^5*y^4+3*x^4*y^4-2*x^5*y^2-x ^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2+1)/(x^23*y^20-6*x^23*y^19+15*x^23*y^18-x ^22*y^19-20*x^23*y^17+5*x^22*y^18+15*x^23*y^16-9*x^22*y^17+x^21*y^18-6*x^23*y^ 15+5*x^22*y^16-4*x^21*y^17-x^20*y^18+x^23*y^14+5*x^22*y^15+4*x^21*y^16+4*x^20*y ^17-9*x^22*y^14+5*x^21*y^15-7*x^20*y^16+x^19*y^17+5*x^22*y^13-15*x^21*y^14+11*x ^20*y^15-5*x^19*y^16-x^22*y^12+14*x^21*y^13-19*x^20*y^14+12*x^19*y^15-6*x^21*y^ 12+22*x^20*y^13-22*x^19*y^14-x^18*y^15+x^21*y^11-13*x^20*y^12+30*x^19*y^13+3*x^ 20*y^11-21*x^19*y^12+13*x^18*y^13+3*x^17*y^14-30*x^18*y^12-8*x^17*y^13-x^16*y^ 14+8*x^19*y^10+24*x^18*y^11-3*x^17*y^12+2*x^16*y^13-3*x^19*y^9-x^18*y^10+29*x^ 17*y^11-x^16*y^12+4*x^15*y^13-8*x^18*y^9-31*x^17*y^10+7*x^16*y^11-13*x^15*y^12+ x^14*y^13+3*x^18*y^8+6*x^17*y^9-22*x^16*y^10+15*x^15*y^11-7*x^14*y^12+7*x^17*y^ 8+23*x^16*y^9-9*x^15*y^10+16*x^14*y^11-x^13*y^12-3*x^17*y^7-6*x^16*y^8+6*x^15*y ^9-11*x^14*y^10+4*x^13*y^11-4*x^16*y^7-4*x^15*y^8-3*x^14*y^9-6*x^13*y^10-2*x^12 *y^11+2*x^16*y^6+6*x^14*y^8-x^13*y^9+4*x^12*y^10+2*x^15*y^6-4*x^14*y^7+8*x^13*y ^8-3*x^12*y^9+3*x^11*y^10-x^15*y^5+2*x^14*y^6-4*x^13*y^7+9*x^12*y^8-6*x^11*y^9+ x^13*y^6-10*x^12*y^7+6*x^11*y^8-x^10*y^9-x^13*y^5-2*x^12*y^6-11*x^11*y^7+x^10*y ^8+4*x^12*y^5+9*x^11*y^6-3*x^10*y^7-2*x^9*y^8+3*x^11*y^5+7*x^10*y^6+5*x^9*y^7-x ^8*y^8-4*x^11*y^4-5*x^10*y^5-2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^10*y^4-x^9*y^5-4*x^8*y^6+x^7 *y^7+2*x^10*y^3+2*x^8*y^5+3*x^7*y^6-x^8*y^4+x^7*y^5+x^6*y^6+x^8*y^3-2*x^7*y^4-5 *x^6*y^5-x^7*y^3-2*x^6*y^4-x^5*y^5+3*x^6*y^3+2*x^5*y^4+2*x^6*y^2+2*x^5*y^3-x^4* y^4-2*x^5*y^2+x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 14 13 12 11 10 9 7 6 5 4 3 (a - 3 a + a + a + a - 4 a + 8 a - 7 a - a + 8 a - 2 a - 1) / 7 6 5 3 2 7 6 4 3 / ((8 a - 14 a + 6 a + 4 a - 3 a + 2) (a - a + a + a + 1)) / 8 7 6 4 3 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7092934624 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7099808447 ------------------------------------------------ "Theorem Number 120" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 22 23 21 23 20 22 21 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 8 x y + 28 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 19 22 20 23 18 22 19 21 20 23 17 - 56 x y + 5 x y + 70 x y - 7 x y + x y - 56 x y 22 18 21 19 23 16 22 17 21 18 20 19 - 8 x y - 6 x y + 28 x y + 41 x y + 16 x y - x y 23 15 22 16 21 17 20 18 23 14 22 15 - 8 x y - 64 x y - 27 x y + 5 x y + x y + 55 x y 21 16 20 17 19 18 22 14 21 15 20 16 + 36 x y - 9 x y + x y - 28 x y - 41 x y + 3 x y 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 22 12 - 4 x y + 8 x y + 36 x y + 17 x y + 5 x y - x y 21 13 20 14 19 15 18 16 21 12 20 13 - 21 x y - 40 x y - 2 x y - x y + 7 x y + 50 x y 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 18 14 + 4 x y + 6 x y - x y - 41 x y - 12 x y - 11 x y 17 15 16 16 20 11 19 12 18 13 17 14 + 6 x y - x y + 22 x y + 13 x y + 3 x y - 28 x y 16 15 20 10 19 11 18 12 17 13 16 14 + 4 x y - 7 x y - 6 x y + 14 x y + 56 x y - 9 x y 20 9 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 + x y + x y - 20 x y - 62 x y + 21 x y + x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 + 13 x y + 37 x y - 40 x y - 4 x y + 3 x y - 5 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 - 3 x y + 50 x y + 10 x y - 12 x y + x y - 13 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 - 44 x y - 17 x y + 18 x y - x y + 9 x y + 30 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 + 13 x y - 16 x y - 3 x y - 2 x y - 14 x y + 3 x y 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 + 22 x y + 15 x y - 3 x y + 3 x y - 10 x y - 31 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 - 21 x y + 13 x y + 3 x y + 21 x y + 12 x y - 19 x y 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 + 5 x y + 2 x y - 5 x y + 2 x y + 10 x y - 8 x y 15 5 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 - x y - 7 x y - 2 x y - 6 x y + 4 x y + 4 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 + 6 x y + 12 x y - 16 x y - x y - 8 x y - 2 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 + 14 x y - 7 x y + 3 x y + x y + x y + 19 x y - 2 x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 + 2 x y - 11 x y - x y - 6 x y - 3 x y + 5 x y - x y 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 - 8 x y + 7 x y + 2 x y + 2 x y + 5 x y - 13 x y - 2 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + 9 x y - 5 x y + x y - x y + x y - x y + 4 x y - 7 x y 6 3 5 4 4 4 5 2 4 3 5 4 2 3 3 - x y + 10 x y + 3 x y - 2 x y - x y - x y - x y + 2 x y 3 2 / 23 20 23 19 23 18 22 19 23 17 - x y + 1) / (x y - 6 x y + 15 x y - x y - 20 x y / 22 18 23 16 22 17 21 18 23 15 22 16 + 5 x y + 15 x y - 9 x y + x y - 6 x y + 5 x y 21 17 20 18 23 14 22 15 21 16 20 17 - 4 x y - x y + x y + 5 x y + 4 x y + 4 x y 22 14 21 15 20 16 19 17 22 13 21 14 - 9 x y + 5 x y - 7 x y + x y + 5 x y - 15 x y 20 15 19 16 22 12 21 13 20 14 19 15 + 11 x y - 5 x y - x y + 14 x y - 19 x y + 12 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 21 11 20 12 - 6 x y + 22 x y - 22 x y - x y + x y - 13 x y 19 13 20 11 19 12 18 13 17 14 + 30 x y + 3 x y - 21 x y + 13 x y + 3 x y 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 - 30 x y - 8 x y - x y + 8 x y + 24 x y - 3 x y 16 13 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 + 2 x y - 3 x y - x y + 29 x y - x y + 4 x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 - 8 x y - 31 x y + 7 x y - 13 x y + x y + 3 x y 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 + 6 x y - 22 x y + 15 x y - 7 x y + 7 x y + 23 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 - 9 x y + 16 x y - x y - 3 x y - 6 x y + 6 x y 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 13 10 - 11 x y + 4 x y - 4 x y - 4 x y - 3 x y - 6 x y 12 11 16 6 14 8 13 9 12 10 15 6 - 2 x y + 2 x y + 6 x y - x y + 4 x y + 2 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 15 5 14 6 - 4 x y + 8 x y - 3 x y + 3 x y - x y + 2 x y 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 - 4 x y + 9 x y - 6 x y + x y - 10 x y + 6 x y - x y 13 5 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 - x y - 2 x y - 11 x y + x y + 4 x y + 9 x y - 3 x y 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 - 2 x y + 3 x y + 7 x y + 5 x y - x y - 4 x y - 5 x y 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 - 2 x y + 2 x y - x y - x y - 4 x y + x y + 2 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 + 2 x y + 3 x y - x y + x y + x y + x y - 2 x y - 5 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 - x y - 2 x y - x y + 3 x y + 2 x y + 2 x y + 2 x y - x y 5 2 4 3 5 4 2 3 3 3 2 - 2 x y + x y - x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^23*y^22-8*x^23*y^21+28*x^23*y^20-x^22*y^21-56*x^23*y^19+5*x^22*y^20+70*x^23* y^18-7*x^22*y^19+x^21*y^20-56*x^23*y^17-8*x^22*y^18-6*x^21*y^19+28*x^23*y^16+41 *x^22*y^17+16*x^21*y^18-x^20*y^19-8*x^23*y^15-64*x^22*y^16-27*x^21*y^17+5*x^20* y^18+x^23*y^14+55*x^22*y^15+36*x^21*y^16-9*x^20*y^17+x^19*y^18-28*x^22*y^14-41* x^21*y^15+3*x^20*y^16-4*x^19*y^17+8*x^22*y^13+36*x^21*y^14+17*x^20*y^15+5*x^19* y^16-x^22*y^12-21*x^21*y^13-40*x^20*y^14-2*x^19*y^15-x^18*y^16+7*x^21*y^12+50*x ^20*y^13+4*x^19*y^14+6*x^18*y^15-x^21*y^11-41*x^20*y^12-12*x^19*y^13-11*x^18*y^ 14+6*x^17*y^15-x^16*y^16+22*x^20*y^11+13*x^19*y^12+3*x^18*y^13-28*x^17*y^14+4*x ^16*y^15-7*x^20*y^10-6*x^19*y^11+14*x^18*y^12+56*x^17*y^13-9*x^16*y^14+x^20*y^9 +x^19*y^10-20*x^18*y^11-62*x^17*y^12+21*x^16*y^13+x^15*y^14+13*x^18*y^10+37*x^ 17*y^11-40*x^16*y^12-4*x^15*y^13+3*x^14*y^14-5*x^18*y^9-3*x^17*y^10+50*x^16*y^ 11+10*x^15*y^12-12*x^14*y^13+x^18*y^8-13*x^17*y^9-44*x^16*y^10-17*x^15*y^11+18* x^14*y^12-x^13*y^13+9*x^17*y^8+30*x^16*y^9+13*x^15*y^10-16*x^14*y^11-3*x^13*y^ 12-2*x^17*y^7-14*x^16*y^8+3*x^15*y^9+22*x^14*y^10+15*x^13*y^11-3*x^12*y^12+3*x^ 16*y^7-10*x^15*y^8-31*x^14*y^9-21*x^13*y^10+13*x^12*y^11+3*x^15*y^7+21*x^14*y^8 +12*x^13*y^9-19*x^12*y^10+5*x^11*y^11+2*x^15*y^6-5*x^14*y^7+2*x^13*y^8+10*x^12* y^9-8*x^11*y^10-x^15*y^5-7*x^13*y^7-2*x^12*y^8-6*x^11*y^9+4*x^10*y^10+4*x^13*y^ 6+6*x^12*y^7+12*x^11*y^8-16*x^10*y^9-x^13*y^5-8*x^12*y^6-2*x^11*y^7+14*x^10*y^8 -7*x^9*y^9+3*x^12*y^5+x^11*y^6+x^10*y^7+19*x^9*y^8-2*x^11*y^5+2*x^10*y^6-11*x^9 *y^7-x^8*y^8-6*x^10*y^5-3*x^9*y^6+5*x^8*y^7-x^10*y^4-8*x^8*y^6+7*x^7*y^7+2*x^10 *y^3+2*x^9*y^4+5*x^8*y^5-13*x^7*y^6-2*x^8*y^4+9*x^7*y^5-5*x^6*y^6+x^8*y^3-x^7*y ^4+x^6*y^5-x^7*y^3+4*x^6*y^4-7*x^5*y^5-x^6*y^3+10*x^5*y^4+3*x^4*y^4-2*x^5*y^2-x ^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2+1)/(x^23*y^20-6*x^23*y^19+15*x^23*y^18-x ^22*y^19-20*x^23*y^17+5*x^22*y^18+15*x^23*y^16-9*x^22*y^17+x^21*y^18-6*x^23*y^ 15+5*x^22*y^16-4*x^21*y^17-x^20*y^18+x^23*y^14+5*x^22*y^15+4*x^21*y^16+4*x^20*y ^17-9*x^22*y^14+5*x^21*y^15-7*x^20*y^16+x^19*y^17+5*x^22*y^13-15*x^21*y^14+11*x ^20*y^15-5*x^19*y^16-x^22*y^12+14*x^21*y^13-19*x^20*y^14+12*x^19*y^15-6*x^21*y^ 12+22*x^20*y^13-22*x^19*y^14-x^18*y^15+x^21*y^11-13*x^20*y^12+30*x^19*y^13+3*x^ 20*y^11-21*x^19*y^12+13*x^18*y^13+3*x^17*y^14-30*x^18*y^12-8*x^17*y^13-x^16*y^ 14+8*x^19*y^10+24*x^18*y^11-3*x^17*y^12+2*x^16*y^13-3*x^19*y^9-x^18*y^10+29*x^ 17*y^11-x^16*y^12+4*x^15*y^13-8*x^18*y^9-31*x^17*y^10+7*x^16*y^11-13*x^15*y^12+ x^14*y^13+3*x^18*y^8+6*x^17*y^9-22*x^16*y^10+15*x^15*y^11-7*x^14*y^12+7*x^17*y^ 8+23*x^16*y^9-9*x^15*y^10+16*x^14*y^11-x^13*y^12-3*x^17*y^7-6*x^16*y^8+6*x^15*y ^9-11*x^14*y^10+4*x^13*y^11-4*x^16*y^7-4*x^15*y^8-3*x^14*y^9-6*x^13*y^10-2*x^12 *y^11+2*x^16*y^6+6*x^14*y^8-x^13*y^9+4*x^12*y^10+2*x^15*y^6-4*x^14*y^7+8*x^13*y ^8-3*x^12*y^9+3*x^11*y^10-x^15*y^5+2*x^14*y^6-4*x^13*y^7+9*x^12*y^8-6*x^11*y^9+ x^13*y^6-10*x^12*y^7+6*x^11*y^8-x^10*y^9-x^13*y^5-2*x^12*y^6-11*x^11*y^7+x^10*y ^8+4*x^12*y^5+9*x^11*y^6-3*x^10*y^7-2*x^9*y^8+3*x^11*y^5+7*x^10*y^6+5*x^9*y^7-x ^8*y^8-4*x^11*y^4-5*x^10*y^5-2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^10*y^4-x^9*y^5-4*x^8*y^6+x^7 *y^7+2*x^10*y^3+2*x^8*y^5+3*x^7*y^6-x^8*y^4+x^7*y^5+x^6*y^6+x^8*y^3-2*x^7*y^4-5 *x^6*y^5-x^7*y^3-2*x^6*y^4-x^5*y^5+3*x^6*y^3+2*x^5*y^4+2*x^6*y^2+2*x^5*y^3-x^4* y^4-2*x^5*y^2+x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 14 13 12 11 10 9 7 6 5 4 3 (a - 3 a + a + a + a - 4 a + 8 a - 7 a - a + 8 a - 2 a - 1) / 7 6 5 3 2 7 6 4 3 / ((8 a - 14 a + 6 a + 4 a - 3 a + 2) (a - a + a + a + 1)) / 8 7 6 4 3 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7092934624 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7099808447 ------------------------------------------------ "Theorem Number 121" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 17 22 16 21 17 22 15 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 16 22 14 21 15 22 13 21 14 19 16 - 5 x y - 10 x y + 10 x y + 5 x y - 10 x y + x y 22 12 21 13 19 15 18 16 21 12 19 14 - x y + 5 x y - 6 x y + 2 x y - x y + 16 x y 18 15 17 16 19 13 18 14 19 12 18 13 - 17 x y - x y - 24 x y + 55 x y + 21 x y - 90 x y 17 14 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 + 13 x y - 10 x y + 80 x y - 34 x y + x y + 2 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 17 11 - 37 x y + 39 x y - 4 x y + x y + 7 x y - 22 x y 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 14 13 + 4 x y - 8 x y + 5 x y + 2 x y + 20 x y - 6 x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 - 5 x y - 20 x y + 19 x y + 2 x y + 4 x y - 16 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 - 4 x y + 7 x y - 9 x y + 29 x y + x y - 5 x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 + 22 x y - 61 x y + 8 x y + x y - 12 x y + 48 x y 12 10 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 - 18 x y + 2 x y - 8 x y + x y - 5 x y + 16 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 + 2 x y - 2 x y + x y - 8 x y - 6 x y + 10 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 + 7 x y - 12 x y + 5 x y - 3 x y + x y + 3 x y + 6 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 8 6 7 7 - 22 x y + 2 x y - 3 x y + 16 x y - 12 x y + 7 x y - 6 x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 - 2 x y + 6 x y + x y - 4 x y + 6 x y - x y - x y - 3 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 4 3 - x y + 2 x y + x y + x y - 7 x y + 5 x y - 6 x y + x y 4 2 3 3 3 2 3 2 2 / 15 11 + 3 x y - 3 x y + x y + x y - x y - x y - 1) / (x y / 14 12 15 10 14 11 15 9 14 10 13 11 + x y - 4 x y - 4 x y + 6 x y + 6 x y - x y 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 - 4 x y - 4 x y + 4 x y + x y + x y - 8 x y + x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 13 6 + 9 x y - 3 x y + x y - 5 x y + 3 x y - 3 x y + x y 12 7 11 8 10 9 11 7 10 8 10 7 9 8 - x y + 3 x y - x y - x y + 2 x y - 3 x y - x y 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 + 4 x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y + 3 x y - 4 x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 6 5 7 3 - 2 x y + 4 x y - 2 x y - 2 x y + 3 x y - x y + x y - x y 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 3 4 2 3 3 3 2 - x y + x y + x y + x y - x y - x y + x y - x y + x y 3 2 2 + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation (x^22*y^17-5*x^22*y^16+x^21*y^17+10*x^22*y^15-5*x^21*y^16-10*x^22*y^14+10*x^21* y^15+5*x^22*y^13-10*x^21*y^14+x^19*y^16-x^22*y^12+5*x^21*y^13-6*x^19*y^15+2*x^ 18*y^16-x^21*y^12+16*x^19*y^14-17*x^18*y^15-x^17*y^16-24*x^19*y^13+55*x^18*y^14 +21*x^19*y^12-90*x^18*y^13+13*x^17*y^14-10*x^19*y^11+80*x^18*y^12-34*x^17*y^13+ x^16*y^14+2*x^19*y^10-37*x^18*y^11+39*x^17*y^12-4*x^16*y^13+x^15*y^14+7*x^18*y^ 10-22*x^17*y^11+4*x^16*y^12-8*x^15*y^13+5*x^17*y^10+2*x^16*y^11+20*x^15*y^12-6* x^14*y^13-5*x^16*y^10-20*x^15*y^11+19*x^14*y^12+2*x^16*y^9+4*x^15*y^10-16*x^14* y^11-4*x^13*y^12+7*x^15*y^9-9*x^14*y^10+29*x^13*y^11+x^12*y^12-5*x^15*y^8+22*x^ 14*y^9-61*x^13*y^10+8*x^12*y^11+x^15*y^7-12*x^14*y^8+48*x^13*y^9-18*x^12*y^10+2 *x^14*y^7-8*x^13*y^8+x^12*y^9-5*x^13*y^7+16*x^12*y^8+2*x^11*y^9-2*x^10*y^10+x^ 13*y^6-8*x^12*y^7-6*x^11*y^8+10*x^10*y^9+7*x^11*y^7-12*x^10*y^8+5*x^9*y^9-3*x^ 11*y^6+x^10*y^7+3*x^9*y^8+6*x^10*y^6-22*x^9*y^7+2*x^8*y^8-3*x^10*y^5+16*x^9*y^6 -12*x^8*y^7+7*x^8*y^6-6*x^7*y^7-2*x^9*y^4+6*x^8*y^5+x^7*y^6-4*x^8*y^4+6*x^7*y^5 -x^6*y^6-x^7*y^4-3*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^5*y^5+x^6*y^3-7*x^5*y^4+5*x^5*y^ 3-6*x^4*y^4+x^4*y^3+3*x^4*y^2-3*x^3*y^3+x^3*y^2+x^3*y-x^2*y^2-x*y-1)/(x^15*y^11 +x^14*y^12-4*x^15*y^10-4*x^14*y^11+6*x^15*y^9+6*x^14*y^10-x^13*y^11-4*x^15*y^8-\ 4*x^14*y^9+4*x^13*y^10+x^15*y^7+x^14*y^8-8*x^13*y^9+x^12*y^10+9*x^13*y^8-3*x^12 *y^9+x^11*y^10-5*x^13*y^7+3*x^12*y^8-3*x^11*y^9+x^13*y^6-x^12*y^7+3*x^11*y^8-x^ 10*y^9-x^11*y^7+2*x^10*y^8-3*x^10*y^7-x^9*y^8+4*x^10*y^6+2*x^9*y^7-2*x^10*y^5-2 *x^9*y^6+2*x^8*y^7+3*x^9*y^5-4*x^8*y^6-2*x^9*y^4+4*x^8*y^5-2*x^7*y^6-2*x^8*y^4+ 3*x^7*y^5-x^6*y^6+x^6*y^5-x^7*y^3-x^6*y^4+x^5*y^5+x^6*y^3+x^5*y^4-x^5*y^3-x^4*y ^3+x^4*y^2-x^3*y^3+x^3*y^2+x^3*y+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 15 14 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a + 2 a + 3 a 13 10 9 8 7 6 5 4 3 2 + 3 a - 6 a - 13 a - 19 a - 9 a - 8 a - 6 a - 3 a + 4 a + 3 a / 4 4 2 4 3 2 + 2 a + 1) / ((a + 1) (5 a + 3 a + 2 a + 1) (a + a + a + a + 1)) / 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.7070559854 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7079735286 ------------------------------------------------ "Theorem Number 122" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 17 22 16 21 17 22 15 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 16 22 14 21 15 22 13 21 14 19 16 - 5 x y - 10 x y + 10 x y + 5 x y - 10 x y + x y 22 12 21 13 19 15 18 16 21 12 19 14 - x y + 5 x y - 6 x y + 2 x y - x y + 16 x y 18 15 17 16 19 13 18 14 19 12 18 13 - 17 x y - x y - 24 x y + 55 x y + 21 x y - 90 x y 17 14 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 + 13 x y - 10 x y + 80 x y - 34 x y + x y + 2 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 17 11 - 37 x y + 39 x y - 4 x y + x y + 7 x y - 22 x y 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 14 13 + 4 x y - 8 x y + 5 x y + 2 x y + 20 x y - 6 x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 - 5 x y - 20 x y + 19 x y + 2 x y + 4 x y - 16 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 - 4 x y + 7 x y - 9 x y + 29 x y + x y - 5 x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 + 22 x y - 61 x y + 8 x y + x y - 12 x y + 48 x y 12 10 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 - 18 x y + 2 x y - 8 x y + x y - 5 x y + 16 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 + 2 x y - 2 x y + x y - 8 x y - 6 x y + 10 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 10 6 + 7 x y - 12 x y + 5 x y - 3 x y + x y + 3 x y + 6 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 8 6 7 7 - 22 x y + 2 x y - 3 x y + 16 x y - 12 x y + 7 x y - 6 x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 - 2 x y + 6 x y + x y - 4 x y + 6 x y - x y - x y - 3 x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 4 3 - x y + 2 x y + x y + x y - 7 x y + 5 x y - 6 x y + x y 4 2 3 3 3 2 3 2 2 / 15 11 + 3 x y - 3 x y + x y + x y - x y - x y - 1) / (x y / 14 12 15 10 14 11 15 9 14 10 13 11 + x y - 4 x y - 4 x y + 6 x y + 6 x y - x y 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 - 4 x y - 4 x y + 4 x y + x y + x y - 8 x y + x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 13 6 + 9 x y - 3 x y + x y - 5 x y + 3 x y - 3 x y + x y 12 7 11 8 10 9 11 7 10 8 10 7 9 8 - x y + 3 x y - x y - x y + 2 x y - 3 x y - x y 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 + 4 x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y + 3 x y - 4 x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 6 5 7 3 - 2 x y + 4 x y - 2 x y - 2 x y + 3 x y - x y + x y - x y 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 3 4 2 3 3 3 2 - x y + x y + x y + x y - x y - x y + x y - x y + x y 3 2 2 + x y + x y + x y - 1) and in Maple notation (x^22*y^17-5*x^22*y^16+x^21*y^17+10*x^22*y^15-5*x^21*y^16-10*x^22*y^14+10*x^21* y^15+5*x^22*y^13-10*x^21*y^14+x^19*y^16-x^22*y^12+5*x^21*y^13-6*x^19*y^15+2*x^ 18*y^16-x^21*y^12+16*x^19*y^14-17*x^18*y^15-x^17*y^16-24*x^19*y^13+55*x^18*y^14 +21*x^19*y^12-90*x^18*y^13+13*x^17*y^14-10*x^19*y^11+80*x^18*y^12-34*x^17*y^13+ x^16*y^14+2*x^19*y^10-37*x^18*y^11+39*x^17*y^12-4*x^16*y^13+x^15*y^14+7*x^18*y^ 10-22*x^17*y^11+4*x^16*y^12-8*x^15*y^13+5*x^17*y^10+2*x^16*y^11+20*x^15*y^12-6* x^14*y^13-5*x^16*y^10-20*x^15*y^11+19*x^14*y^12+2*x^16*y^9+4*x^15*y^10-16*x^14* y^11-4*x^13*y^12+7*x^15*y^9-9*x^14*y^10+29*x^13*y^11+x^12*y^12-5*x^15*y^8+22*x^ 14*y^9-61*x^13*y^10+8*x^12*y^11+x^15*y^7-12*x^14*y^8+48*x^13*y^9-18*x^12*y^10+2 *x^14*y^7-8*x^13*y^8+x^12*y^9-5*x^13*y^7+16*x^12*y^8+2*x^11*y^9-2*x^10*y^10+x^ 13*y^6-8*x^12*y^7-6*x^11*y^8+10*x^10*y^9+7*x^11*y^7-12*x^10*y^8+5*x^9*y^9-3*x^ 11*y^6+x^10*y^7+3*x^9*y^8+6*x^10*y^6-22*x^9*y^7+2*x^8*y^8-3*x^10*y^5+16*x^9*y^6 -12*x^8*y^7+7*x^8*y^6-6*x^7*y^7-2*x^9*y^4+6*x^8*y^5+x^7*y^6-4*x^8*y^4+6*x^7*y^5 -x^6*y^6-x^7*y^4-3*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^5*y^5+x^6*y^3-7*x^5*y^4+5*x^5*y^ 3-6*x^4*y^4+x^4*y^3+3*x^4*y^2-3*x^3*y^3+x^3*y^2+x^3*y-x^2*y^2-x*y-1)/(x^15*y^11 +x^14*y^12-4*x^15*y^10-4*x^14*y^11+6*x^15*y^9+6*x^14*y^10-x^13*y^11-4*x^15*y^8-\ 4*x^14*y^9+4*x^13*y^10+x^15*y^7+x^14*y^8-8*x^13*y^9+x^12*y^10+9*x^13*y^8-3*x^12 *y^9+x^11*y^10-5*x^13*y^7+3*x^12*y^8-3*x^11*y^9+x^13*y^6-x^12*y^7+3*x^11*y^8-x^ 10*y^9-x^11*y^7+2*x^10*y^8-3*x^10*y^7-x^9*y^8+4*x^10*y^6+2*x^9*y^7-2*x^10*y^5-2 *x^9*y^6+2*x^8*y^7+3*x^9*y^5-4*x^8*y^6-2*x^9*y^4+4*x^8*y^5-2*x^7*y^6-2*x^8*y^4+ 3*x^7*y^5-x^6*y^6+x^6*y^5-x^7*y^3-x^6*y^4+x^5*y^5+x^6*y^3+x^5*y^4-x^5*y^3-x^4*y ^3+x^4*y^2-x^3*y^3+x^3*y^2+x^3*y+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 15 14 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a + 2 a + 3 a 13 10 9 8 7 6 5 4 3 2 + 3 a - 6 a - 13 a - 19 a - 9 a - 8 a - 6 a - 3 a + 4 a + 3 a / 4 4 2 4 3 2 + 2 a + 1) / ((a + 1) (5 a + 3 a + 2 a + 1) (a + a + a + a + 1)) / 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x + x - 1, and in decimals this is, 0.7070559854 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7079735286 ------------------------------------------------ "Theorem Number 123" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [2, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 10 11 11 12 9 11 10 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 2 x y - 4 x y + 8 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 + 6 x y - 12 x y + 4 x y - 4 x y + 8 x y - 10 x y 12 6 11 7 10 8 10 7 9 8 10 6 9 7 + x y - 2 x y + 4 x y + 7 x y - 6 x y - 6 x y + 14 x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 7 7 8 5 - 4 x y + x y - 10 x y + 7 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y 8 4 7 5 6 6 7 3 6 4 5 5 6 3 + x y - 3 x y + 2 x y + x y - 4 x y + 5 x y + 2 x y 5 4 5 3 4 4 4 3 3 3 2 2 2 / - 7 x y + 2 x y - 4 x y + 3 x y - x y - x y + x y - 1) / ( / 12 10 12 9 12 8 11 9 12 7 11 8 12 6 x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y - 4 x y + 6 x y + x y 11 7 11 6 10 7 10 6 9 7 10 5 9 6 - 6 x y + 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y + x y - 4 x y 8 7 9 5 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 + x y + 2 x y - 4 x y + 4 x y - 2 x y - x y + 5 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 4 x y + 2 x y + x y - 4 x y + x y + 2 x y - 3 x y 5 3 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 + 2 x y - 2 x y + 3 x y + x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y - 1 ) and in Maple notation (x^12*y^10-2*x^11*y^11-4*x^12*y^9+8*x^11*y^10+6*x^12*y^8-12*x^11*y^9+4*x^10*y^ 10-4*x^12*y^7+8*x^11*y^8-10*x^10*y^9+x^12*y^6-2*x^11*y^7+4*x^10*y^8+7*x^10*y^7-\ 6*x^9*y^8-6*x^10*y^6+14*x^9*y^7-4*x^8*y^8+x^10*y^5-10*x^9*y^6+7*x^8*y^7+2*x^9*y ^5+2*x^7*y^7-4*x^8*y^5+x^8*y^4-3*x^7*y^5+2*x^6*y^6+x^7*y^3-4*x^6*y^4+5*x^5*y^5+ 2*x^6*y^3-7*x^5*y^4+2*x^5*y^3-4*x^4*y^4+3*x^4*y^3-x^3*y^3-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^ 12*y^10-4*x^12*y^9+6*x^12*y^8-2*x^11*y^9-4*x^12*y^7+6*x^11*y^8+x^12*y^6-6*x^11* y^7+2*x^11*y^6+x^10*y^7-2*x^10*y^6+2*x^9*y^7+x^10*y^5-4*x^9*y^6+x^8*y^7+2*x^9*y ^5-4*x^8*y^6+4*x^8*y^5-2*x^7*y^6-x^8*y^4+5*x^7*y^5-4*x^7*y^4+2*x^6*y^5+x^7*y^3-\ 4*x^6*y^4+x^5*y^5+2*x^6*y^3-3*x^5*y^4+2*x^5*y^3-2*x^4*y^4+3*x^4*y^3+x^3*y^3-2*x ^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 3 2 (a - 4 a + 3 a + 2 a - 8 a + 2 a + 1) --------------------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7047127500 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7055156913 ------------------------------------------------ "Theorem Number 124" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [2, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 10 11 11 12 9 11 10 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 2 x y - 4 x y + 8 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 + 6 x y - 12 x y + 4 x y - 4 x y + 8 x y - 10 x y 12 6 11 7 10 8 10 7 9 8 10 6 9 7 + x y - 2 x y + 4 x y + 7 x y - 6 x y - 6 x y + 14 x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 7 7 8 5 - 4 x y + x y - 10 x y + 7 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y 8 4 7 5 6 6 7 3 6 4 5 5 6 3 + x y - 3 x y + 2 x y + x y - 4 x y + 5 x y + 2 x y 5 4 5 3 4 4 4 3 3 3 2 2 2 / - 7 x y + 2 x y - 4 x y + 3 x y - x y - x y + x y - 1) / ( / 12 10 12 9 12 8 11 9 12 7 11 8 12 6 x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y - 4 x y + 6 x y + x y 11 7 11 6 10 7 10 6 9 7 10 5 9 6 - 6 x y + 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y + x y - 4 x y 8 7 9 5 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 + x y + 2 x y - 4 x y + 4 x y - 2 x y - x y + 5 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 4 x y + 2 x y + x y - 4 x y + x y + 2 x y - 3 x y 5 3 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 + 2 x y - 2 x y + 3 x y + x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y - 1 ) and in Maple notation (x^12*y^10-2*x^11*y^11-4*x^12*y^9+8*x^11*y^10+6*x^12*y^8-12*x^11*y^9+4*x^10*y^ 10-4*x^12*y^7+8*x^11*y^8-10*x^10*y^9+x^12*y^6-2*x^11*y^7+4*x^10*y^8+7*x^10*y^7-\ 6*x^9*y^8-6*x^10*y^6+14*x^9*y^7-4*x^8*y^8+x^10*y^5-10*x^9*y^6+7*x^8*y^7+2*x^9*y ^5+2*x^7*y^7-4*x^8*y^5+x^8*y^4-3*x^7*y^5+2*x^6*y^6+x^7*y^3-4*x^6*y^4+5*x^5*y^5+ 2*x^6*y^3-7*x^5*y^4+2*x^5*y^3-4*x^4*y^4+3*x^4*y^3-x^3*y^3-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^ 12*y^10-4*x^12*y^9+6*x^12*y^8-2*x^11*y^9-4*x^12*y^7+6*x^11*y^8+x^12*y^6-6*x^11* y^7+2*x^11*y^6+x^10*y^7-2*x^10*y^6+2*x^9*y^7+x^10*y^5-4*x^9*y^6+x^8*y^7+2*x^9*y ^5-4*x^8*y^6+4*x^8*y^5-2*x^7*y^6-x^8*y^4+5*x^7*y^5-4*x^7*y^4+2*x^6*y^5+x^7*y^3-\ 4*x^6*y^4+x^5*y^5+2*x^6*y^3-3*x^5*y^4+2*x^5*y^3-2*x^4*y^4+3*x^4*y^3+x^3*y^3-2*x ^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 3 2 (a - 4 a + 3 a + 2 a - 8 a + 2 a + 1) --------------------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7047127500 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7055156913 ------------------------------------------------ "Theorem Number 125" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [2, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 10 11 11 12 9 11 10 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 2 x y - 4 x y + 8 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 + 6 x y - 12 x y + 4 x y - 4 x y + 8 x y - 10 x y 12 6 11 7 10 8 10 7 9 8 10 6 9 7 + x y - 2 x y + 4 x y + 7 x y - 6 x y - 6 x y + 14 x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 7 7 8 5 - 4 x y + x y - 10 x y + 7 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y 8 4 7 5 6 6 7 3 6 4 5 5 6 3 + x y - 3 x y + 2 x y + x y - 4 x y + 5 x y + 2 x y 5 4 5 3 4 4 4 3 3 3 2 2 2 / - 7 x y + 2 x y - 4 x y + 3 x y - x y - x y + x y - 1) / ( / 12 10 12 9 12 8 11 9 12 7 11 8 12 6 x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y - 4 x y + 6 x y + x y 11 7 11 6 10 7 10 6 9 7 10 5 9 6 - 6 x y + 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y + x y - 4 x y 8 7 9 5 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 + x y + 2 x y - 4 x y + 4 x y - 2 x y - x y + 5 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 4 x y + 2 x y + x y - 4 x y + x y + 2 x y - 3 x y 5 3 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 + 2 x y - 2 x y + 3 x y + x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y - 1 ) and in Maple notation (x^12*y^10-2*x^11*y^11-4*x^12*y^9+8*x^11*y^10+6*x^12*y^8-12*x^11*y^9+4*x^10*y^ 10-4*x^12*y^7+8*x^11*y^8-10*x^10*y^9+x^12*y^6-2*x^11*y^7+4*x^10*y^8+7*x^10*y^7-\ 6*x^9*y^8-6*x^10*y^6+14*x^9*y^7-4*x^8*y^8+x^10*y^5-10*x^9*y^6+7*x^8*y^7+2*x^9*y ^5+2*x^7*y^7-4*x^8*y^5+x^8*y^4-3*x^7*y^5+2*x^6*y^6+x^7*y^3-4*x^6*y^4+5*x^5*y^5+ 2*x^6*y^3-7*x^5*y^4+2*x^5*y^3-4*x^4*y^4+3*x^4*y^3-x^3*y^3-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^ 12*y^10-4*x^12*y^9+6*x^12*y^8-2*x^11*y^9-4*x^12*y^7+6*x^11*y^8+x^12*y^6-6*x^11* y^7+2*x^11*y^6+x^10*y^7-2*x^10*y^6+2*x^9*y^7+x^10*y^5-4*x^9*y^6+x^8*y^7+2*x^9*y ^5-4*x^8*y^6+4*x^8*y^5-2*x^7*y^6-x^8*y^4+5*x^7*y^5-4*x^7*y^4+2*x^6*y^5+x^7*y^3-\ 4*x^6*y^4+x^5*y^5+2*x^6*y^3-3*x^5*y^4+2*x^5*y^3-2*x^4*y^4+3*x^4*y^3+x^3*y^3-2*x ^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 3 2 (a - 4 a + 3 a + 2 a - 8 a + 2 a + 1) --------------------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7047127500 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7055156913 ------------------------------------------------ "Theorem Number 126" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1, 2], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 12 10 11 11 12 9 11 10 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 2 x y - 4 x y + 8 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 + 6 x y - 12 x y + 4 x y - 4 x y + 8 x y - 10 x y 12 6 11 7 10 8 10 7 9 8 10 6 9 7 + x y - 2 x y + 4 x y + 7 x y - 6 x y - 6 x y + 14 x y 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 7 7 8 5 - 4 x y + x y - 10 x y + 7 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y 8 4 7 5 6 6 7 3 6 4 5 5 6 3 + x y - 3 x y + 2 x y + x y - 4 x y + 5 x y + 2 x y 5 4 5 3 4 4 4 3 3 3 2 2 2 / - 7 x y + 2 x y - 4 x y + 3 x y - x y - x y + x y - 1) / ( / 12 10 12 9 12 8 11 9 12 7 11 8 12 6 x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y - 4 x y + 6 x y + x y 11 7 11 6 10 7 10 6 9 7 10 5 9 6 - 6 x y + 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y + x y - 4 x y 8 7 9 5 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 + x y + 2 x y - 4 x y + 4 x y - 2 x y - x y + 5 x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 4 x y + 2 x y + x y - 4 x y + x y + 2 x y - 3 x y 5 3 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 + 2 x y - 2 x y + 3 x y + x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y - 1 ) and in Maple notation (x^12*y^10-2*x^11*y^11-4*x^12*y^9+8*x^11*y^10+6*x^12*y^8-12*x^11*y^9+4*x^10*y^ 10-4*x^12*y^7+8*x^11*y^8-10*x^10*y^9+x^12*y^6-2*x^11*y^7+4*x^10*y^8+7*x^10*y^7-\ 6*x^9*y^8-6*x^10*y^6+14*x^9*y^7-4*x^8*y^8+x^10*y^5-10*x^9*y^6+7*x^8*y^7+2*x^9*y ^5+2*x^7*y^7-4*x^8*y^5+x^8*y^4-3*x^7*y^5+2*x^6*y^6+x^7*y^3-4*x^6*y^4+5*x^5*y^5+ 2*x^6*y^3-7*x^5*y^4+2*x^5*y^3-4*x^4*y^4+3*x^4*y^3-x^3*y^3-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^ 12*y^10-4*x^12*y^9+6*x^12*y^8-2*x^11*y^9-4*x^12*y^7+6*x^11*y^8+x^12*y^6-6*x^11* y^7+2*x^11*y^6+x^10*y^7-2*x^10*y^6+2*x^9*y^7+x^10*y^5-4*x^9*y^6+x^8*y^7+2*x^9*y ^5-4*x^8*y^6+4*x^8*y^5-2*x^7*y^6-x^8*y^4+5*x^7*y^5-4*x^7*y^4+2*x^6*y^5+x^7*y^3-\ 4*x^6*y^4+x^5*y^5+2*x^6*y^3-3*x^5*y^4+2*x^5*y^3-2*x^4*y^4+3*x^4*y^3+x^3*y^3-2*x ^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 3 2 (a - 4 a + 3 a + 2 a - 8 a + 2 a + 1) --------------------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7047127500 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7055156913 ------------------------------------------------ "Theorem Number 127" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 19 21 18 21 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 18 21 16 20 17 19 18 21 15 20 16 - x y - 20 x y + 4 x y - x y + 15 x y - 5 x y 19 17 21 14 19 16 18 17 21 13 20 14 + 2 x y - 6 x y + 7 x y + 5 x y + x y + 5 x y 19 15 18 16 20 13 19 14 18 15 - 29 x y - 22 x y - 4 x y + 41 x y + 40 x y 17 16 20 12 19 13 18 14 17 15 16 16 + 4 x y + x y - 28 x y - 41 x y - 20 x y - x y 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 17 13 + 9 x y + 29 x y + 35 x y - x y - 16 x y - 20 x y 16 14 15 15 18 11 17 12 16 13 15 14 + 11 x y - 2 x y + 6 x y - 11 x y - 23 x y + 6 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 17 10 - x y + 19 x y + 19 x y + 5 x y - x y - 8 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 - 9 x y - 35 x y - 3 x y + x y + 6 x y + 38 x y 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 + 15 x y - 4 x y - 4 x y - 3 x y - 24 x y - 8 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 + x y - 15 x y + 22 x y + 34 x y - 5 x y + 6 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 8 x y - 14 x y - 8 x y - 4 x y - 23 x y + 32 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 + 3 x y + 14 x y - 2 x y - 16 x y + 3 x y - 43 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 + 33 x y - x y - 2 x y + 31 x y - 17 x y + x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 - 3 x y - 8 x y + 8 x y - 7 x y - 2 x y + 11 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 - 17 x y + 21 x y - x y + 9 x y - 12 x y + x y - 2 x y 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 10 3 + x y - 5 x y + 7 x y - x y - 5 x y + 2 x y - x y 9 4 8 5 7 6 7 5 6 6 8 3 7 4 + 4 x y - 4 x y + 6 x y - 7 x y - 5 x y + 2 x y - 3 x y 6 5 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 5 3 + 13 x y + 2 x y - 8 x y - x y + x y - x y + 3 x y - x y 4 4 6 4 3 5 3 3 3 2 2 2 2 + 6 x y + x y - 4 x y - x y + 3 x y - 2 x y + x y - x y + x y / 15 14 15 13 15 12 14 13 15 11 - x + 1) / (x y - 2 x y - 2 x y - x y + 8 x y / 14 12 15 10 14 11 13 12 15 9 14 10 + 3 x y - 7 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y + 3 x y 13 11 13 10 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 + 5 x y - x y - 2 x y - 7 x y - x y + x y + 7 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 + 3 x y - x y - 2 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 + 7 x y - 3 x y + x y - 2 x y + 2 x y - x y - 4 x y 10 7 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 + 5 x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y - 3 x y + 3 x y + 2 x y 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 + x y - 3 x y + x y - x y - 2 x y + 2 x y + 3 x y + x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 - x y - 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y + x y + x y + x y 5 4 6 2 5 3 6 5 3 3 2 2 2 - x y - 2 x y + x y - x y + x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^21*y^19-6*x^21*y^18+15*x^21*y^17-x^20*y^18-20*x^21*y^16+4*x^20*y^17-x^19*y^ 18+15*x^21*y^15-5*x^20*y^16+2*x^19*y^17-6*x^21*y^14+7*x^19*y^16+5*x^18*y^17+x^ 21*y^13+5*x^20*y^14-29*x^19*y^15-22*x^18*y^16-4*x^20*y^13+41*x^19*y^14+40*x^18* y^15+4*x^17*y^16+x^20*y^12-28*x^19*y^13-41*x^18*y^14-20*x^17*y^15-x^16*y^16+9*x ^19*y^12+29*x^18*y^13+35*x^17*y^14-x^19*y^11-16*x^18*y^12-20*x^17*y^13+11*x^16* y^14-2*x^15*y^15+6*x^18*y^11-11*x^17*y^12-23*x^16*y^13+6*x^15*y^14-x^18*y^10+19 *x^17*y^11+19*x^16*y^12+5*x^15*y^13-x^14*y^14-8*x^17*y^10-9*x^16*y^11-35*x^15*y ^12-3*x^14*y^13+x^17*y^9+6*x^16*y^10+38*x^15*y^11+15*x^14*y^12-4*x^13*y^13-4*x^ 16*y^9-3*x^15*y^10-24*x^14*y^11-8*x^13*y^12+x^16*y^8-15*x^15*y^9+22*x^14*y^10+ 34*x^13*y^11-5*x^12*y^12+6*x^15*y^8-8*x^14*y^9-14*x^13*y^10-8*x^12*y^11-4*x^14* y^8-23*x^13*y^9+32*x^12*y^10+3*x^14*y^7+14*x^13*y^8-2*x^12*y^9-16*x^11*y^10+3*x ^13*y^7-43*x^12*y^8+33*x^11*y^9-x^10*y^10-2*x^13*y^6+31*x^12*y^7-17*x^11*y^8+x^ 10*y^9-3*x^12*y^6-8*x^11*y^7+8*x^10*y^8-7*x^9*y^9-2*x^12*y^5+11*x^11*y^6-17*x^ 10*y^7+21*x^9*y^8-x^11*y^5+9*x^10*y^6-12*x^9*y^7+x^8*y^8-2*x^11*y^4+x^10*y^5-5* x^9*y^6+7*x^8*y^7-x^9*y^5-5*x^8*y^6+2*x^7*y^7-x^10*y^3+4*x^9*y^4-4*x^8*y^5+6*x^ 7*y^6-7*x^7*y^5-5*x^6*y^6+2*x^8*y^3-3*x^7*y^4+13*x^6*y^5+2*x^7*y^3-8*x^6*y^4-x^ 5*y^5+x^7*y^2-x^6*y^3+3*x^5*y^4-x^5*y^3+6*x^4*y^4+x^6*y-4*x^4*y^3-x^5*y+3*x^3*y ^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^15*y^14-2*x^15*y^13-2*x^15*y^12-x^14*y^ 13+8*x^15*y^11+3*x^14*y^12-7*x^15*y^10-4*x^14*y^11-2*x^13*y^12+2*x^15*y^9+3*x^ 14*y^10+5*x^13*y^11-x^13*y^10-2*x^14*y^8-7*x^13*y^9-x^12*y^10+x^14*y^7+7*x^13*y ^8+3*x^12*y^9-x^11*y^10-2*x^13*y^7-4*x^12*y^8-2*x^11*y^9+2*x^12*y^7+7*x^11*y^8-\ 3*x^10*y^9+x^12*y^6-2*x^11*y^7+2*x^10*y^8-x^12*y^5-4*x^11*y^6+5*x^10*y^7+2*x^11 *y^5-2*x^10*y^6-3*x^9*y^7-3*x^10*y^5+3*x^9*y^6+2*x^8*y^7+x^9*y^5-3*x^8*y^6+x^10 *y^3-x^9*y^4-2*x^8*y^5+2*x^7*y^6+3*x^8*y^4+x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^7*y^4+x^6*y^5-2* x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^5*y^5+x^7*y^2+x^6*y^3-x^5*y^4-2*x^6*y^2+x^5*y^3-x^6*y+x^5*y -x^3*y^3+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 14 13 12 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a + 2 a - 9 a 11 10 9 8 7 6 5 4 3 / - 9 a + 7 a + 7 a - 16 a - 6 a + 9 a + a - 6 a + 2 a + 1) / ( / 4 2 8 7 4 3 (10 a - 3 a + 2) (a + a + 2 a + a + 1)) 5 3 where a is the root of the polynomial, 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7039164654 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7047023357 ------------------------------------------------ "Theorem Number 128" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [2, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 19 21 18 21 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y + 15 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 18 21 16 20 17 19 18 21 15 20 16 - x y - 20 x y + 4 x y - x y + 15 x y - 5 x y 19 17 21 14 19 16 18 17 21 13 20 14 + 2 x y - 6 x y + 7 x y + 5 x y + x y + 5 x y 19 15 18 16 20 13 19 14 18 15 - 29 x y - 22 x y - 4 x y + 41 x y + 40 x y 17 16 20 12 19 13 18 14 17 15 16 16 + 4 x y + x y - 28 x y - 41 x y - 20 x y - x y 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 17 13 + 9 x y + 29 x y + 35 x y - x y - 16 x y - 20 x y 16 14 15 15 18 11 17 12 16 13 15 14 + 11 x y - 2 x y + 6 x y - 11 x y - 23 x y + 6 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 17 10 - x y + 19 x y + 19 x y + 5 x y - x y - 8 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 - 9 x y - 35 x y - 3 x y + x y + 6 x y + 38 x y 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 + 15 x y - 4 x y - 4 x y - 3 x y - 24 x y - 8 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 + x y - 15 x y + 22 x y + 34 x y - 5 x y + 6 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 8 x y - 14 x y - 8 x y - 4 x y - 23 x y + 32 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 + 3 x y + 14 x y - 2 x y - 16 x y + 3 x y - 43 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 + 33 x y - x y - 2 x y + 31 x y - 17 x y + x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 - 3 x y - 8 x y + 8 x y - 7 x y - 2 x y + 11 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 - 17 x y + 21 x y - x y + 9 x y - 12 x y + x y - 2 x y 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 10 3 + x y - 5 x y + 7 x y - x y - 5 x y + 2 x y - x y 9 4 8 5 7 6 7 5 6 6 8 3 7 4 + 4 x y - 4 x y + 6 x y - 7 x y - 5 x y + 2 x y - 3 x y 6 5 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 5 3 + 13 x y + 2 x y - 8 x y - x y + x y - x y + 3 x y - x y 4 4 6 4 3 5 3 3 3 2 2 2 2 + 6 x y + x y - 4 x y - x y + 3 x y - 2 x y + x y - x y + x y / 15 14 15 13 15 12 14 13 15 11 - x + 1) / (x y - 2 x y - 2 x y - x y + 8 x y / 14 12 15 10 14 11 13 12 15 9 14 10 + 3 x y - 7 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y + 3 x y 13 11 13 10 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 + 5 x y - x y - 2 x y - 7 x y - x y + x y + 7 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 + 3 x y - x y - 2 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 + 7 x y - 3 x y + x y - 2 x y + 2 x y - x y - 4 x y 10 7 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 + 5 x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y - 3 x y + 3 x y + 2 x y 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 + x y - 3 x y + x y - x y - 2 x y + 2 x y + 3 x y + x y 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 - x y - 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y + x y + x y + x y 5 4 6 2 5 3 6 5 3 3 2 2 2 - x y - 2 x y + x y - x y + x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^21*y^19-6*x^21*y^18+15*x^21*y^17-x^20*y^18-20*x^21*y^16+4*x^20*y^17-x^19*y^ 18+15*x^21*y^15-5*x^20*y^16+2*x^19*y^17-6*x^21*y^14+7*x^19*y^16+5*x^18*y^17+x^ 21*y^13+5*x^20*y^14-29*x^19*y^15-22*x^18*y^16-4*x^20*y^13+41*x^19*y^14+40*x^18* y^15+4*x^17*y^16+x^20*y^12-28*x^19*y^13-41*x^18*y^14-20*x^17*y^15-x^16*y^16+9*x ^19*y^12+29*x^18*y^13+35*x^17*y^14-x^19*y^11-16*x^18*y^12-20*x^17*y^13+11*x^16* y^14-2*x^15*y^15+6*x^18*y^11-11*x^17*y^12-23*x^16*y^13+6*x^15*y^14-x^18*y^10+19 *x^17*y^11+19*x^16*y^12+5*x^15*y^13-x^14*y^14-8*x^17*y^10-9*x^16*y^11-35*x^15*y ^12-3*x^14*y^13+x^17*y^9+6*x^16*y^10+38*x^15*y^11+15*x^14*y^12-4*x^13*y^13-4*x^ 16*y^9-3*x^15*y^10-24*x^14*y^11-8*x^13*y^12+x^16*y^8-15*x^15*y^9+22*x^14*y^10+ 34*x^13*y^11-5*x^12*y^12+6*x^15*y^8-8*x^14*y^9-14*x^13*y^10-8*x^12*y^11-4*x^14* y^8-23*x^13*y^9+32*x^12*y^10+3*x^14*y^7+14*x^13*y^8-2*x^12*y^9-16*x^11*y^10+3*x ^13*y^7-43*x^12*y^8+33*x^11*y^9-x^10*y^10-2*x^13*y^6+31*x^12*y^7-17*x^11*y^8+x^ 10*y^9-3*x^12*y^6-8*x^11*y^7+8*x^10*y^8-7*x^9*y^9-2*x^12*y^5+11*x^11*y^6-17*x^ 10*y^7+21*x^9*y^8-x^11*y^5+9*x^10*y^6-12*x^9*y^7+x^8*y^8-2*x^11*y^4+x^10*y^5-5* x^9*y^6+7*x^8*y^7-x^9*y^5-5*x^8*y^6+2*x^7*y^7-x^10*y^3+4*x^9*y^4-4*x^8*y^5+6*x^ 7*y^6-7*x^7*y^5-5*x^6*y^6+2*x^8*y^3-3*x^7*y^4+13*x^6*y^5+2*x^7*y^3-8*x^6*y^4-x^ 5*y^5+x^7*y^2-x^6*y^3+3*x^5*y^4-x^5*y^3+6*x^4*y^4+x^6*y-4*x^4*y^3-x^5*y+3*x^3*y ^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^15*y^14-2*x^15*y^13-2*x^15*y^12-x^14*y^ 13+8*x^15*y^11+3*x^14*y^12-7*x^15*y^10-4*x^14*y^11-2*x^13*y^12+2*x^15*y^9+3*x^ 14*y^10+5*x^13*y^11-x^13*y^10-2*x^14*y^8-7*x^13*y^9-x^12*y^10+x^14*y^7+7*x^13*y ^8+3*x^12*y^9-x^11*y^10-2*x^13*y^7-4*x^12*y^8-2*x^11*y^9+2*x^12*y^7+7*x^11*y^8-\ 3*x^10*y^9+x^12*y^6-2*x^11*y^7+2*x^10*y^8-x^12*y^5-4*x^11*y^6+5*x^10*y^7+2*x^11 *y^5-2*x^10*y^6-3*x^9*y^7-3*x^10*y^5+3*x^9*y^6+2*x^8*y^7+x^9*y^5-3*x^8*y^6+x^10 *y^3-x^9*y^4-2*x^8*y^5+2*x^7*y^6+3*x^8*y^4+x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^7*y^4+x^6*y^5-2* x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^5*y^5+x^7*y^2+x^6*y^3-x^5*y^4-2*x^6*y^2+x^5*y^3-x^6*y+x^5*y -x^3*y^3+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 14 13 12 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a + 2 a - 9 a 11 10 9 8 7 6 5 4 3 / - 9 a + 7 a + 7 a - 16 a - 6 a + 9 a + a - 6 a + 2 a + 1) / ( / 4 2 8 7 4 3 (10 a - 3 a + 2) (a + a + 2 a + a + 1)) 5 3 where a is the root of the polynomial, 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.7039164654 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7047023357 ------------------------------------------------ "Theorem Number 129" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [2, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 13 10 13 9 11 11 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 8 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 12 x y - x y - 8 x y - 8 x y + 3 x y + 12 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 + 4 x y + 2 x y - 3 x y - 6 x y - 12 x y + x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - 4 x y + 16 x y + 2 x y + 6 x y - 16 x y - 6 x y 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 - 2 x y + 11 x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y - 2 x y 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 6 5 7 3 + 5 x y + 6 x y - 10 x y - 8 x y + 5 x y - x y + 2 x y 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 4 3 + x y - 4 x y - x y + 8 x y + x y - 4 x y + 4 x y - 2 x y 4 2 3 3 3 2 2 / 12 9 12 8 12 7 - x y + 2 x y - 2 x y + x y + 1) / (x y - 3 x y + 3 x y / 12 6 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 - x y + x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y + x y + 2 x y 8 6 8 5 8 4 6 5 6 4 6 3 5 4 6 2 - x y + 2 x y - x y + x y - x y + x y - 2 x y - x y 5 3 4 3 4 2 3 2 2 + 2 x y + 2 x y - 3 x y + 2 x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^13*y^10-8*x^13*y^9+2*x^11*y^11+12*x^13*y^8-x^12*y^9-8*x^11*y^10-8*x^13*y^ 7+3*x^12*y^8+12*x^11*y^9+4*x^10*y^10+2*x^13*y^6-3*x^12*y^7-6*x^11*y^8-12*x^10*y ^9+x^12*y^6-4*x^11*y^7+16*x^10*y^8+2*x^9*y^9+6*x^11*y^6-16*x^10*y^7-6*x^9*y^8-2 *x^11*y^5+11*x^10*y^6+4*x^9*y^7-2*x^10*y^5+2*x^9*y^6-x^10*y^4-2*x^9*y^5+5*x^8*y ^6+6*x^7*y^7-10*x^8*y^5-8*x^7*y^6+5*x^8*y^4-x^6*y^5+2*x^7*y^3+x^6*y^4-4*x^5*y^5 -x^6*y^3+8*x^5*y^4+x^6*y^2-4*x^5*y^3+4*x^4*y^4-2*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^ 3*y+x^2*y^2+1)/(x^12*y^9-3*x^12*y^8+3*x^12*y^7-x^12*y^6+x^10*y^6+2*x^9*y^7-2*x^ 10*y^5-4*x^9*y^6+x^10*y^4+2*x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^8*y^5-x^8*y^4+x^6*y^5-x^6*y^4+x ^6*y^3-2*x^5*y^4-x^6*y^2+2*x^5*y^3+2*x^4*y^3-3*x^4*y^2+2*x^3*y-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 4 2 a + 4 a - 4 a - 7 a + 2 a + 1 - ----------------------------------- 3 2 4 2 (2 a - 3 a + a - 1) (a + a + 1) 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7028178634 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7035858866 ------------------------------------------------ "Theorem Number 130" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1, 1], [2, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 13 10 13 9 11 11 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 8 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 12 x y - x y - 8 x y - 8 x y + 3 x y + 12 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 + 4 x y + 2 x y - 3 x y - 6 x y - 12 x y + x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - 4 x y + 16 x y + 2 x y + 6 x y - 16 x y - 6 x y 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 - 2 x y + 11 x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y - 2 x y 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 6 5 7 3 + 5 x y + 6 x y - 10 x y - 8 x y + 5 x y - x y + 2 x y 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 4 3 + x y - 4 x y - x y + 8 x y + x y - 4 x y + 4 x y - 2 x y 4 2 3 3 3 2 2 / 12 9 12 8 12 7 - x y + 2 x y - 2 x y + x y + 1) / (x y - 3 x y + 3 x y / 12 6 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 - x y + x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y + x y + 2 x y 8 6 8 5 8 4 6 5 6 4 6 3 5 4 6 2 - x y + 2 x y - x y + x y - x y + x y - 2 x y - x y 5 3 4 3 4 2 3 2 2 + 2 x y + 2 x y - 3 x y + 2 x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^13*y^10-8*x^13*y^9+2*x^11*y^11+12*x^13*y^8-x^12*y^9-8*x^11*y^10-8*x^13*y^ 7+3*x^12*y^8+12*x^11*y^9+4*x^10*y^10+2*x^13*y^6-3*x^12*y^7-6*x^11*y^8-12*x^10*y ^9+x^12*y^6-4*x^11*y^7+16*x^10*y^8+2*x^9*y^9+6*x^11*y^6-16*x^10*y^7-6*x^9*y^8-2 *x^11*y^5+11*x^10*y^6+4*x^9*y^7-2*x^10*y^5+2*x^9*y^6-x^10*y^4-2*x^9*y^5+5*x^8*y ^6+6*x^7*y^7-10*x^8*y^5-8*x^7*y^6+5*x^8*y^4-x^6*y^5+2*x^7*y^3+x^6*y^4-4*x^5*y^5 -x^6*y^3+8*x^5*y^4+x^6*y^2-4*x^5*y^3+4*x^4*y^4-2*x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^ 3*y+x^2*y^2+1)/(x^12*y^9-3*x^12*y^8+3*x^12*y^7-x^12*y^6+x^10*y^6+2*x^9*y^7-2*x^ 10*y^5-4*x^9*y^6+x^10*y^4+2*x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^8*y^5-x^8*y^4+x^6*y^5-x^6*y^4+x ^6*y^3-2*x^5*y^4-x^6*y^2+2*x^5*y^3+2*x^4*y^3-3*x^4*y^2+2*x^3*y-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 4 2 a + 4 a - 4 a - 7 a + 2 a + 1 - ----------------------------------- 3 2 4 2 (2 a - 3 a + a - 1) (a + a + 1) 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.7028178634 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.7035858866 ------------------------------------------------ "Theorem Number 131" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 14 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 14 14 16 11 15 12 14 13 + 9 x y + 7 x y + x y - 5 x y - 6 x y - 3 x y 16 10 15 11 16 9 15 10 14 11 13 12 - 5 x y - 5 x y + 9 x y + 10 x y + 9 x y + 2 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 - 5 x y - 3 x y - 10 x y - 8 x y + x y - 2 x y 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 11 11 - x y + 11 x y + x y + 8 x y - 4 x y + 2 x y 14 7 13 8 11 10 14 6 13 7 11 9 10 10 - 5 x y - 4 x y - 5 x y + x y + 4 x y + 2 x y - x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - x y + x y + 4 x y + 6 x y - 3 x y - 4 x y - 11 x y 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 - 5 x y + 3 x y + 2 x y + 5 x y + 11 x y - x y - 3 x y 10 6 9 7 11 4 9 6 11 3 10 4 8 6 + 3 x y - 4 x y + 3 x y - 4 x y - x y - 3 x y + 2 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 + x y + 3 x y - 2 x y + 2 x y - x y - 2 x y - 3 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 7 2 6 3 - 2 x y + 2 x y + x y + 4 x y - x y - 2 x y + x y - x y 5 4 5 3 4 4 6 5 2 4 3 5 4 2 - 3 x y + 5 x y + 5 x y + x y - x y - 6 x y - x y + x y 3 3 3 2 2 2 2 / 12 9 12 8 + 2 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x + 1) / (x y - x y / 11 9 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 12 5 - x y - 2 x y - x y + 2 x y + 6 x y + 2 x y + x y 11 6 10 7 12 4 11 5 10 6 10 5 9 6 - 3 x y - 5 x y - x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y + x y 8 7 11 3 9 5 8 6 10 3 8 5 7 6 9 3 + x y + x y - 2 x y - 4 x y - x y + 3 x y + 2 x y + x y 8 4 8 3 7 4 6 5 6 4 7 2 6 3 5 4 + x y - x y - 2 x y - 2 x y + 6 x y + x y - x y - 3 x y 6 2 5 3 4 4 6 5 2 4 3 5 4 2 2 2 - 2 x y - x y - x y - x y + x y + 2 x y + x y - x y + x y 2 - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^16*y^14-5*x^16*y^13-2*x^15*y^14+9*x^16*y^12+7*x^15*y^13+x^14*y^14-5*x^16*y^ 11-6*x^15*y^12-3*x^14*y^13-5*x^16*y^10-5*x^15*y^11+9*x^16*y^9+10*x^15*y^10+9*x^ 14*y^11+2*x^13*y^12-5*x^16*y^8-3*x^15*y^9-10*x^14*y^10-8*x^13*y^11+x^16*y^7-2*x ^15*y^8-x^14*y^9+11*x^13*y^10+x^15*y^7+8*x^14*y^8-4*x^13*y^9+2*x^11*y^11-5*x^14 *y^7-4*x^13*y^8-5*x^11*y^10+x^14*y^6+4*x^13*y^7+2*x^11*y^9-x^10*y^10-x^13*y^6+x ^12*y^7+4*x^11*y^8+6*x^10*y^9-3*x^12*y^6-4*x^11*y^7-11*x^10*y^8-5*x^9*y^9+3*x^ 12*y^5+2*x^11*y^6+5*x^10*y^7+11*x^9*y^8-x^12*y^4-3*x^11*y^5+3*x^10*y^6-4*x^9*y^ 7+3*x^11*y^4-4*x^9*y^6-x^11*y^3-3*x^10*y^4+2*x^8*y^6+x^10*y^3+3*x^9*y^4-2*x^8*y ^5+2*x^7*y^6-x^9*y^3-2*x^8*y^4-3*x^7*y^5-2*x^6*y^6+2*x^8*y^3+x^7*y^4+4*x^6*y^5- x^7*y^3-2*x^6*y^4+x^7*y^2-x^6*y^3-3*x^5*y^4+5*x^5*y^3+5*x^4*y^4+x^6*y-x^5*y^2-6 *x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^12*y^9-x^ 12*y^8-x^11*y^9-2*x^12*y^7-x^11*y^8+2*x^12*y^6+6*x^11*y^7+2*x^10*y^8+x^12*y^5-3 *x^11*y^6-5*x^10*y^7-x^12*y^4-2*x^11*y^5+2*x^10*y^6+2*x^10*y^5+x^9*y^6+x^8*y^7+ x^11*y^3-2*x^9*y^5-4*x^8*y^6-x^10*y^3+3*x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^9*y^3+x^8*y^4-x^8*y ^3-2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+6*x^6*y^4+x^7*y^2-x^6*y^3-3*x^5*y^4-2*x^6*y^2-x^5*y^3-x^ 4*y^4-x^6*y+x^5*y^2+2*x^4*y^3+x^5*y-x^4*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6984979487 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 132" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 14 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 14 14 16 11 15 12 14 13 + 9 x y + 7 x y + x y - 5 x y - 6 x y - 3 x y 16 10 15 11 16 9 15 10 14 11 13 12 - 5 x y - 5 x y + 9 x y + 10 x y + 9 x y + 2 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 - 5 x y - 3 x y - 10 x y - 8 x y + x y - 2 x y 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 11 11 - x y + 11 x y + x y + 8 x y - 4 x y + 2 x y 14 7 13 8 11 10 14 6 13 7 11 9 10 10 - 5 x y - 4 x y - 5 x y + x y + 4 x y + 2 x y - x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - x y + x y + 4 x y + 6 x y - 3 x y - 4 x y - 11 x y 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 - 5 x y + 3 x y + 2 x y + 5 x y + 11 x y - x y - 3 x y 10 6 9 7 11 4 9 6 11 3 10 4 8 6 + 3 x y - 4 x y + 3 x y - 4 x y - x y - 3 x y + 2 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 + x y + 3 x y - 2 x y + 2 x y - x y - 2 x y - 3 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 7 2 6 3 - 2 x y + 2 x y + x y + 4 x y - x y - 2 x y + x y - x y 5 4 5 3 4 4 6 5 2 4 3 5 4 2 - 3 x y + 5 x y + 5 x y + x y - x y - 6 x y - x y + x y 3 3 3 2 2 2 2 / 11 9 + 2 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x + 1) / ((x - 1) (x y / 11 8 11 7 10 8 11 6 10 7 11 5 10 6 - x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y + 4 x y + x y - x y 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 - x y - x y - x y + x y - x y - x y + x y + 2 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 8 3 6 5 + x y - x y - x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y + 2 x y 6 4 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 5 - 2 x y + 4 x y + x y - x y + x y - x y - 2 x y - x y 3 2 2 2 - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation -(x^16*y^14-5*x^16*y^13-2*x^15*y^14+9*x^16*y^12+7*x^15*y^13+x^14*y^14-5*x^16*y^ 11-6*x^15*y^12-3*x^14*y^13-5*x^16*y^10-5*x^15*y^11+9*x^16*y^9+10*x^15*y^10+9*x^ 14*y^11+2*x^13*y^12-5*x^16*y^8-3*x^15*y^9-10*x^14*y^10-8*x^13*y^11+x^16*y^7-2*x ^15*y^8-x^14*y^9+11*x^13*y^10+x^15*y^7+8*x^14*y^8-4*x^13*y^9+2*x^11*y^11-5*x^14 *y^7-4*x^13*y^8-5*x^11*y^10+x^14*y^6+4*x^13*y^7+2*x^11*y^9-x^10*y^10-x^13*y^6+x ^12*y^7+4*x^11*y^8+6*x^10*y^9-3*x^12*y^6-4*x^11*y^7-11*x^10*y^8-5*x^9*y^9+3*x^ 12*y^5+2*x^11*y^6+5*x^10*y^7+11*x^9*y^8-x^12*y^4-3*x^11*y^5+3*x^10*y^6-4*x^9*y^ 7+3*x^11*y^4-4*x^9*y^6-x^11*y^3-3*x^10*y^4+2*x^8*y^6+x^10*y^3+3*x^9*y^4-2*x^8*y ^5+2*x^7*y^6-x^9*y^3-2*x^8*y^4-3*x^7*y^5-2*x^6*y^6+2*x^8*y^3+x^7*y^4+4*x^6*y^5- x^7*y^3-2*x^6*y^4+x^7*y^2-x^6*y^3-3*x^5*y^4+5*x^5*y^3+5*x^4*y^4+x^6*y-x^5*y^2-6 *x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x-1)/(x^11*y ^9-x^11*y^8-2*x^11*y^7-2*x^10*y^8+2*x^11*y^6+4*x^10*y^7+x^11*y^5-x^10*y^6-x^9*y ^7-x^11*y^4-x^10*y^5+x^9*y^6-x^8*y^7-x^10*y^4+x^9*y^5+2*x^8*y^6+x^10*y^3-x^9*y^ 4-x^8*y^5-2*x^7*y^6-x^8*y^4+2*x^7*y^5+x^8*y^3+2*x^6*y^5-2*x^6*y^4+4*x^5*y^4+x^6 *y^2-x^5*y^3+x^4*y^4-x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^5*y-x^3*y^2-x^2*y^2-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6984979487 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 133" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 18 20 17 20 16 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 8 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 17 19 16 20 14 19 15 18 16 20 13 + x y - 6 x y - 14 x y + 13 x y - x y + 14 x y 19 14 18 15 19 13 17 15 20 11 19 12 - 9 x y + 3 x y - 9 x y - x y - 8 x y + 19 x y 18 13 17 14 20 10 19 11 18 12 20 9 - 9 x y + 3 x y + 5 x y - 9 x y + 10 x y - x y 19 10 18 11 17 12 15 14 19 9 18 10 - 3 x y + x y - 9 x y - 2 x y + 4 x y - 8 x y 17 11 16 12 15 13 19 8 18 9 17 10 + 10 x y + x y + 4 x y - x y + 5 x y + x y 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 16 10 - 5 x y + 12 x y + x y - x y - 8 x y + 10 x y 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 15 10 - 42 x y - 12 x y + x y + 5 x y - 10 x y + 38 x y 14 11 13 12 17 7 16 8 14 10 13 11 + 36 x y + 2 x y - x y + 5 x y - 45 x y - 14 x y 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11 + 3 x y - x y - 16 x y + 24 x y + 17 x y - 7 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 + 6 x y - 3 x y - 5 x y + 8 x y + 4 x y - x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 4 x y - 12 x y - 11 x y - 12 x y + 10 x y + 6 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 + x y + 9 x y + 4 x y + 4 x y + 6 x y - 2 x y 12 6 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 - 10 x y - 23 x y - 2 x y + 5 x y - 5 x y + 21 x y 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 + 11 x y - x y + x y - x y - 8 x y - 2 x y + 2 x y 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 - 3 x y - 2 x y - 4 x y - x y - 2 x y - 3 x y + 12 x y 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 - 5 x y + x y + 5 x y - 8 x y + 3 x y - x y - 2 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 + 3 x y - 6 x y + 3 x y - 3 x y + 10 x y - 4 x y - 2 x y 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 6 5 2 4 3 + x y - x y + x y + 3 x y + 5 x y + x y - x y - 6 x y 5 4 2 3 3 3 2 2 2 2 / - x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x + 1) / ( / 12 9 12 8 11 9 12 7 11 8 12 6 11 7 x y - x y - x y - 2 x y - x y + 2 x y + 6 x y 10 8 12 5 11 6 10 7 12 4 11 5 10 6 + 2 x y + x y - 3 x y - 5 x y - x y - 2 x y + 2 x y 10 5 9 6 8 7 11 3 9 5 8 6 10 3 8 5 + 2 x y + x y + x y + x y - 2 x y - 4 x y - x y + 3 x y 7 6 9 3 8 4 8 3 7 4 6 5 6 4 7 2 + 2 x y + x y + x y - x y - 2 x y - 2 x y + 6 x y + x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 6 5 2 4 3 - x y - 3 x y - 2 x y - x y - x y - x y + x y + 2 x y 5 4 2 2 2 2 + x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^20*y^18-5*x^20*y^17+8*x^20*y^16+x^19*y^17-6*x^19*y^16-14*x^20*y^14+13*x^19* y^15-x^18*y^16+14*x^20*y^13-9*x^19*y^14+3*x^18*y^15-9*x^19*y^13-x^17*y^15-8*x^ 20*y^11+19*x^19*y^12-9*x^18*y^13+3*x^17*y^14+5*x^20*y^10-9*x^19*y^11+10*x^18*y^ 12-x^20*y^9-3*x^19*y^10+x^18*y^11-9*x^17*y^12-2*x^15*y^14+4*x^19*y^9-8*x^18*y^ 10+10*x^17*y^11+x^16*y^12+4*x^15*y^13-x^19*y^8+5*x^18*y^9+x^17*y^10-5*x^16*y^11 +12*x^15*y^12+x^14*y^13-x^18*y^8-8*x^17*y^9+10*x^16*y^10-42*x^15*y^11-12*x^14*y ^12+x^13*y^13+5*x^17*y^8-10*x^16*y^9+38*x^15*y^10+36*x^14*y^11+2*x^13*y^12-x^17 *y^7+5*x^16*y^8-45*x^14*y^10-14*x^13*y^11+3*x^12*y^12-x^16*y^7-16*x^15*y^8+24*x ^14*y^9+17*x^13*y^10-7*x^12*y^11+6*x^15*y^7-3*x^14*y^8-5*x^13*y^9+8*x^12*y^10+4 *x^11*y^11-x^14*y^7+4*x^13*y^8-12*x^12*y^9-11*x^11*y^10-12*x^13*y^7+10*x^12*y^8 +6*x^11*y^9+x^10*y^10+9*x^13*y^6+4*x^12*y^7+4*x^11*y^8+6*x^10*y^9-2*x^13*y^5-10 *x^12*y^6-23*x^10*y^8-2*x^9*y^9+5*x^12*y^5-5*x^11*y^6+21*x^10*y^7+11*x^9*y^8-x^ 12*y^4+x^11*y^5-x^10*y^6-8*x^9*y^7-2*x^8*y^8+2*x^11*y^4-3*x^10*y^5-2*x^9*y^6-4* x^8*y^7-x^11*y^3-2*x^10*y^4-3*x^9*y^5+12*x^8*y^6-5*x^7*y^7+x^10*y^3+5*x^9*y^4-8 *x^8*y^5+3*x^7*y^6-x^9*y^3-2*x^8*y^4+3*x^7*y^5-6*x^6*y^6+3*x^8*y^3-3*x^7*y^4+10 *x^6*y^5-4*x^6*y^4-2*x^5*y^5+x^7*y^2-x^6*y^3+x^5*y^4+3*x^5*y^3+5*x^4*y^4+x^6*y- x^5*y^2-6*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^ 12*y^9-x^12*y^8-x^11*y^9-2*x^12*y^7-x^11*y^8+2*x^12*y^6+6*x^11*y^7+2*x^10*y^8+x ^12*y^5-3*x^11*y^6-5*x^10*y^7-x^12*y^4-2*x^11*y^5+2*x^10*y^6+2*x^10*y^5+x^9*y^6 +x^8*y^7+x^11*y^3-2*x^9*y^5-4*x^8*y^6-x^10*y^3+3*x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^9*y^3+x^8* y^4-x^8*y^3-2*x^7*y^4-2*x^6*y^5+6*x^6*y^4+x^7*y^2-x^6*y^3-3*x^5*y^4-2*x^6*y^2-x ^5*y^3-x^4*y^4-x^6*y+x^5*y^2+2*x^4*y^3+x^5*y-x^4*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6982230402 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 134" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 18 20 17 20 16 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 8 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 17 19 16 20 14 19 15 18 16 20 13 + x y - 6 x y - 14 x y + 13 x y - x y + 14 x y 19 14 18 15 19 13 17 15 20 11 19 12 - 9 x y + 3 x y - 9 x y - x y - 8 x y + 19 x y 18 13 17 14 20 10 19 11 18 12 20 9 - 9 x y + 3 x y + 5 x y - 9 x y + 10 x y - x y 19 10 18 11 17 12 15 14 19 9 18 10 - 3 x y + x y - 9 x y - 2 x y + 4 x y - 8 x y 17 11 16 12 15 13 19 8 18 9 17 10 + 10 x y + x y + 4 x y - x y + 5 x y + x y 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 16 10 - 5 x y + 12 x y + x y - x y - 8 x y + 10 x y 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 15 10 - 42 x y - 12 x y + x y + 5 x y - 10 x y + 38 x y 14 11 13 12 17 7 16 8 14 10 13 11 + 36 x y + 2 x y - x y + 5 x y - 45 x y - 14 x y 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11 + 3 x y - x y - 16 x y + 24 x y + 17 x y - 7 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 + 6 x y - 3 x y - 5 x y + 8 x y + 4 x y - x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 4 x y - 12 x y - 11 x y - 12 x y + 10 x y + 6 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 + x y + 9 x y + 4 x y + 4 x y + 6 x y - 2 x y 12 6 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 - 10 x y - 23 x y - 2 x y + 5 x y - 5 x y + 21 x y 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 + 11 x y - x y + x y - x y - 8 x y - 2 x y + 2 x y 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 - 3 x y - 2 x y - 4 x y - x y - 2 x y - 3 x y + 12 x y 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 - 5 x y + x y + 5 x y - 8 x y + 3 x y - x y - 2 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 + 3 x y - 6 x y + 3 x y - 3 x y + 10 x y - 4 x y - 2 x y 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 6 5 2 4 3 + x y - x y + x y + 3 x y + 5 x y + x y - x y - 6 x y 5 4 2 3 3 3 2 2 2 2 / - x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y + x y - x + 1) / (( / 11 9 11 8 11 7 10 8 11 6 10 7 11 5 x y - x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y + 4 x y + x y 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 - x y - x y - x y - x y + x y - x y - x y + x y 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 8 3 + 2 x y + x y - x y - x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y 6 5 6 4 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 + 2 x y - 2 x y + 4 x y + x y - x y + x y - x y - 2 x y 5 3 2 2 2 - x y - x y - x y - x y + 1) (x - 1)) and in Maple notation -(x^20*y^18-5*x^20*y^17+8*x^20*y^16+x^19*y^17-6*x^19*y^16-14*x^20*y^14+13*x^19* y^15-x^18*y^16+14*x^20*y^13-9*x^19*y^14+3*x^18*y^15-9*x^19*y^13-x^17*y^15-8*x^ 20*y^11+19*x^19*y^12-9*x^18*y^13+3*x^17*y^14+5*x^20*y^10-9*x^19*y^11+10*x^18*y^ 12-x^20*y^9-3*x^19*y^10+x^18*y^11-9*x^17*y^12-2*x^15*y^14+4*x^19*y^9-8*x^18*y^ 10+10*x^17*y^11+x^16*y^12+4*x^15*y^13-x^19*y^8+5*x^18*y^9+x^17*y^10-5*x^16*y^11 +12*x^15*y^12+x^14*y^13-x^18*y^8-8*x^17*y^9+10*x^16*y^10-42*x^15*y^11-12*x^14*y ^12+x^13*y^13+5*x^17*y^8-10*x^16*y^9+38*x^15*y^10+36*x^14*y^11+2*x^13*y^12-x^17 *y^7+5*x^16*y^8-45*x^14*y^10-14*x^13*y^11+3*x^12*y^12-x^16*y^7-16*x^15*y^8+24*x ^14*y^9+17*x^13*y^10-7*x^12*y^11+6*x^15*y^7-3*x^14*y^8-5*x^13*y^9+8*x^12*y^10+4 *x^11*y^11-x^14*y^7+4*x^13*y^8-12*x^12*y^9-11*x^11*y^10-12*x^13*y^7+10*x^12*y^8 +6*x^11*y^9+x^10*y^10+9*x^13*y^6+4*x^12*y^7+4*x^11*y^8+6*x^10*y^9-2*x^13*y^5-10 *x^12*y^6-23*x^10*y^8-2*x^9*y^9+5*x^12*y^5-5*x^11*y^6+21*x^10*y^7+11*x^9*y^8-x^ 12*y^4+x^11*y^5-x^10*y^6-8*x^9*y^7-2*x^8*y^8+2*x^11*y^4-3*x^10*y^5-2*x^9*y^6-4* x^8*y^7-x^11*y^3-2*x^10*y^4-3*x^9*y^5+12*x^8*y^6-5*x^7*y^7+x^10*y^3+5*x^9*y^4-8 *x^8*y^5+3*x^7*y^6-x^9*y^3-2*x^8*y^4+3*x^7*y^5-6*x^6*y^6+3*x^8*y^3-3*x^7*y^4+10 *x^6*y^5-4*x^6*y^4-2*x^5*y^5+x^7*y^2-x^6*y^3+x^5*y^4+3*x^5*y^3+5*x^4*y^4+x^6*y- x^5*y^2-6*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^ 11*y^9-x^11*y^8-2*x^11*y^7-2*x^10*y^8+2*x^11*y^6+4*x^10*y^7+x^11*y^5-x^10*y^6-x ^9*y^7-x^11*y^4-x^10*y^5+x^9*y^6-x^8*y^7-x^10*y^4+x^9*y^5+2*x^8*y^6+x^10*y^3-x^ 9*y^4-x^8*y^5-2*x^7*y^6-x^8*y^4+2*x^7*y^5+x^8*y^3+2*x^6*y^5-2*x^6*y^4+4*x^5*y^4 +x^6*y^2-x^5*y^3+x^4*y^4-x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^5*y-x^3*y^2-x^2*y^2-x*y+1)/(x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6982230402 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 135" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [2, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 9 9 9 8 9 7 8 8 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 8 x y + 12 x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 - 8 x y + 12 x y + 2 x y - 12 x y + 2 x y + 4 x y - 4 x y 7 5 5 5 5 4 5 3 4 4 4 2 3 3 + 2 x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y + 3 x y - 2 x y + 2 x y 3 2 / 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 - 2 x y + 1) / (2 x y - 2 x y + x y - 4 x y + 2 x y / 3 3 3 2 - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^9*y^9-8*x^9*y^8+12*x^9*y^7-4*x^8*y^8-8*x^9*y^6+12*x^8*y^7+2*x^9*y^5-12*x^ 8*y^6+2*x^7*y^7+4*x^8*y^5-4*x^7*y^6+2*x^7*y^5-4*x^5*y^5+6*x^5*y^4-2*x^5*y^3+3*x ^4*y^4-2*x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+1)/(2*x^5*y^4-2*x^5*y^3+x^4*y^4-4*x^4*y^3+ 2*x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^3*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 5 4 2 a + 2 a - 7 a + 1 - ---------------------- 3 4 (2 a - 1) (a + 1) 4 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6931508326 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6946025952 ------------------------------------------------ "Theorem Number 136" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 17 18 16 18 15 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + 20 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 18 14 17 15 18 13 17 14 16 15 18 12 - 31 x y - x y + 29 x y + 5 x y + x y - 17 x y 17 13 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 - 10 x y - 7 x y + 6 x y + 10 x y + 19 x y - x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 17 10 - x y - 5 x y - 27 x y + 4 x y - 2 x y + x y 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 + 22 x y - 6 x y + 9 x y - 10 x y + 4 x y - 18 x y 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 14 10 + x y + 2 x y - x y + 21 x y - 4 x y - 15 x y 13 11 12 12 14 9 13 10 12 11 14 8 + 7 x y - x y + 6 x y - 7 x y + 3 x y - x y 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 + 4 x y - 4 x y - 2 x y - x y + 4 x y + 8 x y 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 - 4 x y - 13 x y + 6 x y + 3 x y + 12 x y - 17 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - x y - 7 x y + 18 x y - 2 x y + 2 x y - 8 x y + 4 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 - 3 x y + 5 x y + x y + 2 x y - 7 x y - x y + 2 x y 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 + 3 x y + x y - 7 x y - x y + 5 x y - 2 x y - x y + 2 x y 5 5 5 4 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 + 2 x y - 2 x y - 4 x y + x y + x y - 2 x y + 2 x y - x y 2 / 19 15 19 14 19 13 18 14 19 12 + x y - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - x y - 4 x y / 18 13 19 11 18 12 17 13 18 11 17 12 + 4 x y + x y - 6 x y + x y + 4 x y - 3 x y 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 + x y - x y + 3 x y - x y - 3 x y - x y 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 + 3 x y + 3 x y - 2 x y - 3 x y - x y + 5 x y 16 9 14 11 13 12 14 10 13 11 14 9 + x y - 2 x y + 2 x y - 4 x y - 5 x y + 4 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 13 8 + 3 x y - x y - x y + 2 x y + 3 x y - 3 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 - 4 x y - x y + x y + 2 x y - x y + x y + 6 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 + 3 x y - x y - 5 x y - 3 x y + x y - 2 x y - 4 x y 10 6 9 7 10 5 8 7 8 6 7 6 8 4 7 5 + x y + 4 x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y 6 5 6 4 5 4 5 3 4 3 4 2 2 2 2 - 4 x y + 4 x y + 4 x y - 2 x y - 3 x y + x y - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^18*y^17-7*x^18*y^16+20*x^18*y^15-31*x^18*y^14-x^17*y^15+29*x^18*y^13+5*x^17* y^14+x^16*y^15-17*x^18*y^12-10*x^17*y^13-7*x^16*y^14+6*x^18*y^11+10*x^17*y^12+ 19*x^16*y^13-x^15*y^14-x^18*y^10-5*x^17*y^11-27*x^16*y^12+4*x^15*y^13-2*x^14*y^ 14+x^17*y^10+22*x^16*y^11-6*x^15*y^12+9*x^14*y^13-10*x^16*y^10+4*x^15*y^11-18*x ^14*y^12+x^13*y^13+2*x^16*y^9-x^15*y^10+21*x^14*y^11-4*x^13*y^12-15*x^14*y^10+7 *x^13*y^11-x^12*y^12+6*x^14*y^9-7*x^13*y^10+3*x^12*y^11-x^14*y^8+4*x^13*y^9-4*x ^12*y^10-2*x^11*y^11-x^13*y^8+4*x^12*y^9+8*x^11*y^10-4*x^12*y^8-13*x^11*y^9+6*x ^10*y^10+3*x^12*y^7+12*x^11*y^8-17*x^10*y^9-x^12*y^6-7*x^11*y^7+18*x^10*y^8-2*x ^9*y^9+2*x^11*y^6-8*x^10*y^7+4*x^9*y^8-3*x^9*y^7+5*x^8*y^8+x^10*y^5+2*x^9*y^6-7 *x^8*y^7-x^9*y^5+2*x^8*y^6+3*x^7*y^7+x^8*y^5-7*x^7*y^6-x^8*y^4+5*x^7*y^5-2*x^6* y^6-x^7*y^4+2*x^6*y^5+2*x^5*y^5-2*x^5*y^4-4*x^4*y^4+x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3+2 *x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^19*y^15-4*x^19*y^14+6*x^19*y^13-x^18*y^14-4*x^19*y ^12+4*x^18*y^13+x^19*y^11-6*x^18*y^12+x^17*y^13+4*x^18*y^11-3*x^17*y^12+x^15*y^ 14-x^18*y^10+3*x^17*y^11-x^16*y^12-3*x^15*y^13-x^17*y^10+3*x^16*y^11+3*x^15*y^ 12-2*x^14*y^13-3*x^16*y^10-x^15*y^11+5*x^14*y^12+x^16*y^9-2*x^14*y^11+2*x^13*y^ 12-4*x^14*y^10-5*x^13*y^11+4*x^14*y^9+3*x^13*y^10-x^12*y^11-x^14*y^8+2*x^13*y^9 +3*x^12*y^10-3*x^13*y^8-4*x^12*y^9-x^11*y^10+x^13*y^7+2*x^12*y^8-x^11*y^9+x^12* y^7+6*x^11*y^8+3*x^10*y^9-x^12*y^6-5*x^11*y^7-3*x^10*y^8+x^11*y^6-2*x^10*y^7-4* x^9*y^8+x^10*y^6+4*x^9*y^7+x^10*y^5+2*x^8*y^7-x^8*y^6+2*x^7*y^6-x^8*y^4-2*x^7*y ^5-4*x^6*y^5+4*x^6*y^4+4*x^5*y^4-2*x^5*y^3-3*x^4*y^3+x^4*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x* y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 5 4 a - 2 a - a + 5 a - 1 - ---------------------------- 4 3 4 (5 a - 4 a + 1) (2 a + 1) 5 4 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6915545349 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6927004944 ------------------------------------------------ "Theorem Number 137" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1, 1], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 17 18 16 18 15 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + 20 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 18 14 17 15 18 13 17 14 16 15 18 12 - 31 x y - x y + 29 x y + 5 x y + x y - 17 x y 17 13 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 - 10 x y - 7 x y + 6 x y + 10 x y + 19 x y - x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 17 10 - x y - 5 x y - 27 x y + 4 x y - 2 x y + x y 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 + 22 x y - 6 x y + 9 x y - 10 x y + 4 x y - 18 x y 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 14 10 + x y + 2 x y - x y + 21 x y - 4 x y - 15 x y 13 11 12 12 14 9 13 10 12 11 14 8 + 7 x y - x y + 6 x y - 7 x y + 3 x y - x y 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 + 4 x y - 4 x y - 2 x y - x y + 4 x y + 8 x y 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 - 4 x y - 13 x y + 6 x y + 3 x y + 12 x y - 17 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - x y - 7 x y + 18 x y - 2 x y + 2 x y - 8 x y + 4 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 - 3 x y + 5 x y + x y + 2 x y - 7 x y - x y + 2 x y 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 + 3 x y + x y - 7 x y - x y + 5 x y - 2 x y - x y + 2 x y 5 5 5 4 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 + 2 x y - 2 x y - 4 x y + x y + x y - 2 x y + 2 x y - x y 2 / 19 15 19 14 19 13 18 14 19 12 + x y - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - x y - 4 x y / 18 13 19 11 18 12 17 13 18 11 17 12 + 4 x y + x y - 6 x y + x y + 4 x y - 3 x y 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 + x y - x y + 3 x y - x y - 3 x y - x y 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 + 3 x y + 3 x y - 2 x y - 3 x y - x y + 5 x y 16 9 14 11 13 12 14 10 13 11 14 9 + x y - 2 x y + 2 x y - 4 x y - 5 x y + 4 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 13 8 + 3 x y - x y - x y + 2 x y + 3 x y - 3 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 - 4 x y - x y + x y + 2 x y - x y + x y + 6 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 + 3 x y - x y - 5 x y - 3 x y + x y - 2 x y - 4 x y 10 6 9 7 10 5 8 7 8 6 7 6 8 4 7 5 + x y + 4 x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y 6 5 6 4 5 4 5 3 4 3 4 2 2 2 2 - 4 x y + 4 x y + 4 x y - 2 x y - 3 x y + x y - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^18*y^17-7*x^18*y^16+20*x^18*y^15-31*x^18*y^14-x^17*y^15+29*x^18*y^13+5*x^17* y^14+x^16*y^15-17*x^18*y^12-10*x^17*y^13-7*x^16*y^14+6*x^18*y^11+10*x^17*y^12+ 19*x^16*y^13-x^15*y^14-x^18*y^10-5*x^17*y^11-27*x^16*y^12+4*x^15*y^13-2*x^14*y^ 14+x^17*y^10+22*x^16*y^11-6*x^15*y^12+9*x^14*y^13-10*x^16*y^10+4*x^15*y^11-18*x ^14*y^12+x^13*y^13+2*x^16*y^9-x^15*y^10+21*x^14*y^11-4*x^13*y^12-15*x^14*y^10+7 *x^13*y^11-x^12*y^12+6*x^14*y^9-7*x^13*y^10+3*x^12*y^11-x^14*y^8+4*x^13*y^9-4*x ^12*y^10-2*x^11*y^11-x^13*y^8+4*x^12*y^9+8*x^11*y^10-4*x^12*y^8-13*x^11*y^9+6*x ^10*y^10+3*x^12*y^7+12*x^11*y^8-17*x^10*y^9-x^12*y^6-7*x^11*y^7+18*x^10*y^8-2*x ^9*y^9+2*x^11*y^6-8*x^10*y^7+4*x^9*y^8-3*x^9*y^7+5*x^8*y^8+x^10*y^5+2*x^9*y^6-7 *x^8*y^7-x^9*y^5+2*x^8*y^6+3*x^7*y^7+x^8*y^5-7*x^7*y^6-x^8*y^4+5*x^7*y^5-2*x^6* y^6-x^7*y^4+2*x^6*y^5+2*x^5*y^5-2*x^5*y^4-4*x^4*y^4+x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3+2 *x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^19*y^15-4*x^19*y^14+6*x^19*y^13-x^18*y^14-4*x^19*y ^12+4*x^18*y^13+x^19*y^11-6*x^18*y^12+x^17*y^13+4*x^18*y^11-3*x^17*y^12+x^15*y^ 14-x^18*y^10+3*x^17*y^11-x^16*y^12-3*x^15*y^13-x^17*y^10+3*x^16*y^11+3*x^15*y^ 12-2*x^14*y^13-3*x^16*y^10-x^15*y^11+5*x^14*y^12+x^16*y^9-2*x^14*y^11+2*x^13*y^ 12-4*x^14*y^10-5*x^13*y^11+4*x^14*y^9+3*x^13*y^10-x^12*y^11-x^14*y^8+2*x^13*y^9 +3*x^12*y^10-3*x^13*y^8-4*x^12*y^9-x^11*y^10+x^13*y^7+2*x^12*y^8-x^11*y^9+x^12* y^7+6*x^11*y^8+3*x^10*y^9-x^12*y^6-5*x^11*y^7-3*x^10*y^8+x^11*y^6-2*x^10*y^7-4* x^9*y^8+x^10*y^6+4*x^9*y^7+x^10*y^5+2*x^8*y^7-x^8*y^6+2*x^7*y^6-x^8*y^4-2*x^7*y ^5-4*x^6*y^5+4*x^6*y^4+4*x^5*y^4-2*x^5*y^3-3*x^4*y^3+x^4*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x* y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 5 4 a - 2 a - a + 5 a - 1 - ---------------------------- 4 3 4 (5 a - 4 a + 1) (2 a + 1) 5 4 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6915545349 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6927004944 ------------------------------------------------ "Theorem Number 138" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [1, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 10 x y + 20 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 14 11 13 12 14 10 13 11 14 9 + 3 x y - 20 x y - 14 x y + 10 x y + 26 x y - 2 x y 13 10 13 9 11 11 13 8 11 10 11 9 - 24 x y + 11 x y - 4 x y - 2 x y + 15 x y - 21 x y 10 10 11 8 10 9 11 7 10 8 9 9 - 5 x y + 13 x y + 14 x y - 3 x y - 12 x y - x y 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 + 2 x y + 3 x y + x y - 3 x y + 4 x y + x y - 8 x y 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 + 5 x y - 2 x y - 2 x y + 6 x y + x y - 6 x y - 2 x y 7 4 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 + 2 x y + 3 x y - x y - 2 x y + 4 x y - 3 x y + 4 x y 5 2 4 3 3 3 3 2 2 2 / 10 8 + x y - 4 x y + 2 x y - x y + x y - x y + 1) / (2 x y / 10 7 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 8 6 - 4 x y + 2 x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y - 2 x y + 3 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 6 4 - 2 x y + 2 x y + x y - 4 x y + 2 x y - x y + 3 x y 6 3 5 4 5 3 5 2 4 3 4 2 3 2 3 - 2 x y + 4 x y - 3 x y + x y - 4 x y + 2 x y + 2 x y - x y 2 2 2 + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (2*x^14*y^14-10*x^14*y^13+20*x^14*y^12+3*x^13*y^13-20*x^14*y^11-14*x^13*y^12+10 *x^14*y^10+26*x^13*y^11-2*x^14*y^9-24*x^13*y^10+11*x^13*y^9-4*x^11*y^11-2*x^13* y^8+15*x^11*y^10-21*x^11*y^9-5*x^10*y^10+13*x^11*y^8+14*x^10*y^9-3*x^11*y^7-12* x^10*y^8-x^9*y^9+2*x^10*y^7+3*x^9*y^8+x^10*y^6-3*x^9*y^7+4*x^8*y^8+x^9*y^6-8*x^ 8*y^7+5*x^8*y^6-2*x^7*y^7-2*x^8*y^5+6*x^7*y^6+x^8*y^4-6*x^7*y^5-2*x^6*y^6+2*x^7 *y^4+3*x^6*y^5-x^6*y^4-2*x^5*y^5+4*x^5*y^4-3*x^5*y^3+4*x^4*y^4+x^5*y^2-4*x^4*y^ 3+2*x^3*y^3-x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+1)/(2*x^10*y^8-4*x^10*y^7+2*x^10*y^6-2*x^9*y^7+ 4*x^9*y^6-2*x^8*y^7-2*x^9*y^5+3*x^8*y^6-2*x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^8*y^4-4*x^7*y^5+2 *x^7*y^4-x^6*y^5+3*x^6*y^4-2*x^6*y^3+4*x^5*y^4-3*x^5*y^3+x^5*y^2-4*x^4*y^3+2*x^ 4*y^2+2*x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 6 5 4 3 2 2 (4 a - 7 a + 10 a - 10 a + a + a - a + 1) - ------------------------------------------------- 2 4 3 2 (a - a + 1) (10 a - 8 a + 3 a - 2) 5 4 3 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6914555128 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6926968042 ------------------------------------------------ "Theorem Number 139" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [1, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 10 x y + 20 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 14 11 13 12 14 10 13 11 14 9 + 3 x y - 20 x y - 14 x y + 10 x y + 26 x y - 2 x y 13 10 13 9 11 11 13 8 11 10 11 9 - 24 x y + 11 x y - 4 x y - 2 x y + 15 x y - 21 x y 10 10 11 8 10 9 11 7 10 8 9 9 - 5 x y + 13 x y + 14 x y - 3 x y - 12 x y - x y 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 + 2 x y + 3 x y + x y - 3 x y + 4 x y + x y - 8 x y 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 + 5 x y - 2 x y - 2 x y + 6 x y + x y - 6 x y - 2 x y 7 4 6 5 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 + 2 x y + 3 x y - x y - 2 x y + 4 x y - 3 x y + 4 x y 5 2 4 3 3 3 3 2 2 2 / 10 8 + x y - 4 x y + 2 x y - x y + x y - x y + 1) / (2 x y / 10 7 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 8 6 - 4 x y + 2 x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y - 2 x y + 3 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 6 4 - 2 x y + 2 x y + x y - 4 x y + 2 x y - x y + 3 x y 6 3 5 4 5 3 5 2 4 3 4 2 3 2 3 - 2 x y + 4 x y - 3 x y + x y - 4 x y + 2 x y + 2 x y - x y 2 2 2 + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (2*x^14*y^14-10*x^14*y^13+20*x^14*y^12+3*x^13*y^13-20*x^14*y^11-14*x^13*y^12+10 *x^14*y^10+26*x^13*y^11-2*x^14*y^9-24*x^13*y^10+11*x^13*y^9-4*x^11*y^11-2*x^13* y^8+15*x^11*y^10-21*x^11*y^9-5*x^10*y^10+13*x^11*y^8+14*x^10*y^9-3*x^11*y^7-12* x^10*y^8-x^9*y^9+2*x^10*y^7+3*x^9*y^8+x^10*y^6-3*x^9*y^7+4*x^8*y^8+x^9*y^6-8*x^ 8*y^7+5*x^8*y^6-2*x^7*y^7-2*x^8*y^5+6*x^7*y^6+x^8*y^4-6*x^7*y^5-2*x^6*y^6+2*x^7 *y^4+3*x^6*y^5-x^6*y^4-2*x^5*y^5+4*x^5*y^4-3*x^5*y^3+4*x^4*y^4+x^5*y^2-4*x^4*y^ 3+2*x^3*y^3-x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+1)/(2*x^10*y^8-4*x^10*y^7+2*x^10*y^6-2*x^9*y^7+ 4*x^9*y^6-2*x^8*y^7-2*x^9*y^5+3*x^8*y^6-2*x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^8*y^4-4*x^7*y^5+2 *x^7*y^4-x^6*y^5+3*x^6*y^4-2*x^6*y^3+4*x^5*y^4-3*x^5*y^3+x^5*y^2-4*x^4*y^3+2*x^ 4*y^2+2*x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 6 5 4 3 2 2 (4 a - 7 a + 10 a - 10 a + a + a - a + 1) - ------------------------------------------------- 2 4 3 2 (a - a + 1) (10 a - 8 a + 3 a - 2) 5 4 3 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6914555128 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6926968042 ------------------------------------------------ "Theorem Number 140" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 15 18 14 16 16 18 13 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 14 16 15 18 12 17 13 16 14 15 15 + x y - 4 x y - 10 x y - 5 x y + 3 x y + x y 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 17 11 + 5 x y + 10 x y + 10 x y - 4 x y - x y - 10 x y 16 12 15 13 14 14 17 10 16 11 15 12 - 24 x y + 2 x y + x y + 5 x y + 20 x y + 16 x y 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 - 4 x y - x y - 5 x y - 38 x y + 2 x y - x y 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 - 2 x y + 36 x y + 11 x y + 3 x y + x y - 14 x y 14 10 13 11 14 9 13 10 12 11 15 7 - 21 x y - 4 x y + 17 x y + 5 x y + x y + x y 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 - 9 x y - 6 x y - 5 x y - 2 x y + 4 x y + 5 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 + 8 x y + 5 x y - x y - 4 x y - 5 x y - 4 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 - 4 x y + 3 x y + 2 x y + x y + 13 x y - x y - 3 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 9 8 12 4 + 2 x y - 13 x y - 7 x y + 3 x y - 5 x y + 17 x y - x y 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 + 3 x y + 9 x y - 9 x y - 4 x y + x y - 7 x y - 2 x y 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 + 11 x y - x y + 2 x y - x y - 7 x y - 3 x y + x y - x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 + 7 x y + x y - x y - 3 x y - x y + 2 x y - 2 x y + 4 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 6 - 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y + 6 x y + x y 4 3 5 3 3 3 2 2 2 2 / - 5 x y - x y + 3 x y - 3 x y + 2 x y - x y + x y - x + 1) / ( / 13 10 13 9 12 10 13 8 12 9 13 7 12 8 x y - 3 x y - x y + 3 x y + 3 x y - x y - 5 x y 12 7 11 8 12 6 11 7 12 5 11 6 10 7 + 7 x y + 2 x y - 6 x y - 5 x y + 2 x y + 3 x y - x y 9 8 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 - x y + 3 x y + x y + x y + x y - 3 x y + x y - x y 11 3 10 4 9 5 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 - x y + x y - x y - x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 7 2 6 3 5 4 + 3 x y - x y + x y + x y - 3 x y - x y - x y + x y 6 2 6 4 3 5 3 3 3 2 2 + 2 x y + x y + x y - x y - x y - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^18*y^15-5*x^18*y^14+x^16*y^16+10*x^18*y^13+x^17*y^14-4*x^16*y^15-10*x^18*y^ 12-5*x^17*y^13+3*x^16*y^14+x^15*y^15+5*x^18*y^11+10*x^17*y^12+10*x^16*y^13-4*x^ 15*y^14-x^18*y^10-10*x^17*y^11-24*x^16*y^12+2*x^15*y^13+x^14*y^14+5*x^17*y^10+ 20*x^16*y^11+16*x^15*y^12-4*x^14*y^13-x^17*y^9-5*x^16*y^10-38*x^15*y^11+2*x^14* y^12-x^13*y^13-2*x^16*y^9+36*x^15*y^10+11*x^14*y^11+3*x^13*y^12+x^16*y^8-14*x^ 15*y^9-21*x^14*y^10-4*x^13*y^11+17*x^14*y^9+5*x^13*y^10+x^12*y^11+x^15*y^7-9*x^ 14*y^8-6*x^13*y^9-5*x^12*y^10-2*x^11*y^11+4*x^14*y^7+5*x^13*y^8+8*x^12*y^9+5*x^ 11*y^10-x^14*y^6-4*x^13*y^7-5*x^12*y^8-4*x^11*y^9-4*x^10*y^10+3*x^13*y^6+2*x^12 *y^7+x^11*y^8+13*x^10*y^9-x^13*y^5-3*x^12*y^6+2*x^11*y^7-13*x^10*y^8-7*x^9*y^9+ 3*x^12*y^5-5*x^11*y^6+17*x^9*y^8-x^12*y^4+3*x^11*y^5+9*x^10*y^6-9*x^9*y^7-4*x^8 *y^8+x^11*y^4-7*x^10*y^5-2*x^9*y^6+11*x^8*y^7-x^11*y^3+2*x^10*y^4-x^9*y^5-7*x^8 *y^6-3*x^7*y^7+x^9*y^4-x^8*y^5+7*x^7*y^6+x^9*y^3-x^8*y^4-3*x^7*y^5-x^6*y^6+2*x^ 8*y^3-2*x^7*y^4+4*x^6*y^5-2*x^6*y^4+2*x^5*y^5+x^7*y^2-2*x^6*y^3-3*x^5*y^4+2*x^5 *y^3+6*x^4*y^4+x^6*y-5*x^4*y^3-x^5*y+3*x^3*y^3-3*x^3*y^2+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+ 1)/(x^13*y^10-3*x^13*y^9-x^12*y^10+3*x^13*y^8+3*x^12*y^9-x^13*y^7-5*x^12*y^8+7* x^12*y^7+2*x^11*y^8-6*x^12*y^6-5*x^11*y^7+2*x^12*y^5+3*x^11*y^6-x^10*y^7-x^9*y^ 8+3*x^10*y^6+x^9*y^7+x^8*y^8+x^11*y^4-3*x^10*y^5+x^9*y^6-x^8*y^7-x^11*y^3+x^10* y^4-x^9*y^5-x^9*y^4-2*x^8*y^5-x^7*y^6+x^9*y^3+2*x^8*y^4+3*x^7*y^5-x^7*y^4+x^6*y ^5+x^7*y^3-3*x^6*y^4-x^7*y^2-x^6*y^3+x^5*y^4+2*x^6*y^2+x^6*y+x^4*y^3-x^5*y-x^3* y^3-x^3*y^2+x^2*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6915008372 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 141" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 1], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 15 18 14 16 16 18 13 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 14 16 15 18 12 17 13 16 14 15 15 + x y - 4 x y - 10 x y - 5 x y + 3 x y + x y 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 17 11 + 5 x y + 10 x y + 10 x y - 4 x y - x y - 10 x y 16 12 15 13 14 14 17 10 16 11 15 12 - 24 x y + 2 x y + x y + 5 x y + 20 x y + 16 x y 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 - 4 x y - x y - 5 x y - 38 x y + 2 x y - x y 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 - 2 x y + 36 x y + 11 x y + 3 x y + x y - 14 x y 14 10 13 11 14 9 13 10 12 11 15 7 - 21 x y - 4 x y + 17 x y + 5 x y + x y + x y 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 - 9 x y - 6 x y - 5 x y - 2 x y + 4 x y + 5 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 + 8 x y + 5 x y - x y - 4 x y - 5 x y - 4 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 - 4 x y + 3 x y + 2 x y + x y + 13 x y - x y - 3 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 9 8 12 4 + 2 x y - 13 x y - 7 x y + 3 x y - 5 x y + 17 x y - x y 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 + 3 x y + 9 x y - 9 x y - 4 x y + x y - 7 x y - 2 x y 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 + 11 x y - x y + 2 x y - x y - 7 x y - 3 x y + x y - x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 + 7 x y + x y - x y - 3 x y - x y + 2 x y - 2 x y + 4 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 6 - 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y + 6 x y + x y 4 3 5 3 3 3 2 2 2 2 / - 5 x y - x y + 3 x y - 3 x y + 2 x y - x y + x y - x + 1) / ( / 12 10 12 9 12 8 12 7 11 8 11 7 (x - 1) (x y - 3 x y + 3 x y - x y - 2 x y + 6 x y 11 6 10 7 11 5 10 6 8 8 10 5 8 7 - 6 x y + x y + 2 x y - 3 x y - x y + 2 x y + x y 10 4 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 + x y - x y + x y - x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y 8 4 7 5 7 4 6 5 6 4 6 3 5 4 6 2 + x y - 4 x y + 3 x y - x y + 2 x y + x y - x y - x y 5 2 5 4 2 3 3 3 2 + x y + x y + x y + x y + x y + x y - 1)) and in Maple notation (x^18*y^15-5*x^18*y^14+x^16*y^16+10*x^18*y^13+x^17*y^14-4*x^16*y^15-10*x^18*y^ 12-5*x^17*y^13+3*x^16*y^14+x^15*y^15+5*x^18*y^11+10*x^17*y^12+10*x^16*y^13-4*x^ 15*y^14-x^18*y^10-10*x^17*y^11-24*x^16*y^12+2*x^15*y^13+x^14*y^14+5*x^17*y^10+ 20*x^16*y^11+16*x^15*y^12-4*x^14*y^13-x^17*y^9-5*x^16*y^10-38*x^15*y^11+2*x^14* y^12-x^13*y^13-2*x^16*y^9+36*x^15*y^10+11*x^14*y^11+3*x^13*y^12+x^16*y^8-14*x^ 15*y^9-21*x^14*y^10-4*x^13*y^11+17*x^14*y^9+5*x^13*y^10+x^12*y^11+x^15*y^7-9*x^ 14*y^8-6*x^13*y^9-5*x^12*y^10-2*x^11*y^11+4*x^14*y^7+5*x^13*y^8+8*x^12*y^9+5*x^ 11*y^10-x^14*y^6-4*x^13*y^7-5*x^12*y^8-4*x^11*y^9-4*x^10*y^10+3*x^13*y^6+2*x^12 *y^7+x^11*y^8+13*x^10*y^9-x^13*y^5-3*x^12*y^6+2*x^11*y^7-13*x^10*y^8-7*x^9*y^9+ 3*x^12*y^5-5*x^11*y^6+17*x^9*y^8-x^12*y^4+3*x^11*y^5+9*x^10*y^6-9*x^9*y^7-4*x^8 *y^8+x^11*y^4-7*x^10*y^5-2*x^9*y^6+11*x^8*y^7-x^11*y^3+2*x^10*y^4-x^9*y^5-7*x^8 *y^6-3*x^7*y^7+x^9*y^4-x^8*y^5+7*x^7*y^6+x^9*y^3-x^8*y^4-3*x^7*y^5-x^6*y^6+2*x^ 8*y^3-2*x^7*y^4+4*x^6*y^5-2*x^6*y^4+2*x^5*y^5+x^7*y^2-2*x^6*y^3-3*x^5*y^4+2*x^5 *y^3+6*x^4*y^4+x^6*y-5*x^4*y^3-x^5*y+3*x^3*y^3-3*x^3*y^2+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+ 1)/(x-1)/(x^12*y^10-3*x^12*y^9+3*x^12*y^8-x^12*y^7-2*x^11*y^8+6*x^11*y^7-6*x^11 *y^6+x^10*y^7+2*x^11*y^5-3*x^10*y^6-x^8*y^8+2*x^10*y^5+x^8*y^7+x^10*y^4-x^9*y^5 +x^8*y^6-x^10*y^3+2*x^9*y^4-2*x^8*y^5+x^7*y^6-x^9*y^3+x^8*y^4-4*x^7*y^5+3*x^7*y ^4-x^6*y^5+2*x^6*y^4+x^6*y^3-x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^2+x^5*y+x^4*y^2+x^3*y^3+x^3* y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6915008372 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 142" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 20 23 19 23 18 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 9 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 19 23 17 22 18 23 16 22 17 21 18 + 4 x y - 5 x y - 23 x y - 5 x y + 55 x y + 4 x y 23 15 22 16 21 17 23 14 22 15 + 9 x y - 70 x y - 26 x y - 5 x y + 50 x y 21 16 20 17 23 13 22 14 21 15 20 16 + 72 x y + 4 x y + x y - 19 x y - 110 x y - 27 x y 22 13 21 14 20 15 19 16 21 13 + 3 x y + 100 x y + 76 x y + 3 x y - 54 x y 20 14 19 15 18 16 21 12 20 13 - 116 x y - 20 x y + 2 x y + 16 x y + 104 x y 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 18 14 + 55 x y - 8 x y - 2 x y - 55 x y - 81 x y + 9 x y 20 11 19 12 18 13 17 14 20 10 19 11 + 16 x y + 69 x y + 6 x y + 2 x y - 2 x y - 34 x y 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 - 24 x y - 5 x y + 4 x y + 9 x y + 24 x y + 2 x y 16 13 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 - 17 x y + x y - x y - 11 x y + 4 x y + 27 x y 15 13 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 + 7 x y + 2 x y - 4 x y - 16 x y - 33 x y - 2 x y 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3 3 2 2 2 2 / 20 16 + 3 x y - 2 x y + 2 x y - x y + x y - x + 1) / (x y / 20 15 19 16 20 14 19 15 20 13 19 14 - 5 x y + x y + 10 x y - 5 x y - 10 x y + 9 x y 18 15 20 12 19 13 18 14 20 11 19 12 - x y + 5 x y - 5 x y + 4 x y - x y - 5 x y 18 13 17 14 19 11 18 12 17 13 19 10 - 6 x y + x y + 9 x y + 4 x y - 4 x y - 5 x y 18 11 17 12 16 13 19 9 17 11 16 12 - x y + 6 x y - 2 x y + x y - 4 x y + 8 x y 17 10 16 11 15 12 16 10 15 11 16 9 + x y - 12 x y + x y + 8 x y - x y - 2 x y 15 10 14 11 15 9 14 10 15 8 14 9 - 4 x y - x y + 8 x y + 3 x y - 5 x y - 4 x y 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 14 7 + 2 x y + x y + 4 x y - 6 x y + 2 x y - 3 x y 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 + 6 x y - 4 x y - x y + x y - 2 x y + x y + x y 10 10 12 7 11 8 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 - x y + x y + x y + 3 x y + x y - x y - x y - x y 12 4 10 6 9 7 8 8 11 4 9 6 11 3 - x y - 2 x y - 3 x y - x y - x y + 7 x y + x y 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 8 5 8 4 + 2 x y - 3 x y + 2 x y + x y - x y + x y - 2 x y 7 5 7 4 7 3 6 4 5 5 7 2 6 2 5 3 - 2 x y - x y + x y + 4 x y + x y + x y - 2 x y - x y 4 4 6 5 4 2 3 3 2 - x y - x y + x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^23*y^20-5*x^23*y^19+9*x^23*y^18+4*x^22*y^19-5*x^23*y^17-23*x^22*y^18-5*x^23 *y^16+55*x^22*y^17+4*x^21*y^18+9*x^23*y^15-70*x^22*y^16-26*x^21*y^17-5*x^23*y^ 14+50*x^22*y^15+72*x^21*y^16+4*x^20*y^17+x^23*y^13-19*x^22*y^14-110*x^21*y^15-\ 27*x^20*y^16+3*x^22*y^13+100*x^21*y^14+76*x^20*y^15+3*x^19*y^16-54*x^21*y^13-\ 116*x^20*y^14-20*x^19*y^15+2*x^18*y^16+16*x^21*y^12+104*x^20*y^13+55*x^19*y^14-\ 8*x^18*y^15-2*x^21*y^11-55*x^20*y^12-81*x^19*y^13+9*x^18*y^14+16*x^20*y^11+69*x ^19*y^12+6*x^18*y^13+2*x^17*y^14-2*x^20*y^10-34*x^19*y^11-24*x^18*y^12-5*x^17*y ^13+4*x^16*y^14+9*x^19*y^10+24*x^18*y^11+2*x^17*y^12-17*x^16*y^13+x^15*y^14-x^ 19*y^9-11*x^18*y^10+4*x^17*y^11+27*x^16*y^12+7*x^15*y^13+2*x^18*y^9-4*x^17*y^10 -16*x^16*y^11-33*x^15*y^12-2*x^14*y^13+x^17*y^9-4*x^16*y^10+39*x^15*y^11+30*x^ 14*y^12-6*x^13*y^13+9*x^16*y^9-2*x^15*y^10-81*x^14*y^11+11*x^13*y^12-3*x^16*y^8 -24*x^15*y^9+72*x^14*y^10+25*x^13*y^11-6*x^12*y^12+14*x^15*y^8-80*x^13*y^10+6*x ^12*y^11-2*x^15*y^7-31*x^14*y^8+66*x^13*y^9+25*x^12*y^10-13*x^11*y^11+13*x^14*y ^7-5*x^13*y^8-54*x^12*y^9+24*x^11*y^10-x^14*y^6-18*x^13*y^7+39*x^12*y^8-5*x^11* y^9-6*x^10*y^10+8*x^13*y^6-8*x^12*y^7-20*x^11*y^8+11*x^10*y^9-x^13*y^5-5*x^12*y ^6+24*x^11*y^7-8*x^10*y^8-8*x^9*y^9+4*x^12*y^5-11*x^11*y^6-2*x^10*y^7+18*x^9*y^ 8-x^12*y^4-x^11*y^5+11*x^10*y^6-10*x^9*y^7-x^8*y^8+3*x^11*y^4-5*x^10*y^5-4*x^9* y^6+12*x^8*y^7-x^11*y^3-2*x^10*y^4+4*x^9*y^5-10*x^8*y^6-7*x^7*y^7+x^10*y^3-3*x^ 8*y^5+18*x^7*y^6+2*x^8*y^4-7*x^7*y^5-2*x^6*y^6+x^8*y^3-4*x^7*y^4+8*x^6*y^5-4*x^ 6*y^4+3*x^5*y^5+x^7*y^2-2*x^6*y^3-2*x^5*y^4+x^5*y^3+7*x^4*y^4+x^6*y-4*x^4*y^3-x ^5*y-x^4*y^2+3*x^3*y^3-2*x^3*y^2+2*x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^20*y^16-5*x^20*y^ 15+x^19*y^16+10*x^20*y^14-5*x^19*y^15-10*x^20*y^13+9*x^19*y^14-x^18*y^15+5*x^20 *y^12-5*x^19*y^13+4*x^18*y^14-x^20*y^11-5*x^19*y^12-6*x^18*y^13+x^17*y^14+9*x^ 19*y^11+4*x^18*y^12-4*x^17*y^13-5*x^19*y^10-x^18*y^11+6*x^17*y^12-2*x^16*y^13+x ^19*y^9-4*x^17*y^11+8*x^16*y^12+x^17*y^10-12*x^16*y^11+x^15*y^12+8*x^16*y^10-x^ 15*y^11-2*x^16*y^9-4*x^15*y^10-x^14*y^11+8*x^15*y^9+3*x^14*y^10-5*x^15*y^8-4*x^ 14*y^9+2*x^13*y^10+x^15*y^7+4*x^14*y^8-6*x^13*y^9+2*x^12*y^10-3*x^14*y^7+6*x^13 *y^8-4*x^12*y^9-x^11*y^10+x^14*y^6-2*x^13*y^7+x^12*y^8+x^11*y^9-x^10*y^10+x^12* y^7+x^11*y^8+3*x^10*y^8+x^12*y^5-x^11*y^6-x^10*y^7-x^9*y^8-x^12*y^4-2*x^10*y^6-\ 3*x^9*y^7-x^8*y^8-x^11*y^4+7*x^9*y^6+x^11*y^3+2*x^10*y^4-3*x^9*y^5+2*x^8*y^6+x^ 7*y^7-x^10*y^3+x^8*y^5-2*x^8*y^4-2*x^7*y^5-x^7*y^4+x^7*y^3+4*x^6*y^4+x^5*y^5+x^ 7*y^2-2*x^6*y^2-x^5*y^3-x^4*y^4-x^6*y+x^5*y+x^4*y^2+x^3*y^3-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 15 14 12 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (2 a + a - 6 a 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 - 2 a - 8 a + 2 a - 14 a - 2 a - 4 a + 4 a - 5 a + 2 a + 2 a / 5 4 2 + 1) / ((6 a + 5 a + 3 a - 2 a + 2) / 8 7 6 5 4 3 2 (a + a + a + a + 2 a + a + a + 1)) 6 5 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6885693340 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6894832016 ------------------------------------------------ "Theorem Number 143" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 10 10 10 9 10 8 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 7 x y + 9 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 9 9 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 9 6 + 2 x y - 5 x y - 7 x y + x y + 9 x y + 2 x y - 5 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 - 8 x y + x y + 12 x y - 4 x y - 8 x y + 7 x y + 2 x y 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 - 2 x y - 4 x y - 2 x y + 7 x y + x y - 3 x y - 4 x y 5 4 5 3 4 4 4 2 3 3 3 / 10 9 + 8 x y - 4 x y + 3 x y - 2 x y + 2 x y - x y + 1) / (x y / 10 8 10 7 9 8 10 6 9 7 9 6 9 5 7 6 - 3 x y + 3 x y - x y - x y + 3 x y - 3 x y + x y - x y 7 4 6 5 7 3 6 4 4 4 3 3 3 + 2 x y + x y - x y - x y + x y - 2 x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^10*y^10-7*x^10*y^9+9*x^10*y^8+2*x^9*y^9-5*x^10*y^7-7*x^9*y^8+x^10*y^6+9*x ^9*y^7+2*x^8*y^8-5*x^9*y^6-8*x^8*y^7+x^9*y^5+12*x^8*y^6-4*x^7*y^7-8*x^8*y^5+7*x ^7*y^6+2*x^8*y^4-2*x^7*y^5-4*x^6*y^6-2*x^7*y^4+7*x^6*y^5+x^7*y^3-3*x^6*y^4-4*x^ 5*y^5+8*x^5*y^4-4*x^5*y^3+3*x^4*y^4-2*x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y+1)/(x^10*y^9-3*x^ 10*y^8+3*x^10*y^7-x^9*y^8-x^10*y^6+3*x^9*y^7-3*x^9*y^6+x^9*y^5-x^7*y^6+2*x^7*y^ 4+x^6*y^5-x^7*y^3-x^6*y^4+x^4*y^4-2*x^3*y^3+x^3*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 6 4 3 2 (a - a + 7 a - 2 a - 1) - ------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6844701444 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6856489348 ------------------------------------------------ "Theorem Number 144" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [1, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 14 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 16 10 + 10 x y - 3 x y - 10 x y + 4 x y + x y + 5 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 - 6 x y - 10 x y - 2 x y - x y + 9 x y + 26 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 + 6 x y - 7 x y - 25 x y + x y + 5 x y + 2 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 4 x y - 20 x y - 17 x y + 7 x y + 24 x y + 21 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 - 3 x y - 10 x y - 12 x y - 2 x y + x y + 4 x y 11 9 11 8 10 9 12 6 10 8 9 9 12 5 + 4 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y - 11 x y - 4 x y + x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 + x y + 18 x y + 11 x y - 2 x y - 9 x y - 4 x y + 7 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 + x y - x y - 7 x y - 13 x y + 2 x y + 4 x y - 4 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 + x y + 2 x y + 3 x y + 3 x y - x y + 2 x y - 3 x y + x y 6 5 7 3 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 + 3 x y - 2 x y - 5 x y + x y + 6 x y - x y + 2 x y 4 4 5 2 4 3 5 4 2 2 2 / 15 12 + 4 x y - 2 x y - 2 x y - x y - x y + x y + 1) / (x y / 15 11 15 10 14 11 15 9 14 10 14 9 - 3 x y + 3 x y - 2 x y - x y + 6 x y - 7 x y 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 14 6 + 5 x y + x y + 3 x y - 3 x y - x y - 5 x y + x y 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 - 2 x y - 3 x y - 6 x y + 3 x y + 8 x y + 13 x y 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 - x y - 2 x y - 6 x y + 5 x y + x y - x y - 2 x y 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 - 11 x y - x y + 5 x y - 3 x y - 2 x y + x y + 2 x y 9 6 8 7 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 + 5 x y + 2 x y + 4 x y + 2 x y - x y - 2 x y - 3 x y 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 - x y - 2 x y - 7 x y - 2 x y + x y + 4 x y + 2 x y + x y 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 5 x y + 3 x y - 4 x y - 4 x y - x y - 2 x y - 4 x y 5 2 4 3 5 4 2 3 3 2 2 + 2 x y + 2 x y + x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^16*y^14-5*x^16*y^13+x^15*y^14+10*x^16*y^12-3*x^15*y^13-10*x^16*y^11+4*x^15* y^12+x^14*y^13+5*x^16*y^10-6*x^15*y^11-10*x^14*y^12-2*x^13*y^13-x^16*y^9+9*x^15 *y^10+26*x^14*y^11+6*x^13*y^12-7*x^15*y^9-25*x^14*y^10+x^13*y^11+5*x^12*y^12+2* x^15*y^8+4*x^14*y^9-20*x^13*y^10-17*x^12*y^11+7*x^14*y^8+24*x^13*y^9+21*x^12*y^ 10-3*x^14*y^7-10*x^13*y^8-12*x^12*y^9-2*x^11*y^10+x^13*y^7+4*x^12*y^8+4*x^11*y^ 9-2*x^11*y^8+2*x^10*y^9-2*x^12*y^6-11*x^10*y^8-4*x^9*y^9+x^12*y^5+x^11*y^6+18*x ^10*y^7+11*x^9*y^8-2*x^11*y^5-9*x^10*y^6-4*x^9*y^7+7*x^8*y^8+x^11*y^4-x^10*y^5-\ 7*x^9*y^6-13*x^8*y^7+2*x^9*y^5+4*x^8*y^6-4*x^7*y^7+x^10*y^3+2*x^9*y^4+3*x^8*y^5 +3*x^7*y^6-x^8*y^4+2*x^7*y^5-3*x^6*y^6+x^7*y^4+3*x^6*y^5-2*x^7*y^3-5*x^5*y^5+x^ 6*y^3+6*x^5*y^4-x^6*y^2+2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-2*x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+x ^2*y^2+1)/(x^15*y^12-3*x^15*y^11+3*x^15*y^10-2*x^14*y^11-x^15*y^9+6*x^14*y^10-7 *x^14*y^9+5*x^14*y^8+x^13*y^9+3*x^12*y^10-3*x^14*y^7-x^13*y^8-5*x^12*y^9+x^14*y ^6-2*x^13*y^7-3*x^12*y^8-6*x^11*y^9+3*x^13*y^6+8*x^12*y^7+13*x^11*y^8-x^13*y^5-\ 2*x^12*y^6-6*x^11*y^7+5*x^10*y^8+x^9*y^9-x^12*y^5-2*x^11*y^6-11*x^10*y^7-x^9*y^ 8+5*x^10*y^6-3*x^9*y^7-2*x^8*y^8+x^11*y^4+2*x^10*y^5+5*x^9*y^6+2*x^8*y^7+4*x^8* y^6+2*x^7*y^7-x^10*y^3-2*x^9*y^4-3*x^8*y^5-x^7*y^6-2*x^8*y^4-7*x^7*y^5-2*x^6*y^ 6+x^8*y^3+4*x^7*y^4+2*x^6*y^5+x^7*y^3+5*x^6*y^4+3*x^5*y^5-4*x^6*y^3-4*x^5*y^4-x ^6*y^2-2*x^5*y^3-4*x^4*y^4+2*x^5*y^2+2*x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^2*y^2+ 2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 13 11 9 8 7 6 5 4 2 2 (a - a - 4 a + 2 a - 4 a + 9 a - a + 7 a - 2 a - 1) ---------------------------------------------------------------- 6 3 2 4 2 (7 a + 4 a - 6 a + 2 a - 2) (a + a + 1) 7 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6829017378 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6840863343 ------------------------------------------------ "Theorem Number 145" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [2, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 14 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 16 10 + 10 x y - 3 x y - 10 x y + 4 x y + x y + 5 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 - 6 x y - 10 x y - 2 x y - x y + 9 x y + 26 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 + 6 x y - 7 x y - 25 x y + x y + 5 x y + 2 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 4 x y - 20 x y - 17 x y + 7 x y + 24 x y + 21 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 - 3 x y - 10 x y - 12 x y - 2 x y + x y + 4 x y 11 9 11 8 10 9 12 6 10 8 9 9 12 5 + 4 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y - 11 x y - 4 x y + x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 + x y + 18 x y + 11 x y - 2 x y - 9 x y - 4 x y + 7 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 + x y - x y - 7 x y - 13 x y + 2 x y + 4 x y - 4 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 + x y + 2 x y + 3 x y + 3 x y - x y + 2 x y - 3 x y + x y 6 5 7 3 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 + 3 x y - 2 x y - 5 x y + x y + 6 x y - x y + 2 x y 4 4 5 2 4 3 5 4 2 2 2 / 15 12 + 4 x y - 2 x y - 2 x y - x y - x y + x y + 1) / (x y / 15 11 15 10 14 11 15 9 14 10 14 9 - 3 x y + 3 x y - 2 x y - x y + 6 x y - 7 x y 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 14 6 + 5 x y + x y + 3 x y - 3 x y - x y - 5 x y + x y 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 - 2 x y - 3 x y - 6 x y + 3 x y + 8 x y + 13 x y 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 - x y - 2 x y - 6 x y + 5 x y + x y - x y - 2 x y 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 - 11 x y - x y + 5 x y - 3 x y - 2 x y + x y + 2 x y 9 6 8 7 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 + 5 x y + 2 x y + 4 x y + 2 x y - x y - 2 x y - 3 x y 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 - x y - 2 x y - 7 x y - 2 x y + x y + 4 x y + 2 x y + x y 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 5 x y + 3 x y - 4 x y - 4 x y - x y - 2 x y - 4 x y 5 2 4 3 5 4 2 3 3 2 2 + 2 x y + 2 x y + x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^16*y^14-5*x^16*y^13+x^15*y^14+10*x^16*y^12-3*x^15*y^13-10*x^16*y^11+4*x^15* y^12+x^14*y^13+5*x^16*y^10-6*x^15*y^11-10*x^14*y^12-2*x^13*y^13-x^16*y^9+9*x^15 *y^10+26*x^14*y^11+6*x^13*y^12-7*x^15*y^9-25*x^14*y^10+x^13*y^11+5*x^12*y^12+2* x^15*y^8+4*x^14*y^9-20*x^13*y^10-17*x^12*y^11+7*x^14*y^8+24*x^13*y^9+21*x^12*y^ 10-3*x^14*y^7-10*x^13*y^8-12*x^12*y^9-2*x^11*y^10+x^13*y^7+4*x^12*y^8+4*x^11*y^ 9-2*x^11*y^8+2*x^10*y^9-2*x^12*y^6-11*x^10*y^8-4*x^9*y^9+x^12*y^5+x^11*y^6+18*x ^10*y^7+11*x^9*y^8-2*x^11*y^5-9*x^10*y^6-4*x^9*y^7+7*x^8*y^8+x^11*y^4-x^10*y^5-\ 7*x^9*y^6-13*x^8*y^7+2*x^9*y^5+4*x^8*y^6-4*x^7*y^7+x^10*y^3+2*x^9*y^4+3*x^8*y^5 +3*x^7*y^6-x^8*y^4+2*x^7*y^5-3*x^6*y^6+x^7*y^4+3*x^6*y^5-2*x^7*y^3-5*x^5*y^5+x^ 6*y^3+6*x^5*y^4-x^6*y^2+2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-2*x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+x ^2*y^2+1)/(x^15*y^12-3*x^15*y^11+3*x^15*y^10-2*x^14*y^11-x^15*y^9+6*x^14*y^10-7 *x^14*y^9+5*x^14*y^8+x^13*y^9+3*x^12*y^10-3*x^14*y^7-x^13*y^8-5*x^12*y^9+x^14*y ^6-2*x^13*y^7-3*x^12*y^8-6*x^11*y^9+3*x^13*y^6+8*x^12*y^7+13*x^11*y^8-x^13*y^5-\ 2*x^12*y^6-6*x^11*y^7+5*x^10*y^8+x^9*y^9-x^12*y^5-2*x^11*y^6-11*x^10*y^7-x^9*y^ 8+5*x^10*y^6-3*x^9*y^7-2*x^8*y^8+x^11*y^4+2*x^10*y^5+5*x^9*y^6+2*x^8*y^7+4*x^8* y^6+2*x^7*y^7-x^10*y^3-2*x^9*y^4-3*x^8*y^5-x^7*y^6-2*x^8*y^4-7*x^7*y^5-2*x^6*y^ 6+x^8*y^3+4*x^7*y^4+2*x^6*y^5+x^7*y^3+5*x^6*y^4+3*x^5*y^5-4*x^6*y^3-4*x^5*y^4-x ^6*y^2-2*x^5*y^3-4*x^4*y^4+2*x^5*y^2+2*x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^2*y^2+ 2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 13 11 9 8 7 6 5 4 2 2 (a - a - 4 a + 2 a - 4 a + 9 a - a + 7 a - 2 a - 1) ---------------------------------------------------------------- 6 3 2 4 2 (7 a + 4 a - 6 a + 2 a - 2) (a + a + 1) 7 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6829017378 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6840863343 ------------------------------------------------ "Theorem Number 146" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 19 22 18 22 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 7 x y + 21 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 18 22 16 21 17 20 18 22 15 21 16 + x y - 35 x y - 7 x y + x y + 35 x y + 21 x y 20 17 22 14 21 15 20 16 19 17 22 13 - 7 x y - 21 x y - 35 x y + 19 x y - x y + 7 x y 21 14 20 15 19 16 22 12 21 13 20 14 + 35 x y - 24 x y + 6 x y - x y - 21 x y + 10 x y 19 15 18 16 21 12 20 13 19 14 18 15 - 15 x y + 4 x y + 7 x y + 9 x y + 21 x y - 22 x y 17 16 21 11 20 12 19 13 18 14 17 15 + x y - x y - 13 x y - 20 x y + 51 x y - 8 x y 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 + 6 x y + 16 x y - 65 x y + 23 x y - 3 x y - x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 - 11 x y + 50 x y - 31 x y + 11 x y + 5 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 19 9 18 10 - 24 x y + 20 x y - 13 x y + x y - x y + 7 x y 17 11 16 12 15 13 18 9 17 10 16 11 - 6 x y + 4 x y - 7 x y - x y + 3 x y - 2 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 + 16 x y - 3 x y - 3 x y + 11 x y - 16 x y + 13 x y 13 13 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 - x y + x y - 13 x y + 8 x y - 18 x y + 7 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 + 6 x y - 4 x y + 5 x y - 9 x y - x y - x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 + 3 x y + 7 x y - 8 x y + x y - x y - 3 x y 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 11 10 + 22 x y + 9 x y - 2 x y - 12 x y - 23 x y + 4 x y 14 6 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 + x y + 23 x y - 14 x y + 3 x y + x y - 12 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 + 19 x y - 10 x y + 3 x y - 12 x y + 10 x y + 2 x y 11 6 10 7 9 8 9 7 8 8 10 5 9 6 + 3 x y - 2 x y + 2 x y - 14 x y + 5 x y - x y + 16 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 7 6 8 4 - 14 x y - 8 x y + 10 x y - 7 x y + 2 x y + 12 x y - x y 7 5 6 6 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 4 x y - x y - 2 x y - x y + 2 x y - 6 x y - x y + 8 x y 6 2 5 3 4 4 4 3 4 2 2 2 / + x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y - x y + x y - x y + 1) / ( / 22 18 22 17 22 16 21 17 22 15 21 16 x y - 6 x y + 15 x y - 2 x y - 20 x y + 11 x y 22 14 21 15 20 16 22 13 21 14 + 15 x y - 25 x y + 2 x y - 6 x y + 30 x y 20 15 19 16 22 12 21 13 20 14 19 15 - 10 x y + x y + x y - 20 x y + 20 x y - 6 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 21 11 20 12 + 7 x y - 20 x y + 14 x y - 2 x y - x y + 10 x y 19 13 18 14 20 11 19 12 18 13 17 14 - 15 x y + 9 x y - 2 x y + 5 x y - 15 x y + 2 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 17 12 + 4 x y + 10 x y - 8 x y - x y - 4 x y + 10 x y 16 13 19 9 18 10 16 12 15 13 18 9 + x y + x y - 3 x y + 3 x y + 2 x y + x y 17 10 16 11 15 12 17 9 16 10 15 11 - 10 x y - 2 x y - 3 x y + 8 x y - 8 x y - 2 x y 14 12 17 8 16 9 15 10 13 12 16 8 - x y - 2 x y + 12 x y + 2 x y - x y - 6 x y 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 + 6 x y + 5 x y + 2 x y + x y - 7 x y - 4 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 2 x y + 2 x y + 2 x y - 3 x y - 4 x y - 4 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 + 4 x y - 2 x y - x y - 2 x y - x y + 4 x y + 3 x y 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 2 x y - x y + 3 x y + 4 x y + 3 x y - 3 x y - 5 x y 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 + x y - 7 x y - 4 x y + x y + 3 x y - x y + 3 x y 9 6 8 7 8 6 7 7 9 4 7 6 8 4 + 3 x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y - x y 7 5 6 6 6 5 7 3 5 5 6 3 5 4 6 2 - 3 x y - x y + 2 x y + 3 x y + 2 x y + x y - 2 x y - x y 5 3 4 4 5 2 4 3 3 3 4 3 2 2 2 + 2 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y - x y 2 + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^22*y^19-7*x^22*y^18+21*x^22*y^17+x^21*y^18-35*x^22*y^16-7*x^21*y^17+x^20*y^ 18+35*x^22*y^15+21*x^21*y^16-7*x^20*y^17-21*x^22*y^14-35*x^21*y^15+19*x^20*y^16 -x^19*y^17+7*x^22*y^13+35*x^21*y^14-24*x^20*y^15+6*x^19*y^16-x^22*y^12-21*x^21* y^13+10*x^20*y^14-15*x^19*y^15+4*x^18*y^16+7*x^21*y^12+9*x^20*y^13+21*x^19*y^14 -22*x^18*y^15+x^17*y^16-x^21*y^11-13*x^20*y^12-20*x^19*y^13+51*x^18*y^14-8*x^17 *y^15+6*x^20*y^11+16*x^19*y^12-65*x^18*y^13+23*x^17*y^14-3*x^16*y^15-x^20*y^10-\ 11*x^19*y^11+50*x^18*y^12-31*x^17*y^13+11*x^16*y^14+5*x^19*y^10-24*x^18*y^11+20 *x^17*y^12-13*x^16*y^13+x^15*y^14-x^19*y^9+7*x^18*y^10-6*x^17*y^11+4*x^16*y^12-\ 7*x^15*y^13-x^18*y^9+3*x^17*y^10-2*x^16*y^11+16*x^15*y^12-3*x^14*y^13-3*x^17*y^ 9+11*x^16*y^10-16*x^15*y^11+13*x^14*y^12-x^13*y^13+x^17*y^8-13*x^16*y^9+8*x^15* y^10-18*x^14*y^11+7*x^13*y^12+6*x^16*y^8-4*x^15*y^9+5*x^14*y^10-9*x^13*y^11-x^ 12*y^12-x^16*y^7+3*x^15*y^8+7*x^14*y^9-8*x^13*y^10+x^12*y^11-x^15*y^7-3*x^14*y^ 8+22*x^13*y^9+9*x^12*y^10-2*x^14*y^7-12*x^13*y^8-23*x^12*y^9+4*x^11*y^10+x^14*y ^6+23*x^12*y^8-14*x^11*y^9+3*x^10*y^10+x^13*y^6-12*x^12*y^7+19*x^11*y^8-10*x^10 *y^9+3*x^12*y^6-12*x^11*y^7+10*x^10*y^8+2*x^9*y^9+3*x^11*y^6-2*x^10*y^7+2*x^9*y ^8-14*x^9*y^7+5*x^8*y^8-x^10*y^5+16*x^9*y^6-14*x^8*y^7-8*x^9*y^5+10*x^8*y^6-7*x ^7*y^7+2*x^9*y^4+12*x^7*y^6-x^8*y^4-4*x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^6*y ^4-6*x^5*y^5-x^6*y^3+8*x^5*y^4+x^6*y^2-2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-2*x^4*y^3-x^4*y+x^2* y^2-x^2*y+1)/(x^22*y^18-6*x^22*y^17+15*x^22*y^16-2*x^21*y^17-20*x^22*y^15+11*x^ 21*y^16+15*x^22*y^14-25*x^21*y^15+2*x^20*y^16-6*x^22*y^13+30*x^21*y^14-10*x^20* y^15+x^19*y^16+x^22*y^12-20*x^21*y^13+20*x^20*y^14-6*x^19*y^15+7*x^21*y^12-20*x ^20*y^13+14*x^19*y^14-2*x^18*y^15-x^21*y^11+10*x^20*y^12-15*x^19*y^13+9*x^18*y^ 14-2*x^20*y^11+5*x^19*y^12-15*x^18*y^13+2*x^17*y^14+4*x^19*y^11+10*x^18*y^12-8* x^17*y^13-x^16*y^14-4*x^19*y^10+10*x^17*y^12+x^16*y^13+x^19*y^9-3*x^18*y^10+3*x ^16*y^12+2*x^15*y^13+x^18*y^9-10*x^17*y^10-2*x^16*y^11-3*x^15*y^12+8*x^17*y^9-8 *x^16*y^10-2*x^15*y^11-x^14*y^12-2*x^17*y^8+12*x^16*y^9+2*x^15*y^10-x^13*y^12-6 *x^16*y^8+6*x^15*y^9+5*x^14*y^10+2*x^13*y^11+x^16*y^7-7*x^15*y^8-4*x^14*y^9+2*x ^13*y^10+2*x^12*y^11+2*x^15*y^7-3*x^14*y^8-4*x^13*y^9-4*x^12*y^10+4*x^14*y^7-2* x^13*y^8-x^12*y^9-2*x^11*y^10-x^14*y^6+4*x^13*y^7+3*x^12*y^8+2*x^11*y^9-x^13*y^ 6+3*x^12*y^7+4*x^11*y^8+3*x^10*y^9-3*x^12*y^6-5*x^11*y^7+x^11*y^6-7*x^10*y^7-4* x^9*y^8+x^10*y^6+3*x^9*y^7-x^8*y^8+3*x^10*y^5+3*x^9*y^6+4*x^8*y^7-2*x^8*y^6+2*x ^7*y^7-2*x^9*y^4-3*x^7*y^6-x^8*y^4-3*x^7*y^5-x^6*y^6+2*x^6*y^5+3*x^7*y^3+2*x^5* y^5+x^6*y^3-2*x^5*y^4-x^6*y^2+2*x^5*y^3-4*x^4*y^4-2*x^5*y^2+2*x^4*y^3+2*x^3*y^3 +x^4*y-2*x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 13 11 10 9 8 7 6 5 4 2 (a - a + a + 2 a - a - a - 4 a - 2 a + 8 a - 1) - ------------------------------------------------------------- 6 5 3 6 4 (7 a - 6 a + 4 a - 2) (a - a - 1) 7 6 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6807931978 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6820144614 ------------------------------------------------ "Theorem Number 147" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 19 22 18 22 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 7 x y + 21 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 18 22 16 21 17 20 18 22 15 21 16 + x y - 35 x y - 7 x y + x y + 35 x y + 21 x y 20 17 22 14 21 15 20 16 19 17 22 13 - 7 x y - 21 x y - 35 x y + 19 x y - x y + 7 x y 21 14 20 15 19 16 22 12 21 13 20 14 + 35 x y - 24 x y + 6 x y - x y - 21 x y + 10 x y 19 15 18 16 21 12 20 13 19 14 18 15 - 15 x y + 4 x y + 7 x y + 9 x y + 21 x y - 22 x y 17 16 21 11 20 12 19 13 18 14 17 15 + x y - x y - 13 x y - 20 x y + 51 x y - 8 x y 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 + 6 x y + 16 x y - 65 x y + 23 x y - 3 x y - x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 - 11 x y + 50 x y - 31 x y + 11 x y + 5 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 19 9 18 10 - 24 x y + 20 x y - 13 x y + x y - x y + 7 x y 17 11 16 12 15 13 18 9 17 10 16 11 - 6 x y + 4 x y - 7 x y - x y + 3 x y - 2 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 + 16 x y - 3 x y - 3 x y + 11 x y - 16 x y + 13 x y 13 13 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 - x y + x y - 13 x y + 8 x y - 18 x y + 7 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 + 6 x y - 4 x y + 5 x y - 9 x y - x y - x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 + 3 x y + 7 x y - 8 x y + x y - x y - 3 x y 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 11 10 + 22 x y + 9 x y - 2 x y - 12 x y - 23 x y + 4 x y 14 6 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 + x y + 23 x y - 14 x y + 3 x y + x y - 12 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 + 19 x y - 10 x y + 3 x y - 12 x y + 10 x y + 2 x y 11 6 10 7 9 8 9 7 8 8 10 5 9 6 + 3 x y - 2 x y + 2 x y - 14 x y + 5 x y - x y + 16 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 7 6 8 4 - 14 x y - 8 x y + 10 x y - 7 x y + 2 x y + 12 x y - x y 7 5 6 6 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 4 x y - x y - 2 x y - x y + 2 x y - 6 x y - x y + 8 x y 6 2 5 3 4 4 4 3 4 2 2 2 / + x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y - x y + x y - x y + 1) / ( / 22 18 22 17 22 16 21 17 22 15 21 16 x y - 6 x y + 15 x y - 2 x y - 20 x y + 11 x y 22 14 21 15 20 16 22 13 21 14 + 15 x y - 25 x y + 2 x y - 6 x y + 30 x y 20 15 19 16 22 12 21 13 20 14 19 15 - 10 x y + x y + x y - 20 x y + 20 x y - 6 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 21 11 20 12 + 7 x y - 20 x y + 14 x y - 2 x y - x y + 10 x y 19 13 18 14 20 11 19 12 18 13 17 14 - 15 x y + 9 x y - 2 x y + 5 x y - 15 x y + 2 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 17 12 + 4 x y + 10 x y - 8 x y - x y - 4 x y + 10 x y 16 13 19 9 18 10 16 12 15 13 18 9 + x y + x y - 3 x y + 3 x y + 2 x y + x y 17 10 16 11 15 12 17 9 16 10 15 11 - 10 x y - 2 x y - 3 x y + 8 x y - 8 x y - 2 x y 14 12 17 8 16 9 15 10 13 12 16 8 - x y - 2 x y + 12 x y + 2 x y - x y - 6 x y 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 + 6 x y + 5 x y + 2 x y + x y - 7 x y - 4 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 2 x y + 2 x y + 2 x y - 3 x y - 4 x y - 4 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 + 4 x y - 2 x y - x y - 2 x y - x y + 4 x y + 3 x y 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 2 x y - x y + 3 x y + 4 x y + 3 x y - 3 x y - 5 x y 11 6 10 7 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 + x y - 7 x y - 4 x y + x y + 3 x y - x y + 3 x y 9 6 8 7 8 6 7 7 9 4 7 6 8 4 + 3 x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y - x y 7 5 6 6 6 5 7 3 5 5 6 3 5 4 6 2 - 3 x y - x y + 2 x y + 3 x y + 2 x y + x y - 2 x y - x y 5 3 4 4 5 2 4 3 3 3 4 3 2 2 2 + 2 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y + x y - 2 x y - x y 2 + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^22*y^19-7*x^22*y^18+21*x^22*y^17+x^21*y^18-35*x^22*y^16-7*x^21*y^17+x^20*y^ 18+35*x^22*y^15+21*x^21*y^16-7*x^20*y^17-21*x^22*y^14-35*x^21*y^15+19*x^20*y^16 -x^19*y^17+7*x^22*y^13+35*x^21*y^14-24*x^20*y^15+6*x^19*y^16-x^22*y^12-21*x^21* y^13+10*x^20*y^14-15*x^19*y^15+4*x^18*y^16+7*x^21*y^12+9*x^20*y^13+21*x^19*y^14 -22*x^18*y^15+x^17*y^16-x^21*y^11-13*x^20*y^12-20*x^19*y^13+51*x^18*y^14-8*x^17 *y^15+6*x^20*y^11+16*x^19*y^12-65*x^18*y^13+23*x^17*y^14-3*x^16*y^15-x^20*y^10-\ 11*x^19*y^11+50*x^18*y^12-31*x^17*y^13+11*x^16*y^14+5*x^19*y^10-24*x^18*y^11+20 *x^17*y^12-13*x^16*y^13+x^15*y^14-x^19*y^9+7*x^18*y^10-6*x^17*y^11+4*x^16*y^12-\ 7*x^15*y^13-x^18*y^9+3*x^17*y^10-2*x^16*y^11+16*x^15*y^12-3*x^14*y^13-3*x^17*y^ 9+11*x^16*y^10-16*x^15*y^11+13*x^14*y^12-x^13*y^13+x^17*y^8-13*x^16*y^9+8*x^15* y^10-18*x^14*y^11+7*x^13*y^12+6*x^16*y^8-4*x^15*y^9+5*x^14*y^10-9*x^13*y^11-x^ 12*y^12-x^16*y^7+3*x^15*y^8+7*x^14*y^9-8*x^13*y^10+x^12*y^11-x^15*y^7-3*x^14*y^ 8+22*x^13*y^9+9*x^12*y^10-2*x^14*y^7-12*x^13*y^8-23*x^12*y^9+4*x^11*y^10+x^14*y ^6+23*x^12*y^8-14*x^11*y^9+3*x^10*y^10+x^13*y^6-12*x^12*y^7+19*x^11*y^8-10*x^10 *y^9+3*x^12*y^6-12*x^11*y^7+10*x^10*y^8+2*x^9*y^9+3*x^11*y^6-2*x^10*y^7+2*x^9*y ^8-14*x^9*y^7+5*x^8*y^8-x^10*y^5+16*x^9*y^6-14*x^8*y^7-8*x^9*y^5+10*x^8*y^6-7*x ^7*y^7+2*x^9*y^4+12*x^7*y^6-x^8*y^4-4*x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^6*y ^4-6*x^5*y^5-x^6*y^3+8*x^5*y^4+x^6*y^2-2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-2*x^4*y^3-x^4*y+x^2* y^2-x^2*y+1)/(x^22*y^18-6*x^22*y^17+15*x^22*y^16-2*x^21*y^17-20*x^22*y^15+11*x^ 21*y^16+15*x^22*y^14-25*x^21*y^15+2*x^20*y^16-6*x^22*y^13+30*x^21*y^14-10*x^20* y^15+x^19*y^16+x^22*y^12-20*x^21*y^13+20*x^20*y^14-6*x^19*y^15+7*x^21*y^12-20*x ^20*y^13+14*x^19*y^14-2*x^18*y^15-x^21*y^11+10*x^20*y^12-15*x^19*y^13+9*x^18*y^ 14-2*x^20*y^11+5*x^19*y^12-15*x^18*y^13+2*x^17*y^14+4*x^19*y^11+10*x^18*y^12-8* x^17*y^13-x^16*y^14-4*x^19*y^10+10*x^17*y^12+x^16*y^13+x^19*y^9-3*x^18*y^10+3*x ^16*y^12+2*x^15*y^13+x^18*y^9-10*x^17*y^10-2*x^16*y^11-3*x^15*y^12+8*x^17*y^9-8 *x^16*y^10-2*x^15*y^11-x^14*y^12-2*x^17*y^8+12*x^16*y^9+2*x^15*y^10-x^13*y^12-6 *x^16*y^8+6*x^15*y^9+5*x^14*y^10+2*x^13*y^11+x^16*y^7-7*x^15*y^8-4*x^14*y^9+2*x ^13*y^10+2*x^12*y^11+2*x^15*y^7-3*x^14*y^8-4*x^13*y^9-4*x^12*y^10+4*x^14*y^7-2* x^13*y^8-x^12*y^9-2*x^11*y^10-x^14*y^6+4*x^13*y^7+3*x^12*y^8+2*x^11*y^9-x^13*y^ 6+3*x^12*y^7+4*x^11*y^8+3*x^10*y^9-3*x^12*y^6-5*x^11*y^7+x^11*y^6-7*x^10*y^7-4* x^9*y^8+x^10*y^6+3*x^9*y^7-x^8*y^8+3*x^10*y^5+3*x^9*y^6+4*x^8*y^7-2*x^8*y^6+2*x ^7*y^7-2*x^9*y^4-3*x^7*y^6-x^8*y^4-3*x^7*y^5-x^6*y^6+2*x^6*y^5+3*x^7*y^3+2*x^5* y^5+x^6*y^3-2*x^5*y^4-x^6*y^2+2*x^5*y^3-4*x^4*y^4-2*x^5*y^2+2*x^4*y^3+2*x^3*y^3 +x^4*y-2*x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 13 11 10 9 8 7 6 5 4 2 (a - a + a + 2 a - a - a - 4 a - 2 a + 8 a - 1) - ------------------------------------------------------------- 6 5 3 6 4 (7 a - 6 a + 4 a - 2) (a - a - 1) 7 6 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6807931978 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6820144614 ------------------------------------------------ "Theorem Number 148" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [2, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 18 22 17 22 16 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 12 x y + 30 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 17 22 15 21 16 22 14 21 15 + 3 x y - 40 x y - 18 x y + 30 x y + 45 x y 20 16 22 13 21 14 20 15 19 16 22 12 + 4 x y - 12 x y - 60 x y - 24 x y - 3 x y + 2 x y 21 13 20 14 19 15 21 12 20 13 + 45 x y + 60 x y + 17 x y - 18 x y - 80 x y 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 - 42 x y - 6 x y + 3 x y + 60 x y + 60 x y 18 14 20 11 19 12 18 13 17 14 + 33 x y - 24 x y - 55 x y - 74 x y - 7 x y 20 10 19 11 18 12 17 13 19 10 + 4 x y + 33 x y + 87 x y + 39 x y - 12 x y 18 11 17 12 16 13 19 9 18 10 17 11 - 58 x y - 86 x y - 2 x y + 2 x y + 23 x y + 94 x y 16 12 15 13 18 9 17 10 16 11 15 12 + 17 x y + 3 x y - 6 x y - 51 x y - 49 x y - 13 x y 14 13 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 + x y + x y + 11 x y + 66 x y + 23 x y - 5 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 - 44 x y - 24 x y + 3 x y - 2 x y + 13 x y + 19 x y 14 10 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11 + 11 x y - x y - 11 x y - 17 x y + 5 x y - 2 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 + 3 x y + 9 x y + 7 x y - 4 x y - 3 x y - 21 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 + 23 x y - 3 x y + x y + 13 x y - 24 x y + 7 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 - x y - 2 x y + 4 x y + x y + 6 x y + 4 x y - 12 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 11 5 10 6 - 11 x y + 2 x y - x y + 8 x y + 9 x y - x y - 4 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 - 9 x y + x y + x y + 9 x y + 4 x y - x y - 16 x y - x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 7 3 + 15 x y - 6 x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 + 2 x y - 6 x y + 8 x y - 2 x y + 3 x y - x y - x y 3 3 3 2 / 16 11 16 10 16 9 15 10 + 2 x y - 2 x y + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - x y / 16 8 15 9 16 7 15 8 14 9 13 10 15 7 - 4 x y + 3 x y + x y - 3 x y + x y + x y + x y 14 8 13 9 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 - 3 x y - 2 x y + 3 x y + 2 x y - x y - x y - 2 x y 13 6 12 7 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 + x y + 3 x y - 3 x y + x y - x y + x y - 2 x y 10 7 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 + x y + x y + x y - 2 x y - x y + 3 x y - x y - 2 x y 8 6 9 4 8 5 7 6 7 5 7 3 4 4 + 6 x y + x y - 4 x y + 2 x y - 4 x y + 2 x y + x y 4 3 4 2 3 3 3 2 - 3 x y + x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^22*y^18-12*x^22*y^17+30*x^22*y^16+3*x^21*y^17-40*x^22*y^15-18*x^21*y^16+ 30*x^22*y^14+45*x^21*y^15+4*x^20*y^16-12*x^22*y^13-60*x^21*y^14-24*x^20*y^15-3* x^19*y^16+2*x^22*y^12+45*x^21*y^13+60*x^20*y^14+17*x^19*y^15-18*x^21*y^12-80*x^ 20*y^13-42*x^19*y^14-6*x^18*y^15+3*x^21*y^11+60*x^20*y^12+60*x^19*y^13+33*x^18* y^14-24*x^20*y^11-55*x^19*y^12-74*x^18*y^13-7*x^17*y^14+4*x^20*y^10+33*x^19*y^ 11+87*x^18*y^12+39*x^17*y^13-12*x^19*y^10-58*x^18*y^11-86*x^17*y^12-2*x^16*y^13 +2*x^19*y^9+23*x^18*y^10+94*x^17*y^11+17*x^16*y^12+3*x^15*y^13-6*x^18*y^9-51*x^ 17*y^10-49*x^16*y^11-13*x^15*y^12+x^14*y^13+x^18*y^8+11*x^17*y^9+66*x^16*y^10+ 23*x^15*y^11-5*x^14*y^12-44*x^16*y^9-24*x^15*y^10+3*x^14*y^11-2*x^13*y^12+13*x^ 16*y^8+19*x^15*y^9+11*x^14*y^10-x^16*y^7-11*x^15*y^8-17*x^14*y^9+5*x^13*y^10-2* x^12*y^11+3*x^15*y^7+9*x^14*y^8+7*x^13*y^9-4*x^12*y^10-3*x^14*y^7-21*x^13*y^8+ 23*x^12*y^9-3*x^11*y^10+x^14*y^6+13*x^13*y^7-24*x^12*y^8+7*x^11*y^9-x^10*y^10-2 *x^13*y^6+4*x^12*y^7+x^11*y^8+6*x^10*y^9+4*x^12*y^6-12*x^11*y^7-11*x^10*y^8+2*x ^9*y^9-x^12*y^5+8*x^11*y^6+9*x^10*y^7-x^11*y^5-4*x^10*y^6-9*x^9*y^7+x^8*y^8+x^ 10*y^5+9*x^9*y^6+4*x^8*y^7-x^9*y^5-16*x^8*y^6-x^9*y^4+15*x^8*y^5-6*x^7*y^6-4*x^ 8*y^4+6*x^7*y^5-2*x^6*y^6+2*x^7*y^4-2*x^7*y^3+2*x^6*y^4-6*x^5*y^5+8*x^5*y^4-2*x ^5*y^3+3*x^4*y^4-x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+1)/(x^16*y^11-4*x^16*y^10+ 6*x^16*y^9-x^15*y^10-4*x^16*y^8+3*x^15*y^9+x^16*y^7-3*x^15*y^8+x^14*y^9+x^13*y^ 10+x^15*y^7-3*x^14*y^8-2*x^13*y^9+3*x^14*y^7+2*x^13*y^8-x^12*y^9-x^14*y^6-2*x^ 13*y^7+x^13*y^6+3*x^12*y^7-3*x^12*y^6+x^11*y^7-x^10*y^8+x^12*y^5-2*x^11*y^6+x^ 10*y^7+x^11*y^5+x^10*y^6-2*x^9*y^7-x^10*y^5+3*x^9*y^6-x^8*y^7-2*x^9*y^5+6*x^8*y ^6+x^9*y^4-4*x^8*y^5+2*x^7*y^6-4*x^7*y^5+2*x^7*y^3+x^4*y^4-3*x^4*y^3+x^4*y^2-2* x^3*y^3+2*x^3*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 14 13 12 10 9 8 7 6 5 4 2 a + 2 a + a - 4 a - 2 a - 2 a + 10 a + a + 2 a - 8 a + 1 ------------------------------------------------------------------------ 7 3 4 (4 a - 2 a + 1) (a + 1) 8 4 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6793318655 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6804553646 ------------------------------------------------ "Theorem Number 149" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [1, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 18 22 17 22 16 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 12 x y + 30 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 17 22 15 21 16 22 14 21 15 + 3 x y - 40 x y - 18 x y + 30 x y + 45 x y 20 16 22 13 21 14 20 15 19 16 22 12 + 4 x y - 12 x y - 60 x y - 24 x y - 3 x y + 2 x y 21 13 20 14 19 15 21 12 20 13 + 45 x y + 60 x y + 17 x y - 18 x y - 80 x y 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 - 42 x y - 6 x y + 3 x y + 60 x y + 60 x y 18 14 20 11 19 12 18 13 17 14 + 33 x y - 24 x y - 55 x y - 74 x y - 7 x y 20 10 19 11 18 12 17 13 19 10 + 4 x y + 33 x y + 87 x y + 39 x y - 12 x y 18 11 17 12 16 13 19 9 18 10 17 11 - 58 x y - 86 x y - 2 x y + 2 x y + 23 x y + 94 x y 16 12 15 13 18 9 17 10 16 11 15 12 + 17 x y + 3 x y - 6 x y - 51 x y - 49 x y - 13 x y 14 13 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 + x y + x y + 11 x y + 66 x y + 23 x y - 5 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 - 44 x y - 24 x y + 3 x y - 2 x y + 13 x y + 19 x y 14 10 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11 + 11 x y - x y - 11 x y - 17 x y + 5 x y - 2 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 + 3 x y + 9 x y + 7 x y - 4 x y - 3 x y - 21 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 + 23 x y - 3 x y + x y + 13 x y - 24 x y + 7 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 - x y - 2 x y + 4 x y + x y + 6 x y + 4 x y - 12 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 11 5 10 6 - 11 x y + 2 x y - x y + 8 x y + 9 x y - x y - 4 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 - 9 x y + x y + x y + 9 x y + 4 x y - x y - 16 x y - x y 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 7 3 + 15 x y - 6 x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 + 2 x y - 6 x y + 8 x y - 2 x y + 3 x y - x y - x y 3 3 3 2 / 16 11 16 10 16 9 15 10 + 2 x y - 2 x y + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y - x y / 16 8 15 9 16 7 15 8 14 9 13 10 15 7 - 4 x y + 3 x y + x y - 3 x y + x y + x y + x y 14 8 13 9 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 - 3 x y - 2 x y + 3 x y + 2 x y - x y - x y - 2 x y 13 6 12 7 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 + x y + 3 x y - 3 x y + x y - x y + x y - 2 x y 10 7 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 + x y + x y + x y - 2 x y - x y + 3 x y - x y - 2 x y 8 6 9 4 8 5 7 6 7 5 7 3 4 4 + 6 x y + x y - 4 x y + 2 x y - 4 x y + 2 x y + x y 4 3 4 2 3 3 3 2 - 3 x y + x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^22*y^18-12*x^22*y^17+30*x^22*y^16+3*x^21*y^17-40*x^22*y^15-18*x^21*y^16+ 30*x^22*y^14+45*x^21*y^15+4*x^20*y^16-12*x^22*y^13-60*x^21*y^14-24*x^20*y^15-3* x^19*y^16+2*x^22*y^12+45*x^21*y^13+60*x^20*y^14+17*x^19*y^15-18*x^21*y^12-80*x^ 20*y^13-42*x^19*y^14-6*x^18*y^15+3*x^21*y^11+60*x^20*y^12+60*x^19*y^13+33*x^18* y^14-24*x^20*y^11-55*x^19*y^12-74*x^18*y^13-7*x^17*y^14+4*x^20*y^10+33*x^19*y^ 11+87*x^18*y^12+39*x^17*y^13-12*x^19*y^10-58*x^18*y^11-86*x^17*y^12-2*x^16*y^13 +2*x^19*y^9+23*x^18*y^10+94*x^17*y^11+17*x^16*y^12+3*x^15*y^13-6*x^18*y^9-51*x^ 17*y^10-49*x^16*y^11-13*x^15*y^12+x^14*y^13+x^18*y^8+11*x^17*y^9+66*x^16*y^10+ 23*x^15*y^11-5*x^14*y^12-44*x^16*y^9-24*x^15*y^10+3*x^14*y^11-2*x^13*y^12+13*x^ 16*y^8+19*x^15*y^9+11*x^14*y^10-x^16*y^7-11*x^15*y^8-17*x^14*y^9+5*x^13*y^10-2* x^12*y^11+3*x^15*y^7+9*x^14*y^8+7*x^13*y^9-4*x^12*y^10-3*x^14*y^7-21*x^13*y^8+ 23*x^12*y^9-3*x^11*y^10+x^14*y^6+13*x^13*y^7-24*x^12*y^8+7*x^11*y^9-x^10*y^10-2 *x^13*y^6+4*x^12*y^7+x^11*y^8+6*x^10*y^9+4*x^12*y^6-12*x^11*y^7-11*x^10*y^8+2*x ^9*y^9-x^12*y^5+8*x^11*y^6+9*x^10*y^7-x^11*y^5-4*x^10*y^6-9*x^9*y^7+x^8*y^8+x^ 10*y^5+9*x^9*y^6+4*x^8*y^7-x^9*y^5-16*x^8*y^6-x^9*y^4+15*x^8*y^5-6*x^7*y^6-4*x^ 8*y^4+6*x^7*y^5-2*x^6*y^6+2*x^7*y^4-2*x^7*y^3+2*x^6*y^4-6*x^5*y^5+8*x^5*y^4-2*x ^5*y^3+3*x^4*y^4-x^4*y^3-x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+1)/(x^16*y^11-4*x^16*y^10+ 6*x^16*y^9-x^15*y^10-4*x^16*y^8+3*x^15*y^9+x^16*y^7-3*x^15*y^8+x^14*y^9+x^13*y^ 10+x^15*y^7-3*x^14*y^8-2*x^13*y^9+3*x^14*y^7+2*x^13*y^8-x^12*y^9-x^14*y^6-2*x^ 13*y^7+x^13*y^6+3*x^12*y^7-3*x^12*y^6+x^11*y^7-x^10*y^8+x^12*y^5-2*x^11*y^6+x^ 10*y^7+x^11*y^5+x^10*y^6-2*x^9*y^7-x^10*y^5+3*x^9*y^6-x^8*y^7-2*x^9*y^5+6*x^8*y ^6+x^9*y^4-4*x^8*y^5+2*x^7*y^6-4*x^7*y^5+2*x^7*y^3+x^4*y^4-3*x^4*y^3+x^4*y^2-2* x^3*y^3+2*x^3*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 14 13 12 10 9 8 7 6 5 4 2 a + 2 a + a - 4 a - 2 a - 2 a + 10 a + a + 2 a - 8 a + 1 ------------------------------------------------------------------------ 7 3 4 (4 a - 2 a + 1) (a + 1) 8 4 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6793318655 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6804553646 ------------------------------------------------ "Theorem Number 150" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [1, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 19 22 18 22 17 21 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y + 15 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 16 21 17 22 15 21 16 20 17 22 14 - 20 x y - 5 x y + 15 x y + 9 x y - x y - 6 x y 21 15 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 - 5 x y + 4 x y - 2 x y + x y - 5 x y - 3 x y 19 16 21 13 20 14 19 15 18 16 21 12 + 7 x y + 9 x y - 10 x y - 6 x y - 3 x y - 5 x y 20 13 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 + 25 x y - 5 x y + 12 x y + x y - 24 x y + 10 x y 18 14 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 - 11 x y + 11 x y - 3 x y - 19 x y + 2 x y - x y 20 10 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 - 2 x y - 2 x y + 50 x y - 12 x y + 7 x y + x y 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 16 12 - 42 x y + 29 x y - 12 x y + 13 x y - 37 x y - x y 15 13 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 + 7 x y + x y + 28 x y + 22 x y - 21 x y + x y 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 - x y - 14 x y - 25 x y + 22 x y + 3 x y + 2 x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 + 5 x y + 14 x y - 15 x y - 16 x y - 5 x y - x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 - 5 x y + 19 x y + 23 x y + 4 x y + 3 x y + x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 - 19 x y - 20 x y + x y - 10 x y + 8 x y + 16 x y 13 9 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 - 6 x y + 6 x y - x y - x y - 8 x y + 8 x y + 7 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 13 6 - 8 x y - 6 x y + 2 x y - 3 x y + x y + 6 x y 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 - 3 x y + 3 x y - 2 x y - 2 x y + 4 x y - 3 x y 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 - 5 x y + 3 x y - 2 x y + 3 x y + 10 x y - x y - x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 - 4 x y - 3 x y + 2 x y + 2 x y - x y + 5 x y - x y 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 - 3 x y - 2 x y + 5 x y - 3 x y + 2 x y + 2 x y - 11 x y 7 6 10 2 9 3 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 + 7 x y - x y - x y + 3 x y + 4 x y - 3 x y + x y + x y 7 4 6 5 7 3 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 - 9 x y + 6 x y + x y + x y + x y - 4 x y - x y + x y 5 3 4 4 6 5 2 4 3 3 3 4 3 2 + 2 x y + 6 x y + x y - 2 x y - 4 x y + 3 x y - x y - x y 2 2 2 / 20 16 20 15 20 14 + x y - x y + x y - x + 1) / (x y - 5 x y + 10 x y / 20 13 19 14 18 15 20 12 19 13 18 14 - 10 x y + x y - x y + 5 x y - 5 x y + 4 x y 20 11 19 12 18 13 19 11 18 12 17 13 - x y + 10 x y - 6 x y - 10 x y + 5 x y + x y 16 14 19 10 18 11 17 12 16 13 19 9 + x y + 5 x y - 5 x y - 6 x y - 5 x y - x y 18 10 17 11 16 12 18 9 17 10 16 11 + 6 x y + 13 x y + 7 x y - 4 x y - 12 x y + x y 18 8 17 9 16 10 15 11 17 8 16 9 + x y + 3 x y - 11 x y - 2 x y + 2 x y + 11 x y 15 10 17 7 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 + 5 x y - x y - 5 x y - x y + 5 x y - x y + x y 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 - 7 x y - 17 x y + 2 x y + 7 x y + 19 x y - x y 15 6 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 - 2 x y - 6 x y + 4 x y + 3 x y - 2 x y - 10 x y 12 8 10 10 14 5 13 6 12 7 10 9 13 5 - 7 x y - x y + x y + 8 x y + 7 x y + 2 x y - 2 x y 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 12 4 - 4 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y - 7 x y + x y + x y 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 + 4 x y + 4 x y - 2 x y + x y - 3 x y + x y + x y 8 7 11 3 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 10 2 - 2 x y + x y - 3 x y - x y + x y + 3 x y + 2 x y - x y 9 3 8 4 7 5 9 2 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 - x y + x y + x y + x y - x y - 2 x y - x y - x y - x y 7 2 6 3 5 4 6 2 6 4 3 3 3 4 3 2 - x y + x y + x y + x y + x y - 2 x y + x y - x y + x y 2 2 2 - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^22*y^19-6*x^22*y^18+15*x^22*y^17+x^21*y^18-20*x^22*y^16-5*x^21*y^17+15*x^22* y^15+9*x^21*y^16-x^20*y^17-6*x^22*y^14-5*x^21*y^15+4*x^20*y^16-2*x^19*y^17+x^22 *y^13-5*x^21*y^14-3*x^20*y^15+7*x^19*y^16+9*x^21*y^13-10*x^20*y^14-6*x^19*y^15-\ 3*x^18*y^16-5*x^21*y^12+25*x^20*y^13-5*x^19*y^14+12*x^18*y^15+x^21*y^11-24*x^20 *y^12+10*x^19*y^13-11*x^18*y^14+11*x^20*y^11-3*x^19*y^12-19*x^18*y^13+2*x^17*y^ 14-x^16*y^15-2*x^20*y^10-2*x^19*y^11+50*x^18*y^12-12*x^17*y^13+7*x^16*y^14+x^19 *y^10-42*x^18*y^11+29*x^17*y^12-12*x^16*y^13+13*x^18*y^10-37*x^17*y^11-x^16*y^ 12+7*x^15*y^13+x^18*y^9+28*x^17*y^10+22*x^16*y^11-21*x^15*y^12+x^14*y^13-x^18*y ^8-14*x^17*y^9-25*x^16*y^10+22*x^15*y^11+3*x^14*y^12+2*x^13*y^13+5*x^17*y^8+14* x^16*y^9-15*x^15*y^10-16*x^14*y^11-5*x^13*y^12-x^17*y^7-5*x^16*y^8+19*x^15*y^9+ 23*x^14*y^10+4*x^13*y^11+3*x^12*y^12+x^16*y^7-19*x^15*y^8-20*x^14*y^9+x^13*y^10 -10*x^12*y^11+8*x^15*y^7+16*x^14*y^8-6*x^13*y^9+6*x^12*y^10-x^11*y^11-x^15*y^6-\ 8*x^14*y^7+8*x^13*y^8+7*x^12*y^9-8*x^13*y^7-6*x^12*y^8+2*x^11*y^9-3*x^10*y^10+x ^14*y^5+6*x^13*y^6-3*x^11*y^8+3*x^10*y^9-2*x^13*y^5-2*x^12*y^6+4*x^11*y^7-3*x^ 10*y^8-5*x^9*y^9+3*x^12*y^5-2*x^11*y^6+3*x^10*y^7+10*x^9*y^8-x^12*y^4-x^11*y^5-\ 4*x^9*y^7-3*x^8*y^8+2*x^11*y^4+2*x^10*y^5-x^9*y^6+5*x^8*y^7-x^11*y^3-3*x^10*y^4 -2*x^9*y^5+5*x^8*y^6-3*x^7*y^7+2*x^10*y^3+2*x^9*y^4-11*x^8*y^5+7*x^7*y^6-x^10*y ^2-x^9*y^3+3*x^8*y^4+4*x^7*y^5-3*x^6*y^6+x^9*y^2+x^8*y^3-9*x^7*y^4+6*x^6*y^5+x^ 7*y^3+x^5*y^5+x^7*y^2-4*x^6*y^3-x^5*y^4+x^6*y^2+2*x^5*y^3+6*x^4*y^4+x^6*y-2*x^5 *y^2-4*x^4*y^3+3*x^3*y^3-x^4*y-x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^20*y^16-5*x^20 *y^15+10*x^20*y^14-10*x^20*y^13+x^19*y^14-x^18*y^15+5*x^20*y^12-5*x^19*y^13+4*x ^18*y^14-x^20*y^11+10*x^19*y^12-6*x^18*y^13-10*x^19*y^11+5*x^18*y^12+x^17*y^13+ x^16*y^14+5*x^19*y^10-5*x^18*y^11-6*x^17*y^12-5*x^16*y^13-x^19*y^9+6*x^18*y^10+ 13*x^17*y^11+7*x^16*y^12-4*x^18*y^9-12*x^17*y^10+x^16*y^11+x^18*y^8+3*x^17*y^9-\ 11*x^16*y^10-2*x^15*y^11+2*x^17*y^8+11*x^16*y^9+5*x^15*y^10-x^17*y^7-5*x^16*y^8 -x^15*y^9+5*x^14*y^10-x^13*y^11+x^16*y^7-7*x^15*y^8-17*x^14*y^9+2*x^13*y^10+7*x ^15*y^7+19*x^14*y^8-x^13*y^9-2*x^15*y^6-6*x^14*y^7+4*x^13*y^8+3*x^12*y^9-2*x^14 *y^6-10*x^13*y^7-7*x^12*y^8-x^10*y^10+x^14*y^5+8*x^13*y^6+7*x^12*y^7+2*x^10*y^9 -2*x^13*y^5-4*x^12*y^6+2*x^11*y^7+2*x^10*y^8-4*x^11*y^6-7*x^10*y^7+x^9*y^8+x^12 *y^4+4*x^11*y^5+4*x^10*y^6-2*x^9*y^7+x^8*y^8-3*x^11*y^4+x^10*y^5+x^9*y^6-2*x^8* y^7+x^11*y^3-3*x^9*y^5-x^8*y^6+x^7*y^7+3*x^9*y^4+2*x^8*y^5-x^10*y^2-x^9*y^3+x^8 *y^4+x^7*y^5+x^9*y^2-x^8*y^3-2*x^7*y^4-x^6*y^5-x^6*y^4-x^5*y^5-x^7*y^2+x^6*y^3+ x^5*y^4+x^6*y^2+x^6*y-2*x^4*y^3+x^3*y^3-x^4*y+x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6804251659 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 151" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 19 22 18 22 17 21 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y + 15 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 16 21 17 22 15 21 16 20 17 22 14 - 20 x y - 5 x y + 15 x y + 9 x y - x y - 6 x y 21 15 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 - 5 x y + 4 x y - 2 x y + x y - 5 x y - 3 x y 19 16 21 13 20 14 19 15 18 16 21 12 + 7 x y + 9 x y - 10 x y - 6 x y - 3 x y - 5 x y 20 13 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 + 25 x y - 5 x y + 12 x y + x y - 24 x y + 10 x y 18 14 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 - 11 x y + 11 x y - 3 x y - 19 x y + 2 x y - x y 20 10 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 - 2 x y - 2 x y + 50 x y - 12 x y + 7 x y + x y 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 16 12 - 42 x y + 29 x y - 12 x y + 13 x y - 37 x y - x y 15 13 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 + 7 x y + x y + 28 x y + 22 x y - 21 x y + x y 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 - x y - 14 x y - 25 x y + 22 x y + 3 x y + 2 x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 + 5 x y + 14 x y - 15 x y - 16 x y - 5 x y - x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 - 5 x y + 19 x y + 23 x y + 4 x y + 3 x y + x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 - 19 x y - 20 x y + x y - 10 x y + 8 x y + 16 x y 13 9 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 - 6 x y + 6 x y - x y - x y - 8 x y + 8 x y + 7 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 13 6 - 8 x y - 6 x y + 2 x y - 3 x y + x y + 6 x y 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 - 3 x y + 3 x y - 2 x y - 2 x y + 4 x y - 3 x y 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 - 5 x y + 3 x y - 2 x y + 3 x y + 10 x y - x y - x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 - 4 x y - 3 x y + 2 x y + 2 x y - x y + 5 x y - x y 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 - 3 x y - 2 x y + 5 x y - 3 x y + 2 x y + 2 x y - 11 x y 7 6 10 2 9 3 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 + 7 x y - x y - x y + 3 x y + 4 x y - 3 x y + x y + x y 7 4 6 5 7 3 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 - 9 x y + 6 x y + x y + x y + x y - 4 x y - x y + x y 5 3 4 4 6 5 2 4 3 3 3 4 3 2 + 2 x y + 6 x y + x y - 2 x y - 4 x y + 3 x y - x y - x y 2 2 2 / 20 16 20 15 20 14 + x y - x y + x y - x + 1) / (x y - 5 x y + 10 x y / 20 13 19 14 18 15 20 12 19 13 18 14 - 10 x y + x y - x y + 5 x y - 5 x y + 4 x y 20 11 19 12 18 13 19 11 18 12 17 13 - x y + 10 x y - 6 x y - 10 x y + 5 x y + x y 16 14 19 10 18 11 17 12 16 13 19 9 + x y + 5 x y - 5 x y - 6 x y - 5 x y - x y 18 10 17 11 16 12 18 9 17 10 16 11 + 6 x y + 13 x y + 7 x y - 4 x y - 12 x y + x y 18 8 17 9 16 10 15 11 17 8 16 9 + x y + 3 x y - 11 x y - 2 x y + 2 x y + 11 x y 15 10 17 7 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 + 5 x y - x y - 5 x y - x y + 5 x y - x y + x y 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 - 7 x y - 17 x y + 2 x y + 7 x y + 19 x y - x y 15 6 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 - 2 x y - 6 x y + 4 x y + 3 x y - 2 x y - 10 x y 12 8 10 10 14 5 13 6 12 7 10 9 13 5 - 7 x y - x y + x y + 8 x y + 7 x y + 2 x y - 2 x y 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 12 4 - 4 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y - 7 x y + x y + x y 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 + 4 x y + 4 x y - 2 x y + x y - 3 x y + x y + x y 8 7 11 3 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 10 2 - 2 x y + x y - 3 x y - x y + x y + 3 x y + 2 x y - x y 9 3 8 4 7 5 9 2 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 - x y + x y + x y + x y - x y - 2 x y - x y - x y - x y 7 2 6 3 5 4 6 2 6 4 3 3 3 4 3 2 - x y + x y + x y + x y + x y - 2 x y + x y - x y + x y 2 2 2 - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^22*y^19-6*x^22*y^18+15*x^22*y^17+x^21*y^18-20*x^22*y^16-5*x^21*y^17+15*x^22* y^15+9*x^21*y^16-x^20*y^17-6*x^22*y^14-5*x^21*y^15+4*x^20*y^16-2*x^19*y^17+x^22 *y^13-5*x^21*y^14-3*x^20*y^15+7*x^19*y^16+9*x^21*y^13-10*x^20*y^14-6*x^19*y^15-\ 3*x^18*y^16-5*x^21*y^12+25*x^20*y^13-5*x^19*y^14+12*x^18*y^15+x^21*y^11-24*x^20 *y^12+10*x^19*y^13-11*x^18*y^14+11*x^20*y^11-3*x^19*y^12-19*x^18*y^13+2*x^17*y^ 14-x^16*y^15-2*x^20*y^10-2*x^19*y^11+50*x^18*y^12-12*x^17*y^13+7*x^16*y^14+x^19 *y^10-42*x^18*y^11+29*x^17*y^12-12*x^16*y^13+13*x^18*y^10-37*x^17*y^11-x^16*y^ 12+7*x^15*y^13+x^18*y^9+28*x^17*y^10+22*x^16*y^11-21*x^15*y^12+x^14*y^13-x^18*y ^8-14*x^17*y^9-25*x^16*y^10+22*x^15*y^11+3*x^14*y^12+2*x^13*y^13+5*x^17*y^8+14* x^16*y^9-15*x^15*y^10-16*x^14*y^11-5*x^13*y^12-x^17*y^7-5*x^16*y^8+19*x^15*y^9+ 23*x^14*y^10+4*x^13*y^11+3*x^12*y^12+x^16*y^7-19*x^15*y^8-20*x^14*y^9+x^13*y^10 -10*x^12*y^11+8*x^15*y^7+16*x^14*y^8-6*x^13*y^9+6*x^12*y^10-x^11*y^11-x^15*y^6-\ 8*x^14*y^7+8*x^13*y^8+7*x^12*y^9-8*x^13*y^7-6*x^12*y^8+2*x^11*y^9-3*x^10*y^10+x ^14*y^5+6*x^13*y^6-3*x^11*y^8+3*x^10*y^9-2*x^13*y^5-2*x^12*y^6+4*x^11*y^7-3*x^ 10*y^8-5*x^9*y^9+3*x^12*y^5-2*x^11*y^6+3*x^10*y^7+10*x^9*y^8-x^12*y^4-x^11*y^5-\ 4*x^9*y^7-3*x^8*y^8+2*x^11*y^4+2*x^10*y^5-x^9*y^6+5*x^8*y^7-x^11*y^3-3*x^10*y^4 -2*x^9*y^5+5*x^8*y^6-3*x^7*y^7+2*x^10*y^3+2*x^9*y^4-11*x^8*y^5+7*x^7*y^6-x^10*y ^2-x^9*y^3+3*x^8*y^4+4*x^7*y^5-3*x^6*y^6+x^9*y^2+x^8*y^3-9*x^7*y^4+6*x^6*y^5+x^ 7*y^3+x^5*y^5+x^7*y^2-4*x^6*y^3-x^5*y^4+x^6*y^2+2*x^5*y^3+6*x^4*y^4+x^6*y-2*x^5 *y^2-4*x^4*y^3+3*x^3*y^3-x^4*y-x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^20*y^16-5*x^20 *y^15+10*x^20*y^14-10*x^20*y^13+x^19*y^14-x^18*y^15+5*x^20*y^12-5*x^19*y^13+4*x ^18*y^14-x^20*y^11+10*x^19*y^12-6*x^18*y^13-10*x^19*y^11+5*x^18*y^12+x^17*y^13+ x^16*y^14+5*x^19*y^10-5*x^18*y^11-6*x^17*y^12-5*x^16*y^13-x^19*y^9+6*x^18*y^10+ 13*x^17*y^11+7*x^16*y^12-4*x^18*y^9-12*x^17*y^10+x^16*y^11+x^18*y^8+3*x^17*y^9-\ 11*x^16*y^10-2*x^15*y^11+2*x^17*y^8+11*x^16*y^9+5*x^15*y^10-x^17*y^7-5*x^16*y^8 -x^15*y^9+5*x^14*y^10-x^13*y^11+x^16*y^7-7*x^15*y^8-17*x^14*y^9+2*x^13*y^10+7*x ^15*y^7+19*x^14*y^8-x^13*y^9-2*x^15*y^6-6*x^14*y^7+4*x^13*y^8+3*x^12*y^9-2*x^14 *y^6-10*x^13*y^7-7*x^12*y^8-x^10*y^10+x^14*y^5+8*x^13*y^6+7*x^12*y^7+2*x^10*y^9 -2*x^13*y^5-4*x^12*y^6+2*x^11*y^7+2*x^10*y^8-4*x^11*y^6-7*x^10*y^7+x^9*y^8+x^12 *y^4+4*x^11*y^5+4*x^10*y^6-2*x^9*y^7+x^8*y^8-3*x^11*y^4+x^10*y^5+x^9*y^6-2*x^8* y^7+x^11*y^3-3*x^9*y^5-x^8*y^6+x^7*y^7+3*x^9*y^4+2*x^8*y^5-x^10*y^2-x^9*y^3+x^8 *y^4+x^7*y^5+x^9*y^2-x^8*y^3-2*x^7*y^4-x^6*y^5-x^6*y^4-x^5*y^5-x^7*y^2+x^6*y^3+ x^5*y^4+x^6*y^2+x^6*y-2*x^4*y^3+x^3*y^3-x^4*y+x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6804251659 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 152" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [2, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 17 20 16 19 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 8 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 15 19 16 18 17 20 14 19 15 18 16 + 28 x y - 7 x y + x y - 56 x y + 23 x y - 6 x y 20 13 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 + 70 x y - 47 x y + 18 x y - x y - 56 x y + 65 x y 18 14 17 15 20 11 19 12 18 13 - 37 x y + 6 x y + 28 x y - 61 x y + 55 x y 17 14 20 10 19 11 18 12 17 13 - 17 x y - 8 x y + 37 x y - 56 x y + 29 x y 16 14 20 9 19 10 18 11 17 12 16 13 - 5 x y + x y - 13 x y + 36 x y - 30 x y + 27 x y 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 - 4 x y + 2 x y - 13 x y + 16 x y - 59 x y + 18 x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 + 2 x y - x y + 66 x y - 35 x y + 6 x y - 3 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 - 39 x y + 39 x y - 22 x y + x y + x y + 11 x y 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 - 27 x y + 27 x y - 2 x y - x y + 11 x y - 8 x y 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 + 2 x y - x y - 2 x y - 8 x y - 6 x y + 3 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 + 6 x y + 14 x y - 4 x y - 3 x y - x y - 17 x y 12 9 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 + 4 x y + 11 x y - 2 x y + 18 x y + x y - 3 x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - 2 x y - 25 x y - 4 x y + 3 x y + 12 x y + 8 x y 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 + x y - x y - 3 x y - 10 x y + 5 x y + x y + 7 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 - 16 x y + 7 x y - 2 x y + 13 x y - 15 x y - 3 x y + 7 x y 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 - 5 x y + 3 x y + 5 x y - 2 x y + x y - x y + x y + 2 x y 7 3 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 - 2 x y - x y - 6 x y + 10 x y - 4 x y + 4 x y - 2 x y 4 2 2 2 / 19 15 19 14 18 15 19 13 - x y + x y + 1) / (x y - 5 x y + x y + 10 x y / 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 19 11 - 6 x y + x y - 10 x y + 15 x y - 5 x y + 5 x y 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 - 20 x y + 11 x y - 2 x y - x y + 15 x y - 14 x y 16 13 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 + 7 x y - 6 x y + 11 x y - 8 x y + x y + x y 17 10 15 12 17 9 16 10 15 11 14 12 - 5 x y - 4 x y + x y + 9 x y + 3 x y - x y 16 9 15 10 14 11 16 8 15 9 14 10 - 10 x y + 7 x y + 4 x y + 5 x y - 14 x y - 3 x y 13 11 16 7 15 8 14 9 13 10 15 7 + 2 x y - x y + 9 x y - 5 x y - 4 x y - 2 x y 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 13 7 12 8 + 8 x y + x y - x y - 3 x y + 2 x y - x y + 5 x y 11 9 12 7 11 8 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 - x y - 5 x y + x y + x y + x y + 2 x y - x y - x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 - 4 x y + 4 x y - x y + 2 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 + x y + 2 x y + x y - 2 x y - x y - 6 x y - x y + 2 x y 6 5 7 3 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 + 2 x y + 2 x y - x y + 2 x y - 4 x y + 2 x y - 4 x y 4 3 4 2 3 3 2 2 + 2 x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^20*y^17-8*x^20*y^16+x^19*y^17+28*x^20*y^15-7*x^19*y^16+x^18*y^17-56*x^20*y^ 14+23*x^19*y^15-6*x^18*y^16+70*x^20*y^13-47*x^19*y^14+18*x^18*y^15-x^17*y^16-56 *x^20*y^12+65*x^19*y^13-37*x^18*y^14+6*x^17*y^15+28*x^20*y^11-61*x^19*y^12+55*x ^18*y^13-17*x^17*y^14-8*x^20*y^10+37*x^19*y^11-56*x^18*y^12+29*x^17*y^13-5*x^16 *y^14+x^20*y^9-13*x^19*y^10+36*x^18*y^11-30*x^17*y^12+27*x^16*y^13-4*x^15*y^14+ 2*x^19*y^9-13*x^18*y^10+16*x^17*y^11-59*x^16*y^12+18*x^15*y^13+2*x^18*y^9-x^17* y^10+66*x^16*y^11-35*x^15*y^12+6*x^14*y^13-3*x^17*y^9-39*x^16*y^10+39*x^15*y^11 -22*x^14*y^12+x^13*y^13+x^17*y^8+11*x^16*y^9-27*x^15*y^10+27*x^14*y^11-2*x^13*y ^12-x^16*y^8+11*x^15*y^9-8*x^14*y^10+2*x^13*y^11-x^12*y^12-2*x^15*y^8-8*x^14*y^ 9-6*x^13*y^10+3*x^12*y^11+6*x^14*y^8+14*x^13*y^9-4*x^12*y^10-3*x^11*y^11-x^14*y ^7-17*x^13*y^8+4*x^12*y^9+11*x^13*y^7-2*x^12*y^8+18*x^11*y^9+x^10*y^10-3*x^13*y ^6-2*x^12*y^7-25*x^11*y^8-4*x^10*y^9+3*x^12*y^6+12*x^11*y^7+8*x^10*y^8+x^9*y^9- x^12*y^5-3*x^11*y^6-10*x^10*y^7+5*x^9*y^8+x^11*y^5+7*x^10*y^6-16*x^9*y^7+7*x^8* y^8-2*x^10*y^5+13*x^9*y^6-15*x^8*y^7-3*x^9*y^5+7*x^8*y^6-5*x^7*y^7+3*x^8*y^5+5* x^7*y^6-2*x^8*y^4+x^7*y^5-x^6*y^6+x^7*y^4+2*x^6*y^5-2*x^7*y^3-x^6*y^4-6*x^5*y^5 +10*x^5*y^4-4*x^5*y^3+4*x^4*y^4-2*x^4*y^3-x^4*y^2+x^2*y^2+1)/(x^19*y^15-5*x^19* y^14+x^18*y^15+10*x^19*y^13-6*x^18*y^14+x^17*y^15-10*x^19*y^12+15*x^18*y^13-5*x ^17*y^14+5*x^19*y^11-20*x^18*y^12+11*x^17*y^13-2*x^16*y^14-x^19*y^10+15*x^18*y^ 11-14*x^17*y^12+7*x^16*y^13-6*x^18*y^10+11*x^17*y^11-8*x^16*y^12+x^15*y^13+x^18 *y^9-5*x^17*y^10-4*x^15*y^12+x^17*y^9+9*x^16*y^10+3*x^15*y^11-x^14*y^12-10*x^16 *y^9+7*x^15*y^10+4*x^14*y^11+5*x^16*y^8-14*x^15*y^9-3*x^14*y^10+2*x^13*y^11-x^ 16*y^7+9*x^15*y^8-5*x^14*y^9-4*x^13*y^10-2*x^15*y^7+8*x^14*y^8+x^13*y^9-x^12*y^ 10-3*x^14*y^7+2*x^13*y^8-x^13*y^7+5*x^12*y^8-x^11*y^9-5*x^12*y^7+x^11*y^8+x^12* y^5+x^11*y^6+2*x^10*y^7-x^9*y^8-x^11*y^5-4*x^10*y^6+4*x^9*y^7-x^8*y^8+2*x^10*y^ 5-2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-2*x^9*y^5+x^8*y^6+2*x^7*y^7+x^9*y^4-2*x^8*y^5-x^7*y^6-6*x ^7*y^5-x^6*y^6+2*x^7*y^4+2*x^6*y^5+2*x^7*y^3-x^6*y^4+2*x^5*y^5-4*x^5*y^4+2*x^5* y^3-4*x^4*y^4+2*x^4*y^3+x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 13 12 9 8 7 6 5 4 2 2 (a - a - 3 a + 4 a - 5 a + 11 a - 2 a + 7 a - 2 a - 1) ------------------------------------------------------------------- 6 3 2 4 2 (7 a + 4 a - 6 a + 2 a - 2) (a + a + 1) 7 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6762308514 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6776254554 ------------------------------------------------ "Theorem Number 153" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [1, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 17 20 16 19 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 8 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 15 19 16 18 17 20 14 19 15 18 16 + 28 x y - 7 x y + x y - 56 x y + 23 x y - 6 x y 20 13 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 + 70 x y - 47 x y + 18 x y - x y - 56 x y + 65 x y 18 14 17 15 20 11 19 12 18 13 - 37 x y + 6 x y + 28 x y - 61 x y + 55 x y 17 14 20 10 19 11 18 12 17 13 - 17 x y - 8 x y + 37 x y - 56 x y + 29 x y 16 14 20 9 19 10 18 11 17 12 16 13 - 5 x y + x y - 13 x y + 36 x y - 30 x y + 27 x y 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 - 4 x y + 2 x y - 13 x y + 16 x y - 59 x y + 18 x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 + 2 x y - x y + 66 x y - 35 x y + 6 x y - 3 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 - 39 x y + 39 x y - 22 x y + x y + x y + 11 x y 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 - 27 x y + 27 x y - 2 x y - x y + 11 x y - 8 x y 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 + 2 x y - x y - 2 x y - 8 x y - 6 x y + 3 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 + 6 x y + 14 x y - 4 x y - 3 x y - x y - 17 x y 12 9 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 + 4 x y + 11 x y - 2 x y + 18 x y + x y - 3 x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - 2 x y - 25 x y - 4 x y + 3 x y + 12 x y + 8 x y 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 + x y - x y - 3 x y - 10 x y + 5 x y + x y + 7 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 - 16 x y + 7 x y - 2 x y + 13 x y - 15 x y - 3 x y + 7 x y 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 - 5 x y + 3 x y + 5 x y - 2 x y + x y - x y + x y + 2 x y 7 3 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 4 3 - 2 x y - x y - 6 x y + 10 x y - 4 x y + 4 x y - 2 x y 4 2 2 2 / 19 15 19 14 18 15 19 13 - x y + x y + 1) / (x y - 5 x y + x y + 10 x y / 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 19 11 - 6 x y + x y - 10 x y + 15 x y - 5 x y + 5 x y 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 - 20 x y + 11 x y - 2 x y - x y + 15 x y - 14 x y 16 13 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 + 7 x y - 6 x y + 11 x y - 8 x y + x y + x y 17 10 15 12 17 9 16 10 15 11 14 12 - 5 x y - 4 x y + x y + 9 x y + 3 x y - x y 16 9 15 10 14 11 16 8 15 9 14 10 - 10 x y + 7 x y + 4 x y + 5 x y - 14 x y - 3 x y 13 11 16 7 15 8 14 9 13 10 15 7 + 2 x y - x y + 9 x y - 5 x y - 4 x y - 2 x y 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 13 7 12 8 + 8 x y + x y - x y - 3 x y + 2 x y - x y + 5 x y 11 9 12 7 11 8 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 - x y - 5 x y + x y + x y + x y + 2 x y - x y - x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 - 4 x y + 4 x y - x y + 2 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 7 5 6 6 7 4 + x y + 2 x y + x y - 2 x y - x y - 6 x y - x y + 2 x y 6 5 7 3 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 + 2 x y + 2 x y - x y + 2 x y - 4 x y + 2 x y - 4 x y 4 3 4 2 3 3 2 2 + 2 x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^20*y^17-8*x^20*y^16+x^19*y^17+28*x^20*y^15-7*x^19*y^16+x^18*y^17-56*x^20*y^ 14+23*x^19*y^15-6*x^18*y^16+70*x^20*y^13-47*x^19*y^14+18*x^18*y^15-x^17*y^16-56 *x^20*y^12+65*x^19*y^13-37*x^18*y^14+6*x^17*y^15+28*x^20*y^11-61*x^19*y^12+55*x ^18*y^13-17*x^17*y^14-8*x^20*y^10+37*x^19*y^11-56*x^18*y^12+29*x^17*y^13-5*x^16 *y^14+x^20*y^9-13*x^19*y^10+36*x^18*y^11-30*x^17*y^12+27*x^16*y^13-4*x^15*y^14+ 2*x^19*y^9-13*x^18*y^10+16*x^17*y^11-59*x^16*y^12+18*x^15*y^13+2*x^18*y^9-x^17* y^10+66*x^16*y^11-35*x^15*y^12+6*x^14*y^13-3*x^17*y^9-39*x^16*y^10+39*x^15*y^11 -22*x^14*y^12+x^13*y^13+x^17*y^8+11*x^16*y^9-27*x^15*y^10+27*x^14*y^11-2*x^13*y ^12-x^16*y^8+11*x^15*y^9-8*x^14*y^10+2*x^13*y^11-x^12*y^12-2*x^15*y^8-8*x^14*y^ 9-6*x^13*y^10+3*x^12*y^11+6*x^14*y^8+14*x^13*y^9-4*x^12*y^10-3*x^11*y^11-x^14*y ^7-17*x^13*y^8+4*x^12*y^9+11*x^13*y^7-2*x^12*y^8+18*x^11*y^9+x^10*y^10-3*x^13*y ^6-2*x^12*y^7-25*x^11*y^8-4*x^10*y^9+3*x^12*y^6+12*x^11*y^7+8*x^10*y^8+x^9*y^9- x^12*y^5-3*x^11*y^6-10*x^10*y^7+5*x^9*y^8+x^11*y^5+7*x^10*y^6-16*x^9*y^7+7*x^8* y^8-2*x^10*y^5+13*x^9*y^6-15*x^8*y^7-3*x^9*y^5+7*x^8*y^6-5*x^7*y^7+3*x^8*y^5+5* x^7*y^6-2*x^8*y^4+x^7*y^5-x^6*y^6+x^7*y^4+2*x^6*y^5-2*x^7*y^3-x^6*y^4-6*x^5*y^5 +10*x^5*y^4-4*x^5*y^3+4*x^4*y^4-2*x^4*y^3-x^4*y^2+x^2*y^2+1)/(x^19*y^15-5*x^19* y^14+x^18*y^15+10*x^19*y^13-6*x^18*y^14+x^17*y^15-10*x^19*y^12+15*x^18*y^13-5*x ^17*y^14+5*x^19*y^11-20*x^18*y^12+11*x^17*y^13-2*x^16*y^14-x^19*y^10+15*x^18*y^ 11-14*x^17*y^12+7*x^16*y^13-6*x^18*y^10+11*x^17*y^11-8*x^16*y^12+x^15*y^13+x^18 *y^9-5*x^17*y^10-4*x^15*y^12+x^17*y^9+9*x^16*y^10+3*x^15*y^11-x^14*y^12-10*x^16 *y^9+7*x^15*y^10+4*x^14*y^11+5*x^16*y^8-14*x^15*y^9-3*x^14*y^10+2*x^13*y^11-x^ 16*y^7+9*x^15*y^8-5*x^14*y^9-4*x^13*y^10-2*x^15*y^7+8*x^14*y^8+x^13*y^9-x^12*y^ 10-3*x^14*y^7+2*x^13*y^8-x^13*y^7+5*x^12*y^8-x^11*y^9-5*x^12*y^7+x^11*y^8+x^12* y^5+x^11*y^6+2*x^10*y^7-x^9*y^8-x^11*y^5-4*x^10*y^6+4*x^9*y^7-x^8*y^8+2*x^10*y^ 5-2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-2*x^9*y^5+x^8*y^6+2*x^7*y^7+x^9*y^4-2*x^8*y^5-x^7*y^6-6*x ^7*y^5-x^6*y^6+2*x^7*y^4+2*x^6*y^5+2*x^7*y^3-x^6*y^4+2*x^5*y^5-4*x^5*y^4+2*x^5* y^3-4*x^4*y^4+2*x^4*y^3+x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 13 12 9 8 7 6 5 4 2 2 (a - a - 3 a + 4 a - 5 a + 11 a - 2 a + 7 a - 2 a - 1) ------------------------------------------------------------------- 6 3 2 4 2 (7 a + 4 a - 6 a + 2 a - 2) (a + a + 1) 7 4 3 2 where a is the root of the polynomial, x + x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6762308514 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6776254554 ------------------------------------------------ "Theorem Number 154" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [1, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 18 20 17 20 16 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + 21 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 17 20 15 19 16 20 14 19 15 18 16 + 2 x y - 35 x y - 14 x y + 35 x y + 42 x y + x y 20 13 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 - 21 x y - 70 x y - 7 x y - x y + 7 x y + 70 x y 18 14 17 15 20 11 19 12 18 13 17 14 + 21 x y + 4 x y - x y - 42 x y - 35 x y - 4 x y 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 - 2 x y + 14 x y + 35 x y - 5 x y + 7 x y - 2 x y 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 - 21 x y + 15 x y - 4 x y + 7 x y - 14 x y 16 12 15 13 14 14 18 9 17 10 16 11 - 16 x y + 2 x y - x y - x y + 6 x y + 34 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 - 6 x y + 5 x y - x y - 29 x y + x y - 8 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 + 12 x y + 16 x y + 4 x y + 2 x y - 2 x y - 24 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - 3 x y - 11 x y + 4 x y + 14 x y + 14 x y + 22 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 - 6 x y - 3 x y - 21 x y - 21 x y - 17 x y + 2 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 + 13 x y + 12 x y + 46 x y - 4 x y - 3 x y - 7 x y 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 - 34 x y - 7 x y + 5 x y + 4 x y + 2 x y + 24 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 - 20 x y - x y + 7 x y - 17 x y + 23 x y + 6 x y 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 2 x y - 3 x y - x y - 19 x y + 6 x y - 10 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 18 x y - x y - x y + x y + x y - x y + 2 x y - 8 x y 8 6 7 7 8 5 7 6 9 3 7 5 6 6 + 5 x y - 7 x y - 2 x y + 5 x y + 2 x y + 10 x y - 4 x y 8 3 7 4 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 - 2 x y - 10 x y + x y + x y + 3 x y + 11 x y - 5 x y 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 - x y - 8 x y + 6 x y + 2 x y - 8 x y - 3 x y + 7 x y 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 3 2 2 + 2 x y - 4 x y - 2 x y + 3 x y + 2 x y - 2 x y - x + x y + x / 19 15 19 14 19 13 18 14 - x y + x - 1) / (x y - 5 x y + 10 x y + x y / 19 12 18 13 19 11 18 12 19 10 18 11 - 10 x y - 5 x y + 5 x y + 10 x y - x y - 10 x y 18 10 16 12 15 13 18 9 16 11 15 12 + 5 x y - x y - x y - x y + 4 x y + 2 x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 - 6 x y + x y - x y + 4 x y - 4 x y + 2 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 - x y + x y + x y - x y + 2 x y - 3 x y + 2 x y 15 7 14 8 13 9 14 7 13 8 12 9 14 6 - x y - 2 x y - x y + 5 x y + 2 x y + 2 x y - 2 x y 13 7 12 8 13 6 12 7 11 8 13 5 11 7 - 5 x y - 6 x y + 4 x y + 5 x y + 2 x y - x y - 4 x y 10 8 12 5 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 3 x y - x y - 5 x y - x y + 3 x y + x y + 6 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 - x y + x y - 5 x y - x y - 4 x y + 2 x y + 3 x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 7 4 8 2 + 3 x y + 3 x y + x y - 5 x y - 3 x y - x y + x y + x y 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 5 2 4 3 + x y + 4 x y + x y - x y - 3 x y - 2 x y + x y + x y 4 2 3 2 3 2 2 - 2 x y + x y - x - x y + x + x y + x - 1) and in Maple notation (x^20*y^18-7*x^20*y^17+21*x^20*y^16+2*x^19*y^17-35*x^20*y^15-14*x^19*y^16+35*x^ 20*y^14+42*x^19*y^15+x^18*y^16-21*x^20*y^13-70*x^19*y^14-7*x^18*y^15-x^17*y^16+ 7*x^20*y^12+70*x^19*y^13+21*x^18*y^14+4*x^17*y^15-x^20*y^11-42*x^19*y^12-35*x^ 18*y^13-4*x^17*y^14-2*x^16*y^15+14*x^19*y^11+35*x^18*y^12-5*x^17*y^13+7*x^16*y^ 14-2*x^19*y^10-21*x^18*y^11+15*x^17*y^12-4*x^16*y^13+7*x^18*y^10-14*x^17*y^11-\ 16*x^16*y^12+2*x^15*y^13-x^14*y^14-x^18*y^9+6*x^17*y^10+34*x^16*y^11-6*x^15*y^ 12+5*x^14*y^13-x^17*y^9-29*x^16*y^10+x^15*y^11-8*x^14*y^12+12*x^16*y^9+16*x^15* y^10+4*x^14*y^11+2*x^13*y^12-2*x^16*y^8-24*x^15*y^9-3*x^14*y^10-11*x^13*y^11+4* x^12*y^12+14*x^15*y^8+14*x^14*y^9+22*x^13*y^10-6*x^12*y^11-3*x^15*y^7-21*x^14*y ^8-21*x^13*y^9-17*x^12*y^10+2*x^11*y^11+13*x^14*y^7+12*x^13*y^8+46*x^12*y^9-4*x ^11*y^10-3*x^14*y^6-7*x^13*y^7-34*x^12*y^8-7*x^11*y^9+5*x^10*y^10+4*x^13*y^6+2* x^12*y^7+24*x^11*y^8-20*x^10*y^9-x^13*y^5+7*x^12*y^6-17*x^11*y^7+23*x^10*y^8+6* x^9*y^9-2*x^12*y^5-3*x^11*y^6-x^10*y^7-19*x^9*y^8+6*x^11*y^5-10*x^10*y^6+18*x^9 *y^7-x^8*y^8-x^11*y^4+x^10*y^5+x^9*y^6-x^8*y^7+2*x^10*y^4-8*x^9*y^5+5*x^8*y^6-7 *x^7*y^7-2*x^8*y^5+5*x^7*y^6+2*x^9*y^3+10*x^7*y^5-4*x^6*y^6-2*x^8*y^3-10*x^7*y^ 4+x^6*y^5+x^8*y^2+3*x^7*y^3+11*x^6*y^4-5*x^5*y^5-x^7*y^2-8*x^6*y^3+6*x^5*y^4+2* x^5*y^3-8*x^4*y^4-3*x^5*y^2+7*x^4*y^3+2*x^4*y^2-4*x^3*y^3-2*x^4*y+3*x^3*y^2+2*x ^3*y-2*x^2*y^2-x^3+x^2*y+x^2-x*y+x-1)/(x^19*y^15-5*x^19*y^14+10*x^19*y^13+x^18* y^14-10*x^19*y^12-5*x^18*y^13+5*x^19*y^11+10*x^18*y^12-x^19*y^10-10*x^18*y^11+5 *x^18*y^10-x^16*y^12-x^15*y^13-x^18*y^9+4*x^16*y^11+2*x^15*y^12-6*x^16*y^10+x^ 15*y^11-x^14*y^12+4*x^16*y^9-4*x^15*y^10+2*x^14*y^11-x^16*y^8+x^15*y^9+x^14*y^ 10-x^13*y^11+2*x^15*y^8-3*x^14*y^9+2*x^13*y^10-x^15*y^7-2*x^14*y^8-x^13*y^9+5*x ^14*y^7+2*x^13*y^8+2*x^12*y^9-2*x^14*y^6-5*x^13*y^7-6*x^12*y^8+4*x^13*y^6+5*x^ 12*y^7+2*x^11*y^8-x^13*y^5-4*x^11*y^7+3*x^10*y^8-x^12*y^5-5*x^10*y^7-x^9*y^8+3* x^11*y^5+x^10*y^6+6*x^9*y^7-x^11*y^4+x^10*y^5-5*x^9*y^6-x^8*y^7-4*x^9*y^5+2*x^8 *y^6+3*x^9*y^4+3*x^8*y^5+3*x^7*y^6+x^9*y^3-5*x^8*y^4-3*x^7*y^5-x^6*y^6+x^7*y^4+ x^8*y^2+x^7*y^3+4*x^6*y^4+x^5*y^5-x^7*y^2-3*x^6*y^3-2*x^5*y^4+x^5*y^2+x^4*y^3-2 *x^4*y^2+x^3*y^2-x^3-x^2*y+x^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 13 9 8 7 6 4 2 (a + 2 a + a - 2 a - 9 a + 8 a - 1) - -------------------------------------------- 6 3 4 (7 a - 4 a + 2) (a + 1) 7 4 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6759996388 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6769992872 ------------------------------------------------ "Theorem Number 155" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [2, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 18 20 17 20 16 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + 21 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 17 20 15 19 16 20 14 19 15 18 16 + 2 x y - 35 x y - 14 x y + 35 x y + 42 x y + x y 20 13 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 - 21 x y - 70 x y - 7 x y - x y + 7 x y + 70 x y 18 14 17 15 20 11 19 12 18 13 17 14 + 21 x y + 4 x y - x y - 42 x y - 35 x y - 4 x y 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 - 2 x y + 14 x y + 35 x y - 5 x y + 7 x y - 2 x y 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 - 21 x y + 15 x y - 4 x y + 7 x y - 14 x y 16 12 15 13 14 14 18 9 17 10 16 11 - 16 x y + 2 x y - x y - x y + 6 x y + 34 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 - 6 x y + 5 x y - x y - 29 x y + x y - 8 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 + 12 x y + 16 x y + 4 x y + 2 x y - 2 x y - 24 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - 3 x y - 11 x y + 4 x y + 14 x y + 14 x y + 22 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 - 6 x y - 3 x y - 21 x y - 21 x y - 17 x y + 2 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 + 13 x y + 12 x y + 46 x y - 4 x y - 3 x y - 7 x y 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 - 34 x y - 7 x y + 5 x y + 4 x y + 2 x y + 24 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 - 20 x y - x y + 7 x y - 17 x y + 23 x y + 6 x y 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 2 x y - 3 x y - x y - 19 x y + 6 x y - 10 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 18 x y - x y - x y + x y + x y - x y + 2 x y - 8 x y 8 6 7 7 8 5 7 6 9 3 7 5 6 6 + 5 x y - 7 x y - 2 x y + 5 x y + 2 x y + 10 x y - 4 x y 8 3 7 4 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 - 2 x y - 10 x y + x y + x y + 3 x y + 11 x y - 5 x y 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 - x y - 8 x y + 6 x y + 2 x y - 8 x y - 3 x y + 7 x y 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 3 2 2 + 2 x y - 4 x y - 2 x y + 3 x y + 2 x y - 2 x y - x + x y + x / 19 15 19 14 19 13 18 14 - x y + x - 1) / (x y - 5 x y + 10 x y + x y / 19 12 18 13 19 11 18 12 19 10 18 11 - 10 x y - 5 x y + 5 x y + 10 x y - x y - 10 x y 18 10 16 12 15 13 18 9 16 11 15 12 + 5 x y - x y - x y - x y + 4 x y + 2 x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 - 6 x y + x y - x y + 4 x y - 4 x y + 2 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 - x y + x y + x y - x y + 2 x y - 3 x y + 2 x y 15 7 14 8 13 9 14 7 13 8 12 9 14 6 - x y - 2 x y - x y + 5 x y + 2 x y + 2 x y - 2 x y 13 7 12 8 13 6 12 7 11 8 13 5 11 7 - 5 x y - 6 x y + 4 x y + 5 x y + 2 x y - x y - 4 x y 10 8 12 5 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 3 x y - x y - 5 x y - x y + 3 x y + x y + 6 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 - x y + x y - 5 x y - x y - 4 x y + 2 x y + 3 x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 7 4 8 2 + 3 x y + 3 x y + x y - 5 x y - 3 x y - x y + x y + x y 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 5 2 4 3 + x y + 4 x y + x y - x y - 3 x y - 2 x y + x y + x y 4 2 3 2 3 2 2 - 2 x y + x y - x - x y + x + x y + x - 1) and in Maple notation (x^20*y^18-7*x^20*y^17+21*x^20*y^16+2*x^19*y^17-35*x^20*y^15-14*x^19*y^16+35*x^ 20*y^14+42*x^19*y^15+x^18*y^16-21*x^20*y^13-70*x^19*y^14-7*x^18*y^15-x^17*y^16+ 7*x^20*y^12+70*x^19*y^13+21*x^18*y^14+4*x^17*y^15-x^20*y^11-42*x^19*y^12-35*x^ 18*y^13-4*x^17*y^14-2*x^16*y^15+14*x^19*y^11+35*x^18*y^12-5*x^17*y^13+7*x^16*y^ 14-2*x^19*y^10-21*x^18*y^11+15*x^17*y^12-4*x^16*y^13+7*x^18*y^10-14*x^17*y^11-\ 16*x^16*y^12+2*x^15*y^13-x^14*y^14-x^18*y^9+6*x^17*y^10+34*x^16*y^11-6*x^15*y^ 12+5*x^14*y^13-x^17*y^9-29*x^16*y^10+x^15*y^11-8*x^14*y^12+12*x^16*y^9+16*x^15* y^10+4*x^14*y^11+2*x^13*y^12-2*x^16*y^8-24*x^15*y^9-3*x^14*y^10-11*x^13*y^11+4* x^12*y^12+14*x^15*y^8+14*x^14*y^9+22*x^13*y^10-6*x^12*y^11-3*x^15*y^7-21*x^14*y ^8-21*x^13*y^9-17*x^12*y^10+2*x^11*y^11+13*x^14*y^7+12*x^13*y^8+46*x^12*y^9-4*x ^11*y^10-3*x^14*y^6-7*x^13*y^7-34*x^12*y^8-7*x^11*y^9+5*x^10*y^10+4*x^13*y^6+2* x^12*y^7+24*x^11*y^8-20*x^10*y^9-x^13*y^5+7*x^12*y^6-17*x^11*y^7+23*x^10*y^8+6* x^9*y^9-2*x^12*y^5-3*x^11*y^6-x^10*y^7-19*x^9*y^8+6*x^11*y^5-10*x^10*y^6+18*x^9 *y^7-x^8*y^8-x^11*y^4+x^10*y^5+x^9*y^6-x^8*y^7+2*x^10*y^4-8*x^9*y^5+5*x^8*y^6-7 *x^7*y^7-2*x^8*y^5+5*x^7*y^6+2*x^9*y^3+10*x^7*y^5-4*x^6*y^6-2*x^8*y^3-10*x^7*y^ 4+x^6*y^5+x^8*y^2+3*x^7*y^3+11*x^6*y^4-5*x^5*y^5-x^7*y^2-8*x^6*y^3+6*x^5*y^4+2* x^5*y^3-8*x^4*y^4-3*x^5*y^2+7*x^4*y^3+2*x^4*y^2-4*x^3*y^3-2*x^4*y+3*x^3*y^2+2*x ^3*y-2*x^2*y^2-x^3+x^2*y+x^2-x*y+x-1)/(x^19*y^15-5*x^19*y^14+10*x^19*y^13+x^18* y^14-10*x^19*y^12-5*x^18*y^13+5*x^19*y^11+10*x^18*y^12-x^19*y^10-10*x^18*y^11+5 *x^18*y^10-x^16*y^12-x^15*y^13-x^18*y^9+4*x^16*y^11+2*x^15*y^12-6*x^16*y^10+x^ 15*y^11-x^14*y^12+4*x^16*y^9-4*x^15*y^10+2*x^14*y^11-x^16*y^8+x^15*y^9+x^14*y^ 10-x^13*y^11+2*x^15*y^8-3*x^14*y^9+2*x^13*y^10-x^15*y^7-2*x^14*y^8-x^13*y^9+5*x ^14*y^7+2*x^13*y^8+2*x^12*y^9-2*x^14*y^6-5*x^13*y^7-6*x^12*y^8+4*x^13*y^6+5*x^ 12*y^7+2*x^11*y^8-x^13*y^5-4*x^11*y^7+3*x^10*y^8-x^12*y^5-5*x^10*y^7-x^9*y^8+3* x^11*y^5+x^10*y^6+6*x^9*y^7-x^11*y^4+x^10*y^5-5*x^9*y^6-x^8*y^7-4*x^9*y^5+2*x^8 *y^6+3*x^9*y^4+3*x^8*y^5+3*x^7*y^6+x^9*y^3-5*x^8*y^4-3*x^7*y^5-x^6*y^6+x^7*y^4+ x^8*y^2+x^7*y^3+4*x^6*y^4+x^5*y^5-x^7*y^2-3*x^6*y^3-2*x^5*y^4+x^5*y^2+x^4*y^3-2 *x^4*y^2+x^3*y^2-x^3-x^2*y+x^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 13 9 8 7 6 4 2 (a + 2 a + a - 2 a - 9 a + 8 a - 1) - -------------------------------------------- 6 3 4 (7 a - 4 a + 2) (a + 1) 7 4 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6759996388 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6769992872 ------------------------------------------------ "Theorem Number 156" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 17 15 17 14 16 15 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 14 x y - 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 13 16 14 17 12 16 13 15 14 + 42 x y + 16 x y - 70 x y - 56 x y - 2 x y 17 11 16 12 15 13 14 14 17 10 + 70 x y + 112 x y + 16 x y - x y - 42 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 - 140 x y - 58 x y + 3 x y + 14 x y + 112 x y 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 15 10 + 122 x y + 8 x y - 2 x y - 2 x y - 56 x y - 160 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 - 62 x y + 6 x y + 16 x y + 132 x y + 152 x y 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 + 8 x y - 2 x y - 2 x y - 66 x y - 198 x y - 72 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 + 9 x y + 18 x y + 148 x y + 160 x y - 7 x y - 6 x y 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 - 2 x y - 62 x y - 180 x y - 35 x y + 28 x y + 13 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 13 6 + 110 x y + 99 x y - 46 x y - 11 x y - x y - 34 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 - 111 x y + 14 x y + 44 x y + 4 x y + 61 x y + 52 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 - 62 x y - 14 x y - 15 x y - 72 x y + 23 x y + 52 x y 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 + x y + 36 x y + 31 x y - 72 x y - 20 x y - 6 x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 - 38 x y + 40 x y + 68 x y + 14 x y + 2 x y - 85 x y 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 - 24 x y - x y - 12 x y + 44 x y + 70 x y + 4 x y - 4 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 8 2 6 4 - 70 x y - 22 x y - 4 x y + 26 x y + 56 x y + x y - 46 x y 5 5 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 - 18 x y - 2 x y + 12 x y + 42 x y - 30 x y - 15 x y + 6 x y 4 3 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 + 27 x y - 13 x y - 8 x y + x y + 12 x y - 4 x y - 4 x y 2 2 / 14 10 14 9 13 10 + 5 x y - x - 2 x y + 2 x - 1) / (x y - 5 x y - 2 x y / 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 + 10 x y + 10 x y + x y - 10 x y - 20 x y - 5 x y 14 6 13 7 12 8 14 5 13 6 12 7 + 5 x y + 20 x y + 10 x y - x y - 10 x y - 11 x y 13 5 12 6 11 7 12 5 11 6 10 7 12 4 + 2 x y + 8 x y + 2 x y - 4 x y - 8 x y - 3 x y + x y 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 + 10 x y + 10 x y + 4 x y - 4 x y - 13 x y - 8 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 - 2 x y + 7 x y + 6 x y + 3 x y - x y - 4 x y + 2 x y 9 3 8 4 7 5 7 4 8 2 7 2 5 4 + 2 x y - 3 x y - 2 x y + 4 x y + x y - 2 x y - 2 x y 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 4 3 2 3 - 4 x y + x y + 4 x y + 3 x y - 5 x y + x y + 2 x y - 2 x y 2 2 + x y - x + 2 x - 1) and in Maple notation (2*x^17*y^15-14*x^17*y^14-2*x^16*y^15+42*x^17*y^13+16*x^16*y^14-70*x^17*y^12-56 *x^16*y^13-2*x^15*y^14+70*x^17*y^11+112*x^16*y^12+16*x^15*y^13-x^14*y^14-42*x^ 17*y^10-140*x^16*y^11-58*x^15*y^12+3*x^14*y^13+14*x^17*y^9+112*x^16*y^10+122*x^ 15*y^11+8*x^14*y^12-2*x^13*y^13-2*x^17*y^8-56*x^16*y^9-160*x^15*y^10-62*x^14*y^ 11+6*x^13*y^12+16*x^16*y^8+132*x^15*y^9+152*x^14*y^10+8*x^13*y^11-2*x^12*y^12-2 *x^16*y^7-66*x^15*y^8-198*x^14*y^9-72*x^13*y^10+9*x^12*y^11+18*x^15*y^7+148*x^ 14*y^8+160*x^13*y^9-7*x^12*y^10-6*x^11*y^11-2*x^15*y^6-62*x^14*y^7-180*x^13*y^8 -35*x^12*y^9+28*x^11*y^10+13*x^14*y^6+110*x^13*y^7+99*x^12*y^8-46*x^11*y^9-11*x ^10*y^10-x^14*y^5-34*x^13*y^6-111*x^12*y^7+14*x^11*y^8+44*x^10*y^9+4*x^13*y^5+ 61*x^12*y^6+52*x^11*y^7-62*x^10*y^8-14*x^9*y^9-15*x^12*y^5-72*x^11*y^6+23*x^10* y^7+52*x^9*y^8+x^12*y^4+36*x^11*y^5+31*x^10*y^6-72*x^9*y^7-20*x^8*y^8-6*x^11*y^ 4-38*x^10*y^5+40*x^9*y^6+68*x^8*y^7+14*x^10*y^4+2*x^9*y^5-85*x^8*y^6-24*x^7*y^7 -x^10*y^3-12*x^9*y^4+44*x^8*y^5+70*x^7*y^6+4*x^9*y^3-4*x^8*y^4-70*x^7*y^5-22*x^ 6*y^6-4*x^8*y^3+26*x^7*y^4+56*x^6*y^5+x^8*y^2-46*x^6*y^4-18*x^5*y^5-2*x^7*y^2+ 12*x^6*y^3+42*x^5*y^4-30*x^5*y^3-15*x^4*y^4+6*x^5*y^2+27*x^4*y^3-13*x^4*y^2-8*x ^3*y^3+x^4*y+12*x^3*y^2-4*x^3*y-4*x^2*y^2+5*x^2*y-x^2-2*x*y+2*x-1)/(x^14*y^10-5 *x^14*y^9-2*x^13*y^10+10*x^14*y^8+10*x^13*y^9+x^12*y^10-10*x^14*y^7-20*x^13*y^8 -5*x^12*y^9+5*x^14*y^6+20*x^13*y^7+10*x^12*y^8-x^14*y^5-10*x^13*y^6-11*x^12*y^7 +2*x^13*y^5+8*x^12*y^6+2*x^11*y^7-4*x^12*y^5-8*x^11*y^6-3*x^10*y^7+x^12*y^4+10* x^11*y^5+10*x^10*y^6+4*x^9*y^7-4*x^11*y^4-13*x^10*y^5-8*x^9*y^6-2*x^8*y^7+7*x^ 10*y^4+6*x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^10*y^3-4*x^9*y^4+2*x^8*y^5+2*x^9*y^3-3*x^8*y^4-2*x ^7*y^5+4*x^7*y^4+x^8*y^2-2*x^7*y^2-2*x^5*y^4-4*x^5*y^3+x^4*y^4+4*x^5*y^2+3*x^4* y^3-5*x^4*y^2+x^4*y+2*x^3*y^2-2*x^3*y+x^2*y-x^2+2*x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6738402333 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 157" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 9 9 9 8 9 7 9 6 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 8 x y + 12 x y - 8 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 - 2 x y + 2 x y + 8 x y - 2 x y - 10 x y - 2 x y + 4 x y 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + 12 x y - 4 x y - 10 x y + 4 x y + 2 x y + 5 x y - 4 x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 - 6 x y + 7 x y + x y - x y - 8 x y - 2 x y + 9 x y - x y 3 3 4 3 2 2 2 2 / 6 4 - 4 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / (x y / 6 3 5 4 6 2 5 3 4 3 4 2 4 - 2 x y - x y + x y + x y + x y - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (2*x^9*y^9-8*x^9*y^8+12*x^9*y^7-8*x^9*y^6-2*x^8*y^7+2*x^9*y^5+8*x^8*y^6-2*x^7*y ^7-10*x^8*y^5-2*x^7*y^6+4*x^8*y^4+12*x^7*y^5-4*x^6*y^6-10*x^7*y^4+4*x^6*y^5+2*x ^7*y^3+5*x^6*y^4-4*x^5*y^5-6*x^6*y^3+7*x^5*y^4+x^6*y^2-x^5*y^3-8*x^4*y^4-2*x^5* y^2+9*x^4*y^3-x^4*y^2-4*x^3*y^3-x^4*y+4*x^3*y^2-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x^6 *y^4-2*x^6*y^3-x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3+x^4*y^3-x^4*y^2-x^4*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6737484393 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 158" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [2, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 9 9 9 8 9 7 9 6 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 8 x y + 12 x y - 8 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 - 2 x y + 2 x y + 8 x y - 2 x y - 10 x y - 2 x y + 4 x y 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + 12 x y - 4 x y - 10 x y + 4 x y + 2 x y + 5 x y - 4 x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 - 6 x y + 7 x y + x y - x y - 8 x y - 2 x y + 9 x y - x y 3 3 4 3 2 2 2 2 / - 4 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / ((x - 1) / 5 4 5 3 5 2 4 3 4 2 3 2 (x y - 2 x y + x y - x y + x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (2*x^9*y^9-8*x^9*y^8+12*x^9*y^7-8*x^9*y^6-2*x^8*y^7+2*x^9*y^5+8*x^8*y^6-2*x^7*y ^7-10*x^8*y^5-2*x^7*y^6+4*x^8*y^4+12*x^7*y^5-4*x^6*y^6-10*x^7*y^4+4*x^6*y^5+2*x ^7*y^3+5*x^6*y^4-4*x^5*y^5-6*x^6*y^3+7*x^5*y^4+x^6*y^2-x^5*y^3-8*x^4*y^4-2*x^5* y^2+9*x^4*y^3-x^4*y^2-4*x^3*y^3-x^4*y+4*x^3*y^2-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x-1 )/(x^5*y^4-2*x^5*y^3+x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y^2-x^3*y-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6737484393 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 159" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 2], [2, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 9 9 9 8 9 7 9 6 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 8 x y + 12 x y - 8 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 - 2 x y + 2 x y + 8 x y - 2 x y - 10 x y - 2 x y + 4 x y 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + 12 x y - 4 x y - 10 x y + 4 x y + 2 x y + 5 x y - 4 x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 - 6 x y + 7 x y + x y - x y - 8 x y - 2 x y + 9 x y - x y 3 3 4 3 2 2 2 2 / - 4 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / ((x - 1) / 5 4 5 3 5 2 4 3 4 2 3 2 (x y - 2 x y + x y - x y + x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (2*x^9*y^9-8*x^9*y^8+12*x^9*y^7-8*x^9*y^6-2*x^8*y^7+2*x^9*y^5+8*x^8*y^6-2*x^7*y ^7-10*x^8*y^5-2*x^7*y^6+4*x^8*y^4+12*x^7*y^5-4*x^6*y^6-10*x^7*y^4+4*x^6*y^5+2*x ^7*y^3+5*x^6*y^4-4*x^5*y^5-6*x^6*y^3+7*x^5*y^4+x^6*y^2-x^5*y^3-8*x^4*y^4-2*x^5* y^2+9*x^4*y^3-x^4*y^2-4*x^3*y^3-x^4*y+4*x^3*y^2-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x-1 )/(x^5*y^4-2*x^5*y^3+x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y^2-x^3*y-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6737484393 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 160" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 2, 2], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 9 9 9 8 9 7 9 6 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 8 x y + 12 x y - 8 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 8 7 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 - 2 x y + 2 x y + 8 x y - 2 x y - 10 x y - 2 x y + 4 x y 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + 12 x y - 4 x y - 10 x y + 4 x y + 2 x y + 5 x y - 4 x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 - 6 x y + 7 x y + x y - x y - 8 x y - 2 x y + 9 x y - x y 3 3 4 3 2 2 2 2 / - 4 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / ((x - 1) / 5 4 5 3 5 2 4 3 4 2 3 2 (x y - 2 x y + x y - x y + x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (2*x^9*y^9-8*x^9*y^8+12*x^9*y^7-8*x^9*y^6-2*x^8*y^7+2*x^9*y^5+8*x^8*y^6-2*x^7*y ^7-10*x^8*y^5-2*x^7*y^6+4*x^8*y^4+12*x^7*y^5-4*x^6*y^6-10*x^7*y^4+4*x^6*y^5+2*x ^7*y^3+5*x^6*y^4-4*x^5*y^5-6*x^6*y^3+7*x^5*y^4+x^6*y^2-x^5*y^3-8*x^4*y^4-2*x^5* y^2+9*x^4*y^3-x^4*y^2-4*x^3*y^3-x^4*y+4*x^3*y^2-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x-1 )/(x^5*y^4-2*x^5*y^3+x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y^2-x^3*y-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6737484393 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 161" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 16 18 13 16 15 18 12 ) | ) C(m, n) x y | = (-x y + x y + 5 x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 14 18 11 16 13 15 14 18 10 16 12 - 11 x y + 6 x y + 15 x y - x y - 4 x y - 14 x y 15 13 18 9 16 11 15 12 14 13 16 10 + 7 x y + x y + 4 x y - 20 x y + x y + 12 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 16 8 + 28 x y - 3 x y - 18 x y - 17 x y + x y + 10 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 - 2 x y + 3 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + 9 x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 + x y + 11 x y - 7 x y - 5 x y - 6 x y - 21 x y 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 + 10 x y - 2 x y + x y + 2 x y + 16 x y - 8 x y 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 + 10 x y + 2 x y - 2 x y + 7 x y - 18 x y - 3 x y 14 5 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 - x y - 3 x y - 7 x y + 12 x y + 5 x y + x y + 2 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 + 2 x y + 2 x y + 2 x y + 2 x y - 6 x y - 5 x y - 6 x y 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 - x y + 2 x y - 4 x y + 2 x y - x y + 7 x y + 5 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 + 3 x y - x y - x y - 4 x y - x y - 3 x y + 2 x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 8 2 + 3 x y + x y + x y - 3 x y + 4 x y - x y - 5 x y - x y 7 3 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 + x y + x y + 5 x y - 6 x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y + x y 5 4 2 3 3 3 / 17 12 17 11 17 10 + x y + x y - 2 x y + x y - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y / 16 11 17 9 16 10 14 12 17 8 16 9 - 2 x y - 4 x y + 8 x y + x y + x y - 12 x y 14 11 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 - 5 x y + 8 x y - 2 x y + 9 x y - x y - 2 x y 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 + 6 x y - 5 x y + 5 x y - 6 x y - 3 x y - 10 x y 12 10 15 6 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 - x y + 2 x y + 3 x y + 9 x y + 4 x y + x y - x y 12 8 11 9 14 5 13 6 12 7 11 8 10 9 - 3 x y + x y - x y - 4 x y - 4 x y - 5 x y + x y 13 5 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 + 2 x y + 5 x y + 10 x y - x y - 7 x y - x y - x y 12 4 11 5 10 6 8 8 11 4 10 5 9 6 - x y - x y - 4 x y + x y + 2 x y + 9 x y + 4 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 - 3 x y - 3 x y - 3 x y + 3 x y - x y - x y - 3 x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 7 4 - 2 x y + 4 x y + 3 x y + 2 x y - 6 x y - x y + 2 x y 8 2 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 - x y + x y + 6 x y + x y - 3 x y - 2 x y - 2 x y - 2 x y 4 4 5 2 4 3 5 4 2 3 3 3 + x y + 2 x y + x y + x y - x y - 2 x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (-x^16*y^16+x^18*y^13+5*x^16*y^15-4*x^18*y^12-11*x^16*y^14+6*x^18*y^11+15*x^16* y^13-x^15*y^14-4*x^18*y^10-14*x^16*y^12+7*x^15*y^13+x^18*y^9+4*x^16*y^11-20*x^ 15*y^12+x^14*y^13+12*x^16*y^10+28*x^15*y^11-3*x^14*y^12-18*x^16*y^9-17*x^15*y^ 10+x^14*y^11+10*x^16*y^8-2*x^15*y^9+3*x^14*y^10-2*x^13*y^11+2*x^12*y^12-2*x^16* y^7+9*x^15*y^8+x^14*y^9+11*x^13*y^10-7*x^12*y^11-5*x^15*y^7-6*x^14*y^8-21*x^13* y^9+10*x^12*y^10-2*x^11*y^11+x^15*y^6+2*x^14*y^7+16*x^13*y^8-8*x^12*y^9+10*x^11 *y^10+2*x^14*y^6-2*x^13*y^7+7*x^12*y^8-18*x^11*y^9-3*x^10*y^10-x^14*y^5-3*x^13* y^6-7*x^12*y^7+12*x^11*y^8+5*x^10*y^9+x^13*y^5+2*x^12*y^6+2*x^11*y^7+2*x^10*y^8 +2*x^9*y^9+2*x^12*y^5-6*x^11*y^6-5*x^10*y^7-6*x^9*y^8-x^12*y^4+2*x^11*y^5-4*x^ 10*y^6+2*x^9*y^7-x^8*y^8+7*x^10*y^5+5*x^9*y^6+3*x^8*y^7-x^10*y^4-x^9*y^5-4*x^8* y^6-x^10*y^3-3*x^9*y^4+2*x^8*y^5+3*x^7*y^6+x^9*y^3+x^8*y^4-3*x^7*y^5+4*x^6*y^6- x^7*y^4-5*x^6*y^5-x^8*y^2+x^7*y^3+x^6*y^4+5*x^5*y^5-6*x^5*y^4-2*x^5*y^3-3*x^4*y ^4+2*x^5*y^2+x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y-1)/(x^17*y^12-4*x^17*y^11+6* x^17*y^10-2*x^16*y^11-4*x^17*y^9+8*x^16*y^10+x^14*y^12+x^17*y^8-12*x^16*y^9-5*x ^14*y^11+8*x^16*y^8-2*x^15*y^9+9*x^14*y^10-x^13*y^11-2*x^16*y^7+6*x^15*y^8-5*x^ 14*y^9+5*x^13*y^10-6*x^15*y^7-3*x^14*y^8-10*x^13*y^9-x^12*y^10+2*x^15*y^6+3*x^ 14*y^7+9*x^13*y^8+4*x^12*y^9+x^14*y^6-x^13*y^7-3*x^12*y^8+x^11*y^9-x^14*y^5-4*x ^13*y^6-4*x^12*y^7-5*x^11*y^8+x^10*y^9+2*x^13*y^5+5*x^12*y^6+10*x^11*y^7-x^10*y ^8-7*x^11*y^6-x^10*y^7-x^9*y^8-x^12*y^4-x^11*y^5-4*x^10*y^6+x^8*y^8+2*x^11*y^4+ 9*x^10*y^5+4*x^9*y^6-3*x^8*y^7-3*x^10*y^4-3*x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^7*y^7-x^10*y^3-\ 3*x^9*y^4-2*x^8*y^5+4*x^7*y^6+3*x^9*y^3+2*x^8*y^4-6*x^7*y^5-x^6*y^6+2*x^7*y^4-x ^8*y^2+x^7*y^3+6*x^6*y^4+x^5*y^5-3*x^6*y^3-2*x^5*y^4-2*x^6*y^2-2*x^5*y^3+x^4*y^ 4+2*x^5*y^2+x^4*y^3+x^5*y-x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 12 9 8 7 6 5 4 3 2 (a - 2 a + a + a - 2 a - a + 8 a - 2 a - 1) - ------------------------------------------------------ 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6709293190 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6720643952 ------------------------------------------------ "Theorem Number 162" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [1, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 16 18 13 16 15 18 12 ) | ) C(m, n) x y | = (-x y + x y + 5 x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 14 18 11 16 13 15 14 18 10 16 12 - 11 x y + 6 x y + 15 x y - x y - 4 x y - 14 x y 15 13 18 9 16 11 15 12 14 13 16 10 + 7 x y + x y + 4 x y - 20 x y + x y + 12 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 16 8 + 28 x y - 3 x y - 18 x y - 17 x y + x y + 10 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 - 2 x y + 3 x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + 9 x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 + x y + 11 x y - 7 x y - 5 x y - 6 x y - 21 x y 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 + 10 x y - 2 x y + x y + 2 x y + 16 x y - 8 x y 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 + 10 x y + 2 x y - 2 x y + 7 x y - 18 x y - 3 x y 14 5 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 - x y - 3 x y - 7 x y + 12 x y + 5 x y + x y + 2 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 + 2 x y + 2 x y + 2 x y + 2 x y - 6 x y - 5 x y - 6 x y 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 - x y + 2 x y - 4 x y + 2 x y - x y + 7 x y + 5 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 + 3 x y - x y - x y - 4 x y - x y - 3 x y + 2 x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 8 2 + 3 x y + x y + x y - 3 x y + 4 x y - x y - 5 x y - x y 7 3 6 4 5 5 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 + x y + x y + 5 x y - 6 x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y + x y 5 4 2 3 3 3 / 17 12 17 11 17 10 + x y + x y - 2 x y + x y - 1) / (x y - 4 x y + 6 x y / 16 11 17 9 16 10 14 12 17 8 16 9 - 2 x y - 4 x y + 8 x y + x y + x y - 12 x y 14 11 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 - 5 x y + 8 x y - 2 x y + 9 x y - x y - 2 x y 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 + 6 x y - 5 x y + 5 x y - 6 x y - 3 x y - 10 x y 12 10 15 6 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 - x y + 2 x y + 3 x y + 9 x y + 4 x y + x y - x y 12 8 11 9 14 5 13 6 12 7 11 8 10 9 - 3 x y + x y - x y - 4 x y - 4 x y - 5 x y + x y 13 5 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 + 2 x y + 5 x y + 10 x y - x y - 7 x y - x y - x y 12 4 11 5 10 6 8 8 11 4 10 5 9 6 - x y - x y - 4 x y + x y + 2 x y + 9 x y + 4 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 - 3 x y - 3 x y - 3 x y + 3 x y - x y - x y - 3 x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 7 4 - 2 x y + 4 x y + 3 x y + 2 x y - 6 x y - x y + 2 x y 8 2 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 - x y + x y + 6 x y + x y - 3 x y - 2 x y - 2 x y - 2 x y 4 4 5 2 4 3 5 4 2 3 3 3 + x y + 2 x y + x y + x y - x y - 2 x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (-x^16*y^16+x^18*y^13+5*x^16*y^15-4*x^18*y^12-11*x^16*y^14+6*x^18*y^11+15*x^16* y^13-x^15*y^14-4*x^18*y^10-14*x^16*y^12+7*x^15*y^13+x^18*y^9+4*x^16*y^11-20*x^ 15*y^12+x^14*y^13+12*x^16*y^10+28*x^15*y^11-3*x^14*y^12-18*x^16*y^9-17*x^15*y^ 10+x^14*y^11+10*x^16*y^8-2*x^15*y^9+3*x^14*y^10-2*x^13*y^11+2*x^12*y^12-2*x^16* y^7+9*x^15*y^8+x^14*y^9+11*x^13*y^10-7*x^12*y^11-5*x^15*y^7-6*x^14*y^8-21*x^13* y^9+10*x^12*y^10-2*x^11*y^11+x^15*y^6+2*x^14*y^7+16*x^13*y^8-8*x^12*y^9+10*x^11 *y^10+2*x^14*y^6-2*x^13*y^7+7*x^12*y^8-18*x^11*y^9-3*x^10*y^10-x^14*y^5-3*x^13* y^6-7*x^12*y^7+12*x^11*y^8+5*x^10*y^9+x^13*y^5+2*x^12*y^6+2*x^11*y^7+2*x^10*y^8 +2*x^9*y^9+2*x^12*y^5-6*x^11*y^6-5*x^10*y^7-6*x^9*y^8-x^12*y^4+2*x^11*y^5-4*x^ 10*y^6+2*x^9*y^7-x^8*y^8+7*x^10*y^5+5*x^9*y^6+3*x^8*y^7-x^10*y^4-x^9*y^5-4*x^8* y^6-x^10*y^3-3*x^9*y^4+2*x^8*y^5+3*x^7*y^6+x^9*y^3+x^8*y^4-3*x^7*y^5+4*x^6*y^6- x^7*y^4-5*x^6*y^5-x^8*y^2+x^7*y^3+x^6*y^4+5*x^5*y^5-6*x^5*y^4-2*x^5*y^3-3*x^4*y ^4+2*x^5*y^2+x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y-1)/(x^17*y^12-4*x^17*y^11+6* x^17*y^10-2*x^16*y^11-4*x^17*y^9+8*x^16*y^10+x^14*y^12+x^17*y^8-12*x^16*y^9-5*x ^14*y^11+8*x^16*y^8-2*x^15*y^9+9*x^14*y^10-x^13*y^11-2*x^16*y^7+6*x^15*y^8-5*x^ 14*y^9+5*x^13*y^10-6*x^15*y^7-3*x^14*y^8-10*x^13*y^9-x^12*y^10+2*x^15*y^6+3*x^ 14*y^7+9*x^13*y^8+4*x^12*y^9+x^14*y^6-x^13*y^7-3*x^12*y^8+x^11*y^9-x^14*y^5-4*x ^13*y^6-4*x^12*y^7-5*x^11*y^8+x^10*y^9+2*x^13*y^5+5*x^12*y^6+10*x^11*y^7-x^10*y ^8-7*x^11*y^6-x^10*y^7-x^9*y^8-x^12*y^4-x^11*y^5-4*x^10*y^6+x^8*y^8+2*x^11*y^4+ 9*x^10*y^5+4*x^9*y^6-3*x^8*y^7-3*x^10*y^4-3*x^9*y^5+3*x^8*y^6-x^7*y^7-x^10*y^3-\ 3*x^9*y^4-2*x^8*y^5+4*x^7*y^6+3*x^9*y^3+2*x^8*y^4-6*x^7*y^5-x^6*y^6+2*x^7*y^4-x ^8*y^2+x^7*y^3+6*x^6*y^4+x^5*y^5-3*x^6*y^3-2*x^5*y^4-2*x^6*y^2-2*x^5*y^3+x^4*y^ 4+2*x^5*y^2+x^4*y^3+x^5*y-x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 12 9 8 7 6 5 4 3 2 (a - 2 a + a + a - 2 a - a + 8 a - 2 a - 1) - ------------------------------------------------------ 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6709293190 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6720643952 ------------------------------------------------ "Theorem Number 163" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [1, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 21 23 20 23 19 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 9 x y + 36 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 18 23 17 23 16 21 18 23 15 - 84 x y + 126 x y - 126 x y - 2 x y + 84 x y 21 17 20 18 23 14 21 16 20 17 + 13 x y - 2 x y - 36 x y - 35 x y + 12 x y 23 13 21 15 20 16 19 17 23 12 21 14 + 9 x y + 49 x y - 30 x y - 2 x y - x y - 35 x y 20 15 19 16 21 13 20 14 19 15 + 40 x y + 11 x y + 7 x y - 30 x y - 21 x y 18 16 21 12 20 13 19 14 18 15 21 11 + 2 x y + 7 x y + 12 x y + 9 x y - 6 x y - 5 x y 20 12 19 13 18 14 17 15 21 10 19 12 - 2 x y + 25 x y + 4 x y - x y + x y - 43 x y 17 14 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 + 5 x y - x y + 29 x y + 12 x y - 8 x y + 9 x y 15 15 19 10 18 11 16 13 15 14 19 9 + x y - 9 x y - 30 x y - 25 x y - 7 x y + x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 + 28 x y + 16 x y + 23 x y + 22 x y + 3 x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 - 12 x y - 23 x y + 12 x y - 36 x y - 11 x y + 2 x y 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 + 16 x y - 36 x y + 29 x y + 17 x y - 6 x y + 19 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 - 5 x y - 15 x y - 5 x y + x y + 3 x y - 10 x y 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 + 8 x y + 21 x y - 2 x y - 5 x y + 8 x y + x y 13 10 12 11 16 6 15 7 14 8 13 9 - 39 x y - x y + x y - 2 x y - 7 x y + 43 x y 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 + 19 x y - 4 x y + 5 x y - 28 x y - 39 x y + 9 x y 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 - x y + 6 x y + 42 x y - 2 x y - 2 x y + 4 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 - 25 x y - 12 x y + 3 x y - 2 x y + 4 x y + 17 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 9 8 12 4 11 5 - 2 x y - 7 x y + 3 x y - 13 x y + 19 x y - x y + 5 x y 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 + 3 x y - 16 x y - 2 x y + x y - 3 x y + 5 x y + 12 x y 11 3 10 4 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 - x y + x y - 3 x y - 20 x y + 2 x y + 14 x y + 10 x y 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 - 6 x y - 15 x y + 3 x y + 2 x y + 7 x y - x y - 2 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 - 6 x y + 3 x y + x y + 4 x y - 3 x y - x y - x y + 8 x y 6 5 2 4 3 5 4 2 3 3 4 3 2 + x y + 2 x y - 7 x y - x y - x y + 4 x y + x y - 3 x y 2 2 2 / 22 18 22 17 22 16 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 7 x y + 21 x y / 22 15 21 16 22 14 21 15 20 16 22 13 - 35 x y + x y + 35 x y - 6 x y - x y - 21 x y 21 14 20 15 22 12 21 13 20 14 22 11 + 15 x y + 4 x y + 7 x y - 20 x y - 5 x y - x y 21 12 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 + 15 x y - x y + x y - 6 x y + 5 x y + 3 x y 18 14 21 10 20 11 19 12 18 13 20 10 - 6 x y + x y - 4 x y - 2 x y + 14 x y + x y 19 11 18 12 16 14 19 10 18 11 16 13 - 2 x y - 14 x y - x y + 3 x y + x y + 4 x y 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 - x y + 10 x y - x y - 7 x y + x y - 8 x y 17 10 16 11 15 12 18 8 17 9 16 10 + 4 x y + 7 x y - 4 x y + 2 x y - 6 x y - 4 x y 15 11 14 12 17 8 15 10 14 11 17 7 + 7 x y + x y + 4 x y - 6 x y - 3 x y - x y 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 + 3 x y - x y + 4 x y + x y - 3 x y + 6 x y - 4 x y 13 10 16 6 15 7 14 8 13 9 12 10 14 7 - x y + x y - 3 x y + 5 x y + x y - x y - 5 x y 13 8 14 6 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 - 5 x y + 2 x y + 5 x y + 4 x y + 4 x y - x y - 8 x y 13 5 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 - x y - 3 x y + 3 x y - 3 x y + 2 x y + 5 x y + x y 12 4 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 + x y - x y - 2 x y - 2 x y + x y - x y - x y - x y 11 3 10 4 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 7 5 - x y + x y + 3 x y - x y - x y + x y + 2 x y - x y 6 6 7 4 6 5 5 5 7 2 5 4 6 2 5 3 6 + x y + x y - 3 x y - x y - x y + x y + x y + x y + x y 4 3 5 4 2 4 3 2 - x y - x y - x y + x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^23*y^21-9*x^23*y^20+36*x^23*y^19-84*x^23*y^18+126*x^23*y^17-126*x^23*y^16-2* x^21*y^18+84*x^23*y^15+13*x^21*y^17-2*x^20*y^18-36*x^23*y^14-35*x^21*y^16+12*x^ 20*y^17+9*x^23*y^13+49*x^21*y^15-30*x^20*y^16-2*x^19*y^17-x^23*y^12-35*x^21*y^ 14+40*x^20*y^15+11*x^19*y^16+7*x^21*y^13-30*x^20*y^14-21*x^19*y^15+2*x^18*y^16+ 7*x^21*y^12+12*x^20*y^13+9*x^19*y^14-6*x^18*y^15-5*x^21*y^11-2*x^20*y^12+25*x^ 19*y^13+4*x^18*y^14-x^17*y^15+x^21*y^10-43*x^19*y^12+5*x^17*y^14-x^16*y^15+29*x ^19*y^11+12*x^18*y^12-8*x^17*y^13+9*x^16*y^14+x^15*y^15-9*x^19*y^10-30*x^18*y^ 11-25*x^16*y^13-7*x^15*y^14+x^19*y^9+28*x^18*y^10+16*x^17*y^11+23*x^16*y^12+22* x^15*y^13+3*x^14*y^14-12*x^18*y^9-23*x^17*y^10+12*x^16*y^11-36*x^15*y^12-11*x^ 14*y^13+2*x^18*y^8+16*x^17*y^9-36*x^16*y^10+29*x^15*y^11+17*x^14*y^12-6*x^17*y^ 8+19*x^16*y^9-5*x^15*y^10-15*x^14*y^11-5*x^13*y^12+x^17*y^7+3*x^16*y^8-10*x^15* y^9+8*x^14*y^10+21*x^13*y^11-2*x^12*y^12-5*x^16*y^7+8*x^15*y^8+x^14*y^9-39*x^13 *y^10-x^12*y^11+x^16*y^6-2*x^15*y^7-7*x^14*y^8+43*x^13*y^9+19*x^12*y^10-4*x^11* y^11+5*x^14*y^7-28*x^13*y^8-39*x^12*y^9+9*x^11*y^10-x^14*y^6+6*x^13*y^7+42*x^12 *y^8-2*x^11*y^9-2*x^10*y^10+4*x^13*y^6-25*x^12*y^7-12*x^11*y^8+3*x^10*y^9-2*x^ 13*y^5+4*x^12*y^6+17*x^11*y^7-2*x^10*y^8-7*x^9*y^9+3*x^12*y^5-13*x^11*y^6+19*x^ 9*y^8-x^12*y^4+5*x^11*y^5+3*x^10*y^6-16*x^9*y^7-2*x^8*y^8+x^11*y^4-3*x^10*y^5+5 *x^9*y^6+12*x^8*y^7-x^11*y^3+x^10*y^4-3*x^9*y^5-20*x^8*y^6+2*x^9*y^4+14*x^8*y^5 +10*x^7*y^6-6*x^8*y^4-15*x^7*y^5+3*x^6*y^6+2*x^8*y^3+7*x^7*y^4-x^6*y^5-2*x^7*y^ 3-6*x^6*y^4+3*x^5*y^5+x^7*y^2+4*x^6*y^3-3*x^5*y^4-x^6*y^2-x^5*y^3+8*x^4*y^4+x^6 *y+2*x^5*y^2-7*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-3*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2* y+x*y-x+1)/(x^22*y^18-7*x^22*y^17+21*x^22*y^16-35*x^22*y^15+x^21*y^16+35*x^22*y ^14-6*x^21*y^15-x^20*y^16-21*x^22*y^13+15*x^21*y^14+4*x^20*y^15+7*x^22*y^12-20* x^21*y^13-5*x^20*y^14-x^22*y^11+15*x^21*y^12-x^19*y^14+x^18*y^15-6*x^21*y^11+5* x^20*y^12+3*x^19*y^13-6*x^18*y^14+x^21*y^10-4*x^20*y^11-2*x^19*y^12+14*x^18*y^ 13+x^20*y^10-2*x^19*y^11-14*x^18*y^12-x^16*y^14+3*x^19*y^10+x^18*y^11+4*x^16*y^ 13-x^19*y^9+10*x^18*y^10-x^17*y^11-7*x^16*y^12+x^15*y^13-8*x^18*y^9+4*x^17*y^10 +7*x^16*y^11-4*x^15*y^12+2*x^18*y^8-6*x^17*y^9-4*x^16*y^10+7*x^15*y^11+x^14*y^ 12+4*x^17*y^8-6*x^15*y^10-3*x^14*y^11-x^17*y^7+3*x^16*y^8-x^15*y^9+4*x^14*y^10+ x^13*y^11-3*x^16*y^7+6*x^15*y^8-4*x^14*y^9-x^13*y^10+x^16*y^6-3*x^15*y^7+5*x^14 *y^8+x^13*y^9-x^12*y^10-5*x^14*y^7-5*x^13*y^8+2*x^14*y^6+5*x^13*y^7+4*x^12*y^8+ 4*x^11*y^9-x^12*y^7-8*x^11*y^8-x^13*y^5-3*x^12*y^6+3*x^11*y^7-3*x^10*y^8+2*x^11 *y^6+5*x^10*y^7+x^9*y^8+x^12*y^4-x^11*y^5-2*x^10*y^6-2*x^9*y^7+x^11*y^4-x^10*y^ 5-x^9*y^6-x^8*y^7-x^11*y^3+x^10*y^4+3*x^9*y^5-x^8*y^6-x^9*y^4+x^8*y^5+2*x^7*y^6 -x^7*y^5+x^6*y^6+x^7*y^4-3*x^6*y^5-x^5*y^5-x^7*y^2+x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3+x^6* y-x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+x^4*y+x^3*y^2-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 ( 14 13 12 11 9 8 7 6 5 4 3 a - a - 2 a - a - 4 a - 2 a + 6 a - 3 a - a + 8 a - 2 a - 1) / 7 6 3 2 7 4 3 / ((8 a - 7 a + 4 a - 3 a + 2) (a + a + a + 1)) / 8 7 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6696478816 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6707687046 ------------------------------------------------ "Theorem Number 164" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [2, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 21 23 20 23 19 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 9 x y + 36 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 18 23 17 23 16 21 18 23 15 - 84 x y + 126 x y - 126 x y - 2 x y + 84 x y 21 17 20 18 23 14 21 16 20 17 + 13 x y - 2 x y - 36 x y - 35 x y + 12 x y 23 13 21 15 20 16 19 17 23 12 21 14 + 9 x y + 49 x y - 30 x y - 2 x y - x y - 35 x y 20 15 19 16 21 13 20 14 19 15 + 40 x y + 11 x y + 7 x y - 30 x y - 21 x y 18 16 21 12 20 13 19 14 18 15 21 11 + 2 x y + 7 x y + 12 x y + 9 x y - 6 x y - 5 x y 20 12 19 13 18 14 17 15 21 10 19 12 - 2 x y + 25 x y + 4 x y - x y + x y - 43 x y 17 14 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 + 5 x y - x y + 29 x y + 12 x y - 8 x y + 9 x y 15 15 19 10 18 11 16 13 15 14 19 9 + x y - 9 x y - 30 x y - 25 x y - 7 x y + x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 + 28 x y + 16 x y + 23 x y + 22 x y + 3 x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 - 12 x y - 23 x y + 12 x y - 36 x y - 11 x y + 2 x y 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 + 16 x y - 36 x y + 29 x y + 17 x y - 6 x y + 19 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 - 5 x y - 15 x y - 5 x y + x y + 3 x y - 10 x y 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 + 8 x y + 21 x y - 2 x y - 5 x y + 8 x y + x y 13 10 12 11 16 6 15 7 14 8 13 9 - 39 x y - x y + x y - 2 x y - 7 x y + 43 x y 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 + 19 x y - 4 x y + 5 x y - 28 x y - 39 x y + 9 x y 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 - x y + 6 x y + 42 x y - 2 x y - 2 x y + 4 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 - 25 x y - 12 x y + 3 x y - 2 x y + 4 x y + 17 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 9 8 12 4 11 5 - 2 x y - 7 x y + 3 x y - 13 x y + 19 x y - x y + 5 x y 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 + 3 x y - 16 x y - 2 x y + x y - 3 x y + 5 x y + 12 x y 11 3 10 4 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 - x y + x y - 3 x y - 20 x y + 2 x y + 14 x y + 10 x y 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 - 6 x y - 15 x y + 3 x y + 2 x y + 7 x y - x y - 2 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 - 6 x y + 3 x y + x y + 4 x y - 3 x y - x y - x y + 8 x y 6 5 2 4 3 5 4 2 3 3 4 3 2 + x y + 2 x y - 7 x y - x y - x y + 4 x y + x y - 3 x y 2 2 2 / 22 18 22 17 22 16 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 7 x y + 21 x y / 22 15 21 16 22 14 21 15 20 16 22 13 - 35 x y + x y + 35 x y - 6 x y - x y - 21 x y 21 14 20 15 22 12 21 13 20 14 22 11 + 15 x y + 4 x y + 7 x y - 20 x y - 5 x y - x y 21 12 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 + 15 x y - x y + x y - 6 x y + 5 x y + 3 x y 18 14 21 10 20 11 19 12 18 13 20 10 - 6 x y + x y - 4 x y - 2 x y + 14 x y + x y 19 11 18 12 16 14 19 10 18 11 16 13 - 2 x y - 14 x y - x y + 3 x y + x y + 4 x y 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 - x y + 10 x y - x y - 7 x y + x y - 8 x y 17 10 16 11 15 12 18 8 17 9 16 10 + 4 x y + 7 x y - 4 x y + 2 x y - 6 x y - 4 x y 15 11 14 12 17 8 15 10 14 11 17 7 + 7 x y + x y + 4 x y - 6 x y - 3 x y - x y 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 + 3 x y - x y + 4 x y + x y - 3 x y + 6 x y - 4 x y 13 10 16 6 15 7 14 8 13 9 12 10 14 7 - x y + x y - 3 x y + 5 x y + x y - x y - 5 x y 13 8 14 6 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 - 5 x y + 2 x y + 5 x y + 4 x y + 4 x y - x y - 8 x y 13 5 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 - x y - 3 x y + 3 x y - 3 x y + 2 x y + 5 x y + x y 12 4 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 + x y - x y - 2 x y - 2 x y + x y - x y - x y - x y 11 3 10 4 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 7 5 - x y + x y + 3 x y - x y - x y + x y + 2 x y - x y 6 6 7 4 6 5 5 5 7 2 5 4 6 2 5 3 6 + x y + x y - 3 x y - x y - x y + x y + x y + x y + x y 4 3 5 4 2 4 3 2 - x y - x y - x y + x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^23*y^21-9*x^23*y^20+36*x^23*y^19-84*x^23*y^18+126*x^23*y^17-126*x^23*y^16-2* x^21*y^18+84*x^23*y^15+13*x^21*y^17-2*x^20*y^18-36*x^23*y^14-35*x^21*y^16+12*x^ 20*y^17+9*x^23*y^13+49*x^21*y^15-30*x^20*y^16-2*x^19*y^17-x^23*y^12-35*x^21*y^ 14+40*x^20*y^15+11*x^19*y^16+7*x^21*y^13-30*x^20*y^14-21*x^19*y^15+2*x^18*y^16+ 7*x^21*y^12+12*x^20*y^13+9*x^19*y^14-6*x^18*y^15-5*x^21*y^11-2*x^20*y^12+25*x^ 19*y^13+4*x^18*y^14-x^17*y^15+x^21*y^10-43*x^19*y^12+5*x^17*y^14-x^16*y^15+29*x ^19*y^11+12*x^18*y^12-8*x^17*y^13+9*x^16*y^14+x^15*y^15-9*x^19*y^10-30*x^18*y^ 11-25*x^16*y^13-7*x^15*y^14+x^19*y^9+28*x^18*y^10+16*x^17*y^11+23*x^16*y^12+22* x^15*y^13+3*x^14*y^14-12*x^18*y^9-23*x^17*y^10+12*x^16*y^11-36*x^15*y^12-11*x^ 14*y^13+2*x^18*y^8+16*x^17*y^9-36*x^16*y^10+29*x^15*y^11+17*x^14*y^12-6*x^17*y^ 8+19*x^16*y^9-5*x^15*y^10-15*x^14*y^11-5*x^13*y^12+x^17*y^7+3*x^16*y^8-10*x^15* y^9+8*x^14*y^10+21*x^13*y^11-2*x^12*y^12-5*x^16*y^7+8*x^15*y^8+x^14*y^9-39*x^13 *y^10-x^12*y^11+x^16*y^6-2*x^15*y^7-7*x^14*y^8+43*x^13*y^9+19*x^12*y^10-4*x^11* y^11+5*x^14*y^7-28*x^13*y^8-39*x^12*y^9+9*x^11*y^10-x^14*y^6+6*x^13*y^7+42*x^12 *y^8-2*x^11*y^9-2*x^10*y^10+4*x^13*y^6-25*x^12*y^7-12*x^11*y^8+3*x^10*y^9-2*x^ 13*y^5+4*x^12*y^6+17*x^11*y^7-2*x^10*y^8-7*x^9*y^9+3*x^12*y^5-13*x^11*y^6+19*x^ 9*y^8-x^12*y^4+5*x^11*y^5+3*x^10*y^6-16*x^9*y^7-2*x^8*y^8+x^11*y^4-3*x^10*y^5+5 *x^9*y^6+12*x^8*y^7-x^11*y^3+x^10*y^4-3*x^9*y^5-20*x^8*y^6+2*x^9*y^4+14*x^8*y^5 +10*x^7*y^6-6*x^8*y^4-15*x^7*y^5+3*x^6*y^6+2*x^8*y^3+7*x^7*y^4-x^6*y^5-2*x^7*y^ 3-6*x^6*y^4+3*x^5*y^5+x^7*y^2+4*x^6*y^3-3*x^5*y^4-x^6*y^2-x^5*y^3+8*x^4*y^4+x^6 *y+2*x^5*y^2-7*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-3*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2* y+x*y-x+1)/(x^22*y^18-7*x^22*y^17+21*x^22*y^16-35*x^22*y^15+x^21*y^16+35*x^22*y ^14-6*x^21*y^15-x^20*y^16-21*x^22*y^13+15*x^21*y^14+4*x^20*y^15+7*x^22*y^12-20* x^21*y^13-5*x^20*y^14-x^22*y^11+15*x^21*y^12-x^19*y^14+x^18*y^15-6*x^21*y^11+5* x^20*y^12+3*x^19*y^13-6*x^18*y^14+x^21*y^10-4*x^20*y^11-2*x^19*y^12+14*x^18*y^ 13+x^20*y^10-2*x^19*y^11-14*x^18*y^12-x^16*y^14+3*x^19*y^10+x^18*y^11+4*x^16*y^ 13-x^19*y^9+10*x^18*y^10-x^17*y^11-7*x^16*y^12+x^15*y^13-8*x^18*y^9+4*x^17*y^10 +7*x^16*y^11-4*x^15*y^12+2*x^18*y^8-6*x^17*y^9-4*x^16*y^10+7*x^15*y^11+x^14*y^ 12+4*x^17*y^8-6*x^15*y^10-3*x^14*y^11-x^17*y^7+3*x^16*y^8-x^15*y^9+4*x^14*y^10+ x^13*y^11-3*x^16*y^7+6*x^15*y^8-4*x^14*y^9-x^13*y^10+x^16*y^6-3*x^15*y^7+5*x^14 *y^8+x^13*y^9-x^12*y^10-5*x^14*y^7-5*x^13*y^8+2*x^14*y^6+5*x^13*y^7+4*x^12*y^8+ 4*x^11*y^9-x^12*y^7-8*x^11*y^8-x^13*y^5-3*x^12*y^6+3*x^11*y^7-3*x^10*y^8+2*x^11 *y^6+5*x^10*y^7+x^9*y^8+x^12*y^4-x^11*y^5-2*x^10*y^6-2*x^9*y^7+x^11*y^4-x^10*y^ 5-x^9*y^6-x^8*y^7-x^11*y^3+x^10*y^4+3*x^9*y^5-x^8*y^6-x^9*y^4+x^8*y^5+2*x^7*y^6 -x^7*y^5+x^6*y^6+x^7*y^4-3*x^6*y^5-x^5*y^5-x^7*y^2+x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3+x^6* y-x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+x^4*y+x^3*y^2-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 ( 14 13 12 11 9 8 7 6 5 4 3 a - a - 2 a - a - 4 a - 2 a + 6 a - 3 a - a + 8 a - 2 a - 1) / 7 6 3 2 7 4 3 / ((8 a - 7 a + 4 a - 3 a + 2) (a + a + a + 1)) / 8 7 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6696478816 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6707687046 ------------------------------------------------ "Theorem Number 165" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 17 21 16 21 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 7 x y + 20 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 16 21 14 21 13 20 14 19 15 18 16 + x y - 30 x y + 25 x y - 14 x y - 3 x y - x y 21 12 20 13 19 14 18 15 21 11 - 11 x y + 36 x y + 12 x y + 8 x y + 2 x y 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 - 39 x y - 16 x y - 25 x y - 2 x y + 20 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 + 4 x y + 41 x y + 6 x y + 2 x y - 4 x y + 9 x y 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 - 38 x y + x y - 5 x y - 8 x y + 19 x y - 25 x y 16 13 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 + 3 x y - 5 x y + 2 x y - 4 x y + 40 x y - 5 x y 15 13 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 + 11 x y - 28 x y + 18 x y - 2 x y + 3 x y + 9 x y 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 - 21 x y - 2 x y - 2 x y - x y + 9 x y - 19 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 - 13 x y + x y - x y + 29 x y + 16 x y + x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 - 14 x y + 8 x y - 18 x y - 9 x y + 2 x y - 22 x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 + 41 x y + 28 x y + x y + 12 x y - 40 x y - 25 x y 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 + 2 x y - 2 x y + 18 x y - 6 x y - 11 x y - 2 x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 - 3 x y + 19 x y + 13 x y - x y - 7 x y - 5 x y 10 8 9 9 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 7 x y + 2 x y - 6 x y - 6 x y - x y + x y + 5 x y 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 3 x y + x y + 2 x y + x y + 10 x y - x y - 3 x y 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 - 22 x y + x y + 11 x y - 2 x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 + x y - 2 x y + 3 x y + 2 x y - 4 x y - 2 x y + 8 x y 5 3 4 4 4 2 3 3 4 3 2 2 2 / - 4 x y + 4 x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + x y + 1) / ( / 19 14 19 13 19 12 18 13 19 11 18 12 x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y - 4 x y + 8 x y 19 10 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 + x y - 12 x y + 2 x y - x y + 8 x y - 7 x y 16 12 18 9 17 10 16 11 15 12 17 9 + 4 x y - 2 x y + 9 x y - 8 x y + x y - 5 x y 16 10 15 11 17 8 16 9 15 10 14 11 + 10 x y - 4 x y + x y - 7 x y + 8 x y - 2 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 2 x y - 10 x y + 6 x y + x y + 7 x y - 7 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 - 2 x y + 5 x y - 5 x y - 3 x y - 3 x y + 5 x y 12 9 14 6 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 + 5 x y + x y + 3 x y + 4 x y - x y - 7 x y - 8 x y 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 11 5 9 7 - x y - 2 x y + 2 x y + 8 x y + 4 x y - 2 x y - 3 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 9 4 - x y - 3 x y + 5 x y + x y + x y - 3 x y + 2 x y + x y 8 5 7 6 8 4 7 5 8 3 6 5 6 4 6 3 - 4 x y - x y + 2 x y + 2 x y - x y + x y - 4 x y + 2 x y 5 4 5 3 5 2 4 3 4 2 4 3 2 2 2 + 2 x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y + x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^21*y^17-7*x^21*y^16+20*x^21*y^15+x^20*y^16-30*x^21*y^14+25*x^21*y^13-14*x^ 20*y^14-3*x^19*y^15-x^18*y^16-11*x^21*y^12+36*x^20*y^13+12*x^19*y^14+8*x^18*y^ 15+2*x^21*y^11-39*x^20*y^12-16*x^19*y^13-25*x^18*y^14-2*x^17*y^15+20*x^20*y^11+ 4*x^19*y^12+41*x^18*y^13+6*x^17*y^14+2*x^16*y^15-4*x^20*y^10+9*x^19*y^11-38*x^ 18*y^12+x^17*y^13-5*x^16*y^14-8*x^19*y^10+19*x^18*y^11-25*x^17*y^12+3*x^16*y^13 -5*x^15*y^14+2*x^19*y^9-4*x^18*y^10+40*x^17*y^11-5*x^16*y^12+11*x^15*y^13-28*x^ 17*y^10+18*x^16*y^11-2*x^15*y^12+3*x^14*y^13+9*x^17*y^9-21*x^16*y^10-2*x^15*y^ 11-2*x^14*y^12-x^17*y^8+9*x^16*y^9-19*x^15*y^10-13*x^14*y^11+x^13*y^12-x^16*y^8 +29*x^15*y^9+16*x^14*y^10+x^13*y^11-14*x^15*y^8+8*x^14*y^9-18*x^13*y^10-9*x^12* y^11+2*x^15*y^7-22*x^14*y^8+41*x^13*y^9+28*x^12*y^10+x^11*y^11+12*x^14*y^7-40*x ^13*y^8-25*x^12*y^9+2*x^11*y^10-2*x^14*y^6+18*x^13*y^7-6*x^12*y^8-11*x^11*y^9-2 *x^10*y^10-3*x^13*y^6+19*x^12*y^7+13*x^11*y^8-x^10*y^9-7*x^12*y^6-5*x^11*y^7+7* x^10*y^8+2*x^9*y^9-6*x^10*y^7-6*x^9*y^8-x^11*y^5+x^10*y^6+5*x^9*y^7+3*x^8*y^8+x ^11*y^4+2*x^10*y^5+x^9*y^6+10*x^8*y^7-x^10*y^4-3*x^9*y^5-22*x^8*y^6+x^9*y^4+11* x^8*y^5-2*x^7*y^6-2*x^8*y^4+4*x^7*y^5-2*x^6*y^6+x^8*y^3-2*x^7*y^4+3*x^6*y^5+2*x ^6*y^4-4*x^5*y^5-2*x^6*y^3+8*x^5*y^4-4*x^5*y^3+4*x^4*y^4-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^4* y-2*x^3*y^2+x^2*y^2+1)/(x^19*y^14-4*x^19*y^13+6*x^19*y^12-2*x^18*y^13-4*x^19*y^ 11+8*x^18*y^12+x^19*y^10-12*x^18*y^11+2*x^17*y^12-x^16*y^13+8*x^18*y^10-7*x^17* y^11+4*x^16*y^12-2*x^18*y^9+9*x^17*y^10-8*x^16*y^11+x^15*y^12-5*x^17*y^9+10*x^ 16*y^10-4*x^15*y^11+x^17*y^8-7*x^16*y^9+8*x^15*y^10-2*x^14*y^11+2*x^16*y^8-10*x ^15*y^9+6*x^14*y^10+x^13*y^11+7*x^15*y^8-7*x^14*y^9-2*x^15*y^7+5*x^14*y^8-5*x^ 13*y^9-3*x^12*y^10-3*x^14*y^7+5*x^13*y^8+5*x^12*y^9+x^14*y^6+3*x^12*y^8+4*x^11* y^9-x^13*y^6-7*x^12*y^7-8*x^11*y^8-x^11*y^7-2*x^10*y^8+2*x^12*y^5+8*x^11*y^6+4* x^10*y^7-2*x^11*y^5-3*x^9*y^7-x^11*y^4-3*x^10*y^5+5*x^9*y^6+x^8*y^7+x^10*y^4-3* x^9*y^5+2*x^8*y^6+x^9*y^4-4*x^8*y^5-x^7*y^6+2*x^8*y^4+2*x^7*y^5-x^8*y^3+x^6*y^5 -4*x^6*y^4+2*x^6*y^3+2*x^5*y^4+2*x^5*y^3-2*x^5*y^2-4*x^4*y^3+x^4*y^2+x^4*y+2*x^ 3*y^2-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a - 2 a + 3 a 12 11 10 9 8 7 6 4 2 - 6 a + 10 a - 11 a + 7 a - 16 a + 10 a - 6 a - 5 a + 2 a + 1) / 6 5 4 3 2 / ((7 a - 6 a + 10 a - 8 a + 6 a - 2 a + 2) / 8 6 4 2 (a + a + 2 a + a + 1)) where a is the root of the polynomial, 7 6 5 4 3 2 x - x + 2 x - 2 x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6681397316 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6693308087 ------------------------------------------------ "Theorem Number 166" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 1], [2, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 17 21 16 21 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 7 x y + 20 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 16 21 14 21 13 20 14 19 15 18 16 + x y - 30 x y + 25 x y - 14 x y - 3 x y - x y 21 12 20 13 19 14 18 15 21 11 - 11 x y + 36 x y + 12 x y + 8 x y + 2 x y 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 - 39 x y - 16 x y - 25 x y - 2 x y + 20 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 + 4 x y + 41 x y + 6 x y + 2 x y - 4 x y + 9 x y 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 - 38 x y + x y - 5 x y - 8 x y + 19 x y - 25 x y 16 13 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 + 3 x y - 5 x y + 2 x y - 4 x y + 40 x y - 5 x y 15 13 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 + 11 x y - 28 x y + 18 x y - 2 x y + 3 x y + 9 x y 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 - 21 x y - 2 x y - 2 x y - x y + 9 x y - 19 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 - 13 x y + x y - x y + 29 x y + 16 x y + x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 - 14 x y + 8 x y - 18 x y - 9 x y + 2 x y - 22 x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 + 41 x y + 28 x y + x y + 12 x y - 40 x y - 25 x y 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 + 2 x y - 2 x y + 18 x y - 6 x y - 11 x y - 2 x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 - 3 x y + 19 x y + 13 x y - x y - 7 x y - 5 x y 10 8 9 9 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 7 x y + 2 x y - 6 x y - 6 x y - x y + x y + 5 x y 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 3 x y + x y + 2 x y + x y + 10 x y - x y - 3 x y 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 - 22 x y + x y + 11 x y - 2 x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 + x y - 2 x y + 3 x y + 2 x y - 4 x y - 2 x y + 8 x y 5 3 4 4 4 2 3 3 4 3 2 2 2 / - 4 x y + 4 x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + x y + 1) / ( / 19 14 19 13 19 12 18 13 19 11 18 12 x y - 4 x y + 6 x y - 2 x y - 4 x y + 8 x y 19 10 18 11 17 12 16 13 18 10 17 11 + x y - 12 x y + 2 x y - x y + 8 x y - 7 x y 16 12 18 9 17 10 16 11 15 12 17 9 + 4 x y - 2 x y + 9 x y - 8 x y + x y - 5 x y 16 10 15 11 17 8 16 9 15 10 14 11 + 10 x y - 4 x y + x y - 7 x y + 8 x y - 2 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 2 x y - 10 x y + 6 x y + x y + 7 x y - 7 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 - 2 x y + 5 x y - 5 x y - 3 x y - 3 x y + 5 x y 12 9 14 6 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 + 5 x y + x y + 3 x y + 4 x y - x y - 7 x y - 8 x y 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 11 5 9 7 - x y - 2 x y + 2 x y + 8 x y + 4 x y - 2 x y - 3 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 9 4 - x y - 3 x y + 5 x y + x y + x y - 3 x y + 2 x y + x y 8 5 7 6 8 4 7 5 8 3 6 5 6 4 6 3 - 4 x y - x y + 2 x y + 2 x y - x y + x y - 4 x y + 2 x y 5 4 5 3 5 2 4 3 4 2 4 3 2 2 2 + 2 x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y + x y + x y + 2 x y - x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^21*y^17-7*x^21*y^16+20*x^21*y^15+x^20*y^16-30*x^21*y^14+25*x^21*y^13-14*x^ 20*y^14-3*x^19*y^15-x^18*y^16-11*x^21*y^12+36*x^20*y^13+12*x^19*y^14+8*x^18*y^ 15+2*x^21*y^11-39*x^20*y^12-16*x^19*y^13-25*x^18*y^14-2*x^17*y^15+20*x^20*y^11+ 4*x^19*y^12+41*x^18*y^13+6*x^17*y^14+2*x^16*y^15-4*x^20*y^10+9*x^19*y^11-38*x^ 18*y^12+x^17*y^13-5*x^16*y^14-8*x^19*y^10+19*x^18*y^11-25*x^17*y^12+3*x^16*y^13 -5*x^15*y^14+2*x^19*y^9-4*x^18*y^10+40*x^17*y^11-5*x^16*y^12+11*x^15*y^13-28*x^ 17*y^10+18*x^16*y^11-2*x^15*y^12+3*x^14*y^13+9*x^17*y^9-21*x^16*y^10-2*x^15*y^ 11-2*x^14*y^12-x^17*y^8+9*x^16*y^9-19*x^15*y^10-13*x^14*y^11+x^13*y^12-x^16*y^8 +29*x^15*y^9+16*x^14*y^10+x^13*y^11-14*x^15*y^8+8*x^14*y^9-18*x^13*y^10-9*x^12* y^11+2*x^15*y^7-22*x^14*y^8+41*x^13*y^9+28*x^12*y^10+x^11*y^11+12*x^14*y^7-40*x ^13*y^8-25*x^12*y^9+2*x^11*y^10-2*x^14*y^6+18*x^13*y^7-6*x^12*y^8-11*x^11*y^9-2 *x^10*y^10-3*x^13*y^6+19*x^12*y^7+13*x^11*y^8-x^10*y^9-7*x^12*y^6-5*x^11*y^7+7* x^10*y^8+2*x^9*y^9-6*x^10*y^7-6*x^9*y^8-x^11*y^5+x^10*y^6+5*x^9*y^7+3*x^8*y^8+x ^11*y^4+2*x^10*y^5+x^9*y^6+10*x^8*y^7-x^10*y^4-3*x^9*y^5-22*x^8*y^6+x^9*y^4+11* x^8*y^5-2*x^7*y^6-2*x^8*y^4+4*x^7*y^5-2*x^6*y^6+x^8*y^3-2*x^7*y^4+3*x^6*y^5+2*x ^6*y^4-4*x^5*y^5-2*x^6*y^3+8*x^5*y^4-4*x^5*y^3+4*x^4*y^4-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^4* y-2*x^3*y^2+x^2*y^2+1)/(x^19*y^14-4*x^19*y^13+6*x^19*y^12-2*x^18*y^13-4*x^19*y^ 11+8*x^18*y^12+x^19*y^10-12*x^18*y^11+2*x^17*y^12-x^16*y^13+8*x^18*y^10-7*x^17* y^11+4*x^16*y^12-2*x^18*y^9+9*x^17*y^10-8*x^16*y^11+x^15*y^12-5*x^17*y^9+10*x^ 16*y^10-4*x^15*y^11+x^17*y^8-7*x^16*y^9+8*x^15*y^10-2*x^14*y^11+2*x^16*y^8-10*x ^15*y^9+6*x^14*y^10+x^13*y^11+7*x^15*y^8-7*x^14*y^9-2*x^15*y^7+5*x^14*y^8-5*x^ 13*y^9-3*x^12*y^10-3*x^14*y^7+5*x^13*y^8+5*x^12*y^9+x^14*y^6+3*x^12*y^8+4*x^11* y^9-x^13*y^6-7*x^12*y^7-8*x^11*y^8-x^11*y^7-2*x^10*y^8+2*x^12*y^5+8*x^11*y^6+4* x^10*y^7-2*x^11*y^5-3*x^9*y^7-x^11*y^4-3*x^10*y^5+5*x^9*y^6+x^8*y^7+x^10*y^4-3* x^9*y^5+2*x^8*y^6+x^9*y^4-4*x^8*y^5-x^7*y^6+2*x^8*y^4+2*x^7*y^5-x^8*y^3+x^6*y^5 -4*x^6*y^4+2*x^6*y^3+2*x^5*y^4+2*x^5*y^3-2*x^5*y^2-4*x^4*y^3+x^4*y^2+x^4*y+2*x^ 3*y^2-x^2*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a - 2 a + 3 a 12 11 10 9 8 7 6 4 2 - 6 a + 10 a - 11 a + 7 a - 16 a + 10 a - 6 a - 5 a + 2 a + 1) / 6 5 4 3 2 / ((7 a - 6 a + 10 a - 8 a + 6 a - 2 a + 2) / 8 6 4 2 (a + a + 2 a + a + 1)) where a is the root of the polynomial, 7 6 5 4 3 2 x - x + 2 x - 2 x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6681397316 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6693308087 ------------------------------------------------ "Theorem Number 167" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [1, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 17 18 16 18 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 18 14 17 15 17 14 16 15 18 12 17 13 - 9 x y + x y - 5 x y - 2 x y + 9 x y + 9 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + 7 x y - 10 x y - 4 x y - 7 x y - x y + 5 x y 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 17 10 - 10 x y - 2 x y + 4 x y - x y - x y + 19 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 + 7 x y - 6 x y + 3 x y - 15 x y - x y + 6 x y 14 12 13 13 17 8 16 9 15 10 14 11 - x y - 2 x y + 6 x y - 5 x y - 9 x y - 3 x y 13 12 17 7 16 8 15 9 13 11 16 7 15 8 + 4 x y - x y + 4 x y + 12 x y + x y - x y - 8 x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 + 6 x y - 5 x y - x y + 2 x y - 8 x y - 3 x y 12 10 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 + 6 x y + 7 x y + 9 x y - 14 x y - 2 x y - 4 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 13 6 - 2 x y + 17 x y + 4 x y - 2 x y + x y - 4 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 - 11 x y + 2 x y + 7 x y + 2 x y + 3 x y - 9 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 8 x y + 2 x y + 5 x y + 4 x y - 5 x y + x y - 3 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 9 5 + 7 x y + 5 x y - x y + 3 x y - 10 x y - 7 x y + 7 x y 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 - x y - x y + x y + 3 x y + 5 x y - 2 x y + x y - 6 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 5 4 + x y - 2 x y + x y - x y + x y - 2 x y + 3 x y - 4 x y 6 2 5 3 4 4 5 2 5 4 2 3 3 4 + x y - 2 x y - 4 x y + 2 x y + x y + x y - 2 x y + x y 3 2 2 2 / 19 16 19 15 19 14 18 15 + 2 x y - x y - 1) / (x y - 4 x y + 5 x y - x y / 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 19 11 + 4 x y - x y - 5 x y - 4 x y + 4 x y + 4 x y 18 12 17 13 19 10 18 11 17 12 16 13 - 5 x y - 7 x y - x y + 15 x y + 6 x y + x y 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 17 10 - 14 x y + 2 x y - 3 x y - x y + 6 x y - 12 x y 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 16 10 + 3 x y + 3 x y - x y - x y + 13 x y - 2 x y 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 14 11 - 2 x y + 3 x y - 6 x y + 3 x y + 2 x y - 3 x y 13 12 17 7 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 + x y + x y - 3 x y - 9 x y - x y - x y + x y 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 + 12 x y + x y - 5 x y - 6 x y + 9 x y + 12 x y 12 10 15 6 14 7 13 8 12 9 14 6 - 3 x y + x y - 14 x y - 8 x y + 10 x y + 7 x y 13 7 12 8 11 9 14 5 13 6 12 7 11 8 - 3 x y - 12 x y + x y - x y + 6 x y + 5 x y - 3 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 - x y - 2 x y + x y + 4 x y + 6 x y - x y - 3 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 - 10 x y + 2 x y + 2 x y + 4 x y - 5 x y - x y + 3 x y 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 10 3 9 4 + 8 x y - x y - 3 x y - 3 x y + 2 x y + x y - 4 x y 8 5 9 3 6 6 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 - 3 x y + 2 x y + x y + 2 x y - x y - x y - 2 x y - x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 3 5 4 2 4 + 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y + 4 x y - x y - x y - x y 3 2 2 2 - 2 x y + x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^18*y^17-5*x^18*y^16+10*x^18*y^15-9*x^18*y^14+x^17*y^15-5*x^17*y^14-2*x^16*y ^15+9*x^18*y^12+9*x^17*y^13+7*x^16*y^14-10*x^18*y^11-4*x^17*y^12-7*x^16*y^13-x^ 15*y^14+5*x^18*y^10-10*x^17*y^11-2*x^16*y^12+4*x^15*y^13-x^14*y^14-x^18*y^9+19* x^17*y^10+7*x^16*y^11-6*x^15*y^12+3*x^14*y^13-15*x^17*y^9-x^16*y^10+6*x^15*y^11 -x^14*y^12-2*x^13*y^13+6*x^17*y^8-5*x^16*y^9-9*x^15*y^10-3*x^14*y^11+4*x^13*y^ 12-x^17*y^7+4*x^16*y^8+12*x^15*y^9+x^13*y^11-x^16*y^7-8*x^15*y^8+6*x^14*y^9-5*x ^13*y^10-x^12*y^11+2*x^15*y^7-8*x^14*y^8-3*x^13*y^9+6*x^12*y^10+7*x^14*y^7+9*x^ 13*y^8-14*x^12*y^9-2*x^11*y^10-4*x^14*y^6-2*x^13*y^7+17*x^12*y^8+4*x^11*y^9-2*x ^10*y^10+x^14*y^5-4*x^13*y^6-11*x^12*y^7+2*x^11*y^8+7*x^10*y^9+2*x^13*y^5+3*x^ 12*y^6-9*x^11*y^7-8*x^10*y^8+2*x^9*y^9+5*x^11*y^6+4*x^10*y^7-5*x^9*y^8+x^11*y^5 -3*x^10*y^6+7*x^9*y^7+5*x^8*y^8-x^11*y^4+3*x^10*y^5-10*x^9*y^6-7*x^8*y^7+7*x^9* y^5-x^7*y^7-x^10*y^3+x^9*y^4+3*x^8*y^5+5*x^7*y^6-2*x^9*y^3+x^8*y^4-6*x^7*y^5+x^ 6*y^6-2*x^8*y^3+x^7*y^4-x^6*y^5+x^7*y^3-2*x^6*y^4+3*x^5*y^5-4*x^5*y^4+x^6*y^2-2 *x^5*y^3-4*x^4*y^4+2*x^5*y^2+x^5*y+x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^4*y+2*x^3*y^2-x^2*y^2-1) /(x^19*y^16-4*x^19*y^15+5*x^19*y^14-x^18*y^15+4*x^18*y^14-x^17*y^15-5*x^19*y^12 -4*x^18*y^13+4*x^17*y^14+4*x^19*y^11-5*x^18*y^12-7*x^17*y^13-x^19*y^10+15*x^18* y^11+6*x^17*y^12+x^16*y^13-14*x^18*y^10+2*x^17*y^11-3*x^16*y^12-x^15*y^13+6*x^ 18*y^9-12*x^17*y^10+3*x^16*y^11+3*x^15*y^12-x^14*y^13-x^18*y^8+13*x^17*y^9-2*x^ 16*y^10-2*x^15*y^11+3*x^14*y^12-6*x^17*y^8+3*x^16*y^9+2*x^15*y^10-3*x^14*y^11+x ^13*y^12+x^17*y^7-3*x^16*y^8-9*x^15*y^9-x^14*y^10-x^13*y^11+x^16*y^7+12*x^15*y^ 8+x^14*y^9-5*x^13*y^10-6*x^15*y^7+9*x^14*y^8+12*x^13*y^9-3*x^12*y^10+x^15*y^6-\ 14*x^14*y^7-8*x^13*y^8+10*x^12*y^9+7*x^14*y^6-3*x^13*y^7-12*x^12*y^8+x^11*y^9-x ^14*y^5+6*x^13*y^6+5*x^12*y^7-3*x^11*y^8-x^10*y^9-2*x^13*y^5+x^12*y^6+4*x^11*y^ 7+6*x^10*y^8-x^12*y^5-3*x^11*y^6-10*x^10*y^7+2*x^9*y^8+2*x^11*y^5+4*x^10*y^6-5* x^9*y^7-x^11*y^4+3*x^10*y^5+8*x^9*y^6-x^8*y^7-3*x^10*y^4-3*x^9*y^5+2*x^8*y^6+x^ 10*y^3-4*x^9*y^4-3*x^8*y^5+2*x^9*y^3+x^6*y^6+2*x^8*y^3-x^7*y^4-x^6*y^5-2*x^6*y^ 4-x^5*y^5+2*x^6*y^3-2*x^5*y^4+x^6*y^2+2*x^5*y^3+4*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2-x^4*y-2 *x^3*y^2+x^2*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 11 9 8 7 6 4 2 2 (a + 3 a - 2 a + 2 a - 6 a - 5 a + 2 a + 1) ------------------------------------------------------------------ 6 5 4 3 2 6 4 2 (7 a - 6 a + 10 a - 8 a + 6 a - 2 a + 2) (a + 2 a + a + 1) where a is the root of the polynomial, 7 6 5 4 3 2 x - x + 2 x - 2 x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6670905848 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6682153198 ------------------------------------------------ "Theorem Number 168" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 1], [1, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 17 18 16 18 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 18 14 17 15 17 14 16 15 18 12 17 13 - 9 x y + x y - 5 x y - 2 x y + 9 x y + 9 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + 7 x y - 10 x y - 4 x y - 7 x y - x y + 5 x y 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 17 10 - 10 x y - 2 x y + 4 x y - x y - x y + 19 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 + 7 x y - 6 x y + 3 x y - 15 x y - x y + 6 x y 14 12 13 13 17 8 16 9 15 10 14 11 - x y - 2 x y + 6 x y - 5 x y - 9 x y - 3 x y 13 12 17 7 16 8 15 9 13 11 16 7 15 8 + 4 x y - x y + 4 x y + 12 x y + x y - x y - 8 x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 + 6 x y - 5 x y - x y + 2 x y - 8 x y - 3 x y 12 10 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 + 6 x y + 7 x y + 9 x y - 14 x y - 2 x y - 4 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 13 6 - 2 x y + 17 x y + 4 x y - 2 x y + x y - 4 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 - 11 x y + 2 x y + 7 x y + 2 x y + 3 x y - 9 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 8 x y + 2 x y + 5 x y + 4 x y - 5 x y + x y - 3 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 9 5 + 7 x y + 5 x y - x y + 3 x y - 10 x y - 7 x y + 7 x y 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 - x y - x y + x y + 3 x y + 5 x y - 2 x y + x y - 6 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 5 4 + x y - 2 x y + x y - x y + x y - 2 x y + 3 x y - 4 x y 6 2 5 3 4 4 5 2 5 4 2 3 3 4 + x y - 2 x y - 4 x y + 2 x y + x y + x y - 2 x y + x y 3 2 2 2 / 19 16 19 15 19 14 18 15 + 2 x y - x y - 1) / (x y - 4 x y + 5 x y - x y / 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 19 11 + 4 x y - x y - 5 x y - 4 x y + 4 x y + 4 x y 18 12 17 13 19 10 18 11 17 12 16 13 - 5 x y - 7 x y - x y + 15 x y + 6 x y + x y 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 17 10 - 14 x y + 2 x y - 3 x y - x y + 6 x y - 12 x y 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 16 10 + 3 x y + 3 x y - x y - x y + 13 x y - 2 x y 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 14 11 - 2 x y + 3 x y - 6 x y + 3 x y + 2 x y - 3 x y 13 12 17 7 16 8 15 9 14 10 13 11 16 7 + x y + x y - 3 x y - 9 x y - x y - x y + x y 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 + 12 x y + x y - 5 x y - 6 x y + 9 x y + 12 x y 12 10 15 6 14 7 13 8 12 9 14 6 - 3 x y + x y - 14 x y - 8 x y + 10 x y + 7 x y 13 7 12 8 11 9 14 5 13 6 12 7 11 8 - 3 x y - 12 x y + x y - x y + 6 x y + 5 x y - 3 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 - x y - 2 x y + x y + 4 x y + 6 x y - x y - 3 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 - 10 x y + 2 x y + 2 x y + 4 x y - 5 x y - x y + 3 x y 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 10 3 9 4 + 8 x y - x y - 3 x y - 3 x y + 2 x y + x y - 4 x y 8 5 9 3 6 6 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 - 3 x y + 2 x y + x y + 2 x y - x y - x y - 2 x y - x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 3 5 4 2 4 + 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y + 4 x y - x y - x y - x y 3 2 2 2 - 2 x y + x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^18*y^17-5*x^18*y^16+10*x^18*y^15-9*x^18*y^14+x^17*y^15-5*x^17*y^14-2*x^16*y ^15+9*x^18*y^12+9*x^17*y^13+7*x^16*y^14-10*x^18*y^11-4*x^17*y^12-7*x^16*y^13-x^ 15*y^14+5*x^18*y^10-10*x^17*y^11-2*x^16*y^12+4*x^15*y^13-x^14*y^14-x^18*y^9+19* x^17*y^10+7*x^16*y^11-6*x^15*y^12+3*x^14*y^13-15*x^17*y^9-x^16*y^10+6*x^15*y^11 -x^14*y^12-2*x^13*y^13+6*x^17*y^8-5*x^16*y^9-9*x^15*y^10-3*x^14*y^11+4*x^13*y^ 12-x^17*y^7+4*x^16*y^8+12*x^15*y^9+x^13*y^11-x^16*y^7-8*x^15*y^8+6*x^14*y^9-5*x ^13*y^10-x^12*y^11+2*x^15*y^7-8*x^14*y^8-3*x^13*y^9+6*x^12*y^10+7*x^14*y^7+9*x^ 13*y^8-14*x^12*y^9-2*x^11*y^10-4*x^14*y^6-2*x^13*y^7+17*x^12*y^8+4*x^11*y^9-2*x ^10*y^10+x^14*y^5-4*x^13*y^6-11*x^12*y^7+2*x^11*y^8+7*x^10*y^9+2*x^13*y^5+3*x^ 12*y^6-9*x^11*y^7-8*x^10*y^8+2*x^9*y^9+5*x^11*y^6+4*x^10*y^7-5*x^9*y^8+x^11*y^5 -3*x^10*y^6+7*x^9*y^7+5*x^8*y^8-x^11*y^4+3*x^10*y^5-10*x^9*y^6-7*x^8*y^7+7*x^9* y^5-x^7*y^7-x^10*y^3+x^9*y^4+3*x^8*y^5+5*x^7*y^6-2*x^9*y^3+x^8*y^4-6*x^7*y^5+x^ 6*y^6-2*x^8*y^3+x^7*y^4-x^6*y^5+x^7*y^3-2*x^6*y^4+3*x^5*y^5-4*x^5*y^4+x^6*y^2-2 *x^5*y^3-4*x^4*y^4+2*x^5*y^2+x^5*y+x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^4*y+2*x^3*y^2-x^2*y^2-1) /(x^19*y^16-4*x^19*y^15+5*x^19*y^14-x^18*y^15+4*x^18*y^14-x^17*y^15-5*x^19*y^12 -4*x^18*y^13+4*x^17*y^14+4*x^19*y^11-5*x^18*y^12-7*x^17*y^13-x^19*y^10+15*x^18* y^11+6*x^17*y^12+x^16*y^13-14*x^18*y^10+2*x^17*y^11-3*x^16*y^12-x^15*y^13+6*x^ 18*y^9-12*x^17*y^10+3*x^16*y^11+3*x^15*y^12-x^14*y^13-x^18*y^8+13*x^17*y^9-2*x^ 16*y^10-2*x^15*y^11+3*x^14*y^12-6*x^17*y^8+3*x^16*y^9+2*x^15*y^10-3*x^14*y^11+x ^13*y^12+x^17*y^7-3*x^16*y^8-9*x^15*y^9-x^14*y^10-x^13*y^11+x^16*y^7+12*x^15*y^ 8+x^14*y^9-5*x^13*y^10-6*x^15*y^7+9*x^14*y^8+12*x^13*y^9-3*x^12*y^10+x^15*y^6-\ 14*x^14*y^7-8*x^13*y^8+10*x^12*y^9+7*x^14*y^6-3*x^13*y^7-12*x^12*y^8+x^11*y^9-x ^14*y^5+6*x^13*y^6+5*x^12*y^7-3*x^11*y^8-x^10*y^9-2*x^13*y^5+x^12*y^6+4*x^11*y^ 7+6*x^10*y^8-x^12*y^5-3*x^11*y^6-10*x^10*y^7+2*x^9*y^8+2*x^11*y^5+4*x^10*y^6-5* x^9*y^7-x^11*y^4+3*x^10*y^5+8*x^9*y^6-x^8*y^7-3*x^10*y^4-3*x^9*y^5+2*x^8*y^6+x^ 10*y^3-4*x^9*y^4-3*x^8*y^5+2*x^9*y^3+x^6*y^6+2*x^8*y^3-x^7*y^4-x^6*y^5-2*x^6*y^ 4-x^5*y^5+2*x^6*y^3-2*x^5*y^4+x^6*y^2+2*x^5*y^3+4*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2-x^4*y-2 *x^3*y^2+x^2*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 11 9 8 7 6 4 2 2 (a + 3 a - 2 a + 2 a - 6 a - 5 a + 2 a + 1) ------------------------------------------------------------------ 6 5 4 3 2 6 4 2 (7 a - 6 a + 10 a - 8 a + 6 a - 2 a + 2) (a + 2 a + a + 1) where a is the root of the polynomial, 7 6 5 4 3 2 x - x + 2 x - 2 x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6670905848 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6682153198 ------------------------------------------------ "Theorem Number 169" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [1, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 20 22 19 22 18 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 8 x y + 28 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 19 22 17 21 18 20 19 22 16 21 17 - 2 x y - 56 x y + 16 x y + x y + 70 x y - 56 x y 20 18 22 15 21 16 20 17 19 18 - 10 x y - 56 x y + 112 x y + 39 x y - 2 x y 22 14 21 15 20 16 19 17 22 13 + 28 x y - 140 x y - 79 x y + 20 x y - 8 x y 21 14 20 15 19 16 22 12 21 13 + 112 x y + 89 x y - 76 x y + x y - 56 x y 20 14 19 15 18 16 17 17 21 12 20 13 - 51 x y + 148 x y - 2 x y + x y + 16 x y + 5 x y 19 14 18 15 17 16 21 11 20 12 - 159 x y + 10 x y - 5 x y - 2 x y + 11 x y 19 13 18 14 17 15 16 16 20 11 19 12 + 87 x y - 18 x y + 8 x y - x y - 6 x y - 10 x y 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 18 12 + 10 x y - 2 x y + 3 x y + x y - 14 x y + 10 x y 17 13 16 14 15 15 19 10 18 11 17 12 - 5 x y + x y - x y + 7 x y - 18 x y - 2 x y 16 13 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 - 18 x y + 4 x y - x y + 10 x y + 14 x y + 41 x y 14 14 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 + x y - 2 x y - 14 x y - 54 x y - 22 x y + 3 x y 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 + 6 x y + 47 x y + 43 x y - 24 x y - x y - 26 x y 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 - 37 x y + 48 x y - 2 x y + 8 x y + 18 x y - 44 x y 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 + x y - x y - x y - 8 x y + 17 x y + 9 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 - 2 x y + 4 x y + 2 x y - 11 x y + 16 x y - x y 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 - x y - 4 x y - x y - 24 x y + 8 x y + x y + 6 x y 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 + 11 x y - 20 x y + x y - 2 x y + 2 x y + 19 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 11 6 + 7 x y - 2 x y - 4 x y - 24 x y + 4 x y - 3 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 + 25 x y - 15 x y + x y - 11 x y + 18 x y - 3 x y 10 5 9 6 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 + 2 x y - 6 x y - 2 x y + 11 x y - 4 x y + x y - 9 x y 7 6 7 5 6 6 8 3 6 5 7 3 6 4 + 8 x y - 5 x y + 4 x y + x y - 3 x y + x y - 2 x y 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 4 3 4 2 + 6 x y + x y - 10 x y + 4 x y - 3 x y + 2 x y + x y 3 3 3 2 / 21 17 21 16 21 15 20 16 - 2 x y + x y - 1) / (x y - 6 x y + 15 x y - 2 x y / 21 14 20 15 21 13 20 14 19 15 21 12 - 20 x y + 11 x y + 15 x y - 25 x y + x y - 6 x y 20 13 19 14 21 11 20 12 19 13 17 15 + 30 x y - 6 x y + x y - 20 x y + 15 x y - x y 20 11 19 12 18 13 17 14 20 10 19 11 + 7 x y - 20 x y + x y + 5 x y - x y + 15 x y 18 12 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 - 4 x y - 9 x y + 2 x y - 6 x y + 6 x y + 7 x y 16 13 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 - 9 x y + x y - 4 x y - 3 x y + 13 x y - x y 18 9 17 10 16 11 15 12 17 9 16 10 + x y + 3 x y - 3 x y + 6 x y - 3 x y - 8 x y 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 14 11 16 8 - 12 x y - x y + x y + 5 x y + 8 x y - x y + x y 15 9 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 + 2 x y + 10 x y + 3 x y - x y - 3 x y - 13 x y 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 14 7 - 8 x y - x y + 4 x y + 5 x y - 3 x y + x y + 2 x y 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 + 3 x y + 13 x y + x y - x y - 4 x y - 16 x y 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 - 3 x y + x y + 5 x y - 2 x y - x y + x y + 6 x y 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 6 x y - x y - 8 x y - 2 x y - x y + 4 x y + 2 x y 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 - x y + x y + 4 x y - 2 x y - 8 x y + x y + 5 x y - 2 x y 8 4 7 5 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 + x y + 3 x y - x y - x y - 3 x y - x y + 4 x y - x y 5 4 5 3 4 4 4 2 3 3 3 2 + 4 x y - 2 x y - x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^22*y^20-8*x^22*y^19+28*x^22*y^18-2*x^21*y^19-56*x^22*y^17+16*x^21*y^18+x^20 *y^19+70*x^22*y^16-56*x^21*y^17-10*x^20*y^18-56*x^22*y^15+112*x^21*y^16+39*x^20 *y^17-2*x^19*y^18+28*x^22*y^14-140*x^21*y^15-79*x^20*y^16+20*x^19*y^17-8*x^22*y ^13+112*x^21*y^14+89*x^20*y^15-76*x^19*y^16+x^22*y^12-56*x^21*y^13-51*x^20*y^14 +148*x^19*y^15-2*x^18*y^16+x^17*y^17+16*x^21*y^12+5*x^20*y^13-159*x^19*y^14+10* x^18*y^15-5*x^17*y^16-2*x^21*y^11+11*x^20*y^12+87*x^19*y^13-18*x^18*y^14+8*x^17 *y^15-x^16*y^16-6*x^20*y^11-10*x^19*y^12+10*x^18*y^13-2*x^17*y^14+3*x^16*y^15+x ^20*y^10-14*x^19*y^11+10*x^18*y^12-5*x^17*y^13+x^16*y^14-x^15*y^15+7*x^19*y^10-\ 18*x^18*y^11-2*x^17*y^12-18*x^16*y^13+4*x^15*y^14-x^19*y^9+10*x^18*y^10+14*x^17 *y^11+41*x^16*y^12+x^14*y^14-2*x^18*y^9-14*x^17*y^10-54*x^16*y^11-22*x^15*y^12+ 3*x^14*y^13+6*x^17*y^9+47*x^16*y^10+43*x^15*y^11-24*x^14*y^12-x^17*y^8-26*x^16* y^9-37*x^15*y^10+48*x^14*y^11-2*x^13*y^12+8*x^16*y^8+18*x^15*y^9-44*x^14*y^10+x ^13*y^11-x^12*y^12-x^16*y^7-8*x^15*y^8+17*x^14*y^9+9*x^13*y^10-2*x^12*y^11+4*x^ 15*y^7+2*x^14*y^8-11*x^13*y^9+16*x^12*y^10-x^11*y^11-x^15*y^6-4*x^14*y^7-x^13*y ^8-24*x^12*y^9+8*x^11*y^10+x^14*y^6+6*x^13*y^7+11*x^12*y^8-20*x^11*y^9+x^10*y^ 10-2*x^13*y^6+2*x^12*y^7+19*x^11*y^8+7*x^10*y^9-2*x^12*y^6-4*x^11*y^7-24*x^10*y ^8+4*x^9*y^9-3*x^11*y^6+25*x^10*y^7-15*x^9*y^8+x^11*y^5-11*x^10*y^6+18*x^9*y^7-\ 3*x^8*y^8+2*x^10*y^5-6*x^9*y^6-2*x^9*y^5+11*x^8*y^6-4*x^7*y^7+x^9*y^4-9*x^8*y^5 +8*x^7*y^6-5*x^7*y^5+4*x^6*y^6+x^8*y^3-3*x^6*y^5+x^7*y^3-2*x^6*y^4+6*x^5*y^5+x^ 6*y^3-10*x^5*y^4+4*x^5*y^3-3*x^4*y^4+2*x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2-1)/(x^ 21*y^17-6*x^21*y^16+15*x^21*y^15-2*x^20*y^16-20*x^21*y^14+11*x^20*y^15+15*x^21* y^13-25*x^20*y^14+x^19*y^15-6*x^21*y^12+30*x^20*y^13-6*x^19*y^14+x^21*y^11-20*x ^20*y^12+15*x^19*y^13-x^17*y^15+7*x^20*y^11-20*x^19*y^12+x^18*y^13+5*x^17*y^14- x^20*y^10+15*x^19*y^11-4*x^18*y^12-9*x^17*y^13+2*x^16*y^14-6*x^19*y^10+6*x^18*y ^11+7*x^17*y^12-9*x^16*y^13+x^19*y^9-4*x^18*y^10-3*x^17*y^11+13*x^16*y^12-x^15* y^13+x^18*y^9+3*x^17*y^10-3*x^16*y^11+6*x^15*y^12-3*x^17*y^9-8*x^16*y^10-12*x^ 15*y^11-x^14*y^12+x^17*y^8+5*x^16*y^9+8*x^15*y^10-x^14*y^11+x^16*y^8+2*x^15*y^9 +10*x^14*y^10+3*x^13*y^11-x^16*y^7-3*x^15*y^8-13*x^14*y^9-8*x^13*y^10-x^15*y^7+ 4*x^14*y^8+5*x^13*y^9-3*x^12*y^10+x^15*y^6+2*x^14*y^7+3*x^13*y^8+13*x^12*y^9+x^ 11*y^10-x^14*y^6-4*x^13*y^7-16*x^12*y^8-3*x^11*y^9+x^13*y^6+5*x^12*y^7-2*x^11*y ^8-x^10*y^9+x^12*y^6+6*x^11*y^7+6*x^10*y^8-x^11*y^6-8*x^10*y^7-2*x^9*y^8-x^11*y ^5+4*x^10*y^6+2*x^9*y^7-x^10*y^5+x^9*y^6+4*x^8*y^7-2*x^9*y^5-8*x^8*y^6+x^9*y^4+ 5*x^8*y^5-2*x^7*y^6+x^8*y^4+3*x^7*y^5-x^8*y^3-x^7*y^4-3*x^6*y^5-x^7*y^3+4*x^6*y ^4-x^6*y^3+4*x^5*y^4-2*x^5*y^3-x^4*y^4-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6649906809 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 170" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [1, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 20 22 19 22 18 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 8 x y + 28 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 19 22 17 21 18 20 19 22 16 21 17 - 2 x y - 56 x y + 16 x y + x y + 70 x y - 56 x y 20 18 22 15 21 16 20 17 19 18 - 10 x y - 56 x y + 112 x y + 39 x y - 2 x y 22 14 21 15 20 16 19 17 22 13 + 28 x y - 140 x y - 79 x y + 20 x y - 8 x y 21 14 20 15 19 16 22 12 21 13 + 112 x y + 89 x y - 76 x y + x y - 56 x y 20 14 19 15 18 16 17 17 21 12 20 13 - 51 x y + 148 x y - 2 x y + x y + 16 x y + 5 x y 19 14 18 15 17 16 21 11 20 12 - 159 x y + 10 x y - 5 x y - 2 x y + 11 x y 19 13 18 14 17 15 16 16 20 11 19 12 + 87 x y - 18 x y + 8 x y - x y - 6 x y - 10 x y 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 18 12 + 10 x y - 2 x y + 3 x y + x y - 14 x y + 10 x y 17 13 16 14 15 15 19 10 18 11 17 12 - 5 x y + x y - x y + 7 x y - 18 x y - 2 x y 16 13 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 - 18 x y + 4 x y - x y + 10 x y + 14 x y + 41 x y 14 14 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 + x y - 2 x y - 14 x y - 54 x y - 22 x y + 3 x y 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 + 6 x y + 47 x y + 43 x y - 24 x y - x y - 26 x y 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 - 37 x y + 48 x y - 2 x y + 8 x y + 18 x y - 44 x y 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 + x y - x y - x y - 8 x y + 17 x y + 9 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 - 2 x y + 4 x y + 2 x y - 11 x y + 16 x y - x y 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 - x y - 4 x y - x y - 24 x y + 8 x y + x y + 6 x y 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 + 11 x y - 20 x y + x y - 2 x y + 2 x y + 19 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 11 6 + 7 x y - 2 x y - 4 x y - 24 x y + 4 x y - 3 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 + 25 x y - 15 x y + x y - 11 x y + 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- 13 x y 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 14 7 - 8 x y - x y + 4 x y + 5 x y - 3 x y + x y + 2 x y 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 + 3 x y + 13 x y + x y - x y - 4 x y - 16 x y 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 - 3 x y + x y + 5 x y - 2 x y - x y + x y + 6 x y 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 6 x y - x y - 8 x y - 2 x y - x y + 4 x y + 2 x y 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 - x y + x y + 4 x y - 2 x y - 8 x y + x y + 5 x y - 2 x y 8 4 7 5 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 + x y + 3 x y - x y - x y - 3 x y - x y + 4 x y - x y 5 4 5 3 4 4 4 2 3 3 3 2 + 4 x y - 2 x y - x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^22*y^20-8*x^22*y^19+28*x^22*y^18-2*x^21*y^19-56*x^22*y^17+16*x^21*y^18+x^20 *y^19+70*x^22*y^16-56*x^21*y^17-10*x^20*y^18-56*x^22*y^15+112*x^21*y^16+39*x^20 *y^17-2*x^19*y^18+28*x^22*y^14-140*x^21*y^15-79*x^20*y^16+20*x^19*y^17-8*x^22*y ^13+112*x^21*y^14+89*x^20*y^15-76*x^19*y^16+x^22*y^12-56*x^21*y^13-51*x^20*y^14 +148*x^19*y^15-2*x^18*y^16+x^17*y^17+16*x^21*y^12+5*x^20*y^13-159*x^19*y^14+10* x^18*y^15-5*x^17*y^16-2*x^21*y^11+11*x^20*y^12+87*x^19*y^13-18*x^18*y^14+8*x^17 *y^15-x^16*y^16-6*x^20*y^11-10*x^19*y^12+10*x^18*y^13-2*x^17*y^14+3*x^16*y^15+x ^20*y^10-14*x^19*y^11+10*x^18*y^12-5*x^17*y^13+x^16*y^14-x^15*y^15+7*x^19*y^10-\ 18*x^18*y^11-2*x^17*y^12-18*x^16*y^13+4*x^15*y^14-x^19*y^9+10*x^18*y^10+14*x^17 *y^11+41*x^16*y^12+x^14*y^14-2*x^18*y^9-14*x^17*y^10-54*x^16*y^11-22*x^15*y^12+ 3*x^14*y^13+6*x^17*y^9+47*x^16*y^10+43*x^15*y^11-24*x^14*y^12-x^17*y^8-26*x^16* y^9-37*x^15*y^10+48*x^14*y^11-2*x^13*y^12+8*x^16*y^8+18*x^15*y^9-44*x^14*y^10+x ^13*y^11-x^12*y^12-x^16*y^7-8*x^15*y^8+17*x^14*y^9+9*x^13*y^10-2*x^12*y^11+4*x^ 15*y^7+2*x^14*y^8-11*x^13*y^9+16*x^12*y^10-x^11*y^11-x^15*y^6-4*x^14*y^7-x^13*y ^8-24*x^12*y^9+8*x^11*y^10+x^14*y^6+6*x^13*y^7+11*x^12*y^8-20*x^11*y^9+x^10*y^ 10-2*x^13*y^6+2*x^12*y^7+19*x^11*y^8+7*x^10*y^9-2*x^12*y^6-4*x^11*y^7-24*x^10*y ^8+4*x^9*y^9-3*x^11*y^6+25*x^10*y^7-15*x^9*y^8+x^11*y^5-11*x^10*y^6+18*x^9*y^7-\ 3*x^8*y^8+2*x^10*y^5-6*x^9*y^6-2*x^9*y^5+11*x^8*y^6-4*x^7*y^7+x^9*y^4-9*x^8*y^5 +8*x^7*y^6-5*x^7*y^5+4*x^6*y^6+x^8*y^3-3*x^6*y^5+x^7*y^3-2*x^6*y^4+6*x^5*y^5+x^ 6*y^3-10*x^5*y^4+4*x^5*y^3-3*x^4*y^4+2*x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2-1)/(x^ 21*y^17-6*x^21*y^16+15*x^21*y^15-2*x^20*y^16-20*x^21*y^14+11*x^20*y^15+15*x^21* y^13-25*x^20*y^14+x^19*y^15-6*x^21*y^12+30*x^20*y^13-6*x^19*y^14+x^21*y^11-20*x ^20*y^12+15*x^19*y^13-x^17*y^15+7*x^20*y^11-20*x^19*y^12+x^18*y^13+5*x^17*y^14- x^20*y^10+15*x^19*y^11-4*x^18*y^12-9*x^17*y^13+2*x^16*y^14-6*x^19*y^10+6*x^18*y ^11+7*x^17*y^12-9*x^16*y^13+x^19*y^9-4*x^18*y^10-3*x^17*y^11+13*x^16*y^12-x^15* y^13+x^18*y^9+3*x^17*y^10-3*x^16*y^11+6*x^15*y^12-3*x^17*y^9-8*x^16*y^10-12*x^ 15*y^11-x^14*y^12+x^17*y^8+5*x^16*y^9+8*x^15*y^10-x^14*y^11+x^16*y^8+2*x^15*y^9 +10*x^14*y^10+3*x^13*y^11-x^16*y^7-3*x^15*y^8-13*x^14*y^9-8*x^13*y^10-x^15*y^7+ 4*x^14*y^8+5*x^13*y^9-3*x^12*y^10+x^15*y^6+2*x^14*y^7+3*x^13*y^8+13*x^12*y^9+x^ 11*y^10-x^14*y^6-4*x^13*y^7-16*x^12*y^8-3*x^11*y^9+x^13*y^6+5*x^12*y^7-2*x^11*y ^8-x^10*y^9+x^12*y^6+6*x^11*y^7+6*x^10*y^8-x^11*y^6-8*x^10*y^7-2*x^9*y^8-x^11*y ^5+4*x^10*y^6+2*x^9*y^7-x^10*y^5+x^9*y^6+4*x^8*y^7-2*x^9*y^5-8*x^8*y^6+x^9*y^4+ 5*x^8*y^5-2*x^7*y^6+x^8*y^4+3*x^7*y^5-x^8*y^3-x^7*y^4-3*x^6*y^5-x^7*y^3+4*x^6*y ^4-x^6*y^3+4*x^5*y^4-2*x^5*y^3-x^4*y^4-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6649906809 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 171" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [2, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 18 23 17 22 18 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 16 22 17 21 18 23 15 22 16 21 17 + 15 x y + 5 x y - x y - 20 x y - 11 x y + 4 x y 23 14 22 15 21 16 20 17 23 13 22 14 + 15 x y + 15 x y - 3 x y + 2 x y - 6 x y - 15 x y 21 15 20 16 19 17 23 12 22 13 21 14 - 10 x y - 9 x y + x y + x y + 11 x y + 26 x y 20 15 19 16 18 17 22 12 21 13 20 14 + 17 x y - 4 x y + x y - 5 x y - 28 x y - 18 x y 19 15 18 16 22 11 21 12 20 13 19 14 + x y - 4 x y + x y + 17 x y + 13 x y + 19 x y 18 15 17 16 21 11 20 12 19 13 18 14 + 5 x y + 2 x y - 6 x y - 9 x y - 40 x y - 3 x y 17 15 21 10 20 11 19 12 18 13 17 14 - 13 x y + x y + 7 x y + 33 x y + 9 x y + 36 x y 16 15 20 10 19 11 18 12 17 13 16 14 - x y - 4 x y - 8 x y - 23 x y - 56 x y + 6 x y 15 15 20 9 19 10 18 11 17 12 16 13 - x y + x y - 4 x y + 26 x y + 57 x y - 13 x y 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 + 7 x y + 2 x y - 14 x y - 43 x y + 10 x y - 22 x y 14 14 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 - x y + 3 x y + 24 x y + 9 x y + 29 x y + 2 x y 17 9 16 10 15 11 13 13 17 8 16 9 - 8 x y - 25 x y - 2 x y - 3 x y + x y + 18 x y 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 - 31 x y + 11 x y + 7 x y - 3 x y + 24 x y - 42 x y 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 + x y - 3 x y - x y - x y + 48 x y - 18 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 + 2 x y - 3 x y - 18 x y + 24 x y + 5 x y - 2 x y 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 12 8 - x y - 17 x y + 4 x y + x y + 9 x y - 15 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 + 12 x y - 2 x y - 4 x y + 6 x y - 7 x y + x y + x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 + 2 x y - 10 x y + 15 x y + x y - 2 x y + 4 x y 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 - 27 x y - 3 x y + x y + 4 x y + 13 x y - 9 x y + 7 x y 11 4 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 - x y + 17 x y - 14 x y + x y - 3 x y + 11 x y + 5 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 - x y - 3 x y - 2 x y - 2 x y + x y - x y + 2 x y - 2 x y 6 5 6 4 5 5 7 2 5 4 6 2 5 3 + 2 x y - 5 x y + 5 x y - x y - 6 x y + x y - 2 x y 4 4 5 2 4 3 5 4 2 3 3 3 2 2 2 - 3 x y + 2 x y + 2 x y + x y + x y - 2 x y + 2 x y - x y 2 / 20 15 20 14 20 13 19 14 19 13 + x y - 1) / (x y - 4 x y + 5 x y - 2 x y + 7 x y / 18 14 20 11 19 12 18 13 20 10 19 11 - x y - 5 x y - 8 x y + 5 x y + 4 x y + 2 x y 18 12 17 13 20 9 19 10 18 11 17 12 - 8 x y + x y - x y + 2 x y + 3 x y - 4 x y 19 9 18 10 17 11 18 9 17 10 16 11 18 8 - x y + 4 x y + 6 x y - 4 x y - 4 x y - x y + x y 17 9 16 10 15 11 16 9 15 10 16 8 + x y + 3 x y - 2 x y - 3 x y + 5 x y + x y 15 9 14 10 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 - 3 x y + 3 x y - x y - 7 x y - x y + x y + 5 x y 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 + x y - x y - x y + 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y 11 9 13 6 12 7 11 8 13 5 12 6 11 7 + 3 x y - x y - 5 x y - 4 x y + x y + 3 x y - 3 x y 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 10 6 - 2 x y + x y + 5 x y + 2 x y - 2 x y - x y + 3 x y 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 2 x y - x y - 3 x y + 2 x y + 2 x y - x y - x y 10 3 9 4 7 6 8 4 7 4 7 3 6 4 5 5 + x y - x y - x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y - 5 x y + x y 7 2 6 3 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 5 + x y + 4 x y + x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y 4 2 2 2 2 - x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^23*y^18-6*x^23*y^17-x^22*y^18+15*x^23*y^16+5*x^22*y^17-x^21*y^18-20*x^23*y^ 15-11*x^22*y^16+4*x^21*y^17+15*x^23*y^14+15*x^22*y^15-3*x^21*y^16+2*x^20*y^17-6 *x^23*y^13-15*x^22*y^14-10*x^21*y^15-9*x^20*y^16+x^19*y^17+x^23*y^12+11*x^22*y^ 13+26*x^21*y^14+17*x^20*y^15-4*x^19*y^16+x^18*y^17-5*x^22*y^12-28*x^21*y^13-18* x^20*y^14+x^19*y^15-4*x^18*y^16+x^22*y^11+17*x^21*y^12+13*x^20*y^13+19*x^19*y^ 14+5*x^18*y^15+2*x^17*y^16-6*x^21*y^11-9*x^20*y^12-40*x^19*y^13-3*x^18*y^14-13* x^17*y^15+x^21*y^10+7*x^20*y^11+33*x^19*y^12+9*x^18*y^13+36*x^17*y^14-x^16*y^15 -4*x^20*y^10-8*x^19*y^11-23*x^18*y^12-56*x^17*y^13+6*x^16*y^14-x^15*y^15+x^20*y ^9-4*x^19*y^10+26*x^18*y^11+57*x^17*y^12-13*x^16*y^13+7*x^15*y^14+2*x^19*y^9-14 *x^18*y^10-43*x^17*y^11+10*x^16*y^12-22*x^15*y^13-x^14*y^14+3*x^18*y^9+24*x^17* y^10+9*x^16*y^11+29*x^15*y^12+2*x^14*y^13-8*x^17*y^9-25*x^16*y^10-2*x^15*y^11-3 *x^13*y^13+x^17*y^8+18*x^16*y^9-31*x^15*y^10+11*x^14*y^11+7*x^13*y^12-3*x^16*y^ 8+24*x^15*y^9-42*x^14*y^10+x^13*y^11-3*x^12*y^12-x^16*y^7-x^15*y^8+48*x^14*y^9-\ 18*x^13*y^10+2*x^12*y^11-3*x^15*y^7-18*x^14*y^8+24*x^13*y^9+5*x^12*y^10-2*x^11* y^11-x^14*y^7-17*x^13*y^8+4*x^12*y^9+x^14*y^6+9*x^13*y^7-15*x^12*y^8+12*x^11*y^ 9-2*x^10*y^10-4*x^13*y^6+6*x^12*y^7-7*x^11*y^8+x^10*y^9+x^13*y^5+2*x^12*y^6-10* x^11*y^7+15*x^10*y^8+x^9*y^9-2*x^12*y^5+4*x^11*y^6-27*x^10*y^7-3*x^9*y^8+x^12*y ^4+4*x^11*y^5+13*x^10*y^6-9*x^9*y^7+7*x^8*y^8-x^11*y^4+17*x^9*y^6-14*x^8*y^7+x^ 10*y^4-3*x^9*y^5+11*x^8*y^6+5*x^7*y^7-x^10*y^3-3*x^9*y^4-2*x^8*y^5-2*x^7*y^6+x^ 8*y^4-x^7*y^5+2*x^6*y^6-2*x^8*y^3+2*x^6*y^5-5*x^6*y^4+5*x^5*y^5-x^7*y^2-6*x^5*y ^4+x^6*y^2-2*x^5*y^3-3*x^4*y^4+2*x^5*y^2+2*x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^ 3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^20*y^15-4*x^20*y^14+5*x^20*y^13-2*x^19*y^14+7*x^19*y^ 13-x^18*y^14-5*x^20*y^11-8*x^19*y^12+5*x^18*y^13+4*x^20*y^10+2*x^19*y^11-8*x^18 *y^12+x^17*y^13-x^20*y^9+2*x^19*y^10+3*x^18*y^11-4*x^17*y^12-x^19*y^9+4*x^18*y^ 10+6*x^17*y^11-4*x^18*y^9-4*x^17*y^10-x^16*y^11+x^18*y^8+x^17*y^9+3*x^16*y^10-2 *x^15*y^11-3*x^16*y^9+5*x^15*y^10+x^16*y^8-3*x^15*y^9+3*x^14*y^10-x^15*y^8-7*x^ 14*y^9-x^13*y^10+x^15*y^7+5*x^14*y^8+x^13*y^9-x^12*y^10-x^14*y^7+2*x^13*y^8+2*x ^12*y^9-2*x^13*y^7+x^12*y^8+3*x^11*y^9-x^13*y^6-5*x^12*y^7-4*x^11*y^8+x^13*y^5+ 3*x^12*y^6-3*x^11*y^7-2*x^10*y^8+x^12*y^5+5*x^11*y^6+2*x^10*y^7-2*x^9*y^8-x^12* y^4+3*x^10*y^6+2*x^9*y^7-x^11*y^4-3*x^10*y^5+2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^10*y^4-x^9*y ^5+x^10*y^3-x^9*y^4-x^7*y^6-2*x^8*y^4-3*x^7*y^4+2*x^7*y^3-5*x^6*y^4+x^5*y^5+x^7 *y^2+4*x^6*y^3+x^6*y^2+4*x^5*y^3-x^4*y^4-2*x^5*y^2+2*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+x^2* y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 15 14 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (2 a + 5 a 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 + 3 a - 7 a - 10 a - 7 a - 3 a + 16 a + 8 a + 2 a + a - 10 a / 6 4 8 7 + 1) / ((7 a - 10 a + 2) (a + a - 1)) / 7 5 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6629702704 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6642070885 ------------------------------------------------ "Theorem Number 172" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [2, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 18 23 17 22 18 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 6 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 16 22 17 21 18 23 15 22 16 21 17 + 15 x y + 5 x y - x y - 20 x y - 11 x y + 4 x y 23 14 22 15 21 16 20 17 23 13 22 14 + 15 x y + 15 x y - 3 x y + 2 x y - 6 x y - 15 x y 21 15 20 16 19 17 23 12 22 13 21 14 - 10 x y - 9 x y + x y + x y + 11 x y + 26 x y 20 15 19 16 18 17 22 12 21 13 20 14 + 17 x y - 4 x y + x y - 5 x y - 28 x y - 18 x y 19 15 18 16 22 11 21 12 20 13 19 14 + x y - 4 x y + x y + 17 x y + 13 x y + 19 x y 18 15 17 16 21 11 20 12 19 13 18 14 + 5 x y + 2 x y - 6 x y - 9 x y - 40 x y - 3 x y 17 15 21 10 20 11 19 12 18 13 17 14 - 13 x y + x y + 7 x y + 33 x y + 9 x y + 36 x y 16 15 20 10 19 11 18 12 17 13 16 14 - x y - 4 x y - 8 x y - 23 x y - 56 x y + 6 x y 15 15 20 9 19 10 18 11 17 12 16 13 - x y + x y - 4 x y + 26 x y + 57 x y - 13 x y 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 + 7 x y + 2 x y - 14 x y - 43 x y + 10 x y - 22 x y 14 14 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 - x y + 3 x y + 24 x y + 9 x y + 29 x y + 2 x y 17 9 16 10 15 11 13 13 17 8 16 9 - 8 x y - 25 x y - 2 x y - 3 x y + x y + 18 x y 15 10 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 - 31 x y + 11 x y + 7 x y - 3 x y + 24 x y - 42 x y 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 + x y - 3 x y - x y - x y + 48 x y - 18 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 + 2 x y - 3 x y - 18 x y + 24 x y + 5 x y - 2 x y 14 7 13 8 12 9 14 6 13 7 12 8 - x y - 17 x y + 4 x y + x y + 9 x y - 15 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 + 12 x y - 2 x y - 4 x y + 6 x y - 7 x y + x y + x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 + 2 x y - 10 x y + 15 x y + x y - 2 x y + 4 x y 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 - 27 x y - 3 x y + x y + 4 x y + 13 x y - 9 x y + 7 x y 11 4 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 - x y + 17 x y - 14 x y + x y - 3 x y + 11 x y + 5 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 - x y - 3 x y - 2 x y - 2 x y + x y - x y + 2 x y - 2 x y 6 5 6 4 5 5 7 2 5 4 6 2 5 3 + 2 x y - 5 x y + 5 x y - x y - 6 x y + x y - 2 x y 4 4 5 2 4 3 5 4 2 3 3 3 2 2 2 - 3 x y + 2 x y + 2 x y + x y + x y - 2 x y + 2 x y - x y 2 / 20 15 20 14 20 13 19 14 19 13 + x y - 1) / (x y - 4 x y + 5 x y - 2 x y + 7 x y / 18 14 20 11 19 12 18 13 20 10 19 11 - x y - 5 x y - 8 x y + 5 x y + 4 x y + 2 x y 18 12 17 13 20 9 19 10 18 11 17 12 - 8 x y + x y - x y + 2 x y + 3 x y - 4 x y 19 9 18 10 17 11 18 9 17 10 16 11 18 8 - x y + 4 x y + 6 x y - 4 x y - 4 x y - x y + x y 17 9 16 10 15 11 16 9 15 10 16 8 + x y + 3 x y - 2 x y - 3 x y + 5 x y + x y 15 9 14 10 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 - 3 x y + 3 x y - x y - 7 x y - x y + x y + 5 x y 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 + x y - x y - x y + 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y 11 9 13 6 12 7 11 8 13 5 12 6 11 7 + 3 x y - x y - 5 x y - 4 x y + x y + 3 x y - 3 x y 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 10 6 - 2 x y + x y + 5 x y + 2 x y - 2 x y - x y + 3 x y 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 2 x y - x y - 3 x y + 2 x y + 2 x y - x y - x y 10 3 9 4 7 6 8 4 7 4 7 3 6 4 5 5 + x y - x y - x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y - 5 x y + x y 7 2 6 3 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 5 + x y + 4 x y + x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y 4 2 2 2 2 - x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^23*y^18-6*x^23*y^17-x^22*y^18+15*x^23*y^16+5*x^22*y^17-x^21*y^18-20*x^23*y^ 15-11*x^22*y^16+4*x^21*y^17+15*x^23*y^14+15*x^22*y^15-3*x^21*y^16+2*x^20*y^17-6 *x^23*y^13-15*x^22*y^14-10*x^21*y^15-9*x^20*y^16+x^19*y^17+x^23*y^12+11*x^22*y^ 13+26*x^21*y^14+17*x^20*y^15-4*x^19*y^16+x^18*y^17-5*x^22*y^12-28*x^21*y^13-18* x^20*y^14+x^19*y^15-4*x^18*y^16+x^22*y^11+17*x^21*y^12+13*x^20*y^13+19*x^19*y^ 14+5*x^18*y^15+2*x^17*y^16-6*x^21*y^11-9*x^20*y^12-40*x^19*y^13-3*x^18*y^14-13* x^17*y^15+x^21*y^10+7*x^20*y^11+33*x^19*y^12+9*x^18*y^13+36*x^17*y^14-x^16*y^15 -4*x^20*y^10-8*x^19*y^11-23*x^18*y^12-56*x^17*y^13+6*x^16*y^14-x^15*y^15+x^20*y ^9-4*x^19*y^10+26*x^18*y^11+57*x^17*y^12-13*x^16*y^13+7*x^15*y^14+2*x^19*y^9-14 *x^18*y^10-43*x^17*y^11+10*x^16*y^12-22*x^15*y^13-x^14*y^14+3*x^18*y^9+24*x^17* y^10+9*x^16*y^11+29*x^15*y^12+2*x^14*y^13-8*x^17*y^9-25*x^16*y^10-2*x^15*y^11-3 *x^13*y^13+x^17*y^8+18*x^16*y^9-31*x^15*y^10+11*x^14*y^11+7*x^13*y^12-3*x^16*y^ 8+24*x^15*y^9-42*x^14*y^10+x^13*y^11-3*x^12*y^12-x^16*y^7-x^15*y^8+48*x^14*y^9-\ 18*x^13*y^10+2*x^12*y^11-3*x^15*y^7-18*x^14*y^8+24*x^13*y^9+5*x^12*y^10-2*x^11* y^11-x^14*y^7-17*x^13*y^8+4*x^12*y^9+x^14*y^6+9*x^13*y^7-15*x^12*y^8+12*x^11*y^ 9-2*x^10*y^10-4*x^13*y^6+6*x^12*y^7-7*x^11*y^8+x^10*y^9+x^13*y^5+2*x^12*y^6-10* x^11*y^7+15*x^10*y^8+x^9*y^9-2*x^12*y^5+4*x^11*y^6-27*x^10*y^7-3*x^9*y^8+x^12*y ^4+4*x^11*y^5+13*x^10*y^6-9*x^9*y^7+7*x^8*y^8-x^11*y^4+17*x^9*y^6-14*x^8*y^7+x^ 10*y^4-3*x^9*y^5+11*x^8*y^6+5*x^7*y^7-x^10*y^3-3*x^9*y^4-2*x^8*y^5-2*x^7*y^6+x^ 8*y^4-x^7*y^5+2*x^6*y^6-2*x^8*y^3+2*x^6*y^5-5*x^6*y^4+5*x^5*y^5-x^7*y^2-6*x^5*y ^4+x^6*y^2-2*x^5*y^3-3*x^4*y^4+2*x^5*y^2+2*x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^ 3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^20*y^15-4*x^20*y^14+5*x^20*y^13-2*x^19*y^14+7*x^19*y^ 13-x^18*y^14-5*x^20*y^11-8*x^19*y^12+5*x^18*y^13+4*x^20*y^10+2*x^19*y^11-8*x^18 *y^12+x^17*y^13-x^20*y^9+2*x^19*y^10+3*x^18*y^11-4*x^17*y^12-x^19*y^9+4*x^18*y^ 10+6*x^17*y^11-4*x^18*y^9-4*x^17*y^10-x^16*y^11+x^18*y^8+x^17*y^9+3*x^16*y^10-2 *x^15*y^11-3*x^16*y^9+5*x^15*y^10+x^16*y^8-3*x^15*y^9+3*x^14*y^10-x^15*y^8-7*x^ 14*y^9-x^13*y^10+x^15*y^7+5*x^14*y^8+x^13*y^9-x^12*y^10-x^14*y^7+2*x^13*y^8+2*x ^12*y^9-2*x^13*y^7+x^12*y^8+3*x^11*y^9-x^13*y^6-5*x^12*y^7-4*x^11*y^8+x^13*y^5+ 3*x^12*y^6-3*x^11*y^7-2*x^10*y^8+x^12*y^5+5*x^11*y^6+2*x^10*y^7-2*x^9*y^8-x^12* y^4+3*x^10*y^6+2*x^9*y^7-x^11*y^4-3*x^10*y^5+2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^10*y^4-x^9*y ^5+x^10*y^3-x^9*y^4-x^7*y^6-2*x^8*y^4-3*x^7*y^4+2*x^7*y^3-5*x^6*y^4+x^5*y^5+x^7 *y^2+4*x^6*y^3+x^6*y^2+4*x^5*y^3-x^4*y^4-2*x^5*y^2+2*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+x^2* y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 15 14 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (2 a + 5 a 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 + 3 a - 7 a - 10 a - 7 a - 3 a + 16 a + 8 a + 2 a + a - 10 a / 6 4 8 7 + 1) / ((7 a - 10 a + 2) (a + a - 1)) / 7 5 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6629702704 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6642070885 ------------------------------------------------ "Theorem Number 173" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [2, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 19 21 18 21 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 7 x y + 20 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 16 20 17 21 15 20 16 21 14 - 30 x y - 3 x y + 25 x y + 15 x y - 11 x y 20 15 19 16 21 13 20 14 19 15 18 16 - 30 x y - 2 x y + 2 x y + 30 x y + 9 x y + x y 20 13 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 - 15 x y - 16 x y - 10 x y + x y + 3 x y + 14 x y 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 16 15 + 33 x y - 4 x y - 6 x y - 51 x y + 4 x y + 5 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 18 11 17 12 + x y + 40 x y + 9 x y - 26 x y - 15 x y - 27 x y 16 13 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 + 51 x y - x y + 2 x y + 26 x y - 40 x y - 10 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 - 10 x y - 2 x y + 41 x y - 6 x y + x y + 20 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 - 48 x y + 14 x y - 8 x y + 10 x y + 3 x y + 2 x y 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 + 16 x y - 31 x y - 4 x y - 8 x y + 23 x y + 6 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 - 3 x y + x y - 13 x y + 14 x y - 4 x y + 13 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 - 20 x y - 2 x y - 3 x y + 10 x y + 14 x y - x y 13 6 12 7 11 8 10 9 11 7 10 8 9 9 - x y - x y - 21 x y + 2 x y + 9 x y + x y - 5 x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 - x y - 3 x y + x y + x y - x y + 13 x y + x y 10 5 9 6 8 7 9 5 7 7 8 5 7 5 + 2 x y - 12 x y + 3 x y + 3 x y + 5 x y - 3 x y - 3 x y 6 6 7 4 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 + 4 x y - x y - 3 x y - 2 x y + 4 x y + x y - 6 x y 5 3 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 / + 2 x y - 4 x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y + x y - 1) / / 17 14 17 13 16 14 17 12 16 13 17 11 (x y - 5 x y + x y + 9 x y - 6 x y - 7 x y 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 15 11 + 11 x y - 2 x y + 2 x y - 7 x y + 6 x y - 5 x y 14 12 16 9 14 11 15 9 14 10 13 11 14 9 + x y + x y + x y + x y - 9 x y + 3 x y + 13 x y 13 10 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 - 14 x y - 8 x y + 23 x y - 4 x y + 2 x y - 15 x y 12 9 13 7 12 8 13 6 12 7 11 8 + 10 x y + 2 x y - 6 x y + x y - 2 x y + 3 x y 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 + 2 x y - 7 x y + x y + 5 x y - 4 x y - 2 x y - x y 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 + 5 x y + 4 x y - 2 x y + x y + 4 x y - 3 x y - 4 x y 7 6 7 5 7 4 6 5 6 4 6 3 5 4 - 2 x y - 2 x y + 3 x y - 3 x y + 4 x y - x y + 4 x y 5 3 2 2 2 - 2 x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^21*y^19-7*x^21*y^18+20*x^21*y^17-30*x^21*y^16-3*x^20*y^17+25*x^21*y^15+15*x ^20*y^16-11*x^21*y^14-30*x^20*y^15-2*x^19*y^16+2*x^21*y^13+30*x^20*y^14+9*x^19* y^15+x^18*y^16-15*x^20*y^13-16*x^19*y^14-10*x^18*y^15+x^17*y^16+3*x^20*y^12+14* x^19*y^13+33*x^18*y^14-4*x^17*y^15-6*x^19*y^12-51*x^18*y^13+4*x^17*y^14+5*x^16* y^15+x^19*y^11+40*x^18*y^12+9*x^17*y^13-26*x^16*y^14-15*x^18*y^11-27*x^17*y^12+ 51*x^16*y^13-x^15*y^14+2*x^18*y^10+26*x^17*y^11-40*x^16*y^12-10*x^15*y^13-10*x^ 17*y^10-2*x^16*y^11+41*x^15*y^12-6*x^14*y^13+x^17*y^9+20*x^16*y^10-48*x^15*y^11 +14*x^14*y^12-8*x^16*y^9+10*x^15*y^10+3*x^14*y^11+2*x^13*y^12+16*x^15*y^9-31*x^ 14*y^10-4*x^13*y^11-8*x^15*y^8+23*x^14*y^9+6*x^13*y^10-3*x^12*y^11+x^14*y^8-13* x^13*y^9+14*x^12*y^10-4*x^14*y^7+13*x^13*y^8-20*x^12*y^9-2*x^11*y^10-3*x^13*y^7 +10*x^12*y^8+14*x^11*y^9-x^10*y^10-x^13*y^6-x^12*y^7-21*x^11*y^8+2*x^10*y^9+9*x ^11*y^7+x^10*y^8-5*x^9*y^9-x^11*y^6-3*x^10*y^7+x^9*y^8+x^11*y^5-x^10*y^6+13*x^9 *y^7+x^8*y^8+2*x^10*y^5-12*x^9*y^6+3*x^8*y^7+3*x^9*y^5+5*x^7*y^7-3*x^8*y^5-3*x^ 7*y^5+4*x^6*y^6-x^7*y^4-3*x^6*y^5-2*x^6*y^4+4*x^5*y^5+x^6*y^3-6*x^5*y^4+2*x^5*y ^3-4*x^4*y^4+4*x^4*y^3-2*x^3*y^3+2*x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^17*y^14-5*x^17*y ^13+x^16*y^14+9*x^17*y^12-6*x^16*y^13-7*x^17*y^11+11*x^16*y^12-2*x^15*y^13+2*x^ 17*y^10-7*x^16*y^11+6*x^15*y^12-5*x^15*y^11+x^14*y^12+x^16*y^9+x^14*y^11+x^15*y ^9-9*x^14*y^10+3*x^13*y^11+13*x^14*y^9-14*x^13*y^10-8*x^14*y^8+23*x^13*y^9-4*x^ 12*y^10+2*x^14*y^7-15*x^13*y^8+10*x^12*y^9+2*x^13*y^7-6*x^12*y^8+x^13*y^6-2*x^ 12*y^7+3*x^11*y^8+2*x^12*y^6-7*x^11*y^7+x^10*y^8+5*x^11*y^6-4*x^10*y^7-2*x^9*y^ 8-x^11*y^5+5*x^10*y^6+4*x^9*y^7-2*x^10*y^5+x^9*y^6+4*x^8*y^7-3*x^9*y^5-4*x^8*y^ 6-2*x^7*y^6-2*x^7*y^5+3*x^7*y^4-3*x^6*y^5+4*x^6*y^4-x^6*y^3+4*x^5*y^4-2*x^5*y^3 +x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 15 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (a + 2 a 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 + 5 a + 5 a - 8 a - 10 a - 7 a - 5 a + 17 a + 8 a + 2 a + a 4 / 6 4 8 7 - 10 a + 1) / ((7 a - 10 a + 2) (a + a - 1)) / 7 5 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6622714086 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6635429409 ------------------------------------------------ "Theorem Number 174" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [2, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 21 19 21 18 21 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 7 x y + 20 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 16 20 17 21 15 20 16 21 14 - 30 x y - 3 x y + 25 x y + 15 x y - 11 x y 20 15 19 16 21 13 20 14 19 15 18 16 - 30 x y - 2 x y + 2 x y + 30 x y + 9 x y + x y 20 13 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 - 15 x y - 16 x y - 10 x y + x y + 3 x y + 14 x y 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 16 15 + 33 x y - 4 x y - 6 x y - 51 x y + 4 x y + 5 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 18 11 17 12 + x y + 40 x y + 9 x y - 26 x y - 15 x y - 27 x y 16 13 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 + 51 x y - x y + 2 x y + 26 x y - 40 x y - 10 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 - 10 x y - 2 x y + 41 x y - 6 x y + x y + 20 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 - 48 x y + 14 x y - 8 x y + 10 x y + 3 x y + 2 x y 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 + 16 x y - 31 x y - 4 x y - 8 x y + 23 x y + 6 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 - 3 x y + x y - 13 x y + 14 x y - 4 x y + 13 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 - 20 x y - 2 x y - 3 x y + 10 x y + 14 x y - x y 13 6 12 7 11 8 10 9 11 7 10 8 9 9 - x y - x y - 21 x y + 2 x y + 9 x y + x y - 5 x y 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 - x y - 3 x y + x y + x y - x y + 13 x y + x y 10 5 9 6 8 7 9 5 7 7 8 5 7 5 + 2 x y - 12 x y + 3 x y + 3 x y + 5 x y - 3 x y - 3 x y 6 6 7 4 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 + 4 x y - x y - 3 x y - 2 x y + 4 x y + x y - 6 x y 5 3 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 / + 2 x y - 4 x y + 4 x y - 2 x y + 2 x y - x y + x y - 1) / / 17 14 17 13 16 14 17 12 16 13 17 11 (x y - 5 x y + x y + 9 x y - 6 x y - 7 x y 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 15 11 + 11 x y - 2 x y + 2 x y - 7 x y + 6 x y - 5 x y 14 12 16 9 14 11 15 9 14 10 13 11 14 9 + x y + x y + x y + x y - 9 x y + 3 x y + 13 x y 13 10 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 - 14 x y - 8 x y + 23 x y - 4 x y + 2 x y - 15 x y 12 9 13 7 12 8 13 6 12 7 11 8 + 10 x y + 2 x y - 6 x y + x y - 2 x y + 3 x y 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 + 2 x y - 7 x y + x y + 5 x y - 4 x y - 2 x y - x y 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 + 5 x y + 4 x y - 2 x y + x y + 4 x y - 3 x y - 4 x y 7 6 7 5 7 4 6 5 6 4 6 3 5 4 - 2 x y - 2 x y + 3 x y - 3 x y + 4 x y - x y + 4 x y 5 3 2 2 2 - 2 x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^21*y^19-7*x^21*y^18+20*x^21*y^17-30*x^21*y^16-3*x^20*y^17+25*x^21*y^15+15*x ^20*y^16-11*x^21*y^14-30*x^20*y^15-2*x^19*y^16+2*x^21*y^13+30*x^20*y^14+9*x^19* y^15+x^18*y^16-15*x^20*y^13-16*x^19*y^14-10*x^18*y^15+x^17*y^16+3*x^20*y^12+14* x^19*y^13+33*x^18*y^14-4*x^17*y^15-6*x^19*y^12-51*x^18*y^13+4*x^17*y^14+5*x^16* y^15+x^19*y^11+40*x^18*y^12+9*x^17*y^13-26*x^16*y^14-15*x^18*y^11-27*x^17*y^12+ 51*x^16*y^13-x^15*y^14+2*x^18*y^10+26*x^17*y^11-40*x^16*y^12-10*x^15*y^13-10*x^ 17*y^10-2*x^16*y^11+41*x^15*y^12-6*x^14*y^13+x^17*y^9+20*x^16*y^10-48*x^15*y^11 +14*x^14*y^12-8*x^16*y^9+10*x^15*y^10+3*x^14*y^11+2*x^13*y^12+16*x^15*y^9-31*x^ 14*y^10-4*x^13*y^11-8*x^15*y^8+23*x^14*y^9+6*x^13*y^10-3*x^12*y^11+x^14*y^8-13* x^13*y^9+14*x^12*y^10-4*x^14*y^7+13*x^13*y^8-20*x^12*y^9-2*x^11*y^10-3*x^13*y^7 +10*x^12*y^8+14*x^11*y^9-x^10*y^10-x^13*y^6-x^12*y^7-21*x^11*y^8+2*x^10*y^9+9*x ^11*y^7+x^10*y^8-5*x^9*y^9-x^11*y^6-3*x^10*y^7+x^9*y^8+x^11*y^5-x^10*y^6+13*x^9 *y^7+x^8*y^8+2*x^10*y^5-12*x^9*y^6+3*x^8*y^7+3*x^9*y^5+5*x^7*y^7-3*x^8*y^5-3*x^ 7*y^5+4*x^6*y^6-x^7*y^4-3*x^6*y^5-2*x^6*y^4+4*x^5*y^5+x^6*y^3-6*x^5*y^4+2*x^5*y ^3-4*x^4*y^4+4*x^4*y^3-2*x^3*y^3+2*x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^17*y^14-5*x^17*y ^13+x^16*y^14+9*x^17*y^12-6*x^16*y^13-7*x^17*y^11+11*x^16*y^12-2*x^15*y^13+2*x^ 17*y^10-7*x^16*y^11+6*x^15*y^12-5*x^15*y^11+x^14*y^12+x^16*y^9+x^14*y^11+x^15*y ^9-9*x^14*y^10+3*x^13*y^11+13*x^14*y^9-14*x^13*y^10-8*x^14*y^8+23*x^13*y^9-4*x^ 12*y^10+2*x^14*y^7-15*x^13*y^8+10*x^12*y^9+2*x^13*y^7-6*x^12*y^8+x^13*y^6-2*x^ 12*y^7+3*x^11*y^8+2*x^12*y^6-7*x^11*y^7+x^10*y^8+5*x^11*y^6-4*x^10*y^7-2*x^9*y^ 8-x^11*y^5+5*x^10*y^6+4*x^9*y^7-2*x^10*y^5+x^9*y^6+4*x^8*y^7-3*x^9*y^5-4*x^8*y^ 6-2*x^7*y^6-2*x^7*y^5+3*x^7*y^4-3*x^6*y^5+4*x^6*y^4-x^6*y^3+4*x^5*y^4-2*x^5*y^3 +x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 15 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (a + 2 a 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 + 5 a + 5 a - 8 a - 10 a - 7 a - 5 a + 17 a + 8 a + 2 a + a 4 / 6 4 8 7 - 10 a + 1) / ((7 a - 10 a + 2) (a + a - 1)) / 7 5 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6622714086 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6635429409 ------------------------------------------------ "Theorem Number 175" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 16 16 15 16 14 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 13 16 12 15 13 14 14 16 11 15 12 + 4 x y - 10 x y - x y - x y + 4 x y + 4 x y 14 13 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 + 3 x y + 4 x y - 6 x y - 2 x y - 4 x y + 4 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 13 11 14 9 13 10 - x y - 2 x y + x y - x y + 7 x y + x y - 6 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 + x y + 2 x y - 4 x y - 3 x y - x y - 3 x y 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 + 6 x y + 3 x y + 2 x y + x y + 3 x y - x y + 4 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 + x y - 6 x y - x y - 13 x y - 5 x y + 2 x y + 3 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 + 10 x y + 13 x y + 5 x y - 3 x y - x y - 16 x y 9 8 12 4 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 - 11 x y + x y + 8 x y + 3 x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y 9 6 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 7 7 + 5 x y - 2 x y + x y + 2 x y + x y - 7 x y + 3 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 - x y - 4 x y + 9 x y - 6 x y + x y + x y + x y + 3 x y 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 - 3 x y + 3 x y - 5 x y + x y - x y - x y + 2 x y + 3 x y 5 3 4 4 6 4 3 5 4 2 3 3 4 - 3 x y - 6 x y - x y + 6 x y + x y + x y - 3 x y - x y 3 2 3 2 2 2 / 13 11 13 10 + x y + x y - x y + x y - x y + x - 1) / (x y - 2 x y / 12 11 13 9 12 10 13 8 12 9 11 10 13 7 - x y - x y + x y + 4 x y + 3 x y + x y - x y 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 - 4 x y - 3 x y - 2 x y - x y + x y + x y + x y 12 6 11 7 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 + 2 x y + 4 x y + x y - 2 x y - 5 x y - 2 x y - x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 11 3 - 2 x y + 4 x y + 4 x y + x y + x y + x y + x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 - 5 x y - 4 x y - x y - x y + x y + 4 x y + 2 x y + x y 8 4 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + x y - x y - 2 x y - 3 x y - x y + x y + 5 x y + x y 7 2 5 4 6 2 5 3 6 5 2 4 3 5 + x y - 3 x y - 2 x y - 3 x y - x y + 2 x y + 4 x y + x y 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 2 - x y - x y - x y - x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^16*y^16-4*x^16*y^15+4*x^16*y^14+4*x^16*y^13-10*x^16*y^12-x^15*y^13-x^14*y^14 +4*x^16*y^11+4*x^15*y^12+3*x^14*y^13+4*x^16*y^10-6*x^15*y^11-2*x^14*y^12-4*x^16 *y^9+4*x^15*y^10-x^14*y^11-2*x^13*y^12+x^16*y^8-x^15*y^9+7*x^13*y^11+x^14*y^9-6 *x^13*y^10+x^12*y^11+2*x^14*y^8-4*x^13*y^9-3*x^12*y^10-x^11*y^11-3*x^14*y^7+6*x ^13*y^8+3*x^12*y^9+2*x^11*y^10+x^14*y^6+3*x^13*y^7-x^12*y^8+4*x^11*y^9+x^10*y^ 10-6*x^13*y^6-x^12*y^7-13*x^11*y^8-5*x^10*y^9+2*x^13*y^5+3*x^12*y^6+10*x^11*y^7 +13*x^10*y^8+5*x^9*y^9-3*x^12*y^5-x^11*y^6-16*x^10*y^7-11*x^9*y^8+x^12*y^4+8*x^ 10*y^6+3*x^9*y^7+2*x^8*y^8-2*x^11*y^4-2*x^10*y^5+5*x^9*y^6-2*x^8*y^7+x^11*y^3+2 *x^10*y^4+x^9*y^5-7*x^8*y^6+3*x^7*y^7-x^10*y^3-4*x^9*y^4+9*x^8*y^5-6*x^7*y^6+x^ 9*y^3+x^8*y^4+x^7*y^5+3*x^6*y^6-3*x^8*y^3+3*x^7*y^4-5*x^6*y^5+x^6*y^4-x^5*y^5-x ^7*y^2+2*x^6*y^3+3*x^5*y^4-3*x^5*y^3-6*x^4*y^4-x^6*y+6*x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-3* x^3*y^3-x^4*y+x^3*y^2+x^3*y-x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x^13*y^11-2*x^13*y^10-x^12* y^11-x^13*y^9+x^12*y^10+4*x^13*y^8+3*x^12*y^9+x^11*y^10-x^13*y^7-4*x^12*y^8-3*x ^11*y^9-2*x^13*y^6-x^12*y^7+x^11*y^8+x^10*y^9+x^13*y^5+2*x^12*y^6+4*x^11*y^7+x^ 12*y^5-2*x^11*y^6-5*x^10*y^7-2*x^9*y^8-x^12*y^4-2*x^11*y^5+4*x^10*y^6+4*x^9*y^7 +x^8*y^8+x^10*y^5+x^9*y^6+x^11*y^3-5*x^9*y^5-4*x^8*y^6-x^7*y^7-x^10*y^3+x^9*y^4 +4*x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^9*y^3+x^8*y^4-x^6*y^6-2*x^8*y^3-3*x^7*y^4-x^6*y^5+x^7*y^ 3+5*x^6*y^4+x^5*y^5+x^7*y^2-3*x^5*y^4-2*x^6*y^2-3*x^5*y^3-x^6*y+2*x^5*y^2+4*x^4 *y^3+x^5*y-x^4*y^2-x^3*y^3-x^4*y-x^3*y^2+x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6633524780 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 176" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 16 16 15 16 14 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 13 16 12 15 13 14 14 16 11 15 12 + 4 x y - 10 x y - x y - x y + 4 x y + 4 x y 14 13 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 + 3 x y + 4 x y - 6 x y - 2 x y - 4 x y + 4 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 13 11 14 9 13 10 - x y - 2 x y + x y - x y + 7 x y + x y - 6 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 + x y + 2 x y - 4 x y - 3 x y - x y - 3 x y 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 + 6 x y + 3 x y + 2 x y + x y + 3 x y - x y + 4 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 + x y - 6 x y - x y - 13 x y - 5 x y + 2 x y + 3 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 + 10 x y + 13 x y + 5 x y - 3 x y - x y - 16 x y 9 8 12 4 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 - 11 x y + x y + 8 x y + 3 x y + 2 x y - 2 x y - 2 x y 9 6 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 7 7 + 5 x y - 2 x y + x y + 2 x y + x y - 7 x y + 3 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 - x y - 4 x y + 9 x y - 6 x y + x y + x y + x y + 3 x y 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 - 3 x y + 3 x y - 5 x y + x y - x y - x y + 2 x y + 3 x y 5 3 4 4 6 4 3 5 4 2 3 3 4 - 3 x y - 6 x y - x y + 6 x y + x y + x y - 3 x y - x y 3 2 3 2 2 2 / 12 11 + x y + x y - x y + x y - x y + x - 1) / ((x - 1) (x y / 12 10 12 9 11 10 12 8 11 9 12 7 10 9 - 2 x y - x y - x y + 4 x y + 2 x y - x y - x y 12 6 11 7 10 8 12 5 10 7 9 8 11 5 - 2 x y - 2 x y + x y + x y + 2 x y + x y + 2 x y 10 6 9 7 8 8 11 4 9 6 8 7 10 4 9 5 - 2 x y - 3 x y - x y - x y + 2 x y + x y - x y + x y 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 6 6 8 3 + 3 x y + x y + x y - x y - 4 x y - x y + x y + x y 7 4 7 3 6 4 5 5 5 4 6 2 5 2 4 3 + x y - x y - 2 x y - x y + 3 x y + x y - x y - 3 x y 5 4 2 3 3 3 2 2 - x y + x y + x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (x^16*y^16-4*x^16*y^15+4*x^16*y^14+4*x^16*y^13-10*x^16*y^12-x^15*y^13-x^14*y^14 +4*x^16*y^11+4*x^15*y^12+3*x^14*y^13+4*x^16*y^10-6*x^15*y^11-2*x^14*y^12-4*x^16 *y^9+4*x^15*y^10-x^14*y^11-2*x^13*y^12+x^16*y^8-x^15*y^9+7*x^13*y^11+x^14*y^9-6 *x^13*y^10+x^12*y^11+2*x^14*y^8-4*x^13*y^9-3*x^12*y^10-x^11*y^11-3*x^14*y^7+6*x ^13*y^8+3*x^12*y^9+2*x^11*y^10+x^14*y^6+3*x^13*y^7-x^12*y^8+4*x^11*y^9+x^10*y^ 10-6*x^13*y^6-x^12*y^7-13*x^11*y^8-5*x^10*y^9+2*x^13*y^5+3*x^12*y^6+10*x^11*y^7 +13*x^10*y^8+5*x^9*y^9-3*x^12*y^5-x^11*y^6-16*x^10*y^7-11*x^9*y^8+x^12*y^4+8*x^ 10*y^6+3*x^9*y^7+2*x^8*y^8-2*x^11*y^4-2*x^10*y^5+5*x^9*y^6-2*x^8*y^7+x^11*y^3+2 *x^10*y^4+x^9*y^5-7*x^8*y^6+3*x^7*y^7-x^10*y^3-4*x^9*y^4+9*x^8*y^5-6*x^7*y^6+x^ 9*y^3+x^8*y^4+x^7*y^5+3*x^6*y^6-3*x^8*y^3+3*x^7*y^4-5*x^6*y^5+x^6*y^4-x^5*y^5-x ^7*y^2+2*x^6*y^3+3*x^5*y^4-3*x^5*y^3-6*x^4*y^4-x^6*y+6*x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-3* x^3*y^3-x^4*y+x^3*y^2+x^3*y-x^2*y^2+x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^12*y^11-2*x^12*y^10 -x^12*y^9-x^11*y^10+4*x^12*y^8+2*x^11*y^9-x^12*y^7-x^10*y^9-2*x^12*y^6-2*x^11*y ^7+x^10*y^8+x^12*y^5+2*x^10*y^7+x^9*y^8+2*x^11*y^5-2*x^10*y^6-3*x^9*y^7-x^8*y^8 -x^11*y^4+2*x^9*y^6+x^8*y^7-x^10*y^4+x^9*y^5+3*x^8*y^6+x^7*y^7+x^10*y^3-x^9*y^4 -4*x^8*y^5-x^7*y^6+x^6*y^6+x^8*y^3+x^7*y^4-x^7*y^3-2*x^6*y^4-x^5*y^5+3*x^5*y^4+ x^6*y^2-x^5*y^2-3*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y-x^2*y^2-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6633524780 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 177" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 19 20 18 20 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 9 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 16 20 15 18 17 20 14 18 16 20 13 - 5 x y - 5 x y - x y + 9 x y + 4 x y - 5 x y 18 15 17 16 20 12 18 14 17 15 16 16 - 6 x y - x y + x y + 5 x y + 3 x y - x y 18 13 17 14 16 15 18 12 17 13 16 14 - 5 x y - 2 x y + 2 x y + 6 x y - x y + 7 x y 15 15 18 11 16 13 15 14 18 10 17 11 - x y - 4 x y - 28 x y - x y + x y + x y 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 + 34 x y + 15 x y + 2 x y - 10 x y - 28 x y 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 + 3 x y - 3 x y - 13 x y + 19 x y - 14 x y + x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 + x y + 12 x y - 5 x y + 21 x y + 8 x y - 3 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 + 5 x y - 7 x y - 32 x y + x y - 6 x y - 6 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 29 x y - x y + 2 x y - 3 x y + 6 x y - 3 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 + 6 x y + 10 x y - 13 x y + 3 x y - 12 x y - 4 x y 13 7 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 - 5 x y + 3 x y + 8 x y + 4 x y + 20 x y - 4 x y 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 - 2 x y - 7 x y - 18 x y - 2 x y - 5 x y + 4 x y 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 + 2 x y + 5 x y + 5 x y - x y + x y - 2 x y + 16 x y 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 - 6 x y + 2 x y + x y - 22 x y - 4 x y - x y - 2 x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 + x y + 20 x y - 4 x y + x y + 6 x y - 10 x y + 10 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 - x y - 5 x y - 7 x y - 5 x y + 4 x y + x y + 11 x y - x y 6 4 5 5 7 2 5 4 5 3 4 4 6 4 3 - 7 x y - x y + x y + x y + x y + 6 x y + x y - 6 x y 5 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 2 - x y - x y + 3 x y + x y - x y - x y + x y - x y + x y - x / 13 11 13 10 12 11 13 9 12 10 13 8 + 1) / (x y - 2 x y - x y - x y + x y + 4 x y / 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 + 3 x y + x y - x y - 4 x y - 3 x y - 2 x y - x y 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 12 5 11 6 + x y + x y + x y + 2 x y + 4 x y + x y - 2 x y 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 - 5 x y - 2 x y - x y - 2 x y + 4 x y + 4 x y + x y 10 5 9 6 11 3 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 + x y + x y + x y - 5 x y - 4 x y - x y - x y + x y 8 5 7 6 9 3 8 4 6 6 8 3 7 4 6 5 + 4 x y + 2 x y + x y + x y - x y - 2 x y - 3 x y - x y 7 3 6 4 5 5 7 2 5 4 6 2 5 3 6 + x y + 5 x y + x y + x y - 3 x y - 2 x y - 3 x y - x y 5 2 4 3 5 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 + 2 x y + 4 x y + x y - x y - x y - x y - x y + x y + x y 2 - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^20*y^19-5*x^20*y^18+9*x^20*y^17-5*x^20*y^16-5*x^20*y^15-x^18*y^17+9*x^20*y^ 14+4*x^18*y^16-5*x^20*y^13-6*x^18*y^15-x^17*y^16+x^20*y^12+5*x^18*y^14+3*x^17*y ^15-x^16*y^16-5*x^18*y^13-2*x^17*y^14+2*x^16*y^15+6*x^18*y^12-x^17*y^13+7*x^16* y^14-x^15*y^15-4*x^18*y^11-28*x^16*y^13-x^15*y^14+x^18*y^10+x^17*y^11+34*x^16*y ^12+15*x^15*y^13+2*x^17*y^10-10*x^16*y^11-28*x^15*y^12+3*x^14*y^13-3*x^17*y^9-\ 13*x^16*y^10+19*x^15*y^11-14*x^14*y^12+x^13*y^13+x^17*y^8+12*x^16*y^9-5*x^15*y^ 10+21*x^14*y^11+8*x^13*y^12-3*x^16*y^8+5*x^15*y^9-7*x^14*y^10-32*x^13*y^11+x^12 *y^12-6*x^15*y^8-6*x^14*y^9+29*x^13*y^10-x^12*y^11+2*x^15*y^7-3*x^14*y^8+6*x^13 *y^9-3*x^12*y^10+6*x^11*y^11+10*x^14*y^7-13*x^13*y^8+3*x^12*y^9-12*x^11*y^10-4* x^14*y^6-5*x^13*y^7+3*x^10*y^10+8*x^13*y^6+4*x^12*y^7+20*x^11*y^8-4*x^10*y^9-2* x^13*y^5-7*x^12*y^6-18*x^11*y^7-2*x^10*y^8-5*x^9*y^9+4*x^12*y^5+2*x^11*y^6+5*x^ 10*y^7+5*x^9*y^8-x^12*y^4+x^11*y^5-2*x^10*y^6+16*x^9*y^7-6*x^8*y^8+2*x^11*y^4+x ^10*y^5-22*x^9*y^6-4*x^8*y^7-x^11*y^3-2*x^10*y^4+x^9*y^5+20*x^8*y^6-4*x^7*y^7+x ^10*y^3+6*x^9*y^4-10*x^8*y^5+10*x^7*y^6-x^9*y^3-5*x^8*y^4-7*x^7*y^5-5*x^6*y^6+4 *x^8*y^3+x^7*y^4+11*x^6*y^5-x^7*y^3-7*x^6*y^4-x^5*y^5+x^7*y^2+x^5*y^4+x^5*y^3+6 *x^4*y^4+x^6*y-6*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+3*x^3*y^3+x^4*y-x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2-x^ 2*y+x*y-x+1)/(x^13*y^11-2*x^13*y^10-x^12*y^11-x^13*y^9+x^12*y^10+4*x^13*y^8+3*x ^12*y^9+x^11*y^10-x^13*y^7-4*x^12*y^8-3*x^11*y^9-2*x^13*y^6-x^12*y^7+x^11*y^8+x ^10*y^9+x^13*y^5+2*x^12*y^6+4*x^11*y^7+x^12*y^5-2*x^11*y^6-5*x^10*y^7-2*x^9*y^8 -x^12*y^4-2*x^11*y^5+4*x^10*y^6+4*x^9*y^7+x^8*y^8+x^10*y^5+x^9*y^6+x^11*y^3-5*x ^9*y^5-4*x^8*y^6-x^7*y^7-x^10*y^3+x^9*y^4+4*x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^9*y^3+x^8*y^4-x ^6*y^6-2*x^8*y^3-3*x^7*y^4-x^6*y^5+x^7*y^3+5*x^6*y^4+x^5*y^5+x^7*y^2-3*x^5*y^4-\ 2*x^6*y^2-3*x^5*y^3-x^6*y+2*x^5*y^2+4*x^4*y^3+x^5*y-x^4*y^2-x^3*y^3-x^4*y-x^3*y ^2+x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6632785509 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 178" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1, 2], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 19 20 18 20 17 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 9 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 20 16 20 15 18 17 20 14 18 16 20 13 - 5 x y - 5 x y - x y + 9 x y + 4 x y - 5 x y 18 15 17 16 20 12 18 14 17 15 16 16 - 6 x y - x y + x y + 5 x y + 3 x y - x y 18 13 17 14 16 15 18 12 17 13 16 14 - 5 x y - 2 x y + 2 x y + 6 x y - x y + 7 x y 15 15 18 11 16 13 15 14 18 10 17 11 - x y - 4 x y - 28 x y - x y + x y + x y 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 + 34 x y + 15 x y + 2 x y - 10 x y - 28 x y 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 + 3 x y - 3 x y - 13 x y + 19 x y - 14 x y + x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 + x y + 12 x y - 5 x y + 21 x y + 8 x y - 3 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 + 5 x y - 7 x y - 32 x y + x y - 6 x y - 6 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 29 x y - x y + 2 x y - 3 x y + 6 x y - 3 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 + 6 x y + 10 x y - 13 x y + 3 x y - 12 x y - 4 x y 13 7 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 - 5 x y + 3 x y + 8 x y + 4 x y + 20 x y - 4 x y 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 - 2 x y - 7 x y - 18 x y - 2 x y - 5 x y + 4 x y 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 + 2 x y + 5 x y + 5 x y - x y + x y - 2 x y + 16 x y 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 - 6 x y + 2 x y + x y - 22 x y - 4 x y - x y - 2 x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 + x y + 20 x y - 4 x y + x y + 6 x y - 10 x y + 10 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 - x y - 5 x y - 7 x y - 5 x y + 4 x y + x y + 11 x y - x y 6 4 5 5 7 2 5 4 5 3 4 4 6 4 3 - 7 x y - x y + x y + x y + x y + 6 x y + x y - 6 x y 5 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 2 - x y - x y + 3 x y + x y - x y - x y + x y - x y + x y - x / 12 11 12 10 12 9 11 10 12 8 + 1) / ((x - 1) (x y - 2 x y - x y - x y + 4 x y / 11 9 12 7 10 9 12 6 11 7 10 8 12 5 + 2 x y - x y - x y - 2 x y - 2 x y + x y + x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 + 2 x y + x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y - x y - x y 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 + 2 x y + x y - x y + x y + 3 x y + x y + x y - x y 8 5 7 6 6 6 8 3 7 4 7 3 6 4 5 5 - 4 x y - x y + x y + x y + x y - x y - 2 x y - x y 5 4 6 2 5 2 4 3 5 4 2 3 3 3 2 2 + 3 x y + x y - x y - 3 x y - x y + x y + x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation -(x^20*y^19-5*x^20*y^18+9*x^20*y^17-5*x^20*y^16-5*x^20*y^15-x^18*y^17+9*x^20*y^ 14+4*x^18*y^16-5*x^20*y^13-6*x^18*y^15-x^17*y^16+x^20*y^12+5*x^18*y^14+3*x^17*y ^15-x^16*y^16-5*x^18*y^13-2*x^17*y^14+2*x^16*y^15+6*x^18*y^12-x^17*y^13+7*x^16* y^14-x^15*y^15-4*x^18*y^11-28*x^16*y^13-x^15*y^14+x^18*y^10+x^17*y^11+34*x^16*y ^12+15*x^15*y^13+2*x^17*y^10-10*x^16*y^11-28*x^15*y^12+3*x^14*y^13-3*x^17*y^9-\ 13*x^16*y^10+19*x^15*y^11-14*x^14*y^12+x^13*y^13+x^17*y^8+12*x^16*y^9-5*x^15*y^ 10+21*x^14*y^11+8*x^13*y^12-3*x^16*y^8+5*x^15*y^9-7*x^14*y^10-32*x^13*y^11+x^12 *y^12-6*x^15*y^8-6*x^14*y^9+29*x^13*y^10-x^12*y^11+2*x^15*y^7-3*x^14*y^8+6*x^13 *y^9-3*x^12*y^10+6*x^11*y^11+10*x^14*y^7-13*x^13*y^8+3*x^12*y^9-12*x^11*y^10-4* x^14*y^6-5*x^13*y^7+3*x^10*y^10+8*x^13*y^6+4*x^12*y^7+20*x^11*y^8-4*x^10*y^9-2* x^13*y^5-7*x^12*y^6-18*x^11*y^7-2*x^10*y^8-5*x^9*y^9+4*x^12*y^5+2*x^11*y^6+5*x^ 10*y^7+5*x^9*y^8-x^12*y^4+x^11*y^5-2*x^10*y^6+16*x^9*y^7-6*x^8*y^8+2*x^11*y^4+x ^10*y^5-22*x^9*y^6-4*x^8*y^7-x^11*y^3-2*x^10*y^4+x^9*y^5+20*x^8*y^6-4*x^7*y^7+x ^10*y^3+6*x^9*y^4-10*x^8*y^5+10*x^7*y^6-x^9*y^3-5*x^8*y^4-7*x^7*y^5-5*x^6*y^6+4 *x^8*y^3+x^7*y^4+11*x^6*y^5-x^7*y^3-7*x^6*y^4-x^5*y^5+x^7*y^2+x^5*y^4+x^5*y^3+6 *x^4*y^4+x^6*y-6*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+3*x^3*y^3+x^4*y-x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2-x^ 2*y+x*y-x+1)/(x-1)/(x^12*y^11-2*x^12*y^10-x^12*y^9-x^11*y^10+4*x^12*y^8+2*x^11* y^9-x^12*y^7-x^10*y^9-2*x^12*y^6-2*x^11*y^7+x^10*y^8+x^12*y^5+2*x^10*y^7+x^9*y^ 8+2*x^11*y^5-2*x^10*y^6-3*x^9*y^7-x^8*y^8-x^11*y^4+2*x^9*y^6+x^8*y^7-x^10*y^4+x ^9*y^5+3*x^8*y^6+x^7*y^7+x^10*y^3-x^9*y^4-4*x^8*y^5-x^7*y^6+x^6*y^6+x^8*y^3+x^7 *y^4-x^7*y^3-2*x^6*y^4-x^5*y^5+3*x^5*y^4+x^6*y^2-x^5*y^2-3*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^ 2+x^3*y^3-x^3*y-x^2*y^2-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6632785509 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 179" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 21 23 20 23 19 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 10 x y + 45 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 20 23 18 22 19 23 17 22 18 21 19 + x y - 120 x y - 10 x y + 210 x y + 45 x y + x y 23 16 22 17 21 18 23 15 22 16 - 252 x y - 120 x y - 9 x y + 210 x y + 210 x y 21 17 20 18 23 14 22 15 21 16 + 37 x y + 3 x y - 120 x y - 252 x y - 92 x y 20 17 23 13 22 14 21 15 20 16 - 20 x y + 45 x y + 210 x y + 154 x y + 57 x y 19 17 23 12 22 13 21 14 20 15 + 4 x y - 10 x y - 120 x y - 182 x y - 92 x y 19 16 23 11 22 12 21 13 20 14 - 30 x y + x y + 45 x y + 154 x y + 98 x y 19 15 18 16 22 11 21 12 20 13 + 97 x y - x y - 10 x y - 92 x y - 84 x y 19 14 18 15 17 16 22 10 21 11 20 12 - 177 x y - 3 x y + 2 x y + x y + 37 x y + 70 x y 19 13 18 14 17 15 21 10 20 11 + 201 x y + 36 x y - 16 x y - 9 x y - 52 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 21 9 20 10 - 149 x y - 101 x y + 47 x y + 3 x y + x y + 27 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 15 15 20 9 + 75 x y + 140 x y - 64 x y - 14 x y + x y - 8 x y 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 20 8 - 27 x y - 109 x y + 35 x y + 26 x y - 3 x y + x y 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 + 7 x y + 48 x y + 8 x y - 25 x y - 2 x y + 2 x y 19 8 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 - x y - 11 x y - 19 x y + 15 x y + 15 x y - 7 x y 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 + x y + 8 x y - 8 x y - 10 x y - 2 x y + 2 x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 - x y + 4 x y - 20 x y + 29 x y - 10 x y - x y 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 + 33 x y - 28 x y + 12 x y + 3 x y - 13 x y - 8 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 6 x y - 8 x y - 5 x y + 22 x y - 20 x y + 5 x y 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 15 5 + 5 x y - 7 x y + 14 x y + 2 x y - 2 x y - x y 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 13 6 - 2 x y - 8 x y - 2 x y + x y - 2 x y + x y + 6 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 + 2 x y + 10 x y + 9 x y - 2 x y - 5 x y - 15 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 - 20 x y - 9 x y + 4 x y + 6 x y + 25 x y + 21 x y 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 - x y - x y - 18 x y - 14 x y - 4 x y + 2 x y + 9 x y 9 6 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 7 7 + 6 x y + 12 x y - x y - 4 x y - 11 x y - 12 x y - 6 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 + x y + 9 x y + 6 x y + 8 x y - 2 x y - 6 x y - x y - x y 8 3 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 + 5 x y + 2 x y - x y - 3 x y - 2 x y + x y + 2 x y + x y 5 4 6 2 5 3 4 4 6 4 3 5 4 2 - 3 x y - x y + 3 x y + 7 x y + x y - 7 x y - x y + x y 3 3 3 2 3 2 2 2 / 22 17 + 3 x y - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y / 22 16 22 15 22 14 22 13 22 12 - 7 x y + 21 x y - 35 x y + 35 x y - 21 x y 20 14 22 11 20 13 18 15 22 10 20 12 - 2 x y + 7 x y + 11 x y + x y - x y - 25 x y 18 14 20 11 18 13 17 14 20 10 18 12 - 6 x y + 30 x y + 16 x y - x y - 20 x y - 25 x y 17 13 16 14 20 9 18 11 17 12 16 13 + 5 x y + x y + 7 x y + 25 x y - 10 x y - 4 x y 20 8 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 - x y - 16 x y + 10 x y + 6 x y - x y + 6 x y 17 10 16 11 15 12 18 8 17 9 16 10 - 5 x y - 6 x y + 5 x y - x y + x y + 5 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 16 8 - 10 x y + x y + 2 x y + 10 x y - 4 x y - 10 x y 15 9 14 10 13 11 16 7 13 10 16 6 - 5 x y + 5 x y - x y + 8 x y + x y - 2 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 14 7 13 8 + 3 x y - 4 x y + 3 x y + x y - 3 x y + x y - 4 x y 12 9 15 5 14 6 12 8 11 9 14 5 13 6 - 2 x y + x y + 2 x y + 3 x y - 3 x y - x y + x y 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 - 5 x y + 6 x y + 2 x y - 3 x y + x y + 2 x y + 2 x y 10 7 12 4 11 5 10 6 10 5 9 6 11 3 - 3 x y - x y - 3 x y + x y + 2 x y - x y + x y 9 5 8 6 10 3 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 + x y + 2 x y - x y + x y - x y - x y - x y - x y - x y 8 2 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + x y + x y + 4 x y + x y - x y - x y - x y - x y - x y 6 4 3 5 4 2 3 3 3 - x y - x y + x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^23*y^21-10*x^23*y^20+45*x^23*y^19+x^22*y^20-120*x^23*y^18-10*x^22*y^19+210* x^23*y^17+45*x^22*y^18+x^21*y^19-252*x^23*y^16-120*x^22*y^17-9*x^21*y^18+210*x^ 23*y^15+210*x^22*y^16+37*x^21*y^17+3*x^20*y^18-120*x^23*y^14-252*x^22*y^15-92*x ^21*y^16-20*x^20*y^17+45*x^23*y^13+210*x^22*y^14+154*x^21*y^15+57*x^20*y^16+4*x ^19*y^17-10*x^23*y^12-120*x^22*y^13-182*x^21*y^14-92*x^20*y^15-30*x^19*y^16+x^ 23*y^11+45*x^22*y^12+154*x^21*y^13+98*x^20*y^14+97*x^19*y^15-x^18*y^16-10*x^22* y^11-92*x^21*y^12-84*x^20*y^13-177*x^19*y^14-3*x^18*y^15+2*x^17*y^16+x^22*y^10+ 37*x^21*y^11+70*x^20*y^12+201*x^19*y^13+36*x^18*y^14-16*x^17*y^15-9*x^21*y^10-\ 52*x^20*y^11-149*x^19*y^12-101*x^18*y^13+47*x^17*y^14+3*x^16*y^15+x^21*y^9+27*x ^20*y^10+75*x^19*y^11+140*x^18*y^12-64*x^17*y^13-14*x^16*y^14+x^15*y^15-8*x^20* y^9-27*x^19*y^10-109*x^18*y^11+35*x^17*y^12+26*x^16*y^13-3*x^15*y^14+x^20*y^8+7 *x^19*y^9+48*x^18*y^10+8*x^17*y^11-25*x^16*y^12-2*x^15*y^13+2*x^14*y^14-x^19*y^ 8-11*x^18*y^9-19*x^17*y^10+15*x^16*y^11+15*x^15*y^12-7*x^14*y^13+x^18*y^8+8*x^ 17*y^9-8*x^16*y^10-10*x^15*y^11-2*x^14*y^12+2*x^13*y^13-x^17*y^8+4*x^16*y^9-20* x^15*y^10+29*x^14*y^11-10*x^13*y^12-x^16*y^8+33*x^15*y^9-28*x^14*y^10+12*x^13*y ^11+3*x^12*y^12-13*x^15*y^8-8*x^14*y^9+6*x^13*y^10-8*x^12*y^11-5*x^15*y^7+22*x^ 14*y^8-20*x^13*y^9+5*x^12*y^10+5*x^15*y^6-7*x^14*y^7+14*x^13*y^8+2*x^12*y^9-2*x ^11*y^10-x^15*y^5-2*x^14*y^6-8*x^13*y^7-2*x^12*y^8+x^11*y^9-2*x^10*y^10+x^14*y^ 5+6*x^13*y^6+2*x^12*y^7+10*x^11*y^8+9*x^10*y^9-2*x^13*y^5-5*x^12*y^6-15*x^11*y^ 7-20*x^10*y^8-9*x^9*y^9+4*x^12*y^5+6*x^11*y^6+25*x^10*y^7+21*x^9*y^8-x^12*y^4-x ^11*y^5-18*x^10*y^6-14*x^9*y^7-4*x^8*y^8+2*x^11*y^4+9*x^10*y^5+6*x^9*y^6+12*x^8 *y^7-x^11*y^3-4*x^10*y^4-11*x^9*y^5-12*x^8*y^6-6*x^7*y^7+x^10*y^3+9*x^9*y^4+6*x ^8*y^5+8*x^7*y^6-2*x^9*y^3-6*x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^6+5*x^8*y^3+2*x^6*y^5-x^8*y^ 2-3*x^7*y^3-2*x^6*y^4+x^5*y^5+2*x^7*y^2+x^6*y^3-3*x^5*y^4-x^6*y^2+3*x^5*y^3+7*x ^4*y^4+x^6*y-7*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+3*x^3*y^3-4*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-2*x^2* y+x*y-x+1)/(x^22*y^17-7*x^22*y^16+21*x^22*y^15-35*x^22*y^14+35*x^22*y^13-21*x^ 22*y^12-2*x^20*y^14+7*x^22*y^11+11*x^20*y^13+x^18*y^15-x^22*y^10-25*x^20*y^12-6 *x^18*y^14+30*x^20*y^11+16*x^18*y^13-x^17*y^14-20*x^20*y^10-25*x^18*y^12+5*x^17 *y^13+x^16*y^14+7*x^20*y^9+25*x^18*y^11-10*x^17*y^12-4*x^16*y^13-x^20*y^8-16*x^ 18*y^10+10*x^17*y^11+6*x^16*y^12-x^15*y^13+6*x^18*y^9-5*x^17*y^10-6*x^16*y^11+5 *x^15*y^12-x^18*y^8+x^17*y^9+5*x^16*y^10-10*x^15*y^11+x^14*y^12+2*x^16*y^9+10*x ^15*y^10-4*x^14*y^11-10*x^16*y^8-5*x^15*y^9+5*x^14*y^10-x^13*y^11+8*x^16*y^7+x^ 13*y^10-2*x^16*y^6+3*x^15*y^7-4*x^14*y^8+3*x^13*y^9+x^12*y^10-3*x^15*y^6+x^14*y ^7-4*x^13*y^8-2*x^12*y^9+x^15*y^5+2*x^14*y^6+3*x^12*y^8-3*x^11*y^9-x^14*y^5+x^ 13*y^6-5*x^12*y^7+6*x^11*y^8+2*x^12*y^6-3*x^11*y^7+x^10*y^8+2*x^12*y^5+2*x^11*y ^6-3*x^10*y^7-x^12*y^4-3*x^11*y^5+x^10*y^6+2*x^10*y^5-x^9*y^6+x^11*y^3+x^9*y^5+ 2*x^8*y^6-x^10*y^3+x^7*y^6-x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^6-x^8*y^3-x^7*y^4+x^8*y^2+x^7* y^3+4*x^6*y^4+x^5*y^5-x^6*y^3-x^5*y^4-x^6*y^2-x^5*y^3-x^4*y^4-x^6*y-x^4*y^3+x^5 *y+x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 14 13 12 11 10 7 6 5 4 2 a + a - a - 2 a - 3 a + 9 a + 2 a + a - 8 a + 1 --------------------------------------------------------------- 7 3 4 (4 a - 2 a + 1) (a + 1) 8 4 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6619616345 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6631777036 ------------------------------------------------ "Theorem Number 180" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [1, 2, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 21 23 20 23 19 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 10 x y + 45 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 20 23 18 22 19 23 17 22 18 21 19 + x y - 120 x y - 10 x y + 210 x y + 45 x y + x y 23 16 22 17 21 18 23 15 22 16 - 252 x y - 120 x y - 9 x y + 210 x y + 210 x y 21 17 20 18 23 14 22 15 21 16 + 37 x y + 3 x y - 120 x y - 252 x y - 92 x y 20 17 23 13 22 14 21 15 20 16 - 20 x y + 45 x y + 210 x y + 154 x y + 57 x y 19 17 23 12 22 13 21 14 20 15 + 4 x y - 10 x y - 120 x y - 182 x y - 92 x y 19 16 23 11 22 12 21 13 20 14 - 30 x y + x y + 45 x y + 154 x y + 98 x y 19 15 18 16 22 11 21 12 20 13 + 97 x y - x y - 10 x y - 92 x y - 84 x y 19 14 18 15 17 16 22 10 21 11 20 12 - 177 x y - 3 x y + 2 x y + x y + 37 x y + 70 x y 19 13 18 14 17 15 21 10 20 11 + 201 x y + 36 x y - 16 x y - 9 x y - 52 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 21 9 20 10 - 149 x y - 101 x y + 47 x y + 3 x y + x y + 27 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 15 15 20 9 + 75 x y + 140 x y - 64 x y - 14 x y + x y - 8 x y 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 20 8 - 27 x y - 109 x y + 35 x y + 26 x y - 3 x y + x y 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 + 7 x y + 48 x y + 8 x y - 25 x y - 2 x y + 2 x y 19 8 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 - x y - 11 x y - 19 x y + 15 x y + 15 x y - 7 x y 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 + x y + 8 x y - 8 x y - 10 x y - 2 x y + 2 x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 - x y + 4 x y - 20 x y + 29 x y - 10 x y - x y 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 + 33 x y - 28 x y + 12 x y + 3 x y - 13 x y - 8 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 6 x y - 8 x y - 5 x y + 22 x y - 20 x y + 5 x y 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 15 5 + 5 x y - 7 x y + 14 x y + 2 x y - 2 x y - x y 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 13 6 - 2 x y - 8 x y - 2 x y + x y - 2 x y + x y + 6 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 + 2 x y + 10 x y + 9 x y - 2 x y - 5 x y - 15 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 - 20 x y - 9 x y + 4 x y + 6 x y + 25 x y + 21 x y 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 - x y - x y - 18 x y - 14 x y - 4 x y + 2 x y + 9 x y 9 6 8 7 11 3 10 4 9 5 8 6 7 7 + 6 x y + 12 x y - x y - 4 x y - 11 x y - 12 x y - 6 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 + x y + 9 x y + 6 x y + 8 x y - 2 x y - 6 x y - x y - x y 8 3 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 + 5 x y + 2 x y - x y - 3 x y - 2 x y + x y + 2 x y + x y 5 4 6 2 5 3 4 4 6 4 3 5 4 2 - 3 x y - x y + 3 x y + 7 x y + x y - 7 x y - x y + x y 3 3 3 2 3 2 2 2 / 22 17 + 3 x y - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y / 22 16 22 15 22 14 22 13 22 12 - 7 x y + 21 x y - 35 x y + 35 x y - 21 x y 20 14 22 11 20 13 18 15 22 10 20 12 - 2 x y + 7 x y + 11 x y + x y - x y - 25 x y 18 14 20 11 18 13 17 14 20 10 18 12 - 6 x y + 30 x y + 16 x y - x y - 20 x y - 25 x y 17 13 16 14 20 9 18 11 17 12 16 13 + 5 x y + x y + 7 x y + 25 x y - 10 x y - 4 x y 20 8 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 - x y - 16 x y + 10 x y + 6 x y - x y + 6 x y 17 10 16 11 15 12 18 8 17 9 16 10 - 5 x y - 6 x y + 5 x y - x y + x y + 5 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 16 8 - 10 x y + x y + 2 x y + 10 x y - 4 x y - 10 x y 15 9 14 10 13 11 16 7 13 10 16 6 - 5 x y + 5 x y - x y + 8 x y + x y - 2 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 14 7 13 8 + 3 x y - 4 x y + 3 x y + x y - 3 x y + x y - 4 x y 12 9 15 5 14 6 12 8 11 9 14 5 13 6 - 2 x y + x y + 2 x y + 3 x y - 3 x y - x y + x y 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 - 5 x y + 6 x y + 2 x y - 3 x y + x y + 2 x y + 2 x y 10 7 12 4 11 5 10 6 10 5 9 6 11 3 - 3 x y - x y - 3 x y + x y + 2 x y - x y + x y 9 5 8 6 10 3 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 + x y + 2 x y - x y + x y - x y - x y - x y - x y - x y 8 2 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + x y + x y + 4 x y + x y - x y - x y - x y - x y - x y 6 4 3 5 4 2 3 3 3 - x y - x y + x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^23*y^21-10*x^23*y^20+45*x^23*y^19+x^22*y^20-120*x^23*y^18-10*x^22*y^19+210* x^23*y^17+45*x^22*y^18+x^21*y^19-252*x^23*y^16-120*x^22*y^17-9*x^21*y^18+210*x^ 23*y^15+210*x^22*y^16+37*x^21*y^17+3*x^20*y^18-120*x^23*y^14-252*x^22*y^15-92*x ^21*y^16-20*x^20*y^17+45*x^23*y^13+210*x^22*y^14+154*x^21*y^15+57*x^20*y^16+4*x ^19*y^17-10*x^23*y^12-120*x^22*y^13-182*x^21*y^14-92*x^20*y^15-30*x^19*y^16+x^ 23*y^11+45*x^22*y^12+154*x^21*y^13+98*x^20*y^14+97*x^19*y^15-x^18*y^16-10*x^22* y^11-92*x^21*y^12-84*x^20*y^13-177*x^19*y^14-3*x^18*y^15+2*x^17*y^16+x^22*y^10+ 37*x^21*y^11+70*x^20*y^12+201*x^19*y^13+36*x^18*y^14-16*x^17*y^15-9*x^21*y^10-\ 52*x^20*y^11-149*x^19*y^12-101*x^18*y^13+47*x^17*y^14+3*x^16*y^15+x^21*y^9+27*x ^20*y^10+75*x^19*y^11+140*x^18*y^12-64*x^17*y^13-14*x^16*y^14+x^15*y^15-8*x^20* y^9-27*x^19*y^10-109*x^18*y^11+35*x^17*y^12+26*x^16*y^13-3*x^15*y^14+x^20*y^8+7 *x^19*y^9+48*x^18*y^10+8*x^17*y^11-25*x^16*y^12-2*x^15*y^13+2*x^14*y^14-x^19*y^ 8-11*x^18*y^9-19*x^17*y^10+15*x^16*y^11+15*x^15*y^12-7*x^14*y^13+x^18*y^8+8*x^ 17*y^9-8*x^16*y^10-10*x^15*y^11-2*x^14*y^12+2*x^13*y^13-x^17*y^8+4*x^16*y^9-20* x^15*y^10+29*x^14*y^11-10*x^13*y^12-x^16*y^8+33*x^15*y^9-28*x^14*y^10+12*x^13*y ^11+3*x^12*y^12-13*x^15*y^8-8*x^14*y^9+6*x^13*y^10-8*x^12*y^11-5*x^15*y^7+22*x^ 14*y^8-20*x^13*y^9+5*x^12*y^10+5*x^15*y^6-7*x^14*y^7+14*x^13*y^8+2*x^12*y^9-2*x ^11*y^10-x^15*y^5-2*x^14*y^6-8*x^13*y^7-2*x^12*y^8+x^11*y^9-2*x^10*y^10+x^14*y^ 5+6*x^13*y^6+2*x^12*y^7+10*x^11*y^8+9*x^10*y^9-2*x^13*y^5-5*x^12*y^6-15*x^11*y^ 7-20*x^10*y^8-9*x^9*y^9+4*x^12*y^5+6*x^11*y^6+25*x^10*y^7+21*x^9*y^8-x^12*y^4-x ^11*y^5-18*x^10*y^6-14*x^9*y^7-4*x^8*y^8+2*x^11*y^4+9*x^10*y^5+6*x^9*y^6+12*x^8 *y^7-x^11*y^3-4*x^10*y^4-11*x^9*y^5-12*x^8*y^6-6*x^7*y^7+x^10*y^3+9*x^9*y^4+6*x ^8*y^5+8*x^7*y^6-2*x^9*y^3-6*x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^6+5*x^8*y^3+2*x^6*y^5-x^8*y^ 2-3*x^7*y^3-2*x^6*y^4+x^5*y^5+2*x^7*y^2+x^6*y^3-3*x^5*y^4-x^6*y^2+3*x^5*y^3+7*x ^4*y^4+x^6*y-7*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+3*x^3*y^3-4*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-2*x^2* y+x*y-x+1)/(x^22*y^17-7*x^22*y^16+21*x^22*y^15-35*x^22*y^14+35*x^22*y^13-21*x^ 22*y^12-2*x^20*y^14+7*x^22*y^11+11*x^20*y^13+x^18*y^15-x^22*y^10-25*x^20*y^12-6 *x^18*y^14+30*x^20*y^11+16*x^18*y^13-x^17*y^14-20*x^20*y^10-25*x^18*y^12+5*x^17 *y^13+x^16*y^14+7*x^20*y^9+25*x^18*y^11-10*x^17*y^12-4*x^16*y^13-x^20*y^8-16*x^ 18*y^10+10*x^17*y^11+6*x^16*y^12-x^15*y^13+6*x^18*y^9-5*x^17*y^10-6*x^16*y^11+5 *x^15*y^12-x^18*y^8+x^17*y^9+5*x^16*y^10-10*x^15*y^11+x^14*y^12+2*x^16*y^9+10*x ^15*y^10-4*x^14*y^11-10*x^16*y^8-5*x^15*y^9+5*x^14*y^10-x^13*y^11+8*x^16*y^7+x^ 13*y^10-2*x^16*y^6+3*x^15*y^7-4*x^14*y^8+3*x^13*y^9+x^12*y^10-3*x^15*y^6+x^14*y ^7-4*x^13*y^8-2*x^12*y^9+x^15*y^5+2*x^14*y^6+3*x^12*y^8-3*x^11*y^9-x^14*y^5+x^ 13*y^6-5*x^12*y^7+6*x^11*y^8+2*x^12*y^6-3*x^11*y^7+x^10*y^8+2*x^12*y^5+2*x^11*y ^6-3*x^10*y^7-x^12*y^4-3*x^11*y^5+x^10*y^6+2*x^10*y^5-x^9*y^6+x^11*y^3+x^9*y^5+ 2*x^8*y^6-x^10*y^3+x^7*y^6-x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^6-x^8*y^3-x^7*y^4+x^8*y^2+x^7* y^3+4*x^6*y^4+x^5*y^5-x^6*y^3-x^5*y^4-x^6*y^2-x^5*y^3-x^4*y^4-x^6*y-x^4*y^3+x^5 *y+x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 14 13 12 11 10 7 6 5 4 2 a + a - a - 2 a - 3 a + 9 a + 2 a + a - 8 a + 1 --------------------------------------------------------------- 7 3 4 (4 a - 2 a + 1) (a + 1) 8 4 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6619616345 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6631777036 ------------------------------------------------ "Theorem Number 181" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [2, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 17 20 16 20 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 12 x y + 30 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 16 20 14 19 15 20 13 19 14 18 15 + x y - 40 x y - 6 x y + 30 x y + 15 x y + 2 x y 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 - 12 x y - 20 x y - 10 x y - 4 x y + 2 x y 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 + 15 x y + 20 x y + 19 x y - 6 x y - 20 x y 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 16 13 - 36 x y - 2 x y + x y + 10 x y + 34 x y + 10 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 - 2 x y - 16 x y - 20 x y - x y + 3 x y + 20 x y 14 13 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 + 2 x y - 10 x y + 9 x y - 5 x y + 2 x y - 17 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 + x y + x y + 12 x y + 9 x y + 2 x y - 3 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 13 x y - 17 x y - 3 x y + 8 x y + 29 x y + 17 x y 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 11 9 - 2 x y - 21 x y - 36 x y + 7 x y + 37 x y - 3 x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - x y - 19 x y + 6 x y - 6 x y + 4 x y - x y + 15 x y 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 2 x y - 4 x y - 11 x y - 3 x y + 2 x y + 2 x y + 3 x y 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 8 5 7 5 - 2 x y - 3 x y + 11 x y + x y - 16 x y + 7 x y - 3 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 5 5 6 3 5 4 - 4 x y + 4 x y + 2 x y - x y - 4 x y + x y + 6 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 - 2 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y / 19 15 19 14 19 13 18 14 19 12 + 1) / (x y - 5 x y + 10 x y - x y - 10 x y / 18 13 19 11 18 12 19 10 18 11 16 13 + 4 x y + 5 x y - 6 x y - x y + 4 x y - 2 x y 18 10 16 12 16 11 15 12 16 10 15 11 - x y + 7 x y - 9 x y + 2 x y + 5 x y - 4 x y 16 9 14 11 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 - x y + x y + 4 x y - 4 x y + x y - 2 x y + 5 x y 13 10 14 8 13 9 12 10 13 8 12 8 - 4 x y - 2 x y + 7 x y - x y - 5 x y + 3 x y 11 9 13 6 12 7 11 8 11 7 10 8 11 6 - 2 x y + x y - 2 x y + 7 x y - 9 x y + 5 x y + 6 x y 10 7 11 5 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 - 9 x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y + 3 x y + x y - x y 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 - 4 x y + 5 x y - 3 x y - 2 x y + 3 x y - 2 x y + 2 x y 7 3 6 3 5 4 5 3 4 3 4 2 2 2 2 + x y - x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^20*y^17-12*x^20*y^16+30*x^20*y^15+x^19*y^16-40*x^20*y^14-6*x^19*y^15+30*x ^20*y^13+15*x^19*y^14+2*x^18*y^15-12*x^20*y^12-20*x^19*y^13-10*x^18*y^14-4*x^17 *y^15+2*x^20*y^11+15*x^19*y^12+20*x^18*y^13+19*x^17*y^14-6*x^19*y^11-20*x^18*y^ 12-36*x^17*y^13-2*x^16*y^14+x^19*y^10+10*x^18*y^11+34*x^17*y^12+10*x^16*y^13-2* x^18*y^10-16*x^17*y^11-20*x^16*y^12-x^15*y^13+3*x^17*y^10+20*x^16*y^11+2*x^14*y ^13-10*x^16*y^10+9*x^15*y^11-5*x^14*y^12+2*x^16*y^9-17*x^15*y^10+x^14*y^11+x^13 *y^12+12*x^15*y^9+9*x^14*y^10+2*x^13*y^11-3*x^15*y^8-13*x^14*y^9-17*x^13*y^10-3 *x^12*y^11+8*x^14*y^8+29*x^13*y^9+17*x^12*y^10-2*x^14*y^7-21*x^13*y^8-36*x^12*y ^9+7*x^13*y^7+37*x^12*y^8-3*x^11*y^9-x^13*y^6-19*x^12*y^7+6*x^11*y^8-6*x^10*y^9 +4*x^12*y^6-x^11*y^7+15*x^10*y^8+2*x^9*y^9-4*x^11*y^6-11*x^10*y^7-3*x^9*y^8+2*x ^11*y^5+2*x^10*y^6+3*x^9*y^7-2*x^8*y^8-3*x^9*y^6+11*x^8*y^7+x^9*y^5-16*x^8*y^6+ 7*x^8*y^5-3*x^7*y^5-4*x^6*y^6+4*x^7*y^4+2*x^6*y^5-x^7*y^3-4*x^5*y^5+x^6*y^3+6*x ^5*y^4-2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-x^4*y^3-2*x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+ 1)/(x^19*y^15-5*x^19*y^14+10*x^19*y^13-x^18*y^14-10*x^19*y^12+4*x^18*y^13+5*x^ 19*y^11-6*x^18*y^12-x^19*y^10+4*x^18*y^11-2*x^16*y^13-x^18*y^10+7*x^16*y^12-9*x ^16*y^11+2*x^15*y^12+5*x^16*y^10-4*x^15*y^11-x^16*y^9+x^14*y^11+4*x^15*y^9-4*x^ 14*y^10+x^13*y^11-2*x^15*y^8+5*x^14*y^9-4*x^13*y^10-2*x^14*y^8+7*x^13*y^9-x^12* y^10-5*x^13*y^8+3*x^12*y^8-2*x^11*y^9+x^13*y^6-2*x^12*y^7+7*x^11*y^8-9*x^11*y^7 +5*x^10*y^8+6*x^11*y^6-9*x^10*y^7-2*x^11*y^5+4*x^10*y^6-2*x^9*y^7+3*x^9*y^6+x^8 *y^7-x^9*y^5-4*x^8*y^6+5*x^8*y^5-3*x^7*y^6-2*x^8*y^4+3*x^7*y^5-2*x^7*y^4+2*x^6* y^5+x^7*y^3-x^6*y^3+2*x^5*y^4-2*x^5*y^3-3*x^4*y^3+2*x^4*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y -1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 11 10 9 7 6 4 2 (a - a - 4 a + 4 a + 6 a - 8 a + 1) --------------------------------------------- 6 5 3 6 4 (7 a - 6 a + 4 a - 2) (a - a - 1) 7 6 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6594954522 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6608215633 ------------------------------------------------ "Theorem Number 182" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 2], [1, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 17 20 16 20 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 12 x y + 30 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 16 20 14 19 15 20 13 19 14 18 15 + x y - 40 x y - 6 x y + 30 x y + 15 x y + 2 x y 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 - 12 x y - 20 x y - 10 x y - 4 x y + 2 x y 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 + 15 x y + 20 x y + 19 x y - 6 x y - 20 x y 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 16 13 - 36 x y - 2 x y + x y + 10 x y + 34 x y + 10 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 - 2 x y - 16 x y - 20 x y - x y + 3 x y + 20 x y 14 13 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 + 2 x y - 10 x y + 9 x y - 5 x y + 2 x y - 17 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 + x y + x y + 12 x y + 9 x y + 2 x y - 3 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 13 x y - 17 x y - 3 x y + 8 x y + 29 x y + 17 x y 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 11 9 - 2 x y - 21 x y - 36 x y + 7 x y + 37 x y - 3 x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - x y - 19 x y + 6 x y - 6 x y + 4 x y - x y + 15 x y 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + 2 x y - 4 x y - 11 x y - 3 x y + 2 x y + 2 x y + 3 x y 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 8 5 7 5 - 2 x y - 3 x y + 11 x y + x y - 16 x y + 7 x y - 3 x y 6 6 7 4 6 5 7 3 5 5 6 3 5 4 - 4 x y + 4 x y + 2 x y - x y - 4 x y + x y + 6 x y 5 3 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 2 2 2 - 2 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y / 19 15 19 14 19 13 18 14 19 12 + 1) / (x y - 5 x y + 10 x y - x y - 10 x y / 18 13 19 11 18 12 19 10 18 11 16 13 + 4 x y + 5 x y - 6 x y - x y + 4 x y - 2 x y 18 10 16 12 16 11 15 12 16 10 15 11 - x y + 7 x y - 9 x y + 2 x y + 5 x y - 4 x y 16 9 14 11 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 - x y + x y + 4 x y - 4 x y + x y - 2 x y + 5 x y 13 10 14 8 13 9 12 10 13 8 12 8 - 4 x y - 2 x y + 7 x y - x y - 5 x y + 3 x y 11 9 13 6 12 7 11 8 11 7 10 8 11 6 - 2 x y + x y - 2 x y + 7 x y - 9 x y + 5 x y + 6 x y 10 7 11 5 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 - 9 x y - 2 x y + 4 x y - 2 x y + 3 x y + x y - x y 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 - 4 x y + 5 x y - 3 x y - 2 x y + 3 x y - 2 x y + 2 x y 7 3 6 3 5 4 5 3 4 3 4 2 2 2 2 + x y - x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^20*y^17-12*x^20*y^16+30*x^20*y^15+x^19*y^16-40*x^20*y^14-6*x^19*y^15+30*x ^20*y^13+15*x^19*y^14+2*x^18*y^15-12*x^20*y^12-20*x^19*y^13-10*x^18*y^14-4*x^17 *y^15+2*x^20*y^11+15*x^19*y^12+20*x^18*y^13+19*x^17*y^14-6*x^19*y^11-20*x^18*y^ 12-36*x^17*y^13-2*x^16*y^14+x^19*y^10+10*x^18*y^11+34*x^17*y^12+10*x^16*y^13-2* x^18*y^10-16*x^17*y^11-20*x^16*y^12-x^15*y^13+3*x^17*y^10+20*x^16*y^11+2*x^14*y ^13-10*x^16*y^10+9*x^15*y^11-5*x^14*y^12+2*x^16*y^9-17*x^15*y^10+x^14*y^11+x^13 *y^12+12*x^15*y^9+9*x^14*y^10+2*x^13*y^11-3*x^15*y^8-13*x^14*y^9-17*x^13*y^10-3 *x^12*y^11+8*x^14*y^8+29*x^13*y^9+17*x^12*y^10-2*x^14*y^7-21*x^13*y^8-36*x^12*y ^9+7*x^13*y^7+37*x^12*y^8-3*x^11*y^9-x^13*y^6-19*x^12*y^7+6*x^11*y^8-6*x^10*y^9 +4*x^12*y^6-x^11*y^7+15*x^10*y^8+2*x^9*y^9-4*x^11*y^6-11*x^10*y^7-3*x^9*y^8+2*x ^11*y^5+2*x^10*y^6+3*x^9*y^7-2*x^8*y^8-3*x^9*y^6+11*x^8*y^7+x^9*y^5-16*x^8*y^6+ 7*x^8*y^5-3*x^7*y^5-4*x^6*y^6+4*x^7*y^4+2*x^6*y^5-x^7*y^3-4*x^5*y^5+x^6*y^3+6*x ^5*y^4-2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-x^4*y^3-2*x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+ 1)/(x^19*y^15-5*x^19*y^14+10*x^19*y^13-x^18*y^14-10*x^19*y^12+4*x^18*y^13+5*x^ 19*y^11-6*x^18*y^12-x^19*y^10+4*x^18*y^11-2*x^16*y^13-x^18*y^10+7*x^16*y^12-9*x ^16*y^11+2*x^15*y^12+5*x^16*y^10-4*x^15*y^11-x^16*y^9+x^14*y^11+4*x^15*y^9-4*x^ 14*y^10+x^13*y^11-2*x^15*y^8+5*x^14*y^9-4*x^13*y^10-2*x^14*y^8+7*x^13*y^9-x^12* y^10-5*x^13*y^8+3*x^12*y^8-2*x^11*y^9+x^13*y^6-2*x^12*y^7+7*x^11*y^8-9*x^11*y^7 +5*x^10*y^8+6*x^11*y^6-9*x^10*y^7-2*x^11*y^5+4*x^10*y^6-2*x^9*y^7+3*x^9*y^6+x^8 *y^7-x^9*y^5-4*x^8*y^6+5*x^8*y^5-3*x^7*y^6-2*x^8*y^4+3*x^7*y^5-2*x^7*y^4+2*x^6* y^5+x^7*y^3-x^6*y^3+2*x^5*y^4-2*x^5*y^3-3*x^4*y^3+2*x^4*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y -1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 11 10 9 7 6 4 2 (a - a - 4 a + 4 a + 6 a - 8 a + 1) --------------------------------------------- 6 5 3 6 4 (7 a - 6 a + 4 a - 2) (a - a - 1) 7 6 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6594954522 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6608215633 ------------------------------------------------ "Theorem Number 183" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [2, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 20 23 19 23 18 22 19 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + 21 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 17 22 18 23 16 22 17 21 18 - 35 x y + 6 x y + 35 x y - 15 x y - 2 x y 23 15 22 16 21 17 20 18 23 14 - 21 x y + 20 x y + 11 x y - 2 x y + 7 x y 22 15 21 16 20 17 23 13 22 14 21 15 - 15 x y - 25 x y + 15 x y - x y + 6 x y + 30 x y 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 - 45 x y - 2 x y - x y - 20 x y + 71 x y + 10 x y 21 13 20 14 19 15 18 16 21 12 20 13 + 7 x y - 64 x y - 20 x y + 8 x y - x y + 33 x y 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 + 20 x y - 40 x y - x y - 9 x y - 10 x y + 80 x y 17 15 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 + 7 x y + x y + 2 x y - 80 x y - 16 x y + x y 18 12 17 13 16 14 18 11 17 12 + 40 x y + 15 x y - 12 x y - 8 x y - 3 x y 16 13 15 14 17 11 16 12 15 13 17 10 + 34 x y + x y - 5 x y - 39 x y + 3 x y + 4 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 + 17 x y - 22 x y - 5 x y - x y + x y + 41 x y 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 15 9 + 15 x y - 2 x y - 36 x y - 13 x y + 9 x y + 16 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - x y - 34 x y + x y - 3 x y + 6 x y + 49 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 - 2 x y - 33 x y + x y + 3 x y + 10 x y - 7 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 12 7 - 16 x y - x y + 7 x y + 18 x y - 3 x y - 3 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 10 7 - 2 x y + 2 x y + x y - 3 x y + 3 x y - 9 x y + 2 x y 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 + 14 x y - 6 x y - x y + 2 x y + 2 x y - 6 x y + 4 x y 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 + 2 x y - x y + 2 x y - 6 x y + 3 x y + 2 x y - 10 x y 6 6 7 4 6 5 5 5 6 3 5 4 5 3 + 4 x y + 5 x y - 5 x y + 6 x y + x y - 10 x y + 4 x y 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 / 17 14 - 3 x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y - 1) / (x y / 17 13 17 12 17 11 17 10 15 12 17 9 - 5 x y + 10 x y - 10 x y + 5 x y - 3 x y - x y 15 11 14 12 15 10 14 11 15 9 14 10 + 12 x y + x y - 18 x y - 4 x y + 12 x y + 6 x y 13 11 15 8 14 9 13 10 14 8 13 9 - 2 x y - 3 x y - 4 x y + 10 x y + x y - 18 x y 12 10 13 8 12 9 13 7 11 9 12 7 - x y + 14 x y + 2 x y - 4 x y + 5 x y - 2 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 - 13 x y - x y + x y + 11 x y - x y - 3 x y + 7 x y 9 8 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 + 2 x y - 7 x y - 7 x y + 2 x y + 6 x y - 2 x y - x y 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 + 10 x y - 10 x y + x y + 2 x y - 4 x y + 3 x y + 3 x y 6 4 6 3 5 4 5 3 4 4 4 2 3 3 3 2 - 4 x y + x y - 4 x y + 2 x y + x y + x y - 2 x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^23*y^20-7*x^23*y^19+21*x^23*y^18-x^22*y^19-35*x^23*y^17+6*x^22*y^18+35*x^23* y^16-15*x^22*y^17-2*x^21*y^18-21*x^23*y^15+20*x^22*y^16+11*x^21*y^17-2*x^20*y^ 18+7*x^23*y^14-15*x^22*y^15-25*x^21*y^16+15*x^20*y^17-x^23*y^13+6*x^22*y^14+30* x^21*y^15-45*x^20*y^16-2*x^19*y^17-x^22*y^13-20*x^21*y^14+71*x^20*y^15+10*x^19* y^16+7*x^21*y^13-64*x^20*y^14-20*x^19*y^15+8*x^18*y^16-x^21*y^12+33*x^20*y^13+ 20*x^19*y^14-40*x^18*y^15-x^17*y^16-9*x^20*y^12-10*x^19*y^13+80*x^18*y^14+7*x^ 17*y^15+x^20*y^11+2*x^19*y^12-80*x^18*y^13-16*x^17*y^14+x^16*y^15+40*x^18*y^12+ 15*x^17*y^13-12*x^16*y^14-8*x^18*y^11-3*x^17*y^12+34*x^16*y^13+x^15*y^14-5*x^17 *y^11-39*x^16*y^12+3*x^15*y^13+4*x^17*y^10+17*x^16*y^11-22*x^15*y^12-5*x^14*y^ 13-x^17*y^9+x^16*y^10+41*x^15*y^11+15*x^14*y^12-2*x^16*y^9-36*x^15*y^10-13*x^14 *y^11+9*x^13*y^12+16*x^15*y^9-x^14*y^10-34*x^13*y^11+x^12*y^12-3*x^15*y^8+6*x^ 14*y^9+49*x^13*y^10-2*x^14*y^8-33*x^13*y^9+x^12*y^10+3*x^11*y^11+10*x^13*y^8-7* x^12*y^9-16*x^11*y^10-x^13*y^7+7*x^12*y^8+18*x^11*y^9-3*x^10*y^10-3*x^12*y^7-2* x^11*y^8+2*x^10*y^9+x^12*y^6-3*x^11*y^7+3*x^10*y^8-9*x^9*y^9+2*x^10*y^7+14*x^9* y^8-6*x^10*y^6-x^9*y^7+2*x^8*y^8+2*x^10*y^5-6*x^9*y^6+4*x^8*y^7+2*x^9*y^5-x^8*y ^6+2*x^7*y^7-6*x^8*y^5+3*x^7*y^6+2*x^8*y^4-10*x^7*y^5+4*x^6*y^6+5*x^7*y^4-5*x^6 *y^5+6*x^5*y^5+x^6*y^3-10*x^5*y^4+4*x^5*y^3-3*x^4*y^4+2*x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y ^3+x^3*y^2-1)/(x^17*y^14-5*x^17*y^13+10*x^17*y^12-10*x^17*y^11+5*x^17*y^10-3*x^ 15*y^12-x^17*y^9+12*x^15*y^11+x^14*y^12-18*x^15*y^10-4*x^14*y^11+12*x^15*y^9+6* x^14*y^10-2*x^13*y^11-3*x^15*y^8-4*x^14*y^9+10*x^13*y^10+x^14*y^8-18*x^13*y^9-x ^12*y^10+14*x^13*y^8+2*x^12*y^9-4*x^13*y^7+5*x^11*y^9-2*x^12*y^7-13*x^11*y^8-x^ 10*y^9+x^12*y^6+11*x^11*y^7-x^10*y^8-3*x^11*y^6+7*x^10*y^7+2*x^9*y^8-7*x^10*y^6 -7*x^9*y^7+2*x^10*y^5+6*x^9*y^6-2*x^8*y^7-x^9*y^5+10*x^8*y^6-10*x^8*y^5+x^7*y^6 +2*x^8*y^4-4*x^7*y^5+3*x^7*y^4+3*x^6*y^5-4*x^6*y^4+x^6*y^3-4*x^5*y^4+2*x^5*y^3+ x^4*y^4+x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a - a + 2 a 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 - 13 a + 9 a - 3 a - 4 a + 21 a - 10 a + a + 2 a - 10 a + 2 a / 4 3 2 8 3 + 1) / ((10 a - 8 a + 3 a - 2) (a - a - 1)) / 5 4 3 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6587156180 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6601766485 ------------------------------------------------ "Theorem Number 184" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [2, 1, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 20 23 19 23 18 22 19 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + 21 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 17 22 18 23 16 22 17 21 18 - 35 x y + 6 x y + 35 x y - 15 x y - 2 x y 23 15 22 16 21 17 20 18 23 14 - 21 x y + 20 x y + 11 x y - 2 x y + 7 x y 22 15 21 16 20 17 23 13 22 14 21 15 - 15 x y - 25 x y + 15 x y - x y + 6 x y + 30 x y 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 19 16 - 45 x y - 2 x y - x y - 20 x y + 71 x y + 10 x y 21 13 20 14 19 15 18 16 21 12 20 13 + 7 x y - 64 x y - 20 x y + 8 x y - x y + 33 x y 19 14 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 + 20 x y - 40 x y - x y - 9 x y - 10 x y + 80 x y 17 15 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 + 7 x y + x y + 2 x y - 80 x y - 16 x y + x y 18 12 17 13 16 14 18 11 17 12 + 40 x y + 15 x y - 12 x y - 8 x y - 3 x y 16 13 15 14 17 11 16 12 15 13 17 10 + 34 x y + x y - 5 x y - 39 x y + 3 x y + 4 x y 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 + 17 x y - 22 x y - 5 x y - x y + x y + 41 x y 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 15 9 + 15 x y - 2 x y - 36 x y - 13 x y + 9 x y + 16 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - x y - 34 x y + x y - 3 x y + 6 x y + 49 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 - 2 x y - 33 x y + x y + 3 x y + 10 x y - 7 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 12 7 - 16 x y - x y + 7 x y + 18 x y - 3 x y - 3 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 10 7 - 2 x y + 2 x y + x y - 3 x y + 3 x y - 9 x y + 2 x y 9 8 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 + 14 x y - 6 x y - x y + 2 x y + 2 x y - 6 x y + 4 x y 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 + 2 x y - x y + 2 x y - 6 x y + 3 x y + 2 x y - 10 x y 6 6 7 4 6 5 5 5 6 3 5 4 5 3 + 4 x y + 5 x y - 5 x y + 6 x y + x y - 10 x y + 4 x y 4 4 4 3 4 2 3 3 3 2 / 17 14 - 3 x y + 2 x y + x y - 2 x y + x y - 1) / (x y / 17 13 17 12 17 11 17 10 15 12 17 9 - 5 x y + 10 x y - 10 x y + 5 x y - 3 x y - x y 15 11 14 12 15 10 14 11 15 9 14 10 + 12 x y + x y - 18 x y - 4 x y + 12 x y + 6 x y 13 11 15 8 14 9 13 10 14 8 13 9 - 2 x y - 3 x y - 4 x y + 10 x y + x y - 18 x y 12 10 13 8 12 9 13 7 11 9 12 7 - x y + 14 x y + 2 x y - 4 x y + 5 x y - 2 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 - 13 x y - x y + x y + 11 x y - x y - 3 x y + 7 x y 9 8 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 + 2 x y - 7 x y - 7 x y + 2 x y + 6 x y - 2 x y - x y 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 + 10 x y - 10 x y + x y + 2 x y - 4 x y + 3 x y + 3 x y 6 4 6 3 5 4 5 3 4 4 4 2 3 3 3 2 - 4 x y + x y - 4 x y + 2 x y + x y + x y - 2 x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^23*y^20-7*x^23*y^19+21*x^23*y^18-x^22*y^19-35*x^23*y^17+6*x^22*y^18+35*x^23* y^16-15*x^22*y^17-2*x^21*y^18-21*x^23*y^15+20*x^22*y^16+11*x^21*y^17-2*x^20*y^ 18+7*x^23*y^14-15*x^22*y^15-25*x^21*y^16+15*x^20*y^17-x^23*y^13+6*x^22*y^14+30* x^21*y^15-45*x^20*y^16-2*x^19*y^17-x^22*y^13-20*x^21*y^14+71*x^20*y^15+10*x^19* y^16+7*x^21*y^13-64*x^20*y^14-20*x^19*y^15+8*x^18*y^16-x^21*y^12+33*x^20*y^13+ 20*x^19*y^14-40*x^18*y^15-x^17*y^16-9*x^20*y^12-10*x^19*y^13+80*x^18*y^14+7*x^ 17*y^15+x^20*y^11+2*x^19*y^12-80*x^18*y^13-16*x^17*y^14+x^16*y^15+40*x^18*y^12+ 15*x^17*y^13-12*x^16*y^14-8*x^18*y^11-3*x^17*y^12+34*x^16*y^13+x^15*y^14-5*x^17 *y^11-39*x^16*y^12+3*x^15*y^13+4*x^17*y^10+17*x^16*y^11-22*x^15*y^12-5*x^14*y^ 13-x^17*y^9+x^16*y^10+41*x^15*y^11+15*x^14*y^12-2*x^16*y^9-36*x^15*y^10-13*x^14 *y^11+9*x^13*y^12+16*x^15*y^9-x^14*y^10-34*x^13*y^11+x^12*y^12-3*x^15*y^8+6*x^ 14*y^9+49*x^13*y^10-2*x^14*y^8-33*x^13*y^9+x^12*y^10+3*x^11*y^11+10*x^13*y^8-7* x^12*y^9-16*x^11*y^10-x^13*y^7+7*x^12*y^8+18*x^11*y^9-3*x^10*y^10-3*x^12*y^7-2* x^11*y^8+2*x^10*y^9+x^12*y^6-3*x^11*y^7+3*x^10*y^8-9*x^9*y^9+2*x^10*y^7+14*x^9* y^8-6*x^10*y^6-x^9*y^7+2*x^8*y^8+2*x^10*y^5-6*x^9*y^6+4*x^8*y^7+2*x^9*y^5-x^8*y ^6+2*x^7*y^7-6*x^8*y^5+3*x^7*y^6+2*x^8*y^4-10*x^7*y^5+4*x^6*y^6+5*x^7*y^4-5*x^6 *y^5+6*x^5*y^5+x^6*y^3-10*x^5*y^4+4*x^5*y^3-3*x^4*y^4+2*x^4*y^3+x^4*y^2-2*x^3*y ^3+x^3*y^2-1)/(x^17*y^14-5*x^17*y^13+10*x^17*y^12-10*x^17*y^11+5*x^17*y^10-3*x^ 15*y^12-x^17*y^9+12*x^15*y^11+x^14*y^12-18*x^15*y^10-4*x^14*y^11+12*x^15*y^9+6* x^14*y^10-2*x^13*y^11-3*x^15*y^8-4*x^14*y^9+10*x^13*y^10+x^14*y^8-18*x^13*y^9-x ^12*y^10+14*x^13*y^8+2*x^12*y^9-4*x^13*y^7+5*x^11*y^9-2*x^12*y^7-13*x^11*y^8-x^ 10*y^9+x^12*y^6+11*x^11*y^7-x^10*y^8-3*x^11*y^6+7*x^10*y^7+2*x^9*y^8-7*x^10*y^6 -7*x^9*y^7+2*x^10*y^5+6*x^9*y^6-2*x^8*y^7-x^9*y^5+10*x^8*y^6-10*x^8*y^5+x^7*y^6 +2*x^8*y^4-4*x^7*y^5+3*x^7*y^4+3*x^6*y^5-4*x^6*y^4+x^6*y^3-4*x^5*y^4+2*x^5*y^3+ x^4*y^4+x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, 2 (a - a + 2 a 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 - 13 a + 9 a - 3 a - 4 a + 21 a - 10 a + a + 2 a - 10 a + 2 a / 4 3 2 8 3 + 1) / ((10 a - 8 a + 3 a - 2) (a - a - 1)) / 5 4 3 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6587156180 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6601766485 ------------------------------------------------ "Theorem Number 185" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [1, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 19 17 19 16 19 15 18 16 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 9 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 14 18 15 19 13 18 14 19 12 17 14 - 5 x y + 4 x y - 5 x y - 5 x y + 9 x y + x y 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 15 15 + x y - 5 x y + 5 x y - 5 x y - 5 x y + x y 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + x y - 4 x y + 10 x y + 8 x y - 5 x y + x y 17 11 16 12 15 13 14 14 17 10 16 11 - 10 x y - x y + 5 x y - x y + 5 x y - 10 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 + 8 x y + x y - x y + 9 x y - 15 x y + 6 x y 13 13 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 - x y - 10 x y + 4 x y - 3 x y + 11 x y - x y 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 - 4 x y + 2 x y + x y - 4 x y + 7 x y - 3 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 - 7 x y - 2 x y + 2 x y + 8 x y + 7 x y - 3 x y 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 + x y - 6 x y - 6 x y + 3 x y + 7 x y + 2 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 + 4 x y - 9 x y - x y - 3 x y - 3 x y + 2 x y 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 - 6 x y + 10 x y + x y + 4 x y - x y - 3 x y + 3 x y 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 - 2 x y + 6 x y - 13 x y - 2 x y - x y + 6 x y - 9 x y 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + x y - x y + 6 x y + 8 x y - 3 x y - 2 x y + 3 x y 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 6 6 - 2 x y - x y - 2 x y + 4 x y + 3 x y - x y - x y + 3 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - x y - 3 x y - 3 x y + 2 x y - x y + 5 x y + x y - 6 x y 5 3 4 4 5 2 5 4 2 3 3 3 2 / - 2 x y - 2 x y + 2 x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y - 1) / / 16 12 16 11 16 10 15 11 16 9 15 10 (x y - 3 x y + 2 x y - x y + 2 x y + 2 x y 16 8 16 7 15 8 14 9 15 7 14 8 14 7 - 3 x y + x y - 2 x y + x y + x y - 3 x y + 3 x y 14 6 12 8 11 8 12 6 12 5 11 5 10 6 - x y - x y + x y + 3 x y - 2 x y - 2 x y - x y 9 7 11 4 10 5 9 6 10 4 9 5 8 6 7 7 + 2 x y + x y + x y - 4 x y + x y + 3 x y - 2 x y + x y 10 3 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 7 4 - x y + 4 x y - x y - x y - 3 x y - x y - x y - x y 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 6 2 5 3 + 2 x y + 2 x y + 3 x y - x y - 2 x y - 2 x y - 4 x y 4 4 5 2 4 3 5 4 2 3 3 3 2 + 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^19*y^17-5*x^19*y^16+9*x^19*y^15-x^18*y^16-5*x^19*y^14+4*x^18*y^15-5*x^19*y^ 13-5*x^18*y^14+9*x^19*y^12+x^17*y^14+x^16*y^15-5*x^19*y^11+5*x^18*y^12-5*x^17*y ^13-5*x^16*y^14+x^15*y^15+x^19*y^10-4*x^18*y^11+10*x^17*y^12+8*x^16*y^13-5*x^15 *y^14+x^18*y^10-10*x^17*y^11-x^16*y^12+5*x^15*y^13-x^14*y^14+5*x^17*y^10-10*x^ 16*y^11+8*x^15*y^12+x^14*y^13-x^17*y^9+9*x^16*y^10-15*x^15*y^11+6*x^14*y^12-x^ 13*y^13-10*x^14*y^11+4*x^13*y^12-3*x^16*y^8+11*x^15*y^9-x^14*y^10-4*x^13*y^11+2 *x^12*y^12+x^16*y^7-4*x^15*y^8+7*x^14*y^9-3*x^13*y^10-7*x^12*y^11-2*x^15*y^7+2* x^14*y^8+8*x^13*y^9+7*x^12*y^10-3*x^11*y^11+x^15*y^6-6*x^14*y^7-6*x^13*y^8+3*x^ 12*y^9+7*x^11*y^10+2*x^14*y^6+4*x^13*y^7-9*x^12*y^8-x^11*y^9-3*x^10*y^10-3*x^13 *y^6+2*x^12*y^7-6*x^11*y^8+10*x^10*y^9+x^13*y^5+4*x^12*y^6-x^11*y^7-3*x^10*y^8+ 3*x^9*y^9-2*x^12*y^5+6*x^11*y^6-13*x^10*y^7-2*x^9*y^8-x^11*y^5+6*x^10*y^6-9*x^9 *y^7+x^8*y^8-x^11*y^4+6*x^10*y^5+8*x^9*y^6-3*x^8*y^7-2*x^10*y^4+3*x^9*y^5-2*x^7 *y^7-x^10*y^3-2*x^9*y^4+4*x^8*y^5+3*x^7*y^6-x^9*y^3-x^8*y^4+3*x^6*y^6-x^8*y^3-3 *x^7*y^4-3*x^6*y^5+2*x^7*y^3-x^6*y^4+5*x^5*y^5+x^6*y^3-6*x^5*y^4-2*x^5*y^3-2*x^ 4*y^4+2*x^5*y^2+x^5*y+2*x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2-1)/(x^16*y^12-3*x^16*y^11+2*x ^16*y^10-x^15*y^11+2*x^16*y^9+2*x^15*y^10-3*x^16*y^8+x^16*y^7-2*x^15*y^8+x^14*y ^9+x^15*y^7-3*x^14*y^8+3*x^14*y^7-x^14*y^6-x^12*y^8+x^11*y^8+3*x^12*y^6-2*x^12* y^5-2*x^11*y^5-x^10*y^6+2*x^9*y^7+x^11*y^4+x^10*y^5-4*x^9*y^6+x^10*y^4+3*x^9*y^ 5-2*x^8*y^6+x^7*y^7-x^10*y^3+4*x^8*y^5-x^7*y^6-x^9*y^3-3*x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^ 6-x^7*y^4+2*x^6*y^5+2*x^7*y^3+3*x^6*y^4-x^5*y^5-2*x^6*y^3-2*x^6*y^2-4*x^5*y^3+2 *x^4*y^4+2*x^5*y^2-2*x^4*y^3+x^5*y+2*x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 ( 14 11 10 9 8 7 6 5 4 3 a + 5 a - 3 a + 2 a + 7 a - 10 a + 3 a + 2 a - 10 a + 2 a + 1) / 7 4 3 2 3 / ((8 a + 10 a - 8 a + 3 a - 2) (a + 1)) / 8 5 4 3 where a is the root of the polynomial, x + 2 x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6570080060 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6587138863 ------------------------------------------------ "Theorem Number 186" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [1, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 19 17 19 16 19 15 18 16 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 9 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 14 18 15 19 13 18 14 19 12 17 14 - 5 x y + 4 x y - 5 x y - 5 x y + 9 x y + x y 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 15 15 + x y - 5 x y + 5 x y - 5 x y - 5 x y + x y 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + x y - 4 x y + 10 x y + 8 x y - 5 x y + x y 17 11 16 12 15 13 14 14 17 10 16 11 - 10 x y - x y + 5 x y - x y + 5 x y - 10 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 + 8 x y + x y - x y + 9 x y - 15 x y + 6 x y 13 13 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 - x y - 10 x y + 4 x y - 3 x y + 11 x y - x y 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 - 4 x y + 2 x y + x y - 4 x y + 7 x y - 3 x y 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 - 7 x y - 2 x y + 2 x y + 8 x y + 7 x y - 3 x y 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 + x y - 6 x y - 6 x y + 3 x y + 7 x y + 2 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 + 4 x y - 9 x y - x y - 3 x y - 3 x y + 2 x y 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 - 6 x y + 10 x y + x y + 4 x y - x y - 3 x y + 3 x y 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 - 2 x y + 6 x y - 13 x y - 2 x y - x y + 6 x y - 9 x y 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + x y - x y + 6 x y + 8 x y - 3 x y - 2 x y + 3 x y 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 6 6 - 2 x y - x y - 2 x y + 4 x y + 3 x y - x y - x y + 3 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - x y - 3 x y - 3 x y + 2 x y - x y + 5 x y + x y - 6 x y 5 3 4 4 5 2 5 4 2 3 3 3 2 / - 2 x y - 2 x y + 2 x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y - 1) / / 16 12 16 11 16 10 15 11 16 9 15 10 (x y - 3 x y + 2 x y - x y + 2 x y + 2 x y 16 8 16 7 15 8 14 9 15 7 14 8 14 7 - 3 x y + x y - 2 x y + x y + x y - 3 x y + 3 x y 14 6 12 8 11 8 12 6 12 5 11 5 10 6 - x y - x y + x y + 3 x y - 2 x y - 2 x y - x y 9 7 11 4 10 5 9 6 10 4 9 5 8 6 7 7 + 2 x y + x y + x y - 4 x y + x y + 3 x y - 2 x y + x y 10 3 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 7 4 - x y + 4 x y - x y - x y - 3 x y - x y - x y - x y 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 6 2 5 3 + 2 x y + 2 x y + 3 x y - x y - 2 x y - 2 x y - 4 x y 4 4 5 2 4 3 5 4 2 3 3 3 2 + 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^19*y^17-5*x^19*y^16+9*x^19*y^15-x^18*y^16-5*x^19*y^14+4*x^18*y^15-5*x^19*y^ 13-5*x^18*y^14+9*x^19*y^12+x^17*y^14+x^16*y^15-5*x^19*y^11+5*x^18*y^12-5*x^17*y ^13-5*x^16*y^14+x^15*y^15+x^19*y^10-4*x^18*y^11+10*x^17*y^12+8*x^16*y^13-5*x^15 *y^14+x^18*y^10-10*x^17*y^11-x^16*y^12+5*x^15*y^13-x^14*y^14+5*x^17*y^10-10*x^ 16*y^11+8*x^15*y^12+x^14*y^13-x^17*y^9+9*x^16*y^10-15*x^15*y^11+6*x^14*y^12-x^ 13*y^13-10*x^14*y^11+4*x^13*y^12-3*x^16*y^8+11*x^15*y^9-x^14*y^10-4*x^13*y^11+2 *x^12*y^12+x^16*y^7-4*x^15*y^8+7*x^14*y^9-3*x^13*y^10-7*x^12*y^11-2*x^15*y^7+2* x^14*y^8+8*x^13*y^9+7*x^12*y^10-3*x^11*y^11+x^15*y^6-6*x^14*y^7-6*x^13*y^8+3*x^ 12*y^9+7*x^11*y^10+2*x^14*y^6+4*x^13*y^7-9*x^12*y^8-x^11*y^9-3*x^10*y^10-3*x^13 *y^6+2*x^12*y^7-6*x^11*y^8+10*x^10*y^9+x^13*y^5+4*x^12*y^6-x^11*y^7-3*x^10*y^8+ 3*x^9*y^9-2*x^12*y^5+6*x^11*y^6-13*x^10*y^7-2*x^9*y^8-x^11*y^5+6*x^10*y^6-9*x^9 *y^7+x^8*y^8-x^11*y^4+6*x^10*y^5+8*x^9*y^6-3*x^8*y^7-2*x^10*y^4+3*x^9*y^5-2*x^7 *y^7-x^10*y^3-2*x^9*y^4+4*x^8*y^5+3*x^7*y^6-x^9*y^3-x^8*y^4+3*x^6*y^6-x^8*y^3-3 *x^7*y^4-3*x^6*y^5+2*x^7*y^3-x^6*y^4+5*x^5*y^5+x^6*y^3-6*x^5*y^4-2*x^5*y^3-2*x^ 4*y^4+2*x^5*y^2+x^5*y+2*x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2-1)/(x^16*y^12-3*x^16*y^11+2*x ^16*y^10-x^15*y^11+2*x^16*y^9+2*x^15*y^10-3*x^16*y^8+x^16*y^7-2*x^15*y^8+x^14*y ^9+x^15*y^7-3*x^14*y^8+3*x^14*y^7-x^14*y^6-x^12*y^8+x^11*y^8+3*x^12*y^6-2*x^12* y^5-2*x^11*y^5-x^10*y^6+2*x^9*y^7+x^11*y^4+x^10*y^5-4*x^9*y^6+x^10*y^4+3*x^9*y^ 5-2*x^8*y^6+x^7*y^7-x^10*y^3+4*x^8*y^5-x^7*y^6-x^9*y^3-3*x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^ 6-x^7*y^4+2*x^6*y^5+2*x^7*y^3+3*x^6*y^4-x^5*y^5-2*x^6*y^3-2*x^6*y^2-4*x^5*y^3+2 *x^4*y^4+2*x^5*y^2-2*x^4*y^3+x^5*y+2*x^4*y^2-2*x^3*y^3+x^3*y^2+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 ( 14 11 10 9 8 7 6 5 4 3 a + 5 a - 3 a + 2 a + 7 a - 10 a + 3 a + 2 a - 10 a + 2 a + 1) / 7 4 3 2 3 / ((8 a + 10 a - 8 a + 3 a - 2) (a + 1)) / 8 5 4 3 where a is the root of the polynomial, x + 2 x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6570080060 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6587138863 ------------------------------------------------ "Theorem Number 187" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 16 18 15 18 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 11 x y + 25 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 15 18 13 17 14 16 15 18 12 17 13 + x y - 30 x y - 6 x y - 2 x y + 20 x y + 13 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + 7 x y - 7 x y - 9 x y - 6 x y - 2 x y + x y 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 - 10 x y - 7 x y + 8 x y + 24 x y + 20 x y - 8 x y 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 + x y - 19 x y - 24 x y - 9 x y - 6 x y + x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 + 7 x y + 22 x y + 28 x y + 14 x y - 2 x y - x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 - 15 x y - 31 x y - 20 x y - 5 x y + x y + 6 x y 15 8 14 9 13 10 12 11 16 6 15 7 + 24 x y + 22 x y + 18 x y - 5 x y - x y - 15 x y 14 8 13 9 12 10 15 6 14 7 13 8 - 16 x y - 19 x y + 10 x y + 6 x y + 4 x y + 10 x y 12 9 11 10 15 5 14 6 13 7 12 8 - 7 x y + 5 x y - x y + 2 x y - 7 x y - 5 x y 11 9 10 10 14 5 13 6 12 7 11 8 - 12 x y + 4 x y - x y + 6 x y + 13 x y + 6 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 - 2 x y - 2 x y - 11 x y + 3 x y - 15 x y - x y 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 + 5 x y - x y + 20 x y - x y - x y - x y - 6 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 4 x y - 7 x y + x y + 3 x y + 14 x y - 4 x y - 8 x y 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 - 3 x y + 2 x y + 2 x y - 7 x y + 2 x y + x y + 2 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 - 4 x y - 3 x y + x y + 3 x y - x y - 2 x y + 3 x y 5 5 7 2 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 5 - 3 x y + x y + 2 x y + 4 x y + 3 x y - 2 x y - x y - x y 4 2 3 3 3 2 2 2 2 / 19 15 - x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y + 1) / (2 x y / 19 14 19 13 18 14 19 12 18 13 - 11 x y + 25 x y - 3 x y - 30 x y + 16 x y 17 14 19 11 18 12 17 13 19 10 - 2 x y + 20 x y - 35 x y + 11 x y - 7 x y 18 11 17 12 16 13 19 9 18 10 17 11 + 40 x y - 27 x y + 2 x y + x y - 25 x y + 39 x y 16 12 18 9 17 10 16 11 15 12 18 8 - 9 x y + 8 x y - 36 x y + 19 x y - x y - x y 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 + 21 x y - 27 x y + 2 x y + x y - 7 x y + 28 x y 15 10 14 11 17 7 16 8 15 9 14 10 - 3 x y - 4 x y + x y - 19 x y + 11 x y + 8 x y 13 11 16 7 15 8 14 9 13 10 16 6 - x y + 7 x y - 21 x y - 9 x y + 5 x y - x y 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 14 7 + 18 x y + 3 x y - 10 x y + x y - 7 x y + 4 x y 13 8 12 9 15 5 14 6 13 7 12 8 11 9 + 11 x y - 3 x y + x y - 4 x y - 7 x y + 5 x y + x y 14 5 13 6 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 + x y + 2 x y - 10 x y - 2 x y + 13 x y + x y - 5 x y 12 5 11 6 10 7 12 4 11 5 10 6 9 7 - 7 x y + 5 x y + 11 x y + x y - 9 x y - 7 x y + 6 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 + 4 x y - 2 x y - 13 x y + 2 x y + 5 x y + 8 x y - 6 x y 10 3 8 5 7 6 9 3 8 4 8 3 7 3 - 2 x y + 7 x y - 2 x y - x y - 4 x y + x y + 2 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 6 x y - x y - x y - 3 x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y + x y 5 2 4 3 5 4 2 2 2 2 + 2 x y - 3 x y + x y + x y - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^18*y^16-11*x^18*y^15+25*x^18*y^14+x^17*y^15-30*x^18*y^13-6*x^17*y^14-2*x^ 16*y^15+20*x^18*y^12+13*x^17*y^13+7*x^16*y^14-7*x^18*y^11-9*x^17*y^12-6*x^16*y^ 13-2*x^15*y^14+x^18*y^10-10*x^17*y^11-7*x^16*y^12+8*x^15*y^13+24*x^17*y^10+20*x ^16*y^11-8*x^15*y^12+x^14*y^13-19*x^17*y^9-24*x^16*y^10-9*x^15*y^11-6*x^14*y^12 +x^13*y^13+7*x^17*y^8+22*x^16*y^9+28*x^15*y^10+14*x^14*y^11-2*x^13*y^12-x^17*y^ 7-15*x^16*y^8-31*x^15*y^9-20*x^14*y^10-5*x^13*y^11+x^12*y^12+6*x^16*y^7+24*x^15 *y^8+22*x^14*y^9+18*x^13*y^10-5*x^12*y^11-x^16*y^6-15*x^15*y^7-16*x^14*y^8-19*x ^13*y^9+10*x^12*y^10+6*x^15*y^6+4*x^14*y^7+10*x^13*y^8-7*x^12*y^9+5*x^11*y^10-x ^15*y^5+2*x^14*y^6-7*x^13*y^7-5*x^12*y^8-12*x^11*y^9+4*x^10*y^10-x^14*y^5+6*x^ 13*y^6+13*x^12*y^7+6*x^11*y^8-2*x^10*y^9-2*x^13*y^5-11*x^12*y^6+3*x^11*y^7-15*x ^10*y^8-x^9*y^9+5*x^12*y^5-x^11*y^6+20*x^10*y^7-x^9*y^8-x^12*y^4-x^11*y^5-6*x^ 10*y^6+4*x^9*y^7-7*x^8*y^8+x^10*y^5+3*x^9*y^6+14*x^8*y^7-4*x^10*y^4-8*x^9*y^5-3 *x^8*y^6+2*x^10*y^3+2*x^9*y^4-7*x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^9*y^3+2*x^8*y^4-4*x^7*y^5-3 *x^6*y^6+x^8*y^3+3*x^7*y^4-x^6*y^5-2*x^7*y^3+3*x^6*y^4-3*x^5*y^5+x^7*y^2+2*x^5* y^4+4*x^5*y^3+3*x^4*y^4-2*x^5*y^2-x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2 *y^2-x^2*y+1)/(2*x^19*y^15-11*x^19*y^14+25*x^19*y^13-3*x^18*y^14-30*x^19*y^12+ 16*x^18*y^13-2*x^17*y^14+20*x^19*y^11-35*x^18*y^12+11*x^17*y^13-7*x^19*y^10+40* x^18*y^11-27*x^17*y^12+2*x^16*y^13+x^19*y^9-25*x^18*y^10+39*x^17*y^11-9*x^16*y^ 12+8*x^18*y^9-36*x^17*y^10+19*x^16*y^11-x^15*y^12-x^18*y^8+21*x^17*y^9-27*x^16* y^10+2*x^15*y^11+x^14*y^12-7*x^17*y^8+28*x^16*y^9-3*x^15*y^10-4*x^14*y^11+x^17* y^7-19*x^16*y^8+11*x^15*y^9+8*x^14*y^10-x^13*y^11+7*x^16*y^7-21*x^15*y^8-9*x^14 *y^9+5*x^13*y^10-x^16*y^6+18*x^15*y^7+3*x^14*y^8-10*x^13*y^9+x^12*y^10-7*x^15*y ^6+4*x^14*y^7+11*x^13*y^8-3*x^12*y^9+x^15*y^5-4*x^14*y^6-7*x^13*y^7+5*x^12*y^8+ x^11*y^9+x^14*y^5+2*x^13*y^6-10*x^12*y^7-2*x^11*y^8+13*x^12*y^6+x^11*y^7-5*x^10 *y^8-7*x^12*y^5+5*x^11*y^6+11*x^10*y^7+x^12*y^4-9*x^11*y^5-7*x^10*y^6+6*x^9*y^7 +4*x^11*y^4-2*x^10*y^5-13*x^9*y^6+2*x^8*y^7+5*x^10*y^4+8*x^9*y^5-6*x^8*y^6-2*x^ 10*y^3+7*x^8*y^5-2*x^7*y^6-x^9*y^3-4*x^8*y^4+x^8*y^3+2*x^7*y^3+6*x^6*y^4-x^5*y^ 5-x^7*y^2-3*x^6*y^3+2*x^5*y^4-2*x^6*y^2-4*x^5*y^3+x^4*y^4+2*x^5*y^2-3*x^4*y^3+x ^5*y+x^4*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 12 10 9 8 7 6 4 2 (a - a + a + 2 a - 2 a - 7 a + 8 a - 1) - -------------------------------------------------- 6 5 3 6 4 (7 a - 6 a + 4 a - 2) (a - a - 1) 7 6 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6568736458 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6582740974 ------------------------------------------------ "Theorem Number 188" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 2], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 16 18 15 18 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (2 x y - 11 x y + 25 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 15 18 13 17 14 16 15 18 12 17 13 + x y - 30 x y - 6 x y - 2 x y + 20 x y + 13 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + 7 x y - 7 x y - 9 x y - 6 x y - 2 x y + x y 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 - 10 x y - 7 x y + 8 x y + 24 x y + 20 x y - 8 x y 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 + x y - 19 x y - 24 x y - 9 x y - 6 x y + x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 + 7 x y + 22 x y + 28 x y + 14 x y - 2 x y - x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 - 15 x y - 31 x y - 20 x y - 5 x y + x y + 6 x y 15 8 14 9 13 10 12 11 16 6 15 7 + 24 x y + 22 x y + 18 x y - 5 x y - x y - 15 x y 14 8 13 9 12 10 15 6 14 7 13 8 - 16 x y - 19 x y + 10 x y + 6 x y + 4 x y + 10 x y 12 9 11 10 15 5 14 6 13 7 12 8 - 7 x y + 5 x y - x y + 2 x y - 7 x y - 5 x y 11 9 10 10 14 5 13 6 12 7 11 8 - 12 x y + 4 x y - x y + 6 x y + 13 x y + 6 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 - 2 x y - 2 x y - 11 x y + 3 x y - 15 x y - x y 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 + 5 x y - x y + 20 x y - x y - x y - x y - 6 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 4 x y - 7 x y + x y + 3 x y + 14 x y - 4 x y - 8 x y 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 - 3 x y + 2 x y + 2 x y - 7 x y + 2 x y + x y + 2 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 - 4 x y - 3 x y + x y + 3 x y - x y - 2 x y + 3 x y 5 5 7 2 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 5 - 3 x y + x y + 2 x y + 4 x y + 3 x y - 2 x y - x y - x y 4 2 3 3 3 2 2 2 2 / 19 15 - x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y + 1) / (2 x y / 19 14 19 13 18 14 19 12 18 13 - 11 x y + 25 x y - 3 x y - 30 x y + 16 x y 17 14 19 11 18 12 17 13 19 10 - 2 x y + 20 x y - 35 x y + 11 x y - 7 x y 18 11 17 12 16 13 19 9 18 10 17 11 + 40 x y - 27 x y + 2 x y + x y - 25 x y + 39 x y 16 12 18 9 17 10 16 11 15 12 18 8 - 9 x y + 8 x y - 36 x y + 19 x y - x y - x y 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 + 21 x y - 27 x y + 2 x y + x y - 7 x y + 28 x y 15 10 14 11 17 7 16 8 15 9 14 10 - 3 x y - 4 x y + x y - 19 x y + 11 x y + 8 x y 13 11 16 7 15 8 14 9 13 10 16 6 - x y + 7 x y - 21 x y - 9 x y + 5 x y - x y 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 14 7 + 18 x y + 3 x y - 10 x y + x y - 7 x y + 4 x y 13 8 12 9 15 5 14 6 13 7 12 8 11 9 + 11 x y - 3 x y + x y - 4 x y - 7 x y + 5 x y + x y 14 5 13 6 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 + x y + 2 x y - 10 x y - 2 x y + 13 x y + x y - 5 x y 12 5 11 6 10 7 12 4 11 5 10 6 9 7 - 7 x y + 5 x y + 11 x y + x y - 9 x y - 7 x y + 6 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 + 4 x y - 2 x y - 13 x y + 2 x y + 5 x y + 8 x y - 6 x y 10 3 8 5 7 6 9 3 8 4 8 3 7 3 - 2 x y + 7 x y - 2 x y - x y - 4 x y + x y + 2 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 6 x y - x y - x y - 3 x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y + x y 5 2 4 3 5 4 2 2 2 2 + 2 x y - 3 x y + x y + x y - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(2*x^18*y^16-11*x^18*y^15+25*x^18*y^14+x^17*y^15-30*x^18*y^13-6*x^17*y^14-2*x^ 16*y^15+20*x^18*y^12+13*x^17*y^13+7*x^16*y^14-7*x^18*y^11-9*x^17*y^12-6*x^16*y^ 13-2*x^15*y^14+x^18*y^10-10*x^17*y^11-7*x^16*y^12+8*x^15*y^13+24*x^17*y^10+20*x ^16*y^11-8*x^15*y^12+x^14*y^13-19*x^17*y^9-24*x^16*y^10-9*x^15*y^11-6*x^14*y^12 +x^13*y^13+7*x^17*y^8+22*x^16*y^9+28*x^15*y^10+14*x^14*y^11-2*x^13*y^12-x^17*y^ 7-15*x^16*y^8-31*x^15*y^9-20*x^14*y^10-5*x^13*y^11+x^12*y^12+6*x^16*y^7+24*x^15 *y^8+22*x^14*y^9+18*x^13*y^10-5*x^12*y^11-x^16*y^6-15*x^15*y^7-16*x^14*y^8-19*x ^13*y^9+10*x^12*y^10+6*x^15*y^6+4*x^14*y^7+10*x^13*y^8-7*x^12*y^9+5*x^11*y^10-x ^15*y^5+2*x^14*y^6-7*x^13*y^7-5*x^12*y^8-12*x^11*y^9+4*x^10*y^10-x^14*y^5+6*x^ 13*y^6+13*x^12*y^7+6*x^11*y^8-2*x^10*y^9-2*x^13*y^5-11*x^12*y^6+3*x^11*y^7-15*x ^10*y^8-x^9*y^9+5*x^12*y^5-x^11*y^6+20*x^10*y^7-x^9*y^8-x^12*y^4-x^11*y^5-6*x^ 10*y^6+4*x^9*y^7-7*x^8*y^8+x^10*y^5+3*x^9*y^6+14*x^8*y^7-4*x^10*y^4-8*x^9*y^5-3 *x^8*y^6+2*x^10*y^3+2*x^9*y^4-7*x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^9*y^3+2*x^8*y^4-4*x^7*y^5-3 *x^6*y^6+x^8*y^3+3*x^7*y^4-x^6*y^5-2*x^7*y^3+3*x^6*y^4-3*x^5*y^5+x^7*y^2+2*x^5* y^4+4*x^5*y^3+3*x^4*y^4-2*x^5*y^2-x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2 *y^2-x^2*y+1)/(2*x^19*y^15-11*x^19*y^14+25*x^19*y^13-3*x^18*y^14-30*x^19*y^12+ 16*x^18*y^13-2*x^17*y^14+20*x^19*y^11-35*x^18*y^12+11*x^17*y^13-7*x^19*y^10+40* x^18*y^11-27*x^17*y^12+2*x^16*y^13+x^19*y^9-25*x^18*y^10+39*x^17*y^11-9*x^16*y^ 12+8*x^18*y^9-36*x^17*y^10+19*x^16*y^11-x^15*y^12-x^18*y^8+21*x^17*y^9-27*x^16* y^10+2*x^15*y^11+x^14*y^12-7*x^17*y^8+28*x^16*y^9-3*x^15*y^10-4*x^14*y^11+x^17* y^7-19*x^16*y^8+11*x^15*y^9+8*x^14*y^10-x^13*y^11+7*x^16*y^7-21*x^15*y^8-9*x^14 *y^9+5*x^13*y^10-x^16*y^6+18*x^15*y^7+3*x^14*y^8-10*x^13*y^9+x^12*y^10-7*x^15*y ^6+4*x^14*y^7+11*x^13*y^8-3*x^12*y^9+x^15*y^5-4*x^14*y^6-7*x^13*y^7+5*x^12*y^8+ x^11*y^9+x^14*y^5+2*x^13*y^6-10*x^12*y^7-2*x^11*y^8+13*x^12*y^6+x^11*y^7-5*x^10 *y^8-7*x^12*y^5+5*x^11*y^6+11*x^10*y^7+x^12*y^4-9*x^11*y^5-7*x^10*y^6+6*x^9*y^7 +4*x^11*y^4-2*x^10*y^5-13*x^9*y^6+2*x^8*y^7+5*x^10*y^4+8*x^9*y^5-6*x^8*y^6-2*x^ 10*y^3+7*x^8*y^5-2*x^7*y^6-x^9*y^3-4*x^8*y^4+x^8*y^3+2*x^7*y^3+6*x^6*y^4-x^5*y^ 5-x^7*y^2-3*x^6*y^3+2*x^5*y^4-2*x^6*y^2-4*x^5*y^3+x^4*y^4+2*x^5*y^2-3*x^4*y^3+x ^5*y+x^4*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 12 10 9 8 7 6 4 2 (a - a + a + 2 a - 2 a - 7 a + 8 a - 1) - -------------------------------------------------- 6 5 3 6 4 (7 a - 6 a + 4 a - 2) (a - a - 1) 7 6 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6568736458 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6582740974 ------------------------------------------------ "Theorem Number 189" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 22 23 21 23 20 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 9 x y + 37 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 19 23 18 21 20 23 17 22 18 21 19 - 92 x y + 154 x y + x y - 182 x y - 2 x y - 6 x y 23 16 22 17 21 18 23 15 22 16 + 154 x y + 13 x y + 14 x y - 92 x y - 36 x y 21 17 20 18 23 14 22 15 21 16 - 15 x y + 2 x y + 37 x y + 55 x y + 5 x y 20 17 19 18 23 13 22 14 21 15 20 16 - 12 x y - x y - 9 x y - 50 x y + 4 x y + 30 x y 19 17 23 12 22 13 21 14 20 15 19 16 + 8 x y + x y + 27 x y - 4 x y - 40 x y - 24 x y 18 17 22 12 21 13 20 14 19 15 18 16 - x y - 8 x y + x y + 30 x y + 33 x y + 4 x y 22 11 20 13 19 14 18 15 20 12 19 13 + x y - 12 x y - 14 x y + 4 x y + 2 x y - 19 x y 18 14 17 15 16 16 19 12 18 13 17 14 - 46 x y - 5 x y - x y + 32 x y + 103 x y + 33 x y 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 15 15 + 6 x y - 21 x y - 117 x y - 91 x y - 22 x y - x y 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 19 9 + 7 x y + 78 x y + 140 x y + 59 x y + 7 x y - x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 - 32 x y - 135 x y - 108 x y - 22 x y - 4 x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 + 8 x y + 86 x y + 131 x y + 43 x y + 18 x y - x y 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 - 36 x y - 107 x y - 60 x y - 31 x y - 4 x y + 9 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 + 61 x y + 61 x y + 23 x y + 15 x y - x y - 25 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 - 43 x y - 4 x y - 16 x y - 4 x y + 7 x y + 20 x y 14 9 13 10 12 11 16 6 15 7 14 8 - 4 x y - 5 x y + 8 x y - x y - 6 x y + 4 x y 13 9 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 + 22 x y + 9 x y - 2 x y + x y - 3 x y - 19 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 - 38 x y + x y + x y + 11 x y + 41 x y + 12 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 + 4 x y - 5 x y - 21 x y - 29 x y - 16 x y + x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 + 7 x y + 31 x y + 23 x y + 9 x y - 3 x y - 18 x y 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 - 18 x y - 22 x y + x y + 7 x y + 14 x y + 16 x y 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 + 10 x y - 3 x y - 11 x y - 7 x y - 24 x y + x y + 5 x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 + 11 x y + 18 x y + 8 x y - x y - 9 x y - 6 x y - 14 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 8 2 + 2 x y + 5 x y + 7 x y + x y - 4 x y + x y - 3 x y + x y 7 3 6 4 5 5 7 2 5 4 5 3 4 4 6 + x y + 3 x y - x y - 2 x y + 3 x y - 3 x y - 7 x y - x y 4 3 5 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 + 7 x y + x y - x y - 3 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y / 22 19 22 18 22 17 21 18 - x y + x - 1) / ((x - 1) (x y - 6 x y + 15 x y - x y / 22 16 21 17 22 15 21 16 20 17 22 14 - 20 x y + 7 x y + 15 x y - 20 x y + x y - 6 x y 21 15 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 + 30 x y - 6 x y + x y + x y - 25 x y + 15 x y 19 16 21 13 20 14 19 15 18 16 21 12 - 8 x y + 11 x y - 20 x y + 25 x y - x y - 2 x y 20 13 19 14 18 15 20 12 19 13 + 15 x y - 40 x y + 6 x y - 6 x y + 35 x y 18 14 17 15 20 11 19 12 18 13 17 14 - 17 x y + x y + x y - 16 x y + 28 x y - 5 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 18 11 17 12 + 3 x y - 27 x y + 8 x y - x y + 14 x y - 3 x y 16 13 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 + 4 x y - x y - 3 x y - 4 x y - 4 x y + 3 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 + 4 x y - 4 x y - 2 x y + x y - x y + 11 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 - x y - 5 x y - 8 x y - x y + 7 x y - x y 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 2 x y + 6 x y + x y + 3 x y - 7 x y - 9 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 - 4 x y + x y + 4 x y + 6 x y + 4 x y - x y - x y 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 - x y - 2 x y - x y + x y - x y - x y - 2 x y 13 6 12 7 11 8 10 9 11 7 10 8 12 5 + x y + 3 x y + x y - x y + 3 x y + 4 x y - x y 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 - 6 x y - x y + 4 x y - 6 x y + x y - x y + 5 x y 9 6 8 7 10 4 9 5 10 3 9 4 8 5 - 3 x y - x y - 2 x y + 3 x y + x y - x y + 4 x y 8 4 7 5 6 6 7 4 6 4 5 5 7 2 6 3 - 3 x y - x y + x y - x y - 3 x y - x y + x y + x y 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 5 4 2 3 3 2 + 2 x y + x y + x y + x y - x y - x y - x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (x^23*y^22-9*x^23*y^21+37*x^23*y^20-92*x^23*y^19+154*x^23*y^18+x^21*y^20-182*x^ 23*y^17-2*x^22*y^18-6*x^21*y^19+154*x^23*y^16+13*x^22*y^17+14*x^21*y^18-92*x^23 *y^15-36*x^22*y^16-15*x^21*y^17+2*x^20*y^18+37*x^23*y^14+55*x^22*y^15+5*x^21*y^ 16-12*x^20*y^17-x^19*y^18-9*x^23*y^13-50*x^22*y^14+4*x^21*y^15+30*x^20*y^16+8*x ^19*y^17+x^23*y^12+27*x^22*y^13-4*x^21*y^14-40*x^20*y^15-24*x^19*y^16-x^18*y^17 -8*x^22*y^12+x^21*y^13+30*x^20*y^14+33*x^19*y^15+4*x^18*y^16+x^22*y^11-12*x^20* y^13-14*x^19*y^14+4*x^18*y^15+2*x^20*y^12-19*x^19*y^13-46*x^18*y^14-5*x^17*y^15 -x^16*y^16+32*x^19*y^12+103*x^18*y^13+33*x^17*y^14+6*x^16*y^15-21*x^19*y^11-117 *x^18*y^12-91*x^17*y^13-22*x^16*y^14-x^15*y^15+7*x^19*y^10+78*x^18*y^11+140*x^ 17*y^12+59*x^16*y^13+7*x^15*y^14-x^19*y^9-32*x^18*y^10-135*x^17*y^11-108*x^16*y ^12-22*x^15*y^13-4*x^14*y^14+8*x^18*y^9+86*x^17*y^10+131*x^16*y^11+43*x^15*y^12 +18*x^14*y^13-x^18*y^8-36*x^17*y^9-107*x^16*y^10-60*x^15*y^11-31*x^14*y^12-4*x^ 13*y^13+9*x^17*y^8+61*x^16*y^9+61*x^15*y^10+23*x^14*y^11+15*x^13*y^12-x^17*y^7-\ 25*x^16*y^8-43*x^15*y^9-4*x^14*y^10-16*x^13*y^11-4*x^12*y^12+7*x^16*y^7+20*x^15 *y^8-4*x^14*y^9-5*x^13*y^10+8*x^12*y^11-x^16*y^6-6*x^15*y^7+4*x^14*y^8+22*x^13* y^9+9*x^12*y^10-2*x^11*y^11+x^15*y^6-3*x^14*y^7-19*x^13*y^8-38*x^12*y^9+x^11*y^ 10+x^14*y^6+11*x^13*y^7+41*x^12*y^8+12*x^11*y^9+4*x^10*y^10-5*x^13*y^6-21*x^12* y^7-29*x^11*y^8-16*x^10*y^9+x^13*y^5+7*x^12*y^6+31*x^11*y^7+23*x^10*y^8+9*x^9*y ^9-3*x^12*y^5-18*x^11*y^6-18*x^10*y^7-22*x^9*y^8+x^12*y^4+7*x^11*y^5+14*x^10*y^ 6+16*x^9*y^7+10*x^8*y^8-3*x^11*y^4-11*x^10*y^5-7*x^9*y^6-24*x^8*y^7+x^11*y^3+5* x^10*y^4+11*x^9*y^5+18*x^8*y^6+8*x^7*y^7-x^10*y^3-9*x^9*y^4-6*x^8*y^5-14*x^7*y^ 6+2*x^9*y^3+5*x^8*y^4+7*x^7*y^5+x^6*y^6-4*x^8*y^3+x^7*y^4-3*x^6*y^5+x^8*y^2+x^7 *y^3+3*x^6*y^4-x^5*y^5-2*x^7*y^2+3*x^5*y^4-3*x^5*y^3-7*x^4*y^4-x^6*y+7*x^4*y^3+ x^5*y-x^4*y^2-3*x^3*y^3+4*x^3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^22* y^19-6*x^22*y^18+15*x^22*y^17-x^21*y^18-20*x^22*y^16+7*x^21*y^17+15*x^22*y^15-\ 20*x^21*y^16+x^20*y^17-6*x^22*y^14+30*x^21*y^15-6*x^20*y^16+x^19*y^17+x^22*y^13 -25*x^21*y^14+15*x^20*y^15-8*x^19*y^16+11*x^21*y^13-20*x^20*y^14+25*x^19*y^15-x ^18*y^16-2*x^21*y^12+15*x^20*y^13-40*x^19*y^14+6*x^18*y^15-6*x^20*y^12+35*x^19* y^13-17*x^18*y^14+x^17*y^15+x^20*y^11-16*x^19*y^12+28*x^18*y^13-5*x^17*y^14+3*x ^19*y^11-27*x^18*y^12+8*x^17*y^13-x^16*y^14+14*x^18*y^11-3*x^17*y^12+4*x^16*y^ 13-x^15*y^14-3*x^18*y^10-4*x^17*y^11-4*x^16*y^12+3*x^15*y^13+4*x^17*y^10-4*x^16 *y^11-2*x^15*y^12+x^14*y^13-x^17*y^9+11*x^16*y^10-x^15*y^11-5*x^14*y^12-8*x^16* y^9-x^15*y^10+7*x^14*y^11-x^13*y^12+2*x^16*y^8+6*x^15*y^9+x^14*y^10+3*x^13*y^11 -7*x^15*y^8-9*x^14*y^9-4*x^13*y^10+x^12*y^11+4*x^15*y^7+6*x^14*y^8+4*x^13*y^9-x ^12*y^10-x^15*y^6-x^14*y^7-2*x^13*y^8-x^12*y^9+x^11*y^10-x^13*y^7-x^12*y^8-2*x^ 11*y^9+x^13*y^6+3*x^12*y^7+x^11*y^8-x^10*y^9+3*x^11*y^7+4*x^10*y^8-x^12*y^5-6*x ^11*y^6-x^10*y^7+4*x^11*y^5-6*x^10*y^6+x^9*y^7-x^11*y^4+5*x^10*y^5-3*x^9*y^6-x^ 8*y^7-2*x^10*y^4+3*x^9*y^5+x^10*y^3-x^9*y^4+4*x^8*y^5-3*x^8*y^4-x^7*y^5+x^6*y^6 -x^7*y^4-3*x^6*y^4-x^5*y^5+x^7*y^2+x^6*y^3+2*x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3+x^4*y^4-x^ 5*y^2-x^5*y-x^4*y^2-x^3*y^3-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6567611397 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 190" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 2, 1], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 22 23 21 23 20 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 9 x y + 37 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 19 23 18 21 20 23 17 22 18 21 19 - 92 x y + 154 x y + x y - 182 x y - 2 x y - 6 x y 23 16 22 17 21 18 23 15 22 16 + 154 x y + 13 x y + 14 x y - 92 x y - 36 x y 21 17 20 18 23 14 22 15 21 16 - 15 x y + 2 x y + 37 x y + 55 x y + 5 x y 20 17 19 18 23 13 22 14 21 15 20 16 - 12 x y - x y - 9 x y - 50 x y + 4 x y + 30 x y 19 17 23 12 22 13 21 14 20 15 19 16 + 8 x y + x y + 27 x y - 4 x y - 40 x y - 24 x y 18 17 22 12 21 13 20 14 19 15 18 16 - x y - 8 x y + x y + 30 x y + 33 x y + 4 x y 22 11 20 13 19 14 18 15 20 12 19 13 + x y - 12 x y - 14 x y + 4 x y + 2 x y - 19 x y 18 14 17 15 16 16 19 12 18 13 17 14 - 46 x y - 5 x y - x y + 32 x y + 103 x y + 33 x y 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 15 15 + 6 x y - 21 x y - 117 x y - 91 x y - 22 x y - x y 19 10 18 11 17 12 16 13 15 14 19 9 + 7 x y + 78 x y + 140 x y + 59 x y + 7 x y - x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 - 32 x y - 135 x y - 108 x y - 22 x y - 4 x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 + 8 x y + 86 x y + 131 x y + 43 x y + 18 x y - x y 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 - 36 x y - 107 x y - 60 x y - 31 x y - 4 x y + 9 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 + 61 x y + 61 x y + 23 x y + 15 x y - x y - 25 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 - 43 x y - 4 x y - 16 x y - 4 x y + 7 x y + 20 x y 14 9 13 10 12 11 16 6 15 7 14 8 - 4 x y - 5 x y + 8 x y - x y - 6 x y + 4 x y 13 9 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 + 22 x y + 9 x y - 2 x y + x y - 3 x y - 19 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 - 38 x y + x y + x y + 11 x y + 41 x y + 12 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 + 4 x y - 5 x y - 21 x y - 29 x y - 16 x y + x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 + 7 x y + 31 x y + 23 x y + 9 x y - 3 x y - 18 x y 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 - 18 x y - 22 x y + x y + 7 x y + 14 x y + 16 x y 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 + 10 x y - 3 x y - 11 x y - 7 x y - 24 x y + x y + 5 x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 + 11 x y + 18 x y + 8 x y - x y - 9 x y - 6 x y - 14 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 8 2 + 2 x y + 5 x y + 7 x y + x y - 4 x y + x y - 3 x y + x y 7 3 6 4 5 5 7 2 5 4 5 3 4 4 6 + x y + 3 x y - x y - 2 x y + 3 x y - 3 x y - 7 x y - x y 4 3 5 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 + 7 x y + x y - x y - 3 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y / 22 19 22 18 22 17 21 18 - x y + x - 1) / ((x - 1) (x y - 6 x y + 15 x y - x y / 22 16 21 17 22 15 21 16 20 17 22 14 - 20 x y + 7 x y + 15 x y - 20 x y + x y - 6 x y 21 15 20 16 19 17 22 13 21 14 20 15 + 30 x y - 6 x y + x y + x y - 25 x y + 15 x y 19 16 21 13 20 14 19 15 18 16 21 12 - 8 x y + 11 x y - 20 x y + 25 x y - x y - 2 x y 20 13 19 14 18 15 20 12 19 13 + 15 x y - 40 x y + 6 x y - 6 x y + 35 x y 18 14 17 15 20 11 19 12 18 13 17 14 - 17 x y + x y + x y - 16 x y + 28 x y - 5 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 18 11 17 12 + 3 x y - 27 x y + 8 x y - x y + 14 x y - 3 x y 16 13 15 14 18 10 17 11 16 12 15 13 + 4 x y - x y - 3 x y - 4 x y - 4 x y + 3 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 17 9 16 10 + 4 x y - 4 x y - 2 x y + x y - x y + 11 x y 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 - x y - 5 x y - 8 x y - x y + 7 x y - x y 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 2 x y + 6 x y + x y + 3 x y - 7 x y - 9 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 15 6 - 4 x y + x y + 4 x y + 6 x y + 4 x y - x y - x y 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 - x y - 2 x y - x y + x y - x y - x y - 2 x y 13 6 12 7 11 8 10 9 11 7 10 8 12 5 + x y + 3 x y + x y - x y + 3 x y + 4 x y - x y 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 - 6 x y - x y + 4 x y - 6 x y + x y - x y + 5 x y 9 6 8 7 10 4 9 5 10 3 9 4 8 5 - 3 x y - x y - 2 x y + 3 x y + x y - x y + 4 x y 8 4 7 5 6 6 7 4 6 4 5 5 7 2 6 3 - 3 x y - x y + x y - x y - 3 x y - x y + x y + x y 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 5 4 2 3 3 2 + 2 x y + x y + x y + x y - x y - x y - x y - x y - x y - x y + 1)) and in Maple notation (x^23*y^22-9*x^23*y^21+37*x^23*y^20-92*x^23*y^19+154*x^23*y^18+x^21*y^20-182*x^ 23*y^17-2*x^22*y^18-6*x^21*y^19+154*x^23*y^16+13*x^22*y^17+14*x^21*y^18-92*x^23 *y^15-36*x^22*y^16-15*x^21*y^17+2*x^20*y^18+37*x^23*y^14+55*x^22*y^15+5*x^21*y^ 16-12*x^20*y^17-x^19*y^18-9*x^23*y^13-50*x^22*y^14+4*x^21*y^15+30*x^20*y^16+8*x ^19*y^17+x^23*y^12+27*x^22*y^13-4*x^21*y^14-40*x^20*y^15-24*x^19*y^16-x^18*y^17 -8*x^22*y^12+x^21*y^13+30*x^20*y^14+33*x^19*y^15+4*x^18*y^16+x^22*y^11-12*x^20* y^13-14*x^19*y^14+4*x^18*y^15+2*x^20*y^12-19*x^19*y^13-46*x^18*y^14-5*x^17*y^15 -x^16*y^16+32*x^19*y^12+103*x^18*y^13+33*x^17*y^14+6*x^16*y^15-21*x^19*y^11-117 *x^18*y^12-91*x^17*y^13-22*x^16*y^14-x^15*y^15+7*x^19*y^10+78*x^18*y^11+140*x^ 17*y^12+59*x^16*y^13+7*x^15*y^14-x^19*y^9-32*x^18*y^10-135*x^17*y^11-108*x^16*y ^12-22*x^15*y^13-4*x^14*y^14+8*x^18*y^9+86*x^17*y^10+131*x^16*y^11+43*x^15*y^12 +18*x^14*y^13-x^18*y^8-36*x^17*y^9-107*x^16*y^10-60*x^15*y^11-31*x^14*y^12-4*x^ 13*y^13+9*x^17*y^8+61*x^16*y^9+61*x^15*y^10+23*x^14*y^11+15*x^13*y^12-x^17*y^7-\ 25*x^16*y^8-43*x^15*y^9-4*x^14*y^10-16*x^13*y^11-4*x^12*y^12+7*x^16*y^7+20*x^15 *y^8-4*x^14*y^9-5*x^13*y^10+8*x^12*y^11-x^16*y^6-6*x^15*y^7+4*x^14*y^8+22*x^13* y^9+9*x^12*y^10-2*x^11*y^11+x^15*y^6-3*x^14*y^7-19*x^13*y^8-38*x^12*y^9+x^11*y^ 10+x^14*y^6+11*x^13*y^7+41*x^12*y^8+12*x^11*y^9+4*x^10*y^10-5*x^13*y^6-21*x^12* y^7-29*x^11*y^8-16*x^10*y^9+x^13*y^5+7*x^12*y^6+31*x^11*y^7+23*x^10*y^8+9*x^9*y ^9-3*x^12*y^5-18*x^11*y^6-18*x^10*y^7-22*x^9*y^8+x^12*y^4+7*x^11*y^5+14*x^10*y^ 6+16*x^9*y^7+10*x^8*y^8-3*x^11*y^4-11*x^10*y^5-7*x^9*y^6-24*x^8*y^7+x^11*y^3+5* x^10*y^4+11*x^9*y^5+18*x^8*y^6+8*x^7*y^7-x^10*y^3-9*x^9*y^4-6*x^8*y^5-14*x^7*y^ 6+2*x^9*y^3+5*x^8*y^4+7*x^7*y^5+x^6*y^6-4*x^8*y^3+x^7*y^4-3*x^6*y^5+x^8*y^2+x^7 *y^3+3*x^6*y^4-x^5*y^5-2*x^7*y^2+3*x^5*y^4-3*x^5*y^3-7*x^4*y^4-x^6*y+7*x^4*y^3+ x^5*y-x^4*y^2-3*x^3*y^3+4*x^3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x-1)/(x^22* y^19-6*x^22*y^18+15*x^22*y^17-x^21*y^18-20*x^22*y^16+7*x^21*y^17+15*x^22*y^15-\ 20*x^21*y^16+x^20*y^17-6*x^22*y^14+30*x^21*y^15-6*x^20*y^16+x^19*y^17+x^22*y^13 -25*x^21*y^14+15*x^20*y^15-8*x^19*y^16+11*x^21*y^13-20*x^20*y^14+25*x^19*y^15-x ^18*y^16-2*x^21*y^12+15*x^20*y^13-40*x^19*y^14+6*x^18*y^15-6*x^20*y^12+35*x^19* y^13-17*x^18*y^14+x^17*y^15+x^20*y^11-16*x^19*y^12+28*x^18*y^13-5*x^17*y^14+3*x ^19*y^11-27*x^18*y^12+8*x^17*y^13-x^16*y^14+14*x^18*y^11-3*x^17*y^12+4*x^16*y^ 13-x^15*y^14-3*x^18*y^10-4*x^17*y^11-4*x^16*y^12+3*x^15*y^13+4*x^17*y^10-4*x^16 *y^11-2*x^15*y^12+x^14*y^13-x^17*y^9+11*x^16*y^10-x^15*y^11-5*x^14*y^12-8*x^16* y^9-x^15*y^10+7*x^14*y^11-x^13*y^12+2*x^16*y^8+6*x^15*y^9+x^14*y^10+3*x^13*y^11 -7*x^15*y^8-9*x^14*y^9-4*x^13*y^10+x^12*y^11+4*x^15*y^7+6*x^14*y^8+4*x^13*y^9-x ^12*y^10-x^15*y^6-x^14*y^7-2*x^13*y^8-x^12*y^9+x^11*y^10-x^13*y^7-x^12*y^8-2*x^ 11*y^9+x^13*y^6+3*x^12*y^7+x^11*y^8-x^10*y^9+3*x^11*y^7+4*x^10*y^8-x^12*y^5-6*x ^11*y^6-x^10*y^7+4*x^11*y^5-6*x^10*y^6+x^9*y^7-x^11*y^4+5*x^10*y^5-3*x^9*y^6-x^ 8*y^7-2*x^10*y^4+3*x^9*y^5+x^10*y^3-x^9*y^4+4*x^8*y^5-3*x^8*y^4-x^7*y^5+x^6*y^6 -x^7*y^4-3*x^6*y^4-x^5*y^5+x^7*y^2+x^6*y^3+2*x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3+x^4*y^4-x^ 5*y^2-x^5*y-x^4*y^2-x^3*y^3-x^2*y-x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6567611397 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 191" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [1, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 19 16 19 15 19 14 18 15 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 9 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 13 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 - 5 x y - 5 x y - x y - 5 x y + 8 x y + 4 x y 16 15 19 11 17 13 16 14 19 10 18 11 - x y + 9 x y - 5 x y + 2 x y - 5 x y - 15 x y 17 12 16 13 19 9 18 10 17 11 16 12 - x y + 5 x y + x y + 19 x y + 10 x y - 19 x y 15 13 14 14 18 9 17 10 16 11 15 12 - 3 x y + x y - 10 x y - 14 x y + 21 x y + 16 x y 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 + 2 x y + 11 x y - 7 x y - 34 x y - 15 x y - 5 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 - 5 x y + 34 x y + 38 x y + 3 x y + x y + 7 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 - 11 x y - 37 x y - 13 x y - 3 x y - 4 x y - 8 x y 14 9 13 10 12 11 16 6 15 7 14 8 + 11 x y + 21 x y + 10 x y + x y + 8 x y + 6 x y 13 9 12 10 11 11 15 6 14 7 12 9 - 13 x y - 9 x y - 3 x y - 2 x y - 5 x y + x y 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 + 12 x y + x y + x y - 3 x y - 18 x y - 3 x y + x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 + 6 x y + 13 x y + 12 x y + x y - x y - 6 x y 10 8 9 9 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8 - 17 x y - 5 x y - x y - x y + 2 x y + 8 x y + 13 x y 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 - 7 x y + x y + 3 x y - 3 x y - 2 x y - x y - 4 x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 - 2 x y + 6 x y + 5 x y + x y + 6 x y - 2 x y - 10 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 - 2 x y - 6 x y + 3 x y + 5 x y + 4 x y + 3 x y - 9 x y 7 3 6 4 5 5 7 2 5 4 6 2 5 3 - 2 x y + 4 x y + 4 x y + x y - 9 x y - x y + 5 x y 4 4 6 5 2 4 3 5 4 2 3 3 4 + 7 x y + x y + x y - 9 x y - x y + x y + 4 x y + x y 3 2 2 2 2 / 15 11 - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / ((x - 1) (x y / 15 10 15 9 15 8 13 10 15 7 13 9 12 10 - 3 x y + 2 x y + 2 x y - x y - 3 x y + x y - x y 15 6 13 8 12 9 13 7 12 8 13 6 12 7 + x y + 2 x y + x y - 2 x y + 4 x y - x y - 7 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 12 5 11 6 10 7 + x y + x y + 2 x y + x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y 12 4 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 - x y + x y - x y + x y + 5 x y - x y - x y + x y 8 6 10 3 9 4 8 5 8 4 7 5 6 6 8 3 - 2 x y - x y - x y + 5 x y - x y + x y - x y - 2 x y 7 4 6 3 5 4 6 2 4 4 4 3 5 4 2 3 - 2 x y + x y - 2 x y - x y + x y + x y + x y - x y + x y 2 + x y + x y - 1)) and in Maple notation (x^19*y^16-5*x^19*y^15+9*x^19*y^14+x^18*y^15-5*x^19*y^13-5*x^18*y^14-x^17*y^15-\ 5*x^19*y^12+8*x^18*y^13+4*x^17*y^14-x^16*y^15+9*x^19*y^11-5*x^17*y^13+2*x^16*y^ 14-5*x^19*y^10-15*x^18*y^11-x^17*y^12+5*x^16*y^13+x^19*y^9+19*x^18*y^10+10*x^17 *y^11-19*x^16*y^12-3*x^15*y^13+x^14*y^14-10*x^18*y^9-14*x^17*y^10+21*x^16*y^11+ 16*x^15*y^12+2*x^18*y^8+11*x^17*y^9-7*x^16*y^10-34*x^15*y^11-15*x^14*y^12-5*x^ 17*y^8-5*x^16*y^9+34*x^15*y^10+38*x^14*y^11+3*x^13*y^12+x^17*y^7+7*x^16*y^8-11* x^15*y^9-37*x^14*y^10-13*x^13*y^11-3*x^12*y^12-4*x^16*y^7-8*x^15*y^8+11*x^14*y^ 9+21*x^13*y^10+10*x^12*y^11+x^16*y^6+8*x^15*y^7+6*x^14*y^8-13*x^13*y^9-9*x^12*y ^10-3*x^11*y^11-2*x^15*y^6-5*x^14*y^7+x^12*y^9+12*x^11*y^10+x^14*y^6+x^13*y^7-3 *x^12*y^8-18*x^11*y^9-3*x^10*y^10+x^13*y^6+6*x^12*y^7+13*x^11*y^8+12*x^10*y^9+x ^13*y^5-x^12*y^6-6*x^11*y^7-17*x^10*y^8-5*x^9*y^9-x^13*y^4-x^12*y^5+2*x^11*y^6+ 8*x^10*y^7+13*x^9*y^8-7*x^9*y^7+x^11*y^4+3*x^10*y^5-3*x^9*y^6-2*x^8*y^7-x^11*y^ 3-4*x^10*y^4-2*x^9*y^5+6*x^8*y^6+5*x^7*y^7+x^10*y^3+6*x^9*y^4-2*x^8*y^5-10*x^7* y^6-2*x^9*y^3-6*x^8*y^4+3*x^7*y^5+5*x^6*y^6+4*x^8*y^3+3*x^7*y^4-9*x^6*y^5-2*x^7 *y^3+4*x^6*y^4+4*x^5*y^5+x^7*y^2-9*x^5*y^4-x^6*y^2+5*x^5*y^3+7*x^4*y^4+x^6*y+x^ 5*y^2-9*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-4*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x +1)/(x-1)/(x^15*y^11-3*x^15*y^10+2*x^15*y^9+2*x^15*y^8-x^13*y^10-3*x^15*y^7+x^ 13*y^9-x^12*y^10+x^15*y^6+2*x^13*y^8+x^12*y^9-2*x^13*y^7+4*x^12*y^8-x^13*y^6-7* x^12*y^7+x^10*y^9+x^13*y^5+2*x^12*y^6+x^11*y^7+2*x^12*y^5-2*x^11*y^6-3*x^10*y^7 -x^12*y^4+x^11*y^5-x^10*y^6+x^9*y^7+5*x^10*y^5-x^9*y^6-x^10*y^4+x^9*y^5-2*x^8*y ^6-x^10*y^3-x^9*y^4+5*x^8*y^5-x^8*y^4+x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^8*y^3-2*x^7*y^4+x^6*y ^3-2*x^5*y^4-x^6*y^2+x^4*y^4+x^4*y^3+x^5*y-x^4*y^2+x^3*y+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6551123111 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 192" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 19 16 19 15 19 14 18 15 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 9 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 13 18 14 17 15 19 12 18 13 17 14 - 5 x y - 5 x y - x y - 5 x y + 8 x y + 4 x y 16 15 19 11 17 13 16 14 19 10 18 11 - x y + 9 x y - 5 x y + 2 x y - 5 x y - 15 x y 17 12 16 13 19 9 18 10 17 11 16 12 - x y + 5 x y + x y + 19 x y + 10 x y - 19 x y 15 13 14 14 18 9 17 10 16 11 15 12 - 3 x y + x y - 10 x y - 14 x y + 21 x y + 16 x y 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 + 2 x y + 11 x y - 7 x y - 34 x y - 15 x y - 5 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 - 5 x y + 34 x y + 38 x y + 3 x y + x y + 7 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 - 11 x y - 37 x y - 13 x y - 3 x y - 4 x y - 8 x y 14 9 13 10 12 11 16 6 15 7 14 8 + 11 x y + 21 x y + 10 x y + x y + 8 x y + 6 x y 13 9 12 10 11 11 15 6 14 7 12 9 - 13 x y - 9 x y - 3 x y - 2 x y - 5 x y + x y 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 + 12 x y + x y + x y - 3 x y - 18 x y - 3 x y + x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 + 6 x y + 13 x y + 12 x y + x y - x y - 6 x y 10 8 9 9 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8 - 17 x y - 5 x y - x y - x y + 2 x y + 8 x y + 13 x y 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 - 7 x y + x y + 3 x y - 3 x y - 2 x y - x y - 4 x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 - 2 x y + 6 x y + 5 x y + x y + 6 x y - 2 x y - 10 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 - 2 x y - 6 x y + 3 x y + 5 x y + 4 x y + 3 x y - 9 x y 7 3 6 4 5 5 7 2 5 4 6 2 5 3 - 2 x y + 4 x y + 4 x y + x y - 9 x y - x y + 5 x y 4 4 6 5 2 4 3 5 4 2 3 3 4 + 7 x y + x y + x y - 9 x y - x y + x y + 4 x y + x y 3 2 2 2 2 / 15 11 - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / ((x - 1) (x y / 15 10 15 9 15 8 13 10 15 7 13 9 12 10 - 3 x y + 2 x y + 2 x y - x y - 3 x y + x y - x y 15 6 13 8 12 9 13 7 12 8 13 6 12 7 + x y + 2 x y + x y - 2 x y + 4 x y - x y - 7 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 12 5 11 6 10 7 + x y + x y + 2 x y + x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y 12 4 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 - x y + x y - x y + x y + 5 x y - x y - x y + x y 8 6 10 3 9 4 8 5 8 4 7 5 6 6 8 3 - 2 x y - x y - x y + 5 x y - x y + x y - x y - 2 x y 7 4 6 3 5 4 6 2 4 4 4 3 5 4 2 3 - 2 x y + x y - 2 x y - x y + x y + x y + x y - x y + x y 2 + x y + x y - 1)) and in Maple notation (x^19*y^16-5*x^19*y^15+9*x^19*y^14+x^18*y^15-5*x^19*y^13-5*x^18*y^14-x^17*y^15-\ 5*x^19*y^12+8*x^18*y^13+4*x^17*y^14-x^16*y^15+9*x^19*y^11-5*x^17*y^13+2*x^16*y^ 14-5*x^19*y^10-15*x^18*y^11-x^17*y^12+5*x^16*y^13+x^19*y^9+19*x^18*y^10+10*x^17 *y^11-19*x^16*y^12-3*x^15*y^13+x^14*y^14-10*x^18*y^9-14*x^17*y^10+21*x^16*y^11+ 16*x^15*y^12+2*x^18*y^8+11*x^17*y^9-7*x^16*y^10-34*x^15*y^11-15*x^14*y^12-5*x^ 17*y^8-5*x^16*y^9+34*x^15*y^10+38*x^14*y^11+3*x^13*y^12+x^17*y^7+7*x^16*y^8-11* x^15*y^9-37*x^14*y^10-13*x^13*y^11-3*x^12*y^12-4*x^16*y^7-8*x^15*y^8+11*x^14*y^ 9+21*x^13*y^10+10*x^12*y^11+x^16*y^6+8*x^15*y^7+6*x^14*y^8-13*x^13*y^9-9*x^12*y ^10-3*x^11*y^11-2*x^15*y^6-5*x^14*y^7+x^12*y^9+12*x^11*y^10+x^14*y^6+x^13*y^7-3 *x^12*y^8-18*x^11*y^9-3*x^10*y^10+x^13*y^6+6*x^12*y^7+13*x^11*y^8+12*x^10*y^9+x ^13*y^5-x^12*y^6-6*x^11*y^7-17*x^10*y^8-5*x^9*y^9-x^13*y^4-x^12*y^5+2*x^11*y^6+ 8*x^10*y^7+13*x^9*y^8-7*x^9*y^7+x^11*y^4+3*x^10*y^5-3*x^9*y^6-2*x^8*y^7-x^11*y^ 3-4*x^10*y^4-2*x^9*y^5+6*x^8*y^6+5*x^7*y^7+x^10*y^3+6*x^9*y^4-2*x^8*y^5-10*x^7* y^6-2*x^9*y^3-6*x^8*y^4+3*x^7*y^5+5*x^6*y^6+4*x^8*y^3+3*x^7*y^4-9*x^6*y^5-2*x^7 *y^3+4*x^6*y^4+4*x^5*y^5+x^7*y^2-9*x^5*y^4-x^6*y^2+5*x^5*y^3+7*x^4*y^4+x^6*y+x^ 5*y^2-9*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-4*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x +1)/(x-1)/(x^15*y^11-3*x^15*y^10+2*x^15*y^9+2*x^15*y^8-x^13*y^10-3*x^15*y^7+x^ 13*y^9-x^12*y^10+x^15*y^6+2*x^13*y^8+x^12*y^9-2*x^13*y^7+4*x^12*y^8-x^13*y^6-7* x^12*y^7+x^10*y^9+x^13*y^5+2*x^12*y^6+x^11*y^7+2*x^12*y^5-2*x^11*y^6-3*x^10*y^7 -x^12*y^4+x^11*y^5-x^10*y^6+x^9*y^7+5*x^10*y^5-x^9*y^6-x^10*y^4+x^9*y^5-2*x^8*y ^6-x^10*y^3-x^9*y^4+5*x^8*y^5-x^8*y^4+x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^8*y^3-2*x^7*y^4+x^6*y ^3-2*x^5*y^4-x^6*y^2+x^4*y^4+x^4*y^3+x^5*y-x^4*y^2+x^3*y+x^2*y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6551123111 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 193" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [1, 1, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 14 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 16 10 + 4 x y - 8 x y + 4 x y + 9 x y - 3 x y - 10 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 + 3 x y + 10 x y - 4 x y + 4 x y - 11 x y - 7 x y 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 + 13 x y + 4 x y + 3 x y - 10 x y - 11 x y + 2 x y 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11 16 6 - 4 x y + 3 x y + 15 x y - 2 x y - 7 x y + x y 15 7 14 8 12 10 11 11 15 6 14 7 + x y - 2 x y + 9 x y + 2 x y - 3 x y - 5 x y 13 8 12 9 11 10 15 5 14 6 13 7 12 8 + 9 x y - 5 x y - 8 x y + x y + 2 x y - 3 x y + x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 + 9 x y - 4 x y - 4 x y - x y + 2 x y + 10 x y 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 + 2 x y + 3 x y - 8 x y - 3 x y + 6 x y - 3 x y 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 - 6 x y - 9 x y + x y + 5 x y - 2 x y - 4 x y + 4 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 - 2 x y + 6 x y + 6 x y - 10 x y + x y + 6 x y + 4 x y 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 7 5 6 6 - x y - 2 x y - 5 x y + 4 x y + 2 x y - 3 x y - 2 x y 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 7 2 6 3 - 2 x y + 3 x y + 4 x y - x y + 3 x y - x y - 2 x y 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 5 4 2 - 2 x y + x y - 4 x y - 3 x y + 2 x y + 2 x y + x y + x y 3 3 3 2 2 2 2 / 11 9 11 8 11 7 - 2 x y + 2 x y - x y + x y - 1) / (x y - x y - 2 x y / 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 11 4 + 2 x y - x y - x y + x y + 4 x y - x y - x y 10 5 9 6 9 5 8 6 10 3 8 5 8 4 7 5 - 4 x y + 5 x y - 3 x y + x y + x y - 2 x y + x y + x y 7 4 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 6 2 5 3 - 3 x y + x y - 5 x y + x y + x y + 4 x y + x y + 4 x y 4 4 5 2 4 3 5 4 2 2 2 2 - x y - 2 x y + 2 x y - x y - x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^16*y^14-4*x^16*y^13+2*x^15*y^14+4*x^16*y^12-8*x^15*y^13+4*x^16*y^11+9*x^15* y^12-3*x^14*y^13-10*x^16*y^10+3*x^15*y^11+10*x^14*y^12-4*x^13*y^13+4*x^16*y^9-\ 11*x^15*y^10-7*x^14*y^11+13*x^13*y^12+4*x^16*y^8+3*x^15*y^9-10*x^14*y^10-11*x^ 13*y^11+2*x^12*y^12-4*x^16*y^7+3*x^15*y^8+15*x^14*y^9-2*x^13*y^10-7*x^12*y^11+x ^16*y^6+x^15*y^7-2*x^14*y^8+9*x^12*y^10+2*x^11*y^11-3*x^15*y^6-5*x^14*y^7+9*x^ 13*y^8-5*x^12*y^9-8*x^11*y^10+x^15*y^5+2*x^14*y^6-3*x^13*y^7+x^12*y^8+9*x^11*y^ 9-4*x^10*y^10-4*x^13*y^6-x^12*y^7+2*x^11*y^8+10*x^10*y^9+2*x^13*y^5+3*x^12*y^6-\ 8*x^11*y^7-3*x^10*y^8+6*x^9*y^9-3*x^12*y^5-6*x^10*y^7-9*x^9*y^8+x^12*y^4+5*x^11 *y^5-2*x^10*y^6-4*x^9*y^7+4*x^8*y^8-2*x^11*y^4+6*x^10*y^5+6*x^9*y^6-10*x^8*y^7+ x^10*y^4+6*x^9*y^5+4*x^8*y^6-x^7*y^7-2*x^10*y^3-5*x^9*y^4+4*x^8*y^5+2*x^7*y^6-3 *x^7*y^5-2*x^6*y^6-2*x^8*y^3+3*x^7*y^4+4*x^6*y^5-x^6*y^4+3*x^5*y^5-x^7*y^2-2*x^ 6*y^3-2*x^5*y^4+x^6*y^2-4*x^5*y^3-3*x^4*y^4+2*x^5*y^2+2*x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-2 *x^3*y^3+2*x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^11*y^9-x^11*y^8-2*x^11*y^7+2*x^11*y^6-x^ 10*y^7-x^9*y^8+x^11*y^5+4*x^10*y^6-x^9*y^7-x^11*y^4-4*x^10*y^5+5*x^9*y^6-3*x^9* y^5+x^8*y^6+x^10*y^3-2*x^8*y^5+x^8*y^4+x^7*y^5-3*x^7*y^4+x^7*y^3-5*x^6*y^4+x^5* y^5+x^7*y^2+4*x^6*y^3+x^6*y^2+4*x^5*y^3-x^4*y^4-2*x^5*y^2+2*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y ^2+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 4 a + 2 a + 2 a + 3 a - 10 a + 1 - ------------------------------------- 4 5 a - 1 5 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6530097727 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6550209417 ------------------------------------------------ "Theorem Number 194" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 2], [1, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 14 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 16 10 + 4 x y - 8 x y + 4 x y + 9 x y - 3 x y - 10 x y 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 + 3 x y + 10 x y - 4 x y + 4 x y - 11 x y - 7 x y 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 + 13 x y + 4 x y + 3 x y - 10 x y - 11 x y + 2 x y 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11 16 6 - 4 x y + 3 x y + 15 x y - 2 x y - 7 x y + x y 15 7 14 8 12 10 11 11 15 6 14 7 + x y - 2 x y + 9 x y + 2 x y - 3 x y - 5 x y 13 8 12 9 11 10 15 5 14 6 13 7 12 8 + 9 x y - 5 x y - 8 x y + x y + 2 x y - 3 x y + x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 + 9 x y - 4 x y - 4 x y - x y + 2 x y + 10 x y 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 + 2 x y + 3 x y - 8 x y - 3 x y + 6 x y - 3 x y 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 8 8 - 6 x y - 9 x y + x y + 5 x y - 2 x y - 4 x y + 4 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 - 2 x y + 6 x y + 6 x y - 10 x y + x y + 6 x y + 4 x y 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 7 5 6 6 - x y - 2 x y - 5 x y + 4 x y + 2 x y - 3 x y - 2 x y 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 7 2 6 3 - 2 x y + 3 x y + 4 x y - x y + 3 x y - x y - 2 x y 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 5 4 2 - 2 x y + x y - 4 x y - 3 x y + 2 x y + 2 x y + x y + x y 3 3 3 2 2 2 2 / 11 9 11 8 11 7 - 2 x y + 2 x y - x y + x y - 1) / (x y - x y - 2 x y / 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 11 4 + 2 x y - x y - x y + x y + 4 x y - x y - x y 10 5 9 6 9 5 8 6 10 3 8 5 8 4 7 5 - 4 x y + 5 x y - 3 x y + x y + x y - 2 x y + x y + x y 7 4 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 6 2 5 3 - 3 x y + x y - 5 x y + x y + x y + 4 x y + x y + 4 x y 4 4 5 2 4 3 5 4 2 2 2 2 - x y - 2 x y + 2 x y - x y - x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation -(x^16*y^14-4*x^16*y^13+2*x^15*y^14+4*x^16*y^12-8*x^15*y^13+4*x^16*y^11+9*x^15* y^12-3*x^14*y^13-10*x^16*y^10+3*x^15*y^11+10*x^14*y^12-4*x^13*y^13+4*x^16*y^9-\ 11*x^15*y^10-7*x^14*y^11+13*x^13*y^12+4*x^16*y^8+3*x^15*y^9-10*x^14*y^10-11*x^ 13*y^11+2*x^12*y^12-4*x^16*y^7+3*x^15*y^8+15*x^14*y^9-2*x^13*y^10-7*x^12*y^11+x ^16*y^6+x^15*y^7-2*x^14*y^8+9*x^12*y^10+2*x^11*y^11-3*x^15*y^6-5*x^14*y^7+9*x^ 13*y^8-5*x^12*y^9-8*x^11*y^10+x^15*y^5+2*x^14*y^6-3*x^13*y^7+x^12*y^8+9*x^11*y^ 9-4*x^10*y^10-4*x^13*y^6-x^12*y^7+2*x^11*y^8+10*x^10*y^9+2*x^13*y^5+3*x^12*y^6-\ 8*x^11*y^7-3*x^10*y^8+6*x^9*y^9-3*x^12*y^5-6*x^10*y^7-9*x^9*y^8+x^12*y^4+5*x^11 *y^5-2*x^10*y^6-4*x^9*y^7+4*x^8*y^8-2*x^11*y^4+6*x^10*y^5+6*x^9*y^6-10*x^8*y^7+ x^10*y^4+6*x^9*y^5+4*x^8*y^6-x^7*y^7-2*x^10*y^3-5*x^9*y^4+4*x^8*y^5+2*x^7*y^6-3 *x^7*y^5-2*x^6*y^6-2*x^8*y^3+3*x^7*y^4+4*x^6*y^5-x^6*y^4+3*x^5*y^5-x^7*y^2-2*x^ 6*y^3-2*x^5*y^4+x^6*y^2-4*x^5*y^3-3*x^4*y^4+2*x^5*y^2+2*x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-2 *x^3*y^3+2*x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^11*y^9-x^11*y^8-2*x^11*y^7+2*x^11*y^6-x^ 10*y^7-x^9*y^8+x^11*y^5+4*x^10*y^6-x^9*y^7-x^11*y^4-4*x^10*y^5+5*x^9*y^6-3*x^9* y^5+x^8*y^6+x^10*y^3-2*x^8*y^5+x^8*y^4+x^7*y^5-3*x^7*y^4+x^7*y^3-5*x^6*y^4+x^5* y^5+x^7*y^2+4*x^6*y^3+x^6*y^2+4*x^5*y^3-x^4*y^4-2*x^5*y^2+2*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y ^2+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 4 a + 2 a + 2 a + 3 a - 10 a + 1 - ------------------------------------- 4 5 a - 1 5 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6530097727 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6550209417 ------------------------------------------------ "Theorem Number 195" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 17 20 16 19 17 20 15 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y - x y + 9 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 16 20 14 19 15 18 16 20 13 19 14 + 7 x y - 5 x y - 21 x y - 3 x y - 5 x y + 31 x y 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 + 15 x y + 9 x y - 15 x y - 30 x y - 4 x y - 5 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 - 19 x y + 27 x y + 21 x y - x y + x y + 33 x y 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 16 13 - 41 x y + x y - 19 x y - 27 x y + 36 x y + 17 x y 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 - 3 x y + 4 x y + 30 x y - 12 x y - 57 x y + 3 x y 14 14 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 + x y - 15 x y - 3 x y + 71 x y + 25 x y - 4 x y 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 + 3 x y + 7 x y - 32 x y - 71 x y - 5 x y + 3 x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 - 6 x y - 9 x y + 73 x y + 35 x y - 3 x y + 2 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 + 15 x y - 23 x y - 50 x y - 4 x y + 3 x y - 6 x y 15 8 14 9 12 11 16 6 15 7 14 8 - 13 x y + 31 x y - 7 x y + x y + 11 x y - 11 x y 13 9 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 + 9 x y + 15 x y + 2 x y - 2 x y + 3 x y - 2 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 - 28 x y - 11 x y + x y - 8 x y + 18 x y + 17 x y 14 5 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 - x y + 6 x y + 5 x y - 12 x y + x y - 7 x y + 6 x y 10 8 9 9 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8 + 4 x y - 8 x y - x y + 2 x y - 2 x y - 12 x y + 19 x y 12 4 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 - x y + 8 x y - 5 x y - 10 x y + x y + 2 x y - 11 x y 8 7 11 3 10 4 7 7 10 3 9 4 8 5 + 12 x y - x y - 4 x y - 2 x y + x y + 7 x y - 2 x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 + 3 x y - 2 x y - 5 x y - 3 x y + x y + 4 x y + 2 x y 6 5 7 3 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 - 2 x y - x y + 2 x y + x y + x y - 5 x y - x y + 3 x y 4 4 6 5 2 4 3 5 4 2 3 3 4 + 7 x y + x y + x y - 9 x y - x y + x y + 4 x y + x y 3 2 2 2 2 / 15 11 - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / ((x - 1) (x y / 15 10 15 9 15 8 13 10 15 7 13 9 12 10 - 3 x y + 2 x y + 2 x y - x y - 3 x y + x y - x y 15 6 13 8 12 9 13 7 12 8 13 6 12 7 + x y + 2 x y + x y - 2 x y + 4 x y - x y - 7 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 12 5 11 6 10 7 + x y + x y + 2 x y + x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y 12 4 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 - x y + x y - x y + x y + 5 x y - x y - x y + x y 8 6 10 3 9 4 8 5 8 4 7 5 6 6 8 3 - 2 x y - x y - x y + 5 x y - x y + x y - x y - 2 x y 7 4 6 3 5 4 6 2 4 4 4 3 5 4 2 3 - 2 x y + x y - 2 x y - x y + x y + x y + x y - x y + x y 2 + x y + x y - 1)) and in Maple notation (x^20*y^17-5*x^20*y^16-x^19*y^17+9*x^20*y^15+7*x^19*y^16-5*x^20*y^14-21*x^19*y^ 15-3*x^18*y^16-5*x^20*y^13+31*x^19*y^14+15*x^18*y^15+9*x^20*y^12-15*x^19*y^13-\ 30*x^18*y^14-4*x^17*y^15-5*x^20*y^11-19*x^19*y^12+27*x^18*y^13+21*x^17*y^14-x^ 16*y^15+x^20*y^10+33*x^19*y^11-41*x^17*y^13+x^16*y^14-19*x^19*y^10-27*x^18*y^11 +36*x^17*y^12+17*x^16*y^13-3*x^15*y^14+4*x^19*y^9+30*x^18*y^10-12*x^17*y^11-57* x^16*y^12+3*x^15*y^13+x^14*y^14-15*x^18*y^9-3*x^17*y^10+71*x^16*y^11+25*x^15*y^ 12-4*x^14*y^13+3*x^18*y^8+7*x^17*y^9-32*x^16*y^10-71*x^15*y^11-5*x^14*y^12+3*x^ 13*y^13-6*x^17*y^8-9*x^16*y^9+73*x^15*y^10+35*x^14*y^11-3*x^13*y^12+2*x^17*y^7+ 15*x^16*y^8-23*x^15*y^9-50*x^14*y^10-4*x^13*y^11+3*x^12*y^12-6*x^16*y^7-13*x^15 *y^8+31*x^14*y^9-7*x^12*y^11+x^16*y^6+11*x^15*y^7-11*x^14*y^8+9*x^13*y^9+15*x^ 12*y^10+2*x^11*y^11-2*x^15*y^6+3*x^14*y^7-2*x^13*y^8-28*x^12*y^9-11*x^11*y^10+x ^14*y^6-8*x^13*y^7+18*x^12*y^8+17*x^11*y^9-x^14*y^5+6*x^13*y^6+5*x^12*y^7-12*x^ 11*y^8+x^10*y^9-7*x^12*y^6+6*x^11*y^7+4*x^10*y^8-8*x^9*y^9-x^13*y^4+2*x^12*y^5-\ 2*x^11*y^6-12*x^10*y^7+19*x^9*y^8-x^12*y^4+8*x^10*y^6-5*x^9*y^7-10*x^8*y^8+x^11 *y^4+2*x^10*y^5-11*x^9*y^6+12*x^8*y^7-x^11*y^3-4*x^10*y^4-2*x^7*y^7+x^10*y^3+7* x^9*y^4-2*x^8*y^5+3*x^7*y^6-2*x^9*y^3-5*x^8*y^4-3*x^7*y^5+x^6*y^6+4*x^8*y^3+2*x ^7*y^4-2*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^5*y^5+x^7*y^2+x^6*y^3-5*x^5*y^4-x^6*y^2+3*x^5*y^3+ 7*x^4*y^4+x^6*y+x^5*y^2-9*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-4*x^3*y^2+2*x^2 *y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x-1)/(x^15*y^11-3*x^15*y^10+2*x^15*y^9+2*x^15*y^8-x^13*y ^10-3*x^15*y^7+x^13*y^9-x^12*y^10+x^15*y^6+2*x^13*y^8+x^12*y^9-2*x^13*y^7+4*x^ 12*y^8-x^13*y^6-7*x^12*y^7+x^10*y^9+x^13*y^5+2*x^12*y^6+x^11*y^7+2*x^12*y^5-2*x ^11*y^6-3*x^10*y^7-x^12*y^4+x^11*y^5-x^10*y^6+x^9*y^7+5*x^10*y^5-x^9*y^6-x^10*y ^4+x^9*y^5-2*x^8*y^6-x^10*y^3-x^9*y^4+5*x^8*y^5-x^8*y^4+x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^8*y ^3-2*x^7*y^4+x^6*y^3-2*x^5*y^4-x^6*y^2+x^4*y^4+x^4*y^3+x^5*y-x^4*y^2+x^3*y+x^2* y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6548668653 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 196" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 2], [2, 1, 1, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 17 20 16 19 17 20 15 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y - x y + 9 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 16 20 14 19 15 18 16 20 13 19 14 + 7 x y - 5 x y - 21 x y - 3 x y - 5 x y + 31 x y 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 20 11 + 15 x y + 9 x y - 15 x y - 30 x y - 4 x y - 5 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 - 19 x y + 27 x y + 21 x y - x y + x y + 33 x y 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 16 13 - 41 x y + x y - 19 x y - 27 x y + 36 x y + 17 x y 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 - 3 x y + 4 x y + 30 x y - 12 x y - 57 x y + 3 x y 14 14 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 + x y - 15 x y - 3 x y + 71 x y + 25 x y - 4 x y 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 + 3 x y + 7 x y - 32 x y - 71 x y - 5 x y + 3 x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 - 6 x y - 9 x y + 73 x y + 35 x y - 3 x y + 2 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 + 15 x y - 23 x y - 50 x y - 4 x y + 3 x y - 6 x y 15 8 14 9 12 11 16 6 15 7 14 8 - 13 x y + 31 x y - 7 x y + x y + 11 x y - 11 x y 13 9 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 + 9 x y + 15 x y + 2 x y - 2 x y + 3 x y - 2 x y 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 11 9 - 28 x y - 11 x y + x y - 8 x y + 18 x y + 17 x y 14 5 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 - x y + 6 x y + 5 x y - 12 x y + x y - 7 x y + 6 x y 10 8 9 9 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8 + 4 x y - 8 x y - x y + 2 x y - 2 x y - 12 x y + 19 x y 12 4 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 - x y + 8 x y - 5 x y - 10 x y + x y + 2 x y - 11 x y 8 7 11 3 10 4 7 7 10 3 9 4 8 5 + 12 x y - x y - 4 x y - 2 x y + x y + 7 x y - 2 x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 + 3 x y - 2 x y - 5 x y - 3 x y + x y + 4 x y + 2 x y 6 5 7 3 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 - 2 x y - x y + 2 x y + x y + x y - 5 x y - x y + 3 x y 4 4 6 5 2 4 3 5 4 2 3 3 4 + 7 x y + x y + x y - 9 x y - x y + x y + 4 x y + x y 3 2 2 2 2 / 15 11 - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / ((x - 1) (x y / 15 10 15 9 15 8 13 10 15 7 13 9 12 10 - 3 x y + 2 x y + 2 x y - x y - 3 x y + x y - x y 15 6 13 8 12 9 13 7 12 8 13 6 12 7 + x y + 2 x y + x y - 2 x y + 4 x y - x y - 7 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 12 5 11 6 10 7 + x y + x y + 2 x y + x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y 12 4 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 - x y + x y - x y + x y + 5 x y - x y - x y + x y 8 6 10 3 9 4 8 5 8 4 7 5 6 6 8 3 - 2 x y - x y - x y + 5 x y - x y + x y - x y - 2 x y 7 4 6 3 5 4 6 2 4 4 4 3 5 4 2 3 - 2 x y + x y - 2 x y - x y + x y + x y + x y - x y + x y 2 + x y + x y - 1)) and in Maple notation (x^20*y^17-5*x^20*y^16-x^19*y^17+9*x^20*y^15+7*x^19*y^16-5*x^20*y^14-21*x^19*y^ 15-3*x^18*y^16-5*x^20*y^13+31*x^19*y^14+15*x^18*y^15+9*x^20*y^12-15*x^19*y^13-\ 30*x^18*y^14-4*x^17*y^15-5*x^20*y^11-19*x^19*y^12+27*x^18*y^13+21*x^17*y^14-x^ 16*y^15+x^20*y^10+33*x^19*y^11-41*x^17*y^13+x^16*y^14-19*x^19*y^10-27*x^18*y^11 +36*x^17*y^12+17*x^16*y^13-3*x^15*y^14+4*x^19*y^9+30*x^18*y^10-12*x^17*y^11-57* x^16*y^12+3*x^15*y^13+x^14*y^14-15*x^18*y^9-3*x^17*y^10+71*x^16*y^11+25*x^15*y^ 12-4*x^14*y^13+3*x^18*y^8+7*x^17*y^9-32*x^16*y^10-71*x^15*y^11-5*x^14*y^12+3*x^ 13*y^13-6*x^17*y^8-9*x^16*y^9+73*x^15*y^10+35*x^14*y^11-3*x^13*y^12+2*x^17*y^7+ 15*x^16*y^8-23*x^15*y^9-50*x^14*y^10-4*x^13*y^11+3*x^12*y^12-6*x^16*y^7-13*x^15 *y^8+31*x^14*y^9-7*x^12*y^11+x^16*y^6+11*x^15*y^7-11*x^14*y^8+9*x^13*y^9+15*x^ 12*y^10+2*x^11*y^11-2*x^15*y^6+3*x^14*y^7-2*x^13*y^8-28*x^12*y^9-11*x^11*y^10+x ^14*y^6-8*x^13*y^7+18*x^12*y^8+17*x^11*y^9-x^14*y^5+6*x^13*y^6+5*x^12*y^7-12*x^ 11*y^8+x^10*y^9-7*x^12*y^6+6*x^11*y^7+4*x^10*y^8-8*x^9*y^9-x^13*y^4+2*x^12*y^5-\ 2*x^11*y^6-12*x^10*y^7+19*x^9*y^8-x^12*y^4+8*x^10*y^6-5*x^9*y^7-10*x^8*y^8+x^11 *y^4+2*x^10*y^5-11*x^9*y^6+12*x^8*y^7-x^11*y^3-4*x^10*y^4-2*x^7*y^7+x^10*y^3+7* x^9*y^4-2*x^8*y^5+3*x^7*y^6-2*x^9*y^3-5*x^8*y^4-3*x^7*y^5+x^6*y^6+4*x^8*y^3+2*x ^7*y^4-2*x^6*y^5-x^7*y^3+2*x^5*y^5+x^7*y^2+x^6*y^3-5*x^5*y^4-x^6*y^2+3*x^5*y^3+ 7*x^4*y^4+x^6*y+x^5*y^2-9*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-4*x^3*y^2+2*x^2 *y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x-1)/(x^15*y^11-3*x^15*y^10+2*x^15*y^9+2*x^15*y^8-x^13*y ^10-3*x^15*y^7+x^13*y^9-x^12*y^10+x^15*y^6+2*x^13*y^8+x^12*y^9-2*x^13*y^7+4*x^ 12*y^8-x^13*y^6-7*x^12*y^7+x^10*y^9+x^13*y^5+2*x^12*y^6+x^11*y^7+2*x^12*y^5-2*x ^11*y^6-3*x^10*y^7-x^12*y^4+x^11*y^5-x^10*y^6+x^9*y^7+5*x^10*y^5-x^9*y^6-x^10*y ^4+x^9*y^5-2*x^8*y^6-x^10*y^3-x^9*y^4+5*x^8*y^5-x^8*y^4+x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^8*y ^3-2*x^7*y^4+x^6*y^3-2*x^5*y^4-x^6*y^2+x^4*y^4+x^4*y^3+x^5*y-x^4*y^2+x^3*y+x^2* y+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6548668653 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 197" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [2, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 14 11 13 12 14 10 13 11 12 12 + 2 x y + x y - 8 x y + x y + 11 x y + 4 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 5 x y - 4 x y - 14 x y + 4 x y - 4 x y + 15 x y 11 11 14 7 13 8 11 10 13 7 12 8 11 9 + x y - x y + 4 x y - 5 x y - x y - 9 x y + 7 x y 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - x y + 3 x y + x y + 3 x y + 2 x y - 9 x y - 5 x y 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 6 x y - x y + 5 x y + 7 x y + 12 x y + x y - 7 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 8 7 10 4 9 5 - 5 x y - 6 x y - x y + 4 x y + 13 x y - x y - 3 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 - 7 x y - 9 x y + 2 x y - 2 x y + 15 x y + 2 x y - 4 x y 6 6 7 4 6 5 6 4 7 2 6 3 5 3 - 4 x y - 3 x y + 8 x y - 3 x y + x y - 2 x y + 2 x y 4 4 6 5 2 4 3 3 3 4 3 2 2 2 + 5 x y + x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y - x y - x y + x y 2 / 15 13 15 12 15 11 14 12 - x y + x y - x + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y + x y / 15 10 14 11 15 9 14 10 13 11 14 9 - 4 x y - 3 x y + x y + 2 x y + x y + 2 x y 13 10 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 - 3 x y - 3 x y + 3 x y + x y + x y - x y - 4 x y 12 8 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 11 6 + 6 x y - 4 x y - 2 x y + x y + 5 x y - 2 x y - 3 x y 10 7 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 + 3 x y - x y + x y - 3 x y + x y - 3 x y + 4 x y 10 4 9 5 8 6 9 4 8 5 8 4 8 3 7 3 + x y + x y - x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y 6 4 7 2 6 3 4 4 6 4 3 4 3 2 2 2 + 3 x y + x y - 2 x y - x y - x y + x y + x y - x y + x y 2 - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^14*y^14-3*x^14*y^13+2*x^14*y^12+2*x^13*y^13+x^14*y^11-8*x^13*y^12+x^14*y^10 +11*x^13*y^11+4*x^12*y^12-5*x^14*y^9-4*x^13*y^10-14*x^12*y^11+4*x^14*y^8-4*x^13 *y^9+15*x^12*y^10+x^11*y^11-x^14*y^7+4*x^13*y^8-5*x^11*y^10-x^13*y^7-9*x^12*y^8 +7*x^11*y^9-x^10*y^10+3*x^12*y^7+x^11*y^8+3*x^10*y^9+2*x^12*y^6-9*x^11*y^7-5*x^ 10*y^8-6*x^9*y^9-x^12*y^5+5*x^11*y^6+7*x^10*y^7+12*x^9*y^8+x^11*y^5-7*x^10*y^6-\ 5*x^9*y^7-6*x^8*y^8-x^11*y^4+4*x^10*y^5+13*x^8*y^7-x^10*y^4-3*x^9*y^5-7*x^8*y^6 -9*x^7*y^7+2*x^9*y^4-2*x^8*y^5+15*x^7*y^6+2*x^8*y^4-4*x^7*y^5-4*x^6*y^6-3*x^7*y ^4+8*x^6*y^5-3*x^6*y^4+x^7*y^2-2*x^6*y^3+2*x^5*y^3+5*x^4*y^4+x^6*y-2*x^5*y^2-3* x^4*y^3+2*x^3*y^3-x^4*y-x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^15*y^13-4*x^15*y^12+6 *x^15*y^11+x^14*y^12-4*x^15*y^10-3*x^14*y^11+x^15*y^9+2*x^14*y^10+x^13*y^11+2*x ^14*y^9-3*x^13*y^10-3*x^14*y^8+3*x^13*y^9+x^12*y^10+x^14*y^7-x^13*y^8-4*x^12*y^ 9+6*x^12*y^8-4*x^12*y^7-2*x^11*y^8+x^12*y^6+5*x^11*y^7-2*x^10*y^8-3*x^11*y^6+3* x^10*y^7-x^11*y^5+x^10*y^6-3*x^9*y^7+x^11*y^4-3*x^10*y^5+4*x^9*y^6+x^10*y^4+x^9 *y^5-x^8*y^6-2*x^9*y^4+2*x^8*y^5-2*x^8*y^4+x^8*y^3-x^7*y^3+3*x^6*y^4+x^7*y^2-2* x^6*y^3-x^4*y^4-x^6*y+x^4*y^3+x^4*y-x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 9 8 7 6 5 4 3 2 (a + 2 a - 2 a + a + a - 8 a + 2 a + 1) ------------------------------------------------ 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6533838302 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6547238892 ------------------------------------------------ "Theorem Number 198" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [1, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 14 11 13 12 14 10 13 11 12 12 + 2 x y + x y - 8 x y + x y + 11 x y + 4 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 5 x y - 4 x y - 14 x y + 4 x y - 4 x y + 15 x y 11 11 14 7 13 8 11 10 13 7 12 8 11 9 + x y - x y + 4 x y - 5 x y - x y - 9 x y + 7 x y 10 10 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 - x y + 3 x y + x y + 3 x y + 2 x y - 9 x y - 5 x y 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 6 x y - x y + 5 x y + 7 x y + 12 x y + x y - 7 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 8 7 10 4 9 5 - 5 x y - 6 x y - x y + 4 x y + 13 x y - x y - 3 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 - 7 x y - 9 x y + 2 x y - 2 x y + 15 x y + 2 x y - 4 x y 6 6 7 4 6 5 6 4 7 2 6 3 5 3 - 4 x y - 3 x y + 8 x y - 3 x y + x y - 2 x y + 2 x y 4 4 6 5 2 4 3 3 3 4 3 2 2 2 + 5 x y + x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y - x y - x y + x y 2 / 15 13 15 12 15 11 14 12 - x y + x y - x + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y + x y / 15 10 14 11 15 9 14 10 13 11 14 9 - 4 x y - 3 x y + x y + 2 x y + x y + 2 x y 13 10 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 - 3 x y - 3 x y + 3 x y + x y + x y - x y - 4 x y 12 8 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 11 6 + 6 x y - 4 x y - 2 x y + x y + 5 x y - 2 x y - 3 x y 10 7 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 + 3 x y - x y + x y - 3 x y + x y - 3 x y + 4 x y 10 4 9 5 8 6 9 4 8 5 8 4 8 3 7 3 + x y + x y - x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y 6 4 7 2 6 3 4 4 6 4 3 4 3 2 2 2 + 3 x y + x y - 2 x y - x y - x y + x y + x y - x y + x y 2 - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^14*y^14-3*x^14*y^13+2*x^14*y^12+2*x^13*y^13+x^14*y^11-8*x^13*y^12+x^14*y^10 +11*x^13*y^11+4*x^12*y^12-5*x^14*y^9-4*x^13*y^10-14*x^12*y^11+4*x^14*y^8-4*x^13 *y^9+15*x^12*y^10+x^11*y^11-x^14*y^7+4*x^13*y^8-5*x^11*y^10-x^13*y^7-9*x^12*y^8 +7*x^11*y^9-x^10*y^10+3*x^12*y^7+x^11*y^8+3*x^10*y^9+2*x^12*y^6-9*x^11*y^7-5*x^ 10*y^8-6*x^9*y^9-x^12*y^5+5*x^11*y^6+7*x^10*y^7+12*x^9*y^8+x^11*y^5-7*x^10*y^6-\ 5*x^9*y^7-6*x^8*y^8-x^11*y^4+4*x^10*y^5+13*x^8*y^7-x^10*y^4-3*x^9*y^5-7*x^8*y^6 -9*x^7*y^7+2*x^9*y^4-2*x^8*y^5+15*x^7*y^6+2*x^8*y^4-4*x^7*y^5-4*x^6*y^6-3*x^7*y ^4+8*x^6*y^5-3*x^6*y^4+x^7*y^2-2*x^6*y^3+2*x^5*y^3+5*x^4*y^4+x^6*y-2*x^5*y^2-3* x^4*y^3+2*x^3*y^3-x^4*y-x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^15*y^13-4*x^15*y^12+6 *x^15*y^11+x^14*y^12-4*x^15*y^10-3*x^14*y^11+x^15*y^9+2*x^14*y^10+x^13*y^11+2*x ^14*y^9-3*x^13*y^10-3*x^14*y^8+3*x^13*y^9+x^12*y^10+x^14*y^7-x^13*y^8-4*x^12*y^ 9+6*x^12*y^8-4*x^12*y^7-2*x^11*y^8+x^12*y^6+5*x^11*y^7-2*x^10*y^8-3*x^11*y^6+3* x^10*y^7-x^11*y^5+x^10*y^6-3*x^9*y^7+x^11*y^4-3*x^10*y^5+4*x^9*y^6+x^10*y^4+x^9 *y^5-x^8*y^6-2*x^9*y^4+2*x^8*y^5-2*x^8*y^4+x^8*y^3-x^7*y^3+3*x^6*y^4+x^7*y^2-2* x^6*y^3-x^4*y^4-x^6*y+x^4*y^3+x^4*y-x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 9 8 7 6 5 4 3 2 (a + 2 a - 2 a + a + a - 8 a + 2 a + 1) ------------------------------------------------ 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6533838302 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6547238892 ------------------------------------------------ "Theorem Number 199" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [1, 2, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 18 22 17 21 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 16 21 17 20 18 22 15 21 16 20 17 + 15 x y + 23 x y + x y - 20 x y - 55 x y - 8 x y 22 14 21 15 20 16 19 17 22 13 + 15 x y + 70 x y + 28 x y + 3 x y - 6 x y 21 14 20 15 19 16 22 12 21 13 20 14 - 50 x y - 56 x y - 17 x y + x y + 19 x y + 70 x y 19 15 18 16 21 12 20 13 19 14 + 42 x y + 11 x y - 3 x y - 56 x y - 56 x y 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 - 49 x y - 2 x y + 28 x y + 37 x y + 84 x y 17 15 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 + 15 x y - 8 x y - x y - 64 x y - 42 x y - 6 x y 20 10 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 + x y - 16 x y + 10 x y + 55 x y + 23 x y + 10 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 19 9 + 19 x y - 29 x y - 41 x y - 10 x y - 2 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 - 16 x y - 9 x y + 43 x y + 26 x y + x y + 6 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 + 23 x y - 18 x y - 11 x y - 8 x y - x y - 16 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 - 13 x y - 24 x y + 14 x y + 3 x y + 6 x y + 17 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 + 28 x y + 3 x y - 5 x y - x y - 5 x y - 10 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - 31 x y + 2 x y + 3 x y + x y + 37 x y + 4 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 + 5 x y - 24 x y - 17 x y - 30 x y + x y + 10 x y 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 + 22 x y + 31 x y + x y - 2 x y - 10 x y - 10 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 - 7 x y - 2 x y + x y + 7 x y + 5 x y + 13 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 - 10 x y + x y - 22 x y - 5 x y + 5 x y + x y + 13 x y 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 + 13 x y - x y - 2 x y + 2 x y - 5 x y - 4 x y - 2 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 + 2 x y - x y - 4 x y - x y - 7 x y + x y + 2 x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 - 3 x y + 2 x y + x y + x y + 7 x y - 2 x y + x y - 4 x y 6 5 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 5 3 - 4 x y + 6 x y - 3 x y + x y - x y + 2 x y + 4 x y 4 4 5 2 4 3 5 3 3 4 3 2 2 2 + 4 x y - 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + x y 2 / 21 17 21 16 21 15 20 16 21 14 - x y + 1) / (x y - 5 x y + 10 x y - x y - 10 x y / 20 15 19 16 21 13 20 14 19 15 21 12 + 4 x y - x y + 5 x y - 5 x y + 4 x y - x y 19 14 18 15 20 12 19 13 18 14 20 11 - 6 x y - 2 x y + 5 x y + 3 x y + 9 x y - 4 x y 19 12 18 13 17 14 20 10 19 11 18 12 + 3 x y - 17 x y + 3 x y + x y - 6 x y + 19 x y 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 16 13 - 11 x y + 2 x y + 4 x y - 16 x y + 16 x y - 6 x y 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 - x y + 11 x y - 14 x y + 8 x y + x y - 5 x y 17 10 16 11 15 12 18 8 17 9 16 10 + 12 x y - 8 x y - 4 x y + x y - 10 x y + 6 x y 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 14 11 + 6 x y - 3 x y + 5 x y - 2 x y - 6 x y + 8 x y 13 12 17 7 15 9 14 10 13 11 15 8 - x y - x y + 7 x y - 9 x y + 2 x y - 6 x y 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 + 11 x y - 3 x y + 2 x y - 15 x y + 7 x y + x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 + 11 x y - 11 x y - x y + x y - 3 x y + 11 x y - x y 11 9 13 6 12 7 13 5 12 6 11 7 10 8 - x y - 7 x y + 4 x y + 2 x y - 7 x y - 4 x y - 3 x y 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 + 5 x y + 4 x y + x y - 2 x y - x y + 2 x y + 6 x y 9 7 11 4 10 5 8 7 10 4 9 5 8 6 + 5 x y - 2 x y - 3 x y + x y - 2 x y - 5 x y - 2 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 6 6 8 3 7 4 + x y + x y + 2 x y + 3 x y + x y + x y - x y - 3 x y 6 5 6 4 5 5 7 2 6 3 6 2 5 3 - 3 x y - 3 x y - x y + x y + 2 x y + 2 x y + 2 x y 4 3 5 4 2 2 2 + 2 x y - x y - x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^22*y^18-6*x^22*y^17-4*x^21*y^18+15*x^22*y^16+23*x^21*y^17+x^20*y^18-20*x^22* y^15-55*x^21*y^16-8*x^20*y^17+15*x^22*y^14+70*x^21*y^15+28*x^20*y^16+3*x^19*y^ 17-6*x^22*y^13-50*x^21*y^14-56*x^20*y^15-17*x^19*y^16+x^22*y^12+19*x^21*y^13+70 *x^20*y^14+42*x^19*y^15+11*x^18*y^16-3*x^21*y^12-56*x^20*y^13-56*x^19*y^14-49*x ^18*y^15-2*x^17*y^16+28*x^20*y^12+37*x^19*y^13+84*x^18*y^14+15*x^17*y^15-8*x^20 *y^11-x^19*y^12-64*x^18*y^13-42*x^17*y^14-6*x^16*y^15+x^20*y^10-16*x^19*y^11+10 *x^18*y^12+55*x^17*y^13+23*x^16*y^14+10*x^19*y^10+19*x^18*y^11-29*x^17*y^12-41* x^16*y^13-10*x^15*y^14-2*x^19*y^9-16*x^18*y^10-9*x^17*y^11+43*x^16*y^12+26*x^15 *y^13+x^14*y^14+6*x^18*y^9+23*x^17*y^10-18*x^16*y^11-11*x^15*y^12-8*x^14*y^13-x ^18*y^8-16*x^17*y^9-13*x^16*y^10-24*x^15*y^11+14*x^14*y^12+3*x^13*y^13+6*x^17*y ^8+17*x^16*y^9+28*x^15*y^10+3*x^14*y^11-5*x^13*y^12-x^17*y^7-5*x^16*y^8-10*x^15 *y^9-31*x^14*y^10+2*x^13*y^11+3*x^12*y^12+x^15*y^8+37*x^14*y^9+4*x^13*y^10+5*x^ 12*y^11-24*x^14*y^8-17*x^13*y^9-30*x^12*y^10+x^11*y^11+10*x^14*y^7+22*x^13*y^8+ 31*x^12*y^9+x^11*y^10-2*x^14*y^6-10*x^13*y^7-10*x^12*y^8-7*x^11*y^9-2*x^10*y^10 +x^13*y^6+7*x^12*y^7+5*x^11*y^8+13*x^10*y^9-10*x^12*y^6+x^11*y^7-22*x^10*y^8-5* x^9*y^9+5*x^12*y^5+x^11*y^6+13*x^10*y^7+13*x^9*y^8-x^12*y^4-2*x^11*y^5+2*x^10*y ^6-5*x^9*y^7-4*x^10*y^5-2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^10*y^4-4*x^9*y^5-x^8*y^6-7*x^7*y^ 7+x^10*y^3+2*x^9*y^4-3*x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^9*y^3+x^8*y^4+7*x^7*y^5-2*x^6*y^6+x^ 8*y^3-4*x^7*y^4-4*x^6*y^5+6*x^6*y^4-3*x^5*y^5+x^7*y^2-x^6*y^3+2*x^5*y^4+4*x^5*y ^3+4*x^4*y^4-2*x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^5*y+2*x^3*y^3-x^4*y-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+ 1)/(x^21*y^17-5*x^21*y^16+10*x^21*y^15-x^20*y^16-10*x^21*y^14+4*x^20*y^15-x^19* y^16+5*x^21*y^13-5*x^20*y^14+4*x^19*y^15-x^21*y^12-6*x^19*y^14-2*x^18*y^15+5*x^ 20*y^12+3*x^19*y^13+9*x^18*y^14-4*x^20*y^11+3*x^19*y^12-17*x^18*y^13+3*x^17*y^ 14+x^20*y^10-6*x^19*y^11+19*x^18*y^12-11*x^17*y^13+2*x^16*y^14+4*x^19*y^10-16*x ^18*y^11+16*x^17*y^12-6*x^16*y^13-x^19*y^9+11*x^18*y^10-14*x^17*y^11+8*x^16*y^ 12+x^15*y^13-5*x^18*y^9+12*x^17*y^10-8*x^16*y^11-4*x^15*y^12+x^18*y^8-10*x^17*y ^9+6*x^16*y^10+6*x^15*y^11-3*x^14*y^12+5*x^17*y^8-2*x^16*y^9-6*x^15*y^10+8*x^14 *y^11-x^13*y^12-x^17*y^7+7*x^15*y^9-9*x^14*y^10+2*x^13*y^11-6*x^15*y^8+11*x^14* y^9-3*x^13*y^10+2*x^15*y^7-15*x^14*y^8+7*x^13*y^9+x^12*y^10+11*x^14*y^7-11*x^13 *y^8-x^12*y^9+x^11*y^10-3*x^14*y^6+11*x^13*y^7-x^12*y^8-x^11*y^9-7*x^13*y^6+4*x ^12*y^7+2*x^13*y^5-7*x^12*y^6-4*x^11*y^7-3*x^10*y^8+5*x^12*y^5+4*x^11*y^6+x^10* y^7-2*x^9*y^8-x^12*y^4+2*x^11*y^5+6*x^10*y^6+5*x^9*y^7-2*x^11*y^4-3*x^10*y^5+x^ 8*y^7-2*x^10*y^4-5*x^9*y^5-2*x^8*y^6+x^10*y^3+x^9*y^4+2*x^8*y^5+3*x^7*y^6+x^9*y ^3+x^6*y^6-x^8*y^3-3*x^7*y^4-3*x^6*y^5-3*x^6*y^4-x^5*y^5+x^7*y^2+2*x^6*y^3+2*x^ 6*y^2+2*x^5*y^3+2*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6516388520 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 200" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 1, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 18 22 17 21 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 6 x y - 4 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 16 21 17 20 18 22 15 21 16 20 17 + 15 x y + 23 x y + x y - 20 x y - 55 x y - 8 x y 22 14 21 15 20 16 19 17 22 13 + 15 x y + 70 x y + 28 x y + 3 x y - 6 x y 21 14 20 15 19 16 22 12 21 13 20 14 - 50 x y - 56 x y - 17 x y + x y + 19 x y + 70 x y 19 15 18 16 21 12 20 13 19 14 + 42 x y + 11 x y - 3 x y - 56 x y - 56 x y 18 15 17 16 20 12 19 13 18 14 - 49 x y - 2 x y + 28 x y + 37 x y + 84 x y 17 15 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 + 15 x y - 8 x y - x y - 64 x y - 42 x y - 6 x y 20 10 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 + x y - 16 x y + 10 x y + 55 x y + 23 x y + 10 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 19 9 + 19 x y - 29 x y - 41 x y - 10 x y - 2 x y 18 10 17 11 16 12 15 13 14 14 18 9 - 16 x y - 9 x y + 43 x y + 26 x y + x y + 6 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 + 23 x y - 18 x y - 11 x y - 8 x y - x y - 16 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 - 13 x y - 24 x y + 14 x y + 3 x y + 6 x y + 17 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 + 28 x y + 3 x y - 5 x y - x y - 5 x y - 10 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - 31 x y + 2 x y + 3 x y + x y + 37 x y + 4 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 + 5 x y - 24 x y - 17 x y - 30 x y + x y + 10 x y 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 + 22 x y + 31 x y + x y - 2 x y - 10 x y - 10 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 - 7 x y - 2 x y + x y + 7 x y + 5 x y + 13 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 - 10 x y + x y - 22 x y - 5 x y + 5 x y + x y + 13 x y 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 10 5 9 6 + 13 x y - x y - 2 x y + 2 x y - 5 x y - 4 x y - 2 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 + 2 x y - x y - 4 x y - x y - 7 x y + x y + 2 x y 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 - 3 x y + 2 x y + x y + x y + 7 x y - 2 x y + x y - 4 x y 6 5 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 5 3 - 4 x y + 6 x y - 3 x y + x y - x y + 2 x y + 4 x y 4 4 5 2 4 3 5 3 3 4 3 2 2 2 + 4 x y - 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y - 2 x y + x y 2 / 21 17 21 16 21 15 20 16 21 14 - x y + 1) / (x y - 5 x y + 10 x y - x y - 10 x y / 20 15 19 16 21 13 20 14 19 15 21 12 + 4 x y - x y + 5 x y - 5 x y + 4 x y - x y 19 14 18 15 20 12 19 13 18 14 20 11 - 6 x y - 2 x y + 5 x y + 3 x y + 9 x y - 4 x y 19 12 18 13 17 14 20 10 19 11 18 12 + 3 x y - 17 x y + 3 x y + x y - 6 x y + 19 x y 17 13 16 14 19 10 18 11 17 12 16 13 - 11 x y + 2 x y + 4 x y - 16 x y + 16 x y - 6 x y 19 9 18 10 17 11 16 12 15 13 18 9 - x y + 11 x y - 14 x y + 8 x y + x y - 5 x y 17 10 16 11 15 12 18 8 17 9 16 10 + 12 x y - 8 x y - 4 x y + x y - 10 x y + 6 x y 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 14 11 + 6 x y - 3 x y + 5 x y - 2 x y - 6 x y + 8 x y 13 12 17 7 15 9 14 10 13 11 15 8 - x y - x y + 7 x y - 9 x y + 2 x y - 6 x y 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 + 11 x y - 3 x y + 2 x y - 15 x y + 7 x y + x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 + 11 x y - 11 x y - x y + x y - 3 x y + 11 x y - x y 11 9 13 6 12 7 13 5 12 6 11 7 10 8 - x y - 7 x y + 4 x y + 2 x y - 7 x y - 4 x y - 3 x y 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 + 5 x y + 4 x y + x y - 2 x y - x y + 2 x y + 6 x y 9 7 11 4 10 5 8 7 10 4 9 5 8 6 + 5 x y - 2 x y - 3 x y + x y - 2 x y - 5 x y - 2 x y 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 6 6 8 3 7 4 + x y + x y + 2 x y + 3 x y + x y + x y - x y - 3 x y 6 5 6 4 5 5 7 2 6 3 6 2 5 3 - 3 x y - 3 x y - x y + x y + 2 x y + 2 x y + 2 x y 4 3 5 4 2 2 2 + 2 x y - x y - x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^22*y^18-6*x^22*y^17-4*x^21*y^18+15*x^22*y^16+23*x^21*y^17+x^20*y^18-20*x^22* y^15-55*x^21*y^16-8*x^20*y^17+15*x^22*y^14+70*x^21*y^15+28*x^20*y^16+3*x^19*y^ 17-6*x^22*y^13-50*x^21*y^14-56*x^20*y^15-17*x^19*y^16+x^22*y^12+19*x^21*y^13+70 *x^20*y^14+42*x^19*y^15+11*x^18*y^16-3*x^21*y^12-56*x^20*y^13-56*x^19*y^14-49*x ^18*y^15-2*x^17*y^16+28*x^20*y^12+37*x^19*y^13+84*x^18*y^14+15*x^17*y^15-8*x^20 *y^11-x^19*y^12-64*x^18*y^13-42*x^17*y^14-6*x^16*y^15+x^20*y^10-16*x^19*y^11+10 *x^18*y^12+55*x^17*y^13+23*x^16*y^14+10*x^19*y^10+19*x^18*y^11-29*x^17*y^12-41* x^16*y^13-10*x^15*y^14-2*x^19*y^9-16*x^18*y^10-9*x^17*y^11+43*x^16*y^12+26*x^15 *y^13+x^14*y^14+6*x^18*y^9+23*x^17*y^10-18*x^16*y^11-11*x^15*y^12-8*x^14*y^13-x ^18*y^8-16*x^17*y^9-13*x^16*y^10-24*x^15*y^11+14*x^14*y^12+3*x^13*y^13+6*x^17*y ^8+17*x^16*y^9+28*x^15*y^10+3*x^14*y^11-5*x^13*y^12-x^17*y^7-5*x^16*y^8-10*x^15 *y^9-31*x^14*y^10+2*x^13*y^11+3*x^12*y^12+x^15*y^8+37*x^14*y^9+4*x^13*y^10+5*x^ 12*y^11-24*x^14*y^8-17*x^13*y^9-30*x^12*y^10+x^11*y^11+10*x^14*y^7+22*x^13*y^8+ 31*x^12*y^9+x^11*y^10-2*x^14*y^6-10*x^13*y^7-10*x^12*y^8-7*x^11*y^9-2*x^10*y^10 +x^13*y^6+7*x^12*y^7+5*x^11*y^8+13*x^10*y^9-10*x^12*y^6+x^11*y^7-22*x^10*y^8-5* x^9*y^9+5*x^12*y^5+x^11*y^6+13*x^10*y^7+13*x^9*y^8-x^12*y^4-2*x^11*y^5+2*x^10*y ^6-5*x^9*y^7-4*x^10*y^5-2*x^9*y^6+2*x^8*y^7-x^10*y^4-4*x^9*y^5-x^8*y^6-7*x^7*y^ 7+x^10*y^3+2*x^9*y^4-3*x^8*y^5+2*x^7*y^6+x^9*y^3+x^8*y^4+7*x^7*y^5-2*x^6*y^6+x^ 8*y^3-4*x^7*y^4-4*x^6*y^5+6*x^6*y^4-3*x^5*y^5+x^7*y^2-x^6*y^3+2*x^5*y^4+4*x^5*y ^3+4*x^4*y^4-2*x^5*y^2-2*x^4*y^3-x^5*y+2*x^3*y^3-x^4*y-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+ 1)/(x^21*y^17-5*x^21*y^16+10*x^21*y^15-x^20*y^16-10*x^21*y^14+4*x^20*y^15-x^19* y^16+5*x^21*y^13-5*x^20*y^14+4*x^19*y^15-x^21*y^12-6*x^19*y^14-2*x^18*y^15+5*x^ 20*y^12+3*x^19*y^13+9*x^18*y^14-4*x^20*y^11+3*x^19*y^12-17*x^18*y^13+3*x^17*y^ 14+x^20*y^10-6*x^19*y^11+19*x^18*y^12-11*x^17*y^13+2*x^16*y^14+4*x^19*y^10-16*x ^18*y^11+16*x^17*y^12-6*x^16*y^13-x^19*y^9+11*x^18*y^10-14*x^17*y^11+8*x^16*y^ 12+x^15*y^13-5*x^18*y^9+12*x^17*y^10-8*x^16*y^11-4*x^15*y^12+x^18*y^8-10*x^17*y ^9+6*x^16*y^10+6*x^15*y^11-3*x^14*y^12+5*x^17*y^8-2*x^16*y^9-6*x^15*y^10+8*x^14 *y^11-x^13*y^12-x^17*y^7+7*x^15*y^9-9*x^14*y^10+2*x^13*y^11-6*x^15*y^8+11*x^14* y^9-3*x^13*y^10+2*x^15*y^7-15*x^14*y^8+7*x^13*y^9+x^12*y^10+11*x^14*y^7-11*x^13 *y^8-x^12*y^9+x^11*y^10-3*x^14*y^6+11*x^13*y^7-x^12*y^8-x^11*y^9-7*x^13*y^6+4*x ^12*y^7+2*x^13*y^5-7*x^12*y^6-4*x^11*y^7-3*x^10*y^8+5*x^12*y^5+4*x^11*y^6+x^10* y^7-2*x^9*y^8-x^12*y^4+2*x^11*y^5+6*x^10*y^6+5*x^9*y^7-2*x^11*y^4-3*x^10*y^5+x^ 8*y^7-2*x^10*y^4-5*x^9*y^5-2*x^8*y^6+x^10*y^3+x^9*y^4+2*x^8*y^5+3*x^7*y^6+x^9*y ^3+x^6*y^6-x^8*y^3-3*x^7*y^4-3*x^6*y^5-3*x^6*y^4-x^5*y^5+x^7*y^2+2*x^6*y^3+2*x^ 6*y^2+2*x^5*y^3+2*x^4*y^3-x^5*y-x^4*y+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6516388520 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 201" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 16 19 17 20 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - x y - 6 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 16 20 14 19 15 18 16 20 13 19 14 + 6 x y + 16 x y - 13 x y - 3 x y - 25 x y + 8 x y 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 + 16 x y + 25 x y + 16 x y - 32 x y - 2 x y 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 - 16 x y - 39 x y + 22 x y + 9 x y - x y + 6 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 20 9 19 10 + 39 x y + 20 x y - 12 x y + 6 x y - x y - 22 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 19 9 18 10 - 52 x y - 7 x y - 14 x y - x y + 7 x y + 44 x y 17 11 16 12 15 13 14 14 19 8 18 9 + 40 x y + 15 x y + 8 x y - x y - x y - 18 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 - 53 x y - 7 x y - 24 x y + 5 x y + 3 x y + 36 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 + 6 x y + 33 x y - 4 x y - x y - 13 x y - 16 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 - 17 x y - 16 x y + 5 x y + 2 x y + 19 x y - 5 x y 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 13 10 + 34 x y - 6 x y - 10 x y + 6 x y - 18 x y - 8 x y 12 11 16 6 15 7 14 8 13 9 12 10 + x y + 2 x y + 3 x y - 6 x y + 26 x y - x y 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 15 5 14 6 - 4 x y + 6 x y - 23 x y - 3 x y + 2 x y + x y + x y 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 13 6 12 7 + 6 x y + 6 x y - 8 x y - x y - x y + 2 x y - 4 x y 11 8 10 9 13 5 11 7 10 8 9 9 12 5 + 10 x y + 8 x y - x y - x y - 20 x y - 7 x y + 2 x y 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 - 6 x y + 21 x y + 19 x y - x y + 2 x y - 10 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 - 21 x y - 5 x y + 2 x y + 3 x y + 17 x y + 12 x y - x y 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 - x y - 12 x y - 13 x y - 2 x y + 4 x y + 12 x y + 3 x y 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 - 9 x y - 4 x y + 4 x y + 3 x y + 5 x y - 6 x y - 3 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 - x y + 5 x y + x y + 3 x y - 7 x y - x y + x y + 8 x y 6 5 2 4 3 5 4 2 3 3 4 3 2 + x y + 2 x y - 7 x y - x y - x y + 4 x y + x y - 3 x y 2 2 2 / 19 14 18 15 19 13 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - x y - 5 x y / 18 14 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 + 5 x y + 10 x y - 10 x y - x y - 10 x y + 10 x y 17 13 19 10 18 11 17 12 16 13 19 9 + 4 x y + 5 x y - 5 x y - 6 x y + 2 x y - x y 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 + x y + 5 x y - 8 x y - x y - 5 x y + 11 x y 15 12 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 + 4 x y + 6 x y - 5 x y - 6 x y + x y - 4 x y 15 10 14 11 17 7 16 8 15 9 14 10 + 4 x y - 3 x y + x y - 2 x y - 2 x y + 3 x y 16 7 15 8 14 9 16 6 15 7 14 8 13 9 + 3 x y + 4 x y - x y - x y - 6 x y - x y - x y 15 6 14 7 13 8 12 9 15 5 14 6 13 7 + 4 x y + 3 x y + 4 x y + x y - x y - 3 x y - 6 x y 12 8 14 5 13 6 11 8 13 5 12 6 11 7 - 2 x y + x y + 4 x y - x y - x y + 2 x y + x y 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 9 7 11 4 + x y - x y + x y - x y - 2 x y + 3 x y - 2 x y 10 5 11 3 10 4 9 5 8 5 8 4 7 5 6 6 - x y + x y + x y - x y - 2 x y + 3 x y - x y - x y 8 3 6 5 5 5 7 2 5 4 6 2 5 3 6 4 3 - x y + 3 x y + x y + x y - x y - x y - x y - x y + x y 5 4 2 4 3 2 + x y + x y - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^20*y^16-x^19*y^17-6*x^20*y^15+6*x^19*y^16+16*x^20*y^14-13*x^19*y^15-3*x^18* y^16-25*x^20*y^13+8*x^19*y^14+16*x^18*y^15+25*x^20*y^12+16*x^19*y^13-32*x^18*y^ 14-2*x^17*y^15-16*x^20*y^11-39*x^19*y^12+22*x^18*y^13+9*x^17*y^14-x^16*y^15+6*x ^20*y^10+39*x^19*y^11+20*x^18*y^12-12*x^17*y^13+6*x^16*y^14-x^20*y^9-22*x^19*y^ 10-52*x^18*y^11-7*x^17*y^12-14*x^16*y^13-x^15*y^14+7*x^19*y^9+44*x^18*y^10+40*x ^17*y^11+15*x^16*y^12+8*x^15*y^13-x^14*y^14-x^19*y^8-18*x^18*y^9-53*x^17*y^10-7 *x^16*y^11-24*x^15*y^12+5*x^14*y^13+3*x^18*y^8+36*x^17*y^9+6*x^16*y^10+33*x^15* y^11-4*x^14*y^12-x^13*y^13-13*x^17*y^8-16*x^16*y^9-17*x^15*y^10-16*x^14*y^11+5* x^13*y^12+2*x^17*y^7+19*x^16*y^8-5*x^15*y^9+34*x^14*y^10-6*x^13*y^11-10*x^16*y^ 7+6*x^15*y^8-18*x^14*y^9-8*x^13*y^10+x^12*y^11+2*x^16*y^6+3*x^15*y^7-6*x^14*y^8 +26*x^13*y^9-x^12*y^10-4*x^15*y^6+6*x^14*y^7-23*x^13*y^8-3*x^12*y^9+2*x^11*y^10 +x^15*y^5+x^14*y^6+6*x^13*y^7+6*x^12*y^8-8*x^11*y^9-x^10*y^10-x^14*y^5+2*x^13*y ^6-4*x^12*y^7+10*x^11*y^8+8*x^10*y^9-x^13*y^5-x^11*y^7-20*x^10*y^8-7*x^9*y^9+2* x^12*y^5-6*x^11*y^6+21*x^10*y^7+19*x^9*y^8-x^12*y^4+2*x^11*y^5-10*x^10*y^6-21*x ^9*y^7-5*x^8*y^8+2*x^11*y^4+3*x^10*y^5+17*x^9*y^6+12*x^8*y^7-x^11*y^3-x^10*y^4-\ 12*x^9*y^5-13*x^8*y^6-2*x^7*y^7+4*x^9*y^4+12*x^8*y^5+3*x^7*y^6-9*x^8*y^4-4*x^7* y^5+4*x^6*y^6+3*x^8*y^3+5*x^7*y^4-6*x^6*y^5-3*x^7*y^3-x^6*y^4+5*x^5*y^5+x^7*y^2 +3*x^6*y^3-7*x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^3+8*x^4*y^4+x^6*y+2*x^5*y^2-7*x^4*y^3-x^5*y- x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-3*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^19*y^14-x^18*y^ 15-5*x^19*y^13+5*x^18*y^14+10*x^19*y^12-10*x^18*y^13-x^17*y^14-10*x^19*y^11+10* x^18*y^12+4*x^17*y^13+5*x^19*y^10-5*x^18*y^11-6*x^17*y^12+2*x^16*y^13-x^19*y^9+ x^18*y^10+5*x^17*y^11-8*x^16*y^12-x^15*y^13-5*x^17*y^10+11*x^16*y^11+4*x^15*y^ 12+6*x^17*y^9-5*x^16*y^10-6*x^15*y^11+x^14*y^12-4*x^17*y^8+4*x^15*y^10-3*x^14*y ^11+x^17*y^7-2*x^16*y^8-2*x^15*y^9+3*x^14*y^10+3*x^16*y^7+4*x^15*y^8-x^14*y^9-x ^16*y^6-6*x^15*y^7-x^14*y^8-x^13*y^9+4*x^15*y^6+3*x^14*y^7+4*x^13*y^8+x^12*y^9- x^15*y^5-3*x^14*y^6-6*x^13*y^7-2*x^12*y^8+x^14*y^5+4*x^13*y^6-x^11*y^8-x^13*y^5 +2*x^12*y^6+x^11*y^7+x^10*y^8-x^12*y^5+x^11*y^6-x^10*y^7-2*x^9*y^8+3*x^9*y^7-2* x^11*y^4-x^10*y^5+x^11*y^3+x^10*y^4-x^9*y^5-2*x^8*y^5+3*x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^6 -x^8*y^3+3*x^6*y^5+x^5*y^5+x^7*y^2-x^5*y^4-x^6*y^2-x^5*y^3-x^6*y+x^4*y^3+x^5*y+ x^4*y^2-x^4*y-x^3*y^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 8 6 4 3 2 (a - a - a - 2 a + 8 a - 2 a - 1) - ------------------------------------------ 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6497937710 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6510949533 ------------------------------------------------ "Theorem Number 202" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [1, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 20 16 19 17 20 15 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - x y - 6 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 19 16 20 14 19 15 18 16 20 13 19 14 + 6 x y + 16 x y - 13 x y - 3 x y - 25 x y + 8 x y 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 + 16 x y + 25 x y + 16 x y - 32 x y - 2 x y 20 11 19 12 18 13 17 14 16 15 20 10 - 16 x y - 39 x y + 22 x y + 9 x y - x y + 6 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 20 9 19 10 + 39 x y + 20 x y - 12 x y + 6 x y - x y - 22 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 19 9 18 10 - 52 x y - 7 x y - 14 x y - x y + 7 x y + 44 x y 17 11 16 12 15 13 14 14 19 8 18 9 + 40 x y + 15 x y + 8 x y - x y - x y - 18 x y 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 - 53 x y - 7 x y - 24 x y + 5 x y + 3 x y + 36 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 16 9 + 6 x y + 33 x y - 4 x y - x y - 13 x y - 16 x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 - 17 x y - 16 x y + 5 x y + 2 x y + 19 x y - 5 x y 14 10 13 11 16 7 15 8 14 9 13 10 + 34 x y - 6 x y - 10 x y + 6 x y - 18 x y - 8 x y 12 11 16 6 15 7 14 8 13 9 12 10 + x y + 2 x y + 3 x y - 6 x y + 26 x y - x y 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 15 5 14 6 - 4 x y + 6 x y - 23 x y - 3 x y + 2 x y + x y + x y 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 13 6 12 7 + 6 x y + 6 x y - 8 x y - x y - x y + 2 x y - 4 x y 11 8 10 9 13 5 11 7 10 8 9 9 12 5 + 10 x y + 8 x y - x y - x y - 20 x y - 7 x y + 2 x y 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 - 6 x y + 21 x y + 19 x y - x y + 2 x y - 10 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 - 21 x y - 5 x y + 2 x y + 3 x y + 17 x y + 12 x y - x y 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 - x y - 12 x y - 13 x y - 2 x y + 4 x y + 12 x y + 3 x y 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 - 9 x y - 4 x y + 4 x y + 3 x y + 5 x y - 6 x y - 3 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 - x y + 5 x y + x y + 3 x y - 7 x y - x y + x y + 8 x y 6 5 2 4 3 5 4 2 3 3 4 3 2 + x y + 2 x y - 7 x y - x y - x y + 4 x y + x y - 3 x y 2 2 2 / 19 14 18 15 19 13 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - x y - 5 x y / 18 14 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 + 5 x y + 10 x y - 10 x y - x y - 10 x y + 10 x y 17 13 19 10 18 11 17 12 16 13 19 9 + 4 x y + 5 x y - 5 x y - 6 x y + 2 x y - x y 18 10 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 + x y + 5 x y - 8 x y - x y - 5 x y + 11 x y 15 12 17 9 16 10 15 11 14 12 17 8 + 4 x y + 6 x y - 5 x y - 6 x y + x y - 4 x y 15 10 14 11 17 7 16 8 15 9 14 10 + 4 x y - 3 x y + x y - 2 x y - 2 x y + 3 x y 16 7 15 8 14 9 16 6 15 7 14 8 13 9 + 3 x y + 4 x y - x y - x y - 6 x y - x y - x y 15 6 14 7 13 8 12 9 15 5 14 6 13 7 + 4 x y + 3 x y + 4 x y + x y - x y - 3 x y - 6 x y 12 8 14 5 13 6 11 8 13 5 12 6 11 7 - 2 x y + x y + 4 x y - x y - x y + 2 x y + x y 10 8 12 5 11 6 10 7 9 8 9 7 11 4 + x y - x y + x y - x y - 2 x y + 3 x y - 2 x y 10 5 11 3 10 4 9 5 8 5 8 4 7 5 6 6 - x y + x y + x y - x y - 2 x y + 3 x y - x y - x y 8 3 6 5 5 5 7 2 5 4 6 2 5 3 6 4 3 - x y + 3 x y + x y + x y - x y - x y - x y - x y + x y 5 4 2 4 3 2 + x y + x y - x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^20*y^16-x^19*y^17-6*x^20*y^15+6*x^19*y^16+16*x^20*y^14-13*x^19*y^15-3*x^18* y^16-25*x^20*y^13+8*x^19*y^14+16*x^18*y^15+25*x^20*y^12+16*x^19*y^13-32*x^18*y^ 14-2*x^17*y^15-16*x^20*y^11-39*x^19*y^12+22*x^18*y^13+9*x^17*y^14-x^16*y^15+6*x ^20*y^10+39*x^19*y^11+20*x^18*y^12-12*x^17*y^13+6*x^16*y^14-x^20*y^9-22*x^19*y^ 10-52*x^18*y^11-7*x^17*y^12-14*x^16*y^13-x^15*y^14+7*x^19*y^9+44*x^18*y^10+40*x ^17*y^11+15*x^16*y^12+8*x^15*y^13-x^14*y^14-x^19*y^8-18*x^18*y^9-53*x^17*y^10-7 *x^16*y^11-24*x^15*y^12+5*x^14*y^13+3*x^18*y^8+36*x^17*y^9+6*x^16*y^10+33*x^15* y^11-4*x^14*y^12-x^13*y^13-13*x^17*y^8-16*x^16*y^9-17*x^15*y^10-16*x^14*y^11+5* x^13*y^12+2*x^17*y^7+19*x^16*y^8-5*x^15*y^9+34*x^14*y^10-6*x^13*y^11-10*x^16*y^ 7+6*x^15*y^8-18*x^14*y^9-8*x^13*y^10+x^12*y^11+2*x^16*y^6+3*x^15*y^7-6*x^14*y^8 +26*x^13*y^9-x^12*y^10-4*x^15*y^6+6*x^14*y^7-23*x^13*y^8-3*x^12*y^9+2*x^11*y^10 +x^15*y^5+x^14*y^6+6*x^13*y^7+6*x^12*y^8-8*x^11*y^9-x^10*y^10-x^14*y^5+2*x^13*y ^6-4*x^12*y^7+10*x^11*y^8+8*x^10*y^9-x^13*y^5-x^11*y^7-20*x^10*y^8-7*x^9*y^9+2* x^12*y^5-6*x^11*y^6+21*x^10*y^7+19*x^9*y^8-x^12*y^4+2*x^11*y^5-10*x^10*y^6-21*x ^9*y^7-5*x^8*y^8+2*x^11*y^4+3*x^10*y^5+17*x^9*y^6+12*x^8*y^7-x^11*y^3-x^10*y^4-\ 12*x^9*y^5-13*x^8*y^6-2*x^7*y^7+4*x^9*y^4+12*x^8*y^5+3*x^7*y^6-9*x^8*y^4-4*x^7* y^5+4*x^6*y^6+3*x^8*y^3+5*x^7*y^4-6*x^6*y^5-3*x^7*y^3-x^6*y^4+5*x^5*y^5+x^7*y^2 +3*x^6*y^3-7*x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^3+8*x^4*y^4+x^6*y+2*x^5*y^2-7*x^4*y^3-x^5*y- x^4*y^2+4*x^3*y^3+x^4*y-3*x^3*y^2+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^19*y^14-x^18*y^ 15-5*x^19*y^13+5*x^18*y^14+10*x^19*y^12-10*x^18*y^13-x^17*y^14-10*x^19*y^11+10* x^18*y^12+4*x^17*y^13+5*x^19*y^10-5*x^18*y^11-6*x^17*y^12+2*x^16*y^13-x^19*y^9+ x^18*y^10+5*x^17*y^11-8*x^16*y^12-x^15*y^13-5*x^17*y^10+11*x^16*y^11+4*x^15*y^ 12+6*x^17*y^9-5*x^16*y^10-6*x^15*y^11+x^14*y^12-4*x^17*y^8+4*x^15*y^10-3*x^14*y ^11+x^17*y^7-2*x^16*y^8-2*x^15*y^9+3*x^14*y^10+3*x^16*y^7+4*x^15*y^8-x^14*y^9-x ^16*y^6-6*x^15*y^7-x^14*y^8-x^13*y^9+4*x^15*y^6+3*x^14*y^7+4*x^13*y^8+x^12*y^9- x^15*y^5-3*x^14*y^6-6*x^13*y^7-2*x^12*y^8+x^14*y^5+4*x^13*y^6-x^11*y^8-x^13*y^5 +2*x^12*y^6+x^11*y^7+x^10*y^8-x^12*y^5+x^11*y^6-x^10*y^7-2*x^9*y^8+3*x^9*y^7-2* x^11*y^4-x^10*y^5+x^11*y^3+x^10*y^4-x^9*y^5-2*x^8*y^5+3*x^8*y^4-x^7*y^5-x^6*y^6 -x^8*y^3+3*x^6*y^5+x^5*y^5+x^7*y^2-x^5*y^4-x^6*y^2-x^5*y^3-x^6*y+x^4*y^3+x^5*y+ x^4*y^2-x^4*y-x^3*y^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 9 8 6 4 3 2 (a - a - a - 2 a + 8 a - 2 a - 1) - ------------------------------------------ 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6497937710 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6510949533 ------------------------------------------------ "Theorem Number 203" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [2, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 13 16 12 15 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 + 6 x y - 8 x y + 2 x y - 4 x y + 12 x y - 4 x y 16 9 15 10 14 11 15 9 14 10 13 11 + x y - 8 x y - 6 x y + 2 x y + 25 x y + 2 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 29 x y - 11 x y + x y + 15 x y + 24 x y - 4 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 + 2 x y - 3 x y - 26 x y + 4 x y - 10 x y + 14 x y 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 + 3 x y + 13 x y + 4 x y - 3 x y - 8 x y - x y 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 - 18 x y + 5 x y - 6 x y + 27 x y - 2 x y - x y + x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 9 6 - 16 x y - 2 x y + x y + 3 x y + 14 x y - 8 x y - 16 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 + 16 x y + 8 x y - 6 x y - 10 x y - 2 x y - 7 x y + 21 x y 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 + 7 x y - 15 x y - 2 x y - 2 x y + 3 x y + 12 x y + 2 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 - 18 x y + x y - x y + 7 x y + 3 x y + x y - 7 x y + 6 x y 5 2 4 3 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 + 3 x y - 3 x y - 3 x y + 3 x y + x y - 2 x y - x y + 2 x y 3 2 2 / 16 13 16 12 16 11 + x - x y - x + x y - x + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y / 16 10 16 9 14 10 14 9 13 10 12 11 14 8 - 4 x y + x y + x y - 3 x y - x y + x y + 3 x y 13 9 12 10 14 7 12 9 13 7 12 8 11 9 + 2 x y - 4 x y - x y + 6 x y - 2 x y - 5 x y + x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 + x y + 4 x y - 3 x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y + 5 x y 12 5 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 9 6 + x y + x y - 4 x y - x y + x y - 2 x y + 4 x y 9 5 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 4 - 2 x y - 2 x y + 3 x y + x y - x y - x y - x y + 2 x y 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 5 2 4 3 4 2 - x y + x y - x y + x y - x y + x y - x y - x y + x y 3 3 4 3 3 2 2 + x y + x y - x y - x - x y + x + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^16*y^13-4*x^16*y^12+2*x^15*y^13+6*x^16*y^11-8*x^15*y^12+2*x^14*y^13-4*x^16* y^10+12*x^15*y^11-4*x^14*y^12+x^16*y^9-8*x^15*y^10-6*x^14*y^11+2*x^15*y^9+25*x^ 14*y^10+2*x^13*y^11-29*x^14*y^9-11*x^13*y^10+x^12*y^11+15*x^14*y^8+24*x^13*y^9-\ 4*x^12*y^10+2*x^11*y^11-3*x^14*y^7-26*x^13*y^8+4*x^12*y^9-10*x^11*y^10+14*x^13* y^7+3*x^12*y^8+13*x^11*y^9+4*x^10*y^10-3*x^13*y^6-8*x^12*y^7-x^11*y^8-18*x^10*y ^9+5*x^12*y^6-6*x^11*y^7+27*x^10*y^8-2*x^9*y^9-x^12*y^5+x^11*y^6-16*x^10*y^7-2* x^9*y^8+x^11*y^5+3*x^10*y^6+14*x^9*y^7-8*x^8*y^8-16*x^9*y^6+16*x^8*y^7+8*x^9*y^ 5-6*x^8*y^6-10*x^7*y^7-2*x^9*y^4-7*x^8*y^5+21*x^7*y^6+7*x^8*y^4-15*x^7*y^5-2*x^ 6*y^6-2*x^8*y^3+3*x^7*y^4+12*x^6*y^5+2*x^7*y^3-18*x^6*y^4+x^5*y^5-x^7*y^2+7*x^6 *y^3+3*x^5*y^4+x^6*y^2-7*x^5*y^3+6*x^4*y^4+3*x^5*y^2-3*x^4*y^3-3*x^4*y^2+3*x^3* y^3+x^4*y-2*x^3*y^2-x^3*y+2*x^2*y^2+x^3-x^2*y-x^2+x*y-x+1)/(x^16*y^13-4*x^16*y^ 12+6*x^16*y^11-4*x^16*y^10+x^16*y^9+x^14*y^10-3*x^14*y^9-x^13*y^10+x^12*y^11+3* x^14*y^8+2*x^13*y^9-4*x^12*y^10-x^14*y^7+6*x^12*y^9-2*x^13*y^7-5*x^12*y^8+x^11* y^9+x^13*y^6+4*x^12*y^7-3*x^11*y^8-2*x^10*y^9-3*x^12*y^6+2*x^11*y^7+5*x^10*y^8+ x^12*y^5+x^11*y^6-4*x^10*y^7-x^11*y^5+x^10*y^6-2*x^9*y^7+4*x^9*y^6-2*x^9*y^5-2* x^8*y^6+3*x^8*y^5+x^7*y^6-x^8*y^4-x^7*y^5-x^7*y^4+2*x^6*y^4-x^5*y^5+x^7*y^2-x^6 *y^3+x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^3-x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y^2+x^3*y^3+x^4*y-x^3*y-x^3-x^ 2*y+x^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 4 3 2 (a - 2 a + 3 a - 8 a + 2 a + 1) -------------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6466820498 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6480786232 ------------------------------------------------ "Theorem Number 204" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 16 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 14 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 - x y - 10 x y + 5 x y + 5 x y - 10 x y - x y 16 10 15 11 14 12 15 10 14 11 13 12 - x y + 10 x y + 4 x y - 5 x y - 6 x y + 2 x y 15 9 14 10 13 11 14 9 13 10 12 11 + x y + 4 x y - 9 x y - x y + 16 x y - x y 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 - 14 x y + 5 x y + 3 x y + 6 x y - 10 x y - 10 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 - x y + 10 x y + 12 x y - x y - 5 x y - 6 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 10 7 9 8 + 3 x y + x y + x y - 2 x y + 3 x y - x y - 4 x y 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 + x y - 4 x y + 9 x y - 2 x y - 5 x y + 6 x y - 5 x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 6 5 + x y - 7 x y + 7 x y + 3 x y - 2 x y - 4 x y + 4 x y 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 2 x y - 4 x y - 3 x y + 7 x y + x y - 3 x y + 4 x y 4 3 3 3 4 3 2 2 2 2 / 12 11 - 2 x y + 2 x y - x y - x y + x y - x y + 1) / (x y / 12 10 11 10 12 8 11 9 12 7 11 8 - 2 x y - 2 x y + 2 x y + 5 x y - x y - 3 x y 10 9 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 10 6 + 2 x y - x y - 6 x y + x y + 7 x y - 2 x y - 4 x y 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 + 7 x y + x y - 9 x y + 2 x y + 5 x y - 8 x y - x y 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 7 3 + 9 x y - 2 x y - 3 x y + 5 x y - 5 x y + 2 x y + 2 x y 6 4 6 3 5 4 6 2 5 3 5 2 4 3 2 - 4 x y + 3 x y - x y - x y + 3 x y - 2 x y + x y - x y 2 2 2 - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^16*y^15-5*x^16*y^14+10*x^16*y^13-x^15*y^14-10*x^16*y^12+5*x^15*y^13+5*x^16* y^11-10*x^15*y^12-x^14*y^13-x^16*y^10+10*x^15*y^11+4*x^14*y^12-5*x^15*y^10-6*x^ 14*y^11+2*x^13*y^12+x^15*y^9+4*x^14*y^10-9*x^13*y^11-x^14*y^9+16*x^13*y^10-x^12 *y^11-14*x^13*y^9+5*x^12*y^10+3*x^11*y^11+6*x^13*y^8-10*x^12*y^9-10*x^11*y^10-x ^13*y^7+10*x^12*y^8+12*x^11*y^9-x^10*y^10-5*x^12*y^7-6*x^11*y^8+3*x^10*y^9+x^12 *y^6+x^11*y^7-2*x^10*y^8+3*x^9*y^9-x^10*y^7-4*x^9*y^8+x^10*y^6-4*x^9*y^7+9*x^9* y^6-2*x^8*y^7-5*x^9*y^5+6*x^8*y^6-5*x^7*y^7+x^9*y^4-7*x^8*y^5+7*x^7*y^6+3*x^8*y ^4-2*x^7*y^5-4*x^6*y^6+4*x^6*y^5+2*x^6*y^4-4*x^5*y^5-3*x^6*y^3+7*x^5*y^4+x^6*y^ 2-3*x^5*y^3+4*x^4*y^4-2*x^4*y^3+2*x^3*y^3-x^4*y-x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+1)/(x^12* y^11-2*x^12*y^10-2*x^11*y^10+2*x^12*y^8+5*x^11*y^9-x^12*y^7-3*x^11*y^8+2*x^10*y ^9-x^11*y^7-6*x^10*y^8+x^11*y^6+7*x^10*y^7-2*x^9*y^8-4*x^10*y^6+7*x^9*y^7+x^10* y^5-9*x^9*y^6+2*x^8*y^7+5*x^9*y^5-8*x^8*y^6-x^9*y^4+9*x^8*y^5-2*x^7*y^6-3*x^8*y ^4+5*x^7*y^5-5*x^7*y^4+2*x^6*y^5+2*x^7*y^3-4*x^6*y^4+3*x^6*y^3-x^5*y^4-x^6*y^2+ 3*x^5*y^3-2*x^5*y^2+x^4*y-x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 4 3 2 (a - 2 a + 3 a - 8 a + 2 a + 1) -------------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6466820498 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6480786232 ------------------------------------------------ "Theorem Number 205" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1, 2], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 16 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 14 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 - x y - 10 x y + 5 x y + 5 x y - 10 x y - x y 16 10 15 11 14 12 15 10 14 11 13 12 - x y + 10 x y + 4 x y - 5 x y - 6 x y + 2 x y 15 9 14 10 13 11 14 9 13 10 12 11 + x y + 4 x y - 9 x y - x y + 16 x y - x y 13 9 12 10 11 11 13 8 12 9 11 10 - 14 x y + 5 x y + 3 x y + 6 x y - 10 x y - 10 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 - x y + 10 x y + 12 x y - x y - 5 x y - 6 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 10 7 9 8 + 3 x y + x y + x y - 2 x y + 3 x y - x y - 4 x y 10 6 9 7 9 6 8 7 9 5 8 6 7 7 + x y - 4 x y + 9 x y - 2 x y - 5 x y + 6 x y - 5 x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 6 5 + x y - 7 x y + 7 x y + 3 x y - 2 x y - 4 x y + 4 x y 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 + 2 x y - 4 x y - 3 x y + 7 x y + x y - 3 x y + 4 x y 4 3 3 3 4 3 2 2 2 2 / 12 11 - 2 x y + 2 x y - x y - x y + x y - x y + 1) / (x y / 12 10 11 10 12 8 11 9 12 7 11 8 - 2 x y - 2 x y + 2 x y + 5 x y - x y - 3 x y 10 9 11 7 10 8 11 6 10 7 9 8 10 6 + 2 x y - x y - 6 x y + x y + 7 x y - 2 x y - 4 x y 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 8 6 9 4 + 7 x y + x y - 9 x y + 2 x y + 5 x y - 8 x y - x y 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 7 3 + 9 x y - 2 x y - 3 x y + 5 x y - 5 x y + 2 x y + 2 x y 6 4 6 3 5 4 6 2 5 3 5 2 4 3 2 - 4 x y + 3 x y - x y - x y + 3 x y - 2 x y + x y - x y 2 2 2 - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^16*y^15-5*x^16*y^14+10*x^16*y^13-x^15*y^14-10*x^16*y^12+5*x^15*y^13+5*x^16* y^11-10*x^15*y^12-x^14*y^13-x^16*y^10+10*x^15*y^11+4*x^14*y^12-5*x^15*y^10-6*x^ 14*y^11+2*x^13*y^12+x^15*y^9+4*x^14*y^10-9*x^13*y^11-x^14*y^9+16*x^13*y^10-x^12 *y^11-14*x^13*y^9+5*x^12*y^10+3*x^11*y^11+6*x^13*y^8-10*x^12*y^9-10*x^11*y^10-x ^13*y^7+10*x^12*y^8+12*x^11*y^9-x^10*y^10-5*x^12*y^7-6*x^11*y^8+3*x^10*y^9+x^12 *y^6+x^11*y^7-2*x^10*y^8+3*x^9*y^9-x^10*y^7-4*x^9*y^8+x^10*y^6-4*x^9*y^7+9*x^9* y^6-2*x^8*y^7-5*x^9*y^5+6*x^8*y^6-5*x^7*y^7+x^9*y^4-7*x^8*y^5+7*x^7*y^6+3*x^8*y ^4-2*x^7*y^5-4*x^6*y^6+4*x^6*y^5+2*x^6*y^4-4*x^5*y^5-3*x^6*y^3+7*x^5*y^4+x^6*y^ 2-3*x^5*y^3+4*x^4*y^4-2*x^4*y^3+2*x^3*y^3-x^4*y-x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+1)/(x^12* y^11-2*x^12*y^10-2*x^11*y^10+2*x^12*y^8+5*x^11*y^9-x^12*y^7-3*x^11*y^8+2*x^10*y ^9-x^11*y^7-6*x^10*y^8+x^11*y^6+7*x^10*y^7-2*x^9*y^8-4*x^10*y^6+7*x^9*y^7+x^10* y^5-9*x^9*y^6+2*x^8*y^7+5*x^9*y^5-8*x^8*y^6-x^9*y^4+9*x^8*y^5-2*x^7*y^6-3*x^8*y ^4+5*x^7*y^5-5*x^7*y^4+2*x^6*y^5+2*x^7*y^3-4*x^6*y^4+3*x^6*y^3-x^5*y^4-x^6*y^2+ 3*x^5*y^3-2*x^5*y^2+x^4*y-x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 4 3 2 (a - 2 a + 3 a - 8 a + 2 a + 1) -------------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6466820498 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6480786232 ------------------------------------------------ "Theorem Number 206" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 2, 1], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 13 16 12 15 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 4 x y + 2 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 14 12 + 6 x y - 8 x y + 2 x y - 4 x y + 12 x y - 4 x y 16 9 15 10 14 11 15 9 14 10 13 11 + x y - 8 x y - 6 x y + 2 x y + 25 x y + 2 x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 - 29 x y - 11 x y + x y + 15 x y + 24 x y - 4 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 + 2 x y - 3 x y - 26 x y + 4 x y - 10 x y + 14 x y 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 + 3 x y + 13 x y + 4 x y - 3 x y - 8 x y - x y 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 - 18 x y + 5 x y - 6 x y + 27 x y - 2 x y - x y + x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 9 6 - 16 x y - 2 x y + x y + 3 x y + 14 x y - 8 x y - 16 x y 8 7 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 + 16 x y + 8 x y - 6 x y - 10 x y - 2 x y - 7 x y + 21 x y 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 7 3 + 7 x y - 15 x y - 2 x y - 2 x y + 3 x y + 12 x y + 2 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 - 18 x y + x y - x y + 7 x y + 3 x y + x y - 7 x y + 6 x y 5 2 4 3 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 + 3 x y - 3 x y - 3 x y + 3 x y + x y - 2 x y - x y + 2 x y 3 2 2 / 16 13 16 12 16 11 + x - x y - x + x y - x + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y / 16 10 16 9 14 10 14 9 13 10 12 11 14 8 - 4 x y + x y + x y - 3 x y - x y + x y + 3 x y 13 9 12 10 14 7 12 9 13 7 12 8 11 9 + 2 x y - 4 x y - x y + 6 x y - 2 x y - 5 x y + x y 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 + x y + 4 x y - 3 x y - 2 x y - 3 x y + 2 x y + 5 x y 12 5 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 9 6 + x y + x y - 4 x y - x y + x y - 2 x y + 4 x y 9 5 8 6 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 4 - 2 x y - 2 x y + 3 x y + x y - x y - x y - x y + 2 x y 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 5 3 5 2 4 3 4 2 - x y + x y - x y + x y - x y + x y - x y - x y + x y 3 3 4 3 3 2 2 + x y + x y - x y - x - x y + x + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^16*y^13-4*x^16*y^12+2*x^15*y^13+6*x^16*y^11-8*x^15*y^12+2*x^14*y^13-4*x^16* y^10+12*x^15*y^11-4*x^14*y^12+x^16*y^9-8*x^15*y^10-6*x^14*y^11+2*x^15*y^9+25*x^ 14*y^10+2*x^13*y^11-29*x^14*y^9-11*x^13*y^10+x^12*y^11+15*x^14*y^8+24*x^13*y^9-\ 4*x^12*y^10+2*x^11*y^11-3*x^14*y^7-26*x^13*y^8+4*x^12*y^9-10*x^11*y^10+14*x^13* y^7+3*x^12*y^8+13*x^11*y^9+4*x^10*y^10-3*x^13*y^6-8*x^12*y^7-x^11*y^8-18*x^10*y ^9+5*x^12*y^6-6*x^11*y^7+27*x^10*y^8-2*x^9*y^9-x^12*y^5+x^11*y^6-16*x^10*y^7-2* x^9*y^8+x^11*y^5+3*x^10*y^6+14*x^9*y^7-8*x^8*y^8-16*x^9*y^6+16*x^8*y^7+8*x^9*y^ 5-6*x^8*y^6-10*x^7*y^7-2*x^9*y^4-7*x^8*y^5+21*x^7*y^6+7*x^8*y^4-15*x^7*y^5-2*x^ 6*y^6-2*x^8*y^3+3*x^7*y^4+12*x^6*y^5+2*x^7*y^3-18*x^6*y^4+x^5*y^5-x^7*y^2+7*x^6 *y^3+3*x^5*y^4+x^6*y^2-7*x^5*y^3+6*x^4*y^4+3*x^5*y^2-3*x^4*y^3-3*x^4*y^2+3*x^3* y^3+x^4*y-2*x^3*y^2-x^3*y+2*x^2*y^2+x^3-x^2*y-x^2+x*y-x+1)/(x^16*y^13-4*x^16*y^ 12+6*x^16*y^11-4*x^16*y^10+x^16*y^9+x^14*y^10-3*x^14*y^9-x^13*y^10+x^12*y^11+3* x^14*y^8+2*x^13*y^9-4*x^12*y^10-x^14*y^7+6*x^12*y^9-2*x^13*y^7-5*x^12*y^8+x^11* y^9+x^13*y^6+4*x^12*y^7-3*x^11*y^8-2*x^10*y^9-3*x^12*y^6+2*x^11*y^7+5*x^10*y^8+ x^12*y^5+x^11*y^6-4*x^10*y^7-x^11*y^5+x^10*y^6-2*x^9*y^7+4*x^9*y^6-2*x^9*y^5-2* x^8*y^6+3*x^8*y^5+x^7*y^6-x^8*y^4-x^7*y^5-x^7*y^4+2*x^6*y^4-x^5*y^5+x^7*y^2-x^6 *y^3+x^5*y^4-x^6*y^2+x^5*y^3-x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y^2+x^3*y^3+x^4*y-x^3*y-x^3-x^ 2*y+x^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 4 3 2 (a - 2 a + 3 a - 8 a + 2 a + 1) -------------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6466820498 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6480786232 ------------------------------------------------ "Theorem Number 207" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 16 13 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 8 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 14 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 + 2 x y - 12 x y - 2 x y + 9 x y - 9 x y + x y 16 10 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 + 8 x y + 14 x y + x y + x y - 22 x y + x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 - 9 x y - 4 x y + 16 x y - 6 x y + 3 x y + 7 x y 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11 + 2 x y - 4 x y - 7 x y + 21 x y - 5 x y - 12 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 15 6 + 10 x y - 25 x y - 6 x y + 21 x y + x y - 3 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 + 5 x y + 18 x y - 9 x y - 11 x y + 5 x y - 16 x y 12 8 11 9 14 5 13 6 12 7 11 8 - 14 x y + 12 x y - 2 x y + 4 x y + 26 x y + 11 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 - 11 x y + 2 x y - 21 x y - 21 x y + 15 x y + 6 x y 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 - x y + 7 x y + 15 x y + 7 x y - 22 x y - 12 x y 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 - 14 x y + 18 x y - 2 x y + 5 x y + 4 x y + 4 x y - 9 x y 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 - 3 x y - 4 x y + 14 x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 7 4 - 2 x y - x y + x y + 10 x y - 3 x y + x y - 2 x y - 4 x y 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 + 2 x y + 6 x y - 3 x y - 2 x y - 3 x y + 4 x y + x y 4 4 6 5 2 4 3 5 3 3 4 3 2 - 8 x y - x y - 2 x y + 7 x y + x y - 4 x y - x y + 4 x y 2 2 2 / 12 10 13 8 12 9 - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / (-x y + x y + 2 x y / 13 7 12 8 12 7 11 8 13 5 12 6 11 7 - 2 x y + x y - 4 x y - x y + 2 x y + 2 x y + 2 x y 13 4 10 7 11 5 10 6 11 4 10 5 9 6 10 4 - x y - x y - 2 x y + x y + x y + x y - x y - x y 8 6 9 4 7 6 9 3 8 4 6 6 9 2 8 3 + x y + x y + x y - x y - 4 x y - x y + x y + 2 x y 7 4 6 4 5 5 6 3 6 2 6 4 3 5 4 - x y + 2 x y + x y + x y - x y - x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^16*y^15-4*x^16*y^14+8*x^16*y^13+2*x^15*y^14-12*x^16*y^12-2*x^15*y^13+9*x^16* y^11-9*x^15*y^12+x^14*y^13+8*x^16*y^10+14*x^15*y^11+x^14*y^12+x^13*y^13-22*x^16 *y^9+x^15*y^10-9*x^14*y^11-4*x^13*y^12+16*x^16*y^8-6*x^15*y^9+3*x^14*y^10+7*x^ 13*y^11+2*x^12*y^12-4*x^16*y^7-7*x^15*y^8+21*x^14*y^9-5*x^13*y^10-12*x^12*y^11+ 10*x^15*y^7-25*x^14*y^8-6*x^13*y^9+21*x^12*y^10+x^11*y^11-3*x^15*y^6+5*x^14*y^7 +18*x^13*y^8-9*x^12*y^9-11*x^11*y^10+5*x^14*y^6-16*x^13*y^7-14*x^12*y^8+12*x^11 *y^9-2*x^14*y^5+4*x^13*y^6+26*x^12*y^7+11*x^11*y^8-11*x^10*y^9+2*x^13*y^5-21*x^ 12*y^6-21*x^11*y^7+15*x^10*y^8+6*x^9*y^9-x^13*y^4+7*x^12*y^5+15*x^11*y^6+7*x^10 *y^7-22*x^9*y^8-12*x^11*y^5-14*x^10*y^6+18*x^9*y^7-2*x^8*y^8+5*x^11*y^4+4*x^10* y^5+4*x^9*y^6-9*x^8*y^7-3*x^10*y^4-4*x^9*y^5+14*x^8*y^6-4*x^7*y^7+2*x^10*y^3-2* x^9*y^4-3*x^8*y^5-2*x^7*y^6-x^9*y^3+x^8*y^4+10*x^7*y^5-3*x^6*y^6+x^9*y^2-2*x^8* y^3-4*x^7*y^4+2*x^7*y^3+6*x^6*y^4-3*x^5*y^5-2*x^7*y^2-3*x^6*y^3+4*x^5*y^4+x^6*y ^2-8*x^4*y^4-x^6*y-2*x^5*y^2+7*x^4*y^3+x^5*y-4*x^3*y^3-x^4*y+4*x^3*y^2-2*x^2*y^ 2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(-x^12*y^10+x^13*y^8+2*x^12*y^9-2*x^13*y^7+x^12*y^8-4*x^12*y ^7-x^11*y^8+2*x^13*y^5+2*x^12*y^6+2*x^11*y^7-x^13*y^4-x^10*y^7-2*x^11*y^5+x^10* y^6+x^11*y^4+x^10*y^5-x^9*y^6-x^10*y^4+x^8*y^6+x^9*y^4+x^7*y^6-x^9*y^3-4*x^8*y^ 4-x^6*y^6+x^9*y^2+2*x^8*y^3-x^7*y^4+2*x^6*y^4+x^5*y^5+x^6*y^3-x^6*y^2-x^6*y-x^4 *y^3+x^5*y-x^4*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6447347951 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 208" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 16 13 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 8 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 14 16 12 15 13 16 11 15 12 14 13 + 2 x y - 12 x y - 2 x y + 9 x y - 9 x y + x y 16 10 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 + 8 x y + 14 x y + x y + x y - 22 x y + x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 - 9 x y - 4 x y + 16 x y - 6 x y + 3 x y + 7 x y 12 12 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11 + 2 x y - 4 x y - 7 x y + 21 x y - 5 x y - 12 x y 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 15 6 + 10 x y - 25 x y - 6 x y + 21 x y + x y - 3 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 + 5 x y + 18 x y - 9 x y - 11 x y + 5 x y - 16 x y 12 8 11 9 14 5 13 6 12 7 11 8 - 14 x y + 12 x y - 2 x y + 4 x y + 26 x y + 11 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 - 11 x y + 2 x y - 21 x y - 21 x y + 15 x y + 6 x y 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 - x y + 7 x y + 15 x y + 7 x y - 22 x y - 12 x y 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 - 14 x y + 18 x y - 2 x y + 5 x y + 4 x y + 4 x y - 9 x y 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 - 3 x y - 4 x y + 14 x y - 4 x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 7 4 - 2 x y - x y + x y + 10 x y - 3 x y + x y - 2 x y - 4 x y 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 + 2 x y + 6 x y - 3 x y - 2 x y - 3 x y + 4 x y + x y 4 4 6 5 2 4 3 5 3 3 4 3 2 - 8 x y - x y - 2 x y + 7 x y + x y - 4 x y - x y + 4 x y 2 2 2 / 12 10 13 8 12 9 - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1) / (-x y + x y + 2 x y / 13 7 12 8 12 7 11 8 13 5 12 6 11 7 - 2 x y + x y - 4 x y - x y + 2 x y + 2 x y + 2 x y 13 4 10 7 11 5 10 6 11 4 10 5 9 6 10 4 - x y - x y - 2 x y + x y + x y + x y - x y - x y 8 6 9 4 7 6 9 3 8 4 6 6 9 2 8 3 + x y + x y + x y - x y - 4 x y - x y + x y + 2 x y 7 4 6 4 5 5 6 3 6 2 6 4 3 5 4 - x y + 2 x y + x y + x y - x y - x y - x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^16*y^15-4*x^16*y^14+8*x^16*y^13+2*x^15*y^14-12*x^16*y^12-2*x^15*y^13+9*x^16* y^11-9*x^15*y^12+x^14*y^13+8*x^16*y^10+14*x^15*y^11+x^14*y^12+x^13*y^13-22*x^16 *y^9+x^15*y^10-9*x^14*y^11-4*x^13*y^12+16*x^16*y^8-6*x^15*y^9+3*x^14*y^10+7*x^ 13*y^11+2*x^12*y^12-4*x^16*y^7-7*x^15*y^8+21*x^14*y^9-5*x^13*y^10-12*x^12*y^11+ 10*x^15*y^7-25*x^14*y^8-6*x^13*y^9+21*x^12*y^10+x^11*y^11-3*x^15*y^6+5*x^14*y^7 +18*x^13*y^8-9*x^12*y^9-11*x^11*y^10+5*x^14*y^6-16*x^13*y^7-14*x^12*y^8+12*x^11 *y^9-2*x^14*y^5+4*x^13*y^6+26*x^12*y^7+11*x^11*y^8-11*x^10*y^9+2*x^13*y^5-21*x^ 12*y^6-21*x^11*y^7+15*x^10*y^8+6*x^9*y^9-x^13*y^4+7*x^12*y^5+15*x^11*y^6+7*x^10 *y^7-22*x^9*y^8-12*x^11*y^5-14*x^10*y^6+18*x^9*y^7-2*x^8*y^8+5*x^11*y^4+4*x^10* y^5+4*x^9*y^6-9*x^8*y^7-3*x^10*y^4-4*x^9*y^5+14*x^8*y^6-4*x^7*y^7+2*x^10*y^3-2* x^9*y^4-3*x^8*y^5-2*x^7*y^6-x^9*y^3+x^8*y^4+10*x^7*y^5-3*x^6*y^6+x^9*y^2-2*x^8* y^3-4*x^7*y^4+2*x^7*y^3+6*x^6*y^4-3*x^5*y^5-2*x^7*y^2-3*x^6*y^3+4*x^5*y^4+x^6*y ^2-8*x^4*y^4-x^6*y-2*x^5*y^2+7*x^4*y^3+x^5*y-4*x^3*y^3-x^4*y+4*x^3*y^2-2*x^2*y^ 2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(-x^12*y^10+x^13*y^8+2*x^12*y^9-2*x^13*y^7+x^12*y^8-4*x^12*y ^7-x^11*y^8+2*x^13*y^5+2*x^12*y^6+2*x^11*y^7-x^13*y^4-x^10*y^7-2*x^11*y^5+x^10* y^6+x^11*y^4+x^10*y^5-x^9*y^6-x^10*y^4+x^8*y^6+x^9*y^4+x^7*y^6-x^9*y^3-4*x^8*y^ 4-x^6*y^6+x^9*y^2+2*x^8*y^3-x^7*y^4+2*x^6*y^4+x^5*y^5+x^6*y^3-x^6*y^2-x^6*y-x^4 *y^3+x^5*y-x^4*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6447347951 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 209" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 21 23 20 23 19 22 20 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + 21 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 18 22 19 23 17 22 18 23 16 - 35 x y + 6 x y + 35 x y - 15 x y - 21 x y 22 17 23 15 22 16 23 14 22 15 19 18 + 20 x y + 7 x y - 15 x y - x y + 6 x y + 2 x y 22 14 19 17 19 16 18 17 19 15 18 16 - x y - 13 x y + 35 x y - x y - 50 x y + 2 x y 19 14 18 15 17 16 19 13 18 14 17 15 + 40 x y + 6 x y - x y - 17 x y - 26 x y + 6 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 18 12 17 13 + 3 x y + 39 x y - 15 x y + x y - 30 x y + 20 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 - 4 x y + 12 x y - 15 x y + 5 x y - 2 x y - 2 x y 17 11 15 13 17 10 16 11 15 12 14 13 + 6 x y + 9 x y - x y - 5 x y - 17 x y + 2 x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 + 4 x y + 17 x y - 6 x y - x y - 9 x y + 9 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 14 9 + x y + 2 x y - 9 x y - 3 x y + 2 x y + 5 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 + 3 x y - 12 x y - x y - x y + 27 x y + x y 12 9 11 10 12 8 11 9 12 7 11 8 - 29 x y + 5 x y + 15 x y - 17 x y - 3 x y + 16 x y 10 9 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - 3 x y - 6 x y + 8 x y + 2 x y + 2 x y - 8 x y - 8 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 - x y + 5 x y + 10 x y - 3 x y - 3 x y - 4 x y + 7 x y 10 4 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 + x y - 5 x y - 6 x y + 2 x y + 5 x y - 3 x y + 3 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 + 2 x y - 6 x y + x y + 3 x y - x y - 4 x y - x y + 8 x y 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 + x y - 6 x y + 4 x y + 2 x y - x y - 2 x y + 2 x y 3 2 2 2 2 / 19 15 19 14 19 13 - 2 x y + x y - x + 1) / (2 x y - 8 x y + 12 x y / 18 14 19 12 18 13 19 11 18 12 18 11 - 2 x y - 8 x y + 8 x y + 2 x y - 12 x y + 8 x y 16 13 18 10 16 12 16 11 15 12 16 10 + x y - 2 x y - 3 x y + 3 x y - x y - x y 15 11 15 10 14 11 15 9 14 10 14 9 13 10 + x y + x y - x y - x y + 5 x y - 7 x y + 2 x y 14 8 13 9 12 10 13 8 12 9 13 7 + 3 x y - 6 x y - 4 x y + 6 x y + 7 x y - 2 x y 12 8 11 9 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 - x y + 5 x y - 4 x y - 10 x y - x y + 2 x y + 4 x y 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + x y + 3 x y + 3 x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y - 4 x y 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 9 4 8 4 7 5 - x y - x y + x y + 6 x y + 5 x y - 3 x y - 5 x y - 5 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 6 2 5 3 + 2 x y + 3 x y - x y + x y + 5 x y - 5 x y + x y - 2 x y 5 2 4 3 4 2 3 2 3 2 2 2 + 2 x y + 3 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y + x y - x - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^23*y^21-7*x^23*y^20+21*x^23*y^19-x^22*y^20-35*x^23*y^18+6*x^22*y^19+35*x^23* y^17-15*x^22*y^18-21*x^23*y^16+20*x^22*y^17+7*x^23*y^15-15*x^22*y^16-x^23*y^14+ 6*x^22*y^15+2*x^19*y^18-x^22*y^14-13*x^19*y^17+35*x^19*y^16-x^18*y^17-50*x^19*y ^15+2*x^18*y^16+40*x^19*y^14+6*x^18*y^15-x^17*y^16-17*x^19*y^13-26*x^18*y^14+6* x^17*y^15+3*x^19*y^12+39*x^18*y^13-15*x^17*y^14+x^16*y^15-30*x^18*y^12+20*x^17* y^13-4*x^16*y^14+12*x^18*y^11-15*x^17*y^12+5*x^16*y^13-2*x^15*y^14-2*x^18*y^10+ 6*x^17*y^11+9*x^15*y^13-x^17*y^10-5*x^16*y^11-17*x^15*y^12+2*x^14*y^13+4*x^16*y ^10+17*x^15*y^11-6*x^14*y^12-x^16*y^9-9*x^15*y^10+9*x^14*y^11+x^13*y^12+2*x^15* y^9-9*x^14*y^10-3*x^13*y^11+2*x^12*y^12+5*x^14*y^9+3*x^13*y^10-12*x^12*y^11-x^ 14*y^8-x^13*y^9+27*x^12*y^10+x^11*y^11-29*x^12*y^9+5*x^11*y^10+15*x^12*y^8-17*x ^11*y^9-3*x^12*y^7+16*x^11*y^8-3*x^10*y^9-6*x^11*y^7+8*x^10*y^8+2*x^9*y^9+2*x^ 11*y^6-8*x^10*y^7-8*x^9*y^8-x^11*y^5+5*x^10*y^6+10*x^9*y^7-3*x^8*y^8-3*x^10*y^5 -4*x^9*y^6+7*x^8*y^7+x^10*y^4-5*x^8*y^6-6*x^7*y^7+2*x^8*y^5+5*x^7*y^6-3*x^8*y^4 +3*x^7*y^5+2*x^8*y^3-6*x^7*y^4+x^6*y^5+3*x^7*y^3-x^6*y^4-4*x^5*y^5-x^6*y^3+8*x^ 5*y^4+x^6*y^2-6*x^5*y^3+4*x^4*y^4+2*x^5*y^2-x^4*y^3-2*x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y ^2+x^2*y^2-x^2+1)/(2*x^19*y^15-8*x^19*y^14+12*x^19*y^13-2*x^18*y^14-8*x^19*y^12 +8*x^18*y^13+2*x^19*y^11-12*x^18*y^12+8*x^18*y^11+x^16*y^13-2*x^18*y^10-3*x^16* y^12+3*x^16*y^11-x^15*y^12-x^16*y^10+x^15*y^11+x^15*y^10-x^14*y^11-x^15*y^9+5*x ^14*y^10-7*x^14*y^9+2*x^13*y^10+3*x^14*y^8-6*x^13*y^9-4*x^12*y^10+6*x^13*y^8+7* x^12*y^9-2*x^13*y^7-x^12*y^8+5*x^11*y^9-4*x^12*y^7-10*x^11*y^8-x^10*y^9+2*x^12* y^6+4*x^11*y^7+x^10*y^8+3*x^11*y^6+3*x^10*y^7+2*x^9*y^8-2*x^11*y^5-4*x^10*y^6-4 *x^9*y^7-x^9*y^6-x^8*y^7+x^10*y^4+6*x^9*y^5+5*x^8*y^6-3*x^9*y^4-5*x^8*y^4-5*x^7 *y^5+2*x^8*y^3+3*x^7*y^4-x^6*y^5+x^7*y^3+5*x^6*y^4-5*x^6*y^3+x^6*y^2-2*x^5*y^3+ 2*x^5*y^2+3*x^4*y^3-2*x^4*y^2-2*x^3*y^2+2*x^3*y+x^2*y^2-x^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 14 13 11 10 9 8 7 6 5 4 2 (a - a + a + 2 a + 2 a - a - 8 a - a - a + 8 a - 1) - ------------------------------------------------------------------- 7 6 3 7 4 (8 a - 7 a + 4 a - 2) (a - a - 1) 8 7 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6412096230 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6427923860 ------------------------------------------------ "Theorem Number 210" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 2], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 21 23 20 23 19 22 20 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 7 x y + 21 x y - x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 18 22 19 23 17 22 18 23 16 - 35 x y + 6 x y + 35 x y - 15 x y - 21 x y 22 17 23 15 22 16 23 14 22 15 19 18 + 20 x y + 7 x y - 15 x y - x y + 6 x y + 2 x y 22 14 19 17 19 16 18 17 19 15 18 16 - x y - 13 x y + 35 x y - x y - 50 x y + 2 x y 19 14 18 15 17 16 19 13 18 14 17 15 + 40 x y + 6 x y - x y - 17 x y - 26 x y + 6 x y 19 12 18 13 17 14 16 15 18 12 17 13 + 3 x y + 39 x y - 15 x y + x y - 30 x y + 20 x y 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 - 4 x y + 12 x y - 15 x y + 5 x y - 2 x y - 2 x y 17 11 15 13 17 10 16 11 15 12 14 13 + 6 x y + 9 x y - x y - 5 x y - 17 x y + 2 x y 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 + 4 x y + 17 x y - 6 x y - x y - 9 x y + 9 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 14 9 + x y + 2 x y - 9 x y - 3 x y + 2 x y + 5 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 + 3 x y - 12 x y - x y - x y + 27 x y + x y 12 9 11 10 12 8 11 9 12 7 11 8 - 29 x y + 5 x y + 15 x y - 17 x y - 3 x y + 16 x y 10 9 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - 3 x y - 6 x y + 8 x y + 2 x y + 2 x y - 8 x y - 8 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 - x y + 5 x y + 10 x y - 3 x y - 3 x y - 4 x y + 7 x y 10 4 8 6 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 + x y - 5 x y - 6 x y + 2 x y + 5 x y - 3 x y + 3 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 + 2 x y - 6 x y + x y + 3 x y - x y - 4 x y - x y + 8 x y 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 + x y - 6 x y + 4 x y + 2 x y - x y - 2 x y + 2 x y 3 2 2 2 2 / 19 15 19 14 19 13 - 2 x y + x y - x + 1) / (2 x y - 8 x y + 12 x y / 18 14 19 12 18 13 19 11 18 12 18 11 - 2 x y - 8 x y + 8 x y + 2 x y - 12 x y + 8 x y 16 13 18 10 16 12 16 11 15 12 16 10 + x y - 2 x y - 3 x y + 3 x y - x y - x y 15 11 15 10 14 11 15 9 14 10 14 9 13 10 + x y + x y - x y - x y + 5 x y - 7 x y + 2 x y 14 8 13 9 12 10 13 8 12 9 13 7 + 3 x y - 6 x y - 4 x y + 6 x y + 7 x y - 2 x y 12 8 11 9 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 - x y + 5 x y - 4 x y - 10 x y - x y + 2 x y + 4 x y 10 8 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 + x y + 3 x y + 3 x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y - 4 x y 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 9 4 8 4 7 5 - x y - x y + x y + 6 x y + 5 x y - 3 x y - 5 x y - 5 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 6 2 5 3 + 2 x y + 3 x y - x y + x y + 5 x y - 5 x y + x y - 2 x y 5 2 4 3 4 2 3 2 3 2 2 2 + 2 x y + 3 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y + x y - x - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^23*y^21-7*x^23*y^20+21*x^23*y^19-x^22*y^20-35*x^23*y^18+6*x^22*y^19+35*x^23* y^17-15*x^22*y^18-21*x^23*y^16+20*x^22*y^17+7*x^23*y^15-15*x^22*y^16-x^23*y^14+ 6*x^22*y^15+2*x^19*y^18-x^22*y^14-13*x^19*y^17+35*x^19*y^16-x^18*y^17-50*x^19*y ^15+2*x^18*y^16+40*x^19*y^14+6*x^18*y^15-x^17*y^16-17*x^19*y^13-26*x^18*y^14+6* x^17*y^15+3*x^19*y^12+39*x^18*y^13-15*x^17*y^14+x^16*y^15-30*x^18*y^12+20*x^17* y^13-4*x^16*y^14+12*x^18*y^11-15*x^17*y^12+5*x^16*y^13-2*x^15*y^14-2*x^18*y^10+ 6*x^17*y^11+9*x^15*y^13-x^17*y^10-5*x^16*y^11-17*x^15*y^12+2*x^14*y^13+4*x^16*y ^10+17*x^15*y^11-6*x^14*y^12-x^16*y^9-9*x^15*y^10+9*x^14*y^11+x^13*y^12+2*x^15* y^9-9*x^14*y^10-3*x^13*y^11+2*x^12*y^12+5*x^14*y^9+3*x^13*y^10-12*x^12*y^11-x^ 14*y^8-x^13*y^9+27*x^12*y^10+x^11*y^11-29*x^12*y^9+5*x^11*y^10+15*x^12*y^8-17*x ^11*y^9-3*x^12*y^7+16*x^11*y^8-3*x^10*y^9-6*x^11*y^7+8*x^10*y^8+2*x^9*y^9+2*x^ 11*y^6-8*x^10*y^7-8*x^9*y^8-x^11*y^5+5*x^10*y^6+10*x^9*y^7-3*x^8*y^8-3*x^10*y^5 -4*x^9*y^6+7*x^8*y^7+x^10*y^4-5*x^8*y^6-6*x^7*y^7+2*x^8*y^5+5*x^7*y^6-3*x^8*y^4 +3*x^7*y^5+2*x^8*y^3-6*x^7*y^4+x^6*y^5+3*x^7*y^3-x^6*y^4-4*x^5*y^5-x^6*y^3+8*x^ 5*y^4+x^6*y^2-6*x^5*y^3+4*x^4*y^4+2*x^5*y^2-x^4*y^3-2*x^4*y^2+2*x^3*y^3-2*x^3*y ^2+x^2*y^2-x^2+1)/(2*x^19*y^15-8*x^19*y^14+12*x^19*y^13-2*x^18*y^14-8*x^19*y^12 +8*x^18*y^13+2*x^19*y^11-12*x^18*y^12+8*x^18*y^11+x^16*y^13-2*x^18*y^10-3*x^16* y^12+3*x^16*y^11-x^15*y^12-x^16*y^10+x^15*y^11+x^15*y^10-x^14*y^11-x^15*y^9+5*x ^14*y^10-7*x^14*y^9+2*x^13*y^10+3*x^14*y^8-6*x^13*y^9-4*x^12*y^10+6*x^13*y^8+7* x^12*y^9-2*x^13*y^7-x^12*y^8+5*x^11*y^9-4*x^12*y^7-10*x^11*y^8-x^10*y^9+2*x^12* y^6+4*x^11*y^7+x^10*y^8+3*x^11*y^6+3*x^10*y^7+2*x^9*y^8-2*x^11*y^5-4*x^10*y^6-4 *x^9*y^7-x^9*y^6-x^8*y^7+x^10*y^4+6*x^9*y^5+5*x^8*y^6-3*x^9*y^4-5*x^8*y^4-5*x^7 *y^5+2*x^8*y^3+3*x^7*y^4-x^6*y^5+x^7*y^3+5*x^6*y^4-5*x^6*y^3+x^6*y^2-2*x^5*y^3+ 2*x^5*y^2+3*x^4*y^3-2*x^4*y^2-2*x^3*y^2+2*x^3*y+x^2*y^2-x^2-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 14 13 11 10 9 8 7 6 5 4 2 (a - a + a + 2 a + 2 a - a - 8 a - a - a + 8 a - 1) - ------------------------------------------------------------------- 7 6 3 7 4 (8 a - 7 a + 4 a - 2) (a - a - 1) 8 7 4 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6412096230 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6427923860 ------------------------------------------------ "Theorem Number 211" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 2], [2, 1, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 17 15 17 14 17 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 14 17 12 16 13 17 11 16 12 15 13 - x y - 10 x y + 6 x y + 5 x y - 15 x y + x y 17 10 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 - x y + 20 x y - 4 x y + 2 x y - 15 x y + 6 x y 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 - 6 x y + 2 x y + 6 x y - 4 x y + x y - 7 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 14 9 13 10 - x y + x y + 15 x y + 8 x y + x y - 21 x y - x y 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 + 11 x y - 5 x y - 7 x y + 2 x y - 2 x y + 4 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 + 9 x y - 5 x y - x y - x y + 5 x y - 2 x y - 4 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 + 4 x y - 2 x y + 3 x y - 11 x y - 3 x y + 3 x y - x y 10 7 9 8 12 4 10 6 8 8 10 5 9 6 + 7 x y + 5 x y - x y + 3 x y - 2 x y - x y - 2 x y 8 7 10 4 9 5 7 7 10 3 9 4 8 5 + 3 x y - 4 x y - x y - 5 x y + 2 x y + x y - 2 x y 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + 5 x y + x y + 3 x y - 3 x y - x y - x y + x y - 3 x y 7 2 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 5 4 2 + x y + 3 x y + 3 x y + 3 x y - 2 x y - x y - x y - x y 3 3 3 2 2 2 2 / 16 12 16 11 15 12 + 2 x y - x y + x y - x y + 1) / (x y - 4 x y + x y / 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 + 6 x y - 5 x y + x y - 4 x y + 9 x y - 4 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + x y - 7 x y + 8 x y - x y + 2 x y - 10 x y 13 10 14 8 13 9 14 7 13 8 12 9 + 5 x y + 7 x y - 10 x y - 2 x y + 10 x y - x y 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 13 5 - 6 x y + 5 x y + 2 x y + 3 x y - 9 x y - 6 x y - x y 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 + 8 x y + 4 x y - 4 x y - 4 x y + 5 x y + 10 x y 12 4 11 5 10 6 9 7 11 4 9 6 10 4 + x y - 8 x y - 8 x y + 3 x y + 3 x y - 8 x y + 4 x y 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 + 7 x y - x y - 2 x y - 2 x y + 3 x y + x y - 4 x y 7 5 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 7 2 - 3 x y + 2 x y + x y - x y + 2 x y + 5 x y - x y - x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 5 - 2 x y + x y - 2 x y - 3 x y + x y + 2 x y - x y + x y 4 2 3 2 2 2 2 + x y - x y - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^17*y^15-5*x^17*y^14+10*x^17*y^13-x^16*y^14-10*x^17*y^12+6*x^16*y^13+5*x^17* y^11-15*x^16*y^12+x^15*y^13-x^17*y^10+20*x^16*y^11-4*x^15*y^12+2*x^14*y^13-15*x ^16*y^10+6*x^15*y^11-6*x^14*y^12+2*x^13*y^13+6*x^16*y^9-4*x^15*y^10+x^14*y^11-7 *x^13*y^12-x^16*y^8+x^15*y^9+15*x^14*y^10+8*x^13*y^11+x^12*y^12-21*x^14*y^9-x^ 13*y^10+11*x^14*y^8-5*x^13*y^9-7*x^12*y^10+2*x^11*y^11-2*x^14*y^7+4*x^13*y^8+9* x^12*y^9-5*x^11*y^10-x^13*y^7-x^12*y^8+5*x^11*y^9-2*x^12*y^7-4*x^11*y^8+4*x^10* y^9-2*x^12*y^6+3*x^11*y^7-11*x^10*y^8-3*x^9*y^9+3*x^12*y^5-x^11*y^6+7*x^10*y^7+ 5*x^9*y^8-x^12*y^4+3*x^10*y^6-2*x^8*y^8-x^10*y^5-2*x^9*y^6+3*x^8*y^7-4*x^10*y^4 -x^9*y^5-5*x^7*y^7+2*x^10*y^3+x^9*y^4-2*x^8*y^5+5*x^7*y^6+x^8*y^4+3*x^7*y^5-3*x ^7*y^4-x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^4-3*x^5*y^5+x^7*y^2+3*x^5*y^4+3*x^5*y^3+3*x^4*y^4-\ 2*x^5*y^2-x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+1)/(x^16*y^12-4 *x^16*y^11+x^15*y^12+6*x^16*y^10-5*x^15*y^11+x^14*y^12-4*x^16*y^9+9*x^15*y^10-4 *x^14*y^11+x^16*y^8-7*x^15*y^9+8*x^14*y^10-x^13*y^11+2*x^15*y^8-10*x^14*y^9+5*x ^13*y^10+7*x^14*y^8-10*x^13*y^9-2*x^14*y^7+10*x^13*y^8-x^12*y^9-6*x^13*y^7+5*x^ 12*y^8+2*x^11*y^9+3*x^13*y^6-9*x^12*y^7-6*x^11*y^8-x^13*y^5+8*x^12*y^6+4*x^11*y ^7-4*x^10*y^8-4*x^12*y^5+5*x^11*y^6+10*x^10*y^7+x^12*y^4-8*x^11*y^5-8*x^10*y^6+ 3*x^9*y^7+3*x^11*y^4-8*x^9*y^6+4*x^10*y^4+7*x^9*y^5-x^8*y^6-2*x^10*y^3-2*x^9*y^ 4+3*x^8*y^5+x^7*y^6-4*x^8*y^4-3*x^7*y^5+2*x^8*y^3+x^7*y^4-x^6*y^5+2*x^7*y^3+5*x ^6*y^4-x^5*y^5-x^7*y^2-2*x^6*y^3+x^5*y^4-2*x^6*y^2-3*x^5*y^3+x^4*y^4+2*x^5*y^2- x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 9 7 6 5 4 3 2 (a - 2 a + a + a - 8 a + 2 a + 1) ----------------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6408732118 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6424362630 ------------------------------------------------ "Theorem Number 212" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1, 2], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 17 15 17 14 17 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 14 17 12 16 13 17 11 16 12 15 13 - x y - 10 x y + 6 x y + 5 x y - 15 x y + x y 17 10 16 11 15 12 14 13 16 10 15 11 - x y + 20 x y - 4 x y + 2 x y - 15 x y + 6 x y 14 12 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 - 6 x y + 2 x y + 6 x y - 4 x y + x y - 7 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 14 9 13 10 - x y + x y + 15 x y + 8 x y + x y - 21 x y - x y 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 + 11 x y - 5 x y - 7 x y + 2 x y - 2 x y + 4 x y 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 12 7 11 8 + 9 x y - 5 x y - x y - x y + 5 x y - 2 x y - 4 x y 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 + 4 x y - 2 x y + 3 x y - 11 x y - 3 x y + 3 x y - x y 10 7 9 8 12 4 10 6 8 8 10 5 9 6 + 7 x y + 5 x y - x y + 3 x y - 2 x y - x y - 2 x y 8 7 10 4 9 5 7 7 10 3 9 4 8 5 + 3 x y - 4 x y - x y - 5 x y + 2 x y + x y - 2 x y 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 + 5 x y + x y + 3 x y - 3 x y - x y - x y + x y - 3 x y 7 2 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 5 4 2 + x y + 3 x y + 3 x y + 3 x y - 2 x y - x y - x y - x y 3 3 3 2 2 2 2 / 16 12 16 11 15 12 + 2 x y - x y + x y - x y + 1) / (x y - 4 x y + x y / 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 14 11 + 6 x y - 5 x y + x y - 4 x y + 9 x y - 4 x y 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + x y - 7 x y + 8 x y - x y + 2 x y - 10 x y 13 10 14 8 13 9 14 7 13 8 12 9 + 5 x y + 7 x y - 10 x y - 2 x y + 10 x y - x y 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 11 8 13 5 - 6 x y + 5 x y + 2 x y + 3 x y - 9 x y - 6 x y - x y 12 6 11 7 10 8 12 5 11 6 10 7 + 8 x y + 4 x y - 4 x y - 4 x y + 5 x y + 10 x y 12 4 11 5 10 6 9 7 11 4 9 6 10 4 + x y - 8 x y - 8 x y + 3 x y + 3 x y - 8 x y + 4 x y 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 + 7 x y - x y - 2 x y - 2 x y + 3 x y + x y - 4 x y 7 5 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 7 2 - 3 x y + 2 x y + x y - x y + 2 x y + 5 x y - x y - x y 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 5 - 2 x y + x y - 2 x y - 3 x y + x y + 2 x y - x y + x y 4 2 3 2 2 2 2 + x y - x y - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^17*y^15-5*x^17*y^14+10*x^17*y^13-x^16*y^14-10*x^17*y^12+6*x^16*y^13+5*x^17* y^11-15*x^16*y^12+x^15*y^13-x^17*y^10+20*x^16*y^11-4*x^15*y^12+2*x^14*y^13-15*x ^16*y^10+6*x^15*y^11-6*x^14*y^12+2*x^13*y^13+6*x^16*y^9-4*x^15*y^10+x^14*y^11-7 *x^13*y^12-x^16*y^8+x^15*y^9+15*x^14*y^10+8*x^13*y^11+x^12*y^12-21*x^14*y^9-x^ 13*y^10+11*x^14*y^8-5*x^13*y^9-7*x^12*y^10+2*x^11*y^11-2*x^14*y^7+4*x^13*y^8+9* x^12*y^9-5*x^11*y^10-x^13*y^7-x^12*y^8+5*x^11*y^9-2*x^12*y^7-4*x^11*y^8+4*x^10* y^9-2*x^12*y^6+3*x^11*y^7-11*x^10*y^8-3*x^9*y^9+3*x^12*y^5-x^11*y^6+7*x^10*y^7+ 5*x^9*y^8-x^12*y^4+3*x^10*y^6-2*x^8*y^8-x^10*y^5-2*x^9*y^6+3*x^8*y^7-4*x^10*y^4 -x^9*y^5-5*x^7*y^7+2*x^10*y^3+x^9*y^4-2*x^8*y^5+5*x^7*y^6+x^8*y^4+3*x^7*y^5-3*x ^7*y^4-x^6*y^5-x^7*y^3+x^6*y^4-3*x^5*y^5+x^7*y^2+3*x^5*y^4+3*x^5*y^3+3*x^4*y^4-\ 2*x^5*y^2-x^4*y^3-x^5*y-x^4*y^2+2*x^3*y^3-x^3*y^2+x^2*y^2-x^2*y+1)/(x^16*y^12-4 *x^16*y^11+x^15*y^12+6*x^16*y^10-5*x^15*y^11+x^14*y^12-4*x^16*y^9+9*x^15*y^10-4 *x^14*y^11+x^16*y^8-7*x^15*y^9+8*x^14*y^10-x^13*y^11+2*x^15*y^8-10*x^14*y^9+5*x ^13*y^10+7*x^14*y^8-10*x^13*y^9-2*x^14*y^7+10*x^13*y^8-x^12*y^9-6*x^13*y^7+5*x^ 12*y^8+2*x^11*y^9+3*x^13*y^6-9*x^12*y^7-6*x^11*y^8-x^13*y^5+8*x^12*y^6+4*x^11*y ^7-4*x^10*y^8-4*x^12*y^5+5*x^11*y^6+10*x^10*y^7+x^12*y^4-8*x^11*y^5-8*x^10*y^6+ 3*x^9*y^7+3*x^11*y^4-8*x^9*y^6+4*x^10*y^4+7*x^9*y^5-x^8*y^6-2*x^10*y^3-2*x^9*y^ 4+3*x^8*y^5+x^7*y^6-4*x^8*y^4-3*x^7*y^5+2*x^8*y^3+x^7*y^4-x^6*y^5+2*x^7*y^3+5*x ^6*y^4-x^5*y^5-x^7*y^2-2*x^6*y^3+x^5*y^4-2*x^6*y^2-3*x^5*y^3+x^4*y^4+2*x^5*y^2- x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2-x^3*y^2-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 9 7 6 5 4 3 2 (a - 2 a + a + a - 8 a + 2 a + 1) ----------------------------------------- 3 2 4 3 (4 a - 3 a + 2) (a + a + 1) 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6408732118 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6424362630 ------------------------------------------------ "Theorem Number 213" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [1, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 20 23 19 23 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 9 x y + 36 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 19 23 17 22 18 23 16 22 17 21 18 + 2 x y - 84 x y - 18 x y + 126 x y + 72 x y + x y 23 15 22 16 21 17 20 18 23 14 - 126 x y - 168 x y - 10 x y - x y + 84 x y 22 15 21 16 20 17 23 13 22 14 + 252 x y + 44 x y + 7 x y - 36 x y - 252 x y 21 15 20 16 19 17 23 12 22 13 - 112 x y - 23 x y - 3 x y + 9 x y + 168 x y 21 14 20 15 19 16 23 11 22 12 + 182 x y + 51 x y + 20 x y - x y - 72 x y 21 13 20 14 19 15 18 16 22 11 - 196 x y - 90 x y - 63 x y - x y + 18 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 17 16 + 140 x y + 127 x y + 126 x y + 2 x y + x y 22 10 21 11 20 12 19 13 18 14 - 2 x y - 64 x y - 132 x y - 177 x y - 2 x y 17 15 21 10 20 11 19 12 18 13 - 6 x y + 17 x y + 93 x y + 178 x y + 19 x y 17 14 16 15 21 9 20 10 19 11 18 12 + 11 x y + x y - 2 x y - 41 x y - 125 x y - 66 x y 17 13 16 14 20 9 19 10 18 11 17 12 - 3 x y - 7 x y + 10 x y + 58 x y + 101 x y - 9 x y 16 13 15 14 20 8 19 9 18 10 17 11 + 19 x y - x y - x y - 16 x y - 82 x y - x y 16 12 15 13 14 14 19 8 18 9 17 10 - 24 x y + 7 x y - 2 x y + 2 x y + 37 x y + 21 x y 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 16 10 + 12 x y - 16 x y + 10 x y - 9 x y - 21 x y + x y 15 11 14 12 13 13 18 7 17 8 16 9 + 16 x y - 12 x y - 2 x y + x y + 8 x y - x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 - 8 x y - 8 x y + 13 x y - x y - 2 x y + 6 x y 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 + 28 x y - 27 x y + x y + x y - 10 x y - 28 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 23 x y - x y + 10 x y + 24 x y - 3 x y - 2 x y 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 + 3 x y - 5 x y - 20 x y - 15 x y + 2 x y - 12 x y 15 5 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 + x y + 10 x y + 22 x y + 6 x y + 16 x y + 4 x y 14 5 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 - 2 x y - 16 x y - 17 x y - 9 x y - 14 x y + 6 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 13 4 12 5 + 19 x y + 9 x y + 16 x y + 5 x y - x y - 10 x y 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 - 16 x y - 2 x y - 15 x y + 2 x y + 13 x y - 4 x y 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 + 13 x y - 5 x y - 6 x y - 3 x y - 6 x y + x y + 8 x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 9 3 + 5 x y + 12 x y - 2 x y - 2 x y - 8 x y - 7 x y + 3 x y 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 8 2 7 3 + 4 x y + x y - 3 x y - 4 x y + 2 x y + 3 x y + x y + x y 5 5 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 6 4 3 - 3 x y - 2 x y + x y + 5 x y - 3 x y - 8 x y - x y + 8 x y 5 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 + x y - x y - 4 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1 / 20 15 20 14 20 13 20 12 18 14 20 11 ) / (x y - 7 x y + 21 x y - 35 x y - x y + 35 x y / 18 13 20 10 18 12 17 13 20 9 18 11 + 6 x y - 21 x y - 16 x y - x y + 7 x y + 25 x y 17 12 20 8 18 10 17 11 18 9 17 10 + 5 x y - x y - 25 x y - 10 x y + 16 x y + 10 x y 15 12 18 8 17 9 16 10 15 11 18 7 17 8 + x y - 6 x y - 5 x y - 3 x y - 5 x y + x y + x y 16 9 15 10 16 8 15 9 14 10 16 7 + 11 x y + 9 x y - 15 x y - 8 x y + x y + 9 x y 15 8 14 9 16 6 13 9 15 6 14 7 13 8 + 4 x y - 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y - x y 12 9 15 5 14 6 12 8 13 6 12 7 11 8 + 2 x y + x y - x y - 4 x y - 2 x y + 3 x y - x y 13 5 12 6 11 7 13 4 11 6 10 7 9 8 + 3 x y - x y + 4 x y - x y - 3 x y - x y + x y 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 9 5 - 5 x y - x y + x y + 5 x y - x y + x y + 2 x y - x y 8 6 10 3 9 4 8 5 9 3 7 5 6 6 7 4 + 3 x y - 2 x y - x y - 4 x y + x y + x y - x y - 2 x y 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 + x y + x y + x y + 2 x y + x y + x y - x y - 2 x y 5 3 6 5 4 2 3 - x y - x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^23*y^20-9*x^23*y^19+36*x^23*y^18+2*x^22*y^19-84*x^23*y^17-18*x^22*y^18+126*x ^23*y^16+72*x^22*y^17+x^21*y^18-126*x^23*y^15-168*x^22*y^16-10*x^21*y^17-x^20*y ^18+84*x^23*y^14+252*x^22*y^15+44*x^21*y^16+7*x^20*y^17-36*x^23*y^13-252*x^22*y ^14-112*x^21*y^15-23*x^20*y^16-3*x^19*y^17+9*x^23*y^12+168*x^22*y^13+182*x^21*y ^14+51*x^20*y^15+20*x^19*y^16-x^23*y^11-72*x^22*y^12-196*x^21*y^13-90*x^20*y^14 -63*x^19*y^15-x^18*y^16+18*x^22*y^11+140*x^21*y^12+127*x^20*y^13+126*x^19*y^14+ 2*x^18*y^15+x^17*y^16-2*x^22*y^10-64*x^21*y^11-132*x^20*y^12-177*x^19*y^13-2*x^ 18*y^14-6*x^17*y^15+17*x^21*y^10+93*x^20*y^11+178*x^19*y^12+19*x^18*y^13+11*x^ 17*y^14+x^16*y^15-2*x^21*y^9-41*x^20*y^10-125*x^19*y^11-66*x^18*y^12-3*x^17*y^ 13-7*x^16*y^14+10*x^20*y^9+58*x^19*y^10+101*x^18*y^11-9*x^17*y^12+19*x^16*y^13- x^15*y^14-x^20*y^8-16*x^19*y^9-82*x^18*y^10-x^17*y^11-24*x^16*y^12+7*x^15*y^13-\ 2*x^14*y^14+2*x^19*y^8+37*x^18*y^9+21*x^17*y^10+12*x^16*y^11-16*x^15*y^12+10*x^ 14*y^13-9*x^18*y^8-21*x^17*y^9+x^16*y^10+16*x^15*y^11-12*x^14*y^12-2*x^13*y^13+ x^18*y^7+8*x^17*y^8-x^16*y^9-8*x^15*y^10-8*x^14*y^11+13*x^13*y^12-x^17*y^7-2*x^ 16*y^8+6*x^15*y^9+28*x^14*y^10-27*x^13*y^11+x^12*y^12+x^16*y^7-10*x^15*y^8-28*x ^14*y^9+23*x^13*y^10-x^12*y^11+10*x^15*y^7+24*x^14*y^8-3*x^13*y^9-2*x^12*y^10+3 *x^11*y^11-5*x^15*y^6-20*x^14*y^7-15*x^13*y^8+2*x^12*y^9-12*x^11*y^10+x^15*y^5+ 10*x^14*y^6+22*x^13*y^7+6*x^12*y^8+16*x^11*y^9+4*x^10*y^10-2*x^14*y^5-16*x^13*y ^6-17*x^12*y^7-9*x^11*y^8-14*x^10*y^9+6*x^13*y^5+19*x^12*y^6+9*x^11*y^7+16*x^10 *y^8+5*x^9*y^9-x^13*y^4-10*x^12*y^5-16*x^11*y^6-2*x^10*y^7-15*x^9*y^8+2*x^12*y^ 4+13*x^11*y^5-4*x^10*y^6+13*x^9*y^7-5*x^11*y^4-6*x^10*y^5-3*x^9*y^6-6*x^8*y^7+x ^11*y^3+8*x^10*y^4+5*x^9*y^5+12*x^8*y^6-2*x^7*y^7-2*x^10*y^3-8*x^9*y^4-7*x^8*y^ 5+3*x^9*y^3+4*x^8*y^4+x^7*y^5-3*x^6*y^6-4*x^8*y^3+2*x^7*y^4+3*x^6*y^5+x^8*y^2+x ^7*y^3-3*x^5*y^5-2*x^7*y^2+x^6*y^3+5*x^5*y^4-3*x^5*y^3-8*x^4*y^4-x^6*y+8*x^4*y^ 3+x^5*y-x^4*y^2-4*x^3*y^3+4*x^3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x^20*y^15 -7*x^20*y^14+21*x^20*y^13-35*x^20*y^12-x^18*y^14+35*x^20*y^11+6*x^18*y^13-21*x^ 20*y^10-16*x^18*y^12-x^17*y^13+7*x^20*y^9+25*x^18*y^11+5*x^17*y^12-x^20*y^8-25* x^18*y^10-10*x^17*y^11+16*x^18*y^9+10*x^17*y^10+x^15*y^12-6*x^18*y^8-5*x^17*y^9 -3*x^16*y^10-5*x^15*y^11+x^18*y^7+x^17*y^8+11*x^16*y^9+9*x^15*y^10-15*x^16*y^8-\ 8*x^15*y^9+x^14*y^10+9*x^16*y^7+4*x^15*y^8-2*x^14*y^9-2*x^16*y^6+x^13*y^9-2*x^ 15*y^6+2*x^14*y^7-x^13*y^8+2*x^12*y^9+x^15*y^5-x^14*y^6-4*x^12*y^8-2*x^13*y^6+3 *x^12*y^7-x^11*y^8+3*x^13*y^5-x^12*y^6+4*x^11*y^7-x^13*y^4-3*x^11*y^6-x^10*y^7+ x^9*y^8-5*x^9*y^7-x^11*y^4+x^10*y^5+5*x^9*y^6-x^8*y^7+x^11*y^3+2*x^10*y^4-x^9*y ^5+3*x^8*y^6-2*x^10*y^3-x^9*y^4-4*x^8*y^5+x^9*y^3+x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^7*y^4+x^6 *y^5+x^8*y^2+x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^5*y^5+x^6*y^3-x^5*y^4-2*x^6*y^2-x^5*y^3-x^6*y+ x^5*y+x^4*y^2-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 ( 14 13 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 a + a + a - 2 a + 4 a + a - 9 a + 3 a + a - 8 a + 2 a + 1) / 7 3 2 4 3 / ((8 a - 4 a + 3 a - 2) (a + a + 1)) / 8 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6404490000 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6421351985 ------------------------------------------------ "Theorem Number 214" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [2, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 20 23 19 23 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 9 x y + 36 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 19 23 17 22 18 23 16 22 17 21 18 + 2 x y - 84 x y - 18 x y + 126 x y + 72 x y + x y 23 15 22 16 21 17 20 18 23 14 - 126 x y - 168 x y - 10 x y - x y + 84 x y 22 15 21 16 20 17 23 13 22 14 + 252 x y + 44 x y + 7 x y - 36 x y - 252 x y 21 15 20 16 19 17 23 12 22 13 - 112 x y - 23 x y - 3 x y + 9 x y + 168 x y 21 14 20 15 19 16 23 11 22 12 + 182 x y + 51 x y + 20 x y - x y - 72 x y 21 13 20 14 19 15 18 16 22 11 - 196 x y - 90 x y - 63 x y - x y + 18 x y 21 12 20 13 19 14 18 15 17 16 + 140 x y + 127 x y + 126 x y + 2 x y + x y 22 10 21 11 20 12 19 13 18 14 - 2 x y - 64 x y - 132 x y - 177 x y - 2 x y 17 15 21 10 20 11 19 12 18 13 - 6 x y + 17 x y + 93 x y + 178 x y + 19 x y 17 14 16 15 21 9 20 10 19 11 18 12 + 11 x y + x y - 2 x y - 41 x y - 125 x y - 66 x y 17 13 16 14 20 9 19 10 18 11 17 12 - 3 x y - 7 x y + 10 x y + 58 x y + 101 x y - 9 x y 16 13 15 14 20 8 19 9 18 10 17 11 + 19 x y - x y - x y - 16 x y - 82 x y - x y 16 12 15 13 14 14 19 8 18 9 17 10 - 24 x y + 7 x y - 2 x y + 2 x y + 37 x y + 21 x y 16 11 15 12 14 13 18 8 17 9 16 10 + 12 x y - 16 x y + 10 x y - 9 x y - 21 x y + x y 15 11 14 12 13 13 18 7 17 8 16 9 + 16 x y - 12 x y - 2 x y + x y + 8 x y - x y 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 15 9 - 8 x y - 8 x y + 13 x y - x y - 2 x y + 6 x y 14 10 13 11 12 12 16 7 15 8 14 9 + 28 x y - 27 x y + x y + x y - 10 x y - 28 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 23 x y - x y + 10 x y + 24 x y - 3 x y - 2 x y 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 + 3 x y - 5 x y - 20 x y - 15 x y + 2 x y - 12 x y 15 5 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 + x y + 10 x y + 22 x y + 6 x y + 16 x y + 4 x y 14 5 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 - 2 x y - 16 x y - 17 x y - 9 x y - 14 x y + 6 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 13 4 12 5 + 19 x y + 9 x y + 16 x y + 5 x y - x y - 10 x y 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 - 16 x y - 2 x y - 15 x y + 2 x y + 13 x y - 4 x y 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 + 13 x y - 5 x y - 6 x y - 3 x y - 6 x y + x y + 8 x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 9 3 + 5 x y + 12 x y - 2 x y - 2 x y - 8 x y - 7 x y + 3 x y 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 8 2 7 3 + 4 x y + x y - 3 x y - 4 x y + 2 x y + 3 x y + x y + x y 5 5 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 6 4 3 - 3 x y - 2 x y + x y + 5 x y - 3 x y - 8 x y - x y + 8 x y 5 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 + x y - x y - 4 x y + 4 x y - x y - 2 x y + 2 x y - x y + x - 1 / 20 15 20 14 20 13 20 12 18 14 20 11 ) / (x y - 7 x y + 21 x y - 35 x y - x y + 35 x y / 18 13 20 10 18 12 17 13 20 9 18 11 + 6 x y - 21 x y - 16 x y - x y + 7 x y + 25 x y 17 12 20 8 18 10 17 11 18 9 17 10 + 5 x y - x y - 25 x y - 10 x y + 16 x y + 10 x y 15 12 18 8 17 9 16 10 15 11 18 7 17 8 + x y - 6 x y - 5 x y - 3 x y - 5 x y + x y + x y 16 9 15 10 16 8 15 9 14 10 16 7 + 11 x y + 9 x y - 15 x y - 8 x y + x y + 9 x y 15 8 14 9 16 6 13 9 15 6 14 7 13 8 + 4 x y - 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y - x y 12 9 15 5 14 6 12 8 13 6 12 7 11 8 + 2 x y + x y - x y - 4 x y - 2 x y + 3 x y - x y 13 5 12 6 11 7 13 4 11 6 10 7 9 8 + 3 x y - x y + 4 x y - x y - 3 x y - x y + x y 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 10 4 9 5 - 5 x y - x y + x y + 5 x y - x y + x y + 2 x y - x y 8 6 10 3 9 4 8 5 9 3 7 5 6 6 7 4 + 3 x y - 2 x y - x y - 4 x y + x y + x y - x y - 2 x y 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 + x y + x y + x y + 2 x y + x y + x y - x y - 2 x y 5 3 6 5 4 2 3 - x y - x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation (x^23*y^20-9*x^23*y^19+36*x^23*y^18+2*x^22*y^19-84*x^23*y^17-18*x^22*y^18+126*x ^23*y^16+72*x^22*y^17+x^21*y^18-126*x^23*y^15-168*x^22*y^16-10*x^21*y^17-x^20*y ^18+84*x^23*y^14+252*x^22*y^15+44*x^21*y^16+7*x^20*y^17-36*x^23*y^13-252*x^22*y ^14-112*x^21*y^15-23*x^20*y^16-3*x^19*y^17+9*x^23*y^12+168*x^22*y^13+182*x^21*y ^14+51*x^20*y^15+20*x^19*y^16-x^23*y^11-72*x^22*y^12-196*x^21*y^13-90*x^20*y^14 -63*x^19*y^15-x^18*y^16+18*x^22*y^11+140*x^21*y^12+127*x^20*y^13+126*x^19*y^14+ 2*x^18*y^15+x^17*y^16-2*x^22*y^10-64*x^21*y^11-132*x^20*y^12-177*x^19*y^13-2*x^ 18*y^14-6*x^17*y^15+17*x^21*y^10+93*x^20*y^11+178*x^19*y^12+19*x^18*y^13+11*x^ 17*y^14+x^16*y^15-2*x^21*y^9-41*x^20*y^10-125*x^19*y^11-66*x^18*y^12-3*x^17*y^ 13-7*x^16*y^14+10*x^20*y^9+58*x^19*y^10+101*x^18*y^11-9*x^17*y^12+19*x^16*y^13- x^15*y^14-x^20*y^8-16*x^19*y^9-82*x^18*y^10-x^17*y^11-24*x^16*y^12+7*x^15*y^13-\ 2*x^14*y^14+2*x^19*y^8+37*x^18*y^9+21*x^17*y^10+12*x^16*y^11-16*x^15*y^12+10*x^ 14*y^13-9*x^18*y^8-21*x^17*y^9+x^16*y^10+16*x^15*y^11-12*x^14*y^12-2*x^13*y^13+ x^18*y^7+8*x^17*y^8-x^16*y^9-8*x^15*y^10-8*x^14*y^11+13*x^13*y^12-x^17*y^7-2*x^ 16*y^8+6*x^15*y^9+28*x^14*y^10-27*x^13*y^11+x^12*y^12+x^16*y^7-10*x^15*y^8-28*x ^14*y^9+23*x^13*y^10-x^12*y^11+10*x^15*y^7+24*x^14*y^8-3*x^13*y^9-2*x^12*y^10+3 *x^11*y^11-5*x^15*y^6-20*x^14*y^7-15*x^13*y^8+2*x^12*y^9-12*x^11*y^10+x^15*y^5+ 10*x^14*y^6+22*x^13*y^7+6*x^12*y^8+16*x^11*y^9+4*x^10*y^10-2*x^14*y^5-16*x^13*y ^6-17*x^12*y^7-9*x^11*y^8-14*x^10*y^9+6*x^13*y^5+19*x^12*y^6+9*x^11*y^7+16*x^10 *y^8+5*x^9*y^9-x^13*y^4-10*x^12*y^5-16*x^11*y^6-2*x^10*y^7-15*x^9*y^8+2*x^12*y^ 4+13*x^11*y^5-4*x^10*y^6+13*x^9*y^7-5*x^11*y^4-6*x^10*y^5-3*x^9*y^6-6*x^8*y^7+x ^11*y^3+8*x^10*y^4+5*x^9*y^5+12*x^8*y^6-2*x^7*y^7-2*x^10*y^3-8*x^9*y^4-7*x^8*y^ 5+3*x^9*y^3+4*x^8*y^4+x^7*y^5-3*x^6*y^6-4*x^8*y^3+2*x^7*y^4+3*x^6*y^5+x^8*y^2+x ^7*y^3-3*x^5*y^5-2*x^7*y^2+x^6*y^3+5*x^5*y^4-3*x^5*y^3-8*x^4*y^4-x^6*y+8*x^4*y^ 3+x^5*y-x^4*y^2-4*x^3*y^3+4*x^3*y^2-x^3*y-2*x^2*y^2+2*x^2*y-x*y+x-1)/(x^20*y^15 -7*x^20*y^14+21*x^20*y^13-35*x^20*y^12-x^18*y^14+35*x^20*y^11+6*x^18*y^13-21*x^ 20*y^10-16*x^18*y^12-x^17*y^13+7*x^20*y^9+25*x^18*y^11+5*x^17*y^12-x^20*y^8-25* x^18*y^10-10*x^17*y^11+16*x^18*y^9+10*x^17*y^10+x^15*y^12-6*x^18*y^8-5*x^17*y^9 -3*x^16*y^10-5*x^15*y^11+x^18*y^7+x^17*y^8+11*x^16*y^9+9*x^15*y^10-15*x^16*y^8-\ 8*x^15*y^9+x^14*y^10+9*x^16*y^7+4*x^15*y^8-2*x^14*y^9-2*x^16*y^6+x^13*y^9-2*x^ 15*y^6+2*x^14*y^7-x^13*y^8+2*x^12*y^9+x^15*y^5-x^14*y^6-4*x^12*y^8-2*x^13*y^6+3 *x^12*y^7-x^11*y^8+3*x^13*y^5-x^12*y^6+4*x^11*y^7-x^13*y^4-3*x^11*y^6-x^10*y^7+ x^9*y^8-5*x^9*y^7-x^11*y^4+x^10*y^5+5*x^9*y^6-x^8*y^7+x^11*y^3+2*x^10*y^4-x^9*y ^5+3*x^8*y^6-2*x^10*y^3-x^9*y^4-4*x^8*y^5+x^9*y^3+x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^7*y^4+x^6 *y^5+x^8*y^2+x^7*y^3+2*x^6*y^4+x^5*y^5+x^6*y^3-x^5*y^4-2*x^6*y^2-x^5*y^3-x^6*y+ x^5*y+x^4*y^2-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, - 2 ( 14 13 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 a + a + a - 2 a + 4 a + a - 9 a + 3 a + a - 8 a + 2 a + 1) / 7 3 2 4 3 / ((8 a - 4 a + 3 a - 2) (a + a + 1)) / 8 4 3 where a is the root of the polynomial, x - x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6404490000 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6421351985 ------------------------------------------------ "Theorem Number 215" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [1, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 13 12 14 10 13 11 12 12 14 9 + 2 x y - 10 x y - 5 x y + 20 x y - 2 x y + 4 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 13 8 - 20 x y + 8 x y - x y + 10 x y - 12 x y - 2 x y 12 9 11 10 12 8 11 9 11 8 10 9 + 8 x y + x y - 2 x y - 4 x y + 6 x y - 4 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - 4 x y + 12 x y - 7 x y + x y - 12 x y + 20 x y 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 + 4 x y - 18 x y - x y + 4 x y + 6 x y + x y - 8 x y 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 + 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 - 5 x y + 4 x y - 2 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 4 x y 4 3 3 3 3 2 2 2 2 / 11 8 11 7 - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y + 1) / (x y - 3 x y / 10 8 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 10 5 + 2 x y + 3 x y - 6 x y - x y + 6 x y - 2 x y - 2 x y 9 6 9 5 7 5 7 4 6 5 6 4 6 3 + 4 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y - 3 x y + 4 x y - x y 5 4 5 3 2 2 2 + 4 x y - 2 x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^14*y^14-4*x^14*y^13+5*x^14*y^12+2*x^13*y^13-10*x^13*y^12-5*x^14*y^10+20*x^13 *y^11-2*x^12*y^12+4*x^14*y^9-20*x^13*y^10+8*x^12*y^11-x^14*y^8+10*x^13*y^9-12*x ^12*y^10-2*x^13*y^8+8*x^12*y^9+x^11*y^10-2*x^12*y^8-4*x^11*y^9+6*x^11*y^8-4*x^ 10*y^9-4*x^11*y^7+12*x^10*y^8-7*x^9*y^9+x^11*y^6-12*x^10*y^7+20*x^9*y^8+4*x^10* y^6-18*x^9*y^7-x^8*y^8+4*x^9*y^6+6*x^8*y^7+x^9*y^5-8*x^8*y^6+2*x^7*y^7+2*x^8*y^ 5-2*x^7*y^6+x^8*y^4-2*x^7*y^5+2*x^6*y^6+2*x^7*y^4-5*x^6*y^5+4*x^6*y^4-2*x^5*y^5 -x^6*y^3+4*x^5*y^4-2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-4*x^4*y^3+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^ 2*y+1)/(x^11*y^8-3*x^11*y^7+2*x^10*y^8+3*x^11*y^6-6*x^10*y^7-x^11*y^5+6*x^10*y^ 6-2*x^9*y^7-2*x^10*y^5+4*x^9*y^6-2*x^9*y^5-2*x^7*y^5+2*x^7*y^4-3*x^6*y^5+4*x^6* y^4-x^6*y^3+4*x^5*y^4-2*x^5*y^3+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 4 a + 2 a + 2 a + a - 9 a + 1 - ---------------------------------- 4 5 a - 1 5 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6357970550 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6384706706 ------------------------------------------------ "Theorem Number 216" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [1, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 13 13 13 12 14 10 13 11 12 12 14 9 + 2 x y - 10 x y - 5 x y + 20 x y - 2 x y + 4 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 13 8 - 20 x y + 8 x y - x y + 10 x y - 12 x y - 2 x y 12 9 11 10 12 8 11 9 11 8 10 9 + 8 x y + x y - 2 x y - 4 x y + 6 x y - 4 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - 4 x y + 12 x y - 7 x y + x y - 12 x y + 20 x y 10 6 9 7 8 8 9 6 8 7 9 5 8 6 + 4 x y - 18 x y - x y + 4 x y + 6 x y + x y - 8 x y 7 7 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 7 4 + 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y 6 5 6 4 5 5 6 3 5 4 5 3 4 4 - 5 x y + 4 x y - 2 x y - x y + 4 x y - 2 x y + 4 x y 4 3 3 3 3 2 2 2 2 / 11 8 11 7 - 4 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y + 1) / (x y - 3 x y / 10 8 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 10 5 + 2 x y + 3 x y - 6 x y - x y + 6 x y - 2 x y - 2 x y 9 6 9 5 7 5 7 4 6 5 6 4 6 3 + 4 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y - 3 x y + 4 x y - x y 5 4 5 3 2 2 2 + 4 x y - 2 x y + x y - x y - 2 x y + 1) and in Maple notation (x^14*y^14-4*x^14*y^13+5*x^14*y^12+2*x^13*y^13-10*x^13*y^12-5*x^14*y^10+20*x^13 *y^11-2*x^12*y^12+4*x^14*y^9-20*x^13*y^10+8*x^12*y^11-x^14*y^8+10*x^13*y^9-12*x ^12*y^10-2*x^13*y^8+8*x^12*y^9+x^11*y^10-2*x^12*y^8-4*x^11*y^9+6*x^11*y^8-4*x^ 10*y^9-4*x^11*y^7+12*x^10*y^8-7*x^9*y^9+x^11*y^6-12*x^10*y^7+20*x^9*y^8+4*x^10* y^6-18*x^9*y^7-x^8*y^8+4*x^9*y^6+6*x^8*y^7+x^9*y^5-8*x^8*y^6+2*x^7*y^7+2*x^8*y^ 5-2*x^7*y^6+x^8*y^4-2*x^7*y^5+2*x^6*y^6+2*x^7*y^4-5*x^6*y^5+4*x^6*y^4-2*x^5*y^5 -x^6*y^3+4*x^5*y^4-2*x^5*y^3+4*x^4*y^4-4*x^4*y^3+2*x^3*y^3-2*x^3*y^2+x^2*y^2-x^ 2*y+1)/(x^11*y^8-3*x^11*y^7+2*x^10*y^8+3*x^11*y^6-6*x^10*y^7-x^11*y^5+6*x^10*y^ 6-2*x^9*y^7-2*x^10*y^5+4*x^9*y^6-2*x^9*y^5-2*x^7*y^5+2*x^7*y^4-3*x^6*y^5+4*x^6* y^4-x^6*y^3+4*x^5*y^4-2*x^5*y^3+x^2*y^2-x^2*y-2*x*y+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 5 4 4 a + 2 a + 2 a + a - 9 a + 1 - ---------------------------------- 4 5 a - 1 5 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6357970550 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6384706706 ------------------------------------------------ "Theorem Number 217" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 19 18 19 17 19 16 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 10 x y + 20 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 18 17 19 15 18 16 19 14 18 15 + 5 x y - 20 x y - 21 x y + 10 x y + 30 x y 17 16 19 13 18 14 17 15 18 13 + 6 x y - 2 x y - 10 x y - 20 x y - 15 x y 17 14 16 15 18 12 17 13 16 14 + 10 x y + 4 x y + 15 x y + 40 x y - 10 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 17 11 16 12 - 4 x y - 70 x y - 12 x y + x y + 44 x y + 68 x y 15 13 17 10 16 11 14 13 16 10 15 11 - 6 x y - 10 x y - 92 x y - x y + 54 x y + 38 x y 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 15 9 - 9 x y - 12 x y - 69 x y + 30 x y - 5 x y + 48 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - 18 x y - 3 x y - 2 x y - 12 x y - 21 x y + 46 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 - 3 x y + 27 x y - 68 x y + 2 x y - 5 x y - 8 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 33 x y + 43 x y + 7 x y - x y - 82 x y - 7 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 - 11 x y - 2 x y + 54 x y + 33 x y + 28 x y - 12 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - 54 x y - 29 x y - 12 x y + 32 x y + 23 x y + 36 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 - 6 x y - 17 x y - 42 x y - 6 x y + 7 x y + 24 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 + 26 x y - x y - 6 x y - 44 x y + 2 x y + 33 x y + 11 x y 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 - 9 x y - 33 x y + 8 x y + 26 x y - 7 x y - 6 x y - 9 x y 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 + 12 x y + 9 x y - 19 x y - x y + 6 x y + 12 x y + x y 4 3 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 2 - 15 x y + 4 x y + 6 x y - 7 x y + 2 x y + 3 x y - 4 x y + x / 15 13 15 12 15 11 14 12 + 2 x y - 2 x + 1) / ((x y - 3 x y + 3 x y + 2 x y / 15 10 14 11 13 11 14 9 13 10 14 8 13 9 - x y - 4 x y + x y + 4 x y + x y - 2 x y - 9 x y 12 10 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 - x y + 11 x y + 4 x y - x y - 4 x y - 7 x y 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 11 6 + 6 x y - x y - x y - 2 x y + 5 x y - x y - 3 x y 10 7 10 6 9 7 10 5 9 6 8 7 9 5 - 2 x y + 8 x y - 4 x y - 4 x y + 4 x y + x y + x y 8 6 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 - 4 x y - x y + 4 x y + x y - x y + 2 x y - 2 x y - x y 6 4 6 3 5 4 5 3 5 2 4 3 2 2 + 6 x y - 4 x y - x y + 3 x y - x y + x y + x y + x - 1) (x - 1)) and in Maple notation (2*x^19*y^18-10*x^19*y^17+20*x^19*y^16+5*x^18*y^17-20*x^19*y^15-21*x^18*y^16+10 *x^19*y^14+30*x^18*y^15+6*x^17*y^16-2*x^19*y^13-10*x^18*y^14-20*x^17*y^15-15*x^ 18*y^13+10*x^17*y^14+4*x^16*y^15+15*x^18*y^12+40*x^17*y^13-10*x^16*y^14-4*x^18* y^11-70*x^17*y^12-12*x^16*y^13+x^15*y^14+44*x^17*y^11+68*x^16*y^12-6*x^15*y^13-\ 10*x^17*y^10-92*x^16*y^11-x^14*y^13+54*x^16*y^10+38*x^15*y^11-9*x^14*y^12-12*x^ 16*y^9-69*x^15*y^10+30*x^14*y^11-5*x^13*y^12+48*x^15*y^9-18*x^14*y^10-3*x^13*y^ 11-2*x^12*y^12-12*x^15*y^8-21*x^14*y^9+46*x^13*y^10-3*x^12*y^11+27*x^14*y^8-68* x^13*y^9+2*x^12*y^10-5*x^11*y^11-8*x^14*y^7+33*x^13*y^8+43*x^12*y^9+7*x^11*y^10 -x^13*y^7-82*x^12*y^8-7*x^11*y^9-11*x^10*y^10-2*x^13*y^6+54*x^12*y^7+33*x^11*y^ 8+28*x^10*y^9-12*x^12*y^6-54*x^11*y^7-29*x^10*y^8-12*x^9*y^9+32*x^11*y^6+23*x^ 10*y^7+36*x^9*y^8-6*x^11*y^5-17*x^10*y^6-42*x^9*y^7-6*x^8*y^8+7*x^10*y^5+24*x^9 *y^6+26*x^8*y^7-x^10*y^4-6*x^9*y^5-44*x^8*y^6+2*x^7*y^7+33*x^8*y^5+11*x^7*y^6-9 *x^8*y^4-33*x^7*y^5+8*x^6*y^6+26*x^7*y^4-7*x^6*y^5-6*x^7*y^3-9*x^6*y^4+12*x^5*y ^5+9*x^6*y^3-19*x^5*y^4-x^6*y^2+6*x^5*y^3+12*x^4*y^4+x^5*y^2-15*x^4*y^3+4*x^4*y ^2+6*x^3*y^3-7*x^3*y^2+2*x^3*y+3*x^2*y^2-4*x^2*y+x^2+2*x*y-2*x+1)/(x^15*y^13-3* x^15*y^12+3*x^15*y^11+2*x^14*y^12-x^15*y^10-4*x^14*y^11+x^13*y^11+4*x^14*y^9+x^ 13*y^10-2*x^14*y^8-9*x^13*y^9-x^12*y^10+11*x^13*y^8+4*x^12*y^9-x^11*y^10-4*x^13 *y^7-7*x^12*y^8+6*x^12*y^7-x^11*y^8-x^10*y^9-2*x^12*y^6+5*x^11*y^7-x^10*y^8-3*x ^11*y^6-2*x^10*y^7+8*x^10*y^6-4*x^9*y^7-4*x^10*y^5+4*x^9*y^6+x^8*y^7+x^9*y^5-4* x^8*y^6-x^9*y^4+4*x^8*y^5+x^7*y^6-x^8*y^4+2*x^7*y^5-2*x^7*y^4-x^6*y^5+6*x^6*y^4 -4*x^6*y^3-x^5*y^4+3*x^5*y^3-x^5*y^2+x^4*y^3+x^2*y^2+x-1)/(x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6372393311 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 218" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 19 18 19 17 19 16 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 10 x y + 20 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 18 17 19 15 18 16 19 14 18 15 + 5 x y - 20 x y - 21 x y + 10 x y + 30 x y 17 16 19 13 18 14 17 15 18 13 + 6 x y - 2 x y - 10 x y - 20 x y - 15 x y 17 14 16 15 18 12 17 13 16 14 + 10 x y + 4 x y + 15 x y + 40 x y - 10 x y 18 11 17 12 16 13 15 14 17 11 16 12 - 4 x y - 70 x y - 12 x y + x y + 44 x y + 68 x y 15 13 17 10 16 11 14 13 16 10 15 11 - 6 x y - 10 x y - 92 x y - x y + 54 x y + 38 x y 14 12 16 9 15 10 14 11 13 12 15 9 - 9 x y - 12 x y - 69 x y + 30 x y - 5 x y + 48 x y 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 13 10 - 18 x y - 3 x y - 2 x y - 12 x y - 21 x y + 46 x y 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 14 7 - 3 x y + 27 x y - 68 x y + 2 x y - 5 x y - 8 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 33 x y + 43 x y + 7 x y - x y - 82 x y - 7 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 - 11 x y - 2 x y + 54 x y + 33 x y + 28 x y - 12 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 - 54 x y - 29 x y - 12 x y + 32 x y + 23 x y + 36 x y 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 - 6 x y - 17 x y - 42 x y - 6 x y + 7 x y + 24 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 8 5 7 6 + 26 x y - x y - 6 x y - 44 x y + 2 x y + 33 x y + 11 x y 8 4 7 5 6 6 7 4 6 5 7 3 6 4 - 9 x y - 33 x y + 8 x y + 26 x y - 7 x y - 6 x y - 9 x y 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 + 12 x y + 9 x y - 19 x y - x y + 6 x y + 12 x y + x y 4 3 4 2 3 3 3 2 3 2 2 2 2 - 15 x y + 4 x y + 6 x y - 7 x y + 2 x y + 3 x y - 4 x y + x / 16 13 16 12 15 13 16 11 + 2 x y - 2 x + 1) / (x y - 3 x y - x y + 3 x y / 15 12 16 10 15 11 14 12 15 10 14 11 + 5 x y - x y - 7 x y - 2 x y + x y + 5 x y 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 13 10 + 4 x y + x y - x y - 2 x y - 13 x y - 2 x y 14 8 13 9 14 7 13 8 12 9 11 10 + 13 x y + 13 x y - 4 x y - 18 x y - 4 x y + x y 13 7 12 8 11 9 13 6 12 7 10 9 12 6 + 10 x y + 6 x y - x y - 2 x y - x y + x y - x y 11 7 10 8 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 - 7 x y + x y + 11 x y - 2 x y - 4 x y - 4 x y + 5 x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 8 5 + 5 x y - 8 x y - x y - x y + 3 x y + 5 x y - 2 x y 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 7 3 6 4 6 3 - x y - x y - 3 x y + 8 x y + x y - 4 x y - 7 x y + 7 x y 5 4 6 2 5 3 5 2 4 3 3 2 2 2 2 + x y - x y - 2 x y + x y - x y + x y - x y + x - 2 x + 1) and in Maple notation (2*x^19*y^18-10*x^19*y^17+20*x^19*y^16+5*x^18*y^17-20*x^19*y^15-21*x^18*y^16+10 *x^19*y^14+30*x^18*y^15+6*x^17*y^16-2*x^19*y^13-10*x^18*y^14-20*x^17*y^15-15*x^ 18*y^13+10*x^17*y^14+4*x^16*y^15+15*x^18*y^12+40*x^17*y^13-10*x^16*y^14-4*x^18* y^11-70*x^17*y^12-12*x^16*y^13+x^15*y^14+44*x^17*y^11+68*x^16*y^12-6*x^15*y^13-\ 10*x^17*y^10-92*x^16*y^11-x^14*y^13+54*x^16*y^10+38*x^15*y^11-9*x^14*y^12-12*x^ 16*y^9-69*x^15*y^10+30*x^14*y^11-5*x^13*y^12+48*x^15*y^9-18*x^14*y^10-3*x^13*y^ 11-2*x^12*y^12-12*x^15*y^8-21*x^14*y^9+46*x^13*y^10-3*x^12*y^11+27*x^14*y^8-68* x^13*y^9+2*x^12*y^10-5*x^11*y^11-8*x^14*y^7+33*x^13*y^8+43*x^12*y^9+7*x^11*y^10 -x^13*y^7-82*x^12*y^8-7*x^11*y^9-11*x^10*y^10-2*x^13*y^6+54*x^12*y^7+33*x^11*y^ 8+28*x^10*y^9-12*x^12*y^6-54*x^11*y^7-29*x^10*y^8-12*x^9*y^9+32*x^11*y^6+23*x^ 10*y^7+36*x^9*y^8-6*x^11*y^5-17*x^10*y^6-42*x^9*y^7-6*x^8*y^8+7*x^10*y^5+24*x^9 *y^6+26*x^8*y^7-x^10*y^4-6*x^9*y^5-44*x^8*y^6+2*x^7*y^7+33*x^8*y^5+11*x^7*y^6-9 *x^8*y^4-33*x^7*y^5+8*x^6*y^6+26*x^7*y^4-7*x^6*y^5-6*x^7*y^3-9*x^6*y^4+12*x^5*y ^5+9*x^6*y^3-19*x^5*y^4-x^6*y^2+6*x^5*y^3+12*x^4*y^4+x^5*y^2-15*x^4*y^3+4*x^4*y ^2+6*x^3*y^3-7*x^3*y^2+2*x^3*y+3*x^2*y^2-4*x^2*y+x^2+2*x*y-2*x+1)/(x^16*y^13-3* x^16*y^12-x^15*y^13+3*x^16*y^11+5*x^15*y^12-x^16*y^10-7*x^15*y^11-2*x^14*y^12+x ^15*y^10+5*x^14*y^11+4*x^15*y^9+x^14*y^10-x^13*y^11-2*x^15*y^8-13*x^14*y^9-2*x^ 13*y^10+13*x^14*y^8+13*x^13*y^9-4*x^14*y^7-18*x^13*y^8-4*x^12*y^9+x^11*y^10+10* x^13*y^7+6*x^12*y^8-x^11*y^9-2*x^13*y^6-x^12*y^7+x^10*y^9-x^12*y^6-7*x^11*y^7+x ^10*y^8+11*x^11*y^6-2*x^10*y^7-4*x^11*y^5-4*x^10*y^6+5*x^9*y^7+5*x^10*y^5-8*x^9 *y^6-x^8*y^7-x^10*y^4+3*x^9*y^5+5*x^8*y^6-2*x^8*y^5-x^7*y^6-x^8*y^4-3*x^7*y^5+8 *x^7*y^4+x^6*y^5-4*x^7*y^3-7*x^6*y^4+7*x^6*y^3+x^5*y^4-x^6*y^2-2*x^5*y^3+x^5*y^ 2-x^4*y^3+x^3*y^2-x^2*y^2+x^2-2*x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6372393311 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 219" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [1, 1, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 13 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y + x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 11 13 12 14 10 13 11 12 12 14 9 + 6 x y - 5 x y - 9 x y + 9 x y - 4 x y + 5 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 - 5 x y + 14 x y - x y - 5 x y - 14 x y + 2 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 9 x y - 5 x y - 5 x y - 5 x y + 19 x y + x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 + 3 x y + x y - 13 x y + 6 x y - 9 x y + 3 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 - 4 x y + 6 x y - 4 x y - x y + 5 x y + 7 x y + x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - 5 x y - 2 x y - 3 x y - 2 x y + 4 x y + 2 x y + 2 x y 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 - 9 x y + 9 x y + 3 x y - 9 x y + 4 x y + x y - 2 x y 7 5 6 6 8 3 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 - 5 x y + x y + 2 x y - x y + x y - x y - x y - 3 x y 7 2 5 4 6 2 4 4 4 3 5 3 3 4 + 2 x y + 4 x y + x y + 4 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y 3 2 2 2 / 15 12 15 11 15 10 - 2 x y + x y - x y + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y / 14 11 15 9 14 10 15 8 14 9 13 10 14 8 - x y - 4 x y + 4 x y + x y - 6 x y - x y + 4 x y 13 9 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 12 7 + 3 x y - x y - 3 x y + 2 x y + x y - 6 x y + 6 x y 11 8 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 11 5 - x y - 2 x y + 3 x y - x y - 3 x y + 2 x y + x y 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 8 6 - 2 x y + x y + 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y 9 4 8 5 9 3 8 4 6 6 8 3 7 4 6 5 - 2 x y + 3 x y + x y - 3 x y - x y + 2 x y - 2 x y + x y 8 2 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 - x y + 4 x y + x y + x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y 5 3 5 2 4 3 5 4 2 4 3 2 3 + 2 x y - 2 x y + 2 x y + x y - 4 x y + x y - 2 x y + 2 x y 2 2 2 - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^14*y^14-3*x^14*y^13+x^14*y^12+x^13*y^13+6*x^14*y^11-5*x^13*y^12-9*x^14*y^10 +9*x^13*y^11-4*x^12*y^12+5*x^14*y^9-5*x^13*y^10+14*x^12*y^11-x^14*y^8-5*x^13*y^ 9-14*x^12*y^10+2*x^11*y^11+9*x^13*y^8-5*x^12*y^9-5*x^11*y^10-5*x^13*y^7+19*x^12 *y^8+x^11*y^9+3*x^10*y^10+x^13*y^6-13*x^12*y^7+6*x^11*y^8-9*x^10*y^9+3*x^12*y^6 -4*x^11*y^7+6*x^10*y^8-4*x^9*y^9-x^11*y^6+5*x^10*y^7+7*x^9*y^8+x^11*y^5-5*x^10* y^6-2*x^9*y^7-3*x^8*y^8-2*x^10*y^5+4*x^9*y^6+2*x^8*y^7+2*x^10*y^4-9*x^9*y^5+9*x ^8*y^6+3*x^9*y^4-9*x^8*y^5+4*x^7*y^6+x^9*y^3-2*x^8*y^4-5*x^7*y^5+x^6*y^6+2*x^8* y^3-x^6*y^5+x^8*y^2-x^7*y^3-x^6*y^4-3*x^5*y^5+2*x^7*y^2+4*x^5*y^4+x^6*y^2+4*x^4 *y^4-2*x^4*y^3-x^5*y+2*x^3*y^3-x^4*y-2*x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+1)/(x^15*y^12-4*x^15 *y^11+6*x^15*y^10-x^14*y^11-4*x^15*y^9+4*x^14*y^10+x^15*y^8-6*x^14*y^9-x^13*y^ 10+4*x^14*y^8+3*x^13*y^9-x^14*y^7-3*x^13*y^8+2*x^12*y^9+x^13*y^7-6*x^12*y^8+6*x ^12*y^7-x^11*y^8-2*x^12*y^6+3*x^11*y^7-x^10*y^8-3*x^11*y^6+2*x^10*y^7+x^11*y^5-\ 2*x^10*y^6+x^9*y^7+2*x^10*y^5-2*x^9*y^6-x^10*y^4+2*x^9*y^5-x^8*y^6-2*x^9*y^4+3* x^8*y^5+x^9*y^3-3*x^8*y^4-x^6*y^6+2*x^8*y^3-2*x^7*y^4+x^6*y^5-x^8*y^2+4*x^7*y^3 +x^6*y^4+x^5*y^5-2*x^7*y^2+2*x^6*y^3-2*x^5*y^4-3*x^6*y^2+2*x^5*y^3-2*x^5*y^2+2* x^4*y^3+x^5*y-4*x^4*y^2+x^4*y-2*x^3*y^2+2*x^3*y-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 9 8 7 6 5 4 a + a + 4 a + 2 a + a - 8 a + 1 - ------------------------------------- 3 4 (2 a - 1) (a + 1) 4 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6343929348 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6360801146 ------------------------------------------------ "Theorem Number 220" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 2, 2], [2, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 14 14 14 13 14 12 13 13 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y + x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 11 13 12 14 10 13 11 12 12 14 9 + 6 x y - 5 x y - 9 x y + 9 x y - 4 x y + 5 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 - 5 x y + 14 x y - x y - 5 x y - 14 x y + 2 x y 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 9 x y - 5 x y - 5 x y - 5 x y + 19 x y + x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 + 3 x y + x y - 13 x y + 6 x y - 9 x y + 3 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 - 4 x y + 6 x y - 4 x y - x y + 5 x y + 7 x y + x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - 5 x y - 2 x y - 3 x y - 2 x y + 4 x y + 2 x y + 2 x y 9 5 8 6 9 4 8 5 7 6 9 3 8 4 - 9 x y + 9 x y + 3 x y - 9 x y + 4 x y + x y - 2 x y 7 5 6 6 8 3 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 - 5 x y + x y + 2 x y - x y + x y - x y - x y - 3 x y 7 2 5 4 6 2 4 4 4 3 5 3 3 4 + 2 x y + 4 x y + x y + 4 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y 3 2 2 2 / 15 12 15 11 15 10 - 2 x y + x y - x y + 1) / (x y - 4 x y + 6 x y / 14 11 15 9 14 10 15 8 14 9 13 10 14 8 - x y - 4 x y + 4 x y + x y - 6 x y - x y + 4 x y 13 9 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 12 7 + 3 x y - x y - 3 x y + 2 x y + x y - 6 x y + 6 x y 11 8 12 6 11 7 10 8 11 6 10 7 11 5 - x y - 2 x y + 3 x y - x y - 3 x y + 2 x y + x y 10 6 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 8 6 - 2 x y + x y + 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y 9 4 8 5 9 3 8 4 6 6 8 3 7 4 6 5 - 2 x y + 3 x y + x y - 3 x y - x y + 2 x y - 2 x y + x y 8 2 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 6 2 - x y + 4 x y + x y + x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y 5 3 5 2 4 3 5 4 2 4 3 2 3 + 2 x y - 2 x y + 2 x y + x y - 4 x y + x y - 2 x y + 2 x y 2 2 2 - x y + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation -(x^14*y^14-3*x^14*y^13+x^14*y^12+x^13*y^13+6*x^14*y^11-5*x^13*y^12-9*x^14*y^10 +9*x^13*y^11-4*x^12*y^12+5*x^14*y^9-5*x^13*y^10+14*x^12*y^11-x^14*y^8-5*x^13*y^ 9-14*x^12*y^10+2*x^11*y^11+9*x^13*y^8-5*x^12*y^9-5*x^11*y^10-5*x^13*y^7+19*x^12 *y^8+x^11*y^9+3*x^10*y^10+x^13*y^6-13*x^12*y^7+6*x^11*y^8-9*x^10*y^9+3*x^12*y^6 -4*x^11*y^7+6*x^10*y^8-4*x^9*y^9-x^11*y^6+5*x^10*y^7+7*x^9*y^8+x^11*y^5-5*x^10* y^6-2*x^9*y^7-3*x^8*y^8-2*x^10*y^5+4*x^9*y^6+2*x^8*y^7+2*x^10*y^4-9*x^9*y^5+9*x ^8*y^6+3*x^9*y^4-9*x^8*y^5+4*x^7*y^6+x^9*y^3-2*x^8*y^4-5*x^7*y^5+x^6*y^6+2*x^8* y^3-x^6*y^5+x^8*y^2-x^7*y^3-x^6*y^4-3*x^5*y^5+2*x^7*y^2+4*x^5*y^4+x^6*y^2+4*x^4 *y^4-2*x^4*y^3-x^5*y+2*x^3*y^3-x^4*y-2*x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+1)/(x^15*y^12-4*x^15 *y^11+6*x^15*y^10-x^14*y^11-4*x^15*y^9+4*x^14*y^10+x^15*y^8-6*x^14*y^9-x^13*y^ 10+4*x^14*y^8+3*x^13*y^9-x^14*y^7-3*x^13*y^8+2*x^12*y^9+x^13*y^7-6*x^12*y^8+6*x ^12*y^7-x^11*y^8-2*x^12*y^6+3*x^11*y^7-x^10*y^8-3*x^11*y^6+2*x^10*y^7+x^11*y^5-\ 2*x^10*y^6+x^9*y^7+2*x^10*y^5-2*x^9*y^6-x^10*y^4+2*x^9*y^5-x^8*y^6-2*x^9*y^4+3* x^8*y^5+x^9*y^3-3*x^8*y^4-x^6*y^6+2*x^8*y^3-2*x^7*y^4+x^6*y^5-x^8*y^2+4*x^7*y^3 +x^6*y^4+x^5*y^5-2*x^7*y^2+2*x^6*y^3-2*x^5*y^4-3*x^6*y^2+2*x^5*y^3-2*x^5*y^2+2* x^4*y^3+x^5*y-4*x^4*y^2+x^4*y-2*x^3*y^2+2*x^3*y-x^2*y^2+x^2*y+2*x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 9 8 7 6 5 4 a + a + 4 a + 2 a + a - 8 a + 1 - ------------------------------------- 3 4 (2 a - 1) (a + 1) 4 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6343929348 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6360801146 ------------------------------------------------ "Theorem Number 221" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 2, 1, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 13 14 14 15 12 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 2 x y - 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 13 15 11 14 12 13 13 15 10 14 11 + 8 x y + 10 x y - 8 x y - 3 x y - 10 x y - 9 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 12 x y + 5 x y + 26 x y - 15 x y - x y - 22 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 + x y + 2 x y + 8 x y + 11 x y - 8 x y + 3 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 - x y - 6 x y + 11 x y - 5 x y - x y - 5 x y - 7 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 4 x y + x y - x y + 17 x y - 8 x y + x y - 4 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 - 5 x y + 6 x y - 8 x y + 18 x y - 11 x y + 4 x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - 5 x y - 5 x y + 2 x y - 8 x y + 20 x y - 2 x y + 4 x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 9 3 - 9 x y - 7 x y - 3 x y - 3 x y + 13 x y + 2 x y + 2 x y 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 8 2 7 3 - 5 x y + 5 x y - 3 x y - 2 x y - 5 x y + x y + 2 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 + 10 x y - 5 x y - x y - 7 x y + 6 x y + 2 x y - 8 x y 5 2 4 3 4 2 3 3 4 3 2 3 - 3 x y + 7 x y + 2 x y - 4 x y - 2 x y + 3 x y + 2 x y 2 2 3 2 2 / 15 12 15 11 - 2 x y - x + x y + x - x y + x - 1) / (x y - 4 x y / 15 10 14 11 15 9 14 10 15 8 14 9 + 6 x y - x y - 4 x y + 4 x y + x y - 6 x y 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 13 7 + 4 x y - x y - x y - x y + 3 x y + 3 x y - 3 x y 12 8 13 6 12 7 11 8 11 7 11 6 10 7 - 3 x y + x y + x y - x y + 3 x y - 3 x y - x y 11 5 10 6 9 7 10 5 9 5 8 6 9 4 8 5 + x y + 2 x y + x y - x y - 3 x y - x y + 2 x y + 5 x y 7 6 8 4 7 5 6 6 8 2 7 3 6 4 5 5 + x y - 5 x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y + 4 x y + x y 7 2 6 3 5 4 5 2 4 3 4 2 3 2 3 2 - x y - 3 x y - 2 x y + x y + x y - 2 x y + x y - x - x y 2 + x + x y + x - 1) and in Maple notation (x^15*y^13-2*x^14*y^14-5*x^15*y^12+8*x^14*y^13+10*x^15*y^11-8*x^14*y^12-3*x^13* y^13-10*x^15*y^10-9*x^14*y^11+12*x^13*y^12+5*x^15*y^9+26*x^14*y^10-15*x^13*y^11 -x^15*y^8-22*x^14*y^9+x^13*y^10+2*x^12*y^11+8*x^14*y^8+11*x^13*y^9-8*x^12*y^10+ 3*x^11*y^11-x^14*y^7-6*x^13*y^8+11*x^12*y^9-5*x^11*y^10-x^13*y^7-5*x^12*y^8-7*x ^11*y^9+4*x^10*y^10+x^13*y^6-x^12*y^7+17*x^11*y^8-8*x^10*y^9+x^12*y^6-4*x^11*y^ 7-5*x^10*y^8+6*x^9*y^9-8*x^11*y^6+18*x^10*y^7-11*x^9*y^8+4*x^11*y^5-5*x^10*y^6-\ 5*x^9*y^7+2*x^8*y^8-8*x^10*y^5+20*x^9*y^6-2*x^8*y^7+4*x^10*y^4-9*x^9*y^5-7*x^8* y^6-3*x^7*y^7-3*x^9*y^4+13*x^8*y^5+2*x^7*y^6+2*x^9*y^3-5*x^8*y^4+5*x^7*y^5-3*x^ 6*y^6-2*x^8*y^3-5*x^7*y^4+x^8*y^2+2*x^7*y^3+10*x^6*y^4-5*x^5*y^5-x^7*y^2-7*x^6* y^3+6*x^5*y^4+2*x^5*y^3-8*x^4*y^4-3*x^5*y^2+7*x^4*y^3+2*x^4*y^2-4*x^3*y^3-2*x^4 *y+3*x^3*y^2+2*x^3*y-2*x^2*y^2-x^3+x^2*y+x^2-x*y+x-1)/(x^15*y^12-4*x^15*y^11+6* x^15*y^10-x^14*y^11-4*x^15*y^9+4*x^14*y^10+x^15*y^8-6*x^14*y^9+4*x^14*y^8-x^13* y^9-x^12*y^10-x^14*y^7+3*x^13*y^8+3*x^12*y^9-3*x^13*y^7-3*x^12*y^8+x^13*y^6+x^ 12*y^7-x^11*y^8+3*x^11*y^7-3*x^11*y^6-x^10*y^7+x^11*y^5+2*x^10*y^6+x^9*y^7-x^10 *y^5-3*x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^9*y^4+5*x^8*y^5+x^7*y^6-5*x^8*y^4-2*x^7*y^5-x^6*y^6+ x^8*y^2+2*x^7*y^3+4*x^6*y^4+x^5*y^5-x^7*y^2-3*x^6*y^3-2*x^5*y^4+x^5*y^2+x^4*y^3 -2*x^4*y^2+x^3*y^2-x^3-x^2*y+x^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 4 a + 4 a + 4 a - 8 a + 1 - --------------------------- 3 4 (2 a - 1) (a + 1) 4 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6343929348 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6359852913 ------------------------------------------------ "Theorem Number 222" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [1, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 15 13 14 14 15 12 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 2 x y - 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 14 13 15 11 14 12 13 13 15 10 14 11 + 8 x y + 10 x y - 8 x y - 3 x y - 10 x y - 9 x y 13 12 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 12 x y + 5 x y + 26 x y - 15 x y - x y - 22 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 11 11 + x y + 2 x y + 8 x y + 11 x y - 8 x y + 3 x y 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 - x y - 6 x y + 11 x y - 5 x y - x y - 5 x y - 7 x y 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 12 6 11 7 + 4 x y + x y - x y + 17 x y - 8 x y + x y - 4 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 - 5 x y + 6 x y - 8 x y + 18 x y - 11 x y + 4 x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - 5 x y - 5 x y + 2 x y - 8 x y + 20 x y - 2 x y + 4 x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 9 3 - 9 x y - 7 x y - 3 x y - 3 x y + 13 x y + 2 x y + 2 x y 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 8 2 7 3 - 5 x y + 5 x y - 3 x y - 2 x y - 5 x y + x y + 2 x y 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 + 10 x y - 5 x y - x y - 7 x y + 6 x y + 2 x y - 8 x y 5 2 4 3 4 2 3 3 4 3 2 3 - 3 x y + 7 x y + 2 x y - 4 x y - 2 x y + 3 x y + 2 x y 2 2 3 2 2 / 15 12 15 11 - 2 x y - x + x y + x - x y + x - 1) / (x y - 4 x y / 15 10 14 11 15 9 14 10 15 8 14 9 + 6 x y - x y - 4 x y + 4 x y + x y - 6 x y 14 8 13 9 12 10 14 7 13 8 12 9 13 7 + 4 x y - x y - x y - x y + 3 x y + 3 x y - 3 x y 12 8 13 6 12 7 11 8 11 7 11 6 10 7 - 3 x y + x y + x y - x y + 3 x y - 3 x y - x y 11 5 10 6 9 7 10 5 9 5 8 6 9 4 8 5 + x y + 2 x y + x y - x y - 3 x y - x y + 2 x y + 5 x y 7 6 8 4 7 5 6 6 8 2 7 3 6 4 5 5 + x y - 5 x y - 2 x y - x y + x y + 2 x y + 4 x y + x y 7 2 6 3 5 4 5 2 4 3 4 2 3 2 3 2 - x y - 3 x y - 2 x y + x y + x y - 2 x y + x y - x - x y 2 + x + x y + x - 1) and in Maple notation (x^15*y^13-2*x^14*y^14-5*x^15*y^12+8*x^14*y^13+10*x^15*y^11-8*x^14*y^12-3*x^13* y^13-10*x^15*y^10-9*x^14*y^11+12*x^13*y^12+5*x^15*y^9+26*x^14*y^10-15*x^13*y^11 -x^15*y^8-22*x^14*y^9+x^13*y^10+2*x^12*y^11+8*x^14*y^8+11*x^13*y^9-8*x^12*y^10+ 3*x^11*y^11-x^14*y^7-6*x^13*y^8+11*x^12*y^9-5*x^11*y^10-x^13*y^7-5*x^12*y^8-7*x ^11*y^9+4*x^10*y^10+x^13*y^6-x^12*y^7+17*x^11*y^8-8*x^10*y^9+x^12*y^6-4*x^11*y^ 7-5*x^10*y^8+6*x^9*y^9-8*x^11*y^6+18*x^10*y^7-11*x^9*y^8+4*x^11*y^5-5*x^10*y^6-\ 5*x^9*y^7+2*x^8*y^8-8*x^10*y^5+20*x^9*y^6-2*x^8*y^7+4*x^10*y^4-9*x^9*y^5-7*x^8* y^6-3*x^7*y^7-3*x^9*y^4+13*x^8*y^5+2*x^7*y^6+2*x^9*y^3-5*x^8*y^4+5*x^7*y^5-3*x^ 6*y^6-2*x^8*y^3-5*x^7*y^4+x^8*y^2+2*x^7*y^3+10*x^6*y^4-5*x^5*y^5-x^7*y^2-7*x^6* y^3+6*x^5*y^4+2*x^5*y^3-8*x^4*y^4-3*x^5*y^2+7*x^4*y^3+2*x^4*y^2-4*x^3*y^3-2*x^4 *y+3*x^3*y^2+2*x^3*y-2*x^2*y^2-x^3+x^2*y+x^2-x*y+x-1)/(x^15*y^12-4*x^15*y^11+6* x^15*y^10-x^14*y^11-4*x^15*y^9+4*x^14*y^10+x^15*y^8-6*x^14*y^9+4*x^14*y^8-x^13* y^9-x^12*y^10-x^14*y^7+3*x^13*y^8+3*x^12*y^9-3*x^13*y^7-3*x^12*y^8+x^13*y^6+x^ 12*y^7-x^11*y^8+3*x^11*y^7-3*x^11*y^6-x^10*y^7+x^11*y^5+2*x^10*y^6+x^9*y^7-x^10 *y^5-3*x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^9*y^4+5*x^8*y^5+x^7*y^6-5*x^8*y^4-2*x^7*y^5-x^6*y^6+ x^8*y^2+2*x^7*y^3+4*x^6*y^4+x^5*y^5-x^7*y^2-3*x^6*y^3-2*x^5*y^4+x^5*y^2+x^4*y^3 -2*x^4*y^2+x^3*y^2-x^3-x^2*y+x^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 8 7 6 4 a + 4 a + 4 a - 8 a + 1 - --------------------------- 3 4 (2 a - 1) (a + 1) 4 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6343929348 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6359852913 ------------------------------------------------ "Theorem Number 223" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [1, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 13 15 14 16 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y + x y - 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 13 14 14 16 11 15 12 14 13 16 10 - 5 x y + x y + 9 x y + 10 x y - 3 x y - 5 x y 15 11 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 - 10 x y + 2 x y - 5 x y + 5 x y + 11 x y - 6 x y 16 8 15 9 14 10 12 12 16 7 14 9 + 9 x y - x y - 20 x y - x y - 5 x y + 18 x y 13 10 12 11 16 6 14 8 13 9 12 10 + 20 x y + 7 x y + x y - 8 x y - 29 x y - 18 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 - x y - x y + 14 x y + 22 x y + 5 x y + 3 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 13 6 + 2 x y - 14 x y - 12 x y - x y - x y - 4 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 + 6 x y + 17 x y + 9 x y + x y - 3 x y - 13 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 - 21 x y - 5 x y + x y + 4 x y + 17 x y + 12 x y - x y 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 - 2 x y - 6 x y + 2 x y - x y - 2 x y + x y - x y 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 - 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y + 4 x y - x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 - 6 x y - x y - x y + 7 x y + 5 x y + 3 x y - 3 x y 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 - 8 x y - x y - x y + 3 x y + 3 x y + x y - x y - 7 x y 5 3 4 4 6 4 3 5 4 2 3 3 3 2 + 5 x y + 7 x y + x y - 7 x y - x y + x y + 3 x y - 4 x y 3 2 2 2 / 16 11 16 10 + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 5 x y / 15 11 16 9 15 10 16 8 15 9 16 7 + x y + 10 x y - 4 x y - 10 x y + 6 x y + 5 x y 15 8 14 9 16 6 15 7 14 8 13 9 14 7 - 4 x y + x y - x y + x y - 4 x y - x y + 6 x y 13 8 14 6 13 7 14 5 13 6 12 7 11 8 + 4 x y - 4 x y - 6 x y + x y + 4 x y + x y - x y 13 5 12 6 11 7 12 5 9 8 12 4 11 5 - x y - 3 x y + 2 x y + 3 x y + x y - x y - x y 10 6 9 7 11 4 10 5 8 7 11 3 10 4 9 5 - x y - 2 x y - x y + x y - x y + x y + x y + 2 x y 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 + 3 x y - x y - x y - 2 x y + x y + x y - 2 x y - x y 8 3 7 4 8 2 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 2 x y - x y + x y + 2 x y + 4 x y + x y - x y - x y 6 2 5 3 4 4 6 4 3 5 4 2 3 3 3 - x y - x y - x y - x y - x y + x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^16*y^13+x^15*y^14-5*x^16*y^12-5*x^15*y^13+x^14*y^14+9*x^16*y^11+10*x^15*y^ 12-3*x^14*y^13-5*x^16*y^10-10*x^15*y^11+2*x^13*y^13-5*x^16*y^9+5*x^15*y^10+11*x ^14*y^11-6*x^13*y^12+9*x^16*y^8-x^15*y^9-20*x^14*y^10-x^12*y^12-5*x^16*y^7+18*x ^14*y^9+20*x^13*y^10+7*x^12*y^11+x^16*y^6-8*x^14*y^8-29*x^13*y^9-18*x^12*y^10-x ^11*y^11-x^14*y^7+14*x^13*y^8+22*x^12*y^9+5*x^11*y^10+3*x^14*y^6+2*x^13*y^7-14* x^12*y^8-12*x^11*y^9-x^10*y^10-x^14*y^5-4*x^13*y^6+6*x^12*y^7+17*x^11*y^8+9*x^ 10*y^9+x^13*y^5-3*x^12*y^6-13*x^11*y^7-21*x^10*y^8-5*x^9*y^9+x^12*y^5+4*x^11*y^ 6+17*x^10*y^7+12*x^9*y^8-x^11*y^5-2*x^10*y^6-6*x^9*y^7+2*x^11*y^4-x^10*y^5-2*x^ 9*y^6+x^8*y^7-x^11*y^3-2*x^10*y^4-2*x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^7*y^7+x^10*y^3+4*x^9*y^ 4-x^8*y^5-6*x^7*y^6-x^9*y^3-x^8*y^4+7*x^7*y^5+5*x^6*y^6+3*x^8*y^3-3*x^7*y^4-8*x ^6*y^5-x^8*y^2-x^7*y^3+3*x^6*y^4+3*x^5*y^5+x^7*y^2-x^6*y^3-7*x^5*y^4+5*x^5*y^3+ 7*x^4*y^4+x^6*y-7*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+3*x^3*y^3-4*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-2*x ^2*y+x*y-x+1)/(x^16*y^11-5*x^16*y^10+x^15*y^11+10*x^16*y^9-4*x^15*y^10-10*x^16* y^8+6*x^15*y^9+5*x^16*y^7-4*x^15*y^8+x^14*y^9-x^16*y^6+x^15*y^7-4*x^14*y^8-x^13 *y^9+6*x^14*y^7+4*x^13*y^8-4*x^14*y^6-6*x^13*y^7+x^14*y^5+4*x^13*y^6+x^12*y^7-x ^11*y^8-x^13*y^5-3*x^12*y^6+2*x^11*y^7+3*x^12*y^5+x^9*y^8-x^12*y^4-x^11*y^5-x^ 10*y^6-2*x^9*y^7-x^11*y^4+x^10*y^5-x^8*y^7+x^11*y^3+x^10*y^4+2*x^9*y^5+3*x^8*y^ 6-x^10*y^3-x^9*y^4-2*x^8*y^5+x^7*y^6+x^8*y^4-2*x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^8*y^3-x^7*y^ 4+x^8*y^2+2*x^7*y^3+4*x^6*y^4+x^5*y^5-x^6*y^3-x^5*y^4-x^6*y^2-x^5*y^3-x^4*y^4-x ^6*y-x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6302608784 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 224" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 2], [2, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 13 15 14 16 12 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y + x y - 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 15 13 14 14 16 11 15 12 14 13 16 10 - 5 x y + x y + 9 x y + 10 x y - 3 x y - 5 x y 15 11 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 - 10 x y + 2 x y - 5 x y + 5 x y + 11 x y - 6 x y 16 8 15 9 14 10 12 12 16 7 14 9 + 9 x y - x y - 20 x y - x y - 5 x y + 18 x y 13 10 12 11 16 6 14 8 13 9 12 10 + 20 x y + 7 x y + x y - 8 x y - 29 x y - 18 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 14 6 - x y - x y + 14 x y + 22 x y + 5 x y + 3 x y 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 13 6 + 2 x y - 14 x y - 12 x y - x y - x y - 4 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 + 6 x y + 17 x y + 9 x y + x y - 3 x y - 13 x y 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 - 21 x y - 5 x y + x y + 4 x y + 17 x y + 12 x y - x y 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 - 2 x y - 6 x y + 2 x y - x y - 2 x y + x y - x y 10 4 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 - 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y + x y + 4 x y - x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 - 6 x y - x y - x y + 7 x y + 5 x y + 3 x y - 3 x y 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 - 8 x y - x y - x y + 3 x y + 3 x y + x y - x y - 7 x y 5 3 4 4 6 4 3 5 4 2 3 3 3 2 + 5 x y + 7 x y + x y - 7 x y - x y + x y + 3 x y - 4 x y 3 2 2 2 / 16 11 16 10 + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 5 x y / 15 11 16 9 15 10 16 8 15 9 16 7 + x y + 10 x y - 4 x y - 10 x y + 6 x y + 5 x y 15 8 14 9 16 6 15 7 14 8 13 9 14 7 - 4 x y + x y - x y + x y - 4 x y - x y + 6 x y 13 8 14 6 13 7 14 5 13 6 12 7 11 8 + 4 x y - 4 x y - 6 x y + x y + 4 x y + x y - x y 13 5 12 6 11 7 12 5 9 8 12 4 11 5 - x y - 3 x y + 2 x y + 3 x y + x y - x y - x y 10 6 9 7 11 4 10 5 8 7 11 3 10 4 9 5 - x y - 2 x y - x y + x y - x y + x y + x y + 2 x y 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 + 3 x y - x y - x y - 2 x y + x y + x y - 2 x y - x y 8 3 7 4 8 2 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 - 2 x y - x y + x y + 2 x y + 4 x y + x y - x y - x y 6 2 5 3 4 4 6 4 3 5 4 2 3 3 3 - x y - x y - x y - x y - x y + x y + x y + x y - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^16*y^13+x^15*y^14-5*x^16*y^12-5*x^15*y^13+x^14*y^14+9*x^16*y^11+10*x^15*y^ 12-3*x^14*y^13-5*x^16*y^10-10*x^15*y^11+2*x^13*y^13-5*x^16*y^9+5*x^15*y^10+11*x ^14*y^11-6*x^13*y^12+9*x^16*y^8-x^15*y^9-20*x^14*y^10-x^12*y^12-5*x^16*y^7+18*x ^14*y^9+20*x^13*y^10+7*x^12*y^11+x^16*y^6-8*x^14*y^8-29*x^13*y^9-18*x^12*y^10-x ^11*y^11-x^14*y^7+14*x^13*y^8+22*x^12*y^9+5*x^11*y^10+3*x^14*y^6+2*x^13*y^7-14* x^12*y^8-12*x^11*y^9-x^10*y^10-x^14*y^5-4*x^13*y^6+6*x^12*y^7+17*x^11*y^8+9*x^ 10*y^9+x^13*y^5-3*x^12*y^6-13*x^11*y^7-21*x^10*y^8-5*x^9*y^9+x^12*y^5+4*x^11*y^ 6+17*x^10*y^7+12*x^9*y^8-x^11*y^5-2*x^10*y^6-6*x^9*y^7+2*x^11*y^4-x^10*y^5-2*x^ 9*y^6+x^8*y^7-x^11*y^3-2*x^10*y^4-2*x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^7*y^7+x^10*y^3+4*x^9*y^ 4-x^8*y^5-6*x^7*y^6-x^9*y^3-x^8*y^4+7*x^7*y^5+5*x^6*y^6+3*x^8*y^3-3*x^7*y^4-8*x ^6*y^5-x^8*y^2-x^7*y^3+3*x^6*y^4+3*x^5*y^5+x^7*y^2-x^6*y^3-7*x^5*y^4+5*x^5*y^3+ 7*x^4*y^4+x^6*y-7*x^4*y^3-x^5*y+x^4*y^2+3*x^3*y^3-4*x^3*y^2+x^3*y+2*x^2*y^2-2*x ^2*y+x*y-x+1)/(x^16*y^11-5*x^16*y^10+x^15*y^11+10*x^16*y^9-4*x^15*y^10-10*x^16* y^8+6*x^15*y^9+5*x^16*y^7-4*x^15*y^8+x^14*y^9-x^16*y^6+x^15*y^7-4*x^14*y^8-x^13 *y^9+6*x^14*y^7+4*x^13*y^8-4*x^14*y^6-6*x^13*y^7+x^14*y^5+4*x^13*y^6+x^12*y^7-x ^11*y^8-x^13*y^5-3*x^12*y^6+2*x^11*y^7+3*x^12*y^5+x^9*y^8-x^12*y^4-x^11*y^5-x^ 10*y^6-2*x^9*y^7-x^11*y^4+x^10*y^5-x^8*y^7+x^11*y^3+x^10*y^4+2*x^9*y^5+3*x^8*y^ 6-x^10*y^3-x^9*y^4-2*x^8*y^5+x^7*y^6+x^8*y^4-2*x^7*y^5-x^6*y^6-2*x^8*y^3-x^7*y^ 4+x^8*y^2+2*x^7*y^3+4*x^6*y^4+x^5*y^5-x^6*y^3-x^5*y^4-x^6*y^2-x^5*y^3-x^4*y^4-x ^6*y-x^4*y^3+x^5*y+x^4*y^2+x^3*y^3-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6302608784 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 225" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 14 18 13 18 12 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 13 17 12 18 10 17 11 16 12 14 14 + 2 x y - 8 x y - 5 x y + 11 x y + x y + x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 + 4 x y - 4 x y - 5 x y + x y - 3 x y - x y 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 - 4 x y + 9 x y - 5 x y - 2 x y + x y + 4 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 - 6 x y + 8 x y + 15 x y - 6 x y - x y - x y 15 9 14 10 13 11 16 7 14 9 13 10 - 4 x y - 17 x y + 13 x y + 3 x y + 6 x y - 13 x y 12 11 16 6 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 - 5 x y - x y - 2 x y - x y + 5 x y + 18 x y + x y 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 15 5 14 6 + 3 x y + 2 x y + 3 x y - 20 x y - 8 x y - x y - x y 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 - 5 x y + x y + 19 x y + 2 x y + x y + 11 x y 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 - 17 x y - 4 x y + 2 x y - 5 x y + 2 x y + 6 x y 9 9 13 4 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 6 x y - x y + 4 x y - 12 x y + 13 x y - x y + 11 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 - x y - 2 x y + x y - 2 x y - 12 x y + 6 x y - x y 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 9 3 7 5 - x y + 4 x y - 4 x y + 4 x y + 2 x y - x y + x y - 7 x y 6 6 9 2 7 4 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 + x y - x y + x y + 3 x y + x y + x y - 6 x y + x y 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 6 5 2 4 3 + x y + x y - x y - x y + 6 x y + x y + 2 x y - 4 x y 5 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 2 - x y - 2 x y + 3 x y + x y - 2 x y - x y + x y - x y + x y / 15 8 15 7 14 8 15 6 14 7 15 5 - x + 1) / (x y - 3 x y - x y + 3 x y + 3 x y - x y / 14 6 14 5 13 6 11 8 13 5 12 6 11 7 - 3 x y + x y - x y + x y + 2 x y + x y - 3 x y 10 8 13 4 12 5 11 6 10 7 12 4 10 6 - x y - x y - 2 x y + 2 x y + 3 x y + x y - 3 x y 11 4 10 5 11 3 10 4 8 6 10 3 9 4 8 5 + x y + 2 x y - x y - 2 x y + x y + x y + x y - 2 x y 7 6 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 7 4 6 5 8 2 - x y + x y + 2 x y + x y - x y - x y - x y - x y + x y 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 6 5 3 3 - x y - x y - x y + x y + x y + x y + x y - x y + x y 4 3 2 2 2 + x y - x y - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^18*y^14-4*x^18*y^13+5*x^18*y^12+2*x^17*y^13-8*x^17*y^12-5*x^18*y^10+11*x^17* y^11+x^16*y^12+x^14*y^14+4*x^18*y^9-4*x^17*y^10-5*x^16*y^11+x^15*y^12-3*x^14*y^ 13-x^18*y^8-4*x^17*y^9+9*x^16*y^10-5*x^15*y^11-2*x^14*y^12+x^13*y^13+4*x^17*y^8 -6*x^16*y^9+8*x^15*y^10+15*x^14*y^11-6*x^13*y^12-x^17*y^7-x^16*y^8-4*x^15*y^9-\ 17*x^14*y^10+13*x^13*y^11+3*x^16*y^7+6*x^14*y^9-13*x^13*y^10-5*x^12*y^11-x^16*y ^6-2*x^15*y^7-x^14*y^8+5*x^13*y^9+18*x^12*y^10+x^11*y^11+3*x^15*y^6+2*x^14*y^7+ 3*x^13*y^8-20*x^12*y^9-8*x^11*y^10-x^15*y^5-x^14*y^6-5*x^13*y^7+x^12*y^8+19*x^ 11*y^9+2*x^10*y^10+x^13*y^6+11*x^12*y^7-17*x^11*y^8-4*x^10*y^9+2*x^13*y^5-5*x^ 12*y^6+2*x^11*y^7+6*x^10*y^8-6*x^9*y^9-x^13*y^4+4*x^11*y^6-12*x^10*y^7+13*x^9*y ^8-x^11*y^5+11*x^10*y^6-x^9*y^7-2*x^8*y^8+x^11*y^4-2*x^10*y^5-12*x^9*y^6+6*x^8* y^7-x^11*y^3-x^10*y^4+4*x^9*y^5-4*x^8*y^6+4*x^7*y^7+2*x^9*y^4-x^8*y^5+x^9*y^3-7 *x^7*y^5+x^6*y^6-x^9*y^2+x^7*y^4+3*x^6*y^5+x^8*y^2+x^7*y^3-6*x^6*y^4+x^5*y^5+x^ 7*y^2+x^6*y^3-x^5*y^4-x^5*y^3+6*x^4*y^4+x^6*y+2*x^5*y^2-4*x^4*y^3-x^5*y-2*x^4*y ^2+3*x^3*y^3+x^4*y-2*x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^15*y^8-3*x^15*y^7- x^14*y^8+3*x^15*y^6+3*x^14*y^7-x^15*y^5-3*x^14*y^6+x^14*y^5-x^13*y^6+x^11*y^8+2 *x^13*y^5+x^12*y^6-3*x^11*y^7-x^10*y^8-x^13*y^4-2*x^12*y^5+2*x^11*y^6+3*x^10*y^ 7+x^12*y^4-3*x^10*y^6+x^11*y^4+2*x^10*y^5-x^11*y^3-2*x^10*y^4+x^8*y^6+x^10*y^3+ x^9*y^4-2*x^8*y^5-x^7*y^6+x^8*y^4+2*x^7*y^5+x^6*y^6-x^9*y^2-x^8*y^3-x^7*y^4-x^6 *y^5+x^8*y^2-x^6*y^4-x^5*y^5-x^6*y^3+x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3+x^6*y-x^5*y+x^3*y^ 3+x^4*y-x^3*y-x^2*y^2+x^2*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6252163203 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 226" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 14 18 13 18 12 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 5 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 13 17 12 18 10 17 11 16 12 14 14 + 2 x y - 8 x y - 5 x y + 11 x y + x y + x y 18 9 17 10 16 11 15 12 14 13 18 8 + 4 x y - 4 x y - 5 x y + x y - 3 x y - x y 17 9 16 10 15 11 14 12 13 13 17 8 - 4 x y + 9 x y - 5 x y - 2 x y + x y + 4 x y 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 16 8 - 6 x y + 8 x y + 15 x y - 6 x y - x y - x y 15 9 14 10 13 11 16 7 14 9 13 10 - 4 x y - 17 x y + 13 x y + 3 x y + 6 x y - 13 x y 12 11 16 6 15 7 14 8 13 9 12 10 11 11 - 5 x y - x y - 2 x y - x y + 5 x y + 18 x y + x y 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 15 5 14 6 + 3 x y + 2 x y + 3 x y - 20 x y - 8 x y - x y - x y 13 7 12 8 11 9 10 10 13 6 12 7 - 5 x y + x y + 19 x y + 2 x y + x y + 11 x y 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 - 17 x y - 4 x y + 2 x y - 5 x y + 2 x y + 6 x y 9 9 13 4 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 - 6 x y - x y + 4 x y - 12 x y + 13 x y - x y + 11 x y 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 11 3 - x y - 2 x y + x y - 2 x y - 12 x y + 6 x y - x y 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 9 3 7 5 - x y + 4 x y - 4 x y + 4 x y + 2 x y - x y + x y - 7 x y 6 6 9 2 7 4 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 + x y - x y + x y + 3 x y + x y + x y - 6 x y + x y 7 2 6 3 5 4 5 3 4 4 6 5 2 4 3 + x y + x y - x y - x y + 6 x y + x y + 2 x y - 4 x y 5 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 2 - x y - 2 x y + 3 x y + x y - 2 x y - x y + x y - x y + x y / 15 8 15 7 14 8 15 6 14 7 15 5 - x + 1) / (x y - 3 x y - x y + 3 x y + 3 x y - x y / 14 6 14 5 13 6 11 8 13 5 12 6 11 7 - 3 x y + x y - x y + x y + 2 x y + x y - 3 x y 10 8 13 4 12 5 11 6 10 7 12 4 10 6 - x y - x y - 2 x y + 2 x y + 3 x y + x y - 3 x y 11 4 10 5 11 3 10 4 8 6 10 3 9 4 8 5 + x y + 2 x y - x y - 2 x y + x y + x y + x y - 2 x y 7 6 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 7 4 6 5 8 2 - x y + x y + 2 x y + x y - x y - x y - x y - x y + x y 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 6 5 3 3 - x y - x y - x y + x y + x y + x y + x y - x y + x y 4 3 2 2 2 + x y - x y - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^18*y^14-4*x^18*y^13+5*x^18*y^12+2*x^17*y^13-8*x^17*y^12-5*x^18*y^10+11*x^17* y^11+x^16*y^12+x^14*y^14+4*x^18*y^9-4*x^17*y^10-5*x^16*y^11+x^15*y^12-3*x^14*y^ 13-x^18*y^8-4*x^17*y^9+9*x^16*y^10-5*x^15*y^11-2*x^14*y^12+x^13*y^13+4*x^17*y^8 -6*x^16*y^9+8*x^15*y^10+15*x^14*y^11-6*x^13*y^12-x^17*y^7-x^16*y^8-4*x^15*y^9-\ 17*x^14*y^10+13*x^13*y^11+3*x^16*y^7+6*x^14*y^9-13*x^13*y^10-5*x^12*y^11-x^16*y ^6-2*x^15*y^7-x^14*y^8+5*x^13*y^9+18*x^12*y^10+x^11*y^11+3*x^15*y^6+2*x^14*y^7+ 3*x^13*y^8-20*x^12*y^9-8*x^11*y^10-x^15*y^5-x^14*y^6-5*x^13*y^7+x^12*y^8+19*x^ 11*y^9+2*x^10*y^10+x^13*y^6+11*x^12*y^7-17*x^11*y^8-4*x^10*y^9+2*x^13*y^5-5*x^ 12*y^6+2*x^11*y^7+6*x^10*y^8-6*x^9*y^9-x^13*y^4+4*x^11*y^6-12*x^10*y^7+13*x^9*y ^8-x^11*y^5+11*x^10*y^6-x^9*y^7-2*x^8*y^8+x^11*y^4-2*x^10*y^5-12*x^9*y^6+6*x^8* y^7-x^11*y^3-x^10*y^4+4*x^9*y^5-4*x^8*y^6+4*x^7*y^7+2*x^9*y^4-x^8*y^5+x^9*y^3-7 *x^7*y^5+x^6*y^6-x^9*y^2+x^7*y^4+3*x^6*y^5+x^8*y^2+x^7*y^3-6*x^6*y^4+x^5*y^5+x^ 7*y^2+x^6*y^3-x^5*y^4-x^5*y^3+6*x^4*y^4+x^6*y+2*x^5*y^2-4*x^4*y^3-x^5*y-2*x^4*y ^2+3*x^3*y^3+x^4*y-2*x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^15*y^8-3*x^15*y^7- x^14*y^8+3*x^15*y^6+3*x^14*y^7-x^15*y^5-3*x^14*y^6+x^14*y^5-x^13*y^6+x^11*y^8+2 *x^13*y^5+x^12*y^6-3*x^11*y^7-x^10*y^8-x^13*y^4-2*x^12*y^5+2*x^11*y^6+3*x^10*y^ 7+x^12*y^4-3*x^10*y^6+x^11*y^4+2*x^10*y^5-x^11*y^3-2*x^10*y^4+x^8*y^6+x^10*y^3+ x^9*y^4-2*x^8*y^5-x^7*y^6+x^8*y^4+2*x^7*y^5+x^6*y^6-x^9*y^2-x^8*y^3-x^7*y^4-x^6 *y^5+x^8*y^2-x^6*y^4-x^5*y^5-x^6*y^3+x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3+x^6*y-x^5*y+x^3*y^ 3+x^4*y-x^3*y-x^2*y^2+x^2*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6252163203 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 227" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 2], [2, 1, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 17 14 17 13 17 12 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 - 10 x y - x y - x y + 5 x y + 4 x y + 4 x y 17 9 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 - x y - 6 x y - 6 x y + x y + 4 x y + 4 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 14 9 - 3 x y + x y - x y - x y + 3 x y - 4 x y - x y 13 10 12 11 13 9 12 10 13 8 12 9 + 4 x y - x y + 2 x y + 3 x y - 5 x y - 3 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 11 8 10 9 + 4 x y + 2 x y + x y - 16 x y + 25 x y - 4 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 - 17 x y + 4 x y - 2 x y + 3 x y + 9 x y + 8 x y + x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 - 14 x y - 12 x y + 5 x y + 5 x y + 9 x y - 11 x y - 4 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 + 3 x y - 3 x y + x y + 9 x y - 5 x y - 7 x y + 15 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 + x y - 5 x y - 2 x y - 2 x y + 4 x y + 4 x y - x y 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 - 8 x y - x y + 6 x y - 4 x y - 2 x y + x y + 2 x y 3 3 3 2 2 2 / 11 7 11 6 11 5 - 2 x y + 2 x y - x y + x y - 1) / (x y - 2 x y + x y / 9 6 9 5 9 4 8 5 8 4 8 3 6 4 6 3 - x y + 2 x y - x y + 2 x y - 3 x y + x y - 2 x y + 3 x y 6 2 5 3 5 2 4 3 4 2 3 2 3 2 2 - x y + 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y - x y 2 + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^17*y^14-5*x^17*y^13+10*x^17*y^12-10*x^17*y^11-x^16*y^12-x^15*y^13+5*x^17*y^ 10+4*x^16*y^11+4*x^15*y^12-x^17*y^9-6*x^16*y^10-6*x^15*y^11+x^14*y^12+4*x^16*y^ 9+4*x^15*y^10-3*x^14*y^11+x^13*y^12-x^16*y^8-x^15*y^9+3*x^14*y^10-4*x^13*y^11-x ^14*y^9+4*x^13*y^10-x^12*y^11+2*x^13*y^9+3*x^12*y^10-5*x^13*y^8-3*x^12*y^9+4*x^ 11*y^10+2*x^13*y^7+x^12*y^8-16*x^11*y^9+25*x^11*y^8-4*x^10*y^9-17*x^11*y^7+4*x^ 10*y^8-2*x^9*y^9+3*x^11*y^6+9*x^10*y^7+8*x^9*y^8+x^11*y^5-14*x^10*y^6-12*x^9*y^ 7+5*x^8*y^8+5*x^10*y^5+9*x^9*y^6-11*x^8*y^7-4*x^9*y^5+3*x^8*y^6-3*x^7*y^7+x^9*y ^4+9*x^8*y^5-5*x^7*y^6-7*x^8*y^4+15*x^7*y^5+x^8*y^3-5*x^7*y^4-2*x^6*y^5-2*x^7*y ^3+4*x^6*y^4+4*x^5*y^5-x^6*y^3-8*x^5*y^4-x^6*y^2+6*x^5*y^3-4*x^4*y^4-2*x^5*y^2+ x^4*y^3+2*x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^3*y-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^11*y^7-2*x^11*y^6+x^11* y^5-x^9*y^6+2*x^9*y^5-x^9*y^4+2*x^8*y^5-3*x^8*y^4+x^8*y^3-2*x^6*y^4+3*x^6*y^3-x ^6*y^2+2*x^5*y^3-2*x^5*y^2+x^4*y^3-2*x^4*y^2-2*x^3*y^2+2*x^3*y-x^2*y^2+x^2*y+2* x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6251367364 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 228" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 2, 1], [1, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 17 14 17 13 17 12 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 - 10 x y - x y - x y + 5 x y + 4 x y + 4 x y 17 9 16 10 15 11 14 12 16 9 15 10 - x y - 6 x y - 6 x y + x y + 4 x y + 4 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 14 9 - 3 x y + x y - x y - x y + 3 x y - 4 x y - x y 13 10 12 11 13 9 12 10 13 8 12 9 + 4 x y - x y + 2 x y + 3 x y - 5 x y - 3 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 11 8 10 9 + 4 x y + 2 x y + x y - 16 x y + 25 x y - 4 x y 11 7 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 - 17 x y + 4 x y - 2 x y + 3 x y + 9 x y + 8 x y + x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 9 5 - 14 x y - 12 x y + 5 x y + 5 x y + 9 x y - 11 x y - 4 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 + 3 x y - 3 x y + x y + 9 x y - 5 x y - 7 x y + 15 x y 8 3 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 + x y - 5 x y - 2 x y - 2 x y + 4 x y + 4 x y - x y 5 4 6 2 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 - 8 x y - x y + 6 x y - 4 x y - 2 x y + x y + 2 x y 3 3 3 2 2 2 / 11 7 11 6 11 5 - 2 x y + 2 x y - x y + x y - 1) / (x y - 2 x y + x y / 9 6 9 5 9 4 8 5 8 4 8 3 6 4 6 3 - x y + 2 x y - x y + 2 x y - 3 x y + x y - 2 x y + 3 x y 6 2 5 3 5 2 4 3 4 2 3 2 3 2 2 - x y + 2 x y - 2 x y + x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y - x y 2 + x y + 2 x y - 1) and in Maple notation (x^17*y^14-5*x^17*y^13+10*x^17*y^12-10*x^17*y^11-x^16*y^12-x^15*y^13+5*x^17*y^ 10+4*x^16*y^11+4*x^15*y^12-x^17*y^9-6*x^16*y^10-6*x^15*y^11+x^14*y^12+4*x^16*y^ 9+4*x^15*y^10-3*x^14*y^11+x^13*y^12-x^16*y^8-x^15*y^9+3*x^14*y^10-4*x^13*y^11-x ^14*y^9+4*x^13*y^10-x^12*y^11+2*x^13*y^9+3*x^12*y^10-5*x^13*y^8-3*x^12*y^9+4*x^ 11*y^10+2*x^13*y^7+x^12*y^8-16*x^11*y^9+25*x^11*y^8-4*x^10*y^9-17*x^11*y^7+4*x^ 10*y^8-2*x^9*y^9+3*x^11*y^6+9*x^10*y^7+8*x^9*y^8+x^11*y^5-14*x^10*y^6-12*x^9*y^ 7+5*x^8*y^8+5*x^10*y^5+9*x^9*y^6-11*x^8*y^7-4*x^9*y^5+3*x^8*y^6-3*x^7*y^7+x^9*y ^4+9*x^8*y^5-5*x^7*y^6-7*x^8*y^4+15*x^7*y^5+x^8*y^3-5*x^7*y^4-2*x^6*y^5-2*x^7*y ^3+4*x^6*y^4+4*x^5*y^5-x^6*y^3-8*x^5*y^4-x^6*y^2+6*x^5*y^3-4*x^4*y^4-2*x^5*y^2+ x^4*y^3+2*x^4*y^2-2*x^3*y^3+2*x^3*y-x^2*y^2+x^2*y-1)/(x^11*y^7-2*x^11*y^6+x^11* y^5-x^9*y^6+2*x^9*y^5-x^9*y^4+2*x^8*y^5-3*x^8*y^4+x^8*y^3-2*x^6*y^4+3*x^6*y^3-x ^6*y^2+2*x^5*y^3-2*x^5*y^2+x^4*y^3-2*x^4*y^2-2*x^3*y^2+2*x^3*y-x^2*y^2+x^2*y+2* x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6251367364 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 229" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 16 18 15 18 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 15 18 13 17 14 18 12 17 13 16 14 + x y - 10 x y - 4 x y + 5 x y + 6 x y - x y 18 11 17 12 16 13 17 11 16 12 15 13 - x y - 4 x y + 4 x y + x y - 6 x y - 2 x y 16 11 15 12 16 10 15 11 14 12 15 10 + 4 x y + 7 x y - x y - 9 x y - 3 x y + 5 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 + 13 x y + x y - x y - 23 x y - 9 x y + x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 21 x y + 25 x y - 2 x y - 10 x y - 31 x y - 4 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 + 5 x y + 2 x y + 18 x y + 14 x y - 16 x y - 4 x y 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 - 14 x y + 16 x y + 10 x y + 6 x y - 4 x y - 29 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 10 7 9 8 10 6 - x y - x y + 28 x y + 14 x y - 10 x y - 41 x y + 3 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 40 x y + 22 x y - 3 x y - 15 x y - 60 x y + x y + 4 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 + 53 x y + 27 x y - 2 x y - 16 x y - 64 x y + 2 x y + 49 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 6 3 + 24 x y - x y - 12 x y - 54 x y + 37 x y + 20 x y - 7 x y 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 - 42 x y + 26 x y + 16 x y - 4 x y - 26 x y + 12 x y + 8 x y 4 3 2 3 2 2 2 2 / - x y - 12 x y + 4 x y + 4 x y - 5 x y + x + 2 x y - 2 x + 1) / / 14 10 14 9 13 10 14 8 13 9 14 7 13 8 (x y - 3 x y - x y + 3 x y + 4 x y - x y - 5 x y 12 9 13 7 12 8 12 7 10 7 10 6 9 7 10 5 - x y + 2 x y + 2 x y - x y - x y + x y + x y + x y 9 6 10 4 9 5 8 6 9 4 8 4 8 3 6 4 - 2 x y - x y - x y + x y + 2 x y - 2 x y + x y + x y 6 3 5 3 5 2 4 3 4 2 4 3 2 3 - x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y + x y + 2 x y - 2 x y 2 2 + x y - x + 2 x - 1) and in Maple notation -(x^18*y^16-5*x^18*y^15+10*x^18*y^14+x^17*y^15-10*x^18*y^13-4*x^17*y^14+5*x^18* y^12+6*x^17*y^13-x^16*y^14-x^18*y^11-4*x^17*y^12+4*x^16*y^13+x^17*y^11-6*x^16*y ^12-2*x^15*y^13+4*x^16*y^11+7*x^15*y^12-x^16*y^10-9*x^15*y^11-3*x^14*y^12+5*x^ 15*y^10+13*x^14*y^11+x^13*y^12-x^15*y^9-23*x^14*y^10-9*x^13*y^11+x^12*y^12+21*x ^14*y^9+25*x^13*y^10-2*x^12*y^11-10*x^14*y^8-31*x^13*y^9-4*x^12*y^10+5*x^11*y^ 11+2*x^14*y^7+18*x^13*y^8+14*x^12*y^9-16*x^11*y^10-4*x^13*y^7-14*x^12*y^8+16*x^ 11*y^9+10*x^10*y^10+6*x^12*y^7-4*x^11*y^8-29*x^10*y^9-x^12*y^6-x^11*y^7+28*x^10 *y^8+14*x^9*y^9-10*x^10*y^7-41*x^9*y^8+3*x^10*y^6+40*x^9*y^7+22*x^8*y^8-3*x^10* y^5-15*x^9*y^6-60*x^8*y^7+x^10*y^4+4*x^9*y^5+53*x^8*y^6+27*x^7*y^7-2*x^9*y^4-16 *x^8*y^5-64*x^7*y^6+2*x^8*y^4+49*x^7*y^5+24*x^6*y^6-x^8*y^3-12*x^7*y^4-54*x^6*y ^5+37*x^6*y^4+20*x^5*y^5-7*x^6*y^3-42*x^5*y^4+26*x^5*y^3+16*x^4*y^4-4*x^5*y^2-\ 26*x^4*y^3+12*x^4*y^2+8*x^3*y^3-x^4*y-12*x^3*y^2+4*x^3*y+4*x^2*y^2-5*x^2*y+x^2+ 2*x*y-2*x+1)/(x^14*y^10-3*x^14*y^9-x^13*y^10+3*x^14*y^8+4*x^13*y^9-x^14*y^7-5*x ^13*y^8-x^12*y^9+2*x^13*y^7+2*x^12*y^8-x^12*y^7-x^10*y^7+x^10*y^6+x^9*y^7+x^10* y^5-2*x^9*y^6-x^10*y^4-x^9*y^5+x^8*y^6+2*x^9*y^4-2*x^8*y^4+x^8*y^3+x^6*y^4-x^6* y^3-2*x^5*y^3+2*x^5*y^2+2*x^4*y^3-4*x^4*y^2+x^4*y+2*x^3*y^2-2*x^3*y+x^2*y-x^2+2 *x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6251214970 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 230" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 16 18 15 18 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 15 18 13 17 14 18 12 17 13 16 14 + x y - 10 x y - 4 x y + 5 x y + 6 x y - x y 18 11 17 12 16 13 17 11 16 12 15 13 - x y - 4 x y + 4 x y + x y - 6 x y - 2 x y 16 11 15 12 16 10 15 11 14 12 15 10 + 4 x y + 7 x y - x y - 9 x y - 3 x y + 5 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 + 13 x y + x y - x y - 23 x y - 9 x y + x y 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 + 21 x y + 25 x y - 2 x y - 10 x y - 31 x y - 4 x y 11 11 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 + 5 x y + 2 x y + 18 x y + 14 x y - 16 x y - 4 x y 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 - 14 x y + 16 x y + 10 x y + 6 x y - 4 x y - 29 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 10 7 9 8 10 6 - x y - x y + 28 x y + 14 x y - 10 x y - 41 x y + 3 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 + 40 x y + 22 x y - 3 x y - 15 x y - 60 x y + x y + 4 x y 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 + 53 x y + 27 x y - 2 x y - 16 x y - 64 x y + 2 x y + 49 x y 6 6 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 6 3 + 24 x y - x y - 12 x y - 54 x y + 37 x y + 20 x y - 7 x y 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 - 42 x y + 26 x y + 16 x y - 4 x y - 26 x y + 12 x y + 8 x y 4 3 2 3 2 2 2 2 / - x y - 12 x y + 4 x y + 4 x y - 5 x y + x + 2 x y - 2 x + 1) / / 13 10 13 9 13 8 12 9 13 7 12 8 12 7 ((x y - 3 x y + 3 x y + x y - x y - 2 x y + x y 9 7 9 6 9 5 8 6 9 4 8 4 7 4 7 3 6 4 - x y + x y + x y - x y - x y + x y - x y + x y - x y 6 3 4 3 4 2 3 2 3 2 + x y - 2 x y + 2 x y - 2 x y + x y - x y - x + 1) (x - 1)) and in Maple notation -(x^18*y^16-5*x^18*y^15+10*x^18*y^14+x^17*y^15-10*x^18*y^13-4*x^17*y^14+5*x^18* y^12+6*x^17*y^13-x^16*y^14-x^18*y^11-4*x^17*y^12+4*x^16*y^13+x^17*y^11-6*x^16*y ^12-2*x^15*y^13+4*x^16*y^11+7*x^15*y^12-x^16*y^10-9*x^15*y^11-3*x^14*y^12+5*x^ 15*y^10+13*x^14*y^11+x^13*y^12-x^15*y^9-23*x^14*y^10-9*x^13*y^11+x^12*y^12+21*x ^14*y^9+25*x^13*y^10-2*x^12*y^11-10*x^14*y^8-31*x^13*y^9-4*x^12*y^10+5*x^11*y^ 11+2*x^14*y^7+18*x^13*y^8+14*x^12*y^9-16*x^11*y^10-4*x^13*y^7-14*x^12*y^8+16*x^ 11*y^9+10*x^10*y^10+6*x^12*y^7-4*x^11*y^8-29*x^10*y^9-x^12*y^6-x^11*y^7+28*x^10 *y^8+14*x^9*y^9-10*x^10*y^7-41*x^9*y^8+3*x^10*y^6+40*x^9*y^7+22*x^8*y^8-3*x^10* y^5-15*x^9*y^6-60*x^8*y^7+x^10*y^4+4*x^9*y^5+53*x^8*y^6+27*x^7*y^7-2*x^9*y^4-16 *x^8*y^5-64*x^7*y^6+2*x^8*y^4+49*x^7*y^5+24*x^6*y^6-x^8*y^3-12*x^7*y^4-54*x^6*y ^5+37*x^6*y^4+20*x^5*y^5-7*x^6*y^3-42*x^5*y^4+26*x^5*y^3+16*x^4*y^4-4*x^5*y^2-\ 26*x^4*y^3+12*x^4*y^2+8*x^3*y^3-x^4*y-12*x^3*y^2+4*x^3*y+4*x^2*y^2-5*x^2*y+x^2+ 2*x*y-2*x+1)/(x^13*y^10-3*x^13*y^9+3*x^13*y^8+x^12*y^9-x^13*y^7-2*x^12*y^8+x^12 *y^7-x^9*y^7+x^9*y^6+x^9*y^5-x^8*y^6-x^9*y^4+x^8*y^4-x^7*y^4+x^7*y^3-x^6*y^4+x^ 6*y^3-2*x^4*y^3+2*x^4*y^2-2*x^3*y^2+x^3*y-x^2*y-x+1)/(x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6251214970 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 231" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 2, 1, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 14 18 13 18 12 17 13 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 5 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 12 18 10 17 11 14 14 18 9 16 11 - 4 x y - 5 x y + 5 x y + 2 x y + 4 x y - x y 14 13 18 8 17 9 16 10 14 12 13 13 - 8 x y - x y - 5 x y + 3 x y + 10 x y + x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 + 4 x y - 2 x y - x y - 2 x y - 6 x y - x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 - 2 x y + 3 x y - 3 x y + 12 x y - x y + 3 x y 15 8 14 9 13 10 16 6 15 7 14 8 13 9 - 2 x y + x y - 9 x y - x y - 2 x y - 3 x y - x y 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 + 8 x y + x y + 3 x y + 5 x y + 8 x y - 11 x y 11 10 15 5 14 6 13 7 11 9 10 10 13 6 - 4 x y - x y - 2 x y - 9 x y + 7 x y + x y + 4 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 9 9 + 7 x y - 4 x y - 2 x y + x y - 4 x y - 4 x y - 6 x y 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 - x y + 2 x y + 5 x y + 3 x y + 14 x y - x y - x y 10 6 9 7 8 8 11 4 9 6 8 7 11 3 - 3 x y - 7 x y - 4 x y + x y - 2 x y + 11 x y - x y 10 4 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 + 2 x y - x y - 9 x y - x y + x y + 4 x y + 6 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 7 4 + 2 x y - 5 x y - 11 x y - x y - x y + 2 x y + 6 x y 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 + 5 x y + x y - 3 x y - 7 x y + x y + 2 x y + 3 x y - x y 6 2 5 3 4 4 6 5 2 4 3 5 4 2 - x y - x y + 6 x y + x y + 2 x y - 4 x y - x y - 2 x y 3 3 4 3 2 3 2 2 2 / + 3 x y + x y - 2 x y - x y + x y - x y + x y - x + 1) / ( / 14 8 14 7 14 6 14 5 12 6 10 8 12 5 (x - 1) (x y - 3 x y + 3 x y - x y - x y + x y + 2 x y 10 7 12 4 10 6 9 6 10 4 9 5 8 6 10 3 - 3 x y - x y + 2 x y - x y + x y + 2 x y - x y - x y 9 4 8 5 6 6 7 4 6 5 8 2 7 3 5 5 - x y + 2 x y - x y + x y + 2 x y - x y - x y + x y 6 3 5 4 5 3 5 2 4 3 5 4 2 3 3 3 2 - x y - x y - 2 x y + x y - x y + x y + x y - x y + x y 3 2 2 + x y + x y + x y - 1)) and in Maple notation (x^18*y^14-4*x^18*y^13+5*x^18*y^12+x^17*y^13-4*x^17*y^12-5*x^18*y^10+5*x^17*y^ 11+2*x^14*y^14+4*x^18*y^9-x^16*y^11-8*x^14*y^13-x^18*y^8-5*x^17*y^9+3*x^16*y^10 +10*x^14*y^12+x^13*y^13+4*x^17*y^8-2*x^16*y^9-x^15*y^10-2*x^14*y^11-6*x^13*y^12 -x^17*y^7-2*x^16*y^8+3*x^15*y^9-3*x^14*y^10+12*x^13*y^11-x^12*y^12+3*x^16*y^7-2 *x^15*y^8+x^14*y^9-9*x^13*y^10-x^16*y^6-2*x^15*y^7-3*x^14*y^8-x^13*y^9+8*x^12*y ^10+x^11*y^11+3*x^15*y^6+5*x^14*y^7+8*x^13*y^8-11*x^12*y^9-4*x^11*y^10-x^15*y^5 -2*x^14*y^6-9*x^13*y^7+7*x^11*y^9+x^10*y^10+4*x^13*y^6+7*x^12*y^7-4*x^11*y^8-2* x^10*y^9+x^13*y^5-4*x^12*y^6-4*x^11*y^7-6*x^9*y^9-x^13*y^4+2*x^12*y^5+5*x^11*y^ 6+3*x^10*y^7+14*x^9*y^8-x^12*y^4-x^11*y^5-3*x^10*y^6-7*x^9*y^7-4*x^8*y^8+x^11*y ^4-2*x^9*y^6+11*x^8*y^7-x^11*y^3+2*x^10*y^4-x^9*y^5-9*x^8*y^6-x^10*y^3+x^9*y^4+ 4*x^8*y^5+6*x^7*y^6+2*x^9*y^3-5*x^8*y^4-11*x^7*y^5-x^6*y^6-x^9*y^2+2*x^8*y^3+6* x^7*y^4+5*x^6*y^5+x^8*y^2-3*x^7*y^3-7*x^6*y^4+x^5*y^5+2*x^7*y^2+3*x^6*y^3-x^5*y ^4-x^6*y^2-x^5*y^3+6*x^4*y^4+x^6*y+2*x^5*y^2-4*x^4*y^3-x^5*y-2*x^4*y^2+3*x^3*y^ 3+x^4*y-2*x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x-1)/(x^14*y^8-3*x^14*y^7+3*x^ 14*y^6-x^14*y^5-x^12*y^6+x^10*y^8+2*x^12*y^5-3*x^10*y^7-x^12*y^4+2*x^10*y^6-x^9 *y^6+x^10*y^4+2*x^9*y^5-x^8*y^6-x^10*y^3-x^9*y^4+2*x^8*y^5-x^6*y^6+x^7*y^4+2*x^ 6*y^5-x^8*y^2-x^7*y^3+x^5*y^5-x^6*y^3-x^5*y^4-2*x^5*y^3+x^5*y^2-x^4*y^3+x^5*y+x ^4*y^2-x^3*y^3+x^3*y^2+x^3*y+x^2*y^2+x*y-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6250699426 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 232" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 1, 2], [2, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 17 15 17 14 17 13 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 14 17 12 16 13 17 11 16 12 15 13 + 2 x y - 10 x y - 9 x y + 5 x y + 16 x y + 2 x y 17 10 16 11 15 12 16 10 15 11 14 12 - x y - 14 x y - 9 x y + 6 x y + 16 x y + 2 x y 16 9 15 10 14 11 15 9 14 10 13 11 - x y - 14 x y - 9 x y + 6 x y + 16 x y - x y 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 - x y - 14 x y + 5 x y + 3 x y + 6 x y - 9 x y 12 10 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 - 18 x y - x y + 7 x y + 42 x y + 4 x y - 2 x y 12 8 11 9 12 7 11 8 12 6 11 7 - 47 x y - 22 x y + 25 x y + 45 x y - 5 x y - 42 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 - 4 x y - 3 x y + 17 x y + 14 x y + 8 x y - 2 x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - 17 x y - 9 x y - 12 x y + 8 x y + 10 x y + 34 x y - x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 - 10 x y - 33 x y - 20 x y + 4 x y + 14 x y + 50 x y - 4 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 - 40 x y - 22 x y + x y + 10 x y + 50 x y - 35 x y - 20 x y 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 + 7 x y + 42 x y - 26 x y - 16 x y + 4 x y + 26 x y - 12 x y 3 3 4 3 2 3 2 2 2 2 - 8 x y + x y + 12 x y - 4 x y - 4 x y + 5 x y - x - 2 x y + 2 x / 14 10 14 9 13 10 14 8 13 9 14 7 - 1) / (x y - 3 x y - x y + 3 x y + 4 x y - x y / 13 8 12 9 13 7 12 8 12 7 10 7 10 6 - 5 x y - x y + 2 x y + 2 x y - x y - x y + x y 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 8 6 9 4 8 4 + x y + x y - 2 x y - x y - x y + x y + 2 x y - 2 x y 8 3 6 4 6 3 5 3 5 2 4 3 4 2 4 + x y + x y - x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y + x y 3 2 3 2 2 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 2 x - 1) and in Maple notation (x^17*y^15-5*x^17*y^14+10*x^17*y^13+2*x^16*y^14-10*x^17*y^12-9*x^16*y^13+5*x^17 *y^11+16*x^16*y^12+2*x^15*y^13-x^17*y^10-14*x^16*y^11-9*x^15*y^12+6*x^16*y^10+ 16*x^15*y^11+2*x^14*y^12-x^16*y^9-14*x^15*y^10-9*x^14*y^11+6*x^15*y^9+16*x^14*y ^10-x^13*y^11-x^15*y^8-14*x^14*y^9+5*x^13*y^10+3*x^12*y^11+6*x^14*y^8-9*x^13*y^ 9-18*x^12*y^10-x^14*y^7+7*x^13*y^8+42*x^12*y^9+4*x^11*y^10-2*x^13*y^7-47*x^12*y ^8-22*x^11*y^9+25*x^12*y^7+45*x^11*y^8-5*x^12*y^6-42*x^11*y^7-4*x^10*y^8-3*x^9* y^9+17*x^11*y^6+14*x^10*y^7+8*x^9*y^8-2*x^11*y^5-17*x^10*y^6-9*x^9*y^7-12*x^8*y ^8+8*x^10*y^5+10*x^9*y^6+34*x^8*y^7-x^10*y^4-10*x^9*y^5-33*x^8*y^6-20*x^7*y^7+4 *x^9*y^4+14*x^8*y^5+50*x^7*y^6-4*x^8*y^4-40*x^7*y^5-22*x^6*y^6+x^8*y^3+10*x^7*y ^4+50*x^6*y^5-35*x^6*y^4-20*x^5*y^5+7*x^6*y^3+42*x^5*y^4-26*x^5*y^3-16*x^4*y^4+ 4*x^5*y^2+26*x^4*y^3-12*x^4*y^2-8*x^3*y^3+x^4*y+12*x^3*y^2-4*x^3*y-4*x^2*y^2+5* x^2*y-x^2-2*x*y+2*x-1)/(x^14*y^10-3*x^14*y^9-x^13*y^10+3*x^14*y^8+4*x^13*y^9-x^ 14*y^7-5*x^13*y^8-x^12*y^9+2*x^13*y^7+2*x^12*y^8-x^12*y^7-x^10*y^7+x^10*y^6+x^9 *y^7+x^10*y^5-2*x^9*y^6-x^10*y^4-x^9*y^5+x^8*y^6+2*x^9*y^4-2*x^8*y^4+x^8*y^3+x^ 6*y^4-x^6*y^3-2*x^5*y^3+2*x^5*y^2+2*x^4*y^3-4*x^4*y^2+x^4*y+2*x^3*y^2-2*x^3*y+x ^2*y-x^2+2*x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6250699426 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 233" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 17 15 17 14 17 13 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 14 17 12 16 13 17 11 16 12 15 13 + 2 x y - 10 x y - 9 x y + 5 x y + 16 x y + 2 x y 17 10 16 11 15 12 16 10 15 11 14 12 - x y - 14 x y - 9 x y + 6 x y + 16 x y + 2 x y 16 9 15 10 14 11 15 9 14 10 13 11 - x y - 14 x y - 9 x y + 6 x y + 16 x y - x y 15 8 14 9 13 10 12 11 14 8 13 9 - x y - 14 x y + 5 x y + 3 x y + 6 x y - 9 x y 12 10 14 7 13 8 12 9 11 10 13 7 - 18 x y - x y + 7 x y + 42 x y + 4 x y - 2 x y 12 8 11 9 12 7 11 8 12 6 11 7 - 47 x y - 22 x y + 25 x y + 45 x y - 5 x y - 42 x y 10 8 9 9 11 6 10 7 9 8 11 5 - 4 x y - 3 x y + 17 x y + 14 x y + 8 x y - 2 x y 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 - 17 x y - 9 x y - 12 x y + 8 x y + 10 x y + 34 x y - x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 8 4 - 10 x y - 33 x y - 20 x y + 4 x y + 14 x y + 50 x y - 4 x y 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 6 4 5 5 - 40 x y - 22 x y + x y + 10 x y + 50 x y - 35 x y - 20 x y 6 3 5 4 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 + 7 x y + 42 x y - 26 x y - 16 x y + 4 x y + 26 x y - 12 x y 3 3 4 3 2 3 2 2 2 2 - 8 x y + x y + 12 x y - 4 x y - 4 x y + 5 x y - x - 2 x y + 2 x / 14 10 14 9 13 10 14 8 13 9 14 7 - 1) / (x y - 3 x y - x y + 3 x y + 4 x y - x y / 13 8 12 9 13 7 12 8 12 7 10 7 10 6 - 5 x y - x y + 2 x y + 2 x y - x y - x y + x y 9 7 10 5 9 6 10 4 9 5 8 6 9 4 8 4 + x y + x y - 2 x y - x y - x y + x y + 2 x y - 2 x y 8 3 6 4 6 3 5 3 5 2 4 3 4 2 4 + x y + x y - x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y + x y 3 2 3 2 2 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 2 x - 1) and in Maple notation (x^17*y^15-5*x^17*y^14+10*x^17*y^13+2*x^16*y^14-10*x^17*y^12-9*x^16*y^13+5*x^17 *y^11+16*x^16*y^12+2*x^15*y^13-x^17*y^10-14*x^16*y^11-9*x^15*y^12+6*x^16*y^10+ 16*x^15*y^11+2*x^14*y^12-x^16*y^9-14*x^15*y^10-9*x^14*y^11+6*x^15*y^9+16*x^14*y ^10-x^13*y^11-x^15*y^8-14*x^14*y^9+5*x^13*y^10+3*x^12*y^11+6*x^14*y^8-9*x^13*y^ 9-18*x^12*y^10-x^14*y^7+7*x^13*y^8+42*x^12*y^9+4*x^11*y^10-2*x^13*y^7-47*x^12*y ^8-22*x^11*y^9+25*x^12*y^7+45*x^11*y^8-5*x^12*y^6-42*x^11*y^7-4*x^10*y^8-3*x^9* y^9+17*x^11*y^6+14*x^10*y^7+8*x^9*y^8-2*x^11*y^5-17*x^10*y^6-9*x^9*y^7-12*x^8*y ^8+8*x^10*y^5+10*x^9*y^6+34*x^8*y^7-x^10*y^4-10*x^9*y^5-33*x^8*y^6-20*x^7*y^7+4 *x^9*y^4+14*x^8*y^5+50*x^7*y^6-4*x^8*y^4-40*x^7*y^5-22*x^6*y^6+x^8*y^3+10*x^7*y ^4+50*x^6*y^5-35*x^6*y^4-20*x^5*y^5+7*x^6*y^3+42*x^5*y^4-26*x^5*y^3-16*x^4*y^4+ 4*x^5*y^2+26*x^4*y^3-12*x^4*y^2-8*x^3*y^3+x^4*y+12*x^3*y^2-4*x^3*y-4*x^2*y^2+5* x^2*y-x^2-2*x*y+2*x-1)/(x^14*y^10-3*x^14*y^9-x^13*y^10+3*x^14*y^8+4*x^13*y^9-x^ 14*y^7-5*x^13*y^8-x^12*y^9+2*x^13*y^7+2*x^12*y^8-x^12*y^7-x^10*y^7+x^10*y^6+x^9 *y^7+x^10*y^5-2*x^9*y^6-x^10*y^4-x^9*y^5+x^8*y^6+2*x^9*y^4-2*x^8*y^4+x^8*y^3+x^ 6*y^4-x^6*y^3-2*x^5*y^3+2*x^5*y^2+2*x^4*y^3-4*x^4*y^2+x^4*y+2*x^3*y^2-2*x^3*y+x ^2*y-x^2+2*x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6250699426 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 234" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 2, 1, 1], [1, 2, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 18 14 18 13 18 12 17 13 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 4 x y + 5 x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 17 12 18 10 17 11 14 14 18 9 16 11 - 4 x y - 5 x y + 5 x y + 2 x y + 4 x y - x y 14 13 18 8 17 9 16 10 14 12 13 13 - 8 x y - x y - 5 x y + 3 x y + 10 x y + x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 17 7 + 4 x y - 2 x y - x y - 2 x y - 6 x y - x y 16 8 15 9 14 10 13 11 12 12 16 7 - 2 x y + 3 x y - 3 x y + 12 x y - x y + 3 x y 15 8 14 9 13 10 16 6 15 7 14 8 13 9 - 2 x y + x y - 9 x y - x y - 2 x y - 3 x y - x y 12 10 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 + 8 x y + x y + 3 x y + 5 x y + 8 x y - 11 x y 11 10 15 5 14 6 13 7 11 9 10 10 13 6 - 4 x y - x y - 2 x y - 9 x y + 7 x y + x y + 4 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 9 9 + 7 x y - 4 x y - 2 x y + x y - 4 x y - 4 x y - 6 x y 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8 12 4 11 5 - x y + 2 x y + 5 x y + 3 x y + 14 x y - x y - x y 10 6 9 7 8 8 11 4 9 6 8 7 11 3 - 3 x y - 7 x y - 4 x y + x y - 2 x y + 11 x y - x y 10 4 9 5 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 + 2 x y - x y - 9 x y - x y + x y + 4 x y + 6 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 7 4 + 2 x y - 5 x y - 11 x y - x y - x y + 2 x y + 6 x y 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 5 4 + 5 x y + x y - 3 x y - 7 x y + x y + 2 x y + 3 x y - x y 6 2 5 3 4 4 6 5 2 4 3 5 4 2 - x y - x y + 6 x y + x y + 2 x y - 4 x y - x y - 2 x y 3 3 4 3 2 3 2 2 2 / + 3 x y + x y - 2 x y - x y + x y - x y + x y - x + 1) / ( / 15 8 15 7 14 8 15 6 14 7 15 5 14 6 x y - 3 x y - x y + 3 x y + 3 x y - x y - 3 x y 14 5 13 6 11 8 13 5 12 6 11 7 10 8 + x y - x y + x y + 2 x y + x y - 3 x y - x y 13 4 12 5 11 6 10 7 12 4 10 6 11 4 - x y - 2 x y + 2 x y + 3 x y + x y - 3 x y + x y 10 5 11 3 10 4 8 6 10 3 9 4 8 5 7 6 + 2 x y - x y - 2 x y + x y + x y + x y - 2 x y - x y 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 7 4 6 5 8 2 6 4 + x y + 2 x y + x y - x y - x y - x y - x y + x y - x y 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 6 5 3 3 4 - x y - x y + x y + x y + x y + x y - x y + x y + x y 3 2 2 2 - x y - x y + x y - x y - x + 1) and in Maple notation (x^18*y^14-4*x^18*y^13+5*x^18*y^12+x^17*y^13-4*x^17*y^12-5*x^18*y^10+5*x^17*y^ 11+2*x^14*y^14+4*x^18*y^9-x^16*y^11-8*x^14*y^13-x^18*y^8-5*x^17*y^9+3*x^16*y^10 +10*x^14*y^12+x^13*y^13+4*x^17*y^8-2*x^16*y^9-x^15*y^10-2*x^14*y^11-6*x^13*y^12 -x^17*y^7-2*x^16*y^8+3*x^15*y^9-3*x^14*y^10+12*x^13*y^11-x^12*y^12+3*x^16*y^7-2 *x^15*y^8+x^14*y^9-9*x^13*y^10-x^16*y^6-2*x^15*y^7-3*x^14*y^8-x^13*y^9+8*x^12*y ^10+x^11*y^11+3*x^15*y^6+5*x^14*y^7+8*x^13*y^8-11*x^12*y^9-4*x^11*y^10-x^15*y^5 -2*x^14*y^6-9*x^13*y^7+7*x^11*y^9+x^10*y^10+4*x^13*y^6+7*x^12*y^7-4*x^11*y^8-2* x^10*y^9+x^13*y^5-4*x^12*y^6-4*x^11*y^7-6*x^9*y^9-x^13*y^4+2*x^12*y^5+5*x^11*y^ 6+3*x^10*y^7+14*x^9*y^8-x^12*y^4-x^11*y^5-3*x^10*y^6-7*x^9*y^7-4*x^8*y^8+x^11*y ^4-2*x^9*y^6+11*x^8*y^7-x^11*y^3+2*x^10*y^4-x^9*y^5-9*x^8*y^6-x^10*y^3+x^9*y^4+ 4*x^8*y^5+6*x^7*y^6+2*x^9*y^3-5*x^8*y^4-11*x^7*y^5-x^6*y^6-x^9*y^2+2*x^8*y^3+6* x^7*y^4+5*x^6*y^5+x^8*y^2-3*x^7*y^3-7*x^6*y^4+x^5*y^5+2*x^7*y^2+3*x^6*y^3-x^5*y ^4-x^6*y^2-x^5*y^3+6*x^4*y^4+x^6*y+2*x^5*y^2-4*x^4*y^3-x^5*y-2*x^4*y^2+3*x^3*y^ 3+x^4*y-2*x^3*y^2-x^3*y+x^2*y^2-x^2*y+x*y-x+1)/(x^15*y^8-3*x^15*y^7-x^14*y^8+3* x^15*y^6+3*x^14*y^7-x^15*y^5-3*x^14*y^6+x^14*y^5-x^13*y^6+x^11*y^8+2*x^13*y^5+x ^12*y^6-3*x^11*y^7-x^10*y^8-x^13*y^4-2*x^12*y^5+2*x^11*y^6+3*x^10*y^7+x^12*y^4-\ 3*x^10*y^6+x^11*y^4+2*x^10*y^5-x^11*y^3-2*x^10*y^4+x^8*y^6+x^10*y^3+x^9*y^4-2*x ^8*y^5-x^7*y^6+x^8*y^4+2*x^7*y^5+x^6*y^6-x^9*y^2-x^8*y^3-x^7*y^4-x^6*y^5+x^8*y^ 2-x^6*y^4-x^5*y^5-x^6*y^3+x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3+x^6*y-x^5*y+x^3*y^3+x^4*y-x^3 *y-x^2*y^2+x^2*y-x*y-x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.6250699426 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 235" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 22 20 22 19 22 18 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 5 x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 21 19 22 17 21 18 22 16 21 17 20 18 + 2 x y - 10 x y - 11 x y + 5 x y + 25 x y + 4 x y 22 15 21 16 20 17 19 18 21 15 20 16 - x y - 30 x y - 20 x y + x y + 20 x y + 42 x y 19 17 21 14 20 15 19 16 21 13 20 14 - 2 x y - 7 x y - 48 x y - 5 x y + x y + 32 x y 19 15 18 16 20 13 19 14 18 15 17 16 + 21 x y + 4 x y - 12 x y - 29 x y - 16 x y + x y 20 12 19 13 18 14 16 16 19 12 18 13 + 2 x y + 20 x y + 24 x y + x y - 7 x y - 15 x y 17 14 16 15 19 11 18 12 17 13 16 14 - 11 x y - 4 x y + x y + x y + 22 x y + 10 x y 15 15 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + 4 x y + 3 x y - 13 x y - 19 x y - 15 x y - x y 17 11 16 12 15 13 14 14 17 10 16 11 - 4 x y + 21 x y + 24 x y + 7 x y + 7 x y - 8 x y 15 12 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 - 26 x y - 25 x y - 2 x y - 6 x y + 23 x y + 30 x y 13 13 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 + 9 x y + 7 x y - 12 x y - 10 x y - 29 x y - 2 x y 15 9 14 10 13 11 12 12 15 8 14 9 + x y - 5 x y + 25 x y + 7 x y + x y + 2 x y 13 10 12 11 14 8 13 9 12 10 14 7 + 10 x y - 22 x y + 4 x y - 26 x y + 10 x y - 5 x y 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 + 8 x y + 30 x y - x y + 2 x y + 10 x y - 37 x y 11 9 10 10 13 6 12 7 11 8 10 9 - 6 x y - 9 x y - 9 x y + 7 x y + 22 x y + 19 x y 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 + 2 x y + 11 x y - 21 x y - 17 x y - 16 x y - 7 x y 10 7 9 8 12 4 11 5 10 6 9 7 + 15 x y + 35 x y + x y + 9 x y - 11 x y - 17 x y 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 - 14 x y - 3 x y + x y - 3 x y + 27 x y + 3 x y - 2 x y 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 9 3 - 12 x y - 9 x y - x y + 4 x y - 3 x y + 16 x y - x y 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 8 2 7 3 5 5 - x y - x y + 2 x y + 5 x y - 7 x y - 2 x y - x y + 3 x y 7 2 6 3 5 4 7 6 2 5 3 4 4 + 4 x y - 3 x y - 4 x y - x y - 2 x y + 3 x y + 7 x y 6 5 2 4 3 5 4 2 3 3 5 3 2 4 + 3 x y - x y - 5 x y - 2 x y + x y + 3 x y + x - 3 x y - x 3 2 2 2 / 23 20 23 19 + x y + 2 x y - 2 x y + x y - x + 1) / (x y - 5 x y / 23 18 23 17 23 16 21 18 23 15 21 17 + 10 x y - 10 x y + 5 x y + x y - x y - 3 x y 21 16 20 17 21 15 20 16 21 14 20 15 + 2 x y - x y + 2 x y + 4 x y - 3 x y - 6 x y 19 16 21 13 20 14 19 15 18 16 20 13 + 2 x y + x y + 4 x y - 8 x y + x y - x y 19 14 18 15 17 16 19 13 18 14 17 15 + 13 x y - 5 x y + x y - 11 x y + 8 x y - 3 x y 19 12 18 13 17 14 19 11 18 12 17 13 + 5 x y - 3 x y + 3 x y - x y - 4 x y - x y 16 14 18 11 17 12 16 13 15 14 18 10 + 3 x y + 4 x y + x y - 11 x y + x y - x y 17 11 16 12 15 13 17 10 16 11 15 12 - 3 x y + 12 x y - 2 x y + 3 x y - x y + 2 x y 14 13 17 9 16 10 15 11 14 12 15 10 - x y - x y - 4 x y - 7 x y + 5 x y + 13 x y 14 11 16 8 15 9 14 10 13 11 15 8 - 6 x y + x y - 7 x y - 4 x y - 4 x y - 2 x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 + 8 x y + 12 x y - 2 x y + 2 x y + x y - 11 x y 12 10 14 7 12 9 11 10 13 7 12 8 11 9 + 5 x y - 3 x y - 2 x y - x y + 4 x y + x y - 7 x y 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 - 8 x y + 15 x y + x y - x y + 5 x y - 2 x y - 2 x y 12 5 11 6 10 7 12 4 11 5 10 6 9 7 + 2 x y - 6 x y + x y - x y - x y + 4 x y - 6 x y 11 4 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 + 2 x y - 3 x y + 3 x y + x y - 2 x y + 5 x y + 3 x y 10 3 8 5 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 + x y - 7 x y + x y - 2 x y + 3 x y + x y - x y + x y 7 4 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 7 6 2 - 3 x y - 2 x y + 4 x y + x y + x y - x y + x y - x y 5 3 4 4 6 5 2 4 3 4 2 3 3 5 3 2 4 + x y - x y - x y + x y - x y + x y + x y - x - x y + x 3 - x y + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^22*y^20-5*x^22*y^19+10*x^22*y^18+2*x^21*y^19-10*x^22*y^17-11*x^21*y^18+5*x^ 22*y^16+25*x^21*y^17+4*x^20*y^18-x^22*y^15-30*x^21*y^16-20*x^20*y^17+x^19*y^18+ 20*x^21*y^15+42*x^20*y^16-2*x^19*y^17-7*x^21*y^14-48*x^20*y^15-5*x^19*y^16+x^21 *y^13+32*x^20*y^14+21*x^19*y^15+4*x^18*y^16-12*x^20*y^13-29*x^19*y^14-16*x^18*y ^15+x^17*y^16+2*x^20*y^12+20*x^19*y^13+24*x^18*y^14+x^16*y^16-7*x^19*y^12-15*x^ 18*y^13-11*x^17*y^14-4*x^16*y^15+x^19*y^11+x^18*y^12+22*x^17*y^13+10*x^16*y^14+ 4*x^15*y^15+3*x^18*y^11-13*x^17*y^12-19*x^16*y^13-15*x^15*y^14-x^18*y^10-4*x^17 *y^11+21*x^16*y^12+24*x^15*y^13+7*x^14*y^14+7*x^17*y^10-8*x^16*y^11-26*x^15*y^ 12-25*x^14*y^13-2*x^17*y^9-6*x^16*y^10+23*x^15*y^11+30*x^14*y^12+9*x^13*y^13+7* x^16*y^9-12*x^15*y^10-10*x^14*y^11-29*x^13*y^12-2*x^16*y^8+x^15*y^9-5*x^14*y^10 +25*x^13*y^11+7*x^12*y^12+x^15*y^8+2*x^14*y^9+10*x^13*y^10-22*x^12*y^11+4*x^14* y^8-26*x^13*y^9+10*x^12*y^10-5*x^14*y^7+8*x^13*y^8+30*x^12*y^9-x^11*y^10+2*x^14 *y^6+10*x^13*y^7-37*x^12*y^8-6*x^11*y^9-9*x^10*y^10-9*x^13*y^6+7*x^12*y^7+22*x^ 11*y^8+19*x^10*y^9+2*x^13*y^5+11*x^12*y^6-21*x^11*y^7-17*x^10*y^8-16*x^9*y^9-7* x^12*y^5+15*x^10*y^7+35*x^9*y^8+x^12*y^4+9*x^11*y^5-11*x^10*y^6-17*x^9*y^7-14*x ^8*y^8-3*x^11*y^4+x^10*y^5-3*x^9*y^6+27*x^8*y^7+3*x^10*y^4-2*x^9*y^5-12*x^8*y^6 -9*x^7*y^7-x^10*y^3+4*x^9*y^4-3*x^8*y^5+16*x^7*y^6-x^9*y^3-x^8*y^4-x^7*y^5+2*x^ 6*y^6+5*x^8*y^3-7*x^7*y^4-2*x^8*y^2-x^7*y^3+3*x^5*y^5+4*x^7*y^2-3*x^6*y^3-4*x^5 *y^4-x^7*y-2*x^6*y^2+3*x^5*y^3+7*x^4*y^4+3*x^6*y-x^5*y^2-5*x^4*y^3-2*x^5*y+x^4* y^2+3*x^3*y^3+x^5-3*x^3*y^2-x^4+x^3*y+2*x^2*y^2-2*x^2*y+x*y-x+1)/(x^23*y^20-5*x ^23*y^19+10*x^23*y^18-10*x^23*y^17+5*x^23*y^16+x^21*y^18-x^23*y^15-3*x^21*y^17+ 2*x^21*y^16-x^20*y^17+2*x^21*y^15+4*x^20*y^16-3*x^21*y^14-6*x^20*y^15+2*x^19*y^ 16+x^21*y^13+4*x^20*y^14-8*x^19*y^15+x^18*y^16-x^20*y^13+13*x^19*y^14-5*x^18*y^ 15+x^17*y^16-11*x^19*y^13+8*x^18*y^14-3*x^17*y^15+5*x^19*y^12-3*x^18*y^13+3*x^ 17*y^14-x^19*y^11-4*x^18*y^12-x^17*y^13+3*x^16*y^14+4*x^18*y^11+x^17*y^12-11*x^ 16*y^13+x^15*y^14-x^18*y^10-3*x^17*y^11+12*x^16*y^12-2*x^15*y^13+3*x^17*y^10-x^ 16*y^11+2*x^15*y^12-x^14*y^13-x^17*y^9-4*x^16*y^10-7*x^15*y^11+5*x^14*y^12+13*x ^15*y^10-6*x^14*y^11+x^16*y^8-7*x^15*y^9-4*x^14*y^10-4*x^13*y^11-2*x^15*y^8+8*x ^14*y^9+12*x^13*y^10-2*x^12*y^11+2*x^15*y^7+x^14*y^8-11*x^13*y^9+5*x^12*y^10-3* x^14*y^7-2*x^12*y^9-x^11*y^10+4*x^13*y^7+x^12*y^8-7*x^11*y^9-8*x^12*y^7+15*x^11 *y^8+x^10*y^9-x^13*y^5+5*x^12*y^6-2*x^11*y^7-2*x^10*y^8+2*x^12*y^5-6*x^11*y^6+x ^10*y^7-x^12*y^4-x^11*y^5+4*x^10*y^6-6*x^9*y^7+2*x^11*y^4-3*x^10*y^5+3*x^9*y^6+ x^8*y^7-2*x^10*y^4+5*x^9*y^5+3*x^8*y^6+x^10*y^3-7*x^8*y^5+x^7*y^6-2*x^9*y^3+3*x ^8*y^4+x^7*y^5-x^6*y^6+x^8*y^3-3*x^7*y^4-2*x^7*y^3+4*x^6*y^4+x^5*y^5+x^7*y^2-x^ 6*y^3+x^7*y-x^6*y^2+x^5*y^3-x^4*y^4-x^6*y+x^5*y^2-x^4*y^3+x^4*y^2+x^3*y^3-x^5-x ^3*y^2+x^4-x^3*y+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 10 7 6 4 3 2 (a + 4 a - a + 6 a - 2 a - 1) - ----------------------------------------------------- 7 6 4 2 7 4 3 (8 a - 7 a + 10 a - 3 a + 2) (a + 2 a + a + 1) 8 7 5 3 where a is the root of the polynomial, x - x + 2 x - x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6208358074 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6224694209 ------------------------------------------------ "Theorem Number 236" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 24 20 24 19 24 18 ) | ) C(m, n) x y | = (x y - 8 x y + 28 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 23 19 24 17 23 18 24 16 23 17 + 2 x y - 56 x y - 14 x y + 70 x y + 42 x y 22 18 24 15 23 16 22 17 24 14 + 2 x y - 56 x y - 70 x y - 12 x y + 28 x y 23 15 22 16 21 17 24 13 23 14 + 70 x y + 30 x y + 2 x y - 8 x y - 42 x y 22 15 21 16 20 17 24 12 23 13 22 14 - 40 x y - 10 x y - 2 x y + x y + 14 x y + 30 x y 21 15 20 16 19 17 23 12 22 13 + 20 x y + 16 x y - 2 x y - 2 x y - 12 x y 21 14 20 15 19 16 22 12 21 13 - 20 x y - 52 x y + 6 x y + 2 x y + 10 x y 20 14 19 15 18 16 21 12 20 13 19 14 + 91 x y + 8 x y - 7 x y - 2 x y - 94 x y - 60 x y 18 15 20 12 19 13 18 14 17 15 + 32 x y + 58 x y + 110 x y - 53 x y - 10 x y 20 11 19 12 18 13 17 14 20 10 - 20 x y - 98 x y + 30 x y + 44 x y + 3 x y 19 11 18 12 17 13 16 14 19 10 + 44 x y + 15 x y - 74 x y - 5 x y - 8 x y 18 11 17 12 16 13 18 10 16 12 - 28 x y + 52 x y + 22 x y + 13 x y - 41 x y 15 13 18 9 17 10 16 11 15 12 17 9 + 2 x y - 2 x y - 22 x y + 40 x y + 2 x y + 12 x y 16 10 15 11 14 12 17 8 16 9 15 10 - 20 x y - 30 x y + 10 x y - 2 x y + 4 x y + 62 x y 14 11 13 12 15 9 14 10 13 11 12 12 - 26 x y - 4 x y - 56 x y + 14 x y + 34 x y - x y 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 + 24 x y + 14 x y - 82 x y - 10 x y - 4 x y - 16 x y 13 9 12 10 11 11 14 7 13 8 12 9 + 86 x y + 62 x y - 4 x y + 4 x y - 42 x y - 102 x y 11 10 13 7 12 8 11 9 10 10 12 7 - 12 x y + 8 x y + 60 x y + 66 x y - 9 x y - 2 x y 11 8 10 9 12 6 11 7 10 8 9 9 - 82 x y - 8 x y - 9 x y + 26 x y + 82 x y - 14 x y 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 10 6 + 2 x y + 14 x y - 108 x y - 4 x y - 8 x y + 43 x y 9 7 8 8 10 5 9 6 8 7 10 4 + 88 x y - 20 x y + 4 x y - 110 x y + 12 x y - 4 x y 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 7 6 9 3 + 36 x y + 54 x y - 24 x y + 8 x y - 70 x y + 32 x y - 4 x y 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 6 5 8 2 + 20 x y + 24 x y - 24 x y + 4 x y - 50 x y + 32 x y - x y 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 6 2 5 3 + 18 x y + 12 x y - 20 x y - 28 x y + 30 x y + 8 x y - 2 x y 4 4 5 2 4 3 5 4 2 3 3 4 - 16 x y - 10 x y + 20 x y + 2 x y - 3 x y - 8 x y - 4 x y 3 2 4 2 2 3 2 / 20 16 + 10 x y + x - 4 x y - 2 x + 4 x y - 2 x y + 2 x - 1) / (x y / 20 15 20 14 19 15 20 13 19 14 - 6 x y + 15 x y + 2 x y - 20 x y - 10 x y 20 12 19 13 18 14 20 11 19 12 18 13 + 15 x y + 20 x y + x y - 6 x y - 20 x y - 4 x y 20 10 19 11 18 12 19 10 18 11 18 10 + x y + 10 x y + 6 x y - 2 x y - 4 x y + x y 15 11 15 10 14 11 15 9 14 10 15 8 - 2 x y + 8 x y + 2 x y - 12 x y - 10 x y + 8 x y 14 9 13 10 15 7 14 8 13 9 12 10 + 18 x y + 2 x y - 2 x y - 14 x y - 6 x y + x y 14 7 13 8 12 9 13 7 12 8 11 9 + 4 x y + 6 x y - 2 x y - 2 x y - 2 x y + 2 x y 12 7 11 8 12 6 11 7 10 8 12 5 + 8 x y - 2 x y - 7 x y - 8 x y + 4 x y + 2 x y 11 6 10 7 11 5 9 7 10 5 9 6 + 14 x y - 6 x y - 6 x y + 6 x y + 2 x y - 16 x y 9 5 8 6 9 4 8 5 9 3 7 5 8 3 + 10 x y + 9 x y + 2 x y - 12 x y - 2 x y + 4 x y + 4 x y 7 4 8 2 7 3 6 4 6 3 6 2 5 3 - 6 x y - x y + 2 x y + 4 x y - 8 x y + 4 x y + 4 x y 5 2 4 2 3 2 4 3 - 2 x y - 3 x y + 2 x y + x - 2 x + 2 x - 1) and in Maple notation (x^24*y^20-8*x^24*y^19+28*x^24*y^18+2*x^23*y^19-56*x^24*y^17-14*x^23*y^18+70*x^ 24*y^16+42*x^23*y^17+2*x^22*y^18-56*x^24*y^15-70*x^23*y^16-12*x^22*y^17+28*x^24 *y^14+70*x^23*y^15+30*x^22*y^16+2*x^21*y^17-8*x^24*y^13-42*x^23*y^14-40*x^22*y^ 15-10*x^21*y^16-2*x^20*y^17+x^24*y^12+14*x^23*y^13+30*x^22*y^14+20*x^21*y^15+16 *x^20*y^16-2*x^19*y^17-2*x^23*y^12-12*x^22*y^13-20*x^21*y^14-52*x^20*y^15+6*x^ 19*y^16+2*x^22*y^12+10*x^21*y^13+91*x^20*y^14+8*x^19*y^15-7*x^18*y^16-2*x^21*y^ 12-94*x^20*y^13-60*x^19*y^14+32*x^18*y^15+58*x^20*y^12+110*x^19*y^13-53*x^18*y^ 14-10*x^17*y^15-20*x^20*y^11-98*x^19*y^12+30*x^18*y^13+44*x^17*y^14+3*x^20*y^10 +44*x^19*y^11+15*x^18*y^12-74*x^17*y^13-5*x^16*y^14-8*x^19*y^10-28*x^18*y^11+52 *x^17*y^12+22*x^16*y^13+13*x^18*y^10-41*x^16*y^12+2*x^15*y^13-2*x^18*y^9-22*x^ 17*y^10+40*x^16*y^11+2*x^15*y^12+12*x^17*y^9-20*x^16*y^10-30*x^15*y^11+10*x^14* y^12-2*x^17*y^8+4*x^16*y^9+62*x^15*y^10-26*x^14*y^11-4*x^13*y^12-56*x^15*y^9+14 *x^14*y^10+34*x^13*y^11-x^12*y^12+24*x^15*y^8+14*x^14*y^9-82*x^13*y^10-10*x^12* y^11-4*x^15*y^7-16*x^14*y^8+86*x^13*y^9+62*x^12*y^10-4*x^11*y^11+4*x^14*y^7-42* x^13*y^8-102*x^12*y^9-12*x^11*y^10+8*x^13*y^7+60*x^12*y^8+66*x^11*y^9-9*x^10*y^ 10-2*x^12*y^7-82*x^11*y^8-8*x^10*y^9-9*x^12*y^6+26*x^11*y^7+82*x^10*y^8-14*x^9* y^9+2*x^12*y^5+14*x^11*y^6-108*x^10*y^7-4*x^9*y^8-8*x^11*y^5+43*x^10*y^6+88*x^9 *y^7-20*x^8*y^8+4*x^10*y^5-110*x^9*y^6+12*x^8*y^7-4*x^10*y^4+36*x^9*y^5+54*x^8* y^6-24*x^7*y^7+8*x^9*y^4-70*x^8*y^5+32*x^7*y^6-4*x^9*y^3+20*x^8*y^4+24*x^7*y^5-\ 24*x^6*y^6+4*x^8*y^3-50*x^7*y^4+32*x^6*y^5-x^8*y^2+18*x^7*y^3+12*x^6*y^4-20*x^5 *y^5-28*x^6*y^3+30*x^5*y^4+8*x^6*y^2-2*x^5*y^3-16*x^4*y^4-10*x^5*y^2+20*x^4*y^3 +2*x^5*y-3*x^4*y^2-8*x^3*y^3-4*x^4*y+10*x^3*y^2+x^4-4*x^2*y^2-2*x^3+4*x^2*y-2*x *y+2*x-1)/(x^20*y^16-6*x^20*y^15+15*x^20*y^14+2*x^19*y^15-20*x^20*y^13-10*x^19* y^14+15*x^20*y^12+20*x^19*y^13+x^18*y^14-6*x^20*y^11-20*x^19*y^12-4*x^18*y^13+x ^20*y^10+10*x^19*y^11+6*x^18*y^12-2*x^19*y^10-4*x^18*y^11+x^18*y^10-2*x^15*y^11 +8*x^15*y^10+2*x^14*y^11-12*x^15*y^9-10*x^14*y^10+8*x^15*y^8+18*x^14*y^9+2*x^13 *y^10-2*x^15*y^7-14*x^14*y^8-6*x^13*y^9+x^12*y^10+4*x^14*y^7+6*x^13*y^8-2*x^12* y^9-2*x^13*y^7-2*x^12*y^8+2*x^11*y^9+8*x^12*y^7-2*x^11*y^8-7*x^12*y^6-8*x^11*y^ 7+4*x^10*y^8+2*x^12*y^5+14*x^11*y^6-6*x^10*y^7-6*x^11*y^5+6*x^9*y^7+2*x^10*y^5-\ 16*x^9*y^6+10*x^9*y^5+9*x^8*y^6+2*x^9*y^4-12*x^8*y^5-2*x^9*y^3+4*x^7*y^5+4*x^8* y^3-6*x^7*y^4-x^8*y^2+2*x^7*y^3+4*x^6*y^4-8*x^6*y^3+4*x^6*y^2+4*x^5*y^3-2*x^5*y ^2-3*x^4*y^2+2*x^3*y^2+x^4-2*x^3+2*x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 14 13 bors of a random word of length n tends to n times, (a + a - 2 a 12 11 10 9 8 7 6 4 / - 6 a + 10 a + 2 a - 2 a - 14 a + 10 a + 2 a - 6 a + 1) / ( / 4 3 4 2 (5 a - 4 a + 1) (a + 1) ) 5 4 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6188582229 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6206465995 ------------------------------------------------ "Theorem Number 237" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y + x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 14 14 16 11 15 12 14 13 + 5 x y - 4 x y + 2 x y - 5 x y + 4 x y - 3 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 - x y + 4 x y - 6 x y + 3 x y + 3 x y - 10 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 + 13 x y - 9 x y - x y + 4 x y - x y + 3 x y 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 + 6 x y + 4 x y - 12 x y + 14 x y - 20 x y - 4 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 15 6 14 7 + 8 x y - 11 x y + 20 x y + 3 x y + x y + x y 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 - 8 x y + 2 x y - 14 x y - 3 x y + 9 x y - 12 x y 11 9 10 10 14 5 13 6 12 7 11 8 + 19 x y - 5 x y + x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 + 6 x y - 4 x y + 10 x y - 4 x y + 8 x y - 10 x y 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 + x y - 4 x y - 7 x y - 11 x y + 22 x y + 10 x y 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 - 3 x y - 9 x y - 13 x y - 3 x y + 6 x y - 5 x y + 26 x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 - 2 x y - 9 x y - 5 x y - x y + 4 x y - 11 x y + 12 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 6 5 8 2 + x y + 5 x y - 7 x y + x y - x y + 2 x y + 6 x y + x y 7 3 6 4 5 5 8 7 2 6 3 5 4 - 2 x y - 10 x y + 3 x y - x y + 2 x y + 2 x y - 3 x y 6 2 5 3 4 4 6 5 2 4 3 4 2 3 3 - x y - x y + 7 x y + 2 x y + x y - 4 x y - x y + 3 x y 3 2 3 2 2 3 2 2 / 17 15 - 3 x y - x y + 2 x y + x - x y - x + x y - x + 1) / (x y / 17 14 17 13 16 14 17 12 16 13 15 14 - 3 x y + x y - x y + 5 x y + 3 x y + x y 17 11 16 12 17 10 16 11 15 12 14 13 - 5 x y - x y - x y - 5 x y - 6 x y - x y 17 9 16 10 15 11 17 8 16 9 15 10 + 3 x y + 5 x y + 5 x y - x y + x y + 5 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 16 7 + 6 x y + x y - 3 x y - 6 x y - 5 x y + x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 - 5 x y - 6 x y - 2 x y + x y + 6 x y + 8 x y 12 10 13 8 12 9 14 6 13 7 12 8 11 9 + x y - 2 x y + 6 x y - x y - 2 x y - 5 x y - 2 x y 12 7 11 8 13 5 11 7 13 4 12 5 11 6 - x y + x y + 2 x y + 3 x y - x y + x y + x y 10 7 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 + 2 x y - 5 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - x y 8 7 9 5 8 6 9 4 7 6 9 3 8 4 6 6 + x y + 4 x y + x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 2 x y - x y 9 2 7 4 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 8 - x y - 2 x y - 2 x y - x y - 2 x y + 4 x y + x y + x y 7 2 5 4 6 2 5 3 4 4 6 5 2 4 3 + 2 x y + x y + x y + x y - x y - 2 x y - x y - 2 x y 4 2 3 3 4 3 2 3 3 2 2 - x y + x y + 2 x y + x y - x y - x - x y + x + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^16*y^15-3*x^16*y^14+x^16*y^13+x^15*y^14+5*x^16*y^12-4*x^15*y^13+2*x^14*y^14 -5*x^16*y^11+4*x^15*y^12-3*x^14*y^13-x^16*y^10+4*x^15*y^11-6*x^14*y^12+3*x^13*y ^13+3*x^16*y^9-10*x^15*y^10+13*x^14*y^11-9*x^13*y^12-x^16*y^8+4*x^15*y^9-x^14*y ^10+3*x^13*y^11+6*x^12*y^12+4*x^15*y^8-12*x^14*y^9+14*x^13*y^10-20*x^12*y^11-4* x^15*y^7+8*x^14*y^8-11*x^13*y^9+20*x^12*y^10+3*x^11*y^11+x^15*y^6+x^14*y^7-8*x^ 13*y^8+2*x^12*y^9-14*x^11*y^10-3*x^14*y^6+9*x^13*y^7-12*x^12*y^8+19*x^11*y^9-5* x^10*y^10+x^14*y^5+2*x^13*y^6-2*x^12*y^7-4*x^11*y^8+6*x^10*y^9-4*x^13*y^5+10*x^ 12*y^6-4*x^11*y^7+8*x^10*y^8-10*x^9*y^9+x^13*y^4-4*x^12*y^5-7*x^11*y^6-11*x^10* y^7+22*x^9*y^8+10*x^11*y^5-3*x^10*y^6-9*x^9*y^7-13*x^8*y^8-3*x^11*y^4+6*x^10*y^ 5-5*x^9*y^6+26*x^8*y^7-2*x^9*y^5-9*x^8*y^6-5*x^7*y^7-x^10*y^3+4*x^9*y^4-11*x^8* y^5+12*x^7*y^6+x^9*y^3+5*x^8*y^4-7*x^7*y^5+x^6*y^6-x^9*y^2+2*x^8*y^3+6*x^6*y^5+ x^8*y^2-2*x^7*y^3-10*x^6*y^4+3*x^5*y^5-x^8*y+2*x^7*y^2+2*x^6*y^3-3*x^5*y^4-x^6* y^2-x^5*y^3+7*x^4*y^4+2*x^6*y+x^5*y^2-4*x^4*y^3-x^4*y^2+3*x^3*y^3-3*x^3*y^2-x^3 *y+2*x^2*y^2+x^3-x^2*y-x^2+x*y-x+1)/(x^17*y^15-3*x^17*y^14+x^17*y^13-x^16*y^14+ 5*x^17*y^12+3*x^16*y^13+x^15*y^14-5*x^17*y^11-x^16*y^12-x^17*y^10-5*x^16*y^11-6 *x^15*y^12-x^14*y^13+3*x^17*y^9+5*x^16*y^10+5*x^15*y^11-x^17*y^8+x^16*y^9+5*x^ 15*y^10+6*x^14*y^11+x^13*y^12-3*x^16*y^8-6*x^15*y^9-5*x^14*y^10+x^16*y^7-5*x^14 *y^9-6*x^13*y^10-2*x^12*y^11+x^15*y^7+6*x^14*y^8+8*x^13*y^9+x^12*y^10-2*x^13*y^ 8+6*x^12*y^9-x^14*y^6-2*x^13*y^7-5*x^12*y^8-2*x^11*y^9-x^12*y^7+x^11*y^8+2*x^13 *y^5+3*x^11*y^7-x^13*y^4+x^12*y^5+x^11*y^6+2*x^10*y^7-5*x^11*y^5-4*x^10*y^6-2*x ^9*y^7+2*x^11*y^4+2*x^10*y^5-x^9*y^6+x^8*y^7+4*x^9*y^5+x^8*y^6-2*x^9*y^4+2*x^7* y^6+2*x^9*y^3-2*x^8*y^4-x^6*y^6-x^9*y^2-2*x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^8*y^2-2*x^7*y^3+4 *x^6*y^4+x^5*y^5+x^8*y+2*x^7*y^2+x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3-x^4*y^4-2*x^6*y-x^5*y^ 2-2*x^4*y^3-x^4*y^2+x^3*y^3+2*x^4*y+x^3*y^2-x^3*y-x^3-x^2*y+x^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 6 4 2 a + 2 a - 6 a + 1 ---------------------------- 4 3 4 (5 a - 4 a + 1) (2 a + 1) 5 4 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6123140416 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6141150639 ------------------------------------------------ "Theorem Number 238" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [1, 2, 2, 2, 1]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 16 15 16 14 16 13 15 14 ) | ) C(m, n) x y | = - (x y - 3 x y + x y + x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 16 12 15 13 14 14 16 11 15 12 14 13 + 5 x y - 4 x y + 2 x y - 5 x y + 4 x y - 3 x y 16 10 15 11 14 12 13 13 16 9 15 10 - x y + 4 x y - 6 x y + 3 x y + 3 x y - 10 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 13 11 + 13 x y - 9 x y - x y + 4 x y - x y + 3 x y 12 12 15 8 14 9 13 10 12 11 15 7 + 6 x y + 4 x y - 12 x y + 14 x y - 20 x y - 4 x y 14 8 13 9 12 10 11 11 15 6 14 7 + 8 x y - 11 x y + 20 x y + 3 x y + x y + x y 13 8 12 9 11 10 14 6 13 7 12 8 - 8 x y + 2 x y - 14 x y - 3 x y + 9 x y - 12 x y 11 9 10 10 14 5 13 6 12 7 11 8 + 19 x y - 5 x y + x y + 2 x y - 2 x y - 4 x y 10 9 13 5 12 6 11 7 10 8 9 9 + 6 x y - 4 x y + 10 x y - 4 x y + 8 x y - 10 x y 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8 11 5 + x y - 4 x y - 7 x y - 11 x y + 22 x y + 10 x y 10 6 9 7 8 8 11 4 10 5 9 6 8 7 - 3 x y - 9 x y - 13 x y - 3 x y + 6 x y - 5 x y + 26 x y 9 5 8 6 7 7 10 3 9 4 8 5 7 6 - 2 x y - 9 x y - 5 x y - x y + 4 x y - 11 x y + 12 x y 9 3 8 4 7 5 6 6 9 2 8 3 6 5 8 2 + x y + 5 x y - 7 x y + x y - x y + 2 x y + 6 x y + x y 7 3 6 4 5 5 8 7 2 6 3 5 4 - 2 x y - 10 x y + 3 x y - x y + 2 x y + 2 x y - 3 x y 6 2 5 3 4 4 6 5 2 4 3 4 2 3 3 - x y - x y + 7 x y + 2 x y + x y - 4 x y - x y + 3 x y 3 2 3 2 2 3 2 2 / 17 15 - 3 x y - x y + 2 x y + x - x y - x + x y - x + 1) / (x y / 17 14 17 13 16 14 17 12 16 13 15 14 - 3 x y + x y - x y + 5 x y + 3 x y + x y 17 11 16 12 17 10 16 11 15 12 14 13 - 5 x y - x y - x y - 5 x y - 6 x y - x y 17 9 16 10 15 11 17 8 16 9 15 10 + 3 x y + 5 x y + 5 x y - x y + x y + 5 x y 14 11 13 12 16 8 15 9 14 10 16 7 + 6 x y + x y - 3 x y - 6 x y - 5 x y + x y 14 9 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 - 5 x y - 6 x y - 2 x y + x y + 6 x y + 8 x y 12 10 13 8 12 9 14 6 13 7 12 8 11 9 + x y - 2 x y + 6 x y - x y - 2 x y - 5 x y - 2 x y 12 7 11 8 13 5 11 7 13 4 12 5 11 6 - x y + x y + 2 x y + 3 x y - x y + x y + x y 10 7 11 5 10 6 9 7 11 4 10 5 9 6 + 2 x y - 5 x y - 4 x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - x y 8 7 9 5 8 6 9 4 7 6 9 3 8 4 6 6 + x y + 4 x y + x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 2 x y - x y 9 2 7 4 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 8 - x y - 2 x y - 2 x y - x y - 2 x y + 4 x y + x y + x y 7 2 5 4 6 2 5 3 4 4 6 5 2 4 3 + 2 x y + x y + x y + x y - x y - 2 x y - x y - 2 x y 4 2 3 3 4 3 2 3 3 2 2 - x y + x y + 2 x y + x y - x y - x - x y + x + x y + x - 1) and in Maple notation -(x^16*y^15-3*x^16*y^14+x^16*y^13+x^15*y^14+5*x^16*y^12-4*x^15*y^13+2*x^14*y^14 -5*x^16*y^11+4*x^15*y^12-3*x^14*y^13-x^16*y^10+4*x^15*y^11-6*x^14*y^12+3*x^13*y ^13+3*x^16*y^9-10*x^15*y^10+13*x^14*y^11-9*x^13*y^12-x^16*y^8+4*x^15*y^9-x^14*y ^10+3*x^13*y^11+6*x^12*y^12+4*x^15*y^8-12*x^14*y^9+14*x^13*y^10-20*x^12*y^11-4* x^15*y^7+8*x^14*y^8-11*x^13*y^9+20*x^12*y^10+3*x^11*y^11+x^15*y^6+x^14*y^7-8*x^ 13*y^8+2*x^12*y^9-14*x^11*y^10-3*x^14*y^6+9*x^13*y^7-12*x^12*y^8+19*x^11*y^9-5* x^10*y^10+x^14*y^5+2*x^13*y^6-2*x^12*y^7-4*x^11*y^8+6*x^10*y^9-4*x^13*y^5+10*x^ 12*y^6-4*x^11*y^7+8*x^10*y^8-10*x^9*y^9+x^13*y^4-4*x^12*y^5-7*x^11*y^6-11*x^10* y^7+22*x^9*y^8+10*x^11*y^5-3*x^10*y^6-9*x^9*y^7-13*x^8*y^8-3*x^11*y^4+6*x^10*y^ 5-5*x^9*y^6+26*x^8*y^7-2*x^9*y^5-9*x^8*y^6-5*x^7*y^7-x^10*y^3+4*x^9*y^4-11*x^8* y^5+12*x^7*y^6+x^9*y^3+5*x^8*y^4-7*x^7*y^5+x^6*y^6-x^9*y^2+2*x^8*y^3+6*x^6*y^5+ x^8*y^2-2*x^7*y^3-10*x^6*y^4+3*x^5*y^5-x^8*y+2*x^7*y^2+2*x^6*y^3-3*x^5*y^4-x^6* y^2-x^5*y^3+7*x^4*y^4+2*x^6*y+x^5*y^2-4*x^4*y^3-x^4*y^2+3*x^3*y^3-3*x^3*y^2-x^3 *y+2*x^2*y^2+x^3-x^2*y-x^2+x*y-x+1)/(x^17*y^15-3*x^17*y^14+x^17*y^13-x^16*y^14+ 5*x^17*y^12+3*x^16*y^13+x^15*y^14-5*x^17*y^11-x^16*y^12-x^17*y^10-5*x^16*y^11-6 *x^15*y^12-x^14*y^13+3*x^17*y^9+5*x^16*y^10+5*x^15*y^11-x^17*y^8+x^16*y^9+5*x^ 15*y^10+6*x^14*y^11+x^13*y^12-3*x^16*y^8-6*x^15*y^9-5*x^14*y^10+x^16*y^7-5*x^14 *y^9-6*x^13*y^10-2*x^12*y^11+x^15*y^7+6*x^14*y^8+8*x^13*y^9+x^12*y^10-2*x^13*y^ 8+6*x^12*y^9-x^14*y^6-2*x^13*y^7-5*x^12*y^8-2*x^11*y^9-x^12*y^7+x^11*y^8+2*x^13 *y^5+3*x^11*y^7-x^13*y^4+x^12*y^5+x^11*y^6+2*x^10*y^7-5*x^11*y^5-4*x^10*y^6-2*x ^9*y^7+2*x^11*y^4+2*x^10*y^5-x^9*y^6+x^8*y^7+4*x^9*y^5+x^8*y^6-2*x^9*y^4+2*x^7* y^6+2*x^9*y^3-2*x^8*y^4-x^6*y^6-x^9*y^2-2*x^7*y^4-2*x^6*y^5-x^8*y^2-2*x^7*y^3+4 *x^6*y^4+x^5*y^5+x^8*y+2*x^7*y^2+x^5*y^4+x^6*y^2+x^5*y^3-x^4*y^4-2*x^6*y-x^5*y^ 2-2*x^4*y^3-x^4*y^2+x^3*y^3+2*x^4*y+x^3*y^2-x^3*y-x^3-x^2*y+x^2+x*y+x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, 7 6 4 2 a + 2 a - 6 a + 1 ---------------------------- 4 3 4 (5 a - 4 a + 1) (2 a + 1) 5 4 where a is the root of the polynomial, 2 x - 2 x + 2 x - 1, and in decimals this is, 0.6123140416 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6141150639 ------------------------------------------------ "Theorem Number 239" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 2, 1, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 19 23 18 23 17 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 14 x y + 42 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 18 23 16 22 17 23 15 22 16 + 5 x y - 70 x y - 32 x y + 70 x y + 87 x y 21 17 23 14 22 15 21 16 20 17 + 5 x y - 42 x y - 130 x y - 27 x y - 2 x y 23 13 22 14 21 15 20 16 23 12 + 14 x y + 115 x y + 58 x y + 13 x y - 2 x y 22 13 21 14 20 15 19 16 22 12 - 60 x y - 60 x y - 28 x y - 5 x y + 17 x y 21 13 20 14 19 15 22 11 21 12 + 25 x y + 12 x y + 24 x y - 2 x y + 5 x y 20 13 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 + 45 x y - 36 x y - 8 x y - 8 x y - 83 x y - 4 x y 18 14 17 15 21 10 20 11 19 12 + 38 x y - 2 x y + 2 x y + 62 x y + 72 x y 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 18 12 - 63 x y - x y - 2 x y - 22 x y - 88 x y + 31 x y 17 13 16 14 20 9 19 10 18 11 17 12 + 35 x y - x y + 3 x y + 48 x y + 27 x y - 84 x y 16 13 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 + 16 x y - 7 x y - 12 x y - 39 x y + 81 x y - 2 x y 15 13 19 8 18 9 17 10 16 11 15 12 + 3 x y + x y + 16 x y - 32 x y - 53 x y + 46 x y 14 13 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 - 14 x y - 2 x y + 2 x y + 69 x y - 74 x y + 11 x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 + x y - 31 x y + 24 x y + 70 x y - 19 x y + 4 x y 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 18 x y - 133 x y + 8 x y - 12 x y + 77 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 101 x y - 14 x y + 3 x y - 3 x y - 168 x y - 17 x y 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 + 2 x y - x y - 12 x y + 93 x y + 131 x y - 4 x y 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 + 5 x y - 10 x y - 171 x y - 50 x y + 7 x y - x y 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 - 7 x y + 84 x y + 135 x y + 4 x y + 2 x y - 12 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 - 121 x y - 67 x y + 11 x y - x y + 41 x y + 103 x y 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 + x y - 3 x y - 55 x y - 53 x y + 17 x y + 6 x y + 57 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 - 15 x y + 2 x y - 9 x y - 18 x y + 21 x y - 9 x y + 17 x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 - 32 x y + 2 x y + 7 x y + 6 x y + 22 x y - 8 x y + 3 x y 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 - 37 x y + x y + 7 x y + 15 x y + 20 x y - 4 x y - 4 x y 5 4 6 2 5 3 4 4 6 5 2 4 3 - 34 x y + 5 x y + 17 x y + 16 x y - x y - 5 x y - 22 x y 5 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 + 2 x y + 10 x y + 8 x y - 2 x y - 11 x y + 4 x y + 4 x y 2 2 / 18 13 18 12 17 13 - 5 x y + x + 2 x y - 2 x + 1) / (x y - 4 x y + 2 x y / 18 11 17 12 18 10 17 11 16 12 18 9 + 6 x y - 6 x y - 4 x y + 5 x y + 4 x y + x y 17 10 16 11 17 9 16 10 15 11 17 8 + x y - 11 x y - 3 x y + 8 x y + 2 x y + x y 16 9 15 10 14 11 16 8 15 9 14 10 + 2 x y - 2 x y - x y - 4 x y - 5 x y + 2 x y 16 7 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 + x y + 8 x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y - 5 x y 13 9 13 8 12 9 14 6 13 7 12 8 11 9 + 3 x y - x y - 2 x y + 3 x y + 3 x y + x y + 2 x y 14 5 13 6 12 7 11 8 13 5 12 6 11 7 - x y - 5 x y + 3 x y - 5 x y + 2 x y - x y - 2 x y 10 8 12 5 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 + 4 x y - x y + 9 x y - 3 x y - 4 x y - 10 x y + 2 x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 9 4 + 11 x y + 5 x y - 2 x y - 2 x y - 13 x y + 2 x y + 6 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 8 2 7 3 + 8 x y - 3 x y - 9 x y - x y + 10 x y - x y + x y - 3 x y 6 4 7 2 6 3 6 2 5 3 6 5 2 5 - 5 x y - 2 x y + 6 x y + x y - 3 x y - x y - x y + 2 x y 4 2 4 3 2 3 2 2 + 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y + x - 2 x + 1) and in Maple notation (2*x^23*y^19-14*x^23*y^18+42*x^23*y^17+5*x^22*y^18-70*x^23*y^16-32*x^22*y^17+70 *x^23*y^15+87*x^22*y^16+5*x^21*y^17-42*x^23*y^14-130*x^22*y^15-27*x^21*y^16-2*x ^20*y^17+14*x^23*y^13+115*x^22*y^14+58*x^21*y^15+13*x^20*y^16-2*x^23*y^12-60*x^ 22*y^13-60*x^21*y^14-28*x^20*y^15-5*x^19*y^16+17*x^22*y^12+25*x^21*y^13+12*x^20 *y^14+24*x^19*y^15-2*x^22*y^11+5*x^21*y^12+45*x^20*y^13-36*x^19*y^14-8*x^18*y^ 15-8*x^21*y^11-83*x^20*y^12-4*x^19*y^13+38*x^18*y^14-2*x^17*y^15+2*x^21*y^10+62 *x^20*y^11+72*x^19*y^12-63*x^18*y^13-x^17*y^14-2*x^16*y^15-22*x^20*y^10-88*x^19 *y^11+31*x^18*y^12+35*x^17*y^13-x^16*y^14+3*x^20*y^9+48*x^19*y^10+27*x^18*y^11-\ 84*x^17*y^12+16*x^16*y^13-7*x^15*y^14-12*x^19*y^9-39*x^18*y^10+81*x^17*y^11-2*x ^16*y^12+3*x^15*y^13+x^19*y^8+16*x^18*y^9-32*x^17*y^10-53*x^16*y^11+46*x^15*y^ 12-14*x^14*y^13-2*x^18*y^8+2*x^17*y^9+69*x^16*y^10-74*x^15*y^11+11*x^14*y^12+x^ 17*y^8-31*x^16*y^9+24*x^15*y^10+70*x^14*y^11-19*x^13*y^12+4*x^16*y^8+18*x^15*y^ 9-133*x^14*y^10+8*x^13*y^11-12*x^15*y^8+77*x^14*y^9+101*x^13*y^10-14*x^12*y^11+ 3*x^15*y^7-3*x^14*y^8-168*x^13*y^9-17*x^12*y^10+2*x^11*y^11-x^15*y^6-12*x^14*y^ 7+93*x^13*y^8+131*x^12*y^9-4*x^11*y^10+5*x^14*y^6-10*x^13*y^7-171*x^12*y^8-50*x ^11*y^9+7*x^10*y^10-x^14*y^5-7*x^13*y^6+84*x^12*y^7+135*x^11*y^8+4*x^10*y^9+2*x ^13*y^5-12*x^12*y^6-121*x^11*y^7-67*x^10*y^8+11*x^9*y^9-x^12*y^5+41*x^11*y^6+ 103*x^10*y^7+x^9*y^8-3*x^11*y^5-55*x^10*y^6-53*x^9*y^7+17*x^8*y^8+6*x^10*y^5+57 *x^9*y^6-15*x^8*y^7+2*x^10*y^4-9*x^9*y^5-18*x^8*y^6+21*x^7*y^7-9*x^9*y^4+17*x^8 *y^5-32*x^7*y^6+2*x^9*y^3+7*x^8*y^4+6*x^7*y^5+22*x^6*y^6-8*x^8*y^3+3*x^7*y^4-37 *x^6*y^5+x^8*y^2+7*x^7*y^3+15*x^6*y^4+20*x^5*y^5-4*x^7*y^2-4*x^6*y^3-34*x^5*y^4 +5*x^6*y^2+17*x^5*y^3+16*x^4*y^4-x^6*y-5*x^5*y^2-22*x^4*y^3+2*x^5*y+10*x^4*y^2+ 8*x^3*y^3-2*x^4*y-11*x^3*y^2+4*x^3*y+4*x^2*y^2-5*x^2*y+x^2+2*x*y-2*x+1)/(x^18*y ^13-4*x^18*y^12+2*x^17*y^13+6*x^18*y^11-6*x^17*y^12-4*x^18*y^10+5*x^17*y^11+4*x ^16*y^12+x^18*y^9+x^17*y^10-11*x^16*y^11-3*x^17*y^9+8*x^16*y^10+2*x^15*y^11+x^ 17*y^8+2*x^16*y^9-2*x^15*y^10-x^14*y^11-4*x^16*y^8-5*x^15*y^9+2*x^14*y^10+x^16* y^7+8*x^15*y^8+2*x^14*y^9-2*x^13*y^10-3*x^15*y^7-5*x^14*y^8+3*x^13*y^9-x^13*y^8 -2*x^12*y^9+3*x^14*y^6+3*x^13*y^7+x^12*y^8+2*x^11*y^9-x^14*y^5-5*x^13*y^6+3*x^ 12*y^7-5*x^11*y^8+2*x^13*y^5-x^12*y^6-2*x^11*y^7+4*x^10*y^8-x^12*y^5+9*x^11*y^6 -3*x^10*y^7-4*x^11*y^5-10*x^10*y^6+2*x^9*y^7+11*x^10*y^5+5*x^9*y^6-2*x^8*y^7-2* x^10*y^4-13*x^9*y^5+2*x^8*y^6+6*x^9*y^4+8*x^8*y^5-3*x^7*y^6-9*x^8*y^4-x^7*y^5+ 10*x^7*y^4-x^6*y^5+x^8*y^2-3*x^7*y^3-5*x^6*y^4-2*x^7*y^2+6*x^6*y^3+x^6*y^2-3*x^ 5*y^3-x^6*y-x^5*y^2+2*x^5*y+2*x^4*y^2-2*x^4*y-x^3*y^2+2*x^3*y-x^2*y+x^2-2*x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 15 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (a + 2 a 14 13 12 11 10 9 8 7 6 + 5 a + 4 a - 5 a - 4 a + 4 a + 3 a - 14 a - 4 a + 3 a 4 3 / 6 4 2 - 6 a + 2 a + 1) / ((7 a - 10 a + 3 a - 2) / 8 7 4 3 (a + a + 2 a + a + 1)) 7 5 3 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6108957520 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6128634844 ------------------------------------------------ "Theorem Number 240" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 23 19 23 18 23 17 ) | ) C(m, n) x y | = (2 x y - 14 x y + 42 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 22 18 23 16 22 17 23 15 22 16 + 5 x y - 70 x y - 32 x y + 70 x y + 87 x y 21 17 23 14 22 15 21 16 20 17 + 5 x y - 42 x y - 130 x y - 27 x y - 2 x y 23 13 22 14 21 15 20 16 23 12 + 14 x y + 115 x y + 58 x y + 13 x y - 2 x y 22 13 21 14 20 15 19 16 22 12 - 60 x y - 60 x y - 28 x y - 5 x y + 17 x y 21 13 20 14 19 15 22 11 21 12 + 25 x y + 12 x y + 24 x y - 2 x y + 5 x y 20 13 19 14 18 15 21 11 20 12 19 13 + 45 x y - 36 x y - 8 x y - 8 x y - 83 x y - 4 x y 18 14 17 15 21 10 20 11 19 12 + 38 x y - 2 x y + 2 x y + 62 x y + 72 x y 18 13 17 14 16 15 20 10 19 11 18 12 - 63 x y - x y - 2 x y - 22 x y - 88 x y + 31 x y 17 13 16 14 20 9 19 10 18 11 17 12 + 35 x y - x y + 3 x y + 48 x y + 27 x y - 84 x y 16 13 15 14 19 9 18 10 17 11 16 12 + 16 x y - 7 x y - 12 x y - 39 x y + 81 x y - 2 x y 15 13 19 8 18 9 17 10 16 11 15 12 + 3 x y + x y + 16 x y - 32 x y - 53 x y + 46 x y 14 13 18 8 17 9 16 10 15 11 14 12 - 14 x y - 2 x y + 2 x y + 69 x y - 74 x y + 11 x y 17 8 16 9 15 10 14 11 13 12 16 8 + x y - 31 x y + 24 x y + 70 x y - 19 x y + 4 x y 15 9 14 10 13 11 15 8 14 9 + 18 x y - 133 x y + 8 x y - 12 x y + 77 x y 13 10 12 11 15 7 14 8 13 9 12 10 + 101 x y - 14 x y + 3 x y - 3 x y - 168 x y - 17 x y 11 11 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10 + 2 x y - x y - 12 x y + 93 x y + 131 x y - 4 x y 14 6 13 7 12 8 11 9 10 10 14 5 + 5 x y - 10 x y - 171 x y - 50 x y + 7 x y - x y 13 6 12 7 11 8 10 9 13 5 12 6 - 7 x y + 84 x y + 135 x y + 4 x y + 2 x y - 12 x y 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 10 7 - 121 x y - 67 x y + 11 x y - x y + 41 x y + 103 x y 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 10 5 9 6 + x y - 3 x y - 55 x y - 53 x y + 17 x y + 6 x y + 57 x y 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 9 4 8 5 - 15 x y + 2 x y - 9 x y - 18 x y + 21 x y - 9 x y + 17 x y 7 6 9 3 8 4 7 5 6 6 8 3 7 4 - 32 x y + 2 x y + 7 x y + 6 x y + 22 x y - 8 x y + 3 x y 6 5 8 2 7 3 6 4 5 5 7 2 6 3 - 37 x y + x y + 7 x y + 15 x y + 20 x y - 4 x y - 4 x y 5 4 6 2 5 3 4 4 6 5 2 4 3 - 34 x y + 5 x y + 17 x y + 16 x y - x y - 5 x y - 22 x y 5 4 2 3 3 4 3 2 3 2 2 + 2 x y + 10 x y + 8 x y - 2 x y - 11 x y + 4 x y + 4 x y 2 2 / 18 13 18 12 17 13 - 5 x y + x + 2 x y - 2 x + 1) / (x y - 4 x y + 2 x y / 18 11 17 12 18 10 17 11 16 12 18 9 + 6 x y - 6 x y - 4 x y + 5 x y + 4 x y + x y 17 10 16 11 17 9 16 10 15 11 17 8 + x y - 11 x y - 3 x y + 8 x y + 2 x y + x y 16 9 15 10 14 11 16 8 15 9 14 10 + 2 x y - 2 x y - x y - 4 x y - 5 x y + 2 x y 16 7 15 8 14 9 13 10 15 7 14 8 + x y + 8 x y + 2 x y - 2 x y - 3 x y - 5 x y 13 9 13 8 12 9 14 6 13 7 12 8 11 9 + 3 x y - x y - 2 x y + 3 x y + 3 x y + x y + 2 x y 14 5 13 6 12 7 11 8 13 5 12 6 11 7 - x y - 5 x y + 3 x y - 5 x y + 2 x y - x y - 2 x y 10 8 12 5 11 6 10 7 11 5 10 6 9 7 + 4 x y - x y + 9 x y - 3 x y - 4 x y - 10 x y + 2 x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 9 4 + 11 x y + 5 x y - 2 x y - 2 x y - 13 x y + 2 x y + 6 x y 8 5 7 6 8 4 7 5 7 4 6 5 8 2 7 3 + 8 x y - 3 x y - 9 x y - x y + 10 x y - x y + x y - 3 x y 6 4 7 2 6 3 6 2 5 3 6 5 2 5 - 5 x y - 2 x y + 6 x y + x y - 3 x y - x y - x y + 2 x y 4 2 4 3 2 3 2 2 + 2 x y - 2 x y - x y + 2 x y - x y + x - 2 x + 1) and in Maple notation (2*x^23*y^19-14*x^23*y^18+42*x^23*y^17+5*x^22*y^18-70*x^23*y^16-32*x^22*y^17+70 *x^23*y^15+87*x^22*y^16+5*x^21*y^17-42*x^23*y^14-130*x^22*y^15-27*x^21*y^16-2*x ^20*y^17+14*x^23*y^13+115*x^22*y^14+58*x^21*y^15+13*x^20*y^16-2*x^23*y^12-60*x^ 22*y^13-60*x^21*y^14-28*x^20*y^15-5*x^19*y^16+17*x^22*y^12+25*x^21*y^13+12*x^20 *y^14+24*x^19*y^15-2*x^22*y^11+5*x^21*y^12+45*x^20*y^13-36*x^19*y^14-8*x^18*y^ 15-8*x^21*y^11-83*x^20*y^12-4*x^19*y^13+38*x^18*y^14-2*x^17*y^15+2*x^21*y^10+62 *x^20*y^11+72*x^19*y^12-63*x^18*y^13-x^17*y^14-2*x^16*y^15-22*x^20*y^10-88*x^19 *y^11+31*x^18*y^12+35*x^17*y^13-x^16*y^14+3*x^20*y^9+48*x^19*y^10+27*x^18*y^11-\ 84*x^17*y^12+16*x^16*y^13-7*x^15*y^14-12*x^19*y^9-39*x^18*y^10+81*x^17*y^11-2*x ^16*y^12+3*x^15*y^13+x^19*y^8+16*x^18*y^9-32*x^17*y^10-53*x^16*y^11+46*x^15*y^ 12-14*x^14*y^13-2*x^18*y^8+2*x^17*y^9+69*x^16*y^10-74*x^15*y^11+11*x^14*y^12+x^ 17*y^8-31*x^16*y^9+24*x^15*y^10+70*x^14*y^11-19*x^13*y^12+4*x^16*y^8+18*x^15*y^ 9-133*x^14*y^10+8*x^13*y^11-12*x^15*y^8+77*x^14*y^9+101*x^13*y^10-14*x^12*y^11+ 3*x^15*y^7-3*x^14*y^8-168*x^13*y^9-17*x^12*y^10+2*x^11*y^11-x^15*y^6-12*x^14*y^ 7+93*x^13*y^8+131*x^12*y^9-4*x^11*y^10+5*x^14*y^6-10*x^13*y^7-171*x^12*y^8-50*x ^11*y^9+7*x^10*y^10-x^14*y^5-7*x^13*y^6+84*x^12*y^7+135*x^11*y^8+4*x^10*y^9+2*x ^13*y^5-12*x^12*y^6-121*x^11*y^7-67*x^10*y^8+11*x^9*y^9-x^12*y^5+41*x^11*y^6+ 103*x^10*y^7+x^9*y^8-3*x^11*y^5-55*x^10*y^6-53*x^9*y^7+17*x^8*y^8+6*x^10*y^5+57 *x^9*y^6-15*x^8*y^7+2*x^10*y^4-9*x^9*y^5-18*x^8*y^6+21*x^7*y^7-9*x^9*y^4+17*x^8 *y^5-32*x^7*y^6+2*x^9*y^3+7*x^8*y^4+6*x^7*y^5+22*x^6*y^6-8*x^8*y^3+3*x^7*y^4-37 *x^6*y^5+x^8*y^2+7*x^7*y^3+15*x^6*y^4+20*x^5*y^5-4*x^7*y^2-4*x^6*y^3-34*x^5*y^4 +5*x^6*y^2+17*x^5*y^3+16*x^4*y^4-x^6*y-5*x^5*y^2-22*x^4*y^3+2*x^5*y+10*x^4*y^2+ 8*x^3*y^3-2*x^4*y-11*x^3*y^2+4*x^3*y+4*x^2*y^2-5*x^2*y+x^2+2*x*y-2*x+1)/(x^18*y ^13-4*x^18*y^12+2*x^17*y^13+6*x^18*y^11-6*x^17*y^12-4*x^18*y^10+5*x^17*y^11+4*x ^16*y^12+x^18*y^9+x^17*y^10-11*x^16*y^11-3*x^17*y^9+8*x^16*y^10+2*x^15*y^11+x^ 17*y^8+2*x^16*y^9-2*x^15*y^10-x^14*y^11-4*x^16*y^8-5*x^15*y^9+2*x^14*y^10+x^16* y^7+8*x^15*y^8+2*x^14*y^9-2*x^13*y^10-3*x^15*y^7-5*x^14*y^8+3*x^13*y^9-x^13*y^8 -2*x^12*y^9+3*x^14*y^6+3*x^13*y^7+x^12*y^8+2*x^11*y^9-x^14*y^5-5*x^13*y^6+3*x^ 12*y^7-5*x^11*y^8+2*x^13*y^5-x^12*y^6-2*x^11*y^7+4*x^10*y^8-x^12*y^5+9*x^11*y^6 -3*x^10*y^7-4*x^11*y^5-10*x^10*y^6+2*x^9*y^7+11*x^10*y^5+5*x^9*y^6-2*x^8*y^7-2* x^10*y^4-13*x^9*y^5+2*x^8*y^6+6*x^9*y^4+8*x^8*y^5-3*x^7*y^6-9*x^8*y^4-x^7*y^5+ 10*x^7*y^4-x^6*y^5+x^8*y^2-3*x^7*y^3-5*x^6*y^4-2*x^7*y^2+6*x^6*y^3+x^6*y^2-3*x^ 5*y^3-x^6*y-x^5*y^2+2*x^5*y+2*x^4*y^2-2*x^4*y-x^3*y^2+2*x^3*y-x^2*y+x^2-2*x+1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ 16 15 bors of a random word of length n tends to n times, - 2 (a + 2 a 14 13 12 11 10 9 8 7 6 + 5 a + 4 a - 5 a - 4 a + 4 a + 3 a - 14 a - 4 a + 3 a 4 3 / 6 4 2 - 6 a + 2 a + 1) / ((7 a - 10 a + 3 a - 2) / 8 7 4 3 (a + a + 2 a + a + 1)) 7 5 3 where a is the root of the polynomial, x - 2 x + x - 2 x + 1, and in decimals this is, 0.6108957520 BTW the ratio for words with, 500, letters is, 0.6128634844 ------------------------------------------------ "Theorem Number 241" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 1, 1, 2, 1], [2, 2, 2, 1, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 11 11 12 9 11 10 ) | ) C(m, n) x y | = (-2 x y + x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 - 4 x y - 20 x y - 8 x y + 6 x y + 22 x y + 32 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 - 4 x y - 16 x y - 48 x y - 14 x y + x y + 8 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 + 34 x y + 48 x y - 2 x y - 13 x y - 60 x y - 20 x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 + 4 x y + 34 x y + 64 x y - x y - 10 x y - 73 x y - 26 x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 + 2 x y + 36 x y + 70 x y - 8 x y - 64 x y - 24 x y + x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 + 22 x y + 56 x y - 2 x y - 41 x y - 20 x y + 9 x y + 42 x y 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 4 - 26 x y - 16 x y + 4 x y + 26 x y - 12 x y - 8 x y + x y 3 2 3 2 2 2 2 / 12 9 + 12 x y - 4 x y - 4 x y + 5 x y - x - 2 x y + 2 x - 1) / (x y / 12 8 12 7 11 8 12 6 11 7 12 5 11 6 - 4 x y + 6 x y + 2 x y - 4 x y - 6 x y + x y + 6 x y 10 7 11 5 10 6 10 5 9 6 10 4 9 5 + 2 x y - 2 x y - 5 x y + 4 x y + 2 x y - x y - 4 x y 8 6 9 4 8 5 8 4 7 5 8 3 7 4 - x y + 2 x y + 4 x y - 4 x y - 2 x y + x y + 4 x y 7 3 6 4 6 3 5 3 5 2 4 3 4 2 4 - 2 x y - x y + x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y + x y 3 2 3 2 2 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 2 x - 1) and in Maple notation (-2*x^11*y^11+x^12*y^9+10*x^11*y^10-4*x^12*y^8-20*x^11*y^9-8*x^10*y^10+6*x^12*y ^7+22*x^11*y^8+32*x^10*y^9-4*x^12*y^6-16*x^11*y^7-48*x^10*y^8-14*x^9*y^9+x^12*y ^5+8*x^11*y^6+34*x^10*y^7+48*x^9*y^8-2*x^11*y^5-13*x^10*y^6-60*x^9*y^7-20*x^8*y ^8+4*x^10*y^5+34*x^9*y^6+64*x^8*y^7-x^10*y^4-10*x^9*y^5-73*x^8*y^6-26*x^7*y^7+2 *x^9*y^4+36*x^8*y^5+70*x^7*y^6-8*x^8*y^4-64*x^7*y^5-24*x^6*y^6+x^8*y^3+22*x^7*y ^4+56*x^6*y^5-2*x^7*y^3-41*x^6*y^4-20*x^5*y^5+9*x^6*y^3+42*x^5*y^4-26*x^5*y^3-\ 16*x^4*y^4+4*x^5*y^2+26*x^4*y^3-12*x^4*y^2-8*x^3*y^3+x^4*y+12*x^3*y^2-4*x^3*y-4 *x^2*y^2+5*x^2*y-x^2-2*x*y+2*x-1)/(x^12*y^9-4*x^12*y^8+6*x^12*y^7+2*x^11*y^8-4* x^12*y^6-6*x^11*y^7+x^12*y^5+6*x^11*y^6+2*x^10*y^7-2*x^11*y^5-5*x^10*y^6+4*x^10 *y^5+2*x^9*y^6-x^10*y^4-4*x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^9*y^4+4*x^8*y^5-4*x^8*y^4-2*x^7*y ^5+x^8*y^3+4*x^7*y^4-2*x^7*y^3-x^6*y^4+x^6*y^3-2*x^5*y^3+2*x^5*y^2+2*x^4*y^3-4* x^4*y^2+x^4*y+2*x^3*y^2-2*x^3*y+x^2*y-x^2+2*x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.5671527169 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ------------------------------------------------ "Theorem Number 242" Let C(m,n) be the number of words of length n in the alphabet, {1, 2}, avoiding consecutive substrings in the set, {[1, 2, 1, 1, 1], [2, 1, 2, 2, 2]}, and having m neighbors (i.e. Hamming \ distance 1) that also obey this property, then infinity /infinity \ ----- | ----- | \ | \ n m| 11 11 12 9 11 10 ) | ) C(m, n) x y | = (-2 x y + x y + 10 x y / | / | ----- | ----- | m = 0 \ n = 0 / 12 8 11 9 10 10 12 7 11 8 10 9 - 4 x y - 20 x y - 8 x y + 6 x y + 22 x y + 32 x y 12 6 11 7 10 8 9 9 12 5 11 6 - 4 x y - 16 x y - 48 x y - 14 x y + x y + 8 x y 10 7 9 8 11 5 10 6 9 7 8 8 + 34 x y + 48 x y - 2 x y - 13 x y - 60 x y - 20 x y 10 5 9 6 8 7 10 4 9 5 8 6 7 7 + 4 x y + 34 x y + 64 x y - x y - 10 x y - 73 x y - 26 x y 9 4 8 5 7 6 8 4 7 5 6 6 8 3 + 2 x y + 36 x y + 70 x y - 8 x y - 64 x y - 24 x y + x y 7 4 6 5 7 3 6 4 5 5 6 3 5 4 + 22 x y + 56 x y - 2 x y - 41 x y - 20 x y + 9 x y + 42 x y 5 3 4 4 5 2 4 3 4 2 3 3 4 - 26 x y - 16 x y + 4 x y + 26 x y - 12 x y - 8 x y + x y 3 2 3 2 2 2 2 / 12 9 + 12 x y - 4 x y - 4 x y + 5 x y - x - 2 x y + 2 x - 1) / (x y / 12 8 12 7 11 8 12 6 11 7 12 5 11 6 - 4 x y + 6 x y + 2 x y - 4 x y - 6 x y + x y + 6 x y 10 7 11 5 10 6 10 5 9 6 10 4 9 5 + 2 x y - 2 x y - 5 x y + 4 x y + 2 x y - x y - 4 x y 8 6 9 4 8 5 8 4 7 5 8 3 7 4 - x y + 2 x y + 4 x y - 4 x y - 2 x y + x y + 4 x y 7 3 6 4 6 3 5 3 5 2 4 3 4 2 4 - 2 x y - x y + x y - 2 x y + 2 x y + 2 x y - 4 x y + x y 3 2 3 2 2 + 2 x y - 2 x y + x y - x + 2 x - 1) and in Maple notation (-2*x^11*y^11+x^12*y^9+10*x^11*y^10-4*x^12*y^8-20*x^11*y^9-8*x^10*y^10+6*x^12*y ^7+22*x^11*y^8+32*x^10*y^9-4*x^12*y^6-16*x^11*y^7-48*x^10*y^8-14*x^9*y^9+x^12*y ^5+8*x^11*y^6+34*x^10*y^7+48*x^9*y^8-2*x^11*y^5-13*x^10*y^6-60*x^9*y^7-20*x^8*y ^8+4*x^10*y^5+34*x^9*y^6+64*x^8*y^7-x^10*y^4-10*x^9*y^5-73*x^8*y^6-26*x^7*y^7+2 *x^9*y^4+36*x^8*y^5+70*x^7*y^6-8*x^8*y^4-64*x^7*y^5-24*x^6*y^6+x^8*y^3+22*x^7*y ^4+56*x^6*y^5-2*x^7*y^3-41*x^6*y^4-20*x^5*y^5+9*x^6*y^3+42*x^5*y^4-26*x^5*y^3-\ 16*x^4*y^4+4*x^5*y^2+26*x^4*y^3-12*x^4*y^2-8*x^3*y^3+x^4*y+12*x^3*y^2-4*x^3*y-4 *x^2*y^2+5*x^2*y-x^2-2*x*y+2*x-1)/(x^12*y^9-4*x^12*y^8+6*x^12*y^7+2*x^11*y^8-4* x^12*y^6-6*x^11*y^7+x^12*y^5+6*x^11*y^6+2*x^10*y^7-2*x^11*y^5-5*x^10*y^6+4*x^10 *y^5+2*x^9*y^6-x^10*y^4-4*x^9*y^5-x^8*y^6+2*x^9*y^4+4*x^8*y^5-4*x^8*y^4-2*x^7*y ^5+x^8*y^3+4*x^7*y^4-2*x^7*y^3-x^6*y^4+x^6*y^3-2*x^5*y^3+2*x^5*y^2+2*x^4*y^3-4* x^4*y^2+x^4*y+2*x^3*y^2-2*x^3*y+x^2*y-x^2+2*x-1) As the length of the word goes to infinity, the average number of good neigh\ bors of a random word of length n tends to n times, approximaley to, 0.5671527169 [This estimate was obtained by looking at words of length, 500, ] ---------------------------------- This ends this paper that took, 5101.155, seconds to produce this took, 5101.155, seconds.