Enumerating Generalized Dyck paths, as well as the Sum of the Areas and Area\ s-Squared with alphabets consisting of integers from, -2, to , 2 By Shalosh B. Ekhad ------------------------------------------------------------- Section Number, 1 Regarding the set of steps, {-2, 1} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-2, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by a(n), so here are the first , 137, terms. [0, 0, 1, 0, 0, 3, 0, 0, 12, 0, 0, 55, 0, 0, 273, 0, 0, 1428, 0, 0, 7752, 0, 0, 43263, 0, 0, 246675, 0, 0, 1430715, 0, 0, 8414640, 0, 0, 50067108, 0, 0, 300830572, 0, 0, 1822766520, 0, 0, 11124755664, 0, 0, 68328754959, 0, 0, 422030545335, 0, 0, 2619631042665, 0, 0, 16332922290300, 0, 0, 102240109897695, 0, 0, 642312451217745, 0, 0, 4048514844039120, 0, 0, 25594403741131680, 0, 0, 162250238001816900, 0, 0, 1031147983159782228, 0, 0, 6568517413771094628, 0, 0, 41932353590942745504, 0, 0, 268225186597703313816, 0, 0, 1718929965542850284040, 0, 0, 11034966795189838872624, 0, 0, 70956023048640039202464, 0, 0, 456949965738717944767791, 0, 0, 2946924270225408943665279, 0, 0, 19030649059639789214206725, 0, 0, 123052100237542105872786180, 0, 0, 796607831560617902288322405, 0, 0, 5162879946168545215371343587, 0, 0, 33496962712940417760973884708, 0, 0, 217550867863011281855594752680, 0, 0, 1414282077098335379544565517191, 0, 0, 9202600068524372703278082352971, 0, 0, 59932899605936040714626166584475, 0, 0, 390645234961546222075767026462400, 0, 0, 2548271840422037344975860237738000, 0, 0, 16635641296703864308483436321233200, 0, 0] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-2, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by b(n), so here are the first , 137, terms. [0, 0, 3, 0, 0, 27, 0, 0, 207, 0, 0, 1506, 0, 0, 10692, 0, 0, 74880, 0, 0, 519975, 0, 0, 3590244, 0, 0, 24689547, 0, 0, 169281531, 0, 0, 1158033348, 0, 0, 7907918760, 0, 0, 53924696616, 0, 0, 367292687868, 0, 0, 2499326053911, 0, 0, 16993660693320, 0, 0, 115466864661513, 0, 0, 784109258291889, 0, 0, 5322049255794807, 0, 0, 36107084876982426, 0, 0, 244872769404876048, 0, 0, 1660131806569367904, 0, 0, 11251620871615990692, 0, 0, 76238091836460476496, 0, 0, 516446464947149990052, 0, 0, 3497721807419757013860, 0, 0, 23684314204917226608984, 0, 0, 160346594031622733401200, 0, 0, 1085397606047500614335520, 0, 0, 7346055003689604337793892, 0, 0, 49711972468040184132387063, 0, 0, 336367501598412386611292304, 0, 0, 2275712929901724641832322629, 0, 0, 15394836968360804027582500077, 0, 0, 104133448695029912941311962541, 0, 0, 704313454729196092231979197398, 0, 0, 4763268197508463316356745146068, 0, 0, 32211421101175634630157012217488, 0, 0, 217812495047985954602019528344559, 0, 0, 1472739047017169682481606750634580, 0, 0, 9957281695356069655963206761769003, 0, 0, 67317732675955976969816533956795291, 0, 0, 455085954513630893134544113829413008, 0, 0, 3076338299829739880984112887509574304, 0, 0, 20794706262562078643218214038511509152, 0, 0] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-2, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by c(n), so here are the first , 137, terms. [0, 0, 9, 0, 0, 261, 0, 0, 3879, 0, 0, 44910, 0, 0, 456156, 0, 0, 4275108, 0, 0, 37946907, 0, 0, 323900748, 0, 0, 2684364345, 0, 0, 21741135993, 0, 0, 172869695748, 0, 0, 1353945316248, 0, 0, 10471761061272, 0, 0, 80133761109960, 0, 0, 607645392761763, 0, 0, 4571446563336024, 0, 0, 34155184643778987, 0, 0, 253637855889172983, 0, 0, 1873362122870827455, 0, 0, 13769833459859462358, 0, 0, 100773558934100704368, 0, 0, 734609999714103476496, 0, 0, 5336002061967222352404, 0, 0, 38633153069523471392880, 0, 0, 278874216457032249835596, 0, 0, 2007545069324329983351468, 0, 0, 14415295080331646381038680, 0, 0, 103267886559424615862122320, 0, 0, 738182821342574883607765920, 0, 0, 5266052882189464798080382176, 0, 0, 37496287201813675046226575667, 0, 0, 266517950155953591510900357552, 0, 0, 1891246560177116687462828581743, 0, 0, 13399767043852623012301175400195, 0, 0, 94801187228985851679537641391573, 0, 0, 669783281577193444662378171186138, 0, 0, 4725984885091655007358068059919564, 0, 0, 33305703946299897657946029249552756, 0, 0, 234445277470043770699682062944254115, 0, 0, 1648492852567675035494389572937187100, 0, 0, 11579225383290870313877556386742668409, 0, 0, 81253331504553920047814061264531718089, 0, 0, 569629979535323894954979341157328242576, 0, 0, 3989824504617426919832705362749012209760, 0, 0, 27921710400213394273624241816727946974816, 0, 0] ---------------------------------- ----------------------------- This took, 0.861, seconds. ------------------------------------------------------------- Section Number, 2 Regarding the set of steps, {-2, 0, 1} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-2, 0, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, 0], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 2 (6 n - 1) a(n - 1) 3 (2 n - 1) (n - 1) a(n - 2) a(n) = ------------------- - ---------------------------- (2 n + 3) n (2 n + 3) n (n - 1) (n - 2) a(n - 3) + 31/2 ------------------------ (2 n + 3) n and in Maple notation a(n) = (6*n^2-1)/(2*n+3)/n*a(n-1)-3*(2*n-1)*(n-1)/(2*n+3)/n*a(n-2)+31/2*(n-1)*( n-2)/(2*n+3)/n*a(n-3) Subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 1, a(3) = 2 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [552932079034524044270513397613616720539240140031787342291102588595618375751486\ 5018483887191623842372772668307944127079318470483727898302584276486276483145784\ 0540082266299968149567065482563673944463716474435332771118664250707564065131229\ 3398496453659941676767105809879137162210518778795275599711847043817024981037366\ 9972659114494771835367256212984253904176259782541342136208360739586431078910936\ 560291318754507170214965785608403264300398958443144671576076334, 15955195224470\ 3272914913980896100149178226373443724616465361392211261366838577482922243469582\ 8745098706706205704246274281526226695198880222949307130597697930918101827766068\ 0246309644742889347098776342421722757734434452106282258876830725053418476704133\ 4624598978986615900558946211259358759661948351987152665312486276757041435769773\ 8727123875022213625185911429277448268207846189238092629066339893146144351085395\ 1158173485060680607334259858472234643539565787734, 4603976577787726836261980411\ 8711821114586527883089229519059427175866166757689651348978507885717194698929231\ 8569285941581316342006114991224480806754714249079331609862879137740257311704136\ 6100780377108969302213778571039825145293927751820916930572159285858355566874524\ 7343992892215280420742299763584604386457851335901314416293353573575951106850460\ 2764578407254413620055978902627067925618540904047969825102389372085989498166256\ 49970275026394930252586882783223068, 132850971500824971797188918746122804411347\ 5045194837086597345506764381855292396924527124713305602421896289174408748882578\ 6502450512611361420200980261955672602074540116666569349678708747419870729103842\ 7975406814220930339364777214930915563294877767759120164370275871721519054568007\ 8563557301453576929940486923368821110742728361250224075427850056335527836199026\ 7431690001335429565737516464768086000719282688023030771559372133080527706767235\ 6359261352243327435370, 3833513601394767075772092026558464023139093714738992553\ 2881573752835794148554957153772343585256076238900334920923199762800061211964194\ 6922452018216189378806469284844617621760532961908684852409483347534723659364475\ 5858309730833107091624969276682817924679161546076158154612956384601905078031006\ 9288449476692904743610449231453834652835723954159687402120857981545914673691976\ 8276712667162028311972435580444487024826245740897887615709260534049791855784841\ 295187174, 11061905035790398039971709527595740768312945781961952794424747970948\ 6757865307706994220999522301407326686084317491817275651315901391372961749037766\ 2937180964803460234844374073805101318375883969146980778701657228774057224506379\ 9966519269262366510675867526157044978647762754916067143817987255946019540877115\ 9433519337719804120832131121559577199822275329554271053332905042486595954480586\ 3541289294498666485449358640237633796444145601765338817865001765403061899216, 3192004429643097619716016106712139086957996672141007845071356141720182886642814\ 4665357914881707250140895990412562203452705670227939155859308571858629947170938\ 4384208632289186275793346800367575913629076616254746096443652884996567059651824\ 0094559070898713630748264975614243282484092387414772614931961638873170855539756\ 8848411790789828143125818676540229555591407595777894305563468398060012871505294\ 80592923882154216560150019484811947852746896013794403933411232938, 921080707410\ 1628789922487254554021121665465293021307513168991928709803027846022819031816625\ 4675080720601617899540106887125918541483413243864587830811139154477586516891461\ 4910465916390766739912217071716839660802618265802105381651877804493787855263756\ 7975946568002088489633825768805161908307286620478424623548412304453116369550980\ 5176690783928117457098756980727448178751987354413045760293246597949031116428574\ 75874321353868478818795872349192867465846222675108319, 265786259962943559892036\ 4897339213743371477617306514392614926338530002192759844373119507612009499267243\ 3348813149727926151167898821718588648690857732643655593386397160583122719653798\ 9875442018292571816311165459823452524843919351378953456232690950121433017090215\ 1444562797291859703806691510926201853975029839723733419729739739666176046546704\ 1094555986382193459658166157395547508349367716010274631413991015002263586784483\ 313681004437171446582943691589005667843791, 76695168250295670251374215250601072\ 2932844458070401781669477798050435619757013531859266260051470014068995586548654\ 2250429215454287962999180439540548733799036546619953186792157888784117067103541\ 5448513399445777234553156851741972694741634454316332590351209701555826878703076\ 6996899847055739926711842884953708074198588340463616891668464637421962678388188\ 5293612109263478432734490255836761173542145186218308461426713133607445074447270\ 8231324771180410663845841847039] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-2, 0, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, 0], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence b(n) satisfies the following linear recurrence equation 4 3 2 (5586 n - 36735 n + 52324 n + 13545 n - 14340) b(n - 1) b(n) = 1/2 ---------------------------------------------------------- n (2 n + 3) %1 4 3 2 (14700 n - 120135 n + 303741 n - 271356 n + 72080) b(n - 2) - 1/2 -------------------------------------------------------------- n (2 n + 3) %1 4 3 2 (66332 n - 602648 n + 1824697 n - 2203748 n + 967952) b(n - 3) + 1/4 ----------------------------------------------------------------- - n (2 n + 3) %1 4 3 2 (227052 n - 2348757 n + 8564088 n - 13120605 n + 7109812) b(n - 4) 1/8 --------------------------------------------------------------------- n (2 n + 3) %1 + 4 3 2 (213276 n - 2721198 n + 12656913 n - 25167753 n + 17726852) b(n - 5) 1/8 ----------------------------------------------------------------------- n (2 n + 3) %1 3 2 (n - 4) (4102 n - 34317 n + 88467 n - 71012) b(n - 6) - 31/4 ------------------------------------------------------- n (2 n + 3) %1 2 33635 (n - 4) (n - 5) (3 n - 57 n + 92) b(n - 7) + ----- ------------------------------------------- 16 n (2 n + 3) %1 2 %1 := 224 n - 1493 n + 2288 and in Maple notation b(n) = 1/2*(5586*n^4-36735*n^3+52324*n^2+13545*n-14340)/n/(2*n+3)/(224*n^2-1493 *n+2288)*b(n-1)-1/2*(14700*n^4-120135*n^3+303741*n^2-271356*n+72080)/n/(2*n+3)/ (224*n^2-1493*n+2288)*b(n-2)+1/4*(66332*n^4-602648*n^3+1824697*n^2-2203748*n+ 967952)/n/(2*n+3)/(224*n^2-1493*n+2288)*b(n-3)-1/8*(227052*n^4-2348757*n^3+ 8564088*n^2-13120605*n+7109812)/n/(2*n+3)/(224*n^2-1493*n+2288)*b(n-4)+1/8*( 213276*n^4-2721198*n^3+12656913*n^2-25167753*n+17726852)/n/(2*n+3)/(224*n^2-\ 1493*n+2288)*b(n-5)-31/4*(n-4)*(4102*n^3-34317*n^2+88467*n-71012)/n/(2*n+3)/( 224*n^2-1493*n+2288)*b(n-6)+33635/16*(n-4)*(n-5)*(3*n^2-57*n+92)/n/(2*n+3)/(224 *n^2-1493*n+2288)*b(n-7) Subject to the initial conditions b(1) = 0, b(2) = 0, b(3) = 3 Here are the terms of b(n) from n=1001 to n=1010 [119256560256069751750566934495044232969504553299870956714848388973087658295357\ 9287336381007010040091139330915930184357059760290385015985062564237856645318630\ 0457433978017830487570456055634278468807928529391195789650535555772014034378375\ 0180342556852050461372376074894882494163443803560819842489742774653693741295031\ 2959907664911057434227099549660720069335042391912682416126548492561039107930877\ 39487699473410989995728808479026562328653601816316692695735911693516, 344646642\ 3503577836350428461584709093290767268487255293830503011126859593330110010960691\ 3206122865982898826175289606612643758460554160533853480951669601087039912245912\ 4699997739355491705001708777228704029208065343273068805445935182677302174891483\ 8503842104349913377459507876477128862034981176251767539595593013910985691780417\ 4562885839547189611137444002207231078140072500104765151817804870264009623889924\ 7272563407309216481125593191009827048327970616160666113864, 9960148351782353653\ 7742951221225956180818390072498440426898207829249010525765504176355028083324932\ 1649486060791574199905584602171211504483589390481302926484338857524147436222677\ 1822684984612028904005216323429867040490160048144433090369184154160885581017958\ 3994751089905489229211549071798188151634207002660962167594255797578922154419088\ 0013177727262139992998585788285775166319237593201195852497724245047140147444766\ 535836996552295567433954123513649106104881755910, 28784424084585976919744096883\ 8086379855473356622103629970524948386464096506465955786053126975310756437869871\ 6681562304445880972964710350772044164613609236901965599708889419181113245429333\ 3905354406456687063330194633639939770374444549247994514517734728626868107766431\ 6293712387611423756123095656580853015972454871493843170856043786450571297587997\ 6608323004454750350858615277841226340124547441694161758275446714118446222552151\ 573526757806382515953481790259855059166, 83185812778824100904268357413685626535\ 2889517196513725322516523973844948912597581257236202332005687242091217550304172\ 5199588681917709626086662337422555323102403873141659316078980863372254054010047\ 7720798785730434190645885741625547121764862867513781149670306479862672934009223\ 1838375136186042431344294968640465723775756905221728655800754326229832797149276\ 0531444222265721312670418666622677514725369659489232317768900094870620664281918\ 384342406805375410795389143095, 24040359971830984860876403193989246441561713643\ 8826071832262150266084086652717436440783543390678218509687473741955308157182996\ 8100777803689111582859552123103600303297379547315918071858183254145481474631140\ 0674496998342660212761306657753070818999147629635813518616659715839957940122927\ 4530352277131628393645590158688288140836158724619278161859994946310748565215118\ 6058445773470316554780812339589759307060103840535036239737871842658391596880710\ 9332981732359969032327, 6947565513670365919064924919365406464936072755111771755\ 6459142623022283964618586514129195068728780280587237766984913843952891979717919\ 9715718974318300857133004699934206490468618359734134738440891994885824895604944\ 2110614221919069760649444209751545516092691200770099640543948273344750746464824\ 1920472881444613394205630704880664942369602367099175483934686522306436335679626\ 7163932737806200483408579365648144005186632611600059066615831892095103433828872\ 55658924108640, 200781788070873634464204838068171421994235705445928336751653094\ 2379350900447675198539268783378117245846717497542279395858397911888374484097399\ 4743044939106822754894163164665143033961359211995158501950148740796214189493014\ 3962878420654489095265983527282725853866089980280711965368091345838403891577712\ 5435993905797155591960726697563624052114426644100678080959930550800649077405264\ 1886435329740771715855866678395607854705761773131669740085524028404212759296517\ 3104536, 5802510924376338170277895322073968415326766381675998059028161774715883\ 2441590333924513475368259892440630130743931167550415817840197482374518676944499\ 5407157909537082013475104883721186224082022297958524524241239722296044566728414\ 8767380767053425795831667834420847914149312881210362401950375359166541696142794\ 8630494900453564404701840121410451725719334437910671965347060823695047654145977\ 8363312407290543740387062143795017911985545408514894132506530329785355228407904 , 16769016748493560828463253596967555533001850204301250227282875178760967123978\ 4156325417808582259101902151272008096645648684457461501339268982272965199688281\ 4338480594554897866512041662314330328963025637733589070708463072982213798544233\ 4902733738093848418833414796586896371629814867382196870649550686338712168773782\ 0968549605237348562600245608261375149808538882225025109993936289906706449796071\ 1384882715515937348506349260007043026701843602124534155206692339581229352] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-2, 0, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, 0], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence c(n) satisfies the following linear recurrence equation c(n) = 1/2 ( 6 51637185023198619485245901242798345671082627596541022113149302819541150 n - 5 768659258031442731441174702281633783412401427119194024752961175082522087 n + 4034107503835629794185300951123650393489271662134961284638511749351899348 4 n - 8315195784104258466892062988035027416820829099438865254711425491771480280 3 n + 3545246718739150855819148585913584599301818702515471531599951825639184611 2 n + 4466222364641677886594357721159458231985913349905158426674670997900534314 n + 351467541420457291286969156498171868636796578627148450934435834118080944 ) c(n - 1)/(n (2 n + 3) %1) - 1/2 ( 6 160226595072700968373582343744867002655290469600813517764025999745915320 n - 2473827925233114358738566281203994958477074156162146247842132418460863595 5 n + 14110044155550958413433981716635342852153918215190796464932755677107854901 4 n - 35799706584637790912886162732576863492594939049269582376495583456174708482 3 n + 36736792932661742385328236752692544623148813587986455927931862563864551730 2 n - 7418702287862868925469575792872270841407224685623865326157505044359073602 n - 1978808981045225780463673251092416548873496300998657523498553394382289736) c(n - 2)/(n (2 n + 3) %1) + 1/4 ( 6 744143826766746461472523884929316700373136044774188497423989115997640760 n - 11109888961707600647883985195646892924129634347811676455018173037019162937 5 n + 61189017558304738906420097010763729440410381374503755702293402858024236269 4 n - 153254475053994348062102123211617575561425742312925356892808785677327362010 3 n + 179678497612451357623162722216836331390063804690938663402662692626948983878 2 n - 102485432576396755921480278879480810624430683531176314462521417752760168880 n + 5925791851915052113538831186678225869202728062246799394328368004826306512) c(n - 3)/(n (2 n + 3) %1) - 1/8 ( 2773422232694442837258485857947396056208811037962793064092757359070181740 6 n - 40955150002026239033093249253264747752014481798982827810366902481684065545 5 n + 226764936100349619828643183411971743674185439485584021468761751153721795615 4 n - 587314143215182902684905699935140964015756949068768845240746607214407250728 3 n + 722709247673686568333462445862845111166103064145665612151384469212957638587 2 n - 363942488196442804754627181111117962779971630287516494983265363332076584093 n + 27950626825828132643494238647321435966809214049750644975947555047808011320) c(n - 4)/(n (2 n + 3) %1) + 1/8 ( 3299759538664455534085282884764859415580282888751927066621963774588326220 6 n - 50918576964470343576258246454101950238678480914495031421601498369282786628 5 n + 305437744990844009335541976418719442097518336744900592434799319036958429478 4 n - 894171843227916820069453014994890117905069253771332591187923645432493852765 3 n + 1287283885759869744538019813846385722504579095746222424950513670405\ 2 236018044 n - 760604115381808532992398640660195405444325255727288705981858898746062105897 n + 63867023929612143959751502392350467743120369672105018929778111750882583128) c(n - 5)/(n (2 n + 3) %1) - 1/8 ( 3365985553863549270348125700412081354186462163760803326774473067873052415 6 n - 46871733780559009781314041606416519123031728974563215988768944523690712263 5 n + 261773512656319741154535501291787004536134664556602902276097704904093753244 4 n - 762241074943418423581071391285181222248952519841792264943018229089941820990 3 n + 1240982360389386465848882788372061222053936298744756219607556740420\ 2 625171591 n - 102959423539349979048372270787422046625118824603405292037\ 9699073434886120477 n + 247733592493658011402476606032313023163263853462615577044017652214946187732 93 ) c(n - 6)/(n (2 n + 3) %1) + -- (n - 5) ( 16 5 45959171807420809974975967132095490133576234233013801757892143981377895 n - 4 565383552746487875648157570682509258747517017939909420966136371642395596 n + 2535931170446925734342533641263969281005242944572276314369885542674000394 3 n - 4886642120451067478363469113210525651209418059230622337861331467740614709 2 n + 3578422563963691408366025033631662172443372577714022752712771743253676170 n - 416293451894464189052935003684829774354911765231754265688399468965656312 961 ) c(n - 7)/(n (2 n + 3) %1) + --- (n - 5) (n - 6) ( 16 3 1877998707798736129516128722833598163043626874683398473803095578220346 n - 2 19543009343411722980338172019722143717574030660441390711266443372329563 n + 49809286946817695555470104147159901546896141610909174638570201830629163 n - 25033597616307881781790045541779739407885735226241888719490257545005708) c(n - 8)/(n (2 n + 3) %1) 4 %1 := 1780910893648699387355869806094322278228634475933721606129402585372995 n - 3 28075069440074023334495081255650614249013877667300570748317600143056776 n + 2 160554465328783313983052633652269672522963228328785833433391085304911757 n - 391728775888438320098740232902868102034258751678317870919312638827125006 n + 338224299622666248039733641715058775214520424002208201104021744111302742 and in Maple notation c(n) = 1/2*( 51637185023198619485245901242798345671082627596541022113149302819541150*n^6-\ 768659258031442731441174702281633783412401427119194024752961175082522087*n^5+ 4034107503835629794185300951123650393489271662134961284638511749351899348*n^4-\ 8315195784104258466892062988035027416820829099438865254711425491771480280*n^3+ 3545246718739150855819148585913584599301818702515471531599951825639184611*n^2+ 4466222364641677886594357721159458231985913349905158426674670997900534314*n+ 351467541420457291286969156498171868636796578627148450934435834118080944)/n/(2* n+3)/(1780910893648699387355869806094322278228634475933721606129402585372995*n^ 4-28075069440074023334495081255650614249013877667300570748317600143056776*n^3+ 160554465328783313983052633652269672522963228328785833433391085304911757*n^2-\ 391728775888438320098740232902868102034258751678317870919312638827125006*n+ 338224299622666248039733641715058775214520424002208201104021744111302742)*c(n-1 )-1/2*(160226595072700968373582343744867002655290469600813517764025999745915320 *n^6-2473827925233114358738566281203994958477074156162146247842132418460863595* n^5+14110044155550958413433981716635342852153918215190796464932755677107854901* n^4-35799706584637790912886162732576863492594939049269582376495583456174708482* n^3+36736792932661742385328236752692544623148813587986455927931862563864551730* n^2-7418702287862868925469575792872270841407224685623865326157505044359073602*n -1978808981045225780463673251092416548873496300998657523498553394382289736)/n/( 2*n+3)/(1780910893648699387355869806094322278228634475933721606129402585372995* n^4-28075069440074023334495081255650614249013877667300570748317600143056776*n^3 +160554465328783313983052633652269672522963228328785833433391085304911757*n^2-\ 391728775888438320098740232902868102034258751678317870919312638827125006*n+ 338224299622666248039733641715058775214520424002208201104021744111302742)*c(n-2 )+1/4*(744143826766746461472523884929316700373136044774188497423989115997640760 *n^6-11109888961707600647883985195646892924129634347811676455018173037019162937 *n^5+61189017558304738906420097010763729440410381374503755702293402858024236269 *n^4-\ 153254475053994348062102123211617575561425742312925356892808785677327362010*n^3 +179678497612451357623162722216836331390063804690938663402662692626948983878*n^ 2-102485432576396755921480278879480810624430683531176314462521417752760168880*n +5925791851915052113538831186678225869202728062246799394328368004826306512)/n/( 2*n+3)/(1780910893648699387355869806094322278228634475933721606129402585372995* n^4-28075069440074023334495081255650614249013877667300570748317600143056776*n^3 +160554465328783313983052633652269672522963228328785833433391085304911757*n^2-\ 391728775888438320098740232902868102034258751678317870919312638827125006*n+ 338224299622666248039733641715058775214520424002208201104021744111302742)*c(n-3 )-1/8*( 2773422232694442837258485857947396056208811037962793064092757359070181740*n^6-\ 40955150002026239033093249253264747752014481798982827810366902481684065545*n^5+ 226764936100349619828643183411971743674185439485584021468761751153721795615*n^4 -587314143215182902684905699935140964015756949068768845240746607214407250728*n^ 3+722709247673686568333462445862845111166103064145665612151384469212957638587*n ^2-363942488196442804754627181111117962779971630287516494983265363332076584093* n+27950626825828132643494238647321435966809214049750644975947555047808011320)/n /(2*n+3)/( 1780910893648699387355869806094322278228634475933721606129402585372995*n^4-\ 28075069440074023334495081255650614249013877667300570748317600143056776*n^3+ 160554465328783313983052633652269672522963228328785833433391085304911757*n^2-\ 391728775888438320098740232902868102034258751678317870919312638827125006*n+ 338224299622666248039733641715058775214520424002208201104021744111302742)*c(n-4 )+1/8*( 3299759538664455534085282884764859415580282888751927066621963774588326220*n^6-\ 50918576964470343576258246454101950238678480914495031421601498369282786628*n^5+ 305437744990844009335541976418719442097518336744900592434799319036958429478*n^4 -894171843227916820069453014994890117905069253771332591187923645432493852765*n^ 3+1287283885759869744538019813846385722504579095746222424950513670405236018044* n^2-760604115381808532992398640660195405444325255727288705981858898746062105897 *n+63867023929612143959751502392350467743120369672105018929778111750882583128)/ n/(2*n+3)/( 1780910893648699387355869806094322278228634475933721606129402585372995*n^4-\ 28075069440074023334495081255650614249013877667300570748317600143056776*n^3+ 160554465328783313983052633652269672522963228328785833433391085304911757*n^2-\ 391728775888438320098740232902868102034258751678317870919312638827125006*n+ 338224299622666248039733641715058775214520424002208201104021744111302742)*c(n-5 )-1/8*( 3365985553863549270348125700412081354186462163760803326774473067873052415*n^6-\ 46871733780559009781314041606416519123031728974563215988768944523690712263*n^5+ 261773512656319741154535501291787004536134664556602902276097704904093753244*n^4 -762241074943418423581071391285181222248952519841792264943018229089941820990*n^ 3+1240982360389386465848882788372061222053936298744756219607556740420625171591* n^2-\ 1029594235393499790483722707874220466251188246034052920379699073434886120477*n+ 247733592493658011402476606032313023163263853462615577044017652214946187732)/n/ (2*n+3)/(1780910893648699387355869806094322278228634475933721606129402585372995 *n^4-28075069440074023334495081255650614249013877667300570748317600143056776*n^ 3+160554465328783313983052633652269672522963228328785833433391085304911757*n^2-\ 391728775888438320098740232902868102034258751678317870919312638827125006*n+ 338224299622666248039733641715058775214520424002208201104021744111302742)*c(n-6 )+93/16*(n-5)*( 45959171807420809974975967132095490133576234233013801757892143981377895*n^5-\ 565383552746487875648157570682509258747517017939909420966136371642395596*n^4+ 2535931170446925734342533641263969281005242944572276314369885542674000394*n^3-\ 4886642120451067478363469113210525651209418059230622337861331467740614709*n^2+ 3578422563963691408366025033631662172443372577714022752712771743253676170*n-\ 416293451894464189052935003684829774354911765231754265688399468965656312)/n/(2* n+3)/(1780910893648699387355869806094322278228634475933721606129402585372995*n^ 4-28075069440074023334495081255650614249013877667300570748317600143056776*n^3+ 160554465328783313983052633652269672522963228328785833433391085304911757*n^2-\ 391728775888438320098740232902868102034258751678317870919312638827125006*n+ 338224299622666248039733641715058775214520424002208201104021744111302742)*c(n-7 )+961/16*(n-5)*(n-6)*( 1877998707798736129516128722833598163043626874683398473803095578220346*n^3-\ 19543009343411722980338172019722143717574030660441390711266443372329563*n^2+ 49809286946817695555470104147159901546896141610909174638570201830629163*n-\ 25033597616307881781790045541779739407885735226241888719490257545005708)/n/(2*n +3)/(1780910893648699387355869806094322278228634475933721606129402585372995*n^4 -28075069440074023334495081255650614249013877667300570748317600143056776*n^3+ 160554465328783313983052633652269672522963228328785833433391085304911757*n^2-\ 391728775888438320098740232902868102034258751678317870919312638827125006*n+ 338224299622666248039733641715058775214520424002208201104021744111302742)*c(n-8 ) Subject to the initial conditions c(1) = 0, c(2) = 0, c(3) = 9, c(4) = 59, c(5) = 219, c(6) = 870, c(7) = 3826, c (8) = 15210 Here are the terms of c(n) from n=1001 to n=1010 [274571970300153555529079642164265422176270125680086743527379007916956108298094\ 7757140294480792095834764476794369957994198509778755797254488897742789883904669\ 0915920832059290384446908641983104795374844008842352492220675792456504002414583\ 9257744488424432422291348033193904762105220931369209427607473574228880175794193\ 5469132641139562510544778199531759830067840666190881753289549679826575411761548\ 694796178115271146923052951954541268317425003248485340302160354016152428, 79470\ 8874548435579288142280271965368597507457303127635122762652382734624110105469054\ 4384071350128755534836703152412155717222894659379059054642660256619504712788375\ 0914198446166490092079531420106794090696379707286764311499241942537284719320966\ 0589585123256800380036768240106069351144413578750488089389819379697334303137694\ 2841339679790692129026113672312571080239981644798062880901715448642702142326097\ 410070923364955423031936113658322461765156511410041646847648894076, 23001663438\ 1962012972002653695833941896128986637932703494363136304987466058952917622738362\ 3806910101220439754581823919343867844296592714205528276458098687025041238557098\ 2392564444194057295794315658909886688445062095668468770718834348749454952264528\ 1375553109560459478794548465479209498160354488909978237740169699033274543004624\ 9885247648654401147534805415615899218766997048209084117578887159707079504127603\ 4925600064067515318672034533840997046036979591208807505180358, 6657478102818998\ 2727608792570999230157840298954860125059818698792948899660962213971708604539257\ 9578891050271653197402783638296475130827556712603805075456529447015581108816496\ 1519754322039153456037649899693587120440496227225446599342593551205022503068960\ 4698058299318189689662742818679422481691426210246330180066002261051215442700046\ 7645908400403993562129769992290199014494635707196592854999470313644304122400888\ 31295790045897363428721647201098314413669311149239910098, 192690174754932148621\ 9360986620021106101369041544726258592301580303783801399365304198165714763684028\ 5368152057691809958487221018943060928695546296910102996773172987269199099246094\ 3159302868095090424232117123969067482774592144582927427602490339522183883478742\ 3399546180672554636994363345745943443252717796340497812844748370551195272244924\ 7271689705856142643236228787083403713853950035280130356079128114262261336420600\ 1006395240340287907462666431724482088903189671878803, 5577103673250745797419315\ 4687620754318491678912953436701160953810197233553362511033263740171662991169887\ 0238044374920584655475748554848850486512090552280439366735812594154811549889458\ 4662017971956349974867595281420332076503470754253984482619739698554738266022667\ 5002510188801464541922308833115152028666463299717740130934728052634190375587967\ 0649115476086584061294629222075656108655888862005293035596861771728006493212270\ 729516660750342797496656144363500263920656754023, 16141994289224995235981099301\ 7685080006731387427771371555292405722936298618030993639737339385513422860201984\ 1750475466194240708074659610605961364891009883277398619509676173734719010146495\ 9836585980186119268543074582344870852734909922047444211358539400156833918696474\ 1972806452445177655455567589548275419214100874367867136782066563585932589370891\ 9352156144823019638795911821734939329653675319219472019858016519124801980458686\ 216608987296916583708131780202300164090506704, 46720231584062212842256024116446\ 3923655198748285822735776304653590143790193946035654765239436099973069925198701\ 5975395872527873907206646200361165166451179307639396371908684264012656568439176\ 7214840465257011917980441741403367721432642123814065263519129944831975120355092\ 9936629606059303428917024002799156176737911355030996285375432060892747856775999\ 0993789289463421251039930028505524828834870465603223633675696879057657201752854\ 069602816500536480238917675481984746695528, 13522348099117590674072282276920224\ 2240618754745640851039515100580047545876444335111533969258547059734554674258994\ 8043470915305544025316119589007480027240132166456451869831465170458908592493189\ 0033455144635480528807621352318723029686290640763824665820924281163063819545518\ 0958270608910351352203576199939862623818384102834100545709962358741522813681396\ 3378316009321464766328918090149387892199524203483075518660334533244443333920244\ 3948606190833053883799486094883386941664, 3913799423148028986183831802075156114\ 3643267053838986614696592042518240877302357308823400953238596046499771595365006\ 7327189972894412966720648931932519900776214985163009120665400110051737663497107\ 9774344427572662799793074661195188820174524206462950392910594604376300314154109\ 4488202057020204938444560838644521723701551261844119985124279298265571347144905\ 0217950101876805571196156484747873846208603511236422256069256772288553694886388\ 18887080856689937385371820262976286560] ---------------------------------- The average areas divided by n^(3/2) for n from 1000 to 1010 are [0.6810192306, 0.6810364350, 0.6810536141, 0.6810707686, 0.6810878974, 0.6811050016, 0.6811220808, 0.6811391351, 0.6811561645, 0.6811731694] ---------------------------------- The variance of the area divided by n^3 for n from 1000 to 1010 are [0.03130055777, 0.03130060269, 0.03130064753, 0.03130069227, 0.03130073694, 0.03130078151, 0.03130082600, 0.03130087041, 0.03130091473, 0.03130095897] ----------------------------- This took, 85.953, seconds. Section Number, 3 Regarding the set of steps, {-2, 1, 2} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-2, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 4 a(n) = -1/8 (20770491581051703536199824698389653695013366670 n 3 - 264926267672372215863229295454428435865281874149 n 2 + 1223912769433081834646212884914364796114171291096 n - 2320049493956329001228996805612230487146587393835 n + 1456370927093981056853377742763076957544569595658) a(n - 1)/((n + 2) 6 (2 n + 1) %1) - 1/64 (86446020936423198891627764579801085014603429648 n 5 - 45742277112701105287114291992342729351540291001400 n 4 + 541928421479730342481594562924644163915543550447566 n 3 - 2461831169407155444262925488572408668323709303938925 n 2 + 5302675220801183449764615232270220752440016256409182 n - 5420900480997190159885538759351275746785146636434545 n + 2083609721575477373923561770429618668293308993610314) a(n - 2)/((n + 2) (n + 1) (2 n + 1) (2 n - 1) %1) + 1/128 ( 7 13602356395607145404618420198755506926589814544612 n 6 - 173837333174742604749727092393730487927047633926792 n 5 + 822915082939129730130527242256598308516806205001881 n 4 - 1532055443300630637821206979105680403481818958176115 n 3 - 312058229384697914800877031111179559169332626645722 n 2 + 5323622680191468695226851672006300484396461586405912 n - 7027625288830146809876117062004754495425413342305216 n + 2863149117279965027920766474702329529170113037896960) a(n - 3)/((n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) + 1/256 ( 7 180935825044926507151227677333775003967389544383700 n 6 - 5531341591380614730610665965782885834567242477768456 n 5 + 64247367601545374701435256070508444729538278029267619 n 4 - 384983467694354014109501423904161938809166796458039500 n 3 + 1312834912684678245251718939727228954674515799799327135 n 2 - 2577082950584918950359607681454161576306081719976062234 n + 2715037840184475504560147070542698473280016025547791096 n - 1189692445803958600478967574871242934394788883860672160) a(n - 4)/( (n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) + 1/128 ( 7 60796898780664338201478385354530243543085099187192 n 6 - 2621564565456288172497209608416797996641790406443968 n 5 + 38549196170588477659295229912823419749603029427995889 n 4 - 283117106814487693703686108679094708861165980798752420 n 3 + 1170119094570118074337854579684571590766676242786505123 n 2 - 2774894162442091603923369752532782036559566270824913152 n + 3532136410448104036351027890627880738822752151296253476 n - 1872253719181417185889705395772556816084375854450772640) a(n - 5)/( (n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) - 1/256 (n - 5) ( 6 1359950368848115496722371659502400151730978717985780 n 5 - 35893458152298710701594295751858167690257885946457350 n 4 + 379061550487933914230983262497008974969656213879593813 n 3 - 2061045264946012046010461379601171455889775084498019985 n 2 + 6098031889800464382557871963450212334726428795820954800 n - 9309070850350093489814734257091673070522279150434302740 n + 5718680844599133890670532721920849627792804572515278992) a(n - 6)/( (n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) - 1/256 (n - 5) (n - 6) ( 5 1988500301466509455921239970811451405186763404260462 n 4 - 46703381637673385361445994164341524849220979357622123 n 3 + 413396473496164337798523378505925546524805362990672588 n 2 - 1737190439163532002713170456588589098857544370639339737 n + 3473763924518320549257764583422503000154352394540894776 n - 2641284854982460393694581087756890836099006559905375904) a(n - 7)/( (n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) + 1/128 (n - 5) (n - 6) (n - 7) ( 4 1165114068447438067732522661770907405124543635244178 n 3 - 21161020971830446067694853788285343286922579470055590 n 2 + 131671206185754445304576661950409464605612926351300119 n - 333989279118394478133424453661273837097580339045593718 n + 293296292725581179668656318199754563079924327992389180) a(n - 8)/( 229 (n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) + --- (n - 5) (n - 6) (n - 7) 512 3 (n - 8) (33729721902007829631588278450885805205160557136137 n 2 - 404988356615295109982561791803069039678362171498145 n + 1454061877637590390462973638319204264136337711006160 n - 1600838844636466591636842924599454519936780003458508) a(n - 9)/((n + 2) 157323 (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) - ------ (n - 5) (n - 6) (n - 7) (n - 8) 1024 2 (n - 9) (81539773153777131239018320509550656635034571321 n - 440558712121213950652795418293398275103126216118 n + 573628374461705593273154817524438745863248184544) a(n - 10)/((n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) 2 %1 := 963713084723284924920571963674166907101149355 n - 6896153885213783388527125959578915842331757174 n + 12381242271569019460471240179747664732001995899 and in Maple notation a(n) = -1/8*(20770491581051703536199824698389653695013366670*n^4-\ 264926267672372215863229295454428435865281874149*n^3+ 1223912769433081834646212884914364796114171291096*n^2-\ 2320049493956329001228996805612230487146587393835*n+ 1456370927093981056853377742763076957544569595658)/(n+2)/(2*n+1)/( 963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-1)-1/64*( 86446020936423198891627764579801085014603429648*n^6-\ 45742277112701105287114291992342729351540291001400*n^5+ 541928421479730342481594562924644163915543550447566*n^4-\ 2461831169407155444262925488572408668323709303938925*n^3+ 5302675220801183449764615232270220752440016256409182*n^2-\ 5420900480997190159885538759351275746785146636434545*n+ 2083609721575477373923561770429618668293308993610314)/(n+2)/(n+1)/(2*n+1)/(2*n-\ 1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-2)+1/128*( 13602356395607145404618420198755506926589814544612*n^7-\ 173837333174742604749727092393730487927047633926792*n^6+ 822915082939129730130527242256598308516806205001881*n^5-\ 1532055443300630637821206979105680403481818958176115*n^4-\ 312058229384697914800877031111179559169332626645722*n^3+ 5323622680191468695226851672006300484396461586405912*n^2-\ 7027625288830146809876117062004754495425413342305216*n+ 2863149117279965027920766474702329529170113037896960)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2* n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-3)+1/256*( 180935825044926507151227677333775003967389544383700*n^7-\ 5531341591380614730610665965782885834567242477768456*n^6+ 64247367601545374701435256070508444729538278029267619*n^5-\ 384983467694354014109501423904161938809166796458039500*n^4+ 1312834912684678245251718939727228954674515799799327135*n^3-\ 2577082950584918950359607681454161576306081719976062234*n^2+ 2715037840184475504560147070542698473280016025547791096*n-\ 1189692445803958600478967574871242934394788883860672160)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/ (2*n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-4)+1/128*( 60796898780664338201478385354530243543085099187192*n^7-\ 2621564565456288172497209608416797996641790406443968*n^6+ 38549196170588477659295229912823419749603029427995889*n^5-\ 283117106814487693703686108679094708861165980798752420*n^4+ 1170119094570118074337854579684571590766676242786505123*n^3-\ 2774894162442091603923369752532782036559566270824913152*n^2+ 3532136410448104036351027890627880738822752151296253476*n-\ 1872253719181417185889705395772556816084375854450772640)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/ (2*n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-5)-1/256*(n-5)*( 1359950368848115496722371659502400151730978717985780*n^6-\ 35893458152298710701594295751858167690257885946457350*n^5+ 379061550487933914230983262497008974969656213879593813*n^4-\ 2061045264946012046010461379601171455889775084498019985*n^3+ 6098031889800464382557871963450212334726428795820954800*n^2-\ 9309070850350093489814734257091673070522279150434302740*n+ 5718680844599133890670532721920849627792804572515278992)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/ (2*n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-6)-1/256*(n-5)*(n-6)*( 1988500301466509455921239970811451405186763404260462*n^5-\ 46703381637673385361445994164341524849220979357622123*n^4+ 413396473496164337798523378505925546524805362990672588*n^3-\ 1737190439163532002713170456588589098857544370639339737*n^2+ 3473763924518320549257764583422503000154352394540894776*n-\ 2641284854982460393694581087756890836099006559905375904)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/ (2*n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-7)+1/128*(n-5)*(n-6)*(n-7) *(1165114068447438067732522661770907405124543635244178*n^4-\ 21161020971830446067694853788285343286922579470055590*n^3+ 131671206185754445304576661950409464605612926351300119*n^2-\ 333989279118394478133424453661273837097580339045593718*n+ 293296292725581179668656318199754563079924327992389180)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/( 2*n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-8)+229/512*(n-5)*(n-6)*(n-\ 7)*(n-8)*(33729721902007829631588278450885805205160557136137*n^3-\ 404988356615295109982561791803069039678362171498145*n^2+ 1454061877637590390462973638319204264136337711006160*n-\ 1600838844636466591636842924599454519936780003458508)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2* n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-9)-157323/1024*(n-5)*(n-6) *(n-7)*(n-8)*(n-9)*(81539773153777131239018320509550656635034571321*n^2-\ 440558712121213950652795418293398275103126216118*n+ 573628374461705593273154817524438745863248184544)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1) /(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-10) Subject to the initial conditions a(1) = 0, a(2) = 1, a(3) = 1, a(4) = 2, a(5) = 7, a(6) = 8, a(7) = 38, a(8) = 58, a(9) = 199, a(10) = 452 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [311386533010801203432532621436960285393752847703702909974037264986391266241370\ 0005753822812800980728081738829806283100645928367114638254706946369929104255993\ 0023992196640043959457998385933841014259172253951347183324278784602252271780132\ 8975079700096955680005756551794390254812279521424637315460886017158445177844524\ 2146754320906599143579312450088916921517265246129179099133141446324068517412612\ 08765372206460013206603085584474817099372158418420347850429370821374221, 915483\ 3807426055221542306040011641990038311460291734459806387829459760785642666086000\ 6516892936152145334722605809982960396614565631878869610154010542789446548223875\ 0296902599887067917227617249241483308346697903345184487664352112678603278731260\ 5942635019787706252598131858616473833727166923600618573094949928956829116521393\ 4327618411873029382465893406573020294261045326725830039084735722346406325952806\ 0344623028011877976102345172552255297822804928668994741697852628, 2691545656775\ 0075257740457197095457697178672491044483069084768983908062207074580656036854456\ 6726556759758775060195162632726111376391088092502436719423248795636328502384486\ 7590393785278371779372858142320181694258365863672067237185669341503828333294086\ 2569125042359517022789134861599273542664215388743395905124431709475366920201874\ 4872650081646727261459184692779175114203528250154763676386437686507050921716008\ 6424228850420918631766428591083467316582189425715176209162, 7913228092205986262\ 5275456747883913314623774696562850836816216892043568537017297959865397512256821\ 0715529798768566737188840520084910436216135702590176899012702136734244515507004\ 6547707105387764988448653277380306678197701766176033901357229398198947969987181\ 1528556155045121469825180313157821538814339608652248171512488448150578135429237\ 7007177308451978261004692104902506375045329166793899153597176325021443034399263\ 0652508635407496578593449602709358993785546572020610, 2326517170913231601890757\ 4131224852332991982206312797718738359171392068877310861415566716798148300951310\ 3883478146946409796733549575704766540242528685823481147423516574770924546789846\ 7103929734945160864899132493915789648311439688928810464798576398145908188168974\ 8175995624953266613354356623678837497559077127563598674636317177128277460801740\ 5254451150836626461072667419852877503607593747854326311874591599434623723479838\ 68895610481705675002869066413435107757518241338, 684005327372659923790932944395\ 9656918135156355979971801159071978440855649102931104314443183032104384335048930\ 9910485152436540803759210985587597228922127654442997556768970989006413226455695\ 5797542093261493678090249795655927013994820398592973548549094389786019046317883\ 4156869549461796835343522873476444074060347821130946352354578206149846720526350\ 2524137988625523153674080289867261113379571333544296406244010896214655675056043\ 955835732575826034894312157584667413513624, 20110059192076591052639550358009455\ 2384511783780465233741564870688809896282786324552232245325355462319988628218098\ 9432078985429031342174691203857304001708729858788089005363341556829811605322026\ 0604111205972217192920374442707018693363300010220882143747127321153180258243956\ 0411528435730128254391407833419580962458772413157015326297763370224103123899444\ 6365697584969626537995348891239077657581561168288893441879156032666966444743014\ 15309585589556235380467411761317839508, 591245509005900163516839019900117138624\ 0769482910961798885996556136395379453602651758251775553691707472838728140196389\ 5981770256783877183182176529031835116206773047911347185974731838257691987684739\ 9949940160480687091683830480555853007497669914272942202962292089559989936320696\ 6370886646688024405942739726862205299993457112140374924547623436797022412151610\ 5030953850912529477263903600739039970288744043410649329239236455747716983167092\ 7526626089749649979715729457139291, 1738293079110968886126356730395354595398688\ 9305754518931104478103846814093427201221013420474561428118360076835394384519298\ 1304478484546105495755695136793435427643075015117659158677136853177678111522688\ 2507284790549243056389391524220430310953211291614068931106182114109032380992723\ 0411826548737352721617761102640339200031677884586279298526387434131666212069096\ 9614366319443841622317645926431861671026292419636445969566371287279650908596476\ 5291013463124404872014112554458, 5110681142723726353325185028983151071283733894\ 0420464597911328245443393278131277208776011890391610134800662709005342382600660\ 8690055775196281882062069014635701689079495353296021385221643526152457475631214\ 8006796013561833952180166267624038155170099981608388334796478872706124923726796\ 5195399763558717594300508579298890331199206382839462571964750204747865691323542\ 0972240049864205026836154133007228292355519705061911131777872032976975957515194\ 8598180274658865458344608775] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-2, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by b(n), so here are the first , 137, terms. [0, 2, 3, 12, 55, 85, 542, 961, 4322, 11026, 34164, 109871, 293816, 987817, 2684484, 8522974, 24638253, 73622709, 221470508, 645182086, 1953599266, 5702670578, 17088987572, 50388845772, 149381314424, 443275492193, 1307893669263, 3883792129140, 11458936131912, 33955194499352, 100323976024168, 296647340270956, 877183751319631, 2590971833391558, 7660557860546306, 22622122958748207, 66847040564920806, 197412123912173791, 583020785413567540, 1721710552355770384, 5082998791465246421, 15007904386258090962, 44299587533956838088, 130766767635141586866, 385943416745673293877, 1139008591260123525406, 3361242252930426098496, 9918118601874219047904, 29264650849168687035498, 86340707429165767525834, 254724520556263336533125, 751440233380578018388628, 2216643595428557980608619, 6538446188777141928251330, 19285419732647294228900526, 56880708592025701547502405, 167756149127390916131950803, 494736916761043304096827826, 1458984798545256153088626542, 4302391691497156488159438558, 12686806610611138130027096392, 37409178007657121471191214398, 110303403175249548504346884496, 325225334524179475721357318420, 958883416303446449464873406767, 2827048945069117930795396757028, 8334656203551611141591712181546, 24571368693331309939775173718609, 72436707987808749463884054503778, 213538575178539422075054407016488, 629480881687223732014357454517108, 1855572122247614918852242089371602, 5469687730912310069757587138499206, 16122672532804973859962000479690395, 47522762920421304595936409725021280, 140073764698530477479085053126339938, 412859926423414013921191443677872155, 1216857577874469694475892526888188387, 3586478001154390703180397157484685096, 10570322923174811070900274638720531728, 31153028623828517650258841877927701097, 91813063731973267799200751911666778456, 270583376558339938776124716723585989790, 797426027181299393978132870849729543559, 2350025535056343885089767317589524348846, 6925447678053932190934178755960823671820, 20408750759329759694950047625189273713916, 60142085870274244349493901404218368336216, 177228774133123351546755966393005367419006, 522256487338711682533410379242296982088918, 1538960559473816905322645072222818606622594, 4534875190281451448586351435069661282554003, 13362802540730724696509882277262725879914547, 39375336653770824646311195879701721026368556, 116023423019273778414976565521095563028903568, 341870696236398452760416685512733736073558488, 1007332912756072360818273631319182255741106186, 2968104923522366307761012377658469976837136766, 8745420175709977494239641905684133802790117969, 25767805838916270184148568631421473593510802578, 75922350648930617272273330099261382572318470533, 223695585799758511395399251113687281539692170467, 659084130656918322180138278320373415001716651458, 1941869652573710712051810990675453300957830429035, 5721306005302483462677505654898337432105708301406, 16856455589648421302746742092129424276004017752958, 49663054024790944908679349634892437454431334142396, 146317663214464416362475337385620012514538381255295, 431078488763062329946391762419859834160153598291946, 1270025074420138116726243226687988311037434244472698, 3741663024065812139573931705789954537522404871572356, 11023349155342973557326677904420588140494273595606906, 32475739465971251017792699490766666421960626570001362, 95675602123724529787241645186011003933886165810913249, 281864320127748625753129903168431384008444366319505082, 830377973304501836601213262153204596089434208697012877, 2446292721627810839394525642191317377152447925365141728, 7206725488712693310591812771485253769171147067712892304, 21230711830936702921277043785073394199133066086508797720, 62544368889472134637749428933583914565475859260444599214, 184250645660035823895400860419175793834126138011958467812, 542783987289282480875994313915224411221558089246299597508, 1598977301259977837235220261730401896392961249278301839783, 4710368562388153368834062569186302160587619373100600052572, 13876018027855186413552841704982348370407051018133724077019, 40876363153630708450117683197132266450694887849499440100641, 120414038441924557401549503945185094463172227701008352189600, 354714976449940733638976715462321913764401883985894899257076, 1044911496874366645722530103495647472646557682388630863486511, 3078060252549713387055919607417639102493152077383130649416860, 9067183379402750876430490323868975989736858585835648721371714, 26709477969433236907205340766815543200476006385488663155922793, 78678516543658638770423871284010843077668387384352990027107122, 231763334549871414209340319426494559336832312018757411724014222, 682701953012395386838842109547347500988385534220987750128075972, 2011015633746517561783868379669250054754067269749945962734215326, 5923763002955551895916591062845470748251925338920581101720167060] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-2, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by c(n), so here are the first , 137, terms. [0, 4, 9, 80, 465, 1017, 8436, 17567, 103054, 294566, 1117958, 4028597, 12396726, 47014897, 141602540, 504298846, 1590418143, 5250318841, 17138221072, 54303504178, 177766229474, 558117939330, 1798545759432, 5664865693700, 17944523679018, 56623917883783, 177446496351817, 558211816907516, 1740752987505452, 5444342495046822, 16937277231168800, 52672054628735272, 163486556135605291, 506235389010554106, 1566807636212288416, 4836894886478203613, 14924280503342581528, 45962913352098252003, 141415311536021856444, 434574763508760325468, 1333816836827887744525, 4090241375180646402230, 12528062982142650849700, 38341349547744999699570, 117222934884788987623301, 358095200735294536744334, 1093001737466328067877792, 3333406855216109417202808, 10158707193598373988592522, 30935528410896513877813096, 94142007487768153173122419, 286292714252293043310203496, 870081598519264084809565387, 2642650642822129636783174682, 8021556237202083558725035140, 24334934067521502241445357159, 73783426151599948364521699623, 223592616541197532035351285186, 677222210849865088980347882254, 2050168581070785586207638573634, 6203536712782648980525088808728, 18762354755639085924120600461804, 56720605411153268531279700327984, 171397875857122346274434234705984, 517711529735475806404220813524327, 1563123475791959120013922614384800, 4717670133929812124564686036872168, 14232979495852612277209644459597907, 42924279001089900586747603857283314, 129405882777519635852446879998582388, 389989836951885951177155633153365716, 1174911937928522444991346415769755014, 3538459254277281080933572222573189048, 10653296208719244857081024695394857035, 32064063264454547797882385530893567760, 96476501653301891566174687019282690706, 290199417104288872889192098996726859957, 872663681539712679449625722930772809299, 2623468994977217042111251265617226868272, 7884728895406197871602450016366209929372, 23690947052995394930688377319607953955625, 71164894891611250264600903109601906911868, 213717327887046533140304465486053644953440, 641662845926840030370730886423120057689509, 1926060305430580436484514887414389062023574, 5780044856096458613427071592993530116364308, 17341764800325548154225645646749054895299180, 52018576571075447225508408093191078909415504, 156001572815603940446022895462499101158212030, 467742685658850050161628544447448233116496750, 1402150558958405557047726484354597852577546420, 4202366640680097481351354759403888537122429549, 12592351593013448351191347483468311546461038359, 37725521367103734853322021652598879759013830932, 113000666597737222283672656971019001432744596816, 338412100941400273812271077165064336653479856160, 1013284987238516280406919558791855022088534174698, 3033470984478711640415888834726465190510136201188, 9079714870318974657530185345268818419348940719775, 27172542101337676365673957679234249398784769159946, 81304679529211310982849158239327831606713420541835, 243236921914128927056802890208018421965095359005375, 727567964227608510625871999349560892967058825664996, 2175951125098801304259827844131698416529945899067509, 6506651529726707340761382195088868831878189386198602, 19453605764531514121672729407541813464884648334729362, 58153799062535289704164101167548007403843513184711050, 173817189696879647897472622924573782321012267180828589, 519451739993341789300854503804588466866918459562147590, 1552160760630204656839768740700244970736495894490362238, 4637333607912298259279887436871521288279798679914780908, 13852916803518852607699805162100386848688688309568213950, 41376755106716134382698480128820516763589174052291175468, 123570553188433830161638171723583640498165921922342487337, 368992828816666339346765782388573919561757126719466114280, 1101707285565830775818656009624705408641200334633986476759, 3288977016459002300198564270231460192767638533895379677188, 9817540778425299198551171440855355987348673570477434181820, 29301696060211895344421326161363748962926953258703952222492, 87444372065662057405527457997584341996775110172315476768898, 260928124566381835673791352608110636661049521399574524969224, 778503718901468352179700520047209553256115748487481559174506, 2322480536117235481212015312399855725540196898202943979046077, 6927808433000863854521358739257490995639733889014811548085312, 20662974321414965207991499594149258771065283478801554748803569, 61623128752158123106699592249518614121724164233458403237859777, 183759305940478376994485139677259636794332401853465555262889536, 547911423450698044683062937405623470475464059849884581041504992, 1633531430318299308542349449374326560482450902016281641314425239, 4869691566957386167603807727338320357942226404310576071639815912, 14515530498592923991572495825552789463647310636254643745621768808, 43263587516489684430901583515954755982780795880793149934426253915, 128935037669888666136309387323445210385971563405560103610737763430, 384218976433797579409525924414166771857611740619200404893231058330, 1144845085427196931091163879301194203645977844434886176747963268004, 3410949543015181154482325849691295411245225454510714121035966218722, 10161670612636720608988187057853297185840460290974813469528637775034] ---------------------------------- ----------------------------- This took, 1049.436, seconds. ------------------------------------------------------------- Section Number, 4 Regarding the set of steps, {-2, 0, 1, 2} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-2, 0, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, 0], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 4 a(n) = 1/8 (22231375962546236877866608943076954364968999134 n 3 - 163232517721390751374934969191606422016226351169 n 2 + 333173355918907660798458663145983514605740834850 n - 188064294272029153389420367553057457707862365117 n + 30295243119991858291534509239147567220546529422) a(n - 1)/((2 n + 1) 6 (n + 2) %1) - 3/64 (276300381849864500145252515598360714435779534752 n 5 - 3334805037423958182903492520857833450915935988328 n 4 + 16397407130255477272322173146046300983292408231850 n 3 - 44595940522379448890994792838583646530773834481605 n 2 + 72996776187966366713126014392400908437262988559488 n - 66679821857162252371313992522734108704527433363867 n + 24934349856392613317751587087366094525148166233190) a(n - 2)/((n + 1) (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) - 1/128 ( 7 575874267445799574742117148325013240101646273684 n 6 + 10108483741198183452557884329353993382055388462328 n 5 - 219467328378977199924227034182534144881796042332229 n 4 + 1451533908834726827938714061450230695243746353351950 n 3 - 4764181395184470047034172798650290243554372233385859 n 2 + 8432521648257632592367282166568903571374188828041662 n - 7631528008476220566796435687054168464142281409869216 n + 2722604216208170039047360070398942861195789031226240) a(n - 3)/((n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) + 1/32 ( 7 442071499928735925318101597840296255038527373982 n 6 - 6755165864222246798698101209201104783749111469063 n 5 + 23982686719478047896724014687965399771880255603034 n 4 + 117913070609093447597587212546025798387836116773340 n 3 - 1169409147262588498217329292432108619543891849373487 n 2 + 3647851976420611429704138477953566039458235849141058 n - 5162610546164487753215620400329312523137351687267464 n + 2811903675109501437995697142140053974069631759578200) a(n - 4)/((n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) + 5/128 ( 7 2043015257736496758798768085733193609242637132268 n 6 - 25449374765017626685230395121180006205808403881516 n 5 + 44661655864987603974545549001611950377078430920325 n 4 + 846735167548730546641686200021957256236490972336610 n 3 - 6230459381007862314762312465186378099034464062454029 n 2 + 18755015736096944714488774800125403994243049949085798 n - 27154017978460442802533342172741582161245995088766232 n + 15551487510917913576331476656996405630808155619954144) a(n - 5)/((n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) - 3/128 (n - 5) ( 6 4013529044723302602850906188792187665753385056054 n 5 - 87383887711240657329839715732116719182079321666411 n 4 + 750765999609331606895028514252966626434833172494027 n 3 - 3264584781014110399822795104599095350290160345414700 n 2 + 7637378021895569901513255460309878864752950399868116 n - 9326560013781200910821556926750127402932610669305784 n + 4841240590935339923164254504983564418558155480000448) a(n - 6)/((n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) - 1/128 (n - 5) (n - 6) ( 5 6897796244318492163894009885874984110186853362758 n 4 + 104558056281338285478332781493647680582714079689354 n 3 - 2667110967727853598663964096562763666196527502203159 n 2 + 17406070510303434068096310217196759488750620005516101 n - 46487197200563078781622924878772299719458723165635212 n + 43841963415464021611225018855345853266690694970943632) a(n - 7)/((n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) + 1/128 (n - 5) (n - 6) (n - 7) ( 4 201539709026713193333764922462588049557885190824 n 3 - 184740693528078922379289514537040744051800681895119 n 2 + 1596785692988087990125641121866368381718852329601196 n - 4762695832879274130113118851075478339085584386680124 n + 4782019485974688250949960100620923711755432234153552) a(n - 8)/((n + 1) 257 n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) + --- (n - 5) (n - 6) (n - 7) (n - 8) ( 512 3 329325923999508051101811291630036603961910770259 n 2 + 549900941942348641888132039406220231102698601787 n - 12985909569426875487006965780921961038356395239826 n + 22630352452907402604180901278044552135954480739336) a(n - 9)/((n + 1) n 66049 (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) - ----- (n - 5) (n - 6) (n - 7) (n - 8) 128 2 (n - 9) (319047264867546703304486525881626314688343376 n - 3933888307549927938681726347315071913000495539 n + 7316829452748754716494630443053557017787828372) a(n - 10)/((n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) 2 %1 := 153972970171936509086763581396379468280557769 n - 1005547317947263360714544592523983450878071608 n + 1488669959035064836877863318230273546804322119 and in Maple notation a(n) = 1/8*(22231375962546236877866608943076954364968999134*n^4-\ 163232517721390751374934969191606422016226351169*n^3+ 333173355918907660798458663145983514605740834850*n^2-\ 188064294272029153389420367553057457707862365117*n+ 30295243119991858291534509239147567220546529422)/(2*n+1)/(n+2)/( 153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-1)-3/64*( 276300381849864500145252515598360714435779534752*n^6-\ 3334805037423958182903492520857833450915935988328*n^5+ 16397407130255477272322173146046300983292408231850*n^4-\ 44595940522379448890994792838583646530773834481605*n^3+ 72996776187966366713126014392400908437262988559488*n^2-\ 66679821857162252371313992522734108704527433363867*n+ 24934349856392613317751587087366094525148166233190)/(n+1)/(2*n+1)/(2*n-1)/(n+2) /(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-2)-1/128*( 575874267445799574742117148325013240101646273684*n^7+ 10108483741198183452557884329353993382055388462328*n^6-\ 219467328378977199924227034182534144881796042332229*n^5+ 1451533908834726827938714061450230695243746353351950*n^4-\ 4764181395184470047034172798650290243554372233385859*n^3+ 8432521648257632592367282166568903571374188828041662*n^2-\ 7631528008476220566796435687054168464142281409869216*n+ 2722604216208170039047360070398942861195789031226240)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/( n+2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-3)+1/32*( 442071499928735925318101597840296255038527373982*n^7-\ 6755165864222246798698101209201104783749111469063*n^6+ 23982686719478047896724014687965399771880255603034*n^5+ 117913070609093447597587212546025798387836116773340*n^4-\ 1169409147262588498217329292432108619543891849373487*n^3+ 3647851976420611429704138477953566039458235849141058*n^2-\ 5162610546164487753215620400329312523137351687267464*n+ 2811903675109501437995697142140053974069631759578200)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/( n+2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-4)+5/128*( 2043015257736496758798768085733193609242637132268*n^7-\ 25449374765017626685230395121180006205808403881516*n^6+ 44661655864987603974545549001611950377078430920325*n^5+ 846735167548730546641686200021957256236490972336610*n^4-\ 6230459381007862314762312465186378099034464062454029*n^3+ 18755015736096944714488774800125403994243049949085798*n^2-\ 27154017978460442802533342172741582161245995088766232*n+ 15551487510917913576331476656996405630808155619954144)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/ (n+2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-5)-3/128*(n-5)*( 4013529044723302602850906188792187665753385056054*n^6-\ 87383887711240657329839715732116719182079321666411*n^5+ 750765999609331606895028514252966626434833172494027*n^4-\ 3264584781014110399822795104599095350290160345414700*n^3+ 7637378021895569901513255460309878864752950399868116*n^2-\ 9326560013781200910821556926750127402932610669305784*n+ 4841240590935339923164254504983564418558155480000448)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/( n+2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-6)-1/128*(n-5)*(n-6)*( 6897796244318492163894009885874984110186853362758*n^5+ 104558056281338285478332781493647680582714079689354*n^4-\ 2667110967727853598663964096562763666196527502203159*n^3+ 17406070510303434068096310217196759488750620005516101*n^2-\ 46487197200563078781622924878772299719458723165635212*n+ 43841963415464021611225018855345853266690694970943632)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/ (n+2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-7)+1/128*(n-5)*(n-6)*(n-7)* (201539709026713193333764922462588049557885190824*n^4-\ 184740693528078922379289514537040744051800681895119*n^3+ 1596785692988087990125641121866368381718852329601196*n^2-\ 4762695832879274130113118851075478339085584386680124*n+ 4782019485974688250949960100620923711755432234153552)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/( n+2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-8)+257/512*(n-5)*(n-6)*(n-7 )*(n-8)*(329325923999508051101811291630036603961910770259*n^3+ 549900941942348641888132039406220231102698601787*n^2-\ 12985909569426875487006965780921961038356395239826*n+ 22630352452907402604180901278044552135954480739336)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/(n+ 2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-9)-66049/128*(n-5)*(n-6)*(n -7)*(n-8)*(n-9)*(319047264867546703304486525881626314688343376*n^2-\ 3933888307549927938681726347315071913000495539*n+ 7316829452748754716494630443053557017787828372)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/(n+2)/( 153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-10) Subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 2, a(3) = 5, a(4) = 13, a(5) = 38, a(6) = 116, a(7) = 368, a(8 ) = 1203, a(9) = 4016, a(10) = 13642 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [622356759067183312895665151722921998943861202595048875272231383537614478141818\ 9733593026342428070659080378505318599121908063583987212905341619662621490729546\ 3454996443263793221161687599297970688251103163759565402019547315640757555492664\ 7442560815302190180768793951841974618538459206719210083710182179388956038564940\ 9707321015830463290770094478168892855452466731923508472891564316575186016593672\ 1856058010150216933699097132768525473219959447232882910476052385284998054958255\ 5744556134894087675488294926938569414155483274159326291366030488444744065611836\ 1455373480396462062841767383541925889251, 2451168370722676940454705788581628778\ 6975139146625202222354181369155627210665489788338242147429241568799954057241478\ 9436197974004746192434378953992286105664621824607242524983274783910235153949404\ 9051426360777010637810964395107634464585043808315840240472653445867332155357419\ 2642874188550695597393296387975717953652200809834847632025059060131593812872899\ 6585137828326881048773438200440423495162227177799598584701888544012846321017305\ 5078853949747049168833734401639519162285419040207553083326020991465218005983104\ 5565649339280979760205795380944139671935477586899380534230791147391154079104255\ 042, 96540051317508806329642439122880806924822234442865702725797379044552640441\ 3934066621173743380323046611721269694827499505741292441178792784530879039678512\ 7499908296351746285576439412063719895496911092340829554660160215309129835365213\ 4998654670019665793640884733646745923285756707559434965610036390563943840266098\ 8412875220396149381445651908388758800663060395510919608621090545348612407182047\ 6310668692233621057571546244124619883090508146935546134831453370846316223991300\ 3520278766052730595366773641299132246698689026273586134950115067428749001114487\ 944662229436109528395201963105000320153941723, 38022665016751023557072348270216\ 4901929694452681396451722088561299478574594613494140026950564282960587162336979\ 3808934485346162623995649269897748854540382226516755533259056429892868129627994\ 7936326368135441140131919114542911954353738018382580381530117630881781855240329\ 8088474974174626451805144445247558708027363303953066125928159801675055513755765\ 1212344946164228290631936995075471400285787711569595191675979540546845527408756\ 6395924934411100812017143042208810098422653541294841976333091203879135309508248\ 1949036651964208098894611946243824345193521527638736412205126709632028596154671\ 953237152, 14975392944830755585119189896276204327629271934644174088395823419162\ 5958468970253849251053776919936717652388476532180076795592216978601077292803237\ 1475627597488423589519583427875468931091914690214318698640758306415763531654587\ 3542756023376484806623453666121117502543474580973158001590991919900678643871909\ 3474676266659522207846012651340910477006956992646525823596832267872524645717346\ 2428446930552223573517556295936087271394091753496083492576012937628956906003886\ 6844859331612235875481525616032853354743484004718820482594116077533728898832955\ 71257131534450858617570757215769581978943584941956764, 589813276781463115492455\ 1192724511166027631384194000307829609396353029259021853914834889429597239484401\ 1432919563797111495108582327843139666338409501629247864435187183180487289329035\ 8542756440171806223309243849876854536851295658587830917660852115008999417913674\ 4192657736622069720972334913588369144755841311347226446993114756362784566301365\ 0186195986732355632446861036011663543540258187203396936447445370859543740216179\ 0102900626364877882721812287252574686923264806800081035724471358786454519997686\ 3709433990551439999964115411108939197777303486206549400757142129933227030171801\ 253266278830469144, 23230122752975211630819520660532728153682881954258239017269\ 7677020067254092664352588277652911458859932123920781843370308893743259638942699\ 2467729378344846692977899965009301927744438721146324428294322599466642168141410\ 7928991013192163240452121858798678046847076990860350357190672028146827394163736\ 5821991802565770809022646479997644219492138459723588561709265171131732439098131\ 8699525396463871427180432742819318111543195533031286312507133281030925402593240\ 4091570350860626877540057895099517138160233073031992844922045355675169867666656\ 588764548992700809001291525045475738246055134963210413189111328, 91493260922434\ 0531233025323209342941581669183610155342547445298701489410060852230597421735756\ 9612746839572534195993461617752710982026403417180686606997969372830360859520852\ 9452957393342011728760072163927332293392323128630570196595722349668281715127017\ 7700587964202776308771361996317014858981750508721118569580180870603500376673750\ 2741564082654423419321180344095127668232749429273851994793288852401295693398726\ 2998908162346784609031351755763850166929556999621299690507064507480707399625201\ 0305761979621128515123523719111116845407747263697333107960214139672268654392910\ 46242966494311102991072847863, 360352341850535344804269721525008139290174994730\ 0025884748695541661307295867052313277840076857271375340510523469265986462015414\ 0078132513578092184270648367528499369345493374227692703118764994534551287452572\ 5366438450017372701985424926104112226809662115819752895424110619993691587384946\ 6632920129675430995230527302798896686204613303000090245405598762552352308303480\ 2822121775519699498763874166068061045126832983443591317666740209033476810691213\ 2484900981246497253008980595430924889229226546143056814148727807059127223125847\ 920872002830183260615612259913435472536556821983490371659734195044962727443, 14\ 1927394466942124504120606770581234562333730535212583425722590125878901570921777\ 5225340674191070799056094827857342037657586272435688880083918061392187748079789\ 0970218160318297621511557205004704949686930811840841231861172523216993838899627\ 0515730204361615163475494520725636369420356408776068745562402351257376183792616\ 6791920661659521724827573484566030512324696391941992548914895990395148188066336\ 7560542334598180739285045467733414997266763958309118083654341981225190855434480\ 2722668839226166303578909939062097196282229755306451225523920217863355284602070\ 0381012964115628990127989088322250801742106] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-2, 0, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, 0], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by b(n), so here are the first , 137, terms. [0, 2, 11, 47, 212, 897, 3756, 15577, 63966, 261177, 1061007, 4293193, 17316908, 69666454, 279667076, 1120663484, 4483802537, 17916483702, 71511021581, 285148949519, 1136063512793, 4522827784119, 17994159319384, 71548226794837, 284340721966841, 1129471727555198, 4484642825956688, 17799753572154674, 70623459009487996, 280121349510269022, 1110752877957989544, 4403247795923950460, 17451088366844184893, 69147087305818074165, 273926879390853155855, 1084954298251214189170, 4296454992623650733653, 17011261879838965529096, 67343415953064641516496, 266557286637315615159495, 1054937769405692498236924, 4174531054270579276412103, 16517203317602801864329499, 65345608665419831521148900, 258493860473269579544157549, 1022446566609021425374361241, 4043803088385977121798531364, 15991920102261158697295834388, 63237476617959082400886643712, 250042415490281994379985145569, 988598301361619854977898749982, 3908361409272407826348226925317, 15450402690209461842390618219152, 61074027924856571871952887829438, 241405046751457004206128106466640, 954136278172063890696070693262764, 3770942713021327098255729480019918, 14902736713846768447496164377112766, 58892464535780124725738190938361239, 232719090320086971675739475059323867, 919567874394985695131534506101745368, 3633422759452851759810765599972853473, 14355861155670309580147641296129162752, 56718470297871751527583731637489307892, 224079660060091938954900746775421603141, 885245478018440268343639784551664178953, 3497107617642046478127034707324720025491, 13814618333703687043631417698254876633738, 54570003165714997821920513046945998340897, 215553367735904669760368818713387629924879, 851416209850659554676925714015712597070728, 3362914152498975848911863531127938909384713, 13282410071539478692561656092286087599641547, 52459684337798473305618328822369648753301675, 207187034574604253181265061506686647657287499, 818253733264302795025712297342334597925296640, 3231486333660658514616238335572305029459518158, 12761623526866181598785362588930198502900367095, 50396359271439341863841025315778695196436549804, 199013420704020824118299375412448941425796696800, 785879308101814839768996869031478918741569073799, 3103272691063969572032834638332691318358058123586, 12253916461692274648684948244054227062908477184535, 48386149472760063128047300215591784886848176476479, 191055107157594875868934966530336618607617722703261, 754376133140670297039660053381595802838654872565283, 2978579356834782014014965857835444220293287445197504, 11760413591428997770112447877038095674208809456704157, 46433180010489698923916324800556501413928588904741173, 183327193888798862461074616930269639661686854894681165, 723799360531808470889085503818731936081787087592574100, 2857607268229426551751118075334696981132020654797791385, 11281844905127330383165793052932423361907060021884101946, 44540094201218135356956735023117362209722445409699922825, 175839216388495602998917775327037115045856549373681241880, 694183238414928908358942508163577756269199929258504379168, 2740478805414513027286804821164831290561226542418798227256, 10818645079760057206219006024546787089626281255041459295120, 42708424888813465854650789507194799316261648706566815358260, 168596533226238372284268679807498718281057961068345159718988, 665546299824236581171411567927251605407719924819617227498828, 2627257208486627593948475536747413036339946707008277722280209, 10371026184274949681418086552115058662782814093649782751103368, 40938866837766436174128075221780911461403316533433942428132114, 161601347198855660673569096179915238051581431093396855497539749, 637895192954354452963108501150862136252018068164874889543265564, 2517960952530014194188335648167328480833949904112886445497567112, 9939031658525456297767795781487505780650107957010485142115872220, 39231479532496437364446014540751590749334513908100013239247548451, 154853467637290435762373795016932833429392134188127776951446438253, 611227548031276561498640389299530744249022903059451706320747115808, 2412574534485662910421281293630987225760036176947921404875365161376, 9522576918849535857492418075614675736176752492119058090289596288604, 37585840100513313880450737195003795597357895049092503983803722371446, 148350886579005786490582670476447275221119484006642023154641292764061, 585534149101931803358250235241505364917771132011803128146903842430211, 2311056662770747151437279952407153096173454527168768233141924061285518, 9121480252848603895876942031095191386460437831786532874266503769985353, 36001159906539639266939448070807669197515836215121134749516864237911828, 142090218951035511526255342764152613780299708132654727177067251719041981, 560800596489796556867879769635923998643205096199140371902739505023723126, 2213346538179837884643843840639803217749094412771321823880314755041459725, 8735486557390960838028467319156685003829137239295423210793117662724179263, 34476374297863807061872774415440740539416274442004177708137270861852658057, 136067041976845824743804046511789433842157117852051276745719258261682789276 , 537008590796321749039939069387590831743055543534478676445700152271061233846 , 21193687128309209746129490650364034970294117366912643674666890858332784\ 56224, 836428573132580858608982626744810888533409975308415391058431738997\ 1323313996, 3301021224650919327877697534332720131527476480644294165660666\ 2062630733938845, 1302761589412884811128515303357953877478662729603201504\ 24842606896252430858489, 514136932154860885863921858094088623732518422116\ 921682020790347340455616498563, 20290368767206698421526340413805040799664\ 06328940266103231373501085294725837154, 800752702767154447904743154695773\ 3939796110722687349194578141669296976687698281, 3160125076103372304308473\ 2294449572143566088917257938822873982819751623162814267, 1247118055218389\ 66930651757049789190196618700246556294446471310532928778885099384, 492162\ 302812242436263343119721637177995943207517733990762765380687880322844024\ 905, 19422568265372708518178135552861193867042197391932939171173913662485\ 66251595218023] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-2, 0, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, 0], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by c(n), so here are the first , 137, terms. [0, 4, 33, 219, 1476, 8369, 45506, 236207, 1181086, 5751817, 27385773, 128040093, 589660254, 2681026124, 12057827528, 53722323208, 237403586911, 1041600950330, 4541064013291, 19686053645803, 84910333099115, 364570706391811, 1558871167935190, 6640619189800847, 28191524295406617, 119306577845210826, 503449040283086492, 2118794631436812362, 8895096147986943524, 37257858824100075432, 155725484389000070552, 649588366209086969040, 2704641615535580609397, 11241521103771968728129, 46647738833907562612939, 193271797177146406633832, 799608366667738436258535, 3303638311033632961484718, 13631588429771315128195746, 56178373143475420499266473, 231253427271447829449384100, 950887303972453267946190295, 3905848733343931822852576263, 16027627534924092202062948874, 65706891806664955065786337941, 269128367984489903256681748563, 1101368467209938696161755864608, 4503466906895908824316357549396, 18400007321524671279626711277070, 75120804058853013581566050175089, 306469531606721303379178292144668, 1249430302871257981862827234771291, 5090336206022281304274369064276774, 20725353687785079494636966380643576, 84331375623468929652524211650764808, 342940099747527950375950612922568708, 1393794514435173368628738111125426858, 5661606178869607283651352933234195668, 22985266090198590628156835223018495533, 93268821887468198802282990081579455015, 378275495767326738689486738283716540772, 1533458363265684961181219204384685686285, 6213477999894010948802475504456150809488, 25165359313471207550903921486503284643336, 101878696613616952318442169136539945730709, 412269760188471172340171977059127309984509, 1667643213005808864628613931289526866437419, 6743009947268849122240125935288614339596504, 27254527404716866999846257071991094220972033, 110119104185087780949679467223030948671704181, 444764983317224494156090999168911814349322298, 1795754439363899727758338630372438907016654731, 7247965189493724345430034452689654035096725193, 29244365316065535485067577689115682857583832097, 117958500454967123281870993854826992122769230535, 475642937356888129145103890628363205323904351858, 1917349568598127963591355039013949588361456135456, 7726690392010882957034037247080438680331912030697, 31128706107920005483409266962646265493509401539728, 125373927352787247185323274150628696590834101502604, 504818338292712143955576855182651786014468664586881, 2032112545653639812652205052604304451692991041546646, 8178017399764254226564420652479798390434334495877493, 32903245105068746192699987362915022149988202353565455, 132349575432226574139283106743321900333827761296190967, 532233345669837506150438497310196763516699789462243235, 2139832678932766917405852091146464445788456202145541978, 8601182601899619506344623526030207293802651809616927991, 34565230960580189621377445177740123823659428574953720327, 138875599784551449208597166488644281809036992466594316997, 557853022519531162613648514621052402497202936538528829974, 2240387226210103923532840307543318316160383459496406435719, 8995760114212391718609529978588951679232792103879675185154, 36113209191621024305879560008149671330025137336379449204737, 144947135339717156971664919943742761670815498201805397162680, 581661553413444054896900609017601255177990944599282935003056, 2333726864921469686115653174890560841411277702231177434671304, 9361605941974137401992917796803334301055911983540602804729432, 37546807539909152040114076570542463952652760037499945545671024, 150563471567586093727364002302568769004736185780734541427770892, 603659070344311070269888496906330697134430202488219922759695894, 2419863481438648067480304166757951704258383968189099453357860825, 9698810994678057513206325425730616866836798420485422021771050336, 38866555137961097520338415961649089967085884360285297119610917818, 155727356346563591968058305785685260390016588512258814307732243631, 623858972367743550737914857487377862437224356830436260667153276758, 2498859848670036670317905124661188472346009531277088544124377685492, 10007661325613343986236980616714911391992337919150272404312063285600, 40073729329674118689824085355610762854031210679513994844049257531135, 160444405727996792111323789182731936081358700754422025513548130530769, 642285650909940265559383852574649801289565236710609104333327414344896, 2570820858294860219364733791452837303092561130510633427063149132064624, 10288604331522430181627097053373629630822838535550069620038992195737948, 41170225348823375000080535249269637832505794408374150836900332196173852, 164722601395897582957509652310696990659544461300077128780188558252147531, 658972551639164935191494295462062596301944449923762403491906944352269107, 2635886045124090934830818201592209981134549134723623845007734604972495554, 10542219914586822101364608903785598571447601006049608671379244687990900185, 42158445061144074249353238476982537603773704818996158267660148983741502098, 168571861385223003042758293294700502719915572153454746958579406041037756027 , 673960517943988763707019385185579229679422852119715066731300687119629111862 , 26942231942783259703610585276512172938613491053097220981832723350533568\ 22669, 107691958091795736321582458791240033487264780759375246340588049838\ 45079196109, 430412017295110392815573882910139548401723072126379082233202\ 15002348626249597, 172003672462362638930401778004904431755305010324613408\ 341964385519495001812334, 68729637177023351688609912144050205693184303869\ 9659431982358283861591635045252, 2746022862271698900985001675673876228221\ 881617885429181655381085497025364819520, 10970306428313466441119520046563\ 707768354414538722615537008806897485683237190032, 43821638337655764393274\ 798544802273340900953954781060221625253780539214895868429, 17503077474786\ 4898492435328273799549821347113794411078151278247662974382369471405, 6990\ 316957974448420714110586687183716235842299488942944251126431188818546574\ 75675, 279149367422113033345099643392925581976112417345241705570703026870\ 4908881270366720, 1114639470254326145520208054684835099981076347387769858\ 6371546790499220188776383521, 4450315745408231633750619565594370781510354\ 4541230778532683282327199942579757501265, 1776668908521437167237693325258\ 51184729742315498684500968362643152307933401542067194, 709221787344950816\ 574722648381251773365656677489414736008735659541219242285064377723, 28308\ 582837085916319211819980080204128214915486352008312956424326525810203643\ 84703709] ---------------------------------- ----------------------------- This took, 2338.827, seconds. Section Number, 5 Regarding the set of steps, {-1, 1} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-1, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 4 (n - 1) a(n - 2) a(n) = ------------------ n + 2 and in Maple notation a(n) = 4*(n-1)/(n+2)*a(n-2) Subject to the initial conditions a(1) = 0, a(2) = 1 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [0, 215154177053368964131601584336984398352019594639402338982910885783597787798\ 2900462759827726287877412788192290249036330931022512423763871440127268283506437\ 2760382752403401601982450924966307832560513152081119085900086330608165505178360\ 02223403500935810604152431867261488696606090905091830440025296320, 0, 858050256\ 7973322903538623820675759504853902720609166838960621011568532054142541408143567\ 4332673600199863096108142482700748134392088873282483007955799481375263077139803\ 6254743077466311777604614639947973652582232913979705765010007709546811162509518\ 3371912385245180370867446106994742771792967576032640, 0, 3421986143179837110339\ 8083094361659930072112040524653464902476653279264739735135377715417739816257222\ 5644490431282520294650297873211577971807234109438407865632510021835887308251132\ 3981494018403623602037781131524121228588467599435508311687374293912416179344115\ 6374098102314831467128911317192118701600, 0, 1364728731161226126777103749545433\ 3286963412603884485560062096629644443403133972802122544817423750900246495123338\ 6731856123900973593686739647479108199792760670074293856926146300550623737206991\ 3841175149324989879124783044984900052101730641261748106852709940405721533338179\ 44694207520054243217677356480, 0, 544273237052046309058536633711992975752809617\ 2853535940752037746763337309787422354680493170268997888675380861442182309993241\ 7423856138308420674474376913397437195637352426277319073351522071879172559119591\ 6567109896010313197535238170215896060515351705290248960226492940009115401009437\ 686685401725109440] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-1, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by b(n), so here are the first , 137, terms. [0, 1, 0, 6, 0, 29, 0, 130, 0, 562, 0, 2380, 0, 9949, 0, 41226, 0, 169766, 0, 695860, 0, 2842226, 0, 11576916, 0, 47050564, 0, 190876696, 0, 773201629, 0, 3128164186, 0, 12642301534, 0, 51046844836, 0, 205954642534, 0, 830382690556, 0, 3345997029244, 0, 13475470680616, 0, 54244942336114, 0, 218269673491780, 0, 877940640368572, 0, 3530129914546440, 0, 14190053209101764, 0, 57023960788157416, 0, 229098085369281032, 0, 920207327979216432, 0, 3695373947956092637, 0, 14837029856701418746, 0, 59560455557217918094, 0, 239054766271021403140, 0, 959335350578992913822, 0, 3849301200701832108780, 0, 15443155607131950177484, 0, 61949356291314807411336, 0, 248477850536989205445734, 0, 996533529190233313891756, 0, 3996248035352571153701044, 0, 16024036571322189058763416, 0, 64246999764493841586714364, 0, 257571299177568363039945496, 0, 1032542314564350700233035704, 0, 4138909586968935974322189136, 0, 16589507121632934944175186034, 0, 66489356384773909142178736036, 0, 266466977784275253706769552716, 0, 1067846172794857175480701985320, 0, 4279069476849943018308038757436, 0, 17146147074345544699182297447256, 0, 68700746168837961230979743634904, 0, 275254944393379798395366584049040, 0, 1102779192190128012452458816072132, 0, 4417969225688356923307384922752840, 0, 17698577855610202545133784911924024, 0, 70898399882729932484568637966508176, 0, 283999544526047306924005195309399816, 0, 1137582029068785347738707554016638160, 0, 4556510244233726246605317296913768976, 0, 18250180714677950613246980646201349216, 0, 73095018709270574432775857969751776989, 0, 292748554006958114390582440921720654906, 0, 1172434634600983377231202253581126484974, 0, 4695371219988493821659802930030355084996, 0, 18803518604975931804102570272735477289934, 0, 75300293343902687502136466731605610268236, 0] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-1, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by c(n), so here are the first , 137, terms. [0, 1, 0, 20, 0, 189, 0, 1356, 0, 8426, 0, 47944, 0, 257085, 0, 1321036, 0, 6574190, 0, 31911320, 0, 151841906, 0, 710828600, 0, 3282862644, 0, 14988894992, 0, 67769474077, 0, 303823057164, 0, 1352059744070, 0, 5977826290936, 0, 26277396651558, 0, 114916296684008, 0, 500229317398156, 0, 2168403190878960, 0, 9364025672275634, 0, 40297947939428536, 0, 172873611700777356, 0, 739455580528797424, 0, 3154511902367617220, 0, 13423843737179250416, 0, 56993411128258879976, 0, 241460254460534022176, 0, 1020946498218797015901, 0, 4308772285618869162380, 0, 18153017550341268711094, 0, 76354667699906433047736, 0, 320668578053616980765406, 0, 1344776600952036333254664, 0, 5631867036981653358790300, 0, 23555689212083542589623856, 0, 98403480398192679498678438, 0, 410604803814221721609706728, 0, 1711441708878193135640460836, 0, 7126042561050480982047286480, 0, 29641822660394962637945459964, 0, 123183350602529785088714285072, 0, 511456551424393874295618912472, 0, 2121743245117720727751876958944, 0, 8794695558132526284091420808690, 0, 36425722194740800590103434978616, 0, 150754195571207405087932237610460, 0, 623473668315602199820103323200560, 0, 2576719033000047711797107901881276, 0, 10642122680809654571237627902498320, 0, 43925125043159730729075621400838264, 0, 181189053083912965336427165914558816, 0, 746956241643099734719660086518023236, 0, 3077599614298253127626989451101493744, 0, 12673361124928879169511886278484505560, 0, 52160618802247634101952712284491175136, 0, 214571949671081824616756677488531685640, 0, 882246787930782317844433789760760317920, 0, 3625779601415665605768626029017846127056, 0, 14894083442225287568211690426745952168000, 0, 61155254848402897914007235989365715144669, 0, 250996478576640484384596719388549419495052, 0, 1029725018125971182034393417555774827559062, 0, 4222798392535654364219101942576372270174264, 0, 17310526453840527764125080202637055413165070, 0, 70934286164842462112481186955766568840107336, 0] ---------------------------------- ----------------------------- This took, 0.873, seconds. ------------------------------------------------------------- Section Number, 6 Regarding the set of steps, {-1, 0, 1} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-1, 0, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 0], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation (2 n + 1) a(n - 1) 3 (n - 1) a(n - 2) a(n) = ------------------ + ------------------ n + 2 n + 2 and in Maple notation a(n) = (2*n+1)/(n+2)*a(n-1)+3*(n-1)/(n+2)*a(n-2) Subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 2 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [183123989057219385791947265058361023446317853212097647026584484367614008333274\ 7103176965804740750128661380072696117849862256300391896483945180158890099463701\ 0612589193934711165700632385716705798165356015923388454123095861187341911216909\ 6990378407431653678821497804270241555242481991436717034205518157247573077208814\ 7718697478308458333186992047549260491968977072814653867585474342477577503485556\ 6091668724914270146256660590489542463038309377593967119883457841825794407979645\ 7, 5485510899282577183353507137205531488634214960989721171095381460490448609200\ 0498486048125262638740199181879395158368089999243805018885849064520034888054942\ 6168863297667097960896835841200021957905341897484406512350960905441287351548978\ 7778586308207192162136865077200073817864794221431012599839228421544837668510092\ 8996868676612532423072870520269979966969739084440890908466161568681659152547494\ 5653256509590444367297245528449232218680894934828239199432537626116251442979877\ 164, 16431967647681738451638232449776949315905655815186095184087124568452544725\ 5350625256714606460321293977431957145600146590535230553684887767626474911698225\ 0235681515492126908482747174669455809199809822676706329280815242585878562400407\ 9410076769647262915600989116849688469267268886578183711444702039122236170395423\ 5357429989532496820726968012054856896083678461485852414476170353857790015819818\ 5048997812315043726174887608948206691253066156929443533059586865431184676642750\ 727978, 49222390954407442638222576508402917917450114662352819312780353948943262\ 6428259349985346375043802633061629301198352111414704774146774122311129949187455\ 1604320900869071931666904749158009053267150850007482140750219504834711235452786\ 5113624522859267143776002243501757772521745425804123118283504296853794235470048\ 6607881141577354585708649607359456958125201512896650258589886879643201255719852\ 9133076448562403857348893187493212774336454692566729771600067398129590689677899\ 813780213, 14744718447282101624806351290677898636693149543329894571248432074628\ 0005847104829800770204058746259438625777520599179502051977679926677450225746797\ 4188064945303314038325802432520858675333368177774235446755165092873856332965315\ 3429695201794111237714204104338719164462980204872410969719980834020210011557385\ 8489446409687670360670534669710829411834335728329886907552879509904674110962143\ 0261670306287931448566914782816437636830957762127310463262622573089699829752253\ 0590358197297, 4416832252691737552198342456886715248787154722363338570905393897\ 0071982999835537342215511195035983543455845680582272810432948459815952339693463\ 0935735901134687220554001710105996662664005518867841350516883292016184105204731\ 8123810050416567974999063744179237128716074642307406155081861754354705177001212\ 9972156346021712843850043390619839733976418193707280178639380645962731381092316\ 0112546951979078060274873828387808087119701605200025008415830733795629970419532\ 16500938819046132, 132307958538786813062896103767624589047176504437453809732181\ 8186580003483739592124662405378027028027142128728464718652990502259765421359950\ 0540982855478679751112880010705381939723195403238166845912641718043035060855320\ 4045939952253058486480994991631232109536568946732722252268544307362985534571169\ 8605768923559486225917931344775019447926583537901514796625568157100700208057121\ 3845900638603373005748158226444589523164483894889172751837604120035560859790503\ 5081916993769495953814, 3963343116104459340591815514077687760138761916959809826\ 3055710679383580526017711866855467729530223698945294488353742422623984464533611\ 9128851350128594871983533619919980043739352285784237010965600920766934030232937\ 2970246635063405901406452977144750850562571177406714602424649164345455393474048\ 2519486676063145175218154668121111109354968577053698425616254732353154073533205\ 6063032830184040657649906358772739377155088169068338385688447643086657011823962\ 166850990983787890342254661, 11872386169760451667336155985020592641450818797755\ 1525673710446907868204184287859652791620155745647071165699624885556891899716092\ 1856620939710420604532860346615264203722491651443614666041985464855249568737317\ 9233834496358363419557514765835555038376751478559439197928763418669894751067355\ 1994746319099344632777989741766600574074506800976119641546254329048725818089811\ 7090343882067244487526660529035373557792766432545506767513995340248625658308983\ 415410167851867965634925377622645, 35564359744598884628120352575928634958806459\ 5977277743902014278090213180739823496224568542640365553228787831381561747817996\ 1731190221999527853554230254533848483909539034335994651101095806605550737595395\ 1852065595446144344680640173321046528476827786797817264407736303490522277547199\ 2100799447453455914964373502729894727747196450500259152787092006041837362203272\ 0917885859405818634662130812699244512883365001260482832368524709563301950087034\ 341136634068605026259749480363887529866] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-1, 0, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 0], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence b(n) satisfies the following linear recurrence equation 2 (n + 1) (4 n - 7) b(n - 1) (2 n - 3 n - 8) b(n - 2) b(n) = -------------------------- + ------------------------- (n + 2) (n - 2) (n + 2) (n - 2) 3 (n - 1) (4 n - 5) b(n - 3) 9 (n - 1) b(n - 4) - ---------------------------- - ------------------ (n + 2) (n - 2) n + 2 and in Maple notation b(n) = (n+1)*(4*n-7)/(n+2)/(n-2)*b(n-1)+(2*n^2-3*n-8)/(n+2)/(n-2)*b(n-2)-3*(n-1 )*(4*n-5)/(n+2)/(n-2)*b(n-3)-9*(n-1)/(n+2)*b(n-4) Subject to the initial conditions b(1) = 0, b(2) = 1 Here are the terms of b(n) from n=1001 to n=1010 [279116910679648110843999317485384707792898908477381153492543317517401510768014\ 4764228419232528844976526926716533812301744691566510458364860389969211042429503\ 7158073629729960028452129055102895007697615329850220382822267120560547965352450\ 8870501253077108665272164153089613044251942638209599882880464436774442864474103\ 6100396665687429371207411164902316007895731106925061477354589780745811646872039\ 8440847247623177148952457051146270728880658211596304733410915498143867700634681\ 95088, 837378128829740230752021623746525966195658696048973109827734572504390103\ 6587493072085190922107337854058596749120451498959976528064839752588973927445563\ 9962252390666325285661713970733773218906548230772776168634398896066095978446738\ 5328985747590837187143705437477974915733351077831960301620412736111000297227245\ 2750487666837632618110485157351985892356658866584811921133572744362395709153438\ 1125073587534570386604048830750676594169497661914237366421546161361531738434927\ 85455939515, 251221645426590878564872404720233176994828683193863164387322901499\ 2064360582705393812334620661318746323575614861984432093903311552854125977830338\ 2073023382662435068006170580161851635810002905599197343634968014917394357637044\ 2910123611739432966726699617064107997092682518978940553275879956746256224341792\ 4696411241542791919647085735196697588888183753050258745016863156681322953605654\ 6825383513844353105644169727236259477614082472577230965572946791023115701283595\ 915720961087315108, 75368951992541055205953788090848276981695651966126542844709\ 4867979110393932083161797495514972342233020381445180415706584062375106875326696\ 6896358122549632335467255526350666359631649373531108062081495928759205457539622\ 4695007472936668320880465679417525810024849196274784201568261305739533418839287\ 6798346106755484060440760217177899242686502271953731432729529991246705960987992\ 5219365576812169615880992240954424930988648031540776364896213182690383657708762\ 2290872866921535605500996, 2261142200924112153387302816914063446686848570284891\ 2961825581444226374327821822206334936517096344559339680376668275067646563251798\ 7214045194748583857930123741782446816836394035608354329375158453848841827073564\ 8036847560297662366110633474301632021559365657862118893430098248490184248004620\ 1403903318683909608227813693406698411067310081870313038287273037448620847948859\ 4689408783536035669498021420665592503679492127486370356218480270783740910550900\ 849185847301240313858645017364400, 67836471976652523156921910472863570953630784\ 8353038191261777894785156048718476517720309523324418722450507634355418735683010\ 2053187288493839910587998061809270115982483392096918464406475443307769751489542\ 1414407088424785810169842011680246646560908131737379933500393550665569727200990\ 6668421847308960973182596777508893381106110188692311596225593387099650702278604\ 2816143356869562373342584403132098126058789489934458755848259942621024308351050\ 38763758583466661518754922452245312080623, 203516023944629597859216996721068921\ 0515229572748757591802346360776791255636981825305791167188335448500376437038051\ 6129879059254689360670872216752979211334219325862438736354486085039237644188590\ 9351942527500093732854012697626830878094752954250901410355108634580882082832716\ 8269282081226975178722540906730928722051800165292121993838036973513502300189450\ 3003982121780238795002131563227668842518224193582109638024311900795991841583768\ 81537308008797501943525772934359486973256353162128, 610567866454523931101299353\ 4054925693826349390243888284562924781197186492886279421678713218489419663786551\ 0172143964985837696565127274763095503729355608497100859897238847729626762848439\ 9203467840962750754218768719215257207824944430063954064066199164267739484421061\ 9901348948567241772697392261242218758015831515726084032857462630386600340596896\ 9448719573905170039167214313725453755426802670978981963829359650601312667702005\ 80492555016509198179342935852815792240892808097369488866972, 183176289517347321\ 5703517140378901330968651870442212887880699519208703159892008702075265930006810\ 7827307953549594313154275949846748539674382576630835361037674332819823674194719\ 0901727881591309085990676197111814740603716776964766505592830058471088149585981\ 4032467388140909550134440282963690623119469823235113489393571379771061577192128\ 6061809726668790552810168579016871883004018039088075490437266529969519606580945\ 381236536412635850329431302956730349127656904285741058961543072588312, 54954663\ 0944626660904054018294018945050838211436559198734850477660774461262645676629071\ 7602482932084503713637214938256621246962760553014307239252361103034615242547746\ 4338020170552407594724130472512900107875373898333362236426333356082065261685495\ 7837862330990524764763597105587512962221802617206431241069059617422970812236050\ 8565876230772717681867679485287502294432392782889473414137160942545426636456535\ 6915550778613070536323944933670091661827521659032419622468552326060633121684761 ] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-1, 0, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 0], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence c(n) satisfies the following linear recurrence equation 3 2 (n + 1) (51961865 n - 98531209 n - 624791941 n + 1303376124) c(n - 1) c(n) = ----------------------------------------------------------------------- (n + 2) %1 4 3 2 + 2 (52245395 n - 366216860 n + 685705288 n - 178954261 n + 94573716) c(n - 2)/((n + 2) %1) - 6 4 3 2 (28888705 n - 9118916 n - 155768030 n - 280769193 n - 32255274) c(n - 3) /((n + 2) %1) - 9 4 3 2 (40614305 n - 197349514 n + 406619648 n - 325327677 n - 29123694) c(n - 4)/((n + 2) %1) 3 2 27 (n - 3) (5815545 n - 23441333 n + 20568859 n + 1670176) c(n - 5) - --------------------------------------------------------------------- (n + 2) %1 3 2 %1 := 17352125 n - 103111632 n + 158610904 n - 23643429 and in Maple notation c(n) = (n+1)*(51961865*n^3-98531209*n^2-624791941*n+1303376124)/(n+2)/(17352125 *n^3-103111632*n^2+158610904*n-23643429)*c(n-1)+2*(52245395*n^4-366216860*n^3+ 685705288*n^2-178954261*n+94573716)/(n+2)/(17352125*n^3-103111632*n^2+158610904 *n-23643429)*c(n-2)-6*(28888705*n^4-9118916*n^3-155768030*n^2-280769193*n-\ 32255274)/(n+2)/(17352125*n^3-103111632*n^2+158610904*n-23643429)*c(n-3)-9*( 40614305*n^4-197349514*n^3+406619648*n^2-325327677*n-29123694)/(n+2)/(17352125* n^3-103111632*n^2+158610904*n-23643429)*c(n-4)-27*(n-3)*(5815545*n^3-23441333*n ^2+20568859*n+1670176)/(n+2)/(17352125*n^3-103111632*n^2+158610904*n-23643429)* c(n-5) Subject to the initial conditions c(1) = 0, c(2) = 1, c(3) = 6, c(4) = 40, c(5) = 198 Here are the terms of c(n) from n=1001 to n=1010 [454805321622518840658983709823219509862819677365194213386171867347220690314098\ 8186153785595134259951864668313072484367701901021822576662109128058524018547092\ 9020093083236078470501685930163325892632627092762191297717323625310134677258056\ 9746171406178071631438565399505676364793497256145607913039871687246946120189319\ 2598957404167230911387782045484641183733252064477929754453160452793024448181874\ 6373449935045751370976982796137323650823300422015445771977890963719605188235870\ 085035648, 13665417262693588886167146721093985801923721171625386147456125143781\ 2417063104167541887882263305165334546683148456929458478085335088430832917196908\ 7456528309835368298745353117214688255540972525968640314981920489487906917315979\ 9696867513284217198853357248773505122474417841073953240272266375433236154089471\ 4272576303485367036493996039460519902473342973245098554978979960787126630315652\ 7292049320536563704082303056425437588064582956507877632114540625974744808172345\ 23865043258572872859, 410600590001290057609544869887499205134053317773687684246\ 1759950137735065717119527899516860803844634069703988675349450249585703335232265\ 9255753333947698226817391077524011892984326262656650207637701378208095132317180\ 4165627359699540206765143160522594261220926472525971391763730238777087059455593\ 7537561686453182347378276799874164633515390043869675362508118730748497378613831\ 4190394951599623806226147513908234571956782545180067829957137108081205540139408\ 2224094950961341175247997687102, 1233717016952998371308174637990584203164890728\ 6032862816587858362273803676959337576475671951003827178228947493344410468395559\ 3731228945165227158243786233334065359095700795636042752457560092724106174876320\ 1465272283138502158860839049599784492065497862283694002270505602454194061979246\ 6132600235624995911311348805967771433596242493318948105204449347561447663345471\ 0585745457422096802331338088368151909037375551283341879491493815071968205961536\ 4304912583548056979683163725250690775192440, 3706899881935277844890669478321302\ 4091969868814576211301456226021799909074082524013657606338431350831997846016847\ 0273989736726219095053405954929134844651853688125891176321301196509657506477243\ 1319308628652849173086696599876570831517528212006463685762041912716488098221453\ 3346095775415561866928944576928578561952128219865483359262617943395452038795475\ 5215166090265358978913538179454672582836193402857647800025241978850171874574320\ 3917049437909415852173834468478029707784866438422098790, 1113795540512578564357\ 4424495253613183904219124242559971238568789621740926653005170525122283665715903\ 6429826408591438278004932528452455017933908935273870002186361928984782473833091\ 8977366756363391015669755473960790823818398835313236519185024875216977965055431\ 2631898052152717573556281457940929217688358982893870539845685828551558813060309\ 8921191428233360983697638477347530776953283951991787965255216484571268433617720\ 11470177689580659174064121104304605591816010344886719404798569421643, 334656612\ 7784423568803751203304023603769719680646301787033164047428106857820810036096291\ 9889471803751003841993615054680479832179731605546428181405758663309709560799705\ 8091324066398589857276669270089555752204462918769590776824617035756485507503553\ 2149936443039782535506282078019570689805763066792167821500757226418299393237536\ 1420258034500833667151065717558366703010494547636411999286266024283999927946461\ 3798295769809007984755133188438389172114502825004257512049678862832971594634255\ 76, 100552452333216837146384717502825738173870602739410962851537184018283025855\ 8862369512247095963628687123029966671342256825694162986940914499862187744741141\ 9365882473884063822232072323321598611423289517779229993229209411290630992477052\ 5487030254001366669616335058487264911844476014352978257827766774925977529801616\ 2697398065044844142245249458635687101105090059521825609319944586340265187731625\ 1461282817816154818200695907663969829859329239510070372848685007855384651439470\ 2037503689997112, 3021240123120240916853079725915307907754402249798545141300406\ 6832652020365401812776499602978501653963583449374131936757089445029623162615636\ 9931938466994152910353965321035767047411702297162743388403158086634927793583885\ 5578957307141629760632130239541383920201937568746383272986465277772166451406657\ 2472774183605833904891007904228778793421546224034667557440205123346408337085610\ 3594012508525262845644976794394311430282176761542386434997544421555256725680893\ 351494436441641244764942835880, 90777275194311764004922875964829461474631670430\ 3129910986690070788813092365766886658489399903243241944155401653875070409306110\ 7863463105110510950657866271135013031165147553452848749110745337619458254268277\ 5972888400689113968377129360271204735282598538986241174725928945161386145234692\ 6512153364481878532861831669422385641357984104930212224360400363661383344589677\ 2560252319847875986768961391099246864453743346503144161700863771660557054918754\ 25603877871199357177296347458147060099084653] ---------------------------------- The average areas divided by n^(3/2) for n from 1000 to 1010 are [0.4812711108, 0.4812856897, 0.4813002475, 0.4813147841, 0.4813292995, 0.4813437939, 0.4813582672, 0.4813727194, 0.4813871509, 0.4814015611] ---------------------------------- The variance of the area divided by n^3 for n from 1000 to 1010 are [0.01599375367, 0.01599373836, 0.01599372307, 0.01599370781, 0.01599369259, 0.01599367739, 0.01599366222, 0.01599364709, 0.01599363198, 0.01599361691] ----------------------------- This took, 383.988, seconds. Section Number, 7 Regarding the set of steps, {-1, 2} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by a(n), so here are the first , 137, terms. [0, 0, 1, 0, 0, 3, 0, 0, 12, 0, 0, 55, 0, 0, 273, 0, 0, 1428, 0, 0, 7752, 0, 0, 43263, 0, 0, 246675, 0, 0, 1430715, 0, 0, 8414640, 0, 0, 50067108, 0, 0, 300830572, 0, 0, 1822766520, 0, 0, 11124755664, 0, 0, 68328754959, 0, 0, 422030545335, 0, 0, 2619631042665, 0, 0, 16332922290300, 0, 0, 102240109897695, 0, 0, 642312451217745, 0, 0, 4048514844039120, 0, 0, 25594403741131680, 0, 0, 162250238001816900, 0, 0, 1031147983159782228, 0, 0, 6568517413771094628, 0, 0, 41932353590942745504, 0, 0, 268225186597703313816, 0, 0, 1718929965542850284040, 0, 0, 11034966795189838872624, 0, 0, 70956023048640039202464, 0, 0, 456949965738717944767791, 0, 0, 2946924270225408943665279, 0, 0, 19030649059639789214206725, 0, 0, 123052100237542105872786180, 0, 0, 796607831560617902288322405, 0, 0, 5162879946168545215371343587, 0, 0, 33496962712940417760973884708, 0, 0, 217550867863011281855594752680, 0, 0, 1414282077098335379544565517191, 0, 0, 9202600068524372703278082352971, 0, 0, 59932899605936040714626166584475, 0, 0, 390645234961546222075767026462400, 0, 0, 2548271840422037344975860237738000, 0, 0, 16635641296703864308483436321233200, 0, 0] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by b(n), so here are the first , 137, terms. [0, 0, 3, 0, 0, 27, 0, 0, 207, 0, 0, 1506, 0, 0, 10692, 0, 0, 74880, 0, 0, 519975, 0, 0, 3590244, 0, 0, 24689547, 0, 0, 169281531, 0, 0, 1158033348, 0, 0, 7907918760, 0, 0, 53924696616, 0, 0, 367292687868, 0, 0, 2499326053911, 0, 0, 16993660693320, 0, 0, 115466864661513, 0, 0, 784109258291889, 0, 0, 5322049255794807, 0, 0, 36107084876982426, 0, 0, 244872769404876048, 0, 0, 1660131806569367904, 0, 0, 11251620871615990692, 0, 0, 76238091836460476496, 0, 0, 516446464947149990052, 0, 0, 3497721807419757013860, 0, 0, 23684314204917226608984, 0, 0, 160346594031622733401200, 0, 0, 1085397606047500614335520, 0, 0, 7346055003689604337793892, 0, 0, 49711972468040184132387063, 0, 0, 336367501598412386611292304, 0, 0, 2275712929901724641832322629, 0, 0, 15394836968360804027582500077, 0, 0, 104133448695029912941311962541, 0, 0, 704313454729196092231979197398, 0, 0, 4763268197508463316356745146068, 0, 0, 32211421101175634630157012217488, 0, 0, 217812495047985954602019528344559, 0, 0, 1472739047017169682481606750634580, 0, 0, 9957281695356069655963206761769003, 0, 0, 67317732675955976969816533956795291, 0, 0, 455085954513630893134544113829413008, 0, 0, 3076338299829739880984112887509574304, 0, 0, 20794706262562078643218214038511509152, 0, 0] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by c(n), so here are the first , 137, terms. [0, 0, 9, 0, 0, 261, 0, 0, 3879, 0, 0, 44910, 0, 0, 456156, 0, 0, 4275108, 0, 0, 37946907, 0, 0, 323900748, 0, 0, 2684364345, 0, 0, 21741135993, 0, 0, 172869695748, 0, 0, 1353945316248, 0, 0, 10471761061272, 0, 0, 80133761109960, 0, 0, 607645392761763, 0, 0, 4571446563336024, 0, 0, 34155184643778987, 0, 0, 253637855889172983, 0, 0, 1873362122870827455, 0, 0, 13769833459859462358, 0, 0, 100773558934100704368, 0, 0, 734609999714103476496, 0, 0, 5336002061967222352404, 0, 0, 38633153069523471392880, 0, 0, 278874216457032249835596, 0, 0, 2007545069324329983351468, 0, 0, 14415295080331646381038680, 0, 0, 103267886559424615862122320, 0, 0, 738182821342574883607765920, 0, 0, 5266052882189464798080382176, 0, 0, 37496287201813675046226575667, 0, 0, 266517950155953591510900357552, 0, 0, 1891246560177116687462828581743, 0, 0, 13399767043852623012301175400195, 0, 0, 94801187228985851679537641391573, 0, 0, 669783281577193444662378171186138, 0, 0, 4725984885091655007358068059919564, 0, 0, 33305703946299897657946029249552756, 0, 0, 234445277470043770699682062944254115, 0, 0, 1648492852567675035494389572937187100, 0, 0, 11579225383290870313877556386742668409, 0, 0, 81253331504553920047814061264531718089, 0, 0, 569629979535323894954979341157328242576, 0, 0, 3989824504617426919832705362749012209760, 0, 0, 27921710400213394273624241816727946974816, 0, 0] ---------------------------------- ----------------------------- This took, 31.087, seconds. ------------------------------------------------------------- Section Number, 8 Regarding the set of steps, {-1, 0, 2} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-1, 0, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 0], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 2 (6 n - 1) a(n - 1) 3 (2 n - 1) (n - 1) a(n - 2) a(n) = ------------------- - ---------------------------- (2 n + 3) n (2 n + 3) n (n - 1) (n - 2) a(n - 3) + 31/2 ------------------------ (2 n + 3) n and in Maple notation a(n) = (6*n^2-1)/(2*n+3)/n*a(n-1)-3*(2*n-1)*(n-1)/(2*n+3)/n*a(n-2)+31/2*(n-1)*( n-2)/(2*n+3)/n*a(n-3) Subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 1, a(3) = 2 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [552932079034524044270513397613616720539240140031787342291102588595618375751486\ 5018483887191623842372772668307944127079318470483727898302584276486276483145784\ 0540082266299968149567065482563673944463716474435332771118664250707564065131229\ 3398496453659941676767105809879137162210518778795275599711847043817024981037366\ 9972659114494771835367256212984253904176259782541342136208360739586431078910936\ 560291318754507170214965785608403264300398958443144671576076334, 15955195224470\ 3272914913980896100149178226373443724616465361392211261366838577482922243469582\ 8745098706706205704246274281526226695198880222949307130597697930918101827766068\ 0246309644742889347098776342421722757734434452106282258876830725053418476704133\ 4624598978986615900558946211259358759661948351987152665312486276757041435769773\ 8727123875022213625185911429277448268207846189238092629066339893146144351085395\ 1158173485060680607334259858472234643539565787734, 4603976577787726836261980411\ 8711821114586527883089229519059427175866166757689651348978507885717194698929231\ 8569285941581316342006114991224480806754714249079331609862879137740257311704136\ 6100780377108969302213778571039825145293927751820916930572159285858355566874524\ 7343992892215280420742299763584604386457851335901314416293353573575951106850460\ 2764578407254413620055978902627067925618540904047969825102389372085989498166256\ 49970275026394930252586882783223068, 132850971500824971797188918746122804411347\ 5045194837086597345506764381855292396924527124713305602421896289174408748882578\ 6502450512611361420200980261955672602074540116666569349678708747419870729103842\ 7975406814220930339364777214930915563294877767759120164370275871721519054568007\ 8563557301453576929940486923368821110742728361250224075427850056335527836199026\ 7431690001335429565737516464768086000719282688023030771559372133080527706767235\ 6359261352243327435370, 3833513601394767075772092026558464023139093714738992553\ 2881573752835794148554957153772343585256076238900334920923199762800061211964194\ 6922452018216189378806469284844617621760532961908684852409483347534723659364475\ 5858309730833107091624969276682817924679161546076158154612956384601905078031006\ 9288449476692904743610449231453834652835723954159687402120857981545914673691976\ 8276712667162028311972435580444487024826245740897887615709260534049791855784841\ 295187174, 11061905035790398039971709527595740768312945781961952794424747970948\ 6757865307706994220999522301407326686084317491817275651315901391372961749037766\ 2937180964803460234844374073805101318375883969146980778701657228774057224506379\ 9966519269262366510675867526157044978647762754916067143817987255946019540877115\ 9433519337719804120832131121559577199822275329554271053332905042486595954480586\ 3541289294498666485449358640237633796444145601765338817865001765403061899216, 3192004429643097619716016106712139086957996672141007845071356141720182886642814\ 4665357914881707250140895990412562203452705670227939155859308571858629947170938\ 4384208632289186275793346800367575913629076616254746096443652884996567059651824\ 0094559070898713630748264975614243282484092387414772614931961638873170855539756\ 8848411790789828143125818676540229555591407595777894305563468398060012871505294\ 80592923882154216560150019484811947852746896013794403933411232938, 921080707410\ 1628789922487254554021121665465293021307513168991928709803027846022819031816625\ 4675080720601617899540106887125918541483413243864587830811139154477586516891461\ 4910465916390766739912217071716839660802618265802105381651877804493787855263756\ 7975946568002088489633825768805161908307286620478424623548412304453116369550980\ 5176690783928117457098756980727448178751987354413045760293246597949031116428574\ 75874321353868478818795872349192867465846222675108319, 265786259962943559892036\ 4897339213743371477617306514392614926338530002192759844373119507612009499267243\ 3348813149727926151167898821718588648690857732643655593386397160583122719653798\ 9875442018292571816311165459823452524843919351378953456232690950121433017090215\ 1444562797291859703806691510926201853975029839723733419729739739666176046546704\ 1094555986382193459658166157395547508349367716010274631413991015002263586784483\ 313681004437171446582943691589005667843791, 76695168250295670251374215250601072\ 2932844458070401781669477798050435619757013531859266260051470014068995586548654\ 2250429215454287962999180439540548733799036546619953186792157888784117067103541\ 5448513399445777234553156851741972694741634454316332590351209701555826878703076\ 6996899847055739926711842884953708074198588340463616891668464637421962678388188\ 5293612109263478432734490255836761173542145186218308461426713133607445074447270\ 8231324771180410663845841847039] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-1, 0, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 0], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence b(n) satisfies the following linear recurrence equation 4 3 2 (5586 n - 36735 n + 52324 n + 13545 n - 14340) b(n - 1) b(n) = 1/2 ---------------------------------------------------------- n (2 n + 3) %1 4 3 2 (14700 n - 120135 n + 303741 n - 271356 n + 72080) b(n - 2) - 1/2 -------------------------------------------------------------- n (2 n + 3) %1 4 3 2 (66332 n - 602648 n + 1824697 n - 2203748 n + 967952) b(n - 3) + 1/4 ----------------------------------------------------------------- - n (2 n + 3) %1 4 3 2 (227052 n - 2348757 n + 8564088 n - 13120605 n + 7109812) b(n - 4) 1/8 --------------------------------------------------------------------- n (2 n + 3) %1 + 4 3 2 (213276 n - 2721198 n + 12656913 n - 25167753 n + 17726852) b(n - 5) 1/8 ----------------------------------------------------------------------- n (2 n + 3) %1 3 2 (n - 4) (4102 n - 34317 n + 88467 n - 71012) b(n - 6) - 31/4 ------------------------------------------------------- n (2 n + 3) %1 2 33635 (n - 4) (n - 5) (3 n - 57 n + 92) b(n - 7) + ----- ------------------------------------------- 16 n (2 n + 3) %1 2 %1 := 224 n - 1493 n + 2288 and in Maple notation b(n) = 1/2*(5586*n^4-36735*n^3+52324*n^2+13545*n-14340)/n/(2*n+3)/(224*n^2-1493 *n+2288)*b(n-1)-1/2*(14700*n^4-120135*n^3+303741*n^2-271356*n+72080)/n/(2*n+3)/ (224*n^2-1493*n+2288)*b(n-2)+1/4*(66332*n^4-602648*n^3+1824697*n^2-2203748*n+ 967952)/n/(2*n+3)/(224*n^2-1493*n+2288)*b(n-3)-1/8*(227052*n^4-2348757*n^3+ 8564088*n^2-13120605*n+7109812)/n/(2*n+3)/(224*n^2-1493*n+2288)*b(n-4)+1/8*( 213276*n^4-2721198*n^3+12656913*n^2-25167753*n+17726852)/n/(2*n+3)/(224*n^2-\ 1493*n+2288)*b(n-5)-31/4*(n-4)*(4102*n^3-34317*n^2+88467*n-71012)/n/(2*n+3)/( 224*n^2-1493*n+2288)*b(n-6)+33635/16*(n-4)*(n-5)*(3*n^2-57*n+92)/n/(2*n+3)/(224 *n^2-1493*n+2288)*b(n-7) Subject to the initial conditions b(1) = 0, b(2) = 0, b(3) = 3 Here are the terms of b(n) from n=1001 to n=1010 [119256560256069751750566934495044232969504553299870956714848388973087658295357\ 9287336381007010040091139330915930184357059760290385015985062564237856645318630\ 0457433978017830487570456055634278468807928529391195789650535555772014034378375\ 0180342556852050461372376074894882494163443803560819842489742774653693741295031\ 2959907664911057434227099549660720069335042391912682416126548492561039107930877\ 39487699473410989995728808479026562328653601816316692695735911693516, 344646642\ 3503577836350428461584709093290767268487255293830503011126859593330110010960691\ 3206122865982898826175289606612643758460554160533853480951669601087039912245912\ 4699997739355491705001708777228704029208065343273068805445935182677302174891483\ 8503842104349913377459507876477128862034981176251767539595593013910985691780417\ 4562885839547189611137444002207231078140072500104765151817804870264009623889924\ 7272563407309216481125593191009827048327970616160666113864, 9960148351782353653\ 7742951221225956180818390072498440426898207829249010525765504176355028083324932\ 1649486060791574199905584602171211504483589390481302926484338857524147436222677\ 1822684984612028904005216323429867040490160048144433090369184154160885581017958\ 3994751089905489229211549071798188151634207002660962167594255797578922154419088\ 0013177727262139992998585788285775166319237593201195852497724245047140147444766\ 535836996552295567433954123513649106104881755910, 28784424084585976919744096883\ 8086379855473356622103629970524948386464096506465955786053126975310756437869871\ 6681562304445880972964710350772044164613609236901965599708889419181113245429333\ 3905354406456687063330194633639939770374444549247994514517734728626868107766431\ 6293712387611423756123095656580853015972454871493843170856043786450571297587997\ 6608323004454750350858615277841226340124547441694161758275446714118446222552151\ 573526757806382515953481790259855059166, 83185812778824100904268357413685626535\ 2889517196513725322516523973844948912597581257236202332005687242091217550304172\ 5199588681917709626086662337422555323102403873141659316078980863372254054010047\ 7720798785730434190645885741625547121764862867513781149670306479862672934009223\ 1838375136186042431344294968640465723775756905221728655800754326229832797149276\ 0531444222265721312670418666622677514725369659489232317768900094870620664281918\ 384342406805375410795389143095, 24040359971830984860876403193989246441561713643\ 8826071832262150266084086652717436440783543390678218509687473741955308157182996\ 8100777803689111582859552123103600303297379547315918071858183254145481474631140\ 0674496998342660212761306657753070818999147629635813518616659715839957940122927\ 4530352277131628393645590158688288140836158724619278161859994946310748565215118\ 6058445773470316554780812339589759307060103840535036239737871842658391596880710\ 9332981732359969032327, 6947565513670365919064924919365406464936072755111771755\ 6459142623022283964618586514129195068728780280587237766984913843952891979717919\ 9715718974318300857133004699934206490468618359734134738440891994885824895604944\ 2110614221919069760649444209751545516092691200770099640543948273344750746464824\ 1920472881444613394205630704880664942369602367099175483934686522306436335679626\ 7163932737806200483408579365648144005186632611600059066615831892095103433828872\ 55658924108640, 200781788070873634464204838068171421994235705445928336751653094\ 2379350900447675198539268783378117245846717497542279395858397911888374484097399\ 4743044939106822754894163164665143033961359211995158501950148740796214189493014\ 3962878420654489095265983527282725853866089980280711965368091345838403891577712\ 5435993905797155591960726697563624052114426644100678080959930550800649077405264\ 1886435329740771715855866678395607854705761773131669740085524028404212759296517\ 3104536, 5802510924376338170277895322073968415326766381675998059028161774715883\ 2441590333924513475368259892440630130743931167550415817840197482374518676944499\ 5407157909537082013475104883721186224082022297958524524241239722296044566728414\ 8767380767053425795831667834420847914149312881210362401950375359166541696142794\ 8630494900453564404701840121410451725719334437910671965347060823695047654145977\ 8363312407290543740387062143795017911985545408514894132506530329785355228407904 , 16769016748493560828463253596967555533001850204301250227282875178760967123978\ 4156325417808582259101902151272008096645648684457461501339268982272965199688281\ 4338480594554897866512041662314330328963025637733589070708463072982213798544233\ 4902733738093848418833414796586896371629814867382196870649550686338712168773782\ 0968549605237348562600245608261375149808538882225025109993936289906706449796071\ 1384882715515937348506349260007043026701843602124534155206692339581229352] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-1, 0, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 0], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence c(n) satisfies the following linear recurrence equation c(n) = 1/2 ( 438912789842119256922707040027041537239261898287480076423067885084594024690 6 n - 6533977139187965886491760216237403892259856353055633726392222466704\ 5 871189857 n + 343014834846347407202572388544603168384349568986489019761\ 4 12075916837257207032 n - 7077470901842828074763885466807193683805064519\ 3 1195868321565033173097331592008 n + 30408516614848703269306871012093288\ 2 364088552327589462207947917259650552144013 n + 378107795106530406586497\ 62265610937831902519216941922965151495876310206733154 n + 28203173238075\ 34115770850804407478638237165968611212786670818625024581990976) c(n - 1)/( (2 n + 3) n %1) - 1/2 (1365616819172358079782180966687412808086472338519\ 6 176040138240246797356350500 n - 211011546864467999384401025416982820678\ 5 80134582052581286771216885414635199079 n + 1205118932653730212342887206\ 4 62803717005935266239852036288183162693108986389125 n - 3065262184822508\ 3 65087944378667540625463487353620276089954301989352278583150802 n + 3166\ 037774324736473288727976042507146679287831706008379557898047854953309159\ 2 92 n - 6684631482832446535914963452187174776580912296827905060816627605\ 3455780515124 n - 157350064863969827666317385693803054280382769258440464\ 15288399069243595830124) c(n - 2)/((2 n + 3) n %1) + 1/4 (63529210952807\ 6 94000283725652697056748448787311442089241507848880182167148600 n - 9500\ 837563239578203271983615890850444901228463298804604591556430185218509001\ 5 1 n + 52482436262028483599938364425047718579889745307997344491918698610\ 4 9758285939221 n - 13219279924248809523436155092966835070888456913225757\ 3 42436483822574501959956986 n + 1567070725266991616632673993477129473672\ 2 149811639125958210212378019356905358432 n - 908331363095740797561144161\ 308546452709902856547382642975837445978959943199048 n + 6293186295970768\ 6399994646769281044660299046151323805904383632148681069091608) c(n - 3)/( (2 n + 3) n %1) - 1/8 (2371468026730498563761883184268624929416522803630\ 6 9582398557907228285127897220 n - 35091067103237084645642425422184805272\ 5 5740218459002782094225746887485908472927 n + 19492644792315043679002674\ 4 38320271603987069736174686274334373652861141438572481 n - 5076380023848\ 3 710796184814153998964785986434834702545673992662924500869162906656 n + 631130275245999873428108586852324680625530940238632424701954607011821171\ 2 8626973 n - 32552070108794802255597807083059414726828829191864654050268\ 46654704377058367523 n + 29260090956628382776757306199759977716358084032\ 1903443720307665942426916623760) c(n - 4)/((2 n + 3) n %1) + 1/8 (283436\ 6 87343960645165611749043381312995858296285689864535712489057614108352380 n - 438518135406999716771785168991649215536932014446985501463648261184556\ 5 427269406 n + 263940085152398307307354536454376884777143867754057800409\ 4 5352935879724852315126 n - 77628272333808893658713835858101422958323114\ 3 98137341364468993101922551540213755 n + 1125871855566022366280687039291\ 2 4705562292824307810284564829276179576621234639606 n - 67615128164897013\ 51696106303593390804617697552117481538833948266906996830359363 n + 64022\ 704865728802497456132504014913978215663326698797494570245927424835308059\ 2) c(n - 5)/((2 n + 3) n %1) - 1/8 (289783187157504113405387722284494448\ 6 41562978949413887861979149742620140772985 n - 4057962655802363596973273\ 5 55386894052368954950286401525557402516344304859732131 n + 2283801966430\ 4 456007385063547426169309413445701742833300203188167555027506481570 n - 671151706627986830637736304351084298000316577382474173652121343649130092\ 3 4877480 n + 11021219520768795610097604264450403349810060955837823437697\ 2 935948454300790630981 n - 920529619850629386938243294535739041401729391\ 5749417955749827937640031190886197 n + 225647763571452593740884533995193\ 5515553579072513316327809780520013978737453268) c(n - 6)/((2 n + 3) n %1) 93 + -- (n - 5) ( 16 399099359925345612433445614441404369395327241817163333168474853238989871665 5 n - 4915330966708469375197952991910519317602258269358216833643287156539\ 4 743988264 n + 220998939867132577687018843783947489534408629927485902465\ 3 03737420089398015154 n - 4281847768862280409191016026916843455737242211\ 2 9463072883277665400771520723799 n + 31791558039973536049335172391386642\ 497310050969726655637829970263695789622522 n - 4021178657724028302725140\ 141361244539044773689690756561954945259023487303832) c(n - 7)/((2 n + 3) n 961 %1) - --- (n - 5) (n - 6) ( 16 4 591569592956601880797580547692583421358742465525270519247975107139408990 n - 21888074939394269589510480264625586590273471224435009212175078964158132630 3 n + 185718802985562400386984720711778301954814047266088870369859816633274999129 2 n - 447731218405708297472270898809127154524289034191131350173275268961078787055 n + 221602738199196204773196618505172555521837056228621391618783378442218989756 ) c(n - 8)/((2 n + 3) n %1) %1 := 15107655465074650779948290887740733121331149239723273326650750165767697805 4 n - 238057673557746594266535623057414766356195744777118797744230224523297816902 3 n + 1360718596820752001774113706315059515211200335058640589953371454020\ 2 217815517 n - 331825658912178309723928156514779322070866670132373323498\ 2361395914263356516 n + 286379977598178043223439875321736107824253787618\ 2347640590924294406095403728 and in Maple notation c(n) = 1/2*( 438912789842119256922707040027041537239261898287480076423067885084594024690*n^6 -6533977139187965886491760216237403892259856353055633726392222466704871189857*n ^5+ 34301483484634740720257238854460316838434956898648901976112075916837257207032*n ^4-\ 70774709018428280747638854668071936838050645191195868321565033173097331592008*n ^3+ 30408516614848703269306871012093288364088552327589462207947917259650552144013*n ^2+ 37810779510653040658649762265610937831902519216941922965151495876310206733154*n +2820317323807534115770850804407478638237165968611212786670818625024581990976)/ (2*n+3)/n/( 15107655465074650779948290887740733121331149239723273326650750165767697805*n^4-\ 238057673557746594266535623057414766356195744777118797744230224523297816902*n^3 +1360718596820752001774113706315059515211200335058640589953371454020217815517*n ^2-3318256589121783097239281565147793220708666701323733234982361395914263356516 *n+2863799775981780432234398753217361078242537876182347640590924294406095403728 )*c(n-1)-1/2*( 1365616819172358079782180966687412808086472338519176040138240246797356350500*n^ 6-21101154686446799938440102541698282067880134582052581286771216885414635199079 *n^5+ 120511893265373021234288720662803717005935266239852036288183162693108986389125* n^4-\ 306526218482250865087944378667540625463487353620276089954301989352278583150802* n^3+ 316603777432473647328872797604250714667928783170600837955789804785495330915992* n^2-\ 66846314828324465359149634521871747765809122968279050608166276053455780515124*n -15735006486396982766631738569380305428038276925844046415288399069243595830124) /(2*n+3)/n/( 15107655465074650779948290887740733121331149239723273326650750165767697805*n^4-\ 238057673557746594266535623057414766356195744777118797744230224523297816902*n^3 +1360718596820752001774113706315059515211200335058640589953371454020217815517*n ^2-3318256589121783097239281565147793220708666701323733234982361395914263356516 *n+2863799775981780432234398753217361078242537876182347640590924294406095403728 )*c(n-2)+1/4*( 6352921095280794000283725652697056748448787311442089241507848880182167148600*n^ 6-95008375632395782032719836158908504449012284632988046045915564301852185090011 *n^5+ 524824362620284835999383644250477185798897453079973444919186986109758285939221* n^4-132192799242488095234361550929668350708884569132257574243648382257450195995\ 6986*n^3+1567070725266991616632673993477129473672149811639125958210212378019356\ 905358432*n^2-\ 908331363095740797561144161308546452709902856547382642975837445978959943199048* n+62931862959707686399994646769281044660299046151323805904383632148681069091608 )/(2*n+3)/n/( 15107655465074650779948290887740733121331149239723273326650750165767697805*n^4-\ 238057673557746594266535623057414766356195744777118797744230224523297816902*n^3 +1360718596820752001774113706315059515211200335058640589953371454020217815517*n ^2-3318256589121783097239281565147793220708666701323733234982361395914263356516 *n+2863799775981780432234398753217361078242537876182347640590924294406095403728 )*c(n-3)-1/8*( 23714680267304985637618831842686249294165228036309582398557907228285127897220*n ^6-\ 350910671032370846456424254221848052725740218459002782094225746887485908472927* n^5+194926447923150436790026743832027160398706973617468627433437365286114143857\ 2481*n^4-5076380023848710796184814153998964785986434834702545673992662924500869\ 162906656*n^3+63113027524599987342810858685232468062553094023863242470195460701\ 18211718626973*n^2-325520701087948022555978070830594147268288291918646540502684\ 6654704377058367523*n+ 292600909566283827767573061997599777163580840321903443720307665942426916623760) /(2*n+3)/n/( 15107655465074650779948290887740733121331149239723273326650750165767697805*n^4-\ 238057673557746594266535623057414766356195744777118797744230224523297816902*n^3 +1360718596820752001774113706315059515211200335058640589953371454020217815517*n ^2-3318256589121783097239281565147793220708666701323733234982361395914263356516 *n+2863799775981780432234398753217361078242537876182347640590924294406095403728 )*c(n-4)+1/8*( 28343687343960645165611749043381312995858296285689864535712489057614108352380*n ^6-\ 438518135406999716771785168991649215536932014446985501463648261184556427269406* n^5+263940085152398307307354536454376884777143867754057800409535293587972485231\ 5126*n^4-7762827233380889365871383585810142295832311498137341364468993101922551\ 540213755*n^3+11258718555660223662806870392914705562292824307810284564829276179\ 576621234639606*n^2-67615128164897013516961063035933908046176975521174815388339\ 48266906996830359363*n+ 640227048657288024974561325040149139782156633266987974945702459274248353080592) /(2*n+3)/n/( 15107655465074650779948290887740733121331149239723273326650750165767697805*n^4-\ 238057673557746594266535623057414766356195744777118797744230224523297816902*n^3 +1360718596820752001774113706315059515211200335058640589953371454020217815517*n ^2-3318256589121783097239281565147793220708666701323733234982361395914263356516 *n+2863799775981780432234398753217361078242537876182347640590924294406095403728 )*c(n-5)-1/8*( 28978318715750411340538772228449444841562978949413887861979149742620140772985*n ^6-\ 405796265580236359697327355386894052368954950286401525557402516344304859732131* n^5+228380196643045600738506354742616930941344570174283330020318816755502750648\ 1570*n^4-6711517066279868306377363043510842980003165773824741736521213436491300\ 924877480*n^3+11021219520768795610097604264450403349810060955837823437697935948\ 454300790630981*n^2-92052961985062938693824329453573904140172939157494179557498\ 27937640031190886197*n+22564776357145259374088453399519355155535790725133163278\ 09780520013978737453268)/(2*n+3)/n/( 15107655465074650779948290887740733121331149239723273326650750165767697805*n^4-\ 238057673557746594266535623057414766356195744777118797744230224523297816902*n^3 +1360718596820752001774113706315059515211200335058640589953371454020217815517*n ^2-3318256589121783097239281565147793220708666701323733234982361395914263356516 *n+2863799775981780432234398753217361078242537876182347640590924294406095403728 )*c(n-6)+93/16*(n-5)*( 399099359925345612433445614441404369395327241817163333168474853238989871665*n^5 -4915330966708469375197952991910519317602258269358216833643287156539743988264*n ^4+ 22099893986713257768701884378394748953440862992748590246503737420089398015154*n ^3-\ 42818477688622804091910160269168434557372422119463072883277665400771520723799*n ^2+ 31791558039973536049335172391386642497310050969726655637829970263695789622522*n -4021178657724028302725140141361244539044773689690756561954945259023487303832)/ (2*n+3)/n/( 15107655465074650779948290887740733121331149239723273326650750165767697805*n^4-\ 238057673557746594266535623057414766356195744777118797744230224523297816902*n^3 +1360718596820752001774113706315059515211200335058640589953371454020217815517*n ^2-3318256589121783097239281565147793220708666701323733234982361395914263356516 *n+2863799775981780432234398753217361078242537876182347640590924294406095403728 )*c(n-7)-961/16*(n-5)*(n-6)*( 591569592956601880797580547692583421358742465525270519247975107139408990*n^4-\ 21888074939394269589510480264625586590273471224435009212175078964158132630*n^3+ 185718802985562400386984720711778301954814047266088870369859816633274999129*n^2 -447731218405708297472270898809127154524289034191131350173275268961078787055*n+ 221602738199196204773196618505172555521837056228621391618783378442218989756)/(2 *n+3)/n/( 15107655465074650779948290887740733121331149239723273326650750165767697805*n^4-\ 238057673557746594266535623057414766356195744777118797744230224523297816902*n^3 +1360718596820752001774113706315059515211200335058640589953371454020217815517*n ^2-3318256589121783097239281565147793220708666701323733234982361395914263356516 *n+2863799775981780432234398753217361078242537876182347640590924294406095403728 )*c(n-8) Subject to the initial conditions c(1) = 0, c(2) = 0, c(3) = 9, c(4) = 59, c(5) = 219, c(6) = 870, c(7) = 3826, c (8) = 15210 Here are the terms of c(n) from n=1001 to n=1010 [274571970300153555529079642164265422176270125680086743527379007916956108298094\ 7757140294480792095834764476794369957994198509778755797254488897742789883904669\ 0915920832059290384446908641983104795374844008842352492220675792456504002414583\ 9257744488424432422291348033193904762105220931369209427607473574228880175794193\ 5469132641139562510544778199531759830067840666190881753289549679826575411761548\ 694796178115271146923052951954541268317425003248485340302160354016152428, 79470\ 8874548435579288142280271965368597507457303127635122762652382734624110105469054\ 4384071350128755534836703152412155717222894659379059054642660256619504712788375\ 0914198446166490092079531420106794090696379707286764311499241942537284719320966\ 0589585123256800380036768240106069351144413578750488089389819379697334303137694\ 2841339679790692129026113672312571080239981644798062880901715448642702142326097\ 410070923364955423031936113658322461765156511410041646847648894076, 23001663438\ 1962012972002653695833941896128986637932703494363136304987466058952917622738362\ 3806910101220439754581823919343867844296592714205528276458098687025041238557098\ 2392564444194057295794315658909886688445062095668468770718834348749454952264528\ 1375553109560459478794548465479209498160354488909978237740169699033274543004624\ 9885247648654401147534805415615899218766997048209084117578887159707079504127603\ 4925600064067515318672034533840997046036979591208807505180358, 6657478102818998\ 2727608792570999230157840298954860125059818698792948899660962213971708604539257\ 9578891050271653197402783638296475130827556712603805075456529447015581108816496\ 1519754322039153456037649899693587120440496227225446599342593551205022503068960\ 4698058299318189689662742818679422481691426210246330180066002261051215442700046\ 7645908400403993562129769992290199014494635707196592854999470313644304122400888\ 31295790045897363428721647201098314413669311149239910098, 192690174754932148621\ 9360986620021106101369041544726258592301580303783801399365304198165714763684028\ 5368152057691809958487221018943060928695546296910102996773172987269199099246094\ 3159302868095090424232117123969067482774592144582927427602490339522183883478742\ 3399546180672554636994363345745943443252717796340497812844748370551195272244924\ 7271689705856142643236228787083403713853950035280130356079128114262261336420600\ 1006395240340287907462666431724482088903189671878803, 5577103673250745797419315\ 4687620754318491678912953436701160953810197233553362511033263740171662991169887\ 0238044374920584655475748554848850486512090552280439366735812594154811549889458\ 4662017971956349974867595281420332076503470754253984482619739698554738266022667\ 5002510188801464541922308833115152028666463299717740130934728052634190375587967\ 0649115476086584061294629222075656108655888862005293035596861771728006493212270\ 729516660750342797496656144363500263920656754023, 16141994289224995235981099301\ 7685080006731387427771371555292405722936298618030993639737339385513422860201984\ 1750475466194240708074659610605961364891009883277398619509676173734719010146495\ 9836585980186119268543074582344870852734909922047444211358539400156833918696474\ 1972806452445177655455567589548275419214100874367867136782066563585932589370891\ 9352156144823019638795911821734939329653675319219472019858016519124801980458686\ 216608987296916583708131780202300164090506704, 46720231584062212842256024116446\ 3923655198748285822735776304653590143790193946035654765239436099973069925198701\ 5975395872527873907206646200361165166451179307639396371908684264012656568439176\ 7214840465257011917980441741403367721432642123814065263519129944831975120355092\ 9936629606059303428917024002799156176737911355030996285375432060892747856775999\ 0993789289463421251039930028505524828834870465603223633675696879057657201752854\ 069602816500536480238917675481984746695528, 13522348099117590674072282276920224\ 2240618754745640851039515100580047545876444335111533969258547059734554674258994\ 8043470915305544025316119589007480027240132166456451869831465170458908592493189\ 0033455144635480528807621352318723029686290640763824665820924281163063819545518\ 0958270608910351352203576199939862623818384102834100545709962358741522813681396\ 3378316009321464766328918090149387892199524203483075518660334533244443333920244\ 3948606190833053883799486094883386941664, 3913799423148028986183831802075156114\ 3643267053838986614696592042518240877302357308823400953238596046499771595365006\ 7327189972894412966720648931932519900776214985163009120665400110051737663497107\ 9774344427572662799793074661195188820174524206462950392910594604376300314154109\ 4488202057020204938444560838644521723701551261844119985124279298265571347144905\ 0217950101876805571196156484747873846208603511236422256069256772288553694886388\ 18887080856689937385371820262976286560] ---------------------------------- The average areas divided by n^(3/2) for n from 1000 to 1010 are [0.6810192306, 0.6810364350, 0.6810536141, 0.6810707686, 0.6810878974, 0.6811050016, 0.6811220808, 0.6811391351, 0.6811561645, 0.6811731694] ---------------------------------- The variance of the area divided by n^3 for n from 1000 to 1010 are [0.03130055777, 0.03130060269, 0.03130064753, 0.03130069227, 0.03130073694, 0.03130078151, 0.03130082600, 0.03130087041, 0.03130091473, 0.03130095897] ----------------------------- This took, 974.310, seconds. Section Number, 9 Regarding the set of steps, {-1, 1, 2} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-1, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 2 (n - 1) (26 n + 53 n + 18) a(n - 1) a(n) = -1/2 ------------------------------------ (2 n + 3) (26 n + 1) (n + 1) 2 3 (n - 1) (78 n + 42 n - 25) a(n - 2) + -------------------------------------- (2 n + 3) (26 n + 1) (n + 1) (26 n + 27) (n - 1) (n - 2) a(n - 3) + 31/2 ------------------------------------ (2 n + 3) (26 n + 1) (n + 1) and in Maple notation a(n) = -1/2*(n-1)*(26*n^2+53*n+18)/(2*n+3)/(26*n+1)/(n+1)*a(n-1)+3*(n-1)*(78*n^ 2+42*n-25)/(2*n+3)/(26*n+1)/(n+1)*a(n-2)+31/2*(26*n+27)*(n-1)*(n-2)/(2*n+3)/(26 *n+1)/(n+1)*a(n-3) Subject to the initial conditions a(1) = 0, a(2) = 1, a(3) = 1 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [265014811333708552347984026496583167113044725883903646938103757613470079638687\ 7273602207927149458422977608205628613097581779632835313525090824185647158755464\ 6879448849928485428780721737918182146915952388339058815248554754513903090739935\ 6266108481130673714159548306015098036067166418700369410052533894648005209668628\ 1544327982773982326368944052571482985474002057380717120249933208648809099816671\ 2078617837168170300, 6908448875676036897705999430706638527995573151557422347305\ 2561301379400878312837288186979592718257593138911408231735504303491049423793428\ 5673984939798623200773134991017540715235602620095820629927882486658801089813526\ 2719801534348362095592060221401355431459783989357984034345530590846952241362785\ 7894926458517444176955335314931444063119594809619912103869356682073668777540000\ 765537358834028914031255696518082909728, 18009082872248548613215677894073314689\ 2317477054066545983747743986427579258437757100749819472982482319130451578492583\ 5939745534916314431975904298604645299096212680031183724045197887585574094862220\ 8237001700955806704843490815187057740335201606148596846383914066913042611960159\ 5916130547360716388473646821654196846049016110306450230762007159781784391820832\ 992762149475743794193112435014732876859905366078858756969953, 46946507693948214\ 4313516225253739633901729650461986730743018956787316364305695973721845889314024\ 0456128516162055363288452199302365187075124650554841444879544788893817755828288\ 8683014864230110243437739452288952209204301189338576743234138692804256867220952\ 0249132656660656359089082161356057041840669057832924825509823297824487954129529\ 8673762529614000936327390521221038958585593817226799544022031234929682148063028\ 81, 122381460061461011888194400044653997721922498159963234678748491920567066127\ 4660509733106895908282978717946091005370759817347859930124716974853487955168010\ 0770236214875342467832884938886004871936972988686887255826725534494426240145841\ 6512537072083118585523426669563287351424755161612897987164089043664167386765153\ 1298031559452699157522810859823715481025864279485350518399789867674523011137082\ 481910609379020056750415, 31902786151161646262096504233628110993051893900961689\ 9695406912324540490019553127011701440422027420233248270537606098485306956678871\ 2557445613905855194052172813392024242870265504185406378886856941361752794248139\ 9462331969266076380466495790334603713134297813161704199268586834034299058962829\ 9868087112343142929359030232955868926901976435147785976502228538356784362063541\ 4105688855902712022267297398999432022998049399, 8316531511573615761335117862236\ 1964006753206257508941417306827288029397977414306710730894785055743959137498484\ 4549599706683225871372944691856058520395088907531731602898909436767153105563367\ 3409373603300687331678759953126409791083451051790207424313304368006174421789311\ 5001662424768189974353450959514206860932702373491086594900628602525291749977871\ 64677874559747822627484363795256184875435654131572218578038695165713, 216798614\ 7492097663622433932848229229154319792436974699746988184293461205974808691540902\ 8424912399179442057994227277263083876801076081505717935923147918079535097471012\ 9241424063551902177820037154926894631903752391861611870849054541266875043717572\ 2073705717592879737111951250371636152576162893942317324498624778495712011510007\ 5765038412910160302263488138091201434189108206651670627837864571303655883833051\ 184603346651, 56515998899069045315207137751448616984996068057576007487168084152\ 4016539542798253958462842619226425884334364532054674495287945035571399937846868\ 7118245628170861058227643248555246683766596730032189604832726472114364337251841\ 5733566950897467320025995166470340488976289580759850522191101273912235791343919\ 0070443298110957900774894995104417588144059674962099286267053570074261151874891\ 78156815975457233680253128158023688, 147328562488721993494906513600263598392446\ 2037214831181608619011678865378356065235481205735984455345549682899373697703497\ 3800413210678500867182934515052060726506195856685781695963134261126545539891587\ 5103179314389037350457944977415569450771420405688379804736278011546479602875017\ 2966472157447134628982740653813089450542373546412491269337710870747900726441961\ 14178449253938088573682334765041930301228750182949473417091] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-1, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence b(n) satisfies the following linear recurrence equation 4 3 2 b(n) = -1/4 (2091400162780084 n - 3956209621663023 n - 16872715290061726 n + 11767841739625455 n + 9704932814559090) b(n - 1)/((n + 1) (2 n + 3) %1) 4 3 2 + 1/8 (32757067032322841 n - 50603821325277372 n - 66268845854196437 n + 7256250327465864 n + 7121536851385764) b(n - 2)/((n + 1) (2 n + 3) %1) 4 3 + 1/8 (87759963480846189 n - 245713307976852154 n 2 - 267979573229392491 n + 707796759066449620 n - 233718282151883952) 4 b(n - 3)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - 1/4 (10764656453584059 n 3 2 + 4788430186505210 n + 107645805586334835 n - 511787818461371366 n + 335257384552493430) b(n - 4)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - 1/4 ( 4 3 2 151000895989253063 n - 618269794715034695 n + 16781098301451691 n + 1620396559217868341 n - 655446091790211150) b(n - 5)/((n + 1) (2 n + 3) 3 2 %1) - 31/8 (n - 4) (12493137967451453 n - 17332032946743716 n - 63849138301491205 n + 47181049172078448) b(n - 6)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - 961/8 (n - 4) (n - 5) 2 (142892819003623 n + 250505872851617 n - 291203051531928) b(n - 7)/( (n + 1) (2 n + 3) %1) 2 %1 := 237064402687775 n - 618891484789989 n + 87431827158190 and in Maple notation b(n) = -1/4*(2091400162780084*n^4-3956209621663023*n^3-16872715290061726*n^2+ 11767841739625455*n+9704932814559090)/(n+1)/(2*n+3)/(237064402687775*n^2-\ 618891484789989*n+87431827158190)*b(n-1)+1/8*(32757067032322841*n^4-\ 50603821325277372*n^3-66268845854196437*n^2+7256250327465864*n+7121536851385764 )/(n+1)/(2*n+3)/(237064402687775*n^2-618891484789989*n+87431827158190)*b(n-2)+1 /8*(87759963480846189*n^4-245713307976852154*n^3-267979573229392491*n^2+ 707796759066449620*n-233718282151883952)/(n+1)/(2*n+3)/(237064402687775*n^2-\ 618891484789989*n+87431827158190)*b(n-3)-1/4*(10764656453584059*n^4+ 4788430186505210*n^3+107645805586334835*n^2-511787818461371366*n+ 335257384552493430)/(n+1)/(2*n+3)/(237064402687775*n^2-618891484789989*n+ 87431827158190)*b(n-4)-1/4*(151000895989253063*n^4-618269794715034695*n^3+ 16781098301451691*n^2+1620396559217868341*n-655446091790211150)/(n+1)/(2*n+3)/( 237064402687775*n^2-618891484789989*n+87431827158190)*b(n-5)-31/8*(n-4)*( 12493137967451453*n^3-17332032946743716*n^2-63849138301491205*n+ 47181049172078448)/(n+1)/(2*n+3)/(237064402687775*n^2-618891484789989*n+ 87431827158190)*b(n-6)-961/8*(n-4)*(n-5)*(142892819003623*n^2+250505872851617*n -291203051531928)/(n+1)/(2*n+3)/(237064402687775*n^2-618891484789989*n+ 87431827158190)*b(n-7) Subject to the initial conditions b(1) = 0, b(2) = 1, b(3) = 3 Here are the terms of b(n) from n=1001 to n=1010 [615109078301618364199887120134108884899365089944098567823681710873400515531031\ 5056639644670019159690186363356997551946939444743166648574307969684092831020535\ 9234655166779972995418459867382835842691718789264417769759520056932852754649314\ 4969971068548874878451170768486925573424354948049386314306319464731128567397858\ 7637518867492562625787966468312419736660420404651106936826843935480105102245378\ 35889048716823109015641, 160591507004469418302547901118895048750911781041711206\ 8880394225536739108435222793015588532414277332084360167065701536932306913315074\ 2358041621627421589677175343623142456447945252642128040291973907729611899337158\ 3668665642346111957225193658658609483140010950857789620294085597135248347299465\ 8294896430728074078693665610971240823251032253505263468537450930912383964333979\ 774796614434477246713311074340342064081050254612, 41926923366178878434099487768\ 9156736723242116382518475470174490379898866810400047512352995086869257771330067\ 3621847566206195936922730883491611945755622729723078122969222547596975628369264\ 6797737111871145214386327233684899114770161787702960210048128089253671262996624\ 0003952833042104230565164367034403572651853345166939484416435409324163082102558\ 4343566929483056246908071731082729799191185764592406349818953562838937100, 1094\ 6200532198167375220171243414045781514024859227273105171704486649323458525009923\ 2095229141757698577438765680001712331223381404308758173044542683702206787744374\ 2192521904460227134620181741450715918738830978921687921298281219785893004120321\ 8823983253054425840974301358595556867791332932530272155915571019367816417012806\ 7180556911105967178308742783057002354080282570298298550351404917192347814599337\ 03417774486556344491, 285781288377032794545443197022462289074337439664426466922\ 6427504161756713838345360277639069745934662571383100995414846781272530519975272\ 8561358108988689947651381827591320943886130600533421055260436732799834840076888\ 8039596211103141213405790329596329980892037791064704716764774248675830215734935\ 1357081585526189479298489741153850333718849893501532626376961048132628231985282\ 4794590391632258312453355886253314555015838698, 7461122387637255388259037309935\ 7422813074073729139803770281350050763629166499441668745622918213765881526342457\ 8659866155010572639185673344770898074641602020015550759469166332455436333207279\ 3106315494247966189412924674512707212428161890321954543370500953671735036369426\ 7972930062853341011037126324240581783608314154741781992399848793006852105381609\ 156319830790755587055799920354156897345272553210552251765159253575647699, 19479\ 3527607007881106735726533443630715327000174162286680108870039624085532951777591\ 6607929536488587326156149216130570469157371562391258758923896886731579494991382\ 9485460223766679490682044268706418718362720106270976607024228004365472331102874\ 9657011140205387207382655548846595379495313474509633716849825355140899951722595\ 4772071068911893107909113522084682406710206497293821565305636573195960075520635\ 26865320274634978830, 508563123199511222286105923062398240491115390171841600828\ 5513887870789540063683792941446877525158162987567494095592566392167395912636749\ 1854904734893180837159990183519801826437403758404639575437211779131383595865984\ 8476938545633243949966127263869089790690362447269099232821767329971322829990779\ 6283843349702163332767608162478323944785856433734825591589161881874354972431903\ 96123098568708158472796854936718194224863651042, 132774658494804573580103344081\ 6017833914290445409638496383515653008080430374713867019643199737315535979846424\ 4092558470364121370955330323361168350836695691306887126063438418043519677070281\ 8367208114237382446687974404033487418477961822873001714053270369336448318920978\ 0158493166137525649827814847073389811619736953726677263468186612009356591943651\ 029879451950971152229628306835631683991638440990557652727995034895871471998, 34\ 6645450815679504605920299851353520662396322568013184179880896081687008337275800\ 0792048495600088264577951436719922506003136671871738189246572634339632286030246\ 9539621314235201083934486529586070673966935792684369930737824188936218481726477\ 4657272152953671404156349828192948149489357352704479754283095266822859739349934\ 6494169289784774006319412738301502909051692893595732087766537474511348200679467\ 648705553769965859850507] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-1, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence c(n) satisfies the following linear recurrence equation c(n) = -1/4 (303766373126127774102007971503826425642648401387101625870043619\ 6 28544146711789498873824126760 n - 5329877647992374379260546794892517588\ 5 98717981231872210699420333760207262046218924485951956862 n + 3356761522\ 072850964554112129456598798040253664781216673060969636857528710140665812\ 4 115031196219 n - 891973442488710147579489829159082068550923677273937393\ 3 5162021961297466314293340035143264550263 n + 82896414062891961191666792\ 2 05471117038954750341059692951219525841631547813397038404033957737150 n + 982370965466445810135631878762648357140151975959254722136675402602352549\ 985730885564300820951 n - 2854667710006790370172595900406498922569058539\ 638442758231832296982525862474856254825362664623) c(n - 1)/(n (2 n + 3) %1) + 3/8 (2676263539655383949305731281740923965607358272503645105931473602\ 6 2674872358288054233694514910 n - 60834963450484866870587830374557842066\ 5 962945993998927955590445071873505576702030529760584625 n - 380074170732\ 065868081113651844747342767632645683307469115570159550240595920451781743\ 4 5593113449 n + 34544125664479360740648085253261404276039914708692753982\ 3 777940204019692162368680392919937740520 n - 113869983697165469893679024\ 2 450307016222693014288331641145646316321896147767112755283264138694171 n + 145766173876117256486858504032760438304699427903454223482756564270754565\ 040885475074534742827849 n - 5068207856640321575613880889284865074167267\ 3039094055619633662966851970280216904456859725420326) c(n - 2)/(n (2 n + 3) %1) + 1/8 (7438093676347391462311293362785345474819028353256017544308855\ 6 28385505978580763233200904392990 n - 1086404174044069435355341034068891\ 5 9558784554100027850871413993325471343604051193536182102264410 n + 50919\ 068070404757782457501034335359787896898329516725131839633468718129740561\ 4 829258072152455193 n - 645667389019822186277787136450108623166307950558\ 3 00458340988830526759990681118210934825959020513 n - 7370295295353010421\ 216334809679518924481384308035245638054687296414132401623474401071474450\ 2 1563 n + 85851174073198706487430836749815768397596974448962232901861880\ 607022303621460554964920367922725 n + 2112476017282985984272889290911764\ 7714949957974873328756124662707060783169807261984381509366222) c(n - 3)/(n (2 n + 3) %1) + 1/8 (104162929086491885034290661625699408555055136985703\ 6 0149747968075779641858380389446434336339840 n - 23159115748839058201840\ 5 373464145684802824440861593610491190898498755596454225058238411604581581 n + 203816894823485793077034909979143058829933192649137560459441685112403\ 4 908698943578482093325107348 n - 923292486956026902645869129996988353563\ 3 714861186599108530753808538706391718761011141365334388123 n + 225924297\ 936214783515091983062422038416779013171302398530453013489301271440926844\ 2 3967247820688402 n - 27098595477692288129966822597360369896590674268526\ 23931562227230393150368356395145515118639295632 n + 11855818448554241766\ 977480137371256419932346022112880310934555420605900103744660409186439747\ 75494) c(n - 4)/(n (2 n + 3) %1) - 1/4 (62949413424177798766783181469407\ 6 7351252848803278610551407242093552629181489036288778211306490 n - 16600\ 721332883172923885714620613060202709450852337093979714036637010979261678\ 5 66034885354005036 n - 7139375343233637917523354652270709698290232600568\ 4 7862427159754678437481094812020226741382604772 n + 58953913327605564415\ 553888166644690956760936593053483974850563626359027249086542090107722390\ 3 2564 n - 17146593820746066073929026160922908760863788675620458025241876\ 2 70333915998097374740250986464061477 n + 1998737743977901008152068111173\ 756199910655255767891880749402580020160143106948386432195912108873 n - 7\ 029851746831146593782685679873167305038916208160830819110652957337410588\ 45218258293384821305440) c(n - 5)/(n (2 n + 3) %1) - 1/8 (53668356588929\ 254068981394161126780699589617109972269752654171174529884083074351551989\ 6 78025670 n - 8326632071334758664537326772943445831412177182789494249917\ 5 0317800678407257263920710522648574011 n + 52280242883662332486805936734\ 4 9669336038227704239637171867273931339876505474808934966529628099823 n - 181829122451997644079987707270517205624647127034615315625608666500795888\ 3 0338131675706457654447182 n + 39117359182828074004583509546033852039115\ 2 23821602444027604452544025535972414674632292438633752665 n - 4842070816\ 445405224647414413846484408203269683278159316474499212253559924066142720\ 151124309973265 n + 2495117860443167681846800728245506850275880918669028\ 377507381854920087110389766843103212291054964) c(n - 6)/(n (2 n + 3) %1) - 31/8 (n - 5) (1986941417493111007093922938900430137887146456302236649231\ 5 08579344458638628690328163187473990 n - 3115201339644596682241699917199\ 4 279670996417294370261990402238133059787575995395620188868317884 n + 203\ 954731619888314075027914578550361115208991667162838018932369766547137242\ 3 30492980381897481193 n - 6429700730900079620772707867637154135939225137\ 2 9202964559266180643933321353621131783059687264792 n + 91035259702988069\ 004240506655702981549389398520998232566735958768190414144412251201769800\ 626501 n - 4347736950934344769681724839832055501025351586501106655034672\ 4243253540314870092638284528728340) c(n - 7)/(n (2 n + 3) %1) - 961/8 (n - 5) (n - 6) (2700247270467274000452084759494462898498259310565881220\ 4 148950106073607483427342723710856340 n - 441129115577604018941650986436\ 3 79219846623862478320542044320718842141173718996417898285179529 n + 2038\ 429794164667935647999318629604338472471984412280859369419647725484138347\ 2 47162136032341591 n - 3368626613800557165048149568193955653042478067652\ 63780181992363155941687832745997485844274954 n + 15711818223607537329071\ 3669405833913001268558913948692168357888980288072280852047991324957016) c(n - 8)/(n (2 n + 3) %1) %1 := 1046724488637759727187796542547767128628964199203221872702937222406438\ 4 663411504388804635190 n - 172094121405138427046853363718857001583355885\ 3 00897445127850373063885527582999183736296360403 n + 1041567756991078269\ 908061167828732812967009841680792203600057674089176313661900941980557323\ 2 96 n - 2707361322909560718207878699751309438994669283150980485747567178\ 61234699364363144675616310102 n + 24708850121591513037572474534248135228\ 9010530947954320660916798058388921811811227288320847309 and in Maple notation c(n) = -1/4*(303766373126127774102007971503826425642648401387101625870043619285\ 44146711789498873824126760*n^6-532987764799237437926054679489251758898717981231\ 872210699420333760207262046218924485951956862*n^5+33567615220728509645541121294\ 56598798040253664781216673060969636857528710140665812115031196219*n^4-891973442\ 4887101475794898291590820685509236772739373935162021961297466314293340035143264\ 550263*n^3+82896414062891961191666792054711170389547503410596929512195258416315\ 47813397038404033957737150*n^2+982370965466445810135631878762648357140151975959\ 254722136675402602352549985730885564300820951*n-2854667710006790370172595900406\ 498922569058539638442758231832296982525862474856254825362664623)/n/(2*n+3)/(104\ 6724488637759727187796542547767128628964199203221872702937222406438663411504388\ 804635190*n^4-17209412140513842704685336371885700158335588500897445127850373063\ 885527582999183736296360403*n^3+10415677569910782699080611678287328129670098416\ 8079220360005767408917631366190094198055732396*n^2-2707361322909560718207878699\ 75130943899466928315098048574756717861234699364363144675616310102*n+24708850121\ 5915130375724745342481352289010530947954320660916798058388921811811227288320847\ 309)*c(n-1)+3/8*(26762635396553839493057312817409239656073582725036451059314736\ 022674872358288054233694514910*n^6-60834963450484866870587830374557842066962945\ 993998927955590445071873505576702030529760584625*n^5-38007417073206586808111365\ 18447473427676326456833074691155701595502405959204517817435593113449*n^4+345441\ 2566447936074064808525326140427603991470869275398277794020401969216236868039291\ 9937740520*n^3-1138699836971654698936790244503070162226930142883316411456463163\ 21896147767112755283264138694171*n^2+145766173876117256486858504032760438304699\ 427903454223482756564270754565040885475074534742827849*n-5068207856640321575613\ 8808892848650741672673039094055619633662966851970280216904456859725420326)/n/(2 *n+3)/(104672448863775972718779654254776712862896419920322187270293722240643866\ 3411504388804635190*n^4-1720941214051384270468533637188570015833558850089744512\ 7850373063885527582999183736296360403*n^3+1041567756991078269908061167828732812\ 96700984168079220360005767408917631366190094198055732396*n^2-270736132290956071\ 820787869975130943899466928315098048574756717861234699364363144675616310102*n+ 2470885012159151303757247453424813522890105309479543206609167980583889218118112\ 27288320847309)*c(n-2)+1/8*(743809367634739146231129336278534547481902835325601\ 754430885528385505978580763233200904392990*n^6-10864041740440694353553410340688\ 919558784554100027850871413993325471343604051193536182102264410*n^5+50919068070\ 4047577824575010343353597878968983295167251318396334687181297405618292580721524\ 55193*n^4-645667389019822186277787136450108623166307950558004583409888305267599\ 90681118210934825959020513*n^3-737029529535301042121633480967951892448138430803\ 52456380546872964141324016234744010714744501563*n^2+858511740731987064874308367\ 49815768397596974448962232901861880607022303621460554964920367922725*n+21124760\ 1728298598427288929091176477149499579748733287561246627070607831698072619843815\ 09366222)/n/(2*n+3)/(1046724488637759727187796542547767128628964199203221872702\ 937222406438663411504388804635190*n^4-17209412140513842704685336371885700158335\ 588500897445127850373063885527582999183736296360403*n^3+10415677569910782699080\ 6116782873281296700984168079220360005767408917631366190094198055732396*n^2-2707\ 3613229095607182078786997513094389946692831509804857475671786123469936436314467\ 5616310102*n+247088501215915130375724745342481352289010530947954320660916798058\ 388921811811227288320847309)*c(n-3)+1/8*(10416292908649188503429066162569940855\ 50551369857030149747968075779641858380389446434336339840*n^6-231591157488390582\ 01840373464145684802824440861593610491190898498755596454225058238411604581581*n ^5+2038168948234857930770349099791430588299331926491375604594416851124039086989\ 43578482093325107348*n^4-923292486956026902645869129996988353563714861186599108\ 530753808538706391718761011141365334388123*n^3+22592429793621478351509198306242\ 20384167790131713023985304530134893012714409268443967247820688402*n^2-270985954\ 7769228812996682259736036989659067426852623931562227230393150368356395145515118\ 639295632*n+1185581844855424176697748013737125641993234602211288031093455542060\ 590010374466040918643974775494)/n/(2*n+3)/(104672448863775972718779654254776712\ 8628964199203221872702937222406438663411504388804635190*n^4-1720941214051384270\ 4685336371885700158335588500897445127850373063885527582999183736296360403*n^3+ 1041567756991078269908061167828732812967009841680792203600057674089176313661900\ 94198055732396*n^2-270736132290956071820787869975130943899466928315098048574756\ 717861234699364363144675616310102*n+2470885012159151303757247453424813522890105\ 30947954320660916798058388921811811227288320847309)*c(n-4)-1/4*(629494134241777\ 987667831814694077351252848803278610551407242093552629181489036288778211306490* n^6-166007213328831729238857146206130602027094508523370939797140366370109792616\ 7866034885354005036*n^5-7139375343233637917523354652270709698290232600568786242\ 7159754678437481094812020226741382604772*n^4+5895391332760556441555388816664469\ 09567609365930534839748505636263590272490865420901077223902564*n^3-171465938207\ 4606607392902616092290876086378867562045802524187670333915998097374740250986464\ 061477*n^2+19987377439779010081520681111737561999106552557678918807494025800201\ 60143106948386432195912108873*n-70298517468311465937826856798731673050389162081\ 6083081911065295733741058845218258293384821305440)/n/(2*n+3)/(10467244886377597\ 27187796542547767128628964199203221872702937222406438663411504388804635190*n^4-\ 1720941214051384270468533637188570015833558850089744512785037306388552758299918\ 3736296360403*n^3+1041567756991078269908061167828732812967009841680792203600057\ 67408917631366190094198055732396*n^2-270736132290956071820787869975130943899466\ 928315098048574756717861234699364363144675616310102*n+2470885012159151303757247\ 45342481352289010530947954320660916798058388921811811227288320847309)*c(n-5)-1/ 8*(5366835658892925406898139416112678069958961710997226975265417117452988408307\ 435155198978025670*n^6-83266320713347586645373267729434458314121771827894942499\ 170317800678407257263920710522648574011*n^5+52280242883662332486805936734966933\ 6038227704239637171867273931339876505474808934966529628099823*n^4-1818291224519\ 9764407998770727051720562464712703461531562560866650079588803381316757064576544\ 47182*n^3+391173591828280740045835095460338520391152382160244402760445254402553\ 5972414674632292438633752665*n^2-4842070816445405224647414413846484408203269683\ 278159316474499212253559924066142720151124309973265*n+2495117860443167681846800\ 728245506850275880918669028377507381854920087110389766843103212291054964)/n/(2* n+3)/(1046724488637759727187796542547767128628964199203221872702937222406438663\ 411504388804635190*n^4-17209412140513842704685336371885700158335588500897445127\ 850373063885527582999183736296360403*n^3+10415677569910782699080611678287328129\ 6700984168079220360005767408917631366190094198055732396*n^2-2707361322909560718\ 20787869975130943899466928315098048574756717861234699364363144675616310102*n+24\ 7088501215915130375724745342481352289010530947954320660916798058388921811811227\ 288320847309)*c(n-6)-31/8*(n-5)*(1986941417493111007093922938900430137887146456\ 30223664923108579344458638628690328163187473990*n^5-311520133964459668224169991\ 7199279670996417294370261990402238133059787575995395620188868317884*n^4+2039547\ 3161988831407502791457855036111520899166716283801893236976654713724230492980381\ 897481193*n^3-64297007309000796207727078676371541359392251379202964559266180643\ 933321353621131783059687264792*n^2+91035259702988069004240506655702981549389398\ 520998232566735958768190414144412251201769800626501*n-4347736950934344769681724\ 8398320555010253515865011066550346724243253540314870092638284528728340)/n/(2*n+ 3)/(104672448863775972718779654254776712862896419920322187270293722240643866341\ 1504388804635190*n^4-1720941214051384270468533637188570015833558850089744512785\ 0373063885527582999183736296360403*n^3+1041567756991078269908061167828732812967\ 00984168079220360005767408917631366190094198055732396*n^2-270736132290956071820\ 787869975130943899466928315098048574756717861234699364363144675616310102*n+2470\ 8850121591513037572474534248135228901053094795432066091679805838892181181122728\ 8320847309)*c(n-7)-961/8*(n-5)*(n-6)*(27002472704672740004520847594944628984982\ 59310565881220148950106073607483427342723710856340*n^4-441129115577604018941650\ 98643679219846623862478320542044320718842141173718996417898285179529*n^3+203842\ 9794164667935647999318629604338472471984412280859369419647725484138347471621360\ 32341591*n^2-336862661380055716504814956819395565304247806765263780181992363155\ 941687832745997485844274954*n+1571181822360753732907136694058339130012685589139\ 48692168357888980288072280852047991324957016)/n/(2*n+3)/(1046724488637759727187\ 796542547767128628964199203221872702937222406438663411504388804635190*n^4-17209\ 4121405138427046853363718857001583355885008974451278503730638855275829991837362\ 96360403*n^3+104156775699107826990806116782873281296700984168079220360005767408\ 917631366190094198055732396*n^2-27073613229095607182078786997513094389946692831\ 5098048574756717861234699364363144675616310102*n+247088501215915130375724745342\ 481352289010530947954320660916798058388921811811227288320847309)*c(n-8) Subject to the initial conditions c(1) = 0, c(2) = 1, c(3) = 9, c(4) = 20, c(5) = 181, c(6) = 450, c(7) = 1987, c (8) = 6597 Here are the terms of c(n) from n=1001 to n=1010 [152290514703711517215576203224337028336786565021012238302766422598068816562923\ 7717044085014412212088778272568375023762431470445848738144429027090454880421324\ 8339383110658694269520541185202156648500580985917769505613299926608769048021238\ 2737782859471373587345839189509825647888575176451373893349144869840589010840249\ 6469641072529292269612808204967388545055597508845780536084579049917057347377016\ 6420463761807819694657344357, 3982008333869593639551901910405923318614194373844\ 6948667995705114464688410902350722097182278458916897039822049852329603672725295\ 1473268765801016867561927743835025478205782298413859094632320484061611604734307\ 1378094681012993727316935923718539858953188065061305731361725609138484888740613\ 9279027288876700415674034958653048876794771610229685858141211053918355341245158\ 504341006229126318354542292388312878638578263743804099058, 10411919406466825262\ 5882797031928196574388454838849732441146945776226258800686208282834199611269811\ 8513235749073246768580322793223513159816454078537527532183358859277467861615279\ 5268621362627922454842250827247885798158073582361187911532507998464248786651973\ 7201277727771300161094321614144239226054846799660886873034520685963882413361939\ 6134945184087681673211743864377968176008437757407267015141110304039822051704412\ 91177412, 272244274735522667970241867753624734751777057868661913263731331291280\ 8268558974085596578221039509538667463140492191825112916072677700366660111194912\ 1436381636556933949862044271837607063112067578978991175881616832136305908530927\ 2281772890993165978002221203474181040599925134632980557642507549493023870894342\ 5527535473506921144742572401181032750928905069803571879113869297571764540525552\ 11287093068015634169062149509948731959, 711845983114793159804824103757905832902\ 4206856369086865384050956740921779514354480364315485991948092129562910030938827\ 5122167532318595031827850418135221102064895558754465410245886693746992866367733\ 7419516664404989099087190237775424703382225252192332862596055679182649134834281\ 5232938823999844302005543273249110607413522969387191115512961944372543611707659\ 57763552774073485343698774559900793883404843364123979388203768366944, 186128402\ 1720575426480997883170018028246158426684227550034195781351971921020835131168514\ 9245963567948770232117050331195502926541010513956008163230838110962377954925239\ 0086628136401956421916527984020692307181732673760913822033579295435460964598926\ 2025458758482482021785846590449023462910184682149365586843874585032417560469816\ 0337237228774735390422234355083397554692329832194508478246492747759891646334237\ 82199070098662384277, 486674496287746999896503823915016842933333065915992954382\ 2091432359847774079793569942967151544826938853182550493582981223054478357967428\ 3606311484556032763636022877915625678537989150055505193488793648161788081560432\ 3487662125805426754762552672383184086294212469497468504315899986404258116425673\ 1388574118704122501191988801089023394603513297148097099698971549012989272216095\ 951011293625810080906654226402648260175171078446662, 12725177730623783162490786\ 8715504304654368910280836963011479452372643462024585616103080110301370846572972\ 0840145291761790261113353764402213046111450579111750844437027742375312384456242\ 7053241105692077860975148697691595704625292812083322792652512824976553170617813\ 1657938521394867596011509615671157790337051556279836502880499594488565596820474\ 0113762977505838156192028664973576274770599352805823915098386319559053618098376\ 0290, 3327273159519540251743831098580667538730725321117299457020846438039226355\ 8814757500352449620720432065027286057728826506474684229545503189546057107897121\ 4436991404346678351622891404957015345807615119478415376361878644497791872975035\ 0097932525407004536475958151689668247964328664514021232020219201846578382148073\ 4561449366976066164016126766101381700944193214483691344840003654999621806811836\ 439533767228083619893989560832922254, 86998625062923348774548034401322230679998\ 3016557408412856515919493279847798039728636109698344446932639997232936077797694\ 0517031919916617321536455097175495973821334025777902071980282079993426107910428\ 6397644117570569979166708988291799284971133903680827085645432056762406565384664\ 3557817570606262574880116104664749983509983510586087687930108536148511643712617\ 58939446112383511743454945322032630267342895616685134177907786176279] ---------------------------------- The average areas divided by n^(3/2) for n from 1000 to 1010 are [0.7328766312, 0.7328927797, 0.7329089050, 0.7329250069, 0.7329410853, 0.7329571404, 0.7329731725, 0.7329891810, 0.7330051666, 0.7330211288] ---------------------------------- The variance of the area divided by n^3 for n from 1000 to 1010 are [0.03582040790, 0.03582045321, 0.03582049842, 0.03582054355, 0.03582058859, 0.03582063354, 0.03582067840, 0.03582072317, 0.03582076785, 0.03582081245] ----------------------------- This took, 797.058, seconds. ------------------------------------------------------------- Section Number, 10 Regarding the set of steps, {-1, 0, 1, 2} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-1, 0, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 0], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 3 2 (143 n + 132 n - 17 n - 18) a(n - 1) a(n) = 1/2 -------------------------------------- (n + 1) (2 n + 3) (13 n - 1) 2 2 (n - 1) (26 n + 11 n - 6) a(n - 2) + ------------------------------------- (n + 1) (2 n + 3) (13 n - 1) 8 (13 n + 12) (n - 1) (n - 2) a(n - 3) + -------------------------------------- (n + 1) (2 n + 3) (13 n - 1) and in Maple notation a(n) = 1/2*(143*n^3+132*n^2-17*n-18)/(n+1)/(2*n+3)/(13*n-1)*a(n-1)+2*(n-1)*(26* n^2+11*n-6)/(n+1)/(2*n+3)/(13*n-1)*a(n-2)+8*(13*n+12)*(n-1)*(n-2)/(n+1)/(2*n+3) /(13*n-1)*a(n-3) Subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 2, a(3) = 5 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [406384180607961947117805619292460734659063840171074833963700464734472549923819\ 4070270148052365289071807598948386898123035572487381711414697375658501317276504\ 4288359755176962963144580010698981080582372923002894831471254187097171161245751\ 2300655066111980800411840763074603656905676798108654168993191090456025787378987\ 0219347376509506346160076817717550488050619951600706900578310616370125807525124\ 7794079407192818151831037860138583460654136632194774741242806320779837471821520\ 9562106417119146172496412882823343856518441579112564388537347325767805212606716\ 48, 146514555155613864178115845986636318611877601846284695883994283831702236137\ 4056930917045149858008278406873205223707179999760437107368756095943476120058557\ 3141923968019807735627477079448250786955606641757985803848522789562906776223848\ 4406009146288520785625973427767991510369616547481743559398510627369723266996195\ 5396899272857854885247081047314932328873821397051148604431108704861050870016893\ 4243030171319531044665663446633341228671932098763315115451534716267694072622361\ 0049219343320584738912300256492160412885309480760900477325752619442009913412189\ 064896, 52823283704334738735588242567844183333945283406840883041444863184174840\ 4987407210567215919884803474999836843831514047801458068820355788050389924472719\ 5139179373230111727616964647325199998145520931727429224227122338942349495824073\ 9960543129865600241225961927393785470402718348029034855606027570937408920185633\ 8651365435197710415419922637490854987705403873867679098265487435147464948993705\ 8408977125750620232603815347026110933333919542497978259725196085557773429586845\ 2619106455158357464119290097662888395707246208540523165384763581088697750063787\ 9550320640, 1904454781716319147501773256194426912403512720858345387044993877405\ 7083114044423833768656566602880610988376587258270055022014992778968647834554113\ 1881398959381912321277601667500756457459189354496217934203620260500483993732629\ 4966802745961110265381079577007600060106473633103218932143096824210475325766857\ 6812951828768411262227660048172769808429868019046023644384484446110928677393228\ 5427868464201978943737171425958645309395977255746542502519091358201964699506067\ 8090690203626001006656683543517268787263327367681979195410533830822852240038289\ 074647939373824, 68662020707778573204463172118713129911873748763911668260464626\ 6720431946048600919147008984583604645141574290414718990839970273197150674171908\ 6545579773213591696920939300230999049381944023664754751425032694603079225174637\ 5344993645957790947996016151898157755731751733927513831076287598331038693772581\ 5310482241973905634331347699166866933955666400974242785310599852942288201325593\ 5267426550236010567961816940557954187219412727210638202601488673282416820407639\ 2922311946363519789732160524259588161258761019781726788727539573517583610472231\ 25627234436737494528, 247550118666423083180218106572913172541847804373529108367\ 4675375402856787502091890180989602286441439746689435585122898100198845830836316\ 4587271026329190164491627384199591497060143024569027988339844067376438695136162\ 9054712001269280360560043686902400172718346097877021161460770379774689436243579\ 3471065467091146322928210670529502267712256820195191350157552285331150910375155\ 7546496654817312886499969271167105038351032093160054092063050425167293818401027\ 8619026859391228809821618048100745573481407088877317335823968990671963465991087\ 87102937010433916298350592, 892504345586304799084964184520117746403244131437574\ 3951765521834666269373484218159177278192657581945973912876782010037682527111043\ 1705409273022141762028735888670171588947410766774939602711220935565260355351495\ 6008386066040774677369761701790484504022296104639056017910314837294755541625346\ 0774604474854021669609053074397578215129283586721164053278426432134689283669843\ 1783932414838696379750303469079174206975439349929778355699159053975826924848793\ 3698512687489541378464500240022115671169011268392197808448156139193082788224232\ 60392067966701898087370852877632, 321779357893436050639485316058766069046811065\ 9923445879261012559076410453619723789075844196455632006217758452227985217668579\ 1878985905382408735218511524607664839586400230676446072867721523892525060214335\ 9203664240242970793214075837347486428583837953041608905566435677784512402085508\ 2225767057020670636917841378023820330424042071063851861833508140140782921269232\ 9889036709760724749690475580674370771837894559744750672898560690047813724684317\ 3619691599961234462984724490526287419748383950242043783028771306282889127646870\ 930830844170080066668235559976960129472, 11601300112811990890399882155331952750\ 8056476533562459607661005554026707716751977131853944576067530416907876835439654\ 0866866166173167456496911396140435285725437773247295500630386431530166387800825\ 3239528299180935623193685749523747098136332627085616126075908714253093041750986\ 2870078748822767293866682647765911125648550715713480516822222503618134418983327\ 3294744370905954052981275082893612054584663537969612898762501565543961991466914\ 2462950683079392981071348584996372264025307411177806544882054311905768356860361\ 27317423792012965268796172990679884607471477440, 418269099067805885794938694669\ 2380955797881758249747720320372797336253059341571612800137202107363372731130615\ 1536682847642893885285592559540347500253085622000125727144144861265029201397316\ 8753698786074383512142247361920909888012401704495229253763425767182661690056613\ 5281864955004041881054240065757690509244429352906589182495052203112043013441555\ 8790121581137777631460180485752569532827870977869262964271069223903587761371146\ 4994154212317367842240466958142554128227883554189778067423259699760850428147927\ 2550241897654621216414024541571631651681545861611860864] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-1, 0, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 0], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence b(n) satisfies the following linear recurrence equation 4 3 2 b(n) = 1/12 (3786738555340 n - 3718115065719 n - 15603470017915 n + 79869204204 n + 3348554204160) b(n - 1)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - 1/24 ( 4 3 2 9653690482397 n - 29090837934315 n - 32911632313190 n + 112160226367800 n - 39801412291392) b(n - 2)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - 4 3 2 1/4 (18531632951 n + 1699679851686 n + 2037471248587 n - 12737046284814 n + 13455896156904) b(n - 3)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - ( 4 3 2 1176685273920 n - 2981978072789 n - 2491785119086 n + 1678436893053 n 4 + 10830808054380) b(n - 4)/((n + 1) (2 n + 3) %1) + 4/3 (195523985462 n 3 2 - 3081971925987 n + 3477416928736 n + 24773172019587 n - 36721863345708) b(n - 5)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - 16/3 (n - 4) 3 2 (27567438782 n + 356483756207 n + 473408669622 n - 1899915012153) b(n - 6)/((n + 1) (2 n + 3) %1) + 64/3 2 (n - 5) (n - 4) (30579374059 n + 27903944910 n - 94820828661) b(n - 7) ----------------------------------------------------------------------- (n + 1) (2 n + 3) %1 2 %1 := 24980822503 n - 58586615532 n - 11274593280 and in Maple notation b(n) = 1/12*(3786738555340*n^4-3718115065719*n^3-15603470017915*n^2+79869204204 *n+3348554204160)/(n+1)/(2*n+3)/(24980822503*n^2-58586615532*n-11274593280)*b(n -1)-1/24*(9653690482397*n^4-29090837934315*n^3-32911632313190*n^2+ 112160226367800*n-39801412291392)/(n+1)/(2*n+3)/(24980822503*n^2-58586615532*n-\ 11274593280)*b(n-2)-1/4*(18531632951*n^4+1699679851686*n^3+2037471248587*n^2-\ 12737046284814*n+13455896156904)/(n+1)/(2*n+3)/(24980822503*n^2-58586615532*n-\ 11274593280)*b(n-3)-(1176685273920*n^4-2981978072789*n^3-2491785119086*n^2+ 1678436893053*n+10830808054380)/(n+1)/(2*n+3)/(24980822503*n^2-58586615532*n-\ 11274593280)*b(n-4)+4/3*(195523985462*n^4-3081971925987*n^3+3477416928736*n^2+ 24773172019587*n-36721863345708)/(n+1)/(2*n+3)/(24980822503*n^2-58586615532*n-\ 11274593280)*b(n-5)-16/3*(n-4)*(27567438782*n^3+356483756207*n^2+473408669622*n -1899915012153)/(n+1)/(2*n+3)/(24980822503*n^2-58586615532*n-11274593280)*b(n-6 )+64/3*(n-5)*(n-4)*(30579374059*n^2+27903944910*n-94820828661)/(n+1)/(2*n+3)/( 24980822503*n^2-58586615532*n-11274593280)*b(n-7) Subject to the initial conditions b(1) = 0, b(2) = 1, b(3) = 7 Here are the terms of b(n) from n=1001 to n=1010 [795278338567077688969897546326733070245361995230186334535910447772292868425309\ 3013431722397690832138090636128674696566421453208550827632134806393322296901662\ 5997134380928059976771979686716881732330834642806292289302792555734747193235639\ 3708671711683558354562598360104485024738601114098937375066553493777247478869143\ 3552934769649754277536796301956828262684551318432790937323950028100331650592403\ 7933192078195157358532688319058396443054102532472503393680018674448147821848955\ 6645632059124493419651239890552793741054549222146238755216161682568334159178782\ 033024, 28716076230836154414807763847111401039843937196567754246579242419696754\ 9887713985867002221494529951026056507998842862542209323711834317101683845867647\ 6386779403603764367208261247098100937348619245194653694835084678945784895423423\ 2903839181940846700115099449851292075156653883311213206048955647086953736628062\ 8874721167496897618811713278207627970238719223560254630154711427067550327908756\ 9875209482372645235213712111185152863777945451918215457059387119232136210966230\ 4932227477583909326499606613937779101878367697529428682700702825887919283967308\ 78163973181440, 103688602918274280149267933953665359850349257104374327129586809\ 0846129891533147172889168655223387177827465893456261811976041470324682075585076\ 2396373212420512321799147948795260370337303949663165248141157606091480246865322\ 5847912088131088609757914223451388490683219827889074571400646793355413585922042\ 1373782598251150863683810499770921968245888500154884609912966410171631609761030\ 8062644723803459193968756501851247628420205383895456023837731114173638259698785\ 6871814493396840685830215854750856225499030955318478042839234454966387890267512\ 61336010334599057444224, 374400939276419122322473593702497920879198845837439469\ 4786949230566291096728422223306960612466547917559323613844501690365171393512104\ 1549035232907221180092870467049609672425202025882895360780292534129890576947660\ 0185963491441207854613480147621287833518403014728575305971257542437256375094065\ 9607834409823988018284139714669897075075793764357993500813454926816828114362657\ 9042554530265506703165880576795831571528946371310437037763387593775085935144431\ 5884444875899187115866138608746397627626507921296456050980600778037917043816552\ 18983608977779007604529998357760, 135189455135546208021951856755752094643299217\ 6517788530135896028247299834747031273208475644436877224941519672983583682204097\ 0390727352465120153129041878340809602707930485171908024831285579356490895739721\ 8074223210821835303939276646837450728007764003132865374193486611856353434422348\ 1349331397085156082214733341016663559880764641165988019891049837791673301612883\ 2578687975344935313739915990874264132443710654696593951848828231021830844837133\ 5523712441692961572649637240405093491855145276778864378665031292750908940490872\ 791952001770046667361030212733381039743232, 48814482233380004446828159110893932\ 9756192173148605969909106178310920591517051577160279667042287657227546626105780\ 8311860089278216442845385172043136312030307301993954835911746757176426452147115\ 1600577469388418960667807414036482732655667999021277422214430242176954514390391\ 2434102174877620690623489167231115897391397332492637309084487895364966810589807\ 8144163606734994148777600473434761809544660163110556938130786551947767571462062\ 4462334122570468660237821664085206260434883938281412094938172434880700982516530\ 0875449259502520480579525859985969274900344890581824, 1762603134766785475261438\ 0446660277254911791589892106038005380284370129411897254073448368520438010498115\ 0455191315637096621925571941455857261985800293170238883320788099688807529999546\ 9828497731180125017240297654512569593940036946142044706465161572940665069064337\ 3154764625952840815926088577357602581018629298464935649592449497083353338985643\ 4806262255001455983823693432458253911302520489570272852181385116721881354422136\ 1480286567082668297979638059126811304305885531993418298984444714196604282075489\ 645363678169359022660485508613483184177678723065372818345801024, 63644425514489\ 8012263295513945695987521885140424601079415457769633005615930723632405609328395\ 3503845728585791909485296517460845358321087113871282117085011232529088981620093\ 8419085454636225034078849549066261661911690550871548346469759252982303197184960\ 9624420435815210532729759949692967455952452802904426257921890175893020589170388\ 9702880866367977636223530943473101675765331739906623337407881966056513572923261\ 5632284422576907639171746035379731058442890961827682485161149737619739121694813\ 08772046045890009848547835963673937095460388439838116470258594923017739264, 229\ 8085511874989559912565950943343942258691385057389045252646885734427690609126447\ 5915228077126861550541141752760927686615846360803341074815519917449898786356679\ 1185670286447508825298241119143894295349469608560671026494482703567177926423556\ 4350144705955053884139367320134157824941049501297588033660767298335317358393068\ 3651621695033633152079731145721087636984134682023336325731801887746738446513095\ 2197984971165263847658584676910370328419402582186677293542129809641245653770179\ 1100484192685532865897927946787111870063330394746222564176647691658355317754559\ 8606848, 8297972294771776225065514971103342031199418125914834494522612130760003\ 9258845723434196335975391336406696972016946582852639153394086934400297569151036\ 0811625398778307706729663056754803136648942308083643105131813758452962591521974\ 5958605664641336521503293746293426167453802161657828378981615437981294751523966\ 7812777722707166102504250936475381273292165650280995413443638393124168398933092\ 0609125797046768842244347074073332018747430536748826074478590259223878622187476\ 9745962665547339351056294390664095180918574759899994419546263783848448222041683\ 6797527489783156032] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-1, 0, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -1], [1, 0], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence c(n) satisfies the following linear recurrence equation c(n) = 3/4 (5470511801501901788502162604305241217550486426811544811550687283\ 6 7959357203299576460 n - 58146694060617415868682833821446069585626080049\ 5 3290012653863286498681326774183283237 n + 15864521226137696050616159059\ 4 35445154718007318242581593540427430626528447390305663379 n + 1387119836\ 508617323731680507635418830605206549650581261554987858255031214086834199\ 3 836 n - 928108721768880581498311361478169685187034590183963801158954569\ 2 4704610408251028923617 n + 42967737565646378906978634102627548395519628\ 40518076444789108816344368313543322634467 n + 48034150893115239075054862\ 62689704966863694902235927366349600420229362736675107325612) c(n - 1)/(n (2 n + 3) %1) + 1/8 (587487213854970733684623421618306024490563759741701\ 6 57717795829948433389781444970085 n - 2393979831635261776016454507959078\ 5 873519425016107594425738083071596113315504453717421 n + 202384230610022\ 4 61197285534652146942873971297396588905078211604988448659470317555556536 n - 557237632141096466911490898290916811070349708589396668136841523557490\ 3 17832584521329255 n + 1647484688026576998723726135128154530110868915725\ 2 4982562153546733946213327619202455633 n + 10583537835464909871870122073\ 7563932581020027915357946587165175112187678616644773423958 n - 570985209\ 299650399893926610046820269298456090880569872246762519090520299469190951\ 10584) c(n - 2)/(n (2 n + 3) %1) - 1/8 (39522065713337240185039504373450\ 6 9953608914902715077485675539799783048215695329039620 n - 45662129103735\ 5 07406327904686186807708107566743389511789394516723751529749799534305515 n + 131467222808977159090832262912679649116863425540381832077768546852649\ 4 58423325461965260 n + 4106128121802829628399586043206421643867664726291\ 3 8374727576944534191845362663156638615 n - 35172729964629093166971463506\ 2 4852855727550475808111862007604426571096008527911834296416 n + 80323666\ 414444815021143956907257226598490331026851141631476336414587092158550131\ 7986972 n - 549642690080147491884101348450404408564550370501602879968099\ 065234035474697278091878832) c(n - 3)/(n (2 n + 3) %1) - 1/2 (4996923193\ 682993343344831326627907185018547808381404780670262521862911985427657482\ 6 75 n - 5068873189829242113603350386829156316506586723492386018420476970\ 5 370079092964911101781 n + 170559704191163958043735274635087605393338406\ 4 74243354697572039352741907845054167647423 n - 3235280899789834731209650\ 3 7384649284794249971269108299001279594622529764428775729287031 n + 82193\ 016822222177987413906607109590379199003187551811390993910322666278605136\ 2 363710046 n - 166559128305611799281022546018991125956078917144308694518\ 618227073144344528745519229356 n + 1432904999288319861217159818182073899\ 47629445348823457369775091602054209939603604815816) c(n - 4)/(n (2 n + 3) %1) - 6 (541166695262535231719634915596611068623532858697594375633098697\ 6 00477432451912892340 n - 6611170332720250337071046448020245724567750583\ 5 65611931692396923605359085277572769909 n + 2985150346874595768571492525\ 4 889319393053009936027432265912308875049185820791885558266 n - 695025927\ 469919847381231867162662905117308991794150267052421994268878135430185456\ 3 6183 n + 11412441342596666887532053165061319269505719688258298809481460\ 2 544592469603174208074918 n - 171085803833003422686544864585456991753654\ 47340462780738487314500484254458062440975248 n + 15478528915159294385195\ 090401417184883048516624290229944899914502716474760052232702864) c(n - 5)/( n (2 n + 3) %1) - 24 (10933908601884687002612746517537522340857880736146\ 6 355283222012077688178865326425870 n - 131339866740175529483177196638641\ 5 956537651998450225196897185112244635913565010925591 n + 743995858646769\ 4 061176813652232254290198219344841716386316457208862493115124212756474 n - 302656393755619488790167392127231281497978331747200327579866840995888832\ 3 2388179334681 n + 89622263876265007378940659149259442940745010922917156\ 2 61790024771779397733920330813956 n - 1542495209239564560555227480270980\ 1417037923208301699023709835100656437203277216695908 n + 112801775703394\ 36033943354055266826308815507188422760754336112393670879729587522563536) c(n - 6)/(n (2 n + 3) %1) - 192 (n - 5) (6190921278920596304008914661148\ 5 23613073972936529097462164073547265249116096663200 n - 6150721884790178\ 4 975066712534869310570125057741461901600942913370858842111405942486 n + 299626105131454935092945823007321889987337010256637973655955975227501495\ 3 73714627735 n - 9749488240484239891220221517760389664100341706850825919\ 2 1248097938609492373373151169 n + 18995254846945109518549486798036032852\ 7565545489403768083747531515797030016959629910 n - 163019540189052879733\ 107395728414905897357940112645994842553076135482324223228144968) c(n - 7)/( n (2 n + 3) %1) - 128 (n - 5) (n - 6) (454728963437822146933028143814876\ 4 08239947631941089382110446580808642393893774435 n - 1682497164719941943\ 3 652204132115041504878062381820307138086523489919768574069654095 n + 127\ 718016375186410917868819742825034905351656673126198888898676177258375935\ 2 92456104 n - 3384602376948417595406189514185846478028817100026030934095\ 2027626739684049975648174 n + 318319548732366451060232395161817728040929\ 71592593635366940047336567623391243987896) c(n - 8)/(n (2 n + 3) %1) %1 := 4372196443201701932820954055510481056599703853082458234155951322653033\ 4 467680404115 n - 608477980707816785417813677421579841513412897444285639\ 3 91338760138521492561715497236 n + 3051870423428052961389481714034974265\ 2 12670418815901160271397468603850054613381943232 n - 6483031666190646638\ 72943887569297422138063360544716717808331182312532014917441832653 n + 47\ 963982376025300579323952584474120451816975883849155544927092193202745212\ 7463432908 and in Maple notation c(n) = 3/4*(5470511801501901788502162604305241217550486426811544811550687283795\ 9357203299576460*n^6-5814669406061741586868283382144606958562608004932900126538\ 63286498681326774183283237*n^5+158645212261376960506161590593544515471800731824\ 2581593540427430626528447390305663379*n^4+1387119836508617323731680507635418830\ 605206549650581261554987858255031214086834199836*n^3-92810872176888058149831136\ 14781696851870345901839638011589545694704610408251028923617*n^2+429677375656463\ 7890697863410262754839551962840518076444789108816344368313543322634467*n+480341\ 5089311523907505486262689704966863694902235927366349600420229362736675107325612 )/n/(2*n+3)/(437219644320170193282095405551048105659970385308245823415595132265\ 3033467680404115*n^4-6084779807078167854178136774215798415134128974442856399133\ 8760138521492561715497236*n^3+3051870423428052961389481714034974265126704188159\ 01160271397468603850054613381943232*n^2-648303166619064663872943887569297422138\ 063360544716717808331182312532014917441832653*n+4796398237602530057932395258447\ 41204518169758838491555449270921932027452127463432908)*c(n-1)+1/8*(587487213854\ 97073368462342161830602449056375974170157717795829948433389781444970085*n^6-239\ 3979831635261776016454507959078873519425016107594425738083071596113315504453717\ 421*n^5+20238423061002261197285534652146942873971297396588905078211604988448659\ 470317555556536*n^4-55723763214109646691149089829091681107034970858939666813684\ 152355749017832584521329255*n^3+16474846880265769987237261351281545301108689157\ 254982562153546733946213327619202455633*n^2+10583537835464909871870122073756393\ 2581020027915357946587165175112187678616644773423958*n-570985209299650399893926\ 61004682026929845609088056987224676251909052029946919095110584)/n/(2*n+3)/(4372\ 196443201701932820954055510481056599703853082458234155951322653033467680404115* n^4-608477980707816785417813677421579841513412897444285639913387601385214925617\ 15497236*n^3+305187042342805296138948171403497426512670418815901160271397468603\ 850054613381943232*n^2-64830316661906466387294388756929742213806336054471671780\ 8331182312532014917441832653*n+479639823760253005793239525844741204518169758838\ 491555449270921932027452127463432908)*c(n-2)-1/8*(39522065713337240185039504373\ 4509953608914902715077485675539799783048215695329039620*n^6-4566212910373507406\ 327904686186807708107566743389511789394516723751529749799534305515*n^5+13146722\ 280897715909083226291267964911686342554038183207776854685264958423325461965260* n^4+410612812180282962839958604320642164386766472629183747275769445341918453626\ 63156638615*n^3-351727299646290931669714635064852855727550475808111862007604426\ 571096008527911834296416*n^2+80323666414444815021143956907257226598490331026851\ 1416314763364145870921585501317986972*n-549642690080147491884101348450404408564\ 550370501602879968099065234035474697278091878832)/n/(2*n+3)/(437219644320170193\ 2820954055510481056599703853082458234155951322653033467680404115*n^4-6084779807\ 0781678541781367742157984151341289744428563991338760138521492561715497236*n^3+ 3051870423428052961389481714034974265126704188159011602713974686038500546133819\ 43232*n^2-648303166619064663872943887569297422138063360544716717808331182312532\ 014917441832653*n+4796398237602530057932395258447412045181697588384915554492709\ 21932027452127463432908)*c(n-3)-1/2*(499692319368299334334483132662790718501854\ 780838140478067026252186291198542765748275*n^6-50688731898292421136033503868291\ 56316506586723492386018420476970370079092964911101781*n^5+170559704191163958043\ 73527463508760539333840674243354697572039352741907845054167647423*n^4-323528089\ 97898347312096507384649284794249971269108299001279594622529764428775729287031*n ^3+8219301682222217798741390660710959037919900318755181139099391032266627860513\ 6363710046*n^2-1665591283056117992810225460189911259560789171443086945186182270\ 73144344528745519229356*n+14329049992883198612171598181820738994762944534882345\ 7369775091602054209939603604815816)/n/(2*n+3)/(43721964432017019328209540555104\ 81056599703853082458234155951322653033467680404115*n^4-608477980707816785417813\ 67742157984151341289744428563991338760138521492561715497236*n^3+305187042342805\ 296138948171403497426512670418815901160271397468603850054613381943232*n^2-64830\ 3166619064663872943887569297422138063360544716717808331182312532014917441832653 *n+4796398237602530057932395258447412045181697588384915554492709219320274521274\ 63432908)*c(n-4)-6*(54116669526253523171963491559661106862353285869759437563309\ 869700477432451912892340*n^6-66111703327202503370710464480202457245677505836561\ 1931692396923605359085277572769909*n^5+2985150346874595768571492525889319393053\ 009936027432265912308875049185820791885558266*n^4-69502592746991984738123186716\ 26629051173089917941502670524219942688781354301854566183*n^3+114124413425966668\ 87532053165061319269505719688258298809481460544592469603174208074918*n^2-171085\ 8038330034226865448645854569917536544734046278073848731450048425445806244097524\ 8*n+154785289151592943851950904014171848830485166242902299448999145027164747600\ 52232702864)/n/(2*n+3)/(4372196443201701932820954055510481056599703853082458234\ 155951322653033467680404115*n^4-60847798070781678541781367742157984151341289744\ 428563991338760138521492561715497236*n^3+30518704234280529613894817140349742651\ 2670418815901160271397468603850054613381943232*n^2-6483031666190646638729438875\ 69297422138063360544716717808331182312532014917441832653*n+47963982376025300579\ 3239525844741204518169758838491555449270921932027452127463432908)*c(n-5)-24*(10\ 9339086018846870026127465175375223408578807361463552832220120776881788653264258\ 70*n^6-131339866740175529483177196638641956537651998450225196897185112244635913\ 565010925591*n^5+74399585864676906117681365223225429019821934484171638631645720\ 8862493115124212756474*n^4-3026563937556194887901673921272312814979783317472003\ 275798668409958888322388179334681*n^3+89622263876265007378940659149259442940745\ 01092291715661790024771779397733920330813956*n^2-154249520923956456055522748027\ 09801417037923208301699023709835100656437203277216695908*n+11280177570339436033\ 943354055266826308815507188422760754336112393670879729587522563536)/n/(2*n+3)/( 4372196443201701932820954055510481056599703853082458234155951322653033467680404\ 115*n^4-60847798070781678541781367742157984151341289744428563991338760138521492\ 561715497236*n^3+30518704234280529613894817140349742651267041881590116027139746\ 8603850054613381943232*n^2-6483031666190646638729438875692974221380633605447167\ 17808331182312532014917441832653*n+47963982376025300579323952584474120451816975\ 8838491555449270921932027452127463432908)*c(n-6)-192*(n-5)*(6190921278920596304\ 00891466114823613073972936529097462164073547265249116096663200*n^5-615072188479\ 0178975066712534869310570125057741461901600942913370858842111405942486*n^4+2996\ 2610513145493509294582300732188998733701025663797365595597522750149573714627735 *n^3-97494882404842398912202215177603896641003417068508259191248097938609492373\ 373151169*n^2+18995254846945109518549486798036032852756554548940376808374753151\ 5797030016959629910*n-163019540189052879733107395728414905897357940112645994842\ 553076135482324223228144968)/n/(2*n+3)/(437219644320170193282095405551048105659\ 9703853082458234155951322653033467680404115*n^4-6084779807078167854178136774215\ 7984151341289744428563991338760138521492561715497236*n^3+3051870423428052961389\ 48171403497426512670418815901160271397468603850054613381943232*n^2-648303166619\ 064663872943887569297422138063360544716717808331182312532014917441832653*n+4796\ 3982376025300579323952584474120451816975883849155544927092193202745212746343290\ 8)*c(n-7)-128*(n-5)*(n-6)*(4547289634378221469330281438148760823994763194108938\ 2110446580808642393893774435*n^4-1682497164719941943652204132115041504878062381\ 820307138086523489919768574069654095*n^3+12771801637518641091786881974282503490\ 535165667312619888889867617725837593592456104*n^2-33846023769484175954061895141\ 858464780288171000260309340952027626739684049975648174*n+3183195487323664510602\ 3239516181772804092971592593635366940047336567623391243987896)/n/(2*n+3)/(43721\ 96443201701932820954055510481056599703853082458234155951322653033467680404115*n ^4-6084779807078167854178136774215798415134128974442856399133876013852149256171\ 5497236*n^3+3051870423428052961389481714034974265126704188159011602713974686038\ 50054613381943232*n^2-648303166619064663872943887569297422138063360544716717808\ 331182312532014917441832653*n+4796398237602530057932395258447412045181697588384\ 91555449270921932027452127463432908)*c(n-8) Subject to the initial conditions c(1) = 0, c(2) = 1, c(3) = 15, c(4) = 99, c(5) = 598, c(6) = 3283, c(7) = 16617 , c(8) = 79926 Here are the terms of c(n) from n=1001 to n=1010 [166201278260829270251659675255795685707337443866394765503695953491620992829081\ 6378638318675206530054024478469784462226398847243643800278124548459833868167164\ 8586932046354755747413387055701385502548805242506216814066998842623208314326297\ 8393733545552381611657942612769974981076432131580270937282597267550235192136672\ 6640289420413498246694893404057586980236264088552851115664342159992938046822675\ 1745071776820548235795753141492751170471599490452823279386674396985991745029292\ 4356593766516192229613757249072239600510297140565225748643113834187887891962748\ 55912090624, 601036452596793991178366830275392247697722916884961588177847410410\ 8096710443089308124965784342808173352127191335411587854274349740153408795041644\ 3219830378047810188931175657593995884863485770518226440492024873742641436515791\ 7544672497510942958350579699775115596535787666168738222443007916994618846531701\ 8470461594443274505652398060769818409659174355857799436504770752807000800821846\ 1484299811414986952526658619272140724526240558429982143457923502095554067552104\ 6901004486553900703516042782456392396274624338140321748838246284532434891614329\ 28998625714544509828032, 217353472541297103399940540799139644246912183193545711\ 8230246044531377920120009383067281710141511923634353899152590243889742877907826\ 5071924772603190679338343158013905782719404983701697804750004283342578955393521\ 1451437851914432534867976038991251789756186078187913042176783133395902981439496\ 3501488308980002912869265256359499792091375073183492826773024635083084060452029\ 3140029663839675344446250507342617083943202679551546079312026929276166166315371\ 2195223524077072446985387991065119612613253665982384350266772155545823788285461\ 478493066085216032767733424777601664, 78601651758190388925159421045494556561023\ 9685212306075599917445307081084883571922556348602235325601982805546421472572430\ 4838065359353102882823679614765827539783477475052854356768011266472827895191761\ 4929141070534126507383291120935765748969425421602358001819714794912100371246638\ 8380844662028476754003709782980958031920093777697223458621823849096882905497218\ 2548348970584605874813570665268275979122257388432547764241268385473276273076269\ 7137154129741574296489643647353357641171127889832481435510007248254149154551135\ 6385286544480931862334657752754451893512231055104, 2842471260226356625678140035\ 5785269289541179858800759630708241333303838515998327426380246693750452143302195\ 5595297088201809783534469621860591870151037258940783069236986229657515604643006\ 0298743337996796000987636311436764266725585398013949799562695828879977786178735\ 3670572186692766873581043147440398923961943463643853043003392763284644035836658\ 5729456556742697788818751605212151723938587775360637901535576429229208161807025\ 5216679123090964840346901757289854377077102565324423602290778475598844972628172\ 313543405302637094346698056881905216191926226472786424151945216, 10279211778841\ 0988609812584725727711410195125507899727836802102499909502306351544138616218203\ 3901981960918764160214265388963107174326196229153925899733745765598990090728087\ 3041468580893537794585323652704739956506408758678256855931880843835712292834433\ 5546151088898611035814506253863303436285833877399564875645054686034128721401460\ 3567951897908706655231564081981403840579036519087010698698588350073525142419656\ 2114955504924110990724975088364560345719022104674502413664971696480605641358703\ 872361516735974391471940557460833483820972110110602539237113664932041047165632, 3717259399402640442384971201789233896095456236955928561708890155304371768009579\ 2066114672912392659930629197979803693485771909935067234332862913577661634231142\ 0833825756353069433572911659916877860703913359755087984601317133351240019555804\ 2732275330209715085356881700928042204504752343801804972255443559536976877297315\ 6726219783771556346685823264133917515433336228073659952420321343137117985226202\ 7797172817080916338909864127220608896684920009139463988842012401302622567454826\ 2074413216863776591588096158142681114350067455844683288436789174569735588209458\ 5730638686528, 1344266101775224974517116126778328530473300732937016353085495680\ 0087404206549753362319612616904856305441490323587156600805575720759928930264645\ 7151280118267190420598724790418385603651884782714363927362363830395289135234055\ 5453481386724190678038327652580341919045765299190646073591059057759971007776286\ 8192059878818516320812541644951582533922582949480491109604279134724202203238832\ 0784086083930707861335548731375958378550463059904603035741529900823772294278346\ 2685700303472065439474683084630837054911001994449908005404962556436300154831248\ 57042491863083088936993727232, 486123875908145660599746976779360958028631485799\ 7895999313941421057552007420763228129695466066079344957707180297907945404933986\ 3525270261704405799343965185674561811549567749913188268536037841116033974836218\ 2419551313166522114006435048277628473700017208134896943466250384185896966595455\ 9925193311987171266719536293364882071743704436936939872257725165400909531671806\ 7334166761428201253766597550154396216465143862384016246279199950550294830068622\ 3718169070089738221623543549860896700453262221739061991907762738594854775743474\ 436151305445374431316589355806641238763468800, 17579559305873398732035629682068\ 1530899433070906611866675759427428774300001172577353820316448849098807557996837\ 5675635912909695464335535891857484885252631376959233462592501673557140004740807\ 8883026611674142117387928634581145036782497180854179013612807166123282050409616\ 6366461040729526466572069870434237697879517518521233540599131118276186213621597\ 2186279628671691252628555216490589578841829074088920191938445338971521421659652\ 1137857443461496887192003443331373331060684256457552074373152074893155718802050\ 58804073683764128062128158336197090504014622434027459186125376] ---------------------------------- The average areas divided by n^(3/2) for n from 1000 to 1010 are [0.6179185650, 0.6179349287, 0.6179512687, 0.6179675849, 0.6179838770, 0.6180001452, 0.6180163902, 0.6180326113, 0.6180488089, 0.6180649830] ---------------------------------- The variance of the area divided by n^3 for n from 1000 to 1010 are [0.02592792742, 0.02592793164, 0.02592793585, 0.02592794005, 0.02592794425, 0.02592794844, 0.02592795262, 0.02592795680, 0.02592796097, 0.02592796513] ----------------------------- This took, 1976.165, seconds. Section Number, 11 Regarding the set of steps, {-2, -1, 1} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-2, -1, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 2 (n - 1) (26 n + 53 n + 18) a(n - 1) a(n) = -1/2 ------------------------------------ (2 n + 3) (26 n + 1) (n + 1) 2 3 (n - 1) (78 n + 42 n - 25) a(n - 2) + -------------------------------------- (2 n + 3) (26 n + 1) (n + 1) (26 n + 27) (n - 1) (n - 2) a(n - 3) + 31/2 ------------------------------------ (2 n + 3) (26 n + 1) (n + 1) and in Maple notation a(n) = -1/2*(n-1)*(26*n^2+53*n+18)/(2*n+3)/(26*n+1)/(n+1)*a(n-1)+3*(n-1)*(78*n^ 2+42*n-25)/(2*n+3)/(26*n+1)/(n+1)*a(n-2)+31/2*(26*n+27)*(n-1)*(n-2)/(2*n+3)/(26 *n+1)/(n+1)*a(n-3) Subject to the initial conditions a(1) = 0, a(2) = 1, a(3) = 1 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [265014811333708552347984026496583167113044725883903646938103757613470079638687\ 7273602207927149458422977608205628613097581779632835313525090824185647158755464\ 6879448849928485428780721737918182146915952388339058815248554754513903090739935\ 6266108481130673714159548306015098036067166418700369410052533894648005209668628\ 1544327982773982326368944052571482985474002057380717120249933208648809099816671\ 2078617837168170300, 6908448875676036897705999430706638527995573151557422347305\ 2561301379400878312837288186979592718257593138911408231735504303491049423793428\ 5673984939798623200773134991017540715235602620095820629927882486658801089813526\ 2719801534348362095592060221401355431459783989357984034345530590846952241362785\ 7894926458517444176955335314931444063119594809619912103869356682073668777540000\ 765537358834028914031255696518082909728, 18009082872248548613215677894073314689\ 2317477054066545983747743986427579258437757100749819472982482319130451578492583\ 5939745534916314431975904298604645299096212680031183724045197887585574094862220\ 8237001700955806704843490815187057740335201606148596846383914066913042611960159\ 5916130547360716388473646821654196846049016110306450230762007159781784391820832\ 992762149475743794193112435014732876859905366078858756969953, 46946507693948214\ 4313516225253739633901729650461986730743018956787316364305695973721845889314024\ 0456128516162055363288452199302365187075124650554841444879544788893817755828288\ 8683014864230110243437739452288952209204301189338576743234138692804256867220952\ 0249132656660656359089082161356057041840669057832924825509823297824487954129529\ 8673762529614000936327390521221038958585593817226799544022031234929682148063028\ 81, 122381460061461011888194400044653997721922498159963234678748491920567066127\ 4660509733106895908282978717946091005370759817347859930124716974853487955168010\ 0770236214875342467832884938886004871936972988686887255826725534494426240145841\ 6512537072083118585523426669563287351424755161612897987164089043664167386765153\ 1298031559452699157522810859823715481025864279485350518399789867674523011137082\ 481910609379020056750415, 31902786151161646262096504233628110993051893900961689\ 9695406912324540490019553127011701440422027420233248270537606098485306956678871\ 2557445613905855194052172813392024242870265504185406378886856941361752794248139\ 9462331969266076380466495790334603713134297813161704199268586834034299058962829\ 9868087112343142929359030232955868926901976435147785976502228538356784362063541\ 4105688855902712022267297398999432022998049399, 8316531511573615761335117862236\ 1964006753206257508941417306827288029397977414306710730894785055743959137498484\ 4549599706683225871372944691856058520395088907531731602898909436767153105563367\ 3409373603300687331678759953126409791083451051790207424313304368006174421789311\ 5001662424768189974353450959514206860932702373491086594900628602525291749977871\ 64677874559747822627484363795256184875435654131572218578038695165713, 216798614\ 7492097663622433932848229229154319792436974699746988184293461205974808691540902\ 8424912399179442057994227277263083876801076081505717935923147918079535097471012\ 9241424063551902177820037154926894631903752391861611870849054541266875043717572\ 2073705717592879737111951250371636152576162893942317324498624778495712011510007\ 5765038412910160302263488138091201434189108206651670627837864571303655883833051\ 184603346651, 56515998899069045315207137751448616984996068057576007487168084152\ 4016539542798253958462842619226425884334364532054674495287945035571399937846868\ 7118245628170861058227643248555246683766596730032189604832726472114364337251841\ 5733566950897467320025995166470340488976289580759850522191101273912235791343919\ 0070443298110957900774894995104417588144059674962099286267053570074261151874891\ 78156815975457233680253128158023688, 147328562488721993494906513600263598392446\ 2037214831181608619011678865378356065235481205735984455345549682899373697703497\ 3800413210678500867182934515052060726506195856685781695963134261126545539891587\ 5103179314389037350457944977415569450771420405688379804736278011546479602875017\ 2966472157447134628982740653813089450542373546412491269337710870747900726441961\ 14178449253938088573682334765041930301228750182949473417091] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-2, -1, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence b(n) satisfies the following linear recurrence equation 4 3 2 b(n) = -1/4 (2091400162780084 n - 3956209621663023 n - 16872715290061726 n + 11767841739625455 n + 9704932814559090) b(n - 1)/((n + 1) (2 n + 3) %1) 4 3 2 + 1/8 (32757067032322841 n - 50603821325277372 n - 66268845854196437 n + 7256250327465864 n + 7121536851385764) b(n - 2)/((n + 1) (2 n + 3) %1) 4 3 + 1/8 (87759963480846189 n - 245713307976852154 n 2 - 267979573229392491 n + 707796759066449620 n - 233718282151883952) 4 b(n - 3)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - 1/4 (10764656453584059 n 3 2 + 4788430186505210 n + 107645805586334835 n - 511787818461371366 n + 335257384552493430) b(n - 4)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - 1/4 ( 4 3 2 151000895989253063 n - 618269794715034695 n + 16781098301451691 n + 1620396559217868341 n - 655446091790211150) b(n - 5)/((n + 1) (2 n + 3) 3 2 %1) - 31/8 (n - 4) (12493137967451453 n - 17332032946743716 n - 63849138301491205 n + 47181049172078448) b(n - 6)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - 961/8 (n - 4) (n - 5) 2 (142892819003623 n + 250505872851617 n - 291203051531928) b(n - 7)/( (n + 1) (2 n + 3) %1) 2 %1 := 237064402687775 n - 618891484789989 n + 87431827158190 and in Maple notation b(n) = -1/4*(2091400162780084*n^4-3956209621663023*n^3-16872715290061726*n^2+ 11767841739625455*n+9704932814559090)/(n+1)/(2*n+3)/(237064402687775*n^2-\ 618891484789989*n+87431827158190)*b(n-1)+1/8*(32757067032322841*n^4-\ 50603821325277372*n^3-66268845854196437*n^2+7256250327465864*n+7121536851385764 )/(n+1)/(2*n+3)/(237064402687775*n^2-618891484789989*n+87431827158190)*b(n-2)+1 /8*(87759963480846189*n^4-245713307976852154*n^3-267979573229392491*n^2+ 707796759066449620*n-233718282151883952)/(n+1)/(2*n+3)/(237064402687775*n^2-\ 618891484789989*n+87431827158190)*b(n-3)-1/4*(10764656453584059*n^4+ 4788430186505210*n^3+107645805586334835*n^2-511787818461371366*n+ 335257384552493430)/(n+1)/(2*n+3)/(237064402687775*n^2-618891484789989*n+ 87431827158190)*b(n-4)-1/4*(151000895989253063*n^4-618269794715034695*n^3+ 16781098301451691*n^2+1620396559217868341*n-655446091790211150)/(n+1)/(2*n+3)/( 237064402687775*n^2-618891484789989*n+87431827158190)*b(n-5)-31/8*(n-4)*( 12493137967451453*n^3-17332032946743716*n^2-63849138301491205*n+ 47181049172078448)/(n+1)/(2*n+3)/(237064402687775*n^2-618891484789989*n+ 87431827158190)*b(n-6)-961/8*(n-4)*(n-5)*(142892819003623*n^2+250505872851617*n -291203051531928)/(n+1)/(2*n+3)/(237064402687775*n^2-618891484789989*n+ 87431827158190)*b(n-7) Subject to the initial conditions b(1) = 0, b(2) = 1, b(3) = 3 Here are the terms of b(n) from n=1001 to n=1010 [615109078301618364199887120134108884899365089944098567823681710873400515531031\ 5056639644670019159690186363356997551946939444743166648574307969684092831020535\ 9234655166779972995418459867382835842691718789264417769759520056932852754649314\ 4969971068548874878451170768486925573424354948049386314306319464731128567397858\ 7637518867492562625787966468312419736660420404651106936826843935480105102245378\ 35889048716823109015641, 160591507004469418302547901118895048750911781041711206\ 8880394225536739108435222793015588532414277332084360167065701536932306913315074\ 2358041621627421589677175343623142456447945252642128040291973907729611899337158\ 3668665642346111957225193658658609483140010950857789620294085597135248347299465\ 8294896430728074078693665610971240823251032253505263468537450930912383964333979\ 774796614434477246713311074340342064081050254612, 41926923366178878434099487768\ 9156736723242116382518475470174490379898866810400047512352995086869257771330067\ 3621847566206195936922730883491611945755622729723078122969222547596975628369264\ 6797737111871145214386327233684899114770161787702960210048128089253671262996624\ 0003952833042104230565164367034403572651853345166939484416435409324163082102558\ 4343566929483056246908071731082729799191185764592406349818953562838937100, 1094\ 6200532198167375220171243414045781514024859227273105171704486649323458525009923\ 2095229141757698577438765680001712331223381404308758173044542683702206787744374\ 2192521904460227134620181741450715918738830978921687921298281219785893004120321\ 8823983253054425840974301358595556867791332932530272155915571019367816417012806\ 7180556911105967178308742783057002354080282570298298550351404917192347814599337\ 03417774486556344491, 285781288377032794545443197022462289074337439664426466922\ 6427504161756713838345360277639069745934662571383100995414846781272530519975272\ 8561358108988689947651381827591320943886130600533421055260436732799834840076888\ 8039596211103141213405790329596329980892037791064704716764774248675830215734935\ 1357081585526189479298489741153850333718849893501532626376961048132628231985282\ 4794590391632258312453355886253314555015838698, 7461122387637255388259037309935\ 7422813074073729139803770281350050763629166499441668745622918213765881526342457\ 8659866155010572639185673344770898074641602020015550759469166332455436333207279\ 3106315494247966189412924674512707212428161890321954543370500953671735036369426\ 7972930062853341011037126324240581783608314154741781992399848793006852105381609\ 156319830790755587055799920354156897345272553210552251765159253575647699, 19479\ 3527607007881106735726533443630715327000174162286680108870039624085532951777591\ 6607929536488587326156149216130570469157371562391258758923896886731579494991382\ 9485460223766679490682044268706418718362720106270976607024228004365472331102874\ 9657011140205387207382655548846595379495313474509633716849825355140899951722595\ 4772071068911893107909113522084682406710206497293821565305636573195960075520635\ 26865320274634978830, 508563123199511222286105923062398240491115390171841600828\ 5513887870789540063683792941446877525158162987567494095592566392167395912636749\ 1854904734893180837159990183519801826437403758404639575437211779131383595865984\ 8476938545633243949966127263869089790690362447269099232821767329971322829990779\ 6283843349702163332767608162478323944785856433734825591589161881874354972431903\ 96123098568708158472796854936718194224863651042, 132774658494804573580103344081\ 6017833914290445409638496383515653008080430374713867019643199737315535979846424\ 4092558470364121370955330323361168350836695691306887126063438418043519677070281\ 8367208114237382446687974404033487418477961822873001714053270369336448318920978\ 0158493166137525649827814847073389811619736953726677263468186612009356591943651\ 029879451950971152229628306835631683991638440990557652727995034895871471998, 34\ 6645450815679504605920299851353520662396322568013184179880896081687008337275800\ 0792048495600088264577951436719922506003136671871738189246572634339632286030246\ 9539621314235201083934486529586070673966935792684369930737824188936218481726477\ 4657272152953671404156349828192948149489357352704479754283095266822859739349934\ 6494169289784774006319412738301502909051692893595732087766537474511348200679467\ 648705553769965859850507] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-2, -1, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence c(n) satisfies the following linear recurrence equation c(n) = -1/4 (859243205445694750065050737127062435513088484065192726695266234\ 6 60856792790438523054600 n - 1571498220377338218072222863844724264487900\ 5 004403026362584975545904486623252525829963750 n + 104665789157664176712\ 4 70998511217875163324451965939015462138416780735542543154597773241557 n - 301467123419328858498466103210087699910690043584502989412188976671235958\ 3 48343382508086741 n + 3218210406034557352989225537158436508960312318811\ 2 9960873569780019536357014381607586020374 n + 13893050942978279573291178\ 11587798232782576779605594148817319972136009845137028987612201 n - 11647\ 366740514700459852315361452807695243732893456196603673001643821753563212\ 235803021077) c(n - 1)/(n (2 n + 3) %1) + 3/8 (1242839370637920388803136\ 6 24738483875467661303987406112515994903620966839183144992027550 n - 1221\ 880595471028630374848758939219495683017943945376849099225694799403280654\ 5 380103447415 n - 137935702117643650999392265672832331867569039176696523\ 4 5701010547489119950995263218901835 n + 52905613938673504681451245417068\ 3 520424313563458787844959453115179987377721768191441077244 n - 205606877\ 733118070314223290215877613145968484538436839904615596833633383777272002\ 2 181481269 n + 271862448791656528271209028129955254110515202648729365128\ 468138530894186542274888726932715 n - 9629945341442114745829131575813069\ 0990489593418549680818972178505301172354087568371972674) c(n - 2)/(n (2 n + 3) %1) + 1/8 (219909401880825037407517114455158701072649744471113\ 6 5687207388112347838493899313895972850 n - 33557417329101904418422994996\ 5 977373198602977929677860226275459599888016817703548831741790 n + 172325\ 309526941750592685597912948421564903620705479567114957809588993273896353\ 4 786405002875 n - 306270510508438634171703689917929604410141553045254545\ 3 605599217301028935627040746148735883 n + 166438660037286946125551588728\ 2 47708579749721869874810341647966623634894573040310651646671 n + 1409693\ 142022131238712566854138677398938858088670157180290586897015596609363894\ 12641763487 n + 46989048539034277303636557932587617102303672369431017217\ 550854134372069249132658678090778) c(n - 3)/(n (2 n + 3) %1) + 1/8 (1789\ 459248574923716298493634059739812999802382452046461891497316079477685711\ 6 527475571300 n - 417748971249754631324526297997120777443752432904644074\ 5 38156030294880779766929957714544555 n + 3756755670643344438525373698189\ 4 40553796968599235077034745383486490575001332042300710196596 n - 1707836\ 158206129909312312148830916897792281999475579262577279188507935205508185\ 3 317950367029 n + 418748632414520546610257269196892371740658170443501977\ 2 9500436600207517458493194903356950762 n - 51092167515098180512634641292\ 76867779498834255758478060471682121131623156110019951957725784 n + 22903\ 370406625027773104013574818174980472382300693262206339558480777240158776\ 03246772963906) c(n - 4)/(n (2 n + 3) %1) - 1/4 (29440668365360544313700\ 6 72482417114064360091810898952226236453099677995800599129443080950 n - 3\ 076503384241959699912033464431702306276334767270442890415192463414820423\ 5 1793426639820560 n + 22753686914447389699051620812308269537617144831724\ 4 152310103114152436582101808201795801136 n + 725029376679584307495432421\ 3 269395151898655485914836125985130657369036249118132622099005796 n - 288\ 119176268284729096613692462933276359553814855522042691545360754103691176\ 2 7240593675985055 n + 37674636705520526237787408382859980623483099694066\ 12072803798905562328790731434265286063947 n - 13583858389905756637024947\ 13503218055237289662855472476614836685402974457999009881184533560) c(n - 5) /(n (2 n + 3) %1) - 1/8 (13244175920658503487447734769419443571268672668\ 6 550263414389828379132884472272765939941950 n - 200665759590198384275952\ 5 366406344444138159764078601304284741966947683177051138183955556925 n + 120123551126196712143070994295290191347490499025470837021004976460420367\ 4 8814254836748601661 n - 38815856376726411427052886727943811713647752005\ 3 73587782391359082718594192099827999339675214 n + 7760612677594109151912\ 2 124164235176421699043148990559775915823771780630825881129647433107911 n - 929695537144310316407888949899174505296318472077145273346874005771434512\ 1014294563518490091 n + 487210317965366166115732820679552367595324679222\ 4977083591792783956042045222623037513185036) c(n - 6)/(n (2 n + 3) %1) - 31/8 (n - 5) (2845823880836274185717349688483935169974337754275381478639\ 5 97804128383076755003431689450 n - 4597373554922848379329017449436077857\ 4 563169183948622794586139501190730528752683286605660 n + 331070062728266\ 687544572719860691587199253228018429476895067502653025811656943080321039\ 3 39 n - 1144910310014200916397433361860671379687794462656463876209725400\ 2 17839710781154514919174952 n + 1731011510448093132553153363170079578132\ 10728929292138200869270094429257029690056696748199 n - 84859197143737996\ 533582781824847547112494767710236524012144407408717330803725383990757740) c(n - 7)/(n (2 n + 3) %1) + 961/8 (n - 5) (n - 6) (522558715623224505106\ 3 86827832941215344080009884059952971043850681592818273620483022195 n - 3\ 396575283171153482473535765721582277923625331667941937132958145606976021\ 2 60642745338269 n + 6426055547806605404911921286592198272629693913291674\ 17472142043556109001792549025334650 n - 30846570979784173067414789563354\ 4527778144076195066445981873913215578976649076496925584) c(n - 8)/(n (2 n + 3) %1) %1 := 3120926066230922392159496244409237210573420138562840885833410437576580\ 4 342448119041750 n - 502389054869863468439130437040094294166097322393567\ 3 31520882607323699393836873370569945 n + 2932763367255313636112437332267\ 2 55122486633690722668149230280932354303862675678264375748 n - 7242650364\ 230101257259332823240497872879894234110730793024528465475593475130893222\ 78294 n + 61682651231264835224834460054404902379900610437972952492395925\ 8460889913085896442758271 and in Maple notation c(n) = -1/4*(859243205445694750065050737127062435513088484065192726695266234608\ 56792790438523054600*n^6-157149822037733821807222286384472426448790000440302636\ 2584975545904486623252525829963750*n^5+1046657891576641767127099851121787516332\ 4451965939015462138416780735542543154597773241557*n^4-3014671234193288584984661\ 0321008769991069004358450298941218897667123595848343382508086741*n^3+3218210406\ 0345573529892255371584365089603123188119960873569780019536357014381607586020374 *n^2+13893050942978279573291178115877982327825767796055941488173199721360098451\ 37028987612201*n-11647366740514700459852315361452807695243732893456196603673001\ 643821753563212235803021077)/n/(2*n+3)/(312092606623092239215949624440923721057\ 3420138562840885833410437576580342448119041750*n^4-5023890548698634684391304370\ 4009429416609732239356731520882607323699393836873370569945*n^3+2932763367255313\ 63611243733226755122486633690722668149230280932354303862675678264375748*n^2-724\ 2650364230101257259332823240497872879894234110730793024528465475593475130893222\ 78294*n+61682651231264835224834460054404902379900610437972952492395925846088991\ 3085896442758271)*c(n-1)+3/8*(1242839370637920388803136247384838754676613039874\ 06112515994903620966839183144992027550*n^6-122188059547102863037484875893921949\ 5683017943945376849099225694799403280654380103447415*n^5-1379357021176436509993\ 922656728323318675690391766965235701010547489119950995263218901835*n^4+52905613\ 9386735046814512454170685204243135634587878449594531151799873777217681914410772\ 44*n^3-205606877733118070314223290215877613145968484538436839904615596833633383\ 777272002181481269*n^2+27186244879165652827120902812995525411051520264872936512\ 8468138530894186542274888726932715*n-962994534144211474582913157581306909904895\ 93418549680818972178505301172354087568371972674)/n/(2*n+3)/(3120926066230922392\ 159496244409237210573420138562840885833410437576580342448119041750*n^4-50238905\ 486986346843913043704009429416609732239356731520882607323699393836873370569945* n^3+293276336725531363611243733226755122486633690722668149230280932354303862675\ 678264375748*n^2-72426503642301012572593328232404978728798942341107307930245284\ 6547559347513089322278294*n+616826512312648352248344600544049023799006104379729\ 524923959258460889913085896442758271)*c(n-2)+1/8*(21990940188082503740751711445\ 51587010726497444711135687207388112347838493899313895972850*n^6-335574173291019\ 04418422994996977373198602977929677860226275459599888016817703548831741790*n^5+ 1723253095269417505926855979129484215649036207054795671149578095889932738963537\ 86405002875*n^4-306270510508438634171703689917929604410141553045254545605599217\ 301028935627040746148735883*n^3+16643866003728694612555158872847708579749721869\ 874810341647966623634894573040310651646671*n^2+14096931420221312387125668541386\ 7739893885808867015718029058689701559660936389412641763487*n+469890485390342773\ 03636557932587617102303672369431017217550854134372069249132658678090778)/n/(2*n +3)/(31209260662309223921594962444092372105734201385628408858334104375765803424\ 48119041750*n^4-502389054869863468439130437040094294166097322393567315208826073\ 23699393836873370569945*n^3+293276336725531363611243733226755122486633690722668\ 149230280932354303862675678264375748*n^2-72426503642301012572593328232404978728\ 7989423411073079302452846547559347513089322278294*n+616826512312648352248344600\ 544049023799006104379729524923959258460889913085896442758271)*c(n-3)+1/8*(17894\ 5924857492371629849363405973981299980238245204646189149731607947768571152747557\ 1300*n^6-4177489712497546313245262979971207774437524329046440743815603029488077\ 9766929957714544555*n^5+3756755670643344438525373698189405537969685992350770347\ 45383486490575001332042300710196596*n^4-170783615820612990931231214883091689779\ 2281999475579262577279188507935205508185317950367029*n^3+4187486324145205466102\ 572691968923717406581704435019779500436600207517458493194903356950762*n^2-51092\ 1675150981805126346412927686777949883425575847806047168212113162315611001995195\ 7725784*n+229033704066250277731040135748181749804723823006932622063395584807772\ 4015877603246772963906)/n/(2*n+3)/(31209260662309223921594962444092372105734201\ 38562840885833410437576580342448119041750*n^4-502389054869863468439130437040094\ 29416609732239356731520882607323699393836873370569945*n^3+293276336725531363611\ 243733226755122486633690722668149230280932354303862675678264375748*n^2-72426503\ 6423010125725933282324049787287989423411073079302452846547559347513089322278294 *n+6168265123126483522483446005440490237990061043797295249239592584608899130858\ 96442758271)*c(n-4)-1/4*(294406683653605443137007248241711406436009181089895222\ 6236453099677995800599129443080950*n^6-3076503384241959699912033464431702306276\ 3347672704428904151924634148204231793426639820560*n^5+2275368691444738969905162\ 0812308269537617144831724152310103114152436582101808201795801136*n^4+7250293766\ 7958430749543242126939515189865548591483612598513065736903624911813262209900579\ 6*n^3-2881191762682847290966136924629332763595538148555220426915453607541036911\ 767240593675985055*n^2+37674636705520526237787408382859980623483099694066120728\ 03798905562328790731434265286063947*n-13583858389905756637024947135032180552372\ 89662855472476614836685402974457999009881184533560)/n/(2*n+3)/(3120926066230922\ 392159496244409237210573420138562840885833410437576580342448119041750*n^4-50238\ 9054869863468439130437040094294166097322393567315208826073236993938368733705699\ 45*n^3+293276336725531363611243733226755122486633690722668149230280932354303862\ 675678264375748*n^2-72426503642301012572593328232404978728798942341107307930245\ 2846547559347513089322278294*n+616826512312648352248344600544049023799006104379\ 729524923959258460889913085896442758271)*c(n-5)-1/8*(13244175920658503487447734\ 769419443571268672668550263414389828379132884472272765939941950*n^6-20066575959\ 0198384275952366406344444138159764078601304284741966947683177051138183955556925 *n^5+12012355112619671214307099429529019134749049902547083702100497646042036788\ 14254836748601661*n^4-388158563767264114270528867279438117136477520057358778239\ 1359082718594192099827999339675214*n^3+7760612677594109151912124164235176421699\ 043148990559775915823771780630825881129647433107911*n^2-92969553714431031640788\ 89498991745052963184720771452733468740057714345121014294563518490091*n+48721031\ 7965366166115732820679552367595324679222497708359179278395604204522262303751318\ 5036)/n/(2*n+3)/(31209260662309223921594962444092372105734201385628408858334104\ 37576580342448119041750*n^4-502389054869863468439130437040094294166097322393567\ 31520882607323699393836873370569945*n^3+293276336725531363611243733226755122486\ 633690722668149230280932354303862675678264375748*n^2-72426503642301012572593328\ 2324049787287989423411073079302452846547559347513089322278294*n+616826512312648\ 352248344600544049023799006104379729524923959258460889913085896442758271)*c(n-6 )-31/8*(n-5)*(28458238808362741857173496884839351699743377542753814786399780412\ 8383076755003431689450*n^5-4597373554922848379329017449436077857563169183948622\ 794586139501190730528752683286605660*n^4+33107006272826668754457271986069158719\ 925322801842947689506750265302581165694308032103939*n^3-11449103100142009163974\ 3336186067137968779446265646387620972540017839710781154514919174952*n^2+1731011\ 5104480931325531533631700795781321072892929213820086927009442925702969005669674\ 8199*n-848591971437379965335827818248475471124947677102365240121444074087173308\ 03725383990757740)/n/(2*n+3)/(3120926066230922392159496244409237210573420138562\ 840885833410437576580342448119041750*n^4-50238905486986346843913043704009429416\ 609732239356731520882607323699393836873370569945*n^3+29327633672553136361124373\ 3226755122486633690722668149230280932354303862675678264375748*n^2-7242650364230\ 10125725933282324049787287989423411073079302452846547559347513089322278294*n+61\ 6826512312648352248344600544049023799006104379729524923959258460889913085896442\ 758271)*c(n-7)+961/8*(n-5)*(n-6)*(522558715623224505106868278329412153440800098\ 84059952971043850681592818273620483022195*n^3-339657528317115348247353576572158\ 227792362533166794193713295814560697602160642745338269*n^2+64260555478066054049\ 1192128659219827262969391329167417472142043556109001792549025334650*n-308465709\ 797841730674147895633544527778144076195066445981873913215578976649076496925584) /n/(2*n+3)/(3120926066230922392159496244409237210573420138562840885833410437576\ 580342448119041750*n^4-50238905486986346843913043704009429416609732239356731520\ 882607323699393836873370569945*n^3+29327633672553136361124373322675512248663369\ 0722668149230280932354303862675678264375748*n^2-7242650364230101257259332823240\ 49787287989423411073079302452846547559347513089322278294*n+61682651231264835224\ 8344600544049023799006104379729524923959258460889913085896442758271)*c(n-8) Subject to the initial conditions c(1) = 0, c(2) = 1, c(3) = 9, c(4) = 20, c(5) = 181, c(6) = 450, c(7) = 1987, c (8) = 6597 Here are the terms of c(n) from n=1001 to n=1010 [152290514703711517215576203224337028336786565021012238302766422598068816562923\ 7717044085014412212088778272568375023762431470445848738144429027090454880421324\ 8339383110658694269520541185202156648500580985917769505613299926608769048021238\ 2737782859471373587345839189509825647888575176451373893349144869840589010840249\ 6469641072529292269612808204967388545055597508845780536084579049917057347377016\ 6420463761807819694657344357, 3982008333869593639551901910405923318614194373844\ 6948667995705114464688410902350722097182278458916897039822049852329603672725295\ 1473268765801016867561927743835025478205782298413859094632320484061611604734307\ 1378094681012993727316935923718539858953188065061305731361725609138484888740613\ 9279027288876700415674034958653048876794771610229685858141211053918355341245158\ 504341006229126318354542292388312878638578263743804099058, 10411919406466825262\ 5882797031928196574388454838849732441146945776226258800686208282834199611269811\ 8513235749073246768580322793223513159816454078537527532183358859277467861615279\ 5268621362627922454842250827247885798158073582361187911532507998464248786651973\ 7201277727771300161094321614144239226054846799660886873034520685963882413361939\ 6134945184087681673211743864377968176008437757407267015141110304039822051704412\ 91177412, 272244274735522667970241867753624734751777057868661913263731331291280\ 8268558974085596578221039509538667463140492191825112916072677700366660111194912\ 1436381636556933949862044271837607063112067578978991175881616832136305908530927\ 2281772890993165978002221203474181040599925134632980557642507549493023870894342\ 5527535473506921144742572401181032750928905069803571879113869297571764540525552\ 11287093068015634169062149509948731959, 711845983114793159804824103757905832902\ 4206856369086865384050956740921779514354480364315485991948092129562910030938827\ 5122167532318595031827850418135221102064895558754465410245886693746992866367733\ 7419516664404989099087190237775424703382225252192332862596055679182649134834281\ 5232938823999844302005543273249110607413522969387191115512961944372543611707659\ 57763552774073485343698774559900793883404843364123979388203768366944, 186128402\ 1720575426480997883170018028246158426684227550034195781351971921020835131168514\ 9245963567948770232117050331195502926541010513956008163230838110962377954925239\ 0086628136401956421916527984020692307181732673760913822033579295435460964598926\ 2025458758482482021785846590449023462910184682149365586843874585032417560469816\ 0337237228774735390422234355083397554692329832194508478246492747759891646334237\ 82199070098662384277, 486674496287746999896503823915016842933333065915992954382\ 2091432359847774079793569942967151544826938853182550493582981223054478357967428\ 3606311484556032763636022877915625678537989150055505193488793648161788081560432\ 3487662125805426754762552672383184086294212469497468504315899986404258116425673\ 1388574118704122501191988801089023394603513297148097099698971549012989272216095\ 951011293625810080906654226402648260175171078446662, 12725177730623783162490786\ 8715504304654368910280836963011479452372643462024585616103080110301370846572972\ 0840145291761790261113353764402213046111450579111750844437027742375312384456242\ 7053241105692077860975148697691595704625292812083322792652512824976553170617813\ 1657938521394867596011509615671157790337051556279836502880499594488565596820474\ 0113762977505838156192028664973576274770599352805823915098386319559053618098376\ 0290, 3327273159519540251743831098580667538730725321117299457020846438039226355\ 8814757500352449620720432065027286057728826506474684229545503189546057107897121\ 4436991404346678351622891404957015345807615119478415376361878644497791872975035\ 0097932525407004536475958151689668247964328664514021232020219201846578382148073\ 4561449366976066164016126766101381700944193214483691344840003654999621806811836\ 439533767228083619893989560832922254, 86998625062923348774548034401322230679998\ 3016557408412856515919493279847798039728636109698344446932639997232936077797694\ 0517031919916617321536455097175495973821334025777902071980282079993426107910428\ 6397644117570569979166708988291799284971133903680827085645432056762406565384664\ 3557817570606262574880116104664749983509983510586087687930108536148511643712617\ 58939446112383511743454945322032630267342895616685134177907786176279] ---------------------------------- The average areas divided by n^(3/2) for n from 1000 to 1010 are [0.7328766312, 0.7328927797, 0.7329089050, 0.7329250069, 0.7329410853, 0.7329571404, 0.7329731725, 0.7329891810, 0.7330051666, 0.7330211288] ---------------------------------- The variance of the area divided by n^3 for n from 1000 to 1010 are [0.03582040790, 0.03582045321, 0.03582049842, 0.03582054355, 0.03582058859, 0.03582063354, 0.03582067840, 0.03582072317, 0.03582076785, 0.03582081245] ----------------------------- This took, 964.914, seconds. ------------------------------------------------------------- Section Number, 12 Regarding the set of steps, {-2, -1, 0, 1} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-2, -1, 0, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 0], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 3 2 (143 n + 132 n - 17 n - 18) a(n - 1) a(n) = 1/2 -------------------------------------- (n + 1) (2 n + 3) (13 n - 1) 2 2 (n - 1) (26 n + 11 n - 6) a(n - 2) + ------------------------------------- (n + 1) (2 n + 3) (13 n - 1) 8 (13 n + 12) (n - 1) (n - 2) a(n - 3) + -------------------------------------- (n + 1) (2 n + 3) (13 n - 1) and in Maple notation a(n) = 1/2*(143*n^3+132*n^2-17*n-18)/(n+1)/(2*n+3)/(13*n-1)*a(n-1)+2*(n-1)*(26* n^2+11*n-6)/(n+1)/(2*n+3)/(13*n-1)*a(n-2)+8*(13*n+12)*(n-1)*(n-2)/(n+1)/(2*n+3) /(13*n-1)*a(n-3) Subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 2, a(3) = 5 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [406384180607961947117805619292460734659063840171074833963700464734472549923819\ 4070270148052365289071807598948386898123035572487381711414697375658501317276504\ 4288359755176962963144580010698981080582372923002894831471254187097171161245751\ 2300655066111980800411840763074603656905676798108654168993191090456025787378987\ 0219347376509506346160076817717550488050619951600706900578310616370125807525124\ 7794079407192818151831037860138583460654136632194774741242806320779837471821520\ 9562106417119146172496412882823343856518441579112564388537347325767805212606716\ 48, 146514555155613864178115845986636318611877601846284695883994283831702236137\ 4056930917045149858008278406873205223707179999760437107368756095943476120058557\ 3141923968019807735627477079448250786955606641757985803848522789562906776223848\ 4406009146288520785625973427767991510369616547481743559398510627369723266996195\ 5396899272857854885247081047314932328873821397051148604431108704861050870016893\ 4243030171319531044665663446633341228671932098763315115451534716267694072622361\ 0049219343320584738912300256492160412885309480760900477325752619442009913412189\ 064896, 52823283704334738735588242567844183333945283406840883041444863184174840\ 4987407210567215919884803474999836843831514047801458068820355788050389924472719\ 5139179373230111727616964647325199998145520931727429224227122338942349495824073\ 9960543129865600241225961927393785470402718348029034855606027570937408920185633\ 8651365435197710415419922637490854987705403873867679098265487435147464948993705\ 8408977125750620232603815347026110933333919542497978259725196085557773429586845\ 2619106455158357464119290097662888395707246208540523165384763581088697750063787\ 9550320640, 1904454781716319147501773256194426912403512720858345387044993877405\ 7083114044423833768656566602880610988376587258270055022014992778968647834554113\ 1881398959381912321277601667500756457459189354496217934203620260500483993732629\ 4966802745961110265381079577007600060106473633103218932143096824210475325766857\ 6812951828768411262227660048172769808429868019046023644384484446110928677393228\ 5427868464201978943737171425958645309395977255746542502519091358201964699506067\ 8090690203626001006656683543517268787263327367681979195410533830822852240038289\ 074647939373824, 68662020707778573204463172118713129911873748763911668260464626\ 6720431946048600919147008984583604645141574290414718990839970273197150674171908\ 6545579773213591696920939300230999049381944023664754751425032694603079225174637\ 5344993645957790947996016151898157755731751733927513831076287598331038693772581\ 5310482241973905634331347699166866933955666400974242785310599852942288201325593\ 5267426550236010567961816940557954187219412727210638202601488673282416820407639\ 2922311946363519789732160524259588161258761019781726788727539573517583610472231\ 25627234436737494528, 247550118666423083180218106572913172541847804373529108367\ 4675375402856787502091890180989602286441439746689435585122898100198845830836316\ 4587271026329190164491627384199591497060143024569027988339844067376438695136162\ 9054712001269280360560043686902400172718346097877021161460770379774689436243579\ 3471065467091146322928210670529502267712256820195191350157552285331150910375155\ 7546496654817312886499969271167105038351032093160054092063050425167293818401027\ 8619026859391228809821618048100745573481407088877317335823968990671963465991087\ 87102937010433916298350592, 892504345586304799084964184520117746403244131437574\ 3951765521834666269373484218159177278192657581945973912876782010037682527111043\ 1705409273022141762028735888670171588947410766774939602711220935565260355351495\ 6008386066040774677369761701790484504022296104639056017910314837294755541625346\ 0774604474854021669609053074397578215129283586721164053278426432134689283669843\ 1783932414838696379750303469079174206975439349929778355699159053975826924848793\ 3698512687489541378464500240022115671169011268392197808448156139193082788224232\ 60392067966701898087370852877632, 321779357893436050639485316058766069046811065\ 9923445879261012559076410453619723789075844196455632006217758452227985217668579\ 1878985905382408735218511524607664839586400230676446072867721523892525060214335\ 9203664240242970793214075837347486428583837953041608905566435677784512402085508\ 2225767057020670636917841378023820330424042071063851861833508140140782921269232\ 9889036709760724749690475580674370771837894559744750672898560690047813724684317\ 3619691599961234462984724490526287419748383950242043783028771306282889127646870\ 930830844170080066668235559976960129472, 11601300112811990890399882155331952750\ 8056476533562459607661005554026707716751977131853944576067530416907876835439654\ 0866866166173167456496911396140435285725437773247295500630386431530166387800825\ 3239528299180935623193685749523747098136332627085616126075908714253093041750986\ 2870078748822767293866682647765911125648550715713480516822222503618134418983327\ 3294744370905954052981275082893612054584663537969612898762501565543961991466914\ 2462950683079392981071348584996372264025307411177806544882054311905768356860361\ 27317423792012965268796172990679884607471477440, 418269099067805885794938694669\ 2380955797881758249747720320372797336253059341571612800137202107363372731130615\ 1536682847642893885285592559540347500253085622000125727144144861265029201397316\ 8753698786074383512142247361920909888012401704495229253763425767182661690056613\ 5281864955004041881054240065757690509244429352906589182495052203112043013441555\ 8790121581137777631460180485752569532827870977869262964271069223903587761371146\ 4994154212317367842240466958142554128227883554189778067423259699760850428147927\ 2550241897654621216414024541571631651681545861611860864] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-2, -1, 0, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 0], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence b(n) satisfies the following linear recurrence equation 4 3 2 b(n) = 1/12 (3786738555340 n - 3718115065719 n - 15603470017915 n + 79869204204 n + 3348554204160) b(n - 1)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - 1/24 ( 4 3 2 9653690482397 n - 29090837934315 n - 32911632313190 n + 112160226367800 n - 39801412291392) b(n - 2)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - 4 3 2 1/4 (18531632951 n + 1699679851686 n + 2037471248587 n - 12737046284814 n + 13455896156904) b(n - 3)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - ( 4 3 2 1176685273920 n - 2981978072789 n - 2491785119086 n + 1678436893053 n 4 + 10830808054380) b(n - 4)/((n + 1) (2 n + 3) %1) + 4/3 (195523985462 n 3 2 - 3081971925987 n + 3477416928736 n + 24773172019587 n - 36721863345708) b(n - 5)/((n + 1) (2 n + 3) %1) - 16/3 (n - 4) 3 2 (27567438782 n + 356483756207 n + 473408669622 n - 1899915012153) b(n - 6)/((n + 1) (2 n + 3) %1) + 64/3 2 (n - 5) (n - 4) (30579374059 n + 27903944910 n - 94820828661) b(n - 7) ----------------------------------------------------------------------- (n + 1) (2 n + 3) %1 2 %1 := 24980822503 n - 58586615532 n - 11274593280 and in Maple notation b(n) = 1/12*(3786738555340*n^4-3718115065719*n^3-15603470017915*n^2+79869204204 *n+3348554204160)/(n+1)/(2*n+3)/(24980822503*n^2-58586615532*n-11274593280)*b(n -1)-1/24*(9653690482397*n^4-29090837934315*n^3-32911632313190*n^2+ 112160226367800*n-39801412291392)/(n+1)/(2*n+3)/(24980822503*n^2-58586615532*n-\ 11274593280)*b(n-2)-1/4*(18531632951*n^4+1699679851686*n^3+2037471248587*n^2-\ 12737046284814*n+13455896156904)/(n+1)/(2*n+3)/(24980822503*n^2-58586615532*n-\ 11274593280)*b(n-3)-(1176685273920*n^4-2981978072789*n^3-2491785119086*n^2+ 1678436893053*n+10830808054380)/(n+1)/(2*n+3)/(24980822503*n^2-58586615532*n-\ 11274593280)*b(n-4)+4/3*(195523985462*n^4-3081971925987*n^3+3477416928736*n^2+ 24773172019587*n-36721863345708)/(n+1)/(2*n+3)/(24980822503*n^2-58586615532*n-\ 11274593280)*b(n-5)-16/3*(n-4)*(27567438782*n^3+356483756207*n^2+473408669622*n -1899915012153)/(n+1)/(2*n+3)/(24980822503*n^2-58586615532*n-11274593280)*b(n-6 )+64/3*(n-5)*(n-4)*(30579374059*n^2+27903944910*n-94820828661)/(n+1)/(2*n+3)/( 24980822503*n^2-58586615532*n-11274593280)*b(n-7) Subject to the initial conditions b(1) = 0, b(2) = 1, b(3) = 7 Here are the terms of b(n) from n=1001 to n=1010 [795278338567077688969897546326733070245361995230186334535910447772292868425309\ 3013431722397690832138090636128674696566421453208550827632134806393322296901662\ 5997134380928059976771979686716881732330834642806292289302792555734747193235639\ 3708671711683558354562598360104485024738601114098937375066553493777247478869143\ 3552934769649754277536796301956828262684551318432790937323950028100331650592403\ 7933192078195157358532688319058396443054102532472503393680018674448147821848955\ 6645632059124493419651239890552793741054549222146238755216161682568334159178782\ 033024, 28716076230836154414807763847111401039843937196567754246579242419696754\ 9887713985867002221494529951026056507998842862542209323711834317101683845867647\ 6386779403603764367208261247098100937348619245194653694835084678945784895423423\ 2903839181940846700115099449851292075156653883311213206048955647086953736628062\ 8874721167496897618811713278207627970238719223560254630154711427067550327908756\ 9875209482372645235213712111185152863777945451918215457059387119232136210966230\ 4932227477583909326499606613937779101878367697529428682700702825887919283967308\ 78163973181440, 103688602918274280149267933953665359850349257104374327129586809\ 0846129891533147172889168655223387177827465893456261811976041470324682075585076\ 2396373212420512321799147948795260370337303949663165248141157606091480246865322\ 5847912088131088609757914223451388490683219827889074571400646793355413585922042\ 1373782598251150863683810499770921968245888500154884609912966410171631609761030\ 8062644723803459193968756501851247628420205383895456023837731114173638259698785\ 6871814493396840685830215854750856225499030955318478042839234454966387890267512\ 61336010334599057444224, 374400939276419122322473593702497920879198845837439469\ 4786949230566291096728422223306960612466547917559323613844501690365171393512104\ 1549035232907221180092870467049609672425202025882895360780292534129890576947660\ 0185963491441207854613480147621287833518403014728575305971257542437256375094065\ 9607834409823988018284139714669897075075793764357993500813454926816828114362657\ 9042554530265506703165880576795831571528946371310437037763387593775085935144431\ 5884444875899187115866138608746397627626507921296456050980600778037917043816552\ 18983608977779007604529998357760, 135189455135546208021951856755752094643299217\ 6517788530135896028247299834747031273208475644436877224941519672983583682204097\ 0390727352465120153129041878340809602707930485171908024831285579356490895739721\ 8074223210821835303939276646837450728007764003132865374193486611856353434422348\ 1349331397085156082214733341016663559880764641165988019891049837791673301612883\ 2578687975344935313739915990874264132443710654696593951848828231021830844837133\ 5523712441692961572649637240405093491855145276778864378665031292750908940490872\ 791952001770046667361030212733381039743232, 48814482233380004446828159110893932\ 9756192173148605969909106178310920591517051577160279667042287657227546626105780\ 8311860089278216442845385172043136312030307301993954835911746757176426452147115\ 1600577469388418960667807414036482732655667999021277422214430242176954514390391\ 2434102174877620690623489167231115897391397332492637309084487895364966810589807\ 8144163606734994148777600473434761809544660163110556938130786551947767571462062\ 4462334122570468660237821664085206260434883938281412094938172434880700982516530\ 0875449259502520480579525859985969274900344890581824, 1762603134766785475261438\ 0446660277254911791589892106038005380284370129411897254073448368520438010498115\ 0455191315637096621925571941455857261985800293170238883320788099688807529999546\ 9828497731180125017240297654512569593940036946142044706465161572940665069064337\ 3154764625952840815926088577357602581018629298464935649592449497083353338985643\ 4806262255001455983823693432458253911302520489570272852181385116721881354422136\ 1480286567082668297979638059126811304305885531993418298984444714196604282075489\ 645363678169359022660485508613483184177678723065372818345801024, 63644425514489\ 8012263295513945695987521885140424601079415457769633005615930723632405609328395\ 3503845728585791909485296517460845358321087113871282117085011232529088981620093\ 8419085454636225034078849549066261661911690550871548346469759252982303197184960\ 9624420435815210532729759949692967455952452802904426257921890175893020589170388\ 9702880866367977636223530943473101675765331739906623337407881966056513572923261\ 5632284422576907639171746035379731058442890961827682485161149737619739121694813\ 08772046045890009848547835963673937095460388439838116470258594923017739264, 229\ 8085511874989559912565950943343942258691385057389045252646885734427690609126447\ 5915228077126861550541141752760927686615846360803341074815519917449898786356679\ 1185670286447508825298241119143894295349469608560671026494482703567177926423556\ 4350144705955053884139367320134157824941049501297588033660767298335317358393068\ 3651621695033633152079731145721087636984134682023336325731801887746738446513095\ 2197984971165263847658584676910370328419402582186677293542129809641245653770179\ 1100484192685532865897927946787111870063330394746222564176647691658355317754559\ 8606848, 8297972294771776225065514971103342031199418125914834494522612130760003\ 9258845723434196335975391336406696972016946582852639153394086934400297569151036\ 0811625398778307706729663056754803136648942308083643105131813758452962591521974\ 5958605664641336521503293746293426167453802161657828378981615437981294751523966\ 7812777722707166102504250936475381273292165650280995413443638393124168398933092\ 0609125797046768842244347074073332018747430536748826074478590259223878622187476\ 9745962665547339351056294390664095180918574759899994419546263783848448222041683\ 6797527489783156032] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-2, -1, 0, 1} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 0], [1, 1]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence c(n) satisfies the following linear recurrence equation c(n) = 1/4 (4810973535220380245486326941842040464575613523737441572729341873\ 6 3426896236241740 n - 50496782832635341104723355530779151776846877069591\ 5 3003775500170171207545904210554 n + 13223979718861071706674049331639687\ 4 63167197247375417524219300732257724166171434137 n + 1490234432045880647\ 3 526310996306602197206873776952767451676622494718779318157827320 n - 849\ 781305770448671233866122408844155897365082616836115795038053284725121533\ 2 9478837 n + 37595097770158551241087446187890304324097990532093909634782\ 99336307968368255830722 n + 43369984961753833072165941891514403659533183\ 82201586820666864137173729573685466672) c(n - 1)/(n (2 n + 3) %1) + 1/8 ( 241929538543978421433622704085548793783613930613405339782093257387158876\ 6 74960440 n - 8417737566022312124803082659522356200987602206951373538669\ 5 59532632086102283630712 n + 6971125207002994790650691676470459122239030\ 4 347505132620843536576833820371079553457 n - 199334895058047779455198542\ 3 25431931854132732884884676001707961832649636818250314117 n + 1085509118\ 550641502172683303831615456507155806014277649141939065465034439150133905\ 2 2 n + 26553000065654231557291584788374686513825524996670474484757814031\ 273174237201732140 n - 1556612139022401603192413734202392892145875611088\ 1649136841806192414013724529993568) c(n - 2)/(n (2 n + 3) %1) - 1/16 (25\ 145788924703605106779677891416650765805430173436524180037768631807116084\ 6 8606625 n - 30798684985618892131956117281624782845869362782034733839655\ 5 66975658651415182124516 n + 1111970657849085422153657444282932404712869\ 4 7561316858191033813913463364631287813195 n + 90688176543871734072495173\ 3 62872666707469925981974932902305471192318511175690237956 n - 1714746154\ 306938235723411997023440263434489602427598850880891723482656827423167287\ 2 80 n + 4327148287123923030607423190396900140171808941464975455354009287\ 06765883059433268456 n - 30769064134885062379352375712072182948000554840\ 8214483216003944421472863690229362608) c(n - 3)/(n (2 n + 3) %1) - 1/2 ( 148158598994806108390224767492745238890582213336720690662770125780632482\ 6 030919190 n - 149185016015072097605280042413913754589566511602676390409\ 5 1158012779973119156337853 n + 49184825624486725768269614726501218280399\ 4 34516178355351650566366404319223878304492 n - 8878511091736127144287062\ 3 661709383818067675509512929919230311143958001194098059181 n + 223149020\ 379590498843183316495681168712796988035967868827384058657880215988972154\ 2 98 n - 4622639642442347797371160407892544071553384152163503242252088609\ 5064943341663588926 n + 406042334859849310066584943639247124839367717689\ 90306952291634490711058984822678252) c(n - 4)/(n (2 n + 3) %1) - (994207\ 098774373795672784874583821873510017112470943914942390178449943438204264\ 6 10 n - 1221637051341644325391433655096309097982207788982817085597412762\ 5 347100405180225293 n + 553884440116351501505606152231621675163345212630\ 4 4709845373326209279655503433507012 n - 12766142361066228748910440698342\ 3 690760555026667178176690062359069663394475663626491 n + 200800465675120\ 2 80614055691518291190687067165187754597130491145152594487602455507066 n - 290285403190262960125758547545633825962329983220875791785829978451544974\ 06648592104 n + 26437404301496484525593811829508843958466038693928057645\ 668775256993408154808129248) c(n - 5)/(n (2 n + 3) %1) - 4 (192832440901\ 6 59810649672159547812207028827709715711939220900305983044791834550340 n - 224800182420396284911927754481661668315538506527852507594156153608829939\ 5 882544149 n + 121299485908439095401995826152542524298100546683017182292\ 4 6171676381141549856362468 n - 47855183355423570710443206845190452655345\ 3 93778462336247134412528932071163584358231 n + 1434445115220672996104652\ 2 6289980459075437355399478932091796364594758915329650565344 n - 25394500\ 699228216109268137506313792969621804846423047338883852507652658586214402\ 868 n + 1908341262252351802481759024146742502418714123829963448736274122\ 1818111767654098592) c(n - 6)/(n (2 n + 3) %1) - 16 (n - 5) (22287733516\ 5 79813696858984926713335923569087238424663461063779391281517648222505 n - 212061280259303437952964007495341496104242846553188088567079241325359869\ 4 07313832 n + 9802341883049837305333473536139452297038584013685553466188\ 3 9097941010114981726265 n - 31372189382750361232449469046244555581298140\ 2 2960238233212779480142340925542754190 n + 62380718122579116429092492056\ 5410851601179759131114797360311092957896418216636888 n - 551855102643094\ 465485764907899653080188443944490203236672816880840796411492515552) c(n - 7)/(n (2 n + 3) %1) + 64 (n - 5) (n - 6) (699583020673572533743120\ 3 221253655511383809722170605878622255089363729136827299 n - 642627948173\ 2 7759625279754382145903501999965859338015833919785808139476888555175 n + 182602692274067669751467009812535729106381691606211699595327081431720390\ 86566170 n - 17904504833280117826297511929327890173230992993007948844679\ 398117460577412697672) c(n - 8)/(n (2 n + 3) %1) %1 := 1296018835430069482779527480119857916818920095251660672080648552239840\ 4 155207540 n - 179908696402433505673714518752918710656528035966479582545\ 3 63263836635765303232517 n + 8995791439117724251179798614735654019307925\ 2 5331551243042118828448431970680479763 n - 19038258004807160262046821396\ 3992180744254425179912564970697584675511899496740658 n + 140134765090868\ 232875700556572236332664190730897621651265206691739309439452057088 and in Maple notation c(n) = 1/4*(4810973535220380245486326941842040464575613523737441572729341873342\ 6896236241740*n^6-5049678283263534110472335553077915177684687706959130037755001\ 70171207545904210554*n^5+132239797188610717066740493316396876316719724737541752\ 4219300732257724166171434137*n^4+1490234432045880647526310996306602197206873776\ 952767451676622494718779318157827320*n^3-84978130577044867123386612240884415589\ 73650826168361157950380532847251215339478837*n^2+375950977701585512410874461878\ 9030432409799053209390963478299336307968368255830722*n+433699849617538330721659\ 4189151440365953318382201586820666864137173729573685466672)/n/(2*n+3)/(12960188\ 35430069482779527480119857916818920095251660672080648552239840155207540*n^4-179\ 90869640243350567371451875291871065652803596647958254563263836635765303232517*n ^3+8995791439117724251179798614735654019307925533155124304211882844843197068047\ 9763*n^2-1903825800480716026204682139639921807442544251799125649706975846755118\ 99496740658*n+14013476509086823287570055657223633266419073089762165126520669173\ 9309439452057088)*c(n-1)+1/8*(2419295385439784214336227040855487937836139306134\ 0533978209325738715887674960440*n^6-8417737566022312124803082659522356200987602\ 20695137353866959532632086102283630712*n^5+697112520700299479065069167647045912\ 2239030347505132620843536576833820371079553457*n^4-1993348950580477794551985422\ 5431931854132732884884676001707961832649636818250314117*n^3+1085509118550641502\ 1726833038316154565071558060142776491419390654650344391501339052*n^2+2655300006\ 5654231557291584788374686513825524996670474484757814031273174237201732140*n-155\ 6612139022401603192413734202392892145875611088164913684180619241401372452999356\ 8)/n/(2*n+3)/(12960188354300694827795274801198579168189200952516606720806485522\ 39840155207540*n^4-179908696402433505673714518752918710656528035966479582545632\ 63836635765303232517*n^3+899579143911772425117979861473565401930792553315512430\ 42118828448431970680479763*n^2-190382580048071602620468213963992180744254425179\ 912564970697584675511899496740658*n+1401347650908682328757005565722363326641907\ 30897621651265206691739309439452057088)*c(n-2)-1/16*(25145788924703605106779677\ 8914166507658054301734365241800377686318071160848606625*n^6-3079868498561889213\ 195611728162478284586936278203473383965566975658651415182124516*n^5+11119706578\ 490854221536574442829324047128697561316858191033813913463364631287813195*n^4+90\ 6881765438717340724951736287266670746992598197493290230547119231851117569023795\ 6*n^3-1714746154306938235723411997023440263434489602427598850880891723482656827\ 42316728780*n^2+432714828712392303060742319039690014017180894146497545535400928\ 706765883059433268456*n-3076906413488506237935237571207218294800055484082144832\ 16003944421472863690229362608)/n/(2*n+3)/(1296018835430069482779527480119857916\ 818920095251660672080648552239840155207540*n^4-17990869640243350567371451875291\ 871065652803596647958254563263836635765303232517*n^3+89957914391177242511797986\ 147356540193079255331551243042118828448431970680479763*n^2-19038258004807160262\ 0468213963992180744254425179912564970697584675511899496740658*n+140134765090868\ 232875700556572236332664190730897621651265206691739309439452057088)*c(n-3)-1/2* (148158598994806108390224767492745238890582213336720690662770125780632482030919\ 190*n^6-14918501601507209760528004241391375458956651160267639040911580127799731\ 19156337853*n^5+491848256244867257682696147265012182803993451617835535165056636\ 6404319223878304492*n^4-8878511091736127144287062661709383818067675509512929919\ 230311143958001194098059181*n^3+22314902037959049884318331649568116871279698803\ 596786882738405865788021598897215498*n^2-46226396424423477973711604078925440715\ 533841521635032422520886095064943341663588926*n+4060423348598493100665849436392\ 4712483936771768990306952291634490711058984822678252)/n/(2*n+3)/(12960188354300\ 69482779527480119857916818920095251660672080648552239840155207540*n^4-179908696\ 40243350567371451875291871065652803596647958254563263836635765303232517*n^3+899\ 57914391177242511797986147356540193079255331551243042118828448431970680479763*n ^2-1903825800480716026204682139639921807442544251799125649706975846755118994967\ 40658*n+14013476509086823287570055657223633266419073089762165126520669173930943\ 9452057088)*c(n-4)-(99420709877437379567278487458382187351001711247094391494239\ 017844994343820426410*n^6-12216370513416443253914336550963090979822077889828170\ 85597412762347100405180225293*n^5+553884440116351501505606152231621675163345212\ 6304709845373326209279655503433507012*n^4-1276614236106622874891044069834269076\ 0555026667178176690062359069663394475663626491*n^3+2008004656751208061405569151\ 8291190687067165187754597130491145152594487602455507066*n^2-2902854031902629601\ 2575854754563382596232998322087579178582997845154497406648592104*n+264374043014\ 96484525593811829508843958466038693928057645668775256993408154808129248)/n/(2*n +3)/(12960188354300694827795274801198579168189200952516606720806485522398401552\ 07540*n^4-179908696402433505673714518752918710656528035966479582545632638366357\ 65303232517*n^3+899579143911772425117979861473565401930792553315512430421188284\ 48431970680479763*n^2-190382580048071602620468213963992180744254425179912564970\ 697584675511899496740658*n+1401347650908682328757005565722363326641907308976216\ 51265206691739309439452057088)*c(n-5)-4*(19283244090159810649672159547812207028\ 827709715711939220900305983044791834550340*n^6-22480018242039628491192775448166\ 1668315538506527852507594156153608829939882544149*n^5+1212994859084390954019958\ 261525425242981005466830171822926171676381141549856362468*n^4-47855183355423570\ 71044320684519045265534593778462336247134412528932071163584358231*n^3+143444511\ 52206729961046526289980459075437355399478932091796364594758915329650565344*n^2-\ 2539450069922821610926813750631379296962180484642304733888385250765265858621440\ 2868*n+190834126225235180248175902414674250241871412382996344873627412218181117\ 67654098592)/n/(2*n+3)/(1296018835430069482779527480119857916818920095251660672\ 080648552239840155207540*n^4-17990869640243350567371451875291871065652803596647\ 958254563263836635765303232517*n^3+89957914391177242511797986147356540193079255\ 331551243042118828448431970680479763*n^2-19038258004807160262046821396399218074\ 4254425179912564970697584675511899496740658*n+140134765090868232875700556572236\ 332664190730897621651265206691739309439452057088)*c(n-6)-16*(n-5)*(222877335167\ 9813696858984926713335923569087238424663461063779391281517648222505*n^5-2120612\ 8025930343795296400749534149610424284655318808856707924132535986907313832*n^4+ 9802341883049837305333473536139452297038584013685553466188909794101011498172626\ 5*n^3-3137218938275036123244946904624455558129814029602382332127794801423409255\ 42754190*n^2+623807181225791164290924920565410851601179759131114797360311092957\ 896418216636888*n-5518551026430944654857649078996530801884439444902032366728168\ 80840796411492515552)/n/(2*n+3)/(1296018835430069482779527480119857916818920095\ 251660672080648552239840155207540*n^4-17990869640243350567371451875291871065652\ 803596647958254563263836635765303232517*n^3+89957914391177242511797986147356540\ 193079255331551243042118828448431970680479763*n^2-19038258004807160262046821396\ 3992180744254425179912564970697584675511899496740658*n+140134765090868232875700\ 556572236332664190730897621651265206691739309439452057088)*c(n-7)+64*(n-5)*(n-6 )*( 699583020673572533743120221253655511383809722170605878622255089363729136827299* n^3-642627948173775962527975438214590350199996585933801583391978580813947688855\ 5175*n^2+1826026922740676697514670098125357291063816916062116995953270814317203\ 9086566170*n-179045048332801178262975119293278901732309929930079488446793981174\ 60577412697672)/n/(2*n+3)/(1296018835430069482779527480119857916818920095251660\ 672080648552239840155207540*n^4-17990869640243350567371451875291871065652803596\ 647958254563263836635765303232517*n^3+89957914391177242511797986147356540193079\ 255331551243042118828448431970680479763*n^2-19038258004807160262046821396399218\ 0744254425179912564970697584675511899496740658*n+140134765090868232875700556572\ 236332664190730897621651265206691739309439452057088)*c(n-8) Subject to the initial conditions c(1) = 0, c(2) = 1, c(3) = 15, c(4) = 99, c(5) = 598, c(6) = 3283, c(7) = 16617 , c(8) = 79926 Here are the terms of c(n) from n=1001 to n=1010 [166201278260829270251659675255795685707337443866394765503695953491620992829081\ 6378638318675206530054024478469784462226398847243643800278124548459833868167164\ 8586932046354755747413387055701385502548805242506216814066998842623208314326297\ 8393733545552381611657942612769974981076432131580270937282597267550235192136672\ 6640289420413498246694893404057586980236264088552851115664342159992938046822675\ 1745071776820548235795753141492751170471599490452823279386674396985991745029292\ 4356593766516192229613757249072239600510297140565225748643113834187887891962748\ 55912090624, 601036452596793991178366830275392247697722916884961588177847410410\ 8096710443089308124965784342808173352127191335411587854274349740153408795041644\ 3219830378047810188931175657593995884863485770518226440492024873742641436515791\ 7544672497510942958350579699775115596535787666168738222443007916994618846531701\ 8470461594443274505652398060769818409659174355857799436504770752807000800821846\ 1484299811414986952526658619272140724526240558429982143457923502095554067552104\ 6901004486553900703516042782456392396274624338140321748838246284532434891614329\ 28998625714544509828032, 217353472541297103399940540799139644246912183193545711\ 8230246044531377920120009383067281710141511923634353899152590243889742877907826\ 5071924772603190679338343158013905782719404983701697804750004283342578955393521\ 1451437851914432534867976038991251789756186078187913042176783133395902981439496\ 3501488308980002912869265256359499792091375073183492826773024635083084060452029\ 3140029663839675344446250507342617083943202679551546079312026929276166166315371\ 2195223524077072446985387991065119612613253665982384350266772155545823788285461\ 478493066085216032767733424777601664, 78601651758190388925159421045494556561023\ 9685212306075599917445307081084883571922556348602235325601982805546421472572430\ 4838065359353102882823679614765827539783477475052854356768011266472827895191761\ 4929141070534126507383291120935765748969425421602358001819714794912100371246638\ 8380844662028476754003709782980958031920093777697223458621823849096882905497218\ 2548348970584605874813570665268275979122257388432547764241268385473276273076269\ 7137154129741574296489643647353357641171127889832481435510007248254149154551135\ 6385286544480931862334657752754451893512231055104, 2842471260226356625678140035\ 5785269289541179858800759630708241333303838515998327426380246693750452143302195\ 5595297088201809783534469621860591870151037258940783069236986229657515604643006\ 0298743337996796000987636311436764266725585398013949799562695828879977786178735\ 3670572186692766873581043147440398923961943463643853043003392763284644035836658\ 5729456556742697788818751605212151723938587775360637901535576429229208161807025\ 5216679123090964840346901757289854377077102565324423602290778475598844972628172\ 313543405302637094346698056881905216191926226472786424151945216, 10279211778841\ 0988609812584725727711410195125507899727836802102499909502306351544138616218203\ 3901981960918764160214265388963107174326196229153925899733745765598990090728087\ 3041468580893537794585323652704739956506408758678256855931880843835712292834433\ 5546151088898611035814506253863303436285833877399564875645054686034128721401460\ 3567951897908706655231564081981403840579036519087010698698588350073525142419656\ 2114955504924110990724975088364560345719022104674502413664971696480605641358703\ 872361516735974391471940557460833483820972110110602539237113664932041047165632, 3717259399402640442384971201789233896095456236955928561708890155304371768009579\ 2066114672912392659930629197979803693485771909935067234332862913577661634231142\ 0833825756353069433572911659916877860703913359755087984601317133351240019555804\ 2732275330209715085356881700928042204504752343801804972255443559536976877297315\ 6726219783771556346685823264133917515433336228073659952420321343137117985226202\ 7797172817080916338909864127220608896684920009139463988842012401302622567454826\ 2074413216863776591588096158142681114350067455844683288436789174569735588209458\ 5730638686528, 1344266101775224974517116126778328530473300732937016353085495680\ 0087404206549753362319612616904856305441490323587156600805575720759928930264645\ 7151280118267190420598724790418385603651884782714363927362363830395289135234055\ 5453481386724190678038327652580341919045765299190646073591059057759971007776286\ 8192059878818516320812541644951582533922582949480491109604279134724202203238832\ 0784086083930707861335548731375958378550463059904603035741529900823772294278346\ 2685700303472065439474683084630837054911001994449908005404962556436300154831248\ 57042491863083088936993727232, 486123875908145660599746976779360958028631485799\ 7895999313941421057552007420763228129695466066079344957707180297907945404933986\ 3525270261704405799343965185674561811549567749913188268536037841116033974836218\ 2419551313166522114006435048277628473700017208134896943466250384185896966595455\ 9925193311987171266719536293364882071743704436936939872257725165400909531671806\ 7334166761428201253766597550154396216465143862384016246279199950550294830068622\ 3718169070089738221623543549860896700453262221739061991907762738594854775743474\ 436151305445374431316589355806641238763468800, 17579559305873398732035629682068\ 1530899433070906611866675759427428774300001172577353820316448849098807557996837\ 5675635912909695464335535891857484885252631376959233462592501673557140004740807\ 8883026611674142117387928634581145036782497180854179013612807166123282050409616\ 6366461040729526466572069870434237697879517518521233540599131118276186213621597\ 2186279628671691252628555216490589578841829074088920191938445338971521421659652\ 1137857443461496887192003443331373331060684256457552074373152074893155718802050\ 58804073683764128062128158336197090504014622434027459186125376] ---------------------------------- The average areas divided by n^(3/2) for n from 1000 to 1010 are [0.6179185650, 0.6179349287, 0.6179512687, 0.6179675849, 0.6179838770, 0.6180001452, 0.6180163902, 0.6180326113, 0.6180488089, 0.6180649830] ---------------------------------- The variance of the area divided by n^3 for n from 1000 to 1010 are [0.02592792742, 0.02592793164, 0.02592793585, 0.02592794005, 0.02592794425, 0.02592794844, 0.02592795262, 0.02592795680, 0.02592796097, 0.02592796513] ----------------------------- This took, 2596.147, seconds. Section Number, 13 Regarding the set of steps, {-2, -1, 2} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-2, -1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 4 a(n) = -1/8 (20770491581051703536199824698389653695013366670 n 3 - 264926267672372215863229295454428435865281874149 n 2 + 1223912769433081834646212884914364796114171291096 n - 2320049493956329001228996805612230487146587393835 n + 1456370927093981056853377742763076957544569595658) a(n - 1)/((n + 2) 6 (2 n + 1) %1) - 1/64 (86446020936423198891627764579801085014603429648 n 5 - 45742277112701105287114291992342729351540291001400 n 4 + 541928421479730342481594562924644163915543550447566 n 3 - 2461831169407155444262925488572408668323709303938925 n 2 + 5302675220801183449764615232270220752440016256409182 n - 5420900480997190159885538759351275746785146636434545 n + 2083609721575477373923561770429618668293308993610314) a(n - 2)/((n + 2) (n + 1) (2 n + 1) (2 n - 1) %1) + 1/128 ( 7 13602356395607145404618420198755506926589814544612 n 6 - 173837333174742604749727092393730487927047633926792 n 5 + 822915082939129730130527242256598308516806205001881 n 4 - 1532055443300630637821206979105680403481818958176115 n 3 - 312058229384697914800877031111179559169332626645722 n 2 + 5323622680191468695226851672006300484396461586405912 n - 7027625288830146809876117062004754495425413342305216 n + 2863149117279965027920766474702329529170113037896960) a(n - 3)/((n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) + 1/256 ( 7 180935825044926507151227677333775003967389544383700 n 6 - 5531341591380614730610665965782885834567242477768456 n 5 + 64247367601545374701435256070508444729538278029267619 n 4 - 384983467694354014109501423904161938809166796458039500 n 3 + 1312834912684678245251718939727228954674515799799327135 n 2 - 2577082950584918950359607681454161576306081719976062234 n + 2715037840184475504560147070542698473280016025547791096 n - 1189692445803958600478967574871242934394788883860672160) a(n - 4)/( (n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) + 1/128 ( 7 60796898780664338201478385354530243543085099187192 n 6 - 2621564565456288172497209608416797996641790406443968 n 5 + 38549196170588477659295229912823419749603029427995889 n 4 - 283117106814487693703686108679094708861165980798752420 n 3 + 1170119094570118074337854579684571590766676242786505123 n 2 - 2774894162442091603923369752532782036559566270824913152 n + 3532136410448104036351027890627880738822752151296253476 n - 1872253719181417185889705395772556816084375854450772640) a(n - 5)/( (n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) - 1/256 (n - 5) ( 6 1359950368848115496722371659502400151730978717985780 n 5 - 35893458152298710701594295751858167690257885946457350 n 4 + 379061550487933914230983262497008974969656213879593813 n 3 - 2061045264946012046010461379601171455889775084498019985 n 2 + 6098031889800464382557871963450212334726428795820954800 n - 9309070850350093489814734257091673070522279150434302740 n + 5718680844599133890670532721920849627792804572515278992) a(n - 6)/( (n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) - 1/256 (n - 5) (n - 6) ( 5 1988500301466509455921239970811451405186763404260462 n 4 - 46703381637673385361445994164341524849220979357622123 n 3 + 413396473496164337798523378505925546524805362990672588 n 2 - 1737190439163532002713170456588589098857544370639339737 n + 3473763924518320549257764583422503000154352394540894776 n - 2641284854982460393694581087756890836099006559905375904) a(n - 7)/( (n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) + 1/128 (n - 5) (n - 6) (n - 7) ( 4 1165114068447438067732522661770907405124543635244178 n 3 - 21161020971830446067694853788285343286922579470055590 n 2 + 131671206185754445304576661950409464605612926351300119 n - 333989279118394478133424453661273837097580339045593718 n + 293296292725581179668656318199754563079924327992389180) a(n - 8)/( 229 (n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) + --- (n - 5) (n - 6) (n - 7) 512 3 (n - 8) (33729721902007829631588278450885805205160557136137 n 2 - 404988356615295109982561791803069039678362171498145 n + 1454061877637590390462973638319204264136337711006160 n - 1600838844636466591636842924599454519936780003458508) a(n - 9)/((n + 2) 157323 (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) - ------ (n - 5) (n - 6) (n - 7) (n - 8) 1024 2 (n - 9) (81539773153777131239018320509550656635034571321 n - 440558712121213950652795418293398275103126216118 n + 573628374461705593273154817524438745863248184544) a(n - 10)/((n + 2) (n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) %1) 2 %1 := 963713084723284924920571963674166907101149355 n - 6896153885213783388527125959578915842331757174 n + 12381242271569019460471240179747664732001995899 and in Maple notation a(n) = -1/8*(20770491581051703536199824698389653695013366670*n^4-\ 264926267672372215863229295454428435865281874149*n^3+ 1223912769433081834646212884914364796114171291096*n^2-\ 2320049493956329001228996805612230487146587393835*n+ 1456370927093981056853377742763076957544569595658)/(n+2)/(2*n+1)/( 963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-1)-1/64*( 86446020936423198891627764579801085014603429648*n^6-\ 45742277112701105287114291992342729351540291001400*n^5+ 541928421479730342481594562924644163915543550447566*n^4-\ 2461831169407155444262925488572408668323709303938925*n^3+ 5302675220801183449764615232270220752440016256409182*n^2-\ 5420900480997190159885538759351275746785146636434545*n+ 2083609721575477373923561770429618668293308993610314)/(n+2)/(n+1)/(2*n+1)/(2*n-\ 1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-2)+1/128*( 13602356395607145404618420198755506926589814544612*n^7-\ 173837333174742604749727092393730487927047633926792*n^6+ 822915082939129730130527242256598308516806205001881*n^5-\ 1532055443300630637821206979105680403481818958176115*n^4-\ 312058229384697914800877031111179559169332626645722*n^3+ 5323622680191468695226851672006300484396461586405912*n^2-\ 7027625288830146809876117062004754495425413342305216*n+ 2863149117279965027920766474702329529170113037896960)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2* n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-3)+1/256*( 180935825044926507151227677333775003967389544383700*n^7-\ 5531341591380614730610665965782885834567242477768456*n^6+ 64247367601545374701435256070508444729538278029267619*n^5-\ 384983467694354014109501423904161938809166796458039500*n^4+ 1312834912684678245251718939727228954674515799799327135*n^3-\ 2577082950584918950359607681454161576306081719976062234*n^2+ 2715037840184475504560147070542698473280016025547791096*n-\ 1189692445803958600478967574871242934394788883860672160)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/ (2*n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-4)+1/128*( 60796898780664338201478385354530243543085099187192*n^7-\ 2621564565456288172497209608416797996641790406443968*n^6+ 38549196170588477659295229912823419749603029427995889*n^5-\ 283117106814487693703686108679094708861165980798752420*n^4+ 1170119094570118074337854579684571590766676242786505123*n^3-\ 2774894162442091603923369752532782036559566270824913152*n^2+ 3532136410448104036351027890627880738822752151296253476*n-\ 1872253719181417185889705395772556816084375854450772640)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/ (2*n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-5)-1/256*(n-5)*( 1359950368848115496722371659502400151730978717985780*n^6-\ 35893458152298710701594295751858167690257885946457350*n^5+ 379061550487933914230983262497008974969656213879593813*n^4-\ 2061045264946012046010461379601171455889775084498019985*n^3+ 6098031889800464382557871963450212334726428795820954800*n^2-\ 9309070850350093489814734257091673070522279150434302740*n+ 5718680844599133890670532721920849627792804572515278992)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/ (2*n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-6)-1/256*(n-5)*(n-6)*( 1988500301466509455921239970811451405186763404260462*n^5-\ 46703381637673385361445994164341524849220979357622123*n^4+ 413396473496164337798523378505925546524805362990672588*n^3-\ 1737190439163532002713170456588589098857544370639339737*n^2+ 3473763924518320549257764583422503000154352394540894776*n-\ 2641284854982460393694581087756890836099006559905375904)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/ (2*n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-7)+1/128*(n-5)*(n-6)*(n-7) *(1165114068447438067732522661770907405124543635244178*n^4-\ 21161020971830446067694853788285343286922579470055590*n^3+ 131671206185754445304576661950409464605612926351300119*n^2-\ 333989279118394478133424453661273837097580339045593718*n+ 293296292725581179668656318199754563079924327992389180)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/( 2*n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-8)+229/512*(n-5)*(n-6)*(n-\ 7)*(n-8)*(33729721902007829631588278450885805205160557136137*n^3-\ 404988356615295109982561791803069039678362171498145*n^2+ 1454061877637590390462973638319204264136337711006160*n-\ 1600838844636466591636842924599454519936780003458508)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2* n-1)/(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-9)-157323/1024*(n-5)*(n-6) *(n-7)*(n-8)*(n-9)*(81539773153777131239018320509550656635034571321*n^2-\ 440558712121213950652795418293398275103126216118*n+ 573628374461705593273154817524438745863248184544)/(n+2)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1) /(963713084723284924920571963674166907101149355*n^2-\ 6896153885213783388527125959578915842331757174*n+ 12381242271569019460471240179747664732001995899)*a(n-10) Subject to the initial conditions a(1) = 0, a(2) = 1, a(3) = 1, a(4) = 2, a(5) = 7, a(6) = 8, a(7) = 38, a(8) = 58, a(9) = 199, a(10) = 452 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [311386533010801203432532621436960285393752847703702909974037264986391266241370\ 0005753822812800980728081738829806283100645928367114638254706946369929104255993\ 0023992196640043959457998385933841014259172253951347183324278784602252271780132\ 8975079700096955680005756551794390254812279521424637315460886017158445177844524\ 2146754320906599143579312450088916921517265246129179099133141446324068517412612\ 08765372206460013206603085584474817099372158418420347850429370821374221, 915483\ 3807426055221542306040011641990038311460291734459806387829459760785642666086000\ 6516892936152145334722605809982960396614565631878869610154010542789446548223875\ 0296902599887067917227617249241483308346697903345184487664352112678603278731260\ 5942635019787706252598131858616473833727166923600618573094949928956829116521393\ 4327618411873029382465893406573020294261045326725830039084735722346406325952806\ 0344623028011877976102345172552255297822804928668994741697852628, 2691545656775\ 0075257740457197095457697178672491044483069084768983908062207074580656036854456\ 6726556759758775060195162632726111376391088092502436719423248795636328502384486\ 7590393785278371779372858142320181694258365863672067237185669341503828333294086\ 2569125042359517022789134861599273542664215388743395905124431709475366920201874\ 4872650081646727261459184692779175114203528250154763676386437686507050921716008\ 6424228850420918631766428591083467316582189425715176209162, 7913228092205986262\ 5275456747883913314623774696562850836816216892043568537017297959865397512256821\ 0715529798768566737188840520084910436216135702590176899012702136734244515507004\ 6547707105387764988448653277380306678197701766176033901357229398198947969987181\ 1528556155045121469825180313157821538814339608652248171512488448150578135429237\ 7007177308451978261004692104902506375045329166793899153597176325021443034399263\ 0652508635407496578593449602709358993785546572020610, 2326517170913231601890757\ 4131224852332991982206312797718738359171392068877310861415566716798148300951310\ 3883478146946409796733549575704766540242528685823481147423516574770924546789846\ 7103929734945160864899132493915789648311439688928810464798576398145908188168974\ 8175995624953266613354356623678837497559077127563598674636317177128277460801740\ 5254451150836626461072667419852877503607593747854326311874591599434623723479838\ 68895610481705675002869066413435107757518241338, 684005327372659923790932944395\ 9656918135156355979971801159071978440855649102931104314443183032104384335048930\ 9910485152436540803759210985587597228922127654442997556768970989006413226455695\ 5797542093261493678090249795655927013994820398592973548549094389786019046317883\ 4156869549461796835343522873476444074060347821130946352354578206149846720526350\ 2524137988625523153674080289867261113379571333544296406244010896214655675056043\ 955835732575826034894312157584667413513624, 20110059192076591052639550358009455\ 2384511783780465233741564870688809896282786324552232245325355462319988628218098\ 9432078985429031342174691203857304001708729858788089005363341556829811605322026\ 0604111205972217192920374442707018693363300010220882143747127321153180258243956\ 0411528435730128254391407833419580962458772413157015326297763370224103123899444\ 6365697584969626537995348891239077657581561168288893441879156032666966444743014\ 15309585589556235380467411761317839508, 591245509005900163516839019900117138624\ 0769482910961798885996556136395379453602651758251775553691707472838728140196389\ 5981770256783877183182176529031835116206773047911347185974731838257691987684739\ 9949940160480687091683830480555853007497669914272942202962292089559989936320696\ 6370886646688024405942739726862205299993457112140374924547623436797022412151610\ 5030953850912529477263903600739039970288744043410649329239236455747716983167092\ 7526626089749649979715729457139291, 1738293079110968886126356730395354595398688\ 9305754518931104478103846814093427201221013420474561428118360076835394384519298\ 1304478484546105495755695136793435427643075015117659158677136853177678111522688\ 2507284790549243056389391524220430310953211291614068931106182114109032380992723\ 0411826548737352721617761102640339200031677884586279298526387434131666212069096\ 9614366319443841622317645926431861671026292419636445969566371287279650908596476\ 5291013463124404872014112554458, 5110681142723726353325185028983151071283733894\ 0420464597911328245443393278131277208776011890391610134800662709005342382600660\ 8690055775196281882062069014635701689079495353296021385221643526152457475631214\ 8006796013561833952180166267624038155170099981608388334796478872706124923726796\ 5195399763558717594300508579298890331199206382839462571964750204747865691323542\ 0972240049864205026836154133007228292355519705061911131777872032976975957515194\ 8598180274658865458344608775] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-2, -1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by b(n), so here are the first , 137, terms. [0, 2, 3, 12, 55, 85, 542, 961, 4322, 11026, 34164, 109871, 293816, 987817, 2684484, 8522974, 24638253, 73622709, 221470508, 645182086, 1953599266, 5702670578, 17088987572, 50388845772, 149381314424, 443275492193, 1307893669263, 3883792129140, 11458936131912, 33955194499352, 100323976024168, 296647340270956, 877183751319631, 2590971833391558, 7660557860546306, 22622122958748207, 66847040564920806, 197412123912173791, 583020785413567540, 1721710552355770384, 5082998791465246421, 15007904386258090962, 44299587533956838088, 130766767635141586866, 385943416745673293877, 1139008591260123525406, 3361242252930426098496, 9918118601874219047904, 29264650849168687035498, 86340707429165767525834, 254724520556263336533125, 751440233380578018388628, 2216643595428557980608619, 6538446188777141928251330, 19285419732647294228900526, 56880708592025701547502405, 167756149127390916131950803, 494736916761043304096827826, 1458984798545256153088626542, 4302391691497156488159438558, 12686806610611138130027096392, 37409178007657121471191214398, 110303403175249548504346884496, 325225334524179475721357318420, 958883416303446449464873406767, 2827048945069117930795396757028, 8334656203551611141591712181546, 24571368693331309939775173718609, 72436707987808749463884054503778, 213538575178539422075054407016488, 629480881687223732014357454517108, 1855572122247614918852242089371602, 5469687730912310069757587138499206, 16122672532804973859962000479690395, 47522762920421304595936409725021280, 140073764698530477479085053126339938, 412859926423414013921191443677872155, 1216857577874469694475892526888188387, 3586478001154390703180397157484685096, 10570322923174811070900274638720531728, 31153028623828517650258841877927701097, 91813063731973267799200751911666778456, 270583376558339938776124716723585989790, 797426027181299393978132870849729543559, 2350025535056343885089767317589524348846, 6925447678053932190934178755960823671820, 20408750759329759694950047625189273713916, 60142085870274244349493901404218368336216, 177228774133123351546755966393005367419006, 522256487338711682533410379242296982088918, 1538960559473816905322645072222818606622594, 4534875190281451448586351435069661282554003, 13362802540730724696509882277262725879914547, 39375336653770824646311195879701721026368556, 116023423019273778414976565521095563028903568, 341870696236398452760416685512733736073558488, 1007332912756072360818273631319182255741106186, 2968104923522366307761012377658469976837136766, 8745420175709977494239641905684133802790117969, 25767805838916270184148568631421473593510802578, 75922350648930617272273330099261382572318470533, 223695585799758511395399251113687281539692170467, 659084130656918322180138278320373415001716651458, 1941869652573710712051810990675453300957830429035, 5721306005302483462677505654898337432105708301406, 16856455589648421302746742092129424276004017752958, 49663054024790944908679349634892437454431334142396, 146317663214464416362475337385620012514538381255295, 431078488763062329946391762419859834160153598291946, 1270025074420138116726243226687988311037434244472698, 3741663024065812139573931705789954537522404871572356, 11023349155342973557326677904420588140494273595606906, 32475739465971251017792699490766666421960626570001362, 95675602123724529787241645186011003933886165810913249, 281864320127748625753129903168431384008444366319505082, 830377973304501836601213262153204596089434208697012877, 2446292721627810839394525642191317377152447925365141728, 7206725488712693310591812771485253769171147067712892304, 21230711830936702921277043785073394199133066086508797720, 62544368889472134637749428933583914565475859260444599214, 184250645660035823895400860419175793834126138011958467812, 542783987289282480875994313915224411221558089246299597508, 1598977301259977837235220261730401896392961249278301839783, 4710368562388153368834062569186302160587619373100600052572, 13876018027855186413552841704982348370407051018133724077019, 40876363153630708450117683197132266450694887849499440100641, 120414038441924557401549503945185094463172227701008352189600, 354714976449940733638976715462321913764401883985894899257076, 1044911496874366645722530103495647472646557682388630863486511, 3078060252549713387055919607417639102493152077383130649416860, 9067183379402750876430490323868975989736858585835648721371714, 26709477969433236907205340766815543200476006385488663155922793, 78678516543658638770423871284010843077668387384352990027107122, 231763334549871414209340319426494559336832312018757411724014222, 682701953012395386838842109547347500988385534220987750128075972, 2011015633746517561783868379669250054754067269749945962734215326, 5923763002955551895916591062845470748251925338920581101720167060] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-2, -1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by c(n), so here are the first , 137, terms. [0, 4, 9, 80, 465, 1017, 8436, 17567, 103054, 294566, 1117958, 4028597, 12396726, 47014897, 141602540, 504298846, 1590418143, 5250318841, 17138221072, 54303504178, 177766229474, 558117939330, 1798545759432, 5664865693700, 17944523679018, 56623917883783, 177446496351817, 558211816907516, 1740752987505452, 5444342495046822, 16937277231168800, 52672054628735272, 163486556135605291, 506235389010554106, 1566807636212288416, 4836894886478203613, 14924280503342581528, 45962913352098252003, 141415311536021856444, 434574763508760325468, 1333816836827887744525, 4090241375180646402230, 12528062982142650849700, 38341349547744999699570, 117222934884788987623301, 358095200735294536744334, 1093001737466328067877792, 3333406855216109417202808, 10158707193598373988592522, 30935528410896513877813096, 94142007487768153173122419, 286292714252293043310203496, 870081598519264084809565387, 2642650642822129636783174682, 8021556237202083558725035140, 24334934067521502241445357159, 73783426151599948364521699623, 223592616541197532035351285186, 677222210849865088980347882254, 2050168581070785586207638573634, 6203536712782648980525088808728, 18762354755639085924120600461804, 56720605411153268531279700327984, 171397875857122346274434234705984, 517711529735475806404220813524327, 1563123475791959120013922614384800, 4717670133929812124564686036872168, 14232979495852612277209644459597907, 42924279001089900586747603857283314, 129405882777519635852446879998582388, 389989836951885951177155633153365716, 1174911937928522444991346415769755014, 3538459254277281080933572222573189048, 10653296208719244857081024695394857035, 32064063264454547797882385530893567760, 96476501653301891566174687019282690706, 290199417104288872889192098996726859957, 872663681539712679449625722930772809299, 2623468994977217042111251265617226868272, 7884728895406197871602450016366209929372, 23690947052995394930688377319607953955625, 71164894891611250264600903109601906911868, 213717327887046533140304465486053644953440, 641662845926840030370730886423120057689509, 1926060305430580436484514887414389062023574, 5780044856096458613427071592993530116364308, 17341764800325548154225645646749054895299180, 52018576571075447225508408093191078909415504, 156001572815603940446022895462499101158212030, 467742685658850050161628544447448233116496750, 1402150558958405557047726484354597852577546420, 4202366640680097481351354759403888537122429549, 12592351593013448351191347483468311546461038359, 37725521367103734853322021652598879759013830932, 113000666597737222283672656971019001432744596816, 338412100941400273812271077165064336653479856160, 1013284987238516280406919558791855022088534174698, 3033470984478711640415888834726465190510136201188, 9079714870318974657530185345268818419348940719775, 27172542101337676365673957679234249398784769159946, 81304679529211310982849158239327831606713420541835, 243236921914128927056802890208018421965095359005375, 727567964227608510625871999349560892967058825664996, 2175951125098801304259827844131698416529945899067509, 6506651529726707340761382195088868831878189386198602, 19453605764531514121672729407541813464884648334729362, 58153799062535289704164101167548007403843513184711050, 173817189696879647897472622924573782321012267180828589, 519451739993341789300854503804588466866918459562147590, 1552160760630204656839768740700244970736495894490362238, 4637333607912298259279887436871521288279798679914780908, 13852916803518852607699805162100386848688688309568213950, 41376755106716134382698480128820516763589174052291175468, 123570553188433830161638171723583640498165921922342487337, 368992828816666339346765782388573919561757126719466114280, 1101707285565830775818656009624705408641200334633986476759, 3288977016459002300198564270231460192767638533895379677188, 9817540778425299198551171440855355987348673570477434181820, 29301696060211895344421326161363748962926953258703952222492, 87444372065662057405527457997584341996775110172315476768898, 260928124566381835673791352608110636661049521399574524969224, 778503718901468352179700520047209553256115748487481559174506, 2322480536117235481212015312399855725540196898202943979046077, 6927808433000863854521358739257490995639733889014811548085312, 20662974321414965207991499594149258771065283478801554748803569, 61623128752158123106699592249518614121724164233458403237859777, 183759305940478376994485139677259636794332401853465555262889536, 547911423450698044683062937405623470475464059849884581041504992, 1633531430318299308542349449374326560482450902016281641314425239, 4869691566957386167603807727338320357942226404310576071639815912, 14515530498592923991572495825552789463647310636254643745621768808, 43263587516489684430901583515954755982780795880793149934426253915, 128935037669888666136309387323445210385971563405560103610737763430, 384218976433797579409525924414166771857611740619200404893231058330, 1144845085427196931091163879301194203645977844434886176747963268004, 3410949543015181154482325849691295411245225454510714121035966218722, 10161670612636720608988187057853297185840460290974813469528637775034] ---------------------------------- ----------------------------- This took, 3815.548, seconds. ------------------------------------------------------------- Section Number, 14 Regarding the set of steps, {-2, -1, 0, 2} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-2, -1, 0, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 0], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 4 a(n) = 1/8 (22231375962546236877866608943076954364968999134 n 3 - 163232517721390751374934969191606422016226351169 n 2 + 333173355918907660798458663145983514605740834850 n - 188064294272029153389420367553057457707862365117 n + 30295243119991858291534509239147567220546529422) a(n - 1)/((2 n + 1) 6 (n + 2) %1) - 3/64 (276300381849864500145252515598360714435779534752 n 5 - 3334805037423958182903492520857833450915935988328 n 4 + 16397407130255477272322173146046300983292408231850 n 3 - 44595940522379448890994792838583646530773834481605 n 2 + 72996776187966366713126014392400908437262988559488 n - 66679821857162252371313992522734108704527433363867 n + 24934349856392613317751587087366094525148166233190) a(n - 2)/((n + 1) (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) - 1/128 ( 7 575874267445799574742117148325013240101646273684 n 6 + 10108483741198183452557884329353993382055388462328 n 5 - 219467328378977199924227034182534144881796042332229 n 4 + 1451533908834726827938714061450230695243746353351950 n 3 - 4764181395184470047034172798650290243554372233385859 n 2 + 8432521648257632592367282166568903571374188828041662 n - 7631528008476220566796435687054168464142281409869216 n + 2722604216208170039047360070398942861195789031226240) a(n - 3)/((n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) + 1/32 ( 7 442071499928735925318101597840296255038527373982 n 6 - 6755165864222246798698101209201104783749111469063 n 5 + 23982686719478047896724014687965399771880255603034 n 4 + 117913070609093447597587212546025798387836116773340 n 3 - 1169409147262588498217329292432108619543891849373487 n 2 + 3647851976420611429704138477953566039458235849141058 n - 5162610546164487753215620400329312523137351687267464 n + 2811903675109501437995697142140053974069631759578200) a(n - 4)/((n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) + 5/128 ( 7 2043015257736496758798768085733193609242637132268 n 6 - 25449374765017626685230395121180006205808403881516 n 5 + 44661655864987603974545549001611950377078430920325 n 4 + 846735167548730546641686200021957256236490972336610 n 3 - 6230459381007862314762312465186378099034464062454029 n 2 + 18755015736096944714488774800125403994243049949085798 n - 27154017978460442802533342172741582161245995088766232 n + 15551487510917913576331476656996405630808155619954144) a(n - 5)/((n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) - 3/128 (n - 5) ( 6 4013529044723302602850906188792187665753385056054 n 5 - 87383887711240657329839715732116719182079321666411 n 4 + 750765999609331606895028514252966626434833172494027 n 3 - 3264584781014110399822795104599095350290160345414700 n 2 + 7637378021895569901513255460309878864752950399868116 n - 9326560013781200910821556926750127402932610669305784 n + 4841240590935339923164254504983564418558155480000448) a(n - 6)/((n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) - 1/128 (n - 5) (n - 6) ( 5 6897796244318492163894009885874984110186853362758 n 4 + 104558056281338285478332781493647680582714079689354 n 3 - 2667110967727853598663964096562763666196527502203159 n 2 + 17406070510303434068096310217196759488750620005516101 n - 46487197200563078781622924878772299719458723165635212 n + 43841963415464021611225018855345853266690694970943632) a(n - 7)/((n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) + 1/128 (n - 5) (n - 6) (n - 7) ( 4 201539709026713193333764922462588049557885190824 n 3 - 184740693528078922379289514537040744051800681895119 n 2 + 1596785692988087990125641121866368381718852329601196 n - 4762695832879274130113118851075478339085584386680124 n + 4782019485974688250949960100620923711755432234153552) a(n - 8)/((n + 1) 257 n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) + --- (n - 5) (n - 6) (n - 7) (n - 8) ( 512 3 329325923999508051101811291630036603961910770259 n 2 + 549900941942348641888132039406220231102698601787 n - 12985909569426875487006965780921961038356395239826 n + 22630352452907402604180901278044552135954480739336) a(n - 9)/((n + 1) n 66049 (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) - ----- (n - 5) (n - 6) (n - 7) (n - 8) 128 2 (n - 9) (319047264867546703304486525881626314688343376 n - 3933888307549927938681726347315071913000495539 n + 7316829452748754716494630443053557017787828372) a(n - 10)/((n + 1) n (2 n + 1) (2 n - 1) (n + 2) %1) 2 %1 := 153972970171936509086763581396379468280557769 n - 1005547317947263360714544592523983450878071608 n + 1488669959035064836877863318230273546804322119 and in Maple notation a(n) = 1/8*(22231375962546236877866608943076954364968999134*n^4-\ 163232517721390751374934969191606422016226351169*n^3+ 333173355918907660798458663145983514605740834850*n^2-\ 188064294272029153389420367553057457707862365117*n+ 30295243119991858291534509239147567220546529422)/(2*n+1)/(n+2)/( 153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-1)-3/64*( 276300381849864500145252515598360714435779534752*n^6-\ 3334805037423958182903492520857833450915935988328*n^5+ 16397407130255477272322173146046300983292408231850*n^4-\ 44595940522379448890994792838583646530773834481605*n^3+ 72996776187966366713126014392400908437262988559488*n^2-\ 66679821857162252371313992522734108704527433363867*n+ 24934349856392613317751587087366094525148166233190)/(n+1)/(2*n+1)/(2*n-1)/(n+2) /(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-2)-1/128*( 575874267445799574742117148325013240101646273684*n^7+ 10108483741198183452557884329353993382055388462328*n^6-\ 219467328378977199924227034182534144881796042332229*n^5+ 1451533908834726827938714061450230695243746353351950*n^4-\ 4764181395184470047034172798650290243554372233385859*n^3+ 8432521648257632592367282166568903571374188828041662*n^2-\ 7631528008476220566796435687054168464142281409869216*n+ 2722604216208170039047360070398942861195789031226240)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/( n+2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-3)+1/32*( 442071499928735925318101597840296255038527373982*n^7-\ 6755165864222246798698101209201104783749111469063*n^6+ 23982686719478047896724014687965399771880255603034*n^5+ 117913070609093447597587212546025798387836116773340*n^4-\ 1169409147262588498217329292432108619543891849373487*n^3+ 3647851976420611429704138477953566039458235849141058*n^2-\ 5162610546164487753215620400329312523137351687267464*n+ 2811903675109501437995697142140053974069631759578200)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/( n+2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-4)+5/128*( 2043015257736496758798768085733193609242637132268*n^7-\ 25449374765017626685230395121180006205808403881516*n^6+ 44661655864987603974545549001611950377078430920325*n^5+ 846735167548730546641686200021957256236490972336610*n^4-\ 6230459381007862314762312465186378099034464062454029*n^3+ 18755015736096944714488774800125403994243049949085798*n^2-\ 27154017978460442802533342172741582161245995088766232*n+ 15551487510917913576331476656996405630808155619954144)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/ (n+2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-5)-3/128*(n-5)*( 4013529044723302602850906188792187665753385056054*n^6-\ 87383887711240657329839715732116719182079321666411*n^5+ 750765999609331606895028514252966626434833172494027*n^4-\ 3264584781014110399822795104599095350290160345414700*n^3+ 7637378021895569901513255460309878864752950399868116*n^2-\ 9326560013781200910821556926750127402932610669305784*n+ 4841240590935339923164254504983564418558155480000448)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/( n+2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-6)-1/128*(n-5)*(n-6)*( 6897796244318492163894009885874984110186853362758*n^5+ 104558056281338285478332781493647680582714079689354*n^4-\ 2667110967727853598663964096562763666196527502203159*n^3+ 17406070510303434068096310217196759488750620005516101*n^2-\ 46487197200563078781622924878772299719458723165635212*n+ 43841963415464021611225018855345853266690694970943632)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/ (n+2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-7)+1/128*(n-5)*(n-6)*(n-7)* (201539709026713193333764922462588049557885190824*n^4-\ 184740693528078922379289514537040744051800681895119*n^3+ 1596785692988087990125641121866368381718852329601196*n^2-\ 4762695832879274130113118851075478339085584386680124*n+ 4782019485974688250949960100620923711755432234153552)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/( n+2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-8)+257/512*(n-5)*(n-6)*(n-7 )*(n-8)*(329325923999508051101811291630036603961910770259*n^3+ 549900941942348641888132039406220231102698601787*n^2-\ 12985909569426875487006965780921961038356395239826*n+ 22630352452907402604180901278044552135954480739336)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/(n+ 2)/(153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-9)-66049/128*(n-5)*(n-6)*(n -7)*(n-8)*(n-9)*(319047264867546703304486525881626314688343376*n^2-\ 3933888307549927938681726347315071913000495539*n+ 7316829452748754716494630443053557017787828372)/(n+1)/n/(2*n+1)/(2*n-1)/(n+2)/( 153972970171936509086763581396379468280557769*n^2-\ 1005547317947263360714544592523983450878071608*n+ 1488669959035064836877863318230273546804322119)*a(n-10) Subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 2, a(3) = 5, a(4) = 13, a(5) = 38, a(6) = 116, a(7) = 368, a(8 ) = 1203, a(9) = 4016, a(10) = 13642 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [622356759067183312895665151722921998943861202595048875272231383537614478141818\ 9733593026342428070659080378505318599121908063583987212905341619662621490729546\ 3454996443263793221161687599297970688251103163759565402019547315640757555492664\ 7442560815302190180768793951841974618538459206719210083710182179388956038564940\ 9707321015830463290770094478168892855452466731923508472891564316575186016593672\ 1856058010150216933699097132768525473219959447232882910476052385284998054958255\ 5744556134894087675488294926938569414155483274159326291366030488444744065611836\ 1455373480396462062841767383541925889251, 2451168370722676940454705788581628778\ 6975139146625202222354181369155627210665489788338242147429241568799954057241478\ 9436197974004746192434378953992286105664621824607242524983274783910235153949404\ 9051426360777010637810964395107634464585043808315840240472653445867332155357419\ 2642874188550695597393296387975717953652200809834847632025059060131593812872899\ 6585137828326881048773438200440423495162227177799598584701888544012846321017305\ 5078853949747049168833734401639519162285419040207553083326020991465218005983104\ 5565649339280979760205795380944139671935477586899380534230791147391154079104255\ 042, 96540051317508806329642439122880806924822234442865702725797379044552640441\ 3934066621173743380323046611721269694827499505741292441178792784530879039678512\ 7499908296351746285576439412063719895496911092340829554660160215309129835365213\ 4998654670019665793640884733646745923285756707559434965610036390563943840266098\ 8412875220396149381445651908388758800663060395510919608621090545348612407182047\ 6310668692233621057571546244124619883090508146935546134831453370846316223991300\ 3520278766052730595366773641299132246698689026273586134950115067428749001114487\ 944662229436109528395201963105000320153941723, 38022665016751023557072348270216\ 4901929694452681396451722088561299478574594613494140026950564282960587162336979\ 3808934485346162623995649269897748854540382226516755533259056429892868129627994\ 7936326368135441140131919114542911954353738018382580381530117630881781855240329\ 8088474974174626451805144445247558708027363303953066125928159801675055513755765\ 1212344946164228290631936995075471400285787711569595191675979540546845527408756\ 6395924934411100812017143042208810098422653541294841976333091203879135309508248\ 1949036651964208098894611946243824345193521527638736412205126709632028596154671\ 953237152, 14975392944830755585119189896276204327629271934644174088395823419162\ 5958468970253849251053776919936717652388476532180076795592216978601077292803237\ 1475627597488423589519583427875468931091914690214318698640758306415763531654587\ 3542756023376484806623453666121117502543474580973158001590991919900678643871909\ 3474676266659522207846012651340910477006956992646525823596832267872524645717346\ 2428446930552223573517556295936087271394091753496083492576012937628956906003886\ 6844859331612235875481525616032853354743484004718820482594116077533728898832955\ 71257131534450858617570757215769581978943584941956764, 589813276781463115492455\ 1192724511166027631384194000307829609396353029259021853914834889429597239484401\ 1432919563797111495108582327843139666338409501629247864435187183180487289329035\ 8542756440171806223309243849876854536851295658587830917660852115008999417913674\ 4192657736622069720972334913588369144755841311347226446993114756362784566301365\ 0186195986732355632446861036011663543540258187203396936447445370859543740216179\ 0102900626364877882721812287252574686923264806800081035724471358786454519997686\ 3709433990551439999964115411108939197777303486206549400757142129933227030171801\ 253266278830469144, 23230122752975211630819520660532728153682881954258239017269\ 7677020067254092664352588277652911458859932123920781843370308893743259638942699\ 2467729378344846692977899965009301927744438721146324428294322599466642168141410\ 7928991013192163240452121858798678046847076990860350357190672028146827394163736\ 5821991802565770809022646479997644219492138459723588561709265171131732439098131\ 8699525396463871427180432742819318111543195533031286312507133281030925402593240\ 4091570350860626877540057895099517138160233073031992844922045355675169867666656\ 588764548992700809001291525045475738246055134963210413189111328, 91493260922434\ 0531233025323209342941581669183610155342547445298701489410060852230597421735756\ 9612746839572534195993461617752710982026403417180686606997969372830360859520852\ 9452957393342011728760072163927332293392323128630570196595722349668281715127017\ 7700587964202776308771361996317014858981750508721118569580180870603500376673750\ 2741564082654423419321180344095127668232749429273851994793288852401295693398726\ 2998908162346784609031351755763850166929556999621299690507064507480707399625201\ 0305761979621128515123523719111116845407747263697333107960214139672268654392910\ 46242966494311102991072847863, 360352341850535344804269721525008139290174994730\ 0025884748695541661307295867052313277840076857271375340510523469265986462015414\ 0078132513578092184270648367528499369345493374227692703118764994534551287452572\ 5366438450017372701985424926104112226809662115819752895424110619993691587384946\ 6632920129675430995230527302798896686204613303000090245405598762552352308303480\ 2822121775519699498763874166068061045126832983443591317666740209033476810691213\ 2484900981246497253008980595430924889229226546143056814148727807059127223125847\ 920872002830183260615612259913435472536556821983490371659734195044962727443, 14\ 1927394466942124504120606770581234562333730535212583425722590125878901570921777\ 5225340674191070799056094827857342037657586272435688880083918061392187748079789\ 0970218160318297621511557205004704949686930811840841231861172523216993838899627\ 0515730204361615163475494520725636369420356408776068745562402351257376183792616\ 6791920661659521724827573484566030512324696391941992548914895990395148188066336\ 7560542334598180739285045467733414997266763958309118083654341981225190855434480\ 2722668839226166303578909939062097196282229755306451225523920217863355284602070\ 0381012964115628990127989088322250801742106] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-2, -1, 0, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 0], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by b(n), so here are the first , 137, terms. [0, 2, 11, 47, 212, 897, 3756, 15577, 63966, 261177, 1061007, 4293193, 17316908, 69666454, 279667076, 1120663484, 4483802537, 17916483702, 71511021581, 285148949519, 1136063512793, 4522827784119, 17994159319384, 71548226794837, 284340721966841, 1129471727555198, 4484642825956688, 17799753572154674, 70623459009487996, 280121349510269022, 1110752877957989544, 4403247795923950460, 17451088366844184893, 69147087305818074165, 273926879390853155855, 1084954298251214189170, 4296454992623650733653, 17011261879838965529096, 67343415953064641516496, 266557286637315615159495, 1054937769405692498236924, 4174531054270579276412103, 16517203317602801864329499, 65345608665419831521148900, 258493860473269579544157549, 1022446566609021425374361241, 4043803088385977121798531364, 15991920102261158697295834388, 63237476617959082400886643712, 250042415490281994379985145569, 988598301361619854977898749982, 3908361409272407826348226925317, 15450402690209461842390618219152, 61074027924856571871952887829438, 241405046751457004206128106466640, 954136278172063890696070693262764, 3770942713021327098255729480019918, 14902736713846768447496164377112766, 58892464535780124725738190938361239, 232719090320086971675739475059323867, 919567874394985695131534506101745368, 3633422759452851759810765599972853473, 14355861155670309580147641296129162752, 56718470297871751527583731637489307892, 224079660060091938954900746775421603141, 885245478018440268343639784551664178953, 3497107617642046478127034707324720025491, 13814618333703687043631417698254876633738, 54570003165714997821920513046945998340897, 215553367735904669760368818713387629924879, 851416209850659554676925714015712597070728, 3362914152498975848911863531127938909384713, 13282410071539478692561656092286087599641547, 52459684337798473305618328822369648753301675, 207187034574604253181265061506686647657287499, 818253733264302795025712297342334597925296640, 3231486333660658514616238335572305029459518158, 12761623526866181598785362588930198502900367095, 50396359271439341863841025315778695196436549804, 199013420704020824118299375412448941425796696800, 785879308101814839768996869031478918741569073799, 3103272691063969572032834638332691318358058123586, 12253916461692274648684948244054227062908477184535, 48386149472760063128047300215591784886848176476479, 191055107157594875868934966530336618607617722703261, 754376133140670297039660053381595802838654872565283, 2978579356834782014014965857835444220293287445197504, 11760413591428997770112447877038095674208809456704157, 46433180010489698923916324800556501413928588904741173, 183327193888798862461074616930269639661686854894681165, 723799360531808470889085503818731936081787087592574100, 2857607268229426551751118075334696981132020654797791385, 11281844905127330383165793052932423361907060021884101946, 44540094201218135356956735023117362209722445409699922825, 175839216388495602998917775327037115045856549373681241880, 694183238414928908358942508163577756269199929258504379168, 2740478805414513027286804821164831290561226542418798227256, 10818645079760057206219006024546787089626281255041459295120, 42708424888813465854650789507194799316261648706566815358260, 168596533226238372284268679807498718281057961068345159718988, 665546299824236581171411567927251605407719924819617227498828, 2627257208486627593948475536747413036339946707008277722280209, 10371026184274949681418086552115058662782814093649782751103368, 40938866837766436174128075221780911461403316533433942428132114, 161601347198855660673569096179915238051581431093396855497539749, 637895192954354452963108501150862136252018068164874889543265564, 2517960952530014194188335648167328480833949904112886445497567112, 9939031658525456297767795781487505780650107957010485142115872220, 39231479532496437364446014540751590749334513908100013239247548451, 154853467637290435762373795016932833429392134188127776951446438253, 611227548031276561498640389299530744249022903059451706320747115808, 2412574534485662910421281293630987225760036176947921404875365161376, 9522576918849535857492418075614675736176752492119058090289596288604, 37585840100513313880450737195003795597357895049092503983803722371446, 148350886579005786490582670476447275221119484006642023154641292764061, 585534149101931803358250235241505364917771132011803128146903842430211, 2311056662770747151437279952407153096173454527168768233141924061285518, 9121480252848603895876942031095191386460437831786532874266503769985353, 36001159906539639266939448070807669197515836215121134749516864237911828, 142090218951035511526255342764152613780299708132654727177067251719041981, 560800596489796556867879769635923998643205096199140371902739505023723126, 2213346538179837884643843840639803217749094412771321823880314755041459725, 8735486557390960838028467319156685003829137239295423210793117662724179263, 34476374297863807061872774415440740539416274442004177708137270861852658057, 136067041976845824743804046511789433842157117852051276745719258261682789276 , 537008590796321749039939069387590831743055543534478676445700152271061233846 , 21193687128309209746129490650364034970294117366912643674666890858332784\ 56224, 836428573132580858608982626744810888533409975308415391058431738997\ 1323313996, 3301021224650919327877697534332720131527476480644294165660666\ 2062630733938845, 1302761589412884811128515303357953877478662729603201504\ 24842606896252430858489, 514136932154860885863921858094088623732518422116\ 921682020790347340455616498563, 20290368767206698421526340413805040799664\ 06328940266103231373501085294725837154, 800752702767154447904743154695773\ 3939796110722687349194578141669296976687698281, 3160125076103372304308473\ 2294449572143566088917257938822873982819751623162814267, 1247118055218389\ 66930651757049789190196618700246556294446471310532928778885099384, 492162\ 302812242436263343119721637177995943207517733990762765380687880322844024\ 905, 19422568265372708518178135552861193867042197391932939171173913662485\ 66251595218023] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-2, -1, 0, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 0], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by c(n), so here are the first , 137, terms. [0, 4, 33, 219, 1476, 8369, 45506, 236207, 1181086, 5751817, 27385773, 128040093, 589660254, 2681026124, 12057827528, 53722323208, 237403586911, 1041600950330, 4541064013291, 19686053645803, 84910333099115, 364570706391811, 1558871167935190, 6640619189800847, 28191524295406617, 119306577845210826, 503449040283086492, 2118794631436812362, 8895096147986943524, 37257858824100075432, 155725484389000070552, 649588366209086969040, 2704641615535580609397, 11241521103771968728129, 46647738833907562612939, 193271797177146406633832, 799608366667738436258535, 3303638311033632961484718, 13631588429771315128195746, 56178373143475420499266473, 231253427271447829449384100, 950887303972453267946190295, 3905848733343931822852576263, 16027627534924092202062948874, 65706891806664955065786337941, 269128367984489903256681748563, 1101368467209938696161755864608, 4503466906895908824316357549396, 18400007321524671279626711277070, 75120804058853013581566050175089, 306469531606721303379178292144668, 1249430302871257981862827234771291, 5090336206022281304274369064276774, 20725353687785079494636966380643576, 84331375623468929652524211650764808, 342940099747527950375950612922568708, 1393794514435173368628738111125426858, 5661606178869607283651352933234195668, 22985266090198590628156835223018495533, 93268821887468198802282990081579455015, 378275495767326738689486738283716540772, 1533458363265684961181219204384685686285, 6213477999894010948802475504456150809488, 25165359313471207550903921486503284643336, 101878696613616952318442169136539945730709, 412269760188471172340171977059127309984509, 1667643213005808864628613931289526866437419, 6743009947268849122240125935288614339596504, 27254527404716866999846257071991094220972033, 110119104185087780949679467223030948671704181, 444764983317224494156090999168911814349322298, 1795754439363899727758338630372438907016654731, 7247965189493724345430034452689654035096725193, 29244365316065535485067577689115682857583832097, 117958500454967123281870993854826992122769230535, 475642937356888129145103890628363205323904351858, 1917349568598127963591355039013949588361456135456, 7726690392010882957034037247080438680331912030697, 31128706107920005483409266962646265493509401539728, 125373927352787247185323274150628696590834101502604, 504818338292712143955576855182651786014468664586881, 2032112545653639812652205052604304451692991041546646, 8178017399764254226564420652479798390434334495877493, 32903245105068746192699987362915022149988202353565455, 132349575432226574139283106743321900333827761296190967, 532233345669837506150438497310196763516699789462243235, 2139832678932766917405852091146464445788456202145541978, 8601182601899619506344623526030207293802651809616927991, 34565230960580189621377445177740123823659428574953720327, 138875599784551449208597166488644281809036992466594316997, 557853022519531162613648514621052402497202936538528829974, 2240387226210103923532840307543318316160383459496406435719, 8995760114212391718609529978588951679232792103879675185154, 36113209191621024305879560008149671330025137336379449204737, 144947135339717156971664919943742761670815498201805397162680, 581661553413444054896900609017601255177990944599282935003056, 2333726864921469686115653174890560841411277702231177434671304, 9361605941974137401992917796803334301055911983540602804729432, 37546807539909152040114076570542463952652760037499945545671024, 150563471567586093727364002302568769004736185780734541427770892, 603659070344311070269888496906330697134430202488219922759695894, 2419863481438648067480304166757951704258383968189099453357860825, 9698810994678057513206325425730616866836798420485422021771050336, 38866555137961097520338415961649089967085884360285297119610917818, 155727356346563591968058305785685260390016588512258814307732243631, 623858972367743550737914857487377862437224356830436260667153276758, 2498859848670036670317905124661188472346009531277088544124377685492, 10007661325613343986236980616714911391992337919150272404312063285600, 40073729329674118689824085355610762854031210679513994844049257531135, 160444405727996792111323789182731936081358700754422025513548130530769, 642285650909940265559383852574649801289565236710609104333327414344896, 2570820858294860219364733791452837303092561130510633427063149132064624, 10288604331522430181627097053373629630822838535550069620038992195737948, 41170225348823375000080535249269637832505794408374150836900332196173852, 164722601395897582957509652310696990659544461300077128780188558252147531, 658972551639164935191494295462062596301944449923762403491906944352269107, 2635886045124090934830818201592209981134549134723623845007734604972495554, 10542219914586822101364608903785598571447601006049608671379244687990900185, 42158445061144074249353238476982537603773704818996158267660148983741502098, 168571861385223003042758293294700502719915572153454746958579406041037756027 , 673960517943988763707019385185579229679422852119715066731300687119629111862 , 26942231942783259703610585276512172938613491053097220981832723350533568\ 22669, 107691958091795736321582458791240033487264780759375246340588049838\ 45079196109, 430412017295110392815573882910139548401723072126379082233202\ 15002348626249597, 172003672462362638930401778004904431755305010324613408\ 341964385519495001812334, 68729637177023351688609912144050205693184303869\ 9659431982358283861591635045252, 2746022862271698900985001675673876228221\ 881617885429181655381085497025364819520, 10970306428313466441119520046563\ 707768354414538722615537008806897485683237190032, 43821638337655764393274\ 798544802273340900953954781060221625253780539214895868429, 17503077474786\ 4898492435328273799549821347113794411078151278247662974382369471405, 6990\ 316957974448420714110586687183716235842299488942944251126431188818546574\ 75675, 279149367422113033345099643392925581976112417345241705570703026870\ 4908881270366720, 1114639470254326145520208054684835099981076347387769858\ 6371546790499220188776383521, 4450315745408231633750619565594370781510354\ 4541230778532683282327199942579757501265, 1776668908521437167237693325258\ 51184729742315498684500968362643152307933401542067194, 709221787344950816\ 574722648381251773365656677489414736008735659541219242285064377723, 28308\ 582837085916319211819980080204128214915486352008312956424326525810203643\ 84703709] ---------------------------------- ----------------------------- This took, 6032.648, seconds. Section Number, 15 Regarding the set of steps, {-2, -1, 1, 2} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-2, -1, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 3 2 (115 n - 137 n - 10 n + 8) a(n - 1) a(n) = 1/2 ------------------------------------- (n + 2) (2 n + 1) (5 n - 4) 3 2 2 (2 n - 1) (5 n + 36 n - 26 n - 12) a(n - 2) + ----------------------------------------------- (5 n - 4) (2 n + 1) (n + 2) (n + 1) 18 (2 n - 1) (2 n - 3) (5 n + 1) (n - 2) a(n - 3) - ------------------------------------------------- (5 n - 4) (2 n + 1) (n + 2) (n + 1) and in Maple notation a(n) = 1/2*(115*n^3-137*n^2-10*n+8)/(n+2)/(2*n+1)/(5*n-4)*a(n-1)+2*(2*n-1)*(5*n ^3+36*n^2-26*n-12)/(5*n-4)/(2*n+1)/(n+2)/(n+1)*a(n-2)-18*(2*n-1)*(2*n-3)*(5*n+1 )*(n-2)/(5*n-4)/(2*n+1)/(n+2)/(n+1)*a(n-3) Subject to the initial conditions a(1) = 0, a(2) = 2, a(3) = 2 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [558253630641537421124024773973872979966011477163374226996428002858229773054060\ 8198728159638223333105277375261625663937248552941596682481894586642176354527068\ 1025692001761730613245055916346981381018915185324186731267982065122878984009404\ 9426539175228306440003911004813995862324882845301438247739339898960674001526820\ 3792261790168427044289796374304040668314303608526895537241733933738070276367508\ 4749175677696742814262216150579611955750564787744687616519863232838483910317886\ 8285795264289491242822912896311854582074284211336050203062542011378637284909291\ 9386367280336312701453240742039511348681532076, 2229675559890178655029267157464\ 2471799847848088208561371474079809506154530883770075556336092294874953289928180\ 9825798760488378124038504545522657054043625587617530618972707238623038639253179\ 3566486213737970149112514306219932681076420110882644562241521580479216451584709\ 5038624142161211357773659989586198675197913522621556664021134868734546213801809\ 3374407829557860567270660849277411197218513776293984762914747775938446497883755\ 7385554301088637606520431726631543983783390060648866022652585134843626287481901\ 7892609433939420217448962019714985931909767423243375398633119292556186697790652\ 877603912232482, 89053796400768279561905863702146202018378818659746615632986007\ 9492446553351648897339059753495134422346287260368455237022285679480393794137879\ 0945365588447033681726054678501534095787254524665702843521807574678624229126658\ 7461097205992125915062919973451019357009360817612500296696430698636017623080980\ 1667765109472853803932874935764197929377785690592033983115255633102403701441907\ 6504998357104403260332691071787176319706629734480334190746546494255432712461088\ 1356960759867495643839966338088397231145769469711330242530923217094758906104657\ 385701589253954655398956012320400225877514642101769910477143524, 35568360704125\ 5739225616698995638124667572104712226011357917514816248980022132766027750793146\ 3433967189960421709813448272719976342277510076452688244747080475290907644210476\ 3327061237383129682598778398239890330106996285869353530082504098517231075244335\ 7865199814790848278073729017151371362238506393520448442695553214244258706476433\ 7360328011968218109950424894039396675925910449070581450687987480917015165159483\ 5617363954574035641128255156449154822986926298584831859255255998946900272178041\ 5316396955550925603038422520176087989480096640579000565209170946338622266889165\ 169794761337508506654669296823152, 14206133971457106776473705615602673909517693\ 1401278491996556195784302951104407852507768878018177181443644152089673496827047\ 1160444096560142443522356049352599949737258510253224944530237988624608015036698\ 3087582041515016025960547669875569864773775934349451429780355195511171081315851\ 9500518141961242027239228342059008125236772077539939020895180866541446215464313\ 2554710811536928475518001659212717286321893256572500792864689759691892343172897\ 3513155983405705716370264562655700185185383021803523013513875839589189575912074\ 9972681932012980166365157200279125368267541395261971870976281193649869552616117\ 5320, 5673990523978240820413453370644368947291249845026691187481561493929759321\ 6183671403546899791237238117165145943088135612154817186439054116376690246709283\ 0034845220573584177213997104470286257487812622971909663020673388805171491399639\ 0738335549721052600511436300715516999474064107637044340954071577693248403626505\ 1121080234697153338985518348602237351797488036326272810772150385650956556100886\ 3717719775363194291838714744311723732102749978168250824702688341935357470291897\ 7857985014202009525298247109556427262828408958554044150233552581741515950647728\ 911865977435239857989210929423518358392494564237039805, 22662193782939620214784\ 9471564516517061948775052471966427943823001646010071508732743675631040241100913\ 2619937474151584446102787100171459122512461964765416358211729648510912003504845\ 2299027016059337639405306774551508807169369372205727711001623046652804758782507\ 8587759115915330695079810371773836017207112404328840461928998319706139776575921\ 0986335650953789132642901185192582846028437087076248233447093780039973580206951\ 8947294539253898253733167759626708535111107013184210147086372643059519327663640\ 8741792519766504656842637143359493967117224749987515528873488429986861500262790\ 30362892259435179377490452, 905140364970794942423462504241736751666764966779360\ 3086685823692074933929550377103812220567750031421100463667968494783520051959598\ 6058344752034219322743353495095991181611209190944234050834271869624689740984684\ 7658112591550781449163073848940651809066861492609913476305202753282945546614784\ 1082904325072255009143233145065753974499947377301243127478549961887367670090210\ 3100917624631421395057862613360368311623901274427068919873102415555489522175097\ 1513972855162903073868888897735348697613352802533896774675362397435575406496382\ 15174122878427185441942399743231503477287039102137426640390083678027512553847, 3615185252809473826690845827454015873548323356458544318230510455792902971653428\ 5325289623883951907358139115652933870907428936554313718541047827337349228258006\ 7119422733655153556748352939651007217821014212902593049037865372136020810403885\ 9193839483785851351639333581372641774533385495485486427219277148828717769625256\ 1794562112518174782796402190938714637218044825109702250968184344701722759757924\ 5462797577690858260892425910587989516960500071025630758332309330266430856324866\ 6381832540267653324183156005360563370141329341701756037312588913934645411574565\ 67537515593081277972133738877138193627171911464322, 144392893515219350708623206\ 2974069274667603733161442159417328774265367745229128392994639548755765601427191\ 0379921480259476296359412472927242119357682156750700357527158812403984183381867\ 2454196922171217598107982007454982762435354139753966272850456469448452376836058\ 6270481877767160576091223051076032238664586572931314992925220574825485387475982\ 1550350660204803244492830211943768505954951805964308123799898149019716663338308\ 9267411885677588638810986722149890971213458832115752108144535736845741830419188\ 8690453597257990468652869317514181475523256657246956693998051225509291568993159\ 922845526326511378127521] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-2, -1, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence b(n) satisfies the following linear recurrence equation 5 4 b(n) = 1/4 (2825563727759607375000 n - 32456100732167375153650 n 3 2 + 130846314729625176245123 n - 213590438587232928729215 n + 105658484381198472899110 n + 17358907312944889658400) b(n - 1)/((n + 2) 6 5 (2 n - 1) %1) + 1/8 (706390931939901843750 n + 41482200249090427889875 n 4 3 - 520725060203319575064460 n + 2056704139544488427116605 n 2 - 3063049913300097092973290 n + 1202412892122893366067488 n + 97209880952491382087040) b(n - 2)/((2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) - 1/8 ( 6 5 68755384042150446125000 n - 818576020836779485935875 n 4 3 + 3381860821492118530223505 n - 5049769285375145978509735 n 2 - 877681601384671499333825 n + 7712194415204125491658938 n - 4080581287306059831409800) b(n - 3)/((2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) + 9/2 6 5 (941854575919869125000 n - 23883936717617970492625 n 4 3 + 214791755889358230022740 n - 913818717796198950137940 n 2 + 1967759288319940715245945 n - 2032793660790533179005782 n + 784649378988902336213640) b(n - 4)/((2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) + 81/2 5 4 (2 n - 7) (376741830367947650000 n - 3900006118296558235350 n 3 2 + 12162516472078150251837 n - 3757085550090986404638 n - 36624471575093202591917 n + 39956326771196002733700) b(n - 5)/((2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) + 1458 (n - 5) (2 n - 7) (2 n - 9) 2 (17645233813573288825 n - 80431737128784133139 n + 80917783915653846604) b(n - 6)/((2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) 3 2 %1 := 47092728795993456250 n - 486010942656039662325 n + 1617653605315404574619 n - 1735890731294488965840 and in Maple notation b(n) = 1/4*(2825563727759607375000*n^5-32456100732167375153650*n^4+ 130846314729625176245123*n^3-213590438587232928729215*n^2+ 105658484381198472899110*n+17358907312944889658400)/(n+2)/(2*n-1)/( 47092728795993456250*n^3-486010942656039662325*n^2+1617653605315404574619*n-\ 1735890731294488965840)*b(n-1)+1/8*(706390931939901843750*n^6+ 41482200249090427889875*n^5-520725060203319575064460*n^4+ 2056704139544488427116605*n^3-3063049913300097092973290*n^2+ 1202412892122893366067488*n+97209880952491382087040)/(2*n-1)/(n+2)/(n+1)/( 47092728795993456250*n^3-486010942656039662325*n^2+1617653605315404574619*n-\ 1735890731294488965840)*b(n-2)-1/8*(68755384042150446125000*n^6-\ 818576020836779485935875*n^5+3381860821492118530223505*n^4-\ 5049769285375145978509735*n^3-877681601384671499333825*n^2+ 7712194415204125491658938*n-4080581287306059831409800)/(2*n-1)/(n+2)/(n+1)/( 47092728795993456250*n^3-486010942656039662325*n^2+1617653605315404574619*n-\ 1735890731294488965840)*b(n-3)+9/2*(941854575919869125000*n^6-\ 23883936717617970492625*n^5+214791755889358230022740*n^4-\ 913818717796198950137940*n^3+1967759288319940715245945*n^2-\ 2032793660790533179005782*n+784649378988902336213640)/(2*n-1)/(n+2)/(n+1)/( 47092728795993456250*n^3-486010942656039662325*n^2+1617653605315404574619*n-\ 1735890731294488965840)*b(n-4)+81/2*(2*n-7)*(376741830367947650000*n^5-\ 3900006118296558235350*n^4+12162516472078150251837*n^3-3757085550090986404638*n ^2-36624471575093202591917*n+39956326771196002733700)/(2*n-1)/(n+2)/(n+1)/( 47092728795993456250*n^3-486010942656039662325*n^2+1617653605315404574619*n-\ 1735890731294488965840)*b(n-5)+1458*(n-5)*(2*n-7)*(2*n-9)*(17645233813573288825 *n^2-80431737128784133139*n+80917783915653846604)/(2*n-1)/(n+2)/(n+1)/( 47092728795993456250*n^3-486010942656039662325*n^2+1617653605315404574619*n-\ 1735890731294488965840)*b(n-6) Subject to the initial conditions b(1) = 0, b(2) = 3, b(3) = 6 Here are the terms of b(n) from n=1001 to n=1010 [168281283723534898844737144356823599091049564121517282073232564236344301023368\ 4437292371537440577268364048019319707475733079004002448123753072229460638621130\ 2942120525446877410324598311418251881302118763718045094071099161090348912209188\ 6473369655227021446044512138955162964888481930311977032393301169036985083851924\ 8121137342949324315909464362501347170158027482448075226232647436547093394286352\ 2955010001810345504382018849325100853586238325431003201245579673686690812389579\ 9014206041608288849716523231067152230782003146929270499159259505844140671919860\ 268234258670501459240038150435608370610523329836180, 67313936532908167915035446\ 7264973652322278625721504414442001458330142105995221862399742038908631731554150\ 5266517855167765675924805737506148016836410709339988081586498295188397148736782\ 8879804432317022099992620323239624699335555967941759265838616837784718254088822\ 8782036399418797725306613646881621731520813741341197451003241993867181421521236\ 1196399472942166148516967607867687553707300668868263785739486516642181780582573\ 4892685325500823284412910886043556216151507388706590549846303998447333076631427\ 3704226980023938781584762783219320155535697443644017840067294055317510629409776\ 751762777422139996271568, 26926142980245458799399676811638252237683096232804786\ 0922829072145669991256790386848271258901251312133223231517701409168494436731267\ 1722834879841308124897549054711205620355662633525616106681992861636420567104378\ 3370361176626051359215160343669619783075129858669019502717216516894487472155717\ 3083187248738471490078331607929798217477995758809227576626971266769033714304389\ 0462348148751085337737716487871642937944867826862609891879124159586949696268638\ 6448284735672027152830093085338759867694832864248063558881179114885686941483320\ 55472888943370982782697832895295953276140033504006552627506806682887449821860, 1077068419965084019376116241496216521651694939389618281727157553804140412951169\ 1318720106603693738803678999467372952557149961031156335359014498195699685315746\ 3390856108743262040861731556492314872217493640643978935704573278181859530478787\ 8562447605509220925021172046984045419202447905526511678179492143038691245669160\ 8806281951702835504051703937635928159136350890236824325728775189015848549587113\ 8583426934550345962678679408905025148209339338572087767020701999461831855887225\ 6344324559552527016567792792569739591550241866482308628669793866855183057204935\ 3801121108996613453095456590602115575357302836751156, 4308364347506524285636969\ 8796690637912793737469141609791815570322706791353948359009216842445539472620772\ 7604648816594915786251054089124817030678063169374215246051855800731166237681521\ 3859140439858232083163143551223129519924635498736450286785001557626443151893924\ 5469450025737561618839238474925139031458359455015250529124303868659088402189757\ 9740166627437827870603607544858214062286637372469851956434800061417779171754379\ 3817478453151331514019231854444555470693256261322528529372931059072405479454086\ 7961637336054027758087475478917613288016335919442320142267660818289779896516247\ 026769225161407071300649672, 17233819520455518677939123587016515061025659232027\ 5676874897701402615600857175174122378344572536279226383658597955055799382317457\ 3826433582980026578841437698134641200444626801027052419138305269987933635507697\ 1815226643704246321380498596014469484265394879224999276417040445056912920328592\ 8265649940459352754161873306519084520695244260086745192758624425688785948917480\ 9596216180040278995008133574366861314433406295280910669446248836845462242409542\ 1280682743293779567095498757489587173692244580823803372777543136045581454849287\ 9838626872909766447968793359445565740385816100258551165793017770800496462212078\ 158, 68936724448276435266200276323819214773695254241757353972394521914196450988\ 8631468759095920453788867662429572995703046824900741899327720356226065699607252\ 3976986949199103919732954449854314971093095739688061841930088524147036705341459\ 5638953740933868412677648068357438920545527746889407154802610096197037114895930\ 2315045261394560751538827709424228979513898996614745752808308455273068079302627\ 7073519584533815122516683486440567971317850194089369636838929071522789168729635\ 9643178421997977828049105685631323146096772417975393050281837007476833568141952\ 9570585729111324757995258664993131327820913891851453132772, 2757526746592275459\ 2492987211101102101790860286414668303912743074047805410820347590996537673986649\ 7090725152051699272118071914255187457943573611296438440689485232867459589600145\ 6256475646980179295870374629351551315199196022205948472430366972190108019118921\ 9059434188080876302350810638468380751967396791329313432242650423018423677578095\ 3339865361056357188585320159912347461422022779356290399265713658872119417966727\ 2568437826540653732963868990954992144603585257237841932400013354856887288027746\ 2784990844440477835167241664212231612746408832352210975166232944826922867420675\ 11088688609599793815264479057568817, 110303377178774950459816462570754707072085\ 4731956657824931809215619593975506338708587213582567244914008651495490870950900\ 4154033398155045867597273795417468125457847720387964508694907584673833304263068\ 7130842159298827753532307852502748388764287379458786088591194154627596348460948\ 3322920099101030444502769305975998690431949904125699378887253242358763572097612\ 5445143529693351655646541077760301938167970011767622481442516382975782530328785\ 2907548734007214678123323308692294566521715488440814732490348428685172293273055\ 6396579884218116743909663857443211373572869356066232959777779317665664236201509\ 0572355541090, 4412227242839123544591750161595730827398940675497529621976783529\ 8761207615289350856251110367889130445576179774703133336181398736815588124927789\ 8391987095526629865726546985847278219738745522702601914146306751735712658950511\ 6980247724352328260389892197281809979310453521772802924998227937311410476952695\ 6430078970626835902013498017243732141087597221157990498823139685189179626125654\ 5185536614076919822904349898011404589253608652777744619594403763515147721353543\ 3359831351580571974956262873490534209133038818812571116858142147200605774948562\ 9013837660183728206214085221054046862714844190162679891587397144849204] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-2, -1, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence c(n) satisfies the following linear recurrence equation c(n) = 1/4 (1104727503684293948417762274422645511120484167198709976997608228\ 7 287061704609134938327916804346616974680764925277200 n - 317053504549638\ 054418299499634560429675219654566639554754836778489164047762055560548778\ 6 04961601765206401543278772200 n + 3522477873935771286427465673412145442\ 040136335757921338909814297873414596701791801686108361318873504783042145\ 5 18086731 n - 1912277526847522170335373417690182935627070810561402171785\ 4 069351768583450725856179715370733213725157185576423319467997 n + 535006\ 710051636173755921674806913816625889838431254017661661362332490883974067\ 3 8689310332657586912820851346757833781015 n - 75225005638509489805833722\ 201321791197360258411460329336230012722071563612155766498423342428359341\ 2 81100984431980602709 n + 4537570827221073386250602339712417221453630454\ 094007198548211107954311789558568338145550383748220080450500331638046124 n + 181858993223556588283910613328143952289043859237870390718417086776502\ 563167763918848436987185498626044114760084858548) c(n - 1)/((n + 2) (2 n + 1) %1) - 1/8 (146200926150174703276908302135003455541996386913329\ 8 81700078580888126692431399384136409335299300958765759422928021600 n - 5\ 068557001297380732071522941807681472959031860884259232028171096506629666\ 7 13616109215192877412873117253024474247997575 n + 7064479940413478575414\ 417888420069159689492999969779035657518014026579337760988073438818085945\ 6 312251812964381697958428 n - 510205072968466485063959659434750286413553\ 053078275276307527809755938286636272255961623791790773081469531418531731\ 5 37337 n + 2051147779445142659496148996003162750949612169226245934377123\ 4 45019632927830775692253729918100286754015352936514939449016 n - 4579041\ 346521502216887407282568929177736051972299539277731772788991194382353267\ 3 44480493758626684556417711140787766416424 n + 5266042115755268725428081\ 495414936203638652497163257643860769436491159640853435478719616210039717\ 2 84032263635231961344928 n - 2387578344989769573156538535928765216351580\ 929982593857875080274601349265126388083003946309921277723894005599960703\ 67852 n - 69945766624444841647657928203132289341939945860719381045545033\ 3755779089106784303263219181482687023246595231095609800) c(n - 2)/((n + 2) (n + 1) (2 n + 1) %1) + 1/16 (518682754864104613429765962238354361356065\ 572395105331444339888975599833118091621802705101058749141235338661350681\ 8 00 n - 2882801393557308327356702568269707524228738887055299457685014192\ 7 185457774276629248278499608958022741197947439088611775 n + 584224292353\ 747157823636751300334586549059185349920269961240253058813740156043566130\ 6 88509468684384651797525479404833308 n - 5930891286845589929307391957455\ 030357005015675045801336850438053255229971559765969212189489476786610233\ 5 26160126872661556 n + 3352636914823204628165120029198561659823155036814\ 4 390614154187883881934758256720682020663952319960337827253859009667532280 n - 108931898702477227449669173844628937551148408055717331486916105310390\ 3 86601054285678830890750211968532406357428465653589405 n + 1997064185556\ 981234556131714717399329197962932119237201219078768162836442950985498431\ 2 3035393556950630765121841197252902672 n - 18946664021899255556661282429\ 965525214097153511734702319975047803634120942481805521186775585302254193\ 233281767905476207984 n + 7097423479328503014326209407015724473130927628\ 329604799533653285756462318004203626918177212590682984702948815660326683\ 400) c(n - 3)/((n + 2) (n + 1) (2 n + 1) %1) + 5/16 (4258822058704964751\ 219849684444001599869934746401092371913402623603491262800373967051438835\ 8 7156515838358570662131275 n - 83692836479369521462009009613761419902724\ 360123742866950560194248918882654928664267570854329168611197562865504347\ 7 5775 n - 79735539166170003046499293767306943061392265483414531980042441\ 6 8574961348061552763791436410639627324891495666928215268 n + 14242807652\ 984404564636281877202907937499555609357190232671962771185050050746932394\ 5 2891373949229457036439932089178893785 n - 14883688029596303176018790235\ 924721535384628068989692392124571210198798301092585955815376507282739211\ 4 59981368566203992971 n + 7156767785386830181408283446164328763025527042\ 353242989247564127537430948260154308968646352883225143035283535584787501\ 3 506 n - 181126828288763805452317487191520411296904326391859794860566688\ 2 67423446728916757403056033133840602813333247066214057063312 n + 2332028\ 726563137806485724746635831438788867033169633727883775468846393933275625\ 1912767563332489768507923469702611602770056 n - 120749602658180862521958\ 851688137025507187304809608660756388567155792082863787699488609175659987\ 81662658315624988584154128) c(n - 4)/((n + 2) (n + 1) (2 n + 1) %1) - 1/4 ( 220458511687567549598860692941648795837114084997203885877005827169945634\ 8 752496805316765740538543681893152233851135100 n - 911836945944072295652\ 044692606044844953131899254444629766260174980354444713394267271347174473\ 7 6126982605758103285846425 n + 14909275669260486384727053136052701078771\ 086057636166916138517580042814781073735379247870578360191141025242803750\ 6 1762088 n - 12499488319667226525489962578353037550467230245908171186917\ 5 81796576334205019580368842510211065660110492989822010469352309 n + 5747\ 893592934552303224969487933921856886368624828798761904253674463567234831\ 4 716737065224806150316464635201563280818021919 n - 141231667210956600030\ 786939804985847167208063676633729437948143055713738618336411483384427861\ 3 21465244425780829773298795940 n + 1546069820959722002157655141381332843\ 423401410149153176641266534028060148974701264444401222660335500742210650\ 2 0006154293447 n - 61961159403822567934493984350727448852569175537476935\ 1090094584289256146070832661945264832971272909004388590838895986356 n - 813530022600484059582567009640549314302861329725304909188618397269091509\ 5734776497067489636365318491848786920169371546184) c(n - 5)/((n + 2) (n + 1) (2 n + 1) %1) + 9/4 (5064592378393142907496758784879047828735775\ 8 655917115575053437692457631012933570382176254790806754978921841830637800 n - 972214700327454678719195667037128639955441526229983209965774072340799\ 7 486319618236061194912487002801503112910919470500 n + 291603765654653453\ 053630174289853258211458624267927174475995144772706371818686419524096801\ 6 37035292446484916909410305069 n - 3845861089530075257795731722399739175\ 818835922020941294559221382769831247325048220697476202062673167813916156\ 5 91260782194 n + 2744147017270868721661606754782715873860041842504100072\ 4 225959313955073289584942961310332874810262315746342803050613013272 n - 113257656443203744060889869472743993981350238282877756672363199356494383\ 3 65414557192678412278857348948491551524288814818491 n + 2699272144742104\ 685018405496430635131347754101667219217546210082290435983319828767717869\ 2 5228952787694225676766399966243520 n - 34471898791206689436867823345823\ 258446243788796011392021762724980994771980591931295813052404568935889072\ 602565680575339432 n + 1829624440841431401422618412826997718823380025496\ 471922752236103125863660470258681330279446105084662891024529014621426895\ 2) c(n - 6)/((n + 2) (n + 1) (2 n + 1) %1) + 162 (2 n - 13) (50339220901\ 720062468195977454395438277470499225496821072723857683716365782573275815\ 7 3268774856767684143498792819700 n - 15069510971127149602231987603700251\ 376205001932844860688313253852455798466049069883396731590977089528363461\ 6 563488975 n + 159093522107424851540383506546359035489717316269710354111\ 5 195836463533890239841656453484047640907274160193923312686676 n - 674817\ 047121534548808967115918462091942256258616586791706200574836262795262916\ 4 972695720044306803514826494896119534400 n + 314045825401885241064043178\ 334372374930368169295722001730790459311996116252999950516992324110120332\ 3 030165460622354877 n + 626942588166095744371084797979756745296972122395\ 2 4313716248415775074273921683232494678935737123564109810522799203955790 n - 181070234172288417466791418286149237116994041945427113033822099787400\ 98316987170021102854986251777196846380991318964384 n + 15397623076947349\ 117742992725504104375786729168992998603608816289831871230801142264007136\ 566610398785231561186503650280) c(n - 7)/((n + 2) (n + 1) (2 n + 1) %1) - 2916 (2 n - 13) (2 n - 15) (n - 6) (124847140506176391690667131716471177\ 151839821140830596335362598007405987605405258065393112993933351197356089\ 5 38225 n - 5493274182271761234389353795524731794680952130196546238755954\ 4 31232586345463783135487729697173306745268366793281900 n + 6046126515820\ 287330781401772220204503699647284053468038793935754885593306279248952696\ 3 507631302872751729100529114268 n - 277582909369608920922745528045912248\ 763898560771893901821814880095374387196381901423209120298109047648692374\ 2 19892711 n + 5708375495717522385368122419066593198310064839924155348694\ 8003463023116999738463585090874867751797375862274346488158 n - 437838148\ 628921325964569356352827507881647604668723986627872569040480138038233037\ 61950390253137619387045523094794196) c(n - 8)/((n + 2) (n + 1) (2 n + 1) %1 ) %1 := 7079066857277868265348579919187821730505598950000804400049072724487613\ 5 498103959602182666029211115554524006176200 n - 183775471040625703774120\ 049322712251261034576381502529339348957135958049520531956942635719352027\ 4 238769755285148675 n + 176738566587229028968469455001612484200298737995\ 3 5100600065970756023343025082800025790554357649799235503873046132081 n - 756495598711010432061431838245065170150669352083886187439510293424521850\ 2 2553975977251641759321376845056158381925639 n + 13602003071532652480489\ 675618555888355495168788944657997937613878324687478152293204499526720892\ 042892134964141901891 n - 6994576662444484164765792820313228934193994586\ 071938104554503337557790891067843032632191814826870232465952310956098 and in Maple notation c(n) = 1/4*(1104727503684293948417762274422645511120484167198709976997608228287\ 061704609134938327916804346616974680764925277200*n^7-31705350454963805441829949\ 9634560429675219654566639554754836778489164047762055560548778049616017652064015\ 43278772200*n^6+352247787393577128642746567341214544204013633575792133890981429\ 787341459670179180168610836131887350478304214518086731*n^5-19122775268475221703\ 3537341769018293562707081056140217178506935176858345072585617971537073321372515\ 7185576423319467997*n^4+5350067100516361737559216748069138166258898384312540176\ 616613623324908839740678689310332657586912820851346757833781015*n^3-75225005638\ 5094898058337222013217911973602584114603293362300127220715636121557664984233424\ 2835934181100984431980602709*n^2+4537570827221073386250602339712417221453630454\ 094007198548211107954311789558568338145550383748220080450500331638046124*n+1818\ 5899322355658828391061332814395228904385923787039071841708677650256316776391884\ 8436987185498626044114760084858548)/(n+2)/(2*n+1)/(7079066857277868265348579919\ 1878217305055989500008044000490727244876134981039596021826660292111155545240061\ 76200*n^5-183775471040625703774120049322712251261034576381502529339348957135958\ 049520531956942635719352027238769755285148675*n^4+17673856658722902896846945500\ 1612484200298737995510060006597075602334302508280002579055435764979923550387304\ 6132081*n^3-7564955987110104320614318382450651701506693520838861874395102934245\ 218502553975977251641759321376845056158381925639*n^2+13602003071532652480489675\ 6185558883554951687889446579979376138783246874781522932044995267208920428921349\ 64141901891*n-69945766624444841647657928203132289341939945860719381045545033375\ 57790891067843032632191814826870232465952310956098)*c(n-1)-1/8*(146200926150174\ 7032769083021350034555419963869133298170007858088812669243139938413640933529930\ 0958765759422928021600*n^8-5068557001297380732071522941807681472959031860884259\ 23202817109650662966613616109215192877412873117253024474247997575*n^7+706447994\ 0413478575414417888420069159689492999969779035657518014026579337760988073438818\ 085945312251812964381697958428*n^6-51020507296846648506395965943475028641355305\ 307827527630752780975593828663627225596162379179077308146953141853173137337*n^5 +205114777944514265949614899600316275094961216922624593437712345019632927830775\ 692253729918100286754015352936514939449016*n^4-45790413465215022168874072825689\ 2917773605197229953927773177278899119438235326744480493758626684556417711140787\ 766416424*n^3+52660421157552687254280814954149362036386524971632576438607694364\ 9115964085343547871961621003971784032263635231961344928*n^2-2387578344989769573\ 1565385359287652163515809299825938578750802746013492651263880830039463099212777\ 2389400559996070367852*n-699457666244448416476579282031322893419399458607193810\ 455450333755779089106784303263219181482687023246595231095609800)/(n+2)/(n+1)/(2 *n+1)/(707906685727786826534857991918782173050559895000080440004907272448761349\ 8103959602182666029211115554524006176200*n^5-1837754710406257037741200493227122\ 5126103457638150252933934895713595804952053195694263571935202723876975528514867\ 5*n^4+1767385665872290289684694550016124842002987379955100600065970756023343025\ 082800025790554357649799235503873046132081*n^3-75649559871101043206143183824506\ 5170150669352083886187439510293424521850255397597725164175932137684505615838192\ 5639*n^2+1360200307153265248048967561855588835549516878894465799793761387832468\ 7478152293204499526720892042892134964141901891*n-699457666244448416476579282031\ 3228934193994586071938104554503337557790891067843032632191814826870232465952310\ 956098)*c(n-2)+1/16*(5186827548641046134297659622383543613560655723951053314443\ 3988897559983311809162180270510105874914123533866135068100*n^8-2882801393557308\ 3273567025682697075242287388870552994576850141921854577742766292482784996089580\ 22741197947439088611775*n^7+584224292353747157823636751300334586549059185349920\ 26996124025305881374015604356613088509468684384651797525479404833308*n^6-593089\ 1286845589929307391957455030357005015675045801336850438053255229971559765969212\ 18948947678661023326160126872661556*n^5+335263691482320462816512002919856165982\ 3155036814390614154187883881934758256720682020663952319960337827253859009667532\ 280*n^4-10893189870247722744966917384462893755114840805571733148691610531039086\ 601054285678830890750211968532406357428465653589405*n^3+19970641855569812345561\ 3171471739932919796293211923720121907876816283644295098549843130353935569506307\ 65121841197252902672*n^2-189466640218992555566612824299655252140971535117347023\ 19975047803634120942481805521186775585302254193233281767905476207984*n+70974234\ 7932850301432620940701572447313092762832960479953365328575646231800420362691817\ 7212590682984702948815660326683400)/(n+2)/(n+1)/(2*n+1)/(7079066857277868265348\ 5799191878217305055989500008044000490727244876134981039596021826660292111155545\ 24006176200*n^5-183775471040625703774120049322712251261034576381502529339348957\ 135958049520531956942635719352027238769755285148675*n^4+17673856658722902896846\ 9455001612484200298737995510060006597075602334302508280002579055435764979923550\ 3873046132081*n^3-7564955987110104320614318382450651701506693520838861874395102\ 934245218502553975977251641759321376845056158381925639*n^2+13602003071532652480\ 4896756185558883554951687889446579979376138783246874781522932044995267208920428\ 92134964141901891*n-69945766624444841647657928203132289341939945860719381045545\ 03337557790891067843032632191814826870232465952310956098)*c(n-3)+5/16*(42588220\ 5870496475121984968444400159986993474640109237191340262360349126280037396705143\ 88357156515838358570662131275*n^8-836928364793695214620090096137614199027243601\ 237428669505601942489188826549286642675708543291686111975628655043475775*n^7-79\ 7355391661700030464992937673069430613922654834145319800424418574961348061552763\ 791436410639627324891495666928215268*n^6+14242807652984404564636281877202907937\ 4995556093571902326719627711850500507469323942891373949229457036439932089178893\ 785*n^5-14883688029596303176018790235924721535384628068989692392124571210198798\ 30109258595581537650728273921159981368566203992971*n^4+715676778538683018140828\ 3446164328763025527042353242989247564127537430948260154308968646352883225143035\ 283535584787501506*n^3-18112682828876380545231748719152041129690432639185979486\ 056668867423446728916757403056033133840602813333247066214057063312*n^2+23320287\ 2656313780648572474663583143878886703316963372788377546884639393327562519127675\ 63332489768507923469702611602770056*n-12074960265818086252195885168813702550718\ 7304809608660756388567155792082863787699488609175659987816626583156249885841541\ 28)/(n+2)/(n+1)/(2*n+1)/(707906685727786826534857991918782173050559895000080440\ 0049072724487613498103959602182666029211115554524006176200*n^5-1837754710406257\ 0377412004932271225126103457638150252933934895713595804952053195694263571935202\ 7238769755285148675*n^4+1767385665872290289684694550016124842002987379955100600\ 065970756023343025082800025790554357649799235503873046132081*n^3-75649559871101\ 0432061431838245065170150669352083886187439510293424521850255397597725164175932\ 1376845056158381925639*n^2+1360200307153265248048967561855588835549516878894465\ 7997937613878324687478152293204499526720892042892134964141901891*n-699457666244\ 4484164765792820313228934193994586071938104554503337557790891067843032632191814\ 826870232465952310956098)*c(n-4)-1/4*(22045851168756754959886069294164879583711\ 4084997203885877005827169945634752496805316765740538543681893152233851135100*n^ 8-91183694594407229565204469260604484495313189925444462976626017498035444471339\ 42672713471744736126982605758103285846425*n^7+149092756692604863847270531360527\ 0107877108605763616691613851758004281478107373537924787057836019114102524280375\ 01762088*n^6-124994883196672265254899625783530375504672302459081711869178179657\ 6334205019580368842510211065660110492989822010469352309*n^5+5747893592934552303\ 2249694879339218568863686248287987619042536744635672348317167370652248061503164\ 64635201563280818021919*n^4-141231667210956600030786939804985847167208063676633\ 72943794814305571373861833641148338442786121465244425780829773298795940*n^3+154\ 6069820959722002157655141381332843423401410149153176641266534028060148974701264\ 4444012226603355007422106500006154293447*n^2-6196115940382256793449398435072744\ 8852569175537476935109009458428925614607083266194526483297127290900438859083889\ 5986356*n-813530022600484059582567009640549314302861329725304909188618397269091\ 5095734776497067489636365318491848786920169371546184)/(n+2)/(n+1)/(2*n+1)/(7079\ 0668572778682653485799191878217305055989500008044000490727244876134981039596021\ 82666029211115554524006176200*n^5-183775471040625703774120049322712251261034576\ 381502529339348957135958049520531956942635719352027238769755285148675*n^4+17673\ 8566587229028968469455001612484200298737995510060006597075602334302508280002579\ 0554357649799235503873046132081*n^3-7564955987110104320614318382450651701506693\ 520838861874395102934245218502553975977251641759321376845056158381925639*n^2+13\ 6020030715326524804896756185558883554951687889446579979376138783246874781522932\ 04499526720892042892134964141901891*n-69945766624444841647657928203132289341939\ 94586071938104554503337557790891067843032632191814826870232465952310956098)*c(n -5)+9/4*(5064592378393142907496758784879047828735775655917115575053437692457631\ 012933570382176254790806754978921841830637800*n^8-97221470032745467871919566703\ 7128639955441526229983209965774072340799486319618236061194912487002801503112910\ 919470500*n^7+29160376565465345305363017428985325821145862426792717447599514477\ 270637181868641952409680137035292446484916909410305069*n^6-38458610895300752577\ 9573172239973917581883592202094129455922138276983124732504822069747620206267316\ 781391615691260782194*n^5+27441470172708687216616067547827158738600418425041000\ 72225959313955073289584942961310332874810262315746342803050613013272*n^4-113257\ 6564432037440608898694727439939813502382828777566723631993564943836541455719267\ 8412278857348948491551524288814818491*n^3+2699272144742104685018405496430635131\ 3477541016672192175462100822904359833198287677178695228952787694225676766399966\ 243520*n^2-34471898791206689436867823345823258446243788796011392021762724980994\ 771980591931295813052404568935889072602565680575339432*n+1829624440841431401422\ 6184128269977188233800254964719227522361031258636604702586813302794461050846628\ 910245290146214268952)/(n+2)/(n+1)/(2*n+1)/(70790668572778682653485799191878217\ 30505598950000804400049072724487613498103959602182666029211115554524006176200*n ^5-1837754710406257037741200493227122512610345763815025293393489571359580495205\ 31956942635719352027238769755285148675*n^4+176738566587229028968469455001612484\ 2002987379955100600065970756023343025082800025790554357649799235503873046132081 *n^3-75649559871101043206143183824506517015066935208388618743951029342452185025\ 53975977251641759321376845056158381925639*n^2+136020030715326524804896756185558\ 8835549516878894465799793761387832468747815229320449952672089204289213496414190\ 1891*n-699457666244448416476579282031322893419399458607193810455450333755779089\ 1067843032632191814826870232465952310956098)*c(n-6)+162*(2*n-13)*(5033922090172\ 0062468195977454395438277470499225496821072723857683716365782573275815326877485\ 6767684143498792819700*n^7-1506951097112714960223198760370025137620500193284486\ 0688313253852455798466049069883396731590977089528363461563488975*n^6+1590935221\ 0742485154038350654635903548971731626971035411119583646353389023984165645348404\ 7640907274160193923312686676*n^5-6748170471215345488089671159184620919422562586\ 16586791706200574836262795262916972695720044306803514826494896119534400*n^4+314\ 0458254018852410640431783343723749303681692957220017307904593119961162529999505\ 16992324110120332030165460622354877*n^3+626942588166095744371084797979756745296\ 9721223954313716248415775074273921683232494678935737123564109810522799203955790 *n^2-18107023417228841746679141828614923711699404194542711303382209978740098316\ 987170021102854986251777196846380991318964384*n+1539762307694734911774299272550\ 4104375786729168992998603608816289831871230801142264007136566610398785231561186\ 503650280)/(n+2)/(n+1)/(2*n+1)/(70790668572778682653485799191878217305055989500\ 00804400049072724487613498103959602182666029211115554524006176200*n^5-183775471\ 0406257037741200493227122512610345763815025293393489571359580495205319569426357\ 19352027238769755285148675*n^4+176738566587229028968469455001612484200298737995\ 5100600065970756023343025082800025790554357649799235503873046132081*n^3-7564955\ 9871101043206143183824506517015066935208388618743951029342452185025539759772516\ 41759321376845056158381925639*n^2+136020030715326524804896756185558883554951687\ 88944657997937613878324687478152293204499526720892042892134964141901891*n-69945\ 7666244448416476579282031322893419399458607193810455450333755779089106784303263\ 2191814826870232465952310956098)*c(n-7)-2916*(2*n-13)*(2*n-15)*(n-6)*(124847140\ 5061763916906671317164711771518398211408305963353625980074059876054052580653931\ 1299393335119735608938225*n^5-5493274182271761234389353795524731794680952130196\ 54623875595431232586345463783135487729697173306745268366793281900*n^4+604612651\ 5820287330781401772220204503699647284053468038793935754885593306279248952696507\ 631302872751729100529114268*n^3-27758290936960892092274552804591224876389856077\ 189390182181488009537438719638190142320912029810904764869237419892711*n^2+57083\ 7549571752238536812241906659319831006483992415534869480034630231169997384635850\ 90874867751797375862274346488158*n-43783814862892132596456935635282750788164760\ 466872398662787256904048013803823303761950390253137619387045523094794196)/(n+2) /(n+1)/(2*n+1)/(707906685727786826534857991918782173050559895000080440004907272\ 4487613498103959602182666029211115554524006176200*n^5-1837754710406257037741200\ 4932271225126103457638150252933934895713595804952053195694263571935202723876975\ 5285148675*n^4+1767385665872290289684694550016124842002987379955100600065970756\ 023343025082800025790554357649799235503873046132081*n^3-75649559871101043206143\ 1838245065170150669352083886187439510293424521850255397597725164175932137684505\ 6158381925639*n^2+1360200307153265248048967561855588835549516878894465799793761\ 3878324687478152293204499526720892042892134964141901891*n-699457666244448416476\ 5792820313228934193994586071938104554503337557790891067843032632191814826870232\ 465952310956098)*c(n-8) Subject to the initial conditions c(1) = 0, c(2) = 5, c(3) = 18, c(4) = 289, c(5) = 1292, c(6) = 9389, c(7) = 45292, c(8) = 252959 Here are the terms of c(n) from n=1001 to n=1010 [540772755983515838659464887525868168666578191172756847703078259440301758863720\ 0765767929000423150708699506241114313638389088353891954970349556362356883319283\ 9891774419346202811738822914948248817870850364917528418051294994593711007952720\ 2986298289771496454606997260702222082339984848004335281650881084566782327725641\ 6955438542326440955355393682731260275564217621806211712192143748963850169271014\ 5710155446359193135424202685065966397442744042527117278486339366436229327668925\ 9978400557217921953562069860339045235377408708530618938985019404549029411808147\ 4742409703440067885189932421559348033549972896798672380, 2166416753416992236503\ 1805017019160515717584333717779474392747035837030214997895989297538288571273789\ 5134180622460704164638661401898041043824864471412466010225504934148051104104767\ 3799990661571950239741895840023893908618184091967434868427535017705388872730166\ 2914907510375675110501750358871508538900799609666541971555613103915567226599324\ 7153733865238843489338997019416063012190245071768285395313696843783485980661103\ 0676866372442639558039848475190430670733898861404278172385412354373150365263030\ 8187107321100633640262906587015778301890070891220044357102939022468315775068663\ 050817610945467781292811962072912, 86789769165613783851533102103053199137611726\ 9420870438617641896329032835765350887487311004181662724081199960229054169276516\ 7801652044337448573174641693666040919846292435792348509417742844617817420972796\ 5865865830917957637040339420298412440359925039419498404593978541909493108733087\ 9622633420053659603383115836229634600292698248165684079147466301614961486244711\ 2176478602703475947439930545034962532568604793076314353205186139242632522907750\ 8638583309049366733385002456343126298009724253830641184091080322065347236208845\ 2693389114901028519403328334242990065228890624661163368827829544364249704548620\ 50596386276, 347691752037592093499444044378837349588942279145333282315838733860\ 8336341298281873633673227612750711572781043250065426750696395116589277842133920\ 7356373145051074440079296105315308928650618945419407133434588620863507707421886\ 1333813579906095037263705754488000048035985213829254447544781641823985048421499\ 2889369491202175920962545215654985712621690853003710127838830494651245990010418\ 2954872985824736984504683005281231824720770161081091312808448148806022272485880\ 2207434825646290536938912538383250619983629654815697545548797192510756017883034\ 168547722891064696176954110441745546562622823351319327861570262694208, 13928988\ 2613307962429738547090872080058467667012478806700756926382872278942161858862848\ 4212442087737663898783004944464200003802209637082037038976598276501341519524690\ 0580181792292516358596845593933232129618021713406631010139832782348520100517069\ 0122428098362484319785289587180462318374758575220822188694571815489795055545915\ 7307659168751014207074991093666378885277521981660546165570463101105887309754718\ 6890653238219900453646771951718233575427173847200723202940646776882506327801833\ 6317264412526457334640105892417007308602350121741059783734395324995222371414591\ 6201975434139830777577250782480513801037281706184, 5580127040173372507655991183\ 6213978380146134798123377975159239182214194340638397379016344795113509077921642\ 7546452337643220032270522750814169371777811631959504475247987418454802363521070\ 2686624339570001282527893200219518483929924030380285727257321766336791578654055\ 1009420187001047301753361407779234484886468735527986636630169161806195824038145\ 7073356981796695337236778091037502223876707666767609658004809242745178336877371\ 8661806309912470367258366602645647845825225480868885735174359886468700985400644\ 4844861617327901401250101031858666265734852984592947608484282648057844550238670\ 75119870778725550894878710404, 223546529492379744155869668323157277734204145024\ 0871979960684601691577928295392418379801845867418298147853496814833420172411008\ 4161069195347390231116776162941303644933691442890535955340114945427157947488408\ 7048541396382995275950005998887563214036120243846800166230530745028899629072681\ 2700208447254689645127070764799414832569426706208241479023555054324191664875477\ 4487488060581858011476335388958115195931059928669548476407167828411074578570299\ 6580465609488717365496522194043609168474491814612236144227943213855821182982201\ 6720269032233761316441327216743364428572152943300164504723455666548459911506653\ 4632682636, 8955526229966135063224507138915994775382437333292243054828683230851\ 3178097046500644696344647401866534046792430143265728167627906858400130445148843\ 2508334669873752111932071624595022323507989574500320721784195104868325808716196\ 9590583688733206982472822088031043413319974984429643195595171223126379880291674\ 7280876510142217708443442884965029091423845155706885103980495913554434608915605\ 4231578696029351418663713937108684193908740758434926192890626146375781477501251\ 1965911469013456714702700940520535349916791836376764321846187529284352275169971\ 2680789075331658419729445174484983955243536212042851290822774659524133, 3587679\ 3646226137355192316376523389518416267774267420227783473467934595796052803246025\ 0779073079376341483378255951123362435052837787649084570148648583869018283173353\ 4136584882350721398362606037291973389880880184008753767630810039004050148981914\ 8647650082740815060717448959325272952875897550245124100963028857870873734484393\ 8959402068917974474270566991347390152279894951034046865004712014998359434679949\ 6096739243833281351983023458188202869563173814034709002483674152137632790043058\ 4248226160691743150242555113257593758476854316949693667632638183083058758193275\ 2823550443674442922110692725416353380926120968420482, 1437260435350069640002709\ 7013941979607121015940493577395212930563366878655656047734506808480106624170835\ 9748822190537605379049888680044880194374613701560540703231910426023140063650947\ 5741141221980767035729583646616574455102902155434603829770195526255426736983408\ 1766122320957747607357331053190654980151554446662189066457326334038097367003400\ 8604839802072424161314913027754535143782887116549419235424636530243248431392919\ 0566240843939173403139970862987676705096307782277444666806754134823244281624231\ 3040656802707581191252339484705984066796605790635752564063227073079806030640985\ 94094765484632734904838604640615936] ---------------------------------- The average areas divided by n^(3/2) for n from 1000 to 1010 are [0.9518163133, 0.9518351378, 0.9518539351, 0.9518727050, 0.9518914473, 0.9519101623, 0.9519288503, 0.9519475107, 0.9519661445, 0.9519847505] ---------------------------------- The variance of the area divided by n^3 for n from 1000 to 1010 are [0.05983194959, 0.05983203406, 0.05983211837, 0.05983220251, 0.05983228649, 0.05983237031, 0.05983245396, 0.05983253745, 0.05983262077, 0.05983270394] ----------------------------- This took, 8256.140, seconds. ------------------------------------------------------------- Section Number, 16 Regarding the set of steps, {-2, -1, 0, 1, 2} Let a(n) be the NUMBER of generalized Dyck path with set of steps, {-2, -1, 0, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 0], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence a(n) satisfies the following linear recurrence equation 3 2 (43 n - 48 n - 7 n + 2) a(n - 1) a(n) = 1/2 ---------------------------------- (n + 2) (2 n + 1) (n - 1) 4 3 2 (124 n - 370 n + 255 n + 15 n - 14) a(n - 2) - 1/2 ----------------------------------------------- (n - 1) (2 n + 1) (n + 2) (n + 1) 3 2 (n - 2) (2 n - 52 n + 65 n - 1) a(n - 3) + 5/2 ------------------------------------------ (n - 1) (2 n + 1) (n + 2) (n + 1) 2 (n - 2) (n - 3) (8 n - 8 n - 1) a(n - 4) + 25/2 ----------------------------------------- (n - 1) (2 n + 1) (n + 2) (n + 1) n (n - 2) (n - 3) (n - 4) a(n - 5) - 125/2 ---------------------------------- (n - 1) (2 n + 1) (n + 2) (n + 1) and in Maple notation a(n) = 1/2*(43*n^3-48*n^2-7*n+2)/(n+2)/(2*n+1)/(n-1)*a(n-1)-1/2*(124*n^4-370*n^ 3+255*n^2+15*n-14)/(n-1)/(2*n+1)/(n+2)/(n+1)*a(n-2)+5/2*(n-2)*(2*n^3-52*n^2+65* n-1)/(n-1)/(2*n+1)/(n+2)/(n+1)*a(n-3)+25/2*(n-2)*(n-3)*(8*n^2-8*n-1)/(n-1)/(2*n +1)/(n+2)/(n+1)*a(n-4)-125/2*n*(n-2)*(n-3)*(n-4)/(n-1)/(2*n+1)/(n+2)/(n+1)*a(n-\ 5) Subject to the initial conditions a(1) = 1, a(2) = 3, a(3) = 9, a(4) = 32, a(5) = 120 Here are the terms of a(n) from n=1001 to n=1010 [792819931146492999626231569303343469988000070309049481806556146282588684729054\ 9816792349777499822399282239272265726483786613902976829323344950608850496615713\ 8134456215973115745238056307006132896135168786089861226181197830503802163954836\ 3739525927297916007423859987853850553053355914409441523890484398204132979649077\ 8960785789191721233778470166696135617965317519403654909162323551918050186034763\ 2160959712359841044733336954953235307274791012444979360396072261223924558751199\ 0961006688236053217673672355289550729746601646017467574759971986004000300816507\ 0703419341878310197264173036283534696358482008048853063655833437966146967589563\ 7104765695626258360891462998808323144227614607813640539153023545, 3958171751016\ 8899555668115634924806552331967762444854845047374685519078844993028071813595794\ 2558084576124677180561583758520250775878272043984174123137998294047461514956296\ 4884413344086291517390386299698577053859636464356678831782854673874323396660433\ 4719340252014350603441509602256168422511233821638539783619977425312771464787950\ 9514759429581407200892592363875616253153667848769752272328444167991911394789770\ 5473709849450490413945905970309930914908982031086383125998914957201196957863237\ 6027694846322895838704883230933915371732865877457136817412694863401689388013530\ 5642778281383548608829572854474075287234507041008185472973924541226354072479440\ 438597514124679029137785511392696452118984663672395, 19761293029384525745057907\ 2335282837935069092416964748348312292676255633895912105300379329433434304450897\ 5701349233643779664550418687787018269139347366560095648085698464516346243219410\ 5030481966608540138690175598529654338173207790191002400660102717847139983786553\ 3201931761572563677103801044942447636025189614876775598169877686788269057267071\ 5618910183371191444099474400388924902840236118834103525421978972375983545285496\ 2161501328096670745925094433304621469190233392110759691331186808464683298438477\ 5053221314783905093171230223203487400838430300995104512463947188748899910709004\ 1959501917890782653016886168011390502641919474514581130460368746755590940111981\ 514055485677549760785933557989527243995, 98659004222874519996023985150932870506\ 6345353673692468903763669431332888118831389236277076446381190429836698137648605\ 3262280714116666289229554209167597179740154361662719024780451493075429325029519\ 7012494800478700643523510150566505362066297006449647133940980326944064439499287\ 0868132640392538071142829820373737616024189186819174935165239766543299334002701\ 0883906539354060521953529309768926695756596899333448468205053783861198825044417\ 5330514915960064787799244949215125928264600990226705599905768576099185843483938\ 9821184933807345959274010481852448435123203967084134693441672097376511500280827\ 3971355291034829616076481978113891831969298249116082635305795351432107178623168\ 452318883108865102235138975, 49255954862043484824286733632464146978459951048189\ 8434676586830518581135875893081557917310200470853391137596669011545122479541730\ 8146384508716834990209608936798817188279254495308326673649351989588457108731474\ 2022765794564128273467080533559226785708743088041090623178142919944379288700890\ 8241596920253411574362906677712382559849216671829543514152203218692624335413641\ 1740020269082833604598206676477740571932744721663648192514194911588882671858528\ 4312940764634649340079819828823026928276663140318712771942880409686218056558572\ 9774196794116985406867028009509433392573170141446861510934323418330177213730024\ 7886605180926248867111824628137719480036135989963026850629936389338009342172032\ 3132082991407355, 2459129509427123202414167120754282022966605293408825908415740\ 0375196878450608613595913633856636853517561970549676260138697032258129152656651\ 2223562589328462498496968738624354852943152626385612589401737942762160627080277\ 1810543290536339098978984400019186886518072991929046558657297994119295903974535\ 2416355108244535817304797534756582974539241416850403643556212632267029131206845\ 1521756142501062389846923217384664642624734584910632321580064937169292722112660\ 7750355193293327316994035097907835484850124110755226249986092888249784312721116\ 5616961709568512685347625150393262708109591110943538285598352923965363931793258\ 1038545627786535363652367662255312862075994414015733063776925870781741405710137\ 367410, 12277351864259757957562183913830731138828465395354547193926548736998519\ 8025879533199208495289850560564504814671911628329682237961039206150038017726797\ 7438614004497374519829000703475333199985434284425206580402563558321919878483956\ 6166250621457698842882292518237551151952621689337094267199463696546645518377584\ 7608828738174538894693455267110736465583225479353942832406659829176885266263271\ 3336229568366871792908158552933521837894689904932723236293300396784627270103339\ 6407431569286905454047223233126532839374863605627250953929013684469764838460025\ 0835876629850278848990013689144588558809241031945767631644975047811410502253898\ 6311057844326875047745438361828298129631494720679938404440950307298253510600, 6129550754558111118170937365897241432155131673614344516739683543996027932163800\ 5647296023816471536430108943572656325787518781911913485672940596542063277287630\ 3659921947732594627225039362345897523431420247368220419701797116943939227499734\ 8430615946509940398459596320118344327298664411713504283167543804439835630669901\ 2958081384900897148795577033097303859189603632143294078878098852741541890801635\ 7276970843711547079712238359662831535109423809940281487738997377969335673456521\ 7856541691767554763982812670673773588921102678705311296551435621756710023181072\ 0542812593592698046493713084136182449680785513742859061977768796090092661760264\ 24068302692731193593821198568341010520903885809653846492956518813380, 306022408\ 1160200633797514742824066823060854356147057222481889099639988851621404054418871\ 3602665094519777220505449270014863199914196923648721427379338942648076017646979\ 6391515921356663464378295138929514779341964730428633149240963765112262629036096\ 7635636605580087993658486917864581775321520257716046482724071455692369862703785\ 5176032916561933063785098598792360423028408180773682684266732488733299708517277\ 3128532687656460762104060278082468153195703960010459626222928773087015484902310\ 4095764751981324213146314684546883886444867443968118422731805948976722770765966\ 0134838638949229510619584912935752741957941767724684853601362004714433631295405\ 333875626782920817386875886583327410744915096873226677637510, 15278420193085422\ 0151410086562197735053897198543142673240003573274757351447243223140367239157584\ 4812552350906229974159810221439518101058610859225565385853851434250574850124144\ 5959256076088296626969694883370850695725717227902826135409793061268682600174194\ 9536191493318237325888423472746266542105521239937387086865878389933038225150509\ 7478763895387909281880899399156590342462828896972209269176209249629148372060621\ 9962077615113194702887047539148219641002003549859679868579268839828673031244159\ 1103592518447739694387119725867065669012221128706846716762568272639990232601917\ 0177680221040380426954147978945875720594371756582047069481707082963931622153898\ 28282717439314358742965615470134520972201592987235415] ---------------------------------------------- Let b(n) be the SUM OF THE AREAS UNDER generalized Dyck path with set of st\ eps, {-2, -1, 0, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 0], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis The sequence b(n) satisfies the following linear recurrence equation 5 4 b(n) = 9/4 (56479910487415833031020 n - 552053125492113785172259 n 3 2 + 1628244721599270147608800 n - 1130534266131010141724467 n - 502505288494311617208286 n + 203605465470155197812960) b(n - 1)/((n + 2) 6 (2 n - 1) %1) - 1/8 (5218470439147767734164485 n 5 4 - 53061757069166803940892657 n + 162413267370826619802999553 n 3 2 - 108525937650531671144738791 n - 110293386244887578071940734 n + 92713376117000060828133472 n - 5700953033164345538762880) b(n - 2)/( 6 (2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) + 1/8 (7649384005852108870346370 n 5 4 - 84560672763706240812867299 n + 244026814782530103471083211 n 3 2 + 200948609629023121794277153 n - 1768522161015413563388599773 n + 2408379980724162600752847274 n - 981814241827410361327807080) b(n - 3)/( 6 (2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) + 5/8 (2398118779969712587970325 n 5 4 - 33250010828869253405477337 n + 212882201748028736660751703 n 3 2 - 836832431164301639520374875 n + 2015167114764953232722354468 n - 2584461306179838089605661612 n + 1331116722861443338504159920) b(n - 4)/ 6 ((2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) - 25/8 (1229804502548570557933500 n 5 4 - 16219739324416485291112635 n + 75294520522221755873585645 n 3 2 - 141949049618403229609393343 n + 84888630208044596876608351 n + 6381452610782212926699818 n + 20041304794847635531108200) b(n - 5)/( 6 (2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) + 125/8 (20496741709142842632225 n 5 4 + 409742012914383969907835 n - 12942077293585301361683795 n 3 2 + 102452606487294798358935733 n - 346127051166772175419741702 n + 522802387170109676082212856 n - 298147663876355128969295040) b(n - 6)/( 5 (2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) + 625/8 (n - 5) (40993483418285685264450 n 4 3 - 484825181563942972239795 n + 2479015091682154367450050 n 2 - 7331325546492548979106907 n + 11794611558519974885493862 n - 8250764414374635935962344) b(n - 7)/((2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) - 4 9375/8 (n - 5) (n - 6) (1366449447276189508815 n 3 2 + 2137917712645030033322 n - 74276942715340796383871 n + 193932277311108833405854 n - 148714281952545829288584) b(n - 8)/( (2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) + 15625/8 (n - 5) (n - 6) (n - 7) ( 2 3822725453690146726547 n - 11950914261146094723227 n + 10825614131756599468668) b(n - 9)/((2 n - 1) (n + 2) (n + 1) %1) 3 2 %1 := 4099348341828568526445 n - 40012198082623514218394 n + 120923362434805400680421 n - 101802732735077598906480 and in Maple notation b(n) = 9/4*(56479910487415833031020*n^5-552053125492113785172259*n^4+ 1628244721599270147608800*n^3-1130534266131010141724467*n^2-\ 502505288494311617208286*n+203605465470155197812960)/(n+2)/(2*n-1)/( 4099348341828568526445*n^3-40012198082623514218394*n^2+120923362434805400680421 *n-101802732735077598906480)*b(n-1)-1/8*(5218470439147767734164485*n^6-\ 53061757069166803940892657*n^5+162413267370826619802999553*n^4-\ 108525937650531671144738791*n^3-110293386244887578071940734*n^2+ 92713376117000060828133472*n-5700953033164345538762880)/(2*n-1)/(n+2)/(n+1)/( 4099348341828568526445*n^3-40012198082623514218394*n^2+120923362434805400680421 *n-101802732735077598906480)*b(n-2)+1/8*(7649384005852108870346370*n^6-\ 84560672763706240812867299*n^5+244026814782530103471083211*n^4+ 200948609629023121794277153*n^3-1768522161015413563388599773*n^2+ 2408379980724162600752847274*n-981814241827410361327807080)/(2*n-1)/(n+2)/(n+1) /(4099348341828568526445*n^3-40012198082623514218394*n^2+ 120923362434805400680421*n-101802732735077598906480)*b(n-3)+5/8*( 2398118779969712587970325*n^6-33250010828869253405477337*n^5+ 212882201748028736660751703*n^4-836832431164301639520374875*n^3+ 2015167114764953232722354468*n^2-2584461306179838089605661612*n+ 1331116722861443338504159920)/(2*n-1)/(n+2)/(n+1)/(4099348341828568526445*n^3-\ 40012198082623514218394*n^2+120923362434805400680421*n-101802732735077598906480 )*b(n-4)-25/8*(1229804502548570557933500*n^6-16219739324416485291112635*n^5+ 75294520522221755873585645*n^4-141949049618403229609393343*n^3+ 84888630208044596876608351*n^2+6381452610782212926699818*n+ 20041304794847635531108200)/(2*n-1)/(n+2)/(n+1)/(4099348341828568526445*n^3-\ 40012198082623514218394*n^2+120923362434805400680421*n-101802732735077598906480 )*b(n-5)+125/8*(20496741709142842632225*n^6+409742012914383969907835*n^5-\ 12942077293585301361683795*n^4+102452606487294798358935733*n^3-\ 346127051166772175419741702*n^2+522802387170109676082212856*n-\ 298147663876355128969295040)/(2*n-1)/(n+2)/(n+1)/(4099348341828568526445*n^3-\ 40012198082623514218394*n^2+120923362434805400680421*n-101802732735077598906480 )*b(n-6)+625/8*(n-5)*(40993483418285685264450*n^5-484825181563942972239795*n^4+ 2479015091682154367450050*n^3-7331325546492548979106907*n^2+ 11794611558519974885493862*n-8250764414374635935962344)/(2*n-1)/(n+2)/(n+1)/( 4099348341828568526445*n^3-40012198082623514218394*n^2+120923362434805400680421 *n-101802732735077598906480)*b(n-7)-9375/8*(n-5)*(n-6)*(1366449447276189508815* n^4+2137917712645030033322*n^3-74276942715340796383871*n^2+ 193932277311108833405854*n-148714281952545829288584)/(2*n-1)/(n+2)/(n+1)/( 4099348341828568526445*n^3-40012198082623514218394*n^2+120923362434805400680421 *n-101802732735077598906480)*b(n-8)+15625/8*(n-5)*(n-6)*(n-7)*( 3822725453690146726547*n^2-11950914261146094723227*n+10825614131756599468668)/( 2*n-1)/(n+2)/(n+1)/(4099348341828568526445*n^3-40012198082623514218394*n^2+ 120923362434805400680421*n-101802732735077598906480)*b(n-9) Subject to the initial conditions b(1) = 0, b(2) = 3, b(3) = 18, b(4) = 113, b(5) = 636 Here are the terms of b(n) from n=1001 to n=1010 [212661183196325097529111013986456056462912952564934031319316168248309249352374\ 3769089451818331190692824001501183999951855475526486794545290777290302224791706\ 7295483958416122104812228047263684797675035646250755872746713155428063593937714\ 0343132617457737684577689969960446655139191809829858233661572736073636143581459\ 5255061564476472020420059601063035676996961470067381678443761659216813729463776\ 7005825931379119884580038382646019710419811835318146979074556756574463630462090\ 2245720648277101980445544097932936249840320629345097191115163608858199383517187\ 8141416301006079904579656065153446428871019986895801891480716088299315534276220\ 656601301708253407032811091884746701158371402838817146017929311555678, 10633311\ 7849938683086720230019989121174563304088214181050878617385795529841727624217424\ 9184251815356919484711553634904062095373865966536453147260100682484626027157236\ 9152199359198720564000465824537603527106275652998700677591858993501177967688504\ 6373960424978480030032852106560808585470313464046545835438201656457800546908471\ 0994307841804116375183572828807064984445941494576557171357954149847102751287035\ 7266125158447927584253622536676285526729774229845147111189617969610202518831651\ 2923341372487206316182189895004496535133390927694699000943130755851784269960564\ 8652255981554676132360712013926873707347608601431040864414520544922945063820585\ 4102581638722527960383835295524096689750954827236382207969763, 5316782016378396\ 7496652495205114763669207449608095127252225727679771813479689813768961520446599\ 0415404742503782463887324742602942044144608616928489880551444568513358039672014\ 0012604967666081858348470832569673841992583782042256166869167454844120259327861\ 2464193593176424214278167878632736149679074670849385498606165781744059702864454\ 3073078144777087791420790976111686370764232285490313020801929232974498650251157\ 2298499679156780497499199262201982917773429631254425338980746888909513260191329\ 6754501280864024077061770880608077944561240543154373676368384523120331224854533\ 2966227811292633837118196966972584957810382578972539380847444142713388508510058\ 78881652271516146671604174194025407753731650475957758, 265845397601095991258812\ 7816422564584929709698075719306953451777062194100623526499019450264657809974237\ 4393680714191248003515102615593971655828528030286789023586008070455859972045776\ 3670380731954230151582210869633903431087878690981611422469682240109812913332931\ 4844790942301823386910040498665867333675999197230280125709878372192558160955106\ 7509759145881883213713778877831270694992601708686591724085020507753097534353557\ 3381441932011031946780942433562481257180322177626368717540769077914079614854370\ 9607397739293237140655471925479115455077098231453952148893898563589278446357383\ 2366264194086785626971799282286067359768960506049942948485208038172973135385082\ 0004101092062500615223236538173870422778439378, 1329258424973818730617285361050\ 0362863359640638947085869122319004821775898892448788240237942455956549898099842\ 4390969118273484640612180380492481677453209896247526995200888929398589265181085\ 3490378834108965333597097201686171116216002694335691595310354797163762643359795\ 3656419933215197343582281128616089347038052886938477548093579608955976917690828\ 9971047584372554402672513302565035806608775213441257001451086984880659406157847\ 2803165050818770325166655247656463858678523068280064973470029072277249242765569\ 7200606105131959384563781814821979301948280106619796561982550685528270148016995\ 4790997041761250572648812448681916847409128740456284328827174542002256271166818\ 8546134038944209469802297895541217295318, 6646449075580759776508622435380650420\ 5940380226316922341771142025825046285312866381028959505318350298218215439390465\ 7722544658042500089766460729815093876341932798300771985923770795041706514638416\ 7580618180441513524974153762627316647756975681228889386787719948171670791725103\ 0860949792129181283103212868008110714872587384756642205215080100617134058412784\ 0551565104121030446430049451458427135968995083562751196280329594445712472318917\ 1579621901035355388197461531439305578432934377617343329815954065911847312782431\ 0528923048613345431942653452856173051576175621860265169071664939612079013839378\ 3842898499425747057458203299972623902959630417480362311464027710788687925233749\ 4651607591504311528738045473860003, 3323302896371528622951911541890042213079130\ 7133399103822411212678892190983931193852692834894736054203988343945863251882112\ 9533026600773220488893858498283755664383681998068715575197406175163929448536118\ 8463632763167564795737431831877581364738008838221300039902388421027956823604957\ 9562435818884530798196895585122745893627534322114341086525242844126140406580601\ 5904900857312159036072988599747088133530318001332439869119407249400107840889547\ 6709947792440410708889516794910592627115406200970098874751092462097966700701631\ 4385151673896620196492103686653952622861094669184401508749484688871735298336401\ 8783967299250746681726871802147657243637487756483617826910072764575120343444181\ 77833389831936053792487128558, 166169056923365776189686752230124141610709337493\ 1929688724299569897871075985486522609161061420002017177199412694203968225361582\ 9035837330079959337501093658263639820822862370615116277310236676966896092924967\ 3367924542877805672717488114189238054386786488903441015788997411480963564804102\ 5578861511612231019563072085747485668366481189159505673152941704609019163326891\ 7451994630802221251352784496948174834373980930454409265925059047203563151798635\ 6541914054130667018248484906458671974603892208823538335357940568059158491230872\ 0468603473246503490683743627364958351472116909470436774052847005376820431373949\ 8433814072849491155226160595706070250405484900336633623460956947747055775509999\ 7418968058800980871459693, 8308648160915151291816088283046681850817861404755622\ 5233974124587159492004324319156200192924788434073165767120967132945372022203894\ 7076728154214149973944147564253781930221654660395462386228500790922146388651872\ 0402236772547206344645235549613351930141126350899213112179446836520039207053854\ 8944489909174818745178883715515845800550928045977439767842126104486810036428295\ 5392827644272344316466342044430850330888841566526654183607554987207226430529101\ 7058869452660727169854371444947161027646525579222287501330708007307024965121815\ 1278244256593386490825132845752562718686860837861489383525430185381455255462658\ 6173340859817899656385013948859758719123766648434075262952659822640241793649295\ 527994231918211176678, 41544215929438567784908742859206679225899610132408068498\ 2703258984425716894417878425660468396343975665791058208778045153357894275327652\ 2428960338122101668314152066825521131459293040285539916002823130402318122633339\ 8869481095139961545554600424217433635578235400737083264623748911018773863825331\ 4283618032703359191563782658618320158201445752195980524571206923012827391533876\ 4052176164588128758180899506663648687231677580825310789371328751915865926608601\ 1440940247777971919629017841390902140965756592733361688120963767939587639386780\ 4154554618892253900982250905040045059920535019177024536239480724536085351675996\ 8031554777669111414698670311802619229501274991452164536919167050891045193195169\ 169042000142111388] ---------------------------------------------- Let c(n) be the SUM OF THE SQUARED-AREAS UNDER generalized Dyck path with s\ et of steps, {-2, -1, 0, 1, 2} (i.e. walks from [0,0] to [n,0] with atomic steps, {[1, -2], [1, -1], [1, 0], [1, 1], [1, 2]}, that NEVER dip below the x-axis There is no homog. linear recurrence with ORDER+DEGREE<=, 20, satisfied by c(n), so here are the first , 137, terms. [0, 5, 48, 507, 4118, 30753, 213020, 1405277, 8929770, 55145136, 332890462, 1972844747, 11515053656, 66356005440, 378235501536, 2135843083373, 11962779626006, 66525033861078, 367610970030474, 2019964981761240, 11043490632357586, 60102658426920062, 325756350138193124, 1759000592158688073, 9465730216638307714, 50778635078288452354, 271616229796348273618, 1449021284283047807372, 7711237519063425052538, 40943072411369983491304, 216926534317704164425064, 1147051277784912365369073, 6054062782392087953008342, 31897432334931342257903034, 167785884149090668976233890, 881227641111750529576625736, 4621599304891517551099046978, 24204896984809534486118271384, 126605734697892076579166313740, 661412747344087397137159618276, 3451344724296511217789133246372, 17989794088248816248164339588743, 93671986050879809997309490664044, 487260113565860402422223001934590, 2532211478743508619061806315762276, 13147586739406414806184885889670037, 68205090229003562746145982413943008, 353532017825842195745261541694014185, 1831038282552973609328797511180665398, 9476267639206265264300429839874295484, 49007443916774086251176188533137016810, 253270391156197432565209219234902645748, 1308026264840095373038893164199640704162, 6751021957441633741745428164905060524034, 34822045658822398166114248478840098387180, 179506772356297530882691716525091616132816, 924823232542822595917872299866257500307188, 4762083243597075575010816836224252000198785, 24507789261923227688822637832315692533017948, 126063190063751140134860409188342818917882974, 648122550950665655705117304017707716044307980, 3330565293246703088213604334764631303171571525, 17107150830745081186451363385532719036354252704, 87830008473152587283523644787016249153102174173, 450733617141306811338305512176208353298225976054, 2312143275266361489360117110251858806025835852646, 11855858365378973994295745813218287542308754521434, 60768731527924739503689101872371832962755373993996, 311359013449003072691141307218344485423129485713202, 1594710227428481849257075085366018392693814292686628, 8164807067734819537218678488835323857135531140204164, 41788657971560003442823834422483868924586576273441580, 213807835432748854433018626500789758386736304997846508, 1093567682935248518115173148630434987406844833118103767, 5591503049030791355568757249934146193904648256219367868, 28580915686218486219345414416943006205179700221256558470, 146046803894487214838896114550508234476537658078212358924, 746070463143630518980306573543590756477653278369322360871, 3810157191268894043587412594392487647184964373886294059360, 19452904361113037692416718992437143120834234988914868161616, 99290489433780644475903172932312980239500371634142046629968, 506658699232908040158773530287409027192867086516238366750269, 2584704547103324534927176829721922612197110474761560232073320, 13182465749710996963326332871669218834487149575108987522411991, 67216427626695929174296995438827616970207985193030379542677422, 342649281355942841300494612768987235124922107343404701453630863, 1746314039093305788023902686907327709661977217407155672620260556, 8898061410325743233516941165840767063813881622744219116313340930, 45328496298587768469663407041145417157766118875856258527481626544, 230861935771091268461033733307068618382187266008084592787290649395, 1175548714247998947027710995312890058398944551609223300370788239132, 5984643749827016708438185055451226495546104128896481290803665906485, 30461225863376384152092531184184163696523170866669810559249449480182, 155013603545895762312944684945741984935681050196751259080679386223553, 788692127153136724918568686072706997994511053650717835243631605086024, 4012012634457493191233017544568278670901406219388667756298930235888745, 20404969396182606904101435454699927893471016333338237795476459326145566, 103760054952042974903126987630650774926082381251968821756722344045324892, 527529431449976393464724740788363144662447248360355669501163718133288218, 2681557207635535784989977271408809766176634131954532050815085771493457914, 13628651135617399051377947898121689724515418871867710142293728623171733190, 69254123420174441408429309066132263541311935689616848225220641585362917766, 351857509531455909543217243858019454468606423863468287925749937433438770052 , 17873840019094920335602669763853516392839067338246116662616000634171123\ 72908, 907820841381765503858883155776418010271826281922273285909920343698\ 0177549204, 4610149588671323811101746400573398464084012360170141574830519\ 8756328692087905, 2340797144713996223485437597015283333811225862509248149\ 91265434707179109933796, 118835911854674775820231662282166231606560801343\ 9404520699484513752299401142512, 6032092916268112192717280171097343033909\ 927394123511639453358002674003642456448, 30614413002935668882190626860209\ 904635534135140944390924620251518450184024145969, 15535406109555039025422\ 2962974904897845043871739466244422011156511129769439056040, 7882412841716\ 55257260506734280435336806852520226553398584842883113526030579398896, 399\ 886496579251261114532797351979252636397819049009402949478073502203068717\ 2968272, 2028412919855406253047919166455813465048184227611051769318847988\ 6020924210550840623, 1028771934314313327393990218039012388758421607876918\ 45515989218967308936464980658544, 521706171229293036298708750632020079388\ 433499426124930457188412820798704302639670325, 26453184157797486988633430\ 50413918877071537918530839252045538839761677833287525522266, 134114586480\ 017584568741144002967850953225428263051216411952313292830636354992289883\ 97, 679862505587488304654405773769241259579406002092197122692173636995825\ 24797925897678668, 344599066049242666079651640479365039543681257212028820\ 260337940411968234824875286309414, 17464490572024976600392707745894740556\ 89105309898466230532585712272853853194740347108560, 885008488989467337013\ 9878870343943123338841173642146099159665854520170018034790299482481, 4484\ 246578429900805927026544699448926427857516609085387583207567330023590361\ 4647745861388, 2271866952149829953854063524988893741847693197718490430458\ 18798633632914314558992135939367, 115087582424544640139708786661109264913\ 5730816719846641313341615370043052874003966921165738, 5829442055266627785\ 790305888212473501036095180402245474010695532041810296547805915376519733, 295242740423925883952302770730920338219737529297607366083601106322598541\ 78465190024865862632, 149515400571165635222280811639611100305255082801544\ 519321323988067672146815559283591715201601, 75709054450558303597467142894\ 9917334723895618097467787988002307528058120198388631800525734742, 3833236\ 550710370967314316203881071728104100923491921416622900249413859666906728\ 981771943915538, 19406178394640089944735669455003100574533407186721119595\ 877830771551318630999244258310176216498, 98236232413533394246559857541921\ 295468455361469762107783588539914006481819986513126401745535192, 49723457\ 524960622611451463205715548737262703324926424229408513295642759228518287\ 9198550093317106, 2516573001661684129714959185938062771128016360678153848\ 019882032910211270939866400419958341229008, 12735528483264109335764582346\ 323335402958994107757195984856231208315800024840316016050976762145644, 64\ 444261916649423708337071655172851429237920752825726643831422138836482725\ 413324425262182058223800, 32607085780241049635688466521304043266893732828\ 9210107359042636762146031662324666847126610739735644] ---------------------------------- The average areas divided by n^(3/2) for n from 1000 to 1010 are [0.8469593175, 0.8469783923, 0.8469974392, 0.8470164584, 0.8470354494, 0.8470544123, 0.8470733480, 0.8470922557, 0.8471111363, 0.8471299887] ----------------------------- This took, 13443.337, seconds. -------------------------------- This ends this book that took, 42747.295, seconds to create