Enumerating Generalized Dyck paths and The Sum of Areas with alphabets consi\ sting of integers from, -3, to , 3 By Shalosh B. Ekhad ------------------------------------------------------------- Theorem Number, 1, Let a(n) be the number of generalized Dyck paths of lengt\ h n in the set of steps, {[1, -3], [1, 1]} also Let b(n) be the sum of the areas under these generalized Dyck paths of \ length n in the set of steps Let X(t), Y(t) be the ordinary generating functions of the sequences a(n), \ b(n), in other words infinity ----- \ n X(t) = ) a(n) t / ----- n = 0 infinity ----- \ n Y(t) = ) b(n) t / ----- n = 0 X(t),satisfies the algebraic equation 4 4 t X(t) - X(t) + 1 = 0 and in Maple notation t^4*X(t)^4-X(t)+1 = 0 Y(t),satisfies the algebraic equation 4 4 4 2 2 2 1296 t + (2592 t - 216) Y(t) + 72 t (16 t - 3) (16 t + 3) Y(t) 4 4 3 4 2 4 4 + 72 t (256 t - 27) Y(t) + (256 t - 27) t Y(t) = 0 and in Maple notation 1296*t^4+(2592*t^4-216)*Y(t)+72*t^4*(16*t^2-3)*(16*t^2+3)*Y(t)^2+72*t^4*(256*t^ 4-27)*Y(t)^3+(256*t^4-27)^2*t^4*Y(t)^4 = 0 Using these algebraic equations, we can get many more terms. Here are the fi\ rst 101 terms of the enuerating sequence, a(n), starting at n=0, are [1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 22, 0, 0, 0, 140, 0, 0, 0, 969, 0, 0, 0, 7084, 0, 0, 0, 53820, 0, 0, 0, 420732, 0, 0, 0, 3362260, 0, 0, 0, 27343888, 0, 0, 0, 225568798, 0, 0, 0, 1882933364, 0, 0, 0, 15875338990, 0, 0, 0, 134993766600, 0, 0, 0, 1156393243320, 0, 0, 0, 9969937491420, 0, 0, 0, 86445222719724, 0, 0, 0, 753310723010608, 0, 0, 0, 6594154339031800, 0, 0, 0, 57956002331347120, 0, 0, 0, 511238042454541545, 0, 0, 0, 4524678117939182220, 0 , 0, 0, 40166643855158315820, 0, 0, 0, 357557785658996609700, 0, 0, 0, 3191043022636014750204] The first 101 terms of the sum of areas sequence, b(n), starting at n=0, ar\ e [0, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 72, 0, 0, 0, 756, 0, 0, 0, 7608, 0, 0, 0, 75078, 0, 0, 0, 732888, 0, 0, 0, 7106184, 0, 0, 0, 68592600, 0, 0, 0, 659984760, 0, 0, 0, 6335347488, 0, 0, 0, 60705801252, 0, 0, 0, 580874974920, 0, 0, 0, 5552006266932 , 0, 0, 0, 53017893879696, 0, 0, 0, 505904813086608, 0, 0, 0, 4824385652939544, 0, 0, 0, 45981575662469256, 0, 0, 0, 438054030606118752, 0, 0, 0, 4171579658609459856, 0, 0, 0, 39712258125653457888, 0, 0, 0, 377935905521233432134, 0, 0, 0, 3595808847942714776472, 0, 0, 0, 34203681359948766598056, 0, 0, 0, 325280417549474321457768, 0, 0, 0, 3092866781100909289291368] Finally, here are the average areas for n from 190 to 200 divided by n^(3/2) [[192, .9982889238], [196, .9990944494], [200, .9998773419]] ----------------------------- theorem took, 0.876, seconds. ------------------------------------------------------------- Theorem Number, 2, Let a(n) be the number of generalized Dyck paths of lengt\ h n in the set of steps, {[1, -3], [1, 0], [1, 1]} also Let b(n) be the sum of the areas under these generalized Dyck paths of \ length n in the set of steps Let X(t), Y(t) be the ordinary generating functions of the sequences a(n), \ b(n), in other words infinity ----- \ n X(t) = ) a(n) t / ----- n = 0 infinity ----- \ n Y(t) = ) b(n) t / ----- n = 0 X(t),satisfies the algebraic equation 4 4 1 + (t - 1) X(t) + t X(t) = 0 and in Maple notation 1+(t-1)*X(t)+t^4*X(t)^4 = 0 Y(t),satisfies the algebraic equation 4 4 3 2 2 1296 t + 216 (11 t + 4 t - 6 t + 4 t - 1) (t - 1) Y(t) 4 2 2 2 + 72 t (13 t + 6 t - 3) (19 t - 6 t + 3) Y(t) 4 4 3 2 2 3 + 72 t (229 t + 108 t - 162 t + 108 t - 27) (t - 1) Y(t) 4 4 3 2 2 4 + t (229 t + 108 t - 162 t + 108 t - 27) Y(t) = 0 and in Maple notation 1296*t^4+216*(11*t^4+4*t^3-6*t^2+4*t-1)*(t-1)^2*Y(t)+72*t^4*(13*t^2+6*t-3)*(19* t^2-6*t+3)*Y(t)^2+72*t^4*(229*t^4+108*t^3-162*t^2+108*t-27)*(t-1)^2*Y(t)^3+t^4* (229*t^4+108*t^3-162*t^2+108*t-27)^2*Y(t)^4 = 0 Using these algebraic equations, we can get many more terms. Here are the fi\ rst 101 terms of the enuerating sequence, a(n), starting at n=0, are [1, 1, 1, 1, 2, 6, 16, 36, 75, 163, 391, 991, 2498, 6150, 15016, 37116, 93481, 238137, 607921, 1550401, 3959335, 10155615, 26182267, 67753907, 175713561, 456422121, 1187771521, 3097869841, 8097629671, 21207212047, 55628797891, 146129168651, 384401493333, 1012608918421, 2671045963125, 7054394743221, 18652371085976, 49371261259652, 130815961651922, 346957535076270, 921088107741179, 2447449445418979, 6508691498462431, 17323022760552007, 46141184952615318, 122991472709931402, 328071756274638612, 875703388496084472, 2338983280462095937, 6251261410073589169, 16717374988556503801, 44732012367408468201, 119759295546451154651, 320797847928945131971, 859758631107766095607, 2305348012621699112671, 6184487582079436036681, 16598584055202830134585, 44568870301490166996737, 119723381997256335248817, 321741378363021740122381, 864987004326438868203741, 2326383923379807524527221, 6259173861349721310121509, 16846566080172438769561989, 45358602778044342901101957, 122167932618868527082013317, 329154381234634307155848325, 887120652225013598111782222, 2391675917381543127658029746, 6449925390059084742535468204, 17399471688737091253185206304, 46950788128966506024549169455, 126727759127236841873387738247, 342152245183823499594876564459, 924022740123609257528649549891, 2496080172528582835035916914066, 6744412181176224566166476572326, 18227897902148128056421000775056, 49275755632554689170232107044532, 133239082409402742345387725185141, 360353808294536063486080206116101, 974817551880088453454847798135997, 2637618558387942721108221055896013, 7138267716471824724667855866581824, 19322517587951406252960806137247036, 52314556482709459048862426408518626, 141666554782629802275954250298036110, 383703821013799353208644567409735611, 1039458241328211131913929103110139603, 2816425625441705011341951978189910135, 7632522449290423550184482751751872655, 20687821438560945457053960703811039404, 56083699046744947594089511799948586296, 152066017660601120290405435775297968110 , 412382080781131892303426270823502218346, 1118505170075690550493534823444256924621, 3034208049556701412604108679177757454701, 8232286253844463305271602928749791511837, 22338908872538827741698795670294745143741, 60627340166790150245963277561929577809470] The first 101 terms of the sum of areas sequence, b(n), starting at n=0, ar\ e [0, 0, 0, 0, 6, 36, 126, 336, 828, 2232, 6732, 20592, 59958, 166740, 457758, 1273248, 3594336, 10166400, 28533744, 79464384, 220732452, 614022552, 1710952980, 4766597280, 13257931968, 36817478208, 102166349328, 283476017088, 786510777492, 2181508685784, 6047676248724, 16757595671424, 46418489860104, 128551141328400, 355939346170200, 985323373040160, 2726946750994650, 7545300450558876, 20873381153760882, 57734703398401776, 159666527600299884, 441494159867933400, 1220596363161903852, 3374109040822756848, 9325903049709472494, 25773390241184717604, 71220334054850308566, 196784322272915681376, 543667280817409638192, 1501877366808097316256, 4148553503297455500096, 11458348244010375463296, 31645524742602293456508, 87391503650651603320872, 241320558096690255221292, 666329669539761099582432, 1839734505458085713421888, 5079180857395941520212672, 14021870896502856006953136, 38707325934227704586357568, 106845535960682932114133256, 294914844720587729079690096, 813982185112566714799371336, 2246529359611525754515170816, 6199962914613396078654148008, 17109869268983765908518316368, 47215616553794988465389004024, 130288697121927387364018190496, 359509696603949844870632503614, 991968588339265866291987508020, 2736965315738304199300031977350, 7551362457315632816280363509136, 20833706648347003408204807388388, 57476922707004379528870639834056, 158564772991188298609213746649284, 437428051196930757132244473401424, 1206684469970471060024072078672550, 3328652244993903406544552678412468, 9181870224316483976980250306202846, 25326915023373124246295678815733280, 69858978662042494463118376891107288, 192686517213080883835069730424841200, 531459191980854932483619643874835672, 1465812258269788500123480687971329824, 4042750332281998005741806603785843290, 11149770838421914997398506198431115900, 30750040935343823578910470874587033602, 84804025740473535500389002924975911568, 233872156337706123125021097169002533148, 644958997031849370055141580794951918776, 1778596651679591974791585825567335778156, 4904727117832129574992764947486666182704, 13525224084264103911789740077286148677010, 37296368369391444808546679269871403080316, 102844551295731797364687393475609270782666, 283588683197989686254412463641481605562176, 781969049036073485087419417855276754728344, 2156172369953781813662070745718595055250352, 5945259473166543451001176778389580447258856, 16392747422655284862456549467916486419185632, 45198752065622885935490084117399672531568990] Finally, here are the average areas for n from 190 to 200 divided by n^(3/2) [[190, .7763372298], [191, .7765564335], [192, .7767740022], [193, .7769899567] , [194, .7772043169], [195, .7774171020], [196, .7776283325], [197, .7778380267 ], [198, .7780462031], [199, .7782528806], [200, .7784580769]] ----------------------------- theorem took, 20.392, seconds. Theorem Number, 3, Let a(n) be the number of generalized Dyck paths of lengt\ h n in the set of steps, {[1, -3], [1, 2]} also Let b(n) be the sum of the areas under these generalized Dyck paths of \ length n in the set of steps Let X(t), Y(t) be the ordinary generating functions of the sequences a(n), \ b(n), in other words infinity ----- \ n X(t) = ) a(n) t / ----- n = 0 infinity ----- \ n Y(t) = ) b(n) t / ----- n = 0 X(t),satisfies the algebraic equation 10 10 5 7 5 6 5 5 t X(t) + t X(t) - t X(t) + 2 t X(t) - X(t) + 1 = 0 and in Maple notation t^10*X(t)^10+t^5*X(t)^7-t^5*X(t)^6+2*t^5*X(t)^5-X(t)+1 = 0 Y(t),satisfies the algebraic equation 5 15 10 5 9765625 t (9765625 t + 54168750 t - 1428111 t + 98415) + ( 20 15 10 5817413330078125 t + 562255859375000 t + 7501992187500 t 5 + 1887996093750 t - 38443359375) Y(t) 5 15 10 5 2 - 3515625 t (13671875000 t - 435234375 t - 1287900 t + 597051) Y(t) 5 20 15 10 - 234375 t (1831054687500 t - 2143701171875 t + 58554984375 t 5 3 5 20 - 3621220020 t - 13030146) Y(t) + 15625 t (533905029296875 t 15 10 5 - 22824755859375 t + 1743357937500 t + 41419330560 t - 2687497137) 4 5 5 20 15 Y(t) + 9375 t (3125 t - 108) (1251220703125 t + 58261718750 t 10 5 5 5 - 13942040625 t + 2736685683 t - 62985600) Y(t) + 625 t 15 10 5 5 2 (2880859375 t - 2551078125 t + 292033755 t - 5038848) (3125 t - 108) 6 5 10 5 5 3 7 Y(t) - 125 t (41328125 t - 4145175 t + 46656) (3125 t - 108) Y(t) 10 5 5 4 8 - 250 t (21875 t - 2781) (3125 t - 108) Y(t) 10 5 5 9 10 5 6 10 + 900 t (3125 t - 108) Y(t) + t (3125 t - 108) Y(t) = 0 and in Maple notation 9765625*t^5*(9765625*t^15+54168750*t^10-1428111*t^5+98415)+(5817413330078125*t^ 20+562255859375000*t^15+7501992187500*t^10+1887996093750*t^5-38443359375)*Y(t)-\ 3515625*t^5*(13671875000*t^15-435234375*t^10-1287900*t^5+597051)*Y(t)^2-234375* t^5*(1831054687500*t^20-2143701171875*t^15+58554984375*t^10-3621220020*t^5-\ 13030146)*Y(t)^3+15625*t^5*(533905029296875*t^20-22824755859375*t^15+ 1743357937500*t^10+41419330560*t^5-2687497137)*Y(t)^4+9375*t^5*(3125*t^5-108)*( 1251220703125*t^20+58261718750*t^15-13942040625*t^10+2736685683*t^5-62985600)*Y (t)^5+625*t^5*(2880859375*t^15-2551078125*t^10+292033755*t^5-5038848)*(3125*t^5 -108)^2*Y(t)^6-125*t^5*(41328125*t^10-4145175*t^5+46656)*(3125*t^5-108)^3*Y(t)^ 7-250*t^10*(21875*t^5-2781)*(3125*t^5-108)^4*Y(t)^8+900*t^10*(3125*t^5-108)^5*Y (t)^9+t^10*(3125*t^5-108)^6*Y(t)^10 = 0 Using these algebraic equations, we can get many more terms. Here are the fi\ rst 101 terms of the enuerating sequence, a(n), starting at n=0, are [1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 23, 0, 0, 0, 0, 377, 0, 0, 0, 0, 7229, 0, 0, 0, 0, 151491, 0, 0, 0, 0, 3361598, 0, 0, 0, 0, 77635093, 0, 0, 0, 0, 1846620581, 0 , 0, 0, 0, 44930294909, 0, 0, 0, 0, 1113015378438, 0, 0, 0, 0, 27976770344941, 0, 0, 0, 0, 711771461238122, 0, 0, 0, 0, 18293652115906958, 0, 0, 0, 0, 474274581883631615, 0, 0, 0, 0, 12388371266483017545, 0, 0, 0, 0, 325714829431573496525, 0, 0, 0, 0, 8613086428709348334675, 0, 0, 0, 0, 228925936056388155632081, 0, 0, 0, 0, 6112355595348903438948155, 0, 0, 0, 0, 163869604996054172670563730] The first 101 terms of the sum of areas sequence, b(n), starting at n=0, ar\ e [0, 0, 0, 0, 0, 25, 0, 0, 0, 0, 865, 0, 0, 0, 0, 26995, 0, 0, 0, 0, 816085, 0, 0, 0, 0, 24315970, 0, 0, 0, 0, 718749050, 0, 0, 0, 0, 21140598165, 0, 0, 0, 0, 619760841010, 0, 0, 0, 0, 18126709860010, 0, 0, 0, 0, 529259256904285, 0, 0, 0, 0, 15433006758347000, 0, 0, 0, 0, 449561482694846210, 0, 0, 0, 0, 13084986466058233255, 0, 0, 0, 0, 380600291318473204475, 0, 0, 0, 0, 11064369261367791246775, 0, 0, 0, 0, 321502703771782207248750, 0, 0, 0, 0, 9338422012329734275418625, 0, 0, 0, 0, 271155000129947567659492685, 0, 0, 0, 0, 7871123386661146744143802950, 0, 0, 0, 0, 228426757588788794128158646350] Finally, here are the average areas for n from 190 to 200 divided by n^(3/2) [[190, 1.429331116], [195, 1.430580102], [200, 1.431784656]] ----------------------------- theorem took, 59.947, seconds. ------------------------------------------------------------- Theorem Number, 4, Let a(n) be the number of generalized Dyck paths of lengt\ h n in the set of steps, {[1, -3], [1, 0], [1, 2]} also Let b(n) be the sum of the areas under these generalized Dyck paths of \ length n in the set of steps Let X(t), Y(t) be the ordinary generating functions of the sequences a(n), \ b(n), in other words infinity ----- \ n X(t) = ) a(n) t / ----- n = 0 infinity ----- \ n Y(t) = ) b(n) t / ----- n = 0 X(t),satisfies the algebraic equation 5 5 5 6 5 2 7 1 + (t - 1) X(t) + 2 t X(t) + t (t - 1) X(t) + t (t - 1) X(t) 10 10 + t X(t) = 0 and in Maple notation 1+(t-1)*X(t)+2*t^5*X(t)^5+t^5*(t-1)*X(t)^6+t^5*(t-1)^2*X(t)^7+t^10*X(t)^10 = 0 Y(t),satisfies the algebraic equation 5 15 14 13 12 -9765625 t (45929651 t - 286601085 t + 616286070 t - 757839645 t 11 10 9 8 + 705083535 t - 709592967 t + 792470385 t - 804673845 t 7 6 5 4 3 + 697565520 t - 506848185 t + 296968356 t - 134336475 t + 44778825 t 2 20 - 10333575 t + 1476225 t - 98415) + 1953125 (2693495308 t 19 18 17 16 + 1415858270 t - 2811142540 t + 2880093790 t - 2047607645 t 15 14 13 12 + 2527965154 t - 4794402150 t + 7285322250 t - 8527040100 t 11 10 9 8 + 8105649750 t - 6535573290 t + 4625439390 t - 2919295080 t 7 6 5 4 3 + 1627324830 t - 777412890 t + 306131886 t - 95364135 t + 22438620 t 2 2 5 - 3739770 t + 393660 t - 19683) (t - 1) Y(t) - 3515625 t ( 15 14 13 12 14105224424 t - 2154337110 t + 4231697895 t - 3926137545 t 11 10 9 8 + 1090738260 t + 1682260578 t - 3258699255 t + 3996571185 t 7 6 5 4 - 3899978685 t + 3001119255 t - 1794232053 t + 814974615 t 3 2 4 2 - 271658205 t + 62690355 t - 8955765 t + 597051) (t - 1) Y(t) + 234375 5 20 19 18 t (t - 1) (4036919033624 t - 11358113400505 t + 24449738389985 t 17 16 15 - 30096410586410 t + 27894886848055 t - 27572061570851 t 14 13 12 + 29915704459890 t - 29319052035780 t + 24296117633955 t 11 10 9 - 16521212721690 t + 8525681050059 t - 2754422005140 t 8 7 6 5 + 6247617480 t + 629868815820 t - 450730158660 t + 198398163564 t 4 3 2 - 63131057370 t + 14854366440 t - 2475727740 t + 260602920 t - 13030146 3 5 20 19 ) Y(t) - 15625 t (558429036266053 t - 130882318770735 t 18 17 16 + 301839011616420 t - 415540968952770 t + 410670636328710 t 15 14 13 - 296101750825647 t + 54634028392080 t + 265665217713840 t 12 11 10 - 526626299313990 t + 641262189208320 t - 619170112777752 t 9 8 7 + 507929405344920 t - 357389809752690 t + 212683807769040 t 6 5 4 - 104788678988520 t + 41708374942608 t - 13020923628765 t 3 2 + 3063746736180 t - 510624456030 t + 53749942740 t - 2687497137) 3 4 5 20 19 (t - 1) Y(t) + 9375 t %1 (1176217272467 t + 473038997245 t 18 17 16 - 1509328276340 t + 3572657632265 t - 7259878314295 t 15 14 13 + 12766451804699 t - 19066262230665 t + 24166260957105 t 12 11 10 - 26172260230230 t + 24415593625665 t - 19869176660274 t 9 8 7 + 14314637333295 t - 9179488017765 t + 5169995708715 t 6 5 4 3 - 2482372141245 t + 979265428083 t - 305165232000 t + 71803584000 t 2 5 5 15 - 11967264000 t + 1259712000 t - 62985600) Y(t) + 625 t (5729010103 t 14 13 12 11 - 15751310895 t + 39181379265 t - 62847507690 t + 80960506695 t 10 9 8 7 - 91275244929 t + 86546522790 t - 67469037480 t + 45566505855 t 6 5 4 3 - 28139771790 t + 15423694299 t - 6878027520 t + 2292675840 t 2 2 2 6 5 - 529079040 t + 75582720 t - 5038848) (t - 1) %1 Y(t) - 125 t ( 10 9 8 7 6 45519956 t - 21192435 t + 43551270 t - 47050470 t + 30523635 t 5 4 3 2 - 15902487 t + 9797760 t - 5598720 t + 2099520 t - 466560 t + 46656) 3 4 7 10 %1 (t - 1) Y(t) + 250 t (t - 1) 5 4 3 2 4 8 (24656 t - 13905 t + 27810 t - 27810 t + 13905 t - 2781) %1 Y(t) 10 3 5 9 10 6 10 - 900 t (t - 1) %1 Y(t) + t %1 Y(t) = 0 5 4 3 2 %1 := 3233 t - 540 t + 1080 t - 1080 t + 540 t - 108 and in Maple notation -9765625*t^5*(45929651*t^15-286601085*t^14+616286070*t^13-757839645*t^12+ 705083535*t^11-709592967*t^10+792470385*t^9-804673845*t^8+697565520*t^7-\ 506848185*t^6+296968356*t^5-134336475*t^4+44778825*t^3-10333575*t^2+1476225*t-\ 98415)+1953125*(2693495308*t^20+1415858270*t^19-2811142540*t^18+2880093790*t^17 -2047607645*t^16+2527965154*t^15-4794402150*t^14+7285322250*t^13-8527040100*t^ 12+8105649750*t^11-6535573290*t^10+4625439390*t^9-2919295080*t^8+1627324830*t^7 -777412890*t^6+306131886*t^5-95364135*t^4+22438620*t^3-3739770*t^2+393660*t-\ 19683)*(t-1)^2*Y(t)-3515625*t^5*(14105224424*t^15-2154337110*t^14+4231697895*t^ 13-3926137545*t^12+1090738260*t^11+1682260578*t^10-3258699255*t^9+3996571185*t^ 8-3899978685*t^7+3001119255*t^6-1794232053*t^5+814974615*t^4-271658205*t^3+ 62690355*t^2-8955765*t+597051)*(t-1)^4*Y(t)^2+234375*t^5*(t-1)*(4036919033624*t ^20-11358113400505*t^19+24449738389985*t^18-30096410586410*t^17+27894886848055* t^16-27572061570851*t^15+29915704459890*t^14-29319052035780*t^13+24296117633955 *t^12-16521212721690*t^11+8525681050059*t^10-2754422005140*t^9+6247617480*t^8+ 629868815820*t^7-450730158660*t^6+198398163564*t^5-63131057370*t^4+14854366440* t^3-2475727740*t^2+260602920*t-13030146)*Y(t)^3-15625*t^5*(558429036266053*t^20 -130882318770735*t^19+301839011616420*t^18-415540968952770*t^17+410670636328710 *t^16-296101750825647*t^15+54634028392080*t^14+265665217713840*t^13-\ 526626299313990*t^12+641262189208320*t^11-619170112777752*t^10+507929405344920* t^9-357389809752690*t^8+212683807769040*t^7-104788678988520*t^6+41708374942608* t^5-13020923628765*t^4+3063746736180*t^3-510624456030*t^2+53749942740*t-\ 2687497137)*(t-1)^3*Y(t)^4+9375*t^5*(3233*t^5-540*t^4+1080*t^3-1080*t^2+540*t-\ 108)*(1176217272467*t^20+473038997245*t^19-1509328276340*t^18+3572657632265*t^ 17-7259878314295*t^16+12766451804699*t^15-19066262230665*t^14+24166260957105*t^ 13-26172260230230*t^12+24415593625665*t^11-19869176660274*t^10+14314637333295*t ^9-9179488017765*t^8+5169995708715*t^7-2482372141245*t^6+979265428083*t^5-\ 305165232000*t^4+71803584000*t^3-11967264000*t^2+1259712000*t-62985600)*Y(t)^5+ 625*t^5*(5729010103*t^15-15751310895*t^14+39181379265*t^13-62847507690*t^12+ 80960506695*t^11-91275244929*t^10+86546522790*t^9-67469037480*t^8+45566505855*t ^7-28139771790*t^6+15423694299*t^5-6878027520*t^4+2292675840*t^3-529079040*t^2+ 75582720*t-5038848)*(t-1)^2*(3233*t^5-540*t^4+1080*t^3-1080*t^2+540*t-108)^2*Y( t)^6-125*t^5*(45519956*t^10-21192435*t^9+43551270*t^8-47050470*t^7+30523635*t^6 -15902487*t^5+9797760*t^4-5598720*t^3+2099520*t^2-466560*t+46656)*(3233*t^5-540 *t^4+1080*t^3-1080*t^2+540*t-108)^3*(t-1)^4*Y(t)^7+250*t^10*(t-1)*(24656*t^5-\ 13905*t^4+27810*t^3-27810*t^2+13905*t-2781)*(3233*t^5-540*t^4+1080*t^3-1080*t^2 +540*t-108)^4*Y(t)^8-900*t^10*(t-1)^3*(3233*t^5-540*t^4+1080*t^3-1080*t^2+540*t -108)^5*Y(t)^9+t^10*(3233*t^5-540*t^4+1080*t^3-1080*t^2+540*t-108)^6*Y(t)^10 = 0 Using these algebraic equations, we can get many more terms. Here are the fi\ rst 101 terms of the enuerating sequence, a(n), starting at n=0, are [1, 1, 1, 1, 1, 3, 13, 43, 113, 253, 528, 1178, 3103, 9153, 27028, 75453, 198953, 510953, 1331203, 3609203, 10132634, 28762504, 80890514, 224031754, 614938259, 1691838522, 4703335222, 13220653447, 37382497972, 105697114147, 297957776877, 838064412777, 2358582333977, 6658223815277, 18867098851877, 53610064846798, 152500637451283, 433813670782263, 1233943961159183, 3511664702034048, 10006035051811618, 28554772565215768, 81599421444981493, 233399228920776418, 667966359503243868, 1912484291542862703, 5478632430815970403, 15705561151375419628, 45059540949187483403, 129378161991542330203, 371728641973788453031, 1068633456003883368806, 3073548202856839817006, 8844210959777200777056, 25462432181547349448656, 73345395990201212699240, 211385333960013337276860, 609523709779819168872845, 1758333943353483556076685, 5074499060617569686275365, 14650752840564819209991815, 42315640169200455093890115, 122268885872044382204578840, 353428873467022535016274315, 1022004261407776459856831065, 2956378553284105964610032943, 8554938810527232661681573013, 24763855175640273083958212073, 71706885105939182706878571413, 207702694966315074949870125193, 601809521647342574650439436308, 1744246187132710440747078280208, 5056895532482385326275274283683, 14665046778909823719569596682233, 42540497203341354760925933444808, 123434989354833550097902573191663, 358251437658690552984042302366413, 1040037234963378113167954700534413, 3020079249307126654570697667495163, 8771894752432359133461886337010413, 25484215639720111945389054322275122, 74054126513954396579939828670090592, 215240979298698433768656851768087752, 625743141627309939474439991269100542, 1819535376910627328280586423767043747, 5291953532423604340475952885969384574, 15394320109951449368859429696689194044, 44791115919043566856823615635765894579, 130349124565635446554588111260673551544, 379408721183466748613355969869714245199, 1104555729328092809022785081967750620214, 3216231738927885200267342828956206139514, 9366658852878937487040078943179838682839, 27283373658059096786935695462937039232439, 79485115556362975347428409640326149174714, 231604153673949654306448600560758862115253, 674960182128972927607983606311187530211083, 1967341591127513894176770436656691741812673, 5735216116475320913828672502523756941832583, 16721946181213213702695393305565657569269628, 48762901122687399156503105886316091041539123] The first 101 terms of the sum of areas sequence, b(n), starting at n=0, ar\ e [0, 0, 0, 0, 0, 25, 175, 700, 2100, 5250, 12415, 33480, 110370, 389935, 1305850 , 4005515, 11473555, 32122095, 92214885, 277045175, 856593280, 2644195810, 7996553865, 23668325145, 69333663875, 203785557745, 605469006990, 1815288580485 , 5453530623480, 16315182236100, 48513748625270, 143690674174690, 425484870003610, 1262843779860530, 3757765369330950, 11193461260908975, 33317729746969425, 99009811773581650, 293827820161157850, 871601280828269000, 2586467167054971390, 7680182711703930130, 22813379665050328545, 67757006611618031285, 201153203346081056175, 596900702358324553540, 1770803319057807189655, 5253341290273495527145, 15586531681323396265885, 46248456797063086215125, 137223498071963672098000, 407098692456220872459500, 1207534269092116949655625, 3581345790299636625344625, 10621085288560945081468125, 31498267499542705893360725, 93411708296952060853413825, 277014241915695410013338425, 821441784815310813151505275, 2435679487105804878328838500, 7221633424470097377536446655, 21410678272100652699845461235, 63476314538123973674118878340, 188183511013416947055767172420, 557876901700905929750415113700, 1653785563473490190932127023435, 4902327691382136568251699753245, 14531431100063860140454188428780, 43072440848547580794111627728340, 127666771309820027807241703881200, 378394519920455039991862763942515, 1121503152857203722639201158416680, 3323872799537595036014468358133520, 9850906714411766415614102527291685, 29194171518700356121422369176856750, 86517696527095815504689721859035115, 256391384057288939773985269185394105, 759787659313447924343832972533818095, 2251498697572270310742940396644297085, 6671783253014143433196120324482791075, 19769833115850044710455868397879326665, 58580775738810720646532903153955474630, 173579567804221448694804635251498378470, 514320509859713713891458416148667262685, 1523916571257015016497485950478828576400, 4515240766837221279909688142155511610480, 13378061812118233598549927916574830286210, 39636765637773865311060455856671634079765, 117434613435500028158692408068656678832745, 347926211327515940592606663520493885884950, 1030793119758800405713503090888570345636560, 3053862161716050182768644762250635983584870, 9047343967351739683107227303740105150165905, 26803202784664097660311605207423115370319215, 79404726499066404323626794413248265887989575, 235234078208176610684800680514261432588985620, 696864749983894357641903355966445313080155240, 2064387815533635716873393328648254354747131085, 6115454812545056860685778297917659170354403455, 18115947945248756284164982345949342366526987625, 53664653403615986408486236968239122640600835565] Finally, here are the average areas for n from 190 to 200 divided by n^(3/2) [[190, 1.139449971], [191, 1.139724166], [192, 1.139996279], [193, 1.140266338] , [194, 1.140534367], [195, 1.140800392], [196, 1.141064440], [197, 1.141326533 ], [198, 1.141586696], [199, 1.141844953], [200, 1.142101326]] ----------------------------- theorem took, 4014.092, seconds. Theorem Number, 5, Let a(n) be the number of generalized Dyck paths of lengt\ h n in the set of steps, {[1, -3], [1, 1], [1, 2]} also Let b(n) be the sum of the areas under these generalized Dyck paths of \ length n in the set of steps Let X(t), Y(t) be the ordinary generating functions of the sequences a(n), \ b(n), in other words infinity ----- \ n X(t) = ) a(n) t / ----- n = 0 infinity ----- \ n Y(t) = ) b(n) t / ----- n = 0 X(t),satisfies the algebraic equation 3 3 3 4 5 5 5 6 1 - X(t) - t X(t) + t (t + 3) X(t) + 2 t X(t) - t (t + 1) X(t) 5 7 8 8 10 10 + t X(t) - t X(t) + t X(t) = 0 and in Maple notation 1-X(t)-t^3*X(t)^3+t^3*(t+3)*X(t)^4+2*t^5*X(t)^5-t^5*(t+1)*X(t)^6+t^5*X(t)^7-t^8 *X(t)^8+t^10*X(t)^10 = 0 Y(t),satisfies the algebraic equation 3 17 16 15 -t (7339485429394706 t - 2797752748554375 t + 7939805382985599 t 14 13 12 - 6634385943180606 t + 2767035723500916 t - 5354236858583016 t 11 10 9 + 1364497892317737 t - 1532306953954710 t + 699778187771427 t 8 7 6 - 499303338881463 t + 41073885024219 t - 150597383207175 t 5 4 3 + 22732654495500 t - 3179486023875 t + 9977007613500 t 2 - 793901503125 t - 64584843750 t - 345990234375) + ( 22 21 20 207805625754631375 t + 57311402579624403 t + 280605091488360913 t 19 18 17 + 23878437234536305 t + 121886461180971302 t - 26379284641920504 t 16 15 14 + 45106604916222360 t + 14720525300861837 t + 30885846676767000 t 13 12 11 + 10383161319059904 t + 3480917567146182 t - 919143195850107 t 10 9 8 - 775190879707851 t + 22033278777132 t + 34882908052149 t 7 6 5 + 56217665279241 t - 22802447625075 t + 1217518482375 t 4 3 2 - 1067484541500 t + 2065457748375 t + 6273956250 t + 18452812500 t 3 21 - 38443359375) Y(t) - t (2334374509042325856 t 20 19 + 1719539769250009500 t + 3825581180195880158 t 18 17 + 1594497651205868841 t + 1239125565011480235 t 16 15 14 - 608628464383079874 t - 616593132660286383 t - 511958693253115182 t 13 12 11 - 133221756659793813 t + 29611409231796165 t + 8546802050412126 t 10 9 8 + 2583087226738524 t - 15201657969575850 t + 606117538033515 t 7 6 5 + 211526952347340 t + 1847768782485843 t - 147572733437190 t 4 3 2 - 68957835302430 t - 121647056787495 t + 2495654317125 t 2 3 23 + 1666104440625 t + 2569554140625) Y(t) + t (13921311882971177650 t 22 21 + 17546403168918800301 t + 32452636431078463417 t 20 19 + 24390063222763399545 t + 17388737603137217192 t 18 17 + 2264514037198539512 t - 3334890095457721537 t 16 15 - 3032705381751864624 t - 35241574096590318 t 14 13 + 2042488515548691639 t + 1433011188499280019 t 12 11 10 + 625702343222259414 t - 105338778023484837 t - 122968863906374763 t 9 8 7 - 72019349491233591 t + 6306611791563801 t + 7729639346359674 t 6 5 4 + 4860950737470597 t - 43254864099495 t - 172497701533500 t 3 2 - 122461494745500 t + 3721297504500 t + 1612037700000 t + 1151455500000) 3 3 25 24 Y(t) - t (48549155526776159414 t + 101878844518523210556 t 23 22 + 189695137798854188069 t + 208109077101017683982 t 21 20 + 154579652307757590536 t + 56011676759568886946 t 19 18 - 37331544998357501073 t - 58674323149200062451 t 17 16 - 47146543830312893046 t - 12363190347816332919 t 15 14 + 945784001405788965 t + 5738600540204064360 t 13 12 + 1449988051259578428 t + 103641228047893572 t 11 10 9 - 595529440833853584 t - 106524587038190499 t - 12650271763600836 t 8 7 6 + 38994737212122759 t + 1845078005966400 t - 748821805361640 t 5 4 3 - 1951190189925336 t - 13427279065350 t + 32613050563875 t 2 4 5 + 42192230302125 t + 511246242000 t + 318864600000) Y(t) + t (3 t - 1) 20 19 18 %1 (32912937415197639 t + 101018857847152108 t + 153435307600063833 t 17 16 15 + 181640999270273197 t + 90040139813811731 t + 30245763278730600 t 14 13 12 - 43692054942831225 t - 23186295559790286 t - 13638468790389429 t 11 10 9 + 11131296149347605 t + 6360341210900208 t + 4106773364578821 t 8 7 6 - 1064948676829641 t - 741932050341366 t - 495878621953806 t 5 4 3 + 51557685303537 t + 44728633984230 t + 29149262697510 t 2 5 5 - 536042098080 t - 886561686000 t - 590490000000) Y(t) - t ( 17 16 15 19088348385749 t + 82072962619064 t + 98204829383011 t 14 13 12 + 113804264227235 t + 21703734478035 t - 8511245501118 t 11 10 9 - 49398028661403 t - 19834592479461 t - 9491103710064 t 8 7 6 5 + 6717240029007 t + 3481258807152 t + 2167449120558 t - 293640285591 t 4 3 2 - 208421949285 t - 151732419750 t + 1509030000 t + 3516696000 t 2 2 6 5 14 13 + 3149280000) (3 t - 1) %1 Y(t) + t (8641363312 t + 41099875075 t 12 11 10 9 + 42938957000 t + 48167154643 t + 6977020127 t - 495677222 t 8 7 6 5 - 13159332450 t - 4578944238 t - 2913015501 t + 644774094 t 4 3 2 + 305745408 t + 271151550 t - 1093500 t - 4374000 t - 5832000) 3 3 7 8 8 7 6 (3 t - 1) %1 Y(t) + 5 t (155765 t - 1599350 t - 1700429 t 5 4 3 2 - 1709388 t - 55305 t + 15930 t + 139779 t + 5832 t + 11664) 4 4 8 (3 t - 1) %1 Y(t) 10 3 2 5 5 9 - 4 t (625 t - 48 t - 255 t - 225) (3 t - 1) %1 Y(t) 10 6 6 10 + t (3 t - 1) %1 Y(t) = 0 4 3 2 %1 := 1127 t + 909 t + 1053 t + 351 t + 108 and in Maple notation -t^3*(7339485429394706*t^17-2797752748554375*t^16+7939805382985599*t^15-\ 6634385943180606*t^14+2767035723500916*t^13-5354236858583016*t^12+ 1364497892317737*t^11-1532306953954710*t^10+699778187771427*t^9-499303338881463 *t^8+41073885024219*t^7-150597383207175*t^6+22732654495500*t^5-3179486023875*t^ 4+9977007613500*t^3-793901503125*t^2-64584843750*t-345990234375)+( 207805625754631375*t^22+57311402579624403*t^21+280605091488360913*t^20+ 23878437234536305*t^19+121886461180971302*t^18-26379284641920504*t^17+ 45106604916222360*t^16+14720525300861837*t^15+30885846676767000*t^14+ 10383161319059904*t^13+3480917567146182*t^12-919143195850107*t^11-\ 775190879707851*t^10+22033278777132*t^9+34882908052149*t^8+56217665279241*t^7-\ 22802447625075*t^6+1217518482375*t^5-1067484541500*t^4+2065457748375*t^3+ 6273956250*t^2+18452812500*t-38443359375)*Y(t)-t^3*(2334374509042325856*t^21+ 1719539769250009500*t^20+3825581180195880158*t^19+1594497651205868841*t^18+ 1239125565011480235*t^17-608628464383079874*t^16-616593132660286383*t^15-\ 511958693253115182*t^14-133221756659793813*t^13+29611409231796165*t^12+ 8546802050412126*t^11+2583087226738524*t^10-15201657969575850*t^9+ 606117538033515*t^8+211526952347340*t^7+1847768782485843*t^6-147572733437190*t^ 5-68957835302430*t^4-121647056787495*t^3+2495654317125*t^2+1666104440625*t+ 2569554140625)*Y(t)^2+t^3*(13921311882971177650*t^23+17546403168918800301*t^22+ 32452636431078463417*t^21+24390063222763399545*t^20+17388737603137217192*t^19+ 2264514037198539512*t^18-3334890095457721537*t^17-3032705381751864624*t^16-\ 35241574096590318*t^15+2042488515548691639*t^14+1433011188499280019*t^13+ 625702343222259414*t^12-105338778023484837*t^11-122968863906374763*t^10-\ 72019349491233591*t^9+6306611791563801*t^8+7729639346359674*t^7+ 4860950737470597*t^6-43254864099495*t^5-172497701533500*t^4-122461494745500*t^3 +3721297504500*t^2+1612037700000*t+1151455500000)*Y(t)^3-t^3*( 48549155526776159414*t^25+101878844518523210556*t^24+189695137798854188069*t^23 +208109077101017683982*t^22+154579652307757590536*t^21+56011676759568886946*t^ 20-37331544998357501073*t^19-58674323149200062451*t^18-47146543830312893046*t^ 17-12363190347816332919*t^16+945784001405788965*t^15+5738600540204064360*t^14+ 1449988051259578428*t^13+103641228047893572*t^12-595529440833853584*t^11-\ 106524587038190499*t^10-12650271763600836*t^9+38994737212122759*t^8+ 1845078005966400*t^7-748821805361640*t^6-1951190189925336*t^5-13427279065350*t^ 4+32613050563875*t^3+42192230302125*t^2+511246242000*t+318864600000)*Y(t)^4+t^5 *(3*t-1)*(1127*t^4+909*t^3+1053*t^2+351*t+108)*(32912937415197639*t^20+ 101018857847152108*t^19+153435307600063833*t^18+181640999270273197*t^17+ 90040139813811731*t^16+30245763278730600*t^15-43692054942831225*t^14-\ 23186295559790286*t^13-13638468790389429*t^12+11131296149347605*t^11+ 6360341210900208*t^10+4106773364578821*t^9-1064948676829641*t^8-741932050341366 *t^7-495878621953806*t^6+51557685303537*t^5+44728633984230*t^4+29149262697510*t ^3-536042098080*t^2-886561686000*t-590490000000)*Y(t)^5-t^5*(19088348385749*t^ 17+82072962619064*t^16+98204829383011*t^15+113804264227235*t^14+21703734478035* t^13-8511245501118*t^12-49398028661403*t^11-19834592479461*t^10-9491103710064*t ^9+6717240029007*t^8+3481258807152*t^7+2167449120558*t^6-293640285591*t^5-\ 208421949285*t^4-151732419750*t^3+1509030000*t^2+3516696000*t+3149280000)*(3*t-\ 1)^2*(1127*t^4+909*t^3+1053*t^2+351*t+108)^2*Y(t)^6+t^5*(8641363312*t^14+ 41099875075*t^13+42938957000*t^12+48167154643*t^11+6977020127*t^10-495677222*t^ 9-13159332450*t^8-4578944238*t^7-2913015501*t^6+644774094*t^5+305745408*t^4+ 271151550*t^3-1093500*t^2-4374000*t-5832000)*(3*t-1)^3*(1127*t^4+909*t^3+1053*t ^2+351*t+108)^3*Y(t)^7+5*t^8*(155765*t^8-1599350*t^7-1700429*t^6-1709388*t^5-\ 55305*t^4+15930*t^3+139779*t^2+5832*t+11664)*(3*t-1)^4*(1127*t^4+909*t^3+1053*t ^2+351*t+108)^4*Y(t)^8-4*t^10*(625*t^3-48*t^2-255*t-225)*(3*t-1)^5*(1127*t^4+ 909*t^3+1053*t^2+351*t+108)^5*Y(t)^9+t^10*(3*t-1)^6*(1127*t^4+909*t^3+1053*t^2+ 351*t+108)^6*Y(t)^10 = 0 Using these algebraic equations, we can get many more terms. Here are the fi\ rst 101 terms of the enuerating sequence, a(n), starting at n=0, are [1, 0, 0, 2, 1, 2, 17, 17, 43, 220, 322, 877, 3495, 6513, 18246, 63069, 137364, 389520, 1240075, 2986569, 8518188, 25878573, 66493272, 190276431, 563345305, 1509236554, 4329167366, 12645267502, 34810974533, 100065738510, 290410780163, 813932210810, 2344530239608, 6787557305833, 19254309739598, 55576193661986, 160849076903780, 460095808260232, 1330726621028529, 3854609838686679, 11091289883698738, 32142105512007270, 93231244950225420, 269436336814862441, 782275239126968429, 2272659702443452759, 6589810239343157113, 19166318986704163102, 55772145263374460247, 162142173234576946395, 472358120267902887834, 1376674756279594872900, 4010878829476572143211, 11702293950644785750085, 34156390861967006091545, 99691785477086455218077, 291269422749139244870783, 851314505548609913341588, 2488547243124664845745038, 7280083666427117855801423, 21304837413618125789088913, 62361753758407139671107051, 182649417204956242747279956, 535132958938634974759955297, 1568267012607831561067217426, 4598200471602623760578646612, 13486251248570460052056460406, 39565306799046460489728036542, 116121509751305318711233293189, 340908826234499979531910563125, 1001111750099707884485210110735, 2940877610209136044602641711521, 8641534773124934236147808085853, 25399148673665039564123623434585, 74675689346661363617545475194795, 219609552683154144973494773939462, 645998795482462411138580392844459, 1900771927826758281886325350540320, 5594135244345766282048746916496922, 16467893555761256982497437529348561, 48489743570501869457338440204021261, 142810310583350519221308778843335463, 420692750632600015357576327735357193, 1239561814486310364867142179465815931, 3653110876983623691870335193757810566, 10768301958010240933176613799117234428, 31748388985571971853702845242637083368, 93622839263690596641941116994288902185, 276137845032222838825996242109829561355 , 814617295146531369210891246437993488584, 2403596579822065042585469238170395500728, 7093298932747236100373206177537857305566, 20936921220006983371085638479539215714995, 61809136897663841701903486498205543616586, 182501493071776308002970597933726566736460, 538955597234262646893150255218069649895116, 1591879946841729268680714504078360863106545, 4702589490753013426330265029275480385561355, 13894154675440440446415213301620122177026850, 41057621052318058307509103771596910545471714, 121344692882623159392413986190372228129728499] The first 101 terms of the sum of areas sequence, b(n), starting at n=0, ar\ e [0, 0, 0, 9, 6, 25, 237, 273, 1040, 5938, 9703, 34105, 150017, 307616, 1026508, 3871505, 9180494, 29615378, 101864471, 264731298, 834812674, 2717743078, 7477391110, 23217915381, 73157966759, 208467834015, 640522838921, 1979657545794 , 5763134371630, 17580670359194, 53721207704729, 158429251390544, 480940672704788, 1459764757683933, 4338559491072449, 13126886562767353, 39684707282160301, 118492560806555082, 357708099294399997, 1078838277316372212, 3229994602556415238, 9735814272974648507, 29320620209744568224, 87922121838487608942, 264734511182420571512, 796568783127573171302, 2390727835338825239219, 7193240980335059805882, 21631645270104794225959, 64953369688242521019319, 195331436139407183812443, 587181797232755460058360, 1763544336903472749659477, 5301464974573405943957529, 15932425971120962664374792, 47856119138228373449717303, 143823095029851026616073981, 432146437194829870654184872, 1298058961062822847742323842, 3900283805089607031318561499, 11717479360174582841859829381, 35195499699509338852114634028, 105735190351130487864926864718, 317618588117789055582826694765, 953979081183798527994046792330, 2865602166099526145689422779853, 8607148717698895737476503924452, 25850442974118141539536129762676, 77642528610317076649609848795072, 233188085272662199520089386006753, 700308585745573715740434196640363, 2103212165114023726446191978007433, 6316226950503296408305047665774011, 18967736193189319180277048009465046, 56960864942826367771003414904227307, 171049907647715352270810548478126133, 513637104737839300023560134198849550, 1542371985655633641048259054793173394, 4631375657902180082573817643205859475, 13906594570327915216876547972420292591, 41756927368223870291013563740192718441, 125379495874076874677024647426450386651 , 376457661850345272491537244882371515240, 1130320444486208851217976597984603753247, 3393741815267485204983001874670852798743, 10189405528803364140607274258626518033202, 30592447546509705552530259046653907589931, 91848594183894049677838296438557164623603, 275755701901220377930760432510317958793037, 827888202766708222259832701467883546072739, 2485493707462027786571463193737050713205832, 7461875570700796811071597645956028496606000, 22401578488277008367235004074195632297832883, 67251767374211731301755412104131813612491689, 201894121137813786646591436868391785569311046, 606092783323999656682054647775659168310629567, 1819489541933131795118250443433117491536324964, 5462045878489142697439563185492607312098699700, 16396714231549782468582102176670993932255450590, 49221378820641466990941542870845639308380515083, 147756442742380235696948370369974288951498001433] Finally, here are the average areas for n from 190 to 200 divided by n^(3/2) [[190, 1.252082337], [191, 1.252328174], [192, 1.252572190], [193, 1.252814407] , [194, 1.253054849], [195, 1.253293535], [196, 1.253530490], [197, 1.253765732 ], [198, 1.253999283], [199, 1.254231164], [200, 1.254461393]] ----------------------------- theorem took, 7943.764, seconds. ------------------------------------------------------------- Theorem Number, 6, Let a(n) be the number of generalized Dyck paths of lengt\ h n in the set of steps, {[1, -3], [1, 0], [1, 1], [1, 2]} also Let b(n) be the sum of the areas under these generalized Dyck paths of \ length n in the set of steps Let X(t), Y(t) be the ordinary generating functions of the sequences a(n), \ b(n), in other words infinity ----- \ n X(t) = ) a(n) t / ----- n = 0 infinity ----- \ n Y(t) = ) b(n) t / ----- n = 0 X(t),satisfies the algebraic equation 3 3 3 4 5 5 5 6 1 + (t - 1) X(t) - t X(t) - t (2 t - 3) X(t) + 2 t X(t) - t X(t) 5 2 7 8 8 10 10 + t (t - 1) X(t) - t X(t) + t X(t) = 0 and in Maple notation 1+(t-1)*X(t)-t^3*X(t)^3-t^3*(2*t-3)*X(t)^4+2*t^5*X(t)^5-t^5*X(t)^6+t^5*(t-1)^2* X(t)^7-t^8*X(t)^8+t^10*X(t)^10 = 0 Y(t),satisfies the algebraic equation 3 17 16 15 -t (37157224182382574 t - 107962810458077850 t + 201112277864842017 t 14 13 12 - 273174570865066104 t + 299158346943524619 t - 274059276829707636 t 11 10 9 + 215987604559612020 t - 148531529462304699 t + 89884589475521574 t 8 7 6 - 48087033012122778 t + 22690026784207269 t - 9386564013220050 t 5 4 3 + 3356642004243750 t - 1013506495753500 t + 249408708285375 t 2 - 46815215878125 t + 5817249140625 t - 345990234375) + ( 22 21 20 609929686541462269 t - 1407471030760620491 t + 2210713839351379246 t 19 18 - 2334893022850473141 t + 1805880234046132237 t 17 16 15 - 828169242359617830 t - 117536902754616350 t + 745002849012074702 t 14 13 12 - 964491762710837808 t + 879505117270615206 t - 651779321135243733 t 11 10 9 + 411467637643642980 t - 225884593148936913 t + 108680900806381851 t 8 7 6 - 45851781269848716 t + 16923757240498941 t - 5421727291428450 t 5 4 3 + 1489280713670250 t - 344874544526250 t + 65017842685875 t 2 3 - 9261651121875 t + 864206718750 t - 38443359375) Y(t) - t ( 21 20 19 4414520729305112957 t - 7538202439370068666 t + 8258732575898229233 t 18 17 - 1266207775945739931 t - 9924568748430558360 t 16 15 + 21831639609743274975 t - 29077469100162102216 t 14 13 + 30204689446885024167 t - 26048952338004747288 t 12 11 + 19320878473482505185 t - 12526383373869115557 t 10 9 + 7155070694437274199 t - 3615835183438437810 t 8 7 6 + 1613887776397251180 t - 633791414314264905 t + 217370824027547823 t 5 4 3 - 64221159447826740 t + 16026868544428980 t - 3270011652125370 t 2 2 3 + 508779935035875 t - 52294532512500 t + 2569554140625) Y(t) + t ( 23 22 17931275864068366252 t - 21696392592598643904 t 21 20 + 5877352998677963879 t + 58934568148372659752 t 19 18 - 145681113770665167593 t + 230810627530699550804 t 17 16 - 276288490891128645145 t + 274193156473298353383 t 15 14 - 231689035923449478966 t + 170837357564189532411 t 13 12 - 111070655089052869827 t + 64157516283728847753 t 11 10 - 33087516769033993890 t + 15244304223092114196 t 9 8 7 - 6275861551869292386 t + 2300643457343772129 t - 745433276676319710 t 6 5 4 + 211805078470035507 t - 51936078561592995 t + 10771805063821500 t 3 2 - 1867455724140000 t + 259574709604500 t - 24871438800000 t 3 3 25 + 1151455500000) Y(t) - t (9397299094368552371 t 24 23 + 132938875221620566543 t - 505349335743650224185 t 22 21 + 1190558425775623139051 t - 1993337920393749284369 t 20 19 + 2703106861259812851983 t - 3060150248266138262967 t 18 17 + 3002588803706695045929 t - 2585441440706483325591 t 16 15 + 1983816190899308249244 t - 1365093361757140136442 t 14 13 + 847501405357794716943 t - 476039644917237176319 t 12 11 + 241976243322229709223 t - 111214699462144631979 t 10 9 + 46013098341464727255 t - 17033728992339516399 t 8 7 6 + 5590007964860010534 t - 1602423569214287280 t + 393584265236402955 t 5 4 3 - 80366816144869236 t + 12942594671159025 t - 1530092863593000 t 2 4 5 + 125581700494125 t - 7460368758000 t + 318864600000) Y(t) - t 20 19 (4 t - 1) %1 (80394305576410266 t - 431482695565579988 t 18 17 + 1106027963011058817 t - 2020498277711406455 t 16 15 + 2834301793492322560 t - 3290896086626686617 t 14 13 + 3229327184965935048 t - 2755916476736552499 t 12 11 + 2062195744572348885 t - 1368268203272565807 t 10 9 8 + 807472306748811150 t - 424497717069734394 t + 198636097728779964 t 7 6 5 - 82254537634585743 t + 29942048393022861 t - 9456253485514497 t 4 3 2 + 2534669049145680 t - 560354572156950 t + 95884470064080 t 5 5 17 - 10923238314000 t + 590490000000) Y(t) + t (93065131702861 t 16 15 14 - 383622655962288 t + 839537433218588 t - 1332336281398352 t 13 12 11 + 1628812220226387 t - 1650059605512354 t + 1398542590103706 t 10 9 8 - 1021805540218215 t + 644693799018357 t - 354342516728922 t 7 6 5 + 169633528004232 t - 70339208394420 t + 25165771712136 t 4 3 2 - 7600216717215 t + 1893874749750 t - 373543974000 t + 50021064000 t 2 2 6 5 14 - 3149280000) (4 t - 1) %1 Y(t) - t (42320147506 t 13 12 11 - 145310555244 t + 262168576001 t - 344678805327 t 10 9 8 7 + 341349333417 t - 281809443664 t + 188915767128 t - 108103301694 t 6 5 4 3 + 52122885237 t - 21289479264 t + 7335960642 t - 2065949550 t 2 3 3 7 8 + 474943500 t - 77274000 t + 5832000) (4 t - 1) %1 Y(t) + 5 t ( 8 7 6 5 4 3 1838450 t - 3916948 t + 5237410 t - 4573512 t + 2574090 t - 1353456 t 2 4 4 8 + 425547 t - 87480 t + 11664) (4 t - 1) %1 Y(t) 10 3 2 5 5 9 - 4 t (643 t - 213 t + 420 t - 225) (4 t - 1) %1 Y(t) 10 6 6 10 + t (4 t - 1) %1 Y(t) = 0 4 3 2 %1 := 1028 t - 576 t + 648 t - 81 t + 108 and in Maple notation -t^3*(37157224182382574*t^17-107962810458077850*t^16+201112277864842017*t^15-\ 273174570865066104*t^14+299158346943524619*t^13-274059276829707636*t^12+ 215987604559612020*t^11-148531529462304699*t^10+89884589475521574*t^9-\ 48087033012122778*t^8+22690026784207269*t^7-9386564013220050*t^6+ 3356642004243750*t^5-1013506495753500*t^4+249408708285375*t^3-46815215878125*t^ 2+5817249140625*t-345990234375)+(609929686541462269*t^22-1407471030760620491*t^ 21+2210713839351379246*t^20-2334893022850473141*t^19+1805880234046132237*t^18-\ 828169242359617830*t^17-117536902754616350*t^16+745002849012074702*t^15-\ 964491762710837808*t^14+879505117270615206*t^13-651779321135243733*t^12+ 411467637643642980*t^11-225884593148936913*t^10+108680900806381851*t^9-\ 45851781269848716*t^8+16923757240498941*t^7-5421727291428450*t^6+ 1489280713670250*t^5-344874544526250*t^4+65017842685875*t^3-9261651121875*t^2+ 864206718750*t-38443359375)*Y(t)-t^3*(4414520729305112957*t^21-\ 7538202439370068666*t^20+8258732575898229233*t^19-1266207775945739931*t^18-\ 9924568748430558360*t^17+21831639609743274975*t^16-29077469100162102216*t^15+ 30204689446885024167*t^14-26048952338004747288*t^13+19320878473482505185*t^12-\ 12526383373869115557*t^11+7155070694437274199*t^10-3615835183438437810*t^9+ 1613887776397251180*t^8-633791414314264905*t^7+217370824027547823*t^6-\ 64221159447826740*t^5+16026868544428980*t^4-3270011652125370*t^3+ 508779935035875*t^2-52294532512500*t+2569554140625)*Y(t)^2+t^3*( 17931275864068366252*t^23-21696392592598643904*t^22+5877352998677963879*t^21+ 58934568148372659752*t^20-145681113770665167593*t^19+230810627530699550804*t^18 -276288490891128645145*t^17+274193156473298353383*t^16-231689035923449478966*t^ 15+170837357564189532411*t^14-111070655089052869827*t^13+64157516283728847753*t ^12-33087516769033993890*t^11+15244304223092114196*t^10-6275861551869292386*t^9 +2300643457343772129*t^8-745433276676319710*t^7+211805078470035507*t^6-\ 51936078561592995*t^5+10771805063821500*t^4-1867455724140000*t^3+ 259574709604500*t^2-24871438800000*t+1151455500000)*Y(t)^3-t^3*( 9397299094368552371*t^25+132938875221620566543*t^24-505349335743650224185*t^23+ 1190558425775623139051*t^22-1993337920393749284369*t^21+2703106861259812851983* t^20-3060150248266138262967*t^19+3002588803706695045929*t^18-\ 2585441440706483325591*t^17+1983816190899308249244*t^16-1365093361757140136442* t^15+847501405357794716943*t^14-476039644917237176319*t^13+ 241976243322229709223*t^12-111214699462144631979*t^11+46013098341464727255*t^10 -17033728992339516399*t^9+5590007964860010534*t^8-1602423569214287280*t^7+ 393584265236402955*t^6-80366816144869236*t^5+12942594671159025*t^4-\ 1530092863593000*t^3+125581700494125*t^2-7460368758000*t+318864600000)*Y(t)^4-t ^5*(4*t-1)*(1028*t^4-576*t^3+648*t^2-81*t+108)*(80394305576410266*t^20-\ 431482695565579988*t^19+1106027963011058817*t^18-2020498277711406455*t^17+ 2834301793492322560*t^16-3290896086626686617*t^15+3229327184965935048*t^14-\ 2755916476736552499*t^13+2062195744572348885*t^12-1368268203272565807*t^11+ 807472306748811150*t^10-424497717069734394*t^9+198636097728779964*t^8-\ 82254537634585743*t^7+29942048393022861*t^6-9456253485514497*t^5+ 2534669049145680*t^4-560354572156950*t^3+95884470064080*t^2-10923238314000*t+ 590490000000)*Y(t)^5+t^5*(93065131702861*t^17-383622655962288*t^16+ 839537433218588*t^15-1332336281398352*t^14+1628812220226387*t^13-\ 1650059605512354*t^12+1398542590103706*t^11-1021805540218215*t^10+ 644693799018357*t^9-354342516728922*t^8+169633528004232*t^7-70339208394420*t^6+ 25165771712136*t^5-7600216717215*t^4+1893874749750*t^3-373543974000*t^2+ 50021064000*t-3149280000)*(4*t-1)^2*(1028*t^4-576*t^3+648*t^2-81*t+108)^2*Y(t)^ 6-t^5*(42320147506*t^14-145310555244*t^13+262168576001*t^12-344678805327*t^11+ 341349333417*t^10-281809443664*t^9+188915767128*t^8-108103301694*t^7+ 52122885237*t^6-21289479264*t^5+7335960642*t^4-2065949550*t^3+474943500*t^2-\ 77274000*t+5832000)*(4*t-1)^3*(1028*t^4-576*t^3+648*t^2-81*t+108)^3*Y(t)^7+5*t^ 8*(1838450*t^8-3916948*t^7+5237410*t^6-4573512*t^5+2574090*t^4-1353456*t^3+ 425547*t^2-87480*t+11664)*(4*t-1)^4*(1028*t^4-576*t^3+648*t^2-81*t+108)^4*Y(t)^ 8-4*t^10*(643*t^3-213*t^2+420*t-225)*(4*t-1)^5*(1028*t^4-576*t^3+648*t^2-81*t+ 108)^5*Y(t)^9+t^10*(4*t-1)^6*(1028*t^4-576*t^3+648*t^2-81*t+108)^6*Y(t)^10 = 0 Using these algebraic equations, we can get many more terms. Here are the fi\ rst 101 terms of the enuerating sequence, a(n), starting at n=0, are [1, 1, 1, 3, 10, 28, 85, 284, 950, 3194, 11022, 38663, 136648, 487293, 1753721, 6355487, 23165983, 84904035, 312705898, 1156649565, 4294810000, 16003643559, 59825332308, 224294452660, 843171200441, 3177498031365, 12001748172016, 45427657059164, 172285169942194, 654589135217652, 2491324791058185, 9496969190260568, 36256823075139673, 138613424885860426, 530635011047750827, 2033896545856682338, 7805022714021742130, 29985014430235892751, 115317102985146210440, 443934701340502461213, 1710640168411094685146, 6597696164830100974253, 25468380980469181761538, 98393939553635658707281, 380432081485727179907995, 1472016078885843224373058, 5699811041469889504991756, 22085518256918599147422882, 85633074512047665010142294, 332239004172044527705631420, 1289804426042772840710475563, 5010152549357058736981336270, 19472519304225366299869314072, 75723078161231905801420376122, 294618914274261565163427595904, 1146861660327784383305041946303, 4466545105182337751495606194975, 17403449440722249960827007794343, 67841414129086290516013122616022, 264571931776852022209934283045702, 1032228084349873876862994696458595, 4028882622307906530345355313670280, 15731310519178223621980483949394447, 61448475361812938893694772961667046, 240114323239908378128947562729345951, 938600618747833136160792097412412301, 3670242065012768513198479879987704177, 14356718472919474108835709858108136763, 56176924827537289243466168933324127373, 219886682160020303740043050003887017026, 860942482801007760071226339646160460119, 3371939897784104053426290454380940722994, 13210290561805003331846931213512188198655, 51768824718687926878016530624107004480280, 202929088095011436089101968746132068131672, 795677669780564802953896856527586188744812, 3120641180864579022975625907891371561201359, 12242252984414301255836820355652533307270650, 48038216757808658151302566891062341913688238, 188546158768052519568248931566201297081654448, 740203539943079184914583235104661237050666290, 2906596551423848236335923783649838907068997651, 11416054680308172964012779778461595181135684104, 44847957343313749904629662910028068282536013059, 176222910365029513580514622987350152605886945092, 692584807634849765886081781412732876544641789645, 2722527852741013063790826115492531411260775826638, 10704304248319701899892381102293679464852516458235, 42094885456857192899044772849453804231972964119494, 165570550433278631460082389925142116914934543222308, 651355204523828657753277183131047946083337501492969, 2562901642715766020123438488982839811154339406949910, 10086105999716541473981818803400059277163517399364352, 39700044072727772194500204092992348801415087018759753, 156290546733927398236281299600320175921972918109838236, 615385319944859059991342130688401977085639714662781450, 2423442619790241500421015910290258066966508456289465958, 9545266831448318071909426592621753398310593309835953562, 37602065992930048243238836261767009906965872271125142800, 148150208039456537601839212806944065687854532767712742656, 583792366711070099573564653938407817454385394520286304333] The first 101 terms of the sum of areas sequence, b(n), starting at n=0, ar\ e [0, 0, 0, 9, 51, 196, 853, 3835, 16019, 65715, 272768, 1126395, 4607184, 18798618, 76629195, 311589559, 1264324953, 5123830245, 20741701936, 83871191392 , 338831295834, 1367806238103, 5517831090715, 22245690928041, 89637541480814, 361015889623304, 1453367437146980, 5848651675751351, 23527931295713265, 94617916342769179, 380396812196909088, 1528921079614813694, 6143665856462752242 , 24681578100524488819, 99135376845335748396, 398108630890272620450, 1598445429831378014143, 6416863675084800369500, 25756185658145682451284, 103366189819367753466585, 414779969328422745422203, 1664190590828729198065099, 6676329449373509439384729, 26780887623295122863982984, 107415642144256941662992326, 430792423635879132166795751, 1727543350663808839956096048, 6927115657495063151036490859, 27774136058593076187855081752, 111351278923111820205188309127, 446393794322122090563989620505, 1789414726756481055709248296155, 7172578379595236357454706465392, 28748318506750099748429230170529, 115218909305022056453038456887963, 461753789931817818273114214553292, 1850434533140533303263190491978699, 7415058890240484519201050554947190, 29712152622565043602412583934390402, 119051044412360288008744678537480334, 476993841129950785659607940808218799, 1911056993039440200564441142711013948, 7656258707349709827032944750500338012, 30672021228761747708247122613256479561, 122871660534647898240747464948720814007, 492204131799598917476054956056803881852, 1971621762513881456906936641496752629882, 7897458685478052815980754258171519981934, 31632760450759005729907321993321758303224, 126699039539044700987753039843633297482029, 507453854181957186519510037863812845852193, 2032391020190278828768113708726467700981577, 8139653382182857658066381621521351838980382, 32598147275794178569936328400104336924245632, 130547540773681296257564388513478060775598591, 522797658081103013422120159330680438282965648, 2093572974643599565187428150954130639948952898, 8383636863307442359247015863569296963006695343, 33571213181827298071672293220726405329443475176, 134428748935841996339633423149908879663907396281, 538279857397240901414735653781846730112868277230, 2155337299030509110848972549262620722161250436325, 8630059404156216745485223125328169900459602706301, 34554452680908746095486182565822890723822298433841, 138352241954485187561141733960215988197434449843341, 553937260693485371863323874980328525440566316289719, 2217825576343586623135767779307626730783582976922789, 8879466074533617735784512045312616660763474681204949, 35549965998512976956002991013012144932811958450003571, 142326119111685163814478039459067995676870729755639889, 569801127903816171108855756958768995544223957219852273, 2281158555908850139194911121431129422197840274851344989, 9132323674347542275718887332318637217785648678254896014, 36559559146139590324891319610929416902694489897372007356, 146357373162696350930507635878378224004778089764052186472, 585898555242544056429309472617020215847451764719860370650, 2345441311861738441557575558905925889507298802504401828878, 9389039963413092926576042190225798203084835998823999146258, 37584815663350483763431020997229969059478284418593008171189, 150452158197446175449399926934083510901225902104837809212111, 602253476073234351303144829878363112244850586430652093210409] Finally, here are the average areas for n from 190 to 200 divided by n^(3/2) [[190, 1.068245699], [191, 1.068504374], [192, 1.068761095], [193, 1.069015887] , [194, 1.069268774], [195, 1.069519779], [196, 1.069768927], [197, 1.070016240 ], [198, 1.070261740], [199, 1.070505450], [200, 1.070747391]] ----------------------------- theorem took, 9790.377, seconds. Theorem Number, 7, Let a(n) be the number of generalized Dyck paths of lengt\ h n in the set of steps, {[1, -3], [1, 1], [1, 3]} also Let b(n) be the sum of the areas under these generalized Dyck paths of \ length n in the set of steps Let X(t), Y(t) be the ordinary generating functions of the sequences a(n), \ b(n), in other words infinity ----- \ n X(t) = ) a(n) t / ----- n = 0 infinity ----- \ n Y(t) = ) b(n) t / ----- n = 0 X(t),satisfies the algebraic equation 2 2 2 3 2 2 4 4 5 1 - X(t) + t X(t) - 3 t X(t) + t (t + 3) X(t) - 3 t X(t) 4 2 6 4 2 7 6 2 8 + t (5 t + 3) X(t) - 3 t (t + 1) X(t) + t (2 t + 3) X(t) 6 2 9 6 4 2 10 8 2 11 - t (6 t + 1) X(t) - t (4 t - 6 t - 1) X(t) - t (6 t + 1) X(t) 10 2 12 10 2 13 12 2 14 + t (2 t + 3) X(t) - 3 t (t + 1) X(t) + t (5 t + 3) X(t) 14 15 14 2 16 16 17 18 18 - 3 t X(t) + t (t + 3) X(t) - 3 t X(t) + t X(t) 18 19 20 20 - t X(t) + t X(t) = 0 and in Maple notation 1-X(t)+t^2*X(t)^2-3*t^2*X(t)^3+t^2*(t^2+3)*X(t)^4-3*t^4*X(t)^5+t^4*(5*t^2+3)*X( t)^6-3*t^4*(t^2+1)*X(t)^7+t^6*(2*t^2+3)*X(t)^8-t^6*(6*t^2+1)*X(t)^9-t^6*(4*t^4-\ 6*t^2-1)*X(t)^10-t^8*(6*t^2+1)*X(t)^11+t^10*(2*t^2+3)*X(t)^12-3*t^10*(t^2+1)*X( t)^13+t^12*(5*t^2+3)*X(t)^14-3*t^14*X(t)^15+t^14*(t^2+3)*X(t)^16-3*t^16*X(t)^17 +t^18*X(t)^18-t^18*X(t)^19+t^20*X(t)^20 = 0 Y(t),satisfies the algebraic equation 2 46 3486784401 t (19126214444458412661542771828356808704 t 44 - 77139688026471991010898839980065423360 t 42 + 148090075263251219923841858640927522816 t 40 - 179266212955681716907356752874433413120 t 38 + 153693525264250096771359715148660998144 t 36 - 99735532605551508074205105172570963968 t 34 + 51306723236213585656464059062423191552 t 32 - 21713105439067096696630818075788836864 t 30 + 7808514125039741698937607577806798848 t 28 - 2454685928686987540734588217748619264 t 26 + 689487111281916283500168342752409600 t 24 - 175196554294447041854557449385742336 t 22 + 40305943992830648881975843895824896 t 20 - 8309355900705214966525884065656704 t 18 + 1505068972110560957795694152497872 t 16 - 233077262225573536191971350102800 t 14 + 29805568162938465465956908809024 t 12 10 - 3002195988712265874109350673608 t + 220158197677250313010894726524 t 8 6 - 9638905248081514863825949260 t + 6334737890610306130086195 t 4 2 + 29714473766988855209638080 t - 1804948160717986827005952 t 2 2 + 39346408075296537575424) (2 t - 1) (2 t + 1) + 1162261467 ( 50 1861237584744311202287445855535617802240 t 48 - 8291564837307306241113311059350292267008 t 46 + 17454441923656113533913206803496316174336 t 44 - 22973598825645351131907481097107983564800 t 42 + 21190103275514873986553778880500692156416 t 40 - 14602775501490122937818902495734383247360 t 38 + 7862391407084191345244639437104492314624 t 36 - 3436101336455878166973387703333794742272 t 34 + 1266218054832413207340081625035817418752 t 32 - 408714475643267761767039631940520574976 t 30 + 119014563110762643046947088009035464704 t 28 - 31532944095807830273104407872392548352 t 26 + 7489978012811543718980327608548995072 t 24 - 1552042509284826387264405091913265664 t 22 + 272846653860556709840784727354110336 t 20 - 39697878175909531296754477723609824 t 18 + 4663642732287066182016979814209968 t 16 - 428936265074501469504235013311152 t 14 + 29579262374177895176837328981384 t 12 10 - 1470311498282981215497636071088 t + 63982652509056491641636171254 t 8 6 - 5490906513322081277109444012 t + 640995919870452905442653901 t 4 2 - 49460905841888370331171008 t + 2119719425320359127609344 t 2 2 2 - 39346408075296537575424) (2 t - 1) (2 t + 1) Y(t) + 774840978 t ( 54 709420257880804233856602063777351533068288 t 52 - 3651115101941069757294089347627618947563520 t 50 + 9028114612904125198997130070756092985475072 t 48 - 14169301127651452426725462416662564771463168 t 46 + 15792172772266092187837502973187574363848704 t 44 - 13296034058171522420395860778671258759856128 t 42 + 8809479863304160991048948344103824978345984 t 40 - 4740242263819468142627932830545704627732480 t 38 + 2129423006554123322699823555647805658234880 t 36 - 819498197106025437817010812300325153931264 t 34 + 276324953448544072651910054453958585843712 t 32 - 82786650446964103398881043241551159427072 t 30 + 22033659936878410239662335335708720816128 t 28 - 5125077212942789878597333483573464915968 t 26 + 1009914782921564279390603912161249778688 t 24 - 160451923762407791621568721419864726016 t 22 + 18606849004373024665039685797598853888 t 20 - 1062633999844456627982454580790604096 t 18 - 127723305822185861766530236550433240 t 16 + 47028967752300487984743005207159856 t 14 - 7721053240814355846508541816883210 t 12 + 878760977003493496760489458701546 t 10 - 75464449017130477743143718892293 t 8 6 + 5004599429719060901379865917900 t - 254811621584433647555204112126 t 4 2 + 9577168357479349206925378440 t - 239702164686728625201622272 t 2 2 + 3007541067255479090921472) Y(t) + 129140163 t ( 56 44300182490744710373827649981404156472066048 t 54 - 228940853161262093664248014508181955545137152 t 52 + 575830804241256286956646213438230990226980864 t 50 - 930989566856688614327312396486631428215275520 t 48 + 1081840164109687838792270607635524051722567680 t 46 - 960821599927799432937326710649035679311331328 t 44 + 679280029411005003699200606436699496345763840 t 42 - 394202569558913076535202094183623440375742464 t 40 + 192552460619086515474241963966579783594147840 t 38 - 80786834823519690771308719858789764013490176 t 36 + 29515651077683868676626790165332492735217664 t 34 - 9429374575038016529499024797555758461616128 t 32 + 2612951968880119193914953497824800291684352 t 30 - 614176156655484182178849063498526285725696 t 28 + 117306185332040100862461890229403796152320 t 26 - 16566776033343167609939887415556134916096 t 24 + 1193045144149425595059626304983608553472 t 22 + 157412486230580820306863563433968711680 t 20 - 74816076724390405058545444693292653824 t 18 + 15365869222570952361976452951025337088 t 16 - 2184384021977511843641718341939315280 t 14 + 235457292815663221808590116072211704 t 12 - 19993746856207859726557326640193358 t 10 + 1379954666169602137379718074446578 t 8 6 - 80016725205382999063400941107753 t + 3943930418736743872301435826624 t 4 2 - 156258909068662961579107176768 t + 4263405253291429565829451776 t 3 2 - 57367062973782351784968192) Y(t) + 43046721 t ( 58 1014489879325669567608568896041505055190286336 t 56 - 5157816795073352093191858712097742309791105024 t 54 + 12892643328282786904236135396737570269105750016 t 52 - 20965586567932066566632531008642309348730601472 t 50 + 24820292260232694450849143214468664707310944256 t 48 - 22754584637931654400482024498978586103587536896 t 46 + 16821382892568114099052920701470087258228916224 t 44 - 10326346651792897323354293111577167928139710464 t 42 + 5380141408159337029473400461499603027232817152 t 40 - 2413937689935850206956179450988746870272032768 t 38 + 938537215847706294438462815378621159836745728 t 36 - 315125731100298972385031207004731607697850368 t 34 + 90046208057187265776603720208604146656018432 t 32 - 21244104897854353656542930853078389928886272 t 30 + 3882292822862986965864487578124761972178944 t 28 - 453533460657926280482603464371913937190912 t 26 - 4808716896184580759662263175609942651392 t 24 + 17947076915714301791341298844169601378304 t 22 - 5106451420632335416087347146761470745344 t 20 + 904652136476272122185270547112301425728 t 18 - 112849115278692248221996211064061399992 t 16 + 9720351025588286392276038346416916200 t 14 - 479542670707171309442594662755214557 t 12 - 3590932126450533769844053862335740 t 10 + 2793347251755205650638661547171542 t 8 - 236324373847048850694202389748608 t 6 4 + 10001012527478721235813887763116 t - 178997646100920103617258220416 t 2 4 - 1562953679249247303058169856 t + 86050594460673527677452288) Y(t) + 4 58 14348907 t (18010029539191503887407461247171985175182573568 t 56 - 89043943429127604589465208342086245147786346496 t 54 + 217813889147798878937463193707002553293787365376 t 52 - 349641076426929162066275551793347032936842526720 t 50 + 412568552817219014893856551566358398444937150464 t 48 - 380549514618004165449841529833438059765784641536 t 46 + 285226978281856317840629450115063315589213716480 t 44 - 178255261010952717873629340728386766044441608192 t 42 + 94378126462178446962922552973547033371523153920 t 40 - 42586220808819338514156333198861814499760930816 t 38 + 16279922105739891184526254867937303742528880640 t 36 - 5150071202275944881059818417464318696106229760 t 34 + 1268455687165365892251954538182655306946314240 t 32 - 198045352125055913344334468647685033831301120 t 30 - 7237866642500315275886636524091196327002112 t 28 + 18237927374499825284387369435670337101103104 t 26 - 7573137118104523314592886592279006915342336 t 24 + 2086700472117337497538015237021637189078016 t 22 - 435259873656179053521456724705539282216960 t 20 + 70701500947477000038319276711092997982208 t 18 - 8838964244919700061396719962454827551808 t 16 + 801838742536454797537801563871815623856 t 14 - 42343735518104695897544997677269862256 t 12 - 737191385753849767143515045574910692 t 10 + 413610174813112748890377563939861790 t 8 - 45796931296079138978022014461007850 t 6 + 3006696708020328731537351350834269 t 4 - 126192352092827881752727570226952 t 2 + 3162577815593075800913797476864 t - 36388645132557318016602636288) 5 4 60 Y(t) + 4782969 t (255547488963980660709721092540540428214075392000 t 58 - 1220776063713421071780406493645138156262686457856 t 56 + 2890704936882762474793976679829806433687373348864 t 54 - 4504292431143377085158659344382935619846958743552 t 52 + 5167317293433058132365102588017394227371329978368 t 50 - 4622495415860150680374330732046471943877973508096 t 48 + 3324838521206425415092724101490745653057491566592 t 46 - 1944005981852810012898013351956231464642397863936 t 44 + 911741815391611081451652880758450410441016344576 t 42 - 320974397864831534121641871475664286347134238720 t 40 + 61999156840041063298038071452482187829880815616 t 38 + 16618771691963464200720527934732806137539723264 t 36 - 23999206699859904578223317608090798277215125504 t 34 + 14462435192218760241088445754398905218136276992 t 32 - 6330158493242486537655053903046659894219833344 t 30 + 2224698541926988994568510041820042613098676224 t 28 - 649949438847003896366020851718050935120240640 t 26 + 160087009364329077604236486763263694294462464 t 24 - 33402684515375565601946818734423994422704640 t 22 + 5899130066115465903833799056649160125606912 t 20 - 877018916050872272697053053402504439533632 t 18 + 108621284061718745140342102576113724532928 t 16 - 11015549452648073833137900755474384626056 t 14 + 888656074323903872186904877492005170724 t 12 - 54033726428443354215878248471523728110 t 10 + 2172042688831539638326967380930689708 t 8 - 28614125722665533593839377688374463 t 6 - 2792455267891636231599715218947484 t 4 + 209344881121908117844868950852224 t 2 - 6515940592778120687102351634432 t + 83641177815774668902483623936) 6 4 62 Y(t) + 1594323 t (2945338426310836085678851810161371661204396703744 t 60 - 13514682803356739911432680823284806614240045563904 t 58 + 30598766972771558826907245409022672025266650349568 t 56 - 45201240643090569227092190969880808797623679975424 t 54 + 48248537584632607849273848484461680362082975875072 t 52 - 38512754175105730925667356082390849791835674509312 t 50 + 22340474668896533574118773769789205019317994782720 t 48 - 7575402890502637537285634658192608930004910211072 t 46 - 1460764264319213313863636388411212536181830975488 t 44 + 4741147446084314209027312637610435649711015723008 t 42 - 4496030279820473422290521321736882489135655288832 t 40 + 3012549432833159097602598045497060603140616749056 t 38 - 1619160334203052061206039019633212803250755993600 t 36 + 729726305809527090528125760778839286718077599744 t 34 - 281456567305467136181060582404498877993571581952 t 32 + 93894629806960554192057289420367536495519727616 t 30 - 27243294380432719571265920574068211187996753920 t 28 + 6891825961538469925616277566621919845611978752 t 26 - 1520348540270603460667960537512794516023185408 t 24 + 291951034950654137120659682639605235538094080 t 22 - 48619659879867328160412895299156002325723648 t 20 + 6980658583614465261495362606421880273303680 t 18 - 856860932796764157821941267877220656469024 t 16 + 88882060355631382290595296030784802428560 t 14 - 7668542166490889508188147002818705187272 t 12 + 538332034299355424116149337692161082936 t 10 - 29791970712656863899802170922774445769 t 8 + 1238112985008928410713237911008710166 t 6 - 35508911425425635104576943463641139 t 4 + 581554228569935418421575382675008 t 2 - 2021764095015678324877221347328 t - 62730883361831001676862717952) 7 6 62 Y(t) + 531441 t (27704809671360309680545567527238971582760922120192 t 60 - 120634005905822136369220092710133298574921339764736 t 58 + 254584005424765704091385169288376217998498625224704 t 56 - 337139244727378280746312832940066349022291989364736 t 54 + 292664226056390346231571761580687183487688389951488 t 52 - 133879135626859917011047407118466303049286230736896 t 50 - 54360977586553207225358300226973279712806988414976 t 48 + 186337193828737389972812620913096272128799139692544 t 46 - 228138704609630029211691053178830177740075550375936 t 44 + 198734680779229649890418884529726595981868252790784 t 42 - 138783227406821156447626221158627330837148088664064 t 40 + 81280564654120577309436964879574301405630619975680 t 38 - 40828157528508201127216803073971667529418638622720 t 36 + 17815809242100436008805069074688488435843669688320 t 34 - 6806164854520893767870803950678054426699148296192 t 32 + 2287271045761339209154255565013074995673535873024 t 30 - 677970759334011594268068662531257826018668118016 t 28 + 177431243697638115303434133184963995302699728896 t 26 - 40982271590403207257086468234720566786084765696 t 24 + 8339176888922822609944052659461824660272951296 t 22 - 1490023092819047976957092907049021412913434112 t 20 + 232641325363001730632491131727571545219740672 t 18 - 31526466201603932042698138930499501576202432 t 16 + 3674939941644657930246986959902842363985216 t 14 - 364143867037446630404783736118154503929663 t 12 + 30198339951956621025434763695831625245334 t 10 - 2052853926714942160204164851614787939649 t 8 + 111170109106764529061318771258757729258 t 6 - 4601556895888511515630740939792701355 t 4 + 136402047681412525185772119980065968 t 2 - 2572448012256307735630786767727104 t + 23139854600095410743552735084544 8 6 58 ) Y(t) + 177147 t %1 (3429579208454824072828746943065805425922277376 t 56 - 12278652248157593835989687658367035996725313536 t 54 + 19417789467063775657561494618781701224903213056 t 52 - 13977123017060245587915455476194254225728864256 t 50 - 6364736010221390334460202475656251019473453056 t 48 + 32076197876238292787832946366382272398294515712 t 46 - 50054107908406540677713559804271055554520023040 t 44 + 53520003414726883479185841093456840008134557696 t 42 - 44746094108265642921141736754696769560408752128 t 40 + 30781493032874123104089767544587323966664736768 t 38 - 17882411416467800796872930588185083293334503424 t 36 + 8908688618894383689167401286427544323184656384 t 34 - 3842875918315667219007410468451350960337321984 t 32 + 1444327763472684444261896328427691740116811776 t 30 - 474808847564163777386581325613985032851030016 t 28 + 136799487163648691201519984757522873655590912 t 26 - 34556630984841696264526247763995330459320320 t 24 + 7644763733022507315009398197540309078210560 t 22 - 1477096396145856190983630676173244603379712 t 20 + 248174125433350141868408348023887535145472 t 18 - 36029501563666114249996230368578505912544 t 16 + 4480865473793334897417466487465409868872 t 14 - 471911475755530329461281591903770613794 t 12 + 41447616907391832913707845669816931417 t 10 - 2973949363369431233832376529349848712 t 8 + 169433437884731489881870451926280658 t 6 - 7354381771710586032741496279737144 t 4 + 227868439425070781656840272100992 t 2 - 4477235286977997261463631867904 t + 41820588907887334451241811968) 9 6 54 Y(t) + 59049 t (332815488158639439084707272993146367115264 t 52 - 835612491634231939968945916919571046989824 t 50 + 398143975211939942917646280742680500633600 t 48 + 1759908384859934214548341585985863197655040 t 46 - 4936026057260076921033700596375388208234496 t 44 + 7452025808668545836236021888340343086120960 t 42 - 8089477304102158794692684708942520529190912 t 40 + 6893293675905776025867434040913554183290880 t 38 - 4804141141324247691097236669467293925769216 t 36 + 2802548863232176905264243974685176096620544 t 34 - 1388368562010615892707991662599470354268160 t 32 + 589574093362854218337994288141212864479232 t 30 - 215909273840171267795763794616556085772288 t 28 + 68429851196551019875954727343728860594176 t 26 - 18798329102700759462549724381658916544512 t 24 + 4474593453784435610208480331494092789760 t 22 - 920945022048718401457873147746544374528 t 20 + 163243578715507885458492123870209602176 t 18 - 24771018922973220035118490624457761392 t 16 + 3190786562974506887595991637701195992 t 14 - 344949915374272830613076174793280725 t 12 + 30825432305317234084026356085302082 t 10 - 2230695987148704433310668986017463 t 8 + 127057085030764000699324704862668 t 6 4 - 5465502785643553862636631549552 t + 166349949649667577035341290432 t 2 2 10 - 3182311664049684545747509248 t + 28683531486891175892484096) %1 Y(t) 8 48 + 39366 t (11438853036017884247137414116431364096 t 46 - 5032127543762744427155754299152138240 t 44 - 77938444925307580052490974536103100416 t 42 + 237441038775485717304328842586546503680 t 40 - 392717302314213771408001542970889207808 t 38 + 456013761140144799398192851479687069696 t 36 - 406521853595702455855436040793038520320 t 34 + 290767356835076673318899880968035762176 t 32 - 171165383632275516936588857473713045504 t 30 + 84252884479526315386968891344258072576 t 28 - 35029205699682291791351527980961431552 t 26 + 12376776208228753602936783920760225792 t 24 - 3727747374162303970974647191939670016 t 22 + 957508489781330346274850455595867136 t 20 - 209324944526527814778389650627431936 t 18 + 38770954481493742523464484366860224 t 16 - 6039600208083963333080793621068688 t 14 + 782886870949067312967699045192684 t 12 - 83203203466459723968802585367946 t 10 8 + 7102968566456653358786945081343 t - 473275625453424083647440331569 t 6 4 + 23598641624973620564573441883 t - 823926007598109614891528256 t 2 3 11 + 17856698723429866625721600 t - 179517986843540452687872) %1 Y(t) + 10 42 6561 t (639448196652070827889916853092352 t 40 + 6853500021010360246915510889873408 t 38 - 30575380395510019598086655229034496 t 36 + 61537378484294123980004791360159744 t 34 - 80481711053107351087704014506164224 t 32 + 77215496569045929088090297153355776 t 30 - 57600099702135103857734711389454336 t 28 + 34519976586454018473706493478174720 t 26 - 16954318747503457835887179067686912 t 24 + 6907791454776372552147234326052864 t 22 - 2350898289157492934426636402319360 t 20 + 670159000119105339032400391544832 t 18 - 159897518047413748330025322302208 t 16 + 31796590133808859777928119070208 t 14 12 - 5227449064046384007846554978976 t + 701574185429368791145122207960 t 10 8 - 75447889169892271296375222711 t + 6327845080005941680867081164 t 6 4 - 397517428305632063388805515 t + 17535117864938467606807968 t 2 4 12 - 482670350371417704693120 t + 6216185998006918262784) %1 Y(t) - 2187 10 38 t (89958018413737296149386100736 t 36 - 1175448209138987752374421946368 t 34 + 3452891705762168529528907890688 t 32 - 5514287311857242899906222358528 t 30 + 5932896034872430100647967195136 t 28 - 4716071684942696852044040372224 t 26 + 2906787181994156707478588096512 t 24 22 - 1428415882171018633558061088768 t + 568843713203337475082023919616 t 20 18 - 185175752459643090503747960832 t + 49421215237261691353808185344 t 16 14 - 10794744968038815054470825088 t + 1917479820391630212777024960 t 12 10 - 273833245139167430257506552 t + 30878619547763249740301706 t 8 6 - 2675924383888004301446265 t + 171034470370606799293092 t 4 2 - 7548896835281833515297 t + 204106376254482762624 t 5 13 12 - 2529990231179046912) %1 Y(t) - 729 t ( 32 30 16693444220509156961943552 t - 119155851829001654215114752 t 28 26 + 275569506144824650751803392 t - 359083384487789802901995520 t 24 22 + 315765610329360233852043264 t - 203522579768888700481241088 t 20 18 + 100363683826992369522720768 t - 38758012915868755405719552 t 16 14 + 11845663533983880986155776 t - 2867601272045842773492480 t 12 10 + 545861187921141097671168 t - 80491712813680295600136 t 8 6 + 8971779421542031578261 t - 726863072049911303262 t 4 2 + 40101008811301409274 t - 1334603828868776640 t + 19955341329601536) 6 14 14 26 %1 Y(t) - 243 t (1499845934472885174272 t 24 22 - 8466525852808557625344 t + 16008037078078838276096 t 20 18 - 16892901090847567151104 t + 11856037454062379556864 t 16 14 - 5980982565236398774272 t + 2253532360715825001984 t 12 10 - 645304586365930840704 t + 140240946336101600256 t 8 6 4 - 22679753886105932808 t + 2627986984417011186 t - 204956308709846757 t 2 7 15 14 + 9591344251261704 t - 202847169312576) %1 Y(t) - 81 t ( 22 20 18 77781225523970048 t - 414035455667601408 t + 649281307288670208 t 16 14 12 - 543286560876931072 t + 291044918055481344 t - 107279547017291136 t 10 8 6 + 28265306283051552 t - 5388030209811312 t + 724480509448107 t 4 2 8 16 16 - 64214426302452 t + 3309948471132 t - 74384733888) %1 Y(t) - 27 t 16 14 12 (813655605248 t - 11998526394368 t + 16943105940992 t 10 8 6 - 10992441569664 t + 4012298812224 t - 876186766656 t 4 2 9 17 18 + 114878298600 t - 8281445103 t + 242337096) %1 Y(t) + 27 t ( 10 8 6 4 2 83891456 t + 21154688 t - 90106848 t + 44470080 t - 8306955 t 10 18 + 551124) %1 Y(t) 18 6 4 2 11 19 20 12 20 + 3 t (22816 t - 4320 t - 4266 t + 729) %1 Y(t) + t %1 Y(t) = 0 6 4 2 %1 := 61504 t - 26352 t + 8640 t - 729 and in Maple notation 3486784401*t^2*(19126214444458412661542771828356808704*t^46-\ 77139688026471991010898839980065423360*t^44+ 148090075263251219923841858640927522816*t^42-\ 179266212955681716907356752874433413120*t^40+ 153693525264250096771359715148660998144*t^38-\ 99735532605551508074205105172570963968*t^36+ 51306723236213585656464059062423191552*t^34-\ 21713105439067096696630818075788836864*t^32+ 7808514125039741698937607577806798848*t^30-\ 2454685928686987540734588217748619264*t^28+689487111281916283500168342752409600 *t^26-175196554294447041854557449385742336*t^24+ 40305943992830648881975843895824896*t^22-8309355900705214966525884065656704*t^ 20+1505068972110560957795694152497872*t^18-233077262225573536191971350102800*t^ 16+29805568162938465465956908809024*t^14-3002195988712265874109350673608*t^12+ 220158197677250313010894726524*t^10-9638905248081514863825949260*t^8+ 6334737890610306130086195*t^6+29714473766988855209638080*t^4-\ 1804948160717986827005952*t^2+39346408075296537575424)*(2*t-1)^2*(2*t+1)^2+ 1162261467*(1861237584744311202287445855535617802240*t^50-\ 8291564837307306241113311059350292267008*t^48+ 17454441923656113533913206803496316174336*t^46-\ 22973598825645351131907481097107983564800*t^44+ 21190103275514873986553778880500692156416*t^42-\ 14602775501490122937818902495734383247360*t^40+ 7862391407084191345244639437104492314624*t^38-\ 3436101336455878166973387703333794742272*t^36+ 1266218054832413207340081625035817418752*t^34-\ 408714475643267761767039631940520574976*t^32+ 119014563110762643046947088009035464704*t^30-\ 31532944095807830273104407872392548352*t^28+ 7489978012811543718980327608548995072*t^26-\ 1552042509284826387264405091913265664*t^24+272846653860556709840784727354110336 *t^22-39697878175909531296754477723609824*t^20+ 4663642732287066182016979814209968*t^18-428936265074501469504235013311152*t^16+ 29579262374177895176837328981384*t^14-1470311498282981215497636071088*t^12+ 63982652509056491641636171254*t^10-5490906513322081277109444012*t^8+ 640995919870452905442653901*t^6-49460905841888370331171008*t^4+ 2119719425320359127609344*t^2-39346408075296537575424)*(2*t-1)^2*(2*t+1)^2*Y(t) +774840978*t^2*(709420257880804233856602063777351533068288*t^54-\ 3651115101941069757294089347627618947563520*t^52+ 9028114612904125198997130070756092985475072*t^50-\ 14169301127651452426725462416662564771463168*t^48+ 15792172772266092187837502973187574363848704*t^46-\ 13296034058171522420395860778671258759856128*t^44+ 8809479863304160991048948344103824978345984*t^42-\ 4740242263819468142627932830545704627732480*t^40+ 2129423006554123322699823555647805658234880*t^38-\ 819498197106025437817010812300325153931264*t^36+ 276324953448544072651910054453958585843712*t^34-\ 82786650446964103398881043241551159427072*t^32+ 22033659936878410239662335335708720816128*t^30-\ 5125077212942789878597333483573464915968*t^28+ 1009914782921564279390603912161249778688*t^26-\ 160451923762407791621568721419864726016*t^24+ 18606849004373024665039685797598853888*t^22-\ 1062633999844456627982454580790604096*t^20-127723305822185861766530236550433240 *t^18+47028967752300487984743005207159856*t^16-\ 7721053240814355846508541816883210*t^14+878760977003493496760489458701546*t^12-\ 75464449017130477743143718892293*t^10+5004599429719060901379865917900*t^8-\ 254811621584433647555204112126*t^6+9577168357479349206925378440*t^4-\ 239702164686728625201622272*t^2+3007541067255479090921472)*Y(t)^2+129140163*t^2 *(44300182490744710373827649981404156472066048*t^56-\ 228940853161262093664248014508181955545137152*t^54+ 575830804241256286956646213438230990226980864*t^52-\ 930989566856688614327312396486631428215275520*t^50+ 1081840164109687838792270607635524051722567680*t^48-\ 960821599927799432937326710649035679311331328*t^46+ 679280029411005003699200606436699496345763840*t^44-\ 394202569558913076535202094183623440375742464*t^42+ 192552460619086515474241963966579783594147840*t^40-\ 80786834823519690771308719858789764013490176*t^38+ 29515651077683868676626790165332492735217664*t^36-\ 9429374575038016529499024797555758461616128*t^34+ 2612951968880119193914953497824800291684352*t^32-\ 614176156655484182178849063498526285725696*t^30+ 117306185332040100862461890229403796152320*t^28-\ 16566776033343167609939887415556134916096*t^26+ 1193045144149425595059626304983608553472*t^24+ 157412486230580820306863563433968711680*t^22-\ 74816076724390405058545444693292653824*t^20+ 15365869222570952361976452951025337088*t^18-\ 2184384021977511843641718341939315280*t^16+235457292815663221808590116072211704 *t^14-19993746856207859726557326640193358*t^12+ 1379954666169602137379718074446578*t^10-80016725205382999063400941107753*t^8+ 3943930418736743872301435826624*t^6-156258909068662961579107176768*t^4+ 4263405253291429565829451776*t^2-57367062973782351784968192)*Y(t)^3+43046721*t^ 2*(1014489879325669567608568896041505055190286336*t^58-\ 5157816795073352093191858712097742309791105024*t^56+ 12892643328282786904236135396737570269105750016*t^54-\ 20965586567932066566632531008642309348730601472*t^52+ 24820292260232694450849143214468664707310944256*t^50-\ 22754584637931654400482024498978586103587536896*t^48+ 16821382892568114099052920701470087258228916224*t^46-\ 10326346651792897323354293111577167928139710464*t^44+ 5380141408159337029473400461499603027232817152*t^42-\ 2413937689935850206956179450988746870272032768*t^40+ 938537215847706294438462815378621159836745728*t^38-\ 315125731100298972385031207004731607697850368*t^36+ 90046208057187265776603720208604146656018432*t^34-\ 21244104897854353656542930853078389928886272*t^32+ 3882292822862986965864487578124761972178944*t^30-\ 453533460657926280482603464371913937190912*t^28-\ 4808716896184580759662263175609942651392*t^26+ 17947076915714301791341298844169601378304*t^24-\ 5106451420632335416087347146761470745344*t^22+ 904652136476272122185270547112301425728*t^20-\ 112849115278692248221996211064061399992*t^18+ 9720351025588286392276038346416916200*t^16-479542670707171309442594662755214557 *t^14-3590932126450533769844053862335740*t^12+ 2793347251755205650638661547171542*t^10-236324373847048850694202389748608*t^8+ 10001012527478721235813887763116*t^6-178997646100920103617258220416*t^4-\ 1562953679249247303058169856*t^2+86050594460673527677452288)*Y(t)^4+14348907*t^ 4*(18010029539191503887407461247171985175182573568*t^58-\ 89043943429127604589465208342086245147786346496*t^56+ 217813889147798878937463193707002553293787365376*t^54-\ 349641076426929162066275551793347032936842526720*t^52+ 412568552817219014893856551566358398444937150464*t^50-\ 380549514618004165449841529833438059765784641536*t^48+ 285226978281856317840629450115063315589213716480*t^46-\ 178255261010952717873629340728386766044441608192*t^44+ 94378126462178446962922552973547033371523153920*t^42-\ 42586220808819338514156333198861814499760930816*t^40+ 16279922105739891184526254867937303742528880640*t^38-\ 5150071202275944881059818417464318696106229760*t^36+ 1268455687165365892251954538182655306946314240*t^34-\ 198045352125055913344334468647685033831301120*t^32-\ 7237866642500315275886636524091196327002112*t^30+ 18237927374499825284387369435670337101103104*t^28-\ 7573137118104523314592886592279006915342336*t^26+ 2086700472117337497538015237021637189078016*t^24-\ 435259873656179053521456724705539282216960*t^22+ 70701500947477000038319276711092997982208*t^20-\ 8838964244919700061396719962454827551808*t^18+ 801838742536454797537801563871815623856*t^16-\ 42343735518104695897544997677269862256*t^14-\ 737191385753849767143515045574910692*t^12+413610174813112748890377563939861790* t^10-45796931296079138978022014461007850*t^8+3006696708020328731537351350834269 *t^6-126192352092827881752727570226952*t^4+3162577815593075800913797476864*t^2-\ 36388645132557318016602636288)*Y(t)^5+4782969*t^4*( 255547488963980660709721092540540428214075392000*t^60-\ 1220776063713421071780406493645138156262686457856*t^58+ 2890704936882762474793976679829806433687373348864*t^56-\ 4504292431143377085158659344382935619846958743552*t^54+ 5167317293433058132365102588017394227371329978368*t^52-\ 4622495415860150680374330732046471943877973508096*t^50+ 3324838521206425415092724101490745653057491566592*t^48-\ 1944005981852810012898013351956231464642397863936*t^46+ 911741815391611081451652880758450410441016344576*t^44-\ 320974397864831534121641871475664286347134238720*t^42+ 61999156840041063298038071452482187829880815616*t^40+ 16618771691963464200720527934732806137539723264*t^38-\ 23999206699859904578223317608090798277215125504*t^36+ 14462435192218760241088445754398905218136276992*t^34-\ 6330158493242486537655053903046659894219833344*t^32+ 2224698541926988994568510041820042613098676224*t^30-\ 649949438847003896366020851718050935120240640*t^28+ 160087009364329077604236486763263694294462464*t^26-\ 33402684515375565601946818734423994422704640*t^24+ 5899130066115465903833799056649160125606912*t^22-\ 877018916050872272697053053402504439533632*t^20+ 108621284061718745140342102576113724532928*t^18-\ 11015549452648073833137900755474384626056*t^16+ 888656074323903872186904877492005170724*t^14-\ 54033726428443354215878248471523728110*t^12+ 2172042688831539638326967380930689708*t^10-28614125722665533593839377688374463* t^8-2792455267891636231599715218947484*t^6+209344881121908117844868950852224*t^ 4-6515940592778120687102351634432*t^2+83641177815774668902483623936)*Y(t)^6+ 1594323*t^4*(2945338426310836085678851810161371661204396703744*t^62-\ 13514682803356739911432680823284806614240045563904*t^60+ 30598766972771558826907245409022672025266650349568*t^58-\ 45201240643090569227092190969880808797623679975424*t^56+ 48248537584632607849273848484461680362082975875072*t^54-\ 38512754175105730925667356082390849791835674509312*t^52+ 22340474668896533574118773769789205019317994782720*t^50-\ 7575402890502637537285634658192608930004910211072*t^48-\ 1460764264319213313863636388411212536181830975488*t^46+ 4741147446084314209027312637610435649711015723008*t^44-\ 4496030279820473422290521321736882489135655288832*t^42+ 3012549432833159097602598045497060603140616749056*t^40-\ 1619160334203052061206039019633212803250755993600*t^38+ 729726305809527090528125760778839286718077599744*t^36-\ 281456567305467136181060582404498877993571581952*t^34+ 93894629806960554192057289420367536495519727616*t^32-\ 27243294380432719571265920574068211187996753920*t^30+ 6891825961538469925616277566621919845611978752*t^28-\ 1520348540270603460667960537512794516023185408*t^26+ 291951034950654137120659682639605235538094080*t^24-\ 48619659879867328160412895299156002325723648*t^22+ 6980658583614465261495362606421880273303680*t^20-\ 856860932796764157821941267877220656469024*t^18+ 88882060355631382290595296030784802428560*t^16-\ 7668542166490889508188147002818705187272*t^14+ 538332034299355424116149337692161082936*t^12-\ 29791970712656863899802170922774445769*t^10+ 1238112985008928410713237911008710166*t^8-35508911425425635104576943463641139*t ^6+581554228569935418421575382675008*t^4-2021764095015678324877221347328*t^2-\ 62730883361831001676862717952)*Y(t)^7+531441*t^6*( 27704809671360309680545567527238971582760922120192*t^62-\ 120634005905822136369220092710133298574921339764736*t^60+ 254584005424765704091385169288376217998498625224704*t^58-\ 337139244727378280746312832940066349022291989364736*t^56+ 292664226056390346231571761580687183487688389951488*t^54-\ 133879135626859917011047407118466303049286230736896*t^52-\ 54360977586553207225358300226973279712806988414976*t^50+ 186337193828737389972812620913096272128799139692544*t^48-\ 228138704609630029211691053178830177740075550375936*t^46+ 198734680779229649890418884529726595981868252790784*t^44-\ 138783227406821156447626221158627330837148088664064*t^42+ 81280564654120577309436964879574301405630619975680*t^40-\ 40828157528508201127216803073971667529418638622720*t^38+ 17815809242100436008805069074688488435843669688320*t^36-\ 6806164854520893767870803950678054426699148296192*t^34+ 2287271045761339209154255565013074995673535873024*t^32-\ 677970759334011594268068662531257826018668118016*t^30+ 177431243697638115303434133184963995302699728896*t^28-\ 40982271590403207257086468234720566786084765696*t^26+ 8339176888922822609944052659461824660272951296*t^24-\ 1490023092819047976957092907049021412913434112*t^22+ 232641325363001730632491131727571545219740672*t^20-\ 31526466201603932042698138930499501576202432*t^18+ 3674939941644657930246986959902842363985216*t^16-\ 364143867037446630404783736118154503929663*t^14+ 30198339951956621025434763695831625245334*t^12-\ 2052853926714942160204164851614787939649*t^10+ 111170109106764529061318771258757729258*t^8-\ 4601556895888511515630740939792701355*t^6+136402047681412525185772119980065968* t^4-2572448012256307735630786767727104*t^2+23139854600095410743552735084544)*Y( t)^8+177147*t^6*(61504*t^6-26352*t^4+8640*t^2-729)*( 3429579208454824072828746943065805425922277376*t^58-\ 12278652248157593835989687658367035996725313536*t^56+ 19417789467063775657561494618781701224903213056*t^54-\ 13977123017060245587915455476194254225728864256*t^52-\ 6364736010221390334460202475656251019473453056*t^50+ 32076197876238292787832946366382272398294515712*t^48-\ 50054107908406540677713559804271055554520023040*t^46+ 53520003414726883479185841093456840008134557696*t^44-\ 44746094108265642921141736754696769560408752128*t^42+ 30781493032874123104089767544587323966664736768*t^40-\ 17882411416467800796872930588185083293334503424*t^38+ 8908688618894383689167401286427544323184656384*t^36-\ 3842875918315667219007410468451350960337321984*t^34+ 1444327763472684444261896328427691740116811776*t^32-\ 474808847564163777386581325613985032851030016*t^30+ 136799487163648691201519984757522873655590912*t^28-\ 34556630984841696264526247763995330459320320*t^26+ 7644763733022507315009398197540309078210560*t^24-\ 1477096396145856190983630676173244603379712*t^22+ 248174125433350141868408348023887535145472*t^20-\ 36029501563666114249996230368578505912544*t^18+ 4480865473793334897417466487465409868872*t^16-\ 471911475755530329461281591903770613794*t^14+ 41447616907391832913707845669816931417*t^12-\ 2973949363369431233832376529349848712*t^10+169433437884731489881870451926280658 *t^8-7354381771710586032741496279737144*t^6+227868439425070781656840272100992*t ^4-4477235286977997261463631867904*t^2+41820588907887334451241811968)*Y(t)^9+ 59049*t^6*(332815488158639439084707272993146367115264*t^54-\ 835612491634231939968945916919571046989824*t^52+ 398143975211939942917646280742680500633600*t^50+ 1759908384859934214548341585985863197655040*t^48-\ 4936026057260076921033700596375388208234496*t^46+ 7452025808668545836236021888340343086120960*t^44-\ 8089477304102158794692684708942520529190912*t^42+ 6893293675905776025867434040913554183290880*t^40-\ 4804141141324247691097236669467293925769216*t^38+ 2802548863232176905264243974685176096620544*t^36-\ 1388368562010615892707991662599470354268160*t^34+ 589574093362854218337994288141212864479232*t^32-\ 215909273840171267795763794616556085772288*t^30+ 68429851196551019875954727343728860594176*t^28-\ 18798329102700759462549724381658916544512*t^26+ 4474593453784435610208480331494092789760*t^24-\ 920945022048718401457873147746544374528*t^22+ 163243578715507885458492123870209602176*t^20-\ 24771018922973220035118490624457761392*t^18+ 3190786562974506887595991637701195992*t^16-344949915374272830613076174793280725 *t^14+30825432305317234084026356085302082*t^12-\ 2230695987148704433310668986017463*t^10+127057085030764000699324704862668*t^8-\ 5465502785643553862636631549552*t^6+166349949649667577035341290432*t^4-\ 3182311664049684545747509248*t^2+28683531486891175892484096)*(61504*t^6-26352*t ^4+8640*t^2-729)^2*Y(t)^10+39366*t^8*(11438853036017884247137414116431364096*t^ 48-5032127543762744427155754299152138240*t^46-\ 77938444925307580052490974536103100416*t^44+ 237441038775485717304328842586546503680*t^42-\ 392717302314213771408001542970889207808*t^40+ 456013761140144799398192851479687069696*t^38-\ 406521853595702455855436040793038520320*t^36+ 290767356835076673318899880968035762176*t^34-\ 171165383632275516936588857473713045504*t^32+ 84252884479526315386968891344258072576*t^30-\ 35029205699682291791351527980961431552*t^28+ 12376776208228753602936783920760225792*t^26-\ 3727747374162303970974647191939670016*t^24+957508489781330346274850455595867136 *t^22-209324944526527814778389650627431936*t^20+ 38770954481493742523464484366860224*t^18-6039600208083963333080793621068688*t^ 16+782886870949067312967699045192684*t^14-83203203466459723968802585367946*t^12 +7102968566456653358786945081343*t^10-473275625453424083647440331569*t^8+ 23598641624973620564573441883*t^6-823926007598109614891528256*t^4+ 17856698723429866625721600*t^2-179517986843540452687872)*(61504*t^6-26352*t^4+ 8640*t^2-729)^3*Y(t)^11+6561*t^10*(639448196652070827889916853092352*t^42+ 6853500021010360246915510889873408*t^40-30575380395510019598086655229034496*t^ 38+61537378484294123980004791360159744*t^36-80481711053107351087704014506164224 *t^34+77215496569045929088090297153355776*t^32-\ 57600099702135103857734711389454336*t^30+34519976586454018473706493478174720*t^ 28-16954318747503457835887179067686912*t^26+6907791454776372552147234326052864* t^24-2350898289157492934426636402319360*t^22+670159000119105339032400391544832* t^20-159897518047413748330025322302208*t^18+31796590133808859777928119070208*t^ 16-5227449064046384007846554978976*t^14+701574185429368791145122207960*t^12-\ 75447889169892271296375222711*t^10+6327845080005941680867081164*t^8-\ 397517428305632063388805515*t^6+17535117864938467606807968*t^4-\ 482670350371417704693120*t^2+6216185998006918262784)*(61504*t^6-26352*t^4+8640* t^2-729)^4*Y(t)^12-2187*t^10*(89958018413737296149386100736*t^38-\ 1175448209138987752374421946368*t^36+3452891705762168529528907890688*t^34-\ 5514287311857242899906222358528*t^32+5932896034872430100647967195136*t^30-\ 4716071684942696852044040372224*t^28+2906787181994156707478588096512*t^26-\ 1428415882171018633558061088768*t^24+568843713203337475082023919616*t^22-\ 185175752459643090503747960832*t^20+49421215237261691353808185344*t^18-\ 10794744968038815054470825088*t^16+1917479820391630212777024960*t^14-\ 273833245139167430257506552*t^12+30878619547763249740301706*t^10-\ 2675924383888004301446265*t^8+171034470370606799293092*t^6-\ 7548896835281833515297*t^4+204106376254482762624*t^2-2529990231179046912)*( 61504*t^6-26352*t^4+8640*t^2-729)^5*Y(t)^13-729*t^12*( 16693444220509156961943552*t^32-119155851829001654215114752*t^30+ 275569506144824650751803392*t^28-359083384487789802901995520*t^26+ 315765610329360233852043264*t^24-203522579768888700481241088*t^22+ 100363683826992369522720768*t^20-38758012915868755405719552*t^18+ 11845663533983880986155776*t^16-2867601272045842773492480*t^14+ 545861187921141097671168*t^12-80491712813680295600136*t^10+ 8971779421542031578261*t^8-726863072049911303262*t^6+40101008811301409274*t^4-\ 1334603828868776640*t^2+19955341329601536)*(61504*t^6-26352*t^4+8640*t^2-729)^6 *Y(t)^14-243*t^14*(1499845934472885174272*t^26-8466525852808557625344*t^24+ 16008037078078838276096*t^22-16892901090847567151104*t^20+ 11856037454062379556864*t^18-5980982565236398774272*t^16+2253532360715825001984 *t^14-645304586365930840704*t^12+140240946336101600256*t^10-\ 22679753886105932808*t^8+2627986984417011186*t^6-204956308709846757*t^4+ 9591344251261704*t^2-202847169312576)*(61504*t^6-26352*t^4+8640*t^2-729)^7*Y(t) ^15-81*t^14*(77781225523970048*t^22-414035455667601408*t^20+649281307288670208* t^18-543286560876931072*t^16+291044918055481344*t^14-107279547017291136*t^12+ 28265306283051552*t^10-5388030209811312*t^8+724480509448107*t^6-64214426302452* t^4+3309948471132*t^2-74384733888)*(61504*t^6-26352*t^4+8640*t^2-729)^8*Y(t)^16 -27*t^16*(813655605248*t^16-11998526394368*t^14+16943105940992*t^12-\ 10992441569664*t^10+4012298812224*t^8-876186766656*t^6+114878298600*t^4-\ 8281445103*t^2+242337096)*(61504*t^6-26352*t^4+8640*t^2-729)^9*Y(t)^17+27*t^18* (83891456*t^10+21154688*t^8-90106848*t^6+44470080*t^4-8306955*t^2+551124)*( 61504*t^6-26352*t^4+8640*t^2-729)^10*Y(t)^18+3*t^18*(22816*t^6-4320*t^4-4266*t^ 2+729)*(61504*t^6-26352*t^4+8640*t^2-729)^11*Y(t)^19+t^20*(61504*t^6-26352*t^4+ 8640*t^2-729)^12*Y(t)^20 = 0 Using these algebraic equations, we can get many more terms. Here are the fi\ rst 101 terms of the enuerating sequence, a(n), starting at n=0, are [1, 0, 1, 0, 3, 0, 16, 0, 100, 0, 655, 0, 4465, 0, 31599, 0, 230390, 0, 1717910 , 0, 13034753, 0, 100308732, 0, 781057488, 0, 6142515700, 0, 48719605150, 0, 389274014325, 0, 3130375135624, 0, 25315962247754, 0, 205765906922296, 0, 1679968849194124, 0, 13771490153093158, 0, 113303679793210135, 0, 935287521259365281, 0, 7743871085656178921, 0, 64294326928505970920, 0, 535170073726008064000, 0, 4465087241443924946489, 0, 37334554180850799677429, 0 , 312800201228204600931702, 0, 2625652956575700553006911, 0, 22078379859593770878924605, 0, 185954767813156703662677556, 0, 1568602814038562573729447246, 0, 13250846433139349479445760890, 0, 112088800036288427936876931608, 0, 949368866062125301513962686724, 0, 8050650046894327237132295838688, 0, 68347347958829190506690405270494, 0, 580872687853684338275478983280220, 0, 4941794215501615616719014063208434, 0, 42083362117379759473562768057290436, 0, 358705122620501038707987427155859268, 0 , 3060179463100173890578081798515584907, 0, 26128863417541591434359633614704811644, 0, 223275878688635376900443684691047388210, 0, 1909392609220579712913940833321485181000, 0, 16340536123001654165795312987949789935080, 0, 139939855950586965774087090831522527090991, 0, 1199244887762215807210442657848819000414908, 0, 10283802293785191579756565001091263367207972, 0, 88240452900503610492824780015265441848117460] The first 101 terms of the sum of areas sequence, b(n), starting at n=0, ar\ e [0, 0, 3, 0, 24, 0, 246, 0, 2520, 0, 24045, 0, 221226, 0, 2011389, 0, 18203370, 0, 164160234, 0, 1475801118, 0, 13234337628, 0, 118451910138, 0, 1058592757590, 0, 9449065542258, 0, 84258603638637, 0, 750717063204144, 0, 6683918531254716, 0 , 59473532774153172, 0, 528920397709221726, 0, 4701760643352832554, 0, 41779075263145267389, 0, 371112574832394088536, 0, 3295476828558602853369, 0, 29255747533100324836968, 0, 259655162839499175120192, 0, 2304020240140135316944488, 0, 20440357162140095245015947, 0, 181305770959558279199857284, 0, 1607914004784732767498700741, 0, 14257660870250198036028475572, 0, 126407697091212108662841774138, 0, 1120581419062364608385537332344, 0, 9932585704412926772666688597750, 0, 88030692494279653445507583314334, 0, 780121584374437559164381328146602, 0, 6912736221043221861790851987310932, 0, 61249143859703385840325408969888506, 0, 542643953903799240277492595619613746, 0, 4807254880311374467650949356054486900, 0, 42584218397112221468249337040033561830, 0, 377199834598994796764252877993490868232, 0, 3340929826130277889421434877289846595302, 0, 29589517149100202431190480418673806920670, 0, 262050234567921602870282709913193007422640, 0, 2320645184575137086135706062274195661862424, 0, 20549994591527461211505063488905614861753036, 0, 181967831724160288358980181646624620123834133, 0, 1611233731845343053163667099639916093007562634, 0, 14266074425821032399604838079181799319918619680, 0, 126308729332143510075600203573578972757432658312] Finally, here are the average areas for n from 190 to 200 divided by n^(3/2) [[190, 1.472778211], [192, 1.473361689], [194, 1.473936465], [196, 1.474502751] , [198, 1.475060759], [200, 1.475610688]] ----------------------------- theorem took, 240440.849, seconds. ------------------------------------------------------------- #TERMINATED SINCE IT TOOK TOO LONG