Invariants for recurrences of the form x[n+1]=(p+x[n]+...+x[n-k+1])/x[n-k] f\ or k from 1 to, 8 By Shalosh B. Ekhad ------------------------------- Theorem Number:, 1, For p positive, the recurrence x[n+1] = p/x[n] has the following invariant 2 x[n] + p --------- x[n] and in Maple format: (x[n]^2+p)/x[n] Proof: Routine Corollary: For any positive initial conditions the orbit is bounded Let's illustate it with the case p=2 and initial conditions, x[1] = 3 The smallest entry among the first 1000 terms is, 0.66666666666666666666666666666666666666666666666666 while the largest is, 3. ------------------------------- Theorem Number:, 2, For p positive, the recurrence x[n+1] = (p+x[n])/x[n-1] has the following invariant 2 2 2 2 (x[n] x[n - 1] + x[n] x[n - 1] + p x[n] + p x[n - 1] + x[n] + x[n - 1] + p + x[n] + x[n - 1])/(x[n] x[n - 1]) and in Maple format: (x[n]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-1]^2+p*x[n]+p*x[n-1]+x[n]^2+x[n-1]^2+p+x[n]+x[n-1])/x[n ]/x[n-1] Proof: Routine Corollary: For any positive initial conditions the orbit is bounded Let's illustate it with the case p=2 and initial conditions, x[1] = 3, x[2] = 4 The smallest entry among the first 1000 terms is, 0.98370562118319642135448230567227377441292103975772 while the largest is, 4.1231008838042149251118691324725661747577573242942 ------------------------------- Theorem Number:, 3, For p positive, the recurrence x[n+1] = (p+x[n]+x[n-1])/x[n-2] has the following invariant 2 2 2 2 2 (x[n] x[n - 2] + p x[n - 1] + x[n] x[n - 2] + x[n] x[n - 2] 2 2 3 + x[n] x[n - 1] + x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 1] + p x[n - 1] 2 + x[n] x[n - 2] + x[n] x[n - 1] + x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 1] )/(x[n] x[n - 1] x[n - 2]) and in Maple format: (x[n]^2*x[n-2]^2+p*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-2]+x[n]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-1]^2+x[n-2]*x[ n-1]^2+x[n-1]^3+p*x[n-1]+x[n]*x[n-2]+x[n]*x[n-1]+x[n-2]*x[n-1]+x[n-1]^2)/x[n]/x [n-1]/x[n-2] Proof: Routine Corollary: For any positive initial conditions the orbit is bounded Let's illustate it with the case p=2 and initial conditions, x[1] = 3, x[2] = 4, x[3] = 5 The smallest entry among the first 1000 terms is, 1.5228201168764345837311647701194386604906010764160 while the largest is, 5.0161090982639249549623384371759320323655146087935 ------------------------------- Theorem Number:, 4, For p positive, the recurrence x[n+1] = (p+x[n]+x[n-1]+x[n-2])/x[n-3] has the following invariant 2 2 2 2 2 2 (x[n] x[n - 3] x[n - 2] + x[n] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n] x[n - 2] + p x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + p x[n - 2] x[n - 1] + p x[n - 2] x[n - 1] + x[n] x[n - 3] 2 2 2 2 + 2 x[n] x[n - 3] x[n - 2] + x[n] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 3] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 3 + 2 x[n] x[n - 3] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 2] x[n - 1] + x[n] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 3 + 2 x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 2] x[n - 1] 2 2 3 + 2 x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 2] x[n - 1] + p x[n] x[n - 2] 2 2 + p x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 2] + 2 p x[n - 2] x[n - 1] + p x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 3] + x[n] x[n - 2] + x[n] x[n - 3] 2 + 3 x[n] x[n - 3] x[n - 2] + 3 x[n] x[n - 3] x[n - 1] + 2 x[n] x[n - 2] 2 2 + 3 x[n] x[n - 2] x[n - 1] + x[n] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 3] x[n - 2] + 3 x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 3] x[n - 1] 3 2 2 3 + x[n - 2] + 3 x[n - 2] x[n - 1] + 3 x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 1] + p x[n - 2] + p x[n - 1] + x[n] x[n - 3] + x[n] x[n - 2] + x[n] x[n - 1] 2 + x[n - 3] x[n - 2] + x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 2] + 2 x[n - 2] x[n - 1] 2 + x[n - 1] )/(x[n] x[n - 1] x[n - 2] x[n - 3]) and in Maple format: (x[n]^2*x[n-3]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]^2*x[n-3]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-\ 3]^2*x[n-1]^2+p*x[n]*x[n-2]^2+p*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-2]^2*x[n-1]+p*x[n-2]*x[n-\ 1]^2+x[n]^2*x[n-3]^2+2*x[n]^2*x[n-3]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n]^2*x[n-2]^ 2+x[n]*x[n-3]^2*x[n-2]+2*x[n]*x[n-3]^2*x[n-1]+2*x[n]*x[n-3]*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n -3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-2]^3+2*x[n]*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-3]^2 *x[n-1]^2+x[n-3]*x[n-2]^2*x[n-1]+2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-2 ]^3*x[n-1]+2*x[n-2]^2*x[n-1]^2+x[n-2]*x[n-1]^3+p*x[n]*x[n-2]+p*x[n-3]*x[n-1]+p* x[n-2]^2+2*p*x[n-2]*x[n-1]+p*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-3]+x[n]^2*x[n-2]+x[n]*x[n-3]^2 +3*x[n]*x[n-3]*x[n-2]+3*x[n]*x[n-3]*x[n-1]+2*x[n]*x[n-2]^2+3*x[n]*x[n-2]*x[n-1] +x[n]*x[n-1]^2+x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-3]*x[n-2]^2+3*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+2*x[n-3]* x[n-1]^2+x[n-2]^3+3*x[n-2]^2*x[n-1]+3*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-1]^3+p*x[n-2]+p*x[n-1 ]+x[n]*x[n-3]+x[n]*x[n-2]+x[n]*x[n-1]+x[n-3]*x[n-2]+x[n-3]*x[n-1]+x[n-2]^2+2*x[ n-2]*x[n-1]+x[n-1]^2)/x[n]/x[n-1]/x[n-2]/x[n-3] Proof: Routine Corollary: For any positive initial conditions the orbit is bounded Let's illustate it with the case p=2 and initial conditions, x[1] = 3, x[2] = 4, x[3] = 5, x[4] = 6 The smallest entry among the first 1000 terms is, 2.1549590299588760601667132189034067060765670985291 while the largest is, 6.0698444097843040286072963822421729371932894586676 ------------------------------- Theorem Number:, 5, For p positive, the recurrence x[n+1] = (p+x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3])/x[n-4] has the following invariant 2 2 2 2 2 2 2 (x[n] x[n - 4] x[n - 2] + p x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 2 2 2 3 + x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 2 2 + x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 1] )/(x[n] x[n - 1] x[n - 2] x[n - 3] x[n - 4]) and in Maple format: (x[n]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2+p*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n -4]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-\ 1]^2+x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-3]^2*x[n-1]^3+p*x[n-3]^2*x[ n-1]+p*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]*x[n-4]*x[ n-2]^2+x[n]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-4]* x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-\ 3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-3]*x[n-1]^3+p*x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-\ 3]*x[n-1]+x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+x[n-3]*x[n-\ 1]^2)/x[n]/x[n-1]/x[n-2]/x[n-3]/x[n-4] Proof: Routine Corollary: For any positive initial conditions the orbit is bounded Let's illustate it with the case p=2 and initial conditions, x[1] = 3, x[2] = 4, x[3] = 5, x[4] = 6, x[5] = 7 The smallest entry among the first 1000 terms is, 2.5784803345337135244094126241282525971422942722631 while the largest is, 8.0000000000000000000000000000000000000000000000000 ------------------------------- Theorem Number:, 6, For p positive, the recurrence x[n+1] = (p+x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]+x[n-4])/x[n-5] has the following invariant 2 2 2 2 2 2 (x[n] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + p x[n] x[n - 4] x[n - 2] + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + p x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 2 + p x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + p x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] 2 2 2 2 + 2 x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + 2 x[n] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 2 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 2 x[n] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 3 2 + 2 x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] + x[n] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 2 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 3 2 + 2 x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 3 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 3 2 + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 3 2 2 2 2 + x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 3 + 2 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 2 2 2 + x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 3 2 + x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 3 + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n] x[n - 4] x[n - 2] + p x[n] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + 2 p x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + p x[n - 4] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + 2 p x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + p x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 2 + p x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] + 2 x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] 2 2 + 2 x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 3 x[n] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + 3 x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 3 + 2 x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] + x[n] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + 3 x[n] x[n - 4] x[n - 2] + 3 x[n] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 1] + x[n] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + 2 x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 1] 2 + 2 x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 3 x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 3 x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 3 2 + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 2] 3 3 2 + 2 x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 1] 2 2 2 2 + 2 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 + 3 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 4 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 2 2 + x[n - 4] x[n - 2] + 4 x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 3 + 4 x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 1] 3 2 + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 4 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + 3 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 2 + x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 3 3 2 + x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 3 + x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 1] + p x[n] x[n - 4] x[n - 2] + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 4] x[n - 2] + p x[n - 4] x[n - 1] 2 + 2 p x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 p x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + p x[n - 4] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 2] + x[n] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] + x[n] x[n - 5] x[n - 2] 2 + 3 x[n] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] + 2 x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] + 3 x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 4] x[n - 1] + x[n] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 + 2 x[n] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + 2 x[n] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 3 x[n] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n] x[n - 4] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 1] + 3 x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] + 2 x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 1] + 2 x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 3 2 + x[n - 4] x[n - 2] + x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 + 3 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + 2 x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + 4 x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 4] x[n - 1] 2 2 + 3 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 + 4 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 4 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n - 4] x[n - 2] + 3 x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 3 + 3 x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 4] x[n - 2] + p x[n - 4] x[n - 1] + p x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] + x[n] x[n - 5] x[n - 2] + x[n] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 4] x[n - 1] + x[n] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 4] x[n - 2] + x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 + 2 x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 3] x[n - 1] )/(x[n] x[n - 1] x[n - 2] x[n - 3] x[n - 4] x[n - 5]) and in Maple format: (x[n]^2*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-5]^ 2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]^2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2] ^2+x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+p*x[n]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+p*x[n-5]*x[n-3]^2*x [n-1]^2+p*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+p*x[n-4]^2*x[n-2] *x[n-1]^2+p*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-5 ]^2*x[n-3]^2+2*x[n]^2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n] ^2*x[n-5]^2*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]+2*x[n]^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2 ]^2+x[n]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]^2*x[n-5]*x [n-3]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-\ 5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]+2*x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2 ]^2+x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+2*x[n]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n-5] *x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]*x[n-4]^3*x[n-2]^2+x[n]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]^2+x[n]*x[ n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-4]^2*x[n-2]^3+2*x[n]*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+x [n]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[ n-1]^2+x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-5]*x [n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]^3*x[n-1 ]^2+x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^3+x[n-4]^3*x[n-3]*x[ n-1]^2+x[n-4]^3*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-4]^3*x[n-2]*x[n-1]^2+2*x[n-4]^2*x[n-3]^2*x[ n-1]^2+x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]^2*x[n-1]+2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-4] ^2*x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-4]^2*x[n-2]^3*x[n-1]+2*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]^2+x[n-4] ^2*x[n-2]*x[n-1]^3+x[n-4]*x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n -4]*x[n-3]^2*x[n-1]^3+p*x[n]*x[n-4]^2*x[n-2]+p*x[n]*x[n-4]*x[n-2]^2+p*x[n-5]*x[ n-3]^2*x[n-1]+p*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+p*x[n-4]^2*x[n-\ 2]^2+2*p*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+p*x[n-4]^2*x[n-1]^2+p*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+2* p*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]+p*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^2+p*x[ n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-5]^2*x[n-3]+x[n]^2*x[n-5]^2*x[n-2]+2*x[n]^2*x[n-5]*x [n-4]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-5]*x[n-3]^2+2*x[n]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-5] *x[n-3]*x[n-1]+x[n]^2*x[n-5]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-4]*x[n-\ 2]^2+x[n]*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]^2+2*x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]* x[n-2]+2*x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-5]^2*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n-5]*x[n-4 ]^2*x[n-2]+3*x[n]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-2]+3*x[n]*x[n -5]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x [n]*x[n-4]^3*x[n-2]+x[n]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]+x[n]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+3*x [n]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+3*x[n]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+x[n]*x[n-4]^2*x[n-1]^2+x[n] *x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1] ^2+x[n]*x[n-4]*x[n-2]^3+2*x[n]*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1] ^2+x[n]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n -5]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[ n-1]+x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-1]^2+2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+3*x[n-5]*x[n-4]*x [n-3]*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-\ 5]*x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+3*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n -5]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-4]^3*x[n-3]*x[n-1]+x[n-4] ^3*x[n-2]^2+2*x[n-4]^3*x[n-2]*x[n-1]+x[n-4]^3*x[n-1]^2+2*x[n-4]^2*x[n-3]^2*x[n-\ 1]+x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]^2+3*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+4*x[n-4]^2*x[n-3]*x [n-1]^2+x[n-4]^2*x[n-2]^3+4*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+4*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^2 +x[n-4]^2*x[n-1]^3+x[n-4]*x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+4*x[n-4 ]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]^2*x[n-1]+3*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1] ^2+2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-4]*x[n-2]^3*x[n-1]+2*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]^2+x [n-4]*x[n-2]*x[n-1]^3+x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-3]^2*x[n-1 ]^3+p*x[n]*x[n-4]*x[n-2]+p*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+p*x[n-4]^2*x[n-2]+p*x[n-4]^2*x[ n-1]+2*p*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+p*x[n-4]*x[n-2]^2+2*p*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]+p*x[n-\ 4]*x[n-1]^2+p*x[n-3]^2*x[n-1]+p*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-5]*x[n-3]+x[n]^2*x[n -5]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]+x[n]*x[n-5]^2*x[n-2]+3*x[n ]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-5]*x[n-3]^2+2*x[n]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]+3*x[n]* x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-5]*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]*x[n-4]^2* x[n-1]+x[n]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]+2*x[n]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+2*x[n]*x[n-4]*x[n-\ 2]^2+3*x[n]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]+x[n]*x[n-4]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n] *x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n-5]*x[n-4]^2* x[n-1]+3*x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]^2+2*x[n-5]*x[n-4]*x[n -2]*x[n-1]+x[n-5]*x[n-4]*x[n-1]^2+2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-5]*x[n-3]*x[n-2] *x[n-1]+2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-4]^3*x[n-2]+x[n-4]^3*x[n-1]+x[n-4]^2*x[n-3 ]*x[n-2]+3*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+2*x[n-4]^2*x[n-2]^2+4*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+ 2*x[n-4]^2*x[n-1]^2+3*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]^2+4*x[n-4]*x[ n-3]*x[n-2]*x[n-1]+4*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-4]*x[n-2]^3+3*x[n-4]*x[n-2]^2*x [n-1]+3*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-4]*x[n-1]^3+x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-3]^2*x[n-2]* x[n-1]+2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-3]*x[n-1]^3+p*x[n-4]*x[n-\ 2]+p*x[n-4]*x[n-1]+p*x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-5]*x[n-3]+x[n]*x[n-5]*x[n-2]+x[n]*x [n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-4]*x[n-1]+x[n]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]+x[n-5]* x[n-4]*x[n-1]+x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-4]^2*x[n-2]+x[n-4]^2*x[n-1]+x[n-4]*x[n-3 ]*x[n-2]+2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-4]*x[n-2]^2+2*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]+x[n-4]*x [n-1]^2+x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+x[n-3]*x[n-1]^2)/x[n]/x[n-1]/x[n-2 ]/x[n-3]/x[n-4]/x[n-5] Proof: Routine Corollary: For any positive initial conditions the orbit is bounded Let's illustate it with the case p=2 and initial conditions, x[1] = 3, x[2] = 4, x[3] = 5, x[4] = 6, x[5] = 7, x[6] = 8 The smallest entry among the first 1000 terms is, 2.8176194474911874583592062854041385366079334060628 while the largest is, 10.958436382304684770583882274182636596252105577623 ------------------------------- Theorem Number:, 7, For p positive, the recurrence x[n+1] = (p+x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]+x[n-4]+x[n-5])/x[n-6] has the following invariant 2 2 2 2 2 2 2 (x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 3 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 3 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 2 3 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 3 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 3 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 3 x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 3 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 3 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 3 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + 2 x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] )/(x[n] x[n - 1] x[n - 2] x[n - 3] x[n - 4] x[n - 5] x[n - 6]) and in Maple format: (x[n]^2*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2+p*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-6]^2 *x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^ 2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-5] ^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-5]^3*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1] ^2+x[n-5]^2*x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-3] ^2*x[n-1]^3+p*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+p*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-5]*x[n-\ 3]^2*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]^ 2*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n -2]^2+x[n]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-5]^2 *x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+ x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-5]^3*x[n-3] ^2*x[n-1]+x[n-5]^3*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-5]^2*x[n -4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+3* x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-\ 1]^3+x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]^2*x [n-2]*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^3+p*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+p*x[n-5]*x[n-3 ]^2*x[n-1]+p*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-6]^2*x [n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-5 ]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-6 ]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]*x[n -1]^2+x[n-5]^3*x[n-3]*x[n-1]+x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+2*x[n-5]^2*x[n-3]^2* x[n-1]+x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-4]*x [n-3]^2*x[n-1]+x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-5]*x[n-\ 3]^2*x[n-2]*x[n-1]+2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n -5]*x[n-3]*x[n-1]^3+p*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-5 ]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n-5]*x[n-4 ]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+x[n-5]*x[n-3 ]*x[n-1]^2)/x[n]/x[n-1]/x[n-2]/x[n-3]/x[n-4]/x[n-5]/x[n-6] Proof: Routine Corollary: For any positive initial conditions the orbit is bounded Let's illustate it with the case p=2 and initial conditions, x[1] = 3, x[2] = 4, x[3] = 5, x[4] = 6, x[5] = 7, x[6] = 8, x[7] = 9 The smallest entry among the first 1000 terms is, 3. while the largest is, 14.690479888092337300211620169583014312009418348487 ------------------------------- Theorem Number:, 8, For p positive, the recurrence x[n+1] = (p+x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]+x[n-4]+x[n-5]+x[n-6])/x[n-7] has the following invariant 2 2 2 2 (x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + p x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] 2 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 3 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 3 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 3 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 3 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 3 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 3 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + p x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + p x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + p x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 2 p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 2 p x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 3 x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + 3 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 3 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + 4 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 3 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 2 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 2 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 2 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 3 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 4 x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 3 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 3 2 3 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 3 2 3 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 1] 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 3 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 5 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 2 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 3 2 3 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + 3 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 2 2 3 + 5 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + 5 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 2 2 3 + 5 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 5 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + 3 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 2 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 2 3 + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 5 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + 3 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 3 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 3 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 2 3 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + p x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + p x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + p x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + p x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + p x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 + 2 p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + p x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 2 p x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 2 p x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 2 p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + p x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 3 x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 3 x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 + 3 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 + 3 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] 2 + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 3 + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + 3 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 3 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 3 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 3 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 3 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 + 2 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 2 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 3 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 3 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 2 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 3 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 3 x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + 3 x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + 3 x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 3 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 3 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 3 2 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 3 2 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 2 2 + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 1] 2 + 3 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 1] 2 2 + 4 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 3 + 4 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 3 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + 3 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 6 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 3 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 2 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 3 + 6 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 3 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 3 2 2 + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 2 2 + 3 x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 3 + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 4 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + 4 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 1] 2 + 3 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 4 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 3 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + 6 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 3 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 3 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 3 3 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 + 3 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 3 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 3 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 + 3 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 3 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 3 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 3 + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 3 2 3 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 3 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 3 x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 3 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 3 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 3 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + p x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + p x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 2 p x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + 2 p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + 2 p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + p x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] + 3 x[n] x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] + 2 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] + 3 x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 2 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + 3 x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + 3 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + 2 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + 2 x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 2 x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + 2 x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + 2 x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 3 3 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 1] 2 2 2 + 3 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + 3 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 1] + 4 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 1] 2 + 4 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + 4 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 3 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 2 2 + 3 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 2 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 + 3 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + 4 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 3 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] 2 3 + 3 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 3 2 + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 2 + 2 x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 3 3 + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + 2 x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 2 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + 2 x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 3 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + p x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + p x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + p x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] + x[n] x[n - 7] x[n - 5] x[n - 2] + x[n] x[n - 7] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 7] x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 7] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 2] + x[n - 6] x[n - 5] x[n - 4] x[n - 1] 2 + 2 x[n - 6] x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 2] 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] 2 + 2 x[n - 6] x[n - 4] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 4] x[n - 1] 2 + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] 2 2 + x[n - 6] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 5] x[n - 4] x[n - 3] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] 2 + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 2] x[n - 1] + x[n - 5] x[n - 3] x[n - 1] )/(x[n] x[n - 1] x[n - 2] x[n - 3] x[n - 4] x[n - 5] x[n - 6] x[n - 7]) and in Maple format: (x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-2 ]^2+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]^2* x[n-1]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-4]^2 *x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3 ]^2*x[n-1]^2+p*x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2+p*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1 ]^2+p*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+p*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x [n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+p*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+p*x[n-6]^2 *x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+p*x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-7]^2*x [n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]^2*x[ n-5]^2*x[n-4]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]^2+2*x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5] ^2*x[n-3]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]^ 2*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]+2*x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-\ 4]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3 ]^2*x[n-1]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-4]^2*x[n-\ 2]^2+x[n]^2*x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2 ]^2+2*x[n]^2*x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-\ 2]^2+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n -1]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2] ^2+x[n]^2*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]^2*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n ]*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]+2*x[ n]*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]^2+x[n ]*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n] *x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+2*x[n]*x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2+2*x [n]*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]^3*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-\ 6]^2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6 ]^2*x[n-4]^3*x[n-2]^2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-\ 4]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^3+2*x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x [n-2]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-\ 3]^2*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]^2 *x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n -3]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]^2* x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+2*x[n-7]*x[n-6]*x[n-5] ^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]^3*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-4]*x [n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n -2]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^3+x[n-6]^3*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^ 2+x[n-6]^3*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-6]^3*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-6]^3* x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]^3*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+2*x[n-6]^2*x[n-5]^2* x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-\ 4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+2*x[n-6]^2*x[n-5] *x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n -3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^3+x[n-6]^2*x[n-4]^3*x[n-3 ]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-4]^3*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-4]^3*x[n-2]*x[n-1]^2+ 2*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]^2*x[n-1]+ 2*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^3+x[ n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^3*x[n-1]+2*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]^2+x[n-6]^2* x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^3+x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-\ 3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^3+x[n-6]*x[n-5]^3*x[n-3]^2 *x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^3*x[n -1]^2+x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^ 3+p*x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+p*x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]^2+p*x[n]*x[n-6] *x[n-4]^2*x[n-2]^2+p*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+p*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x [n-1]^2+p*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+p*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+p*x [n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+p*x[n-6]^2*x[n -4]^2*x[n-2]^2+2*p*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+p*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-1]^2 +p*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+2*p*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-6] ^2*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]+p*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^2+p*x[n-6]^2*x[n-3]^2 *x[n-1]^2+p*x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+p*x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+2 *p*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+p*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-6]*x [n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+p*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+p*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3 ]^2*x[n-1]^2+p*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]+ x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-2]+2*x[n]^2*x[n-7] ^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]^2+2*x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5 ]*x[n-3]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n -2]^2+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[ n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]+2*x[n]^2*x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]+2*x[n]^2*x[n -7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]*x [n-5]^2*x[n-3]^2+2*x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]^2* x[n-3]*x[n-1]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n -2]+2*x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-2] +x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]^2+x[n] ^2*x[n-7]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-6]^2*x[n -4]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]^2*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-\ 2]+x[n]*x[n-7]^2*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-2]+x[ n]*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]^2+2*x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]+2*x[n]*x[n -7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]^2*x[n-\ 5]*x[n-4]^2*x[n-2]+2*x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]* x[n-3]^2*x[n-2]+2*x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n -3]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-7]^2*x[n-4]^2*x[n-2] ^2+2*x[n]*x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+2*x[n]*x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]^ 2+3*x[n]*x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-2]^2+x [n]*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]+3*x[n]*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n] *x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[ n-7]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6 ]^3*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]*x[n-6]^3*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]^2 *x[n-2]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-\ 1]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^3*x[n-2]+x[n]*x[n-\ 6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+4*x[n]*x[n-6]^ 2*x[n-4]^2*x[n-2]^2+3*x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4] ^2*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[ n-2]^2+2*x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]^3+2*x [n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n]*x [n-6]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-6]*x[n-\ 5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n-6]*x[n-5]* x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]*x[n-4]^3*x[n-2]^2+x[n]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n -2]^2+x[n]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^3+2*x[n] *x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-\ 6]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-7]^2*x[n-5]^2*x [n-3]^2*x[n-1]+x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1 ]^2+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1] ^2+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2+2*x [n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-1]^2+x[n-7]* x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+2*x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-7] *x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-7]* x[n-6]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+2*x[n-7]*x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+2*x[n-7]*x[ n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+3*x[n-7]*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-7]*x [n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-7]*x[ n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n -5]^3*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-7]*x[n-5]^3*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-4]*x[ n-3]^2*x[n-1]+x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^3*x [n-1]+x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+4*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^ 2+x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-7] *x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]* x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^3+x[n-6]^3*x[n-5]*x[n-3] ^2*x[n-1]+x[n-6]^3*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-6]^3*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n-6 ]^3*x[n-4]^2*x[n-2]^2+2*x[n-6]^3*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+x[n-6]^3*x[n-4]^2*x[n-1 ]^2+x[n-6]^3*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+2*x[n-6]^3*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-6]^3* x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-6]^3*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]^3*x[n-3]^2*x[n-1] ^2+2*x[n-6]^2*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+2*x[n-6]^2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-\ 6]^2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+2*x[n-6]^2 *x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-1]^2+2*x[n-6]^2*x[n -5]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+3*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[ n-5]*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n -5]*x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+5*x[n-6]^2*x[n-5]*x[ n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]*x [n-1]^3+x[n-6]^2*x[n-4]^3*x[n-3]*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-4]^3*x[n-2]^2+2*x[n-6]^2*x [n-4]^3*x[n-2]*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-4]^3*x[n-1]^2+2*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]^2*x [n-1]+x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]^2+3*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1 ]+5*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^3+5*x[n-6]^2*x[n -4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+5*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n -1]^3+x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+5* x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]^2*x[n-1]+3*x[n-\ 6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+2*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-6]^2*x [n-4]*x[n-2]^3*x[n-1]+2*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2 ]*x[n-1]^3+x[n-6]^2*x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]^ 2*x[n-3]^2*x[n-1]^3+x[n-6]*x[n-5]^3*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]^3*x[n-3]*x[n-\ 1]^2+x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1 ]^2+x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+5*x[ n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]*x [n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-5]*x[ n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+3*x[n-6]*x[n-5]*x [n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+2*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^3*x[n-1]^2+2*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3 ]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+2*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^3+x[n-6]*x[n-4]^3*x[n-3]*x[ n-1]^2+x[n-6]*x[n-4]^3*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-6]*x[n-4]^3*x[n-2]*x[n-1]^2+2*x[n-6] *x[n-4]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]^2*x[n-1]+2*x[n-6]*x[n -4]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-6]*x[n-4]^2*x[ n-2]^3*x[n-1]+2*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1] ^3+x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6 ]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^3+x[n-5]^3*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-3]^2* x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-5]^2* x[n-3]^2*x[n-1]^3+p*x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]+p*x[n]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]+p *x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2+p*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+p*x[n-7]*x[n-5]*x[ n-3]^2*x[n-1]+p*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+p *x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+p*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-1]+2*p*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3] *x[n-1]+p*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]^2+2*p*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]+p*x[n-6]^2 *x[n-4]*x[n-1]^2+p*x[n-6]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+p*x[n-6]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-6] *x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+2*p*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+2*p*x[n-6]*x[n-5]*x[n -3]*x[n-1]^2+p*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+p*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+2*p*x[n -6]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+p*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-1]^2+p*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]^2* x[n-1]+2*p*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]+p*x[n-\ 6]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^2+p*x[n-6]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+p*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1] +p*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]*x [n-3]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]^2*x[n-4]*x[n-2]+2*x[n]^2*x[n-\ 7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]^2*x[ n-2]+2*x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]^2+2*x[n]^ 2*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+x[n]^2*x[n-7]* x[n-5]*x[n-2]^2+x[n]^2*x[n-7]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n ]^2*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]^2*x[n-6]*x[n-4]*x [n-2]^2+x[n]*x[n-7]^2*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-3]+x[n]*x [n-7]^2*x[n-5]^2*x[n-2]+2*x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-7]^2*x[n-\ 5]*x[n-3]^2+2*x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]+2*x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]* x[n-1]+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]*x[n-7]^ 2*x[n-4]*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]+3*x[n]*x[n-7]*x[n-6]*x[n -4]^2*x[n-2]+3*x[n]*x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-4]*x [n-2]+x[n]*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2+2*x[n]*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]+3*x[n] *x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]*x[n-5] *x[n-4]^2*x[n-2]+2*x[n]*x[n-7]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3] ^2*x[n-2]+3*x[n]*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2] ^2+2*x[n]*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-7]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+x[n]*x[n-\ 6]^3*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-\ 3]*x[n-1]+3*x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-1]+x[n]*x[ n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]+2*x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+3*x[n]*x[n-6]^ 2*x[n-4]*x[n-2]^2+3*x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n -1]^2+x[n]*x[n-6]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]*x [n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]*x[n-6]*x[n-5]*x[n -4]*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+2*x[n]*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]*x [n-1]^2+x[n]*x[n-6]*x[n-4]^3*x[n-2]+x[n]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]+x[n]*x[n -6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+3*x[n]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+3*x[n]*x[n-6]*x[n-4] ^2*x[n-2]*x[n-1]+x[n]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-\ 1]+x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n] *x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^3+2*x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-6]*x[n-4] *x[n-2]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-6]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[ n]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-7]^2*x[n-5]^2*x[n -3]*x[n-1]+x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-\ 7]*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n-7]*x[n-6]^ 2*x[n-4]^2*x[n-1]+2*x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4] *x[n-2]^2+2*x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-1]^ 2+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+2*x[n-7]*x[n-\ 6]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+3*x[n-7]*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+3*x[n-7]*x[n-6 ]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]*x[n -4]^2*x[n-2]^2+2*x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[ n-1]^2+x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+2*x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1 ]^2+x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^2+x [n-7]*x[n-6]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]^3*x[n-3]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-5]^2*x[ n-4]*x[n-3]*x[n-1]+3*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n -2]*x[n-1]+3*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-\ 1]+x[n-7]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-7]*x[ n-5]*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+3*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]*x[n -3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-6]^3*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1] +x[n-6]^3*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n-6]^3*x[n-4]^2*x[n-1]+2*x[n-6]^3*x[n-4]*x[n-3]*x[n -1]+x[n-6]^3*x[n-4]*x[n-2]^2+2*x[n-6]^3*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]+x[n-6]^3*x[n-4]*x[ n-1]^2+x[n-6]^3*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-6]^3*x[n-3]*x[n-1]^2+2*x[n-6]^2*x[n-5]^2*x[ n-3]*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-1]+3*x [n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]^2+2*x[n-6]^2* x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-1]^2+4*x[n-6]^2*x[n-5]*x [n-3]^2*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+4*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]*x[ n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-4]^3*x[n-2]+x[n-6]^2*x[n-4]^3*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-\ 3]*x[n-2]+4*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+3*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]^2+6*x[n-\ 6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+3*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-1]^2+4*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-\ 3]^2*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]^2+4*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]*x[n -1]+6*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]^3+4*x[n-6]^2*x[n-4 ]*x[n-2]^2*x[n-1]+4*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-1]^3+x[ n-6]^2*x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+3*x[n-6]^2*x[n-3]^2*x[n-\ 1]^2+x[n-6]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]^2*x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-6]*x[n-5]^3*x [n-3]*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+4*x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[ n-1]+x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+4*x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n -6]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+2*x[n-6]*x[n-\ 5]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-1]^2+3*x[n-6]*x[n-5]*x[n-4 ]*x[n-3]^2*x[n-1]+4*x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]*x [n-2]^2*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^2+2*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^3*x[ n-1]+2*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+6*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+2 *x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+2*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-6]*x[ n-4]^3*x[n-3]*x[n-1]+x[n-6]*x[n-4]^3*x[n-2]^2+2*x[n-6]*x[n-4]^3*x[n-2]*x[n-1]+x [n-6]*x[n-4]^3*x[n-1]^2+2*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3 ]*x[n-2]^2+3*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+4*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-\ 1]^2+x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^3+4*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2*x[n-1]+4*x[n-6]*x[n-4] ^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-1]^3+x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-6 ]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+4*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-4] *x[n-3]*x[n-2]^2*x[n-1]+3*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+2*x[n-6]*x[n-4]* x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^3*x[n-1]+2*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]^2 +x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]^3+x[n-6]*x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-3]^2*x[n-2]* x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-3]^2*x[n-1]^3+x[n-5]^3*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-5]^3*x[n-3]*x[n-\ 1]^2+x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x [n-3]^3*x[n-1]+x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]+3*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n -5]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^3+x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[ n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]^3*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]^2 *x[n-1]^3+p*x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]+p*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+p*x[n-6]^2* x[n-4]*x[n-2]+p*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-1]+p*x[n-6]^2*x[n-3]*x[n-1]+2*p*x[n-6]*x[n-\ 5]*x[n-3]*x[n-1]+p*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]+p*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-1]+2*p*x[n-6]*x [n-4]*x[n-3]*x[n-1]+p*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2+2*p*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]+p* x[n-6]*x[n-4]*x[n-1]^2+p*x[n-6]*x[n-3]^2*x[n-1]+p*x[n-6]*x[n-3]*x[n-1]^2+p*x[n-\ 5]^2*x[n-3]*x[n-1]+p*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+p*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]^2*x[n -7]*x[n-5]*x[n-3]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-5]*x[n-2]+x[n]^2*x[n-7]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]^ 2*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-3]+x[n]*x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-2]+ x[n]*x[n-7]^2*x[n-4]*x[n-2]+3*x[n]*x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-7]*x[n-\ 5]^2*x[n-3]+x[n]*x[n-7]*x[n-5]^2*x[n-2]+2*x[n]*x[n-7]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]+x[n] *x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]^2+2*x[n]*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]+3*x[n]*x[n-7]*x[n-5] *x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-7]*x[n-5]*x[n-2]^2+x[n]*x[n-7]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]*x[n -7]*x[n-4]*x[n-2]^2+2*x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-1]+x [n]*x[n-6]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]+2*x[n]*x[n-6]*x[n-5 ]*x[n-3]*x[n-1]+2*x[n]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-1]+x[n]* x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]+2*x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+2*x[n]*x[n-6]*x[ n-4]*x[n-2]^2+3*x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]+x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-1]^2+x[ n]*x[n-6]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-6]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-\ 1]+x[n]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-7]^2*x[n-5]*x[n-\ 3]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]+x[n-7]*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-1]+x[n-7]*x[ n-6]^2*x[n-3]*x[n-1]+3*x[n-7]*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]^ 2*x[n-2]+x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-1]+2*x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+x[n -7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2+2*x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]*x [n-4]*x[n-1]^2+x[n-7]*x[n-6]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]*x[n-3]*x[n-1]^2+2*x[ n-7]*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+2*x[n-7]*x[n-5]* x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+2*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1 ]^2+x[n-6]^3*x[n-4]*x[n-2]+x[n-6]^3*x[n-4]*x[n-1]+x[n-6]^3*x[n-3]*x[n-1]+x[n-6] ^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]+x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-4]*x[n-1]+3*x[n-6]^2*x[n-5]*x[n-3]* x[n-1]+2*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-2]+2*x[n-6]^2*x[n-4]^2*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-4]*x[ n-3]*x[n-2]+4*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+2*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]^2+4*x[n-6] ^2*x[n-4]*x[n-2]*x[n-1]+2*x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-1]^2+2*x[n-6]^2*x[n-3]^2*x[n-1]+x [n-6]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+2*x[n-6]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+3*x[n-6]*x[n-5]^2*x[n-3 ]*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]^2*x[n-1]+4*x[n-6]*x [n-5]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]^2+2*x[n-6]*x[n-5]*x[n-4] *x[n-2]*x[n-1]+x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-1]^2+4*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]+2* x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+4*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-4 ]^3*x[n-2]+x[n-6]*x[n-4]^3*x[n-1]+x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-3]*x[n-2]+3*x[n-6]*x[n-4] ^2*x[n-3]*x[n-1]+2*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]^2+4*x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]*x[n-1]+2*x [n-6]*x[n-4]^2*x[n-1]^2+3*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[ n-2]^2+4*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+4*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n -6]*x[n-4]*x[n-2]^3+3*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2*x[n-1]+3*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]*x[n-\ 1]^2+x[n-6]*x[n-4]*x[n-1]^3+x[n-6]*x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-6]*x[n-3]^2*x[n-2]*x[n-1 ]+2*x[n-6]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-3]*x[n-1] ^3+x[n-5]^3*x[n-3]*x[n-1]+x[n-5]^2*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+2*x[n-5]^2*x[n-3]^2*x[n -1]+x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+2*x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-4]*x[n-\ 3]^2*x[n-1]+x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]^3*x[n-1]+x[n-5]*x[n-3]^ 2*x[n-2]*x[n-1]+2*x[n-5]*x[n-3]^2*x[n-1]^2+x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]^2+x[n-5] *x[n-3]*x[n-1]^3+p*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]+p*x[n-6]*x[n-4]*x[n-1]+p*x[n-6]*x[n-3]* x[n-1]+p*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-7]*x[n-5]*x[n-3]+x[n]*x[n-7]*x[n-5]*x[n-\ 2]+x[n]*x[n-7]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]+x[n]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-1 ]+x[n]*x[n-6]*x[n-3]*x[n-1]+x[n]*x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-\ 2]+x[n-7]*x[n-6]*x[n-4]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-6]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-7]*x[n-5]*x[n-3] *x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-2]+x[n-6]^2*x[n-4]*x[n-1]+x[n-6]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[ n-6]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-2]+x[n-6]*x[n-5]*x[n-4]*x[n-1]+2*x[n-6]*x[n-5]*x[n-3]*x[ n-1]+x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-2]+x[n-6]*x[n-4]^2*x[n-1]+x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-2]+ 2*x[n-6]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]^2+2*x[n-6]*x[n-4]*x[n-2]*x[n -1]+x[n-6]*x[n-4]*x[n-1]^2+x[n-6]*x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-6]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+x [n-6]*x[n-3]*x[n-1]^2+x[n-5]^2*x[n-3]*x[n-1]+x[n-5]*x[n-4]*x[n-3]*x[n-1]+x[n-5] *x[n-3]^2*x[n-1]+x[n-5]*x[n-3]*x[n-2]*x[n-1]+x[n-5]*x[n-3]*x[n-1]^2)/x[n]/x[n-1 ]/x[n-2]/x[n-3]/x[n-4]/x[n-5]/x[n-6]/x[n-7] Proof: Routine Corollary: For any positive initial conditions the orbit is bounded Let's illustate it with the case p=2 and initial conditions, x[1] = 3, x[2] = 4, x[3] = 5, x[4] = 6, x[5] = 7, x[6] = 8, x[7] = 9, x[8] = 10 The smallest entry among the first 1000 terms is, 3. while the largest is, 19.649327421240743612981625402399525372038660648167 -------------------------- ------------------------------ This took, 14132.222, seconds.