On the average of the number of the Maximal (and Minimal) Number of Balls upon throwing, 1, balls into , 4, bins T times By Shalosh B. Ekhad Suppose you throw, uniformly at random,, 1, balls into , 4, boxes , T times Let , A(T), be the average of the Maximum number of balls minus , T/4 Then A(T) satisfies the following linear recurrence equation with polynomial\ coefficients A(T) = -1/4 (T - 3) ( 6 85138463642269232661116907569925740158626603404699964434640452338990743 T - 2397256664547567653127972804915399629370933293157438355770834236851494363 5 T + 27584239114043087678433929254470664432438758608645830689827458140244154397 4 T - 164902527529051519957503031548396813425444575802288445165716812074350917781 3 T + 536756564508966800266845836245394100651607066140567688167914043551381445992 2 T - 896110274176061831910795786601798225469281731749529552399853331463459567436 T + 594886622586457947295223406688167611508855702242790011261228915475743069872 / 3 ) A(T - 1) / (%1 (T - 1) ) + 1/16 ( / 9 839536988836101224336182141867122434385028677509968019356693154481910815 T - 32085657115542597498248838426220548023804429289862075484131855586250213783 8 T + 535911693841819555119692918731605685244367429407090159694075293270639179218 7 T - 5133444105187165652545672339134944168282067592049993818562975354152\ 6 942817830 T + 310761222040480871204024541069284609353368985636858471307\ 5 56830490938973244423 T - 1232945980131778850580873487876996654427337658\ 4 57754974423325740414152975181567 T + 3206174472600805752394207915666033\ 3 20729881574128786866782346188945579871912328 T - 5270143205354399209940\ 2 48559234106497633128151284504246728646366466921928554148 T + 4970232169\ 78222567180061125386823348231859410793328006108543846974828791641056 T - 205014957860671642694620499145606698710711902231397140667668215197959597\ / 2 3 486144) A(T - 2) / (%1 (T - 2) (T - 1) ) - 1/32 ( / 1488823575188099909785395143312916808252343828338202013323293208670263856 10 T - 65803873207516464100584197260092707443015407325671668819581560465621429885 9 T + 1290732371614645257645927794346421129386275331158335711709774564642\ 8 762995930 T - 148014183815440181934364810459142532044860218136356207820\ 7 30204157831178707372 T + 1099322122023781228429165004706539489717772339\ 6 90972135720354923060240315467292 T - 5527307620163366250476227901167949\ 5 32038910053777622550573873206767226914200797 T + 1905792878962375373780\ 4 686341617663662413992940241744711923132479292090431034230 T - 445044895\ 3 8603629918774462431788293005948789092188198329720139889815934864250282 T + 673736953917269070852827870989708124723291965134460824514544163234612\ 2 3169022692 T - 59712764137111551328576191014528542480949447787389098550\ 23171226222886599234960 T + 23528571883667784181411814975442073930675736\ / 2 40677716847910980309982321419983488) A(T - 3) / ((T - 3) %1 (T - 2) / 3 (T - 1) ) + 1/64 ( 1764216355080029826028822522401220547527215788758711856660191741128600672 10 T - 79216406374587663204056111317621851490941959444347112435906760074842500870 9 T + 1576692179786999685826557404918283611809258729317112927851841091585\ 8 813393528 T - 183266922361740348635451454556995865690933079790230836342\ 7 76948214247313519625 T + 1377828088292492377789500156139451029606451569\ 6 16850596732654214380251559221040 T - 7000153569412517943781328872320929\ 5 04912429371427010629742802335098436448654152 T + 2433341532650426626853\ 4 331279624760776526545069922161299398863227187359017146824 T - 571268847\ 3 4975702026228245933601308031265698163618778468434187527121801167043581 T + 866553508807372981532264901960355729251609451036401340032923688561400\ 2 0321083264 T - 76670180474272807869428905427855449419570747079238784906\ 28926948949241682975756 T + 30041935534034304303927269729287494062226907\ / 2 88681030145517616304497531916577104) A(T - 4) / ((T - 3) %1 (T - 2) / 3 (T - 1) ) + 1/64 ( 158243255325932322892797924642715839320221206997655826759820894086326544 10 T - 5090016731093493037940730087815778813522691498705887810571844443617559542 9 T + 63788541715934837049890714043176832037915108727948238352669151453142553116 8 T - 306620287487509203279192797467013021842896023478991578321547250900036180605 7 T - 1122497768451416301385579495165294491835652296881843231262107736400\ 6 381933824 T + 246034306839218202820554562656303126054076798796588469034\ 5 28530740801196554743 T - 1582819005075953205493523009124879442816633181\ 4 73544565231160468768773292953923 T + 5624887848781201456961010622788609\ 3 15716706915985431527696761324231180501716890 T - 1177340890303555483318\ 2 508276950090739717212133060309705264157547984077856971697 T + 136139231\ 1589337520883756002533617839554464697825445752427787845295024095485490 T - 671615363194013621140948714336325835743398017665271962675776654304742279\ / 2 3 672504) A(T - 5) / ((T - 3) %1 (T - 2) (T - 1) ) - 1/64 (T - 5) ( / 2933419077646665236347105439935272565398703768260769153687963936009630632 9 T - 122549178528695356344744202840815060106831556651688074060431812844182291714 8 T + 2240342668178525412450023083656265497310374317465191311774034146221\ 7 940559598 T - 234755067164072018268171363877417153509359490605566897715\ 6 06971043837979647274 T + 1551016916404675882029095914383183140178817353\ 5 73839626317580514740948720716078 T - 6690447461405692898144801241809071\ 4 58843412156247461639853473416471505389551614 T + 1882173129504887844414\ 3 088655303694519945398723919864005976300165550469589627685 T - 332809261\ 2 3431524608612997689532283780062216168752819179572745064584905319385203 T + 335667587713921501000490007632045597658391084647268011425959731082516\ 7342942858 T - 147249745097866439653950004266244136507079592319409475052\ / 2 3 2617932230870503110568) A(T - 6) / ((T - 3) %1 (T - 2) (T - 1) ) + 1/64 / (T - 5) (T - 6) ( 2977647150376199819570790286625833616504687656676404026646586417340527712 8 T - 116719510663151929103314443087056246803507376367961317505930188844540221210 7 T + 1957923398251191722028939558024332410428206268275900600568998823127\ 6 660574114 T - 183093552901485644485170840445181049871100854652494534274\ 5 87126190271366982544 T + 1041478254225739618604496328491173405771020979\ 4 37706650956015710076007437337320 T - 3683310476451651041444731886335975\ 3 56074060794258078627855678678621682634994482 T + 7903499642873539965597\ 2 22797839005561126795337091656212210112638468620555588299 T - 9411788677\ 06627678495642118577108657908099286635456215359224239011634099644621 T + 476806884160640188425781948520680030105569125890387964318202481413172099\ / 2 3 167522) A(T - 7) / ((T - 3) %1 (T - 2) (T - 1) ) - 1/64 (T - 5) (T - 6) / (T - 7) ( 1762587126820384104760102115810127550053103947784441958644935219692424864 7 T - 57892662657220607492450522829244463158048856927661199742550346166298766854 6 T + 789125896530943816673395240723675999581458771123931546488382660576630958656 5 T - 5767517141884578237598549793062616732771141347459132025850558085542\ 4 276730169 T + 243760471137551095588538189419839420417722096952449740434\ 3 03165407181287931508 T - 5962634575887605602611170314844776308165210969\ 2 3108251696971462244890953180688 T + 78352189231254937707814639513823350\ 234755533158927723505696316531736581727997 T - 4279953472589021547241958\ / 6643942289881371091222657355360277178614842492557846) A(T - 8) / ((T - 3) / 2 3 %1 (T - 2) (T - 1) ) + 1/64 (T - 5) (T - 6) (T - 7) (T - 8) ( 1203972162950375399685072596476096003217804447477543604194426343337525344 6 T - 30982093335081004979651311199209684672664562713865444693140932278037473594 5 T + 315802524973027314521314754586730148240692239468673703990856061605770281308 4 T - 1641556820207727699504453118423349025665921640287383454451897890825\ 3 652428815 T + 461619813843335655239569709048593492952896827411901113884\ 2 0854727572433626872 T - 66979592575680045324980359826226155668653537633\ 26563568321545545193076672729 T + 39375276211769582495583217947860133382\ / 2 88146947625869998299092457852019150418) A(T - 9) / ((T - 3) %1 (T - 2) / 3 (T - 1) ) - 7/32 (2 T - 19) (T - 5) (T - 6) (T - 7) (T - 8) (T - 9) ( 4 15168888489204987892772254554757756147907533634967961562100310068500451 T - 3 178486583999227664078917512913511273993191171368563151448307468866989765 T + 2 779897210022575323039982304367867316769621186831025910319705079077160207 T - 1503125058563351847687456407898260850817153838210765668132413823446413825 T + 1078698369228851005167319465621954116924625358421822732919528178331803641) / 2 3 A(T - 10) / ((T - 3) %1 (T - 2) (T - 1) ) / 4 %1 := 25456691556964394823756352985828085532997515222967156488383147440247 T - 3 2291102240126795534138071768724527697969776370067044083954483269622230 T + 2 19112900990615886735785277563070353158607315791664610532252458376295111 T - 37084111512729016726850672350856748494175348033688384587543035512064208 T - 19148511959764687417899447903929063584990307812947743775699137551645328 Subject to the initial conditions 15 315 675 A(1) = 3/4, A(2) = 3/4, A(3) = --, A(4) = 9/8, A(5) = ---, A(6) = ---, 16 256 512 735 1575 106155 222495 A(7) = ---, A(8) = ----, A(9) = ------, A(10) = ------ 512 1024 65536 131072 and in Maple notation A(T) = -1/4*(T-3)*( 85138463642269232661116907569925740158626603404699964434640452338990743*T^6-\ 2397256664547567653127972804915399629370933293157438355770834236851494363*T^5+ 27584239114043087678433929254470664432438758608645830689827458140244154397*T^4-\ 164902527529051519957503031548396813425444575802288445165716812074350917781*T^3 +536756564508966800266845836245394100651607066140567688167914043551381445992*T^ 2-896110274176061831910795786601798225469281731749529552399853331463459567436*T +594886622586457947295223406688167611508855702242790011261228915475743069872)/( 25456691556964394823756352985828085532997515222967156488383147440247*T^4-\ 2291102240126795534138071768724527697969776370067044083954483269622230*T^3+ 19112900990615886735785277563070353158607315791664610532252458376295111*T^2-\ 37084111512729016726850672350856748494175348033688384587543035512064208*T-\ 19148511959764687417899447903929063584990307812947743775699137551645328)/(T-1)^ 3*A(T-1)+1/16*( 839536988836101224336182141867122434385028677509968019356693154481910815*T^9-\ 32085657115542597498248838426220548023804429289862075484131855586250213783*T^8+ 535911693841819555119692918731605685244367429407090159694075293270639179218*T^7 -5133444105187165652545672339134944168282067592049993818562975354152942817830*T ^6+ 31076122204048087120402454106928460935336898563685847130756830490938973244423*T ^5-\ 123294598013177885058087348787699665442733765857754974423325740414152975181567* T^4+ 320617447260080575239420791566603320729881574128786866782346188945579871912328* T^3-\ 527014320535439920994048559234106497633128151284504246728646366466921928554148* T^2+ 497023216978222567180061125386823348231859410793328006108543846974828791641056* T-\ 205014957860671642694620499145606698710711902231397140667668215197959597486144) /(25456691556964394823756352985828085532997515222967156488383147440247*T^4-\ 2291102240126795534138071768724527697969776370067044083954483269622230*T^3+ 19112900990615886735785277563070353158607315791664610532252458376295111*T^2-\ 37084111512729016726850672350856748494175348033688384587543035512064208*T-\ 19148511959764687417899447903929063584990307812947743775699137551645328)/(T-2)^ 2/(T-1)^3*A(T-2)-1/32*( 1488823575188099909785395143312916808252343828338202013323293208670263856*T^10-\ 65803873207516464100584197260092707443015407325671668819581560465621429885*T^9+ 1290732371614645257645927794346421129386275331158335711709774564642762995930*T^ 8-14801418381544018193436481045914253204486021813635620782030204157831178707372 *T^7+ 109932212202378122842916500470653948971777233990972135720354923060240315467292* T^6-\ 552730762016336625047622790116794932038910053777622550573873206767226914200797* T^5+190579287896237537378068634161766366241399294024174471192313247929209043103\ 4230*T^4-4450448958603629918774462431788293005948789092188198329720139889815934\ 864250282*T^3+67373695391726907085282787098970812472329196513446082451454416323\ 46123169022692*T^2-597127641371115513285761910145285424809494477873890985502317\ 1226222886599234960*T+235285718836677841814118149754420739306757364067771684791\ 0980309982321419983488)/(T-3)/( 25456691556964394823756352985828085532997515222967156488383147440247*T^4-\ 2291102240126795534138071768724527697969776370067044083954483269622230*T^3+ 19112900990615886735785277563070353158607315791664610532252458376295111*T^2-\ 37084111512729016726850672350856748494175348033688384587543035512064208*T-\ 19148511959764687417899447903929063584990307812947743775699137551645328)/(T-2)^ 2/(T-1)^3*A(T-3)+1/64*( 1764216355080029826028822522401220547527215788758711856660191741128600672*T^10-\ 79216406374587663204056111317621851490941959444347112435906760074842500870*T^9+ 1576692179786999685826557404918283611809258729317112927851841091585813393528*T^ 8-18326692236174034863545145455699586569093307979023083634276948214247313519625 *T^7+ 137782808829249237778950015613945102960645156916850596732654214380251559221040* T^6-\ 700015356941251794378132887232092904912429371427010629742802335098436448654152* T^5+243334153265042662685333127962476077652654506992216129939886322718735901714\ 6824*T^4-5712688474975702026228245933601308031265698163618778468434187527121801\ 167043581*T^3+86655350880737298153226490196035572925160945103640134003292368856\ 14000321083264*T^2-766701804742728078694289054278554494195707470792387849062892\ 6948949241682975756*T+300419355340343043039272697292874940622269078868103014551\ 7616304497531916577104)/(T-3)/( 25456691556964394823756352985828085532997515222967156488383147440247*T^4-\ 2291102240126795534138071768724527697969776370067044083954483269622230*T^3+ 19112900990615886735785277563070353158607315791664610532252458376295111*T^2-\ 37084111512729016726850672350856748494175348033688384587543035512064208*T-\ 19148511959764687417899447903929063584990307812947743775699137551645328)/(T-2)^ 2/(T-1)^3*A(T-4)+1/64*( 158243255325932322892797924642715839320221206997655826759820894086326544*T^10-\ 5090016731093493037940730087815778813522691498705887810571844443617559542*T^9+ 63788541715934837049890714043176832037915108727948238352669151453142553116*T^8-\ 306620287487509203279192797467013021842896023478991578321547250900036180605*T^7 -1122497768451416301385579495165294491835652296881843231262107736400381933824*T ^6+ 24603430683921820282055456265630312605407679879658846903428530740801196554743*T ^5-\ 158281900507595320549352300912487944281663318173544565231160468768773292953923* T^4+ 562488784878120145696101062278860915716706915985431527696761324231180501716890* T^3-117734089030355548331850827695009073971721213306030970526415754798407785697\ 1697*T^2+1361392311589337520883756002533617839554464697825445752427787845295024\ 095485490*T-\ 671615363194013621140948714336325835743398017665271962675776654304742279672504) /(T-3)/(25456691556964394823756352985828085532997515222967156488383147440247*T^ 4-2291102240126795534138071768724527697969776370067044083954483269622230*T^3+ 19112900990615886735785277563070353158607315791664610532252458376295111*T^2-\ 37084111512729016726850672350856748494175348033688384587543035512064208*T-\ 19148511959764687417899447903929063584990307812947743775699137551645328)/(T-2)^ 2/(T-1)^3*A(T-5)-1/64*(T-5)*( 2933419077646665236347105439935272565398703768260769153687963936009630632*T^9-\ 122549178528695356344744202840815060106831556651688074060431812844182291714*T^8 +2240342668178525412450023083656265497310374317465191311774034146221940559598*T ^7-\ 23475506716407201826817136387741715350935949060556689771506971043837979647274*T ^6+ 155101691640467588202909591438318314017881735373839626317580514740948720716078* T^5-\ 669044746140569289814480124180907158843412156247461639853473416471505389551614* T^4+188217312950488784441408865530369451994539872391986400597630016555046958962\ 7685*T^3-3328092613431524608612997689532283780062216168752819179572745064584905\ 319385203*T^2+33566758771392150100049000763204559765839108464726801142595973108\ 25167342942858*T-14724974509786643965395000426624413650707959231940947505226179\ 32230870503110568)/(T-3)/( 25456691556964394823756352985828085532997515222967156488383147440247*T^4-\ 2291102240126795534138071768724527697969776370067044083954483269622230*T^3+ 19112900990615886735785277563070353158607315791664610532252458376295111*T^2-\ 37084111512729016726850672350856748494175348033688384587543035512064208*T-\ 19148511959764687417899447903929063584990307812947743775699137551645328)/(T-2)^ 2/(T-1)^3*A(T-6)+1/64*(T-5)*(T-6)*( 2977647150376199819570790286625833616504687656676404026646586417340527712*T^8-\ 116719510663151929103314443087056246803507376367961317505930188844540221210*T^7 +1957923398251191722028939558024332410428206268275900600568998823127660574114*T ^6-\ 18309355290148564448517084044518104987110085465249453427487126190271366982544*T ^5+ 104147825422573961860449632849117340577102097937706650956015710076007437337320* T^4-\ 368331047645165104144473188633597556074060794258078627855678678621682634994482* T^3+ 790349964287353996559722797839005561126795337091656212210112638468620555588299* T^2-\ 941178867706627678495642118577108657908099286635456215359224239011634099644621* T+ 476806884160640188425781948520680030105569125890387964318202481413172099167522) /(T-3)/(25456691556964394823756352985828085532997515222967156488383147440247*T^ 4-2291102240126795534138071768724527697969776370067044083954483269622230*T^3+ 19112900990615886735785277563070353158607315791664610532252458376295111*T^2-\ 37084111512729016726850672350856748494175348033688384587543035512064208*T-\ 19148511959764687417899447903929063584990307812947743775699137551645328)/(T-2)^ 2/(T-1)^3*A(T-7)-1/64*(T-5)*(T-6)*(T-7)*( 1762587126820384104760102115810127550053103947784441958644935219692424864*T^7-\ 57892662657220607492450522829244463158048856927661199742550346166298766854*T^6+ 789125896530943816673395240723675999581458771123931546488382660576630958656*T^5 -5767517141884578237598549793062616732771141347459132025850558085542276730169*T ^4+ 24376047113755109558853818941983942041772209695244974043403165407181287931508*T ^3-\ 59626345758876056026111703148447763081652109693108251696971462244890953180688*T ^2+ 78352189231254937707814639513823350234755533158927723505696316531736581727997*T -42799534725890215472419586643942289881371091222657355360277178614842492557846) /(T-3)/(25456691556964394823756352985828085532997515222967156488383147440247*T^ 4-2291102240126795534138071768724527697969776370067044083954483269622230*T^3+ 19112900990615886735785277563070353158607315791664610532252458376295111*T^2-\ 37084111512729016726850672350856748494175348033688384587543035512064208*T-\ 19148511959764687417899447903929063584990307812947743775699137551645328)/(T-2)^ 2/(T-1)^3*A(T-8)+1/64*(T-5)*(T-6)*(T-7)*(T-8)*( 1203972162950375399685072596476096003217804447477543604194426343337525344*T^6-\ 30982093335081004979651311199209684672664562713865444693140932278037473594*T^5+ 315802524973027314521314754586730148240692239468673703990856061605770281308*T^4 -1641556820207727699504453118423349025665921640287383454451897890825652428815*T ^3+4616198138433356552395697090485934929528968274119011138840854727572433626872 *T^2-\ 6697959257568004532498035982622615566865353763326563568321545545193076672729*T+ 3937527621176958249558321794786013338288146947625869998299092457852019150418)/( T-3)/(25456691556964394823756352985828085532997515222967156488383147440247*T^4-\ 2291102240126795534138071768724527697969776370067044083954483269622230*T^3+ 19112900990615886735785277563070353158607315791664610532252458376295111*T^2-\ 37084111512729016726850672350856748494175348033688384587543035512064208*T-\ 19148511959764687417899447903929063584990307812947743775699137551645328)/(T-2)^ 2/(T-1)^3*A(T-9)-7/32*(2*T-19)*(T-5)*(T-6)*(T-7)*(T-8)*(T-9)*( 15168888489204987892772254554757756147907533634967961562100310068500451*T^4-\ 178486583999227664078917512913511273993191171368563151448307468866989765*T^3+ 779897210022575323039982304367867316769621186831025910319705079077160207*T^2-\ 1503125058563351847687456407898260850817153838210765668132413823446413825*T+ 1078698369228851005167319465621954116924625358421822732919528178331803641)/(T-3 )/(25456691556964394823756352985828085532997515222967156488383147440247*T^4-\ 2291102240126795534138071768724527697969776370067044083954483269622230*T^3+ 19112900990615886735785277563070353158607315791664610532252458376295111*T^2-\ 37084111512729016726850672350856748494175348033688384587543035512064208*T-\ 19148511959764687417899447903929063584990307812947743775699137551645328)/(T-2)^ 2/(T-1)^3*A(T-10) Using this recurrence we can compute many terms. 1/2 This enables us to estimate that A(T) is asympotically, C T where C is approximately, 0.516 Suppose you throw, uniformly at random,, 1, balls into , 4, boxes , T times Let , A(T), be the average of the Minimum number of balls minus , T/4 Then A(T) satisfies the following linear recurrence equation with polynomial\ coefficients A(T) = 1/4 (T - 3) ( 5 92290423286897013699681322251702922710607608437941912352034420527442957 T - 1968453900335956434648759355372862781304154248809360166960411222722627270 4 T + 16221630655601794408934508347429170161309290646754945273605628694326782193 3 T - 64346795220844246517098719037128659473921714535561340720418594034379328516 2 T + 122415894916336637148982644317659144434324364406293005588338759541780743708 T - 88445322937878405838365524403868465219161515209954807415729131901721980336) / 3 A(T - 1) / (%1 (T - 1) ) + 1/16 ( / 9 101761173490333652840226998121924013381497597640160197593389777190778896 T - 4126242760816309309570464363759348155273205208438992095782002765790837821 8 T + 70735266236153989388512086268189674890670658213019620825616758706021327190 7 T - 669800874387852468684460313443624149627716805251434461625567869232341153140 6 T + 3823868318585941258557943704759670037333089432390911385900760191065\ 5 339528070 T - 133787332418042202696607819150095106731946986819047945022\ 4 80736693314744986811 T + 2738632789874974164366461912307724896410194288\ 3 5637531284709303507761816387316 T - 27404308074639770021022340619738489\ 2 444542837028116974085404233817101389272788 T + 303374044913898504326380\ 8329735361087628274886461591213502467752411726774816 T + 112403570558791\ 45395078996155088450123687436130348091000937082718708963165888) A(T - 2) / 2 3 / (%1 (T - 2) (T - 1) ) - 1/16 ( / 126982437903328620245781738858209291435821684657579838073685286321746278 10 T - 5562960262300071504168614032164987910507945891145425769963103484460964021 9 T + 104804233648398264346960479274940489771895106244746925636117292113002895335 8 T - 1110542930900253798812172492508860271149319327001474438216818844223\ 7 232025498 T + 723282322110990383854272589639474414630320354851735632149\ 6 8831572323593823725 T - 29442328326790555406934516055659906949106481397\ 5 384344069075618387488332179616 T + 710623902963359997548223423653706764\ 4 49083848507563506811571265547058920935036 T - 7932131067284437883688397\ 3 0830151859281083496807525060126484909173940524114465 T - 33111414073946\ 2 894896716558687884469391413445329746277232792971422285534053550 T + 180\ 933001844487176217639709617469299199546034933011111455180328737328006847\ 176 T - 1342266604657623138988173512425121243922595499890500826485632671\ / 2 3 63263037494528) A(T - 3) / ((T - 3) %1 (T - 2) (T - 1) ) + 1/64 ( / 356202279486965340281967233271992131391975970547755401880019601785987080 10 T - 15207193622240283590723950815618448694878577891197194595268164336497062988 9 T + 282742606756400959468689400521662468577687202354267521280869125052269073844 8 T - 2988037027510349363713597178809227585854508098785716031759214013760\ 7 619072321 T + 196093473924478479960711203977430895597888404190107636354\ 6 27800555866505709002 T - 8151904920292651109425562630932303920053011978\ 5 4037772626555497096507027974232 T + 20634136597781966279176007942878828\ 4 8841740876183661438011428206583526839677282 T - 26704166121821642480953\ 3 9928655078441209421644111517393211885403853893775466727 T + 14495348487\ 2 442445356343967345148269741991102424901391219554984364005639035832 T + 392275576214049374792638515282391560701717778359815778319605626684389190\ 651452 T - 3389147802644289246083000707924930255788783132831178478792076\ / 2 3 21305356724450448) A(T - 4) / ((T - 3) %1 (T - 2) (T - 1) ) - 1/64 ( / 211869149555401997994529153506297239202997913090985042475245872909058120 10 T - 7991663900098926487300264653646156526767264170380088817562912402170466604 9 T + 128958282787135217500031203318314468066807418697602848342583471288109351682 8 T - 1133219817747047726262640411445071353768154578656651250316983960710\ 7 549475253 T + 552160359134014641702592031203140595710501929210344321142\ 6 3296275431245325294 T - 10887358339165801430788426398445052617655979628\ 5 673559195519955801239781811593 T - 308980578936790084961402967557089233\ 4 53246897634634941930351311683872122085319 T + 2600826984824852330164455\ 3 59324517002736473794012486497757153332857278731423824 T - 7219521323682\ 2 61209537627451684995374518356270107912295547033293769451337082153 T + 9\ 599304325805243528238954320308828876800081177305146680209876075409799337\ 31066 T - 50381348003391246066662196502205150124785610686445098704882738\ / 2 3 0047160664031960) A(T - 5) / ((T - 3) %1 (T - 2) (T - 1) ) - 1/64 / (T - 5) ( 9 299261533634937162760213005135759898383908256358699871383449218652569256 T - 13729472261446597537686784954690216815504601104798614047251936783465230796 8 T + 268137809312164872078336584411603992739159845987610868813634742456286225994 7 T - 2913819347892061079898471761671907194553515331318290765814612576467\ 6 478084988 T + 192541275716463262635010217085574124972570939350991526522\ 5 53644101849601818602 T - 7898074256164497007853110035436364257771529845\ 4 0014368393476943976658012234182 T + 19488931539779461017486792154935306\ 3 0565813842694052623715351055534111370463051 T - 25837083744966561623847\ 2 9983309761392719138276477998187006526113967545924462733 T + 12354516941\ 2155678470504119681062549852434246104848972764352799001837409073894 T + 330177375583058324932493431686454799482786041159126861156610963063028436\ / 2 3 73032) A(T - 6) / ((T - 3) %1 (T - 2) (T - 1) ) + 1/64 (T - 5) (T - 6) ( / 8 507929751613314480983126955432837165743286738630319352294741145286985112 T - 19712192291133713611758821351495765813315349871430106318378708211408930524 7 T + 313164704560777663627301366515876627086720081543025016443285506689102341288 6 T - 2605938507893127482707124021198017331584186758462901327086814088381\ 5 097934260 T + 119159250086024903449171857300620605525612912097991824189\ 4 57616204092864077084 T - 2754568269805343679809636184501224486518711259\ 3 7674047538302171129050940023762 T + 18088336576687217418380020109488449\ 2 559787918059844813187492778876383365078083 T + 377367925217708250834138\ 93295685298396930077863495225824615300682693032838947 T - 52445749104769\ 735382235467874787856267578470815955203110771127955243680118582) A(T - 7) / 2 3 / ((T - 3) %1 (T - 2) (T - 1) ) - 1/64 (T - 5) (T - 6) (T - 7) ( / 7 280586663183974879649010181185747163835094048753239043643168810554184200 T - 9273760009020827098153863204722763537980068213840389822260943688971154860 6 T + 118802223948789341832243227179794940834236077239576734020939662025591765796 5 T - 738921532701349879860901505947248916657965342080256503796010953451110486625 4 T + 2223271375546683191472232616745772288242826810929977117548334003070\ 3 136384466 T - 234668424328536542790963706136250856717085660634347477745\ 2 5318266633303949744 T - 20423326489355999735272669542262828596883734600\ 88419173555630559510250865807 T + 43104215488861932694231866454931000408\ / 2 07597782469383143133154287030520161922) A(T - 8) / ((T - 3) %1 (T - 2) / 3 (T - 1) ) + 1/64 (T - 5) (T - 6) (T - 7) (T - 8) ( 6 211869149555401997994529153506297239202997913090985042475245872909058120 T - 5230927681581238746604582739547458506077027643567458565690545672428391516 5 T + 47297934397862406791257362168564301124002073601740905565580078701449668930 4 T - 186136190083158745313450399922734351868563260536782267421119061440268283253 3 T + 265910583798774436019509689279804095484931276518845560150969878157863693942 2 T + 108787048369933717397401883456076620996717286755634092225500135879106281355 T - 400195844752885803865441103474136274127037604678734833394266121132273634806 / 2 3 ) A(T - 9) / ((T - 3) %1 (T - 2) (T - 1) ) - 7/32 (2 T - 19) (T - 5) / (T - 6) (T - 7) (T - 8) (T - 9) ( 4 3849398583085623164310535262569148397931504792926461392503924646805226 T - 3 28319345954630843496979371214574957944015349836960596828629621287402887 T + 2 41578517332757033331249088894715800841686319753274659475222013771458938 T + 82475730634540350429090934806951911642953584310011438072840405406689581 T - 163447902277274431413992683727286608178221140975922550902041508836696051 / 2 3 ) A(T - 10) / ((T - 3) %1 (T - 2) (T - 1) ) / 4 %1 := 1181494004734225947389953938847577618076280028039318097450793612996920 T - 3 21195996783811102603978946926356245468238599118838664335930972830732057 T + 2 137325201425167569491484102058435805075248153487933878329319166714725249 T - 378098533331748450767674494846454651476823488676337180359224502237801140 T + 371957980909920275911167861877032058893571183621130422030505078220393824 Subject to the initial conditions -29 -65 -573 A(1) = -1/4, A(2) = -1/2, A(3) = -3/4, A(4) = ---, A(5) = ---, A(6) = ----, 32 64 512 -1267 -5483 -23319 -197015 A(7) = -----, A(8) = -----, A(9) = ------, A(10) = ------- 1024 4096 16384 131072 and in Maple notation A(T) = 1/4*(T-3)*( 92290423286897013699681322251702922710607608437941912352034420527442957*T^5-\ 1968453900335956434648759355372862781304154248809360166960411222722627270*T^4+ 16221630655601794408934508347429170161309290646754945273605628694326782193*T^3-\ 64346795220844246517098719037128659473921714535561340720418594034379328516*T^2+ 122415894916336637148982644317659144434324364406293005588338759541780743708*T-\ 88445322937878405838365524403868465219161515209954807415729131901721980336)/( 1181494004734225947389953938847577618076280028039318097450793612996920*T^4-\ 21195996783811102603978946926356245468238599118838664335930972830732057*T^3+ 137325201425167569491484102058435805075248153487933878329319166714725249*T^2-\ 378098533331748450767674494846454651476823488676337180359224502237801140*T+ 371957980909920275911167861877032058893571183621130422030505078220393824)/(T-1) ^3*A(T-1)+1/16*( 101761173490333652840226998121924013381497597640160197593389777190778896*T^9-\ 4126242760816309309570464363759348155273205208438992095782002765790837821*T^8+ 70735266236153989388512086268189674890670658213019620825616758706021327190*T^7-\ 669800874387852468684460313443624149627716805251434461625567869232341153140*T^6 +3823868318585941258557943704759670037333089432390911385900760191065339528070*T ^5-\ 13378733241804220269660781915009510673194698681904794502280736693314744986811*T ^4+ 27386327898749741643664619123077248964101942885637531284709303507761816387316*T ^3-\ 27404308074639770021022340619738489444542837028116974085404233817101389272788*T ^2+3033740449138985043263808329735361087628274886461591213502467752411726774816 *T+ 11240357055879145395078996155088450123687436130348091000937082718708963165888)/ (1181494004734225947389953938847577618076280028039318097450793612996920*T^4-\ 21195996783811102603978946926356245468238599118838664335930972830732057*T^3+ 137325201425167569491484102058435805075248153487933878329319166714725249*T^2-\ 378098533331748450767674494846454651476823488676337180359224502237801140*T+ 371957980909920275911167861877032058893571183621130422030505078220393824)/(T-2) ^2/(T-1)^3*A(T-2)-1/16*( 126982437903328620245781738858209291435821684657579838073685286321746278*T^10-\ 5562960262300071504168614032164987910507945891145425769963103484460964021*T^9+ 104804233648398264346960479274940489771895106244746925636117292113002895335*T^8 -1110542930900253798812172492508860271149319327001474438216818844223232025498*T ^7+7232823221109903838542725896394744146303203548517356321498831572323593823725 *T^6-\ 29442328326790555406934516055659906949106481397384344069075618387488332179616*T ^5+ 71062390296335999754822342365370676449083848507563506811571265547058920935036*T ^4-\ 79321310672844378836883970830151859281083496807525060126484909173940524114465*T ^3-\ 33111414073946894896716558687884469391413445329746277232792971422285534053550*T ^2+ 180933001844487176217639709617469299199546034933011111455180328737328006847176* T-\ 134226660465762313898817351242512124392259549989050082648563267163263037494528) /(T-3)/(1181494004734225947389953938847577618076280028039318097450793612996920* T^4-21195996783811102603978946926356245468238599118838664335930972830732057*T^3 +137325201425167569491484102058435805075248153487933878329319166714725249*T^2-\ 378098533331748450767674494846454651476823488676337180359224502237801140*T+ 371957980909920275911167861877032058893571183621130422030505078220393824)/(T-2) ^2/(T-1)^3*A(T-3)+1/64*( 356202279486965340281967233271992131391975970547755401880019601785987080*T^10-\ 15207193622240283590723950815618448694878577891197194595268164336497062988*T^9+ 282742606756400959468689400521662468577687202354267521280869125052269073844*T^8 -2988037027510349363713597178809227585854508098785716031759214013760619072321*T ^7+ 19609347392447847996071120397743089559788840419010763635427800555866505709002*T ^6-\ 81519049202926511094255626309323039200530119784037772626555497096507027974232*T ^5+ 206341365977819662791760079428788288841740876183661438011428206583526839677282* T^4-\ 267041661218216424809539928655078441209421644111517393211885403853893775466727* T^3+ 14495348487442445356343967345148269741991102424901391219554984364005639035832*T ^2+ 392275576214049374792638515282391560701717778359815778319605626684389190651452* T-\ 338914780264428924608300070792493025578878313283117847879207621305356724450448) /(T-3)/(1181494004734225947389953938847577618076280028039318097450793612996920* T^4-21195996783811102603978946926356245468238599118838664335930972830732057*T^3 +137325201425167569491484102058435805075248153487933878329319166714725249*T^2-\ 378098533331748450767674494846454651476823488676337180359224502237801140*T+ 371957980909920275911167861877032058893571183621130422030505078220393824)/(T-2) ^2/(T-1)^3*A(T-4)-1/64*( 211869149555401997994529153506297239202997913090985042475245872909058120*T^10-\ 7991663900098926487300264653646156526767264170380088817562912402170466604*T^9+ 128958282787135217500031203318314468066807418697602848342583471288109351682*T^8 -1133219817747047726262640411445071353768154578656651250316983960710549475253*T ^7+5521603591340146417025920312031405957105019292103443211423296275431245325294 *T^6-\ 10887358339165801430788426398445052617655979628673559195519955801239781811593*T ^5-\ 30898057893679008496140296755708923353246897634634941930351311683872122085319*T ^4+ 260082698482485233016445559324517002736473794012486497757153332857278731423824* T^3-\ 721952132368261209537627451684995374518356270107912295547033293769451337082153* T^2+ 959930432580524352823895432030882887680008117730514668020987607540979933731066* T-\ 503813480033912460666621965022051501247856106864450987048827380047160664031960) /(T-3)/(1181494004734225947389953938847577618076280028039318097450793612996920* T^4-21195996783811102603978946926356245468238599118838664335930972830732057*T^3 +137325201425167569491484102058435805075248153487933878329319166714725249*T^2-\ 378098533331748450767674494846454651476823488676337180359224502237801140*T+ 371957980909920275911167861877032058893571183621130422030505078220393824)/(T-2) ^2/(T-1)^3*A(T-5)-1/64*(T-5)*( 299261533634937162760213005135759898383908256358699871383449218652569256*T^9-\ 13729472261446597537686784954690216815504601104798614047251936783465230796*T^8+ 268137809312164872078336584411603992739159845987610868813634742456286225994*T^7 -2913819347892061079898471761671907194553515331318290765814612576467478084988*T ^6+ 19254127571646326263501021708557412497257093935099152652253644101849601818602*T ^5-\ 78980742561644970078531100354363642577715298450014368393476943976658012234182*T ^4+ 194889315397794610174867921549353060565813842694052623715351055534111370463051* T^3-\ 258370837449665616238479983309761392719138276477998187006526113967545924462733* T^2+ 123545169412155678470504119681062549852434246104848972764352799001837409073894* T+33017737558305832493249343168645479948278604115912686115661096306302843673032 )/(T-3)/(1181494004734225947389953938847577618076280028039318097450793612996920 *T^4-21195996783811102603978946926356245468238599118838664335930972830732057*T^ 3+137325201425167569491484102058435805075248153487933878329319166714725249*T^2-\ 378098533331748450767674494846454651476823488676337180359224502237801140*T+ 371957980909920275911167861877032058893571183621130422030505078220393824)/(T-2) ^2/(T-1)^3*A(T-6)+1/64*(T-5)*(T-6)*( 507929751613314480983126955432837165743286738630319352294741145286985112*T^8-\ 19712192291133713611758821351495765813315349871430106318378708211408930524*T^7+ 313164704560777663627301366515876627086720081543025016443285506689102341288*T^6 -2605938507893127482707124021198017331584186758462901327086814088381097934260*T ^5+ 11915925008602490344917185730062060552561291209799182418957616204092864077084*T ^4-\ 27545682698053436798096361845012244865187112597674047538302171129050940023762*T ^3+ 18088336576687217418380020109488449559787918059844813187492778876383365078083*T ^2+ 37736792521770825083413893295685298396930077863495225824615300682693032838947*T -52445749104769735382235467874787856267578470815955203110771127955243680118582) /(T-3)/(1181494004734225947389953938847577618076280028039318097450793612996920* T^4-21195996783811102603978946926356245468238599118838664335930972830732057*T^3 +137325201425167569491484102058435805075248153487933878329319166714725249*T^2-\ 378098533331748450767674494846454651476823488676337180359224502237801140*T+ 371957980909920275911167861877032058893571183621130422030505078220393824)/(T-2) ^2/(T-1)^3*A(T-7)-1/64*(T-5)*(T-6)*(T-7)*( 280586663183974879649010181185747163835094048753239043643168810554184200*T^7-\ 9273760009020827098153863204722763537980068213840389822260943688971154860*T^6+ 118802223948789341832243227179794940834236077239576734020939662025591765796*T^5 -738921532701349879860901505947248916657965342080256503796010953451110486625*T^ 4+2223271375546683191472232616745772288242826810929977117548334003070136384466* T^3-\ 2346684243285365427909637061362508567170856606343474777455318266633303949744*T^ 2-2042332648935599973527266954226282859688373460088419173555630559510250865807* T+4310421548886193269423186645493100040807597782469383143133154287030520161922) /(T-3)/(1181494004734225947389953938847577618076280028039318097450793612996920* T^4-21195996783811102603978946926356245468238599118838664335930972830732057*T^3 +137325201425167569491484102058435805075248153487933878329319166714725249*T^2-\ 378098533331748450767674494846454651476823488676337180359224502237801140*T+ 371957980909920275911167861877032058893571183621130422030505078220393824)/(T-2) ^2/(T-1)^3*A(T-8)+1/64*(T-5)*(T-6)*(T-7)*(T-8)*( 211869149555401997994529153506297239202997913090985042475245872909058120*T^6-\ 5230927681581238746604582739547458506077027643567458565690545672428391516*T^5+ 47297934397862406791257362168564301124002073601740905565580078701449668930*T^4-\ 186136190083158745313450399922734351868563260536782267421119061440268283253*T^3 +265910583798774436019509689279804095484931276518845560150969878157863693942*T^ 2+108787048369933717397401883456076620996717286755634092225500135879106281355*T -400195844752885803865441103474136274127037604678734833394266121132273634806)/( T-3)/(1181494004734225947389953938847577618076280028039318097450793612996920*T^ 4-21195996783811102603978946926356245468238599118838664335930972830732057*T^3+ 137325201425167569491484102058435805075248153487933878329319166714725249*T^2-\ 378098533331748450767674494846454651476823488676337180359224502237801140*T+ 371957980909920275911167861877032058893571183621130422030505078220393824)/(T-2) ^2/(T-1)^3*A(T-9)-7/32*(2*T-19)*(T-5)*(T-6)*(T-7)*(T-8)*(T-9)*( 3849398583085623164310535262569148397931504792926461392503924646805226*T^4-\ 28319345954630843496979371214574957944015349836960596828629621287402887*T^3+ 41578517332757033331249088894715800841686319753274659475222013771458938*T^2+ 82475730634540350429090934806951911642953584310011438072840405406689581*T-\ 163447902277274431413992683727286608178221140975922550902041508836696051)/(T-3) /(1181494004734225947389953938847577618076280028039318097450793612996920*T^4-\ 21195996783811102603978946926356245468238599118838664335930972830732057*T^3+ 137325201425167569491484102058435805075248153487933878329319166714725249*T^2-\ 378098533331748450767674494846454651476823488676337180359224502237801140*T+ 371957980909920275911167861877032058893571183621130422030505078220393824)/(T-2) ^2/(T-1)^3*A(T-10) Using this recurrence we can compute many terms. 1/2 This enables us to estimate that A(T) is asympotically, C T where C is approximately, -0.514 -------------------------- This took, 1522.325, seconds.