###################################################################### ##Theta3Romik.txt: Save this file as Theta3Romik.txt # ## To use it, stay in the # ##same directory, get into Maple (by typing: maple ) # ##and then type: read RTheta3Romik.txt # ##Then follow the instructions given there # ## # ##Written by Doron Zeilberger, Rutgers University , # #DoronZeil at gmail dot com # ###################################################################### #Created: print(`Created: July 10, 2018`): print(` This is Theta3Romik.txt `): print(`To explore and implement Dan Romik's interesting article `): print(` The Taylor coefficients of the Jacobi theta constant theta_3`): print(`avalialbe from https://www.math.ucdavis.edu/~romik/data/uploads/papers/jac3.pdf `): print(``): print(`Please report bugs to DoronZeil at gmail dot com `): print(``): print(`The most current version of this package `): print(` is available from`): print(`http://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/tokhniot/Theta3Romik.txt .`): print(`---------------------------------------`): print(`For a list of the Supporting procedures type ezra1();, for help with`): print(`a specific procedure, type ezra(procedure_name); .`): print(``): print(`---------------------------------------`): print(`---------------------------------------`): print(`For a list of the MAIN procedures type ezra();, for help with`): print(`a specific procedure, type ezra(procedure_name); .`): print(``): print(`---------------------------------------`): with(combinat): ezra1:=proc() if args=NULL then print(` The supporting procedures are: rf, U2K, UsF, VsF,`): else ezra(args): fi: end: ezra:=proc() if args=NULL then print(`The main procedures are: cAB, dSeq, GuessPeriod, Per1, Per3,PerStory, rnkSeq, UK, UlZ, Us, VK, Vs`): print(` `): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=cAB then print(`cAB(A,B,t,K): inputs polynomials A and B of the variable t (with no constant terms), and a positive integer K`): print(`finds the polynomial in t, C, of degree K, such that C(A(t))-B(t) has low-degree>=K+1, in other words`): print(`the Taylor expansion of C(A(t))-B(t) starts at t^(K+1). Try:`): print(`cAB(t+t^2,t+t^3,t,10);`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=dSeq then print(`dSeq(K): the first K terms of Dan Romik's sequence d(n), done directly`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=dSeqF then print(`dSeqF(K): the first K terms of Dan Romik's sequence d(n), done via (the much slower (for large K)) Theorem 7.`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=dSeqPC then print(`dSeqPC(K): For K<=200, the same as dSeq(K), but of course, instantenously, since it is pre-computed. For K>200 it is the same as dSeq(K). `): print(`Try: `): print(`dSeqPC(200);`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=GuessPeriod then print(`GuessPeriod(Lis): Given a list, guesses an ultimate period`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=Per1 then print(`Per1(K,p,a): the period mod p^a of the Romik sequence, p is 1 mod 4`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=Per3 then print(`Per3(K,p,a): the smallest n such that d(n) is divisible by p^a for ever after, when p is 3 mod 4`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=PerStory then print(`PerStory(K): the conjectured periods (for primes 1 mod 4) or starting to be 0 (for primes 3 mod 4) using K values of the Romik sequence`): print(`Try: `): print(`PerStory(200); `): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=rf then print(`rf(a,n): the raising factorial (a)_n:=a(a+1)...(a+n-1)`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=rnkSeq then print(`rnkSeq(K): the list of lists, let's call it L, such that L[n][k] is r(n,k), 1<=k<=n. Try:`): print(`rnkSeq(30);`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=U2K then print(`U2K(t,K): the beginning K terms of t*U(t)^2, starting at n=1. Try:`): print(`U2K(t,10); `): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=UK then print(`UK(t,K): the Taylor expansion of U(t), truncated at t^K. Try: `): print(` UK(t,10);`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=UlZ then print(`UlZ(L): the place where it starts being zero. Must be at least 10-th before the end`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=Us then print(`Us(K): the list of the first K Taylor coefficients of U(t), starting at n=1, done directly`): print(``): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=UsF then print(`UsF(K): the list of the first K Taylor coefficients of U(t), starting at n=1, done via the recurrence in Lemma 5`): print(``): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=VK then print(`VK(t,K): the Taylor expansion of V(t), truncated at t^K. Try: `): print(` VK(t,10);`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=Vs then print(`Vs(K): the list of the first K Taylor coefficients of V(t), starting at n=1, done directly`): print(``): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=VsF then print(`VsF(K): the list of the first K Taylor coefficients of V(t), starting at n=1, done via the recurrence in Lemma 6`): print(``): else print(`There is no ezra for`,args): fi: end: ##Start pre-computed dSeqPC:=proc(K) local gu: if K>200 then dSeq(K): else gu:= [1, -1, 51, 849, -26199, 1341999, 82018251, 18703396449, -993278479599, -\ 78795859032801, 38711746282537251, -923351332174412751, 4688204953344642495801, 501271295036889289819599, -89944302490128540556106949, -\ 104694993963067299023875442751, 63396004159664562363095882996001, -\ 10788308985765935467659682700676801, 8534133600987639916144760846045541651, 16747176493521483129100021404620455570449, 4491916228699331920281057792897391899437001, 4008371490685060692354730557721801155762981999, -\ 7658387099083490690278564119942295592886845540949, 1933929629424115650660723995914095967874929828770849, 2647548425114974405626824097077062144771464353298954801, -\ 991924162819304186333096649545124791055039947326950020001, -\ 659518878364796996971102670783675005667893219035369776458749, 13206470436047993067135745831834516018005240671743729632698782449, 3111711836978733267311897676567933180823748015681512946641941805401, 25887793676869956908781049967554078402257028726226164559545411930781199, -\ 3094622515930057252755675715301922974456053019153967172547245376981995749, -\ 47997620210920124591677607831589247079406599005634137081911961063828193690751, 9426556043762906263802576852002727715627229093811640298664045557577263411764801 , 48511559541722295413548073391661552088744702909016533324712190222676171609314\ 729599, 16973318713743902257226629603272121954793270883071242456821452576533855\ 4618318549784051, -697228193114896557250610262229242015375176262247070137570569\ 769992221250670459070708264751, 16481005274616096019505531790984841707245100220\ 32949680340344699417053475337911778027534529001, 175294197017337432593472424785\ 5126135470367924370605072993813652236386885920783342252732019649199, 5030158227\ 5650876367061258803897249731166835977155626199346865388577632664833343959786348\ 25499936651, 312065089873101048094879385704500450703016176076611543595499527243\ 06257580159826665614818402031200724449, 401840360931792174039912856763826189348\ 40168867677785281405264394325206036576430672875597877666396224114001, -18311736\ 0344476342575853630314175242111657273220110748772243894049616895705467690496701\ 190511696544311106556001, -3591008052342085648297147084781654738433669336990180\ 4338163355552941619266393056821334866513985689494827790961949, -113918282323618\ 4367880252533471782844501944014923682024816053361980617739882817935487183531580\ 522208608465905098179151, 75819944308237805973213594046905825026464294201140547\ 62070698505150482328441693847387235584705403822297222640761537255801, -63002146\ 1127294713409347991645960829560441059964681043974502359737130731736901853985505\ 3169304245164291061243375881992302001, -478908221503872426280627390643372816792\ 2265659470161675398588425322283067394129792238593028243606355030482590147639422\ 6084415749, 1932331471453412806012294302038793642588132619033146856721827603063\ 51440623066835007598037860164877328095286475039441388905336048449, 520354347689\ 3342294248064276440724515750436374326325692651423004111574007461041047551056501\ 50762827090827298199345580992180942415810401, 199246948237535665994784563062594\ 9402351074143581325607202047230099259221417114390846500722771877077348732448169\ 454319248056154194043275199, 12379386711514094671977319911638562539883607969839\ 4740459503262913343921215890326788746368939350092490923713551922498074015640265\ 85602522391251, 169111199359226580189921182790315271131600399879046043441161526\ 8435644152752113113267637685408670970442057759365664467645104753142504231164185\ 11249, -18756914034299605459319349417641568913323684604522157263978255544279788\ 7756281879686645212072288503141265374656164682495140928614748093784693802846199 , 41490119507487907037225538022241169278174516804537805442976777424343382534384\ 2156802205922660620671003072667563106203523673067155308294447508215387919599, -\ 8314627561943113713033721074085616585412257434065611366912240110297364892364347\ 530073787833777115332133377547435514913505661853420316591215144613074229004949, -266216484010182799672616515975014520719783900317927552420025204996059322070811\ 6718217812444905653125177578372984047293989239913207835401030199262195476768800\ 6751, 2630956769466476483808437457228134741424610591599073843319990495703445851\ 5633135081276578035821553338691148802617586684291858132351477119404586083876354\ 5850572582001, 5178601125647260573542870866398758821859726055396720353085987827\ 7821895201467408103472398913041757045272930590790911893834090481459171246265945\ 1071089630418372865855199, -700654988496824017836022169405496066659513792344297\ 5803430229875803646143850353479069153798090826692433579096313608228631953943703\ 905172478539423404687516308988891695948349, 10859151377113843612437103340928333\ 5750297260167868697480598375459459229890691236914939017411012281208224044678490\ 07122109627033156347002964171574448853814211658883889692558449, 200152781895262\ 9726022557708068518714992016701271965361948030074374731367747859626025898857028\ 8923005951493064607381106126526491449306536855507336512063246598174145565263273\ 711001, 21497495588321957090800685636721085305978178100139337061537704824744369\ 4094068195181593318415991908388173957495370797570308028067722965742687728840794\ 2750625748025896127130132419385999, -836511163038555690739488600620842095994492\ 4842292738420856796712570310656256658401148039838991294057904967757838311732178\ 383890805487106277147364760715473459123814247772059885935304262949, 12447980246\ 8986657065460646680727229586058924242917297700526765955519538470316030144502614\ 2320324380041527478628041100490087411462079925589400425382023169643524404091187\ 46362060376396527150849, 818160132048984726203097779886669635662242698600761149\ 8249631717784812370012673994312012997436028859676457756241111325428334126820813\ 36216277630274360135760877249992371443079166960290850366876801, 992901654108428\ 5737178410507476473326159211423683965085123094502120156534837076449892092324524\ 2313694823507025997097372407101220250660217760932443524451325500936773799711825\ 9658868191712142462495999, 1544459870092003498159004348978511933771242949986143\ 6052263968923635133398580699059722696454161191375464383262691460299005276601614\ 913832162232683884156907280543163627409898354332981024414677964130147251, -1078\ 6356740532502146758059876991395578159136201019088645336188656873826849337798298\ 1548765277131411293290591016163485463589818333980467526464353291911956526424033\ 980277616659162243104913376376704854716805551, -1895069412196056517934902998203\ 4848680042180043502862410875116186468655172218360179026492996149259116537341419\ 1673775326825317814901726693572697124796815825284259978721850223255160078949103\ 7534870719270364464599, -346985915958113487155025028464966830965879140375890572\ 7629076086598313590341836691778289227008446167613736701505870927702760618635704\ 8315680182936517962628393450804908438599877711568711269431248468224679369735508\ 01, 178196763812522231797957928949036976492962615008159189833290674329479278988\ 1561207212846064318121683964156431334823186525859778137962898583238169880769542\ 85182576560103033394001112804675360122410653415611004148007698251, -60905934904\ 5655010524366342012002492562821408655624544576898413071830814999291910984734173\ 4094292253506401794976219553647269996488361142094958173376548638212258525457875\ 41326786477072750294564893798163399983187531109806751, 302099604392797469401110\ 6417010445744726611669310022435425037282086050406782881722288527597771745559580\ 4465727051008477614671257690636708965013451966945890131528180150056651877581433\ 82214103142468598428569069949893263130662801, -82680735222720226678539740844430\ 5013948132857123666625783277903696699818657530494421742213192336220825547399089\ 0760804339055821300196156962883045948069812622365321204197461405219802925175381\ 7198698595123571838556639236231782610401, 5168532640692416825753397945772839325\ 7161783496628570926079095294822132565042707174539162092507252702174354118888347\ 9918677598266729519555872627619495180314826290251586575069140937948261495683423\ 980095328443626106923090832375359526051, 63011096394421102863760299188888819595\ 8378708490991639100547860067728703955552609971171626455209505943977836606209044\ 2466828074939472698720516315443726418346936583182809932373633709923532634527944\ 790330822994792641518409322934306173331249, -4265978474632611996462341519736246\ 0121727861281070616174337829311200285305380878534371458634397718859437514804310\ 6664542749239935477312799803667653907303524127179470078454831495440189536975840\ 69964219700215065200361214886259856881207430844999, 416171017830673316645960118\ 3692605439365649945651784888916274322393824140500318196158829966736907396811074\ 4017569166867270499216532261077092268292555680444160036813172084014176411003714\ 9776511046571918332813797958273120626230766397485555905941199, 1220155602689570\ 8278585339391051393165806149401298938156885066375380603821274005848596546004362\ 5403534088942125328848230710206029428274285511879600092072017666999793951826691\ 24674848970603058336127304887539022659215493201460360856716604414896549886651, 5330472549101023877684354400808898157330128225318996102617266489625808655144303\ 7346033506259168021955874116058616855405141729044734109969684629046948732851834\ 1215232095204481583515088000400303989063509822315815949361318418554626495560475\ 24444249879072449, 799980609479823539344258770741703295129713976682578583181781\ 2954384196069445337541886677024297249545529009737225205743278530592907404074376\ 5071181851462502066014197203188327999776623922932744506137118372031994521586820\ 0311434858419687407161850850782860228001, 1660085974970410466965919180440607152\ 3733579770242853888760006630893723581021801245664902259898338161107398727631419\ 9936871163610676272809505344406670159246048644267150771466573183744784457145949\ 1367070832064793379861337438850142712568713933532783513868968807999, 4039146925\ 5436963228309416576951465613567055013611127550492277196343700180146404028783423\ 3423329664449407122818575800273731583314817638580736842170015519417841958609883\ 6460633090435399587703869824198672034789054582583732595011745787176442726528951\ 7118985913346556051, -265264422949833390215197105325012311003268415484763625693\ 3819736723196414324654841358033982534332749185451560520800622619243613251187743\ 6307840496452955904271646957029516623713182034996474794802739363427674218736187\ 71359402929254512415230613502341409323028409275187239151, 708842061984074724827\ 4494465750631073003772110003706157024008102305181337299236537270386555039043927\ 4528265220959767705524252255615033270294109582726042640776384393418966605625393\ 8641803254715873976639644626757209133301710119749874077712372859945549953131629\ 9776912639817801, 7171527376471717581202943811290826838748517096773446866028729\ 4908371337360520361326763760876691678765777612051262221588452382970308532716412\ 9267410707274356079889090435090729465711344690997646554860312950812089610107585\ 04614432599171296945094112629648031683746275515150802373999, 619499861598943188\ 1138490145907783797409950289118476664949754255408816984240287695076509032292160\ 3556967771961740146897254711076161919076408584656965247900888150249931923288507\ 9986036793783258789183336586216738567225763509839839142606185229320793492310240\ 812833896432025153039230251, 14736665703286716186699471167825597880758130315020\ 1219730626133747419776205745924990713414231207166894953055329535559308970448358\ 6815277001092894282401634337095008703704243896505409235856292377757847306078997\ 7478889018969901715110282367841476252027152217675994235358727954935746008220449 , -3715352574172442003864783686629974300340678594479414789103500059857616752026\ 8520894893720677694133189071021658601583959942625782367284790066810183606420520\ 0763108639020580323030100698686824352959155955358928052025097406617482709806633\ 615136574441428344425162451996745550174782039083707019599, -1618892637027197457\ 9180140083634641854481672742230830872037442931197639866177296688754408665568113\ 0416754922300551589542132319355388396194701891007912616147968737199013875749039\ 5927257627535329647296869010822827641257442779425575664527340709259042450797375\ 386845877316614814860808495615771696801, 69850767442958537900795051258302255620\ 0481745260182558636833807705290678111444572619987219405433974472152840093719617\ 9607153037693414511678152595316118716760442633733754292975022793508757798975976\ 4832095529967175677607958903475037171424727820303748853273893923368879919318573\ 811482652376005885925251, 38222458943692082042086605488870238728823070051293777\ 5604279643435404344605296441751294982876005680855812177841040077269226702908116\ 3890539314217056983650347004793504382779374697210366526319566796392155065345213\ 0489215385126668487841938330690500354442360040692133299578996910547474577039938\ 6497249355249, -121118222054937254910388509737920239939173554941488003291968790\ 5574131798985792356118306084017994164119956092590784553113012025692258854634840\ 3534553929613603276993019510312661713533809486053982603693705466029710252191929\ 8286172364363473455333161917516229934422081037459102350138771064912153289014804\ 55708199, 239541059181045818788037533814503550910095045105232460800954709381122\ 2529977327755180932063661776942389659412035886464466849807577003887329020697988\ 5554006691141808286642128689424745939546508407923125045637315505420252440279916\ 7733055930809735594938643881784299813665133354061020109891319600806117871157311\ 139599, 15001743706140343643309159775023410900404867835027630952418293006562410\ 6013411388025731792923417970935722446555118094718799297539844978874494540437053\ 4175629308992332868482977846668309092788318810816082817200099874628736321179398\ 0567119112163276194383007962508267163476743007001551469008759795990652143293887\ 67377051, 867352588807818913000380153213802035614692724182424294793492587414319\ 1366406281930985699794919974758337020435856286563459165646565782038249784051461\ 9236016198466391301600103860000644161239935003127615114069837470998139674747253\ 9741456008622500950830488095756423028628892453131513537539641928828548484533656\ 13408663749249, -24858667809731006224858508481865104882707114462131347654680394\ 8324953267715060642961739513301034104107668139961200808426813668049350138741576\ 9723996100404602811601858420557750235698805685348459744068554560262192490145802\ 3893629612016579074037161766679063983376057711426065286969573217513939198588129\ 484126224836939703751999, 15272605214762795765979516119735835569081976805891339\ 0854722473077732510890935658043298851493893931380857878491747231866851209707396\ 1633043672233904598898352535842683188984887045930008059929859106552526024988555\ 2385764771039163319117986390722161266053290434328532060395765705508285540214684\ 672812082447128569183759167322007907199, 13748594779579627142981628022346821813\ 3182468391279266146996069150477268141392635624239085492999520157039839482177303\ 6999585091376557469323148985551858907711532176457393918989960093089478298522408\ 1619702612029226610889948442504092914809827436882399258488605295044112717777862\ 0288675900912213486935056464117763811136578925643529441651, -478847348764634032\ 3522360507709861038978713176820915072052111220631463935706654781690796963631168\ 2477248026196608057321849924345943392344150412796048512533515995830931364814866\ 6885930774628231719668945786157770023022286077033966971110379937102687808110983\ 1729555188758953646645400346928543914164603573206631406340113769793104941491733\ 551, -3119759553446183642541473876034282964645500552801993992359568632411525605\ 5068289580163857884643947888479516737397007960282721322855162213543632975095525\ 3943764912818938122753577407240229763739805520257713598866898529384773922038527\ 2529092654245864612234241221254853761581415915237450526468005379792207771468656\ 8898955289492895774212004334999, 8956273592874146288475568632539102343785963174\ 7556145157880074599678196372851103382243114519717882237239449322842964193319424\ 9163072937219679891612734005901396070850263799490232714920813776291898205248285\ 9939743336628626643891223651781516416707003921811249169557801942748651243962360\ 1386894636584077138129333794940906310610332246927021969709999, -852140195461021\ 1063193855409362432473734499654655427935488614538015518618782289461254488040377\ 7534270886760986757161084474560058754289788678391295802413091180494432264211808\ 4255582285064661488308077259894434445706196290447148125848747402300484174953312\ 2204401399733853204702010896041046965014898331702186417170663723225656786225113\ 97476203906504949, 279582188578280993094540273491233401109084454053902512501721\ 0019290928338965835810517387278096221559458702816221619571639005811720849664224\ 4936076816988651195189845331376895391775926749314686110309783061022700184808596\ 2685687061529575476289159089080735135161022689348595747908365653545156140051115\ 505491445209702794537486348442488775380862019638666650849, 58384631214925792962\ 9936588290241864369046482286195379990713278337615195047953343011646330021269912\ 2138669171032168009919293843600230265889253722091600186434712102154669158798701\ 7592659246800519472385926202057066935977387051258154785850917294062358907354541\ 7184698728002114884425384652526716239945996073972565445932894174851232862270681\ 176261007828408078801, -5339506451243209223843667995761478455120192943055435882\ 9192025078997996784677038052630158460018858839162082582180200931821784580757286\ 9093531082812668602259851758707425586366723958865922746806294253792392671190600\ 4592101433760931688744053122755591449731080934506434915729395811889430445258907\ 5118399062452225892429490371568042980461960751598879535627375784668001, -210862\ 0700415164346001499542569825706448471906160468666537104100590176676572431334910\ 1525985934470848721214444975683684648673897425623381497557447660332431801753031\ 0594101234957868312659031054135073462604119905711928112330977531044093618171522\ 9834863297756453139955735397852508032270924087119933147759410792825840698211189\ 974959215238696306520046353892222167985166749, 62217327939908027424456053487001\ 9860142064541576381913679185854287077757342537087015158801725421362120692229442\ 8800987836942233760694148294361776693310559350033100418134811169426772404562568\ 9133646234699021185947596181439545461042978739763947107398939092486030821083804\ 8698072106688482340428677907032485235390811245095434003894414878661599239786585\ 37494951289465779126449, -32473347512416629058056016421315595518354908200260278\ 7893328485167327811977323344107910741073005520993846456735747264353405333149756\ 6079324138936398475244156625523432801492532116599486611021539321184803756535861\ 0889816773840304010233268711864405423733286901791539015916713998828622347263688\ 8350470823026314509065232531281598012023751900679645614381073209779712503173719\ 854599, 36700860571051555015308783082219643667009046026476905904581267777763208\ 8855405365306394063823512992113792893924040742113979723310151658925173125797501\ 4527353353372934618225699967690175557118487020019674352045739209035999677287176\ 0400970880356782318920009116007101946283657722428533171736685539575804222109565\ 17875336480301267913328839075895188486197188105858422009983455796837199, -58797\ 4419307097467009479150223842144277913800124344313234037951829094255530093231029\ 7705272943043389850821891898496966671657602988808732118737595373032312229362011\ 5633733092414575694719151459455412078474934651166827692211709782513409188509961\ 3998735867494737035710932219045257810608152655993803721355596436669799587131887\ 61851284539208273851118628098343695318138374950979274230927749, 240341381944091\ 6302864632483778884880347212316938531408546173955676207549236234439759790763971\ 6464793236031053013821495712388932802538355920115107683971794605489402512473236\ 0243274993122329476730547582222455618629853474516050794625510804595154417890009\ 4839932534414614261803433753584143752710083736761838395513001850549505223922472\ 969111427650958223671033282912108363471915561650323997249, 22718365032772101468\ 9193034057730409601408358172469258368349342526546454739675866688031723648403320\ 1178875227522345362194042280353789778476553048751181359612413783492229028012031\ 6819716510933098576303056637757396735579812540760584007843848237716924420197027\ 5167887829779378805300173874482801774244434769511970541874083592144170085252107\ 378289272729737658066661350675623007861555226775970040801, 95770070582691180806\ 3715180453964409267088120929628533682260460404197427056064939707594382708958845\ 9932004691644001701718631359770874203107317405249139310835028678799663236893348\ 4573335929515479112394711593640619873829827481572043470373727397840117867769208\ 9557586234772323332896839100914600964331021700751283722723648731500380324749277\ 221430743277816442216081003356265754708307742666780977169599, 37040255648813933\ 7087458071957949965764199945558564067683728041304912079628411316245501620124044\ 7593206680586982486768594487235736593792109650031092392769065468106407549469218\ 4211422618588561352540055313884757042995814313560735667355580324292995612840745\ 7779343328565783141400894779426779044300157052678162013319931958498700303080647\ 00766687599749094180839737759638322089917702838368357534234646548051, 235962335\ 1758106561225544919561017728302867318701373277050425397810416345767258870779337\ 0216274951305124185778924235722245308544295764643499257208588805031993396228594\ 2008009369072608779572598444539449483886850629743421461107190203147417181548748\ 8792834361206415886027288462091523542310581249812782175098400250234552097109757\ 1811700857650390007794926570854974198871025552231291721007046321678571143712472\ 49, 130691683764182757080641532144888181021789685895933820843885160414878582232\ 5951716014151012862435572459359356900928058122072172507830520294160059742521746\ 6913187832363392791554379226615483718931084650675218217396191397767395769102937\ 4776247414696684820241595167366796116242286248511699722171696788251112839137077\ 8364710397646472824756805307650648270396398370208329503703316511113746827218346\ 3722851959725861001, -865009695011657925690440488604288678451685085655301024329\ 0738451045331935869355364409708929871693210438483076144591663554752533934661953\ 0552543471985466195004270568462243875097394304015333581406520817922664136356696\ 3265766761259839677563624643301710993157121836241274180104236302444860810521581\ 2206742281352602926313228807719568528832356969007631726069900047653461771503372\ 86889786299982910948307708573283160246801, -24888841575902978713052082135244172\ 2309340098748527885558291590225160446962563662535673241014490506137036886313401\ 5014474886646948024220131374882396920385668430496062466144575117413916858935667\ 5911923229981893880361621704880751171167122755444632434162896906000501551664817\ 8082171424819064324126716598730747131807590199254596368438689078653892671755599\ 2178836733971077226218858426975936259024065085919525022626265283349, -388314312\ 3754411690723473255094670590772479365174272085758801934710024809684565369552217\ 1556023921847716935536218844500095650984280644959432849562097260222944562930334\ 4083291579403483896013871254774695841878228015738987850425528364553707224848275\ 1572102754348532683160687182160371519469059341745655044114555136341643479363388\ 7049980825440866526620692757903413273395697805103036635640049723353050742795861\ 9580503764871859551, 5199739907322361063298931850577549455709650228371855431160\ 1474240672157069743718158161448108065991228309142938876310823441357898501984376\ 1996892951577142563516408608915282638518314900298739857085639496530452278807548\ 1047184443355586872968649597135784470887327534638061845036949957702741739832831\ 0244485748198878614418880872818458858675492856481698674426533569698992689955316\ 71359241308787571307310261096104898244682674892022001, -58193576408120349607089\ 9622096567997280987145723869059066179262201479441585629923320654898043590595369\ 1839564823479630697857319758233225839300964708858745440492275926061830661031599\ 6689518916432399304546181848733992256751922077518689544645282493681668720087224\ 3428186378843665965331928823707649509564902480797199057115501250100775705048611\ 4465657397585476455764709118194790912100921863523393236062096248445715964479742\ 0664349908001, 1040822015812980227688342389527347739664298063921138107140864000\ 5879686789557379737093900239393136966053590959955840583097156465381612958822405\ 3098683878027123306106538293565517804831566909409098319547694671015534099726591\ 4896054769620392493967269556261239471097657846058434850517601848095513191615479\ 5855846175806634034928700058614238120220630105099230435213469821191790143824452\ 298261422929771514588513927264006490066557564466068554051, -1244796542282796001\ 9396913289631570292692216795959103690438513014899480034033033408923781755295176\ 7823584619769159784775213421223664188120234928436192238039279427543588422790206\ 1050020449225385880834018870834011090834448949963034274395587866508110974311941\ 8391197048646800481715951874843726025003285470037050533454801641428207726478768\ 4890721514531061399144673211883529648342888852888693236600864662618058232175162\ 289193196218728954203179151, -4482886733122323364661834971055640904817044508852\ 5663135264623763437890562694090694527776187704091401898030899527188296586782655\ 2270943880362359326046004673026456853286975353259464676213961729891133717120055\ 9594794059483488879646491562271392720830435145743307376951311777182780859213490\ 2110735690507034767559822199812137943701022126746922270406576042675533369616146\ 3234964763638335025472265877851373466763054451488367480310009904998301507634019\ 9, 6829890836636498101457383905222218247458714665288167039599992999097162826669\ 0850132497578132605259930388829093580779502252986608569102461493929823343057185\ 5152182930330554277249332343977039817048149370099301346870897969077668873003219\ 8299967769090323292937399382697481274246353383788855057957538297193139427366573\ 9032195267218629631187704593773345235991865393519772404481640073703923409288881\ 488165550967939465218869554121345185771487793600689369999, 30719645985964249603\ 0563644235933472901329566924144469664377507939842772929197382596021498361572488\ 7074812910656249420719565261693194984018089573664404582485283420977398058037755\ 2607439635493588207449604459839552658391850301581141396298498148245532887703107\ 7524757602128041160059644951005460943013077235790622710910588071049227458230272\ 6307024139672110887590274733477087921651652533756651690247093244131610397115806\ 80263902223390597662318142151628956251, 319043931325011597880097813877285019789\ 4350829790501384460563727506366141090570511657713889281461255902910190978260292\ 8073455642630344320359616535615551721102715990604712549142625172727900894812960\ 6350309722983557124746871221429062794808745476257349982085618361824405677737961\ 7286948775667230450072748322178475929884701754229954422342743021541037480589981\ 1361188548674757276858149955854404627514747472687305302997279942215781871957474\ 929924586475707663912449, 25088622685021024397982304017673667817087359332805372\ 8723898237823701367708811062954393082625857860771364501588343368789954139673284\ 7688383582386977643378496493640843318301316300892893164729033619429709170106974\ 0976426860465322705911915071128439069198306671440375487635532512538974695236371\ 6529850682081049644616665037443275364649418566427855574754773859160588738780541\ 8146989755629387514989568973266101962798613455259554646561002063267018761279133\ 00514689030401, -46652150453333074704460173889085570903852139028524962546043027\ 9846641852190915766082894200917710569884933703205199673117439789692023712428874\ 3123824035888833790496317483585088608999959696838269871457025840294677283761458\ 8310223421153909916070193419587124521479273115465066115759467772481171455487753\ 5020217889377615687377913380099223651529078111564986694729476153117216141747482\ 2868944896658843598704519608523242078533465611551447115116200629754884668301741\ 1319948801, 1373216992260929159448196093807249999369391459043155907934735783470\ 5281356466967778426954010515371302261267409517520403876169998080695179177476701\ 8617856079433824657193608620388930164916903810815969823269396513902951555962411\ 1710502798835980113906916930482916226482815357079308700074085662347060721280641\ 2321775947074931716605884354699668260224034990382862072861567824865314020104897\ 1718194545959428845142167368910788593530899588219640835842856213067841424091118\ 0469139251, 6103182349213139935098341950697555596624060511070764365366021484551\ 7186787191145675473572008837118693688944368295002857239934895288527533625806056\ 1907875576599623438088436260929101405988711619736369527884634243995146985839754\ 0704542086843706214124603314155431906741974196689672176492808637610020419535962\ 7047615793849513652262929684485893596029771751263834985348000686657657800729059\ 5337936389320397906274022917165284384904804629994245331062775403826140548161584\ 51437742119249, 889874999847280292588034267078444484401658393395462192336673833\ 4470277020194316872236658408986231011327795597896031908010097663783840466667190\ 5611043090360914233705007805346025827058295171221772854776459184226447833569773\ 4531191848974543662995279217561987244521136362918811753324506838558279736221773\ 9954597580133377668028967116637859728733958880762012452893546095776245027121450\ 2973151888092323611350913624029293039305693928668903452442531680894502856368871\ 0243961100768139909801, -268487087092928744949219251873876741173071493384985281\ 1544456396696334867045474882096497001607520355125071180960773142150265589590131\ 9783880990958145404243374481339293362242676728261670861058551990361036858877243\ 5560762944953757418693396364381929343917247691462116254934501216342577142241427\ 2487389364515209031498989647219385093350118584665803107501786247338502977267582\ 1770023442550890326146988779197933105814517724146580771904895314289838672094767\ 37281245037060690322973773676520401, 323159313736501163796286047657245999043715\ 1608777494617410861897464475005426490652445368908976666328301393784513139754119\ 4264101205835549980057335718952936498604586059010228298398396356824994026410401\ 6356600719054599142375038743418821280318587233305821228718778086709094540904828\ 7534462321851678935375693326328512718038613891154968125469936270834842867628059\ 5548795930754280873854175716074405195479797057383258525549273476254717537917042\ 39350092256048078578793133565008412180378648849039051, 739223018874631820327737\ 3654024782307521510100978547876668331476266380920624292955706882166446706648257\ 8941003458363353638429530125923464553732973090462536495010269242666738783095684\ 1644132264058884994212291294549348978716087885026836926121841875861897781598805\ 4460547152450553310749853258594000679002443954877199919219634928007461701117969\ 0302914701804662720826286153057195773474809188610747602257874919132361803328050\ 19340555916792089144671340152683174335855421984920830295539781794683825249, 769\ 9449475270477217840094776034813784071994172492893651998215033196063384320081537\ 9252819955241859064765912451952551416775424843620749940889741723964414918168461\ 3280728387059039454957900224509822327650610949934379270472695358409276538791875\ 4870694557683030281082332694139441250276203312512693756421689627652991599729855\ 6550826253494103039806854709994021784074435868445981924054919590968453755536645\ 1781604375940026197781883772029789720347432550919632842220625772076452132464238\ 962722551016029994001, -4286743354765679930253467539969418090925036831961710883\ 1136973845414183673917395732409481635909573753487543318625121089428435817223112\ 2699335054430024260516775634830744447203906753324388928647630505130420131902185\ 1559202178311814429015195695605240014707346064869258889529177613546609938271634\ 2679686287440915462392995178113056703579687871031491171377023373654780971180702\ 1331755683171854417801582721346957728372039746977586439730704499637033809874964\ 25034500129945673819420388115071679181809929130520801, -52716625424814572043581\ 5909805061774628045765603887277781093205116528291133099451634910153834506975539\ 2645994531320170443101219182470494579487211327208294521613470840788088314532972\ 7599674141036083699023133120143914709165672372594667185045649281858155498562725\ 2478553903153454711107167730835287602233222639661504658004104363310257318691297\ 2454730194108363325954404939705230037961278093342353876104781317374895298298053\ 0797787420565649004377222538780572870393820680199123862999655300999438734988899\ 7142288349, -765545063003071613431378892573704747879285470929129023919571780883\ 4665445544465817296642701949640716820929967406221860188337345420813388221772103\ 7958036538887873773420860086897046061317699375947852594827980132942990039707029\ 9717441804102889253793724087162363872311940227719986602055247678606363035782437\ 5153376599728196382029059736288237253615671976038690646807935363815270936648063\ 5360685009544920103465844325777280219606317453822978263361401521105898241972062\ 43910869377401698819796164590158008646247913305551, -13609054577793179104140056\ 6539052136712644156222568564626734611266539785017644047096023478799792342540813\ 9690842720806503744684046273545016039174990021649737750301887680200621779203057\ 1023702371855312559444317300086470428673882556884187218892755337003853166178760\ 5866251394591001218741744118942393162158576289119161124917205150129502555096596\ 2114522502498191471561373234941154627563853262048662340075521173136090821575333\ 5876514080668575133222039991001511247769995467055310081533207871097555489290456\ 30541077038700999, 551801031738397924465286472625836413526054943624721223220567\ 9086995147603583780899350180597850896258799930982505440715754574545874125122513\ 2543216534494181211626559587282993442345668992348092168112139813386911209131396\ 7865372003862790449335332427708584940560774940243708182878623519346811286803898\ 2531184251876843815368589616480842987516182848613226254927305233838359810872764\ 2136450103669096633782030677705393269822636980358367214841461916157134051834639\ 012508883115426103039333813219493573156432313225504037055037953999, 17260302554\ 9632984614650036921999884650570512949209571740585027359846772930644802540847683\ 8843560819492579470747411045999580770148650775384819475297750166474277021946755\ 9990724362350965097544120763019079335981133921597853692228590450600213080922286\ 6490414342593694969869762642066657299720037529207457301242888169679967329972347\ 4094873787873329204523722796522528541349102428460526334520660159802855036168472\ 0645233323276950265189468236138993092941854256766522323269330999961305034472135\ 05395275932745653529142068033071603733051, -44293617636748867085216287259565506\ 6477867821993886362961237370076957941219779085249456518303863830051669903620938\ 6069604511477849746849515487149804708936152004829145737810415573204466582981147\ 9761323092550156235115050388879139091731750899516275233335350082667382064538892\ 1590460233773989600729156091846929836248930645830889262811017673610385841388808\ 3407204548918452341352873282513055288610776770135728792891306335973012512463403\ 7981065522858432867827172421373438260763042559137730466365150529321615562112256\ 866287522117288729151, -1011804288829503842649641052083762185526273925620901368\ 1066935011715931725446464240228940256057756256763959789004631848995582083214008\ 0413493719334159451600657499160503107049240779554106523640526561571597367489503\ 6234162797077781719588756972267785898484620837238152222099542624553683300327443\ 6641597882437973887609135545010463777065109160604929661145521021398834724780382\ 8053695678908417744531882478694832315736018297160130738471687442569397812414763\ 5018865149514610289015078490404728688932593686514103964265530692619712227803361\ 439199, 60212772972288868393345154703402850771395936590211135160285776942948102\ 9956031429495362576987111999827648006241564061910739499516184608722551144757030\ 6782408895915210725807719532252474224716127993569789878009962511145458519599921\ 8428708928687042119048265644402016649838155070531761045373420905982960235234088\ 7130304880215896878267122656162480725570116341365295891065544552521419975498524\ 6177185275225923984944987521081134414115638251190405725266273920957799792826774\ 247904151601024777345903094360727091267648117257718244914973155012487999, -6610\ 9680216865950983927286986547717214571902954360379729010640997735986315478190549\ 7776010068735896702825948748288545103987281979652319923544804153640794792896746\ 4664539583984523183866703007685267056616671964090745408099028926052879458929336\ 8029496946213468050835582256110831867957244849431513439492277790013891707447938\ 3462187554431216973496552232806740038027127215391935834279189196166887218409185\ 8721224693403716722157023169060174521001882373737826350144126978740920060857320\ 61434096825048224047398889414704283729840203986322618958346400749, 933344532093\ 4675471111631420419974420435685455017127369518895383826835258372588359326586292\ 2868552604458801260537499340307381076868814313327709389722020826578119712689750\ 7145219586023445585231550575441832734483534693164655200059438896820225442203381\ 4724274624460433596546799306533134002325229027617983880769798758240980930635740\ 4336844718415579698243337841686866114400429011643199645563226198618204194312182\ 1364679644146665914295588680504174559609365303798343422316394352637082521650047\ 82334536491681931717479416706640875207044715453131799530578449, -75033823589317\ 1803034224259409919765763081309237457865572939301444566901432572516981880643499\ 4421673040623343761342884118491272224748187943536511840951385408152038794200505\ 4027016213722567857394309442915698525265820728644511461021449364880000633757396\ 0068902165745280916270185599842160008224501201642593272177062420056890766799377\ 5753075016330821275853936538079174705680041932135024176505200746791821991058777\ 2491739724302148416802684357062375181210804454309302009387085606479202498372271\ 2249157400139029165620590196679933897289382925941750912188364599, -517240882613\ 4527922621001487199134455135931328593913605721407347630857734498819780277211602\ 5926618366714244482217055767798654104073990471596918043475567052307650451515375\ 1293767861021205060669014639470553535390022007610289490706728223557685158250109\ 0870866061815532976350745996618226448303283107346319201946113451169550353816115\ 2596829674499986012628883036115253396865092310060083615928055150449059364808832\ 9970347218982900448077703889430387208355775133062229250449481309544646800202545\ 5123495954356969786369866361756302734438916569530981041001813374054801, -466253\ 1136894979145907670383425322225647725833775141825571687484022813952606122628490\ 8919689866600057130319061885461772015321265826824917691110523967683740170029832\ 3295212346883495775790536155999535197210736605892127543675688686661134844118870\ 9850544141464996396451217235965677687962441210849604225984988975753457382322183\ 7435469149081407399653384033641044946355882103616595320126251209990224629879792\ 7977525733382165943309113436382863267785656291020393944500733038024452766931293\ 0044814171675797850636091057954375013826152866078218903538097158577714914001873\ 749, 36208732632398673152082298518468183127791357852621235076157478969925514573\ 6948174602638599675323365833235687457233476956086344253407192574565725487165441\ 3673488190313035604062802752449971738917099248788862540090305043914525032964945\ 9168067564857933277185453988835006360356800495175336426279919828789983437510612\ 2370881562086887305954824694213374361464511449437641503293331671511568488982485\ 1720561487549104073526115348888649627252151649194289979833135921558249477107645\ 9784640908621207082345434000814639356097773517380295779154279837279270405690544\ 6517837309931721249, 1186702594131740286942116895292744012743824480939427852759\ 9024678171391100715710788963416447625621758235215688863044215315463162701666402\ 9211581789727645900305234971300851421230212165788951713752096542131206894382043\ 6240830548300440928783532459394442884837574710016348073618615628825455255583282\ 6501326263122739962047281869871539986001759591942704729351261981535794989568300\ 4505722319267737849396860545848326750901268724000246280444372799729033922819593\ 7861544230748034318125500563576453056063513566524725330672685977159668989914770\ 241400336226239336631428160986985898801, 35055781988669854946066448844913720616\ 7147488091127540720814501334046254270294926308532644734724943808883646914678134\ 3308832998825249225492779747611767144399198111365439558994223725074070847607037\ 6124985072538681184117889621638746909838989778549169192921397692444402358411422\ 5896994209116326093015089041034551559692066172353226792737035117679818997418347\ 3568243227465774477652095272800105922564896575142288215543984135373716254866802\ 5800171893746272375811514211592970782782736723725043523388725204939263829348400\ 713559380428961655967666324475397416533282105607847949258069599, 13780365798184\ 5519168728604999696101836008807026241410682055957589057188990420281840721548007\ 7002915528765945735919805021104831037779837999412948207238922601687468442443248\ 9455719141385449408670050308450326114886357286458816923211332492058962090512600\ 1221912133605249881303813994934536528632005389154206863328904484435354008976167\ 9096805773972886840101843627780294425442898572922234487494034313750424014929008\ 1961523252479850747057448253497641074688738918435588271430570077263191553581667\ 6204362824215225884543214979639922671528621400369001966551461747283677439493090\ 95754426850051, 405267441617575280798408602271554582391649289747291487180816574\ 4976548239281914618881722514943760874512201454997743090534893300999618219758431\ 9075399693394163176330849441195901175534515655507267540241226880811238432285199\ 1891808130135304606988071997571951848982707537972021908959998819229911171323275\ 3405645481969917811396855509294965716716918818910809211502424703551109672076005\ 0224008697274068050708900106380334769402111656777161606264640033807498974306922\ 8648808362143251900000617111027973464519263967015708825957893607314560932215463\ 300173478561428252704729394305382506097789483249, 27628843229696392240342728585\ 7167976344733265434603630636778481334977148592121119719670678349393109321063081\ 5286015387629605037877759397346679526175156129509608505161338425428267584760091\ 6094864496136550821913313389120084298928584045897093981517675425473327498311347\ 2106585392231161291270795503033850585602066040446635527392006042223577782594599\ 8396173909081980669743684433892601896294472266550462998508909788232774873630443\ 2694024112726229936240947778526491280354774139116810966030530723371858804416662\ 0152530322892968887877925431684075381611429533307553260221214948232672714950935\ 80647001, 129070142818184828978846306040139119522128243923602031919746327605985\ 8791656388125403645705654655477889506410616526451035312407131972184777634766379\ 4307742037739177419725335579629115993091465235753497158808343894895186402449107\ 3113282464432943860193552059832244301864595453835211710677180634746621828001266\ 8649215219549999153517748007925557271869220265534158295299838391517552342563275\ 6590594861711797599091378960914571340200169409524608810795310856207173456261061\ 0488112693770643662324115107918090504858448250616410560218856362192618403334989\ 560423308783515084979497789113979415988279365085199, -2495559131238314921469226\ 5369942350392895102775973586106882691501955101344509413296765002611391242943202\ 2930936029243113831606715563209493644033202117431679868314144570288297522821350\ 5283080131336197301015395213801352417170640967596066658322324277299413856903246\ 7648526721364657623726969355351502537477899411762581630496964638554259845096458\ 2935221884346801900433282373100583236819541406102601600246759631571915877081732\ 7345180594702788517247230710771892368092623238372238035954771797029190371446246\ 2001914833767373193793240375939341332428555851685076797221934536146376534055452\ 451876721342209573349, 29745500270858679930527081444638546502386222774916783445\ 7760747746967361477282478219833191183742447645281502267726742868289960472165986\ 4160052457443502132892283166025332478136308122748656791199094156610610946687624\ 2961692507550452250752295182284720944688541442126695797614907496390453035290187\ 7955253967813553348653250910272329297536948741752103187126938581265309401936232\ 4010924881941375111653506791265664541214542306612024174381403348704167692063791\ 3886905370879175140860940337027642603120031540966489486315428271720253402768747\ 1016602044202285970173869168853060468975955659397848852663385714531928449, -469\ 0423296767619026950004169176961119933440710148433075413562031308077128649257151\ 6535944550587025443704341865785820304934190994017082341749562615266292649331408\ 0178554968137908151312231808819696253114885296479366135869517079037500117577530\ 5763450523901197204120281767527691677076095053404134551505471361831248530353636\ 4649908632117284338222179961218017440975918968157476848902344868528392822547029\ 5708060639598405102911407088026926879080937942800294077755435561424025215675767\ 1672291852266466210543302765784335586770718895969215972851715661419535926018300\ 2791109219754504268655399849868790008295385184503999, -273372688952798983527857\ 4084300866578309102725860572474969939689043331817739455615001979707748091578591\ 1220184994374625296709612631084460023674814536407508839248690488267968359392745\ 2373636048796563308939880528817477294075826315965255752716969816747013262323034\ 8848203807898539614255875135338509388710346886494870203521272422203776475543992\ 6090618999751990673119658980817580506814385830640507226811450496595023230513855\ 4921660961732191261607167744255241410645643151867189487874881125736046220453024\ 8709462489724346315240761858535008623836335839814132474541000989929108200841853\ 347760708400893567536702194038704001, 48259049650776192514951333172205386587153\ 9968133870166150933802032734797569197233098739996615966726907162473136511984078\ 8108530727692809810104674903228929626471198595573841891249794790286931835609768\ 7998022322878214697043830350696662084031492913520679793986460577351182924726305\ 5508789156181619575196946705188548467088224847414399941667637236304773735425329\ 5790608261558680872806003634752279299064396819078360189375474148827038715019181\ 8111861329777524111426817191533811207522504810822478361569791543091026370248036\ 5236915674011247248669486747599967924665845625125701946654198736220139421052477\ 18255630069876231032051, 811962786427070244078982104360369069774551506324218687\ 9661832228014689970215455632504246120250288069639674283975749013077248870622890\ 6478563380203118594524616737543945128453774570272265911831199966273312716818595\ 7332350647305953635729802564659188831240695805566820053052304970029444374306601\ 9980782336851455425129655109722947195631192842787342524955008405346752472848453\ 8590481777560362968449056959108421698707345114387851928508174133740282861259860\ 0819994466658165398436060945923795268019555944184170231381704019016731452763614\ 7068016380133603558076484970827901718387918575425751196099794230723867124410967\ 105794718000849, -1477508544939444884146155042623956862091689727910695381943265\ 9320196374057545960047048663772018130303398382403161646938221296982733193512814\ 2341455180346035084503393908471134993449668024320222854464669596734498390397099\ 9486482577533627357816085906735510980739638756761016318672272374755371089928856\ 5127691401226120939392533987116317027293104581530846771263718500297275288567485\ 5913797776725582876455845706438468143600838137822388689558221233273544778488723\ 5236318814318948258450061813019099227628692747053907145145506461704471062805374\ 5267130049064256814387418313413566526886282396281061840332412964581850641359218\ 2374795218199, 4731690942601355382020062876292846498520408621637194209443880673\ 1375776860153383628996024479488883340202333089262244314233526851137484656649236\ 3794136754577951929693753675133076120675230451990146429595913460790816047033864\ 8739349448496812817292084866791005879587406730194117445798426739068639005367719\ 1462924952058910792947621387187654296017942745323728594316733303765891723060137\ 4618364763810062934838442700331933726992234064793847160300269777416455815440634\ 9405496153912139739341966786121434377603147029601881858943614992656833502736744\ 5071542668697758321909335206030549983662217054504816290257411850499619537374511\ 96878772685999, -55682896332638744840735755702866281758590490209825343445273975\ 9751621498598866130191775376279659843989777089271665918498996957306766590368851\ 7869460006564150191887603116782927171449812579650485426281038734744696422061514\ 5355876045993154429763875383601645640944537254099454592308849541746844683344527\ 7884666633568815903508836007473138159504168158541605320454688116144424955023967\ 2654347981266609612507605536569929617287130916634489313517746364065189317424115\ 6997852323574006826537237122977952366778310964253004478021094996426355417749040\ 1145574323005724937458203517006270202388056940084038946789069030129055972413118\ 091926412668939237749, 74431926381200196348467773870247121732453886605142121414\ 3338133178418682412192124132590907438016094762493086403355432694029424910105466\ 6729041158737626946865417309185509514581022571509157494062254733653442396086201\ 8460332900785870496198085674808737685745973401175813988442165490122952666851218\ 4247529800959222095784379437980794502653352098398558336315192997023941833216771\ 2914318237376519561832498946829380514794958779081190529692494225255958399571035\ 9386367556302062649453798913343757559761129741541106992801448827881482263450948\ 8862320033536196035355909045702933170013474408325694952092063081792421733353027\ 1910471385846365918274047124449, -355881555824638918946958707400591561571611670\ 0410025036101611659462214100863445081909169451965116640822161365647782289077869\ 5039730699170418706671073702795053389107635488667017091007778833803038306623684\ 5709832490442905551913557287646006861076303321991501002683123287714806238863133\ 9669699829626570280203324226378808394893622609394424471878993968630607369858176\ 6123472304984508675561909796533456436822378295820418159997428895900689204308426\ 3034211447262065161846653464859211383727469427508541210582817192456341776624592\ 1065401812617778050761821852103745764625056959104295148866420130166089824569214\ 53653284182456343946537227888141634976860039599, 464171451291695846864460611754\ 8801027673767348202106958324205453667931110453866128404511647554696161247994214\ 1012410160613110214854050285900075587270414372011789118262641024433893030266228\ 7365865539643122226731250364864491086460373753594759099563424745947366246629675\ 4584533787467561612764463167973367328274631622714221609588730000163604773168777\ 2733171571623142152175301465889270481271235631382111795229375005051557386475747\ 3604923853632852893820724704105273486730261184852200618503486013040383321479092\ 4170123833070347315610520741932497969950176651971842086429306952488191113041732\ 8255599656349108846099585784216170030555735143577436159826182519199, 1454341158\ 9493808934308002181854386181462115121018553187702355386525533758568190807346018\ 9996994700810411979268816323053847296351404375599775477010377138677346655595185\ 5691758777301118910406501885350647984970926936485436818536522409021987977795105\ 0606799203968046271111691897449115175018364084247142034453960276390189449628525\ 2894500611430222941966270723067120403411605058509576656584623604414287327373534\ 8993570694359379059873422521081355950146578280248832451553854370205344793651989\ 9577112608777004877222816413637190718587649709817605110711788111159169201020112\ 8927092800196712976056132939307892235844899216407698768916567034359851225492676\ 8521568033251, -189137416377822712878577692100755286928007191639926816532393493\ 7496670130030827386967150320699540482154444994431862345924703858130192049287072\ 3396526940601380972160589831943559167554728784494763220003592051356357138729515\ 1807394896530011186285355398559765893149848208952969084054813815074280875729972\ 2778492995792203132799737245822625616036891006237669974885689119343015335389206\ 8464178436076659123088079329757320872859618123241476198902226836336044188421005\ 4577202938534022505701269413695120360100050329414620921816717162377806284945310\ 1740028351044853675665997634739027730674753971087870509713879622487494240524138\ 07761103405122009043247826775052461879196751, 212514041145016350539137826394203\ 7008440158068287527422934536308876882767312150940037408729040371765857295281668\ 3309566310862968090278315396135290103907037630774454182123826009094621043010148\ 0443391472182810406388235080103595651427008337800188083996691019894315555131908\ 4342848971192378442342455460454067872408307383398105525054299079449525677897901\ 7982062602740812801159566025555674773462266185616885545992124731317551398685911\ 7709230437746854843254665468441717710074551585350862484716877780218667788333829\ 0842253546928984055229395431438038242996271103047675302284667205403321498179820\ 398663305122350040444677536871332454334195285062351687281446465928398640007801, 3164792733266760042602476489667724283831485650345343462757095197518075818115086\ 1102286504722267238173943397982731202953957540102646196203451863297771167703118\ 2933969799356814443019936082829790055145533070375841945204006964977246224875934\ 1523261768172854280758480224685405178912693207214147305688431277537244190459175\ 6684309533843858036253075612064318056086944874516948280017194647806220212842090\ 1515208440008347679076092275023439170651424556360844871185766358376613534322504\ 0243545834204097937659387794692702543373736400498128513375760666185991133971252\ 3384241247560975918760503827769779200194126512595283117165824471777455299147507\ 0534085102948411030471284954488939599, 2509473099192830032901597048949083032015\ 9941585040340710136362403835291408031301446921595003079176734194124301172685139\ 2314207593240376690081720969864468405743276493147790596760231734822735629082973\ 8224974784380353755202311103545792961468192838275057406564414284603405943583187\ 4799873207019821490291494955496253666802744159878556012691387948712890855508415\ 0356406991795886947782166578170879800184656802694445136297617288841078891708789\ 8447851360461781683407677939823486376453670565195771458083285211863557810226210\ 4658073285395508692015665674650978311302340916095149676405115881956761843273062\ 3443875152396276522645702653279465357401788760827795707901802786387798163198105\ 1, 4564565257373253113307868920844755809668432073851162311657765570909489471582\ 5248964088751748215259184578972403605643435114424547240588261777720294230511499\ 0307661592007905089154779643677941675392458486368824053196923789642604655781247\ 5206128392458149471190522607042223226709204457701691133274195537039083314573465\ 8288113665640662027270494979919913142565411665123542713804371613199751744560805\ 0416381968361129989499454739547302971355711611338294057863844773934716667680015\ 3688675686765225398664715064887667494411022859343364558619798757674050513558911\ 8166260222997326369681175239167908922014207257464846855989549682792450082051802\ 2345426497523660313056526096318795899428676221249, 2017620114509683779680261966\ 7154151324106145956504925806354345649614014208684689989816821335870831155388155\ 9763998651135235448026024862611025930041132936526966394152184334426752475615815\ 9138258689413275338457272886796361148987010110257949205704131804739727809158563\ 1552337681483860831425701164087214219180628820419785530516432370484153767331227\ 4314065862780058513692015411335155156581835297914993727488977264083598854994255\ 3157714924049029098738383833661101390222602137579916414781071443987168360671458\ 7133492919497321566492034700915220954457019822111884971771081586924979457085154\ 9414509988405303936530351677355620140505065298956526596495803353314703211134296\ 96244486057515949820001, 157301101011092669094658276162181513795390441889616511\ 8927535723510207124165919288828377584327349510925372440678718807623029533137162\ 4147045767792107217860825706129004802546966114755133700859704100794337578208952\ 1783690553150088461531141096418564430011107242582528804084714778428985067772267\ 4167181601884996247802428124123066032394376992402894747242824437017359219067906\ 6998694338983663731490370512325721028492139999147264239203211186601030583908398\ 7351495463042077100835764145377957205842507393821155144645286925925151260774182\ 1989447974484514234192285566551281450592016201927663498289309194666692735894177\ 6562287438873315185029045729676330212198500392204141327497489786499260823945711\ 99, 247375264459647321001024939178326851963839648580734398523730868245783792766\ 4309198409200316929045768820716393093887814872201115963761237795068582418828446\ 1439495891902542838566798454590091839559486914827854116300842230257217979606124\ 8298229231070121474012811908910334910175493010662650688851623464161277382587594\ 4658351477543613242147047133556412485234809158035768884018616739000056233934823\ 9702967029654862300256813512920114231974501895013117621895181697605157210253241\ 8476066403383038711005670407544765972949118517276189328982450262810421935001494\ 4716532438099921321678612466024296629847946577552983585238444925870424663352152\ 21148591589061585448829103865530874282378206401600299996624861651, 280985509407\ 5496908422673223382229356624488559628792406713450962767265803691024866797229897\ 2205496511316294735494154938823023964660524402755784145904558222822604805676004\ 4288634500678112777416603212508221258311559266465215822776372928694001723241259\ 9774009241919663232502397262031838813834438048269950249550467225789401597367692\ 4092016775696819675096648021837286745875615777800282531469026491631439321240915\ 0461331953712788228603256246132599644419547574376602837038597496620743614514171\ 0927093305113801710526064182488577048856795045805761075629185992977739747901442\ 2445441628847126056086856681103459546134658493475473326241180313127811292329663\ 58389652040429168302906359900180140644256440411842449, 494001905809766996952597\ 0435713788725777096422455730648318398301451870039509475367759796714396505000591\ 8774207772598064789457168653377445621220576386896008914000609091868648302614842\ 6930394466888199135162090723475292559475871519529276209787144356812135689750018\ 4353014826344481700849885180007279319247437975558483595782395434513750561732475\ 2495200085934933397987756291193934033047521923030908507826541115685016917889770\ 0925401878983139354373721665326054305607437553901247824650734952406915072272877\ 3753560397530891237422778122425364047678033073850246169546201900442075389576984\ 9863397615517927466740388299813476182165675206623635228765666040259595010047143\ 145859685168237521241167846955461956266613001, -7577117126038036849590774087823\ 0470614734874104699251593404138572704136935695129419011268585615227179186179477\ 9815698149083117678186531224563491684110194558854855495195140166523781010321161\ 6539858154225107902841152512110806030564871018316442651105294846626293203606265\ 5328054129617732469867200919021798046837221159437284134143698717330553977083746\ 5849119922046391537415273276665128372715083974253848165131562031538170824061971\ 2068118886335134886696373758546147100553665210095074837634026335450070013612535\ 2766737334295584052303482483070017218763221670014118169062173075922418618621360\ 6648022256852600826560883269500331558840050907753504007370245264885516267287201\ 4066561624605622833791688284126524951882001, 8845794296270131688843439112860884\ 1483496372991020460709442631924608501724390399669999058674152984305043975553034\ 2552035906769058768242324092951111981115338911577956379243410037833149408865252\ 7447338184902054957365217994141098869492702508910960895676105417967896277287339\ 2665070701305292518464194888444948461633703388063552717952881297639625334381957\ 8433684955417117834102232969464789138222779326351889853720360210603807957898785\ 9155585037612340741892844649860820267786523152439017985048852311658144270577793\ 9681106213486717802501895602330652719779172951839026601511244304402608908461401\ 3965120492651630494864506726997931262470698759192798034847149532673627223611316\ 523533186610311267781981239062228978682451051, -1359492873697916708882748849114\ 0531686897547367454530572541499977789444108208160327810233880028485533497269433\ 8430623691857945678297697410163619961998938108608701988800960431602728237085249\ 6783883021251331237251485139640411673711985036147525447340112451581687395622359\ 0185256288300937494746367601168828904754686184227117928045657564517543259707244\ 5035860491386234906200103060031613914559773126815368436517600988462838269950532\ 1407869733520771266263145310584166721873703203982017007807369870790905559921435\ 2146167816946865426637251858690202252409651913498379792145825752972502113548948\ 7475248902002640888921677165786227861964292567333520874900998827343148906012815\ 688444600496301667003536567430263427479791184074989151, -3916647263830981092598\ 9839640257298679832127110081190245382109370666703461940374951516982036742690897\ 2785263525665083194632533875307363387604437454687776658091055259954360374923497\ 9321409294984131798127189359850944303883875915134380165694425602418314942999250\ 8309059856208504722162099385149057986385281551718484172404526497216647635306421\ 6180359148325066562187157837986008678295847231833282444725123114091779174964767\ 0740941389905659295896138216989600663828357859242987610304846265479392840817157\ 8120663455933286643267721723239989905746731212390191520202016319176439346052966\ 2747183301919823720505698722064819956830459518952877891944444178990792126631154\ 658769270927886456978781651219091467728611504459595652300525677199, 74150391142\ 4905212423543415861080382879643010203352409470320555202097969298692062979704610\ 8980027394007790951792398503094314326299062994744305753227435435688891574244836\ 4058569759356183772816556804805144358369645378545819773718865208965811353612405\ 8451902705739341020823548774900587863940783226244751733032579179179961153900858\ 5391167819060879996652531021509951039454423419484249308835666705310973248893635\ 1363288465405165262569901474342828208811226443106801409307860700666958013098163\ 3088897218032839140871703196873409663321927396296599692900254537380926580742249\ 2335742215410188396094398013740860972741102012320793100763144234391628797761600\ 4433787552372998027446041462594876744849318324272609323115914103794533360357963\ 999, 72669406605872646371759792992072976572425902265965416948706182013937431922\ 1465682692707411433352955493154276337462560689804520634275900698305266881682338\ 0681914049954465755363801991229462852299042735550135540540913956874776573246576\ 3050533480756505084105898934692702079996274293929277635721976152895317643519842\ 5479298901451672813280243506264574557902630810573170430480509901834241037561568\ 9079870658664641814230355030369643386249535265758919775774442790044791990435604\ 0363360035619228345163294293611956345598052136575437287344424733235241487079860\ 3640792298893642930436268883155647032047682864730487843243250366006389624557179\ 0523858916000917437580539371496531218738642466498421938629927294995439523803465\ 898406843848868022445251, 51424688066677162301683010460613960666133659655473507\ 4225531349312579503896642657182222542919324181901116346717238471351373596467244\ 4020050986506947402642646965953765156357475988169991605540628306494586257422162\ 4542132309511315533182998997814279156030163639538518297337687146895349344571207\ 0746874625088729780458825570022576829480339810241937688070187784520983988189079\ 9063889968197581003550386479127437656637983799134374967824188284424058929878125\ 3867877058040961209284115336279489722630811097288171850107030407871213834788566\ 7860915625259926845868817811878487413954666432329313492182165582774570624516815\ 7969336088548548730326608902426355940679681924499709707084725022446024965406342\ 41482658739054656480757837087578543552148681550449, -25602467852588126788039858\ 9288370361022150855679485382630533355227359868811043531618982496004588168404122\ 8658038587439259128009811384526235550823632003601144303064973675473486562521740\ 7225934104369529364698209719623121478826325432408915009614271531164820565926625\ 5784897882778635099443979937884651158374944254468021073098373742366627207492539\ 3903550870112146037069333573835977697806343423964278005473017178042206867064981\ 1554182622578328879337533414974603883590447647089129356112016551477697958959315\ 2113914190566188701873068185056642933576746782785663334713556736637700190293211\ 2646481337838059838500147124001887005469778013292138483376572495006646573575107\ 2789369049714782708393603099195449104435618271398666604461387406173551510633994\ 599, 18223847660096926085810911277078257233345840348001902915755857524078098112\ 8699447995469874857704584777431218205997139511482794365163083607524446415035173\ 7917328036622727319202307025170806484698934325093997312102799500411279990978732\ 9347163327151988961096730052004571338697520502013605844061296623186997657697068\ 4910537699802618946640381058318752910146504068871276837126002341063154716356049\ 9742208301427610574532974878432238968818429836483229743256706384983773840239986\ 8527821877124387924556441972633481517712196750515289654865678768832796873533420\ 8470513194361906150799521984657615804071738726930685552814944785015547978897298\ 3959857548461671323081620323736811831594418063784367450620531207855273732784231\ 05647703735023797483972548336697773199, -72958411490411016677789922104188447913\ 7503928082583805134873535304275836272816358091989660621779966468394118921904306\ 3669545919771140823004659910703687828338462166991264831836932964146731664654722\ 9430058415128768508006664583054811646524491412460719052377403034023548273924943\ 9837665649784343933977490074165701645747304800156271176505874552440258050315971\ 2856959924230429578018659766130668481583079751195124647485542464212512301906944\ 3119692355130825822591659808094791273418702695276069571442322489668938206828181\ 7554410176017119369881230504185081104580618542885230553033132804754999029830574\ 0213962889190022387814269774930327371688090447482632087109434030485593418375115\ 6681324091578582150469455518060913086921994485940141992258060005388550409139749 , -6770146295869387683771086640782927646527276545342292809463009295631692174463\ 9731510816938473511315556866716007812935250564567769282943043117194151565708684\ 9552039762171158703916138998951114154348957064064215020629051906714117939425241\ 3242895893541593779860486198031791562805979798712835042754632516324069577992353\ 2079140637303689800407816542675655988992768699833349235619682658797667518253706\ 8026034455816137775310176830472418482111558795378355009830732575964761413332724\ 7438337738042449249935543140596371576402379131718133240821296103239983374339561\ 7196453627335654253499530374549054545336544584859395247797551098298840715862868\ 6480160972589572385346732895525492410350930470289369289626587075573933432958068\ 6814099907635098305154874647016555905662634751, 7502900889891437014311828892743\ 6485281343237037890221730052536448613938883856000423645934321920865024878295127\ 6133662278774912383311804921122792223269043618631916502663668470143521210871823\ 9772775744665515644964332116967813172774088496084062742238932400114917347248352\ 4240857318859400840248936561050078421705798741702116873880533816732885914296521\ 1467462494264181623099732608140429384964981220295549986885618949406477438471994\ 0436862279801491027335175998305457769187482660352545930224186807851116627855819\ 1265819543425149871557127052774344102805493298776609958698227304480459701692633\ 0858438949289055417464152909951628657724972797716701440993198771159580383100968\ 1719012136005473197621875802312584704026035894990076852038464050767156733562591\ 31339164434236801, 196752102416987451437811602469892802565976633736381254911445\ 0293971496752392622002616735032927360533581450235103828769216244796452883308436\ 7555017076110204711935801592990242709823879865089229565304954733747050766682161\ 8786277937178509812936015486460942111132607555933442507876858132964975501645769\ 6119295766036592440607736738579449913170276541126080042072451733017185733737349\ 0702374197000105087851058316230904956546671901487694054906091886470685318243587\ 5884110134238087166695243682556672762404151449732707972893695166797127145559062\ 9545401932299831001013582781859192581785276065923446824070153189779961453806383\ 0002550899798815355677988815556037176863989626280774669014590037896167015151871\ 522576977537137980308423398694387177743847814941899929520624475524089599, -2129\ 4145129843257274201503821369521005635532007854991872849870329355114308546419581\ 4802234510072271585521039827294655609415326811527421762836583131386903986005900\ 0665608651112911576332917419924571380685930949968386528071752788322626124222273\ 2306315098443691503411281052753189626724886490494880656981960089079641763255881\ 9084813419205300595469812110497944917648225875781012221356106609991059440988454\ 2866790366542057652023657094321170824322954187427816189331553979690627014913289\ 3388445261676596298385674802286570972191017330178991472321306280617008456209166\ 0539437477654613518950256817311084881046659581206443721533326540164935881024812\ 0558221390319576748818061855250930363309850497676404086588194932544986911662599\ 700574815395866753467477317580698875562233012083567949, -5408149861278311227599\ 6480463426885524745927368891886026628339035902369105384749762097095011038284959\ 7117998566140887220996018194265824446256286439726474714966148530526427449897607\ 1978507676460537511211495061635247682375256096303940439601024349511373695349022\ 5769963869046793456919299036393076098347416971757841564293693962504984919808866\ 2026642138018627537092779831634372195536962778866530080006521192087778157078071\ 7329560591784404012273230106135978543131816934537731605042143207934859635318995\ 1910459858111742299149014536361055095975077028634876197753410076550623334834718\ 7535165667458263637838619057275793931746907407571408689046747690258995846367166\ 9802007898855839556643437892237667458605347686855897916867718083025554250913265\ 5409267861947016740188898181570867960751, 6699969080545954421992806645282809660\ 2508915891326676823539582446895913733233104513164503916601370535143216542016644\ 3006788876992562209084743045507946005195861355570724529646144020109517976713425\ 7044611306644394475389573310270436760078373606667118231764417561501840672238293\ 4718531210885033263963937401673547820782249699443309155352158004952858522953616\ 2492339588693415281561662816746248517273954077387539937074973241018267048980032\ 1519007033115512180442982247249282711946344916641523701074581639360900083328526\ 7735297665288389766049305419908453688534371236637876500829487667055369920981290\ 0658751376676788424172542097156991485365925603687986815382903200495454558878300\ 0412111892277472360844803877771193588628801866581787366614094191542435715360891\ 180867265576708211185909513001, -9363053640443742424365648709941465620843031071\ 1150281240932577514354372755388437496225102677281374610841692911131875991627410\ 8920234611058674797085482784172441988140851879145643957675951153931002726502828\ 8472899820930317394129864781466020564726111308301662325947074077616594768955571\ 3177171103955128816812442369615486376227738383927289300540134292308655548965941\ 4872622423297488875174785742286134425146512717647731533553304983252786404768633\ 9658099135373514351783618738607633073505682913152104759814270795751266001324353\ 8917666713628385248455816955534203728026426398121310474206878103597702040878518\ 0937387639778145108041602519204148032063844445405312437435227050797729336427968\ 8595701192805815108473834596108440659669539486123266918017416590528561155304059\ 4773809704620655174062801, 5221632065668231649784147062134872193930589990746944\ 5704656145257899862764758119626562986028030179301045426710184179014478323730594\ 5121100671161109653657438929432580271031150166456024933065209232836511047206537\ 3676402987505241179991222998697623973972251103432176192732265689578022147931558\ 7687672865985794491590005602845214261945484824053122278988713157725076458608321\ 7029877819178697356915641222364357031347161212882423244953453139677952238839740\ 2686041000066455736449434177822842103967678825424433683610859514692475267255289\ 8493450199919683732588614362917371404370796569899387816850599724096587939350818\ 1417725186704546777179507523047829769279571240166781819159751152183761847870968\ 6135140569517905271797379775034579425481651842547686032393779937046111237128494\ 3495360114070528653016651, -127134398240857144166988195907882545707478231162686\ 3602584337967178188688455323455570820576062563045615733045479119047532885364961\ 5860081997644609269357253007484166891361047859177370749208111400946150700744967\ 2264046420856775590885867554363090413547513896251212523606045205648479167931681\ 2615425262420536629158483734655167482770065914872612358771065682987297680513976\ 4111763767411036265327513048733181100536428092107615372714011143562057145970085\ 1292968344389502918128501044382051976236854280952833312238705861976024643006804\ 1976607751697045999254675953658700876794703959919847434542652290650052929366198\ 2769340159581518947142771509779282057710936810008053015803347499586335563734679\ 8853808173880579187045178636588793016587669723006073754651811925946122792112519\ 2236385028091275321459525563551]: RETURN([op(1..K,gu)]): fi: end: ##End precomputed rf:=proc(a,n) local i: mul(a+i,i=0..n-1): end: #Vs(K): the list of the first K terms of V(t), starting at n=1 Vs:=proc(K) local gu,i,t: gu:=1+add(rf(1/4,i)^2/rf(1/2,i)/i!*(4*t)^i,i=1..K): gu:=sqrt(gu): gu:=taylor(gu,t=0,K+1): [seq(coeff(gu,t,i)*2^i*(2*i)!,i=1..K)]: end: #Us(K): the list of the first K terms of V(t), starting at n=1 Us:=proc(K) local gu,i,t: gu:=UK(t,K): [seq(coeff(gu,t,i)*(2*i+1)!,i=1..K)]: end: #VK(t,K): the beginning K terms of V(t), starting at n=1 VK:=proc(t,K) local gu,i: option remember: gu:=1+add(rf(1/4,i)^2/rf(1/2,i)/i!*(4*t)^i,i=1..K): gu:=sqrt(gu): gu:=taylor(gu,t=0,K+1): add(coeff(gu,t,i)*t^i,i=0..K): end: #UK(t,K): the beginning K terms of t*U(t)^2, starting at n=1 UK:=proc(t,K) local gu1,gu2,gu,i: option remember: gu1:=1+add(rf(3/4,i)^2/rf(3/2,i)/i!*(4*t)^i,i=1..K): gu2:=1+add(rf(1/4,i)^2/rf(1/2,i)/i!*(4*t)^i,i=1..K): gu:=gu1/gu2; gu:=taylor(gu,t=0,K+1): 1+add(coeff(gu,t,i)*t^i,i=1..K): end: #U2K(t,K): the beginning K terms of t*U(t)^2, starting at n=1 U2K:=proc(t,K) local gu1,gu2,gu,i: option remember: gu1:=1+add(rf(3/4,i)^2/rf(3/2,i)/i!*(4*t)^i,i=1..K): gu2:=1+add(rf(1/4,i)^2/rf(1/2,i)/i!*(4*t)^i,i=1..K): gu:=t*(gu1/gu2)^2: gu:=taylor(gu,t=0,K+1): add(coeff(gu,t,i)*t^i,i=1..K): end: #cAB(A,B,t,K): inputs polynomials A and B of the variable t (with no constant terms), and a positive integer K #finds the polynomial in t, C, of degree K, such that C(A(t))-B(t) has low-degree>=K+1, in other words #the Taylor expansion of C(A(t))-B(t) starts at t^(K+1). Try: #cAB(t+t^2,t+t^3,t,10); cAB:=proc(A,B,t,K) local gu,i,lu,d,mu: gu:=0: if subs(t=0,A)<>0 or subs(t=0,B)<>0 then print(`A and B should have 0 constant term`): RETURN(FAIL): fi: for i from 1 to K do gu:=gu+d*t^i: lu:=subs(t=A,gu)-B: lu:=taylor(lu,t=0,i+1): lu:=coeff(lu,t,i): mu:=solve({lu},{d}): if mu=NULL then RETURN(FAIL): fi: gu:=subs(mu,gu): od: gu: end: #dSeq(K): the first K terms of Ran Romik's sequence d(n). Try: dSeq(30); dSeq:=proc(K) local gu,i,t: gu:=cAB(U2K(t,K),VK(t,K)-1,t,K): [seq(coeff(gu,t,i)*2^i*(2*i)!,i=1..K)]: end: #rnkSeq(K): The list of lists whose [n,k] entry is r(n,k) for 1<=k<=n<=K rnkSeqOld:=proc(K) local n,k,t,gu,T,lu,i: option remember: gu:=U2K(t,2*K): for k from 1 to K do lu:=gu^(k): lu:=taylor(gu,t=0,2*K+1): lu:=add(coeff(lu,t,i)*t^i,i=1..K): for n from k to K do T[n,k]:=coeff(lu,t,n)*2^(n-k)*(2*n)!/(2*k)!: od: od: [seq([seq(T[n,k],k=1..n)],n=1..K)]: end: #GuessPeriod(Lis): Given a list, guesses an ultimate period GuessPeriod:=proc(Lis) local s0,p,n,i,j,gu: n:=nops(Lis)-4: for s0 from 1 to trunc(n/3) do for p from 1 to trunc((n-s0)/3) do if {seq(nops({seq(Lis[s0+p*i+j],i=0..trunc((n-j-s0)/p))}),j=1..p)}={1} then gu:=[[op(1..s0,Lis)],[op(s0+1..s0+p,Lis)]]: if nops(gu[1])=1 and nops(gu[2])>=1 and gu[1][1]=gu[2][1] then gu:=[[],gu[2]]: fi: ## if nops(gu[1])=1 and gu[1][1]=gu[2][nops(gu[2])] then gu:=[[],[gu[1][1],op(1..nops(gu[2])-1,gu[2]) ] ]: RETURN(gu): fi: ## RETURN(gu): fi: od: od: FAIL: end: #UlZ(L): the place where it starts being zero. Must be at least 10-th before the end UlZ:=proc(L) local i: for i from nops(L) by -1 to 1 while L[i]=0 do od: if i>nops(L)-10 then RETURN(FAIL): else RETURN(i+1): fi: end: #Per1(K,p,a): the period mod p^a of the Romik sequence, p is 1 mod 4 Per1:=proc(K,p,a) local gu,lu: option remember: if not (isprime(p) and p mod 4=1 and type(a,integer) and a>0 ) then print(`Bad input`): RETURN(FAIL): fi: gu:=dSeqPC(K) mod p^a: lu:=GuessPeriod(gu): if lu=FAIL then RETURN(FAIL): fi: if lu[1]<>[] then print(`Something is wrong`): print(lu): RETURN(FAIL): else RETURN(lu[2]): fi: end: #Per3(K,p,a): the place where the Romik sequence mod p^a starts to be 0 for primes 3 mod 4 Per3:=proc(K,p,a) local gu,lu: option remember: if not (isprime(p) and p mod 4=3 and type(a,integer) and a>0 ) then print(`Bad input`): RETURN(FAIL): fi: gu:=dSeqPC(K) mod p^a: lu:=UlZ(gu): if lu=FAIL then RETURN(FAIL): else RETURN(lu): fi: end: #PerStory(K): the conjectured periods (for primes 1 mod 4) or starting to be 0 (for primes 3 mod 4) using K values of the Romik sequence PerStory:=proc(K) local p,a,lu,i: print(`Conjectured Periods (or Starting Places where it becomes divisible by) of Dan Romik's Theta3 sequence`): print(``): print(`By Shalosh B. Ekhad `): print(``): print(`Here are the conjectured periods of the sequence d(n), modulo prime powers when p mod 4=1, and `): print(`starting places where it 0 when p mod 4=3 .`): print(`The sequence d(n) is defined and described in Dan Romik's nice article `): print(` "The Taylor coefficients of the Jacobi theta constant theta_3" `): print(``): for i from 2 to 8 do p:=ithprime(i): if p mod 4=1 then for a from 1 while Per1(K,p,a)<>FAIL do print(`Modulo `, p, `to the power`, a, ` the period is`): print(``): lu:=Per1(K,p,a): print(``): print(lu): print(``): print(`of length`, nops(lu)): print(``): print(`---------------------------------------`): print(``): od: else for a from 1 while Per3(K,p,a)<>FAIL do print(``): lu:=Per3(K,p,a): print(`Modulo `, p, `to the power`, a, ` it starta being zero at: `, lu): print(``): print(`---------------------------------------`): od: fi: print(`---------------------------------------`): print(`---------------------------------------`): od: end: VsF:=proc(K) local gu,v,n,m,i: gu:=[1]: for n from 2 to K do v:=2^(n-1)*mul(4*i+1,i=0..n-1)^2- 1/2*add(binomial(2*n,2*m)*gu[m]*gu[n-m],m=1..n-1): gu:=[op(gu),v]: od: gu: end: UsF:=proc(K) local gu,v,n,m,i: gu:=[6]: for n from 2 to K do v:=mul(4*i-1,i=1..n)^2-add(binomial(2*n+1,2*m+1)* mul(4*i-3,i=1..n-m)^2*gu[m],m=1..n-1)-(2*n+1)* mul(4*i-3,i=1..n)^2: gu:=[op(gu),v]: od: gu: end: rnkOld:=proc(n,k) local gu,mu,s,j: mu:=Us(n): gu:=s+add(mu[j]/(2*j+1)!*s^(2*j+1),j=1..n): gu:=coeff(gu^(2*k),s,2*n): 2^(n-k)*(2*n)!/(2*k)!*gu: end: rnk:=proc(n,k) local gu,mu,t,j: mu:=Us(n): gu:=1+add(mu[j]/(2*j+1)!*t^j,j=1..n): gu:=coeff(t^k*gu^(2*k),t,n): 2^(n-k)*(2*n)!/(2*k)!*gu: end: #rnkSeq(K): the list of lists, let's call it L, such that L[n][k] is r(n,k), 1<=k<=n. Try: #rnkSeq(30); rnkSeq:=proc(K) local gu,mu,n,k,fu,j,t: gu:=[]: for n from 1 to K do mu:=Us(n): fu:=1+add(mu[j]/(2*j+1)!*t^j,j=1..n): gu:=[op(gu),[seq(coeff(fu^(2*k),t,n-k)*2^(n-k)*(2*n)!/(2*k)!,k=1..n)]]: od: gu: end: dSeqF:=proc(K) local gu,n,k,mu,lu,d: mu:=rnkSeq(K): lu:=Vs(K): gu:=[lu[1]]: for n from 2 to K do d:=lu[n]-add(mu[n][k]*gu[k],k=1..n-1): gu:=[op(gu),d]: od: gu: end: