Dear Doron, Hello!
Over the past few months, I have accumulated a large number of results.
I hope to outline these results in several letters.

The convergence to periodic solutions of all equations found in this letter was verified using numerical methods.
In all numerical experiments, all initial conditions belong to the interval [0,1].
In all numerical experiments, the number of iterations was 100000.

In your article, you prove that every positive solution of the difference equation

Z[n+1]=Z[n-1]/(Z[n-1]+Z[n-2])

converges to a period two solution of that equation of the form
..., Z, 1-Z, ...
I find it interesting to consider a more general equation:

Z[n+1]=Z[n-1-2*I1]/(Z[n-1-2*I2]+Z[n-2*I3])

I1, I2, I3 are non-negative integers.
For some I1, I2, I3, the equation is not stable, for some it converges to two-periodic solutions,
and for some it behaves very strangely. I will write about "strange" equations in the next letter.
Below you will see a large number of sequences converge to periodic solutions.

****************************************************
Z[n+1]=Z[n-1-2*I1]/(Z[n-1-2*I2]+Z[n-2*I3])
****************************************************
Period 2

I1=0, I2=0, I3=0
Z[n+1]=Z[n-1]/(Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1
Z[n+1]=Z[n-1]/(Z[n-1]+Z[n-2])

I1=0, I2=0, I3=2
Z[n+1]=Z[n-1]/(Z[n-1]+Z[n-4])

I1=0, I2=0, I3=3
Z[n+1]=Z[n-1]/(Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=0
Z[n+1]=Z[n-1]/(Z[n-3]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1
Z[n+1]=Z[n-1]/(Z[n-3]+Z[n-2])

I1=1, I2=1, I3=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-2])

I1=1, I2=1, I3=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-4])

I1=1, I2=1, I3=3
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-6])

I1=1, I2=3, I3=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n])

I1=2, I2=2, I3=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n])

I1=2, I2=2, I3=2
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4])

I1=2, I2=2, I3=3
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-6])

I1=3, I2=3, I3=0
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n])

I1=3, I2=3, I3=1
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-2])

I1=3, I2=3, I3=2
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-4])

I1=3, I2=3, I3=3
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-6])

Sequence
..., Z, 1-Z, ...
has a natural generalization:
..., Z1, Z2, 1-Z1-Z2, ...

*******************************************************************
Z[n+1]=Z[n-2-2*I1]/(Z[n-2-2*I2]+Z[n-1-2*I3]+Z[n-2*I4])
*******************************************************************
Period 3

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-3])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=2
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-2]+Z[n-4]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-2]+Z[n-4]+Z[n-3])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=2
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-2]+Z[n-4]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=0
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=1
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n-3])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=2
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-5]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-5]+Z[n-1]+Z[n-3])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=2
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-5]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-3])

I1=0, I2=1, I3=2, I4=0
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-5]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=2, I3=0, I4=1
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n-3])

I1=0, I2=2, I3=0, I4=2
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=2, I3=1, I4=0
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-8]+Z[n-4]+Z[n])

I1=0, I2=2, I3=1, I4=1
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-8]+Z[n-4]+Z[n-3])

I1=0, I2=2, I3=2, I4=0
Z[n+1]=Z[n-2]/(Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-1]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=2
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=1, I2=1, I3=1, I4=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-3])

I1=1, I2=1, I3=2, I4=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-7]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=2, I4=2
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=2, I2=2, I3=0, I4=0
Z[n+1]=Z[n-8]/(Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n])

I1=2, I2=2, I3=0, I4=1
Z[n+1]=Z[n-8]/(Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n-3])

I1=2, I2=2, I3=1, I4=0
Z[n+1]=Z[n-8]/(Z[n-8]+Z[n-4]+Z[n])

I1=2, I2=2, I3=1, I4=2
Z[n+1]=Z[n-8]/(Z[n-8]+Z[n-4]+Z[n-6])

I1=2, I2=2, I3=2, I4=1
Z[n+1]=Z[n-8]/(Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-3])

Further generalization:
..., Z1, Z2, Z3, 1-Z1-Z2-Z3, ...

*********************************************************************************
Z[n+1]=Z[n-3-4*I1]/(Z[n-3-4*I2]+Z[n-2-4*I3]+Z[n-1-4*I4]+Z[n-4*I5])
*********************************************************************************
Period 4

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-4])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-8])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-5]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-5]+Z[n-4])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-5]+Z[n-8])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=2, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-9]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=2, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-9]+Z[n-4])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=2, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-9]+Z[n-8])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-6]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-6]+Z[n-1]+Z[n-4])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-6]+Z[n-1]+Z[n-8])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-6]+Z[n-5]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-6]+Z[n-5]+Z[n-4])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-6]+Z[n-5]+Z[n-8])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=2, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-6]+Z[n-9]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=2, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-6]+Z[n-9]+Z[n-4])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=2, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-6]+Z[n-9]+Z[n-8])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=0, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-10]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=0, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-10]+Z[n-1]+Z[n-4])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=0, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-10]+Z[n-1]+Z[n-8])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=1, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-10]+Z[n-5]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=1, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-10]+Z[n-5]+Z[n-4])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=1, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-10]+Z[n-5]+Z[n-8])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=2, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=2, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-4])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=2, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-3]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-8])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-4])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-8])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-5]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-5]+Z[n-4])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-5]+Z[n-8])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=2, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-9]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=2, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-9]+Z[n-4])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=2, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-9]+Z[n-8])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-1]+Z[n-4])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-1]+Z[n-8])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-5]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-5]+Z[n-4])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-5]+Z[n-8])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=2, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-9]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=2, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-9]+Z[n-4])

I1=0, I2=1, I3=2, I4=0, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-10]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=2, I4=0, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-10]+Z[n-1]+Z[n-4])

I1=0, I2=1, I3=2, I4=0, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-10]+Z[n-1]+Z[n-8])

I1=0, I2=1, I3=2, I4=1, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-10]+Z[n-5]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=2, I4=1, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-7]+Z[n-10]+Z[n-5]+Z[n-4])

I1=0, I2=2, I3=0, I4=0, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-4])

I1=0, I2=2, I3=0, I4=0, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-8])

I1=0, I2=2, I3=0, I4=1, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-2]+Z[n-5]+Z[n])

I1=0, I2=2, I3=0, I4=1, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-2]+Z[n-5]+Z[n-4])

I1=0, I2=2, I3=0, I4=1, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-2]+Z[n-5]+Z[n-8])

I1=0, I2=2, I3=0, I4=2, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-2]+Z[n-9]+Z[n-4])

I1=0, I2=2, I3=0, I4=2, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-2]+Z[n-9]+Z[n-8])

I1=0, I2=2, I3=1, I4=0, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-6]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=2, I3=1, I4=0, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-6]+Z[n-1]+Z[n-4])

I1=0, I2=2, I3=1, I4=1, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-6]+Z[n-5]+Z[n])

I1=0, I2=2, I3=1, I4=1, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-6]+Z[n-5]+Z[n-4])

I1=0, I2=2, I3=1, I4=1, I5=2
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-6]+Z[n-5]+Z[n-8])

I1=0, I2=2, I3=1, I4=2, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-6]+Z[n-9]+Z[n])

I1=0, I2=2, I3=1, I4=2, I5=1
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-6]+Z[n-9]+Z[n-4])

I1=0, I2=2, I3=2, I4=0, I5=0
Z[n+1]=Z[n-3]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-1]+Z[n])

I1=1, I2=0, I3=0, I4=1, I5=2
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-5]+Z[n-8])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=0, I5=0
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=0, I5=2
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-8])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=1, I5=0
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-5]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=1, I5=2
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-5]+Z[n-8])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=2, I5=0
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-9]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=2, I5=2
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-2]+Z[n-9]+Z[n-8])

I1=1, I2=1, I3=1, I4=0, I5=1
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-1]+Z[n-4])

I1=1, I2=1, I3=1, I4=1, I5=1
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-5]+Z[n-4])

I1=1, I2=1, I3=1, I4=2, I5=1
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-9]+Z[n-4])

I1=1, I2=1, I3=2, I4=0, I5=0
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-10]+Z[n-1]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=2, I4=0, I5=2
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-10]+Z[n-1]+Z[n-8])

I1=1, I2=1, I3=2, I4=1, I5=0
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-10]+Z[n-5]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=2, I4=1, I5=2
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-10]+Z[n-5]+Z[n-8])

I1=1, I2=1, I3=2, I4=2, I5=0
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=2, I4=2, I5=2
Z[n+1]=Z[n-7]/(Z[n-7]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-8])

I1=2, I2=2, I3=0, I4=0, I5=0
Z[n+1]=Z[n-11]/(Z[n-11]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=2, I2=2, I3=1, I4=0, I5=2
Z[n+1]=Z[n-11]/(Z[n-11]+Z[n-6]+Z[n-1]+Z[n-8])

Further generalization:
..., Z1, Z2, Z3, Z4, 1-Z1-Z2-Z3-Z4, ...

************************************************************************************************
Z[n+1]=Z[n-4-5*I1]/(Z[n-4-5*I2]+Z[n-3-5*I3]+Z[n-2-5*I4]+Z[n-1-5*I5]+Z[n-5*I6])
************************************************************************************************
Period 5

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=0, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=0, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-5])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=1, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-6]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=1, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-6]+Z[n-5])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=0, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-7]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=0, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-7]+Z[n-1]+Z[n-5])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=1, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=1, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-5])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=0, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-8]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=0, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-8]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-5])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=1, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-8]+Z[n-2]+Z[n-6]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=1, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-8]+Z[n-2]+Z[n-6]+Z[n-5])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=0, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=0, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-1]+Z[n-5])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=1, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=1, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-4]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-5])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=0, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=0, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-5])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=1, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-6]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=1, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-6]+Z[n-5])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=0, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-3]+Z[n-7]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=0, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-3]+Z[n-7]+Z[n-1]+Z[n-5])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=1, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-3]+Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=1, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-3]+Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-5])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=0, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=0, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-5])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=1, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-2]+Z[n-6]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=1, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-2]+Z[n-6]+Z[n-5])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=0, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=0, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-1]+Z[n-5])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=1, I6=0
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=1, I6=1
Z[n+1]=Z[n-4]/(Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-5])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=1, I5=1, I6=0
Z[n+1]=Z[n-9]/(Z[n-9]+Z[n-3]+Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=1, I4=0, I5=0, I6=1
Z[n+1]=Z[n-9]/(Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-5])

I1=1, I2=1, I3=1, I4=1, I5=1, I6=1
Z[n+1]=Z[n-9]/(Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6]+Z[n-5])

Further generalization:
..., Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, 1-Z1-Z2-Z3-Z4-Z5, ...

***************************************************************************************************************
Z[n+1]=Z[n-5-6*I1]/(Z[n-5-6*I2]+Z[n-4-6*I3]+Z[n-3-6*I4]+Z[n-2-6*I5]+Z[n-1-6*I6]+Z[n-6*I7])
***************************************************************************************************************
Period 6

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=0, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=0, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=0, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=0, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=1, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=1, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=1, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=1, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=0, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=0, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=0, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=0, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=1, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=1, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=1, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=1, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=0, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=0, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=0, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=0, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=1, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=1, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=1, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=1, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=0, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=0, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=0, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=0, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=1, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=1, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=1, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=1, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-5]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=0, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=0, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=0, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=0, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=1, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=1, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=1, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=1, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=0, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=0, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=0, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=0, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=1, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=1, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=1, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=1, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=0, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=0, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=0, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=0, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=1, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=1, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=1, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0, I5=1, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=0, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=0, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=0, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=0, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=1, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=1, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=1, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=1, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-5]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=0, I5=0, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-11]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-1]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=0, I5=0, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-11]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=0, I5=1, I6=0, I7=0
Z[n+1]=Z[n-11]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=1, I5=0, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-11]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=1, I5=1, I6=1, I7=0
Z[n+1]=Z[n-11]/(Z[n-11]+Z[n-4]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n])

I1=1, I2=1, I3=1, I4=0, I5=1, I6=0, I7=1
Z[n+1]=Z[n-11]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-3]+Z[n-8]+Z[n-1]+Z[n-6])

I1=1, I2=1, I3=1, I4=1, I5=0, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-11]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-2]+Z[n-7]+Z[n-6])

I1=1, I2=1, I3=1, I4=1, I5=1, I6=1, I7=1
Z[n+1]=Z[n-11]/(Z[n-11]+Z[n-10]+Z[n-9]+Z[n-8]+Z[n-7]+Z[n-6])

The article "Convergence to periodic solutions" contains the following hypothesis:
Every solution of

Z[n+1]=(1+Z[n-1]/(1+Z[n-2])

converges to a period two solution of the form

..., Z, 1/Z, ...

*********************************************
Z[n+1]=(1+Z[n-1-2*I1])/(1+Z[n-2*I2])
*********************************************
Period 2

I1=0, I2=0
Z[n+1]=(1+Z[n-1]/(1+Z[n])

I1=0, I2=1
Z[n+1]=(1+Z[n-1]/(1+Z[n-2])

I1=0, I2=2
Z[n+1]=(1+Z[n-1]/(1+Z[n-4])

I1=0, I2=3
Z[n+1]=(1+Z[n-1]/(1+Z[n-6])

I1=0, I2=4
Z[n+1]=(1+Z[n-1]/(1+Z[n-8])

I1=0, I2=5
Z[n+1]=(1+Z[n-1]/(1+Z[n-10])

I1=0, I2=6
Z[n+1]=(1+Z[n-1]/(1+Z[n-12])

I1=0, I2=7
Z[n+1]=(1+Z[n-1]/(1+Z[n-14])

I1=0, I2=8
Z[n+1]=(1+Z[n-1]/(1+Z[n-16])

I1=1, I2=0
Z[n+1]=(1+Z[n-3]/(1+Z[n])

I1=1, I2=1
Z[n+1]=(1+Z[n-3]/(1+Z[n-2])

I1=1, I2=2
Z[n+1]=(1+Z[n-3]/(1+Z[n-4])

I1=1, I2=3
Z[n+1]=(1+Z[n-3]/(1+Z[n-6])

I1=1, I2=4
Z[n+1]=(1+Z[n-3]/(1+Z[n-8])

I1=1, I2=5
Z[n+1]=(1+Z[n-3]/(1+Z[n-10])

I1=1, I2=6
Z[n+1]=(1+Z[n-3]/(1+Z[n-12])

I1=1, I2=7
Z[n+1]=(1+Z[n-3]/(1+Z[n-14])

I1=1, I2=8
Z[n+1]=(1+Z[n-3]/(1+Z[n-16])

I1=2, I2=0
Z[n+1]=(1+Z[n-5]/(1+Z[n])

I1=2, I2=2
Z[n+1]=(1+Z[n-5]/(1+Z[n-4])

I1=2, I2=3
Z[n+1]=(1+Z[n-5]/(1+Z[n-6])

I1=2, I2=5
Z[n+1]=(1+Z[n-5]/(1+Z[n-10])

I1=2, I2=6
Z[n+1]=(1+Z[n-5]/(1+Z[n-12])

I1=2, I2=8
Z[n+1]=(1+Z[n-5]/(1+Z[n-16])

I1=3, I2=0
Z[n+1]=(1+Z[n-7]/(1+Z[n])

I1=3, I2=1
Z[n+1]=(1+Z[n-7]/(1+Z[n-2])

I1=3, I2=2
Z[n+1]=(1+Z[n-7]/(1+Z[n-4])

I1=3, I2=3
Z[n+1]=(1+Z[n-7]/(1+Z[n-6])

I1=3, I2=4
Z[n+1]=(1+Z[n-7]/(1+Z[n-8])

I1=3, I2=5
Z[n+1]=(1+Z[n-7]/(1+Z[n-10])

I1=3, I2=6
Z[n+1]=(1+Z[n-7]/(1+Z[n-12])

I1=3, I2=7
Z[n+1]=(1+Z[n-7]/(1+Z[n-14])

I1=3, I2=8
Z[n+1]=(1+Z[n-7]/(1+Z[n-16])

I1=4, I2=0
Z[n+1]=(1+Z[n-9]/(1+Z[n])

I1=4, I2=1
Z[n+1]=(1+Z[n-9]/(1+Z[n-2])

I1=4, I2=3
Z[n+1]=(1+Z[n-9]/(1+Z[n-6])

I1=4, I2=4
Z[n+1]=(1+Z[n-9]/(1+Z[n-8])

I1=4, I2=5
Z[n+1]=(1+Z[n-9]/(1+Z[n-10])

I1=4, I2=6
Z[n+1]=(1+Z[n-9]/(1+Z[n-12])

I1=4, I2=8
Z[n+1]=(1+Z[n-9]/(1+Z[n-16])

I1=5, I2=0
Z[n+1]=(1+Z[n-11]/(1+Z[n])

I1=5, I2=2
Z[n+1]=(1+Z[n-11]/(1+Z[n-4])

I1=5, I2=3
Z[n+1]=(1+Z[n-11]/(1+Z[n-6])

I1=5, I2=5
Z[n+1]=(1+Z[n-11]/(1+Z[n-10])

I1=5, I2=6
Z[n+1]=(1+Z[n-11]/(1+Z[n-12])

I1=5, I2=8
Z[n+1]=(1+Z[n-11]/(1+Z[n-16])

I1=6, I2=0
Z[n+1]=(1+Z[n-13]/(1+Z[n])

I1=6, I2=1
Z[n+1]=(1+Z[n-13]/(1+Z[n-2])

I1=6, I2=2
Z[n+1]=(1+Z[n-13]/(1+Z[n-4])

I1=6, I2=4
Z[n+1]=(1+Z[n-13]/(1+Z[n-8])

I1=6, I2=5
Z[n+1]=(1+Z[n-13]/(1+Z[n-10])

I1=6, I2=6
Z[n+1]=(1+Z[n-13]/(1+Z[n-12])

I1=6, I2=7
Z[n+1]=(1+Z[n-13]/(1+Z[n-14])

I1=6, I2=8
Z[n+1]=(1+Z[n-13]/(1+Z[n-16])

I1=7, I2=0
Z[n+1]=(1+Z[n-15]/(1+Z[n])

I1=7, I2=1
Z[n+1]=(1+Z[n-15]/(1+Z[n-2])

I1=7, I2=2
Z[n+1]=(1+Z[n-15]/(1+Z[n-4])

I1=7, I2=3
Z[n+1]=(1+Z[n-15]/(1+Z[n-6])

I1=7, I2=4
Z[n+1]=(1+Z[n-15]/(1+Z[n-8])

I1=7, I2=5
Z[n+1]=(1+Z[n-15]/(1+Z[n-10])

I1=7, I2=6
Z[n+1]=(1+Z[n-15]/(1+Z[n-12])

I1=7, I2=7
Z[n+1]=(1+Z[n-15]/(1+Z[n-14])

I1=7, I2=8
Z[n+1]=(1+Z[n-15]/(1+Z[n-16])

I1=8, I2=0
Z[n+1]=(1+Z[n-17]/(1+Z[n])

I1=8, I2=2
Z[n+1]=(1+Z[n-17]/(1+Z[n-4])

I1=8, I2=3
Z[n+1]=(1+Z[n-17]/(1+Z[n-6])

I1=8, I2=5
Z[n+1]=(1+Z[n-17]/(1+Z[n-10])

I1=8, I2=6
Z[n+1]=(1+Z[n-17]/(1+Z[n-12])

I1=8, I2=8
Z[n+1]=(1+Z[n-17]/(1+Z[n-16])

Sequence
..., Z, 1/Z, ...
has a natural generalization:
..., Z1, Z2, 1/(Z1*Z2), ...

***********************************************************
Z[n+1]=(1+Z[n-2-3*I1])/(1+Z[n-1-3*I2]*Z[n-3*I3])
***********************************************************
Period 3

I1=0, I2=0, I3=0
Z[n+1]=(1+Z[n-2])/(1+Z[n-1]*Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1
Z[n+1]=(1+Z[n-2])/(1+Z[n-1]*Z[n-3])

I1=0, I2=0, I3=2
Z[n+1]=(1+Z[n-2])/(1+Z[n-1]*Z[n-6])

I1=0, I2=0, I3=3
Z[n+1]=(1+Z[n-2])/(1+Z[n-1]*Z[n-9])

I1=0, I2=1, I3=0
Z[n+1]=(1+Z[n-2])/(1+Z[n-4]*Z[n])

I1=0, I2=1, I3=1
Z[n+1]=(1+Z[n-2])/(1+Z[n-4]*Z[n-3])

I1=0, I2=1, I3=2
Z[n+1]=(1+Z[n-2])/(1+Z[n-4]*Z[n-6])

I1=0, I2=1, I3=3
Z[n+1]=(1+Z[n-2])/(1+Z[n-4]*Z[n-9])

I1=0, I2=2, I3=0
Z[n+1]=(1+Z[n-2])/(1+Z[n-7]*Z[n])

I1=0, I2=2, I3=1
Z[n+1]=(1+Z[n-2])/(1+Z[n-7]*Z[n-3])

I1=0, I2=3, I3=0
Z[n+1]=(1+Z[n-2])/(1+Z[n-10]*Z[n])

I1=0, I2=3, I3=1
Z[n+1]=(1+Z[n-2])/(1+Z[n-10]*Z[n-3])

I1=1, I2=0, I3=0
Z[n+1]=(1+Z[n-5])/(1+Z[n-1]*Z[n])

I1=1, I2=0, I3=2
Z[n+1]=(1+Z[n-5])/(1+Z[n-1]*Z[n-6])

I1=1, I2=1, I3=1
Z[n+1]=(1+Z[n-5])/(1+Z[n-4]*Z[n-3])

I1=1, I2=1, I3=3
Z[n+1]=(1+Z[n-5])/(1+Z[n-4]*Z[n-9])

I1=1, I2=2, I3=0
Z[n+1]=(1+Z[n-5])/(1+Z[n-7]*Z[n])

I1=2, I2=0, I3=0
Z[n+1]=(1+Z[n-8])/(1+Z[n-1]*Z[n])

I1=2, I2=0, I3=1
Z[n+1]=(1+Z[n-8])/(1+Z[n-1]*Z[n-3])

I1=2, I2=1, I3=0
Z[n+1]=(1+Z[n-8])/(1+Z[n-4]*Z[n])

I1=2, I2=1, I3=3
Z[n+1]=(1+Z[n-8])/(1+Z[n-4]*Z[n-9])

I1=2, I2=2, I3=1
Z[n+1]=(1+Z[n-8])/(1+Z[n-7]*Z[n-3])

I1=2, I2=3, I3=0
Z[n+1]=(1+Z[n-8])/(1+Z[n-10]*Z[n])

I1=3, I2=0, I3=0
Z[n+1]=(1+Z[n-11])/(1+Z[n-1]*Z[n])

I1=3, I2=1, I3=3
Z[n+1]=(1+Z[n-11])/(1+Z[n-4]*Z[n-9])

Further generalization:
..., Z1, Z2, Z3, 1/(Z1*Z2*Z3), ...

*************************************************************************
Z[n+1]=(1+Z[n-3-4*I1])/(1+Z[n-2-4*I2]*Z[n-1-4*I3]*Z[n-4*I4])
*************************************************************************
Period 4

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n-4])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=2
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n-8])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-2]*Z[n-5]*Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-2]*Z[n-5]*Z[n-4])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=2
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-2]*Z[n-5]*Z[n-8])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-2]*Z[n-9]*Z[n])

I1=0, I2=0, I3=2, I4=1
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-2]*Z[n-9]*Z[n-4])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-6]*Z[n-1]*Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-6]*Z[n-1]*Z[n-4])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=2
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-6]*Z[n-1]*Z[n-8])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-6]*Z[n-5]*Z[n])

I1=0, I2=1, I3=2, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-6]*Z[n-9]*Z[n])

I1=0, I2=2, I3=0, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-10]*Z[n-1]*Z[n])

I1=0, I2=2, I3=0, I4=1
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-10]*Z[n-1]*Z[n-4])

I1=0, I2=2, I3=0, I4=2
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-10]*Z[n-1]*Z[n-8])

I1=0, I2=2, I3=1, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-10]*Z[n-5]*Z[n])

I1=0, I2=2, I3=1, I4=1
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-10]*Z[n-5]*Z[n-4])

I1=0, I2=2, I3=2, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-3])/(1+Z[n-10]*Z[n-9]*Z[n])

I1=1, I2=0, I3=0, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-7])/(1+Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n])

I1=1, I2=0, I3=0, I4=2
Z[n+1]=(1+Z[n-7])/(1+Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n-8])

I1=1, I2=0, I3=1, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-7])/(1+Z[n-2]*Z[n-5]*Z[n])

I1=1, I2=0, I3=1, I4=2
Z[n+1]=(1+Z[n-7])/(1+Z[n-2]*Z[n-5]*Z[n-8])

I1=1, I2=0, I3=2, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-7])/(1+Z[n-2]*Z[n-9]*Z[n])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=1
Z[n+1]=(1+Z[n-7])/(1+Z[n-6]*Z[n-1]*Z[n-4])

I1=1, I2=1, I3=2, I4=1
Z[n+1]=(1+Z[n-7])/(1+Z[n-6]*Z[n-9]*Z[n-4])

I1=1, I2=2, I3=0, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-7])/(1+Z[n-10]*Z[n-1]*Z[n])

I1=1, I2=2, I3=0, I4=2
Z[n+1]=(1+Z[n-7])/(1+Z[n-10]*Z[n-1]*Z[n-8])

I1=1, I2=2, I3=2, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-7])/(1+Z[n-10]*Z[n-9]*Z[n])

I1=2, I2=0, I3=0, I4=0
Z[n+1]=(1+Z[n-11])/(1+Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n])

I1=2, I2=1, I3=0, I4=2
Z[n+1]=(1+Z[n-11])/(1+Z[n-6]*Z[n-1]*Z[n-8])

Further generalization:
..., Z1, Z2, Z3, Z4, 1/(Z1*Z2*Z3*Z4), ...

***************************************************************************************
Z[n+1]=(1+Z[n-4-5*I1])/(1+Z[n-3-5*I2]*Z[n-2-5*I3]*Z[n-1-5*I4]*Z[n-5*I5])
***************************************************************************************
Period 5

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=0
Z[n+1]=(1+Z[n-4])/(1+Z[n-3]*Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=1
Z[n+1]=(1+Z[n-4])/(1+Z[n-3]*Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n-5])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=0
Z[n+1]=(1+Z[n-4])/(1+Z[n-3]*Z[n-2]*Z[n-6]*Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=0
Z[n+1]=(1+Z[n-4])/(1+Z[n-3]*Z[n-7]*Z[n-1]*Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=1
Z[n+1]=(1+Z[n-4])/(1+Z[n-3]*Z[n-7]*Z[n-1]*Z[n-5])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=1, I5=0
Z[n+1]=(1+Z[n-4])/(1+Z[n-3]*Z[n-7]*Z[n-6]*Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=0
Z[n+1]=(1+Z[n-4])/(1+Z[n-8]*Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=0, I5=1
Z[n+1]=(1+Z[n-4])/(1+Z[n-8]*Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n-5])

I1=0, I2=1, I3=0, I4=1, I5=1
Z[n+1]=(1+Z[n-4])/(1+Z[n-8]*Z[n-2]*Z[n-6]*Z[n-5])

I1=0, I2=1, I3=1, I4=1, I5=0
Z[n+1]=(1+Z[n-4])/(1+Z[n-8]*Z[n-7]*Z[n-6]*Z[n])

I1=1, I2=0, I3=0, I4=0, I5=0
Z[n+1]=(1+Z[n-9])/(1+Z[n-3]*Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n])

I1=1, I2=0, I3=1, I4=1, I5=0
Z[n+1]=(1+Z[n-9])/(1+Z[n-3]*Z[n-7]*Z[n-6]*Z[n])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=0, I5=1
Z[n+1]=(1+Z[n-9])/(1+Z[n-8]*Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n-5])

Further generalization:
..., Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, 1/(Z1*Z2*Z3*Z4*Z5), ...

******************************************************************************************************
Z[n+1]=(1+Z[n-5-6*I1])/(1+Z[n-4-6*I2]*Z[n-3-6*I3]*Z[n-2-6*I4]*Z[n-1-6*I5]*Z[n-6*I6])
******************************************************************************************************
Period 6

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=0, I6=0
Z[n+1]=(1+Z[n-5])/(1+Z[n-4]*Z[n-3]*Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n])

I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=0, I6=1
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I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=1, I6=0
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I1=0, I2=0, I3=0, I4=0, I5=1, I6=1
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I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=0, I6=0
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I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=0, I6=1
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I1=0, I2=0, I3=0, I4=1, I5=1, I6=0
Z[n+1]=(1+Z[n-5])/(1+Z[n-4]*Z[n-3]*Z[n-8]*Z[n-7]*Z[n])

I1=0, I2=0, I3=1, I4=0, I5=0, I6=0
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Z[n+1]=(1+Z[n-11])/(1+Z[n-4]*Z[n-3]*Z[n-8]*Z[n-1]*Z[n])

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I1=1, I2=1, I3=0, I4=0, I5=0, I6=1
Z[n+1]=(1+Z[n-11])/(1+Z[n-10]*Z[n-3]*Z[n-2]*Z[n-1]*Z[n-6])

I1=1, I2=1, I3=0, I4=1, I5=0, I6=1
Z[n+1]=(1+Z[n-11])/(1+Z[n-10]*Z[n-3]*Z[n-8]*Z[n-1]*Z[n-6])

Sincerely, Evgeni.