Message from Evgeni Lozitsky, Dec. 6, 2023 with recurrences of order 30
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Eight recursions with a period of thirty.

-5+5*A+5*A^2-5*A^3+A^4=0

A=(5+Sqrt[5]-Sqrt[6*(5-Sqrt[5])])/4
A=(5+Sqrt[5]+Sqrt[6*(5-Sqrt[5])])/4
A=(5-Sqrt[5]-Sqrt[6*(5+Sqrt[5])])/4
A=(5-Sqrt[5]+Sqrt[6*(5+Sqrt[5])])/4

X
Y
Y*(X+A*Y)/(X-Y)
-(X+A*Y)*(X-Y+A*Y)/(X-Y)
(X-Y+A*Y)*(A*X-Y-A*Y+A^2*Y)/(X-Y)
-(-A*X^2+A^2*X^2+X*Y-4*A^2*X*Y+2*A^3*X*Y+5*Y^2-3*A*Y^2-4*A^2*Y^2+2*A^3*Y^2)/(X-Y)
(X^2-2*A^2*X^2+A^3*X^2+9*X*Y-6*A*X*Y-8*A^2*X*Y+4*A^3*X*Y+5*Y^2-2*A*Y^2-7*A^2*Y^2+3*A^3*Y^2)/(X-Y)
-(5*X^2-3*A*X^2-4*A^2*X^2+2*A^3*X^2+9*X*Y-4*A*X*Y-14*A^2*X*Y+6*A^3*X*Y+6*Y^2-5*A*Y^2-6*A^2*Y^2+3*A^3*Y^2)/(X-Y)
(5*X^2-2*A*X^2-7*A^2*X^2+3*A^3*X^2+11*X*Y-10*A*X*Y-12*A^2*X*Y+6*A^3*X*Y+5*Y^2-2*A*Y^2-7*A^2*Y^2+3*A^3*Y^2)/(X-Y)
-(6*X^2-5*A*X^2-6*A^2*X^2+3*A^3*X^2+9*X*Y-4*A*X*Y-14*A^2*X*Y+6*A^3*X*Y+5*Y^2-3*A*Y^2-4*A^2*Y^2+2*A^3*Y^2)/(*X-Y)
(5*X^2-2*A*X^2-7*A^2*X^2+3*A^3*X^2+9*X*Y-6*A*X*Y-8*A^2*X*Y+4*A^3*X*Y+Y^2-2*A^2*Y^2+A^3*Y^2)/(X-Y)
-(5*X^2-3*A*X^2-4*A^2*X^2+2*A^3*X^2+X*Y-4*A^2*X*Y+2*A^3*X*Y-A*Y^2+A^2*Y^2)/(X-Y)
(-X+A*X+Y)*(-X-A*X+A^2*X+A*Y)/(X-Y)
-(A*X+Y)*(-X+A*X+Y)/(X-Y)
X*(A*X+Y)/(X-Y)
-X
-Y
-Y*(X+A*Y)/(X-Y)
(X+A*Y)*(X-Y+A*Y)/(X-Y)
-(X-Y+A*Y)*(A*X-Y-A*Y+A^2*Y)/(X-Y)
(-A*X^2+A^2*X^2+X*Y-4*A^2*X*Y+2*A^3*X*Y+5*Y^2-3*A*Y^2-4*A^2*Y^2+2*A^3*Y^2)/(X-Y)
-(X^2-2*A^2*X^2+A^3*X^2+9*X*Y-6*A*X*Y-8*A^2*X*Y+4*A^3*X*Y+5*Y^2-2*A*Y^2-7*A^2*Y^2+3*A^3*Y^2)/(X-Y)
(5*X^2-3*A*X^2-4*A^2*X^2+2*A^3*X^2+9*X*Y-4*A*X*Y-14*A^2*X*Y+6*A^3*X*Y+6*Y^2-5*A*Y^2-6*A^2*Y^2+3*A^3*Y^2)/(X-Y)
-(5*X^2-2*A*X^2-7*A^2*X^2+3*A^3*X^2+11*X*Y-10*A*X*Y-12*A^2*X*Y+6*A^3*X*Y+5*Y^2-2*A*Y^2-7*A^2*Y^2+3*A^3*Y^2)/(X-Y)
(6*X^2-5*A*X^2-6*A^2*X^2+3*A^3*X^2+9*X*Y-4*A*X*Y-14*A^2*X*Y+6*A^3*X*Y+5*Y^2-3*A*Y^2-4*A^2*Y^2+2*A^3*Y^2)/(X-Y)
-(5*X^2-2*A*X^2-7*A^2*X^2+3*A^3*X^2+9*X*Y-6*A*X*Y-8*A^2*X*Y+4*A^3*X*Y+Y^2-2*A^2*Y^2+A^3*Y^2)/(X-Y)
(5*X^2-3*A*X^2-4*A^2*X^2+2*A^3*X^2+X*Y-4*A^2*X*Y+2*A^3*X*Y-A*Y^2+A^2*Y^2)/(X-Y)
-(-X+A*X+Y)*(-X-A*X+A^2*X+A*Y)/(X-Y)
(A*X+Y)*(-X+A*X+Y)/(X-Y)
-X*(A*X+Y)/(X-Y)
X
Y

1+3*A-A^2-3*A^3+A^4=0

A=(3-Sqrt[5]-Sqrt[6*(5-Sqrt[5])])/4
A=(3-Sqrt[5]+Sqrt[6*(5-Sqrt[5])])/4
A=(3+Sqrt[5]-Sqrt[6*(5+Sqrt[5])])/4
A=(3+Sqrt[5]+Sqrt[6*(5+Sqrt[5])])/4

X
Y
Y*(X+A*Y)/(X-Y)
-(X+A*Y)*(X-Y+A*Y)/(X-Y)
(X-Y+A*Y)*(A*X-Y-A*Y+A^2*Y)/(X-Y)
-(-A*X^2+A^2*X^2+X*Y-4*A^2*X*Y+2*A^3*X*Y-Y^2-A*Y^2+2*A^2*Y^2)/(X-Y)
(X^2-2*A^2*X^2+A^3*X^2-3*X*Y-2*A*X*Y+4*A^2*X*Y+Y^2-A^2*Y^2+A^3*Y^2)/(X-Y)
-(-X^2-A*X^2+2*A^2*X^2+X*Y-2*A^2*X*Y+2*A^3*X*Y-A*Y^2+A^3*Y^2)/(X-Y)
(X^2-A^2*X^2+A^3*X^2-X*Y-2*A*X*Y+2*A^3*X*Y-Y^2-2*A*Y^2+A^2*Y^2+A^3*Y^2)/(X-Y)
-(-A*X^2+A^3*X^2-3*X*Y-4*A*X*Y+2*A^2*X*Y+2*A^3*X*Y+Y^2-A*Y^2-2*A^2*Y^2+2*A^3*Y^2)/(X-Y)
(-X^2-2*A*X^2+A^2*X^2+A^3*X^2+X*Y-2*A*X*Y-4*A^2*X*Y+4*A^3*X*Y-Y^2-2*A*Y^2+2*A^2*Y^2+A^3*Y^2)/(X-Y)
-(X^2-A*X^2-2*A^2*X^2+2*A^3*X^2-3*X*Y-4*A*X*Y+4*A^2*X*Y+2*A^3*X*Y-A*Y^2-A^2*Y^2+2*A^3*Y^2)/(X-Y)
(-X^2-2*A*X^2+2*A^2*X^2+A^3*X^2-X*Y-2*A*X*Y-2*A^2*X*Y+4*A^3*X*Y-3*A*Y^2+2*A^3*Y^2)/(X-Y)
-(-A*X^2-A^2*X^2+2*A^3*X^2-X*Y-6*A*X*Y+4*A^3*X*Y-Y^2-2*A*Y^2+2*A^3*Y^2)/(X-Y)
(-3*A*X^2+2*A^3*X^2-3*X*Y-4*A*X*Y+4*A^3*X*Y-2*A*Y^2+2*A^3*Y^2)/(X-Y)
-(X+Y)*(-X-2*A*X+2*A^3*X-2*A*Y+2*A^3*Y)/(X-Y)
(X+Y)*(-2*A*X+2*A^3*X-Y-2*A*Y+2*A^3*Y)/(X-Y)
-(-2*A*X^2+2*A^3*X^2-3*X*Y-4*A*X*Y+4*A^3*X*Y-3*A*Y^2+2*A^3*Y^2)/(X-Y)
(-X^2-2*A*X^2+2*A^3*X^2-X*Y-6*A*X*Y+4*A^3*X*Y-A*Y^2-A^2*Y^2+2*A^3*Y^2)/(X-Y)
-(-3*A*X^2+2*A^3*X^2-X*Y-2*A*X*Y-2*A^2*X*Y+4*A^3*X*Y-Y^2-2*A*Y^2+2*A^2*Y^2+A^3*Y^2)/(X-Y)
(-A*X^2-A^2*X^2+2*A^3*X^2-3*X*Y-4*A*X*Y+4*A^2*X*Y+2*A^3*X*Y+Y^2-A*Y^2-2*A^2*Y^2+2*A^3*Y^2)/(X-Y)
-(-X^2-2*A*X^2+2*A^2*X^2+A^3*X^2+X*Y-2*A*X*Y-4*A^2*X*Y+4*A^3*X*Y-Y^2-2*A*Y^2+A^2*Y^2+A^3*Y^2)/(X-Y)
(X^2-A*X^2-2*A^2*X^2+2*A^3*X^2-3*X*Y-4*A*X*Y+2*A^2*X*Y+2*A^3*X*Y-A*Y^2+A^3*Y^2)/(X-Y)
-(-X^2-2*A*X^2+A^2*X^2+A^3*X^2-X*Y-2*A*X*Y+2*A^3*X*Y+Y^2-A^2*Y^2+A^3*Y^2)/(X-Y)
(-A*X^2+A^3*X^2+X*Y-2*A^2*X*Y+2*A^3*X*Y-Y^2-A*Y^2+2*A^2*Y^2)/(X-Y)
-(X^2-A^2*X^2+A^3*X^2-3*X*Y-2*A*X*Y+4*A^2*X*Y+Y^2-2*A^2*Y^2+A^3*Y^2)/(X-Y)
(-X^2-A*X^2+2*A^2*X^2+X*Y-4*A^2*X*Y+2*A^3*X*Y-A*Y^2+A^2*Y^2)/(X-Y)
-(-X+A*X+Y)*(-X-A*X+A^2*X+A*Y)/(X-Y)
(A*X+Y)*(-X+A*X+Y)/(X-Y)
-X*(A*X+Y)/(X-Y)
X
Y