The Average, Variance, and Scaled Moments Up to the, 4, -th of a Certain Combinatorial Random Variable By Shalosh B. Ekhad Theorem: Suppose that there is an infinite family of cominatorial families, on which there is a combinatorial random variable Let , P[n](v), be the weight-enumerator according to that random variable of the n-th member of our family. Suppose that you found out (e.g. by the transfer matrix method) that the infinity ----- \ ) n bi-variate generating function, , / P[n](v) t , ----- n = 0 // 2 2 2\ \// / 2 \ equals , \\-t v + v / t/ \1 - \3 v + 8 v + 4/ t / 2 \ 2 / 2 \ 3 4\ - \-10 v - 16 v - 6/ t - \3 v + 8 v + 4/ t + t / In other words infinity ----- \ ) n // 2 2 2\ \// / 2 \ / P[n](v) t = \\-t v + v / t/ \1 - \3 v + 8 v + 4/ t ----- n = 0 / 2 \ 2 / 2 \ 3 4\ - \-10 v - 16 v - 6/ t - \3 v + 8 v + 4/ t + t / Definition: Let a(n) be defined by the ordinary generating function infinity ----- \ / 2 \ ) n \-t + 1/ t / a(n) t = ----------------------------- ----- 4 3 2 n = 0 t - 15 t + 32 t - 15 t + 1 then, of course, a(n), is the number of elements in the n-th family. The EXACT expression, in terms of a(n) and n, for the EXPECTATION is 1 ------- (91 a(n) n - 180 n a(n - 1) + 76 n a(n - 2) 70 a(n) - 5 n a(n - 3) + 48 a(n)) and in Maple notation (1/70)*(91*a(n)*n-180*n*a(n-1)+76*n*a(n-2)-5*n*a(n-3)+48*a(n))/a(n) The EXACT expression, in terms of a(n) and n, for the VARIANCE is 1 / 2 2 2 - ---------- \1001 a(n) n - 15400 a(n) n a(n - 1) 2 4900 a(n) 2 2 + 5432 a(n) n a(n - 2) - 350 a(n) n a(n - 3) 2 2 2 + 32400 a(n - 1) n - 27360 n a(n - 1) a(n - 2) 2 2 2 + 1800 n a(n - 1) a(n - 3) + 5776 n a(n - 2) 2 2 2 2 - 760 n a(n - 2) a(n - 3) + 25 n a(n - 3) - 2198 a(n) n + 5280 a(n) a(n - 1) n - 2528 a(n) n a(n - 2) 2\ + 170 a(n) n a(n - 3) + 992 a(n) / and in Maple notation -(1/4900)*(1001*a(n)^2*n^2-15400*a(n)*n^2*a(n-1)+5432*a(n)*n^2*a(n-2)-350*a(n)*n^2*a(n-3)+32400*a(n-1)^2*n^2-27360*n^2*a(n-1)*a(n-2)+1800*n^2*a(n-1)*a(n-3)+5776*n^2*a(n-2)^2-760*n^2*a(n-2)*a(n-3)+25*n^2*a(n-3)^2-2198*a(n)^2*n+5280*a(n)*a(n-1)*n-2528*a(n)*n*a(n-2)+170*a(n)*n*a(n-3)+992*a(n)^2)/a(n)^2 The EXACT expression, in terms of a(n) and n, for the, 3, -th moment about the mean is 1 / 3 2 ------------ \-86640 n a(n - 2) a(n - 3) 3 171500 a(n) 3 2 2 + 5700 n a(n - 2) a(n - 3) + 29696 a(n) n a(n - 2) 2 2 2 - 2090 a(n) n a(n - 3) - 293244 a(n) n a(n - 2) 2 2 2 2 + 19530 a(n) n a(n - 3) - 288192 a(n) n a(n - 2) 2 2 2 - 1275 a(n) n a(n - 3) - 44160 a(n) a(n - 1) n 2 3 2 3 + 244188 a(n) n a(n - 2) - 15575 a(n) n a(n - 3) 3 2 3 2 + 619248 a(n) n a(n - 2) + 2625 a(n) n a(n - 3) 3 2 3 2 + 7387200 n a(n - 1) a(n - 2) - 486000 n a(n - 1) a(n - 3) 3 2 3 2 - 3119040 n a(n - 1) a(n - 2) - 13500 n a(n - 1) a(n - 3) 3 3 3 3 - 11232 a(n) + 4886 a(n) n + 438976 n a(n - 2) 3 3 2 2 - 125 n a(n - 3) + 689220 a(n) n a(n - 1) 2 2 2 3 - 1425600 a(n) a(n - 1) n - 825300 a(n) n a(n - 1) 3 2 3 3 + 4158000 a(n) n a(n - 1) - 5832000 a(n - 1) n 3 2 3 3 - 44667 a(n) n + 42091 a(n) n 2 + 1284480 a(n) n a(n - 1) a(n - 2) 2 - 85500 a(n) n a(n - 1) a(n - 3) 2 + 38340 a(n) n a(n - 2) a(n - 3) 3 - 3222240 a(n) n a(n - 1) a(n - 2) 3 + 210000 a(n) n a(n - 1) a(n - 3) 3 - 80640 a(n) n a(n - 2) a(n - 3) 3 \ + 410400 n a(n - 1) a(n - 2) a(n - 3)/ and in Maple notation (1/171500)*(-86640*n^3*a(n-2)^2*a(n-3)+5700*n^3*a(n-2)*a(n-3)^2+29696*a(n)^2*n*a(n-2)-2090*a(n)^2*n*a(n-3)-293244*a(n)^2*n^2*a(n-2)+19530*a(n)^2*n^2*a(n-3)-288192*a(n)*n^2*a(n-2)^2-1275*a(n)*n^2*a(n-3)^2-44160*a(n)^2*a(n-1)*n+244188*a(n)^2*n^3*a(n-2)-15575*a(n)^2*n^3*a(n-3)+619248*a(n)*n^3*a(n-2)^2+2625*a(n)*n^3*a(n-3)^2+7387200*n^3*a(n-1)^2*a(n-2)-486000*n^3*a(n-1)^2*a(n-3)-3119040*n^3*a(n-1)*a(n-2)^2-13500*n^3*a(n-1)*a(n-3)^2-11232*a(n)^3+4886*a(n)^3*n+438976*n^3*a(n-2)^3-125*n^3*a(n-3)^3+689220*a(n)^2*n^2*a(n-1)-1425600*a(n)*a(n-1)^2*n^2-825300*a(n)^2*n^3*a(n-1)+4158000*a(n)*n^3*a(n-1)^2-5832000*a(n-1)^3*n^3-44667*a(n)^3*n^2+42091*a(n)^3*n^3+1284480*a(n)*n^2*a(n-1)*a(n-2)-85500*a(n)*n^2*a(n-1)*a(n-3)+38340*a(n)*n^2*a(n-2)*a(n-3)-3222240*a(n)*n^3*a(n-1)*a(n-2)+210000*a(n)*n^3*a(n-1)*a(n-3)-80640*a(n)*n^3*a(n-2)*a(n-3)+410400*n^3*a(n-1)*a(n-2)*a(n-3))/a(n)^3 The EXACT expression, in terms of a(n) and n, for the, 4, -th moment about the mean is 1 / 3 - -------------- \16804096 a(n) n a(n - 2) 4 24010000 a(n) 3 3 2 - 1124440 a(n) n a(n - 3) - 25079488 a(n) n a(n - 2) 3 2 2 2 2 + 1522080 a(n) n a(n - 3) - 16323584 a(n) n a(n - 2) 2 2 2 3 3 - 65200 a(n) n a(n - 3) - 26373984 a(n) n a(n - 2) 3 3 2 3 2 + 1873620 a(n) n a(n - 3) - 102118464 a(n) n a(n - 2) 2 3 2 3 3 - 451500 a(n) n a(n - 3) - 87610368 a(n) n a(n - 2) 3 3 3 4 + 25500 a(n) n a(n - 3) + 27732432 a(n) n a(n - 2) 3 4 2 4 2 - 1788500 a(n) n a(n - 3) + 113775648 a(n) n a(n - 2) 2 4 2 4 3 + 472850 a(n) n a(n - 3) + 188251392 a(n) n a(n - 2) 4 3 4 3 - 52500 a(n) n a(n - 3) - 5318784000 n a(n - 1) a(n - 2) 4 3 + 349920000 n a(n - 1) a(n - 3) 4 2 2 + 3368563200 n a(n - 1) a(n - 2) 4 2 2 + 14580000 n a(n - 1) a(n - 3) 4 3 - 948188160 n a(n - 1) a(n - 2) 4 3 + 270000 n a(n - 1) a(n - 3) 4 3 - 26338560 n a(n - 2) a(n - 3) 4 2 2 + 2599200 n a(n - 2) a(n - 3) 4 3 4 - 114000 n a(n - 2) a(n - 3) - 4255360 a(n) 4 4 4 4 + 100086528 n a(n - 2) + 1875 n a(n - 3) 3 3 2 - 36168960 a(n) a(n - 1) n + 88307520 a(n) n a(n - 1) 2 2 2 3 3 - 129254400 a(n) a(n - 1) n + 65227680 a(n) n a(n - 1) 2 3 2 3 3 - 565185600 a(n) n a(n - 1) + 1026432000 a(n) a(n - 1) n 3 4 2 4 2 - 135142000 a(n) n a(n - 1) + 993837600 a(n) n a(n - 1) 4 3 4 - 2993760000 a(n) n a(n - 1) + 15866536 a(n) n 4 2 4 3 4 4 - 15751344 a(n) n - 2146788 a(n) n + 5891123 a(n) n 4 4 + 3149280000 a(n - 1) n 3 - 79286400 a(n) n a(n - 1) a(n - 2) a(n - 3) 4 + 186345600 a(n) n a(n - 1) a(n - 2) a(n - 3) 4 2 - 443232000 n a(n - 1) a(n - 2) a(n - 3) 3 2 + 17419200 a(n) n a(n - 2) a(n - 3) 3 2 - 1154400 a(n) n a(n - 2) a(n - 3) 3 2 - 1358208000 a(n) n a(n - 1) a(n - 2) 3 2 + 90072000 a(n) n a(n - 1) a(n - 3) 3 2 + 597980160 a(n) n a(n - 1) a(n - 2) 3 2 + 2628000 a(n) n a(n - 1) a(n - 3) 2 2 + 93235200 a(n) n a(n - 1) a(n - 2) 2 2 - 5937600 a(n) n a(n - 1) a(n - 3) 2 2 + 2064960 a(n) n a(n - 2) a(n - 3) 2 3 + 480493440 a(n) n a(n - 1) a(n - 2) 2 3 - 31953600 a(n) n a(n - 1) a(n - 3) 2 3 + 13581120 a(n) n a(n - 2) a(n - 3) 4 2 - 36899520 a(n) n a(n - 2) a(n - 3) 4 2 + 2410800 a(n) n a(n - 2) a(n - 3) 4 2 + 3584044800 a(n) n a(n - 1) a(n - 2) 4 2 - 234360000 a(n) n a(n - 1) a(n - 3) 4 2 - 1425419520 a(n) n a(n - 1) a(n - 2) 4 2 - 6090000 a(n) n a(n - 1) a(n - 3) 2 4 - 689088960 a(n) n a(n - 1) a(n - 2) 2 4 + 44629200 a(n) n a(n - 1) a(n - 3) 2 4 - 14672560 a(n) n a(n - 2) a(n - 3) 4 2 + 187142400 n a(n - 1) a(n - 2) a(n - 3) 4 2\ - 12312000 n a(n - 1) a(n - 2) a(n - 3) / and in Maple notation -(1/24010000)*(16804096*a(n)^3*n*a(n-2)-1124440*a(n)^3*n*a(n-3)-25079488*a(n)^3*n^2*a(n-2)+1522080*a(n)^3*n^2*a(n-3)-16323584*a(n)^2*n^2*a(n-2)^2-65200*a(n)^2*n^2*a(n-3)^2-26373984*a(n)^3*n^3*a(n-2)+1873620*a(n)^3*n^3*a(n-3)-102118464*a(n)^2*n^3*a(n-2)^2-451500*a(n)^2*n^3*a(n-3)^2-87610368*a(n)*n^3*a(n-2)^3+25500*a(n)*n^3*a(n-3)^3+27732432*a(n)^3*n^4*a(n-2)-1788500*a(n)^3*n^4*a(n-3)+113775648*a(n)^2*n^4*a(n-2)^2+472850*a(n)^2*n^4*a(n-3)^2+188251392*a(n)*n^4*a(n-2)^3-52500*a(n)*n^4*a(n-3)^3-5318784000*n^4*a(n-1)^3*a(n-2)+349920000*n^4*a(n-1)^3*a(n-3)+3368563200*n^4*a(n-1)^2*a(n-2)^2+14580000*n^4*a(n-1)^2*a(n-3)^2-948188160*n^4*a(n-1)*a(n-2)^3+270000*n^4*a(n-1)*a(n-3)^3-26338560*n^4*a(n-2)^3*a(n-3)+2599200*n^4*a(n-2)^2*a(n-3)^2-114000*n^4*a(n-2)*a(n-3)^3-4255360*a(n)^4+100086528*n^4*a(n-2)^4+1875*n^4*a(n-3)^4-36168960*a(n)^3*a(n-1)*n+88307520*a(n)^3*n^2*a(n-1)-129254400*a(n)^2*a(n-1)^2*n^2+65227680*a(n)^3*n^3*a(n-1)-565185600*a(n)^2*n^3*a(n-1)^2+1026432000*a(n)*a(n-1)^3*n^3-135142000*a(n)^3*n^4*a(n-1)+993837600*a(n)^2*n^4*a(n-1)^2-2993760000*a(n)*n^4*a(n-1)^3+15866536*a(n)^4*n-15751344*a(n)^4*n^2-2146788*a(n)^4*n^3+5891123*a(n)^4*n^4+3149280000*a(n-1)^4*n^4-79286400*a(n)*n^3*a(n-1)*a(n-2)*a(n-3)+186345600*a(n)*n^4*a(n-1)*a(n-2)*a(n-3)-443232000*n^4*a(n-1)^2*a(n-2)*a(n-3)+17419200*a(n)*n^3*a(n-2)^2*a(n-3)-1154400*a(n)*n^3*a(n-2)*a(n-3)^2-1358208000*a(n)*n^3*a(n-1)^2*a(n-2)+90072000*a(n)*n^3*a(n-1)^2*a(n-3)+597980160*a(n)*n^3*a(n-1)*a(n-2)^2+2628000*a(n)*n^3*a(n-1)*a(n-3)^2+93235200*a(n)^2*n^2*a(n-1)*a(n-2)-5937600*a(n)^2*n^2*a(n-1)*a(n-3)+2064960*a(n)^2*n^2*a(n-2)*a(n-3)+480493440*a(n)^2*n^3*a(n-1)*a(n-2)-31953600*a(n)^2*n^3*a(n-1)*a(n-3)+13581120*a(n)^2*n^3*a(n-2)*a(n-3)-36899520*a(n)*n^4*a(n-2)^2*a(n-3)+2410800*a(n)*n^4*a(n-2)*a(n-3)^2+3584044800*a(n)*n^4*a(n-1)^2*a(n-2)-234360000*a(n)*n^4*a(n-1)^2*a(n-3)-1425419520*a(n)*n^4*a(n-1)*a(n-2)^2-6090000*a(n)*n^4*a(n-1)*a(n-3)^2-689088960*a(n)^2*n^4*a(n-1)*a(n-2)+44629200*a(n)^2*n^4*a(n-1)*a(n-3)-14672560*a(n)^2*n^4*a(n-2)*a(n-3)+187142400*n^4*a(n-1)*a(n-2)^2*a(n-3)-12312000*n^4*a(n-1)*a(n-2)*a(n-3)^2)/a(n)^4 Let , b, be the largest positive root of the polynomial equation 4 3 2 b - 15 b + 32 b - 15 b + 1 = 0 and in Maple notation b^4-15*b^3+32*b^2-15*b+1 = 0 whose floating-point approximation is 12.54375443 Then the size of the n-th family (i.e. straight enumeration) is very close to / 3 \ n \b - b/ b ------------------------ 3 2 15 b - 64 b + 45 b - 4 and in Maple notation (b^3-b)*b^n/(15*b^3-64*b^2+45*b-4) and in floating point n 0.09759000733 12.54375443 The average of the statistics is, asymptotically / 3 2 \ 24 \91 b - 180 b + 76 b - 5/ n -- + ----------------------------- 35 3 70 b and in Maple notation 24/35+(1/70)*(91*b^3-180*b^2+76*b-5)*n/b^3 and in floating-point 24/35+1.101867265*n The variance of the statistics is, asymptotically / 3 2 \ \2179925 b - 5354096 b + 2592720 b - 173771/ n ------------------------------------------------ / 3 2 \ 2450 \2430 b - 5952 b + 2880 b - 193/ 3 2 -1205280 b + 2952192 b - 1428480 b + 95728 + -------------------------------------------- / 3 2 \ 2450 \2430 b - 5952 b + 2880 b - 193/ and in Maple notation (1/2450)*(2179925*b^3-5354096*b^2+2592720*b-173771)*n/(2430*b^3-5952*b^2+2880*b-193)+(1/2450)*(-1205280*b^3+2952192*b^2-1428480*b+95728)/(2430*b^3-5952*b^2+2880*b-193) and in floating-point .3659293443*n-.2024489796 The skewness of the statistics is, asymptotically // 3 \\41110491311963895879714456793499367629950 b 2 - 100977461977186403889605341235918712151530 b + 48899235513726224906206974724034376805450 b \ 2 / - 3277367356509113558448672768067463950820/ n + \ 3 -594584823385310291710837504700228171721675 b 2 + 1460446335705300496544259953788015237148928 b - 707234148358239749205078352365961036397760 b \ + 47400866023502218021503723422245340264853/ n 3 + 2149883770041789126157473183421334444230560 b 2 - 5280642476330314814791330211994403267605504 b + 2557198161429343631414430172616033166504960 b \/ - 171390773093806447656908091023337181925976/ // 3 \\24559569623215134954692118824013296971333625 b 2 - 60324333975608665493760329498129192039024880 b + 29212596123166664008414694652119503150347600 b \ 3 / - 1957912182616359426870650793291450506697255/ n + \ 3 -40762457747998850950369383423648823864220400 b 2 + 100122606079080472239915329177008256634361680 b - 48485263929639232498679086155107576199416400 b \ 2 + 3249621790715385870197018119044153620077920/ n + / 3 \22551670450646813403893943629168732760834300 b 2 - 55392440537180283795998171821702167298897728 b + 26824282790149871797529145025473457193703360 b \ - 1797840556291086195402421891319346779153028/ n 3 - 4158874515194840292358489532215158930727680 b 2 + 10215217085079271021985114948451734498598912 b - 4946809875058908685706595840774295277690880 b \ + 331549420620779888614342347200184283358528/ and in Maple notation ((41110491311963895879714456793499367629950*b^3-100977461977186403889605341235918712151530*b^2+48899235513726224906206974724034376805450*b-3277367356509113558448672768067463950820)*n^2+(-594584823385310291710837504700228171721675*b^3+1460446335705300496544259953788015237148928*b^2-707234148358239749205078352365961036397760*b+47400866023502218021503723422245340264853)*n+2149883770041789126157473183421334444230560*b^3-5280642476330314814791330211994403267605504*b^2+2557198161429343631414430172616033166504960*b-171390773093806447656908091023337181925976)/((24559569623215134954692118824013296971333625*b^3-60324333975608665493760329498129192039024880*b^2+29212596123166664008414694652119503150347600*b-1957912182616359426870650793291450506697255)*n^3+(-40762457747998850950369383423648823864220400*b^3+100122606079080472239915329177008256634361680*b^2-48485263929639232498679086155107576199416400*b+3249621790715385870197018119044153620077920)*n^2+(22551670450646813403893943629168732760834300*b^3-55392440537180283795998171821702167298897728*b^2+26824282790149871797529145025473457193703360*b-1797840556291086195402421891319346779153028)*n-4158874515194840292358489532215158930727680*b^3+10215217085079271021985114948451734498598912*b^2-4946809875058908685706595840774295277690880*b+331549420620779888614342347200184283358528) and in floating-point (0.6586178040e44*n^2-0.9525649979e45*n+0.3444258832e46)/(0.3934608731e47*n^3-0.6530420716e47*n^2+0.3612929741e47*n-0.6662797532e46) The kurtosis of the statistics is, asymptotically // 3 \\173299832546952901352902903200 b 2 - 425666945181218800341148403040 b + 206133010230812136672862351200 b \ 2 / - 13815627007906625225700304320/ n + \ 3 -235184120009766088078994529035 b 2 + 577669951830836332077350956832 b - 279741820309970422378456317600 b \ + 18749101095394034100613080917/ n 3 + 76458638583737359028659900800 b 2 - 187801191959239430529913712640 b + 90944400221191195330740940800 b \// - 6095355181137055079171539120/ \16 // 3 \\3610413178061518778185477150 b 2 - 8868061357942058340440591730 b + 4294437713141919514017965650 b - 287825562664721358868756340 \ 2 / 3 / n + \-3994893962757336145990481995 b 2 + 9812440580339778403016049424 b - 4751761764530029821232417200 b + 318476735461587767773397269 \ 3 / n + 1105079736486262626357981120 b 2 - 2714347202178208643995293696 b \ + 1314446813243566532002437120 b - 88098004648408932637747768/ \ / and in Maple notation (1/16)*((173299832546952901352902903200*b^3-425666945181218800341148403040*b^2+206133010230812136672862351200*b-13815627007906625225700304320)*n^2+(-235184120009766088078994529035*b^3+577669951830836332077350956832*b^2-279741820309970422378456317600*b+18749101095394034100613080917)*n+76458638583737359028659900800*b^3-187801191959239430529913712640*b^2+90944400221191195330740940800*b-6095355181137055079171539120)/((3610413178061518778185477150*b^3-8868061357942058340440591730*b^2+4294437713141919514017965650*b-287825562664721358868756340)*n^2+(-3994893962757336145990481995*b^3+9812440580339778403016049424*b^2-4751761764530029821232417200*b+318476735461587767773397269)*n+1105079736486262626357981120*b^3-2714347202178208643995293696*b^2+1314446813243566532002437120*b-88098004648408932637747768) and in floating-point (1/16)*(0.2776380226e33*n^2-0.3767808258e33*n+0.1224918969e33)/(0.5784125471e31*n^2-0.6400089626e31*n+0.1770412286e31) Finally here is the asymptotic expressions, to order 2, of the standarized third to, 4, -th moment / The , 3, -th standardized moment is, \2 / 3 \587292733028055655424492239907133823285 b 2 - 1442535171102662912708647731941695887879 b + 698560507338946070088671067486205382935 b \\/ - 46819533664415907977838182400963770726// // 3 \\701701989234718141562631966400379913466675 b 2 - 1723552399303104728393152271375119772543568 b + 834645603519047543097562704346271518581360 b \ \ / - 55940348074753126482018594094041443048493/ n/ - \3 / \1761045779747520208011766216002938442823506456806386034031468\ 3 76826047206473591656465 b - 432556088700378154260070133584498\ 2 478225537401945774859309400989824724587445988245751 b + 20946\ 91393514602972000355201837466787508031720860913177328262245200\ 10267478833166215 b - 1403922397342651751939950815394158781560\ \\// 2869405683011567444741953267651645960956310// \70 / \3521585176154458546268544987792894211623052258334655696706586\ 3 26678730144243139748005 b - 864987797217285707013563997704739\ 2 918709202291519891385202828027056621701436472170243 b + 41887\ 80464910420314973556422290792059788159006377694739189353094025\ 40135400459756755 b - 2807441101083660732516776076111013085010\ \ 2\ 8231202938469027949501742384390851240506830/ n / 0.001673909272 0.02143165273 and in floating-point, -------------- - ------------- n 2 n The , 4, -th standardized moment is, 3 - / 3 \8685841959482790614290278655 b 2 - 21334560794905393746516116896 b + 10331451122505798191860058400 b \// / - 692443558647564249498002401/ \224 \51577331115164553974078245 3 2 b - 126686590827743690577722739 b \ \ + 61349110187741707343113795 b - 4111793752353162269553662/ n/ - / 3 \127246990328823258452372309811317809741649569998283646105 b 2 - 312549855708020757965376037132724527687707335460616159047 b + 151355051957045711062772541920827882905322872609676612055 b \// - 10144250749840867541389263563913826538775278921691915454/ \70 / 3 \4261853642263816661815595343758474301726103468610111195 b 2 - 10468159109273110721291771327105137114879204954836158661 b + 5069299303592650488093380955487041371205507220180713845 b \ 2\ - 339759014295945927300863464118016316218796418726484602/ n / 0.7518047045 0.4265313402 and in floating-point, 3 - ------------ - ------------ n 2 n